matris metodları ve lineer dönüşümler -...

ANKARA ÜNIVERSITESI FEN FAKÜLTES İ YAYINLARI

No : 140

Matris Metodlar ı ve Lineer Dönüşümler

Doç. Dr. Cevat KART Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi

öğ retim Üyesi

ANKARA — 1985

ANKARA ÜNIVERSITESI FEN FAKÜLTESI YAYINLARI

No : 140

Matris Metodlar ı ve Lineer Dönüşümler

Doç. Dr. Cevat KART Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi

Öğ retim Üyesi

ANKARA - 1985

ANKARA UNIVERSITESI BASIMEVI - ANKARA, 1985

ÖNSÖZ

Kazan ılan tecrübelerin ışığı nda £u kitap bir çok amaca yönelik olarak haz ırlanmış tır. Bunlardan birincisi, gerek matematik ve gerekse fizikte ö ğ rencinin her an kullanmak durumunda oldu ğu bir çok konu ve kavramı bir arada vermektir İkincisi, öğ rencinin ço ğunlukla zor anladığı ancak diğer yönüyle de çok iyi bilmesi gereken kavramlar ı ,

soyut durumdan ç ıkararak somut hale getirmektir. Dahas ı öğ rencinin sadece ö ğ renmesi değ il, özümsemesi ve daha ileri a ş amalar ında onları araç gibi kullanabilmesi amaçlanm ış t ır. Özetle amaç, i ş lenen bütün konu ve kavramlar ı , gereken yer ve zamanda "keser" gibi kullana-bilmeyi sa ğ lamakt ır.

Kitab ın birinci bölümünde "Fonksiyonlar", ikinci bölümünde "Ska-ler ve Vektör De ğerli Fonksiyonlar", üçüncü bölümünde "Topolojik Kavramlar", dördüncü bölümünde "Lineer Uzaylar", be ş inci bölümün-de "Matrisler ve Lineer Denklem Sistemleri" ve nihayet alt ıncı bölü-münde "Lineer Dönü ş ümler" konular ı iş lenmi ş tir. Bütün bu konular, bir akış içersinde örnekler, uygulamalar ve al ış tırmalarla sanırım zevkli hale getirilmiş tir. Ayrıca kitab ın sonuna konan "Kaynaklar" listesi yanında temel tan ım ve kavramlar ın hemen bulunmas ı bakımından "Dizin" kısmı ile kullanılan gösterimleri belirten "Simgeler" k ısmı eklenmi ş tir.

Uzun zamandanberi verdi ğ im ve uygulamaya yönelik olan bu dersin, gerek matematik ve gerekse fizik ö ğrencilerine yararl ı olaca ğı kanısındayım.

Bu kitab ın daktilo edilmesinde yard ımcı olan doktora ö ğ rencilerim-den Aydın Tiryaki ve Haydar Akça ile bu kitab ın Üniversite yayınları aras ında basılmasını sağ layan Fen Fakültesi Dekanli ğı na ve iyi bir baskıyı temin eden Üniversite Bas ımevi elemanlarma te şekkürü bir borç bilirim.

Ankara, 1985 Cevat Kart

WNDEK İ LER

BÖLÜM 1.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

FONKS İ YONLAR Sayfa

Giriş Monoton Fonksiyonlar

Ters Fonksiyonlar

Parçal ı Sürekli Fonksiyonlar

Mutlak De ğer Fonksiyonu ve E ş itsizlikler

Kapal ı Fonksiyonlar 13

4

5

7

9

BÖLÜM 2. SKALER VE VEKTÖR DE ĞERLI FONKSIYON- LAR

2.1. Giriş 21

2.2. Vektör Değ erli Fonksiyon1arda Limit, Tiirev ve Integrasyon 26

2.3. Bazı Temel Özelikler 29 2 4 Kinematik Yorum 31

2.5. Parametrik ve Parametrik Olmayan Göste- rimler 34

2.6. Doğ rultu Türevi ve Gradient 40

2.7. Bir Vektör Alanının Divergensi 53

2.8. Bir Vektör Alan ının Rotasyonu 59

BÖLÜM 3. TOPOLOJİ K KAVRAMLAR

3.1. Tanım ve Açıklamalar 65

3.2. Dizilerin Topolojik Incelenmesi 68

3.3. Cauchy Dizisi 70

3.4. .Tamlık 71

3.5. Bir Cümlenin. En küçük Üst S ınırı ve En bü- yük Alt Sınırı 71

V

Sayfa

3.6. Cümlenin Maksimum ve Minimumu 73

3.7. Limit Superior ve LiMit Inferior 73

BÖLÜM 4. Lİ NEER UZAYLAR

4.1. Metrik ya da Uzakl ık Fonksiyonu 77

4.2. Cümleler Aras ındaki Uzaklık, Çaplar 80

4.3. Açık Küreler 82

4.4. Lineer Uzaylar 85

4.5. Norm Fonksiyonu 91

4.6. İ ç Çarp ımlar ve Ortogonallik 96

BÖLÜM 5. MATRİ SLER VE Lİ NEER DENKLEM SISTEM- LERI

5.1. G;r' ş 120

5.2. Matris Gösterimi 122

5.3. Matrisler Üzerinde Aritmetik İş lemler 131

5.4. Transpozisyon 147

5.5. Bölmeli Matrislerle İş lemler 154

5.6. Iz ve Determinant 161

5.7. Satırca E ş değerlik ve Lineer Sistemler 175

5.8. Elemanter Sat ır i ş lemleri yard ımiyle Ters Matrislerin Bulunmas ı , 184

5.9. AX =K Sistemlerinin Çözümlerinin Yap ı sı 192

5.10. Lineer Ba ğı msızlık, Baz ve Boyut 198

5.11. Eş değ erlik 216

5.12. Bir Matrisin Normu, Genelle ş tirilmiş Ters

Matris, Türev ve Integrasyon 224

BÖLÜM 6. Lİ NEER DÖNÜ Ş ÜMLER

6.1. Dönüşümler 234

6.2. Lineer Dönü şümler 235

6.3. Bir Lineer Dönüş ümün Çekirde ği ve Görün

tü Cümlesi 241

VI

Sayfa

6.4. Aykırı ve Aykırı olmayan Dönü şümler 246

6.5. Lineer Dönü şümler Üzerinde i ş lemler 254

6 6 Lineer Dönü şümlerin Matris Gösterimi 264

6.7. Diferensiyel Operatörler 275

6.8. Lineer Fonksiyoneller 290

6.9. Bir Lineer Dönü şümün Transpozesi ve Ad-jointi 302

KAYNAKLAR 313

D İ Zİ N 314

SIMGELER 319

VII

1. Bölüm

FONKS İ YONIAR

1.1. GIRI Ş

A ve B keyfi iki cümle olsun. A n ın bir eleman ını B nin sadece bir elemamna kar şı lık getiren bir ba ğmtı ya da dönü ş üme bir fonksiyon

denir. Genel olarak A dan B içine bir f fonksiyonu

f f: A —> B ya da A -› B

ş eklinde gösterilir. Böyle bir dönü şümde Df = A ile gösterilen A cümle-sine f in tanı m bölgesi (domain), B cümlesine değer cümlesi (co-domain) denir. Rf ile gösterilen ve A nin elemanlar ının görüntülerinden olu ş an cümleye de f in görüntü cümlesi (range) denir ve

; f (x): x e A }

ile gösterilir. Genel olarak görüntü cümlesi, de ğer cümlesinin bir alt cümlesidir. xe.A ve f (x) e B olmak üzere bir fonksiyon ço ğunlukla

x f (x)

ş eklinde gösterilir. AXB, A ve B nin kartezyen çarp ımı olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu için daima fcAXB d ı r.

f ile f (x) arasmda bir ayr ıcahk olduğuna ve buradan f bir fonksiyonu f (x) ise kurala göre özel bir x say ı sı için f (x) sayı sını ay ırdettiğ ine ilgi çekilmelidir. f fonksiyonu, (x, f (x) ) s ıralı ikililerin cümlesidir. Unutul-mamalı dır ki matematikte her yap ı (fonksiyon, cisim, grup, halka, lineer uzay, Banach uzay ı , v.b.) kendine özgü ş artlar ı sa ğ lamas ı gereken bir cümledir. Bu bak ımdan cümle kavram ına çok iyi sahip olmak gerekir. Tan ım cümlesinde her gerçel say ı için görüntü cümlesinde bir gerçel sayı ayırdeden fonksiyonlar gerçel değerli fonksiyonlar adım alır. Başka bir anlat ım ile bir fonksiyonun görüntü cümlesi gerçel say ılardan oluş uyorsa fonksiyona gerçel değ erli fonksiyon ya da kısaca gerçel

fonksiyon denir. Benzer olarak, fonksiyonun görüntü cümlesi karma şı k

1

sayılardan olu ş uyorsa fonksiyona karmaşı k değerli fonksiyon ya da kısaca karmaşı k fonksiyon denir.

A nın farkl ı elemanına farkl ı görüntü karşı lık getiren bir f: fonksiyonuna bire-bir (one to one =injective) fonksiyon denir. Yani bire-bir fonksiyonda a a'ise f (a) f (a) ya ,da f (a) =f (a') ise a=a'dür. Eğer f in görüntü cümlesi B ye e ş it ise ya da B nin her bEB eleman, herhangi bir aeA n ın bir görüntüsü ise f fonksiyonuna üzerine (onto = sıı rjective) bir fonksiyondur denir. Bu durumda Rf = B dır. A dan A üzerine kö ş egen AA= (a ,a) : a EA} cAXA ya da xcA olmak üzere x --> x fonksiyonuna özde ş lik fonksiyonu denir. Burada (a,b) s ıralı çift anlam ındad ır. Gör'ülı tü cümlesi sadece bir elemandan olu şan bir fonksiyona sabit fonksiyon denir. Böyle bir fonksiyonda her aeA için f (a)=b o, bo c B ve Rf = {b 0 } dı r.

Düzlemde her nokta cümlesi bir fonksiyonun grafi ğ i değ ildir. Nok-ta cümlesinin bir fonksiyonun grafi ğ i olmas ı için gerek ve yeter ş art, her dik doğ runun nokta cümlesini en fazla bir noktada kesmesidir. Eğer x =a do ğrusu, cümleyi kesmezse f (a) tan ımlı değ ildir. x =a doğ -rusu cümleyi (a,b) noktas ında keserse f (a)=1) d ır. x =a do ğ rusu, nok-

ta cümlesini birden fazla noktada kesti ğ inde f (a) yine tala ımh de ğ ildir.

Bu yüzden x2 + y2 = 1 birim çemberi bir fonksiyonun, grafi ğ i de ğ ildir. Bu bir bağmtı dır ve { (x,y): x 2 -4- y2 = 1} noktalar ın ın cümlesidir. Her fonksiyon bir ba ğı nt ı dır ancak tersi do ğ ru de ğ ildir. Bir fonksiyonun grafiğ inin biçimi, fonksiyonun özelliklerini yans ıttığı ndan bir fonksiyon ile onun grafi ğ i aras ında ay ın ın yapm ıyoruz.

Bir fonksiyonun bire bir, üzerine, özde ş lik fonksiyonu olup olmadığı da pratik olarak yatay do ğ rularla ayırdedilebilir. Her yatay do ğ ru, bire bir fonksiyonun grafi ğ ini en fazla bir noktada, üzerine bir fonk ş i-

yonun grafi ğ ini en az bir noktada, özde ş lik fonksiyonunun grafi ğ ini

bir noktada keser. Özde ş lik fonksiyonu hem bire bir hem de üzerine bir fonksiyondur. Ancak her bire bir ve üzerine bir fonksiyon, özde ş lik

fonksiyonu de ğ ildir. Örneğ in y =f (x) = 2x+1 hem bire bir hem üze-

rinedir, ancak özde ş lik fonksiyonu değ ildir. Hem bire bir hem de üzerine

olan bir fonksiyona bire bir ve üzerine (one to one and onto = bijective)

fonksiyonu adı verilir. Bir fonksiyonun bize bir ve üzerine olmas ı seçilen arahğ a göre değ iş ebilir. Aralık ile ilgili söz etmişken belirtelim ki bir fonksiyonun tek ya da çift olma durumu da orijine göre simetrik bir arahkta söz konusudur. Hatta f ve g gibi iki fonksiyondan f+g, f—g, f.g ve f /g ş eklinde elde edilen yeni fonksiyon biçimleri, f ve g nin tan ım

bölgeleri ile ili ş kilidir. Gerçekten f-j-g, f-g ve f.g nin tan ım bölgesi, f ve g nin tan ım bölgelerinin kesi ş imidir. f /g nin tan ım bölgesi de, g (x) =o denklemini sa ğ layan noktalar d ışı nda f ve g nin ortak tan ım böl-gesidir. Böylece verilen herhangi iki fonksiyondan, e ğer onların ortak tanım bölgesi yoksa onlardan diyelim f.g gibi yeni bir fonksiyon elde edilemez. Öte yandan f ve g den elde edilen ve f ve g nin bileş imi denen fog fonksiyonu, f ve g nin adi çarp ımı olan f.g den farkl ı dır. Gerçekten g tanım bölgesi D g ve görüntü cömlesi Rg olan bir fonksiyon ve h da tanım bölgesi Dh ve görüntü cümlesi Rh olan bir fonksiyon olsun. g ile h nin bile ş imi, f (x) = g (h (x) ) ile tan ımlanan ve Df tan ım bölgesi, h (x) EDg olacak ş ekilde Dh daki x değerleri cümlesidir. Bu fonksiyon, g ile h in adi çarp ımııı dan farkl ı olduğu için goh ile gösterilir. goh ın tan ım bölgesi, h ın tanım bölgesinin bir alt cümlesidir ve goh ın görüntü cümlesi, g nın görüntü cümlesinin bir alt cümlesidir. goh ın tanı mlı ol-mas ı için h ın görüntü cümlesinin tümü ya da bir k ısmı g nin tanı m bölgesinde kapsanmas ı gerekir.

Birden fazla de ğ işkenli fonksiyonlar benzer ş ekilde tan ımlanabilir. S İ , Seve T cümleleri verilsin. S 1xS2 çarp ım cümlesinin her bir elemanma T nin bir tek eleman ı karşı lık gelirse bu fonksiyon S 1 x S2 nin T içine bir dönüşümü olan iki değ işkenli bir fonksiyondur.

ALIŞTIRMALAR

L Aş ağı daki fonksiyonların grafiğ inden hareketle bire bir, üze-rine ve özde ş lik fonksiyonu olup olmadıklarını belirtiniz

(a) (b) x->x3-x, (c) x->x2, (d) x->x

2. A cümlesi A= [ - 1,1] ş eklinde bir kapal ı aralık olarak verili-yor. A dan A ya bir fonksiyon s ı rasiyle

(a) f (x) =-- Sin x (b) g (x) = Sin x

(e) h (x) = Sin 7Z X

ile tanımlanıyor. Bu fonksiyonlarm bire bir, üzerine v.b. olup olmad ık-larını belirtiniz.

2x-1 3. y = f (x) =

x+4 fonksiyonu, ( - co, oc aralık-

3

larında hangi türdendir. A = [-3,2], B =4-7, ], C = [-8,2) olmak üzere f: A-*B ve f: A--)-C ile tan ımlanan fonksiyonlar ın hangi türden ol-d ıı kların ı aç ıklayını z.

4. A ş ağı da verilen f ve g fonksiyonlar ından yeni f+g, f-g, f.g,

—f

ve —f

fonksiyonlarını elde ediniz ve tan ı m bölgelerini belirtiniz:

a) f(x) V;c, g(x) == -\/1-x

b) f (x) = g (x) = x±1

5. g (x) = 1-x, h (x) -=- x fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlardan f1 = goh ve f2 = hog ş eklinde yeni bileş ik fonksiyonlar bu-lunuz ve tanım bölgelerini belirtiniz.

1.2. MONOTON FONKS İ YONLAR

Bir y = f (x) fonksiyonu:

1) x 1 < x2 olduğunda f (x 1 ) < f (x2)

2) x t < x2 olduğunda f (x i) > f (x2 )

3) x 1 < x2 olduğunda f (xl) > f (x2)

oluyorsa (kuvvetle) artan,

oluyorsa (kuvvetle) azalan,

oluyorsa artmayan,

4) x 1 < x2 olduğunda f (x1) < f (x2) oluyorsa azalmayan, fonksiyon adı n ı alır . Ayr ıca bir f fonksiyonuna;

(i) ya artan ya da azalan (ikisi birden de ğ il) ise kuvvetle monoton

fonksiyon,

(ii) ya artmayan ya da azalmayan ise monoton fonksiyon,

(ili) fonksiyonun tan ımlı olduğu her sonlu aral ık, sonlu say ı da

aral ıklara bölündü ğünde bu aral ıkların her birinde fonksiyon monoton ise fonksiyona parçalı monoton fonksiyon denir.

f (x) = x2 fonksiyonu, x<0 için azalan x>0 için artan oldu ğundan böyle bir fonksiyondur.

f(x) = sinx de parçal ı monoton fonksiyondur.

f(x) = x3 kuvvetle artan, f (x) = x 2 fonksiyonu, örne ğ in

[ -3, O] aral ığ mda kuvvetle azalan,

4

x<0 f (x)

2-2x, xj0

fonksiyonu artmayan,

O, x<0 f (x)

fonksiyonu azalmayan fonksiyondur.

1.3. TERS FONKSİ YONLAR

TEOREM 1.3.1 (Ters fonksiyon teoremi). f fonksiyonu, [a,b ]

kapal ı aralığı nda tan ımh ve sürekli kuvvetle monoton (artan yada

azalan) bir fonksiyon olsun. cz = f (a), = f (b) diyelim Bu durumda

(1) g (f) ) = x, f (g (y) ) = y olacak ş ekilde [oc,f3 ] kapal ı aralığı nda

tamml ı ve f in ters fonksiyonu denen kuvvetle monoton bir g fonksiyonu

vardır.

(2) f--1 = g ile gösterilen bu ters fonksiyon süreklidir.

Y

Bu teorem, bir fonksiyonun tersinin keza bir fonksiyon oldu ğuna

karar vermede bir yöntem verir. R2 düzleminde herhangi bir cümle

bir ba ğı ntıdır ve bir fonksiyon, bir ba ğı ntının özel bir durumudur. Bu

yüzden bir fonksiyonun tersinin keza bir fonksiyon olmas ı gerekmez.

Gerçekten x2-y2 = 1 ba ğı nt ı sının ters ba ğı ntı sı , y2-x2 =1 ba ğııı t ı -

sının çözüm cümlesidir. Ne orijinal ne de ters ba ğı nt ı bir fonksiyon

değ ildir. y =x2 ile tanımlanan ba ğı n.tı bir fonksiyon oldu ğu halde bunun

x = y2 ters ba ğı ntı sı bir fonksiyon de ğildir. y (x-1) 3 ba ğı ntı s ı bir

5

siyon olmak zorundad ı r. Örneğ in, y = f (x) 11- x21 < x < oo,

x

fonksiyondur ve bunun ters ba ğı ntı s ı olan y =l+xl / 3 de bir fonksiyon-dur. Keza y2 =x 3 ile tan ı mlanan bağı nt ı bir fonksiyon olmadığı halde bunun ters ba ğı ntı s ı olan y =x2 / 3 bağı ntı sı bir fonksiyondur. Genel

olarak, y = f (x) denkleminin geometrik yeri olan bir f fonksiyonu, onun

tersi olarak x = g (y) ile verilen geometrik yere sahiptir. Bir fonksiyonun tersi, çeş itli fonksiyonlardan olu ş abilen bir ba ğı nt ıdı r. Bu fonksiyonlara ters ba ğı nt ının dalları denir. Örneğ in y = x2-2x+2 fonksiyonunun tersi,

y 1 — x-1 g i(x), 1 x <

y = 1 + -V x-1 g2(x), 1< x <

ş eklinde iki daldan olu ş maktadı r.

Bir fonksiyonun türevinden hareketle tersinin bir fonksiyon olup

olmadığı na karar verilebilir. Gerçekten f den bulunan f'niceli ğ i f in tan ım bölgesinde daima pozitif ya da daima negatif ise f in tersi bir fonk-

1-X2 fonksiyonunun y' = r(x)

(11-x2)2 türevi, 1 < x < öp için negatif

olduğundan fonksiyon azaland ır. Dolayısiyle f in f-1 ile gösterilen bir

ters fonksiyonu vard ır. f (1) = i ve (x) = 0 oldu ğundan bu ters

fonksiyonun tan ı m bölgesi Dg = (0, ve görüntü cümlosi Rg = (1, 00) dur. f sürekli ve azalan oldu ğundan g = U° de sürekli ve azaland ı r.

g ters fonksiyonunun denklemi x Y denkleminin geometrik 1 -H y2

yerinin bir parças ı dır. x cinsinden y çözülür ve uygun dal seçilirse g için

y = g (x) = f-1(x) —1+ V1-4x2

2x, O<X< 121

elde edilir

Ş imdi bu açıklamalara ba ş ka bir yönden yakla ş alım: Yukarda aç ık-

landığı üzere bir f fonksiyonunun f-1 bağı ntısmın genel olarak bir fonksi-

yon olmadığı nı belirtmiş tik. Bununla beraber f: A-->B hem bire bir hem

de üzerine bir fonksiyon ise U° de B den A üzerine bir fonksiyondur.

O halde y = f (x) hem bire bir hem de üzerine ise x = g (y) = f -1 (y)

fonksiyonun varlığı ve tekli ğ i garantilidir. Daha önce R den R ye

f (x) = ex ile tan ımlanan fonksiyonun bire bir oldu ğunu görmüş tük.

Bu fonksiyonun ters fonksiyonu, ancak ayn ı fonksiyon f: R -÷ (0, oo) ş eklinde tammlamrsa vard ır, çünkü bu defa hem bire bir hem de üzerine olur. Bu yüzden x = f-1 (y) = g (y) = lny ya da al ışı lan değ işkenlerle

y=lnx ters fonksiyonu, (0, co) dan ] üzerine tan ındı , sürekli ve artan bir fonksiyondur.

1.4. PARÇALI SÜREKL İ FONKS İ YONLAR

TANIM 1.4.1. (Açık aralıkta parçal ı süreklilik). Bir ,f (x) fonksiyonuna aşağı daki şartların sağ lanmas ı halinde a<x<b aç ık aralığı üzerinde parçal ı süreklidir denir:

(1) f (x) fonksiyonu, sonlu sayıda xi , xii noktaları ayrı tutul- mak üzere a<x<b aral ığı nııı her noktas ında süreklidir.

(2) Bu süreksizlik noktalar ında f (x) in s ı rasiyle j = 1,2,..., için limx,,,i+f (x) ve (x) ile gösterilen sa ğ ve sol limitleri vard ır. (Sürekli bir fonksiyonun parçah sürekli oldu ğunu anımsayahm.)

TANIM 1.4.2. (Kapal ı aralıkta parçal ı süreklilik). Bir f (x) fonk-siyonuna aş a ğı daki ş artların sağ lanması halinde a<x<b kapal ı aralığı üzerinde parçal ı süreklidir denir:

(1) f (x) fonksiyonu a<x b-f (x) sol limiti vardır.

TANIM 1.4.3. Bir aral ıkta her x için f (x) < A ise yukardan s ı -nınrlı ve her x için f (x) > B ise f (x) aş ağı dan sı nırlı dır. Keza her x için B<f (x) < A ya da M, I A I ve I B I say ılarının maksimumu olmak üzere I ( f (x) I < M ise f (x) e sı nırlı fonksiyon denir.

TANIM 1.4.4. Bir f (x) fonksiyonuna, [a,b üzerinde hem kendisi hem de f' türevi parçal ı sürekli ise [ a,b ] üzerinde parçalı düzgün (piecewise smooth =piecewise continuous derivative) dür denir. Ba şka bir anlat ımla f ve f'türevi, Df üzerinde sürekli ise f ye e i ıncı s ı nıftandır denir. Genel olarak f fonksiyonunun kendisi ve k y ıncı basamağa kadar türevleri D f üzerinde sürekli ise f ye ek y ı ncı stnıftandır denir.

7

(a) f (x) =

x2+ 1, x > o [ 1

x < O

ALIŞ TIRMALAR

1. Aş ağı daki fonksiyonlarm belirtilen aral ıklar üzerinde parçal ı sürekli olup olmad ıklarını inceleyiniz.

x

Sin x , x > 1 0 , 0<x<1

(b) f (x) =- [ -2,5 ] ex -1 <x<0 x3 x < - 1

2. Aş ağı daki fonksiyonlarm [ - 1,5 ] üzerinde parçal ı sürekli

olup olmadıklarını inceleyiniz.

X2 , X > 2 (a) f (x) 4 , O < x < 2

x < O

1

( x-2 )2 , x > 2

(b) f (x) = 5x2-1 , x < 2

(e) f (x) = 1

(d) f (x) = 1

(x-I-2)2

3.x -> [x ] en büyük tamsay ı fonksiyonunun grafi ğ ini çiziniz. Parçal ı sürekli olup olmad ığı nı inceleyiniz ve x -› 3 için limitini bulunuz.

0, x irrasyonel 4. f (x) =

1, x rasyonel

fonksiyonunun herhangi bir [ a,b ] aral ığı nda parçal ı sürekli olup ol-

madığı nı inceleyiniz.

0, x irrasyonel

0, x rasyonel 5. f (x)

g (x) = 1, x rasyonel

1, x irrasyonel

( x-2 )2

8

fonksiyonlar ı veriliyor. Bu fonksiyonlarm toplam ı hakkında ne söylene-bilir ?

6. Bir aç ık arahğm her noktas ında sürekli ancak bu arahk üzerinde sın ırlı olmayan bir fonksiyon örne ğ i veriniz.

7. f: .9? -> 7t ve g: R -* R fonksiyonları

. 1 f (x) = x sin

1 x # 0 g (x) = sm — x # 0

x ' , x

0 , x = O 0 , x =-- O

ş eklinde tanımlanıyor. Bu fonksiyonlar ın x =0 noktas ında süreklilik durumlarını inceleyiniz.

x2sin 1 , x 0

8. f (x) =

0 , x O

ş eklinde tanımlanan fonksiyonun x =0 için türevini bulunuz. Herhangi bir fonksiyonun x =x0 için türevini bulmak, her zaman türevini ahp x yerine xo koymakla ayn ı anlama gelir mi? Aç ıklaymız.

1.5. MUTLAK DEĞER FONKSIYONU ve E Şİ TSİZLİ KLER

x -> I x I fonksiyonunun tan ım bölgesi, bütün gerçel say ılar cüm-

lesidir. Bu fonksiyon her x say ıs ına negatif olmayan ,\/ x2 sayı sını karşı lık getirir. Buna göre x -± lx I fonksiyonu

x,x>0

ile tammlıdır.

Bu fonksiyon her pozitif gerçel say ıyı , kendisi üzerine dönü ş türür ve her negatif say ıyı da onun negatifi üzerine dönü ş türür ki o da pozitif sayıdır. x lx I fonksiyonu, x sayı sının orijinden uzaklığ mı göster-diğ inden Ix I < a gösterimi - a < x < a anlam ındadır. Benzer ş ekilde I a-b .de a ve b noktalar ı aras ındaki uzaklıktır. İ ki sayıdan birinin bir diğerine yak ın olması , onların farkının mutlak değerinin küçük olmas ı anlamındadır. Daima IxI>0 d ır ve ancak x= 0 ise Ixl =O d ır. Bir bakıma bu fonksiyon, pozitif ya da negatif ak ımı , pozitif akıma çeviren bir elektrik ak ımına benzer.

x ---> lx I = N/ x2 = —x , x < O

9

Mutlak de ğer gösteriminin matematikte son derece yararlar ı var-

dır ve mutlak de ğer fonksiyonu a ş ağı daki önemli özeliklere sahiptir:

(i) l a > 0 dı r ve ancak a= 0 ise I al =O d ır.

I abi = 1 al I bi yada a i .a2 ...an i =I ai j I a2 j...

ı a n I d ır.

I a =

I b I dır.

(iv) I a+b I < 'al+ Ibl (üçgen e ş itsizliğ i)

Daha çok sayı da terim için de bu e ş itsizlik geçerlidir, yani

( a l + a2+ an I > I la I— IbI I, !a-b-c > la I — ib I — tel dır.

(vi) la-e I< ta-b lb-c dır.

Mutlak de ğer fonksiyonu e ş itsizliklerle yak ından ilgilidir. Bir matematiksel ifadenin bir di ğerinden daha büyük ya da daha küçük olmasına eş itsizlik denir. a 0 ise ac < be ve e < 0 ise ac be dır. Cebirsel denklemlerde oldu ğu gibi matematikte genel türden iki e ş itsizlik vardı r. Ş artlı denkleme kar şı lık ş artlı e ş itsizlik ve özde ş liğ e karşı lık mutlak e ş itsizlik.

TANIM 1.5.1. Bir e ş itsizlik, kapsadığı de ğ iş kenterin bütün olurlu değerleri için do ğ ru ise, mutlak eş itsizlik adın ı alı r.

Örneğ in, a2 + b2+ 1 > 0 e ş itsizliğ i bir mutlak e ş itsizliktir, keza — 4 < 3 e ş itsizliğ i bu türdendir.

TANIM 1.5.2. Bir e ş itsizlik, kapsad ığı de ğ iş kenlerin bütün olurlu de ğerleri için do ğ ru değ ilse ya da baz ı de ğerleri için doğ ru ise, ş artlı , eş itsizlik ad ını alır.

Örne ğ in, 2 x — 4 > 0 bir ş artlı e ş itsizliktir, çünkü x in sadece 2 den büyük de ğ erleri için doğ rudur. Keza sin 0 < 0 e ş itsizliğ i, üçüncü

ve dördüncü bölgede bulunan 0 n ın değ erleri için do ğ rudur.

a b

10

ALI Ş TIRMALAR

1. Aş ağı daki denklemleri çözünüz?

(a) [ x-7 1 = 3

(b) I 2x-6 1 = I 4-5x

2. Aş a ğı daki e ş itsizlikleri sa ğ layan x değerler cümlesini bulunuz?

(a) I 3x-4 1 < 7

r2x-5 1 (b) < 3 x-6

(c) 3-2x j < j x-I-4

(d) I x (x+1) I < 1 x+41

3. Aş a ğı daki özeliklerin her birinin varlığı n ı gösteriniz

(a) 1 a+b l 1 !al— 1bl 1

(d) I a-c 1 < 1 a-b I + I b-c 1

4. Herhangi bir a e I? için — la I < a < IaI oldu ğunu ispat ediniz?

5. a < x < b ve a < y < b ise i y—x I < b-a olduğunu gösteri- riniz ?

6. a < x < b eş itsizliğ ini, mutlak değ er iş areti kullanarak yeni-den yaz ını z?

7. (a) x sayı sı [-4,4 ] aralığı na kı sıtlandığı nda x3-2 ifadesinin mutlak değerce alabilece ği bir üst s ınırı saptaymız?

(b) [-3,2 ] aralığı nda her x için

Ix3-2x2 +3x-4 1 <M olacak şekilde pozitif bir M sayı sı bulunuz?

8.. (a) x, [-4,4 ] arah ğma lusıtlandığı nda

x2+2

x+3 ifadesinin en büyük olurlu de ğeri için bir

sayı belirtiniz?

11

(b) x in (1,4) aralığ ma kısıtlanmas ı halinde

< M olacak biçimde bir M say ı sı bulunuz ?

9. (a) a,b,c ve d pozitif say ılar olmak üzere a > b, d > c ise

a b > c — d

olduğunu gösteriniz ?

(b) (a) dan yararlanarak, x in , aralığı na kı sı tlanmas ı halinde

x+2 i< m x-2

olacak ş ekilde bir M sayı sı bulunuz ?

10. n tane pozitif sayının çarp ımı 1 ise, toplamının en az n olduğunu gösteriniz.

11. Ahş tırma 10 dan yararlanarak,

x2+2 x2 (a)

,N/ x2+1 > 2 (b) 1+x4 < 2 , (c)log ina+logal0 > 2,a>1

eş itsizliklerinin herbirinin do ğ ruluğunu gösteriniz ?

12. Aş ağı daki eş itsizlikleri geçerli k ılan x de ğerler cümlesini bulunuz.

(a) < 4 ve x-1 x

3-2 < 7

(b)

(c)

x-2 3-x < 3 ve < 5 x+1 x2

3 < 2 ve (x-1) (x+4) < 0

13. a ncosn b nsinn 0 ifadesini,

(a) Cncos (n 0 — O n)

(b) C nsin (n 0 O n) ş eklinde yazını z ?

x+2 x

12

ex ex (a) < 2 5, (b) < 104, (e)

x4 lnx < 104

x2

14. (a) 3 sin 0 + 4 cos 0 G 5

(b) 6 cos 0 — 8 sin 0 < 10 mutlak eş itsizliklerinin do ğ ruluklarmı gösteriniz?

15. (a) n > 3 için İyn > n-1-1 N/n+1 eş itsizliğ inin geçerli olduğunu gösteriniz ?

(b) (a) dan yararlanarak

1, N/2, 3 N/3, 4 VL1 . 5 n s arlannın en büyüğünü bulunuz ?

ex xN- 16. N > a tam sayısı için

Xoc NN ot eş itsizliğ inin var-

lı gını gösteriniz?

17. Ahştırma 16 dan yararlanarak, a ş ağı daki eş itsizliklerin her birinin x in hangi x > xo değeri için geçerli olduklar ını gösteriniz ?

1.6. KAPALI FONKS İ YONLAR

Genel olarak F (x,y) = 0 ş eklindeki bir denklem x ve y aras ında bir ba ğı ntı gösterir. Bu denklemi sa ğ layan bir sayı çifti, düzlemde bir noktaya karşı lık gelir. Böyle bir denklemi sa ğ layan noktaların tümü, denklemin geometrik yeri adını alır. Bir çok denklem görünü ş te çok basit olsa bile bir geometrik yere sahip de ğ ildir. Örneğin x2+ 2y2+ 9 =O denklemi geometrik yere sahip de ğ ildir, çünkü pozitif de ğerlerin toplamı hiç bir zaman s ıfır olamaz. Ayn ı şekilde (x-1)2+ (y+2)2 = 0

denklemi sadece x =1 ve y = -2 için sa ğ landığ mdan bu denklemin geometrik yeri sadece bir noktad ır. sinx secy = 0 denklemi de ilginç geometrik yere sahiptir. 1 sinx I < 1 ve I secy I > 1 olduğundan denklem

sadece sinx =1 ve secy = -1 ya da sinx = -1 ve secy =1 oldu ğu zaman sağ lanır. O halde geometrik yer

± 2 m 7Z, n ± 2 n ıc) ve (32

± 2 m 2n7c111,m,n

ayrık (izole = isolated) noktalardan olu ş ur.

Bu örneklerden ç ıkan sonuç şudur: F (x,y) = 0 denklemini sa ğ -layan bir y =f (x) fonksiyonu yoktur. O halde böyle bir denklem veril-

13

diğ inde ilk önemli problem, denklemi sa ğalayan bir y =f (x) fonksiyonu-nun varlığı problemidir. İ kinci önemli problem de, denklemi sa ğ layan bir y =f (x) fonksiyonu varsa, denklemi y ye göre çözmeden ki her za-man çözmek olana ğı yoktur hangi ş artlar alt ında y =f (x) fonksiyonunun sürekli ve türevlenebilir olduğudur.

F (x,y) = 0 denklemi çok kar ışı k bir geometrik yere sahip olabilir. Böyle bir denklemi sa ğ layan bir y =f (x) fonksiyonunun varl ığı , geo-metrik yerin ya da e ğ rinin yerel durumu (local behavior) ile yani e ğ ri üzerinde özel herhangi bir noktanm kom şuluğunda geometrik yerin du-rumu ile ilgilidir. Yerel (local) terimi matematikte teknik bir terimdir ve e ğ ri üzerinde dikkate alman herhangi bir noktan ın komş uluğunun sadece yeteri kadar küçük al ınmas ı gerektiğ ini değ il aynı zamanda seçilen kom şuluğun yeteri kadar büyük olmas ı halinde de yerel teriminin anlamını yitireceğ ini ofade eder. Öte yandan birbirine ne kadar yak ın olmas ı önemli olmamakla beraber farkl ı nokta seçilmesi halinde de yerel durum bozulur ve art ık ba ş ka bir nokta için yerel durum söz konusudur.

Önemli kapah fonksiyon teoremlerini kurmadan önce baz ı gerçekleri anımsamada yarar vard ır:

(i) Bir sürekli fonksiyon herhangi iki de ğer aras ındaki bütün ara değerleri almak zorundad ır. Bu özelik Weierstrass ara de ğ er teoremi olarak bilinir

(ii) Çok kere kullan ılan ancak bir teorem olarak ifade edilmiyen ikinci bir gerçek vardır ve sürekli bir fonksiyonun yerel durumu ile ilgilidir. Kısaca bir fonksiyon herhangi bir de ğ er için pozitif ise, bu değer komş uluğunda bütün noktalar için pozitif olmak zorundad ır. Kuşkusuz bölge çok küçük olabilir, ancak böyle bir bölge vard ır. Aş ağı daki teorem çok de ğ işkenli fonksiyonlar için bu sonuca genel bir durum getiriyor.

TEOREM 1.6.1. f (x 1 , x2,..., xn) fonksiyonunun bir (x io, x20,..., xn0) noktas ında sürekli ve f (x ı o, x20,..., x no) > 0 olduğunu varsayal ım Bu durumda

Ixi— x io I < h, 1x2—x20 < I xii—x no I < h

komşuluğunda bütün (x 1 , x2,..., xn) noktalar ı için f (x 1 , x2,..., xn) pozitif olacak ş ekilde, pozitif bir h say ı s ı vardır.

Ş imdi ilk kapalı fonksiyon teoremini verelim.

TEOREM 1.6.2. F, Fx ve Fy fonksiyonlar ın ın (xo, yo) komş uluğun-da sürekli ve

14

F (xo, yo) = 0, Fy(xo, yo) 0 olduklarını varsayal ım. Bu du-

rumda

(a) ix–xo I < h komş uluğunda her x için F (x,y) = 0 denklemini

sağ layan iy-y. j < k komş uluğunda bir tek y olacak ş ekilde (xo, yo) komşuluğunda bir

Ş ekil 1. 6.1

R: lx-xo I < h, fy-yo I < k

dikdörtgenini belirleyen pozitif h ve k say ıları vard ır. Yani y, x in bir fonksiyonudur ve y =f (x) yaz ılabilir. f in tan ım cümlesi jx-xo I < h kom ş uluğunu ve görüntü cümlesi de I y-y o < k kom ş uluğunu kapsar.

(b) f fonksiyonu ve bunun f' türevi lx-x o < h komşuluğunda süreklidir. Ayrıca lx-xo I < h için

Fx [x,f (x) ]

dy x Fy [x ,f (x) ] O ve dx ( ) — Fy [X,f (X) I dır.

UYARILAR:

Bu teo ı emin. bir geometrik yorumu ş ekilde görülüyor. Teorem, f türevlenebilir olmak üzere F (x,y) = 0 denkleminin bir parças ı olan y =f (x) yayının içersinde bulunduğu bir I x-xo < h, jy-yo < k

15

Şekil: I. 6. 2

dikdörtgeninin varlığı nı ifade ediyor. Ku şkusuz x=x, doğ rusu, tüm geometrik yeri çe ş itli noktalarda kesebilir.

Teorem tamamen yereldir, yani f in geni ş letilebileceği tanım bölgesinin ne kadar geni ş olaca ğı belirtilmiyor. Bununla beraber (x o, yo) kom şuluğunda dikdörtgen ne kadar küçük seçilirse seçilsin sonuç geçerli kalır.

;(iii) Bu teorem tamamen salt bir varl ık teoremidir, ve bu teorem bizlere f fonksiyonunu bulmada bir yöntem veremez.

(iv) Değ işkenlerin de ğ iş tirilmesi halinde sonuç geçerlidir. E ğer Fx(xo, yo) 0 ise bu durumda kapal ı fonksiyon teorenıi, x in x =g (y) ş eklinde yaz ılmasını sağ lar. Keza Fx (xo, yo) 0 ve Fy (xo, yo) 0 ise hem y =f (x) hem de x =g (y) yazmak imkan ı vard ır. Her iki koş ul sağ lanmıyorsa bu durumda (xo, yo) in komşuluğunda ne y, x in ne de x, y nin bir fonksiyonudur.

ÖRNEK 1.

F (x,y) = y3+ 3x2y-x3 + 2x+3y =O denkleminin tüm geometrik yerinin her x için tan ımlı bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Her x için Fy = 3y2+ 3x2 +3 > 0 olduğundan F (x,y), her y için y ye göre artand ır. O halde her x için F (x,f (x) ) = 0 olacak şekilde

16

bir tek y =y (x) vard ır. Teoremin ş artlar ı sağ landığ mdan f fonksiyonu her x için tammlı , sürekli ve türevlenebilir.

ÖRNEK 2.

F (x,y) = x2 -y2+4x+2y+3 =0 fonksiyonuna Teorem 1.6.2 yi uygulayını z.

Fx = 2x+4, Fy =-2y+2 olduğuna göre y /1 (Fy-t0) olmak üzere geometrik yer üzerinde herhangi bir noktada y, x in bir fonksiyonudur. Keza x-t-2 olmak üzere x, y nin bir fonksiyonudur. Bununla beraber verilen denklem (y+x+1) (y-x-3) = 0 ş eklinde yaz ılabilmesi nede-niyle geometrik yer üzerinde (-2,1) noktas ında Fx = Fy = 0 dır ve bu durumda teorem geçerli de ğ ildir.

dy Fx x+2 dx Fy 1-y

türevi (-2,1) noktas ında belirsizdir. y+x+1=0 ve y-x-3 =O sis-teminin ortak çözümü olan (-2,1) noktas ı , geometrik yerin iki katl ı (double) bir noktas ıdır. Teorem 1.6.2 çok say ıda değ işken için de geçer-lidir,

TEOREM 1.6.2.T (xi , x2,... xn, y), Fy ve her i=1,2,..., n için Fxi fonksiyonlarının (xi°, x20,..., xn°, yo) komşuluğunda sürekli olduklar ın ı varsayalım. Ayrıca

F (x ı °, xn°, Yo) = 0, FY(x ı ° , x°n, Yo) 7L 0 olsun.

Bu durumda a ş ağı daki ş artlar sa ğ lanacak ş ekilde h ve k say ılan vardır:

(a) lxi- x ı .0 1 < h, i=1,2,..., n, komş uluğunda her (x i , x2,..., xn) için F (x i , x2 ,..., xn, y) = 0 denklemini sağ layan [y-y. I < k kom ş ulu-ğunda bir tek y vard ır.

(b) f, f (x i , x2 ,..., xn) = y ile tan ı mlanırsa bu takdirde n

için bütün birinci basamaktan fxitürevleri x ı °1 < h kom ş uluğunda süreklidir ve ayr ı ca

Fy [x ı , x2,..., xn, f (xi , x2,..., xn)] O,

fxi= Fy x2,..., xn , f x2,..., xn ]

dır.

Fxı [xl,x2,•••, xn, f xn)

17

ÖRNEK 3.

Her x,y için f in x-2 1 < h ve ;y-1-1 < h içinde tan ı mh, sürekli

ve türevlenebilir olmas ı halinde

F (x,y,z) = 3x2 -1- 2y2+ z2+ 2xy 2yz 2xz-9 =O

denkleminin geometrik yerinin bir parças ının z =f (x,y) yüzeyi üzerinde jx -2 < h, y+1 I < h, lz+1 ; < h kutusu içersinde bulunabilece ğ i

sonucunu ç ıkarabilir miyiz ? z yi x ve y cinsinden çözünüz ve irdele-leyiniz.

x0 =2, yo = —1, zo = —1 d ır. Teorem 1.6.2'de (x i , x2, y) yerine (x,y,z) gelmi ş oluyor.

-= 2z+2x-H2y, Fz(2,-1,-1) = 0 oldu ğ una göre (2,-1,-1) noktas ı -

s ının komş uluğunda z, x ve y cinsinden yaz ılamaz. Gerçekten denklem-

den z çözüliirse z = — (x+y) ± v 9-2x2—y2 elde edilir. Her iki fonksi-

yonun tanım bölgesi 0 < 2x2 + y2 G 9 elips bölgesidir ve (2, —1) noktas ı bu bölgenin sınırı üzerindedir. Böylece ş artlar ı sağ layan kutu

yoktur. Uzay analitik geometrideki bilgilerimizden (2, —1, —1) noktas ında

F (x,y,z) = 0 yüzeyine te ğet düzlem, z eksenine paraleldir. •

Bu arada önemli baz ı gerçekleri de k ısaca belirtelim:

(i) F (u,v) ve G (u,v) bir bölgede türevlenebilir ise F ve G nin u

ve v ye göre jakobiyen determinant ı ya da kısaca Jakobiyeni

a (F,G) a (u,v)

aF aF au av

aG aG au av

F„ F,

ile tan ı mlı ikinci basamaktan fonksiyonel determinantlar. Üçüncü ve daha yukar ı basamaktan determinantlar benzer ş ekilde tammlamr.

Aş ağı daki özeliklerde tüm fonksiyonlar ın sürekli türevlenebilir olduk-

larını kabul edelim.

(ii) F (u,v,x,y,z) = 0, G (u,v,x,y,z) = 0 denklemlerinin (örne ğ in)

u ve v ye göre çözülebilmeleri için gerek ve yeter ş art, bir bölgede

a (F,G) a (u,v)

m denklem için geçerlidir. m < ıı .

nin özde ş olarak s ıfır olmamas ı dır. Benzer sonuç, n de ğ i şkenli

18

bağ lı:umm olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, a (x Y) n

ın özde ş olarak

sıfır olmas ı dır. Benzer sonuç n de ğ işkenli n fonksiyon için geçerlidir.

(iv) u =f (x,y) ve v =g (x,y) ise u ile v aras ında (1) (u,v) =O ş eklinde

a (u,v)

(iii) x =I (u,v), y =T (u,v) ve u =f (r,$), v -=g (r,$) ise

a (x,y) a (x,y) a (u,v)

8 (r,$) a (u,v) • 8 (r,$)

dır. Bu jakobiyenler için zincir kural ı örneğ idir.

Aynı ş ekilde

x = (I) (u,v,w), y =T (u,v,w) ve u =f (r,$), v =g (r,$), w =h (r,$) ise

(x,y) a (x,y) a (u,v) a (x,y) a (v,w) a (x,y)

a (r,$) a (u,v) • a (r,$) a (v,w) • a (r,$) a (w,u) •

a (w,u)

a (r,$)

ve

x = (u,v,w), y =T (u,v,w), z =z (u,v,w) ve u =f (r,s,t), v =g (r,s,t),

w =h (r,s,t) ise

(x,y,z) 8 (x,y,z) a (u,v,w)

a (r,s,t) a (u,v,w) • a (r,s,t)

dır.

ALIŞ TIRMALAR

1. Yukardaki (iv) özeliğ inin varlığı nı gösteriniz.

2. x+y

l—xy ve v arctanx arctany ise

a (u,v)

(x,y) Yi

bulunuz.

(b) u ile v aras ında bir fonksiyonel ba ğı ntı var midir? Varsa

bu bağı ntıyı bulunuz.

3. (a) x =f (u,v), y =g (u,v) ve u = 1 (r,$), v (r,$) ise

a (x,y) a (x,y) 8 (u,v) a (r,$) a (u,v) • a (r,$)

olduğunu gösteriniz.

19

(x,y) (b)

a (u,v) / 0 olmak üzere

gösteriniz.

= 1 olduğunu (u,v) a (x,y)

4. F (xy,z-2x) =-0 ba ğı ntı sı x az az

–yax ay

hangi ş artlar alt ında sa ğ lar? Bu ş artları bulunuz.

— 2x denklemini

20

2. Bölüm

SKALER VE VEKTÖR DE Ğ ERLI FONKSIYONLU

2.1. Gİ RİŞ

u (t) ve v (t) gerçel t de ğ işkeninin gerçel de ğerli fonksiyonlar ı olmak üzere z (t) =u (t) + iv (t) ş eklinde olan fonksiyonlar karma şı k değerli fonksiyonlardır. E ğ er u (t) ve v (t) fonksiyonlar ı t =to noktas ında sürekli ise z (t) fonksiyonu da t =t o noktas ında süreklidir. Aynı ş ekilde u (t) ve v (t) fonksiyonlar ı t =to da türevlenebilir ise z (t) fonksiyonu da t =to da türevlenebilirdir. z (t) nin türevi bilindi ğ i üzere

Z (t) = ü (t) ± iv (t) (2.1.1)

ş eklindedir. Ayrıca z (t) nin mutlak değeri (modül)

z (t) I = [u (.02+ v (t)211/2 (2.1.2) ile tanımlı dır.

Bilindiğ i üzere her karma şı k fonksiyon, bir analitik fonksiyon değ ildir. u (x,y) ve v (x,y) gerçel fonksiyonlar olmak üzere

w =--- f (z) = u (x,y) + iv (x,y) (2.1.3)

fonksiyonunu gözönüne alal ım. Bir D bölgesinin her z noktas ında f'(z) türevi var ise, f (z) fonksiyonuna D bölgesinde analitik'tir denir ve bu durumda f (z), D bölgesinde analitik fonksiyon olarak adland ırıhr. f'(z) türevinin bütün noktalar ında var olduğu bir Iz—zo I < 8 komşuluğu var ise bu durumda f (z) fonksiyonuna bir z,, noktas ında analitik'tir denir. Buradan (2.1.3) ün bir D bölgesinde analitik olmas ı için gerek ş art, u ve v nin

au av au av _ ax ay ' ay ax (2.1.4)

Cauchy-Riemann denklemlerini sa ğ laması dır. E ğer (2.1.4) deki parçal türevler D de sürekli ise bu durumda Cauchy-Riemann denklem-

21

leri, f (z) nin D de analitik olmas ı için yeter ş artlard ır. u (x,y) ve v (x,y)

fonksiyonlar ı çoğunlukla eş lenik .fonksiyonlar olarak adland ırıhr. Bun-

lardan biri belli olunca, u+iv =f (z) analitik olacak ş ekilde diğeri

bulunabilir. Belirtelim ki f (z) bir D bölgesinde analitik ise onun bütün

türevleri D de vard ır ve süreklidir. Bu gerçel de ğ i şkenli fonksiyonlar

için gerekli olarak geçerli olmayan ancak karma şı k değ iş kenli fonksiyon..

lar için geçerli olan ilginç bir özeliktir.

Gerçel değ erli ya da karma şı k değerli fonksiyonlar gerçel t de ğ iş -

keninin skaler fonksiyonlar ı (sayı değerli fonksiyonlar) ad ını alır. Bu

türden fonksiyonlarm görüntü cümlesi, tan ı m bölgesinde her nokta

için sayılardan oluşur. Görüntü cümlesi vektörlerden olu ş an fonksiyon-

lara vektör değerli fonksiyonlar ya da kısaca vektör fonksiyonlar ı denir.

Örneğin bir vektör fonksiyonunun tan ım bölgesi a < t v (t) vektör de ğ erli fonksiyonu, e l ve e2

koordinat birim vektörleri olmak üzere

✓ (t) ---- f (t) e ı + g (t) e 2 (2.1.5)

ş eklinde gösterilebilir. Burada f ve g fonksiyonlar ı , [a,b] aralığı nda

tammlı olmak üzere skaler fonksiyonlard ır. Daha fazla boyutlu uzaylarda

bu tanım benzer ş ekilde geni ş letilebilir. (2.1.5) fonksiyonu IR den IR2 ye bir değ iş kenli bir fonksiyondur.

Tanım bölgesi IR2de ve görüntü cümlesi de 1R2de bulunan vek-

törlerden olu ş an bir vektör fonksiyonu

✓ (x,y) f (x,y) e ı + g (x,y) e2 (2.1.6)

gösterimine sahiptir. E ğer görüntü cümlesi üç boyutlu uzayda vektör-

lerden oluşuyorsa bu vektör fonksiyonu

u (x,y) = f (x,y) e ı + g (x,y) h (x,y) e 3 (2.1.7)

ş eklindedir. Ayn ı ş ekilde

u ı (x,y,z) = f (x,y,z) e ı +g (x,y,z) e 2 (2.1.8)

ve

u2 (x,y,z) = f (x,y,z) e ı + g (x,y,z) e2-4- h (x,y,z) e 3 (2.1.9)

fonksiyonları sırasiyle u ı : R3 --> R2 ve u2 : R3 -* R3 ş eklinde üç değş i-

kenli vektör fonksiyonlar ıdır. Keza (2.1.6) ve (2.1.7) iki de ğ iş kenli vek-

tör fonksiyonland ı r.

Her vektörün, koordinat birim vektörleri (baz vektörleri) cinsinden

bir tek ş ekilde yaz ılabileceğ i aç ıkt ır. Buna, vektörün bitim noktas ına

22

karşı lık gelen yer vektörü dendiğ ini biliyoruz. Örne ğ in, üç boyutlu uzayda hernagi bir P noktas ının yer vektörü

P = OP = v = x le i + x2e2 + x3e 3 (2.1.10) ş eklindedir. (x ı , x2, x3 ) s ıralı üçlüsü (O, e 1 , e2 , e 3) koordinat sisteminde P nin koordinatlar ı d ı r.

Iki kil' ve Cf"). gibi yönlü do ğ ru parçalar ı aynı büyüklük ve ayn ı doğ rultu ve yöne sahip iseler bunlar eş değerdir (ya da dar anlamda

--> e ş ittir) denir ve bu AB CD ş eklinde gösterilir. Bir v vektörü, verilen

bir büyüklük ve bir do ğ rultuya sahip bütün yönlü do ğ ru parçalar ının bir kolleksiyonudur. Koolleksiyonda bir özel yönlü do ğ ru parças ına, v vektörünün bir örneğ i ya da ve modeli denir. Örneğ in aynı büyüklük ve ayni yön ve do ğ rultuya sahip ş ekil (2.1.1) deki vektörler, ayn ı bir

Ş ekil 2.1.1

vektörün beş örneğ idir. Ayni vektörün herhangi iki örnek yönlü do ğ ru parçaları e ş değer olduğundan, bir vektörü tan ı mlamada kullanılan kolleksiyona bir denklik s ın ıfı denir. Buradan bir vektör, yönlü do ğ ru parçalar ının denklik smıfı dır. Bi denklik s ınıfı yansıma, simetri ve geçi ş -me özeliklerini sa ğ lar. S ıfır vektörü, s ıfır uzunluğuna sahip yönlü doğ ru

parçalarının sınıfıd ır ve s ıfır vektörü her vektöre ortogonald ı r.

P ve Q iki farkl ı nokta olsun. Bir X noktas ının P ve Q den geçen doğ ru üzerinde bulunmas ı için P, Q ve X noktalar ının yer vektörlerinin

X =- oc P + (3 Q , 2 + = 1 (2.1.11)

bağı ntı sını sağ layacak ş ekilde 2 ve (3 say ı ları var olmal ıdır. Bu durumda

X noktas ı , PQ yönlü doğ ru parças ını (3 /2 oran ında böler. Gerçekten

23

<ki-o Ş ekil 2. I. 2

X, P ve Q den geçen do ğ ru üzerinde ise PX ile gösterilen vektör, PQ ile gösterilen vektörün bir skaler kat ı olmas ı gerekir. Buradan

PX =- R PQ

X — P = (Q—P)

X = P -I- (3 (Q—P)

X = (1—(3) P + Q

X = a P + Q, a = 1— R elde edilir. O halde P ve Q den geçen do ğ ru üzerinde bulunan her X noktas ı , t bir parametre olmak üzere

X = P-I-t (Q—P) (2.1.12)

ş eklinde bir yer vektörüne sahiptir. Tersine olarak, her t için X vektörü, doğ ru üzerinde bir noktan ın yer vektörüdür ve t nin farkl ı de ğ erlerine farklı noktalar karşı lık gelir. (2.1.12) ba ğı ntısma bir dağ runun paramet-

rik gösterimi denir. Bu ba ğmtı , a2+ b2 + c2# 0 olmak üzere P, Q ve X in koordinatları cinsinden, örne ğ in üç boyutlu uzayda

x = a H- at, y = R -I- bt, z = y -I- et (2.1.13)

ş eklinde parametrik olarak yaz ılabilir. a2 + b2+ c2 0 olması , a,b, c n ın hepsinin s ıfır olmamas ı anlamındad ır. E ğer a =b =c =0 olursa her üç nokta çak ışı r ki bir tek do ğ ru art ık söz konusu değ ildir.

x=f (t), y =g (t), a < t < b (2.1.14)

parametrik denklemleri IR 2 uzayında bir eğ ri gösterir. Benzer olarak,

x=f (t), y=g (t), z =h (t), a < t < b (2.1.15)

24

,denklemleri R3 de bir uzay e ğ risi gösterir. Bu e ğ riler keza vektör fonksiyonlar ı ile gösterilebilir. (2.1.14) ve (2.1.15) de parametrik denk-lemleri ile verilen e ğriler s ırasiyle

f1(t) = f (t) e l + g (t) e2 (2.1.16) ve

f2(t) f (t) e l + g (t) e2 + h (t) e 3 (2.1.17)

vektör fonksiyonlar ına e ş değ erdirler. Çünkü (2.1.16) ve (2.1.17) de ba ş -langı cı orijinde bulunan yönlü doğ ru parças ının bitim noktas ı sı rasiyle fi ve f2 yi gösterir. Böylece çizilen e ğ riler, (2.1.14) ya da (2.1.15) ile ayn ı -dı r. Ayn ı ş ekilde

x -=f (s,t), y =g (s,t), z -=h (s,t) , (2.1.18)

parametrik denklemleri üç boyutlu uzayda bir yüzey gösterir. Buradan

v (s,t) = f (s,t) e i + g (s,t) e 2 ÷ h (s,t) e 3 (2.1.19)

vektör değerli fonksiyonu ayn ı yüzeyi karakterize eder.

(2.1.14), (2.1.15) ve (2.1.18) denklemleri s ırasiyle (2.1.16), (2.1.17) ve (2.1.19) un b ı leşenleri ya da koordinat fonksiyonları adını alır.

a ve lı keyfi vektörler olmak üzere

f (t) -= at + b, — cc, < t < GC (2.1.20)

ş eklinde bir vektör fonksiyonunun bile ş enlerini bulmak için öncelikle a b vektörlerini koordinat birim vektörleri cinsinden yazmak gerekir, yani a = (a l , a2) ve b = (b i , b2) ise

f (t) = t (a i e i + a2e2) (b ie i+ b2e2)

= (a it + b i ) e ı + (alt b2) e2

olur. Buradan f (t) nin bileş enleri

x (t) = a ı t bby (t) = a2t

ş eklindedir. Gözüldüğü üzere (2.1.20) denklemi bir do ğ ru gösterir. Ger-

çekten f (t) = t (a+b) + (1—t) b ş eklinde yazılabilir. Bu denklem, f (t)

yer vektörlü bütün noktalar ın, (a+b) ve b yer vektörlü noktalardan geçen do'ğ ru üzerinde bulundu ğunu gösterir.

f (t) (tost) e l + (sint) e2, 0 -G t <_ 2 77 (2.1.21)

vektör fonksiyonunun bile ş enleri

25

x (t) = cost, y (t) = sint

şeklindedir, ve bu fonksiyon ile gösterilen noktalar cümlesi birim çem-berdir.

Bir t-4f (t) vektör fonksiyonu, r (t) ve 0 (t) s ırasiyle f (t) nin mutlak değeri ve kutupsal aç ı sı olmak üzere keza

t-->r (t), t-*0 (t)

ş eklinde yaz ılabilir. Örne ğ in f (t) =- (cost) e i + (sint) e2 vektör de ğerli

fonksiyonu için kısaca

r (t) =- 1, O (t) = t

formülleri elde edilir

Vektör fonksiyonlar ının en önemli özeli ğ i yap ı bakımından geo-metriktir ve herhangi bir koordinat sisteminden ba ğı msızdırlaı . Bu yüz

den daha çok herhangi bir koordinat sistemi seçmeksizin vektör fonk-siyonları üzerinde duraca ğı z.

2.2. VEKTÖR DEĞ ERLI FONKS İ YONLARDA LIMIT, TÜREV VE İNTEGRASYON

t --> f (t) = x (t) e l + y (t) e2 + z (t) e 3 (2.2.1)

vektör değerli fonksiyonu, bile ş enleri ya da koordinat fonksiyonlar ı x (t), y (t) ve z (t) olan üç skaler fonksiyona e ş değerdir. Bu yüzden Diferensiyel ve İntegral hesab ın bir çok kavramlar ı vektör fonksiyon-larına aynen uygulanabilir ve vektör de ğerli fonksiyonu koordinat birim vektörleri cinsinden yaz ı lmış ise e l , e2 ve e 3 vektörleri sabitler olarak incelenmek üzere tabii biçimde hareket edilir. Ancak (2.2.1) vektör fonksiyonu, koordinat birim vektörleri belirtilmeksizin

t -> f (t) = (x (t), y (t), z (t) )

ş eklinde de yaz ılabilir.

Rm(m boyutlu Öklid uzay ı . Ilerde üzerinde durulacak) in bir alt cümlesini, 1?"(n boyutlu Öklid uzay ı ) içine dönü ş türen bir f dönü ş ümü verildiğ irı i varsayalım

x=(x 1 ,..., xm), f in tanım bölgesinde ise bunun f alt ında görüntüsünü

y ile gösteriyoruz, yani Uc Rtn, f: U -* Rn y = f (x) d ı r. Buradan

yi = fi(x) = n olmak üzere

26

y = f (x) = (fj (x), f2 (x),..., fn(x) )

ş eklinde yaz ılabilir.

Her bir fi koordinat fonksiyonu x e göre sürekli ise, f ye x e göre süreklidir denir. Ayrıca

Of( 8 f1 bfn 1 , (2.2.2) ax, ax, bxj

ile tanımlanan vektör, parçal türevler vektörüdür.

t bir gerçel de ğ işken ve her bir xi(t) gerçel de ğerli olmak üzere n boyutlu x (t) = (x j (t),..., x n (t) ) vektörü verildi ğ inde, herbir xi(t), t =t0 da sürekli ise x (t) vektörü t =t 0 da süreklidir. Ayr ıca herbir xi(t) türevlenebilir ise x (t) ye türevlenebilir denir. Bu durumda

dx (t) = dt

=(

(t) ,..., i n(t) ) (2.2.3)

ile tanımlanan vektör de türev vektörü'dür ve ardışı k türevler de x (t), x(3 ) (t), ..., x(k) (t) ile tammlamr. Nokta ile türev gösterimi, New-

ton'a aittir. Belli bir t için x (t) türevi bir vektördür. y've dy

türev- dx

leri de s ırasiyle Lagrange ve Leibnitz'e ait gösterimlerdir.

Bu kitapta konular ın geliş imi içersinde daha çok Rn+1 in bir alt cümlesini Rn içine dönü ş türen bir f fonksiyonu gözönüne al ınacakt ır. t gerçel ve x= (x j,...,xn) olmak üzere Rıl-F ı de bir nokta (t,x) ile gösteri-lirse bunun görüntüsünü

Y = = f (t,x) = (f ı (t,x),...,fn(t,x ) ) ile gösterece ğ iz.

özel olarak x =x (t) = (x i(t),..., x n(t) ) ise bu durumda y = y(t) f (t,x) gerçel t de ğ işkenine bağ lı Rn nın bir eleman ıdı r.

y (t) nin her bile şeni s ınırlı ise, kendisi de s ılı tr/ıdır. Keza bir vektör fonksiyonu için

limty taf (t,x)

limitinin varlığı ve tekliğ i, herbir fi(t,x) in t-->t 0 için limitinin varlığı ve tekniğ i anlamındadır.

f (t,x (t) ) fonksiyonu diyelim t l < t < t2 aralığı nda sürekli ise integrali, integrasyon kurallar ı geçerli olmak üzere

27

ft ı t2f (t,x (t) ) dt = ( ftit 2fı (t,x (t) ) dt,..., ft ı t2fn(t,x (t) ) dt) (2.2.4)

ile tammlamr.

x = x2) E R2 olmak üzere R3 den R2 ye

y = f (t,x) = (tx ı , x2, 3t2x ı + x2)

ile tanımlanan bir f dönüş ümünde

y ı =- fı (t,x) = tx ı x2 , y2 = f2(t,x) = 3t2X1-1— x2

ffir. x ı (t) = t ve x2(t) = cost ise x (t) = (t, tost) ve

y (t) = f (t,x (t) ) (t2cost, 3t3 tost) d ır. Ayrıca

Y (t) = f(t,x (t) ) = (2t tost-t2sint, 9t 2-sint) ve

f 7c/ 2

,2T2 37:4

J y (t) dt = (-

4 -2 ,

1 ) o

dır. x ı (t) = t ve x 2(t) = t+i sint al ı n ırsa x (t) = (t,t i sint) ve

y (t) = f (t,x (t) ) = [ t 3 + it2sint, (3t 3 + t) + i shit],

y (t) = f (t,x (t) ) = [3t2+ i (2t sint t2cost), (9t 2 + 1) -+ icost

dır.

Ku ş kusuz vektör fanksiyonlar ının türev ve integrali yine bir vek-

tördür. Bir vektör de ğerli fonksiyonun çok katl ı ve eğ risel integralleri

kolaylıkla taıumlanabilir. Gerçekten tan ım bölgesi F olan bir u: R2

R3 vektör fonksiyonunun iki katl ı integrali

f fFu (x,y) dA = ( f fFf (x,y) dA, f fFg (x,y) dA, f fFh (x,y) dA) (2.2.5)

ile tanımhdır. Benzer olarak v: R 3-> R3 ş eklinde bir

v (x,y,z) = (f (x,y,z), g (x,y,z), h (x,y,z) )

vektör fonksiyonunun üç katl ı integrali, tan ım bölgesi D olmak üzere

f f fpv (x,y,z) dV ( f f fpf (x,y,z) dV, ff fpg (x,y,z) dV, f f fpl ı (x,y,z) dV)

(2.2.6)

ş eklindedir. Keza

C: r (t) = x (t) e l + y (t) e2+ z (t) e 3, a < t < b

eğ risi boyunca

w (x,y,z) = P (x,y,z) el+ Q (x,y,z) e ı + R (x,Y,$) e3 vektör fonksiyonunun eğ risel integrali de fewdr = fcPdx Qdy Rdz

28

= w (t). r (t) dt

= f {P [x(t),y(t),z(t)]*(t)+Q [ x(t),y(t),z(t)hr(t)+

R [ x (t), y (t),(t) l z (t) } dt (2.2.7)

ile tammlı dır. Görüldüğü üzere çok katl ı integral bir vektör oldu ğu halde eğrisel integral bir skalerdir. Ku şkusuz bu tan ımların daha fazla boyutlu uzaylarda vektör fonksiyonlar ına geniş letilebileceği açıktır.

2.3. BAZI TEMEL ÖZEL İ KLER

(i) Bir vektör fonksiyonu ile bir skaler fonksiyonun çarp ımının türevi

d a (t)dt t dt

f (t) d

d a (t)

f (t) -F- a (t) df (t)

ya da

(af)=c;f+ dı r.

(ii) f (t) = 0 ise her t için f (t) = sabit vektör'dür.

(iii) İki vektör fonksiyonunun iç çarp ımı (skaler çarp ımı ya da nokta çarp ım) ve vektörel çarp ımlannm parçal türevleri, bir de ğ işkenli

vektör fonksiyonlarındaki gibidir. Örneğ in u (x,y,z) ve v (x,y,z) türevle-nebilir vektör fonksiyonlar ı ise parçal türevler

av au av au (u v) = u. . v (uxv) =ux xv

ax ax ax ax ax

şeklindedir. y ve z göre parçal türevler için benzer formüller geçerlidir.

(iv) Uzuı:duğun limiti, limitin uzunlu ğudur. E ğer lim f (t) t->to

= a

ise lim If(t))1=la id ı r. t.to

Daha önce görüldü ğü üzere bir vektör fonksiyonunun bile ş enleri, se-çilen koordinat birim vektörlerine ba ğ lı idi. Ancak s ıııı rhlık,

29

limit, türev, inte ğ ral bu seçime ba ğ lı değ ildir. Koordinat birim vektör-lerini ya da koordinat fonksiyonlar ını kapsamayan ancak öncekilere e ş değer olarak kavramlarm yeni tan ımlar! verilebir:

(v) Bir t -± f (t) vektör de ğerli fonksiyonunun bir aral ıkta s ınırlı olması ancak ve ancak t -›- If (t) I skaler fonksiyonunun s ınırlı olması halinde olanaklıdır.

(vi) t, noktas ı komş uluğunda tanımh f (t) fonksiyonu için ancak ve ancak

lim If (t) — f (t o) I = O t-›to

geçerli ise t, noktas ında süreklidir.

(vii) f (t), t o komş uluğunda tanımlı olsun. Bu durumda ancak ve ancak

lim If (t) — a = O t,to

ise

lim f (t) = a t-,to

dır.

(viü) f (t), t o komşuluğunda tanımlı olsun. Bu durumda ancak ve ancak

lim -h

f (to+ — f (to) } h-*o

ise

r(to) = a dır.

(ix) E ğer f (t), aGt Gb için sürekli ve sinirli ise

fabf (t) dt = F (b) — F (a)

geçerlidir. Tek tarafl ı türevler ve limitler, sonsuzda limitler benzer ş ekilde tan ımlanır.

UYARMALAR

Yukarda sözü edilen "Özelik", "Özellik" sözcükleri ile "ancak ve ancak" deyimiui aç ıklığ a kavu ş turm ada yarar vard ı r:

=-- a

30

(a) Özelik (property) genel, özellik (peculiarity =feature) özelclir. Her özelik bir özelliktir, ancak her özellik bir özelik de ğ ildir.

(b) "ancak ve ancak" (if and only if =is equivalent to) bir e ş değ erlik ifadesidir. Böyle bir ifade de çift gerektirme (biconditional vardır. Bazan da eş anlamlı olarak "gerek ve yeter ko ş ul" yerine kullan ılır.

2.4. Kİ NEMATİ K YORUM

f (t) = x (t) e i + y (t)e2

ş eklinde bir vektör fonksiyonu x =x (t), y =y (t) parametrik denklemler çiftine e ş değer olduğunu biliyoruz. Böylece düzlemsel

C: x=x (t), y =y (t)

eğ risi üzerinde hareket eden bir parçac ığı n (partikül*) hız vektörü (velocity vector)

df v (t) = dt = f (t) = x (t)e l -1-iy (t) e2

dır. Hiz (speed) ise, hı z vektörünün mutlak de ğeridir. ivme vektörü de hız vektörünün türevidir; yani

a (t) = v (t) = f(t)

dır. Aynı şekilde uzayda bir eğ risel hareket

t f (t) = x (t) e l + y (t) e 2 + z (t) e 3

vektör fonksiyonu ile tan ı mladı".

Bilindiğ i üzere ivme, hareket durumunda bulunan bir ş eyin küçük bir zaman içinde h ı zında olu ş an art ırımın bu zamana oran ıdır. Matema-tik diliyle ivme, h ız vektörünün zamana göre türevidir. Kinematik

ise, cisimlerin hareketlerini yörünge, h ız ve ivme gibi konular bak ımın-dan inceleyen mekanik koludur. Herhangi bir türevlenebilen fonksiyon, ya bir eğ ri (geometrik görüntü) ya da bir hareket (kinematik görüntü) tanımladığı dü ş ünülebilir. Keza türev de ya te ğetin e ğ imi ya da ani hı z olarak dikkate al ınabilir. Bu iki kavram birbirini tamamlar.

Yürüyen bir noktan ın çizdiğ i yol yörünge adını alır. Hı z vektörü

daima yörüngeye te ğettir. Buna göre vektör de ğerli fonksiyonlarm

* Partikül: Uzunluğ u, geniş liğ i ve kalınlığı olmayan ancak kütlesi olan çok küçük parçac ık.

31

A(4.,-2)

Ş ekil: 2. 4.1

kinematik yorumu verilebilir. Gerçekten bir t -* f (t) vektör de ğerli fonksiyonunun, düzlemde ya da uzayda bir noktan ın (f (t) yer vektörlü nokta) hareketini tan ı rrıladığı nı düşünebiliriz. Örne ğin, a ve b sabit vektörler olmak üzere

f (t) = ta+b, - co < t < co

fonksiyonu, bir do ğ ru boyunca bir noktan ın hareketini tan ı mlar. t =O da hareketli nokta yer vektörü b olan P noktas ındadır. t =1 zaman ında hareketli nokta yer vektörü a+b olan Q noktasmdad ır. Daha genel

---> olarak hareketli nokta, herhangi bir t zaman ında PQ do ğru par-

t çasını — oranında böler. Ayn ı ş ekilde

1-t

f (t) = (cost) e l + (sint) e 2 , 0 < t < 2 iz

fonksiyonu, t =O da (1,0) noktas ından harekete ba ş layan bir noktan ın birim çember üzerinde hareketini tan ı mlar. Bir vektör, ba ş langı ç ve bitim noktas ı bir yana uzayda herhangi bir yere yerle ş tirilebilir. Bir v vektör fonksiyonunun tan ım bölgesinde herbir P noktas ı için tepesi P de olmak üzere V (P) nin örnek (temsilci) yönlü do ğ ru parçalar ını

kurabiliriz. Örne ğ in düzlemde (2,3) noktas ına p = OP = 2e 1 -1- 3e 2

ş eklinde bir yer vektörü kar şı lık geldiğini biliyoruz. Bu p vektörüne eş it, ancak orijinden geçmeyen sayı sız vektör söz konusudur, ancak düzlemde herhangi bir ba ş langıç noktası almak suretiyle p vektörüne

32

eş :'t bir temsilcinin ba ş langı ç noktas ı diyelim (4,-2) ol ş un. Bu noktadan

geçen ve p vektörüne e ş it olan vektör bir tanedir. Yani A (4,-2) oldu ğuna

göre B bitim noktas ı da B (xB, yB) olsun. XB-XA = 2, YB- YA 3 olacağı na göre XB -= 2 XA = 2+ 4 =6, YB =3 I- YA =-3-2 =1 o

lur. O halde p vektörüne e ş it, A (4,-2) noktas ından geçen AB yönlü

doğ ru parças ının bitim noktas ının koordinatlar ı B (6,1) dır. Düzlemde

(ya da uzayda) herhangi bir nokta ba ş lang ıç noktas ı olarak seçilebilece ğ i

için herhangi bir yer vektörünün çok say ıda temsilcisi bulunabilir.

Buna göre D tan ım bölgesi bir düzlemsel bölge ve V (P) nin görüntü

cümlesi de düzlemde bir vektörler kolleksiyonu ise ş ekil 2.4.2 de olduğu

gibi bir grafik gösterimi yenilebilir. Ş ekildeki vektörler bir vektör alanı oluş tururlar. Daha aç ık bir deyimle, vektör alan ı vektör fonksiyonu

ile eş anlamlıdır. Benzer olarak düzlemde ya da uzayda bir bölgenin

herbir noktas ına bir skaler ay ırdeden adi ya da say ı değ erli fonksiyona

bir skaler alan ya da skaler fonksiyon denir. Örneğ in uzayda bir R böl-

gesinin herbir (x,y,z) noktas ına bir 25 (x,y,z) skalerini kar şı lık getiren QS

fonksiyonu bir skaler nokta fonksiyonudur ve s25 skaler alan ı R de ta-

mmlidır denir. Dünyan ın yüzeyi üzerinde ya da içinde belli bir zamanda herhangi bir noktadaki s ıcaklık bir skaler alan tan ımlar. Öte yandan her

skaler fonksiyon diyelim

(x,y,z) = 3x 3y-5z2+ 2

bir skaler alan tan ımlar. Bir skaler alan zamandan ba ğı msı z ise kararlı skaler alan (steady-state scalar field =stationary) ad ını alır. Aynı ş ekilde

vektör fonksiyonları da bir çok uygulamalarda kar şı mıza çıkarlar.

Hareketli bir akış kan içinde belli bir zamanda herhangi bir (x,y,z)

33

noktasmdaki h ız vektörü, bir vektör alan ı tan ımlar. Keza atmosferde rüzgarın hı zı ve uzayda bir nesne üzerine yerçekiminin vektörel kuvveti diğer vektör fonksiyonu örnekleridir. Ayn ı ş ekilde zamandan ba ğı msı z bir vektör alan ı da kararlı vektör alan ı adım alı r.

2.5. PAAMETRIK VE PARAMETRİ K OLMAYAN GÖSTE-R İ MLER

Bir x y =f (t) skaler fonksiyonunun grafi ğ i, fonksiyon hakkında tüm bilgiyi kapsar. Grafik bilindikten sonra fosksiyon yeniden kurula-bilir. Ancak t --> f (t) ş eklinde bir vektör de ğerli fonksiyon ile parametrik olarak gösterilen noktalar cümlesi, fonksiyon hakk ında bilginin tümünü değ il, bir kısm ını kapsar. İ ki farkl ı vektör değerli fonksiyon, aynı nokta cümlesini gösterebilir, keza bir nokta ayn ı yörüngeyi farkli ş ekillerde tanımlayabilir. Örne ğ in

t — ta, < t < 1 t -> t 3a, O < t < 1

vektör değerli fonksiyonlar ı , O noktas ını yer vektörü a olan noktaya birleş tiren bir do ğru parças ını tanımlar. Her iki fonksiyon 0 dan a ya bir noktan ın hareketini tan ımlar, ancak hareketler farkl ı dı r.

t (cost) e l + (sint) 02, O < t < 2 TC

t -> (cos2t) e i + (sin2t) 02, O < t < 2 7C

fonksiyonlarının her ikisi, (1,0) noktas ından ba ş layıp ayn ı noktada.' iten birim çember üzerindeki bir noktan ın hareketini tan ımlar. Her iki durumda nokta, pozitif yönde hareket eder. Ancak çember birincisinde bir kez, ikincisinde iki kez tamamlan ır.

t -> (cost) e l- (sint) e 2 , 0 < t < 2 ıs

fonksiyonu da birim çember üzerinde bir noktan ın hareketini tan ımlar ancak bu durumda hareket negatif yöndedir. Parametrik olmayan bir gösterimden daima bir parametrik gösterime geçilebilir. Örne ğ in para-

metrik olmayan x-->y = fö (x) skaler fonksiyonundan

x (t) = t, y (t) = Z (t) ya da

t a te l + fö (t)e2

şeklinde bir parametrik gösterime geçilebilir. Özellikle x (t) = t al ın-

mas ı gerekmediğ inden bu geçiş çok sayıda yap ılabilir Buradan para-

metrik olmayan bir gösterim, daima bir parametrik gösterim olarak in-

34

celenebilir demektir. Ba şka bir deyimle bir skaler fonksiyon bir vektör fonksiyonu olarak ele al ınabilir. Örne ğ in, x2+ y2 = 1 birim çemberi

x =cost, y =sint

ş eklinde bir parametrik gösterim kabul eder. Ancak bilindi ğ i üzere tüm

çemberin, koordinat sistemi nas ıl seçilirse seçilsin bir parametrik olmayan gösterimi yoktur. (r, 0) kutupsal koordinatlarda

r = g (0)

ş eklinde parametrik olmayan gösterim,

0 = t, r=g (t)

ş eklinde bir parametrik gösterim kabul eder.

Öte yandan bir parametrik gösterimden bazan parametrik olmayan bir gösterime geçilebilir. Örne ğ in a ve b belli vektörler ve a ^0 olmak üzere parametrik olarak verilen

t --> ta b

doğ rusu için, vektör fonksiyonunun bile ş enleri aras ından t nin yok-edilmesi ile

a2 a ib2- a2b 1 y — x al al

parametrik parametrik olmayan gösterimi elde edilir. Do ğru x y şeklinde bir skaler fonksiyonun grafi ğ i olarak ortaya ç ıkar. a2 = 0 ise doğru y =b 2

parametrik olmayan gösterimini kabul eder. al = 0 ise doğ runun denk-lemi x =bi dır. x =b i doğ rusu x---ıy ş eklinde bir skaler fonksiyon de ğ ildir, ancak bu do ğru y-->x =g (y) =b 1 ş eklinde bir sabit fonksiyonun grafi ğ i olarak dü şünülebilir. Parametrik bir gösterimden parametrik olmayan bir gösterime geçi ş genellikle zordur ve bu yüzden geçi ş için "hazan" sözcüğü kullanılmış tır. Ayrıca geçiş mümkün olsa bile elde edilen para-metrik olmayan gösterimi incelemek daha bir zorluk gösterebilir. Örneğin, bir doğru üzerinde kaymaks ızm hareket eden a yar ıçaplı bir çember üzerindeki belli bir noktan ın yörüngesi olan sikloit'in para-metrik denklemi

x =a (t-sint) , y =a (1-cost)

ş eklindedir. Bunun parametrik olmayan gösterimi olarak

35

= a. arccos (1- —1 y-) -asin arccos (1- y))

a. arccos (1- 1

y) - ,\/ 2 ay-y2, a < y _<"_ 2 a

ş eklinde inceleme yönünden de oldukça kar ışı k gösterimi elde edilir. Parametrik olmayan bir gösterimden parametrik bir gösterime geçi ş te yerine göre büyük yararlar oldu ğu gibi, parametrik bir gösterimden parametrik olmayan bir gösterime geçmede de parametrik olarak verilen nokta cümlesini tan ı mada yarar vard ır.

ÖRNEKLER

1. a ve b düzlemde belli vektörler olmak üzere

f (t) = cost) a + (sint) b

vektör de ğerli fonksiyonu ile parametrik olarak gösterilen nokta cüm-lesini bulunuz.

a ve b belli vektörleri a =a le i ± a2e2, b =b ie i ± b2e2 ş eklinde olsun. Buradan

f (t) = (a i cost b i sint) e l + (a2cost bisint) e2

vektör fonksiyonundan bile ş enler

x (t) = a i cost b isint , y (t) = a 2cost bisint (A) ş eklindedir.

Ş imdi aib2-a2b i = 0 ve a i b2-a2b i 0 ş eklinde iki farklı durumu

gözönüne almal ıyı z. İ lk durum için a i = a2 = b i = b2 = 0 olabilir. Bu, her t niçin f (t) = 0 olan ve ilginç olmayan bir durumdur ve cümle bir noktadır. Aksi halde (A) da ilk denklemi b 2, ikinciyi b i ile çarp ıp çıkarır-sak ya da ilk denklemi a 2, ikinciyi a i ile çarp ıp çıkarırsak

b2x (t) - b ly (t) = 0 ya da a 2x (t) - ağ (t) = 0

elde ederiz. a ib2- a2b i = 0 olduğundan her iki denklem ayni şey de-mektir ve (x (t), y (t) noktas ı a2x-a ly =O doğ rusu üzerinde bulunur.

Bu zaman fonksiyon, parametrik olarak bu do ğ runun bir parças ını gösterir, çünkü her t için sint ve cost, -1 ile +1 aras ında kahr. İkinci

durumda a ib2-a2b i 0 olduğuna göre (A) denklemleri sint ve cost için

36

b2x (t) - b iy (t) , sint

-a2x (t) + a l y (t)

a 142- a2b ı a i b2- a2b 1

ş eklinde çözümlenebilir. x (t) ve y (t) için

(a22+b22) x (t) 2-2 (a ı a2+13 1 13 2) x (t) y (t) (a 1 2 1-b i2) y(t) 2 =-(a 1l32-a2b 1) 2

ikinci derece denklemine var ı lır. Bu denklem ikinci dereceden cebirsel

bir eğ ridir. Ax2 + 2 Bxy+Cy2+ -I-F =O ş eklinde olan bu denk-

lem için AC-B 2 cliskriminant ı

AC-B2 = (a 12+ b 1 2) (a22+ b22) - (a i a2 + b 1 b2)2

= a2b 1) 2 > 0

olduğundan, vektör fonksiyonu ile parametrik olarak gösterilen nokta

cümlesi bir elipstir.

2. a > 0 ve b > 0 herhangi say ı lar olmak üzere

a (1-t2) f (t) = el +

11-t2 2 bt 1 fi-t2 e2, < t < cc

fonksiyonu ile hangi nokta eümlesi parametrik olarak gösteriliyor?

f fonksiyonunun bileş enleri

2 2t x (t) = a.

