medicion y errores 2013

8/17/2019 Medicion y Errores 2013

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Cátedra: Física I FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA Docente: Ing. José L. Martínez

MEDICIONES Y ERRORES

INTRO DUC CIÓN

Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o una sustancia que puedeser medida. Por ejemplo podemos medir la velocidad de un cuerpo, el efecto de un imán sobre unconductor o la masa de una sustancia.

Debemos disponer de una serie de elementos y condiciones para poder realizar lamedición, entre los cuales podemos mencionar:• El objeto específico o fenómeno a ser medido . • Un instrumento de medición •

Un método de medición

• Definimos asimismo comoMagnitud a la propiedad específica del objeto o fenómeno quedeseamos medir, por ej. masa, velocidad, temperatura, etc. • Las magnitudes físicas se cuantifican usando un patrón que tenga bien definida esamagnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. Porejemplo, se considera que la longitud del metro patrón es 1. • La medición de una cantidad física comprende un número y una unidad asociada.

Consiste en compara esa cantidad con otra de la misma magnitud que se adopta como

unidad. Esta comparación indica cuantas veces se halla contenida en dicha cantidad la unidad demedida. Si “A” decimos que es la cantidad medida de una magnitud “U”, las veces que “A”

contiene a “U” estará dada por “X”, y se expresa como:

• Para determinar una medición además es necesaria la presencia de un operador

Con estos elementos ya podemos realizar una medición.

ERRORESEl análisis de errores, es el estudio de incertezas en la medición. La experiencia

demuestra que ninguna medición, sin importar el cuidado que se ponga en su realización, estácompletamente exenta de errores. Debido a que toda la estructura y aplicación de la cienciadepende de las mediciones, la habilidad para evaluar estas incertezas y minimi-zarlas, son decrucial importancia.

En ciencias la palabra error no tiene la connotación, que se da en el lenguaje vulgar, deequivocación sino que asocia un nivel de incerteza a la medición realizada producto de múltiplesfactores que ya describiremos. La incerteza asociada a la medida es inevitable y lo mejor que sepuede hacer es asegurarse que sea lo menor posible y dar una estimación confiable de su


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tamaño.En cada medición que se realiza, la precisión queda determinada por la escala, por

ejemplo metros, milímetros, kg, etc. ¿Qué significa entonces esta precisión? Es la incer-teza enla medición dada por la mínima escala del instrumento de medición. Por ejemplo si utilizamos unaregla graduada en centímetros, la distancia entre marcas será de un centímetro y rara vez al medirun objeto nos dará la lectura justo sobre la marca, sino que por lo general quedará entre marcasdando así un grado de incerteza sobre la longitud real del objeto. ¿Pero se podría pensar queachicando la escala se elimina la incerteza? Al achicar la escala mejora la precisión delinstrumento pero no elimina el error, ya que si tomamos una regla graduada en milímetros podrédiscriminar errores menores a 1 mm pero no puedo eliminarlos, esto ni siquiera puedo realizarlocon un instrumento láser en el cual la incerteza de la medición está en el orden de los 460

nanómetros, es decir una gran mejora en la precisión pero no elimina la incerteza.¿Es el instrumento la única causa de errores? No es la única, sino que se puedenmencionar muchos factores que inciden en la medición y catalogarlos de distintas formas, pero alos fines del estudio que afrontamos distinguiremos dos grandes grupos de errores, lossistemáticos y los aleatorios:

1. Errores Sistemáticos: Son los que más se pueden asociar al concepto deequivocación, y por lo tanto pueden ser eliminados, pudiendo mencionar:

a. Defectos de Fabricación

b. Calibración del instrumentoc. Escala inapropiadad. Paralaje al realizar la medicióne. Determinación y comparación de unidadesf. Apreciación del instrumento de medicióng. Operadorh. Condiciones ambientales de operación del instrumentoi. Condiciones ambientales de repetitividad

2. Errores Aleatorios: Los errores accidentales se deben a causas impondera-bles eimposibles de controlar, que alteran bien en un sentido u otro los valores hallados,de manera que este tipo de error conduce a resultados dispersos al azar alrededordel valor verdadero. Debido a su aleatoriedad, responden a distribucionesprobabilísticas de forma que pueden analizarse por métodos estadísticos. La teoríade errores no es otra cosa que la aplicación de la estadística matemática a laestimación de estos errores. Sin embargo, no es nuestra intención entrar enconsideraciones teóricas, ya que ello nos alejaría de nuestro interés primordial, que

es la determinación práctica de los errores en las situaciones experimentales másusuales. Por lo tanto vamos a utilizar algunas de las aplicaciones del análisis


