matrices y sistemas de ecuaciones

CAPÍTULO VI:MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MAFALDA SCHIAPPACASSE COSTA SEDE SANTIAGO 1

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES REALES

Sea la función f : IN x IN IR tal que a cada par ( i , j ) IN x INle corresponde f ( i , j ) = a ji IR.

Una matriz real es un cuadro ordenado en filas y columnas de las imágenesIRa ji de la función antes definida.

Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que ella es de orden m x n(se lee m por n ), ( ó se lee m cruz n ).

Al conjunto de todas las matrices de orden m x n con componentes en IR,se le denota por )(IRM nxm ; es decir:

nxmordendematrizA/A)IR(M nxm

n.......,3,2,1,jym,.......3,2,1,icon,)a(A,bienO

jcolumna

a.......aaa

........a............

a.......aaa

a.......aaa

ifilaA

:pordenotalese,)IR(MAelementoUn

ji

mnm3m2m1

ij

2n232221

1n131211

mxm

El número real ,a ji es el que se ubica en la i – ésima fila j – ésima

columna de la matriz A, llamado componente ij de la matriz A.



Si la matriz A tiene el mismo número n de filas que de columnas, se diceque ella es una matriz cuadrada de orden n.

Su conjunto se le denota por )(IRMn ; es decir

nnedroedzir tamA/A)IR(Mn

Si A es una matriz de orden n, los coeficientes iia constituyen la diagonal

de A ; se anota : ),..........,,()( 2211 nnaaaAdiag

La suma de los elementos de la diagonal de una matriz cuadrada de ordenn se llama traza de A , (que se denota por )( Atr ) es decir

n

iiiaAtr

1

)(

Una matriz cuadrada A = jia se dice matriz diagonal

si jicuando0a ji

Por ejemplo,

100

050

002

A es una matriz diagonal donde tr ( A ) = – 2

Dos matrices jiji bByaA son iguales si tienen el mismo

orden y además j,i;ba jiji

Ejercicio: Determine los números reales x , y que satisfacen

yxyx

yxyx

415

513

106

22



De acuerdo a la definición anterior, se tiene:

104

156

5

1322

yx

yx

yx

yx

entonces : x = 3 , y = 2

)a(A

:aicconsecuenEnA.decolumnaslas

porfilaslastercambiarinalobtienesequemn xordendematrizlaes,A

pordenotadaA,deatranspuestla,n xmordendematrizunaes)a(ASi

ijt

t

ji

Ejemplo: Determine la transpuesta de A =

812

1

05

23

( orden 2 x 3 )

La transpuesta de A es At =

80

15

22

13

( orden 3 x 2 )

Ejercicio: ¿Cuál es la transpuesta de la matriz A = ( a ji ) de orden

3 x 2 definida por jia ji 3 ?

AAsica triantisiméesAquedicese,y,AAsi

simétricamatrizunaesAquediceSe.cuadradamatriz)a(ASeatt

ji

Por ejemplo, A =

197

953

734

es simétrica y B =

086

802

620



es antisimétrica, porque: Bt =

086

802

620

= –

086

802

620

= – B

Ejercicio: Si A es una matriz de orden n antisimétrica, demuestreque tr ( A ) = 0

Observación: Las matrices son de mucha utilidad para ordenar datos.

FONDOS DE PENSIONES:

Construya la matriz 6 x 5 que contenga los valores de las cuotas A,B,C,Dy E, al día 30 del mes pasado, de los fondos de pensiones de las siguientesAFP: Cuprum, Habitat, Planvital, BBVA Provida, ING Santa María,Summa Bansander.

