matrica admitansi i matrica impedansi
TRANSCRIPT
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
1/23
1. MATRICA ADMITANSI I MATRICA IMPEDANSI
1.5 MATRICA ADMITANSI VOROVA MREE
1.5.1 FORMIRANJE MATRICE ADMITANSI
. Postupak za formiranje matrice admitansi moe se dobiti polazei odsl.1.14. Sa ove slike je oigledno da je struja injektriranja u vor i:
=
=N
k
iki II
1
. (1.22)
Sl. 1.14 Ilustracija struje injektiranja u elektroenergetskoj mrei
Za struju u svakom od vodova moe se napisati sledea relacija:
( )kiikik UUyI = , (1.23)
gde je:
ki UU , - naponi u vorovima ii k,
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
2/23
6 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
iky - admitansa voda i-k, odnosno povezna (fizika) admitansa voda
izmeu vorova i i k. Zamenom relacije (1.23) u (1.22) dobija se:
( )=
=N
k
kiikiUUyI
1
. (1.24)
Ovakve relacije se mogu napisati za svih N vorova. Ukoliko uovim vorovima postoje i grane prema zemlji dolazi se do sledeegsistema jednaina:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) NN
kNkNNN
NN
N
kk
NN
N
kk
UyUyUyI
UyUyUyI
UyUyUyI
+++=
++
+=
+++
=
=
=
=
02211
220
21212
121210
11
L
M
L
L
(1.25)
gde je 0iy oto na admitansa, odnosno admitansa prema zemlji u voru i.
U zamenskoj emi to su admitanse elemenata prikljuenih u vor i, kao iadmitanse vodova u zamenskoj emi.
Relacija (1.25) moe se napisati u matrinoj formi datoj relacijom(1.20), koja se radi preglednosti izlaganja ovde opet navodi:
[ ] UYIrr
v= . (1.26)
Vektori struja injektiranja Ir i napona vorova Ur su:
[ ]
[ ] TN
T
N
UUU
III
Lr
Lr
21
21
=
=
U
I, (1.27)
dok je [ ]vY kvadratna matrica reda NxNi oblika:
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
3/23
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
4/23
8 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
Da bi se sagledala pravila koja treba koristiti za modifikaciju matriceadmitansi, ovde e se razmatrati karakteristini sluajevi koji dovode dopromene konfiguracije mree, kao to su ispad grane i ispad (eliminacija)vora. Pored toga, sagledae se i kako promena referentnog vora utie na
promene u matrici [ ]vY .
Ispad grane
Ispad grane koja povezuje vorove i i k a ija je admitansaik
y ,
moe se, u zamenskoj emi, modelovati dodavanjem nove graneadmitanse
iky paralelno grani koja je ispala. Paralelna veza ove dve
grane daje rezultantnu admitansu jednaku nuli, tj. otvorenu granu.
Poto je ispad grane algoritamski identi
an dodavanju grane saadmitansomik
y to se onda procedura modi kacije matrice admitansi
svodi na to da se elementima na glavnoj dijagonali na pozicijama i,i i k,kdoda
iky . Takoe, elementima van glavne dijagonale na pozicijama i,ki
k,i dodaje seik
y (tj.ik
y ), tako da se na ovim pozicijama javlja
vrednost nula.
Eliminacija vora
Za potrebe ove analize se pretpostavlja da je u sistemu sa Nvorova, M vorova od manjeg znaaja (M
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
5/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 9
Sada se relacija (1.26) moe napisati u sledeem obliku:
[ ] [ ][ ] [ ]
=
b
a
bbba
abaa
b
a
U
U
YY
YY
I
Ir
r
r
r
, (1.34)
gde su [ ]aaY , [ ]abY , [ ]baY , [ ]bbY submatrice (particije, blokovi) matriceadmitansi vorova, koje odgovaraju particijama vektora struja i napona.
