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26 – Matematicas 1 : Algebra Lineal

Capıtulo 1

Matrices y sistemas lineales

1.1 Definiciones basicas

Una matriz es una tabla rectangular de numeros, es decir, una distribucion ordenada de numeros. Losnumeros de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz. El tamano de una matrizse describe especificando el numero de filas y columnas que la forman. Si A es una matriz de m filas yn columnas, Am×n , se usara aij para denotar el elemento de la fila i y la columna j y, en general, serepresentara por

A = (aij) 1≤i≤m1≤j≤n

= (aij)m×n =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... · · ·

...am1 am2 · · · amn

.

Dos matrices son iguales si tienen igual tamano y los elementos correspondientes de ambas matrices iguales.Una matriz An×n (o An ) se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de la forma a11 ,

a22 , . . . , ann se dice que forman la diagonal principal. De una matriz A1×n se dice que es una matriz filay de una matriz Am×1 que es una matriz columna.

1.1.1 Operaciones con las matrices

Las matrices con las que trabajaremos habitualmente seran matrices reales, sus elementos seran numeros reales(sin embargo, los resultados y definiciones dados aquı son validos para matrices de numeros complejos).

Suma: Si A y B son dos matrices del mismo tamano, m×n , la suma A+B es otra matriz de tamano m×ndonde el elemento ij de A+ B se obtiene sumando el elemento ij de A con el elemento ij de B . Es decir,si A = (aij)m×n y B = (bij)m×n , entonces A+B = (aij + bij)m×n .

El neutro de la suma es la matriz cero, 0, con todos sus elementos cero, y la matriz opuesta de A , sedesigna por −A , y es −A = (−aij)m×n .

Producto por escalares: Si A es una matriz m×n y k ∈ R un escalar, el producto kA es otra matriz delmismo tamano donde cada elemento de A aparece multiplicado por k . Es decir, kA = (kaij)m×n .

Evidentemente, −A = (−1)A y A−B = A+ (−B).

Producto de matrices: Si Am×n y Bn×p el producto AB es otra matriz de tamano m×p tal que, elelemento eij de AB se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de A por el elementocorrespondiente de la columna j de B . Es decir,

eij = FAi × CBj =(ai1 ai2 · · · ain

)b1jb2j...bnj

= ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj =

n∑k=1

aikbkj

(lo denotaremos por eABij = FAi × CBj cuando queramos significar la fila y columna que intervienen).

Nota: Esta definicion requiere el mismo numero de columnas en la primera matriz que de filas en la segunda: a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

3×4

·

b11 b12 b13 b14 b15

b21 b22 b23 b24 b25

b31 b32 b33 b34 b35

b41 b42 b43 b44 b45

4×5

=

e11 e12 e13 e14 e15

e21 e22 e23 e24 e25

e31 e32 c33 e34 e35

3×5

puesto que para el calculo de eij ha de haber tantos elementos en la fila i de A (numero de columnas de A)como en la columna j de B (numero de filas de B ). En forma sinoptica con los tamanos (m×n)·(n×p) = (m×p).

Prof: Jose Antonio Abia Vian Grado de Ing. Electronica Industrial y Automatica : Curso 2017–2018

27 – Matematicas 1 : Algebra Lineal 1.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Observacion: Cada elemento de la matriz producto puede obtenerse de manera independiente, por lo que no esnecesario calcularlos todos si solo son necesarios unos pocos. Ası:

? eABij =FAi · CBj ? FABi =FAi ·B ? CABj =A · CBj ? eABCij =FAi · CBCj =FAi ·B · CCj

La matriz cuadrada I = In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

, formada por ceros excepto en la diagonal principal que tiene

unos, de llama matriz identidad y es el neutro del producto de matrices (tomada del tamano adecuado). Esdecir, para toda Am×n se tiene que ImAm×n = Am×n y Am×nIn = Am×n .

Propiedades 42.- Suponiendo tamanos adecuados para que las operaciones sean posibles:

a) A+B = B +A (conmutativa de la suma).

b) A+ (B + C) = (A+B) + C ; A(BC) = (AB)C (asociativas de la suma y del producto).

c) A(B+C) = AB+AC ; (A+B)C = AC+BC (distributivas por la izquierda y por la derecha).

d) a(B + C) = aB + aC ; ∀a ∈ R .

e) (a+ b)C = aC + bC ; ∀a, b ∈ R .

f) a(BC) = (aB)C = B(aC); ∀a ∈ R .

En general, NO es cierto que:? AB = BA? Si AB = 0 tengan que ser A = 0 o B = 0? Si AB = AC necesariamente sea B = C

Ejemplo 43 Con A=

(0 10 2

), B=

(3 70 0

)y C=

(−1 −10 0

)tenemos AB=

(0 00 0

)6= BA=

(0 170 0

),

es decir AB 6= BA y AB = 0 con A 6= 0 y B 6= 0. Ademas AC = 0 = AB , pero B 6= C . 4

1.1.2 Matriz transpuesta

Definicion 44.- Si A es una matriz m×n llamamos matriz transpuesta de A a la matriz At de tamanon×m que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A . Es decir, el elemento ij de At

coincide con el elemento ji de A. (a11 a12 a13

a21 a22 a23

)t=

a11 a21

a12 a22

a13 a23

Proposicion 45.- Se verifican las siguientes propiedades:

a) (At)t = A . b) (A+B)t = At +Bt . c) (kA)t = kAt .

d) (AB)t = BtAt y, en general, (A1A2 · · ·An)t = Atn · · ·At2At1 .

Demostracion:Las tres primeras son claras. Veamos la cuarta: eB

tAt

ij = FBt

i × CAtj = CBi × FAj = FAj × CBi = eABji . LuegoBtAt = (AB)t .

1.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Definicion 46.- Se denomina ecuacion lineal de n variables (o incognitas), xi , aquella ecuacion que puedeexpresarse en la forma: a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b , donde los ai , b ∈ R .

