MatematykaPoziom podstawowy

i rozszerzony

Maturalne

137704_ABC Matural MATEMAT.indd 1 2009-04-20 10:29:32

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) = x - x3.

Naszkicuj wykresy funkcji f1(x) = -f(x), f2(x) = f(-x), f3(x) = -f(-x)i wska˝, która z tych funkcji jest równa funkcji f.

Funkcja f dana jest wzorem f(x) = 1

x2 , x ∈ R \ {0}. Wyka˝ algebraicznie i graficznie, ˝e f(-x) = f(x).

Dana jest funkcja f, której zbiorem wartoÊci jest przedzia∏ 〈0; +∞). Wykres funkcji f poddano jed-

nemu z ni˝ej wymienionych przekszta∏ceƒ i uzyskano wykres funkcji g. Wska˝ te przekszta∏cenia, dla któ-

rych zbiory wartoÊci funkcji f i g sà równe.

a) przesuni´cie o wektor [m, 0], m �= 0 b) przesuni´cie o wektor [0, m], m �= 0c) odbicie symetryczne wzgl´dem osi x d) odbicie symetryczne wzgl´dem osi y

Funkcja f jest funkcjà rosnàcà w przedziale (-∞; m〉 i malejàcà w przedziale 〈m; +∞). Podaj prze-

dzia∏y monotonicznoÊci funkcji – f.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

Dziedzinà funkcji f jest przedzia∏ 〈-2; 2〉. Naszkicuj

wykres funkcji g(x) = |f(x)|.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, której dziedzinà jest zbiór liczb rzeczywistych.

a) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = |f(x)|.b) Dla jakich wartoÊci a, b zachodzi wzór f(x + a) + b = f(x)?

4.41R

4.40R

R Szkicowanie wykresów funkcji y = |f(x)| na podstawie wykresu funkcji y = f(x).

4.39R

4.38R

4.37R

4.36R

www.wsip.pl 45

4. Funkcje

Szkicowanie wykresu funkcji y = |f(x)||f(x)| =

{f(x) dla f(x) � 0

-f(x) dla f(x) < 0

Dziedzinà funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, f(3) = -4, funkcja jest malejàca w przedziale

(-∞; 3) i rosnàca w przedziale 〈3; +∞). Funkcja g dana jest wzorem g(x) = f(x) + 4. Naszkicuj wykres ta-

kiej funkcji f, aby warunek g(x) = |g(x)| nie by∏ spe∏niony dla ka˝dego x.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

Dziedzinà tej funkcji jest przedzia∏ 〈0; 6).a) Naszkicuj wykres funkcji g danej wzorem g(x) = |f(x + 2)|.b) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji g.

Podaj wzory funkcji f1, f2, f3, f4, wiedzàc, ˝e ich wykresy powsta∏y z wykresu funkcji f(x) = 2x

.

a) b)

c) d)

4.44R

4.43R

R Szkicowanie wykresów funkcji, b´dàcych efektem wykonania kilku operacji,np. y = f|(x + 2) − 3|, na podstawie wykresu funkcji y = f(x).

4.42R

46

Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony

Na rysunkach naszkicowano wykresy czterech funkcji. Dopasuj wzory funkcji do wykresów.

f(x) = |x3 - 4x2 - x + 4| g(x) = |x3 + 4x2 - x - 4|h(x) = -|x3 - 4x2 - x + 4| + 2 k(x) = -|x3 - 4x2 - x + 4| - 2

a) b)

c) d)

Dane sà funkcje W(x) = |x3 - 2x2 - 11x + 12| dla x ∈ R oraz H(x) = W(x + a) + b. Wyznacz warto-

Êci a i b, wiedzàc, ˝e H(7) = 2 i H(x) � 2 dla x ∈ R.

Wyznacz wartoÊci a, p, q, wiedzàc, ˝e funkcja f dana wzorem f(x) =∣∣∣ a

x - p+ q

∣∣∣ o dziedzinie R \ {3}jest rosnàca w przedziale 〈2; 3), malejàca w przedzia∏ach (-∞; 2〉 oraz (3; +∞) oraz f(0) = 2.

