By:Siti Khotijah

Pengantar

Dua matriks itu dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan jika elemen-elemen yang bersesuaian sama.

•aij: elemen matrix A pada baris ke-i dan kolom ke-j.•Untuk sebuah matriks persegi A dengan ordo nn, diagonal utamanya adalah:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a

A

a

Jadi, A = B if aij = bij.

Penjumlahan

Jadi, jika , maka ij ij ijC A B c a b

Misal A dan B adalah dua matriks yang berukuran

sama.

Hasil penjumlahan dari A + B adalah matriks

yang diperoleh dari penjumlahan elemen-elemen

yang bersesuaian dari A dan B.

Matriks A + B akan menjadi matriks yang

berukuran sama seperti matriks A dan B.

Jika A dan B tidak berukuran sama, mereka tidak

dapat dijumlahkan, dan kita katakan bahwa hasil

penjumlahannya tidak ada.

1 4 7 2 5 6 5 4

0 2 3 3 1,

8 2 7, .

Misalkan dan A B C

Tentukan A + B dan A + C, Jika hasil penjumlahannya ada.

Penyelesaian:

1 2 4 5 7 6

0 3 2 1 3

1 4 7 2 5 6

0 2 3 3 1

8

3 9 1

3 1 1

( )

1

1

.

8 A B

(2) Karena A adalah matriks 2 3 dan C adalah sebuah matriks 2 2, mereka bukan matriks yang berukuran sama, maka A + C tidak ada.

Perkalian Skalar

Jadi, jika , maka ij ijB cA b ca

Misalkan A adalah sebuah matriks dan c adalah

sebuah skalar. Perkalian skalar dari A dengan c,

dinyatakan dengan cA, adalah matriks yang

diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A

dengan c. Matriks cA akan menjadi berukuran sama

seperti A.Contoh 3

1 2 4

0.

7 3

Misalkan A

3 1 3 ( 2) 3 4

3 7 3 ( 3) 33 .

3 6 1

10

2

2 9 0A

Perhatikan bahwa A dan 3A keduanya merupakan matriks 2 3.

Jika B adalah sebuah matriks, maka –B akan menyatakan hasil

kali (-1)B. Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama,

maka

A – B = A + (–1)B

Contoh 4

5 0 2 2 8 13 6 5 0 4 6 .

Andaikan dan A

5 2 0 8 2 ( 1) 3 8 1

3 0 6 4.

5 6 3 2 1 1

A B

Perkalian

11 1 2 2

1

2

2 i iij i j i j i in

j

j

n

j

nj

n

a a a

b

c a b a b bb

b

a

Misalkan bilangan yang menyatakan banyaknya kolom sebuah matriks A sama seperti bilangan yang menyatakan banyaknya baris sebuah matriks B. Maka hasil kali AB itu ada.

Jika bilangan yang menyatakan banyaknya kolom A tidak sama dengan banyaknya bilangan yang menyatakan banyaknya baris B, kita katakan bahwa hasil kalinya tidak ada.

Misalkan A: matriks mn, B: matriks nk,Hasil kali matriks C = AB yang elemen-elemennya

C adalah sebuah matriks mk.

6 2 55 0 1

3

1 3

2 0, , .

, ,

2 6

,

Misalkan dan

Tentukan dan jika hasil kalinya ada.

A B C

AB BA AC

51 3

2

0

60

1

3 2AB

(1 5) (3 3) (1 0) (3 ( 2)) (1 1) (3 6)

(2 5) ( 3) (2 0) (0 ( 2)) (2 1) (0 6)

14 6 1

10.

0 2

0

9

1 3 1 3 1 3

2 0 2 0 2

5 0 1

3 2 6

5 0 10

3 2 6

BA dan AC tidak ada.

Penyelesaian:

Catatan: Secara umum, AB BA.

2)14()23(1243

2 11 0

Misalkan 7 0 dan .3 5

3 2

A B

50233

123

50073

107

50123

112

5301

230712

AB

103

0751

1006300075032

23c

Tentukan AB.

