mehanika-otpornost (1)
DESCRIPTION
Mehanichijn prorachunTRANSCRIPT
Otpornost materijala
Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja
Osnovni pojmovi
Otpornost materijala
Kruto telo Rastojanje ma koje 2 tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet proučavanja mehanike
Čvrsto telo Rastojanje ma koje 2 tačke se menja pod dejstvom sila, realna tela koja mogu da se deformišu menjaju svoj oblik i veličinu PREDMET IZUČAVANJA OTPORNOSTI MATERIJALA
10/24/2009
2
Predmet izučavanjaotpornosti materijala - vrste čvrstih tela
Štap
Ploča
Ljuska
Masiv
a
b
d
d
d
<< a
<< b
d
Otpornost materijala
Štap
Telo čija je dužina znatno veća od njegovih dimenzija poprečnog preseka
Prema obliku
Prav ili
Kriv
Prema poprečnom preseku
Pun (masivan)
Tankozidni sa otvorenim ili zatvorenim profilom
popre ni presekč
osa štapa
težište preseka
Otpornost materijala
10/24/2009
3
Zadatak otpornosti materijala
Proračun čvrstoćeOdreĎivanje dimenzija elemenata, zavisno od odabranog
materijala,
koji isključuju mogućnost loma
Proračun krutosti (deformabilnosti)Dimenzije koje obezbeĎuju deformacije u odreĎenim granicama
OdreĎivanje deformacija tog elementa pod opterećenjem
Proračun stabilnosti Da element pod opterećenjem zadrži prvobitni oblik u eksploataciji
i ne izgubi stabilnu ravnotežu
Otpornost materijala
Osnovne pretpostavkeotpornosti materijala
Neprekidnost materijala
Homogenost materijala
Izotropnost materijala (u svim pravcima)
Elastičnost materijala
Otpornost materijala
10/24/2009
4
Podela sila koje deluju
Spoljašnje
Unutrašnje
Otpornost materijala
Osnovne pretpostavkeotpornosti materijala
Pretpostavka o linearnoj zavisnosti napona i deformacija (Hukov zakon)
Princip početnih dimenzija (deformacije su male)
Princip nezavisnosti dejstva sile (superpozicije)
Princip Sen-Venana
Otpornost materijala
10/24/2009
5
Spoljašnje sile se dele:
Aktivne
Reaktivne
Po mestu delovanja
zapreminske
površinske
linijske
koncentrisane
Po karakteru dejstva
statičke
dinamičke
udarne
Otpornost materijala
Spoljašnje i unutrašnje sile
Telo je u ravnoteži kada na njega deluju dve sile jednakih veličina, kolinearne i suprotnih smerova
Prema zakonu akcije i reakcije:
Usled dejstva tereta, spoljašnjih sila, pojaviće se sile koje se odupiru dejstvu spoljašnjih sila - unutrašnje sile
G G
L
z
zFU
FU
G
+
I I I I
Szi = G - F = 0u
I I
Otpornost materijala
10/24/2009
6
Naprezanja, naponi i deformacije
Kada čvrsto telo napadaju spoljašnje sile kažemo da je NAPREGNUTO ili u stanju naprezanja
Pod uticajem spoljnih sila telo donekle menja svoj oblik i zapreminu
DEFORMIŠE SE
Otpornost materijala
Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje
Savijanje
Izvijanje
Otpornost materijala
10/24/2009
7
Aksijalno naprezanje
Zatezanje
Pritisak
Aksijalno naprezanje izazivaju sile kolinearne sa osom štapa ili više sila čija je rezultanta u pravcu ose štapa
Otpornost materijala
F
F
- F
+ Fz
- F
+ F
Smicanje
Otpornost materijala
- F
+ F
Ako deluju samo transferzalne (poprečne) sile, naprezanje je čisto smicanje
10/24/2009
8
Uvijanje - torzija
Otpornost materijala
Ako u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje - torzija
- F
+ F
m t
m A
A
B
Savijanje
Otpornost materijala
m B
ABm
A
Ako u preseku deluje samo moment savijanja naprezanje je čisto savijanje
10/24/2009
9
Izvijanje
Otpornost materijala
- F
+ F Ako je štap napregnut
aksijalnim silama a poprečni presek štapa mali u odnosu na dužinu štapa (vitki štapovi) nastaće slučaj izvijanja vlakana, jer vlakna prelaze u krive linije
Savijanje proste grede silama
Otpornost materijala
A B
F1F2
Savijanje i smicanjePostojanje momenta savijanja
izaziva savijanje
Postojanje transverzalne sile - izaziva smicanje
10/24/2009
10
Savijanje konzole silom
Otpornost materijala
A
B
F
Savijanje i smicanjePostojanje momenta savijanja
izaziva savijanje
Postojanje transverzalne sile - izaziva smicanje
Uvijanje konzole silom na kraku
Otpornost materijala
AB
F
Savijanje, uvijanje i smicanje
Postojanje momenta uvijanja izaziva uvijanje
Postojanje momenta savijanja izaziva savijanje
Postojanje transverzalne sile - izaziva smicanje
10/24/2009
11
Unutrašnje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Preseći telo zamišljenom ravni na mestu gde treba odrediti unutrašnje sile
Odbaciti jedan deo
Dejstvo odbačenog dela zameniti silama
Postaviti statičke jednačine ravnoteže
Odrediti unutrašnje sile, komponente glavnog vektora i glavnog momenta
Unutrašnje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Preseći telo zamišljenom ravni na mestu gde treba odrediti unutrašnje sile
F1Fn
F3 Fm
Fo
F2
III
10/24/2009
12
Unutrašnje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Odbaciti jedan deo
Dejstvo odbačenog dela zameniti silama
F1
F3
F2
I
Unutrašnje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Postaviti statičke jednačine ravnoteže
Odrediti unutrašnje sile, komponente glavnog vektora i glavnog momenta
F1
F3
F2
I
S x = 0S y = 0
S x = 0SM x = 0
SM y = 0SM z = 0
F
FF
FR
MR
10/24/2009
13
Unutrašnje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Fn
Fm
FoFyFx
FzM z
M xM y
x
z
y
II
F1
F3
F2
FyFx
Fz M z
M x
M y
x
z
C
y
I
Naponi, sile u preseku
Otpornost materijala
Odnos unutrašnje sile i površine na koju ona deluje, mera intenziteta sile, je srednji napon psr
Ukupan napon p je vektor kolinearan je sa vektorom sile F
DF
DF DF dF
F1
F3
F2
I n
t
M
DA
DA DA dADA 0p = sr p = lim =
a
10/24/2009
14
Napon
Otpornost materijala
Odnos unutrašnje sile DF koja deluje na površinu DA preseka opterećenog tela, ako veličina ove površine teži ka nekoj graničnoj vrednosti - ako ovu površinu smanjujemo do beskonačno malih dimenzija, sužavajući njenu konturu oko tačke M.
Granična vrednost ovog odnosa, koju definiše intenzitet unutrašnjih sila koje deluju na datu površinu u posmatranoj tački M, zove se NAPON.
Naponi, normalni i tangencijalni
Otpornost materijala
Normalni napon s(sigma) - izduženje ili skraćenje
Tangencijalni napon
t (tau)
F1
F3
F2
I n
t
M
DA
p
s
t a
s tp = +2 2
10/24/2009
1
Otpornost materijala
Geometrijske karakteristike
poprečnog preseka
Geometrijske karakteristike
poprečnog preseka
Površina poprečnog preseka
Statički moment poprečnog preseka
Momenti inercije poprečnog preseka
Otpornost materijala
10/24/2009
2
Površina poprečnog preseka
x
y
C
A
CkCn-1
Cn
C3
C1
C2 C5
A1
A3
An
A2
1
2
n
3
nnn yxCyxCyxCyxC ;...;;; 331221111
nAAAA ...,,, 321
Otpornost materijala
Površina poprečnog preseka
n
n
i
i AAAAAA
...321
1
2LDimenzija Jedinica 2m
A
dAA
Otpornost materijala
10/24/2009
3
Statički moment površine za osu
dAx
x
y
yr
A A
x ydAS
A
y xdAS
3LDimenzija Jedinica 3m
Otpornost materijala
Statički moment
Za složenu površinu koja se sastoji od više prostih površina, statički moment za neku osu jednak je zbiru statičkih momenata pojedinih prostih površina u odnosu na istu osu
n
i
iinn
nA
x yAyAyAyAydAydAydAydAydAS1
2211
321
......
n
i
iinn
nA
y xAxAxAxAxdAxdAxdAxdAxdAS1
2211
321
......
Otpornost materijala
10/24/2009
4
Koordinate težišta
dAx
x
y
y
r
xC
yC
C
A
Po Varinjonovoj teoremi:
(moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata)
A
S
dA
xdA
xy
A
AC
A
S
dA
ydA
y x
A
AC
Otpornost materijala
Primer :6
22
R2
x
y
Otpornost materijala
10/24/2009
5
Brojni primer:
0;85.028,6
67.0;226
1;312
13
2
11
CA
CA
CA
C3
C1
C2
x
y
1
0.6
7
2
3
2
6
R2
4
Otpornost materijala
Brojni primer:
2
31 28,2428.66122
cmAAAA
3
333
3
222
3
111
0028.6
02.4)67.0(6
12112
cmyAS
cmyAS
cmyAS
x
x
x
3
333
3
222
3
111
34.5)85.0(28.6
1226
36312
cmxAS
cmxAS
cmxAS
y
y
y
3
321 98.7002.412 cmSSSS xxxx
3
321 66.4234.51236 cmSSSS yyyy
Otpornost materijala
10/24/2009
6
Brojni primer:
cmA
Sx
y
C 75.128.24
66.42
cmA
Sy x
C 32.028.24
98.7
C3
C1
C
C2x
y
x
h
Otpornost materijala
Karakteristike statičkih
momenata poprečnog preseka
Za osu simetrije statički moment površine jednak je nuli jer ova osa prolazi kroz težište.