Dziedzinà funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbadaj graficznie, dla ilu ró˝nych argumentów

wartoÊç funkcji f jest równa a.

a) f(x) = |x| + 3, a =√

10b) f(x) = -|x + 2| - 1, a = log3 0,(3)

c) f(x) = ||x - 2| - 3|, a = log 4√

5

√5

d) f(x) = |||x - 4| - 4| - 2|, a = 3√

7

4.48R

4.47R

4.46R

4.45R

www.wsip.pl 47

4. Funkcje

Dane sà funkcje f(x) =√

3x - 3 i g(x) = -√

3x - 3. Uzasadnij, ˝e trójkàt ograniczony wykresami

tych funkcji i osià x jest równoboczny.

Funkcja liniowa f ma wzór f(x) = (-2p + 7)x - 4. Dla jakich wartoÊci p:

a) funkcja f jest nierosnàca,

b) miejscem zerowym funkcji f jest x0 = 2?

Funkcja liniowa g dana jest wzorem g(x) = (m2 - 8)x. Dla jakich wartoÊci m funkcja f jest malejàca?

Jakie warunki spe∏niajà wspó∏czynniki a i b we wzorze funkcji f(x) = ax + b, je˝eli wiadomo, ˝e:

a) nierównoÊç f(x) < 0 nie ma rozwiàzania,

b) zbiorem rozwiàzaƒ nierównoÊci f(x) < 0 jest zbiór niepusty?

Wyznacz wzór funkcji liniowej, tak aby spe∏nione by∏y warunki f(x1) - f(x2) = k(x1 - x2) dla dowol-

nych x1, x2 ∈ Df i f(k2) = 0.

Wektor -fia = [3, -1] jest zaczepiony w punkcie M = (-4, 2). Niech (x, y) oznacza wspó∏rz´dne koƒ-

ca dowolnego wektora równoleg∏ego do wektora -fia i zaczepionego w punkcie M. Zapisz y jako funkcj´ x.

Naszkicuj wykres funkcji f.

a) f(x) = -x2 + 4 b) f(x) = 32x2 c) f(x) = (x - 2)2 + 5

d) f(x) = 2x2 + x e) f(x) = x2 + 2x + 1 f) f(x) = x2 - 9

Funkcja f ka˝dej liczbie rzeczywistej x z przedzia∏u 〈-3; 3〉 przyporzàdkowuje jednà trzecià kwadra-

tu tej liczby.

a) Podaj wzór funkcji f.b) Naszkicuj wykres funkcji f.c) Odczytaj z wykresu najwi´kszà oraz najmniejszà wartoÊç funkcji f.

Funkcja f dana jest wzorem f(x) =

⎧⎨⎩ x2 dla |x| � 2

a dla |x| < 2. Dla jakiej wartoÊci parametru a zbiór wartoÊci

funkcji f jest przedzia∏em 〈4; +∞)?

Dana jest funkcja f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩-1 dla x < -2

3 - x2 dla -2 � x � 2

x - 3 dla x > 2

. Funkcja g(x) = |f(x)|. Podaj wszystkie wartoÊci p,

dla których równanie g(x) = p ma co najmniej trzy rozwiàzania.

4.89R

4.88

4.87

4.86

Sporzàdzanie wykresów funkcji kwadratowych.

4.85R

4.84R

4.83

4.82

4.81

4.80

52

Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony

Zapisz w postaci ogólnej wzór funkcjikwadratowej f, wiedzàc, ˝e:

a) a = 3, b = -5, wykres funkcji przecina oÊ yw punkcie o wspó∏rz´dnych (0, 6),

b) a = -1, b =√

11, f(0) = 0.

Zapisz w postaci ogólnej wzór funkcjikwadratowej, wiedzàc, ˝e jej wykres przecho-

dzi przez punkty o podanych wspó∏rz´dnych.

a) (0, 1), (1, 6), (-1, 0)b) (-1, 0), (1, 0), (0, -3)

Zapisz w postaci ogólnej wzór funkcjikwadratowej f, wiedzàc, ˝e f(1) = -2,f(-1) = -4, f(0) = -1.

Znajdê wspó∏rz´dne wierzcho∏ka paraboli.

a) y = 5x2 - 25x + 5 b) y = x2 - 16x + 64

Parabol´ o równaniu y = 2(x + 1)2 - 4 przesuni´to o jednà jednostk´ w lewo wzd∏u˝ osi x i o jednàjednostk´ w dó∏ wzd∏u˝ osi y. Znajdê wspó∏rz´dne wierzcho∏ka paraboli, którà otrzymano w wyniku tego

przesuni´cia.

