1

MEHANIKA IN TERMODINAMIKA

Aleš Iglič in Veronika Kralj-Iglič

Ljubljana, 2016

2

PREDGOVOR

Učbenik z naslovom Mehanika in termodinamika za

predavanja iz Fizike I na Fakulteti za elektrotehniko naj bi

študente delno razbremenil zapisovanja enačb in jim tako

omogočil pozornejše spremljanje predavanj ter beleženje

opomb. Spremljanje predavanj iz Fizike 1 zahteva temeljito

ponovitev osnov diferencialnega, integralnega in vektorskega

računa (glejte R. Kladnik: Osnove Fizike, 1. del, str. 10 – 26,

DZS, 1974; knjigo dobite v knjižnici FE). Evi Zupan Debevec

in Hani Debevec, univ.dipl.ing.el. se zahvaljujeva za tipkanje,

urejanje in pregledovanje teksta, fotografije ter risanje slik. Za

koristne nasvete pa recenzentom Tomažu Slivniku, Tomažu

Gyergyeku in Francetu Sevšku.

Veronika Kralj-Iglič in Aleš Iglič

3

VSEBINA

MEHANIKA 7

1. Kinematika 7

2. Newtonovi zakoni 19

3. Izrek o vrtilni količini 42

4. Izrek o kinetični in potencialni energiji 57

5. Harmonično nedušeno nihanje 67

6. Dušeno nihanje 78

7. Vsiljeno nihanje 80

8. Sklopljeno nihanje 86

9. Deformacija trdnih snovi 93

10. Osnovne lastnosti tekočin 107

11. Opis gibanja tekočin 112

12. Pretakanje viskozne tekočine po cevi 115

13. Bernoullijeva enačba 123

14. Sile na telesa v tekočini 127

15. Laplace-ova enačba 136

16. Young-ova enačba 141

17. Mehansko valovanje 147

TERMODINAMIKA 159

18. Kinetična teorija plinov 160

19. Entropijski zakon 177

20. Termodinamske funkcije in termodinamsko ravnovesje sistema 186

21. Prenos toplote 188

22. Toplotni in hladilni stroji 191

23. Toplotno raztezanje trdnih snovi 194

Literatura 196

4

MEHANIKA

1. Kinematika

Kinematika (gr. kinematos = gibanje) se ukvarja z opisom gibanja teles po prostoru ne glede

na vzroke gibanja. V okviru klasične fizike z besedo gibanje poimenujemo pomikanje teles po

tridimenzionalnem izotropnem prostoru. Obstoj prostora se zdi v klasični fiziki samoumeven.

Aristotel (384 – 322 p.n.št.) tako pravi, da je nemogoče, da bi bil prostor telo (snov), ker bi

bili tedaj na istem mestu dve telesi.

Gore za opazovalca na Zemlji mirujejo, za opazovalca na Luni pa se gibljejo (skupaj z

Zemljo). Spoznanje ali opazovano telo miruje ali pa se giblje je torej odvisno od opazovalca.

Absolutnega mirovanja ali gibanja zato ne moremo definirati. Opis gibanja je vedno vezan na

izbran opazovalni (koordinatni) sistem. Običajno v klasični fiziki opazovalni sistem vežemo

na zemeljsko površje.

Kinematika opisuje časovno odvisnost lege telesa v izbranem opazovalnem sistemu. Ali kot

pravi Aristotel, čas definira gibanje glede na prej in kasneje. Čas je torej merilo ()

gibanja. V klasični fiziki se glede časa držimo nekaterih Aristotelovih načel, na primer tistega,

da je čas zvezen ter isti vsepovsod hkrati (torej absoluten). Aristotel je zapisal, da čas ni

hiter in ne počasen. Čas je torej zvezen parameter, ki teče v vseh opazovalnih sistemih enako

hitro. Načelo homogenosti časa predpostavlja, da ima čas vedno enake lastnosti (v

preteklosti, sedanjosti in prihodnosti).

Gibanje točkastega telesa je dober približek (aproksimacija) kadar so premiki telesa veliko

večji kot razsežnost telesa (primer: gibanje Zemlje okoli Sonca).

Lego točkastega telesa opišemo s krajevnim vektorjem , ,r x y z v kartezičnem

koordinatnem sistemu (x, y, z), ki ima paroma pravokotne koordinatne osi x, y in z

r x i y j z k

če se r spreminja s časom gibanje

x

y

z

i

j

k

r

x

y

z

5

krivuljo, ki določa r t imenujemo tirnica ali trajektorija

, ,r t x t y t z t (1)

Zanima nas kako hitro se lega delca spreminja. Definiramo vektor hitrosti kot:

0

d d d dlim , , , ,

d d d dx y z

t

r r x y zv v v v

t t t t t

(2)

velikost hitrosti: 1 2

2 2 2

x y zv v v v v

Pospešek pove kako se s časom spreminja hitrost v t

2 1

2 1

r r t r t

t t t

definicija pospeška:

yx z

0

dd ddlim , ,

d d d dt

vv vv va

t t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2

d d d d d d d, ,

d d d d d d d

r r x y za v

t t t t t t t

(3)

1r t

2r t

1v t 2v t

TIRNICA (TIR)

r

1r t

2r t

3r t

2 1

2 1

t t t

r r r

6

Torej:

,

,

, ,

d d d, , ,

d d d

dd d, , ,

d d d

x y z

yx zx y z

r t x t y t z t

x y zv t v v v

t t t

vv va t a a a

t t t

(4)

Opombe: pospešek je lahko različen od nič, čeprav se velikost r in v ne spreminjata

s časom (n.pr. pri enakomernem kroženju):

konst.

konst.

r r

v v

Računanje poti: 2

1

d

t

t

s v t (5)

tir

Poseben primer: enakomerno pospešeno gibanje

0 konstantaa t a

izberemo začetne pogoje: 0 0v v t

0 0r r t

0

0 0

0

dd d

d

v t

v

va v a t

t

0 0v v a t (6)

0 0v v t

v

r

7

dd d

d

rv r v t

t

0

0 0

0

d d

r t

r

r v a t t

0 0r r t

2

0 0 02

tr r v t a

2

0 0 02

tr r v t a

(7)

Zapis krajevnega vektorja r po komponentah:

2

0 0 0

2

0 0 0

2

0 0 0

2

2

2

x x

y y

z z

tx x v t a

ty y v t a

tz z v t a

(8)

Premo enakomerno pospešeno gibanje (gibanje po premici)

0 0

2

00 0

2

v v a t

a tx x v t

(9)

(10)

če 0 0 :x

2

0 02

tx v t a

(11)

0 0v v a t

(12)

Iz enačbe (12) izrazimo čas 0

0

v vt

a

in ga vstavimo v enačbo (11):

2

0 000 2

0 02

v v v vax v

a a

,

od koder sledi:

