Physik für PharmazeutenPhysik für Pharmazeuten

MECHANIK IIArbeit, Energie, Leistung

Impuls

Rotationen

M h ik IIMechanik II

Flaschenzug

M h ik IIMechanik II

• Flaschenzug• Flaschenzug:beobachte:  F1 kleiner als F2 (Gewichtskraft),

aber: r größer als raber:  r1 größer als r2

F1r1

F2, r2

M h ik IIMechanik II

• Flaschenzug• Flaschenzug:beobachte:  F1 kleiner als F2 (Gewichtskraft),

aber: r größer als raber:  r1 größer als r2

F Fgenauer:                      ,  Produkt aus Kraft ×Weg ist konstant

1 1 2 2F r F r=

F1r1ähnliches auch bei:

schiefer Ebeneschiefer EbeneHebelFahrradübersetzung....

F2, r2

M h ik II 1 3 Arbeit Energie LeistungMechanik II 1.3 Arbeit, Energie, Leistung

• mechanische Arbeit W F Δ• mechanische ArbeitEinheit 

b k l ( hl) k k b bh

W F r= Δ2 2[ ] (Joule)W Nm kgm s J= = =

Arbeit ist Skalar (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von Winkel zwischen Kraft und Weg

fü k ü t St k l ScosW F r F r α= Δ = Δ

für gekrümmte Strecken als Summe (Integral) über Teilstrukturen.

Änderung der Bewegung⇔ Arbeit zuführen/entnehmen⇔ Arbeit zuführen/entnehmen

⇒ Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichtenz.B. Änderung der Bewegung zu verursachen

M h ik II EnergieMechanik II Energie 

• Energie für Massepunkte (MP)• Energie für Massepunkte (MP)

• MP in Bewegung: v

M h ik II EnergieMechanik II Energie 

• Energie für Massepunkte (MP)• Energie für Massepunkte (MP)

• MP in Bewegung: vZuvor ist Beschleunigung notwendig, d.h. Kraft auf MP während bestimmter Zeit, bzw. über best. Strecke (z.B. Auto)

2 2fü 0 ilat r02

2

2, für 0 gilt

2 2

at

F Wm m

rr vt v t a

v at ra r

= + = =

= = = =

• aufgewendete Arbeit:

m m

2 kinmvW E= =

2

kinetische Energie

2 kin

M h ik IIMechanik II

• MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt)• MP  in Höhe h (Schwerkraft wirkt)⇒ potentielle Energie:

B i i l Kö f Höh h 0 it A f h i di k it hpotE mgh=

Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v0 nach oben (entgegengesetzt zur Kraft) ⇒ Körper wird abgebremst bis             dann gilt:

0v =

0 b0 0 0

2 20

, 0 : , .

2 2

v v gt wenn v v gt bzw t v g

x at gh v

= − = = =

= → =220

, ,02pot t kin

mvE mgh E⇒ = = =

wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (= kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden i d f A höh b h i dindem er auf Ausgangshöhe gebracht wird.

M h ik IIMechanik II

• allgemein:allgemein: Kraftfeld   Kraft hängt nur von ab.

( )F F r=rKraft hängt nur von     ab.r

grad GradientE

F Er

Δ= =Δ

⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung der Energie

W=0  für geschlossene Wege

Experiment:  schiefe Ebene – ParabelPendel

• allgemeines Konzept:  Potential (Energiefeld)

M h ik IIMechanik II

• Pendel• Pendel: Umwandlung potentielle Energie 

kinetische Energiekinetische Energie• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant

M h ik IIMechanik II

• Versuch Pendel• Versuch: Pendelasymmetrisches Pendel

Höhe links und rechts gleich⇔ Energie bleibt erhalten

0

21

: 0,

: 0, /2

kin pot

pot kin

P E E mgh

P E E mv

= =

= =2

max maxaus Energieerhaltung: /2 2mgh mv v gh= ⇒ =

M h ik IIMechanik II

• Pendel• Pendel: Umwandlung potentielle Energie 

kinetische Energiekinetische Energie• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant

• Leistung:  Energieänderung pro ZeiteinheitP W t F r t F v= = Δ =

Einheit 

P W t F r t F vΔ2 3[ ] (Watt)P J s kgm s W= = =

M h ik II

Energiebilanz für endotherme und exotherme ReaktionenMechanik II exotherme Reaktionen

M h ik II 1 4 ImpulsMechanik II 1.4 Impuls

in Kräfte freiem System:in Kräfte freiem System:(Geschwindigkeit konst.)

allgemeiner:0dv

dtF ma m= = =allgemeiner: 

(es kann sich auch Masse ändern)

• Impuls:

( ) 0d mvdtF = =p mv• Impuls: 

mehrere Massen  m1, m2, ....

p mv=

1... 1...i i i

i n i n

p p mv= =

= =∑ ∑

⇒ ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant

für Analyse von Stößen definiere mr m r= ∑Schwerpunkt:  “Zentrum“ vieler Massen

1..S i i

i n

mr m r=∑

M h ik II StoßgesetzeMechanik II Stoßgesetze

Stoß: vorher m v m vStoß:   vorher    m1, v1, m2, v2,....nachher   m1, u1, m2, u2,....

Randbedingungen:Randbedingungen:Impulserhaltung:

Energieerhaltung:1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +

für elastische Stöße:                  ,   sonst <1

I l üb

1 1 2 2 1 1 2 2

2

2 1uv=

( ) 2 i θΔImpulsübertrag:

• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):tößt äh d ΔtM Δ it G h i di k it

( ) 22 sinp m v u mv θΔ = − =

stößt  während ΔtMasse Δµmit Geschwindigkeit w aus, d.h. mit Impuls Δµw. Gesamtimpuls konst.⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:

( ) ( )w µ t m v t ma− Δ Δ = Δ Δ =

M h ik IIMechanik II

• Versuch elastischer inelastischer Stoß• Versuch: elastischer – inelastischer Stoß

v1v2

+ +vorher nachher

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u+ = +

Vorzeichen beachten !

v1 v2v1 v2

u1 =u2=u1 1 2 2 1 2( )m v m v m m u+ = +

vorher nachher

M h ik II StoßgesetzeMechanik II Stoßgesetze

Stoß: vorher m v m vStoß:   vorher    m1, v1, m2, v2,....nachher   m1, u1, m2, u2,....

Randbedingungen:Randbedingungen:Impulserhaltung:

Energieerhaltung:1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +

für elastische Stöße:                  ,   sonst <1

I l üb

1 1 2 2 1 1 2 2

2

2 1uv=

( ) 2 i θΔImpulsübertrag:

• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):tößt äh d ΔtM Δ it G h i di k it

( ) 22 sinp m v u mv θΔ = − =

stößt  während ΔtMasse Δµmit Geschwindigkeit w aus, d.h. mit Impuls Δµw. Gesamtimpuls konst.⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:

( ) ( )w µ t m v t ma− Δ Δ = Δ Δ =

M h ik II Chemische ReaktionenMechanik II Chemische Reaktionen

• auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen• auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen

KA BC AB C+ → +A BC AB C+ ⎯⎯→ +

CABBCA pppp +=+ CABBCA pppp

BCEAE )()(

chemkinkin

kinkin

ECEABEBCEAE

Δ++=+

)()()()(

Die kinetische Energie ist nicht erhalten sondern hängt von dererhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.

M h ik II 1 5 RotationenMechanik II 1.5 Rotationen

• Kreisbahn ⊥• Kreisbahn:.... Bahngeschwindigkeit

θ k l d k h

v r⊥vθ....  Winkel unter dem Massepunkt gesehen

wird, ändert sich mit der Zeit t.