Dopasuj wzory do wykresów funkcji.

f(x) = x2 - 4x + 3, g(x) = x2 + 1, h(x) = -x2 - 2x - 1, k(x) = -x2 + 1

a) b) c) d)

4.95

4.94

4.93

4.92

4.91

4.90

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

www.wsip.pl 53

4. Funkcje

Funkcja kwadratowa

okreÊlona jest wzorem f(x) = ax2 + bx + c dla a �= 0.

Jest to zapis funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Wspó∏rz´dne wierzcho∏ka paraboli

xw = - b2a

, yw = -Δ4a

,

gdzie Δ = b2 - 4ac.

Przesuni´cie wykresu funkcji kwadratowej

Funkcj´ f(x) = ax2 + bx + c mo˝na przedstawiç

w postaci kanonicznej f(x) = a(x - xw)2 + yw,

gdzie xw, yw – wspó∏rz´dne wierzcho∏ka paraboli.

Wykres tej funkcji uzyskuje si´ z przesuni´cia wykresu

funkcji y = ax2 o xw wzd∏u˝ osi x i o yw wzd∏u˝ osi y.

Jest to przesuni´cie o wektor [xw, yw].

Proste k i l sà równoleg∏e. Uzasadnij, ˝e narysowane figury

majà równe pola.

Oblicz, o ile procent zwi´kszy si´ pole figury F, je˝eli F jest:

a) kwadratem i d∏ugoÊç boku zwi´kszono o 20%,

b) prostokàtem i krótszy bok wyd∏u˝ono o 40%, a d∏u˝szy bok skrócono o 20%,

c) równoleg∏obokiem i podstaw´ skrócono o 15%, a wysokoÊç wyd∏u˝ono o 30%,

d) trapezem i ka˝dà z podstaw wyd∏u˝ono dwukrotnie, a wysokoÊç nie uleg∏a zmianie.

D∏ugoÊci boków trapezu równoramiennego pozostajà w stosunku 4 : 3 : 3 : 2. Obwód trapezu jestrówny 36. Oblicz:

a) d∏ugoÊci boków tego trapezu, b) pole powierzchni tego trapezu.

Oblicz pole deltoidu:

a) o przekàtnych d∏ugoÊci 10 i 14,

b) w którym stosunek d∏ugoÊci przekàtnych wynosi 4 : 1, a suma ich d∏ugoÊci jest równa 20.

Przekàtne deltoidu ABCD przecinajà si´ punkcie S. Ponadto |AD| = |CD| = 5, |AS| = 3, |BS| = 9.

Oblicz pole i obwód tego deltoidu.

W równoleg∏oboku d∏u˝sza przekàtna o d∏ugoÊci 20 tworzy z d∏u˝szà podstawà kàt o mierze 20◦.Oblicz, z dok∏adnoÊcià do 0,01, wysokoÊç tego równoleg∏oboku.

W równoleg∏oboku o obwodzie 56 jeden bok jest o 200% d∏u˝szy od drugiego, a kàt ostry mi´dzy

bokami tego równoleg∏oboku ma miar´ 35◦. Oblicz:

a) d∏ugoÊci boków tego równoleg∏oboku,

b) pole tego równoleg∏oboku (podaj wynik z dok∏adnoÊcià do 0,01).

7.42

7.41

7.40

7.39

7.38

7.37

7.36

Znajdowanie zwiàzków miarowych w figurach p∏askich, tak˝e z zastosowaniemtrygonometrii, równie˝ w zadaniach umieszczonych w kontekÊcie praktycznym.

88

Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony

Pola figur

P = ah P = (a + b) · h2

P = ah P = ef2

P = ef2

romb deltoid

równoleg∏obok

trójkàt

trapez

P = ah2

P = ab sina2

W trapezie równoramiennym podstawy majà d∏ugoÊci 10 cm i 24 cm, rami´ ma d∏ugoÊç 8 cm. Oblicz:

a) cosinus kàta ostrego tego trapezu,

b) tangens kàta ostrego tego trapezu (podaj wynik z dok∏adnoÊcià do 0,01),

c) przybli˝onà miar´ kàta rozwartego tego trapezu (podaj wynik w pe∏nych stopniach),

d) pole tego trapezu (podaj wynik dok∏adny w centymetrach kwadratowych i wynik przybli˝ony w pe∏nych

milimetrach kwadratowych).

Obwód prostokàta jest równy 70, a przekàtna ma d∏ugoÊç 25. Znajdê d∏ugoÊci boków tego prostokàta.

Znajdê d∏ugoÊci boków prostokàta o polu powierzchni 15 cm2 i obwodzie 32 cm.

