UVOD

Ovi nastavni materijali namijenjeni su studen-

tima koji slusaju predmet matematika a re-

zultat su visegodisnjeg rada u nastavi iz ovog

predmeta. U svrhu lakseg pracenja i boljeg

razumijevanja, gradivo je izlozeno na pristupa-

can nacin sa detaljnim objasnjenjima i brojnim

primjerima. Iako ovi materijali cine sustinu

nastave, studentima se preporuca pohadanje

nastave gdje ce dobiti, po potrebi, i sva do-

datna objasnjenja i informacije. Svaka suges-

tija i konstruktivna kritika, u svrhu poboljsanja

ovih materijala, je dobrodosla.

Zelim vam sto uspjesnije savladavanje izloze-

nog gradiva !!

J.M.

SADRZAJ

Matrice . . . 1

Tipovi matrica . . . 2

Racunske operacije sa matricama . . . 8

Vektorski prostor Rn . . . 17

Linearna (ne)zavisnost vektora . . . 19

Rang matrice . . . 22

Sustavi linearnih jednadzbi . . . 28

Determinanta kvadratne matrice . . . 41

Inputoutput analiza . . . 54

+ +

MATRICE

Definicija: Neka su m i n prirodni brojevi.

Matrica A tipa (reda ili formata) mn je svakapravokutna tablica elemenata (brojeva) pore-

danih u m redaka i n stupaca.

Simbolicki

A =

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n... ... ... ...

am1 am2 am3 . . . amn

ili krace

A = [aij], i = 1,2, . . . ,m; j = 1,2, . . . , n.

Oznake: A,B,C, . . . za matrice;

aij, bkl, cir, . . . za matricne elemente,

npr. a42, b15,12, c11, d25,7, . . .

Promatrat cemo samo realne matrice (matric-

ni elementi su realni brojevi).

Skup svih matrica istog tipamn oznacavamosa Mmn (ili Mmn ili Rmn), npr. R1020,M144, M23, M15, M51, . . .+ 1

+ +

Ako je m = n matricu nazivamo kvadratna

matrica reda n. Skup svih kvadratnih matrica

istog reda oznacavamo sa Mn, npr. M2, M4,

M8, . . .

TIPOVI MATRICA

Pravokutna (m 6= n) i kvadratna (m = n).

Nulmatrica (oznaka O ili Omn) je matrica ciji

su svi elementi jednaki nuli.

Glavna dijagonala kvadratne matrice A Mnje uredeni skup {a11, a22, a33, . . . , ann} .

Trag kvadratne matrice A je broj

tr(A) = a11+ a22+ a33+ . . .+ ann .

+ 2

+ +

Tipovi kvadratnih matrica

Kvadratna matrica A Mn moze biti:

gornja trokutasta: aij = 0 za i > j;

donja trokutasta: aij = 0 za i < j;

dijagonalna: aij = 0 za i 6= j;

skalarna: dijagonalna ia11 = a22 = . . . = ann;

jedinicna (oznaka I ili In): dijagonalna ia11 = a22 = . . . = ann = 1.

+ 3

+ +

Jednakost matrica

Matrice A i B su jednake ako i samo ako su

istog reda i svi odgovarajuci elementi su im

medusobno jednali. Simbolicki

A = B

A,B Mmnaij = bij, i = 1,2, . . . ,m;

j = 1,2, . . . , n.

Transponirana matrica

Ako u matrici A Mmn zamijenimo retke istupce (prvi redak pisemo kao prvi stupac,

drugi redak kao drugi stupac, itd.) dobijemo

transponiranu matricu AT (ili A) Mnm.A AT aij aji .

Kvadratna matrica A je:

simetricna: AT = A, tj. aji = aij za sve i, j;

antisimetricna:

AT = A, tj. aji = aij za sve i, j;(tada je i aii = aii, tj. aii = 0 za sve i).

+ 4

+ +

PRIMJERI

1. Zadane su matrice

A =

4 1/2x 33 10 x

, B =

010.725

.Odredite a21, a12, a42, b13, b31.

2. Napisite matricu A M23 ako jeaij = i

2 j2.

3. Napisite matricu X M4 ako je

xij =

1 za i < j1 za i > j0 za i = j .

+ 5

+ +

4. Zadane su matrice A =

[0 x/y

x y2

],

B =

[0 2

x 9

], C =

[x 2

x 3x

].

Odredite parametre x i y tako da je:

(a) A = B, (b) B = C.

5. Zadana je matrica

T =

1 4 xx2 0 x3

x 8 5

.Za koju vrijednost parametra x je matrica

T simetricna?

6. Odredite trag matrice T iz primjera 5.

+ 6

+ +

7. Karakterizirajte slijedece matrice

A =

[0 1

7 0.4

2 1 0 3], B =

0 00 00 0

,

C = [6 2 0], D =[01

], E = [7 ],

F =

1 2 30 0 10 0 5

, G =6 0 0 00 0 0 00 0 0 07 0 0 0

,

H =

8 0 00 8 00 0 8

, K =1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

.

