mecánica de materiales, 6ta edición - r. c. hibbeler

Sexta edicin

PEARSON

R. C. Hibbeler

Prentice HaU

MECNICA DE MATERIALESS E X T A E D I C I N

R. C. HibbelerTRADUCCIN Jos de la Cera AlonsoProfesor Titular, U niversidad A utnom a M etropolitana

Virgilio Gonzlez y PozoF acultad de Q um ica, U niversidad N acional A utnom a de M xicoREVISIN TCNICA Alex Elias Zuiga Ingenierio Industrial Mecnico Instituto Tecnolgico de Pachuca Maestra en Ingeniera Mecnica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey Doctorado de Ingeniera Mecnica University o f Nebraska, Lincoln, EUA Miembro del Sistema Nacional de Investigadores - SNI Director de lngene ra Mecnica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey

PEARSONMxico Argentina Brasil Colombia Costa Rica Chile Ecuador Espaa Guatemala Panam Per Puerto Rico Uruguay Venezuela

/ Datos de catalogacin bibliogrfica

R. C . Hibbeler Mecnica de materiales

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006 ISBN: 970-26-0654-3 Form ato: 20 X 25.5 cm Pginas: 896

A uthorized translation from the English language edition entitled, Mechanics o f Materials, by R. C, H ibbeler, publi shed by Pearson E ducation, Inc., publishing as P R E N T IC E H A L L , INC., Copyright 2004. All rights reserved. ISBN 0-13-191345 X Traduccin autorizada de la edicin en idiom a ingls, titulada M echanics o f Materials, por R. C. H ibbeler, publica da por Pearson E ducation, Inc., publicada com o P R E N T IC E H A L L , INC., C opyright 2004. Todos los derechos reservados. E sta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol: Editor: Supervisor de desarrollo: Supervisor de produccin: SEXTA EDICIN, 2006 D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico Email: [email protected] Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031. Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0654-3 Impreso en Mxico/Printed in Mxico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 Pablo Miguel Guerrero Rosas e-mail: [email protected] Esthela Gonzlez Guerrero Enrique Trejo Hernndez

PEARSON

AL ESTUDIANTECon el deseo de que esta obra estim ular el inters en la ingeniera m ecnica y servir com o una gua aceptable para su com presin.

P R E F A C I O

El propsito principal de este libro es p ro porcionar al lector una p resen tacin clara y minuciosa de la teora y aplicaciones de la ingeniera m ec nica; p ara esto se basa en la explicacin del com portam iento fsico de los m ateriales som etidos a carga a fin de realizar un m odelo de este com por tam iento que sea a su vez, el m odelo de la teora. Se hace nfasis en la im portancia de satisfacer los requisitos del equilibrio, de la com patibilidad de la deform acin y del com portam iento del m aterial.

Caractersticas del textoLas siguientes son las caractersticas ms im portantes del texto.

Las secciones Procedim iento de anlisis, Puntos im portantes y R epaso del captulo proporcionan una gua para la resolucin de problem as y un resum en de los conceptos.Resmenes.

Se utilizan num erosas fotografas a lo largo del libro para explicar cm o se aplican los principios de la m ecnica de m a teriales a situaciones del m undo real. En algunas secciones, se m ues tran cm o los m ateriales se deform an o fallan bajo carga para as proporcionar un entendim iento conceptual de los trm inos y con ceptos.Fotografas.

Los problem as propuestos son de aplicacin fcil, m e dia y difcil. A lgunos de ellos requieren de una solucin, con ayuda de la com putadora. Se ha puesto un cuidado especial en la p resen tacin y en sus soluciones, stas han sido revisadas en su totalidad para garantizar su claridad y exactitud num rica.Problemas. Ilustraciones. E n varias partes del libro se han agregado figuras y fotografas que proporcionan una clara referencia a la naturaleza tridim ensional de la ingeniera. H em os tratad o de ilustrar concep tos complicados o abstractos para instruir y poder motivar a los lecto res a travs de lo visual.

ContenidoEl libro est dividido en 14 captulos. El captulo 1 com ienza con un rep a so de los conceptos im portantes de la esttica, seguido por definiciones form ales de los esfuerzos norm ales y cortantes, as como p o r un anlisis del esfuerzo normal en m iem bros cargados axialm ente y del esfuerzo cor tante prom edio causado po r el cortante directo. E n el captulo 2 se definen la deform acin unitaria norm al y cortante, y en el captulo 3 se presenta una descripcin de algunas de las p ro p ied a des m ecnicas de los m ateriales. Los captulos 4 ,5 y 6 contienen, respec tivam ente, explicaciones de la carga axial, la torsin y la flexin. E n cada uno de esos captulos se considera el com portam iento tanto lineal-elsti-

v iii

P r e f a c io

co com o plstico. Tambin se incluyen tem as relacionados con concentra ciones de esfuerzo y esfuerzo residual. El cortante transversal se descri be en el captulo 7, ju n to con una descripcin de los tubos con pared del gada, flujo de cortante y del centro de cortante. El captulo 8 m uestra un repaso parcial del m aterial presentado en los captulos anteriores, y se des cribe el estado de esfuerzos causados por cargas combinadas. E n el cap tulo 9 se presentan los conceptos de transform acin de estados de esfuer zo multiaxial. En form a parecida, el captulo 10 describe los m todos de transform acin de deform acin unitaria, que incluyen la aplicacin de va rias teoras de la falla. El captulo 11 es un resum en y repaso ms del m a terial anterior, describiendo aplicaciones al diseo de vigas y ejes. En el captulo 12 se cubren varios mtodos para calcular deflexiones de vigas y ejes. Tambin se incluye una descripcin del clculo de las reacciones en esos miembros, cuando son estticam ente indeterm inados. E l captulo 13 presenta una descripcin del pandeo en columnas y, por ltimo, en el ca ptulo 14 se resean el problem a del im pacto y la aplicacin de varios m todos de energa para calcular deflexiones. Las secciones del libro que contienen m aterial ms avanzado se identi fican con un asterisco (*). Si el tiem po lo perm ite, se pueden incluir algu nos de esos tem as en el curso. A dem s, este m aterial es una referencia adecuada de los principios bsicos,, cuando se usen en otros cursos, y se puede usar como base p ara asignar proyectos especiales.

Mtodo alternativo . A lgunos profesores prefieren tratar prim ero las transform aciones de esfuerzos y deform aciones unitarias, antes de estu diar las aplicaciones especficas de la carga axial, la torsin, la flexin, y la fuerza cortante. U na m anera posible para hacerlo as es tratar prim ero el esfuerzo y sus transform aciones que se ven en los captulos 1 y 9, seguido por la deform acin unitaria y sus transform aciones que se ven en el cap tulo 2 y en la prim era p a rte del captulo 10. El anlisis y problem as de ejemplo en estos captulos se han form ulado para hacer esto posible. A de ms, los conjuntos de problem as se han subdividido de m anera que este m aterial pueda ser cubierto sin un conocim iento previo de los captulos intermedios. Los captulos 3 al 8 pueden ser entonces estudiados sin p r dida de continuidad.

Caractersticas especialesOrganizacin y enfoque. El contenido de cada captulo est orga nizado en secciones bien definidas que contienen una explicacin de temas especficos, problem as de ejem plo ilustrativos y un conjunto de proble mas de tarea. Los tem as de cada seccin estn agrupados en subgrupos definidos por ttulos. El propsito de esto es presentar un m todo es tructurado para introducir cada nueva definicin o concepto y hacer el libro conveniente para referencias y repasos posteriores. Contenido de los captulos. Cada captulo comienza con una ilustra cin que m uestra una aplicacin del m aterial del captulo. Se proporcio nan luego los O bjetivos del captulo que proporcionan una vista gene ral del tem a que ser tratado.

P r efa cio

ix

Procedim ientos de anlisis. Se presenta al final de varias secciones del libro con el objetivo de dar al lector una revisin o resum en del m a terial, as com o un m todo lgico y o rdenado a seguir en el m om ento de aplicar la teora. Los ejem plos se resuelven con el m todo antes descrito a fin de clarificar su aplicacin num rica. Sin em bargo, se entiende que una vez que se tiene dom inio de los principios relevantes y que se ha ob tenido el juicio y la confianza suficientes, el estudiante podr desarrollar sus propios procedim ientos p ara resolver problem as. Fotografas. Se utilizan num erosas fotografas a lo largo de todo el li bro p ara explicar cm o se aplican los principios de la mecnica a situacio nes del m undo real. Puntos im portantes. A q u se proporciona un repaso o resum en de los conceptos fundam entales de una seccin y se recalcan los tem as m e dulares que deban tom arse en cuenta al aplicar la teora en la solucin de problem as. Entendim iento conceptual. Por m edio de fotografas situadas a lo largo de todo el libro, se aplica la teora de una m anera simplificada a fin de ilustrar algunas de las caractersticas conceptuales ms im p o rtan tes que aclaran el significado fsico de m uchos de los trm inos usados en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas increm entan el inters en el tem a y preparan m ejor al lector para en ten d er los ejem plos y a resolver los problem as. Problemas de tarea. M ltiples problem as de este libro m uestran si tuaciones reales encontradas en la prctica de la ingeniera. Se espera que este realism o estim ule el inters p o r la ingeniera m ecnica y p roporcio ne la habilidad de reducir cualquiera de tales problem as desde su descrip cin fsica hasta el m odelo o representacin sim blica sobre los cuales se aplican los principios de la m ecnica. A lo largo del texto existe aproxi m adam ente igual nm ero de problem as que utilizan tanto las unidades SI com o las FPS. A dem s, en cada conjunto de problem as se ha in ten ta do presentar stos de acuerdo con el grado de dificultad en form a crecien te. Las respuestas a todos los problem as, excepto cada cuatro, se encuen tran listados al final del libro. P ara advertir al lector de un problem a cuya solucin no aparezca en la lista m encionada, se ha colocado un asterisco (*) antes del nm ero del problem a. Las respuestas estn dadas con tres cifras significativas, an cuando los datos de las propiedades del m aterial se conozcan con una m enor exactitud. Todos los problem as y sus solucio nes se han revisado tres veces. U n sm bolo c u ad ra d o () se usa para identificar problem as que requieren de un anlisis num rico o una apli cacin de com putadora. Repaso del captulo. Los puntos clave del captulo resum en en las nuevas secciones de repaso, a m enudo en listas con vietas. Apndices. C ontienen tem as de repaso y listas de datos tabulados. El apndice A proporcio n a inform acin sobre centroides y m om entos de inercia de reas. Los apndices B y C contienen datos tabulados de p e r files estructurales y la deflexin y la pendiente de varios tipos de vigas y

x

P refacio

flechas. El apndice D, llam ado R epaso para el exam en de fundam entos de ingeniera, contiene problem as tpicos ju n to con sus soluciones p ar ciales com nm ente usados en exm enes de ingenieros profesionales. Estos problem as tam bin pueden usarse como prctica y repaso en la p repara cin de exm enes de clase.