OPERACIONES CON MATRICES

Llamaremos matriz nula o matriz cero de orden m x n a la matriz deque tiene todas sus componentes iguales a cero; la denotaremos

OetnemelpmisoO nxm

La matriz identidad de orden n , denotada I n , es la matriz diagonal decomponentes ( 1, 1, 1, ……. 1 )

SUMA DE MATRICES:

jijijiji

nxmjiji

bacdondenxmordendecBA

matrizlaesByAdesumalaIRMbBaASi

,,

,)(,



Por ejemplo,

si

66

40

02

79

61

17

13

101

85

BAentoncesByA

Observe que para realizar la suma de matrices, ellas deben ser delmismo orden.

Si la suma se puede realizar, ésta tiene las siguientes propiedades:

1. Es asociativa : ( A + B ) + C = A + ( B + C )2. Es conmutativa : A + B = B + A3, A + O = A , con O matriz nula4. A + ( – A ) = O, donde – A = (–a ji ) cuando A = ( a ji )

5. tr ( A + B ) = tr ( A ) + tr ( B )6. A , B diagonales A + B diagonal7. ( A + B ) t = A t + B t

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR O PONDERACIÓN

ji

ji

aAnxmordendematrizlaesAvecesciónacmultipli

larealnúmerounesynxmordendematrizunaesaASi

,

,

Por ejemplo, si

103

62

5

42

2

1,

206

125

84

AentoncesA



Siempre que las operaciones se puedan realizar, se puede establecerque:

1. AβαAβα 2. AβAαAβα 3. BαAα)BA(α 4. 1∙A = A , (– 1)A = – A, 0∙A = O5. tr ( )A(trα)Aα

6. ( tAα)Aα t

Problema: Un fabricante produce tres modelos de zapatillas dedescanso A, B y C en tres tamaños: para niños, damas y caballeros. Lafabricación se realiza en dos plantas, una ubicada en San Bernardo y la otraen Maipú. La producción semanal, en pares de zapatillas, en cada planta seentrega a través de las matrices:

San Bdo. Niños Damas Varones Maipú Niños Damas VaronesA 20 34 30 A 16 24 26B 16 20 48 B 10 14 32C 24 28 32 C 15 20 28

a ) Determine la matriz que contiene los datos relativos a la producciónsemanal total de cada modelo de zapatilla en ambas plantas.

b ) Si la producción en la planta de San Bernardo se incrementa en un20 % y la de Maipú en un 40 %, escriba la matriz que representa lanueva producción semanal total de cada tipo de zapatilla.

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

njmibacdonderxmorden

decBAmatrizlaesByAdenóicacmultiplilarxnorden

dematrizunaesbBynxmordendematrizunaesaASi

n

kjkkiji

ji

jiji

......,3,2,1;.....,3,2,1,

,)(,

)(

1



Observe que para multiplicar matrices el número decolumnas de la primera matriz A debe coincidir con elnúmero de filas de la segunda matriz B .

El elemento ubicado en la fila i columna j del producto AB es

c jnnijijiji bababa ..........2211

Ejemplo:

Si

185

101,

67

25

84

341

102ABentoncesByA

Y además BA =

11248

188

20320

341

102

67

25

84

Observe que en este ejemplo, BA se puede realizar resultando una matrizde orden 3 , con lo que concluimos que:

La multiplicación de matrices no siempre es conmutativa

Además note que el producto AAA 2 , no se puede efectuar,salvo que A sea una matriz de orden n



La respuesta a su pregunta es SI, existen matrices cuadradas A, nonulas, pero, tales que A2 = O

Además, existen matrices ByA , de orden n , no nulas, distintas yA ∙ B = O, es decir, el producto de dos matrices puede ser la matrizcero y ninguna de ellas ser cero.

Sin embargo, siempre que las operaciones se puedan realizar, se puedeestablecer que:

ttt

nnn

AB)BA(5.

)AB(tr)BA(tr4.

AIAIA,)IR(MASi3.

BCAC)BA(CyCBCAC)BA(2.

)CB(AC)BA(1.

