matrizenrechnung - universität erfurt...= c1, 1. 8 . multiplikation einer matrix mit einem vektor...
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MATRIZENRECHNUNG
• Matrix:
542
531
A =
−
−
831125872
1053
• Allgemein: A =
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
321
2232221
1131211
m Zeilen, n Spalten
• aij: heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix)
1
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• aij ist Komponente der i-ten Zeile, j-ten Spalte • Matrix der Ordnung m,n (m×n-Matrix): A(m,n) oder Am,n
• Matrix der Ordnung 1,n heißt Zeilenvektor: (1, 12, 8, -4)
• Matrix der Ordnung m,1 heißt Spaltenvektor:
172
• Vektoren sind spezielle Matrizen
• Rechenregeln für Matrizen gelten auch für Vektoren
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RECHENREGELN FÜR MATRIZEN • Transponieren einer Matrix (Vertauschung von Zeilen und Spalten)
A3,2 =
3751023
, AT3,2 =
3527103
,
2,33,2
3751023
)( AA TT =
=
Allgemein: (AT)T = A Notation: AT oder A′
3
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Speziell gilt:
a =
765
, aT = ( )765
• Vektoren werden üblicherweise mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet
• Im Allgemeinen wird unter „Vektor x“ ein Spaltenvektor verstanden; xT ist der
zugehörige Zeilenvektor. • Es ist jedoch möglich, anders zu definieren: x = (11, 12, 13)
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ORDNUNGSBEZIEHUNGEN
A =
2221
1211
aaaa
B =
2221
1211
bbbb
A = B ⇔ ai,j = bi,j , ji,∀ bzw. a11 = b11 a12 = b12 a21 = b21
a22 = b22
d.h. alle Komponenten sind gleich
A ≤ B ⇔ ai,j ≤ bi,j ji,∀
5
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Beispiele: Zwischen den Matrizen
10001
11 und
99910
100010 besteht keine Ordnungsbeziehung.
Es gilt:
1001
11 ≠
111100
6
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ADDITION/SUBTRAKTION VON MATRIZEN
C = A+B =
++++
22222121
12121111
babababa
bzw. ci,j = ai,j + bi,j , ji,∀ Analog: D = A – B ⇔ di,j = ai,j – bi,j , ji,∀ Das heißt: • Matrizen werden komponentenweise addiert (subtrahiert) • Nur Matrizen gleicher Ordnung sind addierbar (subtrahierbar)
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MULTIPLIKATION VON VEKTOREN
( )321 ∙
654
= 1∙4 + 2∙5 + 3∙6 = 32
( )111 zyx ∙
2
2
2
zyx
= x1x2 + y1y2 + z1z2
Voraussetzung für Multiplikation: Gleiche Anzahl von Spalten (links) und Zeilen (rechts), d.h. aT
3,1 ∙ b 1,3 = c 1,1
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MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM VEKTOR
232221
131211
aaaaaa ∙
3
2
1
bbb
=
++++
323222121
313212111
babababababa
A2,3 ∙ b3,1 = c2,1
A hat 3 Spalten, b hat 3 Zeilen Am,x ∙ by,1 ist nur definiert für x = y
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MULTIPLIKATION VON MATRIZEN Am,x ∙ By,n ist nicht definiert für x ≠ y
Am,x ∙ Bx,n = Cm,n , mit c ik = ∑=
x
jjkijba
1
A = d.h. cik = ai1∙b1k + ai2∙b2k + … + aix∙bxk
b11 … b1k … b1n
b21 … b2k … b2n bx1 … bxk … bxn
a11 … a1x
ai1 … aix
am1 … amx
………cik
B =
10
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A = A 2,2 ∙ B 3,2 = C 3,2 Da A eine quadratische Matrix ist, ist auch
T2,2A ∙ B 3,2 = D 3,2 definiert.
Frage: Gilt C = D ?
1 1 2 4 3 -1
2 -1 0 1
-2 -1 5 4 3 -1 = C
B =
11
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AT = ⇒ C ≠ D Allgemein gilt: A ∙ B ≠ AT ∙ B
1 1 2 4 3 -1
2 0 -1 1
2 2 4 3 2 -3
= D
B =
12
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MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM SKALAR Beispiel:
5 ∙
987654321
=
45403530252015105
bzw. umgekehrt
1017
1005
202
103
= 101 ∙
172
113
das heißt, gemeinsame Faktoren können „ausgeklammert“ werden
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BEZIEHUNG ZWISCHEN MATRIXMULTIPLIKATION UND GLEICHUNGSSYSTEMEN • Ein Matrizenprodukt beschreibt ein Gleichungssystem Am,n · xn,1 = bm,1
⇒
nx
xx
2
1
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
321
2232221
1131211
mb
bb
2
1
14
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⇔
nx
xx
2
1
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
321
2232221
1131211
=+++
=+++=+++
mmnmnmmmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
...
...
...
