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INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA

Escola Superior de Tecnologia e Gestão

MECÂNICA APLICADA II

Engenharia Civil – 2º ANO

Enunciados Exames 2003/2004

Enunciados Exames 2004/2005

Resolução dos exames 2004/2005

Ano lectivo 2005/2006


Curso de Engenharia Civil

1ª Chamada de Mecânica Aplicada II

Data: 20/1/2005 Duração: 60 min. Sem Consulta

A

Nome: Nº

Exercício 1 (50%) – Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações seguintes.

Por cada resposta errada será descontado 30% do valor de uma resposta certa.

1 Num meio contínuo as forças, as tensões e as deformações são funções discretas no domínio do corpo.

2 Um material isotrópico é um material que apresenta comportamento idêntico em todos os pontos.

3 Um exemplo de forças de superfície é as forças de inércia.

4 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado não depende da orientação do sistema de eixos mas a sua descrição depende.

5 As componentes ijσ do tensor das tensões representam as tensões actuantes nas facetas perpendiculares ao

eixo i na direcção j .

6 A fórmula de Cauchy permite obter o vector tensão numa faceta genérica conhecendo-se o tensor das tensões.

7 Se numa faceta genérica o vector tensão é perpendicular a essa faceta, então trata-se de uma faceta octaédrica.

8 O tensor das tensões é uma matriz simétrica para garantir o equilíbrio de translação na vizinhança do ponto.

9 Na superfície da parede de um “reservatório esférico de parede fina” que contenha um fluido sobre pressão, o estado de tensão instalado é esférico (ou hidrostático).

10 Se a deformação é homogénea no corpo, segmentos de recta paralelos mantém-se paralelos após deformação.

11 As componentes de deformação , ,u v w representam as componentes do tensor das extensões.

12 Quando na vizinhança de um ponto, as extensões são muito pequenas relativamente à unidade ( )1ε << , é

válida a hipótese das pequenas deformações.

13 Os elementos da diagonal do tensor das extensões ( )iiε representam variações angulares entre segmentos

inicialmente perpendiculares.

14 Os extensómetros eléctricos são utilizados para medir directamente semi-distorções na vizinhança de um ponto.


Data: 20/1/2005

A

15 Um sólido sob um estado plano de deformação deforma-se apenas nesse plano.

16 Numa barra submetida a um estado de tensão uniaxial uniforme, as extensões transversais são independentes das extensões longitudinais.

17 Num corpo elástico, actuado por forças exteriores, se não houver dissipação de energia, o trabalho realizado pelas forças exteriores é igual à variação da energia de deformação armazenada.

18 Num ensaio de tracção uniaxial de um aço macio, a tensão limite de elasticidade é superior à tensão limite de proporcionalidade.

19 Num material dúctil não há extensões residuais.

20 A rotura de um metal por fadiga é dúctil.


Data: 20/1/2005

A Exercício 2 (15%) – Justifique sucintamente as respostas às perguntas 2, 6, 14, e 19 do exercício

anterior.


Data: 20/1/2005

A Exercício 3 (10%) – Calcule a variação de volume de um cubo de aço com arestas de 150 mm no

caso de este se encontrar submerso a uma profundidade 315wh m= . (Nota: considere a pressão

hidrostática igual a w whγ × )

Dados:

- aço: 210E GPa= , 0.30ν = ,

- peso volúmico da água: 310w kN mγ = .

(apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos)


Data: 20/1/2005

A Exercício 4 (10%) – O corpo representado na figura, com comportamento elástico linear, está sujeito

a uma tracção σ tendo ficado com a configuração deformada representada.

Considerando todas as dimensões em metros, determine o valor do comprimento L e da tracção σ .


Dados: E = 100 MPa; 0.20ν =

Configuração inicial

Configuração Deformada

1.94

5.00

2.00 σ σ

L


Data: 20/1/2005

A Exercício 5 (15%) – Considere uma barra prismática, constituída por três materiais isotrópicos

distintos (material 1, 2 e 3), solidariamente associados longitudinalmente, sob cargas exteriores (ver

figura). Admita que os materiais têm idêntica secção transversal e que o estado de tensão instalado é

uniforme. (As juntas de ligação permitem deformações verticais)

R

Mat. 3

L3

FMat. 2Mat. 1

F

L1 L2

R R

R

Estabeleça a expressão que permite determinar o comprimento final da barra, em função das forças F

e R.



Exame de Mecânica Aplicada 2

Exame 1ª Chamada

Data: 20/01/2005 Duração: 1h 30min. Sem Consulta

Problema 1 ( 3.0 valores )

Considere o seguinte estado plano de tensão do qual se conhecem as componentes de tensão

normais em 3 direcções.

1 0N MPaσ =

2 12.50N MPaσ = −

3 44.18N MPaσ = −

a) (2.0 val.) Determine o tensor das tensões referido ao sistema de eixos [ ],x y .

NOTA: Se não resolveu a alínea anterior considere 11 40 MPaσ = , 12 20 MPaσ = e

22 10 MPaσ = .

b) (1.0 val.) Defina as componentes do vector normal a uma faceta onde 10 MPaτ = .


De um estado plano de tensão sabe-se que numa determinada faceta as componentes de tensão

valem:

Sabendo que a tensão tangencial máxima vale 8 MPa e que a normal à referida faceta faz um

ângulo inferior a 45º com a tensão principal máxima, determine o valor das tensões principais.

30º

80º

1

2 3

x

y

10 MPa

4 MPa x

y

Por favor responda a esta pergunta numa folha de exame separada


Sobre uma placa de aço, sujeita a um estado plano de tensão no plano [ ],x y , foi posicionada

uma roseta de extensómetros conforme a figura. Foram medidas as seguintes extensões nas

direcções indicadas:

1250 6a Eε = −

1250 6b Eε = −

500 6c Eε = −

Características do material da placa

210E GPa=

0.25ν =

a) (2.0 val.) Determine as direcções principais.

b) (1.0 val.) Calcule o valor da extensão linear, na direcção z perpendicular ao plano [ ],x y .

A mesma placa foi submetida a outra solicitação de que se conhecem as componentes do tensor

das tensões referidas a um outro sistema de eixos rodado relativamente ao primeiro de um ângulo

de 30º como mostra a figura:

400I MPaσ =

100II MPaσ =

50III MPaσ =

c) (2.0 val.) Considerando a actuação simultânea das duas solicitações determine e oriente as

tensões principais do estado de tensão resultante.

60º

60º

b

y

x

60º c

a

x

y I

II

30º

Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão

Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 1ª Chamada

Problema 1 – a) (igual ao problema I.16 das aulas práticas 2004/2005)

São conhecidas as tensões normais em 3 direcções definidas. É pedido o tensor das tensões.