8. Odredite tr(K) iz primjera 7 te zakljucite

koliki je tr(In)?

+ 7

+ +

RACUNSKE OPERACIJE SA MATRICAMA

Zbrajanje matrica

Matrice mozemo zbrajati samo ako su istog

reda i to tako da zbrajamo odgovarajuce ele-

mente. Simbolicki

A = [aij], B = [bij] Mmn A+B = [aij + bij] Mmn.

Mnozenje matrica brojem (skalarom)

Matricu mnozimo brojem tako da njime pom-

nozimo svaki njezin elemenat. Simbolicki

A = [aij] Mmn, R A = [aij] Mmn.Za = 0 je 0 A = O (nul-matrica).Za = 1 je (1) A = A (suprotna mat-rica).

Oduzimanje matrica je zbrajanje sa suprot-

nom matricom: AB = A+ (B) .Ocito je: AA = A+ (A) = O .

+ 8

+ +

Linearna kombinacija matrica

Definicija: Neka su dane matrice

A1, A2, . . . , Ak Mmni brojevi

1, 2, . . . , k R .Tada matricu

A = 1A1+ 2A2+ . . .+ kAk Mmnnazivamo linearna kombinacija danih ma-

trica. Pri tome brojeve 1, 2, . . . , k nazivamo

koeficijenti linearne kombinacije.

Linearna kombinacija je trivijalna ako su svi

koeficijenti jednaki nuli (ona je tada jednaka

nul-matrici).

U protivnom (barem jedan koeficijent je raz-

licit od nule) linearna kombinaciju nazivamo

netrivijalna.

+ 9

+ +

PRIMJER

Zadane su matrice

A =

[y x2

9 y

], B =

[1 6

2x y

].

Odredite parametre x i y tako da matrica

2A 3B bude: (a) donja trokutasta;(b) dijagonalna; (c) skalarna.

RJESENJE:

2A 3B =[2y 3 2x2 1818 6x y

].

(a) 2x2 18 = 0 x {3, 3}, y R;(b) 2x2 18 = 0 i 18 6x = 0

x = 3, y R;(c) uvjeti pod (b) i 2y 3 = y

x = 3, y = 1.

+ 10

+ +

SVOJSTVA ZBRAJANJA MATRICA I

MNOZENJA MATRICA BROJEM

Za sve A,B,C Mmn i , R vrijedi

1. (A+B)+C = A+(B+C) (asocijativnost)

2. A+B = B+A (komutativnost)

3. (A+B) = A+ B,

(+ )A = A+ A (distributivnost)

4. (A) = ()A (asocijativnost)

+ 11

+ +

MNOZENJE MATRICA

Dvije matrice mozemo pomnoziti medusobnosamo ako su ulancane (prva matrica ima to-liko stupaca koliko druga redaka). Produkt jematrica sa toliko redaka kao prva, a stupacakao druga matrica u umnosku. Simbolicki

A(m n) B(n p) = C(m p) .Pri tome elemenat umnoska na mjestu (i, j)dobijemo skalarnim mnozenjem i-tog retka pr-ve matrice sa j-tim stupcem druge matrice(prvi elemenat i-tog retka mnozimo sa prvimelementom j-tog stupca, drugi sa drugim, itd.te tako dobivene produkte zbrojimo). Sim-bolicki

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + . . .+ ainbnj .

PRIMJERI

1. Ako imamo matrice A(3 3), B(4 3)i C(3 1), koje umnoske od dva clanamozemo sastaviti?

+ 12

+ +

2. Za matrice

A =

[1 0 10 2 1

], B =

2 01 10 1

,odredite A B i B A.RJESENJE:

Imamo A(2 3) B(3 2) = AB(2 2),(AB)11 = 1 (2) + 0 1+ (1) 0 = 2,(AB)12 = 1 0+ 0 1+ (1) (1) = 1,(AB)21 = 0 (2) + 2 1+ 1 0 = 2,(AB)22 = 0 0+ 2 1+ 1 (1) = 1, pa je

AB =

[2 12 1

].

Slicno je B(3 2) A(2 3) = BA(3 3) i

BA =

2 0 21 2 00 2 1

.Uocimo da je opcenito

A B 6= B A .

+ 13

+ +

3. Ako su definirani matricni produkti AB i

BA, tada vrijedi tr(AB) = tr(BA). Prov-

jerite to na matricama iz primjera 2.

4. Primijetimo da za kvadratnu matricu A

mozemo definirati potencije: A2 = A A,A3 = A A A = A A2 = A2 A, . . .An = An1 A = A An1.

5. Neka je A Mn proizvoljna matrica teO, I Mn. Provjerite da vrijedi

AO = OA = O, AI = IA = A .

+ 14

+ +

SVOJSTVA

Za matrice A,B,C odgovarajucih formata i

R vrijede:Svojstva matricnog mnozenja

1. (AB)C = A(BC)

2. A(B+C) = AB+AC, (A+B)C = AC+BC

3. (AB) = (A)B = A(B)

Za kvadratnu matricu A vrijedi i

4. AI = IA = A

5. AO = OA = O

Svojstva transponiranja

1. (A+B)T = AT +BT

2. (A)T = AT

3. (AT )T = A

4. (AB)T = BTAT

+ 15

+ +

INVERZNA MATRICA

Definicija: Ako za matricu A Mn postojimatrica A1 Mn takva da vrijedi

A A1 = A1 A = I ,tada je A1 inverzna matrica matrice A.