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estadístico con el fin de hallar, tanto el valor de la medida experimental como ellímite superior de su error. La repetición de las medidas es el arma para lucharcontra los errores accidentales. Por su mismo carácter es de esperar que, conigual probabilidad, unas veces el resultado de la medida será superior al verdaderovalor de la magnitud que se mide y otras veces será inferior, por lo que un valormedio será una buena aproximación del número que se busca. Es fácil comprobarque la media aritmética de una serie de medidas de una misma magnitud vieneafectada por un error menor que cualquiera de los resultados individuales.

Ejemplo: A Arquímedes se le planteó el problema de determinar si una corona era de oro de 18quilates o de una aleación barata. Dos operarios “A” y ”B” repiten la experiencia y

sabiendo que:

El operario A mide una densidad de 15 kg/dm3 con una certeza que el valor seencuentra entre los 13,5 y los 16,5 kg/dm3. El operario B realiza una medición máscuidadosa y estima la densidad en 13,9 kg/dm 3 con un rango probable de estar entre13,7 y 14,1 kg/dm3, si resumimos ambas experiencias en un gráfico nos queda que

Aunque ambas mediciones pueden ser correctas, se debe desestimar la realizada porel operario A, ya que su nivel de incerteza valida tanto al oro como a la aleación, encambio la medición del operario B determina que la corona está hecha de aleación

12

13

14

15

16

17

18

19

Oro

12

Aleación

A

B


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ESTIMANDO ERRORES EN LA LECTURA DE LOS INSTRUMENTOSSupongamos que tenemos que medir el largo de una pieza con una regla que aprecia

milímetros. Si tomamos la medida, bien por exceso o bien por defecto, en milímetros exactos.Como error absoluto de la medida consideraremos la apreciación de la regla.

Si al medir la pieza con la regla, nos sentimos con la capacidad de estimar en formaaproximada, la medida entre milímetros, tomaremos como error absoluto, la mitad de la

apreciación de la regla. En general, tanto el caso anterior como este, se pueden aplicar acualquier instrumento con sistema de medida parecido al de la regla, por ejemplo, amperímetros yvoltímetros analógicos, transportadores de ángulos, etc. Al proceso de inferir el valor medidoentre marcas se llama interpolación .

Si utilizamos un instrumento digital de medida (por ej. multímetro digital), suelen traer laespecificación de error del fabricante como ser “la mitad del último dígito” entonces se podría

escribir 8,74 +- 0,005 V. Pero algunos instrumentos en vez de redondear truncan los valoresmenos significativos dando lugar a que tanto una medición de 8,742 V y otra de 8,749 V muestrenen pantalla una medida de 8,74 V. Por ello para instrumentos digitales se tomará una laresolución del último dígito significativo como error, en nuestro caso 8,74 +- 0,01 V

A nuestra mejor estimación de la medida la llamaremos “valor verdadero” y el rango deincerteza “error absoluto”, en la siguiente figura se da una representación del mencionado valor con su error absoluto


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¿Cuál es la apreciación de los siguientes instrumentos de medida?

Error relativo: El error absoluto no resulta suficiente para evaluar la precisión de unamedida; por ejemplo, un error absoluto de 1 mm en la medida de una longitud de 15 mm, indicapoca precisión, sin embargo, ese mismo error absoluto en la medida de una longitud de 1000 km,implica una gran precisión. Por esta razón introduciremos un nuevo concepto de error llamadoerror relativo, el cual se expresa como el cociente entre el error absoluto y el valor medido. Lo

representaremos por ε x, es decir

Error porcentual: Como puede verse el error relativo es un número adimensional, ygeneralmente mucho menor que la unidad, por ello frecuentemente se expresa en forma de

porcentaje multiplicándolo por 100, y dando el resultado en tanto por ciento del valor medido

Ejemplo: Al medir la longitud de la pieza con la regla se obtuvo que L = 3,13 ± 0,05 cm. Siqueremos presentar este resultado expresando el error porcentual, escribiremos L = 3,13 cm ±1,6%

CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando se presentan magnitudes con su correspondiente error, debe considerarse que

todo error como tal, está sujeto también a incertidumbres. De esta manera, no tiene sentidoescribirlo con una gran precisión, por ello, es recomendable presentar el error con una sola cifrasignificativa, se da como excepción cuando la primera cifra significativa es 1, en cuyo caso tomara 1,49 como 1 introducirá un error apreciable, que para disminuirlo (es conveniente solo en casoque la primer cifra significativa sea un 1), tomar dos cifras significativas. Entonces toda mediciónestará condicionada en su precisión por la significación de su error, es decir que la última cifrasignificativa de una medición debe ser del mismo orden que la incerteza.

Ejemplo: Las magnitudes de la columna de la izquierda aparecen razonablemente escritasen la columna de la derecha.


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0,4672 ± 0,00482 cm 0,467 ± 0,005 cm234,591 ± 21 g 230 ± 20 g1,35782 ± 0,0058 s 1,358 ± 0,006 s230,364 ± 0,02 m 230,36 ± 0,02 m

Si los números en juego son muy grandes o muy pequeños conviene utilizar notacióncientífica, por ejemplo:

Cuando tenemos un número aproximado y no sabemos cual es su incertidumbre, conside-

raremos que es la correspondiente a su redondeo, es decir, la mitad de la unidad decimal corres-pondiente a la última cifra significativa escrita.

Ejemplo: La incertidumbre del número aproximado 5,8 será ± 0,05 ¿por qué?Cuando el número aproximado es un entero tomaremos como incertidumbre la mitad de la

unidad decimal correspondiente a la última cifra significativa escrita que sea diferente de cero.Ejemplo: La incertidumbre del número 34800 será ± 50 ¿por qué?

DISCREPANCIA

Definimos a la discrepancia como la diferencia entre dos valores medidos del mismo objetoEjemplo: Sean dos estudiantes A y B que miden una resistencia obteniendo los siguientes resultadosEstudiante A: Estudiante B: Si llevamos estas mediciones a un gráfico nos da:

Vemos que las mediciones de A y B con su error producen gráficos que no se solapan entonces

decimos que la discrepancia es significativa y que las mediciones son inconsistentes

0

10

20

30

A

B


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CORROBORAR RELACIONES CON UN GRÁFICOMuchas leyes físicas implican que una cantidad debe ser proporcional en forma lineal a

otra.

El gráfico puede representar por ejemplo la fuerza ejercida para extender o contraer unresorte, para calcularla deberé medir el desplazamiento x de su estado de reposo que me dará unnivel de error, pero no lo hará el valor de la constante del resorte, es decir que tengo incerteza enuna dimensión (x)

Otro ejemplo se da en el siguiente gráfico con incerteza en dos dimensiones, como puede

Continuando con el ejemplo anterior se eligen ahora dos estudiantes C y D que miden la mismaresistenciaEstudiante C:

Estudiante B: Vemos que la discrepancia no ha cambiado aparentemente pero si llevamos estas mediciones a ungráfico nos da:

Vemos que las mediciones de C y D con su error producen gráficos que no se solapan entoncesdecimos que la discrepancia es insignificativa y que las mediciones son consistentes, esto significa queestamos midiendo el mismo objeto

0

10

20

30

C

D


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ser la aceleración medida vs la masa pesada de un cuerpo

La relación lineal se expresa por la ecuación de la recta , y si se puede hacer

que la recta pase por todas las barras de error, entonces el resultado será consistente con el valordeseado

El siguiente gráfico no da consistencia entre los valores

A veces se dan situaciones en que las proporcionalidades no siguen una relación linealpero si lo hacen en forma por ejemplo cuadrática, si realizamos el gráfico con las barras, a simplevista nos parecerá que las medidas son inconsistentes pero si linealizamos haciendo por ejemploX=x2 confirmaríamos la relación entre las mediciones.

