mehanika za studente matematike (pdf)
TRANSCRIPT
Fizikaza studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u
u Novom Sadu
dr Fedor Skuban
1
Departman za fiziku, PMF Novi Sad
SadržajMehanika
2
Fizičke veličine. SI sistem jedinica 4Osnovni pojmovi kinematike 10Brzina 13Ubrzanje 15Pravolinijsko kretanje 17Slobodno padanje 21Vertikalni hitac 23Horizontalni hitac 25Kosi hitac 28Krivolinijsko kretanje. Kružno kretanje 31Ugaona brzina 32Ugaono ubrzanje 33Ravnomerno kružno kretanje 38Jednako-ubrzano kružno kretanje 40Dinamika. Sila, masa i količina kretanja 43Njutnovi zakoni kretanja. I Njutnov zakon 45II Njutnov zakon 47III Njutnov zakon 48Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije 50
Težina tela 53Sila normalne reakcije podloge 54Sila trenja 55Sila elastičnosti 59Sile kod kružnog kretanja 62Rad i energija 66Energija 69Kinetička energija 70Potencijalna energija 72Gravitaciona potencijalna energija 73Konzervativna i nekonzervativna polja 77Konzervativne i nekonzervativne sile 78Potencijalna energija deformisane opruge 79Zakon održanja energije 82Snaga 85Impuls sile i količina kretanja 86Zakon održanja količine kretanja 88Sudari 91Elastičan sudar 93Neelastičan sudar 94
Sadržaj
3
Oscilacije i talasi 95Oscilovanje tela obešenog o elastičnu oprugu 98Matematičko klatno 101Talasno kretanje. Prostiranje talasa u elastičnoj sredini. 103Jednačina progresivnog talasa 108Brzina širenja talasa 110Energija talasa 112Osnovne osobine talasnog kretanja 113
Statika fluida 118Pritisak 119Hidrostatički pritisak 122Potisak. Arhimedov zakon. 124Osobine gasova. Atmosferski pritisak. 126Dinamika fluida 128Jednačina kontinuiteta 129Bernulijeva jednačina 131Toričelijeva teorema 133
4
Fizičke veličine. SI sistem jedinica.Potreba da se brojem izražavaju osobine ili opisuju prirodne pojavenametnula je potrebu uvođenja fizičkih veličina i jedinica fizičkih veličina.
Fizičkim veličinama se kvantitativno opisuju osobine tela, stanja iprocesa.
Skalarne veličine su potpuno određene svojom brojnom vrednošću, dok suvektorske veličine definisane joši pravcem i smerom.
1960. godine je na međunarodnom nivou dogovoreno da se koristijedinstveni sistem fizičkih jedinica u svetu, tzv. SI sistem (međunarodnisistem jedinica), koji sadrži 7 osnovnih veličina i njihovih jedinica, dok susve ostale jedinice (jedinice ostalih fizičkih veličina) izvedene od osnovnih(iako imaju druge nazive, mogu se nedvosmisleno izraziti preko nekih odpomenutih sedam osnovnih jedinica).
5
Fizičke veličine. SI sistem jedinica.Osnovne fizičke veličine:
naziv veličine najčešća oznakaveličine jedinica oznaka jedinice
masa m kilogram kgdužina l, s, r metar mvreme t sekund stemperatura T kelvin Kjačina električne struje I amper A
jačina svetlosti J kandela cdkoličina supstance n mol mol
6
1 m je dužina puta koju u vakuumu pređesvetlost za 1/299 792 458 deo sekunde.
1 kg je masa etalona u obliku cilindra visine39 mm i prečnika 39 mm od legure 90% Pt -10% Ir, koji se čuva u Međunarodnom birouza težine i mere u Sevru, Francuska.
1 s je vreme trajanja 9 192 631 770 oscilacijaelektrona između dva hiperfina nivoa u atomuCs.
Fizičke veličine. SI sistem jedinica.
1 K je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273.16 delutermodinamičke temperature trojne tačke vode.
1 A je jačina vremenski stalne električne struje koja, prolazeći kroz dva prava,paralelna provodnika beskonačne dužine i zanemarljivog poprečnog preseka,koja se nalaze u vakuumu na rastojanju od 1 m, prouzrokuje između njihelektrodinamičku (privlačnu ili odbojnu) silu od 2⋅10−7 N po metru dužine.
7
1 cd je svetlosna jačina koju u određenom pravcu emituje izvor svetlosti u vidumonohromatskog zračenja frekvencije 540⋅1012 Hz i čija je izračena snaga u tompravcu 1/683 deo W po steradijanu.
1 mol je količina materije sistema koji sadrži toliko elementarnih jedinki kolikoima atoma u 0.012 kg izotopa ugljenika 12C (Avogadrov broj).
Fizičke veličine. SI sistem jedinica.
8
Fizičke veličineIzvedene fizičke veličine - skup fizičkih veličina koje su funkcije osnovnih iliosnovnih i već izvedenih veličina, a dobijaju se na osnovu formule ili relacije.Primeri: brzina v=dx/dt [m/s]ubrzanje a=dv/dt [m/s2], sila F=m⋅a [N=kgm/s2],pritisak p=F/S [Pa=N/m2]gradijent brzine dv/dz [s−1=1/s]koeficijent dinamičke viskoznosti η=F/(S⋅(dv/dz)) [Pas=Ns/m2=kg/sm]
Mogu biti i bezdimenzione: apsolutni indeks prelamanja n=c/vPoasonov broj μ=(Δd/d)/(Δl/l)
Izuzetak su jedinice za:ugao u ravni [rad]prostorni ugao [sr]
9
Fizičke veličineJedinice fizičkih veličina se vrlo često ne koriste u svom osnovnomobliku, već višestruko umanjene ili uvećane. Milimetar, nanosekundaili mikrofarad su jedinice koje sadrže prefikse mili-, nano- i mikro- ipredstavljaju umnoške osnovne jedinice (metar, sekunda, Farad)zasnovane na različitim eksponentima broja 10.
red veličine prefiks oznaka
10−12 piko- p
10−9 nano- n
10−6 mikro- μ
10−3 mili- m
10−2 centi- c
10−1 deci- d
red veličine prefiks oznaka
101 deka- da
102 hekto- h
103 kilo- k
106 mega- M
109 giga- G
1012 tera- T
10
Mehaničko kretanje tela je promenapoložaja tog tela u odnosu na bilo kojedrugo telo.
Za određivanje položaja koriste sereferentni sistemi, najčešće Dekartovpravougli koordinatni sistem.
Referentni sistemi su vezani za“posmatrača” događaja. Mogu sekretati (ravnomerno ili ubrzano) ilimirovati.
KINEMATIKAOsnovni pojmovi kinematike
Referentni sistemi koji miruju ili se ravnomerno kreću su tzv. inercijalni referentnisistemi, a oni koji se ubrzano kreću nazivaju se neinercijalni referntni sistemi.
11
Vektor položaja je vektor koji spaja koor-dinatni početak i datu tačku, a usmeren je kadatoj tački.
Materijalna tačka je telo zanemarljivihdimenzija, ali konačne mase. U kinematici nasnanje interesuju dimenzije pokretnih tela, aviše samo njihovo kretanje i veličine koje gakarakterišu.
Linija koju materijalna tačka opisuje tokomkretanja (skup uzastopnih položaja) pred-stavlja njenu putanju. Ili, to je skup tačakakroz koje prolazi tokom svog kretanja.
Osnovni pojmovi kinematikerr
12
Deo putanje Δs koji telo pređe za vreme Δtizmeđu dve tačke (npr. M1 i M2) je pređeni put.To je rastojanje između krajnjeg i početnogpoložaja tela mereno duž putanje.
Vektor pomeraja je vektor koji spaja početni ikrajnji položaj tačke u kretanju.
Svako kretanje se može smatrati kaokombinacija translacije i rotacije.
Translacija – svaka prava ili ravanostaje sama sebi paralelna.Rotacija - sve tačke se kreću pokoncentričnim krugovima čiji centrisu na istoj pravoj - osa rotacije.
Osnovni pojmovi kinematike
rrΔ
)()( trttrr vrr−Δ+=Δ
12 sss −=Δ
sΔ
13
Vrste kretanja. Brzina.Brzinom se, u opštem smislu, karakteriše pređeni put u jedinici vremena.Srednja putna brzina je količnik ukupnog pređenog puta Δs za neko vreme Δt ivremena kretanja Δt.
tsvs Δ
Δ=
ttrttr
trvsv Δ
−Δ+=
ΔΔ
=)()( rrr
r
sΔ
Jedinica je [m/s].
Srednja vektorska brzina je količnik vektorapomeraja i vremena u toku kojeg je pomerajnapravljen.
14
Trenutna brzina
Trenutna brzina (brzina pokretne tačke u datomtrenutku t) je srednja vektorska brzina u beskonačnomalom intervalu vremena.
Vektor trenutne brzine ima pravac tangente naputanju.
Intenzitet trenutne brzine se, na osnovu činjeniceda je dužina pomeraja jednaka pređenom putu Δs uslučaju da Δt→0, definiše kao:
tr
trv
ttrv
t ddlim
0,
0
rrr
rr
=ΔΔ
=
→ΔΔΔ
=
→Δ
ts
ts
trvv
tt ddlim||lim||
00=
ΔΔ
=ΔΔ
=≡→Δ→Δ
rr
15
UbrzanjeUbrzanje je veličina koja karakteriše promenubrzine u jedinici vremena.Srednje ubrzanje je količnik promene brzine ivremenskog intervala u toku kojeg je ta promenanačinjena.Trenutno ubrzanje je granična vrednostsrednjeg ubrzanja kada vremenski interval Δt→0.Jedinica za ubrzanje je [m/s2].
Vektor trenutnog ubrzanja ima pravac vektorapromene brzine .Intenzitet trenutnog ubrzanja se definiše kao:
ttvttva
ttvv
tva
s
s
Δ−Δ+
=
−−
=ΔΔ
=
)()(
12
12
rrr
rrrr
tv
tva
ttva
t ddlim
0,
0
rrr
rr
=ΔΔ
=
→ΔΔΔ
=
→Δ
vrΔ
2
2
dd
trar
r=⇒=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
=ΔΔ
=ΔΔ
=≡→Δ→Δ
*2
2
00
dd
dd
dd
dd
ddlim||lim||
tr
tr
ttva
tv
tv
tvaa
tt
rr
* Čita se: drugi izvod vektora pomeraja po vremenu.