Una solucion de la ecuacion lineal es un conjunto ordenado de numeros reales (s1, s2, . . . , sn), tales quea1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b .



Ejemplo Una ecuacion lineal de 2 incognitas, 2x + y = 3, es una representacion analıtica de una recta delplano pues las soluciones de la ecuacion son cada uno de los puntos de la recta y el conjunto solucion es todala recta, todos los puntos de la recta. Una ecuacion lineal de 3 incognitas representa un plano en el espacio.

En una ecuacion lineal no pueden aparecer productos, ni potencias, ni otras expresiones, . . . , de las variables.

Definicion 47.- Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas a la reunion de mecuaciones lineales sobre las mismas n incognitas, y se escribe en la forma:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

Una n -upla (s1, s2, . . . , sn) es solucion del sistema si es solucion de todas y cada una de las ecuaciones.

Ejemplo El par (−7, 9) es una solucion del sistema de ecuaciones

{x+ y = 2

2x+ y = −5, pues es solucion de cada

una de las 2 ecuaciones. De hecho, es el unico punto comun a esas dos rectas (ver la ejemplo anterior).Un sistema de ecuaciones lineales puede no tener solucion (con dos incognitas, las rectas paraleras no tienen

puntos en comun) o infinitas (las dos ecuaciones representan la misma recta).

Si un sistema no tiene solucion, suele decirse que es incompatible; si existe solucion y es unica compatibledeterminado y compatible indeterminado si tiene un conjunto infinito de soluciones.

Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales, tambien puedeescribirse como AX = B donde A = (aij)m×n , X = (xi)n×1 y B = (bj)m×1 .

AX =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

· · · · · · · · · · · · · · ·am1 am2 am3 · · · amn

x1

x2

x3

...xn

=

b1b2...bm

= B

La matriz A se denomina matriz de los coeficientes, la matriz columna B se denomina matriz de los terminosindependientes y una S = (si)n×1 es solucion de sistema si verifica que AS = B .

Ejemplo Para el sistema del ejemplo anterior{x+ y = 2

2x+ y = −5←→

(1 12 1

)(xy

)=

(2−5

); (−7, 9) es solucion, pues

(1 12 1

)(−79

)=

(2−5

)4

1.2.1 Matrices elementales

Definicion 48.- Llamaremos operacion elemental en las filas de las matrices, a las siguientes:

a) Intercambiar la posicion de dos filas.

b) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero.

c) Sumar a una fila un multiplo de otra fila.

Definicion 49.- Se dice que una matriz cuadrada En×n es una matriz elemental si se obtiene de efectuaruna sola operacion elemental sobre la matriz identidad In×n .

Teorema 50.- Si la matriz elemental Em×m resulta de efectuar cierta operacion elemental sobre las filas deIm y si Am×n es otra matriz, el producto EA es la matriz m×n que resulta de efectuar la misma operacionelemental sobre las filas de A . .



Ejemplo Son matrices elementales las matrices

E1 =

0 1 01 0 00 0 1

, E2 =

1 0 00 2 00 0 1

y E3 =

1 0 00 1 03 0 1

,

que se obtienen de I3 , intercambiando la primera con la segunda fila (F1 ↔ F2 ), multiplicando la segunda filapor 2 (2F2 ) y sumando a la tercera fila la primera fila multiplicada por 3 (F3 + 3F1 ), respectivamente. Y siA = (aij)3×4 , se tiene

E1A=

a21 a22 a23 a24

a11 a12 a13 a14

a31 a32 a33 a34

, E2A =

a11 a12 a13 a14

2a21 2a22 2a23 2a24

a31 a32 a33 a34

y

E3A=

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31+3a11 a32+3a12 a33+3a13 a34+3a14

. 4

Observacion 51.- Es claro, que una vez realizada una operacion elemental puede deshacerse mediante otraoperacion elemental: ası, si intercambiamos la fila i con la fila j , la operacion elemental que lo deshace esintercambiar de nuevo la fila i con la fila j ; si multiplicamos la fila i por k 6= 0 se deshace multiplicandolade nuevo por 1

k y si sumamos a la fila i la fila j multiplicada por k lo deshacemos restando a la fila i la filaj multiplicada por k (sumando la fila j multiplicada por −k ). Denotando por E∗1 , E∗2 y E∗1 a las matriceselementales que deshacen las operaciones elementales dadas por las matrices elementales E1 , E2 y E3 delejemplo anterior, tenemos que

E∗1 =

0 1 01 0 00 0 1

= E1, E∗2 =

1 0 00 1

2 00 0 1

y E∗3 =

1 0 00 1 0−3 0 1

.

Entonces, si E∗ es la matriz elemental que deshace la operacion realizada por E , se tiene que E∗(EA) = A .

Teorema 52.- Si E es una matriz elemental, los sistemas AX = B y (EA)X = EB tienen las mismassoluciones.

Demostracion:En efecto, si S es solucion del primer sistema, AS = B , luego (EA)S = E(AS) = EB y S es tambien soluciondel segundo. Y viceversa, si (EA)S = EB y E∗ es la matriz elemental que deshace E , multiplicando en laigualdad, se tiene: E∗(EA)S = E∗EB =⇒ AS = B .

1.2.2 Metodo de Gauss

El Teorema 52 anterior asegura que haciendo sobre el sistema AX = B unicamente operaciones elementalesllegamos a un sistema con las mismas soluciones (sistema equivalente). El siguiente proceso para obtener unsistema equivalente que da las soluciones de manera mas sencilla se conoce como metodo de Gauss.

Ademas, al operar en el sistema debemos hacer operaciones elementales sobre la matriz A de los coeficientesy, las mismas operaciones sobre B para que se mantenga la equivalencia. Luego esto nos lleva a:

Definicion 53.- En un sistema lineal AX = B , se llama matriz ampliada del sistema a la matriz (A|B)formada anadiendo a la matriz de coeficientes A la matriz columna de los terminos independientes B .