WÊród prostokàtów o obwodzie równym 16, znajdê prostokàt o najwi´kszym polu.

Obwód prostokàta P jest równy 40. Budujemy kwadrat K, którego bok ma d∏ugoÊç równà d∏ugoÊciprzekàtnej prostokàta P. Dla jakich d∏ugoÊci boków prostokàta P kwadrat K ma najmniejsze pole?

W okràg o promieniu 3 wpisano prostokàt ABCD, w którym |AB| = x. Nast´pnie zbudowano kwa-

drat tak, aby odcinek BC by∏ jego przekàtnà. Napisz wzór funkcji P, opisujàcej pole uzyskanego kwadratu

w zale˝noÊci od zmiennej x. OkreÊl dziedzin´ tej funkcji i naszkicuj jej wykres.

Oblicz, dla jakich wartoÊci p liczby p + 2, p, 10 sà d∏ugoÊciami boków:

a) trójkàta, b) trójkàta równoramiennego.

Pi´ciokàt wypuk∏y ABCDE ma obwód 42 dm. Obwód czworokàta ABCD jest równy 40 dm, obwódtrójkàta AED jest równy 26 dm. Wyznacz d∏ugoÊç przekàtnej AD.

Dane sà trzy odcinki o d∏ugoÊciach x, y i z. Sprawdê, czy z tych odcinków mo˝na zbudowaç trójkàt.Je˝eli tak, to sprawdê, czy jest to trójkàt prostokàtny.

a) x = 5, y = 2, z = 2 b) x = 5, y = 4, z = 2

c) x =√

3, y =√

7, z =√

10 d) x = 3√

2, y =√

5 + 2, z =√

5 - 2

Znajdê d∏ugoÊç odcinka, oznaczonà na rysunku literà x.

a) b) c) d)

Liczby x - 7, x, x + 1 sà d∏ugoÊciami boków trójkàta prostokàtnego. Wyznacz x.

Dwusieczne trójkàta ABC przecinajà si´ w punkcie D. Uzasadnij, ˝e kàt ADB jest rozwarty.7.54

7.53

7.52

7.51

7.50

7.49

7.48

7.47

7.46

7.45

7.44

7.43

www.wsip.pl 89

7. Planimetria

Punkt P le˝y na symetralnej odcinka AB. Znajdê odleg∏oÊç punktu P od Êrodka S odcinka AB,wiedzàc, ˝e:

a) |AB| = 10, |AP| = 6, b) | )<APB| = 120◦, |BP| = 4,

c) |PS| = 12|AB|, |AP| = 4, d) |AB| = 8, punkt P le˝y na okr´gu o Êrednicy |AB|.

Dany jest trójkàt prostokàtny o przyprosto-

kàtnych d∏ugoÊci |AB| = 4 i |BC| = 10. Wyznacz d∏u-

goÊci Êrodkowych trójkàta ABC, poprowadzonych

z wierzcho∏ków A i C.

Trójkàt ABC jest wpisany w okràg o Êrodku S.

Ponadto | )<ASC| = 140◦, | )<ASB| = 120◦. Wyznacz

miar´ kàta SBC.

W trójkàcie równoramiennym ABC|AC| = |BC| = 4 oraz |AB| = 6. Oblicz promieƒ

okr´gu opisanego na tym trójkàcie.

Punkt O jest Êrodkiem okr´gu wpisanegow trójkàt ABC. Znajdê miar´ kàta AOB wiedzàc, ˝e:

a) | )<CAB| = 40◦ i | )<ABC| = 80◦,

b) | )<ACB| = 140◦ i |AC| = |CB|.

Wyka˝, ˝e pole trójkàta jest równe p · r, gdziep – po∏owa obwodu trójkàta, r – promieƒ okr´gu wpi-

sanego w ten trójkàt.

Oblicz promieƒ okr´gu wpisanego w trójkàtprostokàtny o przyprostokàtnych d∏ugoÊci 6 cm,

8 cm.

Z wierzcho∏ków trójkàta zakreÊlono trzyokr´gi (wierzcho∏ki trójkàta sà Êrodkami okr´gów),

parami styczne zewn´trznie. Promienie tych okr´gów

sà równe 3 cm, 4 cm i 5 cm. Wyznacz d∏ugoÊci boków

tego trójkàta.

Z wierzcho∏ków trójkàta ABC, w którym

|AB| = 6, |AC| = |BC| = 8, zakreÊlono trzy okr´gi.