16
UbrzanjeUbrzanje može biti pozitivno (vektor brzine i vektor ubrzanja imaju isti smer) ilinegativno (tzv. usporenje – vektor brzine i vektor ubrza-nja imaju suprotne smerove).
Ubrzanje postoji i kada nema promene intenziteta vektora brzine. Dovoljno je davektor brzine v menja pravac u prostoru.
17
Jednodimenzionalno (pravolinijsko) kretanje –ravnomerno kretanje
Kretanje kod kojeg je putanja prava linija je pravolinijsko. Vektori brzine iubrzanja (ako je a≠0) se poklapaju sa pravcem kretanja, a intenziteti trenutnih ovihveličina su:
tsv
dd
=2
2
dd
dd
ts
tva ==
const.==tsv
Pravolinijsko kretanje može biti ravnomerno ili promenljivo (najjednostavnijislučaj: jednako-ubrzano).
Ravnomerno (uniformno) pravolinijsko kretanje je ono u kome se brzina nemenja ni po intenzitetu ni po pravcu u toku vremena. Njen intenzitet je ravankoličniku pređenog puta i vremena.
⇒= 0ar
18
Pravolinijsko kretanje – ravnomerno kretanje
Zakon položaja je funkcija promene položaja tela (materijalne tačke) savremenom, x=f(t).
U slučaju pravolinijskog ravnomernog kretanja zakon položaja glasi *:
vtxx += 0
ili prosto (ako uzmemo da je početni položaj (kordinata) tela x0=0):
vtx =
* Kod pravolinijskog kretanja koordinatnu osu (recimo x-osu) nakojoj se prati položaj tela usmeravamo duž pravca kretanja.
19
Pravolinijsko kretanje – jednako-ubrzano kretanjeKretanje po pravoj liniji pri kojem je ubrzanje konstantno ( ) je jedna-ko-ubrzano pravolinijsko kretanje. Ubrzanje može biti pozitivno ili negativno(usporenje; intenzitet brzine se smanjuje u toku vremena).
Zakon brzine je funkcija koja pokazuje zavisnost brzine od vremena, v=f(t).
Za slučaj da je početna brzina (brzina u trenutku t=0 s) v0≠0, zakon brzine glasi:
atvv += 0
⇒=++= 0za2 0
2
00 xattvxx2
2
0attvx +=
Zakon položaja u slučaju pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanja glasi:
const.=ar
20
Pravolinijsko kretanje – jednako-ubrzano kretanjeaxvv 22
02 +=
20 vvvs+
=
Veza između krajnje i početne brzine i pređenog puta x je:
Srednja brzina kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja je:
2
2
00attvxx ++=
atvv += 0const.=ar
21
Primeri pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanjaSlobodno padanje
Intenzitet brzine, položaj tela na vertikalnoj y-osi i pređeni put (računajući od mesta gde se telopušta da slobodno pada):
22
22 gtsgthygtv =−==
Slobodno padanje je pravolinijsko (jednodimenzionalno) i jednako-ubrzanokretanje tela u polju sile Zemljine teže bez početne brzine (v0=0).
Intenzitet ubrzanja tela približno iznosi a ≡ g = 9.81 m/s2 i pod izvesnim uslovimase može smatrati konstantnom veličinom (u blizini površine Zemlje, uz zanemari-vanje sile otpora vazduha, ...). Smer ubrzanja je ka površini Zemlje (tačnije kacentru Zemlje).
22
Slobodno padanje
ghv 2=Brzina pri udaru o zemlju pri slobodnom padu sa visine h:
Kada nema drugih uticaja, već deluje samo silaZemljine teže na ubrzanje tela, tada sva telapadaju jednako – ako su istovremeno puštena dapadaju, istovremeno i stižu do površine.
23
Vertikalni hitacVertikalni hitac je jednodimenzionalno (pravolinijsko) i jednako-ubrzano kreta-nje tela u polju sile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – teloje bačeno u vertikalnom pravcu (naviše ili naniže nekom početnom brzinom).
Intenzitet ubrzanja tela je takođe g = 9.81 m/s2, a smer ubrzanja je ka površiniZemlje (tačnije ka centru Zemlje).
Smer brzine, međutim, može biti i suprotan odsmera ubrzanja – kada se telo baca naviše(vertikalni hitac naviše), brzina je u početkuusmerena u pozitivnom smeru y-ose duž koje seposmatra položaj bačenog tela – telo usporavadok ne dostigne maksimalnu visinu, a zatimslobodno pada.
Kod vertikalnog hica naniže, brzina tela iubrzanje uvek imaju isti smer.
24
Vertikalni hitac
2
2
0
0
gttvhy
gtvv
−−=
+=
2
2
0
0
gttvhy
gtvv
−+=
−=
U momentu pada na zemlju je y=0; u najvišoj tački putanje je intenzitet brzine v=0.
gvhH2
20+=
Maksimalna visina koju dostiže telo uvertikalnom hicu naviše:
Zakon brzine, zakon položaja i pređeni put
Hitac naniže
Hitac naviše
2
2
0gttvs +=
2
2
0gttvs −=
25
Dvodimenzionalno (krivolinijsko) kretanje u polju sile Zemljine teže – Horizontalni hitac
U slučaju dvodimenzionalnog kre-tanja (po krivolinijskoj putanji),brzina tela se u svakom momentumože razložiti na dve komponente– duž x- i duž y-ose koordinatnogsistema vezanog za posmatrača(obično je to Zemljina površina).
Horizontalni hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i složeno kretanje tela upolju sile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – telo je bačeno uhorizontalnom pravcu sa neke visine.
26
Horizontalni hitac
Kretanje duž x-ose je ravnomerno – brzina je konstantna.
Kretanje duž y-ose je jednako-ubrzano – brzinaraste (slobodno padanje; ubrzanje je g).
2
20
gthy
tvx
−=
=gtv
vv
y
x
−== 0
* h – je visina sa koje je bačeno telo po putanji horizontalnog hica.
27
22yx vvv +=U momentu pada na zemlju je y=0 ⇒
domet xD, brzina vD, ugao putanje αD.
20
2
2vgxhy −=
ghvxD
20=
Putanja je parabola.Zakon (jednačina) putanje, (zavisnost y-koordinate položajatela koje se kreće po putanji horizontalnog hica od x-koordinate):
Horizontalni hitac
28
Kosi hitacKosi hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i složeno kretanje tela u poljusile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – telo je bačeno podnekim uglom u odnosu na horizontalni pravac. Kretanje se može opisati kaosuperpozicija dva kretanja duž x- i y-koordinatne ose.
Duž x-ose kretanje je ravnomerno – brzina je konstantna.Duž y-ose kretanje je jednako-promenljivo – ako je ugao izbacivanja pozitivan(vertikalni hitac naviše), brzina duž y-ose prvo opada, a nakon dostizanja maksimalnevisine, brzina menja smer i raste po intenzitetu; u slučaju negativnog ugla, brzina duž y-ose stalno raste, kao kod slobodnog padanja.
29
Kosi hitac
Zakon (jednačina) putanje y=f(x) ima oblik:
Putanja je parabola.
Vremenska promena komponentibrzina i koordinata tela:
⇒−=
⇒=
gtvv
vv
yy
xx
0
0
⇒−+=
⇒=
2
2
00
0
gttvyy
tvx
y
x
222
00 cos2
tg xv
gxyyα
−α+=
* y0 – je visina sa koje je bačeno telo po putanji kosog hica.
gtvv
vv
y
x
−α=
α=
sin
cos
0
0
2sin
cos
2
00
0
gttvyy
tvx
−α+=
α=
30
Kosi hitac
α= 2sin20
gvxD
U momentu pada na zemlju je y=0 ⇒ domet xD,brzina vD, ugao putanje αD:
U najvišoj tački putanje je vy=0 (v=vx) ⇒maksimalna visina ymax. Pod uslovom da je y0=0:
α= 220
max sin2gvy
Domet zavisi od početne brzine tela (v0) iod ugla α pod kojim je ispaljen projektil poputanji kosog hica.
* Pretpostavlja se da je otpor vazduha zanemarljiv.
31
Kinematika rotacionog kretanja. Kružno kretanje.
00
rad][
ttt
rs
rs
−=Δθ−θ=θΔ
Δ=θΔ→=θ
Položaj materijalne tačke pri kretanju po kružnici dat je radijus-vektorom, kojipolazi od centra kružne putanje, a završava na mestu materijalne tačke.
Ugaoni pomeraj Δθ je ugao između početnog (θ0) i krajnjeg (θ) položajaradijus-vektora. Uglovi se izražavaju u radijanima (rad).
Ugaoni pomeraj Δθ je vektor čiji pravac se poklapa sa pravcem ose rotacije, asmer je određen pravilom desnog zavrtnja.
* Ugao od 1 rad je onaj za koji je odgovarajuća dužina luka na kružnici jednaka njenom poluprečniku (s=r), θ=s/r=1 rad.
θ
θ0
32
Ugaona brzina ω
Srednja ugaona brzina ωs je količnik ugaonog pomeraja ivremena u toku kojeg je taj ugao opisan. Jedinica je [rad/s].
Trenutna ugaona brzina ω je jednaka srednjoj ugaonojbrzini kada vremenski interval Δt→0. Ugaona brzina jepozitivna, ako se θ povećava, a negativna, ako se θ smanjuje.
Ugaona brzina je vektor čiji se pravac poklapa sa pravcemose rotacije – normalan je na ravan rotacije. Smer vektora jeodređen pravilom desnog zavrtnja.
tt
t
t
s
ddlim
0
θ=
ΔθΔ
=ω
ΔθΔ
=ω
→Δ
Ugaono ubrzanje je posledica ubrzanog kretanja materi-jalne tačke po kružnici (povećanje ili smanjenje intenzitetaperiferne brzine v), odnosno promene intenziteta ugaonebrzine ω.
