Mathematical Tools of QuantumMechanicsM. Caisar HaisyFitria HerlianaIkhsanudin Hidayat

Ruang Hilbert dan Fungsi Gelombanga. Ruang vektor linearSebuah ruang vektor linier terdiri dari dua set elemen dan dua aturan aljabar: satu set vektor , , x, ... Dan satu set skalar a, b, c, ... aturan untuk penjumlahan vektor dan aturan untuk perkalian skalar.

(a) Aturan PenambahanAturan Selain memiliki sifat dan struktur kelompok abelian: Jika dan adalah vektor (elemen) dari ruang, jumlah mereka, + , juga merupakan vektor ruang yang sama. Komutatif : + = + Asosiatif : ( + ) + x = + ( + x) Keberadaan vektor nol atau netral: untuk setiap vektor , harus ada vektor nolO sedemikian rupa sehingga: 0 + = + 0 = Keberadaan simetris atau vektor terbalik : setiap vektor harus memiliki vektor simetris (- ) sehingga + (- ) = (- ) + = 0

(b) Aturan PerkalianProduk dari skalar dengan vektor memberikan vektor lain. Secara umum, jika dan adalah dua vektor ruang, kombinasi linear a + b juga merupakan vektor ruang, a dan b menjadi skalar.Distribusi sehubungan dengan penambahan:

Assosiasi sehubungan dengan perkalian skalar:

Untuk setiap elemen harus ada kesatuan skalar I dan skalar nol 0" sehingga

Ruang HilbertSebuah ruang Hilbert H terdiri dari satu set vektor , , x, ... dan satu set skalar a, b, c, ... Yang memenuhi empat sifat berikut:

H adalah ruang linearH telah didefinisikan produk scalar yang ketat positifH dapat dipisahkanH sudah lengkap

Dimensi dan Dasar Vector RuangSatu set N non vektor nol 1, 2, ..., N dikatakan linear bebas jika dan hanya jika solusi dari persamaan

adalah a1 = a2 = ... = aN = 0. Tapi jika ada satu set skalar, yang tidak semuanya nol, sehingga salah satu vektor (katakanlah n) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari yang lain,

set {i} dikatakan linear bergantung.

ContohPeriksa apakah set berikut fungsi linear bebas atau tergantung pada sumbu x.

JawabanSet ini jelas linear karena a1 f(x) + a2 g(x) + a3 h(x) = 4a1 + a2 x2 + a3 e2x = 0menunjukkan bahwa a1 = a2 = a3 = 0 untuk setiap nilai x.

Fungsi Square-integrable: Fungsi GelombangDalam kasus ruang fungsi, "vektor" elemen diberikan oleh fungsi kompleks dan skalar produk dengan integral. Artinya, produk skalar dari dua fungsi (x) dan (x) diberikan oleh

Notasi DiracUntuk vektor keadaan bebas dari koordinat makna, Dirac memperkenalkan apa yang menjadi berharga notasi dalam mekanika kuantum, yang memungkinkan seseorang untuk memanipulasi formalisme kuantum mekanik dengan mudah dan kejelasan. Dia memperkenalkan konsep kets, bra, bra-kets, yang akan dijelaskan di bawah.

Kets: elemen vektor ruangDirac dilambangkan vektor kondisi dengan simbol | }, yang ia sebut vektor ket, atau hanya ket. Kets milik Hilbert (vektor) ruang H, atau, singkatnya, untuk ket-ruang.

Bras: elemen ruang ganda Seperti disebutkan di atas, kita tahu dari aljabar linear bahwa ruang ganda dapat dikaitkan dengan setiap ruang vektor. Dirac dilambangkan elemen ruang ganda dengan simbol < |, yang ia sebut vektor bra, atau hanya bra, misalnya, elemen < | merupakan bra. Catatan: Untuk setiap ket | > terdapat bra yang unik < | dan sebaliknya. Sekali lagi, sementara kets milik Ruang Hilbert H, bra yang sesuai milik (Hilbert) ruang ganda Hd.

