medina cervantes 2012 edu
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REVISTA INTERNACIONAL DE LA EDUCACIÓN EN INGENIERÍA AcademiaJournals.com
Revista Internacional de la Educación en Ingeniería, Vol. 5, No. 1, 2012, 14-27 ISSN 1940-1116 AcademiaJournals.com
Software didáctico para análisis estático de armaduras en
2-D mediante MEF
M.C. Jesús Medina Cervantes1, Dr. Edgar Mejía Sánchez
2, Dr. Joaquín Santos Luna
3,
Dr. Anselmo Osorio Mirón4, Dr. Rubén Villafuerte Díaz
5
Resumen—Actualmente los proyectos de ingeniería que involucran el diseño de sistemas electromecánicos
o de procesos requieren su análisis por el método de elementos finitos (MEF) para predecir y validar su
comportamiento. Por ello, es fundamental que los estudiantes de diferentes áreas de ingeniería conozcan bien
las bases del método para que resuelvan problemas de manera efectiva en el ámbito profesional. En este
artículo se presenta el software didáctico FIMEF para apoyar en la enseñanza del método de elementos finitos
(MEF), aplicado al análisis estático lineal de armaduras en 2-D. El software fue desarrollado en Matlab, tiene
una interfaz amigable, la introducción de datos es sencilla y la presentación de resultados es similar a lo que
ofrece cualquier software especializado. FIMEF hace especial énfasis en el aprendizaje de la metodología de
cálculo presentando un reporte con la solución completa de las armaduras analizadas. Su funcionalidad y
precisión fueron validadas con los resultados obtenidos por el software Autodesk Simulation Multiphysics.
FIMEF será utilizado por estudiantes de ingeniería mecánica, mecánica eléctrica, mecatrónica y civil, para
evaluar su contribución al aprendizaje exitoso del método.
Palabras clave—Software didáctico, método de elementos finitos, armaduras en 2-D, Matlab, Autodesk
Simulation Multiphysics.
Nomenclatura
Fuerza axial
Esfuerzo axial
Área de sección transversal
Deformación unitaria
Módulo de Young
y Desplazamientos nodales
y Funciones de forma
Fuerza de cuerpo
Longitud del elemento barra
Matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales Matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales Vector de componentes de desplazamientos nodales Vector de componentes de fuerzas nodales Matriz de transformación de desplazamientos axiales
Coordenadas globales del nodo inicial de elemento barra
Coordenadas globales del nodo final de elemento barra
Vector unitario dirigido del nodo al , Cosenos directores
1 El M.C. Jesús Medina Cervantes es profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana,
Ciudad Mendoza, Veracruz, México. [email protected] (autor corresponsal) 2 El Dr. Edgar Mejía Sánchez es profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana, Ciudad
Mendoza, Veracruz, México. [email protected] 3 El Dr. Joaquín Santos Luna es profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana, Ciudad
Mendoza, Veracruz, México. [email protected] 4 El Dr. Anselmo Osorio Mirón es profesor de la Facultad de Ciencias Químicas de la Universidad Veracruzana, Orizaba,
Veracruz, México. [email protected] 5 El Dr. Rubén Villafuerte Díaz es profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana,
Ciudad Mendoza, Veracruz, México. [email protected]
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Introducción
El método de elementos finitos fue desarrollado por Courant en 1943. En 1960 Clough estableció el término
“elemento finito” por primera vez y en 1967 Zienkiewicz and Cheung escribieron el primer libro que describe al
método (Moaveni, 1999). Hoy en día, en la mayoría de los proyectos de ingeniería se requiere algún tipo de análisis
por elementos finitos. Las ventajas prácticas del método para el análisis de esfuerzos y la dinámica estructural, así
como su habilidad para trabajar con geometrías y condiciones de frontera arbitrarias, lo han convertido en una de las
herramientas más aceptadas durante los últimos veinte años (Akin, 2005).
Por ello, es muy importante que los futuros profesionales en ingeniería conozcan y dominen las bases del método
para que lo apliquen con éxito en su campo laboral. Sin embargo, el aprendizaje del mismo mediante el uso de
herramientas tradicionales como libros, pizarrón, lápiz y papel, resulta insuficiente para demostrar aplicaciones más
prácticas y generales; así, los estudiantes normalmente realizan ejercicios de hasta dos o tres elementos y esto les
impide visualizar el potencial real de cálculo del método. Por otro lado, si se emplea software especializado de
elementos finitos los estudiantes aprenderán a manejar el software en cuestión, pero muy poco sobre el
funcionamiento del método.