Srednje ugaono ubrzanje αs je količnik promeneugaone brzine i vremenskog intervala u toku kojeg jedošlo do te promene.
Jedinica je [rad/s2] ili samo [s−2] .
Trenutno ugaono ubrzanje α je srednje ugaonoubrzanje za graničan slučaj kada Δt→0.
Ugaono ubrzanje je vektor čiji se pravac poklapa sapravcem ose rotacije, dakle normalan je na ravankružnice i kolinearan sa vektorom ugaone brzine .
33
Ugaono ubrzanje α
tt
t
t
s
ddlim
0
ω=
ΔωΔ
=α
ΔωΔ
=α
→Δ
2
2
dd
tθ
=α
αr
ωr
34
Veza između linearnih i ugaonih veličina
Veza između intenziteta periferne brzine v kretanja materijalne tačke (tela) pokružnici i intenziteta ugaone brzine ω radijus vektora te materijalne tačke:
⇒=ΔΔ
=Δ
Δ=
ΔθΔ
=ωrv
trs
trs
t/
rv rvr×ω=
Vektor periferne brzine leži u ravni kružnice, kao i radijus-vektor , a vektorugaone brzine je normalan na ravan kružnice.ω
rvr rr
rv ω=
35
Veza između linearnih i ugaonih veličina
Slično tome, veza između intenziteta ubrzanja a materijalne tačke koja se krećepo kružnici (dakle, periferna brzina v se menja po intenzitetu) i intenziteta ugaonogubrzanja α dobija se na sledeći način:
⇒α=ΔωΔ
=ΔωΔ
=ΔΔ
=τ rt
rt
rtva α=τ ra
Pošto je ubrzanje ovde posledica promene intenziteta periferne brzine, vektor oveveličine ( ) ima pravac tangente na kružnu putanju (kao i periferna brzina) – iz tograzloga nosi naziv tangencijalno ubrzanje.
Oznaka aτ ističe da ovo ubrzanje treba razlikovati od tzv. normalnog(centripetalnog ubrzanja) koje je posledica promene pravca periferne brzine.
τar
odd v
tva rr
=τ
* je jedinični vektor periferne brzine. ovr
36
Krivolinijsko kretanje. Kružno kretanje.
Svako krivolinijsko kretanje se može predstavitikao kretanje po kružnici, pri čemu se poluprečnikkružnice menja u toku kretanja.
Položaj materijalne tačke pri kretanju po kružnicije dat radijus-vektorom.
Svako krivolinijsko kretanje je i ubrzano kretanje,jer se brzina menja barem po pravcu.
37
Normalno i tangencijalno ubrzanje kod kružnog kretanja
U opštem slučaju, vektor ubrzanja ima dve komponente:
− normalno (centripetalno) ubrzanje, koje je normalno na tangentu u posmatranoj tački, i
− tangencijalno ubrzanje, koje ima pravac tangente na putanju.
Kod ravnomernog krivolinijskog kretanja (intenzitet brzine se ne menja, većsamo pravac) vektor ubrzanja ima pravac normalan na tangentu putanje, tj.usmeren je ka centru krivine putanje i radi se o normalnom (centripetalnom)ubrzanju.
38
Ravnomerno (uniformno) kružno kretanjePeriferna brzina v ima stalan intenzitet, v=const.
Ugaona brzina ω takođe ima konstantni intenzitet, ω=const .
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =νπν=
π=ω
π=θ
TT122
rad2krugpuntt
sv θ=ω=
Ravnomerno kružno kretanje je periodično, aperiod rotacije T je vreme potrebno da radijus-vektor opiše pun krug od 2π rad.
Frekvencija ili učestanost obrtanja ν (ili f)obrnuto je srazmerna periodu obrtanja T.
39
Ravnomerno kružno kretanjeZbog neprekidne promene pravca brzine v, postoji normalno ubrzanjeintenziteta an, usmereno uvek ka centru rotacije, suprotno od radijus vektora.
⇒ω=ΔΔ
=ΔΔ
=
ΔΔ
=ΔΔ
⇒Δ=Δ⇒Δ
=Δ
rvtrv
tva
tr
rv
tvr
rvv
rr
vv
n 0
2
rrvanrr
−=22
ω== rrvan
Intenzitet normalnog ubrzanja:
Vektor normalnog ubrzanja:
Na osnovu sličnosti trouglova i definicije normalnog ubrzanja an i perifernebrzine v, sledi:
40
Jednako-ubrzano kružno kretanjeAko se menja i intenzitet brzine, a ne samo pravac, promena brzine ima dvekomponente, a takođe i ubrzanje koje je opisuje:
τΔ+Δ=Δ vvv nrrr
Promena brzine u pravcu normale (brzina promene pravca) definiše normalnoubrzanje, a u pravcu tangente (brzina promene intenziteta) - tangencijalnoubrzanje.
τ+= aaa nrrr
41
Jednako-ubrzano kružno kretanjeNajprostiji oblik neravnomernog kružnog kretanja je jednako-ubrzano (ilijednako-usporeno) kretanje u toku kojeg se, pored pravca, i intenzitet perifernebrzine (pa tako i ugaone brzine) menjaju pravilno u toku vremena. Drugimrečima, tangencijalno ubrzanje aτ ima konstantni intenzitet.
Tangencijalno ubrzanje aτ je vektor kolinearan tangenti na kružnicu.
( )222
α+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= r
rva
α=τ ra
22ττ aaaaaa nn +=+=
rrr
tr
tr
tva
dd
d)(d
dd ω
=ω
==τ
Kretanje po krivoj liniji je, praktično,stalno kretanje po kružnim putanjama,čiji se poluprečnici stalno menjaju, atakođe i brzina i ubrzanja tela koje sekreće.
odd v
tva rr
=τ * je jedinični vektor periferne brzine.
ovr
42
Jednako-ubrzano kružno kretanje
Pri jednako-ubrzanom kružnom kretanju mogu se definisati izrazi analognionim kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja.
tα±ω=ω 0
2
2
00tt α
±ω+θ=θ
θα±ω=ω 220
2
tavv ±= 0
2
2
00tatvxx ±+=
xavv 220
2 ±=
43
Dinamika.
Dinamika je deo mehanike koji se bavi uzrocima promene kretanja tela.
Inertnost je prirodna tendencija tela da ostane u stanju mirovanja iliravnomernog kretanja po pravoj liniji i jedna je od osnovnih osobinatela. Masa tela je kvantitativna mera inertnosti.
Inercija se odnosi na mirovanje ili kretanje tela bez obzira na njihovumasu, a inertnost je opiranje promeni stanja kretanja.
Brzina je osnovna kinematička veličina koja karakteriše telo u kretanju.
Pri promeni brzine dolazi do izražaja inercija tela, pa se masa, kao njenamera, i brzina javljaju zajedno u novoj, kompleksnijoj veličini koja boljeopisuje kretanje. To je količina kretanja k – skalarni proizvod mase ibrzine tela (jedinica za količinu kretanja je [kgm/s]):
vmk rr⋅=
Sila, masa i količina kretanja.
44
Sila, masa i količina kretanja.Do promene stanja kretanja (brzine) može doći samo pri interakcijitela sa drugim telima.
Sila (jedinica je Njutn, [N]) je kvantitativna mera interakcije(međusobnog delovanja) tela, tj. izražava intenzitet interakcije.
Sile mogu biti kontaktne, kada priinterakciji postoji dodir izmeđutela, i bezkontaktne, kada se inter-akcija ostvaruje na daljinu, tj. pu-tem fizičkog polja (gravitaciona,električna, magnetna, jaka ili sla-ba nuklearna sila).
45
Njutnovi zakoni kretanja – I Njutnov zakon
I Njutnov zakon - zakon inercijeSvako telo zadržava stanje mirovanja ili ravnomernog pravo-linijskog kretanja sve dok drugo telo svojim delovanjem to stanjene promeni, tj. dok ne interaguje sa drugim telom.
Slika prikazuje različit uticajsile trenja na kretanje istogtela po različitim podlogama– postoji, dakle, interakcijaizmeđu kotrljajućeg tela ipodloge – podloga utiče napromenu stanja kretanja.
* Isak Njutn, engleski fizičar i matematičar (1642-1727).
46
Matematički izraz I Njutnovog zakona
const.const.
00
:je Ukoliko
=⇒=
=⇒=
vmv
aFrr
rr
Ovaj zakon važi samo u tzv. inercijalnim referentnim sistemima, koji ili miruju ili se ravnomerno kreću po pravoj liniji.
* Inercijalni referentni sistem je koordinatni sistem u kojem se ili u odnosu na koji se posmatra kretanje nekog tela.** Postoje neinercijalni referentni sistemi koji se kreću ubrzano i tela čije sekretanje posmatra u takvim sistemima trpe delovanje dodatnih (fiktivnih) tzv.inercijalnih sila, koji su posledica neravnomernog kretanja referentnog sistema.
U odsustvu spoljašnjih sila, a kada sevrši posmatranje u inercijalnom referen-tnom sistemu, telo koje miruje ostaje ustanju mirovanja, a telo koje se krećenastavlja kretanje sa konstantnom brzi-nom i to po pravoj liniji (nepromenjenakoličina kretanja).
47
II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike
Ako na telo mase m deluje spoljašnja sila F, ubrzanje a koje pritome telo dobija direktno je srazmerno (rezultantnoj) sili koja nanjega deluje, a obrnuto srazmerno masi.
amFmFa rrr
r=⇒=
Brzina promene količine kretanja tela proporcionalna je sili koja nanjega deluje i vrši se u pravcu sile.
amtvmvm
tF r
rrr
===dd)(
dd
Masa u ovim izrazima je inercijalna masa i predstavlja meru odupiranjatela promeni stanja kretanja – ona je kvantitativna mera inertnosti tela.
amF rr=∑
Sila nije uzrok kretanja tela, već je uzrokpromeni stanja kretanja, koja se meri ubr-zanjem – ona menja količinu kretanja tela.
48
III Njutnov zakon - zakon akcije i reakcije
Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telodeluje na prvo silom istog intenziteta i pravca, a suprotnogsmera.
