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MECANICA DE MATERIALES 1

EXPERIMENTACÍON,

MODELADO NUMERICO Y TEÓRICO

Octubre de 2011

Institución editora

Facultad de ingeniería – Universidad Tecnológica de Bolívar

Los conceptos y opiniones de los artículos contenido en esta publicación son responsabilidad de sus autores;

En ningún momento comprometen las orientaciones y políticas de la facultad de Ingeniería de la Universidad Tecnológica de Bolívar.

Contacto: Prof. Jairo F. Useche, Ph.D

Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatronica Universidad tecnológica de Bolívar

Parque Industrial Vélez – Pombo, km.1 Tel/fax: +575 6535337/6619240 [email protected]

mailto:[email protected]


EXPERIMENTACÍON,


Dirección Universitaria

Patricia del Pilar Martinez Barrios

Rectora

Paola Amar Sepúlveda

Vicerrectora Académica

Viviana Londoño Moreno

Vicerrectora Administrativa

Javier Campillo Jimenez

Director Oficina de Investigaciones y Transferencia Tecnológica

Facultad de Ingeniería

Jose Luis Villa

Decano Facultad de Ingeniería

Raul Padrón Carvajal

Secretario Académico

Justo Ramos Madrid

Director departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatronica


EXPERIMENTACÍON,


Cuerpo Editorial

Jairo Useche Vivero

Editor General

Comité Editorial

Edgardo Arrieta Ortiz Universidad Tecnológica de Bolívar Javier Campillo Universidad Tecnológica de Bolívar Sharicar Mendez Villamizar Universidad Tecnológica de Bolívar Erick Guerrero Universidad Tecnológica de Bolívar

Jose Luis Villa Universidad Tecnológica de Bolívar

Justo Ramos Madrid Universidad Tecnológica de Bolívar

Comité Científico

Prof. Jairo Useche, Ph. D Universidad Tecnológica de Bolívar

Prof. Jairo Tovar, Ph.D Universidad Tecnológica de Bolívar

Prof. Edgardo Arrieta, M.Sc. Universidad Tecnológica de Bolívar

Prof. E.L. Albuquerque, Ph.D. Universidad Tecnológica de Bolívar

Prof. Renato Pavanello, Ph.D. Universidad Tecnológica de Bolívar

Prof. Paulo Sollero, Ph.D. Universidad Tecnológica de Bolívar

Prof. Alejandro Marañón, Ph.D. Universidad Tecnológica de Bolívar

Prof. Jose Rafael Toro, M. Sc. Universidad Tecnológica de Bolívar

Diagramación y Diseño

Sharicar Méndez Villamizar Erick Guerrero

CONTENIDO

TENDENCIAS MODERNAS EN MECÁNICA COMPUTACIONAL. Mario J. Juha, Ph.D Universidad Autónoma del Caribe……………………………… 9

DESARROLLO Y PROCESAMIENTO DE MATERIALES APLICACIONES BIOMÉDICAS E INDUSTRIALES. Jorge Bris, Ph.D. Grupo de Investigación en Materiales, Procesos y Diseño –GIMYP universidad del Norte……………………………………………………………………………… 42 MULTISCALE ANALYSIS APPLIED TO RUBBER COMPOUNDS. A LITERATURE. Survey Paulo Shyer, Universidad de Ca piñas…………………………………………….. 71 CALIBRACIÓN DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE MATERIALES COMPUESTOS LAMINADOS PARA EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE EMBARCACIONES USANDO EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Germán A. Méndez – Cotecmar……………………………………………………………………….. 78

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE ENSAYOS DINÁMICOS EN EL DISPOSITIVO DE BARRA HOPKINSON. C. Hernandez Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia………………………………………………………………………………………………………… 86 MODELO ANALÍTICO PARA EL ANÁLISIS DE IMPACTO A ALTAS VELOCIDADES DE CILINDROS MULTI-MATERIALES. Mario Fernando. Buchely Grupo de Integridad Estructural GIE. Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes, Colombia……………………………………………….. 94 EVALUACIÓN DE ALGUNOS MODELOS CONSTITUTIVOS PARA EL COMPORTAMIENTO DE UN ADHESIVO A BASE POLIURETANO. J. C. Prieto Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes, Colombia. ……………………………………………………………………………………………………………………….. 103

THE BOUNDARY ELEMENT METHOD APPLIED TO THE ANALYSIS OF UNILATERAL CONTACT PROBLEMS WITH FRICTION. E.L. Albuquerque Deapartment of Mechanical Engineering, Faculty of Technology University of Brasilia………………………………………………………………………………………………………. 111

ANÁLISIS DE PARÁMETROS EXPERIMENTALES PARA MODELADO DE DIÁMETROS MÁXIMOS EN PIEZAS CILÍNDRICAS DE AMORFOS ESTRUCTURALES BASE FE. M. Pagnola IESIING, Facultad de Ingeniería e Informática, UCASAL, Salta, Argentina……………………………………………………………………………………………………….. 124

EVALUACIÓN DEL MÉTODO SPH FRENTE A UNA CARGA EXPLOSIVA. V. S. Robinson Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia………………………………………………………………………………………………… 134

RECUBRIMIENTOS DEPOSITADOS CON LA TÉCNICA DE PROYECCIÓN TÉRMICA PARA LA RECUPERACIÓN DE PIEZAS NAVALES. J. A. Morales Cotecmar…………………………………………………………………………… 142

ANÁLISIS DINÁMICO DE PLACAS LAMINADAS ESPESAS UTILIZANDO UNA FORMULACIÓN – BEM.

H. Alvarez Faculty of Mechanical Engineering University of Brasilia – UnB………….. 148

MODELACIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE IMPACTO EN FUERZA AXIAL Y FLEXIÓN MEDIANTE EL SOFTWARE LIBRE IMPACT USANDO ELASTICIDAD Y ELASTOPLASTICIDAD. Wilson Rodriguez Calderón Facultad de Ingeniería, Programa de Ingeniería Civil Universidad de La Salle…………………………………………………………………………………………………………. 154

DEGRADACIÓN DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE COMPUESTOS LAMINADOS FABRICADOS CON FIBRA DE VIDRIO POR INMERSIÓN SALINA. Mary Arias Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Tecnológica de Bolívar, Colombia………………………………………………………………………………………………………….. 163

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR CELDAS PARA ANÁLISIS DE LAMINADOS GRUESOS UTILIZANDO – BEM. Christian Harnish Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Tecnológica de Bolívar, Colombia……………………………………………………………………………………………… 170

CREEP EN ACEROS HP MODIFICADOS. G. González Universidad Tecnológica Nacional; Bahía Blanca, Arge ti a……………………………………………………………………………………………………… 179 UNA APROXIMACIÓN PRELIMINAR AL COMPORTAMIENTO DEL MIEMBRO INFERIOR FRENTE A CARGAS IMPULSIVAS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. J. calle Estudiante, Universidad de Los Andes, Bogotá Colombia……………………….. 187

MÉTODO DE ENJAMBRE DE PARTÍCULAS Y EVOLUCIÓN DIFERENCIAL PARA LA OPTIMIZACIÓN DE PANELES ESTRUCTURALES.

Guillermo E. Giraldo Grupo De Investigación En Materiales Y Estructuras GIMAT, Universidad Tecnológica De Bolívar……………………………………………………………………………………… 192

Gama, Ozelo, Rodríguez, Sollero and Costa., Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

Tercer Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

1

Multiscale analyses applied to rubber compounds:

A literature survey

Anderson B. Gama1, Renan R. M. Ozelo

2, René Q. Rodríguez

3, Paulo Sollero

4

Faculty of Mechanical Engineering

University of Campinas

200 Rua Mendeleyev

Campinas, São Paulo, Brazil, 13083-860 CP 6122

[email protected]

Argemiro L. A. Costa5

Pirelli Pneus S.A.

871 Avenida Giovanni Battista Pirelli

Santo André, São Paulo, Brazil, 09111-340

Abstract

The computing power has increased substantially in recent years. Thus, the complexity of

numerical analysis could also be increased and the multiscale analyses proved to be a

promising study area. The application of multiscale analyses in rubber compounds has a

particular interest due to their complex microstructure. This paper reviews multiscale

analysis approaches that are currently available for rubber compounds, especially for fillers

like carbon black. A discussion of the potential of these approaches is made and examples

of how these analyses have been applied are presented.

Keywords:Multiscale, rubber, carbon black.

Resumen

El poder computacional ha sido incrementado substancialmente en los últimos años.

Adicionalmente, la complejidad del análisis numérico puede también ser incrementado y

los enfoques de multiescala están demostrando ser una área prometedora. La aplicación de

análisis multiescala en componentes de caucho muestran un interés particular debido a su

compleja microestructura. Este trabajo hace una revisión de análisis multiescala que están

disponibles para compuestos de caucho, especialmente para los rellenos, como el negro de

carbón. Una discusión del potencial de estos enfoques fue hecha y ejemplos de como estos

enfoques son aplicados son también presentados.

Palabras claves: Multiescala, caucho, negro de carbón



2

1. INTRODUCTION

A long-standing goal of physical, chemical and engineering sciences has been developing

efficient theoretical tools for understanding and predicting the physical properties of polymer

materials from the knowledge of a few input parameters (Olson, 1997). Nevertheless, the

development of such tools is notably demanding, since generally one needs to cope with a

multitude of components and interactions, which influence their structure and dynamics at the

various scales (Baeurle, 2009). He considered four scales for his review: Quantum level,

atomistic level, mesoscopic level and continuum level:

Quantum level: At the quantum level, a polymer system is described in terms of nuclear and

electronic degrees of freedom, Solving the Schrödinger equation is posible to determine the

many-particle wavefunction which is related to their behavior. Various initial quantum-chemical

techniques (Jensen, 1999) exist for solving this equation in the wavefunction representation,

which are known as wavefunction approaches. These techniques in principle are not necessary

empirical knowledge about the various effective interactions involved in the system, but

generally necessitate a high amount of computational power.

Atomistic level : The next higher level of description, that in the following we will refer to as

the atomistic level, can be reached by discarding the electronic degrees of freedom and

substituting their interactions by effective coarse–grained interactions among the nuclei,

expressed via classical potentials. In this picture the motions of the atoms are treated classically,

and their trajectory is propagated deterministically or stochastically through state space, spanned

by the respective particle degrees of freedom. (Allen and Tildesley, 1996), (Frenkel and Smit,

1996),(Binder and Heermann, 2002).

Mesoscopic level : The standard strategy for addressing the inherent difficulties, associated

with fully atomistic particle-based simulations of polymer systems, is to coarse–grain the

polymer model so that groups of atoms are lumped into larger entities, referred to as united

atoms or superatoms (Müller-Plathe, 2003), (Faller, 2004).The resulting effective particles may

correspond e.g. to monomer residues within a polymer chain surrounded by solvent molecules,

which interact by new effective interaction potentials that must be re-parameterized.

Unfortunately, within the particle description it is very difficult to develop a systematic and

consistent coarse–graining procedure for the large variety of polymer materials of interest.

However, many procedures are found in literature for the treatment in this level of analysis

(Baschnagel et al., 2000), (Fredrickson, 2006), (Terzis and Stroeks, 2002).

Continuum level : On the continuum level of description, one assumes the existence of a fully

or partially continuous material structure in a polymer material, and in case of a composite one

ordinarily does not explicitly include the chemical interactions between the constituent phases

(Valavala and Odegard, 2005). Methods of this kind can be classified as either of analytical or

numerical type. Continuum equations generally can be solved by numerical continuum-based

modeling methods using either finite element or finite-difference techniques.

Researches center of attention in rubber compounds with a mulstiscale approach is the study of



3

fillers and the changes in micromechanics and macromechanics that the filler causes on the

compound. Normally, for rubbers compounds applied on tires industry, there are two

predominant fillers: carbon black and silica, where the carbon black is the most applied and

traditional filler used in industry and increase abrasion resistance, elastic modulus and strength

of elastomeric composites. (Donnet, 2003) (Voet, 1980).

However, despite decades of such experimental and numerical studies, (Göritz et al., 1999)

(Leblanc, 2002), the actual mechanisms by which carbon black modifies macroscale mechanical

performance remain unresolved. We will discuss below some advances in study of carbon

black.

2. MULTISCALE MODELING – RUBBER COMPOUNDS.

In search to obtain a model to rubber compounds filled with carbon black, in Bergstrom &

Boyce (1998) the carbon black particles are not described, but the aggregates are modeled as

squares or dodecahedra in an elastomeric volume, to derive the large deformation behavior from

finite element computations. In Naito et al. (2007) the union of carbon black spherical-shaped

particles defines the aggregates. In Laiarinandrasana et al. (2009), placing a spherical carbon

black particle at the centre of a tetrakaidecaedron cell to compute the visco-elastic behavior of a

centre cubic symmetry composite from periodical finite element computations obtains an ideal

microstructure.

A multiscale model of microstructure of rubber with carbon black fillers is proposed by Jean et

al. (2011), as can be seen in Fig. 1. This model uses a combination of three basic Boolean

models as in the case of carbon black in a polymeric matrix (Savary et al., 1999; Moreaud &

Jeulin, 2005; Jean et al., 2007). It is used a model of carbon black proposed by Donnet (2003),

which considers a surface that allows the agglomeration of these particles. These particles and

agglomeration are considered as inclusions in material, and the distribution of these inclusions

allows the formulation of the model (Zheng and Du, 2001).

Fig 1. (a) Final multiscale model of microstructure and (b) an example of carbon black aggregate in the

simulated microstructure. (Jean et al., 2011)



4

Further approach to model the influence of fillers on the matrix is the study of the boundary

surfaces separating different phases (for instance, on the boundary between the high-elastic

matrix and the surface of solid particles of the filler). In this boundary the polymer molecules

interact with a surface of the filler in a special way. Owing to such interaction, a layer of the

polymer with particular properties (interphase layer) occurs. This interphase layer is of

complicated structure, and its mechanical properties differ significantly from the properties of

the polymer matrix (Yanovsky, 2005). The dominant theory of this reinforcement posits a

strong interaction at the particle–polymer interface, which then has effects on the mechanical

behavior of the composites system. The concept of ‘‘bound rubber’’ at the particle–elastomer

interface has been put forth to describe such a strong interaction (Qu et al. 2011). This bound

rubber is a film that is stabilized around the particles via van der Waals interactions, and is thus

resistant to dissolution in solvent, as proposed initially by Stickney and Falb (1964)

Experimental efforts have been focused on indirect evidence of an interphase in the

uncrosslinked state. For example, nuclear magnetic resonance (NMR) spectroscopy has

suggested the existence of this interphase, in that chain mobility near the carbon black–rubber

interfaces was less than that of the polymer matrix. Litvinov and Steeman (1999) measured T2

relaxation spectra of ethylene propylene diene monomer rubber (EPDM) and bound rubber–

coated carbon black fillers to imply significantly different EPDM rubber chain mobility. Berriot

et al. (2003) also demonstrated that topological constraints exist at a particle surface via NMR.

Another indirect confirmation of this interphase is enabled by the unique property of bound

rubber to reversibly form as a function of temperature, i.e., bound rubber content decreases at

high temperature, as showed by Wolff et al. (1993) and Kida et al. (1996). Robisson (2010) and

Robisson and Chartier(2010) have also shown that macroscale elastic moduli of hydrogenated

nitrile butadiene rubber (HNBR)–carbon black composites decreased with increasing

temperature (for a given vol% carbon black), suggesting thermal depletion of the vol% of bound

rubber interphase.

Thanks to advances in microscopy tools e.g. SPM; AFM; TFM, visual evidences of bound

rubber were obtained recently. Qu et al (2011) in their study developed a method to visualize

and to characterize the properties of bound rubber, by the AFM, like in Fig. 2.

Fig 2. AFM (a) height and (b) phase lag images of HNBR–5 vol% CB at room temperature (RT). (c)

Image analysis of height image at RT. (d) Height and (e) phase images of the same particles acquired at

180 oC. (f) Analysis of the phase images showed that the particle diameters decreased approximately 11

nm as the temperature increased from RT to 180 oC. Scale bars = 200 nm. (Qu et al. 2011)



5

With this approach, it was proposed by Qu et al. (2011) a finite element technique to evaluate

the rubber compound properties as a function of the temperature.

3. CONCLUSIONS

The multiscale modeling is a promising and useful tool used recently to describe how the

microstructure influences the macromechanics properties of material. An example of this

approach is the study of mechanical properties of rubber compounds, that presents a high

heterogeneous on his composition, especially because rubber compounds are frequently

reinforced with fillers, manly carbon black. Using a multiscale approach, recent works showed

models to simulate the behavior of mechanical properties of material taking in considerations

different levels, like interactions between carbon black and rubber matrix and dispersion and

agglomeration of carbon black particles. These models became possible due to the advances in

microscopy, which developed tools able to gives a visual way to confirm the geometric

disposition and dispersion of the particles of carbon black in the rubber matrix.

The previous example shows that the multiscale approach is an excellent method to develop

analytic models of rubber compounds. A suggestion of new research in this area, is the

possibility to aggregate the two approaches of carbon black in rubber compounds: the geometric

dispersion and the chemical reactions. Another focus of study is to join silica and carbon black

in the same model. The development of a model that accounts the effect of silica and carbon

black will became a great tool for industry and means a great reduction of time and cost in the

design of new materials in rubber industry.

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Computation of displacements in anisotropic plates by the boundary

element method

A. Reisa, E. L. Albuquerquea J. F. Usecheb and H. Alvarezb

aUniversity of Brasılia - UnBFaculty of Mechanical Engineering

Brasılia, DF, [email protected]

[email protected]

bUniversity Technologic of BolıvarFaculty of Mechanical Engineering

Cartagena, [email protected]

[email protected]

Keywords: Mindlin theory, thick plates, Radon transform, anisotropic plates.

Abstract. This paper presents a boundary element formulation for the computation of displacements at

internal points of laminated composite thick plates. Fundamental solutions for anisotropic thick plates are

obtained using Hrmander operator and Radon transform. So, they do not have a closed form and numerical

integration is necessary to compute fundamental solutions in each field point. Integral equations for

moments are developed and all derivatives of the fundamental solution are computed. A special integration

technique is used in order to improve performance of the method. The obtained results are in good

agreement with literature.

Introduction. It is well known from literature that the use of the classical Kirchhoff plate model is

inappropriate for composite plates. Unlike the Kirchhoff theory of thin plates, Reissner theory takes into

account the transverse shear deformation, which is important in many practical applications. The

sixth-order plate problem, was formulated in a boundary integral equation method form for the Reissner

model by [11], who employed the Hormander method for the derivation of the fundamental solution. An

integral formulation for the Mindlin model was developed by [2], whereas [13] presented a unified integral

formulation for both models. After the original works of [11], many references have reported the

application of boundary elements to bending analysis of thick plates, most of them using the Reissner

model as, for example, [6], [5], [14], and [7].

As we can see, a large number of articles with the analysis of isotropic plates can be found in literature.

However, only few works can be found with the analysis of orthotropic plates. [4] presented a boundary

element method of moderately thick orthotropic plates. In [12] the previous formulation was extended to

laminated composites. This work presents a boundary element formulation for anisotropic thick plates. It

uses the fundamental solution proposed by [12] that takes into account the effects of shear deformation and

was derived by means of Hormander operator and the Radon transform. Domain integrals which come

from transversal applied loads are exactly transformed into boundary integrals by a radial integration

technique. Some numerical examples concerning orthotropic plate bending problems are analyzed with the

BEM.

1 EQUATIONS OF EQUILIBRIUM

Consider a plate constructed of a finite number of homogeneous, uniform-thickness layers of an orthotropic

material. Relations between the generalized displacement and strains are:

κ1 =∂ψx

∂x, κ2 =

∂ψy

∂y,

κ6 =∂ψx

∂y+

∂ψy

∂x, ε4 =

∂ω∂y

+ψy,

ε5 =∂ω∂x

+ψx,

(1)

in which ω is the displacement along the z-direction, and ψx and ψy are the rotation of the plates along the

x and y co-ordinate axes, respectively.

The relations between the stress resultants and strains are:

Mi = Di jκ j, i, j = 1,2,6,

Di j = ∑Nk=1

∫ hk

hk−1Q(k)i j z2dz i, j = 1,2,6,

Q1 = A45ε4 +A55ε5, Q2 = A44ε4 +A45ε5,

Ai j = ∑Nk=1

∫ hk

hk−1Q(k)i j KiK jdz, i, j = 4,5,

(2)

in which hk is the vertical distance from the midplane, z = 0, to the upper surface of the kth lamina. K4 and

K5 are the shear correction factors. Qki j are the plane stress reduced stiffness coefficients of the kth lamina.

The equilibrium equations of the plates are:

∂M1

∂x+

∂M6

∂y−Q1 +mx = 0,

∂M6

∂x+

∂M2

∂y−Q2 +my = 0, (3)

∂Q1

∂x+

∂Q2

∂y+q = 0,

Substituting Eq.(1) and Eq.(2) into Eq.(3), we obtain the following differential equations using the

generalised displacement as basic unknowns:

Li jU j +qi = 0, i, j = 1,2,3 (4)

where U j indicate ψx, ψy and ω , qi represent the generalized loads, i.e.qi indicate mx, my and q,

respectively, Li j are the differential operators.

2 FUNDAMENTAL SOLUTIONS

The fundamental solutions of the symmetric laminated anisotropic thick plate taking into account the

transverse shear deformation are a set of particular solutions of the differential Eq. (4) under a unit

concentrated load, i.e., the solutions satisfy the following inhomogeneous differential equations:

L∗i jU

∗k j(ζ ,x) =−δ (ζ ,x)δki, (5)

in which δ (ζ ,x) denotes the Dirac delta function, ζ represents the source point, x is a field point, and U∗k j

represents the generalized displacement in the jth direction of the field point x of an infinite plane when a

unit point load is applied in the kth direction of the source point ζ , (see [12]).

Using the plane wave decomposition method, [3], we can transform Eq. (5) into a set of ordinary

differential equations, δ (ζ ,x) and U∗k j(ζ ,x) may be expanded into a plane wave:

δ (ζ ,x) =−1

4π2

∫ 2π

0| ω1(x−ζ )+ω

2(y−η) |−2 dθ , (6)

U∗k j(ζ ,x) =

∫ 2π

0U∗

k j(ρ)dθ , (7)

where (ω1,ω2) are the co-ordinates of a point on the unit circle, i.e., ω1 = cos(θ), ω2 = sin(θ), (x,y) and

(ζ ,η) are the co-ordinates of the field point and the source point, respectively. Substituting Eq.(6) and

Eq.(7) into Eq.(5), and considering the differential relationship ∂∂xα

= ωαd

dρ , we obtain a set of ordinary

differential equations as follows:

L∗i jU

∗k j(ρ) =

14π2 | ω1(x−ζ )+ω

2(y−η) |2 δki, i, j,k = 1,2,3 (8)

Following Hormander’s operator method, the solutions of Eq. (4) can be written as:

U∗k j(ρ) =

co Lad j

jk φ(ρ), (9)

where φ(ρ) is a unknown scalar function and coL∗ is the cofactor matrix of the operator L∗. Thus, the

fundamental solutions of symmetrical laminated anisotropic plates including transverse shear deformation

can be written as:

U∗αβ (ρ) = aαβ D4φ(ρ)−Cωαωβ D2φ(ρ),

U∗α3(ρ) =−U∗

3α(ρ) = fαD3φ(ρ)−CωαDφ(ρ), (10)

U∗33(ρ) = AD4φ(ρ)−BD2φ(ρ)+Cφ(ρ),

where D4φ(ρ) = dkφ(ρ)/dρk,(k = 1,2, ...)

