matrizen - mat.tuhh.de · t ( x ) = t (x ); 8 x 2 v ; 2 r prof. dr. mackens (technische...

Matrizen Definition und Beispiele

Vorlesung 811. bzw. 12. Dezember 2013

Matrixdarstellungenlinearer Abbildungen

Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 2 / 144


MATRIZEN

Seite 120

Sylvester [1850], Caley [1858]

A =

a11 a12 · · · a1na21 · · · · · · a2n...

...am1 · · · · · · amn

∈ R(m,n) oder C(m×n)

heißt (m,n) - Matrix (m × n - Matrix).

Elemente

aijZeilenindex↗↖ Spaltenindex

m = n⇔ quadratische Matrix.Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 3 / 144


Schreibweisen

Seite 120

A = (aij )i = 1, · · · ,mj = 1, · · · , n

A = (a1, · · · ,an), aj : =

a1j...

amj

A =

A1

...Am

, Ai : = (ai1, · · · ,ain)



Seite 121Auch Vektoren sind als Matrizen interpretierbar.

x =

x1...

xm

ist (m,1)- Matrix.

Konvention (praktische)Schreibe (Orts) - Vektoren immer als Spaltvektoren!!



Seite 121

Ai : = (ai1, · · · ,ain) wird manchmal als Zeilenvektor bezeichnet.

Bitte nicht verwirren lassen!

Wenn dieser Zeilen“vektor“ wirklich als „Vektor“ des Rn benutztwerden soll, verstehe unter Zeilenvektor

ni : = (Ai )T

Erklärung:

C1...

Cn

T

: = (C1, · · · ,Cn)

(C1, · · · ,Cn)T : =

C1...

Cn

„Transposition“(macht Zeilen zu Spalten und umgekehrt)



Vektorraum der (m,n) - Matrizen Seite 122

A + B = (aij ) + (bij ) : = (aij + bij )

λA = λ(aij ) = (λaij ).

Basis

1 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

0 1 0 · · · 00 0 · · · · · · 0...

......

0 0 · · · · · · 0

· · ·

0 · · · · · · · · · 0...

...0 · · · · · · · · · 00 · · · · · · 0 1

R(m,n) isomorph zu R(m×n)

dim R(m,n) = m · n


Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 122

Matrizen dienen zur Beschreibung linearer Abbildungen zwischen endlich -dimensionalen Vektorräumen.

Definition 4.1 Lineare AbbildungV ,W Vektorräume. DannT : V →W linear, wenn

T (x + y) = T (x) + T (y), ∀ x , y ∈ V

T (λ · x) = λ · T (x), ∀ x ∈ V , λ ∈ R


Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen

Linearität ist wie der „Preis“ beim Einkaufen

Preis

3 Pakete Butter4 Kg Mehl

3l Milch1 1/2 Kg Braten

=

3∗ Preis (1 Pak. Butter)+4∗ Preis (1 Kg Mehl)+3∗ Preis (1l Milch)+1.5∗ Preis (1 Kg Braten)

Sonderangebote 1 Kg Senf 5 Euro10 Kg Senf 40 Euro sind nichtlinear



Beispiele (pro)

Seite 123

1. Drehungen: Ebene um Nullpunkt. Oder: R3 um Achse durch Nullpunkt.

2.x → λx , λ ∈ R fest(

x1x2

)→(λ1x1λ2x2

), λi ∈ R fest.

3. Mit A = (aij )i = 1, · · · ,mj = 1, · · · , n

∈ Rm,n ist

A :

Rn → Rm

Rn 3 x →

a11x1 + · · · + a1nxn...

am1x1 + · · · + amnxn

∈ Rm

linear.Das wird die Standard - Inkarnation einer linearen Abbildung werden.



Seite 123

4.ddx

:

{Πn → Πn−1p 7→ p′

5.

Int1 :

{Πn → Rp 7→

∫ 10 p(s)ds

Int2 :

{Πn → Πn+1

p 7→∫ x

0 p(s)ds



Beispiele (contra)

Seite 124

1. Verschiebungx 7→ x + c, c ∈ V c 6= 0 fest.

2. Drehung um Punkt in Ebene 6= Nullpunkt.Drehung des R3 um Achse nicht durch Nullpunkt (und nicht um 2π).



Seite 124

ACHTUNG!

Sehr wichtig

⇓



Seite 124

Lineare AbbildungLineare Abbildung T : V →W ist durch Wirkung auf eine Basis v1, · · · vn vonV festgelegt.

T : v i → T (v i )

v ∈ V ⇒ ∃!ξ1, · · · , ξm ∈ R : v =n∑

i=1

ξiv i

⇒ T (v) = T (n∑

i=1

ξiv i ) =n∑

i=1

ξi T (v i ) = w

(w ∈ W ⇒ ∃!ζ1, · · · , ζm : w =

m∑

i=1

ζiw i

)



Seite 124

T : V →Wn∑

i=1

ξiv im∑

j=1

ζjw j

ξ1...ξn

−→

ζj...ζm

Wie? mit Matrix T


Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 125

T : V →W

v1, · · · , vn︸︷︷︸

Basis

w1, · · · ,wm︸︷︷︸

Basis

T : v j → T (v j ) =m∑

i=1

tij w i

v1 v2 · · · vn

w1 t11 t12 · · · t1nw2 t21 t22 · · · t2n...

......

...wm tm1 tm2 · · · tmn

v =∑

ξiv i

„Willst die Matrix Du erhalten,

schreib die Bilder in die Spalten“



Rotkäppchens Diätplan

Ananas Wein Orangen SahnePreis 2.00 8 0.50 1.39Fett 0.02 0.01 0.05 30

Zucker 200 30 15 1

Korb mit:

AnanasWein

OrangenSahne

2132

−→

2 · 2.00 + 1 · 8 + 3 · 0.5 + 2 · 1.39 P2 · 0.02 + 1 · 0.01 + 3 · 0.05 + 2 · 30 F2 · 200 + 1 · 30 + 3 · 15 + 2 · 1 Z



Seite 125

v ∈ V ⇒ v =n∑

j=1

ξjv j

T (v) =m∑

i=1

ζiw i ζi ?

T (v) = T( n∑

j=1

ξjv j)

=n∑

j=1

ξj T (v i ) =n∑

j=1

ξj

m∑

i=1

tij w i =m∑

i=1

( n∑

j=1

tijξj

)

︸︷︷︸ζi

w i

ζ1 = t11 ξ1 + · · ·+ t1nξn· · ·

ζm = tm1 ξ1 + · · ·+ tmnξn



Seite 125

T :dim nV →

dim mW

v =n∑

j=1

ξjv j → w =m∑

i=1

ζiw i

ξ1...ξn

→

ζ1...ζm

=

∑nj=1 t1jξj

...∑nj=1 tmjξj

T ≈ T =

t11 · · · t1n...

tm1 · · · tmn

Abbildung↔ Matrix



Beispiele

1.