Svako delovanje (akcija) stvara uvek suprotno po smeru i jednakopo intenzitetu protivdelovanje (reakciju), tj. delovanja dva telajedno na drugo su jednaka i suprotnog smera.
2112 FFrr
−=
2211 amam rr−=
49
Neki tipovi sila u mehanici
Gravitaciona silaSila potiskaSila normalne reakcije podlogeSila zatezanjaElastična sila oprugeSila trenja
50
Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije. Keplerovi zakoni.
I Keplerov zakon:planete se kreću oko Sunca po eliptičnimputanjama u čijoj zajedničkoj žiži jeSunce.II Keplerov zakon:radijus-vektor bilo koje planete za istovreme prebriše istu površinu – sektorskabrzina planete je konstantna.
const.3
2
=aT
const.=ΔΔtS
III Keplerov zakon:odnos kvadrata perioda obilaska planeta oko Sunca itrećeg stepena srednjeg rastojanja (ili duže poluose) odSunca je konstantna veličina.* Johanes Kepler (1571-1630), * Isak Njutn (1642-1727)
51
Njutnov zakon gravitacije (1686.)Na osnovu rezultata astronomskih posmatranja J. Keplera, Njutn jepretpostavio postojanje privlačne sile između Sunca i planeta kojazakrivljuje njihovu putanju i koja je usmerena prema izvoru delovanjasile (Suncu).
Njutn je takođe pretpostavio (radi jednostavnosti) da se planete kreću popribližno kružnim putanjama, poluprečnika R.
Ubrzanje koje ima planeta usled sile koja zakrivljuje njenu putanju jenormalno (centripetalno) ubrzanje an.
Sila koja održava planete na njihovoj putanjizavisi od mase SuncaMS i od mase planete m.
222
22
22
32
kk
4
k4k2
RmM
Rm
Rm
RvmmaF
vR
RTvRT
Sn γ=⋅′=⋅
π===
=⋅π
⇒⋅=π
=
52
Njutnov zakon gravitacije (1686.)
Zakon univerzalne gravitacije:Bilo koje dve materijalne tačke međusobno se privlačegravitacionom silom: pravac te sile prolazi kroz materijalne tačke,intenzitet je srazmeran masama materijalnih tačaka, a obrnutosrazmeran kvadratu rastojanja između njih.
221
rmmF γ= o2
21 rrmmF rr
γ−=
2
211
kgNm10672.6 −⋅=γ
Svoje zaključke o sili privlačenja između Sunca i planeta Njutn je uopštiona sva materijalna tela, tj. ona koja imaju osobinu mase.
γ - gravitaciona konstanta- jedinični vektor usmeren od m1 ka m2or
r
53
Težina telaTežina Q nekog objekta na ili iznad površine Zemlje (ili iznad nekog drugogsvemirskog tela) je sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu na koju jepostavljeno, odnosno sila kojom telo zateže konopac o koji je okačeno davisi. Težina tela je mera gravitacione sile kojom Zemlja (ili dato svemirskotelo) deluje na objekat.
2rMmQ Zγ=
r=RZ - na površini Zemljer=RZ+h - na visini h iznad
površine ZemljegmQ rr
=
Izraz za težinu na osnovu II Njutnovogzakona dinamike (gde su sila i ubrzanjesrazmerni) ima oblik:
Ubrzanje g sile Zemljine teže na njenoj površini iznosi 9.81 m/s2.
Ubrzanje sile Zemljine teže opada sa povećanjem rastojanja od centra Zemlje.
VAŽNO:Sila Zemljine teže (gravitaciono privlačenje od strane Zemlje) deluje natelo, a težina tela deluje na podlogu (ili na neko drugo telo).
54
Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FN
U mnogim situacijama telo je u kontaktu sa nekompodlogom (površinom), a sila reakcije površine nasilu težine kojom telo pritiska podlogu je upravonormalna sila FN.
Tačnije, komponenta sile reakcije podloge koja jenormalna na površinu predstavlja normalnu silu FN.
Primer: telo na strmoj ravni (slučaj kretanja bezprisutne sile trenja između tela i strme ravni):
55
Sila trenjaTrenje je posledica delovanja međumolekularnih sila između dodirnihpovršina tela i podloge na kojoj se telo nalazi (spoljašnje trenje), iliizmeđu sastavnih delova unutar nekog sistema (unutrašnje trenje).Sila trenja deluje na dodirnoj površini između tela i usmerena jenasuprot smeru kretanja tela u odnosu na površinu.U opštem slučaju, postoji statička sila trenja (trenje mirovanja), ikinetička sila trenja (ona se još deli na trenje klizanja i trenje kotrljanja).
Sila trenja kotrljanja je znatno slabijaod sile trenja klizanja.
56
Statička sila trenja (trenje mirovanja)Sila trenja mirovanja jednaka je po intenzitetu i pravcu, a suprotna posmeru (u odnosu na moguće kretanje) rezultantnoj spoljašnjoj sili kojadeluje na telo u pravcu paralelnom podlozi.Statička sila trenja Fs može imati vrednosti od 0 do neke maksimalnevrednosti .
Nsss FFF μ=≤ maxmaxsF
Maksimalna vrednost statičke sile trenjaje srazmerna sili normalne reakcije podlogeFN na kojoj se telo nalazi.
μs – koeficijent statičkog trenja (zavisi odprirode dodirnih površina)
FN – normalna sila, kojom podloga deluje napovršinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapaprav ugao sa površinom
maxsF
57
Kinetička sila trenja (trenje klizanja)Kinetička sila trenja deluje u pravcu tangente na dodirnu površinuizmeđu tela i podloge po kojoj se kreće i uvek je usmerena nasuprotrelativnoj brzini tela. Pod određenim uslovima, približno važi sledeće:
− nezavisna je od veličine dodirne površine između tela i podloge;
− nezavisna je od brzine kretanja (klizanja), ukoliko je brzina mala;
− proporcionalna je veličini normalne sile FN.
Po intenzitetu je nešto manja od maksimalne sile statičkog trenja.
Nkk FF μ= μk – koeficijent kinetičkog trenja (zavisi odprirode dodirnih površina).
FN – normalna sila *, kojom podloga delujena površinu tela sa kojim je u kontaktu izaklapa prav ugao sa površinom.
* Na grafiku je normalna sila FN obeležena sa N.
58
Kinetička sila trenja (trenje klizanja)
U oblasti statičkog trenja saporastom vučne sile F povećavase i statička sila trenja sve doneke maksimalne vrednosti fs,max,nakon čega telo počinje svojekretanje, a na njega deluje sadakinetička sila trenja (nešto manjapo vrednosti od fs,max) – oblastkinetičkog trenja.
59
Sila elastičnosti. Elastičnost čvrstih telaSvako telo pod uticajem spoljašnjih dejstava, osim položaja, menja i svojoblik. Sila elastičnosti tela deluje unutar njih i teži da vrati deformisanimtelima prvobitni oblik.Elastične sile u telima su posledica međuatomskih sila – pod uticajemspoljašnjih sila menjaju se međusobna rastojanja i položaji atoma, ameđuatomske sile se tome suprotstavljaju.Teorijski, postoje savršeno elastična i savršeno plastična tela.Elastična deformacija se ispoljava u dva osnovna oblika: kao deformacijaistezanja i deformacija smicanja.
Istezanje (ili sabijanje) nastaje prinormalnom delovanju sile na površinu.Napon je količnik sile i površine na koju ta sila deluje:
Elastična deformacija istezanja
SF
=σ
60
Elastična deformacija istezanjaHukov zakon elastične deformacije istezanja povezuje napon sile i relativnu deformaciju izduženja:E - Jangov modul elastičnosti
l
lΔ= E
SF
U izvesnim granicama važi: lΔ= kFGranica do koje važi Hukov zakon je granica proporcionalnosti, a granicado koje telo još uvek ne ostaje trajno deformisano je granica elastičnosti.
61
Hukov zakon elastične deformacije smicanja:
G - modul smicanja
Elastična deformacija smicanja
l
xGSF Δ=
Smicanje je oblik deformacije koji nastaje pri tangencijalnom delovanjusile na površinu tela.Tangencijalna sila izaziva pomeranje (smicanje) slojeva (atomskih ravni) u čvr-stom telu jednih u odnosu na druge za neki mali iznos, a ukupan efekat delovanjasile je odstupanje gornje ivice predmeta za Δx u odnosu na prvobitni položaj.
l
xΔ=α
Relativna deformacija se izražava prekougla α (tgα≈α), koji predstavlja odnosapsolutnog pomeranja gornje ivicepredmeta i dimenzija deformisanogpredmeta:
62
Sile kod kružnog kretanja - centripetalna silaPrilikom kretanja po kružnici, tela se kreću ubrzano - njihova brzina sesvakako menja po pravcu, a može i po intenzitetu.
22
ω== rrvan
Pri ravnomernom kretanju po kružnici,tela karakteriše samo normalno ubrzanjean - posledica promene pravca brzine.
Prema II Njutnovom zakonu, ako se telaubrzavaju, znači da na njih deluje nekasila F koja je uzročnik promene stanjakretanja (koje se opisuje vektorom koli-čine kretanja ), tj. koja je uzrok pome-nutog ubrzanja.
kr
63
Sila koja uzrokuje normalno (centripetalno) ubrzanje i zakrivljuje putanjutela naziva se centripetalna sila Fc (gravitaciona kod planeta, silazatezanja kanapa, …).
Centripetalna sila je uvek usmerena ka centru kružne putanje tela.
Sile kod kružnog kretanja - centripetalna sila
rmvFc
2
=
o
2
rrmvFc
rr−=
64
Sile kod kružnog kretanja - centrifugalna silaPrema III Njutnovom zakonu (akcije i reakcije), tela koja se kreću pozakrivljenoj putanji osećaju, pored delovanja centripetalne, i dejstvo silereakcije na nju, koja je istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera - to jecentrifugalna sila Fcf.