Substituting Eq. (9) into Eq. (8), we obtain the following equation:

d4

dρ4

(

d2

dρ2− p2

)

ϕ(ρ) =1

4π2a2| ρ |−2, (11)

in which

a = A11d11 +a12d12,

b = a11A55 +Cd11ω21 +a12A45 +Cd12ω1ω2 + f1d13,

p2 = b/a.

The solution of Eq.(11) can be written as follows:

φ(ρ) =1

8π2 p4a

[

p2ρ2 log | ρ |+2log | ρ |+3+ exp(pρ)∫ ∞

ρ

exp(−pσ)

σdσ+

−exp(−pρ)∫ ρ

−∞

exp(pσ)

σdσ

]

. (12)

In the numerical calculation of the fundamental solutions, we have to deal with the following integrals:

I1 =∫ 2π

0F1(θ)D

kφ(ρ)dθ , k = 1,2,3,4,5. (13)

where F1(θ) is a function depending only on θ . In the range of 0 e 2π there are two points which make

ρ = 0. We first determine a value θ0 which makes ρ = 0 and split (0,2π) into four intervals. As the

integrand is a periodic function, four intervals are: [θ0,θ0 +π/2], [θ0 +π/2,θ0 +π], [θ0 +π,θ0 +3π/2],

and [θ0 +3π/2,θ0 +2π].

A Gaussian formula is used to evaluate the integral I1 for each interval. The value θ0 is determined by:

θ0 = arctan

(

−x−ζ

y−η

)

. (14)

Details of the implementation the Equations (7), (11)and (12)can be found in [4] and [12].

3 BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS

The integral equation can be derived by considering the integral representation of the governing Eq.(3) via

the following integral identity:

∫

Ω[(Mαβ ,β −Qα)U

∗α +(Qα,α +q)U∗

3 ]dΩ = 0, (15)

where U∗i (i = α ,3) are the weighting functions. Integrating by parts (applying Green’s second identity)

and making use of the algebraic relationships, it gives:

U j(ζ )+∫

ΓP∗

i j(ζ ,x)U j(x)dΓ =∫

ΓU∗

i j(ζ ,x)Pj(x)dΓ+∫

Ωq(x)U∗

i3(ζ ,x)dΩ. (16)

By taking the point ζ to the boundary at the position ζ ∈ Γ, Eq. (16) can be written as:

ci j(ζ )U j(ζ )+∫

Γ− P∗

i j(ζ ,x)U j(x)dΓ =∫

ΓU∗

i j(ζ ,x)Pj(x)dΓ+∫

Ωq(x)U∗

i3(ζ ,x)dΩ, (17)

where∫

− denotes a Cauchy Principal Value integral, ζ ,x ∈ Γ are source point and field point, respectively.

The value of ci j(x) is equal to δi j/2 when x is located on a smooth boundary. Eq.(17) represents three

integral equations, two (i = α = 1,2) for rotations and one (i = 3) for deflection. The last integral on the

right hand side of equation (17), that is a domain integral, is transformed into a boundary integral using the

procedures presented by [1].

4 NUMERICAL RESULTS

To validate the procedures implemented and to assess the accuracy of solutions, consider a clamped

circular plate subjected to a uniform distributed load for the different values of Ex/Ey and h. The material

constants are Gxy = Gxz == 0.6Ey GPa, Gyz = 0.5Ey GPa, νLT = 0.25. The laminate is discretized into 16

constant elements per side.

Results are compared with [4], as shown in Table (1). As it can be seen, there is a good agreement with

literature.

Table 1: Center deflection of the orthotropic thick circular plate of clamped boundary.

Ex/Ey a/(h/2) w(ref.[4]) w(MEC) Error[%]

3 10 103,78 106,48 2,60

5 16,32 15,90 2,55

10 10 51,15 52,56 2,77

5 9,99 9,83 1,54

Conclusions. This paper presented a boundary element formulation for anisotropic thick plates. The

fundamental solution was derived by means of Hormander operator and the Radon transform. The domain

integrals are transformed into boundary integrals by a radial integration technique. The agreement obtained

by the proposed method and results from literature.

References

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anisotropic Kirchhoff plates. International Journal of Solids and Structures, 43:4029–4046, 2006.

[2] C. S. De Barcellos, and L. H. M. Silva. A boundary element formulation for the Mindlins plate

model. In: C. A. Brebbia, W. S. Venturini, editors. Boundary element techniques: applications in

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Reissner’s theory. Engineering Analysis with Boundary Elements, 12:65–74, 1993.

[6] S. Y. Long, C. A. Brebbia, and J. C. F. Telles. Boundary element bending analysis of moderately thick

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[7] Y. F. Rashed, M. H. Aliabadi, and C. A. Brebbia. On the evaluation of the stresses in the BEM for

Reissner plate-bending problems. Applied Mathematical Modelling, 21:155-163, 1997.

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[9] J. Wang and K. Schweizerhof. A boundary integral equation formulation for moderately thick

laminated orthotropic shallow shells. Computers and Structures, 58:277–287, 1996.

[10] J. C. F. Telles. A self adaptive co-ordinate transformation for efficient numerical evaluation of general

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[11] V. F. Weeen. Application of the boundary integral equation method to Reissner’s plate model.

International Journal for Numerical Methods in Engineering, 18:1–10, 1982.

[12] J. Wang and K. Schweizerhof. Fundamental solutions and boundary integral equations of moderately

thick symmetrically laminated anisotropic plates. Communications in Numerical Methods in

Engineering, 12:383–394, 1996.

[13] T. J. Westphal and C. S. De Barcellos. Applications of the boundary element method to Reissner’s

and Mindlins plate model. In: M. Tanaka, C. A. Brebbia, T. Honma, editors. Proceedings of the 12h

international conference on boundary element technology. Computational Mechanics Publications.

Southampton, 1:467–477, 1990.

[14] X. Yan. A new BEM approach for Reissner’s plate bending. Computers and Structures,

54:1085–1090, 1995.

Mary J. Arias, Degradación de propiedades Mecánicas en Compuestos laminados

Tercer Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

1

Degradación de las Propiedades Mecánicas de

Compuestos Laminados Fabricados con Fibra de

Vidrio por Inmersión Salina

M. Arias1, J. Useche

2

Departamento de Ingeniería Mecánica

Universidad Tecnológica de Bolívar, Colombia

[email protected]

[email protected]

Resumen

Este artículo presenta algunos resultados de investigaciones previas, sobre la incidencia del

agua de mar, en la degradación de las propiedades mecánicas de materiales compuestos

fabricados con fibra de vidrio y resinas poliméricas. Los sistemas fibra/matriz analizados,

están formados por solo un pequeño grupo de resinas termoestables (poliéster, fenólicas y

vinílicas) y fibra de vidrio (Tipo E), por ser los más utilizados en la fabricación de

embarcaciones navales. Estos sistemas se fabricaron en forma de láminas, utilizando la

técnica VARI (vacuum assisted resin infusion). Las pruebas de medición de propiedades

mecánicas (tensión, flexión y dureza) y reológicas, así como también las técnicas de

caracterización de materiales (Análisis Dinámico Mecánico, Calorimetría Diferencial de

Barrido y Microscopia Electrónica), se hicieron para cada uno de los sistemas analizados,

antes y después de ser sumergidas en el agua de mar, revelando la influencia de factores

tales como velocidad de curado, tipo de resina (estructura química de las sustancias),

componentes de la fibra de vidrio, temperatura y tiempo de exposición al agua, en la

degradación de los materiales y posterior perdida de las propiedades mecánicas de estos.

Las muestras se conservaron en laboratorios, en los cuales se simulo el medio ambiente real.

Palabras claves: materiales compuestos, degradación, propiedades mecánicas.

Abstract

This article presents some results of previous research on the impact of sea water in the

degradation of the mechanical properties of composite of fiberglass and polymer resins.

Systems fiber / matrix analyzed consist only of a small group of thermosetting resin

(polyester, phenolic and vinyl) and glass fiber (Type E), being the most used in the

manufacture of naval ships. These systems were fabricated in laminates form, by using the

technique VARI (vacuum resin infusion assisted). Tests measuring mechanical properties

(tension, bending and hardness) and rheological techniques, as well as characterization

techniques (Dynamic Mechanical Analysis, Differential Scanning Calorimetry and Electron

Microscopy), were made for each systems analyzed, before and after being submerged in

sea water, revealing the influence of factors such as speed of cure, resin type (chemical

structure of substances), components of glass fiber, temperature and time of exposure to

water, materials degradation and subsequent loss of mechanical properties of these. The

samples were kept in laboratories, which simulates the real environment.

Keywords: composites, degradations, mechanical properties.



2

1. INTRODUCCION

Los materiales compuestos se han convertido en una gran alternativa para la industria moderna

del transporte (aeronáutica, automóviles y naval). El rápido crecimiento en el uso de estos

materiales, especialmente de los compuestos reforzados con fibras, tiene que ver con muchas

ventajas frente a los materiales tradicionales (metales). Algunas de estas ventajas se logran al

diseñar la estructura interna del material, puesto que se permite el refuerzo de la matriz con

fibras orientadas en direcciones especificas según los requerimientos; lo que se ve reflejado en

propiedades tales como resistencia a la tensión, rigidez, flexibilidad, Modulo Especifico

(Modulo de Elasticidad/Unidad de Peso) y Resistencia Especifica (Modulo de Resistencia/

Unidad de Peso), el aumento de estas últimas, significa la reducción del peso de los

componentes; lo que es aprovechado por la Industria del Transporte, contribuyendo a que los

vehículos sean más livianos y por lo tanto tengan un mayor rendimiento y ahorro de energía [1]

durante su operación.

Aunque estos materiales muestren ventajas que los hacen atractivos, también presentan

problemas que conllevan al daño de su estructura externa e interna (degradación) y disminución

de las propiedades mecánicas. Muchos de los problemas que padecen los materiales compuestos

se categorizan en cambios reversibles e irreversibles; producto del contacto prolongado con

ambientes acuosos y/o fluctuaciones de la temperatura, entre otros. Pero a pesar de los avances

en las investigaciones sobre materiales compuestos y los problemas que estos enfrentan durante

la exposición al medio ambiente; en el país, el desconocimiento sobre estos temas es bastante

alto, pues las aplicaciones de estos materiales a estructuras con fines específicos se han basado

en diseños empíricos, guiados solo por el éxito de su funcionamiento; y las investigaciones

sobre el comportamiento de estas estructuras en el medio ambiente real y los problemas que

estos experimentan han sido pocas; por lo cual se ha hecho difícil entender y dar respuesta a los

interrogantes que se derivan de la ineficiencia de estas estructuras luego de cierto tiempo de uso.

Todo lo anterior y la poca exploración por parte de la Industria Naval Colombiana, en búsqueda

de un compuesto útil que se ajuste a las necesidades y condiciones del entorno local; motivan a

emprender esta investigación, la cual será de gran ayuda para el desarrollo y crecimiento de esta

industria en el país.

2. EXPERIMENTACION

Los materiales utilizados en los distintos trabajos de investigación, son resinas termoestables de

Poliéster (isoftálico y ortoftálico), Vinyléster y Fenólicas, las cuales se utilizaron como matriz y

Fibra de Vidrio Tipo E, se utilizó como refuerzo. Los distintos sistemas fibra/matriz, se

fabricaron en forma de láminas (el número de estas, lo definió cada investigación según su

interés), utilizando la técnica VARI (vacuum assisted resin infusion), con el fin de remover el

aire que queda atrapado entre las capas y logrando una mayor compactación, lo cual da como

resultado una mayor adhesión entre el refuerzo y la matriz, para obtener finalmente un laminado

más uniforme y duradero. Las pruebas de medición de propiedades mecánicas (tensión, flexión

y dureza) y reológicas, así como también las técnicas de caracterización de materiales (Análisis

Dinámico Mecánico, Calorimetría Diferencial de Barrido y Microscopia Electrónica), se

hicieron para los distintos materiales (resinas limpias y reforzadas) antes y después de ser



3

sumergidas en el agua de mar; con el objetivo de observar su comportamiento frente a la

adsorción de agua. Estas pruebas se hicieron bajo las normas ASTM correspondiente para cada

ensayo.

Algunas de las muestras fueron sometidas a envejecimiento, el cual consiste en sumergir las

muestras en agua de mar en un equipo llamado “cámara de envejecimiento acelerado”, en el

cual se puede tener absoluto control sobre la temperatura, con el fin de simular las condiciones

ambientales de un lugar del mundo determinado sobre el que se tenga interés. El agua de mar

utilizada, es una solución de Cloruro de Sodio (Sal marina) con agua potable, la cual también

fue sometida a pruebas de salinidad y conductividad. La ventana de operación del equipo y

variables a controlar, fueron definidas por cada investigación teniendo en cuenta el objetivo

final de la misma.

3. RESULTADOS

Aunque las distintas investigaciones se hicieron con materiales y condiciones de trabajo

diferentes, los resultados obtenidos marcan una tendencia hacia un mismo comportamiento de

las muestras analizadas. Este comportamiento es la degradación progresiva del material, con el

paso del tiempo, lo cual incluye deterioro de la estructura interna del mismo, afectando de

manera significativa las propiedades mecánicas y reológicas del material compuesto.

Los trabajos de Visco et al. [3] y Geller et al. [4], evidencian el comportamiento de las

propiedades mecánicas (resistencia a la tensión y flexión) de los sistemas fibra/ matriz de

Poliéster, Vinyléster y Fenólicas, en el ambiente marino durante determinados periodos de

tiempo. Además de estudiar el sistema también se estudia el comportamiento de las resinas no

reforzadas y su habilidad para absorber agua.

Por su parte Visco et al.[3] revela que la estructura química de la resina influye de manera

directa en la habilidad de absorción de agua y posterior reducción de las propiedades mecánicas;

puesto que la resina de Vinyléster y el sistema fibra/matriz de Vinyléster tiene muy poca

afinidad con las moléculas de agua, ya que tiene un menor número de grupos esteres y enlaces

dobles a largo de sus cadenas, debido a que las cadenas de este polímero son más cortas y tienen

menor número de puntos reactivos (puntos más susceptibles de ser atacados para formar enlaces

con otros átomos o moléculas) que las moléculas de poliéster.

De otro lado Geller et al.[4], introduce un factor de carga en las resinas y los sistemas fibra de

vidrio/matiz, de lo que concluye que la carga no tiene una incidencia significativa frente a la

habilidad de absorción de agua; pero la estructura química de la resina influye notablemente en

la habilidad de absorción de agua; siendo la resina de Vinyléster la menos agua absorbió,

seguida de la resina de Poliéster y la resina con mayor ganancia de peso por absorción de agua

fue la resina Fenólica, debido que su superficie presenta microporocidades (producto del

proceso de polimerización y curado), permitiendo el paso de agua hacia el interior de sus

cadenas. En cuanto a las propiedades mecánicas claramente se ven afectadas por la carga,

reduciéndose un alto porcentaje. Esta tendencia se mantiene al igual que en la absorción de

agua.



4

A pesar de las ventajas de las resinas de Vinyléster para enfrentarse al medio ambiente marino,

se prefieren las resinas de Poliéster en la Industria Naval por distintas razones, entre las que se

destacan: bajo costo de producción, distintas estructuras químicas (ortoftálico e isoftálico) y

fácil adaptabilidad a distintos procesos de manufactura [2]; aspectos que son importantes a la

hora de seleccionar materiales para la producción a nivel industrial. Teniendo en cuenta lo

anterior y el tipo de industria hacia la cual se enfoca nuestra investigación, a continuación se

presentan los resultados obtenidos del análisis del comportamiento de materiales compuestos

formados con fibra de vidrio y resina de Poliéster, sometidos al ambiente marino.

Gu [5], en sus trabajos analiza el cambio en las propiedades mecánicas de materiales

compuestos laminados, utilizando ensayos de flexión, tensión y Análisis Dinámico Mecánico

(DMA). Este autor utiliza un sistema resina de Poliéster (no especifica la estructura química) y

fibra de vidrio; y tiene en cuenta el número de capas que conforman cada lámina.

En un primer trabajo estudia el comportamiento de láminas, formadas por 2 y 4 capas; frente a

la habilidad de estas para absorber agua, así como su relación con el comportamiento de las

propiedades mecánicas. Estas láminas fueron tratadas (sumergidas) separadamente en la cámara

de envejecimiento acelerado durante periodos de tiempo de 10, 30, 60, 90 y 120 días, luego de

los cuales fueron sacadas y pesadas en una balanza. Los resultados se presentan en la Figura 1.

Figura 1. Ganancia de peso por lámina de 2 capas, sistema fibra de Vidrio/Poliéster. Tomado de Gu H. [5]

para la lámina de 2 capas, puesto que en los primeros 30 días se observa una ganancia de peso

en forma gradual, (a los 30 días, el porcentaje de agua absorbida es de 55%, máximo valor

registrado), lo que indica que las moléculas de agua penetran el material; en el periodo entre los

40 y 60 días la pérdida de peso es notoria, debido a la extracción de material soluble del

sistema; pero nuevamente en el periodo entre 60 y 100 días se nota un leve aumento de peso,

para luego decaer definitivamente. A pesar que el análisis se hace para las láminas de 2 capas, el

comportamiento presentado por las láminas de 4 capas es similar. El análisis con el microscopio

electrónico muestra una degradación de la superficie del material, dejando ver huecos y grietas

que propician la penetración de agua al sistema, produciendo hidrolisis en los grupos esteres del

Poliéster. La pérdida de peso del sistema fibra/matriz, se produce por la extracción de especies

de bajo peso molecular que conforman el polímero. De otro lado la fibra de vidrio que conforma



5

el sistema está compuesta de óxidos metálicos [1] (alcalinos y alcalinotérreos), que reaccionan

con los iones del agua de mar (iones de Sodio y Cloro), produciendo oxidación en los primeros,

formación de nuevos compuestos (se unen a grupos hidroxilos OH, mediante puentes de

Hidrogeno) y disolución de los elementos higroscópicos (absorben agua) dejando la superficie

porosa, formada por una red de óxidos no hidratados [1], con lo cual se pierde peso de la fibra

de vidrio. Todo lo anterior contribuye a la reducción de las propiedades de tensión y flexión,

pues es evidente la degradación del material. Los resultados muestran que la reducción en la

resistencia a la tensión y la flexión se hacen evidente y significativa después de 10 días de

tratamiento para láminas de 2 capas y 30 días de tratamiento para láminas de 4 capas, lo cual

indica que al tener materiales compuestos laminados con un mayor número de capas, se logra

mantener por más tiempo las propiedades mecánicas del material, con lo que aseguramos mayor

eficiencia y durabilidad del mismo.

Además de las pruebas mecánicas, Gu [6] utiliza la técnica del Análisis Dinámico Mecánico

(DMA), para conocer las propiedades viscoelásticas y el comportamiento reológico del material

desde el comportamiento del módulo de almacenamiento (E´) y el factor de amortiguamiento

Tan δ (relación del módulo de perdida E´´ y el módulo de almacenamiento E´), con el cual se

conocer la temperatura de transición vitera (Tg) del compuesto laminado de 4 capas. La Figura

2., muestra que la tendencia del material a degradarse con el paso del tiempo sigue siendo la

misma, lo que conlleva a que el material después de cierto tiempo de inmersión pase de ser un

sólido elástico para comportarse como un líquido viscoso, debido a la plastización e hidrolisis

que sufre matriz, por lo cual se disminuye notablemente la resistencia a la tensión y flexión

propias de los materiales sólidos. Así mismo el aumento del Tan δ en forma gradual con el paso

del tiempo, como el sistema fibra/matriz disipa mayor cantidad de energía que la que almacena,

al ser sometido a alguna fuerza o carga; además deja ver que la temperatura de transición vitera

disminuye respecto al sistema fibra/matriz no inmerso en el agua de mar, lo que lleva a que las

cadenas del polímero se muevan con menos energía y fluyan más rápidamente, haciendo que el

sólido se comporte como un líquido viscoso en menor tiempo.

Figura 2. Efecto del tiempo de inmersión sobre Tan δ. Tomado de Gu H. [6]



6

Lo anterior también es producto de la espaciamiento de las cadenas del polímero y rompimiento

de los puentes de hidrogeno en las mismas, debido a la absorción de agua por el material.

Con lo anterior Gu [5- 6], evidencia el comportamiento de la resina de Poliéster como matriz de

un material compuesto laminado, pero no tiene en cuenta la estructura de la resina en el

comportamiento del sistema fibra/matriz, al ser inmerso en el agua de mar; mientras que Visco

et al. [7] estudia la habilidad de absorción de agua de mar y el comportamiento de las

propiedades mecánicas de resistencia a la tensión y flexión del Poliéster teniendo en cuenta su

estructura química (ortoftálicas e isoftálmicas). Las muestras se trataron en una cámara de

envejecimiento acelerado similar a la empleada por Gu [5-6], durante un periodo de tiempo de

10 meses. El análisis del comportamiento de sus propiedades se hizo por separado cada 2 meses.

Los resultados evidencian la gran incidencia que tiene la estructura química al evitar la pérdida

de sus propiedades mecánicas debido degradación del material por el agua de mar. A pesar que

la tendencia a la absorción de agua de mar, con el paso del tiempo es la misma para los sistemas

fibra/poliéster ortoftálico y fibra/poliéster isoftálico, se observa que el sistema fibra/poliéster

ortoftálico absorbe más agua, debido a la afinidad de la resina de Poliéster ortoftálico con las

moléculas de agua. Esta afinidad se presenta por que sus cadenas moleculares son menores, por

lo cual tienen mayor número de grupos terminales –OH, lo que las hacen susceptibles a formar

enlaces con las moléculas de agua, además de presenta una reiculación poco compacta, lo que

conlleva a tener mucho espacio libre entre las cadenas y permitir la difusión de agua fácilmente

produciendo plastización del material [5-7]; Lo que trae como consecuencia baja resistencia a la

tensión, poca rigidez y flexión, opuesto a la resina de Poliéster isoftálico que tiene un mejor

comportamiento frente al ambiente marino y menores perdidas de las propiedades antes

mencionadas.

La investigación también revela que se presenta un mejor acople entre la resina de Poliéster

isoftálico con la fibra de vidrio, lo cual evita que la interfaz se deteriore rápidamente [2],

además la poca afinidad de estas resinas con el agua de mar, hacen que desempeñe el rol de

protectora de la fibra de vidrio, evitando que esta pierda sus óxidos componentes; logrando una

mayor estabilidad dimensional, conservación de las propiedades mecánicas del material

compuesto y aumento en el tiempo de servicio de la embarcación. .

CONCLUSIONES

La pérdida progresiva de las propiedades mecánicas de un sistema fibra/matriz, está

directamente influenciada por factores como tiempo de inmersión, tipo de materiales que

conforman el compuesto laminado, numero de capas de la lámina y cargas a la que se ve

sometido el material; puesto que estos factores hacen propenso al material a degradarse por

acción del medio ambiente marino. Además de lo anterior se deben tener en cuenta el tipo de

moldeo por el cual se construirá la estructura, ya que este influye de manera directa en la

adhesión de la resina y la fibra de vidrio sin dejar espacios que permitan la entrada de agua

rápidamente al material compuesto; lo que evitaría la plastización, ampollas, grietas y huecos a

el interior y en la superficie del material.

