mecanica - teorie si aplicatii
TRANSCRIPT
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 1/487
MECANICA
Florin Constantin
TEORIE {I APLICA}II
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 2/487
BRAŞOV
2011
Prof.dr.ing. FLORIN CONSTANTIN
CANICA
TEORIE {I APLICA}II
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 3/487
ISBN 978-973-131-104-3
© 2011
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a RomânieiConstantin Florin
Mecanica - teorie şi aplicaţii / prof. dr. ing. Florin Constantin;ed. prof. dr. ing. Florin Andreescu. Braşov : Ed. Lux Libris, 2011 Bibliogr.ISBN 978-973-131-104-3
I. Andreescu Florin (ed.)
531.
Recenzenţi ştiinţifici: prof.dr.ing.mat. Sorin VlaseUniversitateaTransilvaniaBraşov
prof.dr.mat. Dumitru NicoarăUniversitateaTransilvaniaBraşov
Consilier editorial: prof.dr.ing. Florin AndreescuTehnoredactare: ing. Alexandru MoraruCoperta şi grafica: dr.ing. Bogdan AndreescuCorectura: prof.dr.ing. Florin Constantin
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 4/487
Prefaţă
Mecanica este una dintre ştiintele fundamentale ale naturii, alăturide fizică, chimie şi biologie, ştiinte care, la rândul lor studiază alte formede mişcare ale materiei, respectiv. fizica, chimia şi biologica. Mecanicastudiaza legile obiective ale echilibrului şi ale mişcării mecanice a siste-melor materiale.
Prezentul curs de Mecanica se adreseaza în primul rând
studenţilor de la Facultatea de Design de Produs şi Mediu, toatespecializarile precum şi studenţilor de la Facultatea de Construcţii careau în programă, această disciplina.
Lucrarea de faţă este rodul activităţii didactice şi ştiinţifice aautorului desfăşurată pe parcursul celor 35 de ani în cadrul Catedrei deMecanică a Universităţii “ Transilvania” din Braşov
Cursul cuprinde într-o succesiune clasică, cele trei diviziuni ale
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 5/487
Mecanicii: Statica , Cinematica şi Dinamica prezentate pe parcursulcelor 15 capitole.
În cadrul cursului toată atenţia a fost acordată explicăriifenomenelor şi însuşirii metodelor de lucru , folosite în rezolvarea
problemelor prezentate la sfârşitul fiecărui capitol. Uneori s-a apelat laintuiţie, evitând demonstraţiile matematice laborioase.
De asemenea , s-a asigurat o corelare a cunoştinţelor prezentateîn curs cu cele de la alte discipline din planul de invaţământ , evitând
suprapunerile.
Lucrarea , prin conţinutul ei şi modul cum este structurată , vine în sprijinulstudenţilor pentru a trezi interesul şi pasiunea pentru această disciplinăde cultură tehnică generală.
Brasov , 1 .03. 2011
Prof.univ.dr.ing.dr.h.c. Ioan CURTUMembru titular al Academiei de Stiinte
Tehnice din RomaniaMembru al Academiei de Stiinte ale Naturii a
Federatiei Ruse
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 6/487
Cuprins
1. Introducere în mecanică .......................................................... 111.1. Obiectul şi diviziunile mecanicii ........................................ 131.2. Modele simplificatoare utilizate în mecanică ..................... 141.3. Noţiuni şi principii fundamentale ....................................... 14
STATICA
2. Reducerea sistemelor de forţe aplicate unui rigid ................ 17
2.1. Forţa ca vector alunecător ............................................... 192.2. Momentul polar al forţei ................................................... 212.3. Momentul axial al forţei ................................................... 232.4. Torsorul de reducere al unui sistem de forţe într-un pol ...........242.5. Cuplu de forţe.................................................................. 262.6. Variaţia elementelor torsorului faţă de schimbarea
polului de reducere .......................................................... 272.7. Invarianţii unui sistem de forţe faţă de schimbarea
polului de reducere .......................................................... 292.8. Axa centrală a unui sistem de forţe oarecare.................... 312.9. Teorema lui Varignon ....................................................... 322.10. Reducerea sistemelor particulare de forţe ...................... 32
2.10.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente. .......... 332.10.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare ............. 342.10.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele ................ 352.10.4. Reducerea forţelor distribuite. .............................. 37
2.11. Probleme rezolvate ...................................................... 392.12. Probleme propuse ....................................................... 49
3. Centre de masă ........................................................................ 553.1. Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale .......... 573.2. Centrul de masă al corpurilor omogene simple......................603.3. Centrul de masă al corpurilor omogene complexe............ 643.4. Probleme rezolvate ....................................................... 663.5. Probleme propuse ......................................................... 70
4. Statica punctului material ........................................................ 75
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 7/487
4.1. Echilibrul forţelor ce acţionează asupra punctuluimaterial liber ................................................................... 77
4.2. Punctul material supus la legături fără frecare.................. 784.2.1. Legăturile mecanice ale punctului material .................784.3. Punctul material supus la legături cu frecare .................... 81
4.3.1. Frecarea de alunecare. Legile frecării uscate ................814.3.2. Echilibrul punctului material pe o suprafaţă aspră .......844.3.3. Echilibrul punctului material pe o curbă aspră .............85
4.4. Probleme rezolvate ........................................................... 86 4.5. Probleme propuse .......................................................... 90
5. Statica solidului rigid................................................................ 935.1. Echilibrul forţelor ce acţionează asupra rigidului liber ........ 955.2. Echilibrul rigidului supus la legături ideale ......................... 96
5.2.1. Legăturile mecanice ale rigidului. ........................... 965.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare ................ 103
5.3.1. Rigidul rezemat cu frecare. ................................. 1035.3.2. Frecarea de alunecare. ........................................ 1055.3.3. Frecarea de rostogolire. ....................................... 105
5.3.4. Frecarea de pivotare în cazul lagărului axial. ........ 1075.3.5. Frecarea în articulaţii sau lagărul radial cu joc. ..... 1095.3.6. Frecarea firelor pe suprafaţe cilindrice. ................ 1115.3.7. Frecarea în scripeţi. ............................................. 113
5.4. Probleme rezolvate ...................................................... 1165.5. Probleme propuse ........................................................ 124
6. Statica sistemelor de solide rigide ....................................... 1316.1. Clasificarea sistemelor de corpuri şi a forţelor de
legătură ........................................................................ 1336.2. Teoreme pentru studiul sistemului de rigide..................... 1356.2.1. Teorema echilibrului părţilor (separării corpurilor). 1356.2.2. Teorema solidificării (rigidizării corpurilor). .......... 138
6.3 Grinzi cu zăbrele...............................................................1396.3.1 Definiţii. Ipoteze. .................................................. 1396.3.2. Metode analitice pentru determinarea eforturilor din bare. 142
6.4. Probleme rezolvate ...................................................... 147
6.5. Probleme propuse ........................................................ 151
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 8/487
CINEMATICA
7. Cinematica punctului material .............................................. 159
7.1. Noţiuni generale ale cinematicii ...................................... 1617.1.1. Traiectoria ........................................................... 161
7.1.2. Viteza punctului. .................................................. 162
7.1.3. Acceleraţia. ......................................................... 163
7.1.4. Viteza şi acceleraţia unghiulară. ........................... 165
7.1.5. Formulele lui Poisson. .......................................... 166
7.2. Studiul mişcării punctului în diferite sisteme de referinţă . 167
7.2.1. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate
carteziene. .......................................................... 1677.2.2. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate
cilindrice şi polare ................................................ 168
7.2.3. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate
naturale (triedrul lui Frenet). ............................... 171
7.2.4. Calculul razei de curbură a traiectoriei ................. 172
7.3. Mişcări particulare ale punctului material ........................ 174
7.3.1. Mişcarea uniformă a punctului. ............................ 174
7.3.2. Mişcarea uniform variată. ................................... 1757.3.3. Mişcarea circulară. ............................................. 177
7.3.4. Mişcarea oscilatorie armonică. ............................ 179
7.4. Probleme rezolvate ........................................................ 180
7.5. Probleme propuse .......................................................... 189
8. Cinematica solidului rigid .................................................... 195
8.1. Mişcarea generală a rigidului..............................................197
8.1.1. Viteza unghiulară instantanee a rigidului. .............. 197
8.1.2. Distribuţia vitezelor .............................................. 1998.1.3. Distribuţia acceleraţiilor ....................................... 200
8.2. Mişcarea de translaţie .................................................... 202
8.2.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................... 202
8.2.2. Distribuţia vitezelor .............................................. 203
8.2.3. Distribuţia acceleraţiilor ....................................... 203
8.3. Mişcarea de rotaţie cu axă fixă ...................................... 204
8.3.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................... 204
8.3.2. Distribuţia vitezelor .............................................. 2058.3.3. Distribuţia acceleraţiilor ....................................... 206
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 9/487
8.4. Mişcarea elicoidală ........................................................ 207
8.4.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................... 207
8.4.2. Distribuţia vitezelor .............................................. 2088.4.3. Distribuţia acceleraţiilor ....................................... 209
8.4.4. Mişcarea de şurub. .............................................. 210
8.5. Mişcarea plan paralelă ................................................... 211
8.5.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................... 211
8.5.2. Distribuţia vitezelor .............................................. 213
8.5.3. Centrul instantaneu de rotaţie. Baza şi rostogolitoarea 214
8.5.4. Distribuţia acceleraţiilor ....................................... 217
8.5.5. Polul acceleraţiilor ............................................... 2188.6. Mişcarea cu punct fix .................................................... 220
8.6.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................... 220
8.6.2. Distribuţia vitezelor .............................................. 221
8.6.3. Distribuţia acceleraţiilor ....................................... 223
8.7. Probleme rezolvate ........................................................ 224
8.8. Probleme propuse .......................................................... 234
9. Mişcarea relativă ................................................................... 239
9.1. Mişcarea relativă a punctului material ............................ 2419.1.1. Generalităţi. ......................................................... 241
9.1.2. Derivata absolută şi relativă (locală) a unui vector. . 242
9.1.3. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă
a punctului. ....................................................... 243
9.1.4. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea
relativă a punctului............................................. 244
9.2. Mişcarea relativă a rigidului ........................................... 246
9.2.1. Generalităţi. ......................................................... 2469.2.2. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă a rigidului.246
9.2.3. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă a
rigidului .......................................................... 247
9.3. Probleme rezolvate ........................................................ 248
9.4. Probleme propuse .......................................................... 252
DINAMICA
10. Noţiuni specifice în dinamică .............................................. 25710.1. Generalităţi .................................................................. 259
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 10/487
10.2. Lucrul mecanic ............................................................ 26010.2.1. Lucrul mecanic al forţelor ce acţionează asupra
punctului material. ............................................. 26010.2.2. Lucrul mecanic al forţelor ce acţionează asupra rigidului.................................... ..........................265
10.3. Puterea mecanică ........................................................ 26810.4. Randamentul mecanic .................................................. 26910.5. Momentele de inerţie mecanice.................................... 270
10.5.1. Momentele de inerţie mecanice ale rigidului. ...... 27110.5.2. Momentele de inerţie ale corpurilor de rotaţie. ... 275
10.5.3. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor. 27710.5.4. Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor. .. 27910.6. Energia mecanică ........................................................ 280
10.6.1. Energia cinetică. ................................................ 28110.6.2. Energia potenţială .............................................. 285
10.7. Impulsul ....................................................................... 28610.8. Momentul cinetic ......................................................... 28710.9. Torsorul vectorilor impuls pentru diferie corpuri în mişcare 290
10.10. Probleme rezolvate .................................................... 29610.11. Probleme propuse ...................................................... 30711. Teoremele fundamentale ale dinamicii ............................... 315
11.1. Teorema variaţiei energiei cinetice................................ 31711.1.1. Cazul punctului material. .................................... 31711.1.2. Cazul solidului rigid. ........................................... 31811.1.3. Teorema conservării energiei mecanice. ............. 319
11.2. Teorema impulsului........................................................319
11.2.1. Cazul punctului material. .................................... 31911.2.2. Cazul solidului rigid ............................................ 32011.2.3. Teorema conservării impulsului. ......................... 320
11.3. Teorema momentului cinetic ......................................... 32111.3.1. Cazul punctului material. .................................... 32111.3.2. Cazul solidului rigid. ........................................... 32111.3.3. Teorema conservării momentului cinetic. ............ 322
11.4. Probleme rezolvate ...................................................... 323
11.5. Probleme propuse ........................................................ 32912. Principiul lui d’Alembert ..................................................... 349
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 11/487
12.1. Forţa de inerţie ............................................................35112.2. Torsorul fortelor de inertie .........................................................354
12.3. Probleme rezolvate ...................................................... 35612.4. Probleme propuse ........................................................ 37513. Dinamica punctului material ................................................ 385
13.1. Dinamica punctului material liberI ................................ 38713.2. Dinamica punctului material cu legături ........................ 38913.3. Dinamica punctului material în mişcare relativă ............ 391
13.3.1. Ecuaţia fundamentală a mişcării relative. ........ 39113.3.2. Cazul forţelor complementare nule. Reper inerţial... 392
13.3.3. Repausul relativ. ................................................ 39213.4. Probleme rezolvate ...................................................... 39313.5. Probleme propuse ........................................................ 400
14. Noţiuni de vibraţii mecanice ............................................... 41714.1. Definiţii. Clasificarea vibraţiilor mecanice..................... 41914.2. Vibraţii libere neamortizate ........................................... 420
14.2.1. Constantele elastice ale câtorva sisteme mecanice 42014.2.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale ............................ 422
14.3. Vibraţii libere amortizate .............................................. 42414.4. Vibraţii forţate neamortizate ......................................... 42714.5. Vibraţii forţate amortizate............................................. 42914.6. Probleme rezolvate ...................................................... 43214.7. Probleme propuse ........................................................ 435
15. Elemente de mecanică analitică.......................................... 43915.1 Deplasări reale Şi deplasări virtuale ............................... 44115.2 Principiul lucrului mecanic virtual (deplasărilor virtuale) . 445
15.3 Principiul vitezelor virtuale (puterilor virtuale) ................ 44615.4 Principiul lui Torricelli .................................................... 44715.5 Ecuaţiile lui Lagrange.................................................... 448
15.5.1 Forţe generalizate ............................................... 44815.5.2 Ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi .................... 45015.5.3 Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua ................ 45115.5.4 Ecuaţiile lui Lagrange în cazul forţelor conservative 453
15.6. Probleme rezolvate ...................................................... 454
15.7. Probleme propuse ........................................................ 473Bibliografie ..................................................................................483
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 12/487
111. INTRODUCERE ÎN MECANICĂ
1.
INTRODUCERE ÎN MECANICĂ
1.1. Obiectul şi diviziunile mecanicii ................................. 13
1.2. Modele simplificatoare utilizate în mecanică ............. 141.3. Noţiuni şi principii fundamentale ................................ 14
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 13/487
12 MECANICĂ
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 14/487
131. INTRODUCERE ÎN MECANICĂ
1
INTRODUCERE ÎN MECANICĂ
1.1. OBIECTUL ŞI DIVIZIUNILE MECANICII
Mecanica este ştiinţa fundamentală a naturii care studiază legileobiective ale echilibrului şi a mişcării mecanice a corpurilor materiale, cu
scopul aplicării lor în activitatea productivă a omului.Obiectul acestui curs îl constituie Mecanica clasică numită şi Mecanica
newtoniană. Bazele acestei mecanici au fost puse de renumitul matema-tician, fizician şi astronom englez ISAAC NEWTON (1643-1727) în lucrareafundamentală “Principiile matematice ale filozofiei naturale“, publicată în1686. În cadrul acestui curs de Mecanică se studiază legile generale aleechilibrului, mişcării şi interacţiunii corpurilor materiale macroscopice, con-siderate solide rigide (nedeformabile), care se deplasează cu viteze mici în
comparaţie cu viteza de propagare a luminii în vid.Potrivit unei împărţiri clasice, urmărind intr-o oarecare măsură
dezvoltarea istorică a acestei ştiinţe, Mecanica clasică se compune dinurmătoarele trei părţi: STATICA, CINEMATICA şi DINAMICA.
STATICA se ocupă cu studiul forţelor ce acţionează asupracorpurilor, determinând sistemul de forţe echivalent şi de asemenea, seocupă de sistemele de forţe care îşi fac echilibrul.
CINEMATICA se ocupă cu studiul mişcăricorpurilor fără a ţine seama de forţele ce acţioneazăasupra lor şi masele corpurilor. Se face un studiu geo-metric al mişcării, introducând pe lângă coordonatelespaţiului (x, y, z) a patra coordonată timpul t.
DINAMICA (fig. 1.1). este esenţa mecanicii.Ea studiază mişcarea corpurilor sub influenţa forţelor ce acţionează asupra lor, ţinând seama de maseleacestora. Dinamica face legătura între forţe şimişcare, prin intermediul ecuaţiei fundamentale. Fig.1.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 15/487
14 MECANICĂ
1.2. MODELE SIMPLIFICATOARE UTILIZATE ÎN
MECANICĂCorpurile materiale, macroscopice, au o mare diversitate de proprietăţi
fizice şi forme geometrice. Nu toate aceste însuşiri influenţează mişcareacorpurilor. Pentru simplificarea studiului şi aplicarea aparatului matematic,corpurile reale se transformă în modele, care reţin numai caracteristricileesenţiale ale lor. Aceste modele sunt: punctul material, sistemul de punctemateriale, continuul material, corpul solid rigid şi sistemul de rigide.
Punctul material este cel mai simplu model; este un punct geomet-ric căruia i se atribuie masă. Punctul material poate fi considerat oricecorp solid ale cărui dimensiuni, deformaţii, mişcări de rotaţie suntneesenţiale în raport cu alte elemente. Acest model reduce întregul corpla un singur punct, centrul de masă al corpului, în care se considerăconcentrată întreaga masă a acestuia.
Sistemul de puncte materiale este o mulţime finită de punctemateriale aflate în interacţiune mecanică.
Continuul material este modelul general al Mecanicii clasice, careconsideră că întreg domeniul ocupat de un corp este umplut cu substanţă.Un element oricât de mic din acest continuu conţine materie.
Corpul solid rigid (rigidul) este modelul fundamental al Mecaniciiclasice. Rigidul este un continuu material nedeformabil, adică distanţadintre două puncte rămâne aceeaşi indiferent de natura şi mărimea forţelor ce acţionează asupra lui.
Sistemul de rigide este o mulţime finită de corpuri solide
nedeformabile aflate în interacţiune mecanică. Orice maşină sau mecanism pot fi considerate ca sistem de corpuri rigide.
1.3. NOŢIUNI ŞI PRINCIPII FUNDAMENTALE
Ca orice ştiinţă, Mecanica clasică are la bază noţiuni şi principiifundamentale stabilite pe baza unei îndelungate experienţe - verificate
prin măsurători sau prin lucrările care le executăm pe baza lor - dar care
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 16/487
151. INTRODUCERE ÎN MECANICĂ
nu pot fi reduse la alte noţiuni şi principii mai simple. Noţiunile fundamentale ale Mecanicii clasice sunt: spaţiul, timpul şi masa.
Spaţiul este o entitate abstractă care reflectă forma obiectivă deexistenţă a materiei, care caracterizează dimensiunile corpurilor şi poziţialor relativă. Mecanica clasică adoptă modelul spaţiului euclidian tridi-mensional conceput ca fiind omogen, continuu şi izotrop.
Timpul este tot o entitate abstractă a Mecanicii, reflectând obiectivexistenţa materiei, care caracterizează durata, succesiunea sausimultaneitatea fenomenelor. În Mecanica clasică timpul se considerăinfinit, continuu, omogen şi ireversibil, având un singur sens de curgere.
Spaţiul şi timpul sunt forme obiective de existenţă a materiei; elesunt infinite şi veşnice ca şi materia.Masa, cea de-a treia noţiune fundamentală, este considerată o
mărime fizică scalară, care reflectă proprietăţile de inerţie şi gravitaţieale materiei. În Mecanica clasică masa este considerată constantă, spredeosebire de Mecanica relativistă în care masa este funcţie de viteză.
Principiile fundamentale ale Mecanicii au fost formulate deISAAC NEWTON în anul 1686 în lucrarea “Principiile matematice ale
filozofiei naturale”. Deşi au trecut 300 de ani aceste principii sunt adevăruricare nu pot fi dovedite riguros pe cale teoretică sau experimentală, dar pe baza cărora se poate construi o teorie care să fie în concordanţă cuexperienţele şi datele obţinute prin observarea naturii. Aceste principiisunt următoarele: principiul inerţiei, principiul acţiunii forţei, principiulacţiunii şi reacţiunii.
Principiul inerţiei: “ Un punct material îşi păstrează starea de repaussau de mişcare rectilinie şi uniformă, atât timp cât asupra lui nu intervine
vreo forţă care să-i modifice această stare”.Acest principiu conţine noţiunea abstractă de forţă şi ideea că dreptcauză a modificării mişcării corpurilor este forţa. S-a observat că potexista mişcări şi fără intervenţia forţelor, de exemplu, mişcările rectiliniişi uniforme. Deci, forţa nu este cauza mişcării, ci este cauza modificăriimişcării.
Principiul acţiunii forţei: “Variaţia mişcării (acceleraţia) este proporţională cu forţa motrice aplicată şi este îndreptată după linia dreaptă
de-a lungul căreia acţionează forţa”.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 17/487
16 MECANICĂ
Acest principiu stabileşte orelaţie de legătură între forţa
F şiacceleraţia
a a unui punct material
(fig. 1.2). NEWTON a introdus înacest principiu noţiunea de masă cafactor de proporţionalitate dintre forţăşi acceleraţie, pe care acesta o
imprimă punctului material. Expresia matematică a acestui principiu este:
.amFsaum
Fa
(1.1)
şi poartă numele de ecuaţia fundamentală a dinamicii.Dacă ,0F rezultă ,0a
ceea ce confirmă principiul inerţiei şidovedeşte că cele două principii nu sunt contradictorii.
Acestui principiu NEWTON i-a adăugat şi un corolar cunoscut subnumele de principiul paralelogramului forţelor: “Dacă asupra unui
punct material acţionează simultan două forţe cu suporturi diferite, efectul produs este acelaşi ca şi cum asupra sa ar acţiona o singură forţă avândmodulul, direcţia şi sensul diagonalei paralelogramului, cu cele două forţe
ca laturi “.Principiul acţiunii şi reacţiunii: “ La orice acţiune îi corespunde
întotdeauna o reacţiune egală şi de sens contrar; sau acţiunile reciprocea două corpuri sunt totdeauna egale şi îndreptate în sens contrar “.
Acest principiu se exprimă prinrelaţia:
. jiij FF (1.2)
Principiul se explică atât în cazulcontactului direct între corpuri (fig.1.3),cât şi în cazul acţiunii de la distanţă prinintermediul unui câmp (atracţia
universală, forţe magnetice, etc.).
Fig. 1.2
Fig1.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 18/487
172. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
STATICA
2.
REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢEAPLICATE UNUI RIGID
2.1. Forţa ca vector alunecător .......................................... 19
2.2. Momentul polar al forţei .............................................. 21
2.3. Momentul axial al forţei .............................................. 23
2.4. Torsorul de reducere al unui sistem de forţe
într-un pol ................ ............ ................ ....................... .. 24
2.5. Cuplu de forţe .............................................................. 26
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 19/487
18 MECANICĂ
2.6. Variaţia elementelor torsorului faţă de schimbareapolului de reducere ....................................................... 27
2.7. Invarianţii unui sistem de forţe faţă de schimbareapolului de reducere ....................................................... 292.8. Axa centrală a unui sistem de forţe oarecare ............... 312.9. Teorema lui Varignon .................................................. 322.10. Reducerea sistemelor particulare de forţe ............... 32
2.10.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente ...... 33
2.10.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare ........ 342.10.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele ........... 35
2.10.4. Reducerea forţelor distribuite .......................... 372.11. Probleme rezolvate ...................................................... 392.12. Probleme propuse ....................................................... 49
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 20/487
192. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
STATICA
2
REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢEAPLICATE UNUI RIGID
2.1. FORŢA CA VECTOR ALUNECĂTOR
Forţa este o mărime vectorială ce măsoară interacţiunea dintrecorpurile materiale. Ea careacerizează direcţia, sensul şi intensitatea acesteiinteracţiuni. Datorită interacţiunii corpurilor materiale se produce otransmitere de mişcare de la un corp material la altul.
Forţa poate avea caracter de vector legat sau vector alunecător. O
forţă aplicată unui punct material sau asupra unui corp deformabil arecaracter de vector legat, pe când o forţă aplicată asupra unui corp rigidare caracter de vector alunecător.
În Mecanica newtoniană corpurile se consideră rigide, deci nu seţine seama de deformarea corpurilor, decât în acele cazuri în care ipotezacorpului rigid nu duce la rezultate satisfăcătoare. Făcând această ipoteză,forţele se pot considera vectori alunecători. Efectul mecanic al forţeieste acelaşi indiferent de poziţia punctului de aplicaţie pe dreapta suport.
Forţele diferă între ele după efectul lor. În funcţie de acest efect ele pot fi comparate. Cea mai simplă metodă pentru efectuarea acesteicomparaţii este metoda dinamometrului. Această metodă de măsurarea forţelor are la bază efectul de comprimare sau întindere a unui resort,la care deformaţiile sunt proporţionale cu solicitările. Două forţe care
produc aceleaşi deformaţii sunt egale între ele. Dinamometrul este prevăzut cu o scală gradată pe care se poate citi mărimea forţei.
Unitatea de măsură pentru forţă în Sistemul Internaţional este
Newtonul. Un Newton reprezintă forţa care, acţionând asupra unei masede 1 kg îi imprimă o acceleraţie de 1 m/s2.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 21/487
20 MECANICĂ
Cunoscând mărimea forţei F şi coordonatele a două puncte
A1(x
1,y
1,z
1) şi A
2(x
2,y
2,z
2) situate pe suportul fortei F de versor e
, se
poate determina expresia analitică a forţei într-un sistem cartezian dereferinţă (fig.2.1), utilizând relaţiile cunoscute din algebra vectorială:
.k Z jYiX
zyx
k z jyixF
AA
AAFeFF
22221
21
(2.1)
unde: ,zzz;yyy;xxx 121212 (2.2)
iar:
;cosF
zyx
xFX
222
;cosF
zyx
yFY
222
(2.3)
;cosF
zyx
zFZ
222
X, Y, Z reprezentând componentele scalare ale forţei F .
a) b) c)
Fig. 2.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 22/487
212. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
2.2. MOMENTUL POLAR AL FORŢEI
La noţiunea de moment s-a ajuns din necesitatea practică de a evaluaefectul de rotaţie pe care o forţă îl produce acţionând asupra unui corp. Înfigura 2.2 se consideră un corp solid rigid asupra căruia acţionează o forţă
F cu punctul de aplicaţie în A şi suportul (D).Prin definiţie, momentul unei forţe F
în raport cu un punct O, este produsul
vectorial dintre vectorul de poziţie r
al punctului de aplicaţie A al forţei şi vectorulforţă:
.Fr FOAM FO
(2.4)Din această definiţie rezultă că
momentul OM este un vector legat de punctul O, perpendicular pe planuldefinit de cei doi vectori, având sensul dat de regula şurubului drept, iar mărimea egală cu produsul dintre braţul forţei, d şi forţa F, astfel:
.FdsinFOAFOAMO (2.5)
unde d = OA. sin, este braţul forţei F , reprezentând distanţa de la polulO la suportul (D) al forţei.
Pentru a afla sensul vectorului moment cu regula şurubului drept, seaşează şurubul drept cu axa perpendiculară pe planul definit de cei doi
vectori, Fşir
şi se roteşte în sensul indicat de forţă; sensul de înaintare
al şurubului ne dă sensul vectorului moment.
Proprietăţi ale momentului polar:1) Momentul polar este nul când punctul în raport cu care se
calculează momentul, se află pe suportul forţei, adică cei doi vectori din produsul vectorial sunt coliniari.
2) Momentul polar nu depinde de caracterul de vector alunecător alforţei. Într-adevăr, presupunând forţa deplasată pe suportul ei din punctul
A în punctul B (fig. 2.3), momentul ei în raport cu polul O va fi:
Fig. 2.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 23/487
22 MECANICĂ
.MFOAFABOAFOBM FOFO
unde 0FAB , deoarececei doi vectori sunt coliniari.
3) Momentul polar semodifică atunci când seschimbă punctul în raport cucare se calculează dupărelaţia:
FOOMM 1001 (2.6)
Expresia analitică a momentului polar
Dacă în polul O faţă de care se calculează momentul forţei F seconsideră un sistem de referinţă cartezian drept (fig. 2.4), expresiile
analitice ale vectorilor 0MşiF,r
sunt:
,k Z jYiXF,k z jyixr
(2.7)
iar k yXxY jxZzXizYyZ
ZYX
zyx
k ji
Fr M0
(2.8)
Componentele scalare alevectorului moment sunt:
.yXxYM
,xZzXM
,zYyZM
oz
oy
ox
(2.9)
Mărimea momentului este:
2oz
2oy
2ox0 MMMM .
(2.10)
Fig. 2.3
Fig. 2.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 24/487
232. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
Dacă forţa F
este situată în planul xOy, vectorul moment este dirijatdupă axa Oz.
2.3. MOMENTUL AXIAL AL FORŢEI
Prin definiţie, momentul unei forţe în raport cu o axă, este proiecţia pe acea axă a momentului forţei calculat înraport cu un pol arbitrar ales pe axă.
În figura 2.5 se consideră o forţă
F având suportul (D) şi o axă () de versor e
, în raport cu care ne propunem săcalculăm momentul axial M . Acest mo-ment este o măsură a efectului de rotire aforţei F , în jurul axei (). Conformdefiniţiei:
,eFr eMcosMM 00
(2.11)unde - reprezintă unghiul dintre vectorul
moment polar OM şi axa (). Rezultă că
momentul axial se exprimă prin produsul mixt al vectorilor e,F,r
şi este unscalar, semnul scalarului depinzând de unghiul . Mărimea momentuluiaxial este egală cu volumul paralelipipedului având ca muchii cei trei vectori.
Momentul axial poate fi scris şi ca vector:
.M. pr Munde,eMM 0 (2.12)
Proprietăţile momentului axial1) Momentul axial este invariant faţă de schimbarea polului pe axa
faţă de care se calculează momentul. Demonstrarea acestei proprietăţi
se face considerând un alt pol O1 situat pe aceiaşi axă ).( (fig. 2.5).
Faţă de acest pol avem:
,eFr eFOOeFr OOeFr eMM 11101
Fig. 2.5
Momentul polar al
forţei
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 25/487
24 MECANICĂ
unde s-a înlocuit r OOr 11
iar 0e)FOO( 1
deci:
.Me)Fr (M
(2.13.)
2) Momentul axial este invariant faţă de schimbarea poziţiei forţei pesuportul ei. Acest lucru s-a demonstrat, deoarece momentul polar al forţeinu depinde de caracterul de vector alunecător al forţei.
3) Momentul axial este nul când forţa F şi axa (D) sunt coplanare(adică în cazul când intersectează axa sau în cazul când este paralelă cuaxa).
4) Momentul unei forţe în raport cu o axă este egal cu suma
momentelor componentelor forţei, calculate în raport cu aceeaşi axă,dacă forţele componente au acelaşi punct de aplicaţie.
Expresia analitică a momentului axial. Cunoscând expresiileanalitice ale vectorilor eşiF,r
care intră în produsul mixt (2.11), rezultă:
.YXzZXyZYxZYX
zyx
eFr M
(2.14)
în care x, y, z reprezintă coordonatele punctului A de aplicaţie a forţei; X,Y, Z reprezintă proiecţiile forţei F pe axele sistemului de referinţă ales; reprezintă cosinuşii directori ai versorului e
ce caracterizeazădirecţia axei ().
2.4. TORSORUL DE REDUCERE AL UNUI SISTEMDE FORŢE ÎNTR-UN POL
Se consideră în figura 2.6 un sistem de forţe iF
, (i = 1,2,...,n) ce acţio-nează asupra unui corp rigid în punctele A i, având vectorii de poziţie
r i , faţăde punctul O.
Orice sistem de forţe ce acţionează asupra unui rigid este caracterizat
prin două mărimi fundamentale:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 26/487
252. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
a) Forţa rezultantă a sistemului R este egală cu suma vectorială aforţelor componente:
n
1
in21 FFFFR (2.15.)
b) Momentul rezultant al sistemului 0M ,egal cu suma vectorială a momentelor forţelor date, calculate faţă de acelaşi pol O.
n
1
iinn22110 Fr Fr Fr Fr M
(2.16)Ansamblul celor doi vectori, cu punctul
de localizare O, formează torsorul de reducere al sistemului de forţe în
punctul O. Simbolic se notează astfel: )M;R ()F( 00i0 Torsorul de reducere este format din acele elemente mecanice
echivalente, care aplicate în punctul O, produc acelaşi efect mecanic caşi sistemul de forţe dat.
Două sisteme de forţe sunt echivalente putând fi înlocuite unul prinaltul, atunci când au acelaşi torsor într-un pol arbitrar ales. Când un sistemde forţe, redus într-un punct oarecare dă un torsor nul, adică 0R şi
0M0 , sistemul de forţe este în echilibru.Expresii analitice. Se presupune că sistemul de forţe este raportat
la un sistem de referinţă triortogonal Oxyz având originea în punctul de
reducere. Notăm cu iii Z,Y,X proiecţile forţei iF
pe axe, iar cu x y zi i i, ,
coordonatele punctului Ai în care este aplicată forţa iF , Avem deci:
k z jyixr şik Z jYiXF iiiiiiii
(2.17)
Forţa rezultantă R , egală cu suma vectorială a forţelor ce formeazăsistemul are expresia:
(2.18)
Fig. 2.6.
;k z jyiX
k Z jYiXFR
n
1i
n
1i
n
1i
n
1iii
n
1
i=
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 27/487
26 MECANICĂ
deci ,k Z jYiXR
unde proiecţiile X, Y, Z sunt:
n
1i
n
1i
n
1,i ,ZZ,YYXX (2.19)
Mărimea forţei rezultante este:
.ZYXZYXR 2
i
2
i
2
i222
(2.20)
Relaţia (2.19) exprimă teorema proiecţiilor: proiecţiile forţei
rezultante pe axele unui sistem cartezian de referinţă sunt egale cu suma proiecţiilor forţelor pe aceleaşi axe.Momentul rezultant OM
, egal cu suma vectorială a momentelor forţelor în raport cu polul O, are expresia:
,k M jMiM
ZYX
zyx
k ji
Fr M OzOyOx
n
1iii
iii
n
1iiO
(2.21)unde:
,ZxXzM,YzZyMn
1iiiiOy
n
1iiiiOx
.XyYxMn
1iiiiOz
Mărimea momentului este:.MMMM 2
Oz2Oy
2OxO
(2.22)
2.5. CUPLU DE FORŢE
Cuplul de forţe este cel mai simplu sistem de forţe ce poate acţionaasupra unui corp rigid, fiind format din două forţe paralele, egale în modulşi de sensuri opuse.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 28/487
272. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
Pentru a determina elementele caracteristice ale unui cuplu de forţe,în figura 2.7. s-a reprezentat un asemenea sistem.
Deci: ,0FFR
(2.23)iar:
MFBAFOBOA
FOBFOAMMM 210
(2.24)
Din relaţiile (2.23) şi(2.24) rezultă că forţarezultantă a unui cuplu estenulă iar momentul rezultant,numit momentul cuplului
nu depinde de punctul faţăde care s-a calculat. Prinurmare, momentul unuicuplu este un vector liber,
care se obţine calculândmomentul uneia din forţe înraport cu punctul deaplicaţie al celeilalte forţe.
Momentul cuplului este un vector perpendicular pe planul cuplului [],sensul se determină cu regula şurubului drept iar mărimea este:
FdsinFBAFBAM
(2.25)
unde d - este braţul cuplului, distanţa dintre suporţii paraleli ai forţelor.
2.6. VARIAŢIA ELEMENTELOR TORSORULUIFAŢĂ DE SCHIMBAREA POLULULUI DE
REDUCERE
În figura 2.8. se consideră un corp rigid asupra căruia acţionează un
sistem de forţe iF
(i=1,2,...,n) în punctele Ai având vectorii de poziţie ir
Fig. 2.7.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 29/487
28 MECANICĂ
faţă de polul O şi i1r
faţă de polul 1O .Presupunând cunoscute elementele torsorului de reducere în polul
O, 1OO M,R
ne propunem să determinăm elementele torsorului într-un
alt pol 1O , arbitrar ales 11 OO M,R
. Expresiile acestora vor fi:
n
1;iiO
n
1;i
FO
Fr M
FR
i
şi
n
1
;ii1O
n
1;i
FO
Fr M
FR
1
i1
(2.26)
Analizând expresiile (2.26), se constată că forţa rezultantă ,R
definităca suma vectorială a tuturor forţelor sistemului, este independentă dealegerea polului de reducere. Deci, forţa rezultantă este un invariantvectorial al sistemului de forţe, faţă de schimbarea polului.
Prin trecerea de la un pol la altul se observă că momentul rezultantal sistemului de forţe se modifică. Pentru a stabili legătura între celedouă momente rezultante, se scrie relaţia între vectorii de
poziţie: .OOr r 1ii1
Înlocuind această relaţie în expresia momentului
01M
rezultă:
,FOOFr FOOFr FOOr Mn
1i1
n
1ii
n
1i1
n
1iii
n
11iO1
ştiind că:
Fig. 2.8.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 30/487
292. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
n
1i
n
1Oii ,R FişMFr
rezultă:
R OOMM 1001
(2.27)
Relaţia (2.27) cunoscută sub denumirea de teorema momentelorsau ecuaţia fundamentală a teoriei torsorului, determină variaţiamomentului rezultant cu schimbarea polului.
Proprietăţile torsorului, rezultă din analiza teoremei momentelor,a) Dacă elementele torsorului sunt nule într-un punct, ele vor fi nule în
orice alt punct.
Dacă 0,00 atunci 0,010
b) Dacă forţa rezultantă ,R
este nulă atunci momentul rezultant al sis-temului de forţe este acelaşi în orice punct. Se spune că vectorul moment
rezultant este un vector liber. Dacă O0 M,0
atunci .MM,0 OO0 11
c) În punctele situate pe drepte paralele cu suportul forţei rezultanteR
, momentele rezultante ale sistemului de forţe sunt egale. Conform
relaţiei (2.27), dacă 0R OO,R ||OO 11
iar .MM OO1
d) Două sisteme de forţe care au acelaşi torsor într-un punct arbitrar
ales, sunt echivalente, putând fi înlocuite unul prin altul.
2.7. INVARIANŢII UNUI SISTEM DE FORŢE FAŢĂDE SCHIMBAREA POLULUI DE REDUCERE
Invarianţii unui sistem de forţe sunt acele mărimi vectoriale sauscalare care, sunt independente de alegerea polului de reducere. Invari-anţii principali ai unui sistem de forţe sunt:
1. Forţa rezultantă, ,k Z jYiXFR i
aşa cum s-a văzut în
paragraful precedent, este independentă de alegerea polului de reducere,numită invariantul vectorial al sistemului de forţe.
2. Produsul scalar dintre forţa rezultantă şi vectorul moment rezultant,
este invariantul scalar al sistemului de forţe numit automoment:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 31/487
30 MECANICĂ
1OO MR MR A
const.
Pentru a demonstra că acest produs scalar este invariant faţă deschimbarea polului, se înmulţeşte scalar cu R relaţia (2.27):
,R OOR MR MR 1OO1
ştiind că: ,0R OOR 1
rezultă 1OO MR MR
const.Invariantul scalar poate fi pus analitic sub forma:
,OzOyOxO ZMYMXMMR A
(2.28)
numindu-se trinom invariant. Forţa rezultantă şi automomentul reprezintăinvarianţii principali ai unui sistem de forţe.
3. În afara acestor doi invarianţi se pot introduce şi alţi invarianţi carese pot exprima în funcţie de invarianţi principali. Astfel, făcând raportulcelor doi invarianţi principali se obţine un nou invariant, numit momentulminim, notat cu minM sau R M :
OR OR OO
R M pr MeMR
R
R
A
R
MR M
(2.29)
unde R e este versorul forţei rezultante.Rezultă că momentul minim reprezintă proiecţia momentului rezultant
pe o direcţie paralelă cu forţa rezultantă, ea fiind valoarea cea mai mică posibilă a momentului rezultant.
4. De asemenea, raportul k R /M R numit parametrul sistemuluieste tot un invariant egal cu:
222
OzOyOx
22 OR ZYX
ZMYMXM
R
A
R
MR
R
Mk
(2.30)
Astfel se poate scrie: R k MR
(2.31)Torsorul format din R
şi R M
se numeşte torsor minim şi are expresia:
;k kZikYikXR k R R
MR M
;k Z jYiXFR
2O
R
n
1i
FR i
(2.32)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 32/487
312. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
2.8. AXA CENTRALĂ A UNUI SISTEM DE FORŢE
OARECAREAxa centrală se defineşte, ca fiind locul geometric al punctelor, în
care făcând reducerea sistemului de forţe, se obţine torsorul minim.
k kZ jkYikXR k M
k Z jYiXFR
R
n
1
i
min
(2.32)
În figura 2.9 se consideră un sis-tem de forţe )n,,2,1i(Fi care
acţionează asupra rigidului în punc-
tul Ai de vectori de poziţie ir
faţă de
punctul O, originea sistemului dereferinţă Oxyz.
Conform relaţiei (2.27), mo-
mentul rezultant al sistemului de forţeîntr-un punct P(x, y, z) al axei centraleeste:
R OPMM OP
(2.33)Înlocuind în (2.33) expresiile
analitice ale vectorilor R şiM0 ce
formează torsorul de reducere în polul O şi a momentului minim PR MM dat de relaţia (2.32), se determină ecuaţiile scalare ale axei centrale:
Deci:
ZYX
zyx
k ji
k M jMiMk Z jYiXk OzOyOx
.
Prin identificarea coeficienţilor versorilor k , j,i
rezultă:
.yXxYMkZ
;xZzXMkY
;zYyZMkX
Oz
Oy
Ox
(2.34)
Fig.2.9.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 33/487
32 MECANICĂ
Eliminând parametrul scalar k, rezultă ecuaţiile carteziene ale axeicentrale:
ZyXxYM
YxZzXM
XzYyZMk OxOyOx
(2.35)Din cele trei rapoarte egale, luând două câte două, obţinem ecuaţiile
a două plane intersectate după axa centrală:
0DzCyBxA)(
0DzCyBxA)(
22222
11111
(2.36)
2.9. TEOREMA LUI VARIGNON
Pentru un anumit sistem de forţe momentul minim R M
este nul.Aceste sisteme de forţe se reduc după axa centrală la o forţă unicăegală cu rezultanta sistemului. Pentru aceste sisteme de forţe, relaţia
(2.33) devine:
0R OPMM OP sau R OPM0 (2.37)
Relaţia (2.37) exprimăteorema lui Varignon. Ea se enunţă astfel:"Momentul rezultant este egal cu momentul rezultantei, pentru
sistemele de forţe la care momentul minim este nul."Sistemele de forţe care îndeplinesc această condiţie, sunt sistemele
de forţe concurente, sistemele de forţe paralele şi sistemele de forţe
coplanare, numite şi sisteme particulare de forţe.
2.10. REDUCEREA SISTEMELOR PARTICULAREDE FORŢE
Sistemele particulare de forţe sunt acele sisteme pentru careautomomentul este nul. Automomentul fiind nul, înseamnă că unghiul dintre
R şi OM
este
90 iar momentul minim este egal cu zero. După axa
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 34/487
332. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
centrală forţele se reduc la o forţă unică. Sistemele de forţe concurente,sistemele de forţe coplanare şi sistemele de forţe paralele sunt consider-
ate sisteme particulare de forţe.
2.10.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente
Două sau mai multe forţe sunt concurente atunci când suporturilelor se întâlnesc într-un singur punct.
În figura 2.10 se consideră un sistem de forţe iF
(i = 1, 2,,.., n), con-
curente în punctul AAA z,y,xA într-unsistem de referinţăcartezian Oxyz.
Forţele iF
, fiindvectori alunecători, pringlisare pe suporturile lor
pot fi aduse cu punctele
de aplicaţie A i în punc-tul de concurentă A.Astfel, se poate conside-ra acelaşi vector de
poziţ ie Ar
pentru toateforţele sistemului. Torsorul de reducere în polul O, are expresia:
R r Fr Fr M
;k Z jYiXFR
AiAiAO
i
FR i
(2.38)
Dar ,0R r R MR A AO
automomentul fiind nul unghiul dintre
cei doi vectori R
şi OM
este 90 . Deci, forţelor concurente li se aplicăteorema lui Varignon.
Un sistem de forţe concurente se reduce într-un pol O, ce nu aparţine
axei centrale, la un torsor ,M,R OO
având componentele perpendiculare.
Dacă se alege drept pol de reducere punctul de concurenţă A,
Fig. 2.10
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 35/487
34 MECANICĂ
momentul fiecărei forţe iF
, fiind zero în raport cu A, şi momentulrezultantei este zero. Deci, punctul A aparţine axei centrale, aceasta fiind
paralelă cu suportul forţei rezultante R
ce trece prin O.Un sistem de forţe concurente se reduce după axa centrală la o
rezultantă unică,ce trece prin punctul de concurenţă. Axa centrală este
definită de punctul de concurenţă AAA z,y,xA şi parametrii directori ai
forţei rezultante R
(X, Y, Z). Ecuaţiile carteziene ale axei centrale sunt:
Z
zz
Y
yy
X
xx AAA
(2.39)
2.10.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare
Un sistem de forţe se numeşte coplanar, atunci când toate forţelesistemului au suporturile în acelaşi plan. În figura 2.11. se consideră unasemenea sistem de forţe, coplanare, situate în planul Oxy.
Dacă forţele )0,Y,X(F iii
ce formează sistemul sunt conţinute în
planul Oxy, înseam-nă că şi forţa rezul-
tantă 0,Y,XR
vafi conţinută în ace-laşi plan, avândcomponente dupăaxele Ox şi Oy. Mo-mentul fiecărei forţe
iF
în raport cu polulO fiind un vector
perpendicula r pe planul Oxy şivectorul moment
rezultant este perpendicular pe acelaşi plan, adică orientat după axa Oz.Cu aceste observaţii, elementele torsorului de reducere în polul O au
expresiile:
Fig. 2.11.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 36/487
352. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
.k MFr M
; jYiXFR
OziiO
i
FO i
(2.40)
Vectorul moment rezultant OM
fiind perpendicular pe planul forţelor,,
este perpendicular şi pe R
. Automomentul OMR A , fiind nul, se poate aplica teorema lui Varignon. În punctele axei centrale, sistemul se
reduce la o forţă unică egală cu R Poziţia rezultantei este dată de poziţia axei centrale. Ecuaţia axei
centrale, conţinute în planul forţelor, se determină aplicând teorema luiVarignon. Considerând punctul P (fig. 2.11.) un punct al axei centrale,
rezultă: R r M0
sau:
,
ZYX
zyx
k ji
k MOz
de unde ,yXxYMOz (2.41)
2.10.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele
Prin sistem de forţe paralelese înţelege un sistem de forţe lacare suporturile tuturor forţelor
sunt paralele cu o direcţie dată,de versor e
. În figura 2.12. seconsideră un sistem de forţe
paralele iF (i=1,2,..,n), cu punc-
tele de plicaţie iA şi vectorii de
poziţie ir
în sistemul de referinţăcartezian Oxyz. Forţele avândaceiaşi direcţie, fiecare forţă a Fig.2.12.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 37/487
36 MECANICĂ
sistemului poate fi scrisă sub forma: .eFF ii
Reducând sistemul în polul O, elementele torsorului de reducere vor fi:
n
1
n
1iiii
n
1iiO
n
1i
n
1i
FO
eFr eFr Fr M
;eFFR
i
(2.42)
Din expresia torsorului de reducere (2.42) rezultă că: forţa rezultantă
a sistemului şi axa centrală au aceiaşi direcţie cu forţa sistemului, iar momentul rezultantOM
este un vector perpendicular pe rezultantă, produsul lor scalar fiind nul.
După axa centrală sistemul se reduce la o forţă unică egală curezultanta sistemului. Mărimea ei, fiind suma algebrică a mărimilor forţelor
componente, n
1iFR
Axa centrală se determină aplicând teorema lui Varignon scrisăsub forma:
R r MO
unde r
este un vector de poziţie al unui punct P situat pe axa centrală.
Înlocuind pe R şiMO
determinaţi anterior, rezultă:
.0eFr Fr
sau ,0eFr eFr
sau ,eFr eFr
iii
iii
iii
Vectorul din paranteză este coliniar cu vectorul
e (produsul lor vectorial fiind nul), iar condiţia de coliniaritate se poate scrie şi astfel:
,eFr Fr iii
(2.43)
Din relaţia (2.43) în care este un parametru scalar, rezultă ecuaţia
vectorială a axei centrale:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 38/487
372. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
eFF
Fr r
ii
ii
(2.44)
Dacă se notează:
i
iic
i F
Fr r şi
F
(2.45)
ecuaţia vectorială a axei centrale a forţelor paralele capătă forma:
,er r c
(2.46)
unde este un alt parametru scalar.
Analizând relaţia (2.46), observăm că axa centrală trece printr-un punct C dat de vectorul cr
, a cărei poziţie nu depinde de direţia comună
a forţelor. Acest punct se numeşte centrul forţelor paralele. Proiectând pe axele sistemului de referinţă Oxyz, vectorul cr
din relaţia (2.45) rezultă
coordonatele acestui punct:
.F
Fzz,
F
Fyy;
F
Fxx
i
iic
i
iic
i
iic
(2.47)
unde iii z,y,x reprezintă coordonatele punctelor de aplicaţie ale forţelor .Fi
Cunoscând coordonatele acestui punct C, axa centrală se poate trasauşor ştiind că este paralelă cu forţele sistemului. În cazul când forţelesunt vectori legaţi, centrul forţelor paralele reprezintă punctul de aplicaţieal rezultantei sistemului pe axa centrală.
2.10.4. Reducerea forţelor distribuite
În toate raţionamentele de până acum, s-a considerat că forţele ceacţionează asupra corpurilor sunt concentrate în anumite puncte. În
practică se întâlnesc sisteme de forţe distribuite de-a lungul unei linii, pesuprafaţă sau distribuite într-un volum.
Cu forţele distribuite se poate lucra ca şi cu cele concentrate, dacăacestea se consideră ca o mulţime de forţe elementare concentrate. Toatenoţiunile şi relaţiile stabilite pentru sistemele de forţe studiate până aici,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 39/487
38 MECANICĂ
rămân valabile şi pentru sistemelede forţe distribuite.
În cele ce urmează se vaanaliza numai cazul forţelor co- planare şi paralele, distribuiteliniar. Astfel, în figura 2.13. seconsideră un asemenea sistem deforţe, distribuite liniar pe lungimeal după o lege oarecare q=q(x).Dacă se alege ca axă Ox dreapta
pe care forţele sunt distribuite, pefiecare element de lungime dx vaacţiona o forţă elementară dQ =
q dx,unde q se numeşte forţă unitară şi se măsoară în N/m.Sistemul de forţe reprezentat se înlocuieşte cu un sistem de forţe
elementare, paralele de intensitate variabilă.Torsorul întregului sistem de forţe în polul O este:
l
0O
l
0
dxxxqdQxMşidxxqQ (2.48)
Sistemul de forţe se reduce după axa centrală la o forţă unică egalăcu rezultanta sistemului. Poziţia axei centrale se determină prin aplicareateoremei lui Varignon:
Oc MQx , sau l
0c ,dxxxqQx (2.49)
deci
.dxxq
dxxqxQ
dxxqxxl
0
l
0
l
0c
(2.50)
undecx reprezintă abscisa care poziţionează rezultanta Q. Analizând
relaţiile (2.48) şi (2.50) rezultă că rezultanta sistemului de forţe distribuiteliniar este numeric egală cu aria suprafeţei de distribuţie, iar suportulrezultantei trece prin centrul de greutate al suprafeţei de distribuţie.
Fig. 2.13.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 40/487
392. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
2.11 PROBLEME REZOLVATE
1. Să se determine rezultanta şi poziţia rezultantei pentru următoarelesisteme de forţe distribuite liniar:
a) Forţe distribuite uniform (fig. 2.14):
;lqdxqdxxqQl
0
l
0 OO
.2l
lqdxxq
Qdxxqxx
O
l
0O
l
0c
b) Forţe distribuite liniar (fig. 2.15):
l
0O
O ;lq2
1dxx
l
.l3
2
lq2
1
dxxl
qxx
O
l
0
O
c
2. Asupra unei prismetriunghiulare acţionează o forţăQ=30N; pe diagonala BE, orientatăde la B spre E, ca în figura 2.16. ştiindcă: OB=OD=4m; OA=2m; să sedetermine:
a) momentele forţei Q
înraport cu vârfurile prismei;
b) momentele forţei Q
în
raport cu muchiile prismei.
Fig. 2.14.
Fig. 2.15.
Fig. 2.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 41/487
40 MECANICĂ
Rezolvare:
a) Expresia analitică a forţeiQ
în sistemul Oxyz este:
.k 20 j20i10242
k 4 j4i230
BE
BEQeQQ
222BE
Momentul forţei Q
în raport cu vârfurile prismei sunt: ,0MM BE
punctele fiind situate pe suportul forţei:
Nm;k 40i80202010040
k ji
QOBMO
Nm; j40i80
202010
400
k ji
QAEMA
Nm; j40i80
202010
400k ji
QCBMC
Nm;k 40 j40
202010
002
k ji
QDEMD
b) Momentele axiale în raport cu muchiile prismei sunt:
,0MMMM
Nm;40 jMMM
Nm;0MM;80iMMM
EBECAEAB
0ODOz
OBOy0OAOx
suportul forţei intersectează muchiile respective;
Nm40 jMeMM DDCDDC
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 42/487
412. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
3. Un cuplu de forţe (F;-F) acţionează asupra unei plăci circulare îndouă situaţii: placa este perpendiculară pe axa de rotaţie z-z, (fig. 2.17,a)
şi în cazul al doilea placa formează unghiul
50 cu axa de rotaţie(fig. 2.17,b).
Cunoscând braţul cuplului h = 0,2 m şi mărimile forţelor F = 80 N, săse determine momentul forţelor în raport cu axa de rotaţie z-z.
În primul caz, momen- tul în raport cu axa de rotaţie zM este egal cu
momentul cuplului, ,F,FM
placa fiind perpendiculară pe axa de rotaţie.
Mărimea momentului este:
Nm16802,0FhMz
În al doilea caz, pentru a afla momentul în raport cu axa z-z derotaţie se proiectează momentul cuplului F,FM
pe axa de rotaţie.
Momentul cuplului fiind perpendicular pe placă rezultă:
Nm2,12766,01640cosFhMz .
4. Un sistem de forţe şi cupluri acţionează asupra unui paralelipipedde dimensiuni (2; 6; 3) m, ca în figura 2.18.
Cunoscând mărimile acestora: F1=14N, N104F2 , N132F3 ,
Fig. 2.17
a) b)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 43/487
42 MECANICĂ
F4=4N, respectiv C
1=2N.m, C
2=3 Nm, se cere:
a) să se reducă sistemul în polul O;
b) torsorul siste-mului în polul B;c) invarianţii vec-
toriali şi scalari aisistemului;
d) torsorul minim;e) ecuaţiile carte-
ziene ale axei cen- trale
şi reprezentarea ei.
Rezolvare.a) Se determină
expresiile analitice aleforţelor:
;k 6 j12i4
362
k 3 j6i214
GC
GCFeFF
2221GC11
. j12i462
j6i2104
DB
DBFF
2222
.k 6i432
k 3i2132
HA
HAFF
2233
.i4iFF 44
Forţa rezultantă, k 12FR i
Momentele forţelor în polul O, originea sistemului sunt:
; j12i36
6124
062
k ji
FOGM 1FO 1
Fig. 2.18
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 44/487
432. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
;k 24 j12i360124302
k ji
FODM 2FO 2
;k 24i36
604
060
k ji
FOHM 3FO 3
i3Cşik 2Ciar ,0FOEM 214FO 4
Momentul rezultant al sistemului de forţe şi cupluri este:
.k 2 j24i39CMM2
1i
4
1OO i
În polul O sistemul de forţe se reduce la un torsor .M,R OO
b) Torsorul sistemului în polul B este ,M,R BB
unde:
.k 2 j24i33
1200
360
k ji
k 2 j24i39R BOMM OB
c) Invarianţii principali ai sistemului de forţe sunt:
.24MR şik 12R O
Invarianţii secundari sunt:
.k 2R k M;6
1
12
2
R
Mk ;
12
24
R
MR M R
R OR
d) Torsorul minim OO M,R
unde:
. Nmk 2Mşi Nk 12R R
e) Cunoscând OO M,R se pot scrie ecuaţiile carteziene, ştiind că:
.2Mşi24M;39M;12Z;0Y;0X OzOyOx
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 45/487
44 MECANICĂ
Deci: ;12
002
0
x12024
0
0y1232
Sub forma intersecţiei a două plane, axa centrală are expresia: .024x12 ;039y12 21
Axa centrală este o dreaptă paralelă cu axa Oz, şi înţeapă planul Oxyzîn punctul P (2; 3,25; 0). Pe axa centrală (fig. 2.18) se reprezintă torsorul
minimal R R M,R Sistemul de forţe şi cupluri se reduce după axa centrală
la o dinamă.
5. Un stâlp avândînălţimea 20 m este ancorat prin intermediul a trei cablurifixate în punctele A, B şi C, acăror poziţie este cunoscută şiindicată în figura 2.19.
Ştiind că în cablul VBefortul este 4,2 kN, să se
determine eforturile dincablurile VA şi VC astfel încâtrezultanta lor în vârful V să fiede-a lungul stâlpului. Careeste mărimea acesteirezultante?
Rezolvare. Expresiile analitice ale eforturilor sunt:
kNk T34 jT532015k 20 j15T
VAVATT AA22AAA
,
kNk 4 ji5
4
2054
k 20 j5 j42,4
VB
VBTT
222BB
.kNk T54
jT25
9iT
25
12
20912
k 20 j9i12T
VC
VCTT
C
CC222CCC
Fig. 2.19
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 46/487
452. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
Rezultanta sistemului este:
.k T5
44T
3
4
jT25
9
1T5
3
iT25
12
5
4
TTTR
CA
CACCBA
Punând condiţiile X = Y = 0, adică rezultanta să aibă componentănumai după axa Z, rezultă:
.kN66,2TiºkN66,1Tunde,25T9T15;0T1220 ACCAC
Rezultanta:.kN88,8R ;k 88,8k T
5
44T
3
4R CA
6. Asupra unei plăci dreptunghiulare având dimensiunile (4;2) metri,acţionează un sistem format din patru forţe coplanare, ca în figura 2.20.
Cunoscând mărimile forţelor P1=P
2=10N, N220P3 şi N510P4 , se cere:
a) să se reducă sistemulîn polul O;
b) să se reducă sistemuldupă axa centrală şi să sereprezinte.
Rezolvare:a) Expresiile analitice
ale forţelor sistemului sunt:
;i10P;i10P 21
; j20i2022
j2i2220
BD
BDPP
2233
; j10i2024
j2i4510
BE
BEPP
2244
Forţa rezultantă a sistemului:
Fig. 2.20
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 47/487
46 MECANICĂ
j20i30PR 4
1i
Momentele forţelor în polul O, originea sistemului ales, sunt:
;k 40k 104M;k 20k 102M21 POPO
;k 80
02020
004
k ji
POBM 3PO 3
.k 40
01020
004
k ji
POBM 4PO 4
Momentul rezultant este: ,k 60MM4
1OiO
Sistemul se reduce
în polul O la un torsor .M,R OO
b) Torsorul minim este .M,R R R
unde 0MR
deoarece .0MR O
După axa centrală sistemul se reduce la o forţă unică egală cu rezultanta
sistemului. Ecuaţia axei centrale, dată de relaţia (2.52) în care ,60MOz
X = -30, Y = 20, este: 60 =20x +30y. Axa centrală trece prin
punctele P (3; 0) şi E (0; 2).
7. Asupra unui cub de muchieegală cu 4 m (v. fig. 2.21) acţioneazăun sistem de de forţe paralele.Cunoscând coordonatele punctelor de aplicaţie ale forţelor şi mărimile
acestora , N60F1 , N10F2
, N50F3 , N100F4 , N60F5
să se reducă sistemul după axa Fig. 2.21
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 48/487
472. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
centrală şi să se afle coordonatele centrului forţelor paralele. Rezolvare. Pentru
determinarea centruluiforţelor paralele şi aplicarearelaţiilor (2.47) se va face uncalcul tabelar. În acest scopse întocmeşte tabelul 2.1. încare se trec coordonatele
punctelor de aplicaţie
iii z,y,x şi mărimile forţelor
.Fi Însumând pe coloane,
rezultă numitorii şi numărătoriifracţiilor din relaţiile (2.47).
Astfel:
;m460
240
F
Fxx
i
ii
c
.m3,360200
FFzzi
iiC
Axa centrală este paralelă cu forţele sistemului şi trece prin C (4;-6;3,3)m.
8. Să se determine rezultantaşi poziţia rezultantei pentruurmătoarele sisteme de forţe
distribuite liniar:a) Forţe distribuite uniform(fig. 2.22):
l
0
l
0 OO lqdxqdxxqQ
.
2
l
lq
dxxq
Q
dxxqxx
O
l
0O
l
0c
Tabelul 2.1
Fig. 2.22
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 49/487
48 MECANICĂ
b) Forţe distribuite liniar (fig.
2.23):
l
0 OO ;lq
2
1dxx
l
.l3
2
lq2
1
dxxl
qx
x
O
l
0
O
c
c) Forţe distribuite parabolic, de
forma axq 2 (fig. 2.24):
;lq3
2
dxxl
qdxxqQ
O
l
0
l
0
O
.l5
3
lq3
2
dxxl
qx
x
O
l
0
O
c
d) Forţe distribuite pa-rabolic, de forma 2x bq
(fig.2.25):
;lq3
1
dxxl
qdxxqQ
O
l
0
l
0
2
2O
Fig. 2.23
Fig. 2.24
Fig. 2.25
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 50/487
492. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
.l4
3
lq3
1
dxx
l
qx
xO
l
0
22O
c
e) Forţe distribuite uniform peun arc de cerc (fig. 2.26):
2sinR q2ABqQ OO
(componentele orizontale seanulează reciproc)
.simetrieidatorită 2
sinR
22
sinR 2
2
ABx c
2.12. PROBLEME PROPUSE
1. Asupra unei bare cotite ABC (fig.2.27) acţionează forţa
k 40 j30i20F (N). Să se calculeze momentul forţei în polul O şi
faţă de braţul OB.
R .m N160M m; N4,376M
iar m),(N k 180 j20i330MOBO
O
.2. Asupra unei roţi dinţate cu dinţi înclinaţi (fig.2.28) acţionează în
planul tangent roţii, perpendicular pe dinte, o forţă Q. Cunoscând unghiula de înclinare al dinţilor şi raza R a roţii, să se determine momentul forţeiQ în raport cu axa de rotaţie a roţii.
R . cosQR M .
Fig. 2.26
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 51/487
50 MECANICĂ
3. La ridicarea unei greutăţidin poziţia B, cu ajutorul uneimacarale de perete, în cablu sedezvoltă o forţă S de 39 kN. Săse calculeze momentul pe care
S îl produce faţă de baza O şi C
a macaralei (fig. 2.29).R .
)kN(k36i15S
k90 j180i216M
);mkN(k90i216M
C
O
4. Un sistem format din două
cupluri
)F,F( 11 şi )F,F( 22
acţionează asupra construcţiei dinfigura 2.30, ce are posibilitatea să serotească în jurul axei verticale Oz.Cunoscând mărimile forţelor F
1 = 60
N, F2 = 75 N, raza discului R = 1,2 m
Fig. 2.29
Fig. 2.30
Fig. 2.27
Fig. 2.28
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 52/487
512. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
şi braţele a = 1,7 m şi b = 2,5 m, să se determine momentul cupluluiechivalent al sistemului.
R . m N84M Oz
5.Asupra unei îmbinări sudate, formând unghiuri drepte acţionează şaseforţe cunoscute: P1 = P2 = P3 = P, P4 =
2P, P5 = 3P, P5P6 . Să se
determine torsorul sistemului în polul Oşi ecuaţiile axei centrale ( fig. 2.31 ).
R.
-5a5z-10y-10x
a41z10y8x) b
kaP4 jaP4iaP3M
kP2 jP5iP4R )a
O
6. Asupra unei pârghii cotite acţionează patru forţe plane cunoscute P= 4 kN, Q = 6 kN, H = 10 kN, V = 18 kN, iar în alezajele pârghiei acţioneazăcupluri de frecare ale căror momente sunt egale cu M f = 0,5 Nm. Cunoscândunghiurile = 30O şi = 60O să se determine elementele torsorului dereducere în raport cu polul O şi ecuaţia axei centrale ( fig. 2.32 ).
R .
Fig. 2.31
Fig. 2.32
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 53/487
52 MECANICĂ
7. Asupra unui baraj (fig. 2.33) acţionează în plan median vertical,
perpendicular pe cele două feţe ale barajului, forţele de presiune ale apeiP =20 MN şi F=13 MN la distanţele H = 4 m şi h = 2,4 m de la bază.Greutatea părţii dreptunghiulare a barajului este G1 = 30 MN, iar a părţiitriunghiulare G2 = 15 MN. Lăţimea barajului la bază este b = 10 m iar la
partea superioară a = 5 m iar tg a = 5/12. Se cere: a) să se reducăsistemul în polul O, b) să se determine ecuaţia axei centrale, c) să severifice că suportul rezultantei intersectează baza de susţinere a barajului.
R.
m.5,42x,0yc) 0135,6-4y25x) b
)mMN(k2.271M (MN), j50i8R )a O
8. Se consideră un sistem de trei forţe i100F 1 , j75F 2 şi
k 50F 3 . Ştiind că axa centrală a sistemului de forţe trece printr-un
punct A (10; 0; 0) şi că mărimea momentului minim este 29200MR , să
se determine torsorul sistemului în punctul O, originea sistemului de referinţă.
R. .k950 j200i400M ,k50 j75i100R O
Fig. 2.33
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 54/487
532. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE
9. Asupra unei plăci rombice, acţionează un sistem de forţe ca în figura
2.34. Cunoscând mărimile acestor forţe, P1 = P
2 = P
3 = P
4 = 52 N, P
5 = 8
N, să se determine forţa care echilibrează placa.R. Forţa care echilibrează placa este i8Q şi trece prin vârful B.
10. Un cârlig este fixat prin şuruburi în A şi B (v. fig. 2.35). Se cere:a) să se reducă forţa F = 30 N în polul B; b) să se determine cele douăforţe orizontale din A şi B care dau un cuplu echivalent cu cel dat la
punctul a).
R . (N) j5,12FF b) i5,1M;k30F )a BAB
11. Asupra unui paralelipiped de laturi a, b şi c acţionează sistemul
format din forţele şi cuplurile de momente 1M şi 2M (fig. 2.36). Ştiindcă F1 =F2 =F3 =P şi M1 = 2bP, M2 = 3aP, se cer: a) torsorul de reducere
în O şi relaţia ce există între dimensiunile a, b, c, astfel ca sistemul dat săse reducă la o rezultantă unică; b) pentru a = 1 şi b = 2 să se deducă
Fig. 2.34 Fig. 2.35
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 55/487
54 MECANICĂ
ecuaţia axei centrale şi să se de-termine mărimea distanţei de la O
la axa centrală.R .a) 3b - c = 2a;
b)
38R
Md ,
P
32zP
34y
P
32x
O
12. Un sistem format din patru forţe 2FF1 , 5FF2 , F2F3 ,
F4 = F acţionează asupra paralelipipedului din figura 2.37. Să se reducă
sistemul în polul O, să secalculeze torsorul minim şiaxa centrală.
R .
ayxşiay
;2aFM
;kaF2 jaFM
;kFiFR
R
O
13. Sistemul de forţecoplanare din figura 2.38 acţionează asupra
şaibelor solidare de rază a şi 2a. CunoscândF1 = 60 N, F2 = 90 N, F3 = 80 N,
260F4 N, să se determine poziţia
rezultantei unice a sistemului.R.
0)21220(az9x14)AC(
j140i90R
Fig. 2.36
Fig. 2.37
Fig. 2.38
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 56/487
3. CENTRE DE MASĂ 55
3.
CENTRE DE MASĂ
3.1. Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale ... 57
3.2. Centrul de masă al corpurilor omogene simple........... 603.3 Centrul de masă al corpurilor omogene complexe ....... 643.4. Probleme rezolvate ........................................................ 663.5. Probleme propuse ......................................................... 70
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 57/487
56 MECANICĂ
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 58/487
3. CENTRE DE MASĂ 57
3 CENTRE DE MASĂ
3.1. CENTRUL DE MASĂ AL UNUI SISTEM DEPUNCTE MATERIALE
Se consideră un sistem format din n puncte materiale iA (i=1,2,...,n)cu masele im situat în câmpul gravitaţional al Pământului (fig.3.1). Sistemul
de puncte fiind dispus la suprafaţa Pământului, este supus atracţieiacestuia, astfel că asupra fiecărui punct va acţiona o forţă numită greutate:
gmG ii
(3.1)
unde g este vectorul accele-
raţiei gravitaţionale. Valoarealui g este uşor variabilă culatitudinea şi altitudinea, cavaloare aproximativă utilizată întehnică se ia egală cu 9,81
.s/m 2
Forţele iG ce acţionează
asupra punctelor iA au acelaşi
sens fiind îndreptate spre centrul Pământului.Ţinând seama de dimensiunilePământului şi a sistemelor materiale situate la suprafaţa lui, aceste forţe
pot fi considerate paralele.Prin urmare, asupra sistemului material acţionează vertical, forţele
paralele iG .
Aceste forţe se reduc la o rezultantă unică G , numită greutateasistemului de puncte materiale:
Fig. 3.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 59/487
58 MECANICĂ
gMmggmGG iii , (3.2)
unde M este masa întregului sistem de puncte materiale.Punctul de aplicaţie al rezultantei acestor forţe este centrul forţelor
paralele, care acum se va numi centru de greutate. Deci, determinareacentrului de greutate al unui sistem de puncte materiale, reprezintă uncaz particular al determinării centrului forţelor paralele, când forţele suntgreutăţi.
Poziţia centrului de greutate faţă de un reper O se determină prin
vectorul de poziţie cr
cu ajutorul unei relaţii de forma (2.45):
n
1i
n
1ii
c
G
Gr r
(3.3)
Dacă se alege un sistem cartezian de referinţă cu originea în O,
coordonatele CCC z,y,x se obţin proiectând relaţia (3.3) pe axele reperului
cartezian:
i
ii
C
i
ii
C
i
ii
C G
Gzz;
G
Gyy;
G
Gxx (3.4)
unde x y zi i i, , sunt coordonatele punctelor Ai , ce alcătuiesc sistemul.
Dacă se ţine seama de relaţia (3.2) avem:
M
mr
m
mr
mg
mr g
gm
gmr
r ii
i
ii
i
ii
i
ii
C (3.5)
şi
i
ii
C
i
ii
C
i
ii
C M
mzz;
M
myy;
M
mxx (3.6)
Din relaţiile (3.5) şi (3.6) se observă că poziţia centrului de greutatenu mai depinde de greutaţile punctelor ci numai de modul de distribuţie a
maselor. Această observaţie justifică denumirea de centru de masă
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 60/487
3. CENTRE DE MASĂ 59
care este identică cu centru de greutate. Înseamnă că se poate vorbi decentrul maselor şi la corpurile care nu sunt situate în câmpul de atracţie
al Pământului.Relaţiile (3.5) şi (3.6) se pot scrie sub o altă formă:
,Smr r M Oiic
(3.7)
.SmzMz
;SmyMy;SmxMx
xOyiic
xOziicyOziic
(3.8)
unde OS reprezintă momentul static polar al sistemului de puncte materialeîn raport cu polul O; SxOy, SyOz, SxOz -momentele statice planare alesistemului de puncte materiale în raport cu planele de referinţă.
Relaţiile (3.7) şi (3.8) exprimă teorema momentelor statice pentruun sistem de puncte materiale, în raport cu polul O şi cu planele dereferinţă. Enunţul acestei teoreme este: “ Momentul static al unui sistemde puncte materiale în raport cu polul O, este egal cu produsul dintremasa sistemului şi vectorul de poziţie al centrului de masă faţă de acest
pol, respectiv, momentul static al unui sistem de puncte materiale în raportcu un plan de referinţă, este egal cu produsul dintre masa sistemului şidistanţa de la centrul de masă la acest plan “.
Proprietăţi ale centrelor de masa: 1. Centrul de masă se poatedefini ca punctul geometric faţă de care momentele statice ale sistemuluisunt nule.
2. Centrul de masă al unui sistem există chiar în afara acţiunii gravitaţiei.Poziţia sa depinde numai de distribuţia maselor. În cazul corpurilor omogene poziţia centrului de masă nu depinde de natura materialului cinumai de forma lor geometrică.
3. Poziţia centrului de masă nu depinde de sistemul de referinţă ales.4. Dacă un sistem material are o axă sau un plan de simetrie, centrul
de masă se va găsi pe axa sau în planul respectiv de simetrie.5. Centrul de masă se mai poate defini şi ca punctul în care poate fi
concentrată întreaga masă a sistemului material, fără ca momentele statice
să se modifice.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 61/487
60 MECANICĂ
3.2. CENTRUL DE MASĂ AL CORPURILOR
OMOGENE SIMPLECorpul solid rigid de formă oarecare (fig. 3.2) este format dintr-o
infinitate de puncte de mase elementare dm, ce ocupă un domeniu (D)închis din spaţiu. Asuprafiecărui punct va acţionao forţă elementară dG =dm g, de greutate. Asupra
întregului corp acţioneazăastfel un sistem format dintr-un număr infinit de forţeelementare, paraleledistribuite pe întregulvolum. Vectorul de poziţieal centrului forţelor para-lele elementare, ce
corespunde cu centrul demasă al corpului este:
,M
dmr
dmg
dmr g
dG
dGr
r D
D
D
D
Dc
(3.9)
unde M este masa întregului corp.
Proiectând relaţia (3.9) pe axele unui sistem cartezian de referinţărezultă CCC z,y,x coordonatele centrului de masă:
.M
dmz
y;M
dmy
z;M
dmx
x Dc
Dc
Dc
(3.10)
Relaţiile (3.9) şi (3.10) se pot scrie sub forma:
;Sdmr r M O
D
c
(3.11)
Fig. 3.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 62/487
3. CENTRE DE MASĂ 61
.SdmzMz;SdmyMy;SdmxMx xOy
D
cxOz
D
cyOz
D
c (3.12)
Relaţiile (3.11) şi (3.12) exprimă teorema momentelor statice pentru corpurile simple.
Această teoremă se enunţă în mod asemănător cazului sistemelor de puncte materiale (v. paragraful 3.1). Notaţiile au aceleaşi semnificaţii.
În cazul corpurilor omogene masa specifică (masa unităţii de volum,suprafaţă sau linie) este aceeaşi în orice punct al corpului. Cunoscândclasificarea corpurilor în bare, plăci şi blocuri se poate defini o densitate
liniară L , densitatea superficială A şi o densitate volumică .Pentru corpurile omogene fiind constant, iese de sub semnul
integrală şi se simplifică, iar relaţiile (3.9) şi (3.10) devin:
- pentru bare omogene, :dldm L
;dl
dlz
z;dl
dly
y;dl
dlx
x;dl
dlr
r
L
Lc
L
Lc
L
Lc
L
Lc
(3.13)
unde x, y, z reprezintă coordonatele elementului de lungime dl, detaşat;- pentru plăci omogene, ;dAdm A
.dA
dAz
z;dA
dAy
y;dA
dAx
x;dA
dAr
r
A
Ac
A
Ac
A
Ac
A
Ac
(3.14)
unde x, y, z reprezintă coordonatele centrului de greutate al elementuluide arie dA, detaşat;
- pentru blocuri omogene, :dVdm
.dV
dVz
z;dV
dVy
y;dV
dVx
x;dV
dVr
r
V
Vc
V
Vc
V
Vc
V
Vc
(3.15)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 63/487
62 MECANICĂ
Observaţii : 1. În relaţiile (3.13), (3.14), (3.15), integralele de lanumărător reprezintă momentele statice geometrice ale barelor,
suprafeţelor sau blocurilor respective.2. Determinarea poziţiei centrului de greutate la linii, suprafeţe şivolume materiale omogene este o determinare geometrică deoarece poziţialui depinde numai de forma liniei, suprafeţei sau volumului respectiv.
Aplicaţii. 1. Centrul de masă al uneilinii sub forma unui arc de cerc.
Se consideră o bară omogenă avândforma unui arc de cerc AB de rază R cu
centrul în O şi unghiul la vârf 2 (fig. 3.3). Săse determine poziţia centrului de greutate. Rezolvare. Se alege sistemul de axe
astfel încât una din axe Ox, să fie axă desimetrie. Centrul de masă se va afla pe axa
Ox 0yc . Abscisa centrului de greutate secalculează cu relaţia (3.13):
.sin
R R 2
dcosR
Rd
dR cosR
dl
xdl
x
2
L
LC
Deci, .sin
R x c
(3.16)
în care cosR x reprezintă abscisa elementului detaşat; dl = R d-elementul detaşat, de lungime elementară; -semiunghiul la centru, în radiani.
2. Centrul de masă al unei plăci sub forma unui sector de cercSe consideră o placă omogenă având forma unui sector de cerc OAB
de rază R, cu centrul în polul O şi unghiul la vârf 2 (fig. 3.4). Să se deter-mine poziţia centrului de masă.
Rezolvare. Se alege sistemul de axe de coordonate cu originea în Oiar axa Ox, axă de simetrie.
Centrul de greutate se va afla pe axa de simetrie Ox .0yc Se
Fig. 3.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 64/487
3. CENTRE DE MASĂ 63
detaşază o suprafaţă elementară dA cu ajutorul a două raze ce formeazăîntre ele unghiul elementar d. Suprafaţa detaşată se asimilează cu un
triunghi isoscel de înălţime R şi de bază dl, având centrul de greutate C’la distanţa 2R/3 faţă de vârful O. Poziţia centrului de greutate C al plăciiomogene se calculează cu relaţia (3.14)
sinR
3
2
2dR R
dR 21
cosR 32
dA
dAx
x
2
A
Ac (3.17)
unde x = (2/3) R cos reprezintă abscisacentrului de greutate C’ a elementului dearie detaşat; dA = (1/2) R 2 d -elementulde arie detaşat; -semiunghiul la centru, înradiani.
