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  • Mengentheoretische Topologie

    Tammo tom Dieck

    Version vom 9. Februar 2009

    Inhaltsverzeichnis

    1 Grundlagen und Grundbegriffe 3

    1 Topologische Raume und stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . 3

    2 Topologische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    3 Unterraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    4 Quotientraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    5 Produkte. Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    6 Trennungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    7 Anheftungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    8 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    9 Metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    10 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2 Kompaktheit 32

    1 Kompakte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2 Kompakte metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3 Intervall und Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4 Konvergenz. Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    5 Lokal kompakte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    6 Eigentliche Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3 Reelle Funktionen 55

    1 Der Satz von Tietze-Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    2 Der Satz von Stone-Weierstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3 Parakompakte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4 Partition der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    5 Erweiterung von Schnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    4 Abbildungsraume 67

    1 Die Kompakt-Offen-Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    2 Kompakt erzeugte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

  • 5 Transformationsgruppen 831 Topologische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832 Transformationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873 Projektive Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924 Eigentliche Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    6 Bundel 1041 Prinzipalbundel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 Universelle Bundel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    2

  • 1 Grundlagen und Grundbegriffe

    1 Topologische Raume und stetige Abbildungen

    Eine Topologie auf einer Menge X ist eine Menge O von Teilmengen von X,die offen genannt werden, mit den Eigenschaften:

    (1) Eine Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.(2) Ein Schnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.(3) Die leere Menge und X sind offen.

    Ein topologischer Raum (X,O) besteht aus einer Menge X und einer TopologieO auf X besteht. Die Mengen in O heien, wie schon gesagt, die offenen Mengendes topologischen Raumes (X,O). Wir bezeichnen einen topologischen Raummeist nur durch die zugrundeliegende Menge X; eine Topologie auf X wird dannunterstellt. Eine Menge A X heit abgeschlossen in (X,O), wenn ihr Kom-plement X \A offen in (X,O) ist. Beliebige Schnitte und endliche Vereinigungenabgeschlossener Mengen sind dann abgeschlossen.

    Eine Abbildung f :X Y zwischen topologischen Raumen heit stetig , wenndas Urbild f1(V ) jeder offenen Menge von V Y offen in X ist. (Aquivalent:Das Urbild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen.) Die identische Ab-bildung id(X) von X ist stetig, und die Verkettung stetiger Abbildungen istoffenbar auch stetig. Topologische Raume und stetige Abbildungen bilden somiteine Kategorie, von uns mit TOP bezeichnet.

    Ein Homoomorphismus f :X Y ist eine stetige Abbildung, die einestetige Umkehrung g:Y X hat: gf = id(X), fg = id(Y ). Die Raume Xund Y heien homoomorph , wenn es einen Homoomorphismus f :X Ygibt. Kommt eine Eigenschaft eines Raumes auch jedem homoomorphen zu, sosprechen wir von einer topologischen Eigenschaft .

    Bevor wir zu interessanten geometrischen Beispielen kommen, machen wirnoch einige einfache mengentheoretische Vorbemerkungen. Auf einer Menge gibtes viele verschiedene Topologien. Sind O1 und O2 Topologien auf X und giltO1 O2, so heit O1 grober als O2 und O2 feiner als O1. Die Menge allerTeilmengen von X ist eine Topologie; sie ist die feinste uberhaupt und wirddiskrete Topologie auf X genannt. Die grobste Topologie auf X ist {, X},genannt Klumpentopologie . Jede Abbildung aus einem diskreten Raum undjede Abbildung in einen klumpigen Raum ist stetig.

    Ist S irgendeine Menge von Teilmengen von X, so gibt es eine grobste Topo-logie O(S), die S enthalt. Diese Topologie mu X, , die Mengen aus S, endlicheSchnitte von Mengen aus S und beliebige Vereinigungen aller dieser Mengen ent-halten. Alle diese Mengen bilden aber eine Topologie O(S). Wir nennen sie dievon S erzeugte Topologie und S eine Subbasis von O(S). Die mengentheoreti-schen Regeln f1(jWj) = jf1(Wj) und f1(jWj) = jf1(Wj) zeigen, daeine Abbildung f :X Y zwischen topologischen Raumen schon dann stetig ist,wenn die Urbilder von Mengen einer Subbasis offen sind.

  • Eine Teilmenge B aller offenen Mengen O eines Raumes (X,O) ist eine Ba-sis der Topologie O, wenn jede (nichtleere) offene Menge Vereinigung vonElementen aus B ist.