En el ambiente marino real la embarcación está sometida a grandes esfuerzos, tensiones y

cargas de forma constante, los cuales afectan la estructura química de los materiales que



7

conforman el sistema fibra/matriz y aunque los resultados obtenidos en las investigaciones

presentadas, sirven como referente para direccionar una nueva investigación; se recomienda que

las muestras sean tratadas en un ambiente con condiciones reales y de esta forma tener un mayor

conocimiento del verdadero comportamiento del material y de sus propiedades mecánicas.

REFERENCIAS

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[2] Berthelot J., 1998, Composite Materials: Mechanical Behavior and Structural Analysis,

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[3] Visco A.M., Campo N., L., Cianciafara P., 2011, Comparison of seawater absorption

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[4] Gellert E.P., Turley D.M., 1999, Seawater immersion ageing of glass-fibre reinforced

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manufacturing 1259-1265

[6]Gu H., 2009, Dynamic mechanical analysis of the seawater treated glass/polyester

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[7]Visco A.M., Calabrese L., Cianciafara P., 2008, Modification of polymers resin based

composites induced by seawater absorption, Composites A: applied science and manufacturing

805-814

METODO DE INTEGRACION POR CELDAS PARA ANALISIS DE PLACAS UTILIZANDO BEM

Christian W. Harnish M., M.E.(c)

Estudiante Ingeniería Mecánica

Universidad Tecnológica de Bolívar

[email protected], [email protected]

Resumen Este trabajo presenta la solución de las integrales de dominio que aparecen en la

formulación integral del Método de Elementos de Contorno (BEM), específicamente

utilizando el Método de Integración por Celdas utilizando la cuadratura de Gauss-Legendre.

La solución de las variables de campo desconocidas ya es un problema analizado

anteriormente por el prof. PhD. Jairo F. Useche de la Universidad Tecnológica de Bolívar,

por lo que se le da continuidad al trabajo de investigación que éste empezó. Se mostrarán

las bases del método BEM, transformación de coordenadas de elementos isoparamétricos,

integración numérica, formulaciones para problemas potenciales bidimiensionales,

elasticidad 2D y la formulación integral de placas delgadas, así como la comparación de los

resultados de aplicar la integración por celdas a cada uno de estos problemas con el Método

de Reciprocidad Dual (DRM).

Palabras clave: BEM, DRM, CIM, métodos numéricos, integración numérica, cuadratura

Gauss-Legendre, elasticidad, placas.

I. INTRODUCCIÓN El Método de los Elementos de Contorno (BEM) es una de las herramientas más recientes

desarrolladas en ingeniería mecánica para el análisis de sistemas mecánicos cuyos

comportamientos estén dominados por una ecuación diferencial, la cual tiene validez dentro

un dominio definido. Para facilitar la solución de la ecuación diferencial, se propone

discretizar el dominio en pequeñas regiones sobre las cuales se aplica dicha ecuación. Sin

embargo, la discretización es uno de los problemas más importantes en el proceso de

solución, puesto que pueden ser necesarias muchas regiones para alcanzar una solución

precisa.



Este método se hace más atractivo en ciertos casos que el Método de los Elementos Finitos

(FEM), pues la discretización ya no es sobre todo el dominio, sino solo en el borde o límite

del dominio, lo cual reduce el número de ecuaciones enormemente.

Figura 1. Discretización y matrices de coeficientes para BEM y FEM1

Durante la formulación del problema por BEM para cada uno de los elementos donde se

requiere hallar la variable de campo desconocida, surge una ecuación integral, de la cual

depende el sistema de ecuaciones que se va a armar. Surgen integrales de dominio y de

contorno, cuyos términos son muy complicados para ser resueltos analíticamente, por lo

que es conveniente usar métodos de integración numérica como la cuadratura de Gauss-

Legendre.

Se aplica entonces éste método a la solución de problemas placas delgadas inicialmente, y

se tendrá especial cuidado con las integrales de dominio que aparecen en la formulación

integral del BEM, en el momento de generar el sistema de ecuaciones.

II. Formulación integral por Elementos de Contorno Las ecuaciones de equilibrio estático que rigen el problema de la deformación de placas de

Reissner son las siguientes2:

Donde , son momentos flectores, son fuerzas cortantes y q es la fuerza de

cuerpo en dirección x3.

1 Imagen tomada de: ver referencia [1]

2 Ver referencia [2]

(1)

(2)

Para llegar a la formulación por elementos de contorno debemos basarnos en la representación

integral por residuos ponderados de las ecuaciones de gobierno (1), siguiendo la siguiente identidad

Donde son las funciones de ponderación. Haciendo uso de las ecuaciones (2)

aplicando el principio de mínima energía potencial (se minimiza la energía de deformación y el

trabajo hecho en el contorno por las fuerzas externas), aplicando el teorema de Green (o segunda

identidad de Green) y reorganizando la ecuación se obtiene la siguiente ecuación integral3

Donde j=1,2,3, es la relación de Poisson y es el factor cortante. La segunda identidad

de Green establece que:

La ecuación (4) se aplica a cada uno de los nodos en el contorno, y como se puede observar,

resultaran tres ecuaciones en cada nodo, representando los desplazamientos en cada una de las

direcciones. Los términos y son las soluciones fundamentales de los desplazamientos y las

tracciones, las cuales representan dichas variables en un punto del dominio en dirección j, causadas

por una carga unitaria aplicada en dirección i. Las expresiones para las soluciones fundamentales

son las siguientes:

3 Ver referencia … [2]

(3)

(4)

(5)

(6)

y son funciones de Bessel modificadas, es la distancia absoluta entre

el punto fuente y los puntos del dominio y es la rigidez a la flexión de la placa. En

nuestro caso, haremos énfasis en la solución de la integral de contorno que se encuentra en el lado

derecho de la ecuación (4). Cabe resaltar que el segundo termino de esta integral se puede

despreciar porque, en comparación con el primero es muy pequeño, así que por efectos de

practicidad se despreciará, con lo cual la integral a analizar es

III. Método de Integración por celdas (CIM: Cell Integration Method) El método de Integración por celdas es una idea muy sencilla, y consiste en dividir el

dominio en pequeñas regiones o celdas sobre las cuales se realiza la integral en cuestión

(Ver figura 2). El resultado final y verdadero será la suma de todas las integrales sobre cada

región diminuta. Matemáticamente se puede expresar de esta forma (siguiendo con la

función a integrar en la ecuación (6)):

Figura 2. División del dominio en celdas4

Donde N es el número de celdas.

4 Imagen tomada de: Ver referencia [3]

(6)

(7)

El caso que vamos a analizar corresponde a dominios rectangulares y circulares

discretizados en elementos cuadrilaterales y triangulares.

Figura 3. Discretización de dominios rectangulares y circulares

IV. Cuadratura de Gauss-Legendre La cuadratura de Gauss-Legendre permite realizar integración numérica de una función en

las coordenadas normalizadas de un elemento transformado. Este elemento se conoce como

elemento isoparamétrico (ver figura 4), pues la función de aproximación de la geometría es

del mismo orden de la función de aproximación para variables de campo.

La expresión para evaluar la cuadratura de Gauss en elementos rectangulares y triangulares

respectivamente son

Los puntos son llamados puntos de integración de Gauss y son las raíces de los

polinomios de Legendre de n-ésimo orden. Cuanto mayor sea el número de puntos de

Gauss, mejor será la aproximación de la integral. Este método resuelve de manera exacta

las integrales si la función es un polinomio de grado 2r+1, siendo r el número de puntos de

integración.

(8)

(9)

Figura 4. Elementos transformados5

Para expresar las coordenadas locales del elemento en función de las coordenadas naturales

(transformadas) se utiliza el siguiente esquema

Donde son funciones de forma, las cuales valen uno en su respectivo nodo y cero en los

demás. Las funciones de forma para elementos rectangulares y triangulares son

respectivamente

El Jacobiano de la transformación permite hacer la equivalencia entre el dominio original y el dominio transformado .

Al aplicar todas las anteriores ecuaciones dentro de la integrales (9), en el problema de

placas tendremos un vector de tres elementos, el cual corresponderá con cada una de las

tres ecuaciones que se genera para cada punto.

5 Imágenes tomadas de: ver referencias [4] y [5]

(10)

(12)

(11)

(13)

V. Sistema de ecuaciones y solución del problema Al aplicar la ecuación (4) en cada uno de los nodos del contorno, tendremos un sistema de

ecuaciones como sigue Es entonces el vector Q quien contiene los resultados de la integral de la ecuación (6). Para

poder resolver este sistema, tenemos que reorganizar las matrices H y G, discriminando los

nodos donde se conocen las variables, y aquellos que no, de tal forma que tengamos una

matriz de coeficientes y un vector de términos independientes F contiene el vector Q modificado, donde se le agregan los valores de los desplazamientos

y las fuerzas conocidas en los contornos donde están definidas estas variables. Es bueno

resaltar que las integrales de contorno contenidas en las matrices H y G se hacen para

elementos cuadráticos de 3 nodos.

VI. Ejemplos de aplicación: Placas rectangular y circular A continuación se aplican los anteriores conceptos a dos ejemplos de placas: una placa

rectangular simplemente apoyada y totalmente empotrada bajo la acción de una carga

distribuida unitaria (ver figura 5), y una placa circular simplemente apoyada y totalmente

empotrada bajo la acción de una carga distribuida unitaria (ver figura 6). Inicialmente, la

integral de dominio es resuelta utilizando el Método de Reciprocidad Dual (DRM: Dual

Reciprocity Method), el cual busca soluciones particulares que permitan expresar la integral

como una combinación lineal de coeficientes multiplicados por funciones de posición. Esto

conlleva a que la integral de dominio se transforme en mas integrales de contorno, lo que

“homogeniza” la formulación del problema.

Figura 5. Placa rectangular

Esta placa contiene 8 elementos de contorno, 24 nodos en el contorno y 16 puntos internos.

(14)

(15)

Figura 6. Placa circular

Esta placa circular contiene 32 elementos de contorno, 96 nodos en el contorno

VII. Resultados Los sistemas de ecuaciones, la discretización de los dominios y la generación de gráficas se

realizo utilizando ® MATLAB, por intermedio de la rutina DynamicPlateBEM,

desarrollada por el prof. Jairo Useche durante sus estudios de doctorado. A esta rutina se le

adicionó un modulo de integración por celdas y discretización del dominio.

A continuación vemos las soluciones que resultan de un sistema de ecuaciones que es

resuelto con DRM y otro con CIM. Si tomamos como resultado base el proporcionado por

DRM y tomamos el error absoluto tenemos para cada caso que:

- Placa rectangular: la norma del error absoluto es de 1.39x10-6

, lo cual nos indica que

los resultados son bastante similares.

- Placa circular: la norma del error absoluto es de 7.0139 x10-6,

donde también se

evidencia un buen indicio de aproximación del problema.

VIII. Conclusiones Hemos visto que el CIM nos proporciona una buena aproximación respecto al DRM, por lo

que es una opción tentadora al momento de realizar un problema de este tipo. De igual

forma, una de sus características más interesantes es que evita tener que armar matrices y

resolver mas sistemas de ecuaciones, como el DRM, que debe armar las matrices G y H

para cada punto o polo del dominio, y en cada caso resolver el sistema de ecuaciones, que

es tan grande como el sistema de ecuaciones para las variables desconocidas. Por tanto

representa un ahorro de tiempo de cómputo considerable. Además, se probó que con

elementos cuadrilaterales, a partir de 9 puntos de integración ya las soluciones empezaban a

parecerse bastante al DRM, con una cantidad modesta de sudominios, aproximadamente

25. Concluimos entonces que el CIM también es una herramienta útil, precisa y prática para

ser aplicada en la solución de sistemas de ecuaciones de BEM. Con esto, se ha generalizado

la solución del problema estático de placas.

IX. Trabajos a futuro Queda pendiente todavía comparar los resultados obtenidos con soluciones analíticas

propuestas en la literatura. Como hemos visto que el método funciona bien, llevaremos lo

que se ha hecho al campo de las cáscaras, para resolver las integrales que tienen un término

de curvatura inmerso, y que en muchos casos se obvia, pero en muchos otros no. Buscamos

entonces generalizar el problema estático de las placas y cáscaras, y en lo posible tratar con

problemas dinámicos, armónicos y modales.

X. Bibliografía

[1] Katsikadelis, J., Boundary Elements: Theory and Applications 1st Edition, (2002).

[2] Rashed, Y., Boundary Element Formulation for thick plates, (2000).

[3] Brebbia C., Boundary Elements. An Introductory Course, 2nd Edition.

[4] MIT Lectures on Computational Mechanics.

[5] Hua, C., An inverse transformation for quadrilateral isoparametric elements:

Analysis and application, (1990).

[6] Bathe, “Finite Element Procedures”

[7] Malvern, L., Introduction to the mechanics of a continous media”, (1969).

[8] Reddy, J., An introduction to the Finite Element Method, 2nd Edition, (1993).

[9] Reddy, J., Theory of elastic plates and shells, 2nd edition.

[10] Useche, J., Apuntes de Métodos Numéricos, (2011).

[11] Zienkiewicz, Finite Elements and Approximation.

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

1

González G.(1)

*, Alessio D.(2)

, Fernandez Pirrone V.(1)

, Iurman L.(1, 2)

, Moro L. (1)

1 Grupo de Estudio de Materiales , Facultad Regional Bahía Blanca

Universidad Tecnológica Nacional, 11 dee abril N° 461, 8000,

Bahía Blanca, Argentina. 2 Departamento de Ingeniería, Universidad Nacional del Sur.

e"mail: [email protected]

El fenómeno de creep o de termofluencia es un proceso que se produce en los materiales

que están sometidos a altas temperaturas y tensión constante durante largo periodo de

tiempo. El objetivo propuesto en este trabajo es determinar el comportamiento del acero

en ensayos de termofluencia (creep) bajo condiciones de temperatura y tensiones

mecánicas aplicadas, comparables a las de operación en servicio, y caracterizar la

evolución cinética microestructural en los materiales, sometidos a determinados

tratamientos térmicos y/o a condiciones de creep

El material utilizado es el acero austenítico HP modificado cuya composición química es

25% Cr – 35% Ni con el agregado de pequeñas cantidades de Nb, Ti, Mn, Si, C, que

mejoran sus propiedades.

Se realizaron ensayos de creep, donde las muestras fueron sometidas a estados de tensión

y temperaturas constantes para identificar los mecanismos de degradación. A partir de los

resultados obtenidos se determinaron las energías de activación aparente por

termofluencia (8Qap) y el parámetro de sensibilidad, ´n´ con el fin de estudiar la

deformación que operan en el creep.

En forma simultánea se realizaron tratamientos térmicos de recocido al material, en los

mismos rangos de tiempo y temperatura a los ensayos de termofluencia, para diferenciar

los cambios estructurales que se deben a la temperatura de los provocados por el efecto de

la tensión.En particular del estudio del acero HP;modificado, se observó que presentan cambios

microestructurales; en principio, vinculados a la morfología de las fases iniciales y la fase

G. Cabe destacar que, en este tipo de aceros los carburos del tipo M23C6 y M6C son los

más estables.

Palabras claves: creep, aceros austeniticos, propiedades mecánicas.

The phenomenon of creep is a process that occurs in materials that are subjected to high

temperatures and constant stress for a long time. The objective proposed in this paper is to

determine the behavior of steel in creep tests under conditions of temperature and applied

mechanical stress, comparable to those operating in service and kinetic characterization of

microstructural evolution in materials subjected to certain heat treatments and / or creep

conditions.

The material used is the HP modified austenitic steel whose chemical composition has 25%

Cr ; 35% Ni in addition to small amounts of Nb, Ti, Mn, Si, C, to improve their properties.



2

Creep tests were performed, where samples are subjected to stress states and constant

temperatures to identify the mechanisms of degradation. From the results obtained

determine apparent activation energies for creep (8Qap) and the sensitivity parameter, 'n' in

order to study the deformation operating in the creep.

Simultaneously performed thermal annealing treatments to the material at the same time

and temperature ranges similar to creep tests to differentiate the structural changes that are

due to the temperature caused by the effect of stress.

In particular the study of HP;modified steel, it was observed that these microstructural

changes occur, in principle, linked to the morphology of the initial phases and phase G.

Note that in this type of steel carbides M23C6 and M6C type are more stable.

Keywords: creep, austenitic steels, mechanical properties.

La tecnología presente requiere de materiales que admitan ser utilizados a altas temperaturas

(entre 800 y 1150 °C) durante largos períodos de tiempo y posean una vida útil lo más amplia

posible. Esta realidad se presenta en refinerías y plantas petroquímicas donde, el proceso

industrial clásico para la producción de etileno se basa en el fraccionamiento térmico de una

mezcla de hidrocarburos en presencia de vapor en hornos de pirolisis. Hoy en día, los aceros de

la serie HP (Fe;35Ni;25Cr) para alta presión, son una opción para la fabricación de los tubos de

serpentín de los hornos de craqueo. Estos materiales garantizan poseer resistencia a la corrosión

y al creep cuando están expuestos a temperaturas de servicio cercanas o superiores a 1000ºC;

temperaturas que son factibles en regiones específicas de los hornos de pirólisis. Con el

agregado de microalentes, como, Nb o Ti, se promueve la formación de carburos más estables, y

estas aleaciones adquieren mejor resistencia al creep a alta temperatura [1;5].

Las altas temperaturas alcanzadas durante el proceso de craqueo, conduce a la difusión del

carbono dentro de las paredes del tubo desde la superficie interior hacia el exterior del mismo.

Como consecuencia de ésto, los efectos perjudiciales son las alteraciones metalúrgicas y la

fragilización, que afectan la fiabilidad de los tubos y reducen la vida útil de los mismos.

Distintos estudios realizados al proceso de carburización demostraron que en el inicio de la

operación cuando se trabaja a temperaturas entre 850 y 1000ºC, se forma una capa protectora de

óxido Cr2O3 que actúa como barrera para la difusión del carbono; mientras que cuando el

proceso se realiza a temperaturas mayores de 1000ºC, esta barrera comienza a ser

termodinámicamente inestable permitiendo el inicio de la carburización del material [5].

El Carbono depositado en la pared interna del tubo es absorbido por la superficie interna y

luego ingresado a la matriz austenítica, donde precipita como carburos del tipo M7C3 y M23C6,

provocando la disminución de la concentración del Cr en la matriz y reduciendo la resistencia a

la tracción y al creep del material.

La microestructura típica de las aleaciones del tipo HP en su condición as;cast es una matríz

austenítica con carburos primarios del tipo eutéctico, ricos en Cr (del tipo M7C3 y/o M23C6) y

carburos de niobio del tipo MC. Por lo general, estas aleaciones que son utilizadas en la

condición as;cast, luego de operar en servicio, a temperaturas entre 850 y 1050ºC debido a la

activación térmica, evidencian transformaciones de fase; de esta forma los carburos primarios

de cromo, se transforman en M23C6 en forma intragranular e intergranular como precipitado [6].

Se realizaron ensayos de termofluencia por torsión, donde se aplica un momento torsor que se

obtiene aplicando una carga a la polea de torsión y que es la única causa de rotación del eje. Se



3

mide la deformación a partir del desplazamiento angular de un punto del extremo móvil de la

probeta, manteniendo el otro extremo fijo. La tensión de corte τ, que actúa en el borde de la

probeta cilíndrica de radio r, se calcula a partir de la cupla aplicada C, que se relaciona con la

carga aplicada, según la ecuación (1) [7]:

3

2

r

C

πτ = (1)

Para poder comparar los resultados obtenidos mediante los ensayos de fluencia por torsión, con

los más comúnmente empleados de fluencia por tracción uniaxial, se relaciona la tensión de

corte y la deformación angular con la tensión y deformación equivalente respectivamente. Para

lo cual se aplica el criterio de fluencia de Von Mises y considerando un estado de tensión de

corte puro, Ecuación (2).

τσ 3= (2)

La relación entre la rotación angular θ de la probeta de radio r y la deformación angular γ en

una longitud L de la zona calibrada de la probeta, está dada por la Ecuación (3):

γL = θr (3)

Se calcula entonces, la deformación equivalente ε a partir de la deformación angular θ, como se

observa en al Ecuación (4):

θεL

r

3

1 = (4)

Durante el proceso de creep, el material en la etapa secundaria, se deforma con una velocidad

constante que depende de la tensión y la temperatura aplicada. Esta relación se puede expresar

con una ley de potencia expresada por la Ecuación (5):

)RT

Q( exp A

nσε = (5)

Siendo, ε la velocidad de deformación mínima por termofluencia, σ la tensión aplicada, n el

exponente de tensión, Q la energía de activación por termofluencia, T la temperatura absoluta,

R la constante universal de los gases y A una constante [8].

El material utilizado en el presente estudio fue obtenido de tubos de 93 mm de diámetro externo

y 73 mm de diámetro interno, de acero HP modificado con Nb, fabricado mediante el proceso

de colado por centrifugado. A partir de allí, se seleccionaron muestras para la determinación de

la composición química y para su observación, mediante microscopía óptica y de barrido.

La composición química correspondiente, fue determinada mediante un espectrómetro de

emisión por plasma, marca Spectromax modelo X. En la tabla 1, se presentan la composición

química para el acero HP – modificado.

Composición química nominal de la aleacion HP – modificado.

! ! " #"$ 0.60 1.8 2.0 25 35 1.34 0.5 Bal.



4

Se prepararon muestras para su observación mediante microscopía óptica y microscopía de

barrido (SEM). Las mismas fueron desbastadas con papeles abrasivos de diferentes

granulometría y atacadas químicamente por inmersión, con Gliceregia (60% HCl, 20% HNO3,

40% glicerol), durante 25 segundos a temperatura ambiente.

En la Figura 1 se presenta la microestructura correspondiente al acero al HP – modificado. Tal

como se puede apreciar, la microestructura es de tipo dendrítica.

!%&Microestructura característica del acero HP;modificado; estructura dendrítica compuesta por

austerita (zonas claras) y carburos primarios eutécticos en bordes dendríticos (150x)

' ( )Para poder relacionar el comportamiento del material a distintas tensiones y temperaturas se

realizan ensayos de creep hasta la rotura, trabajando en un rango de temperaturas entre 1073 y

1273 K y a tensiones efectivas entre 50 y 90 MPa, manteniendo ambas variables constantes

durante cada ensayo [1]. En la Figura 2, se presenta la deformación específica en función del

tiempo, a distintas tensiones y una temperatura aplicada de 1173K.

0 1x104

2x104

3x104

4x104

5x104

0,00

0,04

0,08

1173k

Epsilo

n

Tiempo (Seg)

σ (MPa)

40

50

60

65

62

61

70

!%: Curva de temofluencia a la temperatura de 1173K y tensiones entre 40 a 70 MPa.



5

' * "$ %+$!,!-De acuerdo a la ley de potencia (Ecuación 5), se puede calcular la energía de activación, a partir

de ensayos de creep realizados a una misma tensión (50 MPa) y distintas temperaturas,

graficando la velocidad de deformación en función de la inversa de la temperatura (Figura 3).