Mediante operaciones elementales, se hacen ceros en la matriz ampliada del sistema, para obtener una matrizescalonada, con ceros por debajo de la “escalera”. Esta matriz escalonada debe cumplir:

1.- Si una fila consta unicamente de ceros debe ir en la parte inferior de la matriz.

2.- Si dos filas seguidas no constan solo de ceros, el primer elemento distinto de cero de la fila inferior debeencontrarse mas a la derecha que el primer elemento distinto de cero de la fila superior.

El primer elemento distinto de cero de cada fila lo llamaremos elemento principal y las incognitas corres-pondientes a estos elementos incognitas principales. (Los elementos principales “marcan” la escalera.)



Ejemplo 545x3 + 10x4 + 15x6 = 5

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 02x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

Apliquemos el metodo a la matriz ampliada del sistema (A|B):

(A|B) =

0 0 5 10 0 15 51 3 −2 0 2 0 02 6 −5 −2 4 −3 −12 6 0 8 4 18 6

Por la operacion (a) cambiamos la fila 1 porla fila 2 (F1 ↔ F2)

1 3 −2 0 2 0 00 0 5 10 0 15 52 6 −5 −2 4 −3 −12 6 0 8 4 18 6

Por (b) hacemos cero el 2 de F3 (F3 − 2F1) yel de F4 (F4 − 2F1)

3 −2 0 2 0 00 0 5 10 0 15 50 0 −1 −2 0 −3 −10 0 4 8 0 18 6

Hacemos 0 el −1 de F3 (F3 + 15F2) y el 4 de

F4 (F4 − 45F2)

3 −2 0 2 0 00 0 10 0 15 50 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 6 2

Cambiamos F3 por F4 (F3 ↔ F4)

3 −2 0 2 0 00 0 10 0 15 50 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0

Esta matriz es escalonada, y nos proporcionael sistema equivalente

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 05x3 + 10x4 + 15x6 = 5

6x6 = 20 = 0

=⇒

x1 = −3x2 + 2x3 − 2x5

x3 = 5−10x4−15x6

5x6 = 2

6

cuyas soluciones se encuentran facilmente sustituyendo de abajo hacia arriba, obteniendose: x6 = 13 , x3 = −2x4 ,

x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5 , donde x2 , x4 y x5 pueden tomar cualquier valor. Es decir, todas las soluciones son:(−3x2− 4x4− 2x5, x2, −2x4, x4, x5,

13 ) para cualquiera valores de x2 , x4 y x5 . 4

Si el ultimo elemento principal esta en la columna ampliada, el sistema no tiene solucion: claramente una delas ecuaciones equivalentes sera 0x1 + · · ·+ 0xn = k (con k 6= 0 por ser un elemento principal de la ampliada)y esta igualdad no se cumple para ningun valor posible de las incognitas.

Ejemplo

{2x+ y = 22x+ y = 5

⇔ (A|B)=

(2 1 22 1 5

)→(

2 1 20 0 5

)⇔{

2x+ y = 20 = 5

sist. equivalentesin solucion 4

Nota: Si el sistema tiene solucion, por ser los elementos principales no nulos se garantiza que las incognitasprincipales pueden despejarse (como valor concreto o en funcion de las incognitas no principales) y puedendespejarse tantas incognitas como elementos principales haya. Luego

? Si el numero de elementos principales es igual al numero de incognitas el sistema tiene solucion unica.

? Si el numero de elementos principales es menor que el numero de incognitas el sistema tiene infinitassoluciones. (Las soluciones quedan en funcion de las incognitas no despejadas. Ver ejemplo 54.)

1.2.2.1 Sistemas homogeneos

Definicion 55.- Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogeneo si tiene todos los terminosindependientes cero; es decir, un sistema de la forma AX = 0.

Un sistema homogeneo siempre tiene solucion pues X = 0 es una solucion del sistema. A esta solucion suelellamarse la solucion trivial y de cualquier otra solucion distinta de esta se dice solucion no trivial.



1.2.2.2 Metodo de Gauss-Jordan

El metodo de Gauss-Jordan continua el metodo de Gauss, haciendo operaciones elementales para conseguiruna matriz escalonada reducida: los elementos principales son 1 y en las columnas de dichos unos todos losdemas elementos son cero; es decir, despeja las incognitas principales.

Ejemplo 56 Continuando con el sistema del ejemplo 54 (quitada la fila de ceros, que no interviene): 1 3 −2 0 2 0 00 0 5 10 0 15 50 0 0 0 0 6 2

Hacemos 1 los elementos principales multiplicando 15F2 y 1

6F3

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 1 13

hay que hacer cero el 3 de F2 y C6 (a26): F2 − 3F3

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 13

hay que hacer cero el −2 de F1 y C3 (a13): F1 + 2F2

1 3 0 4 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 13

luego

x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5

x3 = −2x4

x6 = 13

obteniendose, naturalmente, las mismas soluciones que antes. 4

Nota: La reordenacion y simplificacion de las filas puede dar lugar a distintas matrices escalonadas, pero laescalonada reducida es unica (si no se cambian de orden las incognitas), puesto que se tiene la misma soluciondespejando las mismas incognitas

1.2.3 Rango de una matriz y Teorema de Rouche

Definicion 57 (1a definicion del rango).- Se llama rango de una matriz A y se denota por rg(A) al numerode filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz A .

Teorema de Rouche 58.- Sea el sistema AX = B , sistema de m ecuaciones con n incognitas. EntoncesAX = B tiene solucion si, y solo si, rg(A) = rg(A|B).Si rg(A) = rg(A|B) = r , toda solucion puede expresarse en la forma X=V0+t1V1+t2V2+· · ·+tn−rVn−r , conV0 una solucion particular de AX = B y las n -uplas V1 , . . . , Vn−r soluciones del homogeneo AX = 0. .

Resumiendo: En un sistema AX = B de m ecuaciones con n incognitas,

? si r = rg(A) = rg(A|B) = r =⇒ Sist. Compatible (con sol.)