3. Centrul de masă al emisfereiSe consideră o emisferă, omogenă, de
rază R. Să se determine poziţia centruluimasă (fig. 3.5). Rezolvare. Se alege axa de simetrie a
emisferei, ca axă Oz iar originea sistemuluiîn O. Corpul fiind omogen centrul de masă
se va afla pe axa Oz .0yx CC Coordonata
Cz a centrului de masă se
calculează cu relaţia (3.15). Sedetaşază un volum elementar dV cu ajutorul a două plane
paralele la distanţa z faţă de planul xOy, distanţa dintre elefiind dz. Volumul detaşat se
poate asimila cu un cilindru derază y şi înălţime dz. Astfel
rezultă:
Fig. 3.5
Fig. 3.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 65/487
64 MECANICĂ
,R 83
dzzR
dzzR z
dV
dVz
zR
0
22
R
0
22
V
Vc
(3.18)
unde dzzR dzydV 222 reprezintă elementul de volum detaşat;z - cota centrului de greutate a elementului de volum detaşat iar
,zR y 222 raza la pătrat a cilindrului detaşat.
3.3. CENTRUL DE MASĂ AL CORPURILOR OMOGENE COMPLEXE
În figura 3.6 se consideră un corp omogen compus (cu cavitate), realizat prin alipirea corpurilor )S(şi)S(),S( 321 iar din )S( 3 se scoate corpul ).S( 4
Se presupune cunoscute masele 21 m,m ale corpurilor )S(şi)S( 21 masa3m a corpului )S( 3
considerat plin, umplut cuacelaşi material, masa 4m acorpului care lipseşte, precumşi vectorii de poziţie ir
(i =1,2,3,4) ai centrelor de masăale acestor corpuri. Masele
corpurilor pot fi considerateconcentrate în centrele demasă ale fiecărui corp, fărăca momentele statice să semodifice. Din aceste consi-derente poziţia centrului de
masă al întregului corp omogen compus din alte corpuri simple sedetermină cu ajutorul relaţiei (3.5) stabilite pentru sistemul de puncte
materiale:
Fig. 3.6
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 66/487
3. CENTRE DE MASĂ 65
.mmmm
mr mr mr mr
m
mr r
4321
44332211
i
iic
Cunoscând coordonatele centrelor de masă ale corpurilor simple,coordonatele centrului de masă al corpului omogen complex, într-un sistemde referinţă cartezian,se determină cu relaţia (3.6) ţinând seama că masaefectivă a corpului este:
.mmmmM 4321 Şi pentru corpuri omogene compuse se poate defini o densitate liniară,
o densitate superficială şi o densitate volumică, astfel încât relaţiile
necesare pentru determinarea poziţiei centrelor de greutate ale barelor, plăcilor şi blocurilor omogene compuse sunt:
- pentru bare omogene compuse, iLi lm
;l
lzz;
l
lyy;
l
lxx;
l
lr r
i
iic
i
iic
i
iic
i
iic
(3.19)
- pentru plăci omogene compuse, iAi Am
;A
Azz;
A
Ayy;
A
Axx;
A
Ar r
i
iic
i
iic
i
iic
i
iic
(3.20)
- pentru blocuri omogene compuse, ii Vm
;V
Vzz;
V
Vyy;
V
Vxx;
V
Vr r
i
iic
i
iic
i
iic
i
iic
(3.21)
Pentru simplificarea şi sistematizarea calculelor, determinareacentrelor de masă la bare, plăci şi blocuri omogene compuse se poateface tabelar. Calculul poziţiei centrului de masă al unui corp se face
parcurgând următoarele etape:- se descompune corpul complex în mai multe corpuri simple, componente,
ale căror centre de masă sunt cunoscute sau se pot determina uşor;- se alege acel sistem de axe de coordonate care poate aduce
simplificări în calcule (axele de coordonate să coincidă cu axele de simetrie
ale corpurilor);
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 67/487
66 MECANICĂ
- se întocmeşte tabelul corespunzător şi se efctuează calculele pe baza relaţiilor stabilite mai sus.
3.4. PROBLEME REZOLVATE
1. Să se calculeze poziţia centrului de masă al barei omogenecompuse din figura 3.7.
Rezolvare. Se împarte bara omogenăîn patru linii simple şi se marchează
centrele de masă ale fiecărei linii. Secalculează distanţele:
;
a2
2/
2/sinaCO 1
.
2
2a4
4/
4/sinaOC 4
Calculele sunt prezentate în
tabelul 3.1.
Coordonatele centrului de masă sunt:
;a12,0a
23
2x c
;a60,0a
23
32yc
.a33,1a
3
4z c
Fig. 3.7
Tabelul 3.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 68/487
3. CENTRE DE MASĂ 67
2. Să se determine poziţia centrului de
greutate a plăcii omogenecompuse din figura 3.8.Rezolvare . Se
împarte suprafaţacompusă a plăcii în treisuprafeţe simple şi secalculează distanţele:
2
2
3
a16
4/
4/sin
a23
2
OC2
.3
a42/
2/sina
3
2CO 3
Restul calculelor sunt centralizate în tabelul 3.2. Coordonatele centrului de masă sunt:
;a41,0a
63
32xc
.a87,0a6 8yc
3. Să se calculezecoordonatele centrului demasă al sistemului de corpuriomogene din figura 3.9.
Rezolvare. Se împarte
volumul omogen complex în
Fig. 3.8
Tabelul 3.2
Fig. 3.9
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 69/487
68 MECANICĂ
trei corpuri simple: o prismătriunghiulară, un paralelipiped şi un cub.
Calculele s-au centralizat întabelul 3.3.Coordonatele centrului de masă
sunt:
.l09,2l160
335z
;l68,3l160
589y
;l9,2l160
464x
c
c
c
4. Determinarea diametrului rondelei de ambutisare a unui vas. Rezolvare. Diametrul D al rondelei de abutisare se determină
echivalând aria suprafeţei rondelei cu aria suprafeţei de rotaţie a linieicompuse din figura 3.10,c faţă de axa de simetrie a vasului utilizând
teorema -a a lui Pappus şi Guldin. Grosimea vasului se neglijeazăcomparativ cu diametrele vasului:
3
1i
2
x24
D iar
3
1ix8D
Tabelul 3.3
Fig. 3.10
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 70/487
3. CENTRE DE MASĂ 69
Înlocuind valorile numerice rezultă:
332211 lxlxlx8D
mm60,2743015103
16030150508
.mm33,83
2
2
4/
2/220
3
230
4cos
4/
4/sinr
3
2x245cosOCx2x 3232
5. Determinarea dimensiunilor brute ale semifabricatului unuipinion forjat. Pentru obţinerea prin forjare a pinionului din figura 3.11este necesar un semifabricat sub forma unei bare cilindrice de diametruD şi înălţime H=1,5D.Ţinând seama de coeficientul de pierderi prin forjare,
b=1,25 datorită bavurilor şi a pierderilor prin ardere, să se determinedametrul D al semifabricatului.
Rezolvare. Diametrul D al semifabricatului se determină echivalândvolumul barei cilindrice de forma ( D2/4)H cu volumul piesei finitemajorate cu coeficientul b, rezultat prin rotirea suprafeţei haşurate
Fig. 3.11
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 71/487
70 MECANICĂ
(fig.3.11) în jurul axei de simetrie. Acest calcul reprezintă o aplicaţietehnică a celei de-a doua teoreme a lui Pappus şi Guldun, exprimată prin
relaţia:,Au2H
4
D 4
1ii
2
de unde rezultă: .Au5,1
10D 3
4
1ii
Calculul se face tabelar, împărţind suprafaţa haşurată în figuri
geometrice simple: un dreptunghi ABDE cu centrul C1 , triunghiul DFGcu centrul C2, patratul FGHO cu centrul C3 din care se elimină sfertul
de cerc de rază a cu centrul în C4. Calculul este prezentat în tabelul 3.4.
Rezultă: .a75,3a2
19
5,1
10D 3
3
3.5. PROBLEME PROPUSE
1. Să se determine poziţia centrului de greutate a liniei materialeomogene din figura 3.12.
R . xc = ( 2/7 ) a ; yc = ( 26/7 ) a.
2. Să se determine suprafaţa laterală şi volumul unui semifabricatavând forma şi dimensiunile din figura 3.13.
Fig. 3.12 Fig. 3.13
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 72/487
3. CENTRE DE MASĂ 71
R . 32 a(10/3)V );221(a2A 3. Să se determine diametrul rondelei
din a cărei ambutisare se obţine vasul derevoluţie din figura 3.14.
R . d = 325 mm.
4. O bară AD de lungime l şi grosimeuniformă este formată astfel: de la A la B,mijlocul barei, este formată dintr-un metalavând greutatea specifică 1 iar de la B laD dintr-un alt metal de greutate specifică2. Ştiind că centrul de greutate al bareise află la 2l/3 faţă de capătul A al barei, să se determine raportul greutăţilor specifice ale metalelor.
R . 1 /
2 = 5.
5. Să se determine volumulcapacului din figura 3.15, utilizândformula lui Pappus şi Guldin.
R . V = 13,417 dm3.
6. Să se determine poziţiacentrului de greutate al suprafeţeimateriale omogene compuse dinfigura 3.16, având forma unui
jgheab. La un capăt al jgheabuluise află un capac semicircular de rază a.
R .
a)98(3
)62(2z
;a98
9y ;a
98
)34(2x
c
cc
Fig.
3.15
Fig. 3.14
Fig. 3.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 73/487
72 MECANICĂ
7. Să se determine coordonatelecentrului de greutate al colţarului din
figura 3.17.R . xC = 10,3 mm ; y
C =
71,74 mm; zC = 48,57 mm .
8. Să se determine poziţia centruluide greutate când: a) dintr-un semicercde rază R se scoate un triunghiechilateral de înălţime h = R; b) dintr-o
emisferă de rază R se scoate un con de înălţime R având la vârf un unghide 60O.R . a) y
C = 0,48 R; b) y
C = 0,4 R .
9. Să se afle poziţia centrului de greutate al unui trunchi de conomogen, având razele bazelor R, respectiv 2R şi înălţimea 2R.
R . xC = yC = 0; zC = (11/14) R .
10. Se cere determinată înălţimea semifabricatului cilindric dediametru d = 120 mm, din care prin matriţare se obţine piesa brută dinfigura 3.18.
R . h = 405, 6 mm.
11. Să se afle cel mai înalt hopa-mitică format dintr-o emisferă derază r şi densitate
2 şi cilindrul de aceeaşi rază şi densitate
1 aşezat
deasupra emisferei (fig. 3.19).
Fig. 3.18 Fig. 3.19
Fig. 3.17
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 74/487
3. CENTRE DE MASĂ 73
R .1
2
2r h
.
12. Să se determine poziţia centrului de greutate al piesei omogenedin figura 3.20.
R . xC = 2,405 m; yC = 5,556 m; zC = 80 mm
13. O placă omogenă este formată dintr-un triunghi isoscel cu bazaAB = 2a şi înălţimea OD = R şi un semicerc de rază R cu centrul în O,
din care s-a decupat un dreptunghi cu laturile EF = 2b şi
22
bR EH .Se cere să se determine segmentele a şi b astfel încât să fie verificateurmătoarele condiţii: a) centrul de greutate al plăcii haşurate, să coincidăcu punctul O;
b) aria dreptunghiului EFGH care se decupează, să fie maximă(fig.3.21).
R . R 707.02
R b ;R 939.0
22
R 3R 2a
.
Fig. 3.20 Fig. 3.21
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 75/487
74 MECANICĂ
14. Să se determine poziţia centrului de masă pentru plăcile omogene
din figurile 3.22 şi 3.23.R . Placa din figura 3.22:
)23312(4
a)33(y ;
23312
a2x cc
Placa din figura 3.23:
)4(3
a)12(4y ;)4(3
a)22(4x cc
.
Fig. 3.22 Fig. 3.23
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 76/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 75
4.
STATICA PUNCTULUI MATERIAL
4.1. Echilibrul forţelor ce acţionează asupra punctului
material liber ................................................................ 774.2. Punctul material supus la legături fără frecare ............ 784.2.1. Legăturile mecanice ale punctului material ............78
4.3. Punctul material supus la legături cu frecare .............. 814.3.1. Frecarea de alunecare. Legile frecării uscate ..... 814.3.2. Echilibrul punctului material pe o suprafaţă
aspră ................................................................... 844.3.3. Echilibrul punctului material pe o curbă aspră .... 85
4.4. Probleme rezolvate ........................................................ 864.5. Probleme propuse ................... ..................................... 90
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 77/487
76 MECANICĂ
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 78/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 77
4STATICA PUNCTULUI MATERIAL
4.1. ECHILIBRUL FORŢELOR CE ACŢIONEAZĂASUPRA PUNCTULUI MATERIAL LIBER
Punctul material liber este punctul material care poate ocupa orice poziţie în spaţiu sub acţiunea forţelor ce-i sunt aplicate. În spaţiul euclidiantridimensional poziţia unui punct material este determinată faţă de unsistem de referinţă ales, de trei parametrii geometrici scalari independenţi.
Numărul parametrilor geometrici independenţi necesari pentru precizarea poziţiei unui sistem material faţă de un sistem de referinţăales, determină numărul gradelor de libertate.
Rezultă că prin grad de libertate se înţelege posibilitatea pe care o
are sistemul material de a se deplasa după o anumită direcţie definită desistemul de referinţă ales. Gradele de libertate pot fi interpretate şi cagrade de mobilitate.
Deci, punctul material liber are în spaţiu trei grade de libertate.Ceitrei parametri scalari independenţi pot fi aleşi ca fiind coordonatele
punctului material în sistemul de referinţă ales.Astfel putem alege: coordonatele carteziene x, y, z; coordonatele
cilindrice z; coordonatele sferice
Poziţia punctului material liber depinde numai de sistemul de forţece acţionează asupra lui. Condiţia necesară şi suficientă ca un punctmaterial liber să fie în repaus sau mişcare rectilinie şi uniformă, este casistemul de forţe ce acţionează asupra lui să fie în echilibru, adică rezultantalor să fie nulă:
0k Z jYiXR iii
(4.1)
Această relaţie reprezintă condiţia de echilibru a forţelor concurente;
această condiţie, sub forma ecuaţiei vectoriale, rezultă şi din aplicarea
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 79/487
78 MECANICĂ
principiilor inerţiei şi acţiunii forţei.Condiţiile de echilibru ale forţelor ce acţionează asupra punctului
material se pot scrie sub forma ecuaţiilor scalare astfel:- dacă forţele sunt în spaţiu:
;0Z;0Y;0X iii (4.2)
- dacă forţele sunt coplanare (concurente în planul Oxy):
.0Y;0Xn
1i
n
1i (4.3)
4.2. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI FĂRĂFRECARE
4.2.1. Legăturile mecanice ale punctului materialDacă punctului material i se pun anumite restricţii geometrice, adică
este obligat să ocupe anumite poziţii în spaţiu, atunci se spune că punctul
material este supus la legături. Faţă de un punct material liber, punctulmaterial supus la legături va avea un număr redus de grade de libertate.De exemplu, un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă fixă dinspaţiu are două grade de libertate, iar pe o curbă fixă are un singur grad delibertate. O legătură este fără frecare atunci când suprafaţa sau curba pecare se află punctul material, se consideră perfect lucioasă, ideală şi decinu poate apărea o forţă de frecare. În realitate, astfel de legături nu există,dar pot fi aproximate ca fiind lucioase, când forţa de frecare este mică şi
neglijabilă.Legăturile punctului material sunt de două feluri:
a) rezemarea pe o suprafaţă sau o curbă fixă; b) legătura cu fir sau bară rigidă.
În studiul legăturilor mecanice se urmăresc două aspecte: aspectulgeometric, care se referă la numărul gradelor de libertate anulate delegătura respectivă şi aspectul mecanic referitor la elementele mecanicecu care se înlocuieşte legătura.
În figura 4.1,a s-a reprezentat un punct A rezemat pe o suprafaţă,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 80/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 79
asupra lui acţionând un sistem de forţe .Fi
Punctului material îi rămânnumai două grade de libertate. Suprafaţa împiedică deplasarea pe direcţia
normală şi răspunde cu o forţă de reacţiune pe această direcţie, conform principiului acţiunii şi reacţiunii. Condiţia de echilibru a punctului materialrezemat fără frecare, sub forma ecuaţiei vectoriale este:
,FR unde,0 NR n
1i
(4.4)
care este echivalentă cu trei ecuaţii de echilibru scalare. Aceste ecuaţiise folosesc pentru determinarea poziţiei de echilibru a punctului şi reacţiunii
. N
Relaţia (4.4) exprimă faptul că punctul rezemat fără frecare este înechilibru pe suprafaţa respectivă când rezultanta forţelor exterioare este
pe direcţia reacţiunii normale.Dacă ecuaţia suprafeţei este dată sub forma carteziană implicită:
,0z,y,xf (4.5)
reacţiunea normală , N
la suprafaţă are expresia:
.k z
f j
y
f i
x
f f grad N
(4.6)
unde este un parametru scalar care determină valoarea algebrică areacţiunii . N
Ecuaţiile de echilibru scalare ale punctului se vor scrie:
a) b)
Fig.4.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 81/487
80 MECANICĂ
,0z
f Z;0
y
f Y;0
x
f X
(4.7)
unde X, Y, Z sunt componentele scalare ale reacţiunii .R
Ecuaţiile (4.5) şi (4.7) constituie un sistem de patru ecuaţii cu patrunecunoscute: coordonatele x, y, z ale poziţiei de echilibru pe suprafaţă şi
parametrul care determină reacţiunea . N
Aceeaşi condiţie de echilibru (4.4) sub forma ecuaţiei vectoriale sescrie şi pentru punctul material rezemat pe o curbă fixă din figura 4.1,b.Acest punct are un singur grad de libertate iar deplasarea pe direcţianormalei este împiedicată şi răspunde cu o forţă de reacţiune pe această
direcţie.Dacă ecuaţia curbei este dată sub forma carteziană implicită, ca
intersecţie a două suprafeţe: 0z,y,xgşi0z,y,xf (4.9)
reacţiunea normală N
din planul normal la curbă, poate fi exprimată casuma componentelor sale după direcţiile normale la cele două suprafeţeîn poziţia de echilibru:
,ggradf grad N 21
(4.10)unde şi sunt doi parametri scalari care determină valoarea algebricăşi direcţia reacţiunii N
în planul normal la curbă. Astfel, ecuaţia (4.4)completată cu ecuaţia (4.9) conduce la trei ecuaţii scalare de echilibru:
;0x
g
x
f X 21
;0y
g
y
f Y
21
(4.11)
.0z
g
z
f Z 21
unde X, Y, Z sunt proiecţiile rezultantei pe axele sistemului de coordonate.Ecuaţiile (4.11) şi (4.9) formează un sistem de cinci ecuaţii cu cinci
necunoscute: coordonatele x, y, z ale poziţiei de echilibru pe curbă şi parametrii şi care determină reacţiunea . N
Studiul echilibrului punctului material cu legături presupune aplicarea
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 82/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 81
AXIOMEI LEGĂTURILOR. Conform acestei axiome orice legăturămecanică se înlocuieşte cu o forţă de reacţiune. Punctul material eliberat
de legături devine liber, dar acţionat de forţe exterioare date şi de forţelede reacţiune, din legături.Condiţia de echilibru se exprimă în cazul punctului material cu legături
prin anularea rezultantei tuturor forţelor, a celor exterioare date şi a celor de reacţiune din legături. Relaţiile vectoriale ce exprimă condiţiile deechilibru ale forţelor ce acţionează asupra punctului material cu legăturise proiectează pe axele unui sistem de referinţă obţinându-se trei ecuaţiiscalare, dacă forţele sunt spaţiale şi două ecuaţii dacă forţele sunt
coplanare.
4.3. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI CUFRECARE
4.3.1. Frecarea de alunecare. Legile frecării uscate
Din practică se ştie că suprafeţele de contact dintre corpuri oricâtde bine ar fi prelucrate, prezintă totuşi unele asperităţi, invizibile cu ochiulliber, care sub acţiunea forţelor exterioare se întrepătrund realizând oaşa numită “angrenare”. La apariţia unei tendinţe de mişcare, apar în
planul tangent al corpurilor în contact forţe care se opun mişcării, numiteforţe de frecare de alunecare.
Punerea în evidenţă a acestor forţe şi studiul frecării se poate face
cu ajutorul dispozitivului numitTRIBOMETRU prezentat în figura4.2. Se consideră un corp degreutate G
de dimensiuni neglija- bile (asimilate cu un punct mate-rial) aşezat pe un plan orizontal.Corpul este acţionat de o forţăorizontală F
care poate varia con-
tinuu prin intermediul firului trecut Fig. 4.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 83/487
82 MECANICĂ
peste scripetele A şi în capătul căruia este fixat un păhărel în care seintroduc alice. Se consideră că deşi s-au introdus în păhărel alice, corpul
de greutate G
rămâne totuşi în echilibru. Aceasta demonstrează că existăo altă forţă orizontală T
opusă lui F
, care, echilibrând-o face ca acestcorp să rămână în repaus.
Forţa T
ce echilibrează forţa F
în poziţia de repaus a corpului senumeşte forţă de aderenţă. Dacă vom continua să introducem alice în
păhărel, constatăm că acest corp rămâne în repaus până la o valoare
maximă a forţei orizontale de acţiune maxF
, după care corpul se pune în
mişcare, alunecă. La limită, forţa de acţiune maximă maxF
este echilibratăde forţa de aderenţă maximă maxT
, numită forţă de frecare de alunecare.După apariţia alunecării se va vorbii de o frecare dinamică. În cazul
punctului material rezemat pe o suprafaţă aspră, reacţiunea totală PR
nu va mai fi normală la suprafaţa de sprijin ci va fi înclinată faţă deaceasta cu unghiul (fig. 4.2). A doua componentă a reacţiunii esteforţa de frecare .T
Deci:
rezultăcăştiind, NTtg max (4.13)
. N
Ttg max (4.14)
unde -este coeficientul de frecare la alunecare; - unghiul de frecare.Pentru poziţia de repaus trebuie respectată inegalitatea:
NTdeci,sauTT max (4.15)În urma experienţelor făcute de Coulomb încă din 1781 asupra forţelor
de frecare de alunecare s-a reuşit să se enunţe legile frecării uscate:1. Forţa de frecare de alunecare este direct proporţională cu mărimea
reacţiunii normale dintre corpurile în contact.2. Forţa de frecare de alunecare depinde de natura şi starea
suprafeţelor în contact.3. Forţa de frecare de alunecare nu depinde de vitezele relative mici
ale corpurilor în contact şi nici de mărimea suprafeţelor în contact.Revenind la experienţa cu ajutorul tribometrului, se poate ajunge la
aspectul geometric al echilibrului punctului material, rezemat pe o suprafaţă
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 84/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 83
aspră. Considerând că forţa maximă maxF
îşi schimbă direcţia în planultangent în mod continuu cu 360O, atunci reacţiunea totală P
maxR
va descrie
în această situaţie un con, numit CON DE FRECARE. Acest con arevârful în punctul considerat, axa de simetrie fiind direcţia normalei N
lasuprafaţă şi unghiul la vârf 2.
Acum se poate spune că punctul material se află în echilibru(repaus) pe o suprafaţă aspră când reacţiunea totală PR
se află îninteriorul conului, s-au la limita echilibrului când se află pe suprafaţaconului. În concluzie, pentru ca punctul material să fie în repaus, su-
portul reacţiunii totale trebuie să facă cu normala un unghi mai mic
decât unghiul de frecare .Frecarea de alunecare se poatestudia şi interpreta cu ajutorulgraficului din figura 4.3. Dacăforţa de acţiune F
este nulă, dincondiţia de echilibru rezultă căşi forţa de reacţiune T
estenulă. Pe măsură ce forţa F
creşte şi forţa de reacţiune T
creşte atâta timp cât corpulrămâne în repaus. Pentruaceastă stare, cât corpul este
în repaus, forţa tangentă la reacţiunea T
se numeşte forţă de aderenţă,corespunzătoare frecării statice. Când forţa F
atinge valoarea maximă,corpul se pune în mişcare, aceasta constituind limita echilibrului. Forţa
de aderenţă ia valoare maximă, maxT
, aceasta fiind numită forţă defrecare de alunecare. În acest moment forţa de frecare scade destulde abrupt, dar puţin, la o valoare mai mică, apoi rămâne aproapeconstantă cu creşterea forţei F
, respectiv cu creşterea vitezei relativea corpurilor în contact.
După apariţia alunecării începe perioada a doua când vorbim de ofrecare dinamică. Forţa de frecare dinamică este ceva mai mică decâtvaloarea maximă a forţei de aderenţă, dar şi ea este proporţională cu
reacţiunea normală N
, adică:
Fig. 4.3
Frecare dinamică Frecare statică
(aderenţă)
T max
= N T
d =
d N
T =
F
F max
T max
F
45 o
O
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 85/487
84 MECANICĂ
ddd , NTunde d este coeficientul de frecare dinamică.
În general, în aplicaţii se va lucra cu o singură relaţie, T = N,urmând ca în fucţie de enunţul concret să se introducă coeficientul defrecare statică sau cel de ferecare dinamică.
4.3.2. Echilibrul punctului material pe o suprafaţă aspră
În paragraful anterior s-a stabilit condiţia de echilibru a punctului
material rezemat pe o suprafaţă aspră. Analitic, această condiţie se scriesub forma:,coscossau (4.16)
unde este unghiul conului de frecare; tg, coeficientul de frecare de alunecare; unghiul pe care îl face rezultanta forţelor exterioare R
cu normala (n-n).Se consideră în figura 4.4. un punct
material A, obligat să rămână pe osuprafaţă aspră () a cărei ecuaţie este: f (x, y, z)=0. Asupra lui acţionează un sistemde forţe a căror rezultantă este:
kZ jYiXR într-un sistem de
referinţă cartezian.Vectorul grad f, normalla suprafaţa () are expresia:
k z
f j
y
f i
x
f gradf
.
Condiţia (4.16) se poate transforma pentru a obţine o formă analiticămai avantajoasă a condiţiei de echilibru.
Folosind produsul scalar al celor doi vectori, avem:
cosgradf R gradf R , de unde:
Fig. 4.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 86/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 85
222
222
z
f
y
f
x
f zyx
z
f z
y
f y
x
f x
gradf R gradf R cos
(4.17)
Exprimâmd şi unghiul de frecare în funcţie de avem:
22 1
1
tg1
1cos
(4.18)
În final, condiţia de echilibru (4.16) se scrie sub forma:
2222
2221
1
z
f
y
f
x
f ZYX
z
f Z
y
f Y
x
f X
(4.19)
Condiţia (4.19) împreună cu ecuaţia suprafeţei f (x, y, z)=0 definescregiunea de echilibru a punctului.
4.3.3. Echilibrul punctului materialpe o curbă aspră
În cazul echilibrului punctului material pe o curbă aspră, definim drept
con PR
complementar de frecare (fig. 4.5.) locul geometric al poziţiilor
limită ale suportului reacţiunii PR
ce face cu tangenta la o curbă unghiul
90 şi având ca axă, tangenta la curbă.În acest caz, condiţia necesară şi suficientă pentru ca punctul mate-
rial să fie în echilibru pe o curbă aspră, este ca rezultanta forţelor exterioare R
ce acţionează asupra punctului să fie exterioară conului
complementar de frecare şi la limită pe suprafaţa conului.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 87/487
86 MECANICĂ
Condiţia geometrică
se exprimă:
sincossau90
(4.20)Urmând acelaşi
raţionament ca în paragraful precedent, unghiul se poatecalcula din produsul scalar,
saucosR R
:
,R
R cos
(4.21)
unde
este versorul tangentei la curbă, care are expresia:
,k dt
dz j
dt
dyi
dt
dx
(4.22)
în cazul când curba (C) are ecuaţiile parametrice:
,tzz,tyy,txx (4.23)
ştiind că: ,1tg1
tgsin
22
rezultă condiţia analitică de echilibru a punctului material:
2222
1ZYX
dt
dzZ
dt
dyY
dt
dxX
(4.24)
Relaţia (4.24) împreună cu ecuaţiile curbei definesc intervalul deechilibru pe curba aspră.
4.4. PROBLEME REZOLVATE
1. O bilă M, de greutate
G , este legată de punctul fix A cu firul AM
de lungime l şi se află în echilibru pe suprafaţa unei sfere de rază R cu
Fig.4.5.
O
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 88/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 87
centrul în O (fig. 4.6). Dreapta OAfiind verticală şi distanţa AB=d, să se
afle efortul din fir şi reacţiunea normalăa sferei.Punctul M se află în echilibru
static determinat. Se înlocuiesc
legăturile cu reacţiunile . NşiS
Alegând ca axe, tangenta şinormala la cercul de rază R, ecuaţiilede echilibru se scriu astfel:
,0sinSsinG;0X i .0cosScosG;0Yi
Ţinând seama de teorema sinusurilor în triunghiul OAM, din primaecuaţie rezultă:
dR
l
Gsin
sin
GS
Din ecuaţia a doua rezultă reacţiunea normală:
coslcosdR dR
G
cosdR
lcosGcosScosG N
D e c i :
.R 180coslcosdR deoarece,dR
GR N
2. Un punct material M, de greutate
G poate aluneca fără frecare pe o barăcare are forma unei parabole cu axaverticală Oy (fig. 4.7). Punctul material
Fig. 4.6
Fig. 4.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 89/487
88 MECANICĂ
este atras de axa parabolei cu forţa F
proporţională cu distanţa la aceastăaxă. Să se determine poziţia de echilibru a punctului material.
Rezolvare. Se consideră parabola de ecuaţie . pxy 2 Notând cu aşi b unghiurile formate de tangenta şi normala la parabolă cu axa Ox,avem:
; px2ytg 22x p41
1cos90cossin
Punând ,iKxF
ecuaţiile de echilibru în sistemul xOy, sunt:
;0x p41
px2 NKx;0X
22i
.0x p41
1 NG;0Y
22i
Din prima ecuaţie rezultă x1 = 0, care defineşte una din poziţiile de
echilibru. Pentru această poziţie de echilibru G=N.Eliminând reacţiunea N din cele două ecuaţii de echilibru se găseştecă independent de valorile lui x trebuie îndeplinită condiţia G=K/2p, când
punctul material rămâne în echilibru în orice punct al parabolei.Problema se poate rezolva utilizând relaţia (4.12) în ipoteza că punctul
material M este acţionat de forţele date.
,iKxF şi jGG
Punctul este rezemat pe parabola de ecuaţii:
.0zz,y,xgşi0 px2yz,y,xf 2 Condiţia de echilibru (4.12) în acest caz devine:
. p2
K G sau ,0
100
01G
0 px2Kx
3. Un punct material M, rezemat pe suprafaţa exterioară a unei
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 90/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 89
sfere aspre (fig. 4.8) de razăR=3m, este atras de un punct
interior P, situat la distanţa OP=2m,cu o forţă
F proporţională cudistanţa dintre cele două puncte,factor de proporţionalitate fiind l.
Să se determine poziţiile deechilibru ale punctului materialdacă coeficientul de frecare este
.8/1 Rezolvare: Condiţia de echilibru a punctului pe sferă este dată de relaţia(4.19).
.09zyxz,y,xf 222
iar .z2z
f ;y2
y
f ;x2
x
f
Cunoscând coordonatele punctului P (0, 0, 2) şi ale lui M (x, y, z),
rezultă:
,k z2 jyixMPF
de unde:
.z2Z;yY;xX Condiţia de echilibru devine:
,
1
1
z4y4x4z2yx
z4z2y2x222222222
222
ţinând seama că 9zyx 222 şi ,8/1 rezultă:
4
962zundede
9
8
z4133
z292,1
Deoarece ,3z obţinem ,3z89,2 condiţia îndeplinită de o calotă
sferică situată deasupra planului de cotă .89,1z3şi89,2z1
Fig. 4.8
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 91/487
90 MECANICĂ
condiţie îndeplinită de o calotă sferică (cu rezemare pe interiorul sferei)
situată sub planul de cotă .89,1z2
4. Să se determine poziţiile limită deechilibru ale unui punct material de greutate G
pe un cerc aflat în plan vertical, coeficientul defrecare de alunecare fiind m (fig. 4.9).
Rezolvare. Ecuaţiile parametrice alecercului sunt: x = R cos q; y = R sin q; z = 0,unde q este unghiul făcut de axa Ox cu raza
vectoare OM.Condiţia de echilibru a punctului pe cerc
este dată de relaţia (4.24). În acest caz: X = 0; Y = -G; Z = 0;
.cosR d
dy;sinR
d
dx
Introducând aceste rezultate în relaţia (4.24) rezultă:
22 1cossau1GR
cosGR
deoarece interesează valorile lui q < p / 2. Echilibrul este posibil pedouă arce de cerc (sus sau jos) cu atât mai mari cu cât coeficientul defrecare m este mai mare.
Observaţie. Spre deosebire de echilibrul pe suprafeţe sau curbenetede, unde există porţiuni unice de echilibru, pe suprafeţele şi curbeleaspre, echilibrul este posibil într-o infinitate de poziţii, cuprinse într-un
domeniu cu atât mai întins cu cât legătura este mai aspră.
4.5. PROBLEME PROPUSE
1. Un semifabricat sub forma unei plăci pătrate de greutate G =18 kN,este ridicat cu o macara prin intermediul unui cârlig şi a trei cabluri fixate în
punctele A,B şi D. Să se determine eforturile din cele trei cabluri (fig. 4.10).
R . SA = 9,85 kN; SB = SD = 5,4 kN.
Fig. 4.9
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 92/487
4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 91
2. Axul forjat al unei maşini, de greutate 12 kN se transportă cuajutorul unei macarale, fiind susţinut de un cablu fixat în A şi B (fig. 4.11).Să se determine eforturile în cablurile de susţinere.
R . SA = 11,75 kN; SB = 10 kN.
3. La instalaţia de forat
găuri pentru explorărilegeologice, pentru ridicarea prăjinilor de foraj se utilizeazătrepiedul ABCD şi troliul E. Săse determine eforturile în
picioarele trepiedului la ridicareauniformă a sarcinii G=3 kN, dacăunghiul format de picioarele
trepiedului şi planul orizontal sunt egale cu a = 60O
. Unghiul format decablul DE şi orizontală este de asemenea a (fig. 4.12 ).R . SA = SB = 3,15 kN; SC = 0,15 kN.
4. Semifabricatul de greutate Q este susţinut de firul ABCD, ancoratîn D şi trecut înB peste o rolă fără frecare. De capătul A al firului estelegată greutatea P care se poate deplasa pe un plan înclinat cu unghiul a= 45O faţă de orizontală şi care este caracterizat de coeficientul de frecare
m (fig. 4.13). Să se determine limitele între care poate să varieze unghiul
Fig. 4.10 Fig. 4.11
Fig. 4.12
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 93/487
92 MECANICĂ
b pentru echilibru.
R . )1(P2
Qcos
)1(P2
Q
5. Pentru a se putea turna fontă topită
în forme, o cală de turnare de greutate G ,
manevrată de o macara, se înclină cu unghiula faţă de verticală (fig. 4.14). Să se
determine forţa orizontală F necesară pentru a înclina cala de turnare şi efortul
S din cablul de susţinere.
R . F = S sin a;
cos
GS .
6. Să se determine poziţiile de echilibru aleunui punct material M de greutate G rezemat
pe o sferă aspră de rază R, coeficientul defrecare fiind .
R .21
R z
.
7. Să se determine poziţiile de echilibru aleunui punct material de greutate G rezemat cu
frecare pe paraboloidul de revoluţie dat deecuaţia:, coefcientul de frecare fiind m.
R . 0z2a
y
a
x)z,y,x(f
2
2
2
2
.
Fig. 4.13
Fig. 4.14
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 94/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 93
5.
STATICA SOLIDULUI RIGID
5.1. Echilibrul forţelor ce acţionează asupra rigiduluiliber .............................................................................. 95
5.2. Echilibrul rigidului supus la legături ideale .............. 965.2.1. Legăturile mecanice ale rigidului. .................. 96
5.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare ...... 1035.3.1. Rigidul rezemat cu frecare. ........................... 1035.3.2. Frecarea de alunecare. .................................. 1055.3.3. Frecarea de rostogolire. ................................ 1055.3.4. Frecarea de pivotare în cazul lagărului axial. 1075.3.5. Frecarea în articulaţii sau lagărul radial cu
joc. ........................................................................... 109
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 95/487
94 MECANICĂ
5.3.6. Frecarea firelor pe suprafaţe cilindrice. ........ 1115.3.7. Frecarea în scripeţi. ........................................113
5.4. Probleme rezolvate ...................................................... 1165.5. Probleme propuse ....................................................... 124
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 96/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 95
5STATICA SOLIDULUI RIGID
5.1. ECHILIBRUL FORŢELOR CE ACŢIONEAZĂASUPRA RIGIDULUI LIBER
Rigidul liber este un corp căruia nu i se impun restricţii geometrice şicare ocupă orice poziţie în spaţiu, poziţia lui depinzând exlusiv de sistemulde forţe ce acţionează asupra lui. Rigidul liber în spaţiu are şase grade delibertate corespunzătoare celor şase mişcări posibile: trei translaţii şi treirotaţii, de-a lungul şi respectiv, în jurul celor trei axe ortogonale. Dacăsistemul de forţe care acţionează asupra corpului este în echilibru, atuncicorpul se află în echilibru. Stările de echilibru ale unui corp rigid suntrepausul şi mişcarea de translaţie rectilinie şi uniformă faţă de un sistem
de referinţă inerţial.Condiţia necesară şi suficientă pentru ca rigidul liber să fie în echilibru,
este ca sistemul de forţe care-l acţionează să fie echivalent cu zero.Condiţia de echivalenţă cu zero a unui sistem de forţe oarecare ceacţionează asupra rigidului, este ca torsorul de reducere să fie nul înorice punct din spatiu. Această condiţie se exprimă prin ecuaţiile vectoriale:
.0Mşi0R O
(5.1)
În cazul general, cele două ecuaţii vectoriale de echilibru (5.1) suntechivalente cu şase ecuaţii scalare de echilibru:
;0M;0M;0M
;0Z;0Y;0X
ziyixi
iii
(5.2)
Dacă asupra rigidului acţionează sisteme de forţe particulare, uneledintre ecuaţiile (5.2) sunt satisfăcute de la sine prin însăşi natura sistemuluide forţe, adică devin identităţi.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 97/487
96 MECANICĂ
5.2. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA
LEGĂTURI IDEALECorpul solid rigid este supus la legături, atunci cănd i se impun anumite
restricţii geometrice, adică unul sau mai multe puncte ale acestuia suntobligate să păstreze permanent contact cu puncte fixe din spaţiu. Legăturilela care este supus rigidul sunt mai complexe decât legăturile la care estesupus punctul material. Ca şi la punctul material, studiul echilibrului rigiduluisupus la legături se face aplicând AXIOMA LEGĂTURILOR potrivit
căreia, legătura îndepărtată se înlocuieşte cu reacţiuni-forţe şi momentede reacţiune-care exprimă efectul mecanic al legăturii. Prin aceastăoperaţie, rigidul devine liber şi echilibrul său se studiază cu ecuaţiile stabilite
pentru rigidul liber, asupra lui acţionând forţele şi momentele exterioaredate şi forţele şi momentele de reacţiune pasive, din legăturile îndepărtate.
Condiţiile de echilibru ale forţelor, active şi pasive, ce acţioneazăasupra rigidului supus la legături se exprimă prin ecuaţiile:
.0MM;0R R p
O
a
O
pa
(5.3)
Cu alte cuvinte, torsorul forţelor active date, calculat într-un punctoarecare O,trebuie să fie egal şi de semn contrar cu torsorul forţelor
pasive din legături, calculat în acelaşi pol.În cazul general, cele două ecuaţii vectoriale de echilibru (5.3)
proiectate pe axele unui sistem cartezian de referinţă, conduc la şaseecuaţii scalare de echilibru.
5.2.1. Legăturile mecanice ale rigidului
Legăturile la care poate fi supus un corp rigid sunt de patru tipuri:reazemul simplu, articulaţie sferică sau cilindrică, încastrarea spaţialăsau plană şi legătura cu fir sau bară rigidă.
În studiul legăturilor mecanice ale rigidului se urmăresc douăaspecte:aspectul geometric, care se referă la numărul gradelor de
libertate anulate de legătura respectivă, şi aspectul mecanic referitor la
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 98/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 97
elementele mecanice cu care se înlocuieşte legătura.a) REAZEMUL SIMPLU SAU REZEMAREA este legătura prin
care un punct al rigidului este obligat să rămână în permanent contact cuo suprafaţă sau o curbă fixă din spaţiu. Înfigura 5.1 se consideră un corp rigid
1C rezemat pe suprafaţa corpului 2C
asupra lui 1C acţionând un sistem de forţe
iF
(i = 1,2...n). Deplasarea pe direcţia n-n,
normală la suprafaţă, este împiedicată într-un sens. Reazemul simplu suprimă un singur grad de libertate şi lasă libere cinci gradede libertate şi anume: deplasările liniaredupă cele două axe concurente din planul
tangent la suprafaţa de rezemare în
punctul O şi rotirile după cele trei axe.Pentru ca acest rigid să fie în echilibru, forţele exterioare trebuie să se
reducă în punctul de rezemare, la o rezultantă unică orientată dupănormala la suprafaţa de reazem. Rezultă că un reazem simplu se
înlocuieşte cu o reacţiune normală N
, dirijată după normala comună în punctul de contact. În cazul legăturii unilaterale, sensul reacţiunii coin-cide cu sensul în care corpul poate părăsi legătura.
Ecuaţiile vectoriale de echilibru ale corpului 1C rezemat sunt în
acest caz:
.0M;0 NR aO
a
(5.4)În figurile 5.2,a, b, c,d,e,f s-au reprezentat câteva tipuri de rezemări,
iar în figura 5.2,g,h, k se ilustrează modul convenţional de reprezentare aunui reazem simplu.
În calcule, rezemarea introduce o singură necunoscută scalară,mărimea reacţiunii normale, ce se determină din ecuaţiile scalare deechilibru. Legătura poate fi unilaterală sau bilaterală, după cum rigidul
poate sau nu părăsi legătura într-un sens al normalei n-n.b) ARTICULAŢIA este legătura care constrânge rigidul să rămână
Fig. 5.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 99/487
98 MECANICĂ
cu un punct al său în permanent contact cu un punct fix din spaţiu. Dacărigidul este acţionat de un sistem de forţe în spaţiu, articulaţia este sfericăsau spaţială. Dacă forţele ce acţionează asupra rigidului sunt coplanare,
articulaţia poate ficonsiderată cilindricăsau plană. Denumirilecelor două tipuri dearticulaţii sunt date deforma suprafeţei decontact (v. fig.5.3,b şifig.5.4,b).
În figura 5.3,a seconsideră un rigid ac-ţionat de un sistem deforţe oarecare, în
spaţiu: iF
(i=1, 2,..., n). Rigidul are o articulaţie sferică în O.
Această legătură anulează rigidului trei grade de libertate, translaţiile
după cele trei axe ortogonale în 1O având posibilitatea de a efectua trei
rotaţii în jurul aceloraşi axe. Deci, rigidul având un punct fix dispune de trei
Fig. 5.2
Fig. 5.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 100/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 99
grade de libertate. Din punct de vedere mecanic, o articulaţie sferică se
înlocuieşte cu o forţă de reacţiune ,R p
având mărimea şi direcţianecunoscute.Într-o problemă de statică, ea introduce trei necunoscute sca-
lare: OOO Z,Y,X proiecţiile reacţiunii pe cele trei direcţii ortogonale.
Ecuaţiile vectoriale de echilibru ale solidului rigid din figura 5.3,asunt:
.0M;0R R aO
pa
(5.5)
În figura 5.3,b se reprezintă simbolul articulaţiei sferice.Dacă unui solid rigid acţionat de un sistem de forţe coplanare i se
imobilizează un punctdin planul forţelor, sespune că rigidul are înacel punct o articulaţiecilindrică (fig.5.4,a). Înaceste condiţii o arti-culaţie cilindrică suprimă
două din cele trei gradede libertate ale rigidului.Acesta va dispune de unsingur grad de libertate,iar poziţia lui este definită
print r-un singur parametru scalar.
O articulaţie cilindrică poate fi înlocuită cu o reacţiune pR
, având
suportul situat în planul forţelor, mărimea şi direcţia necunoscute. Astfel,o articulaţie cilindrică introduce într-o problemă de statică două
necunoscute scalare: OO YşiX , proiecţiile reacţiunii pR
pe două direcţiiortogonale din planul forţelor.
Pentru rigidul reprezentat în figura 5.4,a condiţiile de echilibru se potexprima prin ecuaţiile vectoriale (5.9). În figura 5.4,b sunt redatesimbolurile articulaţiei cilindrice.
c) ÎNCASTRAREA este legătura prin care un corp este fixat rigid(înţepenit) într-un alt corp, în aşa fel încât nu-i este permisă nici o deplasare.
Fig. 5.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 101/487
100 MECANICĂ
Încastrarea suprimă toate gradele delibertate corpului al cărui echilibru îl
studiem. Acest corp va fi întodeauna înechilibru, oricare ar fi sistemul de forţeexterioare date care acţionează asupra sa.
În figura 5.5 se consideră corpul
1C acţionat de un sistem de forţe oare-
care: iF
(i=1,2...n) încastrat în corpul 2C .
Sistemul de forţe date iF
se reduce în polul
O (centrul de greutate al suprafeţei deintersecţie a celor două corpuri) la un torsor
al forţelor active: .M,R aO
aaO
Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, în zona de contact dintre cele două corpuri
apar forţe de reacţiune localei p
, după o distribuţie oarecare. Aceste forţe
se reduc în acelaşi pol O la un torsor al forţelor pasive: .M,R pO
p pO
.
Corpul 1C fiind în echilibru, încastrarea anulând toate gradele delibertate,torsorul forţelor pasive, de legătură este egal şi de semn contrar cu torsorul forţelor active, date. Condiţiile de echilibru, sub forma ecuaţiilor vectoriale se exprimă prin relaţiile (5.7). Cele două ecuaţii proiectate peaxele unui sistem cartezian de referinţă, conduc la şase ecuaţii scalare deechilibru în care apar şase necunoscute cu care se înlocuieşte încastrarea
spaţială: trei forţe de reacţiune OOO Z,Y,X şi trei momente de reacţiune
OzOyOx M,M,M , corespunzătoare celor trei translaţii şi celor trei rotaţiianulate.
Aceste forţe şi momente de reacţiune reprezintă proiecţiile pe axelesistemului de referinţă ales, a elementelor torsorului forţelor pasive dereacţiune.
În figura 5.6,a se reprezintă o bară cotită încastrată spaţial, asupra ei
acţionând un sistem de forţe oarecare: iF
şi elementele meca-nice cu
care se înlocuieşte această încastrare: OOO Z,Y,X , .M,M,M OzOyOx
Fig. 5.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 102/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 101
Dacă sistemul de forţe iF
(i=1, 2,..., n) ce acţionează asupra corpului(C1) este un sistem de forţe coplanare, atunci încastrarea se poate considera
plană, introducând în calcule doar trei necunoscute scalare: două forţe de
reacţiune OO Y,X şi un moment de reacţiune ,MOz perpendicular pe planul
forţelor. În figura 5.6,b s-a reprezentat o bară încastrată plan, asupra ei
acţionând forţele coplanare: iF
, situate în planul Oxy..
d) LEGĂTURA CU FIR SAU BARĂ RIGIDĂ este echivalentăcu o rezemare, unilaterală, respectiv, bilaterală în cazul unei bare pe osuprafaţă sferică, de rază egală cu lungimea firului sau a barei. Ca şi încazul punctului material, firul se înlocuieşte cu o forţă de reacţiune înlungul firului, considerat secţionat, numită tensiune în fir sau efort din fir.Sensul este astfel ales încât să întindă porţiunea de fir legată de rigid. Înmecanică firul se consideră perfect flexibil şi inextensibil, deci nu poate fisolicitat decât la întindere. Un rigid poate fi suspendat în spaţiu prin maxim
şase fire, iar în plan prin trei.Legătura cu bară rigidă este o legătură bilaterală, prin ea se transmit
eforturi de tracţiune cât şi de compresiune. Legătura cu bară se înlocuieştecu o forţă de reacţiune de-a lungul barei considerată secţionată, numit
efort din bară sau tensiune din bară, notată cu NsauS .
În tabelul 5.1 sunt prezentate tipurile de legături ale rigidului analizateanterior, simbolurile prin care se pot reprezenta şi forţele, respectiv
momentele de reacţiune cu care, din punct de vedere mecanic, se
Fig. 5.6
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 103/487
102 MECANICĂ
Tabelul 5.1
*Suprafaţa de sprijin este planul tangent comun al celor două curpuri
în contact.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 104/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 103
înlocuiesc aceste legături.Pentru calculul reacţiunilor din legăturile mecanice ale rigidului se
parcurg următoarele etape:a) se identifică legăturile mecanice ale rigidului; b) se îndepărtează legăturile mecanice şi se înlocuiesc cu reacţiunile
corespunzătoare;c) se alege un sistem de referinţă şi se scriu ecuaţiile scalare de
echilibru;d) se rezolvă sistemul de ecuaţii obţinut, determinându-se reacţiunile
şi condiţiile de echilibru dacă este cazul.
5.3. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LALEGĂTURI CU FRECARE
5.3.1. Rigidul rezemat cu frecare
În paragrafele precedente s-a studiat echilibrul rigidului supus la
legături ideale, fără a se lua în considerare frecarea. Experienţa arată căorice mişcare sau tendinţă de mişcare a unui corp faţă de alt corp cucare vine în contact, este însoţită de o serie de rezistenţe determinate denatura fizică a zonelor de contact aparţinând celor două corpuri. Acesterezistenţe au primit denumirea generală de “frecări”. Explicaţia fizicăconstă în faptul că în realitate corpurile sunt deformabile şi aspre, iar contactul dintre ele nu este într-un singur punct, ci pe o suprafaţă pe care
apar forţe de legătură i p
, care au o distribuţie greu de stabilit. Frecarea
este pusă în evidenţă în acele legături ale rigidului la care este permisădeplasarea relativă a celor două corpuri în contact.
În fig. 5.7 se consideră un corp solid rigid 1C rezemat pe corpul
2C . Asupra corpului 1C acţionează un sistem de forţe )n,..,2,1i(Fi ,
în punctele iA . Corpurile fiind deformabile, contactul dintre ele se face peo suprafaţă. În zona de contact dintre corpuri se dezvoltă forţe de
reacţiune i p
. Acestea se reduc în polul teoretic de contact O la un torsor al
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 105/487
104 MECANICĂ
forţelor de reacţiune .M,R pO
p pO
iar
forţele active dateiF
, se reduc în
acelaşi pol la un torsor al forţelor deacţiune .M,R a
Oaa
O
Condiţiile de
echilibru ale corpului C1 sub forma
ecuaţiilor vectoriale sunt:
.0MM;0R R pO
aO
pa
(5.6)
Pentru a studia forţele şi mo-mentele de reacţiune se descom- pune fiecare element al torsoruluiforţelor active în câte douăcomponente: una normală comună
n-n la planul tangent şi alta după tangenta 1t , respectiv .t2
Cu notaţiile din fig. 5.11 se pot scrie relaţiile:
,MMMşiR R R nt
a
Ont
a
(5.7)
în care cele patru componente sunt:
tR -componenta care tinde să imprime corpului 1C o mişcare detranslaţie, numită alunecare, peste corpul 2C , de-a lungul tangenteicomune 1t din planul tangent. Acestei tendinţe de mişcare i se opuneforţa de frecare de alunecare notată cu T
.
nR
-componenta după normala n-n, tinde să determine pătrunderea
corpului 1C în corpul 2C . Conform principiului acţiunii şi reacţiunii,corpul 2C răspunde cu o forţă egală şi direct opusă N
, numită reacţiunenormală.
tM
-componenta care tinde să rotească corpul 1C în jurul tangenteicomune 2t .Acestei mişcări, denumită mişcare de rostogolire, i se opune
momentul (cuplul) de frecare de rostogolire, notat cu r M
.
nM
-componenta care tinde să rostogolească corpul 1C în jurul
normalei comune n-n. Acestei mişcări, denumită mişcare de pivotare, i
Fig. 5.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 106/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 105
se opune momentul (cuplul) de frecare de pivotare pM .
Ca urmare a celor prezentate mai sus, torsorul forţelor pasive, de
reacţiune, va avea următoarele elemente:
,MMMşi NTR pr pO
p
(5.8)
Pornind de la acest caz general, se pot studia separat, cazurile particulare întâlnite în practică, şi anume: frecarea de alunecare, frecareade rostogolire, frecarea de pivotare etc.
5.3.2. Frecarea de alunecare
Forţa de frecare de alunecare, proprietăţile şi legile ei, au fost defi-nite în capitolul consacrat punctului material supus la legături cu frecare(paragraful 4.3). În cazul problemelor de echilibru ale rigidului supus lalegături cu frecare, rezolvarea este mai dificilă decât în cazul punctuluimaterial, deoarece tendinţa de mişcare a unui corp este mai greu dedeterminat şi în consecinţă, sunt mai greu de determinat direcţiile şi
sensurile forţelor de frecare.Rezolvarea unei probleme de echilibru a unui rigid supus la legături
cu frecare se efectuează,în cazul frecării de alunecare, asociind ecuaţiile
de echilibru, inegalităţile de tipul: ii NT unde i=1,2,...,n, reprezintă
punctele de rezemare.Dacă se consideră cazurile de echilibru limită, inegalităţile se
transformă în egalităţi şi rezolvarea sistemului se simplifică.
5.3.3. Frecarea de rostogolire
După cum s-a arătat, frecarea de rostogolire, se manifestă prin apariţiaunui cuplu de frecare la rostogolire, care se opune în anumite limite,tendinţei de rotire a corpului în jurul unei drepte din planul tangent lor, în
punctul teoretic de rezemare.
Frecarea de rostogolire este întâlnită în practică la toate corpurile ce
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 107/487
106 MECANICĂ
se rostogolesc: roţile autovehiculelor, roţile de cale ferată, rolele şi bilelerulmenţilor etc.
Pentru a înţelege mai bine mecanismul apariţiei acestui tip de frecare,se consideră cazul concret al unei roţi trase de greutate G
şi rază R
(fig. 5.8) rezemată pe o suprafaţă aspră, acţionată de o forţă F
.Considerând corpurile nedeformabile, contactul dintre roată şi planulorizontal se face într-un singur punct A, în care apar: o reacţiune normală N
şi o forţă de frecare (aderenţă) T
.
Făcând o sumă de momente în polul A (-FR=0), constatăm că acestsistem de forţe nu este în echilibru, deşi experienţa arată că roata poaterămâne în repaus dacă mărimea forţei F
nu depăşeşte o anumită limită.Pentru explicarea acestei neconcordanţe între teorie şi practică, va
trebui să ţinem seama de faptul că, în realitate, corpurile sunt deformabile,iar contactul dintre ele are loc pe o mică suprafaţă. În fiecare punct al
acestei suprafeţe de contact apare câte o reacţiune normală in
şi o forţă
de frecare tangenţială it
(fig.5.8,b). Dacă roata nu are tendinţă de ros-togolire 0F
, reacţiunile normale
ni sunt distribuite după o elipsă,
simetrică faţă de normala ce trece prin centrul roţii, iar forţele tangenţialesunt nule.
Dacă roata are tendinţa să se rostogolească spre dreapta (v. fig.5.8.b),
suprafaţa de contact şi distribuţia forţelor de reacţiune normale in , devinasimetrice faţă de normala ce trece prin centrul roţii, deplasându-se în
sensul în care roata are tendinţa de rostogolire.
Fig. 5.8
a) b) c) d)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 108/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 107
Datorită acestui fapt reacţiunea totală normală N
se deplaseazăfaţă de punctul teoretic de contact, spre dreapta, cu distanţa a. Rezultanta
T
a forţelor de frecare de alunecare it
poate fi considerată, cu o foarte bună aproximaţie, că trece prin punctul teoretic A.În cazul echilibrului la limită al roţii, distanţa “a” ia valoarea maximă
egală cu “s”. Se ajunge la situaţia din figura 5.8,c. Ecuaţia de momenteîn polul A, în acest caz este:
0sNFR (5.9)Dacă reducerea forţelor normale, asimetric distribuite, se face în
punctul teoretic de contact A,va trebui să introducem şi un moment numit
moment de frecare la rostogolire, a cărui valoare, la limita echilibruluiroţii, este:
maxr RFsNM Pentru o poziţie oarecare de echilibru, este necesar să fie satisfăcută
condiţia:
sNM r (5.10)
unde maxas , este coeficientul de frecare la rostogolire şi reprezintă
distanţa maximă cu care se deplasează, paralel cu el însuşi, suportulreacţiunii normale N
, faţă de punctul teoretic de contact.Dacă reducerea forţei N
se face în punctul teoretic de contact seobţine situaţia din figura 5.8,d.
Rezultă că, în afara ecuaţiilor de echilibru, pentru ca un rigid sărămână în repaus, în fiecare reazem simplu al acestuia trebuie să fiesatisfăcute următoarele condiţii:
.sNMşi NT r (5.11)
5.3.4. Frecarea de pivotare în cazul lagărului axial
Un lagăr este axial dacă rezultanta forţelor exterioare ce acţioneazăasupra fusului are direcţie axială. Lagărul axial poate fi plan, conic sausferic, în funcţie de forma suprafeţei de contact dintre fus (pivot) şi lagăr.
După o funcţionare îndelungată a pivotului plan, suprafaţa circulară
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 109/487
108 MECANICĂ
de contact dintre fus şi lagăr seuzează neuniform. La periferia
fusului uzura este maximă, iar încentru minimă. Astfel, forţa P ceacţionează asupra fusului seconcentrează pe o suprafaţă din ceîn ce mai mică în jurul centrului,depăşind presiunea de contactadmisibilă, fapt ce provoacăeliminarea uleiului şi griparea
lagărului. Pentru a se preîntâmpinaaceastă situaţie nedorită, se executăîn fus o degajare interioară cu o razăr, fusul în acest caz uzându-seaproximativ uniform (v. fig. 5.9).Suprafaţa de frecare devine o co-roană circulară, iar presiunea dintrefus şi lagăr se poate considera
aproximativ constantă:
.
r R
P p
22 (5.12)
unde R reprezintă raza pivotului, iar r raza degajării.În continuare se va studia pivotul plan cu degajare, deteminându-se
expresia coeficientului de frecare de pivotare şi a momentului de frecarede pivotare din acest lagăr.
Asupra pivotului acţionează rezultanta forţelor exterioare P
si cuplulde moment OM
.Coeficientul de frecare de alunecare se consideră con-stant egal cu , lagărul fiind uscat. Asupra unui element de arie dAacţionează o reacţiune normală elementară Nd
şi o forţă de frecare dealunecare elementară Td
, dirijată în sens invers sensului de rotaţie afusului.Folosind coordonatele polare pentru detaşarea elementului de arie,
rezultă: ,dddA iar dA pdN .Forţa de frecare de alunecare
elementară are expresia:
Fig. 5.9
Fig. 5.9.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 110/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 109
.dd pdNdT (5.13)
La limita echilibrului fusului, cuplul de moment OM este egal cu
momentul de frecare de pivotare pM şi egal cu suma momentelor forţelor de frecare în raport cu axa pivotului:
dTMM O p (5.14)
în care înlocuind relaţiile (5.12) şi (5.13) rezultă:
R
r
22
022 p dd
r R
Pdd pM (5.15)
În final, expresia momentului de frecare de pivotare, la limita echi-librului fusului este:
PPr R
r R
3
2M
22
33
p
, (5.16)
unde reprezintă coeficientul de frecare de pivotare din lagărul plan cudegajare.Pentru echilibrul fusului trebuie satisfăcută condiţia:
PM p (5.17)
Frecarea de pivotare are multe aplicaţii în tehnică, ea apare la frâneledisc, la ambreiajele cu disc sau con utilizate în construcţia de maşini etc.
5.3.5. Frecarea în articulaţii sau lagărul radial cu joc
Un lagăr este radial dacă
rezultanta forţelor exterioare ceacţionează asupra fusului aredirecţie radială. Lagărul radial esteo articulaţie cilindrică între un fusşi lagăr, el este format dintr-unarbore care se poate roti sub
acţiunea unui moment motor OM ,
într-un alezaj de un diametru cu
puţin mai mare (v. fig. 5.10). Fig. 5.10
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 111/487
110 MECANICĂ
În continuare se va studia lagărul radial cu joc în care apare frecareuscată (coulombiană), introducerea lubrefianţilor schimbând esenţial
problema. Un studiu amănunţit al frecării în lagărele de alunecare culubrefiant se va face în cadrul cursului de Organe de maşini.Dacă cuplul
forţelor exterioare OM ce acţionează asupra fusului ar fi nul, punctul teoretic
de contact dintre fus şi lagăr ar fi în A, pe direcţia rezultantei forţelor
exterioare. Dacă însă asupra fusului acţionează un cuplu de moment OM ,
el se comportă în lagăr ca o roată motoare pe un plan înclinat, având tendinţade a urca.În acest caz punctul teoretic de contact se va deplasa din A în B(v. fig. 5.10).
Contactul dintre fus şi lagăr se face teoretic pe o linie dreaptă practic pe o mică suprafaţă în jurul liniei de contact. Considerând coeficientul defrecare de alunecare egal cu , coeficientul de frecare de rostogolire s şiraza fusului r, se vor determina în continuare mărimea momentului de
frecare r M din articulaţie şi expresia coeficientului global de frecare.
În punctul teoretic de contact B al fusului apar: o reacţiune normală
N
, o forţă de frecare de alunecare T
şi un moment de frecare de rosto-
golire r M , având sensuri opuse tendinţei de alunecare şi, respectiv derostogolire a fusului în interiorul lagărului. Fusul sub acţiunea momentului
motor OM se roteşe cu un unghi , iar la limita echilibrului, conform
principilui acţiunii şi reacţiunii, momentul de frecare din articulaţie f M
devine egal şi direct opus momentului motor.Ecuaţiile scalare de echilibru ale fusului sunt (v. fig.5.10):
;0sinPT;0X i ;0cosP N;0Yi (5.18)
.0MsinrPM;0M Or Bi De unde rezultă:
.sinrPMM;cosP N;sinPT r O (5.19)Acestor relaţii li se adaugă cele două condiţii la limită:
NsMşi NT r (5.20)
Din relaţiile (5.18) şi (5.19) se obţine:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 112/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 111
.tgsaucosPsinP (5.21)Ştiind că:
,1
1cosşi
1tg1
tgsin
222
(5.22)
Rezultă:
.1
rP
1
PssinrPcossPMM
22f O
(5.23)
Deci:
,Pr Pr 1
r s
M2f
unde reprezintă coeficientul global de frecare din lagărul radial cu joc,
care poate fi determinat şi pe cale experimentală.
Pentru articulaţii cilindrice: ,YXR P 2O
2O
p
Pentru articulaţii sferice: ,ZYXR P 2O
2O
2O
p
unde OOO Z,Y,X
reprezintă componentele scalare ale reacţiunii totale din articulaţie.
5.3.6. Frecarea firelor pe suprafaţe cilindrice
Un alt caz de frecare întâlnit în tehnică îl reprezintă frecarea firelor pe suprafeţe cilindrice. Această frecare apare atât în cazul când roata pe care este înfăşurat firul este fixă şi firul are tendinţă de mişcare, cât şiîn cazul când firul este fix şi roata are tendinţă de mişcare (exemplufrânele cu bandă).
In studiul echilibrului acestor fire se face ipoteza că ele sunt flexi- bile, inextensibile şi de greutate neglijabilă. Dacă s-ar neglija frecareadintre fir şi suprafaţa cilindrică fortele de la capetele firului ar fi egale.Luându-se în considerare frecarea dintre fir şi suprafaţa cilindrică prinintermediul coeficientului de frecare de alunecare , se pune problema
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 113/487
112 MECANICĂ
determinării unei relaţii între forţele de la capetele firului pentru ambeletendinţe de mişcare.
În figura 5.11., a se consideră un fir trecut peste o suprafaţă cilindrică,contactul dintre fir şi suprafaţa fixăfăcându-se pearcul AB, avândunghiul la centru. Firul esteacţionat la capete
de forţele F
şi Q
Pentru ten– dinţa de mişcare afirului de la A spre
B, forţa F
numită şi forţă motoare trebuie să învingă forţele de frecaredintre fir şi suprafaţa cilindrică, precum şi forţa rezistentă Q. Pentru a se
stabili legătura dintre forţele QşiF
se detaşează un element din fir, MM
de lungime elementară, având unghiul la centru d.Asupra acestui fir acţionează forţele reprezentate în figura 5.11,b:reacţiunea normală elementară dN, forţa de frecare elementară dT însens invers tendinţei de mişcare a firului, efortul (S + dS) la capătul M’ alfirului şi efortul S de la capătul opus M. Având în vedere dimensiunilefoarte mici, elementare, ale arcului MM’, forţele ce acţionează asupralui pot fi considerate concurente în O, mijlocul arcului. Ecuaţiile scalarede echilibru ale forţelor ce acţionează asupra acestei porţiuni din fir MM’,
în sistemul de referinţă cu originea în polul O, sunt:
;02
dcosdSS
2
dcosSdT;0X i
(5.24)
.02
dsindSS
2
dsinSdN;0Yi
Unghiurile fiind foarte mici, elementare, în sistem se pot faceurmătoarele aproximări:
Fig. 5.11.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 114/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 113
.02
ddS;1
2
dcos;
2
d
2
dsin
(5.25)
Înlocuind relaţiile (5.25) şi dNdT în (5.24) rezultă;
.dNdSşidNdS (5.26)Făcând raportul celor două relaţii (5.26) rezultă o ecuaţie diferenţi-
ală cu variabile separabile care se poate integra uşor:
.Q
Flnsaud
S
dS
0
F
Q
(5.27)
Deci eQF , numită relaţia lui EULER unde -este coeficientulde frecare de alunecare (aderenţă) dintre fir şi suprafaţa cilindrică, iar -unghiul de înfăşurare al firului pe aceeaşi suprafaţă, în radiani.
Pentru cealaltă tendinţă de mişcare a firului, de la B la A, se obţineîn mod analog expresia:
.eQF (5.28)
Pentru ca firul să rămână în repaus pe suprafaţa cilindrică trebuie
îndeplinite următoarele condiţii:
.eQPeQ (5.29)
Frecarea firelor (frecarea funiculară) are numeroase aplicaţii întehnică: de exemplu la transmisiile prin curele şi la mecanismele de frânarecu bandă.
5.3.7. Frecarea în scripeţi
Scripetele este un disc la periferia căruia este executat un şanţ deghidare pentru cablu, o frânghie sau un lanţ, acesta reprezentând din
punct de vedere teoretic firul. Scripetele poate să fie cu axă fixă derotaţie sau cu axă mobilă de rotaţie, după cum axul său este fix saumobil. În practică se utilizează foarte multe combinaţii cu scripeţi cu axefixe şi mobile de rotaţie, pentru a se realiza un raport cât mai mic între
forţa motoare şi cea rezistentă.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 115/487
114 MECANICĂ
În multe aplicaţii tehnice, cum este şicazul scripetelui, este necesar să se renunţe
la ipoteza că firul este perfect flexibil şi, caatare, se va lua în considerare rigiditatea lui.În continuare se va stabili o relaţie între
forţele de la capetele firului, luând înconsiderare şi frecarea din axul scripetelui.
Astfel, în figura 5.12 s-a reprezentat unscripete cu axă fixă de rotaţie în O. Razafusului articulaţiei este r, coeficientul de
frecare global din articulaţie este iar razascripetelui R. Peste acest scripete este trecutfirul în capetele căruia acţionează: forţa F
motoare şi forţa Q
rezistentă.Dacă firul ar fi considerat perfect flexibil,
el s-ar înfăşura pe scripete în A şi s-ar desprinde în B. Datorită rigidităţii lui, firul condus, acţionat de forţa
rezistentă Q
întârzie să se înfăşoare cu o curbură mai mare a scripetelui,
depărtându-se în acest fel cu distanţa 1e de centrul scripetelui, contactul
făcându-se în A’ în loc de A. Firul conducător acţionat de forţa motoareF
, întârzie să se desprindă de scripete, înfăşurându-se mai mult pe acesta.Astfel, ramura conducătoare a firului se va desprinde în B’, apropiindu-
se de centrul O cu distanţa 2e .
Distanţele 21 eşie au mărimi apropiate.
Pentru a vedea cum influenţează rigiditatea firului şi frecarea dinaxul scripetelui, raportul dintre forţa motoare F
şi forţa rezistentă Q
, sescriu ecuaţiile scalare de echilibru la limită, ale scripetelui:
;0QF N;0Yi (5.30) .0MeR QeR F;0M f 12Oi
Momentul de frecare din articulaţie are expresia:
.FQr Nr M f
Fig. 5.12
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 116/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 115
Înlocuind expresia momentului de frecare în ecuaţia a doua (5.30) şigrupând termenii, rezultă:
saur eR Qr eR F 12
.Qr eR
r 2ee1Q
r eR
r eR F
2
21
2
1
(5.31)
La numitor termenii se pot neglija faţă de R. Astfel relaţia (5.31)devine:
.QQk k 1QR
r 2
R
ee1F 21
21
(5.32)
unde
R
eek 21
1
reprezintă coeficientul ce ţine seama de rigiditatea
firului;R
r 2k 2 -un coeficient ce ţine seama de frecarea din axul
scripetelui; 21 k k 1 -coeficientul global al pierderilor din scripete.Observaţii.a) coeficientul >1, deci F>Q, scripetele simplu fix nu
realizează o demultiplicare a forţei motoare, ci are rolul de a schimbadirectia de acţiune a forţei Q. Pentru a realiza o reducere a forţei motoareîn raport cu forţa rezistentă se foloseşte scripetele mobil sau sisteme descripeţi;
b)coeficientul este adimensional şi are valori cuprinse între 1,02 şi1.05 în funcţie de diametrul firului şi natura lui, precum şi de sistemul deungere al lagărului;
c) coeficientul (sau cifra scripetelui) reprezintă inversul randamen-
tului scripetelui.Randamentul scripetelui notat cu reprezintă raportul dintre forţamotoare ideală F, când nu se ia în considerare frecarea în axul scripeteluişi rigiditatea firului (=1) şi forţa motoare reală F când >1.Astfel pentruscripetele simplu studiat avem:
.1
Q
Q
F
F
real
ideal
(5.33)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 117/487
116 MECANICĂ
5.4. PROBLEME REZOLVATE
1. Să se calculeze reacţiunile din încastrarea O pentru grinda cotitădin figura 5.13, ştiind că asupra ei acţionează forţele P1 = 20N, P2 = 10N,forţa distribuită q = 60 N/m şi cuplul deforţe M = 20N. m (l = 1 m).
Rezolvare. Se înlocuieşteîncastrarea spaţială O cu trei forţe şitrei momente de reacţiune orientate
după axele de coordonate:,Z,Y,X OOO ,M,M,M zyx ia r
forţele distribuite cu rezultanta lor
. N90ql5,1Q Ecuaţiile sca-lare
de echilibru sunt:
;060cosPX;0X 1Oi
;0QY;0Y Oi
;0P60sinPZ;0Z 21Oi
;0Pl2M60sinPl;0M 2Ox1xi
;0MPl360sinPlM;0M 21Oyyi
.0Ql75,0l360cosPlM;0M 1Ozzi
Rezolvând sistemul de ecuaţii
rezultă cele şase necunoscute reac-ţiunile din încastrare: XO
= 10 N; YO
= 45 N; ZO
= 27,3 N; MOx
= 1,3 N m;M
Oy= 43,65 N m; M
Oz= 45,625 N m.
2. O placă dreptunghiulară degreutate Q=15N (fig.5.14) estearticulată în A şi B şi menţinută în
poziţie orizontală prin intermediul
Fig. 5.13
Fig. 5.14
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 118/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 117
barei DE. Asupra plăcii mai acţionează forţa F=30 N în planul plăcii. Săse calculeze reacţiunile din articulaţia sferică A, articulaţia cilindrică B şi
din bara DE. Rezolvare. Din figura 5.14 rezultă ,lBD,30cosl2AB,l2AD
.3l230cosADAE Condiţiile de echilibru sunt date de relaţiile (5.7)sub forma ecuaţiilor vectoriale.Expresiile analitice ale forţelor active şi
pasive sunt:
;k YiXR ;k 15Q;i30F BBB
.k S23 jS
43iS
41
EDEDSeSS;k Z jYiXR EDAAAA
Deci,
.0k S23ZZ15
jS4
3Yi
4
SXX30R R
AB
AAB pa
.
Momentele forţelor active şi pasive în polul O sunt:
;0M;0MAR OFO
; jX3liZ3lZ0X03l0
k ji
R ABM BB
BB
BR O B
; j2
l15i
2
315
1500
02
3l
2
1k ji
QACM QO
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 119/487
118 MECANICĂ
. j2
Sl3i2Sl3
2
S3
4
S3
4
S
03ll k jiSADM SO
Deci,
.0k 3lX j2
S3l
2
l15i
2
Sl3
2
3l15Z3lMM BB
pO
aO
Din cele două condiţii, rezultă următorul sistem de ecuaţii:
;02
Sl3
2
3l15Z3l;030
4
SXX BBA
;02
Sl3
2
l15;0S
4
3YA
.03lX;015S23ZZ BBA
Rezolvând sistemul se obţin cele şase necunoscute: ; N25,27X A
. N35S;0ZX; N5,7Z; N75,3Y BBAA
3. O antenă de televiziune
(fig.5.15), orizontală de greutate P
este fixată pe un ax vertical, ancorat prin intermediul a trei fire egalefixate în B, D şi E.
Cunoscând poziţia centrului degreutate (KC=0,25 l) al antenei şieforturile din firele (1) şi (2)
,4/2PTT 21 şi OA = l, să se
determine reacţiunile din articulaţia Fig. 5.15
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 120/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 119
O şi efortul din firul (3).
Rezolvare: Se înlocuiesc firele cu eforturile 321 T,T,T iar articulaţia
O cu reacţiunile X0 , Y0, Z0. Se alege sistemul de referinţă cu originea înO ca în fig.5.15.
Ecuaţiile scalare de echilibru pentru antenă sunt:
;045sin60cosT260cosTX;0X 13Oi
;045cos60cosT45cos60cosTY;0Y 12Oi
;030cosT30cosT2PZ;0Z 31Oi
.045sin60cosT260cosTlP25,0;0M 13yi
Rezolvând sistemul rezultă cele patru necunoscute ale
problemei: ;4/PX;PT O3
.P48,2Z;0Y OO
4. O bară omogenă OA=2a, de greutate G este articulată în O şi
menţinută în echilibru sub un unghi q faţă de verticală (fig.5.16) prinintermediul unui fir trecut peste scripetele B, de dimensiuni şi frecareneglijabile. În capătul firului este fixată prisma de greutate P. Să sedetermine condiţia de echilibru şi reacţiunile din articulaţia O.
Rezolvare: Bara OA se află în echilibrucondiţionat. Ea are o singură legăturămecanică, articulaţia O, care se înlocuieşte
cu reacţiunile OO YşiX Firul AB nu este
considerat legătură: mecanică, în sensuldefiniţiilor date. În capătul A acţionează forţaP din capătul firului. Ecuaţiile scalare deechilibru pentru bară sunt:
;02
cosPX;0X Oi
;02sinGY;0Y Oi
Fig. 5.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 121/487
120 MECANICĂ
.0P2
cosa2Gsina;0MOi
Din ultima ecuaţie rezultă condiţia de echilibru:
.G
Parcsin2sau
G
P
2sin
Reacţiunile din articulaţie sunt:
.2
sinPGYşi2
cosPX OO
5. Un troliu de greutate G=100 N şi raze r, respectiv R=2r, se reazemă
de un plan înclinat de un unghi 20 , faţă de orizontală. Pecircumferinţa de rază r este înfăşurat un fir la extremitatea căruia estesuspendată o greutate Q (fig.5.17).
Cunoscând coeficienţii m = 0,4 şi s= 0,01 r, între troliu şi plan să se determinelimitele intervaluilui în care poate varia
Q astfel încât troliul să ramână în repaus. Rezolvare: Se înlocuieşte reazemul
cu reacţiunea normală N
, forţa de
frecareT
, opusă tendinţei de alunecareşi momentul (cuplul) de frecare la
rostogolire r M , considerând că rostogolirea se va efectua tot în jos.
Ecuaţiile scalare de echilibru sunt:
;0sinQsinGT;0X i ;0cosQcosG N;0Yi
.0sinR r QMsinGR ;0M r oi Pentru echilibrul troliului pe plan trebuie ca: sNMşi NT r .
Rezolvând sistemul de ecuaţii rezultă tg < m sau 4,0363,020tg
condiţia ca troliul să nu alunece pe planul înclinat, fiind îndeplinită.
Fig.5.17
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 122/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 121
Fig. 5.18
Condiţia ca troliul să nu se rostogolească în jos este:
. N20,181GcosssinR r
cosssinR
Qmin
Pentru cealaltă tendinţă de rostogolire (în sus) se schimbă doar sensul
momentului de frecare la rostogolire r M şi rezultă valoarea maximă a lui
Q, la limita echilibrului:
. N33,233GcosssinR r
cosssinR Qmax
Deci, pentru ca troliul să rămână în repaus, forţa Q poate varia întrelimitele:
. N33,233Q N20,181
6. Un laminor de tablă este format din doi cilindrii (valţuri) de diametruD care se rotesc în sens opus (fig.5.18). Distanţa dintre cilindrii fiind a,iar coeficientul de frecare dintre tablă şi cilindrii m, se cere:
a) să se arate că, pentru a fi posibilă prinderea tablei încălzite, unghiul
de frecare trebuie să fie mai mic decât unghiul a la centru; b) să se determine grosimea maximă b a tablei încălzite care poate filaminată. Aplicaţia numerică: D = 0,6 m; a = 0,05 m; m = 0,1.
Rezolvare: a) Considerând pentru simplificare că contactul dintrecilindrii şi tablă se face în punctele A şi B, în aceste puncte asupra tablei
apar următoarele forţe: N -reacţiunile
din partea cilindrilor şi T -forţele de
frecare, tangente la cilindrii.Componentele orizontale ale forţelor de
frecare T , trag tabla între cilindrii, iar componentele orizontale ale reacţiunilor normale se opun mişcării tablei.
Pentru a putea fi posibilă prindereatablei între cilindrii laminorului este
necesar ca:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 123/487
122 MECANICĂ
Fig.5.19
. NTcãstiind,sin N2cosT2
la limită rezultă condiţia .tgtgsautg Deci, j>a, unde a
este unghiul de frecare. b) Grosimea maximă a tablei rezultă din trapezul ,ABOO 21
,cos1Da b stiind că21
1cosiar ,tg
rezultă
.
1
11Da b
2
Inlocuind valorile numerice rezultă: b<0.053m.
reprezintă componentele scalare ale reacţiunii totale din articulaţie.
7. Uşa de la intrare într-o secţie de turnătorie, formată dintr-o placădreptunghiulară de greutate G = 400 N şi dimensiuni AD = BC = l = 2 m,AB = CD = 4m, este aşezată în poziţie verticală şi se poate roti în jurulunui ax care coincide cu latura AB. Axul având raza r = 0,01 m se roteşte
în două lagăre: unul radial B şi altul radial-axial A. Cunoscând coeficientulde frecare = 0,3 în lagărul radial şi = 0,2 în lagărul axial, să se
determine momentul minim M ce poate fi aplicat uşii astfel încât aceastasă poată fi rotită (fig.5.19).