T : R3 → R3 lineare1 → e2

e2 → e3

e3 → e1

T =

e1 e2 e3

e1 0 0 1e2 1 0 0e3 0 1 0



2.

T : R3 → R3

v1 =

123

→ w1 =

−15

27

v2 =

234

→ w2 =

111

v3 =

002

→ w3 =

10−1

(1)

T =

v1 v2 v3

w1 1w2 1w3 1



3.T : R2 → R2

v i = ei ,w i = ei , i = 1,2

e1

e2

T (e1)T (e2)

ϕϕ

ϕ = π4

T =

v1 v2

w1 1/√

2 −1/√

2w2 1/

√2 1/

√2

T(

x1x2

)=

(1/√

2 x1 − 1/√

2 x2

1/√

2 x1 + 1/√

2 x2

)



4.

T : R3 → R3

1−10

→

111

01−1

→

110

001

→

100

Aber Darstellung bzgl. der Standardbasen gewünscht.



Was nun?

Wir benötigen für T die Bilder von e1,e2,e3!Aber

T

100

= T

1−10

+ T

01−1

+ T

001

=

111

+

110

+

100

=

321

T

010

= T

01−1

+ T

001

=

110

+

100

=

210

T

001

= T

001

=

100



T e1 =

321

= 3e1 + 2e2 + 1e3

T e2 =

210

= 2e1 + 1e2 + 0 · e3

T e3 =

100

= 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3

T =

3 2 12 1 01 0 0

Fertig.



Test

Seite 125

T ·

1−10

=

3 · 1 + 2 · (−1) + 0 · 1 =2 · 1 + 1 · (−1) + 0 · 0 =1 · 1 + 0 · (−1) + 0 · 0 =

111

= T

1−10

X

3 2 12 1 01 0 0

1−10

=

B1B2B2

v =

< BT1 , v >

< BT2 , v >

< BT3 , v >

Matrix-Vektor Multiplikation



Seite 126

t11 · · · t1n...

tm2 · · · tmn

x1...

xn

=

t11x1 + t12x2 + · · ·+ t1nxnt21x1 + t22x2 + · · ·+ t2nxn

...tm1x1 + tm2x2 + · · ·+ tmnxn

∈ Rm



BeispieleSeite 126

1.

1 −1 21 2 31 0 12 −2 0

11−1

=

−2000

1 12 −13 −1

(

10

)=

123



Seite 1272. x , y ∈ Rn :

xT y = (x1, · · · , xn)

y1...

yn

=n∑

i=1

xiyi =< x , y >eukl.

xT y = yT x = (y1, · · · , yn)

x1...

xn

Aber (noch!) nicht

= xyT oder= yxT !!! 6= Matrix · Vektor.



Weitere Beispiele fürMatrixdarstellungenlineare Abbildungen

Seite 127

Beispiel 4.8V ,W endlich dim. Vektorräume;N : V →W NullabbildungN : v → 0 ∀ v ∈ V

{v1, · · · , vn} bzw. {w1, · · · ,wn}beliebige Basen in V bzw. W

Dann

N (v i ) = 0 =m∑

i=1

0 · w i

⇒ N wird durch Nullmatrix

lusch, lusch −→ 0 =

0 · · · 0...

...0 · · · 0

dargestellt.Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 31 / 144


Seite 127Beispiel 4.9V endlich dim. Vektorraum und

I :

{V → Vv → v

die identische Abbildung.Stellt man die Identität bzgl. derselben Basis {v1, · · · , vn} in Bild - undUrbildraum dar, so hat man wegen

I(v j ) = v j = 0v1 + ·+ 0 · v j−1 + 1v j + 0 · v j+1 + · · ·+ 0vn

als j − te Spalte der darstellenden Matrixgerade ei

Es ist also T durch die Einheitsmatrix

En =

1 0 · · · · · · 0

0 1...

... 0. . .

......

.... . . . . . 0

0 0 · · · 0 1

dargestellt.



Seite 128

Beispiel 4.10Achtung! Identität wird nicht mehr durch E dargestellt, wenn in Urbild und Bild

I : V −→ V

{v1, · · · , vn} {w1, · · · ,wn}verschiedene Basen verwendet werden.

Wozu so+n Quatsch?Damit wir Sie in der Klausur besser fressen können? Nein! Sondern?



Ihre Basis für R3

100

,

010

,

001

Karl-Heinz’ Basis

123

,

456

,

78

10

︸︷︷︸in Ihrem System beschrieben

Wenn Karl-Heinz durch

z1z2z3

einen Vektor beschreibt, dann erhalten Sie

die Darstellung

x1x2x3

in Ihrer Basis über

x1x2x3

= T

z1z2z3

mit T =

1 4 72 5 83 6 10



IR3 −→ R3

Karl-Heinz’ Weltsicht −→ Ihre WeltsichtT -Matrix

T =

1 4 72 5 83 6 10



Seite 129Beispiel 4.11Matrixdarstellung Drehung des R2 um Nullpunkt um Winkel ϕDarstellung bzgl. Standardbasis in Urbild - und Bildraum.

e1

e2T (e1)T (e2)

ϕϕ

Länge erhalten

T(

10

)=

(cosϕsinϕ

)= cosϕ

(10

)+ sinϕ

(01

)

T(

01

)=

(cos(π/2 + ϕ)sin(π/2 + ϕ)

)=

(− sinϕcosϕ

)= − sinϕ

(10

)+cosϕ

(01

)

T =

(cosϕ− sinϕsinϕ cosϕ

)

Tx =

(x1 cosϕ− x2 sinϕx1 sinϕ+ x2 cosϕ

)


Matrizen Lineare Abbildungen und MatrizenSeite 130

Beispiel 4.12 (Achtung: Theoretisches Beispiel)V = W = R3

T = Spiegelung an

E : = {x ∈ R3|x1 + x2 + x3 = 0}

z1 : =

1−10

, z2 : =

01−1

, z3 =

111

︸︷︷︸Beschreibung bzgl. Basis {z1,z2,z3} in Urbild und Bild einfach.

T (z1) = z1,T (z2) = z2,T (z3) = −z3

⇒ T =

1 0 00 1 00 0 −1

Vermutlich interessanter: Matrix bzgl. Einheitsvektor.Dazu T (ei ) benötigt.



Seite 131Für T (ei ) drücke ei aus in z1, · · · z3

z1λ1 + z2λ2 + z3λ3 = e1

ist lin. Gleichungssystem.

