meccanica statistica quantistica - dfa.unict.it · di media: una dovuta alla natura probabilistica...

Capitolo 16

Meccanica statistica quantistica

Lo studio di un sistema di molte particelle interagenti si riconduce alla risoluzione di un sistema diequazioni accoppiate, che richiede l’uso di specifici metodi di approssimazioni. Se il numero di parti-celle N e sufficientemente grande, idealmente N → ∞, si applicano i metodi della meccanica statistica.L’approccio piu generale e quello di Gibbs, che si applica sia alla fisica statistica classica che a quellaquantistica. Tuttavia la fisica statistica quantistica differisce profondamente da quella classica nel ca-so di particelle identiche. Infatti particelle identiche in meccanica quantistica sono indistinguibili (vediCap.IV), il che comporta che gli stati devono essere simmetrizzati (bosoni), o antisimmetrizzati (fermioni).In particolare, nel caso di fermioni due particelle non possono occupare lo stesso stato (principio di Pauli).

16.1 Medie temporali e medie statistiche

Avere a che fare con un sistema di N particelle, con N dell’ordine del numero di Avogadro, nel caso disistemi atomici o molecolari, e solo apparentemente una difficolta. Lo e, se si vuole seguire l’evoluzione delsistema particella per particella. Quand’anche cio fosse possibile, non capiremmo molto delle proprietaglobali del sistema, che piuttosto sono sensibili solo al comportamento medio degli innumerevoli gradidi liberta coinvolti. Consideriamo un tempo T sufficientemente grande affinche il sistema, passando dauno stato ad un altro, possa attraversare tutti gli stati dello spazio di Hilbert ad esso accessibili (ipotesiergodica). Immaginiamo di poter ’geometricamente’ dividere questo spazio in cellette elementari Hi. Siaδti la frazione del tempo T che il sistema passa dentro la celletta Hi. Chiamiamo probabilita che ilsistema si trovi in Hi il rapporto

Pi = limT→∞

δtiT

(16.1)

Consideriamo ora una osservabile dinamica O dell’intero sistema di N particelle. Definiamo mediatemporale di O

< O >=∑

i

PiOi = limT→∞

1T

∑

i

δtiOi (16.2)

dove la somma e estesa a tutto lo spazio di Hilbert accessibile al sistema ed Oi e il valor medio dellaosservabile O nella celletta Hi. Osserviamo en passant che d’ora in avanti avremo a che fare con due tipidi media: una dovuta alla natura probabilistica della meccanica quantistica ed una di natura statisticadefinita anche in meccanica classica. Una volta definiti i valori medi di osservabili dinamiche si trattera dicollegarli alle grandezze globali definite in termodinamica. Questo e lo scopo della meccanica statistica.

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CAPITOLO 16. MECCANICA STATISTICA QUANTISTICA 88

La strada teste descritta non e percorribile perche si dovrebbe seguire istante per istante il sistemache nel tempo T attraversa innumerevoli stati, data la sua complessita. Quindi si deve trovare unastrada alternativa. Immaginiamo allora di avere N copie mentali del sistema in istudio, tutte uguali l’unl’altra e di distribuirle nello spazio di Hilbert accessibile al sistema. Osserviamo preliminarmente chestiamo cambiando prospettiva: invece di studiare un singolo sistema (di N particelle) come evolve neltempo attraverso i suoi innumerevoli stati, vogliamo studiare N sistemi identici (ciscuno contenente Nparticelle) distribuiti allo stesso istante di tempo nei vari stati dello spazio di Hilbert. Se uno sa comedistribuire queste ’copie mentali’ del sistema nello spazio di Hilbert, ha definito una distribuzione statistica(nel linguaggio della statistica questo equivale ad un campione di N copie del nostro sistema), allora ilnumero di copie che cadono nella celletta i-ima sul numero totale definisce la probabilita Pi = Ni/Nrelativa e quindi la media statistica della osservabile O

< O >=∑

i

PiOi = limN→∞

1N

∑

i

NiOi (16.3)

La validita della meccanica statistica poggia sull’ipotesi che la media temporale, Eq.(2), e la mediastatistica, Eq.(3)coincidano.