1—t ( ) — b.

l+t2 , 11-t2

olduğuna göre, t parametresinin yokedilmesi ile

x (t) 2 Y (t) 2 (a) 2

(b)2

denklemine var ılır ki bu bir elips denklemidir.

t = tan z 21 (yani sö= 2 arctant) ş eklinde yeni bir paramet-

resi ile elipsin daha kullanış lı bir parametrik gösterimi verilebilir. Bu

durumda t, - oo ve oo aras ındaki bütün de ğ erleri alırken parametresi

de - TC ve .7r aras ındaki bütün değ erleri al ır. Böylece

x (t) == a cos , y (t) = b sin QS , -n < < ı r

ş eklinde elipsin bir parametrik gösterimi daha elde edilir. Elips üzerinde

x=-a apsisli nokta, 25 parametresinin herhangi bir de ğeri için gösteril-

mediğ ine ilgi çekilmelidir.

tost

37

ALIŞTIRMALAR

1. (2,-1,4) ve (3,2,6) noktalar ından geçen doğ runun parametrik gösterimini bulunuz ?

2. x =1+ 2t, y =-4 + 6t, z =2 + 4t denklemleri ile verilen do ğ ru, Alış tırma 1 deki do ğ ru ile çak ışı r mı ?

3. Bir nokta, y = .\/ x 2+ 1 eğ risi üzerinde t = zamanında (0,1)

noktas ından sağa doğ ru harekete ba ş lıyor. Noktamn orijinden uzak-lığı nın t ile orant ılı olduğunu varsayal ım. Verilen hareketi tan ımlayan vektör de ğerli fonksiyonu bulunuz ?

4. Kesim (2.3) de (i) ve (ii) özeliklerini ispatlay ın ı z ?

5. f (t) = (a (t) + t) (te l— a (t) e 2) ve a (0) = 1, a (0) = — 2 ise f (0) türevini bulunuz ?

6. u (x,y) = (x2 + 2xy) ei + (1+x2— y2) e2 + (x3— xy2) e 3 ise

au a2u - ax VC axay türevlerini bulunuz?

7. u = (excosy) e l + (eYsinz) e 2 + (ezsinx) e 3ve

v = (cosz) e i + (e2xsiny) e2+ e ze 3 vektör fonksiyonlar ı verili yor.

(a) (u.v) türevini bulunuz. P, (1" 4 az

O .7t ) noktas ında bu

ve aY

av vektörlerinin dik olup olmad ıklarını belirtiniz?

ax

(b)ay (uxv) vektörel çarp ı mın türevini bulunuz ?

8. u (x,y) = (x-2y) e i + (x—y) e2 + (x+2y) e 3 ,

v (x,y) (2x—y) ei+ (x+y) e2 + (x+3y) e 3

a vektör fonksiyonlar ı veriliyor. u.

v ) 0 olacak ş ekilde

( ax ay

x ve y nin de ğerlerini bulunuz ?

38

9. Aş ağı daki integralleri bulunuz?

27c

(a) (t 3a+sint. b) dt, a ve b belli vektörler o

(b) t ( t2+ 1 e l + (cost2) e2) dt o

10. (a) f'(t) = t 1 /3e 1 —t2e, ve f (o) = 2e 1 + ey olacak ş ekilde bir f (t) vektör de ğ erli fonksiyon bulunuz?

(b) f" (t) (cost) e l + e2 ve f (0) = 3e 1 —e2, f'(0) = e 1— e2 olacak ş ekilde bir f (t) vektör de ğerli fonksiyon bulunuz?

11. Kesim (2.3) de (iv) özeli ğ inin varlığı nı gösteriniz?

12. f=a e l+ pe2 olsun.

(a) f < M ise Ioc < M ve 43 < M olduğunu gösteriniz?

(b) la I < M ve ip < M ise If I < M N/2 olduğun u gösteriniz?

f (t) dt < f(t) dt, r ı < r2, olduğunu gösteriniz? r

14. a <t Gb için f =ae ı + pe2 ve If (t) I < M oldu ğunu varsa-yalı m. Bu durumda

fc,bf (t) dt < (b-a) M N/ 2 oldu ğunu gösteriniz?

15. f (t) ve f' (t) fonksiyonlar ının 0 < t < 1 için sürekli olduklar ını varsayahm. Ayrıca her t için I f' (t) I > 0 olsun.

Bu durumda f (0) =- (1) olma olas ı lığı var mı dır?

16. Kesim (2.3) de (v), (vi), (vii), ve (viii) özeliklerinin varl ığı nı gösteriniz?

17. f(to) = a ve g'(t o) = b ise (f+g)'(t o) = a+b olduğunu göste-riniz ?

18. Aş ağı da vektör değerli fonksiyonlarla verilen yörüngeleri ve bu yörüngelerin belirtilen k ı sı mlarını ayırdediniz?

(a) t —> (t 2— ) e i + (t4— ) e2, — o0 < t < Go

(b) t -* lnet e i + hit e2, 1 < t < oo

(e) t —> 1—t2e1 + 1+t2e2 , — 1 < t < 1

13.

39

19. A şağı da deuklemleri parametrik olarak vektör de ğerli fonk-

siyonlarla verilen yüzeylerin parametrik olmayan denklemlerini bu-lunuz ?

(a) v (s,t) = (s cost)e ı + (s sint) e 2 (V5s)e 3, s > 0, 0 <tG27:

(b) v (s,t) (3coss cost)e ı + (3coss sint)e 2 + (3sins)e 3 ,

0<s< 2,0 2 TC

(c) v (s,t) = (s+t)e ı + (s±t)e 2+ (st)e 3 , —co<s< co, — oo<t< co

(d) v (s,t) = (2scost)e ı + (3s sint)e2 + s2e 3, 0<s< 0<t<27c

2.6. DOĞ RULTU TÜREVI VE GRAD İ ENT

f bir skaler fonksiyon ve P, f in tan ım bölgesinde bir nokta ve a bir

birim vektör olsun. Q, a doğ rultusunda P den h uzakl ığ mda bir nokta

olmak üzere D af ile gösterilen P noktas ında ve a do ğ rultusunda f in

doğ rultu türevi

Ş ekil: 2. 6. I

lim f (Q) — f(P)

11,0

ile tamml ı dır. Bunun için xy düzlominde bir f (x,y) fonksiyonu ile bir

P (x,y) noktas ı gözönüne alınırsa özel bir do ğrultu, P den geçen ve

pozitif x do ğ rultusu ile 0 aç ı sı yapan doğ rultu olarak seçilebilir. Ayn ı doğ rultu, birim uzunlukta PP' yönlü doğ ru parças ını çizmek ve e 1 , e2

koordinat birim vektörleri ve ?.=cos0, 12=sin 0 olmak üzere 0 açı s ı ile aynı doğ rultuyu gösteren

40

a = el

bağı ntısı ile a vektörünü tan ı mlayarak belirtilebilir.

Y

62

01 1

p( xly ) COS e

0 e l (1,0)

Ş ekil! 2. 6. 2

TANIM 2.6.1. f, iki değ iskenli bir fonksiyon olmak üzere a doğ rul-

tusunda f ın Daf doğ rultu türevi limit var olmak üzere

Daf lim f (x Xh, y Al) - f (x,y)

11,0

ile tanımlıdır.

0 = 0 olduğunda X=1, g =0 (a =e 1) ve doğ rultu pozitif x do ğ rul-tusudur. Bu durumda do ğ rultu türevi tamamen x ekseni yönündeki

a—af

p rçal türevidir. Benzer olarak 0 = 77 ise X =0, u. =1 (a =e2) ve ax 2

doğ rultu türevi y eksen yönündeki af parçal türevidir. y

TEOREM 2.6.1. E ğer f (x,y) ve bunun parçal türevleri sürekli ve a =(cos 0) e i + (sin 0) e2 ise bu durumda

Daf(x,y) = —a

ax ay f (x,y) cos 0 —

a f (x,y) sin 0

dı r.

41

ispat: g (s) = f (x+scos O, y+s sin 0)

ile g (s) fonksiyonunu tan ımlayahm x,y ve 0 yı sabit tutup s yi de ğ iş i-relim. u v = y+ssin 0 dersek zincir kural ı nedeniyle

,

g' ks) -=--- ı ku,vj. c-Ts- + ı (u,v). av

= — f (u,v). cos 0 + f au av

ve buradan

g'(0) = âx f (x,y) cos 0 f (x,y) sin 0

elde edilir Tan ım nedeniyle g'(0) tamamen D af olduğundan ispat bitmi ş olur.

ÖRNEK 1. f (x,y) = x2+ 2y 2- 3x + 2y skaler fonksiyonu veriliyor

= do ğ rultusunda f in doğ rultu türevini bulunuz. Türevin 6

(2,- 1) noktas ındaki de ğerini belirtiniz ?

af = 2x-3, = 4y+2 olduğ una göre

ax —af ay

Daf (2x-3). 2

+ (4y+2).

'‘/3 dır. Özel olarak x =2, y =-1 için D af(2,-1) = 2

bulunur.

f (x,y) fonksiyonunun her iki

fx =O, fy ---=0

parçal türevlerinin s ıfır olduğu bir nokta, f in bir kritik noktasi adını alır. Böyle bir noktada bütün do ğ rultu türevleri s ıfırdır. Kritik nokta-

larda fonksiyonlar ayr ı ca incelenebilir. İ ki değ işkenli bir fonksiyon için

doğ rultu türevinin ikinci bir gösterimi, 0 do ğ rultunun x ekseni ile yap-tığı aç ı olmak üzere

def(x,y)

sin 0

42

"rultu Türevi en büyük

Doğrultu türevi 3 O

xo Doğ rultu türevi en küoük

Ş ekil: 2.6.3

Y

Doğ rultu türevi

0

biçiminde verilebifir. x ve y nin belli bir de ğeri için do ğ rultu türevi

8 nın bir fonksiyonudur. Verilen bir noktada do ğ rultu türevini en küçük ya da en büyük yapan 0 n ın değerleri bulunabilir.

Gerçekten A = fx2+ 0 olmak üzere do ğ rultu türevi

fx Daf = A -K cos 0 f sin 0)

A (cosoc. cos0 sina. sin0), cosa = —fx ' -sina A

= Acos (a-O)

biçiminde yaz ılabilir. Buradan do ğrultu türevi, 0 = a için en büyük değere

0 = a -F- 180° için en küçük değere ve 0 = a ± 12 -c için sıfır değ e-

rine sahiptir. Buradan 0 = a. do ğ rultusu, en fazla artma do ğ rultusudur.

ÖRNEK 2.

f (x,y) = x2y-2x-y fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon için (a) kritik noktalar ı , (b) (3,1) noktas ında ve 0 = - 45°doğ rultusunda do ğrultu türevini, ve (c) (3,1) noktas ında en fazla a artma do ğ rultusunu bulu-nuz ?

fy

43

(a) fx = 2xy-2, fy = x2-1 olduğuna göre fx =0, fy =0 dan kritik noktalar (1,1) ve (-1,-1) dir.

(b) (3,1) noktas ında fx = 4, fy = 8 olduğuna göre

fx . cos O 1 1 4

fy. sin O = 4. -8. = -5.66 N/ 2 N/ 2 N/ 2

dır.

(e) (3,1) noktas ında A = fx2+ fy2 = \/ 80 =4 N/ 5 olduğuna göre

f . cosa. = A , A ' sina = es ıthklerinden

4

O = a 1

arccos 63°30' N/ 5 —

cos CC =

4N/ 5 -N/ 5 olarak bulunur.

Belli bir noktada do ğ rultu türevinin en fazla oldu ğu 0 doğ rultusu,

maksimum ve minumum kavram ından hareketle de kolayl ıkla bulu-nabilir.

ÖRNEK 3.

f (x,y) = x2-xy-y2 skaler fonkyonu veriliyor. (2-,3) noktas ında def (x,y) do ğ rultu türevini bulunuz ve d ef (2,-3) ün maksimum olduğu 0 değerini bulunuz?

def (x,y) = (2x-y) cos 0 - (x+2y) sin 0 oldu ğuna göre

def (2, -3) = 7 cos 0 4 sin 0 = k (0) dersek k (0) y ı maksimum yapan 0 nın değerleri olarak

1(1 (0) - 7 sin O -I- 4 cos O = O tan O = 4 29°45'

7 209°45' , 0

bulunur. 0 n ın ilk seçimi k (0) y ı maksimum, ikinci seçimi yapar.

İ ki değ iş kenli fonksiyonlar için do ğ rultu tiirevinin tan ımı doğ al

olarak geni ş letilebilir.Vç boyutlu uzayda do ğ rultu, bir X, p., u doğrultu kosinüsleri cümlesi ile ya da e ş değer olarak

de minumum

44

a = X e l + ge2+ ue 3, X2+ li2+ u2 = 1 vektörü ile belirlenir.

TANIM 2.6.2. f fonksiyonu üç değ işkenli bir fonksiyon olmak

üzere a do ğ rultusunda f (x,y,z) nin D af doğrultu türevi

Daf (x,y,z) = li ını f (x + Xh, y + gh, z + uh)- f (x,y,z)

h-->0

ile tan ımhdır.

Ş imdi üç değ işkenli fonksiyonlar için doğ rultu türevine i ş lerlik

kazandıran ve ispat ı tamamen Teorem 2.6.1 e benzer bir teorem vere-lim.

TEOREM 2.6.2. E ğer f (x,y,z) ve bunun parçal türevleri sürekli

ve a = Xe ı + ge2+ ue 3 bir birim vektör ise bu durumda

Daf (x7 y9 bx 8y z) = X —

a f (x,y,z) + —

a f (x,y,z) + u —

a f (x,y,z)

az

dır.

ÖRNEK 4.

(a) f (x,y,z) = x2+ y2+ z2- 3xy + 2xz-yz fonksiyonunun (1,2, -1)

noktasmda do ğrultu türevini bulunuz ?

(b) f (x,y,z) = xeYz+ yezx+ zexY fonksiyonunun P (1,0,2) nokta-sında ve P den P'(5,3,3) ye giden do ğ rultuda doğ rultu türevini bulu-nuz.

(a) Doğrultu a = Xe l + 1.ıe2+ ue3 olduğuna göre

Daf (x,y,z) = X (2x-3y+2z)± (2y-3x-z) + u (2z+2x-y)

Daf (1,2, -1) -- -6X + 2 µ - 2u

dür.

(b) P den P'ye giden do ğrunun doğ rultu sayıları 4,3,1 olduğuna

göre X,I.z,u ile gösterilen do ğ rultu kosinüsleri

4 3

-V 26 26 -V 26

dır. Buradan a doğrultusu

45

-V

4

,\/

3

26 26 e1+ e2-4- —

N/ 26

dır. Buna göre

Daf (x,y,z) = X (eYz+ yzexz+ yzexy + xzeYz+ xzex Y) u (xyeYz

+ xyexz+ exy)

4 3 1 174-3e 2 (Daf (1,0,2)

1 + . 4+e2) H- . 1

.\/ 26 ,N/ 26 -V 26 -\% 26

dır. Ş imdi bir fonksiyonun gradienti kavramını verelim.

TANIM 2.6.3.

(i) Eğer f (x,y) fonksiyonu parçal türevlere sahip ise gradient vektörü

grad f (x,y) = f (x,y) e i+ 0—y f (x,y) e,ax

ile tanımlıdır.

(ii) Eğ er g (x,y,z) parçal türevlere sahip ise bu fonksiyonun gradient vektörü de

grad f (x,y,z) = g (x,y,z) e + —a

g (x,y,z) e, —az

g (x,y,z)e 3 ay

ile tan ımlıdır.

Bu tanımların daha fazla boyutlu uzaylara geni ş letilebileceğ i açık-

tır. Görüleceğ i üzere bir fonksiyonun gradienti, bile ş enleri verilen

fonksiyonun parçal türevleri olan vektördür. gradf (x,y) ve gradf (x,y,z) s ırasiyle iki ve üç değ işkenli vektör fonksiyonu örnekleridir. gradf yerine ço ğunlukla v f yaz ılır. a yukarda belirtilen birim vektör

olmak üzere

af af af Daf = — u — a. gradf =-- a. f

--aX ay az

dır. Burada a. vf, iki vektörün skaler ya da iç çarp ımıdır. Bu formül, doğ rultu türevi ile gradient arasmdaki ili şkiyi verir. Bu iç çarp ım,

a ile vf aras ındaki aç ı 25 olmak üzere

a = e 3

46

a• V f = ah iVf I. cos0 = Daf

biçiminde yaz ılabilir. Buradan anla şı laca ğı üzere Daf doğ rultu türevi,

2:5 sıfır olduğunda yani a vektörü gradf in do ğ rultusunda olduğunda maksimumdur.

gradf j = ,\/ fx2+ fy2

olduğundan gradientin büyüklü ğü, en fazla artma do ğ rultusunda doğ rultu türevinin de ğ eı idir. Bu nedenle gradient vektörü, do ğrultu türevlerinin en fazla artma do ğ rultusımu gösterir. Kritik bir noktada gradient vektörü, s ıfır vektörüne e ş ittir.

ÖRNEK 5. f (x,y,z) = x 3+ 2y3 -1- 2z 3- 4xyz fonksiyonu veriliyor. P (-1,1,2) nok-tas ında Daf in maksimum de ğ erini bulunuz ?

gradf (x,y,z) = v f (x,y,z) --= (3x 2-4yz)e ı + (6y2-4xz)e2+ (3 2

-4xy)e 3 olduğuna göre

vf (-1,1,2) --- - 5e 1 + 14e2 + 16e3

ve v f doğ rultusunda a birim vektörü

5 14 16 a= + 3 .\/ 53 e2 e 3

3 ,\J 53 3 ,\/ 53

dır. Buradan D af in maksimum değeri

14 16 Daf = a. v f =- 5. ( 3 •\-/ 53) + 14.3

-V 53 ___ + 16.3 53 = 3 N/53

olarak bulunur. f, g ve ıl sürekli skaler alanlar olmak üzere a ş ağı daki eş itlikler geçerlidir:

v (f+g) = v f + v g, v (fg) = f v g+g p f

V (---f = g g. —1, (g V f-f V g), g-,L°

V f (U) = r(11 ) V u

Not:

(i) z =f (x,y) denklemi, üç boyutlu uzayda bir yüzey gösterdi ğ ine göre xy düzleminde bir nokta= koordinatlar ı (xo, yo) ise zo = f (xo, yo)

47

z=f (x,y)

xe ı Yo P)

= fgx ,y )

Z

t I L2 1 )—..— . ----1-- ııı.

,,x=xoduzlerrul i y

(xo ,y0 ,0)

x yo dü zlemi

Ş eki I 2. 6. 4

olmak üzere P (x o, yo, zo) noktas ı , yüzey üzerinde bir noktad ır. Ş ekil 2.6.4 de görüldü ğü üzere y =yo dik düzlemini gözönüne alal ım. Bu

düzlem, z =f (x,y) yüzeyini P noktas ını kapsayan bir C 1 eğ risi boyunca keser. Parçal türevin tamm ından fx(xo, yo) türevinin, P noktas ında C1 e ğ risine teğet doğ runun e ğ imi olduğunu anlarız. L 1 ile gösterilen bu doğru kuşkusuz y =yo düzlemindedir. Benzer ş ekilde z =f (x,y) yüzeyini bir C2 eğ risi boyunca kesen bir x =xo düzlemi çizilirse fy(xo, yo) parça! türevinin, P noktas ında C2 e ğ risine te ğet doğ runun eğ imi olduğu anla şı lır. Ş ekil 2.6.5 de L2 ile gösterilen bu do ğrunun e ğ imi, açısı= tanjant ıdır.

Ş ekil: 2.6. 5

dof (xo, yo) doğ rultu türevinin de benzer bir yorumu vard ır. (xo, yo, 0) noktas ından geçen ve pozitif x ekseni do ğrultusu ile 0 aç ısı

48

yapan dik düzlemi çizelim Ş ekil 2.6.6 da bu düzlem görülüyor. C3 e ğ risi, bu düzlemle yüzeyin arakesitidir, ve L 3 doğ rusu P noktas ında

C3 eğ risine teğet doğrudur. O halde dal' (x o, yo), L 3ün

(iii) vf ın geometrik anlam ı , f (x,y,z) = sabit yüzeyine göre ko-laylıkla anla şı lır. P yüzey üzerinde bir nokta ise v f (P) vektörü s ıfır olmamak üzere yüzeye diktir.

Şekil 2.6.6

— Vf nİ Vf

vektörü f (P) = sabit yüzeyinin birim normal vektörünü verir.

ÖRNEK 6.

C bir sabit olmak üzere v nin, sö (x,y,z) = C yüzeyine dik bir vektör olduğunu gösteriniz? Yüzey üzerinde herhangi bir P (x,y,z) noktas ında

yer vektörü r=xe i+ ye2+ ze3olsun. Bu durumda dr = dxe i + dye2+

dze3, P noktas ında yüzeye te ğet düzlem içinde bulunur. Ancak

a o a o a o d = dx dy az dz =O ya da

ax °Y

I a 25 a el+ aş + — a e2 - e 3 . (dxe i dye2 + dz e 3) = 0

x az e3

olduğundan v s25 . dr =0 d ır. Buradan v‘25 nm dr ye dolayısiyle yüzeye dik olduğu sonucu çıkar ve v25, yüzeyin normalidir.

49

✓ 12e 1 + 8e2- 24e 3

✓ o ,\/ 16.49

3e ı + 2e2- 6e 3

7 11 =

0 ▪ x

Y

Q(x+Ax, y+Ay)

Ay

Ş ekil , 2.6.7

ÖRNEK 7.

(x,y,z) = 2x 2 + 4yz-5z 2 + 10=0 yüzeyine P (3, -1,2) nokras ında

birim normal vektörü bulunuz ? Verilen yüzeye normal bir vektör

v = 4xe i + 4ze2 + (4y-10z)e 3

v (3, -1,2) = 12e 1 + 8e2-24e 3

olduğuna göre P noktas ında yüzeye birim normal vektör

ş eklindedir. Yüzeye bir di ğer birim normal vektör

3e ı + -2e2- 6e 3 n —

7

chr.

ÖRNEK 8.

Teorem 2.6.1 i, verilen yöntem d ışı nda va ş ka bir yoldan ispat-

lay ı nı z ?

x ve y, (x,y) noktas ından geçen herhangi bir C e ğ risi boyunca s uzakl ığı -

nın fonksiyonlar ı olsun. Buradan C e ğ risi

x =x (s), y =y (s)

parametrik denklemleri ile gösterilebilir. x ve y nin s yay parametresine

göre sürekli türevlere sahip olduklar ını varsayahm.

50

af af f (x,y) nin sürekli — — parça! türevlere sahip olaca ğı C eğ ri-

ax '

si üzerinde herhangi bir nokta P olsun. Q (x Ax, y Ay) noktas ı , bu eğ ri üzerinde P ye yak ın bir nokta olsun. E ğ er. As, PQ yayının uzunluğ u M de Ax ve Ay art ış larından dolay ı f deki de ğ iş me ise bu durumda

df i; Af ds s-o

As

ifadesi, (x,y) noktas ında C boyunca f in de ğ iş me oran ını verir. Ancak

df af dx 8f dy ds 8x ds ay ds

Ve dx ds

Ax = lim

As-A Os = cos,C4

ds

Ams,0 A As

— = olduğundan ds

y

df af af drf (x,y) = ds = bx "" - sin%

-37..

df eş itliğ inin varlığı ortaya ç ıkar. Aş ikar olarak

s eğ rinin do ğ rultusu-

na bağ lıdır ve bu yüzden do ğ rultu türevi ad ını alır. (x,y) noktas ı için seçgen özel e ğ riye çizilen te ğetin doğ rultusunda f in de ğ işme oran ını gösterir.

Ş imdiye kadar bir skaler fonksiyonla îlgili olarak do ğ rultu türevi ve gradient kavram ını verdik. Ş imdi daha genel olarak vektör de ğerli fonksiyonlarla ilgili olarak do ğ rultu türevi kavram ını verelim.

TANIM 2.6.4. Bir f skaler alan ının bir D bölgesi (aç ık cümle) üzerinde sürekli türevlenebilir olmas ı , her belli a vektörü (birim vektör) için f ve Daf ın D üzerinde sürekli olmas ı ile eş değerlidir. Bir vektör alanının doğ rultu türevinin tan ımı , bir skaler alan ınkine benzerdir.

TANIM 2.6.5. Bir W vektör alan ının P noktas ında ve a doğ rultu-sunda DaW (P) doğ rultu türevi, P ile Q aras ındaki ilişki Ş ekil 2.6.1 deki gibi olmak üzere

DaW (P) =tim W (Q) — W (P)

h O

51

ile tan ımlı dır. Ayn ı ş ekilde W nin D üzerinde "sürekli türevlenebilir" olması , her belli a için W ve D aW nin D üzerinde sürekli olmas ı ile eş de-ğerlidir. Belli a ve W için DaW doğ rultu türevi, D üzerinde bir vektör alanı tan ı mlar. Bir (x,y,z) dik koordinat sistemi al ınır ve a vektörü de de s ırasiyle e l , e2, e 3olarak seçilirse x,y,z ye göre parçal türevler elde edilir Örne ğ in üç boyutlu uzayda koordinat fonksiyonlar ı sı rasiyle f (x,y,z,) g (x,y,z) ve h(x,y,z) olan

u (P) = ıı (x,y,z) = f (x,y,z) e ı ÷ g (x,y,z) e 2 + h (x,y,z)e 3 ş eklinde bir vektör de ğ erli fonksiyonun doğ rultu türevi

Dau (x,y,z) = (D af) e ı + (Dag) e 2+ (Dah) e 3 ş eklindedir. Burada

a = xe ı + ,e3, )2+ v_24_ u2 = olmak üzere

Daf (x,y,z) = lim f (x Xh, y t ıh, z uh) - f (x,y,z)

h ->- O

af af af ax u+ az

ş eklinde olduğunu hat ırlayal ım, Dag ve Dah doğ rultu türevlerinin de de aynı ş ekilde tanı mlanaca ğı açıktı r.

ÖRNEK 1.

U (P) = (x 2- y--i-z)e i = (2y-3z) e2 + (x-z) e 3 vektör alan ı ve a 1

. -V6

(2e 1- e2+ e 3) birim vektörü veriliyor. D au (P) doğ rultu türevini bu-lunuz ?

Da(x2- y+z) = 1_ (2x) 1_ ( 1) -1- 1 (1) = 1 __ (4x+2)

V6 V6 V6 -V6

1 ,, Da(2y-3z)

2 ,v--6- (0)

1 (2) -I- ( 3) =

5

V-6- V6

Da(x-z) = 2

1 (1) - _ (0) ' (1) = 3

-V6 V6 6 V6

olduğuna göre, U (P) vektör fonksiyonunun do ğ rultu türevi

52

DaU (P) 4 +2) e ı 15 5_ e2+ 3_ e3

ş eldindedir.

ÖRNEK 2.

Her a birim vektörü için (dü ı lemde ya da uzayda) V. a = W. a ise, V =W olmas ı gerekti ğ ini gösteriniz ?

V. a denklemi (V-W). a =O denklemine e ş değerdir. V-W O ise a, V-W do ğ rultusunda bir birim vektör olarak seçilebilir. Bu durumda (V-W). a=r0 denklemi gerçeklenn ıez.

Daha önce gradient operatörünü skaler alanlarla ilgili bir diferen-siyel operatör olarak belirttik. Yani skaler alan üzerinde i ş lem yapan gradient ope ı atörü, skaler alanlar ı vektör alanlar ına götürür. Bununla beraber

grad = v = E ei exı

gradient operatörü, W bir vektör alan ı olmak üzere v. W de oldu ğu gibi bir vektör alan ı ile bir skaler çarp ımda kullanılabilir. keza v x W de olduğu gibi de bir vektör alan ı ile vektörel çarp ımda kullanılabilir. Böylece tanı mlanan son. iki operatör de divergens (divergence) ve rotasyon (curl) dedi ğ imiz iki önemli diferensiyel operatörlerdir*.

2.7. B İ R VEKTÖR ALANININ D İVERGENS İ

Üç boyutlu uzaylarda verece ğ imiz divergens ve daha sonra verile-cek rotasyon kavramlar ının daha fazla boyutlu uzaylara geni ş letilebilece-ğ i açıktır. Üç boyutlu bir vektör alan ı sürekli türevlenebilir olmak üzere W (xb'x2, x3) = W i(x ı , x2, x3) e ı + W2(x ı , x2, x3) e2+ W3(xi, X2, x3)e3

gösterimine sahip ve gradient operatörü

grad = v = e ı + — e2+ e 3 ax ı bx2 bx 3

ise W vektör alan ı ile v sembolik vektörünün iç çarp ımı kurulursa

W ı 8W2 w V W

'9 bx ı ax2 vax3 3

*Diferensiyel operatörler üzerinde ileride durulacakt ır.

53

ifadesi elde edilir v. W ya da divw ile gösterilen bu W vektör alan ının divergensi ad ını alır. Divergens operatörü, vektör alanlar ını skaler

alanlar ına götiiren bir diferensiyel operatörürdür. Divergens kavram ı ,

matematik fizikte büyük önemi olan divergens teoreminde temel bir

araçt ır. Ayrıca divergens operatörü, mekanikte, ak ış tan akış larda

(fluid flow), elektromagnetizma'da bir çok problemlerde kullan ılır. Divergens operatörünün geometrik anlam ı , yüksek analiz ve diferensi-

yel geometride uygulamalar ı olan çok say ı da genelle ş tirmeye yol gös-

termiş tir.

u ve v vektör alanlar ı ile f skaler alan ı sürekli türevlenebilir ol-

mak üzere divergens operatörünün a ş ağı daki özelikieri geçerlidir.

div (u+v) = divu+ divv

div (fu) = fdivu± v f.0

ÖRNEK 1.

x-hz y—x z—y W x2+ y2+ z 2 e l+ x2 + y2 4_ z2 e2-1- x2 + y2+ z2 e3

,rektör fonksiyonu veriliyor. divw n ın P0(1,0,-2) noktas ındaki değ erini

bulunuz?

ax x2 + y2+ z2

ay

z—y

az t X2 + y2 + z2

olduğ una göre

y 2 + z2— x 2— 2xz — (x2+ y2+ z2)2

x2+ z2—

y2+ 2xy

(x2+ y2+ z2) 2

x2+ y2— z2+ 2yz (x2 + y2 + z2) 2

y—x

\ x2 + y2+ z2

divW x2 + y2+ z2+ 2 (xy-xz+yz)

(x2+ y2+ z2)2

ve divw nın Po noktas ındaki de ğ eri

divw (1,0,-2) = 9

25

dı r.

54

ÖRNEK 2.

R dünyanın yarıçap ı , 0 merkezi ve g de dünyan ın yüzeyindeki çekim kuvvetinden ileri gelen ivme olsun. P uzayda yüzeye yak ın bir nokta

ise 613 yönlü doğ ru parças ı ile gösterilen vektör r olsun. r vektörünün uzunluğunu Ir I = d ile gösterelim. Klâsik fizikten çekim kuvveti ile ilgili v (P) kuvvet alan ı (yakla şı k olarak)

(p) gR2 r

d 3

denklemi ile veriliyor. r > R için divv (P) = 0 oldu ğunu gösteriniz.

f skaler alan ve u vektör alan ı olmak üzere

div (fu) = fdivu ± v f.0 özeli ğ i nedeniyle

divv = div gR d3

2 r)

dg3R2 gR2 divr . r

ş eklinde yaz ılabilir. Buradan f i ve f2 skaler alanlar olmak üzere

V fı p f2) özeliğ i nedeniyle de

divv = gR3 divr d d6 gR2V (d2). r

= - gR2 [ d6 divr

1

d6 (d3) ' r

dd divr

d

d3

= gR2 [ d3 d.r

- gR2 [ d-3 divr -3d-4 d.r ]

v (d 3) = 3d2v d - d3 v (d3) = 3

v d d

da

buluruz. Orijini O da bir (x,y,z) dik koordinat sistemi al ınırsa

r =xe i + ye2 + ze 3

55

bd y ad d ' az

-

d ve

bd

ax d ' ay-

yaz ı labilir. Buradan divr =3 olduğu görülür. r n ın uzunluğu

d = x2+ y2± z2

olduğuna göre

ze3 ) r v d —

ax ' ay ' az - d (xe ı + ye2+ ze3) =

v d.r — r.r = d d

değ erleri yerlerine konulursa

divv = - gR2(3d-3-3d-4.d) = 0

sonucuna vard ı r.

Örnek 2 deki kuvvet alan ı ; özellikle mekanik, elektrostatik, ak ış -

kanlar dinami ğ inde ortaya ç ıkan çok sayı da vektör alanlar ı sınıfmı aç ıklar. Bir V (P) vektör alan ına; e ğer V, onun gradienti olacak ş ekilde

bir U (P) skaler alan ı varsa, korunumlu kuvvet alan ı (Conservative)

denir. Ba şka bir ifade ile

V (P) = v u

olacak ş ekilde bir u skaler fonksiyonu varsa, V (P) vektör alan ına

korunumludur denir. Bu durumda u, v korunumlu kuvvet alan ına kar-

şı lık gelen potansiyel fonksiyon adını alır. Gerçekten örnek 2 de kuvvet

alanını veren u potansiyel fonksiyonu

u (p) gR2

d

dı r. Basit bir i ş lemle

ı gR2 R2 r gR2

V u gR2 V kdf d2 V d

gR2

• d d3

olduğu gerçeklenir.

Örnek 2 nin sonucu, divv = v. v =0 oldu ğunu gerçeklediğ inden

v.v u=div Q u =div (gradu) = 0

r = v

56

sonucu ortaya ç ıkar. Bu denklem Laplace denklemi olarak bilinir. Çoğunlukla

v2u =O ya da A u=0

ş eklinde yaz ıhr

divv =0 olmak üzere v =v u ise, u Laplace denklemini sa ğ lar ve bunun

tersi de, doğ rudur.

Herhangi bir üç boyutlu dik koordinat sisteminde

vu = au au, au e ı -ı- — en- — e3

axi ax2 ax 3

olduğuna göre Laplasiyen (Laplacian)

v2u =v vu = aıu a2u a2u ax 1 2 ax22 4- ax32

ş ekline sahiptir. Laplasiyen, skaler alanlar ı skaler alanlara götüren bir

diferensiyel operatördür.

ÖRNEK 3.

r (P), xy düzleminde 0 orijinden bir P noktas ına yönlenen vektör olsun. Ir I = d diyelim. u (P) = lnd düzlem skaler alan ının Laplace

denklemini sağ ladığı nı gösteriniz?

vu = v (lnd) = 7-1 v (d) = r

olduğuna göre

A u =v v u =div v u =div (--d-2-1 r divr-2d-3v d.r

yaz ılabilir. r düzlemde bir vektör oldu ğundan

r=xei + yel , d = v° x2+ y2

den divr =2 ve v d= d — ei+ ,T e ı = (T

elde edilir Bu de ğerler yerlerine konulursa

57

2 1 A u =p pu = --d-2- (2) - 2d-3 . T r = d2 -2d-3 . d =O

olduğu görülür.

ALIŞTIRMALAR

1. r=xe i ye2 ze3 ve Iri =d olmak üzere a ş a ğı daki problem-

lerde divv yi bulunuz?

(a) v = , n > o

(b) v f (d) r

(e) v = p u, u =0 (d)

(d) v = p u, u=0 (x+y+z)

2. Üç boyutlu uzayda div (fp g-g p f) ifadesini bulunuz ?

3. Herhangi bir a sabit vektörü için div (axr) = 0 oldu ğunu gösteriniz?

4. Herhangi bir a sabit vektörü için

div (vxa) =W.a

olacak ş ekilde bir W vektörünün varl ığı nı gösteriniz?

5. İ ki boyutlu uzayda u (x,y) skaler fonksiyonunun

Au = axu a2u ş eklindeki Laplasiyen dönüşüm a2 ay2

denklemleri x=-p cos0, y =p sin.0 ile verilen (p,O) düzlem kutupsal koordinatlarına göre yaz ınız?

6. Üç boyutlu uzayda Au = a2u a2u. a2u

— Laplasiyen ax2 8y2 az2

(a) Dönüşüm denklemleri x =pcos0, y =psin0, z =z ile verilen (p, 0,z) silindirik koordinatlatma göre,

(b) Dönüşüm denklemleri x=pcos0 sin fö , y= psin0 sin z =pcos ile verilen (p,O, O) küresel koordinatlarma göre yaz ınız?

58

2.8. B İ R VEKTÖR ALANININ ROTASYONU

v nin uzayda sürekli türevlenebilir bir vektör alan ı ulduğunu ,var-

sayal ı m. Eksenlerin seçiminden ba ğı msız olan divv diferensiyel operatörünün bir skaler alan tammlad ığı m gördük. v xv biçimsel gös-teriminin de bir vektör alan ı tanımlayacağı aç ıktır. e 1 , e2, e 3 ortonor-

mal birim vektörler olsun (pozitif olarak yönlü =positive orientation) ve u,v iki vektör alan ı olsun. Baz vektörleri cinsinden

u = u ie i + u2e2 + u3e3 , v = v iei + v2e2+ v3e 3

yazılabilir. Bunların vektörel çarp ı mının

uxv = (u2v3— u 3v2) e 1 + (u3v 1— u 1v3) e2 + (u1v2— u2v1) e3 (2.8.1) ş eklinde olduğunu biliyoruz. Bu formül, daha kapal ı olarak

uxv e 1

ui vi

e2 63

u2 u3

V2 V3

(2.8.2)

ş eklinde sembolik olarak yaz ılabileceğ i açıktır. (2.8.1) ve (2.8.2) n ın özde ş olduğuna ilgi çekilmelidir. v operatörü (üç boyutlu uzayda)

° =ax el+ aX2 e2+ bX3 e3

olduğuna göre v xv operatörü

e ı e2 e3

Axv av3

ax2 av2 İ av ı <9x 3 ax3 axi 49x2

Vi V2 V3

av2 av ı ax ı ax2 e3 (2.8.3)

ile ta ıumlıdır. Görüldü ğü üzere vxv bir vektör alan ı tanımlar. Buradan herhangi bir v vektör alan ı için, vxv vektörü (2.8.3) ile verilmek üzere

rotv =eurlv = vxv

formülüne v vektörünün rotasyonu denir.

Herhangi b, e, d vektörleri için

(bxc). d = b. (cxd) (2.8.4)

59

özdeş liğ i geçerlidir. b = b iei+ b2e2± b 3e3 ve c, d vektörleri de benzer ş ekilde ise

(bxc). d = b ı b2 el e2 d ı d2

b3 C 3

d3

ş eklindedir. (2.8.4) formülü skaler üçlü çarp ım (Karışı k Çarp ım) adını ahr ve bu çarp ım [bed ] şeklinde de gösterilir. Bir skaler üçlü çarp ımda iç (skaler) ve vektörel çarp ım, sonucu değ iş tirmeksizin de ğ iş tirilebilir.

Aş ağı daki teorem, bir baz de ğ iş ikliğ i altında (2.8.4) ün de ğ iş mez-

liğ ini (invariance) gösterir.

TEOREM 2.8.1. v nin sürekli türevlenebilir bir vektör alan ı ol-

duğunu varsayahm. Bu durumda her sabit a vektörü için

v. (vxa) = W.a

olacak ş ekilde sürekli bir tek W vektör alan ı vard ır. Gerçekten e l , e2,

e 3 bir ortonormal baz ise 0 durumda vxv, (2.8.3) ile verilen vektör olmak üzere W= vxv d ır.

ispat e l , C2, e 3 .bir ortonormal baz olsun. a= a le l + a2e2+ a3e3 ise

vxa= (v2a 3– v3a2) e i + (v3a 1– via 3) e2+ (v ı a2– v2a 1 ) e 3

dür. Divergens formülü

av2 av, av a av„ 8v ı av2 div (vxa) =--- a3 — a2 +al —a 3 +a2 al

8x ı ax, ax2 ax2 ax 3 ya da

av, av2 av„ ava av2 av, Q. (vxa) =

a2 -

ax3 ) al 8x2 ja3 8x2 ax 3 ax, ax,

=-- (v xv). a = W.a

eş itliğ inin varlığı nı gösterir. Buradan W= v xv olmas ı nedeniyle de

tektir.

ÖRNEK 1.

V = (x12_ x22+ 2x1x3) e i + (x1x3– xix2+ x2x3) e2+ (x32+ xi2) e 3

vektör alanı veriliyor. rotv yi bulunuz. Po(1,2, –3) ve P 2(2,3,12) nokta-

larında bulunacak rotv vektörlerinin ortogonal olduklar ını gösteriniz?

60

el e2

ax ı aX 2 X1 2- X22 + 2X İ X3 X İ X3- X İ X2+ x2x 3

e3

ax3 x32+ x1 2

rotv =

= (xi + x2) e1+ (x3+ x2) e 3 dür.

Po(1,2, —3) noktas ında rotv = — 3e 1— e y= vo, P2(2,3,12) noktas ında rotv = — Se l + 15e3 = v ı olduğuna göre vo. vi = 15-15=0 sağ landığı n-dan vektörler ortogonaldir.

u, v ve f sürekli türevlenebilir alanlar ise a ş ağı daki özelikler geçer-lidir:

(a) rot (u+v) = rotu rotv

(b) rot (fu) = frotu v fxu

(e) div (uxv) = v. rotu-u. rotv

(d) vf sürekli türevlenebilir vektör alan ı ise, rot vf =0 d ır. (e) v iki kez sürekli türevlenebilir vektör alan ı ise, divrotv =0 dır.

Bir vektörün rotasyonu, tam diferensiyel kavram ı ile yakmen ilgi-

lidir. Gerçekten P (x,y,z), Q (x,y,z) ve R (x,y,z) herhangi bir D böl-gesinde sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere

Pd x+Qdy+Rdz (2.8.5)

ifadesinin tam diferensiyel olmas ınm,

df =Pdx Qdy Rdz (2.8.6)

olacak şekilde sürekli türevlenebilir bir f (x,y,z) fonksiyonunun varl ığı

ile eş değ erli olduğunu biliyoruz. Böyle bir fonksiyon var ise

fx = P, fy = Q, fz = R (2.8.7)

bağı ntıları yazılabilir. E ğer D bölgesi bir dikdörtgensel bir kutu ise, (2.8.5) ifadesinin tam diferensiyel olmas ı için

aQ aP aP aR aR aQ = = ax = ay ' az ax ' ay az

(2.8.8)

denklemlerinin geçerli olmas ınm gerek ve yeter şart olduğunu biliyoruz.

Ş imdi tam diferensiyel kavram ını vektör terimleri cinsinden ifade ede-

biliriz. Dik koordinat sisteminde

61

v =Pe i + Qe2+ Re3, r=xe l+ ye2 + ze 3, dr=(dx) e i ± (dy) e2 + (dz) e3 vektörlerinin tanımlayalım.

f ve vf fonksiyonlar ın ın uzayda bir D bölgesinde sürekli türevlene-bilir olduklarını varsayal ı m. Bu durumda (2.8.6) ve (2.8.7) denklemleri

df = v. dr ve vf = v

ifadelerine e ş de ğerdir. Bu durumda (2.8.8) gerek ve yeter ş artlar ı

rotv = 0 (2.8.9)

ş eklinde basit vektör ş artı ile ifade edilebilir.

Bir v vektörü vf biçimine sahip ise, (2.8.9) un yukarda ifade edilen (d) özde ş liğ inin bir sonucu olduğu anlaşı lır. Tersine olarak (2.8.9) geçerli ise tam diferensiyel üzerine sonuçlar, vf =v olacak ş ekilde bir f fonksiyonunun varl ığı nı gösterir. Bu sonucu, ispat ı modern analiz kitaplarında bulunabilecek bir teoremle ifade ediyoruz.

TEOREM 2.8.2. v nin, herhangi bir D dikdörtgenler prizmas ı içinde rotv =0 olacak ş ekilde sürekli türevlenebilir bir vektör alan ı olduğunu varsayahm. Bu durumda vf=v olacak ş ekilde D de sürekli türevlenebilir bir f skaler alan ı vardır. Böyle iki alan aras ındaki fark bir sabittir.

rotv =0 olacak ş ekilde özel bir v vektör'alan ının verilmesi halinde vf = v olarak ş ekilde f skaler alan ını bulma yöntemi, tamamen tam diferensiyel bir ifade bir f skaler fonksiyonunun diferensiyeli olacak biçimde bulunmas ı yöntemi gibidir.

ÖRNEK 2.

v =2xyze i+ (x2z+y) e2+ (x2y+3z2) e3

vektör alan ı veriliyor. rotv =0 oldu ğunu gösteriniz ve v , f = v olacak biçimde f skaler fonksiyonunu bulunuz ?

el e2 e3

ax ay az

2xyz x2z+y x2y+ 3 z2

olduğundan

— (x2– x2) el + (2xy-2xy) e2+ (2xz-2xz) e 3 = 0

rotv =

fx = 2xyz, fy = x2z+y, fz = x2y+ 3z2

62

olacak biçimde bir f skaler fonksiyonu bulunabilir. Gerçekten ilk denklem integre edilirse

f (x,y,z) = x2yz+C (y,z)

elde edilir. f nin y ve z ye göre türevi al ınırsa

fy = x2z+Cy(y,z) = x2z+y

fz = x2y + Cz(y,z) = x2y+3z2

denklemlerine varı lır. Sonuç olarak

C = L y2 + K (z) ve C z = K'(z) = 3z 2 K (z) = z 3 + değ eri için

C (y,z) = L y 2+ z3+ C ı olduğuna göre aranan f (x,y,z) fonksiyonu

f (x,y,z) = x2Yz + y2+ z3+ C1

şeklindedir. Bu skaler fonksiyon v f = v özeli ğ ini Sağ lar.

ALIŞ TIRMALAR

1. G1'(x) = g 1 (x), G2'(y) = g2(Y), G3'(z) = g 3(z) olarak veriliyor. v = [x2(y3 + z3) + gi(x)] e1+ [y2(x3 + z3) + g2(y)] e2+ {z2(x3+ y3)

+ g3(z) ] e 3 olduğuna göre rotv =0 oldu ğunu gösteriniz ve vf = v olacak ş ekilde f skaler fonksiyonunu bulunuz?

2. (bxc). d =b. (cxd) özde ş liğ inin varlığı nı gösterinin ?

3. r = xe i + ye2+ ze3 olduğunu varsayal ım. d= ir olsun.

(a) rot d = 0 olduğunu gösteriniz?

(b) QS türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere rot [s25 (d)r ]

yi bulunuz?

(c) p bir sabit ve a bir sabit vektör olmak üzere rot (dPaxr) yi bu-lunuz ?

4. (a) v=v iei + v2e2+ v3e 3 ş eklinde herhangi bir vektör ise Av ya da v2v ile gösterilen v nin Laplasiyeni

Cy = y, Cz = 3z2

63

A v= (A vi) e i + (A v2) e2 + (A v3 ) e 3

ile tanımlanıyor.

Herhangi bir u vektör alan ı için (yeteri kadar türevlenebilir)

rotrotu =--graddivu-Au özdeş liğ ini kurunuz?

(b) (a) daki özde ş liğ i u = (y2 -1-xz) e l + (z2+ xy) e 2 +(x2 +yz)e 3

vektör alanı için gerçekleyiniz?

64

3. Bölüm

TOPOLOJ İ K KAVRAMLAR

3.1. TANIM ve AÇIKLAMALAR

1. İç nokta: Bir p eA eleman ının A nın bir iç noktas ı olmas ı için gerek ve yeter ş art, p nin A da kapsanan herhangi bir S paç ık aralığı nda bulunmas ı dır. Yani,

peA peSp cA

dır. p (a,0) ise Sp = {x: < x < a+S} ş eklindedir.

2. Aç ık cümle: Her noktas ı iç nokta olan cümledir. Örne ğ in A = (a,b) aç ık aralığı bir aç ık cümledir. Keza R gerçel say ılar doğ rusu açık cümledir. B = [a,b ] kapal ı aralığı bir aç ık cümle de ğ ildir, çünkü a ya da b yi kapsayan bir aç ık aralık B nin dışı ndaki noktalar ı kapsamak zorundadır. Buradan a ve b uç noktalar ı B nin iç noktaları değ ildir. 25 ile gösterilen bo ş cümle aç ık cümledir, çünkü 3:25 de iç nokta olmayan nokta yoktur. Herhangi say ıda (sonlu ya da sonsuz) aç ık cümlelerin bileş imi açık cümledir. Herhangi sonlu say ı da aç ık cümlelerin kesi ş imi açık cürnledir.

3. Y ığı lma noktas ı : AcR olsun. Bir pe R noktas ının A nın bir yığı lma noktas ı (ya da limit noktas ı) olmas ı için gerek ve yeter ş art, p yi kapsayan her G aç ık cümlesinin p den farkl ı A nın bir noktas ını kapsamas ıdı •. Yani,

GcR, G açık, peG A n (G— {P} )

olması dır.

A'ile gösterilen A n ın yığı lma noktalarından olu ş an cümleye A nın türetilen cümlesi (derived set) denir.

A = { 1, A-,

olsun. O noktası A nın bir yığı lma noktas ı dır, çünkü OEG olmak üzere herhangi bir G aç ık cümlesi bir (-a l , a2) c G açık aralığı kapsar ve bu

65

aralıkta A nın noktaları vard ır. Bir cümlenin yığı lma noktas ı , cümlenin bir elema nı olması gerekmez. Q gerçel do ğru üzerinde bütün rasyonel noktalar ın cümlesi ise Q' cümlesi, do ğru üzerinde bütün noktalar ın cüm-

lesidir. Sonlu elemanli bir cümlenin y ığı lma noktas ı yoktur. Sonsuz

elemanh bir cümlenin de yığı lma noktas ı olmayabilir. Örne ğ in Z = {..., -2, -1,0,1,2,...} tam say ılar cümlesinin y ığı lma noktas ı yoktur, yani Z nin türetilen cümlesi 21 bo ş cümlesidir. Ancak gerçel sayı lar ı"' s ınırlı ve sonsuz elemanh bir cümlesinin en az bir yığı lma noktas ı vardır (Bol-

zano-Weierstras teoremi).

4. Kapal ı cümle: Bi r Ac R cümlesinin kapal ı olmas ı ancak ve an-cak A nın Ac ile gösterilen tümleyen cümlesinin aç ı k cümle olmasıdır. Başka bir anlat ım ile A cümlesi, eğer bütün yığı lma noktaların kapsı -yorsa kapal ı cümledir. Örneğ in [a,b ] bir kapalı cümledir, çünkü iki açık sonsuz aral ıkların bileş imi olan (- oo,a) U (b,co) tümleyeni bir aç ık cümledir.

A = {l, 1, k,... } cümlesi kapal ı değ ildir, çünkü bu cümlenin. 0 yığı lma noktas ı cüınleye dahil değ ildir. Sö ve R kapalı cümlelerdir, çünkü bu cümlelerin tümleyenleri aç ık cümlelerdir. [0, c>o) aral ı k' kapalı cümledir, çünkü (- oo,0) tümleyeni aç ı k cümledir. .

Bir cümlenin kapal ı olmas ı , açı k cümle olmamas ı anlamında değ il-dir. keza bir cümle ne aç ık ne de kapalı olabilir, aynı ş ekilde hem aç ık hem kapal ı olabilir. S = {x: 1<x<2 } cümlesi ne aç ık ne kapandır. Öte yandan (1) ve R hem aç ık hem kapal ı cümlelerdir. Ancak R de ba şka hem açık hem kapalı cümle yoktur. Tek eleman ya da sonlu say ı da ele-mandan oluş an cümle kapal ıdır. Açı k cümlelerdekine benzer ancak ters olarak, herhangi say ıda (sonlu yada sonsuz) kapal ı cümlelerin kesiş imi kapal ı cümledir. Sonlu say ıda kapalı cümlelerin bile ş imi kapalı dır.

5. Aç ık bağ lant ı lı (irtibatl ı) cümle: Herhangi bir cümle, boş olmayan iki açık cümlenin bileş imi olarak yaz ılamıyorsa açık bağ lantılı cümledir. Buna göre R nin en az iki eleman ıııı kapsayan cümlenin bağ lant ıh olması için o cümlenin aral ık olmas ı gerekir. Tek elemanh bir cümle daima bağ lantıhdır, çünkü o eleman ı bağ lantısız yapan başka eleman yoktur. Bağ lantı lı olma durumu önemli bir topolojik özeliktir. Ayrıca topolojik özelik de topolojide önemli bir kavramd ır. Bağ lantılı cümleler

kavramı Gerçel ve Karma şı k Analizde de çok faydal ı bir özeliktir. Aynı zamanda bağ lantılı durum, harmonik ve alt harmonik fonksiyonlar ın

maksimum prensibinde son derece önemlidir. Herhangi bir aral ık

66

bağ lantılı olduğu gibi, bütün R uzayı da bağ lantı lı uzaydı r. Rn ve

Cn uzaylar ı da bağ lantı lıdır. Bağ lant ı lı uzaylarm çarp ımı da bağ lant ı lı -

dır.

6. Kom ş uluk: h herhangi pozitif bir say ı olmak üzere bir e nok-tas ının Nh(c) simetrik kom ş uluğ u (e-h, c+h) aç ık aralığı dır. Örneğ in

Nh(c) =N I- (1) kom ş uluğu, merkezi e =1 de ve yar ıçap ı h =2 alan çem-

ber içindeki aral ıkt ır h = 1 aralığı n yarıçap ı dır.

Ş ekil; 3. I.

Bir kom şuluğun simetrik olmas ı gerekmez. h ve k pozitif say ılar

olmak üzere (c-h, c+k) aç ık aralığı , e nin simetrik olmayan kom ş uluğ u-

dur. c yi kapsayan bir aç ık aralığ a, c nin bir kom ş uluğ u denir. e nin

kendisinin ç ıkarıldığı e nin bir korn ş uluğuna e nin bir delinmi ş kom ş u-

luğ u denir. Örneğ in (-1,4) aç ık aralığı , 2, 3 , O, 3.9 ve -1 ile 4 aras ındaki

her gerçel say ının bir komşuluğudur. Bu sayılardan herhangi biri

çikarı lırsa geriye kalan iki aç ık aralığı n bileş imi, o say ının bir delinmi ş komşuluğu olur.

h i , h2, ki , k2pozitif say ılar ve h i , h2 nin minumumu h ve k i , k2nin

minimumu k ise (c-h 1 , e+k i ) ve (c-h 2, c+k2) komşuluklarının kesiş imi

(c-h, e+k) kom şuluğudur. Bu yüzden e nin iki komş uluğunun kesiş imi,

e nin bir komş uluğudur. Ayrıca iki kom ş uluğun her birinden ve onlar ın

kesişiminden e yi ç ıkarırsak (c-h,c) U (c,c±k) delinmi ş komşuluğunu

elde ederiz. Böylece e nin iki kom şuluğunun kesiş imi e nin bir kom-

şuluğudur ve e nin iki delinmi ş komşuluğ tmun kesiş imi, e nin bir

delinmiş kom şuluğudur. Örneğ in c =2 olsun ve A = (0,5) ve B = (1,7)

komşuluklarını gözönüne alal ı m. x noktas ı hem A hem B de ise 0<x<5

67

ve 1 <x <7 olmak zorundad ır. Buna göre A n B = (1,5) d ır. A ve B den 2 yi ç ıkar ırsak

A- = (0,2) U (2,5) ve B- = (1,2) U (2,7)

delinmiş kom şuluklar ı nı elde ederiz. Bu iki cümlenin kesi ş imi

A- n B- = (1,2) U (2,5)

dır. Bir noktan ın kom ş uluğu olarak verilen bu tan ımlar! çe ş itli uzaylarda

(metrik, topolojik v.b.) vermenin olana ğı vardır. Bir topolojik uzayda bir nokta (ya da bir cümle) n ın bir kom ş uluğu, noktayı (ya da cümleyi) kapsayan bir aç ık cümledir.

Bo ş olmayan bir X cümlesinin alt cümlelerinin bir s ınıfı , belli topolojik

uzay aksiyomlar ını sağ lıyorsa X topolojik uzay adını alır. Bir metrik

uzayda çe ş itli metrik tan ı mlarına göre kom ş uluk tanımlar' ilerde veri-lecektir.

3.2. D İ Z1LER İ N TOPOLOJİ K İ NCELENMES İ

Öncelikle dizi ve seri ili şkisinden biraz sözedelim. <s n > her-

hangi bir dizi olsun. s n = E un olmak üzere Z u n sonsuz serisine n=i n=1

bir <s a > dizisi karşı lık gelir. Buna göre herhangi bir sonsuz seri, ona

karşı lık gelen bir dizi tan ımlar ve kar şı lık gelen dizi, serinin parçal

toplamlar dizisidir. Örne ğ in 1,0,1,0,... dizisi, 1-1±1-1+... serisinin

parçal toplamlar dizisidir. Genel olarak s i , s2 , s 3 ,... dizisi, s i + (s2-s ı )

+ (s 3- s 2) +... serisinin parçal toplamlar dizisidir. Bu yüzden dizi

kavram ı ,' seri kavram ından daha geneldir. Çünkü elemanlar ı cümleler

yada arzu etti ğ imiz herhangi bir uzay ın elemanlar ı olan bir dizi olabilir,

ancak uzay ın elemanlar ı için toplam iş lemi olmadıkça diziye kar şı lık

gelen seri yoktur.

< sn : neN> ile diziyi gösteriyoruz ve dizi, tan ım cümlesi N doğal

sayılar cümlesi olan bir fonksiyondur. Öte yandan standart bir gösterim

olmamakla beraber js n : neN} ile de dizinin görüntü cümlesini gösteri-

yoruz. Bir nokta cümlesi ile bir dizi kar ış tırılmamalıdır. Örneğ in, bü-

tün pozitif saydarm karelerinden olu şan S cümlesi, <n2 > dizisi ile

ayn ı ş ey değ ildir. Gerçekten S, elemanlar ı tam sayılar olan bir cümledir,

oysa <n2 > dizisi, neN olmak üzere elemanlar ı

(1,1), (2,4), (3,9), (4,16),...

68

ile gösterilen ve (n,s n) çiftlerinden olu ş an bir ciimledir. Ancak gösterimde

kolaylık olsun diye elemanlar ı (n,s n) olan dizi, s ıramı' da önemini belirt-

mek üzere ço ğunlukla <s n > ile gösterilir.

Bir <s n > dizisinin js n : rı EN} görüntü cümlesi s ınırlı ise <s n :

n.EN> dizisi smırlıdır. Örneğ in sırasiyle

(-1)n ,n. tek s (n) = 2n-1, t (n) , u (n) = [ 1+(-1)n -F!] = j

0, n çift

formülleri ile tan ı mlanan

1 1

4

1

8 ' 1 <sn > , <tn> = <

2 ,•••> ' 1 6

<un > = <1,0,1,0,...> dizileri incelenirse, <s n> dizisinin {1,3,5,...} görüntü cümlesi s ınırlı cümle olmadığı ndan <s n> dizisi s ınırlı dizi

değ ildir. <tn > dizisi s ınırlı bir dizidir. dizisinin {0,1} görüntü

cümlesi sonlu cümle oldu ğundan dizisi s ını rl ı dizidir. Bir dizi bir üst s ınıra sahip ise yukardan, bir alt s ınıra sahip ise aş ağı dan sınırlı -

dır. Eğer dizi hem bir üst s ınıra hem de bir alt s ınıra sahip ise s ını rlı 'dır denir. Bir <a n : nEN> dizisinin b ye yak ınmas ı , ancak b yi kapsayan her aç ık cümle, dizisinin terimlerinin hemen hemen hepsini (hemen

hemen sonlu say ıda terimden ba ş ka) kapsamas ı halinde mümkündür. Örneğ in, <1,1,1,...> ya da <-3, —3, —3,...> gibi bir <a o, ao, ao,...> sabit dizisi ao elemanma yakmsar, çünkü a osayı sım kapsayan herbir açık cümle dizinin her terimini kapsar.

Bunun gibi, <1, < 1,0, O, k, o, 1, 0,...>, < 1,- L L-- dizileri 0 a sak ınsar, çünkü 0 say ı sını kapsayan herhangi bir aç ık aralık,

dizilerin her birinin hemen hemen büt -n terimlerini kapsar. Bir cümlenin limit noktas ı (yığı lma noktas ı) ile bir izinin limiti, her ne kadar ili şkili

iseler de karış tırılmamalıdır. Bu iki avram ancak a ş ağı daki ş artların var olmas ı halinde çak ışı r:

Bir <an> dizisi farklı elemanlar ın bir sonsuz say ısına sahip ol-

makla beraber bir b limitine sahip ise, bu durumda <a n > dizisinin {an } götüntü cümlesi, dizideki farkl ı elemanlar ın ciindesi olaca ğı na göre sonsuz eleman kapsayacakt ır. İş te bu dizinin farkl ı elemanlarmdan oluş an sonsuz elemanh cümlenin limit noktas ı b dar. Yani bir <an> dizisinin limiti ile bu dizinin {a n } görüntü cümlesinin limit noktas ının aynı olması için, dizi yakınsak olmakla beraber (ki limiti olsun), dizinin sonsuz sayıda farklı eleman kapsamas ı gerekir. Aksi halde <a n > dizisi yakınsak olmakla beraber, dizideki farkl ı elemanlar ın sayı sı sonlu

69

olursa bu durumda <a n > dizisinin {a n } görüntü cümlesi sonlu eleman kapsayaca ğmdan limit noktas ı söz konusu değ ildir, çünkü sonlu eleman-11 bir cümlenin yığı lma noktas ı yoktur. Bir dizi sonlu elemanh olamaz, çünkü tan ım cümlesi do ğal sayılar cümlesi olan bir fonksiyondur, an-cak dizinin görüntü cümlesi, dizideki farkl ı elemanlardan olu ş aca ğı -çin

sonlu elemanlı olabilir. Bir dizi yakınsak olabilir, ancak görüntü cüm-lesinin yığı lma noktas ı olmayabilir. Dizinin görüntü cümlesinin yığı lma noktaları olabilir (liminf, limsup), ancak dizi yak ınsak olmayabilir. Bir dizinin hiçbir limiti olmayabilir, ancak varsa farkl ı iki limiti ola-maz. Her yak ınsak dizi s ını rlıdır, ancak her s ınırlı dizi yakmsak değ ildir. Sınırlı dizi yakınsak alt dizi kapsar. Bununla beraber, s ınırlı dizi mono-ton (artan ya da azalan) ise yak ınsakt ır.

3.3. CAUCHY DIZISI

Gerçel sayı ların bir <an : neN> dizisine, a ş ağı daki ko şulların sağ lanmas ı halinde bir Cauchy dizisi denir; Her e<0 için ıa, m> no

!a n— am l < E olacak ş ekilde pozitif bir n o dayı sı vardır. Ba şka bir anlat ım ile bir dizinin Cauchy dizisi olmas ı için, n nin büyümesi halinde dizinin terimleri birbirine son derece yak ın olmas ı gerekir.

ÖRNEK 1.

<an : nEN> tamsayıların bir Cauchy dizisi olsun, yani Cauchy dizisi koşulu sağ lanmak üzere dizinin her eleman! tamsay ıdır. Dizinin herbir eleman Z= {.... —1,0,1,...} tamsay ılar cümlesine dahildir. Bu durumda dizi <ai ,a2,...,a no,b,b,b,...> ş eklinde olmak zorundad ır. Yani dizi her-hangi bir no teriminden sonra sabittir. Zira E =z seçersek bu durumda

a n, am E Z ve ia n— ain l < 2an = ain

sonucu ç ıkar.

ÖRNEK 2.

Ş imdi her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi oldu ğunu gösterece ğ iz.

a n—> b ve e>0 olsun. Bu durumda

> ian— b j> 4 E ve m> no < z E

olacak ş ekilde yeteri kadar büyük bir n o E N vardır. Sonuç olarak ıı ,m

> no olması

70

la,— am i= jan— b+b—am I dizisinin bir Cauchy dizisi oldu ğu sonucu çıkar.

Her ne kadar yak ı nsak bir dizi, Cauchy dizisi ise de ters; do ğru değ ildir. Yani her Cauchy dizisi yak ınsak değ ildir. Örneğ in gerçel say ılar doğ rusunun X = (0,1] alt uzay ını gözönüne alal ım. xn =z ile tan ımla-nan dizi bu uzayda bir Cauchy dizisidir, ancak yak ınsak değ ildir Çünkü sıfır noktas ı uzayın bir noktası değ ildir. Bu örnekte ortaya ç ıkan durum, yakmsak bir dizi kavram ının sadece dizinin kendisinde bulunan bir özlük hakkı olmadığı nı , ayn ı zamanda dizinin içersinde bulundu ğu uzaym yap ı sına da bağ lı olduğunu gösterir. Bu nedenle bir yak ınsak

dizi, "onun kendisi üzerine" yakmsak de ğ ildir, dizi belli bir uzayda

herhangi bir noktaya yakmsamak zorundad ır. Buradan gerçel say ıla-rın her Cauchy dizisi yak ınsaktı r.

3.4. TAMLIK (COMPLETENESS)

Bir A gerçel say ılar cümlesine, e ğer A daki noktalar ın her Cauchy dizisi yine A cümlesindeki bir noktaya yak ınsarsa, tamdır denir.

ÖRNEK 1.

Z = {..., —2, —1, 0,1,2,...} tam sayılar cümlesi tamd ır. Çünkü 3.3 deki örnekte görüldü ğü gibi Z deki noktalar ın bir <a n : neN< Cauchy dizisi,

< a l , a2,..., a no, b,b,b,...> ş eklindedir. Bu dizi bir b EZ noktas ına yakmsar.

ÖRNEK 2.

Q rasyonel sayılar cümlesi tam de ğ ildir, çünkü > gibi bir rasyonel sayılar dizisi seçilirse bu dizi V2 irrasyonel sayısına yakınsar. Bu nedenle Q rasyonal say ılar cümlesi tam de ğ ildir. Öte yan-dan R gerçel say ı lar cümlesi tamd ır, yani gerçel say ılarm her Cauchy dizisi bir gerçel sayıya yakınsar.

3.5. B İ R CÜMLEN İ N EN KÜÇÜK ÜST SINIRI VE EN BÜ-YÜK ALT SINIRI

A bir gerçel say ı lar cümlesi olsun. aEA için a<x olacak ş ekilde bir x gerçel say ı sı varsa, x sayıs ına: A cümlesi için bir üst sınır denir ve bu durumda A cümlesi yukardan s ınırlıdır. Alt s ınır benzer ş ekilde ta-

71

nı mlanır. A cümlesi yukardan s ınırlı gerçel say ı lara bir cümlesi olsun. Aş ağı daki iki ş art ı sağ layan bir x gerçel say ı sının var oldu ğunu varsa-yal ı m

(i) x, A nın bir üst snur ıdır,

(ii) y, A nın herhangi bir üst s ınırı ise bu durumda x <y d ır. Böyle bir x sayı sına, A cümlesinin bir en küçük üst s ınırı (lub) ya da

supremum'u (sup) denir. R nin tam olmas ı aynı zamanda a ş ağı daki ak-

siyomu sağ lamas ı demektir:

(LUB) (En Küçük Üst S ı nı r Aksiyomu): A, yukardan s ınırlı bir gerçel

sayılar cümlesi ise A bir en küçük üst s ınıra sahiptir, yani sup (A) vard ı r.

Rasyonel sayılar cümlesi, en küçük üst s ınır aksiyomunu sağ la-

maz. Gerçekten A = qEQ: q>0, q 2 <2} olsun, yani A cümlesi s ıfır-dan büyük 2 den küçük rasyonel say ılara cümlesi olsun. A cümlesi yukardan s ınırlı dır, Örne ğ in 5, A için bir üst s ınırdır. Ancak A cümlesi

bir en küçük üst s ınıra sahip de ğ ildir, yani m= sup (A) olacak ş ekilde

bir m rasyonel say ı sı yoktur. -\/2 say ı s ı A ye ait olmadığı ndan m,

-/2 olamaz.

En küçük üst s ınır aksiyomunun bir sonucu olarak, a ş ağı dan

sın ırlı her gerçel say ılar cümlesi bir en büyük alt s ın ıra (glb) ya da

Infimum'a (inf) sahiptir. Bir cümlenin sup ve inf'i varsa bunlar tektir.

Bir A cümlesinin supremumu x ve infimumu y ise

Sup A = x, inf A = y

dır. R nin Ar ş imet (Archimedean) s ıralı olduğu en küçük üst s ını r aksiyomu ile kanı tlanır. Ar ş imet sıralama aksiyomu, "N = {1,2,3,... }

doğal sayılar cümlesi yukardan s ınırlı değ ildir" ş eklinde ifade edilir

Ba ş ka bir deyimle hiç bir gerçel say ı yoktur ki her pozitif tam say ıdan

daha büyük olsun. Herhangi farkl ı iki gerçel sayı aras ında bir rasyonel

sayının olduğu, Arş imet sıralama aksiyomu olarak ifade edilen teoremin

bir sonucudur. Hatta R nin iç içe aral ık özeliğ i, en küçük üst s ınır, yani

R nin tam olmas ının önemli bir diğer sonucudur:

( İ ç içe Aralık özeli ğ i): I i = [a l , bi ], 12= [a2, b2 ],..., kapalı ve sınırlı aralıklar dizisi yani 12 olsun. Bu durumda her aral ıkta en

az ortak bir nokta vard ır yani (1' 1_ 1 I i dır. Başka bir ifade ile

lim n,o(a n-- b n) = 0 ise bütün aral ıklarda ortak bir nokta vard ır. Bu

teoremde aral ıkların kapalı ve s ınırlı olması zorunludur.

72

3.6. CÜMLENİ N MAKSIMUM VE Mİ NİMUMU

x ı , x2,..., xn sonlu gerçel say ılar cümlesinin, en büyük olan ı max x2,..., xn } ile gösterilir ve cümlenin maksimumu adını ahr.

En küçük üst s ınıra sahip bir S cümlesi için supS cümleye ait ise supS e S in maksimumu denir ve maxS ile gösterilir. Benzer uyarmalar bir cümlenin minitnumu için geçerlidir. S in minimumu varsa n ıinS ile gösterilir.

S = {e-x2 : x gerçel say ı } cümlesi için supS = 1 d ır ve cümleye dahil olduğundan maxS = 1 dır. Her ne kadar infS = 0 ise de minS yoktur, çünkü infS cümleye dahil değ ildir. Bir S cümlesi sonlu elemanl ı bir

cümle ise; S cümlesi onun en küçük üst s ınırına e ş it bir maksimuma ve en büyük alt s ınırına e ş it bir minimuma sahiptir.

3.7. L İ MİT SUPERİOR VE L İ MİT İ NFER İ OR

E > 0 için bir <an> dizisinin sonsuz say ıdaki terimi 1-e dan büyük

ve sadece sonlu say ıdaki terimi İ + E dan büyük ise 1 say ı sıma <an> dizisinin limit superior'u, en büyük limiti (greatest limit) ya da üst limiti (upper limit) denir. <a n > dizisinin limit superior'u lim cosuPan

ya da limn_.coa n ile gösterilir. E>0 için bir <a n> dizisinin sonsuz sayı -

daki terimi 1 + E dan küçük ve sadece sonlu say ıdaki terimi 1 - E dan

dan küçük ise 1 say ısına <an > dizisinin limit inferior'u, en küçük

limit (least limit) ya da alt limiti (lower limit) denir. <a n > dizisinin

limit inferior ' u limn_,Goinfa nya da lim n_,ma n ile gösterilir.

1-E< (sonsuz sayıda terim), 1, T+ E< (sonlu sayıda terim) (sonlu sayıda terim) <1-E, 1, (sonsuz say ıda terim) <1+ E

Başka ve daha k ısa bir ifade ile bir <a n > dizisinin bütün limit n.ok-talan= en büy-iiğ iine dizinin limit superior'u, en küçüğün de dizinin limit inferior'u denir.

<an > dizisinin sonsuz say ıdaki terimi herhangi bir M pozitif

sayı sını a şarsa co yaz ı lır. Aynı ş ekilde sonsuz sayıdaki

terimi -M den küçük ise lim n,an--> - co yaz ı lır. Her s ınırlı dizi daima

bir sonlu limsup'a (ya da lim) ve liminf'e (ya da lim) sahiptir ve ancak

bu iki limit e ş it ise dizi yak ınsaktır, yani

limsupa n liminfa ise

limsupa n = liminfan = lima n

73

dır ve limit değeri sordu ise dizi yakınsaktır. En küçük üst s ınır ve en büyük alt sınır, cümle ile ilgiyi olduğu gibi dizi ile de ilgilidir. Öte yan-dan bir dizi için verilen limit superior ve limit inferior tan ımlar' da cümle ile ili şkilidir ve bunlar dizinin görüntü cümlesinin en büyük ve en küçük limit noktalar ına karşı lık gelir. Bununla beraber cümleler dizisinin limit superior ve limit inferior'u da tammlanabilir.

E 1 , E2,..., S in alt cümlelerinin bir dizisi olsun. n in sonsuz sayıda değerleri için xcE n olacak ş ekilde bütün xeS noktalarının cümlesine <E n> dizisinin limit superior'u denir ve lim,c0SupE n ile gösterilir. Bu limitin

[ co

limn„coSupE n = fl U Ek

n=1 k=n

olduğu gerçeklenebilir. n in yeteri kadar büyük de ğerleri için xeE n olacak şekilde bütün xES noktalar ınıın cümlesine <E n> dizisinin li-

mit inferioru denir ve lim n,coinfE n ile gösterilir. Keza bu limitinde

CO OD 1 i ii, ooinfE n -= U fl Ek]

n=1 [ k=n

olduğu gösterilebilir. lim n_,,,infE i.,ve limn_,,,SupE n aynı cümle olmalar ı halinde bu cümleye <E n< nin limiti denir ve linı n...zEn olarak yaz ı lı r.

ÖRNEK.

S cümlesi xy düzleminde olsun. Buna göre, n = 1,2,3,... için

E211-1"-= (x,y): y > 0 ve x > 1

E2 --= (x,y): x > O ve O _._ y _.---:::,

ş eklinde tan ımlansın. Buna göre

(x,y): y 0 ve x> 1 ya da 0 < x ve y =O }, ve

limn.coinfE n = (x,y): y=0 ve x>1}

olduğu sonucuna varılır. — co ve -I- oc ı ile gösterilen iki simgenin de dahil olduğu R*geniş letilmiş gerçel say ı sisteminde R ye göre baz ı ayrıcal ıklar varsa da bu sistemde sup, inf ve limsup, liminf tan ı mlanabilir.

1 n

nl

74

ALIŞ TIRMALAR

1. A, n = 1,2,3,... için —1 şeklinde bütün sayılarm cümlesi o l

sun. Bu cümle için SupA, infA, maxA ve minA y ı bulunuz ?

2. Aş ağı daki cümlelerin her biri için varsa Sup, inf, max ve miii değerlerini bulunuz ?

(a) Al --= { x: 0<x<1}

(b) A2 = { x: 0<X2 <2}

(e) A3 = { x: X 2 >-2}

(d) A4 = { x: x>0 ve x 2 >2}

(e) As = { x1 —x

: x> 0 ve xeR}

3. A ve B iki s ınırlı gerçel sayılar cümlesi ve SupA =a, SupB=b ol-sun. Buna göre C cümlesi

C = x+y: xeA, yeB} ise SupC a+b oldu ğunu gösteriniz?

4. limn..,wa n var ise bu limitin tek oldu ğunu gösteriniz

5. a ve limn_,cob n = b ise limn_,co(an+ b n) = a+b olduğunu gösteriniz ?

6. Bir yakınsak dizinin s ınırlı olduğunu gösteriniz ?

7. < 2, -2, 1, -1, 1, -1, 1, -1,...> dizisi veriliyor. Bu dizi için a ş ağı -da istenenleri bulunuz ?

(a) Sup, (b) inf, (c) limSup (lira), (d) liminf (lim)

8. n= 1,2,3,... için [a n, b n ] iç içe arahklar cümlesine bir ve yaln ı z bir gerçel sayı karşı lık geldiğ ini gösteriniz?

9 . Aa= (0, 1 ], A2 = (0, 1,•••, Ak = (0, -£ •••

iç içe aç ık-kapalı aralıklar dizisi veriliyor. Her arahkta ortak bir nok-tanm olmadığı nı ve bunun nedenini aç ıklaymı z ?

10. Al = [ 1, oo), A2 = [2, co),..., Ak = [k, co),...

75

iç içe aral ık-lar dizisi veriliyor. Her aral ıkta ortak bir noktan ın olmadığı nı gösteriniz ve nedenini aç ıklaymı z ?

11. Gerçel sayılarm her Cauchy dizisinin yak ınsak olduğunu yani

R nin tam oldu ğunu gösteriniz ?

12. <an > bir Cauchy dizisi olsun. <an> nin bir <allı > alt dizisi

bir b noktas ına yakmsar ise Cauchy dizisinin de b ye yak ınsadığı m

gösteriniz ?

13. Bir <an> dizisinin görüntü cümlesi sonlu ise, dizinin bir ya-kınsak alt diziye sahip olduğunu gösteriniz 9

14. Gerçel say ılarm her <a n> s ını rl ı dizisinin bir yak ınsak alt

dizi kapsadığı nı gösteriniz?

15. R nin aşa ğı daki alt cümlelerinin tam olup olmad ıklarını ince

leyiniz ?

(a) N do ğal sayılar cümlesi

(c) Qe, irrasyonel say ılar cümlesi

76

4. Bölüm

I İ NEER UMAR

4.1 METRİ K YA DA UZAKLIK FONKSIYONU

X boş olmayan bir cümle olsun. X deki elemanların sıralı sayı çift-leri olarak XxX üzerinde tan ımlı gerçel de ğerli bir d fonksiyonuna; her a,b,cEX için ancak ve ancak a ş a ğı daki ko şulların sağ lanmas ı halinde X üzerinde bir metrik ya da uzakl ık fonksiyonu denir:

M i . d (a,b) > 0 ve d (a,a) = 0 (Negatif olmama özeli ğ i)

M2. d (a,b) = d (b,a) (Simetri özeliğ i)

M3. d (a,c) < d (a,b) d (b,c) (Üçgen e ş itsizliğ i)

M4. a^b ise d (a,b) > 0 (Pozitif olma özeli ğ i)

d fonksiyonunun tanım bölgesi XxX ve görüntü cümlesi gerçel sayılar sistemidir. d (a,b) gerçel say ısına a dan b ye olan uzakhk denir. Ancak bu bir biçimsel uzakhk ifadesidir.

Boş olmayan bir X cümlesi ve bu cümle üzerinde d metri ğ inin tan ımlı olduğu uzay metrik uzay adın ı ahr ve (X,d) ile gösterilir.

X in elemanlarma (X,d) metrik uzay ının noktaları denir. Bir (X,d) metrik uzay ı , bazan k ısaca temel noktalar cümlesi için kullan ılan X simgesi ile gösterilir. Bununla beraber bilinmelidir ki bir metrik uzay, sadece bo ş olmayan bir cümle de ğ ildir; bir metrik ile birlikte bo ş ol-mayan bir cümledir. Verilen bir tek bo ş olmayan cümle üzerinde çe ş itli farkl ı metrikler tan ımlanabilir ve farkl ı metrikler cümleyi farkl ı metrik uzaylara çevirir. Geometri ve modern anulizde çok anlaml ı roller oy-nayan çok say ıda farkl ı türde metrik uzaylar vard ır.

Ş imdi metrik aksiyomlarmı sağ layan bazı metrik örneklerini verelim :

77

ÖRNEKLER

1. a ve b gerçel say ılar olmak üzere d (a,b) = Ia—b I ile tan ımlanan

d fonksiyonu R de mutlak de ğ er metriğ idir. Bu metrik, aynı zamanda

1? de tabii metrik adını alır. Bundan ba ş ka p = (a l , a2) ve q = (b i , b,), RZ düzleminde noktalar olmak üzere

d (p,q) = -N/ (a l— b ı )2+ (a2— b2) 2

ile tanımlanan d fonksiyonu Pisagor (Pythagorean) ya da Öklid (Euclide-

an) metriğ idir. Bu metrik de R 2 üzerinde tabii metrik adını al ır.

2. X bo ş olmayan herhangi bir cümle ve bu cümle üzerinde

O, a =b d (a,b) =

1, a 7Lb

ile d fonksiyonu tanımlansın. d, X üzerinde bir metriktir ve bu uzakl ık

fonksiyonuna genellikle X üzerinde belirgin (trivial) metrik denir.

3. [0,1] kapalı birim aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlar s ınıfun

e [0,1] ile gösterelim. e [0,1] s ınıfı üzerinde

d (f,g) = Sol I f (x) — g (x) I dx ile bir metrik tan ımlanıyor.

Şekil , 4. 1.1

Burada d (f,g) metri ğ i, Ş ekil 4.1.1 de görüldüğü üzere tamamen f

ve g fonksiyonları aras ında bulunan bölgenin alan ına karşı lık gelir.

4. e [0,1] üzerinde bir diğer metrik

d* (f,g) = sup i If (x) — g (x) I : xE [0,1] }

ile tanımlanıyor.

78

d* (f,g) metri ğ i de Ş ekil 4.1.2 de görüldüğü üzere iki fonksiyonun grafi ğ i aras ındaki en büyük dik bo ş luktur.

ş ekil : 4. I. 2

Buradan metrik, her zaman bir uzakl ık değ ildir. Örnek 3 ve 4 ile tanımlanan metriklerin uzaklikla ilgileri yoktur. Ancak tabii metrik, o uzayda bilinen adi uzakl ığ a kar şı lık gelir.

5. V düzleminde herhangi iki nokta p = (a i , a2) ve q =(b , b2) olsun. Buna göre

di (p,q) = max ( la i- b i I, fa2- b2 I )

d2(p,q) = la i- b i I + la2- b2 I

ile tanımlanan d i ve d2 fonksiyonları R2 üzerinde farklı metriklerdir.

Bu metrikler, al ındıkları uzaylarla birlikte bir metrik uzay meydana getirirler. Öte yandan bir tam metrik uzay, her Cauchy dizisinin yak ın-sadığı bir metrik uzaydır.

6. X, d metrikli herhangi bir metrik uzay ve Y de X in herhangi bir alt cümlesi ise bu durumda X deki aym metri ğ i kullanarak Y de bir metrik uzay olarak gözönüne al ınabilir. Daha aç ık bir deyimle; Y, d /Y metri ğ i (d, Y nin elemanlar ının çiftleri için tammh) ile birlikte bir metrik uzayd ır. (Y, d /Y), (X,d) metrik uzaynun bir alt metrik uzayı adını alır.

Herhangi bir n için ne Wn ne de R" in bir alt cümlesi olan bir cümle üzerinde de bir metrik tan ımlanabilir. Gerçekten (3) ve (4) buna ili şkin örneklerdir.

Bütün bu metriklerin her biri amac ımı za uygun dü ş tüğü yerde son derece önemlidir. M4 zorunlu olmamakla beraber M i M2 ve M3

79

özeliklerini sağ layan bir p fonksiyonuna genelleş tirilmiş metrik (pseu-

dometric) denir. Metrikler için bir çok sonuçlar, genelle ş tirilmiş metrikler

için de doğrudur.

4.2. CÜMLRELER ARASINDAK İ UZAKLIK, ÇAPLAR

X cümlesi üzerinde bir metrik d olsun. Bir p E X noktas ı ile X in boş olmayan bir A alt cümlesi aras ındaki uzakl ık, p den A nın nokta-larına olan uzakhklarm en büyük alt s ınırı olarak tanımla= ve

d (p,A) = inf { d (p,a): aeA}

ile gösterilir.

X in bo ş olmayan iki A ve B cümleleri aras ındaki uzakl ık, A daki noktalardan B deki noktalara olan uzakl ıklarm en büyük alt s ınırı olarak tammlanır ve

d (A,B) = inf { d (a,b): aEA,bEB}

ile gösterilir.

