maximum likelihood estimator
DESCRIPTION
econometricTRANSCRIPT
บทท 4 ตวประมาณคาความควรจะเปนสงสด (Maximum Likelihood Estimator)
บทนแนะนาวธประมาณคาอกวธหนง ซงใชกนแพรหลายในเศรษฐมตเมอมความรเบองตนเกยวกบการแจกแจงของตวแปรสม ในทนจงยกตวอยางการใชตวประมาณคาความควรจะเปนสงสด (MLE) กบตวแปรสมทมการแจกแจงแบบ Bermoulli และการแจกแจงแบบปกต (normal) สาหรบงานเศรษฐมตโดยทวไปแลว ประชากรมกมการแจกแจงในลกษณะทสอง นอกจากจะเสนอวธประมาณคาพารามเตอรของคาเฉลยและความแปรปรวนแลวในทายบทไดกลาวถงคณสมบตของ MLE ดวย 4.1 การวเคราะหตวอยางจากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต ในบทขอกอนไดพจารณาวธการประมาณคาตวแปรสมดวยวธการถดถอยเชงเสน โดยมขอสมมตหรอขอตกลงเบองตนไวเพยง 2 ประการคอ ตวแปรสมซงเปนตวแปรคลาดเคลอน ( )u นน มคาเฉลยหรอคาคาดหมายเทากบศนย และมความแปรปรวนเทากนทกๆ หนวยสงเกต ในทนจะเพมคณสมบตอกประการหนงเกยวกบตวแปรคลาดเคลอน ( )u คอ ลกษณะการแจกแจงแบบปกต นนคอ โดยสรปแลวสาหรบแบบจาลองเชงเสน ท x คอ คอลมนเวคเตอร ของ 1 ซงกคอ แบบจาลองเชงเสนเพอศกษาคาเฉลยและความแปรปรวนของตวแปรสม y
uxy += β (4.1)
เมอ ( ) 0=uE ( ) Ισ 2=′ uuE iu มการแจกแจงแบบปกต
หรอสรปเปนสญลกษณ : ( )Ισ 20 ,Niidu ~
เมอตวแปรสม y เปนฟงกชนของตวแปรคลาดเคลอน y ยอมมการแจกแจงแบบปกตดวย และดงทราบแลววา ( ) β=iyE และมความแปรปรวน ( ) 22
σβ =−iyE ดงนนฟงกชนความหนาแนน ความนาจะเปน (pdf) ของ y คอ
( ) ( ) ( )αα
σ
βσπ <<−
−−=
−
y,y
expyf2
2
2
12
21 /
(4.2)
ฟงกชนความหนาแนนของ y มรปรางสมมาตรดวยคาเฉลย β และคาความเบยงเบน σ ดงรปท 4.1 โดยคาเฉลย (mean) คาฐานนยม (mode) และคามธยฐาน (median) เทากน ตวแปรสม y มคากวาง
เศรษฐมตประยกตสาหรบการตลาดเกษตร 58
ในชวง α− ถง α+ โดยมคาทเกดขนบอยทสดท β=y และทจดผกผน (inflection point) y มคาเทากบ σβ ± การแจกแจงของ y เขยนไดวา ( )2σβ ,N และถาตวแปรสมทมการแจกแจงปกตมความแปรปรวนรวม (covariance) เทากบศนยแลว ตวแปรทงสองยอมไดชอวา เปนอสระตอกน บทอนมานนไมจรงในกรณอนดงกลาวในบทท 3 แตเปนจรงเฉพาะกบ normal variable เทานน σ β y
รปท 4.1 ฟงกชนความหนาแนนแจกแจงแบบปกต จากชดขอตกลงในสมการ (3.2) เมตรกซความแปรปรวนรวม (covariance matrix) ∑ มลกษณะดงน
=∑
2
22
21
0
0
nσ
σσ
O
ขอสมมตเกยวกบการแจกแจงแบบปกตมความสาคญตอการทดสอบสมมตฐานทางสถตเปนอยางมาก เนองจากตวสถตทสาคญเกอบทงหมดมฐานจากตวแปรสมทมการแจกแจงแบบปกต ( t,2χ