Il problema e: come distribuire gli N sistemi identici nello spazio di Hilbert? Nel corso del tempo ilsingolo sistema attraversa (una e una sola volta) ciascuno degli innumerevoli stati possibili dello spazio diHilbert e uno si immagina che per un tempo sufficientemente grande tutti gli stati vengano attraversati(ipotesi ergodica). Pertanto una ipotesi plausibile e che la distribuzione di probabilita nello spazio diHilbert sia uniforme poiche non vi e nessuna ragione di privilegiare uno stato piuttosto che un altro.Questa ipotesi prende il nome di principio di equiprobabilita a priori.

16.2 Insieme microcanonico

In realta non tutto lo spazio di Hilbert e accessibile al sistema. Cio dipende dalle condizioni fisiche in cuisi trova. Supponiamo che vogliamo studiare un sistema isolato. D’ora in poi ci limiteremo a studiare ungas ideale ma le considerazioni che faremo sono piu generali e riguardano infatti un sistema di particelleinteragenti qualsivoglia purche le interazioni siano a corto raggio (il campo coulombiano, ad es.,e escluso).Allora consideriamo un gas ideale isolato, cioe racchiuso in un volume V, un numero di particelle N eduna energia totale E costanti. I livelli energetici di singola particella sono quantizzati secondo la formula

εn =4π2~2

2mV 2/3n2 (16.4)

dove n2 = n2x +n2

y +n2z, dove ni sono numeri interi. Notiamo che fissato il volume totale del sistema resta

fissato lo spettro di particella singola. Uno stato ’microscopico’ del sistema corrisponde ad una assegnatadistribuzione delle N particelle fra i livelli di particella singola in modo da dare l’energia totale E. Moltedistribuzioni possono dare la stessa energia. Chiamiamo fn il numero di particelle che occupano il livello dienergia εn ( numero di occupazione). Definiamo quindi lo stato microscopico i-mo, assegnando il numerodi occupazione di ciascuno stato di particella singola: {f (i)

n , n = 1, 2, ...}. Con i numeri di occupazionerisolviamo il problema di imporre la condizione di indistinguibilita di particelle identiche. Infatti nonsiamo piu obbligati ad etichettare le particelle e quindi costruire combinazioni simmetrizzate (bosoni) odantisimmetrizzate (fermioni) di funzioni d’onda di singola particella. Dobbiamo solo imporre il principiodi Pauli per fermioni cioe fn = 0(lo stato non e occupato) o fn = 1 (lo stato e occupato) qualunque sialo stato n di singola particella, mentre per bosoni non c’e alcuna restrizione al numero di particelle chepuo occupare uno stato (questo e all’origine della cosiddetta condensazione di Bose). Ogni insieme di


numeri di occupazione, che definisce lo stato microscopico i-mo, deve descrivere lo stato macroscopico delsistema con assegnati V,N ed E e quindi deve soddisfare le due condizioni

N =∑

n

f (i)n (16.5)

E =∑

n

εnf (i)n (16.6)

Siccome il numero dei livelli e infinito ed il numero delle particelle N finito, anche se molto grande, solo unnumero finito di livelli e occupato (fn > 0) mentre i rimanenti sono vuoti (fn = 0). Lo stato microscopicodel sistema e quindi definito dall’insieme [f (i)

n , n = 1, 2, ...] mentre lo stato macroscopico e definito daitre valori fissati di V,N ed E che definiscono un sistema isolato. Il punto e che a uno stato microscopicocorrisponde uno ed un solo stato macroscopico, ma ad uno stato macroscopico corrispondono innumerevolistati microscopici i, poiche moltissime distribuzioni [f (i)

n , n = 1, 2, ...] soddisfano le condizioni V,N ed Efissate. Chiamiamo questo numero somma sugli stati Γ(E, V, N). Gli stati del sistema corrispondentia ciascuna distribuzione formano un sottospazio HS dello spazio di Hilbert, cioe tutti gli stati di ungas ideale di N particelle, racchiuso in un volume V ed avente energia totale E. Allora dalla ipotesi diequiprobabilita a priori segue che la probabilita che lo stato microscopico i-imo e

Pi =1

Γ(E, V,N)= cost, per stati entro HS (16.7)

Pi = 0 per tutti gli altri stati (16.8)

Il fatto importante e qui che Pi e supposto costante in accordo col principio di equiprobabilita a priori;il fattore Γ e stato introdotto affinche Pi abbia il significato di probabilita, cioe la somma sugli stati∑

