matricna analiza

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]

4

МЕТОДОЛОГИЈА

РЕШАВАЊА ЗАДАТАКА МАТРИЧНОМ АНАЛИЗОМ КОНСТРУКЦИЈА

Прорачун носача у равни – 2Д прорачунских модела:

• Статичка и кинематичка класификација носача – задатак статике конструкција у равни.

• Класификација штапова – штап типа "к", "г","с",

• Дефинисање локалног координатног система.

• Дефинисање глобалног координатног система,

• Срачунавање матрице крутости штапа у локалном координатном систему [ ] [ ]⎡ ⎤⎣ ⎦k g sk , k , k ,

• Одређивање елемената матрице трансформације за сваки штап носача: [ ]λ µ →, , T ,

• Превођење матрице крутости штапа из локалног у глобални координатни систем:

[ ] [ ]k̂ k T⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ ,

односно: [ ]T ˆk T k∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎣ ⎦

• Срачунавање глобалне матрице крутости система:

∗ ∗∗

∗ ∗

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

ss so

os oo

K KK

K K

• Срачунавање еквивалентног оптерећења по штапу у локалном систему: [ ]Q

• Трансформација еквивалентно оптерећења по штапу у глобалном систему: [ ] [ ]TQ T Q∗⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦

• Срачунавање вектора еквивалентног чворног оптерећења: P∗⎡ ⎤⎣ ⎦

• Вектор еквивалентног оптерећења система у глобалном систему: S Q P∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Срачунавање померања чворова и реакција ослонаца:

∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦K q S

Или, у проширеном облику:

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ss so s s

os oo o o

K K q S

K K q S,

Односно,

ss s so o sK q K q S∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ + ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

os s oo o oK q K q S∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ + ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Срачунавање непознатих компоненти померања чворова:

−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1

s ss sq K S

• Срачунавање пресечних сила на крајевима штапова:

∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦i i i iˆR k q Q

• Срачунавање реакција у ослонцима:

o os s oR K q Q∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦



5

ОПШТИ ПРИМЕР

За приказани носач на скици примењује се методологија матричне анализе конструкција, на

следећи начин.

L L L1 2 3

P

E ,F ,l 1 1 1 E ,F ,l 2 2 2 E ,F ,l 3 3 3

a b

• Дискретизација (подела) носача

У овом примеру носач је подељен на три коначна елемента исте дужине.

Први коначни елемент има матрицу крутости у локалном координатном систему у функцији:

• 1E – модула еластичности,

• 1F – површине попречног пресека,

• 1I – момента инерције,

• 1L – дужине штапа.

Или, математички исказано у облику:

( )= ⎡ ⎤⎣ ⎦1 1 1 1 1K K f E , F , I , L

Аналогно овоме, имамо за остала два коначна елемента да је:

( )= ⎡ ⎤⎣ ⎦2 2 2 2 2K K f E , F , I , L

( )= ⎡ ⎤⎣ ⎦3 3 3 3 3K K f E , F , I , L

• Избор генералисаних померања (позната и непозната померања)

q1

q2q3

q4

q5q6

q7

q8q9

q10

q11q12

a b

• Матрични облик једначине целог система гласи:

{ }⋅ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦K q Q P , или

[P] =

P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P 9P 10P 11P 12

[K] = [Q] =

Q1Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q8Q9Q10Q11Q12

[q]=

q1q2q3q4q5q6q7q8q9q10q11q12

Матрица крутости система у глобалном

координатном систему (формат матрице одговара највећем броју

генералисаног померања).

Вектор непознатих и познатих померања.

Вектор еквивалентног оптерећења по

штапу.

Вектор еквивалентног оптерећења у чворовима.



6

Начин формирања матрице крутости система штапова у глобалном координатном систему, са

појединачним учешћем матрица крутости, корак по корак.

Први коначни елемент:

q1

q2q3

q4

q5q6

q7

q8q9

q10

q11q12

a b

Форма и структура матрице крутости првог штапа у глобалној матрици крутости система:

K =

K1

*

Други коначни елемент:

q1

q2q3

q4

q5q6

q7

q8q9

q10

q11q12

a b

Форма и структура матрице крутости другог штапа у глобалној матрици крутости система:

K1

K2

K =*

Трећи коначни елемент:

q1

q2q3

q4

q5q6

q7

q8q9

q10

q11q12

a b



7

Форма и структура матрице крутости трећег штапа у глобалној матрици крутости система:

K1

K2

K3

K =*

• Вектор еквивалентног оптерећења система:

∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦S Q P

Q1

Q2Q 3

Q4

Q5Q6

Q7

Q8Q9

Q10

Q11Q12

P

a b

Еквивалентно оптерећење у правцу претпостављених генералисаних померања је:

= = = = =4 5 6 7 9Q Q Q Q Q 0 ,

= −8Q P ,

односно: = = −8 8Q P P

Компоненте вектора померања система – позната померања су:

= = = = = =1 2 3 10 11 12q q q q q q 0

Остале компоненте вектора непознатих померања срачунавају се из познате матричне једначине:

∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ss ss ssK q S

У зависности којем дејству је изложен носач имамо решења за померања од:

• Сталног и повременог оптерећења:

−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1

p,g,s p,g,sq K S

• Деловања температуре:

−∗ ∗ ∗∆ ∆

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1

t, t t, tq K S

• Померања ослонаца и обртања укљештења:

−∗ ∗ ∗δ ϕ δ ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1

, ,q K S



8

МАТРИЦЕ КРУТОСТИ ШТАПОВА У ЛОКАЛНОМ КООРДИНАТНОМ СИСТЕМУ

• Конвенција о позитивним смеровима за померања и силе на крајевима штапа:

i k • Штап типа "к"

i k

L

Избор генералисаних померања Пресечне силе на крајевима штапа

q3

q4

q5q6

q1

q2

Li k

Q2Q3

Q4

Q5Q6

Q1

Li k

Успостављена је веза између генералисаних померања и сила на крајевима штапа преко

матрице крутости штапа:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

11 12 13 14 15 16 1 1

21 22 23 24 25 26 2 2

31 32 33 34 35 36 3 3

41 42 43 44 45 46 4 4

51 52 53 54 55 56 5 5

61 62 63 64 65 66 6 6

i kk k k k k k q Qk k k k k k q Qik k k k k k q Q

k q Qk k k k k k q Qk k k k k k q Qkk k k k k k q Q

⎤⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

• Аксијално напрезање:

1

2

q ,Qq ,Q

Q

Q

q =1

E,F,I,L

1

1

1 1 4 4

1

a b

a b

1 – недеформисан штап

2 – деформисан штап

Матрична једначина у општем облику је:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 14 15 16 1 1

22 23 24 25 26 2 2

33 34 35 36 3 3

44 45 46 4 4

55 56 5 5

66 6 6

k k k k k k q Qk k k k k q Q

k k k k q Qk k k q Q

k k q Qсим. k q Q



9

Ако је =1q 1.0 матрична једначина је:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 14 15 16 1 11

21 22 23 24 25 26 2 21

31 32 33 34 35 36 3 31

41 42 43 44 45 46 4 4

51 52 53 54 55 56 5

61 62 63 64 65 66 6

k k k k k k Q k1k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q0k k k k k k Q0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

2

3

1 4

51 5

61 6

Q EF LQ 0Q 0Q EF L

k Q 0k Q 0

Ако је =4q 1.0матрична једначина је:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 14 15 16 1 14

21 22 23 24 25 26 2 24

31 32 33 34 35 36 3 34

41 42 43 44 45 46 4 4

51 52 53 54 55 56 5

61 62 63 64 65 66 6


⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

2

3

4 4

54 5

64 6

Q EF LQ 0Q 0Q EF L

k Q 0k Q 0

• Савијање штапа у равни:

Имамо:

Генералисана померања: Силе на крајевима штапа:

q3

q5q6

q2

L

i k

Q2Q3

Q5Q6

Li k

Ако је =2q 1.0 ,

1.0

R Ri k

Mi

Mk

i k

1

Q

Q

U =12

E,F,I,L

2

5

2

Q3 Q6

i k

Реакције на крајевима штапа су:

k i 312EIR R

L= − = − , ⋅ ⋅

= −i 26 E IM

L, ⋅ ⋅

=k 26 E IM

L

Матрична једначина је:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 14 15 16 1 12

21 22 23 24 25 26 2 22

31 32 33 34 35 36 3 32

41 42 43 44 45 46 4 4

51 52 53 54 55 56 5

61 62 63 64 65 66 6


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

1

22

3

2 4

52 5

62 6 2

0Q

12EI LQQ 6EI LQ 0

k Q 12EI Lk Q

6EI L



10

Ако је =3q 1.0 ,

Mk

RkRi

Mi

.1

i k

2

E,F,I,L 1

. Q6

Q5

Q2

Q3

q =13

i k


k i 26EIR RL

= − = ; ⋅ ⋅=i

4 E IML

; ⋅ ⋅= −k

2 E IML


⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 14 15 16 1 13

21 22 23 24 25 26 2 23

31 32 33 34 35 36 3 33

41 42 43 44 45 46 4 4

51 52 53 54 55 56 5

61 62 63 64 65 66 6


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

12

2

3

3 4

253 5

63 6

0Q

6EI LQ4EI LQ

Q 0k Q 6EI Lk Q 2EI L

Ако је =5q 1.0 ,

1.0

R Ri k

Mk

Mi

i k


⋅ ⋅= − = −k i 3

12 E IR RL

, ⋅ ⋅=i 2

6 E IML

, ⋅ ⋅= −k 2

6 E IML


⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 14 15 16 1 15

21 22 23 24 25 26 2 25

31 32 33 34 35 36 3 35

41 42 43 44 45 46 4 4

51 52 53 54 55 56 5

61 62 63 64 65 66 6


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦

1

22

3

5 4

55 5

65 6 2

0Q

12EI LQQ 6EI LQ 0

k Q 12EI Lk Q

6EI L

Ако је =6q 1.0 ,

.

Ri

MkMi

Rk

1i k


k i 26EIR RL

= − = ; ⋅ ⋅= −i

2 E IML

, ⋅ ⋅=k

4 E IML

;



11


⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 14 15 16 1 16

21 22 23 24 25 26 2 26

31 32 33 34 35 36 3 36

41 42 43 44 45 46 4 4

51 52 53 54 55 56 5

61 62 63 64 65 66 6


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

12

2

3

6 4

256 5

66 6

0Q

6EI LQ2EI LQ

Q 0k Q 6EI Lk Q 4EI L

Према томе, суперпозицијом матрице крутости за аксијално напрезање и матрице крутости за

савијање долазимо до матрице крутости штапа у равни.