Uocimo da se inverzna matrica definira samo

za (neke) kvadratne matrice.

Ako kvadratna matrica ima inverz, nazivamo

je regularna. U protivnom je singularna.

Inverzna matrica, ako postoji, je jedinstvena.

Naime ako su B i C inverzne matrice od A

tada je

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C .

Svojstva invertiranja

1. (A1)1 = A2. (A)1 = 1 A13. (AT )1 = (A1)T4. (AB)1 = B1A1

+ 16

+ +

VEKTORSKI PROSTOR Rn

Skup

Rn =

x1x2...xn

: x1, x2, . . . , xn R

nazivamo realni vektorski prostor.Imamo R1 = R, R2, R3, R4, . . .Primijetimo da je Rn =Mn1 (ili M1n).Elemente vektorskog prostora nazivamo vek-tori. Svaki vektor ima n komponenti.Nul-vektor (O) ima sve komponente nule.

Skalarni produkt u Rn

je preslikavanje koje svakom paru vektorax, y Rn pridruzuje realni broj

xTy = x1y1+ x2y2+ x3y3+ . . .+ xnyn .

Svojstva skalarnog produkta

Za sve x, y, z Rn i R vrijedi:1. xTx 0,

xTx = 0 x = O (pozitivna definitnost)2. xTy = yTx (simetrija)3. (x+ y)T z = xT z+ yT z (aditivnost)4. (x)Ty = (xTy) (homogenost)

+ 17

+ +

Okomitost vektoraAko je skalarni produkt dvaju vektora nula,kazemo da su vektori medusobno okomiti iliortogonalni, i obratno. Simbolicki

xTy = 0 x y .

PRIMJERI

1. Zadani su vektori

x =

[13

], y =

[31

], z =

[40

].

Odredite xTy, xTz i yTz.Kakvi su vektori x i y ?

2. Zadani su vektori

A =

t10

, B = 123

.Za koju vrijednost parametra t su vektoriA+B i AB medusobno okomiti?RJESENJE: t = 13.

+ 18

+ +

LINEARNA (NE)ZAVISNOST VEKTORA

Definicija: Skup vektora

{A1, A2, . . . , Ak} Rn je linearno nezavisanako je samo trivijalna linearna kombinacija tih

vektora jednaka nul-vektoru, tj. ako vrijedi

1A1+ 2A2+ . . .+ kAk = O 1 = 2 = . . . = k = 0 .

Skup vektora

{A1, A2, . . . , Ak} Rn je linearno zavisan akopostoji i netrivijalna linearna kombinacija tih

vektora jednaka nul-vektoru, tj. ako vrijedi

1A1+ 2A2+ . . .+ kAk = O i 6= 0 bar za jedan i {1,2, . . . , k} .

Drugim rijecima, skup vektora je linearno zavi-

san ako se bar jedan vektor iz tog skupa moze

prikazati pomocu preostalih (kao njihova line-

arna kombinacija). Ako to nije moguce, skup

je linearno nezavisan.

+ 19

+ +

PRIMJER

Ispitajte linearnu (ne)zavisnost skupa:

1.

{[12

],

[11

]} R2

1 [12

]+ 2

[11

]=

[00

]

1+ 2 = 021+ 2 = 0

1 = 0, 2 = 0 .Skup vektora je linearno nezavisan.

2.

{[22

],

[11

]} R2

1 [22

]+ 2

[11

]=

[00

]

21+ 2 = 021+ 2 = 0

2 = 21, 1 R .npr. 1 = 1, 2 = 2ili 1 = 3, 2 = 6, itd.Skup vektora je linearno zavisan.

+ 20

+ +

Skup vektora generira ili razapinje vektorski

prostor Rn ako se svaki vektor iz Rn moze

prikazati pomocu vektora iz tog skupa (kao

njihova linearna kombinacija).

Skup vektora je baza prostora Rn ako:

je linearno nezavisan; razapinje prostor Rn.

Broj vektora u bazi ne ovisi o izboru baze i

naziva se dimenzija vektorskog prostora.

PRIMJER: Kanonska baza prostora Rn.

B =

100...0

,010...0

,001...0

, . . . ,000...1

Uocimo da su vektori kanonske baze stupci

jedinicne matrice reda n.

Dimenzija prostora Rn: dim(Rn) = n.

+ 21

+ +

RANG MATRICE

Rang matrice je najveci broj linearno neza-

visnih redaka (ili stupaca) te matrice.

Moze se pokazati da je rang po recima isti

kao i rang po stupcima, pa je

A Mmn r(A) min{m, n} .Rang odredujemo primjenom elementarnih

transformacija na retke ili stupce matrice.