และ )F (Judge et al., 1988: 51) และในกรณทมการแจกแจงเปนอน เมอขนาดตวอยางใหญขน การแจกแจงของตวสถตจะเขาใกลการแจกแจงแบบปกต และองการทดสอบหลกเหลาน เชน h-statistics (อางองหลายๆ เลม) คาอธบายงายๆ ณ ทนกคอ เมอตวแปรสม iu เปนตวแทนของปจจยทงหมดทมอทธพลตอ iy ซงทาให iy มคาแตกตางไปจากคาเฉลย ( )β ทฤษฎบทแนวโนมเขาสสวนกลาง (central limit theorem) กลาววา ผลรวมของตวแปรหรอปจจยอสระทงหลายจะสรางตวแปรสมทแจกแจงแบบปกต ถาไมมปจจยอสระตวใดตวหนงมอทธพลครอบงาตวแปรอนๆ ดงนนถาปจจยเหลานมขนาดเทาๆ กน และมอทธพลตอ y ในทางตรงขามแลว กอาจคาดไดวาคาเฉลยของตวแปรสมจะมคาเปนศนย (เชน ( ) 0=uE ) และยอมมผลใหตงขอตกลงเบองตนทวาคาความแปรปรวนมคาคงทได (Judge et al., 1982: 39)
บทท 4 ตวประมาณคาความควรจะเปนสงสด 59
เปาหมาย ณ เวลานคอ เมอมตวแปรทมการแจกแจงแบบปกตแลวจะเกดประโยชนอะไร และจะใชขอมลเกยวกบ β และ 2σ ในการสรางตวประมาณคาไดอยางไร 4.2 วธประมาณคาความควรจะเปนสงสด (Maximum Likelihood Estimation) เพอใหเกดความเขาใจวธประมาณคาความควรจะเปน (Maximum Likelihood Estimation : MLE) ลองพจารณาตวอยางตอไปน ให y เปนตวแปรสมแจกแจงแบบ แบบเบอรนลล (Bernoulli) (Judge et al., 1988: 44, 63-65)
และมพารามเตอรทรคา (ซงใชสญลกษณ p สมมตวา p อาจจะมคา 4
1= หรอ
4
3 สมมตวาตวอยางม
ขนาด 3=n ดวย คา 011 321 === y,y,y คาถามคอ จะประมาณคา p ไดอยางไร ในวธการ
MLE กคอ การหาโอกาสทสงสดทจะเกดคา p (ทไมรคาน) โดยเลอกคา 4
1=p หรอ
4
3 หรอคาอนใดท
จะทาใหมความนาจะเปนสงสด (maximum probability) ทคา y ในตวอยางจะเกดขน ใน เ ม อ ( ) ( ) y
pppyf y −
−=1
1 ส าห ร บ 0=y ห ร อ 1 ค า คว ามน า จ ะ เป น (probability) ของตวแปรสมจะม pdf ของ 21 y,y และ 3y ดงนน ( )011 321 === y,y,yf ( )011 ,,f= ( ) iy
pp yi
i
−
−∏==
1
13
1
( )ppp −⋅⋅= 1 (4.3)
ความหมายของสมการ (4.3) กคอ ฟงกชนของ p เมอใหคาทสงเกตไดของตวอยาง y ดงนนจงเรยกไดวาเปนฟงกชนความควรจะเปน (likelihood function) โดยใชสญลกษณ ( )ypL ซงกเหมอนกบ pdf ของตวอยางสมนนเอง เพยงแตตความหมายใหเปนฟงกชนของตวพารามเตอรทไมรคาแทนฟงกชนของคาตวแปรสม (ซงรคาสงเกตไดอยแลว) วธการทจะเลอกคา p ทไดจากขอมลตวอยางไดอยางไรนนมคาตอบคอ จะตองตงอยบทหลกเกณฑทวาขอมลจากตวอยางตองถกบรรจอยในฟงกชนความควรจะเปน จากตวอยางขางตนคาของฟงกชนทคานวณได ไดแก
เมอเลอก 04604
1
4
1.yL:p =
=
และเมอ 4104
3
4
3.1yL:p =
=