Como relacionar tensão normal Nτ , direcção n% e tensor das tensões σ ?

1º Passo - Determinação

do vector tensão ( )nσ%

actuante numa faceta n%

Conhecido o tensor das tensões num determinado referencial e o versor da

direcção pretendida, é possível obter o vector tensão actuante nessa faceta

através da equação de Cauchy (Sebenta, Cap.I, pág. 17):

( )n nσ σ= ×% %

2º Passo – Determinação

da tensão normal Nτ

A tensão normal Nτ é a componente do vector tensão ( )nσ% na direcção da

normal n% à faceta. Para a determinar basta projectar o vector tensão ao longo

da direcção n% (Sebenta, Cap.I, pág. 17-A):

( )nN nσ σ= ⊥% % (produto escalar de dois vectores)

Direcção 1

Versor da direcção 1

( )( )

11

1

cos ,cos ,

n xn

n y< = <

%% %

1

cos 0º 1cos90º 0

n

= = %

Vector tensão

1 11 12( )1

21 22

10

n nσ σ

σ σσ σ

= × = ×

% %

1 11( )

12

n σσ

σ

= %

Tensão normal

1 11( )11

12

10

nN n

σσ σ

σ

= ⊥ = ⊥ ⇔ % % 11 120 1 0σ σ= × + × ⇔ 110 σ=

Direcção 2


( )( )

22

2

cos ,cos ,

n xn

n y< = <

%% %

Vector tensão

2 12( )2

21 22

0 0.8670.500

n nσ

σ σσ σ

= × = ×

% %

30º

80º

1

2 3

x

y



2

cos30º 0.867cos60º 0.500

n

= = % 2 12( )

12 22

0.50.867 0.5

n σσ

σ σ×

= × + × %

Tensão normal

2( )22

nN nσ σ= ⊥ ⇔% %

12

12 22

0.5 0.86712.5

0.867 0.5 0.500σ

σ σ×

− = ⊥ ⇔ × + ×

12 2212.5 0.866 0.25σ σ⇔ − = × + × (equação 1)

Direcção 3


( )( )

33

3

cos ,cos ,

n xn

n y< = <

%% %

3

cos110º 0.342cos 20º 0.940

n−

= = %

Vector tensão

3 12( )3

21 22

0 0.3420.940

n nσ

σ σσ σ

− = × = ×

% %

3 12( )

12 22

0.9400.342 0.940

n σσ

σ σ×

= − × + × %

Tensão normal

3( )33

nN nσ σ= ⊥ ⇔% %

12

12 22

0.940 0.34244.18

0.342 0.940 0.940σ

σ σ× −

− = ⊥ ⇔ − × + ×

12 2244.18 0.643 0.884σ σ⇔ − = − × + × (equação 2)

Através das equações 1 e 2, cria-se um sistema de equações lineares:

12 22 12

12 22 22

12.5 0.866 0.25 044.18 0.643 0.884 50 MPa

σ σ σσ σ σ

− = × + × = ⇔ − = − × + × = −

Problema 1 – b)

Não se conhece a faceta onde 10 MPaτ = . É necessário determiná-la através do círculo de Mohr.

11 22 0 5025

2 2Centro MPa

σ σ+ −= = = −

( )2 211 12Raio Centroσ σ= − +

( )2 20 25 0 25Raio MPa= − + =

102 11.8º

25arcsenθ θ= ⇔ =

C -50

10

Nσ

τ

2θ

1

2

A



Para determinar as componentes do vector normal a esta faceta , é necessário conhecer os ângulos que

esse vector forma com os eixos:

( )( )

cos , cos 11.8 0.976cos , cos101.8 0.204

AA

A

n xn

n y< − = = = < −

%% %

Problema 2

Sabe-se que a tensão tangencial máxima vale 8 MPa, e que se trata de um estado plano de tensão, logo o

Raio do círculo de Mohr que representa este estado de tensão vale 8 MPa.

Pode-se representar a faceta conhecida num

diagrama de Mohr:

Não se conhece o valor de 22σ nem a posição do centro do círculo de Mohr deste estado plano de tensão,

mas sabe-se que a normal a esta faceta faz um ângulo inferior a 45º com a tensão principal máxima.

Hipótese 1

Hipótese 2

Na hipótese 1 o ângulo formado entre a normal a esta faceta e a tensão principal máxima é inferior a 45º, logo

esta é a hipótese correcta.

( ) ( ) ( )2 2 22 2 211 12 8 10 4 3.07Raio Centro C C MPaσ σ= − + ⇔ = − + − ⇔ =

11.0704.93

I

II

III

C R MPa

C R MPa

σσ

σ

= + ==

= − = −

11.8º

x

y

A

Nσ

τ

10

-4

Nσ

τ

2 90ºθ <

C I

1

Nσ

τ

2 90ºθ >

C I

1



Problema 3 – a)

Antes de determinar as direcções principais é necessário conhecer os elementos do tensor das extensões.

Conhecem-se três extensões lineares em três direcções distintas, e através delas é possível determinar as

componentes do tensor das extensões. (Sebenta, Cap. II, pág. 94)

A extensão linear medida no extensómetro b é a extensão linear de segmentos paralelos ao eixo y, logo:

22 1250 6b Eε ε= = −

As extensões medidas nos extensómetros a e c podem ser utilizadas para determinar as restantes

componentes do tensor das extensões através de um sistema de equações lineares:

2 211 12 22

2 211 12 22

1250 cos (30) 2 (30) cos(30) (30)500 cos (150) 2 (150) cos(150) (150)

a

c

sen sensen sen

ε ε ε εε ε ε ε

= = × + × × × + ×⇔

= = × + × × × + ×

11 12 11

11 12 12

1250 0.75 0.866 312.5 750 6500 0.75 0.866 312.5 433 6

EE

ε ε εε ε ε

= × + × + = − ⇔ ⇔ = × − × + = −

11 22 750 12501000

2 2Centro

ε ε+ += = =

( )2 211 12Raio Centroε ε= − +

( )2 2750 1000 433 500Raio = − + =

4332 180 arctan 60º

250θ θ= − ⇔ =

60º x

y I

II

b

y

x

30º

c a

30º

150º

60º

60º

b

y

x

60º c

a

C 750

10

iiε

2θ

1

2

I

II

433

-433

1250

( )ij i jε ≠



Problema 3 – b)

A placa de aço encontra-se submetida a um estado plano de tensão em [ ],x y , logo o tensor das tensões terá

o seguinte aspecto:

[ ]

11 12

21 22, ,

00

0 0 0x y z

σ σσ σ σ

=

A extensão linear na direcção z , perpendicular ao plano [ ],x y , é a extensão linear 33ε . Para relacionar 33ε

com 33σ é necessário recorrer à Lei de Hooke.