Submatrice[ ]aaY i [ ]bbY su kvadratog tipa, dok su submatrice [ ]abY i
[ ]baY u optem slu aju pravougaone.Iz relacije (1.34) slede sledee dve matrine relacije:
[ ] [ ] babaaaa UYUYIrrr
+= , (1.35)
[ ] [ ] bbbabab UYUYIrrr
+= . (1.36)
Poto je ve re eno da su struje injektiranja u vorovima odmanjeg interesa (potroaki i razvodni vorovi) jednake nuli, to je:
0Irr
=b . (1.37)
Pomou relacija (1.37) i (1.36) dobija se:
[ ] [ ] ababbb UYYUrr
1= , (1.38)
to posle zamene dobijenog izraza za bUr
u (1.35) dovodi do slede e
relacije:
[ ] [ ][ ] [ ][ ] ababbabaaa YY UYYIrr
1= , (1.39)
odnosno
[ ] aeqva Y UIrr
= , (1.40)
gde je:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]babbabaaeqv YYY YY
1= . (1.41)
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
6/23
10 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
Dobijena matrica [ ]eqvY je reda (N-M)x(N-M). Ovde se samo istie
da je relacija (1.41) poznata kao Kronova redukciona formula i ona je odsutinskog znaaja za eliminisanje M promenljivih iz sistema sa Nsimultanih jednaina.
Promena referentnog vora
Ako se menja referentni vor, a kon guracija mree ostaje ista,tada treba formirati matricu admitansi dimenzije (N+1)(N+1), koja usebi sadri i vor nultog potencijala. Ova matrica je po svojoj prirodisingularna. Zatim se u njoj obriu ona vrstu i kolonu koje odgovarajunovom referentnom voru. Na ovaj nain je izvrena promena referentnogvora.
1.6. MATRICA IMPEDANSI VOROVA MREE
1.6.1 OPTA RAZMATRANJA O MATRICI IMPEDANSI
Matrica impedansi nezavisnih vorova mree [ ]vZ daje vezu
izmeu napona vorova mree Ur
i struja injektiranja u te voroveIr
:
[ ] IZU rrv= . (1.42)
Imajui u vidu relaciju (1.20) lako se konstatuje da je:
[ ] [ ] 1= vv YZ , (1.43)
odnosno, da matrica impedansi vorova predstavlja inverznu matricuadmitansi vorova.
Ako se matrina relacija (1.42) napie u razvijenom obliku:
=
NNNNN
N
N
N I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
U
U
U
M
L
MMM
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
, (1.44)
i stavi da su sve struje injektiranja kI , osim struje iI koja se injektira uvor i, jednake nuli dolazi se do sledee relacije:
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
7/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 11
=
0
0
0
011
1
1
1
111
M
M
M
M
M
L
L
L
L
M
M
M
L
L
L
L
M
M
M
M
M
M
i
NN
kN
iN
N
Ni
ki
ii
i
N
k
i
N
k
i
I
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
U
U
U
U
. (1.45)
Iz relacije (1.45) direktno sledi da je za element u matrici
impedansi na mestu ii:
NiikII
UZ k
i
iii ,,1,1,,2,1,0za, LL +=== , (1.46)
dok je za element na mestu ki:
NiikII
U
Z ki
k
ki ,,1,1,,2,1,0za, LL +===
. (1.47)
Na ovaj nain mogu se odrediti elementi jedne kolone matriceimpedansi vorova stavljajui da je struja injektiranja u dati vor jednaka1 A (u ostalim vorovima je nula) i raunajui napone svih vorovamree. Kompletna matrica impedansi dobija se kada se obiu svi vorovimree, sa aspekta strujnog injektiranja. Iako jednostavan, ovakav nain jenepodesan za mreu velikih dimenzija, pa se praktino i ne koristi.
