matriks bahan pengantar kuliah analisis multivariat heri...
TRANSCRIPT
MATRIKS Bahan Pengantar Kuliah Analisis Multivariat
Heri Retnawati Pengenalan matriks 1. Definisi matriks Matriks adalah salah satu konsep dalam matematika yang banyak diterapkan pada konsep matematika yang lain seperti penyelesaian program linier dan vektor. Matriks didefinisikan sebagai berikut: Matriks adalah suatu susunan bilangan yang berbentuk persegi panjang yang diatur menurut aturan baris dan kolom. Matriks dilambangkan dengan huruf besar atau alfabet kapital.. Bilangan-bilangan di dalam matriks disebut dengan elemen matriks. Bilangan-bilangan ini diletakkan dalam tanda kurung ataupun tanda kurung siku (bukan kurawal atau tanda mutlak) Perhatikan penulisan matriks berikut ini:
mn3m2m1m
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaaaaaaa...aaa
A
Atau
mn3m2m1m
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaaaaaaa...aaa
A
a11 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-1 kolom ke-1 a21 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-2 kolom ke-1 a32 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-3 kolom ke-2 . . . amn adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-m kolom ke-n amn dengan m = n yaitu yang terletak pada nomor baris dan nomor kolom yang sama dikatakan elemen-elemen matriks yang terletak pada diagonal utama atau elemen diagonal utama.
Sebanyak n kolom
Sebanyak m baris
Sebanyak m baris
Ukuran matriks disebut dengan ordo matriks. Karena matriks A mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n maka matriks A dinyatakan berordo m x n. Jika m = n, biasanya ukuran matriks hanya ditulis “m” saja. Catatan: Ordo matriks ditulis dengan “banyaknya baris x banyaknya kolom”. Tanda “x” tersebut bukan tanda operasi bilangan. Contoh: Tentukan ordo dari matriks:
1. A =
221480321
2. B = 4321
Jawab. 1. Banyaknya baris matriks A adalah 3, banyaknya kolom matriks A adalah 3 maka ordo
matriks A adalah 3x3 atau A3 2. Banyaknya baris matriks B adalah 1, banyaknya kolom matriks B adalah 4 maka ordo
matriks B adalah 1 x 4 atau A1x4 2. Macam-macam matriks istimewa Ada matriks-matriks yang dikatakan istimewa karena ukurannya maupun elemen-elemennya. Matriks-matriks istimewa antara lain: a. Matriks persegi yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh
matriks persegi adalah:
A2=
9142
, B3 =
261450341
b. Matriks baris yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Contoh matriks baris adalah: A1x5 = (2 3 4 6 -1) , B1x3 = (0 0 0) c. Matriks kolom yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Contoh matriks kolom
adalah:
A2x1=
21
, B4x1=
0044
d. Matriks nol yaitu matriks yang semua elemennya adalah bilangan nol. Matriks nol diberi
nama O. Contoh matriks nol adalah:
O3x2 =
000000
, O1x5=(0 0 0 0 0)
e. Matriks segitiga atas yaitu matriks yang elemen-elemen di bawah elemen diagonal utama
adalah bilangan nol. Contoh matriks segitiga atas adalah:
K3 =
200450341
f. Matriks segitiga bawah yaitu matriks yang elemen-elemen di atas elemen diagonal utama
adalah bilangan nol. Contoh matriks segitiga bawah adalah:
Q3x3 =
241052001
g. Matriks diagonal yaitu matriks yang semua elemennya adalah nol kecuali paling sedikit terdapat bilangan bukan nol pada diagonal utama. Contoh matriks diagonal adalah:
B3X3 =
400020003
h. Matriks satuan atau matriks identitas yaitu matriks yang diagonal utamanya adalah
bilangan satu dan selain elemen diagonal utama adalah bilangan nol. Suatu matriks yang dikalikan dengan matriks identitas hasilnya adalah matriks itu sendiri. Matriks identitas diberi nama O. Contoh matriks identitas adalah:
I =
100010001
Operasi aljabar matriks Pada pembahasan operasi aljabar matriks pada bagian ini, dikhususkan untuk matriks ordo 2. namun pada prinsipnya berlaku sama untuk matriks yang lain. 1. Transpose matriks Transpose matriks Amxn adalah matriks AT
nxm yaitu dengan menukarkan elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom matriks Amxn
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
maka AT =
2212
2111aaaa
Contoh: Tentukan transpose matriks:
1. P =
432
2. Q =
2233
3. R =
333111
Jawab.
