megoldások - bzmatek · 2018. 3. 16. · egy kirándulás során a költségeinket a...
TRANSCRIPT
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
1
Megoldások
1. Két szám aránya 𝟐: 𝟑. Az egyik 𝟓 – tel nagyobb, mint a másik. Melyik ez a két szám?
Megoldás:
Legyen az egyik keresett szám 2𝑥, a másik pedig 3𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2𝑥 + 5 = 3𝑥.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5.
Válasz: A keresett számok a 10 és a 15.
2. Gondoltam egy számot. Hozzáadtam 𝟒 – et. Az összeget megszoroztam 𝟐 – vel, majd az eredményből kivontam 𝟖 – at, s így ugyanazt a számot kaptam, mint amire gondoltam. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Legyen a gondolt szám az 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ∙ (𝑥 + 4) − 8 = 𝑥.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 0.
Válasz: A gondolt szám a 0.
3. Egy tört nevezője 𝟓 – tel nagyobb a számlálójánál. Ha a tört számlálójához 𝟏𝟒 – et hozzáadunk, a nevezőjéből pedig 𝟏 – et elveszünk, akkor a tört reciprokával egyenlő nagyságú törtet kapunk eredményül. Melyik ez a tört?
Megoldás:
Legyen a tört számlálója 𝑥, a nevezője pedig 𝑥 + 5.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 14
𝑥 + 4=
𝑥 + 5
𝑥.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4.
Válasz: A gondolt tört a 4
9.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
2
4. Ha egy szám 𝟏𝟓 % - ához hozzáadunk 𝟗
𝟓 – öt, akkor a szám 𝟏𝟖 % - át kapjuk. Melyik
ez a szám?
Megoldás:
Legyen a gondolt szám az 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙15
100+
9
5= 𝑥 ∙
18
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 60.
Válasz: A gondolt szám a 60.
5. Egy tízforintost felváltunk 𝟏𝟎 és 𝟐𝟎 filléresekre. Hány darabot kapunk mindegyikből, ha összesen 𝟗𝟎 pénzdarabot kapunk vissza?
Megoldás:
Legyen a 10 filléresek száma 𝑥, a 20 filléreseké pedig 90 − 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10𝑥 + 20 ∙ (90 − 𝑥) = 10 ∙ 100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 80.
Válasz: A 10 filléresekből 80 darabot, a 20 filléresekből pedig 10 darabot kapunk.
6. Albi és Béni pénzének aránya 𝟒: 𝟓. Ha Albi kap még 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, és Béni elkölt 𝟐𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, akkor ugyannyi pénze lesz a két fiúnak. Hány forintja volt eredetileg Albinak, illetve Béninek?
Megoldás:
Legyen Albi pénzének mennyisége 4𝑥, a Bénié pedig 5𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4𝑥 + 100 = 5𝑥 − 200.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 300.
Válasz: Albinak 1200 𝐹𝑡 – ja, Béninek pedig 1500 𝐹𝑡 – ja volt.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
3
7. Anna, Bea és Cili zsebpénzének aránya 𝟐
𝟑:𝟑
𝟒:𝟒
𝟓. Hány forintjuk van külön – külön, ha
Bea és Anna pénzének a különbsége 𝟒𝟎 𝑭𝒕 – tal több Cili és Bea pénzének különbségénél?
Megoldás:
Legyen Anna pénze 2
3𝑥, Beáé
3
4𝑥, a Cilié pedig
4
5𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3
4𝑥 −
2
3𝑥 =
4
5𝑥 −
3
4𝑥 + 40.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1200.
Válasz: Annának 800 𝐹𝑡 – ja, Beának 900 𝐹𝑡 – ja, míg Cilinek pedig 960 𝐹𝑡 – ja van.
8. Négy CD lemezen összesen 𝟏𝟎𝟎𝟎 kötetnyi anyagot sikerült tárolni. Ha az elsőn 𝟏𝟓 – tel többet, a másodikon 𝟕𝟎 – nel kevesebbet, a harmadikon kétszer annyit, a negyediken pedig feleannyit tárolnánk, akkor mindegyik lemezen ugyanannyi kötet szerepelne.
Hány kötet szerepel az egyes lemezeken külön – külön?
Megoldás:
Legyen az egyenlő kötetek száma 𝑥.
Ekkor a lemezeken található kötetek száma: 𝑥 − 15; 𝑥 + 70;𝑥
2; 2𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 15 + 𝑥 + 70 +𝑥
2+ 2𝑥 = 1000.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 210.
Válasz: A lemezeken 195; 280; 105 és 420 kötet szerepel.
9. Egy apa kétszer annyi idős, mint a fia. Tíz évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint a fia. Hány éves most az apa és fia?
Megoldás:
Legyen a fiú életkora 𝑥, az apáé pedig 2𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ∙ (𝑥 − 10) = 2𝑥 − 10.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 20.
Válasz: A fiú 20, az apa pedig 40 éves.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
4
10. Három testvér életkorának összege 𝟒𝟎 év. A középső 𝟑 évvel öregebb a legkisebbnél, de 𝟒 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Hány évesek külön – külön?
Megoldás:
Legyen a középső testvér életkora 𝑥, a legkisebbé 𝑥 − 3, a legidősebbé pedig 𝑥 + 4.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 − 3 + 𝑥 + 4 = 40.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 13.
Válasz: A testvérek életkora 10; 13 és 17 év.
11. Egy apa azt mondja 𝟖 éves lányának: ,,Amikor annyi idős leszel, mint most én, akkor 𝟔𝟎 esztendős leszek.” Hány éves az apa?
Megoldás:
Legyen az apa életkora 𝑥.
Ekkor az életkorok különbsége: 𝑥 − 8.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 − 8 = 60.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 34.
Válasz: Az apa 34 éves.
12. Egy kutya 𝟖𝟎 𝒎 távolságban meglát egy nyulat, és elkezdi üldözni. A két állat egyszerre kezd futni a kutyát a nyúllal összekötő egyenes mentén. A nyúl 𝟏𝟎 – et, a kutya 𝟗 – et ugrik másodpercenként. Mennyi idő alatt éri utol a kutya a nyulat, ha a kutyaugrás 𝟏 𝒎 hosszú, a nyúlugrás pedig csak 𝟖𝟎 𝒄𝒎?
Megoldás:
Legyen az eltelt idő 𝑥 másodperc.
Ekkor a kutya által megtett út 9 ∙ 𝑥 ∙ 1 = 9𝑥, a nyúlé pedig 10 ∙ 𝑥 ∙ 0,8 = 8𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 9𝑥 = 80 + 8𝑥.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 80.
Válasz: A kutya 80 𝑠 után éri utol a nyulat.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
5
13. Egy kirándulás során a költségeinket a következőképpen tudtuk fedezni. Az első nap
elköltöttük pénzünk 𝟏
𝟑 – át és még 𝟗𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, a második nap a megmaradt rész
𝟏
𝟑 – át és még 𝟔𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, így az utolsó, harmadik napon 𝟏 𝟒𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot költöttünk el.
Mennyi pénzt vittünk magunkkal a kirándulásra?
Megoldás:
Legyen az elvitt pénz mennyisége 𝑥.
Ekkor az első nap után maradt pénz mennyisége: 𝑥 −1
3𝑥 − 900 =
2
3𝑥 − 900.
A második nap után pedig: 2
3𝑥 − 900 −
1
3∙ (2
3𝑥 − 900) − 600 =
4
9𝑥 − 1 200.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4
9𝑥 − 1200 = 1 400.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5 850.
Válasz: A kirándulásra 5 850 𝐹𝑡 – ot vittünk magunkkal.