1 0 1 1−1 1 1 00 −1 1 0

Gauss liefert

λ1 =23, λ2 = λ3 =

13



Seite 131Nun

T (23

z1 +13

z2 +13

z3) =23

T (z1) +13

T (z2) +13

T (z3)

=23

z1 +13

z2 − 13

z3

=

1/3−2/3−2/3

← 1. Spalte von T

Rest analog.

(Achtung: Spiegelung rechnet man anders aus!wird später VIEL einfacher)



Seite 133Beispiel 4.15

Int1 :Πn −→ Rp −→

∫ 10 p(s)ds

Basen:{

1, x , x2, · · · , xn} von Πn und {1} von R.

p(x) =∑n

i=0 αixi wird bzgl. Basis 1, x , x2, · · · , xn durchα : = {α0, α1, · · · , αn} ∈ Rn+1 dargestellt.

Int1(xk ) =

∫ 1

0xk dx =

1k + 1

→ [(k + 1)− te Spalte]

Matrix = (· · · , [(k + 1)-te Spalte], · · · )

G = (1,12,

13, · · · , 1

k + 1)

Int1(p) = Gα



Ende der Vorlesung 8



Vorlesung 918. bzw. 19. Dezember 2013

Matrixkalkül 1



Wiederholung

Tafel –> Matrixdarstellunglinearer Abbildungen


Matrizen Matrizenprodukt

Seite 133

Jetzt: Ziel Matrixmultiplikation

Abbildungen B A

Räume U −→ V −→ W

Basen u1, · · · ,up v1, · · · , vn w1, · · · ,wm

Matrizen (bij ) (aij )

Mit A,B auch A ◦ B =: C linear!



Seite 134

Matrix (ckj ) ?

x =

p∑

j=1

xj uj , B(x) =n∑

i=1

( p∑

j=1

bij xj

)v i

A(B(x)) =n∑

i=1

( p∑

j=1

bij xj

)A(v i )

=n∑

i=1

( p∑

j=1

bij xj

) m∑

k=1

aki wk

=m∑

k=1

( p∑

j=1

( n∑

i=1

akibij

)

︸︷︷︸ckj

xj )wk


Matrizen Matrizenprodukt Seite 134

B AU −→ V −→ W

u1, · · · ,up v1, · · · , vn w1, · · · ,wm

(bij ) i=1,··· ,nj=1,··· ,p

(aki ) k=1,··· ,mi=1,··· ,n

−→C = A · B

(ckj ) k=1,··· ,mj=1,··· ,p

ckj =n∑

i=1

aki bij

C : = A · B︸︷︷︸Matrixprodukt



Bemerkungen:

Seite 1351) A · B = C :

ckj =n∑

i=1

aki bij

= euklidisches inneres Produkt vonk -ter Zeile von A und j-ter Spalte von B.

Längen müssen passen!⇔ Dimension des Bildraumes von B =Dimension des Definitionsbereiches von A.

2) Matrix-Vektor-Produkt A · x (A ∈ R(m,n), x ∈ Rn) ist konsistent mitMatrix-Matrix-Produkt A · x (A ∈ R(m,n), x ∈ R(n,1)).



Seite 136

3)(A · B erklärt) ; (B · A erklärt)

Und wenn das (zufällig) doch einmal der Fall sein sollte, so sind sie nichtnotwendig gleich!

Matrixmultiplikation ist NICHT kommutativ!

Bei AB = BA heißen A und B vertauschbar.



Seite 137

4)(

0 10 0

)(0 10 0

)=

(0 00 0

)

⇒ (Nicht - Null) mal (Nicht - Null) = Null möglich

5) Matrixmultiplikation ist assoziativ

A · (B · C) = (A · B) · C

Tafelbeispiele „Immer auf die Kleinen!“6) Es gelten die Distributivgesetze

1.(A + B)C = AC + BC

2.A(C + D) = AC + AD

2 Stück nötig, da keine Kommutativität



Seite 135

7) x =

x1...

xn

y =

y1...

yn

xT : = (x1, · · · , xn)

xT y = (x1, · · · , xn)

y1...

yn

=

n∑

i=1

xiyi

yxT =

y1...

yn

(x1, · · · , xn)

=

y1x1 · · · y1xny2x1 · · · y2xn

...ynx1 · · · ynxn

Dyadisches Produkt!↗Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 51 / 144


Sn 135,138

Auch für x ∈ R, y ∈ R (m 6= n) sind yxT und xyT erklärt (nicht aberxT y , yT x !)

yxT =

y1...

yn

(x1, · · · , xn) =

y1x1 y1x2 · · · y1xny2x1 y2x2 · · · y2xn

......

...ymx1 ymx2 · · · ymxn

xyT =

x1...

xn

(y1, · · · , ym) =

x1y1 x1y2 · · · x1ymx2y1 x2y2 · · · x2ym

......

...xny1 xny2 · · · xnym

Achtung! Ausmultiplizieren nur zur Erläuterung↗, dass yxT und xyT Matrizensind!



Seite 138

In der Praxis multipliziert man xyT

und yxT um Gottes Willen NICHTaus.

Warum nicht?Weil die Anwendung dann einfacher wird

yxT z = y (xT z)︸︷︷︸α ∈ R

= αy

yxTm

nz n

ym xT

n z n

Bild immer Vielfaches von yProf. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 53 / 144


rang(yxT ) = rang

y1x1 y1x2 · · · y1xn...

......

ymx1 ymx2 · · · ymxn

=

{1 wenn x 6= 0 ∧ y 6= 00 sonst.

BemerkungJede Matrix vom Rang 1 hat eine Darstellung yxT .

BeweisA ∈ Rm,n, (a1, · · · ,an)rang(A) = 1⇒ dim span{a1, · · · ,an} = 1Sei {y} Basis. Dann ∃ λi : ai = yλi ⇒

A =

y1λ1 y1λ2 · · · y1λn...

......

ymλ1 ymλ2 · · · ymλn

⇒ A = y

λ1...λn

T

�



Folie 2 zum Übers-Bett-Hängen

a

b

α

Pa(b) = a〈a,b〉〈a,a〉〈a,b〉 = aT b

= Pa(b) =a aT baT a

Pa =aaT

aT aProf. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 55 / 144


Seite 86

Satz 2.58

v1, ..., vn Orthonormalbasis

V =n∑

j=1

〈v , v j〉v j

v =n∑

j=1

v j〈v , v j〉 =n∑

j=1

v jv j T v

=(∑

v jv j T)

︸︷︷︸E

v

E =n∑

j=1

v jv j T



Seite 214Einfacherer Methode für Spiegelung (Verbesserung von Beispiel 4.12)

Ergänze v1 =

111

zu Orthogonalsystem (v1, v2, v3)

Fourierentwicklung

v = 〈v1,v〉〈v1,v1〉v

1 + 〈v2,v〉〈v2,v2〉v

2 + 〈v3,v〉〈v3,v3〉v

3

v = v1v1 T

v1 T v1 v +v2v2 T

v2 T v2 v +v3v3 T

v3 T v3 v = Ev

Hv = −v1v1 T

v1 T v1 v +v2v2 T

v2 T v2 v +v3v3 T

v3 T v3 v

=(

E − 2v1v1 T

v1 T v1

)v .