1. PT = (2 3 4) 2. QT=
2323
3. RT=
313131
2. Kesamaan dua matriks Dua buah matriks dikatakan sama jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks bernilai sama.
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
dan matriks B =
2221
1211bbbb
,
A = B atau
2221
1211aaaa
=
2221
1211bbbb
a11 = b11 ; a12 = b12 ; a21 = b21 ; a22 = b22
3. Penjumlahan Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks yang dijumlahkan. Syarat dua buah matriks dapat dijumlahkan adalah ukuran kedua matriks sama.
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
dan matriks B =
2221
1211bbbb
,
maka A + B =
2221
1211aaaa
+
2221
1211bbbb
=
22222121
12121111babababa
Contoh:
Jika P =
823021
, Q =
135212
dan R =
302
141, hitunglah:
1. P + Q 2. Q + R 3. P + (Q + R) Jawab.
1. P + Q =
823021
+
135212
=
752
233
2. Q + R =
135212
+
302
141=
433351
3. P + (Q + R) =
823021
+
302
141135
212
=
823021
+
433351
=
450372
Tugas Proyek 1. Menyelidiki sifat-sifat penjumlahan matriks Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan pada bilangan riil dan definisi penjumlahan matriks, tunjukkanlah bahwa:
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
, matriks B =
2221
1211bbbb
dan
matriks C =
2221
1211cccc
maka
1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. A + O = O + A = A 4. A + (-A) = O Dari tugas proyek 1 di atas, dapat dibuktikan lebih lanjut sifat-sifat penjumlahan matriks secara lebih umum. 4. Lawan matriks
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
, maka lawan dari matriks A adalah –A =
2221
1211aaaa
Contoh:
Tentukan lawan dari matriks A =
4321
21
Jawab.
– A =
432121
Sifat-sifat penjumlahan matriks Jika diketahui matriks Amxn, Bmxn dan Cmxn, maka berlaku:
1. Sifat komutatif yaitu A + B = B + A 2. Sifat asosiatif yaitu A + (B + C) = (A + B) + C 3. Setiap matriks mempunyai elemen identitas terhadap operasi
penjumlahan yaitu matriks O 4. Invers dari matriks A adalah –A sehingga A + (-A) = (-A) + A = O
5. Pengurangan Pengurangan dua matriks dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks. Dengan demikian, syarat pengurangan dua matriks adalah ordo dari kedua matriks sama.
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
dan matriks B =
2221
1211bbbb
,
maka A - B =
2221
1211aaaa
-
2221
1211bbbb
=
22222121
12121111babababa
Contoh:
Jika P =
823021
, Q =
135212
dan R =
302
141, hitunglah:
1. P – Q 2. Q – R 3. P – (Q + R) Jawab.
1. P – Q =
823021
–
135212
=
918211
2. Q – R =
135212
–
302
141=
237133
3. P – (Q + R) =
823021
–
302
141135
212
=
823021
–
433351
=
1216
330
6. Perkalian dengan skalar Perkalian matriks dengan skalar dilakukan dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar tersebut.
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
dan k suatu skalar (bilangan riil) maka perkalian
matriks A dengan skalar adalah k . A =
2221
1211kakakaka
Contoh 1:
Diketahui matriks A =
4321
21, hitunglah:
1. 2A 2. -5A Jawab.
1. 2A = 2 .
4321
21=
8642
42
2. -5A = -5 .
4321
21=
2015105105
Contoh 2.
Jika P =
823021
, Q =
135212
dan R =
302
141, hitunglah:
1. 2P + 3Q 2. Q – 5R 3. 10(P + Q) Jawab.