Revisin de la exactitud. E sta nueva edicin ha sido som etida a un riguroso escrutinio para garantizar la precisin del texto y de las pginas a las que se hace referencia. A dem s de la revisin del autor de todas las figuras y m aterial de texto, Scott H endricks del Instituto Politcnico de Virginia y Kurt Norlin de los Servicios Tcnicos Laurel, exam inaron to das las pginas de prueba as como todo el m anual de soluciones. Suplem entos

El autor prepar este m a nual cuya exactitud, tal como el texto del libro, fue verificada en tres ocasiones.Manual de soluciones para el profesor.

Course compass.

Course compass es una solucin en lnea ideal para ayudarle a dirigir su clase y a p rep arar conferencias, cuestio narios y exmenes. Con el uso de course compass, los profesores tienen un rpido acceso a los suplem entos electrnicos que le perm i ten incluir ilustraciones com pletas e im genes para sus presentacio nes en PowerPoint. Course compass hace accesibles las soluciones electrnicas (por seguridad en archivos individuales), y ayuda a ex hibir slo las soluciones que usted elige en el sitio Web. Por favor no difunda estas respuestas en niguna direccin electrnica no pro tegida.

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ReconocimientosA lo largo de los aos este texto ha incorporado muchas de las sugeren cias y com entarios de mis colegas en la profesin docente. Su estm ulo y buenos deseos de proporcionar una crtica constructiva son muy aprecia dos y espero que acepten este reconocim iento annimo. Mi agradecimien to se extiende tam bin a los revisores de las varias ediciones previas. B. Aalami, San Francisco State University R. Alvarez, Hofstra University C. A m m erm an, Colorado School o f Mines S. Biggers, Clemson University R. Case, Florida Atlantic University R. Cook, University o fW isconsin M adison J. Easley, University o fK a n sa s A. G ilat, Ohio State University I. Elishakoff, Florida Atlantic University H. Huntley, University o f M ichigan Dearborn

J. Kayser, Lafayette College J. Ligon, Michigan Technological University A. Marcus, University o f R hode Island G. May, University o f N ew M exico D. Oglesby, University o f M issouri Rolla D. Q uesnel, University o f Rochester S. Schiff, Clemson University C. Tsai, Florida Atlantic University P. Kwon, Michigan State University C. Lissenden, Penn State University D. Liu, Michigan State University T. W. Wu, The University o f Kentucky J. H ashem i, Texas Tech University A. Pelegri, Rutgers The State University o f N ew Jersey W. Liddel, A uburn University at M ontgom ery Q uisiera dar las gracias particularm ente a Scott H endricks del Instituto Politcnico de Virginia quien revis m inuciosam ente el texto y el m anual de soluciones de este libro. Tam bin hago extensiva mi gratitud a todos mis alum nos que han usado la edicin previa y han hechos com entarios para m ejorar su contenido. Por ltim o quisiera agradecer la ayuda de mi esposa, Cornelie (Conny) durante todo el tiem po que m e ha tom ado p rep arar el m anuscrito para su publicacin. A preciara mucho si usted en cualquier m om ento tiene com entarios o sugerencias respecto al contenido de esta edicin. Russell Charles Hibbeler hibbeler@ bellsouth.net

C O N T E N I D O

1Esfuerzo 31.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Introduccin 3 Equilibrio de un cuerpo deform able 4 Esfuerzo 22 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente 24 Esfuerzo cortante prom edio 32 Esfuerzo perm isible 49 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

3Propiedades mecnicas de los materiales 85Pruebas de tensin y com presin 85 El diagram a de esfuerzo-deform acin unitaria 87 C om portam iento esfuerzo-deform acin unitaria de m ateriales dctiles y frgiles 91 Ley de H ooke 94 E nerga de deform acin 96 R elacin de Poisson 107 El diagram a de esfuerzo-deform acin unitaria en cortante 109

*3.8 F alla d e m a te r ia le s p o r flu jo p l s tic o y p o r fa tig a 112

2Deformacin unitaria 692.1 2.2 D eform acin 69 D eform acin unitaria 4.1 4.2 70

4Carga axial 121Principio de Saint-V enant 121 D eform acin elstica de un m iem bro cargado axialm ente 124

x iv

C o n t e n id o

4.3 4.4

Principio de superposicin 138 M iem bro estticam ente indeterm inado cargado axialm ente 139 4.5 M todo de las fuerzas p ara el anlisis de m iem bros cargados axialm ente 145 4.6 Esfuerzo trm ico 154 4.7 C oncentraciones de esfuerzos 162 *4.8 D eform acin axial inelstica 168 *4.9 Esfuerzo residual 173

6.4 6.5 *6.6 *6.7 *6.8 6.9 *6.10 *6.11

La frm ula de la flexin 295 Flexin asim trica 313 Vigas com puestas 324 Vigas de concreto reforzado 331 Vigas curvas 333 C oncentraciones de esfuerzos 343 Flexin inelstica 352 Esfuerzo residual 361

5Torsin 1855.1 5.2 5.3 5.4 5.5 *5.6 *5.7 5.8 *5.9 *5.10 D eform aciones p o r torsin de una flecha circular 185 La frm ula de la torsin 188 Transm isin de potencia 197 ngulo de torsin 206 M iem bros estticam ente indeterm inados cargados con pares de torsin 221 Flechas slidas no circulares 228 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 231 C oncentracin de esfuerzos 242 Torsin inelstica 245 Esfuerzo residual 252

7Esfuerzo cortante transversal 3737.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Esfuerzo cortante en m iem bros rectos 373 La frm ula del esfuerzo cortante 375 Esfuerzos cortantes en vigas 378 Flujo cortante en m iem bros com puestos 392 Flujo cortante en m iem bros de pared delgada 401 *7.6 C entro de co rtan te 406

6Flexin 2636.1 6.2 D iagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante 263 M todo grfico para construir diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante 272 D eform acin p o r flexin de un m iem bro recto 291

8Cargas combinadas 4238.1 8.2 R ecipientes de presin de pared delgada 423 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 429

6.3

C o n ten ido

xv

9Transformacin de esfuerzo 4539.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 Transform acin del esfuerzo plano 453 Ecuaciones generales de la transformacin de esfuerzo plano 458 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mxim o en el plano 462 El crculo de M ohr (esfuerzo plano) 476 Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsin 485 Variaciones de esfuerzos a travs de una viga prismtica 486 Esfuerzo cortante mxim o absoluto 492 11.1 11.2 *11.3 *11.4

i iDiseo de vigas y ejes 557Base para el diseo de vigas 557 D iseo de vigas prism ticas 559 Vigas totalm ente esforzadas 573 D iseo de ejes 577

12Deflexin de vigas y ejes 587

10Transformacin de deformacin unitaria 50510.1 D eform acin unitaria plana 505 10.2 Ecuaciones generales de transform acin de deform acin unitaria plana 507 *10.3 Crculo de M ohr (deform acin unitaria plana) 514 *10.4 D eform acin unitaria cortante m xim a absoluta 522 10.5 R osetas de deform acin 525 10.6 Relaciones de propiedades de los m ateriales 530 *10.7 Teoras de la falla 542

12.1 La curva elstica 587 12.2 P endiente y desplazam iento por integracin 591 *12.3 Funciones de discontinuidad 609 *12.4 P endiente y desplazam iento p o r el m todo del m om ento de rea 620 12.5 M todo de superposicin 634 12.6 Vigas y ejes estticamente indeterm inados 641 12.7 Vigas y ejes estticam ente indeterm inados (m todo de integracin) 642 *12-8 Vigas y ejes estticam ente indeterm inados (m todo del m om ento de rea) 647 12.9 Vigas y ejes estticam ente indeterm inados (m todo de la superposicin) 653

xvi

C o n t en id o

Apndices

13Pandeo de columnas 66913.1 13.2 13.3 *13.4 *13.5 *13.6 Carga crtica 669 Columna ideal con soportes articulados 672 Columnas con diversos tipos de apoyos 678 La frmula de la secante 689 Pandeo inelstico 697 Diseo de columnas para carga concntrica 704 *13.7 Diseo de columnas por carga excntrica 716

A. A .l A.2 A.3 A.4

Propiedades geomtricas de un rea 798 Centroide de un rea 798 Momento de inercia de un rea 801 Producto de inercia de un rea 805 Momentos de inercia de un rea respecto a ejes inclinados 807 A.5 El crculo de Mohr para momentos de inercia 809 B. Propiedades geomtricas de los perfiles estructurales 815C. P en d ien tes y deflexiones en vigas 823

D.

Repaso para el examen de fundamentos de ingeniera 825

Respuestas 845 ndice 863

14Mtodos de energa 72714.1 Trabajo externo y energa de deformacin 727 14.2 Energa de deformacin elstica para varias clases de carga 732 14.3 Conservacin de la energa 746 14.4 Carga de impacto 752 *14.5 Principio del trabajo virtual 762 *14.6 Mtodo de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras 766 *14.7 Mtodo de las fuerzas virtuales aplicado a vigas 774 *14.8 Teorema de Castigliano 784 *14.9 Teorema de Castigliano aplicado a armaduras 786 *14.10 El teorema de Castigliano aplicado a vigas 790

acero esw"

S -* -

C A P I T U L O

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s f u

e r z 0

OBJETIVOS DEL CAPTULO

E n este captulo repasarem os algunos principios im portantes de la esttica y m os trarem os cm o se usan para determ inar las cargas internas resultantes en un cuer po. D espus, presentarem os los conceptos de esfuerzo norm al y esfuerzo cortan te y se estudiarn las aplicaciones especficas del anlisis y diseo de los m iem bros som etidos a una carga axial o a un cortante directo. -

>

1.1

Introduccin

La mecnica de m ateriales es una ram a de la m ecnica que estudia las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deform able y la intensidad de las fuerza internas que actan d en tro del cuerpo. E sta dis ciplina de estudio implica tam bin calcular las deformaciones del cuerpo y proveer un estudio de la estabilidad del mism o cuando est som etido a fuerzas externas. En el diseo de cualquier estructura o m quina, es necesario prim ero , usar los principios de la esttica para determ in ar las fuerzas que actan sobre y dentro de los diversos m iem bros. El tam ao de los miembros, sus deflexiones y su estabilidad dependen no slo de las cargas internas, sino tam bin del tipo de m aterial de que estn hechos. En consecuencia, una determ inacin precisa y una com presin bsica del com portam iento del material ser de im portancia vital para d esarrollar las ecuaciones nece sarias usadas en la m ecnica de m ateriales. D ebe ser claro que m uchas frm ulas y reglas de diseo, tal com o se definen en los cdigos de inge niera y usadas en la prctica, se basan en los fundam entos de la m ecni ca de m ateriales, y por esta razn es tan im portante entender los princi pios de esta disciplina.