Na osnovu relacije (1.46) moe se zakljuiti da element iiZ , namestu ii, u matrici impedansi predstavlja impedansu Theveninovogekvivalenta, gledano iz vora i. Pored toga, imajui u vidu relacije (1.46) i(1.47), pomou kojih su definisani elementi matrice impedansi, lako se
konstatuje da je matrica [ ]vZ puna matrica, za razliku od matice
admitansi [ ]vY koja pripada kategoriji retkih matrica.
Matrica impedansi je, kao i matrica admitansi, simetrina. Dokazza ovo je relativno jednostavan, imajui u vidu da proizvod matrica
impedansi i admitansi daje jedininu matricu [ ]I , tj.:
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
8/23
12 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
[ ][ ] [ ]I=vv YZ , (1.48)
Transponovanjem matrine relacije (1.48) dobija se:
[ ] [ ] [ ]I=TvTv ZY , (1.49)
odnosno
[ ][ ] [ ]I=Tvv ZY , (1.50)
pri emu je uvaena injenica da je matrica admitansi [ ]vY simetri na.
Mnoenjem leve i desne strane relacije (1.50) sa [ ] 1vY dolazi se do
relacije:
[ ] [ ] 1= v
T
v YZ . (1.51)
Iz relacija (1.43) i (1.50) sledi da je:
[ ] [ ]v
T
v ZZ = , (1.52)
to zna
i da je matrica [ ]vZ simetri
na.
1.6.3 FORMIRANJE MATRICE IMPEDANSI ALGORITMOMKORAK PO KORAK
Da bi se pojednostavio postupak dobijanja matrice impedansirazvijen je algoritam tipa korak po korak. Ovaj algoritam omoguava dase matrica impedansi postepeno formira (building algoritam) polazei od
najjednostavnije strukture mree, odnosno od jedne grane i postupnimuvoenjem svake naredne grane. Algoritam zadovoljava i uslov da malepromene u strukturi mree ne zahtevaju ponovno formiranje matriceimpedansi, ve se nova matrica admitansi formira jednostavnimmodifikacijama postojee matrice.
Da bi se objasnila sutina ovog algoritma pretpostavie se da je zaodreen deo mree ve formirana matrica impedansi, koja e se oznaitisa [ ]staroZ . Ako se sada uvede nova grana, postavlja se pitanje kakomodifikovati postojeu matricu [ ]staroZ . Modifikacija matrice [ ]staroZ idobijanje nove matrice [ ]novoZ zavisi od vrste vorova izmeu kojih sedodaje nova grana. Ovde se razlikuju: stari vorovi (obuhvaeni matricom
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
9/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 13
[ ]staroZ ), novi vorovi (nastaju dodavanjem grane) i referentni vor (vornultog potencijala). Dodavanjem grane impedanse grz mogu se uo iti
etiri netrivijalna sluaja:- dodavanje grane impedanse grz izme u novog i referentnog vora,
- dodavanje grane impedanse grz izme u novog i starog vora,
- dodavanje grane impedanse grz izme u starog i referentnog vora,
- dodavanje grane impedanse grz izme u dva stara vora.
Ova etiri netrivijalna sluaja definiu etiri tipa modifikacije matrice[ ]staroZ , koji e se ovde analizirati. Pored toga, ramotrie se i peti tipmodifikacije, gde se dodaju dve grane izmeu kojih postoji meusobnaelektromagnetna sprega.
Prvi tip modifikacije
Pod prvim tipom modifikacije podrazumevae se dodavanje graneimpedanse grz izme u novog i referentnog vora. Ovaj sluaj je prikazan
na slici 1.15. Linearan pasivan viekrajnik na ovoj slici predstavlja mreubez izvora (naponski kratko spojeni, a strujni prekinuti). Brojevima 1, 2,,N obeleeni su stari vorovi mree. Sa r je obeleen referentni vor,odnosno vor nultog potencijala. Novi vor, koji se pojavljuje uvoenjem
grane obeleen je sa k.