1. 2P + 3Q = 2
823021
+3
135212
=
1646042
+
3915636
=
13139
678
2. Q – 5R =
135212
– 5
302
141
=
135212
–
150105205
=
143153197
3. 10(P + Q) = 10
823021
+
135212
=10
752
233
=
705020
203030
Tugas Proyek 2. Menyelidiki sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
, matriks B =
2221
1211bbbb
, k dan l adalah skalar
(bilangan riil), dengan menggunakan definisi perkalian matriks dengan skalar dan sifat-sifat perkalian bilangan riil, tunjukkan bahwa: 1. kA = Ak 2. k(lA) = (kl)A 3. k(A + B) = kA + kB Dari tugas proyek 2 di atas, dapat dibuktikan lebih lanjut sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar secara lebih umum. 7. Perkalian dua matriks Perkalian dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali elemen pada satu baris matriks pertama dengan satu kolom pada matrimatriks kedua. ks kedua. Dengan demikian, syarat dua buah matriks dapat dikalikan adalah banyak kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
Jika diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
dan matriks B =
2221
1211bbbb
,
Maka AB =
2221
1211aaaa
2221
1211bbbb
=
2222122121221121
2212121121121111babababababababa
=C
Perhatikan ukuran matrik hasilnya: A2x2B2x2 = C2x2 ! Untuk lebih jelasnya, perhatikan perkalian matrik berikut ini:
Jika diketahui matriks P2x3 =
232221
121211pppppp
dan Q3x3 =
111111
111111
111111
qqqqqqqqq
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar Jika diketahui Amxn, Bmxn, k dan l adalah skalar (bilangan riil) maka berlaku sifat-sifat: 1. kA = Ak 2. k(lA) = (kl)A 3. k(A + B) = kA + kB
PQ =
232221
131211pppppp
333231
232221
131211
qqqqqqqqq
=
332323221321322322221221312321221121
331323121311321322121211311321121111qpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqp
Misal hasil kalinya adalah matriks R maka P2x3Q3x3=R2x3.
Jadi, jika hasil kali matriks Amxk dan matriks Bkxn adalah C maka AmxkBkxn = Cmxn (Perhatikan ordo matriks hasil kalinya) Contoh 1: Hitunglah:
1.
8215
21
16
2.
105122
13
203401
Jawab.
1. 2x282
15
2x22116
=
2x21420729
16281225130
2.
2x4105122
13
3x2203401
=
3x4203601412081000
200030104001514800622120033
Tugas Proyek 3. Menyelidiki sifat-sifat perkalian matriks ordo 2
Diketahui matriks A =
2221
1211aaaa
, matriks B =
2221
1211bbbb
, matriks C =
2221
1211cccc
, I adalah
matriks identitas berordo 2, O adalah matriks nol dan k adalah skalar (bilangan riil), selidikilah apakah: 1. AB = BA 2. A(BC) = (AB)C 3. IA = A dan AI = A 4. AO = OA 5. k(AB) = (kA)B
6. A(B + C) = AB + AC 7. (B + C)A = BA + CA Dari tugas proyek 3 di atas, secara umum dapat disimpulkan sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks berikut ini: Contoh 2.
Diketahui matriks A =
3211
, matriks B =
2135
, matriks C =
1340
dan I adalah matriks identitas ordo 2. Hitunglah: 1. a. AB b. BA 2. a. A(BC) b. (AB)C 3. a. IA b. AI 4. a. 2(AB) b. (2A)B 5. a. A(B + C) b. AB + AC Jawab.
1. a. AB=
3211
2135
=
121314
b. BA=
2135
3211
=
53411
Simpulan: AB BA
2. a. A(BC)=
3211
2135
1340
=
3211
26179
=
4036153
b. (AB)C=
3211
2135
1340
=
121314
1340
=
4036153
Simpulan: A(BC) = (AB)C
Sifat-sifat perkalian matriks Perkalian dua matriks yang memenuhi syarat dapat dikalikan berlaku:
1. Sifat asosiatif, misalnya A(BC) = (AB)C 2. I adalah matriks identitas perkalian, misalnya IA = AI = A 3. Sifat distributif perkalian terhadapa penjumlahan/pengurangan, misalnya
A(B + C) = AB + AC 4. Sifat distributif penjumlahan/pengurangan terhadap perkalian, misalnya
(B + C)A = BA + CA Ingat: syarat dua matriks dapat dikalikan adalah banyaknya kolom matriks pertama sama dengfan banyaknya baris matriks kedua
3. a. IA =
1001
3211
=
3211
b. AI =
3211
1001
=
3211
Simpulan: IA=AI
4. a. 2(AB) = 2
3211
2135
=2
121314
=
242628
b. (2A)B =
3211
2
2135
=
6422
2135
=
242628
Simpulan: 2(AB) = (2A)B
5. a. A(B + C) =
3211
2135
+
1340
=
3211
12
75=
3467
b. AB + AC =
3211
2135
+
3211
1340
=
121314
+
159
53
=
3467
Simpulan: A(B + C) = AB + AC Latihan 1.