33 332e Gσ λ ε= ⋅ + ⇔

( )33 330 84000 2000 6 2 84000E ε ε⇔ = × − + + × × ⇔

33 666.7 6Eε⇔ = − −

( ) ( )

( )

11 22 33 33 33750 1250 2000 6

840001 1 2

840002 1

e E

EMPa

EG MPa

ε ε ε ε εν

λν ν

ν

= + + = + + = − +⋅

= =+ ⋅ − ⋅

= =+

Problema 3 – c)

Solicitação 1 – Determinação do tensor das tensões no referencial [ ], ,x y z

11 112 84000 1333 6 2 84000 750 6 238e G E E MPaσ λ ε= ⋅ + = × − + × × − =

22 222 84000 1333 6 2 84000 1250 6 322e G E E MPaσ λ ε= ⋅ + = × − + × × − =

33 0σ =

12 122 2 84000 433 6 73G E MPaσ ε= × × = × × − =

13 31 132 0Gσ σ ε= = × × =

Solicitação 1 - [ ], ,

238 73 073 322 00 0 0

x y zσ =

MPa

Solicitação 2 – Determinação do tensor das tensões no referencial [ ], ,x y z

O tensor das tensões da segunda solicitação é apresentado nos eixos principais. É necessário conhecer este

tensor das tensões no referencial [ ], ,x y z para se poder somar com a solicitação 1.

x

y I

II

60º



400 100250

2 2I IICentro MPa

σ σ+ += = =

( )2 2250 0IRaio σ= − +

150Raio MPa=

11

12

22

cos 60º 17560º 130

cos60º 325

C R MPaR sen MPa

C R MPa

σσ

σ

= − × = = × = = + × =

Solicitação 1 + 2 – Determinação das tensões principais

[ ] [ ] [ ]1 2 1 2

, , , , , ,

238 73 0 175 130 0 413 203 073 322 0 130 325 0 203 647 00 0 0 0 0 50 0 0 50

x y z x y z x y z MPaσ σ σ+

= + = + =

11 22 413 647530

2 2Centro MPa

σ σ+ += = =

( )2 211 12Raio Centroσ σ= − +

( )2 2413 530 203 234Raio MPa= − + =

2032 180 arctan 60º

117θ θ= − ⇔ =

764296

50

I

II

III

C R MPaC R MPa

MPa

σσ

σ

= + == − =

=

60º x

y I

II

C 100 Nσ

2 60º×

1

2

I

II

12σ

400

τ

11σ22σ

C 413

10

Nσ

2θ

1

2

I

II

203

-203

647

τ



2ª Chamada de Mecânica Aplicada II – Parte Teórica

Data: 1/2/2005 Duração: 60 min. Sem consulta e sem calculadora

A

Nome: Nº

Exercício 1 (50%) – Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações seguintes.


1 Os métodos de análise da Mecânica dos Sólidos são válidos para materiais com propriedades “ideais” como as seguintes: materiais deformáveis, contínuos, homogéneos e isotrópicos.

2 As forças de superfície são forças que exercem a sua acção sobre todo o elemento de volume do sólido.

3 O estado de tensão instalado num ponto exprime-se por uma grandeza tensorial.

4 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado depende do ponto e não depende da orientação do sistema de eixos.

5 A matriz tensor das tensões é uma matriz anti-simétrica.

6 As direcções principais de tensão definem as facetas onde actuam vectores tensão com a componente tangencial máxima.

7 Existe um determinado estado de tensão em que o elipsóide de Lamé se reduz a uma esfera.

8 As curvas Isostáticas definem as direcções onde em cada ponto ocorrem as tensões normais máximas e mínimas.

9 Considere um corpo sujeito a um estado plano de deformação em que o campo de deslocamentos é definido

pelas seguintes funções

21 2

33 4

u C x C yv C x C y

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

. Trata-se de uma deformação homogénea.

10 Se a deformação é homogénea no corpo, o ângulo formado entre dois segmentos de recta concorrentes altera-se após deformação.

11 Em utilizações correntes de engenharia, os materiais sólidos (madeira, aço, betão, etc.) exibem extensões suficientemente grandes para não serem consideradas infinitesimais.



13 Num estado de deformação na vizinhança de um ponto, as raízes da equação característica de deformação representam as extensões principais.


Data: 1/2/2005

A

14 Para caracterizar o estado plano de deformação num ponto, basta instalar dois extensómetros em direcções perpendiculares.

15 O modelo de comportamento elástico linear pressupõe que há uma relação de proporcionalidade entre a tensão e a velocidade de deformação.

16 Um sólido sob um estado plano de tensão deforma-se apenas nesse plano de tensão.

17 Um material dúctil apresenta deformações plásticas pronunciadas, geralmente muito superior à deformação elástica, antes de entrar em rotura.

18 Se num ensaio de tracção uniaxial de um aço macio se ultrapassar a tensão limite de proporcionalidade, a deformação é recuperável.

19 Num material frágil as extensões plásticas são praticamente nulas.

20 Uma deformação por fluência é uma deformação instantânea.


Data: 1/2/2005

A Exercício 2 (15%) – Justifique sucintamente as respostas às perguntas 3, 12, 14 e 20 do exercício

anterior.


Data: 1/2/2005

A Exercício 3 (10%) – O tanque de ar comprimido indicado é fabricado a

partir de uma chapa de 6 mm de espessura e soldada ao longo de uma

hélice que forma um ângulo 30ºβ = com a horizontal. Sabendo que a

tensão normal admissível no cordão de soldadura é 75 MPa, determine

a máxima pressão interna a que o tanque pode ser submetido.

1

prt

σ = ; 2 2prt

σ =

(apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os

valores pedidos)


Data: 1/2/2005

A Exercício 4 (10%) – Considere uma barra prismática, de secção transversal A, sob um estado de

tensão de tracção uniforme.

αF

n

P

2

F1

Mostre que, independentemente da orientação da faceta, o vector tensão está dirigido segundo o eixo

da peça.


Data: 1/2/2005

A Exercício 5 (15%) – Represente graficamente os seguintes estados de tensão planos.

1 2σ σ>




Exame 2ª Chamada



Considere o estado de tensão representado na figura:

a) (0.5 val.) Determine o tensor das tensões referido ao sistema de eixos [ ]1 2 3, ,x x x .

b) (1.5 val.) Determine graficamente o tensor das tensões referido ao sistema de eixos principais

de tensão.

c) (0.5 val.) Determine a tensão normal actuante na faceta ABCD.

d) (1.0 val.) Represente um elemento de volume tridimensional com as tensões que o actuam

orientado segundo os eixos ' ' '1 2 3, ,x x x que se obtém de [ ]1 2 3, ,x x x por rotação de 40º no

sentido horário em torno do eixo 3x .