14. Egy háromnapos kerékpártúra első napján megtettük az út negyedét és még 𝟔 𝒌𝒎 – t, a második napon a hátralevő út harmadát és még 𝟐 𝒌𝒎 - t, így az utolsó napra 𝟒𝟒 𝒌𝒎 maradt. Milyen hosszú volt a kerékpártúra?
Megoldás:
Legyen a túra hossza 𝑥.
Ekkor az első nap után maradt út hossza: 𝑥 −1
4𝑥 − 6 =
3
4𝑥 − 6.
A második nap után pedig: 3
4𝑥 − 6 −
1
3∙ (3
4𝑥 − 6) − 2 =
1
2𝑥 − 6.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1
2𝑥 − 6 = 44.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 100.
Válasz: A kerékpártúra hossza 100 𝑘𝑚 volt.
15. Mennyi kézfogás történt a 𝟐𝟕 fős társaságban, ha mindenki mindenkivel kezet fogott?
Megoldás:
Egy 𝑛 tagú társaságban 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)
2 kézfogás történik, így felírhatjuk a következőt:
27 ∙ 26
2= 351.
Válasz: A 27 fős társaságban összesen 351 kézfogás volt.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
6
16. Egy traktor hátsó kerekének a sugara kétszer akkora, mint az első keréké. Ha az első kerék kerülete 𝟏 𝒎 – rel nagyobb, a hátsóé pedig 𝟏 𝒎 – rel kisebb volna, akkor az első kerék 𝟑𝟎𝟎 méteren ugyanannyit fordulna, mint a hátsó 𝟑𝟕𝟓 méteren. Mekkora a két kerék sugara?
Megoldás:
Legyen az első kerék sugara 𝑥, a hátsóé pedig 2𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 300
2 ∙ 𝑥 ∙ 𝜋 + 1=
375
2 ∙ 2𝑥 ∙ 𝜋 − 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 0,48.
Válasz: Az első kerék sugara 0,48 𝑚, a hátsóé pedig 0,96 𝑚.
17. Egy bilológiai kísérlet során két számítógéppel dolgozták fel az adatokat. Az egyik gép 𝟓𝟎𝟎 mintát tudott feldolgozni naponta, a másik pedig 𝟏 𝟎𝟎𝟎 – t. A két gép egymást követően folyamatosan dolgozva 𝟏𝟎 napi munkával 𝟖 𝟎𝟎𝟎 mintát értékelt. Hány mintát értékeltek külön – külön?
Megoldás:
Legyen az első gép munkanapjainak száma 𝑥, a másiké pedig 10 − 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 500𝑥 + 1 000 ∙ (10 − 𝑥) = 8 000.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4.
Válasz: Az első gép 2 000 darab mintát, a második pedig 6 000 darabot értékelt külön - külön.
18. Egy asztalos üzemnek a vártnál gyorsabb almaérés miatt a megrendelt
gyümölcsládákat 𝟓 hét helyett 𝟒 hét alatt kellett elkészítenie, ezért napi 𝟏𝟕𝟓 ládával megemelte a termelést. Mennyi láda készült el az üzemben 𝟏 nap alatt, ha minden héten 𝟔 napot dolgoztak?
Megoldás:
Legyen a gyümölcsládák száma 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
30+ 175 =
𝑥
24.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 21 000.
Válasz: Összesen 875 láda készült el egy nap alatt.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
7
19. Két rekeszben összesen 𝟗𝟎 𝒌𝒈 alma van. Mennyi alma van az egyes rekeszekben, ha az első rekesz almáinak 𝟐𝟓 % - a a második rekesz almáinak 𝟐𝟎 % - a?
Megoldás:
Legyen az első rekeszben 𝑥, a másodikban pedig 90 − 𝑥 darab alma.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙25
100= (90 − 𝑥) ∙
20
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 40.
Válasz: Az első rekeszben 40 darab, a másodikban pedig 50 darab alma van.
20. Elköltöttük pénzünk 𝟏𝟗 % - át, 𝟔 𝟖𝟓𝟗 𝑭𝒕 – ot. Mennyi pénzünk volt?
Megoldás:
Legyen az eredeti pénzünk mennyisége 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙19
100= 6 859.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 36 100.
Válasz: Eredetileg 36 100 𝐹𝑡 volt.
21. A tej tömegének 𝟕, 𝟑 % - a tejszín. A tejszín tömegének 𝟔𝟐 % - a vaj. Hány 𝒌𝒈 tejből készíthető 𝟓 𝒌𝒈 vaj?
Megoldás:
Legyen a tej tömege 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙7,3
100∙62
100= 5.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 110,47.
Válasz: Eredetileg 110,47 𝑘𝑔 tejre van szükség.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
8
22. Két üzemnek a terv szerint egy hónapban 𝟑𝟔𝟎 𝒅𝒃 szerszámgépet kellett készítenie. Az első üzem 𝟏𝟏𝟐 % - ra teljesítette a tervet, a második pedig 𝟏𝟏𝟎 % - ra, és így a két üzem egy hónap alatt 𝟒𝟎𝟎 𝒅𝒃 szerszámgépet gyártott. Hány szerszámgépet készített terven felül külön – külön a két üzem?
Megoldás:
Legyen az első üzem terve 𝑥, a másodiké pedig 360 − 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙112
100+ (360 − 𝑥) ∙
110
100= 400.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 200.
Válasz: Az első üzem 24 darabot, a második pedig 16 darabot készített terven felül.
23. Két brigád együtt 𝟖 𝟐𝟎𝟎 transzformátortekercset készített. Az ellenőrzés az egyik brigád által készített tekercseknek a 𝟐 % - át, a másikénak pedig 𝟑 % - át hibásan szigeteltnek találta, összesen 𝟐𝟏𝟔 darabot. Hány darab hibátlan tekercset készített mindegyik brigád?
Megoldás:
Legyen az első brigád termelése 𝑥, a másodiké pedig 8 200 − 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙2
100+ (8 200 − 𝑥) ∙
3
100= 216.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 3 000.
Válasz: Az első brigád 2 940 darab, a második pedig 5 044 darab hibátlant készített.
24. Egy vizsgán a tanuló az első 𝟐𝟎 kérdésből 𝟏𝟓 – re helyes választ adott. A további kérdések egy ötödére is helyesen válaszolt. Minden válaszra azonos pontszámot
kapott, és így 𝟒𝟎 % - os eredményt ért el. Hány kérdés volt a vizsgán?
Megoldás:
Legyen az összes kérdés száma 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 20
5+ 15 = 𝑥 ∙
40
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 55.
Válasz: A vizsgán összesen 55 kérdés volt.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
9
25. Egy könyvkereskedő vásárolt két könyvet, majd eladta őket egyforma áron. Az egyiken 𝟐𝟎 % - ot nyert, a másikon 𝟐𝟎 % - ot veszített, így összesen 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal kapott kevesebbet értük, mint amennyiért vette őket. Mennyiért vette és adta el a könyveket?
Megoldás:
Legyen a könyvek eladási ára 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
1,2+
𝑥
0,8= 2𝑥 + 100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1 200.
Válasz: A könyveket 1 200 𝐹𝑡 – ért adta el, s az első ára 1 000 𝐹𝑡, a másodiké 1 500 𝐹𝑡 volt.
26. Egy áru árát 𝟐𝟎 % - kal leszállították, majd 𝟐𝟎 % - kal felemelték, így az ára az eredeti áránál 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal kevesebb lett. Mennyibe került eredetileg az áru?
Megoldás:
Legyen az eredeti ár 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (1 −20
100) ∙ (1 +
20
100) = 𝑥 − 100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 2 500.