Algunos autores han desarrollado software didáctico de elementos finitos y han reportado buenos resultados en su
aplicación (Suarez et. al., 1994), (Blanco et al., 1999), (Linero, 2000) y (Blum, 2004). Sin embargo, el enfoque que
han abordado es el de hacer que los estudiantes interactúen directamente con el software paso a paso para la
construcción y solución de los sistemas mediante la introducción de los datos de forma estructurada, incluyendo
teoría, ejercicios e incluso puntuación. En este trabajo se propone un software didáctico cuya introducción de datos e
interacción con el usuario sea sencilla, similar al uso de software especializado; mientras que por otro lado brinde al
usuario un reporte con la solución completa paso a paso para que este pueda analizar y aprender cada detalle del
proceso de cálculo para la solución.
MEF para armaduras en 2-D
Básicamente, una armadura es un sistema mecánico que se compone de miembros elásticos rectos que están sujetos a
fuerzas axiales únicamente. En el método de elementos finitos existe un tipo de elemento que cumple con estas
condiciones, el cual es llamado elemento “barra”. Enseguida se presenta de forma breve la formulación de dicho tipo
de elemento finito (Cook, 1995), (Smith and Griffiths, 1998) y (Hutton, 2004).
En la figura 1 se presenta el esquema de un elemento barra en equilibrio. Si es la fuerza axial en alguna sección
particular de la barra y es una fuerza de cuerpo aplicada, con unidades de fuerza por unidad de longitud, se tiene:
ec. 1
Así, las fuerzas de equilibrio son:
ec. 2
De esta manera la ecuación diferencial a resolver es:
ec. 3
En el método de elementos finitos, se aproxima la variable continua en términos de sus valores nodales ( y
) mediante funciones simples llamadas “funciones de forma”. Entonces, en forma matricial se tiene que:
ec. 4
Si la variación de es lineal, para este elemento simple, la igualdad aproximada mostrada en la ecuación 4 puede
hacerse exacta si:
ec. 5
Al sustituir la ecuación 4 en 3, la ecuación diferencial parcial es reemplazada por una ecuación en el espacio
discreto de las variables y .
ec. 6
Ahora, para encontrar los mejores valores para y se aplica el método de Galerkin (Smith and Griffiths,
1988), con lo cual se multiplica la ecuación 6 por las funciones de forma utilizadas y se integra el residuo resultante
sobre todo el elemento.
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Figura 1. Equilibrio de un elemento finito tipo barra.
ec. 7
Al aplicar el teorema de Green, se integra por partes para evitar que la doble diferenciación de las funciones de
forma desaparezcan, por ser lineales. De esta manera:
ec. 8
Sustituyendo la ecuación aproximada 8 en la ecuación 7, se tiene:
ec. 9
Al evaluar las integrales, se obtiene la ecuación para una fuerza distribuida actuando a lo largo de la barra.
ec. 10
Para el caso presentado en la figura 1, donde la carga se aplica solamente en los nodos, se tiene que la ecuación
para el elemento barra queda como:
ec. 11
Donde
.
Para el análisis completo de una armadura, es deseable presentar la ecuación de equilibrio 11 en términos del
sistema de coordenadas global, de la forma:
ec. 12
Donde, representa la matriz de rigidez del elemento barra en el sistema de coordenadas global, el vector contiene las componentes de los desplazamientos nodales y el vector contiene las componentes de las
fuerzas nodales del elemento.
En la figura 2 se muestran los desplazamientos axiales y globales del elemento barra. La relación entre los
desplazamientos axiales en el sistema de coordenadas del elemento y los desplazamientos en las coordenadas
globales es:
ec. 13
ec. 14
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Figura 2. Elemento barra, a) desplazamientos axiales, b) desplazamientos globales.