เศรษฐมตประยกตสาหรบการตลาดเกษตร 60
ดงนนโอกาสหรอความควรจะเปน (probability หรอ likelihood) สงสดในการไดตวอยางทมคา
( )011 321 === y,y,y คอเลอกคาประมาณ 4
3=p~ ซงเปน MLE ของ p แปลวา คาของ
p ทมความเปนไปไดมากทสดในการสรางขอมล y ชดนนนเอง (Judge et al., 1988: 63) ในความเปนจรงชดของพารามเตอรมมากกวา 2 คา สาหรบการ Bernoulli นน คาพารามเตอรจะมคาอยในชวง 0-1 เทานน วธการหนงในการหาคา p คอ คานวณเพอหาคาสงสดของ ( ) ( )ppypL −= 12 ดวยการแทนคา p ตางๆ ดงในรป 4.2 จะเหนคาของ ( )ypL ในแกนตงและคา p ในแกนนอน ฟงกชนจะมคาสงสดเมอ p มคา 0.67 โดยทวไปแลวการประมาณคาพารามเตอรเปนการหาคาททาใหฟงกชน pdf ของตวอยางสงสดทวไป (global maximum) ทงนโดยใชคาตวอยางทสงเกตมา อกวธหนงกคอ การหาคา p ซงทาให ( )ypL สงสด โดยวธแคลคลสซงอาจใหคาสงสดเฉพาะถน (local maximum) ของสมการตอเนอง โดยการหาคาอนพนธ
( ) 232 pppd
ypLd−= (4.4)
( )p
pd
ypLd62
2
2
−= (4.5)
จดใหอนพนธทหนงเทากบศนยและหาคา p ซงจะพบวาไดคา 0=p~ และ 3
2=p~ คาททาให
อนพนธทสองมคาเปนลบ กคอ เมอ 3
2=p~ (นนคอ คาททาใหเงอนไขระดบทหนงและสองเปนจรง)
ผลทไดสอดคลองกบผลในรป 4.2 ( )ypL 0 .67 1 p
รปท 4.2 กราฟแสดงฟงกชนความนาจะเปน (Likelihood function)
กลาวสรปโดยทวไปไดวา วธการความควรจะเปนสงสด (MLE) นน ฟงกชนความควรจะเปน ( )yL θ ในทางพชคณตเหมอนกนหรอเทากน joint pdf ( )θyf ของตวแปรสม ny,,y K1 เมอ
บทท 4 ตวประมาณคาความควรจะเปนสงสด 61
θ เปนเวคเตอรของพารามเตอรทไมรคา ซงคาจรงของ θ จะตกอยในปรภม Ω ความแตกตางระหวาง ( )yL θ กบ ( )θyf อยทการตความเทานนนนกคอ ( )yL θ แปลความไดวาเปนฟงกชนของ θ
เมอเกดคาตวอยาง y สวน joint pdf ( )θyf เปนฟงกชนของ y เมอกากบดวยพารามเตอรของ θ เมอ θ เปนคาประมาณ MLE ของ θ ทอยในปรภม Ω ทงนโดยตองทาให ( )yL θ มคาสงสด และเมอคา θ~ เปนฟงกชนทวไปของ y เชน ( )yθθ
~~= เมอ ( )′= ny,,yy K1 และ θ~ เรยกไดวา
เปนตวประมาณคาความควรจะเปนสงสด (maximum likelihood estimator) ในทางปฏบตมกใชฟงกชนในรปของลอกกาลซมธรรมชาต (natural logarithm) แทนฟงกชนเดม L ทงนกเพอเกดความสะดวกในการคานวณ ฟงกชนลอก-ไลคลฮด (log-likelihood) คอ
( )yLlnL θ= เปนโมโนโทนคฟงกชน นนคอ ( )yLln θ และ ( )yL θ จะมคาสงสดของฟงกชนทคา θ เดยวกน (Judge et al., 1988: 64) ตวอยางท 1 ให ny,,y K1 เปนตวแปรทมการแจกแจงแบบเบอรนลล (Bernoulli) ดวย pdf
( ) ( ) iyyii pppyf −−= 11 , i = 1,, n และ 10 ≤≤ p (4.6)