Ejemplo:Y=A.x2

Tomando los puntos aislados el gráfico da aparentemente inconsistente


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Pero se le superponemos la parábola vemos que las mediciones siguen una relacióncuadrática

Por lo que para evitar equívocos es conveniente linealizar resultando el gráfico conocido

PROPAGACIÓN DE ERRORESHasta ahora nos hemos ocupado de mediciones directas, es decir de las que se obtienen

directamente de la lectura de un instrumento. Sin embargo muchas mediciones se realizan apartir de cálculos intermedios, por ejemplo para medir el área de un rectángulo debo determinar lalongitud de dos lados cada uno con su incerteza, pero el área va a ser el producto de estos lados.¿Cómo afecta entonces la incerteza de cada lado en la medición del área? La relación de losefectos de estos errores no es lineal, sobreestimándose su influencia en caso que se sumasen,por lo tanto siempre que se tenga una medición indirecta se deberán propagar errores, siguiendoalgunas reglas que se mencionan a continuación

SUMA

El error máximo estará dado por


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En consecuencia

RESTA

La diferencia mayor que tendré en el error se dará cuando se positivo y seanegativo, resultando

En la diferencia entre medidas los efectos de las incertezas se suman

PRODUCTO

COCIENTE

PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA VARIABLE

POTENCIA

Ejemplo:Un vehículo recorre 2,38 ± 0,01 metros en un tiempo de 4,27 ± 0,01 s. ¿Cuál es su rapidez

media?Sabemos que ± ∆x = ( ± ∆v)( ± ∆t) de donde

Para resolver esta operación, calculamos en primer lugar el valor de y luego el valor de laincertidumbre ∆v


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Para calcular el valor de la incertidumbre sabemos que

Sustituyendo y resolviendo obtenemos∆v = 0,004 m.s-1

Por último nos queda que

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE ERRORES ALEATORIOSTomar una sola medida de una magnitud no nos da información suficiente de su grado de

incerteza, por lo que en lo posible para poder tratar la información es necesario tomar al menostres mediciones. En general se puede decir que el proceso de medición será mejor si se toman lamayor cantidad de muestras posibles, veremos si embargo que llegado a un cierto número decotejos, mejorar su precisión requerirá un esfuerzo muy grande que no justificará los resultadosobtenidos

Exactitud y precisión

Generalmente suelen utilizarse las palabras exactitud y precisión como si se tratan de lamisma cosa. Nosotros en el contexto de error, consideraremos que un resultado es exacto si estárelativamente libre de error sistemático, y preciso si el error accidental es pequeño.

Un ejemplo que puede ayudarnos a diferenciar ambos conceptos puede ser el siguiente:imaginemos que el campeón olímpico de tiro al blanco, está disparando, primero con un arma defuego que tiene cierto defecto en su cañón y luego con otra en perfecto estado. Las figuras de lapágina siguiente nos muestran los resultados de su actuación en ambos casos. A partir de losmismos podemos pensar que los disparos con la primera fueron realizados con mucha precisión

(poco error aleatorio) y poca exactitud (mucho error sistemático), mientras que con la segunda, lofueron con mucha exactitud y mucha precisión.


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Si ahora el que dispara es un principiante, los resultados probablemente, sean parecidos alos que se muestran a continuación.

¿Que nos indican las figuras anteriores? Que tanto el primer como el último gráfico se hancaracterizado por su exactitud, es decir su error sistemático es pequeño, porque se encuentransimétricamente alrededor de su centro, mientras que en el 2° y 3° gráfico los disparos han sidopoco exactos (error sistemático grande). ¿Qué sucederá si saco la referencia de la cruz y me

quedo sólo con los agujeros de los disparos? En este caso pierdo la referencia y no tengo formade saber si la mira del arma está bien calibrada. ¿Cuál es entonces la relación con las medicionesque nos da el ejemplo anterior? Cuando se mide se quiere averiguar un valor desconocido, esdecir que opero sin la referencia del blanco, por lo tanto el proceso de medición no me va a darinformación sobre el error sistemático cometido, pero en cambio si me dará información sobre elerror aleatorio ya que será menor cuanto más próximas sean las medidas tomadas (los disparosmás agrupados). Es por lo expuesto que no podemos dar un tratamiento posterior al proceso demedición para los errores sistemáticos y estos deben ser minimizados o eliminados tomando

todas las precauciones pertinentes para realizar la medición. En cambio los errores aleatorios sepueden minimizar por métodos estadísticos.


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Definiciones de algunos términos estadísticosMedia de la población ( ).

Supongamos que tenemos un conjunto de mediciones x 1, x2, x3, … xn La media de la población o media límite o valor verdadero, se define mediante la ecuación

donde xi representa el valor de la i-ésima medida. Como indica esta ecuación, la media deun conjunto de medidas se aproxima a la media de la población cuando N, el número de medidas,

tiende a infinito. Es importante añadir que en ausencia de sesgo, es el valor verdadero de lacantidad medida.