X in bo ş olmayan bir A alt cümlesinin çapı , A daki noktalar ara-sındaki uzakl ıklarm en küçük üst s ınırı olarak tan ımlamr ve

d(A) = sup { d (a,a'): a,a'eA.}

ile gösterilir. A nın çap ı sonlu ise yani d (A) < co ise bu durumda A ya sı nı rlıdı r denir. Aksi halde d (A) = co ise A ya sı nırsızd ı r denir.

ÖRNEKLER

. 1. d, boş olmayan bir X cümlesi üzerinde belirgin metrik olsun. Bu durumda peX ve A,BcX için

1 ,13 0A- 1,A n B =00 d (p,A) d (A,B)

0,p EA 0,A ri B 11:$

dır.

2. 6R gerçel doğ rusu üzerinde A -,---- [0,1), B =(1,2] arahldarmı gözönüne alahm. d, R üzerinde tabii metrik ise d (A,B) =0 d ır. Öte yandan d*, R üzerinde belirgin metrik ise, A ve B ayr ık olmaları nede-niyle d* (A,B) = 1 d ır.

80

3. Öklid metriğ i, A -=-1 (x,y): x 2 4- y2 = 1 } R2 ve

B (x,y): < 2, ly I < 1 } c eümleleri üzerinde bir metrik olsun. Öklid metriğ ine göre A ve B nin çaplar ı d (A) =2 ve d (B) = \/20 dır.

Ş ekil: 4. 2.1

Şekil 4.2.2

Aşağı daki önerme, yukardaki tan ımlar nedeniyle kolayl ı kla an-la şı hr:

ÖNERME 4.2.1. A ve B, X in bo ş olmayan alt cümleleri ve peX olsun. Bu durumda a ş ağı daki özelikler geçerlidir:

(i) d (p,A), d (A,B) ve d (A) negatif olmayan gerçel say ılardır. (ii) pEA ise d (p,A)=0 d ı r.

(iü) A fl B bo ş değ ilse, d (A,B) = 0 d ır. (iv) A sonla ise d (A) < °o dur yani A s ını rlı dır.

81

(ii), (iii) vo (iv) ün terslerinin do ğ ru olmadığı na ilgi çekilmelidir.

(I) bo ş cümlesi için a şağı daki durumlar benimsenir:

d (p,11)) = co , d (A,0)-= d (4),A) = oc , d (0) — oo

4.3. AÇIK KÜRELER

d, bir X cümlesi üzerinde bir metrik olsun. Herhangi bir peX ve her-

hangi bir 8 > 0 gerçel say ı sı için, p den S uzakl ığı içindeki noktalar ın

cümlesi.

Sa(pM = S (pM = x: d (p,x)

ile gösterilir.

S (p,3) ya, merkezi p ve yar ı çap ı 6 olan açık küre ya da küresel

kom ş uluk denir.

ÖRNEKLER

1. R2 düzleminde p = (0,0) noktas ını gözönüne alal ım ve 6 =-1

olsun. d, R2 üzerinde do ğal metrik ise bu durumda Sa (p,6) aç ık küresi,

Ş ekil 4.3.1 de görülen aç ık birim disktir, yani p =(0,0) ve x = (x ı , x2)

ise Sa (p, aç ık küresi

Sa(PM = x: d (P,x) = x2 2 4- x22 <1 dir.

Öte yandan d iye d2, 4.1 de verilen Örnek 5 de tan ımlanan 6R 2

deki metrikler ise Sdi (p,6) ve Sd2 (p,6) aç ık küreleri s ırasiyle Ş ekil 4.3.2 ve 4.3.3 de görülen R2 nin alt cümleleridir.

82

Şekil 4. 3. 3

(0,-1) (1,-1)

Ş ekil. 4. 3. 2

(O 1)

Sd ı (P,S) = x:d ı (P,x) = max ( 1x1 1, 1x2 ) < 1 },

Sd2(P

x:d2 (p,x) = 1x1 1 -1- x21 < 1 }

dır.

Bu örnekte Sd2(p, c Sd(p, Sd ı (pA olduğuna ve aç ık kürenin metri ğe göre değ iş tiğ ine ilgi çekilmelidir.

2. d, herhangi bir X cümlesi üzerinde belirgin metrik ve pEX ol-sun. p ile X de di ğ er her nokta aras ındaki uzaklık 1 dır. Buradan

83

Sd(pM

d ı r. Buna göre

Sd(p,1) =

cii ınlesidir.

X,8>l x: d (p,x) = 13 '13=x <

1 ,p jp}, 8<1

p = (0,0) ve 8 =1 ise belirgin metri ğ e göre

x:d (p,x) 0, (0,0) = ( 1,

1, (0,0) (x i , X2) < 1 = (0,0 ) }

3. d, R üzerinde tabii metrik yani d (a,b) = I a—b 1 olsun. Bu du-rumda Sd (pM aç ık küresi

5d(p,8) = x: d (p,x) = 1p—x < } = jx:p-8<x< p -r8} cümlesidir, yani bu cümle (p-8, p+8) aç ı k aralığı dı r.

4. d, [0,1 ] üzerinde bütün sürekli fonksiyonlarm e [0,1] sın ıfı üzerinde,

d (f,g) = sup f (x) — g (x) 1 : x e [0,1]} ile tan ı mlanan metrik olsun.

Bir 8 > 0 ve bir fo e e [0,1] fonksiyonu verildiğ inde S (fo, 8) açık küresi, ş ekil 4.3.4 de görüldüğü üzere fo— 8 ve fo-{- 8 ile s ın ırlı alan içinde bulunan bütün sürekli g fonksiyonlar ından oluşur. Yani Sd(fo, 8) açık küresi,

Ş ekil: 4.3.4

Sd(fo, g:d (fo, g) = sup} Ifo(x)—g (x) I: xe[0,1]} <8}

= g: fo— < g < fo+ 8}

cümlesidir. Ba şka bir deyimle Sd(fo, 8) açık küresi, fo eğ risinin 8 kom-şuluğunda bulunan bütün sürekli g fonksiyonlarmdan olu ş ur.

34

Anla şı lacağı üzere aç ık küre bir tan ımdır. Aç ık küre, bilinen adi küre olabilece ğ i gibi herhangi bir bölge de olabilir. Gerçekten d, R.. de tabii metrik ise Sd(p, açık küresi aç ık aralıktır. d, W2 de tabii

metrik ise Sd(p, aç ık küresi aç ık disktir. d, W2 de tabii metrik ise

Sd(p, ) aç ık küresi, tamamen adi anlamda aç ık küreye karşı lık gelir.

Öte yandan 4.2 de verilen s ınırlı cümle tan ımı , açık küreyi gördükten

sonra yeniden verilebilir. Rk da bir S cümlesi, ancak herhangi bir aç ık

kürede kapsan ıyorsa s ı n ırlı bir eümledir. 4.5 de verilecek Norm kavram-

ından yararlanarak s ını rlı bir cümlenin ba şka ancak yerine göre faydal ı tan ımı verilebilir.

4.4. Lİ NEER UZAYLAR

L bo ş olmayan bir cümle olsun ve L de her bir x ve y eleman-

lar çiftinin z =x+ y ş eklinde toplama denen bir i ş lemle birle ş tirilebi-

leceğ ini ve z nin L de olduğunu varsayahm. Ayr ı ca bu toplama i ş leminin

a ş ağı daki ş artlar ı sağ lad ığı nı varsayal ım•

1. x + y=y -1- x (De ğ iş me özeliğ i)

2. x+ (y±z) (x±y)+z (Birle ş me özeliğ i)

3. Her x için x+ O =x olacak ş ekilde 0 ile gösterilen ve s ıfı r eleman'

ya da orijin denen L de bir tek eleman vard ı r.

4. L de her bir x elemamna, x+ (—x) =0 olacak ş ekilde —x ile

gösterilen ve x in negatifi denen L de bir tek eleman kar şı lık gelir.

Gerçel say ılar ya da karma şı k sayılar sistemini skalerler olarak

gözönüne al ıyoruz. Ş imdi her bir a skaleri ve L de her bir x elemam,

y -=ax ş eklinde skaler ile çarpım denen bir i ş lemle birle ş tirilebileceğ ini

ve a ş ağı daki ko ş ullar sa ğ lanacak biçimde L -de bir y elemam verece ğ ini

varsayalı m •

5. a (x+y) x+ay

6. (al-(3) x= ax+[3x

7. (0,p) x= a (f3x)

8. 1.x =x

Bu iş lemler ve aksiyomlarla tan ımlanan L cebirsel sistemine bir

Lineer uzay denir. Skaler denen say ılar, R gerçel say ılar sistemin-

den alınmış ise lineer uzay; gerçel say ılar üzerinden lineer uzay ya da

kısaca gerçel lineer uzay, C karmaşı k sayılar sisteminden al ınmış ise

85

karmaşı k lineer uzay ad ını alı r.* Geometrik nedenlerden ötürü, hazan

bir lineer uzay'a vektör uzay ı da denir ve bu durumda uzay ın elemanlar ı vektör adını alır. Uzayın elemanları vektör olarak dikkate al ındığı nda 0.x =O e ş itliğ inin birinci yanındaki 0 bir skaler, ikinci yan ındaki sıfır bir vektördür. x+ (-y) nin bir bir k ısaltmas ı olarak x-y si ıngesini kul-lanmak suretiyle çıkarına i ş lemi verilebilir ve x—y, x ile y' aras ındaki fark ad ını alı r.

Bir L lineer uzayının boş olmayan bir M alt cümlesi için, e ğer x,yeM olduğunda x+yEM ve herhangi bir a skaleri için xEM oldu ğunda axeM

oluyorsa, M alt cümlesi L nin bir lineer alt uzay ı ya da L de bir lineer

manifold adını alır. M bo ş olmadığı ndan 0.x =O e ş itliğ i 0 in M de oldu-ğunu gösterir. xEM oldu ğunda -x -=(-1) x nedeniyle -xEM d ır. Böylece bir lineer uzay ın bir lineer alt uzay ın ın kendisi, aynı iş lemlere göre bir bir lineer uzay oldu ğu kolaylıkla anla şı lır. Her lineer uzay kendisinin bir lineer alt uzay ıdır. Yaln ı z s ıfır eleman ından oluş an bir uzay, belirgin lineer alt uzayd ı r.

Bütün sürekli fonksiyonlar kolleksiyonu bir lineer uzayd ır. Çünkü

herhangi iki sürekli fonksiyonun toplam ı süreklidir ve herhangi bir

sürekli fonksiyonun bir skaler kat ı da süreklidir.

[-a, a üzerinde isteksel bir f fonksiyonunun çift ve tek k ı sım- ları

f (x) f (-x) f (x) - f (-x)

2 fE(x) — fo(x) — 2

ş eklindedir. Buradan her fonksiyon f =fE+ fo ş eklinde tek bir birçimde

bir çift ve bir tek fonksiyonun toplam ı olarak yaz ılabilir. Hem tek hem

çift olan bir fonksiyon sadece s ıfır fonksiyonudur. Bütün çift fonksiyon-lar s ın ıfı bir lineer uzayd ır. Benzer olarak bütün tek fonksiyonlar s ınıfı da bir lineer uzayd ır. Bu lineer uzaylar ın her ikisi, bütün fonksiyonlar ın

lineer uzaylar ımu alt uzayları dı r.

Belli pozitif bir T sayı sına karşı lık her x için f (x+T) =f(x) eş itliğ ini sağ layan T periyodu bütün fonksiyonlar s ınıfı bir lineer uzayd ır. 6R"

ve Cn gerçel ve karma şı k say ı sistemleri ayr ı ayr ı lineer uzaylard ır. Cn

aynı zamanda 2n boyutlu 6R2n gerçel lineer uzayd ır.

*Lineer uzaylar ı , cicim denen genel cebirsel sistemler üzerinden gözönüne almak benimsenen

bir yoldur. R ve C bunlar ın özel durumlar ı dır. Ancak genel durumda da sonuçlar ın tümü ge-

çerlidir.

86

V bir lineer uzay ve v i , v,,..., v il eV olsun. ai(i=1,2,...,n)ler skalerler olmak üzere

a ı v ı + a2v2+ anvn

ş eklinde V de herhangi bir vektöre v ı ,v2,... vn nin bir lineer kombinas-

yonu denir. S, V nin bir alt cümlesi ise, sp (S) ya da L (S) ile gösterilen . S deki vektörlerin bütün lineer kombinasyonlar cümlesi S yi kapsar ve aynı zamanda V nin bir alt uzay ıdır. Ayrıca W, S yi kapsamak üzere V nin diğer bir alt uzay ı ise L (S) cW d ır. Başka bir deyimle L (S), V nin en küçük alt uzayıdır. Bu uzaya S taraf ından gerilen (generated = spanned) alt uzay denir. Uygunluk bak ı mından L (I) = {O} ile tammlıdır.

U ve W, bir V lineer uzay ının alt uzaylar ı olsun. U+W ş eklinde yazılan U ve W nın toplam ı , ueU ve weW olmak üzere

U+W={u+w: ueU, weW}

ş eklinde bütün u+w toplamlar ımn cümlesidir.

OEU, OEW olduğundan 0 =0+0eU+W d ır. Ayrıca u,u'eU ve w,w'EW olmak üzere u+w ve u'+ w', U+W de ise

(u+w) + (u'+ w') = (u+u') + (w+w') E U+W ve herhangi k skale ı i için

k (u+w) = ku + kw e U+W

dır. Bu yüzden V nin U ve W alt uzaylar ının U+W toplam ı keza V nin bir alt uzay ı dır.

ueU ve weW olmak üzere her veV vektörü v =u-+w ş eklinde tek bir biçimde yaz ılabiliyorsa V lineer uzayma,

V =-UCV

ile gösterilen U ve W alt uzaylarm ın doğ rudan toplamı (direct sum) denir. Buna göre V lineer uzay ına, ancak ve ancak

(i) V =U+W, (ii) U n W = t0 } ise U ve W n ın doğ rudan toplam ı denir.

ÖRNEKLER

1. R3 vektör uzay ında U ve W s ırasiyle

U (a,b,0) : a,beR} , W = { (0,b,c) : b,ceR}

ile gösterilen xy ve yz diizlemleri olsun.

87

V de her vektör, U ve W de bir vektörün toplam ı olduğundan = UH-W d ır. Bununla beraber böyle toplamlar tek olmad ığı ndan

6R 3 , U ve W nin doğrudan toplam ı de ğ ildir. Gerçekten, örne ğ in

(3,5,7) .= (3,1,0) + (0,4,7) ve keza

(3,5,7) = (3,-4,0) (0,9,7) yaz ılabilir.

2. /?3 de U, xy düzlemi ve W, z ekseni olsun:

U = { (a,b,0) : a,beR} ve W = { (0,0,c) : cell}

GR3 de herhangi bir (a,b,c) E W 3 vektörü,

(a,b,c) = (a,b,0) + (0,0,c)

ş eklinde U da ve W de bir vektörün toplam ı olarak tek bir biçimde yazılabilir. Bu yüzden R 3, U ve W nin /?3 = UOW biçiminde doğrudan toplamı dır.

V, K üzerinden (K =R ya da C) bir vektör uzay ı olsun.

a2v2+ a nv n = E aivi= 0 1=1

olacak şekilde hepsi s ıfır olmayan a l , a2,..., a nd( skalerleri varsa v i , v2,..., vneV vektörlerine K üzerinden lineer bağı ml ı ya da kısaca ba-ğı ml ı vektörler denir. Aksi durumda vektörlere K üzerinden lineer bağı ms ız ya da kısaca bağı ms ız vektörler denir. Yani toplam, ancak ve ancak her a i(i =1,2,..., n) skalerinin s ıfır olması halinde s ıfır oluyorsa vektörler lineeer ba ğı msızdır.

Lineer ba ğı mlı bir cümlede en az bir vektör di ğerlerinin bir lineer kombinasyonu olarak yaz ılabilir. Böylece herhangi bir vektör cümlesi üzerinde lineer ba ğı mlı bir vektör, onlar ın lineer kombinasyonlar cüm-lesinde bulunur. Sadece s ıfır vektörü lineer ba ğı mlıdır ve s ıfırdan farkl ı bir tek vektör lineer ba ğı msı zdır. Herhangi bir vektörler cümle-sinde s ıfır vektörü ' varsa, vektörler cümlesi lineer ba ğı mlıdır. Aynı ş ekilde bir vektörler cümlesinde iki vektör ayn ı ise, vektörler cümlesi.ba-ğı mlıdır. İki vektörden biri, bir di ğerinin katı ise iki vektör lineer bağı mlıdır. Bağı mlı bir alt cümle kapsayan bir cümlenin kendisi de bağı mlı dır. Buradan ba ğı ms ız bir cümlenin herhangi bir alt cümlesi de ba ğı msı zdır.

88

S, bir V vektör uzaymm bir alt cümlesi olsun. E ğ er (i) {v i , v2,..., Ni n } cümlesi S in ba ğı msı z bir alt cümlesi, ve (ii) Herhangi bir weS için {v i , v2,..., vn , w} cümlesi ba ğı mlı ise {v 1 , v2,..., vn } cümlesine S in maksimal bağı ms ız alt cümlesi denir. Buna göre S in V yi gerdi ğ ini ve {v 1 , v2,..., v n } nin de S in bir maksimal alt cümlesi oldu ğunu varsayar-sak bu durumda {v i , v2,..., v n } cümlesi V nin bir baz ı dır.

Bir uzayda herhangi bir vektör, ayn ı uzayda ba ğı msız vektörler cinsinden bir tek ş ekilde yaz ı labilir. V vektör uzayında bir vektör, V nin herhangi bir baz ının bir lineer kombinasyonu olarak yaz ıldığı nda, lineer kombinasyonda katsay ılara baza göre vektörün koordinatları ya da baza göre vektörün koordinat vektörü denir. Herhangi bir vek-törün tabii baza göre koordinat vektörü kendisidir.

Bir V vektör uzay ında V yi geren lineer ba ğı msı z e l , e2,••• en vektörleri varsa V vektör uzay ına sonlu boyutludur ve boyutu n dır denir. V nin boyutu dim V =n olarak yaz ı lır. {ei , e2,..., en } cümlesine de V nin bir bazı denir.

V sonlu boyutlu bir vektör uzay ı ise V nin her baz ı aynı sayıda elemana sahiptir. Tek elemanl ı bir lineer uzay (bu uzay sadece s ıfır elemmundan olu ş mak zorundad ır) sonlu boyutludur ve boyutu s ıfırdır. (1) bo ş cümlesi tanı m nedeniyle ba ğı msı zdır ve {O} cümlesini gerer. V vektör uzay ı sonlu boyutlu değ ilse V vektör uzay ına sonsuz boyutludur denir.

e i =- (1,0,0,..., 0), e2 = (0,1,0,..., 0),..., e n = (0,0,0,..., 0,1) vektörler cümlesi Rn de bir bazd ır. Bu baz Rn de tabii baz ya da standart baz adını alır dim Rn = n dir.

Sonlu boyutlu uzaylar, sonlu say ı da bilinmiyen kapsayan sonlu lineer denklem sistemlerinin cebirsel incelenmesinde tabii olarak kar-şı mı za çıkarlar. Elemanlar ı fonksiyonlar olan uzaylar ı dikkate aldığı -mı zda bu zaman sonsuz boyutlu uzaylarla kar şı laşı rı z. ş eklinde bütün sonsuz diziler cümlesi sonsuz boyutlu bir lineer uzayd ır. Derecesi ıı den küçük polinomlarm vektör uzay ı W olsun. Buna göre {1,t,t 2,..., tn} cümlesi lineer ba ğı msızdır ve W yi gerer. Böylece bu cümle W nin bir baz ıdı r ve dimW = n+1 d ır. Öte yandan bütün polinomlar ın

V vektör uzay ı , V yi geren sonlu sayıda polinomlar cümlesi olmadığı ndan

sonlu boyutlu değ ildir.

Bo ş olmayan bir X cümlesi üzerinde tan ımlı bütün gerçel değerli

(X,R) fonksiyonlar s ınıfı bir lineer uzayd ır ve sonsuz boyutludur.

89

[a,b ] üzerinde tamml ı ve sürekli bütün e [a,13 fonksiyonlar uzay ı bir

lineer uzayd ır. Fonksiyorılar uzay ında bu uzay son derecede önemlidir

ve sonsuz boyutludur. Gerçekten [a, 13] nin bir s noktas ındaki de ğ eri

x (s) olan sürekli gerçel de ğerli bir fonksiyon x olsun. x l+ x2 ve a x

fonksiyonlar ı e [a,b uzay ındad ır. Ş imdi xo(s) = 1, x n(s) = sn,

fonksiyonlar ını gözönüne alal ım. Belirgin olarak xo, x ı ,..., xn lerin

hepsi e [a,b ] dedir. Bu elemanlar cümlesi lineer .ba ğı ms ızdır. n nin

ne kadar büyük oldu ğunun önemi yoktur, çünkü polinomlar ın iyi bili-

nen özelikleri nedeniyle a < s < b olacak ş ekilde her s için

ao+ a ı s + a2s 2+ + ansn = O

ise bu durumda a l = a2 = = a n = 0 olmak zorundad ır. Bu yüzden

e [a,b] uzay ı sonlıt boyutlu olamaz. [a,19 ] aral ığ nun, e [a,b] nin bir

lineer uzay ı olmas ı ve sonsuz boyutlu olmas ında büyük rolü yoktur;

ancak bir sonsuz elemanl ı cümle, uzay ın sonsuz boyutlu olmas ında

esast ır. Modern analizde büyük öneme sahip lineer uzaylar ın çoğunda

elemanlar fonksiyonlard ır.

f fonksiyonu, iz < 1 aç ık birim dairesinde tek de ğerli, analitik,

sınırlı ve karma şı k z değ i ş keninin bir fonksiyonu olsun. Bütün böyle

fonksiyonlar s ınıfı , f+g ve af do ğal biçimde tan ımlanmak üzere bir

karmaşı k lineer uzayd ır. Bu uzayda bu türden fonksiyonlar için f (0)

= 0 olmas ı ş art ı yüklenirse bir lineer alt uzay elde edilir. Bu uzaylar

sonsuz boyutludur.

x (s), x'(s) ve x "(s) ler [0,7t ] aral ığı nda tan ımla ve sürekli olacak

ş ekilde gerçel s değ işkeninin karma şı k değerli x fonksiyonlar ını göz-

önüne alal ım. Bütün böyle fonksiyonlar cümlesi bir lineer uzayd ır. Buna göre katsay ıları [0,71 aral ığı nda sürekli ikinci basamaktan lineer

diferensiyel denklemleri dikkate almak ilginç olacakt ır. x "(s) + x (s) = 0

denklemini sağ layan uzay ın bütün elemanlar cümlesi, iki boyutlu bir

lineer alt uzayd ır. Alt uzayın baz'a eis, e is fonksiyonlar ından olu ş ur.

Bir diğer baz sins ve coss d ır. Öte yandan X bir skaler olmak üzere

x "(s) + X2x (s) = 0 denklemini sa ğ layan elemanlar cümlesi yine iki

boyutlu bir alt uzayd ır. Bu defa bu uzay ın bir baz ı ei", e-i" fonksiyon-

larından olu ş ur. Bir diğer baz sin as ve cos as d ır. Ş imdi x (0) = x

= 0 olacak ş ekilde uzay ın elemanlar ı aranacak olursa, ilginç olan bu

alt uzay sonsuz boyutludur, çünkü uzay n. = 1,2,... için sinns den olu ş an

sonsuz lineer ba ğı ms ız bir cümle kapsar.

L {F (t) } ile gösterilen F (t) nin Laplace transformasyonu, L {F (t) }

f (s) = foccestF (t) dt ile tan ı mlıdır. F (t) = e-atnın Laplaee trans-

90

formasyonu (s+a) -1 d ı r. Buna göre aER olmak üzere e-at fonksiyonlarma, s, karmaşı k değ iş kenli (s+a) -1 fonksiyonları kar şı lık getirilebilir. Bu bire bir kar şı lık olma durumu toplamları ve skalerle çarp ımları aynen korur. Yani a ie-alt + a2e-at, a i (s+ai )-1 a2(s+a2)-le kar şı hk gelir. (s+ai ) -- lve (s+a2 )- ı elemanlar ı iki boyutlu bir uzay ı gerer. + a2e-a2t-=.0 olmas ı a i (s+ai ) -1 4- a2(s+a2) -1 0 olmasını gerektirir ki her iki halde s ıfırdan farkl ı a i , a2 yoktur. Bu örnek, iki uzayın eş biçimli (isomorphic) oldu ğunu gösterir. Yani V ve W uzaylar ı , ancak v i , v2 elemanları w1 , w2 ye, v i + v2 eleraan ı wi + w2 ye ve herhangi bir bir a skaleri için av eleman ı aw ya kar şı lık gelmesi halinde e ş biçimlidir. V de s ıfır vektörü W de s ıfır vektörüne kar şı lık gelir. İki uzay aras ında bire bir kar şı lık gelme, vektör uzaymm toplama ve skalerle çarpma i ş -lemlerini aynen korur. V de lineer ba ğı msı z vektörler cümlesi W de lineer ba ğı ms ı z cümleye kar şı lık gelir. V yi geren vektörler cümlesi W yi geren vektörler cümlesi ıae kar şı lık gelir. E ş biçimli iki sonlu boyutlu uzay, ayn ı boyuta sahiptir. Buradan n boyutlu gerçel vektör uzay ı ile 'Rn ve 13. boyutlu karma şı k vektör uzay ı ile Cn e ş biçimlidir.

S ive S2 bir vektör uzay ının sonlu boyutlu alt uzaylar ı ise

dim (S i + S2) = dimS i + dimS2- dim (S i n S2)

ve V, S ive S, nin doğ rudan toplam ı ise bu durumda da

dimV = dim (S i + S2) = dimSi + dimS2 dar.

4.5 NORM FONKSIYONU

Bir L lineer uzay ında her x elemanma bir Ilx I gerçel say ı sı karşı lık getiren bir fonksiyonu, a ş ağı daki ş artların sağ lanmas ı halinde L üzerinde bir norm fonksiyonu denir:

Ni . Ilxl ı >0dirve lIx II =0 <=> x =O

N2.11X+Y Ilx N3. IlaxII = lalIlx ll Burada a skaleri aeR ya da aeC al ındığı nda gerçel lineer uzayda

ya da karma şı k lineer uzayda norm fonksiyonu tan ımı verilmiş olur.

Ancak norm fonksiyonuna daima bir gerçel say ı kar şı lık gelir.

Ş imdi norm fonksiyonunun özeliklerini sa ğ layan baz ı norm fonk-siyonu örnekleri verelim:

91

ÖRNEKLER 1. ilx le= Il (al., a2,..., an) Ile =

a a Za. 1 2

i\/ lai 1 2 ile tanı mlanan Ra üzerindeki fonksiyon bir norm fonksiyonudur ve Rn

üzerinde öklid normu ya da küresel norm adını alır. Bu norm, bir uzak-

liğa kar şı lık gelir. Ancak norm, Öklit normu de ğ ilse, 11. 11 nın uzakl ıkla

ilgisi yoktur.

2. lix 11, = a2,..., an)- lle = max ( la ı 1) = maxk

lak 1 k =1,2,..., n ve

Ilo = 11 (a i , a2,..•, a n) 110 = 1 ••• k=1

ak

no ı mları Rn lineer uzaymda iki farkl ı norm fonksiyonu örnekleridir.

Bu normlar s ırasiyle kübik norm ve oktahedral norm ad ını alır.

3.e [0,1] sürekli fonksiyonlar uzay ı nda herhangi bir f fonksiyonu

için

lif 11 = fol lf (x) dx ve

lif 1 = sup < f (x) 1 : XE [0,1]

ile tanımlanan fonksiyonlar, yerine göre çok kullan ış lı ve faydalı olan

iki norm fonksiyonudur.

x i!, l x leve 11 x Ilo norm fonksiyonlar ı a ş a ğı daki e ş itsizlikleri sağ lar

x lie< Ilxllo< n 1x ll e x ile< lixile< -‘% n Il x lle

x 1 0 ‹ I x 11,< lx ih

Sonlu boyutlu bir lineer uzayda bütün normlar e ş değerdir, yani

ı ve ll. 1 2 herhangi iki norm ise, bütün x elemanlar ı için

Ilx ll ı < N 112_ 3

x l ı , olacak ş ekilde pozitif cc ve [3 sabitleri vard ır.

Bir lineer uzayda bir norm tammlan ırsa ve uzay ın her eleman

norm fonksiyonunun özeliklerini sa ğ larsa sözü edilen lineer uzay, norm-

lanmts lineer uzay adını al ır. Daha önce sözü edilen ve normun tan ımlı olduğu lineer uzaylar normlanm ış lineer uzaylard ır.

92

x, yel, olmak üzere d (x,y) = lix—y ile tanımlanan d fonksiyonu L üzerinde türetilen metrik (induced ınetric) ad ını alır.

Bu, norm dolayısiyle ortaya ç ıkan metriktir. Buradan her normlanm ış lineer uzay, normun metrik gerektirmesi nedeniyle bir metrik uzayd ır. Benzer olarak normun metrik ve metri ğ in de açık küreler dolayısiyle topoloji gerektirmesi nedeniyle bir topolojik uzayd ır. Bu yüzden metrik uzaylar için norm sözcü ğü kullanılmaz. Bir lineer uzay, normlanm ış lineer uzay olmaks ı z ın bir metrik uzay olabilir, keza bir lineer uzay bir topolojiye sahip olabilir, ancak bununla beraber bir metrik uzay olma-yabilir.

X normlanm ış bir lineer uzay ve A da gerçel ya da karma şı k sayı sistemi olsun. Mutlak değer norm olarak al ınmak suretiyle A n ın ken-disi de normlanm ış bir lineer uzaydı r. X de vektör toplam ı , XxX kar-tezyen çarp ı mı üzerinde bir fonksiyon dur. Bu fonksiyon,

ii (x1+ x2) — (Y ı + Y2) ii x ı — Y ı + ii x2— Y2 11 eş itsizliğ i nedeniyle sürekli bir fonksiyondur.

Vektörlerin skalerler ile çarp ımı AxX üzerinde bir fonksiyondur. Bu fonksiyon da

11(XX- °C0X0 = (x—xo) (a—ao) xo < I a x—xo + I oc—a, xo

bağı ntıları nedeniyle süreklidir. f ve, g sürekli olmak üzere f+ g ve af fonksiyonlar ı metrik uzayda da süreklidir.

ilx il : L fonksiyonu da

iix ı if — ilx2 iix ı — x2 II eş itsizliğ i nedeniyle x in sürekli bir fonksiyonudur.

Daha önce Kesim 4.3 de norm kavram ından yararlanarak s ınır-lı bir cümle tan ımı verilebilece ğ ini belirtmiş tik. Gerçekten xeS olmak üzere il x normlar cümlesi, sm ırlı bir gerçel say ılar cümlesi ise S cümlesine snurhdır denir. Yani S de her bir x için il x < M olacak biçimde herhangi bir M gerçel say ı sı varsa S cümlesi s ınırlı dır. Ba ş ka bir ifade ile x =( k) için

= ( k2)1/ 2 < k maxi I Si

olduğundan, S de her x ve her bir i (i=1,2,..., k) için ISi I < C olacak ş ekilde bir C gerçel say ı sı varsa S cümlesi s ınırlıdır.

93

Gerçel say ılarm (a l , a2 ,..., an) ş eklinde bütün s ıralı n lilerinden olu ş an

Rn uzayında al ınan p =(a ı , a2,..., a n) ve q =(b 1 ,b2 ,..., b n) gibi iki nokta

için

d (p,q) = (ai —bi)2= \/ bi 1 2 3=1 1=1

biçiminde tan ımlanan d fonksiyonuna Rn üzerinde Öklid metri ğ i dendi-

ğ ini daha önce belirtmi ş tik. Öklid metrikli Rn metrik uzay ına n bo-

yutlu Öklid uzay ı denir. ve genellikle En ile gösterilir. Öklid uzay ı , tabii

metrikli uzayı dır, yani En = (Re, d) d ı r. Bir boyutlu Öklid uzay ı ,

tabii metrikli R gerçel do ğ rusudur. İ ki boyutlu Öklid uzay ı da tabii

metrikli R2 düzlemidir. Üç boyutlu Öklid uzay ı tabii metrikli uzayı dır.

Tam normlanmış lineer uzaylar Banach uzay ı alı r. Polonyal ı bir matematikçi olan Stefan Banach (1892-1945), 1932 y ı lında yazdığı "Operations Lineaires" adl ı kitab ı matematik dünyas ında büyük etkiler yapm ış tı r.

Her Banach uzay ı aynı zamanda bir metrik uzayd ır. X bir tam

metrik uzay ve Y de X in bir alt uzay ı olsun. Bu durumda ancak ve ancak Y kapal ı ise Y uzay ı tamdır. Bu bir teoremdir ve bu teore ıne göre bir Banach uzay ının herhangi kapal ı lineer manifoldu da ayn ı cebirsel iş lemler ve ayn ı norma göre bir Banach uzayid ır. e [a,b ] uzay ı bir tam normlanmış lineer uzayd ır, yani bir Banach uzay ıdır. Norm !if

sup (x) ile tan ı mlanmak ve nokta biçimli (pointwise) toplam ve skaler ile çarp ı ma göre bir X metrik uzay ı üzerinde tan ı mlı bütün sın ırlı sürekli gerçel fonksiyonlar ın e (X,R) cümlesi bir Banach uzay ı d ır. Aynı durum e (X,C) cümlesi için geçerlidir.

ALI Ş TIRMALAR

1. Bir metrik tan ı mında M3 aksiyomunun a ş a ğı daki daha zay ı f aksiyomla de ğ iş tirilebilece ğ ini gösteriniz?

M3 * . a,b,ceX farkl ı ise d (a,c) < d (a,b) 4- d (b,c)

2. Bir X cümlesi üzerinde belirgin metri ğ in bir metrik olduğunu gösteriniz, yani

, ab d (a,b) =

O, a =b

94

ile tanımlanan d fonksiyonunun M ı , M2, M3 * ve M4 aksiyonılarım sağ ladığı nı gösteriniz?

3. d, bo ş olmayan bir X cümlesi üzerinde bir metrik olsun. a,bEX olmak üzere

e (a,b) = min (1, d (a,b) )

ile tan ı mlanan e fonksiyonunun keza X üzerinde bir metrik oldu ğunu gösteriniz ?

4. d (x,y) = x—y ile tammlanan d fonksiyonunun bir metrik olduğunu gösteriniz?

5. d (z 1 , z2) = iz i— z2 1 ile tan ı mlanan C üzerinde tabii metri-ğ in metrik fonksiyonu özeliklerini sa ğ ladığ mı gösteriniz?

6. d, boş , olmayan bir X cümlesi üzerinde bir metrik olsun. a, beX olmak üzere

d (a,b) e

(a,b ) d (a,b)

ile tanımlanan e fonksiyonunun keza X üzerinde bir metrik oldu ğunu gösteriniz ?

7. d (f,g) = sup 1 If (x)—g (x) : xE [0,1] } ile tan ımlanan d fonk-siyonunun metrik fonksiyonu özeliklerini sa ğ ladığı nı gösteriniz?

8. v, w normlanmış bir V lineer uzay ında vektörler olmak üzere d (v,w) = Il ile tan ımlanan d fonksiyonunun V üzerinde bir metrik olduğunu ispatlayını z ?.

9. IIp II Öklid normu olmak üzere /VII uzay ında p = (a i , a2,..., am) ve q=(b i, b2,..., bm) nokta çiftleri için

m laibi

i=1 ai

)

ı

1/2 ( m )1/2 ibi 1 2 )

=1

ya da kısaca

m

ı =1 laibi III) II ilcl il

ile gösterilen Cauchy-Schwarz e ş itsizliğ ini ispatlaymız?

95

10. Rni de p = (a l , a2,..., am) ve q =(b bm) çiftleri için

m 1/2 )1/2 lai— bi 1 2) <

2)1/2 1-

2; 12 1=1 1=1 \ 1=1

ya da k ısaca

Ilp+q II III) + IIg il ile , gösterilen Minkowski e ş itsizliğ ini ispatlayını z ?

11. p =(a i , a2,..., an) E R° olmak üzere

) 1/2 lai

1=1

öklid normunun N ı N2, ve N3 aksiyomlar ını sa ğ ladığı nı gösteriniz ?

12. Cauchy-Schwarz e ş itsizliğ ini sonsuz toplam için ispatlay ı -n ı z ?

13. lif II = sup { (x) } fonksiyonunun e [0,1] üzerinde bir norm olduğunu gösteriniz ?

14. rif II = folf (x) dx fonksiyonunun e [0,1] üzerinde bir norm olduğunu gösteriniz ?

15. lix II = max l x (t) I olmak üzere e [a,b ] uzay ını n bir Banach uzayı olduğunu gösteriniz ?

b

16. ilx = a f I x (t) I dt normu ile normlanm ış uzay galine getiri-

len e [a,b ] fonksiyonlar s ın ıfı X olsun. X uzayınm tam olmadığı nı gösteriniz ?

r2 17. II f r2 f (t,x (t) ) dt II < J II f (t,x (t) ) II dt e ş itsizli ğ inin

r ı r1

varlığı nı gösteriniz ?

4.6. IÇ ÇARPIMLAR ve ORTOGONALL İ K

V, R üzerinden bir lineer uzay olsun. V üzerinde bir iç çarpı m (inner product) a ş ağı daki özelikleri sağ lamak -üzere V nin herhangi iki v, w elemanlar çiftine bir gerçel say ı karşı lık getiren ve <v,w> ile gösterilen bir fonksiyondur:

96

IP 1. Her v,weV için <v,w> -= <w,v> d ır.

IP 2. u,v,weV ise <u,v+w> = <u,v> <u,w> d ı r.

IP 3. oceR ise <ocu,v> = a <u,v> ve <u,ocv> = a < u,v> d ı r.

İ ç çarp ı m ayrı ca a ş a ğı daki ko ş ulu sa ğ larsa dejenere olmayan iç

çarp ı m ad ım alı r:

v, V nin bir eleman ve her weV için <v,w> = 0 ise v=0 d ı r.

V, R üzerinden iç çarp ı mlı bir lineer uzay olsun. E ğer her v E V

için <v, v> > 0 ve v 0 oldu ğunda <v, v> > 0 ise bu iç çarp ıma

pozitif definit (positive definite) denir. Bir iç çarp ımın pozitif definit

olmas ı gerekmez, hatta R üzerinden olsa bile a şa ğı da görece ğ imiz gibi

bu türden ilginç biç çarp ı m örnekleri vard ı r.

Anlaşı laca ğı üzere V bir gerçel lineer uzay ise <v, w> dönü ş ümü

<v, w> : V x V ---> R biçiminde iki değ iş kenli bir fonksiyondur.

İ ç çarp ı m ile bir skaler veren bir çe ş it çarp ım tan ımlan ıyor. Bu

çarp ıma, "skaler ile çarp ım" kavram ı ile karışı r dü ş üncesi ile "skaler

çarpma' de ğ il iç çarp ım diyoruz. Standart bir gösterim olmamakla bir-

likte iç çarp ımı (v, w), v. w, (v /w) ile gösteren yazarlar vard ır, ancak

konuların geliş imi içerisinde kolayl ık sa ğ lanmas ı nedeniyle <v, w>

gösteri ınini benimsiyoruz.

ÖRNEKLER

1. V = ve x,y E /V1 olmak üzere

<x, Y> -= x ı Y ı + • • • + xnYr ı n E xiyi 1=1

(4.6.1)

ile tanı mlanan iç çarp ım, Rn de adi ya da tabii iç çarp ı mdır. Bu iç çar-

pım, iç çarp ı m özeliklerini sağ lamakla birlikte dejenere olmayan bir iç çarp ımdı r.

2. V, [a, b üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonlar uzay ı , yani V = e ([a, b], R) olsun. f, g E V ise

<f, g> = f (t) g (t) dt (4.6.2)

ile tanımlanan iç çarp ı m, V de bir iç çarp ımd ır. Bu iç çarp ımda dejene-re olmayan bir iç çarp ımdır. Örnek 1 ve 2 deki iç çarp ım, pozitif defi-nittir.

97

Fonksiyon uzayla•nda verilen (4.6.2) ile tan ımlı iç çarp ı m, Fou-rier serileri kuram ına neden olan bir iç çarp ı mdır. Görüleceğ i üzere <f,

g> simgesi ile gösterilen iç çarp ı m, f.g ile gösterilirse fonksiyonlar ınn

adi çarp ı mı ile karış aca ğı açıkt ır. Belirtelim ki matrisler uzay ında ge-

nel olarak dejenere olmayan iç çarp ım özeliğ i sağ lanmaz. Bununla

beraber R üzerinden nxn matrislerin. V lineer uzay ında iki A ve B mat-

rislerinin iç çarp ımı , iz (trace) kö ş egen üzerindeki elemanlar ın toplam ı olmak iizere

<A, B> = iz (AB)

ile tan ımlan ı rsa bu iç çarp ı m, iç çarp ı m özeliklerini sa ğ lamakla birlikte

dejenere olmayan bir iç çarp ı md ı r.

V, iç çarp ı mlı bir lineer uzay olsun. V nin v, w elemanlar ı için <v, W> = 0 ise v ve w ya ortogonaldir denir ve v 1 w ile gösterilir, S, V nin bir alt cümlesi olmak üzere w E V ve her v E S için <v, w> = 0

oluyorsa w, S ye, ortogonaldir denir ve w 1 S ile gösterilir. S in bütün v

elemanlar ına ortogonal olan ve

Sl = {w E V : her v E S için <w , v> = d} (4 . 6 . 3)

ile gösterilen bütün w E V elemanlar ın ciimlesine S in ortogonol tümle- yeni denir. S-1-, V nin bir alt uzay ı dır ve S in ortogonal uzayı adını alır.

U, S in elemanlar ı taraf ından gerilen V nin alt uzay ı olsun. w,

S ye ortogonal ve -v i , v2 E S ise bu durumda

<w, v i + v2 > <W, v i > <W, Vg>

ve e bir skaler ise

<w, CV1 > = e <w, v i >

dır. Buradan w, S in elemanlar ının lineer kombinasyonlar ı na ortogo-

naldir ve dolay ı siyle w, U ya ortogonaldir.

..., v ıı }, V nin bir baz ı olsun. Her i j için <vi, vi> = 0 ise {v i, vn } cümlesi ortogonal baz adını alır. Aş a ğı da görece ğ iz ki,

V iç çarp ı mlı ve sonlu boyutlu bir lineer uzay ise bu durumda daima

bir ortogoanl baz vard ı r.

İ ç çarp ım, norm tan ımlamada kullanılabilir. Gerçekten v E V için

lk = <v, v>1/2 (4.6.4)

ile tan ı mlanan norm, daha sonra görülece ğ i üzere v karma şı k da olsa

daima bir gerçel say ı dı r. İ ç çarp ı mın en önemli özeli ğ i, onun bu biçim-

de bir norm tanı mlamada kullan ı labilece ğ idir.

93

Bir v E V eleman ına, llv II = 1 ise birim vektör denir, v e V ve v

O ise II bir birim vektördür. V nin ortogonal baz ı , eğer bazın her

bir elemanınnın uzunluğu ya da normu 1 ise ortonormal baz adını alır. Wn nin standart birim vektörleri, adi iç çarp ıma göre Wn nin bir orto-

normal haz ım olu ş tururlar. Aş ağı daki iki özdeş lik, norm tan ımının doğ -

rudan bir sonucudur:

(i) v ve w ortogonal ise, bu durumda

Ilv + w 112 = Ilv 112 112 (Pisagor teoremi) dır.

(ii) Herhangi v, w için

Ilv w 112 4- Ilv = 2 11 v 112 + 2 Ilw 112 (Paralelkenar yasas ı ) dır.

Bu özeliklerin ispatlar ı kolaydı r. Gerçekten

(i) Birinci yan iç çarp ım cinsinden yaz ı lırsa

ilv w 112 = <v w, v + w> <v, v> <v, w> + <w, v>

<w, w>

<v,v>-1- 2 <v, w> <w,w>

= 11 v 112 + w <v, w> o

Ve (ii) Benzer biçimde birinci yan iç çarp ı m cinsinden yaz ılırsa

v + w 112 + v - w 11 2 = <v W, V W > + <V — W, V — W >

= <v, v> + <v, w> + <w, v> + <w, w> + <v , v> — <v, w> — <w, v> <w, w>

= 2 <v, v> + 2 <w, w>

= 2 11 v p + 2 11 w 112

olduğu sonucuna varılır.

w, Ilw Il 1- 0 olacak ş ekilde V nin bir elemam olsun. Herhangi v e V için v cw, w ya ortogonal olacak biçimde bir tek e say ısı vardı r. Gerçekten v—cw n ın w ya ortogonal olmas ı için

<v — cw, w> = O

olmak zorundad ır. Buradan

99

< v, w> — < cw, w> = 0 ve

<v, w> = e < w, w> olur. O halde

Ş ekil 4.6.1

<v, w>

<w, w>

chr. Tersine olarak e, bu de ğere sahip ise v—cw, w ya diktir. Bu c sa-yı s ına, w boyunca v nin bile şeni ya da w ya göre v nin Fourier katsayısı denir. cw da, w boyunca v nin izdü ş ümü ad ın ı alır. Özel olarak, w birim vektör ise bu durumda w boyunca v nin bile ş eni kısaca

e = <v, w> dı r.

ÖRNEKLER

1. V = Rn tabii iç çarp ımlı lineer uzay olsun. ei, yinci birim vektör ve x = (x i , xn) ise x in ei boyunca bile ş eni kısaca

<x, ei> = xi

dil) yani x in i yinci bileş enidir.

2. V, [— ıs, 7C j üzerinde sürekli fonksiyonlar uzay ı ve k s ıfırdan

büyük bir tamsay ı olmak üzere f de f (x) = sinkx ile verilen fonksiyon

olsun. Bu durumda

7C lif <f, f>.1/2 = sin2 kxdx) 1 / 2 = ,V7z

—TC

dır. g, [— 77, TC j üzerinde herhangi sürekli bir fonksiyon ise f ye göre

g nin Fourier katsay ıs ı

e =

1.00

<g, f> 1

<f, f> g (x) sinkxdx

dı r.

Kesim 4.5 sonundaki Alış t ırına1arda verilen a ş ağı daki özelikler bu defa iç çarp ı m kullanı larak yeniden ispatlanabilir.

(i) Her v, w E V için [<u, w> ! < llv II llw II dı r. (Schwarz

(ii) v, w E V ise w il < Ii + ilw il d ır. (Minkowski e ş itsizliğ i)

v i , v n, V nin s ıfırdan farkl ı karşı hkh ortogonal elemanlar ı olsun, yani i j için <v i , Nrj > =0 ve c i , vi boyunca v nin bile ş eni ise bu durumda

v — e 1 v 1 — — c nv n

elemanı ; vi , ..., vi-, ye ortogonald ır. Bunu anlamak için, bu eleman ı her j ye karşı lık vi ile çarpmak yeter. i j için <v i, vi > yi kapsayan bütün terimler s ıfır olur ve geriye

<v, vi> — cj <vi, vi>

biçiminde iki terim kal ır ki bu da ci nin, vi boyunca v nin bile ş eni olmas ı nedeniyle s ıfırd ır. Böylece lineer kombinasyonlar ı çıkarma i ş lemi ile v i , v n ye göre v ortogonalize edilmi ş oluyor. Aş a ğı daki teorem,

e ıv + c iivn ifadesinin, v i , ..., vn nin bir lineer kombinasyonu olarak v ye en iyi yakla şı klığı verdiğ ini gösteren ilginç bir teoremdir.

TEOREM 4.6.1. v i , ..., v ii ; her i için !Iyi -7L. 0 olacak ş ekilde kar-şı lıklı ortogonal vektörler olsun. Ayr ı ca v, V nin bir eleman ve ei de vi boyunca v nin bile ş eni olsun. a l ,..., an sayı lar olmak üzere

n n

geçerlidir.

V — E Ykek k-=-1

<11v — akvk k= ı

ispat. v — E ckvk nın i = 1,2„..., n için her bir v i ye ortogo- k=1

nal olduğunu biliyoruz. Buradan bu ifade v i , v n nin herhangi bir lineer kombinasyonuna ortogonald ır. O halde Pisagor teoremi nedeniyle Ilv — E akvk ll2 = 11v - E ekVk + E (ek — ak) Vk 112

= II V — CkVk 112 + E (ck — ak) vk 112 dır. Bu eş tilikten,

101

v — E ckv k 11 2 < I v — E akvk 112

sonucu ortaya ç ıkar ve böylece teoremin ispat ı tamamlanmış olur.

TEOREM 4.6.2. v 1 , v n karşı lıklı ortogonal birim vektörler ve

ci , vi ye göre v nin Fourier katsay ı s ı ise bu durumda

E ci2 < %, 2 (Bessel e ş itsizli ğ i) 1=1

dir.

İ spat: 0 < < v — E c ıv ı , v — E c ıv ı >

=- < v, v> — 2c ı < vi> -F E c ı 2

= < v, v> — cı 2

nedeniyle Bessel esitsizli ğ inin varl ığı ortaya ç ıkar.

TEOREM 4.6.3. V, pozitif definit iç çarp ımh olmak üzere sonla

boyutlu bir lineer uzay olsun. W, V in bir alt uzay ı ve {w ı , wm },

W nin bir ortonormal baz ı olsun. W - 7r- V ise {w ı , wn } V nin bir or-

togon.al baz ı olacak ş ekilde V nin wm+ ı , w n elemanları vardır.

İ spat: İ spat yöntemi, teorem kadar önemlidir ve bu yöntem Gram-

Schmidt ortogonal ş ekle getirme yöntemi olarak bilinir m < n oldu-

ğundan jw ı , wm}, V nin bir baz ı ve dolayısiyle V nin lineer ba ğı m-

s ı z elemanlar ının bir maksimal ciimlesi olamaz. O halde w ı , wm,

Lineer bağı ms ı z olacak ş ekilde V de bir vm+ ı elemanı m 1 < n ise aynı ş ekilde devam edilebilir. Bu yüzden {w ı , wm,

vm+ ı , v n } cümlesi, V nin bir baz ı olacak ş ekilde Vnin vm+ ı , v n

elemanları bulunabilir.

Kuşkusuz bu cümle bir ortogonal baz de ğ ildir. Wm+ ı ; w ı , wm ,

vm+ ı tarafından gerilcn uzay olsun. Öncelikle W m+ ı in bir ortogonal

hazım elde edelim. Temel dü ş ünce vm+ ı elemanını alip bundan w ı , wm boyunca onun izdüş ümünü çıkarmakt ır. Böylece

<Vm+i, > <VII) 4,1 Wm> ı = Cm =

<W1, W > < wm, wm >

ve

wm+1 = vm+1 c ı w ı ••• eniwm

olsun. Bu durumda wm+1 : w ı , wm ye ortogonald ır. Ayrıca wm+ ı 0 dır. (aksi halde w m+ ı eleman ı w ı , wm üzerinden lineer ba ğı mlı

olur) ve vm+ ı ,

102

vm,i = wm+ ı c ı w ı 4- ... 4- c mwm

nedeniyle w 1 ,..., wm .fi ile gerilen uzayda bulunur. Buradan

wm+1 }, Wm+ ı in bir ortogonal baz ı dır. Buradan tümevar ım yöntemiyle

w ı ,•••, wm, vm+i ,..., vm„ ile gerilen Wm„ uzay ınııı , s = 1,2,..., n—m

için {w ı ,..., wm _,} ş eklinde bir ortogonal baza sahip oldu ğu-

nu göstermek imkânı vard ır. Böylece teoremin ispat ı tamamlanm ış olur.

SONUÇ. V, pozitif definit iç çarp ı mh ve sonla boyutlu bir lineer

uzay olsun. ■3J. olduğunu varsayal ı m. Bu durumda V bir orto-

gonal baza sahiptir.

Ispat: Varsay ı m nedeniyle v 1 0 olacak ş ekilde V nin bir vi

eleman! vard ı r. W, vi ile gerilen alt uzay olsun. Buradan Teorem 4.6.3

uygulan ırsa arzulanan baz elde edilir.

Teorem 4.6.3. deki yöntemi bu kez özetleyerek verelim. V nin key-fi bir v ıl } baz ının verildiğ ini varsayalı m. Bu baz ı ortogonal ş ek-le getirme yöntemi a ş ağı da olduğu gibidir.:

v ı a

<V2', V2> V2 = V2 V 1,

<V' İ , V' ı >

<v3, V3'> v3 V 2 <V3, VI. ' > V 1,

<Vi ı , V' ı >

• ....... • • o ......... .....

<Vn, V ' n_ ı > <Vn, V n= Vn v • • • Vn_i> i <v' ı , v' ı >

Buna göre v` n } bir ortogonal bazd ır. Bir ortogonal baz, bazın her bir elemanx onun normuna bölünmek suretiyle daima bir or-tonormal baz ş ekline getirilebilir. Bununla beraber bir V iç çarp ım uza-ymda linner ba ğı ms ız bir x ı ,x2,..., x n cümlesi, ortogonal ş ekle getiril-meksizin a ş ağı da olduğu gibi do ğ rudan do ğ ruya bir ortonormal cümle ş ekline getirilebilir:

x ı Y ı =-

II 1 1.

103

X2 — <X2, Y ı > Y 1 Y2 IIX2 — <X29 Y ı > Yi

Y3 = X3 — <X3, Y ı > y ı — <X3, y2> ,Y2

İlx3 — <x3, Y ı > Y ı — <x3, Y2> Y2 Il

k-I Xk — E < Xk, Yi> Yi

i=1 Yk =

k_i <xk,Yi> Yi

J=1

X xn } cümlesinin gerdi ğ i alt uzay, Y = {Y1,Y2,••., y n } nin gerdiğ i alt uzay ile ayn ı dır. Yani L (X) = L (Y) d ır. Bilindiğ i üze-re L (X) ya da S p (X), X cümlesini kapsayan V iç çarp ım uzayınm

en küçük alt uzay ıdır ve X taraf ı ndan gerilen alt uzay ad ını alır. V

iç çarp ım uzayında verilen lineer ba ğı msız cümle, uzayın bir bazı ise, bu durumda elde edilecek ortonormal cümle uzay ın ortonormal baz ı olur. Öte yandan bir iç çarp ı m uzayında verilen lineer ba ğı msız cümle, sonlu

ya da sonsuz elemanh olabilir. Yani ortogonallik ve ortonormallik sa-dece sonlu say ı da lineer ba ğı msız cümleye özgü bir durum de ğ ildir.

Bir V iç çarp ım uzaymda {v i ,..., vn } bazı, ortonormal u n } bazma dönüş türülürse {vi} baz ından {n ı } bazma geçi ş matrisi üçgen-

seldir, yani i n için

ui = %vi ai2v2 ••• a ı nvn dı r.

ÖRNEKLER

1. /?3 de x ı = (1,1,1), x 2 = (0,1,0), X 3 = (1,1,0) lineer ba ğı ms ı z

vektörleri veriliyor. Bu vektörler taraf ından gerilen R3 lineer uzaymm

bir ortonormal baz ını bulunuz?

Y ı = Ilxi k V3 -\/T

.v

x l İ 1 1 ıs.)

Y2 = X2 — <X2, y ı > Y ı

11X2 — <X29 Y ı > Y ı it

104

Y3 - V2 V2

1_ 1

olduğuna göre geçi ş matrisi

0, 1, 0) -I- 2

( 1, 1, 0)

1 1 1

V2-\

3 1

-V6

0

0

x2 - <x3, Y ı > Y ı - <x33 Y2> Y2 1 -

Y3 lix3 - <X3, Y ı > Y ı — <x3, Y2> Y2 = V2 ✓ı

{y ı , y2, y2 } cümlesi, R3 ün bir ortonormal baz ıdır. {x1} den {y ı } ye geçiş matrisi üçgenseldir. Gerçekten

y ı = (1, 1, 1) + O. (O, 1, O) + O. (1, ', O)

Y2 = 1

(1, 1, 1) + — (0, 1, 0) + O. (1, 1, 0)

ş eklindedir.

2. İ ç çarp ımı <f, g> = fl o f (t) g (t) dt ile verilen ve derecesi <2 olan R üzerinden polinornlarm lineer uzay ı V olsun. Buna göre

(i) {1, t, t 2 } baz ına Gram-Schmidt ortogonal şekle getirme yönte-mi). uygulayarak V nin bir {u 1 (t), u2(t), u 3(t)} ortonormal baz ım bu-lunuz ?

(ii) h (t) = 2t 1 polin.omuna ortogonal W alt uzaynam bir ba- zını bulunuz?

(i) V = {a bt ct2 : a b; c, E R} lineer uzaym ın bir baz ı {1, t, t 2 } dır. Buradan f, (t) -= 1, f2 (t) = t, f3 (t) = t 2 ve

lif = <f, f>1/2 olduğuna göre

- f1 - II '

105

.1 f2 — <f2, u ı > u ı

11f2 < f2 , u > ui

It 2 1

= ,N,75 (2t — 1),

— <f3, u i > u i — <f3, u2> U2 ıııı — <f3, ui > u i — <f3 , u2> u2

t2 - -k . 6 . ,\/3 (2t — 1)

,N/K (6t 2 — 6t 1)

t -F 61

dır. O halde {u i (t) = 1,u2(t) = (2t — 1), u 3(t) = Ni(6t 2 — 6t 1)}

cümlesi aranan ortonormal cümledir.

(ii) h (t) = 2t 1 polinomuna ortogonal W alt uzay!~ bir baz ı fi(t) = a i + b i t + c i t2, f2(t) = a2 b2t c 2t2 } olsun. Buradan

(a i --F b it + c it2) (2t 1) dt = 12a 1 7b 1 4- Sc i = 0 0

(a2 + b2t c2t2) (2t 1) dt = 12a2 7b2 5c2 = 0 0

sistemi a l = 0, b i = — 5, e l = 7 ve a2 = — 5, b 2 = 0, c2 = 12 için

sağ lamr.

Ohalde aranan ortogonal cümle {f 1 (t) = 7t 2 — St, f2(t) = 12t2 — 5} ş eklindedir.

3. İ ç çarp ımı <p, q> = f i p(x) q(x) dx ile tammh > polinom-

- ı lar uzay ında 1, x, x2, ... ş eklinde sonsuz lineer ba ğı msız polinomlar cüm-

lesini 13 de bir ortogonal cümleye çeviriniz ?

el = 1

e2 = x <x, > O

e i x — _ . 1 = x

e ı > N/2

u2

u 3

106

<x2, e i > <x2, e2> e3 = x2 — el e = <el, e1> <e2, e2>

2 / O x2 — . 1

23

2 /3 .x = x2 -

e4 = x3— <x3 , e ı > <el, el> e

ı —

<x3, e2> e2 <e2,

<x3 , e3>

<e 3, e3>

O 2 /5 O tx2_ 1 = x3 — —

2 1

2 /3 8 /45 k -3- j

3 = x3— --5- x

e5 — x4 _

<x4, eli <el, eı >

e i <x4, e2> <x4, e 3 >

<e2, e2% 2e <e3,e 3> e3

<x4 , e4 > e4 <e4,

2 /5 O 16/105 2 1 \ = x4 — 2 2 /3 8/45 kx

O (x2 — —3 x )

24 /525 (2

5

6 3 _ x4 ___ x2 7 + 35

Bu ş ekilde devam edilirs e 1) de ortogonal dizinin daha çok eleman bulunabilir. Bu polinomlar uygun sabitlerle çarp ıhrsa analizin me şhur Legendre polinomlar ı elde edilir. Gerçekten P n(x) Legendre polinomlar ı -mn genel formülü, n = O, 1, 2, ... için

Pn(x) (2n) ! [ n

2n(nly n (n-1) n (n-1) (n2) (n-3) 2 (2n-1) xn 2 1

-- 2.4 (2n-1) (2n-3)

xn-4

107

ş eklindedir. Ilk be ş Po(x), P4(x) Legendre polinomlar ı , yukarda bu-

luna ııı polinomların sabit katlar ı dır.

Gerçel lineer uzayda tan ı mlanan iç çarpma, karma şı k lineer uzayda

da tammlanabilir. Karma şı k lineer uzayda iç çarp ım tanım ını verme-

den önc e baz ı ayrılacaliklar ı vurgulamada yarar vard ır. Gerçel lineer

uzayda bir i ç çarp ı ma bir gerçel say ı karşı lık geldiğ i halde karma şı k

lineer uzayda iç çarp ı ma bir karma şı k sayı karşı lık gelir. Karmaşı k li-

neer uzayda herhangi bir vektörün kendisi ile iç çarp ımı , vektörün ken-

disi sıfır olmaks ı zın sıfır olabilir. Örne ğ in daha önceki tan ımı ile v =

(1, i) E C 2 için v 0 olduğu halde <v, v> = 0 d ı r. Pozitif definitliğ i

korumak için gerçek lineer uzayda simetri ş art ını sağ layan iç çarp ım,

karmaşı k lineer uzayda e ş lenik simetrik ko ş ulunu sağ lar ve bu durum-

da iç çarp ım uzayında 11v = <v, V> 132 ile tan ımlanan norm fonksi-

yonu daima bir gerçel say ı olma özeli ğ ini korur. Baz ı ayrıcalıklar ı ne-

deniyle karma şı k lineer uzayda iç çarp ım a ş a ğı da olduğu gibi yeni bir

ad alı r .

V bir karma şı k lineer uzay olsun. V üzerinde bir Hermitiyen çar-

pım (Hermitia n product), a ş a ğı daki özelikleri sa ğ lamak ü z er e v nin

herhangi iki v, w elemanlar çiftine bir karma şı k sayı karşı lık getiren

ve <v, w> ile gösterilen bir fonksiyondur:

HPI. Her v, w E V için <v, w> <w, v> d ır.

HP2. u,v,w E V ise <u, v + w> = <u, v> <u, w> d ı r.

HP3. ot E C ise <au, v> = ot <u, v> ve <u, av> = cc <u, v>

dır. Hermitiyen çarp ım, her v E V için <v, v> > 0 ve v 7Z- 0

olduğunda <v, v> 0 ise pozitif definit adın ı alır.

Anla şı laca ğı üzere V bir karma şı k lineer uzay ise <v, w> dönü ş ü-

mü <v, w>: V x V —> C ş eklinde iki de ğ işkenli bir fonksiyondur. aE

C için 5c, la R(a) -= z (a «), I(a) = 1 (ot. — 5C) s ırasiyle a n ın karma-

şı k eş leniğ i, mutlak de ğeri, gerçel k ı smı v e sanal k ısmı d ır. Ay ıca a,

E C için a = oc = p ve a = ot, a ot a 1 2 dı r.

a 7/. 0 için X =- (7' !2 sayı sına a n ı n tersi denir ve oc -1 ile gösterilir.

Daha önce verilen ortogonal, ortogonal baz, ortogonal tümleyen,

Fourier katsay ı sı ve w boyunca v nin izdü ş ümü, değ iş iklik yapmaks ı -

mı benzer ş ekilde tammlamr.

108

ÖRNEKLER

1. V = Cn olsun. Cn de herhangi iki vektör x = (x i ,..., xn),

y = (y ı ,..., y n) ise bunlar ır hermitiyen çarp ımı

<x, Y> = x ı Y ı • • --I-- xnyn E xiyi (4.6.5) i- ı

ile tammlıdır. Bu çarp ım, hermitiyen çarp ım özeliklerini Sağ lar. Örne-

ğ in her x,y E Cn için <x, y> = <y, x> d ır.

Gerçekten

<x,Y> = x Y ı +.. • --F x nYn = Y ı x -11- • • • + Ynin

Y ı x ı + • • Ynxn = <Y, x>

dır. x e Cn vektöründe her bir x i E C dır. x 0 ise herhangi bir xi

0 ve xizi = iXi > 0 nedeniyle <x, x> > 0 dır ve dolayısiyle bu çar-pım pozitif definittir.

2. V, [a, b] aralığı nda sürekli karma şı k değerli fonksiyonlar uzay ı ,

yani V e ( [a, b], C) olsun. f, g E V ise bu uzayda iç çarp ım

<f, g> fab f(t) g (t) dt (4.6.6)

ile tanımhdı r. İıı tegralin standart özellikleri, bu çarp ımın pozitif dcfi-

nit bir hermitiyen çarp ım oldu ğunu gösterir. Özel olarak [a, b] arah ğı [— 7r, 7r] olarak alınır ve fn(t) = eint ile tannnlan ırsa, rı ve m nin fark-

lı değerleri için fri fm ye ortogonaldir. Ayr ıca

fn> = f_nı r einte-in t dt = 2 Tc

ve f e V ise f in fn ye göre Fourier katsay ısı

<f, fn >

f(t) e-int dt , < fn, fn> 27r

ş eklindedir. E ğer aral ık [a, b] olarak alınırsa bu defa

2 in ır t

fn(t) e b-a

ile tan ı mlanan fonksiyonlar, n ve nı nin farklı de-

ğerleri için fn, fm ye ortogonaldir. Bu durumda

109

,i13 2 innt b-a .-_ a e . e

göre Fourier katsay ı sı

1 b f f(t) e

b-a a

2 innt

b-a dt = — a

da

2 innt b-a dt

< fıi,fri>

ve f in fa ye

<f, fn> <fn, fn>

ş eklinde olur.

Teorem 4.6.3 ve onun sonucunun benzeri pozitif definit hermitiyen çarp ımlar için ifade edilebilir:

TEOREM 4.6.4. V,. pozitif definit hermitiyen çarp ımlı karma şı k

sayılar üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. W, V nin bir alt uzayı ve {w ı ,..., wm }, W nin bir ortogonal baz ı olsun. W V ise {w i ,..., wa }, V nin bir ortogonal baz ı olacak ş ekilde V nin wm+1,•••, wa eleman-ları vardır.

SONUÇ. V, pozitif definit hermitiyen çarp ımh karmaşı k sayılar

üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. V {0} oldu ğunu var-sayalım. Bu durumda V bir ortogonal baza sahiptir. Ispatlar daha önce gerçel durumda verilen ş ekliyle tamamen ayn ı olduğundan tekrarla-maya gerek yoktur. Öte yandan pozitif definit hermitiyen çarp ı mh kar-ma şı k lineer uzayda norm fonksiyonu, (4.6.4) ile tammland ığı gibidir.

Mutlak değer, norm, metrik ve iç çarp ımııı birbirleri ile ili şkisi var-dır. x noktası R gerçel sayılar ekseni üzerinde ise bu durumda Ix = d (x, 0) d ır. Yani Rn uzayında ancak n = 1 ise mutlak de ğ er, norm ve uzaklik ayn ıdır. n > 2 olmas ı halinde mutlak değer kalkar, norm ve metrik ili şkisi devam eder. Norm fonksiyonu, mutlak de ğ er

fonksiyonundan daha genel bir kavramd ır. Metrik ile norm aras ın-da d (u, v) = II ili şkisi vard ır ve her boyutlu uzayda geçerlidir.

<u, v> I < II ya da I <u, v> 1 2 < <u, u> <v, v> ile ifade edilen Schwarz e ş itsizliğ i Cauchy-Schwarz e ş itsizliğ i yada Ca-uchy-Schwarz-Bunyakovsky e ş itsizliğ i nedeniyle iç çarp ım, norm ve dolayısiyle metrikle

Ilu = <u, v> 1 /2 ş eklinde iç çarp ımdan gelen bir norma sahip normlanmış bir V lineer uzay ına iç çarpı m uzay ı denir. Bu uzay tam ise Hilbert uzayı ad ım alir. Hilbert uzay ı genel anlamda içerisinde iç çar-pımın tammh olduğu tam iç çarp ım uzay ı ya da tam lineer uzaydır. O halde bir Hilbert uzay ı yalnı z bir iç çarp ım uzayı değ il aynı zamanda

110

tam bir iç çarp ım uzayıdır. İ ç çarp ım uzayları normlanmış uzayların

özel bir sınıfı ve normlanmış uzaylar da metrik uzaylarm özel bir s ım-

mfıdır.

Sonlu boyutlu normlanmış bir lineer uzay tamdır. Buradan soulu

boyutlu bir iç çarp ım uzayı bir Hilbert uzayı dır. Her Hilbert uzayı tam

bir iç çarp ım uzayı olmas ı nedeniyle bir Banach uzayıdır, ancak tersi

doğ ru değ ildir. Tam olmayan iç çarp ım uzaylar ı da söz konusudur. Bu

türden uzaylar ço ğunlukla pre-Hilbert uzay ı adım alır. Bununla bera-

beraber tam olmayan bir iç çarp ım uzayı , Hilbert uzay ı olarak tam ya-

pı labilir.*

Bir Hilbert uzay ında iç çarp ımm, Schwarz e ş itsizliğ i nedeniyle x,

y nin sürekli bir fonksiyonu oldu ğu kolaylıkla anla şı lır. Yani

xn -> x ve y n -> y <xn, yn> --> <x, y>• olduğunu ispatlamak için a ş ağı dakini görmek yeter:

i<xn, Yn> — <x, Y> i_<xn, Yn> — <xn, Y> + <xn, Y> <x, y> 1

▪ 1<xn, Yn> — <xn, Y> I + I <xn, y> — <x, y> 1

1<xn, yn — y> 1 --F 1<xn — x, y> 1

▪ ilxn ii IlYn- Y ii + Hxn— x Sonlu boyutlu Hilbert uzaylar ı özel ilgiye sahiptir. Sonlu boyutlu

gerçel bir Hilbert uzay ı bir Öklid uzay ı adını ahr. Sonlu boyutlu bir karmaşı k Hilbert uzayı da ço ğunlukla birimli uzay (unitary space) ya-da karmaşı k Öklid uzay ı adını ahr Hilbert uzay ı adı çoğunlukla uzayın

sonsuz boyutlu olmas ı halinde kullanı lır. Çe ş itli Hilbert uzay örnekleri

vardır.

ÖRNEKLER co E an2 < co olacak şekilde yani a 1 2 -1- a22 ... serisi ya-

n-2

kınsayacak ş ekilde > ş eklinde (gerçel ya da karma şı k) bü-

tün sonsuz diziler s ınıfı r) ile gösterilsin. Örne ğ in

p = <1, 1,... > ve g = < 1, >

*Bak. A.E. TAYLOR, General Theory of Functions and İ ntegration, Blaisdell Publishing

Co., Massachusetts, 1965.

dizileri için 12 _F 12 + yakııı samadığı ndan p RG° dur. Öte yandan 12 + (2)2 + (1)2 ... serisi yakınsadığı ndan q E IP° dur.

p = <ak> ve q = <bk> dizileri rp da olmak üzere iç çarp ı m

____ <p, q> akbk

k=1

ile tanımlı dır. Bu uzay 1 2(n) ya da kısaca n sonsuz oldu ğu için 1 2 ile

gösterilir. Bu uzay en basit sonsuz boyutlu Hilbert uzay ı dır. Iç çarp ı m

serisi, p, q E 1 2 olmak üzere

2 Jakbk I < hak J 2 - 1- 1bk 2

eş itsizliğ i nedeniyle mutlak yak ınsakt ır. Bu uzayda 1 2 normu

1/2

= E jak 1 2 ) <p, p>1/2 k=1

ile taıumhdır. Bu norm, Hilbert uzay ında 1 2 metri ğ ini gerektirece ğ inden

d (p, q) = E İ

k=1

1/2

ak — bk 1 2 )

ile tanımlanan d fonksiyonu 1 2 metriğ idir. Bu yüzden 1 2 uzayı bir met-

rik uzayıdır. 12 uzaymın tam olduğu gösterilebilir. Bu uzay ayn ı za-

manda ayrılabilir Hilbert uzay ı (separable Hilbert space) olarak da ad-larıdırı lır.

2. Sonlu boyutlu Rn uzay ı , iç çarp ı m ve norm uygun biçimde ta-

n ımlanmak üzere sonlu boyutlu gerçel bir Hilbert uzay ı dır. Benzer ş e-

kilde Cn uzayı da sonlu boyutlu karma şı k Hilbert uzayıdır. Bilindiğ i

üzere Öklid uzay ı ve karma şı k Öklid uzayı adını alan bu sonlu boyutlu Hilbert uzaylar ı 1 2(n) ve U n (ya da yine 1 2(n)) ile gösterilir.

3. I = [a, b aral ığı üzerinde

S' If (X ) 1 2 dx < cx)

ş eklinde karesi integre edilebilen bütün fonksiyonlar uzaya L2 (a, b)

ya da kısaca L2 ile gösterilir. Bu uzay da ilgiye de ğer önemli bir Hilbert

uzayıdır. Bu fonksiyonlar uzay ında iç çarp ım ve norm s ırasiyle

112

= f(x) g(x) dx a'

» 1/2 VI] <fs, f>1/2 j. 1f (x) 1 2 dx

a

ile tan ımlıdır.

Son derece yararl ı ve ilginç iç çarp ım uzayları , iç çarp ımın bir in-tegral ile tan ımh olduğu fonksiyonlar uzayıdır.

İ ç çarpım uzaylar ı ile son derece yak ından ilgili olan Fourier seri-beri teorisinde ortaya ç ıkan tam ortonormal alt cümlelere ili şkin iki örnek verelim:

e [0,271 uzayında iç çarp ı m

2n <x, y> = x(t) y(t) dt

o ile tammlamrsa bir gerçel iç çarp ım uzayı elde edilir.

Bu uzayda

x,(t) = 1

1 x on(t) = c snt, yn(t). = 1 s nnt, n = 1, 2, ... 1/I1 1/Tc

ş eklinde tanımlanan fonksiyonlar cümlesi, yani x 0, x ı , x2,... ve y ı , y2,... den oluşan cümle bir tam ortonormal cümledir. Benzer olarak [0,27c] aralığı nda karma şı k değerli fonksiyonlar, yani

e ([0,27,], C) uzayında iç çarp ım

27r <x, Y> = x(t) y(t) dt

o

ile tan ı mlan ırsa bir karmaşık iç çarp ım uzayı elde edilir. Bu uzayda

un(t) = 1 eint, ıı. = O, + 1, 12, ... '\/'2

ş eklinde tan ımlanan fonksiyonlar cümlesi yine bir tam ortonormal cüm-le oluş turur.

<f, g

ve

113

Yeri gelmi şken önemli bir durumu vurgulamada yarar vard ır. w pozitif değ erli belli bir sürekli fonksiyon olmak üzere e [a, b] uzaymda

<X, y> = f b w (t) x(t) y(t) dt aJ

şeklinde daha genel bir iç çarp ım tarumlanabilir. Bu iç çarp ımın Sturm-Liouville problemlerinin öz fonksiyonlar ının incelenmesinde büyük öne-mi vardı r.

Ş imdiye kadar pozitif definit iç çarp ımh lineer uzaylar üzerinde

durduk. Bununla beraber bu kesimin ba şı nda bir iç çarp ımın kesinlikle pozitif definit olmas ı gerekmediğ inden de söz etmi ş tik. Böylece ş imdi de aşağı da pozitif definit olmayan iç çarp ımlar ve bunlara ili şkin ge-

nel ortogonal bazlar üzerinde duraca ğı z.

V, bir iç çarp ımlı K cismi üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. Bu iç çarp ımın pozitif definit olmas ı gerekmez, çünkü V, R üzerinden olsa bile böyle iç çarp ım örnekleri vardır. Örneğ in,

(x 1 , x2) ve y = (y i , y2) vektörlerinin iç çarp ımı

<x, Y> = x ı Y ı x2Y2 ş eklinde tam ıxılanabilir. Buradan

<x, x> = x2 1 — x22

olur. Böyle çarp ımlar bir çok uygulamalarda kar şı mıza çıkarlar. Ör-

neğ in fizikte 4 boyutlu uzayda x = (x, y, z, t) ş eklinde vektörlerin çar-pımına iliş kin iş lemlerde

<x, x> = x2 + y z2 t2

olarak al ını r.

Aşağı da ortogonal bazlara ili şkin teoremlerin nas ıl su üstüne çıka-rılabileceğ ini görece ğ iz. V, iç çarp ımh K cismi üzerinden sonlu boyutlu

bir lineer uzay olsun. W bir alt uzay ise, V nin genel olarak W ve Wi ın doğ rudan toplam ı olduğu daima doğ ru değ ildir. Gerçekten <v, v> = 0 olacak ş ekilde V de s ıfırdan farkl ı vektör olabilir. Örne ğ in karmaşı k sayılar üzerin.den.(1, i) e C2 vektörü böyle bir vektördür. [Ancak W,

V nin bir alt uzay ı ve V de bir iç çarp ım pozitif definit ise V,W ile W-1-

nin doğ rudan toplamıdır, yani V = W C) Wl d ır (Ahş tırma 25)]. Bununla beraber bir ortogonal bazm varl ığı hakkında teorem keza do ğ -rudur ve sözü edilen bu teoremi a ş ağı da uygun bir de ğ iş iklik ile ispatla-yacağı z. Bunun için baz ı uyarılarda bulunahm. Öncelikle V nin her u

114

eleman için <u, u> = 0 oldu ğunu varsayal ım. Bu durumda bu iç çarpıma sıfır iç çarptm ve V de sıfır uzay adım alır. Bunun nedeni V de her v, w için <v, w> = 0 olma zorunlu ğudur. Gerçekten

<v, w> = [<v w, v w> — <v, v> <w, w>1

yazılabilir. Varsayım nedeniyle bu e ş itliğ in ikinci yan ı sıfıra e ş ittir. Bu durumda V nin herhangi bir baz ı bu tanım nedeniyle bir ortogonal baz-dır.

TEOREM 4.6.5. V, K üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun ve V nin bir iç çarp ıma sahip olduğu varsayahm.

V 0 } ise V bir ortogonal baza sahiptir.

Ispat: Bu teoremi, V nin boyutu üzerinden tüme var ımla ispatlaya-ca ğı z. V bir boyutlu ise bu durumda V nin s ıfırdan farklı herhangi bir eleman, V nin bir ortogonal baz ıdır, böylece bu belirgin bir durumdur. Ş imdi dim V = n > 1 oldu ğunu varsayalim. Buna göre iki durum ay ırd-etmek gerekir.

DURUM 1. Her u e V için <u, u> = 0 d ır. Bu durumda zaten V nin herhangi bir baz ının bir ortogonal baz oldu ğunu gördük.

DURUM 2. <v i , vi > 0 olacak ş ekilde V nin bir v1 eleman]. vardır. Bu takdirde pozitif definit durumda kullan ılan aynı Gram-Sch- midt ortogonal ş ekle getirme yöntemi uygulanabilir. Gerçekte ispatlayaca ğı z ki <vi, vi > 0 olacak ş ekilde v 1, V nin bir eleman ve Vi

de v i tarafından gerilen 1 boyutlu uzay ise V, V i ve Vi ın do ğ rudan

toplamıdır. v e V ve c de her zaman oldu ğu gibi

c ==. <v, v2>

<vi, vi >

ş eklinde olsun. Bu durumda v-cv 1 , Vi de bulunur ve buradan

v = (v evi) evi

ifadesi V nin, V i ile Vil ın toplamı olduğunu gösterir. Ayr ıca bu do ğ ru-

dan bir toplamd ır, çünkü Vi il Vi, Vi ın bir alt uzayıdır ve Vi e eş it olamaz (çünkü < v i , vi > 0) ve buradan V i bir boyutlu olduğun-

dan [0} belirgin uzay olmak zorundad ır dim Vi < dimV olduğundan,

vi ı uzayın" ele alarak tüm i ş lem yinelenebilir, ba şka bir deyimle tüme

varım uygulanabilir. Böylece Vi ın, diyelim {v2,..., vn } şeklinde bir

ortogonal baz ı bulunur. Buradan {v i,..., v n } nin V nin bir ortogonal bazı olduğu anlaşı lır.

115

ÖRNEKLER

1. R2 de x = (x i , x2) ve y = (y ı , Y2) olsun. Bu iki vektörün

< x, Y>= x ı Y ı — x2Y2

çarp ımım tammlayahm. Buna göre (1, 0) ve (0, 1) keza bu çarp ım için bir ortogonal bazd ır. Benzer olarak (1, 2) ve (2, 1) vektörler cümlesi de bu çarp ım için bir ortogonal bazd ır. Bununla beraber ikinci cümle adi ya da do ğal iç çarp ı m için bir ortogonal baz de ğ ildir.

2. ıl = (1,2,1) ve v = (1,1,1) vektörleri taraf ından gerilen R 3 ün alt uzay ı V olsun. x = (x ı , x2 , x3) ve y = (y ı , y2, y3), R3 de vektörler ise onlar ın çarp ımını

<x, Y> = x ı Yı — x2Y2 x3Y3

olarak tan ımlıyahm. Bu çarp ı ma göre V nin bir ortogonal baz ıııı bulmak istiyoruz. <u, u> = — 4 0 oldu ğundan vi = u olsun. Buna göre

c <v, u> 1

<u, u>

olmak üzere v ortogonalle ş tirilebilir. Buradan v 2 = v — u olur. O halde verilen çarp ıma göre {v ı , v2 }, V nin bir ortogonal baz ıdır.

ALIŞTIRMALAR

1. V, R ya da C üzerinden lineer uzay olmak üzere her v, w E V

için iç çarp ımdan hareketle

(a) w> I < Ilv Cauchy-Schwarz-Bunyakovski e ş itsiz- liğ inin varlığı nı ispatlaymız?

(b) w II Minkowski eş itsizliğinin varlığı nı is- patlayınız?

2. (1,1, -- 2,3,4,5) ve (0,0,1,1,0,7) vektörlerine dik R 6 nin alt uza-yının boyutunu bulunuz?

3. (1,1,0,0), (1, — 1,1,1) ve (-1,0,2, 1) vektörleri ile geriden R 4 ün alt uzayı için bir ortonormal baz bulunuz ?

4. (1,2,1,0) ve (1,2,3,1) vektörleri taraf ından gerilen R4 ün alt

uzayı için bir ortonormal baz bulunuz?

116

5. (1,-1,-i) ve (i, 1,2) vektörleri taraf ından gerilen C 3 ün alt uzay ı için bir ortonormal baz bulunuz?

6. u = (a ı ,...,, an) v = (b ı ,..., bn) olmak üzere Rn uzay ında <u,

v> = a ı b ı anb n ş eklinde tanımlanan adi çarp ımın

üzerinde bir iç çarp ı m olduğunu ispatlay ı nız? Ayrı ca dejenere olmad ı -ğı n ı ve pozitif definit oldu ğunu gösteriniz?

7. u = (z ı) ve v= (w ı) olmak üzere C" uzay ında <u, v > = z ı w ı

... znwn ş eklinde tanı mlanan adi çarp ımın Cn üzerinde bir iç çarp ı m olduğunu ispatlaym ı z? Dejenere olmad ığı nı ve pozitif definit

olduğunu gösteriniz?

8 . V = e ( [a, b ], R) ve f, g EV olmak üzere <f, g> = f(t) g(t)dt

ile tanımlanan iç çarp ı mın V üzerinde bir iç çarp ım olduğunu ispatlar-

ınz ? Ayrıca dejenere olmad ığı n ı ve pozitif definit olduğun- u gösteriniz?

9. V -= e ( [a, b ], C) ve f, g E V olmak üzere <f, g> -= f(t) g(t) dt a'

ile tanımlanan iç çarp ı mın V üzqrinde bir iç çarp ım olduğunu ispat-laymız? Ayrı ca dejenere olmad ığı m ve pozitif definit oldu ğunu gös-

teriniz ?

10. [O, 1] aralığı üzerinde sürekli gerçel de ğ erli fonksiyonlar ın

neer uzayının bir alt uzay ı 1, t, t 2, t3 fonksiyonlar ı tarafından gerili-

yor. Bu uzay için bir ortonormal baz bulunuz?

11. M, transpozesine e ş it bir nxn karesel matris olsun. X, Y n bile ş enli kolon vektörleri ise <X, Y> = XT MY dönü şümünün IP1, IP2, IP3 özeliklerini sa ğ ladığı nı gösteriniz? Dördüncü özeli ğ i sağ la-

mayan bir 2x2 türünde M matris örne ğ i veriniz?