Sl.1.15 Dodavanje grane impedanse grz izmeu
novog i referentnog vora
Na osnovu slike 1.15 moe se za napon vora k napisati slede arelacija:
kgrk IzU = . (1.66)
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
10/23
14 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
Treba primetiti da struja kI ne uti e na vrednosti napona uostalim vorovima. S obzirom da za posmatrani linearni pasivniviekrajnik sa n vorova postoji n jedna ina koje daju vezu izmeu
napona vorova i struja injektiranja u te vorove, to se relacija (1.66)moe smatrati kao jednaina broj (N+1). To znai da e nova matricaimpedansi [ ]novoZ biti dimenzija (N+1)x(N+1).
Ako se svih (N+1) jedna ina napiu u matrinoj formi, lako sezakljuuje da je impedansa grane grz jedini nenulti element koji se javlja
u koloni, odnosno vrsti broj (N+1). Prema tome nova matrica impedansije:
[ ]
[ ]
=
gr
staro
novo
z|00
_|___
|
0| 0|
L
M
Z
Z . (1.67)
Drugi tip modifikacije
Drugi tip modifikacije karakterie dodavanje grane impedanse grz
izmeu novog i starog vora, kao to je prikazano na slici 1.16. Na ovojslici sa kje obeleen novi, a sa jstari vor.
Napon vora k, na osnovu oznaka na slici 1.16, je:
jkgrk UIzU += . (1.68)
Imajui u vidu vezu izmeu napona voraj i struja injektiranja usvim ostalim vorovima, kao i injenicu da iz vora j u linearni pasivniviekrajnik ulazi struja kj II + dobija se:
) NjNkjjjjjkgrk IZIIZIZIZIzU +++++++= LL2211 , (1.69)
odnosno,
( ) kgrjjNjNjjjjjk IzZIZIZIZIZU +++++++= LL2211 . (1.70)
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
11/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 15
Sl.1.16 Dodavanje grane impedanse grz izmeu
novog i starog vora
Relacija (1.70) moe se tretirati kao jednaina (N+1) u sistemujednaina koje povezuju napone vorova i struje injektiranja.Uvaavanjem injenice da iz vora j u linearni pasivni viekrajnik ulazistruja kj II + , za napon i-tog vora se dobija:
kijNiNjijiii IZIZIZIZIZU ++++++= LL2211 . (1.71)
Imajui u vidu relacije (1.70) i (1.71) lako se konstatuje da je nova
matrica impedansi:
[ ][ ]
+
=
grjjjj
jstaro
j
novo
zZZZ
Z
Z
|
______|___
|
|
|
L
M
21
2
1
Z
Z . (1.72)
Dobijena matrica je dimenzija (N+1)x(N+1). Na osnovu ova dvatipa modifikacije moe se konstatovati da svako uvoenje novog vora,pri dodavanju grane, dovodi do poveanja dimenzije matrice.
Trei tip modifikacije
Trei tip modifikacije, koji je prikazan na slici 1.17, sastoji se u
dodavanju grane impedanse grz izme u starog vora j i referentnogvora.
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
12/23
16 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
Sl.1.17 Dodavanje grane impedanse grz izmeu
starog i referentnogvora
Imajui u vidu oznake na slici 1.17, napon vorajje:
grgrj IzU = . (1.73)
Poto iz vora j u linearni pasivni viekarajnik ulazi struja
grj II + , to je napon vora i:
( ) NiNgrjijiii IZIIZIZIZU ++++++= LL2211 , (1.74)
odnosno,
grijNiNjijiii IZIZIZIZIZU ++++++= LL2211 . (1.75)
Za napon voraj, pored relacije (1.73) moe se napisati i sledearelacija.