ลอก-ไลคลฮด (log-likelihood) ฟงกชนจะเปนดงน
L ( ) ( )
∏==
=
n
ii pyflnypLln
1
( ) ( )( )ii ypypln −∑−⋅∑= 11 ( ) ( ) ( )plnyplny ii −⋅−∑+⋅∑= 11 (4.7) อนพนธทหนง และทสองคอ
( )∑ ∑−
⋅−−=p
yp
ypd
Ldii
1
11
1 (4.8.1)
( )( )
∑ ∑−
⋅−−−=2
1
11
122
2
py
py
pd
Ldii (4.8.2)
จดใหอนพนธทหนงเทากบศนย และหาคา ∑= iyn
p1~ ซงกคอคาเฉลย (mean) นนเอง สงเกตวา
อนพนธทสอง 22 pdLd / จะเปนคาลบเสมอตราบเทาท p มคาอยในชวง 0 ถง 1 และ p~ ไดชอวาใหคา global maximum ของลอก-ไลดลฮดฟงกชน
เศรษฐมตประยกตสาหรบการตลาดเกษตร 62
ตวอยางท 2 ให ny,,y K1 เปนตวอยางจากประชากรทมการแจกแจงปกต ( )2σβ ,N ดงนนพารามเตอรทไมรคาคอ ( )2σβθ ,= ฟงกชนความควรจะเปนในรปของลอกกาลซม
L ( ) ( )y,LlnyLln 2σβθ == (4.9)
( )
∏
−=
=
n
i
iyexpln
1 2
2
2 2
1
2
1
σ
β
σπ
( ) ( ) ( )
−=
−−
2
2
222
2
12
σ
βσπ i
nn yexpln
( ) ( )∑
−−−−=
=
n
i
iyln
nln
n1 2
2
2
1
22
2 σ
βσπ (4.10)
ตวอยาง ให ( )053472 .,.,.y =′ สมมตใหทราบคาของ 12 =σ คา β ควรอยในชวง 2.7 ถง 5.0 แตเพอใหเหนความหมายของ MLE ไดชดขน อาจทดลองทจะใหคา β เรมตงแต 0 ถง 8 เพอคานวณคา
( )3212 y,y,y,Lln σβ ดงนจากสมการ (4.10) แทนคา 12 =σ , ( )053472 .,.,.y =′ จะ
ได ( ) ( ) ( ) ( )
−+−+−−−=
222
0534722
12
2
3βββπ ...lnLln แทนคา β ดวย
0, 1, 2, , 8 จะไดผลดงตารางตอไปน (เลข 3 คอ จานวนตวอยาง)
คา β 0 1 2 3 4 5 6 7 8 คา ln L -28.14 -17.64 -10.14 -5.64 -4.14 -5.64 -10.14 -17.64 -28.14
แสดงวาคา ln L สงสดเมอ β มคาเทากบ 4 (-4.14) เมอคา 12 =σ ตวอยางนไดสมมตวารคา 2σ แตโดยปกต 2σ เปนพารามเตอรทไมรคา จงตองทดลองหาคา β และ 2σ ไปพรอมๆ กน และเมอวาดภาพวา คา β อาจมทศนยมดวยแลว กระบวนการแทบคาจะตองใชเวลาอยางมากกวาจะไดคาตอบทดทสด สมมตวาคา β ถกเลอกใหเทากบ 2 (ดวยเหตผลใดกแลวแต) จะพบวา pdf ของ y ท 2=β จะไมครอบคลมคา y ทงสามคา ในขณะท pdf ของ y เมอ 4=β ครอบคลมขอมล y ทง 3 คาอยางครบถวน ดงรป 4.3 ทงตารางและรป 4.3 ชวยกนอธบายความหมายของ maximum likelihood ไดอยางชดเจน
บทท 4 ตวประมาณคาความควรจะเปนสงสด 63
( )yf 2 2.7 3 4 4.3 5 y
รปท 4.3 pdf แบบปกต 2 เสน ทแสดงความหมายของวธ Maximum Likelihood
จากสมการ (4.10) การประมาณคา β และ 2σ โดยวธแคลดลสในรปของเมตรกซ เมอ x เปนเวคเตอรของ 1
( ) ( ) ( )ββσ
σπ xyxylnn
lnn
Lln −′−−−−=2
2
2
1
22
2
หาอนพนธทหนง ( ) 01
2=−′=
∂
∂β
σβxyx
Lln (4.11.1)