Elementarne transformacije su:

zamjena dvaju redaka (stupaca); mnozenje retka (stupca) brojem razlicitimod nule;

zbrajanje dvaju redaka (stupaca).Primjenom elementarnih transformacija rang

matrice se ne mijenja. Cilj je pomocu elemen-

tarnih transformacija svesti matricu na ekviva-

lentnu matricu iz koje je rang ocigledan.

+ 22

+ +

PRIMJERI

Odredite rang slijedecih matrica

1. A =

1 1 1 11 2 3 44 3 2 1

2. M =

3 3 3 t1 1 1 22 2 1 14 4 4 8

3. A M4: aii = b, aij = 1 za i 6= j.Rjesenje:

A =

b 1 1 11 b 1 11 1 b 11 1 1 b

b = 1 r(A) = 1,b = 3 r(A) = 3,b 6= 1, b 6= 3 r(A) = 4.

+ 23

+ +

RJESENJA

1.

A 1 1 1 11 2 3 44 3 2 1

(1) (4)|

1 1 1 10 1 2 30 1 2 3

1

|1 1 1 10 |1 2 30 0 0 0

r(A) = 2 .Nakon provedenih transformacija rang je

broj neponistenih redaka ili broj stepe-

nica. Pri tome u svakom retku treba biti

nova stepenica.

+ 24

+ +

2. M 1 1 1 22 2 1 14 4 4 83 3 3 t

(2)

(4)|

(3)||

1 1 1 20 0 3 50 0 0 00 0 0 t 6

|1 1 1 20 0 |3 50 0 0 |t 60 0 0 0

t 6 = 0 t = 6 r(M) = 2 ,t 6 6= 0 t 6= 6 r(M) = 3 .

+ 25

+ +

Skup vektora {A1, A2, . . . , Ak} Rn

je linearno nezavisan ako jer(A) = k (broju vektora);

je linearno zavisan ako jer(A) < k (broja vektora);

razapinje prostor Rn ako je r(A) = n;

baza prostora Rn ako jer(A) = n = k (broju vektora).

Pri tome je A matrica ciji su stupci (ili reci)

vektori A1, A2, . . . , Ak.

+ 26

+ +

PRIMJER

Za koju vrijednost parametra t R skup vek-tora

10t

, 0t0

, t01

,

cini bazu vektorskog prostora R3 ?

RJESENJE

A =

1 0 t0 t 0t 0 1

(t)|

1 0 t0 t 00 0 1 t2

t = 0 r(A) = 2 ,1 t2 = 0 t = 1 r(A) = 2 ,t 6= 0 i t 6= 1 r(A) = 3 .Skup vektora je baza za t R \ {1,0,1}.Postaviti i ostala pitanja za ovaj i prethodne

primjere!

+ 27

+ +

SUSTAVI LINEARNIH JEDNADZBI

Sustav od m jednadzbi sa n nepoznanica:

a11x1+ a12x2+ a13x3+ . . .+ a1nxn = b1a21x1+ a22x2+ a23x3+ . . .+ a2nxn = b2a31x1+ a32x2+ a33x3+ . . .+ a3nxn = b3

am1x1+ am2x2+ am3x3+ . . .+ amnxn = bm

Uvedemo li matrice

A=

a11 a1n... ...am1 amn

, X= x1...xn

, B= b1...bm

,A(m n), X(n 1), B(m 1),

sustav mozemo pisati u matricnom obliku

A X = B .Pri tome su:

A - matrica sustava;

X - matrica nepoznanica;

B - matrica slobodnih clanova;

A|B - prosirena matrica sustava.+ 28

+ +

Ako je B = O =

0...0

, imamo homogensustav, u protivnom (B 6= O) nehomogen.Svaku matricu X koja zadovoljava jednadzbuAX = B, nazivamo rjesenje sustava. Sus-tav koji ima rjesenje nazivamo rjesiv, moguc,konzistentan ili kompatibilan.

Teorem (Kronecker-Capelli):Sustav linearnih jednadzbi ima rjesenje ako isamo ako je r(A) = r(A|B) (rang matrice sus-tava jednak rangu prosirene matrice sustava).

Dokaz: Neka su A1, A2, . . . , An Rm stupcimatrice A. Sustav AX = B sada mozemopisati u obliku x1A1+x2A2+ . . .+xnAn = B.

Ako sustav ima rjesenje, tada je B linearnakombinacija vektora A1, . . . , An. To znaci dadodavanje linearno zavisnog vektora B, skupustupaca matrice A, nece promijeniti rang.

Ako je r(A) = r(A|B), tada je B linearno za-visan u odnosu na stupce matrice A, pa semoze napisati kao njihova linearna kombina-cija. Koeficijenti te kombinacije su rjesenjesustava, dakle, sustav ima rjesenje.

+ 29

+ +

Homogeni sustav AX = O uvijek ima bar jed-

no rjesenje i to trivijalno

X = O (x1 = x2 = . . . = xn = 0),

jer je r(A) = r(A|O).

