mecánica teórica tema 2. dinámica básica de la partícula aislada y

Introduccion a la Mecanica Lagrangiana. Ligaduras

Tema 2A

Universidad de Sevilla - Facultad de Fısica

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25 de septiembre de 2017

Tema 2A (Grupo 2) Mecanica Teorica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 1 / 51

Tema 2: Formulacion Lagrangiana. Ligaduras

Contenido

1 Principio diferencial de D’Alambert

2 Ecuaciones de Lagrange

3 Multiplicadores de Lagrange


Principio diferencial de D’AlambertDesplazamiento virtual (δ~ri)

Concepto basico en la Mecanica Analıtica

Conjunto de los desplazamientos imaginarios

que pueden efectuarse por el conjunto de los

puntos del sistema, compatibles con las

ligaduras, que se efectuan de forma

instantanea, siendo, por tanto, independientes

del tiempo


Desplazamiento virtual (δ~ri)


Ejercicio: Partıcula libre en tres dimensiones

Escribir el principio de D’Alambert para una

partıcula libre en tres dimensiones

Obtener la segunda ley de Newton para la

partıcula libre en 3D a partir del principio de

D’Alambert


Ejercicio: Partıcula insertada en un alambre

Consideramos una partıcula de masa m

obligada a moverse por un alambre que forma

un angulo α con la horizontal (eje x) bajo la

accion de la gravedad

Admitiendo que el movimiento tiene lugar en

un plano, obtener las ecuaciones del

movimiento de la partıcula a partir del

principio de D’Alambert


Principio diferencial de D’Alambert

La expresion obtenida con el principio de

D’Alambert es:

∑r

{[ddt

(∂T∂qr

)− ∂T

∂qr

]− Qr

}δqr = 0


Ecuaciones de Euler-Lagrange


Ejemplo: dependencia en el tiempo

Las funciones de transformacion ~ri = ~ri (qj , t) pueden dependerdel tiempo

El sistema de coordenadas generalizadas puede moverse

Por ejemplo, sistema de coordenadas fijo sobre la Tierra

Ejemplo:


Ejemplo: Dependencia temporal


Ejemplo: Arbitrariedad de la Lagrangiana


Hipotesis realizadasEnergıa potencial no depende de la velocidad


Energıa potencial depende de la velocidad


Fuerza electromagneticasobre una partıcula (1)


Fuerza electromagneticasobre una partıcula (2)

Tenemos ahora un potencial de la forma

V = V (qi , qi , t)

La fuerza generalizada sera:

Qj = −∂V∂qj

+ ddt (∂V∂qj )

Obtener la expresion de la componente x de la

fuerza de Lorentz que actua sobre la partıcula


Regla de supresion de puntos


Momentos generalizados (1)


Momentos generalizados (2)


Fuerzas generalizadas (1)


Fuerzas generalizadas (2)


Ecuaciones de Newton (1)


Ecuaciones de Newton (2)


Resumen


Sistema monogenico

Si todas las fuerzas en el sistema se derivan de un potencialgeneralizado, el sistema se denomina MONOGENICO

U es funcion de (q, q, t)

La fuerza de Lorentz es monogenica

Qj = − ∂U∂qj

+ ddt

(∂U∂qj

)Un sistema monogenico es conservativo solo si: U = U(q) o tenemosque ∂U

∂q = ∂U∂t = 0

Las ecuaciones de Lagrange funcionan en sistemas monogenicos


Formulacion Lagrangiana (resumen)


Funcion de disipacion de Rayleigh:Sistemas con rozamiento (1)

Sistema en presencia de campos no conservativos

En algunos casos se pueden separar las fuerzas actuantes en dos:fuerzas derivables de un potencial escalar y fuerzas claramentedisipativas

Son comunes los problemas donde coexisten las fuerzas gravitatorias(campo conservativo) y fuerzas de rozamiento

En tal situacion tenemos ddt

(∂L∂qj

)− ∂L

∂qj= Qj

En la Lagrangiana esta el potencial de las fuerzas conservativas, elresto de las fuerzas no derivables de un potencial, estan en Qj



Siempre podemos las fuerzas generalizadas en dos partes: la fuerzageneralizada correspondiente a las fuerzas conservativas, Qjc y lafuerza generalizada correspondiente a las fuerzas disipativas, Qjd

Qjc = −∂V∂qj

, se introduce en el primer miembro (como en los campos

conservativos)

En tal situacion tenemos ddt

(∂L∂qj

)− ∂L

∂qj= Qjd



En la Lagrangiana esta el potencial de las fuerzas conservativas, elresto de las fuerzas no derivables de un potencial, estan en Qj .Omitimos el subındice d .

