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MB_M1AA1_Fracciones Versión: octubre de 2012 Revisor: Emilio González Olguín

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Operaciones con fracciones

Por: Oliverio Ramírez Juárez

Un la vida diaria no se pueden expresar todas las relaciones de cantidad usando sólo los números enteros, ya que muchas veces necesitamos expresar la relación entre dos números. Para hacer esto, tenemos que hacer uso de las fracciones.

“Una fracción es el cociente entre dos números enteros, en donde el denominador no es cero” (Barón, 2009, p. 37), las cuales tienen la forma:

𝑎𝑏

Donde indica el número de veces en que se divide una unidad.

Por ejemplo, si nuestra unidad es el siguiente rectángulo,

y te piden tomar !! del mismo; entonces éste se divide en tres partes iguales, y tomas dos de ellas.

Las fracciones son una clasificación de los números racionales (ℝ) de gran utilidad, ya que los utilizamos diariamente.

23

13



2

Por ejemplo, cuando mides !! de taza de azúcar, 3 ½ litros de pintura, !

!de saco de cemento, !

! de

kilogramo de mango, una tabla de !!

pulgadas de grosor.

Figura 1. Stuffs (Calapiz, 2009).

Figura 2. Workshop (Linder ,2010).

En una carpintería es común encontrar herramientas y objetos que se miden en fracciones. Las fracciones se pueden sumar o restar como cualquier otro número.

Por ejemplo, si deseas conocer el grosor de dos tablas unidas en donde una mide !! de pulgada de

ancho y otras tres con un espesor !!"

de pulgada, lo que tienes que hacer es sumar fracciones. ¿Cuál es el ancho de la nueva tabla? En lenguaje matemático, esta operación se puede representar de la siguiente manera:



3

25+ 3

110 =

Para contestar esta pregunta es necesario que estudies las operaciones básicas de números fraccionarios (suma, resta, multiplicación y división).

Suma y resta de fracciones

Con mismo denominador

Como indica Rees, Sparks, & Sparks. (1991):

“al sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, simplemente se re-escribe el denominador y se suman o restan los numeradores !

!+ !

!= !!!

! 𝑦 !

!− !

!= !!!

!" (p. 77).

Figura 3. Partes (Calapiz, 2009).

Por ejemplo:

5𝟑+6𝟑=𝟏𝟏𝟑



4

Con diferente denominador

Cuando las fracciones a sumar o restar no tienen el mismo denominador, el resultado se encuentra mediante los siguientes pasos:

1) Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones a sumar o restar.

2) El mínimo común múltiplo es dividido por cada uno de los denominadores de las fracciones involucradas en la operación y, ese resultado se multiplica por el numerador de la fracción que le corresponde.

3) Finalmente, el resultado será una fracción con denominador igual al mínimo común múltiplo de todas las fracciones involucradas, y con denominador igual a la suma o resta de los resultados calculados en el inciso anterior. Revisemos ahora los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1:

7

5−9

15−2

30=

Primer paso. Calculamos el mínimo común de los denominadores 5, 15 y 30:

5 15 30 2 5 15 15 3 5 5 5 5 1 1 1

mcm = (2) (3) (5) = 30

Lo escribimos como denominador de la fracción que tendremos como resultado,

7

5−9

15−2

30=30

Segundo paso. Dividimos y multiplicamos el mcm por el denominador numerador de cada fracción respectivamente

7

5−9

15−2

30=42−18− 2

30



5

Tercer paso. Simplificamos el numerador:

42−18− 2

30=22

30=11

15

Por lo tanto.

7

5−9

15−2

30=11

15

Ejemplo 2:

Realiza la siguiente operación

3

4+5

12+4

8=

4 12 8 2 2 6 4 2 1 3 2 2 3 1 3 1

mcm = (2) (2) (2) (3) = 24

Por lo tanto:

3

4+5

12+4

8=18+10+12

24=40

24=5

3



6

Ejemplo 3:

Realiza la siguiente operación

7

3−4

6+8

9=

3 6 9 3 1 2 3 2 1 3 3 1

mcm = (3) (2) (3) = 18

Por lo tanto:

7

3−4

6+8

9=42−12+16

18=46

18=23

9

Operaciones con fracciones mixtas

Las fracciones mixtas son aquellas que tienen una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo, observa las siguientes fracciones:

112 , 3

14 , 2

13

Para convertir una fracción mixta a una fracción simple, se multiplica el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y el resultado de este producto se suma al numerador.

La fracción resultante deberá tener como numerador el resultado obtenido en el proceso anterior y denominador igual al de la parte fraccionaria inicial.

112 =

32 3

14 =

134 2

13 =

73



7

Ve este procedimiento a detalle en los siguientes ejemplos.

Convierte 1 !! a fracción simple:

Convierte5 !! a fracción simple:

Convierte 7 !"!"

a fracción simple:

Reflexiona: ¿Qué sucede cuándo se presentan problemas como el siguiente?:

En una distribuidora de productos químicos se desea saber qué cantidad de cloro se tiene en existencia. Si el encargado tiene anotado en su inventario: un garrafón y medio en la tienda, tres garrafones un cuarto en bodega y dos garrafones un tercio en el sótano, ¿cuánto cloro tiene en total?

La operación que tendrá que realizar el encargado es:

112+ 3

14+ 2

13=¿ ?

De acuerdo al procedimiento descrito, esta operación la resolvería de la siguiente forma.