Los resultados son ajustados por regresión lineal por medio de una línea recta, de cuya

pendiente podemos obtener la energía de activación. Observamos dos valores para la energía de

activación. Para las temperaturas de ensayo por debajo de los 1193 K, se obtiene un valor de la

energía de activación de 331.43 KJ/mol. Mientras que, para valores superiores a esta

temperatura de quiebre, la energía de activación se ve incrementada a un valor de 450.47

KJ/mol.

8,0x10-4

9,0x10-4

1,523E-8

4,13994E-8

1,12535E-7

3,05902E-7

8,31529E-7

2,26033E-6

Q = 450,57 Kj/mol

Q = 331,43 Kj/mol

Ln(d

ε/dt)

1/T(K)

!%'. Grafica de la velocidad de deformación minima por creep en función de la inversa de la

temperatura a tensión aplicada constante.

' "$ ./"01En la Figura 4, se representan los valores de la velocidad de deformación mínima por

termofluencia para las diferentes tensiones mecánicas aplicadas, a una misma temperatura de

ensayo, T= 1173 K. Pueden apreciarse, dos regiones bien diferenciadas en la relación de

potencia entre dε/dt y σ.

A bajas tensiones, el exponente n es igual a 6; mientras que a tensiones mas altas, n = 19.

Se observo que al aumentar la temperatura, la energía de activación aumenta de 311,43 KJmol;1

a 450,57 KJmol;1

y que al aumentar la tensión el exponente “n” aumenta de 6 a 19, lo que

concuerda con la variación microestructural que sufre el material al estar sometido a creep.



6

1E7 1E8

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

T = 1173

n = 19

n = 6

de/d

t (s

-1)

σ(MPa)

!%2. Grafica de la velocidad de deformación mínima por creep en función de la tensión aplicada.

Luego se estudió la transformación de la microestructura del material ensayado, comparando el

borde exterior con la parte central de la probeta. En la Figura 5 se observa la microestructura de

la parte central (a) y del borde (b) de la probeta luego de haber sido ensayada a creep a una

temperatura de 1173 K y una tensión de 50 MPa.

!%34 Acero HP mod., ensayado por creep: 1173K y 50 MPa.

a) Parte central b) borde exterior, 150X.

Para diferenciar la influencia de la temperatura de la producida por la tensión se realizaron

tratamientos térmicos al material a la misma temperatura (1173 K) y durante 1000horas que es

el mismo tiempo en que se realizaron los ensayos de creep (Figura 6).

a) b)



7

!%54 Acero HP;mod., con tratamiento térmico a temperaturas de 1173K y durante 1000 Hs.,

(150X).

El efecto del aumento de la tensión se evidencia en la periferia de la probeta donde se

encuentran granos recristalizados. Si bien el aumento de la temperatura modifica la

microestructura, es mayor el efecto de la tensión. La mayor deformación provoca el aumento de

núcleos formados por recristalización, pero de menor tamaño.

De acuerdo, con el presente análisis llevado a cabo en el acero HP ; modificado, es posible

arribar a las siguientes conclusiones:

; Se evidencia una mayor diferencia de las evoluciones microestructurales, que aparecen en el

borde con respecto a las zonas más cercanas al centro. Estas variaciones observadas se suponen

debidas a una función compleja de efectos combinados de temperatura y cantidad de

deformación que provocan recristalización.

; Se obtuvieron dos exponentes de tensión bien diferenciados, en región de bajas tensiones, el

exponente n es igual a 6, y en regiones de altas tensiones, el n es igual a 19.

; La energía de activación por termofluencia para temperaturas entre 1073 a 1173 K da un

valor de ∆Q = 311,43 kJ/mol y para temperaturas entre 1173 a 1273K los valores son

levemente superiores ∆Q = 450,57 KJ/mol, estos valores son similares a los obtenidos por otros

autores para este tipo de aleaciones.

; Se estima que estos análisis permitirán obtener un mayor conocimiento de la influencia de los

efectos combinados de tensiones, deformaciones y temperatura, en las evoluciones

microestructurales, al tener en una misma muestra todos estos efectos en forma simultánea.

[1] Refineries C.o.H.;T.T.i.P, API Recommended Practice 530, 3rd. Ed. American Petroleum

Institute, Washington, DC, 1988.



8

[2] ASM Metals handbook. Properties and selection: irons, steels and high;performance alloys,

10th. Ed. USA: ASM Internacional; 1990.

[3] I.L. May, T.L.D. Silveira, C.H. Vianna, Int. J. Pressure Vessels Piping 66 (1996) 233;241.

[4] A.K. Ray, K.S. Amarenda, N.T. Yogendra, J. Swaminathan, G. Das, S. Chaudhuri, R. Singh,

Eng. Fail. Anal. 10 (2003) 351;362.

[5] M.H. Shariat, A.H. Faraji, A. Ashraf;Riahy, M.M. Alipour, Corrosion Science in the 21st

Century 6 (2003) H012.

[6] De Almeida Soares G.D., De Almeida L.H., Da Silveira T.L., Le May I. Niobium additions

in HP heat;resistant cast stainless steels. Mater. Charact. 1992; 29: 387;396.

[7] Roach DB, VanEcho JA, in:Behal VG, Melilli AS, editors. Stainless steel castings. ASTM

STP 756, Philadephia, PA: ASTM; 1982, p. 275;311.

[8] Barbabela GD, de Almeida LH, da Silveira TL, Le May I. Mater Charact 1991;26:193;7.

Método del Enjambre de Partículas y Evolución Diferencial

Para la Optimización de Paneles Reforzados

Guillermo E. Giraldo1, Jairo F. Useche2

1 [email protected] - (57) 301 765 2998

2 [email protected]

1,2 Grupo de Investigación en Materiales y Estructuras GIMAT, Universidad Tecnológica de Bolívar

Parque Tecnológico e Industrial Carlos Vélez Pombo,

Km.1 Vía a Turbaco,

Cartagena de Indias (Bolívar), Colombia.

Resumen

Se presenta la aplicación de las ideas del diseño estructural óptimo al caso de un panel naval reforzado. En

este sentido, se busca encontrar la topología del panel reforzado que produzca el diseño de peso mínimo y que

al mismo tiempo satisface las restricciones de seguridad y funcionalidad impuestas. Para tal fin, algoritmos de

búsqueda basados en las técnicas del Enjambre de Partículas y la Evolución Diferencial son utilizados,

valiéndose de un modelo de elementos finitos para el análisis estructural. Resultados de la búsqueda,

discusiones y conclusiones al respecto son presentados.

Palabras Clave: Diseño asistido por ordenador, evolución diferencial, método del enjambre de partículas,

optimización estructural, panel naval reforzado.

Abstract

It is presented the application of the ideas of optimal structural design to the case of a stiffened plate of naval

application. In this sense, it is intended to find the topology of the plate which gives the minimum weight

design, besides satisfying the security and functionality restrictions. For that matter, search algorithms based

on the Particle Swarm Optimization and Differential Evolution techniques are implemented, relying on a

finite element model for the structural analysis. Results of the search, discussions and conclusions are also

presented.

Keywords: Computer Aided Design, differential evolution, particle swarm optimization, stiffened plate,

structural optimization.

1. INTRODUCCIÓN

El diseño de ingeniería moderno se enfrenta a objetivos que van más allá de garantizar la seguridad

y la funcionalidad de los sistemas desarrollados. Las necesidades comerciales de las empresas de

base tecnológica hacen que la búsqueda de la competitividad sea un factor principal dentro de las

mismas; y, en fin último, la diferenciación se logra con productos mejorados, de menor precio, y

con menores periodos de producción. Y es seguro que estas características deben ser perseguidas

desde la concepción del producto, y desde la misma concepción de las técnicas a utilizar para

conseguirlas.

La utilización de herramientas de análisis estructural asistidas por el ordenador permite superar esta

dificultad, pero la inclusión de los criterios de merito y la optimización permiten ir un paso más allá

en la calidad del sistema desarrollado. Pero las herramientas imprácticas resultan igualmente

inútiles, por muy “potentes” que parezcan. Así, de entre el abanico de posibles técnicas de

simulación y optimización se han seleccionado las que se consideran permiten una implementación

practica y directa en el ámbito de una oficina de diseño.

Existen varias opciones al momento de seleccionar la medida de merito de un diseño estructural. De

entre ellas, las más comunes son el diseño de peso mínimo y el de mayor rigidez. Otras alternativas

también son posibles, como la minimización del costo de fabricación, minimización de la

resistencia aero o hidrodinámica, frecuencias de resonancia, entre otras. La selección del peso

mínimo como medida de merito en la estructura de una embarcación se justifica por el gran impacto

que tiene sobre los costos de fabricación (en términos de insumos), la velocidad de la embarcación,

el consumo de combustible y la capacidad de carga.

Estos lineamientos del diseño estructural con miras a la optimización pueden ser estudiados más

profundamente siguiendo las ideas del Diseño Racional propuestas por Hughes [1]. Los métodos

propuestos por el autor dependen grandemente de la experiencia del diseñador y en los métodos de

análisis y optimización computacional. Por otro lado, el gran costo (en términos de tiempo y

capacidad de cómputo) de la aplicación de estas ideas a sistemas estructurales complejos ha sido

prohibitivo en el pasado.

2. MARCO TEÓRICO

2.1 Optimización numérica

La formulación del problema de diseño de peso mínimo es realizada en términos de optimización

numérica. En estos términos, el problema de minimización puede ser planteado como sigue:

(1a)

(1b)

! 0 (1c)

Esto es, buscar el conjunto de parámetros # que minimice la función objetivo . El conjunto de

restricciones expresado en la forma 1c es el más general, ya que, por ejemplo, una restricción de la

forma $ 0 puede ser expresado como – ! 0, y una restricción de igualdad 0 puede ser

expresada como el par de restricciones ! 0 y – ! 0.

La forma en que las restricciones son incluidas en el método de búsqueda parece ser muy relevante

para el desempeño del mismo. Una manera muy elegante y directa de realizar esta acción es el

método de la función de penalidad, como lo exponen Parsopoulos y Vrahatis [1]. En esta técnica, se

aumenta la función objetivo con un término de “penalidad” &, el cual contiene la información

de las restricciones:

' ( & (2a)

& ∑ *+,-,.+/01- (2b)

, max , 0 (2c)

El término , es conocido como la violación relativa de la restricción : una restricción no

violada hace , 0, y no hay aporte al término de penalidad; una restricción violada , constituye una “medida” de la violación, y en este sentido, la labor de las funciones *, y 6,

es la de controlar el aporte de la violación al termino de penalidad.

2.3 Método del Enjambre de Partículas

El método del enjambre de partículas (originalmente Particle Swarm Optimization), introducido por

Kennedy y Eberhart (1995) [2]. La idea detrás del método es el hecho de que los individuos de la

población comparten cierta información, a saber, la mejor posición que ha sido encontrada hasta el

momento (en términos generales, el mayor merito). Cada individuo utiliza esta información junto al

conocimiento de su propia mejor posición para dirigir su búsqueda. Si la posición de un individuo

en el espacio de búsqueda es , la mejor posición encontrada por toda la población hasta el

momento es 7 y la mejor posición encontrada por el individuo es 8, la regla de búsqueda es:

9 :;< = >?9 : ( < <@ 7 A : B ( C C@ 8 A : BD (3a)

:;< : ( 9 :;< (3b)

El vector 9, de la misma naturaleza que la posición , es conocido como la velocidad. Los

parámetros ?, < y C son conocidos como inercia, cognición y confianza, ya que determinan la

influencia de la velocidad actual, de la diferencia con el mejor global y de la diferencia con el mejor

individual, respectivamente, sobre la regla de búsqueda. El factor = es conocido como constricción,

y su labor es de evitar que el enjambre explosione al aumentar la magnitud de la velocidad sin

límites. Los números < y C son seleccionados aleatoriamente en el intervalo E0,1G, cada vez que la

regla de búsqueda es aplicada. El subíndice indexa cada individuo y cada dimensión del espacio

de búsqueda. Los superíndices corren con cada iteración de la búsqueda, y en cada una se actualizan 7 y 8 basándose en la medida de merito dictada por la función objetivo.

La regla de búsqueda es aplicada iterativamente hasta que se cumple un criterio de convergencia, se

encuentra el óptimo deseado o se termina el tiempo disponible.

2.4 Método de la Evolución Diferencial

La evolución diferencial (Differential Evolution) es otra técnica de optimización perteneciente a la

familia de las estrategias evolutivas. Es desarrollada profundamente por Price et al (2005) [3]. La

población de candidatos es evolucionada llevando a cabo tres etapas por cada generación, a saber:

mutación, cruce y selección.

A. Mutación:

Es creada una población de mutantes , mediante la combinación de las posiciones de tres

miembros de la población:

< ( 'C A H (4a)

Donde los miembros <,C,H son distintos entre sí y distintos al miembro correspondiente . El factor

de escala ' es un parámetro del método, y controla la influencia de la diferencia sobre el mutante.

B. Cruce:

Cada mutante es combinado parámetro a parámetro con su respectivo miembro , según una

distribución de probabilidad para crear una población de hijos 9:

9 I ! J KLMN O J P Q KLMNR (4b)

Donde la probabilidad de cruce J E0,1 es un parámetro de la búsqueda. El número es

seleccionado aleatoriamente en el mismo intervalo cada vez que se cruza un parámetro. El índice

KLMN es seleccionado para cada hijo, y asegura que el mismo reciba al menos un elemento del

mutante.

C. Selección:

El lugar en la siguiente generación es tomado por el miembro original o por el hijo creado mediante

el cruce, cualquiera de ambos que posea el mayor merito:

S;< T9S +9S- ! SS +9S- O SR (4c)

3. IMPLEMENTACIÓN Y RESULTADOS

El esquema de optimización planteado fue implementado en el lenguaje Python, haciendo uso de las

librerías de Salome para la generación parametrizada de la geometría y para el mallado, y del

programa de elementos finitos Code_Aster para la solución. La Figura 1 muestra los módulos del

programa relacionado y su interacción con las librerías utilizadas. Python es un lenguaje de

programación de propósito general, orientado a objetos y especialmente utilizado para scripting

(escritura de rutinas) [4]. Salome es un paquete de Diseño Asistido por el Ordenador de código

abierto, y un conjunto de librerías de geometría, mallado y pos procesamiento para análisis

numérico de problemas de ingeniería [5]. Code_Aster es un solucionador de problemas de análisis

por el método de los elementos finitos de código abierto [6]. Ambos softwares (Salome y

Code_Aster), desarrollados en Francia con auspicio del ministerio de energías, se encuentran

disponibles para su utilización bajo licencia pública general GPL. Las condiciones de carga del

problema de diseño son:

• Empotramiento completo en las caras anterior y posterior, esto es: UV UW UX UV UW UX 0 en los elementos de los planos P 0 y P Y.

• Carga de presión uniformemente distribuida sobre la superficie de la placa, esto es: Z 1 EZG sobre los elementos del plano 0.

• Para el modelado por elementos finitos se selecciono una discretización hexagonal, con

elementos 3D de interpolación lineal. La medida de merito es el peso mínimo, por lo cual la

función objetivo es el peso del elemento. Las Ecuaciones 5 recogen el vector de búsqueda, la

función objetivo, y algunas relaciones auxiliares:

[, Y, , \1, \2, \3, _, & (5a)

`Y+[ \1 ( ab& \2 ( _ A \2\3- (5b)

ab @cbB ( 1 (5c)

Figura 1. Diagrama de

En el primer caso las longitud

Las restricciones utilizadas ti

que la geometría sea válida

garantiza la funcionalidad y s

bajo análisis:

Ta

Fueron utilizados los mismos

cada uno. La Tabla 3 recoge

recoge los parámetros para las

convergencia de ambos algori

Tabla

de Pila de la rutina de optimización implementada. F

udes y son mantenidas fijas, como una condic

tienen dos naturalezas: el primer grupo restringe

da (p. ej. no deben existir longitudes negativas

seguridad de la estructura. La Tabla 1 recoge las

Tabla 1. Restricciones del Caso de Búsqueda 1.

os algoritmos de búsqueda, con los mismos paráme

e los parámetros utilizados para los algoritmos de b

las geometrías óptimas encontradas. La Figura 4 m

ritmos para todos los casos.

Método Parámetro Valor PSO 0.7

0.8

2.0

2.0

DE 0.9

0.2

bla 3. Parámetros de los algoritmos de búsqueda.

Fuente: Autor.

ición natural de diseño.

ge los parámetros para

as); el segundo grupo

s restricciones del caso

etros y 100 iteraciones

e búsqueda y la Tabla 4

muestra los gráficos de

Figura 4. Convergencia de los algoritmos de búsqueda para el caso propuesto, 2 (segunda fila): a. Enjambre de partículas (izquierda) y b. Evolución diferencial (derecha). Fuente: Autor.

A B S T1 T2 T3 W H Peso [Kg] Caso PSO 700 500 412.73 25.1 0.1 0.1 22.64 22.34 69.44

DE 700 500 492.31 25.1 1.25 2.27 2.02 4.84 69.47

Tabla 4. Parámetros de las geometrías óptimas encontradas.

4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Ambos algoritmos de búsqueda en el primer caso arrojaron el mismo resultado conceptual: la

topología óptima consiste en aumentar al máximo en grosor de la placa y desaparecer los

reforzadores. Debe notarse que la restricción sobre el límite superior del grosor de placa se

encuentra activa en ambos óptimos encontrados. La diferencia de 0.1 mm sobre el límite de 25 mm

en el grosor de placa \1 y los limites inferiores sobre los grosores de reforzador \2 y \3 es

inducida por la tolerancia numérica utilizada en la evaluación de la violación relativa de la

restricción. La tolerancia debe ser reducida en futuras experimentaciones, pero el sentido parece ser

claro.

Figura 4. Topologías encontradas en el caso de estudio 3 por (a) el método del enjambre de partículas y (b) el método de evolución diferencial. Fuente: Autor.

CONCLUSIONES

Con respecto a los resultados de la búsqueda en el caso 1, el hecho de que el grosor máximo de

placa haga cumplir las restricciones de resistencia mecánica y deformación no es un hecho

premeditado en la experimentación. En el caso 2, aunque los dos algoritmos de búsqueda no

convergen al mismo resultado, cada una de las soluciones tiene sus ventajas: mientras la evolución

diferencial presenta una topología construible, el enjambre de partículas muestra un concepto a

explorar que arroja un peso menor. En el caso 3, aunque discrepando, ambos algoritmos de

búsqueda encontraron topologías en cierto modo realistas, al parecerse a las implementaciones

vistas en las estructuras reales. De hecho, ambas muestran alternativas para la disminución de peso

en los elementos de placa reforzada. Con respecto a los algoritmos utilizados para realizar las

búsquedas (enjambre de partículas y evolución diferencial), cabe resaltar que el costo

computacional asociado es muy alto. Otros algoritmos de búsqueda deben ser tenidos en cuenta

cuando la capacidad de cómputo sea restrictiva.

AGRADECIMIENTOS

El presente trabajo fue realizado en el Laboratorio de Computación de Alto Desempeño HPCLAB,

adjunto a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Tecnológica de Bolívar.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Hughes, O. (1988). Ship structural design, a rationally-based, computer-aided optimization

aproach. New Jersey: John Wiley & Sons.

[2] Parsopoulos, K. E., & Vrahatis, M. N. Particle Swarm Optimization Method for Constrained

Optimization Problems. Patras, Greece.

[3] Kennedy, J., & Eberhart, R. (1995). Particle Swarm Optimization. Proceedings of IEEE

international conference on neural networks (págs. 1942-1948). IEEE.

[3] Price, K. V., Storn, R. M., & Lampinen, J. A. (2005). Differential Evolution, A Practical

Approach to Global Optimization. Berlin: Springer.

[4] (En Línea) http://www.python.org/

[5] (En Línea) http://www.salome-platform.org/

[6] (En Línea) http://www.code-aster.org/

C. Hernandez et al. Simulación Numérica de Ensayos Dinámicos en el Dispositivo de Barra Hopkinson


1

Simulación Numérica de Ensayos Dinámicos en el Dispositivo de Barra Hopkinson

C. Hernandez, A. Maranon, L. Mateus, A. Ramirez


Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia

[email protected]

Resumen

El comportamiento mecánico de los materiales puede variar significativamente cuando estos son sometidos a cargas a altas tasas de deformación. Por este motivo, la caracterización de la respuesta dinámica de los materiales es de gran importancia, fundamentalmente durante el análisis de eventos donde los cuerpos son sometidos a cargas impulsivas. Este artículo presenta el desarrollo e implementación de un modelo numérico del ensayo de barra Hopkinson sobre un cilindro de aluminio y su posterior validación con resultados experimentales. Este modelo numérico fue creado usando el software de elementos finitos ANSYS/LS-DYNA, empleando un esquema de solución numérica explicita. La simulación computacional fue calibrada de forma que esta fuera eficiente computacionalmente y que a su vez mantuviera la capacidad de representar el proceso de deformación al que se somete el material de prueba. Los resultados obtenidos de esta simulación son usados como una herramienta que permita obtener un mejor entendimiento del fenómeno desarrollado durante este ensayo y el mejoramiento del diseño del dispositivo experimental.

Palabras clave: Caracterización de materiales, Dispositivo de barra de Hopkinson, Simulación numérica.

Abstract

The mechanical behavior of some materials varies significantly when loads are applied at high strain rates. For this reason, understanding and characterizing the dynamic response of materials is very important, especially for the analysis of events where the bodies are subject of impulsive loads. This paper presents the development and implementation of a numerical simulation of the Split Hopkinson Pressure Bar test performed on an aluminum cylinder. Experimental validation is carried out to test the performance of the simulations. The numerical model was implemented in the finite element software ANSYS/LS-DYNA using an explicit solution scheme. The computational simulation was calibrated to be computationally efficient and to maintain the accuracy of the deformation process. The results of this simulation are used as a tool that allows the complete understanding of the deformation phenomena and the improvement of the experimental set-up.

Keywords: Material characterization, Split Hopkinson Pressure Bar, Numerical Simulation.



2

1. INTRODUCCIÓN

Durante los últimos años el estudio de fenómenos dinámicos, en los que la dependencia del tiempo no puede ser despreciada, ha cobrado mayor interés e importancia en la ingeniería. Eventos como colisiones de vehículos, impactos balísticos, procesos de manufactura como forjado y estampado, entre otros, son ejemplos de los problemas dinámicos de creciente interés en la investigación. Estos eventos, de mayor complejidad que los fenómenos usualmente estudiados de carácter cuasi-estático, se distinguen por las altas tasas de deformación unitaria1 a las que son aplicadas las cargas, produciendo rápido cambio de variables como el esfuerzo y la temperatura. Debido a estas altas tasas de deformación, el comportamiento mecánico de algunos materiales puede variar significativamente en comparación con la repuesta mostrada cuando las cargas son aplicadas en régimen cuasi-estático. Este comportamiento que muestran algunos materiales, requiere su caracterización a estas altas tasas de deformación para determinar un modelo constitutivo del material que esté en la capacidad de representar el proceso de deformación.