grjjNjNjjjjjj IZIZIZIZIZU ++++++= LL2211 (1.76)
Pomou relacija (1.73) i (1.76) dolazi se do sledee jednaine:
( ) 02211 =+++++++ grgrjjNjNjjjjj IzZIZIZIZIZ LL , (1.77)
odakle se odreuje struja grane grI :
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
13/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 17
( )NjNjjjjjgrjj
gr IZIZIZIZzZ
I ++++++
= LL22111
. (1.78)
Zamenom dobijenog izraza za struju grI u relaciji (1.75), za
napon vora i dobija se slede a relacija:
N
grjj
jNij
iNj
grjj
jjij
ij
grjj
jij
i
grjj
jij
ii
IzZ
ZZZI
zZ
ZZZ
IzZ
ZZZI
zZ
ZZZU
+++
++
++
++
+=
L
L22
211
1
. (1.79)
Na osnovu relacije (1.79), mogu se napisati izrazi za napone svihvorova, stavljajui umesto indeksa i indeks odgovaraju eg vora. Kadase napie takav sistem jednaina lako se konstatuje da je nova matricaimpedansi:
[ ] [ ] [ ]jNjj
jN
j
j
grjj
staronovo ZZZ
Z
Z
Z
zZL
M21
2
1
1
+= ZZ . (1.80)
Do relacije (1.80) moe se doi i primenom postupka Kronoveredukcije, koji je ve pomenut kod modifikacije matrice admitansi.Imajui u vidu relacije oblika (1.75), odnosno (1.76), kao i relaciju (1.77)moe se sistem jednaina napisati u sledeem matrinom obliku:
[ ]
+
=
gr
N
grjjjj
jstaro
j
N
I
I
I
I
zZZZ
Z
Z
U
U
U
M
L
MM
2
1
21
2
1
2
1
0 |
|
||
|
Z
. (1.81)
Ako se stavi da je:
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
14/23
18 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
;; 2
1
2
1
=
=
NN I
I
I
U
U
U
M
r
M
rIU , (1.82)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]grjjNjjj
jN
j
j
zZZZZ
Z
Z
Z
+==
= CBA ;; 212
1
LM
, (1.83)
matrina relacija (1.81) se svodi na oblik:
=
gr
staro
I
I
CB
AZUrr
0. (1.84)
Iz relacije (1.84) slede dve matrine relacije:
[ ] [ ]AIZU grstaro I+= rr
, (1.85)
[ ] [ ]CIB grI+= r0 . (1.86)
Za struju grane grI , iz (1.86) dobija se:
[ ] [ ]IBCr
1=grI . (1.87)
Relacija (1.85) posle zamene izraza za strujiu grI , dobija sledei
oblik:
[ ] [ ][ ] [ ][ ] IBCAZUrr
1= staro , (1.88)
odakle se vidi da je nova matrica impedansi:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]BCAZZ 1= staronovo . (1.89)
Poto je matrica [ ]C dimenzije 1x1, to je njena inverzija:
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
15/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 19
[ ]grjj zZ +
= 11
C . (1.90)
Na osnovu relacije (1.90) i oblika matrica [ ]A i [ ]B vidi se da serelacija (1.89), koja ima opti oblik, svodi na relaciju (1.80). Trebaprimetiti da je dimenzija nove matrice ista kao i dimenzija stare, jerdodavanjem grane nije uveden novi vor.
etvrti tip modifikacije
Dodavanje grane impedanse grz izme u dva stara vora i i j, kao
to je prikazano na slici 1.18, predstavlja
etvrti tip modifikacije.