Opcenito za sustav AX = B vrijedi:

1. r(A) = r(A|B) ima rjesenje i to: jedinstveno ako je r(A) jednak broju ne-

poznanica,

beskonacno mnogo rjesenja ako je r(A)

manji od broja nepoznanica;

2. r(A) 6= r(A|B) nema rjesenje.

+ 30

+ +

U slucaju beskonacno mnogo rjesenja sustav

ima toliko slobodnih parametara (nepoznani-

ca) za koliko je r(A) manji od broja nepoz-

nanica.

Za homogeni sustav slucaj 2. ne moze nas-

tupiti.

Sustav rjesavamo GaussJordanovom me-

todom. Ona se sastoji u primjeni elemen-

tarnih transformacija na retke prosirene mat-

rice sustava. Kako elementarne transforma-

cije ne mijenjaju rjesenje sustava, pomocu njih

sustav prevodimo u ekvivalentni iz kojeg se

rjesenje moze direktno ocitati.

+ 31

+ +

PRVI PRIMJER

Rijesite sustav

2x y + 3z = 12x + y z = 13x + 2y + 2z = 5 .

Sastavimo prosirenu matricu sustava A|B: 1 1 1 | 12 1 3 | 123 2 2 | 5

(2) (3)|

1 1 1 | 10 3 5 | 140 1 5 | 8

1 1 1 | 10 1 5 | 80 3 5 | 14

(3)

|1 1 1 | 10 |1 5 | 80 0 |10 | 10

r(A) = 3 = r(A|B) = broju nepoznanica, sus-tav ima jedinstveno rjesenje;

+ 32

+ +

unutar matrice A formiramo jedinicnu matricu

reda 3:

|1 1 1 | 10 |1 5 | 80 0 |10 | 10

: (10)

1 1 1 | 10 1 5 | 80 0 1 | 1

(5)

|1

1 1 0 | 00 1 0 | 30 0 1 | 1

1

1 0 0 | 30 1 0 | 30 0 1 | 1

(1)

1 0 0 | 30 1 0 | 30 0 1 | 1

x = 3y = 3z = 1 .

+ 33

+ +

DRUGI PRIMJER

Rijesite sustav

3x1 x2 + 4x3 5x4 = 1x1 + 3x2 x3 + 2x4 = 02x1 + 2x2 + 3x3 3x4 = 3 .

Sastavimo prosirenu matricu sustava A|B: 1 3 1 2 | 03 1 4 5 | 12 2 3 3 | 3

3 2| 1 3 1 2 | 00 8 1 1 | 1

0 8 1 1 | 3

(1) |1 3 1 2 | 00 |8 1 1 | 1

0 0 0 0 | |4

r(A) = 2, r(A|B) = 3 sustav nema rjesenje.Zadnja jednadzba glasi 0 = 4 !?

+ 34

+ +

TRECI PRIMJER

Rijesite sustav

x + y + z = 22x y + z = 33x + 2z = 5 .

Sastavimo prosirenu matricu sustava A|B: 1 1 1 | 22 1 1 | 33 0 2 | 5

(2) (3)|

1 1 1 | 20 3 1 | 10 3 1 | 1

(1)

|1 1 1 | 20 |3 1 | 10 0 0 | 0

r(A) = 2 = r(A|B) < 3 = broj nepoznanica,sustav ima beskonacno mnogo rjesenja sa jed-

nim slobodnim parametrom;

+ 35

+ +

unutar matrice A formiramo jedinicnu matricu

reda 2:

1 1 1 | 20 3 1 | 10 0 0 | 0

: (3)

1 1 1 | 20 1 1/3 | 1/30 0 0 | 0

(1)

1 0 2/3 | 5/30 1 1/3 | 1/30 0 0 | 0

x +

23 z =

53

y + 13 z =13

x = 53 23 zy = 13 13 zz R

Ovo je opce rjesenje sustava u parametarskom

obliku (z je slobodni parametar sustava).

+ 36

+ +

CETVRTI PRIMJER

Cetiri trgovacke firme A, B, C i D narucujurobu od istog dobavljaca, dakle, svaku vrsturobe po istoj cijeni. Firma A je narucila 5tbrasna (t = tona), 3t secera i 1t kave zasto je platila 110000 kuna. Firma B je za3t brasna, 2t secera i 2t kave platila 179000kuna. Firma C za 4t brasna, 4t secera i 3t kaveplaca 272000 kuna. Koliko ce platiti firma Dza svoju narudzbu od 1t brasna, 1t secera i 1tkave? Zadatak rijesite matricnim racunom.

RJESENJE: Oznacimo cijene za 1t brasna,secera i kave sa x, y i z. Imamo sustav

5x+3y+ z = 110000

3x+2y+2z = 179000

4x+4y+3z = 272000 ,

koji rijesimo matricno (najbolje je uzeti re-dosljed nepoznanica z, y, x).Dobijemo x = 3000, y = 5000 i z = 80000.Rjesenje zadatka je x+ y+ z = 88000 kuna.

Napomena: zadatak mozemo rijesiti i tako davektor [1,1,1] prikazemo kao linearnu kombi-naciju vektora [5,3,1], [3,2,2] i [4,4,3].

