mecânica da partícula - física e química · exemplos: a força gravítica, ... a força normal...
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10-11-2010
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Mecânica da partícula
Movimentos de corpos sujeitos a ligações
Prof. Luís C. Perna
Forças
As forças traduzem e medem interacções entre corpos e essas
interacções podem ser de contacto ou à distância (FQA ano 1).
Forças
de contacto
à distância
Uma vez definido o sistema físico em estudo, as forças que actuam
nas partículas podem ser interiores ou exteriores ao sistema.
Forças
Interiores – resultam das interacções entre as partículas do sistema (actuam sempre
aos pares no interior do sistema)
Exteriores – resultam de interacções entre as partículas
do sistema com partículas exteriores (actuam aos pares mas encontram-se em
sistemas diferentes)
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Forças aplicadas e forças de ligação
Uma questão importante no estudo do movimento de um corpo tem a
ver com as ligações ou vínculos a que um corpo está sujeito, uma vez
que essas ligações ou vínculos restringem o seu movimento.
Quais são as forças que actuam sobre o saco de
tangerinas?
São a força gravítica, Fg, e a tensão, T, que o dinamómetro
exerce sobre o saco.
A tensão, T, surge pelo facto de existir uma ligação ou
vínculo do saco de tangerinas ao dinamómetro. Trata-
se de uma força de ligação.
O mesmo não se verifica com a força gravítica, Fg. Esta
actua quer o saco de tangerinas esteja pendurado no
dinamómetro ou não. Trata-se de uma força aplicada.
Forças aplicadas e forças de ligação
As forças aplicadas são forças com características bem definidas e
actuam num corpo independentemente da existência ou não de
ligações ou vínculos.
Exemplos: a força gravítica, força eléctrica, a força muscular, a
força elástica, ...
As forças de ligação são forças que se exercem pelo facto de um
corpo estar sujeito a ligações ou vínculos. Os seus valores
dependem das forças aplicadas e, em situações de movimento, das
características do movimento.
Exemplos: as tensões de fios, as reacções normais de superfícies,
as forças de atrito, ...
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Movimentos de corpos sujeitos a ligações sem forças de atrito
Para analisar o movimento de qualquer corpo considerado como
partícula, sujeito a forças de ligação e/ou forças aplicadas devemos
utilizar algumas regras:
1- Identificar as forças ou interacções que se exercem na partícula;
2- Representá-las num diagrama de forças, indicando as direcções e os
sentidos; e devem ser desenhadas num ponto que simbolize o CM;
3- O comprimento dos vectores que representam as forças devem
traduzir, aproximadamente a intensidade relativa das forças;
4- Utilizar a lei fundamental da dinâmica de acordo com o referencial
escolhido, tendo em atenção os sinais atribuídos às componentes escalares
das forças e decompondo a resultante das forças;
5- Resolver as equações em ordem às incógnitas.
Movimento no plano horizontal de um sistema de corpos ligados
Consideremos um sistema de dois corpos A e B, de massas mA e
mB, ligados por um fio inextensível e de massa desprezável.
Sobre o sistema, actua a força horizontal F, constante.
aaa BA
TTT BAAB //
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Movimento no plano horizontal de um sistema de corpos ligados
Aplicação da lei fundamental da dinâmica aos corpos em separado.
A
xx
yy 0
/
ANA
AAAB
PR
amT
0
ANA
A
PR
amT
+
ANA PR
Aplicação das regras ao corpo A:
Movimento no plano horizontal de um sistema de corpos ligados
Aplicação da lei fundamental da dinâmica aos corpos em separado.
B
xx
yy 0
/
BNB
BBBA
PR
amFT
0
BNB
B
PR
amFT
+
BNB PR
Aplicação das regras ao corpo B:
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Movimento no plano horizontal de um sistema de corpos ligados
Aplicação da lei fundamental da dinâmica aos corpos em separado.
amFT
amT
B
A
+
amamF BA ammF BA )(
BA mm
Fa
BA
A
mm
mFT
Movimento no plano vertical de um sistema de corpos ligados. A máquina de Atwood
A máquina de Atwood consiste num sistema de dois
corpos, de massas diferentes, ligados por um fio
inextensível de massa desprezável, que passa pela gola de
uma roldana fixa com muito pouco atrito.