และจดใหเทากบศนย
( ) ( ) 02
1
22 42=−′−+−=
∂
∂ββ
σσσxyxy
nLln (4.11.2)
จะหาไดวา จากสมการ (4.11.1) ( ) yxxx ′′= −1β~ (4.11.3)
จากสมการ (4.11.2) ( ) ( )n
xyxy ββσ
−′
−=
~~ 2 (4.11.4)
หมายเหต : n
uu ˆˆ~ ′=2σ
ให β~ , 2σ~ เปนสญลกษณของคาประมาณซงไดจากการใชขอมลตวอยางเงอนไขทสองไดจากการหาอนพนธทสองของสมการ (4.11.1) และ (4.11.2)
222
2 1
σσβ
nxx
Lln−=′−=
∂
∂ (4.11.5)
เศรษฐมตประยกตสาหรบการตลาดเกษตร 64
( )( )βσσβ
xyxLln
−′−=∂∂
∂4
2 12
(4.11.6)
( ) ( )ββσσ
σ
xyxynLln
−′−−=
∂
∂64
2 1
222
(4.11.7)
เมตรกซของอนพนธทสองจะตองเปน negative definite เมอแทนคาดวยคา β~ , 2σ~ (Judge et al., 1988: 66)
( )
∂
∂
∂∂
∂∂∂
∂
∂
∂
22
2
2
22
2
σβσ
σββLL
LL
สาหรบการหาคาเฉลยของ y ซง 1=x นน เมตรกซนมคาเทากบ
−
−
4
2
20
0
σ
σ
~
~n
n
β
~ และ 2σ~ เปนคาประมาณสาหรบพารามเตอร β และ 2σ ซงทาใหฟงกชนมคาสงสด ทงนโดยเงอนไขทสอง (อนพนธทสอง) ตองมเครองหมายเปนลบ จะสงเกตไดวา ββ ˆ~ = แตนนคอ การประมาณคาโดย MLE ใหคาเฉลยทไมเอนเอยง แตใหคาความแปรปรวนแตกตางไปจากวธกาลงสองนอยทสด ซงจะพบภายหลงวา 2σ เปนตวประมาณคาทไมเอนเอยงของ 2σ ดงนน 2σ~ จากวธ MLE จงเปนการประมาณคาทเอนเอยง อยางไรกตามเมอ n มคาใหญขน 2σ และ 2σ~ จะมคาใกลกน β
~ ไดชอวาเปนตวประมาณคาทไมเอนเอยงและมประสทธภาพ สาหรบ β และแมวาจะไมรการแจกแจงของประชากรกตาม β~ กยงคงเปนคาเฉลยของตวอยางทดทสด คอเปน Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) ของคาเฉลยของประชากร อยางไรกตามถาไมรการแจกแจงของประชากร เราจะไมสามารถระบการแจกแจงของคาเฉลยของตวอยางขนาดเลกได และไมอาจสรปไดวาในตวอยางขนาดเลก β~ จะมประสทธภาพ (ในกรณทไมรการแจกแจงของประชากรเทานน) (Jude et al., 1988: 81) และการท 2σ~ เอนเอยงนนยอมทาให 2σ~ ขาดคณสมบตความมประสทธภาพ (efficient)
บทท 4 ตวประมาณคาความควรจะเปนสงสด 65
การแจกแจงของ 2σ~ ดงกลาวขางตนวา ( ) ( ) ( ) nyynxyxy i //~~~ 22 −∑=−
′−= ββσ ซงมความ
เ อ น เ อ ย ง ท ง น เ พ ร า ะ 22 1σσ ˆ~
−=
n
n แ ล ะ ม ค า ค า ดหม า ยค อ ( )n
nE
12 −=σ~
( )
n
nE
12 −=σ 22
σσ ≠ เพอความสะดวกในการวเคราะหจงใชการแจกแจงของ 2σ ซงถารการ
แจกแจงของ 2σ กจะทราบการแจกแจงของ 2σ~ ดวย โดยคณดวยคาตวเลข ( ) nn /1−
สมการท (3.25) สามารถเขยน 2σ ไดวา
( ) ( )111
2
−=
−
′=
−
−′
−=
n
uMu
n
uu
n
xyxy ˆˆˆˆˆˆˆ
ββσ (4.12)