Okr´gi o Êrodkach w punktach A i B sà styczne ze-

wn´trznie. RównoczeÊnie oba te okr´gi sà styczne

wewn´trznie do okr´gu o Êrodku w punkcie C. Wy-

znacz promienie tych okr´gów.

Dane sà dwa okr´gi styczne wewn´trznie.Promieƒ wi´kszego okr´gu jest równy 10, odleg∏oÊç

mi´dzy Êrodkami okr´gów jest równa 6. Ze Êrodka

wi´kszego okr´gu poprowadzono styczne do mniej-

szego okr´gu. Wyznacz przybli˝onà miar´ kàta mi´-

dzy tymi stycznymi. Wynik zaokràglij do pe∏nych

stopni.

7.64

7.63

7.62

7.61

7.60

7.59

7.58

7.57

7.56

7.55

90

Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony

Ârodkowa trójkàta

to odcinek, ∏àczàcy wierzcho∏ek trójkàta

ze Êrodkiem przeciwleg∏ego boku.

Okràg opisany na trójkàcie

Symetralne boków trójkàta przecinajà si´

w jednym punkcie. Jest to Êrodek okr´gu

opisanego na tym trójkàcie.

Okràg wpisany w trójkàt

Dwusieczne kàtów trójkàta przecinajà si´

w jednym punkcie. Jest to Êrodek okr´gu

wpisanego w ten trójkàt.

StycznoÊç dwóch okr´gów

Okr´gi styczne

zewn´trznie

|S1S2| = r1 + r2

Okr´gi styczne

wewn´trznie

|S1S2| = |r1 - r2|

Pole ko∏a o promieniu 3 jest równe polu pewnego kwadratu. Znajdê d∏ugoÊç boku tego kwadratu.Podaj wynik dok∏adny oraz przybli˝ony z dok∏adnoÊcià do 0,01.

Rura o Êrednicy 2 m b´dzie pokryta warstwà izolacyjnà o gruboÊci 80 mm. O ile wzroÊnie pole prze-kroju poprzecznego rury?

Oblicz pole i obwód ko∏a. Oblicz obwód ko∏a.

a) b) a) b)

Na trójkàcie prostokàtnym, o przyprostokàt-nych d∏ugoÊci a i b, w którym a + b = L = const, opi-

sujemy okràg. Uzasadnij, ˝e pole ko∏a, ograniczone-

go takim okr´giem, jest równe co najmniej pL2

8.

Dwa ko∏a majà jeden punkt wspólny, a sumad∏ugoÊci ich Êrednic jest równa 20.

a) Podaj wzór funkcji P, okreÊlajàcej sum´ pól tych

kó∏ w zale˝noÊci od promienia r jednego z nich.

OkreÊl dziedzin´ funkcji P.

b) Dla jakich wartoÊci promieni obu kó∏ suma ich

pól jest najmniejsza?

Znajdê pole zaznaczonego wycinka ko∏a.

a) b)

Oblicz pole zamalowanej figury.

a) b) c)

d)

7.72

7.71

7.70

7.69

7.687.67

7.66

7.65

www.wsip.pl 91

7. Planimetria

Pole ko∏a o promieniu r jest równe pr2.

Obwód ko∏a o promieniu r jest równy 2pr.

Dla wycinka ko∏a o promieniu r, kàcie

Êrodkowym a, polu P i ∏uku d∏ugoÊci Lzachodzà proporcje:

a

360◦= P

pr2

a

360◦= L

2pr

Dany jest trójkàt równoboczny o polu 9√

3.

Oblicz:

a) wysokoÊç tego trójkàta,

b) promieƒ okr´gu opisanego na tym trójkàcie,

c) promieƒ okr´gu wpisanego w ten trójkàt.

Niech P1 oznacza pole ko∏a opisanego na

trójkàcie równobocznym, a P2 – pole ko∏a wpisanego

w ten trójkàt. Wyznacz P1

P2.

Z blachy, w kszta∏cie wycinka ko∏a o kàcie

Êrodkowym 60◦ i promieniu 30 dm, chcemy wyciàç

tarcz´ w kszta∏cie ko∏a. Wyznacz powierzchni´ naj-

wi´kszej takiej tarczy. Wynik zaokràglij do pe∏nych

centymetrów kwadratowych.

Ciàg (pn) to ciàg pól powierzchni szeÊciokàtów foremnych, których obwody sà kolejnymi wielokrot-

noÊciami liczby 6. Zapisz wzór na wyraz ogólny ciàgu (pn).