Forças exteriores que actuam no sistema: PA e PB
Forças de ligação que actuam no sistema: TA/B e TB/A
Sendo o fio inextensível de massa desprezável verifica-se:
TTT ABBA //
aaa BA
Por ser um sistema de corpos ligados:
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Movimento no plano horizontal de um sistema de corpos ligados
Aplicação da lei fundamental da dinâmica aos corpos em separado.
amPT
amPT
BB
AA
Aplicação das regras ao corpo A:
A
BBBBA
AAAAB
amPT
amPT
/
/
B
+ +
)( BAAB mmaPP )()( BAAB mmammg
gmm
mma
BA
AB
amPT AA amPT BB ou
mB >mA
Movimento no plano inclinado de um sistema de corpos ligados
Começa-se por desenhar o
diagrama das forças que
actuam nos dois corpos
ligados, A e B.
Decompõem-se o peso PA,
segundo o referencial Oxy
considerado.
Seguidamente procede-se da mesma forma que nos casos anteriores,
aplicando a Lei Fundamental da Dinâmica a cada corpo em separado.
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Movimento circular num plano vertical: o looping
Porque será que o
carrinho não cai quando
passa pela posição mais
alta do looping?
Com que velocidade deve
passar por essa posição
para haver segurança?
Será que o raio de
curvatura é importante?
Nota: Vamos fazer o estudo do mov. admitindo desprezável a força de atrito no percurso.
Movimento circular num plano vertical: o looping
Análise do movimento na
posição .
A
PNFF
FF
Any
tx
0
Em A: o valor da velocidade é máximo e o valor da força normal também é máximo.
R
va A
n
2
PNF
F
An
t
0
0
0
n
t
a
a
R
vmPN A
A
2
A força normal é maior que o peso e a segurançaestá garantida, a força normal depende da velocidade.
A
Se a velocidade for grande a força é grande e podeincomodar o passageiro.
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Movimento circular num plano vertical: o looping
Análise do movimento na
posição .
B
PFF
NFF
ty
Bnx
B
Também nesta posição, o módulo da força normal depende da velocidade.
mgma
NF
t
Bn
ga
R
mvN
t
BB
2
0
0
t
n
a
axx
yy
Movimento circular num plano vertical: o looping
Análise do movimento na
posição .
C
PNFF
FF
Cny
tx
0
C
PNF
F
Cn
t
0
PFN nC
0
0
t
n
a
a
PR
vmN C
C
2
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Movimento circular num plano vertical: o looping
Para haver segurança em C o
que é que terá de se verificar?
0CN
02
PR
vm C gm
R
vm C
2
gRvC Condição de segurança em C.
PR
vmN C
C 2
Movimento circular num plano vertical: o looping
Qual será a altura mínima, h, para
que o carrinho ao ser abandonado
em D consiga atingir a posição C?
Pela conservação da energia
mecânica vem:
CCD ghmvmghm 2
2
1
CD EmEm
CCD ghvgh 2
2
1
RgRghg D 22
1
gRvC A velocidade mínima em C é: RhC 2e
RRhD 22
1 RhD
2
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Movimento circular num plano horizontal: bobsled
Para que o bobsled consiga descrever a curva a força resultante tem de ter
uma componente que puxe o corpo para o centro da curva ou seja uma força
centrípeta.
O veículo descreve a curva porque está apoiado numa rampa.
Forças que actuam no veículo:
xx
yy
nxx amNF
0
PNF yy
R
vmN
2
sin
mgN cos
Velocidade máxima permitida: tangRvmáx
cos
mgN
Forças de atrito como força de ligação
O atrito está sempre presente no nosso dia-a-dia, umas vezes é útil
outras é prejudicial.
O atrito entre superfícies sólidas é devido à sua rugosidade, que muitas
vezes acontece a uma escala microscópica. Quando tentamos deslizar
uma superfície sobre a outra essa rugosidade impede o movimento dos
corpos.
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Forças de atrito como força de ligação
Consideremos um corpo, em repouso, assente sobre uma superfície horizontal.
