medición y variables latentes

8/17/2019 Medición y Variables Latentes

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Medición y Variables Latentes

Arturo Bouzas


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• El curso se divide en dos grandespartes. La primera tiene que ver conla metodología para medir variableslatentes (en nuestro caso resultadodel aprendizaje y factores deconteto!" la segunda est#

relacionada con la evaluación de lacalidad de la medición$ sucon%abilidad y validez. &mbos

aspectos los veremos en el conteto'


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• Veremos que una parte de la medición psicológica es unaetensión de la teoría estadística. )ay literalmente cientos de

libros y ayudas en la red que les pueden ser de ayuda. En elnivel m#s introductorio recomiendo el libro de &gresti* +tatistics

• ,ttp$--.pearson,ig,ered.com-educator-academic-product-/*011/*/102101332*//.,tml

•

•

Les puede ser muy 5til el libro electrónico de +tatsoft$• ,ttp$--.statsoftinc.com-tetboo6-stat,ome.,tml

•

• 7omo programa general pre%ero +tata$ ,ttp$--.stata.com-

•

Los que quieran trabajar con un entorno m#s amplio de recursosestadísticos les recomiendo el softare 8* el cual voy a usarparcialmente en el curso.

• ,ttp$--.r9project.org-

http://www.pearsonhighered.com/educator/academic/product/0,3110,0135131995,00.htmlhttp://www.pearsonhighered.com/educator/academic/product/0,3110,0135131995,00.htmlhttp://www.statsoftinc.com/textbook/stathome.htmlhttp://www.stata.com/http://www.r-project.org/http://www.r-project.org/http://www.stata.com/http://www.statsoftinc.com/textbook/stathome.htmlhttp://www.pearsonhighered.com/educator/academic/product/0,3110,0135131995,00.htmlhttp://www.pearsonhighered.com/educator/academic/product/0,3110,0135131995,00.html


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• :ara el an#lisis de variables latentes usaremos elprograma Mplus$ ,ttp$--.statmodel.com-demo.s,tml

• El material sobre psicometría lo pueden revisar en dostetos* uno publicado* otro con capítulos disponibles enla red$

• 8ay6ov* ; y Marcoulides* &. (. &n introduction to psyc,ometric t,eory it,applications in 8. 7apítulos en la siguiente dirección$,ttp$--.personality9project.org-r-boo6-

• ?na ecelente introducción al an#lisis de variables

latentes lo encuentran en$• @avid A. Bart,olome* Ciona +teele* =rini Mousta6i* Aane =.

Dalbrait,. (http://www.statmodel.com/demo.shtmlhttp://www.personality-project.org/r/book/http://www.personality-project.org/r/book/http://www.personality-project.org/r/book/http://www.statmodel.com/demo.shtml


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&ntecedentes b#sicos en estadísticaLos procedimientos estadísticoscapturan y formalizan mecanismos de

adquisición de conocimiento y de tomade decisiones que subyacen laadaptabilidad del comportamiento delos organismos.


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• Estudiaremos dos aspectos del conocimiento$

• 7omo podemos reducir a un n5mero pequeFode indicadores un Gujo de eperiencias

(reducción en la dimensionalidad!. Es la partedescriptiva de la estadística.

• El segundo aspecto es el estudio de laestructura causal de nuestro entorno

(asociaciones* dependencias!. Es la parteinferencial inductiva de la estadística.


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• )eterogeneidad (variabilidad! es unacaracterística de nuestros entornos.

• La variabilidad puede ser observadao latente*

• continua o discreta.

•

La forma m#s sencilla de sintetizar ycomunicar la ,eterogeneidad es conel uso de una %gura .


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• ?na introducción a 8 y rcommander


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• @os propiedades de lasdistribuciones son importantes$

• Medidas de tendencia central(media* mediana* modo!

• Medidas de dispersión (varianza*desviación est#ndar* rangointercuartilar!

• +irven para reducir la incertidumbreque subyace a la variabilidad


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• 7uando las observaciones son unamuestra* a las propiedades de ladistribución se les conoce comoestimadores* a las de la población*como par#metros.


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• +i deseamos algo m#s compacto podemos buscaruna medida del valor m#s distintivo de ladistribución* la Media$ suma de las observacionesponderada por H* el n5mero de observaciones$


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• Varianza y desviación est#ndar*indicadores de la dispersión(consistencia! de la distribución.


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• @onde X 2 = (x – X)2

•Itros indicadores descriptivos$ 8commander


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• Medidas de ?bicación$

•

Huestro interJs puede ser el comunicar en que partede la distribución se ubica uno o varios valores deinterJs.