+ 37

+ +

PETI PRIMJER

Kako broj rjesenja sustava

tx + ty + 4z = 2x + y + tz = 1

3y tz = 3ovisi o vrijednosti realnog parametra t ?

Imamo: 1 1 t | 10 3 t | 3t t 4 | 2

(t)|

1 1 t | 10 3 t | 30 0 4 t2 | 2+ t

t = 2 r(A) = 2, r(A|B) = 3 sustav nemarjesenja,

t = 2 r(A) = 2 = r(A|B) < 3 sustavima beskonacno mnogo rjesenja,

t 6= 2 r(A) = 3 = r(A|B) sustav imajedinstveno rjesenje.

+ 38

+ +

PRIMJENA GAUSS-JORDANOVEMETODE NA RACUNANJE INVERZNE

MATRICE

A1 = ? za zadanu A MnA1 [A | I] =

[A1 A | A1 I

]=[I | A1

]Dakle:

[A | I] el. transformacije [I | A1

]

PRIMJER

Invertirajte matricu A =

1 0 13 1 01 1 3

.RJESENJE:

[A | I] = 1 0 1 | 1 0 03 1 0 | 0 1 01 1 3 | 0 0 1

(3) 1|

+ 39

+ +

1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 3 1 00 1 4 | 1 0 1

1

1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 3 1 00 0 1 | 2 1 1

3

|

(1)

1 0 0 | 3 1 10 1 0 | 9 4 30 0 1 | 2 1 1

(1)(1)

1 0 0 | 3 1 10 1 0 | 9 4 30 0 1 | 2 1 1

= [I | A1]

Dakle, A1 =

3 1 19 4 32 1 1

.Provjera: A A1 = A1 A = I .

+ 40

+ +

DETERMINANTA KVADRATNE MATRICE

Svakoj kvadratnoj matrici A pridruzen je jedin-stveni realni broj koji nazivamo determinantai oznacavamo sa |A| ili det(A). Determinantudefiniramo na slijedeci nacin:

Determinanta reda 2:

A =

[4 13 2

]

det(A) =

4 13 2 = 4 2 (1) 3 = 11

Determinanta reda 3 (Sarrussovo pravilo):

B =

2 1 03 2 14 0 5

|B| =2 1 03 2 14 0 5

2 13 24 0

= 2 2 5+ (1) 1 4+ 0 (3) 00 2 4 2 1 0 (1) (3) 5

= 20 4+ 0 0 0 15 = 1+ 41

+ +

Determinante viseg reda (n > 3):

A Mn, |A| = ?Ako u matrici A izostavimo (izbrisemo) i-ti

redak i j-ti stupac dobivamo novu matricu

Aij Mn1. Njena determinanta naziva sesubdeterminanta ili minora |Aij|.Kofaktor ili algebarski komplement Aij ele-

menta aij definiramo kao

Aij = (1)i+j |Aij| .|A| dobijemo Laplaceovim razvojem po jed-nom (proizvoljnom) retku ili stupcu:

|A| =n

j=1

aij Aij (razvoj po i-tom retku)

|A| =n

i=1

aij Aij (razvoj po j-tom stupcu)

PRIMJER: Provjerite da je determinanta tro-

kutaste (dijagonalne) matrice jednaka umnos-

ku njenih dijagonalnih elemenata.

+ 42

+ +

SVOJSTVA DETERMINANTI

1. Zamjenom dvaju redaka ili stupaca deter-

minanta mijenja predznak.

2. Determinantu mnozimo brojem tako da

njime pomnozimo samo jedan (bilo koji) redak

ili stupac.

3. Determinanta se ne mijenja ako jednom

retku ili stupcu dodamo linearnu kombinaciju

preostalih redaka ili stupaca.

4. Determinanta koja ima nul-redak ili nul-

stupac jednaka je nuli.

5. Determinanta koja ima dva ista retka ili

stupca jednaka je nuli.

6. Determinanta ciji su reci (stupci) linearno

zavisni jednaka je nuli.

7. Determinanta ciji su reci (stupci) linearno

nezavisni razlicita je od nule.

+ 43

+ +

PRIMJER

1 3 1 02 2 2 13 0 3 13 0 0 5

= razvoj po cetvrtom retku =

= (3) (1)4+1 3 1 02 2 10 3 1

+ 0 + 0

+ 5 (1)4+4 1 3 12 2 23 0 3

= 3 1+ 5 0 = 3

+ 44

+ +

Napomena: prije razvijanja determinante neke

elemente mozemo ponistiti, npr.1 3 1 02 2 2 13 0 3 13 0 0 5

1

(5)|

=

1 3 1 02 2 2 11 2 1 07 10 10 0

= razvoj po cetvrtom stupcu =

= 1 (1)2+4 1 3 11 2 17 10 10

= . . . = 3

+ 45

+ +

Jos neka svojstva determinanti

Za A,B Mn i R vrijedi1. |AT | = |A|2. |A B| = |A| |B| (Binet-Cauchyjev teorem)3. |Ak| = |A|k4. |A1| = |A|1 = 1|A|5. |A| = n|A| (uocimo da je n red matrice)

PRIMJERI

1. Za matrice

A =

[4 32 2

], B =

[3 14 4

]

izracunajte det(5A4B1A3

).