Bra-ket: notasi Dirac untuk produk skalarDirac dilambangkan skalar (dalam) produk dengan simbol < | >, yang ia sebut a a bra-ket. Untuk Misalnya, produk skalar ( , ) dilambangkan dengan bra-ket < | > :

Catatan: Bila ket (atau bra) dikalikan dengan bilangan kompleks, kita juga mendapatkan ket (atau bra).

Vektor keadaan partikel ini pada saat t akan diberikan oleh fungsi gelombang spasial diberikan oleh

Demikian pula, jika kita mempertimbangkan momentum tiga dimensi partikel, yang ket | > akan harus dinyatakan dalam ruang momentum. Dalam hal ini keadaan partikel akan dijelaskan oleh fungsi gelombang (p,t) , di mana p adalah momentum partikel.

Sifat kets, bras, and bra-ketsSetiap ket memiliki bra yang sesuaiUntuk setiap ket |>, ada sesuai bra unik < | dan sebaliknya:

Ada korespondensi satu-satu antara Bra dan kets:

di mana a dan b adalah bilangan kompleks. Berikut ini adalah notasi yang umum:

Sifat dari produk skalarDalam mekanika kuantum, karena produk skalar adalah bilangan kompleks. Kita harus berhati-hati untuk membedakan produk skalar dari konjugat kompleks; tidak sama dengan :

Komponen ini menjadi lebih jelas jika kita menerapkannya pada persamaan (2.21):

Ketika | > dan | > adalah nyata, kita akan memiliki = < |>. Mari kita daftar beberapa sifat tambahan dari produk skalar:

Norm adalah nyata dan positifUntuk setiap vektor keadaan |> dari ruang Hilbert H, norma < | > adalah nyata dan positif; < | > sama dengan nol hanya untuk kasus di mana | > = O, dimana O adalah vektor nol. Jika keadaan dinormalkan | > < | > 1.

Orthogonal statesDua kets, |> dan | >, dikatakan ortogonal jika mereka memiliki produk skalar yang menghilang:

Orthonormal statesDua kets, |> dan | >, dikatakan ortonormal jika mereka ortogonal dan jika masing-masing dari mereka memiliki unit norm:

Kuantitas terlarangJika |> dan | > milik vektor yang sama (Hilbert) ruang, produk dari jenis |> | > dan < | < | dilarang. Mereka tidak masuk akal, karena |> | > dan < | < | adalah tidak kets atau bra). Jika |> dan | >, namun, untuk ruang vektor yang berbeda (misalnya |> milik ruang berputar dan < |ke ruang momentum sudut orbital), maka produk |> | >, ditulis sebagai > | >, merupakan produk tensor |> dan | >. Hanya dalam kasus-kasus yang khas adalah produk tersebut bermakna.

Contoh soalPertimbangkan dua kets berikut:

a) Cari bra < | b) hitunglah produk scalar c) buktikan mengapa produk |>|> dan

JawabSeperti yang akan dijelaskan nanti ketika kita memperkenalkan adjoint Hermitian dari kets dan bra, kami ingin menyebutkan bahwa bra :

Produk scalar bisa diselesaikan dengan cara :

c) Pertama, produk |>|> tidak dapat dilakukan karena, dari aljabar linear, produk dari dua matriks kolom tidak dapat dilakukan. Demikian pula, karena dua matriks baris tidak bisa dikalikan, produk

OperatorsDefinisi umum Definisi operator: Sebuah operator adalah aturan matematika yang bila diterapkan pada ket |> berubah menjadi ket lain |> dari ruang yang sama dan ketika itu bekerja pada bra

Contoh dari operatorOperator Unity: ia tidak merubah ket apapun,

Operator gradient

Operator momentum linier

Operator yang seimbang

Operator Laplace

Herminiant AdjointUntuk mendapatkan Hermitian adjoint ekspresi apapun, kita harus membalikkan urutan faktor dan membuat tiga pengganti:Ganti konstanta oleh konjugat kompleks mereka:

Ganti kets (bra) oleh bra yang sesuai (kets):

Ganti operator oleh adjoin mereka.