Ako površina ima dve ose simetrije ili više takvih osa, težište se nalazi u presečnoj tački tih osa
Kososimetrične površine imaju težište u tački kose ose simetrije
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli
Otpornost materijala
10/24/2009
7
Momenti inercije ravnih povšina
Aksijalni moment inercije
Centrifugalni moment inercije
Polarni moment inercije
dAxIdAyIA
y
A
x
22
dAxyIA
xy
dArIA
o
2
Otpornost materijala
Aksijalni moment inercije
dAx
x
y
y
r
A
O
A
x dAyI 2
A
y dAxI 2
Aksijalni moment inercije površine predstavlja zbir proizvoda
svih elementarnih površina i kvadrata njihovih rastojanja od
odgovarajuće ose u ravni te površine
4LDimenzija Jedinica 4m
Otpornost materijala
10/24/2009
8
Centrifugalni moment inercije
dAx
x
y
y
rA
O
A
yx dAyxI
Centrifugalni moment površine predstavlja zbir proizvoda
svih elementarnih površina i oba njihova rastojanja od osa
u ravni te površine
4LDimenzija Jedinica 4m
Otpornost materijala
Polarni moment inercije
dAx
x
y
y
r
A
O
A
O dArI 2
Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te
površine predstavlja proizvod svih elementarnih površina i
kvadrata njihovih rastojanja od tog pola
yx
AAA
O IIdAydAxdAyxI 2222
222 yxr
4LDimenzija Jedinica 4m
Otpornost materijala
10/24/2009
9
Karakteristike momenata inercije
Aksijalni i polarni moment inercije su uvek
pozitivni
Centrifugalni moment inercije može biti veći,
manji ili jednak nuli
Svaka površina ima bar jedan par osa za koje je
centrifugalni moment inercije jednak nuli
Otpornost materijala
Znak polarnog momenta inercije
x
y
I >0xy
x
y
I <0xy
x
y
I <0xy
I >0xy
I >0xy
I <0xy
Otpornost materijala
10/24/2009
10
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Moment inercije za ose
težišne xOhdAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+ x
y=b+ h
A
dAI 2hx
A
dAI 2xh
A
dAI xhxh
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
U izrazima za
momente inercije
za X i Y osu
vrednosti
koordinata x i y
zamenjujemo
vrednostima,
prema slici
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+ x
y=b+ h
hx byax
Otpornost materijala
10/24/2009
11
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)hby
AA
x dAbdAyI22 h
AAA
x dAbdAbdAI 22 2 hh
AbSbII x
22 xx
AbII x
2 x
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
xax
AA
y dAadAxI22 x
AAA
y AaSaIdAadAadAI 222 22 hhxx
AaII y
2 h
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z
Otpornost materijala
10/24/2009
12
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
hx byax
AA
yx dAbaxydAI hx
abASbaSII xy hxxh
AAAA
yx dAabdAbdAadAI xhxh
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z, dok je a udaljenost yose od paralelne težišne ose h,
abAII xy xh
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Kada se koordinatni početak sistema xO1h poklapa sa težištem tada su ose x i h težišne ose
Statički moment za težišne ose jednak je nuli, a koordinate
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+ x
y=b+ h
0 hx SS
axby cc ;
Otpornost materijala
10/24/2009
13
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Momenti
sopstveni momenti inercijeProizvod površine preseka i udaljenosti od ose – osa naziva se
položajni moment inercije
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+ x
y=b+ h
xhhx IiII ,
abAAaAb ,, 22
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Momenti inercije za težišne ose xOh nazivaju se sopstveni momenti inercije
Momenti inercije za vantežišne ose jednakisu zbiru sopstvenih momenata inercije i položajnih momenata inercije
dA
x
x
y
y
A
O
x
h
a
b
O1
C
x=a
y=
b
kada su žišneose
x h, te
Otpornost materijala
10/24/2009
14
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)byax
AbII x
2 x
AaII y
2 h
abAII xy xh
Za težišne ose x, h za paralelno pomeren koordinatni sistem izrazi za momente dobijaju oblik
Moment inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem
jednak je zbiru sopstvenog momenta inercije(uvek za
težišne ose) i položajnog momenta inercije
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Moment inercije za vantežišne paralelne ose
jednak je zbiru sopstvenih momenata inercije
(težišnih) i položajnih momenata inercije
AyxII
AxII
AyII
CCxy
Cy
Cx
xh
h
x
2
2
Napomena: rastojanja xc i yc
uzimati sa svojim znakom
Otpornost materijala
10/24/2009
15
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Moment inercije za paralelne težišne ose jednak je
razlici momenata inercije za vantežišne paralelne
ose i položajnih momenata inercije
AyxII
AxII
AyII
CCxy
Cy
Cx
xh
h
x
2
2
Napomena: rastojanja xc i yc
uzimati sa svojim znakom
Otpornost materijala
Momenti inercije za zaokrenuti
koordinatni sistem (za težišne ose)
Poznati su momenti
inercije za težišne
ose xCy Ix, Iy, Ixy
Za neki zaokrenuti
za ugao j
koordinatni sistem
uCv treba odrediti
momente inercije Iu,
Iv, Iuv
dA
x
x
v
v
u
u
y
y
A
CP
Q
MN
j
j
Otpornost materijala
10/24/2009
16
Momenti inercije za zaokrenuti
koordinatni sistem (za težišne ose)
dAx
v
u
u
y
y
CP
Q
MN
j
j v
x
jj cossin xyCMPQCMMNu
jj sincos xyMPSQNQSQu
Otpornost materijala
Momenti inercije za zaokrenuti
koordinatni sistem (za težišne ose)
A AAAA
u xydAdAxdAydAxydAvI jjjjjj cossin2sincossincos 222222
jjjj cossin2sincos 22
xyyxu IIII
A AAAA
v xydAdAxdAydAxydAuI jjjjjj cossin2cossincossin 222222
jjjj cossin2cossin 22
xyyxv IIII
xydAdAxdAyuvdAIAAA
uv jjjj 2222 sincoscossin
jjjj 22 sincoscossin xyyxuv IIII
Koristeći transformaciju koordinata dobijaju se:
Otpornost materijala
10/24/2009
17
Momenti inercije za za okrenuti
koordinatni sistem (za težišne ose)Kako je:
,2cos12
1cos2 jj ,2cos1
2
1sin2 jj
jjj 2sincossin2 jjj 2cossincos 22
Izrazi za izračunavanje težišnih momenata inercije za zaokrenute ose sada su
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxu IIIIII
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxv IIIIII
jj 2cos2sin2
1xyyxuv IIII
Ako su poznati momenti inercije za jedan par težišnih osa bez integraljenja
mogu se izračunati momenti inercije za zaokrenute težišne ose
Otpornost materijala
Glavni momenti
inercije i glavne ose inercijeKako se drugi izraz za moment može dobiti iz prvog zamenom j sa j+90
o
analiziraju se drugi i treći izraz
Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti ekstremne vrednosti:
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxu IIIIII
jj 2cos2sin2
1xyyxuv IIII
02cos22sin jjj
xyyxu III
d
dI
argument j koji zadovoljava ovu jednačinu obeležimo sa a
2cos:02cos22sin xyyx III
yx
xy
II
Itg
22
Otpornost materijala
10/24/2009
18
Glavni momenti
inercije i glavne ose inercije
22tg
2
1
2
tg
1
Ugao određuje položaj glavnih težišnih osa
222421
12cos
xyyx
yx
III
II
tg
2224
2
21
22sin
xyyx
xy
III
I
tg
tg
22
1max 42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
22
2min 42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
012
IIuv j
yx
xy
II
Itg
22
Otpornost materijala
Glavni momenti
inercije i glavne ose inercije Za težišne ose za koje aksijalni momenti inercije
imaju ekstremne vrednosti, centrifugalni moment
inercije je jednak nuli.
I obrnuto ako je za dve upravne težišne ose
centrifugalni moment inercije jednak nuli, onda
aksijalni momenti za te ose imaju ekstreme
Otpornost materijala
10/24/2009
19
Elipsa inercije
x
x
i2
i2
i 1i 1
y
u
y
j
(1)
(2)
C
N(x,y)
Za površinu A poznate su glavne težišne ose
(1) i (2) i glavni težišni momenti inercije I1 i I2 .
Za proizvoljnu težišnu osu u pod uglom j dobija se
Deljenjem leve i desne strane sa
površinom A dobija se
jj 2
2
2
1 sincos IIIu
A
Ii uu
A
Ii
A
Ii 2
21
1 ,
jj 2
2
2
1 sincos iiiu
Poluprečnici inercije za glavne ose
Poluprečnik inercije za osu u
Otpornost materijala
Momenti inercije pravougaonika
bdydAbh
dyybdAyI
h
A
x ,3
3
0
22
hdxdAhb
dxxhdAxI
b
A
y ,3
3
0
22
22,, h
Cb
C yxbhA
bdydAbh
ydyb
ydAxydAI
hb
b
A
xy ,42
22
0
2
0
2
Za težišne ose x i h
1243
3232 bh
bhhbh
AyII Cx x
1243
3232 hb
bhbhb
AxII Cy h
0224
32
bhhbbh
AyxII CCxyxh
x
x
y
dy
dx
y
x
yC
xC
b
h C
h
Otpornost materijala
10/24/2009
20
Momenti inercije i elipsa inercije
pravougaonika
x
y
b
h
C
T
D
i xiy
iD0,
12,
12
33
xyyx Ihb
Ibh
I
Za težišne ose obeležene sa x i y
momenti inercije iznose:
Poluprečnici inercije su
bbb
bh
hb
A
Iii
y
y 29,06
3
12
122
3
2
hhh
bh
bh
A
Iii x
x 29,06
3
12
122
3
1
Za proizvoljnu osu tangenta paralelna sa
odabranom osom, i rastojanje od C do tačke dodira
tangente T je iD.2
DD iAI
Otpornost materijala
Podaci iz tablica za krug
R
y
xC
D
2
2
4r
DA
4444
7854,00491,0464
rDrD
II yx
24
rDii yx
0xyI
Otpornost materijala
10/24/2009
21
Podaci iz tablica za polovinu kruga
R
e1
e2
y
x
x1
C
28
22 rDA
444 0069.01098.09
8
8DrrI x
DereDr
e 2878.0;2122.03
4121
4444
025.0392.01288
DrDr
I y
4444
1 025.0392.01288
DrDr
I x
Otpornost materijala
Postupak pri određivanju momenata
inercije složene površine
1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti položaj
težišta
2. Odrediti momente inercije za težišne ose svake
površine, pa primenom Štajnerove teoreme
odrediti momente inercije za težišne ose složene
površine
3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
4. Odrediti glavne centralne momente inercije
5. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati
elipsu inercije
Otpornost materijala
10/24/2009
22
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
x
y
1
1
14
6.5
6.5
3.5
3.5
C1
C2
C3
5.6;5.3;818
,5.6;5.3;818
,0;0;12112
33
22
11
CA
CA
CA
Odabrati ose x i y i odrediti težište
3
3
3
3
3
2
3
2
3
1
3
1
52,28
52,28
,0,0
cmScmS
cmScmS
cmScmS
yx
yx
yx
08812
28280
321
321
AAA
SSSx xxx
C
08812
52520
321
321
AAA
SSSy
yyy
C
Otpornost materijala
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
x
y
1
1
14
6.5
6.5
3.5
3.5
C1
C2
C3
3
2
332
2
221 AyIAyIII CxCxxx
Odrediti momente inercije za ose x i y
3
2
332
2
221 AxIAxIII CyCyyy
333322221 AyxIAyxIII CCxyCCxyxyxy
Otpornost materijala
10/24/2009
23
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
Odrediti momente inercije za ose x i y
433
1 14412
121
12cm
bhI x
433
1 112
121
12cm
hbI y
y = y1
12 C1
x = x1
4
11 0cmI yx
Otpornost materijala
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
Odrediti momente inercije za ose x i y
433
32 66.012
18
12cm
bhII xx
433
32 66.4212
18
12cm
hbII yy
y 2
x 2
1
C2
84
3322 0 cmII yxyx
Otpornost materijala
10/24/2009
24
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
4
22
822
85.666.085.666.0144
cmI
I
x
x
Odrediti momente inercije za ose x i y
4
22
282
85.366.4285.366.421
cmI
I
x
y
4364
85.65.3085.65.300
cmI
I
xy
xy
x
y
1
1
14
6.5
6.5
3.5
3.5
C1
C2
C3
C
Otpornost materijala
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
72.26433.533481.12
3481.128233.821
364222
arctg
II
Itg
yx
xy
Odrediti ugao glavnih osa
22
1max 42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
22
2min 42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
012
IIuv j
x
y
C
(2)
(1)
26.72o
22
1max 36442828222
1282822
2
1 II
4
1max 1006cmII 22
1max 36442828222
1282822
2
1 II
4
2min 99cmII
012
IIuv j
Otpornost materijala
10/24/2009
25
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
Poluprečnici inercije
cmA
Ii 66.5
28
100611
cmA
Ii 88.1
28
9922 x
y
C
(2)
(1)
26.72o
Otpornost materijala
Postupak pri određivanju momenata
inercije složene površine
1. Podeliti složenu površinu na određen broj manjih površina za koje je lako odrediti:Težište površine
Statičke momente inercije površina za težišne ose
Sopstvene momente inercije površine za težišne ose
Aksijalne momente inercije površine za težišne ose
Centrifugalne momente inercije površine za težišne ose
Polarne momente inercije površine za težišne ose
Otpornost materijala
10/24/2009
26
Postupak pri određivanju momenata
inercije složene površine
2. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti položaj
težišta
3. Odrediti momente inercija za težišne ose svake
površine pa primenom Štajnerove teoreme
odrediti momente inercije za težišne ose složene
površine
4. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
5. Odrediti glavne centralne momente inercije
6. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati
elipsu inercije
Otpornost materijala
Napomene pri određivanju momenata
inercije složene površine
Treba koristiti simetriju – težište složene površine je uvek na osi simetrije
Osa simetrije je ujedno i jedna glavna osa inercije, a druga glavna osa prolazi kroz težište i upravna je na prvu
Ako površina ima više osa simetrije težište je u njihovom preseku a one su ujedno i glavne ose inercije
Za glavne ose uvek je centrifugalni moment inercije jednak nuli
Otpornost materijala
10/24/2009
27
Primer :6
22
R2
x
y
Otpornost materijala
Brojni primer:
0;85.028,6
67.0;226
1;312
13
2
11
CA
CA
CA
C3
C1
C2
x
y
1
0.6
7
2
3
2
6
R2
4
Otpornost materijala
10/24/2009
28
Brojni primer:
cmA
Sx
y
C 75.128.24
66.42
cmA
Sy x
C 32.028.24
98.7
C3
C1
C
C2x
y
x
h
Otpornost materijala
Brojni primer:
C1
C
x1
y1
x
h
67.0;24.112 1
2
1 CcmA
433
1 412
26
12cm
bhI x
433
1 3612
26
12cm
hbI y
011 yxI
Otpornost materijala
10/24/2009
29
Brojni primer:
1;.24.06 1
2
2 CcmA
433
2 33.136
26
36cm
bhI x
433
2 1236
26
36cm
hbI y
y2
CC2
x
h
x2
42222
22 272
26
72cm
hbI yx
Otpornost materijala
Brojni primer:
0;61.228.6 1
2
1 CcmA
444
3 28.68
2
8cm
rI x
424
24
3 76.164972
2649
72cm
rI y
033 yxI
y3
C3
C x
h
x3
Otpornost materijala
10/24/2009
30
Brojni primer:
3
2
332
2
221
2
11 AIAIAII xxx hhhx
3
2
332
2
221
2
11 AIAIAII yyy hxxh
42328.6633.138.54 cmI x
43.11175.178.4234.01245.1836 cmI h
233332222211111 AIAIAII yxyxyx hxhxhxxh
453.10061.228.601624.021267.024.10 cmI xh