Centrifugalna sila je ravnotežna sila centripetalnoj i omogućava da teloostane na zakrivljenoj putanji tokom svog kretanja.
rmvFcf
2
=
o
2
rrmvFcf
rr=
65
Sile kod kružnog kretanja – tangencijalna silaPri neravnomernom kretanju po kružnici, osim centripetalne sile Fcpkoja zakrivljuje putanju tela i uzrokuje centripetalno ubrzanje an (tj. pro-menu pravca brzine), mora postojati i tangencijalna sila Fτ koja uzrokujepromenu intenziteta periferne brzine (tj. tangencijalno ubrzanje aτ).
Vektorski zbir centripetalne i tangencijalne sile dajeukupnu silu F koja deluje na telo koje seneravnomerno kreće po kružnoj putanji.
τ+= FFF cp
rrr
τ+= aaa nrrr
66
Rad i energija
Ako na telo duž puta njegovog pomeranja deluje silakonstantnog intenziteta, pravca i smera, ukupan radte sile prilikom pomeranja tela je proizvod pređenogputa tela i komponente sile paralelne sa putem (tzv.aktivna komponenta sile).
const.=
Δ⋅=
F
xFAr
Ako se pravac sile ne poklapa sa pravcem po-meranja tela, već zaklapa ugao θ sa njim, samokomponenta sile F koja ima pravac pomeranjatela (Fx) može vršiti rad.
)komponenta aktivna(cos
rad) vršine koja komponenta(sin
θ=
θ=
FF
FF
x
y
67
Rad i energija
θΔ=Δ⋅= cosxFxFA rr),( xF rr
Δ∠=θ
Ako na telo deluje sila pod oštrim (tupim) uglom u odnosu na pravac dužkog se kreće telo, rad sile je pozitivan (negativan).Ako sila deluje pod pravim uglom u odnosu na pravac kretanja, ili akotelo miruje, rad sile je jednak nuli.
Rad je skalarna veličina, skalarni proizvod vektora sile i vektorapređenog puta koji telo pri tome prelazi. Jedinica za rad je džul ([J]=[Nm]).
Fr
xrΔ
68
Rad i energija
Ako se osim intenziteta menja i smer siletokom pomeranja tela duž puta Δx, neophodnoje poznavati i smer sile kao funkciju pomerajaF=f(α(x)), što komplikuje integraciju, tj. nala-ženje izvršenog rada.
Ako sila nije konstantna po intenzitetu, već se menja duž puta pomera-nja, rad se izražava u diferencijalnom obliku, a njegova ukupna vrednost Ase nalazi preko integralnog računa (sabiranjem doprinosa ukupnom radu nabeskonačno malim delovima puta) – to je površina ispod krive zavisnosti Fx=f(x).
xFA d)cos(d θ=
∫∫ θ==2
1
dcosdx
x
xFAA
elementarni rad duž puta dx
69
EnergijaFizička veličina koja karakteriše sposobnost tela, ili sistema telada izvrše rad naziva se energijom.Iz toga proizilazi činjenica:rad je proces kojim se vrši prenošenje energije među telima.
Razlika između krajnjeg i početnog stanja tela u pogledu sadržajaenergije (ΔE) jednaka je radu A izvršenom prilikom promene tog stanja.
Energija je veličina koja karakteriše stanje tela, dok je rad veličinakoja karakteriše promenu tog stanja. Jedinica za energiju je džul ([J]).
Kaže se da telo poseduje energiju, a rad je proces prenosa ili pretvaranjajednog oblika energije u drugi.
AEEE if ≡−=Δ
70
Kinetička energija
Kinetička energija translatornog kretanja:
Primer: pomeranje tela po horizontalnoj ravni bez trenja pod uticajem nekerezultantne sile F koja izaziva promenu stanja kretanja (količine kretanjaΔk=mΔv), tj. promenu intenziteta brzine od neke vrednosti v1 do vrednosti v2.
2222dd
dd
dd
dd
dd
ddd
21
22
21
22
2
1
2
1
2
1
mvmvvvmvvmxxvmvA
xvmv
tx
xvm
tvmmaFxFA
v
v
x
x
x
x
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−===
=====
∫∫
∫
2
2mvEk =
Kinetička energija tela pri njegovom translatornom kretanju srazmerna jemasi m tela i kvadratu njegove brzine v.
71
Kinetička energijaTeorema o radu i energiji:
Kada spoljašnja sila F vrši rad A nad nekim telom, pri čemu se menjasamo intenzitet brzine kretanja tela, njegova kinetička energija Ek semenja, a ta promena je upravo jednaka radu.
22
21
22
12mvmvEEA kk −=−=
Teorema o radu i energiji ukazuje na to da će se intenzitet brzine telapovećati ako je izvršen rad nad telom od strane spoljašnjih sila pozitivan,jer je u tom slučaju krajnja kinetička energija tela veća od početne.Nasuprot tome, intenzitet brzine tela se smanjuje, ako je izvršeni rad nadtelom negativan.
kEA Δ=
Rad A sile F na pomeranju nekog tela je razlika između početne i krajnjekinetičke energije Ek tela.
72
Potencijalna energijaPotencijalna energija je drugi oblik energije koji može posedovati telo, alisamo ako je ono sastavni deo nekog sistema tela. Pod sistemom tela sepodrazumeva skup od dva ili više tela koja mogu međusobno interagovati,delovati jedno na drugo nekom silom.Ako dva tela u sistemu međusobno interaguju putem sile, tada rad koji izvrši silapri delovanju jednog tela na drugo uzrokuje pretvaranje kinetičke (ili nekihdrugih oblika) energije koju poseduju tela u druge oblike energije.Ako se menja međusobni raspored tela u posmatranom sistemu – menjase i njihova potencijalna energija.Potencijalna energija je, dakle, pojam vezan za sistem tela zato što zavisiod fizičkog položaja jednog tela u odnosu na drugo.
U opštem slučaju:Potencijalna energija predstavlja sposobnost tela da izvrši radzahvaljujući položaju u kome se nalazi.To je rad koji telo akumulira dospevajući u neku tačku polja sila.
73
Gravitaciona potencijalna energija
Dakle, u položaju na visini yb lopta posedujemogućnost (potencijal) da promeni svoje stanjekretanja, tj. da promeni svoju kinetičku energiju.
by
ay
PRIMER: U sistemu “Zemlja−lopta” izvrši se rad nad loptom pri njenompomeranju sa visine ya u odnosu na površinu Zemlje na veću visinu yb.
Pošto je lopta mirovala i pre i nakon izvršenog rada nad njom, ne dolazido promene njene kinetičke energije, već se radi o promeni nekog drugogoblika energije usled promene položaja.
Kada se lopta pusti na visini yb, ona slobodno pada ka površini Zemlje (kapoložaju ya) pod uticajem gravitacione sile privlačenja od strane Zemlje.
74
Gravitaciona potencijalna energija
⇒=−=
−°==
mghAyyh
yymgAgmF
ab
ab ))(0cos(rr
Prilikom slobodnog padanja sa visine yb, jedina sila koja deluje na loptu je gravita-ciona sila (jednaka sili težine Q=mg), i to u pravcu kretanja ka mestu na visini ya.
Pri tome se, usled promene položaja u gravitacionom polju Zemlje, promenila(smanjila) i potencijalna energija lopte, dok se kinetička energija povećala (brzinalopte raste).
Rad A koji je izvršila gravitaciona sila Zemlje (njen intenzitet iznosi F=mg) naprivlačenju (premeštanju) lopte za rastojanje h=yb−ya jednak je smanjenju potenci-jalne energije za iznos ΔEp=mgh.
( ) ppbpa EEEA Δ−=−−=
Isti rad se izvrši i kada se telo težine Q=mg podigne samesta na visini ya na visinu yb, čime se poveća njegovagravitaciona potencijalna energija za iznos ΔEp=mgh.
by
ay
75
Gravitaciona potencijalna energijaGravitaciona potencijalna energija – energija koju poseduje telomase m kada se nalazi u gravitacionom polju drugog tela.
Pošto je gravitaciona sila najslabija od osnovnih interakcija u prirodi, igravitaciona potencijalna energija nekog tela ima značaj samo ako se ononalazi u jakom gravitacionom polju – polju nekog masivnog nebeskogtela, kao što je Zemlja.
U opštem slučaju:Gravitaciona potencijalna energija koju poseduje neko telo ugravitacionom polju Zemlje je rad (Ep=A) koji na telu mase m izvršiZemljino gravitaciono polje privlačeći ga iz beskonačnosti u nekutačku na rastojanju r od centra Zemlje.
76
Gravitaciona potencijalna energijaUobičajeno je, međutim, da se vrednost gravi-tacione potencijalne energije koju tela pose-duju u Zemljinom gravitacionom polju računa uodnosu na neki referentni (nulti) nivo – polo-žaj u kome se (prema sopstvenom izboru) sma-tra da je potencijalna energija tela jednaka nuli.
Vrednost gravitacione potencijalne energije u nekom položaju tela upolju gravitacije, dakle, zavisi od izbora referentnog (nultog) nivoa.
Sa druge strane, rad gravitacione sile (sile Zemljine teže) ne zavisi odizbora referentnog (nultog) nivoa potencijalne energije.
mghEp =
77
Konzervativna i nekonzervativna polja
Izvršen rad na pomeranju tela u gravitacio-nom polju ne zavisi od oblika putanje, većsamo od početne i krajnje tačke položaja telau tom polju, tj. od njihove visinske razlike(vertikalnog rastojanja).
)( ab yymgA −=
Sva polja sila u kojima izvršen rad sile zavisi samo od početnog ikrajnjeg položaja tela (a ne i od oblika putanje) su konzervativna(potencijalna) polja.Sila je konzervativna (potencijalna), ako njen rad na pomeranjutela zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja tela u polju sila, ane i od oblika putanje duž koje se vrši pomeranje
by
ay
78
Konzervativne i nekonzervativne sile
U realnim situacijama, na telasimultano deluju i konzervativ-ne sile (kao sila gravitacije) inekonzervativne sile (kinetičkasila trenja, otpor vazduha, …),čiji se rad delimično pretvara udruge oblike.
Nekonzervativne sile uzrokujupromenu mehaničke energijesistema.
Rad konzervativnih sila na pomeranju tela po zatvorenoj putanjijednak je nuli, jer se početni i krajnji položaj tela poklapaju.