3

4 CAPTULO 1 Esfuerzo

Desarrollo histrico. El origen de la m ecnica de m ateriales data de principios del siglo x v i i , cuando G alileo llev a cabo experim entos para estudiar los efectos de las cargas en barras y vigas hechas de diversos m a teriales. Sin em bargo, para alcanzar un entendim iento apropiado de tales efectos fue necesario establecer descripciones experim entales precisas de las propiedades mecnicas de un m aterial. Los m todos para hacer esto fueron considerablem ente m ejorados a principios del siglo xvm . E n aquel tiem po el estudio tanto experim ental com o terico de esta m ateria fue em prendido, principalm ente en Francia, p or personalidades com o SaintV enant, Poisson, Lam y Navier. D ebido a que sus investigaciones se ba saron en aplicaciones de la m ecnica a los cuerpos m ateriales, llam aron a este estudio resistencia de m ateriales. Sin embargo, hoy en da llamamos a lo mism o m ecnica de los cuerpos deform ables o sim plem ente, m e cnica de m ateriales. E n el curso de los aos, y despus de que muchos de los problem as fun dam entales de la m ecnica de m ateriales han sido resueltos, fue necesa rio usar m atem ticas avanzadas y tcnicas de com putacin para resolver problem as ms complejos. Como resultado, esta disciplina se extendi a otras reas de la m ecnica m oderna com o la teora de la elasticidad y la teora de la plasticidad. La investigacin en estos cam pos contina, no s lo p ara satisfacer las dem andas de solucin a problem as de ingeniera de vanguardia, sino tam bin para justificar ms el uso y las limitaciones en que se basa la teora fundam ental de la m ecnica de materiales.

1.2

Equilibrio de un cuerpo deformableD eb id o a que la esttica juega un papel esencial tan to en el desarrollo com o en la aplicacin de la m ecnica de m ateriales, es muy im portante te n e r un buen conocim iento de sus principios fundam entales. Por esta ra zn repasarem os algunos de esos principios que sern usados a lo largo del texto.Fuerza de superficie

Idealizacin de una fuerza

U n cuerpo p u ed e estar som etido a diversos tipos de cargas externas; sin em bargo, cualquiera de stas puede clasificarse co mo fuerza de superficie o com o fuerza de cuerpo. Vea la figura 1-1.C a rg a s e x t e r n a s .

Idealizacin de una carga lincalmcnte distribuida Fig. 1-1

Fuerza de cuerpo

Fuerzas de superficie. Com o su nom bre lo indica, las fu erzas de super fic ie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro. E n todos los casos, esas fuerzas estn distribuidas sobre el rea de contacto entre los cuerpos. En particular si esta rea es pequea en com paracin con el rea total del cuerpo, entonces la fuerza superficial puede idealizarse com o una sola fu erza concentrada, que es aplicada a un p u n to sobre el cuerpo. Por ejemplo, esto podra hacerse para representar el efecto del suelo sobre las ruedas de una bicicleta al estudiar la carga so b re sta. Si la carga superficial es aplicada a lo largo de un rea estrecha, la carga puede idealizarse com o una carga linealm ente distribu ida, w(s). A q u la carga se mide com o si tuviese una intensidad de fuerza/longitud a lo largo del rea y se representa grficam ente por una serie de flechas a lo largo de la lnea s. L a fu erza resultante FR de m>(s) es equivalente a l rea bajo la curva de carga distribuida, y esta resultante acta a travs d el centroide C o centro geom trico de esta rea. La carga a lo largo de la longitud de una viga es un ejem plo tpico en el que es aplicada a m enu do esta idealizacin.

S e c c i n

1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable

5

F u e rz a de cuerpo. U na fu erza de cuerpo se desarrolla cuando un cuer po ejerce una fuerza sobre o tro cuerpo sin contacto fsico directo entre los cuerpos. Ejem plos de esto incluyen los efectos causados p o r la gravi tacin de la Tierra o por su cam po electrom agntico. A unque las fuerzas de cuerpo afectan cada una de las partculas que form an el cuerpo, esas fuerzas se representan norm alm ente po r una sola fuerza concentrada ac tuando sobre el cuerpo. E n el caso de la gravitacin, esta fuerza se llama el peso del cuerpo y acta a travs del centro de gravedad del mismo.

Reacciones en los soportes. Las fuerzas de superficie que se desarro llan en los soportes o puntos de contacto en tre cuerpos se llam an reaccio nes. E n problem as bidim ensionales, es decir, en cuerpos som etidos a sis tem as de fuerzas coplanares, los soportes m s com nm ente encontrados se m uestran en la tabla 1-1. O bserve cuidadosam ente el sm bolo usado para rep resen tar cada so p o rte y el tipo de reacciones que ejerce en su m iem bro asociado. E n general, siem pre pu ed e d eterm in arse el tipo de reaccin de soporte im aginando que el m iem bro unido a l se traslada o gira en una direccin particular. S i el soporte im pide la traslacin en una direccin dada, entonces una fu erza debe desarrollarse sobre el m iem bro en esa direccin. Igualm ente, si se im pide una rotacin, debe ejer cerse un m om ento sobre el m iem bro. Por ejemplo, un soporte de rodillo slo puede im pedir la traslacin en la direccin del contacto, perpendicu lar o norm al a la superficie. Por consiguiente, el rodillo ejerce una fuerza norm al F sobre el m iem bro en el pu n to de contacto. Como el m iem bro puede girar librem ente respecto al rodillo, no puede desarrollarse un m o m ento sobre el miembro.

Muchos elementos de mquinas son conec tados por pasadores para permitir la rota cin libre en sus conexiones. Esos soportes ejercen una fuerza sobre un miembro, pero no un momento.

T A B L A 1-1Tipo de conexin Reaccin Tipo de conexin Reaccin

Ecuaciones de equilibrio. E l equilibrio de un m iem bro requiere un balance de fuerzas para im pedir que el cuerpo se traslade o tenga m ovi m iento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un balance de m om entos para im pedir que el cuerpo gire. Estas condiciones pueden expresarse m atem ticam ente con las dos ecuaciones vectoriales:

2F = 0 2M 0 = 0

A qu, X F representa la suma de todas las fuerzas que actan sobre el cuer po y 2 M q es la sum a de los m om entos de todas las fuerzas respecto a cualquier punto O sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistem a coorde nado x , y , z con el origen en el punto O, los vectores fuerza y m om ento pueden resolverse en com ponentes a lo largo de los ejes coordenados y las dos ecuaciones an terio res p u ed en escribirse en form a escalar com o seis ecuaciones, que son:

2Fv = 0 2M , = 0

2Fy = 0 2My = 0

= 0 LMZ = 0

( 1-2 )

A m enudo, en la prctica de la ingeniera la carga sobre un cuerpo p u e de representarse com o un sistem a de fuerzas coplanares. Si es ste el ca so y las fuerzas se encuentran en el plano x -y, entonces las condiciones para el equilibrio del cuerpo pueden especificarse por medio de slo tres ecuaciones escalares de equilibrio; stas son:

2 F V= 0 2Fy = 0 = 0

(1-3)

E n este caso, si el p u n to O es el origen de coordenadas, entonces los m o m entos estarn siem pre dirigidos a lo largo del eje z, que es perpendicu lar al plano que contiene las fuerzas. La correcta aplicacin de las ecuaciones de equilibrio requiere la espe cificacin com pleta de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que ac tan sobre el cuerpo. L a m ejor manera de tom ar en cuenta esas fu erzas es dibujando el diagram a de cuerpo libre del cuerpo. Es obvio que si el diagram a de cuerpo libre est dibujado correctam ente, los efectos de to das las fuerzas y m om entos aplicados sern tom ados en cuenta cuando se escriban las ecuaciones de equilibrio.

S e c c i n


7

(a) Fig. 1-2

Cargas internas resultantes. U na de las aplicaciones ms im portan tes de la esttica en el anlisis de problem as de la mecnica de m ateria les es poder determ inar la fuerza y m om ento resultantes que actan d en tro de un cuerpo y q u e son necesarias p ara m a n ten er unido al c u e rp o cu an d o ste est so m etid o a cargas ex tern as. P or ejem plo, co n sid ere el cuerpo m ostrado en la figura 1-2a, que es m antenido en equilibrio por las cuatro fuerzas externas.* Para o b ten er las cargas internas que actan sobre una regin especfica d en tro del cuerpo es necesario usar el m to do de las secciones. E sto requiere hacer una seccin im aginaria o co rte a travs de la regin donde van a determ inarse las cargas internas. Las dos partes del cuerpo son separadas y se dibuja un diagram a de cuerpo libre de una de las partes, figura l-2>. Puede verse aqu que existe realm ente una distribucin de la fuerza interna que acta sobre el rea expuesta de la seccin. Esas fuerzas rep resen tan los efectos del m aterial de la p a r te superior del cuerpo actuando sobre el m aterial adyacente de la parte inferior. A unque la distribucin exacta de la carga interna puede ser des conocida, podem os usar las ecuaciones de equilibrio para relacionar las fuerzas externas sobre el cuerpo con la fuerza y m om ento resultantes de la distribucin , F R y M r q , en cualquier p u n to especfico O sobre el rea seccionada, figura l-2c. Al hacerlo as, note que acta a travs del p u n to O , aunque su valor calculado no d ep en d e de la localizacin de este punto. Por otra parte, M Ro, s depende de esta localizacin, ya que los b ra zos de mom ento deben extenderse de O a la lnea de accin de cada fuerza externa sobre el diagram a de cuerpo libre. Se m ostrar en partes p o ste riores del texto que el punto O suele escogerse en el centroide del rea seccionada, y as lo considerarem os aqu a m enos que se indique o tra cosa. A dem s, si un m iem bro es largo y delgado, com o en el caso de una barra o una viga, la seccin p o r considerarse se tom a generalm ente perpendicu lar al eje longitudinal del miembro. A esta seccin se le llama seccin trans versal.

*E1 peso del cuerpo no se muestra, ya que se supone que es muy pequeo y, por tanto, despreciable en comparacin con las otras cargas.

Momento de torsin Fuerza normal

Fuerza cortante Momento flexionante

(C)

(d) Fig. 1-2 (cont.)

Tres dim ensiones. V erem os despus en este texto cm o relacionar las cargas resultantes. y M /^ , con la distribucin de fuerza sobre el rea sec cionada y desarrollarem os ecuaciones que puedan usarse para el anlisis y diseo del cuerpo. Sin em bargo, para hacer esto deben considerarse las com ponentes de F^ y M r0>actuando norm al o perpendicularm ente al rea seccionada y dentro del plano del rea, figura 1-2d. C uatro tipos diferen tes de cargas resultantes pueden entonces definirse com o sigue: F uerza norm al, N. E sta fuerza acta perpendicularm ente al rea. sta se desarrolla siem pre que las fuerzas externas tienden a em pujar o a jalar sobre los dos segm entos del cuerpo. Fuerza cortante, V. La fuerza cortante reside en el plano del rea y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos seg m entos del cuerpo resbalen uno sobre el otro. M om ento to rsionante o torca, T. E ste efecto se desarrolla cuando las cargas externas tienden a torcer un segm ento del cuerpo con respecto al otro. M om ento flexionante, M. El m om ento flexionante es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se encuentra d en tro del plano del rea. E n este texto, advierta que la representacin de un m om ento o una to r ca se m uestra en tres dim ensiones com o un vector con una flecha curva asociada. Por la regla de la m ano derecha, el pulgar da el sentido de la fle cha del vector y los dedos recogidos indican la tendencia de rotacin (to r sin o flexin). U sando un sistem a coordenado x,y , z , cada una de las car gas anteriores puede ser determ inada directam ente de las seis ecuaciones de equilibrio aplicadas a cualquier segm ento del cuerpo.

