médias aritmética geométrica harmônica quadrática
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Médias
AritméticaGeométrica Harmônica Quadrática
Média aritmética simples
Definição
Dado um conjunto de n observações x1, x2,..., xn,
a média aritmética simples é definida como
Exemplo:
Considere os seguintes dados fictícios referentes aos salários de 8 funcionários de uma empresa: 700, 700, 820, 820, 820, 820, 1500 e 3200.
Qual é o total da folha de pagamento? 7200
Qual é o número de empregados?
6
Salário médio
=8560
8
= 1070
700 + 700 + 820 + 820 + 820 + 820 + 1500 + 3200
8
interpretação física:
cada um dos 8 empregados ganha 1200
1070 1070 1070 1070 1070 1070 1070+ 1070 8560
Existe outra forma, mais simples (curta) de escrever esta expressão?
2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200
8
700 + 700 + 820 + 820 + 820 + 820 + 1500 + 3200
8
2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200
2 + 4 +1 + 1
2.700 + 4.820 + 1.1500 + 1.3200
2 + 4 +1 + 1
Calculada desta forma, a média é conhecida como média aritmética ponderada ou Simplesmente média ponderada.
Os números 2, 4, 1 e 1 são conhecidos comoPesos.
Definição:A média aritmética ponderada de um conjuntode dados é dada pela razão entre o somatório dos produtos entre cada número e seu peso e o produto dos pesos. Em outras palavras, dada uma distribuiçãox1, x2, ..., xn, com pesos p1, p2, ..., pn, a média aritmética ponderada é dada por:
= p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = p1 + p2 + ... + pn
Σi =1
n
pi.xi
Σi =1
npi
Consideremos, agora, as idades de um grupo de pessoas:
24 29 36 4525 29 37 5126 31 38 5326 35 42 55
Calcule a idade média deste grupo.
Os salários dos funcionários do departamento de Recursos Humanos, cujos valores (em R$) são os seguintes:
6300 5700 4500 3800 3200 7300 7100 56006400 7000 3700 6500 4000 5100 4500
Calcule o salário médio.
Calcule a nota média para os dados da tabela
Média Geométrica
Utilizada em situações que envolvem taxas de crescimento ou taxas de retorno, como taxas de juros, a utilização
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses.
Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos teremos:
1000.20% = 200 1000 + 200 = 12001200.12% = 144 1200 + 144 = 13441344.7% = 94,08 1344 + 94,08 = 1438,08
Qual é o percentual médio mensal de aumento desta categoria?
Isto é qual é o percentual que, aplicado3 vezes sucessivas transforma o primeiro valor no último?
Se você pensar em termos de média, teremos:
20 + 12 + 7 = 39 = 13%3 3
Então, teríamos:
1000.13% = 130 1000 + 130 = 1130
1130.13% = 146,9 1130 + 146,9 = 1276,9
1276,9.13% = 166 1276,9 + 166 = 1442,9
Note que a média aritmética não leva à transformação esperada.
O que acontece neste exemplo é que os salários, após a aplicação de cada porcentagemformam uma progressão geométrica. Assim:
a = 10001
a = 13443
a = 1438,084
a = a . q n
1
n – 1
a = a . q 4
1
4 – 1
1438,08 = 1000 . q 3
a = 12002
q
3 1438,08 = 1,438,08 1000
=
q
3 1438,08 = 1,438,08 1000
=
q
3 1,2 . 1,12 . 1,07=
1,2 . 1,12 . 1,07q
=3
q é o valor que estamos procurando, e é conhecido como média geométrica.
Assim, para o problema inicial, bastaríamosfazer:
aumento salarial de 20% salário . 1,20%
aumento salarial de 12% salário . 1,12%
aumento salarial de 7% salário . 1,07%
Média dos =aumentos
Média geométrica
= 1,2 . 1,12 . 1,07 3
Exercício:Você deseja que a taxa média de crescimento dos salários de um trabalhador por um período de três anos. Suponha que os salários do trabalhador aumentou da seguinte forma:5 por cento no 1º ano,3 por cento no 2º ano,4 por cento no 3º ano.
Exercício:Encontre a média geométrica de cada uma das sequências abaixo:
a) 2 e 8b) 2; 2 e 4
b) 1; 6; 8 e 9
Média Harmônica
Tempo de ida: 120 80
= 1,5
Tempo de volta: 120120
= 1
2402,5
= 96Velocidade médiana trajetória:
96 = 2402,5
= 240 _ 1,5 + 1
= 240 _ 120 + 120 80 120
= 240 _ 120 + 120 80 120
= 240 _ 120 + 120 80 120
= 240 _ 120 1 _ + 1 _ 80 120
= 2 _ 1 + 1 _ 80 120
Inverso dos números
Dois números
Média Harmônica: inverso da média aritmética do inverso dos números.
A média quadrática dos números x1, x2, ..., xn é definida por
q =
isto é, a média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos números.
Média quadrática
Por exemplo, a média quadrática dos números 1 e 7 é
q = = 5
Exercícios
Determine a média geométrica dos números:
a) 1; 2 e 4
b) 1; 2; 4; 8
Determine a média quadrática dos números:
a) 2; 3; 6
b) 4; 9; 10
Determine a média harmônica dos números:
a) 2; 4
b) 3; 6; 9