Ejercicio : Use las propiedades algebraicas de las matrices para

resolver la ecuación ttt BCXAX )2(2

1)(2 si

A =

21

20,

24

63,

05

12 tCyB

¿ Este producto tiene otrascuriosidades?



Ejercicio: En cada caso, determine si es posible , la matriz X de talmanera que la igualdad resulte verdadera

1.-

20

15

12

43X

2.-

1

6

5

221

110

323

X

3.-

55

41

296

13

10

81

X

Ejercicio: Muestre con ejemplos que, en general

tr ( AB ) tr (A) tr( B ) y que ( AB ) t A t B t

Si A es una matriz no nula nos preguntamos ¿existe una matriz B talque AB = In = BA?; que equivale a : ¿existe el inverso multiplicativode A?. Observe que esta pregunta tiene sentido sólo si A es una matrizcuadrada. Sin embargo, aunque A sea cuadrada, la respuesta a loplanteado es no siempre;

por ejemplo para A =

62

31no existe tal matriz B

Dadas las matrices A yB ¿qué necesitamospara resolver laecuación AX=B?



Se dice que una matriz A de orden n es invertible o no singular si existeB, matriz de orden n tal que AB = I n = BA. La matriz B está únicamentedeterminada por A, se llama inversa de A y se denota por A– 1

Por lo tanto, A ∙ A– 1 = I n = A – 1 ∙ A

En lo que sigue, trataremos de responder a esta interrogante, es decir,caracterizaremos a las matrices invertibles. Además mostraremos algunasformas de calcular la inversa, si ésta existe.

Operaciones elementales – Matrices escalonadas

Para una matriz )( IRMA nxm consideraremos las siguientes

“operaciones” con las filas de A:

Intercambiar dos filas : Si se permuta la fila i con la fila janotamos

F i j

Multiplicar una fila por un número real: Si se multiplica la fila ipor el número ,0 esta operación se anota

F i

¿Cuáles matricesson invertibles?



Sumar dos filas : Si la fila i se suma a la fila j, manteniendo estasuma en la fila Fj anotamos

F i + F j

Finalmente, podemos combinar las dos últimas operaciones yobtener:

F i + F j

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Por ejemplo: Sea A =

214

531En A: F12 :

531

214;

En A: – 4 F1 :

214

20124; En A: – 4F1 + F2 :

22130

20124

Ejercicio : Verifique que si con las filas de la matriz A se realizan lasoperaciones elementales indicadas, se obtiene la matriz E.

00

10

41

2,,,2,,

31

41

62

,3232312121 EFFFFFFFFA

Si BsiyIRMBA nxm )(, se obtiene realizándole a la matriz A un

número finito de operaciones elementales, entonces se dice que A esequivalente a B y se anota A B . Por ejemplo, las matrices A y Edel ejercicio anterior son equivalentes.

La matriz E del ejercicio anterior tiene una forma muy particular, es unamatriz del tipo escalonada.

A continuación damos una definición de matriz escalonada



Una matriz )(n xm IRMA se llama matriz escalonada si satisfacelas siguientes condiciones:

Las filas que tengan todas sus componentes iguales a cero debenestar ubicadas debajo de aquellas que tengan componentes no nulas.

El número de ceros al comienzo de una fila aumenta a medida quese desciende en la matriz

Algunos ejemplos: A 1 =

5000

1700

0430

2154

A 2 =

00000

20000

18300

54261

A 3 =

1000

4210

5431

Si además A satisface lo siguiente :

Si la primera componente no nula de cada fila es 1, vista deizquierda a derecha, ésta componente se llama “ uno distinguido”

Todas las componentes de la columna donde aparece un unodistinguido antecedida de ceros, la matriz A se llama matrizreducida por filas.

Observación: En los ejemplos A 1 , A 2 son matrices escalonadasy A 3 es matriz escalonada reducida por filas



Ejercicio: Decida si las siguientes matrices son o noescalonadas. ¿Son escalonadas reducidas porfilas?

