Profs.: Alejandra Peralta, Arturo Bernal

Guía N° 3 , Cálculo 2 EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

1.- Hallar los máximos y mínimos absolutos para la función dada en el intervalo dado,

trace la gráfica correspondiente:

a) 4,253)( enxxf

b) 5,142)( 2 enxxxf

c) 3,21

)( enx

xf

d)

3,

3

2cos2)(

enxxf

e)

4

3,03)(

ensenxxf

f) 6,04)( enxxf

2.- Encuentre los intervalos de monotonía de la función dada

a) 168)( 24 xxxf b) xxxxf 93)( 23

c) xxxxf 93)( 23

d) 234

41)( xxxxf

e) 143

5

5)(

35

xxx

xf

f) 2205)( 35 xxxxf

3.- Verifique si se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle para la función dada en el

intervalo dada. Luego, halle un valor adecuado para que c satisfaga la conclusión del

teorema:

a) 2,122)( 23 enxxxxf b) 2

,02)( enxsenxf

c) 2

32

2 ,cos3)( enxxf

d) 1,012)( 2 enxxxf

4.- Verifique que se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio para la función

dada en el intervalo dada. Luego, halle un valor adecuado para que c satisfaga la conclusión

del teorema:

a) 1,23)( 23 enxxxxf b) 2

,01)( ensenxxf

c) 6,27

4)(

2

enx

xxxf

d) 4,33

12)(

2

en

x

xxxf

5.- Determine los máximos y/o mínimos relativos (locales) para cada una de las funciones

dadas:

a) 35 53)( xxxf b) 3/23)( xxf

c) x

xxf1

)(

d)x

xxf8

)( 2

6.- Encuentre los intervalos de concavidad de la función dada, indique el o los puntos de

inflexión (si existen):

a) 168)( 24 xxxf b) xxxxf 93)( 23

c) xxxxf 93)( 23

d) 234

41)( xxxxf

e) 143

5

5)(

35

xxx

xf

f) 2205)( 35 xxxxf

7.- Trace la gráfica de las siguientes funciones, analizando los intervalos de monotonía,

máximos y/o mínimos relativos, intervalos de concavidad, asíntotas horizontales y/o

verticales:

a)1

1)(

2

x

xxxf b)

1

2)(

2

x

xxf

c) xx

xxf

2

12)(

2

2

d) 234

41)( xxxxf

e) 143

5

5)(

35

xxx

xf

f)12

452)(

2

23

xx

xxxxf

PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS

1. Una página ha de contener 30 cm2 de texto. Los márgenes superior e inferior son de

2 cm y los laterales de 1 cm. Hallar las dimensiones de la página que ahorra más

papel.

2. Se forman triángulos rectángulos en el primer cuadrante limitados por los ejes

coordenados y por una recta que pasa por el punto (2, 3). Hallar los vértices del

triángulo de área mínima.

3. Un rectángulo está limitado por el eje X y por el semicírculo 225 xy ¿Qué

magnitudes debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?

4. Hallar las dimensiones del trapecio de mayor área que puede inscribirse en un

semicírculo de radio r

5. Una figura está formada uniendo dos semiesferas a los extremos de un cilindro

circular recto. El volumen de la figura ha de ser de 12 cm3. Hallar el radio del

cilindro que minimiza el área de dicha figura.

6. Una viga de madera tiene sección rectangular. La resistencia de la viga es

directamente proporcional al ancho w y al cuadrado de la altura. ¿Cuáles son las

dimensiones de la viga más resistente que se puede cortar de un tronco de 24 cm de

diámetro?

7. Se van a usar 300 m de tela de alambre para construir seis jaulas de un zoológico,

como se muestra en la figura. Calcule las dimensiones para las que el área que

abarcan las jaulas es máxima.

8. Se va a construir una armazón para embalaje con un trozo de madera con sección

cuadrada de 2 pulgadas por 2 pulgadas y 24 pies de largo. El embalaje va a tener

extremos cuadrados, como se muestra en la figura. Calcule las dimensiones que

producen el máximo volumen exterior.

9. Se desea acotar un terreno rectangular de 1800 pies3 limitando con un río (recto). Si

los otros tres lados se cercan. ¿Cuál es el mínimo perímetro de valla y cuáles son

las dimensiones de ese terreno óptimo?

10. Se va a construir un corral doble en forma de dos rectángulos idénticos con un lado

común. Si se dispone de 120 pies de valla. Hallar las dimensiones que maximizan el

terreno

11. Se desea construir una caja sin tapa con una cartulina de 6 cm por 10 cm cortando

en sus esquinas 4 cuadrados iguales y doblando los lados hacia arriba. Hallar la

altura de la caja que maximiza el volumen.

12. Una conducción de agua potable fluye en dirección Este – Oeste. Una ciudad desea

conectar a ella dos nuevas poblaciones a partir de un mismo punto P de esa

conducción. La población A está a 3 millas al Sur de la conducción y la población B

está a 4 millas al Sur de la conducción y a 5 millas al Este de A. Hallar el punto P

que minimiza la longitud total de las conexiones.

13. Una lata de refresco debe contener 320 c.c. La tapa y el fondo son de grosor doble

que el lateral. Hallar las dimensiones de la lata que requiere la mínima cantidad de

material.

14.

Una ventana de Norman consta de un

semicírculo sobre un rectángulo (como

indica la figura). Se dispone de 28

[m] de madera para el marco. Hallar las

dimensiones que maximiza el área.