SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN

------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMMÔN: TOÁN HỌC

Đề tài:

“TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI

ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”

Họ và tên: ĐỖ VĂN SƠN Tổ Toán

Chức vụ: Phó bí thư Đoàn Trường Đơn vị : Trường THPT Vinh Xuân

Vinh Xuân, tháng 3 năm 2014MỤC LỤC

Trang

Phần A - MỞ ĐẦU……………………………………........……......……....... 2

trang 0

1. Lý do chọn đề tài

2. Mục đích nghiên cứu đề tài

3. Phạm vi nghiên cứu đề tài

4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

5. Phương pháp nghiên cứu đề tài

Phần B - NỘI DUNG………………………….……………..........….…….…..3

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT..……… ……………………….........…………...............3

2. MỘT SỐ BÀI TOÁN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP

TUYẾN TẠI ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”....................4

3. CÁC BƯỚC TÌM TỌA TỘ TIẾP ĐIỂM, KHI BIẾT TIẾP TUYẾN

TẠI ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC................................................4

4. CÁC VÍ DỤ .........................……………......……….…............……….......... 5

5. BÀI TẬP… ………………………………………...…..........…......…….. .......15

Phần C - KẾT LUẬN ---------------------------------------------------------------------16

�

trang 1

PHẦN A . MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Bài toán: “Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” là bài toán rất quen

thuộc ở chương trình toán phổ thông, ở bậc THPT, và thường xuyên xuất hiện trong

các đợt kiểm tra học kỳ dành cho khối 12, kỳ thi tốt nghiệp cuối cấp THPT và các kỳ

thi đại học cao đẳng.

Tuy nhiên, bài toán lập phương trình tiếp tuyến ở bậc THPT thường tại điểm

hoặc có hệ số góc k hoặc cho hoành độ tiếp điểm ,hoặc cho tung độ

tiếp điểm ….Nhưng thi đại học cao đẳng với mức độ yêu cầu cao hơn . “Lập phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó cho trước”, mà

không biết tọa độ tiếp điểm hoặc hệ số góc k... Do đó muốn lập phương trình tiếp

tuyến thì phải tìm tọa độ tiếp điểm dựa vào điều kiện của tiếp tuyến tại điểm đó.

2. Mục đích nghiên cứu đề tài

Đề tài “Bài toán “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn

điều kiện cho trước”, là bài toán ngược của bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại

điểm cho trước.

Bài toán này là cơ sở để lập phương trình tiếp tuyến một cách dễ dàng khi biết

tiếp điểm của nó. Nhằm khắc sâu và nắm chắt lý thuyết về vấn đề tiếp tuyến cho học

sinh và giúp cho học sinh khối 12 thi vào các trường đại học cao đẳng khi gặp bài

toán này.

3. Phạm vi nghiên cứu đề tài

- Chương trình toán trung học phổ thông

- Các bài toán thi đại học của các năm trước.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Chuyên đề “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho

trước”, cung cấp cho học sinh về phương pháp, kỹ năng và hệ thống các bài tập để

chuẩn bị kỷ về kiến thức lập phương trình tiếp tuyến.

5. Phương pháp nghiên cứu đề tài

Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.

trang 2

y M T

(C) f(x0) M0

O x0 H.1 x

PHẦN B . NỘI DUNG

1. CƠ SỞ LY THUYẾT

1.1Khái niệm về tiếp tuyến.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C).

Giả sử (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và M(x0; f(x0))(C).

Kí hiệu M(x; f(x)) là một điểm di chuyển trên (C).

Đường thẳng M0M là một cát tuyến của (C) (hình vẽ H.1)

Nhận xét rằng: khi x x0 thì M(x; f(x)) di chuyển

trên (C) tới điểm M(x0; f(x0)) và ngược lại. Giả sử cát tuyến M0M có vị trí giới hạn, kí

hiệu là M0T thì M0T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0. Điểm M0 được gọi là tiếp

điểm. (Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007)

1.2 Y nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí:

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C)

tại điểm M(x0; f(x0)). (Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007)

1.3Phương trình tiếp tuyến

Định lí:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm M(x0; f(x0)

là trong đó y0= f(x0)

(Đại số&Giải tích 11, trang 152, nxb GD 2007)

Lưu ý:

Nếu tiếp tuyến M0T cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B thì hệ số góc của tiếp

tuyến M0T là .Với là góc tạo bởi trục Ox và tiếp tuyến M0T theo chiều dương.