S e c c i n


9

Fuerza cortante V M 0 Momento flexionante

NFuerza normal

Fig. 1-3

Cargas coplanares. Si el cuerpo est sometido a un sistema de fuerzas coplanares. figura l-3a. entonces slo existen en la seccin com ponen tes de fuerza normal, de fuerza cortante y de momento flexionante. figu ra 1-3b. Si usamos los ejes coordenados x.y, z, con origen en el punto O como se muestra en el segmento izquierdo, entonces una solucin direc ta para N se puede obtener aplicando 2 Fx = 0, y V se puede obtener di rectamente de 2 Fv = 0. Finalmente, el m omento flexionante M 0 se pue de determ inar directamente sumando momentos respecto al punto O (el eje z), 2 M0 = 0, para eliminar los momentos causados por las incgnitas N y V.

PUNTOS IMPORTANTESLa mecnica de materiales es un estudio de la relacin entre las cargas externas sobre un cuerpo y la intensidad de las cargas in ternas dentro del cuerpo. Las fuerzas externas pueden ser aplicadas a un cuerpo como car gas distribuidas o cargas de superficie concentradas, o bien como fuerzas de cuerpo que actan sobre todo el volumen del cuerpo. Las cargas linealmente distribuidas producen una fuerza resultan te que tiene una magnitud igual al rea bajo el diagrama de car ga y una posicin que pasa por el centroide de esa rea. Un soporte produce una fuerza en una direccin particular sobre su miembro correspondiente si sta impide traslacin del miembro en esa direccin y l produce un momento de par sobre el miem bro si l impide una rotacin. Las ecuaciones de equilibrio 2 F = 0 y 2 M = 0 deben ser satis fechas para prevenir que un cuerpo se traslade con movimiento acelerado o que gire. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, es im portante dibujar pri mero el diagrama de cuerpo libre del cuerpo para poder lomar en cuenta todos los trminos en las ecuaciones. El mtodo de las secciones se usa para determ inar las cargas internas resultantes que actan sobre la superficie del cuerpo sec cionado. En general, esas resultantes consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante, un mom ento torsionante y un mo mento flexionante.

Para disear los miembros de este mar co de edificio, es necesario primero en contrar las cargas internas en varios pun tos a lo largo de su longitud.

PROCEDIMIENTOS DE ANLISISEl mtodo de las secciones se usa para determ inar las cargas internas resultantes en un punto localizado sobre la seccin de un cuerpo. Pa ra obtener esas resultantes, la aplicacin del mtodo de las secciones requiere considerar los siguientes pasos. Reacciones en los soportes. Decida primero qu segmento del cuerpo va a ser considerado. Si el segmento tiene un soporte o conexin a otro cuerpo, enton ces antes de que el cuerpo sea seccionado, es necesario determ i nar las reacciones que actan sobre el segmento escogido del cuerpo. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el cuerpo y luego aplique las ecuaciones necesarias de equilibrio para obte ner esas reacciones. Diagram a de cuerpo libre. Mantenga todas las cargas distribuidas externas, los momentos de flexin, los momentos de torsin y las fuerzas que actan sobre el cuerpo en sus posiciones exactas, luego haga un corte imagina rio por el cuerpo en el p u n to donde van a determinarse las car gas internas resultantes. Si el cuerpo representa un miembro de una estructura o disposi tivo mecnico, la seccin es a m enudo tomada perpendicularmen te al eje longitudinal del miembro. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos cor tados e indique las resultantes desconocidas N, V, M y T en la seccin. Esas resultantes son usualmente colocadas en el punto que representa el centro geomtrico o centroide del rea seccio nada. Si el miembro est sometido a un sistema coplanar de fuerzas, s lo N, V y M actan en el centroide. Establezca los ejes coordenados x, y, z con origen en el centroi de y muestre las componentes resultantes que actan a lo largo de los ejes. Ecuaciones de equilibrio. Los momentos deben sumarse en la seccin, respecto a cada uno de los ejes coordenados donde actan las resultantes. Al hacerlo as se eliminan las fuerzas desconocidas N y V y es posible en tonces determ inar directamente M (y T). Si la solucin de las ecuaciones de equilibrio da un valor negati vo para una resultante, el sentido direccional supuesto de la re sultante es opuesto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre.

Los siguientes ejemplos ilustran num ricam ente este procedim iento y tambin proporcionan un repaso de algunos de los principios im portan tes de la esttica.

S e cci n 1 .2

Equilibrio de un cuerpo deformable

11

E J E M P L O

'| g | -----------------------------------------------

Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en C de la viga m ostrada en la figura 1-4a.

B

(a)Fig. 1-4

Solucin

Reacciones en el soporte. Este problema puede ser resuelto de la m a nera ms directa considerando el segmento CB de la viga, ya que en tonces las reacciones en A no tienen que ser calculadas. Diagrama de cuerpo libre. Si hacemos un corte imaginario perpen dicular al eje longitudinal de la viga, obtenem os el diagrama de cuer po libre del segmento CB m ostrado en la figura 1-4b. Es importante m antener la carga distribuida exactam ente donde est sobre el seg mento hasta despus que el corte se ha hecho. Slo entonces debe es ta carga reemplazarse por una sola fuerza resultante. Note que la in tensidad de la carga distribuida en C se determ ina por tringulos semejantes, esto es, de la figura 1-4a, w/6 m = (270 N /m )/9 m, w 180 N/m. La magnitud de la carga distribuida es igual al rea bajo la curva de carga (tringulo) y acta a travs del centroide de esta rea. As, F = t(180 N /m )(6 m) = 540 N, que acta a 1/3 (6 m) = 2 m de C, como se muestra en la figura 1-46. Ecuaciones de equilibrio. tenemos 2 Fx = 0; + t 2 F V= 0; l + I M c = 0; Aplicando las ecuaciones de equilibrio ob540 N

(b)

-N c = 0Nc = 0 Vc - 540 N = 0 Vc = 540 N - M c - 540 N(2 m) = 0 Mc = -1080 N -m Resp. Resp.3645

Resp.

135 N90 N/m [ i

540 N- = - 180 N/m

1215 N !

Mr

N-ra'yl

t|-1.5 m 0.5 m

El signo negativo indica que Mc acta en direccin opuesta a la mos trada en el diagrama de cuerpo libre. Trate de resolver este problema usando el segmento AC, obteniendo prim ero las reacciones en el so porte A , que son dadas en la figura l-4c.


E J E M P L O

------------------------------------------------------------------------------------------Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en C de la flecha de la mquina m ostrada en la figura l-5a. La flecha est soportada por chumaceras en A y B, que ejercen slo fuerzas verticales sobre la flecha.

225 N

(800 N /m )(0.150 m) = I2 0 N

- 200 mm 100 50 mm 50 mm

(a)Fig. 1-5

Solucin

Resolveremos este problema usando el segmento AC de la flecha. Reacciones en el soporte. En la figura 1-5b se muestra un diagrama de cuerpo libre de toda la flecha. Como el segmento A C va a ser con siderado, slo la reaccin en A tiene que ser considerada. Por qu? i + l M B = 0 ;- A V (OAOO m) + 120 N(0.125 m) - 225 N (0.100 m) = 0 >1,, = -18.75 N El signo negativo para A v indica que sta acta en sentido opuesto al mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre. Diagrama de cuerpo libre. Si realizamos un corte imaginario perpen dicular al eje de la flecha por C, obtenemos el diagrama de cuerpo li bre del segmento A C mostrado en la figura l-5c. Ecuaciones de equilibrio. ^ 2 F , = 0; Nc - 0 -18.75 N - 40 N - Vc = 0 Vc = -5 8 .8 N Resp. Mc + 40 N(0.025 m) + 18.75 N(0.250 m) = 0 Mc = -5 .6 9 N m R esp. Resp. + t 2 Fy = 0; 1 + 1 Mc = 0;

40 N ,

Qu indican los signosnegativos de Vc y Mc? Como ejercicio, calcu le la reaccin enB ytrate de obtener los mismosresultados usando el segmento CBD de la flecha.

S eccim1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable

13

E J E M P L O

-----------------------------------------------

El montacargas en la figura 1-6a consiste en la viga A B y en las poleas unidas a ella, en el cable y en el motor. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en C si el motor es t levantando la carga W de 500 Ib con velocidad constante. Desprecie el peso de las poleas y viga.

0.5 pie

*

r. .- 4.5 pies -

NM ,-

5001b

5 001b

I

Fig. 1-6

(b)

Solucin

La manera ms directa de resolver este problema es seccionar el cable y la viga en C y luego considerar todo el segmento izquierdo. Diagrama de cuerpo libre. Ecuaciones de equilibrio. i S F t = 0: 500 Ib + Nc = 0 -5 0 0 Ib - Vc = 0 Me = -2000 Ib pie Nc = -5 0 0 Ib Vc = -5 0 0 Ib Resp. Resp. Resp. + f S F,. = 0; Vea la figura 1-66.

1+ I M C = 0; 500 Ib (4.5 pies) - 500 Ib (0.5 pies) + M c = 0 Como ejercicio, trate de obtener esos mismos resultados consideran do el segmento de viga A C , es decir, retire la polea en A de la viga y muestre las componentes de la fuerza de 500 Ib de la polea actuando sobre el segmento de viga AC.


E J E M P L O

Determ ine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en G de la viga de madera mostrada en la figura 1-7. Supon ga que las juntas en A , 5 , C, D y E estn conectadas por pasadores.

Solucin

Reacciones en los soportes. Consideraremos el segmento A G para el anlisis. Un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura se muestra en la figura 1-7>. Verifique las reacciones calculadas en E y C. En par ticular, note que BC es un miembro de dos fuerzas ya que slo dos fuer zas actan en l. Por esta razn la reaccin en C debe ser horizontal tal como se muestra. Como BA y BD son tambin miembros de dos fuerzas, el diagrama de cuerpo libre de la junta B es como se muestra en la figura 1.7c. De nuevo, verifique las magnitudes de las fuerzas calculadas FB y FBD. A15001b 7750 Ib

Diagrama de cuerpo libre. Usando el resultado para F/i- la seccin izquierda AG de la viga se muestra en la figura \-ld . Ecuaciones de equilibrio. segmento AG , tenemos 2 Fx = 0;+ t 2 Fy = 0;

' (] ii- - H |2 pies r W *j' VC(d)

Aplicando las ecuaciones de equilibrio al Nc = - 6 2 0 0 Ib Resp.

