Defleksi BalokDefleksi Balok

Double Integration Method

Review :

Jika EI konstan, persamaaan kurva elastis dapat ditulis sebagai :

Di mana

x : koordinat yang diperlihatkan pada gambar kurva elastis balok yang dibebani.

y : defleksi balok pada titik sembarang berjarak x.

E : modulus elastisitas balok.

I : momen inersia terhadap sumbu netral.

M : momen lentur pada jarak x dari ujung balok.

Perkalian EI disebut sebagai kekakuan lentur (flexural rigidity) balok.

Integrasi pertama = y’ : kemiringan kurva elastis.

Integrasi kedua = y : nilai defleksi balok pada jarak x.

Solusi integrasi terdiri dari 2 konstanta dari integrasi.Solusi integrasi terdiri dari 2 konstanta dari integrasi.

Kedua konstanta tsb. harus dievaluasi dari kondisi yang yang diketahui menyangkut kemiringan garis defleksi pada sebuah titik tertentu balok.

Contoh1–Balok Kantilever dengan beban terpusat di ujung bebas

Sudah dipelajari pada kuliah minggu lalu!

Tentukan defleksi maksimum δ pada balok tumpuan sederhana dengan bentang L yang diberi

Contoh 2–Balok Sederhana di atas 2 tumpuan dengan beban terpusat di tengah bentang

Tentukan defleksi maksimum δ pada balok tumpuan sederhana dengan bentang L yang diberibeban P di tengah bentang.

Solusi

Dari persamaan keseimbangan diperoleh R1 = R2 = P/2

(x - L/2)

Mx

� Pada sebuah irisan berjarak x dari tumpuan kiri seperti pada gambar di atas berlaku :

Sehingga :

Contoh 2–

(x - L/2)

Mx

� Sehingga :

….. (pers. 1)

….. (pers. 2)

� Syarat batas pertama :

Pada tengah bentang (x= ½L) kurva elastis berada pada jarak maksimum dari garis netral

balok, atau kemiringan kurva = 0 atau y’ = 0

Contoh 2–

(x - L/2)

Mx

balok, atau kemiringan kurva = 0 atau y’ = 0

(pers. 1) menjadi :

Sehingga nilai C1 menjadi :

� Syarat batas kedua :

Pada titik perletakan kanan (x= L) kurva elastis kembali berimpit dengan garis netral

balok, atau y = 0

Contoh 2–

(x - L/2)

Mx

balok, atau y = 0

(pers. 2) menjadi :

Sehingga nilai C2 menjadi :

� Dari penyelesaian kedua syarat batas :

Maka, persamaan kurva elastis menjadi :

Contoh 2–

(x - L/2)

Mx

Untuk mengetahui defleksi pada x = ½ L, maka diturunkan dari persamaan di atas :

Sehingga,

� Sebagaimana contoh sebelumnya, kita dapat menggunakan persamaan-persamaan yang telah

� diperoleh untuk menghitung defleksi (translasi dan rotasi) di seluruh titik sepanjang balok.

Maka, persamaan kurva elastis yang digunakan :

Contoh 2–

(x - L/2)

Mx

Maka, persamaan kurva elastis yang digunakan :

dan

Tentukan nilai EIδ pada tengah bentang balok dengan beban terdistribusi merata seperti

Contoh 3–Balok di atas 2 tumpuan dengan beban teristribusi merata

Tentukan nilai EIδ pada tengah bentang balok dengan beban terdistribusi merata seperti tergambar.

Solusi

Karena simetri diperoleh:

Contoh 3–Balok di atas 2 tumpuan dengan beban teristribusi merata

Pada x = 0 ( di tengah bentang), y’ = 0, oleh karenanya C1 = 0

Contoh 3–Balok di atas 2 tumpuan dengan beban teristribusi merata

Pada x = ½ L, y = 0

Oleh karenanya

Contoh 3–Balok di atas 2 tumpuan dengan beban teristribusi merata

Pada x = 0 (tengah bentang)

Pada x = 0 jika a = 0

Hitung defleksi maksimum δ. Periksa jawaban dengan membuat a=½L dan bandingkan dengan jawaban pada contoh 2.

Contoh 4–Balok di atas 2 tumpuan dengan 2 beban terpusat simetris

Solusi

Karena simetris, maka R1 = R2 = P

Pada x = 0, y = 0 , oleh karena itu C2 = 0

Contoh 4–Balok di atas 2 tumpuan dengan 2 beban terpusat simetris

Pada x = L, y = 0

Sehingga :

Defleksi maksimun akan terjadi pada x=½L (tengah bentang)

Contoh 4–Balok di atas 2 tumpuan dengan 2 beban terpusat simetris

Jika a=½L, P= ½P

Contoh 4–Balok di atas 2 tumpuan dengan 2 beban terpusat simetris

Hitung nilai Eiδ di tengah bentang untuk balok yang dibebani seperti tergambar. Jika E = 10 GPa. Berapa nilai I yang dibutuhkan untuk membatasi defleksi di tengah bentang sebesar 1/360 bentang.