Mengikuti aturan-aturan ini, kita dapat menulis

REPRESENTASI BASIS KONTINUPada bagian ini kami akan membahas mengenai representasi dari vektor keadaan, bra dan operator pada basis kontinu. Setelah membahas permasalahan yang umum, kami akan mengkaji dua aplikasi penting yaitu representasi pada ruang posisi dan momentumDibagian sebelumnya dapat kita lihat representasi ket, bra dan operator pada basis diskrit memberikan matrik diskrit. Kami akan memperlihatkan dari jumlah pada representasi basis kontinu dengan matrik kontinu, dimana memiliki noncountable matrik yang tidak terbatas.

2.6.1 PENYELESAIAN UMUMPada kondisi ortonormal basis ket pada basis kontinu, Kronecker delta tidak digunakan tetapi menggunakan fungsi kontinu delta Dirac:

Dimana k dan k adalah parameter kontinu dan adalah fungsi delta Dirac satu dimensi.Melihat Appendix A, didapatkan:

Untuk melengkapi kondisi pada basis kontinu, kita tidak menggunakan kronecker delta tetapi menggunakan integral dari variable kontinu

Dimana adalah unit operator.Setiap bagian vektor bisa diperluas dalam set lengkap dari basis kets

Dimana

Aturan pada diskrit basis kets , tetapi aturan pada kontinu basis kets yaitu:

Hal ini menyatakan bahwa kets tidak persegi integrable dan oleh karena itu ini bukan dimensi ruang hilbert.

Fungsi delta DiracDalam delta dirac ada fungsi delta satu dimensi dan fungsi delta tiga dimensi. Pada fungsi delta satu dimensi didapatkan hasil fungsi delta dari penurunan rumus menjadi:

Pada fungsi delta tiga dimensi didapatkan hasil fungsi delta dari penurunan rumus menjadi:

Representasi ket, bra dan operatorRepresentasi ket, bra dan operator pada basis kontinu sebagai berikut:Vektor ket di wakilkan dengan kolom matrik single yang kontinu dan tidak terbatas:

Vektor bra diwakili dengan baris matrik single yang kontinu dan tidak terbatas:

Operator diwakili dengan persegi kontinu matrik, dimana memiliki kolom dan baris yang kontinu dan tidak terbatas:

Selanjutnya kita dapat membahas mengenai representasi pada basis posisi dan momentum.

Representasi posisiDalam representasi posisi, basis terdiri dari vektor yang tidak terbatas dimana operator posisi :

Dimana adalah vektor posisi dan adalah operator. Ortonormal dan keadaan lengkap dapat dilihat sebagai berikut:

Dari penurunan rumus didapatkan operator Hermitian sebagai berikut:

Representasi MomentumBasis pada representasi momentum diperoleh dari eigenkets momentum operator :

Dimana adalah vektor posisi dan adalah operator. Ortonormal dan keadaan lengkap dapat dilihat sebagai berikut:

Maka didapatkan:

Menghubungkan representasi posisi dan momentumUntuk mendapatkan hasil fungsi transformasi , kita dapat menghubungkan antara representasi posisi dan momentum dengan vektor keadaan :

Jika posisi fungsi gelombang:

Maka:

Penyelesaian diatas adalah Teorema Parseval

Operator momentum dalam representasi posisiUntuk menentukan operator momentum dalam representasi posisi dapat dihitung :

Dimana dengan menggunakan relasi . Karena

Dapat di tulis:

Dengan demikian, dalam representasi posisi adalah

Pada komponen kartesian adalah

Operator Posisi dalam Representasi MomentumOperator posisi dalam representasi momentum dapat dengan mudah didapatkan dari representasi momentum dalam ruang posisi. Dalam ruang momentum, operator posisi dapat ditulis:

Kommutasi RelasiMenghitung kommutator dalam representasi posisi. Berlaku dan dalam fungsi gelombang didapatkan:

Begitu pula pada komponen y dan z:

Dimana x,y,z merupakan derajat kebebasan yang independen

Relasi ini sering disebut canonical commutation relations

Contoh soalDengan menggunakan komutator , dilihat dengan m > 1. Dapatkah anda memikirkan cara langsung untuk mendapatkan hasil yang sama?