Rezolvare. În lagărul A apare
reacţiuneaAR
cu cele trei componente
scalare ,Z,Y,X AAA ,iar în lagărul radial
B reacţiunile .YşiX BB .Din cauzafrecării în lagărele radiale A şi B apar
momente de frecare ,MşiM fBfA iar
datorită frecării de pivotare in lagărul A,va apare şi un moment de frecare de
pivotare pAM ,
Ecuaţiile scalare de echilibru pentru
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 124/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 123
Fig. 5.20
uşă sunt:
;0XX;0X BAi
;0YY;0Y BAi
;0GZ;0Z Ai
;0l2Y2
lG;0M Bxi
;0Xl2;0M Byi
.0MMMM;0M pAfBfAzi
Valorile la limită ale momentelor de frecare sunt:
.rZ3
2M;YXr M;YXr M A pA
2B
2BfB
2A
2AfA
Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţine:
iar , N1004/GY; N1004/GY;0X;0X BABA
.m N67,0rG3
2
2
Gr M
8. Un troliu (1) de greutate G, raze 2r şi respectiv r este menţinut înechilibru de o bandă de susţinere (2). Pe circumferinţa de rază r esteînfăşurat un fir în capătul căruia este fixată o prismă de greutate G/2. Să sedetermine valoarea coeficientului de frecare m, dintre
troliu şi bandă pentru ca troliul să nu se rotească îninteriorul benzii de susţinere (fig. 5.20).
Rezolvare: Notând cu 21 SsiS eforturile din cele
două ramuri ale benzii de susţinere, ecuaţiile scalarede echilibru pentru troliu sunt:
;0
2
GGSS;0Y 21i
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 125/487
124 MECANICĂ
Fig.5.21
02
Gr r r 2Sr 2S;0M 12Oi .eSSsi 12
Rezolvând sistemul de ecuaţii rezultă:
.107,05
7ln
1
9. Un semifabricat de greutate Q=5 kN obţinut printurnare este ridicat cu ajutorul unui scripete cu axămobilă de rotaţie (fig.5.21). Cunoscând diametrulscripetelui D=0,3 m,diametrul axului scripetelui d=0,04m
şi coeficientul global de frecare din axulscripetelui 02,0 , să se determine efortul 1S necesar
ridicării acestui semifabricat, precum şi efortul 2S din
ramura pasivă a cablului. Rezolvare: În axul scripetelui apare un moment de
frecare f M care se opune tendinţei de rotaţie a
scripetelui:
.kNm02,052
04,02,0Q
2
dM f
Ecuaţiile scalare de echilibru ale scripetelui sunt:
;0QSS;0Y 21i
.0M
2
DS
2
DS;0M f 21Oi
Rezolvând sistemul rezultă:
.kN434,2S;kN566,2S 21
5.5. PROBLEME PROPUSE
1. Asupra unei bare de lungime 3a, rezemată în punctele A,B şi C
acţionează o forţă verticală F . Să se determine reacţiunile din reazeme,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 126/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 125
ştiind că bara formează unghiul a cu orizontala (fig.5.22).
R. Fcos
1cos3
N;Fcos
2cos3
N;Ftg N C
2
BA
2. Asupra barelor din figura 5.23 acţionează forţa verticală P . Dacă
AC = CD = CB, să se calculeze reacţiunile din A şi bara CB.R. X
A = P; Y
A = 0; R
CB = 1.41P
3. Pentru grinda AC de lungime 8a şi greutate Q să se calculezereacţiunile din A şi B, ştiind că
asupra ei acţionează o forţă Psub unghiul de 45O, o forţă
distribuită triunghiular, forţaunitară maximă fiind q
0 şi o forţă
Q prin intermediul unui fir trecut
peste scripetele O (fig. 5.24).Aplicaţie numerică: a = 1m; Q =30 N; q
o = 3N/m; P = 60N.
R. XA = 42.3 N; Y
A =
40.6 N; R B = 57.4 P
Fig. 5.22 Fig. 5.23
Fig. 5.24
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 127/487
126 MECANICĂ
4. Asupra unei bare cotite
OABCD, acţionează un sistem deforţe şi cupluri. Cunoscândmărimile acestora: MA = 4 Pa,
Pa132MB , P29PA , PC =
5 P, PD = 3P, să se determine
reacţiunile din încastrarea O (v. fig.5.25).
R. XO
= 5P ; YO
= ZO
= 0;MOx = 6 Pa; MOy = -5 Pa; MOz = -16 Pa
5. Asupra unei bare avândforma şi dimensiunile din figura5.26 acţionează un sistem de forţedistribuite q şi un cuplu de forţe de
moment2
4qr M . Să secalculeze reacţiunile din încastraredacă l = r.
R.
.qr M;3qr M;2qr M;qr Z;qr Y;0X 2Oz
2Oy
2OxOOO
6. Să se calculezereacţiunile din legăturilemecanice ale plăcii degreutate G = 8 kN, asupracăreia acţionează cuplul demoment M = 4 kNm şi forţaQ =10 kN (fig. 5.27). Secunoaşte a = c = 4m iar b =
2m. Fig. 5.27
Fig. 5.26
Fig. 5.25
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 128/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 127
R..kN
3
8S;kN4Z;kN9
3
4X
;0Z;kN
3
4Y;kN
3
43X
AA
OOO
7. O placă dretunghiularăOABD de greutate Q =10 Narticulată în O şi D este
menţinută în poziţie orizontală prin intermediul firului EH.Asupra plăcii acţionează o forţăP =5 N şi un cuplu de momentM=20 Nm situat în planul plăcii(fig.5.28). Să se determinereacţiunile din fir, articulaţiasferică O şi articulaţia cilindrică
D dacă BE = ED = 0,5 m; OD = 2 m; a = 60O; b = 30O.
R. .10NZ;35,68NX;7,5NZ
;17,3NY;5,68NX;40NS
DDO
OOEH
8. Roata unui vagon de razăR şi greutate P se află în faţa unui
prag cu înălţime h (fig. 5.29).
Care este momentul cupluluice trebuie aplicat roţii pentru ca easă treacă de acest prag.
R.
R 2
h1
R 2
hR P2M
9. O uşă de greutate P = 300 N ce formează unghiul de 30O cu
planul normal vertical Oyz, este acţionată de forţa Q = 100 N prinintermediul unui fir trecut peste scripetele M de dimensiuni neglijabile. Uşa
Fig. 5.28
Fig. 5.29
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 129/487
128 MECANICĂ
este menţinută în această poziţie, prin intermediul firului orizontalEF, paralelcu axa Oy (v. fig.5.30). Să se determine reacţiunile din lagărele A şi B ale
uşii şi efortul din firul EF, ştiind că: BC = AB/3 = 1 m iar DE = EC.R. xA = 93,6 N; y
A = 25,2 N; z
A = 300 N;
xB = 52,5 N; yB = 24,3 N; S = 109,8 N.
10. Să se determine reacţiunile din încastrarea O pentru grinda dinfigura 5.31. Se dă P
1 = P
2 = P, q = 2P/l, q
O = 6P/l.
R. xO = 5,5 P; y
O = P; z
O = 2P; M
Ox = 3P l; M
Oy = 9P l; M
Oz = 2,5P l .
11. O scară rabatabilă de greutate P = 300 N, formează unghiula=60O cu planul vertical. Ea este menţinută în echilibru prin intermediulunui cablu MN. Să se determine: a) reacţiunile din articulaţiile A şi B şidin cablu dacă centrul de greutate al scării se află la intersecţiadiagonalelor, iar AB = ED = EM = MA = AN = a; b) reacţiunile din cabluşi articulaţii dacă pe scara cea mai de jos, la mijloc, stă un om de greutateG = 600 N (fig. 5.32).
R. a) S = 519 N; xA = 259,5 N; zA = 300 N; xB = 0; zB=150N; b) S = 2595 N; xA = 1297 N; z
A = 1800 N; x
B = 0; z
B= 450N
Fig. 5.30 Fig. 5.31
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 130/487
5. STATICA SOLIDULUI R IGID 129
12. O macara pe cale ferată de greutate G, se sprijină pe cele douăosii în B şi C situate la distanţa l. Ce greutate maximă Q poate ridicamacaraua dacă centrul de greutate se află la distanţa a faţă de axa de
simetrie iar braţul forţei Q este d (fig. 5.33).
R. Gld2
a2l
maxQ
13. Un pod rulant de greutate P=60 kN se deplasează pe două şineA şi B de-a lungulunei hale (fig.5.34). Să se calculeze reacţiunile
normale din punctele de sprijin înfuncţie de raportul n = AC/AB careindică poziţia căruciorului C, ştiind căse ridică o greutate Q = 40 kN.
R. NA = 10 (7 - 4n) kN; NB = 10 (3 + 4n) kN.
14. O macara rotitoare de greutate G se sprijină pe trei roţi în punctele
A, B şi C ce formează un triunghi echilateral. Macaraua se roteşte în
Fig. 5.32 Fig. 5.33
Fig. 5.34
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 131/487
130 MECANICĂ
jurul axei verticale ce trece prin punctul O (v.fig.5.35), ce ce corespunde cu centrul de
greutate al macaralei. Să se determinereacţiunile din punctele de sprijin ale roţilor dacă Q = G şi P = 0,5 G, în funcţie de unghiul
j de rotaţie al macaralei.
R.
.)sin35
;)sin35
cos510(12
G N
cos510(12
G N;)cos1(G
6
5 N
C
BA
15. O bară laminată de greutate G, lungimel şi diametru d, este rezemată cu frecare în punctele E şi D situate ladistanţa h (fig.5.36). ştiind că bara formează unghiul a cu orizontala, iar coeficientul de frecare este m, să se determine valorea limită x pentru ca
bara să rămână în repaus.
R. 2
hμ2
dαtgm2
hx
16. Asupra unui disc de rază R şi greutate P, acţionează un cuplu deforţe de moment M; discul se sprijină în A pe un plan orizontal, iar în B peun plan vertical (fig. 5.37). Cunoscând coeficientul de frecare m, să sedetermine valoarea lui M pentru ca discul să rămână în repaus.
R. 21
PR )1(
M
Fig. 5.36 Fig. 5.37
Fig. 5.35
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 132/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 131
6.
STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE RIGIDE
6.1. Clasificarea sistemelor de corpuri şi a forţelor delegătură ....................................................................... 133
6.2. Teoreme pentru studiul sistemului de rigide............. 1356.2.1. Teorema echilibrului părţilor (separării
corpurilor) .......................................................... 1356.2.2. Teorema solidificării (rigidizării corpurilor) ...... 138
6.3 Grinzi cu zăbrele...............................................................1396.3.1 Definiţii. Ipoteze ................................................ 1396.3.2. Metode analitice pentru determinarea
eforturilor din bare .......................................... 142
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 133/487
132 MECANICĂ
6.4. Probleme rezolvate ...................................................... 147 6.5. Probleme propuse ........................................................ 151
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 134/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 133
6
STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE RIGIDE
6.1. CLASIFICAREA SISTEMELOR DE CORPURI ŞI AFORŢELOR DE LEGĂTURĂ
Se numeşte sistem de corpuri, un ansamblu de corpuri legate întreele prin articulaţii sau reazeme simple şi legate cu spaţiul exterior fix prinreazeme simple, articulaţii sau încastrări.
Din punct de vedere mecanic sistemele de corpuri se pot clasifica în:a) Sisteme rigide sau structuri, care au o configuraţie nedeformabilă;
b) Sisteme mobile sau mecanisme, cu o configuraţie deformabilă.Sistemele rigide sau structurile sunt acele sisteme de corpuri la
care legăturile interioare şi exterioare anulează toate gradele de libertate.Aceste sisteme pot fi static determinate sau static nedeterminate în funcţiede raportul în care se află numărul ecuaţiilor scalare de echilibru şinumărul necunoscutelor, reacţiunile din legăturile interioare şi exterioare.Un sistem static determinat (structură) s-a reprezentat în figura 6.1, a.
Sistemele mobile sau mecanismele sunt acele sisteme de corpuri,la care legăturile interioare şi exterioare ale sistemului permit corpurilor componente unele mişcări. Aceste sisteme numite şi sisteme variabile de
corpuri se compun în scopul transmiterii unor mişcări, amplificării unor forţe sau momente. Un asemenea sistem variabil s-a reprezentat în figura6.1,b. Unul din corpurile sistemului este elementul conducător sau motor,iar celelalte corpuri sunt conduse prin intermediul legăturilor interioare.În cazul acestor sisteme variabile de corpuri se pune problema condiţieide echilibru, adică stabilirea unei relaţii între forţele de acţiune şi poziţiasa de echilibru. Această condiţie de echilibru se determină din ecuaţiilescalare de echilibru, aplicând însă teoremele de echilibru ale sistemelor
de corpuri.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 135/487
134 MECANICĂ
Sistemele de corpuri static determinate sau static nedeterminate potfi teoretic, în echilibru sub acţiunea oricărui sistem de forţe exterioaredate. Un mecanism poate fi în echilibru numai în cazul unor sisteme deforţe particulare.
După cum legăturile se împart în legături exterioare şi interioare, şiforţele ce acţionează asupra unui sistem de corpuri se clasifică în: forţe
exterioare şi forţe interioare.
Forţele exterioare pot fi la rândul lor: forţe exterioare active,date şi forţe exterioare pasive, de legătură sau reacţiuni din legăturileexterioare. Forţele exterioare exprimă interacţiunile mecanice dintrecorpurile sistemului considerat cu alte sisteme materiale.
Forţele interioare reprezintă interacţiunea dintre corpurile aceluiaşi
sistem; conform principiului acţiunii şi reacţiunii toate aceste forţe apar, perechi egale şi direct opuse.Pentru sistemul din figura 6.1,a în legăturile exterioare A şi D apar
forţe exterioare pasive, reacţiunile XA,Y
A,M
A în încastrarea plană şi X
D,Y
D
în articulaţia cilindrică. În legăturile interioare B şi C apar forţe interioarede legătură, câte două egale şi de sensuri contrare pentru fiecarearticulaţie. Forţele P, Q, F sunt forţe exterioare date.
În cazul echilibrului unui sistem de rigide se întâlnesc trei categorii
de necunoscute şi anume:
Fig. 6.1a.
b.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 136/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 135
a) reacţiunile din legăturile exterioare ale sistemului de corpuri; b) reacţiunile din legăturile interioare ale sistemului de corpuri;
c) valorile parametrilor independenţi care determină poziţia de echilibrua sistemului de corpuri (în cazul când echilibrul este condiţionat).
6.2. TEOREME PENTRU STUDIUL ECHILIBRULUISISTEMULUI DE RIGIDE
În rezolvarea problemelor de echilibru ale sistemelor de corpuri se
cunosc următoarele teoreme:
6.2.1. Teorema echilibrului părţilor (separării corpurilor)
Dacă un sistem de corpuri solide rigide este în echilibru sub acţiuneaforţelor exterioare date şi a reacţiunilor din legăturile exterioare, atunci şi
părţi din acest sistem vor fi în echilibru sub acţiunea forţelor aferente lor
(forţelor date şi de legătură).Considerând un sistem de n corpuri solide rigide în echilibru, putemspune că fiecare corp luat separat va fi în echilibru. Pentru fiecare corpluat separat, se pot scrie şase ecuaţii scalare de echilibru în spaţiu şi treiecuaţii dacă sunt în plan. Pentru întregul sistem de n corpuri se scriu întotal 6n ecuaţii independente de echilibru în spaţiu şi 3n ecuaţii, dacăsistemul este în plan. Dacă sunt 6n necunoscute în spaţiu, respectiv, 3nnecunoscute în plan, sistemul este static determinat. Dacă sunt mai multe
necunoscute sistemul este static nedeterminat. Numărul gradelor delibertate ale unui sistem de corpuri se poate calcula cu formulele:
-în spaţiu: r a2a3î6c6m cs (6.1)
-în plan r a2î3c3m c (6.2)
unde: c-reprezintă numărul corpurilor sistemului; î-reprezintă numărul
încastrărilor; as -reprezintă numărul articulaţiilor spaţiale;ac -reprezintă
numărul articulaţiilor cilindrice; iar r-reprezintă numărul reazemurilor
simple.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 137/487
136 MECANICĂ
Pentru exemplificare se consideră în figura 6.2. un sistem plan for-mat din trei corpuri. Acest sistem de corpuri este un transportor cu lopată,
utilizat pentru încărcarea cuptoarelor cu diferite materiale. El este for-mat din căruciorul 1 pe care este fixată coloana 2 de greutate P
încapătul căreia este fixată lopata 3 de lungime l cu încărcătura de greutateQ
. Căruciorul 1 se deplasează pe şinele grinzilor 3 şi 4 articulate în C,
având lungimile a şi b, respectiv, greutăţile21 GşiG
. Grinzile suntîncastrate în A şi rezemate în C.
După cum se observă în cadrul sistemului de corpuri din figura 6.2încastrarea A şi rezemarea B sunt legături exterioare. Articulaţia C şirezemările căruciorului în D şi E sunt legături interioare. Prin separareacorpurilor şi aplicarea axiomei legăturilor, forţele care îşi fac echilibrulsunt reprezentate în figura 6.3. În articulaţia C şi rezemările D şi E, carereprezintă legături interioare, se aplică principiul acţiunii şi reacţiunii, adicăforţele de legătură sunt egale şi direct opuse.
Pentru forţele coplanare ce acţionează asupra corpurilor din figura
6.3 se scriu următoarele ecuaţii de echilibru:
Fig. 6.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 138/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 137
-Bara AC (fig. 6.3,a)
;0X;0X Ci ;0YG NY;0Y C1DAi
.0Ya NdaG2
aM;0M CD1ACi
-Bara BA (fig. 6.3,b):
;0X;0X Ci ;0 NG NY;0Y B2ECi
.0 N bG2
b Nd;0M B2ECi
-Căruciorul 1 (fig. 6.3,c):
;0QP N N;0Y EDi .0QlPd Nd2;0M
EDi
Fig. 6.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 139/487
138 MECANICĂ
În total s-au scris 8 ecuaţii cu 8 necunoscute XA,
YA,
MA,
YC,
XC, N
E,
ND şi N
B. Sistemul este static determinat. În cazul unei aplicaţii numerice
dacă: a = 8m, b = 6m, d=0,5m, l=2m, Q =1kN, P =4kN, G1 =0,5kN, G2=0,4kN, rezultă următoarele necunoscute XC=X
A=0, N
E=4kN, N
D= 1kN,
NB = 0,53kN, YC = 8,25kN, YA= 9,75kN, MA= 75,5kN.m.Prin aplicarea teoremei separării corpurilor se pot determina reacţiunile
din legăturile interioare şi exterioare precum şi parametrii geometrici caredefinesc poziţia de echilibru în cazul sistemelor aflate în echilibru condiţionat.Această metodă prezintă dezavantajul că ea conduce la multe ecuaţii cumulte necunoscute, rezolvarea cărora crează uneori dificultăţi.
Observaţie: dacă în legătura interioară acţionează o forţă exterioarădată, prin aplicarea teoremei echilibrului părţilor legătura interioară devine punct material în echilibru şi se vor scrie ecuaţiile de echilibru separat pentru această legătură.
6.2.2. Teorema solidificării (rigidizării corpurilor)
Condiţiile de echilibru ale unui rigid sunt valabile şi în cazul unuisistem de corpuri, liber sau supus la legături, ca şi când sistemul ar devenirigid (nedeformabil) păstrându-şi legăturile exterioare iniţiale iar celeinterioare fiind considerate solidificate.
În acest fel se va considera sistemul întreg ca un singur corp rigid înechilibru sub acţiunea forţelor direct aplicate şi a forţelor din legăturileexterioare şi se vor scrie ecuaţiile scalare de echilibru. Prin aplicareaacestei teoreme se vor scrie atâtea ecuaţii cât şi pentru un singur corp.
Deci, dacă sistemul de forţe este spaţial se pot scrie şase ecuaţii deechilibru, iar dacă este plan numai trei.Ecuaţiile de echilibru care se obţin sunt necesare, dar nu totdeauna
şi suficiente pentru echilibrul unui sistem deformabil de corpuri. Uneoridin aceste ecuaţii de echilibru se pot determina reacţiunile şi poziţia deechilibru a sistemului.
Aplicarea acestei teoreme a solidificării are astfel avantajul că eaconduce la un număr mic de ecuaţii şi dezavantajul că în multe cazuri
numărul necunoscutelor, care determină poziţia de echilibru a sistemului
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 140/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 139şi reacţiunile, este mai mare decât cel al ecuaţiilor independente deechilibru ale sistemului rigid, astfel încât cu teorema solidificării nu se potdetermina toate aceste necunoscute. În plus, cu această teoremă nu se
pot determina forţele interioare.Observaţie:Teorema solidificării se poate aplica şi unor grupe for-
mate din două sau trei corpuri din sistem.Pentru exemplificare se consideră sistemul din figura 6.1,a. Prin
aplicarea teoremei solidificării se pot scrie trei ecuaţii scalare de echilibru pentru întregul sistem considerat ca un singur corp:
;0FXPX;0X DAi ;0QYY;0Y DAi .0Ya4Fa3Qa3Pa2M;0M DAAi
Aceste ecuaţii nu sunt suficiente pentru aflarea celor cincinecunoscute. Pentru ridicarea acestei nedeterminări aparente, mai suntnecesare încă două ecuaţii. Ştiind că în articulaţii momentul încovoietor este nul, se vor scrie două ecuaţii, sume de momente în articulaţia B
pentru bara AB şi în articulaţia C pentru bara CD. Aceste ecuaţii sunt:-pentru bara AB:
;0Xa4MPa2;0M AABi -pentru bara CD:
.0Xa4Fa;0M DCi Cu cele cinci ecuaţii se pot determina cele cinci reacţiuni din legăturile
exterioare: .Y,Y,X,X,M DADAA
6.3. GRINZI CU ZĂBRELE
6.3.1 Definiţii. Ipoteze
Grinda cu zăbrele reprezintă un sistem invariabil de bare articulateîntre ele la extremităţi. În acest caz articulaţiile se mai numesc şi noduri.Legăturile interioare şi exterioare nu permit deplasări relative între corpurilesistemului. Aceste sisteme se mai numesc structuri invariabile.
Grinzile cu zăbrele pot fi plane sau în spaţiu. Aceste sisteme invariabile
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 141/487
140 MECANICĂ
au dese utilizări în tehnică fiind folosite la construcţia podurilor metalice,a podurilor rulante, a macaralelor, a stâlpilor metalici pentru susţinerea
cablurilor electrice etc.După forma lor, grinzile cu zăbrele se clasifică în: grinzi cu zăbrele parabolice (fig.6.4,a), grinzi cu zăbrele dreptunghiulare (fig. 6.4,b), grinzicu zăbrele trapezoidale (fig. 6.4,c), grinzi cu zăbrele triunghiulare (fig.6.4,d) etc.
În studiul grinzilor cu zăbrele se fac următoarele ipoteze simpli-
ficatoare:a) barele sunt drepte şi rigide, iar dimensiunile secţiunii transversalesunt neglijabile comparativ cu lungimea lor;
b) barele sunt articulate la extremităţi, considerate fără frecare.Acestearticulaţii se mai numesc noduri. În realitate barele sunt profile STAS uniteîntre ele cu nituri sau sudură prin intermediul unor plăci metalice numite guseu;
c) forţele exterioare se consideră aplicate în noduri şi sunt coplanarecu grinda cu zăbrele;
d) greutatea barelor este neglijabilă în comparaţie cu mărimile forţelor
b.a.
c. d. e. Fig.6.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 142/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 141
exterioare. Dacă în mod special se cere să se ţină seama de greutăţile barelor, atunci se vor repartiza în părţi egale în nodurile de la extremităţi.
Ca o consecinţă a acestor ipoteze, o bară izolată din sistem, neâncărcată pe lungimea ei, este în echilibru numai dacă forţele din articulaţiile de lacapete sunt egale, de sensuri contrare şi au direcţia barei.
Prin urmare, eforturiledin barele grinzilor cuzăbrele pot fi de întindere(fig. 6.5,a) sau decompresiune (fig. 6.5,b). În
aceste figuri sunt reprezen-tate eforturile care acţio-nează asupra barei, iar ală-turat efortul care acţioneazăasupra nodului, egal şi desens contrar cu cel de lacapătul barei, în cele douăsituaţii: bară întinsă şi bară
comprimată. În general,materialele se comportă diferit la solicitările de tracţiune faţă de solicitărilede compresiune. Spre exemplu, o bară de aceiaşi secţiune, la tracţiunerezistă la eforturi de 3...4 ori mai mari decât la compresiune, unde există şi
pericolul de flambaj.Grinzile cu zăbrele pot fi static determinate sau static nedeterminate.
Acestea la rândul lor pot fi plane sau spaţiale. În continuare se vor studiagrinzile cu zăbrele plane, static determinate. Structura este static
determinată dacă numărul ecuaţiilor de echilibru, scrise pentru fiecarenod în parte, este egal cu numărul necunoscutelor, eforturile din bare şireacţiunile din legăturile exterioare ale grinzii cu zăbrele. Această condiţie,
pentru grinzile plane, se exprimă prin relaţia:
,r bn2 (6.3)unde: n-reprezintă numărul nodurilor; b-reprezintă numărul barelor; r-re-
prezintă numărul reacţiunilor din legăturile exterioare, acestea fiind trei,deoarece un capăt al grinzii este articulat iar celălalt rezemat.
Problema generală care se pune este aceea de a determina mărimea
a. b.
Fig. 6.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 143/487
142 MECANICĂ
şi sensul eforturilor din bare, în vederea unui calcul ulterior de dimensionaresau verificare. Această problemă se rezolvă cu ajutorul teoremelor şi
metodelor obişnuite de studiu a sistemelor de corpuri. Astfel, metodaizolării corpurilor devine, în calcul grinzilor cu zăbrele metoda izolăriinodurilor, iar metoda echilibrului părţilor devine metoda secţiunilor(Ritter). Pe lângă aceste metode analitice există însă şi metode graficede determinare a eforturilor: metoda planului Cremona şi metoda Culman.
Oricare ar fi metoda de calcul se parcurg următoarele etape:a) se verifică dacă sistemul este static determinat, cu relaţia (6.3);
b) se determină reacţiunile din legăturile exterioare, aplicând teorema
solidificării (se consideră întregul sistem ca un singur corp);c) se determină eforturile din bare, cu una din metodele prezentate încontinuare.
6.3.2. Metode analitice pentru determinareaeforturilor din bare
Determinarea eforturilor din barele unei grinzi cu zăbrele prin acestemetode constituie de fap, o aplicaţie la teoremele pentru studiul echilibruluisistemelor de corpuri.
a) Metoda izolării nodurilor. Grinda cu zăbrele este privită ca unsistem plan de puncte materiale (nodurile) legate între ele prin bare. Con-form teoremei separării corpurilor dacă întregul sistem (grindă cu zăbrele)este în echilibru atunci fiecare punct (nod) este în echilibru sub acţiuneaforţelor date şi de legătură care-i revin.
Forţele care acţionează un nod izolat formează un sistem de forţecoplanare şi concurente, deci condiţia necesară şi suficientă de echilibrua unui nod este ca rezultanta forţelor care-l acţionează să fie zero. Dinaceastă condiţie aplicată tuturor nodurilor se determină eforturile din bare.Pentru aplicarea acestei metode este necesar să se facă uneleconsideraţii:
-eforturile din bare se consideră că ies din nod şi au direcţia barelor; prin aceasta se face ipoteza că barele sunt solicitate la întindere; în
consecinţă, eforturile care se obţin din calcule cu semnul plus sunt de
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 144/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 143
întindere, iar cele care rezultă cu semnul minus sunt de compresiune;-se izolează succesiv fiecare nod începând şi apoi continuând cu
nodurile care introduc în calcul cel mult două necunoscute (două eforturidin două bare);-şi în acest caz se aplică principiul acţiunii şi reacţiunii eforturilor
cunoscute deja se vor introduce în nodurile următoare conform naturiilor, adică: dacă sunt eforturi de întindere se vor introduce ca “ieşind” dinnoduri, iar dacă sunt eforturi de compresiune se vor introduce ca “intrând”în noduri (v. fig. 6.5,b).
Aplicaţie. Se cere să se determine eforturile din barele grinzii cu
zăbrele din figura6.6, aplicând teo-rema izolării nodu-rilor. Se cunoscforţele exterioarece încarcă siste-mul şi dimensiuniegrinzii cu zăberle.
Rezolvare:Se noteazănodurile şi barelegrinzii cu zăbrele şise verifică dacă
sistemul este static determinat cu relaţia 2n=b+3, unde n=6 şi b =9. Sistemuleste static determinat.
Se calculează eforturile din legăturile exterioare: articulaţia A şi
rezemarea D, cu ecuaţiile de echilibru:,0PX;0X Ai
,0P2YY;0Y FAi (6.4)
.0aY3aP4aP;0M FAi Rezolvând sistemul, rezultă:
.3/P5Y;3/PY;PX FAA (6.5)Se izolează nodurile ca în figura 6.7, pentru fiecare nod scriindu-se
două ecuaţii scalare de echilibru. Reacţiunile exterioare fiind determinate,
Fig. 6.6
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 145/487
144 MECANICĂ
la ultimul nod F, ambele ecuaţii sunt de verificare.-Nodul A:
;02/2 N3/P
;02/2 N NP
2
21
-Nodul B:.0 N;0 N N 341
-Nodul C:
.02/2 N N2/2 N
;0 N2/2 N2/2 NP
532
652
-Nodul D:
.0P22/2 N N
;0 N2/2 N N
57
854
-Nodul E:
.02/2 N N;02/2 N N 9796 -Nodul F:
.03/P52/2 N;02/2 N N 998
Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii rezultă cele nouă necunos-
Fig. 6.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 146/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 145
cute, eforturile din cele 9 bare. Rezultatele şi tipul solicitării barelor, s-autrecut în tabelul 6.1.
Metoda izolării nodurilor prezintă dezavantajul că o eventuală
greşeală, făcută pe parcursul calculului se transmite în calculele ulterioareneputând fi constatată decât la sfârşit.b) Metoda secţiunilor (Ritter), ca şi metoda izolării nodurilor, este
aplicarea teoremei echilibrului părţilor la studiul grinzilor cu zăbrele. Metodaanterioară are dezavantajul că atunci când dorim să determinăm efortulîntr-o anumită bară, suntem nevoiţi să calculăm trecând din nod în nod,eforturile într-o serie de bare, chiar când aceste eforturi nu intereseazăîn problemă.
Metoda Ritter înlătură acest dezavantaj, cu ajutorul ei putându-sedetermina efortul din bara care dorim sau din maxim trei bare secţionate.Prin secţionarea celor trei bare se obţin două părţi distincte. Fiecare
parte astfel obţinută trebuie să fie în echilibru sub acţiunea forţelor date,a reacţiunilor exterioare care-i revin şi a eforturilor din barele secţionate.Secţiunea aleasă trebuie să întâlnească cel mult trei bare de efortnecunoscut şi care să nu fie toate trei paralele sau concurente într-un
punct care nu este nod, în caz contrar grinda este incorect alcătuită. În
final, se studiază echilibrul uneia din părţi. Aplicaţie. Pentru grinda cu zăbrele, de formă dreptunghiulară,dinfigura 6.8 se cer eforturile din barele 6, 7 şi 8, cunoscând forţele exterioare
Q şi dimensiunile barelor prin cota a. Rezolvare. Sistemul de bare este static determinat deoarece verifică
ecuaţia: 2n= b+3, unde n=10 şi b=7. Se calculează reacţiunile din legăturileexterioare, considerând întregul sistem solidificat, ca un singur corp.Ecuaţiile de echilibru static sunt:
;0QX;0X K i
Tabelul 6.1
N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9Efortulîn barăValoareaefortuluiTipul solicit. comp. întind. nesolicit. comp. întind. comp. comp. comp. întind.
3
P4
3
P2
3
P2
3
P5
3
P25
3
P5
3
P20
3
P2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 147/487
146 MECANICĂ
;0YQ2Q3QY;0Y K Ai (6.6)
;0aY4aQ6aQ6aQaQ;0M K Ai Rezolvând sistemul rezultă:
.Q3Y;Q3Y;QX K AK (6.7)
Se secţionează grinda cu zăbrele prin cele trei bare ale căror eforturise cer (fig.6.9,a,b). Se studiază echilibrul părţii din stânga (fig.6.9,a),deoarece asupra ei actionează un număr mic de forţe.
Ecuaţiile scalare de echilibru pentru sistemul din figura 6.12,a sunt:
;02/2 N N NQ;0X 786i ;02/2 NQY;0Y 7Ai (6.8)
.0aNaY;0M8ACi
Din care rezultă că:
.Q4 N;Q2/2 N;Q3Y N 67A8 La scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru partea izolată se va urmări
obţinerea unor ecuaţii cât mai simple, de preferinţă cu câte o singurănecunoscută. Aceasta este posibil dacă se folosesc ecuaţii de momenteîn raport cu puncte convenabil alese, care să elimine două din cele treinecunoscute. Astfel, pentru partea izolată din figura 6.9,a condiţia deechilibru se poate exprima prin două ecuaţii de momente în raport cu
Fig. 6.8
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 148/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 147
punctele C şi F pentru aflarea eforturilor N8 şi N
6, precum şi o sumă de
proiecţii pe verticală pentru aflarea efortului N7.
Metoda izolării nodurilor corespunde specificului proiectării, undetrebuie cunoscute eforturile din toate barele în vederea dimensionării iar metoda a doua Ritter, este indicată pentru verificarea calculelor sau adimensionării anumitor bare.
6.4 PROBLEME REZOLVATE
1. Se dă sistemul de corpuri format din două bare cotite, articulateîntre ele (fig. 6.10,a). Cunoscând forţele şi momentele exteriore ce încarcăsistemul, să se determinereacţiunile din legăturile exterioare
şi interioare. Rezolvare: Se izoleazăcorpurile (fig. 6.10,b,c), legăturileexterioare (încastrarea plană A,rezemarea B) şi legăturainterioară (articulaţia cilindrică C)se înlocuiesc cu reacţiunilecorespunzătoare. Sistemul este
static determinat. Forţele
Fig. 6.9
Fig. 6.10,a
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 149/487
148 MECANICĂ
Fig. 6.10,b,c
distribuite se înlocuiesc cu rezultatele lor: Q1
= AE. q1/2 = 3. 40/2 =
60kN; Q2=BD. q
2 = 4. 20 = 80kN. Se scriu ecuaţiile scalare de echilibru
pentru fiecare corp în parte:
-pentru bara AEC (fig. 6.4,b):
;053cosFXQX;0X C1Ai
,0Y53sinFY;0Y CAi
;053cosFl53cosF3Y3Y2Q2M;0M CC1AAi
-pentru bara CDB (fig. 6.4,c):
;030cosQX;0X 2Ci
;0 N30sinQY;0Y B2Ci
.0 N430cosQ4M;0M B2Ci
Rezolvând sistemul celor şase ecuaţii cu cele şase necunoscute MA,
XA,
YA,
XC,
YC,
şi NB, reacţiunile din legături rezultă:
MA
= 369,88 kN.m; XA
= 99,55 kN; YA
= 65,51 kN; XC
= -69,28 kN;Y
C= 54,28 kN; N
B= 94,28 kN.
2. Pentru ridicarea lingourilor cu ajutorul macaralei se foloseştedispozitivul de prindere tip cleşte din figura 6.11. Cunoscând elementele
geometrice ale dispozitivului şi greutatea lingoului
G , să se afle
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 150/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 149
Fig. 6.11
coeficientul de frecare m, între cleşte şi lingou, astfel încât el să poată fitransportat. Greutatea dispozitivului se neglijează.
Rezolvare: Se izolează corpurile, se înlocuiesc legăturile interioarecu reacţiunile corespunzătoare şi se scriu ecuaţiile scalare de echilibru:-pentru nodul F (fig. 6.11,a):
;030cosS30cosS;0X 21i
;030sinS30sinSG;0Y 21i
-pentru un braţ al cleştelui (fig. 6.5,b):
;0 NX30cosS;0X 2O1i
;0TY30sinS;0Y 2O1i
;0 N15,0T1,0S6,0;0M 221O -pentru lingoul de greutate G (fig. 6.5,c):
;0 N N;0X 21i .221121i NTşi NTunde,0GTT;0Y
Rezolvând sistemul de ecuaţii rezultă:
31
2
GX;0Y;TT;2/G N N;GSS OO212121
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 151/487
150 MECANICĂ
Fig. 6.12
iar coeficientul de frecare de alunecare = 0,115.
3. Trei semifabricate sub forma unor bare de secţiune circulară deaceiaşi greutate G şi rază R sunt legate cu un cablu, pentru a putea firidicate cu ajutorul unui cârlig de macara. Cablul formează unghiuri de
45 cu axa verticală în punctul de prindere în cârlig. Să se determine
efortul din cablu şi reacţiunile din bare pentru poziţia de echilibru. Rezolvare. Sistemul fiind simetric se va studia numai echilibrul a
două dintre cele trei bare. Se izolează corpurile şi se scriu ecuaţiile scalarede echilibru:
-pentru bara cu centru în O1:
;060cosS45cosS60cos N N;0X 12i
;0G60sinS45sinS60sin N;0Y 1i
-pentru bara cu centrul în O2:
;060cosS60cosS60cos N60cos N;0X 31i
;060sinS2G60sin N60sin N;0Y 31i
Rezolvând sistemul celor patru ecuaţii rezultă cele patru necunoscute:
.G32
31 N;G
6
233 N N;
2
G3S 231
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 152/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 151
6.5. PROBLEME PROPUSE
1. Două bare sub forma unui semicerc (fig. 6.13) sunt articulateîntre ele şi acţionate de o forţă P la distanţa 0,5 R faţă de C. Să secalculeze reacţiunile din articulaţiile A şi B.
R.4
2PR ;
4
10PR BA
2. Un cărucior de greutate P, asimilat cu un punct, se deplasează peun pod a cărei schemă este prezentată în figura 6.14. Să se determineeforturile din elementele podului, în funcţie de coordonata x, dacă unghiula = 30O.
R. Dacă x Ł l,l2
3PxSS;
l
PxS;
l
PxSS 43251
Dacă x > l,
l23)xl2(PSS;
l)xl2(PS;
l)xl2(PSS 43251
3. Asupra sistemului de corpuri din figura 6.15 acţionează forţa Q prin intermediul unui fir trecut peste rola de rază a/4, cuplul de momentM şi forţa distribuită liniar,forţa unitară maximă fiind qO
. Dacă M = 4aq şiq
O= 3Q/a să se calculeze reacţiunile X
B şi Y
Bdin articulaţia B.
R. XB
= 0.75Q; YB
=2Q.
Fig. 6.13 Fig. 6.14
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 153/487
152 MECANICĂ
4. O macara pentruîncărcarea furnalelor, are un
mecanism A prin intermediulcăruia se deplasează pe douărole de-a lungul unei şinemontate pe un pod rulant D.
În capătul O al unei grinzirigide verticale E (fig. 6.16),sub forma unei coloane, estemontat un mecanism de
răsturnare a încărcăturii degreutate Q. Care este greutateaP a căruciorului şi a coloaneiverticale, pentru a se puteatransporta o încărcătură Q = 15kN, situată în cuplă la distanţade 5 m faţă de axa coloanei.Greutatea căruciorului şi a
coloanei se consideră căacţionează pe axa OA iar distanţele de la axa cărucioruluila cele două role sunt de 1 m.
R. P 6 kN.
5. Culisa C articulată în capătul barei CB de lungime l se sprijină pe bara încastrată AD. Asupra barei CB acţionează o forţă distribuită
triunghiular, forţa unitară maximă fiind qO. Dacă l = 3m şi qO = 100 N/m,să se calculeze reacţiunile din A şi B (v. fig. 6.17).R. XA = 28,8 N; YA = 50 N; MA = 200 N.m;
XB = 28,8 N;
YB = 100 N.
6. Pe grinda BE sunt fixate două role de aceeaşi rază r = a/2. Asuprasistemului acţionează forţa Q prin intermediul unui fir trecut peste cele
două role. Capătul firului este fixat în F pe grinda AC încastrată în A.Grinda BE se sprijină în C pe capătul grinzii AC. Asupra acestei grinzi
Fig. 6.15
Fig. 6.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 154/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 153
acţionează un cuplu de forţe de moment M. Dacă momentul M = 6aQ săse calculeze reacţiunea din C şi momentul din încastrarea A (v. fig. 6.18).
R. NC = 2Q; M
A = 11 Qa.
7. Un pod provizoriu având forma din figura 6.19, este montat peroţi, ce se deplasează pe şinele A şi B. Cablul care ridică greutatea P
este fixat în punctul C situat la partea superioară a macaralei. Cablulcare ridică greutatea P = 50 kN de pe stativul situat lateral formeazăunghiul =20O cu axa verticală. Pentru a evita balansarea greutăţii, seaplică o forţă pe direcţia orizontală GH. Presupunând că componentaorizontală din cablul CP este
preluată de şina B, să sedetermine forţa S
1din grinda
orizontală CF în momentul
ridicării greutăţii de pe stativ şisă se compare această forţă S1
cu forţa S2 care acţioneazăcând a este nul. Dimensiunilesunt cele indicate în figura 6.19.
R. S1 = 104,6 kN; S
2 =
5 kN.
Fig. 6.17 Fig. 6.18
Fig. 6.19
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 155/487
154 MECANICĂ
8. Să se determine analitic eforturile din barele grinzii cu zăbrele dinfigura 6.20, asupra căreia acţionează forţa P = 10 kN.
R. N1 = -11,2 kN; N2 = -5 kN; N3 = 4,48 kN.
9. Se dau două grinzi cu zăbrele articulate între ele ca în figura 6.21.Să se determine reacţiunile din legăturile exterioare şi eforturile din barele1, 2 şi 3 (se formează unghiuri de 90O şi 45O). Se dă : AD = BC = EF =FG = BF = a.
R. XA=P; YA=2P/3; XG=-4P; YG=7P/3;
3/2P5S;3/2PS;3/2PS 321
10. Să se determineeforturile din elementele grinziicu zăbrele din figura 6.22 ştiindcă P = 0,1 kN, a = 15O iar
barele 2, 3, 4 şi 5 sunt egale.R. S
1
=S6
== -2P(1+sin15O) == -0,251 kN;
S3 =S4 = 2P cos15O = 0,193 kN;
kN081,015cos2P)15sin1(3PS
kN141.02PSSoo
7
52
11. Ventilul de siguranţă al unui cazan cu abur este legat prin
Fig. 6.20 Fig. 6.21
Fig. 6.22
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 156/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 155
articulaţia B de pârghia OA, careare lungimea l = 0,4 m şi greutatea
G = 20 N. Distanţa OB = a = 0,05m. În punctul C este suspendată ogreutate G = 325 N. Suprafaţaventilului este de 25 cm2. Să sedetermine distanţa OC = x pentruca ventilul să se deschidă la o
presiune, în cazan, mai mare decât p=103,3 N/cm2. Greutatea
ventilului se neglijează (v.fig.6.23).R. x = 0,39 m.
12. Determinaţi mărimea forţei Q ce apasă asupra corpului M, încazul presei din figura 6.24. Forţa P = 0,2 kN acţionează asupra pârghieiOE = 1 m, perependicular. În această poziţie a presei, tija AB este
perpendiculară pe OA =0,1 m şi împarte unghiul CBD în jumătate. Unghiul = arctg 0,2 = 11O 20'.
R. Q = 5 kN.
13. Asupra axului conductor I orizontal, al angrenajului conic din
figura 6.25, acţionează momentul M1. Să se calculeze momentul M2 ceacţionează asupra axului condus II şi reacţiunile din lagărele acestui ax A
Fig. 6.23
Fig. 6.24 Fig. 6.25
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 157/487
156 MECANICĂ
şi B. Razele medii ale celor două roţi conice sunt r 1 şi r
2.
Indicaţie: Forţele radială R şi normală N ce acţionează asupra
dintelui angrenajului conic, în funcţie de forţa P tangentă, se calculeazăcu următoarele formule : R = P tg cos şi N = P tg sin , unde tg = r 2/r 1 şi = 20O.
R. )cos bsinr (ar
tgMY;
ar
bMX;
r
r MM 2
1
1A
1
1A
1
212
sinr cos) ba(ar
tgM
Y;ar
) ba(MX;sintg
r
MZ
2
1
1
B
1
1B
1
1A
14. Lanţul DE al unei macaraletip graifăr este prins în D cu două bareDA = DA’ = 0,6 m. Barele suntarticulate de pârghiile ABC şi A’B’C’care se rotesc în jurul articulaţiilor Bşi B’ situate pe bara de legătură BB’.Doi saboţi fixaţi în C şi C’ ajută la
prinderea şi ridicarea greutăţii Q = 10kN, prin frecare. Distanţa dintrearticulaţiile C şi C’ la bara orizontalăde legătură este 0,5 m (v. fig. 6.26),
iar distanţa dintre punctul C şi baraAD este CM = 1 m. Distanţa DF fiind0,1 m, determinaţi forţa care apare în bara rigidă BB’, neglijând greutateamecanismului.
R. N = 60 kN.
15. O scândură de lungime 2l şi greutate G
se află în echilibru în poziţie orizontală, fiind prinsă la capete printr-un fir trecut peste douăsuprafeţe cilindrice fixe. Coeficientul de frecare dintre fir şi suprafeţele
cilindrice fiind se cere să se determine distanţa maximă x, faţă de
Fig. 6.26.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 158/487
6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 157
centrul de greutate C, la care se poa te aşeza o găleată de
greutate Q
, astfel încât echilibrulsistemului de corpuri să semenţină (v. fig. 6.27).
R.Q
QG
)1e(
l)1e(x
16. Care este domeniul de variaţie al forţei Q
, pentru ca sistemulde corpuri din figura 6.28 să fie în repaus. Se cunosc coieficienţii defrecare 1 şi2, coeficientul al scripetelui, unghiul planului înclinat a şi
greutatea G
.
R. G)cos(sineQGe
)cos(sin2
2/3
2/3
2 1
1
17. Pentru scripetele mobil O1
coeficientul global al pierderilor este, iar între troliul O
2 şi banda de susţinere a întregului ansamblu, coeficientul
de frecare este . Să se determine valoarea lui m pentru ca sistemul sărămână în echilibru la limită (v.fig. 6.29).
R.
)R R ()R R (
)R R ()R R (ln
1
2313
2313
Fig. 6.27
Fig.6.28 Fig. 6.29
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 159/487
158 MECANICĂ
18. Maşina de ridicat din figura 6.30 este dotată cu o frână cu saboţi
“permanent închisă” prin intermediul resortului care dezvoltă forţa P
.Deschiderea frânei se realizează cu ajutorul unui electromagnet E, care
dezvoltă forţa F
, fiind legat în serie cu motorul de antrenare al tobei decablu. Să se determine: a) momentul motor M care trebuie aplicat la axul
tobei de cablu pentru ca greutatea Q să urce uniform; b) valoarea minimă
a forţei P
din resort, care este necesară pentru ca greutatea Q să nucoboare pe plan ( > ); c) forţa minimă din electromagnet necesară
pentru a deschide frâna.
R.
.P24
5F )c
;rQ)cos(sinR 30
0.0625-9P b)
)Q;cosr(sinM )a2
Fig. 6.30
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 160/487
1597. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
CINEMATICA
7.
CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL7.1. Noţiuni generale ale cinematicii ................................. 161
7.1.1. Traiectoria .......................................................... 1617.1.2. Viteza punctului ................................................... 1627.1.3. Acceleraţia .......................................................... 1637.1.4. Viteza şi acceleraţia unghiulară ............................ 1657.1.5. Formulele lui Poisson ........................................ 166
7.2. Studiul mişcării punctului în diferite sisteme dereferinţă .......................................................... 167
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 161/487
160 MECANICĂ
7.2.1. Mişcarea punctului în sistemul de coordonatecarteziene .......................................................... 167
7.2.2. Mişcarea punctului în sistemul de coordonatecilindrice şi polare ........................................... 1687.2.3. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate
naturale (triedrul lui Frenet) ........................... 1717.2.4. Calculul razei de curbură a traiectoriei ............... 172
7.3. Mişcări particulare ale punctului material ................... 1747.3.1. Mişcarea uniformă a punctului ......................... 1747.3.2. Mişcarea uniform variată .................................. 175
7.3.3. Mişcarea circulară ............................................. 1777.3.4. Mişcarea oscilatorie armonică .......................... 1797.4 Probleme rezolvate .................................................... 180
7.5. Probleme propuse ................................................ 189
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 162/487
1617. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
CINEMATICA
7
CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
Cinematica este partea Mecanicii care studiază mişcarea mecanică
a corpurilor materiale, fără a lua în considerare masa acestora, forţele şimomentele ce acţionează asupra lor. Cinematica urmăreşte aspectul geo-metric al mişcării, acţionând cu parametrul timp.
Problema fundamentală a cinematicii este următoarea: cunoscândla orice moment t, poziţia sistemului material faţă de un reper ales, se cer determinate elementele cinematice ale mişcării fiecărui punct ce aparţinesistemului şi anume traiectoria, viteza şi acceleraţia.
În cele ce urmează se va analiza succesiv mişcarea punctului, a
solidului rigid şi a sistemelor de corpuri, la început în raport cu sisteme dereferinţă fixe, apoi în raport cu repere mobile.
7.1. NOŢIUNI GENERALE ALE CINEMATICII
Studiul mişcării unui punct material faţă de un sistem de referinţă, presupune stabilirea traiectoriei, vitezei şi acceleraţiei punctului.
7.1.1. Traiectoria
Reprezintă locul geometric al poziţiilor succesive pe care le ocupă punctul în timpul mişcării. În general poziţia unui punct faţă de un sistemde referinţă este definită dacă se cunoaşte variaţia în timp a vectoruluide poziţie al punctului (fig. 7.1), faţă de originea O a reperului fix:
tr r
(7.1)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 163/487
162 MECANICĂ
Relaţia (7.1) numită şi ecuaţiavectorială a traiectoriei (C), indică
poziţia mobilului la orice moment.Această funcţie vectorială tr
trebuie să îndeplinească următoarelecondiţii: să fie continuă, uniformă(punctul nu poate ocupa simultan maimulte poziţii) finită în modul şiderivabilă de cel puţin două ori.Primele două derivate definesc două
mărimi fizice, viteza şi acceleraţia punctului, aşa cum se va vedea în celece urmează.Dacă traiectoria este o curbă continuă şi admite o singură tangentă
într-un punct, atunci poziţia punctului material pe traiectorie se poatedetermina utilizând un singur parametru scalar s. Această coordonată
curbilinie, reprezintă arcul de curbă măsurat de la originea arcelor A O , în
sensul mişcării. În acest caz, mişcarea punctului material poate fi definită printr-o singură ecuaţie scalară:
tss (7.2)Ecuaţia (7.2) se numeşte legea orară a mişcării.
7.1.2. Viteza punctului
Pentru caracterizarea mişcării unui punct este necesar să se introducă
un nou element şi anume viteza punctului.Se consideră un punct A (fig. 7.1) în mişcare pe traiectoria (C) şidouă poziţii ale punctului. La momentul t mobilul se află în poziţia A indicată
de vectorul de poziţie r
, iar la momentul tt mobilul se află în A1 ,
având vectorul de poziţie r r . În intervalul de timp t , mobilul a
parcurs arcul s care se poate asimila cu elementul de coardă r .
Mişcarea punctului între cele două poziţii A şi 1A este caracterizată de
viteza medie, care este egală cu raportul dintre spaţiul parcurs s şi
Fig. 7.1.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 164/487
1637. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
intervalul de timp corespunzător t . Dacă intervalul de timp t este
suficient de mic, arcul se asimilează cu coarda r s , iar viteza medie
poate fi interpretată ca mărime vectorială:
.t
r vm
(7.3)
Această viteză este o mărime vectorială având direcţia şi sensul
vectorului r
. Viteza medie depinde de poziţia punctelor A şi 1A de pe
traiectorie şi caracterizează mai bine mişcarea când intervalul t este
mai mic. Dacă intervalul de timp t tinde la zero, viteza medie devineviteză instantanee, trecând la limită relaţia (7.3):
.r dt
r d
t
r limv
0t
(7.4)
Deci, viteza instantanee este o mărime de vectorială ce se exprimă prin derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie al punctului lamomentul considerat. Această viteză caracterizează direcţia, sensul
mişcării şi spaţiul parcurs în unitatea de timp. Viteza instantanee este unvector tangent la traiectorie, la momentul considerat:
,vsds
r ds
dt
ds
ds
r d
dt
r dv
unde este versorul tangentei la traiectorie, iar s = v modulul vitezei.Întrucât în problemele de Cinematică şi Dinamică variabila independentă
este timpul t, derivata unor funcţii scalare sau vectoriale se vor reprezenta
cu ajutorul unor puncte aşezate deasupra funcţiilor care se derivează.
7.1.3. Acceleraţia
Pentru a caracteriza variaţia vitezei punctului în mişcarea sa petraiectorie, se va defini un nou element cinematic al mişcării şi anumeacceleraţia punctului. Se consideră un mobil A (fig. 7.2.) care parcurge
pe traiectoria (C) arcul 1AA
în intervalul de timp t , trecând de la viteza
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 165/487
164 MECANICĂ
v
în A la timpul t, la viteza vv , în
1A la momentul tt . În acest in-
terval de timp t viteza mobilului s-amodificat cu v
. Prin definiţie,
acceleraţia medie a mobilului pe arcul
1AA , este raportul dintre variaţia
vitezei şi intervalul de timp în care aavut loc această variaţie:
.t
v
am
(7.5)Acceleraţia medie caracterizează variaţia vitezei în intervalul de timp
t şi este coliniară cu vectorul v
; ea ne dă o indicaţie globală asupravariaţiei vectorului viteză.
Trecând la limită raportul (7.5), când intervalul de timp t tinde lazero, se obţine acceleraţia instantanee a punctului material:
r vdt
vd
t
v
lima 0t
(7.6)Deci. acceleraţia este o mărime vectorială egală cu derivata în raport
cu timpul a vectorului viteză sau cu derivata de ordinul doi în raport cu
timpul a vectorului de poziţie r . Ea caracterizează variaţia vitezei ca
direcţie, sens şi mărime.Observaţii : - acceleraţia este orientată întotdeauna spre interiorul
concavităţii traiectoriei; - dacă produsul scalar dintre viteză şi
acceleraţie, av , este pozitiv, mişcarea punctului este accelerată, iar dacăacest produs este negativ, mişcarea este încetinită; - viteza şi acceleraţiasunt invarianţi în raport cu schimbarea sistemului de referinţă; - vectorulacceleraţie este egal cu zero în mişcarea unui punct în care nu variazănici direcţia, nici mărimea vectorului viteză (când punctul are o mişcarerectilinie şi uniformă).
Fig. 7.2,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 166/487
1657. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
7.1.4. Viteza şi acceleraţia unghiulară
În unele cazuri poziţia unui punct pe o curbă poate fi precizată cu ajuto-rul unui unghi . De exemplu în mişcarea unui punct pe un cerc (fig. 7.3), poziţia punctului A este cunoscută dacă se cunoaşte unghiul = (t)
măsurat faţă de o axă fixă. Astfel, pentru adescrie mişcarea punctului A se introduc noţiunilede viteză unghiulară şi acceleraţie unghiulară.
Dacă 1AşiA sunt cele două poziţiisuccesive ale mobilului pe cercul de rază R
(fig. 7.3) atunci rezultă:- viteza unghiulară medie t/m , iar viteza unghiulară instantanee se obţine trecândla limită acest raport, când intervalul de timptinde la zero:
.dt
d
tlim
0t
(7.7)
- în mod analog se definesc acceleraţia unghiulară medie / ,t
şi acceleraţia unghiulară instantanee:
.dt
d
tlim
0t
(7.8)
Rezultă că viteza unghiulară reprezintă variaţia unghiului descris derază, în unitatea de timp, iar acceleraţia unghiulară reprezintă variaţiavitezei unghiulare în unitatea de timp. Unităţile de măsură sunt radiani pesecundă (rad/s) pentru viteza unghiulară şi radiani pe secundă la pătrat
(rad/ 2s ) pentru acceleraţia unghiulară.Ştiind că S (t) = R (t), se poate obţine relaţia între viteza punctului
v
şi viteza unghiulară
:
.R R dt
ds
ds
R d
dt
R dv
(7.9)
Relaţia (7.13) arată că derivata unui vector turnant (rotitor) în raportcu timpul este un vector perpendicular pe acel vector.
Vectorul de poziţie R faţă de polul fix O este un vector constant în
Fig. 7.3,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 167/487
166 MECANICĂ
mărime şi variabil în direcţie.
Dacă se alege pentru mobilul A, un nou vector de poziţie , cu
punctul de aplicaţie în 1O situat pe o dreaptă () perpendiculară pe planul() în care are loc mişcarea circulară, relaţia (7.9) devine:
.sinR dt
dv
(7.10)
unde reprezintă unghiul dintre vectorul de poziţie şi viteza unghiulară
, orientată după axa () în sensul dat de regula şurubului drept, astfel
încât rezultatul produsului vectorial
, să corespundă cu sensul vitezei punctului A.
7.1.5. Formulele lui Poisson
Se consideră un cub (fig. 7.4) având muchiile egale cu unitatea cese roteşte cu o viteză unghiulară
în jurul diagonalei principale OD.
Acestui cub i se ataşează sistemul de referinţă cartezian cu originea înO. Vârfurile cubului notate cu A, B şiC vor avea ca vectori de poziţie tocmai
versorii axelor de coordonate .k şi j,i
În baza relaţiei (7.10), vitezeleacestor puncte, respectiv derivateleversorilor sistemului de referinţă înraport cu timpul sunt:
.k k ; j j;ii (7.11)
Relaţiile (7.11) sunt cunoscute subdenumirea de formulele lui Poisson.
Dacă cubul de muchie egală cuunitatea se roteşte în jurul axei Oz, cu
viteza unghiulară
, formulele lui Poisson devin:
.0k k ;i j j; jik ii
Fig. 7.4.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 168/487
1677. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
7.2. STUDIUL MIŞCĂRII PUNCTULUI ÎN DIFERITESISTEME DE REFERINŢĂ
7.2.1. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate carteziene
Poziţia mobilului A pe traiectorie se stabileşte la orice moment prinintermediul vectorului de poziţie tr r
faţă de polul fix O. Dacă se
alege un sistem de referinţă cartezian, triortogonal, drept cu originea în O
(fig.7.5.), atunci vectorul de poziţie tr r
este definit în spaţiu de treifuncţii scalare de timp, coordonatele punctului A:
,k tz jtyitxr
(7.12)
Relaţiile (7.12) reprezintă ecuaţiavectorială a traiectoriei unde k , j,i
sunt versorii axelor fixe, constanţi în
timp, iar .tzz,tyy,txx (7.13)
reprezintă ecuaţiile parametrice aletraiectoriei.
Traiectoria punctului A se obţine prin eliminarea parametrului timp tîntre ecuaţiile parametrice; ecuaţia curbei în coordonate carteziene, rezultăsub formă implicită, ca intersecţie a două suprafeţe.
:0z,y,xf ;0z,y,xf
21
(7.14)
Viteza punctului v se determină derivând în raport cu timpul,vectorul de poziţie r
din relaţia (7.12):
,k tz jtyitxr v
(7.15)
în care z,y,x reprezintă proiecţiile vitezei punctului A pe axele sistemuluide referinţă. Deci,
.tzv;tyv;txv zyx
Acceleraţia punctului, conform relaţiei (7.6) este:
Fig. 7.5.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 169/487
168 MECANICĂ
,k tz jtyitxr a
(7.16)
unde z,y,x sunt proiecţiile acceleraţiei punctului pe axele de coordonate.
Deci, .tza;tya;txa zyx
Mărimile acestora sunt:
.zyxa;zyxv 222222
(7.17)
Vectorul viteză are direcţia tangentei la traiectorie, iar vectorulacceleraţie este întotdeauna îndreptat către partea concavă a traiectoriei.
Pentru determinarea legii orare a mişcării se utilizează relaţia:
CdzdydxS 222 în care introducând notaţiile lui Newton:
dtzdz;dtydy;dtxdx rezultă:
.CdtvCdtzyxS 222 (7.18)
7.2.2. Mişcarea punctului în sistemul decoordonate cilindrice şi polare
a) În sistemul de coordonatecilindrice, poziţia mobilului petraiectorie este definită de următorii
parametrii scalari independenţi:raza polară , unghiul polar şi cotaz (fig.7.6.), aceşti parametri fiindfuncţie de timp, adică:
.tzz;t;t (7.19)
Relaţiile (7.19) reprezintăecuaţiile parametrice aletraiectoriei punctului A. Eliminând
Fig. 7.6.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 170/487
1697. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
parametrul variabil timpul t între ecuaţiile parametrice se obţine ecuaţiatraiectoriei sub forma implicită:
.0z,,f 0z,,f 21 (7.20)Se consideră (fig. 7.6.) un sistem de referinţă mobil O'x’y’z’, având
originea O' comună cu a sistemului fix 1O , axa O'x' suprapusă cu raza
polară de versor ,e
axa Oz suprapusă cu axa fixă 11zO de versor k
şi axa O'y ' de versor e
orientat astfel încât sistemul mobil să formeze
un reper drept, adică .1k ,e,e
Astfel, vectorul de poziţie al punctului A în sistemul mobil de
coordonate cilindrice este:.k zer
(7.21)
Viteza punctului v
se obţine prin derivarea vectorului de poziţie înraport cu timpul:
,k zeek zk zeedt
r dv
(7.22)
unde s-a ţinut seama de formulele lui Poisson (7.11):.0k k k ;eek e;eek ee
Sub forma matriceală, viteza se poate scrie astfel:
.vvvviar ,
zv
v
v
v 2
z
22
z
unde proiecţiile vitezei punctului pe cele trei axe sunt: v - viteza radială,v - viteza transversală şi zv - viteza axială.
Acceleraţia punctului se obţine prin derivarea vectorului viteză:
k zeeeee
k zeeeeedt
vda
2
deci,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 171/487
170 MECANICĂ
.k ze2ea2
(7.23)
Sub formă matriceală acceleraţia se poate scrie astfel:
,aaaaiar
z
2
a
a
a
a 2
z
22
2
z
unde proiecţiile acceleraţiei punctului pe axele sistemului mobil
sunt: a - acceleraţia radială. a - acceleraţia transversală, za -
acceleraţia axială.b) Sistemul de coordonate polare, este un caz particular al
sistemului de coordonate cilindrice. Când traiectoria punctului este o curbă plană (fig. 7.7.) poziţia lui petraiectorie se poate determina cuajutorul coordonatelor polare:
.tşit (7.24)
Eliminând timpul între ecu-aţiile parametrice (7.24) rezultăecuaţia traiectoriei sub formă
implicită ,0,f , sau explici-
tă .Viteza şi acceleraţia punc-
tului rezultă din relaţiile (7.22) şi(7.23) pentru cazul particular z=0:
;eev
(7.25)
.e2ea 2
(7.26)
Fig. 7.7.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 172/487
1717. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
7.2.3. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate
naturale (triedrul lui Frenet)Triedrul lui Frenet, utilizat în problemele în care traiectoria punctului
este cunoscută, este un sistem de referinţă mobil, cu originea în punctul Aa cărui mişcare o studiem. În figura 7.8. se consideră un punct material Aîn mişcare pe traiectoria (C).Poziţia punctului A pe traiectorie este definită
prin coordonata curbilinie: ,tss (7.27)
relaţie ce reprezintă legea ora-ră a mişcării.Acestui punct i se poate
ataşa un sistem de referinţămobil cu originea în A, avândurmătoarele axe: - tangenta latraiectorie, At, de versor
,
având sensul pozitiv, în sensul
de creştere a parametrului sca-lar s; - axa normală An, de versor
, având sensul pozitiv spre centrul de
curbură; - axa binormală, Ab, de versor
, orientat astfel încât să formezeun triedru drept.
Axele triedrului mobil a lui Frenet, determină trei plane: - planulosculator, definit de tangentă şi normală; - planul tangent, definit de tangentăşi binormală; - planul normal, definit de axa normală şi binormală.
Viteza punctului se obţine derivând vectorul de poziţie în raport cutimpul, prin intermediul coordonatei curbilinii s:
,vsdt
ds
ds
r d
dt
r dv
(7.28)
unde ,ds/r d
relaţie cunoscută din geometria diferenţială. Relaţia(7.28) arată că vectorul viteză are direcţia tangentei la traiectorie, sensulmişcării şi mărimea egală cu derivata în raport cu timpul a coordonateicurbilinii .tss
Acceleraţia punctului în coordonate naturale se determină prin
Fig. 7.8.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 173/487
172 MECANICĂ
derivarea în raport cu timpul a relaţiei (7.28):
,s1
dt
ds
ds
d
dt
d dar ,ssva
relaţie stabilită în geometria analitică, în care reprezintă raza de curburăa traiectoriei în punctul considerat.
Astfel, rezultă:
.v
vs
sa22
(7.29)
Se observă că vectorul acceleraţie, este conţinut în planul osculator.
Proiecţiile acceleraţiei pe axele triedrului lui Frenet sunt:
.v
vaiar ,
0
ss
0
vv
a
a
a
a2
42
22
(7.30)
Componenta ,vsa
a acceleraţiei se numeşte acceleraţie
tangenţială şi poate fi pozitivă sau negativă. Această componentă a
acceleraţiei apare datorită variaţiei mărimii vitezei.Componenta ,/v/sa 22
se numeşte acceleraţie
normală şi este întotdeauna pozitivă, adică îndreptată către centrul decurbură al traiectoriei. Acceleraţia tangenţială este o consecinţă a variaţieidirecţiei vectorului viteză. În consecinţă, în orice mişcare curbilinie,acceleraţia normală este diferită de zero. Singura mişcare în careacceleraţia este nulă este mişcarea rectilinie şi uniformă.
Dacă viteza este constantă, acceleraţia tangenţială este nulă, iar
mişcarea se numeşte uniformă. Dacă, ,0av mişcarea este uniform
accelerată, iar dacă ,0av
mişcarea este uniform încetinită.
7.2.4. Calculul razei de curbură a traiectoriei
Expresia (7.29) a acceleraţiei în triedrul lui Frenet permite deter-minarea razei de curbură a traiectoriei în funcţie de elementelecinematice ale mişcării: viteza v şi acceleraţia a :
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 174/487
1737. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
Dacă: .va
vrezultă,
vva
22
2
2
422
(7.31)
O altă metodă vectorială de explicitare a razei de curbură, se obţinefăcând produsul vectorial dintre aşiv
:
.av
v deci,
v
0v
v
00vav33
2
(7.32)
Relaţia (7.32) permite să aflăm raza de curbură a traiectoriei atunci
când se cunosc expresiile analitice ale vitezei v
şi acceleraţiei a
încoordonate carteziene şi anume:
.yxxyxzzxyzzy
zyx2/1222
2/3222
(7.33)
În cazul când traiectoria este plană
0zz şi se cunosc ecuaţiile parametrice ale traiectoriei x = x (t) şi y = y (t), raza de curbură este:
.
xyyx
yx2/322
(7.34)
Dacă ecuaţia traiectoriei plane este dată sub formă explicită y =y(x), în coordonate carteziene, se înlocuiesc derivatele în raport cu timpul
yşiy în expresia (7.34):
,xyxyy;xydtdx
dxdy
dtdyy 2
Deci:
.
y
y1
xxyxxyxy
xyx2/32
3
2/3222
(7.35)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 175/487
174 MECANICĂ
7.3. MIŞCĂRI PARTICULARE ALEPUNCTULUI MATERIAL
7.3.1. Mişcarea uniformă a punctului
Mişcarea uniformă este mişcarea în decursul căreia modulul vitezeirămâne constant:
ttanconsvv O (7.36)
Traiectoria mişcării uniforme a punctului poate fi rectilinie saucurbilinie.În figura 7.9. s-areprezentat o traiectorie curbilinie amobilului A. S-a notat cu O originea
spaţiului iar cu OA originea timpului.
În cazul mişcării uniforme, pe otraiectorie curbilinie, acceleraţiatangenţială a mobilului este nulă:
0dt
dva (7.37)
iar acceleraţia normală este diferită de zero.
Ecuaţia orară a mişcării se obţine prin integrarea ecuaţiei ,dtvds Orezultând:
.tvsssaudtvds OO
t
0
O
s
sO
(7.38)
Dacă mobilul trece prin origine timpului OA , înainte de începereacronometrării lui, cu 1t secunde, legea orară este: 1OO ttvss , iar dacă mobilul trece prin originea timpului OA , după 2t secunde de la în-ceperea cronometrării timpului, legea orară are forma: 2OO ttvss .
Diagramele mişcării ilustrează variaţia în timp a legilor de mişcare(7.39), (7.40) şi (7.41), adică reprezentarea grafică a ecuaţiilor de mişcare.În figura 7.10. s-au reprezentat grafic legile mişcării uniforme a punctului.
Se observă că diagrama spaţiului este o dreaptă de pantă ,vtgm O
Fig. 7.9,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 176/487
1757. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
diagrama vitezei este o dreaptă paralelăcu axa timpului, iar diagrama acceleraţiei
tangenţiale este reprezentată chiar de axaabsciselor.
7.3.2. Mişcarea uniform variată
Mişcarea uniform variată a punctuluieste mişcarea în care modulul vitezei
variază liniar cu timpul. Din definiţia acestei mişcări rezultă că acceleraţiatangenţială a punctului rămâne constantă în timpul mişcării:
.ttanconsdt
dva (7.39)
Relaţia (7.39) reprezintălegea acceleraţiei tangenţiale a
punctului în mişcare uniformvariată pe traiectorie curbilinie.
Dacă traiectoria este rectilinieacceleraţia tangenţială devineacceleraţie fără indice. În figura
7.11. s-a reprezentat un punct A în mişcare uniform variată pe o traiectoriecurbilinie. Dacă O reprezintă originea spaţiului şi OA originea timpului,condiţiile iniţiale ale mişcării sunt: la t = 0, .vvşiss OO
Prin integrarea ecuaţiei (7.39) rezultă legea vitezei punctului:
.tavvsaudtadv O
t
0
v
vO
(7.40)
Ştiind că v = ds/dt, prin integrare rezultă legea orară a mişcării saulegea spaţiului:
,dttavvdtds O
t
0
s
sO
deci:
.2
tatvss
2
OO (7.41)
Fig. 7.11.
Fig. 7.10.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 177/487
176 MECANICĂ
Mişcarea uniform variată poate fi uniform accelerată când 0av
şi uniform încetinită când 0av
. Astfel, pentru mişcarea uniform
accelerată, când acceleraţia are acelaşi sens cu viteza punctului legile demişcare scrise grupat sunt:
.2
tatvss;tavv;0.cta
2
OOO (7.42)
În cazul mişcării uniform încetinite (întârziată), când cei doi vectori
aşiv
au sensuri diferite, legile de mişcare sunt:
.2
t
atvss;tavv;0.cta
2
OOO (7.43)În figura 7.12. sunt trasate (diagra-
mele mişcării) curbele de variaţie alespaţiului, vitezei şi acceleraţiei în funcţiede timp, în cazul mişcării uniform ac-celerate. Diagrama spaţiului este o
parabolă în care, tangenta într-un punctreprezintă mărimea vitezei în acel
moment.Uneori în aplicaţii este utilăfolosirea relaţiei lui Galilei. Ea se obţine
prin eliminarea timpului între legeavitezei (7.40) şi legea spaţiului (7.54):
.ssa2vv O2O
2 (7.44)
Diagramele mişcării au aplicaţiiutile în rezolvarea problemelor privind
locul şi timpul de întâlnire al mobilelor ce se mişcă pe aceiaşi traiectorie sau pe traiectorii paralele (cazul trenurilor şi al autovehiculelor).
Fig. 7.12.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 178/487
1777. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
7.3.3. Mişcarea circulară
Mişcarea circulară este mişcarea punctului având ca traiectorie uncerc. Mişcarea punctului pe cerc poate fi studiată în oricare din sistemelede referinţă prezentate în paragrafele precedente. În cele ce urmeazămişcarea circulară va fi studiată în coordonate naturale.
Poziţia la un moment dat a punctului A petraiectoria circulară de rază R (fig.7.13) poatefi stabilită cu ajutorul parametrului geometric
variabil, unghiul măsurat între raza poziţieiiniţiale AO şi cea a poziţiei cerute A. Legea de
mişcare este deci: .t
Spaţiul S parcurs de mobilul A faţă de
originea OA se poate exprima în funcţie de
spaţiul unghiular t astfel: .tR tss (7.45)
Relaţia (7.45) reprezintă ecuaţia orară a mişcării circulare.Utilizând expresiile vitezei (7.28) şi acceleraţiei (7.29) în sistemul de
coordonate naturale sau intrinseci rezultă:
,R a;R R s
sa
;R v;R sv
4222
(7.46)
unde este viteza unghiulară a razei care urmăreşte mobilul înmişcarea lui pe cerc; - acceleraţia unghiulară; r = R - raza cercului.Cu aceste notaţii expresiile vitezei şi componentele acceleraţiei sunt:
.R a;R a;R a;R v 432
(7.47)
Direcţia acceleraţiei totale a
faţă de axa normală, ce trece princentrul cercului, se determină cu relaţia:
.a
atg 2
(7.48)
Fig. 7.13.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 179/487
178 MECANICĂ
În cazul particular al mişcării circulare uniforme avem:
.tşi.ct,0 (7.49)
În aceste condiţii, componenta tangenţială a acceleraţiei este nulă,0R a iar acceleraţia punctului va avea direcţia razei şi sensul
îndreptat spre centrul cercului:
.R R
vaa 2
2
(7.50)
În mişcarea circulară uniformă, viteza unghiulară poate fi calculatăşi în funcţie de numărul n de rotaţii complete efectuate de punct într-unminut (turaţia), cu ajutorul relaţiei:
.30
n
60
n2
(7.51)
Derivând de două ori în raport cu timpul, s =s(t), spaţiul parcurs de punctul A pe cercul de rază R, rezultă relaţiile între mărimile cinematiceliniare şi cele unghiulare, astfel:
,R as;R vs;R s
sau
.R avs
(7.52)
Relaţiile (7.52) exprimă faptul că mărimile cinematice liniare sunt proporţionale cu cele unghiulare, factor de proporţionalitate fiind razacercului R.
Legile mişcarii circulare în elemente cinematice unghiulare, seobţin cunoscând corespondenţa între elementele cinematice liniare şi celeunghiulare (relaţiile 7.69):
- mişcarea circulară uniformă:;t.;ct;0 OOO (7.53)
- mişcarea circulară uniform accelerată :0
;2
tt;t;0.ct
2
OOOOOO (7.54)
- mişcarea circulară uniform încetinită :0
;2
tt;t;0.ct
2
OOOOOO (7.55)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 180/487
1797. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
Relaţia lui Galilei în elemente unghiulare, obţinută prin eliminareatimpului între legea spaţiului unghiular şi a vitezei unghiulare, este:
.2 O2O
2
(7.56)
7.3.4. Mişcarea oscilatorie armonică
Mişcarea oscilatorie armonică este cea mai simplă mişcare periodică.Mişcarea periodică este mişcarea limitată spaţial, la care toate elementelecinematice ale mişcării (poziţie, viteză, acceleraţie) se repetă după acelaşi
interval minim de timp, T, numit perioadă. O asemenea mişcare se exprimă printr-o funcţie periodică de timp, de forma:
,Ttqtq (7.57)
unde q reprezintă un parametru geometric, distanţă sau unghi, ce defineşte poziţia mobilului.
Parametrul geometric ce defineşte poziţia mobilului în cazul mişcăriioscilatorii armonice, poate fi exprimat printr-un polinom de gradul întâi în
sinusul sau/şi cosinusul unei funcţii liniare de timp.Cele mai utilizate funcţii periodice (legi de mişcare) pentru a descriemişcarea oscilatorie sunt:
.tcosay;tsinax (7.58)În aceste relaţii apar următoarele mărimi caracteristice:
x, y - poartă numele de elongaţie şi reprezintă distanţa la un momentdat dintre mobilul respectiv şi centrul de oscilaţie;
a - este amplitudinea mişcării şi reprezintă valoarea maximă a
elongaţiei; - pulsaţia sau frecvenţa circulară şi reprezintă numărul de oscilaţiiefectuate în 2 unităţi de timp;
( t + ) - unghiul de fază sau faza, precizează poziţia mobilului latimpul t;
- faza iniţială, este faza la momentul t = 0.Ştiind că funcţiile sinus şi cosinus sunt periodice din 2 în 2, şi au
acelaşi interval minim de timp T, numit perioadă, se obţine legătura între
pulsaţie, perioadă şi frecvenţă:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 181/487
180 MECANICĂ
,f 2T
2
(7.59)
unde f = 1/T este frecvenţa şi reprezintă numărul de oscilaţii efectuateîn unitatea de timp.Considerând legea de mişcare x = a sin ( t + ), prin derivare în
raport cu timpul se obţin legile vitezei şi acceleraţiei:
.tsinax;tcosax 2 (7.60)Reprezentatre grafică a acestor trei funcţii de variabilă independentă
t este redată în figura 7.14.
7.4 PROBLEME REZOLVATE
1. Mişcarea în spaţiu a unui punct material este definită de vectorul
de poziţie k ptm j ptmi ptmr 32
322
212
1
unde t este
timpul iar 321321 p, p, p,m,m,m constante numerice. Să se determine:
traiectoria punctului, viteza şi hodograful vitezei, acceleraţia şi hodografulacceleraţiei precum şi legea orară a mişcării.
Rezolvare. - Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:
Fig. 7.14.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 182/487
1817. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
. ptmz; ptmy; ptmx 32
322
212
1 Eliminând timpul între aceste ecuaţii, rezultă traiectoria:
3
3
2
2
1
1
m
pz
m
py
m
px
Traiectoria este o dreaptă ce trece prin punctul 321 p, p, pP de vector
de poziţie: k p j pi pr 321 p
şi este coliniară cu vectorul:
.k m jmimm 321
.
- Proiecţiile vitezei punctului sunt: tm2z,tm2y,tm2x 321 deci:
tm2k tm2 jtm2itm2v 321
şi mărimea mt2v .
Hodograful mişcării este: ,m2
z
m2
y
m2
x
321
o dreaptă ce trece
prin originea sistemului zyxO şi este coliniară cu vectorul m
.
- Proiecţiile acceleraţiei mobilului sunt: ,m2z;m2y;m2x 321 deci:
m2k m2 jm2im2a 321
şi mărimea .constm2a
Hodograful acceleraţiei este un punct definit de vectorul de poziţie
,m2r
în sistemul zyxO .
- Legea orară a mişcării este: OO sdtmt2sdtvs
,smt2 O2
unde m este valoarea numerică a vectorului m
.