2

0 0 0 0

2 2 2

0 0 0 0 0

2 2

2 2 2 2

xa v v v v v

a x v v v v v v v

2 2

0 02a x v v , torej:

2 2

0 02v v a x

(13)

8

Prosti pad (upor zraka zanemarimo)

Padanje žoge (foto: U. Anzeljc).

gravitacijski pospešek: 29.8msg

začetni pogoji:

0y t h

0 0yv t

0 0

dd d

d

yv ty

y y

va g v g t

t

yv gt

0

dd d

d

d d

y y

y t

h

yv y v t

t

y gt t

2

2

ty h g

2

2

ty h g

9

ko je y = 0, pade telo na tla:

2

02

pth g

2p

ht

g

čas padanja

2

0 2p

hv y g t g gh

g je hitrost pri tleh tik preden se telo dotakne tal

Vodoravni met

začetni pogoji:

0

0 0

0

y

x

v t

v t v

0y t h

pospešek:

0x

y

a

a g

hitrost:

0x

y

v v

v gt

x

0 0

dd v d

d

x t

x

xv x t

t

0x v t

t

y

h

x

y

0v

10

y

0

dd v d

d

y t

y

h

yv y t

t

2

2

gty h

čas padanja:

2

02

pgth

2p

ht

g

Navpični met

ga g

začetni pogoji:

0 0y t

00yv t v

0 0

d,

d

d d

y

v t

y

v

vg

t

v g t

0yv v gt

0 0

d

d

d d

y

y t

y

yv

t

y v t

2

0 0

0

d2

tgt

y v gt t v t

2

02

gty v t

x

y0v

11

o najvišja točka je dosežena, ko je 0yv :

0 0y dv v gt

0d

vt

g

o pri tem doseže telo višino:

0 0

2 2

00 22 2

d

v vv gh y t v

g g g

o Telo pade na tla ob času tp:

2

0

0

02

22

p

p

p d

gty v t

vt t

g

Poševni met

začetni pogoji:

0xa , 00 cosxv t v

ya g , 00 sinyv t v

0 0

0 0

x t

y t

komponente vektorja hitrosti:

12

0

0

cos

sin

x

y

v v

v v gt

komponente krajevnega vektorja:

0

2

0

cos

sin2

x v t

gty v t

0

0

2

0

coscos

sin2

xx v t t

v

gty v t

2

0

2 2

0 0

sin

cos 2

v x g xy

v v cos

, od koder sledi

enačba parabole, ki opisuje tir telesa pri poševnem metu:

2

2 2

02 cos

gy xtg x

v

Domet:

2

2 2

0

2 2

0 0

2 2

0

02 cos

2 sin cossin 2

2 cos

gxtg x

v

v vgtg x x

v g g

domet je maksimalen, ko je 0 02 90 45

Kroženje točkastega telesa

Obravnavamo gibanje po krožnici v ravnini x,y (z = 0):

Za kroženje po krožnici s polmerom r v ravnini x, y zapišemo komponente krajevnega

vektorja v obliki (glejte sliko):

13

cos

sin

0

x r

y r

z

(14)

Zasuk je v splošnem poljubna funkcija časa:

t (15)

Odvajajmo krajevni vektor

cos , sin ,0r r r (16)

po času:

d d d

sin , cos ,0d d d

rv t r r

t t t

, (17)

kjer definiramo kotno hitrost kot:

d

d t

, (18)

torej:

sin , cos ,0v r (19)

Vektor hitrosti v lahko zapišemo kot (glejte zgornjo sliko):

sin , cos ,0v v . (20)

Iz primerjave enačb (19) in (20) sledi izraz za velikost obodne hitrosti:

v r . (21)

Definiramo enotni vektor v smeri hitrosti, to je v smeri tangente na tir (glejte enačbo

(20) in zgornjo sliko):

sin ,cos ,0te . (22)

14

Ker je te enotni vektor, je njegova velikost 1:

1

12 2 2

2 sin cos 1t t t te e e e

.

S pomočjo definicije enotnega vektorja te zapišemo enačbo (19) v obliki:

sin , cos ,0 tv r r e . (23)

Definirajmo še enotni vektor v smeri osi z:

0,0,1ze (24)

in enotni vektor v smeri krajevnega vektorja r (glejte sliko):

cos ,sin ,0re , (25)

kjer je:

1

2 1z z ze e e ,

11

2 2 22 cos sin 1r r re e e .

Če izrazimo enotni vektor v smeri vektorja hitrosti v (to je v smeri tangente na tir) kot

(glejte še sliko):

t z re e e , (26)

lahko zapišemo enačbo (23) v obliki:

t z r z rv r e r e e e r e r , (27)

kjer smo predpostavili, da vektor kotne hitrosti kaže v smeri ali nasprotni smeri osi z in

je pravokoten na ravnino kroženja. Smer vektorja določimo po pravilu desnosučnega

vijaka:

v r

15

Izračunajmo še pospešek krožeče točkaste mase:

d d d d

d d d d

v ra r r r v

t t t t

, (28)

kjer smo definirali vektor kotnega pospeška:

d

dt

. (29)

Ker velja 0,0, je

d d

0,0, 0,0, 0,0,d dt t

. (30)

Vidimo torej, da vektor kaže v isto smer kot vektor kotne hitrosti . Zapišimo sedaj

drugi člen v enačbi (28) malo drugače:

20v r r r r , (31)

kjer smo upoštevali, da je skalarni produkt dveh pravokotnih vektorjev in r enak nič.

Z upoštevanjem enačbe (31) lahko enačbo (28) zapišemo v obliki:

2a r r (32)

Definiramo tangentni pospešek

t z r z r ta r e r e r e e r e , (33)

ki kaže v smeri tangente na tir, ter radialni pospešek

2

ra r , (34)

ki kaže proti središču kroženja v nasprotni smeri od krajevnega vektorja r . Radialni

pospešek je različen od nič tudi v primeru, ko je konst.v v

16

V splošnem je velikost celotnega pospeška

1 11

2 2 2 2 4 22 22t ra a a a a r r . (35)

Poseben primer: enakomerno pospešeno kroženje

Osnovna predpostavka: kotni pospešek0 konst. , torej:

0

0

d

d

d d

t

t

0

0

0

d d

t

t

, kjer je 0 0t

0 0 t

0 0 t (36)

d

d

d d

t

t

0

0 0

0

d d

t

t t

, kjer je 0 0t

2

0 0 02

tt

2

0 02

tt , (37)

kjer smo postavili 0 0 .

Poseben primer: enakomerno kroženje

Osnovna predpostavka: kotni pospešek 0

0

d0 konst.

dt

(38)

0

0

0

0

0

d

d

d d

d d

t

t

t

t

0 0 t , kjer je 0 0t

17

0 t , (39)

če postavimo 0 0 .