Pi = 1. Nel caso di gas ideali scriveremo

Pi =1Γ

δ(N −∑

f (i)n )δ(E −

∑εnf (i)

n ) (16.9)

dove il volume V, che non appare esplicitamente, caratterizza lo spettro e delimita la regione dove lefunzioni d’onda di particella singola sono diverse da zero. La somma sugli stati per un gas ideale e quindi

Γ(E, V, N) =∑

i

δ(N −∑

f (i)n )δ(E −

∑εnf (i)

n )· (16.10)

Vediamo come calcolare la media statistica di una osservabile fisica O. Se chiamiamo con Oi il valoredell’osservabile fisica corrispondente al microstato i-mo, si ha

<< O >>=∑

i

OiPi =1Γ

∑

i

Oiδ(E − Ei)δ(N −Ni) =TrOiρi

Trρi=

TrOρ

Trρ(16.11)

dove Tr e la somma sui microstati i ed Ei e Ni gli autovalori degli operatori Hamiltoniana H enumero di particelle N nello stato i-mo. Nell’ultimo passaggio abbiamo introdotto l’elemento di matrice(diagonale) dell’operatore densita degli stati ρ. Quest’ultimo, dipendendo dalla Hamiltoniana, commutacon essa, e quindi dalle equazioni di Heisenberg segue che ρ e indipendente dal tempo come anche lemedie statistiche di osservabili fisiche. Pertanto l’insieme microcanonico descrive stati stazionari, cioesistemi all’equilibrio.

16.3 Collegamento con la termodinamica

La quantita centrale qui e la somma sugli stati, che puo essere calcolata su basi microscopiche per diversisistemi fisici, in particolare gas ideali. Si tratta poi di interpretare le medie di osservabili fisiche in termini


di grandezze termodinamiche. L’ipotesi che stabilisce il ponte tra meccanica statistica e termodinamicae costituita dalla equazione di Boltzmann che lega l’entropia S del sistema con la somma sugli stati

S(E, V,N) = k · lnΓ(E, V,N) (16.12)

dove k prende il nome di costante di Boltzmann. L’argomento in favore di questa ipotesi e che sia lasomma sugli stati che l’entropia hanno il significato di probabilita. Γ rappresenta infatti il numero dipossibili realizzazioni (microstati) di un sistema isolato con energia E, numero di particelle N e volume V .Ricordiamo inoltre che l’interpretazione probabilistica dell’entropia segue dalla legge dell’accrescimentodell’entropia valida per un sistema isolato, che va interpretata come l’evoluzione del sistema verso lo statodi piu alta probabilita (per esempio la diffusione libera di un gas, il passaggio di calore da un corpo piucaldo ad un corpo piu freddo o la trasformazione di lavoro in calore per attrito). Quanto alla relazionespecifica che lega S ed E, questa e la piu semplice relazione tra una quantita additiva, che e S, ed unaquantita moltiplicativa, che e Γ. Cioe, considerando due sistemi non interagenti1 A e B di entropia SA eSB e la somma sugli stati ΓA e ΓB si ha per la loro combinazione

SA+B = SA + SB (16.13)

ΓA+B = ΓA · ΓB (16.14)

Prendendo il logaritmo della seconda equazione, moltiplicando per k e applicando l’equazione di Boltz-mann si ottiene la prima. In definitiva si calcola la somma sugli stati dal modello microscopico del sistema,si calcola l’entropia dalla equazione di Boltzmann e quindi si ricava la termodinamica del sistema. Questae la procedure che la meccanica statistica segue per ricavare le proprieta macroscopiche di un sistema,ma l’insieme microcanonico non e adeguato per la difficolta di calcolare la somma sugli stati. Prima diconcludere vediamo come si dispiega il collegamento con la termodinamica. Riprendiami i due principidella termodinamica

dU = dQ− pdV + µdN (16.15)

dQ = TdS (16.16)

Sostituendo il secondo nel primo, si ha

TdS = dU + pdV − µdN (16.17)

Poiche S e una funzione di stato, dS e un differenziale esatto, si ha

1/T = (∂S

∂U)V,N (V = cost,N = cost) (16.18)

p/T = (∂S

∂V)U,N (U = cost,N = cost) (16.19)

µ/T = −(∂S

∂N)U,V (U = cost, V = cost) (16.20)

Dall’equazione di Boltzmann si ha

1/kT =1Γ

(∂Γ∂U

)V,N (V = cost,N = cost) (16.21)

1ma anche sistemi interagenti con interazione a corto raggio, per cui si puo trascurare l’energia di superficie


p/kT =1Γ

(∂Γ∂V

)U,N (U = cost,N = cost) (16.22)

µ/kT = − 1Γ

(∂Γ∂N

)U,V (V = cost, U = cost) (16.23)

Osserviamo che qui dobbiamo identificare l’energia interna U con l’energia E del sistema, che in effetticoincidono per un sistema isolato dove l’energia e rigorosamente costante e quindi coincide con l’energiamedia.