2. Bara AB se roteşte cu viteză unghiulară constantă O în jurul
articulaţiei O (fig. 7.15).În timpul mişcării barei, punctul C situat la distanţa a faţă de capătul
A, descrie cercul de rază R. Bara alunecă în timpul mişcării în manşonul(1). Să se determine în coordonate polare: a) Ecuaţia traiectoriei punctuluiA (curba “melcul lui Pascal”); b) componentele vitezei şi acceleraţiei
punctului A.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 183/487
182 MECANICĂ
Rezolvare.
a) Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului A (r, q) sunt:
;tO ;atcosR 2CAOCOA O Ecuaţia traiectoriei sub formă
explicită este:
.acosR 2 b) Componentele vitezei
punctului sunt:
;tsinR 2v OO
.atcosR 2v OO
Componentele acceleraţiei punctului sunt:
;atcosR 4
atcosR 2tcosR 2a
O2O
2OOO
2O
2
.tsinR 42a O
2
O
3. Un punct A se deplasează pe parabola de ecuaţie ,5x3y 2
hodograful mişcării în raport cu punctul O fiind parabola .x3y 2 La
momentul t = 0, mobilul se află în punctul OA (1, 8). Să se determine: a)
viteza mobilului; b) componentele acceleraţiei, normală şi tangenţială în A.
Rezolvare: a) Se derivează ecuaţia traiectoriei ,5x3y2
în raportcu timpul, rezultând:
,dt
dx3
dt
dydar ,
dt
dxx6
dt
dy2
prin eliminarea derivatei ,dt
dy între
cele două relaţii se obţine:
.0x6dt
dx3
dt
dx
dt
dxx6
dt
dx3
2
Fig. 7.15
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 184/487
1837. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
Sunt posibile două cazuri:
,0dt
dx
. în acest caz: x=ct. şi y=ct.;
.dt2x
dx saux2
dt
dx adicã.0
dt
dx.
Integrând ecuaţia de mai sus rezultă:
5e3yşiexmdeci,lnt2xln t42t2 unde a este constantă de integrare.
Din condiţia 8,1A,0t O rezultă a = 1.Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:
,5e3y;ex t4t2 mişcarea punctului A se efectuează după o lege exponenţială.
Derivând relaţiile (8.45) rezultă componentele vitezei şi viteza v :
. je12ie2viar e12yv;e2xv t4t2t4y
t2x
b) Componentele acceleraţiei rezultă derivând relaţiile :. je48ie4aiar e48ya;e4xa t4t2t4
yt2
x
Modulul vitezei şi acceleraţiei sunt:
.e48e16a,e144e4v t82t4t8t4 Componenta tangenţială a acceleraţiei:
.e 361
e 1081e4
dt
dva 2/1t4
t4t2
Componenta normală a acceleraţiei:
.
e361
e1081e16e48e16aaa
t4
2t4t42t82t422
4. Un mobil având viteza vO constantă pătrunde într-un mediu
rezistent în care este supus unei acceleraţii ,kva 2 unde k este o
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 185/487
184 MECANICĂ
constantă iar v este viteza instantanee. Săse determine: a) legea vitezei mobilului v (t)
dacă la t = 0, Ovv b) legea spaţiului x(t),luând ca origine a timpului şi a spaţiuluimomentul în care mobilul pătrunde în mediu;c) viteza mobilului în funcţie de spaţiul x
parcurs, v (x) (fig. 7.16).
Rezolvare. a) Dacă 2kva rezultă
ecuaţia: ,kdtv
dv2 iar prin integrare
rezultă: .Cktv
1 Pentru Ovv,0t iar
,v
1C
O
deci ,v
1kt
v
1
O
.tkv1
vtv
O
O
b) Ecuaţia de mişcare se obţine din legea vitezei:
,tkv1
v
dt
dx
O
O
notăm .dtkvdz,tkv1z OO
Deci, ,
z
dz
k
1dx care prin integrare rezultă:
.1C:obţbţise,0x,0t pentru,Clnk
1zln
k
1tx
În final:
.tkv1lnk
1tx O
c) Legea v = v (x) se poate obţine direct prin eliminarea timpului
între relaţiile :
Fig. 7.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 186/487
1857. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
,ev
v sau
v
vln
k
1x kxOO în final .evv kx
O
5. Pe o traiectorie oarecare AB se mişcă două puncte materiale
.MşiM 21 Punctul 1M trece prin A spre B, uniform cu 1v = 60 m/s iar
2M trece prin B cu 5 secunde mai târziu
spre A, uniform accelerat având 2v =
140 m/s şi .s/m20a 2 Lungimeatraiectoriei fiind AB = 3300 m, să sedetermine analitic şi grafic timpul şi loculîntâlnirii.
Rezolvare. Se alege origineaspaţiului în A, iar sensul pozitiv de la Aspre B şi originea timpului momentul când
M2 trece prin B. Legile orare ale mişcării
în aceste condiţii sunt:
.3300t140t202
1sM;5t60sM 2
2211
Punând condiţia ca ,ss 21 rezultă: 0300t20t 2 de unde
.sec10t 2,1 şi .m900s 2,1 Pentru trasarea prin puncte a legii spaţiului
s2 se folosesc valorile din tabelul alăturat:
Cele două legi de
mişcare tsşits 21 s-au
reprezentat în figura 7.17.
Observaţie. Dacă se alege originea timpului în momentul când 1M
trece prin A, legile de mişcare sunt:
;t60M 11
t 0 5 10 12
S 3300 2350 500 0
Fig. 7.17
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 187/487
186 MECANICĂ
.3305t1405t202
1sM 2
22
Din condiţia s s1 2 rezultă ,0375t10t 2 de unde .sec15t 2,1
şi .m900s 2,1
6. Un punct material se deplasează pe un cerc de rază R = 4m cu
acceleraţia tangenţială 2s/m3a având la timpul t = 1s acceleraţia
totală .s/m5a 2 Să se determine:
a) acceleraţia normalăa la t = 1s; b) viteza iniţială ;vO c) viteza la
timpul t = 1s; c) spaţiul parcurs în timp de 5s; e) numărul total de rotaţiirealizat în 10s.
Rezolvare. a) Acceleraţia normală: .16925aaa 222 Deci
.s/m4a 2 b) Viteza iniţială se determină ştiind valoarea acceleraţieinormale:
.s/m1v
4
v134Deci;
R
vta
R
va O
2
O
2
O2
c) Viteza la timpul t = 1s. Legile de mişcare ale punctului sunt:- în elemente liniare:- în elemente unghiulare:
22 s/rad
4
3
R
as/m3a
4
1t
4
3t31v
t4
1
8
t3
2
t3tS
22
la .s/m4131v,s1t
d) Spaţiul parcurs în timp de 5 sec; m5.4222535S .
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 188/487
1877. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
e) Numărul total de rotaţii efectuat în timp de 10 secunde;
.rot38,314,38
85
104
1
108
3
2
1
2 N
2
7. Paletele unei turbine aflate iniţial în repaus sunt acţionate de uncurent de aer care le imprimă o mişcare uniform accelerată. După 4 sec.de la începutul mişcării paletele au o turaţie n = 5 rot/sec. Se cere: a)viteza şi acceleraţia unui punct de pe paletă situat la 0,2 m faţă de axă,după trei secunde de la pornire; b) numărul total N de rotaţii efectuat de
paletă după 4 secunde de la pornire. Rezolvare. a) Legile de mişcare ale paletei în elemente unghiulare
sunt: ;0.ct .2
t;t
2
On2,s4tLa 52
.sec/rad10 Acceleraţia unghiulară .s/rad85,74
10
t2
;s/m71,42,0385,7R tR v,s3La acceleraţia normală
222
s/m92,1102,0
71,4
R
va
iar acceleraţia tangenţială
2s/m57,12,085,7R a
Deci acceleraţia totală va fi: .s/m93,110aaa 222
b) Numărul total de rotaţii efectuat în 4 secunde: Ştiind că N2
rezultă rot1014,34
485,7
4
t
2 N
22
8. Un punct material M se mişcă pe o traiectorie oarecare după
legea spaţiului .mt314cos32t314sin25s Să se calculeze: a)
frecvenţa şi perioada; b) amplitudinea şi defazajul; c) viteza şi acceleraţia
tangenţială maximă.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 189/487
188 MECANICĂ
Rezolvare. a) Cele două funcţii trigonometrice sunt la puterea întâiaşi au acelaşi argument. Mişcarea este oscilatorie armonică. Legea spaţiului
se restrânge sub forma:,t314cos3t314sin25s înlocuind ,tg3 rezultă:
,t314sin45t314coscos
sint314sin25s
unde .3
Deci frecvenţa este .,Hz50
2
314
2f
perioada
fiind .s02,050
1
f
1T
b) Amplitudinea este A = 4 m, şi defazajul .3
c) Viteza şi acceleraţia tangenţială maximă:
;s/m400v,3t314cos4314vs max
.s/m104a,3
t314sin4314as 242
max
9. În figura 7.18 este reprezentat mecanismul bielă manivelă utilizatla presele de forjat.
Se cunoaşte lungimea manivelei OA = a, lungimea bielei AB = b şiviteza unghiulară a manivelei w = ct. Să se determine expresiile vitezei şiacceleraţiei punctului B, în funcţie de unghiul a şi l = a/b.
Rezolvare. Mişcarea punctului B este oscilatorie şi rectilinie. Luândca punct de referinţă articulaţia O, legea orară a mişcării este:
,sin1 bcosacos bcosaBAAOy 22B
deoarece
.sin1cossin bsina 22
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 190/487
1897. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
Pentru o formulă aproximativă, se ştie că:
422
sin24
1
sin2
1
1sin1 este o serie convergentă pentru .1sin 2
Pentru raportul l = 1/5 mai des utilizat şi valoareamaximă sin a = 1, rezultă:
,0002,002,0125
11 ceea ce ne arată
că seria este rapid convergentă şi deci pentru aplicaţii practice putem să ne limităm la primii doi termeni şi înacest fel rezultă formula aproximativă pentru legeaorară:
,sin2
11 bcosay 22
B
unde .t
Legea vitezei punctului B:
.2sin2
sinayv BB
Legea acceleraţiei punctului B:
.2coscosaya 2BB
7.5. PROBLEME PROPUSE
1. Un punct material plecând din origine, se mişcă pe parabola de
ecuaţie6
xy
2
cu viteza constantă v = 5 m/s. Să se determine acceleraţia
punctului în momentul când abscisa este x = 4 m.
R . 2s/m8,1aa
2. Ecuaţia vectorială a traiectoriei unui punct material este
Fig. 7.18
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 191/487
190 MECANICĂ
)m(k t3 jtsin4itcos4r . Să se determine viteza, acceleraţia şi
raza de curbură a traiectoriei mobilului.
R . v = 5 m/s; a = 4 m /s2; r = 6,25 m.
3. Pe un cerc de rază R = 0,1 m se deplasează un punct după legeaS = 4 t + 2 t2 (cm). Să se calculeze mărimea vitezei şi acceleraţiei latimpul t = 4 s.
R . v = 0,2 m/s; 2s/m4.010104.0a .
4. Un motor electric porneşte din repaus în mişcare uniformaccelerată şi în 10 s ajunge la turaţia de regim n
O = 300 rot/min. Cunoscând
că rotorul acestui motor are diametrul D = 0,2 m, să se afle: a) viteza şiacceleraţia unui punct M de pe periferia rotorului la 4 s de la pornire
precum şi în mişcare de regim; b) câte rotaţii a efectuat rotorul în cele 10s cât a durat perioada de demarare a motorului.
R . a) v = 1,256 m/s; a = 1,96 m/s2; v = 3,14 m/s; a = 98,5 m/s2; b) N = 25 rotaţii.
5. Un punct material se mişcă pe o traiectorie plană de ecuaţie y = b x2, unde b = const. >0, cu o viteză constantă de mărime v
O. Determinaţi
valoarea maximă a acceleraţiei punctului şi figuraţi pe traiectoria luivectorul acceleraţie maximă.
R . 2Omin
2maxmax bv2/vaa
6. Un patinator aleargă cu o viteză constantă în jurul unui stadion parcurgând lungimea L = 1000 m într-un minut şi 15 secunde. Considerândcă traiectoria pe care se deplasează patinatorul este o curbă plană, ce secompune din două porţiuni drepte şi două porţiuni curbe de rază R = 30m, determinaţi valorile maximă şi minimă a acceleraţiei patinatorului.
R . amin= 0; a
max= 5,92 m/s2.
7. Mişcarea unui punct în plan este descrisă de ecuaţiile x = at cos
t, y =at sin t, unde a = const. > 0, =const. > 0. Determinaţi: a) razade curbură a traiectoriei la timpul t = 0 şi la t Ą; b) traiectoria punctului
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 192/487
1917. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
în coordonate polare; c) proiecţiile vitezei şi acceleraţiei punctului încoordonate polare.
R. a)
2a)0( ; ;b)
ar , spirala lui Arhimede;
c) v p= ; tav ; taa 2
p ; a2a
8. Un punct se mişcă după următoarele legi x = a ch(k t), y = b sh(k t), unde a, b şi k sunt constante pozitive. Determinaţi traiectoria, viteza şiacceleraţia punctului în funcţie de x şi y.
R . 2222424
2
2
2
2
yxk a;yax bab
k v;1
b
y
a
x
9. Bara AD, având în punctele B şi C articulate două manşoane, sedeplasează în plan vertical. Cele două manşoane se deplasează de-alungul celor două axe
perpendiculare (fig. 7.19 ). Bara
AD formează unghiul a cu axaOx. Acest unghi variază dupălegea a = t , unde w = const.> 0. Să se determine:
a) traiectoria punctuluiA şi raza de curbură a acesteitraiectorii la momentul t = 0 şi t= p/(2 w) dacă AB = BC = l;
b) hodograful vitezei şiacceleraţiei punctului A.
R . a)
l4
2;ly
4
x 222
b) .ly4
x;ly
4
x 422..2
..
222.2
.
Fig. 7.19
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 193/487
192 MECANICĂ
10. Mişcarea unui punct în plan, în intervalul de timp
2t0 ,
este dată de ecuaţia tsec bx şi ttg by , unde b = const. > 0, = const. > 0. Determinaţi: a) ecuaţia traiectoriei punctului; b) componentelescalare ale vitezei şi acceleraţiei punctului în coordonate naturale şi polarela momentul t = 0.
R . a) x2 - y2 = b2; b) v (0) = b ; a(0) = 0, a(0) = b 2; v(0) = 0; v(0) = b ;a(0) = b 2; a(0) = 0.
11. Pe bara OA ce se roteşte în jurul articulaţiei O, se mişcă (fig.7.20) culisorul M prin intermediul unui fir inextensibil 2 trecut pestescripetele A. Capătul opus al firului este fixat în B şi se înfăşoară pediscul 1 de rază R, arcul 3 fiind permanent întins. La momentul iniţial (t =0) bara OA se află în poziţie orizontală, iar culisorul M se suprapune cu
punctul C de pe discul 1. Determinaţi: a) ecuaţiile parametrice ale
traiectoriei punctului M, în coordonate carteziene; b) viteza, acceleraţiatangenţială şi acceleraţia normală ca funcţii ale unghiului ; c) raza polarăla momentul iniţial t = 0, dacă unghiul = t, unde = const.
R . a) x = R ( 1 + t ) cos t ; y = R ( 1+ t ) sin t ,traiectoria este spirala lui Arhimede ;
b)
2
22
2
2
2
)1(1
])1(2[R )(a
)1(1)1(R )(a
)1(1R )(v
c)
3R 22)0( .
12. Punctul A situat pe pala elicei unui avion (fig. 7.21) are la un
moment dat acceleraţia a şi formează unghiul a cu raza OA = R.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 194/487
1937. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
Determinaţi viteza punctului A şi unghiul j la un moment dat, în funcţie deacceleraţia a şi timpul t. Se consideră ca la momentul iniţial = 0 iar elicea se roteşte uniform accelerat.
R . vA = a ( sin ) t; = a ( sin ) t2/2 R.
13. Un schior (punctul M) sare dela o trambulină montată pe vârful unuideal. În momentul când părăseşte
trambulina schiorul are viteza ov , iar porţiunea de lansare O1O formeazăunghiul cu orizontala iar OA = h. Pantade aterizare AB formează unghiul cuorizontala. Să se determine înălţimea Hmaximă atinsă de schior şi distanţa L lacare aterizează (fig. 7.22).
R .
]cosv
gh2
)tgtg()tgtg[(g
cosv
L
;hg2
sinvH
22o
222
o
22o
Fig. 7.22
Fig. 7.20 Fig. 7.21
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 195/487
194 MECANICĂ
14. Dintr-un avion care zboară în linie dreaptă (fig. 7.23), cu viteza
constantă ov la înălţimea H, se
lansează un pachet (punctul M) carese mişcă pe verticală cu acceleraţia
g . Să se determine: a) traiectoria punctului M în sistemul de coordonateOxy; b) distanţa l, la care cade
pachetul lansat din avion; c) mărimeavitezei punctului în momentul căderii
pe sol şi unghiul pe care îl formeazăaceastă viteză cu verticala A.
R .
a)2
2o
xv2
gy ; b)
g
H2vI o ; c)
2gH
varctg ;gH2vv o2
o
15. Bara AB de lungime l, cade,aflându-se tot timpul mişcării într-un
plan vertical. Capetele A şi B sedeplasează de-a lungul axelor fixe Oxşi Oy (fig. 7.24).
Să se determine traiectoria punctelor C şi D (dacă AC = l/2, AD= 3l/4) şi de asemenea raza de curburăa traiectoriei punctului D în momentulcăderii barei pe axa Ox precum şi
viteza şi acceleraţia punctului D.R.
;12
l
2;l
4
9y9x;
4
lyx 22
D2D
22C
2C
pentru determinarea vitezei şi acceleraţiei se utilizează relaţia:
......
2.
2.
xyyx
)yx(
23
=
Fig. 7.23
Fig. 7.24
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 196/487
1958. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
8.
CINEMATICA SOLIDULUI RIGID
8.1. Mişcarea generală a rigidului .................................... 1978.1.1. Viteza unghiulară instantanee a rigidului ............. 1978.1.2. Distribuţia vitezelor ........................................... 1998.1.3. Distribuţia acceleraţiilor .................................... 200
8.2. Mişcarea de translaţie ................................................ 2028.2.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 2028.2.2. Distribuţia vitezelor ............................................ 2038.2.3. Distribuţia acceleraţiilor ...................................... 203
8.3. Mişcarea de rotaţie cu axă fixă ................................... 2038.3.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 204
8.3.2. Distribuţia vitezelor .......................................... 2058.3.3. Distribuţia acceleraţiilor ..................................... 206
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 197/487
196 MECANICĂ
8.4. Mişcarea elicoidală ..................................................... 2078.4.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 207
8.4.2. Distribuţia vitezelor ............................................ 2088.4.3. Distribuţia acceleraţiilor ...................................... 2098.4.4. Mişcarea de şurub ............................................. 210
8.5. Mişcarea plan paralelă ................................................. 2118.5.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 2118.5.2. Distribuţia vitezelor ............................................ 2138.5.3. Centrul instantaneu de rotaţie. Baza şi
rostogolitoarea ................................................ 214
8.5.4. Distribuţia acceleraţiilor .................................... 2178.5.5. Polul acceleraţiilor ............................................. 2188.6. Mişcarea cu punct fix ................................................... 220
8.6.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 2208.6.2. Distribuţia vitezelor ............................................. 2218.6.3. Distribuţia acceleraţiilor ..................................... 223
8.7. Probleme rezolvate ..................................................... 2248.8 Probleme propuse ......................................................... 234
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 198/487
1978. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
8CINEMATICA SOLIDULUI RIGID
8.1. MIŞCAREA GENERALĂ A RIGIDULUI
Mişcarea unui rigid în raport cu un sistem de referinţă fix, este
cunoscută dacă se poate preciza la orice moment poziţia rigidului, vitezaşi acceleraţia oricărui punct al rigidului, faţă de sistemul considerat.
Poziţia în spaţiu a rigidului poate fi stabilită cu ajutorul coordonatelor a trei puncte necoliniare ,z,y,xA 111 222 z,y,xB şi .z,y,xC 333 Întreaceste nouă coordonate pot fi scrise însă trei relaţii care exprimă faptulcă distanţele dintre puncte sunt invariabile, corpul fiind solid rigid(nedeformabil). Deci, din cei nouă parametrii geometrici numai şase potfi consideraţi independenţi, iar rigidul se spune că are şase grade de
libertate. Gradele de libertate sunt date de parametrii geometriciindependenţi (distanţe sau unghiuri) care precizează poziţia rigidului la unmoment dat.
8.1.1. Viteza unghiulară instantanee a rigidului
Studiul cel mai comod al mişcării unui rigid în raport cu un sistem de
referinţă fix se face studiind mişcarea unui sistem de referinţă mobil,solidar cu rigidul în mişcare, faţă de sistemul de referinţă fix. Cunoscând
poziţia sistemului de referinţă mobil faţă de cel fix, înseamnă că secunoaşte însăşi poziţia rigidului faţă de sistemul fix.
Cele două sisteme de referinţă utilizate în studiul mişcării rigidului sunt:Oxyz - sistemul de referinţă mobil, solidar cu rigidul în mişcare şi
1111 zyxO - sistemul de referinţă fix la care se raportează mişca- rea (fig.8.1). Poziţia sistemului de referinţă mobil Oxyz faţă de sistemul de referinţăfie 1111 zyxO poate fi stabilită şi cu ajutorul altor parametri geome- trici
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 199/487
198 MECANICĂ
independenţi, trei distanţe şi trei unghiuri, UNGHIURILE LUI EULER.Cele trei distanţe sunt coordonatele punctului OOO z,y,xO , originea
sistemului de referinţă mobil în sistemul de referinţă fix, acestea definindtranslaţia sistemului Ox‘y‘z‘, paralel cu sistemul 1111 zyxO Cele treiunghiuri ale lui Euler şi definesc rotaţia sistemului mobil, faţă de
sistemul Ox‘y‘z‘. Cu alte cuvinte, pentru a suprapune sistemul de referinţămobil peste cel fix, trebuie să efectuăm trei rotaţii şi trei translaţii.Pentru a defini unghiurile lui Euler, reprezentate în figura 8.1, s-a
trasat axa ON, numită axa nodurilor, dreapta de intersecţie dintre planulorizontal Ox‘y‘ şi planul Oxy rotit în spaţiu.
Unghiul , numit unghi de precesie, este unghiul format de axeleOx‘ şi ON; unghiul , unghiul de rotaţie proprie, este format deaxele ON şi Ox, iar unghiul , unghiul de nutaţie este format de
axele Oz‘ şi Oz.Pentru ca un rigid să poată efectua o mişcare generală este necesar ca el să nu fie supus la nici o restricţie geometrică, adică să fie liber înspaţiu. Rigidul se află în mişcare generală atunci când cei şase parametrigeomertici independenţi (8.1) numiţi şi parametri de poziţie, variază în timp.Deci, cele trei distanţe şi cele trei unghiuri sunt funcţii scalare de timp:
.t,t,t,tzz,tyy,txx OOOOOO (8.1)
Relaţiile (8.1) reprezintă legile mişcării generale a rigidului.
Variaţia unghiului de precesie indică rotaţia rigidului în jurul axei
Fig. 8.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 200/487
1998. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
Oz‘. Viteza de variaţie a acestui unghi reprezintă viteza unghiulară deprecesie , un vector orientat după axa Oz‘. Mărimea acestui vector
se exprimă prin derivata unghiului de precesie în raport cu timpul:.dt/d
Variaţia unghiului de rotaţie proprie , indică rotaţia rigidului în jurulaxei Oz. Viteza de variaţie a acestui unghi reprezintă viteza unghiularăde rotaţie proprie , vector orientat după axa Oz, iar mărimea sa seexprimă prin derivata în raport cu timpul a unghiului de rotaţie proprie:
.dt/d
Variaţia unghiului de nutaţie , indică rotaţia rigidului în jurul axei
nodurilor ON. Viteza de variaţie a acestui unghi reprezintă vitezaunghiulară de nutaţie , vector orientat după axa ON. Mărimea vitezeiunghiulare de nutaţie se exprimă prin derivata în raport cu timpul a unghiuluide nutaţie:
.dt/d
Viteza unghiulară instantanee a rigidului
este egală cu sumavectorială a vitezelor unghiulare de precesie, de rotaţie proprie şi de nutaţie:
.
(8.2)Suportul vitezei unghiulare instantanee se numeşte axă instantanee
de rotaţie a rigidului, notată A.I.R.
8.1.2. Distribuţia vitezelor
Poziţia unui punct oarecare A al rigidului se precizează cu ajutorulvectorului de poziţie r faţă de sistemul fix şi a vectorului de poziţie
faţă de sistemul mobil solidar cu rigidul (8.1). Poziţia polului O, origineasistemului mobil, faţă de sistemul fix, se precizează cu ajutorul vectoruluide poziţie .r O
Între aceşti vectori de poziţie există relaţia:
.r r O
(8.3)Viteza unui punct oarecare A se obţine derivând în raport cu timpul
expresia vectorului de poziţie (8.3):
.r r v O
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 201/487
200 MECANICĂ
Ţinând seama că ,dt/d reprezintă derivata în raport cu
timpul a vectorului de poziţie
, constant în modul, variabil în direcţie
(vezi relaţia 8.14) iar ,r v OO
viteza originii O a reperului mobil, rezultă:.vv O
(8.4)
Relaţia (8.4) reprezintă distribuţia de viteze în mişcarea generalăa rigidului, sau distribuţia lui Euler a vitezelor într-un solid rigid.
Expresia analitică a vitezei punctului oarecare A, în sistemul de
referinţă mobil de versori k , j,i
se obţine cunoscând expresiile analitice
ale vectorilor ,v,v,vv OzOyOxO
zyx ,,
şi z,y,x în acelaşi
sistem de referinţă. În baza relaţiei (8.4) rezultă:
.
zyx
k ji
k v jvivv zyxOzOyOx
Componentele scalare ale vitezei pe axele sistemului solidar cu rigidul sunt:
,xyOzz
zxOyy
yzOxx
yxvv
,xzvv
,zyvv
(8.5)
8.1.3. Distribuţia acceleraţiilorAcceleraţia unui punct oarecare A se obţine derivând în raport cu
timpul, distribuţia de viteze (8.4):.vva O
Ţinând cont că OO va acceleraţia polului O faţă de sistemul fix,
acceleraţia unghiulară a rigidului şi ,
rezultă formulagenerală a distribuţiei acceleraţiilor în mişcarea generală a rigidului:
.aa O
(8.6)Formula (8.6) este cunoscută şi sub denumirea de relaţia lui Euler
privind distribuţia de acceleraţii în mişcarea generală a rigidului.Expresia analitică a acceleraţiei punctului oarecare A, în sistemul de
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 202/487
2018. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
referinţă mobil solidar cu rigidul, se obţine cunoscând expresiile analitice
ale vectorilor ,a,a,aa OzOyOxO
zyx ,,
şi care înlocuite în (8.6)
rezultă:
.xyzxyz
k ji
zyx
k ji
k a jaiaa
yxxzzy
zyx
zyxOzOyOx
.
Componentele scalare ale vectorului acceleraţie pe axele sistemuluimobil sunt:
,yxzaa
,xzyaa
,zyxaa
xyzyxz2y
2xOzz
zxyxzy2x
2zOyy
yzxzyx2z
2yOxx
(8.7)
Cele prezentate până aici pot fi sintetizate în schema din figura 8.2.
Mişcările particulare ale rigidului se obţin impunând anumite condiţiivectorilor
şiv
O ,
ce caracterizează distribuţia vitezelor în mişcareagenerală a rigidului. Aceste mişcări sunt prezentate în tabelul 8.1.
Fig. 8.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 203/487
202 MECANICĂ
8.2. MIŞCAREA DE TRANSLAŢIE
8.2.1. Definiţie, exemple, grade de libertate
Un rigid efectuează o mişcare de translaţie când orice dreaptă a acestuia,rămâne paralelă cu ea însăşi tot timpul mişcării. Caracteristic acestei mişcărieste faptul că traiectoriile tuturor punctelor rigidului sunt curbe identice “ paralele” între ele, care pot fi suprapuse printr-o translaţie geometrică (v. fig. 8.3)
În mişcarea de translaţie punctele rigidului pot descrie traiectorii rectilinii,circulare sau curbiliniioarecare. Exemple de
corpuri care executămişcări de translaţiesunt: ascensorul, masaunei maşini de rabotat,
pistonul în interiorulcilindrului. Aceste cor-
puri execută mişcări detranslaţie cu traiectorii
rectilinii. Biela mecanis-mului paralelogram şi Fig. 8.3.
Tabelul 8.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 204/487
2038. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
scaunele scrânciobului (v. fig. 8.4) executămişcări de translaţie cu traiectorie circulară iar
biela de cuplare a roţilor de locomotivă şi pedalele bicicletei execută mişcări de translaţie cutraiectorii curbilinii oarecare.
Rigidul prezentat în figura 8.3 executămişcare de translaţie cu traiectorie curbilinieoarecare. Dacă dreapta OA rămâne paralelăcu ea însăşi tot timpul mişcării, înseamnă căaxele sistemului mobil vor fi paralele cu axele
sistemului fix, tot timpul mişcării. Deci, o altăcaracteristică a mişcării de translaţie este că viteza unghiulară de rotaţiea sistemului mobil faţă de cel fix este nulă:
.0şi0 (8.8)
Relaţiile (8.8) exprimă particularităţile cinematice ale mişcării detranslaţie.
Poziţia rigidului se poate preciza la orice moment cu ajutorul vectoruluide poziţie ,tr r OO
caracterizat de funcţiile scalare de timp:
.tzz;tyy,txx OOOOOO (8.9)Rezultă că rigidul în mişcare de translaţie are trei grade de libertate.
8.2.2. Distribuţia vitezelor
Distribuţia de viteze se obţine plecând de la formula generală (8.4) şiţinând seama de particularităţile cinematice (8.8) ale mişcării de translaţie:
,vv O (8.10)
adică, în mişcarea de translaţie, toate punctele rigidului, au la un momentdat aceeaşi viteză ca vector. Prin urmare, viteza este un vector liber.
8.2.3. Distribuţia acceleraţiilor
Pornind de la formula generală (8.4) şi ţinând seama de relaţiile(8.8) se obţine formula distribuţiei de acceleraţii în mişcarea de translaţie:
Fig. 8.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 205/487
204 MECANICĂ
,aa O
(8.11)
adică, la un moment dat toate punctele rigidului au aceeaşi acceleraţie ca
vector. Şi acceleraţia este un vector liber.Când un corp are o mişcare de translaţie se face abstracţie dedimensiunile lui şi se urmăreşte mişcarea unui punct al său, de exemplu,centrul său de masă.
8.3. MIŞCAREA DE ROTAŢIE CU AXĂ FIXĂ
8.3.1. Definiţie, exemple, grade de libertate
Un rigid efectuează o mişcare de rotaţie cu axă fixă atunci cânddouă puncte ale sale rămân fixe tot timpul mişcării. Dreapta care uneştecele două puncte este de asemenea fixă, ea numindu-se axă de rotaţie.
Exemple de rigide în mişcare de rotaţie: rotorul unui electromotor,rotorul unei turbine, volantul, roţile dinţate cu axe fixe de rotaţie etc.
În figura 8.5. se consideră un rigid de formă oarecare în mişcare de
rotaţie în jurul axei OO‘. Pentru simplificarea studiului mişcării de rotaţiese aleg originile 1O şi O ale celor două sisteme de referinţă în acelaşi
punct ,OO 1 iar axele1zz OşiO să
coincidă cu axa de rotaţie. Se observă că poziţia rigidului la un moment dat poate ficomplet precizată cu ajutorul unghiului = (t). Prin urmare, rigidul în mişcare derotaţie cu axă fixă are un singur grad delibertate.
Ţinând seama de definiţia mişcării,rezultă că fiecare punct al rigiduluidescrie o traiectorie circulară, cuprinsăîntr-un plan perpendicular pe axa derotaţie. Caracteristic acestei mişcări estefaptul că vectorii viteză unghiulară şi
acceleraţie unghiulară sunt coliniari, şi audirecţie fixă, direcţia axei de rotaţie. De Fig. 8.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 206/487
2058. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
asemenea viteza şi acceleraţia originii O a sistemului de referinţă mobilsolidar cu rigidul, au valori nule. Poziţia unui punct A oarecare al rigidului
poate fi precizată cu ajutorul vectorului de poziţie .
8.3.2. Distribuţia vitezelor
Particularităţile acestei mişcări sunt:
.k ;k ;0a;0v OO
(8.12)
Distribuţia vitezelor în mişcarea de rotaţie cu axă fixă rezultă din
relaţia generală (8.4) a lui Euler. prin particularizare, ţinând seama decaracteristicile acestei mişcări (8.12) sau prin derivarea în raport cu timpula vectorului de poziţie
, vector variabil în direcţie constant în mărime.
Se obţine astfel:.v
(8.13)
Din relaţia (8.13) rezultă că vectorul viteză v
este perpendicular pe planul definit de cei doi vectori din produsul vectorial, sensul stabilit de
regula şurubului drept, iar mărimea dată de relaţia:.R sinv
(8.14)
Proiecţiile vitezei pe axele sistemului de referinţă mobil, rezultă din (8.13):
, jxiy
zyx
00
k ji
v
.0v;xv;yv zyx Proprietăţile distribuţiei de viteze sunt următoarele:
a) punctele aparţinând axei de rotaţie au viteză nulă; b) vitezele sunt conţinute în plane perpendiculare pe axa de rotaţie,
deoarece ;0v z c) vitezele punctelor situate pe o dreaptă 1 paralelă cu axa de rotaţie
, au aceiaşi mărime, direcţie şi sens (sunt egale);
d) vitezele punctelor situate pe o dreaptă 2 perpendiculară pe axade rotaţie, sunt paralele între ele şi perpendiculare pe această dreaptă
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 207/487
206 MECANICĂ
2 iar modulele lor suntdirect proporţionale cu
distanţa de la punct la axa derotaţie (v. fig. 8.6).
8.3.3. Distribuţiaacceleraţiilor
Distribuţia acceleraţiilor
se obţine derivând în raportcu timpul distribuţia de viteze (8.13) sau din a doua relaţie a lui Euler (8.6), ţinând seamă de particularităţile cinematice (8.12) ale mişcării:
.a
(8.15)Deoarece vectorii viteză unghiulară
şi acceleraţie unghiulară ,
sunt dirijaţi după axa de rotaţie, rezultă că termenul , reprezintă
componenta tangenţială a acceleraţiei, iar termenul , com-
ponenta normală.
Proiecţiile acceleraţiei unui punct al rigidului în mişcare de rotaţie cuaxă fixă, rezultă din relaţia (8.15) prin dezvoltarea determinanţilor:
. jyxixy
0xy
00
k ji
zyx
00
k ji
a 22
Deci: .0a;yxa;xya z2
y2
x (8.16)
Modulul acceleraţiei: ,R aaa 422y
2x
(8.17)
unde ,yxR 22 este distanţa de la punct la axa de rotaţie.
Proprietăţile distribuţiei de acceleraţii:a) punctele situate pe axa de rotaţie au acceleraţie nulă;
b) acceleraţiile sunt vectori conţinuţi în plane perpendiculare pe axade rotaţie;
c) acceleraţiile punctelor situate pe o dreaptă 1 paralelă cu axa de
Fig. 8.6.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 208/487
2078. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
rotaţie sunt egale (v. fig. 8.7);d) acceleraţiile punctelor situate pe o dreaptă 2 perpendiculară pe
axa de rotaţie variază liniar şi sunt înclinate în sensul acceleraţieiunghiulare cu acelaşi unghi ( ./arctg 2
8.4. MIŞCAREA ELICOIDALĂ
8.4.1. Definiţie, exemple, grade de libertate
Un rigid efectuează o mişcare elicoidală atunci când două puncteale sale se deplasează în timpul mişcării pe o dreaptă fixă din spaţiu,numită axa mişcării elicoidale. Mişcarea elicoidală se mai numeşte şimişcare de roto-translaţie.
În conformitate cu această definiţie se deduce că mişcarea rigiduluirezultată din compunerea unei mişcări de translaţie rectilinie cu o rotaţieîn jurul aceleiaşi axe.
Exemple de rigide în mişcare elicoidală: mişcarea burghiului în timpul
prelucrării, mişcarea unui şurub într-o piuliţă fixă, elicea unui avion care sedeplasează în linie dreaptă, glontele ce se deplasează în ţeava armei etc.
În figura 8.8. s-a reprezentat un rigid în mişcare elicoidală. Celedouă puncte O şi O‘ rămân pe dreapta fixă Rigidul, pe lângă mişcareade rotaţie în jurul axei , are şi o mişcare de translaţie de-a lungul ei.
Fig. 8.8. Fig. 8.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 209/487
208 MECANICĂ
Cele două sisteme de referinţă, cel fix 1111 zyxO şi cel mobil Oxyz, solidar cu rigidul se aleg cu axele 11zO şi Oz suprapuse cu axa mişcării elicoidale . Poziţia sistemului de referinţă mobil, faţă de sistemul fix, se determinăla orice moment prin intermediul a doi parametri geometrici independenţi,care sunt funcţii de timp:
.t;tzz OO (8.18)Relaţiile (8.18) reprezintă legile mişcării elicoidale.Rigidul în mişcare elicoidală are, deci, două grade de libertate. Dacă
între cei doi parametrii există o relaţie liniară de forma ,hzO unde heste o constantă, mişcarea elicoidală este cu pas constant, iar rigidul are
un singur grad de libertate. De exemplu şurubul în interiorul unei piuliţefixe execută o mişcare elicoidală cu pas constant. Mişcarea elicoidală cu pas constant se mai numeşte şi mişcare de şurub, iar traiectoria unui punct aparţinând rigidului este o elice cilindrică.
Dacă între cei doi parametrii şizO există o relaţie neliniară,mişcarea este elicoidală cu pas variabil. De exemplu, cazul mişcării glonţuluiîn ţeava armei.
8.4.2. Distribuţia vitezelor
Particularităţile mişcării elicoidale sunt:
.k ;k ;k aa,k vv OOOO
(8.19)
Deci în cazul mişcării elicoidale vectorii
şivO sunt coliniari .||vO
În tot timpul mişcării, un punct A al rigidului rămâne la o distanţă
fixă R faţă de axa mişcării elicoidale.Distribuţia vitezelor în mişcarea elicoidală rezultă din prima relaţie a
lui Euler (8.4), ţinând seama de particularităţile acestei mişcări (8.19).Deci: ,vv O
(8.20)
unde ,vk zv tr OO
reprezintă componenta de translaţie a vitezei iar
,v rot
reprezintă componenta de rotaţie a vitezei. Prin urmare,
distribuţia de viteze se obţine prin suprapunerea a două câmpuri de viteze:unul specific mişcării de translaţie de-a lungul axei 1Oz şi al doilea spe-
cific unei mişcări de rotaţie în jurul aceleiaşi axe.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 210/487
2098. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
Proiecţiile vitezei unui punct în sistemul de referinţă mobil solidar curigidul rezultă din dezvoltarea expresiei (8.20):
,k z jxiy
zyx
00k ji
k zv OO
deci .vzv,xv,yv OOzyx
(8.21)
Modulul .vR vyxv 2O
222O
222
(8.22)
Din cele reprezentate mai sus se desprind următoarele proprietăţi:
a) rigidul în mişcare elicoidală nu are puncte de viteză nulă, punctelesituate pe axa mişcării elicoidale au viteză minimă egală cu ;vO
b) punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale auvitezele egale;
c) distribuţia de viteze rezultă prin suprapunerea unui câmp de vitezespecific translaţiei de-a lungul axei fixe şi a unui câmp specific rotaţieiîn jurul aceleiaşi axe.
8.4.3. Distribuţia acceleraţiilor
Distribuţia de acceleraţii rezultă prin derivarea distribuţiei de viteze(8.20) în raport cu timpul, sau din a doua relaţie a lui Euler (8.6) ţinândseama de particularităţiile acestei mişcări (8.19). Prin urmare:
,aa O
(8.23)
unde ,ak aa tr OO
reprezintă componenta de translaţie a acceleraţiei;,a rot
reprezintă componenta tangenţială de rotaţie;
rot a ,reprezintă componenta normală de rotaţie.
Proiecţiile acceleraţiei unui punct pe axele sistemului mobil dereferinţă, solidar cu rigidul rezultă prin dezvoltarea expresiei (8.23) ţinândseamă de particularităţile mişcării elicoidale (8.19):
,0xy 00
k ji
zyx 00
k ji
k aa O
(8.24)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 211/487
210 MECANICĂ
deci: .aa;yxa;xya Oz2
y2
x Modulul acceleraţiei:
.aR ayxa 2O
4222O
4222 (8.25)
Ca proprietăţi ale distribuţiei de acceleraţii se desprind următoarele:a) rigidul în mişcare elicoidală nu are puncte de acceleraţie nulă; punctele
situate pe axa mişcării elicoidale au acceleraţie minimă egală cu aO;
b) punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale, auaceiaşi acceleraţie;
c) distribuţia de acceleraţii rezultă prin suprapunerea unui câmp de
acceleraţii corespunzător mişcării de translaţie de-a lungul axei fixe
şi a unui câmp specific mişcării de rotaţie în jurul aceleiaşi axe.
8.4.4. Mişcarea de şurub
Mişcarea de şurub este un caz particular al mişcării elicoidale.
Particularitatea constă în aceea că datorită existenţei filetului la o rotaţiecompletă a şurubului, acesta înaintează în lungul axei sale cu un pas p.Prin urmare, între funcţiile tşitzO există o relaţie liniară de forma
,hzO iar rigidul are un singur grad de libertate.Dacă constanta h > 0, şurubul este
drept, iar dacă h < 0, şurubul este stâng.Pentru a determina valoarea
acestei constante se desfăşoară
filetul şurubului care este o elicecilindrică cu pas constant. Prindesfăşurarea filetului corespun-zător unui pas, se obţine un triunghidreptunghic (fig. 8.9.) de unghi ,unghiul filetului.
Din triunghiurile dreptunghice respective rezultă:
sauR 2
p
R
z
tgO
Fig. 8.9
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 212/487
2118. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
.2
ptgR zO
(8.26)
Din relaţia (8.26) rezultă constanta h, a şurubului:.
2
pRtgh
(8.27)
În aplicaţiile practice interesează de obicei, expresiile vitezei şi accele-raţiei de înaintare a şurubului, cunoscând viteza unghiulară a şuru-
bului. Aceasta se obţine prin derivarea în raport cu timpul a relaţiei (8.34):
- viteza de avans: ;2
pRtgzv OO
(8.28)
- acceleraţia de avans: ;2 pRtgza OO
(8.29)
unde p este pasul filetului; R este raza medie a şurubului; este unghiulde înclinare al filetului.
În cazul şuruburilor cu mai multe începuturi, avansul axial la o rotaţiede unghi este:
.n
2
pz f O
(8.30)
unde f n este numărul de începuturi al filetului.
8.5. MIŞCAREA PLAN PARALELĂ
8.5.1. Definiţie, exemple, grade de libertate
Un rigid efectuează o mişcare planparalelă, atunci când un plan al săurămâne tot timpul mişcării într-un plan fix numit plan director.
În figura 8.10 se consideră un rigid de formă oarecare în mişcare plan paralelă. Planul haşurat, determinat de trei puncte necoliniare alerigidului, rămâne tot timpul mişcării conţinut în planul 1 , numit plan di-rector.
Pentru studiul mişcării plan-paralele se aleg două sisteme de referinţă:unul fix 1111 zyxO ataşat planului fix 1 şi un sistem mobil Oxyz, solidar
cu rigidul în mişcare plan paralelă, ataşat planului mobil . Poziţia la un
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 213/487
212 MECANICĂ
moment dat a sis-temului mobil
(deci şi a rigidului)este definită decoordona- tele
OO y,x ale originiiO faţă de sistemulfix şi de unghiul dintre axele
11x xOşiO .
Aceşti para-metri geometriciindependenţi suntfuncţii scalare de
timp: .t;tyy;txx OOOO (8.31)
Aceaste funcţii (8.31) reprezintă legile mişcării plan-paralele arigidului.Se trage concluzia că un rigid aflat în mişcare plan-paralelă, are
trei grade de libertate.În tehnică se întâlnesc deseori corpuri în mişcare plan paralelă, ca de
exemplu: biela mecanismelor plane, roţile vehiculelor rulând în linie dreaptă,scripetele cu axă mobilă de rotaţie, bilele unui rulment radial, etc.
Din cele prezentate până aici, rezultă următoarele:a) orice dreaptă a rigidului perpendiculară pe planul director, rămâne
tot timpul mişcării paralelă cu ea însăşi, adică are o mişcare de translaţie; b) în timpul mişcării, punctele rigidului descriu traiectorii “paralele“
(curbe plane) situate în plane paralele cu planul director;c) dacă rigidul este o placă de grosime neglijabilă, conţinută în planul
fix, mişcarea se numeşte plană;d) distribuţia de viteze şi acceleraţii este aceiaşi în plane paralele cu
planul director; din acest considerent mişcarea rigidului se numeşte plan- paralelă;
e) viteza unghiulară instantanee este perpendiculară pe vitezele punctelor rigidului .vO
Ţinând seama de cele prezentate, studiul mişcării punctelor unui rigid
Fig. 8.10.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 214/487
2138. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
în mişcare plan-paralelă, poate fi redus la studiul mişcării într-un singur plan, de exemplu în planul Oxy.
8.5.2. Distribuţia vitezelor
Distribuţia vitezelor în mişcare plan-paralelă rezultă prin derivarea,în raport cu timpul, a vectorului de poziţie
Or r sau din relaţiilegenerale ale lui Euler (8.4) ţinând seama de particularităţile acestei mişcări .||şivO
Astfel rezultă:
,vcuvv OO
(8.32)unde ,vv tr O
reprezintă componenta de translaţie iar ,v rot
reprezintă componenta de rotaţie a vitezei.Rezultă că, distribuţia de viteze, specifică acestei mişcări poate fi
considerată ca fiind obţinută prin compunerea unui câmp de viteze spe-cific translaţiei, cu un câmp de viteze specific mişcării de rotaţie în jurulunei axe perpendiculare pe planul în care s-a efectuat translaţia.
Proiecţiile vitezei unui punct, pe axele sistemului de referinţă mobil,
rezultă prin dezvoltarea expresiei (8.32), astfel:
, jxviyv
zyx
00
k ji
jvivv OyOxOyOx
unde: .0v;xvv;yvv zOyyOxx (8.33)Deci, viteza oricărui punct al rigidului este conţinută într-un plan paralel
cu planul director.Pentru un rigid în mişcare plan-paralelă, cunoscând viteza unui punct
Ov
şi viteza unghiulară instantanee ,
se poate determina princompunerea câmpului de viteze, viteza oricărui punct aparţinând rigidului.Astfel, viteza punctului M, în baza relaţiei (8.32), este:
,vvOMvv MOOOM
(8.34)
unde Ov
, este componenta de translaţie iar ,vMO
este componenta de rotaţie,
viteza lui M faţă de O, perpendiculară pe OM în sensul vitezei unghiulare .
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 215/487
214 MECANICĂ
În figura 8.11. s-a determinat viteza punctuluiM din planul director, prin compunerea vectorilor
viteză de translaţie şi rotaţie conform relaţiei (8.34).
8.5.3. Centrul instantaneu de rotaţie.Baza şi rostogolitoarea
Ca şi celelalte mişcări ale rigidului, studiate până aici, şi în mişcarea plan-paralelă se pune
întrebarea dacă există puncte de viteză instantanee nulă. Pentrudeterminarea pe cale analitică a coordonatelor punctelor de viteză nulă,se pune condiţia ca proiecţiile vitezei unui punct oarecare, aparţinândrigidului în mişcare plan-paralelă, să fie nule:
;0xvv;0yvv OyyOxx
de unde rezultă: .v
y;v
x OxOy
(8.35)
Relaţiile (8.35) reprezintă coordonatele unui punct, notat cu
situatîn planul director, numit centrul instantaneu de rotaţie (C.I.R.).
În figura 8.12. s-areprezentat secţiuneahaşurată din planuldirector al rigidului, înmişcare plan-paralelă, şi
poziţ ia centrului in-
stantaneu de rotaţie înambele sisteme de refe-rinţă: y,xΙ în siste-mul mobil Oxy şi
11 y,xΙ în sistemul dereferinţă .yxO 111
Deci, centrulinstantaneu de rotaţie ( ) este punctul de viteză instantanee nulă, situat în
planul director. De fapt, există o infinitate de puncte de viteză instantaneenulă, situate pe o dreaptă perpendiculară pe planul director, numită axă
Fig. 8.11.
Fig. 8.12.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 216/487
2158. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
instan- tanee de rotaţie (A.I.R.). Centrul instantaneu de rotaţie reprezintădeci, punctul în care axa instantanee de rotaţie înţeapă planul director.
Conform relaţiei (8.35) poziţiile centrului instantaneu de rotaţie şi axeiinstantanee de rotaţie nu sunt fixe în timpul mişcării, ci se modifică
deoarece mărimile cinematice OyOx vşiv, sunt funcţie de timp.Locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie în raport cu sistemul
de referinţă mobil este o curbă numită centroidă mobilă sau rostogolitoare.Ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei sunt relaţiile (8.35), exprimate în
parametri cinematici.Locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie în sistemul de
referinţă fix ,yxO 111 este o altă curbă, numită centroidă fixă sau bază.Baza şi rostogolitoarea sunt două curbe tangente în centrul instantaneu
de rotaţie (), iar în timpul mişcării baza rămnând fixă, iar rostogolitoarease rostogoleşte fără alunecare pe bază.
Coordonatele centrului instantaneu de rotaţie în sistemul de referinţăfix (v. fig. 8.12), respectiv ecuaţiile parametrice ale bazei, se obţin utilizândformulele de la translaţia şi rotaţia sistemelor de axe. Sistemul Oxy estetranslatat şi rotit cu unghiul faţă de sistemul fix ,yxO 111 Rezultă că:
.yyy;xxx O1O1 (8.36)Sub formă matriceală coordonatele 11 yşix rezultă direct, utilizând
matricea de rotaţie:
.y
x
cossin
sincos
y
x
y
x
O
O
1
1
(8.37)
Ecuaţiile parametrice ale bazei sunt:
.cosysinxyy;sinycosxxx O1O1 (8.38)Ţinând seama de relaţiile (8.35) rezultă:
.cosv
sinv
yy;sinv
cosv
xx OxOy
O1OxOy
O1
Locul geometric al axei instantanee de rotaţie în sistemul de referinţăfix, este o suprafaţă cilindrică fixă, numită axoidă fixă, iar locul geometrical axei instantanee de rotaţie în sistemul de referinţă mobil, este o suprafaţăcilindrică mobilă, numită axoidă mobilă. În timpul mişcării plan-paralele arigidului axoida mobilă se rostogoleşte fără alunecare pe axoida fixă,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 217/487
216 MECANICĂ
generatoarea lor comună fiind axa instantaneede rotaţie, la momentul respectiv. Cele două
suprafeţe cilindrice pot fi tangente interior sautangente exterior. În figura 8.13. se prezintăcazul celor două axoide tangente exterior.
Dacă este punctul de viteză instantaneenulă; se pune întrebarea care este distribuţiade viteze în mişcarea plan-paralelă faţă deacest punct. Considerându-se , punctul dereferinţă, viteza unui alt punct oarecare B al
rigidului este:.0vdeoarece,vBBvv BB
(8.39)
Relaţia (8.39) demonstrează vectorial că distribuţia de viteze înmişcarea plan-paralelă, faţă de centrul instantaneu de rotaţie, este identicăcu cea dintr-o mişcare de rotaţie, ca şi când figura
plană din planul director s-ar roti în jurul lui cuviteza unghiulară .
Aceasta este cea mai impor--
tantă proprietate a distribuţiei vitezelor într-un rigid
în mişcare plan-paralelă. Cunoscând poziţiacentrului instantaneu de rotaţie şi viteza unghiulară
se poate determina viteza oricărui punctaparţinând rigidului în mişcare plan-paralelă. Con-form relaţiei (8.47) viteza punctelor B şi D suntvectori perpendiculari pe razele instantanee B şiD în sensul vitezei unghiulare
(fig. 8.14.):
,D90sinDvşiB90sinBv DB
În cazul aplicaţiilor practice, locurile geometrice ale centruluiinstantaneu de rotaţie, se pot determina analitic, aplicând teoria generalăa locurilor geometrice: se determină poziţia centrului instantaneu de rotaţie;se aleg cele două sisteme de referinţă fix şi mobil; se exprimă coordonatelecentrului instantaneu de rotaţie în cele două sisteme de referinţă în funcţiede parametrul geometric variabil, unghiul ; se elimină apoi acest
parametru variabil între ecuaţiile parametrice şi se determină ecuaţiile
celor două locuri geometrice propriu-zise, baza şi rostogolitoarea mişcării plan-paralele.
Fig. 8.13.
Fig. 8.14
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 218/487
2178. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
8.5.4. Distribuţia acceleraţiilor
Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea plan-paralelă rezultă derivândîn raport cu timpul distribuţia vitezelor (8.32), sau din a doua relaţie a luiEuler (8.4) ţinând seama de particularităţile acestei mişcări. Astfel rezultă:
.aşi||cu,aa oO
(8.40)
Proiecţiile acceleraţiei unui punct oarecare, pe axele sistemului dereferinţă rezultă prin dezvoltarea produselor vectoriale din expresia (8.40):
. jyxaixya 2
Oy
2
Ox
unde: .0a;yxaa;xyaa z2
Oyy2
Oxx (8.41)Rezultă că, acceleraţiile punctelor sunt obţinute în plane paralele cu
planul fix, director .yxO 111
Pentru un punct M situat în planul director, distribuţia de acceleraţii poate fi scrisă astfel:
,OMOMOMa
OMOMaa2
O
OM
deoarece ,0OM
rezultă: ,OMOMaa 2OM
unde Oa
reprezintă componenta de translaţie; MOaOM reprezintă
acceleraţia tangenţială a componentei de rotaţie a lui M faţă de
O; MO2 aOM
reprezintă acceleraţia normală a componentei de
rotaţie a lui M faţă de O.Deci, distribuţia de acceleraţii se va scrie astfel:
.aaaaaa MOOMOMOOM (8.42)
Cunoscând acceleraţia unui punct de referinţă
Oa
, viteza unghiulară instantanee
şi acceleraţiaunghiulară
, la un moment dat, se poate
determina acceleraţia punctului M princompunerea vectorială din relaţia (8.42). În figura8.15. se prezintă un exemplu de compunere a
vectorilor. Fig. 8.15.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 219/487
218 MECANICĂ
8.5.5. Polul acceleraţiilor
Şi în cazul acceleraţiilor se pune problema determinării punctului, din planul director, de acceleraţie instantanee nulă. Acest punct, notat cu J,se numeşte centrul sau polul acceleraţiilor. Coordonatele plouluiacceleraţiilor rezultă punând condiţia ca proiecţiile acceleraţiei unui punctoarecare (8.41), determinate în paragraful precedent, să fie nule:
.0yxaa;0xyaa 2Oyy
2Oxx (8.43)
Rezolvând sistemul celor două ecuaţii (8.43), prin metoda reduceriirezultă cele două necunoscute, coordonatele polului J:
.aa
y;aa
x42
Ox2
OyJ42
Oy2
OxJ
(8.44)
Din formulele (8.44) se vede că polul acceleraţiilor este un punct
care îşi schimbă poziţia în timp, deoarece OyOx aşia sunt în general funcţii
de timp. Întrucât cota Jz a polului J poate fi luată arbitrar, se deduce că
în mişcarea plan-paralelă există o axă perpendiculară pe planul director ce trece prin J şi ale cărei puncte au acceleraţie instantanee nulă.
În general, polul acceleraţiilor şi centrul instantaneu de rotaţie suntdouă puncte diferite.
Ca şi la viteze, este interesant de studiat distribuţia de acceleraţiifaţă de punctul de acceleraţie instantanee nulă.În acest caz, cunoscânddistribuţia de acceleraţii în mişcarea plan-paralelă (8.40) se consideră J
ca punct de referinţă OJ , rezultând:
,JBJBJBJBJBaa 2JB
deoarece: ,0JBşi0a J
se obţine:,aaaJBJBa BJBJBJ
2B
(8.45)
unde JBa BJ reprezintă componenta tangenţială a acceleraţiei
punctului B faţă de polul J iar JBa 2BJ
reprezintă componentanormală a acceleraţiei punctului B faţă de J. Între cele două componente
există unghiul de 90. Mărimea acceleraţiei punctului B este:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 220/487
2198. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
.JBaaa 422
BJ
2
BJB (8.46)
Unghiul dintre direcţia acceleraţiei totaleB
a
şi componenta normală este:
.a
atg
2BJ
BJ
(8.47)
Cu ajutorul relaţiei (8.45) se demonstrează pe cale vectorială că la unmoment dat distribuţia de acceleraţii în mişcare plan-paralelă este identicăcu cea din mişcarea de rotaţie, ca şi cum figura plană din planul director s-ar roti în jurul polului J cu viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară .
În figura 8.16. se prezintă distribuţia de acceleraţii faţă de polul J.
Relaţiile (8.46) scrise sub forma (8.48) ne permit să aflăm poziţia polului acceleraţiilor, cunoscând acceleraţia
Da a unui punct în mărime,
direcţie şi sens şi parametrii cinematici şi :
.arctg;a
DJ242
D
(8.48)
Determinarea polului J (v. fig. 8.17,a) pe baza relaţiilor (8.48) se faceastfel: se roteşte suportul acceleraţiei punctului D, în sensul acceleraţiei unghiulare, cu unghiul şi se află direcţia pe care se găseşte polul J. Pe aceastădirecţie, la distanţa DJ, calculată cu prima relaţie (8.48) se află polul J.
Polul J se poate determina şi în cazul când se cunosc direcţiile
acceleraţiilor a două puncte A şi B precum şi.şi
Polul J se află laintersecţia dreptelor, înclinate cu acelaşi unghi ,/arctg 2 în sensul
Fig. 8.17 a. b. Fig. 8.16.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 221/487
220 MECANICĂ
lui faţă de cele două direcţii cunoscute ale acceleraţiilor (v. fig. 8.17,b).Faţă de acest pol se pot reprezenta acceleraţiile oricăror puncte aparţinând
aceluiaşi rigid în mişcare plan-paralelă.
8.6. MIŞCAREA CU PUNCT FIX
8.6.1. Definiţie, exemple, grade de libertate
Un rigid efectuează o mişcare cu punct fix, atunci când un punct al
rigidului sau al reperului solidar, rămâne tot timpul mişcării în repaus.În studiul mişcăriirigidului cu punct fix se alegdouă sisteme de referinţă: unulfix 1111 zyxO şi unul mobilOxyz solidar cu rigidul înmişcare, având originile înacelaşi pol fix OO1 (fig.
8.18). În consecinţă, poziţia laun moment dat a rigidului poate fi stabilită numai cuunghiurile lui Euler: unghiul de
precesie t , unghiul derotaţie proprie t şiunghiul de nutaţie tunghiuri definite de mişcarea
generală a rigidului (v. cap. 8.1.1). Deci, rigidul cu punct fix are trei grade delibertate corespunzătoare celor trei rotaţii pe care le poate efectua în jurulunor axe ce trec prin punctul fix OO1 . Trecerea rigidului dintr-o poziţie înalta se poate realiza prin trei rotaţii succesive în jurul axelor 1Oz , ON şi Oz,modi- ficându-se pe rând cele trei unghiuri şi .
După aceste axe sunt orientate vitezele unghiulare corespunzătoare:după axa 1Oz , viteza unghiulară de precesie ; după axa nodurilor ON,viteza unghiulară de nutaţie iar după axa Oz, viteza unghiulară de rotaţie
proprie . Viteza unghiulară instantanee a rigidului este egală cu suma
Fig. 8.18
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 222/487
2218. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
vectorială a vitezelor unghiulare de precesie, rotaţie proprie şi nutaţie (8.2):
.
Aşa cum se poate observa în figura 8.18. traiectoria unui punct oarecareA al rigidului, este o curbă situată pe o sferă cu centrul în punctul fix O şi razăOA. Din această cauză mişcarea cu punct fix se mai numeşte mişcare sferică.
Ca exemple de corpuri în mişcare cu punct fix, putem da: giroscopul(fig. 8.19) este un volant greu ce se roteşte cu o viteză unghiulară mare în jurul axei proprii Oz, în timp ce se roteşte cu o viteză unghiularăde precesie în jurul axei fixe 11zO ; titirezul (fig. 8.20) are o mişcarede precesie în jurul axei fixe 11zO şi o mişcare de rotaţie în jurul axei
proprii Oz - presupunând unghiul de nutaţie = constant, viteza unghiularăde nutaţie este nulă iar viteza unghiulară instantanee rezultă princompunerea vitezelor unghiulare de rotaţie proprie şi de precesie:
;
rotaţiile unui automobil în viraj şi bilele unui rulment axial
sunt, de asemenea, corpuri în mişcare cu punct fix.
8.6.2. Distribuţia vitezelor
Distribuţia vitezelor în mişcarea cu punct fix rezultă prin
particularizarea relaţiei lui Euler, ştiind că: 0r O
şi 0vO
, iar vitezaunghiulară instantanee este un vector variabil în mărime şi direcţie,
Fig. 8.19 Fig. 8.20
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 223/487
222 MECANICĂ
suportul trecând tot timpul prin punctul fix O1 . Deci:
v (8.49)
Expresia analitică este:
.k xy jzxiyz
zyx
k ji
v yxxzzyzyx
Componentele scalare ale vitezei în sistemul de referinţă mobil Oxyz, sunt:
.xyv;zxv;yzv yxzxzyzyx (8.50)Pentru a găsi punctele de viteză nulă se pune condiţia:,0v
relaţie satisfăcută pentru 0
, adică punctul fix şi pentru
,
(8.51)adică în cazul când cei doi vectori
şi sunt coliniari ( un scalar).
Rezultă că punctele de viteză instantanee nulă se află pe o dreaptăce trece prin punctul fix, care este suportul vectorului
, numită axă
instantanee de rotaţie (A.I.R.). Din relaţia (8.49) se observă cădistribuţia de viteze la un moment dat se obţine ca şi cum rigidul s-ar roticu viteza unghiulară
în jurul axei instantanee de rotaţie. În acest fel,
mişcarea cu punct fix a rigidului se poate defini ca o mişcare de rotaţie în jurul unei axe instantanee ce trece tot timpul printr-un punct fix.
Axa instantanee de rotaţie îşi schimbă poziţia, atât faţă de reperulfix, cât şi faţă de cel mobil solidar cu rigidul.
Locul geometric al poziţiilor ocupate de axa instantanee de rotaţie înraport cu reperul fix este un con cu vârful în 1O , numit con herpolodic,iar locul geometric al axei instantanee de rotaţie în raport cu sistemul dereferinţă mobil este tot un con cu vârful în 1O , numit con polodic.
Aceste două conuri sunt cunoscute şi sub numele de conurile luiPOINSOT. În timpul mişcării rigidului, conul polodic se rostogoleşte fărăalunecare pe conul herpolodic, generatoarea lor comună fiind axainstantanee de rotaţie la momentul respectiv.
Cele două conuri (numite şi axoidă fixă şi axoidă mobilă) pot fitangente interior sau tangente exterior. În figura 8.21. se prezintă cazul
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 224/487
2238. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
conurilor tangente exterior.Ecuaţia axei instantanee de rotaţie faţă
de sistemul mobil se obţine din condiţia decoliniaritate a vectorilor şi rezultând
,zyx
zyx
(8.52)
unde zyx ,, - sunt proiecţiile vitezeiunghiulare
pe axele sistemului mobil de
referinţă.
Analog se deduc ecuaţiile canonice aleaxei instantanee de rotaţie faţă de sistemulde referinţă fix:
,zyx
111 z
1
y
1
x
1
(8.53)
unde111 zyx ,, - reprezintă proiecţiile vectorului
pe axele sistemu-
lui de referinţă fix.
8.6.3. Distribuţia acceleraţiilor
Pentru studiul acceleraţiilor se consideră formula generală (8.6) alui Euler în care 0a O
, deoarece 1OO sau derivând în raport cu
timpul distribuţia de viteze (8.49): .a
(8.54)
După cum se observă din relaţia (8.54), deşi formal distribuţia deacceleraţii este analoagă cu cea din mişcarea de rotaţie cu axă fixă,diferenţa esenţială între cele două mişcări constă în faptul că în mişcareacu punct fix este un vector variabil în mărime şi direcţie (suportul trecândtot timpul prin punctul fix 1O ). În consecinţă, rezultă că
.
, este un
vector al cărui suport este diferit de cel al lui
, astfel încât 0
.Proiecţiile acceleraţiei unui punct oarecare, pe axele sistemului de
referinţă mobil, solidar cu rigidul rezultă din dezvoltarea relaţiei (8.54):
Fig. 8.21
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 225/487
224 MECANICĂ
,xyzxyz
k ji
zyx
k ji
ayxxzzy
zyxzyx
de unde se deduce:
yxza
xzya
zyxa
xyzyxz2y
2xz
zxyxzy2x
2zy
yzxzyx2z
2yx
(8.55)
În continuare se va studia dacă există puncte de acceleraţie nulă.
Pentru aceasta este necesar ca 0aaa zyx iar din relaţiile (8.55)rezultă un sistem de trei ecuaţii algebrice omogene, cu trei necunoscute.Pentru a se obţine soluţii diferite de soluţia banală x = y = z = 0,corespunzătoare punctului fix, este necesar ca determinantul sistemului
să se anuleze. Se poate arăta că ,02 În cazul mişcării cu
punct fix, vectorii
şi au în general, suporturi diferite, iar detreminantuleste diferit de zero. Aceasta conduce la concluzia că în mişcarea cu punct fix nu mai există alte puncte de acceleraţie nulă, în afara celui fix,iar distribuţia de acceleraţii este specifică şi nu poate fi redusă la ceacorespunzătoare unei alte mişcări particulare a rigidului.
8.7. PROBLEME REZOLVATE
1. Centrul O al roţii (1) de rază R se deplasează pe orizontală după
legea mt10SO unde t este timpul. Roata (1) este cuplată cu roata
(3) de rază R prin intermediul bielei (2) având centrul de masă în C.
Ştiind că ,m25,0BOOA 1 R = 0,5 m iar la momentul iniţial OA şi
BO1 sunt pe verticală să se determine şi să se reprezinte viteza şi
acceleraţia centrului C de masă al bielei (2) (fig. 8.22,a).
Rezolvare. Biela de cuplare (2) are o mişcare de translaţie. Tot
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 226/487
2258. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
timpul mişcării .OO||AB 1 Coordonatele punctului A sunt:
,cosOAR y,sinAOSx A1OA unde j este unghiul format de raza OA cu verticala. În cazul rostogolirii
roţii, fără alunecare, unghiul j este:
.t205,0
t10
R
SO
Deci,
.t20cos25,05,0y;t20sin25,0t10x AA Proiecţiile vitezei şi acceleraţiei punctului A sunt:
,t20sin5y;t20cos510x AA
.t20cos100y;t20sin100x 2A
2A
Pentru timpul t=10s, rezultă ;m100x A ;m75,0yA ;s/m15x A
;0yA ;0xA 2
A s/m100y iar 10 ,2100m200 adică punctele A şi B se află pe verticală (v. fig. 8.24,b).
Ştiind că şivvv BCA
,aaa BCA
rezultă:;s/m15yxyxv 2
A2A
2C
2CC
.s/m100yxyxa 22A
2A
2C
2CC
Vectorii viteză Cv
şi acceleraţie Ca
sunt reprezentaţi în figura 8.22,b.
2. Un corp de formă paralelipipedică având dimensiunile (2,4,4) mse roteşte în jurul unei axe fixe, care coincide cu diagonala OD, cu vitezaunghiulară w = 3 t + 3, rad/s, unde t este timpul. Să se determine la t = 2s
Fig. 8.22,a Fig. 8.22,b
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 227/487
226 MECANICĂ
viteza şi acceleraţia vârfurilor A şi B (fig. 8.23). Rezolvare. Conform relaţiei (8.20) privind distribuţia de viteze în
mişcarea de rotaţie cu axă fixă, rezultă:
,k 12 j12
002
663
k ji
OAvA
unde: ,s/mk 6 j6i316164
k 4 j4i29
OD
ODeOD
.s2tlas/rad9 Mărimea
.s/m2121212v 22A
, j12i24
042
663
k ji
OBvB
iar .s/m5122412v 22B
Acceleraţia punctelor A şi B conform distribuţiei (8.23) este:
,k 32 j40i144
12120
663
k ji
002
221
k ji
OAOAa A
unde .k 2 j2i36
k 4 j4i23eiar s/rad3 OD
Mărimea acceleraţiei .s/m83,1523240144a 2222
A
Fig. 8.23
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 228/487
2278. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
.k 180 j140i80
01224663
k ji
042221
k ji
OBOBa B
.
Modulul acceleraţiei .s/m66,24118014080a 2222B
3. Şurubul de antrenare (4) al unei prese
cu fricţiune are pasul p = 0,02 m. El esteantrenat de discurile verticale (1) şi (2) cu axorizontal prin intermediul discului (3) de razăR = 0,5 m, solidar cu şurubul de antrenare (4)(v. fig. 8.24). Turaţia discului de antrenareeste n = 300rot/min. Datorită deplasăriişurubului în timpul funcţionării, raza la carese face contactul între cele două discuri
variază. În momentul iniţial, când ele iaucontact ,m2,0r r O iar cursa este S=0,3 m.
Să se determine:a) legile de mişcare ale şurubului
;r vvşit 4444 b) viteza nicovalei superioare (5) când ia contact cu piesa pentru
forjat (6). Rezolvare:
a) viteza unghiulară a discurilor (1) şi (2) de antrenare
este: .30
n1
Viteza unghiulară a discului (3) solidar cu şurubul (4), pentru o poziţieintermediară, este:
.R 30
r n
R
r 14
Fig. 8.24
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 229/487
228 MECANICĂ
Viteza de înaintare a şurubului (4) conform relaţiei (8.36) este:
.R 60
n p
2
p
v 44
b) La capătul cursei, în momentul impactului, raza r este: .Sr r O1 Deci:
.s/m1,0
5,060
3,02,030002,0
R 60
Sr n pv O
4
4.
Să se determine baza şi rostogolitoarea barei OA ce execută omişcare plană. În capătul O al barei este articulat un culisor ce se
deplasează pe un ghidaj vertical cu viteza constantăOv
. În acelaşi tip, bara OA alunecă în interiorul
manşonului articulat în ,O1 situat
la distanţa d faţă de ghidajulvertical.
Rezolvare. Se aleg celedouă sisteme de referinţă fix,
111 yxO şi mobil Oxy, solidar cu
bara OA, ca în figura 8.25. Legeade mişcare a originii sistemului de
coordonate mobil este: .tglSO Derivând în raport cu timpul
se obţine viteza punctului O:
,cos
l
cos
lSv
22OO
de unde: .l
cosv 2O
Componentele scalare pe axele mobile ale vitezei Ov
sunt:
.cosvv ;sinvv OOyOOx
Fig. 8.25
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 230/487
2298. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
Coordonatele faţă de sistemul fix ale originii sistemului mobil sunt:
.tgly;lx OO
Ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei se obţin utilizând relaţiile (9.43):
.cos
sinlvy;
cos
lvx
2OxOy
Eliminând parametrul variabil între ecuaţiile (8.49) rezultă ecuaţiarostogolitoarei, o curbă plană de gradul IV:
.0yxlx 2224 (8.50)
Ecuaţiile bazei rezultă, utilizând relaţiile (8.46):
.tglcoscos
sinlsin
cos
ltglcosysinxyy
;tglsincos
sinlcos
cos
llsinycosxxx
2O1
2
2O1
(8.51)Eliminând parametrul geometric variabil q între ecuaţiile parametrice
(8.51) ale centroidei fixe, rezultă ecuaţia unei parabole cu vârful în O1 ,
simetrică faţă de :xO 11
.xly 121 (8.52)
Cele două locuri geometrice s-au reprezentat în figura 8.25.Soluţia analitică: locurile geometrice ale centrului instantaneu de
rotaţie se pot determina analitic, aplicând teoria generală a locurilor
geometrice. Se construieşte centrul instantaneu de rotaţie I, care se aflăla intersecţia perpendicularelor ridicate pe suporturile vitezelor - ghidaje.Coordonatele centrului instantaneu de rotaţie în cele două sisteme
de referinţă sunt:- în sistemul de referinţă mobil - ecuaţiile parametrice ale
rostogolitoarei:
;cos
sinltgOOOy;
cos
lOOx
2111
- în sistemul de referinţă fix - ecuaţiile parametrice ale bazei:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 231/487
230 MECANICĂ
.tglcosOy;tglsinOx 112
11 Rezultatele sunt aceleaşi cu cele obţinute anterior prin aplicarea
ecuaţiilor (8.43) şi (8.46).
5. Elementul (2) de lungime l din figura 8.28 execută o mişcare
plană, în timp ce manivela (1) de lungime bCOOO 11 se roteşte cu
viteza unghiulară constantă 1 , în jurul articulaţiei 1O . Elementul (2) al
mecanismului alunecă în manşonul (3) articulat în C. Să se determine:a) baza şi rostogo- litoarea mişcării plane a elementului (2); b) vitezele
punctelor A şi C ale barei (2);c) polul acceleraţiilor; d)
acceleraţiile punctelor A şi C. Rezolvare. a) Se aleg
axele de coordonate ca înfigura 8.26. Se stabileşte
poziţia lu i I centrulinstantaneu al barei (2)
ridicând perpendiculare în Oşi C pe direcţiile vitezelor
CO vşiv
. Coordonatele lui Iîn sistemul fix 111 yxO sunt:
.2sin by;2cos bx 11 Eliminând parametrul geometric variabil q rezultă baza:
, byx22
121 un cerc de rază b cu centrul în .C1
Coordonatele lui I în sistemul mobil Oxy sunt:
.sin b2
y;cos b2x
Prin eliminarea lui q, rezultă rostogolitoarea:
, b4yx 222 un cerc de rază 2b cu centrul în O, tangent în I la bază.
b) Viteza unghiulară instantanee a barei (2) rezultă astfel:
Fig. 8.26
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 232/487
2318. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
.2 b2
b
O
v unde de Ov 11O
22O
Vitezele punctelor A şi C ale barei (2) sunt:
.sinvsin b
Cv;cos bl4l b42
Av
O1
2C221
2A
c) Pentru determinarea polului acceleraţiilor, sunt necesare: acceleraţia
unui punct al barei, viteza unghiulară 2 şi acceleraţia 2.
Acceleraţia punctului O care descrie o traiectorie circulară este:
. b b
vaa 2
1
2O
OO
Acceleraţia unghiulară a barei (2) este:
.ctdeoarece,02 1
122
Aplicând relaţiile (8.61) rezultă poziţia polului acceleraţiilor J:
.0arctg; b4aOJ22
2
42
22
O
Polul J se află în prelungirea suportului acceleraţiei normale aO la
distanţa 4b faţă de O (v. fig. 8.28).d) Acceleraţiile punctelor A şi C sunt normale şi orientate spre polul
J deoarece acceleraţia 2 este nulă:
,cos bl8l b164
JAa 22212
2A
.cos342
bJCa 2
212
2C
Cu ajutorul lui I şi J se pot determina, ca în mişcarea de rotaţie,vitezele, respectiv acceleraţiile tuturor punctelor barei (2).
6. Rola conică a unui rulment axial (fig.8.29)se rostogoleşte fără
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 233/487
232 MECANICĂ
alunecare pe o cale de rulare de asemenea conică, rotindu-se în jurul
axei de simetrie a căii de rulare conice cu viteza unghiulară 1 . Conul
din care se poate considera că poate să facă parte rola, are unghiul lavârf 2 şi înălţimea OC = R. Raza bazei mari a rolei este r = R tg.Unghiul la vârf al conului care reprezintă calea de rulare este 2b. Se cer să se determine:
a) viteza de rotaţie proprie 2 ; b) viteza unghiulară instantanee
şi acceleraţia unghiulară
; c) viteza şi acceleraţia unui punct B situatla periferia rolei; d) ecuaţiile axei instantanee de rotaţie.
Rezolvare. Se aleg axele de referinţă ca în figura 8.27. Se vede căunghiul de nutaţie este constant şi are valoarea:
.0deci.ct
Rola conică execută o mişcare de precesie regulată.
a) Viteza unghiulară de rotaţie proprie, rezultă aplicând teoremasinusului în triunghiurile respective (v. fig. 8.29):
.sin
sindeci
sinsin 2
b) Viteza unghiulară instantanee , în sistemul de referinţă mobil
Oxyz solidar cu rola se calculează cu relaţiile (8.72):
,k sinr R jcossinisinsin
Fig. 8.27
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 234/487
2338. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
unde:
k sin
sink
,
k cos jcos90cosisin90cos
iar
.sinr
R sinctgcos
sin
sincos
Acceleraţia unghiulară
conform relaţiei (8.72) este:
sinsin00
coscossinsinsin
k ji
. jsinicossin
sinsin2
c) Viteza unui punct B de la periferia rolei este:
R 0r r
R
cossin
k ji
sinBOvB
.k cosr jsin1R icosR sin1
Pentru 0şi90 rezultă: .k R
r jiR v 1B
Acceleraţia unui punct B de pe periferia rolei conform relaţiei (8.69)este:
.
cosr sin1R cosR r
R cossin
k ji
sin
R 0r
0sincos
k ji
sin
sinsinBOBOa
22
2B
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 235/487
234 MECANICĂ
Pentru 90 0 şi rezultă: .k i
R
r
r
R R a 2
1B
d) Ecuaţiile axei instantanee de rotaţie faţă de sistemul mobil sauecuaţiile parametrice ale conului polodic sunt date de relaţiile (8.65):
ctg
z
cos
y
sin
x
8.8. PROBLEME PROPUSE
1. O instalaţie care transportă piese într-un cuptor pentru uscare(fig. 8.28) este alcătuită dintr-un braţarticulat OA care se roteşte într-un planvertical şi o bară AB în capătul căreia estefixat suportul pe care se aşează piesele.întimpul mişcării instalaţiei, bara AB este
verticală. Să se stabilească dependenţadintre unghiul de rotaţie j al braţuluiarticulat şi timp, astfel încât viteza pieseiaşezate pe suport să fie constantă şi egalăcu 0,05 m/s. Să se determine, deasemenea, traiectoria punctului B dacă AB= 0,8 m, OA = 1,5 m iar la momentul iniţial
j = 0.
R . t30
1 (t) (rad); x2 + ( y + 0,8 )2 = 2,25 (m2).
2. Punctul A situat la mijlocul bielei BC a mecanismului paralelogramdin figura 8.29, se mişcă uniform accelerat. Acceleraţia tangenţială a
acestui punct este A a = 5 m/s2. Lungimea bielei BC = 1 m iar a manivelelor
OB = CD = 0,5 m. La începutul mişcării bara OB se află în poziţie orizontală
iar viteza unghiulară este nulă. Să se determine:
Fig. 8.28
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 236/487
2358. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
a) traiectoria punctului A; b) viteza şi acceleraţia unghiulară a manivelelor;c) viteza şi acceleraţia punctului B.