Las ecuaciones 13 y 14 se representan en forma matricial como:
ec. 15
Donde se conoce como la matriz de transformación de los desplazamientos axiales del elemento a
desplazamientos globales. Al sustituir la ecuación 15 en la ecuación 11, las variables desconocidas son ahora los
desplazamientos globales.
ec. 16
Al premultiplicar ambos lados de la ecuación 16 por , se obtiene la transformación completa de la ecuación
de equilibrio del sistema de coordenadas del elemento al sistema de coordenadas global.
ec. 17
La ecuación 17 es la representación desglosada de la ecuación 12, donde haciendo y , es:
ec. 18
Para construir un modelo por elementos finitos se comienza definiendo las coordenadas de los nodos, después se
definen los elementos mediante la especificación de las conexiones de los nodos con cada elemento. Los nodos y
están definidos en coordenadas globales mediante y . La longitud del elemento se obtiene usando las
coordenadas de los nodos como:
ec. 19
El vector unitario dirigido del nodo al nodo es:
ec. 20
Donde y son llamados “cosenos directores”:
ec. 21
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ec. 22
Para obtener el modelo de elementos finitos de una armadura es necesario obtener el sistema de ecuaciones
global, para lo cual se requiere ensamblar la matriz global de rigidez a partir de la adición de cada uno de los
términos de las matrices de rigidez de los elementos de la armadura. Una vez obtenida la matriz de rigidez global, el
sistema de ecuaciones a resolver tiene como variables desconocidas a los desplazamientos globales. ec. 23
El siguiente paso es considerar las restricciones impuestas a los desplazamientos del sistema, las cuales son
llamadas “condiciones de frontera”. Con ello, se obtiene un sistema de ecuaciones reducido que tiene una solución
única.
Por último, los valores calculados de los desplazamientos globales son utilizados para determinar los esfuerzos y
deformaciones unitarias de cada uno de los elementos de la armadura. La deformación unitaria axial del elemento se
calcula como:
ec. 24
El esfuerzo axial del elemento se obtiene a través de la ley de Hooke.
ec. 25
Software didáctico FIMEF El objetivo principal del software desarrollado se centra en fungir para el usuario como una herramienta didáctica
que sea capaz de acelerar el aprendizaje de la metodología de cálculo del método de elementos finitos, aplicado a la
resolución de armaduras en 2-D que se pueden modelar haciendo uso del elemento barra.
Por un lado, se requiere que la interfaz del software sea de fácil acceso para el usuario, pero al mismo tiempo que
el software lo obligue a seguir un orden específico en la introducción de los datos para que se acostumbre a construir
sus modelos de elementos finitos bajo una secuencia lógica y sistemática.
La introducción de los datos y la visualización de los resultados del cálculo son entonces muy similares a lo que
el usuario encontrará en cualquier software especializado. Lo que hace diferente a esta propuesta es que el software
generará un reporte completo de cálculo paso a paso del modelo realizado, con lo cual el usuario podrá leer, revisar y
aprender la metodología de cálculo para la resolución del sistema que él mismo construyó. De esta forma, si el
usuario decide realizar nuevamente el mismo modelo pero cambiando el orden o la numeración de los nodos y
elementos del modelo, podrá verificar la forma diferente en la que se construye la matriz global de rigidez y lo
diferente que quedan colocados los datos del sistema de ecuaciones lineales, pero que la solución final será siempre
la misma. Con ello, el usuario no se ve relegado únicamente a introducir datos y recibir resultados, sino que mediante
el reporte tendrá la posibilidad de aprender todos los detalles del cálculo para cualquier armadura que él decida
construir.
El software se llama FIMEF y fue desarrollado mediante la utilización de Matlab, ya que posee un lenguaje de
programación muy sencillo, tiene las ventajas de cualquier lenguaje de programación visual y es una potente
herramienta de cálculo que cuenta con muchas funciones útiles para el cálculo matricial. La secuencia básica en la
introducción de los datos para la creación y resolución de una armadura mediante FIMEF se presenta a continuación:
Pre-proceso
1. Elegir el sistema de unidades (sistema internacional o sistema inglés) (figura 3).
Figura 3. Selección del sistema de unidades.
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2. Elegir el tipo de análisis a realizar (Análisis estático lineal) (figura 4).
Figura 4. Selección del tipo de análisis.
3. Introducir los nodos de la armadura (indicar el número de nodo y sus coordenadas) (figura 5).
Figura 5. Ventana para agregar un nodo de la armadura.
4. Elegir el tipo de elemento finito a utilizar (elemento barra), (figura 6).
Figura 6. Selección del tipo de elemento finito.