Otpornost materijala
Rezime
Površina poprečnog preseka
Statički moment površine poprečnog preseka
Težište površine
Aksijalni moment inercije
Centrifugalni moment inercije
Polarni moment inercije
Štajnerova teorema - sopstveni + položajni
Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem
Glavni momenti inercije i glavne ose inercije
Elipsa inercije i glavne težišne ose
Otpornost materijala
10/24/2009
31
Postupak pri određivanju momenata
inercije složene površine
1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti položaj
težišta
2. Odrediti momente inercija za težišne ose svake
površine, pa primenom Štajnerove teoreme
odrediti momente inercije za težišne ose složene
površine
3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
4. Odrediti glavne centralne momente inercije
5. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati
elipsu inercije
Otpornost materijala
11/1/2009
4
Aksijalno naprezanje
Zatezanje
Pritisak
Otpornost materijala
F
F
- F
+ Fz
- F
+ F
Aksijalno naprezanje
Aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak) je takvo naprezanje pri kome se u poprečnim presecima opterećenog dela, najčešće štapa, javljaju samo aksijalne unutrašnje sile (unutrašnje sile su u pravcu uzdužne ose štapa)
Otpornost materijala
11/1/2009
5
Aksijalno naprezanje
Aksijalno naprezanje izazivaju sile kolinearne sa osom štapa ili više sila čija je rezultanta u pravcu ose štapa
Otpornost materijala
F
F
- F
+ Fz
- F
+ F
Kod aksijalnog naprezanjapostoje samo normalni naponi
Otpornost materijala
Normalni napon s (sigma) - izduženje ili skraćenje
Nema tangencijalnih napona t (tau)
F1
F3
F2
I nM
A s
11/1/2009
6
Unutrašnje sile i naponi
0
0
az
Az
FFF
FFF
Otpornost materijala
Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila
Dijagram promene aksijalne sile
Zanemaren je uticaj težine štapa,posmatra se homogeni štap konstantnog poprečnog preseka
FA
FA
Fa
F
F
B
B
A
A
I
I
+
Unutrašnje sile i naponi
0
0
az
Az
FFF
FFF
Otpornost materijala
Za proizvoljni zamišljeni normalni presek važe uslovi ravnoteže:
FA
Fa
s
F
F
F
B
B
B
AI
I
I
I
I
I
11/1/2009
7
Unutrašnje sile i naponi
Otpornost materijala
A
F
AdAdAF
a
AA
a
s
sss
Normalni napon konstantan u svakoj tački poprečnog preseka
Poprečni presek nepromenljiv čitavom dužinom štapa
Normalan napon dobija se kao odnos sile po površini
Jedinica MPa
Stare jedinice: kp/mm2
i kg/cm2
FA
Fa
s
F
F
F
B
B
B
AI
I
I
I
I
I
Deformacije kod aksijalnog naprezanja
F
F
F
F
l
l l
l1
Čelični štap dužine l deformisaće se pod dejstvom sile zatezanja F
Dužina će se povećati za l
Ukoliko su veće aksijalne sile utoliko su veća i izduženja
Otpornost materijala
11/1/2009
8
Deformacije kod aksijalnog naprezanja
Čelični štap dužine l deformisaće se pod dejstvom sile pritiskanja F
Dužina će se smanjiti za l
Ukoliko su veće pritisne aksijalne sile utoliko su veća i skraćenja
F
F
F
F
l
l
l
Otpornost materijala
Deformacije kod aksijalnog naprezanja
Deformacija (u oba slučaja) je u promeni dužine štapa
Deformacija je zavisna od veličine aksijalnih sila te raste ukoliko su sile veće
Uz odgovarajuću opremu moguće je snimiti zavisnost izmeĎu spoljašnjeg opterećenja (aksijalnih sila) i odgovarajućih deformacija
Otpornost materijala
11/1/2009
9
Dijagram sile i deformacije čelične šipke
l
mm
F
kN
Otpornost materijala
Dijagrami napona i dilatacije
Dijagram sile i izduženja zavisi od dimenzija šipke
Za svaku ispitivanu šipku dobio bi se sličan dijagram
Da bi se otklonile neusaglašenosti i dobileporedive vrednosti izvršena je
standardizacija metodologije ispitivanja
i epruvete koje se koriste
Otpornost materijala
11/1/2009
10
Dijagrami napona i dilatacije
Za debele materijale propisane su prave cilindrične epruvete
Za limove propisane su pljosnate epruvete
Propisane su i dužine epruveta i to:
DUGAČKE
KRATKE
00 10 dl
00 5 dl
Otpornost materijala
Standardna epruveta za ispitivanje zatezanjem
Otpornost materijala
11/1/2009
11
Ispitivanje zatezanjem na hidrauličnoj kidalici
Otpornost materijala
Savremene mašine za ispitivanje zatezanjem
Otpornost materijala
11/1/2009
12
Dijagrami sila - izduženje za različite materijale
Otpornost materijala
Dijagram sila – izduženje dijagram napon - dilatacija
Umesto izduženja naneti odnos izduženja i prvobitne dužine
e – Dilatacija, neimenovan broj
0
0
l
le
Otpornost materijala
11/1/2009
13
Dijagram sila – izduženje dijagram napon - dilatacija
Umesto sile naneti odnos sile i površine poprečnog preseka
s – Napon MPa 0A
Fs
Prema važećim standardima napon se označava sa R
Otpornost materijala
Dijagram napon - dilatacija
e
sM Pa
Dijagram napon - dilatacija za meki čelik
Otpornost materijala
11/1/2009
14
Karakteristične tačke na dijagramu napon - dilatacija
e
s M Pa
P
ETG
TD
M
K
a
sP
sM
sE
P - granica proporcionalnostiE - granica elastičnostiTg -gornja granica tečenjaTd - donja granica tečenja
M - maksimalna čvrstoćaK - tačka prekida
tg =Ea
Otpornost materijala
Hukov zakon
Od koordinatnog početka do tačke P postoji proporcionalnost izmeĎu napona i dilatacije
E – koeficijent proporcionalnosti MODUL ELASTIČNOSTIili Jungov modul dimenzija MPa
es E
Otpornost materijala
11/1/2009
15
Hukov zakon
Hukov zakon u obliku s=Ee
Zamenom u izrazu za dilataciju kao e=l/lo
Napon kao odnos s=F/A
Dobija se izraz za Hukov zakon u obliku
AE
lFl
ee 11 llllll
Dužina šipke posle prekida
Otpornost materijala
Poasonov koeficijent m
e – uzdužna dilatacija
eP – poprečna dilatacija
koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne Poasonov koeficijent je neimenovan broj
l
l1
b
h
epb
eph
eme p
Otpornost materijala
11/1/2009
16
Poasonov koeficijent
Izračunavanjem zapremina pre i posle deformacije dobija se zapreminska dilatacija kao
mee 21V
V
VV
V
V
hblhblV
hblV
V
1
2
111 11
e
mee
Otpornost materijala
Poasonov koeficijent i modul elastičnosti
0,3
0,34
0,33
0,37
0,25
1/6
m [-]
2.1 . 105
0.7 . 105
1.1 . 105
1.0 . 105
1.0 . 105
0.3. 105
E [ M Pa ]
Čelik
Materijal
Aluminijum
Bakar
Mesing
Sivi liv
Beton
Otpornost materijala
11/1/2009
17
Dimenzionisanje aksijalno napregnutog štapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti
Obrasci u otpornosti materijala izvedeni su na osnovu Hukovog (Robert Hooke) zakona, to jest zakona proporcionalnosti
Pri dimenzionisanju delova treba to poštovati, pa dozvoljeni napon merodavan za proračun mora biti manji od napona na granici proporcionalnosti što se postiže uvoĎenjem stepena sigurnosti
Otpornost materijala
Dozvoljeni napon mora biti manji od napona na granici proporcionalnosti
e
s M Pa
P
ETG
TD
M
K
a
sP
sM
sE
P - granica proporcionalnostiE - granica elastičnostiTg -gornja granica tečenjaTd - donja granica tečenja
M - maksimalna čvrstoćaK - tačka prekida
tg =Ea
Otpornost materijala
11/1/2009
18
Dimenzionisanje aksijalno napregnutog štapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti
Stepen sigurnosti je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, ili granice tečenja materijala od kog je proračunavani štap i dozvoljenog napona
Otpornost materijala
doz
TT
doz
MM
s
s
s
s
Dozvoljeni napon
Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti
Otpornost materijala
sss M
ddoz
11/1/2009
19
Stepen sigurnosti
Zavisno od toga na koju karakteristiku se odnosi, razlikuju se:
Stepen sigurnosti u odnosu na zateznu čvrstoću
Stepen sigurnosti u odnosu na granicu tečenja
Otpornost materijala
doz
TT
doz
MM
s
s
s
s
Na izbor veličine stepena sigurnosti utiču
Tačnost odreĎivanja spoljašnjih sila
Način dejstva spoljašnjih sila
Namena projektovane konstrukcije
Zakonska regulativa za odreĎene projekte
Osobine primenjenih materijala
Otpornost materijala
11/1/2009
20
Stepen sigurnosti prema vrsti opterećenja
1. Mirno opterećenje
2. Jednosmerno promenljivo
3. Naizmenično promenljivo
Otpornost materijala
Stepeni sigurnosti
U okviru ovog kursa biće korišćeni stepeni sigurnosti u odnosu na zateznu čvrstoću
Biće rešavani primeri sa mirnim opterećenjima
Otpornost materijala
11/1/2009
21
Stepen sigurnosti
Vrednosti stepena sigurnosti u odnosu na zateznučvrstoću koji se sreću u literaturi:
Za čelik termički neobraĎen
za mirno opterećenje 2.5-3
za naizmenično promenljivo 5-6
Za liveno gvožĎe
za mirno opterećenje 3-6
za naizmenično promenljivo 5-12
Otpornost materijala
Primer primene stepena sigurnosti
Iz tablica karakteristika materijala za odreĎen materijal očitava se zatezna čvrstoća
Primer za Č.0545
sM = 500-600 MPa seH=280-300 MPa
Otpornost materijala
MPaMdoz 176
3
500
ss
11/1/2009
22
Napon aksijalno napregnutog štapa
Napon aksijalno napregnutog dela mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu
Normalni napon ili napon kod zatezanja predstavlja količnik aksijalne sile i površine poprečnog preseka
Otpornost materijala
dozA
Fss
MPa
Kod aksijalnog naprezanja postoje tri osnovna zadatka
Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona
Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka
Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalne sile
Otpornost materijala
A
Fs
doz
FA
s
AF doz s
11/1/2009
23
Definisanje veličine napona aksijalno napregnutog štapa
Odrediti vrednosti opterećenja odnosno aksijalnu silu koja deluje na štap
Izračunati površinu poprečnog preseka štapa
Izračunati napon koji nastaje delovanjem aksijalne sile
Uporediti vrednost sa odreĎenim dozvoljenim naponom
Otpornost materijala
dozA
Fss MPa
Dimenzionisanjeaksijalno napregnutog štapa
Odrediti vrednost aksijalne sile koja deluje na štap
Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal
Sračunati potrebnu površinu preseka
Otpornost materijala
doz
FA
s m2
11/1/2009
24
Za dimenzionisani štap odrediti vrednost aksijalne sile
Odrediti površinu preseka
Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal i definisani stepen sigurnosti
Sračunati maksimalnu aksijalnu silu
Otpornost materijala
AF doz s N
Preporuke pri dimenzionisanju
1. Veličina aksijalnog opterećenja - statika
2. Površina poprečnog preseka
3. Normalni napon za poprečni presek -
stepen sigurnosti
4. Za odabrani materijal dozvoljeni napon
5. Veličina poprečnog preseka
6. Veličina opterećenja za poznatu površinu i materijal
Otpornost materijala
11/1/2009
25
Uticaj temperature na deformacije i napone
Pod uticajem toplote sva tela se šire
Širenje zavisi od materijala i temperaturne razlike
Promena dužine štapa proporcionalna je dužini štapa, vrsti materijala i promeni temperature
Otpornost materijala
Uticaj temperature na deformacije i napone
tl
l
lll
tll
ae
a
1
l l
l1
Otpornost materijala
11/1/2009
26
Uticaj temperature na deformacije i napone
Koeficijent linearnog širenja 1Coa
12 . 10-6
23 . 10-6
17. 10-6
19. 10-6
9. 10-6
a [ C ]o -1
Čelik
Materijal
Aluminijum
Bakar
Mesing
Sivi liv
Otpornost materijala
Unutrašnje sile i naponi usled zagrevanja
0
0
az
BAz
FFF
FFF
Otpornost materijala
Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila
Dijagram promene aksijalne sileza statički neodreĎen nosač
Usled promene toplote nastaje izduženje štapa
Pošto izmeĎu oslonaca ne dolazi do izduženja, raste napon u samom štapu
11/1/2009
27
Unutrašnje sile i naponi usled zagrevanja
Otpornost materijala
12 ttt Ako je nastala deformacija u zoni elastičnosti materijala, za postojeću temperaturnu razliku nastala bi dilatacija
Prema Hukovom zakonu napon je definisan kao proizvod modula elastičnosti i dilatacije
Može se odrediti i unutrašnja sila
tl
l
ae
tE as
oa
o
a AFA
F ss
es E
tll a
Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa
A
Fs
A
Fp
F F
Ako analiziramo aksijalno napregnut štap i neki presek pod uglom
Otpornost materijala
11/1/2009
28
Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa
U svakoj tački poprečnog preseka aksijalno napregnutog štapa javlja se normalni napon s, a tangentnog napona t nema
(napon je vektorska veličina ima pravac, smer i intenzitet)
U kosom preseku aksijalno napregnutog štapa javlja se totalni napon p
A
Fs
A
Fp
Otpornost materijala
Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa
A
Fs
A
Fp
F F
Ako analiziramo aksijalno napregnut štap i neki presek pod uglom
Otpornost materijala
11/1/2009
29
Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa
A
Fs
A
Fp
Ako analiziramo aksijalno napregnut štap i neki presek pod uglom
Otpornost materijala
Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa
Ako analiziramo uočeni normalni presek i kosi presek pod uglom
A
Fs
A
Fp
s
ss
s
cos
cos
cos
0
A
A
A
Ap
AA
AApFz
s p
Otpornost materijala
11/1/2009
30
Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa
Komponente napona u pravcu normale i tangente na posmatrani kosi presek
sst
sss
2sin2
1cossinsin
2cos12
1coscos 2
p
p
p
p
s
t
s
p
nA A
t
Otpornost materijala
Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa
Najveći normalni naponi su za =0o smax=s ,
a najmanji, odnosno jednaki nuli za =90o smin=0
Najveći tangencijalni i najmanji naponi su za
=45o tmax,min=+- 1/2 s
22
2sin2
12cos1
2
1
ts
stss
p
i pp
Analizom dobijenih izraza u funkciji ugla
Otpornost materijala
imajući na umu
11/1/2009
31
Grafički prikaz – Morov krug napona
22
2sin2
1
2cos12
1
ts
st
ss
p
p
p
Otpornost materijala
Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa
F
F
F
F
90o
45o
Kod krtih materijala (kaljenih čelika, sivog liva ili kamena) prekid je poprečan
Kod plastičnih, mekih, materijala (meki čelik, bakar, aluminijum) pucaju pod uglom od 45o
Otpornost materijala
11/4/2009
1
Naprezanje u dva pravca
Naponi i deformacije
Glavni naponi
Naprezanje sudova male debljine
Otpornost materijala