Sl.1.18 Dodavanje grane impedanse grz
izmeu dva stara vora
Na osnovu slike 1.18 moe se napisati sledea relacij, koja dajevezu izmeu napona vorova ii j:
igrgrj UIzU += . (1.91)
Napon vora i je:
NiN
grjijgriiiiii
IZ
IIZIIZIZIZU
++
++++++=
L
L2211, (1.92)
odnosno, posle sreivanja relacije (1.92):
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
16/23
20 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
( ) grijiiNiNjijiiiiii
IZZIZ
IZIZIZIZU
++
++++++= LL2211 , (1.93)
dok je napon voraj:
( ) grjjjiNjNjjjijijjj
IZZIZ
IZIZIZIZU
++
++++++= LL2211 . (1.94)
U optem sluaju za napon vora kse moe pisati:
( ) grkjkiNkN
jkjikikkk
IZZIZ
IZIZIZIZU
++
++++++= LL2211 . (1.95)
Uvaavanjem relacija (1.93) i (1.94), relacija (1.91) dobija oblik:
( ) ( ) 0222111
=+++++
+++++
grjiijjjiigrNjNiN
jjjijijiiijiji
IZZZZzIZZ
IZZIZZIZZIZZ
L
L, (1.96)
odakle se izraunava struja grane:
( ) ( )(
( ) ( ) ( ) )NjNiNjjjijijiii
jiji
ijjjiigr
gr
IZZIZZIZZ
IZZIZZZZZz
I
++++
+++++
=
L
L2221112
1
. (1.97)
Zamenom dobijenog izraza za struju grane grI u relaciji (1.95) i
posle sreivanja tako dobijenog izraza, za napon vora kdobija se:
( )( ) ( )( )
( )( ).
2
22 222
2111
1
N
ijjjiigr
jNiNkjki
kN
ijjjiigr
jikjki
k
ijjjiigr
jikjki
kk
IZZZz
ZZZZZ
IZZZz
ZZZZZI
ZZZz
ZZZZZU
++
++
+
++
+
++
=
L
(1.98)
Relacija (1.98) ima opti karakter i na osnovu nje mogu se napisatiizrazi za napone svih vorova, stavljajui umesto indeksa k indeks
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
17/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 21
odgovarajueg vora. Kada se napiu odgovarajue relacije za svevorove, relativno lako se konstatuje da je nova matrica impedansi:
[ ] [ ]
[ ]jNiNjijijNiN
ji
ji
ijjjiigr
staronovo
ZZZZZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZZz
++=
L
M
2211
22
11
21
ZZ . (1.99)
I ovde se do matrice [ ]novoZ moe, kao i kod tre eg tipamodifikacije, doi primenom Kronovog redukcionog postupka. Na
osnovu relacija (1.93) i (1.95) moe se sistem jednaina napisati usledeem matrinom obliku
[ ]
++
=
gr
N
ijjjiigrjiji
jistaro
ji
N
I
I
I
I
ZZZzZZZZ
ZZ
ZZ
U
U
U
M
L
MM
2
1
2211
22
11
2
1
20 |
|
|
|
|
Z
. (1.100)
Uporeenjem ove relacije sa relacijom (1.84) vidi se da suodgovarajue submatrice sledeeg oblika:
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]ijjjiigr
NjNijiji
jNiN
ji
jj
ZZZz
ZZZZZZ
ZZ
ZZ
ZZ
2
;2211
22
11
++=
=
=
C
B
A
L
M
.(1.101)
Sada se primenom relacije (1.89), uz uvaavanje injenice da jeinverzija matrice [ ]C recipro na vrednost njenog elementa, jer je matrica[ ]C dimenzije 1x1, direktno dobija relacija (1.99). Poto dodavanje granenije uslovilo uvoenje novog vora, to se dimenzija matrice nijepromenila.
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
18/23
22 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
Peti tip modifikacije
Peti tip modifikacije se sastoji u dodavnju dve grane impedansi
1grz i 2grz , respektivno izmeu kojih postoji elektromagnetna sprega koja
se karakterie meusobnom impedansom mz . U optem sluaju, grane sedodaju izmeu dva para starih vorova, kako je prikazano na slici 1.19.