R . a)22
A2
A OBy)2
BC -(x ;
b) = 10 t rad/s; = 10 rad/s2;
c) vB = 5 t m/s; 2
B t10015a m/s2;
3. În figura 8.30 este prezentată o bicicletă de antrenament (axeleroţilor sunt fixe). Să se determine unghiul de rotaţie al pedalei ca funcţie detimp, în aşa fel încât bicicleta să parcurgă într-o oră 30 km. Raportul dintrenumărul de dinţi ai pinionului conducător şi ai
pinionului condus al roţii este egal cu 2 iar razaroţii din spate este 0,5 m. Să se determine, deasemenea viteza unghiulară şi numărul derotaţii pe minut al roţii dinţate motoare (a
pedalelor), presupunând că rotaţia esteuniformă.
R . = 8,33 t rad; = 8,33 rad/s;n = 79,6 rot/min.
4. Rotorul unei pompe centrifuge se roteşte uniform în jurul unui ax
Fig. 8.30
Fig. 8.29
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 237/487
236 MECANICĂ
fix (fig. 8.31) cu o turaţie n = 2135 rot/min. Săse determine: a) viteza şi acceleraţia unghiulară
a rotorului; b) viteza şi acceleraţia punctului Asituat la distanţa OA = 0,2 m.R .a) = 223,46 rad/s; = 0;
b) v = 44,7 m/s; a = 0; a = 9987,17 m/s2.
5. Balansierul unui ceas execută oscilaţiide torsiune după o lege sinusoidală cu perioada T
= 0,5 s şi aplitudinea / 3 rad. Să se determinespaţiul parcurs de punctul A, care se află la periferia balansierului (fig. 8.32) în timp de 1 sec.de la începerea mişcării, dacă raza OA = 5 mm.Să se calculeze de asemenea coordonata curbilinies a punctului A, pentru aelaşi interval de timp t = 1s, dacă la momentul iniţial unghiul de rotaţie al
balansierului este zero.
R . S = 13,3 mm; s = 0.
6. Cremaliera 1 (fig. 8.33) sedeplasează pe orizontală după legea S= a t3 (m) şi pune în mişcare pinioanele2 şi 3. Pe pinionul 3 este înfăşurat unfir inextensibil în capătul căruia se află
prisma B. Să se determine viteza şi
acceleraţia prismei B.R . v = 3 a t2 m/s; a = 6 a tm/s2.
7. Un excentric executat subforma unui disc de rază r, se roteşte în jurul unui ax ce trece prin O dupălegea = (t ). Excentricul pune în mişcare tija AB, a cărei axă trece prin
punctul O. Să se determine viteza punctului B dacă excentricitatea OC = e
iar la momentul iniţial = 0 (fig. 8.34).
Fig. 8.32
Fig. 8.33
Fig. 8.31
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 238/487
2378. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID
R .
sin
siner
coseev
222
2
8. Ecuaţia în coordonate polare a profilului excentricului din figura8.35, ce se roteşte în jurul unei axe ce trece prin O, are forma: o
+ b sin . Să se determine la timpul t = 2/3 secunde după începereamişcării viteza şi acceleraţia punctului A
1 al excentricului şi a punctului
A2 ce aparţine tijei AB, ce apasă asupra lui prin intermediul unui arc.
Excentricul se roteşte uniform cu viteza unghiulară = p/2 rad/s, o =
0,02 m iar b = 0,04 m. La momentul iniţial unghiul = 0.
R .
m/s 1054.8aa
m/s 1048.13a
m/s 1014.3vv
m/s 10.8,57v
2BA
22A
2BA
-2A
2
1
2
1
;
Fig. 8.35
Fig. 8.34
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 239/487
238 MECANICĂ
Fig. 8.36
9. Sfera 1 de rază 1 = 0,1 m, a
unui variator cu fricţiune (fig. 8.36 este pusă în mişcare de rotaţie de rola 2 derază r 2 =0,05 m, fixată pe acelaşi ax curoata dinţată conică 3 de rază r 3 = 0,08m. Roata 3 este antrenată de roataconducătoare de rază r 4 = 0,06 m cese roteşte după legea
4 = t2 - 2t (rad).
Considerându-se că rola 2 nu alunecă
pe sfera 1, să se determine: a)acceleraţia punctului M situat pe sfera1, la timpul t = 1 sec. după începerea mişcării; b) viteza unghiulară şiacceleraţia unghiulară a sferei dacă = 30o, = 60o iar la momentuliniţial
4 = 0.
R . a) aM = 0,13 m/s2; b) 1 = 0; 1 = 1,5 rad/s2.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 240/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 239
9.
MIŞCAREA RELATIVĂ
9.1. Mişcarea relativă a punctului material ...................... 2419.1.1. Generalităţi .......................................................... 2419.1.2. Derivata absolută şi relativă (locală) a unui
vector ................................................................ 2429.1.3. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă
a punctului .......................................................... 2439.1.4. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă
a punctului ....................................................... 2449.2. Mişcarea relativă a rigidului ...................................... 246
9.2.1. Generalităţi ......................................................... 2469.2.2. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă a
rigidului ........................................................... 246
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 241/487
240 MECANICĂ
9.2.3. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativăa rigidului .......................................................... 247
9.3 Probleme rezolvate ..................................................... 2489.4 Probleme propuse ........................................................ 252
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 242/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 241
9MIŞCAREA RELATIVĂ
9.1. MIŞCAREA RELATIVĂ A PUNCTULUIMATERIAL
9.1.1. Generalităţi
În capitolele precedente a fost studiată mişcarea unui punct materialşi a unui solid rigid prin raportare directă la un sistem de referinţă fix. Întehnică, există însă numeroase situaţii în care este necesar sau mai avantajossă raportăm mişcarea punctului sau rigidului, la un sistem de referinţă fix,
prin intermediul unui sistem de referinţă mobil, a cărui mişcare estecunoscută. Deci, presupunând cunoscuţi parametrii cinematici ce carac-
terizează mişcarea punctului şi rigidului în raport cu reperul mobil şi parametriicinematici ce caracterizează mişcarea sistemului de referinţă mobil faţăde cel fix, ne propunem să determinăm parametrii cinematici care definescmişcarea punctului sau a rigidului faţă de sistemul de referinţă fix.
Se ştie că în natură nu există sisteme de referinţă fixe, dar, pentru majoritate problemelor, sistemele dereferinţă legate de Pământ potfi considerate fixe.
Pentru început se vastudia mişcarea unui punct A(fig. 9.1) faţă de sistemul dereferinţă fix 1111 zyxO prinintermediul sistemului dereferinţă mobil Oxyz.Mişcarea sistemului dereferinţă mobil, faţă de cel fix
este cunoscută prin vectorii Fig. 9.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 243/487
242 MECANICĂ
.şivO Mişcarea punctului A (sau a unui rigid) faţă de sistemul de referinţă
fix, se numeşte mişcare absolută; traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului
corespunzătoare acestei mişcări se numesc absolute. Mişcarea punctului A(sau a unui rigid) faţă de sistemul de referinţă mobil se numeşte mişcarerelativă; traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului corespunzătoare acesteimişcări se numesc relative. Mişcarea punctului A (sau a unui rigid) presupussolidar cu sistemul de referinţă mobil, în raport cu sistemul de referinţă fix, senumeşte mişcare de transport; traiectoria, viteza şi acceleraţia punctuluicorespunzătoare acestei mişcări se numesc de transport. Mişcarea detransport se poate obţine anulând mişcarea relativă.
În general, în aplicaţiile practice se cer determinate elementele mişcăriiabsolute când se cunosc elementele mişcării relative şi a celei de transport.
9.1.2. Derivata absolută şi relativă (locală) a unui vector
Dezvoltările din acest capitol implică şi problema determinării derivateiîn raport cu timpul a unui vector variabil (în mărime şi direcţie) exprimat
prin proiecţiile sale pe axele unui sistem de referinţă mobil.În figura 9.1 se consideră vectorul tU
definit în sistemul de referinţă
mobil Oxyz prin expresia analitică:
.k U jUiUtU zyx
(9.1)Prin derivare în raport cu timpul se obţine:
.k U jUiUk U jUiUdt
Udzyxzyx
(9.2)
Ţinând seama de relaţiile lui Poisson (7.11), paranteza a doua dinmembrul drept, devine:
.Uk U jUiUk U jUiU zyxzyx
Relaţia (9.2) se scrie astfel:
.Uk U jUiUdt
Udzyx
(9.3)
Termenul din membrul stâng al egalităţii (9.3) reprezintă derivatavectorului tU faţă de sistemul de referinţă fix, se numeşte derivata
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 244/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 243
absolută şi se notează:
.Udt
Ud
(9.4)
Prima paranteză din membrul drept al egalităţii (9.3) reprezintăderivata vectorului U
faţă de sistemul mobil, ca şi cum acesta ar fi fix,
adică versorii k , j,i
nu-şi schimbă direcţia.Această derivată este denumită locală sau relativă şi se notează
convenţional (nu este derivată parţială):
.
t
Uk U jUiU zyx
(9.5)
În final relaţia (9.3) se scrie:
.Ut
U
dt
UdU
(9.6)
Relaţia (9.6) reprezintă formula după care se calculează derivataabsolută a unui vector variabil în mărime şi direcţie, definit prin proiecţiilesale pe axele unui sistem de referinţă mobil. În această formulă reprezintă viteza unghiulară a sistemului mobil faţă de cel fix.
Observaţii . 1) Când =0 sau ,U|| derivata absolută este egalăcu derivata relativă a vectorului respectiv;
2) Derivata absolută a vectorului
este egală cu derivata sa relativă
;0deoarecetdt
d
3) Derivata absolută a unui vector constant în mărime, variabil în
direcţie este 0t
U
deoareceUdt
Ud
(vezi relaţia (7.10).
9.1.3. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă a punctului
În figura 9.1 se consideră punctul A în mişcare atât faţă de sistemulde referinţă mobil Oxyz cât şi faţă de cel fix .zyxO 1111 Poziţia punctuluiA se exprimă prin vectorii de poziţie r
, faţă de sistemul fix şi
faţă de
cel mobil. Poziţia originii O a sistemului mobil faţă de cel fix este dată de
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 245/487
244 MECANICĂ
vectorul de poziţie Or
. Între aceşti vectori de poziţie există relaţia:.r r O
(9.7)
Derivând în raport cu timpul relaţia (9.7) se obţine:.
tvr r OO
(9.8)
Pentru calculul derivatei
s-a aplicat formula (9.6). După definiţiiledate mai înainte rezultă că s-au obţinut:
- viteza absolută, viteza punctului A faţă de sistemul fix:
,dt
r dr va
(9.9)
- viteza relativă, viteza punctului A faţă de sistemul mobil, ca şi cumacesta ar fi fix:
,t
v r
(9.10)
- viteza de transport a punctului A, solidar legat de sistemul de referinţămobil, în mişcare faţă de sistemul fix:
.vv Ot
(9.11)Cu aceste notaţii, relaţia (9.8) devine:
.vvv tr a (9.12)După relaţia (9.12) se compun vitezele în mişcarea relativă a punctului
material şi anume: viteza absolută a unui punct este egală cu sumavectorială între viteza relativă şi viteza de transport.
Observaţie. Cele două mişcări relativă şi de transport, se pot studiaseparat şi independent, iar apoi să se însumeze efectele.
9.1.4. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă apunctului
Pentru calculul acceleraţiilor se derivează în raport cu timpul relaţia (9.8):
.tdt
dvr O
(9.13)
Vectorult
este definit prin proiecţiile sale pe axele sistemului de
referinţă mobil şi ca urmare derivata sa se calculează cu formula (9.6):
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 246/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 245
.ttttttdt
d2
2
(9.14)
iar
.tdt
d
(9.15)
Înlocuind relaţiile (9.15) şi (9.14) în (9.13) rezultă:
.t
2t
ar 2
2
O
(9.16)
Dacă în relaţia (9.16) se pun în evidenţă elementele caracteristice
mişcării absolute, mişcării relative şi mişcării de transport se constată că:- acceleraţia absolută a punctului A în raport cu sistemul de referinţăfix este:
,r aa
(9.17)- acceleraţia de transport, acceleraţia punctului A solidar legat de sistemul
de referinţă mobil, în mişcare faţă de sistemul de referinţă fix este: ,aa Ot
(9.18)
- acceleraţia relativă, acceleraţia punctului A faţă de sistemul mobil
ca şi cum ar fi fix este:
.t
a2
2
r
(9.19)
Se observă că în expresia acceleraţiei absolute (9.16) există un termencare nu aparţine nici acceleraţiei relative şi nici celei de transport. Acesttermen a fost pus pentru prima dată în evidenţă de inginerul francezGUSTAV CORIOLIS (1792 - 1843) şi a fost numit acceleraţie
complementară sau acceleraţie Coriolis:
.v2t
2a r c
(9.20)
Cu aceste notaţii relaţia (9.16) devine:
ctr a aaaa
(9.21)După relaţia (9.21) se compun acceleraţiile în mişcarea relativă a
punctului. Ea arată că acceleraţia absolută a unui punct este egală cusuma vectorială dintre acceleraţia relativă, acceleraţia de transport şiacceleraţia Coriolis.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 247/487
246 MECANICĂ
Referitor la acceleraţia Coriolis ca
, ea exprimă influenţa simultanăa mişcării de rotaţie a sistemului mobil şi a mişcării relative a punctului
asupra acceleraţiei absolute a acestuia. Acceleraţia Coriolis este un vec-tor perpendicular pe planul definit de vectorii ,vşi r
iar sensul sedetermină cu regula şurubului drept. Modulul acceleraţiei Coriolis este:
.v,sinv2a r r c
(9.22)
Se observă că acceleraţia Coriolis este nulă când ,0
adică încazul în care sistemul de referinţă mobil are o mişcare de translaţie, saudacă vectorii r vşi
sunt paraleli.
9.2. MIŞCAREA RELATIVĂ A RIGIDULUI
9.2.1. Generalităţi
În capitolul 8 s-a studiat cinematica rigidului faţă de un reper considerat fix. În cele ce urmează se va studia mişcarea rigidului atâtfaţă de reperul fix, cât şi faţă de cel mobil, pentru a se stabili relaţiile între
vitezele şi acceleraţiie unui punct al rigidului în cele două repere.În figura 9.2 se consideră un rigid C în mişcare, căruia i se ataşează
triedrul .zyxOT 22222
Se mai consideră triedrul mobil, intermediar 11111 zyxOT şi triedrulfix .zyxOT 00000 Se cunoaşte mişcarea relativă a corpului C faţă dereperul mobil 1T , prin viteza 21v
a originii triedrului 2T şi viteza unghiulară
.21
Mişcarea reperului mobil 1T faţă de reperul fix OT , se cunoaşte
prin viteza 10v
a originii triedrului 1T şi viteza unghiulară .10
9.2.2. Compunerea vitezelor în mişcarearelativă a rigidului
Pe baza definiţiilor date mai înainte vitezelor absolute, relative şi detransport, se vor calcula vitezele unui punct oarecare A (fig. 9.2). Poziţia
acestui punct este definită de vectorul de poziţie 2r
faţă de reperul 2T , prin vectorul 1r
faţă de reperul mobil 1T şiOr faţă de cel fix .T0
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 248/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 247
Viteza relativă a punctului A este viteza lui A faţă de reperul ,T1
punctul fiind solidar legat de reperul :T2
.r vv 22121r
(9.23)Viteza de transport este viteza punctului A considerat solidar legatde reperul 1T , în mişcare faţă de reperul fix :TO
.r vv 11010t
(9.24)
Viteza absolută se obţine prin însumarea vectorilor tr vşiv conform
relaţiei (9.12):.r r vvv 2211102110A
(9.25)
Relaţia (9.25) se poate generaliza uşor considerând triedrul fix To,
triedrele intermediare 1n21 T,...,T,T mobile şi triedrul nT solidar legat decorpul C în mişcare. Vectorii de poziţie şi punctul A faţă de reperelemobile vor fi .r ,...,r ,r n21
Deci:
.r vvn
1ii1i,i
n
1i1i,iA
(9.26)
9.2.3. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă arigidului
Considerând din nou reperele 21O TşiT,T şi rigidul din figura 9.2,acceleraţia absolută a unui punct A, oarecare, este suma vectorială (9.21):
Fig. 9.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 249/487
248 MECANICĂ
.aaaa ctr a
Mişcarea relativă a triedrului 2T faţă de triedrul 1T este definită prin
parametrii cinematici .şi,a 212121
Mişcarea de transport a triedrului1T faţă de triedrul OT este definită prin parametrii .şi,a 101010
În baza rezultatelor obţinute în paragraful 8.1.3. rezultă:Acceleraţia relativă a punctului A este acceleraţia lui faţă de triedrul
mobil 1T , punctul fiind solidar cu triedrul 2T :
.r r aa 2212122121r
(9.27)
Acceleraţia de transport a punctului A este acceleraţia lui faţă de
triedrul OT , punctul fiind considerat solidar legat cu triedrul 1T :
.r r aa 1101011010t
(9.28)
Acceleraţia Coriolis este egală cu dublul produsului vectorial dintreviteza unghiulară de transport şi viteza relativă (9.23):
.r v2v2a 2212110r 10c
(9.29)
Întroducând ctr aşia,a
în relaţia (9.21) rezultă:
.r v2r
r r r aaa221211022121
110102211102110A
. (9.30)
Pentru generalizare se consideră triedrul fix OT , triedrele interme-diare n1n21 TşiT,...,T,T ataşat rigidului în mişcare:
.r v2
r r aa
n
2i
1i
1 ji1i,i1i,i1 j, j
n
1ii1i,i1i,i
n
1ii1i,i
n
1i1i,iA
. (9.31)unde j < i.
9.3. PROBLEME REZOLVATE
1. Un cursor M se deplasează pe generatoarea VA a unui con, după
legea .mt2,0S 2 Conul având unghiul la vârf 602 se roteşte în
jurul axei sale OV, după legea ).rad(t5,02
Să se determine viteza
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 250/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 249
absolută şi acceleraţia absolută a cursorului la timpul t=2 secunde.
Rezolvare. Se aleg două sisteme dereferinţă: unul fix 1111 zyxO şi
unul mobil Oxyz ca în figura 9.3. Generatoarea conului VA este conţinutăîn planul mobil xOz. Mişcarea punctuluiM faţă de con este mişcare relativă,traiectoria mişcării relative este dreaptaVA, generatoarea conului. Mişcarea
punctului M considerat solidar cu conul,în mişcare faţă de sistemul fix, estemişcare de transport, traiectoria mişcării
de transport este un cerc de rază R = Ssin. Mişcarea cursorului faţă desistemul fix, este mişcare absolută,traiectoria mişcării absolute este o elicieconică.
Viteza absolută este:
,vvv tr a
unde:
;k 34,0i4,0v;s/m8,0Sv r 2tr
; j8,0v;s/m8,024,0R v tt
deci: .s/m13,1v;k 34,0 j8,0i4,0v aa
Vectorii viteză relativă şi viteză de transport s-au reprezentat în figura 9.3.Acceleraţia absolută este:
,aaaa ctr a
unde ;k 32,0i2,0a;s/m4,0Sar
2
r
. j4,0i6,1a:deci;s/m6,124,0R a
iºs/m4,014,0R adar aaa
t222
t
2tttt
Acceleraţia Coriolis este:
. j6,1
34,004,0
200
k ji
v2a r c
Fig. 9.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 251/487
250 MECANICĂ
Vectorii acceleraţie s-au reprezentat în figura 9.3.Rezultă:
.s/m46,22,0324,1a;k 32,0 j2i4,1a 2222aa
2. Roata panoramică 1 de rază R=12 m (fig. 9.4) se roteşte cu o
viteză unghiulară constantă 10
=0,2 rad/
s în jurul axei orizontale ce trece prin O.Cabinele 2 şi 3 sunt articulate în A şi,respectiv, în B de janta roţii 1 şi se rotesc
în raport cu aceasta cu o viteză unghiularăconstantă
21=0,2 rad/s. Să se determine
vitezele absolute şi acceleraţiile absoluteale punctelor C şi D care se găsesc peverticalele ce trec în mod corespunzător,
prin punctele A şi B dacă AC=BD=2 m. Rezolvare. Cele două viteze
unghiulare au suporturile paralele, mărimi egale şi sensuri contrare. Viteza
absolută a cabinelor este:
.0i2,0i2,0102120
Deci, cabinele de observaţie 2 şi 3 au mişcări de translaţie. Vitezeletuturor punctelor, sunt egale:
.s/m4,22,012R AOvv 1010DC
.
Acceleraţiile punctelor A şi B au numai componente normale şi sunt
egale: .s/m48,0122,0R aa 22210DC
3. Arborele 1 se roteşte în jurul unei axe verticale 21OO cu viteza
unghiulară constantă 10
=2 rad/s (fig. 9.5). Pe acest arbore este fixat în
O un alt ax orizontal, în jurul căruia se roteşte uniform discul 2 de rază
R=0,15 m, cu viteza unghiulară .1021 Să se determine, vitezele
absolute şi acceleraţiile absolute ale punctelor A şi B situate la periferiadiscului 2, precum şi acceleraţia unghiulară a discului.
Fig. 9.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 252/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 251
Rezolvare. Cele două vitezeunghiulare au axele concurente şi
perpendiculare, în polul O. Se alege unsistem de referinţă Oxyz, cu originea în polul fix O. Expresiile analitice ale vitezelor unghiulare sunt:
.i2şik 2 2110
Viteza unghiulară rezultantă este:
.k 2i2211020
Vitezele punctelor A şi B conformrelaţiei (10.42) sunt:
.s/m424,0v;k 3,0i3,0
015,00
202
k ji
OAv A20A
.s/m3,0v; j3,015,000202
k ji
OBv B20B
Acceleraţiile punctelor A şi B rezultă din distribuţia de acceleraţii arigidului în mişcare cu punct fix. Discul execută o mişcare de precesieregulată şi conform relaţiilor (9.87) şi (10.36) acceleraţia unghiulară adiscului este:
. j4
002
200k ji
211020
Acceleraţiile punctelor A şi B conform relaţiei (9.84) sunt:
015,00
040
k ji
OAOAa 202020A
Fig. 9.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 253/487
252 MECANICĂ
;s/m2,1a; j2,1
3,003,0
202
k ji2
A
.s/m342,16,02,1a;k 6,0i2,1
03,00
202
k ji
15,000
040
k ji
OBOBa
222B
202020B
9.4. PROBLEME PROPUSE
1. Un disc de rază R = 0,06 m se roteşte
în jurul articulaţiei O cu viteza unghiularăconstantă = 1 rad/s (fig. 9.6). Pe suprafaţadiscului este practicat un canal în interiorulcăruia se deplasează bila M după legea AM= S (t) = 0,02 t2 [m]. Canalul este formatdin două semicercuri de raze r 1 = 0,02 m şir 2 = 0,04 m, unghiul = 60o, cu diametrulvertical OB. Să se determine viteza absolută
şi acceleraţia absolută a punctului M lamomentul de timp t
1 =1s.
R vM
= 9,17 ·10-2 m/s; aM
= 21,44 · 10-2 m/s2.
2. Pe un plan orizontal se rostogoleşte fără alunecare discul 1 derază R = 1 m. Centrul discului C, are acceleraţia a
C = 0,5 m/s2 = const.
La periferia discului, în A este articulat un manşon 2 în interiorul căruiaalunecă bara 3 articulată în O. Să se calculeze viteza unghiulară şiacceleraţia unghiulară a barei 3 la momentul t = 2 s de la începerea
Fig. 9.6
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 254/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 253
mişcării când sistemul decorpuri se află în poziţia
reprezentată în figura 9.7. Lamomentu iniţial, discul se aflăîn repaus.
R . 3 = 0,5 rad/s;3 = 0.
3. Discul 1 de rază R =0,4 m se rostogoleşte fără
alunecare pe un plan orizontalşi cu ajutorul patinei 3 articulată în A pe circumferinţa de rază R a discului, pune în mişcare bara cotită 2. Bara cotită 2 se deplasează pe verticală.Viteza centrului discului este v
C = 0,8 m/s, constantă. Determinaţi viteza
şi acceleraţia barei 2, precum şi acceleraţia relativă a punctului A pentru poziţia mecanismului din figura 9.8, când l = 0,6 m.
R . v2 = 0,69 m/s; a
2 = 1,38 m/s2; 8.0a x
AA 21 m/s2.
4. Prisma din figura 9.9 se deplasează în linie dreaptă pe un plandupă legea S (t) = 0,02 t (5 - t) m. Pe această prismă se sprijină capătulA al unei bare OA de lungime 0,2 m, articulată în O. Determinaţi vitezaunghiulară şi acceleraţia unghiulară a barei la tim-pul t = 1 s, dacă laacest moment = 60o iar = 30o.
R . = 0,17 rad/s; = 0,13 rad/s2
.
Fig. 9.7
Fig. 9.8 Fig. 9.9
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 255/487
254 MECANICĂ
5. Prisma 1 se mişcă în linie dreaptă pe un plan orizontal după legea S (t) =
0,12 (1 - cos pt /6) m. Pe suprafaţainterioară cilindrică de rază R = 0,12 m a prismei, se sprijină capătul A al unui tachet2 (fig. 9.10), ce se poate deplasa peverticală. Să se determine viteza absolutăşi acceleraţia absolută a tachetului precumviteza şi acceleraţia relativă a prismei latimpul t = 2 secunde.
R . v = · 10-2
m/s; a =29 2 · 10-4 m/s2; v
r = 0,02 m/s; a
r = 33 2 · 10-4 m/s2.
6. Roata de rază R = 2 m, din figura 9.11 se rostogoleşte fărăalunecare pe un plan orizontal, centrul roţii având acceleraţia aC = 0,5 m/s2. în acelaşi timp pe raza CA se deplasează de la C spre A un punct Mdupă legea CM = S (t) = 0,25 t2 m. Calculaţi acceleraţia absolută a
punctului M, când CM = R/2, iar raza este orizontală ca în figură. Lamomentul iniţial roata se află în repaus.R . a
M = 1,46 m/s2.
7. Inelul M se deplasează cu viteza relativă vr = 2 m/s pe cercul de rază
R = 0,5 m, care se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal. Pentru poziţia din figura 9.12 să se calculeze viteza absolută şi acceleraţia absolută
a inelului dacă vC = 4 m/s şi aC = 1 m/s2
, unde C este centrul cercului.R. vM
= 10 m/s; aM
= 72,03 m/s2.
Fig. 9.10
Fig. 9.11 Fig. 9.12
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 256/487
9. MIşCAREA R ELATIVĂ 255
Tabelul 9.1
8. Pentru problemele prezentate în tabelul 9.1, să se determine viteza
absolută şi acceleraţia absolută a punctului M. Se cunosc legile de mişcare (t) şi S (t), date în tabelul 9.2.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 257/487
256 MECANICĂ
Numărulproblemei Se dă: Se cere:
1
O1A = O2B = 0,2 m
(t) =4
3
t2 rad
S (t) = 0,01 t3 + 0,5 t m
a M
v , viteza absolută a lui M;
a M
a , acceleraţia absolută alui M;
la momentul t1 =1
2 sec.
2
O1A = O2B = 0,3 m
( t) =
8
3
t
3
rad S (t) = 0,16 t2 - 0,02 t + 0,02
rad
a M
v , a M
a
la t1 =1
2 sec.
3x (t) = - 0,8 t + 0,3 t2 m
S (t) = 0,04 t + 0,01 t2 m
a M v , a
Ma
la t1 = 2 sec.
4
(t) =5
6
t3 rad
S (t) = 0,06 t2 m R = 0,18 m
O1A = O2B = 0,02 m
a M
v , a M
a
la t1 = 1 sec.
5
O1A = O2B = 0,4 m AB = R = 0,3 m
(t) =
8 t2 rad
S (t) =0 05
4
t3 m
a M
v , a M
a
la t1 = 2 sec.
6
O1A = O2B = 0,25 m
(t) =4
27
t2 rad
S (t) = 2 t3 m
a M
v , a M
a
la t1 =3
2 sec.
7
R = 0,81 m
S1 (t) = 0,2 (1 - sin
2 t) m
S2 (t) = 0,03 t2 m
a M
v , a M
a
la t1 = 3 sec.
8
OM = l = 0,20 m S (t) = 0,18 t2 + 0,02 t m
(t) =5
6
sin
12
t rad
a M
v , a M
a
la t1 = 2 sec.
Tabelul 9.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 258/487
257 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
DINAMICA
10.
NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
10.1. Generalităţi .............................................................. 25910.2. Lucrul mecanic ........................................................ 260
10.2.1. Lucrul mecanic al forţelor ce acţioneazăasupra punctului material ................................ 260
10.2.2. Lucrul mecanic al forţelor ce acţioneazăasupra rigidului ................................................ 265
10.3. Puterea mecanică ..................................................... 26810.4. Randamentul mecanic .............................................. 269
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 259/487
258 MECANICĂ
10.5. Momente de inerţie mecanice ................................ 27010.5.1. Momentele de inerţie mecanice ale rigidului ... 271
10.5.2. Momentele de inerţie ale corpurilor derotaţie ............................................................. 27510.5.3. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia
axelor ................................................................ 27710.5.4. Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia
axelor .............................................................. 27910.6. Energia mecanică .................................................... 280
10.6.1. Energia cinetică ................................................ 281
10.6.2. Energia potenţială ............................................. 28510.7. Impulsul ................................................................... 28610.8. Momentul cinetic .................................................... 28710.9. Torsorul vectorilor impuls pentru diferite
corpuri în mişcare ............................................. 29010.10 Probleme rezolvate ................................................. 29610.11 Probleme propuse .................................................... 307
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 260/487
259 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
DINAMICA10
NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
10.1. GENERALITĂŢI
Dinamica este partea Mecanicii care studiază mişcarea mecanică asistemelor materiale luând în considerare atât cauzele mişcării (forţelecare acţionează sistemul) cât şi proprietăţile inerţiale ale sistemului (masaşi distribuţia ei în spaţiu). Ţinând seama de elementele care se cunosc şide cele care trebuie determinate, problemele de dinamică se încadreazăîn una din următoarele categorii:
a) probleme directe în care sunt date caracteristicile geometriceale sistemului (formă şi dimensiuni), caracteristicile inerţiale (masă şi
momente de inerţie), condiţiile iniţiale ale mişcării şi forţele care-lacţionează şi se cere să se determine mişcarea sistemului;
b) probleme inverse în care sunt cunoscute caracteristicilegeometrice şi inerţiale, precum şi ecuaţiile de mişcare ale sistemului şi secere determinarea forţelor care-l acţionează. În general, aceste problemesunt nedeterminate deoarece există mai multe sisteme de forţe, careacţionând asupra aceluiaşi sistem, provoacă aceeaşi mişcare;
c) probleme mixte în care se cere determinarea unor caracteristiciale mişcării şi o parte din forţele care acţionează sistemul, cunoscândcaracteristicile geometrice şi inerţiale, condiţiile iniţiale ale mişcării, uneleelemente ale mişcării precum şi o parte din forţele care-l acţionează.
Rezolvarea acestor probleme se face cu ajutorul unor teoreme şi principii deduse prin aplicarea principiilor fundamentale ale Mecanicii.
Statica şi cinematica au operat cu noţiuni care se vor regăsi în cadruldinamicii. În plus, această parte a cursului de Mecanică va introduce noţiunispecifice ca noţiunile de lucru mecanic, putere mecanică, randamentmecanic, energie mecanică, moment de inerţie, impuls şi moment cinetic.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 261/487
260 MECANICĂ
10.2. LUCRUL MECANIC
10.2.1. Lucrul mecanic al forţelor ce acţioneazăasupra punctului material
Noţiunea de lucru mecanic s-a introdus din necesitatea de a evaluaacţiunea exercitată de o forţă asupra unui corp în decursul unei deplasări.
În figura 10.1 se consideră un punctmaterial A ce se deplasează pe o traiectorie
rectilinie, între punctele ,AşiA 21 subacţiunea unei forţe F
constantă (în mărime
direcţie şi sens) ce formează unghiul cuaceastă direcţie. Lucrul mecanic L al
acestei forţe F
se defineşte ca fiind egal cu produsul dintre proiecţia forţei pe direcţiadeplasării şi deplasarea respectivă:
,r F)r r (FA1
AFcosA1
A 1222
FL (10.1)
în care r
reprezintă variaţiavectorului de poziţie.
Considerând cazul general alunei forţe variabile ,F
(fig.10.2) alcărei punct de aplicaţie A descrie otraiectorie curbilinie (C) se va defini
un lucru mecanic elementar dL pentru o deplasare elementară dS,într-un timp elementar dt, în careforţa poate fi considerată constantă,iar arcul dS se poate confunda cucoarda dr. Astfel rezultă:
,r dFcosr dFds)(cosFdL
(10.2)
unde r d
reprezintă variaţia elementară a vectorului de poziţie.
Fig. 10.1
A1
O
s=r A2
F
r 1
r 2
Fig. 10.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 262/487
261 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
Relaţiile (10.1) şi (10.2) arată că lucrul mecanic este o mărime scalarăşi se exprimă prin produsul scalar dintre forţa F
şi variaţia vectorului de
poziţie. Lucrul mecanic poate fi pozitiv, negativ sau nul după cum unghiuldintre cei doi vectori este mai mic, mai mare sau egal cu 90 Lucrul mecanic pozitiv se mai numeşte lucru mecanic motor, iar cel negativ rezistent.
Unitatea de măsură pentru lucrul mecanic este joule-ul, în sistemulinternaţional SI.
Expresia analitică a lucrului mecanic elementar se obţineconsiderând expresiile analitice ale vectorilor r dşiF
faţă de un sistem
de referinţă fix cu originea în O:
.k dz jdyidxr dşik Z jYiXF
Deci:
ZdzYdyXdxr dFdL
(10.3)
În funcţie de viteza dt/r dv
a punctului de aplicaţie a forţei,expresia lucrului mecanic elementar este:
.dt)zZyYxX(dtvFdL...
(10.4)
Pentru o deplasare finită a punctului de aplicaţie al forţei F , din
poziţia 1A în poziţia 2A (fig. 10.2) pe curba (C) se obţine lucrul mecanicfinit (total), ce se exprimă prin integrala:
.2121
21
AAAA
Zdz )(Xdx+Ydy+r dFL AA
(10.5)
Relaţia (10.5) arată că lucrul mecanic total al unei forţe, corespunzător
unei deplasări finite, se exprimă printr-o integrală curbilinie, extinsă petraiectoria descrisă de punctul de aplicaţie al forţei şi depinde atât deforţă cât şi de arcul de curbă pe care se deplasează punctul său deaplicaţie.
Pentru anumite forţe care se numesc conservative, lucrul mecanicfinit nu depinde de forma şi lungimea traiectoriei parcurse de punctul săude aplicaţie, ci numai de poziţiile acestor puncte. Proiecţiile acestor forţeconservative pe axele unui sisyem de referinţă sunt derivatele parţiale
ale unei funcţii scalare U (x, y, z) faţă de coordonatele x, y, z ale punctului
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 263/487
262 MECANICĂ
de aplicaţie al forţei:
Ugradk z
U j
y
Ui
x
UF
(10.6)unde X, Y, Z-proiecţiile forţei pe axele de coordonate sunt:
z
UZ;
y
UY;
x
UX
(10.7)
Funcţia U (x, y, z) se numeşte funcţie de forţă iar spaţiul în careforţele sunt conservative se numeşte spaţiu conservativ.
Lucrul mecanic elementar al forţei F
conservative devine:
,dUdzzU
dyyU
dxxU
r dFdL
(10.8)
adică lucrul mecanic ele-mentar al unei forţe con-servative este diferenţialatotală exactă a funcţiei deforţă U.
Lucrul mecanic total al
forţei conservativeF
(fig.10.3) când punctul eide aplicaţie se deplasează pecurba (C) din 1111 z,y,xAîn 2222 z,y,xA devine:
,UUL AAAA 12
2
121
21
A
AAA
dU
=r dF
(10.9)
în care 222A z,y,xUU2
şi 111A z,y,xUU1
sunt valorile funcţieiU când punctul material se află în 2A , respectiv în 1A . Deci, lucrulmecanic total al unei forţe conservative nu depinde de forma şi lungimeatraiectoriei parcurse de punctul de aplicaţie al forţei ci numai de poziţiileiniţială şi finală ale punctului.
Uneori, în locul funcţiei U se poate considera funcţia V denumită
funcţie potenţială (energie potenţială), definită prin relaţia:V= -U. (10.10)
Fig. 10.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 264/487
263 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
În acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia:dL= -dV. (10.11)
Funcţia de forţă U şi funcţia potenţială V nu pot fi determinate decâtcu aproximaţia unei constante.În natură se întâlnesc următoarele sisteme de forţe conservative: forţele
gravi-taţionale gmF
, forţele elastice r k F
şi forţele de atracţie univer-
sală .r
r
r
mMf F
2
De asemenea, toate forţele constante sunt forţe con-
servative.Forţele de frecare şi în general forţele rezistente sunt forţe necon-
servative, deoarece aceste forţe depind şi de viteza punctului material (nunumai de vectorul de poziţie). Lucrul mecanic al acestor forţe esteîntotdeauna negativ.
Aplicaţie. Să se calculeze lucrul mecanic şi funcţia de forţă U pentruforţele gravitaţionale şi elastice.
Rezolvare. a) În figura10.4 se consideră un punct A
de greutate gmG
ce sedeplasează pe o traiectorieoarecare din 1111 z,y,xA în
2222 z,y,xA Proiecţiile pecele trei axe ale acestei forţesunt:X=0; Y=0; Z=-mg.
Lucrul mecanic corespun-
zător deplasării punctului deaplicaţie din 1A în 2A este:
.hmg)ZZ(mgmgdzr dGL 12AA
2
1
2
1
21
Z
Z
A
A
(10.12)
Deoarece ,z
Umg
rezultă că funcţia de forţă corespunzătoare
greutăţii G
este
CzgmU (10.13)
Fig. 10.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 265/487
264 MECANICĂ
Rezultă că lucrul mecanic algreutăţii corpurilor este egal cu
produsul dintre greutatea corpuluişi diferenţa de nivel h Lucrulmecanic nu depinde de formatraiectoriei descrisă de punctul deaplicaţie al forţei, ci numai dediferenţa de nivel h şi mărimeaforţei mg. Dacă 12 zz , lucrul
mecanic este negativ, iar dacă 12 zz lucrul mecanic este pozitiv..
b) Forţele elastice sunt forţe de reacţiune care apar ca urmare a deformăriicorpurilor elastice.Forţele sunt proporţionale cu deplasarea punctului lor deaplicaţie măsurată din poziţia de echilibru (poziţia nedeformată a corpului).În fig.10.5 se consideră un resort cilindric de constantă elastică k. Un capăteste fixat în O iar celălalt descrie curba (C). Forţa elastică F
trece tot timpul
prin punctul fix O.Forţa elastică F
are expresia:
,r k F
(10.14)
under este vectorul de poziţie al punctului A (x, y, z), capătul arcului ce
descrie traiectoria (C).Proiecţiile acestei forţe pe axele sistemului cartezian de referinţă sunt:
X=-k x; Y=-k y; Z=-k z.Lucrul mecanic corespunzător deplasării capătului arcului A, din 1A
în 2A este:
.2
r r
k r dr k r dFL21
2
1AA
21
22
r
r
(10.15)
În baza relaţiei (10.8), funcţia de forţă U este:
,C2r k
C2
r dFdLU
sau C.2
U)+z+yk(x 222
(10.16)
În cazul resortului cilindric din figura 10.6, la care deplasarea capătului
Fig.10.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 266/487
265 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
A este de-a lungul axei Ox, lucrul mecanic este:
,2
f f k
2
kx
dxkxr dFL
21
22
f
f
2f 2
1
2
1f 2 A
1 A
unde 21 f şif sunt săgeţile arcului faţă de poziţia de potenţial nul (poziţianedeformată a arcului).
Lucrul mecanic al forţei elastice este întotdeauna negativ, rezistent fie că
arcul este întins, fie că este comprimat (unghiul dintre r dşiF
este 180O).Funcţia de forţă în cazul
arcului din figura 10.6:
ştiind că:x
Ukx
rezultă
.C2
kxU
2
10.2.2. Lucrul mecanic al forţelor ce acţionează asupra rigidului
Se consideră un corp solid rigid (fig.10.7) în mişcare generală subacţiunea unui sistem de forţe iF
(i=1, 2..., n) aplicate în punctele iA de
vectori de poziţie ir
faţă de polul fix 1O , şi i
faţă de polul mobil O.Mişcarea generală a rigidului, faţă
de sistemul fix 1111 zyxO estecaracterizată de parametrii cinematici
.vşi O
Lucrul mecanic elementar alforţei iF
corespunzător unui interval detimp dt este:
dtvFr dFdL iiiii
ştiind că:
iOiii vvşidt/r dv
rezultă:
.dtFdtvFdtvFdL iiOiiOii
Fig. 10.6
Fig. 10.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 267/487
266 MECANICĂ
Lucrul mecanic elementar total, efectuat de toate forţele sistemului,va fi:
n
1
n
1i
n
1idtFdtvFdL iiOidL (10.17)
Dar ,R Fn
1i
este forţa rezultantă a sistemului de forţe;
n
1Oii MF
-momentul rezultant al sistemului de forţe;
OO r ddtv
-deplasarea elementară a vectorului de poziţie Or
;
ddt -deplasarea unghiulară elementară a rigidului.Prin urmare, relaţia (10.17) devine:
.dMr dR dtMdtvR dL OOOO
(10.18)În cazul mişcărilor particulare ale rigidului, relaţia (10.18) capătă
formele:-în mişcarea de translaţie a rigidului :0
.r dR dtvR dL OO
(10.19)
-în mişcarea de rotaţie cu axă fixă :0vO
2
1
dMLşidMdtMdL OOO
(10.20)
-în mişcarea plan-paralelă a rigidului :vO
rottr OO dLdLdMr dR dL
(10.21)
-în mişcarea elicoidală a rigidului :v|| O
rottr OO dLdLdMr dR dL
(10.22)
Aplicaţie. Să se calculeze lucrul mecanic al forţelor şi momentul de
frecare de rostogolire Mr , pentru un corp de revoluţie de greutate G
, ce se
rostogoleşte fără alunecare pe un plan înclinat aspru, de unghi (fig.10.8). Rezolvare. În punctul teoretic de contact , care este şi centrul
instantaneu de rotaţie apar următoarele forţe şi momente de legătură: T
,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 268/487
267 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
forţa de aderenţă, N
reacţiunea normală şi r M
momentul de frecare larostogolire. Considerând că centrul C se deplasează pe distanţa l, lucrul
mecanic al acestor forţe şi momente este:
0.t
0
ΙT dtvTr dTL
(10.23)
Deci, lucrul mecanic al forţeide aderenţă este nul, deoareceviteza punctului de aplicaţie estenulă.
Lucrul mecanic al reacţiuniinormale N
, este nul deoarece
reacţiunea este perpendiculară pedirecţia deplasării.
Lucrul mecanic al momentuluide frecare de rostogolire r M este:
,cosR
lGs Ns
0r r d
MdL
M (10.24)în care N=G cos, este reacţiunea normală; s-coeficientul de frecare larostogolire;=l/R-unghiul de rostogolire corespunzător parcurgerii distanţei l.
Lucrul mecanic al greutăţii propriiG
este:
.sinlGhGL Observaţie. Pentru un corp, asimilat cu
un punct material de greutate G
carealunecă pe un plan înclinat aspru de unghi (fig. 10.9), lucrul mecanic al forţei de frecare
de alunecare T
, corespunzător unei deplasări l este:
.coslGl NdxTr dTLl
o
unde reprezintă coeficientul de frecare de alunecare dintre corp şi
planul înclinat.
Fig.10.8
Fig. 10.9
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 269/487
268 MECANICĂ
10.3. PUTEREA MECANICĂPuterea mecanică este mărimea scalară ce caracterizează energia
transferată unui sistem fizic şi se defineşte ca fiind egală cu variaţialucrului mecanic în unitatea de timp. Ea se exprimă prin derivata în raportcu timpul a lucrului mecanic produs:
dt
dLP (10.25)
Având în vedere relaţia (10.18) obţinem pentru putere forma:,MvR P OO
(10.26)
corespunzătoare mişcării generale a rigidului.
,OvR P
(10.27)
pentru mişcarea de translaţie a rigidului.Dacă rigidul are o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe trecând
prin punctul O, respectiv de rotaţie instantanee în jurul unei axe mobile
trecând permanent prin punctul fix O pentru care ,0vO
putereadezvoltată este:
.,McosMMP OOO
(10.28)
Ca şi lucrul mecanic, puterea mecanică poate fi pozitivă, negativăsau nulă, după cum unghiul dintre cei doi vectori ai produsului scalar estemai mic, mai mare sau egal cu .90
Unitatea de măsură pentru putere însistemul internaţional (S.I.) este Watt-ul, 1W=1J/1s=1 Nm/s.
În practică se folosesc multiplii wattului şi o unitate mai veche “calul- putere”. Se ştie că:1CP=736W=0,736 kW sau 1kW=1,36CP.
În cazul când momentul M are aceeaşi orientare cu ,
dar secunoaşte turaţia n, relaţia (10.28) devine:
.30
nMP O
(10.29)
Uneori, în tehnică este necesar să se exprime cuplul la arborele unuimotor în funcţie de puterea şi turaţia acestuia. În acest scop se utilizează
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 270/487
269 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
relaţiile:
.
min/rotn
CPP7029
min/rotn
kWP9550
min/rotn
WP30m NM
(10.30)Puterea mecanică are multe aplicaţii în tehnică, constituind o
caracteristică de bază a tuturor agregatelor energetice, instalaţiilor deforţă.
10.4. RANDAMENTUL MECANIC
Randamentul mecanic al unei maşini sau instalaţii este o mărimeadimensională, notată cu şi dă o indicaţie asupra felului cum foloseştemaşina respectivă lucrul mecanic motor. Randamentul mecanic sedefineşte ca fiind egal cu raportul dintre lucrul mecanic util efectuat înregim constant şi lucrul mecanic motor (constant).
Randamentul mecanic se poate exprima şi ca raport al puterilor utile
şi consumate:1.
P
P
L
L
c
u
c
u (10.31)
Orice sistem mecanic care primeşte, consumă şi cedează energie poate fi reprezentat sub forma unei “cutii negre“ (black box), ca în figura10.10 în care intră un lucru mecanic motor ,PL CC din care iese unlucru mecanic util UU PL pe direcţia fluxului de energie şi din caredeviază (se pierde) un lucru mecanic pasiv .PL PP
În această schematizare, randamentul sistemului este raportul mărimiide ieşire pe mărimea de intrare conform relaţiei (10.31) şi întotdeauna
mai mic decât unitatea.Randamentul mecanic este mai
mic decât unitatea deoarece funcţio-narea oricărui sistem se face cu
pierderi; în cazul sistemelor mecaniceaceste pierderi se datoresc forţelor de
frecare. Fig. 10.10
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 271/487
270 MECANICĂ
Uneori, randamentul mecanic se exprimă în funcţie de coeficientulde pierderi , astfel:
1LL1
LLL
LL
c
p
c
pc
c
u(10.32)
unde PCP Liar L/L reprezintă lucrul mecanic pasiv, folosit pentruînvingerea frecărilor.
Randamentul mecanic se calculează numai pentru regimul perma-nent (constant) iar în relaţia (10.32) s-a ţinut seama că:
.LLL PUC
Randamentul total al unui lanţ de n maşini legate în serie este egalcu produsul randamentelor maşinilor lanţului.
n
1i,i (10.33)
iar în cazul unui lanţ de maşini legate în paralel, randamentul total esteegal cu suma produselor dintre randamentele fiecărei maşini şi cota partedin puterea absorbită de maşină din totalul puterii motoare ce alimenteazăîntregul lanţ:
n
1iii , (10.34)
cu condiţia ca:
n
1ii .1
10.5. MOMENTE DE INERŢIE MECANICE
Momentele de inerţie mecanice sunt mărimi care caracterizeazădistribuţia masei unui sistem material în raport cu un reper, ce poate fi
pol, axă sau plan. În funcţie de reperul considerat momentele de inerţiese numesc polare, axiale, planare sau centrifugale când distribuţia maseise raportează la două axe sau două plane perpendiculare.
Prin definiţie, momentul de inerţie mecanic al unui sistem material,
în raport cu un pol, o axă sau un plan, este egal cu suma produselor maselor particulelor (finite sau elementare) sistemului şi pătratului
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 272/487
271 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
distanţelor acestor particule până la reperul considerat.Astfel, expresiile de forma:
n
1
22ii mkg,0mJ (10.35)
pentru sisteme discrete de puncte materiale şi
,mkg,0dmJ 2
S
2 (10.36)
pentru medii materiale continue, se numesc momente de inerţie mecanice planare, axiale sau polare după cum ,i respectiv reprezintă distanţele
particulelor materiale (m, respectiv dm) ce alcătuiesc sistemul, la planul,axa sau polul considerat.Momentele de inerţie centrifugale, se definesc ca fiind egale cu suma
produselor maselor particulelor şi distanţele lor la două axe sau plane perpendiculare. Aceste momente de inerţie centrifugale se exprimă astfel:
,
sdmJşimJ 21PP
n
1iiiPP 212121 (10.37)
unde 21 ii , reprezintă distanţele particulelor im până la două plane 1Pşi 2P , iar 21, -distanţele particulelor materiale dm, până la cele două
plane considerate.Momentele de inerţie mecanice se mai numesc momente masice de
ordinul doi, deoarece distanţele care intervin în expresiile lor sunt la pătrat.Momentul de inerţie mecanic este deci o mărime având dimensiunea
2MLJ iar unitatea de măsură în SI, 2mkg .
10.5.1. Momentele de inerţie mecanice ale rigidului
Momentele de inerţie mecanice pentru solidul rigid sunt definite prinintegralele de forma (10.36) şi (10.37). Pentru un corp de formă oarecare(fig.10.11), de masă M, raportat la un sistem de referinţă cartezian, se
pot defini următoarele momente de inerţie mecanice:
-momente de inerţie planare, faţă de planele de coordonate:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 273/487
272 MECANICĂ
.dmyJ
;dmxJ
;dmzJ
s
2xOz
S
2yOz
S
2xOy
(10.38)
-momente de inerţie axiale, faţă de axelede coordonate:
.dmyxJ
;dmzxJ
;dmzyJ
s
22x
S
22y
S
22x
(10.39)
-momente de inerţie polar, faţă de originea O:
.dmzyxdmr J 222
S
2O
(10.40)
-momente de inerţie centrifugale (produse de inerţie), faţă de planelede coordonate:
.xzdmJ;yzdmJ;xydmJS
xz
S
yz
S
xy (10.41)
În cazul sistemelor discrete de puncte materiale, integralele dinformulele (10.38)...(10.41), se înlocuiesc cu sume.
Proprietăţi:
a) Momentele de inerţie planare, axiale sau polare sunt mărimiscalare pozitive. Ele devin nule numai atunci când sistemul material esteconţinut în planul, pe axa sau în polul considerat.
b) Momentele de inerţie centrifugale sunt mărimi scalare pozitive,negative sau nule în funcţie de sistemul de referinţă ales. Momentele deinerţie centrifugale sunt nule când una din axe sau ambele sunt axe de
Fig. 10.11
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 274/487
273 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
simetrie, sau când unul din cele două plane faţă de care se calculează,este plan de simetrie.
c) Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor deinerţie planare.
Cunoscând relaţia 2222 zyxr şi definiţia momentelor de inerţieaxiale, planare şi polare, rezultă următoarea expresie, înmulţind cuelementul de masă dm şi integrând pe tot domeniul (S) ocupat de corpulrespectiv:
,dmzdmydmxdmr S
2
S
2
S
2
S
2
sau .JJJJ xOyxOzyOzO (10.42)d) Momentul de inerţie polar se poate obţine însumând la momentul
de inerţie planar, momentul de inerţie faţă de axa perpendiculară pe acel plan.
Grupând termenii în relaţia ,zyxr 2222 înmulţind cu elementulde masă dm şi integrând pe tot domeniul (S) rezultă:
,dmzydmxs
dmr S
22
S
22
sau ,JJJ,JJJ,JJJ yxOzOzxOyOxyOzO (10.43)relaţii obţinute în mod asemănător.
e) Momentul de inerţie polar este egal cu semisuma momentelor de inerţie axiale.
Relaţia 2222222 zxzyyxr 2
se înmulţeşte cu ele-
mentul de masă dm şi se integrează pe tot domeniul (S) rezultând:
,dmzxdmzydmyxdmr 2S
22
S
22
S
22
S
2
sau ,JJJ2
1J zyxO
(10.44)
În cazul când masa este distribuită într-un plan (cazul plăcilor),momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie axiale:
.JJJ yxO (10.45)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 275/487
274 MECANICĂ
f) Momentul de inerţie axial este egal cu suma momentelor deinerţie faţă de planele rectangulare ce definesc axa respectivă.
O altă relaţie ce poate fi scrisă între coordonatele x şi y ale elementuluide masă dm este .yxyx 2222 Înmulţind cu elementul dm şiintegrând pe tot domeniul (S) rezultă:
,dmydmxdmyxS
2
S
2
S
22
sau ;JJJ;JJJ;JJJ xOyxOzxzOyxOyyxOzyOzz (10.46)g) Uneori se obişnuieşte a se exprima momentul de inerţie mecanic în
funcţie de raza de inerţie a sistemului material în raport cu reperulconsiderat. Raza de inerţie, notată cu i este distanţa la care se poateconsidera concentrată întreaga masă M a sistemului material, pentru aobţine acelaşi moment de inerţie mecanic faţă de reperul ales; deci
,iMJ 2 de unde: .M
Ji (10.47)
h) Momente de inerţie geometrice. După forma lor geometrică,corpurile se clasifică în: linii materiale (bare), suprafeţe materiale (plăci),şi volume materiale (blocuri). Considerând aceste corpuri omogene,densitatea este constantă în toată masa corpului respectiv. În cazulliniilor materiale se defineşte o densitate liniară ,L suprafeţelor materialeo densitate superficială ,A iar în cazul volumelor materiale o densitatevolumică .
Relaţiile (10.36) şi (10.37) pot fi scrise sub forma:-pentru linii materiale omogene (bare):
;LMld
LMld
LMldJ L
L
2
L
2
L
L2 (10.48)
.L
Mld
L
MldJ
2121 PP
L
21
L
L21PP (10.49)
-pentru suprafeţe materiale omogene (plăci):
;AMAdAMAdJ A
A
2
A
A2 (10.50)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 276/487
275 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
.A
MAd
A
MJ
2121 PP
A
21PP (10.51)
-pentru volume materiale omogene (blocuri):
;V
MVd
V
MVdJ V
V
2
V
A2 (10.52)
.V
MVd
V
MJ
2121 PP
V
21PP (10.53)
Relaţiile (10.48)...(10.53) exprimă legătura între momentele de inerţiemecanice şi cele geometrice. În aceste relaţii, integralele VAL ,, şi
21PP se numesc momente de inerţie geometrice pentru linii, suprafeţe şivolume materiale, deoarece depind numai de caracteristicile geometriceale corpului respectiv.
Relaţiile (10.42)...(10.46) între momentele de inerţie mecanice suntvalabile şi pentru momentele de inerţie geometrice.
Observaţie. În aplicaţii, atunci când se calculează momentul de inerţie
mecanic al unui corp omogen, i se calculează acestuia momentul de inerţiegeometric în raport cu reperul fixat şi acesta se multiplică apoi cu
densitatea corpului .sau, VAl Astfel, pentru sistemele continue şi
omogene se poate stabili o relaţie de legătură, general valabilă, între mo-mentele de inerţie mecanice şi cele geometrice:
.J (10.54)unde este densitatea volumică, superficială sau liniară a corpului
considerat, iar -momentul de inerţie geometric.
10.5.2. Momentele de inerţie ale corpurilor de rotaţie
Un volum de rotaţie rezultă prin rotaţia unei suprafeţe în jurul uneiaxe. În figura 10.12,a se consideră un corp de rotaţie rezultat prin rotaţiaîn jurul axei Ox a suprafeţei limitate de curba de ecuaţie y = f (x) şi
verticalele ce trec prin punctele A şi B de abscise ,x A respectiv .x B
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 277/487
276 MECANICĂ
Momentul de inerţie axial ,Jx în raport cu axa de rotaţie, a corpuluiomogen de masă M şi volum V, se obţine astfel: se detaşează la distanţa
x faţa de planul yOz, o “felie” asimilabilă cu un cilindru de rază y şiînălţime elementară dx. În acest cilindru se detaşează elementul de volumdV, cu ajutorul coordona-telor polare şi (fig.10.12,b) volu-mulelementar dV, aproximatcu un paralelipiped, este:
.dxdddxdAdV
Distanţa de laelementul de volum dVla axa Ox este , iar momentul de inerţie axial
xJ rezultă aplicând
relaţia (10.52):
.dddxV
M
dxddV
M
dVV
M
J
2
0
y
0
3
x
X
2
V
2
x
B
A
Rezultă:
.dxxf 2V
MJ
B
A
x
x
4x
(10.55)
Momentele de inerţie planar ,J yOz se determină tot cu relaţia(10.53), ştiind că distanţa de la elementul dV pe planul yOz este x:
.dddxxV
Mdxddx
V
MdV
V
MJ
2
0
y
0
x
X
22
V
2zOy
B
A
rezultă:
.dxxf xV
MJ
B
A
x
x
22zOy (10.56)
Cunoscând relaţiile (10.42)...(10.46) între momentele de inerţie
mecanice şi egalităţile ,JJ,JJ xOyxOzzy rezultă celelalte momente
a)
Fig. 10.12
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 278/487
277 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
mecanice de inerţie:
.JJJ,J2
1JJ,JJ
2
1JJ
yOzxOxxOzxOyyOzxzy
(10.57)
10.5.3. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor
În figura 10.13 se consideră un corp solid rigid de formă oarecare şidouă sisteme de referinţă carteziene cu axele paralele între ele. Se
presupun cunoscute momentele masice de ordinul întâi (momentele statice)
şi momentele masice de ordinul al doilea (momentele de inerţie mecanice),în raport cu sistemul Oxyz. Se pune problema determinării momentelor de inerţie în raport cu sistemul 1111 zyxO , translatat faţă de sistemul Oxyz.
Punctul A, oarecare al rigidului sediul unei mase elementare dm, areîn sistemul Oxyz coordonatele (x, y, z), iar sistemul 1111 zyxO , paralel cu
primul, are coordonatele ,z,y,x 111 Cunoscând coordo-natele (a, b, c)ale originii O, în sistemul de referinţă 1111 zyxO , între coordonatele
punctului A se pot scrie următoarele relaţii:
.czz
; byy
;axx
1
1
1
(10.58)
Este suficient să găsim o relaţie pentru calculul momentului deinerţie faţă de una din axele
sistemului 1111 zyxO -de exempluaxa 11zO ; pentru celelalte, formulelevor fi analoage.
Deci, momentul de inerţie faţăde axa 11zO este:
.dm badmy b2dmxa2dmzx
dm bxaxdmyxdmJ
S
22
SSS
22
S
22
S
21
21
S
2z1
Fig. 10.13
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 279/487
278 MECANICĂ
Având în vedere că Mdm este masa corpului, iar
,Sxdm yOz
S
xOz
S
Sydm sunt momentele statice planare rezultă:
,Md bS2aS2JJ 2zxOzyOzzz1
(10.59)
unde s-a notat prin 222z bad distanţa dintre axele Oz şi .zO 11
Dacă originea O coincide cu C, centrul de masă al rigidului, momentelestatice planare sunt nule, iar relaţia (10.59) se restrânge obţinându-se
teorema lui Steiner, sub forma:.MdJJ 2
zczz1 (10.60)
Deci, momentul de inerţie axial, în raport cu o axă oarecare esteegal cu momentul de inerţie în raport cu o axă paralelă care trece princentrul de masă, însumat cu produsul dintre masa totală a rigidului şi
pătratul distanţei dintre cele două axe.Teorema lui Steiner (10.60) se extinde şi la celelalte momente de
inerţie, obţinându-se în mod analog relaţiile:;MdJJ 2
xcxx1 ;MdJJ 2
ycyy1
-pentru momentele de inerţie planare:
; bMJJ
;aMJJ
;cMJJ
2xczzOx
2yczzOy
2xcyyOx
111
111
111
(10.61)
-pentru momentele de inerţie polare:
,COMJJ 21cO1
(10.62)
-pentru momentele de inerţie centrifugale:
.acMJJ
; bcMJJ
;abMJJ
xzzx
yzzy
xyyx
11
11
11
(10.63)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 280/487
279 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
Din teorema lui Steiner, exprimată prin relaţiile de forma (10.60)decurg următoarele proprietăţi ale momentelor de inerţie faţă de
axe paralele:a) momentul de inerţie este minim faţă de o axă care trece prin centrulde masă al sistemului material;
b) locul geometric al axelor paralele faţă de care momentele de inerţiesunt egale este un cilindru circular a cărui axă de simetrie trece princentrul de masă al sistemului şi este paralelă cu direcţia dată.
10.5.4. Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor
În figura 10.14 se considerăun corp solid rigid şi un sistem dereferinţă Oxyz, faţă de care se
presupun cunoscute momentele de
inerţie axiale zyx JşiJ,J şi cele
centrifugale yzxzxy J,J,J Se cere să
se determine momentul de inerţieaxial J faţă de o axă oarecare ()de versor variabil e
, axă care trece
prin O şi are cosinusurile directoare
Problema se tratează în raport cu o axă oarecare (), deoarece se poate uşor particulariza pentru oricare altă axă a unui triedru rotit înspaţiu faţă de Oxyz.
O particulă A de masă elementară dm, este determinată de vectorul de
poziţie ,k z jyixr
şi este situată la distanţa faţă de axa ().Momentul de inerţie al rigidului faţă de axa () este:
,dmJS
2 unde:
;zyxzyxer r AOr 22222222
Înmulţind primul termen cu relaţia cunoscută 1222 şi
Fig. 10.14
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 281/487
280 MECANICĂ
grupând termenii, obţinem:
.xz2yz2xy2
yxzxzy
xz2yz2xy2zyx
yxzzxyzyx(
zyxzyx
222222222
222222
222222222222222
22222222
Având în vedere expresiile (10.40) şi (10.42) se obţine relaţia:
.J2J2J2JJJJ yzxzxyz
2
y
2
x
2
(10.64)Relaţia (10.64) exprimă momentul de inerţie al sistemului material,
în raport cu axa () şi în acelaşi timp reprezintă legea de variaţie amomentelor de inerţie mecanice faţă de toate axele ce trec prin O. Relaţia(10.66) este o funcţie de cosinusurile directoare care determină
poziţia axei respective. În cazul particular al plăcilor plane, de exemplu situate în planul
Oxy, 90 , cos = 0, iar relaţia (10.64) devine:
;J2JJJ xyy2
x2 (10.65)
Dacă se înlocuieşte 90 atunci cos=sin iar relaţia (10.65)ia forma particulară:
.cossinJ2sinJcosJJ xy2
y2
x (10.66)
10.6. ENERGIA MECANICĂ
Energia mecanică poate fi energie cinetică sau energie potenţială.Energia cinetică este o energie de mişcare iar energia potenţială o energie
de poziţie. Suma dintre energia cinetică notată cu E CE şi energia
potenţială notată cu V PE , reprezintă energia mecanică totală a
punctului sau a corpului respectiv:
.EVE m (10.67)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 282/487
281 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
10.6.1. Energia cinetică
Pentru un punct material de masă m şi viteză v
, prin definiţieenergia cinetică este:
.vm2
1E 2
(10.68)
Energia cinetică este o mărime scalară strict pozitivă, carecaracterizează starea de mişcare a punctului material la un moment dat.Energia cinetică este o mărime de stare care măsoară capacitatea mişcăriimecanice de a se transforma în altă formă de mişcare (energie).
Unitatea de măsură a energiei cinetice în S.I. este Joule-ul.Pentru un sistem de puncte materiale, energia cinetică este egală
cu suma energiilor cinetice ale punctelor care alcătuiesc sistemul:
n
1i
2ii .vm
2
1E
(10.69)
În cazul solidului rigid energia cinetică se exprimă în funcţie demişcarea acestuia. În continuare, se va considera cazul când rigidul areo mişcare generală, ţinându-se seama de distribuţia de viteze în aceastămişcare, după care se va particulariza relaţia pentru diferite mişcări simple.
Solidul rigid fiind un continuu material rigid, pentru calculul energieicinetice se va putea utiliza relaţia (10.69) în care semnul sumă seînlocuieşte cu semnul integrală:
.dmv21E
S
2 (10.70)
Integrala acestei expresii se extinde pe tot domeniul (S) în care esterepartizată masa solidului rigid.
În figura 10.15 se consideră un corp solid rigid în mişcare generală.Mişcarea generală este caracterizată de parametrii cinetici .vşi O
Un
punct A, oarecare al rigidului de masă elementară dm va avea viteza
.vv O
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 283/487
282 MECANICĂ
Înlocuind expresia acestei viteze înrelaţia (10.70) şi ridicând la pătrat rezultă:
;dm2
1dmv
dmv21dmv
21E
S
2
S
O
S
2O
S
2
O
Integralele se extind pe totdomeniul (S), în care este repartizată
masa rigidului. Viteza Ov
şi vitezaunghiulară
sunt mărimi instantanee, care faţă de integrală se pot considera
valori constante şi scoase în faţa integralei.Deci,
.dmnsin2
1dmvdmv
2
1E
S
22
S
O
S
2O
În această relaţie se regăsesc următoarele momente masice:
,MdmS
masa întregului corp;
,Sdm O
S
momentul static polar al rigidului în raport cu O;
,Jdmddmnsin S
2
S
2
momentul de inerţie mecanic al
rigidului în raport cu axa instantanee () ce trece prin polul O.Cu aceste notaţii, energia cinetică a rigidului în mişcare generală este:
.J2
1SvvM
2
1E 2
OO2O
(10.71)
Relaţia (10.71) arată că energia cinetică a rigidului în mişcare generalădepinde de parametrii cinetici Ovşi
precum şi de punctul de referinţă
O prin intermediul momentului static polar OS
.
Fig. 10.15
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 284/487
283 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
Dacă mişcarea se raportează la centrul de masă C, deci CO ,momentul static în raport cu centrul de masă este nul, ,0SC iar expresia
energiei cinetice (10.71) va avea o formă simplificată:.J
2
1vM
2
1E 2
C2C
(10.72)
Relaţia (10.72) exprimă teorema lui König: “energia cinetică arigidului în mişcare generală este egală cu suma dintre energia cinetică acentrului său de masă, unde se consideră concentrată întreaga masă şienergia cinetică de rotaţie în jurul centrului său de masă.”
În cazul mişcărilor particulare ale rigidului, energia cinetică se
calculează conform relaţiei (10.72) după cum urmează:a) Rigid în mişcare de translaţie. Ştiind că în mişcarea de translaţie0
şi că vitezele instantanee ale tuturor punctelor rigidului sunt egale,
expresia energiei cinetice este:
.vM2
1E 2
C
(10.73)
Energia cinetică a rigidului în mişcare de translaţie este identică cu cea
a unui punct ce ar coincide cu centrul de masă al rigidului, având masa M.b) Rigid în mişcare de rotaţie cu axă fixă. Fie viteza unghiularăde rotaţie a rigidului în jurul axei fixe (D) şi J momentul de inerţiemecanic în raport cu aceeaşi axă .0vO
Energia cinetică are expresia:
.J2
1E 2
(10.74)
c) Rigid în mişcare elicoidală. Deoarece
||vO produsul mixt
0Sv
OO
din relaţia (10.75) se anulează, iar energia cinetică devine:
,J2
1vM
2
1E 22
O
(10.75)
adică, energia cinetică este suma dintre energia de translaţie de-a lungulaxei mişcării elicoidale şi energia de rotaţie în jurul acesteia.
d) Rigid în mişcare plan-paralelă. Considerând centrul de masă
pe axa Oz a rigidului rezultă CO vv , iar produsul mixt 0Sv CC
.
Expresia energiei cinetice (10.75) devine:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 285/487
284 MECANICĂ
.J2
1vM
2
1E 2
C2C
(10.76)
unde CJ reprezintă momentul de inerţie faţă de axa normală în planuldirector, trecând prin centrul de masă (în cazul de faţă OzC JJ ).
Relaţia (10.80) exprimă faptul că energia cinetică a unui corp înmişcare plan-paralelă este suma dintre energia cinetică de translaţie cuviteza centrului său de masă şi energia de rotaţie corespunzătoare rotaţieiinstantanee în jurul unei axe (), ce trece prin centrul de masă şi este
perpendiculară pe planul în care are loc translaţia.Datorită faptului că distribuţia de viteze în mişcarea plan-paralelă
este analoagă cu cea din mişcarea de rotaţie, dacă se determină centrulinstantaneu de rotaţie I, energia cinetică se poate calcula cu formula(10.78), specifică mişcării de rotaţie:
,J2
1E 2
(10.77)
în care J reprezintă momentul de inerţie faţă de axa instantanee
de rotaţie.
e) Rigid în mişcare cu punct fix. Alegând originea sistemului în punctul fix O, avem 0vO
, iar relaţia (10.71) devine:
,J2
1E 2
(10.78)
în care J reprezintă momentul de inerţie în raport cu axa instantanee derotaţie () având cosinusurile directoare . Momentul de inerţie Jare expresia (10.64):
,J2J2J2JJJJ xzyzxyz2
y2
x2
care, înlocuită în (10.78) rezultă:
,J2J2J2JJJ2
1E zxxzzyyzyxxy
2zz
2yy
2xx
(10.79)unde s-a înlocuit:
.cos;cos;cos zyx
Dacă reperul mobil solidar cu rigidul, este orientat după direcţiile
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 286/487
285 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
principale de inerţie ce trec prin O, atunci momentele centrifugale suntnule, iar energia cinetică are expresia
.JJJ21E 2
z32y2
2x1 (10.80)
10.6.2. Energia potenţială
Spre deosebire de energia cinetică, care este energia înmagazinatăde corpuri în mişcare, energia potenţială este o energie de poziţie, care
depinde de poziţia în care se află corpul.Energia potenţială este o funcţie numai de poziţia sistemului mate-
rial, atunci când acesta este acţionat de forţe conservative. Energia de poziţie a sistemului material respectiv, se defineşte ca fiind egală cu lucrulmecanic efectuat de forţele ce acţionează asupra lui, atunci când sistemuleste deplasat din poziţia dată, în poziţia de referinţă, în care energia
potenţială se consideră nulă.
.UUdUdLV AO
0
A
0
A
(10.81)
Dacă se alege valoarea funcţiei de forţă în poziţia de reper egală cuzero, 0U 0 , rezultă că energia potenţială este egală cu funcţia de forţăluată cu semnul minus, V = -U.
De exemplu, energia potenţială a unui corp de greutate G
este(conf.10.13):
,GhLLUVAOOA
(10.82)semnul plus corespunde situaţiei în care corpul de greutate G se aflădeasupra poziţiei de referinţă, iar semnul minus situaţiei în care corpul seaflă sub nivelul poziţiei de referinţă.
Pentru un corp elastic, cum ar fi de exemplu un arc cilindric elicoidal,energia potenţială raportată la poziţia nedeformată a arcului va fi (conf. 10.16):
,2
Fx
2
KxLLUV
2
AOOA (10.83)
unde K este constanta elastică a arcului; x-deformaţia arcului; F = Kx-forţa elastică din arc.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 287/487
286 MECANICĂ
Deci, arcul fie că este întins, fie că este comprimat, posedă o energie potenţială pozitivă obţinută prin înmagazinarea lucrului mecanic al forţelor
care l-au acţionat.Pentru un arc poziţia de reper în care energia potenţială este nulă,este considerată poziţia liberă a arcului (nedeformată) sau poziţia deechilibru static al arcului.
10.7. IMPULSUL
Impulsul sau cantitatea de mişcare a unui punct material de masă mşi viteză v
este mărimea vectorială H ce caracterizează mişcarea
mecanică a punctului.Prin definiţie impulsul se exprimă prin
relaţia:
.vmH
(10.84)
Relaţia (10.84) arată că impulsul este un
vector coliniar cu viteza punctului având acelaşisens iar ca mărime de “m” ori mai mare (v.fig.10.16).
Expresia analitică a impulsului într-unsistem de referinţă cartezian Oxyz este:
,k zm jymixmvmH
unde
,Hzm;Hym;Hxm zyx (10.85)sunt componentele scalare ale impulsului.
Pentru un solid rigid în mişcaregenerală, impulsul se va calcula ca in-tegrală a impulsului elementar (fig. 10.17).Un punct oarecare A, demasă elementară dm şi viteză v
are un impuls elementar dmvHd
.
Impulsul total al rigidului este:
.dmdmvdmvdmvH
SSO
So
S
Fig. 10.17
Fig. 10.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 288/487
287 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
ştiind că
MdmS
şi
,Mdm c
S
rezultă:
ccOcO vMvMMMvH Vom avea deci:
.vMH c
(10.86)
În concluzie, impulsul unui solid rigid este egal cu produsul dintremasa corpului şi viteza centrului său de masă, oricare ar fi mişcarearigidului.
Unitatea de măsură a impulsului în sistemul internaţional de măsură
(S.I.) este kilogram-metru pe secundă (kg. m/s).
10.8. MOMENTUL CINETIC
Momentul cinetic al unui punct material de masă m şi viteză v
, înraport cu polul O, se defineşte ca fiindmomentul vectorului impuls, calculat faţăde polul considerat (fig. 10.18):
.vmr Hr K O
(10.87)Din relaţia (10.87) rezultă că vectorul
moment cinetic are originea în punctul O,direcţia normală pe planul definit de
vectorii Hşir
, sensul dat de regula produsului vectorial, iar mărimea:
.H,r sinHr K o
(10.88)
Expresia analitică a momentului cinetic, faţă de un sistem de referinţăcartezian cu originea în O este:
,k xyyxm jzxxzmiyzzym
zmymxm
zyx
k ji
K O
Fig.10.18
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 289/487
288 MECANICĂ
unde ,xyyxmK ,zxxzmK ,yzzymK zyx (10.89)
sunt componentele scalare ale vectorului moment cinetic, egale cu
momentele axiale ale impulsului.Unitatea formată din vectorii ortogonali OK ,H
localizaţi în polul O,
reprezintă torsorul impulsului H
în polul O. Simbolic se notează astfel:
.K ,HH OO
(10.90)
Momentul cinetic al rigidului în raport cu polul fix 1O este egalcu integrala pe domeniul (S) a momentelor cinetice elementare:
.dmvr Hdr K SS
O1
Înlocuind
Or r , obţinem:
.K dmvr dmvdmvr dmvr K O
S
O
SS
O
S
OO1
Având în vedere că
HHddmvSS
şi OOr 1O
, rezultă:
.HOOK K 1OO1
(10.91)
Relaţia (10.91) ne permite să facem următoarele observaţii:a) Dacă impulsul total al rigidului se interpretează ca vectorul rezultant
al sistemului de vectori impuls dmvHd
, atunci momentul cinetic poate
fi interpretat ca moment rezultant al aceluiaşi sistem de vectori. Cei doi
vectori
O
K ,H
localizaţi în polul fix1
O ,
formează torsorul impulsurilor rigidului
în polul 1O .
.K ,HH11 OO
(10.92)
b) Relaţia (10.92) reprezintă teorema
momentelor R OOMM 1OO1
aplicată sistemului de vectori impuls.c) Dacă originea reperului mobil se Fig.10.19
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 290/487
289 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
plasează în centrul de masă CO al rigidului, relaţia (10.91) devine:
.HCOK K 1CO1
În relaţia (10.91) s-a notat prin OK
momentul cinetic în raport cuoriginea reperului mobil O. Acest moment cinetic se poate explicita,înlocuind .vv O
Astfel că:
SS
O
S
O
S
O dmdmvdmvdmvK
unde:
tr ,OOO
S
O
S
O K vSvdmdmv
(10.93)reprezintă componenta de translaţie a momentului cinetic, iar:
,K dm rotO
S
(10.94)
reprezintă componenta de rotaţie a momentului cinetic. Pentrudeterminarea acestei componente se vor calcula separat produsele
şi )(
, ţinând seama că vectorii
şi au componente pe cele
trei axe ale sistemului de referinţă mobil solidar cu rigidul:
.k dmyxzydmzxdm
jyzdmdmxzyxdm
ixzdmxydmdmzy
dmK
S
22z
S
y
S
x
S
z
S
22y
S
x
S
z
S
y
S
22x
rotO
(10.95)
Având în vedere expresia matricei momentelor de inerţie, relaţia(10.95) poate fi scrisă concentrat sub forma:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 291/487
290 MECANICĂ
.J
JJJ
JJJ
JJJ
dmK O
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
S
rot
O
(10.96)Momentul cinetic faţă de polul O, devine:
,JvSK OOOO
(10.97)iar faţă de polul C:
.0Sdeoarece,JK CCC
(10.98)
În final momentul cinetic al rigidului faţă de polul fix 1O este: .HOOJvSK 1OOOO1
(10.99)
10.9. TORSORUL VECTORILOR IMPULS PENTRUDIFERITE CORPURI ÎN MIŞCARE
a) Rigid în mişcare de translaţie. Caracteristic mişcării de translaţieeste faptul că vitezele punctelor rigidului sunt egale, la un moment dat:.0iar vvv CO
Astfel, torsorul vectorilor impuls faţă de un polulfix 1O este:
,HCOHCOK K
;vMHH
11CO
C
O
1
1
(10.100)
deoarece .0K c
Faţă de centrul de masă, conform relaţiilor (10.86) şi (10.98) torsorul este:
,0JK
;vMHH
OrotC
C
C
(10.101)
deoarece 0.
b) Rigid în mişcare de rotaţie cu axă fixă. În figura 10.20 seconsideră un solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe 11zO . Se
presupun cunoscute: viteza unghiulară k
şi tensorul moment de
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 292/487
291 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
inerţie OJ în raport cu reperul ataşat rigidului.Torsorul vectorilor impuls în polul fix 1O este:
.k J jJiJ
0
0
JJJ
JJJ
JJJ
JK K
; jMviMvMvMH
H
zzyzxz
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
OrotOO
yxCC
O
1
1
(10.102)
În general, vectorul moment cinetic are componente diferite de zero
pe cele trei axe de coordonate. În tehnică se urmăreşte ca momentulcinetic să fie orientat după axa de rotaţie. Această situaţie se obţine cândrigidul are o formă particulară şi admite un plan de simetrie perpendicu-lar pe axa de rotaţie. În acest caz, momentele centrifugale sunt nule
0JJ yzxz , iar axa de rotaţie este axă principală de inerţie.Astfel, pentru cilindrul de masă M din figura 10.21,a axa de rotaţie
este axă principală de inerţie. Torsorul impulsurilor faţă de polul fix
OO1 este:
Fig. 10.20 Fig. 10.21
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 293/487
292 MECANICĂ
.k J0
0
J00
0JJ0JJ
JK
; jMviMvvMH
Hzz
zz
yyyx
xyxx
OrotO
yxC
O
1
1
(10.103)Pentru cilindrul din figura 10.21,b axa de rotaţie este axă principală
centrală de inerţie. Torsorul impulsurilor faţă de polul fix COO1 este:
.k J0
0
J00
0J0
00J
JK
;0vMH
Hzz
zz
yy
xx
OrotO
C
O
1
1
(10.104)
Alte exemple de corpuri în mişcare de rotaţie cu axă fixă sunt prezentate în figura 10.22.