{r = n → Solucion unica.r < n → Infinitas soluciones.

? si r = rg(A) 6= rg(A|B) = r + 1 =⇒ Sist. Incompatible (no tiene solucion).

Ejemplo Tomemos la solucion obtenida en el ejemplo 54: (−3x2 − 4x4 − 2x5, x2, −2x4, x4, x5,13 ), para

todo x2 , x4 y x5 . Podemos escribirla en la formax1

x2

x3

x4

x5

x6

=

0− 3x2 − 4x4 − 2x5

0 + x2 + 0x4 + 0x5

0 + 0x2 − 2x4 + 0x5

0 + 0x2 + x4 + 0x5

0 + 0x2 + 0x4 + x513 + 0x2 + 0x4 + 0x5

=

0000013

+ x2

−310000

+ x4

−40−2100

+ x5

−200010

= V0 + t1V1 + t2V2 + t3V3

y X = V0 + t1V1 + t2V2 + t3V3 es solucion para todo t1 , t2 y t3 . Entonces, para t1 = t2 = t3 = 0, X = V0 essolucion del sistema luego AV0 = B ; para t1 = 1 y t2 = t3 = 0, X = V0 + V1 es solucion del sistema, luegoB = A(V0 + V1) = AV0 +AV1 = B +AV1 de donde AV1 = 0 por lo que V1 es solucion del sistema homogeneoAX = 0; y analogamente para V2 y V3 .


32 – Matematicas 1 : Algebra Lineal 1.3 Matrices cuadradas

1.3 Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada A se dice triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principalson nulos, es decir: aij = 0, para cualquier ij tal que i > j . Una matriz cuadrada A se dice triangularinferior, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, aij = 0, para cualquierij tal que i < j .

Una matriz cuadrada A se dice que es diagonal, si es triangular superior e inferior, es decir, si son cerotodos los elementos que no estan en la diagonal principal.

Una matriz cuadrada A se dice simetrica si A = At , es decir, si aij = aji para todo ij ; y se diceantisimetrica si A = −At , es decir si aij = −aji para todo ij .

1.3.1 Matrices inversibles

Definicion 59.- Si A es una matriz cuadrada de orden n , An×n , y existe Bn×n tal que AB = BA = I se diceque A es inversible y que B es inversa de A .

Nota: Es claro de la definicion que tambien B es inversible y A una inversa de B .Por definicion, se ha de verificar que AB = I y tambien que BA = I ; sin embargo es suficiente con que severifique una de ellas para que la otra tambien se verifique (se vera en el Corolario 68).

Proposicion 60.- Si una matriz cuadrada A tiene inversa, esta es unica. Y la denotaremos por A−1 .

Demostracion:Supongamos que B y C son inversas de A . Al ser B inversa de A es I = AB , multiplicando a esta igualdadpor C y teniendo en cuenta que C es inversa de A obtenemos que C = C(AB) = (CA)B = IB = B .

De los comentarios hechos en la Observacion 51, es claro el siguiente resultado para matrices elementales.

Proposicion 61.- Las matrices elementales son inversibles y sus inversas son tambien elementales:

? De intercambiar dos filas, intercambiarlas de nuevo.

? De multiplicar una fila por k 6= 0, multiplicar esa fila por 1/k .

? De sumar a una fila un multiplo de otra, restar a esa fila el multiplo sumado.

Teorema 62.- Si A y B son dos matrices inversibles, entonces AB es inversible y

(AB)−1 = B−1A−1. Y en general, (A1A2 · · ·Ak)−1 = A−1k · · ·A

−12 A−1

1

Demostracion:

Basta comprobarlo:

{(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I

(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1IB = B−1B = I.

Propiedades 63.- a) (A−1)−1 = A b) (An)−1 = (A−1)n c) (kA)−1 = 1kA−1

Definicion 64.- Una matriz cuadrada, A , se dice ortogonal si A−1 = At .

Teorema 65.- Sea A una matriz cuadrada de orden n . Son equivalentes:

a) A es inversible.

b) El sistema AX = B tiene solucion unica para todo Bn×1 .

c) El sistema homogeneo AX = 0 tiene solucion unica.

d) Por operaciones elementales en A puede llegarse a la identidad.

Demostracion:

a)⇒b) A es inversible, luego existe A−1 . Si se multiplica por A−1 en la igualdad AX = B se tiene queA−1AX = A−1B , luego X = A−1B es la solucion del sistema y es la unica.


33 – Matematicas 1 : Algebra Lineal 1.4 Determinante de una matriz cuadrada.

b)⇒c) Es un caso particular.

c)⇒d) Como la solucion del sistema AX = 0 es unica, al aplicar el metodo de Gauss-Jordan a la matriz A laescalonada reducida tiene que ser, necesariamente I (ver observacion 66 siguiente).

d)⇒a) Si existen matrices elementales tales que Ek · · ·E2E1A = I , multiplicando sucesivamente en la igualdadpor sus inversas, se obtiene A = E−1

1 E−12 · · ·E

−1k I como producto de matrices inversibles y, por tanto, es

inversible. Ademas, A−1 = Ek · · ·E2E1 .

Observacion 66.- Para una matriz cuadrada, cualquier matriz escalonada obtenida de ella es triangular supe-rior (tiene ceros por debajo de la diagonal), pues el elemento principal de la fila 1 esta en la posicion 11 o masa la derecha, luego el elemento principal de la fila 2 esta en la posicion 22 o mas a la derecha, y en general elelemento principal de la fila i esta en la posicion ii o mas a la derecha. Luego para toda fila i , los elementosaij con j < i son cero, que es la caracterizacion de matriz triangular superior.

Ası pues, una matriz escalonada cuadrada, o tiene elemento principal en cada fila (y en consecuencia estantodos en la diagonal principal de la matriz) o tiene al menos una fila de ceros.

Luego si es una matriz escalonada reducida, o es la matriz identidad o tiene al menos una fila de ceros.