12. R üzerinden nxn matrislerin V lineer uzay ında herhangi iki

A, B matrislerinin <A, B> = iz (AB) ş eklinde tan ımlanan çarp ı mı -

nın iç çarp ı m özeliklerini sa ğ lad ığı n ı ve ayrıca dejenere olmad ığı nı gös-teriniz (iz A = A n ın kö ş egen elemanlar ının toplamıdır)?

13 ,. [ — TC, n] üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonlarm V li-

7C

neer uzayı üzerinde iç çarp ı m <f, g> =i f(t) g(t) dt ile tan ımlanıyor.

117

cost, cos 2t, sint, sin 2t,...} cümlesinin, V nin bir ortogonal alt cümlesi olduğunu gösterin iz?

14. [0, 7 üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonlarm V lineer uzayı üzerinde iç çarp ı m Alış tırma 13 deki gibi olmak üzere 1, cost, cos2t, cosnt,... cümlesinin V nin bir ortogonal alt cümlesi (ya da V üzerinde bir ortogonal cümle) oldu ğunu gösteriniz?

15. [0, Tc] üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonlarm V lineer uzay ı üzerinde iç çarp ım Alış tırma 13 deki gibi olmak üzere sint, sin2t, ..., sinnt , cümlesinin V nin bir ortogonal alt cümlesi (ya da V üzerin-de bir ortogonal cümle) oldu ğunu gösteriniz?

16. u, v i , v2, e V ve a,b e C olmak üzere < u, av a bv2> =

a < u, vi > -I- b <u, v2 > olduğunu gösteriniz?

17. u = (x i , x2) ve v = (yi , y2) olmak üzere <u, v> = x ı Y ı — x1Y2 x2Y ı 3 x2y2 çarp ımının R2 de bir iç çarp ım olduğunu gös-teriniz ?

18. Aş a ğı da belirtilen iç çarp ımlara göre verilen u, v vektörleri ta-rafından gerilen R3 ün alt uzay ı= ortogonal bazlar ını bulunuz?

(a) u = (1,1,1), v = (1, —1, 2); <u, v> = x iyi 2x2y2 x3y3

(b) u = (1, ---1, 4), v = (-1, 1, 3); <u, v> = x ı Y ı 3x2Y2

x 1y3 -+ y ı x 3 — x 3y2 — x2y3

19. Aş a ğı da belirtilen iç çarp ı mlara göre C üzerinden C 2 uzayı için

bir ortogonal baz bulunuz?

(a) <x, y> = x ı Y ı ix2Y1 ix ı Y2 — 2x2y2

(b) <x, y> = xiy2 x2y i 4xiy i

20. u, v ye ortogonal ise u nun her skaler kat ınm keza v ye ortogo-

nal olduğunu gösteriniz. R3 de v i = (1,1,2) ve v2 = (0,1,3) vektörleri-

ne ortogonal bir birim vektör bulunuz?

21. u = (1,2,3, —1, 2) ve v = (2, 4, 7, 2, —1) ile gerilen R3 ün

alt uzayı W olsun. W nin Wi ortogonal tümleyeninin bir haz ım bulunuz?

22. C 3 deki adi çarp ıma göre v i = (1, i, 0) ve v2 = (1, 2, 1—i) ile

gerilen C 3 ün W alt uzaym ın bir ortonormal haz ım. bulunuz?

118

23. {u / ,..., un } ortonormal cümlesinin lineer ba ğı msız olduğunu ve her v E V için w = v — <v, ll ı > U ı — <v, U2> U2 — — <V, ur >ur

vektörünün her bir ui ye ortogonal oldu ğunu gösteriniz?

24. W, V iç çarp ım uzayının bir alt uzay ı olsun. V nin bir ortonor-mal haz ırım bir parças ı olan W nin bir ortonormal baz ınm var olduğunu gösteriniz ?

25. W, pozitif definit iç çarp ımlı bir V iç çarp ı m uzayınm bir alt

uzayı olsun. Bu durumda V = W W1 olduğunu gösteriniz?

119

5. Bölüm

MATR İ SLER VE L İ NEER DENKIEM S İ STEMLER İ 5.1. GIRI Ş

Bu bölümde matrisler, determinantlar ve bunlar ın lineer cebirsel

denklem sistemleri ile olan ili ş kileri üzerinde durulacakt ır. Liıı eer ce-

birsel denklem sistemleri bilim ve mühendislikte s ık sık ortaya ç ıkarlar.

Bazan bir sistem, bir fiziksel durumu tan ımlayan bir matematiksel mo-

deldir. Örne ğ in, ş ekil 5.1.1. de gösterilen yainy ı gözönüne alal ım Böy-

le bir yap ın ın A noktas ına diyelim 20 tonluk bir yük uyguland ığı nda

yap ın ın çeş itli üyelerindeki denge kuvvetlerini arayal ı m.

Sekil 5. 1. I

Yap ının çeş itli k ı sımlarındaki yükün da ğı lımmı incelemek için

Ş ekil 5.1.2 yi kullanal ım:

f1 ve f2 kuvvetleri, büyüklükleri s ırasiyle ficos45 ve f2cos30 olan

dik bileş enlere sahiptir. Bu iki kuvvet 20 tonluk yükü dengeleyece ğ in-

den f1 ve f2, f1cos45 4- f2cos 30 = 20 e ş itliğ ini sağ lamak zorundad ır. f2 ve f4 ün dik bileş enleri B noktas ında dengelenmesi gerekir:

120

Al

Ş ekil 5.1.2

f4 = f2co5n

Ayn ı ş ekilde f ı ve f5 in dik bileş enleri noktas ında dengelenmesi gerektiğ inden

f5 = f1 cos45

dır. Öte yandan f1 ve f2 nin B ve C deki yatay bile şenleri de f3 tarafına., dengelenmesi gerekti ğ inden

f3 = f1 sin45

f3 = f2sin30

d ır. Bu çözümleme sonucunda f 1 ,f2,f3 ,f4 ,f5 kuvvetlerinin a ş ağı daki sis-temi sa ğ lamas ı gerekti ğ i anlaşı lır:

f1cos45 f2cos30 = 20

f2cos30 = 0

f1 cos45 — f5 = 0

f1sin45 — f3 = 0

f2sin30 — f3 = 0

Bu sistem, bir lineer cebirsel denklem sistemidir. Daha çok üyeli benzer yap ılar, bizleri daha çok bilinmiyen ve daha çok denklem kap-sayan sisten ılere götürür.

Dahas ı lineer sistemler, diferensiyel denklemleri kapsayan bir ma-tematiksel modeli çözmede kar şı la şı lan ikinci derece bir problem ola-rak ortaya ç ıkarlar. Sistem, yakla şı klıklar sonucu olabilir, analitik çö-

121

a12 • • • • n ı n a22 • ... a2 n

an 8.01

zümde zorunlu bir basamak olarak ortaya ç ıkabilir ya da ba ş langı ç ş art- ları sağ lanacak biçimde isteksel sabitlerin belirtilmesinde ortaya ç ıkabilir.

Böylece sistemler, uygulamalarda çok geni ş biçimde ortaya ç ık-

tıklarından onlar için uygun gösterim ve elde edilebilir uygun hesapla-ma araçlarına sahip olman ın büyük yararlar ı vardır. Bu nedenle mat-

ris cebiri ile i ş e ba ş lanarak, lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözüm-lerini bulmada, çözümlerin ay ırdedici nitelilderini anlamada etkili mat-ris yöntemleri üzerinde durulacakt ır.

5.2. MATRİ S GÖSTERİ Mİ

Matris, yatay sat ır ve dik kolo ıllarla dizilen elemanların bir dikdört-

gensel düzenidir. m satır ve n kolonlu bir matris

(I ;m ı am2 • . . . amn

biçiminde gösterilir. A matrisi, sat ır boyutu daima önce yaz ı lmak üze-re mxn basamağı na sahiptir denir. Elemanların ikili alt indis gösterimi, genel bir matrisin elemanlarını etkili bir biçimde incelemeye olanak sa ğ -lar. aij elemanmda alt indisler, s ırasiyle eleman ın bulunduğu satır ve kolonu gösterir. (i, j) s ı ral ı çifti aii elemanm ın yeri (adresi) adın ı alır ve aii de A nın (i, j) konumundaki elemanıdır. aii eleman ı mn satı r in-disi i ve kolon indisi j dir.

İki matris, ayn ı boyuta ve her bir konumda ayn ı elemana sahip ise eş it matrisler adını alır. Sat ı r ve kolon sayı sı ayni olan matris, karesel matristir. Örneğ in: 3x3 biçiminde bir karesel matris, üçüncü basamak-tan karesel matris olarak adland ırılır. Öte yandan, örne ğ in

M = (5, 1, 2 , O)

matrisi lx4 basama ğma sahiptir ve dördüncü basamaktan bir satır matrisi olarak tanunlamr. Bir sat ı r matrisinin elemanlarını gösterme-de genel olarak ikili alt indis kullan ılması gerekmez. n yinci basamaktan bir sat ır matrisinin do ğ al gösterimi

R -= (r i , r2 ,..., rn)

A

122

Üst üçgensel 4- • o' elemanlar ,

Oi , İ < j

dir. ri ler R'nin b ı leşenleri ve n de R sat ır matrisiain. boyutu'dur. Bir boyutlu vektörler skaler ad ını alır ve bunlar analizin do ğ al nicelikleridir.

Kolon biçiminde, örne ğ in

—3 C = ( 21

\ 5

matrisi 3x1 basama ğı na sahiptir ve 3 üncü basamaktan bir kolon mat-

risi olarak tanımlanır. Sat ır matrislerinde oldu ğu gibi, m yinci basamak-tan bu kolon matrisinin elemanlar ını göstermede yine sadece birli alt indisler kullan ılır:

TANIM: 5.2.1. Bir A matrisinin köşegen elemanları , e şit satır ve eş it kolon indisli a ii , a 22, a33,... elemanlar ı dır. Karesel bir D me.t risi,

köş egen üzerinde olmayan bütün elemanlar ı sıfır, yani i j için aij

0 ise bir kö şegen matris adını alır.

Bir kö ş egen matriste kö ş egen üzerindeki elemanlar genel olarak a n,

a22,..., ann ise, bu köş egen matris yer kazanmak bak ımmdan

D = pg (a i ı , a22,• • • , ann)

ile gösterilir.

Alt üçgensel elemanların hepsi s ıfır olan bir karesel matrise üst

üçgensel matris, üst üçgensel elemanlar ın hepsi sıfır olan bir karesel

matrise alt üçgensel matris denir.

( Alt üçgensel elemanlar,

a i j , i >j

Ş ekil 5. 2. I

123

Örne ğ in,

3 0 O 7 3 —5 M— ( 2 4 O ) N = (O )

—5 0 —2 O 0 —10

matrisleri s ırasiyle üçüncü basamaktan bir alt üçgensel ve bir üst üç-gensel matrislerdir. Kö ş egen üzerindeki ve alt ındaki bütün elemanlar s ıfır olan bir karesel matris kuvvetli üst üçgensel matris adını al ır. Ben-zer tanım kuvvetli alt üçgensel matris için geçerlidir.

Matrisler büyük harflerle, elemanlar ı küçük harflerle gösterile-cektir. Bir matris, bir tek harften daha kar ışı k bir ada sahip ise, yani Dg(3,7, —2) biçiminde ise, onun ad ı daima büyük harf ile ba ş layacakt ır.

Bir matrisin biçimini belirtmek gerekli ise, do ğ rudan Amxn ş eklin-de matrisin ad ının altına yazılacaktn.

Bir büyük harf, diyelim A bir matrisi gösterirse bu durumda buna karşı lık iki indisli kiiciik harf, A n ın bir eleman ını gösterecektir. Kar ışı k adli matrisler içi,. A nın (i, j) komnumundaki elemanım göstermek için

entij(A) = aij

g.5sterimini kullanmak uygun olacakt ır. Buna göre ilerde gözönüne alınabilecek A (2B -I- 3C) gibi bir matrisin (i, j) konumundaki eleman ı , M = A (2B 3C) olmak üzere

entij(A (2B -I- 3C)) = mij

ile gösterilecektir.

Her eleman ı sıfır olan matris, sıfı r matrisidir ve 0 ile gösterilir.

Verilen bir M matrisinden, M nin belli elemanlar ını çıkarmakla el-de edilen matrisleri gözönüne almak yararl ı olacakt ır.

TANIM 5.2.2. M matrisinin bir altmatrisi, M den belli satır ve /ya da kolon.larm ı çıkarmakla elde edilen bir matristir.

rxc biçiminde bir M matrisinin baz ı önemli altmatris çe ş itleri şun-lardır:

1. Rowi (M) =--- (mii , mi2,•••, Lute), M nin i yinci sat ı rı

m ı / (1/4 M21

2. Colj(M) = , M nin j yinci kolonu

mri /

124

3. M nin i yinci sat ır ve j yinci kolonunu ç ıkarniakla elde edilen M nin r-lxc-1 biçimindeki altmatrisi, M nin (i,j) konumunun minörü adını alır ve Minii(M) ile gösterilir.

Örneğ in,

1 2 3 4 A

(5 6 7 8 ) 9 0 1 2

matrisi için

3 Row2 (A) (5,6,7,8), Col 3 (A) = 7 1 )

il 3 4\ min.34 (A) = 2 3\ Minn (A)

,

1 2) (5 6 7/

dir.

Yukarda kar şı laşı lan üç özel altmatris çe ş idi sık sık karşı laşı lan matrisler olmakla beraber bazan bir M matrisini alt matrislere bölme son derece yararl ı olur. Örneğ in,

gibi.

m11 m21

m31 111 41

M12 1 M13 I m14 m15 M22 I m23 E m24 m25

m32 I m33 1 m34 m35 m42 1 m43 I m44 m45

(

M11 M12 M13)

M21 M22 M23

Böyle matrislere bölmeli matrisler ya da blok matrisleri denir. Uygulamalarda s ıkça karşı mıza ç ıkan bölmeli matrislere ilişkin iki

özel durum ilgiye de ğ er niteliktedir. Örne ğ in,

B =

( 1 2; 0 0 0 7-41000 O O 1 O 0 ] 9 4 1 1 O O 1 O 2 0

‘B11

\O B22/

( 1 2 3 2 -7 Dg , (9 4 11 Dg (Bil, B22)

7 -4 O 2 O

ve

125

T =

(

4 —5 7 j —I 2) 6 2 4 8 0 O 001 2 —1 OOO! 4 3

iTi ı Tİ ,\ ko T22/

gibi. B matrisi blok kö ş egen ve T matrisi de blok üst üçgensel olarak

tammlamr.

Ş imdi ş öyle bir soru akla gelebilir. Matrisler nerede kar şı mı za çıkar-

lar? Böyle bir sorunun cevab ı modern inceleme bakımından oldukça

fazla sahadan verilebilir. Ş imdilik bu soruya bu bölümün kapsam ına

uygun üç cevap gözönüne alal ım:

1. Lineer cebirsel denklem sistemleri

2. Birinci basamaktan lineer diferensiyel denklem sistemleri

3. Analitik geometri ve /ya da vektör cebiri

Cebirsel problemlerde s ık sık karşı laşı lan, diyelim

2x-3y+ 6z =5

4x-F2y-7z =--12

sistemini gözönüne alalım. Bu sistem, sisteme ili şkin matrisler

A (2 —3 6 \

=_- k4 2 —7)

Katsayılar matrisi

( 5 K Girdi matrisi

12 )

X y , Çıktı matrisi

2 —3 6 I 5 (A:K) = , Eklemeli matris

4 2 —7 112 )

olmak üzere

AX = K

biçimindedir. Yukardakine benzer sistemler, do ğal ve toplumsal bilim-lerin tüm alanlarında karşı mıza çıkar. Doğal bilimlerde böyle denklemler genel olarak kararl ı durumları gösterirler.

Birinci basamaktan lineer diferesiyel denklem sistemlerine ili şkin bir örnek olarak

126

x 1 '(t) - 3x2'(t) = 4x 1 (t) - 2x2 (t) sin 3t

2x1 '(t) 5x2'(t) = 3x 1 (t) 7x2 (t) + 3

sistemini gözönüne alalım. Bu sistemi ve x 1(0) = 3, x2(0) = 0 ba ş lan-

gıç ş artlarını sağ layan x 1(t), x2(t) fonksiyonlarını ara dığı mızda aş ağı daki

matrisler kar şı mıza çıkar:

(4 -2 (1 -3 A = , B = Katsayı matrisleri

3 7 2 5

X (t) .= ( xl(t) ) X'(t) -= (xl:(t) Çıktı matrisi ve ç ıktı

x2(t) x2'(t)) matrisinin türevi

X (0) ( 3 )

O baş langıç durum matrisi

(sin3t) F(t) -= Girdi matrisi ya da kuvvet fonksiyonlar ı matrisi

3

Buna göre yukardaki sistem

BX'(t) = AX (t) + F (t); X (0) = (3,0)T

biçiminde bir matris denklemi olarak yaz ılabilir.

Birinci basamaktan lineer diferensiyel denklem sistemleri, uygu-lamalı bilimlerde büyük öneme sahiptir. Örne ğ in, fiziksel sistemlerin davranış larının incelenmesi, kimyasal ve ekonomik bir çok problemler karşı mıza bu tür bir sistemi ç ıkarır.

Herhangi basamaktan diyelim 2 ya da 3 üncü basamaktan bir satır matrisi, 2 ya da 3 boyutlu uzayda bir noktamn koordinatlar ı olarak yorumlanabilir. Orijinden ç ıkan vektörlerle, o vektörün uç nok ,

tas= koordinatları arasında bire bir ili şki olduğundan, örneğin 3 boyutlu uzayda vektörler ile 3 üncü basamaktan sat ır matrisleri ara-sında bire bir ili şki vardır.

R =(ri, r2, r3) ve S =(s i , s2 , s 3) bu biçimde yorumlanır ve vektör cebirinin bilinen sonuçları kullamlirsa

R+S= (ri -1- 82, r2+ 82, r3+ s 3)

R.S = ro l+ r2s2+ r3s 3

127

aR = (ar ı , ar2, ar3)

IR = ,N/ R.R = ,\/ r 1 2+ r22+ r32 (gerçekte R nin normu)

dır.

Satır matrisleri için belirtilen toplam, elemanter fizikte paralelkenar

yasası olarak bilinir Vektörlerin toplam ı , nokta gösterimi ile kolayl ıkla

anlaşı lır.

Ş ekil 5.2.2 de görüldü ğü üzere R =(r ı , r2) ve S =(s 1 , s2)

ise kar şı lık gelen koordinatlar toplanmak üzere

Şekil 5.2.2.

T = R S = (r ı , s ı , r2 s2) t2) dir.

Uç boyutluya uygulandığı nda paralelkenar yasas ının incelenmesi,

tamamen aynı tür sonuçlar ın geçerli oldu ğunu gösterir.

R = (r ı , r2, r3), S = (s ı , s2, 83)

ise

T t2, t 3) = R + S = (r ı s1, r2 s2, r3 s3)

dür.

Vektörlerin toplam kavram ı , bir vektörü bile ş enlerine ay ırma

düşüncesini ortaya getirir.

R = (r ı , r2) , R ı = (r ı , O) , R2 = (O, r2)

vektörlerini gözönüne alal ım. Burada R 1 , x 1 ekseni üzerinde ve uzunlu ğu

I R ı I olan bir vektör, R2 de x2 ekseni üzerinde ve uzunlu ğu R2 I olan

bir vektördür Buna göre

128

R = R ı + R2 = (r ı , 0) -I- (0, r2) (ri, r2)

R 1 ve R2 vektörlerine, koordinat eksenleri boyunca R nin vektör bileş enleri denir. Daha yüksek boyutlu uzaylarda geni ş letilebilecek olan

bir vektörü, koordinat eksenleri boyunca onun vektör bile ş enlerine ayırma kavram ı yerine göre oldukça yarar Sa ğ lar.

Bir skaler ile çulı ma kural ı uygulan ırsa R 1 =(r 1 , 0) = r 1 (1,0), R2 = (0,r2) = r2(0,1) ve buradan R = (r i , r2) = r 1(1,0) r2 (0,1) d ı r. (1,0) ve (0,1) s ırasiyle x ı ve x2 eksenleri üzerinde uzunluklar ı 1 olan vek-törlerdir. Bu vektörler birim vektörler ad ını alır ve E 1 , E2 ile gösterilir. r i ve r2 sayıları , R nin x1 ve x2 ekseni boyunca skaler bilesenleri'dir.

Benzer olarak üç boyutlu uzayda R =(r 1 , r2 , r3) vektörü

R =(r 1 , r2, r3) = r1 (1,0,0) r2(0,1,0) r3(0,0,1)

= rl E i + r2E 2 + r3E 3

biçiminde yazılabilir. Buradan bir düzlemde herhangi bir vektör, E i = (1,0), E2 = (0,1) biçiminde iki birim vektörün ve üç boyutlu uzayda herhangi bir vektör E i = (1,0,0), E2 = (0,1,0), E 3 = (0,0,1) biçi-minde üç birim vektörün skaler ile çarp ı mlarmın toplam ı olarak ya-zı labilir.

R. S iç çarpımı önceden bilinen bir gerçektir. Geometrik görü ş açısından iç çarp ım tabii olarak 0, R ile S vektörleri aras ındaki açı , (R , R vektörünün uzunlu ğu olmak üzere

R.S = IR ISI cos0

ile tammlamr. R ve S vektörlerinin dik olmas ı , R.S = 0 olmas ı ile eş -

değerdir. Bundan ba ş ka 1 R I = VR.11 analitik geometride bilinen uzun-luk formülüdür. a R vektörü de uzunlu ğu a ile çarp ılan ve a > 0 ise R ile ayn ı yönde a < 0 ise R ile ters yönde olan bir vektördür.

ALIŞ TIRMALAR

1. 1 —2 3 5

A = (12 0 7 —3)

4 2 6 17

matrisi gözönüne al ınıyor.

(a) Anın basama ğı nedir?

(b) A nın (2, 3) ve (3, 4) konumundaki eleman]. nedir?

129

(e) -2,6 ve 5 nin adresi nedir? (d) A nın köş egen elemanlar ı nedir? (e) A nın üst üçgensel elemanlar ını belirtiniz? (f) Row2(A), Co13(A), Min22(A), Min24(A), Row ı (min ı 3(A)) y ı

yazını z ? (g) A nın kaç tane 3x3 ve kaç tane 2x2 böçiminde altmatrisi var-

dı r? (h) ent 33(A), ent 12(A), ent22(A) yi bulunuz?

o (-2

7 17 3 -1 9 5 4

9 1 6 2 0 16 11

A

matrisi içi n Alış tırma 1 deki soruları cevaplay ınız?

3. 4x4 biçiminde kö ş egen olmaya n ancak blok kö ş egen olan bir matris yaz ınız?

4. 4x4 biçiminde üst üçgensel olmayan ancak blok üst üçgensel olan bir matris yaz ı nı z?

5 Aş ağı daki matrisleri tam olarak yaz ınız?

(a) D 1 = Dg(3, —5, 2, 6)

2.

(

(b) D2 = - 5 , İ 2 o \ k ı 2 1

(1 2 0 O 2 O)

0 1 2

(e) ent 32(D2), ent55(D2) yi bulunuz?

6. Aş ağı daki lineer denklem sistemlerini, gerekli matrisleri belir-terek bir matris denklemi olarak yaz ımz?

(a) x y + z =-- 4

2x + y — 3z = 6

(b) 3x 1 + 2x2 + 16x3 + 5x4 = 1

2x2 + 10x3 + 8x4 = 4 x ı + x2 + 7x3 + 3x4 = 1

(c) Y ı = 7

3Y1 Y2 = 12 —4Y ı Y2 + Y3 = 19 6y ı + 3Y2 + 3y4 = 0

130

(d) 2x i + x2 -I- 5x3 + x4 = 5

xi + x2 - 3x3 - 4X4 = -1

3X İ 6x2 - 2x3 + X4 = 8

2x i 2x2 2x3 3x4 = 2

(e) Y ı i (t) 2y'2(t) = 12Yi(t) — 5y2(t) 3e- t

3y' i(t) 2y' 2(t) = 30y ı (t) — 12y2(t) 4e-t

(f) x' / (t) — 3x' 2(t) = 4x i(t) — 2x2(t) sin3t

2x' ı (t) 5x'2(t) = 3x i(t) + 7x2(t) 3

(g) 3x' i(t) 2x' 2(t) 15x' 3(t) 5x'4(t) = 2x i(t) 5x4(t) +e-3t

2x'2(t) 10X3(t) + 8X' 4(t) = 4X ı (t) + 2x3(t) sin3t

x' ı (t) x'2(t) 7x'3(t) 3x'4(t) = 8x i(t) — 3x2(t)

7. Hangi tür katsay ı matrisleri için m denklem ve n bilinmiyenden oluş an bir sistemi çözmek daha kolayd ır, açıklaymı z?

5.3. MATR İ SLER ÜZERINDE AR İ TMETİ K I Ş LEMLER

Bu kesimde matrislere ili şkin toplam, bir skaler ile çarp ım ve çar-p ım denen üç aritmetik i ş lem üzerinde durulacakt ır. Bu iş lemler her ne kadar do ğal aritmetik ile (lx1 durumu) belli özelikleri payla şı yor iseler de ayn ı zamanda belli ayr ıcalıkları da içerirler.

Matris toplam ı çok basit bir i ş lemdir. Ayn ı biçimde iki matrisin toplamı , karşı lık olarak gelen elemanlar ı toplamakla elde edilir.

TANIM 5.3.1. A ve B matrisleri mxn biçiminde ise, onlar ın A+B toplam ı , i = 1,2,..., m ve j = 1,2,..., n için

entii(A b) = entii(A) entii(B) = aij bı i eş itliğ ini sa ğ layan mxn matrisidir.

İ lgiye değer durumları belirtmede yarar vard ır:

1. Matris toplamı , sadece ayn ı basamaktan matrisler aras ında ta-nımhdır ve aynı basama ğa sahiptir. İ ki matrisin toplam ı tanımh ise, onlar toplama göre uygundur denir.

2. mxn biçiminde iki matrisin toplamı bir diğer mxn matrisidir. Buna göre bütün mxn matrisleri cümlesi toplama göre kapandır denir ya da matris toplam ı , mxn matrisleri cümlesinde bir ikili i ş lemdir.

131

3. Paralelkenar yasas ı nedeniyle vektör toplam ı , matris toplam ı -

nın özel bir durumudur.

Matris toplam ı , skaler toplamdakine benzer özeliklere sahiptir. Aş ağı daki teorem bu özelikleri belirten bir teoremdir. Yaz ılan bütün

matrislerin toplama göre uygun olduklar ı varsayılıyor.

TEOREM 5.3.1. Matris toplam ı aş a ğı daki özeliklere sahiptir:

1. A + B = B+ A d ı r. (De ğ i ş me özeliğ i)

2. A + (B + C) = (A + B) + C d ır. (Birle ş me özeli ğ i)

3. Matris toplamı için bir birim eleman vard ır: yani, her bir A matrisi için A + Z = Z + A = A e ş itliğ ini sağ -

layan bir tek Z matrisi Vard ır.

4. Toplama göre bir ters matris (negatifi) vard ır:

yani, her bir A matrisi için A + (—A) == Z e ş itliğ ini sağ layan

bir tek —A matrisi vard ır.

5. A+ B = A + C ise B = C dir. (Yoketme yasas ı )

Ispat.

1. entij (A + B) = antii(A) + entii(B)

entii(B + A) = entii(B) + entii(A)

dır. Her i ve j için ikinci yanlar e ş it olduğundan A + B = B + A d ır.

2. i ve j ye herhangi bir özel ba şvuru yapmaksızın entii(A +-

(B + C)) = entiMA + B) + C)

olduğu gösterilirse, bu durumda A + (B + C) = (A + B) -I- C oldu-ğu anla şı lacaktır. Tanım 5.3.1. den

entii(A + (B + C)) = ent ii (A) + entii(B + C)

entii(A) + (entii(B) + entii(C))

ve

entii((A B) + C) = entii(A + B) + entij(C)

=--- (entii(A) + entii(B)) + entii(C)

yaz ı labilir. Son iki gösterim, say ıların toplama göre birle ş me yasas ının

bir sonucu olarak ayn ı dı r.

132

3. A matrisi mxn biçiminde ise, bu durumda A + Z = A olmas ı ,

Z nin her bir eleman= o olmas ı ile e ş değerdir. O halde Z = O d ır. (Konuların geliş imi içersinde 0 ın bir matris ya da bir skaler olup olma-dığı , karışı klık olmaks ı zın anla şı lacakt ır).

4. —A matrisi, elemanlar ı

entij(- A) = — entii(A)

e ş itliğ ini sağ layan matristir.

5. Yoketme yasas ı , diğer özeliklerden anla şı lır:

A + B = A + C nin her iki yan ına —A eklenirse

(—A) -F (A + B) = (—A) ± (A +- C)

(—A A) + B = (—A -I- A) C (Özellik 2 nedeniyle)

B =--- C (Özelik 3 ve 4 nedeniyle)

elde edilir.

Ş imdi matrislerin fark'm ın ne anlama geldiğ i tammlanabilir. A —B = A + (—B) ve buradan

entii(A — B) = entii(A) — entij(B) dir.

Bir matrisin bir skaler ile çarp ımı , matris toplam ı ve fark ından da kolaydı r. Tan ım az da olsa A + A A = 3A v.b. yazabilme iste ğ ine aç ıklık kazand ırır.

TANIM 5.3.2. b bir skaler ve A mxn biçiminde bir matris ise bu durumda bA skaler ile çarpı m ı ,

entij(bA) = bentii(A) = hali

ile tammh mxn matrisidir.

TEOREM 5.3.2. A ve B toplama göre uygun matrisler, a ve b isteksel say ılar olsun. Bu durumda skaler ile çarp ım aş ağı daki özelik-lere sahiptir:

1. (a b) A = aA bA

2. a (A -F B) = aA aB

3. a (bA) = (ab)A

4. 1. A A

5. o . A = O

133

Ispat.

1 . enti ı ((a b) A) = (a b) ent i ı (A) = aenti ı (A) + benti ı (A)

entiı (aA bA) = ent i ı (aA) enti ı (bA) = aenti ı (A) bent iı (B)

2. ent ii(a (A -F B))

a entiı (A B)

a (ent i ı (A) ent ıı (B))

a ent i ı (A) aenti ı (B)

entii (aA aB)

ent ı i (aA) enti ı (aB)

= aenti ı (A) aeıı t ij(B)

3. 3. entij(a (bA) = aenti ı (bA) = (ab) enti ı (A)

enti ı ((ab)A) = (ab) entij(A)

4. enti ı (1A) = 1. enti ı (A) = ent ii (A)

5. enti ı (oA) = o. entii(A) = o (Her iki yandaki s ıfı r, sayıdır.)

Matrisler üzerinde en önemli i ş lem, matris çarp ımıdır. Matris çar-

pı mmın genel tan ı m ı en iyi ş ekkilde a ş a ğı daki tanı mda verilen bir sa-

t ı r matrisi ile bir kolon ınatrisi ıı in çarp ımı cinsinden anlaşı lı r. Bu çarp ım,

daha önce sözü edilen iç çarp ım ile yakından ilgilidir.

TANIM 5.3.3. m yinci basamaktan bir sat ır matrisi

R = (r 1 ,r2,..., r,a) ve m yinci basamaktan bir kolon matrisi

el*

C = oz

olsun. RC çarpım ı

RC = (r ı )r2)..., r ın r ic i r2c2 .• • -1- rmem E rici i=1

sayı s ı olarak tammlamr.

Bu tan ı m, a ı x ı a2x2 amxm = k lineer denkleminin,

134

/ x j X2

(a l , am)

biçiminde matris denklemi olarak yaz ılmasını mümkün kılar.

TANIM 5.3.4. A ve B s ırasiyle mxn ve nxp biçiminde matrisler olsun. AB çarpım ı , elemanları

ent ij(AB) = Rowi(A) Colj(B)

== (ai2, ai2, ain)

I bis\ b24

alib ij ai2b2j ai nb nj

ile tanımlı mxp biçiminde matris olarak tamml ı dır. Toplam gösterimi kullanılarak bu ba ğı ntı

enti j(AB) = E aikbkj = E eatik(A) entkj(B) k=1 k=1

biçiminde yaz ılabilir.

A ve B nin s ırasiyle mxn ve sxp biçiminde olduklarını varsayarak matris çarp ımı hakkında önemli gözlemleri belirtelim:

1. AB çarp ımının tanımlı olması , n = s olmas ı ile eş değ erdir, ya-ni ilk çarpaııııı kolon sayı sının ikinci çarpanın satır sayı sına eş it olmas ı ile eş değerdir. Bu durumda AB çarp ı mı mxp niçimindedir. Genel ola-rak

Amx ıiB mq, = ABmxp

gösterimi kullanı lır. AB çarp ımı tanımlı ise A ve B matrislerine çarpı -ma göre uygundur denir.

2. AB çarp ımı tan ımlı ise, BA çarp ımı tanımlı olabilir, olmaya-bilir. Gerçekten BA çarp ımı= tanımlı olmas ı , p = m olmas ı ile eş de-ğerdir. Bu durumda BA, sxn biçimindedir, yani

BsxmAmx n = BAsx n

= k

135

il 3 A =

26 ) ve (21 B =

—2

ise

dır. Buradan AB ve BA çarp ı mları tan ımb olsa bile aynı biçimli olma-ları gerekmez. Örne ğ in, A ve B s ırasiyle 2x3 ve 3x2 biçiminde ise AB ve BA tan ı mlı olup s ı rasiyle 2x2 ve 3x3 biçimindedir.

3. AB ve BA çarp ımlarmın her ikisinin tanımh ve ayva biçimli ol-mas ı , ın = n = s = p olmas ı , yani A ve B nin ayn ı basamaktan kare-sel matrisler olmas ı ile e ş değ erdir.

4. A ve B, n yinci basamaktan karesel matrisler olsa bile AB =BA oldu ğu sonucu ç ıkarılamaz. Bununla beraber, AB ve BA n ın daima fark-lı olması da gerekmez Örne ğ in,

0 Ve

İ 14, 28\ BA

k-7 —14 İ

dır. AB ve BA ayn ı biçimli ancak AB -7L BA dır. Öte yandan

A = (

-1 2 —1) -N, e B = (-5

6 —5) 1 —1 2/ 5 —5 6

ise

22 —21 21

AB -= BA = (-21 22 —21)

2l —21 22 dı r.

Matris kuram ında verilen bir A matrisi ile de ğ iş me özeliğ ini sağ -layan bütün B matrislerini bulmak zor bir problem olma niteli ğ ini ko-rumaktad ır. AB = BA ise A ve B değ iş me özeli ğ ine sahiptir denir. Özel olarak A ve B ayn ı biçimde kö ş egen matris isele ı AB ----- BA d ır.

5. nxn biçiminde I n = Dg (1, 1,..., 1) kö ş egen. matrisi AI n -= A. ve Ini de ImA = A özeliğ ini Sağ lar. I n matrisine, n yinci basamaktan birim matris denir. I n ın biçimi sözün geli ş inden aç ık ise, alt indisi ço-ğunlukla yaz ılmaz. I birim matrisi, ço ğunlukla İ%j Kronecker deha gösterimi

o, i s ıı =

1, i= j

olmak üzere I = (,% i ) ile gösterilir.

136

6. Herhangi bir e skaleri için eI = D g (e, c) olmak üzere cA (d) A dı r. cI matrisi, skaler matris adını alır. Skaler matris, kö ş egen

elemanları aynı olan bir kö ş egen matristir.

7. Kesim 5.2 de verilen bir lineer cebirsel denklem sisteminin AX = K ve bir lineer diferensiyel denklem sisteminin BX'(t) = AX (t) + F (t) biçiminde bir tek matris denklemi olarak yaz ılabilmesi, matris çarp ı mmın bir sonucudur.

8. A ve B matrisleri için A B ve AB çarp ımmın her ikisinin ta- nımlı olmas ı , A ve B nin ayn ı bas amaktan karesel matrisler olmas ı ile eş değ erdir.

9. Karesel matrisler için çarpmaya göre birim eleman vard ır, ya-ni AI = IA = A d ır. Ancak s ıfır olmayan her A karesel matrisi için AB = BA = I olacak ş ekilde çarp ı ma göre bir B tersi yoktur. Örne ğ in,

(_2 4 \ 1 A =

-2/

için AB = BA I olacak ş ekilde bir B matrisi bulunamaz.

10. Matris çarp ımında yoketme yasas ı geçerli de ğ ildir, yani A^0 olmak üzere AB =AC den genel olarak B =C sonucu ç ıkarılamaz. Örneğ in,

1 1 O O O -1 3 4 2 A = (2 0 2) , B = ( O -2 O) , C = (-2 -1 -1)

O 5 5 -5 O O -1 -3 -1

olsun. Buna göre

1 3 1 AC =--BC = ( ( 4 2 2

-15 -20 -10 )

dır. Bununla beraber, e ş itliğ in her iki yan ından C yokedilirse ya da her iki yan sa ğ dan C-1 ile çarp ı lırsa A =B elde edilir ki bu do ğ ru değ ildir, çünkü A ve B matrisleri e ş it değ ildir. Bu iş lemin doğ ru olmayış nun. ne-deni, C nin tersinin olmamas ı dır. Ancak daha sonra görülece ğ i üzere (bak Al ırt ırma 22)

C-1 var ve AC =BC ise A ---=B ve

C-1 var ve CA =CB ise A =B dı r.

137

Öte yandan s ıfırdan farkl ı matrislerin çarp ımı s ıfı r olabilir. Gerçek-ten yukardaki matrisler için AC =BC geçerli idi. Bu e ş itlik AC-BC =O ya da (A-B) C=0 biçiminde yaz ılabilir. Buradan

1 1 1 A—B = (2 2 2)

5 5 5

ve C matrisi d ıfırdan farkl ı oldu ğu halde (A—B) C =0 d ır. Do ğal arit-metikte ise böyle bir durum yoktur, çünkü xy =0 ise ya x =0 ya da y =0 dır. Matrislerde ise durum böyle de ğ ildir, yani iki matrisin çarp ımı sıfır ise, çarpanlardan birinin s ıfır olmas ı gerekmez. Ancak s ıfırdan farkl ı iki matrisin çarp ımı s ıfır ise, her iki matris ayk ırı dır, yani tersleri yoktur. Gerçekten A / 0 ve B olmak üzere AB =0 oldu ğunu varsayalım. Eğer A nın bir A— ltersi olsayd ı bu durumda

A-1AB = A-1 0 = 0

IB =O B =O

olmas ı gerekir idi. Bu ise yukardaki varsayı ma ters dü ş er. Buradan A -1

var olamaz. Benzer durum B için geçerlidir.

Her ikisi s ıfırdan farklı ancak çarp ımı sıfır olan iki A ve B matris çifti s ıfır bölenleri adın ı alır. Do ğal aritmetikte ise s ıfır bölenleri diye bir ş ey yoktur.

11. S ı fırdan farkl ı bir A matrisi için, n > 1 olmak üzere An =O olabilir. Bu türden mat ı isler etkisiz (nilpotent) matris ad ını alır An =0 özeliğ ini gerçekleyen en küçük n tamsay ı snaa A n ın etkisizlik derecesi (nilpotentlik derecesi ya da indeksi) denir.

Örne ğ in,

1

(

-1 0

1 —1

0

2 —2) 0/

1

—2

1

—1

3 6)

—3

matrisleri s ı rasiyle 2 inci ve 3 üncü dereceden etkisiz matrislerdir. Öte yandan A nxn biçiminde kuvvetli üst ya da alt üçgensel matris ise Alı =0 dır.

12. A bir karesel matris ise A 2 =AA, A3 =AAA, v.b. tammlanabilir. Genel olarak p (x) polinomu

P (x) = ao+ a ı x+a2x2 +...+ akxk

biçiminde herhangi bir polinom ise, bu durumda

138

p (A) = a0I a ıA+a2A2+...+ akAk

biçiminde tan ımlamr. p (A) ya A matrisi için p (x) polinomunun de ğ eri

denir. Sabit terim yerine a oI yazman ın zormı luluğuna ilgi çekilmelidir.

Matris çarp ı mı= de ğ iş me özeliğ ini sa ğ lamaması ve çarpmaya göre terslerinin daima olmamas ı , matris çebiri ile skaler cebiri aras ındaki iki büyük farkt ır. Bununla beraber, matris çarp ımı skaler ile çarp ımın baz ı anlamlı özeliklerini payla şı r. Özel olarak, kapsanan matrislerin sadece uygun olduklar ı varsay ılırsa birle ş me ve da ğı lma yasaları geçerlidir.

TEOREM 5.3.3. (Birle ş me yasası) A,B ve C, AB ve BC çarp ımları tanı mlı olacak ş ekilde herhangi matrisler ise, bu durumda A (BC) = (AB) C dır.

Ispat. A,B,C ınatrislerinin s ırasiyle mxn, nxt ve txs biçiminde olduklarını varsayahm. Bu durumda A (BC) ve (AB) C nin her ikisi mxs biçimindedir ve onlar ın e ş it olduklarını göstermek için, her i =1,2,..., m ve j =1,2,..., s için

entii(A(BC) ) = entii( (AB)C)

olduğunu göstermek yeter. Tan ım 5.3.4 den

entii(A(BC) ) = E entik(A) entkj(BC) k-1

t = E aik ( E bkucuj

k=1 u= ı

dır.

Adi çarp ımın birle ş me ve da ğı lma yasaları nedeniyle bu e ş itlik

n t

entij(A(BC) ) = E E aik(bkucui) tı--4

eş itliğ ine indirgenir. Benzer olarak

t entii( (AB)C) = E entiu(AB) entuj(C)

ıı- ı

t n

E ( E a ı kbku )Gul 11-1 k=1

139

dır. Toplamlar sonlu oldu ğundan toplamm basama ğı Buradan

t entjj( (AB)C) = E E (a ı kbku) Cui

k=1

n t anchkueui entjj(A(BC))

k=1 u=1

dır. Bu e ş itlik, i ve j nin her bir seçimi için geçerli oldu ğundan ispat tamamlan ı r.

TEOREM 5.3.4. (Da ğı lma yasas ı ) A, B ve C, Al B ve AC tan ı mlı olacak ş ekilde herhangi matrisler ise, bir durumda

(A+B) C= ACH-BC

ve A+B, CA tan ımlı ise, bu durumda

C (A+B) = CA+CB

dı r.

Ispat. A ve B nin mxn ve C nin nxt biçiminde olduklar ını var-sayalı m. Bu durumda AC+BC ve (A+B) C nin her ikisi mxt biçimin-dedir. Bunlar ın eş it olduklarını ispatlamak için her bir i=1,2,..., m ve j=1,2,..., t için

entij ( (A+B)C) = entij(AC+BC)

olduğunu göstermek yeter.

Tanım 5.3.4 ve 5.3.1 den

entjj( (A+B)C) = Z entik(A+B) entki(C) = (a ı k+ b ı k) eki i k=1

ve aritmeti ğ in da ğı lma yasas ı kullanılarak, bu e ş itlik

n n entij( (A+B)C) = E (a ı keki+ b ı keki) = E aikek3+ E bikeki

k=1 k=1 k=1

eş itliğ ine indirgenir. Yine Tanı m 5.3.1 ve 5.3.4 den

entij( (A+B)C) = entjj(AC) entjj (BC)

= entij(AC+BC)

140

yazılabilir. Bu eş itlik, i ve j ye bağ lı olmadığı ndan (her i ve j için geçerli olduğundan) (A+B) C =AC+ BC d ır.

Ş imdi teremin ikinci k ısmının ispatını yapalım

C nin mxn ve A, B nin nxt biçiminde olduklar ını varsayal ım. Bu durumda C (A+B) ve CA+CB nin her ikisi mxt biçimindedir. Bunlar ın e ş it olduklarını ispatlamak için her bir i m ve her bir j =1,2,.., t için

entii(C(A+B) ) = entij(CA+CB)

olduğunu göstermek yeter.

Tanım 5 3 4 ve 5.3.1 den

n entij(C(A+B) ) = E entik(C) entki(A+B)

k=1

n = E Cik(akj+ bkj)

k=1

n n E eikakj+ eikbki ( aritmetikte da ğı lma

k=1 k-1 yasas ı ned.)

dır. Öte yandan

entii(CA+CB) = entii(CA) + entij(CB)

= E entik(C) entki(A) entik(C) entki(B) k=1 k=1

n n = E eikakj+ E Cikbkj

k=1 k=1

olduğundan ikinci yanlar her i ve j için e ş ittir. Ohalde birinci yanlar da eşittir. Buradan

entii(C(A+B) ) = entij(CA+CB) C (A+B) = CA÷CB

dır. Bu kesimde ğözönüne al ınan son konu, bir matrisin çarpmaya göre tersi olacakt ır.

TANIM 5.3.5. A bir karesel matris ve B de AB =BA =I olacak ş ekilde bir matris ise, bu durumda B matrisi A n ın çarpmaya göre tersi-

141

dir. A nın çarpmaya göre bir tersi var ise, bu durumda A ya düzgün

ya da tersine çevrilebilir matris denir. A n ın çarpmaya göre bir tersi

yok ise, A ayk ırı, ya da tersine çevrilemez matris ad ını alır.

Her matrisin çarpmaya göre bir tersi olmad ığı gibi bir çok matrisin

çarpmaya göre tersi vard ır. Baz ı örnekler verelim. Bu a ş amada iki

çarp ımı kontrol etmek gerekir. Ancak daha sonra ispatlanacakt ır ki A

karesel ve AB =I ise bu durumda BA =I de geçerlidir.

ÖRNEK 1.

A = v ki 3 İ

e B -(-1 1)

matrisleri birbirinin çarpmaya göre tersleridir. Gerçekten AB =BA =I dır.

ÖRNEK 2.

1 O O O 24 O O

T (1 2 0 O -12 12 0 0

2 1 3 0 nin tersi U = -12 -4 8 0 1 2 1 4 3 -5 -2 6 /

dır, yani TU =UT =I d ır.

ÖRNEK 3.

— 6 3 1 -5

1 (3 P =

3 1 1

3 3 3

nin tersi kendisidir,

yani P2 =I dır. Bu özeli ğe sahip matrisler involütif matris adını alı r. involütif bir A matrisi için A =A -1 dir.

Birle ş me yasas ı nedeniyle bir matrisin en fazla bir terse sahip olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Gerçekten

AB =BA =I ve AC =CA =I olduğunu varsayalım. Buradan

C (AB) =CI =C ve birle ş me özeliğ i nedeniyle

C = C (AB) = (CA) B = IB = B dır.

142

TANIM 5.3.6. Bir düzgün A matrisinin çarpmaya göre tersi tektir ve A-lile gösterilir.

1 Kesinlikle A-1

' —A

—A

ya da

biçiminde yazdamaz. Çünkü

böyle bir durumda örne ğ in, B

gösteriminden bunun A-1B mi yok-

sa BA-lmi olduğu açıkça anla şı lamaz. Bu nedenle matrislerde bölme kuralı yoktur.

Tersin önemli özelikleri vard ır. Bunları bir teorem ile verelim.

TEOREM 5.3.5. Çarpmaya göre ters a ş ağı daki özeliklere sahiptir:

1. A-1var ise, bu durumda (A-1 )-1 -= A d ı r.

2. c_() ve A-1var ise, bu durumda (cA)-1= 1 — A-1dir. e

3. A-1ve B-1var ise, bu durumda (AB) -1 = B-1A-1 dir.

Ispat.

1. A n ın tersi var ve A-lolduğuna göre AA-1 = A-1A=I dır. Bura-dan A-lin de tersi vard ır ve A d ır. (çünkü A n ın tersi B ise, B nin tersi de A dir.) Ohalde (A -1 ) -1 = A dır.

2. (cA) (c-1A-1 ) = ec-1 (AA-1) = I ve

(c-1A-1) ( cA) = c- ı c (A-1A) -=

dır. Buradan c -1A-1 = 1 —e

A-1 , cA n ın tersidir, yani

(cA)-1 = 1 A-1

dır.

3. (AB) (B -1A-1) = A (BB-1) A-1 = AIA-1 = AA-1 = I ve

(B-1A-1) (AB) = B-1 (A-1A) B =B-1IB =B-1B ----J

olduğundan AB nin tersi B-1A-1 dır, yani

(AB)-1 = B-1A-1

dir.

143

Ş imdiye kadar bir matrisin tersini bulman ın etkili teknikleri üzerinde henüz durulmu ş değ ildir. Ancak Alış tırma 10 da sadece 2x2

biçiminde matrisler için bir formül veriliyor. Bir ba ş ka özel durum Alış t ırmalarda gözönüne al ını yor. Bununla beraber, bir matrisir ı tersini bulmanın genel teknikleri üzerinde daha sonraki kesimlerde durula-cakt ır.

ALIŞ TIRMALAR

1 2 3 L A -=-

(4 5 6 ve B

1 O (2 3) \0 4

veriliyor. AB ve BA y ı bulunuz. A+ B tan ı mlı midir?

2 —1 5 —3 5 6

0 1 2 3 2 4) , B 2) , C = (-1 3 O) 2. A = ( 8 0 —2 1 —1 —1 1 —2 1

için A (BC) = (AB) C yi gerçekleyiniz ?

1 O 1 7 3. M =(

1 2 O) N =(-1 5 6 , S = 3 5 —2

5 —3 4/ \ 2 O —1) ( —5 2 4 3 2

için (M+ N)S =MS +NS olduğunu gerçekleyiniz ?

S(M+ N) =SM+ SN midir, aç ıklayını z ?

( 2 1 O 4. J

0 2 O) için J 3-3J2'+ 41 yı bulunuz?

O 0 —1

2 —1 1 5. S = (-1 2 —1 2) ve m (x) =x2-5x + 4 için m (S) de ğ erini

1 —1 bulunuz ?

1 2 6 6. T

(O —1 4) ve p(x) = x 3-6x2 + 7x-5 için O O 3

p (T) nin değerini bulunuz ? p (T) nin kö ş egen elemanlar ının p (1), p (-1) ve p (3) oldu ğunu gerçekleyiniz ?

7. Tl ve T2, nxn biçiminde üst üçgensel matrisler olsun. T 1 T2

nin de üst üçgensel olduğunu gerçekleyiniz ? T 1 T2nin köş egen elemanları nedir? T nxn biçiminde bir üst üçgensel matris ve p (x) herhangi bir polinom olsun. p (T) nin, kö ş egen elemanları p (t ı i ), p (t 22),..., p (t im) olan bir üst üçgnesel matris oldu ğunu gösteriniz ?

144

(O 1 0 0‘ 9. N= 0010

0 001 \O 0 0 0/

için N 2, N3 , N4 v.b. hulunuz?

Nk k! aç

ı lı mı nı elde

ediniz 9

Buna göre eN = E k=0

8. A 1

ile de ğ iş me özeliğ ini gerçekleyen en genel B 0 matrisini bulunuz?

10. ad-be-/-0 olmak üzere A (a C

1 d -b) B = olsun. Buna göre AB ve BA y ı

ad-be a hulunuz.

11. Aş ağı daki matris çarpl ınların ı hulunuz?

(bi) ve

1 (a) (0

O .0 0

1

O 1) O f )

a (d

g

b e h

e 1 0 O e

(b) (0 k 0) (a d e f) O O 1 h i/

100 abc c) 1 O O

(e) (O 1 O) (d e f) (d) (ad e (O O 1) k 0 1 h i g h O 1 O

a b c 1 O O ,a b e 1 0 0 (e) (d e f ) (O k 0) (f) e f) (0 1 O)

g h i 001 ( d g h il k 0 1

12. A matrisi bir sıfır satırma sahip ise, herhangi bir uygun bir B matrisi için AB matrisinin bir s ıfır satırına sahip olduğunu gösteriniz? Benzer olarak, B matrisi bir s ıfır kolonuna sahip ise, herhangi bir uygun A matrisi için AB nin de bir s ıfır kolonuna sahip oldu ğunu gösteriniz?

-3 5 6 0 1 2\\ A -=-= (-1 2 21 ise A-1 (-1 3 O)

1 -1 -1 1 -1 1 ve

3 -1 2 -3 6 3 B = (2 1 1) ise B-1 = (-1 2 1) -

1 -3 0 7 -8 -5

olduklarını gerçekleyiniz? Ayr ı ca (AB) -1 , (BA) -1 (A2)-1 , (ABA)-1 matrislerini bulunuz?

145

(N1 1

N ı 2)N22 N2 İ

14. D = Dg(d ı t , d22,..., d rı n) köş egen matrisi ne zaman bir terse sahiptir? Var olmas ı durumunda D-1 için bir formül bulunuz?

15. A-Ivo B- lvar ancak (A+B) ayk ırı olacak ş ekilde 2x2 biçiminde A ve B matrisleri bulunuz? A-1 , B-lye (A+B) -1var ise (A+B)-1 --= A-1 + B-1 e ş itliği do ğ ru mudur, aç ıklayını z ?

16. Alış tırma 4 ün sonucunu kullanarak J nin J -1 tersini bulunuz ?

17. Alış tırma 5 in sonucunu kullanarak S in S -1 tersini bulunuz?

18. Alış tırma 16 ve 17 nin sonuçlar ını genelleş tiren bir teorem ifade ediniz ve teoremi ispatlaym ı z 9

19. Katsaydar matrisi düzgün olan AX =K matris denkleminin çözümleri hakk ında ne söylenebilir, aç ıklaymı z

20. A ve B, AB tan ımlı olacak şekilde matrisler olsun. Herhangi bir c gerçel say ıs ı için A (cB) = c (AB) = (cA)B oldu ğunu gösteriniz ?

21. A ve B, Alış tırma 13 deki matrisler olsun. Buna göre

Row2(AB) = — Row ı (B) 2Row2(B) 2Row 3(B) Ve

Co13(AB) = 2Co1 1 (A) Co12(A) olduğunu gösteriniz ?

22 . Aş ağı daki yoketme yasalar ını gerçekleyiniz 9

(a) A-1 var ve AB = AC ise B = C d ır, (b) A-1 var ve BA = CA ise B = C dir.

1 -1 0 2 2 1

1 5

-2 1 I 2

5 O I 1

Ve

M — (M11 M12)

\ M21 M22/

olsun. Buna göre do ğ rudan bir

(

MIIN ıı M12N21

M21N11 M22N2 ı

olduğunu gerçekleyiniz ?

iş lem ile

M22N12 Mi2N22)

M21N12 M22N22 MN =

146

24.

O) (2 O) JP P nin sadece P ayk ır ı ve J =

\0 2 1 2

için geçerli oldu ğunu gösteriniz?

25. A-1 var ve AB -= 1 ise, bu durumda BA = I oldu ğunu gösteri-niz?

5.4. TRANSPOZ İ SYON

Matris toplant ı ve matris çarp ımı , ikili matris iş lemi örnekleridir, yani verilen iki matristen yeni bir matris üreten i ş lemlerdir. Bu neden-le ikili matris i ş lemi, çoğunlukla iki matris değ iş kenli bir matris de ğerli fonksiyon olarak dü ş ünülebilir. Bu kesimde bir tek matris de ğ iş kenli bir matris de ğerli fonksiyondan sözedilecektir, yani bir tek matrise iliş kin baz ı önemli iş lemler üzerinde durulacakt ı r.

TANIM 5.4.1. A bir mxn matrisi ise, bu durumda A nın AT ile gösterilen transpozu,

entii(AT) = entii(A) = aji

ile tanım!! nxm matrisidir.

AT matrisi, sat ır ve kolonlar ını değ iş tirmekle A dar elde edilen bir matris olarak dü ş ünülebilir.

ÖRNEK 1.

_2 -3 \ 1 4 A = (

1 ise AT = ( 2 -51

5

4 6) -3 6

dır. Köşegen elemanları , yer değ iş tirmede ayn ı kalır.

ÖRNEK 2.

1

C = (-2

3 )

kolon matrisi için CT = (1, -2, 3, 0)

biçiminde bir sat ır matrisidir. Bir kolon matrisi, yer kazanma ve dakti-loya kolaylık sağ lamas ı bakı mından ço ğunlukla bir sat ır matrisinin transpozu olarak yaz ıhr.

0

147

Bir matrisin transpozunun tan ımı , matrisin elemanlar ının yap ı sı -bağ lı olarak anlam kazan ır. Elemanlar ı karma şı k sayılar olan matris-ler için uygulamalarda yararl ı olan bir kavram vard ır. z = a + ib bir karmaşı k sayı ise, z nin karmaşı k e ş leniğ i z = a — ib dir. Kesim 4.6 da belirtildiğ i üzere yararl ı olaca ğı dü ş üncesi ile karma şı k sayı larm ko-laylıkla gerçeklenebilen baz ı özeliklerinden sözedelim•

1. Herhangi bir z karma şı k say ı s ı için 2 = z dir.

2. Herhangi iki z ı ve z2 karma şı k say ıları için _ -

z ı + z2 = z ı + z2 ve z ı z 2 = z ı z 2 dir.

3. z = a + ib ise zi = a 2 b2 = z 2 > 0 dir.

4. Bir z = a + ib karma şı k say ı s ının gerçel olmas ı

z z olması ile ve tamamen sanal olmas ı

z = —z olmas ı ile e ş değerdir.

TANIM 5.4.2. A bir mxn karma şı k matris ise, bu durumda A n ın

eş leniğ i,

enti ı (k) = ent ij(A) = aij

ile tan ı mlı mxn biçiminde karma şı k A matrisidir.

A n ın Hermitiyen e ş leniğ i,

A* =AT = A.T ya da

entii(A*) = entii(A) = aii

ile tan ı mla nxm biçiminde karma şı k A* matrisidir. AT = AT yerine A*

gösterimi Ostrowski'ye aittir.

ÖRNEK 3.

3 5+6i A = ( 2 3i

2+3i 2-i ise

=

dı r.

148

3 5-6i 3 2 2-3i 2 —3i ) ve A* = 2-3i 2+i \5-6i -3i 2 + i

Transpoze ve Hermitiyen e ş leniğ in özelikleri birbirine çok benzer.

Gerçekten, A sadece gerçel elem .anlara sahip ise A* = AT d ır. Bu du-

rumda Hermitiyen e ş lenik ile gerçel rnatrislerin transpozu hakk ında

söylenenler ayni olma özeli ğ ini korur.

TEOREM 5.4.1. Transpoze a ş ağı daki özeliklere sahiptir:

1. Her A matrisi için (AT)T = A d ır.

2. A + B tan ı mlı ise (A + B)T = AT + BT dir.

3. Herhangi bir a skaleri ve herhangi bir B matrisi için (aB)T = aBT dir.

4. AB çarp ı mı tanımlı ise (AB)T = BTAT dir.

Ispat.

1. Bir matrisin transpozumm tan ı mı nedeniyle

entii(AT)T = entj i(AT) = ent i i(A)

olduğundan AT = A d ır.

2. Matris toplam ı ve transpozun tan ı mı nedeniyle

ent ı j((A B))T = ent ji(A + B) = ent j i(A) entii(B)

entis(AT) ent ii(BT) = cntii(AT 4- BT)

nedeniyle (A + B)T = AT + BT dir.

3. entii(aB)T) = ent ii(aB) = a ent j i(B)

= a entij(BT) = entij(aB)T

nedeniyle (aB)T = aBT

4. A ve B nin s ırasiyle mxn ve nxs biçiminde olduğunu varsayal ı m.

Bu durumda AB, mxs ve (AB)T, BTAT matrislerinin her ikisi sxm bi-

çimindedir. Transpoze ve matris çarp ı mının tanı m ı nedeniyle

n entij((AB)T) = entii(AB) = E entjk(A) ent ki(B)

k=1

= E entkj(AT) ent ik(BT) k=1

149

= E entik(BT) entkj(AT) k=1

= entii (BTAT)

olduğundan (AB)T = BTAT dı r.

Hermitiyen e ş leni ğ in özelikleri, transpozeninkilere oldukça benzer.

TEOREM 5.4.2. Hermitiyen e ş lenik a ş a ğı daki özeliklere sahiptir:

1. Her karma şı k A matrisi için (A*)* = A d ır.

2. A B tanı mh ise (A --F B)* = A* --F B* dir.

3. Herhangi bir a skaleri ve herhangi bir B matrisi için

(aB)* = ü B* d ı r.

4. AB çarp ı mı tan ı ml ı ise (AB)* = B*A* d ı r.

Ispat.

1. Bir matrisin Hermitiyen e ş leniğ inin tanımı nedeniyle

entii((A*)*) = ent j i(A*) = enti i (A) = ai i

olduğundan (A*)* = A d ı r.

2. Matris toplam ı ve Hermitiyen eş leniğin tanı mı nedeniyle

ent iMA B)*) = entii(A B)

= entii(A) enti i(B)

= entii(A*) entij(B*)

entii(A* B*)

nedeniyle (A B)* = A* -H B* dır.

3. entii((aB)*) = entii(aB) = â ent i i(B)

= â ent ij (B*) = ent iPB)*

olduğundan (aB)* = ü B* d ı r.

4. A ve B nin s ırasiyle mxn ve nxs biçiminde Olduğunu varsayal ım.

Bu durumda AB, mxs ve (AB)*, B*A* In her ikisi sxm biçimindedir.

Hermitiyen e ş lenik ve matris çarp ı mı nedeniyle

entij((AB)*) = ent i i(AB)

150

n n = E entik(A) entki(B) = E entik(A) ent ki(B)

k=1 k=1

= E entkj (A*) entik(B*) k=1

= E entik(B*) entki(A*) k=1

entii(B*A*)

olduğundan (AB)* -= B*A* d ır.

Transpoze ve Hermitiyen e ş lenik, dört önemli özel türde karesel matrisleri tan ımlamada kullan ılır.

TANIM 5.4.3.

AT = A ise A gerçel matrisi simetrik,

BT = — B ise B gerçel matrisi ters simetrik,

H* = H ise H karma şı k matrisi Hermitiyen,

S* = — S ise S karma şı k matrisi ters Hermitiyen matris ad ını alı r.

Örneğ in,

A = (-2 O 6) ve B = ( 2 O 5) 3 5 6 –3 –5 O

matrisleri s ırasiyle simetrik ve ters simetrik matrislerdir. Bir ters si-metrik matrisin kö ş egen elemanları sıfır olmak zorundad ır. Simetrik matris de gerçel elemanl ı Hermitiyen matristir.

Öte yandan,

0 3+i —2i 0 3+i —2i

H = (3—i 1 —4 ) ve S = (-3+i 2i 4 2i --4 7 —2i —4 —3i

matrisleri de s ırasiyle Hermitiyen ve ters Hermitiyen matrisleridir. Bir Hermitiyen matrisin kö ş egen elemanlar ı gerçel oldu ğu halde bir ters Hermitiyen matrisin kö ş egen elemanlar ı sanal olmak zorundad ı r.

151

Simetrik ve Hermitiyen matrisler, uygulamalarda s ık sık karşı la-şı lan türden matrislerdir. Simetrik matrislerin bir uygulamas ı , kuadra-

tik formlar denen çok de ğ işkenli ikinci dereceden polinomlar ı incelemek-

tir.

İ kinci dereceden ve x ı ,x2,..., x n değ işkenli bir kuadratik form

Q (x i ,x2 ,...,x n) E auxixi 1 = a11x1 2 a 2xix2 + • • . + ainxixn i=1

a l.x2x j a22x2 2 • • • + a2nx2xn

a nixnxj a n2xnx2 • • • + annxn 2

biçimindedir. xixj ve xjxi nin ajj ve aji katsay ılarını eş it varsaymak

genelliğ i bozmaz. (E ğer de ğ ilse, onlar ın ortalamas ı al ınabilir, yani

3xix2 5x2xi = 4xix2 4xix2 gibi.) Bu varsay ım ile Q nün terim-

leri yeniden düzenlenirse

Q = E xj E aijxj = (xj , Xn 1=1

A XTAX

biçiminde yaz ılabilir. Burada XT = (x l ,x2 ,..., x n) ve A tek olarak be-

lirlenen bir simetrik matristir. Böylece ispatlanan a ş ağı daki teoreme

varılmış olur.

TEOREM 5.4.3. XT = (x ı ,x2,..., xn) ve A simetrik olmak üzere

n her Q = E auxixj kuadratik polinomu, Q = XTAX olarak tek bir

ii=1

biçimde yaz ılabilir.

ÖRNEK 4. Q (x i , x2, x3) = 3x ı 2+ 7x ı x 3 + 1 2x2 2— 8x2x3 6x32

kuadritik polinomunu Q =XTAX biçiminde yazal ım.

Q(x1, x2, x3) = 3x ı 2+ 8xix2— 7x 1x3 + 12x22— 8x2x3+ 6x32

3x1 2+ 4xix2— 7

xix3+

4X2X1+ 12x2 2- 4X2X3+

152

7 —'

4x 3x2+ 6x3 2

7

( 3x

1 -1- 4x2- -2- x3

4x 1 + 12x2- 4x 3

27- x 1 - 4x2+ 6x3

3 4 -2? \

x2, x3) 4 12 -4 .._ 7

-4

°)

ALI Ş TIRMALAR

(x1, X29 X3

x2 XTAX x3

1 2 1. A -= ( 2 O) ve B =--

-1 1

İ l -1 2 \

k2 1 Ol i çin (AB)T, BTAT, ATBT, ATA, BBTyı bulunuz?

2-3i 4+2i -2 -2 +i 2. C = ) ve D=

( 3i 5 (3-2i 4+2i için (CD)*, D*C*, C*D*, C*C, DD* i bulunuz?

3. (A l A2A3)T = A3TA2TA 1 Toldugunu gösteriniz? Bu özeli ğ i bir son-lu çarp ı ma genelle ş tiriniz? T, * ile değ iş tirilirse bu özelik yine geçerli midir, aç ıklayınız?

4. (a) A simetrik ise, bu durumda PTAP nin de simetrik oldu ğunu gösteriniz?

(b) H Hermitiyen ise, bu durumda R* HR nin de Hermitiyen ol-duğunu gösteriniz?

5. A simetrik olmak üzere a ş ağı daki kuadratik polinomlar ı XTAX biçiminde yaz ını z?

(a) Q (x ı , x2) = 2x1 2+ 24 x1x2 + x22

(b) Q (x,y,z) = 3x 2- 8xy+2y2 + 6xz-3z2

(e) Q (x1, x2 , x3) = 3x 1 2- 5x 1x2 + 7x22+ 4x1x3- 6x2x3+ x3 2

153

6. Aş ağı daki özeliklerin geçerlili ğ ini gösteriniz?

(a) Ters simetrik bir matrisin kö ş egen elemanlar ı sıfırdır. (b) Bir Hermitiyen matrisin kö ş egen elemanlar ı gerçeldir.

(e) Bir ters Hermitiyen matrisin kö ş egen elemanlar ı sanal-dır.

7. Herhangi bir mxn biçiminde gerçel A matrisi için, ATA n ın kö ş egen elemanlar ı negatif olmayan simetrik matris oldu ğunu gös-teriniz ?

8. Alış tırma 7 yi karma şı k matrisler için genelle ş tiriniz ve ileri sürülen özeliğ i ispatlaymı z?.

9. Herhangi bir nxn biçiminde gerçel A matrisinin, bir simet-rik ve bir ters simetrik matrisin toplam ı olarak yaz ılabilece ğ ini gösteri-niz ? Buna göre

1 4 —2 A = (

4 6 2) 7 1 3

matrisinin simetrik ve ters simetrik k ısımlarını bulunuz?

10. Alış tırma 9 u karma şı k matrisler için genelle ş tiriniz ve ispat ını yapmız. Bir örnek veriniz ?

11. A düzgün bir matris ise ATnm düzgün oldu ğunu gösteriniz?

12. A düzgün bir karma şı k matris ise A*In düzgün oldu ğunu gös-teriniz ?

13. W, nxl biçiminde herhangi bir karma şı k matris olsun. H 1-2WW* ın bir Hermitiyen matris oldu ğunu gösteriniz? W n ın aş ağı daki

durumlarında H yı bulunuz?

(a) W=(1,2,3)T, (b) W=(1-1-43,2—i)T

5.5. BÖLMELİ MATRİ SLERLE I Ş LEMLER

Bu kesimde bölmeli matrislere ili şkin bazı yararlı yöntemler

üzerinde durulacakt ır.

A ve B matrislerinin çarp ıma göre uygun olduklar ını ve a ş a-ğı daki gibi bölündüklerini varsayalım:

A

(

A ıı I Al2 B = (Bn I B12 I B13 )

A21 I A22 B21 I B22 I B23

154

Altmatrisleri say ılar gibi düşünerek AB çarp ımmın

AB — (Al ı Bl ı + Al2B21 I A l1B12+ Al2B22 I Al1B13+ Al2B23

A21B11+ A22B21 l A2113 12+ A22B22 I A21B13+ A22B23

biçiminde yaz ılabilmesi için, belirtilen bütün çarp ım ve toplamlarm tanımlı olmas ı gerekir. Bu durum bir çok ko şulun geçerli olmas ını gerek-tirir. Ancak bu ş artlar, ilk çarpanda dik bölme çizgisi ile ikinci çarpanda yatay bölme çizgisinin benzer yerde bulunma şartuaa e ş değerdir. Bu tek ş art, AB çarp ımında bütün çarp ım ve toplamları tammlı kılar.

A n ın mxn, B nin nxt biçiminde oldu ğunu varsayahm. Bu durumda

Al ı , m 1xn 1 ve B 11 , n1xt 1 dir. Matris çarp ımınm tanımından

Coli(R ıı ent ıı (AB) =Row ı (A)Col ı (B) -=-(Rw ı (Ali) I Rnwi (Al2) )

Col ı (R21/

= E alibi l 1=1

ni = E alibi ı + E alibil

1=2 ı -n +1

= Row ı (AII) Col ı (B II) + Row ı (Al2) Col ı (B2 ı ) = ent ı ı (A 11 13 11) + erıt ı ı (Al2B21 )

ent ıı (A l ı B ı l + Al2B21 ) elde edilir

AB nin diğ er durumlar ı için benzer i ş lemler, çarp ı mm geçerliliğ ini ortaya koyar. A ş ağı daki teorem, bu aç ıklamalara kesinlik kazand ırıyor. ispat ı doğ rudan önceki i ş leme dayan ı r

TEOREM 5.5.1. m =m ı + m2+... + ms, n=--n ı + n2+ + npve t =t 1 + t2+...+ tuolmak üzere A, mxn ve B de nxt biçiminde olsun. A = (4) ve B =(B ij ) nin, Ali mixnj ve Bij nixtj olacak ş ekilde A ve B nin bölmeleri oldu ğunu varsayahm. Bu durumda

P Cij = E AikBkj

k=1

olmak üzere AB, sxu biçiminde C -=-(Cii) bölmeli matrisidir.

Bu teoremin, ayr ı ayrı belirtmeğ e değ er çe ş itli özel durumlar ı var-dır. Eğer B sat ırlar ına bölünmüş ve A bölünmemiş ise, bu durumda

155

Rowi(AB) nin i ş lemi, sadece Rowi(A) daki elemaAlar ı kapsar. İ lgi bu elemanlar üzerinde toplan ı rsa

AB ai i ai t • • • ain

Row ı (B)'\

Row 2 (B) iiowi(AB)

Rown(B)

yaz ılabilir. Buradan Teorem 5.5.1 in a ş ağı daki sonucuna var ı lı r.

SONUÇ 5.5.1. Rowi(AB)=a il Rowl (B)-Fai2 Row2 Rown

(B) = Rowi (A) B dır.

Bu sonuç, AB nin i yinci sat ırı nın, katsay ıları A nin i yinci sat ı rm-dan gelmek üzere B nin sat ırlarının bir lineer kombinasyonu oldu ğunu gösterir.

Benzer olarak, A kolonlar ına bölünmü ş ve B bölünmemiş ise, bu durumda Colj(AB) nin i ş lemi, sadece Col i (B) deki elemanlar ı kapsar. İ lgi bu elemanlar üzerinde toplan ırsa

bij..

b21

(Col i (A), Co12 (A),..., Col n(A) (...Col i (A13)...)

b nj a

yazılabilir. Bu gözlem de bizleri, Teorem 5.5.1 in a ş ağı daki ikinci sonu- . cuna götürür.

SONUÇ 5.5.2. Coli(AB) =Col1(A)bli+C 012(A)b2J+ •••+Coln(A)bni

AColj(B) dı r.

Bu sonuç da, AB n ın j yinci kolonunun, katsay ıları B nin j yinci

kolonundan gelmek üzere A nin kolonlar ının bir lineer kombinasyonu olduğunu gösterir.

Toplama göre uygun iki bölmeli matrisin blok biçimli toplanabil-mesinin, onların özde ş bölmeli olmalar ı ile e ş değ erli olduğu açıkt ır. Ayrıca, A karesel bölmeli bir matris ise, bu durumda A 2 + 3A gibi

156

matris polinomlar ının blok biçimli bulunabilmesi, A n ın bütün kö ş egen blokları karesel olacak ş ekilde bölünmüş olmas ı ile eş değ erlidir.

Düzgün bir matrisin tersinin bulunmas ına iliş kin ilgiye değ er özel bir yöntem, bölmeli matris kavram ı ile tersinin bulunmas ı dı r.

TEOREM 5.5.2. An, A İ 2 , A2 1 , A22 sırasiyle sxs, sxm, mxs, mxm (n =m+s) biçiminde altmatrisler ve A 22-1 var olmak üzere

(Al ı A ı 2)

biçiminde bölnieli matris olsun. Bu durumda B ii , B 12, B21 , B22 sıra- siyle sxs, sxm, mxs, mxm biçiminde olmak üzere A n ın

= (Bı l B 12

B 21 B22)

biçiminde A ile ayn ı ş ekilde bölünen bir tersi vard ı r.

Ispat. A22 nin bir tersi var oldu ğuna göre A221in bilindiğ ini var-sayalım Bu durumda AA-1 = I nedeniyle

A21 A22 \B 21 B22

( ı s (A11 Al2) (B i İ . Bit

o ',al yazılabilir. Buradan bilinmiyen B 11 , B 12, B21, B22 altmatrisleri için dört e ş itlik elde edilir:

Al ı B ı l+ A„B2,

Al ',Bu+ A l2B22 = 0

A21 13 /1 + A22B2 İ = 0

A21 B 12+ A22B22 = Im

Üçüncü e ş itlikten bulunan (i)

B21 = - A22 1 A21 B ı l değeri birinci e ş itlikte yerine konursa A l ı Bil - A l2 A-1 22 A21 B 11 = Is ya da tersin tan ı mı nedeniyle

Bii = (An - A ı 2 A22 A21 ) (ii) elde edilir

Dördüncü e ş itlikten

B22 = A22-1 -A22-1 A21 B 12

ve ikinci e ş itlik ile (üi) den yararlan ılarak bulunan

A A21 A22

157

A ll B 12 + Al2

1 - A22-1 A21 B 12) = 0 e ş itliğ i düzenlenirse

(A11-Al2A22-1A21) B ı 2=-- - Al2A22-1

ve (ii) den yararlanılarak

B12= - B11Al2A22-1

(iv)

elde edilir. Buna göre B11, Biz, B 2 ı , B22 için dizisel olarak çözülebilen dört e ş itlik elde edilir.

A22 1 var oldu ğundan B il , B 12, B21 , B22 altmatrisleri vard ır. Buradan A22-1 var ise bütün i ş lemler yap ılarak aranan altmatrisler bulunabilir. A nın yüksek basamaktan olmas ı halinde B 11i bulmak zor olabilir. Ancak bu zorluk da bölmelemeyi iki ya da çok say ı da yap-makla a şı labilir.

Bu teoremden üzerinde durmaya de ğer baz ı özel sonuçlar ç ıkarı -labilir:

1. A2 1 =O ise bu

A - ( 11 1

O

biçimindedir.

durumda A 11-1 ve A221 var olmak üzere

-A l IA/2 A22-1

A22-1

2. Al2 -= 0 ise bu durumda A 11 -1 ve A221 var olmak üzere

A-1 =

biçimindedir.

( A11-1

-A22-1A2 1 A1 1-1

0

A22-1 /

3. Al2 = 0 ve A21 = 0 ise bu durumda A=D g(A/1 , A22) dır ve A 11 -1 , A221var olmak üzere

A-1 -=- Dg(AH-1, A22-1)

biçimindedir.

4. A ll = I ve A21 = 0 ise A221 var olmak üzere

A-1 =

biçimindedir.

158

-A İ 2A22-1)

A22-1

biçiminde bulunur.

ALIŞ TIRMALAR 1.

1 2 A = 4 0

(

3 1-4

B — 5

1 0 2 3 2 -5

2)

3 -1

ÖRNEK.

2 ( 1 0 A = 3 I 0 5

7 ( 6 4

biçimindee bölmeli matrisin tersini bulunuz ?

B12 =

B2 1 =

= (2 — (-2

B11A12A22-1 = —

- A22-1A21B11 =

/15,

30

1 /6)

(1 ,0)

(7 3

-2

( 1

/6

37

(-2

1

/15 1

/5 O

B22 = A22 1 - A22-1A21 13 12 = /15 1 /6/15 1 /6 \

k 1/5 0 /k 1/5 O ,k7 37/

(

-8 /37 10 /37 \

5 /37 3 /37, olduğuna göre

C 4 5)

-2 /15 olduğuna göre A-1 =

( 1 /5

1 /6 \ A22 =

0 , dır. Buna göre

(-2 /15 1 /6 \ /3 \ \ -1 Bil = (An-A-12A22-1A21)-1

= (2_,(1,0) 1/5 0 , k7 ii

3 )) -1

30

/15 1 /6 4 5\

/5 0 k't' ..- 37 , 30 — /-23

k7 , 37 k-18 /37,

A-1 = ( 30 /37

-23 /37 -18 /37

4 /37 -8 /37

5 /37

-5 /37 10 /37 3 /37

1 37

(

30 4 -5 \

-23 -8 10 -18 5 3 /

159

1 (d) D g ((

-2 1

O

)' (1

O

01 ) CO

A22 karesel matrisler olmak üzere

2.

olmak üzere AB yi önce do ğ rudan ve daha sonra belirtilen bölme ile bulumiz?

1 1 0 O O\ O 0 0 O () 01000 O O 0 O 0

C=00231 D= 00100 0 0 5 0 2 0001 OI 0 0 4 1 2 / 00001/

olmak üzere etkili bir bölme kullanarak CD yi bulunuz?

3.

matrisi veriliyor.

p(x) = (x2 -- 4x — 2) ( x2 — 7) olmak üzere 3A 3 — 6A2 -H 31 ve p(A) yı bulunuz. Kesim 5.3 Al ış tırma 10 ve Teorem 5.5.2 yi kullanarak A-1i bulunuz?

4. Kesim 5.3 Alış t ırma 10 ve Teorem 5.5.2 yi kullanarak a şağı - daki matrislerin terslerini bulunuz ?

fl 2 l\ (a) 3 4 () 2

(b) o 0 -1 2 0 3

= (

A11 A, 12) ise, herhangi p(x) polinomu için A21 I -t1-22

p(A) = P(A11) Karışı k \ 0 I p(A22)


i))

160

6.

7. A-1 ın, K nin n farkl ı seçimi için AX = K sistemini çözmekle bulunduğunu gösteriniz?

8. AX = Y nin

X (A Y) ( ) = 0 ya da (A 1) 0

a e ş değ er olduğunu gösteriniz?

9.

(A11 Al2) A = matrisi düzgün ve A 11 düzgün olacak

\ A21 A22

ş ekilde bölünmü ş ise, X = Aii- =- 1 Al2, Y — A21All 1 ve C A22 -- YAl2

= A22 - A21 X = A22 - A'1A11-11Al2 olmak üzere, do ğ rudan bir çar-pım ile

1Y

1 C-

—XC-1 A-1 (A11 XC- -1 olduğunu gerçekleyiniz?

Buna göre A 11 , 2x2 biçiminde olmak üzere

4 -1 2 A = 3 4 1) matrisinin tersini bulunuz?

(-2 -2 4

5.6. IZ VE DETERMINANT

Ş imdiye kadar matris de ğerli fonksiyonlardan sözedildi. Öte yan-dan matrisler üzerinde çe ş itli skaler de ğ erli fonksiyonlar vard ır. Bu ke-

simde böyle fonksiyonlardan sadece karesel matrisler için tan ı mb iz

fonksiyonu ve determinant fonksiyonu üzerinde durulacakt ır.

TANIM 5.6.1. Herhangi bir nxn biçiminde A matrisi için A n ın izi (trace),

izA = tr(A) = aii = E en.tii(A) i=1 1=1

ile tammlı dı r.

) A A1 A -=

n 2

(A2 1 A22 ise AT y ı bulunuz.

161

Bu tanı ma göre, iz, A n ın kö ş egen elemanlarının toplamıdır. Buna . göre

1 2 5 A = (7

5 4 6 83) ise tr(A) = 1 + 4 + 8 13

dür. Daha sonra çe ş itli iliş kiler içersinde kullan ılacak olan iz fonksi-

yonunun temel özeliklerini gözönüne alal ım.

TEOREM 5.6.1. A ve B n yinci basamaktan karesel matrisler ve a, b skaler ise, bu durumda a ş ağı daki özelikler geçerlidir:

1. tr (aA + bB) = atr(A) + btr(B)

2. tr(AT) = tr(A)

3. tr(AB) = tr(BA)

ispat,

1. tr(aA bB) = E entii(aA + bB) = E (aentii(A) + i=1

bentii(13))

= a E entii(A) ± b E entk i(B) = atr(A) +

btr(B)

2. en.tii(AT) = entii(A) nedeniyle aç ıkt ır.

n 3. tr(AB) = E entii(AB) = E E entik(A) entki(B)

ı = ı i=1 k=1

= E E entki(B) entik(A)

k=1 1=1

n E entkk(BA) = tr(BA)

k=1

Bu teoremde birinci özelik, özellikle önemlidir. Bu özelik, izin

bir lineer fonksiyon olduğunu gösterir ve daha sonraki bölümde üzerin-

de durulaca ğı üzere diğer bir çok fonksiyon taraf ından payla şı lan bir

özeliktir.

162

matrisinin determinant ı

A =

a2 ı a22

(a l a i2)

a31 matrisinin determinant ı

B (a21 a21.

det(B) = a11(-1 ) 1+1det a23

a12(-1)14-2det

a33

a21 a23)

a31 a22 a32

(a22

a 31

a22) (a21

a32

Okuyucu, determinant kuram ının klasik incelenmesinin bir k ısmı ile haberdar oldu ğu düşünülerek burada verilecek olan tan ım esas ola-

rak tüme varı msaldır ve bir dereceye kadar klasik görü ş ten farkl ıdır. Aş a ğı daki tanı m, daha önce Tan ım 5 2 2 de verilen Min.ii (A) altmatris-

leriıı i kapsar.

TANIM 5.6.2. Bir matris bir tek elemandan olu ş uyor ise, matrisin

determinantt o elemana e ş ittir. E ğ er A, ıl > 2 yinci basamaktan bir

karesel matris ise A n ın determinantt, genel olarak ail elemaıumn kofak-

törü ya da A nin (i, j) konumunun kofaktörü

cofı i(A) (-1)i+j det(Min ii (A))

olmak üzere

det(A) =

f ı k(A) k=1

= a11cof11(A) ai2cof12(A) a incofin(A)

ile tammlıd ır.

Bu tanım, det (A) n ın değerini, birinci sat ıra göre basama ğı A nın-kinden daha az matrisleri ıı determinantlar ı cinsinden veren tan ı mdır.

Bu tanıma göre ikinci basamaktan

det(A) = a ı 1(-1) 171-I det (a22)+ a i2(-1) 1 +2det (a21) = al ı a22—a12a21 ve üçüncü basamaktan

a12 a13 a22 a23 a32 a33

a 13(-1) 1 +3det

163

- 11(-22-„ 33 a23a32) a 12(a21a33 a23a31) + a13( a21 a32 --

a22a3i)

a 11a22a33 a12a23a31 4- a 13a21a32 — (an , 3a32 a12a21a33

a 13a22a 31) biçimiudedir.

B matrisinin determinant ı

021

32

biçiminde Sarrus kurala denen bir yöntemle de bulunabilir. Ancak bu

yöntem sadece 3x3 biçiminde matrislerin determinant ı için geçerlidir.