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5. Introducir los elementos que componen la armadura (indicar el grupo de material al que pertenece, el número de
elemento y los nodos inicial y final a los que está conectado el elemento) (Figura 7).
Figura 7. Ventana para agregar un elemento de la armadura.
6. Introducir las propiedades mecánicas de los materiales (indicar el grupo del material, el módulo de Young y el
área de sección transversal) (Figura 8)
7.
Figura 8. Ventana para agregar las propiedades mecánicas de un material.
8. Introducir las condiciones de frontera (indicar el nodo a restringir y las direcciones de restricción (Figura 9).
Figura 9. Ventana para agregar condiciones de frontera.
9. Agregar las fuerzas externas que actúan sobre la armadura (Indicar el nodo donde se aplica la fuerza, la magnitud
y su ángulo de dirección) (Figura 10).
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Figura 10. Ventana para agregar una fuerza externa.
9. Indicar al software que ejecute el análisis de la armadura (Figura 11).
Figura 11. Botón para ejecución de análisis de la armadura.
Post-proceso
10. Visualizar y analizar los resultados (dar clic en el botón “mostrar resultados”, cambiar la escala de visualización
si se desea y presionar el botón “visualizar” para ver la deformación de la armadura y los resultados (Figura 12).
Figura 12. Selección de la escala para visualización de las deformaciones.
10. Guardar los resultados (generar el reporte completo del cálculo paso a paso) (Figura 13),
Figura 13. Botón para generar el reporte del análisis de la armadura.
11. Modificar la armadura (opcional) (Figura 14)
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Figura 14. Botón para permitir la modificación de parámetros de la armadura analizada.
Es importante mencionar que la interfaz gráfica del software no permite al usuario introducir los datos en un
orden diferente al presentado en los pasos anteriores, de tal forma que para avanzar en la construcción del modelo el
usuario debe indicar al programa que ha finalizado un paso para que se habiliten los botones que permiten continuar
el proceso. De esta manera, se pretende que el usuario se acostumbre a construir sus modelos de elementos finitos de
forma ordenada y sistemática. En la figura 15 se muestra la ventana principal de la interfaz gráfica del software
FIMEF.
Figura 15. Ventana principal de software didáctico FIMEF.
Ejemplo de aplicación del software
La armadura plana mostrada en la figura 16 consta 6 nodos y 9 elementos; en el nodo 1 está restringido su
movimiento en los ejes X e Y, mientras que en el nodo 6 está restringido su movimiento en la dirección Y
únicamente. Los elementos 1, 3, 4, 5, 7 y 8 tienen un área de sección transversal , en tanto que los
elementos 2, 6 y 9 tienen un área de sección transversal . Todos los elementos tienen un módulo de
elasticidad . Las longitudes de los elementos están en metros y se puede observar que entre los dos
apoyos existe un distancia de .
Además, en la figura 16 se observan los nodos numerados en color rojo, los elementos numerados en color negro
y se distinguen los dos grupos de elementos que se diferencian por el área de sección transversal (por los colores azul
y verde). También se observan las condiciones de frontera y las fuerzas externas aplicadas, las cuales son: en dirección horizontal hacia la derecha aplicada en el nodo 5 y en dirección vertical hacia abajo
aplicada en el nodo 4.
En la figura 17 se presenta la armadura y su deformación en color rojo, aumentada por el software a una escala
de 225 veces en este caso, ya que está programado para que la deformación mayor corresponda al 10% de la longitud
del elemento más largo de la armadura, pero si el usuario lo desea puede establecer una escala diferente de
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visualización. También se puede observar en la parte derecha la lista de resultados, que incluye los desplazamientos
de los nodos, las reacciones en los apoyos, las deformaciones unitarias y los esfuerzos axiales de los elementos.
Figura 16. Armadura en 2-D sujeta a 2 fuerzas externas.
Figura 17. Resultados del análisis de la armadura en 2-D.
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El usuario puede indicar al software que guarde un informe de resultados de la armadura analizada, para lo cual el
software pedirá al usuario que introduzca el nombre del reporte y la ubicación en la que desea que sea guardado.