Existen diversas técnicas de caracterización de materiales a altas tasas de deformación mediante las cuales se pueden hallar las propiedades dinámicas de los materiales. Field et al (Field, Walley et al. 2004) hace una revisión de las principales técnicas experimentales usadas en la actualidad para obtener dichas propiedades. Entre la gran variedad de técnicas de caracterización dinámica se destacan entre otros, el ensayo de caída libre (Drop-test) para tasas de deformación en el rango de 101 s-1 y 103 s-1, el dispositivo de barra Hopkinson (Split Hopkinson Pressure Bar) para tasas de deformación entre 102 s-1 y 104 s-1 y el ensayo de impacto de Taylor para tasas de 104 a 106 s-1. Entre los métodos experimentales para medir el comportamiento de materiales a altas tasas de deformación, el ensayo de barra Hopkinson es el dispositivo más usado. Esta técnica ha sido ampliamente usada por investigadores para determinar la curva real de esfuerzo-deformación unitaria dinámica de una diversa variedad de materiales (Xiao 2008; Chen and Song 2010; Zhou, Li et al. 2010), debido a su simpleza y a la capacidad de arrojar datos a altas tasas de deformación de forma simple y directa (Nicholas 1981).

Sin embargo, la técnica de barra Hopkinson no es un ensayo estandarizado y el equipo usualmente no está disponible comercialmente. La implementación y diseño del dispositivo es un proceso que se realiza teniendo en cuenta los requerimientos y necesidades individuales de cada grupo de investigación, dependiendo de los materiales que se desean caracterizar y los rangos de tasa de deformación que se desean alcanzar. Este proceso de diseño es relativamente complejo debido a los fenómenos que ocurren durante el ensayo y al corto tiempo en el que ocurren, en el orden de los milisegundos. Debido a esto, la simulación numérica del ensayo se convierte en una asistencia para el entendimiento del fenómeno y una herramienta fundamental durante el proceso de diseño del dispositivo. En este artículo se presenta el desarrollo de una simulación numérica del ensayo de barra Hopkinson implementado en la Universidad de los Andes como parte del programa de caracterización de materiales a altas tasas de deformación.

1 En este documento se debe entender altas tasas de deformación como altas tasas de deformación unitaria.



3

Este artículo está dividido en tres partes fundamentales: en la primera parte se hace una introducción al ensayo de barra Hopkinson y una descripción del dispositivo implementado, luego se presenta la simulación numérica realizada y por último se muestra su validación experimental y conclusiones.

2. DISPOSITIVO DE BARRAS HOPKINSON

El dispositivo de barras Hopkinson, también conocido como aparato de Kolsky o SHPB por sus siglas en ingles (Split Hopkinson Pressure Bar), se ha convertido en el equipo para determinar el comportamiento dinámico de materiales a altas tasas de deformación (102-104 s-1) más aceptado por la comunidad científica de caracterización de materiales (Chen and Song 2011). Esta técnica propuesta por Hopkinson en 1914 (Hopkinson 1914) y después perfeccionada por Kolsky en 1949 (Kolsky 1949) consiste en dos barras largas simétricas, que pueden desplazarse libremente en su eje longitudinal, y una probeta corta ubicada entre estas como se muestra en la Figura 1. Mediante el impacto de una tercera barra, alineada en un extremo de la barra incidente, se propaga una onda de esfuerzos compresivos desde el extremo libre de la barra incidente hacia el espécimen. Cuando la onda de esfuerzos alcanza el espécimen, parte de la onda es reflejada de nuevo hacia la barra incidente y parte atraviesa la probeta hacia la barra transmisora, causando un incremento instantáneo del esfuerzo y deformación rápida del material de prueba. Mediante galgas extensiométricas ubicadas en ambas barras se capturan las ondas, incidente y transmitida, como señales de deformación. Procesando estas señales capturadas, se puede calcular la curva esfuerzo-deformación del material espécimen a la tasa de deformación dada por la velocidad de impacto del proyectil. Se debe tener en cuenta que las barras deben permanecer en el rango elástico del material, mientras que la probeta se somete a largas deformaciones.

Figura 1. Esquema del dispositivo de barra Hopkinson

El dispositivo Hopkinson construido en la Universidad de los Andes por Alvaro Ramírez y Luis Mario Mateus, fue diseñado para caracterizar en principio materiales metálicos a tasas de deformación media-alta (102-103 s-1), pero manteniendo versatilidad para en el futuro, mediante pequeños cambios, sea posible la caracterización de materiales poliméricos y compuestos reforzados. Teniendo en cuenta estos requerimientos, se seleccionó como material para las barras y el proyectil un acero aleado endurecido de alta resistencia de referencia Böhler M303. Las longitudes y diámetros de las barras y proyectil se determinaron para cumplir especificaciones de diseño en las que se garantiza que la magnitud y longitud de las ondas producidas durante el evento sean las necesarias para deformar el material de prueba, pero no deformen las barras. Para realizar los ensayos preliminares y analizar el rendimiento del dispositivo, se probó una aleación de aluminio A6061-T6. La probeta se dimensionó de acuerdo a las características del dispositivo para garantizar el correcto desempeño de la prueba. En la

Espécimen

Galgas extesiométricas

Proyectil Barra incidente Barra transmisora

C. Hernandez et al. Simulación Numérica

Tercer Simposio en Mecánica de Materia

Tabla 1 se muestran las dimeny las dimensiones de la probet

Tabla 1. Dimensi

Proyectil (P) Barra incidente (BI) Barra transmisora (BTEspécimen (E)

3. SIMULACIÓN NUMÉR

Se realizó una simulación numgeometría del construido en limplementado en el software que permitió la modelaciónproyectil, dos barras y el esimulación solo se representóusaron elementos explícitos elemento y seis grados de libelas partes se modeló usando (ANSYS Inc. 2009). Los coefrepresentar contacto sin friccirestricciones de los desplazampartes. La única condición ini1 se muestra la representaciónsimbolizan mediante triánguloLas longitudes y diámetros cpresenta a escala. Los modeloson descritos en la siguiente se

→ VelocFigura 2. Esquema del mod

3.1. Modelos de los materiale

Para la simulación numérica implementados, un modelo pespécimen. Las barras del dis

ica de Ensayos Dinámicos en el Dispositivo de Barra Hopkinson

riales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

ensiones de las partes del dispositivo de barra Hopeta usada para las pruebas preliminares y calibració

siones de las barras del dispositivo de barras HopkMaterial Diámetro (D) Lon

Böhler M303 23 mm 23Böhler M303 20 mm 25

BT) Böhler M303 20 mm 20A6061-T6 16.4 mm 8

ÉRICA

umérica del ensayo de Hopkinson con las mismasn la Universidad de los Andes. El modelo de elemre ANSYS/LS-DYNA empleando un esquema de sión dinámica del evento. El modelo consta de espécimen. Dado el carácter axisimétrico del tó la mitad de la geometría. Para discretizar las pars 2D estructurales de forma cuadrilátera con cbertad por nodo (PLANE162) (ANSYS Inc. 2009).o contacto sencillo entre superficies en dos dimeeficientes de fricción estático y dinámico se mantución. Las condiciones de frontera aplicadas a las pamientos transversales sobre el eje longitudinal dinicial aplicada fue velocidad inicial sobre el proyeión gráfica del modelo creado, donde las condicionulos azules y las flechas rojas representan las conds corresponden a las especificadas en la Tabla 1elos de los materiales usados para simular las barra sección.

locidad inicial - ∆ Restricciones desplazamiento odelo del dispositivo de barras Hopkinson creado c

iniciales y de frontera (No a escala)

ales

ca del ensayo de Hopkinson dos modelos de mat para el material de las barras y un modelo par

dispositivo, debido a que no sufren deformación p

4

opkinson construido ción.

pkinson ongitud (L)

230 mm 2540 mm 2000 mm 8.2 mm

as características y lementos finitos fue e solución explicito e cuatro partes: el el problema, en la artes del modelo se cuatro nodos por

. El contacto entre ensiones (ASS2D) tuvieron nulos para partes consisten en de cada una de las yectil. En la Figura iones de frontera se ndiciones iniciales. 1. La figura no se rras y el espécimen

o con condiciones

ateriales deben ser ara el material del plástica durante el



5

ensayo, son simuladas mediante un modelo de material elástico lineal, el cual para su implementación requiere, además de su densidad (ρ), dos parámetros del material: Modulo elástico (E) y relación de Poisson (µ). Las constantes del material de las barras son mostradas en la Tabla 2.

Tabla 2. Parámetros material barras (Acero Böhler M303) modelo elástico lineal ρ E µ

7700 kg/m3 205 GPa 0.29 El material del espécimen, debido a que durante el ensayo sufre largas deformaciones, debe ser simulado mediante un modelo de material elasto-plástico que esté en la capacidad de representar la deformación y la dependencia de la resistencia del material a la tasa de deformación. El modelo de material seleccionado para cumplir este objetivo es el modelo de Cowper-Symonds (Cowper and Symonds 1957). Este es un modelo elasto-plástico simple con endurecimiento por deformación y endurecimiento por tasa de deformación que usa la formulación empírica formulada por Ludwik. El modelo propone, como se muestra en la ecuación 1, un escalamiento del esfuerzo de fluencia del material (σy) mediante tres factores: un factor de deformación (β) y dos factores de tasa de deformación (C y P) conocidos como parámetros de Cowper-Symonds.

= 1 + / + (1)

= − (2)

Donde es la tasa de deformación, es la deformación plástica efectiva, es el esfuerzo de fluencia inicial, es el modulo plástico de deformación, E es el modulo elástico y es el modulo tangente. Este modelo fenomenológico, entonces, para su implementación requiere para su implementación de la densidad del material (ρ) y ocho parámetros. En la Tabla 3 se muestran las constantes del material implementado para el espécimen de la prueba.

Tabla 3. Parámetros material espécimen (A6061-T6) modelo Cowper-Symonds ρ E µ !" β C P

2660 kg/m3 70 GPa 0.33 190 MPa 567 MPa 0.3 6500 40 s-1

3.2. Análisis de sensibilidad de la malla

Para determinar el tamaño óptimo de los elementos de la malla de cada una de las partes del modelo se realizó un análisis de sensibilidad de malla. El objetivo de este análisis es determinar el tamaño máximo posible de los elementos, reduciendo el número total de elementos en la simulación, de manera tal que el tiempo de cómputo sea el mínimo, pero manteniendo los resultados lo más preciso posible. Para realizar este proceso, se realizó la simulación del ensayo de Hopkinson con diferentes tamaños de elemento, tanto para las barras como para el espécimen. Luego, se determinó el tiempo de cómputo para cada una de las configuraciones y se



6

analizaron los resultados obtenidos. Como criterio de comparación de los resultados se usó la variación de la deformación máxima registrada en la posición de las galgas. Es decir, la diferencia porcentual entre el valor máximo de deformación registrado usando un tamaño de malla contra el valor registrado usando un tamaño de elemento menor. El proceso se realizó hasta que la diferencia porcentual entre los resultados varió menos del 0.1%. En la Figura 3 se muestran los resultados del análisis de sensibilidad de malla para la discretización de las barras. Los puntos representan los modelos implementados y corrido, mientras que las líneas representan la tendencia mostrada. Una análisis similar al mostrado se realizó para hallar el tamaño óptimo de los elementos del espécimen. Finalmente, se estableció que el tamaño óptimo para los elementos de las barras es de 3 mm mientras que para el espécimen es necesario usar elementos de tamaño de 0.5 mm.

Figura 3. Análisis del tamaño de los elementos en la discretización de las barras.

3.3. Resultados

Usando la configuración descrita anteriormente para el modelo de elementos finitos, se realizó una simulación del ensayo de barras Hopkinson sobre una probeta de aluminio A6061-T6 con una velocidad de impacto de 20.6 m/s, generando una tasa de deformación de 931 s-1. Los resultados de la simulación numérica de las señales de deformación en el tiempo capturadas se muestran en la Figura 4. En la figura se pueden observar las ondas de esfuerzo propagadas en las barras; se distingue en un primer instante de la línea de tiempo el pulso incidente y en un segundo momento la división de éste en dos pulsos: reflejado y transmitido.

Se realizó la validación de la simulación computacional del dispositivo de barras Hopkinson mediante la comparación con datos experimentales. El ensayo experimental se realizó bajo los mismos parámetros descritos anteriormente y se capturaron las señales de deformación respectivas en ambas barras (Ramírez 2011). En la Figura 5 se muestra la superposición de las señales de deformación experimentales y las señales simuladas. Para comparar ambas señales se analizó el tiempo y la magnitud del pulso incidente. El tiempo de duración del pulso incidente en la simulación fue de 93 µs, mientras que en la experimentación fue de 96 µs. Por otro lado, la magnitud del pulso simulado fue de 1926 µmm/mm mientras que el ensayo



7

experimental arrojó un valor promedio de 2005 µmm/mm. Esta comparación nos permite concluir que la simulación numérica del ensayo de barras Hopkinson muestra buena correlación con los resultados experimentales, diferenciándose en el pulso incidente en no más del 5% en cuanto a tiempo de duración y magnitud del pulso. Cabe anotar que los pulsos reflejado y transmitidos muestran similitud entre la simulación y la experimentación. Sin embargo estos pulsos son dependientes de las constantes del material de espécimen usadas para la simulación. Mediante un proceso de caracterización más preciso del material de prueba, que no está dentro del alcance de este artículo, se pueden optimizar las constantes del material y obtener mejor correlación entre los resultados de las señales reflejadas y transmitidas.

Figura 4. Señales de deformación de simulación de ensayo de barras Hopkinson

Figura 5. Comparación entre señales de deformación de simulación y experimentación

-2200

-1700

-1200

-700

-200

300

800

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Def

orm

ació

n (µ

mm

/mm

)

Tiempo (ms)

Señal en barra incidente

Señal en barra transmisoraPulso incidente

Pulso reflejado

Pulso transmitido

-2200

-1700

-1200

-700

-200

300

800

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Def

orm

ació

n (µ

mm

/mm

)

Tiempo (ms)

Señal experimental

Señal simulación



8

4. CONCLUSIONES

En este trabajo se implementó un modelo computacional, usando el método de los elementos finitos, para simular el ensayo de barras Hopkinson. La simulación se realizó usando el software LS/DYNA mediante un esquema de solución explicito. Se seleccionó modelos adecuados de materiales para representar el proceso de deformación de todas las partes del dispositivo; para las barras del dispositivo se seleccionó un modelo elástico lineal; mientras que para el material del espécimen fue necesario implementar un modelo elasto-plástico como el Cowper-Symonds. Para determinar el tamaño óptimo de malla se realizó un análisis de sensibilidad en el que se analizaron los resultados y se compararon contra el tiempo de simulación. Los resultados de señal de deformación obtenidos en la simulación se compararon con resultados experimentales obteniendo buena correlación entre los datos. En conclusión se implementó un modelo en elementos finitos del dispositivo de barra Hopkinson eficiente computacionalmente y preciso. Los resultados obtenidos de esta simulación son usados como una herramienta que permita obtener un mejor entendimiento del fenómeno desarrollado durante este ensayo y el mejoramiento del diseño del dispositivo experimental.

REFERENCIAS

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M.F. Buchely, Modelo analítico para el análisis de impacto a altas velocidades de cilindros multi-materiales

Tercer Simposio en Mecánica de materiales y estructuras continuas – SMEC 2011

1

Modelo analítico para el análisis de impacto a altas velocidades de cilindros multi-materiales

M.F. Buchely1, A. Maranon2 Grupo de Integridad Estructural GIE. Departamento de Ingeniería Mecánica

Universidad de los Andes, Colombia

[email protected]

Resumen

El impacto de cilindros a altas velocidades es un tema ampliamente estudiado dado que permite determinar los efectos del cilindro sobre la penetración en placas. Diferentes modelos analíticos han sido planteados para modelar el comportamiento de los cilindros de impacto. Una simplificación importante es estudiar el efecto del cilindro sobre una superficie rígida para caracterizar el material del cilindro. Adicionalmente, dependiendo de la velocidad impacto, se pueden plantear dos modelos de deformación y erosión diferentes. En el presente artículo se plantea un modelo analítico de cilindros compuestos de dos materiales metálicos diferentes. Los modelos se simplifican asumiendo comportamientos de materiales rígido-perfectamente plástico. Adicionalmente, se realizan modelos computacionales por elementos finitos, utilizando un solucionador explicito lagrangiano; de esta forma se puede comparar y comprobar el desempeño del modelo analítico. Las variables comparadas son el cambio de velocidad y el cambio de longitud del cilindro. Se obtienen buenas aproximaciones a partir del modelo analítico con tiempos de procesamientos muy inferiores a los alcanzados con los modelos computacionales.

Palabras claves: Impacto a altas velocidades, Modelación por elementos finitos.

NOMENCLATURA

β: Velocidad crítica del material ρ: Densidad del material A: Área transversal de cilindro c: Velocidad de frente de onda plástico dentro

del cilindro e: Deformación de ingeniería del material h: Longitud deformada de cilindro impactando

a velocidad por debajo de la velocidad crítica

l: Longitud de cilindro

v: Velocidad de cilindro x: Longitud no deformada de cilindro

impactando a velocidad por debajo de la velocidad crítica

Y: Resistencia a la fluencia dinámica del material Sufijos

0: Condición inicial a: Cilindro A b: Cilindro B

1 INTRODUCCION

Cuando un cilindro impacta perpendicularmente con una superficie rígida, se generan esfuerzos dentro del cilindro, los cuales se mueven como una onda elástica seguida de una onda plástica, si los esfuerzos superan el límite elástico. Cuando la onda elástica llega al extremo libre del cilindro, se refleja con la misma intensidad hasta que interactúa con la onda plástica, generando



2

una nueva secuencia de ondas elásticas y plásticas [1]. Éste movimiento de múltiples esfuerzos genera la desaceleración del proyectil. Entonces, la desaceleración depende de la resistencia del material, entre mayor la resistencia, más rápida la desaceleración para una velocidad de impacto específica [2].

Taylor [1] aproximó este comportamiento complejo a una situación unidimensional en donde los efectos de movimiento radial son despreciados [3], y la resistencia del material puede asumirse constante (esfuerzo dinámico de fluencia) que es generalmente más alto que el esfuerzo cuasi-estático del material [4]. Sin embargo esta teoría es débil para cilindros impactando a altas velocidades [5]. Posterior al avance de Taylor, otras teorías simples similares a las de Taylor se han desarrollado con el fin de obtener mayor confiabilidad en mayor rango de velocidades: Lee-Tupper [6] desarrollaron un modelo teniendo en cuenta el movimiento de las ondas dentro del cilindro y el endurecimiento del material, Hawkyard [4] aplicó balance de energía a la teoría clásica de Taylor. Jones [3; 7; 8] propone un modelo en tres fases de deformación del cilindro, en donde trata de integrar el modelo clásico de Taylor con nuevas consideraciones como: velocidad de la partícula del material, endurecimientos por deformación y cambios de área. Su modelo produce buenas aproximaciones para amplio rango de velocidades y amplia gama de materiales, sin embargo depende de realizar experimentación previa para conocer el valor de ciertas constantes necesarias para alimentar el modelo. Todas estas teorías predicen la desaceleración y forma final del cilindro (longitud y diámetro) a partir de las propiedades del material.

White [9] notó que los cilindros impactado sobre una superficie rígida se desintegran totalmente cuando la velocidad de impacto es muy alta, mientras que el mismo cilindro a velocidades bajas se deforma pero conserva su integridad. White, mostró que existe una velocidad crítica que separa estos dos comportamientos del material dependiendo de la velocidad de impacto. En la Figura 1 se observan estos dos comportamientos. En el primero, la velocidad de impacto genera un frente de onda a una velocidad c que se mueve a lo largo del cilindro, cambiando su geometría (área transversal). En el segundo caso, la velocidad de impacto es lo suficientemente grande como para ignorar el movimiento del frente de onda, lo que genera una desintegración del material. Para un material rígido-perfectamente plástico con una resistencia dinámica y densidad la velocidad crítica está dada por la ecuación (1).

2 Yβ

ρ= (1)

Cuando la velocidad de impacto es mayor que la velocidad crítica b bv β> , las ecuaciones de

conservación de masa y de momentum para el cilindro, están dadas por las ecuaciones (2). Para este caso el proyectil se desintegra y se nombra como Modo II de deformación.

dlb b

b b b b

dvv l Y

dt dtρ= − ∧ = − (2)



3

Figura 1. Esquema de cilindro simple impactando una superficie rígida a diferentes velocidades: menor

(izq.) y mayor (der.) a la velocidad crítica.

Cuando b bv β< , la longitud del cilindro está dada por la ecuación de continuidad del sistema,

según la ecuación (3); mientras que para la parte del cilindro no deformada la conservación de masa y momentum están dadas por las ecuaciones (4).

b b b b bl x h donde dh dt c= + = (3)

( )b bb b b b b

dx dvv c x Y

dt dtρ= − + ∧ = − (4)

Alrededor de la onda plástica hay una condición de salto que puede expresarse mediante las ecuaciones de conservación de masa y momentum del frente de onda, según las ecuaciones (5). Para este caso, el proyectil se deforma pero conserva la integridad estructural; se nombra a este modo de deformación como Modo I.

( ) ( ) ( )0 0 0b b b b b b b b b bA v c A c A v c v Y A Aρ+ = ∧ + = + (5)

La condición de salto implica una condición inicial para modelar el sistema. Según Taylor [1] para un material rígido-perfectamente plástico, la condición inicial esta dado por la relación (9).

2 20 0

0 00

11

b b

b b

e vdonde e A A

e Y

ρ= = −

− (6)

En algunas aplicaciones de impacto a altas velocidades, los cilindros de impacto se componen de dos o más materiales, los cuales se pueden modelar como dos cilindros conjuntos, como se muestra en la Figura 2. En el presente trabajo, se plantea un modelo analítico para trabajar con este tipo de cilindros compuestos, utilizando los modelos clásicos de cilindros simples y el



4

concepto de velocidad crítica planteado por White. El comportamiento de los materiales utilizados para el modelo se simplifica a rígido-perfectamente plásticos. Adicionalmente, para el presente modelo se limita configuraciones de cilindros compuestos cuyo material frontal (cilindro a) sea más resistente que el material trasero (cilindro b), esto es a bY Y> .

Figura 2. Cilindro compuesto impactando superficie rígida.

2 PLANTEAMIENTO DEL MODELO

Para plantear el modelo de cilindro compuesto, se tiene en cuenta que los materiales componentes poseen una velocidad crítica dada por la Ecuación (1); por lo tanto, cada material se encuentra en un modo de deformación diferente en cada instante y que hay que analizar por separado.

Para cilindro "a" con a av β> ; las ecuaciones de conservación de masa y momentum, están

dadas por :

dla a

a a a a b

dvv l Y Y

dt dtρ= − ∧ = − + (7)

Para cilindro "a" con a av β< las ecuaciones de continuidad, conservación de masa y

momentum y condiciones de salto, están dadas por:

a a a a al x h donde dh dt c= + = (8)

( )a aa a a a a b

dx dvv c x Y Y

dt dtρ= − + ∧ = − + (9)

( ) ( ) ( )0 0 0a a a a a a a a a aA v c A c A v c v Y A Aρ+ = ∧ + = + (10)



5

La condición inicial para el evento es:

2 20 0

01a a

a a

e v

e Y

ρ=

− (11)

Para simplificar el modelo, se asume que el material del cilindro "b" tiene una resistencia dinámica más baja que la de "a", así: a bY Y> . Por lo tanto, se asume que el cilindro "b" siempre

permanece en contacto con el cilindro "a" y además "b" siempre se estará desintegrando mientras el cilindro "a" esté en movimiento. Así, las ecuaciones de conservación de masa y momentum para el cilindro B están dadas por:

dlb b

a b b b b

dvv v l Y

dt dtρ= − ∧ = − (12)

Cuando el cilindro "a" se haya desacelerado completamente, el cilindro "b" se modela como un cilindro simple dependiendo de su velocidad instantánea y la velocidad crítica del material; si

b bv β< , aplican las ecuaciones (2) y si b bv β> , aplican las ecuaciones (3) a (6).