Tanı m 5.6.2. 4x4 biçiminde bir matrise uyguland ığ mda her biri 4 sayının çarp ı mı olan 4.6 = 24 = 4! terim, 5x5 biçiminde bir matrise uygulandığı nda her biri 5 say ının çarp ımı olan 5.24 = 120 = 5! terim

elde edilir. nxn biçiminde bir matrise uyguland ığı nda her biri n sayının çarp ımı olan n! terim elde edilir. Hatta az çok büyük say ılabilecek n için bile n! sayı sı oldukça büyüktür ve i ş lem elle yap ılmas ı durumunda

ömür tüketebilir! O halde determinant fonksiyonu uygulamada kul-lanı lmas ı gerekiyorsa determinant ın değerinin hesab ı için daha etkili yolların bulunmas ı gerekir. Ş imdi det (A) n ın hesab ında daha etkili yolları bulmada yararl ı olan determinant fonksiyonunun baz ı özeliklerini ortaya ç ıkaralım.

ÖZEL İ K 1. Herhangi bir A karesel matris için, det (AT) = det (A) dır. Bu özelik, determinantlar hakk ında herbir sat ır yerine bir kolon

benzerli ğ ini kurmada kullanılabilir. Örne ğ in, bu özelik nedeniyle

Mini, / (A) (Minik(AT) )T olduğundan

det (A) =-.--. E aklcofkl (A) k=1

yaz ı labilir.

Deterninant ın bu ifadesi, Tan ım 5 6 2 den ayr ıcalı k gösteir. Bu

gösteri"; ilk sat ırın elemanları yerine ilk kolonun elemanlar ın ı ve onlar ın

kofaktörlerini kapsar. E ğ er Co1 1 (A) da Row 1 (A) dan daha çok s ıfır ele-

man' var ise bu formülün, tan ımdakinden daha etkili olaca ğı aç ıktır,

164

ÖZEL İ K 2. T matrisi, kö ş egen elemanlar ıti

...,t ım olan bir l üçgensel matris ise det (T) =t 11 t29...t nn dir. Bu öze lkb, "122ıı in alt üçgensel,

üst üçgensel ve kö ş egen olmas ı durumlar ında geçerlidir.

ÖZEL İ K 3. Bir B matrisi, Row i (A) y ı Rowi(A) ile de ğ iş tirerek A dan elde ediliyorsa (111<-> Ri), bu durumda det (B) = det (A) d ır. Benzer olarak, B matrisi, Coli(A) ile Coli(A) y ı de ğ iş tirmekle A dan elde ediliyorsa (C i<-› C j ), bu durumda da det (B) - det (A) d ı r.

ÖZEL İ K 4. A matrisi bir s ı fır sat ıra ya da bir s ıfı r kolonuna sahip ise, bu durumda det (A) = 0 d ır.

ÖZEL İ K 5. A matrisi iki e ş it satıra ya da iki e ş it kolona sahip ise, bu durumda det (A) = 0 d ı r.

ÖZEL İ K 6. LAPLACE ACILIMI. nxn biçiminde herhangi bir A matrisi için

her bir i için det (A) = E aikcofi k(A) k=1

her. bir k =1,2,...,11 için det (A) = aikeofik(A)

dı r.

Bu özelik, A nin herhangi bir sat ır ya da kolonu, tammda kullan ı -lan ilk sat ır olarak kullan ı labilir. Yukardaki ilk gösterim, i yinci sat ır nedeniyle Laplace aç ı lımı , ikinci gösterim, k yinci kolon nedeniyle Laplace aç ı lı mı ad ını alı r.

ÖZELİ K 7. B matrisi j Rowi(A) ya da Col j (A) n ın her bir eleman ını bir e skaleri ile çarpmakla A dan elde ediliyorsa, bu durumda det (B) =c• det (A) d ı r.

ÖZEL İ K 8. Rowi(A) elemanlar ı nın j yinci sat ırın kofaktörleri ile

çarp ı mlarmın toplamı , ij için s ıfırd ır, yani i--/-j için Z aikcofjk(A) k=1

=0 d ır. Benzer olarak, i j için Z akicofki (A) =0 d ır. k=1

165

ÖZELİ K 9. B matrisi, A dan Rowi(A), sRow i(A)+ Rowi(A) ile değ iş tirilerek (sRj+ R i) elde ediliyor ise, bu durumda det (B) = det (A) d ır. Benzer olarak, B matrisi A dan Coli(A), sColj(A) + Coli(A)ile de ğ iş -tirilerek (cCi+ Ci) elde ediliyor ise, bu durumda det (B) = det (A) d ır.

Gerek tanım ve gerekse özeliklerden belli türde karesel matrislerin determinantlar ın ı bulmak kolayd ır. Örne ğ in, bütün lx1 ve 2x2 biçimin- deki matrisler, üçgensel matrisler, Özelik 4,5,7 deki matrisler gibi. Bununla beraber genel bir A karesel matrisi için tan ımdan bağı msız det (A) yı bulmanın tabii yöntemi, Özelik 3,7 ve 9 u kullanmakt ır. Bu özelik- ler, k bilinen bir sabit ve det (B) n ın hesab ı kolay olmak üzere det (A)

kdet (B) olacak şekilde A matrisini bir B matrisine dönü ş türür.

Aş ağı daki tablo, bu indirgemede kullan ılan iş lemleri ve onlar ın determinant üzerindeki etkilerini gösteriyor. Bu i ş lemler elemanter satır iş lemleri (ERO) ya da elemanter kolon i ş lemleri (ECO) adını alır.

Tür Gösterim Açıklama Determinant üzerindeki etki

Elde edilen mat-fis B ise

R-I Rj<-> BI Rowi(A) ile Rowi(A) değ iştirilir.

İş aret değ iş tirir det (B) = -det(A)

R-II kRi, k# 0 Rowi(A), k ile çarp ı lır. k ile çarp ı lmış olur.

det (B)=k det (A)

R-III kRj+ Ri K Rowj(A), Rowi(A) ya eklenir.

yok det (B)= det (A)

C-I C 14-+ Cj Col i(A) ile Colj (A) değ iştirilir.

İş aret değ iş tirir det (B)=-det (A)

C-II kC i , k 0 Coli(A), k ile çarpil ır. k ile çarp ı lmış olur

det (B)=- k det (A)

C-III kC C. J+ ı k Col (A) Coli(A) (A) J ' i ya eklenir.

Yok det (B)=det (A)

ÖRNEK 1.

Il -1 2 3) 2 2 O 2

det (A) = de t 4 1 -1 -1 \1 2 3 0

nın değerini bulalım.

"--- 4 1 - 1 -1 -4R i -F R 3 -1"i i -1- R,

1 -1 2 3) ---> 2 2 O 2 2

( 1 2 3 O -Ri -f- R4

A

1 -1 2 3 0 4-4 -4 0 3 -9 -13 .A1 O 3 1 -3

166

--> il 1 T., 0 4 "2 0

‘0

-->

-1 1 5 3

1 O 0 O

l 0 0

2 -1 -9

1

-1 1 0 0

-1 O O O

3 -1 -13 -3

2 -1 -4

4

2 -1

1 0

A2 ----> -5_R2+ R3

3 -->

-1 1, -8 -T-u3

O

3 -1 2 = B

-8

/1 0 0

\O

1 O 0 0

-1 1 0 3

-1 1 0 0

2 -1 -4

1

2 -1

1 4

3 -1 -8 -3

3\

-21 ) O

-3112 + R4

.4R3 + 114

= A 3

olduğuna göre

det (A 1) = det (A), det (A 2) = 4 det (A İ ), det (A3) = - det (A2) det (B) det (A3) ve det (B) = - 8

dır. Buradan

det (B) = det (A 3) = - det (A2) = - -5 det (Al) 6 det (A)

nedeniyle

det (A) = - 16 det (B) - 16. (-8) = 128 olduğu sonucuna varıhr.

Bu örnekte verilen A matrisi, elemanter sat ır iş lemleri ile deter-

minant ı kolaylıkla bulunabilen bir üçgensel matrise indirgendi. Bununla beraber i ş i bu kadar uzatmadan bir kolon sadele ş tikten sonra (örne ğ in A 1durumunda), Laplace aç ıhmı kullanılarak verilen matrisin determi-nantı , daha az basamaktan matrisin determinant ına indirgenebilir. Öte yandan Örnek 1 deki sonuç, sadece kolon i ş lemleri kullanılarak da

elde edilebilir.

Elemanter satır ve kolon i ş lemleri dışı nda elbette elemanter ol-mayan iş lemler de vard ır. Karma şı k elemanh matrisler için geçerli olan ve yukardaki i ş lemlere kar şı lık gelen i ş lemler

Ri+-> Rj, Rj-÷ kRj , k0, Rj-> kRj + Rl Cl+-> Cj, C1-. kCj, Cl--> kCj Cj

biçimindedir. Bu iş lemler sırasiyle Hermitiyen sat ır iş lemleri ve Her-mitiyen kolon i ş lemleri adım alır. Determinant, bir matrisin - tersini bulmada genel bir teknik olu ş turmak için kullan ılabilir.

167

TANIM 5.6.3. A nxn biçiminde bir matris ise, bu durumda A nin Adj (A) ile gösterilen ekmatrisi (adjoint) nxn biçiminde bir matristir ve

entii (Adj (A) ) = cofii(A) = (-1)• -FidetMinii(A)

ile tamml ı dır.

Bu tan ı ma göre Adj (A), A n ın her elemamm onun kofaktörü ile değ iş tirmek daha sonra elde edilen matrisin transpozunu almakla elde edilen matristir.

ÖRNEK 2.

B =

matrisinin ekmatrisini bulal ı m.

9 det •

(2 -2 ) - det

1

-det det

(2 -14)

det - det

(9 -4 -2)

3 (6

1

6

(1

(13

(3 6

1 9 2

-2] )

-14)

-42) -

-4 -2)

1

det

-det

det

(13

\34

-8

-18

T

3) -5 21

13 (-8

3

-9 7

-5

34) -1

218

dır,

Bu matris için BAdj (B) = 191 =det (B) I d ır. Bu sonuç genel

olarak geçerlidir ve a ş a ğı daki teoremin içeri ğ ini olu ş turur.

TEOREM 5.6.2. nxn biçiminde herhangi bir B matrisi için

BAdj (B) Adj (B) B =det (B) I dır.

Ispat. Matrsi çarp ı mının ve ekmatrisin tan ı mından

n n entii(BAdj (B) ) = E bikentki(Adj (B) ) = bikeofik(B)

k=1 k=1

168

dır. i=j ise bu e ş itlik Laplace aç ılımı nedeniyle det (B) ye indirgenir. ij ise Özelik 8 nedeniyle s ıfırd ır. Böylece BAdj (B) = det (B) I d ır. Adj (B) B =det (B) I oldu ğunun ispat ı benzer biçimde yap ılabilir.

Bu teoremden önemli bir sonuç elde edilir.

SONUÇ 5.6.1. det (B) / 0 ise bu durumda B -1 vard ır ve

B-1= det(B) Adj (B)

formülü ile bulunur.

Örnek 2 deki B matrisi için

13 -9 34 B-1=

19 Adj (B) =

19 ( 3 7

-5 -18

21 ) dır.

Her ne kadar B -1 için ekmatris formülü, kuram ı geliş tirmede yararlı olmakla beraber anlat ım ve hat ırlatma bak ımından kolay ise de yüksek basamaktan bir matrisin tersini bulmada etkili bir araç de ğ ildir. Bir matrisin tersini bulman ın daha etkili yöntemleri üzerinde sonraki kesim-lerde durulacakt ır.

Sonuç 5.6.1 ın tersi de do ğ rudur, yani B-Ivar ise det (B) 0 dır. Bu a ş ağı daki önemli özeli ğ in bir sonucudur.

ÖZEL İ K 10. AB çarp ımı tammlı ise, bu durumda

det (AB) = det (A) det (B) dır.

Bu özelikten düzgün bir matrisin s ıfırdan farkl ı bir determinanta sahip olduğu sonucunun nas ı l ç ıktığı nı anlamak için B -1 B =I özde ş liğ inin her iki yan ının determinant ın ı alalım.

det (B -1B) =det (B -1 ) det (B) =det (I) =1

nedeniyle det (B) 0 dır ve ayrıca

det (B-1) — 1

olduğu anla şı lır.

det (B)

169

X =A-1 K — det (A) Adj (A) K 1

Aynı basamaktan karesel A ve B matrislerinin toplam ının deter-minant ı için Özelik 10 a benzer bir kural yoktur, yani genel olarak det (A+B) det (A) det (B) dir.

Ekmatris formülünün kuramsal sonuçlar ından biri Cramer kural ı olarak bilinen a ş a ğı daki teoremdir.

TEOREM 5.6.3. Cramer Kurala. det (A) 0 ise, Aci‹-› K matrisi A dan, Coli(A) y ı K kolon matrisi ile de ğ iş tiren matris olmak üzere AX =K sisteminin çözümü

det (Ac i <->K) —

det (A)

dır.

ispat.

olduğuna göre

Xi = det (A) det (A) i=i

entii(Adj (A) ) ki = kicofii(A)

dır. Son toplam, det (Ac i<->K) n ın i yinci kolon nedeniyle Laplace aç ıh-

mı dır ve böylece ispat tamamla ınr.

Cramer kurahndan ço ğunlukla determinantlarm incelenmesinde önemli bir araç olarak sözedilir. Ancak ça ğdaş hesaplama kurallara nedeniyle bu tam olmayan bir anlat ımdır, çünkü determinantlar bili-nen en iyi tekniklerle bulunsa bile Cramer kural ı çok bilimiyenli sistem-leri çözmede etkili bir teknik de ğ ildir. Bir sonraki kesimde AX =K sistemini çözmede hem daha genel hem de Cramer kural ından daha etkin teknikler geli ş tirilecektir.

ÖRNEK 3.

A = (2 -1O -2) ve K = (-20)

3 4

olmak üzere AX =K sistemi Cramer kural ı ile çözülürse

170

det (Ac, ‹-›1‹.) 20 x1 det (A) 33

det (Ac, <-+K) 4 x2 det (A) 33

det (Ac, 4-3.K.) 15

x3 det (A) 33

bulunur.

Diferensiyel denklem kuram ında önemli bir araç olan a şağı daki

matrisi bu aşamada gözönüne almada yarar vard ır.

1 1 • • 1 Xi X2 . . . Xn X 1 2 x22 • • • xn2

x2 ı ..., xn) =

x in-1 x2n-I . • . xnn-1

Bu me şhur ve yararl ı matris, Vandermonde matrisi olarak bilinir.

ÖRNEK 4.

V (x1 , x2, x3 , x4) =

1 1 1 1 XI X2 X3 X4

x12 x22 x32 x42 ‘X 1 3 X23 X33 x4 3

biçiminde dördüncü basamaktan. Vandermonde matrisinin determinan-tını bulalım.

v — x 1 R3 + R4

xiR2+ R3 — xiRi + R2

denirse

(1 1

0 x X2- x i

X 1x2 x3 2— x 1x3 x42— x 1x4 O X2 3- x 1x22 x3 3- x 1x32 x4 3- x1x4

X3— X1 X4— xi = Vi

det V (x 1 , x2, x3 , x4) = detV1

(x2- x1 = det x22- x ıx2

x23- x1x22

x3— X 1 x4— xi x32—xix3 x42— xix4 x33—x1x32 x43— x 1x42

171

1 (x2- xi ) (x3- x1) (x4- x1) det (X2

x22

1 x3 x3 2

dır. Ş imdi -x2 R2 + R3, -x2 Ri + R2 iş lemler dizisi son e ş itlikteki üçüncü basamaktan V (x 2, x3 , x4) Vandermonde matrisine uygulan ı rsa

V( x2 , X 3 , x4 ) = (x2 x3 x4 ) -1-13t , (O

elde edilir Buna göre

detV (x1, x2 , x3 , x4) =- (x2-xi) (x3-x1 ) (x4-x ı ) detV (x2,x3 ,x4)

(x2-xi ) (x3-x1 ) (x4-x ı ) (x3-x2) (x4-x2) detV(x3,x4)

= (x2-xi) (x3-x1 ) (x4-x ı ) (x3-x2) (x4-x2) (x4-x3)

biçiminde bulunur.

Bu i ş lemlerin ışığı nda genelle ş tirmeye gidilerek detV (x ı ,x2,...,xn) bulunabilir. Gerçekten

detV (x2-x1) (x3-x1 ) (xn-xi) detV (x2,x3 ,...,xn)

detV (x2,x3,...,xn) = (x3-x2) (x4-x2).- (xn-x2) detV (x3,x4,.•.,xn)

detV (x3,x4,...,xn) = (x4-x3) (x5-x3)...(xn-x3) detV (x4,x5,...,xn)

\0 x22 x32 x4

2

-x2Ri+R2 O x32-x2x3

1 X4-X2

x42—X2X4 ,

_ 1 -xn_2) (xn-xn_2) det (xn-1, xn)

= (xn- xn-1)

= (x2- xi) (x 3- x ı )...(x n- xi) (x3- x2) (x4- x2)

• • • (xn- x2). (x4- x3) (x5- x3) ... (xn- x3)

(xn_1xn-2) (xn-xn-2) (xn-Xn-1)

H (xixj) 1<j<i<11

detV (x n_2,xn_i ,xn

detV (Xn_i,xn)

olduğuna göre

detV (x i ,x2,..., n

biçimindedir.

V (x i, x2,..., xn) Vandermonde matrisinin determi ıı antında

(11-1)n kadar çarpan vard ır ve xi xj için detV 0 olduğu aç ıktır.

172

2

ALIŞTIRMALAR

1. Aynı basamaktan karesel A,B,C matrisleri için tr (ABC) tr (BAC) oldu ğunu gösteriniz ?

2. Herhangi düzgün bir P matrisi için tr (P -1 AP) = tr (A) olduğu-nu gösteriniz ?

3. Karma şı k bir A matrisi için tr (A*) ile tr (A) aras ında nasıl bir iliş ki vardır, açiklay ını z. Bir Hermitiyen matrisin daima bir gerçel ize sahip olduğunu gösteriniz ?

4.

= 1 2 3 4

A )

2 3 matrisi için doğ rudan Tanım 5 6.2 yi

1 -1 1 2 kullanarak det (A) yi bulunuz ? -1 1 -1 1

5. Determinantm özeliklerini 1 den 10 a kadar ispatlaymiz ?

6.

matrisi için e (x) = det (xI-A) = x2+ tr (A) x+det (A) ve e (A) =O oldu ğunu gös-teriniz ?

7. Aşağı daki matrisler için c (x) =det (xI-B) yi bulunuz ve x in hangi değerleri için det (xI-B) =0 d ır, belirtiniz ?

O 1 O 1 0 -4

(2 1 -2/ 4 3 (a) B = O O 1) (b) B = ( O 5 4)

8. Karma şı k bir A matrisi için det (A) ile det (A ) aras ında nas ıl bir ilişki vardır, aç ıkları /11z ?

9. X,Y ıı xl niçiminde olmak üzere tr (XYT) = YTX oldu ğunu gös-teriniz ?

10. A bir nxn biçiminde matris ise, det (A) ile det (cA) arsa ında nasıl bir ilişki vard ır, açiklaymiz?

(a+b c+ d

ke f

a

(b) A —

\c d

11. det değerini bulunuz ve bunu

det /a e

ke ve det (

/b d) ile kar şı laş tırmiz ?

ke

173

(a) A = (-1 1 3 1

24 2 21/ (b) B = —1

2 1

(e) C 1 2 3 4\ 1 2 3

1

(

—1 1 2 (d) 13 = 1 ıı

3 —2 1 6 0\ 5 —4 2 11 1

1 —2 2 —1 —5 3- 1 —6 3 10 4

1 2 1\ 1 0 1 1 1 0 3 1 01

—7 7 —3 .16 21

12. nxn biçiminde bir A matrisi

A RowBı (A) ş eklinde yaz ılıyor. Q 1ve Q2 sat ır matrisleri olmak üzere Row 1 (A) =Q 1 + Q2 olduğunu

varsayahm. Ah ş tırma 11 nı bir genelle ş tirilmesi olarak

det (A) = det (Q ı + Q2) B


= det İ Q İ + det (QB2

13.

0 1 0 O 1 ) olmak üzere det (xI—C) y ı

C = ( O 1 bulunuz? (Bilgi: xC2+ C 1 , x2C 3 + Ci , x3C4+ C1 iş lem-

-ao —a l , —a2 —a3 lerini kullammz.) 14. A mxn ve B nxm biçiminde olmak üzere tr (AB) =tr (BA)


1,5. A =----D g(x,1,...,1) ve i ile j yinci sat ırları değ iş tirilmiş olarak B =A dır. Buna göre det (A) =x ve det (B) = —x oldu ğunu gösteriniz?

16. A üzerinde —2R 1 + R2, -4R 1 + R3 ,-R 1 + R4, R2, -5R2 +R3, -3R2+ R4, R3+ R4 iş lemler dizisinin B yi verdiğ ini varsayahm. Buna göre det (A) ile det (B) aras ında nas ıl bir ilişki vardır, belirtiniz?

(1 —1 2

2 2 0 2

A = 4 1 —1 ise B, det (B) ve det (A) y ı bulunuz ?

1 2 3 0 17. Elemanter sat ır işlemleri (ERO) yardımıyle aş ağı daki mat-

rislerin determinantlarnu bulunuz?

174

18. Sadece kolon i ş lemleri (ECO) yard ımiyle Alış tırma 17 deki

A ve C matrislerinin determin.antlar ım bulunuz ?

19. Aş ağı daki matrislerin determinantlarm ı sırasiyle Hermitiyen

satır iş lemleri (HRO) ve Hermitiyen kolon i ş lemleri (HCO) yard ıııı iyle

bulunuz ?

3i 5 6+7i \ 1+i 3+4i (a) A= (4+2i 1+i 3-5i ) (b) B = (1-i 4 2-3i

3 2-i 6+i 3-4i 2+3i 5

20. 5x5 biçiminde bir A matrisi için 2 Row 1 (A)- 2 Row 3(A)+

4 Row4(A) = 0 olduğuna göre det (A) = 0 oldu ğunu gösteriniz ?

21. A = (Al ı O )

olsun. Özellik 10 u kullanarak det (A) = \0 A22 det (An). det (A22) olduğunu gösteriniz?

Bilgi: (An O = (I O (0Aıı 0i)

k0 A22/ \O A22)

22. Ekmatris formülü yard ımiyle Alış tırma 17 de C matrisinin C-1 tersini b ıdunuz ?

23. cofii(A) = det (ARI<->Rowi (I)) oldu ğunu ispatlaynuz ?

5.7. SATIRCA EŞ DEĞERLİ K ve L İ NEER S İ STEMLER

Bu kesimde a ş ağdaki genel lineer cebirsel denklem sistemini çözme problemi gözönüne alınıyor:

a12x2+ ai3x3+...+ İ nxn = kı anxi+ a22x24- a23x3 + • • . -4- a2nxn = k2

amixi+ am2x2+ amnxn = km

A mxn biçiminde katsay ılar matrisi, X = (x 1 , x2,..., xn) 1 çıktı matrisi ya da bilinmiyenler matrisi ve K = (k i , k2,..., km)T girdi matrisi ya da kuvvet fonksiyonu olmak üzere bu sistem

AX =K

biçiminde bir tek matris denklemi olarak yaz ılabilir.

175

Bu sistem hakk ında gözönüne alman sorular, birinci basamaktan baş langı ç de ğer problemleri hakk ında sorulan sorunlar ın aynı dır:

1. Çözümler var midir?

2. Bir çözüm var ise, o tek midir?

3. Çözüm ya da çözümler nas ıl bulunacaktır?

Bu sorular ı tam olarak cevapla mak mümkündür. Bu kez elde edilen

sonuçlar, birinci basamaktan lineer diferensiyel denklemler için elde

edilen sonuçlara benzedi ğ i gibi, aynı zamanda daha yüksek basamaktan

lineer diferensiyel denklemler ve birinci basamaktan lineer diferensiyel

denklem sistemleri için elde edilen sonuçlara da benzerdir. Birinci

basamaktan lineer diferensiyel denklemin incelenmesinde oldu ğu gibi

homogen olmayan AX =K sisteminin çözümlerinin yap ı sı , büyük çapta

sisteme iliş kin AX =0 homogen sisteminin çözümlerinin yap ı sına bağ lıdır.

AX =K ve BX =H gibi iki sistem tamamen ayn ı çözümlere sahip

iseler, eşdeğer sistemler adını alırlar. Buna göre AX =K sistemini çöz-

menin temel yöntemi, çözümler ya belirgin ya da kolayl ıkla elde edile-

bilir olacak biçimde e ş değer BX =H sistemini bulmakt ır.

Ş imdi de ş u sorular akla gelebilir:

1. Hangi tür B katsay ılar matrisi için BX =H sistemini çözmek kolaydır?

2.

Eş değer bir sistem elde etmek için AX =K sistemine ne yap ıla-

bilir ?

Birinci sorunun cevab ını düşünme fırsatı daha önce kar şı mıza

çıktı (bak. Kesim 5.2, Alış tırma 7). Kesinlikle B kö ş egen ya da üçgensel

ise BX =H sistemini çözmek kolayd ır.

B kö ş egen olmas ı durumunda sistem tamamen ayr ılmış tır, yani

biixi = hi

biçiminde m denklemden oluşur.

B üçgensel ise çözüm o kadar belirgin de ğ il ancak kolayl ıkla elde

edilebilir. 3x3 biçiminde üst üçgensel matris ile bunu göstermek yete-

cektir. Bu durumda sistem

h ı lx ı + b ı 2x2+ b ı 3x3 = h ı h22x2+ hı 3x3 = hı

b33x3 = h3

176

biçimindedir. Geriye doğ ru konum (back-substitution) denen bir tek-

nikle sistem çözülebilir, b i; / 0 olmak ş artı ile son denklemden x 3 ,

ara denklemden x2ve ilk denklemden de x ı bulunur. b 33 =O ise h3 =0

olmadıkça sistem uyumlu de ğ ildir, yani çözümü yoktur. b 33 =h3 =O ise

x3 istekseldir ve bu durumda çözüm tek de ğ ildir. Genel olarak, çözüm var

olmak ş art ı ile herhangi b ii =0 ise çözüm tek de ğ ildir.

İkinci soruya gelince, denklem sistemleri üzerindeki a ş ağı daki

iş lemlerin bizleri daima bir e ş değer sisteme götürdü ğünü bil*yoruz:

Tür I. i ve j denkleminin yerlerini değ iş tirmek.

Tür II. i yiuci denklemi bir k (k 0) skaleri ile çarpmak.

Tür III. j denkleminin k kat ın ı i denklemine eklemek.

Bu iş lemeler, daha önce tan ımlanan elemanter sat ır iş lemlerini

tamamen (A : K) eklemeli matrisinin sat ırlarma uygulamaya kar şı lık

gelir:

Tür I. (A c K) üzerinde Ri4-› Ri iş lemine karşı l ık gelir.

Tür II. (A K) üzerinde kR i iş lemine kar şı lık gelir.

Tür III. (A K) üzerinde kR i Ri iş lemine karşı hk gelir.

AX =K sistemini çözmede önerilen yöntem grafik olarak a ş ağı daki akış tablosu gibidir.

Sistem AX=K

Matris (AK)

Sistem BX=H

Matris ( B:H)

Çözüm X

ERO

Ş imdi bazı örnekler gözönüne alal ım

ÖRNEK 1. 2x1 + 4x2+ 3x3 + 2x4=

33c 1 + 6x2+ 5x3+ 2x4 = 2

2x1 + 5x2+ 2x3 + 3x4 = 3

4x1 + 5x2 + 14x3 + 14x4 = 11 sistemini gözönüne alal ım.

177

(2 4 3 6

(A IK) =,-- 2 5 4 5

2 4 ,

3 5 2

14

3 -1

1 /2 5

2 2

-3 14

2 -5 -1 -5

I 2 1 2 1 3

11

2 1

j -1 10

2 0 O O

0 O

4 1 0 0

4 0 1

-3

1

3 -1

1 1

3 /2 -5

3

2 -5 -2 -1

2 -2 -5 10

1 1 1 1

1 1 1 1

2 1

-2 2

2 -1

1 7

-3 /2R 1 -; R 2 -Rt + R3

-211 1 + R4

-. 3R3 +R4 0 1 R2,,R3 0 0

( O 0

2R3 1.„

:5'4

2 4 3 2 1 2 O 1 -1 -5 1 1 = (B : H)

-R3+ R4 O O 1 -2 1 --2 (

O 0 O 1 1 4

olduğuna göre BX =H sistemi

2x 1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 2 x2-x3- 5x4 = 1

x3- 2x4 = - 2 x4 -- 4

biçimindedir. Buradan çözüm, geriye do ğru konum ile

x4 = 4, x3 = 6, x2 = 27, x i = - 66

olarak bulunur.

Yukardaki satır indirgeme aşağı daki biçimde sürdürülebilir:

4 3 O (-6 1 -1 O f 21 O 1 0 j 6 O O 1 4

2 4 0 0 1 -24 1 O 0 0 1-66\ O 1 0 0 1 27 -4R2 + R 1 0 1 0 0 j 27 O O 1 0 1 6 1 /2R 1 0 0 1 0 6 00 O 1 1 4 O 0 0 1 1 4/

Daha ileri bir sadele ş tirme sözkonusu değ ildir. Son eklemeli mat-rise ilişkin sistem

xi = - 66

x2= 27 x3 - 6

x4 = 4 biçimindedir ve buradan çözüm belirgindir.

/2 4 3 2 1 2 2

(13 11-1) 0 0 1 -2 1 -2 5R4+ R, O \O 0 0 1 4 -2R4 + Ri 0

0 1 -1 -5 1 1 2R4+->R3 0 (

-3R3 -1-R;

178

X

Xh (X2) ""=-- (

-2c

) O X3

2

( O = e

ÖRNEK 2.

A = (

2 4 3) K = 5) -1 -2 6 -7

olmak üzere AX =K sistemi veriliyor. AX =K sistemi ile buna ili şkin

AX =0 homogen sisteminin genel çözümünü bulunuz ?

1 2 -1 I 4 - 1 2 -1 14 (A IK) ( 2 4 3 I 5) -2R 1 -F- R2 (O 0 5 I -3)

-1 -2 6 I -7 R 1 -1- R3 O 0 5 I -3

-> 1 2 0 17 /5 -R2+ R3 (0 0 -3 /5) (B III) --I /5R2 0001 O

R2+ Ri

olduğuna göre BX =H sistemi

2x2 -= 17 5

3 X3 = - Ç

dir ve buradan genel çözüm, e isteksel olmak üzere

( 17 5

biçimindedir.

AX =O homogen sistemi için eklemeli matris (A 10) oldu ğuna göre (A 1K) yı (B IH) ye indirgemede kullan ılan aynı iş lemler (A 10) ı (B 10) a indirger. Burada BX =0 sistemi

Xi + 2X2 = 0

X3 = 0

ve genel çözümü

179

/ 17 5

X = e

3

biçimindedir. Buna göre AX =K homogen olmayan sisteminin ge lel çözümü

I —217 5—

biçiminde yaz ılabilir. Burada Xh, AX =O homogen sisteminin genel çözümü ve Xp de AX =K sisteminin bir özel çözümüdür.

Örnek 2 nedeniyle bir lineer denklem sisteminin birden fazla çözüme sahip olabileceğ i açıktır. Bu durum 3 boyutlu geometri ile uyumludur, çünkü m =n =3 durumunda her bir denklem bir düzlem gösterir ve çözümler, arakesit noktalar ı= koordinatlar ıdır. Geometrik olarak uzay-da üç düzlem ya bir noktaya ya sonsuz say ıda ortak noktaya sahiptir ya da ortak noktalar ı yoktur.

Örnek 2 aynı zamanda her karesel matrisin bir kö ş egen matrise sat ı r-ca indirgenemiyece ğ ini gösterir.

Matrislerin sat ırca indirgemesini irdelemede yarar sa ğ layan tanımı verelim.

TANIM 5.7.1. A ve B mxn biçiminde iki matris olmak üzere B, sonlu sayı da elemanter sat ır iş lemleri dizisi ile A dan elde ediliyorsa,

A. ve B matrislerine satırca eş değ erdir. (A 'k' B) denir.

Sat ırca eş değerlik, matrisler aras ında eş itliğe göre daha az k ı sıt-layı cı bir iliş kidir, ancak e ş itliğ in temel özeliklerini Sa ğ lar:

Her Amatrisi için A k' B dır. (Yans ıma özeliğ i)

A R B ise B Z' A dır. (Simetri özeliğ i)

A 1":£ B ve B R C ise A j'j, C d ır. (Geçi ş me özeliğ i)

Bu kesimin irdelenmesi a ş ağı daki teoremde özetleniyor.

TEOREM 5.7.1. (A I K) ve (B H) eklemeli matrisleri sat ırca eş değ er

ise AX =K ve BX =H sistemleri tamamen ayn ı çözümlere sahiptir.

Xh+ Xp

180

Bu teoremin tersi kesinlikle do ğ ru de ğ ildir, çünkü iki sistem e ş değ er olabilir, ancak ayn ı sayıda denkleme sahip olmayabilir. Bu durumda eklemeli matrisler ayn ı sayı da satırlara sahip olmazlar.

Bu kesimin son teoremi, bir matrisin elemanter sat ır iş lemleri ile nasıl tamamen basit bir ş ekle getirilebilece ğ ini aç ıklıyor.

TEOREM 5.7.2. Her mxn biçiminde bir A matrisi, a ş ağı daki özeliklere sahip bir tek E matrisine sat ırca e ş değ erdir:

1. Her bir sat ırın sıfırdan farkl ı ilk elemanı 1 d ı r ve onun gözük-tüğü kolon birim matrisin bir kolonudur.

2. E nin sıfır satırları , eğer var ise en sonra gelir.

3. Sıfırdan farkl ı satırlarda temel 1 ler (1, c i ), (2, c2),..., (r,cr) konumlarında gözüküyorsa, bu durumda c i < c2< < cr dir.

Bu teoremde verilen üç ko şulu sağ layan bir matrise satır indirgemeli

eşelon biçimindedir denir. E ş elon biçiminde bazı matris örnekleri, Örnek 1 ve 2 de elde edildi. Di ğer böyle bir matris

(

120400 0 01200-2 000010 000001 000000

biçimindedir. Bu matris için s ıfırdan farklı sat ırlarda temel 1 ler, (1,1),

(2,3), (3,5) ve (4,6) konumlar ındadır, yani c l = 1, c2 = 3, e 3 = 5 ve c4 -= 6

dır. Colc ı (E) = Col ı (I), Cole2(E) = Co12(I), Cole3(E) = Co1 3(I) ve Col"

(E) =Co14(I) dır. Teorem 5.7.2 nedeniyle herhangi bir A matrisi bir tek E matrisine sat ırca e ş değerdir. Bu E matrisi, satır indirgemeli eşelon

matrisi ya da A n ın satı r kanonik biçimi adını alır.

A karesel ise, bu durumda E e ş elon matrisi üst üçgenseldir ve E bir sıfır sat ıra sahip olmadığı sürece E =I d ır (bak. Örnek 1 ve 2).

AX =0 homogen sisteminin A katsay ılar matrisi karesel ve A I ise, bu durumda AX =0 sistemi tek X =0 çözümüne sahiptir. E eşelon matrisi I değ ilse, bu durumda E bir s ıfır satırma sahiptir ve

homogen sistemin s ıfırdan farklı çözümü vard ı r.

AX = K sistemini, (A l K) eklemeli matrisin e ş elon formuna

indirgeyerek çözmeye Gauss-Jordan yoketme yöntemi denir. Örnek 1 de olduğu gibi, bir üst üçgensel matrise vard ıktan sonra sat ı r indirgeme

7

3

181

durdurularak çözüm geriye do ğru konumla elde edilirse bu yönteme de Gauss yoketme yöntemi denir. Genel olarak Gauss yoketme yöntemi, Gauss-Jordan yoketme yönteminden daha az say ısal iş lem gerektirir.

ALIŞTIRMALAR

Eklemeli matrisi e ş elon biçimine sat ırca indirgeyerek a ş ağı daki

sistemlerin her birinin genel çözümünü bulunuz?

1. 3xi- x2 + 2x3 =-- - 4

2x 1 + x2 + x3 = - 1

xi + 3x2 = 2

3• xi- x2- x 3- x4 = 5

xi + 2x2+ 3x3 + x4 = - 2

3xi + x2+ 2x4 - 1

2x 1 + 2x3+ 3x4= 3

5. 7x 1- 8x2 + 8x3 = - x l

9x1- 16x2- 18x3 — - x2

-5x1 + 11x2+ 13x3 = - x3

2. x1 -x3 = 3

x2+ 3x3 = 1

xi + 2x2 = 7

4. 3x1 + 2x2+ 16 x3+ 5x4 =0

2x2 10x3 + 8x4 = 0

xi + X24- 7x34- 3x4 = 0

6. xi + 4x3 = 3x1

5x2 + 4x3 = 3x2

-4x 1 + 4x2+ 3x3 = 3x3

7. (A:K) 7z; (B !H) ise' bu durumda A 7t, B ve K R H olduğunu

gösteriniz. Bunun tersi do ğ ru mudur, aç ıklaymız?

3-12100 B = (2 1 1 0 1 O)

8. 1-30001

matrisi için satır indirgemeli e ş elon matrisini bulunuz?

9. 1 2 3 A = (

2 4 5) olmak üzere (A IK I IK2 'K3) matrisini sa-3 5 6 t ırca indirgeyerek a ş ağı daki üç sistemi

aynı anda çözüniiZ?

(a) AX -=K = (1) (b) AX =K 2 = (-3 ) (e) AX=K 3 = 2) 2/ -2

10. 1 3 3 1 0 0 A = (

1 3 4) olmak üzere AX = (0) , AY = (1) , AZ = (0) 1 4 3 0 0 1

182

biçiminde verilen üç sistemi ayn ı anda çözünüz ? B =(X,Y,Z) ise AB ve BA yı bulunuz ?

11. 3x 1— x2+ 2x3 = 2

2x2 + X2+ X3 = 1

x3 + 3X2 = 2

sistemini, eklemeli matrisi sat ırca indirgeyerek çözmeye çal ışı nız. Or-

taya ç ıkan durumun geometrik anlam ı nedir, aç ıklaymı z ?

12. Aş ağı daki sistemin uyumlu olmas ı için h ın alabileceğ i değ er

ya da değerleri bulunuz ?

xi+ 2x2+ 3x3+ X4 = 3

3x1 + 2x2+ x3 + 4x4 = 7

2x2+ 4X3+ X4 = 1 ,_

xi+ x2+ x3 + x4 = h

13. Bir matris üzerinde her elemanter sat ır işleminin aynı bir elemanter sat ır iş lemi ile geri alınabileceğ ini gösteriniz ?

14. Aşağı daki iş lemler dizisinin A üzerindeki etkisi nedir?

Ri+ Ri, -Ri+ Ri, Ri+ Rj , —Ri

15. E matrisi, r (r < m) s ıfırdan farklı sat ırlı bir mxn eş elon mat-risi olsun. Buna göre

a 1 Row 1(E) + a2Row2(E) +...+ arRow,(E) = 0

ise a l = a2 =... = ar =0 olduğunu gösteriniz

16. A ve B, A R B olmak üzere karesel matrisler olsun. S ıfırdan farklı herhangi k i skaleri için det (A) = k 1 det (B) olduğunu ve ayrıca B nın aykırı olmasının, A nın aykırı olması ile eş değer bulunduğunu gösteriniz.

17. A "k' B ise bu durumda B nin sat ırlarmın, A nin sat ırlarının lineer kombinasyonları olduğunu gösteriniz ?

18. Eirinci basamaktan Y' (t) = AY (t) lineer diferensiyel denklem sistemi gözönüne al ı n ıyor. A katsay ılar matrisi basit (kö ş egen ya da üçgensel) ise, çözüm kolayl ıkla bulunabilir. Buna göre a ş ağı daki durum-larda r(t):=AY (t) sisteminin çözümünü bulunuz ?

183

(a) A , Y (0)

3/ \ 2/

(b) -1 0 O 3

A = ( O O -

O -1 , Y (0) = 8) 3

(e) -1 3 -2 0 = O 3 2) Y (0) = (1)

O O -1 O

5.8. ELEMANTER SATIR I Ş LEMLERI YARDIMIYLE TERS MATRİ SLERİ N BULUNMASI

Bu kesimde nxn biçiminde düzgün bir A matrisi ıı iıı tersini bulmada sat ır indirgeme tekniklerinin nas ıl kullan ılacağı görülecektir. Herhangi bir K için AX =K sistemi bir tek çözüme sahip olacak ş ekilde A n ın I ye sat ırca eş de ğer olduğunu varsayahm. Özel olarak,

K =(1,0,0,...,0)T = Co1 1 (I), K =--(0,1,0,...,0)T = Co12(I),...,

K =(0,0,0,...,1)T = Coln(I)

için sistem, Gauss yoketme yöntemi ile rahatl ıkla çözülebilir.

Bu ıı sistem, birlikte

(A 1Col ı (I) I Co12(I) Coln(I) ) (A II)

matrisini sat ırca indirgemekle çözülebilir.

A ?'{, I olduğundan bu sat ır indirgeme ile, P nin kolonları yukardaki n. sistemin çözümleri, yani

ACol 1 (P) = Col 1 (I), ACo12(P) = Co12(I),..., ACol n(P) = Coln(I) olmak üzere (I IP) matrisine var ı lı r.

Bu rı eş itlik, bir tek AP =I e ş itliğ ine e ş değerdir. Öte yandan A I olduğ undan det (A) / 0 (bak. Kesim 5.7, Al ış tırma 16) ve Sonuç 5.6.1 nedeniyle de A-1 vard ır. Buna göre AP =I soldan A -1 ile çarp ı larak P-1 =A-1 AP —A-1 I =-A-1 olduğ u sonucuna vard ır. Bu irdeleme a ş ağı daki

teoremde özetleniyor.

TEOREM 5.8.1. A nxn biçiminde ve (A II) 'it' (I IP) ise P =A-1 dır.

Bu teoremin sonucu, bir matrisin tersini bulmada son derece etkili bir yöntem verir. Bu yöntemin, Kesim 5.6 da irdelenen adjoint formülü kullanmaya göre daha az aritmetik i ş lem gerektirece ğ i aç ıkt ır.

184

ÖRNEK 1.

A ---

1 2 4

\1

-1 2 3

-1 0 2 ise

1 -11 -1

3 83

A-1 i bulunuz?

-1 2 3 1 1 O 0 O 2 -1 O 2 1 O 1 O O

(A I)

(1 )

1 1 -Il -1 0 0 1 0 1 9 3 83 0 0 0 1

/1 -1 2 :3 I 1 0 O O -2R 1 + R, 0 1 -4 -4 1 -2 1 0 0

R, O 5 -19 -13 . I -4 0 1 0 -R 1 -1- R 3 1 80 -1 O 0 1

0 -2 -1 0 o\ ı . 0 ı , -4 -4 I -2 1 O 0

+- 0 0 1 7 I 6 -5 1 0, -3R2 + R4 \O 0 13 92 I 5 -3 0 1/

N

il 0 0- 13 I 11 -9 9 2 O\ 2R,-1- R ; 0 1 0 24 , 22 -19 0 I 4R,-1- R .-2 0 0 1 '7 I 6 r-5 1 O)

-13R,-1- R .; ‘ O \ 0 O_ 1 -73 62 -13 1

> il 0 0 01 960 -815 171 -13 -7R4 + R, 1 -24114 1- R2

0 \0

1 0 0 1

01 1774 01 517

-1507 -439

316 92

-24 -7 = (I 1 A-1 ) 0

-13R4+ Ri \0 0 0 1 I -73 62 -13 1

oldu ğ una. göre

(

960 -815 171 -13 1774 -1507 316 -24 517 -439 92 -7 -73 62 -13

dır. Görüldüğü üzere bir matris sadece tamsay ı elemanlarma sahip ise, bu durumda Teorem 5.8.1 ın yöntemi kullanılarak kesirli herhangi bir iş lem yapmaksı zın, onun tersi bulunabilir. Daha çok el i ş lemleri için önerilen yöntem a ş a ğı daki örnekte veriliyor.

A-1

185

B =

3

(2 1

-1 1

-3

2 11 ise B-1 i bulunuz. 0

-1 2 1 0 O 1 -3 O 1 O O 1 1

-3 1 0

0 O

1 O

O) R <->R3 (2 1 1 1 1 3 -1 2 1

O 1

1 o) O Ol

-3 0 1 0 O 1 1 -3 01 O O 7 1 1 O 1 (O I -2 -> -1 -1 -1 1

1) 1

-3 ) -R3+ R2 \ O 8 2 I 8 2 1 1 0 1 O -3

-3 O 1 O O 1 1 O 3 -> I 3 -3 -2 -1) 3R2+ R ı (O 1 1 I 1 1 I 1 -1 1 -1 -1)

8 2 1 1 0 -3 -8R2+ +R3 O 0 -6 I -7 8 5

0 18 18 -18 12 6 O O I -> -3 6 3 -6) -R3+ R2 (O 6 O

7 1 6 6 6 -6 -1 2 -1)

O 6 7 -8 -5 -3R3+ O O 6 7 -8 -5

3 (B II) = (2

1

-> 1 -21t 1 + R2 (O -31t 1 + R3 O

1 -R2 (O

O

6 (O \ O

-R3 6R İ

6R2

ÖRNEK 2.

1 /6Ri (I 1 1 /6R2 1 /6R3

olduğuna göre

1 6 \ 7 -8 -5/ /

B-1= 6 1 C-31 26 -31)

7 -8 -5

dır.

Ş imdi elemanter sat ır iş lemleri ve matris çarp ımı arasmdaki önemli ve yararlı bir ili şkiyi belirten bir teoremden sözedelim. Bu ili şki matris tersleri hakkında önemli gerçekleri ortaya ç ıkarmada yararl ı olacakt ır. Daha önce Kesim 5.3 de Al ış tırma 11 olarak verilen matris çarp ımları bu teoremiıı bazı özel durumlar ını içermektedir.

TEOREM 5.8.2. Bir A matrisi üzerinde bir elemanter sat ır iş lemi, A matrisini üzerinde belirtilen i ş lemin yap ıldığı bir birim matris ile sol-dan (ya da A dan önce) çarpmakla elde edilebilir, yani A ER O = (IER0) A dır, ya da aç ık olarak

186

Tür I AR,v(->Rj = (IB,1<->Rj) A

Tür II Akil.' = (IkRi) A Tür III AkR1+ Rj = (IkRi+Rj) A

dır.

Ispat. Bu teoremin ispat ııı da kullanılacak temel araç, Sonuç 5.5.1 dır, yani Rowi(EA) = (Rowi(E) ) A ve bunun özel bir durumu olan Rowi(A) = (Rowi(I) ) A dır. Buna göre iki yandaki matrislerin e ş it satırlara sahip olduklar ı gösterilirse matrislerin e ş it oldukları sonucuna varılacaktır.

Tür I. i ymcı satır için Rowi( (IRj*-->Rj) A) -= (Rowi(IRI<->Rj) ) A =Rowi(I) A

= Rowj(A) = Rowi(AR“-->Ri)

Benzer olarak j y ıncı satır için Rowj( (IRi e-->Rj) A) = (Rowi(IRI <-4B,j ) ) A = (Rowi(I) ) A

= Rowi(A) = Rowi(ARj+->Rj )

ve h^i,j olmak üzere h yıncı satır için Rowb( (IRi4-4Rj)A) = (Rowh(IRi<-+Rj) ) A = (Rowh(I) ) A

=-- Rowh(A) = Rowh(ARı<->RJ) dır. Böylece (IR14-›Rj ) A ve ARi•-->gi matrisleri e ş it satırlara sahip oldukla-rından e ş ittirler.

Tür II. Herhangi bir j ymc ı satır için Rowi(IkRiA) = (Rowj(IkRi) ) A (Row j(I) A

Rowj(A) = Rowj(Akıtı ) ve j =i ymcı satır için

Rowi(IkRiA) = (Rowi(IkRi) ) A = k. Rowi(I) ) A = kRowi(A) = Rowi(AkRı )

olduğundan AkRi ve (I kRi) A e ş it satırlara sahiptirler ve e ş ittirler.

Tür III. Herhangi bir ij sat ırı için

Row ı ( A) = (Row4kRı +Rj) ) A = Rowi(I) A

= Rowi(A) = Rowt(AkR ı +RJ) ve i =j yıncı satır için

Rowj( (IkRi+Rj ) A) -= (Rowi(IkRi+Rj) ) A

[kRowi(I)+ Rowj(I) I A =kRowi(1) A+ Rowi(I) A

= kRowi(A)+Rowj(A) =-Rowi(Aut ı -I-Ri)

187

olduğundan AkRi+Rj ve (IkRi+Rj) A matrisleri e ş it satırlara sahip olduk-

larından e ş ittirler.

Bu teoremde gözüken IR1<->Rj, IkRi, IkRi +Rj matrisleri, matris kura-mmm geliş iminde son derece önemlidir.

TANIM 5.8.1. Bir tek elemanter sat ır iş lemi ile birim matristen

elde edilen matrise bir elemanter matris denir. Buna göre IRI4-)Rj,

IkRi+Rj matrisleri s ırasiyle birinci, ikinci ve üçüncü türden elemanter matrislerdir.

Aş ağı daki özeliklerin do ğ ruluğu Teorem 5.8.2 yi kullanarak ya da doğ rudan gösterilebilir:

(Igi<_>RJ)-1 = IRiHRj

(IkB,i) -1 = I ı Ri, k0 k

(IkR ı +Ri)-1 = I-kRi +Ri

Bu yüzden bir elemanter matris diizgündiir ve onun tersi ayn ı türden bir elamenter matristir, Örne ğ in, 3x3 biçiminde elemanter mat-risler için

(IRI<->R3) -1

(ı kR2) -- i

(IkR2+R3)-1

dır.

(O 0 1 )1 o 0 1

— o ol o

o — (o 0 o ı o) ı ı ı 0 o - İ 1 0 0

—

(

O k O) = (O 1 /k O) O O 1 O O 1

1 0 O -1 ,

1 0 O = (o ı o

i/ ) = (o0 kı

1/) \ o k

= IR İ <-->R3

= I iir-R2

i_kR2+R3

Satırca e ş değerlik, Teorem 5.8.2 yı kullanarak matris çarp ımı cin-

cinden ayırdedilebilir.

TEOREM 5.8.3. A R B ise, PA =B olacak ş ekilde elemanter matris-

lerin çarp ımı olan düzgün bir P matrisi vard ır. Tersine olarak, P düzgün bir matris olmak üzere PA=B ise, bu durumda A 'ft,' B dır.

Ispat. A 7c, B ise E l, E2,..., Et, A yı B ye indirgeyen elemanter satır iş lemlerine kar şı lık elemanter matrisler olsun. Teorem 5.8.2 ne-deniyle

188

Et(... (E2(E İ A) )...) = (EtEt_ 1... E2E 1) A=B

dır. Böylece P =E tEt_ İ ... E2E 1 alınabilir. Bunun tersini ispatlamak için, P düzgün ise P Z' I olaca ğı ndan Teorem 5.8.3 ün ilk k ısmı nedeniyle P elemanter matrislerin çarp ımıdır. Yukardaki ispat düzenindeki basa-maklar geri al ınarak ikinci kısmın ispat ı tamamlanabilir.

P =PI=(EtE t _İ ... E2E 1) I olduğundan, elemanter sat ır iş lemleri A yı B =PA ya indirgiyor ise bu durumda doğal olarak I üzerinde ayn ı iş lemler dizisinin de P yi vereceğ i anlaşı lır. Böylece şu sonuca varıhr.

SONUÇ 5.8.1. (A II) Z (B IP) ise bu durumda PA =B d ır.

Bu sonucun özel bir durumu B =I olmak üzere PA =I d ır ve bu da Teorem 5.8.1 ın ba ğı msı z bir ispatmı verir.

Ş imdi bu kesimde elde edilen sonuçlar, matrislerin terslerinin varl ığı hakkında baz ı yararh gerçekleri kurmada kullan ılabilir.

TEOREM 5.8.4. nxn biçiminde bir A matrisi için a ş ağı daki anla-tı mlar eş değerdir:

1. A 'it' I dır.

2. A elemanter matrislerin çarp ımıdır.

3. A-1 vardır.

4. A bir sol terse sahiptir. (PA =I olacak ş ekilde P matrisi var-dır.)

5. AX =0 ise X =O d ır.

6. det (A) 0 dır.

Ispat. 3 ve 6 anlat ımlarmm eş değer olduğu bilindiğ inden aş ağı daki

gerektirmeler zincirini kurmak yetecektir:

1- 2 -> 3 --> 4 -> 5 --> 1

1-*2. Teorem 5.8.3 ve Sonuç 5.8.1 den, Ei elemanter matrisler olmak üzere A-1 = (EtEt_1 ... E2E1) d ıır. Teorem 5.3.5 den

A =(EtEt_ İ ... E2E 1 )-1 = E İ -1E2-1 ... E t_ İ lEt-ldır. Tanım 5.8.1 i

izleyen uyarıda belirtildiğ i üzere bir elemanter matrisin tersi de bir elemanter matristir.

Teorem 5.3.5 ve yukarıdaki uyarıdan bütün elemanter mat-rislerin düzgün oldu ğu sonucuna vardır.

189

3-4. Belirgindir.

4->5. AX =0 sistemi soldan A n ın tersi ile çarp ı lırsa X =0 oldu-ğu anlaşı lır.

5->1. A 'j; I oldu ğu doğ ru değ il ise, bu durumda A n ın sat ır indir-gemeli biçimi bir s ıfır satırma sahip olaca ğı ndan AX =0 sistemi s ıfırdan farkh çözümlere sahip olur.

Matris tersi, kuramsal görü ş açı sından temel öneme sahiptir. A-1-ın

elemanlar ına aç ık olarak pek seyrek gereksinim duyuldu ğu halde çoğunlukla verilen herhangi bir B matrisi için A -1B çarp ımııı a gerek-sinim duyulur. Böyle bir çarp ım en etkili biçimde

(A IB) ERO (I IP)

den P =A-1 B olarak bulunur.

ALIŞTIRMALAR

Teorem 5.8.1 i kullanarak a ş ağı daki matrislerin terslerini bulu-nuz ?

1 2 2 5\ L A =

( 2. B =

(3 3 4/ -,2/

1 0 1 4 1 4 3. C = (3 1 O 4. D = (O 1 t)

1 O O ‘2 O 3'

1 1 2 1 1 2 3 4 S. E -1 1 0 1 6. F = -1 1 2 3

2 1 1 O 1 -1 1 2 1 3 1 O -1 1 -1 1

1 1 1 1 1 0 1 1 7. G 1 2 3 4 8. H = 2 1 -1 O

1 4 9 16 4 4 1 0 1 8 27 64 8 12 -1 0

3 0 0 O 1 0 0 0 9. J e 1 3 O 0 10. K = 3 2 O O

O 1 4 O (-4 1 3 O O O 1 3 2 3 5 4

190

11. A simetrik ise, A-1 in var olmak ko şulu ile A-1 in de simetrik' olduğunu gösteriniz ?

12. 2 3 4 1 2 -1 A = (

4 3 1) B = (-1 1 21

1 2 4 2 -1 1

ise PA =B olacak ş ekilde düzgün bir P matrisi bulunuz. A n ın tersinin varlığı nı gerektirmeyen bir yöntem türetebilirmisiniz, aç ıklayınız ?

13. A =BC ve A düzgün olacak ş ekilde A,B,C karesel matrisler ise,

bu durumda B ve C nin de düzgün olduğunu gösteriniz ? (Bilgi: özelik 10 dan değ il Teorem 5.8.4 den yararlan ınız.)

4 1 2 6 14. A = 1 2 4 1

O -1 -2 1 (

ise PA e ş elon biçiminde olacak ş ekilde düzgün bir P matrisi bul ımuz. P tek

O 6 12 O midir?

15. Ahş tırma 1 ve 3 ün A ve C matrislerini, elemanter matrislerin çarpımı olarak yaz ınız ?

16. Bir elemanter matrisin transpozunun da bir elemanter matris olduğunu gösteriniz?

17. E bir elemanter matris ise det (EA) = det (E) det (A) oldu ğunu gösteriniz?

18. Teorem 5.8.4. ve Al ış tım-la 17 nin sonuçlarını kullanarak, A düzgün ise det (AB) = det (A) det (B) oldu ğunu ispatlaym ız ? Daha sonra Ahş tırma 13 ve Teorem 5.8.4 ün 6 ıncı anlatımından yararlanarak bütün durumlarda det (AB) = det (A) det (B) oldu ğunu gösteriniz?

19. P,A-1 e bir yakla şı khk olsun (PA, I den sadece bir kaç yerde farkediyor). P ve PA dan A -1 in nas ıl bulunaca ğı nı gösteriniz?

20. A ve B nin k yine ı kolon dışı nda benzer ve A-1 ın bilindiğ ini varsayahm. B-1 ın A-1 den nas ıl bulunacağı nı gösteriniz ?

21. Satırca e ş değerliğ in, bir eş değerlik bağı ntı sı olduğunu, yani yansıma (A it A), simetri (A 'k' B ise B Z, A) ve geçi ş me (A "it B ve B 'ir, C ise A İ̀ ', C) özeliklerini sağ ladığı nı gösteriniz?

22. Aşağı daki matris çarp ımlarım bulunuz ?

1 2 \ -1 (2 5\ 1 0 1 -1 4 1 4 (a) (b) (3 1 O) (O 1 O)

3 41 \3 -2) 1 0 O 2 0 3

191

10 -3-3 17 12 18 23. P = ( 2

-8-3 1 1 (

) ve A = -16 -) -5

-9 -4 24

-4

ise (P-1A) P yi bulunuz ?

5.9. AX =X SISTEMININ ÇÖZÜMLERİ Nİ N YAPISI

Bu kesimde AX =K sisteminin çözümlerinin varl ığı ve tekliğ i

üzerinde durulacakt ır. Bu konudaki sonuçlar ço ğunlukla a ş ağı da tanım-

lanan bir matrisin rank kavramına dayan ır

TANIM 5.9.1. Herhangi bir A mxn matrisi için, A ya sat ırca e ş değ er

bir tek sat ır indirgemeli e ş elon matrisi E olsun rank (A) ile gösterilen

A nın rank ı , E nin sıfırdan farkh sat ırlarmın sayı sı olarak tammlamr.

İ ki matrisin sat ırca e ş değ er olmas ı , onların aynı eş elon matrisine

satırca eş değ er olması ile eşanlamh olduğundan aş a ğı daki teorem veri-

lebilir.

TEOREM 5.9.1. Sat ırca e ş değer matrisler e ş it ranka sahiptir.

Bu noktada belirtelim ki Tan ım 5.9.1, rank (A) n ın klasik tanımı değ ildir. rank (A) n ın klasik tanımı , A nın sıfırdan farkh determinantl ı en büyük karesel altmatrisinin basama ğı olarak verilen tammd ır. Bu

iki tanım eş değerdir, ancak uygulamada A nın rankı hemen hemen

doğrudan klasik tan ımdan gidilerek bulunmaz.

Rankın belirtilen tammma göre, her matrisin tamamen belirli ve

tamsayı olan bir rankı vardır. Bir matris s ıfır matrisi de ğ ilse en az ından

determinant ı sıfırdan farklı birinci basamaktan bir altmatris kapsar ve bu durumda rankı 1 dır. Sıfır matrisinin rank ı 0 olarak kabul edilir

Herhangi bir A nxn matrisi için A R I olmas ı , A-1 ın var olması ile

eş değer olduğundan, A-1 ın var olmas ının rank (A) = n olmas ı ile e ş değ er olacağı açıktır. Bu ko şul, Teorem 5.8.4 de verilen A -1 ın varlığı na e ş değ er

ş artlar listesine eklenebilir.

AX =K sistemine, eğer en az bir çözüme sahip ise uyumludur

denir. Sistemdeki herhangi bir uyu ş mazlık, eklemeli matris sat ır indir-gemeli oldu ğunda su üstüne çıkar. Uyarı iş areti, indirgemenin herhangi bir basama ğııı da son kolon dışı nda sıfır olan bir satım ortaya ç ıkışı nda görülür. Buna göre verilen sisteme ili şkin (A IK) eklemeli matrisi sat ırca

indirgenerek (B III) matrisi bulunur. Buradan

192

ç23 +2c1-3c2

el ' —3c,--1--c

C2 c 3

3 O

x

3

2° 0 0

( 3

c ı -h-

biçimindedir.

rank (A) = rank (B) = B nin s ıfırdan farkl ı sat ırlarının sayı sı < (B 111) ın sıfırdan farkl ı satırlarının sayısı = rank (B ILI) = rank (A 1K)

dır.

Eğer hiç bir zorluk ortaya ç ıkmıyorsa, s ıfırdan farklı r sat ıra sahip (B IH) sat ır indirgemeli e ş elon matrisine vard ır ve bu durumda

r=rank (A) = rank (A 1K) = rank (B 1H) dır. Bu durumda BX =H sistemi r denkleme sahiptir ve ve bu denk em-ler r bilinmiyeni, geri kalan n-r bilinmiyen cinsinden belirtir.

ÖRNEK 1. Satır indirgemeli e ş elon matrisi olmak

/1 —2 0 5 0 0 0 3 0 013-1002

(A K) B 11) 0 000 0103 0 0 0 0 O O 1 o ko o o o o o 0 o

üzere AX =K sistemini gözönüne alal ım Buna göre BX =H sistemi

xi = 3+2x2--5x4 ya da x3 =- 2-3x4 -Lx5

x6 =3 x7 — O _

biçimindedir. Buna göre x2, x4 ve x5 isteksel, yani x2 = c i , x4 = c2, x5 = c3 olmak üzere AX =K sisteminin genel çözümü •

xl--2x2+5x4 = 3 x3+3x4—x5 = 2

x6 = 3 x7 =--- O

193

Doğ al kullanış bakımından bu sistem 3 serbestlik derecesine sahip-tir. rank (B) = 4 ve serbestlik derecesi say ı sı , bilin.miyen sayı s ı ile B nin rankı fark ına eş ittir.

TEOREM 5.9.2. A r rankl ı bir mxn matrisi olsun. Buna göre AX =K sisteminin uyumlu olmas ı , r =rank (A) = rank (A 1K) olmas ı ile eş -değ erdir. Bu durumda genel çözümde n—r serbestlik derecesi (ba ğı m-sız isteksel sabitler) vard ır.

AX =K sisteminin genel çözümü, normal olarak belli isteksel sa-bitler kapsar, Genel çözümde isteksel sabitlere belli de ğ erler vermekle özel çözümler elde edilir. Lineer diferensiyel denklendere gelince durum aynıd ı r.

AX =K sistemi, K =0 durumunda homogen sistemdir. Bu durumda X =O, daima AX=_ O sisteminin bir çözümü oldu ğundan uyu ş mazlık diye bir sorun yoktur. Homogen durumda önemli sorun, s ıfırdan farkl ı çözümlerin var olup olmamas ıdır. A, n yinci basamaktan bir karesel matris ve rank (A) = n ise, bu durumda det (A) 0 ve A -1 vardır. Kuş kusuz bu durumda tek çözüm olarak X = 0 elde edilir A mxn biçi-minde herhangi bir matris ise, tabii olarak (A 10) eklemeli matrisi sat ırca indirgenir. Her ERO son kolonu de ğ iş tirmiyeceğ inden, B e ş elon biçimin-de olmak üzere sat ır indirgemeli (B 10) matrisine vard ır. r .----rank (A) = rank (B) = B nin s ıfırdan farkl ı sat ırlar= sayı sı olsun. r< n ise, yu-karda olduğu gibi r bilinmiyen, değerleri isteksel olmak üzere geri kalan n-r bilinmiyen cinsinden çözülebilir. r =n ise, bu durumda tek çözüm X =0 dı r.

TEOREM 5.9.3. A mxn biçiminde olsun. AX =0 homogen sistemi-nin sıfırdan farkh çözümlere sahip olmas ı , r =rank (A) < n olmas ı ile eş değ erdir. Bu durumda genel çözümde n-r serbestlik derecesi (ba ğı msız isteksel sabitler) vard ır.

Teoremin ko şulları m<n olmas ı , yani denklem say ı sının bilinmiyen sayı sından az olmas ı durumunda da kesinlikle sa ğ lanır. Bu önemli özel duruma ilişkin sonuç a ş ağı dadır.

SONUÇ 5.9.1. A mxn biçiminde ve m<n ise, bu durumda denklem sayı sı bilinmiyen sayı sından az olan AX =0 homogen sistemi, s ıfırdan, farklı çözümlere sahiptir.

AX =K sisteminin çözümlerinin varl ığı ve tekliğ i hakkında bütün bilgileri bir tablo biçiminde verelim.

194

Ş ekil 5. 9.1

Evet Hay ı r

midir?

HOMOGEN OLMAYAN SISTEM A X = K

rank (AEK =rank(A)midir

Evet Hay ır

S İ STEM AX = K A mxn K = mxl

r< n sonsuz say ı da s ı f ı rdan farkl ı

Gözüm vard ı r .

Hay ı r

/r=rank( /r.r ı midir?

Hay ı r Evet

Tek çözüm vard ı r. r=m=n ise A 1 vard ı r ve x=A I K d ı r.

=rank(A) r=n midir?

Genel Çözüm

r bilinmeyen

geri kalan n - r

bilinmeyen cinsinden

bulunur.

Evet

X O tek çözümdür

1 Genel çözüm

r bilinmeyen ,

geri kalan n-r bilinme_

yen cinsinden bulunur.

Uyumsuz sistem: çözüm yok

1

r< n sonsuz sayı _ da çözüm vard ı r.

HOMOGEN SISTEM AX = 0

ÖRNEK 2. Örnek 1 deki sisteme ili şkin AX =O homogen siste-mini gözönüne alal ım. Buna göre

1-205 00010 O 013-10010

(A 1 0) 'ii` (B10)----= 0 0 0 0 O 1 010 O O O O O O 110 O 0 0 O 0 0 0 1 O

dır. Buradan BX =0 sistemi

x1-2x2+ 5x4 = 0 x3 +3x4—x5 = O

x6 = o ya da

x7 = O biçimindedir İkinci düzende X2,

belirgindir. Genel çözüm

X İ . = 2X2-5X4 X3 = —3X4 + X5 X

6 = 0

x7 = „

ve x5 isteksel olmak üzere çözüm x4

e l +C3

XI 2Cr---5C2

X2 Ci.

X3 —3C2+CS

X = X4 C2

Xs C3

X6 O

X7 0

=c1X ı +c2X2

(1 0 0 o

\ o \o

c 3X biçimindedir.

X1= , X2 =1, X4 =0, X5 =O X2 = (-5,0,-3,1,0,0,0)T , X2 =0, X4 =1, X5 =O X3 = (0,0,1,0,1,0,0)T , X2 =0, X4 =O, X5 =1

olmak üzere özel durumlard ır. X İ , X2 ve X3 kolon matrisleri ba ğı msızdır, çünkü onların herhangi biri, di ğ er ikisinin bir lineer kombinasyonu ola-rak elde edilemez. Ba şka bir anlatım ile c ı X i + c2X2+ c3X3 =-0 olması , sadece c i = c2 = c 3 =0 olmas ı durumunda geçerlidir.

Bu aş amada matris kurammdan yararlanarak çe ş itli lineer uzay-larda lineer ba ğı msızlık ve lineer ba ğı mlılık kavramları üzerinde Kesim 5.10 da durulacakt ır. Ancak daha önce Kesim 4.4 de oradaki boyutlar içerisinde bunlarla birlikte baz ve boyut kavramlar ı da verilmiş ti. Buna göre Örnek 2 de kullan ı lan yöntem, herhangi bir homogen sisteme uygulanabilir.

TEOREM 5.9.4. A rankı r (r<n) olan mxn biçiminde bir mat-ris olsun. Bu durumda AX =0 homogen sisteminin genel çözümü, ci ler isteksel sabitler ve X i ler de AX =O sisteminin lineer ba ğı msız çözüm-leri olmak üzere

196

C İ X İ + c2X2+...+ en_rXn_r biçimindedir.

Örnek 1 ve 2 kar şı la ş tırıhrsa AX =K sisteminin genel çözümünün; AX =0 homogen sisteminin genel çözümü Xh ve AX =K sisteminin bir özel çözümü Xp olmak üzere, X =Xh+ Xp biçiminde olduğu anlaşı lır. Bu sonuç, a ş ağı daki teoremde görülece ğ i üzere genel olarak geçerlidir.

TEOREM 5.9.5. AX =K uyumlu bir sistem olsun. AX =0 homogen sisteminin genel çözümü Xh ve AX =K sisteminin bir özel çözümü X p

olmak üzere, AX =K sisteminin genel çözümü X =Xh+ Xp dir.

Ispat. AXh =0 ve AXp =K olduğundan A (Xh+ Xp) = AXh-FAXp =0+K =K dır. O halde Xh4=Xp bir çözümdür. Y herhangi bir çözüm ise

Y =(Y—Xp)+ Xp olarak alalım Bu durumda A (Y—Xp) = AY—AXp

=K—K =0 dır ve dolayısiyle Y—Xp, AX =0 in bir çözümüdür. Buradan Y nin gereken biçimde oldu ğu anlaşı lır.

Teorem 5.9.4 ve 5.9.5, birinci basamaktan bir lineer diferensiyel denklemin çözümlerinin yapı sına çok benzer. Bu nedenle bu iki durumu karşı laş tıran bir tablo verelim. İncelenebilecek di ğer lineer sistemler için tabloya ba şka kolonlar eklenebilir:

Lineer Denklem Türleri

Tür Cebirsel Birinci basamaktan Diferensiyel

Tipik denklem AX = K

A: mxn, K. mxl

dy — -I- p (x) y=Q (x),0<x<lı dx

Aranan çözümler Bütün nxl matrisler cümlesi

a <x<b arahğmda sürekli türevlere sahip bütün fonksiyonlar cümlesi

Homogen durum K--= O

Bütün çözümler cümlesi, matris toplamı ve skaler ile çarpım altında kapah- dır ve sonlu lineer ba ğı nı- sız çözümler cümlesi ile elde edilir.

q (x)=-0 Bütün çözümler cümlesi, toplama ve skaler ile çar-pım altında kapalıdır ve bir tek sıfırdan farkl ı çözüm ile elde edilir

Homogen olmayan durum

Xh, homogen sistemin genel çözümü ve Xp de homogen olmayan sistemin bir özel çözümü olmak üzere genel çözümX=Xh+ Xp biçimindedir. Bütün çözümler cümlesi,

toplama ve skaler ile çar- pnn altında kapalı değ ildir.

Yh, homogen denklemin genel çözümü ve Yp de homogen olmayan denkle-min bir özel küzümü olmak üzere genel çözüm. Y=Yh + Yp biçimindedir. Bütün çözümler cümlesi,

toplama ve skaler ile çar- pım altında kapal ı değ ildir.

197

ALIŞTIRMALAR

Aş ağı daki sistemlerin her biri için katsay ılar matrisinin rank ıııı , eklemeli matrisin rank ını ve sistem uyumlu ise genel çözümü bulunuz? Genel çözümü Xh+ Xp biçiminde yaz ınız?

1. xi+3x2+x3 = 4

2. xi 4-x2+x3 -hx4 = 5 Xi+X2-X3

-

1

x ı -1-3x2+2x3 +4x4 -= 3 2x1 + 4x2 = 5

2xi -Fx3-x4 = 2

___ İ -__2-__ 3 , ___4 = O = 0 4. 2x x x -4-2x = 2 -xi +2x2-Fx3-x4 = 1 — - 7 xi+3x2+2x3 +3x4 = 0

2x1-3x2-x3 +4x4 = 1

biri, için genel çözümü olu ş turan

3. xi +2x2—x3 +2x4 —2x1-5x2 +3x3 x2 + x3 -F 10x4

Aş ağı daki homogen sistemlerin her lineer ba ğı msız çözümleri bulunuz?

5. 2x1 +3x2+4x3 = 0

6. 2x2-6x2 --1-7x 3-8x4 = O 4x1 4-3x2+x3 = 0

4X İ-13X2+5X3-X4 = O

8x ı +6x2 +2x3 = 0

7. x1 +2x2+3x3 -1-x4 = 0 3x 1 4-2x2+x3 --Fx4 = — O 2x2+4x3-1-x4 = 0

8. 2 O 0 0 J= 1200

O O 2 O O O 1 2

olmak üzere JX =2X sisteminin genel çözümünü olu ş turan ba ğı msı z çözümleri bulunuz?

5.10. L İ NEER BAĞ IMSIZLIK, BAZ VE BOYUT

Lineer bağı msızlık ve ba ğı mlılık tanımı herhangi bir lineer uzay için Kesim 4.4 de verilmi ş ti. Elemanları matrisler olan lineer uzaylar için de benzer tarımın geçerli olaca ğı aç ıktır.

TANIM 5.10.1. Mi, M2,..., Mk ayn ı biçimli isteksel matrisler cümlesi olsun. Mi , M2,..., Mk cümlesine, c ı Mi+ c2M2 ckMk =0 bağuı tısı ancak c i = c2 =... = ck =0 için geçerli ise lineer bağ unsızd ı r denir. Cüm-le lineer ba ğı msız değ ilse, lineer bağı mhd ı r denir.

Buradan bir matrisler cümlesinin lineer ba ğı msız olması , daima belli bir homogen lineer denklem sisteminin sadece s ıfır çözümüne sahip olmasının gösterilmesine indirge ıaiyor demektir. Ayn ı ş ekilde bir matris-

198

ler cümlesinin lineer ba ğı mlı olmas ı da bir homogen sistemin s ıfırdan

farklı bir çözümünün varl ığı nı göstermeyi ya da bulmayı kapsar.

ÖRNEK 1. lineer uzayında (4x1 biçiminde bütün gerçel

matrislerin lineer uzay ı) aş ağı daki be ş kolon matrisinin lineer ba ğı m-

sız olup olmad ığı nı gösteriniz?

2 °

9) 1

3 5 2 O 3

Mi (3) , M2 = (-6) , M3 = (3) M4 ° M5 = 4 4 1 0 2 2

ciM ı + c2M2+ c3M3 + c4M4+ c5M5 = 0 olduğunu varsayahm. Bu bağı ntı dan

c i-2c2 +9c4+c5 = O

2c 1 +3c2 +5c3 +3c5 = 0

3c 1 +6c2+3c3 +4c5 = 0

4ci+c2+2c4+2c5 = O

sistemine varı lır. Bu homogen sistem, bilinmiyenden daha az denkleme sahiptir. Sonuç 5.9.1 nedeniyle sistemin s ıfırdan farklı çözümleri vard ır. O halde verilen kolon matrisleri lineer ba ğı mlıdır (bileş en sayı sı , vektör sayısından az olan vektör cümlesi lineer ba ğı mlıdır.)

-2 4\ ÖRNEK 2. A = il B (

2

\3 0 -1, ' 6 0 -2,

biçiminde 22x3 lineer uzay ında verilen matrisler cümlesinin lineer ba-ğı msız ya da ba ğı mlı olduğunu -gösteriniz?

Yöntem 1. B =2A oldu ğundan iki matris lineer ba ğı mlıdır. Yöntem 2. aA-FbB =0 oldu ğunu varsayahm.

a+2b= 0 4a+8b=-- 0 -a-2b= 0

-2a-4b =O 3a+6b= 0

sistemi a+2b =0 denklemine indirgenir. Ohalde A ve B matrisleri lineer ba ğı mlıdır.

Bir V lineer uzayının bir a2,..., an } vektörler cümlesini"' lineer bağı msı zlığı nı incelemede a ş ağı daki basamaklar ı izlemek bir yöntem olarak sal ık verilir:

199

I. x i oc i + xnac, =O olduğu varsayılır.

II. Basamak I deki anlat ım, AX =0 lineer homogen denklem sistemi olarak yorumlan ır. (Burada kullan ılan teknik V nin yap ısına bağ lıdır.)

III. Basamak II deki sistem, belirgin olmayan bir çözüme sahip ise, bu durumda ai ler lineer ba ğı mlıdır. (AX =0 homogen sisteminin belirgin olmayan bir çözüme sahip olmas ı , rank (A) < A n ın kolonlarm ın sayı sı olmas ı ile e ş değ er olduğunu ammsayal ım )

ÖRNEK 3.

R1x4 de aş ağı daki vektörler cümlesini gözönüne alal ı m: al = (1,2,-1,2), oc 2 = (-2,-5,3,0), oc 3 = (1,0,1,10)

I. x i oc i + x2a2 + x3a3 =O denklemi

x i (1,2,-1,2) -L- x 2 (-2,-5,3,0) ± x 3 (1,0,1,10) (0,0,0,0) ya da

(x 1-2x2±x3 , 5x2 ,—x i + 3x2+ x3 , 2x1 ± 10x3) = (0,0,0,0) denkhmine (vektör cebirsel denklemi) e ş değ erdir.

II. AX =0 sistemi,

x1-2x21-x3 0 1 —1 1 3 0 ) (IQ 2x1-5x2 = 0 ya da _2 —5

—x1 -1-3x2-1-x3 = 0 1 x2 = O 2x1 +10x3 = 0 2 0 10 x3 0

biçiminde bir matris cebirsel denklemidir.

III. Ş imdi (A 10) eklemeli matrisini sat ırca indirgeyerek sistemi çözelim:

—2 1 1 O (1 —2 1 I O ............). )

—1 3 1 I O Ri d-R3 0 1 2 1 0

2 —5 0 I 0 —211 1 -1-R2 0 —1 —2 J 0

2 0 10 10 —2R1 -I-R4 O 4 8 1 O

ı

(:. )

0 1 2 1 O —2 1 I O

0 0 O 1 O O 0 O I O

olduğuna göre rank (A) = 2 < 3 = bilinmiyenlerin say ısıdır. Buna göre

sistem belirgin olmayan bir çözüme sahiptir. Ohalde a l , a2 , oc 3 vektörleri

(A 10) =

R2+ R3 4R2+ R4

-R2

200

lineer ba ğı mlıdır. Sistemin çözümünü bulmaks ızm, lineer ba ğı mlı l ı k

için sistemin belirgin olmayan bir çözümünün varl ığı nı göstermekle yetindik. Ku ş kusuz sistem çözülebilir ve genel çözüm

xl) -5c -5 X = (x2

X3 = (-2de) = e (-2

1)

biçiminde bulunur.

Örnek 3 de elemanlar ı matrisler olan lineer uzaylar için aç ıklanan yöntem, elemanlar ı polinomlar olan lineer uzaylar için de geçerlidir.

ÖRNEK 4.

Sonlu dereceli ve gerçel katsay ıh polinomlarm lineer uzaymdan aşağı daki vektörleri gözönüne alal ım:

P ı (x) = x2-1, p2(x) = x2 +x-2, p 3(x) = x2+ 3x+2

aip i(x) + a2p2(x) + a 3p3 (x) = 0 denklemi

a ı (x2-1) ± a 2 (x2+x-2) + a 3(x2± 3x+2) =0 ya da

(-a 1-2a2+ 2a3) + (a2+3a3) x+(a l+a2 +a3) x2 =0

denklemine e ş de ğerdir. Buradan

-a1-2a2+2a3 =0 a2±3a3 =O

a2+a2+a3 =0 ,

sistemine ya da

(

ci) (0) O 1 3) a2 =

1 1 1 a3 O

matris cebirsel denlemine vard ır. Bu sistemin eklemeli matrisi sat ırca indirgenerek

-1 -2 2 1 O 1 -> 1 2 -2 1 0

(A 10) = (O 1 3 O) 1 1 1 O

R ı +R3 (O 1 3 ( O) -R İ O -1 3 10

1 2 -2 1 O (O 1 3 1 O )

R2+R3 O 0 6 ' 1 O

201

matrisine vard ır. Son matristen, homogen sistemin tek çözüm.iinün a 1 = a2 = a 3 = 0 oldu ğu anlaşı lır. Ohalde p 1 (x), p 2(x), p 3 (x) polinomlar ı lineer bağı msızdır.

Örnek 3 ve 4 de kullan ılan yöntem, ayn ı ş ekilde fonksiyonlarm, yani e [a,b ] de vektörlerin lineer ba ğı msızlığı için de kullanılabilir.

ÖRNEK 5.

e [0,5] de aş ağı daki vektörleri gözönüne alal ım: f (t) = et, g (t) = e 3t, h (t) = e-2t

x1f (t) + x2g (t) + x3h (t) = O olduğunu varsayahm. Bunun anlam ı , 0 < to < 5 aral ığı nda her bir belli to için

x1f (to) + x2g (to) + x3h (to) = 0

demektir. Bu hesaplar t, = 0, l ıı 2 0.69, 1n3F.,..‹1.09 için yap ıhrsa aşağı daki üç denkleme vard ır:

xif (0) + x2g (0) + x3h (0) = x2+ x2 + x3 = 0

x1f (1n2) + x2g (1112) + x3h (1n2) = 2x2 H- 8x2+ 4 X3= 0

x1f (1n3) + x2g (1n3) + x3h (1n3) = 3x2 + 27x2+ -ğ---x3 = 0

Bu denklemler

1 1 1 O (2 8 1 /4) (:12 ) (0) \.3 27 1 /9/ .■ x3 , \O/

matris denklemine e ş değerdir. Bu sistemin eklemeli matrisi sat ırca indirgenerek

1 1 1 10 1 1 1 1 O (A10) = (2 8 1 /4 O) -211 / 1-R2 (O 6 -7 /4 1 O)

3 27 1 /9 I O -3R 1 +R3 O 24 -26 /9 1 0

1 1 1 1 0 -> (O 6 -7 /4 1 O)

-4R2+R3 0 0 37 /9 1 O

matrisine var ıhr. Bu matristen rank (A) = 3 oldu ğundan AX =0 sis-teminin tek çözümü X =0 d ır. Ohalde f,g ve h fonksiyonlar ı lineer ba ğı msızdır.

UYARI: Örnek 5 de verilen yöntem, fonk ş iyonlarm lineer ba ğı m-sızlığı nı ispatlamada uygundur, ancak lineer ba ğı mlılığı kanıtlamada

202

olmas ı nedeniyle belirtilen aralıkta her t o için özde ş lik sağ lanacak bi-çimde hepsi s ıfır olmayan katsayılar bulunabiliyor demektir. Ohalde verilen fonksiyonlar lineer ba ğı mlı dır. Öte yandan Örnek 5 deki yöntem, diyelim to =0, 1n2, 1n4 için bu fonksiyonlara uygulan ırsa katsay ılarm sıfır olmas ı , yani fonksiyonlarm lineer ba ğı msız oldukları sonucuna varılır ki bu doğ ru değ ildir. Ohalde e (I) de verilen fonksiyonlar cümle-sinin lineer ba ğı msı zlığı herhangi bir yöntemle önceden biliniyorsa Örnek 5 deki yöntem do ğ ru cevap verir. Ancak yukardaki örnek ne-deniyle yöntemin tersinin do ğ ru olmad ığı açıktır, yani yöntem gere ğ i sonuçta katsay ılarm sıfır olması gerekti ğ i ortaya çıkıyorsa, verilen fonksiyonlarm kesinlikle lineer ba ğı msız oldukları sonucuna var ıla-maz.

f (t) = ezt, g (t) = 3e2t, h (t) = e-t

Bu fonksiyonlar cümlesi lineer ba ğı mlıdır, yani tanım nedeniyle 0 < to < 12 aralığı nda her to için

xı f (t) + x2g (t) + x 3h (t) = O

olacak biçimde hepsi s ıfır olmayan x ı , x2, x3 skalerleri bulunabilir. Gerçekten

xle2t+ x2(3e2t) + x3e-t = 0 ya da (x 1 + 3x2) e2t x3e--t= O dan

x ı + 3x2 =0 x3 =0, x2 x ı =- 3c

X3 =0

uygun düş mez Çünkü x ıf x2g + x3h fonksiyonu, seçilen özel nokta-larda s ıfır olabilir, ancak gözönüne al ınan aralık üzerinde her noktada sıfır olmaz. Bu nedenle lineer ba ğı mlı oldukları sonucuna var ılamaz.