• La Mediana es el ejemplo m#s conocido y divide a ladistribución en 2/K abajo e igual y 2/K arriba de su

valor.• ?n segundo indicador son los :ercentiles$

• ue porcentaje de las observaciones est#n por abajoo son iguales a un cierto valor.

•

?n ejemplo son los 7uartiles* tres valores (1*


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• 8ango =ntercuartilar =8 0 N 1

• Es importante determinar si ,ay un dato'sospec,oso 'outlier 1.2O=8 abajo delprimer cuartel y arriba del tercero.

• Visualmente podemos complementar la

distribución de frecuencias con una 'gr#%cade caja (bo plot!$

• 8esumen de ubicación con cinco n5meros.Mediana* 1* 0* mínimo y m#imo.

• La media y la desviación est#ndar tambiJnnos permiten construir un indicador deubicación$


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• :untaje Z = (Ibservación 9 media!-desviación est#ndar.

• 7uando las variables tienen unidadesde medidas diferentes* los puntajes Ppermiten comparar los puntajes enuna escala com5n con media cero y

desviación est#ndar igual a uno.


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• :ermite la comparación deobservaciones en tJrminos de sudistancia a la media en unidades de

desviación est#ndar.• :ermite determinar si un puntaje

esta por arriba o por debajo de la

media y que tan alejado est#.


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• :robabilidad

• La incertidumbre es una característica del entornode los organismos.

• Ho siempre que est# nublado llueve y no siempreque nos subimos a un tai somos asaltados. :arapoder elegir entre acciones con consecuencias

inciertas es necesario contar con una forma decuanti%car Jsta incertidumbre.

• La teoría de la probabilidad es la estructura teóricaque nos permite 'medir la incertidumbre acerca

de las consecuencias de nuestros actos.• ue propiedades deben satisfacer los datos para

poderles asignar un n5mero entre / y 1 al quellamamos probabilidad.


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• Huestros juicios acerca de la probabilidad de un suceso losderivamos de la eperiencia que tenemos con la ocurrencia dedic,o suceso.

•

•

•

•

• Ensayo QIcurre el sucesoR :roporción acumulada del suceso

• 1 no /-1 /./

•

< no /-< /./• 0 si 1-0 /.00

• S si


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• & la larga* conforme acumulamos eperiencias con el evento* laproporción acumulada del suceso se ,ace predecible. (Ley de losDrandes H5meros!

•

• La probabilidad de un suceso es un resultado a largo plazo y se

obtiene computando la proporción de veces que ocurre el suceso enun largo plazo.

•

• 7uantas observaciones necesitamos antes de sentirnos con%adosacerca de nuestra estimación de una probabilidad.

•

•

• :ara muc,os fenómenos el resultado de un ensayo no es afectadopor el resultado obtenido en otros ensayos.

• Ejemplo U varones ,asta que %nalmente tuvieron a su perlita.


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• @etección de Estructura en el Entorno.

•

• &sociación entre variables contin5as.

•

Ejemplo :untaje en una de las pruebas y tiempodedicado al estudio.

•

• :rimer paso gra%car (scatter plot!

•

• El segundo paso es encontrar un indicador de la

asociación* que describa si los datos se agrupan encuadrantes diagonales.


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• Espacio Muestra$ el conjunto de todos los posibles resultados de unfenómeno.

•

• :or ejemplo para dos reactivos dicotómicos el espacio muestrasería$ 11* 1/* /1 y //W.

• • ?n suceso es un subconjunto del espacio muestra.

• :or ejemplo* un estudiante contesta correctamente los dos reactivo11W* o un estudiante contesta correctamente al menos uno de losreactivos 11* 1/* 11W.

•

• @os restricciones de consistencia para poder usar probabilidades$

• La probabilidad de cada resultado individual debe estar ente / y 1*

• La suma de todas las probabilidades individuales debe ser igual a 1.


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• 7uando todos los posibles eventos son igualmente probables* laprobabilidad de un evento

•

• :(&! n5mero de resultados en suceso & - n5mero de resultadosen el espacio muestra.

•

• 8eglas b#sicas de la probabilidad$

•

• El complemento de un suceso & es el resto del espacio muestra que

no est# en &. La suma de & y de su complemento es igual a 1 y porlo tanto

• :(complemento de &! 1 N :(&!

•

• @os conceptos que deben tenerse presentes$

• La intersección de & y B consiste de los resultados que est#n en & yen B.