Pentru discul de rază R şi masă M din figura 10.22,a torsorul
impulsurilor în polul fix CO este:
k
2
MR k J0
0
J00
0J0
00J
K
;0vMH
H 2
zz
zz
yy
xx
rotO
C
O
Fig. 10.22
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 294/487
293 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
Pentru discul de rază R şi masă M din figura 10.22,b torsorul im- pulsurilor faţă de polul fix O este:
.k MR
2
3k J0
0
J00
0JJ
0JJ
K
;iR MvMH
H2
zz
zz
yyyx
xyxx
rotO
C
O
Pentru bara de lungime l şi masă M ce se roteşte cu viteza unghiulară
în jurul articulaţiei O, torsorul impulsurilor faţă de polul fix O este
(fig.10.22,c):
.k
3
lMk J0
0
J00
0J0
000
K
; j2
lMvMH
H 2
zz
zz
yyrotO
C
O
c) Rigid în mişcare elicoidală cu axă fixă. În cazul general cândcentrul de masă nu se află pe axa mişcării elicoidale (fig.10.23), torsorulvectorilor impuls, faţă de polul fix 1O este:
.vMOOJvSK
;k Mv jMviMvvMHH
C1OOOO
zyxC
O
1
1
(10.105)
Dacă centrul de masă se află pe axa mişcării elicoidale, caz des întâlnitîn tehnică (şurubul, burghiul etc), torsorul vectorilor impuls are expresia:
.k J jJiJ
0
0
JJJ
JJJ
JJJ
JK
;k MvvMH
H
zzyzxz
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
OO
z
O
1
1
(10.106)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 295/487
294 MECANICĂ
d) Rigid în mişcare plan-paralelă. În aceste caz distribuţia de vitezese obţine prin suparpunerea a două câmpuri de viteze corespunzătoareunei mişări de translaţie şi unei mişcări de rotaţie. Momentul cinetic faţăde polul O (fig.10.24) se va calcula corespunzător celor două câmpuri deviteze cu ajutorul relaţiei (10.97):
.JvSK K K
; jMviMvvMHH
OOOrotO
tr OO
yxCO
(10.107)
Dacă O C , şi planul director [] este plan de simetrie, momentelecentrifugale sunt nule 0JJ yzxz , iar torsorul vectorilor impuls areurmătoarea exprimare:
.k J0
0
J00
0JJ
0JJ
JK
; jMviMvvMH
H zz
zz
yyyx
xyxx
CrotC
yxC
C
(10.108)
Ştiind că distribuţia de viteze în mişcarea plan-paralelă, faţă de centrulinstantaneu de rotaţie (C.I.R.) este asimilabilă cu cea a unei rotaţii în
jurul unei axe instantanee care trece prin C.I.R., se pot folosi rezultatelede la mişcarea de rotaţie cu axă fixă. Astfel, torsorul impulsurilor faţă de
O , este:
Fig. 10.23 Fig. 10.24
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 296/487
295 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
.k JJK
; jMviMvvMHH
zrot
yxC
(10.109)
De exemplu, pentru discul de rază R şi masă M (fig.10.25) ce serostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal cu viteza Cv
şi viteza
unghiulară
torsorul impulsurilor faţă de are expresia:
.k MR
2
3JJK
;iMR vMHH
2rot
C
(10.110)
e) Rigid în mişcare cu punct fix. În acest caz originea sistemuluide referinţă mobil se alege în punctul fix 1O , iar viteza unghiularăinstantanee are componentele după cele trei axe (v. fig.10.26). Torsorulvectorilor impuls în polul fix 1O are următoarele componente:
.
JJJ
JJJ
JJJ
JK
;k Mv jMviMvvMH
H
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
OO
zyxC
O
11
1
Dacă axele sistemului de referinţă sunt orientate după axele principale
de inerţie în raport cu polul 1O , momentele centrifugale sunt nule, iar torsorul impulsurilor are următoarele componente:
Fig. 10.25
C
H
kI
vc
I
Fig. 10.26
z
x
yOO
1
C
k0
Hc
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 297/487
296 MECANICĂ
.k J jJiJ
J00
0J000J
K
;k Mv jMviMvvMH
Hzzzyyyxxx
z
y
x
zz
yy
xxrotO
zyxC
O
1
1
10.10 PROBLEME REZOLVATE
1. Să se calculeze randamentulunui plan înclinat cu un unghi
,30 dacă coeficientul defrecare este m=0,3.
Rezolvare. Se considerăcorpul de greutate G din figura10.27, care alunecă pe planul
înclinat de unghi a, pe distanţa l.Randamentul mecanic conform relaţiei (12.31) este:
.cossin
sin
lcosGlsinG
lsinG
LL
L
L
L
PU
U
C
U
Înlocuind m=0,3 şi ,30 rezultă:
.8,65658,02/33,05,0
5,0
30cos3,030sin
30sin0
0
2. Un ciocan cu aer comprimat, cântărind Q=1500 N, este ridicat laînălţimea h=0,75 m de n=84 ori pe minut.
Să se calculeze puterea consumată de maşină, dacă randamentul
acesteia se compune din 855,01 corespunzător mecanismului de
comandă şi 76,02 pentru piston şi glisierele ciocanului.
Rezolvare. Randamentul total al maşinii este:
Fig. 10.27
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 298/487
297 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
.65,076,0855,021 Lucrul mecanic pentru o ridicare a sarcinii Q este:
.J112575,01500hQL1 Lucrul mecanic efectuat timp de un minut:
.J94500112584LnL 1 Puterea utilă a maşinii este:
.W157560
94500
t
LPU
Puterea consumată de maşină:.kW423,2W2423
65,0
1575PP U
C
3. Presiunea gazelor pe pistonul unui motor este .m/ N105 p 25Diametrul pistonului este d=0,2 m, iar lungimea cursei este s=0,4 m.
Rezolvare. Forţa ce acţionează asupra pistonului este:
.50004 2,01054d p pAF
2
5
2
Lucrul mecanic corespunzător pentru o cursă va fi:
.J20004,0105sFL 31
Puterea maşinii rezultă:
.W66,1046660
2000100
t
L N
t
LP 1
4. Să se determinemomentele de inerţie polare
BAO J,J,J şi momentele de
inerţie axiale zyx J,J,J ale
barei omogene de lungime lşi masă m (fig. 10.28).
Fig. 10.28
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 299/487
298 MECANICĂ
Rezolvare. La distanţa y faţa de O se detaşează un element delungime dy. Se aplică relaţia (10.49):
;12
lm
8
l
8
l
l3
m
dyyl
mdl
l
mJ
233
2/l
2/l
2
L
2O
;3
lmdyyl
mdll
mJJ
2l
0
22BA
,0Jiar 12
lmJJJ y
2
Ozx
masa m a barei fiind distribuită de-alungul axei Oy.
5. Să se determine momentele deinerţie axiale ale unei plăci omogene,dreptunghiulare având dimensiunile dinfigura 10.29, şi masa M.
Rezolvare. Se detaşează un elementde suprafaţă dA sub forma unuidreptunghi de lungime b şi înălţime dy. Seaplică relaţia (1051):
.12
hM
8
h
8
h b
h b
Mdy by
h b
MdA
A
MJ
2332/h
2/h
2
A
2x
În mod analog, rezultă: .12
bMJ
2
y
.h b
12
MJJJJ 22
yxOz
Fig. 10.29
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 300/487
299 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
6. Pentru placa omogenă de masă Msub forma unui sfert de cerc (fig.10.30) de
rază R, să se calculeze momentele de inerţieaxiale şi centrifugal. Rezolvare. Se detaşează un element de
arie dA = r dr dq, cu ajutorul coordonatelor polare r şi q, la distanţele x = r cosq şi y = r sinq faţă de axele de coordonate Ox şirespectiv, Oy. Se aplică relaţiile (10.51) şi(10.52):
ddsinAMdAy
AMJ 22
A
2x
.4
mR d
2
2cos1
4
R
R
M4dsind
A
M 22/
0
4
2
2/
0
2R
0
3
Deci, .
2
mR JJJJiar
4
mR J
2
yxOz
2
y
.2
mR d
2
2sin
4
R
R
M4dcossind
A
M
ddcossinA
MdAxy
A
MJ
22/
0
4
2
2/
0
R
0
3
3
A
xy
7. Să se calculeze momentele deinerţie planare şi axiale, ale unui
paralelipiped de masă M, avânddimensiunile din figura 10.31.
Rezolvare. Se detaşează un elementde volum dV=dxdydz la distanţele x, y şirespectiv z faţă de planele sistemului dereferinţă, cu originea în centrul de masăal paralelipipedului (v. fig.10.31).
Fig.10.30
Fig. 10.31
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 301/487
300 MECANICĂ
Se aplică relaţiile de tipul (10.53). Momentele de inerţie planare sunt:
;12
ma bca
12
1
abc
m
1
z
1
y
3
x
abc
M
dzdydxxabcMdVx
VMJ
23
2
c
2
c
2
b
2
b
2
a
2
a
3
2
a
2
a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
V
2yOz
.12
mcdzdydxz
abc
MdVz
V
MJ
22a
2
a
2 b
2
b
2c
2
c
2
V
2xOy
.12
mbdzdydxy
abc
MdVy
V
MJ
22
a
2
a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
V
2xOz
Aplicând relaţiile (12.47) se determină momentele de inerţie axiale:
;c b12
mJJJ 22
xOzxOyx
;ca12
mJJJ 22
xOyyOzy
; ba12
mJJJ
22yOzxOzz
5. Să se calculeze momentele deinerţie mecanice ale unui conomogen de masă M, rază R şiînălţime H (fig. 10.32).
Rezolvare. Conul este un corp
de rotaţie, curbe ce limitează Fig. 10.32
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 302/487
301 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
suprafaţa de rotaţie este o dreaptă de ecuaţie y = (R/H) x, în planul xOy(v. fig. 10.32). Aplicând relaţiile (10.56) şi (10.57) rezultă:
;MR 103dxx
HR
2HR M3dxxy
2VMJ 2H
0
4
4
4
2
H
0
4x
.MH5
3dxx
H
R x
HR
M3dxxyx
V
MJ 2
H
0
2
2
22
2
H
0
22yOz
Aplicând relaţiile (10.57) rezultă următoarele momente de inerţie:
;H4R M20
3
MH5
3
MR 20
3
JJ2
1
JJ2222
yOzxzy
;MR 20
3J
2
1JJ 2
xxOyxOz
.H2R M10
3MH
5
3MR
10
3JJJ 2222
yOzxO
6. Pentru placa omogenă demasă M, având forma şidimensiunile din figura 10.33 a săse determine momentele de
inerţie ,Jx yJ şi momentul
centrifugal .J xy
Rezolvare. a) Notând cuA
densitatea superficială a plăci,masa ei este:
.a16a2a2a6a2M 2AA
S-a considerat placa omogenă formată dintr-un dreptunghi a6a2
şi un pătrat a2a2 .Aplicând relaţiile lui Steiner (10.60) de două ori, pentru cele două
suprafeţe, rezultă:
Fig. 10.33
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 303/487
302 MECANICĂ
12
a2a2a2a3a6a2
12
a6a6a2J
2
A
2
A
2
Ax
;3
Ma46
3
a46a16
3
a736a5a2a2
222A
4A2
A
12
a2a4aa12
12
a2a12J
22
A22
A
22
Ay
.3
Ma10
3
a10a16
3
a160a3a4
222
A
4
A2
2A
Aplicând relaţiile lui Steiner pentru momentele centrifugale (12.63)rezultă:
.Ma6a6a16
a96a5a3a2a20a3aa6a20J222
A
4AAAxy
7. Volantul unui motor Diesel are diametrulexterior D=2R=1,6m, diametrul interior d=2r=1,2m,iar grosimea coroanei a=0,13m (fig. 10.34). Greutatea
specifică a oţelului fiind ,m/ N1072 33 să se
calculeze energia sa cinetică la o turaţie de 360 rot/min.
Rezolvare. Se aplică relaţia (10.53), detaşându-
se un element de volum dV d d dx , la distanţa r faţă de axa volantului. Momentul de inerţie este:
.2
r R M
4
ar R 2
ar R
Ma
4
r R 2
V
M
dddxV
Mdxdd
V
MdV
V
MJ
2244
22
44
2
0
R
r
3a
0
3
V
2x
Fig. 10.34
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 304/487
303 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
Energia cinetică este dată de relaţia (10.78):
.g2700
nr R a
30
n
2
r R
g
V
2
1
J2
1
E
24422222
xc
Pentru aplicaţia numeric rezultă:
G=8,230 kN, J=420 kg. m2; w=37,68 rad/s; Ec =29. 104 J.
8. Un regulator cu bile de masă m1 are un manşon de masă m care
alunecă de-a lungul unei tije verticale
(fig.10.35). Întregul ansamblu se roteşte în jurulaxului vertical cu viteza unghiulară variabilă w.Ştiind că momentul de inerţie al suportului înformă de T este J, să se calculeze energiacinetică totală a regulatorului, neglijândgreutăţile barelor de susţinere de lungime l.
Rezolvare. Energia cinetică totală aregulatorului este suma energiilor cinetice ale
părţilor componente aflate în mişcare: suportulîn formă de T, cele două bile şi manşonul.
.J2
1E 2
1
-Energia cinetică a celor două bile care, au o mişcare de rotaţie în jurul axului vertical cât şi o mişcare de rotaţie în jurul articulaţiilor A,
respectiv B, cu viteza unghiulară .dt/d1
.ml212sinlam
212E 1
21
222
12
-Energia cinetică a manşonului, care are o mişcare de rotaţie în jurul
axului vertical şi o mişcare de translaţie de-a lungul axei cu viteza 2v , de
forma :sinl2v2
.sinl4m
2
1
2
am
2
1E 2
1
22
2
22
23
Fig.10.35
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 305/487
304 MECANICĂ
Energia cinetică totală a sistemului este:
22
1
222
2
2
1
222
1
2
sinl42
a
m2
1
lsinlamJ2
1
E
9. Pneul de rază r şi masă M alunui automobil ce execută un viraj derază R, se rostogoleşte fără alunecare,
pe un drum orizontal. Ştiind că viteza
centrului roţii estev
c
, să se calculezeenergia sa cinetică (v. fig. 10.36).
Rezolvare. Mişcarea absolută aroţii este o rotaţie cu un punct fix (O)şi prin urmare, energia sa cineticăconform (12.87) se va scrie astfel:
.J000J0
00J
,,2
1E
z
y
x
zz
yy
xx
zyxc
unde:
.R
v;
r
v;0 c
zc
yx ; ;MR 4
Mr JJ 2
2
zzxx
.
2
Mr J
2
yy
Deci,
.R 4
r
2
3Mv2
1
R
vr
v0
MR 4
Mr 00
02
Mr 0
00MR 4
Mr
R
v;
r
v;0
2
1E
2
2
2c
c
c
22
2
22
ccc
Fig. 10.36
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 306/487
305 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
10. O bară omogenă OA, de lungime l şi
greutate
G , se deplasează într-un plan vertical(fig. 10.37), astfel încât extremităţile O şi Aalunecă de-a lungul a doi pereţi perpendiculari.
Cunoscând viteza la un moment datvO , să se
determine impulsul barei şi momentul cinetic înraport cu centrul de masă C şi cu centrulinstantaneu de rotaţie I.
Rezolvare. Poziţia centrului instantaneu derotaţie se află la intersecţia perpendicularelor ridicate în O şi A pe direcţiilecelor două viteze. Faţă de C. I. R. vitezele punctelor C şi O sunt:
.coslOviar Cv OO de
unde ,cos2
vviº
cosl
v OC
O
ştiind că .
2
lC
Impulsul barei conform (12.96) este:
.cosg2
GvMvH OC
Momentul cinetic al barei în raport cu polul C conform (10.119) este:
.cosg12
vlG
12
MlJK
O
OC
rotC
Momentul cinetic al barei în raport cu I se poate determina aplicând
relaţia (12.102) sau (12.120):
.cosg3
vlG
2
l
cosg2
vG
cosg12
vlGHCK K OOOrot
C
11. Mecanismul planetar din figura 10.38 este format din roata fixă
1 de rază R, manivela 2 de masă 2M şi lungime r R OO 21 , având o
mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară 2 în jurul unei axe perpendiculare
Fig. 10.37
A
C
I
O
vc
v 0
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 307/487
306 MECANICĂ
ce trece prin 1O , şi roata mobilă 3 de masă 3M
şi rază r, antrenată de manivela 2. Să se
determine momentul cinetic total al sistemuluide corpuri în polul fix 1O .
Rezolvare. Momentul cinetic al sistemului
este un vector orientat după axa zO1 ,
perpendiculară pe planul în care are locmişcarea, fiind egal cu suma momentelor cineticeale părţilor componente:
.K K K K 3O
2O
1OO 1111 (10.123)
Momentul cinetic al roţii fixe (1) este: 0;0K 11
O1
Momentul cinetic al manivelei (2):
.
3
r R MJK 2
2
22O
2O 11
(10.124)
Momentul cinetic al roţii (3) conform relaţiei (10.110) este: ,vMr R JHCOK K
21 O333
C13
C3
O
în care se înlocuieşte:
.r R r v;
r
r R ;
2
r MJ 23O
23
233
C 2
Rezultă:
.Mr R 2
r R r MK 23
2
233
O1
(10.125)Înlocuind (10.124) şi (10.125) în (10.123) rezultă momentul cinetic
al sistemului de corpuri:
.r 3R 2M3r R M2
6
r R K 32
2O1
.
Fig.10.38
y
x
3
1
R
2
3
O2 r
I2
O1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 308/487
307 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
10.11 PROBLEME PROPUSE
1. Ecuaţiile mişcării unui mobil de masă m = 2 kg, sunt: x = 2sint şi y
= cos(m). Să se determine lucrul mecanic între t = 0 şi sec2
t .
R: L = 3 j
2. Ecuaţiile mişcării unui punct material de masă m = 1 kg, sunt: x = t şiy = et, (m). Se cere lucrul mecanic efectuat de la t = 0 la t = 2sec.
R: L = 4 J
3. Un punct material de masă şi descrie un arc din cercul de rază R,cuprins între A(0;R) şi B(R;0). Să se determine lucrul mecanic efectuatde forţa ale cărei componente sunt: X = mxy şi Y = my2.
R: L = 0
4. Fie eclipsă 1
4
y
9
x 22
, şi forţa de componente X = mx şi Y = -
my, care acţionează asupra mobilului de masă m, ce se deplasează pecurbă. Să se determine poziţia de echilibru stabil.
R: x = 0
5. Fie parabola cubică y = x3 pe care este situat un punct material demasă m, asupra căruia acţionează forţa F de componente X = mx şi Y =mg. Să se găsească poziţia de echilibru stabil.
R: A(x = 0; y = 0) B( 3g271y;
g31x )
6. O pompă cu puterea de 3678,75 w şi randamentul 0,6, terbuie săridice 900 m3 de apă la înălţimea de 9 m. De cât timp este nevoie pentruaceasta?
R: t = 10 ore.
7. Un automobil având (împreună cu încărcătura) greutatea de 2tf,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 309/487
308 MECANICĂ
parcurge distanţa de 30 km cu viteza de 25 km/h, pe un drum care urcă cu 50m. Coeficientul de frecare al drumului este de 0,05. Să se determine puterea
motorului automobilului, dacă randamentul lui este de 0,6.R: Pm = 7063,2 W
8. Cât de mare trebuie să fie diametrul pistonului unei maşini cuabur, cu un cilindru, la presiunea aburului de 9,8 N/cm2 asupra pistonului,viteza pistonului v = 2 m/s şi puterea maşini de 55 153, 25 W?
R: d = 0,3 m
9. Pe roata unei mori de apă, cu un randament de 0,6 cade apă de lao înălţime de 3 m. Ce cantitate de apă trebui să cadă pe roată, într-osecundă, ca să i se transmită o putere de 10.036, 25 W.
R:3m
8
5Q
10. Pe o linie de tranvai circulă 300 vagoane cu viteza medie de 15km/h. Greutatea fiecărui vagon este de 12 t. Forţa de frecare la înaintare
a vagonului este de 0,02 din greutatea sa. Să se determine puterea maşinilor centralei de forţă a tramvaielor.
R: P = 22,43 . 105 W.
11. Un mobil de masă nu descrie partea din parabola y2 = 2x, cuprinsăîntre x = 2 şi y = 8. Să se determine lucrul mecanic efectuat de forţaorizontală F = 2my.
R: m3
112
L
12. Asupra unui corpacţionează o forţă a căeridependenţă de distanţăeste ilustrată în figura10.39. Cât este lucrulmecanic al forţei?
R: L = 300J Fig. 10.39.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 310/487
309 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
13. Un om pune în mişcare pe o suprafaţă orizontală un corp de masăm = 20 kg acţionând asupra lui cu o forţă F = 50 N. Direcţia forţei face cu
orizontala un unghi = 30o
iar acţiunea omului asupra corpului durează 3secunde. Forţele de frecare sunt neglijabile. Cât este lucrul mecanic efectuatde om?
R: L = 421,8J
14. O macara ridică un corp cu masa m = 300 kg la înălţimea h = 5mcu o viteză constantă. Cât este lucrul mecanic efectuat dacă g = 10m/s?Dacă ridicarea corpului se face accelerat cu a = 2m/s2, cât este lucrul
mecanic în acest caz.R: a) L = 15.000 J b) L = 18.000 J
15. Energia necesară baterii ţesăturii cele mai dense, s-a constatatcă este echivalentă cu lucrul mecanic efectuat de un corp în greutate de10 N, căzând de la 0,45 m înălţime. Ştiind că baterea se face în 0,025 s,să se determine puterea Pc a unui electromotor, cu randamentul = 0,8
care ar executa această operaţie.R: Pc = 0,41kW
16. Două resorturi suntmontate într-un tub orizontal fix,fiind separate printr-un pistonmobil. Primul resort are oconstantă de elasticitate k 1 şi
este fixat de cilindru. Al doileaare constanta k 2 şi este ghidatde tija unui piston mobil. În starenedeterminată se cunoaşte d. Celucru mecanic trebuie efectuat pentru a realiza contactul între primul
piston şi tija celui de-al doilea?R: k
2(k
1+k
2)d2/2k
1
17. O rabotează efectuează 10 curse de lucru pe minut, fiecare
Fig. 10.40.
d
F
k1 k2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 311/487
310 MECANICĂ
având lungimea de 1,8 m. Cunoscând că pentru deplasarea uniformă amasei în cursa de lucru este necesară o forţă de 4 kN, să se determine
lucrul mecanic şi puterea efectivă a maşinii.R: L = 7,2 kJ; P = 1,63 CP
18. Să se calculeze momentele de inerţie Jox, Jo1x1, Joy, Jo, Jo1 alesuprafeţei cuprinse între cercurile de rază R şi r, distanţa între centrelecelor două cercuri fiind a, iar masa M.
R:
oyxoooyoxo
2222
oy
22
22
xo
2
22
22
ox
JJJ;JJJ
);r R (M;4
)r R (MJ
;r R
a41
4
MR J
;R r R
a41r
4
MJ
111
11
19. Să se determine momentele deinerţie geometrice principale centrale şidirecţiile principale centrale de inerţie,
pentru suprafaţa compusă dindreptunghiuri din figura 10.42.
R: ;mm1074,1I 46oy
.mm1036,3I 46yz
'45103;'4513;519,02tg o2
o1
45min
44max mm103,9I;mm10553,1I
Fig. 10.41.
Fig.10.42
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 312/487
311 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
Fig. 10.44
Fig. 10.43.
20. Pentru bara cotită AOBD,omogenă, de masă M să se determine:
a) Poziţia centrului de greutate a barei; b) Momentele de inerţie mecanice
Joz şi Jcz’, unde cz’ este axa centrală paralelă cu oz, care trece prin centrulde masă al barei.
R:
a) ;a292,0z;a414,0y;a707,0x ccc
b) Ma820,0J;Ma491,1J 2'cz
2oz
21. Să se determine axele, momentele şi razele de inerţie principalecentrale pentru secţiunea plană din figura 10.44 formată dintr-un profilU-20 şi un cornier cu aripi inegale 80x120x10.
R: Poziţia centrului de greutate faţăde sistemul C
1y
1z
.mm6,22z;mm5,44y cc Momentele de inerţie geometrice:
46
yz
48cz
46cy
mm1066,9I
;mm1072,3I
;mm1066,8I
Momentele principale centrale de
inerţie: 47max2
46min1
mm10017,4II
;mm1069,5II
22.Să se determine momentul de inerţie polar Jo, al sistemului de
corpuri din figura 10.45, format dintr-o bară omogenă OA de lungime 8aşi greutate G şi cercul material de rază R = 3a şi greutate 2G.
R: gGa33,281J
2
0
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 313/487
312 MECANICĂ
23. Să se determine momentele de inerţie mecanic axial Jxx
, al unuitor de rază R şi greutate specifică , generat de un cerc de rază r.
R: )r 3R 4(R g2
r J 222
xx
24. Pentru sistemele de puncte materiale din fig. 10.47 săse deter-mine poziţia centrului de masă (CM) şi momentele de inerţie principalecentrale, în următoarele cazuri: a) pentru două puncte materiale de masem1
şi m2 situate la distanţa l; b) trei puncte materiale dispuse în vârful
Fig. 10.45 Fig. 10.46
Fig.10.47.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 314/487
313 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ
unui triunghi isoscel; c) patru puncte materiale dispuse în vârfurile unei piramide triunghiulare regulate.
Răspuns:
a)21
221
zyx
21
12
21
21 mm
lmmJJ;0J;
mm
lml;
mm
lml
b) yxz2
1y
21
221
x
21
20 JJJ;am
2
1J;
mm2
hmm2J;
mm2
hmy
c)2
1z
21
2212
1yx
21
20 amJ;
mm3
hmm3am
2
1JJ;
mm3
hmz
25. Un tor de rază R, având greutatea specifică ,generat de un cerc de rază r, se roteşte în jurul axei Oxcu n ture/min. Să se calculeze energia cinetică a torului.
R: )r 3R 4(r R g3600
nE 222
23
26. Un cub omogen de masă m şi muchie 2a seroteşte cu viteza unghiulară în jurul unei axe cecorespunde cu o diagonală principală. Să se determinemomentul cinetic K
0 al cubului, unde O este un vârf al cubului situat pe
axa de rotaţie.
R: 3
ma2K
2
o
27. Un cilindru circular drept de masă M, raza bazei R şi înălţime H,se roteşte cu o viteză unghiulară în jurul unei axe orizontale ce trece
prin centrul de masă C. Axa de simetrie a cilindrului formează unghiul cu axa de rotaţie. Să se determine momentul cinetic al cilindrului în raportcu centrul de masă C.
R:
24222
c cosR 36sin)HR 3(12
M
K
Fig. 10.48.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 315/487
314 MECANICĂ
28. Să se determine momentul cinetic al barei cotite .
R:
k 3
11
j2
1
i2
1
3
mb
K
2
o
29. Roata cilindrică de rază r şi greutateG se rostogoleşte fără alunecare în interiorulunei suprafeţe cilindrice fixe de rază R, prinintermediul unei manivele OA de greutate P.Să se calculeze energia cinetică a sistemuluide corpuri dacă manivela are viteza unghiulară
0 (fig. 10.49).
R: 2o
2
)G9P2(g12
)r R (E
30. Un corp punctiform de masă m semişcă pe o traiectorie circulară de rază R subacţiunea unei forţe centrale de atracţie
2r k F , a cărei direcţie trece prin centrul
cercului, iar k = const. Să se calculeze: a)energia cinetică; b) energia potenţială; c)energia totală; d) momentul cinetic al corpului.
R: R 2
k EVE;
R
k V;
R 2
k E t ; R mk K 0
31. Pentru determinarea masei unui tren de marfă, între locomotivăşi primul vagon s-a intercalat un dinamometru. Într-un interval = 2minute dinamometrul a indicat o forţă medie F = 105 N. În acest timptrenul a atins viteza v = 57,6 km/h, plecând din repaus. Coeficientul defrecare este = 0,1. Să se calculeze masa trenului.
R: t5,98
gv
Fm
Fig. 10.49
A(m)
F
O
Fig. 10.50
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 316/487
31511. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
11
TEOREMELE FUNDAMENTALE ALEDINAMICII
11.1. Teorema variaţiei energiei cinetice ........................ 31711.1.1. Cazul punctului material ................................. 31711.1.2. Cazul solidului rigid ........................................ 31811.1.3. Teorema conservării energiei mecanice ........... 319
11.2. Teorema impulsului ................................................. 31911.2.1. Cazul punctului material .................................. 31911.2.2. Cazul solidului rigid ........................................ 32011.2.3. Teorema conservării impulsului ..................... 320
11.3. Teorema momentului cinetic ................................... 32111.3.1. Cazul punctului material .................................. 321
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 317/487
316 MECANICĂ
11.3.2. Cazul solidului rigid ......................................... 32111.3.3. Teorema conservării momentului cinetic ....... 322
11.4. Probleme rezolvate .................................................. 32311.5. Probleme propuse .................................................... 329
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 318/487
31711. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
11TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE
DINAMICII
11.1. TEOREMA VARIAŢIEI ENERGIEI CINETICE
11.1.1. Cazul punctului material
Teorema variaţie energiei cinetice stabileşte legătura care există întrevariaţia energiei cinetice a punctului şi lucrul mecanic efectuat de rezultantaforţelor active şi pasive ce acţionează asupra punctului în acelaşi interval
de timp.În figura 11.1 se consideră un punct
material A de masă m, aflat sub acţiunea
unor forţe a căror rezultantă este F
, înmişcare cu viteza v
. Pornind de la ecuaţia
fundamentală a dinamicii
,amF
şi înmulţind ambii membri cu deplasarea
elementară r d
, se obţine:
,vdt
r dcăştiind,r ddt
vdmr dF
.2
vdmr dFsau.vdvmr dF
2
În membrul stâng al egalităţii recunoaştem lucrul mecanic elementar
dL, iar în membrul drept diferenţiala expresiei 2/vm 2, adică tocmai
diferenţiala energiei cinetice; relaţia devine:
dEdL (11.1)Relaţia (11.1) exprimă teorema variaţiei energiei cinetice sub formă
Fig.11.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 319/487
318 MECANICĂ
diferenţială: variaţia energiei cinetice în intervalul de timp dt este egală culucrul mecanic efectuat în acelaşi interval de timp de către rezultanta forţelor
ce acţionează asupra punctului material.Dacă se consideră un interval finit de timp t, corespunzător uneideplasări finite între poziţiile OA , iniţială şi 1A , finală ale punctului mate-rial, vom avea:
.LEEsau,dLdE 1OO1
A
A
E
E
1
O
1
O
(11.2)
Relaţia (11.2) este expresia matematică a teoremei variaţiei energiei
cinetice sub formă finită al cărei enunţ este: variaţia energiei cinetice a unui punct material într-un interval de timp t, este egală cu lucrul mecanic alrezultantei forţelor ce acţionează asupra lui corespunzător deplasării efectuateîntre cele două poziţii, iniţială şi finală, în acelaşi interval de timp.
Cu alte cuvinte, pentru ca energia cinetică să crească cu o anumităcantitate, este necesar să se producă un lucru mecanic, echivalent cuaceastă creştere de energie cinetică.
11.1.2. Cazul solidului rigid
Rigidul poate fi asimilat cu un sistem de puncte materiale,nedeformabil, în număr infinit de mare, masa fiecărui punct fiind infinitde mică, astfel că expresia (11.2) se păstrează şi în cazul solidului rigid.
În concluzie, pentru sistemele materiale având legături ideale(nedeformabile şi fără frecare) teorema variaţiei energiei cinetice a
sistemului este egală cu lucrul mecanic al forţelor exterioare.La aplicarea teoremei variaţiei energiei cinetice este indicat a seurmări etapele următoare:
-în funcţie de mişcările pe care le au corpurile ce formează sistemul,se stabilesc distribuţiile de viteze corespunzătoare poziţiilor iniţială şi finală;
-se determină expresiile energiilor cinetice ale sistemuluicorespunzătoare celor două poziţii alese, calculând energia fiecărui corpşi însumând;
-se pun în evidenţă forţele exterioare şi se calculează lucrul mecanic
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 320/487
31911. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
total produs de aceste forţe prin deplasarea sistemului între cele două poziţii alese; dacă la momentul iniţial sistemul este în repaus, atunci ;0EO
-mărimile calculateext
1OO1 LşiE,E se introduc în relaţia (11.2) şi seobţine o legătură între pătratul vitezei şi parametrul de poziţie al elementuluiales pentru studiul mişcării; se derivează relaţia în raport cu timpul şi seobţine expresia acceleraţiei liniare sau unghiulare a elementului respectiv.
11.1.3. Teorema conservării energiei mecanice
Dacă forţele ce acţionează asupra punctului sau sistemului material
sunt conservative şi derivă dintr-o funcţie de forţă U (x, y, z), atuncilucrul mecanic elementar este egal cu diferenţiala funcţiei de forţă, con-form (10.8) şi (10.11):
dVdUdL .În acest caz teorema variaţiei energiei cinetice (11.1) se scrie:
,0VEdsaudVdUdE rezultă că:
.constEVE m (11.3)Relaţia (11.3) exprimă teorema conservării energiei mecanice: “dacă
forţele ce acţionează asupra unui sistem material sunt conservative, atuncienergia mecanică a sistemului rămâne constantă în tot timpul mişcării(adică se conservă).“
11.2. TEOREMA IMPULSULUI
11.2.1. Cazul punctului material
Fie un punct material de masă m, aflat în mişcare cu viteza v
subacţiunea unor forţe a căror rezultantă este F
(fig. 11.2). Ecuaţia
fundamentală a dinamicii amF
se poate scrie astfel:
.Fdt
vdm
(11.4)
Având în vedere că masa punctului este constantă relaţia (11.4) devine:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 321/487
320 MECANICĂ
FHsauF
dt
vmd
(11.6)
Relaţia (11.5) exprimă teoremaimpulsului: “derivata în raport cu timpula impulsului unui punct material esteegală cu rezultanta tuturor forţelor (dateşi de legătură) ce acţionează asupraacestui punct.”
11.2.2. Cazul solidului rigid
Ştiind că rigidul este format dintr-o infinitate de puncte materiale demasă elementară, ce ocupă un domeniu închis din spaţiu, toate modurilede exprimare a teoremei impulsului unui sistem discret de puncte materialerămân valabile şi în cazul unui solid rigid:
,R R H pa (11.6)
sau ,R R aM pa
c
unde ,R R R paext
reprezintă rezultanta forţelor
exterioare, active şi pasive ce acţionează asupra rigidului.Aceste ecuaţii vectoriale se pot proiecta pe axele unui sistem
cartezian de referinţă, obţinându-se trei ecuaţii scalare:
;ZZH;YYH;XXH paz
pay
pax (11.7)
sau ,ZZzM;YYyM;XXxM pac
pac
pac (11.8)
unde aaa Z,Y,X sunt componentele scalare ale rezultantelor forţelor ac-tive, date, iar p p p Z,Y,X sunt componentele scalare ale rezultantei forţelor
pasive de legătură.
11.2.3. Teorema conservării impulsului
Dacă rezultanta forţelor exterioare, active şi pasive ce acţioneazăasupra sistemului material este nulă, atunci impulsul se conservă.
Dacă 0R R pa
conform relaţiei (11.6) rezultă:
Fig.11.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 322/487
32111. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
.constvMHsau0H c (11.9)
Relaţia (11.9) exprimă teorema conservării impulsului care se enunţă
astfel:”centrul de masă al sistemului material se mişcă rectiliniu şi uniform,sau îşi păstrează starea de repaus, după cum viteza lui, în momentul cândse anulează rezultanta forţelor exterioare este diferită sau egală cu zero.“
11.3. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC
11.3.1. Cazul punctului material
Reluând ecuaţia fundamentală amF
, şi înmulţind-o vectorial lastânga cu vectorul de poziţie în raport cu un punct fix 1O (fig.11.2) obţinem:
Fr dt
vdmr
. (11.10)
Membrul stâng se poate scrie şi sub forma vmr dt
d dacă se
observă că .0vmdt
r d
. Aşadar, relaţia (11.10) devine:
Fr vmr dt
d , sau
,MK 11 OO
(11.11)
se obţine astfel teorema momentului cinetic (11.11) pentru un punct ma-terial, care se enunţă astfel: “derivata în raport cu timpul a momentuluicinetic faţă de un punct fix 1O , este egală cu momentul forţei rezultante
care acţionează asupra punctului, calculat faţă de acelaşi pol fix.“
11.3.2. Cazul solidului rigid
Toate formele sub care a fost prezentată teorema momentului cinetic, pentru un sistem discret de puncte materiale, se extind la orice sistemmaterial deci şi la un rigid, cu observaţia că sumele finite se înlocuiesc cu
integrale, cu excepţia momentului rezultant al sistemului de forţe exterioare.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 323/487
322 MECANICĂ
Faţă de un pol fix 1O , teorema momentului cinetic (11.11) pentrusolidul rigid se poate scrie sub forma:
,MMK pO
aOO 111
(11.12)
unde extO
pO
aO 111
MMM
reprezintă momentul rezultant al forţelor
exterioare, active şi pasive ce acţionează asupra rigidului.Se poate demonstra că teorema momentului cinetic poate fi aplicată
şi faţă de centrul de masă C al sistemului material respectiv, fără caforma ei să se schimbe:
.MK
ext
cc
(11.13)
Relaţia (11.13) exprimă teorema momentului cinetic al rigidului faţăde centrul de masă: “derivata în raport cu timpul a momentului cinetic înraport cu centrul de masă al unui solid rigid, este egală cu momentulrezultant al forţelor exterioare, active şi pasive, faţă de acelaşi pol C.“
Relaţia vectorială (11.12) se poate proiecta pe axele unui sistemcartezian de referinţă cu originea în 1O , obţinându-se trei ecuaţii scalare:
,MMK ;MMK ;MMK pz
azz
py
ayy
px
axx (11.14)
11.3.3. Teorema conservării momentului cinetic
Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu un pol fixsau cu centrul de masă este nul, atunci momentul cinetic al sistemuluimaterial considerat rămâne neschimbat, adică se conservă.
Deci, dacă ,0MMM p
O
a
O
ext
O 111
, conform relaţiei (11.12) rezultă:.constK sau0K
11 OO (11.15)
Teorema momentului cinetic faţă de centrul de masă este:
.,constK rotc
(11.16)
adică, momentul cinetic este egal cu un vector constant.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 324/487
32311. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
11.4. PROBLEME REZOLVATE
1. Un cilindru şi o sferă de aceeaşi masă M şi aceeaşi rază R (fig.11.3), se rostogoleşte fără alunecare pe un plan înclinat de unghi a.Aplicând teorema variaţiei energiei cinetice să se determine raportulacceleraţiilor centrelor de masă,cunoscând coeficientul de frecarede rostogolire s.
Rezolvare. Se aleg cele două poziţii iniţială [0] şi finală [1]. În
poziţia iniţială OE = 0. În poziţia
finală, faţă de centrul de masă,corpul are o energie de translaţie şio energie cinetică de rotaţie.
.J2
1Mv
2
1EEE 22
crot1
tr 11
Lucrul mecanic al forţelor exterioare efectuat în timpul deplasăriicorpului de rotaţie, între cele două poziţii este:
.xcosGR
sxsinGL 1O
Înlocuind în (13.5) expresiile energiei şi lucrului mecanic, rezultă:
.cosR
ssinGxJ
2
1Mv
2
1 22c
Faţă de centrul instantaneu de rotaţie I, avem .R
vc
Deci .R /JM
xcosR
ssinMg2
v2
2c
Derivând în raport cu timpul şi ţinând cont că cvdt/dx , rezultă:
Fig.11.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 325/487
324 MECANICĂ
.gMR /J1
cosR
ssin
a 2c
Pentru cilindru 2c MR 2
1J , iar pentru sferă 2s MR
5
2J .
Raportul acceleraţiilor centrelor de masă este:
.15
14
MR /J1
MR /J1
a
ak
2c
2s
sc
cc
2. Un transportor cu bandă (fig.11.4) este antrenat de un motor electric printr-un cuplu de
moment OM . Să se calculeze
acceleraţia unei piese turnatede greutate P aşezată pe
bandă. Rolele de antrenare şisusţinere au aceeaşi rază R şi
greutate G. Rezolvare. Pentru
calculul acceleraţiei sedetermină mai întâi viteza la pătrat aplicând teorema energiei, după carese derivează relaţia obţinută. Pentru aceasta se consideră sistemul iniţial
în repaus 0EO . La un moment dat, piesa are viteza v, iar rolele w = v/
R.
Energia cinetică a sistemului într-o poziţie oarecare, finită este:
.GPg2
v
g2
GR
2
12v
g
P
2
1E
222
1
Dacă se consideră deplasarea piesei între cele două poziţii x, roleles-au rotit cu unghiul q = x/R.
Considerând piesa fixată pe bandă, lucrul mecanic total este:
.xsinPR
M
sinxPMLO
O1O
Fig.11.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 326/487
32511. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
Aplicând teorema variaţiei energiei cinetice rezultă:
,xsinPR
M
GPg2
v O2
şi derivând în raport cu timpul, rezultă acceleraţia piesei:
.gGPR
sinPR Ma O
3. În capătul D al unui fir inextensibil, înfăşurat pe discul A de rază r,
acţionează o forţă P
sub unghiul a, faţă deorizontală. Discul A de rază r, este solidar cudiscul B de rază R = 2r, care se rostogoleşte
pe un plan orizontal (fig.11.5). Întregulansamblu are masa m = P/g şi raza de inerţie
.r R i Să se determine unghiul a maxim pentru
care corpul se rostogoleşte fără patinare şiacceleraţia centrului de masă al disculuicorespunzătoare acestui unghi maxim dacăcoeficientul de frecare la alunecare este m = 0,1.
Rezolvare. Se reprezintă toate forţele active şi pasive ce acţioneazăasupra discului. Discul are o mişcare plan-paralelă. Se aplică teoremaimpulsului (două ecuaţii scalare) şi teorema momentului cinetic (o ecuaţiescalară) în raport cu axa ce trece prin centrul de masă:
;cosPTxm C (1);0sinPP Nym C (2)
;TR Pr JC (3)
La aceste ecuaţii se adaugă relaţiile: T=mN; ;r 2aC
.Rr g
PmiJ 2
C Din relaţia (2) rezultă N=P(1-sin), care înlocuită în
(1) dă:
Fig.11.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 327/487
326 MECANICĂ
.gcossinax CC (4)
Făcând toate înlocuirile în (3) rezultă condiţia de echilibru la limită:
,sin1RPrPr 2
gcossinRr
g
R
sau .cos1sin13 (5)
În ecuaţia trigonometrică (5) se înlocuiesc:
;2
tgtundet1
t1cosşi
t1
t2sin
2
2
2
şi rezultă
2
t1
t
2
3
de unde .279,03/21
1
2tgt max
Deci .2131279,0arctg2max
Acceleraţia centrului de masă
.s/m85,8gcossin1,01,0a 2maxmaxC
4. Un disc de masă m=70kg şi rază R=1m (fig.11.6) este accelerattimp de 2 minute din poziţia de repaus, pânăla o turaţie n=240 rot/min. Frecarea în axuldiscului este dată prin coeficientul
1,0O , iar raza axului este Or =0,1 m.
Să se determine: a) momentul cuplului cetrebuie aplicat roţii pentru a obţine aceastăacceleraţie; b) îndepărtând cuplul, în câttimp şi după câte rotaţii se va opri discul.
Rezolvare. a) Acceleraţia unghiularăa discului este:
.s/rad1560230
240
t30
n
t
2O
Fig.11.6
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 328/487
32711. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
Teorema momentului cinetic faţă de axa de rotaţie conduce
la: ,MMJ fr CO de unde rezultă momentul cuplului:
. Nm19,1481,9701,01,0152
170mgr
2
mR MJM
2
OO
2
fr OC
b) Pentru a afla timpul în care discul se opreşte, după îndepărtareacuplului, se aplică teorema variaţiei momentului cinetic, scrisă sub forma:
deci,0undetMJ 1f fr O1O
.sec16,1288,91,01,060
24014,31
gr 60
nR
M
Jt
2
OO
2
fr
OOf
Legea spaţiului unghiular este:
N22
t 2f
, de unde rezultă numărul de rotaţii:
74,2734
16,128
154
t
N
22f
rotaţii.
5. Corpul A de masă 1m =60 kg este suspendat prin intermediul unui
fir inextensibil trecut peste scripetele B de masă 2m =6 kg şi înfăşurat pe
tamburul D a ruloului E, care se poate rostogoli fără alunecare pe două
şine paralele, înclinate faţă de orizontală cu unghiul 30 . Tamburul D
de rază R = 0,4 m este legat rigid de ruloul E de rază r = 0,2 m, masa lor comună fiind egală cu 2m = 100 kg, iar raza de inerţie în raport cu axa
ruloului i = 0,3 m. Neglijând frecarea la rostogolire, frecarea în axulscripetelui şi masa firului să se determine: a) acceleraţia corpului A; b)viteza corpului A după ce a coborât pe înălţime cu s = 1 m, ştiind că lamomentul iniţial sistemul s-a aflat în repaus; c) eforturile din fir; d)coeficientul de frecare de alunecare minim astfel încât tamburul D şiruloul E să se rostogolească fără alunecare (fig.11.7).
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 329/487
328 MECANICĂ
Rezolvare. a) Se izoleazăcorpurile, înlocuind legăturile
interioare cu reacţiunilecorespunzătoare. Se reprezintăvitezele liniare şi unghiulare alefiecărui corp. Aplicând teoremaimpulsului (11.16) şi teoremamomentului cinetic (11.20) celor trei corpuri ale sistemuluirezultă ecuaţiile scalare:
;Acorpul pentru;sgmvm 1111 (1);Bscripetele pentru;r sr sJ 222122 (2)
;EruloulşiDtamburul pentru;sTsingmvm 2333 (3)
;cosgm N0 3 (4)
;RsrTJ 233 (5)
La aceste ecuaţii se adaugă relaţiile:
,imJ;2r m
J;r v;r R r v 233
222
2333221
sau, prin derivare rezultă:
.
r R
r aa;
r R
a;
r
a 13
13
2
12
(6)
Eliminând 21 s,s şi T din ecuaţiile (1)...(5) şi ţinând cont de (6) rezultă
o ecuaţie având ca necunoscută a1.
.s/m778,2gr imr R m5,0m
sinr R r mr R ma 2
223
2
21
3
2
11
b) Legile de mişcare ale corpului A sunt:
.2
t778,2s;t778,2v;s/m778,2a
2
112
1
Eliminând timpul între tsşitv 11 rezultă:
Fig. 11.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 330/487
32911. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
.s/m35,21778,22sa2v 2111
c) Eforturile din fir sunt:
. N40,42277,281,960agms 111
Înlocuind s1 în relaţia (2) rezultă: ;r
1
r
a
2
r mss
22
1222
21 deci
. N06,4142
778,264,422
2
amss 12
12
d) Coeficientul minim de frecare de alunecare se determină dinecuaţia (3) ştiind că la limită T = mN:
;amssingmcosgm 33233min
cosgm
r R /r amstg
3
132min
.233,030cos8,9100
2,0/2,0778,210006,41430tg
11.5. PROBLEME PROPUSE
1. Peste scripetele a cărui greutate propriese neglijează (fig. 11.8) este trecut un fir de caresunt prinse greutăţile G şi P. Se cere greutatea P
pentru ca:a) în două secunde de la pornirea din repaus,sistemul să aibă viteza v = 6 m/s;
b) după nouă metri de la pornire, din repaus,sistemul să aibă viteza v = 6 m/s.
R: a)3g
3gGP
b)
2g
2gGP
Fig. 11.8.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 331/487
330 MECANICĂ
2. O greutate G = 20 N trebuie împărţită în două părţi G1 şi G
2, astfel
încât prinse de cele două capete ale unui fir care trece peste un scripete
fără greutate proprie, sistemul parcurge 4m în primele două secunde dela pornire din repaus. Aceiaşi problemă pe un plan înclinat (fig. 11.9 b) deunghi şi coeficientul de frecare .
R: a) G1 = 8N; G2 = 12N. b) G1 = 8,42 N; G2 = 11,58 N.
3. Un corp de greutateG, alunecă din B pe un planînclinat de unghi şicoeficient de frecare (AB = l). În A se înscrie peun cerc de rază R, pe care
alunecă fără frecare. Secere raza cercului pentru caacest corp să ajungă în D(fig. 11.10).
R: R = l/2 (sin - cos)
4. Considerând greutatea scripeţilor neglijabilă, să se determine vitezagreutăţii G, după ce a coborât s metri. Coeficientul de frecare între plan
şi greutatea P este (Fig. 11.11 .
Fig. 11.9
Fig. 11.10
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 332/487
33111. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
R: PG4
PG2gs2v
5. O locomotivă demasă M trage un vagon demasă m, cu viteza constantăv0, în momentul în care sedesprinde vagonul. După celocomotiva a mai parcurs distanţa d, i se taie forţa de tracţiune, urmând
să se oprească datorită frecării de coeficientul .Să se determine timpul între oprirea vagonului şi cea a locomotiveidacă v0
= 72 km/h, = 0,5, M = 4m şi d = 50 m.R: t = 20 s.
6. O bicicletă coboară o pantă sub unghiul (sin = 0,1)cu 18 Km/h. Pe ce distanţă
minimă poate fi frânată, frânareafăcându-se numai la roata dinfaţă? Ce valoare are coeficientul de frecare în acest caz (fig.11.12). Se dau: AC’ = d = 0,6 m;CC’ = h = 0,8 m.
R: s = 3,58 m; = 0,85
7. Un corp de masă m = 2 kg(fig. 11.13) este lăsat liber de laînălţimea H = 4,5 m, să aluneceîntr-un jgheab de formă oarecare,după care se înscrie pe o suprafaţăcilindrică de rază R = 2 m. Să sedetermine forţa cu care corpulapasă pe suprafaţa cilindrică în
punctul B, dacă lucrul mecanic al
Fig. 11.11
Fig. 11.12
H B
A
gm
R
Fig. 11.13
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 333/487
332 MECANICĂ
forţei de frecare pe întrgul traseu este L’ = 40 J. Se consideră g = 10 m/s.
R:
N10R
L2
mgR H23 N
8. Un automobil cu masa m = 200 kg, îşi sporeşte viteza în 10 sec.,de la v1 = 36 Km/h până la v2 = 54 Km/h. Să se determine surplusul de
putere necesar.R: P = 5 KW
9. Doi cilindri (fig. 11.14, 11.15) de masă m şi rază R, unul gol şi altul plin, se rostogolesc fără alunecare pe un plan înclinat aspru, de unghi.Să se determine raportul acceleraţiilor centrelor de masă, ştiind că pleacăde la acelaşi nivel.
R: g p GG a34a
10. Să se determine viteza şi acceleraţia centrului de masă al unuicorp de revoluţie de masă m şi rază R, ce se rostogoleşte fără alunecare
pe un plan înclinat de unghi . Coeficientul de frecare la rostogolire
este s, iar , unghiul de frecare la rostogolire. Se înlocuieşte masa redusă
Fig. 11.14 Fig. 11.15
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 334/487
33311. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
Fig. 11.17
mr = J/R 2 şi tg = s/R.
R:
kggcos
)sin(
mm
ma
xgcos
)sin(
mm
m2
V
r
G
r
2
G
, unde k < 1.
11. Un fir inextensibil este legat cu un capăt de un corp A de greutateQ şi cu celălalt capăt de o greutateP şi o greutate suplimentară P/2. Firuleste trecut peste un scripete Cconsiderat fără frecare şi de masăneglijabilă. După parcurgereaspaţiului S1
, greutatea P/2 întâlneşteinelul D care o opreşte. După
parcurgerea spaţiului S2 greutatea P
se opreşte (fig. 11.16).
Se cere să se determinecoeficientul de frecare de alunecare dintre corpul A şi planul orizontalaspru cu ajutorul teoremei energiei cinetice şi lucrului mecanic.
R:
Q2
P3SQPSQ
Q2
P3PSQP
2
P3S
21
21
12. O greutate P este ataşatăde un fir trecut peste un cilindrude aceeaşi greutate P şi de razăr. Cilindrul se rostogoleşte fărăalunecare pe o suprafaţăorizontală plană. Se cere să se
determine viteza şi acceleraţia
Fig. 11.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 335/487
334 MECANICĂ
centrului cilindrului după ce greutatea s-a deplasat pe verticală cu distanţah (fig. 11.17).
R: g52a;gh
54v
13. Un bloc glisant A (fig. 11.18), degreutate G = 1000 N este în legătură, printr-un sistem de scripeţi cu o sarcină P = 400
N, conform schemei mecanice din schiţă.
Cunoscând că sistemul este lansat din repausşi neglijând frecarea, să se determine: a)viteza blocului glisant A după 5 sec; b)distanţa parcursă de blocul A atunci cândviteza sa atinge valoarea 5 m/s.
R: a) v = 2,13 m/s b) h = 29,3 m
14. O uşă glisantă de greutate G = 100 N care se deplasează pe oşină orizontală cu ajutorul rolelor B şi C, se deschide cu ajutorul uneicontra greutăţi A de greutate P = 75 N, ca în figura 11.19. Se cere să sedetermine viteza contragreutăţii A în momentul când aceasta atinge solul,dacă sistemul iniţial se găsea în repaus şi dacă se neglijează frecările.
R: s/m76,3P2G
Pgh2v
Fig.11.18
Fig. 11.19
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 336/487
33511. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
15. Se dă sistemul de corpuri din figura
11.20, acţionat de un cuplu de moment M0. Săse calculeze acceleraţia corpului G.
R: GR 9
)GR M(g4a 0
16. Un transportor cu bandă este antrenatde un motor electric, printr-un cuplu de momentM0. Să se calculeze acceleraţia unei cărămizide greutate P, considerând-o fixă pe bandă(fig.11.21).
R:
GPR
sinPR Mga 0
17. Se dă sistemul de corpuri omogene din figura 11.22, care porneştedin repaus sub acţiunea greutăţilor proprii. Discul de pe planul orizontal
se rostogoleşte fără alunecare, coeficientul de frecare la rostogolire estes. Să se calculeze acceleraţia corpului de greutate P
.
R:
Q3GP2R
sQPR g2a
Fig. 11.20
Fig. 11.22 Fig. 11.21
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 337/487
336 MECANICĂ
18. Se dă bara OA = l omogenă de greutate G acţionată de o greutate
Q prin intermediul unui fir fără greutate trecut în B peste un scripete mic(OA=OB). Să se calculeze viteza unghiulară a barei în momentul în caretrece prin poziţia orizontală, ştiind că bara era iniţial în repaus la = 60o
(fig. 11.23).
R: Q3G2l
)]12(Q4G[g3
19. Se dă sistemul de corpuri omogene din figura 11.24, alcătuit din bara AB = l de gerutate G, discul de greutate P şi rază R şi corpul degreutate Q. Să se calculeze viteza greutăţii Q pentru o poziţie q a barei,
considerându-se că sistemul porneşte din repaus la q = q0.
R:
2
0
cos3G
2PQ
)GQ2)(sin(singlv
20. Se dă sistemul de corpuri din figura 11.25 care se mişcă în sensulindicat de figură, având la momentul iniţial energia cinetică cunoscută
E0. În acest moment se taie cureaua de transmisie. Să se calculeze drumul
Fig. 11.24 Fig. 11.23
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 338/487
33711. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
parcurs de greutatea 2G până la oprire, timpul corespunzător şi acceleraţiaîn mişcarea de coborâre.
Momentul de inerţie axial al
troliului este g2
GR 9J
2
1 .
R:
13
g4
a;G34
E13
x
;gG17
E4
4
13t
0
1
0op
21. Se consideră un arbore gol lainterior, având razele R şi r şi lungimea l.Greutatea specifică a materialuluiarborelui este . Să se determine vitezaunghiulară iniţială care terebuie imprimată
arborelui pentru ca greutatea G să seridice la înălţimea h (fig. 11.26).
R:244
20 GR 2)r R (l
hgG4
22. O bară de greutate G şi lungimel este lansată în plan vertical cu
0, sub
un unghi de 30o
(fig. 11.27). Să sedetermine:a) după ce unghi viteza este
0/2. Ce valoare are acceleraţia unghiu-
lară ; b) se presupune că bara se mişcă în plan orizontal cu frecarea , sub
ce unghi de la pornire viteza unghiulară este0/2 şi cât este în acest caz.
R: a) 030;cosl2
g3
Fig. 11.25
Fig. 11.26
0
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 339/487
338 MECANICĂ
b) l2
g3;
g4
l 2
23. O bară de greutate G şilungime l are lipit la capăt un discde greutate G/2 şi rază l/3.Sistemul este articulat în O şi cadedin poziţia orizontală în poziţiamarcată cu unghiul . Să se
determine acceleraţiaunghiulară în această poziţie(Fig. 11.28).
R: cosl15
g14
24. Glisorul A de masă M(fig. 11.29), care are
posibilitatea să se mişte înghidajul orizontal, este legat cuun romb BCOD, format din
patru bare de aceiaşi lungime lşi masă m fiecare. Arcul de constantă k este fixat între vârfurile C şi Dale rombului. Mecanismul se află înrepaus, iar arcul CD, nesolicitat cândunghiul CAD este 90o. Ce vitezăiniţială v
0 trebuie să i se imprime
glisorului, pentru ca vârful rombuluiB să se deplaseze în B’, dacă BO =2 B’O. Se neglijează frecările înarticulaţii şi ghidaje.
R: m5M3
lk 625,0v
220
Fig. 11.28
Fig. 11.27
Fig. 11.29
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 340/487
33911. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
25. Închizătorul OA (fig.11.30) sub formă unei plăci dreptunghiulareomogene de masă m, are posibilitatea de a se roti în jurul unei axe orizontale
ce trece prin O. Închizătorul este legat cuun cablu trecut peste scripeţii B şi C iar încapătul opus este fixată contragreutatea Dde masă m1. Închizătorul se menţine în
poziţ ie or izontală prin intermediulelementului E. Ştiind că OA = OB = l, săse determine viteza unghiulară = () aînchizătorului după înlăturarea fixatorului E.
La ce valoare m1 viteza unghiulară aînchizătorului în poziţia inferioară va fi dedouă ori mai mică în comparaţie cu cazulabsenţei contragreutăţii D.
R: )sin1(m3m2
1sin1m22sinm
l
g6
1
12
m64,0)22(8
m3m1
26. Într-un tub vertical estemontat un resort cu constanta deelasticitate k (fig. 11.31). În capătulsuperior este aşezat un piston mobilcu masă M, iar pe piston se
aşează o bilă de masă m. Resortulse menţine în stare comprimată delungime L, de un zăvor. La ceînălţime va sări bila dacă eliberămresortul, prin înlăturarea zăvorului.Lungimea resortului nedeformateste L0
. Se neglijează frecările.
R: )Mm(g2)LL(k
h
20
Fig. 11.30
Fig. 11.31
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 341/487
340 MECANICĂ
27. Troliul din figura 11.32, de greutate G şi rază R = 2r şi r, este
legat de corpul de greutate G,înălţime 4r, printr-un fir paralel cu planul înclinat. Se dau frecările
4
11 şi
4
32 .
Să se determine tensiunea dinfir T, corpurile fiind în mişcare şilăţimea corpului de înălţime 4r, pentrua fi la limita răsturnării (BC = r).
R: r 24
41 b;sin
24
G5T
28. Un cub de greutate G şi latură l = 2R şi un cilindru de greutate Gşi rază R sunt situate pe un planînclinat de unghi (figura 11.33).
Între cub şi plan există frecarea 1.Se cere coeficientul de frecare
2
între cilindru şi plan pentru cacilindrul să nu alunece în mişcare.Se vor determina condiţiile cacorpurile să rămână în contact întimpul mişcării.
R: 5tg5212
tg15
1;;tg
3
12121
29. Roata de greutate G şi rază R este legată printr-o bară fără greutate proprie la jumătatea laturii unui cub de greutate G şi latură l = 2R.
Ştiind că între plan şi cub nu există frecare, să se determine tensiuneaîn bară şi frecarea pentru ca roata să nu alunece.
Fig. 11.32
Fig. 11.33
G
G
R
1
2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 342/487
34111. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
R: tg5
2;sin
5
GT
30. Două corpuri sunt prinsede capetele unui fir inextensibil, aşacum se indică în figura 11.35 Primulcorp se află pe o suprafaţă cuasperităţi, iar al doilea atârnă de fir.Dacă se imprimă sistemului oanumită viteză, astfel încâtcorpul 1 să se deplaseze spredreapta, sistemul parcurgedistanţa h1. Dacă se imprimăsistemului aceiaşi viteză,orientată spre stânga, aceasta
parcurge distanţa h2.
Determinaţi coeficientul defrecare. Se cunoaşte raportul n= m1/m2.
R:)hh(n
hh
21
21
31. Să se determine momentul motor Mm, necesar demarării sistemului decorpuri din figura 11.36, cu acceleraţiaunghiulară 1. Se cunosc razele troliului2, r
2 şi R
2, a roţii 1, r
1 şi momentele de
inerţie mecanice J1 şi J
2.
R: QR
r r JM
2
211redm , unde
momentul de inerţie redus al sistemuluide corpuri este:
Fig. 11.35
h2 h
1
m1
m2
Fig. 11.34
G
G
Fig. 11.36
O2
O1
Mm
1
Q
12
3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 343/487
342 MECANICĂ
2
2
21
2
2
121red R
r r
g
Q
R
r JJJ
32. Dintr-o placă pătrată de greutate 4G şi latură 2l se taie o porţiune pătrată de greutate G şi latură l , apoi se suspendă cu ajutorul unui resort.Resortul are constanta elastică K = 4G/l . Pentru poziţiile de echilibru
static din figura 11.37 să se determine perioada micilor oscilaţii.
R: g
17
4T)c, b;
g32T)a
l l
33. Fie o placă pătrată articulată în A de greutate G şi latură l , decare este lipită o bară de greutate G şi lungime l . Să se determine perioadamicilor oscilaţii ale sistemului susţinut de un resort, a cărei constantăelastică este k = 4G/l .
R:
g16
112T)h,g,f ;
g4
112T)e
;g2
l2T)d;
g4
72T)c;
g22T) b;
g4
72T)a
l l
l l l
Fig. 11.37
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 344/487
34311. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
34. Trei bare egale de lungime l şi greutate G (fig. 11.39), fiecaresunt articulate formând un triunghi echilateral. Să se determine perioada
micilor oscilaţii în jurul artuculaţiei o, axafiind perpendiculară pe planul figurii şi în jurul axei () lungimea pendululuimatematic, sincron cu pendulul fizic astfelformat.
Presupunând că se scoate bara AB.Să se determine viteza unghiulară
0, cu
care trebuie rotit sistemul în jurul unei axe,
pentru ca barele OA şi OB să rămână la60o între ele.
R:l
l l l l g
3) b4
3;
2
3)a 2
0'00
35. Două bare de aceiaşi lungime l şi greutate G, sunt sudate întreele formând unghiul de 60
o. Ele oscilează în jurul articulaţiei O. Să se
determine perioada micilor oscilaţii.
Fig. 11.38
Fig. 11.39
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 345/487
344 MECANICĂ
Bara AO se prinde cu un resort, de constantă k = 4G/l , în poziţieorizontală. Unde trebuie prins resortul, pentru ca perioada micilor oscilaţii
să fie ca în cazul anterior. Dar dacă unghiul dintre ele este obtuz, de 120
o
?
R:l l
l
356,0'x)c;465,0x) bg3
342T)a
36. Bara cotită sub un unghi drept (figura 11.41) are AB de lungimel şi greutate G, şi AC de lungime 2l şi greutate 2G. În punctul C un resortsusţine bara. Acest resort suspendat vertical cu greutatea G la capăt sealungeşte cu l /4. Să se determine perioada micilor oscilaţii.
Fig. 11.40
Fig. 11.41
CA
A C
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 346/487
34511. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
R:g11
22T) b;
g31
62T)a
l l
37. Un fir elastic neîntins, are lungilea L = R = 1/5 m. El se alungeştecu R/4 când, în poziţie verticală, se atârnă G la extremitate. Firul se
prinde de un disc plin de greutate G şi din care se decupează un disc derază R/2. Să se determine perioada micilor oscilaţii.
R: s2,0T) b;s4,0T)a
38. Două corpuri degreutăţi G şi 2G sunt legateîntre ele printr-o bară fără
greutate proprie. Între primulcorp şi plan este frecare de
coeficient . Sistemul este lansat cu 0v pe planul orizontal.
a) Se cere forţa F din bară în timpul mişcării; b) Ce se întâmplă când bara are greutatea proprie G.
R: 3
G2F)a
GF:G2corpul) b
g
GaF:Gcorpul
;2
GF: bara
1
1
Fig. 11.42
Fig. 11.42
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 347/487
346 MECANICĂ
39. Un disc de rază R şigreutate P şi un corp de greutate
G sunt legate cu un fir şi situate pe două plane înclinate de unghi ca în figură. Frecarea întrecorpul G şi plan este 1 =0,25.
Se cere coeficientul defrecare2 între disc şi plan, pentruca în timpul mişcării acesta să nualunece pentru: a) P = 10G ; P =
0,1 G; c) P = 0,1GR: a) 2 = 0,272; b)
2 =
0,28; c) 2 = 0,3
40. Într-un vas de lăţime AB= l şi înălţime AC = l/2 se pune apă
până la jumătate din înălţime. Vasulcu apă are greutatea G. De vas se
prinde un fir de care se suspendăgreutatea P (frecare între vas şi soleste = 0,5). Să se determinegreutatea P, pentru ca în mişcare apasă fie pe punctul de a ieşi din vas(fig. 11.44).
R: P = 2G
41. O placă dreptunghiulă degreutate G, lăţime l , înălţime l/2, esteţinută în echilibru de două greutăţiP, aşezate cu frecare pe două planeînclinate de unghi , astfel încât Geste pe punctul de a aluneca în jos(fig. 11.45). Dacă se rupe un fir careva fi tensiunea în firul rămas şi ce
forţă de reacţiune se va exercita
Fig. 11.43
Fig. 11.44
Fig. 11.45
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 348/487
34711. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII
asupra cadrului ştiind că 1 este coeficientul dec frecare între cadru şi
greutate .
R:
P2PG
)PG(2G
21
G2 N
ga
cossinPT
1
1
1
42. Într-un vas emisferic, este situată o bară AB de greutate G şi
lungime l =R fără frecare. Bara vaaluneca din poziţia iniţială reprezentatăîn figură. Să se determine când trece prin
poziţia orizontală ce forţe de reacţiuneva exercita asupra vasului cât şireacţiunile în poziţia iniţială (fig. 11.46).
R:
60
G313 N;
60
G37 N
30
G319 N
21
43. Discul de rază R şigreutate G, are sudat o bară delungime 2R şi greutate G.Discul este articulat în O şi
legat în B cu un fir. Dacă serupe firul, să se determinereacţiunile din O la începutulmişcării. Dacă se rupearticulaţia, care este tensiuneadin fir?
R:41
G58T;G
65
38YA
Fig. 11.46
Fig. 11.47
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 349/487
348 MECANICĂ
44. Un disc de rază R = 0,5 m,greutate G = 10N are centrul de
masă în A. Bara AB se roteşte cuturaţia n = 1200 rot/min. În B estesuspendată greutatea P = 5N, iar înC există un reazem (BC = CA =0,5m). Să se determine vitezaunghiulară de precesie .
R: s/rad24,0
45. O bară de greutate (1) G = 10 N, lungime l = 0,5 m este prinsă în B pe bara AB de lungime l = 1m şi Q = 4N.În A este suspendată o greutate P =12N. Bara (1) se roteşte cu turaţia n =360 rot/min, în jurul lui B. Unde trebuieamplasat reazemul D pentru ca vitezaunghiulară de precesie să fie = 0,5
rad/s.R: AD = 0,446 m Fig. 11.49
Fig. 11.48
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 350/487
34912. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
12
PRINCIPIUL LUI D’ALEMBERT
12.1. Forţa de inerţie ....................................................... 35112.2. Torsorul forţelor de inerţie ..................................... 354
12.3 Probleme rezolvate ................................................... 35612.4. Probleme propuse .................................................... 375
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 351/487
350 MECANICĂ
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 352/487
35112. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
12PRINCIPIUL LUI D’ALEMBERT
12.1. FORŢA DE INERŢIE
Se consideră un corp 1C de masă m, asimilat cu un punct material,
aflat iniţial în repaus sau în mişcare rectilinie şi uniformă având, deci,acceleraţia nulă (fig.12.1). Pentru a-i
imprima o acceleraţie a corpului 1C ,
trebuie să acţionăm asupra lui cu un altcorp 2C , numit agent motor sau corp ac-celerant. Mărimea acestei acţiuni esteforţa 21F
, care conform principiului acţiunii
forţei este:.amF21
(12.1)
Corpul 1C , numit şi corp accelerat va acţiona asupra corpului 2C , cu oforţă
12F
egală şI de sens contrar, conform principiului acţiunii şi reacţiunii:
.FamFF i2112
(12.2)
Această forţă 12F
ce acţionează asupra agentului motor, se numeştereacţiune sau forţă de inerţie şi se notează cu .amFi
Deci, forţa de inerţie este o forţă reală pentru agentul motor şi oforţă fictivă pentru corpul accelerat, căruia i s-a modificat starea demişcare.
Forţa de inerţie se poate pune în evidenţă de oricine doreşte să punăîn mişcare un corp, împingându-l cu mâna. El întâmpină o rezistenţă carese resimte cu atât mai mult, cu cât corpul are o masă mai mare sau cucât i se imprimă o acceleraţie mai mare.
Fie un punct material de masă m, aflat în mişcare sub acţiunea unor
forţe date a căror rezultantă este aF
şi a unor forţe de legătură a căror
Fig.12.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 353/487
352 MECANICĂ
rezultantă este pF
..amFF pa
(12.3)
Relaţia (12.3) se poate scrie astfel:rezultă,Famcăştiind,0amFF i pa
.0FFF i pa
(12.4)S-a ajuns astfel la o ecuaţie analoagă cu ecuaţiile de echilibru din
statică; aceasta este ecuaţia de echilibru dinamic fictiv a lui d’Alembert.Ea permite enunţarea următorului principiu al lui d’Alembert:
“dacă pe lângă forţele date şi de legătură, s-ar aplica asupra punctului
material şi forţa de inerţie atunci sistemul de forţe astfel obţinut ar fi înechilibru.“Cu alte cuvinte, forţele active, pasive şi de inerţie formează în orice
moment un sistem de forţe în echilibru.Pentru mai multă claritate, să studiem cazul unui pendul matematic
(fig.12.2). Punctul de masă m este legat cu unfir inextensibil de un punct fix O şi lăsat liber într-o poziţie oarecare. Asupra punctului
acţionează forţa activă, dată G
-greutatea punctului şi forţa pasivă, de legătură S -efortul
din fir. Dacă se ataşează punctului şi forţa deinerţie amFi
atunci sistemul de forţe se va
afla în echilibru. Dar acest echilibru este însăun echilibru dinamic fictiv. Aşadar, ecuaţia(12.4) devine: .0FSG i
(12.5)
Principiul lui d’Alembert scris sub forma (12.4) conduce la o metodăde studiu comodă şi utilă în aplicaţiile tehnice, numită metodacinetostatică.
În felul acesta problemele de dinamică se tratează ca şi cele dincinematică şi statică, de unde îi vine şi denumirea de metodă cineto-statică.
Adică, se face o analiză a mişcărilor corpurilor, se calculeazăacceleraţiile şi se scriu ecuaţiile de echilibru din statică, după ce s-aureprezentat toate forţele active, pasive şi de inerţie.
În cazul rigidului se pune şi condiţia ca momentul rezultant al forţelor
Fig.12.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 354/487
35312. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
active, pasive şi de inerţie să fie nul. Ecuaţiile de echilibru fictiv sunt:
;0R R R i pa
(12.6)
.0MMM iO
pO
aO 111
(12.7)
Principiul lui d’Alembert, în cazul rigidului se poate enunţa astfel:“forţele exterioare active şi pasive ce acţionează asupra rigidului, împreunăcu forţele de inerţie, formează la orice moment un sistem de forţe înechilibru“.
Relaţiile (12.6) şi (12.7) pot fi restrânse în una singură dacă se observă
că aR
şi aO1
M
reprezintă elementele torsorului forţelor exterioare active,
pO
p
1MşiR
-elementele torsorului forţelor exterioare pasive iar
iO
i
1MşiR
elementele torsorului forţelor de inerţie. Astfel se poate scrie:
,0FFF iO
piO
aiO 111
relaţie care exprimă sub forma cea mai generală principiul lui d’Alembert: “torsorul forţelor exterioare active şi pasive împreună cu torsorul
forţele de inerţie dau un torsor nul“ sau “torsorul forţelor exterioare dateşi de legătură este echilibrat de torsorul forţele de inerţie“.În cazul general, ecuaţiile vectoriale (12.6) şi (12.7) se proiectează
pe axele unui sistem cartezian de referinţă, obţinându-se şase ecuaţiiscalare de echilibru fictiv:
.
;0MMM
;0MMM
;0MMM
;0ZZZ
;0YYY
;0XXX
iz
pz
az
iy
py
py
ix
px
ax
i pa
i pa
i pa
(12.8)
Aceste ecuaţii servesc la studiul problemelor de dinamică prin metodeutilizate în statică, determinându-se reacţiunile dinamice şi a legilor de mişcare.
Indicaţii privind aplicarea metodei cinetostatice:-se izolează corpurile, în cazul unui sistem suprimându-se legăturile
acestora;-înlocuirea legăturilor interioare şi exterioare cu reacţiunile cores-
punzătoare;-analiza cinematică a sistemului de corpuri şi stabilirea relaţiilor dintre
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 355/487
354 MECANICĂ
acceleraţiile liniare şi unghiulare ale corpurilor;-introducerea forţelor şi momentelor de inerţie fiecărui corp în parte;
-scrierea ecuaţiilor de echilibru dinamic, fictiv între forţele date, delegătură şi de inerţie, pentru fiecare corp în parte;-rezolvarea sistemului de ecuaţii astfel obţinut şi determinarea legilor
de mişcare şi a reacţiunilor dinamice.
12.2. TORSORUL FORŢELOR DE INERŢIE
În relaţiile vectoriale ce exprimă principiul lui d’Alembert pentrusolidul rigid (12.6) şi (12.7) intervin: rezultanta forţelor de inerţie iR şi
momentul rezultant al forţelor de inerţie iO1
M
, în raport cu un pol fix sau
centrul de masă al rigidului. Acest ansamblu format din cei doi vectori
iO
i
1M,R
formează torsorul forţelor de inerţie. Simbolic se notează astfel:
.M,R F iO
iiO 11
(12.9)
În continuare se va determinatorsorul forţelor de inerţie pentru un rigidîn mişcare generală. În figura 12.3 seconsideră un asemenea rigid în mişcaregenerală faţă de un sistem de referinţăfix 1111 zyxO . Mişcarea generală estecaracterizată de parametrii cinematici
şivO . Un punct A, oarecare al rigidului,
sediul unei mase elementare dm, areacceleraţia a
.Acestui punct i se poate
ataşa forţa de inerţie .dmaFd i
Ataşând fiecărui punct al rigidului câte o forţă de inerţie elementară,se ajunge astfel la un sistem de vectori distribuiţi continuu în interioruldomeniului (S) din spaţiu ocupat de solidul rigid. Torsorul acestui sistemde forţe de inerţie va avea componentele:
,HHdt
d
dmvdt
d
dmdt
vd
dmaFdR SSSS
ii
Fig. 12.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 356/487
35512. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
Deci, .aMHR Ci
(12.10)
Rezultanta forţelor de inerţie este egală cu impulsul derivat în raport
cu timpul, luat cu semnul minus
,K ddt
d
Hdr dt
ddm
dt
vdr dmar Fdr M
S
O
SSSS
iiO
1
1
Deci, .K M 11 O
i
O
(12.11)
Se menţionează că masa elementară dm, nu variază în timp şi deciintroducerea ei sub operatorul d/dt este permisă, iar schimbarea ordineiîntre operaţiile de integrare şi derivare este de asemenea permisă deoareceintegrarea (însumarea) se face pentru un moment dat (instantaneu) deci,nu în timp. Pentru a justifica complet transformările care au condus la
relaţia (12.11) se menţionează că ,0dmvr cei doi vectori fiind
coliniari.Relaţia (12.11) arată că momentul forţelor de inerţie faţă de un pol
fix (sau faţă de centrul de masă) este egal cu derivata momentului cineticîn raport cu timpul, calculat faţă de acelaşi pol, luat cu semnul minus.
Expresia generală a torsorului forţelor de inerţie în polul fix O1 este:
.K M
;aMHR F
11
1
OiO
Ci
iO
(12.12)
Din (12.12) rezultă că torsorul forţelor de inerţie, localizat în polul fix1O este egal cu torsorul impulsurilor derivat în raport cu timpul şi luat cu
semn schimbat. Simbolic se poate scrie:
.K ,Hdt
dM,R
1111 OOiO
iO
(12.13)
În aplicaţiile practice, torsorul forţelor de inerţie este indicat să sereducă în centrul de masă al rigidului. Torsorul forţelor de inerţie, faţă de
centrul de masă al rigidului are expresia:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 357/487
356 MECANICĂ
.K M
;aMHR F
rotCiC
Ci
iC
(12.14)
Comparând teoremele impulsului (11.6) şi momentului cinetic (11.12)cu principiul lui d’Alembert (12.6) şi (12.7) observăm o analogie perfectă:
Teoremele impulsului: Principiul lui d’Alembert:
.0MMM
;0R R R
;K MM
;HR R iO
pO
aO
i pa
O pO
aO
pa
111111
(12.15)
12.3. PROBLEME REZOLVATE
1. O bară omogenă de lungime l şi masă m (fig.12.4) articulată încapătul O, este lăsată să cadă liber din poziţia orizontală. Să se determineşi să se reprezinte torsorul forţelor de inerţie în centrul de masă, în polul
fix O şi într-un punct pe axa centrală a forţelor de inerţie. De asemeneasă se calculeze reacţiunile dinamice din artculaţia O pentru o poziţieoarecare a barei şi legea de mişcare.
Rezolvare. Se alege un sistem de referinţă mobil Oxy, solidar cu bara. În figura 12.4 a. s-a reprezentat torsorul forţelor de inerţie în centrul
de masă. Torsorul are următoarele elemente:
Fig.12.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 358/487
35712. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
.k
12
mlk JJK M
; j2
lmi
2
lmamR
F 2
CCrotC
iC
2C
i
iC
Torsorul forţelor de inerţie în polul O (fig.12.4,b) are expresia:
.k 3
mlk JJK M
; j2
lmi
2
lmamR
F2
CCrotO
iO
2C
i
iO
Forţele de inerţie, după axa centrală se reduc la o forţă unică egală
cu rezultantaC
i amR . Cunoscând torsorul forţelor de inerţie în polul
O, ecuaţia axei centrale se determină cu relaţia:
,0yXxYMOz
unde ,2mlXşi2mlY;3mlM 2
2
Oz
rezultând .0y3x3l2 2 Făcând intersecţia cu axa Ox (y = 0) rezultă punctul V de coordonate
,0yişl3/2x VV punct al axei centrale.