• Штап типа "к": EI const.=

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥

− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦

3 2 3 2

2 2

k

3 2 3 2

2 2

EF L 0 0 EF L 0 0

0 012EI L 6EI L 12EI L 6EI L0 4EI L 0 2EI L6EI L 6EI L

kEF L 0 0 EF L 0 0

0 012EI L 6EI L 12EI L 6EI L0 2EI L 0 4EI L6EI L 6EI L

Матрица трансформације штапа типа "к":

[ ]

λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥

⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 0 0 0T

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 1

Где је:

k i

ik

x xL−

λ = ; k i

ik

y yL−

µ =

Ако је EI const.≠ матрица крутости је:

[ ]

⎡ −⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢⎢ + +

−⎢⎢⎢⎢ −⎢

= ⋅ ⋅ ⎢⎢−⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢

+ +⎢ − − −⎢⎢⎢

−⎢⎣

c ik c ik

ik ki ik ik ki ki2 2

ik ikik ik

ik ikik ik

ik ikk c

c ik c ik

ik ki ik ik ki ki2 2

ik ikik ik

ki kiik ik

ik ik

F F0 0 0 02 I L 2 I L

(c c ) c (c c ) c0 0L LL L

c c0 a 0 bL L

k 2 EIF F0 0 0 0

2 I L 2 I L(c c ) c (c c ) c0 0

L LL Lc c0 b 0 aL L

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦



12

• Штап типа "г" : EI const.= , укљештење на левом крају штапа:

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

3 2 3

2 2g

3 2 3

EF L 0 0 EF /L 0

0 03EI L 3EI /L 3EI L0 3EI /L 0k 3EI /L 3EI /L

EF /L 0 0 EF /L 0

0 03EI L 3EI /L 3EI L

Матрица трансформације штапа типа "г":

λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥

⎢ ⎥−µ λ⎣ ⎦

g

0 0 00 0 0

T 0 0 1 0 00 0 00 0 0


⎡ ⎤−⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ −= ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

c ig c ig

ig ig ig2 2

igig ig

ig igigg c

ig ig

c ig c ig

ig ig ig2 2

igig ig

F F0 0 02 I L 2 I L

d d d0 0

LL L

d d0 d 0k 2 EI

L L

F F0 0 02 I L 2 I L

d d d0 0

LL L

• укљештење на десном крају штапа EI const.=

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤ −= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3 2

g3 3 2

2 2

EF L 0 EF L 0 0

0 03EI L 3EI L 3EI LEF L 0 EF L 0 0k

0 03EI L 3EI L 3EI L0 0 3EI L3EI L 3EI L


c ig c ig

ig ig ig2 2

igig ig

g cc ig c ig

ig ig ig2 2

igig ig

ig igig

ig ig

F F0 0 02 I L 2 I L

d d d0 0

LL L

F F0 0 0k 2 EI 2 I L 2 I L

d d d0 0

LL L

d d0 0 d

L L

⎡ ⎤−⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



13

• Штап типа "с": EI const.= : L – цела дужина штапа

[ ]

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

s s

s s s

s

s

EF /L 0 0 EF /L 00 0 0 0

k EI /L 0 EI /LEF /L 0

сим. EI / L

[ ]s

2 EF 0 0L

k 0 0 02 EI0 0

L

⋅⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


[ ]c s

s c

c s

F 0 0I L

k 2 EI 0 0 0I0 0

I L

⎡ ⎤⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎣ ⎦

Пошто се вредности померања добијају за чворове, да бих имали вредности између њих,

претпостављају се функција померања дужином штапа за појединачна генералисана померања у

облику полинома – слика 1.

q3

q4

q5q6

q1

q2

L

X

i k

2

1

( ) ( )( )

⎡ ⎤ωω = ⎢ ⎥

ω⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

xx

x

( ) ( )ω = ⋅x N x q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

3

4

5

6

qqq

qqqq

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

1 4

2 3 5 6

0 0 0 0N x N xN x 0 0N x N x N x N x

3 d Nd x =13

xx

LL

11N

12N

13N

14N

15N

6Nd Nd x =1

1xN 1L

= −

2 3

2 2 3x xN 1 3 2L L

= − ⋅ + ⋅

2

3 3x xN x 1 2L L

⎛ ⎞= ⎜ − ⋅ + ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=4xNL

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

5 2x xN 3 2

LL

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

6x xN 1L L

Слика 1 – Интерполационе функције



14

ПРИМЕР – 01

За штап типа "г" срачунати матрицу крутости штапа у локалном координатном систему:

• директним поступком, и

• преко базне или основне матрице, ако је =b / h 0.20 / 0.30m , = ⋅ 7 2E 3 10 kN/ m , =EI const.

y

x

15.0

2

a

a

Директним поступком:

• Компоненте генералисаних померања • Конвенција:

3

45

1

2

1 2

+

• Прва колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:

За дејство од померања: Реакције [kN, kNm]

1 2

q =1.01

5.0

360000

3600000 0

0

360000

3600000 0

0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

11

12

13

14

15

k 360000k 0k 360000k 0k 0

Пресечне силе [kN, kNm] • Друга колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:


1 2

q =1.02

5.0

0

0324

1620

324



15

0

0324

1620

324

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

21

22

23

24

25

k 0k 324k 0k 324k 1620

Пресечне силе [kN, kNm]

• Трећа колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:


1 2

q =1.03

5.0

360000

3600000 0

0

360000

3600000 0

0

⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

31

32

33

34

35

k 360000k 0k 360000k 0k 0

Пресечне силе [kN, kNm] • Четврта колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:


1 2

q =1.04

5.0

0

0324

1620

324

0

0324

1620

324

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦

41

42

43

44

45

k 0k 324k 0k 324k 1620


• Пета колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:

За дејство од обртања укљештења: Реакције [kN, kNm]

1 2

q =1.05

5.0

0

0

8100

16201620



16

1620

0

0

8100

1620

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

51

52

53

54

55

k 0k 1620k 0k 1620k 8100


• На основу тога, матрица крутости штапа у локалном координатном систему је:

⎡ ⎤⋅ − ⋅⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = − ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

4 4

4 4g

1 2 3 4 50 0 0 136 10 36 10

0 324 0 324 1620 20 0 0k 336 10 36 10

0 324 0 324 1620 40 1620 0 1620 8100 5

Матрица крутости штапа преко основне или базне матрице:

5.0

1.0

1.0

5.0

1 2

M

N

2

L

[m]

[kN]

[kNm]

L

[m]

I

( )⋅ δ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =∫ 2 II12

s

IEI N ds 0.0075 1.0 1.0 5.0 0.0375F

⋅ α = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =∫ 2 I12 2

s

1EI M ds 1.0 1.0 5.0 1.663

&

= α ⋅α −β = ⋅ − =212 21 12D 1.66 1.66 0 2.78& &

Елементи базне матрице:

= =⋅ δ12

1 1 26.66EI 0.0375

&

α= = =12

211.66a 0.60

D 2.78

&

Матрична релација је:

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − =⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Tg 0

1 0 00 0.20 0.20

26.66 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1k C k C 0 0 0 0 0.20 0 0 0.20 01 0 0 EI

0 0 0.60 0 0.20 0 0 0.20 10 0.20 0.200 0 1

&

Одакле следи матрица крутости штапа добијена на основу базне матрице.

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

g

1 2 3 4 5360000 0 0 360000 0 0 1

0 324 0 0 324 1620 20 0 0 0 0 0

k360000 0 0 360000 0 0 3

0 324 0 0 324 1620 40 1620 0 0 1620 8100 5

Ако се смањи ред овој матрици, тј. бришемо трећу врсту и трећу колону имамо идентичну

матрицу као што смо добили директним поступком, што је и био циљ у овом примеру.



17

ПРИМЕР – 02

За штап променљивог попречног пресека као на скици срачунати матрицу крутости у локалном

координатном систему занемарујући утицај нормалних сила на деформацију.

4I 2 I

4.0 4.0

1

y

x

• Избор генералисаних померања:

1 4

1

23

1

56

• Решење преко основне или базне матрице:

L

[m]

[kNm]

[kNm]

L

[m]

I

4.0 4.0

1.0

1.0

0.5

0.5

4.0 1.6815

1 4

M

M1

4

( ) ( )⎡ ⎤α = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =⎣ ⎦∫ I14 1 1

s

1 1M M ds 1 2 1 0.5 0.5 1 2 0.5 4.0 0.5 0.5 1.6815 2.476 3

( ) ( )⎡ ⎤α = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ =⎣ ⎦∫ I41 4 4

s

1 1M M ds 0.5 0.5 4.0 1 2 1 0.5 0.5 1 2 0.5 1.6815 1.313 6

( ) ( )β = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∫ I41 1 4

s

1 1M M ds 0.5 1 2 0.5 4.0 0.5 1 2 0.5 1.6815 0.956 6

= α ⋅α −β = ⋅ − =2 214 41 14D 2.47 1.31 0.95 2.33



18

Базна или основна матрица:

δ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

14

0 14 14

41 41

1/ 0 0k 0 a b

0 b a

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

i

i

k

k

k

N T MN1 0 0T0 1 L 1 LM0 0 1

CN1 0 0T0 1 L 1 LM0 0 1

L=8.0m – укупна дужина штапа

• Потребни елементи базне матрице:

α= = =14

412.47a 1.06

D 2.33

α= = =41

141.31a 0.56

D 2.33

β= = =41

140.95b 0.41

D 2.33

Пошто су нормалне силе занемарене на деформацију, тада њима припадајуће врсте и колоне у

матрицама [ ]C и [ ]0k се бришу, па имамо да је;

= ⋅ ⋅⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦T

0k C k C

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ −− − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ T

0k CC

0.125 0.1250.56 0.41 0.125 1 0.125 01 0

k 0.41 1.06 0.125 0 0.125 10.125 0.1250 1

1442443 14444244443

144424443

• Матрица крутости задатог штапа променљивог попречног пресека у локалном координатном

систему је:

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

2 3 5 60.0381 0.1212 0.0381 0.1838 20.1212 0.5600 0.1212 0.4100 3

k0.0381 0.1212 0.0381 0.1838 5

0.1838 0.4100 0.1838 1.0600 6



19

ПРИМЕР – 03

За штап променљивог попречног пресека као на скици срачунати матрицу крутости у локалном

координатном систему узимајући у обзир утицај нормалних сила на деформацију.

14.0 4.0

y

x2

I, F 2 I, 2F

• Избор генералисаних померања:

1

2

3

45

1 2

• Најпре одредимо пресечне силе:

[kN]

[kNm]

L

[m]

I LII

4.0 4.0

1.0

1.0

0.5

4.0 2.0

1 2

M

N

2

• Матрица крутости штапа преко основне или базне матрице се добија на следећи начин:

( )⋅ δ = ⋅ ⋅ = ⋅ + =∫ 2 IIcc 12

c s

IEI N ds 1.0 4.0 2.0 6.00F

( ) ( )⎡ ⎤⋅ α = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ =⎣ ⎦∫ 2 Ic 12 2

s

1 1EI M ds 0.5 0.5 4.0 1 2 1 0.5 0.5 1 2 0.5 2.0 1.503 6

= α ⋅α −β = ⋅ − =212 21 12D 1.50 1.50 0 2.25



20

Базна или основна матрица:

δ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12

0 12 12

21 21

1/ 0 0k 0 a b

0 b a

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

i

i

k

k

k

N T MN1 0 0T0 1 L 1 LM0 0 0

CN1 0 0T0 1 L 1 LM0 0 1

L=8.0m – укупна дужина штапа

• Елементи базне матрице:

= =⋅ δc 12

1 1 0.167EI 6.00

α= = =12

211.50a 0.667

D 2.25

Матрична релација је:

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − =⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Tg 0

c

1 0 00 0.125 0.125

0.167 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1k C k C 0 0 0 0 0.125 0 0 0.125 01 0 0 EI

0 0 0.667 0 0.125 0 0 0.125 10 0.125 0.1250 0 1

Одакле следи матрица крутости штапа на основу базне матрице:

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

g c

1 2 3 4 50.1670 0 0 0.1670 0 0 1

0 0.0104 0 0 0.0104 0.0833 20 0 0 0 0 0

k EI0.1670 0 0 0.1670 0 0 3

0 0.0104 0 0 0.0104 0.0833 40 0.0833 0 0 0.0833 0.6667 5

Ако се смањи ред матрице, тј. брисањем треће врсте и треће колоне имамо матрицу крутости

штапа променљивог попречног пресека у локалном координатном систему

.