Naprezanje u dva pravca (ravansko)
Zatezanje u dva pravca
Pritisak u dva pravca
Zatezanje i pritisak (smicanje)
Otpornost materijala
11/4/2009
2
Zatezanje u dva pravca
Otpornost materijala
Tanka ploča, debljine d, napregnuta je silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu:
Ox ose
Oy ose
Zatezanje u dva pravca
Veličine sila na jedinicu površine
označimo sa sx, odnosno sy
u pravcu Ox imamo silu X
u pravcu Oy silu Y
Sile X ne izazivaju napone u ravni u-u
Sile y ne izazivaju napone u ravni p-p
Otpornost materijala
11/4/2009
3
Hukov zakon
Od koordinatnog početka do tačke P (granice proporcionalnosti) postoji proporcionalnost izmeĎu napona i dilatacije
E – koeficijent proporcionalnosti MODUL ELASTIČNOSTI ili Jungov modul
Dimenzija napona MPa
s E
Otpornost materijala
Poasonov koeficijent m
– uzdužna dilatacija
P – poprečna dilatacija
koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne Poasonov koeficijent je neimenovan broj
l
l1
b
h
pb
ph
m p
Otpornost materijala
11/4/2009
4
Dilatacija u pravcu Ox
Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se:
Pozitivna dilatacija u pravcu Ox
Negativna poprečna dilatacija u pravcu Ox ose kao posledica istezanja u pravcu Oy ose
Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose
E
ysm
E
xs
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Dilatacija u pravcu Oy
Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se:
Pozitivna dilatacija u pravcu Oy
Negativna poprečna dilatacija u pravcu Oy ose kao posledica istezanja u pravcu Ox ose
Ukupna dilatacija u pravcu Oy oseE
xsm
E
ys
EEE
xyxy
y
msssm
s
Otpornost materijala
11/4/2009
5
Dilatacija u pravcu osa Ox i Oy
EEE
xyxy
y
msssm
s
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca
Otpornost materijala
Ako iz tanke ploče, debljine d, napregnute silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu osa Ox i Oy, izdvojimo prizmu male debljine d i ispitamo ravnotežu
11/4/2009
6
Komponentni naponi u kosom preseku
Ax=c d cosj
Ay=c d sinj
Otpornost materijala
Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca
0sincoscos jdjsjds ccbcX nxi
0cossinsin jdjsjds ccbcY nyi
Otpornost materijala
11/4/2009
7
Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca
jsjjs cossincos xn
jsjjs sincossin yn
0sincoscos jdjsjds ccbcX nxi
0cossinsin jdjsjds ccbcY nyi
Otpornost materijala
Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca
jjsjjs coscossincos xn
jjsjjs sinsincossin yn
Saberemo jednačine i dobijamo normalni napon
1cossin 22 jj
jsjss 22 sincos yxn
Otpornost materijala
11/4/2009
8
Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca
jjsjjs sincossincos xn
jjsjjs cossincossin yn
Oduzmemo drugu jednačinu od prve i dobijamo tangencijalni napon
jjj 2sin2
1cossin
jss 2sin2
1yxn
Otpornost materijala
Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca
jsjss 22 sincos yxn
jss 2sin2
1yxn
Otpornost materijala
11/4/2009
9
Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca - Morov krug
jss 2sin2
1yxn
jsjsjsssjss 222 sincoscoscos yxyxyyn BD
Otpornost materijala
Pritisak u dva pravca
Otpornost materijala
Tanka ploča, debljine d, napregnuta je silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu:
Ox ose
Oy ose
11/4/2009
10
Dilatacija u pravcu Oxkod pritiska u dva pravca
Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se:
Negativna dilatacija u pravcu Ox
Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu Ox ose kao posledica pritiska u pravcu Oy ose
Ukupna dilatacija u pravcu Ox oseE
ysm
E
xs
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Dilatacija u pravcu Oy kod pritiska u dva pravca
Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se:
Negativna dilatacija, skraćenje, u pravcu Oy
Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu Oy ose kao posledica sabijanja u pravcu Ox ose
Ukupna dilatacija u pravcu Oy ose
E
xsm
E
ys
EEE
xyxy
y
msssm
s
Otpornost materijala
11/4/2009
11
Dilatacija u pravcu osa Ox i Oykod pritiska u dva pravca
EEE
xyxy
y
msssm
s
EEE
yxyxx
msssm
s
Po apsolutnoj vrednosti ove dilatacije su jednake zbiru dilatacija kod zatezanja u dva pravca samo suprotnog znaka
Otpornost materijala
Zatezanje i pritisak
Otpornost materijala
Tanka ploča, debljine d, napregnuta je silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu:
Ox ose
Oy ose
11/4/2009
12
Dilatacija u pravcu Ox
Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se:
Pozitivna dilatacija u pravcu Ox
Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu Ox ose kao posledica pritiska u pravcu Oy ose
Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose
E
ysm
E
xs
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Dilatacija u pravcu Oy
Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se:
Negativna dilatacija u pravcu Oy
Negativna poprečna dilatacija u pravcu Oy ose kao posledica istezanja u pravcu Ox ose
Ukupna dilatacija u pravcu Oy ose
E
xsm
E
ys
EEE
xyxy
y
msssm
s
Otpornost materijala
11/4/2009
13
Dilatacija u pravcu osa Ox i Oy
EEE
xyxy
y
msssm
s
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje i pritisak - Morov krug
jss 2sin2
1yxn jsjss 22 sincos yxn
Otpornost materijala
11/4/2009
14
Zatezanje i pritisak
Važan slučaj je kada su pritisni i zatežući napon jednaki po apsolutnoj vrednosti
Otpornost materijala
sss yx
Dilatacija u pravcu osa Ox i Oykada su pritisni i zatežući naponi jednaki
E
x
sm
1
Po apsolutnoj vrednosti jednake su i dilatacije, samo suprotnog znaka kod po apsolutnoj vrednosti jednakih zatežućih i pritisnih napona
E
y
sm
1
sss yx
Otpornost materijala
11/4/2009
15
Komponentni naponi u kosom preseku – jednakih napona na zatezanje i pritisak - Morov krug
jsjss 2sin2sin2
1n
jsjsjss 2cossincos 22 n
Otpornost materijala
Jednaki naponi na zatezanje i pritisak – za slučaj j=45o
s n
0ns
090cos190sin oo
js 2sinn
jss 2cosn
Čisto smicanje
Otpornost materijala
11/9/2011
1
primer I zadatka za grafički
Momenti inercije složene ravne površi
Složena površ čiji moment inercije se traži
11/9/2011
2
Podeliti na poznate površi
Odrediti težište složene površi
A
S
dA
xdA
xy
A
AC
A
S
dA
ydA
y x
A
AC
11/9/2011
3
Iz tablica očitati vrednosti momenata za težišne ose svake površi
Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Moment inercije za vantežišne paralelne ose jednak je zbiru sopstvenih momenata inercije (težišnih) i položajnih momenata inercije
AyxII
AxII
AyII
CCxy
Cy
Cx
2
2
Napomena: rastojanja xc i yc uzimati sa svojim znakom
11/9/2011
4
Za težišne ose odrediti momente inercije No1
Za težišne ose odrediti momente inercije No2
11/9/2011
5
Za težišne ose odrediti momente inercije No3
Za težišne ose odrediti momente inercije
11/9/2011
6
Glavni momenti inercije i glavne ose inercije
Kako se drugi izraz za moment može dobiti iz prvog zamenom j sa j+90o analiziraju se drugi i treći izraz
Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti
ekstremne vrednosti:
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxu IIIIII
jj 2cos2sin2
1xyyxuv IIII
02cos22sin jjj
xyyxu III
d
dI
argument j koji zadovoljava ovu jednačinu obeležimo sa a
aaa 2cos:02cos22sin xyyx III
yx
xy
II
Itg
22a
Glavne centralne ose inercije
yx
xy
II
Itg
22a
U primeru tg2a<0
11/9/2011
7
Poluprečnici inercije
Elipsa inercije
11/9/2011
8
Elipsa inercije za dati primer
Smicanje
Unutrašnje sile i naponi, deformacije, modul klizanja, dimenzionisanje
Otpornost materijala
11/9/2011
9
Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje
Savijanje
Izvijanje
Otpornost materijala
Smicanje
Otpornost materijala
- F
+ F
Ako deluju samo transverzalne (poprečne) sile, naprezanje je čisto smicanje
11/9/2011
12
Analiza naprezanja u dva pravca, ravansko naprezanje
Zatezanje u dva pravca
Pritisak u dva pravca
Zatezanje i pritisak - odakle se dobija odnos modula elastičnosti i modula klizanja
Otpornost materijala
Smicanje
Za razliku od dilatacija kod zatezanja, kod čistog smicanja nema promene zapremine već se deformacija ogleda u promeni oblika
Deformacija se naziva klizanje i registruje kroz ugao klizanja ili kraće klizanje g
Klizanje se može dovesti u vezu sa tangencijalnim naponom
Klizanje je vrlo mali ugao
Otpornost materijala
11/9/2011
13
Modul klizanja
Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu
Kao i kod aksijalnog naprezanja važi Hukov zakon
Koeficijent srazmere
naziva se modul klizanja G
g G
Otpornost materijala
Veza modula elastičnosti i modula klizanja
G – modul klizanja MPa
E – modul elastičnosti MPa
m - Poasonov koeficijent
m212
EG
MPa
Otpornost materijala
11/9/2011
14
Poasonov koeficijent i modul elastičnosti
0,3
0,34
0,33
0,37
0,25
1/6
m [-]
2.1 . 105
0.7 . 105
1.1 . 105
1.0 . 105
1.0 . 105
0.3. 105
E [ M Pa ]
Čelik
Materijal
Aluminijum
Bakar
Mesing
Sivi liv
Beton
Otpornost materijala
Moduli klizanja i elastičnosti za čelik
G=8 104 MPa– modul klizanja MPa
E=2,1 105 MPa - modul elastičnosti
m=0,3 Poasonov koeficijent
Pa
m
NEEG
2
81046,2212 m
u starim jedinicama E=2,1 106 kp/cm2 G=8 105 kp/cm2
Otpornost materijala
11/9/2011
15
Zatezna čvrstoća i smicajna čvrstoća
Kao i kod zatezanja mogu se snimiti dijagrami zavisnosti tangencijalnog napona i klizanja pri čistom smicanju
Granica razvlačenja je mnogo niža, oko 80% od granice tečenja kod zatezanja
Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti zatezne čvrstoće za odreĎeni materijal od vrednosti smicajne čvrstoće koristi se njihov odnos
Otpornost materijala
Dozvoljeni napon kod zatezanja
Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće materijala, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti
Otpornost materijala
M
ddoz
11/9/2011
16
Dozvoljeni napon kod uvijanja (torzije)
Dozvoljeni napon je količnik jačine na torziju, smicajne torzione čvrstoće materijala, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti
Otpornost materijala
M
ddoz
Dozvoljeni smičući napon
Najčešće se koristi vrednost dozvoljenog napona na zatezanje umanjena na 80%
deds 80,075,0
Otpornost materijala
11/9/2011
17
Smičući napon
Napon dela izloženog smicanju mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu
Tangencijalni napon smicanja predstavlja količnik smičuće sile i površine poprečnog preseka
Otpornost materijala
dozA
F MPa
Primeri čisto smičućeg napona
Zakivci i zakovane konstrukcije
Izrada rezervoara
Izrada ramnih i nosećih konstrukcija zakivanjem (sada sve češće ustupaju mesto varenim konstrukcijama)
doznA
F
1
Zakivak
lim
lim
A =d
41
2 p
d
FF
FF
Otpornost materijala
11/9/2011
18
Primeri čisto smičućeg napona
Proračun tačkasto zavarenog spoja (jezgro zavarenog spoja čini sočivo stopljenog materijala izloženo čistom smicanju)
lim
lim
lim
lim
z ivoavareno soč
z ivoavareno soč
d
F
F
F
F
A =d
41
2p
doznA
F
1
Otpornost materijala
Primeri čisto smičućeg napona
Primena zavrtnjeva za osiguranje od preopterećenja neke konstrukcije
Za prekid pri montaži da bi se sprečila demontaža (montaža brave pod volanom)
MA
F
Otpornost materijala
11/9/2011
19
Kod smičućeg naprezanja postoje tri osnovna zadatka
1. Poznato je opterećenje i poprečni presek smičuće površine i treba odrediti veličinu napona
2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka (broj elemenata)
3. Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalne sile smicanja
Otpornost materijala
Definisanje veličine napona dela izloženog čistom smicanju
Odrediti vrednosti opterećenja odnosno smičuću silu koja deluje na deo
Izračunati površinu poprečnog preseka dela
Sračunati napon koji nastaje delovanjem poprečne sile
Uporediti vrednost sa odreĎenim dozvoljenim naponom
Otpornost materijala
dozA
F MPa
11/9/2011
20
Dimenzionisanje dela napregnutog na smicanje
Odrediti vrednost poprečne - smičuće sile koja deluje na deo
Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal
Sračunati potrebnu površinu preseka
Otpornost materijala
doz
FA
m2
Odrediti smičuću silu koju može da prenese deo
Odrediti površinu preseka
Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal i definisani stepen sigurnosti
Sračunati maksimalnu smičuću (poprečnu) silu
Otpornost materijala
AF doz N
11/9/2011
21
Preporuke pri dimenzionisanju
1. Veličina smičućeg opterećenja - statika
2. Površina poprečnog preseka
3. Tangencijalni napon za poprečni presek
4. Stepen sigurnosti
5. Za odabrani materijal dozvoljeni tangencijalni napon
6. Veličina poprečnog preseka
7. Veličina opterećenja za poznatu površinu i materijal
Otpornost materijala
Rezime
Spoljašnjoj smičućoj sili suprostavlja se unutrašnja sila - proizvod napona i površine
Smičući napon max ravnomerno je rasporeĎen po
površini
G – modul klizanja
Hukov zakon: Napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla klizanja
Maksimalni smičući napon je količnik sile smicanja F i površine poprečnog preseka
Otpornost materijala
11/22/2009
1
Uvijanje - torzija
Obrtni moment i moment uvijanja
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
Odnos modula elastičnosti i modula klizanja
Dimenzionisanje delova izloženih čistom uvijanju
Uvijanje - torzija
Otpornost materijala
Ako u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje -torzija
- F
+ F
m t
m A
A
B
11/22/2009
2
Definicija uvijanja
Uvijanje je naprezanje pri kome se u svakom poprečnom preseku štapa javlja samo moment koji obrće oko ose štapa – moment uvijanja ili moment torzije Mt
Otpornost materijala
Obrtni moment i moment uvijanja
Kod štapa koji je izložen uvijanju ili torziji deluje samo moment uvijanja dok ostale unutrašnje sile - aksijalna sila, transverzalna i moment savijanja ne postoje.