Dengan menggunakan hasil dari (a) untuk menunjukkan hubungan umum , dimana adalah sebuah operator differentiable fungsi dari .

JawabanKita buktikan dengan induksi. Asumsikan valid untuk m=k (catatan berlaku untuk n = 1,

Karena m > 1, maka berlaku m = k+1 Menggunakan aturan relasi

Didapatkan: =diketahui, dan maka:

Karena m = k+1, maka k = m-1

JawabanMenggunakan operator fungsi Taylor expand dalam kekuatan , dan masukkan ke dalam :

Dimana commutator , maka:

Cara langsungDengan menggunakan aturan commutator algebra, dimana commutator pada beberapa fungsi gelombang :

Dengan menggunakan cara langsung didapatkan hasil yang sama.

Cara lainAplikasikan komutator pada beberapa fungsi gelombang Dimana: didapatkan:===

Dengan menggunakan persamaan , kita dapat menemukan komutasi relasi umum dengan fungsi arbitrary :

dimana F adalah fungsi dari operator

Contoh Soal dan JawabanHitunglah komutator pada representasi momentum dan buktikan bahwa sama dengan .Jawab:Operator pada representasi momentum , didapatkan:

Maka, komutator yang didapatkan dari representasi momentum yaitu:

Operator ParityRefleksi ruang pada sistem koordinat disebut inversion atau parity operation. Transformasi bersifat diskrit. Operator parity dari vektor kets pada ruang posisi:

Operator parity hermitian , maka:

Matrik dan Gelombang MekanikTeori mekanika kuantum setuju dengan esenses dengan permasalahan yang sesuai dengan eigenvalue problem:

Dimana adalah sistem hamiltonian.

mekanika gelombangRepresentasi formula dari mekanika kuantum dalam basis kontinu bagian eigenvalue problem tidak dari matrik equation atau formula Heisenberg, tetapi menggunakan differential equation. Representasi pada eigenvalue equation dalam ruang posisi:Dari persamaan Hamiltonian didapatkan representasi posisi

Maka didapatkan:

Dimana adalah fungsi gelombang dalam sistem. Persamaan differensial ini dikenal oleh persamaan Schrodinger. Pemecahan ini mengakibatkan spektrum energi dari suatu sistem yaitu fungsi gelombang. Formulasi mekanika kuantum pada representasi posisi ini disebut mekanika gelombang.

KESIMPULANSecara historis, formulasi matriks pada mekanika kuantum dikerjakan oleh Heisenberg tidak lama sebelum schrodinger memperkenalkan teori gelombangnya. Penyetaraan antara matriks dan gelombang dibuktikan beberapa tahun kemudian menggunakan teori unitary transformation. Berbeda dalam bentuk, juga dalam kontennya, mekanika gelombang dan mekanika matriks mencapai tujuan yang sama yaitu menemukan spektrum energi dan keadaan dalam sistem kuantum.

Formulasi matrik memiliki keuntungan yang lebih besar dalam hal umum, tetapi juga memiliki kekurangan, pada sisi konseptual, dia tidak memberikan ide secara visual mengenai struktur atom, dia sedikit bersifat intuisi daripada mekanika gelombang. Pada teknisnya, lebih sulit untuk digunakan dalam permasalahan mencari keadaan atom yang tetap. Mekanisme matriks bagaimanapun juga menjadi kuat dalam memecahkan permasalahan seperti osilasi harmonik atau memberlakukan formula angular momentum. Tetapi kebanyakan percobaan dari mekanika kuantum terfokus pada pemecahan dari persamaan Schrodinger buka pada permasalahan matriks eigenvalue heisenberg.

Pada mekanika gelombang kita hanya menetapkan potensial dari perpindahan partikel, selebihnya menggunakan persamaan schrodinger. Dengan mengetahui , kita bisa memecahkan prinsip dari persamaan

untuk mendapatkan level energi yang bermacam-macam pada partikel dan gelombang yang berhubungan.

SELESAI

TERIMAKASIH

*