7750 l b ( |) + Nc = 0

- 1 5 0 0 Ib + 7750 l b ( |) - VG = 0

Fig. 1-7

VG = 3150 Ib i + 2 Mc = 0;

Resp.

Mc ~ (7750 lb)() (2 pies) + 1500 lb(2 pies) = 0 M g = 6300 Ib pie Resp.

Como ejercicio, calcule esos mismos resultados usando el segmen to GE.

S e c c i n


15

E J E M P L O Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en B del tubo m ostrado en la figura 1-8. El tubo tiene una masa de 2 kg/m y est sometido a una fuerza vertical de 50 N y a un par de momento de 70 N m en su extremo A . El tubo est em potra do en la pared en C.Solucin

El problema se puede resolver considerando el segmento A B . que no implica las reacciones del soporte en C. Diagrama de cuerpo libre. Los ejes x, y, z. se fijan en B y el diagra ma de cuerpo libre del segmento A B se m uestra en la figura l-8. Las componentes de fuerza y mom ento resultantes en la seccin se supo ne que actan en las direcciones coordenadas positivas y que pasan por el centroide del rea transversal en B. El peso de cada segmento de tu bo se calcula como sigue: WBD = (2 k g /m )(0.5 m)(9.81 N /kg) = 9.81 N WAD = (2 k g /m )(1.25 m)(9.81 N /kg) = 24.525 N Estas fuerzas actan por el centro de gravedad de cadg segmento. Ecuaciones de equilibrio. equilibrio, obtenemos* ^ F.x ~ O 2 Fy = 0; 1 Fz = 0; Aplicando las seis ecuaciones escalares de

70 N-m

(a)

(^b).v = 0 ( FB)y = 0 (Fb ) z - 9.81 N - 24.525 N - 50 N = 0 (Fb ) z = 84.3 N

Resp. Resp. Resp. - 9.81 N (0.25 m) = 0

fF);

2 (M b), = 0; (M b ) x + 70 N m - 50 N (0.5 m) - 24.525 N (0.5 m) ( M b )x = 30.3 N -m (M B)y = -77.8 N -mZ (Mb )z

Resp. Resp.R e s P-

l ( M B)y = 0: (M B)y + 24.525 N (0.625 m) + 50 N (1.25 m) = 070 N-m

-

(M

b)z

= 0

(b)Fig. 1-8

Qu indican los signos negativos de (MB)Xy ( M ^ y Note que la fuer za norm al N B = (FB) V = 0, m ientras que la fuerza cortante es VB = V (0 )2 + (84.3)2 = 84.3 N. Adem s, el m om ento torsionante es Tb = (M b) v = 77.8 N m y el m om ento flexionante es M =

V(30.3)2+(0) 1/2 = 30.3 N m.*La m agnitud de cada m o m en to resp ec to a un eje es igual a la m agnitud de cada fuer za p o r la distancia p erp en d icu lar del eje a la lnea de accin de la fuerza. L a direccin de cad a m om ento es d eterm in ad a u san d o la regla de la m ano derecha, con m om entos positivos (pulgar) dirigidos a lo largo de los ejes co o rd en ad o s positivos.


PROBLEMAS1-1. Determ ine la fuerza normal interna resultante que acta sobre la seccin transversal por el punto A en cada columna. En (a), el segmento BC pesa 180 lb/pie y el seg m ento CD pesa 250 lb/pie. En (b), la columna tiene una masa de 200 kg/m. 1-3. D eterm ine el par interno resultante que acta sobre las secciones transversales por los puntos B y C.

5 klb

10 pies

4 pies

4 pies

*1-4. Determine la fuerza normal y cortante internas re sultantes en el miembro en (a) la seccin a-a y (b) la sec cin b-b, cada una de las cuales pasa por el punto A . La carga de 500 Ib est aplicada a lo largo del eje centroidal del miembro.

(a)P r n b . 1-1

(b)

1-2. Determine el par interno resultante que acta sobre las secciones transversales por los puntos C y D. Los co jinetes de soporte en A y B perm iten el libre giro de la flecha. 1-5. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal a travs del punto D del miembro A B .50 mm 50 mm

Prob. 1-2

P r o b le m a s

17

1-6. La viga A B est articulada por un pasador en A y soportada por un cable BC. D eterm ine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en el punto D. 1-7. Resuelva el problema 1-6 para las cargas internas re sultantes que actan en el punto E.

1-9. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal por el punto C. La unidad en friadora tiene un peso total de 52 klb y su centro de gra vedad en G.

F

Probs. 1-6/7 Prob. 1-9

*1-8. La viga A B est em potrada en la pared y tiene un peso uniforme de 80 Ib/pic. Si el gancho soporta una car ga de 1500 Ib. determine las cargas internas resultantes que actan sobre las secciones transversales por los puntos C y D.

y

1-10. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre las secciones transversales por los puntos D y E de la estructura. 1-11. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre las secciones transversales por los puntos F y G de la estructura.

Prob. 1-8

Probs. 1-10/11

18 .

CAPTULO 1 Esfuerzo

*1-12. Determ ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre (a) la seccin a-a y (b) la seccin b-b. Cada sec cin pasa por el centroide en C.

1-15. La carga de 800 Ib est siendo izada a velocidad constante usando el motor M que tiene un peso de 90 Ib. D eterm ine las cargas internas resultantes que actan so bre la seccin transversal por el punto B en la viga. La viga tiene un peso de 40 Ib /pie y est empotrada en la pa red en A . *1-16. Determ ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal por los puntos C y D e n el problem a 1-15.

M

1.5pies . 1 M z L f t . i -^ c-7 B p T? 3 3 * 4p ies-4pies - pies pies 4pies 0.25 p i e '

1-13. Determ ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal por'el punto C en la vi ga. La carga D tiene una masa de 300 kg y est siendo iza da por el m otor M con velocidad constante. 1-14. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal por el punto E de la viga en el problem a 1-13.

Probs. 1-15/16

1-17. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal en el punto B.

60 Ib/pie

Probs. 1-13/14

Prob. 1-17

P r o b le m a s

19

1-18. La viga soporta la carga distribuida mostrada. D e termine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal por el punto C. Suponga que las reac ciones en los soportes A y B son verticales. 1-19. Determine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal por el punto D en el pro blema 1-18.

1-21. La perforadora de vstago metlico est sometida a una fuerza de 120 N en su mango. Determ ine la magni tud de la fuerza reactiva en el pasador A y en el eslabn corto BC. D eterm ine tambin las cargas internas resultan tes que actan sobre la seccin transversal que pasa por D en el mango. 1-22. Resuelva el problema 1-21 para las cargas internas resultantes sobre la seccin transversal que pasa por E y en una seccin transversal del eslabn corto BC.

1.5 kN/m

*1-20. La charola de servicio T usada en un avin est soportada en cada lado por un brazo. La charola est co nectada por un pasador al brazo en A , y en B tiene un pa sador liso. (El pasador puede moverse dentro de la ranu ra en los brazos para poder plegar la charola contra el asiento del pasajero al frente cuando aquella no est en uso.) D eterm ine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal por el punto C del brazo cuan do el brazo de la charola soporta las cargas mostradas.

Probs. 1-21/22

1-23. El tubo tiene una masa de 12 kg/m. Considerando que est em potrado en la pared en A . determ ine las car gas internas resultantes que actan sobre la seccin trans versal en B. Desprecie el peso de la palanca CD.

12 N

15 ram

Prob. 1-20

Prob. 1-23

20 CAPTULO 1 Esfuerzo 1-26. La flecha est soportada en sus extremos por dos cojinetes A y B y est sometida a las fuerzas aplicadas a las poleas fijas a la flecha. D eterm ine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en el punto C. Las fuerzas de 300 N actan en la direccin z y las fuerzas de 500 N actan en la direccin +x. Los cojine tes en A y B ejercen slo componentes .v y z de fuerza so bre la flecha.

*1-24. La viga principal A B soporta la carga sobre el ala del avin. Las cargas consisten en la reaccin de la rueda de 35 000 Ib en C, el peso de 1200 Ib de combustible en el tanque del ala, con centro de gravedad en D y el peso de 400 Ib del ala con centro de gravedad en E. Si est em po trada al fuselaje en A , determ ine las cargas internas resul tantes sobre la viga en este punto. Suponga que el ala no transmite ninguna de las cargas al fuselaje, excepto a tra vs de la viga.z

z

35 000 ib

Prob. 1-24

1-25. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal por el punto B del letre ro. El poste est em potrado en el suelo y una presin uni forme de 7 Ib/pie2 acta perpendicularm ente sobre la cara del letrero. z

1-27. U na manivela de prensa tiene las dimensiones mos tradas. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal en A si se aplica una fuer za vertical de 50 Ib a la manivela como se muestra. Suponga que la manivela est em potrada a la flecha en B.

' 50 Ib

Prob. 1-25

Prob. 1-27

P r o b le m a s

21

*1-28.

Determ ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal por los puntos F y G de la estructura. El contacto en E es liso.

1-31. La barra curva A D de radio r tiene un peso w por unidad de longitud. Si sta se encuentra en un plano ver tical, determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal por el punto B. Sugerencia: la distancia del centroide C del segmento A B al punto O es O C = [2rsen(0/2)]/0.

801b

Prob. 1-31

1-29. El vstago del perno est sometido a una tensin de 80 Ib. Determ ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal en el punto C.

La barra curva A D de radio /tiene un peso w por unidad de longitud. Si sta se encuentra en un plano hori zontal, determ ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal por el punto B. Sugeren cia: la distancia del centroide C del segmento A B al punto O es CO = 0.9745/'.

*1-32.

Prob. 1-29

1-30. Determ ine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal en los puntos B y C del miembro curvo.

1-33. Se m uestra en la figura un elem ento diferencial tomado de una barra curva. Demuestre que clN/dO = V, dV /d d = - N , d M /d d = - T y d T /d O = M.

M +iiM

T+dT


1.3

EsfuerzoEn la seccin 1.2 mostramos que la fuerza y el m omento que actan en un punto especfico sobre el rea seccionada de un cuerpo, figura 1-9, representan los efectos resultantes de la d istrib u ci n de fu e r z a verdadera que acta sobre el rea seccionada, figura 1-96. La obten cin de esta d istrib u ci n de carga interna es de importancia prim or dial en la mecnica de materiales. Para resolver este problem a es ne cesario establecer el concepto de esfuerzo. Consideremos el rea seccionada como subdividida en pequeas reas, tal como el rea sombreada de AA m ostrada en la figura 1-10. Al reducir AA a un tamao cada vez ms pequeo, debemos hacer dos hiptesis respecto a las propiedades del material. C onsiderare mos que el material es continuo, esto es, que consiste en una distri bucin uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar compuesto de un nmero finito de molculas o tomos distintos. A de ms, el material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes es tn unidas entre s, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza tpica finita pero muy pequea AF. actuando sobre su rea asociada AA , se m uestra en la figura 1-lOa. Esta fuerza como todas las otras, tendr una direccin nic, pero para el anlisis que sigue la reemplazaremos por sus tres co m p o n e n tes, AFV AFVy AF-, que se to , man tangente y normal al rea, respectivamente. Cuando el rea AA tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza AF y sus compo nentes: sin embargo, el cociente de la fuerza y el rea tendern en ge neral a un lmite finito. Este cociente se llama e sfu erzo y describe la in ten sid a d d e la fu e r z a interna sobre un p la n o especfico (rea) que pasa por un punto.