Sl.1.19 Iliustracija petog tipa modifikacije
Za razmatrani sluaj, vezu izmeu napona vorova i i j dajerelacija:
211 grmgrgrji IzIzUU ++= . (1.102)
Ako se ima u vidu da su struje koje iz vorova ii julaze u linearnipasivni viekarajnik 1gri II , odnosno 1grj II + to je napon vora i:
) )( ) ( ) NiNgrqiqgrpip
grjijgriiiiii
IZIIZIIZ
IIZIIZIZIZU
++++
++++++=
L
L
22
112211 , (1.103)
dok je napon voraj:
( ) ( ) NjNgrqjqgrpjpgrjjjgrijijjj
IZIIZIIZ
IIZIIZIZIZU
++++
++++++=
L
L
22
112211 . (1.104)
Pomou relacija (1.102), (1.103) i (1.104) dolazi se do sledee
relacije:
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
19/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 23
) )) ( ) 02 21
1111
=++++
+++++
grjqjpiqipmgrijjj
iigrNiNjNij
IZZZZzIZZ
ZzIZZIZZ L . (1.105)
Analogno vezi izmeu napona vorova i i j, moe se napisati irelacija koja daje vezu izmeu napona vorovapi q:
122 grmgrgrqp IzIzUU ++= , (1.106)
to posle zamene odgovarajuih izraza za pU i qU dovodi do slede e
relacije:
) ( ) 02 221111
=++++
++++
grpqqqppgrgrqjqi
pjpimNpNqNpq
IZZZzIZZ
ZZzIZZIZZ L
. (1.107)
Sada se sistem od n jedna ina oblika (1.103), odnosno (1.104) uzdodatak jednaina (1.105) i (1.107) moe napisati u sledeem matrinomobliku:
=
gr
staro
I
I
CB
AZ
0
Ur
r
r
r
(1.108)
gde su odgovarajue submatrice:
=
=
=
=0
0;;;
2
12
1
2
1
0IIUrr
M
r
M
r
gr
gr
gr
NN
I
I
I
I
I
U
U
U
, (1.109)
[ ]
=
pNqNiNjN
pqij
pqij
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
MM
2222
1111
A , (1.110)
=pNqNpq
iNjNij
ZZZZ
ZZZZ
L
L
11
11B , (1.111)
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
20/23
24 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
++++
++++=
pqqqppgrqjpjqipim
jqjpiqipmijjjiigr
ZZZzZZZZz
ZZZZzZZZz
2
2
2
1C . (1.112)
Poto su odreene submatrice [ ]A , [ ]B i [ ]C nova matrica[ ]novoZ odre uje se primenom relacije (1.89).
1.6.4. MODIFIKACIJA MATRICE IMPEDANSI PRI PROMENIKONFIGURACIJE MREE
Ovde e se, kao i kod modifikacije matrice admitansi, razmatrati
promena matrice impedansi pri ispadu grane, eliminisanju vora ipromeni referentnog vora.
Ispad grane
Ispad, odnosno iskljuenje grane koja povezuje vorove i i ka ijaje impedansa ikz , moe se, u zamenskoj emi, modelovati dodavanjem
nove grane impedanse ikz paralelno grani koja je ispala. Paralelna vezaove dve grane daje rezultantnu impedansu koja je beskonana, to
odgovara otvorenoj grani. Poto se grana impedanse ikz dodaje izme udva stara vora, to se u ovom sluaju matrica impedansi modelujekoristei etvrti tip modifikacije iz algoritma korak po korak.
Eliminacija vora
Eliminacija odreenog vora iz razmatranja, na primer vora k,mogua je samo ako je struja injektiranja u taj vor jednaka nuli ( 0=kI )
i ako njegov napon kU nije od interesa. Tada se u matrici impedansi
jednostavno izbriu kolona i vrsta koje odgovaraju voru k.
Promena referentnog vora
Ova modifikacija matrice impedansi praktino se ne vri, jer jekod analize elektroenergetskih mrea referentni vor, vor nultogpotencijala, odnosno vor koji reprezentuje zemlju. Ipak, radi optostiizlaganja, ovde e se samo ukazati na nain kako se vri promenareferentnog vora, bez matematikog dokaza.