8

1 !!+ 3 !

!+ 2 !

!= = !

!+ !"

!+ !

!= !"!!"!!"

!"= !"

!"= 7 !

!"

Por lo tanto, el encargado de la distribuidora de productos químicos calcula que la cantidad de cloro que se tiene en existencia son siete garrafones completos y un doceavo de garrafón.

Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación de fracciones

De acuerdo con Rees, Sparks, & Sparks. (1991), “El producto de dos o más fracciones dadas es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores de las fracciones dadas” (p.72).

Es decir para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador (obedeciendo la ley de los signos).

Es decir,

𝑎𝑏×

𝑥𝑦 =

𝑎 (𝑥)𝑏 (𝑦)

Realiza la siguiente operación:

−25×910

=

Solución:

−25×910

=−1850

= −925

División de fracciones

Para dividir dos fracciones, multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, eso da el numerador del resultado.



9

Después multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda, eso te dará el denominador del resultado.

𝑎𝑏÷𝑥𝑦=𝑎 𝑦𝑏 𝑥

=𝑎𝑦𝑏𝑥

Observa la siguiente operación:

136÷23

Su solución es la siguiente:

136÷23=

13 36 2

=3912

Realiza la siguiente operación:

4−8

÷−67=

4 7(−8)(−6)

=2848

=712

Problemas con fracciones Ahora vas a ver algunos ejemplos donde se aplican los procedimientos estudiados en esta actividad para resolver problemas cotidianos.

Ejemplo 1:

Un orfanato recibió una donación de azúcar en tres días distintos.

El primer día recibió cuatro costales y medio, el segundo día recibió seis costales y un cuarto, el tercer día cinco costales y un décimo.

¿Cuántos costales de azúcar en total fueron donados al orfanato?



10

Primer paso. Buscar los datos del problema y plantear la operación que lo solucionará. Esto es:

Segundo paso. Convertir las fracciones mixtas a fracciones simples.

9

2+25

4+51

10=

Tercer paso. Resolver las operaciones con fracciones.

9

2+25

4+51

10=90+125+102

20=317

20=15

17

20

Cuarto paso. Interpretar el resultado:

El orfanato recibió quince costales de azúcar más diecisiete y veintavos de costal, lo que equivale aproximadamente a 15.85 costales

Ejemplo 2:

Una compañía constructora compró la siguiente cantidad de arena en un mes: en la primer entrega compró siete camiones y un tercio; en la segunda entrega, catorce camiones y medio.

Se utilizó tres camiones y un cuarto para sus construcciones, ¿qué cantidad de arena tuvo al final de mes?

Primer paso. Buscar los datos del problema y plantear la operación que lo solucionará. Esto es:

71

3+14

1

2−31

4=

Segundo paso. Convertir las fracciones mixtas a fracciones simples.

22

3+29

2+13

4=

Tercer paso. Convertir las fracciones mixtas a fracciones simples.

41

2+ 61

4+ 5

1

10=



11

22

3+29

2−13

4=88+174−39

12=223

12=18

7

12

Cuarto paso. Interpretar el resultado:

Al final de mes la compañía tuvo 18 712

camiones de arena, lo que equivale aproximadamente a 18.58

camiones.

Retomando el caso del grosor de las tablas, donde se plantea que una mide !! de pulgada de ancho y otras

tres cuentan con un espesor !!"

de pulgada, ¿cuál sería el ancho de una nueva tabla que uniera esas medidas?

25+ 3

110 =

Para contestar la incógnita, primero debes realizar las operaciones con mayor jerarquía, en este caso la multiplicación:

25+310

=

Como tienen diferentes denominadores tienes que encontrar el M.C.M, que es 10. Con esta información el quebrado queda de la siguiente manera:

4 + 310

=710

En conclusión, el ancho de la nueva tabla es de !!"

pulgadas.

Por otro lado, en esta carpintería tienen clavos de una pulgada de largo. ¿Serán suficientemente largos o demasiado cortos para unir las dos tablas anteriores?, ¿qué operación realizarías?



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Referencias

Barón, E. A. (2009). Matemática básica mercadeo y publicidad. Colombia: Politécnico Grancolombiano. [Versión en línea]. Recuperado el 21 de noviembre del 2011, de la base de datos E-libro de la Biblioteca Digital UVEG. Colegio 24hs. (2008). Fracciones Algebraicas. Argentina: Colegio24hs. [Versión en línea]. Recuperado el 21 de noviembre del 2011, de la base de datos E-libro de la Biblioteca Digital UVEG. Figueroa, M. y Guzmán, R. (2010). Aritmética y álgebra. USA: Firmas Press. [Versión en línea]. Recuperado el 21 de noviembre del 2011, de la base de datos E-libro de la Biblioteca Digital UVEG. Rees, P. K., Sparks, F. W., & Sparks, C. (1991). Álgebra (10a. ed.). México: McGraw-Hill Interamericana. Recuperado el 21 de junio del 2012, de la base de datos E-libro de la Biblioteca Digital UVEG.

Linder, R. (2010). Workshop. Recuperada el 15 de octubre de 2012, de http://www.sxc.hu/photo/1284421 (imagen bajo licencia SXC.Hu Free of charge, de acuerdo a: http://www.sxc.hu/txt/license.html). Calapiz, L. (2009). Stuffs. Irapuato, Guanajuato México: Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. Calapiz, L. (2009). Partes. Irapuato, Guanajuato México: Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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