ตวเศษของสมการ (4.12) อยในรปแบบกาลงสอง (quadratic form) ซงมการแจกแจงแบบปกตดวย คาเฉลย = 0 และความแปรปรวนรวม (covariance matrix) Ισ 2= เมอ M เปนไดเดมโพเทน (idempotent) ( MM =2 ) ซงม trace = r (ตวเลขตวหนง) แลว ถาหาร uMu ˆˆ ดวย 2σ จะได
( )2
2 r
uMuχ
σ~
ˆˆ ′
เมอ ( )2rχ เปนสญลกษณของตวแปรทมการแจกแจงแบบไค-สแควดวยดกรอสระ r=
คณสมบตของไค-สแคว คอ กาลงสองของตวแปรสมแจกแจงแบบปกตยกกาลงสองนนคอ ถาให ( )10 ,Nz ~ แลว 2z จะมการแจกแจงเปนไค-สแควดวยดกรอสระเทากบ 1 หรอเขยนวา ( )
2rχ
ถา ( )rz,,zz K1=′ เปนเวคเตอรของตวแปรแจกแจงแบบปกต ( )10 ,N แลว zz ′ มการแจกแจงเปนไค-สแคว ( )
2rχ ซง ( )
2rχ มคาเฉลย r= และมความแปรปรวน r2=
การแจกแจงของ 2χ ไมสมมาตรดงรปท 4.4 แต pdf จะมรปรางสมมาตรขนเมอคาดกรอสระสงขน และคลายกบการแจกแจงแบบปกต จากการใชคณสมบตของตวแปร 2χ ทาใหเหนวา
( )( ) ( )11 222 −−= nn χσσ /ˆ (4.13)
ซงหมายความวา 2σ เทากบ ( )12 −n/σ คณดวยตวแปรสมทมการแจกแจงไค-สแคว คาเฉลยของ 2σ คอ
( )( )21
2
12
−
−=
nEn
E χσ
σ (4.14)
เศรษฐมตประยกตสาหรบการตลาดเกษตร 66
( ) 22
11
σσ
=−
−= n
n
และความแปรปรวนของ 2σ หรอ ( )( )
( )121 2
22 −⋅
−= n
nvar
σσ (4.15)
(หมายเหต : ถา a และ b เปนคาคงท และ y เปนตวแปรสม, ( ) ( )yvarabyavar 2=+ ซง a และ b ไมมความแปรปรวน)
จาก (4.15) สามารถแสดงไดทนทวา ( ) ( )2
122
−nn χσσ /~~ และมคาเฉลย ( ) 21σ
n
n −= คา
ความแปรปรวน ( )2
4 12
n
n −= σ
( )2χf 1=r
5=r 10=r
2χ
รปท 4.4 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมแจกแจงไค-สแคว ดวยดกรอสระตางๆ การประเมนความมประสทธภาพโดยวธ Cramer-Rao กลาวโดยยอๆ วา ตวประมาณคาตวหนง, θ , จะมประสทธภาพ เมอ ( ) θθ =ˆE และ
( ) ( )θθ~ˆ varvar ≤ เมอ θ~ เปนตวประมาณคาทไมเอนเอยงใดๆ สาหรบอสมการ Cramer-Rao
(Cramer-Rao inequality) เปนเครองมอหนงทเพยงพอในการตดสนความมประสทธภาพของตวประมาณคา กลาวคอ ถาให y เปนตวแปรสมทม pdf ( )θyf ถา nyy K1 เปนตวอยางสม และ joint pdf ของตวอยางขนาด n= คอ
( ) ( ) ( )∏=∫==
n
in yfy,,yyf
11 θθθ K
บทท 4 ตวประมาณคาความควรจะเปนสงสด 67
โปรดระลกวา ( )θyf คอ joint pdf ของ θ ทไมรคาเมอใหคา iy หรอสงเกต iy หรอสงเกต iy จากตวอยางไดในรปของ ( )yL θ เมอให ( )θL เปน natural log ของฟงกชนความควรจะเปนแลว Cramer-Rao inequality กลาววา ถา θ เปนตวประมาณคาทไมเอนเอยงของ θ ดงนน
( )( )
−
≥
2
2
1
θ
θθ
d
LdE
var ˆ