2211
22222222121
11112121111
⇔ Ax=b
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Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
• Einsetzverfahren • Gleichsetzungsverfahren • Additionsverfahren • Gauß-Algorithmus
)2(2846)1(1264
21
21=−=−
xxxx
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a) Einsetzungsverfahren Aus (1) folgt:
´)1(2)6(:|4126
132
2
12xx
xx+−=
−−=−
(1´) in (2) einsetzen:
6
203
818
283886
28)322(46
1
1
11
11
=
=−
=−+
=+−−
x
x
xx
xx
61 =x in (1´) einsetzen ergibt 2x = 26322 =⋅+−
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b) Gleichsetzungsverfahren
Aus (1) folgt: ´)1(322 12 xx +−=
Aus (2) folgt:
´)2(12372
bzw.162824
xx
xx
+−=
−=−
(1´) und (2´) gleichsetzen:
)3(237
322 11 xx +−=+−
(3) nach 1x auflösen: 61 =x
61 =x in (1´) ergibt 22 =x
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c) Additionsverfahren
Ziel: Durch Multiplikation und anschließende Addition der Gleichungen soll eine Unbekannte eliminiert werden.
)'2(56812)'1(361812
)2()2(|2846)1(3|1264
21
21
21
21
−=+−=−
−⋅=−⋅=−
xxxx
xxxx
Durch Addition von Gleichung (1’) und (2’)
)'2()56812()'1(361812
21
21−=+−+
=−xxxx
ergibt sich: -10x2 = – 20 und damit x2 = 2. Einsetzen von x2 = 2 in (1) liefert x1 = 6.
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Gauß-Algorithmus/Gauß’sche Elimination • Allgemeines lineares Gleichungssystem
mnmnmm
nn
nn
baaa
baaabaaa
xxx
xxxxxx
=+++
=+++=+++
.........
...
...
2211
22222121
11212111
(System 1)
m = Anzahl der Zeilen (Gleichungen) n = Anzahl der Unbekannten
• m > n : Einige Gleichungen überflüssig oder widersprüchlich • m = n : Genau eine Lösung (sofern keine Gleichungen widersprüchlich [keine Lösung] oder überflüssig
[redundante Information, z.B. x + 3 = 5, 2x + 6 = 10]) • m<n : Unendlich viele Lösungen (wichtiger praxisrelevanter Fall im Rahmen der linearen Optimierung)
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• Lösung des allgemeinen linearen Gleichungssystems
**,2
*2,1
*1,
*2
*,22
*2,21
*1,22
*1
*,12
*2,11
*1,11
00
00000
mnnmmmmmmmm
nnmmmm
nnmmmm
bxaxaxax
bxaxaxaxbxaxaxax
=+++++
=+++++
=++++++
++++
++++
++++
(System 2)
• Das Gleichungssystem wird auf diese Form gebracht durch folgende (erlaubte) Rechnungsoperationen:
1. Multiplikation einer Zeile mit Zahl c ≠ 0 2. Addition von Zeilen
3. Vertauschen von Zeilen und/oder Spalten
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• System 2 wird auch als das „entschlüsselte“ System bezeichnet • x1, x2, …, xm heißen „Schlüsselvariablen“ („Schlüssel“) des Systems • xm+1, xm+2, …, xn heißen „freie Variablen“ des Systems • Sofern mindestens eine freie Variable existiert hat das System unendlich viele Lösungen. Durch Festlegung
des Wertes der freien Variable(n) ergibt sich eine spezielle Lösung.
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EINHEITSMATRIX UND EINHEITSVEKTOR
E2 =
1001
E3 =
100010001
En =
100
010001
• heißen Einheitsmatrix (der Ordnung 2, 3 bzw. n) • Einheitsmatrizen sind spezielle quadratische Matrizen
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Beispiele für Einheitsvektoren:
•
001
,
010
,
100
Ordnung 3
•
01
,
10
Ordnung 2
MULTIPLIKATION MIT EINHEITSMATRIZEN Für A 3,2 gilt: A 3,2 ∙ E3 = A 3,2 bzw. A ∙ E = A E2 ∙ A 3,2 = A 3,2 bzw. E ∙ A = A
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INVERSE MATRIX • Sind A und X zwei quadratische Matrizen der Ordnung n und gilt
A ∙ X = E ,
so heißt X Inverse (oder Kehrmatrix) der Matrix A und wird mit A 1− bezeichnet. Es gilt: A ∙ A 1− = E und A 1− ∙ A = E
• Berechnung der Inverse A 1− zu einer gegebenen Matrix A: Verschiedene Verfahren; eines der Verfahren basiert auf dem Gauß-Algorithmus.
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Beispiel: Inverse einer Matrix A
A =
4364
⇒ Zugehörige Einheitsmatrix: E =
1001
⇒
4364
1001
)2()1(
Durch Umschlüsselung mittels Gauß-Algorithmus bringen wir das Gleichungssystem auf die folgende Form:
1001
2221
1211
bbbb
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⇒ Matrix
2221
1211
bbbb
ist die gesuchte Inverse zur Matrix A
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