105

237 and 4312 BA

Contoh 7

Misal C = AB, Tentukan c23.

Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks r n, maka AB akan menjadi sebuah matriks m n.

A

m r

B

r n

= AB

m n

Contoh 8

Jika A adalah sebuah matriks 5 6 dan B adalah matriks 6 7. Karena A mempunyai 6 kolom dan B mempunyai 6 baris. Jadi, AB itu ada. Dan AB akan menjadi matriks 5 7.

Sebuah matriks nol adalah sebuah matriks yang semua elemen-elemennya nol. Matriks diagonal adalah sebuah matriks yang semua elemen yang bukan pada diagonal utama adalah nol. Matriks identitas adalah sebuah matriks diagonalyang semua elemen pada diagonal utama adalah 1.

0 0 0

0 0 0

0 0 0

matriks nol

mn0

11

22

0 0

0 0

0 0

matriks diagonal Ann

A

a

a

a

1 0 0

0 1 0

0 0 1

matriks identitas

nI

Matriks Khusus

Beberapa Sifat MatriksMisalkan A adalah matriks m n dan 0mn adalah matriks nol m n. Misalkan B adalah sebuah matriks persegi n n. 0n dan In adalah matriks nol dan matriks identitas matriks n n. Maka

A + 0mn = 0mn + A = AB0n = 0nB = 0n

BIn = InB = BContoh 9 2 1 3 2 1

Misalkan dan .4 5 8 3 4

A B

23

2 1 3 0 0 0 2 1 3

4 5 8 0 0 0 4 5 8A A

0

2 2

2 1 0 0 0 0

3 3 0 0 0 0B

0 0

2

2 1 1 0 2 1

3 4 0 1 3 4BI B

Misalkan A, B, dan C adalah matriks dan a, b, and c adalah skalar. Asumsikan bahwa ukurannya adalah sama seperti operasi yang dapat dibentuk.Sifat penjumlahan matriks dan perkalian skalar1. A + B = B + A Sifat komutatif pada penjumlahan2. A + (B + C) = (A + B) + C Sifat asosiatif pada penjumlahan3. A + 0 = 0 + A = A (Dimana 0 adalah matriks nol)4. c(A + B) = cA + cB Sifat distributif pada penjumlahan5. (a + b)C = aC + bC Sifat distributif pada penjumlahan6. (ab)C = a(bC)

Misalkan A, B, dan C adalah matriks dan a, b, dan c adalah skalar. Asumsikan bahwa ukurannya adalah sama seperti operasi yang dapat dibentuk.Sifat-sifat Perkalian Matrix Multiplication1. A(BC) = (AB)C Sifat asosiatif pada perkalian2. A(B + C) = AB + AC Sifat distributif pada perkalian3. (A + B)C = AC + BC Sifat distributif pada perkalian4. AIn = InA = A (Dimana In adalah matriks identitas)5. c(AB) = (cA)B = A(cB)Catatan: bentuk umum AB BA. Perkalian pada matriks tidak berlaku sifat komutatif.

Sifat-sifat Secara Aljabar

15

201873

5431

.5964

115584273031

CBA

1 3 3 7 0 2Misalkan , , dan .

4 5 8 1 5 1A B C

Contoh 10

A+B=B+A

.)()( ijijijijijij ABabbaBA Berdasarkan pada elemen ke-(i,j) matriks A+B dan B+A:

A+B=B+A

Bukti

.1131112

201310

1321

AB

.19

014

1131112)(

CAB

41 2 0 1 3

Misalkan , , dan 1 .3 1 1 0 2

0

A B C

Hitung ABC.

Penyelesaian(1) (AB)C

(2) A(BC)

4

1

014

201310BC

.19

41

1321)(

BCA

Facebook : Citzy Fujiezchy Twitter: @citzyfujiezchy

Skype : Citzy.fujiezchy Instagram : citzyfujiezchy