Considere o estado plano de tensão no ponto P definido no referencial [ ]1 2, ,O x x pelo seguinte

tensor:

[ ]MPacba

=

40σ

Sabendo que : - os valores das tensões principais são 80 e 20 MPa,

- a, b e c são positivos

Determine os valores das constantes a, b e c.

x3

x2 x1

B

C

A

D 30º 20

0

0

5 0

25

15 0

25

x1 x2

[Mpa]

x3


A placa representada na figura foi sujeita a um campo de deformações plano e homogéneo, tendo

ficado com a configuração deformada representada. Essa placa é constituída por um material

com comportamento elástico linear com as seguintes características 30E GPa= , 0.3ν = .



a) (2.0 val.) Determine o tensor das extensões referido ao sistema de eixos [ ], ,x y z .

b) (0.5 val.) Determine o valor de zzσ do estado de tensão que provoca a deformação indicada.

Devido a uma 2ª solicitação mediram-se as seguintes extensões nas direcções indicadas:

2 3a Eε = −

0bε =

1 3c Eε = −

c) (2.0 val.) Considerando a actuação simultânea das duas solicitações, determine e oriente as

tensões principais do estado de tensão resultante.

45º

b

y

x

c

a

5.002 m 1.994 m

y

b

a

x 40º

5.000 m 2.000 m

y

b

a

x 40º



Problema 1 – a)

[ ]1 2 3, ,

5 0 250 20 025 0 15

x x xσ =

Problema 1 – b)

Uma vez que 12 21 32 23 0τ τ τ τ= = = = , a direcção 2x é principal, logo 20 MPa é uma tensão principal.

Será necessário determinar as duas tensões principais desconhecidas, e estas ocorrem no plano formado

pelos eixos 1x e 3x (porque 2x é uma direcção principal). Recorrendo ao círculo de Mohr:

[ ]1 3,

5 2525 15x xσ

=

11 22 5 1510

2 2Centro MPa

ε ε+ += = =


( )2 25 10 25 25.5Raio MPa= − + =

252 180 arctan 50.65º

5θ θ= − ⇔ =

35.520

15.5

I

II

III

C R MPaMPa

C R MPa

σσ

σ

= + ==

= − = −

Problema 1 – c)

O versor da faceta ABCD é paralelo ao plano formado pelos

eixos 2x e 3x .

( )( )( )

1

2

3

cos , cos90º 0cos , cos 60º 0.5cos , cos30º 0.866

ABCD

ABCD ABCD

ABCD

n xn n x

n x

< = < = = <

%% %

%

( )

21.6510

12.99

ABCDnABCDnσ σ

= × =

% % ( ) 16.25nN n MPaσ σ= ⊥ =% %

x3

x2 x1

B

C

A

D 30º

90º

50.65º x1

X3

I II

C 5

2θ

1

2

I

II

25

-25

15

Nσ

τ



Problema 1 – d)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

3'33

'23

'1

2'32

'22

'1

1'31

'21

'1

^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos

nnnnnnnnnnnnnnnnnn

A

cos 40 cos50 cos90cos130 cos 40 cos 90cos90 cos90 cos 0

A =

11.21 7.38 19.15' 7.38 13.80 16.08

19.15 16.08 15

TA Aσ σ−

= ⋅ ⋅ = −

Verificações a ser feitas:

- Simetria do tensor das tensões OK!

- 1º Invariante = 11.21 + 13.80 + 15 = 40 MPa OK!

Problema 2

20 8050

2 2I IICentro

σ σ+ += = =

80 2030

2Raio

+= =

2 210 28.3a R a MPa+ = ⇔ =

Problema 3 – a)

É apresentada a configuração inicial e deformada de uma placa rectangular. Nota-se na configuração

deformada que os segmentos inicialmente rectos se mantêm rectos, isto é, a placa não sofre distorção.

Se não existe distorção entre as direcções a e b, estas são direcções principais.

13.80

7.38

16.08

11.21 7.38

19.15

15

16.08 19.15

x’1 x’2

[Mpa]

x’3

'3 3x x≡

2x

'2x

'1x

1x 40º

C 40

Nσ

1

2

I

II

+a

-a

60 20

80

τ



Direcção a

55.002 5 0.002

5.002inicial

final

L mL m

L m=

∆ = − ==

0.0024 4

5a Eε = = −

Direcção b

21.994 2 0.006

1.994inicial

final

L mL m

L m=

∆ = − = −=

0.00630 4

2b Eε−

= = − −

4 4 0 30 4I II IIIE Eε ε ε= − = = − −

Determinação do tensor das tensões no referencial [ ], ,x y z

4 3013

2 2aa bbCentro

ε ε+ −= = = −


( )2 24 ( 13) 0 17Raio = − − + =

11

12

22

cos80º 10 480º 16.7 4

cos80º 16 4

C R ER sen E

C R E

εε

ε

= + × = − − = × = − = − × = − −

Problema 3 – b)

2zz zze Gσ λ ε= ⋅ + ⇔

( )17308 26 4 2 11538 0zz Eσ⇔ = × − + × × ⇔

45zz MPaσ⇔ = −

( ) ( )

( )

11 22 33 10 4 16 4 26 4

173081 1 2

115382 1

e E E E

EMPa

EG MPa

ε ε εν

λν ν

ν

= + + = − − − − = − −⋅

= =+ ⋅ − ⋅

= =+

Problema 3 – c)

Antes de determinar as direcções principais é necessário conhecer os elementos do tensor das extensões.