• La unión de & y B consiste de los resultados que est#n en & o en B.


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• 8egla de la &dición$

• :ara la unión de dos sucesos*

•

• :(& o B! :(&! X :(B! N :(& y B!

•

• +i los sucesos son mutuamente eclusivos* :(& y B!

/*• por lo tanto

•

• :(& o B! :(&! X :(B!.

•

• :ara encontrar :(& y B! nos es 5til introducir el

concepto de :robabilidad condicional$

• P( A |B) =

P( AyB)

P(B)


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• En nuestro ejemplo buscamos la probabilidad deresponder correctamente al reactivo* dado que elestudiante es de una escuela privada. 7omo cualquierotra probabilidad es una frecuencia relativa* en la que el

espacio muestra es la totalidad de estudiantes deescuelas privada. 7uantos son estudiantes de escuelasprivadas y contestan correctamente del total deestudiantes de escuelas privadas.

•

• @e la ecuación anterior podemos computar laprobabilidad de una intersección$

•

P( AyB) = P( A |B) xP(B)


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• +i & y B son independientes :(& Y B! :(B! entonces

•

• :(& y B! :(&! :(B!.

•

• En las tablas de contingencia buscamosdependencias en las celdas*

considerando si el valor encontrado esigual al producto de las probabilidadesmarginales.


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• ;eorema de Bayes$

•

• Hoten que podemos tambiJn encontrar la probabilidad condicional de B dado&.

•

•

• Z por lo tanto

•

•

•

•

• =gualando las dos ecuaciones para la probabilidad de la intersección de & y B.

•

•

P(B | A) =P( AyB)

P( A)

P( AyB) = P(B | A) xP( A)

P( A|B) xP(B)=P(B| A) xP( A)


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P( A |B) = P( A)

P(B) xP(B | A)


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• Distribuciones de Probabilidad.

•

•

• Muc,as de las* para nosotros* m#s importantes características denuestro entorno pueden concebirse como el resultado de un

proceso aleatorio.• :ara propósitos del curso* podemos considerar a la teoría de la

probabilidad como un proceso de medición en el que se le asignanvalores numJricos a los resultados de un 'eperimento (sucesos!.& Jstos valores numJricos se les llaman variables aleatorias.

•

@istinguimos a los resultados empíricos con letras may5sculas y alas variables aleatorias con letras min5sculas.

•

• Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.


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• ?na distribución de probabilidad es la regla (función! queespeci%ca la asignación de probabilidades a los posiblesresultados.

• • f(x) = Prob (X = x)

•

• La asignación de probabilidades tiene que satisfacer dosrestricciones (aiomas!

• la probabilidad de [ solo puede tomar valorescomprendidos entre / y 1.

• La suma de las probabilidades de todos los posiblesresultados debe ser igual a 1.

• @istribución :oblacional. (&signación de una probabilidad aun elemento aleatorio de la población. 7omo cualquier otradistribución podemos resumirla con indicadores del centro ydispersión. & estos valores cuando son de la población seles conoce como parámetros. La media es y ladesviación est#ndar es !.


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• :ara ejempli%car como obtenemos la media (valoresperado! de una distribución de probabilidad usaremos unejemplo de la teoría de la decisión.

•

•

7onsideremos la decisión de comprar un seguro paraautos. )ay dos posibles respuestas* comprarlo o no. Lasconsecuencias para cada respuesta dependen delresultado de un proceso aleatorio* tener o no un accidente.La situación la vamos a representar en una matriz* en la

que cada celda representa la ganancia neta$•

•

•


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"pciones Accidente P #o accidente ($%P) &alor esperado

'omprar Danancia :Jrdida Panancia *($%P)P+rdida

#o comprar P+rdida , PP+rdida * ($%P),


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• 8acionalidad implica queseleccionamos la opción con mayorvalor esperado.

• El valor esperado es una suma de losresultados cada uno ponderado(multiplicado! por su probabilidad de

ocurrencia.


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• Ejemplo$ considere la distribución de probabilidad de la variable [ n5mero de ,ome runs por partido de los -edias o/as de Boston.

•

• \ de )8 :robabilidad

• / /.


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• @istribución binomial.

•

• 7onsidere situaciones en las que$

• a! cada respuesta (ensayo! tiene solo dos posibles resultados*Jito o fracaso" b! cada ensayo tiene la misma probabilidad deJito y c! el resultado de cada ensayo es independiente delresultado de los otros ensayos.

