MECÂNICA GERAL 1Marcel Merlin dos Santos

TÓPICOS DE HOJE

� Revisão de álgebra vetorial� Lei dos cossenos� Lei dos senos� Exercícios� Componentes cartesianas de uma força� Exercícios� Equilíbrio de uma partícula� Diagrama do corpo livre� Exercícios

REVISÃO DE ÁLGEBRA VETORIAL

� Deslocamentos, velocidades, acelerações, forças, momentos de força são exemplo de grandezas físicas que possuem intensidade, direção e sentido, e podem ser representadas por vetores.

� Para somarmos 2 vetores basta unirmos a origem do segundo vetor com a extremidade do primeiro vetor, como mostrado na figura abaixo.

P

Q

P + Q

LEI DOS COSSENOS

� Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

� Para esses triângulos podemos escrever:

� Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

LEI DOS SENOS

� A lei dos senos estabelece a relação entra a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.

� A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.

EXERCÍCIO

� Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é de 5 kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine:

� a) a tração em cada corda sabendo que α = 45o.� b) O valor de α para T2 mínimo

EXERCÍCIO

� Determine a intensidade da resultante das duas forças ilustradas

� Resposta: R=707N, α=50,8o

EXERCÍCIO

� Duas peças B e C estão rebitadas em um suporte A. Ambas sofrem compressão por forças de 8kN, em B, e 12 kN em C. Determine a força resultante em A.

� Resposta: R=17kN, α=84,8o

EXERCÍCIO

� Um carro avariado é puxado por duas cordas, como mostrado na figura abaixo. A tração em AB é de 400 N, e o ângulo α é de 20º. Sabendo que a resultante das duas forças aplicadas em A tem a direção do eixo do carro, utilizando trigonometria determine:

� a) a tração na corda AC

� b) a intensidade da resultante das duas forças aplicadas em A

� Resposta: R=896N, TAC=585N

COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA

FORÇA

� Em muitos problemas haverá a necessidade de decompor as forças em duas componentes normais à outra. Normalmente usamos os eixos y e x seguindo as direções vertical e horizontal, embora possamos tomar duas direções perpendiculares quaisquer.

� Podemos decompor a força F em função dos vetores unitários e das componentes cartesianas, da seguinte maneira:

Fy

i

j

Fx

F

α

COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA

FORÇA

� Com base no modelo da figura, podemos calcular as componentes escalares de x e y da seguinte maneira:

Fy

i

j

Fx

F

α

EXERCÍCIO

� A haste CB exerce no bloco B uma força P dirigida ao longo da reta CB. Sabendo que P tem uma componente horizontal de 200N, determine:

� a) a intensidade da força P

� b) A componente vertical

� Resposta: P=261N, Py=-168N

EXERCÍCIO

� A tração no cabo AC é de 370N. Determine as componenteshorizontal e vertical da força exercida em C.

� Resposta: TACy=350N, TACx=-120N

ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS

DECOMPOSIÇÃO DAS FORÇAS EM X E Y

� Quando há três ou mais forças é difícil obter uma solução trigonométrica para o cálculo da resultante dessas forças. Uma alternativa para encontrar a resultante é decompor cada uma das forças em componentes cartesianas. Considere três forças P, Q e S atuantes em um ponto. Sua resultante R será:

R=P+Q+S� Decompondo cada força em suas componentes cartesianas, pode-

se escrever a resultante da seguinte maneira:

� Decompondo cada força em suas componentes cartesianas, pode-se escrever a resultante da seguinte maneira:

� Ou, de forma compacta,

EXERCÍCIO

� Quatro forças atuam no parafuso A da figura. Determine a resultante das forças que agem no parafuso.

� Resposta: Rx=199,1N, Ry=14,3N, R=199,6N, α=4,11º

EXERCÍCIO

� Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A. Um terceiro cabo, AC, é usado para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que a resultante das três forças aplicadasem A seja vertical.

� Resposta: TAC=25,6kN

EXERCÍCIO

� O carrinho da figura é solicitado por três forças. Determine:

� a) o valor do ângulo α para o qual a resultante das três forças sejavertical

� b) a intensidade da resultante

� Resposta: α=36,9º; R=-80N

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA

� Equilíbrio: Substantivo masculino que significaharmonia, estabilidade, solidez. É o estado que se distribui de maneira proporcional.

0==∑FR

� Primeira lei de Newton: quando a resultante (R) de todas as forças (F) que atuam sobre um pontomaterial for zero, este ponto estará em equilíbrio(repouso ou movimento retilíneo uniforme).

x

yEQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA

0==∑FR

F1=?

F2=?

F4=2000N

F3=1000N

30o

30o0

0

=

=

∑

∑

y

x

F

FOu seja:

Supondo que para a direita e para cima o sinal seja positivo:

=∑ xF

=∑ yF

NF

F

1500

05001000

1

1

=

=−−

1F )30(2000 sen⋅− )30(.1000 sen− 0=

NF

F

866

)30cos(1000

2

2

=

⋅+−

2F− )30cos(1000 ⋅− )30cos(2000 ⋅+ 0=

DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

� No esquema do exemplo anterior, todas as forçasexercidas sobre o ponto foram representadas emum diagrama. Este diagrama é conhecido comoDiagrama de corpo livre.

x

y

F1=?

F2=?

F4=2000N

F3=1000N

30o

30o

EXERCÍCIO

Um caixote de 75 kg é sustentadopor um cabo vertical unido em A a duas cordas que passam porroldanas fixas nos prédios (B e C). Determinar a tração em cadacorda.

P=m.g=75.9,8=736N

TAB=?

30o50o

TAC=?ABABAC

ABACx

TTT

TTF

742,0)30cos(

)50cos(

0)50cos()30cos(

==

=⋅−⋅=∑

0)50()30( =−⋅+⋅=∑ PsenTsenTF ABACy

A TAC.cos(30)TAB.cos(50)

TAC.sen(30)TAB.sen(50)

NTTNT

T

TT

ABACAB

AB

ABAB

480742,0;647137,1

736

736137,1

0736766,05,0742,0

=⋅===

=⋅

=−⋅+⋅⋅

EXERCÍCIO

� A manga A pode deslizar livremente sobre o eixo horizontal, sematrito. A mola presa à manga tem constante 1751 N/m e elongaçãonula quando a manga está diretamente embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P necessária para manter o equilíbrio quando c=228 mm.

� Resposta: R=80N

EXERCÍCIO

� A manga A com 7,5 kg desliza sem atrito em um eixo vertical. Elaestá presa por um fio, através de uma polia sem atrito e a um peso de 8,5 kg. Determine a altura h para que o sistema esteja emequilíbrio.

� Resposta: h=0,75m

EXERCÍCIO

� Determine o ângulo α da Figura para o qual a tração seja a menorpossível no cabo BC. Calcule também as trações nos cabos BC e AC.

� Resposta: α=35º, TAC = 410N, TBC= 287N