Conhecem-se três extensões lineares em três direcções distintas, e através delas é possível determinar as

componentes do tensor das extensões. (Sebenta, Cap. II, pág. 94)

Solicitação 2 - Determinação do tensor das extensões no referencial [ ], ,x y z

A extensão linear medida no extensómetro b é a

extensão linear de segmentos paralelos ao eixo y,

logo: 22 0bε ε= =

A extensão linear medida no extensómetro a é a

extensão linear de segmentos paralelos ao eixo x,

logo: 11 2 3a Eε ε= = −

135º

b

y

x

c

a

C

-30

4

iiε

80º

1

2

a

b

ijε

ijε



A extensão medida no extensómetro c pode ser utilizada para determinar a componente 12ε do tensor das

extensões através da seguinte fórmula:

2 211 12 221 3 cos (135) 2 (135) cos(135) (135)c E sen senε ε ε ε= − = × + × × × + ×

( )12 121 3 2 3 0.5 2 0.5 0 0E E ε ε− = − × + × × − + ⇔ =

Solicitação 1 + 2 – Determinação das extensões principais

[ ] [ ] [ ] ( )1 2 1 2, , , , , ,

10 16.7 0 20 0 0 10 16.7 016.7 16 0 0 0 0 16.7 16 0 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0x y z x y z x y z Eσ ε ε+

− = + = − + = − −

11 22 10 163

2 2Centro

ε ε+ −= = = −


( )2 210 ( 3) 16.7 21.2Raio = − − + =

16.72 arctan 26º

13θ θ= ⇔ =

18.2 4024.2 4

I

II

III

C R E

C R E

εε

ε

= + = − = = − = − −

Solicitação 1 + 2 – Determinação das tensões principais

2 17308 ( 6 4) 2 11538 (18.2 4) 31.6I Ie G E E MPaσ λ ε= ⋅ + = × − − + × × − =

22 10.4e MPaσ λ= ⋅ = −

2 17308 ( 6 4) 2 11538 ( 24.2 4) 66.2III Ie G E E MPaσ λ ε= ⋅ + = × − − + × × − − = −

26º x

y I

II

ijε

C -16

10

iiε

2θ

1

2

I

II

16.7

-16.7

10

Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil

Recurso de Mecânica Aplicada II


A

Nome: Nº Exercício 1 (50%) – Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações seguintes.


1 O estado de tensão instalado num ponto fica completamente definido se forem conhecidas as tensões em três planos mutuamente ortogonais.

2 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado não depende do ponto considerado mas unicamente da orientação do sistema de eixos.

3 A fórmula de Cauchy permite obter directamente o tensor das tensões em sistemas de eixos diferentes.

4 As tensões principais correspondem aos valores próprios da matriz tensor das tensões.

5 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, as direcções principais de tensão não dependem do ponto considerado.


7 No estudo do estado de tensão a mudança do sistema de eixos não altera a descrição do estado de tensão principal.

8 As três raízes da equação característica correspondem aos três invariantes do tensor das tensões.

9 As deformações homogéneas num ponto pressupõem a ausência de distorções na vizinhança do ponto.

10 Se um segmento de recta sofrer uma extensão 0000.1ε = − , o seu comprimento diminui.

11 As grandezas , ,xx yy zzε ε ε são suficientes para definir a forma e as dimensões de um paralelepípedo rectângulo

elementar após deformação homogénea.

12 Quando na vizinhança de um ponto, as extensões são muito pequenas relativamente à unidade ( )1ijε << , não

existe rotação de corpo rígido.

13 Para existirem deformações homogéneas na vizinhança de um ponto, não têm de existir deformações homogéneas no corpo.


Data: 23/2/2005

A14 A semi-distorção xyε representa metade da variação de ângulo entre direcções inicialmente paralelas aos eixos x

e y.

15 A Lei de Hooke estipula que a extensão é directamente proporcional à tensão que a provoca.

16 O coeficiente de Poisson representa a relação entre a extensão longitudinal e as extensões angulares.

17 As distorções entre as direcções principais de tensão são máximas.

18 Um exemplo de material frágil é o aço macio.

19 Num ensaio de tracção uniaxial de um material frágil, a tensão última é superior à tensão de rotura.

20 Uma deformação por fluência é parcialmente recuperável.


Data: 23/2/2005

AExercício 2 (20%) – Justifique sucintamente as respostas às perguntas 1, 6, 16 e 19 do exercício

anterior.


Data: 23/2/2005

AExercício 3 (10%) – Considere as seguintes propriedades mecânicas de três materiais:

Material A: E = 200 GPa ν = 0.5

Material B: E = 200 GPa ν = 0.1

Material C: E = 100 GPa ν = 0.3

Admitindo que os três materiais estão sujeitos a uma tracção uniaxial indique, justificando, qual sofre a

maior extensão longitudinal, e qual sofre a menor extensão transversal (em valor absoluto).


Data: 23/2/2005

AExercício 4 (10%) – A cisterna de aço representada

encontra-se sujeita a uma pressão interna e tem 750 mm de

diâmetro interior, e a sua parede tem 10 mm de espessura.

O cordão de soldadura faz um ângulo de 50º com o eixo

longitudinal da cisterna conforme indicado na figura.

Sabendo que a tensão tangencial admissível no cordão de soldadura é 50 MPa, determine a máxima

pressão interna a que a cisterna pode ser submetida.

1prt

σ = ; 2 2prt

σ =



Data: 23/2/2005

AExercício 5 (10%) – Esboce o comportamento reológico dos seguintes modelos físicos:

Comportamento

elástico linear

Comportamento

elástico não linear

Comportamento

elástico perfeitamente

plástico

Comportamento

plástico



Exame Recurso

Data: 23/02/2005 Duração: 2 horas Sem Consulta


Devido a uma determinada solicitação (solicitação 1), está instalado um estado plano de tensão

na vizinhança de um ponto de um corpo. Deste estado de tensão conhecem-se a tensão na faceta

“a” e a tensão normal na faceta “b”, de acordo com a figura seguinte.

Tensões nas facetas a e b: Faceta a: σ(a) = 37.5 MPa Faceta b: σN

(b) = 58 MPa (tensão normal) τ(b) = ?

a) (1.5 val.) Determine o tensor das tensões referido ao sistema de eixos [x , y].

b) (0.5 val.) Determine o valor da tensão tangencial τ(b) , referente à faceta b.

Nota: Se não resolveu a alínea a) considere, para as alíneas c) e d), o seguinte tensor de tensões,

no referencial [x , y]: [ ]( , )

60 4545 80x y MPaσ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

c) (1.0 val.) Determine graficamente e oriente as tensões principais no plano [x , y].

d) (1.0 val.) Devido a uma 2ª solicitação, foi instalado um estado de tensão caracterizado pelo

seguinte tensor de tensões, no referencial [x , y , z]:

[ ]MPazyx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

10000000000

),,(σ (nota: z é o eixo perpendicular ao plano [x , y] )

Determine o valor da tensão tangencial máxima tendo em conta a actuação simultânea das

duas solicitações.

x

y 36.87º

τ(b)

Faceta a

Faceta b

σN(b)

σ(a) 36.87º


Considere a seguinte faceta no plano [ ],x y de um estado

de tensão num corpo de material isotrópico e submetido a

um estado de deformação em que 0zε = .

Dado 30E GPa= e 0.20ν = determine o tensor das

extensões principais.