1. Diketahui matriks A =
5213
, matriks B =
2136
dan matriks C =
3740
,
tentukan: a. A + B f. 2A + B k. A + B + C b. B + A g. –A + 2C l. A + 2B + C c. A + C h. B + 3C m. –A + 3B +2C d. C + A i. –C + 4A n. –A + (-B) + (-C) e. A + 2B j. 2A + 3B o. 2(A + B) + C
2. Tentukan ordo matriks hasil penjumlahan pada soal nomor 1.
3. Jika matriks P =
803511
, matriks Q =
212124
dan matriks R=
151032
, tentukan:
a. P – Q f. 2(P – R) k. P – Q – R b. P – R g. 3R – P l. P – 2(Q – R) c. Q – R h. Q – 5P m. 4P – 2Q – 2R d. 2P – R i. -2R – P n. 3(P – Q) – 5R e. P – 3Q j. -5P – 3Q o. Q – R – P
4. Tentukan ordo matriks hasil pengurangan pada soal nomor 2. 5. Hitunglah hasil kali dari matriks-matriks berikut ini:
a. (1 1 1 1)
54
32
b. 7542321
c.
5213
713511
d.
4201
01
40
6. Jika matriks A =
0313
5412 dan matriks B =
342
1
,
a. Apakah hasil dari perkalian matriks A dan B? b. Apakah AB = BA? Jelaskan pendapatmu.
7. Diketahui matriks A =
3467
, matriks B =
2153
, matriks C =
3131
dan I
adalah matriks identitas ordo 2, hitunglah: a. (i) AB (ii) BA b. (i) AC (ii) CA c. (i) A(BC) (ii) (AB)C d. (i) IA (ii) AI e. (i) CBI (ii) BCI f. (i) 3(AB) (ii) (3A)B g. (i) A(B + C) (ii) AB + AC h. (i) A(B - C) (ii) AB - AC
8. Diketahui matriks P =
521031342
,matriks Q =
431016120
dan I adalah matriks
identitas ordo 3, tentukan: a. P + Q e. PQ b. P – Q f. QP c. 2P + 3(PQ) g. P(IQ) d. P(P+Q) h. Q(PI)
9. Jika matrika A =
513311
, agar AB = BA tentukan:
a. ordo matriks B b. matriks B
10. Tentukan matriks A jika:
a.
03135312
+ A =
71135236
b. A +
511163385
=
006531242
11. Misal matriks A=
dbca
, tentukan a, b, c dan d jika A
2153
=
1001
12. Misal matriks B=
dbca
, tentukan a, b, c dan d jika
6232
B=
1001
Determinan matriks ordo 2
Jika diketahui matriks A2 =
dcba
, maka determinan dari matriks A adalah:
det A = |A| = dcba
= ad – bc
Jika ad = bc maka det A = 0. Suatu matriks yang determinannya sama dengan nol disebut dengan matriks singular. Matriks singular dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini: Catatan: Lambang determinan suatu matriks adalah dengan mengganti kurungnya menjadi kurung tanda mutlak. Contoh:
Hitunglah: a. 1251
b. 1236
Jawab.
a. 1251
= 1 – 10 = –10 b. 1236
= –6 – (–6) = 0
Invers matriks ordo 2 Jika invers dari matriks A adalah A-1 maka berlaku A A-1 = A-1 A = I
Jika diketahui matriks A2 =
dcba
, maka invers dari matriks A adalah:
A-1 =
acbd
Adet1 , dengan det A 0
Jika A adalah suatu matriks, I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, k adalah skalar, maka A – kI adalah suatu matriks singular. Dengan kata lain, det(A-kI) = 0
Jika det A = 0 maka matriks A tidak mempunyai invers. Periksa bahwa A A-1 = I
A A-1 =
dcba
acbd
Adet1
A A-1=Adet
1
dcba
acbd
{sifat perkalian matriks dengan skalar}
A A-1=
adbccdcdababbcad
bcad1
A A-1=
adbc0
0bcadbcad
1 {sifat perkalian matriks dengan skalar}
A A-1=
1001
A A-1 = I Coba kalian periksa bahwa A-1 A = I! Contoh 1.