16.4 Insieme grancanonico

Invece che un sistema isolato risulta piu semplice studiare un sistema in equilibrio termico (stessa tem-peratura T) e chimico (stesso potenziale chimico µ) con l’ambiente esterno. Questo perche temperaturae potenziale chimico sono grandezze facilmente controllabili e misurabili. Quindi invece che E,N (sistemaisolato) fissiamo T,µ (sistema aperto), il che significa che energia e numero di particelle non sono costan-ti. L’insieme statistico corrispondente prende il nome di insieme grancanonico. Vediamo come si puopassare dall’insieme microcanonico all’insieme grancanonico, senza introdurre nuovi postulati. Lo faremolimitandoci a considerare un gas ideale, ma i risultati sono validi anche per un’ampia classe di sistemiinteragenti, quelli con interazione a corto raggio.

Chiamiamo S il sistema ed A l’ambiente esterno (termostato). I due sono in equilibrio termico echimico, cioe

TS = TA µS = µA (16.24)

L’insieme sistema+termostato costituisce l’universo U , che di per se e un sistema isolato con energia EUe numero di particelle NU . Ad ogni microstato dell’universo corrisponde una determinata distribuzionedell’energia e delle particelle dell’universo fra il sistema ed il termostato2. Assumiamo fissati i volumicorrispondenti. Quindi si ha

EU = ES + EA (16.25)

NU = NS + NA (16.26)

VU = VS + VA (16.27)

Ma energia e particelle dell’universo si possono distribuire tra sistema e termostato in innumerevoli modi:il sistema puo avere una energia qualsivoglia tra il valore minimo, che e zero, (in questo caso il termostatoavra tutta l’energia EU ) e il valore massimo che e EU (in questo caso il termostato avra energia nulla).Lo stesso dicasi per le particelle, mentre i volumi sono considerati fissati. Assumiamo che il termostatosia un contenitore di energia e particelle molto piu capiente del sistema (VA >> V S). Allora possiamoconsiderare solo microstati per cui

ES << EA, NS << NA (16.28)

poiche le altre distribuzioni, se pur possibili, sono estremamente improbabili e quindi da trascurare. Infat-ti, ad esempio, fra due contenitori a contatto una particella tende ad occupare con maggiore probabilita ilcontenitore con piu spazio a disposizione. Per una determinata ripartizione di energia EU e particelle NUdell’universo tra sistema e termostato, il numero dei microstati dell’universo ΓU ≡ ΓU (EU , VU , NU ) e il

2nel caso di sistema interagente si trascura l’interazione alla superficie di separazione tra S e A


prodotto del numero dei microstati del sistema per il numero dei microstati del termostato, cioe ΓS ·ΓA,ma per avere il numero totale dei microstati dell’universo, dobbiamo considerare la somma di tutte lepossibili ripartizioni di energia e particelle dell’universo tra i due sottosistemi. Pertanto si ha

ΓU =∑

N

∑

E

[ΓS(E, V, N) · ΓA(EU − E, VU − V, NU −N)

], (16.29)

dove 0 < E < EU e 0 < N < NU e V = VS . In virtu delle condizioni Eq.(25-26) possiamo sviluppare inserie la ΓA o meglio il suo logaritmo (ricordiamo che l’entropia e quindi le altre grandezze termodinamichesono associate al logaritmo della somma sugli stati), trattandosi di numeri molto grandi. Arrestandoci alprimo ordine si ha

lnΓA ≈ lnΓU − E · ( 1Γ

∂Γ∂E

)U −N · ( 1Γ

∂Γ∂N

)U − V · ( 1Γ

∂Γ∂V

)U . (16.30)

D’ora in avanti eliminiamo il pedice S nei parametri del sistema. Il senso del precedente sviluppo e quellodi eliminare i parametri del termostato dal formalismo.