2. MỘT SỐ BÀI TOÁN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI

ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”trang 3

Cho hàm số ( là hàm số bậc ba hoặc hàm nhất biến ) có đồ thị (C).

Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến tại thỏa mãn một trong các

điều kiện sau:

2.1 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho , .

2.2 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giác vuông

cân.

2.3 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giác có diện

tích S cho trước.

2.4 - Tạo với hai tiệm cận cùng với điểm I thành tam giác có chu vi nhỏ nhất , với

I là giao điểm của hai tiệm cận.

2.5 - Cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam

giác có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm của hai tiệm cận.

2.6 - Cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B sao cho đoan thẳng AB ngắn nhất.

2.7 - Tạo với đường thẳng một góc cho trước.

2.8 - Vuông góc với đường thẳng cho trước .

2.9 - Cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho , với I là giao điểm của hai

tiệm cận và .

3. Các bước tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho

trước

Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là

Bước 2: Từ điều kiện của bài toán suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là k.

Giải phương trình tìm được tọa độ tiếp điểm.

hoặc viết phương tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) là

Từ điều kiện của bài toán suy ra trực tiếp tọa độ tiếp điểm.

Bước 3: Kết luận.

4. CÁC VÍ DỤ

trang 4

Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của

của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt hai trục Ox, Oy lần

lượt tại A và B sao cho , với O là gốc tọa độ.

Giải: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm .

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là

Cách 1: Vì tiếp tuyến tại cắt trục Ox, Oy tại A và B sao cho

nên hệ số góc của tiếp tuyến tại là hoặc

ta có

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm hoặc

Cách 2: Phương trình tiếp tuyến tại M là với

Đường thẳng d cắt trục Ox tại và cắt trục Oy tại

Ta có

Với phương trình tiếp tuyến loại vì A,B phân biệt

Với

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm hoặc

trang 5

Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của của đồ thị

(C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B

sao cho , với O là gốc tọa độ.

Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm với .

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là

Cách 1: Tiếp tuyến tại cắt trục Ox, Oy tại A và B sao cho

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là hoặc

Nhưng do nên hệ số góc của tiếp tuyến là

ta có phương trình

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm hoặc

Cách 2: Phương trình tiếp tuyến tại M là với

Đường thẳng d cắt trục Ox tại và cắt trục Oy tại

Ta có

Với phương trình tiếp tuyến loại vì A,B phân biệt

trang 6

Với , nhưng do

nên hệ số góc của tiếp tuyến là

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm hoặc

Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến

của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác

cân tại gốc tọa độ O.

Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi (C) nên

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

Vì tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác

vuông cân tại gốc tọa độ O suy ra nên hệ số góc tiếp tuyến

hoặc , nhưng nên hệ số góc của tiếp tuyến

Ta có phương trình

Với ta có phương trình tiếp tuyến là (loại vì đi qua gốc tọa độ)

Với ta có phương trình tiếp tuyến là thỏa mãn

Vậy là điểm cần tìm.

trang 7

Ví dụ 4: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến của

(C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích

bằng .

Giải: TXĐ: D=\ , Gọi (C).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Mà d cắt trục Ox tại và cắt trục Oy tại

Cách 1: Vì tam giác OAB vuông tại O, nên

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến d là hoặc

nhưng nên hệ số góc của tiếp tuyến

Ta có phương trình

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M (1;1),

Cách 2: Vì tam giác OAB vuông tại O, nên

trang 8

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M (1;1); .

Ví dụ 5: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến

của (C) tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Giải: Ta có TXĐ: D=\

Gọi (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Ta có d cắt tiệm cận đứng tại và cắt tiệm cận ngang tại

, giao điểm của hai tiệm cận

và

Chu vi của tam giác IAB là

Để chu vi nhỏ nhất là đạt được khi

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Ví dụ 6: Cho điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến

trang 9

của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B ,gọi I là giao điểm của hai

đường tiệm cận . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB

có diện tích nhỏ nhất.