Válasz: Eredetileg 2 500 𝐹𝑡 volt az ára.
27. Egy 𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – os TV árát először emelték 𝟓 % - kal, majd mivel nem kelt el, csökkentették 𝟏𝟎 % - kal. Mennyiért siekrült ígyeladni?
Megoldás:
Legyen a termék utolsó ára 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 80 000 ∙ (1 +5
100) ∙ (1 −
10
100) = 𝑥.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 75 600.
Válasz: Végül 75 600 𝐹𝑡- ért adták el a Tv - t.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
10
28. Egy brigád a munkaidő alatt 𝟏𝟎 % - kal túlteljesítette a tervét, majd túlórában további 𝟑𝟎𝟎 munkadarabot készített el. Mennyi volt a tervük, ha összesen 𝟏 𝟎𝟒𝟖 munkadarabot munkáltak meg?
Megoldás:
Legyen az eredeti terv 𝑥 darab munkadarab.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (1 +10
100) + 300 = 1 048.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 680.
Válasz: Az eredeti terv 680 darab volt.
29. Egy háromszög két nagyobb szögének aránya 𝟐: 𝟑. A legkisebb szöge 𝟔𝟎° - kal kisebb a legnagyobbnál. Mekkorák a háromszög szögei?
Megoldás:
Legyen a legnagyobb szög 3𝑥, a középső 2𝑥, a legkisebb pedig 3𝑥 − 60.
A belső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 − 60 + 2𝑥 + 3𝑥 = 180.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 30.
Válasz: A háromszög szögeinek nagysága 30°; 60° és 90°.
30. Mekkora a háromszög belső szögeinek nagysága, ha a külső szögek aránya 𝟑: 𝟕: 𝟖?
Megoldás:
Legyen a legkisebb külső szög 3𝑥, a középső 7𝑥, a legnagyobb pedig 8𝑥.
A külső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 + 7𝑥 + 8𝑥 = 360.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 20.
Ezek alapján a háromszög külső szögei: 60°; 140°; 160°.
Válasz: A háromszög belső szögeinek nagysága 120°; 40° és 20°.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
11
31. Egy háromszög kerülete 𝟒𝟔 𝒄𝒎, két oldalának az aránya 𝟑: 𝟓. Mekkora ez a két oldal, ha a harmadik oldal 𝟔 𝒄𝒎? Van – e ilyen háromszög?
Megoldás:
Legyen a háromszög egyik oldala 3𝑥, a másik pedig 5𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 + 5𝑥 + 6 = 46.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5.
Válasz: A háromszög oldalainak nagysága 6 𝑐𝑚; 15 𝑐𝑚 és 25 𝑐𝑚. Nincs ilyen háromszög, mert 15 + 6 < 25 (háromszög egyenlőtlenség).
32. Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei, ha az alapon fekvő szöge 𝟑𝟔° - kal nagyobb a szárak szögénél?
Megoldás:
Legyen az alapon fekvő szögeinek nagysága 𝑥, a szárszögé pedig 𝑥 − 36.
A belső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 − 36 = 180.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 72.
Válasz: A háromszög szögeinek nagysága 36°; 72° és 72°.
33. Egy 𝟏𝟐 𝒄𝒎 kerületű egyenlő szárú háromszögben az alap hossza a szárak hosszának
a 𝟐
𝟑 része. Mekkorák a háromszög oldalai?
Megoldás:
Legyen a szárak hossza 𝑥, az alapé pedig 2
3𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 +2
3𝑥 = 12.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4,5.
Válasz: A háromszög oldalainak nagysága 3 𝑐𝑚; 4,5 𝑐𝑚 és 4,5 𝑐𝑚.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
12
34. Mekkora a téglalap területe, ha kerülete 𝟏𝟐 𝒄𝒎, és az egyik oldalának hossza háromszorosa a másik oldal hosszának?
Megoldás:
Legyen a téglalap egyik oldalának hossza 𝑥, a másiké pedig 3𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ∙ (𝑥 + 3𝑥) = 12.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1,5.
Ezek alapján a téglalap területe: 𝑇 = 1,5 ∙ 4,5 = 6,75 𝑐𝑚2.
Válasz: A téglalap területe 6,75 𝑐𝑚2.
35. Egy trapéz magassága 𝟒, 𝟐 𝒄𝒎, két párhuzamos oldalának aránya 𝟐: 𝟑. Mekkorák a trapéz párhuzamos oldalai, ha területe 𝟏𝟔, 𝟖 𝒄𝒎𝟐?
Megoldás:
Legyen a rövidebb alap hossza 2𝑥, a nagyobb alapé pedig 3𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2𝑥 + 3𝑥
2∙ 4,2 = 16,8.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1,6.
Válasz: A trapéz alapjainak hossza 3,2 𝑐𝑚 és 4,8 𝑐𝑚.
36. Egy 𝟔 𝒄𝒎 oldalhosszúságú négyzet egyik oldalát 𝟏
𝟑 részével megnöveltük, szomszédos
oldalát annyival csökkentettük, hogy az így kapott téglalap területe ugyanannyi
legyen, mint az eredeti négyzeté. Mennyivel csökkentettük ezt az oldalt?
Megoldás:
Legyen a csökkentés mértéke 𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 62 = (6 +1
3∙ 6) ∙ (6 − 𝑥).
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1,5.
Válasz: A négyzet másik oldalát 1,5 𝑐𝑚 – rel csökkentettük.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
13
37. Egy háromszög 𝒃 oldala 𝟐 𝒄𝒎 – rel rövidebb, a 𝒄 oldala 𝟐 𝒄𝒎 – rel hosszabb, mint az 𝒂 oldal és 𝒃: 𝒄 = 𝟑: 𝟓. Mekkora a háromszög területe?
Megoldás:
Legyen az 𝑎 oldal hossza 𝑥, a 𝑏 oldalé 𝑥 − 2, a 𝑐 oldalé pedig 𝑥 + 2.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 2
𝑥 + 2=
3
5.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 8.
Ezek alapján a háromszög oldalai: 6 𝑐𝑚; 8𝑐𝑚 és 10 𝑐𝑚.
Mivel 62 + 82 = 102, így Pitagorasz – tétel szerint a háromszög derékszögű.
Ekkor a háromszög területe: 𝑇 =6 ∙ 8
2= 24 𝑐𝑚2.
Válasz: A háromszög területe 24 𝑐𝑚2.
38. Mennyi átlója van egy szabályos 𝟑𝟖 szögnek?
Megoldás:
Egy 𝑛 oldalú sokszögnek 𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2 átlója van, így felírhatjuk a következőt:
38 ∙ (38 − 3)
2= 665.
Válasz: A szabályos 38 szögnek összesen 665 átlója van.
39. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 𝟏𝟎. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 𝟑𝟔 – tal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 10 − 𝑥.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Tízesek Egyesek Szám
𝑥 10 − 𝑥 10𝑥 + 10 − 𝑥
10 − 𝑥 𝑥 10 ∙ (10 − 𝑥) + 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10𝑥 + 10 − 𝑥 = 10 ∙ (10 − 𝑥) + 𝑥 − 36.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 3.
Válasz: A gondolt szám a 37.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
14
40. Egy kétjegyű számban a tízesek helyén álló számjegy 𝟏 híján az egyesek helyén álló számjegy háromszorosa. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor 𝟐𝟕 – tel kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Legyen az egyesek száma 𝑥, a tízeseké pedig 3𝑥 − 1.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Tízesek Egyesek Szám
3𝑥 − 1 𝑥 10 ∙ (3𝑥 − 1) + 𝑥
𝑥 3𝑥 − 1 10𝑥 + 3𝑥 − 1
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙ (3𝑥 − 1) + 𝑥 = 10𝑥 + 3𝑥 − 1 + 27.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 2.