Contoh 5–Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi merata padasetengah bentang

Solusi꞉

Pada x = 0, y = 0 , oleh karena itu C2 = 0

Pada x = 4 m, y = 0

Contoh 5–Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi merata pada setengah bentang

Maka

Pada x= 2m (tengah bentang)

Defleksi tengah bentang maksimum

Contoh 5–Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi merata pada setengah bentang

Maka

Moment Area Method

Moment Area Method

Didasarkan pada hubungan

Teorema I :Teorema I :

Perubahan kemiringan antara garis singgung yang ditarik dari kurva elastis pada 2 titik sembarang A dan B adalah sama dengan perkalian 1/EI dengan luas dari diagram momen antara kedua titik tersebut.

Moment Area Method

Teorema II :

Deviasi pada titik B sembarang relatif terhadap kurva elastis di titik lainnya A, dalam arah tegaklurus dari posisi asli balok, adalah sama dengan perkalian 1/EI dengan momen terhadap titik B dari luasan dibawah bagian diagram momen antara titik A dan B bagian diagram momen antara titik A dan B

dan

� Cari teta B dan delta B (gamb 1)

� Cari teta C dan delta C (gamb 2)

2/3 L 1/3 L

BA

1/2 L 1/2 L

BA

C

Contoh 1- Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi segitiga dan beban terpusat

Dari balok yang dibebani seperti gambar di atas, hitung nilai Dari balok yang dibebani seperti gambar di atas, hitung nilai (LuasanAB) dikalikan (X)A. Dari hasil yang diperoleh tentukan apakah garis singgung yang ditarik dari kurva elastis di B memiliki kemiringan ke atas kanan atau ke bawah kanan.

Solusi

Moment Area Method

Perjanjian tanda :

1.Deviasi pada setiap titik sembarang adalah

positif jika titik tersebut berada di atas garis

singgung, negatif jika berada di bawah garis singgung, negatif jika berada di bawah garis

singgung.

2.Diukur dari sebelah kiri garis singgung, jika θ

berlawanan arah jarum jam, perubahan

kemiringan adalah θ positif, negatif jika

searah jarum jam

Contoh 1- Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi segitiga dan beban terpusat

Nilai (LuasanAB) dikalikan (X)A adalah negatif; oleh karena itu titik berada di bawah garis singgung yang melalui titik B, jadi kemiringan garis singgung melalui titik B menurun ke kanan.

Contoh 2- Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi meratadan beban momen

Tentukan nilai kopel M untuk balok yang dibebani seperti gambar di atassedemikian hingga momen area terhadap A dari diagram momen antarasedemikian hingga momen area terhadap A dari diagram momen antaratitik A dan B menjadi nol. Apakah arti fisik dari hasil ini?

Solusi

Contoh 2- Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi merata dan beban momen

Nilai M diperoleh dengan menggunakan batasan yang diberikan , yaitu

Sehingga

Beban terdistribusi seragam di atas bentang AB akan menyebabkan segmen AB berdefleksi ke bawah. Beban kopel M yang sama dengan 400 lb.ft yang diberikan pada ujung bebas akan menyebabkan kemiringan melalui B menjadi horizontal dan membuat kondisi di mana deviasi A dari garis singgung yang melalui B sama dengan nol. Oleh karenanya defleksi ke bawah akibat beban terdistribusi seragam dilawan oleh beban momen.

Contoh 3- Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi merata dan beban terpusat

Untuk balok yang dibebani seperti gambar di atas, hitung nilai (luasan ) Untuk balok yang dibebani seperti gambar di atas, hitung nilai (luasanAB) kali (X)A. Dari hasil ini pakah garis singgung terhadap kurva elastis di B mengarah ke arah kanan atas atau kanan bawah?

Solusi

Contoh 3- Balok di atas 2 tumpuan dengan beban terdistribusi merata dan beban terpusat

Nilai (luasanAB) kali (X)A dalah positif, oleh karena itu titik A berada di atas garis singgung kurva elastis yang melalui titik B, sehingga garis singgung melalui titik B adalah ke arah kanan atas.

Contoh 4- Balok kantilever dengan 2 beban terpusat

Balok seperti gambar di atas yang mempunyai penampang melintang persegi dengan lebar 50 mm dan tinggi h mm. Cari tinggi h jika defleksi maksimum tidak melebihi 10 mm. Gunakan E = 10 GPadefleksi maksimum tidak melebihi 10 mm. Gunakan E = 10 GPa

Solusi