Giải: : Ta có TXĐ: D=\

Gọi (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng tại và cắt tiệm cận ngang

tại , giao điểm của hai tiệm cận .

Ta có suy ra M là trung điểm AB

Mặt khác vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là M và

bán kính IM, nên diện tích đường tròn ngoại tếp tam giác là

Suy ra diện tich đường tròn ngoại tếp tam giác nhỏ nhất là

Đạt được khi

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Ví dụ 7: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp

tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B sao cho AB ngắn nhất.

trang 10

Giải: Ta có TXĐ: D=\

Gọi (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại và cắt tiệm cận ngang

tại , ta có

Do đó AB ngắn nhất là đạt được khi và chỉ khi

Vậy có hai tọa độ điểm M cần tìm là

Ví dụ 8: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những

điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) tạo với đường thẳng một góc bằng

.

Giải: Gọi (C), với

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Góc hợp bởi và đường thẳng d một góc

ta có

trang 11

Với

Với vô nghiệm

Vây có hai tọa độ điểm M thảo mãn là ;

Ví dụ 9: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp

tuyến tại M của (C) tạo với đường thẳng một góc bằng .

Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi (C), với

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Góc hợp bởi và đường thẳng d một góc

ta có

Với

Vây có hai tọa độ điểm M thỏa mãn là ;

Ví dụ 10: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm

cận của đồ thị (C).Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với

đường thẳng IM.

(Đề dự bị Đại học, Cao đẳng năm 2003, khối B)

trang 12

Giải: TXĐ: D=\ , hệ số góc tiếp tuyến tại M là .

Ta có I(1;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của (C).

Gọi (C) nên là vec-tơ pháp tuyến

của đường thẳng IM.

Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng

có vec-tơ pháp tuyến

Đường thẳng IM vuông góc với tiếp tuyến

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M1(0;1), M2(2;3) .Ví dụ 11: Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số

. Tìm điểm M trên đồ thị (C), có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M

với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn

Giải: Ta có TXĐ: D=\

Gọi (C), , hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại , cắt tiệm cận ngang

tại và giao điểm của hai tiệm cận .

Theo giả thiết

trang 13

+Với ( loại vì )

+Với

Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là. �

trang 14

5. BÀI TẬP

5.1Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của của đồ thị (C) biết

rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho

, với O là gốc tọa độ.

5.2Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến của (C) tại

M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

.

5.3 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số . Tìm

tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A

và B sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.

5.4 Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp

tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cân của (C) tại A và B sao cho AB ngắn nhất.

5.5Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của

của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt

tại A và B sao cho , với O là gốc tọa độ.

trang 15

PHẦN C . KẾT LUẬN

Qua đề tài “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện

cho trước”. Nhằm hệ thống lại một số dạng toán tìm tọa độ tiếp điểm, làm cơ sở để giải

bài toán tiếp tuyến trong chương trình THPT khi biết một số điều kiều kiện nào đó cho

trước như đã nêu trong chuyên đề.

Đây cũng là tài liệu nhằm giúp cho học sinh khối 12 chuẩn bị cho các kỳ thi tốt

nghiệp, đại học cao đẳng sắp đến.

Trong khi viết chuyên đề này, tôi chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong tổ đã

đóng góp nhiều ý kiến giúp đỡ để chuyên đề được hoàn thành. Rất mong quý thầy cô

trong tổ và đồng nghiệp có nhiều ý kiến hơn nữa, để chuyên đề lần sau tôi viết tốt hơn.

Chân thành cám ơn!

Vinh Xuân, ngày 29 tháng 03 năm 2014

Người thực hiện

Đỗ Văn Sơn

trang 16

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG

XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TRƯỜNG THPT VINH XUÂN

(Chủ tịch HĐ xếp loại, ký và đóng dấu)

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

Xếp loại: ……………………………………………………………………

Vinh Xuân, ngày …..tháng ..….năm …..…

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG

XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

trang 17