Bu türde ilginç bir problemi, ayr ıntılı biçimde daha sonra gözönüne alacağı z (bak. Örnek 15).

Ş imdi e [0,12 ] de aşağı daki vektörleri gözönüne alahm•

Ş imdi e (I) de verilen fonksiyonlar cümlesinin lineer ba ğı msızlığı hakkında doğ rudan kesinlik kazand ıran ölçütler üzerinde durahm.

LEMMA 5.10.1. y1 (x), y2(x), y n(x) fonksiyonlar ının I üzerinde n-1 inci basamaktan sürekli türevlere sahip e (I) de fonksiyonlar oldu-ğunu ve I de herhangi bir x o noktasında

(yı (x0), y' ı(xo),...,y1(n-1 )(x0) ), i=1,2,...,n

vektörlerinin R ıxn de lineer ba ğı ms ız olduklarını varsayahm. Bu durumda y l (x), y2(x),...,yn(x) fonksiyonlar ı e (I) de lineer ba ğı msızdır.

203

Ispat.

I üzerinde her x o için

(x) c2y2( x) cnyn (x) = 0

olduğunu varsayalım. Bu özde ş lik ile onun ilk ıı -1 türevi al ınarak

x =x0 konulursa

e1y1(x0) e2y2 (xo) ... cnyn (xo) =

ciy ı '(xo) e2Y2'(xo) ... eny'n(x0) = 0

elY ı (n-1) (xo) e2Y2(11-1)(xo) nyn (2-1) (x0) = 0

sistemine vard ır.

i =1,2,...,n. için (yi(x,), y;(x o), yı "(x0),..., yi(11-1 )(x0) )

vektörleri W ıxn de bağı msı z olduklarından sistemden e l = c2 =... =

cn =0 olması gerekti ğ i anlaşı lır. Ohalde y 1(x), y2(x),..., yn(x) fonksiyon-

ları en-1 (I) de ve dolayısiyle e (I) de lineer ba ğı msızdır.

ÖRNEK 6.

ex, xex, x2ex fonksiyonlarının e oo , co) da lineer ba ğı msız olup

olmadıklarını gösteriniz ?

xo =0 için Lemma 5. 10. 1 uygulan ırsa R ix3 de i =1,2,3 için (y ı (xo),y' i(x0), y ı "(x0) ) vektörleri (1,1,1), (0,1,2), (0,0,2) biçimindedir. Bu

vektörler R i x3 de lineer ba ğı msız olduklarından verilen fonksiyonlar

cümlesi e co, co) da lineer bağı msız fonksiyonlardır.

Y ı (x), Y2 (x),..., yn(x

her bir x için

(x) W Y2,•••, Ya)

Y ı (x) Y2(X)

ı (x) Y'2(x)

ya(x)

• • Y'/1(x)

•

(-1)(x) y 2 (n-1) (x) x

matrisini gözönüne alal ım. Bu matris, y ı , y2,..., yn nin Wronskiyen

matrisi ve

w (x) = W (Y ı , Y2,—, Y ıl) = detW (x)

), en-1 (I) de herhangi fonksiyonlar ve I de

204

skaler fonksiyonuna da y ı , Y2^•••, Yn nin Wronski determinant ı ya da Wronskiyeni denir. Wronskiyenin herhangi bir xo noktas ındaki değ eri de

w (xo) = w (Y ı , Y2,•••› Yn) (xo) = detW (xo)

ile gösterilir.

Buna göre Lemma 5.10.1, wronskiyen kavram ından yararlanarak yeniden a ş ağı daki biçimde verilebilir:

LEMMA 5.10.1./y 1 (x), y2 (x),..., yn (x) fonksiyonlar ı en-1 (I) de olmak üzere, I de herhangi bir x o için w (xo) 0 ise, yl(x), y2 (x),..., yn (x) fonksiyonlar cümlesi lineer ba ğı msızdır.

Buradan verilen fonksiyonlar cümlesinin Wronskiyeninin I de herhangi bir xo için bile s ıfırdan farklı olmas ı , onların lineer ba ğı msı z olmas ına yetiyor. Öte yandan Lemma 5.10,1' ş öyle de verilebilir: Verilen fonksiyonlar cümlesi lineer ba ğı mlı ise, bu durumda w (xo) -=- 0 d ır.

Bu Lemmanın tersi do ğru değildir, yani bağı msız fonksiyonlar cümlesinin' Wronskiyeni özde ş olarak s ıfır olabilir. Örne ğ in, -1 < x < 1 aralığı nda

O -1 <x<0 x2 , -1

f (x) = g (x) = x2 ; O

0 , O <x <1 ile tanımlı iki fonksiyonu gözönüne alalım; Bu fonksiyonlarm her ikisi türevlenebilir ve Wronskiyen

0 x2 , -1 <x<0

O 2x

x2 0 , 0<x

2x 0

olduğundan w (x) = 0 d ır, ancak bununla beraber verilen fonksiyon-lar cümlesi lineer ba ğı msızdır.

Ş imdi n yinci basamaktan

dIty c1/1-1. y dy

an(x) dxn an- ı(x) dxn- ı ...1-a ı (x) — +ao(x) y =O dx

homogen lineer denklemini gözönüne alal ım. Katsayılar I de sürekli ve an(x) temel katsay ısı I üzerinde özde ş olarak s ıfırdan farkl ı ise, denklem normal denklem adını alır.

205

y1(x), y2(x),..., y n(x) fonksiyonları normal n yinci basamaktan homogen diferensiyel denklemin ba ğı msız çözümleri iseler, bu durumda Lemma 5.10.1'bir e ş değerlik anlatımı biçimine girer, yani fonksiyonlar

cümlesi lineer ba ğı msız ise, onlar ın Wronskiyeni özdeş olarak s ıfırdan farklıdır. Wronskiyen özde ş olarak s ıfırdan farkl ı ise çözümler lineer bağı msı zdır. Öte yandan lineer ba ğı mlı çözümlerin Wronskiyeni özde ş olarak s ıfıra eş ittir ve Wronskiyen özde ş olarak s ıfıra e ş it ise çözümler lineer ba ğı mlıdır.

ÖRNEK 7.

x, x2, x3 fonksiyonları lineer ba ğı msı zdır. Gerçekten

x x2 x2

w (x) = 1 2x 3x2 = 2x3 0 0 2 6x

oldugundan lineer ba ğı msızdır. Bununla beraber bu fonksiyonlar cümlesi x =0 noktasm ı kapsayan bir aralikta bir homogen lineer dife-rensiyel denklemin ba ğı msız çözümleri olamazlar.

Bir fonksiyonlar cümlesinin lineer ba ğı msı z ya da ba ğı mlı olması , uzayın yap ı sına da ba ğ lıdır. Örneğ in, X bir karma şı k lineer uzay olsun. xz0 olmak üzere xEX ise ixEX d ır. Buna göre X de x ve ix den olu ş an cümle, e ıx+ c2 (ix) = 0 dan c1+ ic2 = 0 ya da e l = - ic2 nedeniyle lineer bağı mlıdır. Öte yandan x ve ix den olu ş an cümle R üzerinden, bu kez e l + ic2 = 0 dan c ı = e2 =0 olması nedeniyle lineer ba ğı msızd ır.

Fonksiyonlar uzaymda fonksiyonlarm ba ğı mlı lık ya da bağı m-lığı uzaym üzerinde tanındı olduğu aralığ a da bağ lıdır. I:-1<x<I olmak üzere e (I) uzaymda a ş ağı daki fonksiyonları göz-önüne alalım:

f (x) -= 1; — 1 < x <1

0 , <x <O —1 x<0 g (x) = h (x) =

x2 , 0<xl

P (x) = c if (x) c2g (x) c 3h (x) = O

olduğunu varsayahm. p (0) = e l = 0, p (1) = c2+ c3 = 0 ve p = c2+ c 3 =0 dan ci = c2 = c3 =0 olması nedeniyle verilen fonksiyon-

lar cümlesi lineer ba ğı msızdır. Öte yandan aynı foıksiyonlar -1x<0 aralığ ma kı sıtlanırsa bu durumda onlar lineer ba ğı mlıdır. Gerçekten -1 S x < O için

206

0.f (x) 1.g (x) + 1.h (x) = O

dır.

Buradan verilen bir aral ık üzerinde lineer ba ğı mlı olan fonksiyonlar cümlesi, fonksiyonların daha geniş bir aralığ a geniş letilmeleri halinde lineer ba ğı msz olabilirler. Bununla beraber, fonksiyonlar ın lineer ba-ğı msız cümlesi, daha geni ş bir aralığ a geni ş letilmeleri halinde yine ayn ı kalır.

Kesim 4.4 de V de verilen herhangi vektörler taraf ından gerilen altuzay, baz ve boyut kavramları üzerinde durulmu ştu. Ş imdi bunları biraz daha açahm.

TANIM 5.10.2. Bir V lineer uzaymda a l , a2,..., at herhangi vektörler olsun. Verilen vektörleri kapsayan V nin en küçük altuzay ına ocitara-ftndan gerilen altuzay denir. Bu altuzay, S = j a l , a2,—, at} olmak üzere

L (S) = Span { a l , a2,..., at}

ile gösterilir.

Örneğ in,

jy y"-F w2y =O} = Span j coswt, sinwt}

dir.

Bir altuzay herhangi bir lineer kombinasyona göre kapal ı olduğun-dan, aia i+ a20:21-•••+ atat biçiminde her vektörü kapsar. O halde

dır.

Span ja i , a2,..., at } ------ t E aiai aieR -1

Span jai , a2,..., at} = V olmas ı durumunda V uzay ı al , tarafmdan geriliyor denir. Başka bir anlatım ile V de her vektör, ai vektörleri cinsinden yaz ılabilir demektir. Örne ğ in, el = (1,0,0,0)T, e2 = (0,1,0,0)T, e3 = (0,0,1,0)T, e4 = (0,0,0,1)T vektörleri 6R4X1 lineer uzayın; 1,x,x2 polino ınları f3 lineer uzaym ı gerer.

TANIM 5.10.3. V yi geren lineer ba ğı msız vektörler cümlesi, V nin bir buzun oluş turur.

Eğer {a l , a2,..., at} vektörler cümlesi V nin bir bazm ı oluş turuyorsa, bu durumda 'V de her vektör, cinin bir tek lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. Tersine olarak, V de her vektör ai nin bir tek lineer kom-

207

binasyonu olarak yaz ılabilirse, a2,..., at} vektörler cümlesi V nin bir baz ını oluş turur. V uzayı t elemandar ı, oluş an bir baza sahip ise,

V nin herhangi t+1 vektörleri cümlesi lineer ba ğı mlı olmak zorundad ır. Buradan bir V lineer uzayı için her baz aynı sayıda eleman kapsar. V uzayının bir bazmdaki vektörlerin say ı sı uzaym önemli bir özeliğ idir.

TANIM 5.10.4. Bir V lineer uzayma, sonlu bir baza sahip ise, sonlu boyutludur denir. Herhangi bir bazdaki vektörlerin say ı sı V nin

boyutu ad ı n ı alır ve dimV ile gösterilir . V sonlu bir baza sahip de ğ il ise,

V sonsuz boyutludur denir.

A herhangi bir gerçel mxn matrisi olsun. A n ın satırları R1 , R2,...,Rm ile gösterilirse, bu vektörler 6Rixn de vektörler olarak gözönüne al ınabilir.

Bu vektörler A nın satı r uzayı denen W ixn nin bir altuzayını gerer, yani

A nın satır uzayı = Span {R 1 , R2,..., Rm}

dır. Benzer olarak A n ın kolonları Wmxi de vektörler olarak dü şünülebilir. Bu vektörler de A n ın kolon uzay ı denen Rmxi in bir altuzaymı gerer,

yani

A nın kolon uzayı = Span{C 1 , C 2,..., C ıi } dır.

Satırca e ş değer matrisler ayn ı satır uzayma, kolonca e ş değer mat-risler aynı kolon uzayma sahiptir. Sat ır indirgemeli e şelon matrislerinin ayni satır uzayma sahip olmalar ı , onların sıfırdan farkh ayn ı satırlara sahip olmaları ile eş değerdir.

ÖRNEK 8.

u1 = (1,2,-1,3), u2 = (2,4,1,-2), u 3 = (3,6,3,-7) vektörleri taraf ından gerilen U uzay ı n ı n, vi = (1,2,-4,11), v 2 = (2,4,-5,14) taraf ından gerilen V uzayı ile aynı olduğunu gösteriniz ?

Satırları ui olan A matrisi ile sat ırları vi olan B matrisi sat ırca in-dirgenerek,

3

1 —2R2+ R3 (O 1/3R2 0

6

2 0 0

3

—1 1 0

—7)

3 -8 /3)

0

`0 0 6 —16 ) A (2 —2

—311R1-1-R2

1 4-R3

ve

208

B (2 4 —5 14

(1 2 —4 11\ ) —2R 1 4-R2

O 0 3 —8)

1 2 —4 11 \

12R2 o 0. 1 —8/3

elde edilir indirgenmiş matrislerin s ıfırdan farkl ı satırları aynı olduğun-dan A ve B nin sat ır uzaylar ı aynıdır ve U =V dir.

Bir A matrisinin sat ır uzayı ve kolon uzay ımn boyutlar ına s ırasiyle A nin satır rankı ve kolon rankı denir. Hemen belirtelim ki A matrisinin sat ır rank ı ve kolon rankı eş ittir ve bu say ı A matrisinin rank ıdır. Böylece bir matrisin rank ı , bağı ms ı z satırları= ve ba ğı msız kolonlarının maksimum sayı sını verir.

ÖRNEK 9.

V =1? İ x3 olsun. Bu durumda s ı (1,0,0), s2 =--- (0,1,0) ve E 3 = (0,0,1) vektörleri 6R1x3 için bir baz oluş turur. Ohalde dim R1x3 = 3 dür.

ÖRNEK 10.

R2x2 lineer uzayını n boyutu nedir ? Bu uzay için bir baz bulunur ? R2x2 uzayında bir matris

a b 1 0 0 1

0 O O O \11= a + b + + d ( k c d O O O O 1 O O )

biçiminde tek olarak yaz ılabilir. Buradan R2x2 lineer uzaymm boyutu 4 dür ve bu uzayda bir baz

(01 00) ' (00 011 ' (Ol 00) ' (00

biçimindedir.

ÖRNEK 11.

Rrox, lineer uzayınm boyutunu ve bir bar ım bulunur ?

mxn. biçiminde bütün gerçel matrislerin lineer uzay ınııı boyutu dim Rinxn = m.n bir. Bu uzay için bir baz, E fimatrisinde (i,j) konumunda 1, diğer konumlarda s ıfır olmak üzere

209

{Eij} = {E ii , E İ 2 ,..., E ı n , E2i , E22,..., E2 n,..., Emi , Emn } biçimindedir. Buna göre, mn+1 tane mxn biçiminde matrisler cümlesi lineer ba ğı mlı olmak zorundad ı r.

ÖRNEK 12.

e [a,b fonksiyonlar uzay ı , en [a,b ] altuzaylar ı sonlu boyutlu değ ildir. Sonlu dereceli bütün polinomlar ın lineer uzay ı da sonsuz boyutludur (bak. Kesim 4.4). Öte yandan gözönüne alman lineer uzay, herhangi bir problemin çözüm uzay ı ise, boyut genel çözümde serbestlik derecesinin say ısına eş ittir.

ÖRNEK 13.

A bir mxn matris ise, bu durumda AX =0 homogen sisteminin

bütün çözümlerinin cümlesi, AX =0 sisteminin çözüm uzay ı ya da A mn sıfır uzayı (maıll space)

NS (A) = { X E Rnx ı I AX =O }

ile gösterilir. R nxi in bu alt ciimlesi, bir altuzayd ır. Bölüm 6 da bu uzay üzerinde ayr ıca durulacakt ır. Buna göre AX =0 homogen sisteminin çözüm uzaym ın boyutu yada sistemin lineer ba ğı msız çözümlerinin sayısı =dimNS (A) = n - rank (A) d ır (bak. Teorem 5.9.3).

I üzerinde normal n yinci basamaktan bir homogen lineer diferen-siyel denklemin çözüm uzay ı . e (I) nın n boyutlu bir altuzayıdır.

ÖRNEK 14.

d2y 4-

Y=O, a<x:<b, denkleminin çözüm uzay ı

y =f (X) E e2 [a,b ] — + y =0,a <x<b = jc icosx c2sinx I cie R} ddx2Y2

biçimindedir. e2 (i) nın ve dolayısiyle e (I) nın altuzayı olan çözüm

uzayının boyutu,

d2y _ -° j_

dim y =f (x) e e2 [a, b ] I dx2

Y O, ax_Gb = 2

dır ve uzayın bir bazı { cosx, sinx } d ı r.

Bu kesimin son örne ği, yaklaşı klık kuramı olarak bilinen mate-matiğ in önemli bir dalı için uygulamalara sahiptir. Bu örnek diferensiyel denklem kuram ında da ba ş vurulan araçlardan biridir.

210

ÖRNEK 15.

1,x,x2,..., xn-1 } polinomlar cümlesinin, derecesi n den küçük bütün polinomlarm lineer uzay ı için bir baz olu ş turduğu aç ıktır. Ş imdi bu lineer uzay için son derece yararl ı bir diğer baz olu ş turalım.

t 1 t2,..., t n herhangi n farkl ı nokta ve li(x), n, de

0 , ji li(ti ) (5.10.1)

1 „ j =i

ko şulları ile tek olarak belirtilen f n de polinomlar olsun. Bu ş ekilde

oluş turulan l i(x) polinomlar ı lineer bağı msızdır. Gerçekten

a1 1 1 (x) a21 2(x) a nl n(x) = 0

olduğunu varsayal ım. Bu özdG ş liğ i x =ti için bulursak, li(x) in tan ı -

mmdan

0=a 1 1 1 (ti) ... aili(ti) a nl n(ti) = ai

olduğu anlaşı lır. Ohalde ileri sürüldü ğ ii- üzere li(x) polinomlar ı lineer

bağı msı zdır. Öte yandan V n boyutlu bir lineer uzay ise, bu durumda V nin herhangi bir n lineer ba ğı msız vektör cümlesi V için bir baz olduğundan li(x) polinomlar ı pn için bir baz olu ş turur.

f (x), Tn nin herhangi bir elemam ise, bu durumda herhangi uygun ci skaleri. için

.1" f (x) = 1

c 1 1 1 (x) c212(x) ... cnln(x) (5.10.2)

dır. (5.10.2) e ş itliğ i x=ti için bulunursa

f (tj) = E cili(tj) = ci

olduğundan

f (x) = E f (tl) li(x) (5.10.3) iQ ı

yazılabilir. k =0,1,2,..., n-1 olmak üzere f (x) = xk için (5.10.3) eş itliğ i

xk = E tikl i(x)

elde edilir. Bu denklemler

211

(r‘

I I . . 1 tl t2 t 1 2 t22

t112

t ln-1

. • O .

• • • . VII-

• tn

12(X) IZ) 13 (x )

v 13 (x)

biçiminde bir matris denklemi olarak yaz ılabilir.

Görüldüğü üzere bu sistemin katsay ılar matrisi matrisidir.Bu sistemden l i(x) polinomları do ğrudan bulunabilir. Kolay yol çarpan teoremini kullanmakt ır Bu teorem ş öyle verilebilir: p (x) bir ,polinom ve p (a) = 0 ise, bu durumda herhangi bir q (x) polinomu için p (x) = (x-a) q (x) dir.

1 1 (x) ın tammından, (x-t2), (x-t3),..., (x-t n) nin her biri 1 1 (x) ın çarpanları olmak zorundad ır, yani

1 1(x) =(x-t2) (x-t 3)...(x-t n) q (x) dır.

1( 1x), Tn de olduğundan derecesi n den az olmak zorundad ır ve dolayısiyle q (x) in q (x) = q gibi bir sabit olmas ı gerekir. Buna göre

1 =1 1(t1) (t1- t2) (t 1- t 3) (tl- tn) q

eş itliğ inden

q (t i— t2) t3) ...(t ı— t.)

ve

1 1(x) = (x- t2) (x-t3 ) (x-tn) (t1- t2) (t 1- t3) (ti- tn)

(x—ti )

i=1 (t ı — ti)

j 6i

(5.10.5)

biçiminde olur. Benzer i ş lemler tekrarlanarak

(x-ti ) (x- t2) (x- ti_ i) (x- ti, ı ) (x- tn) l i(x) --=--- 5.10.6 i=1 ta) (ti- t 1 ) (ti- ti_i) (titi, i) (ti- t n)

elde edilir.

Yukardaki irdelemeden, Tn de herhangi bir f (x) fonksiyonu için

f (x) = f (ti) li(x) = E f (4) II (x-xj) i=1 ti ) (5.10.7)

•

\in (x)

(5.10.4.)

Vandermonde

212

olduğu sonucuna var ılır. (5.10.7) formülü, Lagrange ara değeri bulma formülü (Lagrange interpolation formula) olarak adland ırılır. (5.10.4) matris ba ğı ntısmdan

yazılabilir.

li(x) polinomlar ı bilindiğ inden bu ba ğmtı bir Vandermonde mat-risinintersini bulmada kullanılabilir, yani hangi matris ile (1,x,x 2,..., xn-1)T nin matris çarp ımı (l i (x), 1 2(x), 1 3 (x),..., 1 (x) )T dir? dü şün- cesinden gidilerek V-1 bulunabilir.

ALIŞTIRMALAR

W1x3 uzaymda a şağı da verilen vektörler cümlesinin lineer ba ğı msı z ya da ba ğı mlı olduklarını gösteriniz?

1. X I = (1,2,3), X2 =-(4,5,6), X3 = (7,8,9)

2. "Yi = (1,-2,1), Y2 = (2,1,-1), Y3 -= (7,-4,3)

Rapci uzayında aş ağı da verilen vektörler cümlesinin lineer ba ğı msı z olup olmad ıklarını gösteriniz?

3. B i (0,1,2,1)T, B2 = (1,2,3,1)T, B 3 = (3,6,9,3)T, B4 = (-2,0,2,2)T

4. C i = (0,1,1,1)T, C2 = (1,1,0,1)T, C 3 (0,0,1,1)T, C2 = (1,1,0,0)T

W2x2 uzaymda a ş ağı daki matrisler cümlesinin lineer ba ğı mlı olup olmadıklarını gösteriniz ?

5.

1 1 1 1 1 A =

(1 1/ '

B -= O)

(O 1 , C

(O O)

6. A = 3 1) B (2 2/ C (-4 O

7. Bir A karesel matrisinin sat ırları ya da kolonlar ı lineer ba ğı mlı ise det (A) = 0 oldu ğunu gösteriniz ?

213

8. Yi = (1,1,1) ve Y2 = (2,-1,4) veriliyor. Y 1 , Y2 ve Y3 bağı msı z

olacak biçimde bir Y3 matrisi bulur-tuz. Yi , Y2 ve Y3 ba ğı ms ı z ise

geometrik olarak Y3 ün nerede bulunmas ı gerekir?

9. X, Y, Z ba ğı ms ı z matrisler ise a şağı daki matrisler cümlesinin

ba ğı msı z olup olmad ıklarını gösteriniz?

(a) X, X+Y, Z+X

(b) X +Y, X—Y, X-2Y+Z

10. Sıfır matrisi kapsayan herhangi matrisler cümlesinin lineer

bağı mlı olduğunu gösteriniz

Polinomlar uzayında a ş ağı da verilen vektörler cümlesinin lineer

bağı ms ı z olup olmadıklar ını gösteriniz?

11. x3 + 2x+5, 3x2 +2, 6x, 6

12. t 3-3t2+5t+1, t 3—t 2 +8t+2, 2t 3-4t 2+9t+5

13. x2, x2+1 , x2.4

14. (x+1) (x-2), (2x-1) (x+3), (x+2) (x-1)

Fon.ksiyorılar uzay ında a ş ağı da verilen fonksiyonlar cümlesinin

herhangi I ya da belirtilen aral ıklar üzerinde lineer ba ğı msı z olup ol-

mad ı kların ı gösteriniz?

15. 1, 2 e2x I

16. x 1 /2 , xii 3 (O, co)

17. 1, sin2x, 1—cosx

x+ 1

1

' 18. in x 1 (—oc, —1)

19. ,\/ 1—x2 , x

20. sinx, cosx, exhz

21. 1, sin2x, cos2x

22. 1,x,x2,..., xn

23. sinx, sin2x,...,sinkx

24. erix, er2x,..., ernx

25. e ocx , Xeax xm—l e ocx

(-1,1)

;I

; I ; [0,2z]

; için

; exeR TiTi ;I

; I

26. xmeax sinbx, xmeax cosbx ; a,bER,b>0,m tamsay ı ; (—co,00)

Aş ağı daki fonksiyonlar cümlesinin lineer ba ğı msı z olup olmad ık-

larını inceleyiniz 9

214

27. x, erx, rEC 28. sinx, eix 29. cosx, 3(eix+e-ix) 30. x2, xixl 31. sinx, cosx, x

32. arctanx, arctan (2x),

; (— 00, 00)

(- co, co)

; co, °°) ;(—G°, °°) ;(—co, C°)

3x

arctan 1-2x2

; (— oo, co)

33. A l (t) = tost), A2 (t) ( t2, sint), A 3 (t) = (t-t 2,

cos (t + :)); (- co, co)

34. m nin tek ve çift olma durumuna göre xm, Ix ı m fonksiyonlar

cümlesinin lineer ba ğı msı z ya da ba ğı mlı olduğunu gösteriniz ?

35. W 1x3 uzaymda a l = (1,-1,1), oc 2 = (-1,2,2), a 3 = (-3,5,6)

vektörleri veriliyor.

(a) = (-6,10,15) vektörü, Span {a l , a2, oc 3 } de midir, aç ıkla-yı lın 9

(b) Span oc2, a3 } = R 1x3 olup olmadığı m inceleyiniz?

36. a = (1+i, 2i), [3 --- (1,1+i) vektörler cümlesinin lineer ba ğı m-

sızlık durumunu C karma şı k ve R gerçel cisim üzerinden inceleyiniz ?

37. V, R gerçel cisim üzerinden karma şı k sayı lar çiftinin lineer uzayı olsun. V de maksimum lineer ba ğı msı z bir vektör cümlesini ve V nin boyutunu bulunuz ?

38. Bir V lineer uzaymda v i, v2,..., vk, k > 2 cümlesinin lineer bağı mlı olması , cümledeki vektörlerin en az birinin di ğerlerinin bir lineer kombinasyonu olarak yaz ılabilmesi ile e ş değer olduğunu gösteriniz ?

39. V uzayı t eleman kapsayan bir baza sahip ise, V de herhangi bir t+1 vektör cümlesinin lineer ba ğı mlı olduğunu gösteriniz ?

40. V n boyutlu bir lineer uzay ise, bu durumda V de herhangi n lineer ba ğı msız vektör cümlesinin V nin bir baz ı olduğunu gösteriniz ?

1 -3 4 3 2 41. A = (

7 4 -2 6 1) olmak üzere dim (NS (A) ) yi bulunuz ?

1 2 -1 4 matrisinin sat ırları tarafmdan. gerilen Rix4

42, B -1 -2 6 -7 ün altuzay ı için bir baz bulunuz ? B nin

2 4 3 rankı nedir?

B nin kolonları tarafmdan gerilen altuzay için bir baz bulunuz ?

215

43. Kesim 5.9 da Alış t ı rma 5,6,7 ve 8 deki homogen sistemlerin her biri için çözüm uzayının boyutunu ve bir bazm ı bulunuz ?

44. nxn biçimindeki üst üçgensel matrisler uzay ının boyutunu ve bir bazmı bulunuz?

45. R2,, 3 matrisler uzay ında bir lineer ba ğı msı z cümle en fazla

kaç eleman kapsar? Bu uzay ın bir haz ım bulunuz ?

46. 2x2 biçiminde simetrik matrisler uzay ımn boyutunu ve bir bazım bulunuz ?

47. nxn biçiminde simetrik matrisler uzaym ın boyutu ve bir

bazmı bulunuz ?

48. nxn biçiminde köş egen matrisler uzay ının boyutunu ve bir

hazım bulunuz?

49. y'"-y" = 0 diferensiyel deıı kleminin çözüm uzayın ve uzay ın

bir bazm ı bulunuz?

50. I üzerinde normal n. yinci basamaktan bir homogen lineer di-

ferensiyel denklemin çözüm ıı zayının, e (I) n ı n n boyutlu bir altuzay ı olduğunu gösteriniz?

51. Örnek 15 in sonunda verilen görü ş ü kullanarak a ş ağı daki Van-

dermonde matrislerinin terslerini bulunuz ?

1 1 1 (a) V= 1 3 2

() (b)

1 9 4.

(1 1 1 1 2 -2 3 -4 4 4 9 16 8 -8 ' 27 -64

5.11. E Ş DEGERLIK

Kesim 5.6 da elemanter kolon i ş lemlerinin, elemanter sat ır iş lem-

lerinden ayr ı yada birlikte determinantlar ın hesab ında kullamla-

bileceğ ini gördük. Önceki kesimlerde elde edilen sat ırca e ş değerlik

kuramına tamamen paralel bir kolouca e ş değerlik kuramı geliş tirmek

olanağı vardır. Ancak bu kuram üzerinde büyük çapta durulmayacakt ır. Bununla beraber Teorem 5.8.2 ve Teorem 5.8.3 ün kolon benzerlik-

leri kullan ı lacaktır.

TEOREM 5.11.1. Bir A matrisi üzerinde bir elemanter kolon i ş -

lemi, A matrisini belirtilen i ş lemin yap ıldığı bir birim matris ile sa ğdan

216

(ya da A dan sonra) çarpmakla elde edilebilir, yani AECO A (ı Eco)

dır, ya da daha aç ık olarak

Tür I

Act,->ci = A (Ic ı<-4ci)

Tür II

AkCi = A (Ikci)

Tür III

AkCi+ Cj = A (Ikc ı +ci)

dır.

Ispat. Bu teoremin ispat ında kullanılan temel araç Sonuç 5.5.2

dir, yani Coli (AE) = ACol j (E) nin özel bir durumu olan Coli (A) =-

A Coli (I) dır.

Tür I. İki matrisin e ş it kolonlara sahip oldukları gösterilirse onlar

eş it olacaktır. Buna göre j yinci kolon için

Coli (A (Ici+->cJ) ) = ACol i (Ici<->ci) =AColi (I)

Coli (A) = Col i (Ack,cj)

ve benzer olarak i yinci kolon için

Coli(A(Ici+->ci) ) = AColi(Ici ÷->cj)=AColj(I)

= Cloj (A) = Coli (Aci‹-->ci)

hj, i olmak üzer'e h y ıncı kolon için

Colh (A (Ic ı+4c;) ) = A Colh (Ick->ci) = A Colh(I)

= Colh (A) = Colh (Ack-->ci)

olduğundan A(Ici,_,ci) ve ACi<->Cj e ş it kolonlara sahiptir ve dolay ısiyle

eş ittirler.

Tür II. Birinci tür i ş leradeki gibi gidilerek, herhangi j yinci (j ^i)

kolon için

Coli(A(Ikc ı) ) = AColi (Ikc ı) = AColi (I)

= Coli (A) = Col i (Akca) ve j =i yinci kolon için

Coli(A(Ikci) ) = A Coli = A (kColi (I) )

= k.A Coli (I) = Colı (Akc ı )

olduğundan A(Ikci) ve Akci e ş it kolonlara sahiptir ve dolay ısiyle

eş ittirler.

217

Tür III. Herhangi t yinci (ij) kolon

Coli(A(Ikci +ci) ) = A Colj (Ikci+ci) ----- A Coli (I)

= Coli (A) = Coli (Akc ı cı ) ve i =j yinci kolon için

Colj(A(Ikc i+ci ) ) = A Colj (Ikci±ej)

= A [kColi (I) H-- Colj (I) ]

= k. A Coli (I) + A Colj (I)

= kColi (A) olj (A)

= Colj (Akci+cj )

olduğundan A(Ikc ı -ı-ci) ve AkCi+Cj eş it kolonlara sahiptirler ve dolay ı -siyle e ş ittirler.

Ict<->ci = IRiFıRj , IkCi = IkR1 Ve IkCi4Cj = IkRj + Ri olduğundan elemanter kolon matrislerini sunmaya gerek yoktur. Koku e ş değ erliğ ini matris çarp ımı cinsinden ayırdeden teorem de Teorem 5.8.3 ün kolon benzerliğ idir.

TEOREM 5.11.2. B sonlu sayı da elemanter kolon i ş lemleri dizisi ile A dan elde ediliyor ise (A 'j B), bu durumda Q elemanter matrislerin çarp ımı olmak üzere B =AQ dür.

Teorem 5.8.3 un ispat ı Teorem 5.8.2 den yararlan ılarak yap ıldığı gibi, Teorem 5.11.2 nin ispat ı için de Teorem 5.11.1 den yararlan ılabilir. Bu nedenle burada ayr ıntılara girmiyoruz. Öte yandan

( I ) r'jc BQ

ise, bu durumda AQ =B olduğuna ilgi çekilmelidir. Bu sonuç, kolon iş lemleri yardımiyle A-1- in hesab ında kullan ılabilir.

Ş imdi hem elemanter sat ır hem de elemanter kolon i ş lemleri kul-lanılarak matrisler üzerinde daha genel bir ba ğmtı tammlanabilir. Bu yeni ba ğı ntı özel durum olarak hem sat ırca hem de kolonca e ş değ er-liğ i kapsar.

TANIM 5.11.1. B sonlu say ı da elemanter sat ır iş lemleri ve /ya da kolon iş lemleri dizisi ile A dan elde ediliyor ise A ve B matrislerine eş -değerdir (A ti B) denir.

218

ÖRNEK 1.

1 2 —1 2 A = —2 —5 3 O )

1 0 1 10

matrisi veriliyor. A ya e ş değer en basit matrisi bulunuz ?

1 2 —1 2 ) R _

1 2 —1 2 ) A -->( o ı —4

2R1-1-112 0 —2 2 8 0 —2 2 8 —R1+R3

1 0 1 10

—2R2+11-1 —> O 1 —1 —4 ) .= B

2R2+ R3 O O O O

B matrisi satır indirgemeli e ş elon biçimindedir. Ş imdi kolon iş -lemleri kullanılarak

1 O O O --> O —Cl

o 1 —1 —4 O O o ) C2+-C 3

—10C 1 + C4 4C2+ C4

elde edilir.

'000 12 o (o 1 oo ) o —( ) o 000

Bu örnek a ş ağı daki teoremde verilen genel durumun kapsam ına girer.

TEOREM 5.11.3. A r ranklı nxn biçiminde ise , bu durumda A matrisi

(Ir O \

\O 01 matrisine e ş değ erdir.

Ispat. Sadece sat ır iş lemleri kullanılarak A matrisi, satır indirgemeli eş elon biçiminde r tane s ıfırdan farkl ı satıra sahip bir E matrisine indir-genebilir. Gerekirse Tür I kolon i ş lemleri ile kolonlar yeniden düzen-lenerek

O O)

elde edilir. Daha sonra Tür III kolon i ş lemleri dizisi ile

Ir S A E

219

A ~ E (Ir S Ir 0

) (

0 O O O/ sonucuna varılır.

Teorem 5.8.3 ve 5.11.2 birle ş tirilerek e ş değ erliğ in aş ağı daki ayır-dedici niteli ğ ine varı lır.

TEOREM 5.11.4. AtiB ise, bu durumda B =PAQ olacak biçimde düzgün P ve Q matrisleri vard ır. (P ve Q s ırasiyle kullan ılan satır ve kolon iş lemleri sonunda elde edilen matrislerdir).

Ispat. P ve Q yü belirtmek için, A üzerinde elemanter sat ır ve kolon iş lemleri dizisi

( AI JJ düzenine uygulanarak

/

Q

B P

elde edilirse, bu durumda sadece PAQ =B oldu ğunu gözlemek gerekir.

ÖRNEK 2.

A

(1 1 2 3) 2 2 2 0 1 2

3 3 3 3

ise PAQ = I olacak biçimde düzgün P ve Q matrislerini bulunuz ?

(Al; k )

-3R 1 +R4

( 1123,1000 0 1 2 3 0 1 0 0 2223001.0 3333!0001

( 11 2 3 1000 ) 01 2 3 0100 O O —2 —3 —2 O 1 O 0 O —3 —6 —3 O O 1

1 O O 0 O 1 O O O O 1 0 O O O 1

1 O O O O 1 O O O O 1 0 0 0 0 1

220

1 0 O O

0 1 O O

O 2

-2 -3

-------

O 3

-3 -6

.---+

1000 0100

-2 0 1 0

-3 0 0 1

)

--Ct+C2 1 -1 -2 -3 —2C1-1--C3 O 1 0 0 -4Ğ 1+ Cd 0 0 1 0

O 0 0

O O O 1000 O 1 O O 0100 O O 1 3 1011 0

(1

0 -3 -6 -3 0 0 1

)

—2C2-f-C3 1 -1 0 0 -3C-H-C 4 O 1 -2 -3

R3 O 0 1 0 O O O 1

1 0 01

0 O

0O 1000 0 0100

00 1 0;101-1 00 0 1003-2

3R H-R4 —3C33-4-C4 0 1 -2 1

/3C4 O 0 1 -1 0 0 0 1/3

P ) (

I

olduğuna göre

0 0 O\ 1 -1 0 0

P = O (1

1 1 0

0 1

0 -1 ve Q = O

(O 1 0

-2 1

1 -1

O 0 3 -2/ 0 0 0 1/3

ve buradan PAQ =1 d ır. Bu sonuç nedeniyle A-1 bulunabilir.

TEOREM 5.11.5. PAQ = I ise, bu durumda A-1 = QP dir.

Ispat. Soldan P-1ve sağdan Q-1 ile çarp ılarak

A = P-1 (PAQ) Q-1 = p-1Q-1 (QP)-1 ve tersi alınarak A-1 = QP elde edilir.

221

Örnek 2 deki matris için

01 -1

1 - °2 °1 01 4 )1 Ö O"7"

° - 21 1. °1 : ro), A-I = 0 0 I . -1 1 0 1 -1 1 O -2 1

(

0 0 0 1 /3 O 0 3 -2 O 0 1 -2/3

dir.

Elemanter matris tan ımı , Ioiti(I nın j yıncı satırı sıfırlarla de ğ iş -tirilmiş ) aykırı matrisleri kapsayacak biçimde geni ş letilirse bu durumda nxn matrisi

0

biçiminde yaz ılabilir.

° = IORr+ IORr+2••• IORn ) o

Teorem 5.11.3 ve 5.11.4 den

O A = P-1 (gir o ) Q-1 = P-1 (Ioar , İ Iour+2.•• Ioan) Q-1

dır. P-1 ve Q-1 düzgün olduğundan, onlar Teorem 5.8.4 nedeniyle ele-manter matrislerin çarp ımıdır. Böylece ispat ı verilen a ş ağı daki teoreme varılır.

TEOREM 5.11.6. Her A nxn ayk ırı matrisi, elemanter matrislerle

Ionıbiçiminde aykırı elemanter matrislerin çarp ımıdır. Bu teorem yard ımıyle determinant kurammdaki det (AB) =--

det (A) det (B) özeli ğ i kolaylıkla ispatlanabilir. (Ah ş tırma 10).

ALIŞTIRMALAR

1. ı 0 1 B = ( 3 1 0 )

1 0 0

ise kolon işlemlerini kullanarak B -1 i bulunuz?

2. 2 3 4 1 2 -1 A—

(4 3 1 , B = -1 1 2 ) 8 6 2 -2 2 4

ise AQ = B olacak ş ekilde düzgün bir Q matrisi bulunuz?

3. Teorem 5.7.2 nin kolon benzerli ğ ini ifade ediniz?

222

Aş ağı daki matrisleri Ir 0 O o biçimine indirgeyiniz?

1 4. A El

2

4 1 2 6 i, 2 1 1 2 4 1 1 • 0 1 ) $. B = 0 -1 -2 1 1 1 O 0 6 12 0

1 2 3 4 -1 2 2 3

6. C=.-- 1 -1 1 2

)

-1 1 -1 1

Teorem 5.11.5. in sonucunu kullanarak a ş ağı daki matrislerin ters-lerini bulunuz?

7.A-...-

1 ı . 2

(

3

1 2 1 4

2 1 1 2

1 1 0 0 )

9. B = 146 64

1

3 9

27 1

2 4 8 1

1 1 1 1

1 2 3 4

1 2 3 9. C = 1 -1 1 2

10. Teorem 5.11.6 ve Kesim 5.8 Al ış tırma 17 nin bir sonucu ola-rak det (AB) = det (A) det (B) oldu ğunu gösteriniz?

11. Herhangi düzgün bir P matrisi için det (P -IAP) = det (A) ol-duğunu gösteriniz?

12. Teorem 5.11.4 ün P ve Q matrislerinin tekli ğ ini irdeleyiniz?

13. Teorem 5.11.3 ün ( Ör ° matrisinin, tekliğ ini ispatlapmz? O

14. Alış tırma 13 ün bir sonucu olarak, " İki matrisin e ş değer olması , onların aynı ranka sahip olmalar ı ile eş değerdir" özeliğ ini ispatlaynnz?

15. elemanter kolon i ş lemleri ile ( P ) ye indirgeniyorsa bu

durumda P = BA-I olduğunu gösteriniz? Bu sonucu kullanarak

2 3 4 1 0 1 = ( 4 3 1 ) ve A (

k 3 o ) B

8 6 2 1 0 O ise BA-1 i bulunuz?

223

5.12. B İ R MATRİ S İN NORMU, GELİŞ Tİ Rİ LMİŞ TERS

MATRİ S, TÜREV VE İ NTEGRASYON

Vektör normuna benzer biçimde bir A matrisinin normu, a ş ağı da-

ki özelikleri sağ layan A nın elemanlarımn gerçel de ğerli bir A II fonk-siyonudur:

(i) A 0 ise IIA II > 0 dır.

a herhangi bir skaler olmak üzere la A il = la I lA il dır.

(iii) B il < IIA IIB II (iv) IIAB Il < IIA II IIB 11

Buradan bir matrisin normu, bir matris de ğ işkenli skaler de- ğerli fonksiyondur. Kullanış lı iki matris normu

[IA Ile = (Zaii l au [2)1/2 ij

ve

IIA lle = n max ki;

dir. Bu normlardan ilki, A matrisini n 2 boyutlu bir vektör gibi dü şünüp Öklid vektör normunu kullanarak elde edilir İkinci norm, vektörler için kübik normun matrisler için doğ rudan bir gösterimidir.

Yukarda tan ınılı iki matris normu, onlar ın vektör normlar ı ile ilişkisi nedeniyle (i), (ii) ve (iü) özeliklerini Sa ğ lar. Herhangi bir matris normu için (iv) özeli ğ inin varlığı da kolayiıkla gösterilebilir. Örneğ in,

n Öklid matris normu için, AB nin ij yinci eleman E aikbkj ol-

k=1

duğundan

n E aik bki k=1

n aik

i,j k=1

= E I aik 1 2 E I bli 1 2

fiA fie 2 IIB fie2

II A 1,i

2

2 n bii

224

dır. Buradan IIAB Ile < IIA Ile ilB Ile nedeniyle Öklid matris normu için (iv) özeliği sağ lanır.

Herhangi bir vektör normu için, ona kar şı lık gelen bir matris nor-mu tammlanabilir:

IIA Ils = IIA II = max IlAx II

x0 il max Il

IIXII =1

Bu tanımın, bir matris norma için yukarıdaki koş ulları sağ ladığı

kolaylıkla gerçeklenebilir ve bu norm özel vektör normuna bağ lı mat-

ris normu ya da ikinci derecede matris normu adını alır.

Bağ lı matris normun ilginç bir özeliğ i, onun aynı vektör normu ile uyumlu olan herhangi diğer bir matris normuna e ş it ya da daha küçük olmas ıdır. Buna göre ba ğ lı matris normu

IIAxII<<IIA IIIIxII özeliğ ini sağ layaca ğı açıkt ır. Bu özeliğ i sağ layan matris ve vektör norm-larına uyumludur denir. Gerçekten lIx II herhangi bir vektör no ı mu, IIA Il

da lIx Il ile uyumlu herhangi bir matris normu ve IIA Il s de lIx Il vektör normuna bağ l ı bir matris normu (subordinate) ise, tan ım nedeniyle Ily Il = 1 ve IIA. Ils = IlAy II olacak ş ekilde bir y vektörü vard ı r.

IIA Ils ile tanımlanan norm, A n ın türetilen normu (induced norm) olarak da adland ırıhr.

Sonhi boyutlu vektörler ve matrislerle i ş lemler yap ıldığı nda aynı ş ekilde yararl ı çok sayıda norm seçimleri vard ır:

IIA II = max laij = max laij

1 < i < rn

1 <j < n

11A = laij I

IIA Il = max (Z aii I )

Bütün bu normlar, norm fonksiyonunun özeliklerini sa ğ ladığı gibi bunlardan kullan ı lan yerde amaca uygun olan ı beninısenir. Öte yandan AB çarp ımmın tan ımlı olması durumunda

225

HABx < HA il ilBx < HB

ve A mxn, B de nxq biçiminde ise

IIABH < n IIA 11131

geçerlidir. Ayrı ca A nxn biçiminde ise

HA2 II < n HAH 2

IlAk II< nk-1 IjAll k dır.

Genelleş tirilmiş Ters Matris

Herhangi bir A matrisi (karesel olup düzgün ya da ayk ırı ya da dikdörtgensel) için AA( -1 ) A = A bağmtıı ile tan ımh ve A(-1 ) ile gös-terilen bir şartlı ya da genelleş tirilmiş tersi (ya da pseudo invers) vard ır.

A matrisi karesel ve düzgün ise A( -1 ) tektir ve A-1 e eş ittir. Aksi halde bağmtıyı sağ layan sonsuz say ıda A(-1 ) matrisi vard ır.

A, m ranklı ve nxm (m < n) biçiminde bir matris ise, bu durum-da A(-1), mxn basama ğı ndandır ve A(-1) A = Im, AA(-I) / I dır. Bu durumda A(-1 ) sol ters adını alır.

A, ,n ranklı nxm (m > n) biçiminde bir matris ise, bu durumda A(-1 ) mxn basama ğı ndandır ve AA(-1) = A(-1) A I dır. Bu du-rumda A(-1 ) sağ ters adını alır. A ancak karesel ve düzgün oldu ğunda, hem sağ hem de sol tersi vard ır ve bu durumda her ikisi A nın A-1

ile gösterilen tersine eş ittir. Genelle ş tirilmiş ters matris kavram ının da-ha genel olarak lineer dönü şümlerle iliş kisi üzerinde Kesim 6.5 de du-rulacakt ı r.

Genelleş tirilmiş ters matris, a ş a ğı daki dört e ş itliğ i sağ layan mat-ris olarak da tammlanabilir•

AA(-1 )A = A, A(-1 )AA(-1 ) = A(-1)

(Am-1))* = Am-1) , (A(-1>A)* =

Karesel ve ayk ırı bir A matrisi için AA(-1 ) I ve A(-1 ) A I dır, ancak yukardaki ba ğı ntılar daima sa ğ lanır. O halde karesel ve ay-kırı bir matris için sağ ters ve sol ters yoktur, genelle ş tirilmiş ters var-dır. Bu bakımdan her sol ters ve sa ğ ters bir genelle ş tirilmiş terstir, ancak her genelle ş tirilmiş tersin sol ters ya da sa ğ ters olmas ı gerekmez.

226

Örnek 1.

3 A (2)

1

kolon matrisi için (1 /3, 0, 0) sat ır matrisi bir sol terstir. Gerçekten

3 A(-1 )A = (1 /3, 0,0) (2) = 1

1

dır. Öte yandan x ve y nin herhangi de ğerleri için (x, y, 1 - 3 x - 2y) satır matrisi, A kolon matrisi için bir genelle ş tirilmiş terstir. A kolon matrisinin sağ tersi yoktur.

Örnek 2.

2 3 A = (1 -2)

4 5

matrisinin rankı 2 dir. O halde çarp ım 12 olacak ş ekilde biçiminde A(-1 ) sol tersler cümlesine sahiptir. Gerçekten

(x ı Y ı 2 3 1 = I2z2 1 -25 ) --= ( o

x2 Y2 z2) ( 4 eş itliğ inden

2xı -I- y ı 4z ı = 1 , 2x2 + Y2 + 4z2 = 0

3x ı — 2y ı -1- 5z ı = O , 3x2 2Y2 5z2 = sistemlerine var ı lır. Buradan

2 1 4 11 10 214 / 1 1

...> (

A matrisi 2x3

O

1/

ili O) 1 1 13 i -2 k 3 -2 5 1 O 11 ) -3 /2R ı + R2 ° 7 2

-2R2

2x ı +y ı 4z ı = 1) 3 2 2 13

7y ı -1- 2z ı = 3 ; z ı = c ı , Y ı = -7— — - 7- c ı , x ı = ,--y- — .--T e ı ,

2X2+Y2+4z2= O Z2

2y2+2z2 = — 2

2 2 1 13 = c2, Y2 = c2, x2 = 7 — 7 c2

olduğ una göre aranan 2x3 biçiminde sol tersler cümlesi

227

1 3 1 x 1

kil 5 2 1 \ xx32 Y2) = AA (-1) = I2x9 Y ı

Y3

/ 13 3 2 7 — 7- cl 7 — 7 el

A(-1>

\\Ihr 7 — 7 C2 — e2

13 2 2

biçimindedir ve A<-1 ) A = 12 sağ lamr

Örnek 3.

A 1 3 -1 = ( 4 5 2

matrisinin rank ı 2 olduğundan çarp ı m 12 olacak ş ekilde A matrisi 3x2 biçiminde A(-1 ) sağ tersler cümlesine sahiptir. Gerçekten

c l

e2

eş itliğ inden

x ı 3x2 — x3 = 1 , Y ı + 3Yz — Y3 = 0

4x1 5x2 2x3 =0 , 4yi +- 5y2 2y3 = 1

sistemlerine vard ır. Buradan

3 -1 ; 1 0 3 -1 1 I O

k4 5 2 0 1 -4BR2 1+R2

7 -6 4 ı -1

matrisinden

4 6 5 11 x3 = e l, x2 = 7 + 7 c ı , x ı — 7 7 c ı

1 6 3 11 Y3 = C2, Y2 = c2,Y1 — 7 7 ez

elde edilir. Ohalde aranan 3x2 biçiminde A( -1 > sağ tersler cümlesi

228

5 11 3 11 e i

— 7 A(-1)

6 I 6

e l

7- 7 -I-

cz 7

C2

biçimindedir ve AA(-1 ) = I, sağ lanı r.

ÖRNEK 4.

1 2 3 A = (

2 5 61 3 7 9

karesel matrisinin rank ı 2 dir. Böyle bir matris için sol ya da sa ğ ters yoktur, ancak genelle ş tirilmi ş ters vard ır. Genelle ş tirilmi ş tersler cümlesi, AA (-1 )A =A bağı ntı sından hareketle bulunabilir. Bununla beraber karesel aykırı matrisin herhangi bir genelle ş tirilmiş tersi doğ rudan bulu-nabilir. A n ın rankı 2 olduğuna göre A dan tersi olan 1., 2. sat ı r ve 1., 2. kolon alınarak 2x2 biçiminde

(1 2 \2

5 İ matrisini gözönüne alalı m. Bunun tersi

5 -2 \ -2 1 \

biçimindedir. Bu matris, 3x3 biçiminde A(-1 ) matrisinde 1., 2. sat ırda (sat ırlar kolonlarla, kolonlar sat ırlarla değ iş tirilerek) yerine konur ve diğer elemanlar s ı fır al ınır Buna göre bir A( -1 ) genelle ş tirilmiş ters matris

A(-1) ( 5

-2 O

-2 1 O

0 0 ) O

biçimindedir.

A matrisinden 1., 2. sat ır ve 2., 3. kolon al ınırsa

( 27 39

matrisi elde edilir. Bunun tersi

229

1 9 -3 \ 3 \ -7 2

( -73 3 )

dır. Buna göre A n ın bir diğer A(-1 >genelle ş tirilmiş tersi, bulunan ters matris 1., 3. kolon ve 2., 3. sat ırda yerle ş tirilerek diğ er elemanlar ı sıfır alınırsa

O (-3 0 1

7 0 2

3 3

biçiminde bulunur.

Bunun gibi A n ın 2., 3. sat ır ve 1., 2. kolonu alınarak gidilseydi bir başka A(-1 )genelle ş tirilmiş ters de

0 -7 5 A(-1) = 0 3 -2 )

O 0 0

biçiminde bulunurdu. Bütün bu genelle ş tirilmiş ters matrisler AA( -1 )A--,-- A bağı nt ı sım sağ lar.

Öte yandan A, n yinci basamaktan r rankh bir ayk ırı matris ise,

A nın herhangi bir genelle ş tirilmiş tersi bir baş ka biçimde de buluna-bilir. Gerçekten A+MK düzgün olacak şekilde M, nx (n-r) ve K, (n-r) xn biçiminde seçilirse, (A-FMK) -1 matrisi, A nın bir genelle ş tir-ilmiş tersidir (bak. Al ış tırma 11).

Matris Fonksiyonunun Türev ve İntegrasyonu

A (t) =(aii (t) ) matris fonksiyonunun türevi, A n ın elemanlarının

türevlerini almakla elde edilir, yani

dA = / daii(t) dt k dt j

d ı r. Buradan

d dA B d (A+B) —

dt dt dt

d dA dB

—d-t- (AB) dt • 13+A. dt

A(-1 )

230

dır. Benzer olarak . A nın integrali (belirli ya da belirsiz), A n ın her bir elemanının iıı tegralini alarak elde edilir:

t2 t2

Adt = ajj (t) dt 1 , f Adt = fajj (t) dt t2 t2

A (t) nm determinantının türev ı ise, A (t) nı n sırasiyle sat ırlar= (yada kolonlarmın) türevlerini almak suretiyle elde edilen n. determi-minant ı n toplamı dır. Buna göre bir A (t) matris fonksiyonunun türev ve integrali, matris de ğ erli fonksiyonlar ve determinantnıı n türevi ise skaler de ğ erli fonksiyondur.

ALIŞ TIRMALAR

1. wA ile = (trA*A) 1 /2 olduğunu gösteriniz?

k 1 2. Aş ağı daki matrisler için ilA 11 = E E laik I normunu

i= ı i=1 bulunuz?

-1 A = (

-1 2) , A =

\ 1 1/ \ 2

3. Aş ağı daki matrisler için = max E laik I normunu J 1-1

bulunuz ?

2 4 3 6 4 3 \ A— —7 O 2 ) , A =

3 1 2 2 1 5

O 0 A = O O )

1 0

4 liAB le IIB Ile olduğunu gösteriniz ?

5. [lA < 1 ise (I-A) -1= ± An olduğunu gösteriniz? n

6. lIA = max llAx Ile ile tanımlanan oktahedral vektör nor- Ilx Ilo =1

muna bağ lı matris normunun ilA Ils = max E laij I biçiminde ol- i=1

duğunu gösteriniz ?

231

7. !ls = max IlAx ile ile tanı mlanan, kübik vektör normuna Ilx -=1

bağ lı matris normunun IIA max biçiminde olduğunu

gösteriniz?

Aşağı daki matrislerin varsa sa ğ ya da sol terslerini yoksa genelle ş -tirilmiş terslerini bulunuz?

8. A = (2 41 9. A = ) 10. A =

3 6 O O 3 6 Ol

Aş ağı daki karesel ayk ı rı matrisler için herhangi bir genelle ş tirilmi ş ters bulunuz. Verilen matrislerin her biri için di ğ er bir genelleş tirilmiş tersi de M ve K yı uygun biçimde seçerek A+MK matrisi yard ımiyle bulunuz?

11. A 1 1 2 1 12. A -= -1 -1 -1 -1) 3 -1 -1 0 -1 -2 1 -1 -1 3 -1 O 3 6 O -1 -1 -1 3

Örnek 3, Ahş tırma 8 ve 11 ın genelle ş tirilmiş ters matrisleri için aş a ğı daki özellikleri gerçekleyiniz?

13. AA(-- 1)A=A 14. A(-1 ).AM-1 )= A(-1 )

15. (AA(-1 ))* = AA(-1)

16. (A(-1 )A)* A(-1).A.

17. A*AA(-1 ) = A* =A(-1)AA* 18. (A(-1))(-1)= A

19. A*(A(-1))*A(-1)= A(-1) = A(-1)(A(-1))*A*

20. A düzgün ise A(-1 )=-- A-1 olduğunu gösteriniz?

21. A*A düzgün ise A(-1 ) = (A*A)-1.A* olduğunu gösteriniz?

22. A (t) ve B (t) elemanlar ı t nin türevlenebilir fonksiyonlar ı olan nxn biçiminde matrisler ise, bu durumda

d dt

d d

(A (t) B (t) ) = , --dt (A (t) ) B (t) A (t) dt (B (t) )

= A'(t) B (t) --F A (t) B'(t) olduğunu ispatlaymı z?

232

23. A (x) elemanları x in türevlenebilir fonksiyonlar ı ve Ai(x) de i yıncı satırın her bir elemanmm türevini almakla A (x) den elde edilen matris olmak üzere,

d Tt- (det (A (x) ) E det (Ai(x) )

olduğunu ispatlaynuz ?

24. A herhangi bir nxn biçiminde sabitler matrisi olmak üzere

dx — (det (xI-A) ) = tr (Adj (xI-A) ) d

olduğunu ispatlaymı z ?

233

6. Bölüm

L İ NEER DÖNÜ Ş KER

6.1. DÖNC Ş CMLER

Bölüm I de Fonksiyonlar üzerinde durmu ş ve her fonksiyon.un

özel anlamda bir dönü şüm olduğunu görmüş tük. A dan B ye f: A -> B

ile belirtilen f dönü şümü alt ında keyfi bir x e A eleman ının görüntüsünü

x f (x) ile göstermi ş tik. Genel olarak dönü ş üm kavramı , bir fonksiyon

kavramını genelle ş tirir. Örne ğ in herhangi sayı da diyelim 3 değ işkenli

bir fonksiyon, A tan ım bölgesi s ıralı sayı üçlülerinin bir kolleksiyonu ve

B görüntü cümlesi de gerçel say ı sisteminin bir kısmı olan dönüşümün

özel bir durumudur. Bununla beraber A ve B keyfi cümleler olarak alma-

bileceğ inden dönümümler daha geneldir.

ÖRNEKLER

A = il -3 5 \2 4 -1 İ

ile verilen 2x3 matrisini gözönüne alahm. R 3 ve deki vektörleri kolon

vektörleri olarak yazarsak bu durumda A matrisi, v E R 3 olmak üzere

v -> Av ya da T (v) = Av ile tan ımlanan T: R 3-> GR2 dönüş ümünü belirtir.

Örneğ in

3 -10 v = 1) ise T (v) = Av

-2 12

dır.

Uyarı : Bir K cismi üzerinden (K, R gerçel ya da C karma şı k cisim

olabilir) her mxn türünde bir A matrisi, Kn ve Km deki vektörler kolon

vektörleri olarak yaz ılmak üzere v -> Av ile tan ımlanan T: K/1-> Km

dönüşümünü belirtir. Uygunluk bak ımından bu dönü ş ümü genellikle

matris için kullan ılan aynı simge ile yani A ile gösterece ğ iz.

1.

234

2. V, R gerçel cisim üzerinden t de ğ işkenli polinomlarm vektör uzayı olsun. Bu durumda herhangi bir f E V polinomu için D (f) -=

df Tt- olmak üzere türev D:V -> V ş eklinde bir dönüş üm tanımlar. Örne ğ in

D (3t2- 5t H- 2) = 6t-5 d ır.

3. V, Örnek 2 de R üzerinden t de ğ işkenli polin.omların vektör uzayı olsun. Bu durumda herhangi bir f E V polinomu için diyelim 0 dan 1 e kadar integral

eT (f) = f f (t) dt o

ile gösterilirse integral a°: V -* R ş eklinde bir dönü şüm tanımlar. Örneğ in 3t2-7t+5) = 2 d ır.

Bu dönü ş üm V lineer uzayından R skaler cisim içine ( R gerçel sayı sistemi içine) bir dönü şüm olduğu halde önceki dönü şüm V den V içine bir dönüşümdür.

4. f: A -> B ve g: B -> C dönü ş ümlerini gözönüne alal ım. a e A ise f (a), g nin tan ım bölgesindedir. f (a) n ın g dönüşümü altında g (f (a) ) görüntüsü elde edilebilir. A dan C içine olan a - g (f (a) ) dönü ş ümü, f ve g nin bileş imi (conıposition) ya da çarpı m ı (product) ad ını alır ve gof ile gösterilir. Ba şka bir deyimle (gof): A -> C, (gof) (a) = g (f (a) ) ile tanı mlanan dönü şümdür.

Dönüş ümlerin bileş imi, birleş me özeliğ ini sağ lar, yani f: A --> B, g: B -> C ve h: C -> D ise ho (gof) = (hog) of özeli ğ i geçerlidir. Yani her a E A için

ho (gof) (a) = h ( (gof) (a) ) = h (g (f (a) ) )

( (hog) of) (a) = (hog) (f (a) ) =-- h (g (f (a) ) ) dır.

6.2. L İ NEER DÖNÜŞ ÜMLER

Lineer uzaylar ııı incelenmesinde ortaya ç ıkan ve dönüşümler ara-sında büyük öneme sahip olan dönü ş ümler lineer dönü ş ümlerdir. Lineer uzaylar ın önemi temelde onlar ın ortaya ç ıkardıkları lineer dönüşümleı de yatar. Cebrin ve analizin bir çok konular ı gerçek yerlerine yerle ş tiril-diklerinde, onlar bir lineer uzaydan bir di ğer lineer uzay içine lineer

235

dönüşümlerin incelenmesine indirgenir. Örne ğ in matrisler kuram ı , bu sahanm küçük bir kö ş esidir. Bunun gibi belli türden diferensiyel denk-lemler, integral denklemler ve integrasyon kuram ı modern incelenme yönleri bakımından bu sahanm içersinde gerçek yerlerini bulurlar.

V ve U, K üzerinden iki lineer uzay yada ayn ı skaler sistemli iki lineer uzay olsun. A ş ağı daki iki ş artı sağ layan bir F: V ---> U dönü şümüne bir lineer dönüşüm (lineer transformasyon =lineer operatör =Vektör uzayı homomorfizmi) denir:

Herhangi v, w E V için

F (v+w) = F (v) + F (w) (6.2.1)

Herhangi bir k E K ve herhangi bir v E V için

F (kv) = kF (v) (6.2.2)

Başka bir anlatım ile bir lineer dönü şüm öyle bir F fonksiyonudur ki her k skaleri ve v,w vektörleri için (6.2.1) ve (6.2.2) sa ğ lanacak ş ekilde

V de her v vektörüne U da bir tek F (v) vektörü kar şı hk gelir.

Bir lineer dönü şümde, bir lineer uzayın iki temel iş lemi olan top-lama ve skaler ile çarpma i ş lemleri aynen korunur, yani bir lineer dönü-ş üm V deki toplamı U da bir toplama, V de bir skalerle çarp ımı U da bir skalerle çarp ıma götürür. Bir lineer dönü şüm, En lineer uzayından

Em lineer uzayma (m >, = , < olabilir) tan ımlanabilir, ancak men ise v ile F (v) aynı uzayda noktalar olarak gözönüne alnamaz.

(6.2.2) de k =0 konulursa F (0) = 0 elde edilir. Yani her lineer dönüşüm sıfır vektörünü s ıfır vektörüne götürür.

Herhangi a, b e K skalerleri ve herhangi v, w E V vektörleri için (6.2.1) ve (6.2.2) lineerlik ş artları

F (av+bw) = F (av) + F (bw) = aF (v) + bF (w) (6.2.3)

ş artına e ş değ erdir. a =b =1 ise (6.2.1) ve b =0 ise (6.2.2) ş artı elde edilir. Bir lineer dönü şümün, bir skalerle çarp ım özeliğ ini korumasma ço ğun-

lukla lineer dönü ş ümün homogenlik özeli ğ i denir.

Daha genel olarak herhangi aie K skalerleri ve herhangi v ie V

vektörleri için

F (aivi+ a2v2+ + anvn) = a 1F (v i) + a2F (v2) -+- ••• + anF (vn) ş eklinde lineer dönü şümlerin temel özeli ğ i elde edilir. Belirtelim ki (6.2.3) ş art ı , lineer dönüşünderi tamamen belli eder ve ço ğunlukla lineer

dönüşümlerin tanımı olarak kullanılır.

236

ÖRNEKLER

1. x = (xi, x2) vektörü R2 de keyfi bir vektör olsun. Buna göre

A (x) = (x ı , — x2) dönüş ümü, xieksenine göre simetri nedeniyle R2 den R2 üzerine bir lineer dönü şüm gösterir. Gerçekten her al (i =1,2) skaler-

leri ve her x = (x i , x2), y (y ı , y2) E R2 vektörleri için

dır.

A (a ix + a2y) = A (a ixi + a2y1 , a 1x2 + a2y2)

= (a ixi + a2y1 , a2y2)

= (a ıxi, —a ix2) + (a2yi , —a2y2)

= al (x ı , —x2) + ak ı , —Y2)

= al A (x) + a2A (y)

2. R2 den R2 üzerine A (x i , x2) (x 1 + x2, x2) ile gösterilen dönü- şüm bir lineer dönü ş ümdür. Bu dönü şüm x1 eksenini aynı bıraktığı

halde x2 eksenini ters yönde 45° de ğ iştirir. Yani A (x 1, 0) = (xi, 0),

A (0, x2) = (x2, x2) dır.

3. A, K cismi üzerinden herhangi bir mxn matrisi olsun. Daha önce belirtildi ğ i üzere A matrisi v—>Av ile tan ımlanan bir T: Kn-->- Km

dönüş ümü belirtir. Bu dönü şüm lineerdir. Gerçekten, matrislerin özelik-leri nedeniyle, v,w E Kn ve k e K için

T (v+w) = A (v+w) = Av+Aw = T (v) + T (w)

T (kv) = A (kv) = kAv = kT (v) dır.

Bu türden lineer dönü şümler s ık sık karşı mıza çıkar. Sonlu boyutlu

bir lineer uzaydan bir diğer sonlu boyutlu lineer uzay içine her lineer dönüşüm, bu türden bir lineer dönü ş üm olarak gösterilebilir.

4. F: R3—> R 3 dönüş ümü, F (x, y, z) = (x, y, o) ş eklinde xy düzlemin-

de "izdüşüm" dönüşümü olsun. F lineer dönü şümdür. Gerçekten v = (a,b,c) ve w.(a' b', c') olsun. Bu durumda

F (v+w) = F (a+a', b+b', c+c') = (a+a', b+b', 0) = (a,b,0) + (a', b',0)

= F (v) + F (w) ve herhangi k e R için

F (kv) = F (ka, kb, kc) = (ka, kb, 0) = k (a,b,0) = kF (v) olduğundan F lineer dönü şümdür.

237

5. F: V -> U dönü şümü, her v e V eleman ına 0 e U eleman ını karşı lık getiren bir dönü ş üm olsun. Herhangi v, w E V ve herhangi k e K için

F (v+w) = O = 0+0 = F (v) + F (w) ve F (kv) = O = k.0 = kF(v) olduğundan F bir lineer dönü şümdür. F dönüşümüne s ıfı r dönüş ümü denir ve ço ğunlukla 0 ile gösterilir.

6. F: R2._›. dönüşümü F (x,y) = (x+1,y+2) ile tan ımlanan

"kayma" dönüşümü olsun. F (0) = F (0,0) = (1,2) / 0 olduğundan yani sıfır vektörü, s ıfır vektörü üzerine dönü şmediğ inden F lineer dönüşüm değ ildir.

7. Her v e V eleman ını kendi üzerine dönü ş türen I: V -> V özde ş -

lik dönü ş ümü'nü gözönüne alahm. Herhangi v, w E V ve herhangi a, b e K için

I (av + bw) = av + bw = al (v) + bI (w)

olduğundan I lineerdir.

8. D: el [a, b] -> e [a, b] dönüşümü D (f) = f' ile tan ımlanan

türev dönü şümünü göstersin. Bu dönü şüm

D (f1 + f2) = D (f1) + D (f2) ve D (af) = aDf

nedeniyle lineerdir. Daha genel olarak Dn: en [a, b ] --> e [a, b dönüşü-

mü, n yinci basamaktan Dn (f) = f(n) ile tanımlanan türev dönü şümü-nü gösterirse bu dönü şüm [a, b arahğnıda n kez sürekli türevlenebilir fonksiyonlar uzayını , [a, b aralığı nda sürekli fonksiyonlar uzay ı içi-ne götüren bir lineer dönü şümdür.

Daha sonra görece ğ imiz gibi türev dönü ş ümleri yerine daha çok türev ya da diferensiyel operatörler deyimini kullanaca ğı z. Buna göre D ve Dn sırasiyle birinci ve n yinci basamaktan diferensiyel operatör-lerdir.

9. a°: e [a, b ] - R dönü şümü,

(f) = aJ b

f(t) dt

ile tanımlanan in.tegral dönüş ümü olsun. Aynı şekilde fl , f2 E e [a, b ve her ai (i = 1, 2) skalerleri için

(a ifi + a2f2) = a fb [aifi(t) + a2f2(t)] dt

= a fb a ifi(t) dt + a fb a2f2 (t)dt

238

= a1 a fb f1(t) dt a2 a fb f2(t) dt

= al a' (fı ) aza' (f2) olduğundan lineer dönü şümdür.

Bir lineer uzaydan bir skaler alan içine olan bu türden dönü şüm-ler, kendilerine özgü ilginç özeliklere sahip olmalar ı nedeniyle ilerde ayrıca yeni bir ad ve yeni bir kesim alt ında incelenecektir.

10. F:V -4- U bire bir ve üzerine bir lineer dönü ş üm olsun. Bu durumda F-1 : U -> V ters dönü ş ümü vard ır ve ters dönü ş üm lineerdir. Gerçekten, u, e U olsun. F bire bir ve üzerine olud ğundan F (v) = u ve F (v') = u' olacak ş ekilde v, v' e V vektörleri vard ır. F lineer ol-duğundan

F (v v') = F (v) H-- F (v') u' ve

F (kv) = kF (v) = ku

geçerlidir. Ters dönü ş ümün tanımı nedeniyle F-1 (u) = v, F- (u') = v', F-1 (u u') = v v' ve F-1 (ku) = kv d ır. O halde

F-1 (u u') = v v' = F-1(u) F-1 (u') ve

F-1(ku) = kv = kF-1 (u)

olduğundan F-1 dönüş ümü bire bir ve üzerine bir lineer dönü şümdür.

Bir F:V -> U lineer dönü şümde v 1, v2 e V için F(v 1) = F(v2) e ş it-liğ i ancak v 1 = v2 olmas ı halinde geçerli ise F lineer dönü şümüne bire bir dönüşüm denir. Ba şka bir deyimle F in bire bir olmas ı ; F in, V deki elemanları U da farklı elemanlara dönü ş türmesi demektir. U daki her eleman, V deki en az bir eleman'n görüntüsü ise F lineer dönü şümü üzerine bir dönüşümdür. F lineer dönü ş ümü hem bire bir hem de üze-rine ise bire bir ve üzerine dönü ş üm admı alır.

F:V -> U lineer dönü şümü bire bir ve üzerine ise F lineer dönü şü-müne bir şekil benzerliğ i (ya da iç benzerlik = isomorphism) denir. Bu durumda V ve U lineer uzaylar ına eş biçimli (isomorphic) dir de-nir. E ş biçimli iki sonlu boyutlu lineer uzaylarm boyutlar ı aynıdır. Buradan n boyutlu bütün lineer uzaylar e ş biçimlidir. Eş biçimli "ben-zer görünü ş ya da yap ıya ancak farkl ı kökenlere sahip" anlam ındadır.

vn }, V de bir baz ve u n } de U da bir baz ise i = n için F (vi) = ui olacak ş ekilde F lineer dönü şümü, V den U üzerine bir şekil benzerliğ idir. V, K üzerinden n boyutlu bir vektör uzay ı ve

239

{eh ..., e n} de V nin bir bazı olsun. Bu bazm tabii baz olmas ı gerekmez Bu durumda her v E V vektörünü {ei } bazma göre koordinat vektörü içine dönüş türen v ---> [v], dönü şümü, V nin Kn üzerine bir ş ekil ben-zerliğ idir. Yani her v E V vektörüne, verilen {e i , e2 ,..., en } bazma göre Kn de bir n li kar şı lık gelir. Öte yandan, (a 1 , a2,..., an) E Kn ise buna V de alet a2e2 ... + anen vektörü karşı lık gelir. Böylece {ei} baz ı , V deki vektörlerle Kn deki n liler aras ında bire bir kar şı lık olmak üzere bir bağ kurar.

v = a2e2 + ... anen vektörüne (a ba,,..., an) n lisi, ve w = b 1e 1 b2e2 .•• bnen vektörüne (b1,b2,—, bn) n lisi kar şı lık geliyorsa v w = (ai -I- b i) ei (a2 b2) e2 ••• H- (an + bn) en vektörüne (a 1 , a2,..., a n) + (b i , b2,..., b n) n lisi karşı lık gelir. Ayrıca herhangi k e K skaleri için kv = (ka l) e l (kat) e2 ••• (kan) en vektörüne k (a 1 , a2,..., an) n. lisi karşı lık gelir. Yani

[v w], = [v], [w] e ve [kv] e = k [v],

dır. Daha önce 4.4 de ifade edildi ğ i gibi V ile Kn arasında bire bir kar-şı lık olıria durumu, vektör uzay ının toplama ve skalerle çarpma i ş lem-lerini aynen korur. Bu yüzden V ile Kn e ş biçimlidir. Bazan bu durum V = Kn şeklinde gösterilir.

Bir lineer dönü şüm, bir bazdaki elemanlarla tamamen belirtile-bilir. Gerçekten, V ve U uzayları K üzerinden lineer uzaylar ve {v 1 , v2,

vn} V nin bir bazı , u1 , u2,..., un de U da herhangi vektörler olsun. Bu durumda F (v 1) = ui , F (v2) = u2,..., F (vn) = un olacak ş ekilde bir tek F:V U lineer dönü şümü vardır. Burada u i, u2,..., un vektör-

leri tamamen keyfidir, bunlar lineer ba ğı mlı olabilir, hatta her biri bir diğerine e ş it olabilir. Ancak U da farkl ı vektörlerin seçimi farkl ı lineer dönüşüm verir ve V den U ya her lineer dönü şüm bu ş ekilde elde edile-bilir.

F, V den U ya bir lineer dönüşüm ve {vi , v2,..., vn } V de bir baz olsun. Bu durumda

x = x2v2 ••• XnVn

vektörü V de herhangi bir vektör ise

F (x) = x, F(v i) x2F(v2) xnF (ve) (6.2.4)

vektörü U dadır. Bir lineer dönü şüm, lineer kombinasyonları lineer kombinasyonlara dönü ştürür. Gerçekten F lineer oldu ğundan

240

F (x) = F (x ivi+x2v2+...+xeve) =x ı F(vi)±x2 F(v2)+...-FxeF (ve) dır. Böylece F(x) in de ğeri, U daki F (v 1), F (v2),..., F (v e) vektörle-

ri ile tamamen belirtiliyor yani F lineer dönü şümü V nin bir bazı üze-rindeki de ğerleri ile tek olarak bulunuyor. Ayr ıca u 1 , u2,..., un vektör-

leri U da keyfi vektörler ise F:V U lineer dönü ş iimü F (v1), = u i , F (v2) =- u2,..., F (ve) = un koymak suretiyle V de her x için F(x) in değeri tek olarak bulunabilir. Böylece (6.2.4) ifadesi, V den U ya bütün

lineer dönüşümlerin nas ıl bulunabilece ğ ini belirtir. U da farkl ı vektör-lerin seçimi farkl ı lineer dönü şümler tanımlandığı ndan V deki vektör-

ler kadar V den U ya lineer dönüşüm vardır. Aynı zamanda V nin bir bazı üzerindeki de ğ erleri ile belirtilen lineer dönü şüm, V deki hazin der ğ iş imi ile değ iş ikliğe uğ radığı gibi U daki farklı vektörlerin seçimi ile de değ iş ikliğe uğ rar.

6.3. B İ R Lİ NEER DÖNÜ Ş ÜMÜN ÇEKIRDE Ğ I VE GÖRÜN-TÜ CÜMLES İ

F:V --> U bir lineer dönü şüm olsun. F in RF ya da R (F) ile gösteri-len görüntü cümlesi

RF = R (F) = iu E U: Her v e V için F (v) = u}

ş eklinde U daki görüntü noktalar ının cümlesidir. F in D (F) ile gösteri-len tan ım bölgesi V cümlesidir.

F in Kernel F ya da kısaca KerF ile gösterilen çekirdeğ i (kernel) ya da sıfır uzayı (null space),

Kernel F = KerF = iv E V:F (v) = o} şeklinde o E U eleman ına dönüş en V deki elemanlar cümlesidir. KerF, daima V nin s ıfır vektörünü kapsar.

F:V --> U bir lineer dönü şüm olsun. Bu durumda F in görüntü cümlesi U nun ve F in çekirde ğ i V nin bir alt uzay ıdır. Ba ş ka bir ifa-de ile, R (F) görüntü cümlesi U da ve KerF çekirde ğ i de V de bir lineer manifolddur. Gerçekten F (o) = 0 oldu ğundan 0 E R (F) dır. u, u' E

R (F) ve a, b E K olsun. u ve u', F in görüntü cümlesinde oldu ğundan F (v) = u ve F (v') = u' olacak ş ekilde v, v' E V vektörleri vard ır. Bu-radan

F (av + bv') = aF (v) bF (v') = au -I- bu' E R (F)

dıır. O halde F in görüntü cümlesi U nun bir alt uzay ıdır.

F (0) = 0 olduğundan 0 e KerF d ır. v, w E KerF ve a, b E K olsun. v, ve w, F in çekirde ğ ine ait oldu ğundan F (v) = 0 ve F (w) = 0 d ı r. O halde

241

F (av bw) = aF (v) bF (w) = a 0 b 0

olduğundan av + bw e KerF d ır. Böylece F in çekirde ğ i V nin bir alt uzayı dı r.

Örnekler

1. I : V --> V özde ş lik dönü ş ümü olsun. Özde ş lik dönüş ümü hem bi-re bir hem de üzerine oldu ğundan R (I) = V ve KerI = {0} d ır.

2. O: V --> U s ıfır dönü ş ümü olsun. S ıfır dönüş ümünün tan ımı nedeniyle R (0) = {O} ve KerO = V d ı r.

3. F: R 3 ->R 3 dönüşümü F (x, y, z) = (x, y, 0) ş eklinde xy düzle-mi içine izdü şüm dönü şümü olsun. F in görüntü cümlesi

R (F) = {(a., b, o) : a, b E R}

ş eklinde tüm xy düzlemidir. F in çekirdeğ i de

KerF = {(0, 0, c) : c E R}

ş eklinde z eksenidir. Sadece z ekseni üzerindeki noktalar O = (0, 0, 0) sıfır vekti3rüne dönü ş iir.

4. D, derecesi n den küçük T„ polinomlar uzayında diferensiyel operatör olsun. D nin çekirde ğ i, sıfır polinomu ile birlikte derecesi s ı -fır olan bütün polinomlar cümlesidir. D nin görüntü cümlesi de s ıfır polinomi ve derecesi < n-1 olan bütün polinomlardan olu şur.

5. <x1 , x2, x3,...> ş eklinde gerçel say ılardan oluşan bütün sonsuz diziler uzay ı V° olsun. Bu lineer uzay üzerinde

A <x1, x2, x3 ,...> = <x2, x3, x4,...>

B <x 1 , x2, x3,...> = <0, x i , x,,...>

ş eklinde tanımlanan iki lineer dönü şüm A ve B olsun. Ker A, x1 keyfi

olmak üzere < x 1 , 0,0,... > ş eklinde bütün dizilerden olu şur

ve V° un bir alt uzay ıdır. A nın görüntü cümlesi, dönüşüm üzerine

olduğundan R (A) = V° dur. Öte yandan KerB = {O} ş eklinde sade-

ce s ıfır dizisinden olu ş an cümlesir. B nin görüntü cümlesi ise, ilk elema-nı sıfır olan bütün dizilerden olu şur.

6. A (E4, Sz , Sn) -=- olmak üzere A: ri ---> R11-1-

dönüşümünü gözönüne alalım. Bu dönüşüm üzerinedir, ancak herhangi bir n eR için A (n , z2,..., Sn) = G25 3,•••, /.1) olduğundan bire bir değ ildir. Anın görüntü cümlesi R (A) =r1-1 dır. Wn de bir x =(1, 2, ,S n)

242

vektörü, ancak 2 = 3 = = = 0 ise -Rn-1 de s ıfır vektörü-

ne dönüşür. Bu yüzden A n ın çekirde ğ i, (I, 0, ..., 0) vektörü ile gerilen uzaydır, yani keyfi olmak üzere

KerA = {( 0, 0,..., 0): E. 1 E R} cümlesidir.

7. L: e2 (— 00, co) _› e (— co, co) dönü şümü D2 _ I lineer döniiş ümü

d y olsun. Buna göre L (y) = (D 2 — I) y = y dır. L nın çekirde-

dx2

d2y dx2

ğ i, y = 0 olacak ş ekilde e2 (— co, co) deki bütün y lerin cüm-

lesidir. Yani KerL = Ker (D 2 — I), homogen diferensiyel denklemin çözümlerinin cümlesidir. Böylece (D 2 — I) y = 0 denkleminin bütün çözümleri ıı i bulma problemi, D 2 — I lineer dönü şümünün çekirde ğ ini bulma problemi ile ayn ı dır. y ı ve y 2 , L (y) = 0 denkleminin iki çözümü ise, herhangi c ı ve c2 sabitleri için c İYI -F. c2y2 de L(y) = 0 ın bir çözü-müdür. Gerçekten y ı ve y2, L(y) = 0 in iki çözümü ise L(y ı ) = 0 ve L (ya) = 0 dır. L lineer olduğundan

L (e ı Y ı c2y2) = c iL (y ı ) e2 L(y2) = e ı (0) + c2 (0) = 0 dır. Böylece c 1y1 c2y2 de L(y) = 0 denkleminin bir çözümüdür. Bu özelik, lineer homogen diferensiyel denklemlerin çözümünde üstüste

gelme Kuralı (principle of superposition) olarak bilinir Buna göre yu-karda verilen L lineer dönü şümünün çekirde ğ i, e-x ve ex tarafından ge-rilen bir lineer uzayd ır, yani

KerL = Ker (D 2 — I) = {c ie-x e2ex: c i , c, E R}

dır.

v n vektörlerinin. V yi gerdi ğ ini ve F:V -› U dönü şümünün lineer olduğunu varsayal ı m. Bu durumda F (v i ),..., F (v n) E U vektör-leri de R(F) yi gerer. Gerçekten u E R (F) ise herhangi bir v E V için F(v) = u dur. vi, V yi gerdi ğ inden ve v E V olduğundan v = a 1v1 a2v2 ... anvn olacak ş ekilde an skalerleri vardır. Buna göre u = F(v) = F (a ı v ı a2v2 anvn) = a l F(v ı ) a2F (v2) +

... an F (vn) dır ve buradan F (v i),..., F (v n) vektörlerinin R(F) yi gerdi ğ i sonucu ç ı -kar. Örneğ in, K üzerinden keyfi bir 4x3 türünde A matrisi gözönüne alalım:

243

(a ı a2 a3

bi

d ı d 3

c ı e 3 b 2 b 3

Bu matris A:K 3 -> K4 ş eklinde bir lineer dönü şümdür. K 3 ün {e i , e2 , e 3 } tabii bazı K 3 ü gerer ve bu vektörlerin A alt ında Ae i , Ae2, Ae 3

değerleri, A nın görüntü cümlesini gerer. Ae i, Ae2, Ae3 vektörleri A nın kolonlarıdır:

( a l a2 a3 bi b2 b3 ci c2 e3

d, d--2 d3

fa i a2 2. 3\ b i b2 b3

dı c ı e3 \d i d2 (1 3 1

(

a i a2 a3 bi b2 b3 eı C2 C3

di d2 d 3

Buradan A n ın görüntü cümlesi, tamamen A n ın kolon uzayıdır. Buna göre A, A:Kn--> Km ş eklinde bir lineer dönü şüm olarak dü şünülen K üzerinden mxn türünde herhangi bir matris ise, A n ın görüntü cümlesi tamamen A n ın kolon uzayı dır:

Bir F: V --> U lineer dönü ş ümünde F in görüntü cümlesi U nun, F in çekideğ i de V nin alt uzayı olduğunu görmü ş tük. V sonlu boyutlu ise

dimV=dim (KerF) dim (R (F) ) (6.3.1)

dı r. Yani bir lineer dönü şümün görüntü cümlesinin boyutu ile çekir-değ inin boyutunun toplamı tanım bölgesinin boyutuna e ş ittir. Bir lineer dönü şümde görüntü cümlesinin boyutu, kesinlikle tan ım bölge-sinin boyutunu aş amaz. F in görüntü cümlesinin boyutuna F in rankı , çekirde ğ inin boyutuna da F in nulitesi (nullity) denir. Buna göre

rankF = r(F) = dim (R (F) ) ve nulite (F) = n (F) = dim (KerF) dır. Ohalde (6.3.1) e ş itliğ i

A =

Ae

Ae2

Ae3

1 /al\ bi c ı

a2\ b2 e2

\d2/

a3 b3 C3 d3

244

dimV =nalite (F) + rank (F) ya da kısaca (6.3.2)

d (V) = n (F) + r (F)

ş eklinde yaz ılabilir.