• +i las tres condiciones se satisfacen decimos que la variablealeatoria [ se distribuye como una distribuci0n binomial.

•

• Ejemplo.• 7onsidere tres reactivos con respuestas dicotómicas. @eseamos

saber como se distribuye

• [ el n5mero de respuestas correctas.


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• Lo primero es encontrar los posibles valores quepuede tomar [.

•

• 7uando el n5mero de reactivos es pequeFo* es f#cil

contar las posibilidades. La estrategia es desarrollarun #rbol del que cada nodo se etiende en dosramas.

•

•

:ara tres reactivos el espacio muestra de los posiblesresultados esta compuesto de oc,o elementos$

• 111* 11/* 1/1* 1//* /11* /1/* //1* ///.


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• @ado que los resultados de cada ensayo sonindependientes* la probabilidad de cada posible resultado(conjunto de respuestas a los tres reactivos! essimplemente el producto de la probabilidad de cadasuceso individual.

• +i la probabilidad de responder correctamente en cada

reactivo :* es /.

la probabilidad de que observemos en Jstos tres reactivos/* 1* < o 0 aciertos. :ara ello tenemos que multiplicar(ponderar las probabilidades por el n5mero deposibilidades de cada suceso.


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• La variable aleatoria binomial [ es eln5mero de Jitos en n ensayos y sudistribución es$

•

•

• +e le conoce como la distribuciónbinomial.

•

• La media de la distribución binomiales n .


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• Es importante entender que las distribuciones de

probabilidad juegan dos papeles. El primero es asignarprobabilidades a variables aleatorias. Itro papeligualmente relevante lo juega en la inferencia estadística.Hos permite juzgar si cierto fenómeno empírico es unainstancia de una estructura matem#tica que reGeja un

proceso aleatorio caracterizado por ciertos supuestos y unconjunto de par#metros con ciertos valores.

•

• +in entrar en detalles* simplemente considere otrosposibles procesos aleatorios con variables discretas.

:odemos tener procesos que suponen muestreo conreemplazo* ensayos que tienen m#s de dos posiblesresultados y sucesos que reGejan el n5mero deocurrencias por intervalo de observación.


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• Variables &leatorias 7ontinuas.

•

• :or tener un n5mero in%nito de valores la probabilidad estade%nida para valores dentro de un intervalo* o abajo oarriba de un umbral.

• La probabilidad es el #rea bajo la curva del intervalo

respectivo* o del #rea abajo o arriba del umbral.• El #rea bajo la curva de cada intervalo tiene probabilidades

entre / y 1.

• El #rea total bajo la curva es igual a 1.

•

• La distribución de probabilidad continua m#s conocida esla @istribución Hormal. Corma de campana* simJtrica yde%na por dos par#metros su media y su desviaciónest#ndar.


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• La probabilidad de ubicarse en intervalos de%nidos pordistancias en desviación est#ndar alrededor de la media es igual

para todas las distribuciones normales$• : /.T] en el intervalo alrededor de una desviación est#ndar

de la media* : /.32 entre dos desviaciones est#ndar y : /.33U entre tres desviaciones est#ndar.

•

• Es 5til contar con un indicador de la distancia en relación a lamedia de una variable aleatoria. El puntaje z es esa medida$

•

• z ( N u!-s

•

• La distribución de la variable z es tambiJn normal con media / y desviación est#ndar 1.

• Los puntajes z son muy 5tiles para comparar los puntajesobtenidos en diferentes pruebas.


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• 7omo seFalamos en otra nota* a partir de un conjunto%nito de observaciones deseamos estimar el valor delos par#metros de la población (desde luegoasumiendo tambiJn un cierto proceso aleatorio!. &

Jstos estimadores se les llama estadísticos. +uponganque repetimos el 'eperimento un n5mero muygrande de veces y para cada ocasión registramos elestadístico obtenido. & la distribución de probabilidadde ese estadístico se le conoce como distribuci0n de

muestreo. & la desviación est#ndar de Jstadistribución se le conoce como 'error estándar. Znos ,abla del error asociado a nuestra estimación.


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• Las propiedades de las distribuciones de

muestreo nos sirven para seleccionarestimadores con propiedades deseadas$

• Ho sesgo$ @eseamos que la media de ladistribución de muestreo de un estimador sea

igual a la media de la población.• 7onsistencia$ :referimos que el valor del

estimador converja al del par#metro conformeincrementamos el n5mero de observaciones y

• E%ciencia relativa$ Entre dos estimadoresigualmente no sesgados preferimos aquel conel menor error est#ndar.