Corolario 67.- Una matriz An×n , es inversible ⇐⇒ rg(A) = n

Corolario 68.- Sea A una matriz cuadrada. Entonces

a) Si existe B tal que BA = I , entonces A es inversible y B = A−1 .

b) Si existe B tal que AB = I , entonces A es inversible y B = A−1 .

Demostracion:Si BA = I , consideremos el sistema AX = 0. Multiplicando por B en ambos lados se tiene que BAX =B0 = 0, pero al ser BA = I , X = 0 es la unica solucion del sistema y, por tanto, A es inversible. Entonces,A−1 = IA−1 = BAA−1 = B . Analogamente, en b).

Corolario 69 (Calculo de A−1 por el metodo de Gauss-Jordan).- Si A es inversible, su matriz escalon-ada reducida es la identidad, I , luego aplicando Gauss-Jordan a la matriz A ampliada con I , se obtendran I

y la inversa A−1 :(A I

)−→ · · · −→

(I A−1

)Claramente, el metodo no hace mas que resolver n sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes, A , ypor terminos independientes las n columnas de I .

Ejemplo Sea la matriz A =

1 0 −20 2 11 1 −1

. Encontremos A−1 :

(A|I) =

1 0 −2 1 0 00 2 1 0 1 01 1 −1 0 0 1

F3−F1−→

1 0 −2 1 0 00 2 1 0 1 00 1 1 −1 0 1

F2−F3−→

1 0 −2 1 0 00 1 0 1 1 −10 1 1 −1 0 1

F3−F2−→

F3−F2−→

1 0 −2 1 0 00 1 0 1 1 −10 0 1 −2 −1 2

F1+2F3−→

1 0 0 −3 −2 40 1 0 1 1 −10 0 1 −2 −1 2

= (I|A−1)

4

1.4 Determinante de una matriz cuadrada.

Definicion 70.- Sea A una matriz cuadrada de orden n . Llamaremos producto elemental en A al productoordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas. Es decir, unaexpresion de la forma a1j1a2j2 · · · anjn con todos los jk distintos.

Llamaremos producto elemental con signo al valor (−1)Na1j1a2j2 · · · anjn donde el numero N , paracada producto elemental, es el numero de “inversiones del orden” en el conjunto de las columnas {j1, j2, . . . , jn} ,es decir, el numero de veces que cada ındice jk es menor que los anteriores a el.



Ejemplo 71 {2, 4, 1, 3} . Para calcular las inversiones tenemos que ver cuantas veces 4, 1 y 3 son menoresque sus anteriores. Para el 4, hay inversion cuando 4 < 2, no. Para el 1, cuando 1 < 2, si ; y cuando 1 < 4, si.Y para el 3, cuando 3 < 2, no; 3 < 4, si ; y 3 < 1, no. El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3.

Definicion 72.- Definimos la funcion determinante en el conjunto de las matrices de orden n , como la funcionque asigna a cada matriz A el numero real, que denotaremos por det(A) o detA o |A| , y cuyo valor es lasuma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A :

det(A) = |A| =∑

(j1,j2,...,jn)

(−1)Na1j1a2j2 · · · anjn .

Expresion del determinante de las matrices de orden 1, 2 y 3. Los determinantes de las matrices delos primeros ordenes de magnitud se obtienen de la forma:

∣∣ a11

∣∣ = a11 y∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a12a21∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

Estas expresiones admiten una regla nemotecnica grafica para recordar la construccion de los productos ele-mentales y el signo, siguiendo las direcciones de las diagonales principal y secundaria (para matrices de orden3 se conoce como Regla de Sarrus):

ss

ss

@@@

��

sign( ) = +

sign( ) = −

sss

sss

sss

@@@@@@

@@@

@@@ s

ss

sss

sss

��

��

��

Observacion: Cada uno de los productos elementales consigno se corresponde con el determinante de una matrizque se forma haciendo cero todos los elementos que noestan en el producto. Es claro, pues cualquier otro producto

(−1)3a12a24a31a43 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 0 00 0 0 a24

a31 0 0 00 0 a43 0

∣∣∣∣∣∣∣∣tendra alguno de sus factores distinto de estos y, en consecuencia, sera 0. De manera similar son inmediatoslos dos resultados recogidos en la proposicion siguiente.

Proposicion 73.-

1.- Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces |A| = 0.

2.- Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, |A| es el producto de los elementos de ladiagonal principal, es decir, |A| = a11a22 · · · ann . (En todos los demas productos elementales aparece almenos un 0: si hay algun elemento por encima de la diagonal, hay alguno por debajo.)

1.4.1 Determinantes y operaciones elementales

Teorema 74.- Sea An×n una matriz. Se tiene que:

a) si A′ es la matriz obtenida al multiplicar una fila de A por un valor λ 6= 0, entonces det(A′) = λ det(A)

b) si A′ es la matriz resultante de intercambiar dos filas de A , entonces det(A′) = −det(A)

c) si A′ es la matriz que resulta de sumar a la fila k un multiplo de la fila i , entonces det(A′) = det(A)

.

Corolario 75.- Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.



Corolario 76.-

a) Si la matriz elemental E resulta de multiplicar una fila de I por k ∈ R , entonces det(E) = k det(I) = k

b) Si la matriz elemental E resulta de intercambiar dos filas de I , entonces det(E) = −det(I) = −1

c) Si E resulta de sumar a una fila k un multiplo de la fila i de I , entonces det(E) = det(I) = 1

1.4.1.1 Calculo de determinantes por reduccion a la forma escalonada

El teorema anterior nos ofrece la posibilidad de calcular el determinante de una matriz usando el metodo deGauss. Si tenemos que Ek · · ·E2E1A = R , donde R es la matriz escalonada que se obtiene al aplicar el metodode Gauss, se tiene que

det(R) = det(EkEk−1Ek−2 · · ·E1A) = δk det(Ek−1Ek−2 · · ·E1A)

= δkδk−1 det(Ek−2 · · ·E1A) = · · · = δkδk−1δk−2 · · · δ1 det(A),

donde δi es k , −1 o 1, segun la operacion elemental que represente Ei . Luego

det(A) = 1δ1· · · 1

δkdet(R) = 1

δ1· · · 1

δkr11r22 · · · rnn

pues R es una matriz triangular superior (recordar observacion 66 de pag. 33) y det(R) = r11r22 · · · rnn .