Torsorul forţelor de inerţie în punctul V are componentele (fig.12.4,c):
.0M
; j2lmi2lmamR FiV
2Cii
V
Conform principiului lui d’Alembert forţa activă, dată G
, forţa pasivă
de legătură jYiXR OOO
împreună cu iR
, formează un sistem de
forţe în echilibru. Ecuaţiile scalare de echilibru dinamic fictiv sunt (v.
fig.12.4,c):
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 359/487
358 MECANICĂ
;0sinmg2
lmX;0X 2
Oi (1)
;02
lmcosmgY;0Y Oi (2)
;02
llm
3
2cosmg
2
l;0M
iO (3)
Din ecuaţia a (3)-a rezultă ,cos
l
g
2
3
dt
d2
2
din care prin integrare
se obţine viteza unghiulară a barei:
ştiind că ,dt
d
d
d
dt
d
deci ,dcos
l
g
2
3d
00
, de unde:
.sinl
g32 (4)
Înlocuind expesiile lui w şi e în relaţiile (1) şi (2) rezultă reacţiunile
dinamice:.cosmg25,0Yşisinmg5,2X OO
2. Un cilindru omogen de rază R şi masă m se rostogoleşte pe un planorizontal aspru sub acţiunea forţei Q(t)= 0,12 mg (t + 1) şi a cuplului de
moment M(t) = 0,24 mg R ( t2 + t). Săse calculeze timpul t1 după care forţa
de aderenţă îşi schimbă sensul şi timpul
t2 după care cilindrul începe să
patineze. Coeficientul de frecare dealunecare este m = 0,14 iar frecarea de rostogolire se neglijează (fig.12.5).
Rezolvare. a) La timpul t = 0, M(t) = 0, cilindrul la începutul mişcării
este tras cu forţa Q(t), forţa de aderenţă T fiind orientată spre stânga.
Fig.12.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 360/487
35912. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
După un timp 1t forţa de aderenţă îşi schimbă sensul, roata trasă (cilindrul)
devenind roată motoare. La momentul 1t forţa de aderenţă este nulă.
După reprezentarea torsorului forţelor de inerţieC
i amR şi
,JM CiC
ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv sunt:
;0ma1tmg12,0;0X Ci (1)
.0ttR mg24,0J;0M 2CCi
(2)
Ştiind căR a şi
2mR J C
2
C rezultă prin înlocuire, 1tg12,0a C
şi ,tt48,01t12,0 2 de unde 25,0t1 secunde.
b) În situaţia când roata devine motoare, la un timp 2t ea începe să
patineze. Forţa de aderenţă este spre dreapta, iar condiţia de patinare lalimită este, T = mN. Ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv sunt:
;0 Nma1tmg12,0;0XCi
(3)
;0mg N;0Yi (4)
.0 NR JttR mg24,0;0M C2
Ci (5)
Din ecuaţiile (4) şi (5) rezultă că .g1tg12,0aC
Înlocuind în (5) expresia lui Ca , ştiind că ,2/mR JşiR /a 2CC
rezultă:
.tt48,031t12,0 2
Dacă m = 0,14 rezultă ecuaţia 09t6t8 2 cu soluţia acceptabilă
t2
= 0,75 sec.
3. Aplicând principiul lui d’Alembert, să se determine acceleraţiacentrului de masă al cilindrului 3 şi eforturile din fir pentru sistemul de
corpuri din figura 12.6,a. Sistemul este format din prisma 1 de greutate
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 361/487
360 MECANICĂ
Q, scripetele 2 de rază R şi greutate Q/2 şi cilindrul 3 de greutate 2Q.Firul, considerat inextensibil este înfăşurat pe cilindru şi trecut peste
scripetele 2. Coeficientul de frecare la rostogolire a cilindrului pe planulorizontal este s, iar frecarea în axul scripetelui se neglijează.
Rezolvare. Se analizează mişcările corpurilor, se reprezintăacceleraţiile liniare şi unghiulare. Se izolează corpurile (fig.12.6,b), sereprezintă toate forţele active, pasive şi de inerţie:
Ecuaţiile scalare de echilibru dinamic sunt:
-pentru prisma 1: ;0SamQ;0Y 111i (1)
-pentru scripetele 2: ;0R SJR S;0M 2221O2 (2)
-pentru cilindrul 3: ;0TamS;0X 332i (3)
;0Q2 N;0Yi (4)
.0sNTR JR S;0M 332C (5)
Relaţiile între acceleraţiile liniare şi unghiulare ale corpurilor sunt:
;R 2
aa;R 2R a 3
13321
Se exprimă toate acceleraţiile în funcţie de 3a :
.R
a2;
R
a;a2a 3
23
331 (6)
Momentele de inerţie mecanice sunt:
Fig.12.6
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 362/487
36112. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
;g
QR 4
2
R 4mJ;
g4
QR
2
R mJ
223
3
222
2 (7)
Înlocuind în sistemul de ecuaţii relaţiile (6) şi (7) şi eliminând
necunoscutele 21 S,S , T şi N, rezultă o ecuaţie în 3a din care obţinem:
.g
13
R /s12a3
(8)
Înlocuind a3 în ecuaţiile (1) şi (2) rezultă eforturile:
.Q13 R /s58S;Q13 R /s49S 21
4. Un buştean 1 de formă cilindrică, de greutate 2Q, este suspendat prin intermediul unui cablu trecut peste troliul 2, degreutate Q şi raze r, respectiv R = 2r (fig. 12,7).Raza de inerţie a troliului este 2r i . Considerândcă sistemul se pune în mişcare din repaus şi că între
cablu şi buştean nu există alunecare, să se determineacceleraţia centrului de masă al buşteanului şieforturile dinamice din cele două ramuri ale cablului.
Rezolvare:
Se reprezintă forţa şi momentele de inerţie pentru cele două corpuri, în sens invers acceleraţiilor.Se izolează corpurile, înlocuind legăturile interioarecu reacţiunile S1 şi S2. Ecuaţiile de echilibru dinamic
fictiv pentru fiecare corp în parte sunt:
(1)
0MS2r 3
S2r 3
;0M
0Q2FSS;0Y
i112c
i121i
(2) 0MSr Sr 2;0M i2210
Dar: 111i1 a
g
Q2amF ;
Fig. 12.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 363/487
362 MECANICĂ
g
ar Q
2
g
r
a2
8
r g
g
Q2JM 11
2
11i1 ;
g
ar Q4
r a2r 2
gQmiJM
1
1222
222
i2
Relaţiile cinematice:r
a2;
2
r r
2
r 3ICa 1
11111
r
a2
;r r 1
2112
Din primele două ecuaţii rezultă:r 3
1M
2
FQS i
1
i1
2 ;
Din ultimele două ecuaţii rezultă:r 3
2M
r
MS i
1
i2
1 .
Înlocuind eforturile S1 şi S
2 în prima ecuaţie, obţinem:
2
1 sm03,1g19
2
a
, acceleraţia buşteanului.Eforturile dinamice, după înlocuirea lui i
2i1
i1 MşiM,F , vor fi:
Q73,0Q19
14S1 ; Q05,1Q
19
20S2
5. Două bareomogene (fig. 12.8),OA = a şi OB = b,rigidizate între ele,formând un unghidrept în O, sunt arti-culate de un ax verticalîn jurul căruia se rotesccu viteza unghiularăconstantă 0
. Greuta-tea pe unitatea delungime fiind q, să se Fig. 12.8
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 364/487
36312. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
determine viteza unghiulară 0 pentru care cele două bare formează unghiuri
egale faţă de axa verticală. Rezolvare:
De-a lungul barelor, forţele elementare de inerţie au o distribuţietriunghiulară. Rezultantele acestor forţe de inerţie acţionează la distanţa2/3, faţă de vârful O, din lungimea barei. Rezultantele forţelor de inerţieau expresiile:
cosg2
qaamR 2
2
ci1 1 ;
sin
g2
q bamR 2
2
ci2 2
Ecuaţia de echilibru dinamic fictiv este:0cos
3
2R sin
2
bQsina
3
2R cos
2
aQ;0M i
22i110
Înlocuind Q1 = a q, Q
2 = b q şi i
2i1 R ,R , rezultă:
2sin)a b(
)cosasin b(333
222
Pentru = 450, rezultă: g)a b(
)a b(
2
2333
222
.
6. O sferă omogenă de rază R şi masă m1 este aşezată pe o scândură
de masă m2, aşezată la rândul ei pe o masă fixă (vezi figura 12.9., a).Coeficientul de frecare la alunecare între sferă şi scândură este 1, iar coeficientul de frecare la alunecare între scândură şi masa fixă este 2.Scândura este trasă orizontal cu o forţă F, astfel încât alunecă pe masă.
Să se calculeze: a) forţa de frecare dintre corp şi scândură; b) acceleraţiilescândurii şi a centrului de greutate al sferei; c) acceleraţia unghiulară asferei; d) poziţia axei instantanee de rotaţie a sferei.
Aplicaţie numerică: m1 = 1 kg; m
2 = 4 kg; R = 0,1 m; F = 24,8 N;
1
= 2 = 0,2. Rezolvare:
Se izolează corpurile ca în figura 12.9, b, reprezentându-se toateforţele active, pasive şi de inerţie. Ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv
pentru fiecare corp în parte sunt:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 365/487
364 MECANICĂ
Fig. 12.9.
Cilindrul 1
;0TR J;0Z
;0gm N;0Y
;0amT;0X
1i
11i
c11i
Scândura 2
0gm N N,0Y0amTTF,0X
212i
2221i
La aceste ecuaţii se adaugă relaţiile: 2222c NT;R aa (6)a) Din relaţiile (2), (4), (5) şi (6) rezultă:
)mm(g)gm N(T 212122 ;2
21212 m
)mm(gTFa
(7)
Din relaţiile (1), (3) şi (6) rezultă:
1
21
2121c11 TJ
R mam)R a(mamT (8)
Înlocuind a2 din (7) în (8), rezultă T
1 sub forma:
JR m
mm
1
)mm(gFT
22
1
2
2121
unde 21 R m
5
2J pentru sferă.
Condiţia de nealunecare este: gmT 111
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 366/487
36512. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
Aplicaţie numerică:
2
54
41
)41(8,92,08,24T1
Sfera se rostogoleşte fără alunecare. b) Acceleraţiile centrului sferei şi al scândurii, conform (1) şi (7)
sunt:
2
1
1c sm1
kg1
N1
m
Ta
2
2
212112 sm5,3
4
)41(81,92,018,24
m
)mm(gTFa
c) Acceleraţia unghiulară a sferei, conform relaţiei (3), este:
2
1
11 srad251,012
15
R m
T
2
5
J
TR
d) Poziţia axei instantanee de rotaţie a sfereiAcceleraţiile celor două corpuri fiind proporţionale cu vitezele, se
pot scrie relaţiile:
c
c
c
2
R R R
aa , de unde m04,0
15,31,01
aaR aR
c2
cc
Centrul instantaneu de rotaţie de află deasupra centrului sferei, pediametrul vertical, la distanţa 0,04 m faţă de C.
7 . O placă dreptunghiulară de masă m, având dimensiunile din figura12.10, se roteşte în ajurul unui axvertical cu viteza unghiularăconstantă . Ea este menţinută în
poziţia reprezentată în figură, prinintermediul unui fir AB. Să sedetermine reacţiunile dinamice dinfir şi articulaţia O.
Rezolvare:
Se detaşează o suprafaţă
elementară de arie dA şi masăelementară dm, asupra căreia Fig. 12.10.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 367/487
366 MECANICĂ
acţionează o forţă elementară de inerţie iFd . Expresiile acestora sunt:
b
dxxh
dxydA ; dxh b
xhm2
dAA
M
dm 2 ;
dxx b
m2dmxdmadF 2
2
22
ci
de unde: 3
bm2dxx
b
m2F
22
b
02
2i
Poziţia rezultantei forţelor de inerţie se determină aplicând teorema
lui Varignon pentru sistemele de forţe coplanare:
h3
8dxx
b2
h3
3
bm2
dx b
xm2
b
xh
2
1
F
dF2y
y b
0
342
b
02
22
i
i
c
Rezultanta forţelor de inerţie este paralelă cu axa Ox la distanţa 3h/8 faţă de aceasta.
Ecuaţiile de echilibru dinamic pentru forţele ce acţionează asupra plăcii sunt:
0hSgm b3
2Fh
8
3;0M
0gmY;0Y
0SFX;0X
ii0
0i
i0i
Înlocuind forţa de inerţie rezultantă Fi, rezultă:
gh
b8 b3
12
mS;gmY;
h
b8 b3
12
m bm
3
2X 2
022
0 .
8. În capătul D al unui fir inextensibil, înfăşurat pe discul A de rază r,
acţionează o forţă P sub unghiul faţă de orizontală (fig.12.11). DisculA de rază r este solidar cu discul B de rază R = 2r, care se rostogoleşte
pe un plan orizontal. Întregul ansamblu are masa m = P/g şi raza de
inerţie r R i . Să se determine unghiul maxim pentru care corpul
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 368/487
36712. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
se rostogoleşte fără patinare şiacceleraţia centrului de masă al
discului, corespunzătoare acestui unghimaxim, dacă coeficientul de frecare laalunecare este = 0,1.
Rezolvare:
Se reprezintă toate forţele active, pasive şi de inerţie, rezultanta forţelor de inerţie în sens invers acceleraţiei a,şi momentul forţelor de inerţie în sens
invers lui .Ecuaţiile de echilibru dinamic fictivsunt:
;0JTR Pr ;0M
;0PsinP N;0Y
;0amcosPT;0X
cc
i
ci
La aceste relaţii se adaugă ecuaţiile:
.r R gPimJ;r 2a; NT 2
cc
Reacţiunea normală N înlocuită în prima relaţie conduce la:
g)cossin(a c Din ecuaţia a treia, făcând toate înlocuirile, rezultă:
cos1)sin1(3Aceasta este o ecuaţie trigonometrică, în care se înlocuiesc:
2t1t2sin
şi
2
2
t1t1cos
, unde
2tgt .
Rezultă:2
t1
t
2
3
de unde 279,0
3
21
1
2tgt max
Deci: '1231279,0arctg2max
Acceleraţia centrului de masă este:2
maxmaxc sm85,8g)cossin1,01,0(a .
Fig. 12.11.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 369/487
368 MECANICĂ
9. Un troliu de masă m = 2P/g, având raza de inerţie r R i , are posibilitatea să se rostogolească fără
alunecare pe un plan înclinat de unghi , sub acţiunea unei forţe Pce acţionează în capătul A al firuluiînfăşurat pe circumferinţa de rază R =2r. Să se determine: a) acceleraţiacentrului de masă al troliului; b) valoareamaximă a unghiului , pentru care troliulse rostogoleşte fără alunecare, ştiind că
= 2/3. Rezolvare:
Se reprezintă forţele active date şi cele pasive de legătură. În sensinvers acceleraţiei a şi acceleraţiei unghiulare , se reprezintă torsorulforţelor de inerţie.
Ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv sunt:
;0MTr Pr 2;0M;0cosP2cosP N;0Y
;0sinPsinP2FT;0X
icc
i
ii
La aceste ecuaţii de adaugă:
r
a;
r
ar 2
g
P2imM;a
g
P2amF 22i
ci
Prin înlocuirea acestor expresii, sistemul de ecuaţii devine:;JPr 2r T;cosP3 N;sinP3amT c
Înlocuind forţa de aderenţă T în ultima relaţie, rezultă:
g
ar P4Pr 2)sinP3am(r , deci: g
6
sin32a
b) Valoarea maximă a unghiului rezultă din ecuaţia (1):
sinP3g
6
sin32
g
P2cosP3 .
Ştiind că = 3
2, rezultă: 3
1sincos , ecuaţie trigonometrică, din
Fig. 12.12.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 370/487
36912. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
care, prin ridicare la pătrat, se obţine:9
82sin sau
'22319
8arcsin2
1max
10. Un troliu de rază R = 2r (fig. 12.13), având greutatea 3Q şi raza
de inerţie r R i , este lăsat să cadăliber din poziţia de repaus, asupra luiacţionând şi forţa din firul înfăşurat pecircumferinţa de rază 2r, în capătul căruia
este fixată prisma 1 de greutate Q. Săse determine acceleraţia centrului demasă al troliului şi eforturile din fire.
Rezolvare:
Se izolează corpurile, înlocuindu-selegăturile interioare cu eforturile S1
şi S2.
Se reprezintă toate forţele active, pasiveşi de inerţie.
Ecuaţiile scalare de echilibru dina-mic sunt:
Corpul 1:
;0FQS;0Y i11i
Corpul 2:
;0Mr 2Sr S;0M
;0SQ3FS;0Y
i212c
1i22i
La aceste relaţii se adaugă expresiile:
222
2i22
i21
i122 a
g
r Q6imM;a
g
Q3F;a
g
QF;r a .
Eliminând eforturile S1 şi S2 rezultă acceleraţia g6
1aa 12
Eforturile din fire sunt: S1 = 1,5 Q şi S2 = 4Q
Fig. 12.13.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 371/487
370 MECANICĂ
11. O placă dreptunghiulară de lungime l , lăţime h şi greutate P se
poate roti în jurul unui axorizontal Ox, fără frecare. Placaformează unghiul a cu axulvertical AB, în jurul căruia seroteşte cu viteza unghiularăconstantă . Placaeste menţinută în echilibru prinintermediul unui arc de constantă
k, perpendicular pe axa derotaţie AB. În starea nede-formată a arcului placa for-mează unghiul
0 cu axa AB.
Să se determine reacţiuniledinamice din lagărele A şi B şiunghiul . Aplicaţie numerică: l
= 2m; h = 1m; k = 175 kN/m;
= 20 rad/s; P = 10kN; 0 =2o
şiOA = l /3.
Rezolvare:
Se calculează torsorul forţelor de inerţie în polul O:
0;i j j;0k
i
g3
lPiJ)k J jJ(
dt
dK M
sinunde jsin2
l
g
PamR
22
2yzzzyz0
i0
2c
i
i0
Momentul cinetic este:
k J jJ0
0
JJ0
JJ0
00J
JK zzyz
zzzy
yzyy
xx
00
Momentul de inerţie centrifugal se calculează cu formula:
Fig. 12.14.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 372/487
37112. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
g3
lP)JJ(2sin
2
JJJ
2
'y'z'y'z
yz
unde 'zJ şi 'yJ sunt momentele de inerţie faţă de axele proprii (vezi
problema 2.2.2):
12
h
3g
PJJJ;
g12
hPJ
22
'yx'z'y
l
Forţele active şi de inerţie fiind coplanare, XA = X
B = 0. Ecuaţiile
scalare de echilibru dinamic sunt:
;0g3
PY
3
2Y
3;0M
;0PZ;0Z
;02g
PYY;0Y
22
BAxi0
Ai
2BAi
l l l
l
Rezolvând sistemul de ecuaţii, rezultă:
PZ;g6
PY;
g3
PY
A
2
A
2
B l l
Forţa F din arcul de constantă k este: )sin(sink yk F 0 l ,
dacă 00sin , atunci ).(k F 0 l
Pentru determinarea unghiului la echilibru dinamic, se va scrie osumă de momente faţă de axa Ox, numai pentru placă:
0g3
Pa
2PcosF;0M 2
2
x0 l l l
Se aproximează sin , cos 1 şi rezultă:0
g3
P
2P)(k 2
2
0 l l
l l
de unde: 95,478
350
g3
P
2
Pk
k 00
2
0
l l
l
Cu unghiul stabilit se înlocuieşte sin 90 = 0,16 în expresiile reacţiunilor
dinamice, rezultând: kN10Z;kN33,21Y;kN66,42Y AAB
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 373/487
372 MECANICĂ
12. O placă materială de formaunui sfert de cerc de rază R, masă m şi
greutate G, se află într-un plan vertical,articulată în O şi rezemată în A (fig.12.15). Placa se roteşte în jurul axuluivertical cu viteza unghiulară constantă. Să se determine pentru ce valoare alui reacţiunea din A se anulează?
Rezolvare:
Poziţia centrului de masă al plăcii
faţă de sistemul de referinţă cu origineaîn O se determină cu relaţia cunoscută:
23
R 4
4
45sinR
3
2sinR
3
2OC
o
3
R 445sinOCyx o
cc
Momentele de inerţie mecanice Jox
, Joy
, Jxy
sunt:
2
R mJ;
4
R mJJ
2
xy
2
oyox
Torsorul forţelor de inerţie faţă de polul fix O este:
0 j;iideoarece,k JiJK M
;ixg
GamHR
2xyxy0
i0
2cc
i
i0
dar
. jJiJ
0
0
J00
0JJ
0JJ
JK yyxy
zz
yyyx
xyxx
00
Poziţia axei centrale a forţelor de inerţie se obţine aplicând teorema
lui Varignon: i0
iv MR y , de unde: R
8
3
2
R 4m
J
xm
J
R
My xy
2
c
2xy
i
i0
v
Fig. 12.15.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 374/487
37312. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
Făcând sumă de momente în polul O, pentru NA = 0, rezultă viteza
unghiulară :
;0GxR y;0M ciV0
R 3
g8deunde,G
3
R 4
3
R 4
g
GR
8
3 22
13. O placă dreptun-ghiulară de masă m, cudimensiunile din figura 12.16,
este fixată de un ax verticalAB. Placa se roteşte cuviteza unghiulară constantă, în jurul axului vertical. Săse determine reacţiuniledinamice din lagărele A şi B.
Rezolvare:
Poziţia centrului de
masă al plăcii este:
3
hyşi
3
bx cc
S-au determinat următoarele momente de inerţie mecanice:
12
h bmJ;
6
bmJ;
6
hmJ xy
2
y0x0
Torsorul forţelor de inerţie în polul O este:
0 j;iiunde,k JiJK M
;i3
bmixmamHR
2xyxy
i0
22cc
ii0
unde jJiJ
0
0
J00
0JJ
0JJ
JK y0xy
z0
y0yx
xyx0
00
;
Ecuaţiile scalare de echilibru dinamic sunt:
Fig. 12.16.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 375/487
374 MECANICĂ
;0MGxh5,0xh5,1x;0M;0GY;0Y
;0R XX;0X
i0cBA0
Bi
iBAi
Înlocuind datele cunoscute, sistemul devine:
h1
12h bm
h3 bgmx5,0x5,1
3
bmxx
2BA
2BA
Rezultă:12
bm
h3
bgmx;Gy;
h3
bgm
12
bm5x
2
AB
2
B
14. Un tambur cu raza r = 0,05 m este ataşat unui disc cu raza R =0,10 m (fig.12.17). Discul şi tamburul auîmpreună masa m = 6 kg şi o rază de inerţiei = 0,12 m. Un fir este înfăşurat pe tamburulde rază r şi tras cu o forţă F = 25 N. Dacădiscul se rostogoleşte fără alunecare, să sedetermine: a) acceleraţia unghiulară adiscului şi acceleraţia centrului său de masă;
b) valoarea minimă a coeficientului defrecare la alunecare, compatibilă cu aceastămişcare.
Rezolvare:
Se reprezintă torsorul forţelor de inerţie faţă de centrul de masă,forţele active G şi P şi cele pasive, T şi N.
Ecuaţiile de echilibru dinamic sunt:
;0r FMR T;0M
;0G N;0Y
;0R TF;0X
icc
i
ii
Fig. 12.17.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 376/487
37512. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
unde: ;R
a;miJM;amR 2
cic
i
Înlocuind forţa de aderenţă T din prima ecuaţie în ultima, rezultăacceleraţia centrului de masă:
22222
sm85,0)12,010,0(6
)05,010,0(10,025
)iR (m
)r R (R Fa
;
La limită T = N, din prima relaţie rezultă:
372,09,86
85,0625
gm
amF
12.4. PROBLEME PROPUSE
1. Un punct material de masă m face corpcomun cu o roată de masă M şi rază R (fig.12,18). Să se determine frecarea dintre roată şisol, pentru ca aceasta să se rostogolească fără
să alunece.
R: 2m2)mM3(M
)mM(m2
2. O placă pătratăde greutate G şi latură l,articulată în O, susţinută
de firul BC, este înrepaus în poziţia I. a) Săse determine reacţiunileîn O, imediat dupăruperea firului, precum şireacţiunile după cădereaîn poziţia II; b) Aceeaşi
problemă pentru placa din
figura 12.19, b.
Fig.12.18.
Fig. 12-19.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 377/487
376 MECANICĂ
R: a)
8
G17Y;
8
G15X
8
G5
Y;8
G3
X
AA
AA
b)
10
G13Y;
10
96X
5
G2Y;0X
AA
AA
3. Între ce limite variazăelementele încastrării, când
pendulul cu fir de lungime lşi bila de greutate G
oscilează sub 600, ca înfigura 12.20 Să se verificeîn poziţia I prin solidificareasistemului.
R:
I) l G2
3M;
4
G5Y;
4
3GX AAA
II) l G5M;G3Y;0X AAA
III) l G2
3M;
4
G5Y;
4
3GX AAA
4. Într-un plan orizontal, un fir ABC(AB = BC = l = 2 m) este fixat în A şi trece
peste un cui B (fig. 12.21). Din C selansează un mobil cu viteza v0 = 12 m/s. a)Să se determine tensiunea în fir şi timpul
până ce firul este în poziţia AD şi AE; b)Aceeaşi problemă în plan vertical.
R:
a)
.sec9t;G3,6T
.sec9
t;G7,26T
22
11
Fig. 12.20
Fig. 12.21.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 378/487
37712. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
b)
)AE pozitiaîn(G0,1T
;G6,1T;G7,3T
3
21
5 . Într-un plan orizontal sunt trei cuie A,B, C, formând vârfurile unui triunghi echilateralde latură l (fig 12.22). Legat în A şi înfăşurat în
jurul celor trei cuie este un fir cu o bilă în capăt,de greutate G (la început este în A). Bila estelansată cu viteza v, perpendicular pe fir. Se
cere tensiunea T în fir când acesta sedesfăşoară. Se neglijează frecarea.
R: .3
TT;
2
TT;
v
g
GT 1
31
2
2
1 l
6 . a) Să se determine tensiunile T1 şi T2 în barele 1 şi 2 care prindgreutatea G de o bară AB, în jurul căreia sistemul se roteşte cu viteza
unghiulară (AB = l ); b) Aceeaşi problemă când bara AB este orizontalăiar sistemul se roteşte în jurul ei; c) Sistemul se roteşte în jurul axei verticalece trece prin A (fig. 12.23).
R: a)
2
1
g8
3GT;3
g82
3GT
2
22
1
l l
Fig. 12.22
Fig. 12.23
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 379/487
378 MECANICĂ
b)2
3G
g8
G3T;
2
G
g8
G3T
2
2
2
1
l l
c)g8
G3
2
3GT;
g8
3G3
2
GT
2
2
2
1
l l
7 . O bară omogenă de lungime l şi greutateG (fig. 12.24) este articulată la capătul O deaxa verticală (D), în jurul căreia se roteşte cu
viteza unghiulară constantă . Pentru ce valoarea vitezei unghiulare , reacţiunea normală din Ase anulează?
R:
cos
g
2
32
l
8. O tijă omogenă de greutate P şi lungime l ,
este articulată la un capăt şi menţinută sub ununghi , cu ajutorul unui fir BC (fig. 12.25). Barase roteşte în jurul unui ax vertical cu vitezaunghiulară constantă . Să se determine efortulstatic şi dinamic din firul BC. Aplicaţie numerică:P = 50 N; = 450; l = 2 m; = 3 rad/s.
R: . N40T; N25T
sing3tg2
1
PT
dinst
2
l
9. Să se determine acceleraţiile corpurilor de greutate P şi Q, legateîntre ele printr-un fir trecut peste troliul 2 de raze r 1 şi r
2. Planul înclinat
are unghiul , iar frecările şi masa troliului se neglijează (fig. 12.26).
R: ;gr Qr P
sinr Qr r P
a ;gr Qr P
sinr r Qr P
a 22
21
2221
322
21
212
11
Fig. 12.24
Fig. 12.25
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 380/487
37912. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
10. Punctul material E, de masă m1 = 2 kg, alunecă fără frecare peun ax orizontal 1, fiind legat de un arc de constantă k = 10 N/cm şi
lungime l0 = 20 cm, în stare nedeformată. Punctul material D, de masăm2 = 3 kg, este fixat pe o altă bară 2 orizontală, perpendiculară pe axul
vertical OO1 care se roteşte cu o viteză unghiulară = 10 rad/s. Ştiind
că AO = OO1 = O
1B = OD = 20 cm, calculaţi forţa din arcul deformat şi
reacţiunile dinamice din lagărele A şi B (fig.12.27.
R:
. N3200Y; N20X
; N3
100Y; N40X
BB
AA
Farc = 100 N
11. Un disc omogen de rază r = 10 cm şi masă m1 = 3 kg se roteşte în
jurul unui ax vertical AB cu viteza unghiulară = 10 rad/s. Discul estemenţinut sub un unghi prin intermediul unui arc elicoidal de constantă k =10 N/cm. La momentul iniţial, discul formează unghiul
0 = 100 iar arcul
este nedeformat. Discul se poate roti în jurul axului orizontal OD, situat la
distanţa r/2 faţă de centrul discului. Punctul material D de masă m2 = 0,4
Fig. 12.26 Fig. 12.27
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 381/487
380 MECANICĂ
kg este situat pe acelaşi ax orizontal. Dacă AO= OB = 50 cm, să se calculeze unghiul , forţa
din arcul de constantă k şi reacţiunile dinamicedin lagărele A şi B (fig. 12.28).
R:
; N32,33Z
; N11,2Y; N07,2X
; N91,0Y; N39,1X
; N98,3F;5,11
A
BB
AA
arco
12. Un inel de diametru d = 30 cm şi masăm
1 = 3 kg este articulat în D, în capătul unei
bare OD de lungime l 1 = 20 cm, perpendiculară
pe axul vertical OE. Inelul este menţinut sub ununghi faţă de verticală, prinintermediul unui arc avândconstanta de elasticitate k = 6 N/cm. În capătul barei de lungime l 2
= 25 cm se află greutatea K demasă m
2 = 0,5 kg. În poziţia iniţială,
inelul avea poziţia verticală, iar arcul era nedeformat. Întregulansamblu se roteşte în jurul axeiverticale cu viteza unghiularăconstantă = 10 rad/s (v. fig.12.29). Dacă AO = 40 cm şi OB
= 60 cm, calculaţi: a) unghiul pecare îl formează inelul cu verticala;
b) forţa din arc; c) reacţiuniledinamice şi statice din lagărele Aşi B.
R:
a) ;07,13 o ; N05,41Farc
b) ; N98,9Y; N3,46X; N3,34Z; N52,2Y; N96,23X
BB
AAA
Fig. 12.28
Fig. 12.29
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 382/487
38112. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
13. O bară dreaptă 1 de lungime l1
= 0,30 m este articulată în O1 de o altă bară 2 orizontală de lungime l2 = 0,05 m,
sudată la rândul ei de un ax vertical ABîn jurul căruia se roteşte cu o vitezăunghiulară constantă = 10 rad/s (fig.12.30). În capătul barei 1 de masă M =10 kg se află punctul material D de masăm = 1 kg, legat de axul vertical prin
intermediul unui arc de constantă k = 20 N/cm. Ştiind că AO = OB = 0,6 m,calculaţi: a) unghiul pe care îl formează
bara 1 (în poziţia iniţială bara era verticalăşi arcul nedeformat); b) reacţiunile dinarticulaţia O1; c) reacţiunile din lagăreleA şi B.
R: a) ;2,4 o
b) ; N8,107Z; N3,24Y 0101 c)
0XX
; N8,107Z; N5,49Y; N6,18Y
BA
ABA
14. O bară dreaptă 1 de masă m =10 kg şi lungime l
1= 0,30 m este articulată
în O1 de o altă bară dreaptă 2 de lungime
l2 = 0,10 m, sudată la rândul ei de un axvertical AB, ce se roteşte cu o vitezăunghiulară constantă
1 = 20 rad/s (fig.
12.31). La capetele barei 1 sunt fixatedouă arcuri de constante k 1 = 10 N/cmşi k 2 = 20 N/cm. În starea nedeformatăa arcurilor, bara formează unghiul =50 cu axa verticală. Dacă OA = OB =
0,60 m, calculaţi: a) forţele din cele douăarcuri; b) reacţiunile dinamice din
Fig. 12.30
Fig. 12.31
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 383/487
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 384/487
38312. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT
R: .159,0;G11
1ac
17 . Pentru sistemul de corpuri din figura 12.34, să se determinemomentul motor M
m, astfel încât sistemul să demareze cu acceleraţia
unghiulară 1. Se cunosc greutăţile corpurilor P, Q, G, razele R
1, r
2, R
2 şi
raza de inerţie i2 a troliului.
R: 2
2
21
2
2
2121red
2
211redm
r
R R
g
P
r
iR
g
QR
g2
GJ
unde,r
R R PJM
18. Prisma A de masă m este legată prin intermediul unui fir inextensibil trecut peste scripetele B, de un cilindru D de rază R şi masă2m ce se rostogoleşte pe un plan înclinat de unghi (fig . Neglijândfrecarea de rostogolire şi frecarea în axul scripetelui B, să se determine:a) coeficientul minim de frecare de alunecare pentru ca cilindrul să serostogolească fără alunecare; b) valoarea maximă a unghiului , pentru
care este posibilă rostogolirea fără alunecare, dacă = 0,3.
Fig. 12.34
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 385/487
384 MECANICĂ
R:
;14
1
)a min
627
;141
351966
2tg) b
omax
2max
19. Pe cilindrul 1 de masă m1 este înfăşurat un fir inextensibil, trecut
peste scripetele 2 de masă m2. În capătul firului este fixată o prismă 3 demasă m
3 (fig. 12.36). Cilindrul se rostogoleşte fără alunecare pe traversele
4 de masă m4, care se deplasează pe un plan orizontal neted. Să se
calculeze acceleraţia absolută a centrului de masă al cilindrului şi al corpului3. De asemenea, să se determine eforturile din ramurile I şi II ale firului.În calcule se vor considera: m2 = 0,5m1; m3 = 0,75m1; m4 = 0,25m1
R:
.gm3
71S;gm
36
7S
;g95a;g
92a
1II1I
3c
Fig. 12.35
Fig. 7.36
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 386/487
38513. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
13
DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
13.1. Dinamica punctului material liber ........................... 38713.2. Dinamica punctului material cu legături .................. 38913.3. Dinamica punctului material în mişcare relativă ...... 391
13.3.1.Ecuaţia fundamentală a mişcării relative .......... 39113.3.2. Cazul forţelor complementare nule. Reper
inerţial .............................................................. 39213.3.3. Repausul relativ ............................................... 392
13.4. Probleme rezolvate .................................................. 39313.5. Probleme propuse ................................................... 400
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 387/487
386 MECANICĂ
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 388/487
38713. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
13DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
13.1. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER
Mişcarea punctului material în vid.
Mişcarea punctului material în vid (în aer cu neglijarea rezistenţeiaerului) reprezintă un exemplu de mişcare a unui punct material liber.
Se consideră un punctmaterial de masă m, aruncat dela suprafaţa Pământului cuviteza iniţială Ov
sub unghiul
faţă de orizontală (fig.13.1).Se pune problema determinării
traiectoriei unui astfel de punct,cunoscând forţele şi condiţiileiniţiale. Neglijând rezistenţa
aerului şi a vântului lateral, mişcarea punctului este plană iar singuraforţă care acţionează asupra lui este greutatea proprie .gmG
Se alegeun sistem de referinţă fix Oxy, cu originea în poziţia iniţială a punctuluimaterial. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului se obţin proiectând
pe axele sistemului de referinţă, ecuaţia fundamentală a dinamicii scrisă
sub forma:,Gam
(13.1)
rezultând două ecuaţii scalare:
.mgym;0xm (13.2)Integrând succesiv în raport cu timpul (13.2) se obţin proiecţiile
vectorului viteză şi ale vectorului de poziţie:
;Cgtvy;Cvx 2y1x (13.3)
Fig. 13.1
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 389/487
388 MECANICĂ
.CtC2
gty;CtCx 42
2
31 (13.4)
Ecuaţiile (13.4) reprezintă ecuaţile parametrice ale traiectoriei.Constantele de integrare se determină din condiţiile iniţiale:
.sinvy;cosvx;0y;0x,0tla OO (13.5)Astfel relaţiile (13.3) şi (13.4) ne dau:
.0C;0C;sinvC;cosvC 43O2O1 (13.6)
Introducând valorile constantelor în (13.4) rezultă:
.sintv2
gty;costvx O
2
O (13.7)
Eliminând parametrul t între cele două ecuaţii, se obţine ecuaţiaexplicită a traiectoriei:
.xtgcosv2
gxy
22O
2
(13.8)
Traiectoria este deci o parabolă care trece prin origine, avândconcavitatea în jos. Din punct de vedere balistic, interesează înălţimea
maximă maxh şi bătaia d.Bătaia se găseşte intersectând parabola (13.8) cu axa Ox, adică
pentru y=0 rezultă:
.g
2sinv
g
tgcosv2xd
2O
22O
B
(13.9)
Relaţia (13.9) ne arată că pentru o viteză Ov , dată bătaia maximă
(distanţa de la punctul de lansare, la punctul de cădere), se obţine pentru
un unghi de lansare =45o. Deci, .g/vd 2Omax
Înălţimea maximă atinsă de punctul material, faţă de orizontala cetrece prin punctul de lansare, pentru un unghi oarecare , se obţine punândîn ecuaţia (13.8) condiţia:
,0tgcosv2
gx2
dx
dy22
O
rezultă .g2
2sinvx
2O
v
(13.10)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 390/487
38913. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
.g2
v
g2
sinvxyh
2
Oy22
Ovmax
(13.11)
Înălţimea maximă se obţine la o abscisă egală cu jumătate din bătaie.Înălţimea maximă (13.11) se poate afla cunoscând componenta verticalăa vitezei iniţiale, indiferent de valoarea componentei orizontale a vitezei.
Coordonatele vârfului parabolei sunt: .g2/sinv;g2/2sinvV 2O
2O
Conform relaţiei (13.11) rezultă că la o viteză iniţială constantă, pentruun unghi de lansare =90o, rezultă înălţimea maximă atinsă de punctulmaterial:
,1sin,g2
vy
2O
max (13.12)
adică, când punctul este lansat pe verticală.
13.2. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL CULEGĂTURI
Dinamica punctului material pe cercul vertical.Se consideră (fig.13.2) un punct material de masă m, lansat din poziţia
Ao cu viteza iniţialăOv
pe cercul vertical de rază R.Dacă punctul A este legat prin intermediul unui fir de centrul O,
legătura este unilaterală, iar dacă el se mişcă în interiorul unui tub de razăR, legătura este bilaterală.
Se pune problema determinării mişcării(a vitezei funcţie de poziţie) şi a reacţiuniinormale N, pe cercul vertical.
Traiectoria fiind circulară, se poate utilizasistemul de coordonate naturale. Ecuaţiafundamentală a dinamicii este:
. NGam
(13.13)Asupra punctului acţionează două forţe
G
, greutatea punctului şi N
, reacţiuneanormală. Forţele de frecare se neglijează. Fig.13.2
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 391/487
390 MECANICĂ
Proiectând ecuaţia vectorială (13.13) pe axele sistemului de referinţă,rezultă ecuaţiile scalare:
;sinmgdtdvm (13.14)
.cosmg NR
vm
2
(13.15)
Din prima ecuaţie (13.14) se obţine legea vitezei, dacă se deriveazăîn raport cu variabila şi se ţine seama de d/dt=v/R:
,dsingR dvvsau,sinmgdt
d
d
dv
m0
v
vO
sau .1cosgR 2
v
2
v 2O
2
, rezultă
.cos1gR 2vv 2O
2 (13.16)Deci, pe măsură ce unghiul creşte, viteza lui se micşorează.Pentru a afla unghiul la care viteza se anulează, se pune condiţia ca
viteza să se anuleze v = 0, în relaţia (13.16). Rezultă:
.gR 2
v1cos
2O
v (13.17)
Din ecuaţia a doua (13.15) se obţine reacţiunea N în funcţie deunghiul .vşi O
.cos32mgR
mv N
2O (13.18)
Punând condiţia ca reacţiunea normală N să fie zero, se obţine din(13.18) unghiul pentru care se anulează aceasta:
.cos3
2
gR 2
v1
3
2cos V
2O
N
(13.66)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 392/487
39113. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
13.3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ÎN MIŞCARERELATIVĂ
13.3.1. Ecuaţia fundamentală a mişcării relative
Faţă de un sistem de referinţă presupus fix, ecuaţia fundamentală adinamicii punctului material stabilită de Newton este:
,Fam (13.20)
unde a reprezintă acceleraţia absolută a punctului material.
Uneori în aplicaţiile tehnice este necesar să se studieze mişcarea unuicorp, asimilat cu un punct material faţă de un sistem de referinţă mobil.
În cinematică s-a stabilit relaţia după care se compun acceleraţiile înmişcarea relativă a punctului:
.aaaa ctr a
(13.21)
Înlocuind relaţia (13.21) în (13.20) rezultă:
,Faaam ctr
sau
.amamFam ctr
(13.22)
În expresia (13.22) apar două forţe de inerţie complementare, carese însumează vectorial cu rezultanta F
a forţelor date şi de legătură ale
punctului. Acestea sunt: ,Fam itt
forţa de inerţie de transport şi
,Fam icc
forţa de inerţie Coriolis. Cu acestea, ecuaţia fundamentală
a mişcării relative (13.22) devine:
.FFFam ic
itr
(13.23)
Comparând cele două ecuaţii fundamentale (13.20) şi (13.23), seconstată că în cazul când mişcarea se raportează la un reper mobil, pelângă forţele exterioare date şi de legătură trebuie considerate şi forţelede inerţie de transport şi Coriolis.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 393/487
392 MECANICĂ
13.3.2. Cazul forţelor complementare nule. Reper inerţial
O problemă de mare interes practic este aceea de a cerceta dacă, şi înce condiţii există repere mobile faţă de care ecuaţia fundamentală a mişcării
punctului material, se scrie la fel ca şi faţă de un sistem de referinţă fix.Pentru aceasta, condiţiile ce trebuiesc îndeplinite sunt ca: acceleraţia
de transport ta
şi acceleraţia Coriolisca
, să fie nule.
Acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis sunt nule, atunci cândsistemul de referinţă mobil are o mişcare de translaţie, rectilinie şi
uniformă .0aşi0a,0 tt
Aceste sisteme de referinţă, faţă de care ecuaţia fundamentală a punctului material în mişcare relativă are aceeaşi formă ca şi faţă de unreper fix, se numesc sisteme inerţiale.
13.3.3. Repausul relativ
Repausul relativ poate fi considerat un caz particular al mişcării rela-tive, când punctul material este în repaus faţă de sistemul mobil, dar înmişcare o dată cu acesta faţă de sistemul fix. Într-o asemenea situaţie,viteza şi acceleraţia relativă sunt nule.
Având în vedere expresia forţei de inerţie Coriolis:
,vm2F r ic
(13.24) precum şi ecuaţia fundamentală a mişcării relative (13.23), rezultă pentru
condiţia de repaus relaţia:,0FF i
t
(13.25)adică forţele date şi de legătură, împreună cu forţa de inerţie de transportformează un sistem de forţe în echilibru. Relaţia (13.25) reprezintă condiţiade echilibru relativ a punctului material.
În tehnică problema repausului relativ se întâlneşte adeseori în studiulregulatorilor.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 394/487
39313. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
13.4. PROBLEME REZOLVATE1. Un punct material de masă m
începe să se mişte în vid, sub influenţaunei forţe variabile F (t) reprezentatăgrafic în figura 13.3. Ştiind căa=const.>0, b= const.>0 şi că forţa F(t) nu-şi schimbă direcţia, să se
determine legea de mişcare x (t) a punctului material. Rezolvare. Forţa variabilă F (t)
se modifică după legea:
. b/at pentru,0
, b/at0 pentru; btatF
a) Pentru , b/at0 ecuaţia fundamentală a dinamicii punctului
material este:
.tm
b
m
axsau btaxm (1)
Integrând de două ori relaţia (1) rezultă:
.0C,0x,0t pentru,Ctm2
bt
m
ax 11
2
.0C,0x,0t pentru,Ctm6
btm2ax 22
32
Legea de mişcare x (t) este:
. b/at pentru,tm6
bta3tx 2
(2)
.
mb3
axrezultã b/atPentru
2
3
B (3)
b) Pentru t>a/b, ecuaţia fundamentală a dinamicii este:
Fig. 13.3
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 395/487
394 MECANICĂ
,0xm (4)integrând de două ori rezultă:
.mb2aCiar ,
mb2ax, b/at pentru,Cx
2
12
2
1
,mb6
aCiar ,
mb3
a
b
ax, b/at pentru,Ct
mb2
ax
2
3
22
3
2
2
.mb6
at
mb2
atx,deci
2
32
2. O barcă de masă m începesă se deplaseze în linie dreaptă(fig.13.4) pe suprafaţa unui lac cu
vitezaOv
, învingând rezistenţa apei.La un moment dat, motorul bărcii seopreşte. Cunoscând forţa de
rezistenţă a apei de forma vk R ,
unde v
este viteza bărcii iar k = const > 0, m = 48kg şi Ov =10 m/s, să sedetermine: a) coeficientul k al rezistenţei apei, dacă după parcurgerea a50 metri, viteza bărcii devine 5 m/s şi de asemenea găsiţi timpul în care
barca a parcurs această distanţă; b) distanţa maximă pe care o parcurge barca şi timpul necesar parcurgerii acestei distanţe.
Rezolvare. a) Ecuaţia fundamentală a dinamicii este:
.0xm
k xsauxk xm (1)
Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale:
.m
k r ;0r iilesoluţcu0r
m
k r 21
2
Soluţia ecuaţiei diferenţiale este:
.eCCx tm
k
21
Fig.13.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 396/487
39513. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
Din condiţiile iniţiale t = 0; x = 0 şi Ovx , rezultă constantele deintegrare:
,vk
mCşiv
k
mC O2O1 deci
tm
k
O e1vk
mx iar viteza va fi
.evvt
m
k
O
(2)
Punând condiţiile din enunţul problemei, rezultă:
,e105şie110k
48
50
tm
k t
m
k
(3)
prin eliminarea luit
m
k
e rezultă k = 4,8 N. s/m.Din condiţia a doua a relaţiei (3), prin logaritmare rezultă timpul:
.2ln102lnk
mtdeci
2
1lnt
m
k
(4)
b) Legea orară (2) în acest caz are expresia:
.m100e1100limxundedee1100x t1,0
tmax
t1,0
Distanţa maximă parcursă de barcă după oprirea motorului este de 100metri într-un timp (teoretic) infinit.
3. Un punct material sedeplasează sub acţiunea unei forţecentrale de atracţie egală cu
,e/m10F 3
unde m este
masa punctului şi r raza polară (fig.13.5). Punctul pleacă de pe axa
polară la distanţa O=1 m cu o
viteză iniţială Ov =2 m/s, înclinată
faţă de orizontală cu unghiul
.45
Aplicând ecuaţia lui Binet să se găsească ecuaţia traiectoriei = (q), ştiind că mişcarea se realizează cu viteză areolară constantă.
Fig. 13.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 397/487
396 MECANICĂ
Rezolvare. Înlocuind expresia forţei de atracţie F în ecuaţia lui Binet
(13.45) rezultă:
,C
1011
d
d22
2
(1)
în care constanta ariilor C se determină cu relaţia (13.39):
.245sin21sinvC OO (2)
Înlocuind valoarea constantei 2C în (1) rezultă ecuaţia
diferenţială a mişcării punctului.
.041
d
d2
2
(3)
Ecuaţia caracteristică 04r 2 are soluţiile .2r ;2r 21
Soluţia ecuaţiei diferenţiale este: .eCeC1 2
22
1
Ecuaţia traiectoriei este: ,eCeC
12
22
1
(4)
unde 21 CşiC sunt constante de integrare ce se determină din
condiţiile iniţiale: .2v,2v,1,0,0t OOO
Punând condiţiile iniţiale în relaţia (4) rezultă:
,1CCdeci,CC
11 21
21
(5)
şi
,
eCeC
eC2eC2v
222
21
22
21
(6)
unde ,sinvC2
OO2
comform relaţiei (13.40).
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 398/487
39713. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
Punând condiţiile: q = 0, r = 1, 1vO în relaţia (6) rezultă:
.2
1CCdeci,2CC
C2C22v 212
21
21O
(7)
Din (5) şi (7) se obţin constantele .4/1Cşi4/3C 21 În final ecuaţia traiectoriei punctului în coordonate polare este:
.ee3
422
4. Cu ce viteză Ov
trebuie să lansăm un punct material de masă m pe cercul vert ical de rază R, astfel încât parabola descrisă dupădesprinderea punctului de cerc, să treacă prin centrul O al cercului. Seneglijează frecarea dintre punctul material şicerc, precum şi rezistenţa aerului (fig. 13.6).
Rezolvare. Asupra punctului acţionează
două forţe: G
greutatea proprie şi N
reacţiunea normală.Condiţia de desprindereîn punctul B, este ca reacţiunea normală N
să se anuleze.Unghiul corespunzător punctului de
desprindere este dat de relaţia (13.66):
.gR 2
v1
3
2cos
2O
N
(1)
Din (1) rezultă:
.cosgR 3vgR 2 N2O (2)
Viteza în punctul B este dată de relaţia (13.63):
.cosgR 2gR 2vv N2O
2B (3)
Înlocuind relaţia (2) în (3) rezultă:
.cosgR cosgR 2cosgR 3v N N N
2
B
(4)
Fig. 13.6
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 399/487
398 MECANICĂ
După desprinderea de cerc, punctul material descrie o parabolă.Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei în sistemul Oxy sunt:
,CtC2
gty;CtCx 43
2
21 (5)
unde constantele de integrare 4321 CşiC,C,C se determină din
condiţiile iniţiale:
;cosR yy;sinR xx;0tla NB NB (6)
.sinvy;cosvx NB NB
Înlocuind condiţiile (6) în (5) rezultă ecuaţiile parametrice aletraiectoriei:
.cosR sintv2
gty;costvsinR x N NB
2
NB N (7)
Punând condiţia ca x = 0, y = 0 şi eliminând timpul în (6) rezultă:
.cos2
singR v
N
N2
2B
(8)
Înlocuind (4) în (8) rezultă .3
3cosdeci
3
1cos N N
2 (9)
Înlocuind valoarea lui Ncos în (2) rezultă viteza iniţială:
.32gR v2O
5. Să se studieze mişcarea relativă a unui manşon de masă m, de-alungul unei tije rectilinii care se roteşte uniform într-un plan orizontal, cuviteza unghiulară wo (fig.13.7).
Rezolvare. Asupra manşonului acţionează greutatea gmG
reacţiunea normală N
, forţele complementare de transport itF
şi respectiv
Coriolis icF
. Ecuaţia vectorială ce descrie mişcarea manşonului M de-a
lungul barei OA, conform (13.72)este:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 400/487
39913. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
.FF Ngmam it
icr
(1)
Expresiile forţelor complementare sunt:
; jxm2vm2F Or Oic
.imxF 2O
it
Proiectând ecuaţia (1) pe axa mobilă Ox,
obţinem:
.0xxsaumxxm 2O
2O (2)
Integrând ecuaţia de mişcare (2) rezultă
soluţia:.eCeCx t
2t
1OO (3)
Constantele de integrare se determinădin condiţiile iniţiale:
;CCx:rezultã0x;xx;0tla 21OO
de unde .
2
xCC O
21 Legea de
mişcare va fi: .tchxx OO Reacţiunea tijei are componentele pe axele Oy şi Oz, egale cu:
.mg N
;tshxm2xm2F N
z
OO2O
icy
6.
Un vas conic având unghiul lavârf 2a se roteşte în jurul axei sale cuviteza unghiulară w = const. (fig.13.8).În interiorul vasului se află în repausrelativ o bilă de masă m. Să se determine
poziţia de repaus relativ (prin înălţimeah) şi reacţiunea normală N din partea
peretelui.
Rezolvare. Asupra punctului
Fig.13.7
Fig.13.8
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 401/487
400 MECANICĂ
acţionează forţele .Fşi N,G it
Ecuaţia de repaus relativ este:
.0F Ngm it
(1)
care proiectată pe sistemul de axe mobil Oxy conduce la:
)3(.0costgmhsinmg N
)2(;0cosmgsintgmh2
2
Din ecuaţia (2) rezultă:
,tggh 22
iar din ecuaţia (3):
.sin
mg
sin
cosmgsinmg N
2
13.5. PROBLEME PROPUSE
1. Punctul material de masă m începe să se mişte din starea derepaus sub acţiunea forţei F(t) de direcţie constantă. Mărimea acestei
forţe F(t) = a – bt, unde 0consta şi .0const b Să se determine
timpul şi distanţa parcursă de punct până la schimbarea direcţiei mişcării.
R:
2
11 b
a
m3
a2
ts; b
a2
t
2. Corpul de masă m, fixat la extremitatea unui arc nedeformat, seaflă în repaus pe un plan orizontal neted. Axa arcului este orizontală. Laun moment dat (t = 0), corpului i se imprimă viteza v0, de-a lungul axeiarcului. Forţa de elasticitate a arcului, în funcţie de deformaţiile sale l,
este de forma: ,k F 3 unde .0constk Să se determine în cazul
cărei deformaţii a arcului viteza corpului se va diminua de n ori în
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 402/487
40113. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
comparaţie cu viteza sa iniţială.
R:
2
220
nk
1nvm2
3. Un corp de masă m, fixat la extremitatea unui arc nedeformat (fig.13.9), este pus în mişcare rectilinie pe un plan orizontal neted cu vitezainiţială v
0, îndreptată de-a lungul axei arcului. Forţa din arc este proporţională
cu deformaţia arcului , adică ,k F unde .0constk În paralel cu
arcul este fixat un amortizor, iar
forţa de rezistenţă a amortizoruluieste 2vcR unde v este vite-
za pistonului, iar 0constc .Să se găsească viteza iniţială amasei m, pentru ca ea să parcurgăspaţiul l .
R:
m
c2
20 e1m
c21c2
mk v
l l
4. Glisorul 1 şi corpul 2 de masă m, ataşat de el cu ajutorul unui arcelicoidal având constanta k, se găsesc în stare de repaus pe un plan înclinatneted, care formează un unghi cu orizontala (fig. 13.10). La un momentdat (t = 0), glisorul începe să se mişte de-a lungul planului cu viteza constantău, comprimând arcul şi punând în mişcare corpul 2 de masă m. În timpul
mişcării corpul întâmpină o forţă derezistenţă a mediului, proporţională
cu viteza lui, de forma ,vcR
unde 0constc considerândoriginea pentru coordonata x,
poziţia de repaus a corpului , să sedetermine ecuaţia de mişcare pe
planul înclinat. Se va nota:
Fig. 13.9
Fig.
13.10
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 403/487
402 MECANICĂ
2 pm/k iar c/m = 2p.
R: t pet p1 pu2 pu2tutx
5. Un cilindru circular drept demasă m se cufundă, rămânând în
poziţie verticală, într-un lichid a căruidensitate este (vezi figura 13.11).La momentul iniţial cilindrul aflat în
repaus, iar baza sa inferioară atingeasuprafaţa lichidului. Înălţimeacilindrului este h, iar aria suprafeţeisecţiunii transversale este A.
Neglijând forţele de rezistenţă, iar masa considerând că este
,hAm să se determine viteza
cilindrului în acel moment când baza sa superioară coincide cu suprafaţalichidului.
R: hgv
6. O roată de rază R, situată la înălţimeaH deasupra solului (fig. 13.12), se roteşte cuviteza unghiulară . De roată se desprinde o
picătură de apă care atinge solul în punctul B,sub centrul roţii. Să se determine timpul decădere al picăturii şi să se stabilească punctulA din care s-a desprins picătura.
R :
g
gHg2R R hgR 2t
222422
ttg
Fig. 13.11
Fig. 13.12
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 404/487
40313. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
7 . O cutie de masă m = 50kg coboară pe un plan înclinat ( = 60o)
cu frecare 3/1 plecând din repaus (fig. 13.13). După ce parcurge
distanţa 35l întâlneşte un arc de constantă k. Să se determine: a)
viteza cu care cutia întâlneşte arcul; b) legea mişcării cutiei după ceîntâlneşte arcul, presupunând că momentul întâlnirii corespunde la t = 0;c)constanta k astfel încât deformaţia maximă a arcului să fie x
m = 0,5m.
R: a) s/m10cossing2v l
b) tsinvtcos1ax B21
m
k ;cossingaunde 1
c)
m/ N2000
cossinxg2vx
mk m
2B2
m
8. De la ce înâlţime h dăm drumul unui punct material de masă m,
pentru ca el să parcurgă traseul ABC şi să treacă de C. Pe zona BC seînscrie pe un cerc de rază R (fig. 13.14).
60o
k
l
Fig. 13.13 Fig. 13.14
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 405/487
404 MECANICĂ
R: R 2
5h
9. Un punct material de masă m este lansat pe verticală din poziţia Acu viteza iniţială v
0 şi se înscrie pe traiectoria ABC (fig. 13.15). Se cere:
a) viteza cu care trebuie lansat punctul pentru reacţiunea în C să seanuleze; b) neglijând frecările şi rezistenţa aerului, la ce distanţă d vacădea?
R: s/m10v0 m8d
10. Un punct material M, de greutate G = 10N, este suspendat de un fir
OM = 30cm fixat în O (13.16). Punctul material se roteşte în jurul axeiverticale pe o traiectorie circulară, iar vârful OM descrie un con cu unghiul la
vârf 2 = 120o. Să se determine viteza v
a punctului material şi tensiuneadin fir.
R: v = 210 cm/s T = 20 N
11. Un punct material de masă m se află pe un cerc vertical de rază R
= 1m. Cu ce viteză vA trebuie lansat, pentru ca el să se desprindă de pe un
Fig. 13.15 Fig. 13.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 406/487
40513. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
cerc sub un unghi = 30o (fig.3.17). Dacă se lansează în vid, la
ce distanţă d faţă de bazasemicercului va cădea?
R: s/m46,2vA
m9,1d
12. Un punct material se depla-sează sub acţiunea unei forţe centralede atracţie egală cu F = -10 m/ 3,
plecând de pe axa polară la distanţa
0 = 1 m, cu viteza iniţială v
0 = 2 m/s,
înclinată faţă de orizontală cu unghiul 0
= 45o. Aplicând ecuaţia lui Binet,să se găsească ecuaţia traiectorieiştiind că viteza areolară e constantă(fig. 13.18).
Răspuns:
22 ee34
13. Aplicând teoremaimpulsului, să se afle traiectoriaşi distanţa la care cade un punctmaterial de greutate G, aruncatdin vârful unei clădiri înalte de h= 20m, cu o viteză iniţială v0 =20 m/s, orizontală, fără a lua înconsiderare rezistenţa aeruluifig. 13.19).
R: a) 20x80
1y 2
b) xB = 40m
Fig. 13.17
Fig. 13.18
Fig. 13.19
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 407/487
406 MECANICĂ
14. Cu ce viteză v0 arun-
căm un punct material de masă
m, de la baza unui plan înclinatde unghi , astfel încât, părăsind planul, să cadă la distanţa d,fără a lua în considerare freca-rea şi rezistenţa aerului (fig.13.20). Aplicaţie numerică: l =10 m, = 30o, d = 10 m.
R: v0 = 13,15 m/s
15 . Un punct material de masă m estelansat cu o viteză iniţială v
0 = 7 m/s
orizontală, pe cercul vertical de rază R =2m (13.21). Să se determine:a) viteza în punctul B; b) cu ce viteză v0
trebuie lansat pentru a trece de punctul C.R: a) vB = 3 m/s
b) s/m10v0
16 . Un tren are împreună cu locomo-tiva m = 30.000 kg. În mişcare cu vitezăfoarte mică îi este necesară oforţă de tracţiune de 600 N
pentru învingerea frecării.Locomotiva menţine o viteză
de 72 km/h, cu puterea de 60kW. Presupunând că la oriceviteză frecarea este aceeaşi,iar rezistenţa aerului kv2, să sedetermine cu cât scade vitezadupă 1 km dacă se „taie” aburii(fig. 13.22).
R: v = 30 km/h
Fig. 13.20
Fig.
13.21
0v
A(m)
F(t)
y
x Fig. 13.22
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 408/487
40713. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
17 . Un punct de masă m se mişcă pe un plan orizontal neted Oxy,sub acţiunea forţei F(t) direcţionată paralel cu axa Ox. Modulul forţei
variază conform legii F = bt2
, unde .0const b Viteza iniţială 0v faceun unghi faţă de direcţia de acţiune a forţei F. Să se determine ecuaţiatraiectoriei punctului.
R:
ctgy
sinv
y
m12
bx
4
0
18. Punctul material demasă m se mişcă într-un planvertical pe un inel de rază R (fig.13.23). La momentul iniţial,
punctul s-a aflat în A pediametrul orizontal al inelului şii s-a imprimat viteza iniţială v0
.Coeficientul de frecare dealunecare între punct şi inel este. Să se determine valoarea cea mai mică a vitezei iniţiale v
0, pentru ca
punctul să atingă extremitatea opusă a diametrului orizontal B.
R:
2
2
0 41
e1R g6v
19. Un corp de masă m
cade pe Pământ, vertical într-o atmosferă liniştită, cu vitezaconstantă v0 = mg/k, unde
.0constk (fig. 13.24)
La înălţimea h deasupraPământului întră într-uncurent de aer, care sedeplasează orizontal cu viteza
.u Forţa existentă care
B AR
M 0v
Fig. 13.23
Fig.13.24
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 409/487
408 MECANICĂ
acţionează asupra corpului în fluxul de aer este ,vk R r
unde r v
este
viteza corpului în raport cu fluxul de aer. Determinaţi mărimea abaterii orizontale
x(h) a corpului de la direcţia iniţială verticală, în momentul căderii pe Pământ.
R:
2g
h
2e1
g
huhx
k
munde
20. Un punct material M de masă m se mişcă într-un plan vertical,
fiind atras de polul O cu forţar mk F
şi întâmpinând rezistenţa
aerului ,vmcR
unde
.0constc,0constk În momentul iniţial, punctul seafla în A(0, h) şi este lansatcu viteza orizontală v
0 (fig.
13.25). Se cere: a) să se
scrie ecuaţiile diferenţiale alemişcării; b) să se integrezeecuaţiile diferenţiale şi să sestabilească ecuaţiile
parametrice ale traiectoriei,
dacă .k 2c
R: a) 0xk xcx
gyk ycy
b)t
2
c
0 etvx
k
ge10t
2
c
k
ghy
t2
c
21. Un conveior cu bandă transportoare AB de lungime l = 7 m,este fixat în A printr-o articulaţie şi ridicat sau coborât în B, după dorinţă.
Nisipul se descarcă în B de pe bandă şi apoi cade liber până la nivelulsolului în C. Cunoscând că banda se deplasează cu o viteză constantă v
0= 3 m/s, să se determine: a) distanţa d maximă posibilă dintre A şi C; b)
Fig. 13.25
0v
y
A
x
G
F
R
r
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 410/487
40913. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
unghiul corespunzător .
R: a) m87,8cossinv
g2
112sing2
v
d 20
20
max
l
l
b) 710221sinv
g22cos 03
20
l
22. Nisipul se descarcă în A de pe un conveior orizontal cu bandă,într-o pâlnie ca în schiţă (fig. 13.27). Pentru ce domeniu de viteză a
benzii nisipul va intra în pâlnia BC? Viteza benzii este v(m/s).
Fig. 13.26
Fig. 13.27
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 411/487
410 MECANICĂ
R:s
m35,7vm45,2
23. Un proiectil este tras de la marginea unei faleze de 150 m cu oviteză iniţială de 20 m/s, la un unghi de 30o faţă de orizontală (fig. 13.28).
Neglijând rezistenţa aerului, să se determine: a) distanţa pe orizontală dela tun până în locul unde proiectilul va lovi apa; b) înălţimea maximădeasupra apei care va fi atinsă de proiectil.
R: a) xmax
= 3.774,3 m b) ymax = 658,7 m
24. Un corp cade într-un puţ de adâncime h (fig.13.29). Forţa deatracţie a Pământului este F = mgx/R, unde R este raza Pământului, iar xdistanţa de la corp la centrul Pământului. Să se determine: a) legea demişcare x = x(t); b) viteza şi timpul în care corpul cade fără viteză iniţială.
R: a) tR
gcosR x b)
R 2
h1hg2v
Fig. 13.28
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 412/487
41113. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
R
hR arccos
g
R t
25 . Să se determine viteza iniţialăv0 şi unghiul sub care trebuie aruncatun punct material de masă m, pentru acădea perpendicular pe planul AB înB(4,3) (fig. 13.30).
R: v0 = 9,20 m/stg = 2,833; = 70o30’
26. Un punct A de masă m, acţionat dedouă forţe, se mişcă uniform cu viteza v0 pe parabola y2 = 2px. Forţa
1F
este paralelă cu axa parabolei, iar 2F
este dirijată spre focarul C al parabolei (fig. 13.31). Să se determine mărimile acestor forţe (ştiind că
raza de curbură este
y
y1 2
32
).
Fig. 13.31
Fig. 13.29
Fig. 13.30
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 413/487
412 MECANICĂ
R:
2
px4
vmFF
20
21
27 . Ştiind că un punct de masă m cade în aer pe verticală după
legea ,1ek
gt
k
gtx tk
2
unde t este timpul, g acceleraţia
gravitaţională, iar 0constk , să se determine expresia forţei de
rezistenţă a aerului R. Axa x este îndreptată pe verticală în jos.R: vk mR
28. Un punct material de greutate Q execută o mişcare rectilinie
după legea ,t2cos4
r tcosr tx
l unde t este timpul, este
pulsaţia, iar r şi l constante. Să se determine cea mai mare valoare aforţei F, forţă sub acţiunea căreia punctul execută mişcarea.
R:
l
r 1r
g
QF 2
29. Un punct material liber, de masă m, descrie elipsa 1 b
y
a
x2
2
2
2
.
Acceleraţia punctului este tot timpul paralelă cu axa Oy. La timpul t = 0,coordonatele punctului sunt x = 0, y =
b, iar viteza v0. Să se determine forţa
care acţionează asupra punctuluimaterial (fig. 13.32).
R: j
ya
bvF
33
220
Fig. 13.32
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 414/487
41313. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
30. Un punct de masă m = 20 g descrie sub acţiunea unei forţe
centrale, care-l atrage după legea lui Newton, o elipsă de semiaxe 0,1 mşi 0,8 m în 50 de secunde. Să se determine forţa de atracţie maximă şiminimă. (1 N = 105 dyn)
R: Fmax = 19,7 dyn; Fmin = 1,2 dyn
31. Viteza iniţială a unui proiectil este v0 = 490 m/s. Sub ce unghifaţă de orizontală trebuie să lansăm proiectilul din origine, pentru ca sănimerească punctul de coordonate x = 700 m şi y = 680 m?
R: = 45o
32. Să se determine sub ce unghi faţă de axa orizontală trebuielansat din origine un punct de masă m, astfel încât el să atingă dreapta(d) într-un timp minim (fig.13.33).
R: 090sau1tgtg Viteza iniţială v
0 trebuie să fie perpendiculară pe dreapta (d).
33. Un mobil este lansat pe un plan înclinat de unghi = 30o (fig.13.34) şi ajunge în M cu viteza v
0 = 10 m/s, apoi sare în P pe un plan înclinat,
tot de unghi = 30o, cu un coeficient de restituire k = 1. Să se determinedistanţele MP şi PQ.
R: MP = 20 m; PQ = 6,4 m.
Fig. 13.33 Fig. 13.34
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 415/487
414 MECANICĂ
34. Un mobil lansat pe un plan înclinat de unghi = 30o se opreşte
după 5 m. Frecarea are coeficientul 3
3
a) Să se determine cu ceviteză v
0 a fost lansat; b) Cu ce viteză v
0 mobilul loveşte un perete vertical.
Se cere coeficientul de restituire la ciocnire pentru ca mobilul să cadă la jumătatea distanţei dintre perete şi punctul de lansare în mişcare parabolică.
R: a) v0 = 10 m/s b) k = 0,5
35 . Un pendul este lansat din
poziţia I (cu = 60o faţă deverticală), cu viteza .gvA l
Firul are lungimea l , iar de el estesuspendată greutatea G (fig.13.35). Când tensiunea din fir este
3G2
3T (poziţia II), firul se
rupe. În acel moment greutateaeste la 2l deasupra solului. La cedistanţă x atinge solul?
R:
222B
2
2
tg2vx
l
36 . Să se determine vitezainiţială v0 a unui mobil care, lansatsub unghiul (fig. 13.36)dinextremitatea unei trepte deînălţime 1/2 şi lungime l , sare dintreaptă (coeficientul de restituire laciocnire este k = 0,5).
R: 3
g2v0
l
Fig. 13.35
Fig. 13.36
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 416/487
41513. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
37 . Pe un disc de greutate neglijabilă şi rază R este trecut un fir de caresunt prinse greutăţile 2G şi G. OB este orizontală când corpul G este lansat
cu viteza v0. În momentul lansării, din A cade o picătură de apă. Să sedetermine viteza picăturii pentru ca aceasta să cadă (în mişcare) chiar pe G.Să se determine, de asemenea, proiecţiile vitezei picăturii şi greutăţii G înmomentul ciocnirii.
R: R g26
1v;R g2
3
1v G0
2
R g
3v;R g23
1
vv yx0
38. Dintr-un punct O se lansează un mobil de masă m, cu viteza v0= 50 m/s, sub un unghi de 30o. După timpul t = 1 s, el loveşte plasticdeasupra unui stâlp un alt corp de masă m. Unde ar fi căzut primuluimobil dacă mişcarea sa era neîntreruptă şi unde cad acum cele douăcorpuri?
Răspuns: s = 212,5 m; s’ = 104,5 m
39. De la înălţimea h deasupra punctului A al unei emisfere fixe (fig.
13.39) se lasă să cadă un punct material care loveşte perfect elasticemisfera. Cât trebuie să fie h, pentru ca după ciocnire punctul material
Fig. 13.37 Fig. 13.38
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 417/487
416 MECANICĂ
să cadă în B. Dar dacă ciocnireaeste plastică?
R: N,5129;R 1,0h 0 N fiind locul în care punctul materialse desprinde de emisferă.
40. Fie o emisferă fixă de razăR (fig. 13.40). În B cade un mobilde la înălţimea h = AB şi se ciocneşte cu emisfera. Coeficientul derestituire este k = 0,5. a) Să se determine h pentru ca după ciocnire
mobilul să sară în C (unghiul BOC = 60o); b) Dacă unghiul BOC = 45o şiciocnirea ar fi perfect elastică, se cere h pentru ca mobilul să sară în O’(pe fundul vasului emisferic).
R: a) h = 3,14 R4,2
R h) b
41. Fie cercul de sârmă, fix, vertical, de rază R (fig. 13.41). Să sedetermine viteza orizontală vA cu care trebuie lansat un inel de greutateG pe cerc pentru ca punctele B şi C, definite prin unghiuri de 60o cuverticala, inelul să exercite o forţă de reacţiune N = 5 G pe cerc. Caresunt vitezele şi acceleraţiile în aceste puncte?
R: R g2
9
v;R g2
11
v CB 302
g
a;g57,5a CB
Fig. 13.39
Fig. 13.40 Fig. 13.41
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 418/487
41714. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
14
NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
14.1. Definiţii. Clasificarea vibraţiilor mecanice .............. 41914.2. Vibraţiile libere neamortizate .................................. 420
14.2.1. Constantele elastice ale câtorva sistememecanice .......................................................... 42014.2.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale ........................ 422
14.3. Vibraţii libere amortizate ......................................... 42414.4. Vibraţii forţate neamortizate .................................... 42714.5. Vibraţii forţate amortizate ......................................... 42914.6. Probleme rezolvate ................................................... 432
14.7. Probleme propuse ..................................................... 435
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 419/487
418 MECANICĂ
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 420/487
41914. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
14NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
14.1. DEFINIŢII. CLASIFICAREA VIBRAŢIILOR MECANICE
Prin vibraţii se înţeleg oscilaţiile sistemelor elastice, adică mişcărileoscilatorii ale unor mase în jurul unei poziţii de echilibru, asupra lor acţionând forţe de readucere elastice.
Sistemul mecanic elastic este un ansamblu format din unul saumai multe mase (corpuri) cu legăturile lor interioare şi exterioare în careapar vibraţii mecanice. Un sistem este elastic dacă în componenţa saintră cel puţin un element care se deformează elastic.
Teoria vibraţiilor mecanice se ocupă cu studiul caracteristicilor
cinematice şi dinamice ale sistemelor elastice în scopul combaterii şi prevenirii efectelor dăunătoare ale vibraţiilor sau a utilizării lor în diferiteaplicaţii tehnice. Vibraţiile mecanice pot avea şi un rol pozitiv, de exemplu,în cazul ciocanelor vibratoare pneumatice sau mecanice, a transportoarelor vibratoare etc. Inginerul trebuie să cunoască bine legile care guverneazăfenomenele vibratorii, pentru a aplica după caz măsurile care se impun.
Vibraţiile mecanice se pot clasifica după o serie de criterii:a) După numărul gradelor de libertate sau parametrii independenţi
care definesc la un moment oarecare, poziţia tuturor elementelor sistemului
vibrant, sunt: vibraţii în sisteme cu unul, cu două sau mai multe grade delibertate şi cu un număr infinit de grade de libertate. Un corp rigid legatelastic, a cărui mişcare vibratorie constă dintr-o translaţie pe o direcţiecunoscută sau o rotaţie în jurul unei axe date, are un singur grad delibertate.
b) După tipul solicitării elementului elastic, sunt: vibraţii deîntindere-compresiune, de răsucire sau torsiune şi încovoiere.
c) După tipul ecuaţiei diferenţiale a mişcării din care decurg oserie de proprietăţi ale mişcării - vibraţiile sunt: liniare şi neliniare.
d) După natura acţiunii forţei exterioare, vibraţiile sunt: libere
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 421/487
420 MECANICĂ
sau naturale-sunt datorate unei deplasări sau impuls iniţial; forţate sauîntreţinute-sunt vibraţiile produse de o forţă exterioară periodică;
autoexcitate-sunt produse de o cauză interioară sistemului; parametrice-datorită variaţiei unui parametru al sistemului.e) După legea de variaţie a amplitudinii în timp, vibraţiile sunt:
neamortizate când amplitudinea rămâne constantă în timp şi amortizatecând amplitudinea scade în timp.
De asemenea, vibraţiile pot fi deterministe sau aleatorii. Dacăeste deterministă, ea are o formă bine definită, astfel încât valoareaelongaţiei la un anumit moment se deduce complet (cunoscând funcţia
care o descrie). Dacă vibraţia este aleatorie (întâmplătoare) valoareaelongaţiei la un moment dat nu poate fi dedusă decât pe bază statistică,indicându-se probabilitatea de apariţie a unor amplitudini şi frecvenţe.
În acest capitol se vor studia vibraţiile liniare ale sistemelor mecanicecu un singur grad de libertate, considerând pe rând că vibraţiile suntlibere neamortizate şi amortizate, forţate neamortizate şi amortizate.
Vibraţia unui sistem se studiază adesea pe baza unui model alcătuitdintr-o singură masă şi un resort (element elastic). Poziţia masei fiind
definită de o singură coordonată independentă x sau , se spune că sistemulare un singur grad de libertate.
14.2. VIBRAŢIILE LIBERE NEAMORTIZATE
14.2.1. Constantele elastice ale câtorva sisteme mecanice
Constanta elastică a unui sistem elastic se calculează pe bazaformulelor de determinare a deformaţiilor statice din Rezistanţamaterialelor. Astfel, pentru un sistem ce execută vibraţii de întindere-compresiune (fig.14.1,a), la care elementul elastic este o bară omogenăde lungime l şi aria secţiunii transversale A, constituită dintr-un materialcu modulul de elasticitate E, săgeata statică sub secţiunea unei forţeaxiale F este:
.EA
lF
x st (14.1)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 422/487
42114. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
Conform relaţiilor (14.1), constanta elastică este:,
l
EA
x
Fk
st
(14.2)
unde produsul EA reprezintă rigiditatea la întindere-compresiune. Pentru un sistem la care elementul elastic este supus la încovoiere,
constanta elastică se determină în acelaşi fel. De exemplu, pentru barade lungime l, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt (fig.14.1,b),deformaţia statică sub acţiunea unei forţe verticale F este:
.E3
Flx
z
3
st (14.3)
Constanta elastică conform relaţiei (14.3) rezultă:
,l
E3
x
Fk
3z
st
(14.4)
în care E reprezintă modulul de elasticitate longitudinal; z momentul deinerţie geometric al secţiunii barei; produsul zE reprezintă rigiditatea laîncovoiere a barei.
Discul de masă m, din figura 14.1,c execută vibraţii de torsiune deoareceelementul elastic, bara de lungime l, este supusă la răsucire. Bara are modululde elasticitate transversal G şi momentul de inerţie geometric polar al secţiunii
p . Deformaţia de torsiune sub acţiunea unui moment M este:
.
G
lM
p
st
(14.5)
Constanta elastică a sistemului conform (14.5) rezultă:
Fig. 14.1
l
x -kxm
EAl
Eiz m
-kx x l
GI p
-k
ma. b. c.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 423/487
422 MECANICĂ
,l
GMk p
st
(14.6)
unde produsul pG reprezintă rigiditatea la torsiune a barei.
14.2.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale
Dacă asupra sistemului vibrant nu acţionează forţe perturbatoare,iar forţele de amortizare sunt neglijabile, vibraţiile sistemului sunt libere
neamortizate. Ele se mai numesc vibraţii naturale sau proprii. Astfel,sistemele elastice prezentate în figura 14.1, execută vibraţii libere dacăsunt scoase din poziţia de echilibru şi lăsate să oscileze.
Cel mai simplu model mecanic, alunui sistem elastic ce execută vibraţiilibere neamortizate este prezentat în figura14.2; un punct material de masă m fixatla extremitatea unui arc elicoidal de
constantă K, masă neglijabilă şicaracteristică elastică liniară. Punctul se poate deplasa fără frecare pe osuprafaţă orizontală.
Asupra punctului acţionează numai forţa elastică, care caută să-lreaducă în poziţia de echilibru static.