2110

4100

0051

,

100

010

012

,

00

20

11

CBA

Teorema: Toda matriz A M m x n ( IR ) es equivalente a una matrizE M m x n (IR ) del tipo escalonada, o , escalonada reducidapor filas.

Si A M mxn ( IR ) , entonces A E , con E matriz escalonada .Se define el rango de A al número de filas no nulas de E.

Si E es matriz escalonada reducida por filas el rango de A , equivale alnúmero de “unos distinguidos” de E.

El rango de A lo denotaremos por r ( A ).

El rango de la matriz nula es cero : r (A) = 0.

El rango de la matriz identidad de orden n es n : r ( I n ) = n

El rango de la matriz

3123

5011

4264

A es 2 . ¿Por qué?

Ejercicio: Determine todos los valores reales de a de modo que el rangode la matriz M sea 3 si



M =

243

132

21

a

a

Ejercicio: Estudie el rango de la matriz A, dependiendo de los valoresreales de k si

A =

2341

0111

1011

k

Un teorema que caracteriza a las matrices invertibles es:

Teorema : Sea )( IRnMA ; entonces

A invertible r ( A ) = n A I n

Y, si una sucesión de operaciones elementales fila reducen A a la matrizidentidad I n , entonces esa misma sucesión de operaciones elementales filacuando se aplican a I n proporcionan A – 1 .

Ejercicio : Aplique la última parte del teorema para calcular lainversa de cada una de las siguientes matrices :

21

113

332

,

213

142

131

,31

125

k

CBA

Desarrollo de la inversa de A:

31

125

125

31 210

01

30

01

30

31I



→ F12 ≈ 5F1 + F2 ≈ F2 –F1 ≈3

1F2 → I 2

1ª conclusión: A es invertible.

Aplicando las mismas operaciones filas anteriores a la matriz identidad I 2

3

5

3

1

41

51

41

51

10

01

10

10

01I2

2ª conclusión: Obtuvimos la inversa de A. Luego A

3

5

3

1

411

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se expresa:

mnnmmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

.......

..................

.......

.......

*

2211

22222121

11221111

donde A = )( IRMa nxmji es la matriz de los coeficientes del

sistema y X =

nx

x

x

....

2

1

, B =

mb

b

b

.....2

1

son las (matrices) columnas de

incógnitas y de términos constantes respectivamente.



Los números reales

n

n

x

x

x

eformalmentxxx .....,,.......,,

2

1

21 que satisfacen

cada una de las ecuaciones de (*) forman una solución del sistema (*)

El sistema (*) se dice compatible si posee al menos una solución y se diceincompatible cuando no tiene solución.

Observe que el sistema (*) equivale a la ecuaciónmatricial A ∙ X = B , con A la matriz de orden m x nformada con los coeficientes del sistema, X la matrizcolumna de las incógnitas y B la matriz columna detérminos constantes.

Ejemplo: Escriba la ecuación matricial A ∙X = B que representa alos sistemas:

I )

6325

034

172

321

321

321

xxx

xxx

xxx

II )

0943

022

4321

4321

xxxx

xxxx

I)

6

0

1

x

x

x

325

341

712

3

2

1

II)

0

0

9413

2211

4

3

2

1

x

x

x

x



Ejercicio: Escriba el sistema de ecuaciones lineales A ∙X = B quecorresponde a las matrices:

10

6

1

,701

254

3

4

2

,

116

151

302

BA

BA

Problema: Haga el planteamiento matemático del siguiente problema:Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación decuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas, estasestarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquinaes usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatroproductos está dado en la tabla.

¿Cuántas unidades de cada producto se debenproducir en un día, con el fin de usar plenamentelas máquinas?

Prod 1 Prod 2 Prod 3 Prod 4

Máq 1 1 2 1 2

Máq 2 2 0 1 1

Máq 3 1 2 3 0



I.- Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo cuando la columnade términos constantes está formada sólo por ceros.