En sistemas con rozamiento, donde la fuerza de rozamiento esproporcional a la velocidad (F=-kv), se define la funcion de Rayleigh,

R, como R = 12

∑i

(kxv

2ix + kyv

2iy + kzv

2iz

)ejercicio: la funcion de Rayleigh es igual a la mitad de la potencia delsistema necesaria para vencer las fuerzas de rozamiento



Con esta definicion, la fuerza generalizada correspondiente a lasfuerzas disipativas es igual a: − ∂R

∂qj

Se tiene Qjd =∑

i~Fi .

∂~ri∂qj

= −∑

i∂R∂~rj

∂~ri∂qj

= −∑

i∂R∂~rj

∂~ri∂qj

= − ∂R∂qj

Por tanto, las ecuaciones de movimiento para estos sistemas quedanen la forma:

ddt

(∂L∂qj

)− ∂L

∂qj= − ∂R

∂qj


Ejercicio: Pendulo simple inmerso en un fluido

Consideramos un pendulo simple inmerso en un

fluido que ofrece rozamiento al movimiento,

admitiendo que el rozamiento es isotropo, la

funcion de Rayleigh sera:

R = 12kv

2 = 12k(x2 + y 2

)= 1

2kl2ϕ2

La ecuacion del movimiento queda entonces en

la forma:

ml2ϕ + kl2ϕ2 + mgl senϕ = 0


5. Multiplicadores de Lagrange (1)

No existe una forma general de resolucion para los sistemas noholonomos, habran de resolverse de forma particular

Si las ligaduras no holonomas son de un determinado tipo: ligadurasno holonomas de tipo diferencial, existe un metodo general deobtencion de las ecuaciones del movimiento, el metodo de losmultiplicadores de Lagrange.

Este metodo facilita, al mismo tiempo, la obtencion de las fuerzas deligadura


Multiplicadores de Lagrange (2)

Ligaduras no holonomas de tipo diferencial

Ligaduras denominadas tambien integrables o semiholonomas

Consisten en relaciones entre las velocidades generalizadas de laspartıculas del sistema que no son integrables

Si lo fueran, podrıamos, despues de su integracion, expresar unascoordenadas en funcion de las consideradas como independientes ytener tantas de ellas como grados de libertad del sistema

Estas ligaduras se expresan mediante ecuaciones del tipo:∑i alr qr = 0, donde las alr pueden ser constantes o funciones de las

coordenadas generalizadas qr

El subındice r va desde 1 hasta n + m. El subındice l se refiere a lasdistintas ecuaciones de ligaduras, cuyo numero esta representado porm.


Ejercicio: Disco que rueda sin deslizamiento por unasuperficie (1)

La proyeccion del centro del disco sobre elplano esta dada por las coordenadas x, yque seran las mismas coordenadas quetiene en cada instante el punto decontacto del disco con el plano

θ angulo que forma el eje del disco con eleje Y

ϕ angulo que sobre el eje Y ha rotado eldisco

podemos especificar la rotacion del disco ysu orientacion con las coordenadas θ, ϕ

Aunque el sistema tiene dos grados delibertad, y por tanto, debiera especificarsedos coordenadas generalizadas, la relacionentre θ, ϕ y x, y no es factible si lasolucion de las ecuaciones del movimientono se conoce

Figura: Un disco de radio arueda sobre el plano XY sindeslizar (se mantiene vertical)con su eje de giro siempreparalelo al plano XY


Ejercicio: Disco que rueda sin deslizamiento por unasuperficie (2)

Tenemos las ecuaciones: v = rϕ, x = −v cos θ, y = −v sen θ

Estas ecuaciones llevan a las dos ecuaciones diferenciales siguientes:dx + r cos θdϕ = 0, dy + r sen θdϕ = 0, que no son integrales

Si lo fueran podrıamos obtener unas funciones.f1(x, θ, ϕ) = 0, f2(y, θ, ϕ) = 0

Con ellas podemos conseguir x(θ, ϕ) y y(θ, ϕ)

Ası, la determinacion de (θ, ϕ) equivaldrıa a la determinacion de(x, y)

si existe f1(x, θ, ϕ) = 0, su diferencial serıa:∂f1∂x

dx +∂f1∂θ

dθ +∂f1∂ϕ

dϕ = 0

Con la ecuacion diferencial dx + rcosθdϕ = 0 vemos que∂f1∂θ

= 0,∂f1∂ϕ

= r cos θ

No se cumple la condicion para las funciones continuas/derivable:

∂2 f1∂θ∂ϕ

6= ∂2 f1∂ϕ∂θ

, f1 no existe

Figura: Un disco deradio a rueda sobre elplano XY sin deslizar (semantiene vertical) consu eje de giro siempreparalelo al plano XY


Metodo de los multiplicadores indeterminados de Lagrange(1)

Sea un sistema con n grados de libertad que tiene m ligadurassemiholonomas que se expresan con m ecuaciones de una de lasformas siguiente:∑

r alr qr = 0,∑

r alrdqr + altdt = 0,∑

r alrδqr = 0

el subındice r va desde 1 hasta n + m

Si multiplicamos dichas expresiones por parametros indeterminados λly realizamos la suma para todas las ecuaciones, se tendra∑

r

∑l λlalrδqr = 0



La expresion obtenida partiendo del principio de D’Alamber era:∑{[ddt

(∂T∂qr

)− ∂T

∂qr

]− Qr

}δqr = 0

Antes de considerar que todas las δqr son independientes, se suma elresultado anterior, relativo a las ligaduras, y∑{[

ddt

(∂T∂qr

)− ∂T

∂qr

]− Qr +

∑l λlalr

}δqr = 0

Al no ser independientes todas las δqr , no se puede hacer igual a cerola expresion entre corchetes



De las n + m coordenadas qr , se pueden elegir que las n primerassean coordenadas independientes, ası,[ddt

(∂T∂qr

)− ∂T

∂qr

]− Qr +

∑l λlalr = 0

Para los valores de r = 1, 2, ..., n

Como nada hemos dicho sobre la forma de los multiplicadores deLagrange λl se puede imponer ahora que,[ddt

(∂T∂qr

)− ∂T

∂qr

]− Qr +

∑l λlalr = 0

Para los valores de r = n + 1, n + 2, ..., n + m



Por tanto se establece que,[ddt

(∂T∂qr

)− ∂T

∂qr

]− Qr +

∑l λlalr = 0

Sera verdad para todos los valores de r , para los valores der = 1, 2, ..., n + m

Estas n + m ecuaciones, junto a las m ecuaciones de ligadura,∑l λlalr = 0

Proporcionan un sistema de n + 2m ecuaciones con n + 2mincognitas. Las n + m coordenadas qr y los m parametros λl



El termino:∑

l λlalr = 0 aparece en la ecuacion diferencial delmovimiento junto a Qr

Es una fuerza generalizada: la fuerza generalizada debida a la ligadura

El metodo de los multiplicadores de Lagrange nos permite:1 resolver el problema de obtener las ecuaciones de movimiento de un

sistema no holonomo y

2 obtener las fuerzas de ligadura

Podemos aplicar el metodo de los multiplicadores de Lagrange asistema holonomos, si estamos interesados en calcular las fuerzas deligadura. Para ligaduras holonomas la relacion entre las coordenadasgeneralizadas y las ligaduras se puede expresar tambien en la forma:∑

l alr qr = 0


Metodo de los multiplicadores indeterminados de Lagrangepara campos conservativos

El sistema de ecuaciones a resolver es,[ddt

(∂T∂qr

)− ∂T

∂qr

]− Qr +

∑l λlalr = 0∑

l λlalr = 0 r = 1, 2, ..., n + m

Para sistemas conservativos,las fuerzas generalizadas, Qr , se expresan:Qr = − ∂V

∂qr, donde V es el potencial dependiente de las coordenadas,

pero no dependiente, en general, de las velocidades generalizadas

Podemos escribir:[ddt

(∂(T−V )

∂qr

)− ∂(T−V )

∂qr

]+∑

l λlalr = 0, es decir[ddt

(∂L∂qr

)− ∂L

∂qr

]+∑

l λlalr = 0∑l alr qr = 0


Ejercicio: Ecuacion de movimiento de la maquina deAtwood y tension del hilo

El movimiento de cada una de las dosmasas se efectua en la direccion vertical

El sistema tiene un solo grado de libertad

La unica coordenada generalizada podrıaser, por ejemplo, la distancia desde elcentro de masas de la partıcula M a lahorizontal que contiene el centro de lapolea, x

El origen de potenciales sera estahorizontal

Vamos a considerar una segundacoordenada, y , que sera la distancia quesepara la masa m de la citada horizontal

Al ser el hilo inextensible se tiene:x + y = l (ligadura)

Figura: Consideramos dos masasM y m con M > m y hilo delongitud l + πR (masadespreciable) con R el radio dela polea (masa despreciable)


Principio de Hamilton


mecánica teórica tema 2. dinámica básica de la partícula aislada y

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