Izračunajmo čas enega obhoda (obhodni čas):

0

0 0 0

2 2 2r rt

v r

, (40)

od koder sledi:

0 0

0

12 2

t , (41)

kjer smo definirali frekvenco

0

0

1

t (42)

2. Newton-ovi zakoni

sir Isaac Newton

(1643 – 1727)

18

Telesa se gibljejo zaradi vpliva drugih teles na obravnavano telo. Vzrok gibanja torej

običajno leži v interakciji med telesi. V okolici opazovanega telesa je navadno mnogo teles,

kar naredi analizo gibanja teles težavno. To je najbrž tudi vzrok, da je šele sir Isaac Newton

v drugi polovici 17. stoletja uspel dobro definirati temeljne zakone (sedaj jih imenujemo

Newton-ovi zakoni) klasične dinamike (dynamis (gr.) = sila), ki jih je objavil v knjigi z

naslovom Matematična načela naravoslovja. Tri Newton-ove zakone za analizo gibanja

točkastih teles lahko opišemo z besedami:

I. Vsako telo vztraja v stanju mirovanja ali enakomernega gibanja po ravni črti, če ne deluje

nanj nobena sila.

II. Sprememba gibanja telesa je sorazmerna sili, ki deluje na telo in ima smer te sile.

III. K vsaki sili (akciji) ostaja vedno nasprotno enaka sila (reakcija); ali drugače, če deluje

prvo telo na drugo telo z neko silo, deluje drugo telo na prvo telo z enako veliko silo v

nasprotni smeri.

K zgornjim Newton-ovim zakonom podajmo še definiciji sile in telesa:

Sila je količina, ki meri vpliv enega telesa na drugo telo.

Telo je vsak del snovi, ki ga lahko vsaj teoretično ločimo od okolice.

Drugi Newton-ov zakon izrazimo v matematični obliki kot:

F ma , (1)

oziroma

d d

d d

mv GF

t t , (2)

19

20

kjer je m (vztrajnostna) masa točkastega telesa, ki meri vztrajnost telesa pri spremembi

hitrosti telesa, d

d

va

t je pospešek točkastega telesa, v je hitrost točkastega telesa,

G mv , (3)

pa gibalna količina točkastega telesa. Enačbi (1) in (2) sta ekvivalentni, če je masa telesa

konstantna. Masa opisuje množino snovi in je aditivna količina. Enota za maso je kilogram

(kg). V klasični fiziki velja zakon o ohranitvi mase. Iz vsakdanjih izkušenj po občutku tudi

vemo, da masivnejšemu telesu težje spremenimo hitrost kot manj masivnemu. Na primer,

ping-pong žogici lažje spremenimo hitrost kot košarkarski žogi ali železniškemu vagonu. Pri

obravnavi Newtonovih zakonov je treba poudariti, da je do časa renesanse namesto drugega

Newtonovega zakona veljal Aristotelov zakon gibanja.

Aristotel

(384 – 322 pred n. št.)

Aristotel je delil gibanje teles na naravna in vsiljena gibanja. Naravna gibanja, takó je po

Aristotelu na primer gibanje planetov, za vzdrževanje ne potrebuje nobene sile. Vsiljeno

gibanje, na primer premikanje voza, pa vedno potrebuje za svoje vzdrževanje od nič različno

zunanjo silo (zunanji vzrok). Aristotel kot primer navaja, da dva konja vlečeta voz hitreje kot

en konj. Če pa niti eden konj ni vprežen v voz, se ta ne giblje. V skladu s tem razmišljanjem je

Aristotel prišel do zaključka, da je vzdrževanje enakomernega gibanja (t.j. konstantne

hitrosti) vedno potrebna sila. Aristotelov zakon gibanja bi lahko zato matematično izrazili kot

F v ,

oziroma

v F ,

to je hitrost je sorazmerna sili, kar seveda ni pravilno. Vidimo, da je Aristotel pozabil na sile

upora in silo trenja. Za vzdrževanje enakomerne hitrosti telesa je namreč sila potrebna zato,

da premaguje silo upora in silo trenja. Če sile upora in sile trenja ni (n.pr. pri gibanju telesa v

vakuumu v breztežnem prostoru) za vzdrževanje konstantne hitrosti telesa, ki se giblje po

ravni črti ni potrebna sila, kar je vsebina I. Newtonovega zakona.

21

Kako je razmišljal Aristotel?

Premik od Aristotelovega napačnega razmišljanja je naredil Galileo Galilei, ki je prišel do

zaključka, da za vzdrževanje konstantne hitrosti telesa ni nujno potrebna tudi sila. Pač pa je

sila potrebna, da telo ustavimo, to je za spremembo hitrosti.

Galileo Galilei

(1564 – 1642)

22

Galileo dejansko nikoli ni prišel do zaključka, da se telo v odsotnosti sil giblje s konstantno

hitrostjo po ravni črti. Vsebino I. Newtonovega zakona je prvi formuliral francoski matematik

in filozof René Descartes (1596 – 1650). Latinska varianta Descartesovega priimka

(Cartezius) je dala ime kartezičnemu koordinatnemu sistemu, ki ima paroma pravokotne osi x,

y in z.

René Descartes (1596 – 1650)

Na osnovi povedanega lahko torej zaključimo, da v okviru Newtonovega opisa gibanje teles

za vzdrževanje stalne hitrosti ni potrebna sila. Pač pa je sila potrebna za spremembo hitrosti,

to je za pospešek (pojemek) telesa. Z drugimi besedami, vzrok za spremembo hitrosti

imenujemo silo. Masivnejšemu telesu težje spremenimo hitrost, zato rečemo masi m v II.

Newtonovem zakonu vztrajnostna masa. Sila je aditivna vektorska količina.

Sile med telesi so običajno centralne, to se pravi, da delujejo na zveznici, ki povezuje dve

točkasti telesi. Primer centralnih sil je Coulombska elektrostatska sila, ki deluje med

točkastima nabojema e1 in e2:

1 2

2

04

e e rF

r r , (4)

kjer je 0 influenčna konstanta, r pa razdalja med nabojema, ali pa gravitacijska privlačna sila

med dvema točkastima masama 1m in 2m na razdalji r:

1 2

2

m m rF G

r r , (5)

kjer je G gravitacijska konstanta. V primeru gravitacijske sile med Zemljo z maso MZ in

točkastim telesom z maso m je gravitacijska sila (glejte še Kladnik: Visokošolska fizika):

2

Zg

M m rF G

r r , (6)

kjer je r razdalja od središča Zemlje do točkastega telesa.