Sea A ∙ X = O, con A M m x n (IR) un sistema homogéneo, entonces:

1.- A ∙ X = O es siempre compatible pues X = O es solución de él,ésta se llama solución trivial

2.- Si E M m x n (IR) es tal que A E, entonces los sistemas(equivalentes) A ∙ X = O y E ∙ X = O tienen las mismas soluciones.

3.- Si el rango de A, r ( A ) = n, entonces X = O es la única soluciónde A ∙ X = O.

4.- Si el rango de A, r ( A ) < n, entonces existen infinitas solucionespara A ∙ X = O. Estas se pueden expresar en términos de uno o másparámetros.

Resolución de sistemas homogéneos

Ejemplo 1

x + y – z = 02 x – 2 y + 3 z = 03 x + 7 y – z = 0

La matriz de los coeficientes de este sistema es :

173

322

111

A

Con A, realizamos operaciones elementales fila hasta obtener E



A

700

10

01

240

540

111

173

322

111

45

41

= E

Como r ( A ) = 3 = N º de columnas de A = N º de incógnitas, elsistema tiene solución única y ésta es la misma que tiene E ∙ X = O, esdecir, X = O , o bien X = ( 0 , 0 , 0 )

Ejemplo 2:

x 1 + x 2 – 3 x 3 = 02 x 1 – 4 x 2 + 6 x 3 = 0–x 1 – 7 x 2 + 15 x 3 = 0

En este caso:

E

000

210

101

000

210

311

1260

1260

311

1571

642

311

A

Como r( A ) = 2 < N º columnas de A ( N º de incógnitas ), el sistematiene infinitas soluciones. Éstas las buscamos en el sistema E ∙ X = O

x 1 – x 3 = 0x 2 – 2x 3 = 0

x 1 = x 3

x 2 = 2 x 3

Sea k un parámetro asignado a x 3 con el propósito de expresar lasinfinitas soluciones, así:



IRkkXtambiénoIRkk

k

k

k

X

,)1,2,1(,,;

1

2

1

2

II.- Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas:

Consideremos el sistema no homogéneo A X = B, de m ecuacioneslineales con n incógnitas, donde A = ( a i j ) M m x n (IR) yB = ( b1 , b2 , ……., bm ) t M m x 1 (IR)

Llamaremos matriz ampliada (o matriz aumentada) del sistemaAX = B a :

( A / B ) =

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

:......

:........

:........

21

222221

111211

Se tiene que:

El sistema A ∙ X = B es compatible si y sólo si r ( A ) = r ( A / B )

O equivalentemente,

El sistema A ∙ X = B es incompatible si y sólo si r ( A ) r (A / B)

Sabiendo que el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitasrepresentado por A ∙ X = B, es compatible, se tiene que :



1. Si r ( A ) = r ( A / B ), entonces A ∙ X = B tiene solución única

2. Si r ( A ) = r ( A / B ) < n, entonces A ∙ X = B tiene infinitassoluciones que se pueden expresar en términos de uno o másparámetros. (o escalares)

Si el sistema A ∙ X = B tiene n ecuaciones y nincógnitas A es una matriz cuadrada de orden n.

Y si el rango de A, r ( A ) = n, entonces r( A / B )también es n, A es invertible y la única solucióndel sistema la podemos encontrar a través de lainversa de A ; es decir:

X = A –1B

En las condiciones anteriores, ¿por qué X = B ∙ A–1 no es solucióndel sistema?