Tentukan determinan dan invers dari matriks P =
5231
Jawab. det P = (1)(5) – (2)(-3) = 11
P-1=
111
113
112
115
1325
111
Contoh 2.
Tentukan matriks B jika
5522
B =
15
2
Jawab.
Misal A =
5522
dan C =
15
2 maka
AB= C A-1AB = A-1C {kalikan kedua ruas dari arah kiri dengan A-1) (A-1A)B = A-1C {sifat asosiatif pada perkalian matriks} I B = A-1C {A-1A = I} B = A-1C {IB = B karena I adalah matriks identitas}
Karena A-1=
25
25201
2525
)10(101 maka
B =
2
14020
201
152
2525
201
Jadi B =
21
Catatan: AB = C A-1AB = A-1C {kedua ruas dikalikan dengan A-1 dari kiri} I B = A-1C B = A-1C AB = C AB B-1 = C B-1 {kedua ruas dikalikan dengan B-1 dari kanan} A I = CB-1 A = CB-1 Latihan 2. 1. Tentukan determinan dan invers dari matriks-matriks berikut ini:
a.
1111
f.
1001
b.
8243
g.
2233
c.
4225
h.
5213
d.
5213
i.
0113
e.
1416
j.
5515
2. Diketahui matriks A=
6354
, B=
3ba1
, C=
34312
dan D=
1ac1c2
,
hitunglah determinan matriks D, jika A + B = CD
3. Diketahui matriks A =
2433
dan I adalah matriks identitas ordo 2. Jika A – kI adalah
matriks singular, hitunglah nilai dari k. 4. Tentukan matriks X pada persamaan AX = B jika:
a. A=
1014
dan B =
51216
b. A=
11
12 dan B =
61123
c. A=
22
15 dan B =
122221
d. A=
12
11 dan B =
4022103
e. A=
1110
dan B =
32
5. Tentukan matriks Y pada persamaan YP = Q jika
a. P =
2325
dan Q = (-13 -6)
b. P =
5153
dan Q =
1301
c. P =
11133
dan Q =
1301
d. P =
0117
dan Q =
7001417
e. P =
2334
dan Q =
101
5100511
6. Jika
sincoscossin
cossin
yx
, carilah nilai x dan y.
7. Bilamana suatu matriks ordo 2 tidak mempunyai determinan? Jelaskan pendapatmu! 8. Bilamana suatu matriks ordo 2 tidak mempunayi invers? Jelaskan pendapatmu! Menyelesaikan sistem persamaan linier dua veriabel dengan determinan matriks Diketahui sistem persamaan linier dengan veriabel x dan y sebagai barikut: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Untuk memperoleh penyelesaiannya, sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matriks sebagai berikut:
2
1
22
11cc
yx
baba
Matriks koofisien Matriks variabel
Matriks hasil
Dari persamaan matriks tersebut, ditetapkan determinan-determinan sebagai berikut:
D = 22
11baba
Dx=22
11bcbc
Dy=22
11caca
Maka penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah:
x = D
Dx dan y = D
Dy
Catatan: D adalah determinan dari matriks koofisien Dx adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen pada kolom pertama dengan elemen-elemen pada matriks hasil Dy adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom kedua dengan elemen-elemem pada matriks hasil Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan invers matriks Diketahui sistem persamaan linier dengan veriabel x dan y sebagai barikut: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Untuk memperoleh penyelesaiannya, sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matriks sebagai berikut:
2
1
22
11cc
yx
baba
2
11
22
11
22
111
22
11cc
baba
yx
baba
baba
2
1
12
12
1221 cc
aabb
baba1
yx
1001
2
1
12
12
1221 cc
aabb
baba1
yx
2112
2112
1221 cacacbcb
baba1
yx
1221
21121221
2112
babacacababacbcb
yx
Jadi, x = 1221
2112babacbcb
dan y =
1221
2112babacaca
Ringkasnya:
Misal
2
1
22
11cc
Cdanyx
X,baba
A
Jika AX = C maka X = A-1C Contoh. Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan determinan matriks dan invers matriks. 2x + y = 7 x – 3y = -7 Jawab. Sistem persamaan linier tersebut dapat disusun dalam perkalian matriks sebagai berikut:
7
7yx
3112
Cara 1. Penyelesaian dengan determinan matriks
D = 31
12
= -6 – 1 = -7
Dx= 3717
= -21 + 7 = -14
Dy= 7172
= -14 – 7 = -21
x = 27
14D
Dx
dan y = 3721
DDy