23

Velikost gravitacijske privlačne sile, ki deluje na maso m lahko zapišemo tudi v obliki (glejte

sliko):

22

Z Zg

M m M mF G G mg

r R h

, (7)

kjer smo gravitacijski pospešek g definirali kot:

2

0 2

Rg g

R h

, (8)

2

0 29.8msZM

g GR

(9)

pa je gravitacijski pospešek na nadmorski višini h = 0. Enakost gravitacijske mase, ki nastopa

v gravitacijskem zakonu (enačba (5)) in vztrajnostne mase, ki nastopa v II. Newtonovem

zakonu (enačba (1)) ni samoumevna. O tem so se znanstveniki prepričali šele z natančnimi

poskusi.

Drugi Newtonov zakon velja le v tako imenovanih inercialnih sistemih, to je v nepospešenih

sistemih. Za ilustracijo si poglejmo primer opazovalca v zaprtem vagonu, ki se giblje s

pospeškom 0a v smeri x osi laboratorijskega (t.j. inercialnega) opazovalnega sistema in

opazuje majhno kroglico, ki je z zelo lahko nitko pritrjena na strop vagona. V vagonu, to je v

pospešenem (neinercialnem) sistemu, deluje v smeri x*-osi na visečo kroglico sila sinT ,

kljub temu pa je pospešek kroglice za opazovalca v vagonu * 0a , kar je v nasprotju z

veljavnostjo II. Newtonovega zakona. V pospešenem vagonu torej II. Newtonov zakon ne

velja.

24

Drugi Newtonov zakon seveda velja za opazovalca v laboratorijskem inercialnem sistemu:

v smeri x osi: 0sinT ma , (10)

v smeri y osi: cosT m g , (11)

kjer je m masa na nitki viseče kroglice, g pa gravitacijski pospešek.

*x

*y

*z

OPAZOVALEC

V VAGONU:

TcosT

sinT

mg

* 0a

25

Če hočemo, da II. Newtonov zakon velja formalno tudi v vagonu, to je v pospešenem

(neinercialnem) sistemu, moramo vpeljati tako imenovano sistemsko silo, ki je za zgornji

primer enaka

0SF ma . (12)

Z upoštevanjem sistemske sile (enačba (12)) tudi v vagonu formalno velja II. Newtonov

zakon:

* 0Smg T F ma , (13)

ki nam da za pospešek kroglice vrednost * 0a , kar je v skladu z opažanji opazovalca v

vagonu (gospodična, ki sedi na stolu v vagonu). Sistemska sila ne izhaja iz interakcij z

drugimi telesi, pač pa iz pospeševanja opazovalnega sistema.

Vsem znana sistemska sila je centrifugalna sila, ki jo občutimo v enakomerno vrtečem se

opazovalnem sistemu * * *, ,x y z

Za točkasto maso m, ki miruje v vrtečem opazovalnem sistemu, napišemo II. Newtonov zakon

v laboratorijskem inercialnem opazovalnem sistemu , ,x y z v obliki:

x

t

y

*y *x

m

r

m = masa točkastega telesa kotna hitrost

vrtenja opazovalnega

sistema * * *, ,x y z

26

2

cpF m r , (14)

kjer je cpF centripetalna sila, ki vleče maso m proti središču kroženja, 2r pa je radialni

pospešek, ki je prav tako usmerjen proti središču kroženja.

V vrtečem, neinercialnem sistemu, na točkasto maso m prav tako deluje centripetalna sila cpF ,

vendar pa je pospešek mase enak nič, torej II. Newtonov zakon zopet ne velja, če ne vpeljemo

sistemske sile cfF tako, da je:

* 0cp cfF F ma . (15)

Iz enačb (14) in (15) sledi:

2

cf cpF F m r . (16)

Sistemska sila cfF , ki jo imenujemo centrifugalna sila, je usmerjena od središča kroženja v

smeri krajevnega vektorja *r .

V vrtečem opazovalnem

sistemu masa m miruje

zato je *r = konst. in 2 *

*

2

d0

d

ra

t

Poznana sistemska sila v vrtečem se neinecialnem sistemu je še Coriolisova sila, ki jo

moramo upoštevati, če se masa m v vrtečem koordinatnem sistemu giblje tako, da se

spreminja njena razdalja od izhodišča koordinatnega sistem * * *, ,x y z .

Na osnovi povedanega lahko definiramo neinercialne opazovalne sisteme kot opazovalne

sisteme v katerih se opazovano telo, ki ni v interakciji z nobenim drugim telesom giblje

pospešeno. Inercialni opazovalni sistem pa je definiran s prvim Newtonovim zakonom.

Opazovalni sistem v katerem velja I. Newtonov zakon je torej inercialni opazovalni sistem.

Vidimo torej, da je I. Newtonov zakon samostojni zakon, ki definira inercialni opazovalni

sistem v katerem velja II. Newtonov zakon. Še enkrat je potrebno tudi opozoriti, da je tudi II.

Newtonov zakon več kot definicija sile in mase. Glavna vsebina tega zakona je, da se vplivi

zunanjih teles (ki jih opišemo s silami) odražajo v spremembi hitrosti telesa, ki jo opišemo s

pospeškom d

d

va

t .

*x

*r

*y

m

*x

*y

mcfF

cpF

27

Invariantnost pospeška telesa merjena v različnih inercialnih opazovalnih sistemih nas navede

tudi na sklep o invariantnosti sil glede na spremembo inercialnega opazovalnega sistema.

V zvezi s tem omenimo še Galilejevo načelo, ki pravi, da imajo zakoni klasične fizike enako

obliko v vseh inercialnih sistemih. In pa ne pozabimo na Galilejeve transformacije, ki

povezujejo koordinate krajevnega vektorja , ,r x y z in komponente hitrosti , ,x y zv v v v

točkastega telesa izmerjene v dveh različnih inercialnih opazovalnih sistemih S in S'.

Predpostavimo, da se koordinatne osi in izhodišči obeh sistemov ob času t = 0 pokrivajo,

kjer so koordinatne osi paroma vzporedne. Izhodišče koordinatnega sistem S ' se giblje s

konstantno hitrostjo 0v glede na izhodišče koordinatnega sistema S v smeri x-osi.

Galilejeve transformacije za koordinate (glejte sliko):

0'r r v t , (17)

0'x x v t , (18)

'y y , (19)

'z z , (20)

't t .

Če enačbe (17) – (20) odvajamo po času dobimo:

0

d'

d

rv v v

t , (21)

'

0

d

dx x

xv v v

t , (22)

'd

dy y

yv v

t , (23)

'd

dz z

zv v

t . (24)

x

y

z

x'

y

z'

S S''

r

0v t

'r

0v

28

Newtonov zakon za sistem točkastih teles

V obliki i

i

F F ma (enačba (1)) , kjer je i

i

F F rezultanta vseh zunanjih sil, velja II.

Newtonov zakon za točkasto telo. V nadaljevanju bomo II. Newtonov zakon posplošili za

sistem točkastih teles. Pri tem se moramo najprej odločiti, katera telesa štejemo k sistemu in

katera k okolici. V skladu z izbiro (definicijo) sistema definiramo tudi zunanje in notranje

sile.