79
Potencijalna energija deformisane opruge
Prema Hukovom zakonu, veličina izduženja(sabijanja) opruge x je srazmerna spoljašnjoj siliFi koja je izazvala deformaciju.
Potencijalna energija elastične deformacijeDeformisana opruga sposobna je da izvrši rad na račun elastičnih sila Fekoje teže da je vrate u prvobitno stanje, a koje su posledica spoljašnjih silaFi koje su dovele do deformacije.
k – je koeficijent elastičnosti opruge, zavisi od materijala i oblika.
xkFirr
=
xkFxF ierrr
−=−=)(
Suprotno spoljašnjoj sili Fi usmerena je elastična(restituciona) sila Fe koja se javlja u deformisa-noj opruzi i ona je uvek suprotnog smera odsmera porasta deformacije x.
80
Potencijalna energija deformisane opruge
Pri vršenju rada, elastična sila smanjuje potencijalnu energiju deformisaneopruge za iznos ΔEp=ka2/2 i menja se stanje kretanja opruge (povećavakinetička energija) – vrši se pretvaranje energije iz jednog u drugi oblik.
Rad je, u ovom slučaju, pozitivan, jer sila deluje u smeru pomeranja tela.
( )2
20
2dd
2
12
20200
akEEEA
akxkxxkxFA
ppp
aaae
=Δ−=−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−=−== ∫∫
U deformisanom stanju opruga poseduje izvesnu potencijalnu energiju –sposobna je da pod uticajem elastičnih sila izvrši neki rad prilikomvraćanja u nedeformisani oblik.
81
Potencijalna energija deformisane opruge
Nakon prolaska kroz ravnotežni položaj (x=0),sistem “opruga-telo” nastavlja kretanje, a elasti-čna sila ga usporava.
Smanjenje kinetičke energija odgovara poveća-nju elastične potencijalne energije opruge.
Rad je, u ovom slučaju, negativan, jer elastičnasila ima suprotan smer od smera kretanja tela.
U opštem slučaju, potencijalna energijadeformisane opruge je:
2
2xkEp =
82
Zakon održanja energijeZakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija E (kinetička i potencijalna) zatvorenog(izolovanog) sistema tela, između kojih deluju samo konzervativnesile, ostaje nepromenjena (konstantna).
const.=+= pk EEE
U zatvorenom sistemu u kojem ne delujunekonzervativne sile (npr. sila trenja, otporvazduha, itd.), zbir kinetičke i potencijalneenergije, tj. ukupna mehanička energija jekonstantna, tj. ne menja se u toku vremena.
83
Zakon održanja energije
Primer: slobodno padanje tela sa visine h.
mghghmmvEE
mghxhmggxmxhmgmvE
mghEE
k
x
p
====
=−+=−+=
==
222
)(22
)(2
2
2
2211 pkpk EEEE +=+ const.=+ pk EE
0)( =+Δ pk EE
Promena mehaničke energije u ovom slučaju jednaka je nuli:
84
Zakon održanja energije – zatvoren i otvoren sistem
U opštem slučaju, za otvoren sistem tela u kome, osim međusobnihsila interakcije, deluju i spoljašnje nekonzervativne sile, radspoljašnjih nekonzervativnih sila Ank bio bi jednak promeni ukupnemehaničke energije .
0)( ≠+Δ=Δ= pknk EEEA
Energija može prelaziti iz jednog u drugi oblik i prenositi se sajednog na drugo telo, ali ukupna energija u zatvorenom sistemutela u kome ne deluju nekonzervativne sile ostaje konstantna.
const.=+= pk EEE
Energija se ne može stvoriti niti nestati, već samo promeniti oblik izjednog u drugi.
85
SnagaSrednja snaga (brzina vršenja rada) je količnik rada A i vremenskogintervala Δt za koji je rad izvršen prilikom pomeranja tela duž puta Δx poduticajem sile F. Jedinica za snagu je vat ([W]=[J/s]).
Trenutna snaga je srednja snaga ubeskonačno malom intervalu vremena:
tAPs Δ
=
tAP
t ΔΔ
=→Δ
lim0
Ako sila nije konstanta, analizira se u kratkom intervalu vremena dt, zakoji sila deluje na putu dx.Snaga je skalarna veličina, skalarni proizvod vektora sile i vektora brzinepomeranja i u opštem slučaju važi:
txFP
ddrr
⋅= vFP rr⋅=
ss vFtxFP =
ΔΔ
=
tAP
dd
=
86
Impuls sile i količina kretanjaNa osnovu II Njutnovog zakona, proizvod trenutne sile Fi vremenskog intervala dt u toku kojeg sila deluje na telojednak je promeni količine kretanja dk u tom intervaluvremena.
tFtFkt
t
Δ==Δ ∫rrr 2
1
d
Ukupna promena količine kre-tanja Δk izazvana delovanjempromenljive sile F u toku ko-načnog intervala vremena Δt:
tFtFkFt
t
Δ⋅==Δ= ∫rrrv 2
1
dconst.
Za slučaj konstantne sile:
ktFtk
tvmamF
rrrr
rrdd
dd
dd
=⇒===
87
Impuls sile i količina kretanja
Teorema o impulsu i količini kretanja:Kada na telo deluje rezultantna sila u toku konačnog vremenskog inter-vala Δt, impuls ove rezultantne sile je jednak ukupnoj promeni količinekretanja koju ta sila uzrokuje u toku vremena Δt.
kprr
Δ=
ktFpt
t
rrrΔ== ∫
2
1
d
prFr
kr
Δ
Impuls sile je integral proizvoda sile i vremena dt u kojem ta sila de-luje i jednak je ukupnoj promeni količine kretanja tela u toku intervalavremena Δt=t2−t1.
pr
kr
ΔFr
88
Zakon održanja količine kretanja - zatvoren sistem
Ukupna količina kretanja zatvorenogsistema ne menja se tokom vremena, tj.ostaje konstantna.
const.
0)(dd
2211
212211
21
=+
=+=+
−=
vmvm
ffvmvmt
ff
rr
rrrr
rr
∑=
==n
iiivmk
1const.rr
Zatvoren sistem - nema delovanja spoljašnjih sila, već samo među-sobnih sila interakcije f.
0=Δkr
89
Zakon održanja količine kretanja - otvoren sistem
Promena ukupne količine kretanja Δk otvorenog sistema jednakaje impulsu spoljašnje rezultantne sile FRΔt =p
( ) ( )
tFtFktkFFkt
FFFFffvmvmt
ff
R
n
ii
n
iiR
n
ii
n
ii Δ==Δ=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ⇒===
+=+++=+
−=
∫∑∑∑∑====
rrrrrrr
rrrrrrrr
rr
d)(const.dd
)(dd
1111
2121212211
21
Impuls rezultujuće sile p.
Otvoren sistem - osim delovanja međusobnih sila interakcije f, na teladeluju i spoljašnje sile F.
ptFk Rrvr
=Δ=Δ
90
Primeri zakona održanja količine kretanja
21
212211 0
0
vmmvvmvm
vmrrrr
r
−=⇒=+
=
21
21122111 )( v
mmmvvmmvm +
=⇒+=
91
SudariSudar je kratkotrajna uzajamna interakcija između tela bez uticajaspoljašnjih sila, u kojoj se više ili manje ispoljavaju elastične osobine tela.
Nakon sudara, brzine tela se menjaju, u opštem slučaju, i po intenzitetu ipo pravcu, a deo energije se može pretvoriti u toplotu.
Sudari dvaju tela mogu biti jednodimenzionalni (kada se tela i pre inakon sudara kreću po istoj pravoj liniji) i dvodimenzionalni.
92
SudariElastičan sudar sudar je slučaj sudara u kome se ukupnakinetička energija tela pre i posle sudara ne menja.
- u savršeno neelastičnom sudaru tela nakon sudara ostaju zajedno;- u ostalim slučajevima, kada se deo kinetičke energije transformiše u druge oblike
(deformacija tela koja učestvuju u sudaru sudaru, toplota, …), a tela ne ostajuspojena, reč je samo o neelastičnom sudaru u širem smislu reči.
Neelastičan sudar je onaj u kome deo kinetičke energijetela u toku sudara prelazi u druge oblike energije(potencijalnu, toplotnu, …).
93
Elastičan sudar
Zakon održanja količine kretanjaZakon održanja kinetičke energije
222
211
222
211
22112211
21
21
21
21 vmvmvmvm
vmvmvmvm
′+′=+
′+′=+
94
Neelastičan sudarDeformacije koje nastaju na telima u sudaru su trajne.
Zakon održanja kinetičke energije u neelastičnom sudaru ne važi, jer sedeo te energije pretvara u neki drugi vid.
vmmvmvm )( 212211 +=+
95
Oscilacije i talasiSvako kretanje koje se po određenom pravilu ponavlja u tokuvremena je periodično ili oscilatorno kretanje.
Ukoliko su sila koja teži da vrati oscilatorni sistem u ravnotežno stanje,pa prema tome i ubrzanje koje sistem ima, direktno srazmerni rastojanjuod njega i usmereni ka njemu, tada se radi o jednostavnom harmonijskomkretanju.
Primer: telo vezano za učvršćenu oprugu– može da se kreće u vertikalnoj ili u horizontalnoj ravni (po glatkoj površini, bez trenja)
96
OscilacijeOsnovne osobine harmonijskog oscilovanja:Period oscilovanja T je vreme za koje telo izvrši jednu oscilaciju.Frekvencija oscilovanja ν (ili f) je broj oscilacija u jedinici vremena.Elongacija x je proizvoljno rastojanje od ravnotežnog položaja.Amplituda A je maksimalna elongacija.Kod harmonijskih oscilacija promenljiva veličina (elongacija) se menja posinusnom ili kosinusnom zakonu u funkciji vremena.
97
OscilacijeOsnovne osobine harmonijskog oscilovanja:Kružna frekvencija ω je povezana sa frekvencijom f (ν) i periodom T.