Ecuaţia diferenţială a mişcării se obţine proiectând ecuaţiafundamentală a dinamicii pe direcţia mişcării, care se alege ca axă Ox:
.0xm
k xsaukxxm (14.7)
Notând cu ,m
K p2 pulsaţia proprie a sistemului, se obţine:
,0x px 2 (14.8)ecuaţia diferenţială a mişcării vibratorii cu soluţia generală de forma:
x = A cos pt + B sin pt, (14.9)unde constantele A şi B se determină din condiţiile iniţiale ale mişcării: la
t = 0, .vx,xx OO
Fig. 14.2
K x-kx
(m)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 424/487
42314. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
Constantele devin:
. p/vB;xA OO (14.10)
Soluţia ecuaţiei diferenţiale (14.9) se va scrie:
, ptsin p
v ptcosxx O
O (14.11)
care se mai poate pune şi sub forma: , ptsinax (14.12)
unde noile constante de integrare, amplitudinea a şi faza iniţială au, încazul general, expresiile:
.v/ pxarctgşi p/vxa OO
2
O2O (14.13)
Soluţia ecuaţiei diferenţiale este o sinusoidă (14.12), deci sistemul
execută o mişcare oscilatorie armonică, cu pulsaţia ,m
k p perioada
k
m2T şi frecvenţa .
T
1f
Dacă se ţine seama de faptul că ,x/mgK st expresia pulsaţiei proprii a sistemului se mai poate scrie astfel:
.x
g
m
k p
st
(14.14)
Se observă că pulsaţia proprie a vibraţiei, perioada şi frecvenţa depindnumai de mărimile intrinseci ale sistemului vibrant, adică de constantaelastică şi de masă, nedepinzând de amplitudinea vibraţiei şi deci de
condiţiile iniţiale ale mişcării.Pentru sistemul ce execută vibraţii de torsiune din figura14.1,c ecuaţia
diferenţială se scrie:
,0 p2 (14.15)
unde pulsaţia proprie este ,J
k p (14.16)
în care J reprezintă momentul de inerţie mecanic faţă de axa de rotaţie.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 425/487
424 MECANICĂ
14.3. VIBRAŢII LIBERE AMORTIZATE
În natură nu există vibraţii libere care să se menţină la infinit cuaceeaşi amplitudine. Din cauza frecărilor în sistemul oscilant -frecăricare fac ca energia mecanică a sistemului vibrant să fie treptat disipatăîn căldură sau alte forme de energie- amplitudinea mişcării scade continuu.Se spune că vibraţiile libere se amortizează. O astfel de mişcare nu maieste periodică, dar este considerată mişcare vibratorie.
Frecările care apar în sistem pot fi de natură vâscoasă (frecări în
fluide-amortizoare cu lichid sau aer-), fie de natură coulombiană (frecareuscată). În continuare se vor considera frecările din sistem de naturăvâscoasă, la care forţa de rezistenţă este proporţională cu viteza maseim. Acest lucru este echivalent cu introducerea în sistemul vibrant a unuiamortizor, format dintr-un cilindru umplut cu ulei şi un piston cu orificii,legat în paralel cu elementul elastic.
Modelul mecanic al unui asemenea sistem ce execută vibraţii libereamortizate, este prezentat în figura 14.3. Amortizorul având constanta de
amortizare c este legat în paralel cu arcul având constanta elastică K.Masa m se deplasează în lungul axei x, având acceleraţia x şi viteza.xv Între cilindrul amortizorului şi piston
viteza relativă este x ; ei îi corespundeforţa de frecare vâscoasă xc , de sensopus vitezei, deci de acelaşi sens cu forţaelastică.
Ecuaţia diferenţială a mişcării masei
m este:.0kxxcxm (14.17)
Împărţind cu m şi notând
, pm
k ,n2
m
c 2 (14.18)
ecuaţia devine:
.0x pxn2x 2 (14.19)
Ecuaţia caracteristică este: ,0 pnr 2r 22 cu rădăcinile:
Fig. 14.3
c
k
(m)x
cx-kx
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 426/487
42514. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
. pnnr 222,1 (14.20)
Felul mişcării depinde de natura acestor rădăcini.a) Amortizare subcritică. Cazul amortizării slabe este cazul cel mai
des întâlnit, când rădăcinile (14.20) sunt complexe; deci:
0 pn 22 Dacă se înlocuieşte , p pn 2
122 soluţiile (14.20) sunt:
,ipnr 12,1 (14.21)iar soluţia ecuaţiei diferenţiale va fi:
tip
2tip
1nttipn
2tipn
1 1111 eCeCeeCeCx
(14.22)Utilizând relaţiile lui Euler:
,t psin2
ee;t pcos
2
ee1
tiptip
1
tiptip 1111
(14.23)
Soluţia generală (14.23) se mai poate scrie sub forma:
,t psinBt pcosAsinex 11nt (14.24)
sau sub forma: .t psinaex 1nt
(14.25)Constantele de integrare A şi B, sau a şi se determină din condiţiileiniţiale. Considerând cazul general de condiţii iniţiale, adică la t = 0, x =
Ox şi ,vx O atunci aceste constante au valorile:
, p/nxvB;xA 1OOO respectiv
.nxv/x parctg; pnxvxa OOO1
2
1OO2O
Mişcarea descrisă de ecuaţia (14.25) este o vibraţie modulată înamplitudine; este o vibraţie pseudoperiodică de pulsaţie 1 p , dar cu amplitudi-nea funcţie de timp. Reprezentarea grafică a mişcării descrise de ecuaţia(14.25) este dată în figura 14.4.
Mişcarea are pseudopulsaţia 1 p şi pseudoperioada 1T :
. p
2T
1
1
(14.26)
Decrementul logaritmic al amortizării reprezintă logaritmul natu-ral al raportului a două amplitudini succesive; el reprezintă un indice al
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 427/487
426 MECANICĂ
intensităţii amortizării:
.nTelnae
ae
lna
a
ln 1
nT
Ttn
nt
2
1 1
1
(14.27)
b) Amortizarea critică se obţine atunci când 0 pn 22 deci
rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt egale şi reale: .nr 2,1 Soluţiaecuaţiei diferenţiale este:
.tCCeteCeCx 21ntnt
2nt
1 (14.28)
Cu aceleaşi condiţii iniţiale, ea devine:
.xtnxvex OOOnt
(14.29)
Lipsa funcţiilor trigonometrice, indică absenţa caracterului oscilatoriusau pseudoperiodic. Deci, mişcarea are un caracter amortizat şi este
aperiodică. Reprezentarea grafică a mişcării este dată prin una din curbeledin figura 14.5.
Punând condiţia 22 pn prin notaţiile (14.18), rezultă coeficientulcritic de amortizare:
.mk 2cm
k
m4
ccr 2
2
(14.30)
În afara coeficienţilor c, n şi definiţi mai înainte, care caracterizează
un amortizor, se mai foloseşte în teoria vibraţiilor factorul de amortizare:
Fig. 14.4 Fig. 14.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 428/487
42714. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
.c
c
cr
(14.31)
c) Amortizarea supracritică, se obţine când ,0 pn 22 adică rădă-cinile ecuaţiei caracteristice (14.20) sunt reale, distincte şi ambele nega-tive.
Dacă:.r şir notam, pnr 221112,1
Soluţia ecuaţiei diferenţiale (14.19) este:
.ececx t2
t1
21 (14.32)Sub această formă a soluţiei generale, apare clar caracterul amortizat
al mişcării, curbele exponenţiale tind la zero. Şi în acest caz lipsa funcţiilor trigonometrice arată absenţa oricărui caracter pseudoperiodic sauoscilator. Mişcarea are un caracter aperiodic amortizat. Pentru ointensitate dată a amortizării, reprezentarea grafică a ecuaţiei (14.32)are una din formele din figura 14.5, funcţie de valoarea vitezei iniţiale.
14.4. VIBRAŢII FORŢATE NEAMORTIZATE
Un sistem mecanic elastic execută vibraţii forţate dacă asupra luiacţionează o forţă care întreţine mişcarea. Forţa care întreţine mişcarea
poate fi armonică, periodică sau aleatorie. În continuare se va studiacazul când asupra masei m acţionează o forţă armonică .tsinFtF O Modelul mecanic al unui sistem cu un grad de libertate, format din masam şi arcul de constantă K, ce execută vibraţii forţate sub acţiunea forţeiarmonice .tsinFO este reprezentat în figura 14.6.
Ecuaţia diferenţială a mişcării masei m este
,tsinFkxxm O
împărţind ecuaţia cu m şi notând
cu2 p =K/m, rezultă:
,tsinm
Fx px O2 (14.33)
unde p reprezintă pulsaţia proprie
Fig. 14.6
k (m) xF(t)
-kxF
0sint
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 429/487
428 MECANICĂ
a sistemului iar pulsaţia forţei perturbatoare F (t).Ecuaţia (14.33) este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi cu coeficienţi
constanţi, neomogenă. Soluţia acestei ecuaţii se compune din soluţiaecuaţiei omogene la care se adaugă o soluţie particulară de formatermenului liber:
.tsinX ptsinaxxx O pom (14.34)
Constanta OX , amplitudinea soluţiei particulare se determină dincondiţia ca acestă soluţie să verifice ecuaţia (14.34).
,tsinXx;tcosXx 2O pO p
şi înlocuind ,tsinmFtsin pXtsinX O2O2O
rezultă.Ax
p1
1
k
F
pm
F
X Ost2O
22
O
O
(14.35)
unde stx reprezintă deformaţia statică sub acţiunea forţei OF , iar OAfactorul de amplificare al vibraţiei forţate cu următoarea expresie:
.
p1
1
x
XA 2
st
OO
(14.36)
Cu aceste notaţii soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este:
.tsinAx ptsinax Ost (14.37)
Se observă că mişcarea masei m nu mai este armonică, ea rezultând
acum din compunerea a două mişcări armonice de pulsaţii diferite p şi .În realitate, datorită amortizării, componenta proprie dispare suficient
de repede pentru ca în regim staţionar (permanent) să nu ne mai interesezedecât componenta forţată a vibraţiei. În acest caz mişcarea va fi armonicăcu pulsaţia egală cu pulsaţia forţei perturbatoare de ecuaţie:
.tsin
p1
1
k
FtsinAxtx
2O
Ost
(14.38)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 430/487
42914. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
Mărimea OA , numită factor de amplificare, după cum se observădin relaţia (14.36) este egală cu raportul dintre amplitudinea vibraţiei forţate
OX şi deformaţia statică a sistemului ,xst şi depinde de pulsaţia forţei perturbatoare şi pulsaţia proprie a sistemului p.Valorile absolute ale factorului de amplificare OA sunt reprezentate în
figura 14.7, în funcţie de pulsaţia relativă / p.Se observă că pentru =p, OA tinde spre infinit; prin urmare şi
amplitudinea vibraţiei forţate tinde la infinit.Apare aşa numitul fenomen derezonanţă, extrem de periculos pentruorice sistem mecanic vibrant.
În tehnică, zona delimitată devalorile pulsaţiei relative =0,85...1,15;denumită zonă de rezonanţă sau zonăcritică, se caută să se evite. De aceeaîn construcţia de maşini şi instalaţiiindustriale se urmăreşte ca sistemelemecanice vibrante să se situeze în afaraacestei zone, fie în zona =0...0,85
numită zonă subcritică, caracterizată prin construcţii masive (pulsaţia proprie
are valori mari), în general supradimensionate, fie în zona 1,15denumită zonă supracritică, caracterizată prin construcţii mai uşoare. Înaceastă ultimă zonă pe măsură ce creşte, factorul de aplificare OAscade către zero, şi are loc fenomenul de autocentrare.
Trecerea prin zona de rezonanţă, fie într-un sens fie în altul, nu este periculoasă dacă are loc într-un timp suficient de mic.
14.5. VIBRAŢII FORŢATE AMORTIZATE
Modelul mecanic al unui sistem elastic ce execută vibraţii forţateamortizate este asemănător cu cel prezentat în figura 14.3, cu deosebireacă masei m, i se aplică o forţă perturbatoare F(t) armonică. Un asemeneamodel complet este prezentat în figura alăturată 14.8.
Ecuaţia diferenţială a mişcării este:
Fig. 14.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 431/487
430 MECANICĂ
tsinFkxxcxm 0 (14.39)
Dacă se împarte la m, şi se utilizează notaţiile (14.18) ecuaţia (14.39)
devine:
.tsinm
Fx pxn2x O2 (14.40)
Ecuaţia (14.40) este oecuaţie diferenţială deordinul doi cu coeficienţiconstanţi, neomogenă.Soluţia generală secompune, ca şi în cazul
precedent, din soluţiaecuaţiei omogene şi o soluţie particulară:
,tsinXt psinaexxtx O1nt
pom
(14.41)
în care 221 n p p este pseudopulsaţia vibraţiei libere amortizate, -
pulsaţia forţei perturbatoare, a şi -constante de integrare, OX şi -
amplitudinea şi faza iniţială a vibraţiei forţate.Primul termen al soluţiei generale (14.41) reprezintă vibraţia proprie,iar al doilea, vibraţia forţată. Datorită amortizării, vibraţia proprie seanulează foarte repede, aşa că după trecerea fazei tranzitorii se poateconsidera soluţia staţionară dată numai de vibraţia forţată.
Înlocuind soluţia particulară tsinXx O p în ecuaţiadiferenţială (14.40) şi identificând coeficienţii lui sin şi cos, rezultă:
,Ax
p pn2
p1
1
K
FX 1st
2222
OO
(14.42)
,
p1
p pn2
tg2
(14.43)
Fig. 14.8
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 432/487
43114. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
cu următoarele semnificaţii: stx -deplasarea sistemului mecanic subacţiunea forţei statice OF ; 1A -factorul de amplificare în cazul vibraţiilor
forţate amortizate, având expresia:
.
p pn2
p1
1
x
XA
2222st
O1
(14.44)
Deoarece numitorul expresiei (14.44) este o sumă de pătrate, factorulde amplificare 1A este finit pentru orice pulsaţie relativă /p. Se poate
defini o rezonanţă de amplitudine, care are loc când factorul de amplificaredevine maxim.
Se observă că pentru n=0, se regăseşte expresia factorului deamortizare OA ce corespunde sistemului fără amortizare.
Reprezentarea grafică a factorului de amplificare 1A , pentru diferite
valori ale amortizării 2n/p, în funcţie de pulsaţia relativă /p, este datăîn figura 14.9.
Examinarea acestor curbe arată următoarele:a) cu cât amortizarea este mai mare, amplitudinea la rezonanţă este
mai mică; b) efectul amortizării se resimte numai
în vecinătatea zonei de rezonanţă, în restcurbele practic coincid; rezultă că unamortizor este util pentru un sistem carelucrează în aproprierea rezonanţei, sau
ocazional, trece prin rezonanţă;c) pentru valori ale lui > 1,5,amplitudinea vibraţiei forţate este maimică decât săgeata statică ;1AdeoarecexX 1stO
d) curbele au maximul deplasat puţinîn stânga rezonanţei sistemelor neamortizate; pulsaţia de rezonanţă se
obţine anulând derivata în raport cu afactorului de amplificare .A1 Fig. 14.9
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 433/487
432 MECANICĂ
14.6. PROBLEME REZOLVATE1. Să se stabilească ecuaţia diferenţială a mişcării şi perioada pentru
sistemul vibrant din figura 14.10. Rezolvare.Forţa de amortizare în polul B este .vcF BB forţa din
A se determină din egalitatea momentelor faţăde polul C:
. bFaF BA Rezultă
,a
v bvdar ,
a bvc
a bFF AB
BBA deci
,xa
bc
a
bvcF
22
AA
unde x este deplasarea pe orizontală a masei m. Aplicând ecuaţiafundamentală a dinamicii, masei m, rezultă:
sau ,xa bckxxm
2
.0mkxxa bmcx
2
Masa m execută vibraţii libere amortizate.Coeficientul de amortizareechivalent este:
.ca
bc
2
e
Pulsaţia vibraţiilor amortizate este:
.m2
cmk n p p
2e22
1
2. Un electromotor având greutatea Q = 8000 N este montat la capătulunui suport format din două grinzi orizontale, încastrate la celălalt capăt(fig14.11). Grinzile sunt confecţionate din profile I din oţel având modululde elasticitate .m/ N101,2E 211 Distanţa de la axul motorului până la
punctul de încastrare este l = 1 m. Rotorul electromotorului, de greutateP = 2000 N are o excentricitate e = 0,1 mm faţă de axa de rotaţie.
Fig. 14.10
k x
(m) A
a
b
B
c
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 434/487
43314. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
Turaţia de regim este n = 1000rot/min.
Să se aleagă profilul în aşafel încât amplitudinea vibraţiilor forţate să nu depăşească a = 0,15mm. La ce turaţie se producefenomenul de rezonanţă. Seneglijează greutăţile grinzilor şiforţele de amortizare.
Rezolvare. Proiecţia pe verticală a forţei perturbatoare, datorită
excentricităţii rotorului, este:.
30
nunde,tsine
g
PF 2i
(1)
Ecuaţia diferenţială a mişcării pe verticală a electromotorului areforma:
.tsineg
Pkyy
g
Q 2 (2)
Săgeata statică a suportului format din cele două profile , este:
.
l
E6
f
Qk undede,
2E3
Qlf
3z
stz
3
st
(3)
Ecuaţia diferenţială (2) devine:
.lQ
gE6g
Q
k punde,tsine
Q
Py py
3z222
(4)
Vibraţia forţată este dată de soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale(2), fiind de forma ,tsinYy O unde amplitudinea vibraţiei forţaterezultă:
.
1 p
1e
Q
PY
2O
(5)
Profilul se alege astfel încât, la pornirea electromotorului rezonanţasă fie exclusă. Pentru aceasta este nevoie ca p În acest caz, OY
este pozitiv şi trebuie să avem:
Fig. 14.11
l
e Fl
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 435/487
434 MECANICĂ
.a
e
Q
P1
psau.a
1 p
1e
Q
P2
2
(6)
Ţinând seama de valoarea (4) a lui p, rezultă:
.a
e
Q
P1
gE6
Ql32
3. ,s5,10430
100014,3
30
n 1
.m1072,8
1015,08000
101,020001
101,281,96
180005,104
26
3
3
11
2
Din tabele se alege un profil 16 care are I=935 cm4.
Pulsaţia proprie a sistemului este:
.s1171800
10935101,281,96
lQ
gE6 p 1
811
3z
Amplitudinea vibraţiei forţate este:
.m1015,0
101,0
1
5,104
117
101,0
800
2000
1 p
1e
Q
PY
3
32
3
2O
Fenomenul de rezonanţă se produce atunci când p = , adică
,11730
n rez
de unde: .min/rot112030117
n rez
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 436/487
43514. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
14.7. PROBLEME PROPUSE
1. Dacă de resortul de lungime l 0 se suspendă greutatea G, el se
alungeşte cu40
0
l l Acest resort se aşează pe o masă orizontală cu
frecare = 0,5 , avândun capăt fixat în A (fig.14.12). Masa m degreutate G de la capătulresortului se lansează cuviteza v0 = 10m/s. Luândl 0 = 0,5m, să se calculezeunde se va opri primadată masa m. (OB = ?)
R: m8
9OB
2. Două mase egale m = 5kg, sunt fixate de capătul
unui resort pe care-l alungesc cu40
0
l l unde l 0 = 1m
(fig. 14.13). Se rupe firul şi cade una din mase. Se cere săse determine legea de mişcare a celeilalte mase rămase.
R: t9cos8
1
8
1
x
3. O masă m = 3kg legată deun resort se deformează static cul 0 = 0,1m. Masei i se aplică o forţăP0 = 20N, oscilaţiile având perioada
sec
99,9
2T
. (fig. 14.14). Să se
Fig.14.12
Fig.14.13
Fig.14.14
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 437/487
436 MECANICĂ
determine legea de mişcare a masei m ştiind că la t = 0 avem x = 0 şi v0= 0.
R: t99,9cos6,60t10sinx
4. Două arcuri sunt legate în serie (fig. 14.15). Primul arc arelungimea l1 = 1m şi se alungeşte cu l 1 = 0,1m când de el este suspendatăgreutatea P = 30N. Al doilea arc are lungimea l 2 = 1m şi se alungeşte cul 2 = 0,2m pentru acelaşi P. Sistemul este aşezat pe o masă orizontală, iar în capăt fixat corpul de masă m = 1kg. Dacă masa m se deplasează cu x
0
= 0,5m, să se determine legea de mişcare.
R: t10cos2
1x
5. Mecanismul unui elipsograf este format din bara 1, de masă marticulată în O. Capătul opus este articulat de o altă bară 2, orizontală demasă 2m. Legătura între cele două bare este făcută prin intermediul unuiarc spiral de constantă k = 19,6Nm/rad. Capetele A şi B glisează pedouă ghidaje perpendiculare.
Neglijând masele celor două culise,să se determine perioada micilor
oscilaţii (vibraţii) ale sistemului. În poziţia reprezentată în figura 14.16arcul este nedeformat.
R: T0= 0,293s
6 . Mecanismul hipocicloidal din figura 14.7.8 este format din tija 1 demasă M = 2,5m, articulată în A de un disc de rază r şi masă m. Discul 2 se
poate rostogoli în interiorul unei suprafeţe cilindrice de rază R = 2r (fig.
14.17).
Fig.14.15
Fig.14.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 438/487
43714. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE
Să se determine pulsaţia micilor oscilaţii alesistemului de corpuri.
R:r g20
7 . Să se verifice legea coservării energieimecanice la x = 0, la t = 0 şi la extremitateatraiectoriei orizontale, în mişcarea masei m, datăde ecuaţiile:
;tsin3tcos3x tsin3tcosx
8. Sistemul de corpuri din figura 14.18 esteformat din corpul 1 de masă m1 = 6kg, ce se poatedeplasa într-un ghidaj vertical prin intermediul unuiscripete 2 de masă m
2= 4kg, şi un cablu având la
un capăt montat un arc de constantă k = 4,8kN/m.Pentru atenuarea vibraţiilor corpul 1 este legat deun amortizor având constanta de amortizare c =0,48kNs/m. Capătul arcului primeşte o excitaţiearmonică S(t), de amplitudine S0 = 4mm.Determinaţi pulsaţia de rezonanţă a vibraţiilor şiamplitudinea la rezonanţă.
R: p = 0 = 40s-1; xrez = 2mm
9. Un corp cu masa M = 1kg execută oscilaţiiarmonice pe un plan orizontal (14.19). În momentultrecerii corpului prin poziţia deechilibru, o bucată de plastilină cumasa m = 0,21kg se ataşează deaceasta. Cum se modificăamplitudinea oscilaţiilor?
R: mM
M
A
A
2
1
Fig.14.17
Fig. 14.18
Fig.14.19
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 439/487
438 MECANICĂ
10. Pe o suprafaţăorizontală se sprijină fără
frecare un corp de masăM = 1kg, fiind prins întredouă resorturi identice deconstantă k = 30N/m (fig. 14.20). Pe corp se află o şaibă cu masa m =0,5kg. Sistemul corp-şaibă este pus în mişcare oscilatorie armonică.Determinaţi amplitudinea maximă a oscilaţiilor pentru care sistemul poateoscila ca un întreg, fără ca şaiba să alunece pe corp. Coeficientul defrecare între corp şi şaibă este = 0,4 iar g = 10m/s2.
R: m1,0k 2
gMmAmax
11. Aripa unui avion, având masa m este introdusă într-un tunelaerodinamic pentru efectuarea testelor.Ea este suspendată prin intermediul unuiarc cilindric elicoidal de constantă k
1 şi
un arc spiral de constantă k 2
, fixat în punctul A (fig. 14.21). Centrul de masăC al acestei aripi se află la distanţa a faţăde punctul de suspendare. Cunoscândmomentul masic de inerţie JA, să se de-termine ecuaţiile diferenţiale ale mişcăriivibratorii şi ecuaţia pulsaţiilor proprii.
R:
0k k ak k mk JmJ 12
22
121c
4
c
Fig.14.20
Fig.14.21
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 440/487
43915. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
15
ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
15.1. Deplasari reale si deplasari virtuale ........................ 441
15.2. Principiul lucrului mecanic virtual (deplasarilor
virtuale) ......................................................................... 445
15.3. Principiul vitezelor virtuale (puterilor virtuale) ......... 446
15.4. Principiul lui Torricelli ............................................... 447
15.5. Ecuatiile lui Lagrange ................................................ 448
15.5.1. Forte generalizate .............................................. 448
15.5.2. Ecuatiile lui Lagrange de speta întâi ............... 450
15.5.3. Ecuatiile lui Lagrange de speta a doua ............ 451
15.5.4. Ecuatiile lui Lagrange în cazul fortelor
conservative .................................................... 453
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 441/487
440 MECANICĂ
15.6. Probleme rezolvate ................................................... 454
15.7. Probleme propuse .................................................... 473
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 442/487
44115. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
15
ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
15.1. DEPLASĂRI REALE ŞI DEPLASĂRI VIRTUALE
Se consideră un punct material A, aflat la un moment dat într-o poziţieoarecare, de vector de poziţie r
, fie în stare de repaus fie în stare de mişcare,
sub acţiunea unui sistem de forţe a căror rezultantă este F
.(vezi fig.15.1).
Punctul se va deplasa din poziţia sa reală A, de vector de poziţier , într--
o poziţie infinit vecină A’ de vector de poziţie r dr
,în timpul elementar dt.
Variaţia elementară a vectorului de poziţie r d
,se numeşte deplasarereală infinitezimală, a punctului material.
Deci, deplasarea reală este o deplasare infinitezimală a unui punctmaterial sau a unui corp pe suprafaţa sau curba care reprezintă legătura.
Această deplasare are loc sub acţiunea forţelor exterioare direct
Fig. 15.1
z
O
x
y
(C)A(t)
A"
A'(t+dt)r
F
dr
r
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 443/487
442 MECANICĂ
aplicate şi este compatibilă cu legăturile.Deplasarea reală ţine seama de legea de mişcare şi se notează astfel:
k dz jdyidxr d
(15.1)Deplasarea reală corespunde cu noţiunea matematică de dife-
renţială a funcţiei vectoriale )t(r r . Lucrul mecanic elementar al forţei
F
ce acţionează asupra punctului material, se exprimă sub forma:
r dFdL
(15.2)
În afară de deplasarea reală a punctului, se pot imagina şi alte deplasări
imprimate arbitrar punctului material, fără a se ţine seama de forţeleexterioare care acţionează asupra lui. O asemenea deplasare infinit vecinăse poate considera deplasarea AA’’. Deoarece poziţia A’’ este fictivă,deplasarea AA’’ se numeşte deplasare virtuală şi se notează cu
r .
Deplasarea virtuală este o deplasare infinitezimală a punctului saua corpului considerat, posibilă sau fictivă, compatibilă sau necompatibilăcu legăturile. Această deplasare nu ţine seama de legea mişcării punctului,este independentă de timp şi de forţele exterioare ce acţionează asupra
lui. Timpul este considerat, deci, un parametru constant şi arbitrar.Deplasarea virtuală este de asemenea infinitezimală şi se notează:
k z jyixr
(15.3)
Lucrul mecanic corespunzător unei deplasări virtuale r , se numeşte
lucru mecanic virtual şi se exprimă prin relaţia:
r FL
(15.4)
Deplasările elementare reale se notează cu simbolul d, iar cele virtuale
cu , ambele simboluri având semnificaţia operatorului diferenţial.În cazul unui punct material A, obligat să rămână pe suprafaţa fixă
de ecuaţie f(x, y, z) = 0, deplasările AA’ şi AA’’ sunt deplasări posibile,conţinute în planul tangent la suprafaţă (vezi fig.15.2 a).
Această legătură este scleronomă şi olonomă, deoarece timpul nuapare explicit şi nici derivatele lui x, y, z. Legătura impune restricţii poziţiilor
punctului, nu şi vitezelor.O deplasare posibilă reprezintă, deci orice deplasare compatibilă
cu legăturile impuse, deplasarea reală fiind una din deplasările posibile.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 444/487
44315. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
Deplasările care nu sunt situate în planultangent, sunt incompatibile cu legăturaimpusă punctului material, deci virtuale.
În cazul unei legături de tipul f(x, y, z, t) =
0, reonomă şi olonomă, cum se prezintă în figura15.2 b, punctul este obligat să rămână în per-manent contact cu o suprafaţă mobilă.
Deplasările AA’ şi AA” sunt deplasăricompatibile cu legătura, iar deplasarea AA”’,o deplasare incompatibilă cu legătura.
Deplasările incompatibile cu legăturile pot deveni compatibile, dacă, înainte de
efectuarea deplasării, punctul material esteeliberat de legături şi se introduc forţele delegătură corespunzătoare.
La un sistem material cu mai multelegături, se poate suprima una din legături,înlocuind-o cu forţa de legătură corespunză-toare. În asemenea cazuri o deplasarevirtuală a sistemului material, este cea com-
patibilă cu legăturile rămase.
Fig. 15.2
a) legătură scleronomă şiolonomă
A
A'''
A'
A"
r
dr
f(x, y, z) = 0 A
A'
A"
dr
r
A'''
f(x, y, z, t) = 0
(t+dt)
( t )
b) legătură reonomă şiolonomă
N
G
B
A
N
G
Fig. 15.3
B
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 445/487
444 MECANICĂ
De exemplu, la corpul din figura 15.3 se poate suprima legătura din
A, introducând o reacţiune normală N
; deplasarea virtuală compatibilă
cu legătura rămasă este o rotaţie infinitezimală în jurul punctului B.Din cele prezentate până aici, rezultă că deplasarea virtuală r
poate
să corespundă şi cu o deplasare reală.Deplasarea este virtuală deoarece nu ţine seama de forţele ce
acţionează asupra sistemului iar timpul este un parametru arbitrar şi con-stant. Deplasările care nu respectă legătura, sunt numite deplasări virtualeincompatibile cu legătura.
Observaţie: Se precizează că deplasarea virtuală poate fi aplicatăşi unui punct material aflat în repaus, spre deosebire de deplasarea reală,care are sens numai în probleme de dinamică.
Noţiunile de deplasare reală şi deplasare virtuală se pot aplica şisistemelor de puncte materiale sau de rigide.
În cazul unui sistem de “n” puncte materiale Ai, de vectori de
poziţie ir
, având coordonatele generalizate q1, q2…qh, vectorii de poziţie
au expresia:
t,q...q,q,qr r h321ii
(15.5)Deplasarea reală în cazul acestui sistem, a cărei poziţie depinde de
“h” parametrii geometrici independenţi, are expresia:
dtt
r dq
q
r .....dq
q
r dq
q
r r d i
h
h
i2
2
i1
1
ii
(15.6)
sau
h
1k
ik
k
ii dt
tr dq
qr r d
, i = 1, 2...n (15.7)
Deplasarea virtuală are expresia;
h
h
i2
2
i1
1
ii dq
q
r .....q
q
r q
q
r r
(15.8)
sau
0tr deoarece,n....2,1i,qqr r i
h
1k k
k
ii
(15.9)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 446/487
44515. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
15.2. PRINCIPIUL LUCRULUI MECANIC VIRTUAL
(DEPLASĂRILOR VIRTUALE)Principiul lucrului mecanic virtual este un principiu general care se
aplică atât la rezolvarea problemelor de statică cât şi a celor de dinamică.Spre deosebire de celelalte metode, principiul deplasărilor virtuale prezintăavantajul că nu introduce în calcule forţele de legătură (dacă legăturile suntideale). Folosirea acestui principiu permite să se determine atât condiţiilede echilibru, cât şi ecuaţiile de mişcare ale unui sistem material supus la
legături fără frecare, eliminând din ecuaţiile respective forţele de legătură.În cazul când este necesară determinarea unor reacţiuni este posibil a sefolosi principiul deplasărilor virtuale după ce în prealabil legătura respectivăa fost suprimată şi înlocuită cu elementele mecanice corespunzătoare.
Pentru un punct material în echilibru static sau dinamic, rezultantaF
a tuturor forţelor este nulă. Înmulţind scalar această forţă cu deplasa-
rea virtuală r
, obţinem lucrul mecanic virtual care este nul:
0r FL
(15.10)
În cazul unui sistem de puncte în echilibru static sau dinamic, pentru orice deplasări virtuale, compatibile sau incompatibile cu legăturile,suma lucrurilor mecanice elementare virtuale corespunzătoare tuturor forţelor în echilibru, este nulă:
n
1ii 0r FL
(15.11)
În problemele de statică în calculul lucrului mecanic virtual total
trebuie introduse forţele exterioare, active şi pasive. Forţele interioare seintroduc numai dacă sistemul cuprinde şi corpuri deformabile. Dacălegăturile sunt ideale, lucrul mecanic al forţelor pasive este nul.
0FFF pi
aii
(15.12)În problemele de dinamică în calculul lucrului mecanic virtual total,
pe lângă forţele specificate anterior pentru statică, se introduc forţele deinerţie.
Astfel că:
0FFFF ii
pi
aii
(15.13)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 447/487
446 MECANICĂ
În cazul unui sistem de puncte materiale supus la legături ideale(fără frecare) lucrul mecanic virtual al forţelor de legătură este nul.
În problemele de statică, principiul lucrului mecanic virtual se scriesub forma (15.11), în care
iF
, reprezintă forţele exterioare date, şi are
următorul enunţ: “condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistemde puncte materiale să se afle în repaus sub acţiunea unui sistem de forţedate, exterioare este ca lucrul mecanic virtual al acestor forţe să fie nul”.
Pentru un sistem de puncte în mişcare expresia matematică a principiului lucrului mecanic virtual este:
0r FFL
n
1iiiai
(15.14)
Enunţul principiului este: “lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare, date şi a forţelor de inerţie pentru un sistem de puncte înechilibru dinamic, pentru deplasări compatibile cu legăturile, este nul”.
Pentru un sistem de rigide relaţia (15.14) se completează, introducând pentru fiecare rigid, torsorul forţelor de inerţie:
n
1ii
ii
ai
n
1ii
ii
ai MMr FFL
(15.15)Avantajul aplicării principiului lucrului mecanic virtual, faţă de alte
metode studiate, constă în aceea că, pentru determinarea legii de mişcarea unui sistem material, sunt eliminate din calcule reacţiunile.
În cazul legăturilor cu frecare, forţele şi momentele de frecare, se potintroduce ca forţe şi momente exterioare date, luându-se astfel înconsiderare.
15.3. PRINCIPIUL VITEZELOR VIRTUALE(PUTERILOR VIRTUALE)
Principiul vitezelor virtuale reprezintă o altă formă de exprimare a principiului lucrului mecanic virtual, dat de relaţia (15.11):
0r FLn
1i
ii
Considerând că deplasările virtuale ir au loc în acelaşi timp t,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 448/487
44715. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
rezultă că: tvr ii
iar 0vFttvFL
n
1ii
n
1ii
Cum t 0, expresia principiului vitezelor virtuale este:
n
1ii 0vF
(15.16)
Adică: “suma puterilor virtuale dezvoltate de forţele exterioare, dateşi de forţele de inerţie, este nulă”.
Acest principiu se aplică în special mecanismelor pentru stabilireacondiţiilor de echilibru. Pentru aceasta se dă unui corp din sistem pe care-l considerăm element motor, o viteză virtuală arbitrară ca sens şi mărime,care să imprime sistemului o mişcare compatibilă cu legăturile sale. Încontinuare se efectuează o analiză cinematică, stabilind vitezele fiecăruicorp şi în final se aplică principiul vitezelor virtuale dat de relaţia (15.16).
Forma generală a principiului vitezelor virtuale (puterilor virtuale) este:
n
1i
n
1ii
ii
aii
ii
ai 0MMvFF
(15.17)
unde iv
şi i
sunt vitezele virtuale.
15.4. PRINCIPIUL LUI TORRICELLI
Acest principiu este un caz particular al principiului lucrului mecanicvirtual, când asupra sistemului acţionează numai greutăţile proprii, iar legăturile sunt ideale (fără frecare).
Înlocuind în expresia (15.11) a principiului lucrului mecanic virtual,forţele
k gmk ZGF iiii
, rezultă:
n
1iii
n
1iii
n
1iiiiiiiii 0zgmzzzZyYxXr F
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 449/487
448 MECANICĂ
Deoarece Xi= Y
i= 0, iar
0zgMMzgzmgL cc
n
1iii
(15.18)unde M este masa sistemului de puncte iar zc - cota centrului de greutatea sistemului. În această relaţie s-a aplicat teorema momentului staticconform căreia:
n
1cii zMzm (15.19)
Din relaţia (15.18) rezultă principiul lui Torricelli sub forma:
0z c (15.20)
adică: “poziţia de echilibru a unui sistem material, cu legături ideale, supusacţiunii greutăţii proprii, corespunde unui extrem al cotei centrului de masă”.
Deci, centrul de masă al sistemului ocupă o poziţie extremă carecorespunde echilibrului nestabil când z
c este maxim, echilibru stabil când
zc este minim sau echilibru indiferent când zc este constant.Pentru determinarea condiţiei de echilibru se calculează la început
coordonata zc a centrului de masă faţă de un triedru fix, după care aceastase diferenţiază în raport cu parametrul ales pentru asigurarea echilibrului.
15.5. ECUAŢIILE LUI LAGRANGE
15.5.1. Forţe generalizate
Ecuaţiile lui Lagrange permit determinarea ecuaţiilor diferenţiale alemişcării unui sistem format din “n” puncte materiale sau corpuri, având“h” grade de libertate. Aceste grade de libertate sunt date de parametriigeometrici independenţi (distanţe sau unghiuri) care determină complet
poziţia sistemului material la un moment dat, în raport cu un sistem dereferinţă. Aceşti parametrii independenţi se vor nota cu qk
(k = 1,2…h) şi poartă numele de coodonatele generalizate ale lui Lagrange.
Deci, numărul coordonatelor generalizate este egal cu numărul
gradelor de libertate. Coordonatele generalizate permit efectuarea unui
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 450/487
44915. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
studiu al mişcării într-un spaţiu cu mai multe dimensiuni. Legăturilemecanice ale sistemului material se consideră de tipul f(x,y,z,t) = 0,
reonome şi olonome.Întrucât poziţia întregului sistem depinde de cele h coordonategeneralizate, vectorul de poziţie al unui punct din sistem va depinde deaceste coordonate şi de timp:
n...3,2,1iunde,t,q....q,q,qr r h321ii
(15.22)
Deplasarea virtuală r i , concepută ca diferenţială este:
k k
i
33
i
22
i
11
i
iq
q
r .....q
q
r q
q
r q
q
r r
sau
h
1k k
k
ii )n....3,2,1i(,q
q
r r
(15.23)
Deoarece deplasările virtuale sunt independente de timp şi inde-
pendente între ele, 0t
r i
.
Notând cu iF rezultanta tuturor forţelor care acţionează asupra
punctului “i” din sistem şi cu ir
,deplasarea sa virtuală, lucrul mecanic
virtual total în coordonate generalizate este:
h
1k k
n
1i k
ii
h
1k k
k
in
1ii
n
1iii q
q
r Fq
q
r Fr FL
(15.25)
Se notează:
n
1ik
k
ii Q
qr F
Deci:
hh332211
h
1k k k qQ....qQqQqQqQL
(15.26)
Forţa generalizată Qk are dimensiuni de forţă sau moment după cumcoordonata generalizată qk , are dimensiuni de distanţă sau unghi.
Forţa generalizată Qk este o mărime scalară, care, amplificată cu
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 451/487
450 MECANICĂ
variaţia elementară a unei singure coordonate generalizate, dă lucrulmecanic efectuat de ansamblul forţelor care se exercită asupra sistemului
când variază doar această coordonată.Forţa generalizată Qk , se poate exprima astfel:
k k
n
1i k
n
1iii
k
iik q
Lsau,
q
L
q
r F
q
r FQ
(15.27)
Conform expresiei (15.27) forţa generalizată Qk este egală cu
derivata lucrului mecanic total al forţelor ce acţionează asupra sistemului,
în raport cu coordonata generalizată qk . Calculul unei forţe generalizateQ
k , corespunzătoare coordonatei generalizate q
k , se face determinând
lucrul mecanic elementar virtual când variază numai qk , cu q
k , şi
împărţind rezultatul final la qk .
15.5.2. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi
Se consideră un sistem format din “n” puncte materiale de mase mi
şi vectori de poziţie ir
, în raport cu un sistem de referinţă fix. Sistemul de
puncte materiale are “h“ grade de libertate. Pentru studiul mişcăriisistemului material, se aplică mai întâi principiul lui D’Alambert şi apoi
principiul lucrului mecanic virtual, pentru punctul Ai de masă m
i:
0amF iii
(15.28)
0r amF iiii
(15.29)Relaţia (19.29) reprezintă principiul lucrului mecanic virtual pentru punctul A
i de masă m
i. Pentru întregul sistem de “n” puncte avem:
0r amFn
1iiiii
(15.30)
Înlocuind expresia (15.23) a deplasării virtuale ir
în (15.30) rezultă:
0qqr amF
h
1k k
k
i
n
1iiii
(15.31)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 452/487
45115. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
Inversând ordinea de însemnare în relaţia (15.31) rezultă:
h
1k k
n
1i k
i
iii 0qq
r
amF
(15.32)
Deplasările virtuale qk (k = 1, 2...h), fiind independente între ele şidiferite de zero, pentru ca relaţia (15.32) să fie satisfăcută, este necesar ca coeficienţii lor să fie nuli, adică:
0q
r amF
n
1i k
iiii
, unde k = 1, 2....h (15.33)
Relaţia (19.33) se poate scrie astfel:
n
1i k
iii
n
1i k
ii q
r am
q
r F
(15.34)
Membrul stâng reprezintă forţa generalizată Qk , iar relaţia (19.34)devine:
n
1ik
iiik q
r amQ
, unde k = 1, 2....h (15.35)
Acest sistem de h ecuaţii (15.35) este cunoscut în literatura despecialitate sub denumirea de ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi.Acest sistem de ecuaţii reprezintă o sinteză a celor două principiidiferenţiale ale mecanicii analitice: principiul lui D’Alambert şi principiullucrului mecanic virtual.
15.5.3. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua
Deoarece folosirea ecuaţiilor de mişcare sub forma (15.35) nu estecomodă, forma lor poate fi prelucrată prin transformarea membrului drept,conform relaţiei cunoscute:
dt
udvvu
dt
d
dt
vdu
(15.36)
Membrul drept al relaţiei (19.35) devine:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 453/487
452 MECANICĂ
n
1i
n
1i k
iii
k
iii
n
1i
n
1i
n
1i k
iii
k
iii
n
1i
i
k
ii
k
iii
q
r
dt
dvm
q
r vm
dt
dq
r
dt
dvm
q
r v
dt
dm
dt
vd
q
r m
q
r am
Se poate arăta că:k
i
k
i
q
v
q
r
şik
i
k
i
q
v
q
r
dt
d
Astfel, ţinându-se seama de relaţiile (15.22) şi (15.7) rezultă că:
dtt
r dq
q
r r d i
h
1k k
k
ii
, i = 1, 2.....n şi
h
1k
ik
k
iii t
r q
q
r
dt
r dv
, i = 1, 2.....n. (15.38)
Derivând parţial această viteză, în funcţie de vitezele generalizate qk ,
rezultă:
k
i
k
i
q
r
q
v
(15.39)
Pe de altă parte, inversând ordinea de derivare, în expresia:
k
ii
k k
i
q
v
dt
r d
r
dt
d
(15.40)
Înlocuind relaţiile demonstrate (15.39) şi (15.40) în (15.37) rezultă:
n
1i
n
1i
2i
k
i
2i
k
i
n
1i
n
1i
n
1i k
iii
k
iii
k
iii
2
v
qm
2
v
qm
dt
d
q
vvm
q
vvm
dt
d
q
r am
(15.41)
n
1i
2ii
k
n
1i
2ii
k 2
vm
q2
vm
qdt
d
(15.37)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 454/487
45315. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
Ştiind că: E2
vmn
1
2ii
, este energia cinetică a sistemului, ecuaţiile
lui Lagrange de speţa întâi se transformă în ecuaţiile lui Lagrange despeţa a doua, astfel:
k
k k
E
q
E
dt
d
, k = 1, 2......h (15.42)
Relaţiile (15.42) cunoscute ca ecuaţiile lui Lagrange de speţa adoua, reprezintă un sistem de h ecuaţii diferenţiale corespunzătoare celor
h coordonate generalizate.
15.5.4. Ecuaţiile lui Lagrange în cazul forţelor conservative
Ecuaţiile lui Lagrange (15.42) pot fi transformate dacă forţageneralizată Q
k derivă dintr-o funcţie de forţă U (q
1, q
2 ....q
h, t) astfel încăt:
k k q
U
Q
, unde k = 1, 2....h (15.43)În acest caz U se numeşte pseudofuncţie de forţă, iar forţa
generalizată Qk se numeşte conservativă.
Înlocuind expresia forţei generalizate conservative în (15.42) rezultă:
k k k q
U
q
E
q
E
dt
d
, unde k = 1, 2....h (15.44)
Trecând termenul din dreapta în stânga şi înlocuind funcţia compusăa lui Lagrange:
VEUEL (15.45)rezultă:
0
q
UE
q
UE
dt
d
k k
, deoarece 0q
U
k
(19.46)
Deci 0qLqLdtd k k
, unde k = 1, 2....h (19.47)
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 455/487
454 MECANICĂ
Relaţiile (19.47) reprezintă o nouă formă a ecuaţiilor lui Lagrange,ecuaţiile generale de mişcare, pentru un sistem material supus la legături
reonome şi olonome. Ele reprezintă un sistem de h ecuaţii diferenţiale deordinul doi, în raport cu coordonatele generalizate qk , care în condiţii destul
de largi, conduc la soluţii unice, care satisfac condiţiile iniţiale referitoare
la poziţii (qk )
0 şi viteze iniţiale 0k q P..
Funcţia lui Lagrange, L = E - V, numită şi potenţial cinetic esteegală cu diferenţa dintre energia cinetică totală a sistemului şi energia
potenţială totală. Ea depinde de coordonatele generalizate qk şi vitezele
generalizatek
q , şi de timp.
15.6. PROBLEME REZOLVATE
1. Pentru sistemul format din două bare articulate în C şi rezemateîn A, B şi D, să se determine reacţiunea statică din A, cunoscând forţeleP şi distanţa a (fig. 15.4).
Rezolvare:
Rezolvare: Se înlocuieşte reazemul A cu reacţiunea normală YA şi se
dă o deplasare virtuală sistemului compatibilă cu legăturile rămase. Lucrulmecanic virtual total este:
0Pa2aP6a3YL 122A
dar 21 aa2CC de unde 12 2 înlocuind rezultă:
0aP2P12Y6Pa2Pa12aY6L 1A111A
Fig. 15.4
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 456/487
45515. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
Rezultă că: P6
10YA Procedând în mod asemănător, rezultă şi
celelalte reacţiuni din B şi D, respectiv P3
16YB şi PYD .
2. Se dă sistemul de bare drepte rezemate în B,articulate în C, şi încastrateîn A. Cunoscând forţele de
acţiune P şi Q, unghiurile aşi b şi distanţa a, să sedetermine momentul dereacţiune din A.
Rezolvare:
Se înlocuieşte încastrarea cu o articulaţie, în care acţioneazămomentul de reacţiune MA. Se dă o deplasare unghiulară virtualăsistemului de bare, compatibilă cu legăturile rămase (v. fig. 15.5) Lucrul
mecanic virtual este:0asinQ2a2sinPML 211A
dar 21 a3a4CC , de unde 12 3
4 .
Înlocuind în L rezultă:
0
3
4asinQ2a2sinPML 111A
sau 0sinQ3
8sinP2ML 1A
;
Rezultă:
sinQ3
4sinPa2MA
3. Aplicând principiul deplasărilor virtuale să se determine momentulde reacţiune din încastrarea A. (v. fig. 15.6,a). Asupra sistemului
Fig. 15.5
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 457/487
456 MECANICĂ
acţionează forţa distribuită uniform q şi forţele P1=6aq şi P
2= 0,5aq.
Rezolvare:
Se înlocuieşte încastrarea A cu o articulaţie în care acţioneazămomentul M
A, ce urmează a fi determinat. Se dă o deplasare virtuală
compatibilă cu legăturile rămase. Corpul 1 se deplasează cu 1. iar
corpul 2 cu 2 în jurul articulaţiei A, respectiv reazemul E. Deplasarea
pe verticală a articulaţiei D este: 21D a2a4v , deci 12 2 .
Lucrul mecanic virtual este:
Fig. 15.6
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 458/487
45715. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
0a3PaQa4PaQML 112212111A
sau:
0qa18qa2qa2qa6ML 12
22
12
12
1A
Înlocuind 12 2 rezultă:
0qa18qa4qa2qa6ML 12222
A , de unde
qa6M 2A .
4. Asupra sistemului format din două bare cotite, articulate în A, B şi
C acţionează forţele distribuite uniform, forţa unitară fiind q = 10kN/m(fig. 15.7). Să se determine reacţiunea orizontală din A, notată cu HA.
Rezolvare:
Se înlocuieşte articulaţia A cu o rezemare în care acţionează peorizontală necunoscuta H
A. Se dă sistemului de corpuri o deplasare
compatibilă cu legăturile rămase după ce se stabileşte poziţia punctului (1,T) echivalentă cu CIR al elementului 1. Acest punct se află în prelungirea
dreptei BC intersectată cu normala pe rezemarea AD. Introducând notaţiilecorespunzătoare se reprezintă în figura 15.7 b, deplasările pe verticală şi
pe orizontală ale punctelor structurii, devenită mecanism, prin înlocuireaarticulaţiei. Poziţia punctului (1,T) se stabileşte prin raportul de asemănareal triunghiurilor formate. Deplasarea pe verticală a punctului C este:
21c 24v , deci 12 2 Lucrul mecanic virtual total pentru forţele H
A, Q
1 şi Q
2 este:
01Q5,0Q12HL 22111A , sau 012205.070H12L 1A de unde
kN25,6HA
5. Se dă sistemul format din trei bare, din figura 15.8, asupra căruiaacţionează o forţă distribuită uniform q şi o forţă concentrată P=qa. Săse determine momentul M
A din încastrarea A. Se cunosc dimensiunile
corpurilor prin cota a.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 459/487
458 MECANICĂ
Rezolvare: Se transformă încastrarea A în articulaţie, în careacţionează necunoscuta M
A. Sistemul format din trei corpuri se
transformă în mecanism. Se dă sistemului o deplasare virtuală unghiulară
compatibilă cu legăturile rămase. Se stabileşte poziţia punctului(2,T)echivalentă cu CIR al elementului 2. Acest punct(2,T) se află la intersecţia
Fig.15.7
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 460/487
45915. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
prelungirilor barelor 1 şi 3. Se introduc notaţiile corespunzătoare şi se
stabilesc diagramele deplasărilor unghiulare şi liniare, pe orizontală şiverticală ale punctelor mecanismului. Relaţiile intre deplasările liniare şi
Fig.15.8
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 461/487
460 MECANICĂ
unghiulare rezultă din aceste reprezentări:
21c a3a3v , deci 21 32D a3a6u ,
deci 123 22 Lucrul mecanic virtual total, pentru P, Q şi M
A corespunzător acestor
deplasări liniare şi unghiulare este:
0a5,1Qa2PML 123A sau
0qa5,4qa2M2qa5,4qa2M2L 122
A12
12
1A
Rezultă: 2A qa25,1M
6. Bara cotită articulată în A şi rezemată în B, din figura 15.9, esteîncărcată cu un sistem de forţe distribuite uniform forţa unitară fiind q.Cunoscând dimensiunile ei, să se determine momentul MD din secţiuneaD. (punctul de sudură dintre bara D B şi bara cotită A C E)
Rezolvare:
Punctul de sudură D, dintre cele două bare se înlocuieşte cu oarticulaţie în care apar două momente de sensuri contrare M. Corpul iniţial
devine mecanism format din două elemente 1 şi 2. Se determină poziţia punctului (2,T) echivalent cu CIR al elementului 2. Se stabileşte diagramadeplasărilor unghiulare şi verticale (v. fig.15.6.6.b) Lucrul mecanic virtual
total este: 12D1D a5,3QMML unde aq7Q .
Relaţiile între deplasările unghiulare sunt: 21D a3a4v , deci
12 3
4 . Înlocuind 2 şi Q în expresia lucrului mecanic virtual,
rezultă:
0qa5,24M3
7qa5,24
3
4MML 1
2D1
21D1D
Rezultă 0qa5,24M3
7 2D sau 2
D qa5,10M
7. Asupra sistemului de corpuri din figura 15.6.7, a articulate în A, B
şi C acţionează două forţe P şi Q. Să se determine reacţiunea orizontalăXB din articulaţia B.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 462/487
46115. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
Rezolvare:
Se înlocuieşte articulaţia B cu o rezemare în care acţioneazănecunoscuta X
B (fig. 15.10). Sistemul de corpuri devine mecanism. Centrul
instantaneu al elementului 2 este2I obţinut prin intersecţia dreptelor A C
şi perpendiculara din B. Se dă o deplasare virtuală unghiulară faţă de
Fig. 15.9
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 463/487
462 MECANICĂ
punctele A şi2I respectiv 1 şi 2 . Deplasările liniare ale punctelor C
şi B suntc
r şiB
r perpendiculare pe2IA
respectiv pe2IB
. Relaţia
între deplasări este:221c CIACr şi
22B BIr . Deoarece
2R ICCA 2 şi R 2BI2 rezultă 21 şi 1B R 2r .
Lucrul mecanic virtual total al forţelor P, Q şi XB este:
2B21
2XI2QI1PA
XR 2Q bPa
MMMLB221
sau
0XR 2 bQaPL 1B , de undeR 2 bQaPXB
8. Să se determine eforturile din barele C E şi B E ale grinzii cu zăbrele
din figura 15.11, a încărcată cu forţele 2P şi 3P , în nodurile D, G şi B. Rezolvare:
a) Efortul din bara CE se determină suprimând această bară şiînlocuind-o cu efortul N
5 şi –N
5.sistemul se transformă într-un mecanism
cu un grad de libertate căruia i se determină centrele absolute şi relative.Se trasează cele două diagrame ale deplasărilor virtuale pe verticală şi
orizontală ale nodurilor. Principiul lucrului mecanic virtual (fig. 15.11, b)
Fig. 15.10
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 464/487
46315. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
Fig. 15.11
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 465/487
464 MECANICĂ
se scrie astfel:
0
3
a4 N
3
a3PaP2a2P2L 25122 .
Relaţia între deplasări este: 21B a3av deci 21 3 . Lucrul
mecanic virtual devine:
03
a4 Na3PaP2a2P2L 25
.
Deci aP93
a4 N5 de unde
4
P39 N5 .
b) Efortul din bara BE se determină suprimând această bară care seînlocuieşte cu efortul N4 şi –N4. Sistemul se transformă într-un mecanism
patrulater BCDE, căruia i se dă o deplasare unghiulară virtuală .Diagramele care reprezintă deplasările pe verticală şi orizontală alediagramelor virtuale sunt reprezentate în figura 15.11,c.
Efortul N4 din bara BE rezultă din condiţia:
0a60cos N3
a
60sin N3
a
3PL0
4
0
4
sau 0a2
1 N
3
a
2
3 NPaL 44
de unde N
4=P..
9. Să se determine efortul N din bara KC a grinzii cu zăbrele dinfigura 15.12. Asupra acestei grinzi acţionează forţele P, 2P, 3P şi 4P. Iar lungimile barelor orizontale sunt egale cu a, şi unghiurile barelor din modul
E este 300. Rezolvare:
Efortul din bara KC se determină suprimând bara şi înlocuind legătura
suprimată cu efortul N şi N . Suprimând această bară sistemul devine
mecanism patrulater BCFK iar subsistemul II se poate roti în jurul lui E,devenit centru instantaneu de rotaţie. Dăm o deplasare unghiulară în
jurul acestui punct. Deplasările punctelor C, D şi F sunt perpendiculare
pe razele instantanee. Efortul din bara KC rezultă din condiţia:
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 466/487
46515. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
0r sin Nr 30cosP2r PL CF0
D , sau
a22
3 N
3
a4
2
3P2aPL ; deoarece
2
3
a2
3a
KC30BEtg
KCBK in 0
deci:
060 rezultă
0a3 NP4PL
cu3
3P5 N
10. Să se determine efortul N din bara CD a grinzii cu zăbrele din figura15.13. Se dau forţa P şi distanţa a.
Rezolvare:
Se elimina bara CD şi se înlocuieştecu efortul N. Structura BCDE devine
Fig. 15.12
Fig. 15.13
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 467/487
466 MECANICĂ
mecanism paralelogram. Dăm o deplasare virtuală x structurii I,translatată în poziţia A’ B’ C’. Efortul din bara CD se determină din
condiţia: 0x45cos NxPxP2L 0 .
rezultă: 3P3 N .
11. Asupra sistemului de bare din figura 15.14, acţionează forţele P1
şi P2. La mijlocul barelor BC şi respectiv CD. Ştiind că lungimile acestor
bare sunt egale BC=CD=2a,să se determine reacţiunea orizontală şi
momentul de reacţiune din încastrarea D. Rezolvare: Pentru determinarea
reacţiunii orizontale HD, transformămîncastrarea D în rezemare şi dăm o depla-sare liniară virtuală orizontală x, bareiCD. (v. fig. 15.14,b)
Lucrul mecanic virtual total alforţelor P
1, P
2 şi H
D este:
b c Fig. 15.14.
a
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 468/487
46715. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
023a
PxPxH
IEPxPxHL
212D
2212D
.
Ştiind că2
3a30cosaEI 0
2 ; 2a4x . Rezultă:
0x4
1
2
3PPHL 12D
; deci 21D PP
8
3H
b) Pentru determinarea momentului de reacţiune din încastrarea Dse transformă în articulaţia D în care acţionează momentul MD, necunoscut.Dăm o deplasare virtuală sistemului de corpuri, devenit mecanism
patrulater(v. fig. 15.14,c). Momentul de reacţiune MD rezultă din condiţia:
21323D 2
3aPaPML
dar 23c a4a2r , deci 32 2
1
.
Deci 0P2
1
2
3aaPML 312D
, de unde
aPP4
3M 21D
.
12. Să se determine relaţia dintre forţele P ,Q şi cuplul de momentM, astfel încât mecanismul din figura 15.15 să se găsească în echilibrulstatic. Bara AC este orizontală, iar OA = a, OB = b, OC = c şi unghiurile şi cunoscute.
Rezolvare:
Se dă o deplasare virtuală unghiulară 2 în jurul centrului
instantaneu I al elementului AC. Elementele 1şi 3 vor primi deplasările
1 şi 3 .
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 469/487
468 MECANICĂ
Condiţia de echilibruexprimată prin lucrul mecanic
virtual total este:
3A
B
AB
Mr cosP
r QM
r Pr QL
dar
1B br ;
21A AIar ;
32c cICr de unde rezultă
11
23
sinc
sina
AI
a
c
CI
c
CI
Lucrul mecanic virtual este:
0sinc
sinaMacosPQbL 111
.
Deci
cosPaQbsina
sincM .
13. Bara AB de lungimea l şigreutatea G se reazămă fără frecareîn punctele A şi D. Să se determineunghiul corespunzător poziţiei deechilibru a barei (v. fig. 15.16).
Rezolvare:
Se aplică principiul lui Toricelli
0Zc . Faţă de sistemul de referinţă
Fig. 15.15
Fig. 15.16
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 470/487
46915. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
cu originea în D, cota elementului de masă este: tgasin2
lZc .
Prin diferenţiere, rezultă
0cos
acos
2
l
cos
1acos
2
lZ
22c
.
Pentru echilibru static 3 a2cosl
.
14. În figura 15.17 se reprezintă suspensia cu mecanism paralelograma unui scaun pentru autovehicule,asupra căruia acţionează greutateaG a conducătorului auto. Pentru
poziţia reprezentată în figură cuunghiurile şi dimensiunile b, l,d să se determine forţa dinamortizorul 3.
Rezolvare: Relaţia între forţadin amortizor F . Şi greutatea
conducătorului auto G , se
determină din condiţia
0r Gr FL cc
(1)
Faţă de un sistem de referinţăcu originea în o, vectorul de poziţieal articulaţiei C este :
; jsinicos br c l l jGG
;
; jsinFicosFF
iar jcosisinr c l l ;
Înlocuind în relaţia(1), rezultă
: 0)cosGl
cossinFlsincosFl(L
Fig. 15.17
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 471/487
470 MECANICĂ
Se obţine:
sin
cosGF . (2)
Din teorema sinusului aplicată în triunghiul O’CD, rezultă:
cosd2a
sindsin22 l l
(3)
Înlocuind(3) în (2) obţinem în final forţa de amortizor:
cosd2dctgdG
F 22 l l
15. Mecanismul pentru divizarea pieselor turnate este acţionat demomentul M prin intermediul manivelei OA = r. Biela AB transmitemişcarea pistonului D prin intermediul plăcii triunghiulare echilateraleBCD. Ştiind că: DOAB 1 , CDCO1 , 015 şi 0120OAB (fig.15.18).Să se determine reacţiunea normală N din partea piesei turnate asupra
pistonului D.
Rezolvare:
În punctul A acţionează forţa
r
MFA , iar în D reacţiunea N.
Legăturile între cele două forţe se poate obţine în acest caz, cu principiul
Fig. 15.18
a b
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 472/487
47115. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
vitezelor virtuale(puterilor virtuale) exprimat prin relaţia(8.4):
0V NVFVF DAAi
n
1i
Se construieşte planul vitezelor pentru mecanism. Din figura 8.18, brezultă următoarele: triunghiul pbd, este isoscel iar
VBD k pbVV de asemenea triunghiul pab este isoscel iar
Vom obţine: V0
AVBD k pa
2
3230cosV2k pbVV
VVA k abk paV
unde Vk reprezintă scara la care s-a construit planul vitezelor..
Înlocuind în prima relaţie rezultăVVA k pa3 Nk paF sau
r 3
3M N .
16. Asupra roţii(1) de greutate P şi rază R 1 acţionează cuplul de
moment Mm. Această roată pune în mişcare roata(2) de greutate G şiraze r 2 respectiv R 2 (fig. 15.19). Pecircumferinţa de rază R 2 Esteînfăşurat un fir în capătul căruia estefixată greutatea Q. Să se determinecuplul motor astfel încât sistemul de
corpuri să demareze cu acceleraţiaunghiulară
1. Se cunoaşte raza de
inerţie a roţii(2) 222 R r i
Rezolvare: Se reprezintă forţeleşi momentele de inerţie în sens inversacceleraţiilor liniare şi unghiulare. Sedă sistemului o deplasare virtuală
compatibilă cu legăturile. Lucrul Fig. 15.19.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 473/487
472 MECANICĂ
mecanic virtual al forţelor şi momentelor, active şi de inerţie este:
0SFSQMMML i32
i21
i11m ; (1)
Relaţiile între deplasările virtuale sunt:
2211 r R ;
22R S , de unde
1
2
12 r
R ; 1
2
21
r
R R S ;
Relaţiile între acceleraţii sunt: 2211 r R ; 22R a , de unde
1
2
12 r
R ; 1
2
21
r
R R a ;
Expresiile forţelor şi momentelor de inerţie sunt:
1
2
213
i3 r
R R
g
Qa
g
QamF ;
1
211
21111i1 g2PR 2R mJM ;
12
12222
i2 r
R gGr R JM .
Înlocuind în expresia lucrului mecanic virtual, rezultă:
0r R R
gQ
r R R
Qr R
gGr R
g2PR
ML 1
2
2
21
2
211
2
1221
21
m1
sau 1
2
2
212121
2
21m r
R R
g
Q
g
R GR
g2
PR
r
R R QM
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 474/487
47315. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
15.7. PROBLEME PROPUSE
1. Două bare de greutate G şi lungimea 3l sunt articulate în A ladistanţa AB = AB’ = l (fig. 15.20). Pentru a sta sub un unghi 2 = 60o
suntr legate cu un fir orizontal la distanţa a)2
ABx ; b)
2
ACx . Să
se calculeze tensiunea din fir.
R: a) 3GT ; b)
3
3G2T
2. Patru bare egale de lungimea l , sunt articulate între ele astfel
încât într-un plan orizontal formează un pătrat (fig. 15.21). Vârfurile C şiD sunt legate între ele printr-un fir elastic de lungime naturală 20 l l
(în poziţia iniţială firul este întins). Se cer forţele F în cele două vârfuri,
perpendiculare pe fir, astfel încât firul să capete lungimea4
5 0l . Acest fir
atârnat vertical, cu greutatea G la capăt se alungeşte cu
2
0l .
R: F=0,265 G
Fig. 15.20 Fig. 15.21
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 475/487
474 MECANICĂ
3. O sferă de greutatea G şi raza R se reazemă pe bara AB de
greutate 2G şi lungimea 4R (fig. 15.22). Sistemul este prins de un peretecu un fir orizontal. Să se determine tensiunea în fir când = 60o.
R: 13GT
4. Şurubul 1 al mecanismului de presare din figura 15.23 are pasulh. Asupra lui acţionează cuplul de moment M ce transmite forţa de presare
prin intermediul barei articulate 2 ce formează unghiul cu orizontala.Să se determine forţa de reacţiune Q din partea piesei presate, asupra
pistonului 3.
R:
tgh
M2Q
5. Două bare de lungimea l 1 şi greutate G1 respectiv l 2; şi greutate G2
sunt articulate în B. În C se reazemă
bara BC pe un plan orizontal, iar în Aeste articulată bara AB (fig. 15.24).Cunoscându-se unghiurile şi şidistanţa h să se determine forţa Porizontală, necesară pentru această
poziţie de echilibru.
R:
sin2
coscosGGP 21
Fig.15.22 Fig. 15.23
Fig. 15.24
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 476/487
47515. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
6 . Să se determine reacţiunile din încastrarea A pentru grinda din
figura 15.25, ştiind că: M0 = qa2
; şi F = qa, unde q este forţă unitară.
R: 2A qa4M ; qa
2
3YA
7 . Aplicând metodadeplasărilor virtuale să secalculeze eforturile din
barele grinzii cu zăbrele dinfigura 15.26, ştiind că AB =AC = a, CD = 2a.
R: PSSS 321 ;
2
5PS4 ; 2PS5
8. Mecanismul limitator pentru deschiderea orificiului de eliminarea
zgurei din furnale este prezentat în figura 15.27. Orificiul este normal închis,sub acţiunea contragreutăţii A de greutate P. Mecanismul are bielele CK =DF, BE = OO1 =O2O3 =CD În poziţia de funcţionare normală OB formeazăunghiul , cu verticala, iar KC unghiul . Să se determine forţa Q deapăsare asupra dopului 2, dacă OB = b, OA = a, 090BOA ;
090PCD .
R:
sin b
cossinaPQ
Fig. 15.25
Fig. 15.26
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 477/487
476 MECANICĂ
9. Masa orizontală pentru ridicarea laminatelor, prezentată în figura15.28, este acţionată demanivela OA = O1D = r şi
momentul M. Dacălaminatul are greutatea Q şimasa este în poziţiaorizontală, să se determinedeformaţia f a arcului alcărui capăt apasă pe
pârghia D. Se cunoaşte coeficientul K de elasticitate al arcului şi0
1 90BDO .
R:
coskr cosQar Mb
f 2
10. Aplicând principiul deplasărilor virtuale să se determine reacţiuneadin reazemul B, pentru sistemul de bare din figură. Barele au greutăţi neglijabileiar forţele aplicate au mărimile cunoscute indicate pe desen (fig. 15.29).
R: P NB
Fig. 15.27
Fig. 15.28
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 478/487
47715. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
Fig. 15.31
11. Mecanismul de reglarea lagărului axial din figura 15.30
este acţionat de momentul M prin intermediul angrenajului curoţile conice 2 si 3 de raze r
2; r
3
şi a şurubului 4 cu pasul h. Ştiindcă pana de reglare are unghiul şi lagărul axial este acţionatde forţa Q să se determinemomentul M.
R:
tgr 2hr QM3
2
12. Două bare legate degreutate G şi lungime l , suntaşezate ca în figura 15.31. şilegăturile cu un fir CE. Să se de-
termine tensiunea din fir laechilibru, cunoscând unghiurile şi .
R:
sincos2sincos
sinsinG2T
Fig. 15.30
Fig. 15.29
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 479/487
478 MECANICĂ
13. Patru bare de greutate G şi lungimel se reazemă pe două cuie C şi C’, având
distanţa 2a între ele (fig. 15.32). Se cereunghiul sub care se aşează sistemul deechilibru. În D acţionează forţa P
R:
l
a
P2G4
PG4sin 3
14. Fie două bare AB şi CD de greutate2G şi o lungime 2l din care este articulată
bara BD, de greutate G şi lungimea l . Pentrua obţine poziţia din figura 15.33 se leagăsistemul cu un fir vertical AD. Să se detrminetensiunea din fir
R: T = 3 G
15 . Trei bare egale de greutate G şi lungimea l sunt legate cu firulAD de lungimea l (fig. 15.34). Se cere la echilibru tensiunea din fir.
R: 3252
GT
Fig. 15.34 Fig.15.33
Fig. 15.32
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 480/487
47915. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
16 . Patru bare sunt articulateîn A de un tavan. Barele BC şi BC’
au greutatea G şi lungimea l , iar barele AC şi C’A au greutatea P şi
lungimea 3l (fig. 15.35). Firul AB
care ţine sistemul în echilibru arelungimea l . Se cere forţa T în fir, laechilibru.
R:2
PGT
17. Fie patru bare articulate. Barele AB şi A’B’ au greutatea 2G şilungimea 2l , iar barele BC şi B’C au greutatea G şi lungimea l . Pentru asta în poziţia din figură, barele sunt legate cu un fir vertical (fig. 15.36).Să se determine forţa T din fir.
R: 4
G7T
18. Sistemul de corpuri din figura 15.37 se pun în mişcare din acţiuneagreutăţilor proprii. Să se determine acceleraţia cu care coboară corpul(1),de greutate 5Q cunoscând: forţa Q, razele R, raza de inerţie a corpului(2),
2R i2 , unghiul şi coeficientul de frecare la rostogolire s.
Fig. 15.35
Fig. 15.36
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 481/487
480 MECANICĂ
R: g
16
336
cosR 2
ssin6
a1
19. Să se determine momentulmotor M
m ce trebuie aplicat la axul
rotii(1), pentru ca sistemul de corpuridin figura 15.38, să demareze cuacceleraţia unghiulară 1. Se cunoscrazele R 1,R 2,R 3, forţa Q şimomentele masice de inerţie J1 ;şiJ2
Se neglijează masele scripetilor(3)şi (4) de raza r şi frecările din sistem.
R: 2
311redm R
R R
2
QJM
Fig.15.37
Fig. 15.38
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 482/487
48115. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ
unde
2
2
31
2
2
1
21red R
R R
g4
Q
R
R JJJ
20. Un transportor cu bandă este antrenat de un motor electric cedezvoltă un cuplu de moment Mm. Să determine acceleraţia unui corpde greutate P, aşezat pe
bandă. Se cunosc razele R şi greutăţile G ale rolelor deantrenare şi susţinere (fig.15.39). Banda transportoareformează unghiul cuorizontala.
R:
g
GPR
sinPR Ma m
21. Sistemul de bare articulat di figura 15.40este format din barele 1 şi 2 de greutăţi P
1 şi P
2
ce formează unghiul între ele. Articulaţiile O2 ,O1 şi A se află pe aceeaşi dreaptă iar AO1 = O1O2.Bara O2B se află în poziţie verticală,
perpendiculară pe AB. Să se determine forţa dinarc pentru poziţia de echilibru din figură.
R:
ctgPPF21
22. Mecanismul planetar din figura 15.41 este format din bara 1articulată în O pe care sunt fixate roţile de raze R şi r. Asupra barei 1acţionează momentul M1
iar asupra roţii 2 momentul M2. Dacă O
1A =
O3B , O
1O
3 = 8R/3, R = 4R/3, şi AB || O
1O
3, să se determine legătura
între M1 şi M
2 pentru această poziţie de echilibru a mecanismului.
R: 12 M41
9
M
Fig. 15.39
Fig.15.40
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 483/487
482 MECANICĂ
15.7.23. Scripetele 3 cu axă mobilăde rotaţie, de greutate P este suspendatcu un fir peste scripeţii 1 şi 2 de rază r (fig. 15.42). De axul scripetelui 3este fixat cu un fir corpul 4 de greutate Q. Să se determine momentul M
ce acţionează asupra roţii 1 pentru echilibrul sistemului de corpuri şideformaţia arcului de constantă k, corespunzătoare acestei poziţii deechilibru.
R: k 2
)QP(f ;
2
r )QP(M
Fig.15.41
Fig. 15.42
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 484/487
BIBLIOGRAFIE 483
BIBLIOGRAFIE
1. CEAUŞU, V., ENEŞAN, N. - Probleme de mecanică, Editura"Corifeu", Bucureşti, 2002.
2. BACRIA,V., - Macanică, I.P. "Traian Vuia", Timişoara,1980. 3. BEER, P.F., JOHNSTON, R.E., - Vector Nechanics for Engineers
- Dinamics. Mc Graw - Hill Companies, New York, 1996. 4. BÎRSAN,G.M., ALEXA,P., BORS,I., - Mecanica, vol. I,II, I.P. Cluj-
Napoca, 1983. 5. BRINDEU,L., - Mecanică-Dinamică, I.P. "Traian Vuia",
Timişoara,1981. 6. BUTENIN,I.V.,LUNT,I.L.,MERKIN,D.R., - Kurs teoreticeskoi
mehaniki, tom I,II, "Nauka", Moskva, 1985. 7. CÂNDEA,I. şi colectiv, - Mecanica, Univesitatea "Transilvania"
Braşov, 1992. 8. CÂNDEA. I., CONSTANTIN, FL., şi alţii, - Mecanica - Statica
- Teorie şi aplicaţii. Editura Universităţii Transilvania din Braşov, 2002.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 485/487
484 MECANICĂ
9. CONSTANTIN,Fl., - Mecanică, Universitatea din Braşov, 1989.10. CONSTANTIN,Fl., - Mecanica-Statica, Universitatea "Transilvania"
din Braşov, 1991.11. CONSTANTIN,Fl., şi colectiv,- Mecanica-Cinematica, Univer-sitatea "Transilvania" din Braşov, 1993.
12. CONSTANTIN,Fl., şi colectiv, - Mecanica-Culegere de probleme
- Statica - Universitatea "Transilvania" din Braşov, 1996.13. CONSTANTIN,Fl., COTOROS L., - Mecanică - Teorie şi
aplicaţii. - , Editura "Lux Libris", Braşov, 1996.14. CONSTANTIN,Fl. şi colectiv - Mecanica, Statica - Culegere
de probleme - Editura "Elida", Braşov, 2000.15. CONSTANTIN, FL., SECARĂ, E. - Culegere de probleme -
Dinamica.Editura "Lux Libris", Braşov, 2003.16. CONSTANTIN, FL. Probleme de mecanică - Cinematica şi
dinamica.Editura "Lux Libris", Braşov, 2004.17. CONSTANTIN, FL. - Statica şi aplicaţiile ei tehnice. Editura
"Tehnopress", Iaşi, 2005.18. CONSTANTIN FL. - Aplicaţii ale staticii în construcţii. Editura
"Lux Libris" Braşov, 2008.19. KITTEL,C.,KNIGHT,W.,RUDERMAN,M., - Mechanics -Berkeley Physics Cours,vol.I E.D.P., Bucureşti, 1981 (traducere).
20. KOLESNIKOV,K.S. şi colectiv, Sbornik zadaci po teoreticeskoi
mehanike, "Nauka", Moskva, 1983.21. LUGOJANU, RUX., ENESCU, I., - Mecanica - Editura "Lux Libris",
Braşov, 1998.22. MESCHCHERSKY,I.V., -Collection of problems in theoretical
mecanics, The higher school publishing house, Moscow,1968.23. MOSU,N.,CONSTANTIN,Fl., - Mecanică, Universitatea dinBraşov, 1981.
24. MOSU,N.,DELIU, Gh.,LUGOJANU, R.,ACHIRILOAIE,P.,CONSTANTIN,Fl., - Mecanica tehnică - pentru subingineri, Univer-sitatea "Transilvania" din Braşov, 1979.
25. MOSU,N., DELIU,Gh., SIRBU,N., CÂNDEA,I., CONSTANTIN,Fl.,DUMITRU,O., - Mecanica pentru subingineri, E.D.P. Bucureşti, 1981.
26. OLARIU,V., SIMA,P.,BENCHE,L., MOSU,N., DELIU,Gh.,
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 486/487
BIBLIOGRAFIE 485
TOFAN,M., CÂNDEA,I., CONSTANTIN,Fl., LUGOJANU,R.,VLASE,S., ROSCA,I., SECARĂ,E., SOFARIU,I., - Mecanică - Lucrări
de laborator , Universitatea din Braşov, 1987.27. OLARIU,V., SIMA,P.,BENCHE,L., MOSU,N., DELIU,Gh.,TOFAN,M., CÂNDEA,I., CONSTANTIN,Fl., LUGOJANU,R., VLASE,S.,ROSCA,I., SECARĂ,E., SOFARIU,I., - Mecanică - Culegere de probleme,vol.I,II Universitatea din Braşov, 1988.
28. PLAVITA,C., şi colectiv, - Probleme de mecanică, fizică şi
acustică, E.D.P., Bucureşti, 1981.29. POPA, AL., EPARU, N., RUSU, L. Probleme de mecanică -
Statica. Editura Universităţii din Ploieşti, 2001.30. POPOVICI,M.,STAICU,St., - Mecanică tehnică vol.I,II,III,Editura tehnică, Bucureşti,1982.
31. RADES,M., - Metode dinamice pentru identificarea sistemelor
mecanice, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1979.32. RADOI,M.,DECIU,E., - Mecanica, E.D.P., Bucureşti, 1977.33. RILEY, F.W., STURGES, D.L., - Engineering Mechanics -
Dinamics. John Wiley & Sons, inc., New York, 1996.
34. RIPIANU,A. şi colectiv - Culegere de probleme de mecanicătehnică, vol.I,II, I.P. Cluj-Napoca, 1986.
35. RIPIANU,A., POPESCU,P., BALAN,B., - Mecanică tehnică, E.D.P.,Bucureşti, 1979.
36. SARIAN,M., şi colectiv - Probleme de mecanică, E.D.P. ,Bucureşti, 1975.
37. SECARĂ,E., CONSTANTIN, F., - Mecanică - Teorie şi aplicaţii,Editura Lux Libris, Braşov, 2000.
38. SECARĂ,E., Mecanică - Statica, Reprografia Universităţii din Braşov,Braşov, 1977.39. SECARĂ, E., Mecanică - Cinematica, Editura Lux Libris, Braşov,
2000.40. SERBU,AD., CURTU,I., LUGOJANU,R., MUNTEANU,M.,
BOLFA,TR., - Mecanică şi rezistenţa materialelor - Culegere de
probleme, Universitatea dinBraşov, 1978.41. SIMA,P., OLARIU,V., MACOVEI,M., - Mecanică tehnică,
Aplicaţii - Statica,Editura tehnică, Bucureşti, 1990.
7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii
http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 487/487
486 MECANICĂ
42. VLASE, S. - Dinamica. Editura Infomarket, Braşov, 2005.43. VOINEA,R., VOICULESCU,D., CEAUŞU, - Mecanică, E.D.P.
Bucureşti 1983.44. Probleme de mecanică - date la concursurile profesionalştiinţifice, ed. lll-a, IP "Transilvania", Timişoara, 1981.