Zapišimo II. Newtonov zakon za i-to točkasto maso v sistemu:

2

2

d, 1,2,... ,

d

iji i i

j

rF F m i N

t (25)

kjer so jiF notranje sile med delci (n.pr. 23F je sila 2. delca na 3. delec v sistemu),

iF je

rezultanta vseh zunanji sil na i-to točkasto maso v sistemu, N pa je število točkastih mas

(delcev) v sistemu. Seštejemo vse enačbe (25):

2

11 1 1 2

2

22 2 2 2

2

2

d,

d

d,

d

d,

d

j

j

j

j

NjN N N

j

rF F m

t

rF F m

t

rF F m

t

_____________________

2

2,

d

d

iji i i

i j i ii j

rF F m

t

. (26)

masno središče

x

y

z

notranja sila

zunanja silaSISTEM

OKOLICA

ir

jr

jmR

T

im

29

Prvi člen v enačbi (26) je enak vsoti vseh dvodelčnih sil ij jiF F , ki pa je enaka nič, saj v

skladu s III. Newtonovem zakonom o akciji in reakciji velja:

0ij jiF F . (27)

Enačbo (26) lahko tako zapišemo v obliki:

2

2

d

di i i

i i

F m rt

. (28)

Če definiramo krajevni vektor R do centra mase sistema (glejte še sliko) v obliki:

i i i i

i i

i

i

m r m r

Rm m

, (29)

kjer je i

i

m m celotna masa sistema, lahko enačbo (28) zapišemo kot:

2

2

d

di

i

RF m

t . (30)

Enačba (30), to je II. Newtonov zakon za sistem točkastih teles, ima enako obliko kot II.

Newtonov zakon za eno samo točkasto telo. Razlika je, da v II. Newtonovem zakonu za eno

točkasto maso (enačba (1)) nastopa pospešek 2

2

d

d

ra

t ,

kjer je r t krajevni vektor do točkaste mase m, v II Newtonovem zakonu za sistem točkastih

mas (enačba (30)) pa nastopa pospešek masnega središča, ki mu pravimo tudi težišče (če je

gravitacijski pospešek po celem sistemu enak):

2

2

d

dR

Ra

t (31)

V izpeljavi enačbe gibanja za sistem točkastih teles (enačba (30)) nismo nikjer predpostavili,

da so razdalje med delci, ki sestavljajo sistem konstantne. Od koder sledi, da se na primer, po

eksploziji rakete, masni center delcev eksplodirane rakete giblje v vakuumu po istem tiru, kot

če raketa sploh ne bi eksplodirala. (Razlaga: sile, ki delujejo na delce med eksplozijo so

notranje sile in zato v enačbi (30) ne nastopajo.)

30

Gibanje masnega centra rakete

pred (polna črta) in po

eksploziji (črtkana črta)

Enačbo (30) imenujemo tudi izrek o gibanju težišča za sistem točkastih mas.

Newtonov zakon za togo telo

Enačbo za gibanje težišča sistema točkastih mas (oziroma centra točkastih mas) razširimo na

togo telo v katerem so razdalje med posameznimi deli telesa konstantne. V okviru

kontinuumskega opisa lahko zato uvedemo gostoto togega telesa kot:

d

d

mr

V , (32)

kjer je dm infinitezimalno majhna masa dela togega telesa z volumnom dV do katerega kaže

krajevni vektor r . Za togo telo se izraz (29) za računanje lege težišča transformira v:

d d d

d d

r m r m r VR

mm V

, (33)

kjer smo v enačbi (29) naredili naslednje transformacije:

d

.

i

i

i

m m

r r

31

Če je gostota togega telesa konstantna preide enačba (33) v izraz:

d d

d

r V r VR

VV

, (34)

kjer je V volumen togega telesa.

Ob upoštevanju enačbe (31) prepišemo enačbo (30) v obliko:

2

2

d d

d d

RR

v RF ma m m

t t , (35)

kjer je Rv hitrost težišča togega telesa. Vidimo, da ima zakon gibanja za togo telo enako

obliko kot ustrezen zakon gibanja za točkasto telo (enačba (1)). Enačbo (35) lahko predelamo

tudi v obliko:

d

d

GF

t , (36)

kjer je

RG mv , (37)

gibalna količina togega telesa.

Iz enačbe (36) sledi:

2

2

11

2 1d |

t G

Gt

F t G G G G , (38)

kjer je dF t sunek rezultante zunanjih sil, 1G začetna gibalna količina togega telesa,

2G pa

končna gibalna količina, to je gibalna količina po delovanju sunka sile dF t . Enačbo (38)

imenujemo izrek o sunku sile. Sunek sile lahko torej določimo z meritvijo spremembe gibalne

količine togega telesa (ali sistema togih teles).

Če je sunek rezultante zunanjih sil enak nič, se gibalna količina togega telesa ali sistema togih

teles ohranja:

0G ,

oziroma

1 2G G , (39)

32

kjer je 1 1G mv začetna gibalna količina,

2 2G mv pa končna gibalna količina. Enačbo (39)

imenujemo tudi izrek o ohranitvi gibalne količine.

Sunek sile, oziroma sila ne spreminja le hitrosti telesa, ampak lahko telo tudi deformira.

Tako lahko na primer deformacijo vijačne vzmeti izkoristimo za merjenje (določitev) sile

teže, če poznamo konstanto vzmeti k.

V ravnovesju velja: 0F m g F mg

Zgled: prosti pad togega telesa v zraku

Pri prostem padu togega telesa v zraku poleg sile teže 0m g na togo telo v nasprotni smeri

deluje še sila upora uF . Zapišimo Newtonov zakon za gibanje (padanje) togega telesa:

0 um g F ma , (40a)

od koder sledi pospešek togega telesa:

0uF

a gm

. (40b)

Vidimo, da je pri enaki sili upora, ki je odvisna od velikosti, oblike in hitrosti telesa, pospešek

a večji za večje mase telesa m.

sila

x (raztezek)F

mg (sila teže)

mx

NF

0

0

F k x

izmerjene točke

33

Zgled: drsenja klade po klancu navzdol

nF = normalna komponenta sile podlage

m = masa klade

= nagib klanca

trF = sila trenja

mg = sila teže

Zapišimo Newtonov zakon za gibanje težišča togega telesa (klade) vzdolž klanca:

sin trmg F ma , (41a)

kjer je a velikost pospeška težišča klade. Sila trenja trF je sorazmerna komponenti sile teže v

smeri pravokotno na površino klanca cosm g :

costr tF k m g , (41b)

kjer je tk koeficient trenja. Če združimo enačbi (41a) in (41b) dobimo:

sin costmg k m g ma ,

oziroma

sin costa g k . (42)