1.4.2 Otras propiedades del determinante

Teorema 77.- Si A y B son matrices cuadradas de orden n , entonces

det(AB) = det(A) · det(B) .

Teorema 78.- Sea An×n entonces, A es inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0.

Demostracion:Si A es inversible I = AA−1 , luego det(I) = det(AA−1) = det(A) det(A−1), pero al ser det(I) = 1 6= 0,necesariamente ha de ser det(A) 6= 0.

Si A no es inversible, por la parte 3 de la demostracion del Teorema 77 (Anexo 0, pag. 77), se tiene quedet(AI) = 0 = det(A) det(I) y como det(I) = 1, debe ser det(A) = 0.

Corolario 79.- Si A es inversible,∣∣A−1

∣∣ = |A|−1.

Teorema 80.- Si A es una matriz cuadrada, entonces |At| = |A| . .

1.4.3 Desarrollo por cofactores

Definicion 81.- Sea A una matriz cuadrada, llamaremos menor del elemento aij , y lo denotaremos porMij , al determinante de la submatriz que se forma al suprimir en A la fila i y la columna j . Al numero(−1)i+jMij lo llamaremos cofactor del elemento aij y lo denotaremos por Cij .

Ejemplo A partir de la matriz A de abajo, construimos los cofactores C21 , eliminando la fila 2 y la columna1, y C34 , eliminando la fila 3 y columna 4:

A =

0 −1 2 51 2 0 −22 −1 1 30 2 4 −2

−→ C21 = (−1)2+1

∣∣∣∣∣∣∣∣0 − 1 2 0 −22 − 0 −

∣∣∣∣∣∣∣∣ C34 = (−1)3+4

∣∣∣∣∣∣∣∣ − 5 −22 −1 1 3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣



Teorema 82.- El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (ode una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, paracada fila 1 ≤ i ≤ n y para cada columna 1 ≤ j ≤ n :

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin y det(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj .

Ejemplo∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a21(−1)2+1

∣∣∣∣ a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣+ a22(−1)2+2

∣∣∣∣ a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣+ a23(−1)2+3

∣∣∣∣ a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣= a13(−1)1+3

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣+ a23(−1)2+3

∣∣∣∣ a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣+ a33(−1)3+3

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣Corolario 83.- Si desarrollamos una fila de una matriz A por los cofactores de otra distinta, el resultado escero; es decir,

ai1Cj1 + ai2Cj2 + · · ·+ ainCjn = 0 , si i 6= j .Identico resultado para las columnas.

Demostracion:Es claro, pues si en A hacemos la fila j igual a la fila i , la matriz obtenida A′ tiene determinante cero y

0 = |A′| = a′j1C′j1 + a′j2C

′j2 + · · ·+ a′jnC

′jn = ai1Cj1 + ai2Cj2 + · · ·+ ainCjn

Definicion 84.- Dada una matriz A cuadrada de orden n , llamaremos matriz de cofactores de A a lamatriz que tiene por elementos los cofactores de A , C = (Cij), y llamaremos matriz adjunta de A a lamatriz de cofactores traspuesta, Adj(A) = Ct .

Nota: Tambien es usual utilizar las denominaciones de menor adjunto para el cofactor y matriz adjunta para lamatriz de cofactores (sin trasponer). En este caso, los resultados son identicos a los que aquı se presentan conla unica consideracion a tener en cuenta es que donde aparece Adj(A) tendra que aparecer Adj(A)t .

Teorema 85.- Si A es una matriz inversible, entonces A−1 = 1|A| Adj(A).

Demostracion:

Si probamos que A · Adj(A) = |A|I entonces, como |A| 6= 0, sera AAdj(A)|A| = I y A−1 = 1

|A| Adj(A). En

efecto, aplicando el teorema 82 y el corolario 83 anteriores,

A ·Adj(A) = ACt =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

C11 C21 · · · Cn1

C12 C22 · · · Cn2

......

. . ....

C1n C2n · · · Cnn

=

|A| 0 · · · 00 |A| · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · |A|

= |A| · I

Ejemplo

A =

1 2 34 5 −4−3 −2 −1

; A−1 =1

|A|

∣∣∣∣ 5 −4−2 −1

∣∣∣∣ − ∣∣∣∣ 4 −4−3 −1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 4 5−3 −2

∣∣∣∣−∣∣∣∣ 2 3−2 −1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 3−3 −1

∣∣∣∣ − ∣∣∣∣ 1 2−3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 35 −4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 3

4 −4

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 24 5

∣∣∣∣

t

=1

40

−13 −4 −2316 8 167 −4 −3

Regla de Cramer 86.- Sea AX = B , un sistema de n ecuaciones con n incognitas, tal que A es inversible,entonces el sistema tiene como unica solucion:

x1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 · · · a1n

b2 a22 · · · a2n

......

. . ....

bn an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

, x2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 · · · a1n

a21 b2 · · · a2n

......

. . ....

an1 bn · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

, . . . , xn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · b1a21 a22 · · · b2...

.... . .

...an1 an2 · · · bn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

. .



1.4.4 Rango de una matriz

Definicion 87 (Segunda definicion del rango).- Se llama rango de una matriz Am×n , rang(A) o rg(A),al maximo orden que resulta de considerar todas las submatrices cuadradas que pueden formarse eliminandofilas y columnas completas de A y cuyo determinante sea distinto de cero.