Media de la muestra ( ).La media de la muestra es la media o promedio de un conjunto finito de datos. Como N, en

este caso, es un número finito, difiere, con frecuencia, de la media de la población y, comoconsecuencia, difiere del verdadero valor de la cantidad medida. El uso de un símbolo diferentepara la media de la muestra enfatiza esta importante distinción.

Se expresa como

Por ejemplo: Se han tomado las siguientes medidas de alguna magnitud71,72,72,73,71

DesviaciónEs la diferencia de cada valor respecto a su media

Del ejemplo anterior

Podríamos arriesgar que sumando las diferencias nos daría el valor del error absolutocometido en la medición

Es decir que nos da que la medición no tiene incerteza, pero hemos visto que toda medida


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va acompañada de una incertidum bre, por lo que el parámetro “desviación”, no es adecuadotomándose en su lugar la desviación estándar y la varianza

Desviación estándar de la población ( ) y varianza de la población ( 2).La desviación estándar de una población y la varianza de la población proporcionan

medidas estadísticamente significativas de la precisión de los datos de una población. Ladesviación estándar de la población viene dada por la ecuación

donde xi representa, de nuevo, el valor de la i-ésima medida. Obsérvese que la desviación

estándar de la población es la raíz cuadrática media de las desviaciones individuales respecto de

la media, para la población.Los estadísticos prefieren expresar la precisión de los datos en términos de varianza, que

es simplemente el cuadrado de la desviación estándar 2, porque las varianzas son aditivas. Esdecir, si en un sistema hay n fuentes independientes de error aleatorio, entonces la varianza total

vendrá dada por la relación

Donde los son las varianzas debida a cada fuente de error

Desviación estándar de la muestra (s) y varianza de la muestra (s2).La desviación estándar (s) para una muestra de datos de tamaño limitado viene dada por

la ecuación

Obsérvese que la desviación estándar de la muestra difiere en tres aspectos de la

desviación estándar de la población

Primero, 2 se ha reemplazado por s 2 con el objetivo de enfatizar la diferencia entre los dostérminos. Segundo, la media verdadera se ha reemplazado por , la media de la muestra. Final-mente, en el denominador aparece (N - 1) que se define como el número de grados de libertad, enlugar de N. El término (N-1) influye cuando las mediciones son pocas, pero si se da el casocontrario su influencia no es significativa

Retomemos entonces el caso anterior y expresemos el proceso en una tabla


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Valores

71 0,6472 0,04

72 0,04

73 1,44

71 0,64

71,8 0,836660026 0,7

Error estándar de la media.

Si de una población de datos se toman aleatoriamente un conjunto de muestras, quecontiene N datos cada una, a medida que N aumenta, las medias de las muestras mostraránmenor dispersión. La desviación estándar de las medias de las muestras se conoce como el errorestándar de la media y se representa con el símbolo S m. Puede demostrarse que el error estándares inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de datos utilizados para calcular lasmedias. Es decir,

Este parámetro indicará el error de nuestra medida, y que para el ejemplo que venimos

tratando quedará

Vimos en el principio de nuestro estudio que el error se debía reducir a una cifra

significativa, por lo tanto nos quedará

Y nuestra medida se expresará de la siguiente forma


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Histogramas Algunos datos numéricos se obtienen mediante conteo para determinar el valor de una

variable (la cantidad de multas de tránsito que una persona recibió el año pasado, el número depersonas que llegan para ser atendidas durante un periodo determinado), mientras que otrosdatos se obtienen tomando medidas (el peso de un individuo, el tiempo de reacción a un estímuloparticular). En general, es distinta la técnica para trazar el histograma en estos dos casos.

Definimosvariable discreta si su conjunto de valores posibles es finito o se puede enume-rar en una sucesión inlinita (una en la que hay un primer número, un segundo número, etcétera).Variable continua si sus valores posibles consisten en un intervalo completo en la recta numé-rica.