Válasz: A gondolt szám az 52.
41. Egy kétjegyű szám számjegyeinek aránya 𝟑: 𝟐. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az új szám az eredeti felénél 𝟐𝟏 – gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Legyen a tízesek száma 3𝑥, az egyeseké pedig 2𝑥.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Tízesek Egyesek Szám
3𝑥 2𝑥 10 ∙ 3𝑥 + 2𝑥
2𝑥 3𝑥 10 ∙ 2𝑥 + 3𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙ 3𝑥 + 2𝑥
2= 10 ∙ 2𝑥 + 3𝑥 − 21.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 3.
Válasz: A gondolt szám a 96.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
15
42. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege 𝟏𝟑. Ha a számot 𝟏𝟐 – vel osztjuk, akkor a hányados megegyezik a szám utolsó számjegyével, a maradék pedig ennél 𝟐 – vel kisebb. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 13 − 𝑥.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Tízesek Egyesek Szám
𝑥 13 − 𝑥 10𝑥 + 13 − 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
10𝑥 + 13 − 𝑥 = 12 ∙ (13 − 𝑥) + 13 − 𝑥 − 2.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 7.
Válasz: A gondolt szám a 76.
43. Egy háromjegyű szám számjegyei egymást közvetlenül követő természetes számok. Ha fordított sorrendben írjuk a számjegyeket, akkor az így képzett háromjegyű szám
és az eredeti szám összege 𝟏𝟑𝟑𝟐. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Legyen a százasok száma 𝑥, a tízeseké 𝑥 + 1, az egyeseké pedig 𝑥 + 2.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Százas Tízesek Egyesek Szám
𝑥 𝑥 + 1 𝑥 + 2 100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 + 2
𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑥 100 ∙ (𝑥 + 2) + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 + 2 + 100 ∙ (𝑥 + 2) + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 = 1332.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5.
Válasz: A gondolt szám az 567.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
16
44. Egy háromjegyű szám középső számjegye kétszerese az első számjegynek, az utolsó számjegye eggyel nagyobb, mint a középső számjegy. Ha fordított sorrendben írjuk a
számjegyeket, akkor az így képzett háromjegyű szám és az eredeti szám különbsége
𝟑𝟗𝟔. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Legyen a százasok száma 𝑥, a tízeseké 2𝑥, az egyeseké pedig 2𝑥 + 1.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Százas Tízesek Egyesek Szám
𝑥 2𝑥 2𝑥 + 1 100𝑥 + 10 ∙ 2𝑥 + 2𝑥 + 1
2𝑥 + 1 2𝑥 𝑥 100 ∙ (2𝑥 + 1) + 10 ∙ 2𝑥 + 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
100 ∙ (2𝑥 + 1) + 10 ∙ 2𝑥 + 𝑥 − [100𝑥 + 10 ∙ 2𝑥 + 2𝑥 + 1] = 396.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 3.
Válasz: A gondolt szám a 367.
45. Egy kétjegyű számban 𝟑 – mal több egyes van, mint tízes. Ha a számjegyei közé számjegyeinek az összegét iktatjuk be harmadik jegyül, az eredeti szám 𝟏𝟏 – szeresét kapjuk. Melyik kétjegyű számból indultuk ki? Hány ilyen szám van?
Megoldás:
Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 𝑥 + 3.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Százas Tízesek Egyesek Szám
𝑥 𝑥 + 3 10𝑥 + 𝑥 + 3
𝑥 𝑥 + 𝑥 + 3 𝑥 + 3 100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 𝑥 + 3) + 𝑥 + 3
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
11 ∙ (10𝑥 + 𝑥 + 3) = 100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 𝑥 + 3) + 𝑥 + 3.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 33 = 33.
Ezek alapján bármilyen szám szerepelhet az 𝑥 helyén, ami a feladat szövegének megfelel.
Válasz: A lehetséges számok a következők: 14; 25; 36.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
17
46. Egy kerítés lefestése Péternek 𝟒 órájába telne. Ugyanezt a munkát András 𝟔 óra alatt végezné el. Mennyi idő alatt fejezik be együtt a kerítés lefestését?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
András Péter
6 óra 4 óra
𝟏 óra alatt 1
6
1
4
𝒙 óra alatt 𝑥
6
𝑥
4
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
6+𝑥
4= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 2,4.
Válasz: Együtt 2,4 óra alatt végeznek a kerítés lefestésével.
47. Egy medencébe két csapon keresztül folyik a víz. Együtt 𝟏𝟎 óra alatt töltik meg a medencét. Ha az A csap egyedül 𝟏𝟓 óra alatt tölti meg a medencét, akkor a B csap egyedül mennyi idő alatt tölti azt meg?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
A csap B csap
15 óra 𝑥 óra
𝟏 óra alatt 1
15
1
𝑥
𝟏𝟎 óra alatt 10
15
10
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10
15+10
𝑥= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 30.
Válasz: A B csap egyedül 30 óra alatt töltené meg a medencét.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
18
48. Egy apa 𝟏 óra 𝟒𝟎 perc alatt, felesége 𝟑 óra 𝟐𝟎 perc alatt, kisfia 𝟔 óra 𝟒𝟎 perc alatt ássa fel a kertjüket. Mennyi idő alatt készülnek el a kert felásásával, ha egyszerre
mindhárman ásnak?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Apa Anya Fiú
100 perc 200 perc 400 perc
𝟏 perc alatt 1
100
1
200
1
400
𝒙 perc alatt 𝑥
100
𝑥
200
𝑥
400
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
100+
𝑥
200+
𝑥
400= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 57,14.
Válasz: Együtt kb. 57 perc alatt végeznek a kert felásásával.
49. Egy kád az egyik csapról 𝟐𝟎 perc alatt, a másikról 𝟏𝟓 perc alatt telik meg. A lefolyót kinyitva 𝟏𝟔 perc alatt ürül ki. Mennyi ideig tart a kád feltöltése, ha mindklét csapot kinyitjuk, de a lefolyó is nyitva marad?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Első csap Második csap Lefolyó
20 perc 15 perc 16 perc
𝟏 perc alatt 1
20
1
15
1
16
𝒙 perc alatt 𝑥
20
𝑥
15
𝑥
16
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
20+
𝑥
15−
𝑥
16= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 18,46.
Válasz: A kád kb. 18 perc alatt telik meg.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
19
50. Egy víztároló két csövön át tölthető meg, mégpedig egyedül az első cső 𝟒 óra alatt, egyedül a második cső 𝟑 óra alatt tölthetné meg. Egy harmadik csövön keresztül a víztároló 𝟏 óra alatt ürül ki. Mennyi idő alatt ürül ki a tároló, ha mindhárom cső egyszerre van nyitva?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Első cső Második cső Harmadik cső
4 óra 3 óra 1 óra
𝟏 óra alatt 1
4
1
3
1
1
𝒙 óra alatt 𝑥
4
𝑥
3
𝑥
1
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 +𝑥
4+𝑥
3−𝑥
1= 0.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 2,4.
Válasz: A tároló 2,4 óra alatt ürül ki.
51. Egy kád csupán a melegvizes csapból 𝟐𝟎 perc alatt telik meg, csak a hidegvizes csapból pedig 𝟐𝟓 perc alatt. Mennyi idő alatt telt meg a kád, ha a melegvizes csap 𝟒 perccel kevesebb ideig volt nyitva, mint a hidegvizes csap?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Melegvizes csap Hidegvizes csap
20 perc 25 perc
𝟏 perc alatt 1
20
1
25
𝒙 perc alatt 𝑥
20
𝑥
25
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 4
20+
𝑥
25= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 13,3.