Bir A matrisinin rank ı , Kesim 5.8 de A nın kolon uzayı ya da sat ır uzayının boyutu olarak tan ımlandığ mı hatırlar ve bu defa A bir lineer dönüşüm olarak dikkate al ınırsa, A n ın görüntü çümlesinin tamamen A nın kolon uzayı olması nedeniyle her iki rank tan ımının uyumlu olduğu sonucuna var ılır.

ÖRNEKLER

1. Yukarda verilen Örnek 6 da rankA =dim (R (A) ) = ıı.-1 ve ıı (A) = dim (KerA) =1 d ır. Rn nin boyutu n oldu ğundan (6.3.2) e ş itliğ i sağ lamr.

2. A =(1,2,3) 1 matrisi A: R 1 ->R3 ş eklinde bir lineer dönü şüm gös-terir. A nm rank ı 1 dir. Çünkü

(

2 ) (x2) = (b21 ) 3 b3

olduğuna göre A lineer dönü şümü, R 1 de bir (x1) vektörünü R 3de (b i , b2, b3) .=(x 1 , 3x 1) vektörü üzerine dönü ştürür. Bir boyutlu

uzayının üç boyutlu R3 uzayındaki görüntü cümlesi olan R(A) {x 1 (1,2,3): x i E R} bir doğ ru gösterir. Ohalde dim (R (A) ) = r (A) =1 dır. Öte yandan KerA = ()} oldu ğundan n (A) = dim (KerA) = 0 ve dim R 1 =1 dır. Böylece (6.3.2) sa ğ lamr. E ğer A matrisi (1,2,3) biçi-minde alınırsa bu A: R 3->R 1 ş eklinde bir lineer dönü şüm gösterir. Bu defa bu dönüşüm.

x) (1,2,3) X2 = Xi+ 2x2+ 3X3

X3

ş eklinde R 3 de bir (x i , x2, x3) vektörünü 2 1 de xi +2x2+3x3 vektörüne dönüş türdüğünden bu defa yine rank A =1 d ır, ancak dim R 3 = 3 ve nullity (A) = n (A) = 2 dır. Çünkü A nın çekirdeğ i, xi+ 2x2+ 3x3

denklemini sıfır yapan R 3 deki vektörler cümlesi oldu ğuna göre x i+ 2x2+ 3x3 = 0 düzlemi, ba ğı msız (-2,1,0) ve (-3,0,1) vektörleri taraf ından gerilir. Buradan

245

KerA = x 3(- O ) : x 2 , x3 e R}

ve

n (A) = dim (KerA) = 2 -

dır.

Bir F: V -> U lineer dönü ş ümünde R (F) c U ve KerF c V oldu ğu-

nu biliyoruz. F lineer dönü ş ümü sonsuz boyutlu olsa bile R (F) ve KerF

s ırasiyle daima U ve V nin alt uzaylar ı d ır. Ancak (6.3.2) e ş itliğ i, V sonla

boyutlu ise geçerlidir. Öte yandan (6.3.2) den R (F) KerF =V gibi

her zaman do ğ ru olmayan bir sonuç ç ıkarmamak gerekir. Gerçekten

F,V den V içine ise e ş itlik doğ ru de ğ ildir. Örne ğ in R2 den W2 içine bir

dönü ş üm

O 1 \ A = (

0 O)

olsun. Bu dönüş ümün görüntü cümlesi ve çekirde ğ i sırasiyle

1 1 R (A) = x2 ( ) : x2 E R KerA = x 1 ( ) : . x ı E

O 5 ' er

. O R

dır. Buradan rankA =r (A) =1 ve nullity (A) = n (A) = 1 d ır. Görüldü ğü

üzere görüntü cümlesi (1,0)T vektörü taraf ından geriliyor ve bu vektör

aynı zamanda s ıfır uzayın! geriyor. Buradan R (A) + KerA = W 2 olma-

dığı aç ıkt ır. Buradaki toplam, iki cümlenin bile ş imi değ il 4.4 de sözü

edilen iki cümlenin toplam ı anlam ı ndad ı r.

6.4. AYKIRI ve AYKIRI OLMAYAN DÖNÜ Ş ÜMLER

Bir F: V -± U lineer dönü şümü, ancak s ıfırdan farkl ı herhangi

bir vektörün F alt ında görüntüsü s ıfır vektörü ise, yani v-ı-0 olmak

üzere F (v) = 0 olacak ş ekilde v E V vektörü varsa F lineer dönü şümü-

ne ayk ı rı (singular) dönüş üm denir. E ğer sadece 0 E V eleman 0 E U

elemanma dönü ş üyorsa, yani çekirdek sadece s ıfır vektöründen olu-

ş uyorsa (KerF = 0} ), F lineer dönü ş ümüne düzenli ya da ayk ırı ol-mayan (nonsingular) dönüş üm denir.

Bir F: V V --> U lineer dönümülıürt bire bir olmas ı , F in çekirde ğ inin

sadece s ıfır vektöründen olu ş masıdır. Bunun tersi de do ğ rudur, yani F

düzenli ise (KerF = { 0 } ), F lineer dönü şümü bire birdir. F hem bire bir

hem de üzerine ise F lineer dönü ş ümünün F-1 : U > V tersi vard ır ve

bu ters dönü ş üm de lineer olmakla beraber bire bir ve üzerinedir.

246

v E V, u E U olmak üzere F (v) = u ise v ---- F-1 (u) dur, yani u, F altında v nin görüntüsü ise, v de F-1 ters dönii şümii altında u nun

görüntüsüdür. F bire bir ve üzerine oldu ğunda F (v) =u ve v F-1 (u) eş değer dönüş ümlerdir. Bu durumda R (F) = D (F-1) d ır, yani F in

görüntü cümlesi F -1 in tanım bölgesidir.

Bir F: V -> U lineer dönü ş ümü düzenli olmakla beraber, V sonlu boyutlu ise dimR (F) = dimV d ır. Buradan V =R (F) d ır. Kesim 6.3 de görüldüğü üzere boyutlar ı kaldı rma i ş lemi (6.3.1) için genel olarak ge-çerli değ ildir. Burada V nin sonlu boyutlu olmas ı zorunludur. V ve U lineer uzaylarmın her ikisi sonlu n boyutuna sahip olmak üzere F: -->- U lineer dönü şümü düzenli ise bu durumda F ayn ı zamanda üzerine olacağı ndan R (F) = U dur. Buradan R (F) = U <,> Ker F = {O} dır. Bu e ş değ erlik durumu F lineer dönü ş mü bire bir ve üzerine oldu ğunda

ya da F: V -> U lineer dönü şümü düzenli olmakla beraber, V ve U ayn ı sonlu n boyutlu olduğunda geçerlidir. Buna göre V sonlu boyutlu olmak üzere F: V --> V lineer dönü şümünün düzenli olmas ı , F in tersine çevrilebilir olmas ı ile eş değ erlidir.

F: V -> U lineer dönü şümü sadece üzerine oldu ğu zaman R (F) = U olur, ancak bu defa KerF = {O} olmas ı gerekmez. Öte yaratan sadece KerF = {O} olmas ı da R (F) = U olmas ını gerektirmez. Gerçekten A (x 1 , x2) -= (x i , x i+ x2, xi- x2) lineer dönü şümü için KerA = {O} olduğu halde A: R2-> R 1 dönüşümünde R 1 , daha az boyutlu R 2 tarafın-dan doldurulam ıyaca ğı ndan üzerine de ğ ildir, yani R (A) R3 dür. Öte yandan B (x i , x2,x3) = (x i+ x2, x2- x3) ile tanımlanan lineer dönü şüm

üzerinedir, ancak bire bir de ğ ildir, yani B: R 3--> R 2 dönüşümünde R (B) =-- R 2 ve Ker B j0} d ır. Bu durumlarda dönü şümün tersi yoktur. Bununla beraber belirtelim ki her tersine çevrilebilir dönü şüm düzenlidir, ancak her düzenli dönü ş üm tersine çevrilemez.

Bir F: V -> U lineer dönü şümü bir ş ekil benzerligi ise KerF -= {0} ,> R (F) = U e ş değ erliğ i geçerlidir. Buradan F bir ş ekil benzer-liğ i ise F-1 : U -> V tersi vard ı r.

Düzenli ya da ayk ırı olmayan dönüş ümler keza ba ğı msız cümleleri, ba ğı msız cümlelere götüren dönü şümler olarak ayırd edilme niteli ğ ine sahiptirler. Yani bir F: V -> U lineer dönü şümü, ancak ve ancak bir ba ğı msız cümlenin görüntü cümlesi ba ğı msı z ise düzenli dönü şümdiir. Gerçekten F düzeni i dönü şüm ve { vm} de V nin ba ğı msız bir

alt cümlesi olsun. Bu durumda F (v i), F (v2),..., F (ve) vektörlerinin bağı msız olduğunu gösterece ğ iz.

247

a i E K olmak üzere a 1 F (v ı) a2F (v2)+... anF(v n) = 0 olduğunu

varsayal ım. F lineer olduğundan

(a ı v ı + a2v2+... + a nvn) = a 1F v1 ) a2F (v2) ••• an F (vn) = 0 dır. Buradan a 1v1 a2v2+ ... 4- anvn e KerF d ır. F düzenli dönü ş üm olduğundan a ıv ı + a2v2 a nvn = O ve vi lerin lineer ba ğı msız olması nedeniyle de ai katsayıları s ıfırdır. Ohalde F (vi) ler lineer ba ğı m-sı zdır. Ba şka bir deyimle vn } bağı ms ız cümlesinin görüntü cümlesi ba ğı msı zdır. Öte yandan herhangi bir ba ğı msız cümlenin gö-rüntü cümlesinin ba ğı ms ız olduğunu varsayal ım. Eğer v E , V elemam

s ıfırdan farkl ı ise cümlesi ba ğı msı zdır. Bu durumda F (v) ba ğı m-

s ızdır ve dolayısiyle F (v) 0 dır. Ohalde F, sadece s ıfır elemanm ı s ı fıra dönü ş türdüğünden aykırı olmayan dönü şümdür.

F in tanım bölgesinde her v ve görüntü cümlesinde her u için

(F-1) -1 = F , F-1 (F (v) ) = v , F (F-1 (u) )

geçerlidir. Son iki e ş itlik özdeş liktir. Gerçekten I v ve In sı ras ıyle V ve U üzerinde özde ş lik dönüş ümleri olmak üzere

F-1F = I v, FF-1 = In (6.4.1) dur.

ÖRNEKLER

1. T: R2-> R 2 dönüş ümü, eksenieri orijin etraf ında 0 açı sı kadar döndüren bir lineer dönü şüm olsun:

T (x, y) (xcos 0 — ysin 0, xsin 0 ycos 0)

Bu dönüş üm sadece s ıfır vektörünü s ıfır vektörüne dönüş türür, yani KerT = {(0, 0)} d ır. O halde T bir ayk ırı olmayan dönüşümdür. Öte yandan V sonlu olduğundan T-1 tersi vard ır. Bu ters dönü şüm ek-

senleri orijin etrafında — 0 aç ıs ı kadar döndürür. Gerçekten bu ters dönüş üm

T (x, y) = (u, v) = (xcos 0 — ysin 0, xsin. 0 + ycos 0) dan

T-1 (u, v) = (x, y) (ucos 0 ± vsin 0, — usin O vcos 0) ş eklin dedir.

T-1 (T (x, y)) = T-1 (u, v) = (x, y) ve

248

T (T-1 (u, v)) = (x, y) = (u, v) dı r.

2. A: R 3 -* R 3 dönüşümü,

A (x1, x2, x3) = (x1, H- x 2, x2, x3)

ile tan ımlanan lineer dönüşüm olsun. Bu dönüşüm de KerA = {0} olmas ı nedeniyle ayk ırı olmayan bir dönü ş ümdür ve A n ın tersi vard ır ve bu ters dönü ş üm A-1 (u1 , u2, u3) (xi, x2, x3) = (u ı , — u2, u2, u3) ş eklindedir.'

3. A: R2 R3 dönüş ümü A (x ı , x2) = (x i 2x2, x2, 3x2) ile ta- nımlanan bir lineer dönü ş üm olsun. KerA = {O } oldu ğundan A bire bir-

dir, ancak üzerine de ğ ildir. Çünkü R3 uzayı daha az boyutlu R 2 uzayı tarafından doldurulamaz. A:V --> U lineer dönü şümünde V sonlu boyut-

lu ve A düzenlidir. Buradan dim V = dim k 2 = dim R (A) d ır. A nın görüntü ciimlesi (1, 0, 0) ve (2, 1, 3) vektörleri taraf ından gerilir. Görün-tü cümlesi bir düzlemdir ve R 3 ün bir alt uzay ıdır dim R (A) = 2 dir. KerA = {0} oldu ğu halde V ile U aynı boyutlu olmad ığı ndan A-1 :

-> R2 ters dönü şümü yoktur. Öte yandan A nın

A-1 (ui , u2, u3) =- (x1, x2) =- (u1 — 2u2, u3)

ile gösterilen bir tersi vard ır, ancak bilinmelidir ki bu ters dönü şüm R3 den R2 ye değ il, A nın görüntü cümlesi olan R 2 den R2 ye bir lineer dö-

nü ş ümdür. Görüldüğü üzere A:V -> U lineer dönü şümü bire bir ve üze-rine olmadığı zaman da ters dönü şümü olabilir, ancak bu ters dönü şüm bu defa U dan V ye de ğ il, U nun bir alt uzay ından V ye bir lineer dö-nüşüm olur. Bununla beraber A:V U lineer dönü şümü hem bire bir hem de üzerine oldu ğunda kesinlikle A-1 : U -> V ters lineer dönü şümü vardır. Öte yandan V ve U nun ayn ı sonlu boyutlu olmas ı halinde de A n ın tersi olmas ı gerekmez. Gerçekten A (x l; x2) = (xi, 0) lineer dö-nüş ümünün tersi yoktur. Çünki KerA .= {x2 (0, 1): X2 e R} cümlesi sadece s ıfır vektöründen olu ş muyor. Bu nedenle ayk ırı bir dönü ş ümdür. Bu dönüşüm ne üzerine ne de bire birdir.

4. F:R3 -> 6 3 dönüşümü, z ekseni etrafından bir vektörü 0 aç ı sı kadar döndüren bir lineer dönü şüm olsun:

F (x, y, z) (xcos 0 — ysin 0, xsin 0 ycos 0, z)

Bu dönü ş üm bire bir ve üzerinedir. R (F) = ve sadece s ıfır vektörü s ıfır vektörüne dönü ş tüğünden KerF = {0} d ır. O halde F in tersi vard ır. F in tersi

249

F-1 (u, v, w) = (x, y, z) = (ucos 0 -E- vsin 0, — usin 0 vcos 0, w) ş eklindedir.

5. F:V -* U lineer ve V nin sonlu boyutlu olduğ unu varsayal ım.

Ancak ve ancak F düzenli ise dimV = dimR (F) d ır. Gerçekten (6.3.1) e ş itliğ i nedeniyle dimV = dim (KerF) dimR(F) d ır. Buradan ancak ve ancak dim (KerF) = 0 ya da KerF -= {O} ise, yani F düzenli ise V ve R (F) aynı boyuta sahiptir. Tersine olarak V ve R(F) ayn ı boyuta sahip ise F düzenlidir. Buna göre örne ğ in F: R4 -> R 3 ile gösterilen dö-

nüşümler aras ında düzenli ya da ayk ırı olmayan dönüşüm yoktur. Çün-kü R3 ün boyutu, R4 ün boyutundan azd ır, yani V ile R (F) aynı boyuta sahip değ ildir. O halde R4 den R2 uzayına hiç bir lineer dönü şüm dü-zenli ya da ayk ırı olmayan bir dönüş üm olamaz.

K üzerinden n bilinmiyenli m denklemden oluş an

J-1 aijxj = bi, i = 1,2,..., m

lineer denklem sistemi gerçekte Kn den Km ye bir lineer dönü şüm ta-nı mlar. A = (aii) katsayılar matrisi ya da dönü şümün matrisi, x = (xj) ve b = (bi) s ırasiyle bilinmiyenlerin ve sabitlerin kolon vektörleri olmak üzere lineer sistem

Ax = b

matris denklemin.e e ş değerdir. A matrisi A:Kn -* Km ş eklinde bir li-neer dönü ş üm olarak gözönüne al ınabilir. A nxn türünde düzgün bir matris ise, Ax = b denkleminin çözümü, bilindiğ i üzere

x = A-1b

ş eklinde A-1 alt ında b nin görüntüsüdür.

Kn de bir xo vektörüne, e ğer Axo = b ise Ax = b denkleminin bir çözümü denir. Böyle vektörlerin tümüne, denklemin çözüm cümlesi

denir. Genel olarak A:V U ş eklinde bir lineer dönü şüm , y E U eleman ı bilinen ve x E V elem am bilinmiyen olmak üzere Ax = y ş ek-lindeki denklemler Operatör denklemleri adını alır. Özel bir operatör denklemini çözme tekni ğ i, denklemin kapsad ığı operatöre ve temel li-neer uzaylara ba ğ lıdır.

Ayrıca Ax = b denklemine ili şkin Ax = 0 homogen denkleminin çözümü, A:Kn -> Km lineer dönü şümünün çekirde ğ i olarak düşünülebi-lir.

250

(6.3.1) nedeniyle dim (KerA) = dimKn — dimR (A) =n, rankA dır. Ax = 0 homogen denklem sisteminin bir çözümü A mn çekir-değ inde bulunduğundan, Ax = 0 denkleminin bütün çözümler cümlesi A nın çekirde ğ idir ve dolayısiyle K ıl ın bir alt uzayıdır. Bu uzaya A n ın çözüm uzay ı denir ve boyutu A n ın nulitesidir. A nın rankı r ise çözüm uzayın ın boyutu ıı -r dır. Ax = 0 denkleminde A, nxn türünde düzgün bir matris ise rankA = n olaca ğı ndan denklenain çözüm uzay ı , belirgin çözüm uzay ı dır ve boyutu s ıfırdır. A, nxn türünde ayk ırı (singüler) bir matris ise görüntü cümlesinin boyutu n den küçüktür ve bu defa Ax = 0 denkleminin çözüm uzay ı ya da A n ın çekirde ğ i ya da A mn çözüm uzay ı art ık belirgin uzay olmad ığı ndan Ax = O denklemi belir-gin olmayan çözümlere de sahiptir. K ıl gerçel Öklid uzay ı ise, çözüm uzayı tamamen A n ın sat ırlarmın ortogonal tümleyenidir. Yani A n ın satırlarma ortogonal olan Kn deki vektörler cümlegidir.

Ax = b denkleminin belli bir çözümü x p ve bu denkleme ili ş kin Ax = 0 homogen denkleminin herhangi bir çözümü xh ise,

A (xp xh) -= A (xp) + A (xh) = b O = b

olduğundan xp xh da Ax = b denkleminin bir çözümüdür. Ayr ıca Ax = b denkleminin her xo çözümü de uygun xh için

A (x,,— Xp) = A (xo) — A (xp) = b — b = O

olmas ı nedeniyle bu ş ekildedir. O halde xo — xp = xh , Ax = 0 denkleminin bir çözümüdür ve x o = xp xh ş eklindedir. xp, Ax = b nin özel çözümü, xh da Ax = 0 nı genel çözümü adını alır. Buradan Ax = b denkleminin çözüm cümlesi, xp xh ş eklindeki bütün vektörlerden olu şur. Başka bir anlat ım ile Ax = b denkleminin genel çözümü, Ax = 0 denkleminin genel çözümü ile Ax = b denkleminin özel çözümünün topla- mıdır. Geometrik olarak bu ş u demektir: Homogen olmayan bir denk-

Ş ekil '6.4. I

251

lemin çözüm cümlesi, çözüm uzay ı özel bir xp çözümü ile kaydırı larak homogen denkleminin çözüm uzayından elde edilebilir. Bu yüzden çö-züm cümlesi S ı , çözüm uzayı S2 = KerA ile gösterilirse S 1 = xp -I- S2 yazılabilir. S İ , e S2 ye paralel düzlem denir. S i cümlesi Kn nın bir alt uzayı ise ancak bu durumda xp E S2 dır, ancak her durumda S i cümle-sinin boyutu S2 nin boyutu olarak tan ımlanır.

ÖRNEKLER

1. Daha önce 6.3. de verilen A: e2 (— co, co) e (—.0,00) lineer dönüşümü D2 — I olsun. Bu durumda bilinmeyen y eleman' y e e2 (— co , 00) olmak üzere Ay = 1 operatör denklemi

d2y dx2 Y = 1

biçimini ahr. Bu denklemin çözüm cümlesi, tüm gerçel do ğ ru üzerin-de bu denklemi sağ layan e2 (— co, co) daki bütün fonksiyonlar cümle-sidir. Bu denklenain özel bir çözümü y = — 1 d ır. Ay = 1 denklemi-nin tüm çözümlerini bulmak için Ay = 0 homogen denkleminin bütün çözümlerini bulmak gerekecektir. Bilindi ğ i üzere

d2 y Ay = O ya da d

y = O x2

denkleminin çözüm uzayı bir baz olarak ex, e -x fonksiyonlarma sahip-tir. Buradan Ay = 1 denkleminin çözüm cümlesi, y == c iex c2e-x - 1 ş eklinde e2 (— 00, co) daki tüm fonksiyonlardan olu şur.

2. A, 6R2 den /P e bir lineer dönü ş üm ve e l, e2 de R2 de tabii baz olsun. a l , cc2 gerçel sayılar olmak üzere A (e l) = cc ı , A (e2) = a 2 oldu-ğunu varsayahm. Bu durumda x e R2 için x = x 1e1 x2e2 ve A (x)

Ş ekil 6.4.2

252

= xi A (el) 4- x2 A (e2) = oc ixi cc2x2 clir. Buna göre Ax = 0 operatör denklemi, oc ixi oc2x2 = 0 denldemiain. k ısaltilmış bir gösterimidir.

Bu denklem, v de orijinden geçen ve e ğimi — a i

olan bir (X2

doğrudur. Ax = 0 denkleminin çözüm uzay ı , doğ ruyu kapsayan R 2

deki noktalar cümlesidir. Buna göre Ç bir gerçel sayı olmak üzere Ax = p homogen olmayan denklemin çözüm cümlesi, ş ekilde görüldüğü üzere

cc ixi oc2x2 = 0 doğ rusunun bir kaymas ı olarak yorumlanabilir.

Ax = y denkleminin çözüm cümlesi bir çok durumlarda bo ş ola-bilir. yani denklemin çözümü olmayabilir. Gerçekte, operatör denklem-lerin incelenmesinde temel problemlerden biri, denklemin hangi ş art-lar altında çözümlere sahip oldu ğunu bulmaktır. Bu türden problemler operatör denklemler için Varhk problemi ve böyle ş artları oluş turan teoremler de Varlık teoremleri adını alır. Aynı derecede, hatta daha

büyük öneme sahip bir di ğer problem de A:V -> U olmak üzere U da verilen herhangi bir y için, Ax = y denkleminin hangi ş artlar altında

en fazla bir çözüm kabul etti ğ ini incelemektir. Bu problem de operatör denklemler için Teklik problemi olarak bilinir ve Ax = 0 homogen denklemini incelemekle probleme cevap bulunabilir. Gerçekten Ax = 0 denkleminin sıfırdan farkl ı çözümü yoksa, yani KerA = {O} ise Ax = y operatör denklemi bir tek çözüme sahiptir ve bu ifadenin tersi de do ğ rudur.

Daha önce verilen

n E aijxj = bi, i = 1,2,..., m

ı = ı

lineer denklem sisteminde A: Wn R" ş eklinde bir lineer dönüşüm

ise, ancak ve ancak b = bm) vektörü A nın görüntü cümle- sinde ise Ax = b operatör denklemi çözümlere sahiptir. A n ın kolon-

ları a = an = (ain,a2n,..., amn) ile gösterilirse an e rn ve qt" de her bir x xn) için

Ax x2a2 ... xnan

ş eklindedir. O halde Ax; a i, a2,..., an nin bir lineer kombinasyonudur ve bu vektörler A nın görüntü cümlesini gerer. Buradan Ax = b H-acer denklem sistemi, ancak ve ancak /Z1n de b bm) vektörü

A nın kolonlarmın bir lineer kombinasyonu ise, bir çözüme sahiptir. Teklik problemiıı i cevaplamak için Ax = 0 homogen sistemini ele al-

253

mak gerekir. c = cn), VI de herhangi bir vektör ise Ac = c la l + c2a2 cnan dır. Buradan ancak ve ancak c ia i c2a2

c nan = 0 ise c, Ax = 0 denkleminin bir çözümüdür. Böylece Ax =0 denklemi, Rm deki a l , a2,..., an vektörleri lineer ba ğı mh ise belirgin olmayan çözümlere sahiptir. Böylece a ş ağı daki sonuca var ıyoruz:

Ax = b operatör denklemi, ancak ve ancak VII de bulunan A n ın kolonları lineer ba ğı msız ise bir tek çözüme sahiptir. n > m oldu ğunda a l , a2 ,..., an daima lineer ba ğı mlı olacağı ndan Ax = 0 homogen denk-lem sistemi belirgin olmayan çözümlere sahiptir. Ba şka bir anlat ım ile

Ax = 0 homogen denklem sisteminde bilinmiyen say ı sı denklem say ı -sını aş arsa Ax = 0 denklemi belirgin olmayan çözümlere sahiptir.

Uyarı : A bir lineer diferensiyel operatör ise yukarda Ax = y ope-ratör denklemi ile ilgili çözümlerin varl ığı ve tekliğ i için ifade edilen gerçekler, diferensiyel denklemler teorisi için de geçerlidir, yani Ax = y operatör denklemi, ancak ve ancak KerA = {O} ise bir tek çözüme sa-hiptir. Bu durum ise lineer diferensiyel denklemlerde birinci yamn dai-ma var olan belirgin çözümüne ikinci yanm özel çözümünü eklemeye karşı lık gelir ki bu çözüm keyfi sabitlere zaten ba ğh olmayan tek çö-zümdür ve bu da belirgin olan bir durumdur. Kald ı ki lineer diferensiyel denklemlerde birinci yamn genel çözümü bilinmeden ikinci yan ıp özel çözümünü bulabilme olana ğı son derece özel durumlarda söz konusudur. Bu nedenle diferensiyel denklemler teorisinde büyük a ğı rlık taşı yan ve sadece operatör denklemi ele alarak de ğ il, denklem ile baş langıç ya da sınır şartları denen yard ımcı ş artlar birlikte ele al ınarak çözümlerin var-lığı ve tekliğ ine ilişkin Varlık ve Teklik Teoremleri söz konusudur. Bu teoremler, Ax = y denklemirdn belli ş artlar ı (ba ş langıç ya da s ınır ş art-ları) sa ğ layan çözümlerin varl ığı ve tekli ğini açıklığ a kavuş turan ve bu defa verilen ş artlara göre Ax = 0 denkleminin çözüm uzaym ı ya da bu denkleme ilişkin A dönü ş ümünün çekirde ğ ini belirgin uzay yapan bel-li şartları kapsamaktad ır. Matematiksel modeller olan ba ş langıç değer problemleri, s ınır değer problemleri ve bu problemlere ili şkin denekta şı olan Varhk ve Teklik Teoremleri, diferensiyel denklemler kurammda köşe ta ş ları dır.

6.5. LİNEER DÖNÜ Ş ÜMLER ÜZERINDE I Ş LEMLER

Lineer dönüşümlerden belli ko şullar altında yeni dönü şümler elde etmek imkanı vard ır. Bunlardan en kolay ı olan iki lineer dönü şümün toplamı , lineer döniişünder aynı uzaydan aynı uzaya tammh olmas ı

254

- halinde söz konusudur. Örne ğ in A:V İ --> V2 ve B:Vi --> V2 ise bunların toplamı , Vi de her x için

(A + B) (x) = A (x) + B (x) (6.5.1)

ile tammlidır. Bu durumda A+B, yine V i den V2 ye bir lineer dönü şüm-dür. Gerçekten x i ,x2 E Vi ve a i , a i skalerleri için

(A + B) (aixi a2x2) = A (aixi. a2x2) + B (ocixi a2x2)

A (x1) fx2 A (x2) + oc ı B (xi) B (x2)

= al [A (xi) + B (xi) + a2 [A (X2) +

B (x2)] = al (A B) (x i) a2 (A + B) (x2)

dır. Örneğ in D, D2 operatörleri e2 [a, b] uzay ında birinci ve ikinci ba-

samaktan türev i ş lemlerini göstersin. Buna göre D 2 + D, e2 [a, b] den e [a, b] ye bir lineer dönü şümdür. e2 [a, b] de her y fonksiyonu için

(D2 + D) y = D2 y + Dy

olduğundan bu dönüş üm her y e e2 [a, b] fonksiyon= e [a, b] de

y" + y' sürekli fonksiyonu üzerine götürün.

K (t), e [a, b] de belli bir fonksiyon ve A: e[a, b ] --> e[a, b] lineer dönüşümü

A (f) =S K (t) f (t) dt, a x b

ile tanımlans ın. Bu durumda I, e [a, b] üzerinde özde ş lik dönüşümü

olmak üzere A + I toplamı , e [a, b ] de her f için

(A I) (f) = K (t) f (t) dt f

olmak üzere, e ta, b den kendisi içine bir lineer dönü şümdü.r.

Vi den V2 ye bütün lineer dönü şümlerin toplamı , bir lineer uzayda

toplamaya ilişkin özelikleri sa ğ lar. Benzer olarak V i den V2 ye lineer

dönüşümdür cümlesi üzerinde bir skaler ile çarpma tammlanabilir. Ger-çekten bir a gerçel say ı sı ile bir A :V1--> V2 lineer dönüşümünün çarpımı , Vi de her x için

(a A) (x) = A (a x) = a A (x) (6.5.2)

ile tanımlanan a A dönü şümü de, xi, x2 e Vi ve oc i , a2 skalerleri için

255

(a A) (a ixi a2x2) = aA. (a ixi a2x2)

= a (a i A (xi ) a2 A (x2)]

= ai (aA) (x i ) a2 (a A) (x2)

olduğundan lineerdir. V 1 den V2 ye bütün lineer dönü şümlerin bir ska-ler ile çarp ımı da bir lineer uzayda skaler ile çarpmaya ili şkin özelik-leri Sağ lar. V 1 den V2 ye 0 (x) = 0 ile tan ımlanan sıfır dönüs,ümiiniin de bir lineer dönü şüm olmas ı nedeniyle bu gerçekler a ş ağı daki önemli so-nucu ortaya ç ıkarır:

Vi ve V2 aynı skaler sistemli iki lineer uzay olsun. V 1 den V2 ye bütün lineer dönüşümler cümlesi, (6.5.1) ve ((6.5.2) ile belirtilen top-lama ve skaler ile çarpma i ş lemlerine göre bir lineer uzayd ır. Bu uzay çoğunlukla Hom (V 1 , V2) ve Vi = V2 = V olduğu zaman da A (V) ile gösterilir. Hom, homomorfizm (dış benzerlik = homomorphism) den gelen bir simgedir. dim V 1 = m ve dimV2 = n ise dimHom (V 1 , V2) = mn. dır.

Uygun şartlar alt ında dönü ş ümlerin çarp ımı da tanı mlanabilir. Gerçekten bu durum, lineer uzaylar yan ında lineer dönü şümlerin ince-lenmesini kapsam ve iş lem bakımından daha zengin ve anlaml ı kılar.

V1, V2, V3 lineer uzaylar ve A:V 1 -› V2, B:V2 = V3 lineer dönüşüm-ler ise onların BA çarpı m ı , V1 de her x için

BA (x) = B (A (x)) (6.5.3)

ile tanımlanan V 1 den V3 e bir dönü şümdür. BA dönüşümü; x i, x2 E

Vi ve al, a2 skalerleri için

BA (a1x1 a2x2) = B [A (a ixi a2x2)]

= B [ce i A (xi) + oc2 A (x2)]

°c ı B (A (x1)) + Gc2 B (A (x2)) = a2 BA (x1) a2 BA (x2)

nedeniyle lineer dönü şümdür. BA çarp ımının, ancak A n ın görüntü cümlesinin B nin tanım bölgesinde kapsandığ mda tanımh, olduğuna ilgi çekilmelidir. Buna göre Ti , deki noktaları:V deki noktalar içi-ne ve T2 de /P deki noktalar ı Rm deki noktalar içine götüren lineer dö-dönüşümler ise, ancak ve ancak r = s ise T 2T1 çarp ımı tammlı dır. E ğ er Al , A2 matrisleri sırasiyle Tl, T2 yi gösterirse A2A1 = A3 çarpım mat-risi verir. Böylece matrislerin çarp ımı bir lineer dönü şümler dizisi ola-rak düşünülebilir ve iki lineer dönü şümün çarp ımı , matris çarp ımmda kural ı tanımlar.

256

Bir lineer dönü ş üm, bir lineer uzaydan ayn ı lineer uzay içine bir dönüşüm ise o uzay üzerinde lineer dönüş üm adını alır. Bu türden bir lineer dönüşüm çoğunlukla lineer operatör olarak adland ırdır.

AB ve BA çarp ımlarından birisi tamml ı olabilir, diğeri tanunl ı ol-may abilir, ancak A ve B lineer dönü ş ümlerinin her ikisi verilen bir li-neer uzay ı kendi içine dönü ş türürse AB ve BA ayn ı uzay üzerinde li-neer dönü şümlerdir. Ancak bununla beraber bunlar ın eş it olmaları ge-rekmez. Gerçekten A, R 2 de orijin etrafında pozitif yönde 90° lik bir dönme ve B de x i eksenine göre simetri gösteren lineer dönü şümler ol-sun. Buna göre A (x i , x2) = (— x2, xi ) ve B (x 1 , x2) = (x 1 — x2) ş ek-lindedir. e l ve e2 doğal baz vektörleri ise AB (e l) = A (B (e 1)) = A (1, 0) (0,1) = e2 olduğu halde BA (e l) = B (A (e i)) = B (0, 1) = (0, —1) = —e2 dır ya da genel olarak

AB (xi, x2) = A (B (xi, x2)) = A (x i , —x2) = (x2, xi ) BA (xl , x2) = B (A (x l , x2)) = B (—x2, xi ) = (—x2, —xi) =

— (x2, x i ) olduğundan AB BA dır. Buradan şu sonuç ortaya ç ıkar: Lineer dö-nüşümlerin çarp ımı değ iş me özeliğ ine sahip de ğ ildir. Öte yandan s ıfır olmayan iki lineer dönü şümün çarp ımı sıfır olabilir. Gerçekten, s ıfır olmayan Ti (x 1 , x2) = (x 1 , 0), T2 (x 1 , x2) = (0, x2) ş eklinde iki lineer dö-nüşüm ele alınırsa

T İ T2 (xi , x2) = Tl (T2 (xi, x2)) = Ti (0, x2) = (0, 0), T2T İ (x ı , x2) = T2 (T l (XI, x2)) = T2 (XI, 0) = ( 0, 0)

olduğu görülür.

Bu örnekler, bu türden çarp ımın adi çarp ımdan farkl ı olduğunu gösterir. Bununla beraber çarpmaya ili ş kin özeliklerin çoğ u lineer dö-nüşümler kullanddığı nda da geçerlidir. A' ve B dönü ş ümleri Vi den V2 ye, C ve D dönü şümleri V2 den V 3 e ve E dönü şümü de V3 den V4 e lineer dönüş ümler ise a ş ağı daki özelikler geçerlidir:

(i) E (CA) = (EC) A

(ii) C (A + B) CA + CB

(iii) (C + D) A = CA + DA

(iv) AO = OA =- O

(v) AI = IA = A

(vi) a (A + B) =----- cx A + cd3, Her oc E K

(vii) a (CA) = (a C) A = C (aA)

257

(viü) A tersine çevrilebilir ise A-1 A = AA-1 = I

(ix) A ve C tersine çevrilebilir ise CA da tersine çevrilebilir ve tersi A-1 C-1 dır.

Bu özelikler, lineer dönü şümlerin çarp ımmın birle ş me ve da ğı lma özeliklerini sağ ladığı nı gösterir. Özde ş lik dönüşümü, operatör çarp ımın-da aynen aritmetikte 1 say ı s ının yaptığı iş i yapar. (v) özeli ğ inde iki fark-lı özdeş lik dönüşümü bulundu ğuna ilgi çekilmelidir. Gerçekten A:V i

V2 ise, IV İ , Vi üzerinde özde ş lik dönüş ümü Iv2 de V2 üzerinde özde ş -lik dönüş ümü olmak üzere (v) özli ğ i AIvi = A, Iv2 A = A olarak yaz ıl-mas ı gerekir, ancak I simgesinin anlamı ilişki nedeniyle daima aç ık ol-duğundan bu gösterim çok seyrek kullan ı lır.

Yukardaki özeliklerin her biri kolayl ıkla ispatlanabilir. Örne ğ in A:Vi -> V2, C:V2 ---> V 3 ve E:V3 — V4 olduğuna göre E (CA) ve (EC)A çarp ımlarmm her biri Vi den V4 e bir lineer dönü şümdür. Gerçekten

E (CA) (x) = E (CA (x)) = E (C (A (x)))

(EC) A (x) = EC (A (x)) = E (C (A (x)))

elde edilir İ kinci yanlarm e ş itliğ inden (i) nın doğ ruluğu göterilmiş olur.

ÖRNEKLER

1. A belli bir V lineer uzay üzerinde bir lineer dönü ş üm yani A: V --> V ise A n ın kendisi ile sonlu sayı da çarp ımı oluş turulabilir. Böyle-ce A nı n kuvvetleri olarak bilinen V üzerinde bir lineer dönü şümler di-zisi elde edilir Operatör çarp ımının birle ş me özeliğ ini sağ laması , bu kuvvetlerin her birinin kendi çarpanlarm ın gruplar olu ş turmasmda ba-ğı msı z olduğunu gösterir ve buradan ku ş kuya yer vermeksizin, n bir pozitif tamsayı olmak üzere bu kuvvetler An ile gösterilir. Böylece

Al = A , A2 = AA, A3 = AA2,

dır. Ao, V üzerinde özde ş lik dönüşümü gösterir, yani Ao = I dır. Ay-

rıca s ıfır olmayan bütün m ve n tamsay ıları için

AmAn = AnAm=Aln+n, dıır.

2. D, 6Pİ, polinomlar uzayında (derecesi n den küçük polinomlar uzayı ) türev operatörü olsun. O halde D, den kendisi içine bir lineer dönüşümdür ve bunun kuvetleri k ısaca ikinci, üçüncü, v.b. basamaktan türevlerdir. Türev i ş lemi, sıfırdan farkl ı her polinomun derecesini bir

258

A(x) = x1 (cc ıı w ı +•••+(xmlwm)+•••+xn(cc ı n w ı +•••+ocınnwm)

= (ixux ı +•••+a ı nxn)w ı +•••+(ocmixi+•••+amnxn)wm

dır. Bu ifade de kolon vektörü olarak

CWK1+•••+21nXn

C(21X 1 -1- *** -1- CC2nXn A(x)

(6.6.4)

e'raixi+ • • • +a ınnxn

ş eklindedir. Buradan V2 deki baza göre yaz ılan A(x) E V2 vektörü,

kolonları A(vj) vektörleri olan

(

C( 11 tX12 •

CC 21 °C22 •

0:1111 am2 •

. . «in

• • '2211,

(6.6.5)

• • anı n /

matrisi ile Vi deki baza göre x in koordinat vektörünün çarp ımıdır. i < m, 1 <j < n olmak üzere bu matris (a ij) şeklindedir. (6.6.5)

matrisine, B i = {v i , ...,vn } ve B2 = {W2,...,Wm} bazlartna göre A lineer dönüş ümünün matris gösterimi denir ve bu matris [A:13 1 ,B2 ] ya da kısaca [A] ile gösterilir. Özel durum olarak A lineer operatör ise yani A, V yi kendi içine döüşntürüyorsa ve B i = B2 = B ie dönüşüm mat-risi (A:B) ile gösterilir.

Böylece V i den V2 ye her lineer dönüş üm Bi ve B2 bazlarma göre bir tek mxn matrisini belirtir. a ıj skalerleri tek olarak (6.6.1) ile verilen A(vj) vektörlerini ve (6.2.4) nedeniyle de V2 de her x için A(x) vektörünü verdi ğinden her mxn matrisi B i ve B2 bazbrına göre Vi den V2 ye 'bir tek lineer dönü şüm belirtir.

TEOREM 6.6.1. Vi ve V2, dimV1 = n ve dimV2 =m olmak üzere sonlu boyutlu lineer uzaylar ve B i , B2 sırasiyle Vi ve V2 için bazlar olsun. Bu durumda V i den V2 ye her lineer dönü şüm, B i ve B2 bazlarma göre bir tek mxn matrisi belirtir. Tersine olrak böyle her matris, (6.2.4) ve(6.6.1) ile tan ımlanan V2 den V2 ye bir tek lineer dönü şüm belirtir.

Bu teorem, her lineer dönü şüiniin bir tek matrise sahip oldu ğunu vurgulamadığ ma özellikle ilgi çekilmelidir. Çünkü her lineer dönü şümün

265

matrisi baz değ iş imi ile değ iş ir. Bu nedenle terorem de sözü edilen baz-lar kesinlikle ç ıkarilamaz.

Bir lineer dönüşümün matris gösteriminden hareketle de lineer dönüşümün tersine çevrilebilir olup olmad ığı sonucu çıkarılabilir. Gerçek-ten bir A lineer dönü şümün tersine çevrilebilir olmas ı , ancak ve ancak onun matris gösteriminin düzgün (regüler) olmas ı ile mümkündür. Ba ş -ka bir deyi ş le T, bir V lineer uzyı üzerinde keyfi bir lineer operatör ise, det(T) ile gösterilen T nin determinant ı , T nin herhangi bir B baz ına göre matris gösterimi (T:B) olmak üzere det (T) = I(T:B) I ile tammh-dır. Bu tan ım, seçilen özel bazdan ba ğı msı zdır. Buradan T nin tersine çevrilebilir olmas ı det (T) 0 olmas ı ile eş değerlidir. T tersine çevri-lebilir ise det (T-1) = (T)-1 dır ve dolayısiyle T-1 ters lineer dönü ş ümü-

nün matris gösterimi de T nin matris gösteriminin tersidir. I özde ş lik dönüşümü olmak üzere det (I) = 1 d ır.

Tersine çevrilebilir bir dönü şümün rank ile olan ilişkisi de yerle-bilir: Bir A:Vi V2 lineer dönüşümünün tersine çevrilebilir olmas ı , ancak onun rankm ı rı hem Vi hem de V2 nin boyutuna e ş it olmas ı ile mümkündür. Gerçekten dim R(A) = rankA= dimV i = dimV2 ol-ması , KerA = {0} ve (R(A) = V2 ile eş değ erlidir, Özel olarak V l = V2 olmak üzre A nın tersine çevrilebilir olmas ı , rank (A) = dim V ı ol-ması ile eş değ erlidir.

ÖRNEKLER

1. A: R2 -> <R1 dönüş ümü, R2 deki doğal baza göre (2, -1) gerçel sayılar çifti ile tan ımlanan lineer dönü şüm olsun. Buna göre (2,-1) sa-yılar çifti, xe R2 olmak üzere A(x) = 2x 1 - x2 ile tanımlanan dönü şümü belirtir. Buradan A(e ı )= 2.1-1.0 =2.1 ve (Ae2) = 2.0-1.1 = - 1.1 d ır. O halde doğal baza göre A dönü şümünün matrisi, kolonlar ı A(e i) ve A(e2) olan 2,-1) matrisidir. 1, R 1 için tabii bazd ır. Öte yandan e l ' = e i ±e2 =(1,1), e2' = - e i = — (1,0) = (-1,0 )olarak al ınırsa keza e2' de R2 de bir bazd ır. Buna göre (x i ,x2) eR2 için

(xi ,x2)=x2(1,1)+(x2—xi) (-1,0) ve

A(xi ,x2) =x2A(1,1)-1-(x2—xi)A(-1,0)

yazılabilir. Buradan

A(e' 1) = A (1,1) = 2.1-1.1 = 1 =1.1 ve A(e' 2) = A(-1,0) = 2(-1) —1.0 = - 2 = - 2.1 oldu ğuna göre 1, R 1 için tabii baz olmak üzere

266

e' l ,e'2 bazına göre A dönüşümünün matrisi bu defa kolonlar ı A(e' 1) ve

A(e'2) olan (1,-2) matrisidir. Buradan daha önce ifade edildi ğ i gibi,

lineer dönü şümün matris gösteriminin baz de ğ iş imi ile değ iş tiğ ine ilgi

çekilmelidir.

2. e 1 , e2, R2 de tabii baz vektörleri ve A: R 2 2 lineer dönü şü-

mü e 1 eksenine göre simetri göstersin. Buna göre A(x l ,x2) = (x 1 ,—x2)

lineer dönü şümünden

(x l, x2) = x 1 (1,0)-I-x2(0,1) ve A(x 1 ,x2)=x1A(1,0) +x2A(0,1)

yazılabilir. Buradan

A(e 1 ) =-A(1,0) =(1,0) =1.e 1 0.e2,A(e2) =-A(0,1) =(0,-1) olduğuna göre A dönii şünmün.ün e 1 , e2 bazına göre matris gösterimi

ş eklindedir.

3. A: / 2->6R2 dönüşümü, orijin etraf ında pozitif yönde 0 aç ısı kadar dönme gösteren bir lineer dönü şüm ve e1,e2 de R2 için tabii baz olsun. Bu durumda

x' = xcos0 —ysin0

y' = xsin0 +ycos0

dönme deıddemleri nedeniyle

Ş ekil 6.6.1

A(x,y) = (x',y')

= (xcos0—ysin0, xsin0-1-ycos0)

yazdabilir. Buradan

267

A(e1) =A(1,0) =(cos0,sin0) =(cos0)e 1 +(sin0)e2

A(e2) =(0,1) =(—sin0,cos0) =—(sin0)e (cos0) e2

dır. Buna göre A nın e 1 ,e2 bazma göre matrisi

icos0 —sin0

sin0 cos0

ş eklindedir.

4. A:V–>V lineer dönü şümü A(v) = av ile tan ımlansın. a eK ve v EV olmak üzere bu dönü şüm bir skaler dönü şümüdür. {vi,•..,vn} vektörler cümlesi V için herhangi b;r baz ise A(v j) =avi dır ve buradn bu baza göre A n ın matris gösterimi, kö ş egeni üzerinde elemanlar ı a olan nxn kö ş egen matrisidir. Gerçekten

x =X1V1+X2V2+.••+XILVn

ve dolayısiyle

(A(x) =x1A(v1)± • —+ xn(v n) e ş itliğ inden

A(vi) =ocv ı =av ı + 0.v2+•••+ 0.v n

A(v2) =ocv2 --.----0.vi+ocv2+ • • • O•vn

A(v.) =avn =0.v1 + 0.v2+•••-1--ccvn

nedeniyle A dönü şümünün {v 1 ,v2,....,vn } bazma göre matrisi

(O

' O. 4. O

•

. .

' . )

O. . • . X

ş eklindedir. Bu matris aI n gösterimine sahiptir. Bu örnekte bazen keyfi olduğuna ve V için bir baz nas ıl ahnırsa al ınsın dönüşümün o baza göre matris gösteriminin yine bu şekilde olaca ğı na ilgi çekilmelidir.

5. I(x) = x ile tan ımlanan V üzerinde özde ş lik dönüşümünün her-hangi bir baza göre matris gösterimi Örnek 4 e benzer olark I. ş eklindedir. Gerçekten {v 1 ,v2,....,vn } cümlesi V için herhangi bir baz ise x EV için

x =xivi +x2v2+ ... +xnv, ve

dır. Buradan

268

I(X) =x1I(V İ )+X2I(V2)+•••+XnI(Vn) E V

I(V İ ) =Vi =1 .V i+O.V2+ . ••+0 •VI1

•

I((vn) =vn =--0.v1+0.v2+•••+Lvn

nedeniyle I özde ş lik dönüşümünün {v 1 ,v2,...,vn } bazma göre matris gösterimi

1 0 o) (O I

O O.

ş eklindedir.

I:V-.V özdeş lik dönüş ümünde V nin farkl ı iki bazma göre özde ş lik dönüşümünün matris gösterimi birim matris olmayabilir. Gerçekten

deki doğal baza B i = {e l , e2 } ={(1,0),(0,1)} ve 6R 2 deki ikinci baza B2 ={e 1 ',e'2 } [(cos0, sin0), (-sin0,cos0)} diyelim. R2 deki özde ş lik dönüşümü, B 1 bazlı R2 uzaymdan B2 bazlı 6R2 uzayma bir dönü şüm olarak dikkate almabilir. B 1 ve B2 farklı olduğundan bu dönü şümün mat-ris gösterimi [1:B 1 ,B2 ] ile gösterilir. Ş imdi bunu bulmaya çalış alım.

xe R2 için x =(xi,x2) = x1e 1 +x2e2 olmak üzere özde ş lik dönüşü-mü I(x)=x1I(e 1)-Fx2I(e2) formülü ile elde edilir. Buradan

I(e 1)=ei =cos0(cose,sin0)—sin0(—sine,cos0),

I(e2) =e2 =sin0 (cose, sin0) cos0 (—sinO, cos0) olduğuna göre dönüşümün matrisi

cos0 sin0) [1:13 1 ,B2] = 12

—sin0 cos0

dır. [1:B2,B] matrisi; [I:B İ ,B2 ] matrisinden farkl ıdır ve bunlardan biri diğerinin tersidir.

6. 0(x) = 0 ile tanımlanan 0: VI V2 sıfır dönü şümünün matrisi, dimVi =n, dimV2 =m ise mxn s ıfır matrisidir. Gerçekten {v ı ,v2,•••,vn} ve{w1,w2,...,wm } s ıras ıyle Vi ve V2 için herhangi bazlar olsun.ffuna göre x eVt için x=x1v1 +x2x2 +...+xiivn ve

0(x) =x 1 0(v i)+x20(v2)+ . . . -1-x,10(vn)

dır. Buradan

269

O (vi) = 0 = 0.w2 ... 0.wm

O (v2) = O = 0.wi 0.w2 ... 0.wm

0 (v i') = 0 = 0.wi 0.w2 ... 0.wm

olduğuna göre 0 s ıfır dönüşümünün matris gösterimi

(O O O O

ş eklinde mxn s ıfır matrisidir.

7. D: Tn Tn lineer dönüş ümünü gözönüne alalım. B = xn-1 } eümlesi Pn uzayında doğal baz olsun. Bu dönüşümün matrisini bulmaya çalış alım. f E Tn için f = a l -I- a2x an xn-1 ve

D (f) = a i D(1) -I- a2D (x) anD (xn-1)

dır. Buradan

D(1) = 0 = 0.1 0.x 0.xn-2 0. xn- ı

D(x) = 1 = 1.1 0.x 0.xn-2 0. xn- ı

D (x2) = 2x = 0.1 + 2.x 0.xn-2 0. xn- ı

D(xn-1) = (n-1) xn-2 = 0.1 + 0.x (n-1) xn-2 o. xn- ı

olduğuna göre D dönü ş ümünün B baz ına göre matris gösterimi

O 1 0 O 0 2

O 0 0 O 0 O

0 0

(ıı-1)

[D:13

o / ş eklinde nxn türünde bir matristir.

8. A:T3 --> f's dönüşümü 993 de her p(x) için A (p (x)) = (2x 2 = 3).

p(x) ile tanımlansm. B i = {1,x,x2} ve B2 = {1,x,x2,x3,x4} sırasiyle 1)3 ve Ps de doğal bazlar olsun. Buna göre p(x) E T 3 için

p(x) = al a2x a3x2 ve A (p(x)) = a iA(1) a2A (x) a3A (x2)

dır. Buradan

o o. o)

o

270

A(1) = 2x2 3 = -I- 0.x + 2x2 0.x3 0, x4

A(x) = 2x3 — 3x = 0.1 — 3.x 0.x2 2.x3 0.x4

A(x2) = 2x4 — 3x2 = 0.1 + 0.x — 3.x2 0.x 3 2.x4

olduğuna göre dönüşümün matrisi

(-3 0 0 0 -3 0

[A:B 1 ,B2 1 = 2 0 •-3

\1/4

0 2 0 0 0 2

ş eklinde 5x3 türünde bir matristir.

Ş imdi A:V (K) -›- W (K) ve B: W (K) -› X (K) ş eklinde iki lineer dönüşüm gözönüne alalım. {vb v2,..., {w ı , w2,..., wm } ve LXl , X2,..., xr } s ırasiyle V,W ve X için bazlar olsun. Verilen (aii), (b ij) ve (ei.j ) s ıra-

siyle A,B ve C =BA n ın matris gösterimleri ise bu durumda

A (Vj) = E akiwx e j= ,2,..., n k=1

B (wk) = E bikxi k 1=1

dır. Buradan

C (vj ) = BA (vj)

m = E akj B k

k=1

Cii = E b ı kakj k=1

dersek, C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösterimi, B ve A matrisle-riıı in çarpımıdır. Benzer olarak iki lineer dönü şümün toplamı , onların matris gö ş terimlerinin toplam ına, bir lineer dönüşümün bir skalerle çarpımı , onun matris gösteriminin bir skaler ile çarp ımııı a karşı lık gelir.

271

9 . A : R2: B : R2_>.6R2 ile tanımlanan lineer dönü şümler sırasiyle A(x 1 , x2) =(y ı , r,)=(x i— 2x2, 2x1 +x2) ve B(y1, y2) = (z i , z2) =

(y ı + Y2, — Y ı + Y2) ş eklinde olsun. Bu iki lineer dönü şüme ilişkin C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösteriminin, B ile A nın matris gösterimlerinin çarp ımı olduğunu gösterelim.

B i = le l , e2 } cümlesi uzaynıda tabii baz olsun. Buna göre A,B ve C =BA dönü şümleriıı iıı matris gösterimlerini bulal ım

x=(xi, x2) ER2 için (x i, x2) = xie i+ x2e2 ve

A (x l , x2) = x/A. (e l) + x2A (e2) dır. Buradan

A (el) = A (1,0) = (1-2.0,2.1+1.0) = (1,2)

A (e2) = A (0,1) = (0-2.1,2.0+1.1) (-2,1) olduğuna göre

[A:B 1 ] = (21 —21)

dır. Benzer şekilde

B (e 1 ) = B (1,0) = (1+0,— 1+0) = (1,-1)

B (e2) -= B (0,1) = (0+1,0+1.) = (1,1) olduğuna göre

1 1 \ [B:B 1 ] =

—1 1,

dır. Buradan C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösterimi

C =BA = [B:B İ ] [A:B ] = (-1 1) ( 12 —21) - (31 3)

ş eklindedir. Öte yandan C =BA çarp ım dönüşümü

C (x i , x2) = BA (x i , x2) = B (A (x ı , x2)) = B (x 1— 2x2, 2xi-1- x2)

= (3x1— x2, x ı + 3x2)

ş eklindedir. Bu dönü ş ümün, aynı B i bazına göre matris gösterimini bulalım.

C (e 1) = C (1,0) = (3.1-1.0,1.1+3.0) = (3,1)

C (e2) = C (0,1) = ( 3.0-1.1,1.0+3.1) = (-1,3) olduğuna göre

272

C =BA = 1 3 -1\

k 1 3

ş eklindedir.

ALI Ş TIRMALAR

1. Aş ağı daki F dönüşümlerinin lineer olup olmadıklarını gösteriniz ?

(i) F (x,y) = xy

(ii) F (x,y) = (x+1, 2y, x+y)

(iii) F (x,y,z) = ( lx 1,0)

iv) F (x,y) = (r,O) = (,\/ x2+ y2, arctan y)

(v) F (p,0,9) = (x,y,z) = (p sin 9 cos 0, p sin cp sin 0, p cos

2. V, K üzerinden nxn karesel matrislerin lineer uzay ı ve N de

V de keyfi bir matris olsun. AEV olmak üzere T:V -* V dönü şümü

T (A) = AN+NA ile tan ımlanıyor. T nin lineer olduğunu gösteriniz?

3. V ve U, K üzerinden lineer uzaylar; vn }, V nin bir baz ı ve u 1 ,..., un U da keyfi vektörler olsun. F (v 1) = u 1 , F (v2) = u2, ..., F (vn) = un olacak ş ekilde bir tek F : V U lineer dönü şümünün var olduğunu ispatlaymız?

4. T: R2-> R lineer dönüşümü, T (1,1) = 3, T (0,1) = - 2 olacak şekilde tan ımlanıyor. T (a,b) yi bulunuz?

5. F: V -> U lineer olsun ve vneV vektörlerinin F (v ı ),..., F (vn) görüntülerinin lineer ba ğı msız olduklarını varsayalim. v 1 ,..., vn vektörlerinin de lineer ba ğı msız olduklarını ispatlayınız?

6. T: R3 -> lineer dönüşümü

T (x,y,z) = (x+2y-z, y+z, x+y-2z) ile tanımlanıyor.

(i) T nin U görüntü cümlesinin bir haz ım ve boyutunu bul-M:tuz?

(ii) T nin W çekirdeğ inin bir haz ım ve boyutunu bulunuz?

7. Görüntü cümlesi (1,2,0,-4) ve (2,0,-1,-3) ile gerilen bir F: R3 24 lineer dönü şümünü bulunuz?

8. F: R3 -> R2 ve G: R2 ->R2 dönüşümleri F (x,y,z) = (2x,y+z) ve G (x,y) = (y,x) ile tan ımlanıyor. GF ve FG dönü şümlerini tammlayan formülleri bulunuz?

273

9. T: R2-R2 lineer dönüşümü T (xi , x2)= ‘ Y ı , Y2) = (2x 1 +x2,

-xl + 2x2) ile tan ımlanıyor. I

(i) Ters dönü şümün varlığı nı gösteriniz ve ters dönü ş ümü bulunuz?

(ii) (x i, x2) çifti 1: x2 + 2 =O doğ rusu üzerinde olmak üzere bü- tün T (x i , x2) = (y ı , y2) noktalar ından oluş an T (1) görüntüsünün denkle-mini bulunuz?

10. F lineer dönüşümü F (x,y) = ile tanımlanıyor.

x2 y2 F altında —

8 16 1 elipsinin görüntüsünü bulunuz?

11. R1 uzaym ı kendi içine (ya da üzerine) dönü ş türen bütün line-er dönüşümleri bulunuz?

12. a l , a2 , (3 1 , p, gerçel sayılar olmak üzere

A (x i , x2) = (a ix i + a2x2, (3 ixi + (32x2)

ile tanımlanan A: R2---> R2 dönüşümü veriliyor. A n ın lineer olduğunu

ispatlayınız ve A nın tersine çevrilebilir olmas ı için a l , 0(2, f3 ı ,P2 cinsin-den gerek ve yeter ko şulları bulunuz?

13. Aş ağı da verilen baz çiftlerinin her birine göre verilen lineer dönüşümün matris gösterimini bulunuz?

(i) A: R3 GR 3 ; A (x ı , x2, x3) (x ı + x2, x ı + x3 , O)

B ı = Standart baz, B2 = 1 (1,1,0), (1,0,1), (0,0,1) }

(ii) A: R 3 -> R2 ; A (x i , x2, x3) = x2, 2x2- 3x3)

2 B ı (1,1, w), (2,-1,-1), (3 2 ) B2 - (3 1) (1 5 )

9 2 9 - 9 2

(iü) A: T3--> R l ; A (p (x) ) = ojp(x) dx

(a) B i = 1,x,x2 } , B2 = {1}

(b) B 1 = {1,x-1,x (x-1) }, B2 = {2}

(iv) A: T3 -> T4 ; A (p (x) ) = (x 2-1) p'(x)

B ı = {1,x,x2 } , B2 = (x-1) 2, (X-1) 3 }

14. A: Vi-} V2 lineer ve [A:B 1 , B2] = (a ıi) olarak verildiğ ine göre

V1de herhangi bir x için A (x) in de ğerini bulunuz?

274

15. A:V3 (R) --> V2(R) lineer dönü şümü A (cc i , a.2, a 3) = (0c2, oc3) ile tammlanayor.

(i) V3 ve V2 deki standart bazlar ei ve e'l ile gösterilirse bu • bazlara göre dönü şümün, Ai matris gösterimini bulunuz?

V3(R) deki (2,3,5) vektörünün görüntüsünü bulunuz?

(iii) V3deki bir baz B i = { (1,2,0), (-1,1,3),(0,2,4) } ve V 2deki bir baz B2= (1,1), (0,1) olarak al ınırsa bu defa bu bazlara göre dönüşümün A2 matris gösterimini bulunuz ?

(iv) (2,3,5) vektörünün, bu defa (iü) deki durumu gözönünde bulundurarak görüntüsünü bulunuz ?

16. Alış tırma 15 de V3(R) deki standart baza B lve V3(R) deki ikin-ci baza B2 diyelim.

(i) B2 bazh V 3(R) uzayından B / bazlı V3(R) uzay ına özde ş lik dönüşümün iliş kin [I: B2, Bi] matris gösterimini bulunuz ?

B' i = (1,0), (0,1) } bazl ı V2(R) uzaymdan B' 2 = (1,1), (0,1) } bazh V2(R) uzayına özde ş lik dönüşümünün [I: B' i, B'2 ] matris gösterimini bubinuz. [I: B' i , B'2 ] ile [I: B'2, B' i ]-1 matris gösterimleri aras ındaki ilişkiyi belirtiniz ve [I: B' 2, B' i matrisini bulunuz ?

(iü) Â, B i bazlı V3 (R) den B' i bazh V2 (R) ye olan dönüşümün matris gözterimi olmak üzere, B2 bazh V 3 (R) den B'2 bazl ı V2 (R) uzayına olan A dönü şümünün matris gösteriminin

A = [ I: B' / , B'2] Â B29 B11

ş eklinde üç dönü ş ümün çarp ımı olduğunu gösteriniz?

6.7. D İ FERENS İ YEL OPERATÖRLER

D türev ya da diferensiyel operatörü, 6.2 de görüldü ğü üzere türev-lenebilir bir f fonksiyonunu Df=f' ş eklinde onun türevi üzerine dönü ş -

türür. f, [a,b] üzerinde bir kez sürekli türevlenebilir bir fonksiyon, yani fe el [a,b] ise re e [a,13] olmak üzere D türev operatörü D: el [a,b -* e[a,b] ş eklinde bir lineer dönü şümdür. Genel olarak Dn opera-törü, Dn: <n [a,b ---> e [a,b ] ş eklinde [a,b ] üzerinde n kez sürekli türev lenebilir fonksiyonlar uzay ın' e [a,b ] uzayı içine dönüş türen bir lineer dönüşümdür. Benzer durum D ye göre polinomlar için de do ğ rudur. Örneğ in, a2 (x) D2 -I- a l (x) D ao (x) operatörü de e2 [a,b ] uzayın'

275

[a,b] uzay ı içine dönüş türen bir lineer dönü ş ümdür. D ve onun kuvvetlerini kapsayan bu türden lineer dönü şümler, lineer diferensiyel operatörler adını alır. Bizleri tabii olarak lineer diferensiyel denklemler kuramma götüren bu çe ş it operatörler a ş ağı da genel olarak tamm-lanacakt ır.

f, x in herhangi bir fonksiyonu olmak üzere, örne ğin (a2 D2 H-a i D ao) f (x) lineer diferensiyel ifadesinde D 2, D operatörleri, f e 62 [a,b ] fonksiyonu ile çarp ılacak nitelikleri de ğ il, bu fonksiyona uygulanacak i şlemleri (türevleri) gösterir. f, x in bir

df dx2 '•.• d

dkf • Df = dx , D2f

—d2f, , Dkf , Dof = lf = f

xk

dır. I, gerçel do ğ ru üzerinde keyfi bir aral ık olsun. Negatif olmayan her

bir n tamsayı sı için en(I), I aral ığı üzerinde n yinci basamaktan türeve sahip bütün gerçel de ğerli fonksiyonlar uzaynu göstersin. Daha önceden bilindiğ i üzere bu uzayda vektör toplam ı ve skaler ile çarp ım, I de her x için

(f+g) (x) = f (x) + g (x) , (af) (x) = af (x)

eş itlilderi ile tanımhdır. ec°(I) c ...e2(i) 61(I) e(i) olduğuna dikkat edelim. Kabul nedeniyle 60(i) = e (I) dır.

TANIM 6.7.1 Bir L: en(I) --> e )(I) lineer dönü şümüne; ao(x),...,

an(x) katsayıları I üzerinde sürekli ve I üzerinde a n(x) 0 olmak üzere

L =an(x) Dn+ an _ 1 (x) Dn-1 +...+ a l(x) D+ a,o(x) (6.7.1) ş eklinde ifade edilmesi halinde, I üzerinde n yinci basamaktan lineer diferensiyel operatör denir.

Yukarda tan ımlanan lineer diferensiyel operatör alt ında 6'1(4 de f fonksiyonunun görüntüsü,

dn Lf (x) = an(x) — f (x) a ı (x) f (x) ao(x) f (x)

dxn d (6.7.2)

ya da kısaca, y =f (x) fonksiyonunun ilk ıı türevi y',...,y(n) olmak

üzere

Ly = an(x) y (n) +—+ al(x) ao(x) y (6.7.3)

özdeş liği ile tanındı e (I) deki fonksiyondur. (6.7.2) nin birinci yan ı belli bir x noktas ında Lf in değeridir. Lf hazan L (f) ile gösterildi ğ inden

276

belli bir x noktas ındaki değ eri de (L (f) ) (x) ile gösterilir. Lf (x), ço ğunluk-la belli bir f (x) fonksiyonuna uygulanan L lineer dönü ş ümü olarak adlandırıhr.

(6.7.1) lineer dönü şümünde katsay ılar x in fonksiyonlar ı olduğun-dan L dönüş ümü, I üzerinde n yinci basamaktan değ işken katsay ı lı lineer diferensiyel operatör'dür. Katsay ılar sabit olmas ı halinde lineer dönüşüm, n y ı ncı basamaktan sabit katsayık lineer diferensiyel operatör adını alır. Bu durumda Tanım 6.7.1 de sözü edilen I aralığı , gerçel

doğ runun tümüdür.

I aralığı üzerinde n yinci basamaktan lineer diferensiyel denklem Ly =b (x) (6.7.4)

biçiminde bir operatör denklemdir. (6.7.4) de b, I üzerinde sürekli ve L de I üzerinde n yinci basamaktan bir lineer diferensiyel opera-törtördür.

(6.7.4) denklemi aç ık olarak

an(x) dx + an _ 1 (x) ddxn .13; + ± ai(x) dx + ao(x) y =b (x) (6.7.5)

biçimindedir, b, I üzerinde özde ş olarak s ıfır ise (6.7.4) denklemi homo-

gen lineer, aksi halde homogen olmayan lineer diferensiyel denklem adını alır. an(x) katsayı sına L operatörünün temel katsay ı sı denir. an(x), I üzerinde s ıfırdan farklı ise denklem, normal lineer denklem ad ını alır. Sonuç olarak bir y(x) fonksiyonunun (6.7.4) denkleminin bir çözümü olmas ı, y (x) een(I) fonksiyonun I üzerinde denklemi özde ş olarak sağ laması ile eş değerlidir.

Lineer operatör için basamak tan ımı olduğu gibi, bu operatöre ilişkin diferensiyel denklem için de basamak tan ımı verilebilir: Bir

diferensiyel denklemde kapsanan en yüksek basamaktan türeve, o dife-rensiyel denkkmin basamağı denir. Örneğ in,

y"+ 5y' + 3y -= 0 , y (4) 4- x2y (3) x3y =5xex

denklemleri s ırasiyle ikinci ve dördüncü basamaktand ır.

Her ne kadar genel olarak t iirev ya da diferensiyel kapsayan bağı ntılara diferensiyel denklem deniyorsa da, örne ğ in

d (e

ainx) d , dv du = cosxesinx — (uv) = u + v

dx dx dx dx

277

gibi türev özdeş likleri diferensiyel denklemler s ınıfına dahil de ğ ildir.

Esasen bu türden ba ğmtıların da çözümlere ihtiyac ı yoktur. Bu türden

ifadele ı de parantez içine herhangi bir fE C'(I) fonksiyonunu yazar ve

türevini aldıktan bir tarafa çekersek, elde edilecek dönü şüm e ı (i) de

her fonksiyonu s ıfır fonksiyonu üzerine götürür.

ÖRNEKLER

1. n yinci basamaktan D" türev operatörü, keyfi bir I aral ığı üze-

rinde n yinci basamaktan en basit bir lineer diferensiyel operatör örneğ idir. n =O olduğunda D° özde ş lik dönü şümü olur. Genel olarak

D", D lineer dönüşümünün n yinci kuvveti olarak dü ş ünülebilir.

2. Gerçel katsay ıh n yinci dereceden D ye göre herhangi bir poli-nom, gerçel do ğ ru üzerinde her aral ıkta n yinci basamaktan lineer bir

diferensiyel operatördür.

3. ao(x), I üzerinde sürekli ve özde ş olarak s ıfır olmamak üzere I

üzerinde s ıfırıncı basamaktan bir lineer diferensiyel operatör

L =a0(x)

biçimindedir. f, e (I) de herhangi bir fonksiyon ise

Lf (x) = ao(x) f (x)

dönüşümü, tamamen aove f fonksiyonlarının çarp ımıdır. L = ao(x)D°

ş eklinde yaz ıhrsa ao (x), e (I) de bir fonksiyon de ğ il, bir operatördür.

Belirtelim ki ao(x) f (x) gerçekte üç farkl ı yorum kabul eder: a o(x) ve

f (x) fonksiyonlarının çarp ımı ya da f (x) fonksiyonuna uygulanan a o(x)

operatörünün de ğeri ya da ao(x) ve f (x) operatörlerinin çarp ımı olarak

düşünülebilir. Bununla beraber seçilen özel yorumun burada bir önemi yoktur.

4. xD2+ 3 Vx D-1 lineer diferensiyel operatörü, [O, co) ya da bu-nun herhangi bir alt arah ğı üzerinde ikinci basamaktand ır. Öte yandan (x lx I) D 2— Vx+1 D+ ln (x+1) operatörü (-1,1) üzerinde ikinci

basamaktan, ancak (— 1,0] alt arahğı üzerinde x+ lx1 in özde ş olarak

sıfıra gitmesi nedeniyle birinci basamaktand ır. Ohalde bir lineer dife-rensiyel operatörün basama ğı , operatörün cebirsel gösterimine ba ğ lı olmakla beraber seçilen aral ığ a da bağ lıdır.

Tamm nedeniyle bir lineer diferensiyel operatör bir lineer dönü-ş ümdür ve uygun ko şullar altında böyle iki operatörün çarp ımı hakkında

konuşulabilir. Her ne kadar onlar ın tanım bölgesi ve basama ğı hakkında

278

çok ş ey söylemek mümkün de ğ il ise de böyle çarp ımlar yine lineer

diferensiyel operatörlerdir. Genel olarak bu türden operatörlerin çarp ımı değ iş me özeliğ ini sağ lamadığ mdan üzerlerinde rahat bir ş ekilde oy-namaz. Örne ğ in (xD+2) (2xD+1) gibi bir çarp ım, xD+2 ve 2xD+1 ifadelerini cebrin do ğal kurallarına göre çarpmakla bulunamaz. cebrin kurallarına göre i ş lem yaparsak

(xD+2) (2xD+1) = 2x2D2+ 5xD+2

ş eklinde elde edilen sonuç do ğru değ ildir. Doğru cevap, a ş ağı daki

iş lemlerden görülece ğ i üzere 2x2D 2 + 7xD+2 dar:

(xD+2) (2xt+1)y= (xD+2) (2xy'+y)

xD (2xy'+y) -I- 2 (2xy'+y)

x (2xy"+3y') 4xy'+2y

2x2y"-F 7xy' 2y

Bununla beraber sabit katsayık operatörlerin çarp ımı , operatörler D türev i ş lemine göre polinomlar olsa da cebrin tabii kurallar ına uyar.

Bu durum gerçel sabit katsay ıh bütün lineer diferensiyel denklemleri rahatlıkla çözebilmemizi mümkün kılar.

(6.7.5) lineer diferensiyel denkleminde, ba ğı mlı değ iş ken y ve onun çe ş itli türevlerinin sadece birinci dereceden ve katsay ılarm sadece x in fonksiyonu olduklarına ilgi çekilmelidir. Bu şartlar sa ğ lanmadığı

takdirde operatör lineer olmayan operatör ve bu operatöre ili şkin denk-lem de lineer olmayan diferensiyel denklem adını ahr.

Lu bir lineer olmayan operatör ise Lu =h (x) bir lineer olmayan denklemdir. Lu bir lineer operatör olmas ı halinde s ıırasiyle homogen ve homogen olmayan Lu=0 ve Lu,=h (x) denklemlerini incelemek kural gere ğ idir. Lineer olmayan denklemler için homogen terimi kullanılmaz. Bu zaman Lu =0 denklemi sıfır denklem (null equation), Lu =h (x) denklemi de tam denklem (complete equation) ad ım alır.

L = 2 2

d

x2 dx operatörü lineer oldu ğu halde L =(

d ) operatörü line-

d

2

er olmayan bir operatördür. Gerçekten Lu = (dx d ır. Buradan dx

adu bdv 12

L (au+bv) = E dx d

(au+bv) 12

dx dx

279

/du 2

du dv /dv a2 2ab b2crx–

dx dx

aLu + bLv

olduğundan lineer

Bir operatörde

A (u,v) = L (u+v) – [ L (u) + L (v) ] (6.7.6)

farkına L operatörünün lineer sapman denir. Buna göre yukardaki

2 d

L = operatörünün lineer sapmas ı dx

du dv = 2

dx dx

dır.

Çok karşı laşı lan bir ya da daha fazla de ğ işkenli lineer olmayan operatör örnekleri verelim:

du = — dx -4- Q (x) u+R (x) u2,

Lu d2u 1u ■ 2 ı d

dx du

dx2 f (x) dx g (x) u '

b

Lu = K(x,$) u (s) u (s+x) ds,

1 du — u dx + A (x) B (x) u + f K (x,$) u (s) ds,

a

L== 2 iou

b b

Lu = u (x,y) + K (x,y;s,t) u 2(s,t) dsdt, a

Lu = 82u azu 82u

+ — ay2 + Keu ax2

u,v

Lu

280

Lu =h (x) lineer olmayan denklemini sa ğ layan bir u (x) fonksi-yonu varsa denldem bir özel çözüme sahiptir denir. Daha fazla fonksiyon denklemi sağlarsa denklem çe ş itli çözümlere sahiptir.

Örneğ in (x2+ y v2)d = xy lineer olmayan bir denklemdir. Bu denk-

.' dx

km çözüm olarak, 2y2lncy—x2 =--0 kapal ı fonksiyonu ile tan ımlanan y fonksiyonuna sahiptir.

2 3 [(dd-7: ) 4- İ = r2

(ddx'r22 )

lineer olmayan denklemi bir özel çözüm olarak (x—a) 2-F- (y—b)2 = r2 ş eklinde iki parametreli çember ailesine sahiptir. Denklem ayr ıca y = ix aykırı çözümlere sahiptir. Bu fonksiyonlar diferensiyel denklemin tüm çözümleri ıı i oluş turur. Bu yüzden bir diferensiyel denk-lemin tüm çözümleri daima bir tek formül ile elde edilemez. Ancak lineer diferensiyel denklemler, kapsad ığı operatörün lineer olmas ı nedeniyle, bu aç ıklamanın dışı nda özel durumlara sahiptir.

Operatörler üzerine dururken derece kavrammdan da söz etmek

gerekiyor. Operatörlerin derece ile ili ş kisi olduğu gibi diferensiyel denklemlerin de derece ile ili şkisi vardır.

Bir diferensiyel denkkmin derecesi diye, bilinmiyen fonksiyon ve onun türevlerine göre bir polinom olarak yaz ılabilen diferensiyel denk-lemin kapsadığı en yüksek basamaktan türevini kuvvetine denir.

İ d2y 4 kdX2i [ 1 + (ddı -x )2]

şeklinde yaz ılabileceğ ine ilgi çekilmelidir.

Bir diferensiyel denklem basama ğı na göre sımflandırdabildiğ i halde derecesi ile s ınıflandırılamaz. Örne ğ in

d2v dv ey + 2 .1 = 1

dx2 dx

denkleminin derecesi yoktur. Çünkü bu denklem eY teriminden dolay ı bilinmiyen y fonksiyonu ve onun türevlerine göre bir polinom olarak yazılamaz. Bunun gibi

Örneğ in (y")3+ 3y (y')7 -F y3612 = 3x'3Ni(dx2Y2) 2 = (cIfc ) 2

denklemleri s ıras ıyle üçüncü ve dördüncü derecedendir. İ kinci denklemin 3

281

xy"+ x2y'-- (sinx) = x2- x+1, y (4) 4_ xy" '+ x2y"-xy' + siny =O,

sin İdx f ddy \ = dy + x + 5 kx

denklemleri s ırasiyle V37 , siny ve sin ) den dolayı derecesiz

denklemlerdir.

Sonuç olarak iki operatörün e ş itliğ inden söz edelim: x in herhangi bir u (x) fonksiyonuna uyguland ığı zaman ayn ı sonucu veren iki operatöre eş it operatörler denir, Örneğ in,

D2- (a+b) D+ab = (D-a) (D-b) = (D-b) (D-a)

2x2D2+ 7xD + 2 = (xD + 2) (2xD + 1) = (2xD + 1) (xD + 2)

D2- (x2+ x) D- (2x-x 3) = (D-x) (D-x 2) (D-x2) (D-x)

x2D2+ (5x-x2) D + (3-2x) = (xD+1) (xD+3-x) (xD+3-x).

(xD+1) gibi.

M,N x in fonksiyonlar ı olmak üzere

x2D2+ x (M+N+1) D+ (MN+xN') (xD+M) (xD+N) # (xD+N).

(xD+M)

dır. Örneğ in,

x2D2+ x2D- (x+2) = (xD-2) (xD+x+1)

M, N x in fonksiyonları ve c bir sabit ise

MD2+ (Mc+N) D+cN = (MD+N) (D+c) # (D+c) (MD+N) dır. Örneğ in,

x3D2+ (x3- x2) D-x2 = (x3D-x2) (D+1)

M, N x in fonksiyonları olmak üzere

M2D 2+ (MM' + 2MN) D+ (MN'±N 2) = (MD+N) (MD+N) dır. Örneğ in,

D2- 6x2D+ (9x4- 6x) = (D-3x 2) (D_3x2)

M, N, R x in fonksiyonları olmak üzere RD2+ (R'+N+MR) D+ (N'+MN) = (D+M) (RD+N) (RD+N) (D+M)

dır. Örne ğ in,

282

xD2+ (3x3+ 4) D-F9x2 = (D+3x2) (xD+3).

Bu örnekler, verilen lineer diferensiyel operatöriin çarpanlar ına

ayrılmasma iliş kin özel durumlard ır. Gerçekten i 1, i2,..., in; 1,2,...,n sa-yılarmm bir permütasyona ve j i j 2,..., j n de aynı sayıları diğer bir per-

mütasyonu olmak üzere L 1 , L2,..., Ln sabit katsayılı lineer diferensiyel operatörler ise

Li ı Li2..• Lin = Lj ı Lj2... Lin (6.7.7)

dır. Ancak operatörlerden bir tanesi değ işken katsay ıh olması halinde

(6.7.7) e ş itliğ i daima doğ ru değ ildir. Çünkü değ işken katsayılı bir lineer

diferensiyel operatörü, verilen operatörü verecek biçimde her zaman çarpanlarma ay ırmak mümkün değ ildir. Çarpanlarma ay ırmak mümkün

olsa bile değ iş ken katsayılı lineer diferensiyel operatörlerin çarp ımı genel olarak değ işme özeliğ ine sahip değ ildir.

an sabitler olmak üzere a nxnDn+... a ı xD-Fao şeklin-

de yazdabilen bir lineer diferensiyel operatöre eş boyutlu (equidimen-

sional) ya da Euler operatörü denir. Euler operatörü daima çarpanlarma ayrılabilir ve çarp ım değ iş me özeliğ ini sağ lar.

İki lineer diferensiyel operatörün eş itliğ i başka bir anlat ım ile aş ağı daki ş ekilde verilebilir:

m Li = E ak(x) Dk ve L2 = E bk(x) Dk

k=1 k=1

operatörleri, I arah ğı üzerinde lineer diferensiyel operatörler olsun. L ı = L2 olması , m =n ve her k için ak(x) = b k(x) olması ile eş değerlidir.

Diferensiyel denklem kurammdan bilindi ğ i üzere, önemli uygulama-lara sahip olan Euler operatörüne ili şkin

(xnpn+ an_ixn- ı Dn-1-1- a ixD ao) y =b (x) (6.7.8)

Euler denkleminin çözümü, zincir kural ın kapsayan basit i ş lemler

sonucunda bulunabilir ise de, ilginç bir yol olarak dönü şüm kapsayan farklı bir görü ş yard ımiyle de bulunabilir.

TANIM 6.7.2. en(-- °o, oo) lineer uzay ından en(0, co) lineer uzay ına olan N dönüşümü

N: en(_ 00 , co) en(0, 00)

g ---> Ng (Ng) (x) = g (lnx)

ile tanımlanan bir dönüşüm olsun.

283

örneğ in,

N (2x) = 21nx =1nx2

N (e-3x) = e-31nx = e ı n(x-3) =

N (sin3x) = sin (31nx) = sin (lnx 3)

N dönüş ümü arzulanan baz ı özeliklere sahiptir.

TEOREM 6.7.1. N dönüş ümü lineerdir ve tersine çevrilebilir. Ispat. 0<x< Go aralığ nı da herhangi bir x için, Tan ım 6.7.2 nede-

niyle

(N (g+h) ) (x) = (g+h) (lnx) = g (lnx) h (lnx)

= N (g) (x) + N (h) (x) = (Ng Nh) (x)

olduğundan N (g+h) = Ng+Nh d ır. Benzer olarak, herhangi bir a ska-leri ve 0<x< co aral ığı nda herhangi bir x için

(N (ag) ) (x) = (ag) (Inx) = a ( (Ng) (x) )

( (aN) (g) ) (x)

olduğundan N (ag) = aNg d ır. Böylece N nin lineer oldu ğu gösterilmiş olur.