Uzročnici naprezanja su spoljašnji obrtni momenti koji deluju na štap u ravnima upravnim na njegovu osu
Otpornost materijala
11/22/2009
3
Obrtni moment i moment uvijanja
Štap izložen dejstvu dva sprega
Da bi štap bio u ravnoteži momenti ovih spregova treba da budu međusobno jednaki po intenzitetu, a suprotnih smerova
F1
F1
F2
F2
d 1
d 2F d = F d = 1 1 2 2 M
Otpornost materijala
Obrtni moment i moment uvijanja
Da bi se odredio unutrašnji moment uvijanja iskorišćena je metoda preseka
Štap se preseca zamišljenom ravni R
R
M
M z
Otpornost materijala
11/22/2009
4
Obrtni moment i moment uvijanja
Svaki od delova treba da bude u ravnoteži
To je moguće ako je unutrašnji moment u uočenom preseku jednak obrtnom momentu suprotnog smera
Momenti se razlikuju samo po smeru saglasno zakonu akcije i reakcije
M
M
Mt
Mt
Mt
Mt
= M
= M
Otpornost materijala
Obrtni moment i moment uvijanja
Moment uvijanja Mt, unutrašnji moment, smatra se pozitivnim ako obrće u smeru kazaljke na časovniku posmatran iz vrha normale na ravan momenta
Dijagram momenta uvijanja analiziranog štapa
M
M
M
M
Mt
+
z
Otpornost materijala
11/22/2009
5
Obrtni moment i moment uvijanja
Primer transmisije gde se pogoni vratilo sa 5 kNm, a na dva izlaza prosleđuje 3 odnosno 2 kNm
Raspodela torzionog momenta merodavna za određivanje dimenzija vratila i napona u presecima ima izgled kao na slici
A B
izlaz izlazulaz
M =2kNm2 M =5kNm1 M =3kNm3
3 kNm3 kNm
-2kNm -2kNm
+
Mt
MtI
MtIIM 2 M 1
M 3
polje I polje II
Otpornost materijala
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
Moment uvijanja Mt=MA
deluje u ravni B
Nastaje deformacija – pa vlakno se ab na spoljašnjem omotaču UVIJA na ab’, a vlakno
cd na cd’ za ugao g
Istovremeno se u ravni B zakrene Cd na Cb’ za
ugao q
a
b'd'
c
b
d
C
g1
q
F
-F
Mt
M Al
AB
Otpornost materijala
11/22/2009
6
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
a
b'd'
c
b
d
C
g1
q
F
-F
Mt
M Al
AB
Iz trouglova Dabb’ i DCbb’ jednaki lukovi bb’
Lg1=Rq odnosno na nekom prečniku Lg=rq
Ugao naginjanja srazmeran je udaljenju od ose
001 ggg rzaR
r
Otpornost materijala
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
R
r
1g
g
Tangencijalni, smicajni napon po poprečnom preseku se menja po zakonu prave linije
Za vlakno koje se poklapa sa geometrijskom osom tangencijalni napon je jednak nuli
Najveći je za r=R, max=1
C
= 1
rR
1
1
Otpornost materijala
11/22/2009
7
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
12
EG
Između tangencijalnog napona i deformacije –klizanja postoji odnos
=Gg - Hukov zakon
Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu
G - modul klizanja
E – modul elastičnosti
Hukov zakon s=Ee
Modul klizanja
b'd'
b
d C
q
R
r
bb' = R = lq g1
dd' = r = lq g
g g= 1
rR
Otpornost materijala
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
o
AA
t IR
dArR
rdAM 121
Tangencijalni napon deluje na dA, elementarnu površinu na nekom prečniku r
Ovo se svodi na
elementarnu silu dA
Zbir momenata elementarnih sila za tačku O daje moment torzije Mt
Io – polarni moment inercije
C
= 1
rR
1
1r
dA
Otpornost materijala
11/22/2009
8
Najveći tangencijalni smicajni napon
1= max maksimalni tangencijalni
napon, MPa
I0 – polarni moment inercije, m4
W0 – polarni otporni moment
00
1maxW
M
I
RM tt
R
IW 0
0
MPa
m3
Otpornost materijala
Ugao uvijanja u rad
1= max maksimalni tangencijalni napon,
MPa
I0 – polarni moment inercije, m4
G – modul klizanja, MPa
L - dužina, m
GR
l
GI
lM t max
0
q rad
Otpornost materijala
11/22/2009
9
Ugao uvijanja u stepenima
1= max maksimalni tangencijalni napon,
MPa
I0 – polarni moment inercije, m4
G – modul klizanja, MPa
L - dužina, m
GR
l
GI
lM t max
0
180180
q
o
Otpornost materijala
Poasonov koeficijent
e – uzdužna dilatacija
eP – poprečna dilatacija
koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne
Poasonov koeficijent je neimenovan broj
l
l1
b
h
epb
eph
ee -p
Otpornost materijala
11/22/2009
10
Poasonov koeficijent i modul elastičnosti
0,3
0,34
0,33
0,37
0,25
1/6
[-]
2.1 . 105
0.7 . 105
1.1 . 105
1.0 . 105
1.0 . 105
0.3. 105
E [ M Pa ]
Čelik
Materijal
Aluminijum
Bakar
Mesing
Sivi liv
Beton
Otpornost materijala
Veza modula elastičnosti i modula klizanja
G – modul klizanja, MPa
E – modul elastičnosti, MPa
- Poasonov koeficijent
212
EG MPa
Otpornost materijala
11/22/2009
11
Moduli klizanja i elastičnosti za čelik
G=8 104 MPa– modul klizanja
E=2,1 105 MPa - modul elastičnosti
=0,3 Poasonov koeficijent
Pa
m
NEEG
2
81046,2212
u starim jedinicama E=2,1 106 kp/cm2 G=8 105 kp/cm2
Otpornost materijala
Zatezna čvrstoća i uvojna (torziona) čvrstoća
Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti zatezne čvrstoće za određeni materijal od vrednosti uvojne čvrstoće koristi se njihov odnos
MM s 6,05,0 -
Otpornost materijala
11/22/2009
12
Dozvoljeni napon kod zatezanja
Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti
Otpornost materijala
sss M
ddoz
Dozvoljeni napon kod uvijanja (torzije)
Dozvoljeni napon je količnik jačine na torziju, smicajne (torzione) čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti
Otpornost materijala
M
ddoz
11/22/2009
13
Dozvoljeni torzioni (smicajni) napon
Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti dozvoljenog napona na zatezanje koristi se odnos
dd s 6,05,0 -
Otpornost materijala
Dimenzionisanje vratila i štapova pri uvijanju
Dimenzionisanje dela prema maksimalnom torzionom naponu - uslov čvrstoće
Dimenzionisanje prema dozvoljenom uglu uvijanja po jedinici dužine - uslov deformabilnosti
ODABRATI NEPOVOLJNIJI KRITERIJUM– ODNOSNO VEĆE DIMENZIJE
Otpornost materijala
11/22/2009
14
Dimenzionisanje prema najvećem torzionom naponu
Najveći napon pri uvijanju
Dobija se poprečni presek
Za kružni poprečni presek
dozt
W
M
0
1max
doz
tO
MW
316
doz
tMD
Otpornost materijala
Dimenzionisanje prema dozvoljenoj deformabilnosti – dozvoljeni ugao uvijanja
Najveći ugao pri uvijanju
Dobija se poprečni presek
Za kružni poprečni presek
dozt
GI
Mqq
0
'
doz
tO
G
MI
q
332
doz
t
G
MD
q
m
raddozq
Otpornost materijala
11/22/2009
15
Dimenzionisanje
Nakon određivanja prethodne dve vrednosti dimenzija poprečnog preseka iz:
Uslova čvrstoće
Uslova deformabilnosti
bira se računom dobijena veća vrednost
Otpornost materijala
Kod torzionog naprezanja postoje tri osnovna zadatka
1. Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije
2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka
3. Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta
Otpornost materijala
11/22/2009
16
1. Određivanje veličine napona i ugla deformacije
MPaW
M t
0
Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije
radGI
M t
0
q
Otpornost materijala
2. Određivanje veličine poprečnog preseka
4
'm
G
MI
doz
tO
q
m
raddozq
Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka
3mM
Wdoz
tO
Otpornost materijala
11/22/2009
17
3. Određivanje veličine torzionog momenta koji deo sme da prenese
'
'
doz
tdozOt
G
MGIM
m
raddozq
Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta
NmWM dozt 0
Kao merodavna uzima se manja vrednost
Otpornost materijala
Veza između obrtnog momenta i snage
Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment
WMP
s
1
JodnosnoNmP
M
Otpornost materijala
11/22/2009
18
Veza između obrtnog momenta i snage
Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment
Wn
MP30
min
on
Nmn
PM
30
1min -n
Otpornost materijala
Rezime
Moment uvijanja jednak je spoljašnjem obrtnom momentu suprotnog smera Mt=M
Kod uvijanja najviše se deformišu (uvijaju) spoljašnja vlakna, vlakna u osi se ne deformišu
Smicajni napon max najveći je na spoljašnjim vlaknima
G – modul klizanja
Hukov zakon: napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla uvijanja
Maksimalni smičući napon je količnik momenta Mt torzije i W0 polarnog otpornog momenta
Maksimalni ugao uvijanja je količnik momenta torzije Mt i proizvoda modula klizanja i polarnog momenta inercije GI0
Otpornost materijala
11/29/2009
1
Ravni nosači
Klasifikacija nosača
Klasifikacija opterećenja
Sile i momenti u poprečnom preseku
Pojam statičkog nosača
Nosači su tela, u okviru konstrukcije ili
mašine koja primaju opterećenja i prenose ih
na oslonce
Svako kruto telo vezano za nepokretnu ravan
i opterećeno silama, zove se nosač
11/29/2009
2
Noseće konstrukcije
Kućišta mašina
Karoserije automobila
Noseće konstrukcije
graĎevinskih mašina
Vagoni i cisterne
Dizalična postrojenja
Pretovarni mostovi
Mostovi
Nadvožnjaci i
podvožnjaci
Krovne konstrukcije
Dalekovodi
Nosači nadzemnih
toplovoda
Karoserija automobila - nosači složenog oblika kod automobia
11/29/2009
3
Karoserija automobila - nosači složenog oblika kod automobia
Sistem zadnjeg oslanjanja - nosači složenog oblika kod automobila
11/29/2009
4
Karoserija automobila - nosači složenog oblika kod automobia
Podela nosača
Prema položaju opterećenja
Prema obliku
Prema obliku poprečnog preseka
11/29/2009
5
Podela nosača prema položaju
opterećenja
Ravanske - imaju ravan simetrije i napadne
linije svih sila nalaze se u toj ravni
Prostorne – napadne linije sila koje deluju na
nosač ne nalaze se u istoj ravni
Podela nosača prema obliku
Pune – imaju “pun” poprečni presek. Puni nosači su najčešće prizmatičnog ili cilindričnog oblika
Rešetkaste – sastavljene od lakih nosača –štapova meĎusobno zglobno povezanih tako da čine jednu krutu konstrukciju
11/29/2009
6
Podela nosača prema obliku nosača
Prosti
Složeni
Pojam linijskog nosača
Ukoliko je dimenzija poprečnog preseka nosača daleko
manja od njegove treće dimenzije, onda je takav nosač
linijski nosač. Najčešći primeri u mašinstvu su vratila,
poluge, osovine
Prosti nosači
Prosta greda
Greda sa prepustima
Konzola
Okvirni nosač – ram
Rešetkasti nosač
11/29/2009
7
Primer okvirnog nosača - rama
Primer rešetkastog nosača
11/29/2009
8
Prosta greda
To je nosač koji je na svojim krajevima vezan
nepokretnim i pokretnim osloncem
Rastojanje izmeĎu oslonaca zove se raspon grede
B
y
A z
F
a
L
a
Prosta greda sa prepustima
To je nosač koji je na svojim krajevima vezan
nepokretnim i pokretnim osloncem
Rastojanje izmeĎu oslonaca zove se raspon grede,
a van oslonca prepust, sa jedne ili sa dve strane
B
y
A z
F2F1
ae1 e2
L
a
M
11/29/2009
9
Konzola
To je nosač koji je na svom kraju uklješten
y
Az
F1
a
L
a
M
Složeni nosači – dva ili više prostih
nosača povezanih zglobovima
Gerberova greda
Gerberova greda sa
prepustima
Konzola sa Gerberovim
zglobom
Okvirni nosač sa
Gerberovim zglobovima
– ram sa Gerberovim
zglobovima
B
B
B
B
A
A
F2
F2
F3
F3
F1
F1
a
a
M
M
G
G
B
F2 F3F1 aM
GA
z
11/29/2009
10
Vrste opterećenja
Koncentrisano opterećenje – dejstvo sile se
prenosi na veoma mali deo dužine nosača,
kaže se da opterećenje deluje u jednoj tački
Kontinualno - teret je rasporeĎen po izvesnoj
dužini nosača
Koncentrisano opterećenje
Koncentrisana sila
Moment
Spreg sila
B
y
A x
F F
-F1
L
a
M 1
11/29/2009
11
Kontinualno opterećenje
Ravnomerno rasporeĎeno na odreĎenoj dužini
Promenljivo opterećenje na odreĎenoj dužini
B
B
y
y
A
A
z
z
Kontinualno opterećenje
Specifično opterećenje
q kN/m
Ravnomerno rasporeĎeno na
odreĎenoj dužini q=const.