RJESENJE:5A4B1A3 = 52 A4B1A3= 25 |A|4 |B|1 |A|3= 25 24 (16)1 23= 200 .

+ 46

+ +

2. Za matricu

K =

2 0 0 03 1 0 04 7 1 08 6 4 2

odredite

K1 = ? i 2K3 = ?RJESENJE: Kako je K donja trokutasta

matrica imamo |K| = 2 (1) 1 2 = 4,pa jeK1 = 1|K| = 14 ,2K3 = 24 K3 = 24 |K|3

= 24 (4)3 = 1024 .

+ 47

+ +

DETERMINANTA, RANG I

REGULARNOST MATRICE

Rang matrice jednak je najvecem redu minore

te matrice koja je razlicita od nule.

Za matricu A Mn slijedece tvrdnje su ekvi-valentne:

A je regularna rang(A) = n (najveci moguci rang) det(A) 6= 0 stupci (reci) od A su linearno nezavisniZa matricu A Mn slijedece tvrdnje su ekvi-valentne:

A je singularna rang(A) < n det(A) = 0 stupci (reci) od A su linearno zavisni

+ 48

+ +

PRIMJER

Ispitajte regularnost matrice

A =

1 0 1x 2 33 x 2

RJESENJE:

Prvi nacin:

|A| =1 0 1x 2 33 x 2

1 0x 23 x

= 4 x2+6 3x

|A| = x2 3x+10 = 0 x {5, 2}Za x {5, 2} matrica A je singularna,za x R \ {5, 2} matrica A je regularna.

+ 49

+ +

Drugi nacin:

A 1 0 13 2 x

2 x 3

3 2|

1 0 10 2 x+3

0 x 5

2

1 0 10 2 x+3

0 2x 10

(x)

|1 0 10 |2 x+3

0 0 x2 3x+10

Ako je x23x+10 = 0 tj. x {5, 2} tadaje r(A) = 2 < 3 pa je A singularna.

Ako je x2 3x+ 10 6= 0 tj. x R \ {5, 2}tada je r(A) = 3 pa je A regularna.

+ 50

+ +

PRIMJENA DETERMINANTI NA

RACUNANJE INVERZNE MATRICE

Ako u matrici A Mn sve matricne elementeaij zamijenimo sa njihovim kofaktorima Aij,

dobijemo matricu kofaktora. Njezinim trans-

poniranjem nastaje adjungirana matrica ili

adjunkta adj(A). Moze se pokazati da vrijedi

adj(A) A = A adj(A) = |A| I .Ako je A regularna (AA1 = A1A = I) tada,usporedbom ovih jednakosti, slijedi

A1 = 1|A| adj(A) .

+ 51

+ +

PRIMJER

A =

[a bc d

], A1 = ?

RJESENJE:

Matrica kofaktora[(1)1+1 d (1)1+2 c(1)2+1 b (1)2+2 a

]=

[d cb a

]

adj(A) =

[d bc a

]Adjungirana matrica matrice reda 22 dobijese tako da dijagonalnim elementima zamijeni-

mo mjesta a izvandijagonalnim predznake.

A1 = 1|A| adj(A) =1

ad bc [

d bc a

]

+ 52

+ +

CRAMEROV SUSTAV LINEARNIH

JEDNADZBI

Ako je u sustavu AX = B broj jednadzbi jed-

nak broju nepoznanica tada sustav nazivamo

Cramerov. Matrica A tada je kvadratna.

Ako je matrica sustava A regularna (|A| 6= 0)tada je X = A1 B, pa sustav ima jedin-stveno rjesenje (homogeni sustav trivijalno a

nehomogeni netrivijalno).

Ako je matrica sustava A singularna (|A| = 0)tada homogeni sustav ima beskonacno mnogo

rjesenja (dakle osim trivijalnog i beskonacno

mnogo netrivijalnih) a nehomogeni sustav mo-

ze ili imati beskonacno mnogo rjesenja ili biti

nemoguc.

+ 53

+ +

INPUT-OUTPUT ANALIZA

(Leontiefov medusektorski model)

Wassily W. Leontief: The Structure of Ame-

rican Economy 1919-1939 (1950), Oxford

University Press.

U ovom modelu promatramo ekonomiju nekog

mjesta (kraja ili regije) kao cjelinu sastavljenu

od n industrija (grana ili sektora). Ti sektori

su medusobno zavisni. Proizvodnja svakog

sektora potrebna je kao utrosak u procesu

proizvodnje ostalih sektora ali i njega samog.

I-O analiza je analiza kvantitativnih zavisnosti

izmedu proizvodnji pojedinih sektora proma-

trane ekonomije. Osnovno pitanje koje pos-

tavljamo je:

Koju razinu proizvodnje svaki od n sektora

treba ostvariti pa da se zadovolji potraznja

za tim proizvodom?