Usando la inversa de la matriz del sistema, resuelva el sistema:

x 1 + x 2 – x 3 = 22 x 1 – 2 x 2 + 3 x 3 = –113 x 1 + x 2 – x 3 = –2___________________________

RESOLUCIÓN DE ALGUNOS SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS:

Ejemplo 1.x + 4y – 3z = –3

3x + 6y – z = 1



(A/B)=

35:3

410

311:3

701

10:860

3:341

1:163

3:341

En este caso, r(A) = 2 = r(A/B) y el sistema es compatible. Como 2 < n =3,n = Nº de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones; las buscamosen:

x + 37 z = 3

11

y – 34 z = 3

5

Cuyas soluciones son: IRkconk 0,35,3

111,34,3

7

Ejemplo 2 : Estudiemos la compatibilidad del sistema

x 1 – 2x 2 + x 3 = a2 x 1 + x 2 + x 3 = b

5 x 2 – x 3 = c

(A/B) =

cba

ab

a

c

ab

a

c

b

a

2:000

2:150

:121

:150

2:150

:121

:150

:112

:121

Por lo tanto, el rango de A es 2.El sistema será compatible si y sólo si : r(A/B) = 2lo que equivale a que a , b , c deben cumplir

2a – b + c = 0

Ejemplo 3 : Determinemos los valores reales de k de manera que elsistema:



x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1k x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + k x 3 = –1

i) Tenga solución únicaii) Posea múltiples solucionesiii) Sea incompatible

(A/B) =

)1(2:)1(00

2:210

3:2201

2:210

2:10

1:221

1:11

2:10

1:221

2 kk

k

k

k

k

k

k

Conclusiones:

i) Para cualquier real k, k 1, r( A ) = 3 = r ( A / B ) y elsistema tiene solución única. En este caso,

( A / B ) =

12

12

2:100

:010

1:001

)1(2:)1(00

2:210

3:)1(201

k

k

kk

k

k

y la solución es S = 11

2,

1

2,1

k

kk

ii) Si k = 1, (A/B) =

0000

2110

3001

, r(A) = 2 = r(A/B) y

el sistema tiene múltiples soluciones que se expresan :

k ( 0 , –1, 1 ) + ( –3, 2, 0 ) con k IR

iii) Para ningún número real k, el sistema es incompatible



EJERCICIO: Analice las soluciones del sistema:

x 1 + x 2 + a x 3 + x 4 = 1x 1 + a x 2 + x 3 + x 4 = 2ax 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1

dependiendo de los valores que tome el número real “a”

EJERCICIO: Resuelva el sistema

kxkxkx

kxkxkx

xxx

321

321

321

2

12

determinando todos los valores reales de k para los cuales existen múltiplessoluciones.

¿Para algún valor de k, el sistema resulta ser incompatible?

-------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA:

Una persona invierte US $ 20.000 en tres diferentes negocios queproporcionan utilidades del 5 %, 6 % y 8 % respectivamente.

La ganancia anual total de las tres inversiones es US$ 1.266.

Determine la cantidad depositada en cada negocio si se sabe que la utilidaddel negocio al 8 % es igual a dos veces la ganancia que deja el negocio al 5%.

-------------------------------------------------------------------------------------------



OBSERVACIÓN FINAL:

Para completar las respuestas a la interrogante planteada en la página 9,¿cuáles matrices son invertibles?

Primero: tuvimos conocimiento de ellas, a través de las matricesescalonadas.

Segundo: a través de la siguiente observación : se debe conocer elconcepto de determinante y el de matriz adjunta

Determinante: Asociado a cada matriz cuadrada A existe un número real,llamado determinante de A, que lo denotaremos pordet (A) ó A :

es decir; det : M n (IR) IR, es una función tal que det ( A ) IR ,

)IR(MA n

571237

14

:ejemplopor;cbda)A( ted,)IR(Mdc

baASi 2

Si A es una matriz de orden mayor que 2, el determinante de A se defineen forma recursiva como sigue:

Sea A = (a i j ) matriz de orden n. Llamaremos menor de orden ij de A,y anotaremos M i j, al determinante de orden n – 1 que se obtiene a partirde A, eliminándole la i – ésima fila y la j – ésima columna.