Del determinante de una submatriz cuadrada de orden r de A , formada eliminando filas y columnas com-pletas, de suele decir que es un menor de orden r de A , por analogıa a la denominacion dada en la definicion81 a los menores de un elemento.

Resulta evidente que para Am×n , se tiene rg(A) ≤ min{m,n} . Esta nueva definicion de rango de una matrizes equivalente a la dada anteriormente:

“el rango de una matriz es el numero de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formasescalonadas de la matriz”,

puesto que el menor formado con las filas y columnas que contienen a los elementos principales de la matrizescalonada es distinto de 0, y cualquier menor de orden mayor es cero.

Corolario 88.- Si A es una matriz, rg(A) = rg(At).

Demostracion:De la nueva definicion de rango y de |M | = |M t| para cualquier submatriz cuadrada de A .

Proposicion 89.- Sea A una matriz m×n , entonces

a) Si existe un menor de orden r distinto de cero el rg(A) ≥ r .

b) Si todos los menores de orden r son cero el rg(A) < r .

Demostracion:

a) es claro, pues como r es el orden de un menor distinto de cero, el maximo de los ordenes de los menoresdistintos de cero es al menos r .

b) Si todos los menores de orden r son cero, como un menor de orden r + 1 puede descomponerse comosuma de menores de orden r por constantes, todos los menores de orden r+ 1 son cero y, tambien todoslos menores de orden mayor. Luego rg(A) < r

En una matriz m×n , el numero de menores de orden r que podemos formar puede ser muy alto, de hecho es(mr

)(nr

)=

m!

r!(m− r)!n!

r!(n− r)!,

es decir, todas las posibles elecciones de r filas de entre las m y de r columnas de entre las n . Por tanto, paraver que una matriz tiene rango menor que r usando los menores, hemos de comprobar que cada uno de los

m!r!(m−r)!

n!r!(n−r)! menores son cero. Sin embargo, el coste de la evaluacion por menores, puede reducirse usando

el siguiente resultado:

Orlado de menores 90.- Sea Am×n una matriz, y Mr×r una submatriz de A con determinante distinto decero. Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en Aanadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r . .

Este resultado nos indica el metodo –conocido como “orlado de menores”– para encontrar el rango de unamatriz usando los menores:

“Buscamos un menor de orden uno distinto de cero: si no existe rg(A) = 0; si existe M1 6= 0entonces rg(A) ≥ 1, y buscamos un menor de orden 2 distinto de cero de entre los que “orlan” alanterior : si todos ellos son cero, por el resultado anterior, el rg(A) = 1; si algun M2 6= 0 entoncesrg(A) ≥ 2, y buscamos un menor de orden 3 distinto de cero de entre los que orlan a M2 : si noexiste rg(A) = 2, y si existe M3 6= 0 entonces rg(A) ≥ 3, y buscamos . . . .”


38 – Matematicas 1 : Algebra Lineal 1.5 Ejercicios

1.5 Ejercicios

1.34 Sean las matrices

A=

3 0−1 21 1

B=

(4 −10 2

)C=

(1 4 23 1 5

)D=

1 5 2−1 0 13 2 4

E=

6 1 3−1 1 24 1 3

a) Calcular cuando se pueda: 3C − D , (AB)C , A(BC), ED , DE , (4B)C + CA y CA + B2 .

Indicar porque no es posible en los otros casos.

b) Calcular, haciendo el menor numero de operaciones posible, la fila 1 de CA , la columna 2 de CD ylos elementos 23 y 12 de la matriz CDE .

c) Hallar para cada una de ellas una matriz escalonada e indicar cual es su rango.

1.35 Encontrar las operaciones elementales en las filas que llevan la matriz

1 2 30 1 21 0 3

a una matriz escalonada.

Construir una matriz elemental para cada operacion y comprobar que al multiplicar por esas matrices(Teorema 50) se obtiene esa matriz escalonada

1.36 Considerar el sistemax+ 2y − z − t = 0

x+ z − t = −2−x+ 2y − 3z + t = 4

(1)

a) ¿(−2, 2, 2, 0) y (1, 0,−1, 2) son solucion del sistema (1)?

b) Encontar todas las soluciones de (1)

c) Encontar todas las soluciones del sistemax− y + z − t = −3

x+ 6y − 5z − t = 4

}(2)

d) ¿Que soluciones de (1) son tambien solucion de (2)? ¿Tiene (2) alguna solucion que no lo sea de (1)?

1.37 Escribir los sistemas como operaciones matriciales AX = B , estudiar si tienen solucion (Th. de Rouche 58)

y resolverlos

a)

{2x+ 3y = −1−7x+ 4y = 47

b)

2x+ 4y = 184x+ 5y = 243x+ y = 4

c)

x+ 2y − z + t = 0−x+ 4y − 5z + 7t = 2

2x+ y + z − 2t = −1

d)

x+ y + z + t+ u = 1

x+ y + z = 2y − z = 1x+ 2y = 03t− u = 4

e)

x+ 2y − z = 22x+ y + z = −1

3x+ 3y + 2z = −1f)

x+ y + z = 3

2x+ 3z = 43x+ y + 4z = 75x+ y + 7z = 9

1.38 Expresar el sistema con operaciones de matrices AX = B

a) Usar el metodo de Guass para comprobar que rg(A) = rg(A|B) eindicar de cuantos parametros dependera la solucion

b) Completar el metodo de Gauss-Jordan para resolver el sistema

c) Expresar la solucion segun el Th de Rouche (58): X = V0 + t1V1

d) Comprobar que V0 es solucion de AX = B y que V1 lo es de AX = 0

x+ y + z + u = 1

x+ y + z = −1y − z = 1

2y + x = 03t− u = 4

1.39 Para los sistemas del ejercicio 1.37 con solucion, expresarla en la forma descrita por el Th de Rouche

1.40 Estudiar el rango de las matrices siguientes en funcion de los valores de su parametro:

a)

a 2 22 a 01 a a

b)