Válasz: A kád kb. 13,3 perc alatt telt meg.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
20
52. Egy medencébe 𝟑 cső vezet. Az elsőn át 𝟐, 𝟓 óra alatt, a másodikon 𝟑 óra alatt, a harmadikon 𝟏, 𝟓 óra alatt telik meg a medence. Egy alkalommal mindhárom csövet együttesen működtetik, de 𝟐𝟐, 𝟓 perc után a harmadik csövet elzárják. Mennyi idő alatt telik meg így a medence?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Első cső Második cső Harmadik cső
150 perc 180 perc 90 perc
𝟏 perc alatt 1
150
1
180
1
90
𝒙 perc alatt 𝑥
150
𝑥
180
𝑥
90
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
150+
𝑥
180+22,5
90= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 61,36.
Válasz: A medence kb. 61 perc alatt telik meg.
53. Egy medencét egy csap 𝟒 óra alatt tölt meg. A kifolyón 𝟑 óra alatt ürül ki a tele medence. Hány óra alatt lesz újra üres a medence, ha a csap megnyitása után 𝟑 órával véletlenül megnyitják a kifolyót, de a csapot nem zárják el?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Csap Kifolyó
4 óra 3 óra
𝟏 óra alatt 1
4
1
3
𝒙 óra alatt 𝑥
4
𝑥
3
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
4−𝑥−3
3= 0.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 12.
Válasz: A medence 12 óra után lesz üres.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
21
54. Egy ház festését három festő külön – külön 𝟏𝟐, 𝟏𝟓 és 𝟐𝟎 óra alatt végezné el egyedül. Együtt kezdik a munkát, de a második festő 𝟏, 𝟓 órát, a harmadik pedig 𝟐 órát pihent közben. Mennyi idő alatt festették ki a házat?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Első festő Második festő Harmadik festő
12 óra 15 óra 20 óra
𝟏 óra alatt 1
12
1
15
1
20
𝒙 óra alatt 𝑥
12
𝑥
15
𝑥
20
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
12+𝑥 − 1,5
15+𝑥 − 2
20= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 6.
Válasz: A három festő 6 óra alatt festették ki a házat.
55. Szőlőtelepítés előtt a talajt meg kell forgatni. Erre a műveletre 𝟏𝟐 nap áll rendelkezésre. Napi 𝟏 𝒎𝟑 – rel többet sikerült megforgatni a tervezettnél, így 𝟖 nap alatt készült el a munka. Hány 𝒎𝟑 földet kellett megforgatni?
Megoldás:
Legyen a megforgatott föld mennyisége 𝑥.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Tervezett Valós
12 nap 8 nap
𝟏 nap alatt 𝑥
12
𝑥
8
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥
12+ 1 =
𝑥
8.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 24.
Válasz: Összesen 24 𝑚3 földet kellett megforgatni.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
22
56. Egy 𝟐𝟎𝟎 𝒈 𝟓 % - os sóoldathoz hány gramm 𝟏𝟐 % - os sóoldatot kell adnunk, hogy 𝟖 % - os sóoldatot kapjunk?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Első sóoldat 200 5 200 ∙5
100
Második sóoldat 𝑥 12 𝑥 ∙12
100
Keverék 200 + 𝑥 8 (200 + 𝑥) ∙8
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 200 ∙5
100+ 𝑥 ∙
12
100= (200 + 𝑥) ∙
8
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 150.
Válasz: 150 𝑔 sóoldatot kell hozzáadnunk.
57. Az 𝟏, 𝟑 𝒌𝒈 sóoldathoz 𝟎, 𝟖 𝒌𝒈 𝟏𝟓 % - os sóoldatot öntünk, így 𝟏𝟎 % - os sóoldat jön létre. Hány % - os volt az eredeti oldat?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Első sóoldat 1,3 𝑥 1,3 ∙𝑥
100
Második sóoldat 0,8 15 0,8 ∙15
100
Keverék 2,1 10 2,1 ∙10
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1,3 ∙𝑥
100+ 0,8 ∙
15
100= 2,1 ∙
10
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 6,92.
Válasz: 6,92 % - os volt az eredeti sóoldat.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
23
58. Összekeverünk 𝟑 liter 𝟏𝟐 % - os, 𝟓 liter 𝟏𝟖 % - os és 𝟐 liter 𝟐𝟐 % - os alkoholt. Hány százalékos keveréket állítottunk elő?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Első alkohol 3 12 3 ∙12
100
Második alkohol 5 18 5 ∙18
100
Harmadik alkohol 2 22 2 ∙22
100
Keverék 10 𝑥 10 ∙𝑥
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ∙12
100+ 5 ∙
18
100+ 2 ∙
22
100= 10 ∙
𝑥
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 17.
Válasz: 17 % - os alkoholt állítottunk elő.
59. Összekevertünk kétféle narancslét. Az egyik 𝟔𝟎 % - os, a másik 𝟖𝟓 % - os volt. Hány litert vettünk belőlük, ha a keverék 𝟏𝟖 liter 𝟕𝟎 % - os narancslé lett?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Első narancslé 𝑥 60 𝑥 ∙60
100
Második narancslé 18 − 𝑥 85 (18 − 𝑥) ∙85
100
Keverék 18 70 18 ∙70
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙60
100+ (18 − 𝑥) ∙
85
100= 18 ∙
70
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 10,8.
Válasz: 10,8 𝑙 60 % - os és 7,2 𝑙 85 % - os narancslevet kevertünk össze.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
24
60. Mennyi vizet kell elpárologtatni 𝟏𝟎 liter 𝟒𝟎 % - os sóoldatból, hogy 𝟔𝟎 % - os sóoldatot kapjunk?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Sóoldat 10 40 10 ∙40
100
Víz 𝑥 0 𝑥 ∙0
100
Maradék 10 − 𝑥 60 (10 − 𝑥) ∙60
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙40
100− 𝑥 ∙
0
100= (10 − 𝑥) ∙
60
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 3,3.
Válasz: 3,3 𝑙 vizet kell elpárologtatni.
61. A 𝟏𝟐𝟎 𝒈 𝟖𝟎 % - os alkoholhoz 𝟖𝟎 𝒈 vizet adunk. Hány százalékos alkoholt kapunk?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Alkohol 120 80 120 ∙80
100
Víz 80 0 80 ∙0
100
Keverék 200 𝑥 200 ∙𝑥
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 120 ∙80
100+ 80 ∙
0
100= 200 ∙
𝑥
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 48.
Válasz: 48 % - os alkoholt kapunk.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
25
62. Van 𝟏𝟎 liter 𝟖𝟕° - os alkoholunk. Mennyi vizet kell hozzáöntenünk, hogy 𝟖𝟎° - os alkoholt kapjunk?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Alkohol 10 87 10 ∙87
100
Víz 𝑥 0 𝑥 ∙0
100
Keverék 10 + 𝑥 80 (10 + 𝑥) ∙80
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙87
100+ 𝑥 ∙
0
100= (10 + 𝑥) ∙
80
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 0,875.
Válasz: 0,875 𝑙 vizet kell hozzáöntenünk.
63. A 𝟐, 𝟐 𝒌𝒈 𝟐𝟒 % - os kénsavoldatnak hány grammját kellene tiszta vízzel kicserélnünk, hogy 𝟏𝟓 % - os kénsavoldatot kapjunk belőle?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Kénsavoldat 2,2 24 2,2 ∙24
100
Víz 𝑥 0 𝑥 ∙0
100
Keverék 2,2 15 2,2 ∙15
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2,2 ∙24
100− 𝑥 ∙
24
100+ 𝑥 ∙
0
100= 2,2 ∙
15
100.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 0,825.