W trójkàt równoboczny o boku d∏ugoÊci a wpisano ko∏o K. Oblicz obwód ko∏a stycznego zewn´trz-nie do ko∏a K i do dwóch boków trójkàta.

Przekàtne prostokàta o d∏ugoÊci 8 tworzà kàt 60◦.Znajdê pole tego prostokàta.

Boki oÊmiokàta foremnego, wpisanego w okràg o promieniu 2, przed∏u˝ono, uzyskujàc gwiazd´ równoramiennà. Oblicz pole tej gwiazdy.

Na podstawie danych z rysunków oblicz pole trapezu i pole rombu.

a) b)

W rombie ABCD d∏ugoÊç boku wynosi 1, a | )<BAD| = 45◦. Niech S oznacza punkt przeci´cia dwu-

siecznych kàtów wewn´trznych tego rombu. Oblicz pole trójkàta ASD.

Oblicz w przybli˝eniu obwód trójkàta.

a) b)

7.82

7.81

7.80

7.79

7.78

7.77

7.76

7.75

7.74

7.73

92

Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony

Dla trójkàta równobocznego o boku azachodzà wzory

h =a√

3

2, P =

a2√

3

4, r = 1

3h, R = 2

3h,

gdzie:

h – wysokoÊç trójkàta,

P – pole powierzchni trójkàta,

r – promieƒ okr´gu wpisanego w trójkàt,

R – promieƒ okr´gu opisanego na trójkàcie.

Nachylenie drogi na znakach drogowych jest podawane w procentach.

Nachylenie p% oznacza, ˝e tangens kàta nachylenia drogi do poziomu wynosi

(w przybli˝eniu) p

100. Uzupe∏nij tabliczki ostrzegawcze na znakach drogowych.

a) b)

W trójkàcie ABC dane sà |AB| = 5, |AC| = 4, | )<CAB| = 45◦. Znajdê pole tego trójkàta.

Boki równoleg∏oboku majà d∏ugoÊci 6 i 4, a kàt rozwarty w tym równoleg∏oboku ma 150◦. Znajdêpole tego równoleg∏oboku.

WysokoÊç trójkàta równoramiennego ABC, opuszczona z wierzcho∏ka C na podstaw´ AB, ma d∏u-

goÊç 2, a kàt przy wierzcho∏ku C ma 120◦. Proste, zawierajàce wysokoÊci tego trójkàta, przecinajà si´

w punkcie S. Znajdê wysokoÊç trójkàta ABS, opuszczonà z wierzcho∏ka S.

Trójkàt jest zawarty w kwadracie o boku d∏ugoÊci 1. Wyka˝, ˝e pole tego trójkàta jest mniejsze od si-nusa dowolnego kàta tego trójkàta.

W trapezie równoramiennym podstawa górna ma d∏ugoÊç a, podstawa dolna jest dwa razy d∏u˝sza

ni˝ podstawa górna, a kàty przy podstawie dolnej majà po 60◦. Znajdê d∏ugoÊç przekàtnej tego trapezu.

Wyka˝, ˝e pole dowolnego czworokàta wypuk∏ego jest nie wi´ksze ni˝ a · b + c · d

2, gdzie a, b, c, d –

d∏ugoÊci boków tego czworokàta.

Wyka˝, ˝e pole dowolnego czworokàta wypuk∏ego jest nie wi´ksze ni˝ c · d2

, gdzie c, d – d∏ugoÊci

przekàtnych tego czworokàta.

W czworokàcie wypuk∏ym przekàtne majà d∏ugoÊci 8 i 6, a kàt mi´dzy nimi ma 30◦. Znajdê pole

tego czworokàta.

Trójkàt ABC, o boku AB d∏ugoÊci 7, ma pole równe 14. Dla jakich wartoÊci r okràg o Êrodku w wierz-cho∏ku C i promieniu r przecina prostà, zawierajàcà bok AB, w dwóch punktach?

Dane sà dwa okr´gi wspó∏Êrodkowe O1 i O2, o promieniach odpowiednio r1 = 6, r2 = 2. Prosta l jest

styczna do okr´gu O2 i przecina okràg O1 w punktach P i Q. Oblicz |PQ|.7.93

7.92

OkreÊlanie wzajemnego po∏o˝enia prostej i okr´gu.

7.91R

7.90R

7.89

7.88

7.87

7.86

7.85

7.84

7.83

www.wsip.pl 93

7. Planimetria