Fig. 1-9

'

S e c c i n 1 .3

Esfuerzo

23

Esfuerzo normal. La intensidad de fuerza, o fuerza por rea unitaria, actuando normalmente a AA se define como el esfuerzo normal, a (sigma). Como dFj es normal al rea, entonces, tan gura terza itenmors neleas -10a. lacer rareiistriestar Adees esiones, i rea todas sue la se to ja AA >mpoen geib e la i ) que)

La distribucin del esfuerzo cortante promedio sobre la barra sec cionada y el segmento de puntal se m uestran en las figuras 1-25d y l-25e, respectivamente. Se m uestra tambin con esas figuras un ele mento de volumen tpico del material en un punto localizado sobre la superficie de cada seccin. Observe cuidadosamente cmo el esfuerzo cortante debe actuar sobre cada cara som breada de esos elementos y sobre las caras adyacentes de los mismos.

I7 = 2.5 kN V = 2.5 kN

r

Jfuerza de la barra sobre el puntal (c)

5 kN

|5 kN (e)

i3.12 MPa

5 kN (d)

Fig. 1-25

S e c c i n

1.5 Esfuerzo cortante promedio

39

E J E M P L O do de la pauerzo s plaabccl. El miembro inclinado en la figura 1-26 est sometido a una fuerza de compresin de 600 Ib. Determ ine el esfuerzo de compresin promedio a lo largo de las reas lisas de contacto definidas por A B y BC, y el es fuerzo cortante prom edio a lo largo del plano horizontal definido por EDB.,600 Ib

i libre ionde iagraiconie ca-

/a

Resp.Fig. 1-26

Solucin

360 ib

Resp. i sec25d y a elebre la uerzo tos y

Cargas internas. El diagrama de cuerpo libre del miembro inclinado se muestra en la figura l-26>. Las fuerzas de compresin que actan sobre las reas de contacto son2 Fx = 0; + T2 Fy = 0; Fab - 600 lb(f) = 0 FAB = 360 Ib

Fbc - 600 lb(f) = 0 FBC = 480 Ib / Tambin, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior del miem bro del fondo, figura l-26c. la fuerza cortante que acta sobre el plano horizontal seccionado E D B es X F x = 0; V = 360 Ib240

Esfuerzo promedio. Los esfuerzos de compresin promedio a lo lar go de los planos horizontal y vertical del miembro inclinado son aAB(rBC -

360 Ib = 240 lb/pulg (1 pulg)(1.5 pulg) 480 Ib = 160 lb/pulg2 (2 pulg)(1.5 pulg)

Resp. Resp.

(d)

Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 1-26d. El esfuerzo cortante promedio que acta sobre el plano horizontal definido por ED B es 360 Ib V - = (3 pulg)(1.5 pulg) = 80 lb/P ul' ResP-

3601b

Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el rea seccionada en la figu ra l-26e.'

40

CAPTULO 1 Esfuerzo

PROBLEMAS1-34. La colum na est som etida a una fuerza axial de 8 kN en su parte superior. Si el rea de su seccin trans versal tiene las dimensiones mostradas en la figura, deter mine el esfuerzo normal prom edio que acta en la seccin a-a. Muestre esta distribucin del esfuerzo actuando sobre la seccin transversal de la columna. *1-36. Al correr, el pie de un hombre de 150 Ib est mo m entneam ente sometido a una fuerza que es 5 veces su peso. Determ ine el esfuerzo normal prom edio desarrolla do en la tibia T de su pierna en la seccin media a-a. La seccin transversal puede suponerse circular con dim e tro exterior de 1.75 pulg y un dim etro interior de 1 pulg. Suponga que el peron F no soporta carga.

Prob. 1-34

Prob. 1-36

1-35. El grillete de anclaje soporta la fuerza del cable de 600 Ib. Si el pasador tiene un dimetro de 0.25 pulg, deter mine el esfuerzo cortante promedio en el pasador.

1-37. Ei pequeo bloque tiene un espesor de 0.5 pulg. Si la distribucin de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga vara como se muestra, determ ine la fuerza F apli cada al bloque y la distancia d a la que est aplicada.

Prob. 1-35

Prob. 1-37

Pr o blem a s

41

mossu ollat. La ime5U lg-

1-38. El pequeo bloque tiene un espesor de 5 mm. Si la distribucin de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga vara como se muestra, determine la fuerza F apli cada al bloque y la distancia d a la que est aplicada.

*1-40. La rueda de soporte se mantiene en su lugar bajo la pata de un andamio por medio de un pasador de 4 mm de dimetro como se muestra en la figura. Si la rueda es t som etida a una fuerza norm al de 3 kN, determ ine el esfuerzo cortante prom edio generado en el pasador. D es precie la friccin entre la pata del andamio y el tubo sobre la rueda.

60 MPa 40 MPa

Prob. 1-38

1-39. La palanca est unida a la flecha em potrada por medio de un pasador cnico que tiene un dim etro medio de 6 mm. Si se aplica un par a la palanca, determ ine el es fuerzo cortante prom edio en el pasador, entre el pasador y la palanca. ilg. Si por la apli-

1-41. U na mujer con peso de 175 Ib est de pie sobre un piso vinflico con zapatos de tacn puntiagudo. Si el tacn tiene las dim ensiones mostradas, determ ine el esfuerzo normal promedio que ella ejerce sobre el piso y com pre lo con el esfuerzo normal promedio generado cuando un hombre del mismo peso lleva zapatos de tacones planos. Suponga que la carga se aplica lentam ente de manera que puedan ignorarse los efectos dinmicos. Suponga tambin que todo el peso es soportado slo por el tacn de un za pato.

1.2 pulg-

0.3 pulg

-Hto.i pulg0.5 pulg

Prob. 1-39

Prob. 1-41


1-42. La lmpara con un peso de 50 Ib est soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A . D eter mine cul barra est sometida al mayor esfuerzo normal promedio y calcule su valor. Considere d = 30. El dim e tro de cada barra se da en la figura. 1-43. Resuelva el problema 1-42 para 0 = 45.

1-46. Los dos miembros de acero estn unidos entre s por medio de una soldadura a tope a 60. Determ ine los esfuerzos normal y cortante promedio resistidos en el pla no de la soldadura.

*1-44. La lmpara con un peso de 50 Ib est soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A . D eter mine el ngulo de orientacin 9 de A C tal que el esfuerzo normal producido en la barra A C sea el doble del esfuer zo normal promedio en la barra A D . Cul es la magnitud del esfuerzo en cada barra? El dim etro de cada barra se da en la figura.

A , 25 mm 8kN -

c30 mm

Z -------s60

8kN

Prob. 1-46

1-47. La flecha compuesta consiste en un tubo A B y en una barra slida BC. El tubo tiene un dim etro interior de 20 mm y un dimetro exterior de 28 mm. La barra tiene un dim etro de 12 mm. D eterm ine el esfuerzo norm al p ro medio en los puntos D y E y represente el esfuerzo sobre un elem ento de volumen localizado en cada uno de esos puntos.

Probs. 1-42/43/44___ A B _ 6kN

El pedestal tiene una seccin transversal triangu lar como se muestra. Si est sometido a una fuerza com presiva de 500 Ib, especifique las coordenadas x y y del pun to P(x, y ) en que debe aplicarse la carga sobre la seccin transversal para que el esfuerzo norm al sea uniform e. Calcule el esfuerzo y esboce su distribucin sobre una sec cin transversal en una seccin alejada del punto de apli cacin de la carga.1-45. 5001b

. j.D

r t ~Prob. 1-47

, M=a - ^ 8 k NE

6kN

*1-48. La pieza de madera est som etida a una fuerza de tensin de 85 Ib. Determ ine los esfuerzos normal y cor tante prom edio desarrollados en las fibras de la madera orientadas a lo largo de la seccin a-a a 15 con respecto el eje de la pieza.

Prob. 1-45

Prob. 1-48

1

P ro b lem a s

43

e si los )la-

1-49. El bloque de plstico est som etido a una fuerza axial de compresin de 600 N. Suponiendo que las tapas arriba y en el fondo distribuyen la carga uniform emente a travs del bloque, determ ine los esfuerzos normal y cor tante promedio que actan a lo largo de la seccin a-a.

*1-52. La junta est sometida a la fuerza axial de miem bro de 5 kN. D eterm ine el esfuerzo normal promedio que acta en las secciones A B y BC. Suponga que el miembro es liso y que tiene 50 mm de espesor.

600 N

5kN

y en > de r e un proabre esos

Prob. 1-52

Prob. 1-49

1-53. La junta est sometida a la fuerza axial de miem bro de 6 klb. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio que acta sobre las secciones A B y BC. Suponga que el miem bro es liso y que tiene 1.5 pulg de espesor.

1-50. El espcimen fall en una prueba de tensin a un ngulo de 52 cuando la carga axial era de 19.80 klb. Si el dimetro del espcimen es de 0.5 pulg, determ ine los es fuerzos normal y cortante prom edio que actan sobre el plano inclinado de falla. Adems, cul fue el esfuerzo nor mal prom edio que actuaba sobre la seccin transversal cuando ocurri la falla?

le r z a

cor dera jectoProb. 1-50

Prob. 1-53

.a85 Ib

1-51. Un espcimen a tensin con rea A en su seccin transversal est sometido a una fuerza axial P. Determine el esfuerzo cortante mximo promedio en el espcimen e indique la orientacin 0 de la seccin en que ste ocurre.

1-54. Los dos miembros usados en la construccin del fu selaje de un avin estn unidos entre s usando una solda dura de boca de pescado a 30. D eterm ine los esfuerzos normal y cortante promedio sobre el plano de cada solda dura. Suponga que cada plano inclinado soporta una fuer za horizontal de 400 libras.pulg

30 8001b

P *-

/

rr*'Prob. 1-51

8001b-

' 1 pulg 1 pulg

T30'

Prob. 1-54


1-55. El conductor de un auto deportivo aplica los fre nos traseros, lo que ocasiona que los neumticos se desli cen. Si la fuerza normal en cada neumtico trasero es de 400 Ib y el coeficiente de friccin cintica entre los neum ticos y el pavimento es de xk = 0.5, determ ine el esfuerzo cortante prom edio desarrollado por la fuerza de friccin sobre los neumticos. Suponga que el caucho de los neu mticos es flexible y que cada neumtico tiene una presin de 32 lb/pulg2.