Válasz: 825 𝑔 - ot kell kicserélnünk vízre.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
26
64. Az 𝟓 liter 𝟓𝟎 ℃ - os vízhez 𝟐𝟎 liter 𝟖𝟎 ℃ - os vizet keverünk. Mekkora lesz a keverék hőmérséklete?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Hőmérséklet
Első víz 5 50 5 ∙ 50
Második víz 20 80 20 ∙ 80
Keverék 25 𝑥 25𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 ∙ 50 + 20 ∙ 80 = 25𝑥.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 74.
Válasz: 74 ℃ - os lesz a keverék hőmérséklete.
65. A 𝟑 liter 𝟏𝟒𝟎 𝑭𝒕 egységárú üdítőitalhoz 𝟓 liter 𝟐𝟎𝟎 𝑭𝒕 egységárú italt kevernek. Mekkora lesz a keverék egységára?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Egység ár
Első víz 3 140 3 ∙ 140
Második víz 5 200 5 ∙ 200
Keverék 8 𝑥 8𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ∙ 140 + 5 ∙ 200 = 8𝑥.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 177,5.
Válasz: 177,5 𝐹𝑡 lesz a keverék egységára.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
27
66. Egy turistacsoprot egy hegycsúcsra felfelé menet 𝟓 óra alatt, lefelé – mivel óránként 𝟏 𝒌𝒎 – rel többet tesznek meg – ugyanezt az utat 𝟒 óra alatt teszi meg. Mekkora utat járnak be a túra során?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Felfelé 5 𝑥 5𝑥
Lefelé 4 𝑥 + 1 4 ∙ (𝑥 + 1)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5𝑥 = 4 ∙ (𝑥 + 1).
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4.
Ezek alapján a hegycsúcsra vezető út hossza: 5 ∙ 4 = 20.
Válasz: A túra során összesen 40 𝑘𝑚 – t tesznek meg oda - vissza.
67. Egy hajó két kikötő között lefelé 𝟑, 𝟓 óra, felfelé 𝟓 óra alatt teszi meg az utat. A folyó
sebessége 𝟑 𝒌𝒎
𝒉. Hány kilométerre van egymástól a két kikötő?
Megoldás:
Legyen a hajó sebessége 𝑥.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Felfelé 5 𝑥 − 3 5 ∙ (𝑥 − 3)
Lefelé 3,5 𝑥 + 3 3,5 ∙ (𝑥 + 3)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 ∙ (𝑥 − 3) = 3,5 ∙ (𝑥 + 3).
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 17.
Válasz: A két kikötő távolsága 70 𝑘𝑚.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
28
68. Egy hajó két végállomása közti utat 𝟒 óra 𝟒𝟎 perc alatt tette meg oda – vissza. A
sebessége a folyón lefelé menet 𝟏𝟔 𝒌𝒎
𝒉 volt, a folyón felfelé pedig 𝟏𝟐
𝒌𝒎
𝒉. Milyen messze
van egymástól a két végállomás?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Felfelé 𝑥 12 12𝑥
Lefelé 14
3− 𝑥 16 16 ∙ (
14
3− 𝑥)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 12𝑥 = 16 ∙ (14
3− 𝑥).
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 2,67.
Válasz: A két végállomás távolsága 32 𝑘𝑚.
69. Egy folyón fölfelé haladva 𝟖 𝒌𝒎
𝒉 - val kisebb egy hajó sebessége, mint felfelé haladva.
A két kikötő között felfelé 𝟏𝟓 óráig, lefelé 𝟏𝟎 óráig tart az út. Hány kilométert tesz meg ez a hajó fölfelé és lefelé óránként? Milyen távol van egymástól a két kikötő?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Felfelé 15 𝑥 15𝑥
Lefelé 10 𝑥 + 8 10 ∙ (𝑥 + 8)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 15𝑥 = 10 ∙ (𝑥 + 8).
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 16.
Válasz: A két kikötő távolsága 240 𝑘𝑚, s a hajó sebessége felfelé 16 𝑘𝑚
ℎ, lefelé pedig 24
𝑘𝑚
ℎ.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
29
70. Egy 𝟓𝟎 𝒎
𝒔 sebességgel haladó test és egy 𝟏𝟐
𝒎
𝒔 sebességgel haladó test egy helyről, egy
időben indulva egy irányba mozog. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 𝟐𝟎𝟗 𝒎?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Első test 𝑥 50 50𝑥
Második test 𝑥 12 12𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 50𝑥 = 12𝑥 + 209.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5,5.
Válasz: A két test 5,5 másodperc múlva lesz 209 𝑚 – re egymástól.
71. Egy 𝟑𝟔 𝒎
𝒔 és egy 𝟐𝟎
𝒎
𝒔 sebességgel haladó test ugyanarról a helyről, egy időben
indulva ellenkező irányba haladva távolodik egymástól. Hány másodperc múlva lesz
a távolságuk 𝟓𝟕𝟒 𝒎?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Első test 𝑥 36 36𝑥
Második test 𝑥 20 20𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 36𝑥 + 20𝑥 = 574.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 10,25.
Válasz: A két test 10,25 másodperc múlva lesz 574 𝑚 – re egymástól.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
30
72. Egy 𝟓, 𝟑 𝒌𝒎 hosszú ellipszis alakú ügetőpálya startpontjától egyszerre indul el két
zsoké egymással ellenkező irányban. Az egyik átlagsebessége 𝟏𝟐, 𝟓 𝒌𝒎
𝒉, a másiké
𝟏𝟒 𝒌𝒎
𝒉. Mennyi idő múlva találkoznak?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Első zsoké 𝑥 12,5 12,5𝑥
Második zsoké 𝑥 14 14𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 12,5𝑥 + 14𝑥 = 5,3.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 0,2.
Válasz: A két zsoké 12 perc múlva találkozik egymással.
73. Egy 𝟒𝟎𝟎 𝒎 hosszú kör alakú futópályán ugyanazon helyről, egyirányba, egyszerre
indul két futó. Az egyik átlagsebessége 𝟓 𝒎
𝒔, a másiké 𝟒
𝒎
𝒔. Mennyi idő múlva körözi
le a gyorsabban futó a lassúbbat? Hány métert tesznek meg ezalatt az idő alatt?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Első futó 𝑥 5 5𝑥
Második futó 𝑥 4 4𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5𝑥 = 4𝑥 + 400.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 400.
Válasz: A futók 400 𝑠 múlva találkoznak, s addig 2 000 𝑚 – t, illetve 1 600 𝑚 – t tesznek meg.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
31
74. Két kocogó ugyanazon a pályán fut végig. Az egyik, aki percenként 𝟑𝟔𝟎 𝒎 – t fut,
𝟓 másodperccel később indul, és két perccel előbb ér célba. A másik sebessége 𝟒 𝒎
𝒔.
Milyen hosszú a pálya?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Első kocogó 𝑥 6 6𝑥
Második kocogó 𝑥 + 125 4 4 ∙ (𝑥 + 125)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 6𝑥 = 4 ∙ (𝑥 + 125).
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 250.
Válasz: A pálya hossza 1 500 𝑚.
75. Két úszó átúszik egy tavat. Az egyik 𝟕𝟎 𝒎 – t, a másik 𝟔𝟎 𝒎 – t úszik percenként. A gyorsabb 𝟑 perccel előbb ér célba. Milyen széles a tó, és hány perc alatt ússzák át?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)
Első úszó 𝑥 70 70𝑥
Második úszó 𝑥 + 3 60 60 ∙ (𝑥 + 3)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 70𝑥 = 60 ∙ (𝑥 + 3).