F
Se sobre o corpo aplicarmos uma força , horizontal, o corpo pode
permanecer em repouso. Explica-se este facto pela existência de uma
força entre as superfícies de contacto, que se opõem ao deslocamento de
uma superfície sobre outra que é a força de atrito.
A força de atrito estático, .
Enquanto não houver movimento verifica-se:
Se aumentarmos a força aplicada ao corpo, a força de atrito estático
aumenta mas, no instante em que se torne eminente o movimento do
corpo, a força de atrito estático atinge o seu valor máximo, .
Depois de iniciado o movimento do corpo a força de
atrito diminui e designa-se por força de atrito cinético, .
A força de atrito é paralela à superfície de contacto.
A força de atrito tem sentido oposto ao movimento dos corpos.
eaF
eaFF
máxeaF
F
caF
Forças de atrito estático e força de atrito cinético
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Ao actuar uma força, ,
e até o corpo estar na
eminência do movimento
(situação 1), verifica-se:
Depois de iniciado o
movimento do corpo
(situação 2), verifica-se:
eaFF
caFF
Forças de atrito estático e força de atrito cinético
F
Leis do atrito de escorregamento com base na observação experimental
1- O valor da força de atrito estático máximo , para a qual o
corpo está na eminência de iniciar o movimento em relação ao outro é
directamente proporcional ao valor da reacção normal de contacto ,
entre as duas superfícies.
máxeaF
nR
nemáxe RaF
2- O coeficiente de atrito estático, , depende da natureza das
superfícies de contacto.e
3- A força de atrito estático é independente da área de contacto entre
os corpos.
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Leis do atrito de escorregamento com base na observação experimental
4- Quando há movimento de uma superfície em relação à outra, o valor da
força de atrito cinético é directamente proporcional ao valor da reacção
normal, :nR
ncc RaF
5- O coeficiente de atrito cinético, , depende:
a) Da natureza das superfícies que contactam;
b) Da velocidade relativa das superfícies que contactam podendo
dentro de determinados limites ser considerada constante.
c
ce
A Tabela, mostra valores de alguns coeficientes de atrito estático e de
atrito cinético. Por se tratar de grandezas macroscópicas que dependem
das propriedades microscópicas dos dois materiais, os coeficientes de
atrito são variáveis para cada par de superfícies.
SuperficiesCoeficiente de
atrito estático e
Coeficiente de
atrito cinético c
Níquel / níquel 0,74 0,57
Gelo / gelo 0,10 0,03
Cobre / aço 0,53 0,36
Madeira / madeira 0,40 0,20
Vidro / vidro 0,94 0,40
Cobre / ferro 1,05 0,29
Aço / aço 0,74 0,57
Tabela de coeficientes de atrito
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Consideremos um bloco de granito que se desloca sobre uma
superfície horizontal, sob a acção de uma força F, constante:
0PFR
maFF
yN
ax
maRF Nccos
m
RFa Nccos
Como determinar a aceleração do corpo?
Assentado ideias – Aplicando a 2ª Lei de Newton
Uma caixa com a massa de 50 kg é
deslocada por acção de uma força
de intensidade 300 N, que faz um
ângulo de 30° com a horizontal. A
intensidade da força de atrito é
de 140 N.
Represente todas as forças
que actuam na caixa.
Calcule o valor da aceleração
adquirida pela caixa.
Exercício de Aplicação 1
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Exercício de Aplicação 2
Sobre um corpo B, de massa 8,0 kg, assente numa
mesa, coloca-se um outro corpo A, de massa 1,0 kg.
Ao ser aplicada no corpo B uma força constante , F ,
horizontal (ver figura), o sistema de corpos A+B adquire
a aceleração a = 3,0 ex (m/s2). O coeficiente de atrito
cinético entre os materiais das superfícies de contacto
da mesa e do corpo B, é igual a 0,20.
1. Represente as forças que actuam em cada um dos
corpos.
2. Determine a força de atrito que o corpo B exerce
sobre o corpo A.
3. Calcule o módulo da força F.
Exercício de Aplicação 3
Fa = 3,0 ex (N)
F = 45 N