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• @etección de Estructura en el Entorno.

•

• &sociación entre variables contin5as.

• Ejemplo :untaje en una de las pruebas y tiempodedicado al estudio.

• :rimer paso gra%car (scatter plot!

• El segundo paso es encontrar un indicador de laasociación* que describa si los datos se agrupanen cuadrantes diagonales.

• 7ovarianza


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• +i escalamos la covarianza por elproducto de las desviacionesest#ndar* obtenemos un indicador de

la relación lineal que llamamos índicede correlación de :earson* convalores entre 91 y 1$


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• ;eoría :sicomJtrica$

• @atos Modelo X Error

• Error @atos N Modelo

• Ibservaciones f(Modelo! X Error

• +upongamos que deseamos determinar si una

variable [ tiene un efecto sobre una variable Z.• El supuesto m#s sencillo que podemos ,acer es

que el efecto de [ sobre Z es constante para todoel rango de [. Eso quiere decir que suponemosque la relación que entre ambas es lineal$

Z a[ X b.


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• La relación lineal est# completamente determinada por losvalores de los par#metros a (la pendiente! y de b el

(intercepto!. El factor de proporcionalidad a nos indicacuanto cambiar# Z con un cambio de una unidad en [.

•

• :ara cada valor de [* tenemos dos valores asociados* la Zobservada y la Z predic,a por la ecuación. & la diferencia

entre ellas les llamamos 8esiduos.• & nivel de observaciones (datos!$

Z a[ X b X e.

8esiduos

Error @ato N Modelo Z N a[ X b


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• ue criterio empleamos para seleccionar a y b.

•

• =ntuitivamente* lo que deseamos es que el cuadrado de lasuma de los residuos sea tan pequeFo como sea posible.

• & la tJcnica se le conoce como de cuadrados mínimos.

•

•

El valor del par#metro a no nos indica la magnitud de larelación entre las variables [ y Z* debido a que cambia conlas unidades de medida. +in embargo* juega dos papelesmuy importantes. :rimero* nos permite probar si la relaciónes lineal (a diferente de cero!. +egundo* teniendo presente

las unidades de medida* nos permite predecir el efecto quetendr# un incremento en una unidad de [.


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• +i lo que deseamos es evaluar el grado de asociación o

importancia de la variable [* debemos buscar otroindicador. +i no eiste ninguna relación entre [ y Z* elmejor predictor de Z a nuestro alcance es la media de Z.:odemos así comparar el error obtenido cuando solousamos la media de Z y cuando usamos la ecuación linealque incluye a [. La medida de la importancia de laasociación es la reducción proporcional en el error(residuos!* que resulta ser el cuadrado del coe%ciente deregresión.

• 8educir Z N a[ X b

• :recauciones$ @atos etremos y variables omitidas.

•

• Ejemplo a,ogados en la playa y consumo de nieve.


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• 8esumen Modelo de regresión 7l#sico$

• 1. la relación entre Z y [ es lineal

•


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• En regresión lineal m5ltiple* con m#s deuna variable [* es necesario que lacorrelación entre las [s no sea igual a uno

(colinealidad!• +i la correlación entre las [s no es cero* _i

representa el efecto directo de [i sobre Zi.Las correlaciones entre [i Zi representan

los efectos totales.• Los efectos indirectos son el producto de

Beta y las correlaciones entre las [s.


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• Itra medida de asociación son los momios.

• Momios (Idds! :-(19:! a-(19a!

•

• Los momios son valores no negativos. ?n valor de uno signi%ca que

la probabilidad de una respuesta correcta es la misma que laprobabilidad de una respuesta equivocada. Mientras m#s se aleja(,acia arriba y ,acia abajo! el valor de los momios de uno* mayores la diferencia en las probabilidades de las dos respuestas.

Momios de S indican que es cuatro veces m#s probable respondercorrectamente que incorrectamente.

• Hote que : momios-(momios X 1!

• En nuestro 5ltimo ejemplo : S-2 /.]

•

•

En nuestro ejemplo* los momios* para las escuelas privadas* decontestar correctamente son .U0-.


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• ?na de las medidas m#s interesante para nosotros es larazón de momios.

•

• 8azón de Momios (Idds ratio!

•

• momios1-momios< (p1-(19:1!!-(:• • & la razón de momios se le conoce tambiJn como

• 'producto cruzado$ (a-b!-(c-d! ad-bc

•

• En nuestro ejemplo ,ipotJtico* la razón de momios es

medición y variables latentes

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