Promenljivo opterećenje na
odreĎenoj dužini q=q(z)
B
B
B
y
y
y
A
A
A
z
z
x
z
z
z
q
q=q(z)
q=q(z)
11/29/2009
12
Vrste delovanja opterećenja
Direktno – neposredno
Indirektno - posredno
B
B
A
A
F2
F2
F3
F3
F1
F1
Jednačine ravnoteže za proste
nosačeB
B
A
A
-F1L
L
y
y
z
z
F
F
F
a
a
M
M
1
Ax
a
L
F M
a
0
0
0
i
i
i
M
Y
Z
11/29/2009
13
Veze i reakcije veza
Cilindrični zglob u ravni
Cilindrični zglob je veza dva tela sa
osovinom u ravni
Reakcija veze je ravanska sila
kFjFF zy
Veze i reakcije veza
Pokretni cilindrični zglob u ravni
Pokretni cilindrični zglob je veza dva tela sa osovinom u ravni i mogućnošću kretanja po ležištu
Reakcija veze je normalna sila kFF z
11/29/2009
14
Veze i reakcije veza
Uklještenje u ravni
Veza uklještenja je kada
se zavari profil za
noseću konstrukciju ili
uzida greda u zid
Reakcije veze su
1. Sila u ravni
2. Moment u ravni
kFjFiF zy
0iMM x
Osnovne statičke veličine u
poprečnom preseku
Transverzalna (poprečna) sila
Aksijalna (uzdužna) sila
Napadni moment
Promene osnovnih statičkih veličina duž nosača prikazuju se
odgovarajućim dijagramima
11/29/2009
15
Konvencija o znacima za opterećenja grede
Levo od preseka Desno od preseka
Konvencija o znacima opterećenja grede
Transverzalna sila se
definiše kao algebarski
zbir svih spoljašnjih sila
upravnih na osu grede
koje deluju sa leve
strane od preseka p-p
FAFB
F1 F2F4
F3
FAK
FT
Mf
+FAK
FT
Mf
+
p
p
L
i
L
T YF
Transverzalna sila se
definiše kao algebarski
zbir svih spoljašnjih sila
upravnih na osu grede
koje deluju sa desne
strane od preseka p-p
D
i
D
T YF
11/29/2009
16
Konvencija o znacima opterećenja grede
Aksijalna sila se
definiše kao algebarski
zbir svih spoljašnjih sila
koje deluju u pravcu
ose grede sa leve
strane od preseka p-p
FAFB
F1 F2F4
F3
FAK
FT
Mf
+FAK
FT
Mf
+
p
p
L
i
L
AK ZF
Aksijalna sila se
definiše kao algebarski
zbir svih spoljašnjih sila
koje deluju u pravcu
ose grede sa desne
strane od preseka p-p
D
i
D
AK ZF
Konvencija o znacima opterećenja grede
Moment savijanja sa
leve strane se definiše
kao algebarski zbir svih
momenata spoljašnjih sila
i momenata koji deluju na
gredu sa leve strane od
preseka p-p
FAFB
F1 F2F4
F3
FAK
FT
Mf
+FAK
FT
Mf
+
p
p
L
i
L
f MM D
i
D
f MM
Moment savijanja sa
desne strane se definiše
kao algebarski zbir svih
momenata spoljašnjih sila
i momenata koji deluju na
gredu sa desne strane od
preseka p-p
11/29/2009
17
Savijanje
Čisto savijanje (spregovima)
Osnovne jednačine savijanja
Savijanje silama
Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju
Savijanje
Savijanje se najčešće analizira kod nosača
već izučavanih u okviru mehanike I ili statike
Noseće konstrukcije mašina i postrojenja se
se po principima statike prevode u prostorne i
ravanske proste nosače
Opterećenja se prevode u odgovarajuće:
koncentrisane sile, kontinualna opterećenja,
momente i spregove
11/29/2009
18
Čisto savijanje
Ravan savijanja
Neutralna ravan
Neutralna osa
Neutralna (elastična) linija
Čisto savijanje
mBABmA
z
Ako deluje samo moment savijanja, naprezanje je
čisto savijanje
Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta a
suprotnih smerova u vertikalnoj ravni
11/29/2009
19
Čisto savijanje proste grede spregovima
Spregovi istog intenziteta, a suprotnih
smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi
kroz uzdužnu osu nosača Az
Ova vertikalna ravan je RAVAN SAVIJANJA
Horizontalna osa u ravni koja sadrži uzdužnu
osu, a upravna je na nju (obeležena sa x)
naziva se NEUTRALNA OSA
Čisto savijanje proste grede spregovima
11/29/2009
20
Čisto savijanje proste grede spregovima
l
AB
- M + M
z
z
-M -M
-M
FTR
BABAi FYFYY 0
00 AAi ZZZ
0 BA FlMMM
00 AB YF
MM f
0TRF
Čisto savijanje
Ovakvo opterećenje grede moguće je ostvariti
kod grede sa dva jednaka prepusta na čijim
krajevima deluju jednake sile F
l cc
A
B
F F
11/29/2009
21
Čisto savijanje grede
BABAi FYFFYFY 0
00 AAi ZZZ
0 BA FllcFcFM
FYFF AB
l cc
A
B
F F
YA
FB
Čisto savijanje
Statički dijagrami za ovu gredu sa prepustima
l cc
A
B
F F
z
z
-M -M
-M
FTR
YA
FB
-F
-F
cFzFzcFM f
0 FFFTR
I polje II polje III polje Za II polje
11/29/2009
22
Čisto savijanje
Deformacija usled savijanja momentima
Pod dejstvom prikazanih spregova greda se
deformiše tako što vlakna menjaju svoju dužinu
Dužina jednih vlakana se povećava, a dužina
drugih se smanjuje
Vlakna koja se niti izdužuju niti skraćuju zovu se
neutralna vlakna
11/29/2009
23
Deformacija usled savijanja momentima u ravni
savijanja
Uočava se i utoliko veće izduženje vlakana ukoliko
je vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljašnje
strane (a-a veće od b-b)
Sa druge strane, sa unutrašnje strane skraćenje
vlakana je veće što su vlakna udaljenija od
neutralne linije (c-c veće od d-d)
Najviše se izdužuju spoljašnja vlakna
Deformacija usled savijanja momentima
Uočena vlakna čija je dilatacija jednaka nuli (niti se
izdužuju niti skraćuju)
Neutralna vlakna se pojavljuju po čitavom
poprečnom preseku
Obrazuju neutralnu površinu
Presečna linija ravni savijanja i neutralnih linija
savijanja naziva se neutralnom linijom ili
ELASTIČNOM LINIJOM
11/29/2009
24
Čisto savijanje nastaje
Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja)
istovremeno i ravan simetrije grede
Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu
Az grede
Osnovne jednačine savijanja
Veza izmeĎu aksijalne deformacije i napona
I jednačina savijanja - promena normalnog
napona
II jednačina savijanja – krivina elastične
linije
11/29/2009
25
Prizmatična greda opterećena na čisto
savijanje
Nastaju deformacije izduženja ili skraćenja
vlakana
Poprečni preseci unutar grede su zaokrenuti
jedan u odnosu na drugi
Dilatacija posmatranih vlakna na nekom
udaljenju y od neutralne linije može se
dovesti u vezu sa modulom elastičnosti
(Hukov zakon) i poluprečnikom krivine
elastične linije
Prva jednačina savijanja
Normalni napon u nekoj tački poprečnog
preseka s M – moment sprega
Ix – aksijalni moment inercije površine za tu
osu
y – udaljenost posmatranog vlakna od ose
yI
M
x
s
11/29/2009
26
Druga jednačina savijanja
K- krivina elastične linije
M – moment sprega
Ix – aksijalni moment inercije površine za tu
osu
E – modul elastičnosti
B=E.Ix – krutost savijanja grede
Rk – poluprečnik krivine
B
Μ
IE
Μ
RK
xk
1
12/6/2009
1
Konvencija o znacima za opterećenja grede
Levo od preseka Desno od preseka
Savijanje
Čisto savijanje (spregovima)
Osnovne jednačine savijanja
Savijanje silama
Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju
12/6/2009
2
Savijanje
Savijanje se najčešće analizira kod nosača
već izučavanih u okviru mehanike I ili statike
Noseće konstrukcije mašina i postrojenja se
se po principima statike prevode u prostorne i
ravanske proste nosače
Opterećenja se prevode u odgovarajuće:
koncentrisane sile, kontinualna opterećenja,
momente i spregove
Čisto savijanje
Ravan savijanja
Neutralna ravan
Neutralna osa
Neutralna (elastična) linija
12/6/2009
3
Čisto savijanje
mBABmA
z
Ako deluje samo moment savijanja, naprezanje je
čisto savijanje
Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta, a
suprotnih smerova u vertikalnoj ravni
Čisto savijanje proste grede spregovima
Spregovi istog intenziteta, a suprotnih
smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi
kroz uzdužnu osu nosača Az
Ova vertikalna ravan je RAVAN SAVIJANJA
Horizontalna osa u ravni koja sadrži uzdužnu
osu, a upravna je na nju (obeležena sa x)
naziva se NEUTRALNA OSA
12/6/2009
4
Čisto savijanje proste grede spregovima
Čisto savijanje proste grede spregovima
l
AB
- M + M
z
z
-M -M
-M
FTR
BABAi FYFYY 0
00 AAi ZZZ
0 BA FlMMM
00 AB YF
MM f
0TRF
12/6/2009
5
Čisto savijanje
Ovakvo opterećenje grede moguće je ostvariti
kod grede sa dva jednaka prepusta na čijim
krajevima deluju jednake sile F
l cc
A
B
F F
Čisto savijanje grede
BABAi FYFFYFY 0
00 AAi ZZZ
0 BA FllcFcFM
FYFF AB
l cc
A
B
F F
YA
FB
12/6/2009
6
Čisto savijanje
Statički dijagrami za ovu gredu sa prepustima
l cc
A
B
F F
z
z
-M -M
-M
FTR
YA
FB
-F
-F
cFzFzcFM f
0 FFFTR
I polje II polje III polje Za II polje
Čisto savijanje
12/6/2009
7
Deformacija usled savijanja momentima
Pod dejstvom prikazanih spregova greda se
deformiše tako što vlakna menjaju svoju dužinu
Dužina jednih vlakana se povećava, a dužina
drugih se smanjuje
Vlakna koja se niti izdužuju niti skraćuju zovu se
neutralna vlakna
Deformacija usled savijanja momentima u ravni
savijanja
Uočava se utoliko veće izduženje vlakana ukoliko
je vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljašnje
strane (a-a veće od b-b)
Sa druge strane, sa unutrašnje strane skraćenje
vlakana je veće što su vlakna udaljenija od
neutralne linije (c-c veće od d-d)
Najviše se izdužuju spoljašnja vlakna
12/6/2009
8
Deformacija usled savijanja momentima
Uočena vlakna čija je dilatacija jednaka nuli (niti se
izdužuju niti skraćuju)
Neutralna vlakna se pojavljuju po čitavom
poprečnom preseku
Obrazuju neutralnu površinu
Presečna linija ravni savijanja i neutralnih linija
savijanja naziva se neutralnom linijom ili
ELASTIČNOM LINIJOM
Čisto savijanje nastaje
Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja)
istovremeno i ravan simetrije grede
Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu
Az grede
12/6/2009
9
Osnovne jednačine savijanja
Veza izmeĎu aksijalne deformacije i napona
I jednačina savijanja - promena normalnog
napona
II jednačina savijanja – krivina elastične
linije
Prizmatična greda opterećena na čisto
savijanje
Nastaju deformacije - izduženja ili skraćenja
vlakana
Poprečni preseci unutar grede su zaokrenuti
jedan u odnosu na drugi
Dilatacija posmatranih vlakana na nekom
udaljenju y od neutralne linije može se
dovesti u vezu sa modulom elastičnosti
(Hukov zakon) i poluprečnikom krivine
elastične linije
12/6/2009
10
Prva jednačina savijanja
Normalni napon u nekoj tački poprečnog
preseka s M – moment sprega
Ix – aksijalni moment inercije površine za tu
osu
y – udaljenost posmatranog vlakna od ose
yI
M
x
z s
Druga jednačina savijanja
K- krivina elastične linije
M – moment sprega
Ix – aksijalni moment inercije površine za tu
osu
E – modul elastičnosti
B=E.Ix – krutost savijanja grede
Rk – poluprečnik krivine
B
Μ
IE
Μ
RK
xk
1
12/6/2009
11
Prva jednačina savijanja
pokazuje da:
Normalni napon u nekoj tački poprečnog
preseka proporcionalan je napadnom
momentu M savijanja i udaljenju y od
neutralne ose
Normalni napon je obrnuto proporcionalan
momentu inercije poprečnog preseka za
neutralnu osu Ix koja se poklapa sa
težišnom osom
yI
M
x
z s
Prva jednačina savijanja
pokazuje da:
Kod čistog savijanja napadni moment je u
svakom preseku isti, pa normalan napon ne
zavisi od koordinate z
To znači da ne zavisi i od udaljenosti poprečnog
preseka od oslonca
Normalni napon ne zavisi od koordinate x, što
znači da je isti u svim tačkama ravni paralelnoj
koordinatnoj ravni Axz kroz osu grede Az
yI
M
x
z s
12/6/2009
12
Prva jednačina savijanja
pokazuje da:
Normalni napon zavisi samo od udaljenosti
vlakana od neutralne ose Cx
U tačkama neutralne ose Cx, on je jednak 0
Zbog toga se ti naponi nazivaju i ivični naponi
yI
M
x
z s
Druga glavna jednačina savijanja pokazuje
da:
Usled savijanja osa Az se krivi i postaje
elastična linija grede
Druga glavna jednačina služi za odreĎivanje
krivine te elastične linije
Za gredu konstantnog poprečnog preseka i
konstantan napadni moment:
K =const.