Applicando le relazioni termodinamiche Eq.(22-24), abbiamo

ΓU = ΓU∑

E

∑

N

e−E

kT − pVkT + µN

kT Γ(E, V, N) (16.31)

e infine

1 = e−pVkT

∑

E

∑

N

e−E

kT + µNkT Γ(E, V, N) (16.32)

Questo risultato va interpretato come segue: per un sistema S contenuto nel volume V in equilibrio conun termostato alla temperatura T ed al potenziale chimico µ, la probabilita che S abbia energia E enumero di particelle N e data da

P (E, V, N) = cost · e−E−µNkT Γ(E, V, N) (16.33)

a meno del fattore e−pVkT che non dipende ne da E ne da N. La somma delle probabilita di tutte le

ripartizioni possibili da 1 d’accordo con la precedente equazione. Definiamo la funzione di granpartizionecome

Z(T, µ, V ) = epVkT =

∑

E

∑

N

e−E−µN

kT Γ(E, V, N) (16.34)

che ha nell’insieme grancanonico il ruolo che la somma sugli stati Γ ha nell’insieme microcanonico. In altritermini, la funzione Z(T, µ, V ) ha il significato di somma sugli stati corrispondenti a tutte le possibiliripartizioni di energia e particelle tra il sistema e l’ambiente esterno con cui il sistema e in equilibriotermodinamico. Si ha

Z(T, µ, V ) =∑

E

∑

N

e−E−µN

kT Γ(E, V, N)

=∑

E

∑

N

e−E−µN

kT

∑

i

δ(E −∑

εnf (i)n )δ(N −

∑f (i)

n )

=∑

i

e−∑

n(εn−µ)f(i)n

kT (16.35)

In analogia al caso dell’insieme micrcanonico possiamo introdurre l’operatore densita ρ degli statinell’insieme grancanonico

ρ =1Z e−

H−µNkT , (16.36)


la cui somma sugli stati, per via della Z, e normalizzata ad uno, per garantire il suo significato diprobabilita. Il valore medio statistico di una osservabile O si calcola mediante l’operatore densita: <

O >= Tr(Oρ). Alternativamente si calcola dalla funzione di granpartizione. Definiamo prima

β = 1/kT ; z = eβµ. (16.37)

La z e chiamata in chimica fugacita. Con questa notazione l’energia media si calcola come segue

< H > = Tr(Hρ) =1Z Tr(zHe−βH)

= − 1Z

∂

∂βTr(ze−βH) == − 1

Z∂

∂βZ = − ∂

∂βlnZ· (16.38)

Analogamente per il numero medio di particelle si trova facilmente

< N >= z∂

∂zlnZ· (16.39)

Nel seguito il formalismo della statistica quantistica nell’insieme grancanonico verra applicato allostudio del campo e.m. in una cavita (corpo nero) e ad un gas di elettroni. Si tratta in entrambi i casi digas ideali, ma, come gia detto, il formalismo sviluppato e valido anche per sistemi che interagiscono conforze a corto raggio.

16.5 Gas di fermioni non interagenti

Calcoliamo la funzione di granpartizione per un gas omogeneo di fermioni non interagenti. Ciascun livellodi particella singola si puo classificare con l’impulso quantizzato ~pn (~p per semplicita di notazione) inveceche con l’energia εn. Quindi l’Eq.(35) si puo riscrivere nella forma

Z =∑

i

e−β∑

~p(ε~p−µ)f(i)~p · (16.40)

I numeri di occupazione f(i)~p possono prendere i valori 0 od 1 per il principio di Pauli, assumendo che non

intervengono altri gradi di liberta come ad esempio lo spin. La somma sulle configurazioni microscopichesi divide in tante somme sui possibili valori del numero di occupazione f~p del livello ~p. Quindi si ha

Z =∑

f~p1=0,1

e−β(ε~p1−µ)f~p1 ·∑

f~p2=0,1

e−β(ε~p2−µ)f~p2 ·∑

f~p3=0,1

e−β(ε~p3−µ)f~p3 · · · (16.41)

= Π~p(1 + e−β(ε~p−µ)) = Π~p(1 + ze−βε~p) (16.42)

Se introduciamo lo spin, allora f(i)~p = 0, 1, 2 per ogni livello,quindi si ottiene facilmente

Z = Π~p(1 + ze−βε~p)2 (16.43)

Calcoliamo il numero medio di particelle < N > applicando l’Eq.(39) e l’energia media < E > dallaEq.(38). Si ottiene facilmente

< N > = z∂

∂zlnZ =

∑

~p

11 + eβ(ε~p−µ)