1-58. Las barras de la arm adura tienen cada una un rea transversal de 1.25 pulg2. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio en cada barra debido a la carga P = 8 klb. Indi que si el esfuerzo es de tensin o de compresin. 1-59. Las barras de la arm adura tienen cada una un rea transversal de 1.25 pulg2. Si el esfuerzo normal pro medio mximo en cualquier barra no debe ser mayor de 20 klb/pulg2,determ ine la magnitud mxima / de las car gas que pueden aplicarse a la armadura.

400 Ib

Prob. 1-55 Probs. 1-58/59

*1-56. Las barras A B y B C tienen dimetros de 4 mm y 6 mm, respectivamente. Si la carga de 8 kN se aplica al ani llo en fi, determ ine el esfuerzo normal promedio en cada barra si 0 = 60. 1-57. Las barras A B y B C tienen dim etros de 4 mm y 6 mm, respectivamente. Si la carga vertical de 8 kN se apli ca al anillo en B. determine el ngulo 9 de la barra BC de m anera que el esfuerzo normal promedio en ambas barras sea el mismo. Q u valor tiene este esfuerzo?

*1-60. La arm adura est form ada p o r tres m iem bros conectados por pasadores; las reas transversales de los miembros se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer zo norm al prom edio generado en cada barra cuando la arm adura est sometida a la carga mostrada. Indique si el esfuerzo es de tensin o de compresin.

5001b

Probs. 1-56/57

Prob. 1-60

P ro blem a s

45

1-61. La viga uniforme est soportada por dos barras A B y CD cuyas reas transversales son de 12 mm2 y 8 mm2, respectivamente. Si d = 1 m, determine el esfuerzo normal prom edio en cada barra. 1-62. La viga uniforme est soportada por dos barras A B y CD cuyas reas de seccin transversal son de 12 mm2 y 8 mm2, respectivamente. Determine la posicin d de la car ga de 6 kN para que el esfuerzo normal prom edio en am bas barras sea el mismo.

1-65. El bastidor de dos miembros est sometido a la car ga distribuida mostrada. D eterm ine la intensidad w de la carga uniform e mxima que puede aplicarse al bastidor sin que los esfuerzos normal y cortante promedios en la seccin b-b excedan los valores a = 15 MPa y r = 16 MPa, respectivamente. El miembro CB tiene una seccin trans versal cuadrada de 35 mm de lado.

Probs. 1-61/62

1-63. La lmpara usada para iluminar el enganche de va gones de ferrocarril est soportada por el pasador de i pulg de dim etro en A . Si la lmpara pesa 4 Ib y el brazo tiene un peso de 0.5 Ib/pie, determine el esfuerzo cortante pro medio en el pasador necesario para soportar la lmpara. Sugerencia: la fuerza cortante en el pasador es causada por el par requerido para el equilibrio en A .

Probs. 1-64/65

1-66. Considere el problema general de una barra hecha de m segmentos, cada uno con rea transversal constante A m y longitud L m. Si se tienen cargas sobre la barra como se muestra, escriba un programa de com putadora que pue da usarse para determinar el esfuerzo normal promedio en cualquier posicin especfica x. Muestre una aplicacin del program a usando los valores = 4 pies, d-y - 2 pies, P\ - 400 Ib, A] = 3 pulg2, L,2 = 2 pies, d2 = 6 pies, P2 = Ib, ^42 = 1 pulg2300

*1-64. El bastidor de dos miembros est som etido a la carga distribuida que se muestra en la siguiente figura. D e term ine los esfuerzos normal y cortante prom edio que ac tan en las secciones a-a y b-b. El miembro CB tiene una seccin transversal cuadrada de 35 mm de lado. Conside re w = 8 kN/m.

Prob. 1-66


1-67. La viga est soportada por un pasador en A y un eslabn corto BC. Si P = 15 kN, determine el esfuerzo cor tante promedio desarrollado por los pasadores en A , B y C. Todos los pasadores estn en cortante doble, como se m uestra y cada uno tiene un dim etro de 18 mm. *1-68. La viga est soportada por un pasador en A y un eslabn corto BC. D eterm ine la magnitud mxima P de las cargas que la viga soportar si el esfuerzo cortante pro m edio en cada pasador no debe ser m ayor de 80 MPa. Todos los pasadores estn en cortante doble y cada uno tiene un dimetro de 18 mm.

1-70. La gra pescante est sostenida por un pasador en A y soporta un elevador de cadena que puede viajar a lo largo del patn inferior de la viga, 1 pie s x s 12 pies. Si el elevador puede soportar una carga mxima de 1500 Ib, de term ine el esfuerzo normal mximo promedio en el tiran te B C de dimetro | pulg y el esfuerzo cortante mximo promedio en el pasador de dimetro de | pulg en B.

M

Probs. 1-67/68

1-69. Cuando la mano sostiene una piedra de 5 Ib, el h mero H, que se supone liso, ejerce las fuerzas normales Fc y Fa sobre el radio C y el cbito A , respectivamente, co mo se muestra. Si la m enor rea de seccin transversal del ligamento en B es de 0.30 pulg2, determ ine el mximo es fuerzo de tensin promedio a que estar sometido.

Prob. 1-70

1-71. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio desarro llado en los eslabones A B y CD de las tenazas que sopor tan el tronco con masa de 3 Mg. El rea de la seccin trans versal de cada eslabn es de 400 mm2.

1

Prob. 1-69

Prob. 1-71

P ro blem a s

47

*1-72. Determine el esfuerzo cortante promedio desarro llado en los pasadores A y B de las tenazas que soportan el tronco con masa de 3 Mg. Cada pasador tiene un di metro de 25 mm y est sujeto a un cortante doble.

1-74. El pedestal en forma de tronco cnico est hecho de concreto con peso especfico de 150 lb/pie3. D eterm i ne el esfuerzo normal promedio que acta a media altura del pedestal, esto es, a z = 4 pies. Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V = i irr2h.

z

Prob. 1-74

1-73. El pedestal en forma de tronco cnico est hecho de concreto con peso especfico de 150 lb/pie3. D eterm i ne el esfuerzo normal promedio que acta en la base del pedestal. Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V = 77t2/.

z

1-75. La columna est hecha de concreto con densidad de 2.30 Mg/m3. E n su parte superior B est sometida a una fuerza de compresin axial de 15 kN. Determ ine el esfuer zo normal promedio en la columna en funcin de la dis tancia z medida desde su base. Nota: el resultado ser til solamente para determ inar el esfuerzo normal promedio en una seccin alejada de los extremos de la columna, de bido a la deformacin localizada en los extremos.

Prob. 1-73


*1-76. La pila est hecha de material con peso especfi co y. Si tiene una seccin transversal cuadrada, determine su ancho w en funcin de z, de manera que el esfuerzo nor mal promedio en la pila permanezca constante. La pila so porta una carga constante P en su parte superior, donde su ancho es w\.

1-78. El radio del pedestal est definido p or r = (0.5eao8'2) m, donde y est dada en metros. Si el material tiene una densidad de 2.5 M g/m3, determ ine el esfuerzo normal promedio en el soporte.

r = 0.5e 08'"

Prob. 1-78 Prob. 1-76

1-77. El pedestal soporta una carga P en su centro. Si el m aterial tiene una densidad de masa p, determ ine la di mensin radial r en funcin de z, de manera que el esfuer zo norm al prom edio perm anezca constante. La seccin transversal es circular.

1-79. Determine la velocidad angular mxima constante u del volante de manera que el esfuerzo normal prom e > dio en su pestaa no sea mayor que er = 15 MPa. Supon ga que la pestaa es un anillo delgado con espesor de 3 mm, ancho de 20 mm y masa de 30 kg/m. La rotacin tiene lugar en un plano horizontal. Desprecie el efecto de los rayos en el anlisis. Sugerencia: considere un diagrama de cuerpo libre de una porcin semicircular del anillo. El centro de masa de un segmento semicircular est en r = 2 r/ir des de el dimetro.

Prob. 1-79

S e c c i n

1.6 Esfuerzo permisible

49

1.6

Esfuerzo permisible

U n ingeniero a cargo del diseo de un miembro estructural o elemento mecnico debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea se guro. Adems, una estructura o mquina corrientem ente en uso puede en ocasiones tener que ser analizada para ver qu carga adicional pueden so portar sus miembros o partes. As que nuevamente es necesario efectuar los clculos usando un esfuerzo permisible o seguro. Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisi ble que limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miem bro pueda soportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejem plo, la carga para la cual el miembro se disea puede ser diferente de la carga real aplicada sobre l. Las medidas previstas para una estructura o mquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricacin o en el montaje de las partes componentes. Pueden ocurrir vibraciones descono cidas, impacto o cargas accidentales que no se hayan tom ado en cuenta durante el diseo. La corrosin atmosfrica, el decaimiento o las condi ciones ambientales tienden a que los materiales se deterioren durante el servicio. Finalmente, algunos materiales, como la m adera, el concreto o los compuestos reforzados con fibras, pueden m ostrar alta variabilidad en sus propiedades mecnicas. Una manera de especificar la carga permisible para el diseo o anlisis de un miembro es usar un nmero llamado factor de seguridad. El factor de seguridad (FS) es la razn de la carga de falla, Ffa|la, dividida entre la car ga permisible, / ernv La Ffa),a se determ ina por medio de ensayos experi p mentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro se use en condiciones similares de carga y simetra. Expresado matemticamente, FS =falla perm

Factores apropiados de seguridad de ben ser considerados al disear gras y cables usados para transferir cargas pe sadas.

(1-8)

Si la carga aplicada al miembro est linealmente relacionada al esfuer zo desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar a = P /A y Tprm = V /A , entonces podemos expresar el factor de seguridad como larazn del esfuerzo de falla < fal|a (o rfana) al esfuerzo permisible crperm x ( o Tperm) ; * esto es, FS = - ^ !2^perm O FS =^perm

(1-9)

(1-10)

*En algunas capas, como en las columnas, la carga aplicada no est relacionada linealmente a la tensin y por lo tanto slo la ecuacin 1-8 puede usarse para determinar el factor de seguridad. Vea el captulo 13.


En cualquiera de esas ecuaciones, el factor de seguridad se escoge m a yor que 1 para evitar una posible falla. Los valores especficos dependen de los tipos de m ateriales por usarse y de la finalidad prevista para la estructura o mquina. Por ejemplo, el FS usado en el diseo de compo nentes de aeronaves o vehculos espaciales puede ser cercano a 1 para reducir el peso del vehculo. Por otra parte, en el caso de una planta nu clear, el factor de seguridad para algunos de sus componentes puede ser tan alto como 3, ya que puede haber incertidumbre en el com portam ien to de la carga o del material. Sin embargo, en general, los factores de se guridad, y por tanto las cargas o esfuerzos permisibles para elem entos estructurales y mecnicos, han sido muy estandarizados, ya que sus inde terminaciones de diseo han podido ser evaluadas razonablemente bien. Sus valores, que pueden encontrarse en los cdigos de diseo y manuales de ingeniera, pretenden reflejar un balance de seguridad ambiental y pa ra el pblico junto con una solucin econmica razonable para el diseo.