B
Μ
IE
Μ
RK
xk
1
12/6/2009
13
Druga glavna jednačina savijanja
pokazuje da:
Krivina elastične linije je konstantna
Ovu osobinu ima samo kružni luk koji prolazi
kroz oslonce A i B.
Kod čistog savijanja elastična linija je kružni
luk koji prolazi kroz oslonce A i B.
B
Μ
IE
Μ
RK
xk
1
Savijanje vertikalnim teretima
koncentrisanim silama;
kontinualnim opterećenjima
u vertikalnoj ravni
12/6/2009
14
Primer grede sa dve koncentrisane sile
021 FFFFY BAi
0642 21 BA FaaFaFM
kNFkNF BA 4030
Primer grede sa dve koncentrisane sile
Maksimalni moment
savijanja
Maksimalna
transverzalna sila
Mfmax = 80 kNm
Ftmax = 40 kN
12/6/2009
15
Promena transverzalne sile i momenta
savijanja duž podužne ose nosača:
U svakom poprečnom preseku imamo
odgovarajuću transverzalnu silu
U svakom poprečnom preseku imamo
odgovarajući moment savijanja.
Transverzalna sila izaziva smicanje
Moment savijanja izaziva savijanjenosača oko poprečne težišne ose
Jednačine savijanja važe i kod savijanja
silama i moraju biti ispunjeni uslovi:
Da neutralna linija prolazi kroz težište svih
poprečnih preseka
Da je neutralna osa težišna osa poprečnog
preseka
Da je neutralna osa, osa simetrije poprečnog
preseka tj. glavna centralna ose inercije
preseka.
12/6/2009
16
Glavne jednačine savijanja
yI
M
x
z s
x
f
k IE
Μ
RK
1
Treća glavna jednačina
bI
SF
x
xT
xS - Moment inercije površine A’ za neutralnu osu Cx
- Tangencijalni napon grede opterećene na savijanje
b - širina poprečnog preseka za neutralnu osu
12/6/2009
17
Raspored normalnog napona po
poprečnom presekuy
I
M
x
z s
Raspored normalnog napona po
poprečnom preseku
Odnos Ix/ymax zavisi od oblika poprečnog preseka
i naziva se
OTPORNI MOMENT POPREČNOG PRESEKA
maxy
IW x
x L3
12/6/2009
18
Otporni moment različitih ravnih preseka
pravougaonik
Otporni moment različitih ravnih preseka
kvadrat
12/6/2009
19
Otporni moment različitih ravnih preseka
Krug i kružni prsten
Raspodela tangencijalnog napona po
poprečnom preseku
x
xT
I
SF
xS - Moment inercije površine A’ za neutralnu osu Cx
- Tangencijalni napon grede opterećene na savijanje
- promenljiva širina poprečnog preseka za
neutralnu osu
FT – Transverzalna sila
12/6/2009
20
Maksimalni normalni napon nosača
izloženog opterećenju na savijanje
Maksimalni normalni napon
Maksimalni moment savijanja
Otporni moment poprečnog preseka
xW
Mmaxmax s
Raspodela tangencijalnog napona po
poprečnom preseku pravougaonika
A
FT maxmax
3
2
2
max 41h
y
12/6/2009
21
Raspodela tangencijalnog napona po
poprečnom preseku kruga
A
FT maxmax
3
4
2
max 1R
y
Raspodela tangencijalnog napona po
poprečnom preseku limenog nosača
0
maxmax
A
FT
12/6/2009
22
Dimenzionisanje nosača opterećenih
na savijanje
Postoje dva različita zadatka:
1. Poznato je opterećenje koje deluje na
nosač, a treba odrediti vrednosti najvećeg
normalnog i tangencijalnog napona koji se
javljaju
2. Poznato je opterećenje, raspon, način
oslanjanja i oblik nosača koji se mora
upotrebiti, a traže se dimenzije poprečnog
preseka
OdreĎivanje veličina normalnog i
tangencijalnog napona ako je poznato
opterećenje
Najveći normalni napon javlja se u opasnom
preseku, u najudaljenijem vlaknu
Najveći tangencijalni napon javlja se u
preseku u kome je najveća tangencijalna sila
Opasni presek – najveći moment savijanja i
najveća transverzalna sila definišu se iz
statičkih dijagrama nosača
x
xT
I
SF
xW
Mmaxmax s
12/6/2009
23
OdreĎivanje dimenzija poprečnog
preseka nosača
Prema definisanom opterećenju izračunati
otporni moment preseka
Po odreĎivanju dimenzija proveriti da li je
tangencijalni napon manji od dozvoljenog
fdoz
xW
Mss max
max
fdoz
x
MW
smax
Maksimalni napon manji od dozvoljenog
fdozss max
fdoz max
Provera tangencijalnih napona
Kod čeličnih konstrukcija tangencijalni naponi
su vrlo mali pa se ova provera često i ne vrši
Proveru obavezno vršiti kod drvenih
konstrukcija
12/6/2009
24
Rezime: Dimenzionisanje nosača
Odrediti otpore oslonaca
Nacrtati statičke dijagrame i iz njih odrediti
najveći napadni moment i najveću
transverzalnu silu
Prema izabranom materijalu definisati
dozvoljene napone na savijanje
Odrediti otporni moment poprečnog preseka
Proveriti da li su najveći normalni i
tangencijalni napon manji od dozvoljenih
12/11/2010
1
Savijanje – elastične linije
Analitička metoda odreĎivanja elastične linije
Izračunavanje ugiba i nagiba uz pomoć tablica
Prva jednačina savijanja
Normalni napon u nekoj tački poprečnog
preseka s M – moment sprega
Ix – aksijalni moment inercije površine za tu
osu
y – udaljenost posmatranog vlakna od ose
yI
M
x
z s
12/11/2010
2
Druga jednačina savijanja
K- krivina elastične linije
M – moment sprega
Ix – aksijalni moment inercije površine za tu
osu
E – modul elastičnosti
B=E.Ix – krutost savijanja grede
Rk – poluprečnik krivine
B
Μ
IE
Μ
RK
xk
1
Diferencijalna jednačina elastične linije
Pomoću druge glavne jednačine definisana je krivina
elastične linije savijenog nosača
Iz matematike je poznato da se pod krivinom
podrazumeva odnos
Gde je:
R poluprečnik krivine
ds elementarni luk
da elementarna promena ugla
B
Μ
IE
Μ
Rd
sdK
x
1
a
12/11/2010
3
Nagib tangente krive prema Ox osi iz
matematike
Nagib tangente krive f(x) je prvi izvod funkcije koja
predstavlja krivu
Kako je element luka krive
Odatle je krivina
ydx
dytg
a
aa
2cos
1,
222 1 ydxdydxds
2
2
1
cos1
y
y
ds
dxy
ds
d
RK
aa
Diferencijalna jednačina elastične linije
Usled savijanja težište nekog preseka se spušta (u
peavcu y ose) za dužinu koju nazivamo
ugib elastične linije (strela) tangenta sa osom Az gradi ugao koji se naziva
nagib grede
12/11/2010
4
Diferencijalna jednačina elastične linije
proste grede
Gde su:
Mf moment savijanja u preseku z
B = E.Ix savojna krutost grede
B
M
IE
My
L
f
x
L
f
L
fMyB
Analitičko odreĎivanje elastične linije
Odrediti otpore oslonaca za rešavani nosač
Napisati izraze za promenu momenta
savijanja u funkciji od podužne koordinate z
Proizvod savojne krutosti i drugog izvoda
jednak je negativnom momentu savijanja i to
predstavlja diferencijalnu jednačinu elastične
linije L
fMyB
12/11/2010
5
Analitičko odreĎivanje elastične linije
Integraljenjem dobija se jednačina promene
nagiba u zavisnosti od koordinate z
Ponovnim integraljenjem dobija se jednačina
promene ugiba u zavisnosti od koordinate z
Integracione konstante odreĎuju se iz uslova
da su ugibi oslonaca jednaki nuli i kod
nosača u nekom preseku na kraju polja
promene opterećenja oba kraja moraju imati
isti ugib i nagib
Primer jednačine elastične linije proste
grede
L
bFFA
Otpori oslonaca
L
aFFB
zL
bFzFM A 1
azFzL
bFazFzFM A 2
az 0
Lza
I polje
II polje
12/11/2010
6
Primer jednačine elastične linije proste
grede
Uvedena je Klebšova crta ili masna crta
Ona obeležava kraj prvog polja i početak
drugog polja
azFzL
aFazFzFM A
Oba izraza za moment mogu se objediniti
Primer jednačine elastične linije proste
grede:
Izvršiti integraciju
u I polju pre crte po z
u II polju posle crte po (z-a)
azFzL
aFazFzFMyB A
Diferencijalna jednačina L
fMyB
12/11/2010
7
Primer jednačine elastične linije proste
grede
Integracione konstante se uvek stavljaju
ispred crte
OdreĎuju se iz graničnih uslova
22
2
1
2 azFC
z
L
aFyB
66
3
21
3 azFCzC
z
L
aFBy
0,
0,0
yLz
yz
Primer jednačine elastične linije proste
grede
0
60
6
3
1
3
az
FLCL
L
aFByLy
Uslov za z=0 pripada prvom polju pa se primenjuje na deo
ispred crte
0006
00 221
3
CCCL
aFByy
Uslov za z=L pripada drugo polju pa se primenjuje ceo
izraz – briše se crta
066
3
1 L
bFL
bFC
12/11/2010
8
Primer jednačine elastične linije proste
grede
JEDNAČINA NAGIBA
2222
3316 L
az
L
z
L
b
L
b
B
FLy
Primer jednačine elastične linije proste
grede
Iz jednačine ugiba zamenom z=a dobije se
ugib ispod sile
223
3
L
b
L
b
B
FLy az
12/11/2010
9
Primer jednačine elastične linije proste
grede
L
b
L
b
L
a
B
FLyz 1
6
2
0a
u osloncima zamenom z = 0 dobijamo nagib u
osloncu A
L
b
L
b
L
a
B
FLy Lz 1
6
2
u osloncima zamenom z = L dobijamo nagib u
osloncu B
Elastične linije statički odreĎenih
nosača
U tablicama iz Otpornosti materijala postoje
obraĎeni karakteristični nosači i definisane
jednačine elastične linije, ugiba i nagiba.