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 3 Cara 2. Penyelesaian dengan invers matriks
7
7yx
3112
77
3112
yx
3112
3112 11
77
3112
yx
.I1
7
72113
71
yx
32
yx
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 3 Latihan 3. Selesaikanlah sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan determinan matriks dan invers matriks. 1. 2. 3. Determinan matriks ordo 3
Jika diketahui matriks A3 =
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
maka determinan dari matriks A adalah
Det A = | A | = (a11 a22a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12) Rumus tersebut diperoleh dengan aturan sarrus sebagai berikut:
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
Cara penggunaan aturan sarrus: 1. Susun elemen-elemen matriks pada kolom pertama dan kedua di sebelah kanan kolom ketiga 2. Kalikan elemen-elemen matriks sesuai dengan arah panah 3. Determinannya adalah jumlah hasil kali elemen-elemen matriks arah panah ke bawah
dikurangi jumlah hasil kali elemen-elemen matriks arah panah ke atas. Contoh: Hitunglah determinan dari matriks:
+ + +
2x + 3y = 11 x – 2y = -12 x + y = 3 2x + y = 1 2u + 5v = -5 u – 2v = -7
4. 4a – 3b = 8 a – 2b = 7
5. 3v + 3w = 6 v + 5w = -6
1. A =
511163385
2. B =
510321
321
Jawab. 1. dengan menggunakan atruran sarrus:
116385
511163385
det A =
511163385
(150 + 8 + 9) – (18 – 5 – 120) = 274
2. dengan menggunakan aturan sarrus:
1021
21
510321
321
det A = 510321
321
= (-10 + 0 + 3) – (0 + 3 – 5) = -5
Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan determinan matriks
150 8 9
18 5 120
-10 0 3
0 3 5
Diketahui sistem persamaan linier dengan variabel x, y dan z sebagai berikut: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matriks sebagai berikut:
333
222
111
cbacbacba
zyx
=
3
2
1
ddd
Dari persamaan matriks tersebut ditetapkan determinan-determinan sebagai berikut:
D =
333
222
111
cbacbacba
Dx =
333
222
111
cbacbacba
Dy =
333
222
111
cbacbacba
Dz =
333
222
111
cbacbacba
Maka penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah:
x = D
Dx y =D
Dy z =D
Dz
Catatan: D adalah determinan dari matriks koofisien Dx adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen pada kolom pertama dengan elemen-elemen pada matriks hasil Dy adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom kedua dengan elemen-elemem pada matriks hasil Dz adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom ketiga dengan elemen-elemem pada matriks hasil Contoh: Selesaikanlah sistem persamaan linier berikut menggunakan determinan matriks. x + y + z = 6 2x + 3y + z = 11 x + 2y + 3z = 14 Jawab.
Matriks koofisien Matriks variabel
Matriks hasil
Sistem persamaan linier tersebut dapat disusun dalam perkalian matriks sebagai berikut:
321132111
zyx
=
14116
D = 321132111
= (9 + 1 + 4) – (3 + 2 + 6) = 14 – 11 = 3
Dx = 32141311116
= (54 + 14 + 22) – (42 + 12 + 33) = 90 – 87 = 3
Dy = 31411112161
= (33 + 6 + 28) – (11 + 14 + 36) = 67 – 61 = 6
Dz = 14211132611
= (42 + 11 + 24) – (18 + 22 + 28) = 77 – 68 = 9
x = 133
DDx y = 2
36
DDy z = 3
39
DDz
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3 Latihan 4. Selesaikanlah sistem persamaan linier tiga veriabel berikut dengan menggunakan determinan matriks. 1. 2x + y + z = 7 x + 3y + z = 10
x + 5y + 3z = 20 2. u + v + w = 4 5u + 3v + w = 4
u + 2v + w = 6 3. -x + y + z = -3 x + 3y + z = -1
6x + 5y + 3z = 7 4. 2a + b = 8 a + b + c = 5
7a - b + 5c = 5 5. p + q – r = 7 -p - q + r = -7
2p - q + 3r = 10
EKSPLORASI
Diketahui matriks A =
302113
211, matriks B =
333
222
111
cbacbacba
dan I =
100010001
Jika AB = I dan BA = I, carilah matriks B.