Kenntnis von v2 & v3 nicht nötig


Matrizen Lineare Systeme und Inverse

Zwischenspiel

Seite 141Wie im Gaußschen Algorithmus betrachte zu linearem Gleichungssystem

A x = b

neben der Matrix A die erweiterte Matrix

(A,b) =

a11 · · · a1n | b1... |

...am1 · · · amn | bm

⇓ GAUSS ⇓



Seite 142

1 0 · · · 0 a′1,r+1 · · · a′1n | b′1

0. . . . . .

......

... |...

.... . . . . . 0

...... |

...0 · · · 0 1 a′r ,rn · · · a′r ,n | b′r0 · · · · · · 0 0 · · · 0 | b′r+1...

......

... |...

0 · · · · · · 0 0 · · · 0 | b′m

Rang =

{r wenn b′r+1, · · · ,b′m = 0r + 1 sonst

Gauss ändert Rang nicht⇒



Seite 142

Satz 4.23A ∈ Rm,n,b ∈ Rm gegeben.Dann ist

A x = b

genau dann lösbar, wenn

Rang(A,b) = Rang(A).

Besonders wichtiger Fall

A x = bRang A = n = m ⇒ immer Rang(A,b) = Rang(A)

⇒ A x = b immer lösbar

Wie wir wissen sogar immer eindeutig.



Lösen linearer Systeme alsUmkehrung einer Abbildung

Seite 140

Lineares Gleichungssystem

(LGS)

a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · a1n · xn = b1a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · a2n · xn = b2

...am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · amn · xn = bm

MitA = (aij )i = 1, · · · ,m

j = 1, · · · , n∈ Rm,n

x ∈ Rn,b ∈ Rm

Ist(LGS) ⇔ A x = b

Bestimme also x ∈ Rn mitA x = b



Seite 141Der Abbildung

A : V −→W linear

können wir bei Vorgabe von Basen

Basen: v1, · · · , vn −→ w1, · · · ,wn

eine Matrix A zuordnen.

Umgekehrt: Bei Vorgabe von V ,W mit Basen ist auch A eindeutig Azugeordnet.

Die Abbildung A hängt aber immer von V ,W und Basen ab.

Im Folgenden meintdie einer (m,n)- Matrix A zugeordnete Abbildung Astets die Abbildung

A :

{Rn −→ Rm

x 7−→ Ax


Matrizen Lineare Systeme und InverseSeite 141

A x = b

A : Rn −→ Rm

xzu findendes Urbild

−→ bvorgegebenes Bild

A = (a1, · · · ,an)

1. Rang A = n ⇔ a1, · · · ,an l.u.⇔ ∀b ∃ höchstens eine Lösung⇔ A injektiv

2. Rang A = m ⇔ dim span{a1, · · · an} = m⇔ ∀b durch a1, · · · ,an linear erzeugbar⇔ A surjektiv

3. Rang A = n = m ⇔ A bijektivProf. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 64 / 144


Da (n,n)- Matrizen mit vollem Rang n so wichtig sind, bekommen sie einenextra Namen.

Definition 4.24A ∈ R(m,n) heißt regulär (oder nicht singulär) wenn

(i) m = n(ii) Rang (A) = n = maximal.

Ist für A ∈ R(n,n) Rang (A) < n, so heißt A singulär (oder nicht regulär)

Wiederholung:Ist A ∈ R(n,n) regulär, so hat

A x = b

für alle b ∈ Rn eine eindeutige Lösung x ∈ Rn und umgekehrt.



Beispiele regulärer Matrizen

Seite 1421.

En = diag(1, · · · ,1) ∈ R(n,n) ist regulär

„Beweis 1“: Die Einheitsvektoren e1, · · · ,en sind linear unabhängig.

„Beweis 2“: En x = b ist für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar, nämlich durchx = b


Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 142

2.diag(d1, · · · ,dn) ∈ R(n,n) ist regulär

⇔di 6= 0 ∀ i = 1, · · · ,n

„Beweis 1“ (Skript):(d1e1, · · · ,dnen) sind genau dann l.u. wenn di 6= 0, i = 1, · · · ,n

„Beweis 2“:diag(d1, · · · ,dn)x = b

⇔d1x1 = b1...dnxn = bn

eindeutig lösbar für alle b1, · · · ,bn ⇔ d1, · · · ,dn 6= 0



Seite 143

3. Dreiecksmatrizen

L =

l11 0 · · · 0

l21 l22. . .

......

. . . 0ln1 · · · · · · lnn

,R =

r11 · · · · · · r1n

0. . .

......

. . . . . ....

0 · · · 0 rnn

sind genau dann regulär, wenn all ihre Diagonalelemente von Nullverschieden sind. Genau dann sind nämlich

L x = b bzw. R x = b

für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar. (Vorwärtseinsetzen bzw.Rückwärtseinsetzen)


Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 143

zu 3. Beispiel:

0 1 2 31 2 3

2 33

x =

1000

nicht lösbar.

0 1 2 30 1 2 30 0 2 30 0 0 3

x =

0...0

„mehrfach“ lösbar. x = λe1, λ ∈ R



Seite 143

A regulär

⇔A bijektiv

⇔A hat Umkehrabbildung (A−1)

Behauptung

(A−1) ist linear.

BeweisZu zeigen ist: Für

y1, y2 ∈ Rn, α, β ∈ R

giltA−1(αy1 + βy2) = αA−1(y1) + βA−1(y2)



Seite 143

Aber seien

x1 = A−1(y1), y1 = A(x1)⇔

x2 = A−1(y2), y2 = A(x2)

Dann

αy1 + βy2 = αA(x1) + βA(x2) =Linearität von A

A(αx1 + βx2)

Also

A−1(αy1 + βy2) = αx1 + βx2 = αA−1(y1) + βA−1(y2) �



Seite 143

A regulär

⇔A bijektiv

⇔A hat Inverse (A−1)

undA−1 ist linear.

⇒ A−1 wird durch eine Matrix dargestellt

A−1

die inverse Matrix zu A.