Tf
Tf π
=π=ω=221
Pri kretanju materijalne tačke po kružnici ravnomernom perifernom brzinom v injen radijus vektor (vektor položaja) se obrće ravnomernom ugaonom brzinom ω.y-koordinata položaja materijalne tačke koja se ravnomerno kreće po kružnicimenja se po sinusnom (kosinusnom) zakonu, odnosno projekcija radijus-vektorana y-koordinatnu osu menja svoj intenzitet po sinusnom (kosinusnom) zakonu ufunkciji vremena. T je vreme potrebno materijalnoj tački da obiđe pun krug.
98
Primeri harmonijskih oscilacija
xkF rr−=
Oscilovanje tela obešenog o elastičnu opruguSila koja vraća telo i oprugu ka ravnotežnom položaju je elastična sila deformisaneopruge i (prema Hukovom zakonu za elastične deformacije istezanja) srazmerna jeveličini deformacije). Znak "−" znači suprotan smer sile F od vektora položaja x telavezanog za oprugu.
k − koeficijent elastičnosti opruge
Smena: 20ω=m
k
Iz II Njutnovog zakona sledi jednačina kretanja:
Rešenje ove diferencijalne jednačine ima oblik:
0dd
2
2
=+ kxtxm
)sin( 0 α+ω= tAx
2
2
dd
txmmaF ==
99
Oscilovanje tela obešenog o elastičnu oprugu
kmT π=
ωπ
= 22
0
ω0 − kružna frekvencija oscilatornog kretanjaα − početna faza, opisuje početni položaj sistema(ω0t+α) – faza oscilovanja
)sin( 0 α+ω= tAx
Elongacija x je sinusna (ili kosinusna) funkcija vremena:
Period oscilovanja T zavisi od osobina opruge (koefici-jent elastičnosti k) i od mase m tela okačenog na nju:
100
Energija tela koje osciluje na elastičnoj opruzi
const.21
21
21
21
220
2
22
==ω=
+=
kAmAE
kxmvES obzirom da važi:
Zbir kinetičke i elastične potencijalne energije pri harmonijskomoscilovanju, ukoliko nema gubitaka, je konstantan.
Energija tela koje osciluje na elastičnoj opruzi je zbir kinetičke energijetela i potencijalne energije elastične deformacije opruge.
)cos(dd
)sin(
00
200
α+ωω==
ω=α+ω=
tAtxv
mktAx
101
Matematičko klatnoMatematičko klatno je materijalna tačka koja se u polju Zemljine težekreće na stalnom rastojanju od date tačke (tačke oslonca).
ll
xmgFxQF
tt −=⇒==ϕsin
"−" znači suprotan smer sile Ft od vektora položaja x.Jednačina kretanja:
0dd
2
2
=+l
mgxtsm
x – horizontalno rastojanje od ravnotežnog položajas – lučno rastojanje od ravnoteže (pređeni put)
2
2
ddtsmmaFt ==
102
Matematičko klatno
Za male uglove ϕ, x ≈ s. Smena: 0dd 2
02
2
=ω+ xtx2
0ω=l
g
Rešenje jednačine je da je elongacija x sinusna(ili kosinusna) funkcija vremena t oblika:
)sin( 00 α+ω= txx
gT l
π=ωπ
= 22
0
0dd
2
2
=+l
mgxtsm
Period oscilovanja T, za slučaj malih amplitudaoscilovanja, zavisi od dužine klatna l i ubrzanjasile Zemljine teže g:
103
Talasno kretanje - Prostiranje talasa u elastičnoj srediniMehanički talas (talasno kretanje) je širenje oscilatornog poremećaja uelastičnoj materijalnoj sredini.Pri prostiranju talasa, ne premeštaju se delići sredine. Oni osciluju okoravnotežnih položaja, a prenosi se energija talasa.Za postojanje mehaničkog talasa neophodno je postojanje:• izvora talasnog poremećaja,• materijalne sredine kroz koju se poremećaj prenosi, i• nekog fizičkog mehanizma preko kojeg elementi materijalne sredine
utiču jedan na drugi.
104
Prostiranje talasa u elastičnoj sredini
Kod transverzalnih talasa delići elastične sredine osciluju normalnona pravac prostiranja talasa. Javljaju se samo u sredinama gdepostoje elastične sile smicanja - čvrsta tela.
105
Prostiranje talasa u elastičnoj srediniKod longitudinalnih talasa delići sredine osciluju duž pravca prostiranja talasa (zgušnjavanje i razređivanje).
106
Prostiranje talasa u elastičnoj srediniSinusoidalni talas postoji kada svaka tačka elastične sredine u kojoj seprostire talas vrši harmonijske oscilacije oko ravnotežnog položaja saelongacijom:
Rastojanje između dva najbliža delića koji osciluju u istoj fazi (ili im sefaze razlikuju za 2π) je talasna dužina λ.
)sin(0 iii tyy φ+ω=
λν=λ
=T
c
Talasni poremećaj prelazi put od jednetalasne dužine dok delići sredine izvršejednu oscilaciju (za vreme T), pa jebrzina prostiranja talasa (fazna brzina):
107
Prostiranje talasa u elastičnoj srediniPovršina koja spaja tačke do kojih je stigao talasni poremećaj je talasnifront.
U homogenoj i izotropnoj sredini talasni front ima oblik sfere.
Ako je talasni front ravan, reč je o ravnom talasu. Na velikoj udaljenosti odizvora talasa i sferni talas ima ravan talasni front.
Hajgensov princip: Svaka tačka elastične sredine do koje je stigao talasnifront može se smatrati novim izvorom talasa.
108
Jednačina progresivnog talasaProgresivni talas je talas koji se u celoj elastičnoj sredini prostire bezpromene pravca ili smera.Prostiranjem talasa u nekoj elastičnoj sredini u stanje oscilovanja sedovode sve tačke te sredine i njihova elongacija se opisuje sinusnom (ilikosinusnom) funkcijom za harmonijsko kretanje.Zbog kašnjenja u oscilovanju udaljenijih delića sredine u odnosu na izvortalasa, definiše se jednačina koja opisuje vremensku i prostornu zavisnostelongacije delića elastične sredine - jednačina progresivnog talasa:
Početna faza talasa: xλπ
=φ2
)sin(0 φ−ω= tyy
Ovo je tzv. talasna funkcija, koja opisuje elongaciju proizvoljnog delićamaterijalne sredine, na rastojanju x od izvora talasa u proizvoljnomtrenutku t.
109
Jednačina progresivnog talasa
Razlika u fazi za dve tačke elastične sredine:
ili)1k2( π−=φΔ
Delići osciluju u fazi:
Delići osciluju u suprotnim fazama:
)(21212 xx −
λπ
=φ−φ=φΔ
ili2k π=φΔ λ=−=Δ k12 xxx
2)1k2(12λ
−=−=Δ xxx
rastojanje između tačaka elastične sredine koje su u fazi:
rastojanje između tačaka elastične sredine koje su u suprotnim fazama
110
Brzina širenja talasaBrzina prostiranja mehaničkih talasa zavisi od elastičnih osobinamaterijalne sredine kroz koju se prostire.Za trasverzalni talas koji se prostire kroz zategnutu žicu (F - sila zatezanjažice; μ=m/L - linijska masa žice), brzina talasa je:
μ=
Fc
ρ=
Gc
U opštem slučaju, za trasverzalni talas koji se prostire kroz čvrsti materijal(G - modul smicanja materijala; ρ - gustina materijala), brzina talasa je:
111
Brzina širenja talasa
V
p
cc
=κ
Za longitudinalni talas koji se prostire kroz tečnost (K − koeficijent stišljivostitečnosti; B − zapreminski koeficijent elastičnosti; ρ − gustina tečnosti), brzina talasa je:
Za longitudinalni talas koji se prostire kroz gas (κ - adijabatska konstanta; p -
pritisak gasa; ρ - gustina gasa), brzina talasa je:
ρκ
=pc
Za longitudinalni talas koji se prostire kroz čvrsto telo (E - Jangov modul
elastičnosti; ρ - gustina tela), brzina talasa je:
ρ=
Ec
ρ=
BcBK=
1ρ
=K
c 1
112
Energija talasaElongacija i brzina kretanja čestica (mase m) sredine:
tytyvtyy ωω==ω= cos
ddsin 00
20
2
21 ymE ω=
Gustina energije u talasa (n je koncentracija čestica elastične sredine, tj. broj ujedinici zapremine):
20
2
21 ynEu ρω==
2
2max
maxvmEE k ==
113
Ravan talas na granici dve sredine u kojima su brzine prostiranja talasarazličite delimično se odbija, a delimično prelama.
Osnovne osobine talasnog kretanja. Odbijanje talasa
Odbijanje (refleksija) talasa se objašnjava pomoću Hajgensovog principa:Svaka tačka na granici dve elastične sredine do koje je stigao talasni frontmože se smatrati novim izvorom talasa.
Novi talasni front (odbijenog talasa) čini zajednička tangenta na sfernetalasne frontove koji potiču od tačaka na granici dve sredine.
Upadni ugao jednak je uglu odbijanja.
Pravci upadnog i odbojnog talasa leže u istoj ravni.
114
Prelamanje talasaPrelamanje (refrakcija) talasa se dešava na granici dve sredine u kojima setalas prostire različitim brzinama.Prema Hajgensovom principu, talasni front prelomljenog talasa menjapravac kretanja.
Novi talasni front (prelomljenog talasa) čini zajednička tangenta na sfernetalasne frontove koji potiču od tačaka na granici dve sredine.
Ako se prelamaju talasi koji sadrže komponente različite frekvencije,dolazi do disperzije - svaka komponenta se prelama pod različitim uglom.
2
1
sinsin
cc
=βα
115
Difrakcija talasa
Difrakcija talasa je pojava širenja talasa iza prepreka sa pukotinom,odnosno savijanja talasa na preprekama. Talasi skreću sa prvobitnogpravca u istoj elastičnoj sredini.
Dimenzije pukotine treba da su istog reda veličine kao i talasna dužina.
Prema Hajgensovom principu, svaka tačka pukotine je novi izvor talasa.
116
Interferencija talasaInterferencija talasa je pojava slaganja (superpozicije) talasa koji se prostiruu istoj sredini.
