Apa sub acţiunea gravitaţiei coboarăde obicei pe panta cu cel mai mare gradient,alegând cea mai scurtă şi mai rapidătraiectorie.

Cuvântul meandre provine de la râul Menderes din Turcia binecunoscut în antichitate pentrunumărul mare de meandre pe care le are.

Caracteristicile meandrelor:Rc- raza de curburăλ – lungimea de undăL – lungimea meandruluiW- lăţimea meandrului

Meandrele fluviului Colorado

Meandrele râului Somes lângă Cluj (între Apahida şi Bonţida)

Accident de tren, Greenville, South Carolina, 1965

O lamă de oţel “alege” curba ce minimează efortul la îndoire

Formarea unui meandru

Meandre pe râul Willamette 

Găsiţi curbele între A şi B de lungime dată Lcare au curbura medie minimă:

A

B

sau determinaţi funcţiile φ(l) care au integralade mai sus minimă.

Metoda multiplicatorilor Lagrange

pt. sisteme cu constrângeri (coordonatele punctului B sunt fixate)

Minimizarea integralei după F(φ) ne conduce la ecuaţia Euler:

Sau la o ecuaţie diferenţială de gradul II în φ(l):

Soluţia ecuaţiei nu se poate exprima prin funcţii analitice, ci implicit printr-o integrală:

Pt. valori mici ai lui φ şi ω soluţia se reduce la:Integrând şi fixând constantele:

Avem soluţia finală:

Curba meandrelor (x(t), y(t)) generată de funcţia sinus

Fluviul Mississippi lângă GreenvilleBlackrock Creek lângă Wyoming

K=L/ λCele mai multe râuri au K ≈ 1.5Rc=L/(6 ω)

Cele mai multe râuri au Rc/W între 2-3

Caracteristicile meandrelor:Rc- raza de curburăλ – lungimea de undăL – lungimea meandruluiW- lăţimea meandrului

Avem o simetrie emergentă care la nivel local este conţinută implicit în modul de depunere al nisipului dar nu se manifestă explicit decât la nivel global unde o putem observaO rezolvare ar consta într-un random walk în care la fiecare pas se alege la întâmplare un alt unghi. Curbura medie poate fi f. diferită de la o curbă la alta, dardacă considerăm multe random walk-uri vom obseva că în medie avem o curbă careare un meandru (cu galben).

Paradoxul este că avem o problemă globală (determinarea curbei care are o curbură medie minimă) şi nu una locală: Cum ştie nisipul să se depună local în aşa fel încât să formeze meandre care sunt o proprietate globală a râului?

A. Einstein, paradoxul frunzelor de ceai şi meadrele râurilor

Arătaţi că suprafaţa ceaiului este parabolică

La distanţe egale de axă, vitezeleunghiulare ale particulelor de apăsunt aceleaşi (fără frecare).Din cauza frecării cu baza, particulele de jos sunt mai încete decât cele de la suprafaţa lichidului.Particulele de jos sunt atrase de spre centrul axei, iar particulele de la suprafaţă sunt împinse spre pereţi.

Mecanismul intern al formării meandrelor nu este suficient de clar pt. că există meandre ale apei în gheţari unde nu se depun aluviuni.

Vibeke Gletscher în Groenlanda

Meandre asimetrice şi uniforme

Chiar şi Gulfstream are meandre (apă caldă în apă rece).

Appendix:

Bibliografie:Einstein, Albert (March 1926) The Cause of the Formation of Meanders in the Courses of Rivers and of the So-Called Baer’s Lawhttp://www.ucalgary.ca/~kmuldrew/river.htmlLeopold, L.B., Langbein, W.B.(1966). River Meanders. Scientific American 214, p. 60-70.http://eps.berkeley.edu/people/lunaleopold/(098)%20River%20Meanders%20-%20Sci%20Amer.pdf Langbein, W.B., and Leopold, Luna B., 1966, River Meanders . Theory of Minimum Variance, U.S. Geological Survey Professional Paper 422-H, 18p.http://eps.berkeley.edu/people/lunaleopold/(095)%20River%20Meanders%20-%20Theory%20of%20Minimum%20Variance.pdf Nitsa Movshovitz-Hadar Alla Shmukler, River Meandering and a MathematicalModel of this Phenomenon, Physicalplus (Israel Physical Society)http://physicaplus.org.il/zope/home/en/1124811264/1141060775rivers_en Brian Hayes, Meandering through a classic theory of why rivers meander, American Scientist, (2006), 94,6, p.490 http://www.americanscientist.org/issues/pub/up-a-lazy-river L. G. Aslamazov, A. A. Varlamov, A. A. Abrikosov, The Wonders of Physics How river bends change, World Scientific.