A placa representada na figura (a), com ν=0.2 e E=200 GPa, é sujeita a um campo de

deformações homogéneo plano ficando com a forma indicada na figura (b). Considere todas as

unidades em metros. Determine:

(a) (b)

(0.001;1.002)

(1.001;0.002)

a) (1.0 val.) As componentes do tensor das deformações infinitesimais.

b) (0.5 val.) As coordenadas do vertice D na configuração deformada.

NOTA: Se não resolveu as alíneas anteriores considere:

11 0.001ε = , 12 0.003ε = e 22 0.002ε =

c) (0.5 val.) A extensão sofrida pela fibra T que faz inicialmente um ângulo de 50º no

sentido horário com o eixo x1.

d) (1.0 val.) Determine graficamente as direcções entre as quais não existem variações

angulares.

e) (0.5 val.) As componentes do tensor das tensões.

10

I

20

12.5º

[MPa]

x

y

D

A

B

C


Mini-Teste de Mecânica Aplicada II


Nome: Nº Exercício 1 (50%) – Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações

seguintes. Por cada resposta errada será descontado metade do valor de uma resposta certa.

1 Os métodos de análise da Mecânica dos Sólidos são válidos para materiais com propriedades “ideais” como as seguintes: materiais indeformáveis, contínuos, homogéneos e isotrópicos.

2 Num meio contínuo as forças, as tensões e as deformações são funções discreta.

3 Um material isotrópico é um material que apresenta comportamento idêntico em todos os pontos.

4 As forças de superfície são forças que exercem a sua acção sobre todo o elemento de volume do sólido.

5 O estado de tensão instalado num ponto fica completamente definido se forem conhecidas as tensões em três planos mutuamente ortogonais.

6 O estado de tensão instalado num ponto fica completamente definido se forem conhecidas nove componentes do tensor das tensões, seis normais e três tangenciais.

7 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado não depende do ponto considerado mas unicamente da orientação do sistema de eixos.

8 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado não depende da orientação do sistema de eixos mas a sua descrição depende.

9 As componentes ijσ do tensor das tensões representam as tensões actuantes nas facetas paralelas ao eixo i , segundo a

direcção j .

10 A fórmula de Cauchy permite obter o tensor das tensões em sistemas de eixos diferentes a partir de um sistema de eixos determinado.

11 A fórmula de Cauchy permite obter o vector tensão numa faceta genérica conhecendo-se o tensor das tensões.

12 As tensões principais correspondem aos vectores próprios da matriz tensor das tensões.

13 As direcções principais de tensão definem as facetas onde actuam vectores tensão com a componente tangencial máxima.

14 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, as direcções principais de tensão não dependem do ponto considerado.

15 Existe um determinado estado de tensão em que o elipsóide de Lamé se reduz a uma esfera.


17 O tensor das tensões é uma matriz simétrica porque é necessário garantir o equilíbrio de translação na vizinhança do ponto.




18 No estudo do estado de tensão a mudança do sistema de eixos altera a descrição do estado de tensão principal.

19 As três raízes da equação característica correspondem aos três invariantes do tensor das tensões.

20 As curvas Isostáticas definem em cada ponto as direcções onde ocorrem as tensões normais máximas e mínimas.

Exercício 2 (10%) – Represente num elemento de volume o seguinte estado de tensão:

[ ]1 2 3, ,

10 0 150 20 2

15 2 30x x xσ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦




Exercício 3 (20%) – Justifique sucintamente as respostas às perguntas 12, 16 e 19 do exercício 1.




Exercício 4 (20%) – Determine e oriente as tensões principais do seguinte estado plano de tensão

(apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos):

[ ]1 2 3, ,

100 0 1000 0 0100 0 200

x x xσ− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦




Nome: Nº Exercício 1 (50%) – Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações

seguintes. Por cada resposta errada será descontado 30% do valor de uma resposta certa.

1 Considere um corpo sujeito a um estado plano de deformação em que o campo de deslocamentos é definido

pelas seguintes funções 1

2

u C x yv C x y= ⋅ ⋅⎧

⎨ = ⋅ +⎩. Trata-se de uma deformação homogénea.

2 As deformações homogéneas num ponto pressupõem a ausência de distorções na vizinhança do ponto.

3 Se a deformação é homogénea no corpo, segmentos de recta paralelos mantém-se paralelos após deformação.

4 Se um segmento de recta sofrer uma extensão 0000.1ε = − , o seu comprimento aumenta.

5 As componentes de deformação , ,u v w representam as componentes do tensor das extensões.

6 Em utilizações correntes de engenharia, os materiais sólidos (madeira, aço, betão, etc.) exibem extensões suficientemente grandes para não serem consideradas infinitesimais.

7 As grandezas , ,xx yy zzε ε ε são suficientes para definir a forma e as dimensões de um paralelepípedo

rectângulo elementar após deformação homogénea.

8 Quando na vizinhança de um ponto, as extensões são muito pequenas relativamente à unidade ( )1ijε << ,

não existe rotação de corpo rígido.



10 Para existirem deformações homogéneas na vizinhança de um ponto, têm de existir deformações homogéneas no corpo.

11 A semi-distorção xyε representa a redução de ângulo entre direcções inicialmente paralelas aos eixos x e y.

12 Num estado de deformação na vizinhança de um ponto, as raízes da equação característica de deformação representam as direcções principais de deformação.


Data: 15/12/2004

13 Para caracterizar o estado plano de deformação num ponto, basta instalar dois extensómetros em direcções perpendiculares.

14 Os extensómetros eléctricos são utilizados para medir directamente semi-distorções na vizinhança de um ponto.

15 A Lei de Hooke estipula que a extensão é inversamente proporcional à tensão que a provoca.

16 O modelo de comportamento elástico linear pressupõe que há uma relação de proporcionalidade entre a tensão e a velocidade de deformação.

17 Um sólido sob um estado plano de tensão deforma-se apenas nesse plano de tensão.

18 O coeficiente de Poisson representa a relação entre a extensão longitudinal e as extensões angulares.

19 Numa barra submetida a um estado de tensão uniaxial uniforme, as extensões transversais são independentes das extensões longitudinais.

20 As distorções entre as direcções principais de tensão são máximas.


Data: 15/12/2004

Exercício 2 (10%) – O corpo representado na figura, com comportamento elástico linear, está

sujeito a uma tracção 10 MPaσ = tendo ficado com a configuração deformada representada.

Considerando todas as dimensões em metro, determine o valor do módulo de Elasticidade e do

Coeficiente de Poisson do material.



6.60

1.96

6.00

2.00σ σ


Data: 15/12/2004

Exercício 3 (20%) – Justifique sucintamente as respostas às perguntas 5, 7, 11 e 15 do exercício

1.


