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17/02/2016
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Mecânica Geral
Capítulo 2 – Estática de Partículas
Resultante de Duas Forças
2 - 2
• Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu
sentido.
• A resultante de duas forças é equivalente à diagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes.
• Força é uma grandeza vetorial.
• Evidências experimentais mostram que o efeito conjunto de duas forças pode serrepresentado por uma única força resultante.
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Vetores
2 - 3
• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.
• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.
• Classificações de vetores:- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos
e não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema.
- Vetores livres podem se mover livremente no espaçosem que se alterem as condições do Problema.
- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longode suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema.
• Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmosentido.
• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem suamesma intensidade e sentido oposto.
Adição de Vetores
2 - 4
• Regra do triângulo para soma de vetores
QPR
ramoeregraParalQAPPQQPR
guloregraTrianBPQQPR
rrr+=
−++=
−−+=
log)ˆcos(2
cos2222
222
• Lei dos cossenos,
• Lei dos senos,
P
senC
R
senB
Q
senA==
• A adição de vetores é comutativa,
PQQPrrrr
+=+
• Subtração de vetores
• Regra do paralelogramo para soma de vetores
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Adição de Vetores
2 - 5
• Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo.
• Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores.
• A adição de vetores é associativa,
• Multiplicação de um vetor por um escalar.
Problema Resolvido 2.1
2 - 6
As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.
SOLUÇÃO:
• Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmasdireções de P e Q desenhados emescala. Avaliamos graficamente a resultante que é equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo.
• Solução trigonométrica – usamos a regra do triângulo para soma de vetoresem conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultantede P e Q.
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Problema Resolvido 2.2
2 - 7
a) A força de tração em cada um dos cabos para α = 45o,
b) O valor de α para o qual a tração no cabo 2 é mínima.
Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é 22.250 N dirigida ao longo do eixo da barcaça, determine:
SOLUÇÃO:
• Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eixo da barcaça com comprimento proporcional a 22.250 N.
• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando-se a Regra do Triân-gulo e observando o efeito de variações em α.
• Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da resultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para encontrar as trações nos cabos.
Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários
2 - 8
• Os componentes de um vetor podem ser expressos como produtos dos vetores unitários pelas intensidades dos componentes do vetor.
Fx e Fy são chamados de componentes escalares de .
jFiFF yx
rrr+=
Fr
• Pode-se decompor uma força em dois componentes perpendiculares de forma que o paralelogramo resultante é um retângulo. são chamados de componentes retangulares e
yx FFFrrr
+=
yx F e Frr
• Definimos então os vetores unitários perpendiculares que são paralelos aos eixos x e y.j e i
rr
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Adição de Forças pela Soma dos Componentes
2 - 9
SQPRrrrr
++=
• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes,
( ) ( ) jSQPiSQP
jSiSjQiQjPiPjRiR
yyyxxx
yxyxyxyxrr
rrrrrrrr
+++++=
+++++=+
• Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares
∑=++=
x
xxxx
F
SQPR
• Os componentes escalares da resultante são iguais à soma dos componentes escalares correspondentes das forças dadas.
∑=++=
y
yyyy
F
SQPR
x
y
yxR
RRRR arctg22 =+= θ
• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,
Problema Resolvido 2.3
2 - 10
Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso.
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em componentes retangulares.
• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.
• Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças.
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Equilíbrio de uma Partícula
2 - 11
• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio.
• Para uma partícula emequilí-brio sob a ação de duas forças, ambas as forçasdevem ter:
- mesma intensidade
- mesma linha de ação
- sentidos opostos
• Para uma partícula sob a ação de três ou maisforças:
- a solução gráfica gera um polígono fechado
- solução algébrica:
00
0
==
==
∑∑
∑
yx FF
FRrr
• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta.
Diagramas de Corpo Livre
2 - 12
Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema.
Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise.
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Problema Resolvido 2.4
2 - 13
Numa operação de descarregamento de um navio, um automóvel de 15.750 N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda?
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula na junção da corda e do cabo.
• Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula.
• Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas.
Problema Resolvido 2.6
2 - 14
Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE.
Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo AC.
SOLUÇÃO:
• Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre.
• Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero.
• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos.
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 15
• O vetor está contido no plano OBAC.
Fr
• Decompomos em uma componente horizontal e outra vertical
yh FF θsen =
Fr
yy FF θcos=
• Decompomos em componentes retangulares
hF
φθ
φ
φθ
φ
sen sen
sen
cossen
cos
y
hy
y
hx
F
FF
F
FF
=
=
=
=
Componentes Retangulares no Espaço
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Componentes Retangulares no Espaço
Componentes Retangulares no Espaço
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Cossenos diretores
Cossenos diretores
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Cossenos diretores
Exercício
2.71 e 2.72
Determinar as componentes x,y
e z das forças de 750N e 900N e os ângulos diretores ��, �����que as forças formam com os
eixos.
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 23
A direção de uma força é definida pelas coordenadas de dois pontos,
em sua linha de ação.
( ) ( )222111 ,, e ,, zyxNzyxM
( )
d
FdF
d
FdF
d
FdF
kdjdidd
FF
zzdyydxxd
kdjdid
NMd
zz
y
yx
x
zyx
zyx
zyx
===
++=
=
−=−=−=
++=
=
rrrr
rr
rrr
r
1
e liga que vetor
121212
λ
λ
Problema Resolvido 2.7
2 - 24
A tração no cabo de sustentação da torre é 2500 N. Determine:
a) os componentes Fx, Fy e Fz da força que atua no parafuso em A,
b) os ângulos θx, θy e θz que definem a direção da força.
SOLUÇÃO:
• Considerando a posição relativa dos pontos A e B, determinamos o vetor unitário orientado de A para B.
• Utilizamos o vetor unitário para determinar os componentes da força atuando em A.
• Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção do vetor, calculamos os ângulos correspondentes.
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Estática da partícula no espaço
•
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Exercício
• Um cilindro de 200 kg é sustentado por dois cabos AB e AC que estão presos ao topo de um muro como mostrado na figura. Uma força horizontal P segura o cilindro na posição mostrada. Determine a magnitude de P e das trações nos cabos.
2 - 26
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Bibliografia
Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg:
•Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
•9ª Edição