Seite 144

Wegen A−1 · A = id ist

⇒ A−1 · A = E =

1 0 · · · 0

0 1. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 1



Seite 139Schreibweise der Einheitsmatrix

E oder I oder

En oder In (Betrag der Dimension)

Für E giltEmB = BBEn = B

}für B ∈ Rm,n



Behauptung A−1A = E ⇒ AA−1 = E

Seite 144∀x ∈ Rn :

Ax︸︷︷︸durchläuft alle y∈Rn wenn x Rn durchläuft

= A · Ex = A(A−1A)x = (A A−1)Ax

Alsoy = (A A−1)y ∀ y ∈ Rn

⇒ A A−1 = E

↑ SEHR WICHTIGES „ALSO“! Muss man verstanden haben!



AlsoA−1A = E = AA−1

Interpretationen:(i) A und A−1 vertauschbar(ii) „Linksinverse“ = „Rechtsinverse“(iii) (A−1)−1 = A

Wenn man die Inverse A−1 hat, kann man formal

A x = b

lösen durchA−1A︸︷︷︸

E

x = A−1b

alsox = A−1b

Wie rechne ich A−1 aus?



Seite 147

Hauptsatz (der praktischen linearen Algebra)

Wer (unnötig) Matrizen invertiert istDOOF!

Warum? Weil’s zu viel Arbeit macht und anders (meistens) schneller geht!



Seite 144

Wie invertiert man A? (wenns denn sein muss)Seien c1, · · · , cn die Spaltvektoren von A−1.Dann aus

A · A−1 = E

⇐⇒

A · (c1, c2, · · · , cn) = (e1, · · · ,en)

⇐⇒

(Ac1,Ac2, · · · ,Acn) = (e1, · · · ,en)

Also: Die k − te Spalte ck von A−1 löst

A x = ek



RechneralgorithmusFür k = 1, · · · ,n berechne die k − te Spalte ck von A−1 aus

Ack = ek

(→ vgl. später LR-Zerlegung)



Aufwand der Berechnung von A−1(ein wenig geschummelt; siehespäter)∼ n Lösungen eines Systemes A x = b

Lösen von A x = b über{

Berechne A−1

Setze x = A−1b

ist also ineffizient, weil ca. n mal so teuer wie das Lösen von A x = b selbst.



Seite 144HandalgorithmusForme

a11 · · · a1n... 1 0 · · · 0

...... 0

. . . . . ....

......

.... . . . . . 0

an1 · · · ann... 0 · · · 0 1

durch Zeilenumformungen so um, dass der A−Block in E übergeht.

⇓

1 0 · · · 0... d11 · · · d1n

0. . . . . .

......

......

.... . . . . . 0

......

...

0 · · · 0 1... dn1 · · · dnn



Dann ist

A−1 =

d11 · · · d1n... ...

dn1 · · · dnn

Wieso?

Begründung: Simultane Ausführung von n Gaußalgorithmen.



Beispiel

A

1 2 0 | 1 0 02 3 1 | 0 1 03 4 3 | 0 0 1

⇓

1 2 0 | 1 0 00 −1 1 | −2 1 00 −2 3 | −3 0 1

⇓

1 2 0 | 1 0 00 +1 −1 | +2 −1 00 0 1 | 1 −2 1

⇓

1 2 0 | 1 0 00 1 0 | 3 −3 10 0 1 | 1 −2 1

⇓

1 0 0 | −5 6 −20 1 0 | 3 −3 10 0 1 | 1 −2 1

A−1

Probe machen: AA−1 = E !






Vorlesung 108. bzw. 9. Januar 2013

Matrixkalkül 2



WIEDERHOLUNG

Inverse Matrizen(Tafel)



Seite 146

Wenn A,B ∈ R beide regulär sind, so gilt dies auch für A · BDenn man findet

(B−1 A−1)(A︸︷︷︸E

·B) = B−1B = E ,

so dassA · B die Inverse B−1A−1 hat.

Frage: Kann A · B regulär sein, wenn A oder B singulär ist?Antwort: Nein!



Seite 145

Satz 4.27 (Rangformel)

(i) ∀ A ∈ R(m,n) ∀ B ∈ R(n,p)

gilt Rang(A · B) ≤ min(Rang(A),Rang(B))

(ii) Ist A ∈ R(n,n) regulär, so gilt∀ B ∈ R(n,p) : Rang(A · B) = Rang(B)

(iii) Ist B ∈ R(n,n) regulär, so gilt∀ A ∈ R(m,n) : Rang(A · B) = Rang(A)

Merkregel für (ii) und (iii):Multiplikation mit einer regulären Matrix verändert den Rang nicht.

Achtung: in (i) ist „<“ möglich!



Seite 146

Beweis(i) Rang(A · B) ≤ min(Rang(A),Rang(B))

α) „ Rang(A · B) ≤ Rang(B) “

B = (b1, · · · , bp)⇒ AB = (Ab1, · · · ,Abp)

bi1 , · · · , bik l.a. ⇔k∑

j=1

λjbij = 0∑|λj | 6= 0

⇒ 0 = A( k∑

j=1

λjbij)=

k∑

j=1

λj(Abij)

Also in (Ab1, · · · ,Abp) höchstens so viele Spalten l.u. wie in (b1, · · · , bp)



(i) Rang(A · B) ≤ min(Rang(A),Rang(B))

β) „ Rang(A · B) ≤ Rang(A) “ ↘ Ab1 = a1b11 + a2b1

2 + · · ·+ anb1n

A · B =: (c1, · · · , cp) = (Ab1, · · · ,Abp)

Abi ∈ span{a1, · · · , an}; i = 1, · · · , p

⇒ span{c1, · · · , cp} ⊂ span{a1, · · · , an}

⇒ Rang(A · B) = dim span{c1, · · · , cp}≤ dim span{a1, · · · , an}= Rang(A)

�



(ii) „ A ∈ R(n,n) regulär. r = Rang(B),B ∈ R(n,p) ⇒ Rang(A · B) = r “

Wir zeigen(*) „bi1 , ..., bir l.u. ⇒ A bi1 , ...,A bir l.u.“

Daraus folgt dann

Anzahl lin. abh. Abik ’s ≥ Anzahl lin. unabh. bik ’s

und somitRang(AB) ≥ Rang(B).

wegen Rang(AB) ≤ Rang(B) fertig �

(*) Zeigen wir nachstehend durch Beweis von

Abi1 , ...,Abir l.a. ⇒ bi1 , ..., bir l.a.

und das geht so.



Abi1 , ...,Abir l.a.

⇒∑

j

λj Abij = 0

∑

j

|λj | 6= 0

⇒ A(∑

j

λj bij ) = 0

A reg.⇒

∑

j

λj bij = 0

⇒ bi1 , ...,bir l.a.