Data: 15/12/2004

Exercício 4 (10%) – A figura representa um provete de rocha que vai ser submetido a um ensaio

triaxial para determinação da sua resistência sendo p a pressão lateral a aplicar ao provete.

Admitindo que o estado de tensão é uniforme, escreva a expressão que lhe permite determinar o

comprimento final na direcção y do provete.

:

p

p

σ

σ

x

y

z

L


Data: 15/12/2004

Exercício 5 (10%) – Determine e oriente as extensões principais do seguinte estado plano de

deformação (apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos):

[ ]1 2 3, ,

.001 0 .0020 0 0

.002 0 .003x x xε

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



Exame de Mecânica Aplicada II - Parte teórica


Nome: Nº

Parte 1 – Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções disponíveis. Consideram-se certas (0.8 valores) apenas as respostas com todas as opções correctamente classificadas. 1 – Num sólido sob forças exteriores, o estado de tensão num ponto caracteriza-se com o conhecimento:

a) dos vectores de tensão actuantes em quaisquer facetas ortogonais na vizinhança do ponto b) dos vectores de tensão actuantes em facetas principais na vizinhança do ponto c) dos vectores de tensão actuantes em quaisquer facetas (conhecidas) na vizinhança do ponto

2 – As tensões principais caracterizam-se por: a) vectores paralelos às respectivas direcções principais b) vectores ortogonais às respectivas direcções principais c) vectores que actuam tangencialmente às facetas principais

3 – As direcções principais definem-se analiticamente através de vectores. Para as caracterizar é fundamental o conhecimento:

a) da direcção e do sentido dos vectores b) apenas a direcção dos vectores c) apenas do módulo dos vectores

4 – As deformações homogéneas num ponto pressupõem:

a) a ausência de distorções na vizinhança do ponto b) um campo de deslocamentos linear na vizinhança do ponto c) deformações homogéneas no corpo

5 – Os extensómetros elétricos são utilizados para medir directamente: a) tensões tangenciais em determinadas direcções na vizinhança de um ponto b) extensões lineares na vizinhança de um ponto c) distorções na vizinhança de um ponto

6 – A cedência dos materiais dúcteis, segundo os critérios estudados, está associada à: a) componente isotrópica do tensor das tensões b) componente tangencial do tensor das tensões c) tensão principal máxima instalada no sólido

Parte 2 (3.2 valores) – Responda no verso do enunciado. Considere uma barra prismática, constituída por dois materiais isotrópicos distintos (material 1 e 2), solidariamente associados longitudinalmente, sob cargas exteriores (ver figura). Admita que os materiais têm idêntica secção transversal e que o estado de tensão instalado é uniforme.

Estabeleça a expressão que permite determinar o comprimento final da barra, em função das forças F e R.

Bom Trabalho !



Exame de Mecânica Aplicada II

Exame 1ª Chamada



Considere o seguinte campo de tensões: [MPa]

102111 −⋅=σ xx 104 333 −⋅−=σ x

8222 +=σ x 13 23 0σ σ= =

1312 =σ Para o ponto com coordenadas 11 =x , 12 =x e 33 =x .

a) Represente num elemento cúbico elementar as tensões actuantes nesse ponto. ( 1.5 valores )

b) Calcule as tensões principais. ( 3.0 valores )

c) Determine a orientação de uma faceta no plano X1, X2 onde ocorre a relação 1=τ

σ N .

( 2.0 valores )


Considere a seguinte faceta de um estado plano de tensão:

10

y

x

5

I

[MPa] Sabendo que o ângulo que a normal a esta faceta faz com a direcção principal máxima é de 30º

no sentido anti-horário.

Determine as tensões principais.


A placa quadrada ABCD transformou-se no losango A’B’C’D’ após ter sido submetida a um campo de deformações homogéneo e plano (ver figura abaixo).

Características do material da placa:

E = 30 GPa ? = 0,2

a) Sabendo que 316 102π

θ − = + ×

rad, determine as componentes do tensor das deformações.

Justifique. (1.5 valores)

NOTA: se não conseguir resolver a alínea a) considere o seguinte tensor das deformações nas alíneas seguintes:

3100000480810

−×

=ε

A mesma placa foi submetida a outra solicitação de que se conhecem as componentes do tensor das tensões referidas a um outro sistema de eixos rodado relativamente ao primeiro do ângulo de 30ºcomo mostra a figura:

?

200

400

400

'33

'12

'22

'11

=

−=

=

=

σ

σ

σ

σ

MPa

MPa

MPa

Sabendo que a este estado de tensão corresponde um estado plano de deformação em que a deformação nula ocorre segundo a direcção 3, determine:

b) O valor de s ’33. (2.0 valores)

Nas questões seguintes considere a actuação simultânea das duas solicitações.

c) Qual o valor das extensões principais no plano [0, X1, X2]? (4.5 valores)

d) Qual a orientação das facetas em que a distorção é máxima? (2.0 valores)



Exame de Mecânica Aplicada II - Parte teórica


Nome: Nº

Parte 1 – Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções disponíveis. Consideram-se certas (0.8 valores) apenas as respostas com todas as opções correctamente classificadas. 1 – De uma forma genérica, para um sólido sob forças exteriores, o tensor das tensões representa:

a) a tensão numa faceta de orientação conhecida b) o estado de tensão num ponto c) o estado de tensão no sólido

2 – As direcções principais de tensão: a) definem as facetas onde actuam vectores tensão com a componente normal nula b) definem os únicos sistemas de eixos de referência nos quais se pode descrever o estado de tensão c) definem a orientação das facetas com valores extremos das tensões tangenciais

3 – Um sólido submetido a um estado de deformação uniaxial implica: a) duas extensões principais não-nulas b) um estado de tensão triaxial c) um estado de tensão simples

4 – Considere um segmento de comprimento inicial dLo, antes de deformado, e comprimento final dL. A relação e = (dL-dLo)/dLo , designa-se por:

a) distorção b) extensão angular c) extensão linear uniforme d) rotação infinitésimal do segmento dLo

5 – Suponha uma barra prismática constituída por um material isotrópico, com E?0 e ?=0.5, sob um estado de

compressão simples na direcção longitudinal. Nestas condições pode afirmar-se que: a) as extensões longitudinais são independentes do coeficiente de Poisson b) a componente isotrópica do tensor das extensões é nula c) as extensões transversais dependem das extensões longitudinais

6 – As leis constitutivas dos materiais são: a) as relações entre as suas constantes elásticas b) as leis que definem as superfícies de cedência (ou de rotura) dos materiais c) as relações entre as tensões e as extensões

Parte 2 (3.20 valores) – Responda no verso. Considere a placa representada na figura em equilíbrio sob a tensão aplicada nas extremidades.