Interferencija se javlja samo ako postoji stalna fazna razlika između talasakoji interferiraju (koherentni talasi).
Interferencija je konstruktivna, ako se amplitude sabiraju (talasi u fazi), adestruktivna ako se poništavaju (talasi u suprotnim fazama).
117
Posmatramo interferenciju talasa u datoj tački difraktovanih sa dve pukotine -imaju iste amplitude, frekvencije i talasne dužine, a različite faze u toj tački.
Interferencija talasa
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
λπ
−ω=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
λπ
−ω= 2021012sin2sin xtyyxtyy ii x
λπ
=φ2
U datoj tački rezultantno oscilovanje čestice elastične sredine ima amplitudu kojazavisi ne samo od amplitude talasa koji interferiraju, već i od fazne razlike Δφ,odnosno od razlike u pređenim putevima Δx talasa od pojedinih izvora.
xxx Δλπ
=−λπ
=φ−φ=φΔ2)(2
1212
⎪⎩
⎪⎨⎧
λ−
λ=Δ
int.dest.2
)1(2k
int.konst.kx
118
Mehanika fluida. Statika fluida.
Fluidi: tečnosti ("stalna" zapremina i promenljiv oblik) i gasovi (promen-ljivi i zapremina i oblik).Statika (proučava ravnotežu) i dinamika (proučava kretanje) fluida.
Slabije međumolekulske sile u poređenju sa čvrstim telima uzrokujupromenljivost oblika (i zapremine).
Delovanje sile na tečnosti uzrokuje promenu oblika, a samo u maloj merii zapremine (stišljivost). U većini idealnih slučajeva smatra se da je izapremina stalna, nepromenljiva (tj. njena promena je zanemarljiva).
Delovanje sile na gasove uzrokuje promenu i oblika i zapremine.
119
Pritisak
SFp =
Pomeranje fluida izazivaju sile koje deluju na izvesnu njihovu površinu(zbog toga što nemaju stalan oblik). Zato je uvedena fizička veličinapritisak (skalarna veličina) koja predstavlja odnos normalne sile F kojadeluje na površinu nekog tela S. Jedinica za pritisak je Paskal ([Pa]).
120
PritisakPritisak u tečnosti (fluidu) može da potiče ili od težine same tečnosti ili od delovanja spoljašnje sile.
Paskalov zakon: Pritisak koji se spolja vrši na neku tečnost (ili, u opštemslučaju, na fluid) prenosi se kroz nju nesmanjenim intenzitetom na svestrane podjednako.
Moguće je menjati intenzitet, pravac i smer delovanja sile pomoću tečnostiu zatvorenom sudu.
112212
222222
111111
xSxSAA
xSpxFA
xSpxFA
==
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==
21 pp =
121
PritisakHidraulična presa - ilustracija primene Paskalovog zakona
1
212 S
SFF =
122
Hidrostatički pritisakU tečnostima postoji pritisak koji je posledica delovanja gravitacione silena sve čestice (molekule) tečnosti. Svaki delić tečnosti svojom težinom vršipritisak na deliće ispod njega.Ovaj pritisak raste sa dubinom.
ghpp
ShgSpSp
QSpSpFi
i
ρ+=
=ρ−−
=−−=∑
12
12
12
0
00
ghp ρ=Hidrostatički pritisak stuba tečnosti gustine ρ i visine h:
ghSShg
SVg
Smg
SQp ρ=
ρ=
ρ===
ili:
123
Hidrostatički pritisakPritisak u fluidu zavisi samo od dubine h, a ne i od ukupne količineili težine fluida (tečnosti) u sudu.
Ako se iznad slobodne površine tečnosti nalazi atmosfera, tada je ukupanpritisak na dubini h jednak zbiru atmosferskog p0 i hidrostatičkog ρgh:
ghppuk ρ+= 0
124
Potisak. Arhimedov zakon.
Sila potiska je jednaka težiniistisnute tečnosti (fluida).Tela jednake zapremine trpedelovanje jednakih sila potiska.
Na sva tela potopljena u tečnost deluje sila suprotnog smera od gravitacio-ne, koja teži da istisne telo iz tečnosti - sila potiska.
Sila potiska je posledica činjenice da hidrostatički pritisak raste sa dubinom, tj. njen uzrok je razlika u hidrostatičkim pritiscima koji na uronjeno telo deluju na njegovoj gornjoj i donjoj strani.
ghSF
SgxpxhgpF
SpSpFFF
p
p
p
ρ=
ρ−−+ρ+=
−=−=
)]()([ 00
1212
gmgVF fp =ρ=
x - dubina na mestu gornje površine
125
Potisak. Arhimedov zakon.
Efektivna težina tela (gustine ρt)potopljenog u tečnost (fluid, gustine ρf):
pliva telo
lebdi telo
tonetelo
pft
pft
pft
FQ
FQ
FQ
<⇒ρ<ρ
=⇒ρ=ρ
>⇒ρ>ρ
Svako telo uronjeno u tečnost prividno gubi od svoje težine tolikokoliko teži istisnuta tečnost - Arhimedov zakon.
VgFQQ ftpef )( ρ−ρ=−=
126
Pritisak koji vrše gasovi atmosfere na sva tela na Zemlji naziva se atmosferski pritisak.
Toričelijev ogled →
Osobine gasova. Atmosferski pritisak
hgyygp ρ=−ρ= )( 120
U gasovima su međumolekulske sile slabe, a potencijalna energija kojateži da ih drži na okupu je manja od njihove kinetičke energije.
Nemaju stalan oblik ni zapreminu.
Pritisak u zatvorenim gasovima se prenosi podjednako u svim pravcima -važi Paskalov zakon.
I u gasovima deluje sila potiska, ali je ona, zbog njihove male gustine,relativno mala.
127
Atmosferski pritisak
Sa povećanjem nadmorske visine, atmosferski pritisak opada.
p0, ρ0 - pritisak i gustina vazduha na površini Zemlje.
Uz pretpostavku da se temperatura atmosfere ne menja sa visinom, može se izvesti tzv. barometarska formula:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ρ−=
0
00 exp
pghpp
128
Dinamika fluidaPod uticajem sile fluidi (tečnosti i gasovi) se kreću, a pravac i smerkretanja zavisi od smera i pravca delovanja sile i oblika prostora.Pojedini delovi fluida se mogu kretati različitim brzinama jedni u odnosuna druge.Strujna linija je zamišljena linija duž koje se kreću čestice fluida - krivalinija kod koje je tangenta u svakoj tački kolinearna sa vektorom brzine.Brzina čestica se duž strujne linije menja po intenzitetu i pravcu.Stacionarno kretanje je kretanje kod kojeg se raspored strujnih linija nemenja u toku vremena (brzina mala i nema prepreka na putu fluida).
Turbulentno kretanje je složeno kretanje, ukome se formiraju vrtlozi (brzo proticanje ibrze promene brzine pri nailasku fluida naprepreke).
129
Jednačina kontinuiteta.
tvSVtvSVΔ=Δ=
222
111
⇒= 21 VV 2211 vSvS =
← Jednačina kontinuitetaconst.=vS
Idealni fluid je nestišljivi fluid (tečnost; stalnagustina) koji se kreće bez trenja, odnosno staci-onarno (laminarno, slojevito).U realnim fluidima uvek postoji trenje (posledi-ca međumolekularnih sila).
Zbog osobine nestišljivosti, zapremine proteklog fluida na dva različitapreseka strujne cevi su jednake.
Strujna cev je deo fluida ograničen strujnim linijama, abroj čestica unutar strujne cevi je stalan.
130
Jednačina kontinuiteta.U opštem, tj. realnom slučaju, kada je fluid stišljiv (ima različitu zapremi-nu, pa tako i gustinu u različitim delovima strujne cevi), uzima se da jemaseni protok fluida na dva različita preseka strujne cevi jednak (kolikamasa fluida prođe kroz jedan poprečni presek strujne cevi, tolika masa mora proći u jedinicivremena i kroz bilo koji drugi poprečni presek).
2222
1111 vS
tmvS
tm
ρ=ΔΔ
ρ=ΔΔ
⇒ΔΔ
=ΔΔ
tm
tm 21
222111 vSvS ρ=ρ
← Jednačina kontinuitetaconst.=ρ vS
Protok fluidaProtok fluida je protekla količina (zapremina) fluida kroz strujnu cev ujedinici vremena:
vStVQ == vS
tV
tmQm ρ=
ρ==
131
Strujanje tečnosti (fluida) je posledica delovanja spoljašnjih sila.Rad spoljašnjih sila menja kinetičku i potencijalnu energiju tečnosti.
12
21
22
22
mghmghE
vmvmE
p
k
Δ−Δ=Δ
Δ−
Δ=Δ
Bernulijeva jednačina
tvStvSm
mVV
Δρ=Δρ=Δ
ρΔ
==
2211
21
132
VppVpVpSpSpFFA
mghvmmghvmE
)(
22
2122112221112211
1
21
2
22
−=−=−=−=Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ+
Δ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ+
Δ=Δ
llll
Bernulijeva jednačinaNa osnovu zakona održanja energije, promena ukupne energije fluida ΔEje jednaka radu spoljašnjih sila ΔA:
Znak "−" je zbog suprotnog smera sile F2 u odnosu na smer kretanja fluida.
Bernulijeva jednačina→
2
22
21
21
1 22ghvpghvp ρ+
ρ+=ρ+
ρ+
const.2
2
=ρ+ρ
+ ghvp
Kod stacionarnog strujanja nestišljivog fluida zbir statičkog p, visinskogρgh i dinamičkog ρv2/2 pritiska duž strujne cevi ostaje stalan.
VVV ≡= 21
133
Isticanje tečnosti kroz male otvore. Toričelijeva teorema.
gHv 2=
Toričelijeva teorema: brzina isticanja tečnosti iz širokog i otvorenog premaatmosferi suda kroz mali otvor, koji se nalazi na vertikalnom rastojanju Hod nivoa slobodne površine, jednaka je brzini slobodnog pada tela sa istevisine.
vv
vvv
hHh
ppp
≡
≈>>
==
≡=
2
112
21
021
0
0
22
22
0
21
0vpgHvp ρ
+=ρ+ρ
+