3 IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO Y COMPARACIÓN

Para implementar el modelo teórico, se realiza la programación de todas las ecuaciones diferenciales involucradas en el fenómeno, mediante el software SIMULINK de MatLab. Se utiliza un solucionador numérico Runge-Kutta 4 con pasos de integración de 1E-9 s. En la Figura 3 se observa el algoritmo utilizado para la secuencia de manipulación de las ecuaciones según el caso específico de deformación en cada cilindro.

Para la validación del modelo, se realizan simulaciones por elementos finitos mediante el software explícito AutoDyn utilizando un solucionador lagrangiano. Los modelos constitutivos de los materiales se extraen de las librerías de materiales del software.

4 CALIBRACIÓN DEL MODELO

Las propiedades de materiales necesarias para el modelo son la resistencia dinámica del material (Y) y la densidad (ρ). Aunque la densidad es una propiedad ampliamente conocida y puede asumirse como constante para un amplio rango de tasas de deformación, la resistencia dinámica del material es un parámetro que puede ser muy sensible a la tasa de deformación (velocidad de impacto) del fenómeno. En variada bibliografía pueden obtenerse valores aproximados para ciertas condiciones experimentales, sin embargo es necesario seleccionar unos valores adecuados para los materiales que se van a modelar. Por tal motivo, para calibrar un valor apropiado, se realizan simulaciones por elementos finitos a través del software explicito AUTODYN, correspondientes a cilindros simples impactado contra superficies rígidas y se comparan con el modelo teórico para cilindro simple que se plantea con las ecuaciones (2) a (6). Entonces, se comparan los cambios de longitud de los cilindros simples de 24mm de longitud inicial y 7.64 mm de diámetro para diferentes velocidades iniciales, comparando las simulaciones y el modelo teórico para los materiales Plomo y Acero 4340, y utilizando un



6

valorde 65 MPa y de 1.3 GPa, para cada material respectivamente. En las Figura 4, notar que el modelo teórico se ajusta muy bien para la simulación de los cilindros simples a velocidades de impacto bajas y medias. Para mayores velocidades comienza a notarse una diferencia considerable entre el modelo y las simulaciones; parte de los errores debido a asumir como constante para diferentes tasas de deformación.

Figura 3. Diagrama para cilindro compuesto mostrando los diferentes modos de deformación que pueden

adquirir los cilindros individuales.

Figura 4. Comparación de cambio de longitud de cilindro simple de: (a) Plomo con Y de 6.5MPa y (b)

Acero con Y de 1.3GPa. Simulaciones por elementos finitos y modelo analítico



7

5 MODELO DE CILINDRO COMPUESTO

Se prueba el modelo con cilindros compuestos de dos materiales: Acero 4340 para el cilindro frontal (cilindro "a") y Plomo para el cilindro posterior (cilindro "b"). Los valores de resistencia dinámica asignados correspondes a los valores de calibración que se encontraron, asumiendo que es una propiedad constante del material. Las dimensiones de los cilindros individuales son de 24mm de largo y 7.62mm de diámetro.

En la Figura 5 se muestra la secuencia de eventos que involucra el cilindro compuesto impactando una pared rígida a una velocidad inicial de 350ms-1. El cilindro "a" asume una deformación en Modo I ya que se encuentra por debajo de la velocidad crítica, mientras que el cilindro "b" asume una deformación Modo II, desintegrándose en frente del cilindro "a". Una vez, el cilindro "a" se detiene el cilindro "b" se comporta como un cilindro simple impactando sobre una superficie rígida (ya que ). El cilindro "a" cambia de longitud, dado el esfuerzo que genera "b" sobre su cara posterior, pero este desplazamiento es ignorado en el modelo analítico, lo cual para bajas y medianas velocidades, es una buena aproximación, como se detallará más adelante.

En las Figuras 6, 7 y 8 se muestran el cambio de longitud de los cilindros para las velocidades de impacto de 150ms-1, 350ms-1 y 600ms-1, respectivamente; comparando las simulaciones por elementos finitos y el modelo analítico planteado.

Figura 5. Secuencia del impacto del cilindro compuesto para una velocidad inicial de 350ms-1.

6 CONCLUSIONES

Se desarrolló un modelo analítico para trabajar problemas de impacto de cilindros compuestos de dos materiales metálicos sobre superficies rígidas. El modelo analítico se basa en consideraciones unidimensionales y ecuaciones de conservación de momentum y masa para los cilindros que componen el cilindro de impacto.



8

7 TRABAJO FUTURO

Se espera continuar desarrollando el modelo y probarlo en diferentes configuraciones de materiales. Así mismo, es necesario ampliar el rango del modelo a configuraciones de materiales con una resistencia superior en el material del cilindro B. Esto se logra implementando una ecuación de erosión entre la interfase de los cilindros.

Figura 6. Cambio de longitud de cilindros A y B para una velocidad de impacto inicial de 150ms-1.




9


8 REFERENCIAS

1. Taylor G. The use of flat-ended projectiles for determining dynamic yield stress. I. Theoretical considerations. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 1948;194(1038):289.

2. Wilkins ML, Guinan MW. Impact of cylinders on a rigid boundary. Journal of Applied Physics 1973;44(3):1200-1206.

3. Jones SE, Gillis PP, Foster Jr JC, Wilson LL. A one-dimensional, two-phase flow model for Taylor impact specimens. Journal of engineering materials and technology 1991;113:228.

4. Hawkyard JB. A theory for the mushrooming of flat-ended projectiles impinging on a flat rigid anvil, using energy considerations. International Journal of Mechanical Sciences 1969;11(3):313-324, IN3-IN4, 325-333.

5. Jones SE, Gillis PP, Foster JC. On the equation of motion of the undeformed section of a Taylor impact specimen. Journal of applied physics 1987;61(2):499-502.

6. Lee EH, Tupper SJ. Analysis of plastic deformation in a steel cylinder striking a rigid target. J. appl. Mech 1954;21(1):63-70.

7. Jones SE, Maudlin PJ, Foster Jr JC. Constitutive modeling using the Taylor impact test. NASA STI/Recon Technical Report N 1995;96:17955.

8. Jones SE, Drinkard JA, Rule WK, Wilson LL. An elementary theory for the Taylor impact test. International journal of impact engineering 1998;21(1-2):1-13.

9. White MP. Impact force of a rigid-plastic missile. Journal of applied mechanics 1984;51(1):102-106.

Evaluación de Algunos Modelos Constitutivos para el Comportamiento de un Adhesivo a Base de

Poliuretano

J.C. Prieto1, J.P. Casas2. Departamento de Ingeniería Mecánica

Universidad de los Andes, Colombia

[email protected]

Resumen

El objetivo de este trabajo es el estudiar modelos constitutivos de materiales que estén en capacidad incluir efectos de humedad y temperatura para un material polimérico. Con el fin de poder cumplir este objetivo, se realizaron pruebas a tensión en un adhesivo a base de poliuretano del cual se identificaron los cambios en sus propiedades mecánicas durante variaciones de humedad, temperatura y tiempo. El acondicionamiento del material se realizó a tres diferentes ambientes, un grupo de probetas en un horno de convección a 70ºC, otro grupo de probetas sumergidas en agua a 23ºC y otro en agua a 70ºC, realizando pruebas de tensión a diferentes periodos de acondicionamiento. Resultados experimentales arrojaron, que el adhesivo sujeto a estudio es susceptible a la cambio en sus propiedades mecánicas en el acondicionamiento en agua, evidencia de esto es el hecho que el material aumenta su deformación a la ruptura y a la vez disminuye su esfuerzo último, el anterior comportamiento es atribuido al aumento de la cantidad de contenido amorfo dentro del material y adicionalmente del debilitamiento de la unión entre la parte amorfa y semi-cristalina del material. Mediante la técnica de ajuste a curvas, se encontraron las constantes de algunos modelos constitutivos que son útiles para evaluar el comportamiento del adhesivo estudiado a futuro por medio de herramientas computacionales como son los elementos finitos.

Palabras Clave: Adhesivos, comportamiento esfuerzo-deformación, degradación, elastómero de poliuretano termoestable, humedad, modelo constitutivo.

Abstract

The aim of this work is to study different constitutive materials model in order to include effects of moisture and temperature in a polymeric material model. A polyurethane adhesive compound was used to characterize these changes. Aging of material were conducted at different conditions, first group was ageing in an oven to 70ºC, other group underwater to 23ºC and finally, under water to 70ºC; tensile tests were conducted at different periods of ageing. Experimental results shows that this material is highly affected by moisture, evidence of that, are the rise in rupture strain and diminution in rupture stress. Material properties changes are explained by the increases in the amorphous content of the adhesive and weakness between semi-crystalline interphase and the amorphous regions on the material. Curve fitting technique was carrying out to some constitutive materials models finding their constant at some environmental conditions.

Keywords: adhesive, stress-strain behavior, degradation, thermoplastic polyurethane elastomer, moisture, constitutive model.

.

1 INTRODUCCIÓN

Los adhesivos presentan ventajas y desventajas contra formas de unión tradicionales, entre sus desventajas se pueden nombrar: una unión adhesivas no pueden ser evaluada visualmente (a menos que esta sea transparente), cuidadosa preparación de las superficies a adherir, las propiedades máximas del adhesivo se obtienen con largos tiempos de curado, algunos adhesivos soportan altas temperaturas pero su costo es elevado, la vida de servicio depende de las condiciones ambientales. Entre las ventajas que hacen interesantes los adhesivos se encuentran: distribución uniforme de esfuerzos, capacidad de unión entre diferentes materiales, minimización o prevención de corrosión electrolítica entre materiales, uniones con contornos suaves, aislamiento de transferencia de calor y conductancia eléctrica (en algunos casos los adhesivos son diseñados para proveer esta conductancia), reducción de vibraciones y absorción de choques, alta relación resistencia/peso, uniones rápidas y/o económicas de realizar comparadas con uniones rápidas tradicionales (Ebnesajjad, 2008).

1.1 Poliuretano y adhesivos

El poliuretano como materia básica es muy versátil para la producción de adhesivos, debido a que al variar la reacción de obtención del poliuretano se puede dar como resultado diferentes tipos de adhesivo. Entre las múltiples tipos que se pueden desarrollar son los adhesivos de dos componentes rígidos y elásticos, de un componente con curado de humedad, libres de solventes, con solventes y elásticos (Strobech, 1990).

El poliuretano es un polímero que se caracteriza porque su microestructura está compuesta de dos segmentos uno suave y otro duro, por lo cual se puede pensar que el poliuretano es una matriz amorfa suave con inclusiones de segmentos duros (Qi, 2005). El segmento duro es generalmente caracterizado como un arreglo semi-cristalino el cual da propiedades de rigidez así como provee entrecruzamiento físico por lo cual refuerza la matriz suave del polímero. La parte suave del poliuretano es la responsable de las propiedades elásticas del material, la parte en la estructura encargada de dar las propiedades mecánicas del poliuretano es la interfase entre las la parte suave y dura del material, además de la cantidad de entrecruzamientos presentes en el material (Oprea & Oprea, 2002), (Christenson, Anderson, Hiltner, & Baer, 2005).

1.2 Modelos constitutivos

Dadas las ventajas de los adhesivos, muchas investigaciones se enfocan al estudio de estos. Algunos investigadores han desarrollado modelos constitutivos (relación matemática de propiedades físicas que modelan el comportamiento de un material), con el fin de predecir la forma como la temperatura y el tiempo afectan los adhesivos (Pawel & Janusz, 2009), o como los factores ambientales degradan sus propiedades y a su vez como la interacción de estos fenómenos potencia el daño causado por cada uno de estos (Yanga, Vangb, Tallmana, & Bierwa, 2001). El desarrollo de modelos constitutivos está en continuo desarrollo, algunos autores dividen la evolución de estos en tres épocas: fundamentos (1940-1970), aparición de métodos numéricos (1970-1990) y nuevos retos (1990-presente) (Verron, 2008).

Continuamente los investigadores siguen desarrollando modelos constitutivos que traten de incluir comportamientos típicos de cada uno de los materiales, específicamente para materiales poliméricos, los modelos constitutivos deben de incluir uno o algunos de los siguientes comportamientos: predecir largas deformaciones, incluir no linealidades, presentar dependencia respecto al tiempo y tasas de deformación, predicción de histéresis, entre otros (Qi, 2005). Diferentes formulaciones de modelos constitutivos han sido desarrolladas por investigadores, sin embargo actualmente los modelos más populares son aquellos que son posibles de ser implementados en programas de elementos finitos (Ali, Hosseini, & Sahari, 2010).

Entre los diferentes modelos usados los más populares son, el modelo de Yeoh el cual es usado para describir la hiperelasticidad en compuestos de caucho debido a que se aplica a un amplio rango de deformación, el modelo de Arruda-Boyce es usado para predecir pequeñas y grandes

deformaciones, estos modelos pueden predecir el comportamiento de otros modos de deformación de manera aproximadamente exacta con los datos de una solo prueba mecánica. El modelo de Ogden que es un modelo usado ampliamente en programas de elementos finitos, además es un modelo que sirve para caracterizar grandes deformaciones en un material (Ali, Hosseini, & Sahari, 2010).

El modelo de Ogden es descrito en la Ec. (1), J es el Jacobiano, λ está definido como la razón entre la longitud final sobre la longitud inicial del material, = J/λ, las constantes µi y αi describen el comportamiento a cortante del material. Las Ec. (2) y Ec. (3) son los modelos para el modelo de Yeoh y Arruda-Boyce respectivamente, en estas ecuaciones =

+ +

, donde λi es la elongación en cada una de las direcciones principales, Cio representa el cortante del material, Di la compresibilidad del material y λm la elongación de aseguramiento la cual es cuando en la curva esfuerzo deformación se presenta un cambio ascendente súbito (Ali, Hosseini, & Sahari, 2010).

( ) ( )2

2

1 2 30 1

2 1-3 -1= =

+ += +∑ ∑i i ii

i

N N i

eli i i

U JD

α α αµλ λ λ

α (1)

( ) ( )0

3 32

11 1

13 -1

= =

−= +∑ ∑i

i

i

eli i i

IU C JD

(2)

( ) ( )25

12 21

-113

2−=

−= + −

∑ i i i eleli

i m

IJC

U Ln JD

µλ

(3)

Si bien existen numerosos modelos constitutivos, en la presente investigación se busca evaluar algunos modelos que caractericen y modelen el comportamiento mecánico de un adhesivo estructural a base de poliuretano antes y después de ser acondicionado a diferentes condiciones de humedad y temperatura, con esto se espera poder encontrar un modelo para poder predecir de forma eficaz la duración y comportamiento mecánico del adhesivo cuando sea expuesto a diferentes condiciones de uso.

1.3 Absorción de agua

Uno de los fenómenos con mayor importancia en la degradación de polímeros, y por defecto también en adhesivos, es la absorción de humedad, este puede ser caracterizado por un modelo de absorción Fickiano o no Fickiano. Cuando la tasa de difusión de humedad en el material es mayor que la tasa de relajación un modelo Fickiano se ajusta mejor al fenómeno de absorción, si por el contrario la relajación del material influye en la absorción de humedad un modelo no Fickiano se ajusta mejor a estos datos. (Loh, Crocombe, Abdel Wahab, & Ashcroft, 2005)

Un modelo Fickiano asume que el flujo de humedad es directamente proporcional al gradiente de concentración en el material, esta teoría de difusión está basada en la teoría de conductividad de calor de Fourier. En este modelo se asume que la difusión del agua es debido al gradiente de concentración en el material. Según la primera ley de Fick la tasa de masa transferida del medio al material es proporcional al gradiente de concentración multiplicada por una constante propia de cada material (D):

∂= −

∂

CF D

x (4)

Con esto la conservación de la masa del fenómeno de difusión se conoce como la segunda ley de Fick y es descrita en forma general de la forma:

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂

C CD

t x x (5)

La solución de la ecuación (5) depende de las condiciones de frontera del objeto de difusión a analizar (Vesely, 2008).La solución de la segunda ley de Fick para una placa de espesor 2l es dada por:

( ) ( )2 2 22 1 / 4

0

14 (2 1)1 cos

2 1 2

∞

− +

∞

=

− += − ×

+

∑n

D n t l

t

n

nC e C

n l

π

π (6)

Donde Ct es la concentración de humedad en cualquier intervalo t, C∞ es la concentración de saturación del material, D es el coeficiente de difusión en la coordenada espacial x. Esta solución se integra para encontrar la cantidad de masa absorbida por el material (Mt) en un tiempo t, dando como resultado:

( )( )2 2 2

2 1 / 4

220

8 11

2 1

∞

− +

∞

=

= − ×+

∑ D n t l

t

n

M e Mn

π

π (7)

Donde M∞ es la cantidad de masa de saturación. Si bien este modelo se ajusta a un comportamiento Fickiano, también existe comportamiento del tipo no Fickiano, uno de los modelos más utilizados es el modelo fickiano dual, en este modelo se asume que dos mecanismos del tipo Fickiano trabajan en paralelo de esta forma la masa absorbida en el material es dado por:

( )( )

( )( )2 22 2 2 2

1 22 1 / 4 2 1 / 4

1 22 22 20 0

8 1 8 11 1

2 1 2 1

∞ ∞− + − +

∞ ∞

= =

= − × + − ×+ +

∑ ∑D n t l D n t l

t

n n

M e M e Mn n

π π

π π (8)

Donde M1∞ y M2∞ son fracciones de la masa de saturación total M∞, este fenómeno se caracteriza por tener un cambio en la tasa de absorción de material cuando alcanza la primera fracción de saturación (M1∞) (Mubashar, Ashcroft, Critchlow, & Crocombe, 2009)

2 MATERIALES Y MÉTODOS

2.1 Materiales

El material usado en el estudio corresponde a un adhesivo a base de poliuretano con terminaciones de silano, siendo uno de sus ingredientes el Trimetoxivinilsilano. La presentación física del adhesivo, anterior al proceso de curado (proceso donde el adhesivo adquiere el máximo de sus propiedades mecánicas), es de un líquido viscoso de color blanco con una densidad de aproximadamente 1.45 g/cm3. El curado del adhesivo requiere la presencia de humedad en el ambiente; el tiempo de formación de piel en el adhesivo es de aproximadamente 20 minutos y el curado total del adhesivo depende del espesor del adhesivo aplicado. La formación de piel en un adhesivo se refiere al tiempo en el cual después de aplicado el adhesivo al estar en contacto con otro material ajeno a la unión donde se aplicó el material no se adhiere, sin embargo esta curada solo superficialmente.

Debido a la forma de suministro y las propiedades adhesivas del material el estudio de las propiedades del material se llevó a cabo en probetas de tensión de acuerdo a la norma ASTM D412. La fabricación de las probetas de adhesivo se realizó en moldes de polietileno de alta densidad, el adhesivo se aplicó sobre el molde y distribuido de manera uniforme con la ayuda de una espátula, posterior al curado total del material las probetas se retiran del molde.

2.2 Métodos de acondicionamiento

El material posterior a ser moldeado en forma de probetas de tensión fue acondicionado en tres ambientes diferentes, el primero en un horno de convección a 70°C, el segundo

acondicionamiento se realizó en probetas sumergidas en agua a durante diferentes periodos de tiempo en un cuarto de humedad y temperatura controlada (50±5% HR y 20±2°C), el último de los acondicionamientos se realizó en probetas sumergidas en agua a 70°C. El periodo de tiempo de cada uno de los acondicionamientos comenzó a un mes tomando muestras cada semana, posteriormente el muestreo se refino a días, y por último se redujo a muestras en periodos de tiempo en acondicionamiento de seis, cinco, cuatro, tres, dos, una y media hora. Como punto de referencia se compararon las propiedades de tensión de los diferentes acondicionamientos contra probetas del material sin ningún tipo de envejecimiento.

2.3 Caracterización del material

La caracterización del material se realizó por medio de pruebas de tensión en probetas acondicionadas en los diferentes ambientes, realizando tres repeticiones en cada uno de los acondicionamientos, en una máquina de tensión universal INSTRON 3363 a una velocidad de tensión de 500 mm/min.

3 RESULTADOS

3.1 Acondicionamiento a alta temperatura constante

La Figura 1 muestra los resultados de tensión en probetas acondicionadas a 70°C, en esta se evidencia que la temperatura no afecta considerablemente las propiedades mecánicas del material. La deformación de ruptura, el esfuerzo de ruptura o el comportamiento esfuerzo-deformación, no cambio considerablemente con respecto a las probetas de control, a pesar del tiempo tan prolongado de acondicionamiento. La variación de estas propiedades en las pruebas de tensión puede atribuirse a un problema en la manufactura de las probetas.

3.2 Acondicionamiento de agua

En la Figura 2 se muestran los resultados de pruebas de tensión en probetas sumergidas en agua en un laboratorio de temperatura controlada 20°C, en esta figura se puede ver como el comportamiento esfuerzo-deformación de las probetas acondicionadas después de un día de acondicionamiento tienen aproximadamente el mismo comportamiento, además se evidencia como las probetas después de ser acondicionadas durante una hora cambian sus propiedades disminuyendo su esfuerzo de ruptura y aumentando su deformación a la ruptura, también se observa como el comportamiento esfuerzo-deformación cambia de un comportamiento curvo en un principio a un línea recta después de 0.2% de deformación.

Figura 1. Comportamiento esfuerzo-deformación de probetas acondicionadas a 70°C durante diferentes periodos de tiempo.

Evidencia experimental demostró que la temperatura por sí misma no es una variable que degrade el material de forma notable, sin embargo es un potenciador para que otros fenómenos

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120% 140% 160% 180%

Esf

ue

rzo

(M

Pa

)

Deformación (%)

Control 7 dias 17 dias 20 dias 30 dias

aumenten la capacidad de degradación en el material, la Figura 4 muestra este fenómeno, se puede ver como al estar en agua el mismo periodo de tiempo, el cambio en las propiedades mecánicas en las muestras acondicionadas a 70ºC es más pronunciado que en las probetas acondicionadas a 20ºC en el mismo periodo de tiempo, adicionalmente muestra como el material es susceptible a la humedad.

Figura 2. Comportamiento esfuerzo-deformación de probetas acondicionadas en agua a 20ºC durante diferentes periodos de tiempo.

3.3 Absorción de humedad

La cantidad de agua absorbida por el material fue tomada en varios intervalos de tiempo, el material evidencia absorción continua de humedad sin mostrar un punto de saturación, sin embargo existe un cambio en la tasa de absorción de humedad aproximadamente a 24 horas de iniciado el acondicionamiento, este cambio en la tasa de absorción es característico de un modelo dual de Fick (Figura 3a), este punto coincide con la estabilización de las curvas esfuerzo-deformación del material (Figura 2). La Figura 3b muestra la dinámica de absorción de humedad en el material acondicionado en agua a 20°C y 70°C, donde a mayor temperatura de acondicionamiento se tiene una mayor tasa de absorción de humedad.