Za odreĎivanje karakteristične vrednosti
potrebnog ugiba ili nagiba za konkretan
nosač sa definisanim opterećenjima treba
koristiti princip superpozicije (sabiranja
dejstava)
12/11/2010
10
Elastične linije statički odreĎenih
nosača
Za posmatrani nosač uočiti koja opterećenja
deluju
Uzeti kolika su udaljenja opterećenja od
oslonaca
Za svako opterećenje na nosaču povaditi
podatke iz tablica
Napraviti konačan zbir na željenoj poziciji
Primer rešavanja istog zadatka
Primenom metode direktne integracije
Korišćenjem gotovih izraza u tablicama
12/11/2010
11
Postavka zadatka
Za datu gredu sa dve
sile odrediti ugib
ispod sile 2 i ugao
nagiba ispod sile 1
Primenom direktne
integracije
Korišćenjem tablica
Za dati nosač
OdreĎivanje otpora oslonaca i osnovnih
statičkih dijagrama
Pošto nije poznat poprečni presek izvršiti
dimenzionisanje kako bi se odredila savojna
krutost B
Poznato je da je greda od čelika sdoz =120 MPa
i E=2 .105 MPa, i da je greda kružnog
poprečnog preseka
12/11/2010
12
Primer grede sa dve koncentrisane sile
Maksimalni moment
savijanja
Maksimalna
transverzalna sila
Mfmax = 80 kNm
Ftmax = 40 kN
OdreĎivanje dimenzija poprečnog
preseka
U datom slučaju
Mfmax = 80 kNm
Standardno najbliže veće je d=0.2m
3
6
3
103
2
10120
1080
doz
f
xdoz
x
f MW
W
M
sss
md 189.03
102323
3
12/11/2010
13
OdreĎivanje dimenzija poprečnog
preseka grede
Za dobijeno d=0.2m moment inercije za x osu
Savojna krutost je
24
11 1570796364
102 Nmd
IEB x
64
2.0
64
44
dI x
2963,15707 kNmB
OdreĎivanje jednačine elastične linije
Za odreĎene otpore oslonaca napisati izraz
za moment savijanja po poljima
zzFM A 301
22030212 zzazFzFM A
azFazFzFM A 42 213
12/11/2010
14
Rešavanje zadatka direktnom
integracijom
Napisati izraze za momente savijanja po
poljima
Izvršiti integraciju po promenljivim
Odrediti integracione konstante iz graničnih
uslova
Odrediti tražene vrednosti nagiba i ugiba
OdreĎivanje jednačine elastične linije
Izraz za moment predstavlja diferencijalnu
jednačinu elastične linije
Izraz za moment možemo napisati
predvajanjem momenata po poljima
Klebšovom ili masnom crtom
L
fMyB
azFazFzFM A 42 213
12/11/2010
15
OdreĎivanje jednačine elastične linije
Diferencijalna jednačina elastične linije dobija
oblik
Za konkretan slučaj zamenimo vrednosti
L
fMyB
azFazFzFyB A 42 21
45022030 zzzyB
OdreĎivanje jednačine elastične linije
Izvršiti integaljenje po promenljivoj z za prvo
polje, po (z-2) za drugo i (z-4) za treće polje
45022030 zzzyB
2
450
2
220
230
22
1
2
zzC
zyB
6
450
6
220
630
33
21
3
zzCzC
zBy
12/11/2010
16
OdreĎivanje jednačine elastične linije
Integracione konstante odreĎuju se iz
graničnih uslova
Pošto je to u prvom polju, uzima se izraz do
prve Klebšove crte
00 yz
0006
0300 221
3
CCCzBy
OdreĎivanje jednačine elastične linije
Integracione konstante odreĎuju se iz
graničnih uslova
Pošto je to u trećem polju, uzima se ceo izraz
06 yLz
06
4650
6
2620
6
6306
33
21
3
CzCzBy
36
48001 C
12/11/2010
17
OdreĎivanje jednačine elastične linije
Konačan oblik za dati primer je
45022030 zzzyB
2
450
2
220
36
4800
230
222
zzzyB
6
450
6
220
36
4800
630
333
zzz
zBy
Prema dobijenim izrazima izračunava se:
Ugib ispod sile 2 za koje je z=4, pripada kraju
drugog polja, pa se uzima izraz do druge
masne crte
6
450
6
220
36
4800
630
333
zzz
zBy
3
33
2406
24204
36
4800
6
430 kNmBy
12/11/2010
18
Prema dobijenim izrazima izračunava se:
Nabib ispod sile 1 za koje je z=2, pripada
kraju prvog polja, pa se uzima izraz do prve
masne crte
2
450
2
220
36
4800
230
222
zzzyB
36
2640
36
4800
2
230
2
yB
Prema dobijenim izrazima izračunava se:
Ugib ispod sile 2
Nabib ispod sile 1
oradB
y 267.000468.01570736
2640
36
2640
mmmkNm
B
kNmy 27.1501527.0
15707
240240 33
12/11/2010
19
Rešavanje zadatka korišćenjem tablica
Odrediti položaje i uticaj opterećenja
Očitati izraze za rešavani zadatak
Izvršiti zamenu vrednosti u primeru za mesto
dejstva sile 2
Prosta greda
tab1
12/11/2010
20
Prosta greda
Prosta greda
12/11/2010
21
OdreĎivanje ugiba na mestu sile 2
Primer je u tablicama na 43. strani
Izračunavamo ugib koji sila 1 pravi na mestu
sile 2
Izračunavamo ugib koji sila 2 pravi na mestu 2
Kao zbir odreĎujemo ukupni ugib
3223
16 l
az
l
z
l
b
l
z
l
b
B
Fly
OdreĎivanje ugiba na mestu sile 2
Izračunavamo ugib koji sila 1 pravi na mestu
sile 2, gde je a=2, b=4 mesto dejstva sile 1
od 20 kN i traženo z=4,
3223
16 l
az
l
z
l
b
l
z
l
b
B
Fly
81
7
6
620
6
24
6
4
6
41
6
4
6
4
6
620 23223
1
BByF
12/11/2010
22
OdreĎivanje ugiba na mestu sile 2
Izračunavamo ugib koji sila 2 pravi na mestu
sile 2, gde je a=4, b=2 mesto dejstva sile 2
od 50 kN i traženo z=4, pošto je to sada na
kraju polja 1 koristi se izraz do crte
3223
16 l
az
l
z
l
b
l
z
l
b
B
Fly
81
8
6
620
6
4
6
21
6
4
6
2
6
650 2223
2
BByF
OdreĎivanje ugiba na mestu sile 2
Ukupan ugib je zbir koji prave obe sile za z=4
BBByyy FF
240
81
8
6
650
81
7
6
620 33
21
3240kNmBy
12/11/2010
23
OdreĎivanje nagiba na mestu sile 1
ugao u rad
Primer je u tablicama na 43. strani
Izračunavamo nagib koji sila 1 pravi na mestu
sile 1
Izračunavamo nagib koji sila 2 pravi na mestu
1
Kao zbir odreĎujemo ukupan nagib
2222
3316 l
az
l
z
l
b
l
b
B
Fly
OdreĎivanje nagiba na mestu sile 2
Izračunavamo nagib koji sila 1 pravi na mestu
sile 1, gde je a=2, b=4 mesto dejstva sile 1
od 20 kN i traženo z=2, i pripada prvom polju
2222
1 3316 l
az
l
z
l
b
l
b
B
FlyF
27
4
6
620
6
23
6
41
6
4
6
620 2222
1
BByF
12/11/2010
24
OdreĎivanje nagiba na mestu sile 2
Izračunavamo nagib koji sila 2 pravi na mestu
sile 1, gde je a=4, b=2 mesto dejstva sile 2
od 50 kN i traženo z=2, i pripada prvom polju
2222
2 3316 l
az
l
z
l
b
l
b
B
FlyF
27
5
6
6
6
23
6
21
6
2
6
650 2222
2
B
F
ByF
OdreĎivanje nagiba na mestu sile 2
Ukupan nagib je zbir koji prave obe sile na
z=4
BBByyy FF
27
1980
27
5
6
650
27
4
6
620 22
21
22 3333.7327
1980kNmkNmyB
12/11/2010
25
Prema dobijenim izrazima izračunava se:
Ugib ispod sile 2
Nagib ispod sile 1
oradB
y 267.000468.01570727
1980
27
1980
mmmkNm
B
kNmy 27.1501527.0
15707
240240 33
Rezime:
Za odreĎivanje ugiba i nagiba nekog
statički odreĎenog nosača:
Prvo odrediti otpore oslonaca i nacrtati
statičke dijagrame
Dimenzionisati nosač ako to nije već učinjeno
Definisati savojnu krutost
12/11/2010
26
Rezime: Metoda direktne integracije
Napisati izraze za momente savijanja po
poljima
Izvršiti integraciju po promenljivim
Odrediti integracione konstante iz graničnih
uslova
Odrediti tražene vrednosti nagiba i ugiba
Rezime: Rešavanje korišćenjem tablica
Odrediti položaje i uticaj opterećenja
Očitati izraze za rešavani zadatak za sva
definisana opterećenja
Izvršiti zamenu vrednosti
Sabrati dobijene ugibe, odnosno nagibe
12/26/2009
1
Izvijanje
Kritična sila
Kritični napon
Dimenzionisanje
Kritična sila izvijanja
Greda opterećena aksijalnim pritisnim silama
Nastupa aksijalno naprezanje
Nastaje i aksijalna deformacija - skraćenje
Ležišta ne dozvoljavaju pomeranje grede
Postoji samo normalni napon
A
F
12/26/2009
2
Kritična sila izvijanja
Zbog velike dužine i neidealnosti grede dolazi
i do ugiba jer sila nije idealno centrična
Velika dužina i odstupanje od pravca pri
izradi
Materijal nije homogen
Sila ne deluje idealno u centru površine
A
F
Kritična sila izvijanja
Ovo je kod velike dužine samo teorijski
moguće
Greda se krivi i u pojedinim presecima,
momenti savijanja izazivaju ugibe
Normalni naponi nisu podjednako
raspoređeni po preseku
FyM f
12/26/2009
3
Kritična sila izvijanja
Ovakav slučaj aksijalnog naprezanja naziva
se IZVIJANJE
Javlja se kod dugačkih štapova
Kod debelih ređe, kada aksijalna sila pređe
kritičnu vrednost
FyM f
Kritična sila izvijanja
Kritična sila izvijanja dobija se iz izraza za
ugib i zavisi samo od krutosti grede B=EIx
Prema Ojlerovom obrascu kritična sila je
2
min2
l
IEF k
12/26/2009
4
Kritična sila izvijanja
Kritična sila izvijanja dobijena za slučaj
zglobno vezanog štapa na oba kraja
2
min2
l
IEF k
llr
Kritična sila izvijanja
Kritična sila izvijanja dobijena za konzolno
uklješten štap
2
min2
4 l
IEF k
llr 2
12/26/2009
5
Kritična sila izvijanja
Kritična sila izvijanja dobijena za dvostrano
uklješten štap
2
min2
4
4
l
IEF k
llr 2
1
Kritična sila izvijanja
Kritična sila izvijanja dobijena za konzolno
uklješten štap na jednom i zglobno uklješten
na drugom kraju
2
min2
4
2
l
IEF k
llr 71.0
12/26/2009
6
Kritična sila izvijanja
U Ojlerove formule uvodi se slobodna –
redukovana dužina
Predstavlja polovinu dužine talasa sinusne
linije savijanja
Tehnički predstavlja dužinu nosača koja
stvarno učestvuje u izvijanju i jednaka je
dužini elastične linije između prevojnih tačaka
Kritični napon izvijanja
Količnik između kritične sile izvijanja i
površine poprečnog preseka naziva se kritični
napon
2
min
2
r
Kk
lA
IE
A
F
12/26/2009
7
Kritični napon izvijanja
Napon je obrnuto srazmeran kvadratu
redukovane dužine
Kao što je poznato
Zamenom dobija se
2
minmin iAI
2
2
2
min22
Rr
k
E
l
iE
Kritični napon izvijanja
Jedinica za napon izvijanja je MPa
2
2
2
min22
Rr
k
E
l
iE
12/26/2009
9
Određivanje kritične sile
Poznata je:
Dužina grede
Poprečni presek
Način oslanjanja grede
Materijal od koga je greda napravljena
2
min
2
r
kl
IEF
Određivanje kritične sile
Ovo je ekstremna vrednost koju
konstrukcija može da izdrži a da ne
nastupi izvijanje
Izvijanje je opasno, pa se ne sme dozvoliti
u konstrukciji
Uvodi se stepen sigurnosti; maksimalna
sila koja se dozvoljava je 3 do 10 puta
manja od maksimalne: n=3-10n
kFF
kF
i
Kritični napon izvijanja - vitkost
Odnos redukovane dužine štapa i najmanjeg poluprečnika inercije
l r r
min
naziva se VITKOST ŠTAPA
12/26/2009
10
Za definisanu kritičnu silu
Za poznatu silu i stepen sigurnosti dobija
se najmanji moment inercije
Odnosno poprečni presek nosačaE
lF
E
lFI rrk
2
2
2
2
min
n
2
22
min
minr
E
F
i
IA
n
Dimenzionisanje štapova
napregnutih na izvijanje
Postoje tri metode dimenzionisanja:
Prema Ojlerovim obrascima
Prema Tetmajerovim obrascima
Prema omega postupku
12/26/2009
12
Dimenzionisanje štapova po
Tetmajerovim obrascima
Radi prevazilaženja problema
dimenzionisanja štapova male vitkosti
(kratki i debeli štapovi) razvijen je
Tetmajerov postupak
U izrazu su konstante za materijale
dobijene nakon niza eksperimenata
BAk
Dimenzionisanje štapova po
Tetmajerovim obrascima
Postupak se izvodi prvo po Ojlerovim
obrascima
Kada se ustanovi kolika je vitkost:
Za vitkost veću od kritične primeniti
Ojlerove obrasce
Za vitkost manju od kritične primeniti
Tetmajerov postupak i odrediti kritični
napon, a onda i površinu pop.preseka
k
FA
n
12/26/2009
13
Dimenzionisanje štapova po omega
postupku
Po ovom postupku dozvoljeni napon kod
izvijanja uzima se w puta manji od
dozvoljenog napona na pritisak
Vrednost koeficijenta proporcionalnosti w
zavisi od vitkosti i vrste materijala i daje se
tabelarno
dcdk
FFA
w
Rezime:
Konstrukcije sa aksijalno napregnutim
štapovima na pritisak nose rizik pojave savijanja
Ovakav slučaj naprezanja naziva se izvijanje
Ovako napregnute štapove treba proračunati na
izvijanje
Izvijanje je veoma opasno i ne sme se dozvoliti
Prema tipu konstrukcije definisati slobodnu –
redukovanu dužinu štapa
12/26/2009
14
Rezime:
Pri proračunu treba ustanoviti vitkost
posmatranog štapa
Ako je vitkost veća od kritične, onda je napon
manji od napona na granici proporcionalnosti na
pritisak i primenjuju se Ojlerovi obrasci
Ako je vitkost manja od kritične, primenjuje se
Tetmajerov postupak