1 1 −1 02 1 −1 0−b 6 3− b 9− b

c)

c 1 −2 0−1 −1 c 11 1 1 c



1.41 Estudiar cada uno de los sistemas siguientes, segun los valores de los paramentros:

a)

x+ 2y − z = a2x+ y + z = 1− a

3x+ (1 + a)y + az = 1− ab)

x+ 2y + 4z = 1x+ 2y + 2az = 2ax+ 4y + 4az = 4a

c)

x+ y + z = a− 3ax+ y = 0

ax+ y + az = 0d)

5x− (a+ b)y + 7z = 8 + b

2x− ay + 3z = 4x+ y + z = 3

3x− 3y + 4z = 7

1.42 Estudiar y resolver los siguientes sistemas

a)2x+ 2y + 4z = 16−x− 2y + 3z = 13x− 7y + 4z = 10

b)2x+ 2y + 4z = 2−x− 2y + 3z = 03x− 7y + 4z = 26

c)2x+ 2y + 4z = −2−x− 2y + 3z = −23x− 7y + 4z = 0

1.43 Usar el metodo de Gauss para saber cuales de las siguientes matrices tienen inversa y calcularlas:

a)

1 1 33 4 1−1 −1 −1

b)

8 6 −66 −1 1−4 0 0

c)

1 −2 3 −4−2 3 4 −33 4 −3 2−4 −3 2 −1

d)

0 0 1 20 1 1 11 1 1 02 1 0 0

1.44 Hallar una matriz P tal que:

1 4−2 31 −2

P

(2 0 00 1 −1

)=

8 6 −66 −1 1−4 0 0

.

1.45 Considerar las matrices A =

1 5 2−1 0 13 2 4

y B =

1 2 −2−2 3 −31 −1 1

.

a) Hallar todas las matrices columna X3×1 que verifican la igualdad ABX = BAX .

b) ¿Los sistemas BX = 0 y BtX = 0 tienen las mismas soluciones? Justificar la respuesta.

1.46 Encontrar los coeficientes de las descomposiciones en fraciones simples del ejercicio 0.33 de polinomios:

a) X2+1X4−6X3−16X2+54X+63 b) X−5

(X−1)(X3−1) c) X+52X4−X3−4X2+10X−4

d) X2+2X5+7X4+16X3+8X2−16X−16 e) X3−3X2+X−3

X5+3X4+3X3+3X2+2X f) X5+3X4+3X3+3X2+2X(X3−3X2+X−3)3

1.47 Probar que si A es cuadrada, la matriz S = A+At es simetrica y la matriz T = A−At es antisimetrica

Probar que la diagonal principal de T esta formada unicamente por ceros

1.48 Sea A =

1 2 30 1 21 0 −1

.

a) Encontar todas las matrices B3×3 tales que AB = 0.

¿Que relacion tienen estas matrices con las soluciones del sistema AX = 0?

b) Encontar todas las matrices C3×3 tales que CA = 0.

c) Encontar todas las matrices D3×3 tales que AD −DA = 0.

1.49 Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = 0. Demostrar que si A es inversible entonces B = 0

1.50 Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = 0. Demostrar que si B 6= 0, entonces A no es inversible.

1.51 Sea A una matriz cuadrada y E una matriz elemental. Comprobar que AEt realiza sobre las columnasde A la misma operacion elemental que hace EA sobre las filas de A (ver el teorema 50 y el ejemplosiguiente de pag. 28)



1.52 Suponiendo que det(A) = 5, siendo A =

a b cd e fg h i

, calcular

a)

∣∣∣∣∣∣d e fg h ia b c

∣∣∣∣∣∣ b)

∣∣∣∣∣∣−a −b −c2d 2e 2f−g −h −i

∣∣∣∣∣∣ c)

∣∣∣∣∣∣a+d b+e c+fd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ d)

∣∣∣∣∣∣a b c

d−3a e−3b f−3c2g 2h 2i

∣∣∣∣∣∣e)

∣∣∣∣∣∣a g hb h ec i f

∣∣∣∣∣∣ f)

∣∣∣∣∣∣2a− d d g2b− e e h2c− f f i

∣∣∣∣∣∣ g) det(3A) h) det(2A−1) i) det((2A)−1)

1.53 Hallar el valor exacto del determinante de la derecha:

a) Usando unicamente el metodo de Gauss

b) Mediante el desarrollo por cofactores

c) Aplicando simultaneamente ambas tecnicas para resolverlomas rapida y facilmente.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −2 1 0 1 02 2 2 2 2 23 1 −1 4 −1 10 1 0 0 3 0−1 2 4 0 4 11 3 0 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1.54 Desarrollar por cofactores para calcular el determinante de las matrices del ejercicio 1.43

1.55 Usar el metodo de Gauss para calcular el determinante de cada una de las matrices del ejercicio 1.43

1.56 Usar el orlado de menores para calcular el rango de

0 1 −2 0 1 0−2 2 2 −2 2 23 −1 0 4 −1 0−1 4 2 0 4 −10 6 2 2 6 1

1.57 Usar las propiedades y desarrollos del determinante para resolver las siguientes ecuaciones:

a)

∣∣∣∣∣∣x−2 0 0x+2 −1 2x−2 2 −1

∣∣∣∣∣∣=x b)

∣∣∣∣∣∣x x x

x+2 x−1 x+2x−2 x+2 x−1

∣∣∣∣∣∣=3 c)

∣∣∣∣∣∣x+1 0 0

2 x−1 2−2 2 x−1

∣∣∣∣∣∣=0 d)

∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 0 00 x 1 00 0 x 11 0 0 x

∣∣∣∣∣∣∣∣=8

1.58 Sean A y B matrices de orden n tales que A 6=0, B 6=0 y AB=0. Probar que det(A)=det(B)=0.

1.59 Sea A una matriz antisimetrica de orden n impar. Demostrar que det(A) = 0

1.60 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada fila es cero. Demostrarque A no es inversible

1.61 Calcular los posibles valores del determinante de una matriz ortogonal


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