Figura 3. a) Absorción de agua promedio en probetas a 20°C. b) Dinámica de absorción de agua en el material a 20°C y 70°C.

3.4 Modelos constitutivos

La evaluación de diferentes modelos constitutivos se llevó a cabo mediante datos obtenidos en las pruebas de tensión de las diferentes probetas acondicionadas. Se evaluaron tres modelos constitutivos para la predicción de las propiedades mecánicas del material tanto antes como

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Esf

ue

rzo

(M

Pa

)

Deformación (%)

Control 1 hora 1 dia 7 dias 1 mes

a b

después del acondicionamiento, el modelo de Ogden de primer orden, el modelo Arruda-Boyce y el modelo Yeoh de tercer orden.

En la Figura 5 se muestra las curvas de ajuste de los modelos usados a los datos experimentales de una prueba de tensión. En el caso de la Figura 5a los diferentes modelos se ajustan relativamente bien a la curva esfuerzo deformación a excepción del modelo de Arruda-Boyce, en el caso de la curva posterior al acondicionamiento (Figura 5b), los modelos no se ajustan al igual que la curva inicial, sin embargo los modelos de Yeoh y Ogden son los que mejor siguen la tendencia de cambio. Los diferentes modelos fueron evaluados y ajustados con la ayuda de una herramienta computacional de ajuste de curvas, la cual realiza el ajuste de curvas con un modelo de ajuste de mínimos cuadrados.

Figura 4. Grafica esfuerzo-deformación de probetas sumergidas en agua a 20ºC y 70ºC durante media, una y dos horas.

Figura 5. Ajuste de modelos constitutivos a curvas esfuerzo-deformación. a) Ajuste de modelos a curva esfuerzo-deformación en probeta de control b) Ajuste modelos a curva esfuerzo-deformación en una probeta acondicionada en agua a 70°C durante 48 horas.

CONCLUSIONES

La temperatura es un variable que por sí sola no afecta las propiedades del material, sin embargo potencia el daño causado debido a la absorción de la humedad en el material, en este caso aumenta la tasa de absorción de humedad en el material y con esto la velocidad de degradación del material en presencia de agua.

El cambio en las propiedades del material se puede atribuir al hecho que la humedad modifique bien la parte dura o la interfaz entre la parte dura y blanda del adhesivo, haciendo que la parte

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0% 50% 100% 150% 200% 250% 300% 350% 400% 450% 500%

Esf

ue

rzo

(M

Pa

)

Deformación (%)

Control 20ºC 0,5 hora 20ºC 1 hora 20ºC 2 horas 70ºC 0,5 hora 70ºC 1 hora 70ºC 2 horas

a b

amorfa del material contribuya más a las propiedades de elasticidad dando como resultado una disminución en la resistencia a la tensión y aumentando a su vez la deformación a la ruptura. Este fenómeno es atribuido al cambio en la estructura del material, la presencia de humedad en el interior del material puede resultar en el aumento de esfuerzos en la parte semicristalina del material y debilitamiento de las uniones entre las dos fases del material sin necesidad de cambiar el contenido de las fases en el interior del adhesivo.

El modelo de Ogden es uno el que mejor se adapta a la función esfuerzo-deformación antes y después del acondicionamiento, si bien todos los modelos están en función de la elongación, el cortante y la comprensibilidad del material, los modelos de Yeoh y Arruda-Boyce son más lineales que el modelo de Ogden, esto debido a que la elongación en este modelo esta elevada a una de las variables que se requieren encontrar mientras que en los otros dos modelos las variables de ajuste son un factor multiplicativo el cual limita la influencia de estas en el modelo total, por lo tanto el comportamiento del adhesivo no es lineal por lo que es necesario utilizar modelos más robustos o realizar otro tipo de pruebas para poder ajustar mejor las variables de los otros modelos.

4 Bibliografía

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The boundary element method applied to the analysis of

unilateral contact problems with friction

F. A. Oliveira, M. H. Shaterzadeh, E. L. Albuquerque

Deapartment of Mechanical Engineering, Faculty of Technology

University of Brasilia

Summary

This project presents an analysis of problems of contact mechanics with friction.

Algorithms were developed in Matlab® and the computation of stresses and strains was

obtained using the boundary element method for plane elasticity. Numerical examples

were analyzed to validate the procedure and a comparison with a previously solved

problem was carried out to assess the accuracy of the implemented method.

Keywords: The boundary element method, contact mechanics.

1 Introduction

There are many engineering problems in which mechanical contact is an

important phenomenon. Many of them are objects of study within mechanical

engineering, such as problems with braking, coupling components, among others. It can

also be highlighted other particularly useful applications: the case of fretting that

appears when the mechanical contact is associated with cyclic loads. This situation

presents small oscillations in the region of contact, which can accelerate the initiation of

surface cracks and cause wear that can lead to catastrophic failure of components.

In certain situations, an analysis of the contact is made to assess the amount of

damage, as in the case of fretting. In other cases, contact is desired and is studied to

optimize the use of mechanical components such as mechanical brakes.

The characterization of problems often occurs by means of differential and integral

equations. In the case of mechanical contact with friction, the non-linear nature of the

phenomenon makes an exact solution impossible. I this case, it is highly

recommendable to use a numerical to solve the nonlinear system of equations.

There are several numerical methods used for the purpose of contact mechanics

analysis. The most known are the finite element method (FEM), the finite difference

method (FDM), and the boundary element method (BEM). For the application to

contact problems, the MEC has some interesting characteristics provided that the

interactions between bodies take place at boundaries. Thus, the BEM generates accurate

results with a relatively low computational cost.

2 Plane elasticity theory

In this section, will be discussed fundamental concepts of the theory of plane

elasticity. A more complete approach can be found in Tymoshenko, 1970.

2.1 Theory of Elasticity and equations of equilibrium

The theory of elasticity is the branch of solid mechanics that studies the field of

stress, strain and displacement produced in elastic solids under some external load.

From these studies, we can obtain the following definitions and relationships.

The Cauchy stress tensor is a tensor representing stresses acting on infinitesimal

element of the solid under study, defined as

= (2.1)

where represents the stress taking place in the plan i, in the direction j.

Applying the principle of equilibrium of forces at any point, we get the equation:

, + = 0 (2.2)

The force acting on a generic point P can be computed from the stress tensor, if

the normal vector associated with it is known. Thus, we arrive at the equation:

= (2.3)

is the normal vector of this point, and e is the stress tensor

2.2 Equations of compatibility and constitutive equations

The compatibility equation relates strain and displacements. The displacement of

a point is defined as:

= (2.4)

where the vector is a unit vector that defines the direction of the displacement.

From the definition of displacement, we get the definition of strain (considering

small deformations), obtaining the so-called equation of compatibility:

= (, + ,) (2.5)

With these data, we can assembly the strain tensor [ε], similarly to the stress tensor.

Constitutive equations are known as stress-strain relationship. They dictate the

behavior of solid under loading, relating stresses and strains. For linear and isotropic

homogenous materials, the constitutive relation, also known as Hooke's Law, is given

by:

= + 2 (2.6)

The terms λ and µ are material parameters defined as:

= (2.7) e =

()() (2.8)

where E is the modulus of elasticity, ν is the Poisson's ratio and δij is the Kronecker

delta, defined as:

= 1 ! " = #0 ! " ≠ #% (2.9)

3 The boundary element method applied to plane elasticity

3.1 Integral Formulation

In this section, the integral formulation of the problem will be presented for the

subsequent application of the BEM. A demonstration of this formulation can be found

in Brebbia and Dominguez, (1989) and Kane, (1993).

From constitutive equations previously developed, and after a mathematical

treatment, we arrive at the following integral equation:

& '( )Γ+ + & '(, )Ω = & ' '( )Ω, + & '( )Γ+ (3.1)

The integral equation (3.1) relates two states of stress. In order to treat problems

of elasticity in continuous materials, it will be assumed that one of these states is

known, and the other one needs to be determined. In the case of boundary elements, the

known state is called the fundamental state, which corresponds to an infinite body

response to a unitary concentrated load at a starting point./. The mathematical

representation of a unit concentrated load is given by the Dirac delta. Thus, the integral

equation obtained is given by:

+ & 0)Γ+ = & 1)Γ+ − & 1)Ω, (3.2)

Considering that body forces are zero, we can write the integral equation as:

+ & 0)Γ+ = & 1)Γ+ (3.3)

3.2 Fundamental Solutions

The formulation of boundary integral equations for linear elasticity requires the

knowledge of special solutions for problems of elasticity. In these problems, the

material properties of the fundamental state are the same as those of the component you

want to analyze. As already cited, the fundamental state corresponds to an infinite

domain under a unit load. Solutions of this problem are known as the elatostatic

fundamental solutions, or solutions of Kelvin, and consist of solutions for displacements

and tractions.

The fundamental solutions for displacements and tranctions are given by:

1(34, .) = 567(∗) 9(3 − 4<∗) ln ?

@A + B,B,C (3.4)

and

0(34, .) = D6(∗)@ 9E(1 − 2<∗) + 2B,B,F G@

GH − (1 − 2<∗)(B, − B,)C

(3.5)

Equation (3.4) represents the fundamental solution of displacement, and

equation (3.5) represents the fundamental solution of traction.

The deduction of these solutions can be found in Kane (1993) and Brebbia and

Dominguez (1989).

4 Contact Mechanics

In this section, the boundary element formulation for contact mechanics will be

presented following the work of Man (1994).

Contact problems can be divided in two cases: Contact without friction and

contact with friction.

4.1 Contact without friction

In the frictionless contact, bodies slide freely one over the other. There is no

force acting in the tangential direction of motion, only normal forces of compression.

Due to little correspondence with reality, there are few practical applications for this

mode.

4.2 Contact with friction

The main difference to the previous mode is the presence of friction forces in the

interaction between bodies. Friction forces depend on the normal forces acting and the

coefficient of friction between the two materials. In contact with friction, there is the

possibility of tangential slip occurs.

In the absence of tangential slip (stick condition), relative displacements

between bodies in contact do not occur. In this case, tangential forces are lower than the

maximum frictional force.

In the condition of slip (slip condition), tangential displacements occur and

tangential forces reach the limit of frictional forces between bodies.

This behavior is modeled by Coulomb friction law and is widely used in

engineering applications and contact problems

4.3 Contact Mechanics applied to the BEM

As previously mentioned, the BEM will be applied for the numerical solution of

the contact mechanics problems. The contour of each body is approximated by a mesh

of boundary elements. In each body, the contour can be divided into two regions: the

contact and noncontact regions.

Figure 1: Bodies in contact

Figure 1 illustrates the general contact between two bodies and how the

boundary is modeled. The whole boundary is represented as IJ and IK, and from this,

we define the region without contact, ILMJ N) ILMK , and the region in contact, IMJ and

IMK, respectively..

Nodes of the contact area are analyzed one by one. Each node has four

unknowns in 2D problems (forces and displacements in two axes).Thus, to solve the

problem, we need to determine the contact region and compute unknowns of contact

node pairs. So, the algorithm examines nodes in sequence, checking if they are in

contact or not. If nodes are not in contact (separate nodes), we have the conditions of

non contact:

O(J) = 0 = P(J) = 0 (4.1)

and

O(K) = 0 = P(K) = 0 (4.2)

where A and B represent the pair of nodes that is been examined, O and P represent the

tangential forces acting in the x and y axes, respectively.

Otherwise, if nodes are in contact, and it becomes necessary to solve the system

of linear equations to obtain the four unknowns of each node. As an example for the

case of two nodes that previously were not in contact, the governing equations are as

follow:

H(J) + H(K) = QNRJK (4.3)

S(J) + S(K) = 0 (4.4)

H(J) − H(K) = 0 (4.5)

and

S(J) − S(K) = 0 (4.6)

QNRJK is the initial distance between the nodes. The symbols n and t represent the

normal and tangential direction, respectively.

4.4 Contact algorithm

The mechanics of contact has a non-linear pattern, which increases the

complexity of the solution. Thus, we must use some technique to linearize the problem.

It was chosen the technique of incremental loading (Man, 1994), which consists of

applying the load gradually, so that in each iteration, the strains are low enough to be

treated linearly.

The first step is to define a possible area of contact. An example would be the

penetration of a sphere on a rectangular base. So, we do not know exactly the area of

contact. Thus, we start from the top of the rectangular base, which represents the whole

region of possible contact.

The algorithm works iteratively by applying the load incrementally, to define the

region of contact and to apply, for each node, the system of equations previously

described. Thus, at the en

obtained for the entire regi

body and stresses acting on

The flowchart below

of steps to completion of th

5 Results

To validate the alg

between a brake shoes an

Wriggers (2002).

end of the program, the values of stresses

gion of contact. The algorithm computes the d

on the contact region.

ow illustrates the operation of the algorithm a

the program.

Figure 2: Flowchart of the algorithm

lgorithm without friction, it was selected a

and a plane surface, as illustrated in Figure

s and strains are

deformed elastic

and the sequence

contact problem

3 and found in

Figure 3: Geometry of the analyzed problem

The problem considers the brake shoes as elastic and the plane surface as rigid,

and the contact between those two bodies is forced by an external load p = 100 N/mm

applied in the brake shoes. It is supposed a plane stress condition and a bidimensional

model. Elastic properties of the brake shoes are: elastic modulus E = 73.4 GPa, Poisson

ratio υ = 0.33. The geometry is w = 13 mm and the radius of the brake shoes R = 70

mm. The analytical solution of this problem is the well known Hertz solution.

Thus, the algorithm designed in this work was reorganized, taking as input

geometry parameters and elastic properties of the problem. Taking advantage of

symmetry, only half of the shoe was modeled. A mesh of 200 elements was used as

shown in figure 4 together with boundary conditions.

The absolute value of the analytical Hertz solution for σyy was shown in figure 5

together with the equivalent solution obtained in this work. The x-axis represents the

distance from the center of the brake shoes in mm, and the y-axis represents the contact

stress in MPa. As it can be seen, there is a good agreement between the proposed

boundary element formulation and the analytical solution.

Figure 6 shows a color map of the total displacement distribution along the

rectangular foundation.

Figure 4: Mesh and boundary conditions

Figure 5: Comparison of results

-2 0 2 4 6 8-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

100

200

300

400

500

600

700

x

σyy

BEM

Analytical solution

Figure 5: Total displacement (mm)

6 Conclusions

From the obtained results, we can see that the methodology and the algorithm

developed in this work present small discrepancy with the analytical solution.

It can be concluded that the BEM is suitable for contact problems, since the

interactions between bodies occur at the boundaries, exactly where the boundary

element discretization occurs. The BEM also presents additional advantages such as low

operating cost and the simplicity of the mesh.

Thus, the proposed algorithm is effective in analyzing problems of mechanical

contact, being an alternative to the other numerical methods where the complexity of the

problem precludes an analytic solution.

7 References

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Hill, Tokyo, 1970.s

Evaluación del método SPH frente a una carga explosiva

III Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas - SMEC 2011

1


V.S. Robinson Luque1, J.P. Casas Rodriguez2


Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia [email protected], [email protected]

Resumen

Tradicionalmente el estudio de las altas deformaciones a las cuales un material se ve sometido frente a una carga explosiva o un impacto a altas velocidades es realizado mediante la implementación de los métodos Euler y Lagrange (incluyéndose aquí los métodos ALE y Shell). Como alternativa surge el método SPH que en comparación aporta algunos beneficios al ser un método sin malla.

Sin embargo, al ser el SPH un método relativamente nuevo la información que se encuentra sobre su comportamiento ante una carga explosiva es aún escasa, motivo por el cual se plantean aquí una serie de pruebas con las cuales es posible evaluar la convergencia del método, la influencia del tamaño de partícula en los resultados, las interacciones con otros métodos computacionales como el de Euler y de Lagrange y el costo computacional requerido para estas simulaciones.

Palabras Clave: SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), métodos sin malla, altas deformaciones, explosiones.

Abstract

Traditionally the study of materials subjected to high strains generated by high speed impacts or explosive charges is developed with Euler and Lagrange methods (including ALE and Shell). The SPH method appears as an alternative since it provides some advantages in comparison to the other methods due to its meshfree nature.

Nevertheless, as the SPH method is relatively new, the information that can be found about its behavior in explosive charge problems is still limited, reason why some test are proposed in this paper to evaluate the method convergence, particle size influence on the results, the interactions between SPH and the other computational methods like Euler and Lagrange and the computational expense for this kind of simulations.

Keywords: SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), meshfree methods, high strain, explosions.



2

1. INTRODUCCIÓN

En la actualidad el poder entender y modelar el comportamiento de los diferentes materiales frente a las distintas cargas dinámicas tales como impactos o explosiones resulta ser de gran utilidad para el diseño, desarrollo e implementación de diferentes métodos en la mecánica estructural de los objetos. Para esto, es aconsejable el uso de técnicas computacionales que al recrear estos fenómenos disminuyan el costo de la experimentación, y aporten además, un mejor seguimiento y visualización de la fractura y fragmentación del material.

Entre las técnicas computacionales se encuentran los hidrocódigos, los cuales permiten resolver problemas de deformación dinámica que no se pueden resolver de forma analítica[1]. En estos se encuentra el método SPH, el cual es una técnica Lagrangiana sin enmallado que fue originalmente inventada para modelar fenómenos astrofísicos en 1977. Su principal ventaja se encuentra al eludir la necesidad de generar una cuadrícula numérica para calcular derivadas espaciales. Esto elimina los severos problemas generados por la distorsión del enmallado que usualmente ocurre en el análisis Lagrangiano donde se involucran grandes deformaciones por impacto y cargas explosivas[2], evitando así la necesidad de generar un erosionado en el material.

El principio básico del método SPH parte de la interacción entre una serie de puntos donde una partícula i interactúa con todas las otras partículas j que se encuentran a una distancia determinada (h). Esta distancia h es conocida como la longitud “suavizada” y define el área de influencia de la función suavizada o función de kernel (W). Si h es muy pequeña, puede que no existan suficientes partículas reduciendo la precisión. Por otro lado si h es muy grande se pierden todos los detalles de la partícula o propiedades locales afectando también la precisión del método[3]. Basado en la distancia entre los puntos de interpolación la búsqueda de partículas vecinas debe realizar un listado de las partículas que se encuentran en la vecindad de cada partícula en cada instante de tiempo. Una búsqueda directa de cada partícula es especialmente ineficiente, requiriendo un tiempo proporcional al cuadrado del número total de partículas [4].

Si bien es cierto que los desarrollos realizados sobre SPH para la simulación de cargas explosivas son limitados, y por lo tanto lo es la información que se encuentra sobre el mismo, esto constituye un incentivo para continuar las investigaciones e implementaciones que permitan expandir este método a este tipo de aplicaciones.

El objetivo principal de este proyecto es evaluar el método SPH desarrollado en el paquete computacional de AUTODYN ®, en términos de convergencia, la influencia del tamaño de partícula en los resultados obtenidos, su interacción con otros métodos, y el costo computacional requerido, con el fin de observar sus beneficios y limitaciones al ser utilizado como una opción para modelar una carga explosiva enterrada en arena.

2. EVALUACIÓN DEL MÉTODO SPH

Para entender el comportamiento del método SPH frente a una explosión se realizaron una serie de pruebas para observar principalmente la influencia que tiene el tamaño de partícula en este método. Para esto se dispuso de un ordenador con Procesador Intel® Xeon® [email protected], memoria RAM de 12GB, tarjeta de video NVIDIA Quadro FX 580 y sistema operativo Windows 7 Professional x 64 bits para trabajar las simulaciones en AUTODYN 12.0.1. La Tabla 1 suministra los materiales que se emplearon en las pruebas de evaluación del método, incluyendo los modelos utilizados para definirlos. Estos modelos permiten recrear el comportamiento del material ante diferentes fenómenos físicos.

Evaluación del método SPH frente a una

III Simposio en Mecánica de Materiales y

Tabla 1. Materiales usados en la pres

Material Ecuación de

TNT Jones-Wilkins

ARENA Compacta

ACERO 1006 Shock

2.1. Convergencia del métod

Para determinar el tamaño computacional se realizó de fmisma geometría en ambos cEuler y el tamaño de partículael valor para el cual el métadquirido con los valores logadecuada para el modelamient

2.2. Influencia del tamaño de

Anteriormente aunque se evadesconoce el comportamientouna geometría que constó detriangular el cual también se e

(a) Figura 1. Geometrías empleadas par

Para determinar la influencia un tamaño de partícula constalas diferentes simulaciones vatriangular. Los valores que se 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5 y 5 mm.

2.3. Interacción del método S

Aunque en la literatura se enclagrangianos estándar (ALE,realizar esta interacción. Otra cuales resultan ser muy útiles materiales.

La geometría empleada para o

na carga explosiva

s y Estructuras Continuas - SMEC 2011

presente investigación con sus respectivos modelos.

de Estado Modelo Constitutivo Modelo de Fall

ins-Lee (JWL) - -

actación MO Granular Hydro (Pmin)

ock Johnson Cook -

odo SPH

o de partícula óptima que debe ser manejade forma paralela simulaciones del método SPH y Es casos variando únicamente el tamaño de la malla para el método SPH. Este proceso se realizó conétodo de Euler convergía y de esta forma compogrados en el método SPH consiguiendo así el taento de una explosión en arena [Figura 1(a)].

de partícula en el método SPH.

valuó el tamaño de partícula necesario para modelto que los resultados tienen frente a éste. Para esde un suelo compuesto por arena, un explosivo (e encuentra constituido por arena. [Figura 1(b)].

(b) para el análisis de (a) la convergencia y (b) la influencia del tam

ia del tamaño de partícula en el resultado de la simstante e igual a 1 mm tanto para el suelo como pa variando únicamente el tamaño de partícula que se trabajaron en el perfil durante este proceso fuero

o SPH con otros métodos.

ncuentra que el método SPH interactúa únicamentE, Lagrange y Shell), se requieren de ciertos vra opción consiste en realizar uniones tipo pin con es si se desea modelar un material compuesto por c

a observar la interacción de los métodos SPH y Lag

3

Falla Referencia

[5]

in) [6]

[7] y [8]

jada en el modelo y Euler utilizando la alla para el método on el fin de observar mparar el resultado tamaño de partícula

delar el problema se este caso se empleó

o (TNT) y un perfil

el tamaño de partícula.

simulación se utilizó para el explosivo en e compone el perfil ron de 0.5, 1, 1.5, 2,

nte con los métodos valores para poder n otros métodos, las r capas de diferentes

agrange cuando sus



superficies se encuentran en cque se resuelve por el métodopor arena, el explosivo de TNque se resuelve por el métodoempleados para cada material

Figura 2. Geometría emp

Para este caso se desarrollarutilizó una interacción Lagrana 0, esto quiere decir que nsimulación se empleó una unobtenidos se tomó como varia

3. ANÁLISIS Y RESULTA

En esta parte se presentan lospara la evaluación del métodvariables propuestas en la met

3.1.1. Convergencia del mé

En la Tabla 3 se puede aprecienergía total a medida que sedel tamaño de partícula que deencuentra entre 0.65 y 0.8 mmy 2.84 kJ/mm respectivamenmm a 0.8 mm existe un crecicomputacional del 37.5% [Tab

Tabla 2. Resultados de la simulación

Tamaño de partícu

(mm)

0.5

0.65

0.8

1

na carga explosiva


n contacto consiste de una parte elaborada por el mdo de Lagrange. Con el método SPH se desarrolla eNT y un perfil rectangular compuesto de arena, mido de Lagrange consiste de un pistón de acero 100al se suministran en la Tabla 1).

mpleada para el análisis de la interacción con el método de L

laron 2 simulaciones 2D con simetría planar. Laange/Lagrange con un “Gap Size” de tipo externo no existe una separación entre sus superficies.

unión tipo pin entre estos métodos. Para compariable de prueba la velocidad promedio vertical del

TADOS.

los resultados obtenidos de los modelos computacodo SPH. Cada una de las pruebas fue evaluadaetodología.

método SPH.

eciar que el método de Euler converge a un valor dse disminuye el tamaño del elemento. Esto quiere debe ser empleada para realizar la simulación con

m, pues para éstos valores la energía total oscila ente, lo que significa que al cambiar el tamaño de

ecimiento de la energía total del 7.17% y una reduabla 2].

ción del método SPH.