Klada začne drseti po klancu navzdol le, če je nagib zadosti velik. Mejni kot dobimo iz

pogoja:

0 sin cosm ma g k , (43)

kjer je k koeficient lepenja. Iz enačbe (43) sledi

mtg k . (44)

34

Zgled: klada na zračni klopi

Klada z maso m1 je z zelo lahko vrvico preko zelo lahkega vretena povezana z utežjo, ki ima

maso m2. Ker je klada na zračni blazini zanemarimo silo trenja. Zapišimo Newtonov zakon za

gibanje togega telesa (enačba (35)) posebej za klado in posebej za utež:

1T m a , (45)

2 2m g T m a . (46)

Iz enačb (45) in (46) sledi za velikost pospeška uteži:

2

1 2

m ga

m m

. (47)

Zgled: neprožen trk dveh vozičkov na zračni blazini

pred trkom:

po trku:

Če zanemarimo sunek zunanjih sil, se pri neprožnem trku dveh vozičkov (vozička se

sprimeta) ohranja skupna gibalna količina:

1 1 2 2 1 2 sm v m v m m v , (48)

kjer je 1v hitrost prvega vozička pred trkom, 2v hitrost drugega vozička pred trkom, sv pa

hitrost sprijetih vozičkov po trku. Iz enačbe (48) lahko izračunamo sv :

35

1 1 2 2

1 2

s

m v m vv

m m

. (49)

Zgled: sila curka vode na oviro

Sprememba gibalne količine dela curka vode z maso dm ob trku z oviro je enaka sunku sile

ovire na maso dm:

0 2 1d d dF t mv mv , (48)

kjer je 0 dF t sunek sile ovire na maso dm, 2dmv končna gibalna količina mase dm po trku z

oviro, 1dmv pa začetna gibalna količina pred trkom z oviro. Iz enačbe (48) sledi

0 1 2mF v v , (49)

kjer je

d

dm

m

t , (50)

masni tok curka vode, ki pada na oviro. Sila curka vode na oviro F je v skladu s tretjim

Newtonovim zakonom o akciji in reakciji nasprotno enaka sili ovire na curek vode 0F :

0 1 2mF F v v . (51)

Če se voda od ovire ne bi odbila in bi le spolzela navzdol (torej 2 0v ), bi bila sila curka na

oviro manjša:

1mF v , (52)

OVIRA

dm

1v

2v

36

kot v prej opisanem primeru. Zato imajo lopatice turbin v hidroelektrarnah značilno obliko, da

se curek vode od lopatice odbije.

Zgled: vozilo na reaktivni pogon (raketa)

Predpostavimo, da je raketa daleč stran od Zemlje in drugih nebesnih teles, tako da na gibanje

rakete vpliva le sila curkov plinov, ki jih raketa izpušča. Definirajmo hitrost rakete rv in

hitrost iz rakete izhajajočih plinov pv v inercialnem (nepospešenem) sistemu

(x, y¸ z) daleč stran od Zemlje:

V inercialnem (nepospešenem) sistemu zapišemo izrek o sunku sile za majhno maso dm iz

rakete izhajajočega plina:

0 d d dp rF t mv mv , (53)

kjer je d rmv gibalna količina mase goriva dm pred izhodom iz rakete (torej začetna gibalna

količina), d pmv pa gibalna količina izhajajočega uplinjenega goriva (torej končna gibalna

količina), 0 dF t pa ustrezen sunek sile na maso dm. Iz enačbe (53) sledi:

0 m p rF v v , (54)

kjer je

x

x'pv

pvrv

rv

y

y'

z

z'

0v

37

d

dm

m

t , (55)

masni tok plinov, ki jih raketa izpušča. Po tretjem Newtonovem zakonu o akciji in reakciji je

sila iz rakete izhajajočih plinov na raketo (F) nasprotno enaka sili 0F , torej:

0 0mF F v (56)

kjer je

0 p rv v v , (57)

hitrost izhajajočih plinov, ki jo izmeri opazovalec v raketi, to je v pospešenem opazovalnem

sistemu (x', y', z') (glejte še sliko).

Zapišimo sedaj II. Newtonov zakon za gibanje težišča rakete v inercialnem sistemu (x, y, z):

0

d

dm

vF v m

t , (58)

kjer je d

d

va

t pospešek rakete,

0 mm m t , (59)

pa od časa odvisna masa rakete. Začetna masa rakete 0m se namreč s časom zmanjšuje zaradi

izhajajočih plinov. Če je celotna masa goriva enaka pm , potem v času

0

p

m

mt

, (60)

raketa porabi vso gorivo. Če združimo enačbi (58) in (59) dobimo enačbo gibanja v obliki:

0 0

d

dm m

vv m t

t . (61)

Diferencialno enačbo (61) rešimo z integracijo:

m

0 00 0

ddt

v t

m

v

v m t

, (62)

kjer vzamemo, da je hitrost ob času nič enaka nič. Izvršeni integraciji v enačbi (62) nam

podajata rešitev v obliki:

38

00

0

lnm

mv v

m t

. (63)

Raketa doseže maksimalno hitrost ob času 0t , ko je porabljeno vso gorivo:

0max 0 0

00 0

0

1ln ln

1 mm

mv v v

tm t

m

.

(64)

Če hočemo pri dani masi goriva pm (enačba (60)) povečati maksimalno končno hitrost rakete,

moramo narediti večstopenjsko raketo, kjer se masa rakete manjša tudi tako, da raketa sproti

odmetava izpraznjene dele rezervoarja goriva in na ta način doseže večje pospeške.

39

3. Izrek o vrtilni količini

Točkasto telo

Krivo gibanje točkastega telesa z maso m opišemo s časovno odvisnim krajevnim vektorjem

r t , definiranim v kartezičnem koordinatnem sistemu , ,x y z .

hitrost d

d

rv

t

pospešek 2d d

d d

v ra

t t

Zapišemo II. Newton-ov zakon za gibanje točkastega telesa:

ma F , (1)

kjer je F rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na točkasto telo. Enačbo (1) množimo

vektorsko na obeh straneh enačaja s krajevnim vektorjem r :

r ma r F M , (2)

kjer je M rezultantni navor vseh zunanjih sil.

Člen ( r ma ) lahko zapišemo malce drugače:

d d d

d d d

r vr mv mv r m v mv r ma r ma

t t t , (3)

kjer upoštevamo, da je vektorski produkt dveh vzporednih vektorjev v mv enak nič. Torej

ob upoštevanju enačbe (3) se enačba (2) transformira v:

d

d

r mvM

t

. (4)

Definiramo vrtilno količino točkastega telesa:

r mv . (5)

x

y

z

m

r

tir

40

Iz enačb (4) in (5) tako sledi izrek o vrtilni količini za točkasto telo:

d

dM

t

(6)

Enačbo (6) prepišemo v obliko:

d dM t ,

oziroma

2

1

2 1d

t

t

M t , (7)

kjer je dM t sunek navora, 1 začetna vrtilna količina, 2 končna vrtilna količina, pa

sprememba vrtilne količine.