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

g c

1 2 3 4 50.1670 0 0.1670 0 0 1

0.0104 0 0.0104 0.0833 2k EI 0.1670 0 0 3

0.0104 0.0833 4сим. 0.6667 5



21

ПРИМЕР – 04

За носач са слике 4.1 са оптерећењем срачунати и нацртати дијаграме пресечних сила узимајући

у обзир утицај нормалних сила на деформацију. E 21000 MPa= .

2.0 kN/m

0.25/0.30

20 kN 30 kN

0.25/0.30

0.25

/0.3

0

0.25

/0.3

0

10 kN

4.0 4.0

4.0

2.0

Слика 4.1 – Геометрија носача са оптерећењем

X

3 1

7

Y

1

23

4

56

10

1112

8

9

1 2

3 4

1 2

4

5

Слика 4.2 – Избор генералисаних померања чворова система

• Укупан број генералисаних померања је 12

• Број непознатих генералисаних померања је 6

• Број ослоначких познатих померања је 6

Непозната генералисана померања су: 1,2,3,4,5,6

Подаци:

Штап i k L (m) А (m2) I (m4) 1 3 1 4.00 0.075 0.000563 2 1 2 4.00 0.075 0.000563 3 1 4 4.00 0.075 0.000563 4 2 5 6.00 0.075 0.000563



22

• Матрица крутости штапа у локалном и глобалном координатном систему:

1

23

1

7

31

4.0

[ ]1 1

7 2 3554.20 554.20 2216.81 7

ˆk k k 554.20 2216.81 2сим. 8867.25 3

∗− −⎡ ⎤

⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Слика 4.3 – Компоненте померања штапа 1

4

56

1

23

1 2

4.0

Слика 4.4 – Компоненте померања штапа 2 Матрица крутости штапа у локалном и глобалном координатном систему:

[ ]2 2

1 2 3 4 5 6393750 0 0 393750 0 0 1

2216.813 4433.625 0 2216.813 4433.625 211823 0 4433.630 5911.500 3ˆk k k

393750 0 0 42216.813 4433.625 5

сим. 11823 6

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4.0

9

8

2

13

1 4

Слика 4.5 – Компоненте померања штапа 3 Матрица крутости штапа у локалном и глобалном координатном систему:

[ ]3 3

2 1 3 8 9393750 0 0 393750 0 2

554.200 2216.810 0 554.203 1ˆk k k 8867.250 0 2216.810 3

393750 0 8сим. 554.203 9

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11

1012

5

46

2 5

6.0




23

Матрица крутости штапа у локалном и глобалном координатном систему:

[ ]4 4

5 4 6 11 10 12262500 0 0 262500 0 0 5

656.833 1970.500 0 656.830 1970.500 47882 0 1970.500 3941 6ˆk k k

262500 0 0 11656.830 1970.500 10

сим. 7882 12

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• Матрица крутости у глобалном координатном систему је:

ss so

os oo

K KK

K K

∗ ∗∗

∗ ∗

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања ∗⎡ ⎤⎣ ⎦ssK :

ss

1 2 3 4 5 63943304.20 0 2216.81 393750.00 0 0 1

396521.02 2216.81 0 2216.81 4433.63 229557.50 0 4433.63 5911.50 3

K394406.83 0 1970.50 4

264716.81 4433.63 5сим. 19705.00 6

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Подматрица матрице крутости система ∗⎡ ⎤⎣ ⎦soK

so

7 8 9 10 11 120 554.20 0 0 0 0 1

554.20 0 393750 0 0 0 22216.81 2216.81 0 0 0 0 3

K0 0 0 656.83 0 1970.50 40 0 0 0 262500 0 50 0 0 1970.50 0 3941 6

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Подматрица матрице крутости система ∗⎡ ⎤⎣ ⎦osK :

os

1 2 3 4 5 60 554.20 2216.81 0 0 0 7

554.20 0 2216.81 0 0 0 80 393750 0 0 0 0 9

K0 0 0 656.83 0 1970.50 100 0 0 0 262500 0 110 0 0 1970.50 0 3941 12

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Подматрица матрице крутости система ∗⎡ ⎤⎣ ⎦ooK

oo

7 8 9 10 11 12554.20 0 0 0 0 0 7

554.20 0 0 0 0 8393750 0 0 0 9

K656.83 0 1970.50 10

262500 0 11сим. 7882.00 12

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



24

• Вектор еквивалентног оптерећења:

3020

10 kN

2.0 kN/m

4.0

1 2

4

56

1

23

1 2

Реакције ослонаца:

2.66

4.0

2.66

4.0

[ ]2 2

0 14.00 22.66 3

Q Q0 4

4.00 52.66 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења:

2.66 2.66

4.0 4.0

2

10 120 20 3

P0 430 50 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Слика 4.7 – Еквивалентно оптерећење штапа 2

Укупни вектор еквивалентног система за непозната генералисана померања:

• по штаповима: • чворно оптерећење: • Укупни вектор

s

0 14.00 22.66 3

Q0 4

4.00 52.66 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

s

10 120 20 3

P0 430 50 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

s s sS Q P∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s

10 124 2

2.66 3S

0 434 5

2.66 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

• Непозната генералисана померања су:

1s ss sq K S

−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

s

0.0109 10.000049 20.000779 3

q0.010886 40.000154 50.000743 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦


[ ]0 os sR K q∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]0

1.699 74.314 8

19.294 9R

5.686 1040.514 1118.523 12

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



25

• Срачунавање сила на крајевима штапова:

i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 1:

[ ]1 1

0 0 1.699 7ˆR k 0.000049 0 1.699 2

0.000779 0 6.799 3

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

[ ]2 2

0.0109 0 5.686 10.000049 4.0 2.514 20.000779 2.66 10.464 3ˆR k

0.010886 0 5.686 40.000154 4.0 10.514 50.000743 2.66 15.59 6

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&

&

Штап 3:

[ ]3 3

0.000049 0 19.294 20.0109 0 4.314 1

ˆR k 0.000779 0 17.256 30 0 19.294 80 0 4.314 9

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =−⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 4:

[ ]4 4

0.000154 0 40.514 50.010886 0 5.686 40.000743 0 15.595 6ˆR k

0 0 40.514 110 0 5.686 100 0 18.523 12

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Дијаграми пресечних утицаја:

17.256

6.799

10.646

15.590

18.523

4.0

Слика 4.8 – Дијаграм момената савијања [kNm]



26

1.6992.514

10.514

5.686

4.314

Слика 4.9 – Дијаграм трансверзалних сила [kN]

-10 - 5.686

- 19.

294

- 40.

514

Слика 4.10 – Дијаграм нормалних сила [kN]

1.699

4.314

19.294

40.514

5.686

18.523

Слика 4.11 – Реакције ослонаца [kN]

* * * Контрола резултата * * *



27

Слика 4.12 – Tower 5: Дијаграм момента савијања [kNm]

Слика 4.13 – Tower 5: Дијаграм трансверзални сила [kN]

Слика 4.14 – Tower 5: Дијаграм нормални сила [kN]



33

ПРИМЕР – 06

За носач са слике 6.1 са оптерећењем срачунати и нацртати дијаграме пресечних сила узимајући

у обзир утицај нормалних сила на деформацију.

7 2b / h 0.25 / 0.40m, E 3 10 kN/ m= = ⋅ .

25 kN/m40 kN

4.0

4.0 4.0 2.0


Решење:

X

Y

XY

X

Y

X

Y

2 3

1

Слика 6.2 – Глобални и локални координатни систем штапова

1

23

7

8

5

6

1

4


Непозната генералисана померања су: 1,2,3



34

6.0

4 24 2

Слика 6.4 – Шема редуковани дужина штапова [m]

0.176

8 0.1768

Слика 6.5 – Коефицијенти крутости штапова⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

ig Iig

1kL

0.265

17 0.26517

Слика 6.6 – Коефицијенти крутости штапова Iig igd 1.5 L= ⋅

Геометријске карактеристике штапова:

2F b h 0.25 0.40 0.10m= ⋅ = ⋅ =

3 34b h 0.25 0.40I 0.0013m

12 12

⋅⋅ ⋅= = =

C 2 EI= ⋅



35

• Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:

5

6

1

23

XY

X

Y

4.0

4.0

.α=45 o


2

5 6 1 2 36.62913 0 6.62913 0 0 5

0.00829 0 0.00829 0.04688 6k C 6.62913 0 0 1

0.00829 0.04688 2сим. 0.26517 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Матрица трансформације штапа:

2

0 0 02 2 2 20 0 02 2 2 2

0 0 0T 2 2 2 20 0 02 2 2 20 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

4.6875 4.6875 4.6875 4.6875 00.00586 0.00586 0.00586 0.00586 0.04688

k̂ C 4.6875 4.6875 4.6875 4.6875 00.00586 0.00586 0.00586 0.00586 0.046880.03315 0.03315 0.03315 0.03315 0.26517

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:

2

5 6 1 2 33.31871 3.31042 3.31871 3.31042 0.03315 5

3.31871 3.31042 3.31871 0.03315 6k C 3.31871 3.31042 0.03315 1

3.31871 0.03315 2сим. 0.26517 3

∗

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦



36

7

8

1

23

X

Y

X

Y

0315α = Слика 6.8 – Компоненте померања штапа 3

3

1 2 3 7 86.62913 0 0 6.62913 0 1

0.00829 0.04688 0 0.00829 2k C 0.26517 0 0.04688 3

6.62913 0 7сим. 0.00829 8

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


3

0 0 02 2 2 20 0 02 2 2 2

0 0 1 0 0Т0 0 0 2 2 2 20 0 0 2 2 2 2

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3

4.6875 4.6875 0 4.6875 4.68750.00586 0.00586 0.04688 0.00586 0.00586

k̂ C 0.03315 0.03315 0.26517 0.03315 0.033154.6875 4.6875 0 4.6875 4.6875

0.00586 0.00586 0.04688 0.00586 0.00586

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥− − −⎣ ⎦


3

1 2 3 7 83.31871 3.31024 0.03315 3.31871 3.31042 1

3.31871 0.03315 3.31042 3.31871 2k C 0.26517 0.03315 0.03315 3

3.31871 3.31042 7сим. 3.31871 8

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦



37

• Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања је:

ss

1 2 36.63742 0 0.06630 1

K C 6.63742 0 2сим. 0.53034 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

• Еквивалентно оптерећење:

25 40 kN

7575150

40+75=115

Слика 6.9 – Еквивалентно оптерећење система

Вектор еквивалентног оптерећења по штаповима:

• штап – 1:

1 175 2

Q Q75 4

∗ −⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦

• штап – 2:

2 1Q Q 0∗⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• штап – 3:

3 3Q Q 0∗⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Вектор чворног оптерећења:

sP 40 2∗⎡ ⎤ = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

• Укупни вектор еквивалентног оптерећења система за непозната генералисана померања је:

s s s

0 0 0 1S Q P 75 40 115 2

0 0 0 3

∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = − + − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦



38

• Срачунавање непознати померања:

1s ss sq K S

−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

s

0 11q 17.32601 2C

0 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Припадајући вектори померања за поједине штапове:

• штап 2:

2

0 50 6

1q 0 1C

17.32601 20 3

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• штап 3:

3

0 117.32601 2

1q 0 3C

0 70 8

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

2 2 2 2

81.216 50.102 6

ˆR k q Q 81.216 10.102 2

0.574 3

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Штап 3:

3 3 3 3

81.216 10.102 2

ˆR k q Q 0.574 381.216 70.102 8

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



39

• Дијаграми пресечних сила:

112.50.574


75

75-0.102+0.10

2

Слика 6.11 – Дијаграм трансверзални сила [kN]

-81.216-81.21

6

0.0

Слика 6.12 – Дијаграм нормални сила [kN]



40

ПРИМЕР – 08

За носач са слике 8.1 услед дејства течности 310kN/ mγ = срачунати и нацртати дијаграме

пресечних сила M,T,N. Носач третирати као равански проблем – 2Д прорачунски модел,

узимајући у обзир утицај нормалних сила на деформацију. 7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .

1 2

6.0 m 6.0 m6.

0 m

12.0 m

111

1 160

70 20 70

1240

1 - 1

3


Y

X

2

1

1F 1.60 0.12 0.192= ⋅ = 2F 0.20 0.40 0.08= ⋅ =

2F 0.192 0.080 0.272m= + =∑

( )1T x 0 ; y 0.06= = =

( )2T x 0 ; y 0.32= =

Слика 8.2 – Геометријске карактеристике попречног пресека

1 1 2 2T

F y F y 0.192 0.06 0.08 0.32y 0.1360.272F

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = =

∑

( )s 3 3x

1I 1.60 0.12 0.2 0.40 0.00129712

= ⋅ ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2px 1 T 1 2 T 2I F y y F y y 0.192 0.136 0.06 0.08 0.136 0.32 0.003817= ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − + ⋅ − =

s p 4x x xI I I 0.001297 0.003817 0.005114m= + = + =

Моделирање оптерећења од течности: kNp H b 10 6.0 1.60 96m

= γ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

9696

Слика 8.3 – Статички систем носача са оптерећењем



41

6

7

4

5

1

23

X

Y

XY

X

Y

1

20

1 2


6 2 6 2

Слика 8.5 – Шема редукованих дужина IikL [m]

0.11785 0.117

85

Слика 8.6 – Шема крутости ikk∗⎡ ⎤⎣ ⎦

0.1768 0.176

8

Слика 8.7 – Шема коефицијената крутости igd⎡ ⎤⎣ ⎦



42


6 2

1

23

4

5

.

c ig

F 3.13382 EI L

=⋅ ⋅

, ig2ig

d0.0245

L=

ig

ig

d0.02083

L

⋅= , 0315α = , 2sin cos

2− α = α =


1

0 0 02 2 2 20 0 02 2 2 2

0 0 0Т 2 2 2 20 0 02 2 2 20 0 0 0 1

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


Матрица крутости штапа у локалном координатном систему је:

1 c

3.1338 0 3.1338 0 00.00245 0 0.00245 0.02083

k 2 EI 3.1338 0 00.00245 0.02083

сим. 0.1768

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 c

2.2159 2.2159 2.2159 2.2159 00.0017 0.0017 0.0017 0.0017 0.0208

k̂ 2 EI 2.2159 2.2159 2.2159 2.2159 00.0017 0.0017 0.0017 0.0017 0.0208

0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.1768

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦


1 c

4 5 1 2 31.5681 1.5657 1.5681 1.5657 0.0147 4

1.5681 1.5657 1.5682 0.0147 5k 2 EI 1.5681 1.5657 0.0147 1

1.5682 0.0147 2сим. 0.1768 3

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

.6

2

6

7

1

23

045α = , 2cos2

α = , 2sin2

α = −


2

0 0 02 2 2 20 0 02 2 2 2

0 0 1 0 0T0 0 0 2 2 2 20 0 0 2 2 2 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦




43


2 c

3.1338 0 0 3.1338 00.0245 0.02083 0 0.00245

k 2 EI 0.1768 0 0.020833.1338 0

сим. 0.00245

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2 c

2.2159 2.2159 0 2.2159 2.21590.0017 0.0017 0.02083 0.0017 0.0017

k̂ 2 EI 0.0147 0.01473 0.1768 0.0147 0.01472.2159 2.2159 0 2.2159 2.2159

0.0017 0.0017 0.02083 0.0017 0.0017

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦


2 c

1 2 3 6 71.5681 1.5681 0.0147 1.5681 1.5657 1

1.5681 0.0147 1.5657 1.5681 2k 2 EI 0.1768 0.0147 0.0147 3

1.5657 1.5681 6сим. 1.5657 7

∗

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


6 2.

1

0

96

460.8

57.6 2

230.4 2 2

10q L 460kNm15⋅

= =M Реакције ослонаца

230.4

230.4

460.8

57.6

57.6

1

0 4557.6 2

0Q 12230.4 2

460.8 3

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T1 1 1

57.6 457.6 5

Q T Q 230.4 1230.4 2460.8 3

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎡ ⎤ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Реакције у глобалном к.о. систему за формирање вектора оптерећења




44

.6

2

2

1

96

460.8

57.6 2

230.4 2

2

12q L 460.8kNm15

− ⋅= = −M Реакције ослонаца

460.8

230.4

230.4

57.6

57.6

2

0 12230 2

460.8Q 30 6

757.6 2

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥−=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

T2 2 1

230.4 1230.4 2

Q T Q 460.8 357.6 657.6 7

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎡ ⎤ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Реакције у глобалном к.о. систему за формирање вектора оптерећења


• Укупни вектор еквивалентног оптерећења за непозната померања:

s 1 2

0 1S Q Q 460.8 2

0 3

∗ ∗ ∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

• Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања:

ss c

1 2 33.1363 0 0.0294 1

K 2 EI 3.1363 0 2сим. 0.3536 3

∗−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

• Срачунавање непознатих генералисаних померања:

1s ss sq K S

−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s

c

0 11q 146.923 2

2 EI0 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦


i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦



45

Штап 1:

1 1

00 325.57 40 81.71 557.6 2

ˆ 0R k 0 325.57 1146.923 325.58 2230.4 2

460.80 458.64 3

⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Штап 2:

2 2

00 325.57 1146.923 325.58 2230.4 2

ˆ 460.8R k 0 458.64 300 325.57 6

0 81.71 757.6 2

⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−= ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

• Дијаграм пресечних сила:

458.64458.64


325.58

325.58

81.71

81.71


325.57 325.5

7

Контрола:

325.57

325.57325.57

325.57

1 H 0;=∑

V 0=∑ – задовољено !




46

ПРИМЕР – 08

За носач са слике 8.1 са оптерећењем срачунати и нацртати дијаграме пресечних сила M,T,N ако

је узет у обзир утицај нормалних сила на деформацију, 7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .

5.0

5.0

3.0

3

5 6

100 kNm

4

50 kN 60 kN

21 0.3/0.6

20 kN/m

0.3/0.

6

0.3/0.6

0.3/

0.5

6.0



−

−

= ⋅ = → = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ = → = ⋅ ⋅ = ⋅

3 31,2,3 x

3 34 x

1A 0.3 0.6 0.18 I 0.3 0.6 5.40 10121A 0.3 0.5 0.15 I 0.3 0.5 3.125 10

12

Елементи матрице трансформације:

k i

ik

x xL−

λ = : 1 2 3 45 0 11 5 0 5 11 111.0; 1.0; 0.707; 0

5 6 7.071 5− − − −

λ = = λ = = λ = = − λ = =

k i

ik

y yL−

µ = : 1 2 3 45 5 5 5 0 5 0 50; 0; 0.707; 1.0

5 6 7.071 5− − − −

µ = = µ = = µ = = − µ = = −

Подаци:

штап i k L A I λ µ

1 3 1 5.0 0.18 35.40 10−⋅ 1.0 0

2 1 2 6.0 0.18 35.40 10−⋅ 1.0 0

3 1 4 7.071 0.18 35.40 10−⋅ -0.7071 -0.7071

4 2 5 5.0 0.15 33.125 10−⋅ 0 -1.0

Y

X

1

23

1

7

4

56

10

1112

8

9

5

4

3

1 21 2

34




47

• Непозната генералисана померања су: 1,2,3,4,5,6


1

23

1

7

31

5.0

Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:

1

7 2 33880 3880 19440 7

k 3880 19440 2сим. 97200 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Слика 3.3 – Компоненте померања штапа 1 Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему:

{1 1 11

k̂ k T⎡ ⎤ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦T

1 1 1 1 1ˆk T k k k∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⇒ = ⋅ ⇒ = ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4

56

1

23

1 2

6.0



2

1 2 3 4 5 6900000 0 0 900000 0 0 1

9000 27000 0 9000 27000 2108000 0 27000 54000 3

k900000 0 0 4

9000 27000 5сим. 108000 6

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему:

{2 2 21

k̂ k T⎡ ⎤ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦T

2 2 2 2 2ˆk T k k k∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⇒ = ⋅ ⇒ = ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

5.0

5.0

1

23

8

9

1

4




48


3

763682.65 0 0 763682.65 01374.655 9720.186 0 1374.655

k 68731.44 0 9720.186763682.65 0

сим. 1374.655

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Матрица трансформације:

3

0.7071 0.7071 0 0 00.7071 0.7071 0 0 0

T 0 0 0 0 00 0 0 0.7071 0.70710 0 0 0.7071 0.7071

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

3 3 3k̂ k T⎡ ⎤ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

3

54000 54000 0 54000 54000972.018 972.018 9720.186 972.018 972.018

k̂ 6873.143 6873.143 68731.438 6873.143 6873.14354000 54000 0 54000 54000972.018 972.018 9720.186 972.018 972.018

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥− − −⎣ ⎦


T

3 3 3ˆk T k∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

3

1 2 3 8 9382521 381147 6873 382521 381147 1

382521 6873 381147 382521 2k 68731 6873 6873 3

382521 381147 8382521 9

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5.0

4

56

10

1112

2

5


4

5 4 6 11 10 12900000 0 0 900000 0 0 5

9000 22500 0 9000 22500 475000 0 22500 37500 6

k900000 0 0 11

9000 22500 10сим. 75000 12

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦




49


4 4 4ˆk k k∗⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања:

ss

1 2 3 4 5 61282521 381147 6873 900000 0 0 1

395 409 687 0 9000 27000 2273931 0 27000 54000 3

K909000 0 22500 4

909000 27000 5сим. 183000 6

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Вектор еквивалентног оптерећења:

a3 1 b

50100

30 30

5.0

2

a 33Mb 3M 3 100V 30kN

2L 2 52L⋅

= = = =⋅

b aV V 30kN= − = −

bM 100M 50kNm2 2

= = =

1 1

30 7Q Q 30 2

50 3

∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦


21

20 kN/m

6060

6060

6.0

1 21 1V V q L 20 6 602 2

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2 21

1 1M q L 20 6 6012 12

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2 1M M 60= − = −

2 2

0 160 260 3

Q Q0 460 5

60 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



• по штаповима:

∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦s 1 2Q Q Q

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

s

0 130 2

110 3Q

0 460 5

60 6

• у чворовима:

s

0 150 20 3

P0 460 50 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



50

• Укупан вектор еквивалентног оптерећења за непозната померања система је:

s s s

0 180 2

110 3S Q P

0 4120 560 6

∗ ∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• Непозната померања су:

1

s ss sq K S−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

s

0.0035212 10.0036399 20.0006146 3

q0.0034716 40.0001686 50.0005945 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦


i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 1:

1 1 s1 1 1

0 30 32.222 7ˆ ˆR k q Q k 0.0036399 30 32.222 2

0.0006146 50 61.108 3

∗−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

2 2 s2 2 2

0.0035212 0 44.5870.0036399 60 28.2080.0006146 60 68.152ˆ ˆR k q Q k

0.0034716 0 44.5870.0001686 60 91.793

0.0005945 60 122.794

∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎦

Штап 3:

3 3 s3 3ˆR k q Q∗⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3

0

0.0035212 0 63.666 10.0036399 0 0.996 2

k̂ 0.0006146 0 7.044 30 0 63.666 80 0 0.996 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

123

Штап 4:

4 4 s4 4ˆR k q Q∗⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4

0

0.0001686 0 151.790 50.0034716 0 44.587 40.0005945 0 122.590 6

k̂0 0 151.790 110 0 44.587 100 0 100.345 12

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

123



51

• Дијаграми пресечних сила

100

90

122.794

100.345

7.044

68.152

100

61.108

4.56


28.208

44.587

91.793

32.222

+0.996


-44.587

-63.66

6

-151

.790




52

ПРИМЕР – 09

За носач са слике 9.1 са оптерећењем срачунати и нацртати дијаграме пресечних сила M,T,N ако

је утицај нормалних сила занемарен на деформацију, 7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .

5.0

5.0

3.0

3

5 6

100 kNm

4

50 kN 60 kN

21 0.3/0.6

20 kN/m

0.3/0.

6

0.3/0.6

0.3/

0.5

6.0



3 31,2,3 x

3 34 x

1A 0.3 0.6 0.18 I 0.3 0.6 5.40 1012

1A 0.3 0.5 0.15 I 0.3 0.5 3.125 1012

−

−

= ⋅ = → = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ = → = ⋅ ⋅ = ⋅

Елементи матрице трансформације:

k i

ik

x xL−

λ = : 1 2 3 45 0 11 5 0 5 11 111.0; 1.0; 0.707; 0

5 6 7.071 5− − − −

λ = = λ = = λ = = − λ = =

k i

ik

y yL−

µ = : 1 2 3 45 5 5 5 0 5 0 50; 0; 0.707; 1.0

5 6 7.071 5− − − −

µ = = µ = = µ = = − µ = = −

Подаци:

штап i k L A I λ µ

1 3 1 5.0 0.18 35.40 10−⋅ 1.0 0

2 1 2 6.0 0.18 35.40 10−⋅ 1.0 0

3 1 4 7.071 0.18 35.40 10−⋅ -0.7071 -0.7071

4 2 5 5.0 0.15 33.125 10−⋅ 0 -1.0

Y

X

1

23

1

6

1

54

9

510

7

8

5

4

3

1 21 2

34




53

• Непозната генералисана померања су: 1,2,3,4


1

23

1

6

31

5.0

1

6 2 33888 3888 19 440 6

k 3888 19 440 2сим. 97200 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 1ˆk k k∗⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1

54

1

23

1 2

6.0

2

2 3 5 49000 27000 9000 27000 2

108000 27000 54000 3k

9000 27000 5сим. 108000 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2ˆk k k∗⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


5.0

5.0

1

23

7

8

1

4

3

2 3 81374.65 9720.18 1374.65 2

k 68731.44 9720.18 3сим. 1374.65 8

−⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Матрица трансформације:

3

N0.7071 0.7071 0 0 0

T 0 0 1 0 0

0 0 0 0.7071 0.7071

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

TM

NT


3 3 3

972 972 9720 972 972k̂ k T 6873 6873 68731 6873 6873

972 972 9720 972 972

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ = − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎣ ⎦


T3 3 3

1 2 3 7 8687 687 6873 687 687 1

687 6873 687 687 2ˆk T k 68731 6873 6873 3

687 687 7сим. 687 8

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ = −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦



54

5.0

1

54

9

510

2

5

Матрица крутости штапа у локалном и глобалном

координатном систему:

4 4 4

1 4 9 109000 22500 9000 22500 1

75000 22500 37500 4ˆk k k9000 22500 9

сим. 75000 10

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Слика 9.6 – Компоненте померања штапа 4 • Подматрица матрице крутости система у непозната генералисана померања:

ss

1 2 3 49687 687 6873 22500 1

13575 687 27000 2K

273931 54000 3сим. 183000 4

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• Вектори еквивалентног оптерећења:

3 1

100

5.0

1

23

1

6

30 30

50

Реакције ослонаца: Смер реакција за формирање вектора еквивалентног оптерећења:

50

30

30

1 1

30 6Q Q 30 2

50 3

∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦


21

20 kN/m

6050

6.0

6060

6060

Реакције ослонаца: Смер реакција за формирање вектора еквивалентног оптерећења:

6060

6060

2 2

60 260 3

Q Q60 5

60 4

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦




55

• Вектор еквивалентног оптерећења система за непозната генералисана померања:

• по штапу:

s 1 2

0 130 2

Q Q Q110 360 4

∗ ∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• у чворовима:

s

0 150 2

P0 30 4

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Укупни вектор еквивалентног оптерећења система:

s s s

0 180 2

S Q P110 360 4

∗ ∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Срачунавање непознатих генералисаних померања:

1

s ss sq K S−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

s

0.0034408 10.0035593 2

q0.0005983 3

0.0006073 4

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Срачунавање сила на крајевима штапова:

i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 1:

1 1

0 30 32.208 6ˆR k 0.0035593 30 32.208 2

0.0005983 50 61.038 3

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

2 2

0.0035593 60 28.209 20.0005983 60 67.923 3ˆR k

0 60 91.791 50.0006073 60 122.821 4

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 3:

3 3

0.00344080.989 10.0035593

ˆR k 6.990 20.00059830.989 30

0

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Штап 4:

4 4

0.0034408 44.631 10.0006073 122.966 4ˆR k

0 44.631 90 100.192 10

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



56


100

90

122.821

100.192

6.990

67.923

100

61.038

4.589


28.209

44.631

91.791

32.208

+0.989

Слика 9.10 – Дијаграм трансверзалних сила [kN]

-44.631

-64.08

7

-151

.791




57

ПРИМЕР – 10

На слици 10.1 је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су

константног попречног пресека b/h=0.20/0.50 m, док је коси штап са линеарном променом висине.

Одредити силе на крајевима штапова и реакције ослонаца услед деловања:

1. задатог оптерећења,

2. температуре у оси штапова 2 и 3 од 0t 30 C= ,

3. температурне разлике дуж штапа 2 од 0t 40 10 30 C∆ = − = ,

4. обртања укљештења у чвору 3 за Iu 3ϕ = . 7 5

t2 0kN 1E 3 10 , 10m C

−= ⋅ α =

20 kN/m

0.5h

1.0h

3'

3.0

3

1 32

1

4

2

4.0 3.0 3.0


3

1 21

4

2 3

1

4

1

23

7

89

5

6

Y

X


Непозната генералисана померања су: 1,2,3

Подаци:

штап i k L λ µ 1 1 2 4.0 -1.0 0 2 1 3 6.0 1.0 0 3 1 4 5.0 -0.8 -0.6

Усваја се да је:

ch h 0.5m= = ,

33 2 2

2c c c

cc c

b hI b h h 0.5 F12 0.0208m 48.08b hF 12 b h 12 12 I

1

⋅⋅

= = = = = ⇒ =⋅ ⋅ ⋅

7 6cEF 0.2 0.5 3 10 3 10= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ,

37 4

c0.2 0.5EI 3 10 6.25 10

12⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅



58

• Елементи матрице трансформацуја штапова из локалног у глобални координатни систем:

k i1 2 3

ik

x x 0 4 10 4 0 4; 1.0; 1.0; 0.8L 4 6 5− − − −

λ = λ = = − λ = = λ = = −

k i1 2 3

ik

y y 3 3 0 3; 0; 0 ; 0.6L 4 5− − −

µ = µ = = µ = µ = = −


1

4

1

23

1

4.0

1 2 3 1

1 c

4

10.04688 0.1875 0.04688

k EI 0.75 0.1875

сим. 0.04688

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

23

14



1 2 3 1

g

4

0 0 0 10 0 0

T 0 0 1 0 00 0 00 0 0

λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥

⎢ ⎥−µ λ⎣ ⎦

23

14

1

2 3 41 0 0 2

T 0 1 0 30 0 1 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 1 1 c

2 3 40.04688 0.1875 0.04688 2

k̂ k T EI 0.1875 0.75 0.1875 30.04688 0.1875 0.04688 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎣ ⎦


T1 1 1 c

2 3 40.04688 0.1875 0.04688 2

ˆk T k EI 0.75 0.1875 3сим. 0.04688 4

∗− −⎡ ⎤

⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

7

89

2

6.0

3


2 c

1 2 3 7 8 98.0 0 0 8.0 0 0 1

0.0555 0.1666 0 0.0555 0.1666 20.6666 0 0.1666 0.3333 3

k EI8.0 0 0 7

0.0555 0.1666 8сим. 0.6666 9

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦




59


k

1 2 3 7 8 90 0 0 0 10 0 0 0 2

0 0 1 0 0 0 3T

0 0 0 0 70 0 0 0 80 0 0 0 0 1 9

λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ λ µ⎢ ⎥⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

T0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


2 2 2ˆk k k∗⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

5

6

1

23

3

5x1.0=5.0

5 4 3 2 1 0

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

h

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

M0

Штап је променљивог попречног пресека, па је за

формирање елемената базне матрице крутости

потребно применити нумерички поступак.

• Усвојено: ch h 0.5= =

• Коефицијент нумеричке интеграције mk 1.0=

• Величина поделе носача: 1.0λ =

Општи израз за трапезно правило:

1 2 3 n 1 nf(x)dx (f 2f 2f ... 2f f )2 −λ

= + + + + +∫


4c c c c

c ig m m mc 0 m 5m 1

I h h h1 1EI k k k 0.02083 6.956 0.1449F 2 h h 2 h=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ δ = λ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

33 342 2 2c c c

c ig 0 m 0 m 0 m0 m 5m 1

h h h1 1EI M k M k M k 2.73272 h h 2 h=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ α = λ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑

c igc ig

1 1EI d 0.3659EI 2.7327

⋅ = = =⋅α


ig ig

2 2igig ig

ig igg

ig

2ig

1 0 0 1 0

d L 0d L d L

d 0 d Lk

1 d 0

сим. d L

δ − δ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



60

3 c

6.9002 0 0 6.9002 00.01464 0.07319 0 0.01464

k EI 0.3659 0 0.07326.9002 0

сим. 0.01464

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


3

0.8 0.6 0 0 00.6 0.8 0 0 0

T 0 0 1 0 00 0 0 0.8 0.60 0 0 0.6 0.8

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

3 c

5.529 4.1467 0 5.529 4.14670.0088 0.0117 0.0732 0.0088 0.0117

k̂ EI 0.0439 0.0586 0.3659 0.0439 0.05865.529 4.1467 0 5.529 4.14670.0088 0.0117 0.0732 0.0088 0.0117

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥− − −⎣ ⎦


3 c

1 2 3 5 64.4285 3.3104 0.0439 4.4285 3.3104 1

2.4974 0.0586 3.3104 2.4974 2k EI 0.3659 0.0439 0.0586 3

4.4285 3.3104 5сим. 2.4974 6

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Матрица крутости система штапова:

∗

− − −− − − − −

− − −−

⎡ ⎤ = ⋅ − −⎣ ⎦ c

1 2 3 4 5 6 7 8 912.4285 3.3051 0.0439 0 4.4214 3.3051 8.0 0 03.3051 2.5959 0.07938 0.0469 3.3051 2.493 0 0.0555 0.16660.0439 0.07938 1.7826 0.1875 0.0439 0.0586 0 0.1666 0.333

0 0.0469 0.1875 0.04688 0 0 0 0 0K EI 4.4214

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎣ ⎦

1234

3.3051 0.0439 0 4.4214 3.3051 0 0 0 53.3051 2.493 0.0586 0 3.3051 2.493 0 0 0 6

8.0 0 0 0 0 0 8.0 0 0 70 0.0555 0.1666 0 0 0 0 0.0555 0.1666 80 0.1666 0.3333 0 0 0 0 0.1666 0.666 9

1 – Задато оптерећење


1

4

1

23

1

4.0

20 kN/m

1

50Q 40

30

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T

1 1 1

50 2Q T Q 40 3

30 4

∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦




61

1

2

7

89

2

6.0

320 kN/m

3.0 3.0

2 2

0 149 241 3

Q Q0 711 8

19 9

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


• Укупни вектор еквивалентног оптерећења система:

Tps

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q 0 99 1.0 30 0 0 0 11 19∗⎡ ⎤ = − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ M M M M M M M M


p pss s sK q Q∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1p ps ss s c

0.1218 0.1554 0.0099 0q K Q EI 0.5840 0.0298 99

сим. 0.5630 1.0

−∗ ∗ ∗− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ps

c

15.395 11q 57.846 2

EI3.516 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦


p p pii i i

ˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 1: p

11

57.846 50 47.95 2ˆR k 3.516 40 31.79 3

0 30 32.05 4

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

p22

15.395 0 123.16 157.846 49 45.20 23.516 41 29.02 3ˆR k

0 0 123.16 70 11 14.80 80 19 29.81 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 3:

p33

15.395 0 154.75 157.846 0 0.56 2

ˆR k 3.516 0 2.78 30 0 154.75 50 0 0.56 6

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =−⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


p p po os s sR K q Q∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

os

30 32.05 40 123.16 5

15.3950 93.15 6

K 57.8460 123.16 7

3.51611 14.80 8

19 29.81 9

∗

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⋅ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



62


31.7929.02

15.65

29.81

40 22.52.78


14.80

45.0232.05

47.950.56


-123.16

-154.75

0.0


32.05

123.16

14.80

93.15

123.16

29.81

Слика 10.11 – Реакције ослонаца [kN] [kNm]



63

Слика 10.12 – Tower 5: Дијаграм момената савијања [kNm]





64

2 – Температура у оси штапа 2 и 3 00t 30 C=


Q

2

6.0

6Q 1 t =30 C00

1 7 c t

6 5

Q Q EF t

3 10 10 30 900−

= − = ⋅α ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

t2

900 10 20 3

Q900 7

0 80 9

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


5.0

x 13

1.01N [kN]


4c c c

c 11 m m m0 m 5m 1

h h h1 1EF k k k 6.9562 h h 2 h=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ δ = λ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

6 5c 1t c tEF EF t L 3 10 10 30 5.0 4500−δ = ⋅α ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ,

14500x 646.9246.956

= − = −

t3

646.9240

Q 0646.924

0

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Tt t3 3 3

516.844 1387.633 2

Q T Q 0 3516.844 5387.633 6

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

• Укупни вектор еквивалентног оптерећења система је:

Tts

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q 383.156 387.633 0 0 516.844 387.633 900 0 0∗⎡ ⎤ = − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ M M M M M M M M



65

• Срачунавање непознати генералисаних померања:

1 1t ts ss s ss

383.156 1q K Q K 387.633 2

0 3

− −∗ ∗ ∗ ∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

ts

c

106.917 11q 285.923 2

EI15.366 3

∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦


t t ti i i i

ˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 1: t1 1

285.923 0 10.52 2ˆR k 15.366 0 42.09 3

0 0 10.52 4

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

t2 2

106.917 900 44.66 1285.923 0 18.44 215.366 0 57.90 3ˆR k

0 900 44.66 70 0 18.44 80 0 52.77 9

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 3:

t3 3

106.917 646.055 51.56 1285.923 0 3.16 2

ˆR k 15.366 0 15.83 30 646.055 51.56 50 0 3.16 6

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


t t to os s sR K q Q∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ t

o os

0 10.52 4516.844 43.90 5

106.917387.633 28.97 6

R K 285.923900 44.66 7

15.3660 18.44 80 52.77 9

∗

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



66


52.77

57.90

42.09

15.83


-3.16

10.52

18.44


-44.66

-51.56

0.0


10.52

44.66

18.44

28.97

44.66

52.77




67






68

3 – Температурна промена у штапу 2 за 0t 30 C∆ =


h t

t =400

t =10U

o ut t t 40 10 30∆ = − = − =

1

2

7

89

2

6.0

3

t=30 C0

3 c tc

tQ EIh∆

= ⋅α ⋅

4 53

30Q 6.25 10 100.50

−= ⋅ ⋅ ⋅

3Q 37.50=

3 9Q Q= −

9Q 37.50= −

t2

0 10 2

37.50 3Q

0 70 8

37.50 9

∗∆

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Слика 10.24 – Еквивалентно оптерећење штапа 2 • Укупни вектор еквивалентног оптерећења система:

Tts

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q 0 0 37.50 0 0 0 0 0 37.50∗∆⎡ ⎤ = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ M M M M M M M M


1ts ss

0 1q K 0 2

37.50 3

−∗∆ ∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

ts

c

0.372 11q 1.119 2

EI21.096 3

∗∆−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦


t t ti i i i

ˆR k q Q∆ ∗∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 1: t

1 1

1.119 0 3.90 2ˆR k 21.096 0 15.61 3

0 0 3.90 4

∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

t2 2

0.372 0 .298 11.119 0 3.58 221.096 37.5 23.25 3ˆR k

0 0 2.98 70 0 3.58 80 37.5 44.72 9

∆

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 3:

t3 3

0.372 0 2.58 11.119 0 1.53 2

ˆR k 21.096 0 7.64 30 0 2.58 50 0 1.53 6

∆

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦



69


44.72

23.25

7.6415.61


+3.58

-3.90

+1.53


2.98

2.58

0.0

Слика 10.27 – Дијаграм нормални сила [kN] Реакције ослонаца:

to os

0 3.90 40 2.98 5

0.3720 0.33 6

R K 1.1190 2.98 7

21.0960 3.58 8

37.50 44.72 9

∆ ∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3.90

2.98

3.58

0.33

2.98

44.72




70






71

4 – Обртање укљештења у чвору 3 за Iu 3ϕ =


u 2m sek 3s 0 0 0.000873rad

180 60 180 6060π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ = + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

L

U

QQ

QQ2

3

5

6


Срачунавање сила на крајевима штапа:

2 5 u26 EIQ QL⋅

= − = − ⋅ϕ

2Q 9.094= −

5Q 9.094=

3 u2 EIQ

L⋅

= − ⋅ϕ

3Q 18.188= −

6 u4 EIQ

L⋅

= − ⋅ϕ

6Q 36.38= − Вектор еквивалентног оптерећења је:

2

0 19.094 2

18.188 3Q

0 79.094 836.38 9

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦


−∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1

s ss so oq K K q

−∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ − − − − ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1s ss

4 5 6 7 8 90 40 5

0 4.4214 3.3051 8.0 0 0 10 6

q K 0.0469 3.3051 2.498 0 0.0555 0.166 20 7

0.1875 0.0439 0.0586 0 0.1666 0.333 30 8

0.000873 9



72

s c

0.0000255 1q EI 0.0000936 2

0.000168 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦


i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 1:

1 1 c

0.0000936 1.69 2ˆR k EI 0.000168 6.78 3

0 1.69 4

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

2 2 c

0.0000255 0 12.74 10.0000936 9.094 7.02 20.000168 18.188 10.22 3ˆR k EI

0 0 12.74 70 9.094 7.02 80 36.38 31.90 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 3:

3 3 c

0.0000255 15.45 10.0000936 0.69 2

ˆR k EI 0.000168 3.43 30 15.45 50 0.69 6

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ =− −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


o os s

0.0469 0 0 0 0 0 00 4.4214 3.3051 0 0 0 00 3.3051 2.493 0 0 0 0

R K q0 0 0 8.0 0 0 00 0 0 0 0.0555 0.1666 00 0 0 0 0.1666 0.6666 0.000873

∗ ∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

o

1.69 412.76 58.71 6

R12.74 77.02 8

31.89 9

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



73


3.43

10.216.78

31.89


7.02

-0.69

-1.69


-12.74

-15.45

0.0


1.69

12.74

7.02

8.71

12.74

31.89




74






75

ПРИМЕР – 11

За носач са слике 11.1, срачунати и нацртати дијаграме M,T,N сила занемарујући N силе на

деформацију, E=3·107 kN/m2.

100 kNm100 kN

0.3/0.8

7.0 3.0 3.0 7.0

0.3/0.5 0.3/0.5

10 kN/m20 kN/m


Избор генералисаних померања:

3

78

3

62

3

51

3

4

0 1 2 3

1 2 3

Слика 11.2 – Шема генералисаних померања

Непозната померања: 1, 2


штап i k I ikL IikL

1 0 1 0.003125 7.0 7.0 2 1 2 0.0128 6.0 1.46484375 3 2 3 0.003125 7.0 7.0

4cI 0.003125m=

3 / 14 2 / 71.3653.

1.3653.

2 / 7

1 / 70.6826.

ik ki

ik

a ab

igd

Слика 11.3 – Шема крутости штапова

3 / 14 3 / 72.048 2.048 3 / 7

6 / 74.096

ik ki

ik ki

c cc c+

igd

Слика 11.4 – Шема крутости штапова



76

Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:

3

51

3

4

01

7.0

1 1 1

4 5 13 686 3 686 3 98 4

ˆk k k 3 686 3 686 3 98 53 98 3 98 3 14 1

∗−⎡ ⎤

⎢ ⎥= = = − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Слика 11.5 – Штап 1

3

62

1

6.0

3

51

2

2 2 2 c

5 1 6 2

0.1137 0.3413 0.1137 0.3413 5

0.3413 1.3653 0.3413 0.6826 1ˆk k k 2 EI0.1137 0.3413 0.1137 0.3413 6

0.3413 0.6826 0.3413 1.3653 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∗⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= = = ⋅ ⋅⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Слика 11.6 – Штап 2

3

78

7.0

3

62

2 3

3 3 3

6 2 7 86 343 3 49 6 343 3 49 63 49 2 7 3 49 1 7 2ˆk k k6 343 3 49 6 343 3 49 73 49 1 7 3 49 2 7 8

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= = =⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Слика 11.7 – Штап 3 Матрица крутости система:

⋅

∗⋅

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2

1.579619 0.6826 1K

0.6826 1.651048 2


01

7.0

10 kN/m

3

51

3

4

01

01

26.25 43.75

61.25

01

26.2543.75

61.25

Реакције ослонаца: Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења:

∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1

26.25 4Q Q 43.75 5

61.25 1




77

1 2

3.0 3.0

100100

Од концентрисаног момента:

1 2

3.0 3.0

100

3

62

3

51

1 2


25 25

2525


25 25

25 25

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

M2

25 525 1

P25 625 2

Од концентрисане силе:

1 2

3.0 3.0

100

3

62

3

51

1 2


50 50

75 75

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P2

50 575 1

P50 6

75 2


75 75

50 50

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M P2 2 2 2

75 5100 1

P P P P25 6

50 2




78

2 3

20 kN/m

7.0

3

78

3

62

2 3


21 49

32.6 49.