(iii) „B ∈ R(n,n) regulär, und A ∈ R(m,n) ⇒ Rang(A · B) = Rang(A)“ X

A · B =: (c1, · · · , cn)

Rang(A·B) = dimspan{c1, · · · , cn} = dimspan

{n∑

j=1

λjc j∣∣∣

λ1...λn

∈ Rn

}

Wähle speziell

λi1...λi

n

= i − te Spalte von B−1



(iii) „B ∈ R(n,n) regulär, und A ∈ R(m,n) ⇒ Rang(A · B) = Rang(A)“Fortsetzung:

Dafür ist

n∑

j=1

λijc

j = (A · B)

λi1...λi

n

= A · (B · B−1)i − te Spalte

= Aei = ai , i = 1, · · · ,nFolglich

Rang(A · B) = dim span

{n∑

j=1

λjc j∣∣∣

λ1...λn

∈ Rn

}

≥ dim span{a1, · · · ,an}= Rang(A)

�Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 94 / 144


Seite 146

Korollar 4.29Seien A,B ∈ R(n,n). Dann

(i)A · B regulär

⇔A regulär und B regulär

(ii) Ist A · B regulär, so ist

(A · B)−1 = B−1 · A−1

Zu (ii)

U V WA · B

B−1 · A−1

BA

B−1A−1



Mit Matrizen sind lineare Abbildungen Rn → Rm beschreibbar.Speziell auch „Bewegungen des Rn“

Frage: Welche Matrizen in R(n,n) beschreiben Abbildungen, dieLängen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren erhalten?

Kongruenztransformationen

Mordswichtig!



KongruenzforderungenSeite 149Q ∈ R(n,n) ist Kongruenztransformation (bzgl. euklidischem 〈, 〉) wenn

L : ||Qx || = ||x || ∀ x ∈ Rn

undW :

〈x , y〉||x || · ||y || =

〈Qx ,Qy〉||Qx || · ||Qy || ∀ x , y ∈ Rn

L ∧W ⇔

L : ||Qx || = ||x || ∀ x ∈ Rn

undW ′ : 〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉 ∀ x , y ∈ Rn

⇔

W ′ : 〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉 ∀ x , y ∈ Rn



Q ∈ R(n,n) Kongruenz-Transformation

⇔〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉 ∀ x , y ∈ Rn

FrageWelche Qs tun das?

Wunsch〈Qx ,Qy〉 Rüberwälzen

〈Qx , Qy〉



Seite 150A ∈ R(m,n) gegeben.

Gesucht B ∈ R(?,?) mit

〈Ax , y〉 = 〈x ,By〉, ∀ x ∈ Rn ∀ y ∈ Rm

〈x ,By〉 muss passen

⇒ B : Rm → Rn

B ∈ R(n,m)

(A ∈ R(m,n))

X



〈Ax , y〉 =m∑

i=1

(Ax)i yi

=m∑

i=1

n∑

j=1

aij xj yi

!=

n∑

j=1

m∑

i=1

xj bji yi

=n∑

j=1

xj (By)j = 〈x ,By〉



A =

a11 a12 · · · a1n

a21. . . a2n

.... . .

......

...am−1,1 · · · · · · am−1,n

am1 · · · · · · amn

→

a11 a21 · · · · · · am−1,1 am1

a12. . .

......

.... . .

......

a1n a2n · · · · · · am−1,n amn

= B

=

b11 b12 · · · b1m

b21...

......

bn1 bn2 · · · bnm

⇒ bji = aij

für i = 1, · · · , mj = 1, · · · , n



Bei komplexem Skalarprodukt

〈x , y〉 =k∑

i=1

xi yi

und komplexer Matrix A ∈ C(m,n) hat man

〈Ax , y〉 = 〈x ,By〉

bei B ∈ C(n,m) mitbij = aji

Also: Spiegelung an der Diagonalen und Übergang zumKonjugiert-Komplexen.



Transponierte, Adjunkte,Symmetrische, Hermitesche

Seite 150

Definition 4.33(i) Zu

A = (aij ) ∈ R(m,n)

istAT = (aji ) ∈ R(n,m)

die Transponierte (Matrix) zu A.Bei A = AT heißt A symmetrisch.

(ii) ZuA = (aij ) ∈ C(m,n)

istA∗ = (aji ) ∈ C(n,m)

die Adjungierte von A.Bei A = A∗ heißt A hermitesch. Beispiel→ Tafel.



Seite 151

Rechenregeln für die Transposition

〈Ax , y〉 = 〈x ,AT y〉 ∀ A, x , y ;

(A + B)T = AT + BT ∀ A,B;

(λA)T = λ AT ∀ A, λ ∈ R;

(AT )T = A ∀ A;

(AB)T = BT AT ∀ A ∈ R(m,n)

B ∈ R(n,p)

Dito für die Adjunktion * (Aber Achtung: (λA)∗ = λ A∗)Zu (AB)T = BT AT :

〈AB x , y〉 = 〈Bx ,AT y〉 = 〈x ,BT AT y〉Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 104 / 144


Seite 152

Satz 4.36

A ∈ R(n,n) regulär ⇔ AT regulär und

(AT )−1 = (A−1)T = : A−T

BeweisAnzahl l.u. Zeilen = Anzahl l.u. Spaltenund daher⇔ X

E = ET = (A A−1)T = (A−1)T AT �

Mit unseren jetzigen Kenntnissen zurück zu

〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉 ∀ x , y



Seite 152

〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉∀ x , y⇔

〈x , y〉 = 〈QT Qx , y〉 ∀ x , y⇔

〈x −QT Qx , y〉 = 0 ∀ x , y⇔

〈(E −QT Q)x , y〉 = 0 ∀ x , y⇔

||(E −QT Q)x || = 0 ∀ x⇔

E = QT Q



Seite 152

DamitQ ∈ R(n,n) Kongruenz-Transformation

⇔

QT Q = E

⇔

Q−1 = QT

(Bem. Bei komplexen Q und〈x , y〉 : =

∑xi yi wird die Forderung zu Q∗ Q = E)



Seite 152

Definition 4.37Q ∈ R(n,n) orthogonal*, wenn

QT Q = E

Q ∈ C(n,n) unitär, wenn

Q∗ Q = E

* =Zeilen und Spalten sind dann orthonormal



Beispiel 4.38:(Kongruenztransformationen des R2)

Seite 153

Ansatz: Q =

(a bc d

)Q−1 = 1

ad−bc

(d −b−c a

)

⇒ QT = Q−1 bei

(i) a = dad−bc

(ii) d = aad−bc

}a = (ad − bc)2a

(iii) c = −bad−bc

(iv) b = −cad−bc

}b = (ad − bc)2b

|a|+|b|6=0

=⇒ ad − bc = ±1

folglich zwei Fälle

α) ad − bc = 1, a = d , b = −cβ) ad − bc = −1, a = −d , b = c



ALSO:

Q =

(a bc d

)orthogonal wenn

α) a = d , b = c ad − bc = det Q = 1oderβ) a = −d , b = c ad − bc = det Q = −1

In beiden Fällen a2 + b2 = 1 , also a = cosφ b = ± sinφ

Damit entweder

Q =

(cosφ − sinφsinφ cosφ

)φ ∈ [0,2π)

oder

Q =

(cosφ − sinφ− sinφ − cosφ

)φ ∈ [0,2π)



Q =

(cosφ − sinφsinφ cosφ

)

Beschreibt Drehung um φ.