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 18.
Válasz: A tó 1 260 𝑚 széles, s az egyik 18 perc alatt, a másik pedig 21 perc alatt ússza át.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
32
76. Egy szállodában kétágyas és háromágyas szobák vannak. Hány kétágyas és hány háromágyas szoba van a szállodában, ha egyszerre 𝟏𝟓𝟎 vendéget tudnak elszállásolni benne, és a szobák száma 𝟓𝟓?
Megoldás:
Legyen a két ágyas szobák száma 𝑥, a három ágyasoké pedig 𝑦.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
2𝑥 + 3𝑦 = 150𝑥 + 𝑦 = 55
}
A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 15 és 𝑦 = 40.
Válasz: A szállodában 15 darab kétágyas és 40 darab háromágyas szoba található.
77. Tizenhat év múlva az apa kétszer idősebb lesz fiánál. Hány évesek most, ha 𝟒 évvel ezelőtt az apa hatszor annyi idős volt, mint a fia?
Megoldás:
Legyen az apa életkora 𝑥, a fiáé pedig 𝑦.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
𝑥 + 16 = 2 ∙ (𝑦 + 16)
𝑥 − 4 = 6 ∙ (𝑦 − 4)}
A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 34 és 𝑦 = 9.
Válasz: Az apa most 34 éves, a fiú pedig 9 éves.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
33
78. A fizikaterembe padokat állítanak be. Ha minden padba két tanulót ültetnek, akkor 𝟖 tanulónak nem jut hely. Ha viszont minden padba 𝟑 tanuló ül, akkor 𝟕 hely üresen marad. Hány padot állítanak a terembe és hány tanuló van az osztályban?
Megoldás:
Legyen a padok száma 𝑥, a tanulók száma 𝑦.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
2𝑥 + 8 = 𝑦3𝑥 − 7 = 𝑦
}
Az összehasonlító módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 15 és 𝑦 = 38.
Válasz: A teremben 15 pad áll és az osztályba összesen 38 tanuló jár.
79. Egy rakomány meghatározott időn belüli elszállításához több egyforma teherautóra van szükség. Ha 𝟐 kocsival kevesebb lenne, akkor a szállítás két órával tovább tartana. Ha viszont 𝟒 autóval több lenne, a szállítást a megszabott időnél két órával hamarabb tudnák elvégezni. Hány teherautó végzi a szállítást, és mennyi idő alatt kell
készen lenniük?
Megoldás:
Legyen a teherautók száma 𝑥, az elszállításhoz szükséges idő 𝑦 óra.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
(𝑥 − 2) ∙ (𝑦 + 2) = 𝑥𝑦(𝑥 + 4) ∙ (𝑦 − 2) = 𝑥𝑦
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 8 és 𝑦 = 6.
Válasz: Összesen 8 teherautó végzi a szállítást és ehhez 6 órára van szükségük.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
34
80. Ha egy téglalap két párhuzamos oldalpárját egyidejűleg 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel növeljük, akkor területe 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 – rel lesz nagyobb, ha viszont egyik párhuzamos oldalpárját 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel csökkentjük, a másik oldalpárt pedig 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel növeljük, akkor területe 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 – rel lesz kisebb. Mekkorák a téglalap oldalai?
Megoldás:
Legyen a téglalap egyik oldalának hossza 𝑥, a másiké pedig 𝑦.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
(𝑥 + 10) ∙ (𝑦 + 10) = 𝑥𝑦 + 1000(𝑥 − 10) ∙ (𝑦 + 10) = 𝑥𝑦 − 400
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 30 és 𝑦 = 60.
Válasz: A téglalap oldalai 30 𝑐𝑚 és 60 𝑐𝑚 hosszúak.
81. Egy háromszög egyik külső szöge 𝟏𝟑𝟎°, a nem mellette fekdvő két belső szög különbsége 𝟏𝟎°. Mekkorák a háromszög szögei?
Megoldás:
Legyen a két belső szög 𝛼 és 𝛽, amelyek nem a megadott külső szög mellett fekszenek.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
𝛼 + 𝛽 = 130𝛼 − 𝛽 = 10
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝛼 = 70 és 𝛽 = 60.
Válasz: A háromszög szögei 50°; 60° és 70°.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
35
82. Ha egy derékszögű háromszög egyik befogóját 𝟐 𝒄𝒎 – rel, a másikat 𝟓 𝒄𝒎 – rel megnöveljük, az így létrejött háromszög területe 𝟓𝟏 𝒄𝒎𝟐 – rel több lesz. Ha viszont mindkét befogót 𝟐 𝒄𝒎 – rel csökkentjük, a területe 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐 – rel kisebb lesz. Mekkorák a befogók?
Megoldás:
Legyen a háromszög egyik befogójának hossza 𝑥, a másiké pedig 𝑦.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
(𝑥 + 2) ∙ (𝑦 + 5)
2=
𝑥𝑦
2+ 51
(𝑥 − 2) ∙ (𝑦 − 2)
2=
𝑥𝑦
2− 32
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 8 és 𝑦 = 26.
Válasz: A háromszög befogói 8 𝑐𝑚 és 26 𝑐𝑚 hosszúak.
83. Alkothat – e háromszöget az a három szakasz, amelyek páronként vett összege 𝟒𝟐 𝒄𝒎, 𝟐𝟖 𝒄𝒎 és 𝟐𝟎 𝒄𝒎?
Megoldás:
Legyen a háromszög oldalainak hossza 𝑥; 𝑦 és 𝑧.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
𝑥 + 𝑦 = 42𝑥 + 𝑧 = 28𝑦 + 𝑧 = 20
}
A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 25; 𝑦 = 17; 𝑧 = 3.
Válasz: A háromszög egyenlőtlenség miatt nincs ilyen háromszög (3 + 17 < 25).
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
36
84. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 𝟏𝟐. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor 𝟏𝟖 – cal kisebb számot kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám?
Megoldás:
Legyen az első számjegy 𝑥, a második 𝑦.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
𝑥 + 𝑦 = 12
10𝑥 + 𝑦 = 10𝑦 + 𝑥 + 18}
A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 8 és 𝑦 = 6.
Válasz: A keresett szám a 86.
85. Ha egy kétjegyű számot elosztunk a számjegyeinek felcserélésével kapott számmal, akkor a hányados 𝟒, a maradék 𝟑 lesz. Ha ugyanezt a számot a számjegyek különbségével osztjuk el, akkor a hányados 𝟏𝟏, a maradék 𝟓 lesz. Melyik ez a szám?
Megoldás:
Legyen az első számjegy 𝑥, a második 𝑦.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
10𝑥 + 𝑦 = 4 ∙ (10𝑦 + 𝑥) + 3
10𝑥 + 𝑦 = 11 ∙ (𝑥 − 𝑦) + 5}
A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 7 és 𝑦 = 1.
Válasz: A keresett szám a 71.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
37
86. Két csapon át 𝟏𝟓 óra alatt telik meg egy medence. Ha az első csapot csak 𝟔 órán át tartjuk nyitva, akkor a második csapot 𝟑𝟎 órán át nyitva kell tartanunk ahhoz, hogy megtöltsük a medencét. Hány óra alatt telik meg a medence, ha csak az első, illetve
csak a második csapot nyitjuk meg?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Legyen az első csap töltési ideje 𝑥 óra, a másodiké pedig 𝑦 óra.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Első csap Második csap
𝑥 óra 𝑦 óra
𝟏 óra alatt 1
𝑥
1
𝑦
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
15
𝑥+15
𝑦= 1
6
𝑥+30
𝑦= 1
}
Vezessünk be új ismeretlent: 𝑎 =1
𝑥 és 𝑏 =
1
𝑦.