N nin tersine çevrilebilir oldu ğunu göstermek için N-1 in varlığı nı göstermek yetecektir. Buna göre a ş ağı daki dönüşümü gözönüne ala-hm.

E: en(0, oo) --* en(- oo, co)

f --> E (f)

(Ef) (x) = f (ex)

Ş imdi en(O, Go) da herhangi bir f ve - co<x< co da herhangi bir x için

( (NE) f) (x) = N (E (f) ) (x) = N (?(ex)) = f (elnx) = f (x) olduğundan (NE) f=f ve NE, en(0, co) üzerinde bir özde ş lik dönüşü-müdür.

Benzer olarak, eıi(- 00, Go) da herhangi bir g ve 0 < x < co arah-'Onda herhangi bir x için

( (EN) g) (x) = E (Ng(x) ) = E (g (lnx) ) = g (lnex) = g (x) olduğundan (EN) g =g ve EN, en(- co, oo) üzerinde bir özde şlik dönüşü-müdür. Ohalde E =N -1 dır ve böylece ispat tamamlanm ış olur.

284

Ş imdi N operatörünün Euler denklemi ile ilgisini gösteren bir lemma kurahm.

LEMMA 6.7.1. xkDkN=ND (D-1) (D-2) ... (D-k+1) d ır.

ispat. k =1 ve g, en(o, co) in herhangi bir eleman' ise, bu durumda zincir kural ı nedeniyle

( (DN) g) (x) = d — g (lnx) = g'(1nx). 1 1

= — N (Dg) (x) dx

dır. Bu eş itlik, Lemma 6.7.1 in k =1 durumu için

xDN = ND ye eş değerdir.

k =2 ise k =1 için sonuç kullan ılarak

D2Ng = D (DNg) = D X

(-1 NDg) = - x2 NDg H- —D (NDg)

X

ı = x2 X X x

NDg ı ND2g) = — 2 N(D2-D)g

nedeniyle bu e ş itlik, Lemmanm k =2 durumu için

x2D2N=ND (D-1) eş itliğ ine eş değ erdir.

k =3 için

D 3Ng = D (D2Ng) = D (— ND (D-1) g) x2

2 = -

x3 ND (D-1) g —

12

DND (D-1) g x

= - - 2 T ND (D-1) g x x . ND2(D-4g

x3

olduğundan bu eş itlik de Lemmanın k =3 durumu için

x3D 3 N = ND (D-1) (D-2) eş itliğ ine eş değerdir.

1 (ND (D-1) (D-2) ) g

285

Aynı ş ekilde devam edilerek ya da tüme var ım yöntemi ile, herhangi

pozitif k tamsayısı için Lemma 6.7.1 in ispatı tamamlan ır.

TEOREM 6.7.2. Euler türünde n yinci basamaktan bir lineer diferensiyel operatör

L __,xnDn+ an_ixn- ı Dn- ı + a2x2D2+ a 1x

ve N de Tanım 6.7.2 deki lineer operatör ise, bu durumda

L, = D (D-1) ... (D-n+1) an_ip (D-1) ... (D-n+2)

a2D (D-1) 4- aiD-Fao

sabit katsay ılı bir operatör olmak üzere

LN = NL, dır.

Ispat. Dönüş ümlerin dağı lma yasası kullanılarak

LN = (xnDn+ an _ 1xn-IDn-1+ a2x2D2+ a ixD+ae) N

= xnDnNI-a n _ ıxn- ı Dn- ı N a2x2D2N-Fa 1xDNI-aeN

yazılabilir ve aranan sonuç, Lemma 6.7.1 den do ğ rudan elde edilebilir.

Teorem 6.7.2, n yinci basamaktan (6.7.8) Euler denkleminin çözümüne uygulanabilir. (6.7.8) denklemi, Teorem 6.7.2 nin gösterimi ile

Ly = b (x) biçimindedir. Buradan

(LN) (N-1y) = b (x)

yazılabilir. Teorem 6.7.2 nedeniyle bu denklem

(NLe) (N-1y) = b (x)

denklemine ve dolay ısiyle

Le(N-ly) = N-lb (x) = b (ex)

(6.7.9)

denklemine indirgenir.

(6.7.9) denklemi, bilinmiyen fonksiyonu N-ly olan n yinci basa-

maktan sabit katsay ıh bir lineer denklemdir. Bu denklem kolayl ıkla

çözülebilir. Bu durumda (6.7.8) denkleminin çözümü

y = N (N-Iy) dır.

ÖRNEK: x2y" 4xy' 2y =21nx denkleminin çözümünü, yukar-

daki teknik yard ımiyle bulalim. Bu denklem, L =x2D2+ 4xD+2 olmak

üzere

286

Ly = 21nx biçimindedir.

Le .D (D-1) + 4 D+2 = D 2 + 3 D+2 = (D+2) (D+1) olmak üzere, Teorem 6.7.2 nedeniyle LN=NL, dir. Buna göre verilen denklem yeniden

Ly = (LN) (N-ly) = 21nx biçiminde yaz ıhrsa, Teorem 6.7.2 nedeniyle

NL,(N-ly) = 21nx dır. Buradan

Le(N-ly) N-1(21nx) = 21nex = 2x ya da

(D+2) (D+1) (N-ly) = 2x elde edilir. Bu denklemin genel çözümü kolayl ıkla

N-ly = C ie-2x + C2e-x + x

olarak bulunur. Buradan aranan çözüm

y = N (N-3y) = N (Cie-2x + C2e-x + x-

= Cle-21nx C2e Inx hıx -

= Cix-2 + C2x-1 lnx - biçiminde bulunur.

ALIŞTIRMALAR

1. Aşağı daki operatörlerin her birini, D nin polinomu biçiminde yazınız?

(a) (D-2x) ((x 2D+2x) , (b) (xD+1) 2, (c) (xD+1) 3

2. A: T. lineer dönü şümü A (p) = dd2P2 2 -dfd ile tan ım-

lanıyor.

Bu dönüşümün çekirdeğ ini bulunuz ve tersinin olup olmad ığı m behrtiniz?

3. a+b+c =1 ve [ (1-x2) D2-2xD+6] (ax2+ bx+e) = 0 olacak ş ekilde a, b, c sabitlerini bulunuz?

4. (a) n yinci basamaktan bir lineer diferensiyel operatörün en(I) den e (I) ye bir lineer dönü şüm olduğunu gösteriniz?

287

x2 , X

, b ı (x)

, x>0

(b) n > 0 olduğunda bu lineer dönüşüm bire bir midir, Niçin? 5. (a)

olduğunda a 1(x) D+1 ve b, (x) D -I- 1 lineer diferensiyel operatörlerinin çarpımmı bulunuz ve böyle iki operatörün çarp ımının basama ğı nm, çarpanlarm basamaklar ı toplamı olup olmadığı hakkında ne söyleye-bilirsiniz?

(b) Bir I aralığı üzerinde tan ımlı iki lineer diferensiyel operatörün çarp ımmın aynı aralık üzerinde tammh olmas ı gerekmeoli ğ ine ilişkin bir örnek veriniz?

6. (a) a ve b sabitler olmak üzere (aDm) (bDn) = (bD") (aDm) = abDm+n olduğunu gösteriniz?

(b) a (x) in gerekli bütün türevlerinin var ve sürekli oldu ğunu var-sayarak Dm (a(x) D") çarp ımırıı , D ye göre bir polinom (standart form) olarak yazmak suretiyle m+n yinci basamaktan bir lineer dirensiyel operatör oldu ğunu gösteriniz?

7. Aş ağı daki lineer diferensiyel operatör çiftlerinin L1+ L2 top-lamı:tl bulunuz?

(a) L 1 = 2xD+3 , L2 = xD-1 (b) Li =exp2+ D , L2 =e—xD2_D

(c) L1 =xD+1 , L2 =Dx

8. Aş a ğı daki sabir 'katsay ıh lineer diferensiyel operatörlerin her birini, daha alt basamaktan indirgenemeyen çarpanlarm çarp ımına ayınnız?

(a) D 3-3D2+4 (d) D4-1

(b) 4D4+4D 3-7D2+D-2 (e) D 4-4D3 +14D2-20D+25

(c) D4+1 (f) D 5-1

9. Aş ağı daki değ işken katsayıh lineer diferensiyel operatörlerin her birinin, çarp ım verilen operatörü verecek biçimde daha alt basa-maktan çarpanlar ına ayırmız

288

(a) x2D2—xD+1

(b) x2D2+(4x+x2)D+2±2x

(e) x2D2+ (4x3 + x)D+ (4x4 + 4,2)

(d) x2D2 + (5x+ 2x3)D + (6x2+ 3)

(e) xD2+(3-2x2)D-4x

(f) x3D 2 +(5x3—x2)D+(6x3_2x2)

10. Aşağı daki eş itliklerin varl ığı nı gösteriniz ?

(a) D2 f(x)g(x) = f" (x)g(x)+21"(x)g'(x)+f(x)g"(x)

(b) D 3 f(x)g(x) = f" '(x)g(x)+3f"(x)g'(x)+3f'(x)g"(x)+f(x)g"'(x)

Da f(x)g(x) hakk ında ne söyleyebilirsiniz ?

11. Alış t ırma 10 u kullanarak a ş ağı daki lineer diferensiyel ope-ratörlerin her birini a n(x) Da+ ... a 1(x) D+ao(x) standart formunda

yazını z ?

(a) D 3(xD) (b) Dm(xD) (e) D5(xD2+ex)

12. D ve L, e- [a,b] de her y için

x D (y) = dxy , L (y) = y (t) dt

şeklinde eccla,b I üzerinde s ırasiyle türev ve integral alma i ş lemlerini

göstersin. n negatif olmayan tamsay ı olmak üzere LaDa ve DnLn nin değerlerini bul ımuz ?

13. Herhangi negatif olmayan k ve m tamsay ıları için

k m! xk-m < k

Dmxk =

0 , m > k

olduğunu ispatlaynuz ?

14. (a) Herhangi k gerçel say ı sı için

(xmDm) xk = k (k-1) ... (k— +1) ,(k

olduğunu ispatlay ınız

(b) an, al, a2 sabitler ve k herhangi bir gerçel sayı olmak üzere

(a2x2D2+ a1 xD+ao) xk = fa ,,k (k--1) + a 1k+ao ] xk olduğunu ispatlaynuz ?

289

(e) (xD) (x 3D 3) (x3D 3) (xD) olduğunu ispatlayını z)

(d) k keyfi bir gerçel say ı ve L Euler operatörü olmak üzere Lxk n ın de ğerini bulunuz ?

15. *, Sr, t ye göre türevler ve x (t) = (x (t), y (t) ) olmak üzere = y, y = — x lineer sistemini;

(a) A (t) katsay ılar matrisi olmak üzere i =A (t) x ş eklinde yazı -nı z ?

(b) D türev operatörü ve J (D) matris operatörü olmak üzere (D) x =0 ş eklinde yaz ımz?

(e) j (D) matris operatörünün lineer dönü şüm olduğunu göste-riniz ?

16. x (t) = (x 1(t), x2(t) xn(t) ) n boyutlu vektör fonksiyonu olMak üzere

anxi+ a 12x2+ ••• ainXn a21x i + a22x2+ + a2nx,

xn = an ix ı + an2x2+ annxn

lineer sistemini;

(a) x = A (t) x şeklinde yaz ınız?.

(b) j (D) x =0 ş eklinde yazını z ?

(e) k (D) n ın lineer dönü ş üm olduğunu gösteriniz ?

17. N dönüşümünü kullanarak aş ağı daki Euler denklemlerinin

genel çözümierini bulunuz ?

(a) (x2D 2+ a txD+ao) y =O (genel olarak)

(b) (x2D 2— 3xD+7) y =O

(e) (x3D 3— 2x2D2— 17xD-7) y =0

(d) (x3D 3 + 4x2D2+xD+ 1) y =x

6.8. Lİ NEER FONKS İ YONELLER

V, K skaler sistemli bir lineer uzay olsun. Bir cp : V --> K lineer dönüşümii, V üzerinde bir lineer fonksiyonel ( ya da lineer form) adını

290

alir. K kendisi üzerinden bir boyutlu lineer uzayd ır. Her cp: V —> K dönüşümünün bir lineer fonksiyonel olmayaca ğı açıktır. Ancak cp dönü-şümü bir lineer dönü şüm ise cp bir lineer fonksiyoneldir. V üzerinde keyfi lineer dönüşümler için bütün teorem ve sonuçlar bu özel durum için geçerlidir. Bununla beraber bu özel dönü ş ümler, genel duruma uygu-lanmayan yeni kavram ve sonuçlara neden oldu ğundan bu önemi nedeniyle ayr ıca inceleniyor. "Fonksiyonel" sözcü ğünün kökeni integral denklemler kuramma dayan ır. Bu yüzden fonksiyonel sözcü ğü, eleman ter anlamda say ılar cümlesi üzerinde tan ımlanan bir fonksiyon ile fonksiyonlar cümlesi üzerinde tan ımlanan fonksiyonel kavramlar ı aras ındaki ayrıcahğı vurgulamak için kullan ılmış tır. Buradan her skaler değerli (sürekli) fonksiyon bir fonksiyoneldir. Ancak her fonksiyonelin de bir lineer fonksiyonel olmas ı gerekmediğ ine ilgi çekilmelidir.

Lineer fonksiyonel kavram ı , sadece integral kurammm incelen-mesinde değ il aynı zamanda sonlu boyutlu uzaylar ın irdelenmesinde, çeş itli matematiksel yap ıların gösterim kurammda kullan ış lı temel araçlardan biridir. Ayr ıca çe ş itli sonsuz boyutlu uzaylarda da lineer fonksiyonel kavram ı söz konusu olmakla birlikte baz ı temel kavramlar ı da beraberinde getirir.

V den K içine bütün lineer dönü şümlerin cümlesi

(qo i + cp2) ( (v) = cp i(v) cp2(v) ve (kcp) (v) = k cp (v)

ile tan ımlanan toplama ve skaler ile çarpmaya göre K üzerinden yine bir lineer uzayd ır. Bu uzaya V nin eş lenik uzayı (V nin dual uzaya ya da V nin cebirsel eş leniğ i) denir ve V* ile gösterilir. V* m elemanlar ına V üzerinde lineer fonksiyonel denir.

c,o, V * ın ve v de V nin bir eleman olsun. cp (v) yi <c,o,v> simgeleri ile göstermenin büyük yararlar ı vardır. cp i , c,o2 e V*ise (cp i + cp2) (v) = cp i(v) 92(v) ve kEK ise (kcp) (v) = kcp (v) d ır. Başka bir deyimle

<y ı + 92, v> = <91, v> <cp2, v> <kcp,v> = k <c,o,v> (6.8.1)

yazılabilir. Ayrıca vi, v2 EV ise

<cp, v i -I- v2 > = <cp, v i > +- <9, v2 >

kv> = k <cp,v> (6.8.2)

dır.

(6.8.1) özelikleri V*m bir lineer uzay ve (6.8.2) de cp nin bir lineer fonksiyonel olduğunu gösterir. Böylece <cp, v> simgesinde iki bile şenin

291

farklı uzaylarda bulunmas ı ayrıcalığı ile iç çarp ımda olduğu gibi aynı gösterimi kullanmış oluyoruz.

ÖRNEKLER

1. cp: K dönüş ümü q> (x l ,..., x„) = x 1 ile tanımlanan izdü şüm dönüş ümü olsun. u, veKn içiıı cp (au+bv) = au j +bvi = a cp(u)+bcp(v) nedeniyle cp, Kn üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Benzer biçimde her bir i = n için cp, (x 1 ,..., xn) = x, ile tanımlanan i yinci cpi izdüşüm dönü şümü de Kn üzerinde bir lineer fonksiyoneldir.

2. V, K üzerinden iç çarp ımlı bir lineer uzay ve voeV olsun. Bu durumda v ---> <v,vo > dönüş ümü bir lineer fonksiyoneldir. Gerçekten u, veV ve a,bEK için

cp (au+bv) = <au+bv,vo > -= <au,vo> <bv,vo> a <u,vo> b <v,vo>

= a (u) bqı (v) dır.

3. V, n > 1 olmak üzere Wn ya da Cn olsun. V üzerinde bir lineer fonksiyonel bir lin.eer dönü ş üm olduğundan onun görüntü cümlesi, V nin Wn ya da Cn olmas ına göre bir boyutlu /? ya da C -uzayıdır. Her

cpcV* lineer fonksiyoneli, an skalerler ve v = (x 1,..., xn) olmak üzere

cp (v) <cp,v> = a lx,+...+ anxn

gösterimine sahiptir. Bu lineer fonksiyonel, K ıl (Rn ya da Cn) de s ıralı standart baz ve K (y? ya da C) 11} bazma göre (a 1 ,..., an) matrisi ile gösterilen lineer fonksiyoneldir. Gerçekten v=(x i,..., xn) ve v=xj.e i

x2e2 xne n dır. Buradan cp (v) =x icge,) xn9 (en), j =1,..., n. için cp (ei) = aj= aj. 1 d ır. Herhangi a l ,..., a n skalerleri için K ıl de her lineer fonksiyonel bu biçimdedir. Yani cp (ei) = aj olarak tanımlar ve lineerlik kullarahrsa

cP (v) = cp (x j ,..., xn) = cP ( xjej) = E xicp (ei) = E ajx j

ş eklinde ayn ı lineer fonksiyonel elde edilir

4. V, [0,1] arah ğı üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonları lineer uzayı olsun. Yani V= e ( [0,1], R) dır. feV için

(f) = f 1 f(t) dt o

292

formülü ile tan ımlanan dönü şüm V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Eğer fo, V nin belli bir elemanı ise

L (f) = fo(t) f (t) dtJ o

ile tan ımlanan dönüşüm de V üzerimde bir lineer fonksiyoneldir. V= e ( [a,lı ], R) olmak üzere feV için

L (f) = aJ f (t) dt

ile tanımlanan dönüşüm, e [a,13 ] üzerinde bir lineer fonksiyoneldir ve matematikte son derece önemli lineer fonksiyoneldir.

5. V= e ( [0,1], R ) olsun. s: V dönüşümü 8 (f) = f (0) ile ta- nımlansın. 8 dönüşümü fı , f2eV ve a,beR için

(afi bf2) = (afı bf2) (0) = af ı (0) bf2 (0) = a 8 (f ı ) b 8 (f2) olduğundan lineer fonksiyoneldir. Bu lineer fonksiyonel Dirac fonksi-

yoneli olarak bilinir

6. V, karma şı k sayılar üzerinden bir lineer uzay olsun ve V nin bir hermitiyen çarp ıma sahip olduğunu varsayal ım. Buna göre v .->- <v,vo> ya da qi (v) = <v,va > dönüş ümü bir lineer fonksiyoneldir. Bununla beraber v <v o, v> dönü şümü,

u, veV ve a,beC için cp (au+bv) = <vo, au+bv>

= <vo, au> <vo,bv>

<vo, u> b <vo, v>

= (u) 13 cp (v)

olduğundan bir lineer fonksiyonel de ğ ildir. Bu fonksiyonele ters lineer

ya da yara lineer fonksiyonel denir.

7. V, K üzerinden nxn karesel matrislerin lineer uzay ı olsun. A= (ajj) ve AeV olmak üzere T: V --> K iz dönüşümü

n T (A) = trA = a ı i + a22+ ••• ann = E aıı

i=1

şeklinde bir A matrisine, onun kö ş egen üzerindeki elemanlar ının toplamını karşı lık getiren bir dönü şümdür. Bu dönü şüm

tr (OLA ± 13B) = phii) i=i

293

= a Z ai i 4- p E bil = atrA PtrB

olduğundan lineerdir. 0 halde iz fonksiyonu, Knxn ile gösterilen nxn karesel matrislerin lineer uzay ı üzerinde bir lineer fonksiyoneldir.

TEOREM 6.8.1. V, K üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. Bu durumda V* e ş lenik uzayı da sonlu boyutludur ve dimV = dimV* dır.

Ispat. v n }, V nin bir baz ı olsun. Buna göre V* in bir ba- zmı bulaca ğı z. Kesim 6.2 ve Kesim 6.6 da Al ış tırma 3 nedeniyle her bir i = 1, n için

1, i =j -<<pi, Vj> = .31j =

0, i / j

olacak ş ekilde 91 ile gösterilen bir lineer fonksiyonel vard ır. Kesim 6.2

de sözü edilen teorem, baz elemanlar ı üzerinde belirtilen de ğerlere sa-

hip bir lineer dönü ş ümün bulunabilece ğ ine ilişkin bir teoremdir.

ın V* ın bir baz ı olduğunu ispatlayaca ğı z.

(p E V* ve ci = <9, vi> olsun. Bu durumda (p = C1(p1 ••• en9n

olduğunu göstermek zorunday ı z. Her bir i için

<c1<P1 ... cdpn, Vi> = ci vi> = ci

dır. ci = 9 (vi) olduğundan 9 ve cipi + + cdpn, vn} baz ı= bütün elemanlar ı üzerinde ayn ı değerlere sahiptir. Buradan bunlar, bu baz elemanlar ının lineer kombinasyonlar ı üzerinde ayni de ğerlere sahiptir ve dolay ı siyle onlar V iizerinde ayn ıdır. O halde 9 1 ,—, ton, V* ı gerer.

(pn} cümlesinin lineer ba ğı msız olduğunu göstermek için xi e K olmak üzere x i 9/ xn(p n = O olduğunu varsayahm. Bu ifade vi üzerinde hesaplan ırsa

0 = <x191 xny n, vi> = xi <yi, vi> = xi

buluruz. Buradan her x i = 0 dır. Böylece istenen ispatlanm ış olur.

Bu teoremin ispat ında tan ımlanan V* ın cp n } baz ına,

vn } nın eş lenik baz ı (dual bazı) denir. Bu teorem bizlere V nin bazm-

dan, V üzerinde n tane farkl ı cp i ,..., ep n lin.eer fonksiyonel elde etme im-

kânım verir. Lineer bağı msı z olan bu fonksiyoneller tek bir biçimde el-

de edilir. K üzerinden V lineer uzaym ın boyutu n ise, V den K ya bü-

294

tün lineer fonksiyonellerin cümlesi olan V* in boyutu da (K n ın, kendisi üzerinden 1 boyutlu olmas ı nedeniyle) n d ı r.

Yukardaki teoremde Sl ı Kronecker deltas ını kullanan formül, a ş a-ğı daki yaz ışı n kısaca gösterimidir:

91(v ı ) = 1, 9 1 (v2) = 0, . • • , (P ı (vu) -= O

92(v ı ) = 0, 92(v2) = 1, .. • , 92(vn) --= 0

cPn(v ı ) = 0, Son(v2 ) = O , . , cp n(v ii) = 1

ÖRNEK

R 3 ün {v i = (1, — 1,3), v2 = (0,1 — 1), v 3 = (0, 3, — 2)} ş eklin-de bir baz ını gözönüne alal ım. Buna göre {cp 1 , 92, cp 3 } e ş lenik haz ım bulalı m.

91(v ı ) = 1, (P ı (v2) = 0, 91(v3) = O

<P2(v ı ) = 0, 92(v2) = 1, 92(v3) = O

93(v ı ) = 0, 503(v2) = 0, 9 3(v3) = 1

olacak ş ekilde

91(x,Y,z) = a ix a2y a3z, (P2(x,y,z) = C 3(x,y,z) = c ix c2y c 3 z

lineer fonksiyonelleriıai bulaca ğı z.

91(v ı ) = 91( 1, - 1,3) = a l - a2 3a3 — 1 cp i (v2) = cp ı (0, 1, - 1) = a2 - a3 O y1 (v3) = y i (0,3, - 2) = 3a 3 — 2a 3 =-- 0

92(v ı ) = <P2( 1 ,-1 ,3) = b i - b2 3b 3 = 0 cp2(v2) = cp2(0,1,-1) = b 2 - b3 = 1 9,2(v3) = c,o2(0,3,-2) = 3b 2 2b 3 = 0

cp 3(v 1 ) = 93(1,-1,3) = c i — c2 + 3c 3 = 0 cp3(v2) = 9 = = 3(0,1, — 1) c2 — c 3 0

x b2y b3z

, a2 = O, a3 O

b ı =7, b2 2,b3 ==-3

el — -2 ,c2=1 , C3 =1

a

cp 3 (v3 ) = y3(0,3,-2) = 3c 2 — 2c 3 = 1

O halde e ş lenik baz

191(x,y,z) = x, 9 2(x,y,z) = 7x - 2y — 3z, cp 3(x,y,z) = — 2 y +z} ş eklindedir.

Ş imdi bazlarla onların eş lenikleri (dualleri) aras ında ilişkileri veren iki önemli teorem ifade edelim:

295

TEOREM 6.8.2. vn }, V nin bir baz ı ve 191,—, cpn} de V* ın e ş lenik baz ı olsun. Bu durumda herhangi bir u E V vektörü için

u = cpi(u)v cp2(u)v2 ... 9n(u)vn = E c,oi(u)vi i= ı

(1)

ve herhangi bir cp E V* lineer fonksiyoneli için

(P = cp(v ı ) ? 9(v2) 92 ... 9 (vn) 9n = E 9(vi) cp ı ı =1

(2)

dır.

Ispat. u = a 1v 1 ±, a2v2 ... + anvn olduğunu varsayahm Bu durumda

91(u) = 9l(v ı ) a2 9 ı (v2) + an 91(vn) = a 1 . 1 a2 . O +

... a n . O. = a l dar.

Benzer olarak i = 2, 3,...., n için

9i(u) = al 9i(v 1) + ... ai cpi(vi) + an 9i(vn) = al dır. Yani cp l (u) = al, 92 (u) = a2,..., 9n (u) = an dır. Bu değ erler u nun gösteriminde yerlerine konulursa (1) elde edilir.

(2) yi ispatlamak için (1) in her iki yan ına cp lineer fonksiyoneli uy-guland.ığı nda

(P(u) = 9 ı (u) cp(v ı ) + 92(u) 9(v2) + • • • + 9n(u) 9(vn)

= 9(v1) + cp(v2) 92(u) • • • + 9(vn) 9n(a)

[9(v ı ) 91 9(v2) 92 • • • + 9(vn) 9n] (u) elde edilir. Her u E V için bu geçerli oldu ğundan

9 = 9(v1) 91 9(v2) 92 9(vn) 9n =E cp(vi) cPi i=1

dı r.

TEOREM 6.8.3. {v i,..., vn} ve wn } V nin bazları ve sıra- sıyle cpn} ve Wn} de {vi} ve {w1} ye e ş lenik olan V* an bazları olsun. P nin de {vi} den {wi} ye geçiş matrisi olduğunu varsaya-lım. Bu durumda (P -1)T, {c,o i } den {ir ı } ye geçi ş matrisidir.

296

Ispat.

w ı =any' ai 2v2` ainvn, 'F ı =b ı l 91 bi2 92 --F ••• + b1n9n

w2=a2 ı v ı a22v2 -+ ••• a2nvn, iF2 —b21 91 + b22 92 ••• b2n9n

wn=aniv ı an2v2 ... annvn, 'Irn=bni(Pi bn2 92 ••• bnn9n olduğunu varsayal ım. Burada P = (aii) ve Q = (bii) d ır. Buna göre Q = (P-1)T olduğunu göstermek zorunday ız.

R1, Q nun i yinci sat ırını ve Ci de PT nin j yinci kolonunu göstersin. Bu durumda

Ri = (bil, b12,..., bin) ve Cj = (ai, ain)T

dır. E ş lenik baz ın tanımı nedeniyle

91(.1'9) = (bu?' b ı292 + 4- b ı n(Pn) (al 'vi aj2v2 ainvn)

= bi lai l b12ai2 ... + binain = RiCj = 81i

dır. Ohalde

(

„ItiC1 R1C2 ii.2‘.1 R2C2

R nC 1 R ı tC2

QpT R ica R2Cn

111:CU U = I

dır. Buradan Q = (pT)-1 = (P-i)r dır.

Bu teoremde sözü edilen P geçi ş matrisi, eski {vi} baz ından yeni baz ına geçi ş i veren sistemin katsayılar matrisinin transpozesidir.

wn} cümlesi lineer ba ğı msız olduğundan P matrisi tersine çev-rilebilir (Alış t ırma 6). P -1 tersi de wi}. den geri {vi} baz ına geçiş mat-risidir. Bu matris de Q ile gösterilirse P ve Q ters matrislerdir, yani PQ = I dır (Alış tırma 7).

Her V lineer uzaymm, V üzerinde bütün lineer fonksiyonellerden oluş an V* e ş lenik uzayına sahip olduğunu biliyoruz. Buna göre V* ın kendisi de V** e ş lenik uzay ına sahiptir. Bu uzaya, V* üzerinde bütün lineer fonksiyonellerden olu ş an V nin ikinci e ş lenik uzay ı (second dual space) denir.

Her bir v E V eleman ı , herhangi bir 9 e V* lineer fonksiyoneli için V * üzerinde v (y) = cp (v) ile tanımlanan belli bir eı : V* -> K dönü şümü belirtir. Bu dönü şüm lineerdir. Gerçekten herhangi a, b e K skalerleri ve herhangi cp i , cp2 E V* lineer fonksiyonelleri için

297

V(a cp i + b92) = (a 9 1 + b92) (v) = acp i(v) + b92(v) = aV(9 1 )+b 'V(cp2) olduğundan v lineer fonksiyoneldir ve v e V** d ır.

V sonlu boyutlu ve v E V, v # 0 ise cp (v) 0 olacak şekilde bir 9 E V* lineer fonksiyoneli vard ır. Ba şka bir anlat ım ile V sonlu boyutlu ve v 0 ise 'V # 0 dır. jv} cümlesini V nin s ıralı bir {v i , v2,..., vn } ba-zııı a geniş letelim. Buna göre Teorem 6.8.1 nedeniyle cp (v) = 1 ve i =1, 2,3,..., ıı için cp (vi) = 0 olacak şekilde bir tek 9 :,V -> K lineer dönü ş ü-

mü vardır. Buradan 9, istenen özeli ğe sahiptir.

TEOREM 6.8.4. V sonlu boyutlu ise, bu durumda v -> v dönü-ş ümü V nin V** üzerine bir biçimsel benzerli ğ idir.

Ispat. Burada V:V* -> K dönü şümü v (cp) = cp (v) ile tammland ı -ğma göre öncelikle v dönü şümünün lineer olduğunu göstereceğ iz. a, b e K, u, v e V ve herhangi bir cp e V* iineer fonksiyoneli için

av+bw (9) = 9 (av H- bw) = a cp (v) + b 9 (w)

= av (9) + bw (9) = (av + bw) (9)

İ\ dır. Her cp e V* için av+bw (9) = (av bw) (cp) oldu ğundan aVI-bw

= av bw dır. O halde v-v dönüşümü, V den V** içine bir lineer dö-nüşümdür.

v 0 olmak üzere v e V oldu ğunu varsayal ım. Bu durumda cp (v) 0 olacak ş ekilde bir cp E V* lineer fonksiyoneli vard ır. Buradan 'V (9) = 9 (v) / 0 ve böylece V' # 0 d ır. v 0 olmas ı 'v 0 olmas ını gerektir-diğ inden v "v dönü şümü düzenlidir. Öte yandan V sonlu boyutlu ol-duğundan dimV = dimV* = dimV** dır. Buradan bu dönüşüm ter-sine çevrilebilir. Ohalde v -> v dönü şümü V nin V** üzerine bir ş ekil benzerliğ idir.

v -* v dönüşümüne V nin V** içine tabii dönü ş ümü denir. V sonlu boyutlu de ğ ilse bu dönüşüm kesinlikle V** üzerine de ğ ildir, ancak daima lineerdir ve bire birdir.

Ş imdi lineer fonksiyoneller ile alt uzaylar ı arasındaki ilişkileri ir-deleyelim. 9 sıfırdan farklı bir lineer fonksiyonel ise, cp nin görüntü cüm-lesi skaler alan ın sıfırdan farklı alt uzayı olduğundan cp nin rankı 1 dır. V sonlu boyutlu ise dimKer 9 = dimV — 1 d ır. n boyutlu bir lineer uzayda ii-1 boyutlu bir alt uzaya bir hiper uzay denir. Böyle uzaylar çoğunlukla hiper düzlemler olarak adland ırılır. Yani V sonlu boyutlu

298

olmak üzere V nin bir hiper düzlemi, V üzerinde s ıfırdan farkl ı bir li-neer fonksiyonelin çekirde ğ i ya da s ıfır uzayı olarak tan ımlanır. Buradan her hiper uzay, bir lineer fonksiyonelin s ıfır uzay ıdır.

Aş ağı da göreceğ iz ki n boyutlu bir uzayın her bir r boyutlu alt uzay ı , (n—r) lineer fonksiyonelin s ıfır uzaylar ının kesiş imidir.

TANIM 6.8.1. S, V nin bir alt cümlesi (bir alt uzay olmas ı gerek-

mez) olmak üzere her v e S için 9(v) = <q), v> = 0 yani c,o(S) -= {O} oluyorsa cp lineer fonksiyonelinc S ye ortogonaldir ya da cp, S in bir sıfır-

layant (annihilator) dır. S ye ortogonal cp E V* elemanlar ın ı n ciimlesine S in ortogonal tümleyeni ya da S in s ıftrhyan ı denir. S-L ya da S° ile gösterilen bu cümle

S-L = S° = {cp E V* : Her v e S için cp(v) = 0} ş eklindedir.

S in her eleman ı , S ile gerilen. V nin alt uzay ına ortogonaldir ve S cümlesi V* ın bir alt uzay ı dır. Gerçekten 0 E S-L d ır. Öte yandan y ı , qı 2 E S-L olmak üzere herhangi a, b E K ve herhangi v e S için

(a cp ı cp2) (v) = a (v) b cp2(v) = a .0 -F b 0 = O

olduğundan acp ı b cp 2 e S-L d ır ve bu yüzden S-L , V* in bir alt uzay ıdır. S sadece s ıfır vektöründen olu şuyorsa Sl = V* d ır. S = V ise bu du-rumda S-L , V* in s ıfır alt uzayıdır. V sonlu boyutlu ise bunun böyle olduğunu anlamak son derece kolayd ır.

Tanım 6.8.1 de belirtildiğ i üzere S, V nin bir alt uzay ı olmas ı ge-rekmez, ancak S, V nin bir alt uzay ı ise S ile Sl aras ında önemli bir ili şki vardır.

TEOREM 6.8.5. V, K üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay ve W de V nin bir alt uzay ı olsun. Bu durumda

(i) dimW dimW-L = dimV

(ii) W-L-L = W

dır. Burada WLL = tv e V: Her cp e W-L için sc.(v) = 0} ya da WI'L , V nin bir alt uzay ı olarak dü şünülmek üzere = (W-L d ır.

Ispat.

(i). dimV = n ve dimW = r < n oldu ğunu varsayan'''. Buna göre dimWi = n — r olduğunu göstermek gerekir. W nin bir wr } ba- zını seçelim ve bu baz ı V nin bir v ı ,..., vn_r } bazma geni ş -

299

letelim. İ ,•••, cPr, (1) 1,•••, On__r} e ş lenik haz ım gözönüne alal ım. Eş le-nik baz ın tanımı nedeniyle (I) lerin her biri, her bir wi yi s ıfırlar. Bu- radan (I:o n...s E W-1- dır. Ş imdi j(I)j} nin W' nin bir baz ı olduğunu göstermemiz gerekiyor. V* in bir baz ının parças ı olduğundan lineer ba ğı msızdır. Ş imdi de j(1)i} nin Wl yi gerdiğ ini gösterirsek (i) nin ispat ı tamamlanmış olacak. Ğ E W-L. olsun. Teorem 6.8.2 nedeniyle

(1)(w i ) 9 1 + • • • + D(wr) (Pr P(v ı ) D 1 + • • • + 0(vn_r) ('n-r

= O. cp i 4- ... 0.cpr eto(v i ) (D i 421)(v n_r) On_r

(I)(v ı ) 41)(v ii_r)

dı r. Ohalde cümlesi W-Lyi gerer ve dolay ısiyle bu cümle W-L nin bir baz ı dır. Buradan dimW-1- = n — r = dimV dimW dı r.

(ii). dimV = n ve dimW = r olsun. Bu durumda dimV* = n ve (i) nedeniyle dimW = n — r d ır. Wl, V* ı n bir alt uzay ı olduğundan yine (i) nedeniyle dimW- L dimV* dır. Buradan dimW.u. = n — (n. — r) = r olmas ı nedeniyle dimW = dimW'-' d ır. W, in bir alt uzayı olduğundan (Ahş tırma 10) W = Wı -L. dır.

SONUÇ 1. W, n boyutlu bir V lineer uzay= r boyutlu bir alt uzayı ise bu durumda W, V de (n—r) hiper uzay ın kesiş imidir.

Ispat. Bu sonuç, kendi anlat ımmın dışı nda Teorem 6.8.5 in ispa-t ınm bir sonucudur. Teoremin. ispatmda W, j = 1,2,..., n—r için (10,i (w) = 0 olacak ş ekilde w vektörlerinin cümlesidir. Buradan r = n —1 ise W, 413. 1 ın sıfır uzayı , r = n — 2 ise W, (Il i ve 11)2 nin s ıfır uzayları -nın kesi ş imidir.

SONUÇ 2. W 1 ve W2, sonlu boyutlu bir lineer uzay ın alt uzaylar ı

ise W 1 = W2 olmas ı W i = W2 olması ile eş değ erlidir.

Ispat. W2 = W2 ise W ij" = W2i olaca ğı aç ıktır. W 1 W2 ise bu

durumda iki alt uzayın biri diğerinde olmayan bir vektör kapsar. Bir a vektörünün W2 de bulunduğunu ancak W 1 de bulunmad ığı nı varsaya-lım. Bu durumda Teorem 6.8.5 ve dolay ısiyle Sonuç 1 nedeniyle W 1

de her [3 için y (P) = 0 ancak cp (a) 0 olacak ş ekilde bir y lineer fonk-

siyoneli vardır. Buradan cp, W2-1- de olmayıp VI; dedir ve dolayısiyle

W'L W.L dı r. 2

Bir s ıfırlıyan kavramı , bir homogen lineer denklem sisteminin bir diğer yorumunu vermemize imkan verir:

300

aux ' + a 12x2 + a ı nx, = O

a21x 1 + a22x2 + • • . a2nxn = O.

am1x1 am2x2 + • • • + amnxn = O

A = (aii) katsayılar matrisinin her bir (a it , ai2,•••, ain) sat ırı Kn

in bir eleman ve her bir cp = (x 1,..., x,i) çözüm vektörü de e ş lenik uza-

yın bir eleman olarak dü ş ünülebilir. Bu nedenle (*) in S çözüm uzay ı , A nin sat ırlarm ın sıfırlıyamdır ve buradan A n ın sat ır uzayının sıfırlıyamdır. Sonuç olarak Teorem 6.8.5 nedeniyle bir homogen lineer denk-

lem sisteminin çözüm uzay ının boyutuna ilişkin

dimS = dimKn — dim (A nın sat ır uzayı) = n — rankA

sonucu yeniden elde edilir.

Öte yandan i=1,2,..., m için cp i(x ı ,..., xn) = ai ıx ı + ainxn

ile tanımlanan cpi fonksiyonelleri Kil üzerinde fonksiyonellerdir. i =1.2

m ve her acKn için cpi(a) = 0 olacak biçimde K" ın alt uzay ı , çözüm uzay ıdır. cp ı ,..., ıpm ile sıfırlanan bu alt uzay

S = oceKn: oceKn için cpi(oc) = 0}

şeklindedir. cp lineer fonksiyonelinin a vektörü ile gösterildi ğ ine ilgi

çekilmelidir. Kaysayı lar matrisinin sat ır kanonik formuna indirgenmesi

bizlere bu alt uzay ı bulmada bir yöntem verir. Çözüm uzaym ın; cp 1 ,...,

cpm tarafından s ıfırlanan K" nin bir alt uzayı olduğu açıktı r.

ÖRNEK

1 (x ı ,x2,x3,x4)= x ı + 2x2 + 2x3 + x4

cp2(x 1 ,x2,x3,x4)=--- 2x 2 ±x4

cp 3 (x 1 ,x2,x3,x4) — –2 x ı-4x3 + 3x4

ş eklinde R4 üzerinde üç lineer fonksiyonel veriliyor. y ı , cp2, cp 3 tarafından

sıfırlanan alt uzay ı (çözüm uzayı ) bulalım. Alt uzay, katsayılar matrisini

satır indirgemeli e ş elon matrisine indirgemekle bulunabilir:

1 2 2 1 1 0 2 O A (O O (olo O)

-2 0 -4 3 O 0 0 1

olduğuna göre

g ı (x ı ,x2,x3,x4) = x ı +2x3

g2(x 1 ,x2,x3 ,x4) = x2

g3(x ı ,x2,x3,x4) = x4

301

lineer fonksiyonelleri (V)* ın ayn ı alt uzay ın ı gerer ve 9 ı , 92 , cp 3 tarafından sıfırlanan 6R 4 ün ayn ı alt uzay ını sıfırlar. Buradan s ıfırlanan alt uzay

S = x3 ER } ş eklindedir.

dimS =dim V–rank A 1=4-3 =1 dır.

6.9. B İ R Lİ NEER DONÜStIM İ.S TRANSPOZES İ VE ADJO İ NTİ

V ve U, K üzerinden lineer uzaylar ve T de T:V -* U ş eklinde keyfi bir lineer dönü şüm olsun. Bu durumda T, a ş ağı da olduğu gibi U*dan V*içine bir lineer dönü ş üm ortaya ç ıkarır. 9, U üzerinde bir lineer fonksiyonel yani cpeU*olsun. Bu durumda cpoT bile ş imi ya da cpT çar-pımı , V den K içine bir lineer dönü ş ümdür. Ba ş ka bir anlat ım ile cpT, V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir, yani 9TEV*d ır:

V T

U --> K cpT

Böylece cp --> cpT kar şı lık olma durumu U*dan V*içine bir dönü-ş ümdür, yani cpTeV*dır. TT ile gösterilen bu dönüş üme T nin transpozesi denir. Ba ş ka bir deyimle TT: U* --> V*dönü ş ümü TT(9) = cpT ile tan ım-lı dır. Böylece her 9 EU*ve her veV için (TT(9) ) (v) = cp (T (v) ) d ır.

TT ile tanımlanan transpoze dönü ş ümü lineerdir. Gerçekten her-hangi a,beK skalerleri ve herhangi 9 1 , c,92 elf*lineer fonksiyonelleri için

(TT(a9 1 + bcp2) ) (v) = (acp ı + bcp2) T (v)

a91(T (v) ) 4- 1392(T (v) )

aTT(9 1 ) (v) + bTT(92) (v)

olduğundan TT(a9 1 + bcp2) = aTT(9 1 ) +- bTT(cp2) dır, yani TT bir lineer dönü şümdür. Açıklanan bu durumlar a ş ağı da olduğu gibi özetlenebilir:

V ve U, K üzerinden lineer uzaylar olsun. V den U ya her bir T lineer dönü ş ümü için, her veV ve her cpeU* için

(TT (9) ) (v) = 9 (T (v) ) olacak ş ekilde U*dan V*içine bir tek TT lineer dönü şümü vardır.

TEOREM 6.9.1. T:V - U lineer ve A da V ve U nun s ıras ıyla yin} ve un } bazlarma göre T nin matris gösterimi olsun. Bu

302

durumda ATnin matris gösterimi, ı lıi} ve -crj} ye e ş lenik olan bazlara göre TT: V*lineer dönü şümünün matris gösterimidir.

İ spat.

T (vi) = a nu i + a12u2+...+ a ı nun

T (v2) = a21n2+ a22u2+...± a2nui, (1)

T (vm) amiu2 + am2u2+...+ amnun

olduğunu varsayahm. Buna göre jcpi} ve {:»j} sıras ıyle Iııı } ve tvj} ye eş lenik olah bazlar olmak üzere

TT(91) = a ıı (D ı + a21 021- •••+ am1Im

TT(92) a22 (1)2+•••+ am2Onı (2)

TT(yn) = a ı n01+ a2n02+•••+ amnOm olduğunun gösterilmesi gerekiyor.

v e V olsun ve v =k ı y ı + k2v2+...-F kmvm olduğunu varsayal ım.

Bu durumda (1) nedeniyle

T (v) = k ı T (v ı ) + k2T (v2) +...+ kmT (vm) = ki(a ilu i+ ai2u2+•••+ a ı nun) + k2(a2111 14- a22u24- •••+

a2nun) +...+ km(amilli+ am2u2+,- -Famalln)

= (k ia ii+ k2a2i+...+ kmami) u i + . ..+ (kia i n+ k2a2 n

+...+ kmamn) un

= E (kiai ı + k2a21+...+ kmam ı

dır. Buradan j =1,2,..., n için

(TT(cpi) ) (v) = 9s(T (v) ) = (R1(

(k la ii+ k2a2 ı -F • ..+ kmam ı )

= kia ıı + k2a2j+...+ k ınami ( 3)

Öte yandan j =1,2,..., ıı için

(a i i(1) 1 + a2 ı 02+•••+ amjPm) (v) = (a i ı (D ı + a2i 02+•••+ amjPm). (k ivi + k2v2+••• -i- kmvm)

= k ı a ii + k2a2j +...+ kmamj (4)

dır. veV keyfi oldu ğundan (3) ve (4) den

303

TT(cpi) = a i i(1) 1 + a2i 02+...+ anij eD ni , j =1,2,..., n

sonucuna var ı lır ki bu da (2) den ba ş ka bir ş ey de ğ ildir.

V bir iç çarp ım uzayı olsun. Her bir ueV, û (v) = <v,u> ile

tanımlanan bir V -* K dönü ş ümü belirtir. Herhangi a,beK ve her-

hangi v i, v2 EV için

û (av ı + bv2) <av ı + bv2, u> = a <v i, u> b <v2, u> =

= aû. (v i ) bû (v2)

olduğundan û, V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Bunun tersi de sonlu boyutlu uzaylar için do ğ rudur ve bu önemli bir teoremdir.

TEOREM 6.9.2. Sonlu boyutlu bir V iç çarp ım uzayı üzerinde bir

bir lineer fonksiyonel 9 olsun. Bu durumda her veV için cp (v) = <v,u> olacak ş ekilde bir tek ueV vektörü vard ır.

ispat. e n } , V nin bir ortonormal baz ı olsun.

u = (P (e1) e1+ (P (e2) e2+...+ (P (en) en

olsun. û dönüş ümü, her veV için V üzerinde û (v) = <v,u> ile tamm-lanan lineer fonksiyonel olsun. Bu durumda i =1,2,..., n için

il (ei) = <ei, u> = <e ı , cp (e1) e ı +...+ cp (en) en > = 9 (ei) dır. Buradan her bir baz vektörü üzerinde ıl ve 9 aym olduğundan

û= 9 dır.

Ş imdi varsayalım ki her veV için u', 9(v) = <v,u'> olacak ş ekilde

V de bir diğer vektör olsun. Bu durumda <v,u> = <v,u'> ya da <v,u—u'> = 0 d ır. Özelikle bu v =u—u' için do ğ rudur ve böylece

<u—u', u—u'> = 0 dır. Buradan u—u' = 0 ve u =u'sonucuna var ıhr.

Ohalde böyle bir u vektörü tektir (Bak Al ış tırma 17).

Her ne kadar bu durumda baz ı genel sonuçlar biliniyorsa da (Ünlü böyle bir sonuç Riesz gösterim teorimidir.) bu teorem sonsuz boyutlu uzaylar için geçerli de ğ ildir. Gerçekten iç çarp ımı

<f,g> = r f (t) g (t) dt o

ile tan ımlı R üzerinden polinomların lineer uzayı V olsun. Bu durumda

yukardaki teorem geçerli olmayacak ş ekilde V üzerinde bir lineer fonk-

siyonel örne ğ i vardır, yani her feNT için cp (f) = <f,h > olacak ş ekilde

bir h (t) polinomu yoktur. cp: V --> K lineer fonksiyoneli cp (f) = f (0)

304

ile tammlansm, yani 9, f (t) yi sabit terime dönü ş türsün. Her f (t) poli-nomu için

9 (f) = f (0) = f (t) h (t) dt (1) o

olacak ş ekilde bir h (t) polinomunun var oldu ğunu varsayal ım 9 nin tf (t) polionmunu s ıfıra dönii ş türece ğ i aç ıktır. Buradan (1) nedeniyle her f (t) polinomu için

0 f tf (t) h (t) dt = 0 (2)

dır. Özel olarak (2), f (t) = th (t) için geçerli olmak zorundad ır, yani

t2h2(t) dt = 0 o

d ır. Bu integral, h (t) yi s ıfır polinomun.a götürür, buradan her f (t) polinomu için cp (f) <f,h> = <f,0> = 0 d ır. Bu durum 9 nin sıfır lineer fonksiyoneli olmadığı gerçe ğ i ile çeliş ir. Buradan her fEV için cp (f) = <f,h> olacak şekilde bir h (t) polinomu yoktur.

TEOREM 6.9.3. Sonlu boyutlu bir V iç çarp ım uzayı üzerinde bir lineer operatör T olsun. Bu durumda her u,vEV için

<T (u), v> <u,T*(v) >

olacak ş ekilde V üzerinde bir tek T* lineer operatörü vard ır. Ayrıca A, V nin {ei } ortonormal baz ına göre T nin matris gösterimi ise, bu durum-da A nın A*e ş lenik transpozesi {ei} baz ına göre T*In matrisidir.

Ispat. İ lk olarak T*dönü ş ümünü tan ımlayalım. v, V nin keyfi ancak belli bir eleman ı olsun. u -› <T (u), v> dönü şümü V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Buradan Teorem 6.9.2 nedeniyle, her u EV için <T (u), v> = <u,v'> olacak ş ekilde bir tek v'EV eleman ı vardır. T*: V ---> V dönü şümü T*(v) = v' ile tammla ıasm. Bu durumda her u,veV için <T (u), v> =- <u,T*(v) > d ır.

Ş imdi T*m lineer olduğunu gösterelim Herhangi u, vieV ve her-hangi a,bEK için

<u,T*(av i +bv2) > = <T (u), av,-f- bv 2 > = â <T (u), vi >

+ b < T (u), v2 >

305

= <11,T*(V İ ) > <U,T* (V2) >

<u,aT*(vi) + bT*(v2) > dır. Bu e ş itlik her ucV için do ğ ru olduğundan

T*(av i+ bv2) aT* (v ı ) bT* (v2) dır ve dolay ısiyle T*lineerdir. Al ış tırma 15 nedeniyle {e i } baz ı na göre

T ve T* ı gösteren A =(ati) ve B =(bjj) matrisleri

alj=- <T (ej), ej> ve bli = <T*(ej), ej>

ile veriliyor. Buradan

bjj = <T*(e j ), ej > = <et, T*(ej) > =

dır. Böylece B =A*d ır.

Eğer baz ortonormal de ğ ilse T ve T* ı gösteren matrisler aras ında hiç bir yahu ilişki yoktur. Bu durum ortonormal bazlar ın önemli bir özeliğ idir.

Bir V iç çarp ım uzaymda her u,vEV için <T (u), v> <u,T*(v) > oluyorsa V üzerinde bir T lineer operatörüne bir T*adjoint operatörüne sahiptir denir. V sonlu boyutlu ise her T operatörü bir adjointe sahip-tir. V sonlu boyutlu değ ilse 6.9.3 teoremi geçerli de ğ ildir.

ÖRNEK. T, C 3 üzerinde T (x,y,z) (2x+iy,y–Siz, x+ (1–iy)+3z) ile tanımlanan lineer operatör olsun. T nin T* adjoint operatöriinü bulalım C 3 ün B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } do ğ al bazma göre T ope-

ratörünün matris gösterimi

2 i 0

[T : B] = (O 1 —5i)

1 1–i 3

şeklindedir. Tabii baz ın ortonormal oldu ğuna ilgi çekilmelidir. Teorem 6.9.3 nedeniyle B baz ına göre T* ın matris gösterimi [T:B ] matrisinin eş lenik transpozesidir:

2 0 1 [T*: B ] 1-bi

3) O 5i Buradan

T*(x,y,z) = (2x+z, –ix+y+ (1±i) z, 5iy+3z) ş eklindedir.

V üzerinde T ve T*operatörleri <T (u), v> = <u,T*(v) > ili ş - kisini sağ lar. Gerçekten u=(u j,u2,u3) E C 3, v-=(v j , v2, v3) e C 3 oymak üzere

306

2 i O (u i)

T (u) = (O 1 —5i) u2 = 1 1—i 3 u,

2u 1 + iu2 u2- 5iu 3

1+ u2+ 3u3 ve

<T (u), v> = (2u 1 + iu2) v i + (u2-5iu3) v2+ [ui+ (1—i) u2 +3u3 ]v3 dır. Öte yandan

2 0 1 (vi) ( 2v 1 + v3

T*(v) --= ( (—i 1 1+i) v2 = -iV ı + v2+ (1+i) v3)

O 5i 3 v3 5iv2+ 3v3 ve

<u,T*(v)> = u i (2vi + v3) + u2 [—iv 1 + v2+ (1+i) v3 ]

u3(5iv2+ 3v3)

u i(2v i + v3 ) + u2 [iv i + v-2 + (1—i) v 3 ]

+ u3(-5iv2+ 3;3 ) •

= (211 1 + iu2) v i+ (u2-5iu 3) [u i +(1—i)u2+3u3 ]v3

olduğundan <T (u), v> = <u,T*(v) > oldu ğu gerçeklenir.

Adjoint operatörü önemli özeliklere sahiptir. S ve T, V üzerinde lineer operatörler ve keK. olsun. Bu durumda

( i) (S+T)* = S" T* (iii) (ST)* = T*S*

(ii) (kT)* -= kT* (iv) (T*)*--- T

geçerlidir.

V üzerinde bir T lineer operatörü kendi T*adjointine e ş it ise yani T* = T ise, T operatörüne self-adjoint operatör denir. Bu durumda her u, veV için <T(u), v> = <u,T (v) > d ır. Bir self-adjoint T ope-ratörü, K cismi gerçel ise simetrik, K cismi karma şı k ise Hermitiyen

operatörü ad ını ahr. T* -= — T ise T lineer operatörü, ters adjoint ope-ratör ve temel cismin gerçel ya da karma şı k olmasına göre de ters si-

metrik ya da ters Hermitiyen operatör ad ını alır.

T, sonlu , boyutlu bir V iç çarp ım uzayı üzerinde bir lineer operatör olmak üzere T* = T-1 ya da eş değer olarak TT* = T*T=-I ise T, temel cismin gerçel ya da karma şı k olmasına göre ortogonal ya da birimli

operatör adını alır. Bu operatörler, a ş ağı daki gibi bir diğer biçimde ayırdedilebilirler. Gerçekten T üzerindeki a ş ağı daki ş artlar e ş de ğerdir:

( i) T* = T-1 yani TT*=--- T*T =I dır.

307

(ii) T, iç çarp ı mları aynen korur, yani her v, wEV için

<T (v), T (w) > = <v,w>

(üi) T, uzunluklar ı aynen korur, yani her v EV için

T (v)

ÖRNEKLER

1. T: R3-> R3 operatörü, z ekseni etraf ı nda her vektörü belli bir 0

açısı kadar döndüren lineer operatör olsun:

Ş ekil 6.9.1

T (x,y,z)

(xcos0 - ysin0, xsin0 ycos, z)

Bu operatör, T altmda uzunluklar ı (orijinden olan uzakl ıkları ) aynen korur.

Diğ er şartlar da sa ğ lanır. Böylece T bir ortogonal operatördür.

2. V, 1 2 uzayı (Hilbert uzayı ) olsun. T:V -› V operatörü, T (a i ,a2,...)

=-- (0,a i ,a2,...) ile tan ımlanan lineer operatör olsun. T operatörü iç

çarpımları ve uzunlukları aynen korur. Ancak örne ğ in (1,0,0,...), T nin

görüntü cümlesinde bulunmad ığı ndan T, üzerine de ğ ildir ve dolayısiyle

tersine çevrilemez. Ohalde yukardaki özeliklerin e ş değerliğ i, sonsuz

boyutlu uzaylerda geçerli de ğ ildir.

Bir iç çarp ım uzay ından bir di ğer iç çarp ım uzayına bir ş ekil ben-

zerliğ i, bir iç çarp ım uzayının üç temel özeli ğ i olan vektör toplam ı , skaler ile çarp ım ve iç çarp ımları koruyan bire bir ve üzerine dönü ş üm-

dür. Böylece yukardaki dönü şümler (ortogonal ve birimli) keza V nin

d ır.

d ı r.

308

kendi içine ş ekil benzerlikleri olarak ay ırdedilebilirler. Böyle bir T dönüş ümü,

!IT (v) - T (w) II = IIT (v-w) II = ilv-w II

nedeniyle de uzunluklar ı korur. Bu yüzden T ye bir izometri (isometry)

denir.

Karma şı k elemanh bir A matrisinin. (bir ortonormal baza gö-re) bir birimli operatör göstermesi, A* = A -1 olması ile eş değ erlidir.

Öte yandan K cismi gerçel ise A* = AT d ır. Buradan gerçel elemanh

bir A matrisinin (bir ortonormal baza göre) bir ortogonal T operatörü göstermesi, AT = A-1 ile eş değerlidir. A* = A-1 ya da e ş değer olarak

AA* = A*A -=I özeli ğ ini sağ layan karma şı k elemanl ı bir A matrisi birimli matris ve AT = A -1 ya da eş değer olarak AAT = ATA =I özeli ğ ini sağ layan gerçel elemanh bir A matrisi de ortogonal matris adını alır. Bir A matrisi için a ş ağı daki ş artlar e ş değerdir:

(i) A birimli (ya da ortogonal) d ır.

ii) A nın sat ırları bir ortonormal cümle olu ş turur.

(iü) A nin kolonlar ı bir ortonormal cümle olu ş turur.

ALIŞTIRMALAR

1. y ı : R2-- ve 92 : R2--> lineer fonksiyonelleri

<p i(x,y) = x 2y ve cp2(x,y) = 3x-y

ile tanımlanıyor. Aş ağı daki ifadeleri bulunuz ?

(i) 9 ı Hh 92 (ii) 4 9 ı (iii) 2 ?1-5 92

2. (a) R2 nin bir bir baz ı {v, = (2,1), v2 = (3,1) } olsun. Buna göre

1;01, 92} e ş lenik haz ım bulunuz?

(b) R2 üzerinde q) (2,1) = 15 ve <D (1,-2) =- - 10 ile tan ımlanan lineer fonksiyonel olsun. Buna göre <D (x,y) ve (I) (-2,7) yi bulunuz?

3. V, derecesi 1 e e ş it ya da küçük R üzerinden polinomlarm li-

neer uzayı yani V = a,lı ER} olsun. (I) ı : V --> GR ve 02: V-> lineer fonksiyonelleri

309

(f (t) ) = o f (t) dt ve 0 2(f (t) ) =1. f (t) dt

ile tan ımlansın. jc13 1 , 02 } ye e ş lenik olan V nin {vi , v2 } hazım bulunuz?

4. V, derecesi 2 ye e ş it ya da küçük R üzerinden polinomlarm li-neer uzayı yani V = {a+bx-}-cx 2 : a,b,cER} olsun. t l , t2, t3 üç farklı gerçel sayı olmak üzere L:V lineer fonksiyoneli L ı(p) = p (4) ile tanımlanıyor. L ı , L2, L 3 baz ına eş lenik olan V nin jp ı , p2, p3 } haz ım bulunuz ?

5. V, K üzerinden polinomlarm lineer uzay ı olsun. aeK için (Da : V —> K dönü şümü (Da(f (t) ) = f (a) ile tan ımlanıyor. Buna göre

(i) (Da nın lineer olduğunu gösteriniz ?

(ii) a#b ise (Da: On olduğunu gösteriniz ?

6. v ı ,..., vn, K üzerinden bir V lineer uzayın elemanlar ı olsun. a i ı EK olmak üzere

w ı al ı -y ı + a ı nvn

W2 = a21V 1+ a22V2+•••+ az nv n

Wn = aniVi+ annVn

olsun. Ayrıca P =(a ı i) de katsay ıların karesel matrisi olsun.

(i) P nin tersine çevrilebilir olduğunu varsayahm. Buna göre

{wı } ve {vi} cün ı leleri aynı uzayı gerdiğ ini ve buradan {w ı } nin bağı m-

sız olması , {vi} nin bağı msız olması ile eş değerli olduğunu gösteriniz ?

(ii) P nin tersine çevrilemedi ğ ini varsayahm Bu durumda {w i }

nin bağı mlı olduğunu gösteriniz ?

(iü) {w ı } nin bağı msız olduğunu varsayahm. Bu durumda P nin tersine çevrilebilir oldu ğunu gösteriniz ?

7. (a) R2 nin iki bazı {e ı = (1,0), e2 = (0,1) } ve jf ı =- (1,1), f2 =

(— 1,0) } olsun. {el} den {f ı } ye geçi ş i veren katsay ılar matrisinin trans-pozesi olan P geçiş matrisi ile, {fı } den jet} ye geçi ş i veren katsay ılar

matrisinin transpozesi olan Q matrisini bulunuz ve PQ =I oldu ğunu

gösteriniz ?

310

(b) v=(a,b)e/P için P [v]f = [v] e ve buradan [v]r = P -1 [v ] e olduğunu gösteriniz?

8. €DeV*, V nin bir S alt cümlesini s ıfırlıyorsa, P nin S deki vek-türlerinin bütün lineer kombinasyonlarnun L (S) cümlesini s ıfırladığ nu

gösteriniz?

9. W, v i = (1,2,-3,4) ve v2 =.(0,1,4,-1) ile gerilen 4 ün , alt uzayı olsun. W nın sıfırlıyanuum bir bazin ı bulunuz?

10. S, V nin herhangi bir alt cümlesi ve S 1 c S2 ise

(i) s c soo S 2°c S i ° olduğunu gösteriniz?

üzerinde (I) (x,y) = x - 2y ile tan ımlanan lineer fonksiyo-nel olsun. R2 üzerinde a ş ağı daki T lineer operatörlerinin her biri için (TT( D) ) (x,y) transpoze lineer dönü ş ümü bulunuz?

(i) T (x,y) = (x,0), (ii) T (x,y) = (y,x+y), (iü) T (x,y) = (2x-3y, 5x+2y)

12. T:V -› U lineer ve TT: U*-> V*de T nin transpozesi olsun. TT nin çekirdeğ inin T nin görüntü cümlesinin s ıfı rlıyan ı , yani Ker

TT = (R (T) )° olduğunu gösteriniz?

13. V ve U nun sonlu boyutlu ve T:V U lineer oldu ğunu var-

sayahm. Bu durumda rank (T) = rank (TT) oldu ğunu gösteriniz?

14. T:V -> U lineer ve V nin sonlu boyutlu oldu ğunu varsayahm Buna göre R (TT) = (KerT)° oldu ğunu gösteriniz?

15. e2,..., en}, V nin bir ortonormal baz ı olsun. Buna göre aş a ğı dakileri ispatlay ını z?

(i) Herhangi u E V için u = <u,e i > e i+ <u,e2 > e2+...+ <u,en > en .

(ii) <a le i +...+ anen, le ı +-+ bnen> = a ıi3 1+ a2b2+.. .+ anfin

(iü) Herhangi u, veV için <u,v>=<u,e i > <v,ei > <u,en > <v,en>

(iv) T: V -› V lineer ise bu durumda <T (ei), ei>, baz ına göre T yi gösteren A matrisinin ij y ıncı bile ş enidir.

311

16. (a) T,C 3 üzerinde T (x,y,z) = (2x-F(14) y, (34-2i) x-4iz, 2ix+ (4-3i) y-3z) ile tan ımlanan lineer operatör olsun. T*(x,y,z) yi bulunuz?

(b) T: R 3 —> R 3dönüş ümü T (x,y,z) = (x+2y,3x-4z,y) ile tan ımla-nıyor. T* (x,y,z) yi bulunuz?

17. V üzerinde a ş ağı daki lineer fonksiyonellerin her biri için, her veV için cp(v) <v,u> olacak ş ekilde bir ueV vektörü bulunuz?

(i) cp : R3 —> dönü ş ümü cp (x,y,z) =x+2y-3z

(ii) cp : C 3—> C dönüş ümü cp (x,y,z) = ix+(2+3i) y+(1-2i)z

312

KAYNAKLAR

1. MURRAY H. PROTTER and CHARLES B. MORREY, JR., Modern Mathematical

Analysis, Addison-Wesley, Publishing Co., Reading, Massachusetts, 1964

2. LIPMAN BERS, Calculus, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1969

3. MICHAEL C. GEMIGNANI, Elementary Topology, Addison-Wesley Publishing Co., Rea-

ding, Massachusetts, 1967

4. SERGE LANG, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts,

1972

5. KENNETH HOFMAN and RAY KUNZE, Linear Algebra, Prentice-Hall, Inc., New Jersey,

1971

6. SEYMOUR LIPSCHUTZ, Linear Algebra, McGraw-Hill Book Co., New Yirk, 1968

7. G. HADLEY, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts,

1974

8. MURRAY R. SPIEGEL, Advanced Calculus, McGraw-Hill Book Co., New York, 1968

9. ANGUS E. TAYLOR, İntroduction to Functional Analysis, John Wiley and Sons, Inc.,

New York, 1968

10. GEORGE F. SIMMONS, Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill Book Co., New

York, 1963

11. ANGUS E. TAYLOR, General Theory of Functio ıı s and Integration, Blaisdell Publishing

Co., Waltam, Massachusetts, 1965

12. DAVID A. SANCHEZ, Ordinary Differential Equations and Stability Theory, W.R. Freeman

and Company, San Francisco, 1968

13. NORMAN B. HAASER and JOSEPH A. SULLIVAN, Real Analysis, Van Nostrand Com-

pany, New York, 1971

14. H.H. ROSENBROCK, Mathematics of Dynamical Systems, Nelson, London, 1970

15. DONALT L. KREIDER, ROBERT G. KULLER, DONALT R. OSTBERG, FRED W.

PERKINS, An İntrOduction to Linear Analysis, Addison Wesley Publishing Co., Reading.

Massachusetts, 1966

16. CHARLES G CULLEN, Linear Algebra and Differential Equations, Prindle, Weber and

Schmidt, Boston, 1979

17. RICHARD BELMAN, Introduction to Matrix Analysis, McGraw-Hill Book Co., Nork, 1970

18. JACK K. HALE, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, New York, 1969

19. W.A. COPPEL, Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, D.C. Heath an

Co. Boston, 1965

313

D İ Z İ N

(Rakamlar sayfa numaras ıdır)

A

Açık aralıkta parçal ı süreklilik, 7

Açık bağ lantı lı cümle, 66

Açık cümle, 65

Açık küre, 82

Adjoint operatör, 306

Alt dizi, 70

Alt matris, 124

Alt metrik uzay, 79

Alt üçgensel matris, 123

Ancak ve ancak, 31

Aş ağı dan sınırlı fonksiyon, 7

Aykırı dönüşüm, 246

Aykırı olmayan dönüşüm, 246

Ayrık nokta, 13

Ayrılabilir Hilbert uzay ı , 112

R •

Bire- bir ve üzerine fonksiyon, 2

Birim matris, 136

Birim normal vektör, 49

Birim vektör, 99

Birimli matris, 309

Birimli operatör, 307

Birindi uzay, 111

Blok kö şegen matris, 126

Blok üst üçgensel matris, 126

Boyut, 89, 198

Bölmeli matris, 154

C

Cauchy dizisi, 70

Cebirsel e ş lenik, 291

Ciimlenin maksimumu, 73

Cümlenin minimumu, 73

Banach uzay ı, 94

Basamak, 277

Baz, 89, 198

Belirgin metrik, 78

Bessel e ş itsizliğ i, 102

Bir bölgede analitik fonksiyon, 21

Bir cümlenin çap ı , 80

Bir dönü şümün bir skaler ile çarp ımı , 255

Bir fonksiyonun grafi ğ i, 2

Bir nokta ile bir cümle aras ındaki uzaklı k, 80

Bir noktada analitik fonksiyon, 21

Bir noktada süreklilik, 21, 27

Bir noktada türevlenebilme, 21, 27

Bir vektör alan ının divergensi, 53

Bir vektör alan ının rotasyonu, 59

Bire bir dönü şüm, 239

Bire bir fonksiyon, 2

Bire bir ve üzerine dönü şüm, 239

Ç

Çarpmaya göre ters, 141

Çarpmaya göre uygun, 135

Çekirdek, 241, 243

Çıktı matrisi, 126

Çözüm ciimlesi, 250

Çözüm uzayı , 210, 251

D Değ er cümlesi, 1

Değ işken katsay ılı operatör, 277

Değ işme özeliğ i, 136

Dejenere olmayan iç çarp ım, 97

Denklik sınıfı , 23

Derece, 281

Determinant, 163

Determinantm türevi, 231

Diferensiyel operatör, 53, 275

Dizi, 68

314

Dizinin limiti, 69

Doğrultu türevi, 40

Dual uzay, 291

Düzgün matris, 142

E

Eklemeli matris, 126, 177

Ekmatris, 168

Elemanter kolon i ş lemleri (ECO), 166

Elemanter matris, 188

Elemanter satır iş lemleri (ERO), 166

En büyük alt sınır (inf), 71

En küçük üst sınır (sup), 71

Eş biçimli, 91, 239

Eş değer sistemler, 176

Eş değ erlik, 218

Eş it matrisler, 122

Eşit operatörler, 282

Eş itsizlik, 10

Eş lenik fonksiyon, 22

Eş lenik matris, 148

Eş lenik uzay, 291

Etkisiz dönüşüm, 259

Etkisiz matris, 138

Etkisizlik derecesi, 138, 259

Euler operatörü, 283

F

Fonksiyon, 1

Fowler katsay ı sı , 100

G

Gauss-Jordan yoketme yöntemi, 181

Gauss yoketme yöntemi, 182

Genelleş tirilmiş metrik, 80

Genelleş tirilmiş ters, 226

Geometrik görüntü, 31

Geometrik yer, 6, 13

Gerçel değerli fonksiyon, '1

Gerçel fonksiyon, 1

Gerçel lineer uzay, 85

Gerek ve yeter ko şul, 31

Gerilen alt uzay, 87, 207

Geriye doğru konum, 177

Girdi matrisi, 126

Görüntü ciimlesi, 1

Gradient, 46, 53

Gradient vektörü, 46

Gram-Schmidt yöntemi, 102

Hermitiyen çarp ım, 108

Hermitiyen eş lenik, 148

Hermitiyen kolon işlemleri, 167

Hermitiyen matris, 151

Hermitiyen operatör, 307

Hermitiyen satır iş lemleri, 167

Hilbert uzayı , 110

Hiper düzlem, 298

Hiper uzay, 298

Hız vektörü, 31

Homogenlik özeliğ i 236

Homomorfizm, 256

TÇ çarpım, 96, 110

iç çarpım uzayı, 110

iç içe aral ık özeliğ i, 72

iç nokta, 65

İki cümle arasındaki uzakl ık, 80

Tki cümlenin do ğrudan toplamı , 87

Iki cümlenin toplamı , 87

İki dönüşümün bileş imi, 235

İki dönüşümün çarpımı , 235, 256

İki dönüş .mün toplamı , 255

Tki fonksiyonun bileş imi, 3

İki katl ı nokta, 17

İki matrisin çarp ımı , 135

Tki matrisin fark ı , 133

İki matrisin toplamı , 131

Tki operatörün e ş itliğ i, 283

İki yanlı ters, 262

Ikili iş lem, 131

İkinci derecede matris normu,.255

Ikinci eş lenik uzay, 297

involütif matris, 142

ivme, 31

Ivme vektörü, 31

iz, 161

iz dönüşümü 293

izdiişiim, 100

Izometri, 309

J

Jakobiyen, 18

Jakobiyen determinant ı, 18

315

Kapalı aralıkta parçalı süreklilik, 7

Kapalı cümle, 66

Kapalı fonksiyon, 13

Kararl ı skaler alan, 33

Kararl ı vektör alanı , 34

Karesel matris, 122

Karışı k çarp ım, 60

Karmaşı k değerli fonksiyon, 2

Karma şı k eş lenik, 108, 148

Karma şı k fonksiyon, 2

Karmaşı k lineer uzay, 86

Karmaşı k Oklid uzayı , 111

Kinematik, 31

Kinematik , görüntü, 31

Kofaktör, 163

Kolon matrisi, 123

Kolon rankı , 209

Kolon uzayı , 208

Komşuluk 67

Koordinat fonksiyonlar ı , 25

Koordinat vektör, 89

Korunumlu kuvvet alan ı , 56

Köşegen elemanlar ı , 123

Köşegen matris, 123

Kritik nokta, 42

Kuadratik form, 152

Kuvvetle monoton fonksiyon, 4

Kuvvetli üst üçgensel matris, 124

Kübik norm, 92

Küresel komşuluk 82

Küresel koordinatlar, 58

Küresel norm, 92

L

Lagrange ara de ğer formülü, 213

Laplace denklemi, 57

Legendre polinomlar ı , 107

Limit inferior, 73

Limit superior, 73

Lineer alt uzay, 86

Lineer bağı mlılık, 88, 198

Lineer ba ğı msı zlık, 88, 198

Lineer diferensiyel operatör, 276

Lineer dönüşüm, 236

Lineer dönüşümün matris gösterimi, 265

Lineer fonksiyonel, 290

Lineer form, 290

Lineer kombinasyon, 87

Lineer manifold, 86

Lineer olmayan operatör, 2 9

Lineer operatör, 257

Lineer sapma, 280

Lineer uzay, 85

M

Maksimal bağı msız alt cümle, 89

Matris fonksiyonunun integrali, 231

Matris fonksiyonunun türevi, 230

Metrik, 77, 110

Metrik uzay, 77

Minkovski eş itsizli ğ i, 101

Minor, 125

Monoton dizi, 70

Monoton fonksiyon, 4

Mutlak değer, 21, 108, 110

Mutlak değer fonksiyonu, 9

Mutlak eş itsizlik, 10

N

Norm fonksiyonu, 91, 224

Normal denklem, 205, 277

Normlanmış lineer uzay, 92

Nulite, 244

O

Oktahedral norm, 92

Operatör denklemi, 250

Ortogonal baz, 98

Ortogonal lineer fonksiyonel, 299

Ortogonal matris, 309

Ortogonal operatör, 307

Ortogonal tümleyen, 98, 299

Ortogonal uzay, 98

Ortogonal vektörler, 61, 98

Ortonormal baz, 60, 99

Oklid normu, 92

Oklid uzayı , 111 Ozdeşlik dönüşümü, 238

Ozdeş lik fonksiyonu, 2

Özelik, 30

Özellik, 30

316

P

Paralelkenar yasas ı , 99, 128

Parametrik gösterim, 24, 34

Parametrik olmayan gösterim, 34

Parçacık (partikül), 31

Parçal türevler vektörü, 27

Parçal ı düzgün fonksiyon, 7

Parçal ı monoton fonksiyon, 4

Parçal ı sürekli fonksiyon, 7

Polinomun bir matris için değeri, 139

Polinomun sınıfı, 259

Potansiyel fonksiyonu, 56

Pozitif definit, 97, 108

R

Rank, 192, 244

S

Sabit fonksiyon, 2

Sabit katsay ılı operatör, 277

Sağ ters, 226, 262

Satır indirgemeli eş eloıı matrisi, 181

Satır kanonik biçim, 181

Satır matrisi, 122

Satır rankı , 209

Satır uzayı , 208

Satı •ca e şdeğerlik, 180

Schwarz e ş itliğ i, 101

Sıfır bölenleri, 138

Sıfır denklem 297

Sıfır dönü şümü, 238

Sıfır iç çarpım, 115

Sıfır matrisi, 124

Sıfır uzayı , 115, 210, 241

Sıfirliyan, 299

Sınırlı cümle, 80, 85, 93

Sınırlı dizi, 70

Sımrh fonksiyon, 7, 27, 30

Sınırsız cümle, 80

Sikloit, 35

Silindirik koordinatlar, 58

Simetrik kom şuluk, 67

Simetrik matris, 151

Simetrik olmayan kom şuluk, 67

Simetrik operatör, 307

Skaler alan, 33

Skaler bile şenler, 129

Skaler fonksiyon, 22

Skaler ile çarp ım, 133

Skaler matris, 137

Skaler üçlü çarp ım, 60

Sol ters, 226, 262

Sonlu boyut, 89, 209

Sonsuz boyut, 89, 208

ş Ş artlı eş itsizlik, 10

Ş artlı ters, 226

Ş ekil benzerli ğ i, 239, 308

T

Tabii dönü şüm, 298

Tabii metrik 78

Tam denklem, 279

Tam diferensiyel, 61

Tam metrik uzay, 79

Tamlık, 71

Tamm bölgesi, 1

Teklik problemi; 253

Temel katsayı , 205, 277

Ters bağı ntının dalları , 6

Ters fonksiyon, 5

Ters Hermitiyen matris, 151

Ters Hermitiyen operatör, 307

Ters lineer, 293

Ters simetrik matris, 151

Ters simetrik operatör, 307

Tersine çevrilebilir dönüşüm, 262

Tersine çevrilebilir matris, 142

Tersine çevrilemez matris, 142

Toplamaya göre kapalı , 131

Toplamaya göre uygun, 131

Topolojik uzay, 68

Transpoze, 147, 302

Türetilen cümle, 65

Türetilen metrik, 93

Türetilen norm, 225

Türev vektörü, 27

Türevlenebilme, 21, 51

U

Uzaklık fonksiyonu, 77

Ü

Üst üçgensel matris, 123

UstiiSte gelme kural ı , 243

317

Üzerine dönü şüm, 239 Vektör fonksiyonunun üç katl ı integrali, 28

Üzerine fonksiyon, 2

Vektör uzayı , 86

V

Vandermonde matrisi, 171, 212

Varlık problemi, 253

Vektör, 23

Vektör alan ı , 33

Vektör bileş enleri, 129

Vektör de ğerli fonksiyon, 22

Vektör fonksiyonu, 22

Vektör fonksiyonunun e ğ risel integrali, 28

Vektör fonksiyonunun iki katl ı integral ı , 28

Vektör fonksiyonunun integrali, 27

Vektör fonksiyonunda limit, 27

Wronskiyen, 205

Wronksiyen matrisi, 204

Y Yarı lineer, 293

Yer vektörü, 23

Yerel durum, 14

Yığı lma noktası , 65, 69

Yörünge, 31

Yukardan s ınırlı fonksiyon, 7

Yüzeyin normali, 49

318

SIMGELER

Df f in tanım bölgesi, 2

1

Rf f in görüntü cümlesi 1

fog

f ve g nin bile ş imi, 3, 235

f- ı f in ters fonksiyonu, 5

GJk [a,b ] [a, b] üzerinde k y ıncı basamaktan sürekli türevlenebilir fonksiyonlar uzayı , 7, 203, 260

Rn n boyutlu oklid (Euclidean) uzay ı , 27, 112

Daf a doğ rultusunda f in do ğ rultu türevi 41

dof 0 açısı doğrultusunda f in do ğ rultu türevi, 42

gradf f f in gradienti, 46, 47

DaW(P) Bir W vektör alan ının P noktas ında ve a do ğ rultusunda doğ rultu

türevi, 51

grad=v gradient operatörü, 53

v.W divW W vektör alammn divergensi, 53

vaW---rotW W vektör alanının rotasyonu, 59

Ebed ] b,e,d vektörlerinin skaler üçlü çarp ıntı (karışı k çarpun), 60

n boyutlu birimli uzay, 67, 112

<s,:nEN> dizi gösterimi, 68

dizinin görüntü cümlesi, 68

(X,d) d metrikli metrik uzay, 77

e[0,1] [0,1] üzerinde sürekli fonksiyonlar uzay ı , 78

d(p,A) p den A nın noktalarına olan uzakl ıklarm en büyük alt s ınırı , 80

d(A,B) A daki noktalardan B deki noktalara olan uzakhklarm en büyük alt

sımn, 80

d(A) A daki noktalar aras ındaki uzaklıkların en küçük üst s ınırı , 80

Sd(p,8) d metriğ ine göre p'den 8 uzaklığı içindeki noktalar cümlesi, 82

sp(S)=span(S)=L(S) S deki vektörlerin lineer kombinasyonlar ı cümlesi, 87, 207

U+V U ve V cümlelerinin toplamı , 87

U(:)V U ve V cümlelerinin doğ rudan toplamı , 87

dim V V uzaymın boyutu, 89

5. (X,R) X üzerinde tamml ı gerçel değ erli fonksiyonlar cümlesi, 89

e (a,b)] [a,b ]üzerinde sürekli fonksiyonlar uzayı , 90

319

L {F(t)} F(t) nin Laplace dönü şümü, 90

II Ile Oklid ya da küresel norm, 92, 224

II. Ile Kübik norm, 92, 224

II • II° Oktahedral norm, 92

e(X,R) X metrik uzay ı üzerinde s ınırlı sürekli gerçel fonksiyonlar cümlesi, 94

C(X,C) X metrik uzayı üzerinde sınırlı sürekli karma şı k fonksiyonlar cümle- si, 94

<v,w> v ve w nin iç çarp ımı , 96

Sl = S° S cümlesinin ortogonal tümleyeni, 98, 299

12 kareler toplam ı yakmsayan sonsuz dizilerin Hilbert uzayı , 112

1, 2 karesi integre edilebilen fonksiyonlarm Hilbert uzay ı , 112

aij= entii(A) A matrisinin i yıncı satır ve j yıncı kolondaki elemam,122

Dg(dt ,d 2 ,...,dn) Köşegen matris, 123

Rowi(M) M matrisinin i yıncı satırı , 124

Colj(M) M matrisinin j yıncı kolonu, 124

Minii(M) M matrisinin (i,j) konumunun minörü, 125

8 ii Kronecker deltas ı , 136

A-1 A matrisinin tersi, 138, 143

AT A matrisinin transpozesi, 147, 302

karmaşık A matrısinin eş leniğ i, 148

A* A matrisinin Hermitiyen e ş leniğ i, 148

izA= tr(A) A matrisinin izi, 161

det(A) A matrisinin determinant ı , 163

cofii(A) A matrisinin (i, j) konumunun kofaktörü, 163

B A ve B satırca eş değerdir, 180 R

IEno elemanter matris, 186

rank (A) A matrisinin rankı, 192

61;) gerçel katsay ı lı sonlu dereceli polinomlar cümlesi, 201, 210

e(I) I arahğı üzerinde sürekli fonksiyonlar uzay ı , 203

e (-co , 00) (—cX),00) arahğuada sürekli fonksiyonlar uzay ı , 204

%MU, mxn biçiminde gerçel matrisler cümlesi, 199, 208

NS(A) A matrisinin sıfır uzayı, 210

n derecesi n den az polinomlar cümlesi, 211

A••-• C B A ve B kolonca eşdeğerdir, 218

B A ve B e şdeğerdir, 218

A<— ') koşullu ya da genelleş tirilmiş ters, 226

[vj e v vektörünün {%). baz ııı a göre koordinat vektörü, 240

RF F dönüşümünün görüntü cümlesi, 241

KernelF-= KerF F dönüşümünün çekirde ğ i ya da sıfır uzayı , 241

nulite(F)=n(F) F dönüşümünün nulitesi (çekirde ğ inin boyutu), 244

320•

Iu U üzerinde özde ş lik döniisiimü, 248 e2(__ CO) (_.0,00) aralıgında ikinci basamaktan sürekli türevlenebilir fonksi-

yonlar uzayı , 252

[a,b ] [a,b] üzerinde sonsuz kez sürekli türevlenebilir fonksiyonlar uzay ı , 260

[A:131 ,B 2 ] B i veB 2 bazlarına göre A dönüşümünün matris gösterimi, 265

[A] A dönü şümünün matris gösterimi, 265

[A:B] A dönü şümünün B baz ına göre matris gösterimi, 265

V* V nin eş lenik uzayı (cebirsel e ş leniğ i ya da dual uzayı), 291

V** V nin ikinci e ş lenik uzayı , 297

T* T operatörünün adjoint operatörü, 305

321

matris metodları ve lineer dönüşümler -...

Documents