Matrices y Determinantes

DEFINICIÓN Y TIPOS DE MATRICES

Una matriz es una tabla numérica formada por filas y columnas. Se designan por

letras mayúsculas A, B, C…

A=(a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 … a2n⋮am1

⋮am2

⋮am3

⋱…

⋮amn

)m∙ n

El símbolo (a ij) i=1…mj=1…n

representa la matriz compleja, mientras que a ij representa un

elemento cualquiera de la misma.

El número de filas y de columnas recibe el nombre de dimensión de la matriz, y se

designa por m ∙n.

Si m=n, se trata de una matriz cuadrada y se dice que es de orden n.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Fila: Es aquella que tiene una única fila.

Matriz Columna: Es aquella que solo tiene una columna.

Matriz Traspuesta: Dada la matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa

por At, a la matriz que se obtiene combinando filas por columnas:

A( 1 3 0−2 5 30 1 4) At (

1 −2 03 5 10 3 4)

Matriz Simétrica: Se llama matriz simétrica de A a la matriz que coincide con su

traspuesta, es decir, A es simétrica si A=A t.

Matriz Nula: Es aquella en la que todos sus elementos son 0. Se representa por

0 y se llama también Matriz Cero.

Diagonal Principal: El conjunto formado por todos los elementos de la forma a ii

de una matriz cuadrada se llama diagonal principal.

Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos no

pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz Unidad o Identidad: Es una matriz cuadrada con los elementos de la

diagonal principal iguales a 1, y el resto con valor 0.

I 2(1 00 1)I 3(1 0 0

0 1 00 0 1)

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por

encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.

OPERACIONES CON MATRICES

A) SUMA Y DEIFERENCIA:

La suma de 2 matrices A=(aij )m∙ n y B=(bij )m∙n de la misma dimensión es otra matriz

S= (s ij )m∙n cuyos elementos se obtienen de la forma sij=a ij+b ij.

A( 1 1/22 −2/31/4 0 )B(1/3 −2

5 2/53 −1 )

A+B=( 4/3 −3 /27 −4 /1513 /4 −1 ) A−B=( 2/3 5/2

−3 −16 /15−11/4 1 )

La suma de matrices posee las siguientes propiedades:

1. ASOCIATIVA: ( A+B )+C=A+ (B+C )

2. CONMUTATIVA: A+B=B+A

3. ELEMENTO NEUTRO: A+0=A

4. ELEMENTO OPUESTO: A+(−A )=0

B) PRODUCTO DE MATRICES POR UN NÚMERO:

El producto de una matriz A=(aij )m∙ n por k (real) es igual a una matriz B=(bij )m∙n de

la misma dimensión que A, tal que cada elemento b ij se obtiene multiplicando a ij ∙ k.

A(−1 01/3 1/2)∙−12 =( 1 /2 0

−1/6 −1/ 4)El producto de un número por una matriz M verifica las siguientes propiedades:

1. DISTRIBUTIVA: k ∙ (A+B )=k ∙ A+k ∙ B

2. DISTRIBUTIVA: (k 1+k2 ) ∙ A=k1 ∙ A+k2 ∙ A

3. ASOCIATIVA: k 1 ∙ (k2 ∙ A )=(k1 ∙ k2 ) ∙ A

4. ELEMENTO NEUTRO: 1 ∙ A=A

C) PRODUCTO DE MATRICES

El producto de la matriz A=(aij )m∙ n por B=(bij )n ∙ p da como resultado C=(c ij )m∙ p tal

que cada elemento c ij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera

matriz por la columna j de la segunda matriz. El producto de las matrices A y B se

escribe AB ó A ∙B.

A(1 −1 20 −1 3)B( 1 0

−2 31 −1)C (4 −1

2 0 )

AB=(5 −55 −6) CA=(4 −3 5

2 −2 4)

BC=( 4 −1−2 22 −1) BA=( 1 −1 2

−2 −1 51 0 −1)

El producto de matrices verifica las siguientes propiedades:

1. ASOCIATIVA: ( A ∙B ) ∙C=A ∙ (B ∙C )

2. En general, el producto de matrices NO ES CONMUTATIVO: A ∙B≠B ∙ A

3. ELEMENTO NEUTRO: Si A es una matriz cuadrada de orden n, se cumple que

A ∙ I n=I n ∙ A=A.

4. Dada una matriz A de orden n, no existe siempre otra matriz B tal que A ∙B=I .

Si existe la matriz B se dice que es la Matriz Inversa de A, y se designa por A−1.

Dos matrices son inversas si su producto es la matriz identidad. Una matriz

cuadrada que posee inversa se dice que es invertible o regular, en caso

contrario recibe el nombre de singular.

5. El producto de matrices es Distributivo con Respecto de la Suma de matrices,

es decir: A (B+C )=AB+AC .

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

A) DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2

El determinante de una matriz cuadrada de 2º orden es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal

secundaria. Se designa por |A| o det|A|.

Sea A(a11 a12a21 a22) entonces |A|=a11a22−a12a216

B) DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3

Dada una matriz de 3er orden:

A(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

)|A|= a13

¿a33|a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

| a11¿ a31=a11 a22a33+a32a21a13+a12a23 a31−a13a22a31−a31a23 a11−a12 a21a33

+ + + - - -

|A|= a13¿a33|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

| a11¿ a31