ซงหมาความวา ถา θ ซงไมเอนเอยง มความแปรปรวนเทากบ ( )221 θdLdE //− ซงถอวาเปนเสนกรอบลางสด (lower bound) ทเรยกวา Cramer-Rao lower bound (CRLB) แลวถอวา θ มประสทธภาพ เพราะไมม var ใดทจะตาไปกวานได (สาหรบตวประมาณทไมเอนเอยง) นคอเงอนไขทเพยงพอ แตไมจาเปน (sufficient but not necessary condition) ทงนเปนไปไดวาอาจไมมตวประมาณคาทไมเอนเอยงใดเลยทมคาเลกเทาๆ กบ CRLB สาหรบตวแปรสมทมการกระจายแบบปกต ( )2σβ ,Ny ~ ซงประมาณดวยวธ MLE,
( ) ββ =~E และ ( )
nvar
22 σ
σβ == ~~ นน Cramer-Rao lower bound หาไดจากอนพนธทสอง
ของ MLE นนคอ
( )
∑=
∑=
==
n
ii
n
ii yvar
nnyvarvar
121
1/~
β
( )nn
nyvar
ni
2
2
2
2
1 σσ==∑′=
n
d
LdE
2
2
2
1 σ
β
=
−
เมอ β~ เปนตวประมาณคาทไมเอนเอยงและมความแปรปรวนเทากบ CRLB จงสรปไดวา β~ เปน best unbiased estimator ของคาเฉลยของประชากรทมการแจกแจงปกต เมอรคา 2σ (Judge et al., 1988: 75) (ไมวาตวประมาณคาจะเปนเชงเสนหรอไมกตาม (Judge et al., 1982: 48) แมวา CRLB จะเปนมพลงแตใชยากในบางกรณ และเพราะวาเปนเงอนไขทไมจาเปนสาหรบการตดสนความมประสทธภาพ นอกจากนยงตองรการแจกแจงของประชากรดวย CRLB จงไมไดรบความนยมเทาทควร
เศรษฐมตประยกตสาหรบการตลาดเกษตร 68
บทสรป บทนแนะนาใหผอานไดรจกกบหลกเกณฑหรอตวประมาณคาอกตวหนงซงมการใชกนแพรหลาย อกวธหนงและเปนทางเลอกในกรณทตวประมาณคาทใชหลกเกณฑกาลงสองนอยทสด (LS) ไมสามารถใชงานได วธนเรยกวา Maximum Likelihood Estimator (MLE) ซงใชหลกเกณฑในการหาคาสถตคอคาเฉลยและคาความแปรปรวนของตวแปรสม โดยคาทไดเกดจากความเปนไปไดสงสดของการทขอมลชดนนๆ (ททาการศกษา) เกดขนมาได การใชวธการ MLE มเงอนไขเพมเตมจากวธ LS กคอ เรารการแจกแจงของตวแปรสม ซงมลกษณะเปนการแจกแจงปกต และแตละหนวยสงเกตตางเปนอสระตอกนแตมลกษณะการแจกแจงอยางเดยวกน ผลการประมาณดวยวธ MLE ตางจากวธ LS ตรงทคาประมาณของความแปรปรวน (variance) มอคต (biased) แตเปนคาอคตทมรปแบบแนชด และสามารถปรบใหปลอดจากอคตได โดยเปรยบเทยบกบวธ LS ซงไมมอคตแลว เราสามารถปรบคาความ
แปรปรวนดวยความสมพนธ คอ 22 1σσ ˆ
n
n~
−= เมอ 2σ~ และ 2σ คอคาประมาณจาก MLE
และ LS ตามลาดบ นอกจากวธประมาณคาแลวผอานยงไดรจกการแจกแจงของคาประมาณ 2σ~ และ 2σ อกดวย วธการ MLE ในบทนเหมอนกบวธ LS ในบทท 3 ตรงทเปนการประมาณคาเฉลยและความแปรปรวนของตวแปรสม โดยไมมตวแปรอธบาย ซงหลกเกณฑของตวประมาณคาทงสองวธนจะนาไปขยายผลโดยใชกบแบบจาลองเศรษฐมตทมตวแปรอธบายพฤตกรรมของตวแปรสม ( )y ในบทตอๆ ไป