Pretpostavie se da se vor kproglaava referentnim umesto vora
nultog potencijala koji je bio obeleen sa 0. Da bi se dobila odgovarajuamatrica impedansi prvo se postojea matrica proiri jednom kolonom i
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
21/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 25
jednom vrstom iji su svi elementi jednaki nuli, a koje odgovaraju vorunultog potencijala. Ova matrica, dimenzije (N+1)x(N+1) obelei e se sa
[ ]0vZ , dok e se nova matrica impedansi gde je vor kreferentni obeleiti
sa [ ]k
vZ . Kada je formirana matrica [ ]0
vZ odre
uje se pomo
na matrica[ ]Z , iji su elementi ijZ :
12112100 +=+== NjNiZZZ ikijij ,,,;,,,; LL . (1.113)
Zatim se formira matrica [ ]kvZ , tako to se njeni elementi
k
ijZ
odreuju pomou relacije:
121121 +=+== NjNiZZZ kjijk
ij ,,,;,,,; LL . (1.114)
Kada je formirana matrica [ ]kvZ , svi njeni elementi koji
odgovaraju k-toj vrsti i k-toj koloni jednaki su nuli. Nova matrica
impedansi, gde je vor kreferentni, dobija se iz matrice [ ]kvZ tako to se
izbriu k-ta vrsta i k-ta kolona.
Razdvajanje vora
U elektroenergetskim postrojenjima ponekad se koristi dvostrukisistem sabirnica, koje se po potrebi spajaju ili razdvajaju prekidaem uspojnom polju. U normalnom pogonu obino je prekidau spojnom poljuotvoren, kao to je prikazano na slici 1.20. To znai da se dato postrojenjeu zamenskoj emi predstavlja sa dva vora, koji su na sl.1.20 obeleeni saki l.
Sl.1.20 Sistem razdvojenih sabirnica
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
22/23
26 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema
Kada uslovi u mrei zahtevaju zatvaranje prekidaa, onda seumesto dva vora javlja jedan. Ovo je ekvivalentno dodavanju grane nulteimpedanse izmeu pomenuta dva vora k i l, koji pripadaju kategoriji
starih vorova. Primenom etvrtog tipa modifikacije, odnosno relacije(1.99) pokazuje se da su odgovarajui elementi k-te kolone, odnosno vrstejednaki odgovarajuim elementima l-te kolone, odnosno vrste. Ako seelementi u staroj matrici, koji odgovaraju vorovima ki lobelee sa kkZ ,
llZ , klZ i lkZ pokazuje se da za nove elemnte vai:
klllkk
klllkklkklllkk
ZZZ
ZZZZZZZ
2
2
+
==== . (1.115)
Ovo je sve oigledno, jer vorovi ki lsada predstavljaju jedan isivor. Meutim, ako u nekom trenutku doe do otvaranja prekidaa, novamatrica impedansi ne moe se dobiti iz prethodne, koja je odgovaralazatvorenom prekidau, dodavanjem grane impedanse -0. Ovo iz razlogato su odgovarajui elementi k-te kolone, odnosno vrste jednakiodgovarajuim elementima l-te kolone, te bi prema relaciji (1.99) njihoverazlike bile jednake nuli.
Zbog toga se u ovakvim sluajevima uvodi fiktivni vor, koji je nasl.1.21 obeleen sa ti dve grane k-ti l-t. Impedanse uvedenih grana imajukonane vrednosti, koje se biraju proizvoljno, pri emu mora da vaisledea jednakost:
tltk zz = . (1.116)
Sl.1.21 Dodavanje fiktivnog vora
-
8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi
23/23
Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 27
Poto je zbir impedansi ovih grana jednak nuli, to znai da senjihovim uvoenjem simulira zatvaranje prekidaa. Otvaranje prekidaamodeluje se iskljuenjem jedne od ove dve grane, tj. dodavanjem grane
negativne impedanse paralelno grani koja se isklju
uje.