1.7

Diseo de conexiones simplesHaciendo suposiciones simplificatorias relativas al comportamiento del material, las ecuaciones cr = P/A y rprom = V /A pueden usarse para ana lizar o disear una conexin simple o un elem ento mecnico. En particu lar, si un miembro est sometido a una fuerza normal en una seccin, su rea requerida en la seccin se determ ina con

Por otra parte, si la seccin est sometida a una fuerza cortante, entonces el rea requerida en la seccin es: V A = --------

(1-12)

Como vimos en la seccin 1.6, el esfuerzo permisible usado en cada una de esas ecuaciones se determina aplicando un factor de seguridad a un es fuerzo normal o cortante especificado o encontrando esos esfuerzos di rectam ente en un cdigo apropiado de diseo. A hora discutiremos cuatro tipos comunes de problemas para las cuales las ecuaciones pueden usarse en el diseo. rea de la seccin transversal de un miembro a tensin. El rea de la seccin transversal de un miembro prismtico sometido a una fuer za de tensin puede determ inarse si la fuerza tiene una lnea de accin que pasa por el centroide de la seccin transversal. Por ejemplo, conside-

S e c c i n 1 .7

Diseo de conexiones simples

51

Esfuerzo normal uniforme

se m a lenden vara la cmpo1 para ita nu;de ser imien; de senentos s indee bien, inuales il y padiseo.

^nerm

Fig. 1-27

re la barra con perforacin en sus extremos mostrada en la figura 1-27. En la seccin intermedia a-a, la distribucin de esfuerzos es uniforme so bre toda la seccin y se determ ina el rea som breada A , como se muestra en la figura \-21b.

Esfuerzo cortante uniforme' perm

P' perm

Fig. 1-28

(b)

(c)

nto del ra ana>articu:in, su

(1-11)

itonces

rea de la seccin transversal de un conector sometido a cor tante. A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas, tablones o varios miembros entre s. Por ejemplo, considere la junta tras lapada mostrada en la figura 1-28. Si el perno est suelto o la fuerza de agarre del perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza de friccin entre las placas es despreciable. El diagrama de cuerpo libre de una seccin que pasa entre las placas y a travs del perno se muestra en la figura 1-286. El perno est sometido a una fuerza cortante interna re sultante de V = P en esta seccin transversal. Suponiendo que el esfuer zo cortante que causa esta fuerza est distribuido uniformemente sobre la seccin transversal, el rea A de la seccin transversal del perno se deter mina como se muestra en la figura l-28c. rea requerida para resistir aplastamiento. Un esfuerzo normal producido por la compresin de una superficie contra otra se denomina esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo es demasiado grande, puede aplastar o deform ar localmente una o ambas superficies. Por tanto, para impedir una falla es necesario determ inar el rea apropiada de apoyo pa ra el material, usando un esfuerzo de aplastamiento permisible. Por ejem plo, el rea A de la placa B de base de la columna mostrada en la figura 1-29 se determina a partir del esfuerzo permisible de aplastamiento del concreto, usando la ecuacin A = P/(,o-b)petm. Esto supone, desde luego, que el esfuerzo permisible de aplastamiento para el concreto es menor que el del material de la placa de base y adems que el esfuerzo est unifor memente distribuido entre la placa y el concreto, como se muestra en la figura.

(1-12)

penn

ida una a un esrzos dis cuales

El rea la fueraccin onside-

Fig. 1-29


rea requerida para resistir el cortante causado por carga axial. Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando ste est sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situacin sera una barra de acero cuyo extremo est em potrado en concreto y se encuentre cargado como se m uestra en la figura l-30a. Un diagrama de cuerpo libre de la barra, figura 1-306, muestra que un esfuerzo cortante acta sobre el rea de contacto de la barra con el concreto. Esta rea es ( 7 7 d)l, donde d es el dim etro de la barra y / es la longitud del em potramiento. Si bien la distribucin real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sera difcil de determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar/4 = V /T perm pa ra calcular /, siempre que conozcamos d y rperm, figura 1-306.

PUNTOS IMPORTANTES El diseo de un miembro por resistencia se basa en la seleccin de un esfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su carga propuesta. Hay muchos factores desconocidos que pueden influir en el esfuerzo real en un miembro y entonces, dependien do de los usos propuestos para el miembro, se aplica un factor de seguridad para obtener la carga admisible que el miembro pue de soportar. Los cuatro casos ilustrados en esta seccin representan slo unas pocas de las muchas aplicaciones de las frmulas para los esfuer zos normal y cortante promedio usadas en el diseo y anlisis en ingeniera. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplica das, debe ser claro que la distribucin del esfuerzo se supone uni formemente distribuida o promediada" sobre la seccin.

Esfuerzo cortante uniforme

PROCEDIMIENTO DE ANLISISAl resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal pro medio y del esfuerzo cortante promedio, debe prim ero considerarse cuidadosamente sobre qu seccin est actuando el esfuerzo crtico. Una vez identificada esta seccin, el miembro debe entonces disear se con suficiente rea en la seccin para resistir el esfuerzo que acte sobre ella. P ara determ inar esta rea, se requieren los siguientes pasos. Carga interna. Seccione el miembro por el rea y dibuje un diagrama de cuer po libre de un segmento del miembro. La fuerza interna resultan te en la seccin se determina entonces usando las ecuaciones de equilibrio. rea requerida. Si se conoce o puede determinarse el esfuerzo permisible, el rea requerida para soportar la carga en la seccin se calcula enton ces C O n A P A -^pcrm O /I V / tpemr

S e c c i n

1.7 Diseo de conexiones simples 53

E J E M P L O

1.13

Los dos miembros estn unidos por pasadores en B como se muestra en la figura 1-31 a. Se muestran tambin en la figura dos vistas superio res de las conexiones por pasador en A y B. Si los pasadores tienen un esfuerzo cortante permisible rperm = 12.5 klb/pulg2 y el esfuerzo per misible de tensin de la barra CB es (o-,)perm = 16.2 klb/pulg2, deter mine el dimetro ms pequeo, con una aproximacin a pulg, de los pasadores A y B y el dim etro de la barra CB, necesarios para sopor tar la carga.

(a)Fig. 1-31

Solucin La barra CB es un miembro de dos fuerzas; el diagrama de cuerpo li bre del miembro A B , junto con las reacciones calculadas en A y B. se muestran en la figura 1-31 b. Como ejercicio, verifique los clculos y no te que la fuerza resultante en A debe usarse para el diseo del pasador A, ya que sta es la fuerza cortante que el pasador resiste.

333 klb

Contina


Pasador en A(c)

Pasador en B

D im etro de los pasadores. De la figura 1-31 y los diagramas de cuerpo libre de la porcin seccionada de cada pasador en contacto con el miembro A B , figura l-31c, vemos que el pasador A est sometido a cortante doble, mientras que el pasador B est sometido a cortante sim ple. Entonces,

i2.5 kib/puig2 * 01139

' )

*

' 0381 pule

mtib/pui^ '

02661

pulg!''( f )

d

'5 3p 8 lllg

Aunque estos valores representan los dimetros ms pequeos permi sibles para los pasadores, deber escogerse un tam ao de pasador co mercial. Escogeremos un tamao mayor con una aproximacin a ^ pulg como se requiere. d A = ~ pulg = 0.4375 pulg d B = | pulg = 0.625 pulg Resp. Resp.

Dim etro de la barra. El dimetro requerido para la barra en su sec cin media es entonces: ,BC

_

P(o-)perm

_

3.333klb _ nnfKQ . 2 _ 16.2 klb/pulg2 ' ?U & H 4

dBC = 0.512 pulg Escogeremos d[c = ^ pulg = 0.5625 pulg Resp.

S e cci n

1.7 Diseo de conexiones simples 55

E J E M P L OEl brazo de control est sometido a la carga mostrada en la figura 1-32a. Determine el dimetro requerido, con una aproximacin de pulg, para el pasador de acero en C si el esfuerzo cortante permisible para el ace ro es 7perm = 8 lb/pulg2. A dvierta en la figura que el pasador est so metido a cortante doble.

Solucin

(b)

Fuerza cortante interna. Un diagrama de cuerpo libre del brazo se muestra en la figura \-32b. Por equilibrio tenemos, 1+ 2 Mc = 0; Fab(8 pulg) - 3 klb(3 pulg) - 5 klp(f)(5 pulg) = 0 F ab = 3 klb ^ I F t = 0; + t 2 Fy = 0; - 3 klb - C , + 5 klb(f) = 0 C , = 1 klb Cy = 6 klb3.041 klb 3.041 klb Pasador en C 6.082 klb

Cy - 3 klb - 5 k1b(|) = 0

El pasador en C resiste la fuerza resultante en C. Por lo tanto, Fc = V ( l k l b ) 2 + (6 klb)2 = 6.082 klb Como el pasador est sometido a cortante doble, una fuerza cortante de 3.041 klb acta sobre su rea transversal entre el brazo y cada ho ja de soporte para el pasador, figura l-32c. rea requerida. A = Tenemos V'perm

(c)Fig. 1-32

3.041 klb = 0.3802 pulg2 8 klb/pulg= 0.3802 pulg2 d = 0.696 pulg

Usaremos un pasador con dim etro de d = ~ pulg = 0.750 pulg Resp.

La barra colgante est soportada en su extremo por un disco circular em potrado a ella, como se m uestra en la figura 1-33. Si la barra pasa por un agujero con dimetro de 40 mm, determ ine el dimetro mni mo requerido de la barra y el espesor mnimo del disco necesario pa ra soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra es crperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el dis co es rperm = 35 MPa. ] 40 mm I

Fig. 1-33

Solucin Dim etro de la barra. Por inspeccin, la fuerza axial en la barra es de 20 kN. El rea transversal requerida para la barra es entonces P 20(103) N 2 = 0.3333(10 J) n r A = ------- = - 7 7 . "pcrm 60(10 ) N /irr De m anera que A = n f ^ p = 0.3333(102) m2 4 d = 0.0206 m = 20.6 mm

Resp.

Espesor del disco. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la seccin del ncleo del disco, figura 1-336, el material en el rea seccionada debe resistir esfuerzos cortantes para impedir el movimien to del disco a travs del agujero. Si se supone que este esfuerzo cortan te est uniformemente distribuido sobre el rea seccionada, entonces, como V = 20 kN, tenemos: V 20(10 ) N , . , A = ------ = ------- -----------7 = 0.571 10-3 m2 35(10 ) N /m v ' Como el rea seccionada A = 2 tt(0.02 m)(/), el espesor requerido del disco es: 0.5714(10-3) m2 f = r = 4.55(10-3) m = 4.55 mm2 tt( 0 .0 2 m ) v

Resp.

S e c c i n 1 .7

Diseo de conexiones simples 57

E J E M P L O

1.16

Una carga axial sobre la flecha mos

mecánica de materiales, 6ta edición - r. c. hibbeler

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