FIMEF se encarga entonces de generar un documento en formato HTML en el cual se observa paso a paso el cálculo
de la armadura, desde el cálculo de las longitudes de los elementos, sus ángulos de inclinación, las matrices de
rigidez de los elementos, el ensamblado de la matriz global de rigidez, etc., hasta el cálculo de las deformaciones
unitarias y esfuerzos axiales de los elementos. En las figuras 18 y 19 se pueden observar partes del reporte
correspondientes a la armadura presentada en este ejemplo.
Figura 18. Encabezado del reporte de resultados.
Validación del software FIMEF Para asegurar la validez de los resultados generados por FIMEF, se decidió utilizar un software especializado de
elementos finitos para realizar la comparación de los resultados obtenidos en la resolución de numerosas armaduras.
Aquí se presenta a modo de ejemplo la comparación de resultados para la armadura descrita en la figura 16.
Enseguida, en la figura 20 se muestra el modelo de la armadura realizado y solucionado con la versión de estudiante
del software especializado de elementos finitos Autodesk Simulation Multiphysics.
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Figura 19. Parte del reporte que muestra la matriz global de rigidez.
.
Figura 20. Armadura elaborada con Autodesk Simulation Multiphysics.
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En la tabla 1 se presentan los resultados obtenidos de los desplazamientos de los nodos. Es muy importante
mencionar que los resultados obtenidos por el software FIMEF fueron exactamente los mismos que se obtuvieron
con el software Autodesk Simulation Multiphysics, y que lo mismo ocurrió con las deformaciones unitarias y
esfuerzos axiales calculados para todos los elementos. Con esta y otras armaduras se verificó la precisión y validez
de los cálculos realizados por el software FIMEF (Rosas, 2011).
Tabla 1. Desplazamientos de los nodos.
Nodo
DX (m)
FIMEF y Autodesk
Simulation
DY (m)
FIMEF y Autodesk
Simulation
1 0 0
2 0.000421875 -0.00145138
3 0.00162267 -0.00145138
4 0.000984375 -0.00251394
5 0.00141267 -0.00156394
6 0.00151875 0
Conclusiones Se alcanzó la meta de desarrollar un software didáctico de elementos finitos que tiene la capacidad de generar
reportes completos del cálculo para el análisis estático lineal de armaduras en 2-D. De esta manera, cualquier
estudiante de licenciatura o profesional puede introducirse con seguridad al conocimiento y aplicación del método
elementos finitos, eliminando el misticismo o caja negra que envuelve al uso de software especializado. Por otro
lado, FIMEF no está pensado para reemplazar el uso esa clase de software, sino más bien se trata de preparar a los
estudiantes para que más adelante puedan hacer uso correcto del software profesional y exploten al máximo sus
capacidades.
FIMEF será utilizado por estudiantes de las carreras de ingeniería mecánica, mecánica eléctrica, mecatrónica y
civil para evaluar su impacto en la aceleración del proceso de aprendizaje del método. Este proyecto ha culminado
apenas su etapa inicial, ya que se tiene contemplado extender sus capacidades de cálculo al análisis de armaduras en
3-D, al análisis de vigas y pórticos en 2-D y 3-D, así como al análisis modal, transitorio y análisis de transferencia de
calor; todo bajo el mismo enfoque de generar los reportes de cálculo detallados que permitan a los estudiantes
aprender rápidamente la aplicación del método y sobre todo que aprendan a elegir correctamente los elementos
finitos más adecuados para dar solución a un problema en particular.
Referencias
Akin, J.E., Finite element analysis with error estimators, Elsevier Butterworth Heinemann, 2005, 447pp.
Blanco, Elena, et. al., “Experiencias en la enseñanza asistida por ordenador de métodos numéricos para cálculo de
estructuras”, Revista internacional de métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería, Vol. 5, No. 2, 297-
306pp, 1999.
Blum, Daniel, Desarrollo e implementación de un programa de elementos finitos para el análisis y simulación
dinámica de una estructura bidimensional tipo pórtico, tesis de licenciatura, Facultad de ingeniería en mecánica y
ciencias de la producción, Escuela superior politécnica del litoral, Guayaquil, Ecuador, 115pp, 2004.
Cook, Robert, Finite element modeling for stress analysis, John Wiley & Sons, 1995, 320pp.
Hutton, David, Fundamentals of finite element analysis, Mc Graw Hill, 2004, 494pp.