MÉTODO SPH

tícula Energía Total (máx.)

(J/mm)

Costo computacional (apro

(h)

1.78E+03 10

2.65E+03 4

2.84E+03 2.5

3.07E+03 0.5

4

l método SPH y otra el suelo compuesto

mientras que la parte 006 (los parámetros

de Lagrange.

La primera de éstas o con un valor igual es. Para la segunda parar los resultados el pistón.

tacionales realizados da de acuerdo a las

r de 2.71 kJ/mm de re decir que el valor n el método SPH se

la entre 2.65 kJ/mm de partícula de 0.65

educción en el costo

(aprox.)



Tabla 3. Resultados de la simulación

Tamaño de elemen

(mm)

10

7.22

3.33

2

1.29

Figura 3. Gráf

Figura 4. Gráfi

(a) Figura 5. Simulac

na carga explosiva


ción del método Euler.

MÉTODO EULER

mento Energía Total (máx.)

(J/mm)

Costo computacional (apr

(h)

2.38E+03 0.01

2.50E+03 0.05

2.67E+03 0.25

2.71E+03 0.33

2.71E+03 0.5

Gráfica de los resultados de la simulación del método SPH.

ráfica de los resultados de la simulación del método Euler.

(b) ulaciones desarrolladas en AUTODYN para (a) Euler y (b) SPH.

5

(aprox.)

PH.



También se puede apreciar qproblemas es mucho más altométodo de Euler a medida qutiempos de simulación oscilanhoras para 0.65 mm por cada 0

3.1.2. Influencia del tamañ

En la Figura 6 se puede aprecfunción del tamaño de partcrecimiento exponencial a meevidente cuando se buscaba la

Figura 6. Gráfica

Con ayuda de la Figura 6 se oun tamaño de partícula entsignificativamente. Sin embarequería realizar algunas simucausaban el cierre del procomparables.

3.1.3. Interacción del méto

En esta sección se muestran vertical de las simulaciones reLa primera de éstas es unaseparación mínima (Gap size)unión tipo pin entre los métod

En la Figura 7 se puede obseuna distancia igual a 0 entremotivo por el cual si se desuperficies se encuentren en c

na carga explosiva


r que el costo computacional requerido para realto para el método de SPH en comparación al costque el tamaño de partícula disminuye (ver Tabla 3an desde 30 minutos para un tamaño de partículaa 0.3ms de simulación tipo 2D con simetría planar.

año de partícula en el método SPH.

eciar gráficamente el comportamiento de la energíartícula del que se encuentra compuesta. La en

medida que el tamaño de partícula aumenta, lo cu la convergencia del método en el punto anterior.

fica de los resultados de la influencia del tamaño de partícula.

observa que el método SPH presenta una región esntre 1 y 1.5 mm donde el valor de la energbargo, esta suposición no pudo ser comprobada mulaciones para un tamaño de partícula inferior a rograma, impidiendo que se pudieran obtener

todo SPH con otros métodos.

n los resultados obtenidos de las velocidades pro realizadas en AUTODYN para dos formas diferenna interacción de tipo Lagrange/Lagrange con

ze) igual a 0 entre los métodos SPH y Lagrange, y odos mencionados.

servar que al realizar la interacción del tipo Lagratre los métodos Lagrange y SPH, éstos no interdesea realizar una simulación entre estos dos m contacto se debe generar una unión tipo pin entre l

6

ealizar este tipo de sto requerido por el 3 y Tabla 2). Estos la de 1 mm hasta 4

ar.

gía total del perfil en energía muestra un cual empezaba a ser

cula.

estable alrededor de rgía total no varía a pues para esto se a 0.5 mm las cuales er unos resultados

romedio en sentido entes de interacción. n una distancia de y la segunda es una

range/Lagrange con teractuaron entre sí, métodos donde sus e los mismos.



(a) Figura 7 Gráfica de los resu

CONCLUSIONES

En este proyecto se evaluó el éste en principio brindaba cinconveniente que presenta eleste método aún no interactúacantidad de partículas lo queembargo, se obtuvieron resultque tiene el tamaño de partícmétodo. Con respecto a lo anpartícula inferior a 1.5 mm explosivos enterrados en arenaóptimo del tamaño de partícul

Por otro lado para efectuar lacaras de sus superficies se enclos objetos, ya que comoLagrange/Lagrange con una dno interactuaban.

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Hydrodynamics (SPH) Met

na carga explosiva


(b) resultados obtenidos en AUTODYN para (a) una interacción co

0 y (b) una unión entre los métodos SPH y Lagrange.

el comportamiento del método SPH frente a una car ciertas ventajas que los métodos tradicionales

el método SPH en este tipo de problemas reside eúa con el método de Euler motivo por el cual son reue aumenta el costo computacional necesario paraultados interesantes en cuanto a la convergencia detícula en los resultados y los tipos de interacción p anterior puede decirse que es recomendable emplm para que los resultados sean más precisos enena. Además, se encontró con ayuda del método deula para este tipo de problemas se encuentra entre 0

la interacción entre el método SPH y el método Lncuentran en contacto es necesario el uso de una u

mo se señalo anteriormente al realizar una a distancia de separación igual a 0 se encontró qu

YNAMIC BEHAVIOR OF MATERIALS. New York: John

. Clegg, "Cylindrically symmetric SPH simulations of

International Journal of Impact Engineering, vol. 2

Smoothed Particle Hydrodynamics a meshfree partic

ientific, 2003.

mes Campbell, "Review of Development of the Smoo

Method," in Predictive Modeling of Dynamic Processe

7

ón con una distancia de

carga explosiva pues es no. El principal en el hecho de que requeridas una gran ara su solución. Sin de éste, la influencia n permitidos en este plear un tamaño de en simulaciones de de Euler que el valor e 0.65 y 0.8 mm.

Lagrange donde las unión tipo pin entre a interacción tipo

que estas superficies

ohn Wiley & Sons,

s of hypervelocity

ol. 20, pp. 337-348,

article method.

mooth Particle

cesses. United



8

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Alfredo Morales, Proyección térmica

Segundo Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2009

1

RECUBRIMIENTOS DEPOSITADOS CON LA TÉCNICA DE PROYECCIÓN TÉRMICA PARA LA

RECUPERACIÓN DE PIEZAS NAVALES

Dimaté Castellanos, Laura Marcela, Olaya Florez , Jhon Jairo, López Covaleda, Edwin Alexis, Martínez Ramírez GYNNA, 1Morales Torres, Jose

Alfredo.

Universidad Nacional de Colombia. Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica.

Corporación de Ciencia y Tecnología para el Desarrollo de la Industria Naval, Marítima y Fluvial, 1 COTECMAR

RESUMEN

Una alternativa económica y competitiva en la recuperación de componentes en la industria naval ha sido la aplicación de recubrimientos mediante la técnica de proyección térmica, los cuales mejoran las propiedades tribológicas de los materiales e incrementan la resistencia a la corrosión de los materiales metálicos que se encuentran sometidos a ambientes agresivos como puede ser el agua salina, erosión o de gran abrasión. En este trabajo se produjeron cuatro sistemas recubrimiento/sustrato con amplia aplicación naval mediante la técnica de proyección térmica de polvos a la llama, por HVOF y arco eléctrico. Para ello se utilizó materiales de aporte: recubrimientos base níquel con adiciones de Fe, B y Si en diferentes proporciones que fueron aplicados sobre un sustrato de fundición gris; y otros dos recubrimientos cerámicos, el primero, Al2O3 aplicado sobre un sustrato de acero AISI 4340 y el segundo, Cr2O3 aplicado sobre un sustrato bronce fosforado. Para cada uno de estos sistemas, se realizó un estudio comparativo sobre el desempeño de dichos recubrimientos en una atmosfera corrosiva para determinar su aplicabilidad en la industria naval, caracterización microestructura y de composición química mediante difracción de rayos x (DRX) y microscopia electrónica de barrido (MEB), ensayos de desgaste abrasivo según norma ASTM G65, ensayos de corrosión por técnicas electroquímicas de polarización potenciodinámica y, ensayos de barrera térmica usando tratamientos térmicos y la técnica de espectroscopía de impedancia electroquímica (EIE). Los mecanismos de corrosión, desgaste y falla a alta temperatura para los recubrimientos producidos son discutidos en esta investigación.

Palabras claves: Proyección térmica, Metalización, Termal spray, arc spray.

1 Datos Contacto:JOSE ALFREDO MORALES T. COTECMAR. Dirección: Calle 26 No 69 B – 53

Ofic. 406. Celular: 315 7 18 46 57. E-mail: [email protected]



2

1. INTRODUCCIÓN

La proyección térmica como proceso de recuperación tiene su origen a principios del siglo XX con la invención del proceso de metalización de Schoop-Günther en 1917 [1]. Este proceso fue utilizado inicialmente para materiales de bajo punto de fusión como estaño o plomo, el cual fue extendido más adelante a metales refractarios y cerámicos. Es una de las técnicas más versátiles para la aplicación de materiales de recubrimiento utilizados para proteger componentes del desgaste por abrasión, adhesión, erosión y la corrosión (como la causada por el agua de mar) y la fatiga [2]. En el proceso de arco eléctrico, dos alambres del material a depositar son llevados simultáneamente hasta un punto de contacto, donde se encuentra un gas atomizado que proyecta el metal líquido en forma de gotas fundidas [3]. La proyección térmica por arco eléctrico es una de las la técnica más económica para aplicar recubrimientos metálicos resistentes a la corrosión con buena calidad en cuanto adherencia y composición química [4]. Los bajos costos energéticos y las altas tasas de producción la hacen una técnica competitiva respecto a otros sistemas de proyección, como llama y plasma [5,6]. Adicionalmente, los parámetros en el sistema de proyección por arco (voltaje, corriente, presión del aire y distancia de proyección) pueden ser optimizados para aplicaciones específicas [7].

Ahora bien, debido a que los componentes marinos son sometidos constantemente a ambientes altamente corrosivos, a cargas cíclicas y desgaste

durante su funcionamiento, se propone la aplicación de materiales de última tecnología como los nanocompositos, o de materiales tan comúnmente utilizados en la industria naviera como los aceros inoxidables y los aceros al carbono. De esta manera, por medio de estos materiales es posible recuperar piezas cuyos repuestos no se producen en serie o dejaron de fabricarse; así como proteger piezas destinadas a ser sometidas a ambientes agresivos para asegurar mayor durabilidad y rendimiento. En el presente estudio se investigan recubrimientos para aplicaciones en la industria naval. Para ello, se presenta la resistencia al desgaste abrasivo, a la corrosión y propiedades de barrera térmica de los recubrimientos Fe 25Cr 5B 6Mo 15W 3Mg 4C 12Ni 2Si (nanocomposito 140 MXC), Fe 0.15C 0.8Mn 0.2Si (530 AS) y Fe 13Cr 1Mn 1Si 0,3C (560 AS). Estos recubrimientos fueron aplicados por la técnica de arco eléctrico sobre aceros AISI 4340 y 1045 para los recubrimientos 140MXC y 530 AS y AISI 316L para el recubrimiento 560 AS.

2.0 DETALLES EXPERIMENTALES

2.1 Obtención de los recubrimientos.

La Tabla 1 presenta un resumen de los recubrimientos aplicados sobre cada sustrato, la composición química y las pruebas realizadas de caracterización. Las probetas de las pruebas de desgaste y corrosión se realizaron con dimensión de 20 x 20 x 5 mm, excepto para el caso del acero 316L con dimensiones de 20 x 20 x 2 mm. Para el estudio de



3

propiedades térmicas, se utilizaron probetas con 23,8 mm de diámetro y un espesor de 2 mm. La preparación de la superficie del sustrato se realizo mediante un disco abrasivo. Al poco tiempo, se depositaron los recubrimientos con el objetivo de evitar la oxidación de la superficie de las probetas. Posteriormente se aplicó un recubrimiento base de composición química 95Ni 5Al, que proporciona una rugosidad adecuada a la superficie para mejorar la adherencia del sistema. Finalmente se depositaron los recubrimientos utilizando los siguientes parámetros: presión de aire primaria 50 PSI, voltaje 29 V, corriente 220 A y distancia de proyección 200 mm. Todos los recubrimientos fueron depositados con el equipo EUTRONIC ARCSPRAY 4.

Tabla 1 Pruebas realizadas por recubrimiento y sustrato

SUSTRATO

RECUBRIMIENTO

140 MXC

Fe 25Cr 5B 6Mo 15W 3Mg 4C 12Nb 2Si

530 AS

Fe 0.15C 0.8Mn 0.2Si

560 AS

Fe 13Cr 1Mn 1Si

0.3C

ACERO 4340

Fe 1.65Ni 0.7Cr 0.2Mo 0.4C 0.6Mn

desgate abrasivo

corrosión

corrosión

ACERO 1045

Fe 0.45C 0.3Si0.8Mn

corrosión

desgate abrasivo

corrosión

ACERO 316L

Fe 0.03C 13Ni

desgate abrasivo

2.3Mo 17.5Cr corrosión

ACERO 1020

Fe 0.2C 0.6Mn 0.04 P 0,05S

Barrera térmica

2.2 Caracterización. Los recubrimientos fueron estudiados estructuralmente mediante difracción de Rayos X (DRX) con un equipo X-pert Pro Panalytical en modo haz rasante con la línea monocromática kα del cobre (1,540998Å) trabajando a 45 kV y 40 mA. La medición del espesor y la porosidad cualitativa se realizó con un microscopio óptico Leco de lentes convexas, por metalografía mediante corte transversal de los recubrimientos. Los recubrimientos se estudiaron superficialmente a través de microscopia electrónica de barrido (MEB) con un equipo FEI QUANTA 200 en alto vacío y a un voltaje de 30kV. El estudio químico se realizó antes y después de las pruebas electroquímicas con el mismo equipo (MEB) en modo EDS con un voltaje de 20kV. 2.3 Pruebas de microdureza. Se realizó un ensayo de microdureza Knoop sobre los tres recubrimientos, con una carga de de 50 gr; las mediciones fueron realizadas desde la superficie del recubrimiento hacia el sustrato. 2.4 Pruebas de desgaste. La prueba de desgaste se realizó con un equipo diseñado bajo la norma ASTM G65, la cual determina el desgaste abrasivo por contacto entre arena seca y una rueda de caucho contra el material a ensayar [8]. Del ensayo se reportan la



4

pérdida de peso en unidades de volumen (mm3) después de realizada la prueba. Los parámetros del ensayo fueron los siguientes: carga 130 N, tiempo 1 min, flujo de arena 300-400 g/min y revoluciones de la rueda 200 rpm. 2.5 Pruebas electroquímicas. Las pruebas potenciodinámicas se realizaron con un equipo GAMRY Reference 600 Potenciostat/Galvanostat/ZRA utilizando un contraelectrodo de grafito de alta pureza y un electrodo de referencia de calomel saturado (SCE) y se siguieron las recomendaciones de la norma ASTM G5 [9]. El área expuesta a dicha solución fue de 0,79cm2 en un electrolito de NaCl al 3%. El barrido se realizó entre -0,3 y 1,0 V con respecto al potencial de reposo, con una variación de 0,5m V/s. Para las pruebas de espectroscopía de impedancia electroquímica el barrido se realizó con una frecuencia inicial y final de 10mHz y 100kHz respectivamente, empleando una perturbación de 10 mV. 2.6 Estudio de las propiedades térmicas. Los recubrimientos fueron sometidos a tratamientos térmicos a 600º C, 800º C y 1000º C durante 4h y a 1000º C durante 24h. Después se les realizaron pruebas electroquímicas mediante espectroscopía de impedancia electroquímica, a temperatura ambiente y utilizando un electrolito de 0,01M de (K3Fe(CN)6)/K4Fe(CN)·3H2O) [10]. Previo a la medición se esperó un tiempo de 45 minutos antes para permitir la estabilización del potencial de circuito abierto y asegurar la penetración del electrolito a través de los poros abiertos. El área expuesta a dicha solución fue de 0,79cm2; el barrido se realizó con una frecuencia

inicial y final de 10 mHz y 100 kHz respectivamente, con un voltaje de perturbación en la señal de 10 mV. Posteriormente los recubrimientos fueron estudiados con MEB para observar el cambio microestructural y DRX para determinar los óxidos formados.

3.0 RESULTADOS Y DISCUSIÓN

3.1 Análisis microestructural y análisis químico. En la Figura 1 se presentan las micrografías de la superficie de cada uno de los recubrimientos. En general, en los recubrimientos se evidencia la formación de estructuras de forma lenticular, típica de estos recubrimientos, también se observa bajos valores de rugosidad en el recubrimiento, de igual modo aparenta tener un bajo contenido de óxidos y poros. Posteriormente se midió la rugosidad con un rugosímetro de punta de diamante, obteniendo rugosidades de Ra= 5.1, 5.44 y 6.23 µm para los recubrimientos 140 MXC, 530AS y 560 AS respectivamente. Para la medición del espesor se realizaron cortes transversales a las probetas y se observaron con micrografía óptica; se realizaron 10 mediciones para sacar el promedio. En las micrografías se observa que hay menos presencia de poros y óxidos en el recubrimiento 140 MXC que en los

recubrimientos 530 AS y 560 AS, lo cual condice con las especificaciones del fabricante. Los espectros de DRX para los recubrimientos 530 AS



5

y 560 AS evidencian principalmente formación de óxidos tales como FeO, Fe2O3 y Fe3O4 que probablemente se forman cuando las partículas se funden y reaccionan con el medio ambiente antes de depositarse con el sustrato y solidificarse. A su vez, en el recubrimiento 560 AS se formaron óxidos de cromo y compuestos Fe-Cr. Para el caso del nanocomposito 140 MXC se realizó primero un espectro del alambre del recubrimiento, en donde se encontró Fe. De esta forma se puede pensar que la fase amorfa para formar el nanocomposito se encuentra en el polvo. Los espectros se observan en la Figura 5(b), (d) y (f) a temperatura ambiente. Figura 1 .Micrografía MEB a 500X (a) 140

MXC (b) 530 AS (c) 560 AS

3.2 Medición de microdureza Los resultados del ensayo de microdureza Knoop se presentan en la Figura 2(a). La mayor dureza se presentó en el nanocomposito debido posiblemente a la presencia de elementos duros a base de tungsteno, niobio y cromo [11]. También se observa un aumento en la dureza en los recubrimiento de 560 AS por la presencia de la fase martensita [12], mientras que en el caso del recubrimiento de medio carbono se presenta la menor microdureza debido a la carencia de elementos aleantes y la cantidad de óxidos formados [13,14], lo cual lo hace un recubrimiento poco recomendable para aplicaciones donde la pieza será sometida a desgaste, es decir, se recomienda su aplicación para casos de recuperación dimensional.

(a)

140 MXC 530 AS 560 AS 4340 1045 316L0

100

200

300

400

500

600

SUSTRATO

DU

RE

ZA

(H

K0.

05)

RECUBRIMIENTO

(b)

140 MXC 530 AS 4340 10450

1

2

3

4

5

6

VO

LUM

EN

PE

RD

IDO

(m

m3 )

SUSTRATORECUBRIMIENTO

Figura 2. (a)Valores de la microdureza los recubrimientos y los sustratos (b) Volumen perdido de los recubrimientos 140 MXC y 530 AS, y de los sustratos SAE 4340 y 1045 3.3 Prueba de desgaste abrasivo Los valores obtenidos de pérdida de volumen se presentan en la Figura 2(b). En este caso, para el recubrimiento 560 AS no se realizó ensayo de desgaste abrasivo, debido a que el espesor de la



6

probeta no era el suficiente para montarlo sobre el portabrobetas de la máquina de desgaste. Se observa que el recubrimiento 140 MXC perdió menos volumen durante la prueba, lo que concuerda bien con los mayores valores de dureza. Esto seguramente es posible por la formación de una microestructura de buenas propiedades mecánicas, que está formada a base de una matriz amorfa compuesta por elementos cromo, niobio y molibdeno [13]. Estas mediciones deben ser corroboradas con un estudio más completo de microscopia electrónica de transmisión. Después de realizadas estas pruebas, las muestras fueron analizada en MEB, donde se observo que se presentaban signos de un mecanismo de desgaste por ralladura y deformación plástica. Al determinar la composición química se observaron trazas de silicio, oxígeno y carbono; el primero debido al silicio aportado por la arena del material abrasivo de la prueba, y los últimos seguramente por la interacción del recubrimiento con el ambiente. 3.4 Polarización potenciodinámica. En la Figura 3 se pueden observar las curvas de polarización Tafel en todos los recubrimientos y para los sustratos sin recubrimiento. El recubrimiento 140 MXC se depositó sobre dos sustratos (acero SAE 1045 y 4340) para poder observar el efecto del sustrato frente la resistencia a la corrosión. En estos recubrimientos se observa que el recubrimiento efectivamente le proporciona un mejoramiento en la resistencia a la corrosión para ambos sustratos, es decir, los valores del potencial de corrosión son más positivos y tiene un menor valor de la resistencia a la corrosión. Estas observaciones son acordes con su composición química pues la presencia de niobio

y cromo, así sea en pequeñas proporciones, mejoran la resistencia a la corrosión [15]. El recubrimiento 530 AS también se depositó sobre estos dos sustratos. En este caso se encontró que el recubrimiento mejora la resistencia a la corrosión cuando se aplica sobre sustrato 1045; pero en el caso de que el sustrato sea acero SAE 4340 no mejoró el comportamiento electroquímico, demostrándose así la importancia de la selección del sustrato. El recubrimiento 560 AS se depositó sobre el acero inoxidable 316L. Se observó que el sustrato tiene un comportamiento más favorable frente a la resistencia a la corrosión que depositado con el recubrimiento, esto posiblemente debido a que el recubrimiento inoxidable es martensitico y el sustrato es totalmente austenitico. Sobre la superficie de un acero inoxidable austenitico 316 se forma una capa aislante y que pasiva al acero, mejorando así la resistencia a la corrosión [16]. Por esta razón, se recomienda aplicar este sistema en aplicaciones de sinergismo donde hay presencia de fenómenos de a la corrosión y desgaste.

(a)

1n 10n 100n 1µ 10µ 100µ 1m 10m 100m

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

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