Wissen wir zwar schon, trotzdem nochmal. ||x || sin(α)

||x || cos(α)

||x ||

αx = ||x ||(

cosαsinα

)

Q x =

(x1 cosφ +x2(− sinφ)x1 sinφ +x2 cosφ

)

= ||x ||(

cosα cosφ − sinα sinφcosα sinφ + sinα cosφ

)

= ||x ||(

cos(α + φ)sin(α + φ)

)



Nun untersuche:

Q =


)

Qx = ||x || Q(

cosαsinα

)

= ||x ||(

cos(α + φ)− sin(α + φ)

)

x → ||x ||(

cos(α + φ)sin(α + φ)

)Drehung um φ

→ ||x ||(

cos(α + φ)− sin(α + φ)

)Spiegelung an x1- Achse.

Zusammen: Spiegelung an der Gerade{(

1− tan(φ2 )

)· λ∣∣∣ λ ∈ R

}



Spiegelgerade

x gedreht

x

Q · x

ϕ

ϕ/2 ·

Q x =


)x






Vorlesung 1115. bzw. 16. Januar 2013

Matrixkalkül 2



WIEDERHOLUNG

Gauss-Elimination(Tafel)



LR - ZerlegungSeite 154

Start: Beispiel→ Tafel...Darstellung der k − ten Eliminationsschleife

A(k−1)

a(k−1)11 · · · · · · a(k−1)

1k a(k−1)1,k+1 · · · a(k−1)

1n

0. . .

......

. . . . . ....

... 0 a(k−1)kk a(k−1)

k,k+1 · · · a(k−1)kn

...... a(k−1)

k+1,k a(k−1)k+1,k+1 · · · a(k−1)

k+1,n...

......

0 · · · 0 a(k−1)nk a(k−1)

n,k+1 · · · a(k−1)nn

durch Matrixmultiplikation



Seite 154

A(k)

a(k)11 · · · · · · a(k)

1k a(k)1,k+1 · · · a(k)

1n

0. . .

......

. . . . . ....

... 0 a(k)kk a(k)

k,k+1 · · · a(k)kn

...... 0 a(k)

k+1,k+1 · · · a(k)k+1,n

......

......

0 · · · 0 0 a(k)n,k+1 · · · a(k)

nn



......

......

......

......

......

0 · · · 0 a(k−1)kk a(k−1)

k,k+1 · · · a(k−1)kn

0 · · · 0 a(k−1)k+1,k a(k−1)

k+1,k+1 · · · a(k−1)k+1,n

0 · · · 0...

0 · · · 0 a(k−1)nk a(k−1)

n,k+1 · · · a(k−1)nn



Seite 155Ziehe die k − te Zeile

lik = a(k−1)ik /a(k−1)

kk i = k + 1, · · · ,n

mal von der i − ten Zeile ab,

A(k) = Mk A(k−1) mit

Mk =

1 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0

0 1. . .

.... . . . . . . . .

... 0 1 0 · · · · · · 0

...... −lk+1,k 1

. . ....

...... −lk+2,k 0 1

. . ....

......

......

. . . . . . 00 · · · 0 −lk+n,k 0 · · · 0 1

←bes. (k+1)−te Zeile



Seite 155A(1) = M1 A(0)

A(2) = M2 A(1)

...A(n−1) = Mn−1 A(n−2)

r11 · · · · · · r1n

0 r22...

.... . . . . .

...0 · · · 0 rnn

= : R (Rechte obere Dreiecksmatrix)

⇒ R = Mn−1 ·Mn−2 · · ·M2 ·M1 · A

Mi regulär⇒ A = M−11 ·M−1

2 · · ·M−1n−1 · R



Zwei einfache FaktenSeite 155

1. Mk =

1. . .

1−lk+1,k 1

.... . .

−lnk 1

⇒ Ziehe k-te Zeile ab

M−1k =

1. . .

1lk+1,k 1

.... . .

lnk 1

⇒ Addiere k-te Zeile dazu



Seite 155

2. M−11 · · · · ·M−1

n−1 =

1l21 1l31 l32 1

. . .. . .

ln1 ln2 · · · · · · ln,n−1 1

Daher ⇓



Seite 155

A =LinksL ·

RechtsR

Zerlegungmit

L =

1 0 · · · · · · 0

l21 1. . .

...

l31 l32 1. . .

......

. . . . . . 0ln1 ln2 · · · ln,n−1 1

mit lik = a(k−1)ik /a(k−1)

kk

R =

r11 r12 · · · · · · r1n

0 r22...

.... . . r33

......

. . . . . ....

0 · · · · · · 0 rnn

← Endergebnis der Elimination



Wozu A = L · R ?Seite 155

Dazu:

Arbeit:

A x = b Mit Gauss-El. ∼ n3

3⇔

L R x︸︷︷︸=:y

= b

⇔L y = b n(n−1)

2R x = y n(n+1)

2

n2

Faktor n3 gespart!



Einspruch euer Ehren!Löse A x = b durch

x = A−1 b.

Auch n2 Multiplikationen!

ABER!



Seite 158

Oft haben Matrizen Bandstruktur

A =

x x x x 0 · · · · · · · · · 0

x. . . x

. . ....

x. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . ....

x. . . x 0

0. . . . . . x

.... . . . . . . . . x

.... . . . . . . . . x

0 · · · · · · 0 x x x x x

Diese bleibt LR-Zerlegung erhalten. Nicht aber bei A−1

→ Aufgaben, Skript



Seite 159

Leider sind nicht alle regulären Matrizen LR-zerlegbar.

Trauriges Beispiel:(

0 11 0

)

Aber Gauss-mit-Pivotisierung klappt doch für alleregulären Matrizen.

Beispiel:(

0 11 0

)→(

1 00 1

)← LR-zerlegbar

FazitWendet man auf A die bei Gauss mit Pivot ausgeführtenZeilenvertauschungen an A→ A, so ist A LR-zerlegbar.