Za enakomerno krožečo točkasto maso, kjer postavimo izhodišče koordinatnega sistema v

središče krožnice (glejte sliko), kaže vektor vrtilne količine v smeri (ali pa v nasprotni

smeri) osi z. Velikost vrtilne točkaste mase m, ki kroži s kotno hitrostjo po krožnici s

polmerom r je:

2r mv r m r mr , (8)

kjer smo upoštevali v r . Kinetična energija krožeče točkaste mase pa je:

2 2 21 1

2 2kW mv mr . (9)

Če definiramo vztrajnostni moment krožeče točkaste mase kot

2J mr , (10)

r

z

y

x

m

41

lahko zapišemo enačbe (5), (6), (7) in (9) v obliki:

J , (11)

d d

d dM J J

t t

, (12)

2

1

2 1d

t

t

M t J J , (13)

21

2kW J , (14)

kjer je d

dt

kotni pospešek.

Sistem točkastih mas

Za začetek pokažemo za sistem dveh točkastih delcev (glejte sliko), da je navor notranjih sil

nič, če sile delujejo v smeri daljic, ki povezujejo posamezne točkaste mase.

Vsota navorov notranjih sil 12F in 21F je enaka:

1 21 2 12 1 21 2 21i

i

M r F r F r F r F , (15)

kjer smo upoštevali III. Newtonov zakon, t.j. 12 21 0F F . Enačbo (15) zapišemo v obliki:

1 2 21 0i

i

M r r F , (16)

42

kjer smo upoštevali, da je vektorski produkt dveh vzporednih vektorjev 1 2r r in 21F nič.

Posplošitev enačbe (16) za množico točkastih mas nas vodi do zaključka, da je navor vseh

notranjih sil vedno nič, če so dvodelčne notranje sile centralne.

Na osnovi enačbe (5) zapišemo vrtilno količino množice točkastih mas kot:

i i i

i

r m v , (17)

kjer teče indeks i po vseh točkovnih masah, ki sestavljajo sistem. V nadaljevanju enačbo (17)

odvajamo po času na obeh straneh enačaja:

d dd d

d d d d

i ii i i i i i i

i i i

i i i i i i i i i

i i i

r vr m v m v r m

t t t t

v m v r m a r m a

, (18)

kjer smo upoštevali, da je vektorski produkt vzporednih vektorjev iv in i im v enak nič. V

nadaljevanju upoštevamo II. Newtonov zakon za posamezno točkasto maso (glejte še str. 21):

i i ji i

j

m a F F , (19)

kjer je ji

j

F vsota vseh notranjih sil, ki delujejo na maso im , iF pa rezultanta vseh zunanjih

sil, ki delujejo na maso im . Iz enačb (18) in (19) sledi:

d

di ji i i

i j i

r F r Ft

. (20)

Ker smo prej pokazali, da je vsota vseh notranjih navorov i ji

i j

r F

enaka nič, lahko

enačbo (20) zapišemo v obliki:

d

di i i

i i

r F Mt

, (21)

kjer je i

i

M vsota vseh zunanjih navorov, ki delujejo na sistem točkastih mas

1 2 3, , , . . .m m m Enačbo (21) imenujemo izrek o vrtilni količini za sistem točkastih mas.

43

Togo telo

o togo telo obravnavamo kot skupek točkastih mas mi

o je trenutna kotna hitrost v smeri osi okoli katere se vrtijo vsi deli telesa (vse

točkaste mase) z enako kotno hitrostjo: konst.ir

o koordinatno izhodišče je na osi vrtenja

2 2 2 2

, ,

, ,

x y z

i i i i

i i i i

r x y z

r x y z

sin

i

i i

i i i i

R

v r

v r R

vrtilna količina sistema točkastih mas:

i i i

i

r m v (22)

Izrek o vrtilni količini: d

di

i

M Mt

(23)

Prehod iz sistema točkastih mas na togo telo: , d , ,i i i

i

m m r r v v ,

torej di i i

i

r xm v r v m (24)

Uporabimo zvezo:

r v r r r r r r , od koder sledi:

2d d d dr v m r r m r m r r m (25)

Ob upoštevanju:

x

y

z

iir

iR

im

44

,

, ,

,x y z

r x y z

2 2 2 2

x y z

r r r x y z

r x y z

zapišemo vektorsko enačbo (25) po komponentah v obliki:

2d dx x x y zr m x x y z m (26a)

2d dy y x y zr m y x y z m (26b)

2d dz z x y zr m z x y z m (26c)

Enačbe (26) preuredimo v obliko:

2 2 d d d

xx xy xz

x x y z

J D D

y z m xy m xz m (27a)

2 2d d d

yx yy yz

y x y z

D J D

xy m x z m zy m (27b)

2 2d d d

zx zy zz

z x y z

D D J

zx m zy m x y m (27c)

Enačbe (27) ponovno zapišemo v vektorskem zapisu:

J , (28)

kjer je J vztrajnostni tenzor:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

J D D

J D J D

D D J

(29)

Zaključek:

Vektorja in v splošnem nista vzporedna.

Poimenovanje:

o , ,xx yy zzJ J J so vztrajnostni momenti okrog treh pravokotnih osi

o , , , , ,xy xz yz yx zx zyD D D D D D so deviacijski momenti

45

Torej:

2 2 d ,xxJ y z m (30)

2 2 d ,yyJ x z m (31)

2 2 d ,zzJ x y m (32)

d , dxy xzD xy m D xz m (33)

d , dyx yzD yx m D yz m (34)

d , dzx zyD zx m D yz m (35)

Iz enačb (33) – (35) sledi:

,

,

.

xy yx

xz zx

yz zy

D D

D D

D D

Vidimo, da je tenzor J simetričen.

Diagonalizacija tenzorja J : 0ijD , koordinate osi so usmerjene vzdolž glavnih osi:

0 0

0 0 , , ,

0 0

x

y x xx y yy z zz

z

J

J J J J J J J J

J

(36)

Poseben primer: 0, ,0 v sistemu glavnih osi ( J je diagonaliziran),

torej velja:

,y yJ

in sta vzporedna, torej velja :

x

y

z

46

,

d

d

y y

y

y

J

Mt

2 2 dyJ x z m

Poseben primer: os vrtenja togega telesa je vpeta v ležaje (togo telo prisilimo z ležaji, da se

vrti okoli nepremične osi):

Komponenta vektorja v smeri kotne hitrosti :

,

(37)

kjer je

enotni vektor 1 .