Linero, Dorian Luis, “Euler. Programa didáctico de elementos finitos”, Revista ingeniería e investigación, No. 46,
Agosto, 35-44pp, 2000.
Moaveni, Saeed, Finite element analysis, theory and application with ANSYS, Prentice Hall, 1999, 527pp.
Rosas, Andrés, Software didáctico para análisis estático de estructuras en 2-D mediante el método de elementos
finitos, tesis de licenciatura, Facultad de ingeniería mecánica eléctrica, Universidad Veracruzana, Ciudad Mendoza,
Veracruz, México, 127pp, 2011.
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Smith, I.M. and Griffiths, D.V., Programming the finite element method, second edition, John Wiley & Sons, 1988,
469pp.
Suárez, Benjamín, et. al., Una metodología de software educativo para cálculo por elementos finitos, Mecánica
computacional, Vol. 14, 1994, Santa Fe.
Notas biográficas
El M.C. Jesús Medina Cervantes es profesor investigador de tiempo completo adscrito a la Facultad de
Ingeniería Mecánica Eléctrica, Campus Ciudad Mendoza, dependiente de la Universidad Veracruzana. De profesión
ingeniero mecánico, cursó sus estudios de maestría en Ingeniería Mecánica en el Centro Nacional de Investigación y
Desarrollo Tecnológico en Cuernavaca, Morelos. Actualmente es coordinador del Programa de tutorías y miembro
activo del Cuerpo Académico “Investigación en Ingeniería Aplicada” UV CA – 318 así como profesor con perfil
deseable, distinción otorgada por el Programa del Mejoramiento del Profesorado en 2009.
El Dr. Edgar Mejía Sánchez es profesor investigador de tiempo completo adscrito a la Facultad de Ingeniería
Mecánica Eléctrica, Campus Ciudad Mendoza, dependiente de la Universidad Veracruzana. De profesión ingeniero
electromecánico, cursó sus estudios de maestría en Ingeniería Mecánica en el Centro Nacional de Investigación y
Desarrollo Tecnológico en Cuernavaca Morelos y posteriormente su doctorado en ingeniería y ciencias aplicadas con
opción terminal en tecnología de materiales en el Centro de Investigación en Ingeniería y Ciencias Aplicadas de la
Universidad Autónoma de Estado de Morelos. Actualmente es miembro activo del Cuerpo Académico
“Investigación en Ingeniería Aplicada” UV CA – 318 así como profesor con perfil deseable, distinción otorgada por
el Programa del Mejoramiento del Profesorado en 2011. También es candidato en el sistema Nacional de
Investigadores desde 2010.
El Dr. Joaquín Santos Luna es profesor investigador de tiempo completo adscrito a la Facultad de Ingeniería
Mecánica Eléctrica, Campus Ciudad Mendoza, dependiente de la Universidad Veracruzana. De profesión ingeniero
electrónico, cursó sus estudios de maestría en Ingeniería Eléctrica y doctorado en Control Automático en el Centro
de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, en México D.F. Actualmente es el líder
del Cuerpo Académico “Investigación en Ingeniería Aplicada” UV CA – 318 así como profesor con perfil deseable,
distinción otorgada por el Programa del Mejoramiento del Profesorado en 2009.
El Dr. Anselmo Osorio Mirón es profesor investigador de tiempo completo adscrito a la Facultad de Ciencias
Químicas de Orizaba, dependiente de la Universidad Veracruzana. De profesión ingeniero químico, cursó sus
estudios de maestría en Ingeniería Química en la Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas del
Instituto Politécnico Nacional, en México D.F. Posteriormente cursó sus estudios de Doctorado en Control
Automático en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. Actualmente es colaborador activo del
Cuerpo Académico “Investigación en Ingeniería Aplicada” UV CA – 318.
El Dr. Rubén Villafuerte Díaz es profesor investigador de tiempo completo adscrito a la Facultad de Ingeniería
Mecánica Eléctrica, Campus Ciudad Mendoza, dependiente de la Universidad Veracruzana. De profesión ingeniero
eléctrico, cursó sus estudios de maestría en Ingeniería Eléctrica y doctorado en ciencias con la especialidad de
Ingeniería Eléctrica en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, en
México D.F. Actualmente es miembro activo del Cuerpo Académico “Investigación en Ingeniería Aplicada” UV CA
– 318.