=∑

~p

< f~p > (16.44)

< E > = − ∂

∂βlnZ =

∑

~p

εp < f~p > (16.45)


Con l’ultimo passaggio si e voluto sottolineare che il valor medio di N si puo pensare come la somma sututti i livelli del numero medio di particelle in ciascun livello. Ribadiamo la differenza tra f~p che e il numerovero di particelle (f~p = 0 od 1) del livello ~p in un determinato microstato e < f~p > che e il numero medionel senso dell’insieme grancanonico (0 < < f~p > < 1). Per giustificare questa interpretazione, facciamoil grafico di < f~p > in funzione di ε~p per T = 0 e per T > 0 ma piccolo (Fig.(16.1)). Nel caso di T = 0l’esponenziale tende a zero per energie minori di εF = µ(T = 0) e diverge all’infinito per energie maggioridi εF . Ne vien fuori una funzione a gradino: il numero di occupazione e 1 per i livelli sotto εF , zero peri livelli sopra εF . A T=0 quindi il gas ideale si trova nello stato di minima energia (stato fondamentale)compatibile con il principio di Pauli che vuole l’occupazione dei livelli a partire dal piu basso da una eduna sola particella fino ad esaurimento delle particelle che compongono il gas. L’ultimo livello occupatosi chiama energia di Fermi e coincide con µ(T = 0), che abbiamo gia chiamato εF . Quindi lo statomacroscopico a T=0 e realizzato da uno ed un solo stato microscopico: la somma sugli stati e uno equindi dalla equazione di Boltzmann l’entropia risulta nulla. Cio da una semplice intepretazione delterzo principio della termodinamica. A temperatura sopra lo zero la discontinuita alla energia di Fermi

0.0

0.5

1.0

fp

T

eF ep

Figura 16.1: Gas degenere di Fermi a bassa temperatura

si smussa come indicato in figura. Infatti per effetto del riscaldamento i livelli prima occupati diventaniparzialmente occupati poiche le particelle che le occupavano hanno una certa probabilita di essere eccitatesopra l’energia di Fermi, e viceversa livelli prima vuoti hanno una certa probabilita di essere raggiunti daparticelle eccitate. Ma a bassa temperatura solo particelle vicine all’energia di Fermi sono coinvolte neiprocessi termodinamici mentre le particelle nei livelli piu profondi restano inerti. Per esempio il calorespecifico non e determinato da tutte le particelle, ma solo quelle eccitate termicamente, il cui numero eproporzionale a T . Pertanto il principio di Pauli regola il comportamento di un gas di fermioni a bassatemperatura (ad es. calore specifico, equazione di stato,...). Ad alta temperatura i livelli di piu bassaenergia si svuotano mentre si riempiono zone di alta energia popolate da moltissimi livelli: il principiodi Pauli diventa inefficace ed il gas si comporta classicamente. Nell’Eq.(43) si puo trascurare uno aldenominatore ed il numero di occupazione medio diventa

< fp > e−p2/2mkT , (16.46)

che la distribuzione maxwelliana delle velocita, prevista dalla meccanica statistica classica.

16.6 Gas di bosoni: gas di fotoni in una cavita

Un corpo nero e una cavita di volume V in cui e presente un campo elettromagnetico in equilibrio allatemperatura T con le pareti della cavita stessa.


16.6.1 Decomposizione spettrale del campo e.m.

In ciascun punto ~r all’interno della cavita sia definito un campo elettrico ~E(~r, t) ed un campo magnetico~H(~r, t). I due campi variano con continuita all’interno della cavita e si annullano alle pareti. In questecondizioni entrambi si possono sviluppare in serie di Fourier

~E(~r, t) =∑

~k

~E~k(t)ei~k·~r ~H(~r, t) =∑

~k

~H~k(t)ei~k·~r, (16.47)

con

kx = 2πnx

Lx, ky = 2π

ny

Ly, kz = 2π

nz

Lz(16.48)

dove ni = ±1,±2, .... Essendo i campi elettrico e magnetico soluzioni delle equazioni di Maxwell, nonsono indipendenti: per ciascun numero d’onda i loro coefficienti di Fourier ~E~k e ~H~k formano con ~k unaterna ortogonale ed inoltre

~k × ~E~k(t) =ω~k

c~H~k(t), (16.49)

dove k = ωk/c, e c e la velocita della luce. Quindi possiamo esprimere il campo magnetico in termini diquello elettrico come segue:

~H(~r, t) =∑

~k

c

ω~k

[~k × ~E~k(t)ei~k·~r]. (16.50)

Il vantaggio di questa decomposizione e che si passa da una descrizione del campo e.m. in termini dellevariabili ~E(~r, t) ed ~H(~r, t) continue nello spazio alle variabili ~E~k(t) e ~E∗

~k(t) discrete in virtu delle condizioni

al contorno sui numeri d’onda. Questa operazione permette di ricavare una importante proprieta delcampo e.m. in una cavita. Consideriamo infatti l’Hamiltoniana del campo e.m. :

H =18π

∫dV (E2 + H2) (16.51)

che esprimiamo in termini delle nuove variabili. Nello sviluppo dei due quadrati si applicano le condizionidi ortogonalita delle onde piane

1V

∫dV ei(~k−~k′)·~r = δ~k,~k′ . (16.52)

Si trova quindi

H =V

8π

∑[ ~E~k(t) · ~E~k(t) +

c2

ω2~k

(~k × ~E~k(t)) · (~k × ~E~k(t))] = (16.53)

=V

4π

∑|E~k|2 =

V

4π

∑σ

∑

~k

|E~k,σ|2 (16.54)

dove abbiamo applicato la condizione che il campo sia reale,e quindi ~E−~k = ~E∗~k. La dipendenza dal tempo

scompare poiche ~E~k(t) = ~E~ke−iωt. Nell’ultimo passaggio abbiamo applicato la condizione di trasversalitadelle onde elettromagnetiche, la quale implica che il vettore ~E~k, essendo sempre ortogonale a ~k, ha solodue componenti (e quindi due possibili stati di polarizzazione indipendenti).

Effettuiamo la trasformazione di variabili

qk =

√V

4πc2(Ek,σ + E∗

k,σ) (16.55)

pk = −i

√V ω2

k

4πc2(Ek,σ − E∗

k,σ) (16.56)


Sostituendo nella espressione della Hamiltoniana perveniamo al risultato finale

H =∑

k

∑σ=1,2

(p2k,σ + ω2

kq2k,σ) (16.57)

Riconosciamo nella espressione precedente la somma di hamiltoniane di oscillatori armonici indipendenti.

16.6.2 Statistica del corpo nero dal punto di vista classico

Nella meccanica statistica classica si dimostra il teorema di equipartizione dell’energia: per una ampiaclasse di sistemi (incluso l’oscillatore armonico) l’energia media per grado di liberta (il numero minimodi variabili indipendenti necessario per descrivere il sistema) e uguale ad 1

2kT per ciascun termine dienergia. Per una Hamiltoniana con un termine cinetico ed uno da potenziale l’energia termica mediaper grado di liberta e kT . Per il corpo nero il numero di gradi di liberta e determinato dal numero dioscillatori armonici. Il loro numero totale e infinito, ma quello che ha significato fisico e il loro numeroper unita di volume. Questo si puo calcolare osservando che per V molto grande i numeri d’onda ~kn sipossono considerare variabili continue. I numeri d’onda contenuti nello intervallo tra k e k + dk sono

4πn2dn = 4πV

(2π)3k2dk = 4πV

ν2

c3dν, (16.58)

dove abbiamo applicato la relazione tra numero d’onda e frequenza k = 2πν/c. In definitiva, tenendoconto dei due possibili stati di polarizzazione il numero di gradi di liberta per unita di volume ed unitadi frequenza e

4πn2dn

V dν=

8πν2

c3(16.59)

Quindi l’energia media del campo elettromagnetico in una cavita per unita di volume ed unita di frequenza,cioe la densita spettrale di energia, e

ρν(T ) =8πν2

c3kT. (16.60)

Questa e la legge di Raleigh-Jeans. Questa legge e in accordo con il dato sperimentale solo a bassefrequenze, mentre ad alte frequenze da luogo alla cosiddetta catastrofe ultravioletta, perche infatti attornoall’ultravioletto, la forma parabolica in ν2 fa si che l’integrale di energia sulle frequenze diventa infinito:

∫ ∞

0

ρ(ν)dν = ∞ (16.61)

Questo fatto ha storicamente una granda portata perche rappresenta uno dei punti di rottura della fisicaclassica. Vedremo ora come la meccanica quantistica risolve il problema.