Por ejemplo: Sea A =

321

343

215

el menor de orden 23 que se anota

M23 , resulta ser M23 =21

15 = 11

El cofactor de orden ij de A, denotado C i j es el número

C i j = (–1) i + j M i j

Por ejemplo, si A =

191

120

251

, M 1 3 = 2, M 3 2 = 1

C 1 3 = 2 y C 3 2 = –1

El determinante de la matriz de orden n, A = ( a i j ) es el número

det (A) =

1)1(

ó

1)1(

1 1

11

n

j

n

jjijijiji

ji

n

ijijijiji

n

i

ji

fijoniconCaMa

fijonjconCaMa

Por ejemplo, calculemos el determinante de A =

191

120

231

Fijando i = 1 tenemos que:

det (A) =

3

1312111

1 245725)1(j

jijij MMMMa



Observe que el fijar i = 1 significó queal desarrollar la sumatoria intervinieronlos elementos, y los correspondientesmenores, de la fila 1.

El determinante det( A ) = – 2 se pudohaber obtenido por seis caminosdiferentes.¿cuál de ellos es el quenecesita menos cálculos?

La matriz adjunta de A = ( a i j ) M n (IR) , es la transpuesta de lamatriz de los cofactores de A, es decir,

adj ( A ) = (–1) i + j M j i = C j i

Por ejemplo, si A =

dc

ba M 2 (IR) , adj ( A ) =

ac

bd

__________________________________________________________

¿Cuál es la matriz adjunta de A =

101

653

012

?

Desarrollo: 1º Cálculo de los cofactores de A:

c11 = +10

65= 5 c31 = +

65

01= + (–6) = –6

c12 = –11

63= – ( –9) = 9 c32 = –

63

02

= – (12) = –12



c13 = +01

53= +(–5) = –5 c33 = +

53

12

= + ( 7) = 7

c21 = –10

01= – (–1) = 1

c22 = +11

02= + (2) = 2

c23 = –01

12 = – (1) = –1

2º Matriz Adjunta de A: Adj(A) =

715

1229

615

____________________________________________________________

Observe que si A =

dc

baM 2 (IR) ,

A ∙ adj (A) =

bcad

bcad

0

0= adj (A) ∙A

es decir, A ∙ AAadjA

IAadjA

)(

)(det

1

)(det

12

En general, se puede demostrar que si det ( A ) es distinto de cero,

AAadjA

IAadjA

A n

)(

)(det

1)(

)(det

1



Luego, si det( A ) es distinto de cero, A es invertible y se tiene que:

)A(adj

)A(det

1A 1

Recíprocamente, si A es invertible, entonces

1 = det ( I n ) = det ( A ∙ A – 1 ) = det (A) ∙ det ( A–1 )

y por lo tanto, det (A) 0.

Finalmente, podemos enunciar el siguiente teorema que caracteriza a lasmatrices invertibles:

TEOREMA: Sea A M n (IR); entonces

A es invertible det ( A ) 0

Y en este caso se tiene que A – 1 = adj(A)(A)det

1

__________________________________________________________

ac

bd

bcad

1Aentonces

,0bcady),IR(Mdc

baAsi:Ejemplo

1

2

__________________________________________________________

Ejemplo: Determine la inversa de A si:

452

321

543

A



1er paso: det(A) = A = –32 ≠ 0 Luego A es invertible

2º paso. cálculo de la adjunta de A

c11 = + (–23) = –23 c21 = – (–41) = 41 c31 = + (2) = 2c12 = – (2) = –2 c22 = + (–2) = –2 c32 = – (4) = –4c13 = + (9) = 9 c23 = –( 23) = –23 c33 = + ( 2) = 2

luego : Adj (A) =

2239

422

24123

3er paso: A–1 =32

2239

422

24123

, ó, A–1 =

16

1

32

23

32

98

1

16

1

16

1

16

1

32

41

32

23

matrices y sistemas de ecuaciones

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