Z M označimo komponento navora M v smeri

vektorja kotne :

Velja:

2

2

2 2 2 2 2 2

d d d d

d 1 cos d sin d ,

r v m r r m r m r r m

rr m r m r R m J

kjer smo upoštevali:

2 dJ R m (38)

in cos ,r r sinR r (glejte še sliko).

ležaj ležaj

47

Z upoštevanjem gornjega rezultata

J (39)

zapišemo:

d d,

d dM J J

t t

(40a)

torej

M J (40b)

kjer je d

dt

kotni pospešek.

Iz enačbe (40a) sledi:

2

1

2 1dM t d

. (41)

Če je torej sunek zunanjih navorov nič, iz enačbe (41) sledi, da se vrtilna količina vpetega

togega telesa ohranja:

2 1 (42)

Zgled: človek na vrtljivem stolu z utežmi v obeh rokah:

začetno stanje končno stanje

1 2J J

vztrajnostni moment: 1J vztrajnostni moment: 2J

vrtilna količina:

1 1 1J

vrtilna količina: 2 2 2J

r

d m

sin Rr

48

Ker je navor notranjih sil enak nič (glejte enačbo (16)) se vrtilna količina ohranja:

1 1 2 2J J ,

od koder sledi:

12 1 1

2

J

J ,

kjer smo upoštevali 1 2J J (glejte sliko).

Zgled: vztrajnostni moment homogenega valja okrog geometrijske osi

2 2d dJ r m r V , (43a)

kjer je gostota valja,

d 2 dV r r h . (43b)

Iz enačb (43a) in (43b) sledi:

42 3 4 2

0 0 0

12 d 2 d 2

4 2 2

RR Rr h

J r r h r h r r h R m R , (43)

kjer smo upoštevali, da je celotna masa valja 2m R h .

rdr

h

R

R

h

polmer valja

višina valja

49

Zgled: kotaljenje homogenega valja po klancu navzdol brez podrsavanja

Za os vrtenje izberemo geometrijsko os valja na kateri leži težišče valja.

T težišče valja

m masa valja

R polmer valja

F komponenta sile podlage vzdolž klanca

nagib klanca

sinmg komponenta sile teže mg vzdolž klanca

cosmg komponenta sile teže mg v smeri pravokotno na površino klanca

Zapišimo II. Newtonov zakon za gibanje težišča valja vzdolž klanca:

sin Tmg F ma , (44)

kjer je Ta pospešek težišča valja vzdolž klanca.

Izrek o vrtilni količini za vrtenje valja okrog geometrijske osi:

M FR J , (45)

kjer je 21

2J m R vztrajnostni moment valja okrog geometrijske osi, pa kotni pospešek za

vrtenje valja okrog geometrijske osi. Če se valj kotali brez podrsavanja je hitrost težišča valja

Tv R , (46)

kjer je kotna hitrost vrtenje valja okrog geometrijske osi. Enačbo (46) odvajamo po času na

obeh straneh enačaja in dobimo:

Ta R . (47)

Enačbe (44), (45) in (47) predstavljajo sistem treh enačb za tri neznanke F, Ta in . Iz

enačbe (47) izrazimo Ta

R in ga vstavimo v enačbo (45):

21

2

TaFR m R

R ,

F

T

sinmg

mgcosmg

50

od koder sledi:

1

2TF ma . (48)

Gornji izraz za silo vstavimo v enačbo (44):

1sin

2T Tmg ma ma ,

od koder lahko izračunamo pospešek težišča kotalečega se valja:

2sin

3Ta g . (49)

Če vstavimo dobljeni izraz za pospešek Ta v enačbo (48), dobimo še izraz za komponento

sile podlage vzdolž klanca:

1sin

3F m g . (50)

Če hočemo, da se valj kotali brez podrsavanja mora biti sila F manjša od sile lepenja:

1sin cos

3F m g F m g k ,

od koder sledi pogoj za kotaljenje brez podrsavanja:

3tg k , (51)

kjer je k koeficient lepenja, cosmg pa komponenta sile teže v smeri pravokotno na

površino klanca (glejte še sliko).

Dokaz veljavnosti enačbe (46): v R

z x

y

*x

*y

*z

TTv

1

51

Obravnavamo kotaljenje homogenega valja po ravni podlagi brez podrsavanja v

laboratorijskem opazovalnem sistemu (x, y, z) in težiščnem opazovalnem sistemu (x*, y

*, z

*) z

izhodiščem v težišču valja na njegovi geometrijski osi. Če zanemarimo deformacije na stiku

med valjem in podlago, je lahko področje dotika valja s podlago daljica. Točka 1 na gornji

sliki leži na tej daljici. Hitrost točke 1 v laboratorijskem sistemu.

1 0v (52)

Hitrost točke 1 merjena v težiščnem sistemu pa je

1

*v R , (53)

kjer je R polmer preseka valja. Med hitrostima v1 in *

1v velja Galilejeva transformacija za

hitrosti:

*

1 1 Tv v v . (54)

Iz enačb (52), (53) in (54) sledi:

*

1Tv v R . (46)

Steiner-jev izrek

Steinerjev izrek povezuje vztrajnostni moment togega telesa z maso m okoli dveh paralelnih

osi, od katerih poteka ena skozi težišče telesa.

Vztrajnostni moment togega telesa okoli osi 1:

2 * *

1

2 * *2 2 *

d d d

d 2 d d ,

T T

T T T

J r m r r m r r r r m

r m r r m r m mr J

(55)

dm

r

Tr

T

T težišče telesa

dm masa majhnega dela

togega telesa

os 1

os skozi težišče

*r

*

Tr r r

52

kjer je * *2dJ r m vztrajnostni moment okoli težiščne osi, Tr pa razdalja med osjo 1 in

težiščno osjo. V enačbi (55) smo upoštevali, da so koordinate težišča * * * *, ,T T T Tr x y z v

težiščnem sistemu enake nič:

* *1d 0Tr r m

m , (56)

kjer je m masa telesa.

Za ilustracijo izračunajmo vztrajnostni moment valja okoli osi, ki se dotika plašča valja.

Velja: * 21in

2TJ m R r R , torej:

* 2 2 2 2

1

1 3

2 2TJ J mr m R m R m R .

Navor sile teže telesa

Predpostavljamo, da je gravitacijski pospešek znotraj togega telesa konstanten, torej:

2

0 9.8 m sg r g ,

rezultanta sile teže: 0 0dgF m g m g

dm

0dm g

r

Tr

T

T težišče telesa

dm masa majhnega koščka

togega telesa

os

53

navor sile teže:

0 0 0

0 0 0

d d d d

d,

g g

T T T g

M r F r m g r m g r m g

r mm g mr g r mg r F

m

torej:

g T gM r F . (57)

V gornji izpeljavi smo upoštevali, da je krajevni vektor od osi do težišča Tr (glejte sliko)

definiran kot (glejte še str. 33):

1dTr r m

m .