16.6.3 Quantizzazione del campo e.m.: gas di fotoni

L’energia degli oscillatori armonici e quantizzata secondo la legge

ε(n)~k

= ~ω~k(n +32) (16.62)

con n=0,1,2,...(prima quantizzazione). Il quanto di eccitazione elementare, cioe l’energia di eccitazione daun livello al suo contiguo e ~ω~k , costante nello stesso oscillatore ma diversa da un oscillatore all’altro. Seun oscillatore si trova nello stato eccitato ε

(n)~k

si dice che contiene n quanti di eccitazione. Interpretandoun singolo quanto di eccitazione come una ’particella’ si puo anche dire che l’oscillatore di frequenza ω~k


e occupato da n ’particelle’ (seconda quantizzazione). Nel caso del campo e.m. queste particelle sonoreali e prendono il nome di fotoni (ipotesi di Einstein). Allora uno stato di energia definita del campoe.m. nella cavita viene costruito assegnando il numero di fotoni n~k per ciascun oscillatore armonico difrequenza ω~k. L’insieme dei numeri di occupazione degli oscillatori armonici costituisce una configurazionemicroscopica del gas di fotoni nella cavita. La situazione e del tutto simile al caso di un gas di N particellenon interagenti racchiuso in un volume V che occupano i vari livelli di energia quantizzata. I fotoni nellacavita formano anche un gas di particelle non interagenti in quanto si originano da oscillatori disaccoppiati.Una importante differenza e che nel caso di fotoni l’energia dipende linearmente da k, cioe

εk = ~ω~k = hν~k = ~ck (16.63)

mentre nel caso delle particelle libere ne dipende quadraticamente

εk =~2k2

2m(16.64)

Per estendere al gas di fotoni racchiuso nella cavita in equilibrio con le pareti alla temperatura T i metodistatistici applicati a un gas di particelle, prima bisogna stabilire se i fotoni sono fermioni o bosoni. Sipuo dimostrare che lo spin dei fotoni e intero per cui si devono trattare come bosoni. Quindi il numerodi occupazione di ciascun oscillatore , cioe il numero di fotoni di frequenza ω~k, puo essere qualsivoglia.Un’altra peculiarita del gas di fotonie che il suo potenziale chimico e nullo poiche, all’equilibrio con lepareti della cavita, i fotoni vengono assorbiti o emessi, ma il loro numero resta indefinito.

Nel caso di fotoni quindi i numeri di occupazione f~k = 0, 1, 2, 3, .... La somma sugli stati nella funzionedi granpartizione si puo ancora effettuare perche e la somma di una serie geometrica. Si ottiene

Z = Π~k(1− e−β~ω~k)−1· (16.65)

Dalla derivata rispetto a β si determina l’energia media

< E >= − ∂

∂βlnZ = 2

∑

~k

~ωk

eβ~ω~k − 1= 2

∑

~k

hν~k

eβ~ν~k − 1. (16.66)

Il fattore due viene dai due possibili stati di polarizzazione. La densita spettrale di energia del campoe.m. nella cavita si ottiene o trasformando la somma in integrale o semplicemente moltiplicando l’energiamedia per singolo oscillatore per il numero di oscillatori per unita di volume ed unita di intervallo difrequenza. Perveniamo cosı alla formula di Planck del corpo nero

ρν(T ) =8πν2

c3· hν

eβhν − 1(16.67)

che e in perfetto accordo con i dati sperimentali. In Fig.(16.2) la legge di Planck e graficata per diversetemperature. Il limite classico (legge di Reileigh-Jeans), rappresentato dalla curva tratteggiata, si ricavadalla formula di Planck al limite di bassa frequenza, hν << 1,in cui l’esponenziale si puo approssimarecon 1 + hν

kT . Ma a frequenze piu elevate l’energia media e controllata dal fattore di Boltzmann e quindidecresce esponenzialmente al crescere di ν, evitando cosı la catastrofe ultravioletta. Integrando sullefrequenze la formula di Plank si ottiene

∫dνρν(T ) ∼ cost · T 4, (16.68)

una legge adoperata per stimare la temperatura stellare, assimilando la stella ad un corpo nero.


0.5 1.0 1.5 2.0

T3

T2

T1

ρ(ν,T)

T1 = 900 °KT2 = 1000 °KT3 = 1100 °K

ν(×10 14)

RG

Figura 16.2: Radiazione di corpo nero. La curva tratteggiata rappresenta la legge classica (Eq.(60))

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