    (1.1) Reelle Zahlen. Die geometrische Topologie und die Analysis beginnenmit der Zahlengeraden, das heit mit der Standardtopologie auf der Menge derreellen Zahlen R. Die Definition dieser Topologie benutzt nur die Anordnung derZahlen, ihren Groenvergleich, und nicht die algebraischen Rechenoperationender Addition und Multiplikation. Vom Standpunkt einer axiomatischen Theoriesind die reellen Zahlen aber ein sehr komplizierter Raum. Insbesondere hat mandie Existenz dieses Raumes zu beweisen (Vollstandigkeitsaxiom!). Eine Konstruk-tion, die nur die Anordnung benutzt, beruht auf der Methode der DedekindschenSchnitte.

    Das System aller offenen Intervalle ]a, b[ der reellen Zahlen R ist eine Ba-sis fur die Standardtopologie auf R, mit anderen Worten, die offenen Mengensind die Vereinigungen offener Intervalle. Die offenen Intervalle mit rationalenEndpunkten a, b bilden ebenfalls eine Basis dieser Topologie. Abgeschlossene In-tervalle sind dann abgeschlossene Teilmengen bezuglich der Standardtopologie.Die Mengen {x | x < a} und {x | x > a}, a R, sind eine Subbasis fur dieseTopologie auf R sowie auf der erweiterten Zahlengeraden R = {}R{};es genugt auch hier, nur a Q zu verwenden.

    Eine Abbildung f :X R ist stetig, wenn alle Mengen der Form {f > b} ={x | f(x) > b} und {f < a} = {x | f(x) < a} offen sind. 3

    (1.2) Metrische Raume. Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildungd:X X [0,[ mit den Eigenschaften:(M1) d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y ist.(M2) Fur alle x, y X gilt d(x, y) = d(y, x).(M3) Fur alle x, y, z X gilt die Dreiecksungleichung d(x, z) d(x, y) +

    d(y, z).Wir nennen d(x, y) den Abstand der Punkte x und y bezuglich der Metrik d.Ein metrischer Raum (X, d) besteht einer Menge X und einer Metrik d aufX.

    Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir nennen U(x) = {y | d(x, y) < } die-Umgebung von x. Wir sagen, U X sei offen bezuglich d (kurz d-offen),wenn zu jedem x U ein > 0 so existiert, da U(x) in U enthalten ist. DieMengen U(x) sind d-offen; sei namlich y U(x) und 0 < < d(x, y); dannzeigt die Dreiecksungleichung U(y) U(x).

    Das System Od der d-offenen Mengen ist eine Topologie auf X. Die MengenU(x) und bilden eine Basis von Od. Wir nennen Od die der Metrik zugrunde-liegende Topologie.

    Tragt der Raum (X,O) die Topologie O = Od fur eine Metrik d auf X,so heit er metrisierbar . Topologische Aussagen uber einen metrischen Raum(X, d) beziehen sich im folgenden auf den topologischen Raum (X,Od).

    Die Metrik auf X, die je zwei verschiedenen Punkten den Abstand 1 zuweist(die diskrete Metrik), liefert die diskrete Topologie. 3

    4

  • (1.3) Euklidische Raume. Die Standardtopologie auf dem euklidischenRaum Rn wird mit Hilfe der euklidischen Norm (x1, . . . , xn) = (

    x2i )

    1/2

    und der zugehorigen euklidischen Metrik d(x, y) = x y gema (1.2)definiert. Wenn nichts anderes gesagt wird, so verstehen wir unter dem to-pologischen Raum Rn den so definierten. Die Normen (xi)1 =

    i |xi| und

    (xi) = maxi|xi| und die zugehorigen Metriken d1(x, y) = x y1 undd(x, y) = x y liefern dieselbe Topologie wie die euklidische Metrik, daeine -Umgebung bezuglich einer dieser Metriken eine -Umgebung bezuglich ei-ner anderen Metrik enthalt. Die Mengen der Form

    i ]ai, bi[ bilden eine Basis der

    Standardtopologie des Rn. Es genugt, rationale ai, bi zu verwenden; es gibt alsoeine abzahlbare Basis. Im Fall n = 1 erhalten wir naturlich wieder die Topologie(1.1).

    Ebenso verfahrt man mit dem komplexen Vektorraum Cn und uberhaupt mitanderen normierten Vektorraumen. 3

    Wenngleich zunachst ein metrischer Raum geometrischer und naturlicher er-scheinen mag als ein topologischer, so sind doch die metrischen Raume nicht sogut geeignet, die mengentheoretische Topologie axiomatisch aufzubauen. Haufigist die Konstruktion einer Metrik komplizierter als die Konstruktion einer To-pologie. Man wurde auch mit den metrischen Raumen die Anwendbarkeit derBegriffssprache unnotig einschranken. Auerdem werden in der Definition einerMetrik die reellen Zahlen benutzt, und die reellen Zahlen sind selbst schon ei-ne komplizierte mathematische Struktur. Auch beachte man, da verschiedeneMetriken dieselbe Topologie liefern konnen und die Stetigkeit nur von der Topo-logie abhangt. Naturlich h

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