σσ

a) Estabeleça a relação entre as tensões a e b. b) Represente qualitativamente as isostáticas de tensão na placa. c) Assinale qualitativamente as direcções principais no ponto A.

Bom Trabalho !




Exame 2ª Chamada



Considere o seguinte estado plano e uniforme de tensão:

x1

x2

σ

σ

1

1

3

a

a

τ

[MPa] a) Determine o valor de a. Justifique. ( 0.5 valores )

b) Determine o tensor das tensões segundo os eixos [O,x1,x2]. ( 2.0 valores )

(caso não tenha resolvido a alínea anterior considere 22 5.5MPaσ = )

c) Calcule as tensões e direcções principais. ( 1.5 valores )


Considere a seguinte faceta de um estado plano de tensão:

x

y

10

5

[MPa] Sabendo que:

- a tensão tangencial máxima é igual ao dobro da tensão tangencial actuante na faceta referida.

- a tensão normal na faceta onde actua maxτ é maior que 10 MPa. Determine as tensões principais.

Por Favor responda SEPARADAMENTE a este exercício Problema 3 ( 6.0 valores ) No ponto A da superfície de um corpo isotrópico (E = 30 GPa; ? = 0,2) onde se observa um estado plano de deformação colocaram-se extensómetros com a orientação indicada na figura abaixo. Para uma determinada solicitação mediram-se as seguintes extensões.

Solicitação 1

eb = 50x10-6 ec = -100x10-6 ed = 50x10-6

a) Que valor deveria ser lido no extensómetro a? ( 1.2 valores ) b) Determine o tensor das tensões associado a este estado de deformação. ( 1.8 valores ) Uma outra solicitação provoca, no mesmo ponto A, um outro estado plano de deformação onde se conhecem as seguintes extensões (medidas nos extensómetros da figura anterior): Solicitação 2 ea = 100x10-6 eb = 200x10-6 ec = -40x10-6 c) Determine as tensões principais e respectivas orientações para a actuação simultânea das duas solicitações. ( 3.0 valores )

Bom Trabalho.



Exame de Mecânica Aplicada II - Parte teórica (Época de recurso)


Nome: Nº

Parte 1 – Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções disponíveis. Consideram-se certas (0.8 valores) apenas as respostas com todas as opções correctamente classificadas. 1 – O tensor das tensões é uma matriz simétrica. Porquê?

a) porque as facetas tanto podem ser positivas como negativas b) para garantir o equilíbrio de translação da vizinhança do ponto c) para garantir o equilíbrio de rotação da vizinhança do ponto

2 – No estudo do estado de tensão, a mudança do sistema de eixos (transformação ortogonal): a) altera a descrição do estado de tensão b) altera as facetas de referência para descrição do estado de tensão c) altera as direcções principais de tensão

3 – As relações deformação-deslocamento podem descrever-se através da relação:

∂

∂+

∂∂

=i

j

j

iij x

u

xu

21

ε .

Em que condições é razoável utilizar esta relação? a) quando as deformações dos sólidos são homogéneas b) na hipótese dos pequenos deslocamentos c) apenas no estudo de estados planos de deformação

4 – A distorção, ?xy, num ponto representa: a) a rotação infinitesimal do ponto no plano x-y b) a variação de ângulo entre as direcções inicialmente paralelas aos eixos x e y c) o ângulo interno entre as direcções inicialmente paralelas aos eixos x e y

5 – Um sólido isotrópico submetido a um qualquer estado plano de tensão: a) encontra-se num estado plano de deformação b) tem duas das tensões principais iguais c) tem as três extensões principais iguais

6 – As teorias para verificação da segurança à cedência (ou à rotura) dos sólidos, recorrem a uma tensão equivalente ou tensão de comparação. Este parâmetro representa:

a) uma estimativa da tensão de cedência (ou de rotura) do material b) uma combinação das tensões instaladas, em facetas na vizinhança do ponto, comparável com a tensão de

cedência do material c) a tensão principal máxima instalada no sólido

Parte 2 (3.20 valores) – Responda no verso. Numa placa sob estado plano e uniforme de deformação, conhecem-se duas extensões principais (eI=1E-3 e eII=0.5E-3). Se desenharmos sobre a placa uma circunferência com 2 cm de raio, esta transforma-se, em consequência da deformação sofrida pela placa, numa elipse. Nestas condições estime os semi-eixos da elipse. Que pode concluir relativamente às direcções principais de deformação?

Bom Trabalho !




Exame Recurso



Considere o seguinte estado plano e uniforme de tensão:

x2

x1

100 MPa

a) Sabendo que MPa5011 =σ , calcule as restantes componentes do tensor das tensões.

(1.0 valor)

Nota: se não resolveu a alínea anterior, considere MPa5022 =σ e MPa15012 −=σ .

b) Determine graficamente as tensões principais e as direcções principais. (1.0 valor)

c) Defina as componentes dos vectores normal às facetas onde MPa100+=τ . (1.0 valor)


Sabendo que :

- num estado plano de tensão existem duas facetas que se encontram submetidas ao corte puro,

- nessas facetas 5=τ MPa,

- essas facetas fazem entre si um ângulo de 20º,

- o centro do círculo de Mohr que representa este estado plano de tensão encontra-se na parte

positiva do eixo das abcissas.

Determine as tensões principais.

Problema 3 ( 6.0 valores ) Devido a uma solicitação introduz-se na placa representada na figura o seguinte campo de tensões:

(dimensões em cm)

s 11=2.x1.x2 MPa

s 12=-x12.x2 MPa

s 22= x12.x2 MPa

s 13 = s 23 = s 33 = 0

(x1 e x2 em cm)

E = 30 GPa ? = 0,2

a) Determine o valor da tensão tangencial máxima que ocorre no ponto P (de coordenadas x1=2 cm e x2=1 cm), no plano [1,2]? ( 0.6 valores ) Devido a uma 2ª solicitação mediram-se no ponto P as seguintes extensões segundo as direcções a, b e c indicadas na figura.

ea = 16 x 10-6; eb = 9 x 10-6; ec = 17 x 10-6; Sabe-se que ao estado de deformação indicado corresponde um estado plano de tensão (a tensão principal nula é segundo a direcção 3). Considere, para a resolução das alíneas seguintes, a acção simultânea das duas solicitações. b) Determine o valor de e33. ( 2.4 valores ) c) Determine as tensões principais e respectivas orientações.( 1.5 valores ) d) Determine o valor da distorção máxima no plano [1,2]. Em que direcção ocorre? ( 1.5 valores )

Bom Trabalho.

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