Seite 159Wie stellt man

A −→Zeilenvertauschen

A

mathematisch dar?

Antwort: Multiplikation mit sog. Permutationsmatrix

A =

α1...αn

← Zeilenvektoren von A

A =

αi1...αin

← {i1, · · · , in} = {1, · · · ,n} in evtl. anderer Reihenfolge.

P : =

eTi1...

eTin

⇒ A = PA



Beispiel

eT2

eT3

eT4

eT1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

1 2 3 411 12 13 1421 22 23 2431 32 33 34

=

11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 341 2 3 4



BemerkungPermutationsmatrizen sind orthogonal.

P PT =

eTi1...

eTin

(ei1 , · · · ,ein ) = E

Satz 4.42

Sei A ∈ R(n,n) regulär.

⇒

∃ Permutationsmatrix P ∈ R(n,n), so dassA : = PA ist LR-zerlegbar.



Praktische Durchführung

Seite 160

a11 · · · a1n...

......

...an1 · · · ann

12...n

←

Wende alle Zeilenvertauschungenauch auf diesen Indexvektor an.

⇓

r11 · · · · · · · · · r1n

l21. . .

......

. . ....

.... . .

...ln1 · · · · · · ln,n−1 rnn

43...n5

← gibt am Ende Vertauschungen an.



Wann hat A selbst eine LR-Zerlegung?

Seite 162

Satz 4.44Sei A ∈ R(n,n) regulär; seien

Aj : =

a11 · · · a1j...

...aj1 · · · ajj

, j = 1, · · · ,n

Dann gilt:

A LR-zerlegbar ⇔ Aj regulär, j = 1, · · · ,n

In diesem Fall ist LR-Zerlegung eindeutig.

Bemerkung: Aj heißt j-te Hauptuntermatrix.



Einschub (Abschnitt 4.6)Block- oder Super-Matrizen

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R(n,n) 3 A =

A11 A12 · · · A1,N−1 A1N

A21 A22 · · · A2,N−1 A2N...

......

...AM−1,1 AM−1,2 · · · AM−1,N−1 AM−1,N

AM1 AM2 · · · AM,N−1 AMN

Aij ∈ R(nij mj ) heißt Blockzerlegung von A← Blockmatrix.



Man kann mit Blockmatrizen rechnen wie mit „normalen Matrizen“

(A11 A12 A13A21 A22 A23

)

B11 B12B21 B22B31 B32

=

(∑3i=1 A1iBi1

∑3i=1 A1iBi2∑3

i=1 A2iBi1∑3

i=1 A2iBi2

)

Achtung die Reihenfolge beachten! (Matrixprodukt nicht kommutativ).



Es müssen nur die „Block-Dimensionen“ und die Dimensionen der„Blöckchen“ so sein, dass

1. Die „äußere Form stimmt“Blockspaltenzahl der ersten =Blockzeilenzahl der zweiten Matrix

2. Die BlöckchenprodukteAki︸︷︷︸

r

Bij} r

ausführbar sind. Achtung: Reihenfolge beachten



Beispiele

1 2 34 5 67 8 9

·

1 23 45 6

=

(1 24 5

)·(

1 23 4

)+

(36

)·(5, 6

)

(7 8

)·(

1 23 4

)+ 9 ·

(5, 6

)

X

1 2 34 5 67 8 9

·

1 23 45 6

=

1 ·(1, 2

)+

(2, 3

)·(

3 45 6

)

(47

)·(1, 2

)+

(5 68 9

)·(

3 45 6

)

X



1 2 34 5 67 8 9

1 23 45 6

= klappt nicht

1 2 34 5 67 8 9

1 23 45 6

=

(14

) (1, 2

)+

(2 35 6

) (3 45 6

)

7(1, 2

)+

(8, 9

) (3 45 6

)

X

usw.



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A ∈ R(m,n),B ∈ R(n,p)

Spezielle Zeilen/Spalten Blockzerlegungen.

A = (a1, · · · ,an) =

A1

...Am

B = (b1, · · · ,bp) =

B1

...Bn

a) AB =

A1

...Am

(b1, · · · ,bp) =

A1b1 · · · A1bp

...Amb1 · · · Ambp

Aibj definiert, da Ai ,bj „gleich lang“



b) AB = (a1, · · · ,an)

B1

...Bn

=

∑nk=1 ak Bk ←

Das könnengewisse Vektor- undParallelrechner gut.

ak Bk = dyadisches ProduktFall p = 1⇒ Spaltenorientiertes Matrix-Vektor-Produkt

c) AB = A(b1, · · · ,bp) = (Ab1, · · · ,Abp)

d) AB =

A1

...Am

B =

A1B...

AmB

�



Wann hat A LR-Zerlegung?(Wiederholung)

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Satz 4.44Sei A ∈ R(n,n) regulär; seien

Aj : =

a11 · · · a1j...

...aj1 · · · ajj

, j = 1, · · · ,n

Dann gilt:

A LR-zerlegbar ⇔ Aj regulär, j = 1, · · · ,n

In diesem Fall ist LR-Zerlegung eindeutig.

Bemerkung: Aj heißt j-te Hauptuntermatrix.



Beweis: (Induktion nach n)n = 1 A = a11 6= 01 · a11 = L · R (eindeutig) XAnnahme: Behauptung für (n − 1)× (n − 1) Matrizen richtig.

Für A ∈ R(n,n) setze an A = LR und zerlege

A =

∗ · · · · · · · · · ∗ ∗...

......

... An−1... v

......

...∗ · · · · · · · · · ∗ ∗∗ · · · wT · · · ∗ ann



A = LR =

1 0 · · · · · · 0 0

∗ . . . . . ....

......

. . . Ln−1. . .

......

.... . . . . . 0

...∗ · · · · · · ∗ 1 0∗ · · · xT · · · ∗ 1

∗ · · · · · · · · · ∗ ∗0

. . ....

......

. . . Rn−1... y

.... . . . . .

......

0 · · · · · · 0 ∗ ∗0 · · · · · · · · · 0 rnn

⇒(i) An−1 = Ln−1 Rn−1 eindeutig. (Induktionsannahme)(ii) wT = xT Rn−1 ⇔ RT

n−1 x = w ⇒ x eindeutig.(iii) v = Ln−1 y ⇒ y eindeutig(iv) ann = xT y + 1 · rnn ⇒ rnn eindeutig und Rn,Ln mit An regulär.

�



Ende der 11. Vorlesung


matrizen - mat.tuhh.de · t ( x ) = t (x ); 8 x 2 v ; 2 r prof. dr. mackens (technische...

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