⋅∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3

21 6

32.6 2Q Q49 749 8


32.6 49

21 49

.

∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦s s sS Q P

∗⋅

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎣ ⎦s

38.75 1S

17.3 2


Прорачун непознатих померања:

−∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1

s ss sq K S

∗ −⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⎣ ⎦s

c

35.939 11q25.132 22 EI

Срачунавање сила на крајевима штапова:

i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 1:

1 1 1 1 1

0 26.25 25.167 4ˆ ˆR k q Q k 0 43.75 44.833 5

35.393 61.25 68.834 1

∗−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = ⋅ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 2:

2 2 2 2 2

0 75 71.498 535.393 100 68.834 1ˆ ˆR k q Q k

0 25 28.502 625.132 50 39.848 2

∗

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Штап 3:

3 3 3 3 3

210 22.539 625.132 39.847 232.6ˆ ˆR k q Q k

0 47.461 7490 45.41 849

⋅∗

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = ⋅ − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦



79


68.834

39.847 45.41

145.66

45.66

61.25 60.405


44.833

25.167 22.539

47.46128.502

71.498




80

ПРИМЕР – 12

За решеткасти носач са слике 12.1, услед деловања оптерећења срачунати силе у штаповима.

Подаци:

b / h 0.2 / 0.5= m, 7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .

Напомена:

Штап 1 – 4, и 2 – 3 се мимоилазе !

5

100 kN 50 kN

21

43

4.0 4.0 4.0

3.0

6


Решење:

X

Y

1 3

4

2 7

8

1

2

5

6

4

9

10

3

11

12

5 6

1

2 7 10

6

3 8

5

4

9


Геометријски подаци:

штап i k [ ]L m cosα = λ sinα = µ 1 5 1 5.0 0.8 0.6 2 5 3 4.0 1.0 0 3 3 1 3.0 0 1.0 4 1 2 4.0 1.0 0 5 1 4 5.0 0.8 - 0.6 6 3 2 5.0 0.8 0.6 7 3 4 4.0 1.0 0 8 4 2 3.0 0 1.0 9 2 6 5.0 0.8 - 0.6 10 4 6 4.0 1.0 0




81

1

y

x

Li k 4

q i qk

[ ]

1 41 1 1E Fk1 1 4L

−⎡ ⎤⋅= ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Слика 12.3 – Компоненте померања штапа решеткастог носача

y

x

5.0

16

Штап 1 и 6:

Матрице крутости штапова у локалном

координатном систему су:

[ ] [ ] 51 6

6.0 6.0k k 10

6.0 6.0−⎡ ⎤

= = ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Слика 12.4 – Локални координатни систем штапова 1 и 6.

Матрица трансформације штапова 1 и 6:

[ ] [ ]i

1 6

N0 0T0 0

T T0 00 0

λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥= =⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥

−µ λ⎣ ⎦

i

k

k

NT

0.8 0.6 0 00 0 0.8 0.6

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ] [ ] 51 6 1 1 6 6

4.8 3.6 4.8 3.6ˆ ˆk k k T k T 104.8 3.6 4.8 3.6

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −⎣ ⎦

Матрице крутости штапова у глобалном координатном систему су:

[ ] [ ]T 5

1 1 1 1

1 2 3 43.84 2.88 3.84 2.88 1

2.16 2.88 2.16 2k T k T 10

3.84 2.88 3сим. 2.16 4

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ]T 5

6 6 6 6

5 6 7 83.84 2.88 3.84 2.88 5

2.16 2.88 2.16 6k T k T 10

3.84 2.88 7сим. 2.16 8

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y

x

5.0

59

Штап 5 и 9:

Матрице крутости штапова у локалном

координатном систему су:

[ ] [ ] 55 9

6.0 6.0k k 10

6.0 6.0−⎡ ⎤

= = ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Слика 12.5 – Локални координатни систем штапова 5 и 9.



82


[ ] [ ]i

5 9

N0 0T0 0

T T0 00 0

λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥= =⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥

−µ λ⎣ ⎦

i

k

k

NT

0.8 0.6 0 00 0 0.8 0.6

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ] [ ] 55 9 5 5 9 9

4.8 3.6 4.8 3.6ˆ ˆk k k T k T 104.8 3.6 4.8 3.6

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −⎣ ⎦


[ ] [ ]T 5

5 5 5 5

3 4 9 103.84 2.88 3.84 2.88 3

2.16 2.88 2.16 4k T k T 10

3.84 2.88 9сим. 2.16 10

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ]T 5

9 9 9 9

7 8 11 123.84 2.88 3.84 2.88 7

2.16 2.88 2.16 8k T k T 10

3.84 2.88 11сим. 2.16 12

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

y

x

4.0i k

2 7 10 4

Штап 2, 7, 10 и 4:

Матрице крутости штапова у локалном координатном

систему су:

[ ] [ ] [ ] [ ] 52 7 10 4

7.5 7.5k k k k 10

7.5 7.5−⎡ ⎤

= = = = ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Слика 12.6 – Локални координатни систем штапова 2, 7, 10 и 4.

Матрица трансформације штапова 2, 7, 10, и 4:

[ ] [ ] [ ] [ ]

i

i2 7 10 4

N0 0T0 0

T T T T0 00 0

λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥

−µ λ⎣ ⎦k

k

NT

1.0 0 0 00 0 1.0 0

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

52 7 10 4

7.5 0 7.5 0ˆ ˆ ˆ ˆk k k k 107.5 0 7.5 0

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦


[ ] [ ]T 5

2 2 2 2

1 2 5 67.5 0 7.5 0 1

0 0 0 2k T k T 10

7.5 0 5сим. 0 6

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



83

[ ] [ ]T 5

7 7 7 7

5 6 9 107.5 0 7.5 0 5

0 0 0 6k T k T 10

7.5 0 9сим. 0 10

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ]T 5

10 10 10 10

9 10 11 127.5 0 7.5 0 9

0 0 0 10k T k T 10

7.5 0 11сим. 0 12

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ]T 5

4 4 4 4

3 4 7 87.5 0 7.5 0 3

0 0 0 4k T k T 10

7.5 0 7сим. 0 8

∗

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y

x

3.0

ik

3

8

Штап 3 и 8:

Матрице крутости штапова у локалном координатном

систему су:

[ ] [ ] 53 8

10 10k k 10

10 10−⎡ ⎤

= = ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Слика 12.7 – Локални координатни систем штапова


[ ] [ ]i

3 8

N0 0T0 0

T T0 00 0

λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥= =⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥

−µ λ⎣ ⎦

i

k

k

NT

0 1.0 0 00 0 0 1.0⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ] [ ] 53 8 3 3 8 8

0 10 0 10ˆ ˆk k k T k T 100 10 0 10

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦

[ ] [ ]T 5

3 3 3 3

5 6 3 40 0 0 0 5

10 0 10 6k T k T 10

0 0 3сим. 10 4

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ]T 5

8 8 8 8

9 10 7 80 0 0 0 9

10 0 10 10k T k T 10

0 0 7сим. 10 8

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



84


{s s

0

S Q∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ sP∗⎡ ⎤+ ⎣ ⎦

s sS P∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]T

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P 0 0 0 0 0 100 0 0 0 50 0 0∗⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦ M M M M M M M M M M M

• Матрица крутости штапова у глобалном координатном систему:

∗

− − −− −

− − − −− − − −− − − −

− −⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1211.34 2.88 3.84 2.88 7.5 0 0 0 0 0 0 02.88 2.16 2.88 2.16 0 0 0 0 0 0 0 03.84 2.88 15.18 0 0 0 7.5 0 3.84 2.88 0 02.88 2.16 0 14.32 0 10 0 0 2.88 2.16 0 07.5 0 0 0 18.84 2.88 3.84 2.88 7.5 0 0 00 0 0 10 2.88 12.16 2.

K 10

⎡⎢⎢

−− − − −

− − − −− − − −

− − −− − −

− −⎣

88 2.16 0 0 0 00 0 7.5 0 3.84 2.88 15.18 0 0 0 3.84 2.880 0 0 0 2.88 2.16 0 14.32 0 10 2.88 2.160 0 3.84 2.88 7.5 0 0 0 18.84 2.88 7.5 00 0 2.88 2.16 0 0 0 10 2.88 12.16 0 00 0 0 0 0 0 3.84 2.88 7.5 0 11.34 2.880 0 0 0 0 0 2.88 2.16 0 0 2.88 2.16

⎤⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

123456789

101112

• Непозната померања чворова су:

∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

⎡ ⎤− −⎡⎢ ⎥

⎢⎢ ⎥ − −⎢⎢ ⎥⎢ − − −⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎡ ⎤ = = ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦

3

4

5

6 5s

7

8

9

10

3 4 5 6 7 8 9 10

q 15.48 0 0 0 7.5 0 3.84 2.88q 14.32 0 10 0 0 2.88 2.16q 18.84 2.88 3.84 2.88 7.5 0q 12.16 2.88 2.16 0 0

q 1015.18 0 0 0q

14.32 0 10q18.84 2.88q

сим. 12.16q

−⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

5

0 5.6170 46.0700 1.373100 55.41910 7.392100 40.7200 1.59050 46.736

Срачунавање сила у штаповима решеткастог носача:

( ) ( )ik ix kx iy kyE FS cos q q sin q q

L⋅ ⎡ ⎤= ⋅ α ⋅ − + α ⋅ −⎣ ⎦ , односно ikN S= −

( ) ( )5 3S 7.5 1.0 0 1.373 0 0 55.419 10.30kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ + = −⎣ ⎦

( ) ( )3 4S 7.5 1.0 1.373 1.590 0 55.419 46.736 1.63kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + = −⎣ ⎦



85

( ) ( )4 6S 7.5 1.0 1.590 0 0 46.736 0 11.93kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + =⎣ ⎦

( ) ( )1 2S 7.5 1.0 5.617 7.392 0 46.07 40.72 97.57kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + ⋅ − + =⎣ ⎦

( ) ( )5 1S 6.0 0.8 0 5.617 0.6 0 46.07 138.89kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ + =⎣ ⎦

( ) ( )3 2S 6.0 0.8 1.373 7.392 0.6 55.419 40.72 10.84kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + ⋅ − + = −⎣ ⎦

( ) ( )1 4S 6.0 0.8 5.617 1.590 0.6 46.07 46.736 16.93kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − − ⋅ − + =⎣ ⎦

( ) ( )2 6S 6.0 0.8 7.392 0 0.6 40.72 0 111.11kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − =⎣ ⎦

( ) ( )3 1S 10 0 1.373 5.617 1.0 55.419 46.07 93.49kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + = −⎣ ⎦

( ) ( )4 2S 10 0 1.590 7.392 1.0 46.736 40.72 60.16kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + ⋅ − + = −⎣ ⎦

• Срачунавање реакција ослонаца решеткастог носача:

{0 os s oo 0

0

R K q K q∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ {o

0

Q∗⎡ ⎤− ⎣ ⎦ os sK q∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

20 s

11

12

3 4 5 6 7 8 9 10R 3.84 2.88 7.5 0 0 0 0 0 100.81R 2.88 2.16 0 0 0 0 0 0 83.33

R qR 0 0 0 0 3.84 2.88 7.5 0 100.81R 0 0 0 0 2.88 2.16 0 0 66.67

∗ ∗

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

5

83.33

21

43

6100.81

66.67

100.81

10.30 1.63 -11.93

93.4

9

60.1

6

-97.57

-138.89 10.84

-16.93

-111.11

Слика 12.8 – Нормалне силе у штаповима и реакције ослонаца [kN]



86

ПРИМЕР – 13

За носач на слици 13.1 са оптерећењем одредити трансверзалну силу у пресеку ''m'',

7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .

3

0.4/0.

6 0.4/0.6

0.4/0.4 0.4/0.

4

54

m

100 kN 200 kN

60 kN

1 2

20 kN/m

4.0

4.0 4.0 4.0 4.0

Слика 13.1 – Геометрија носача са оптерећењем Решење:

3 54

m

50

100

30

1 2

10

50

100 10

30

Слика 13.2 – Симетричан носач са симетричним оптерећењем

3 54

100

30

1 2

10100

10

30

Слика 13.3 – Симетричан носач са антиметричним оптерећењем Како је код симетричног оптерећења у пресеку "m" , вредност трансверзалне силе позната, остаје

непозната њена вредност при антиметричном оптерећењу. Укупну вредност трансверзалне силе

тражи се суперпозицијом симетричног и антиметричног оптерећења.

xy

1

4

8

9

5

67

1

23

34

2

1

1 3

2

x

yxy

Слика 10.4 – Избор генералисаних померања чворова антиметричног дела носача



87

Непозната генералисана померања су:1,2,3

Геометријске карактеристике:

3 4c 1

1I I 0.4 0.6 0.0072m12

= = ⋅ ⋅ =

3 42

1I 0.4 1.0 0.03m12

⋅= ⋅ ⋅ =

3 43

1I 0.4 0.4 0.00213m12

= ⋅ ⋅ =

I1 1L L 5.657m= =

I c2 2

2

IL L 0.864mI

= ⋅ =

I c3 3

3

IL L 19.092mI

= ⋅ =

21F 0.24m=

22F 0.40m=

23F 0.16m=


1

23

5

67

5.657


1 c

2.9462 0 0 2.9462 0 00.0331 0.0938 0 0.0331 0.0938

0.3535 0 0.0938 0.1768k 2 EI

2.9462 0 00.0331 0.0938

сим. 0.3535

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



1

0.707 0.707 0 0 0 00.707 0.707 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0Т

0 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 c

2.0833 2.0833 0 2.0833 2.0833 00.0234 0.0234 0.0938 0.0234 0.0234 0.09380.0663 0.0663 0.3535 0.0663 0.0663 0.1768

k̂ 2 EI2.0833 2.0833 0 2.0833 2.0833 0

0.0234 0.0234 0.0938 0.0234 0.0234 0.09380.0663 0.0663 0

− −− −− −⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ − −

− − − −− .1768 0.0663 0.0663 0.3535

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦


1 c

5 6 7 1 2 31.4897 1.4565 0.0663 1.4897 1.4565 0.0663 5

1.4897 0.0663 1.4565 1.4897 0.0663 60.3535 0.0663 0.0663 0.1768 7

k 2 EI1.4897 1.4565 0.0663 1

1.4897 0.0663 2сим. 0.3535 3

∗

− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



88

1

23

4

1

4.0

12

2 2 2 c

2 3 40.1085 0.434 0.1085 2

ˆk k k 2 EI 1.7361 0.434 3сим. 0.1085 4

∗−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= = = ⋅ ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦


9

8

2

1

5.657

0315α =

sin 0.707α = −

cos 0.707α =

Матрица крутости штапа у локалном

координатном систему је:

3 c

1.9641 0 0 1.9641 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

k 2 EI1.9641 0 0 1.9641 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



3

0.707 0.707 0 0 0 00.707 0.707 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0T

0 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0 0 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 c

1.3888 1.3888 1.3888 1.38880 0 0 0

k̂ 2 EI1.3888 1.3888 1.3888 1.3888

0 0 0 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


3 c

1 2 8 90.9821 0.9821 0.9821 0.9821 1

0.9821 0.9821 0.9821 2k 2 EI

0.9821 0.9821 8сим. 0.9821 9

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


ss c

1 2 32.4718 0.4744 0.0663 1

K 2 EI 2.5803 0.3677 2сим. 2.0896 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦



89


4.0

30

100

10 kN/m

1

23

4

1

Оптерећење по штапу:

2 2

25 2Q Q 20 3

15 4

∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

Чворно оптерећење:

25 15

20

25 15

20

Реакције од оптерећења Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења

2

30 1P 100 2

0 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Укупан вектор оптерећења:

s 2

30 1S Q P 75 2

20 3

∗ ∗ ∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦



1s ss sq K S

−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s

c

6.7899 11q 29.9640 2

2 EI15.0593 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

• Срачунавање сила на крају штапа 2:

2 2

29.9640 25 21.71 2ˆR k 15.0593 20 6.86 3

0 15 18.28 4

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Трансверзална сила у пресеку ''m'' је:

симетричано оптерећење: антиметричано оптерећење:

m m

5050

1 2

m m

1 2

18.28

18.28

smT 50kN= s

mT 50kN= − amT 18.25kN= − a

mT 18.25kN= −

• Према томе, трансверзална сила је:

Лево од пресека ''m'': L s am m mT T T 50 18.28 31.72kN= + = − =

Десно од пресека ''m'': D s am m mT T T 50 18.28 68.28kN= + = − − = −

Контрола: L Dm mT T 100kN= + =∑



86

ПРИМЕР – 13

За носач на слици 13.1 са оптерећењем одредити трансверзалну силу у пресеку ''m'',

7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .

3

0.4/0.

6 0.4/0.6

0.4/0.4 0.4/0.

4

54

m

100 kN 200 kN

60 kN

1 2

20 kN/m

4.0

4.0 4.0 4.0 4.0

Слика 13.1 – Геометрија носача са оптерећењем Решење:

3 54

m

50

100

30

1 2

10

50

100 10

30

Слика 13.2 – Симетричан носач са симетричним оптерећењем

3 54

100

30

1 2

10100

10

30

Слика 13.3 – Симетричан носач са антиметричним оптерећењем Како је код симетричног оптерећења у пресеку "m" , вредност трансверзалне силе позната, остаје

непозната њена вредност при антиметричном оптерећењу. Укупну вредност трансверзалне силе

тражи се суперпозицијом симетричног и антиметричног оптерећења.

xy

1

4

8

9

5

67

1

23

34

2

1

1 3

2

x

yxy

Слика 10.4 – Избор генералисаних померања чворова антиметричног дела носача



87

Непозната генералисана померања су:1,2,3

Геометријске карактеристике:

3 4c 1

1I I 0.4 0.6 0.0072m12

= = ⋅ ⋅ =

3 42

1I 0.4 1.0 0.03m12

⋅= ⋅ ⋅ =

3 43

1I 0.4 0.4 0.00213m12

= ⋅ ⋅ =

I1 1L L 5.657m= =

I c2 2

2

IL L 0.864mI

= ⋅ =

I c3 3

3

IL L 19.092mI

= ⋅ =

21F 0.24m=

22F 0.40m=

23F 0.16m=


1

23

5

67

5.657


1 c

2.9462 0 0 2.9462 0 00.0331 0.0938 0 0.0331 0.0938

0.3535 0 0.0938 0.1768k 2 EI

2.9462 0 00.0331 0.0938

сим. 0.3535

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



1

0.707 0.707 0 0 0 00.707 0.707 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0Т

0 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 c

2.0833 2.0833 0 2.0833 2.0833 00.0234 0.0234 0.0938 0.0234 0.0234 0.09380.0663 0.0663 0.3535 0.0663 0.0663 0.1768

k̂ 2 EI2.0833 2.0833 0 2.0833 2.0833 0

0.0234 0.0234 0.0938 0.0234 0.0234 0.09380.0663 0.0663 0

− −− −− −⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ − −

− − − −− .1768 0.0663 0.0663 0.3535

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦


1 c

5 6 7 1 2 31.4897 1.4565 0.0663 1.4897 1.4565 0.0663 5

1.4897 0.0663 1.4565 1.4897 0.0663 60.3535 0.0663 0.0663 0.1768 7

k 2 EI1.4897 1.4565 0.0663 1

1.4897 0.0663 2сим. 0.3535 3

∗

− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



88

1

23

4

1

4.0

12

2 2 2 c

2 3 40.1085 0.434 0.1085 2

ˆk k k 2 EI 1.7361 0.434 3сим. 0.1085 4

∗−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= = = ⋅ ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦


9

8

2

1

5.657

0315α =

sin 0.707α = −

cos 0.707α =

Матрица крутости штапа у локалном

координатном систему је:

3 c

1.9641 0 0 1.9641 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

k 2 EI1.9641 0 0 1.9641 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



3

0.707 0.707 0 0 0 00.707 0.707 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0T

0 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0 0 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 c

1.3888 1.3888 1.3888 1.38880 0 0 0

k̂ 2 EI1.3888 1.3888 1.3888 1.3888

0 0 0 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


3 c

1 2 8 90.9821 0.9821 0.9821 0.9821 1

0.9821 0.9821 0.9821 2k 2 EI

0.9821 0.9821 8сим. 0.9821 9

∗

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


ss c

1 2 32.4718 0.4744 0.0663 1

K 2 EI 2.5803 0.3677 2сим. 2.0896 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦



89


4.0

30

100

10 kN/m

1

23

4

1

Оптерећење по штапу:

2 2

25 2Q Q 20 3

15 4

∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

Чворно оптерећење:

25 15

20

25 15

20

Реакције од оптерећења Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења

2

30 1P 100 2

0 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Укупан вектор оптерећења:

s 2

30 1S Q P 75 2

20 3

∗ ∗ ∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦



1s ss sq K S

−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s

c

6.7899 11q 29.9640 2

2 EI15.0593 3

∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

• Срачунавање сила на крају штапа 2:

2 2

29.9640 25 21.71 2ˆR k 15.0593 20 6.86 3

0 15 18.28 4

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Трансверзална сила у пресеку ''m'' је:

симетричано оптерећење: антиметричано оптерећење:

m m

5050

1 2

m m

1 2

18.28

18.28

smT 50kN= s

mT 50kN= − amT 18.25kN= − a

mT 18.25kN= −

• Према томе, трансверзална сила је:

Лево од пресека ''m'': L s am m mT T T 50 18.28 31.72kN= + = − =

Десно од пресека ''m'': D s am m mT T T 50 18.28 68.28kN= + = − − = −

Контрола: L Dm mT T 100kN= + =∑



90

ЛИТЕРАТУРА

[1.] М. Ђурић: Статика конструкција, 1 – део, Научна књига, Београд, 1970.

[2.] М. Секуловић: Метод коначних елемената, ИРО Грађевинска књига, Београд, 1984. [3.] М. Секуловић: Теорија линијских носача, Грађевинска књига, Београд, 2005.

[4.] А. Прокић: Матрична анализа танкозидних конструкција, Крамерпринт, Земун, 1999.

[5.] И.М. Миличић: Стабилност конструкција, семинарски рад, Грађевинског факултета

Суботица, Суботица, 2001.

matricna analiza

Documents