Wi k l h i di k it2 1( ) ( )t t dθ θ θ ω−⇒ → = Winkelgeschwindigkeit

(Drei‐Finger‐Regel)

U l f it

2 1 2 1t t dtt tθ ω− →⇒ ⎯⎯⎯→ =

v r v rω ω= = ×

Umlaufzeit (Zeit innerhalb der Winkel von 2π überstrichen wird)

Einschub: Winkel Einheit: Radiant (° Grad)

2 2rvT π π

ω= =Einschub: Winkel     Einheit:   Radiant ( Grad)   

(Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius)     

60° π/3 90° π/2 120° 2π/3 180° π 360° 2π

M h ik II ZentripedalkraftMechanik II Zentripedalkraft

• evtl konstant aber nicht geradlinigv evtl. konstant, aber nicht geradlinig

⇒ Änderung von     immer nur durch Kraft, bzw. Beschleunigung 

vvg g

Analyse über ähnliche Dreieckev vAB r

r r vv

Δ ΔΔ= = =v

tvr r

v aΔΔΔ

Δ Δ= = =

⇒ Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft

Zentripedalkraft

r r vv tr vΔ

2 2 2va r F m rω ω= = = Zentripedalkraftnach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft:   Zentrifugalkraft

in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft:  

ra r F m rω ω= = =

g yKugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig,im rot. System wird sie aber abgelenkt ⇒ Kraft

vergleiche Ablenkung mit ⇒2 2/2at v tω= 2a v ω=vergleiche Ablenkung mit                             ⇒

Corioliskraft/2 Kat v tω= 2c Ka v ω=

2cF m vω=

M h ik II

ResumeeMechanik II

• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft

G it ti k ft i kt l Z t i t lk ft• Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft (Planeten)

M h ik IIMechanik II

• Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation andere Größe !• Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe ! 

• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):MP    Ekin=mv2/2,  vi=ωri,        (allgemeiner:  Integral über Masseverteilung)kin i i

wenn ωmit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.

2 2 21 12 2rot i i i i

i i

E mv m rω= =∑ ∑

• Trägheitsmoment:   (               )i iJ m r=∑ 2 ( )r r dVρ= ∫

M h ik IIMechanik II

• Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation andere Größe !• Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe ! 

• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):MP    Ekin=mv2/2,  vi=ωri,        (allgemeiner:  Integral über Masseverteilung)kin i i

wenn ωmit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.

2 2 21 12 2rot i i i i

i i

E mv m rω= =∑ ∑

• Trägheitsmoment:   (               )Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von 

2i iJ m r=∑ 2 ( )r r dVρ= ∫

Drehachse entfernt sind

Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunktsum Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwerpunkt

• Drehmoment:                             (            )A S ASJ J Md= +

T rF= T r F= ×

• Drehimpuls:     i i iL m r v= ×∑ ( ) 2i i i i im r r m rω ω= × × = =∑ ∑ Jω

M h ik IIMechanik II

M h ik II Drehmoment und Starre KörperMechanik II Drehmoment und Starre Körper

• Ungleiche Gewichte stehen im• Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekehrt verhalten wiesich umgekehrt verhalten wie die Gewichte.  (Archimedes, um 250 v. Chr.)

I i b l H b l i⇒ Ist eine belasteter Hebel imGleichgewicht, so liegt seinSchwerpunkt über der AchseSchwerpunkt über der Achse

stabiles Gleichgewicht: SP unter Achse (sonst labil)SP unter Achse (sonst labil)(Stehaufmännchen)

M h ik II HebelgesetzeMechanik II Hebelgesetze

• Gleichgewicht (Körper in Ruhe) wenn Summe aller• Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe aller angreifenden  Kräfte und Drehmomente verschwindet

0 d 0F T∑ ∑• "Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm"

1.. 1..

0 und 0i ii n i n

F T= =

= =∑ ∑

• z.B.: Drehmomente beim Fahrrad

• Bizeps gebeugt – gestreckt 

M h ik II es fehltMechanik II es fehlt

• Relativitätstheorie• RelativitätstheorieÄquivalenz von Masse und Energie

Ä d d bÄnderung der Masse bei v cLängenkontraktion, Zeitdilatation (Zwillingsparadox)

• Kreisel, Planetenbahnen

• deformierbare KörperDehnung  (siehe Feder, Hookesches Gesetz)

Kontraktion

etc.

M h ik II ZusammenfassungMechanik II Zusammenfassung

• Arbeit Energie Leistung• Arbeit, Energie, Leistungunterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...)

h l b hl ( d l)Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel)

• ImpulsImpulserhaltung

Stoßgesetze, Rückstoß

• RotationWinkel – Winkelgeschwindigkeit – Drehmoment g g

Trägheitsmoment

Drehimpulsp