Considere los datos que consisten en observaciones sobre una variable discreta x. La fre-

cuencia de cualquier valor particular de x es la cantidad de veces que se presenta ese valor en elconjunto de datos. La frecuencia relativa de un valor es la fracción o proporción de las veces quese presenta ese valor:

Suponga, por ejemplo, que el conjunto de dalos consiste en 200 observaciones en x canti-

dad de defectos principales de un automóvil nuevo de cierto tipo. Si 70 de esos valores son 1,entonces:

Al multiplicar por 100 una frecuencia relativa se obtiene un porcentaje, es decir que en el

ejemplo el 35% de los automóviles tienen el defecto de tipo 1En teoría la suma de las frecuencias relativas debe ser igual a 1, pero ese valor puede

diferir ligeramente debido al redondeoConstrucción de un histograma para datos discretos: Primero, determine la frecuencia y la

frecuencia relativa de cada valor de x. Luego marque los valores posibles de x en una escalahorizontal. Arriba de cada valor trace un rectángulo cuya altura sea la frecuencia relativa (o comoalternativa, la frecuencia) de ese valor.

Con esta construcción se asegura que el área de cada rectángulo sea proporcional a lafrecuencia relativa del valor. Así, si las frecuencias relativas de x=1 y x=5 son 0.35 0.07, respec-tivamente, entonces el área del rectángulo arriba de 1 es cinco veces mayor que el área delrectángulo arriba de 5.

Construir un histograma para datos (mediciones) continuos, requiere subdividir el eje de lasmediciones en una cantidad adecuada de intervalos de clase o clases, de modo que cadaobservación esté contenida en exactamente una clase. Supóngase, por ejemplo, que se tienen 50observaciones de x= rendimiento de combustible de un automóvil (mpg), de las cuales la más


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pequeña es 27.8 y la más grande es 31.4. En este caso se podrían usar los límites de clase 27.5.28.0, 28.5,…… y 31.5 como se muestra a continuación:

Una posible dificultad es que a veces una observación queda en un límite de clase, así queno está exactamente en un intervalo; por ejemplo 29,0. Una forma de superar esta dificultad esusar límites como 27,55; 28,05…… 31,55 Añadir un dígito de centésimos al los límites de claseevita que las observaciones caigan en los límites resultantes. Otro método es utilizar las clases27,5-


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Esto dio por resultado los siguientes datos

2,97 4,00 5,20 5,56 5,94 5,98 6,35 6,62 6,72 6,78

6,80 6,85 6,94 7,15 7,16 7,23 7,29 7,62 7,62 7,69

7,73 7,87 7,93 8,00 8,26 8,29 8,37 8,47 8,54 8,58

8,61 8,67 8,69 8,81 9,07 9,27 9,37 9,43 9,52 9,589,60 9,76 9,82 9,83 9,83 9,84 9,96 10,04 10,21 10,28

10,28 10,30 10,35 10,36 10,40 10,49 10,50 10,64 10,95 11,09

11,12 11,21 11,29 11,43 11,62 11,70 11,70 12,16 12,19 12,28

12,31 12,62 12,69 12,71 12,91 12,92 13,11 13,38 13,42 13,43

13,47 13,60 13,96 14,24 14,35 15,12 15,24 16,06 16,90 18,26

Tenemos 90 datos, por lo tanto , deberemos tener diez columnas, luego tomar losintervalos y determinar las frecuencias para cada clase. Esta tarea puede ser simplificada utilizan-

do herramientas como excel.Procedimiento para realizar un histograma en excel:

1. Se colocan los datos en columna2. Con el boton ordenar se ordenan los datos de menor a mayor3. Se ingresa a la herramienta análisis de datos (verificar que esté activada sino

activar, esto varía con la versión)4. Aparecerá eñ siguiente cuadro de diálogo, seleccionamos histograma y damos

aceptar

5. A continuación se mostrará la siguiente pestaña


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6. En el campo Rango de entrada, seleccionamos la columna de los datos. El rango

de clases se lo dejamos por defecto a excel que ya toma , seleccionamos queconstruya el histograma en una hoja nueva y presionamos aceptar

7. El histograma creado es el siguiente

8. Vemos que en vez de la frecuencia relativa toma la frecuencia absoluta, entregandolos siguientes datos

0

5

10

15

20

25

F r e c u e n c i a

Clase

Histograma

Frecuencia


20/20


Clase Frecuencia

2,97 1

4,66888889 1

6,36777778 5

8,06666667 17

9,76555556 18

11,4644444 22

13,1633333 13

14,8622222 8

16,5611111 3

y mayor... 2

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