15𝑎 + 15𝑏 = 16𝑎 + 30𝑏 = 1
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑎 =1
24 és 𝑏 =
1
40.
Visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 24 és 𝑦 = 40.
Válasz: Az első csap egyedül 24 óra alatt, a második pedig 40 óra alatt töltené meg a medencét.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
38
87. Két munkás készít egy munkadarabot. Ha az első munkás 𝟗 órát dolgozik, a második 𝟏𝟓 órát, akkor időre elkészülnek. Akkor is időre készen lesznek, ha az első 𝟏𝟔 órát, a másik 𝟏𝟎 órát dolgozik. Mennyi idő alatt végeznének külön – külön?
Megoldás:
Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.
Legyen az első munkás ideje 𝑥 óra, a másodiké pedig 𝑦 óra.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Első munkás Második munkás
𝑥 óra 𝑦 óra
𝟏 óra alatt 1
𝑥
1
𝑦
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
9
𝑥+15
𝑦= 1
16
𝑥+10
𝑦= 1
}
Vezessünk be új ismeretlent: 𝑎 =1
𝑥 és 𝑏 =
1
𝑦.
9𝑎 + 15𝑏 = 116𝑎 + 10𝑏 = 1
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑎 =1
30 és 𝑏 =
7
150.
Visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 30 és 𝑦 =150
7≈ 21,4.
Válasz: Az első munkás egyedül 30 óra alatt, a második pedig kb. 21,4 óra alatt végezne.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
39
88. Bizonyos mennyiségű 𝟕𝟖 %, illetve 𝟓𝟖 % vasat tartalmazó ércet összekeverve 𝟔𝟐 % vasat tartalmazó keveréket kapunk. Ha mindkét fajta ércből még 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓 𝒌𝒈 – ot hozzáteszünk a keverékhez, akkor 𝟔𝟑, 𝟐𝟓 % - os lesz, Mennyi ércet tartalmaz a keverék az egyes fajtákból?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Első sóoldat 𝑥 78 𝑥 ∙78
100
Második sóoldat 𝑦 58 𝑦 ∙58
100
Keverék 𝑥 + 𝑦 62 (𝑥 + 𝑦) ∙62
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
𝑥 ∙78
100+ 𝑦 ∙
58
100= (𝑥 + 𝑦) ∙
62
100
(𝑥 + 15) ∙78
100+ (𝑦 + 15) ∙
58
100= (𝑥 + 15 + 𝑦 + 15) ∙
63,25
100
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 22,8 és 𝑦 = 91,2.
Válasz: Összesen 22,8 𝑘𝑔 78 % - os és 91,2 𝑘𝑔 58 % - os ércet tartalmaz a keverék a fajtákból.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
40
89. Hány liter 𝟒𝟎 % - os alkoholhoz hány liter 𝟔𝟎 % - os alkoholt kell öntenünk, hogy 𝟐𝟎 liter 𝟓𝟓 % - os alkoholt kapjunk?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Mennyiség Töménység Tömény anyag
Első sóoldat 𝑥 40 𝑥 ∙40
100
Második sóoldat 𝑦 60 𝑦 ∙60
100
Keverék 20 55 20 ∙55
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥 ∙40
100+ 𝑦 ∙
60
100= 20 ∙
55
100
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 5 és 𝑦 = 15.
Válasz: Összesen 5 𝑙 40 % - os és 15 𝑙 60 % - os alkoholt kell összekevernünk.
90. Két, egymástól 𝟗 𝒌𝒎 távolságra levő pontból egyszerre indul el egy – egy kerékpáros. Ha egymással szembe mennek, 𝟐𝟎 perc múlva, ha egy irányban haladnak, 𝟑 óra múlva találkoznak. Mekkora a sebességük?
Megoldás:
Legyen az egyik sebessége 𝑥, a másiké pedig 𝑦.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
1
3𝑥 +
1
3𝑦 = 9
3𝑥 = 9 + 3𝑦}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 15 és 𝑦 = 12.
Válasz: Az egyik kerékpáros sebessége 15 𝑘𝑚
ℎ, a másiké pedig 12
𝑘𝑚
ℎ.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
41
91. Egy motorcsónak 𝟒𝟎 𝒌𝒎 – t megy felfelé a folyón, majd visszafordul és visszatér kiindulási helyére. Ezt az utat az indulástól számítva 𝟖 óra alatt tette meg. Ugyanekkora sebességgel haladva más alkalommal 𝟏𝟎 𝒌𝒎 – t tett meg felfelé és 𝟒 𝒌𝒎 – t lefelé, összesen 𝟏, 𝟓 óra alatt. Mekkora a csónak sebessége állóvízben és mekkora a folyó sebessége?
Megoldás:
Legyen a csónak sebessége 𝑥, a folyóé pedig 𝑦.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Út (𝒔) Sebesség (𝒗) Idő (𝒕)
Első út felfelé 40 𝑥 − 𝑦 40
𝑥 − 𝑦
Első út lefelé 40 𝑥 + 𝑦 40
𝑥 + 𝑦
Második út felfelé 10 𝑥 − 𝑦 10
𝑥 − 𝑦
Második út lefelé 4 𝑥 + 𝑦 4
𝑥 + 𝑦
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
40
𝑥 − 𝑦+
40
𝑥 + 𝑦= 8
10
𝑥 − 𝑦+
4
𝑥 + 𝑦=
3
2
}
Vezessünk be új ismeretlent: 𝑎 =1
𝑥 − 𝑦 és 𝑏 =
1
𝑥 + 𝑦.
40𝑎 + 40𝑏 = 8
10𝑎 + 4𝑏 =3
2
}
Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑎 =7
60 és 𝑏 =
1
12.
Ezt visszahelyettesítve a következő egyenletrendszer adódik:
1
𝑥 − 𝑦=
7
60
1
𝑥 + 𝑦=
1
12
}
A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 =72
7 és 𝑦 =
12
7.
Válasz: A folyó sebessége kb. 1,71 𝑘𝑚
ℎ, a csónaké pedig kb. 10,28
𝑘𝑚
ℎ.
-
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
42
92. Egy gépkocsi a vízszintes úton 𝟖𝟎 𝒌𝒎
𝒉, az emelkedőn 𝟔𝟎
𝒌𝒎
𝒉, a lejtőn 𝟏𝟎𝟎
𝒌𝒎
𝒉
sebességgel halad. A 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒎 hosszú utat oda 𝟓 óra, vissza 𝟓 óra 𝟏𝟔 perc alatt teszi meg. Milyen hosszúak az egyes útszakaszok?
Megoldás:
Legyen odafele a vízszintes út hossza 𝑥, az emelkedőé 𝑦, a lejtőé pedig 𝑧.
Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
Odafele Út (𝒔) Sebesség (𝒗) Idő (𝒕)
Vízszintes 𝑥 80 𝑥
80
Emelkedő 𝑦 60 𝑦
60
Lejtő 𝑧 100 𝑧
100
Visszafele Út (𝒔) Sebesség (𝒗) Idő (𝒕)
Vízszintes 𝑥 80 𝑥
80
Emelkedő 𝑧 60 𝑧
60
Lejtő 𝑦 100 𝑦
100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:
𝑥
80+
𝑦
60+
𝑧
100= 5
𝑥
80+
𝑧
60+
𝑦
100=
79
15
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 400 }
A behelyettesítő módszerrel az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 240; 𝑦 = 60; 𝑧 = 100.
Válasz: Az úton odafelé 240 𝑘𝑚 vízszintes, 60 𝑘𝑚 emelkedő és 100 𝑘𝑚 lejtő volt.