+ 54

+ +

Pretpostavke modela:

1. Proizvodnja svakog sektora je homogena

(povecamo li ili smanjimo sve faktore proiz-

vodnje isti broj puta, proizvodnja se takoder

poveca ili smanji toliko puta).

2. Svaki sektor za proizvodnju koristi fiksni

odnos utroska (fiksnu kombinaciju faktora).

Osnovne oznake i relacije:

Ukupni output (izlaz) iz i-tog sektora ozna-

cavamo sa Qi. To je sve sto taj sektor daje

(proizvodi). Neki sektori za svoj input (ulaz)

koriste dio outputa drugih sektora. Te velicine

oznacavamo sa Qij (dio outputa i-tog sektora

koji prelazi u j-ti sektor). Nakon sto se zado-

volji ovakva medusektorska potraznja, ostaje

qi - dio outputa i-tog sektora namjenjen final-

noj potraznji (potrosnja, prodaja, izvoz). Sve

ove velicine mogu biti izrazene u vrijednos-

nim (novcanim) ili kolicinskim jedinicama. Iz

navedenih velicina sastavljamo I-O tabelu.

+ 55

+ +

INPUT-OUTPUT TABELA

Qi Qij qi

Q1 Q11 Q12 . . . Q1n q1

Q2 Q21 Q22 . . . Q2n q2... ... ... ... ...

Qn Qn1 Qn2 . . . Qnn qn

.

ukupni medusektorska finalna

outputi potraznja potraznja

Osnovna relacija I-O tabele:

Qi =n

j=1

Qij + qi , i = 1,2, . . . , n .

Dio proizvoda i-tog sektora koji koristi j-ti

sektor za proizvodnju jedne jedinice svog pro-

izvoda je konstantan i nazivamo ga tehnicki

koeficijent proizvodnje aij .

aij =Qij

Qj, i, j = 1,2, . . . , n .

+ 56

+ +

Sada je Qij = aijQj, pa osnovna relacija glasi

Qi =n

j=1

aij Qj + qi , i = 1,2, . . . , n .

Uvedemo li matrice: ukupnih outputa Q, final-ne potraznje q i tehnickih koeficijenata A,

Q =

Q1Q2...Qn

, q =q1q2...qn

, A =a11 . . . a1na21 . . . a2n... ...

an1 . . . ann

,osnovnu relaciju mozemo pisati u matricnomobliku

Q = AQ+ q

ili QAQ = q , odnosno (I A)Q = q .Uvedemo li matricu tehnologije T = I A ,imamo

TQ = q ili Q = T1q .Primijetimo da su u ovom modelu matrice A,T i T1 konstantne. To znaci da, kad ih jed-nom izracunamo, mozemo ih primijeniti narazlicite vrijednosti ukupnih outputa i finalnepotraznje.

+ 57

+ +

APROKSIMATIVNO IZRACUNAVANJEMATRICE T1

Osnovne karakteristike matrice A:

1. aij 0, i, j = 1,2, . . . , n

2.n

i=1

aij < 1, j = 1,2, . . . , n

T = I A T1 = (I A)1Za proizvoljni prirodni broj k je

(I A) (I +A+A2+ . . .+Ak1+Ak)

= I +A+A2+ . . .+Ak

AA2+ . . .Ak Ak+1

= I Ak+1

Ako k tada Ak+1 O, tj.(I A) (I +A+A2+ . . .+Ak+ . . .)

(IA)1= I

Dakle, (I A)1 I + A + A2 + . . . + Ak.Aproksimacija je to bolja sto je k veci.

+ 58

+ +

PRIMJERI

1. Zadana je inputoutput tabela neke dvo-

sektorske privrede

Qi Qij qi1000 250 600 1501200 250 300 650

.

Odredite pripadne matrice A, T i T1.

RJESENJE:

A =

2501000 60012002501000

3001200

= [ 1/4 1/21/4 1/4

]

T =

[1 0

0 1

][1/4 1/2

1/4 1/4

]=

[3/4 1/21/4 3/4

]

T1 = 1|T | adj(T ) =1

916 18

[3/4 1/2

1/4 3/4

]

=

[12/7 8/7

4/7 12/7

]

+ 59

+ +

2. Zadana je inputoutput tabela neke trosek-

torske privrede

Qi Qij qi100 10 30 40 20150 20 30 60 40200 30 60 80 30

.

Napisite novu IO tabelu ako se ukupni out-

puti prvog i drugog sektora povecaju za 20%

a finalna potraznja treceg sektora smanji za

80%.

+ 60

+ +

RJESENJE: tabela A nova tabela

A =

0.1 0.2 0.20.2 0.2 0.30.3 0.4 0.4

Qi Qij qi120 12 36 0.2Q3 q1180 24 36 0.3Q3 q2Q3 36 72 0.4Q3 6

120 = 12+ 36+ 0.2Q3+ q1180 = 24+ 36+ 0.3Q3+ q2Q3 = 36+ 72+ 0.4Q3+6

Q3 = 190, q1 = 34, q2 = 63

Qi Qij qi120 12 36 38 34180 24 36 57 63190 36 72 76 6

+ 61