matlan 03 invers laplace 041007origin right...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
BAB 3
INVERS LAPLACE
Pokok Pembahasan :Prinsip Dasar
Invers Laplce Fungsi-Fungsi DasarEkspansi Parsial
Konvolusi
2
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
1. PRINSIP DASARInverse Laplace adalah kebalikan dari transformasi Laplace, yaitu transformasi F(s) menjadi f(t).
L-1 F(s) = f(t) ( 3-1 )
⊕ Pernyataan invers Laplace dinyatakan dengan simbol “ L-1 “
⊕ Invers Laplace dapat dilakukan terhadap semua fungsi :• Fungsi-fungsi Elementer• Fungsi-fungsi Non Elementer
2. INVERS LAPLACE FUNGSI-FUNGSI ELEMENTERInvers Laplace fungsi-fungsi dasar dapat dilihat dalam Ikhtisar Transform.Laplace. Hasil invers merupakan kebalikan dari transformasinya.
3
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
3. FRAKSI PARSIAL (PARTIAL FRACTION)Ekspansi Heaviside merupakan salah satu cara penyelesaian invers Laplace untuk fungsi-fungsi non elementer.
Bila bentuk Transformasi Laplace merupakan pembagian 2 buah persamaan polinomial yang dinyatakan dengan :
( 3-2 )
⊕ A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s⊕ Pangkat (orde) s pada A(s) < orde s pada B(s).
⊕ A(s) = amsm + am-1sm-1 + ...... + a1s + a0
⊕ B(s) = bn sn + bn-1sn-1 + ....... + b1s + b0
A(s)F(s) = B(s)
4
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
⊕ B(s) dapat diuraikan menjadi :
• B(s) = bn(s-s1)(s-s2) ........(s-sk) ...... (s-sn)
• s1, s2, s3,.....sn = akar-akar B(s).
⊕ Akar-akar B(s) dapat berupa :• Bilangan nyata (riel)• Bilangan imajiner (khayal)• Bilangan kompleks.
⊕ Akar-akar B(s) meliputi akar-akar :• Berharga tak sama (berbeda).• Berharga sama.
5
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Contoh pembagian fungsi polinomial rasional (terukur) :
Sehingga F(s) menjadi :
3
2
3s + 2s + 1F(s) = s + s + 2
2
-s + 7F(s) = 3s - 3 + s + s + 2
2 3(s + s + 2 ) 3s 2 s 1+ +3 23 s + 3 s + 6 s
3s - 3
2- 3 s 4 s 1− +-
2- 3 s 3s 6− −-- s + 7
6
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
3.1. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Tak Sama Bila akar-akar B(s) tak ada yang sama dan m < n, maka :
Besaran-besaran k1, k2, k3 ...kn dapat ditentukan dengan rumus :
( 3-3 )
1 2 k n
A ( s )F ( s ) = b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . . . ( s - s )
1 2 k n
n 1 2 k n
k k k k1F ( s ) = . . . . . . .b s s s s s s s s
⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + + +⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
k
k n k
S S
A(s)k = b (s s ).B(s)
=
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
7
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Contoh :
L-1 = L-1
L-1 = L-1
f(t) = -½ u(t) + 1/6 e2t u(t) + 1/3 e-t u(t)
{ }2
s = 2
1 1k = (s-2) = 6s(s-2)(s+1)
1 s ( s - 2 ) ( s + 1 )
31 2 kk k s ( s - 2 ) ( s + 1 )
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
{ }1
s = 0
1 1k = s = -2s ( s - 2 ) ( s + 1 )
{ }3
s = -1
1 1k = (s+1) = 3s(s-2)(s+1)
1 s ( s - 2 ) ( s - 1 )
1 116 32
s ( s - 2 ) ( s + 1 )
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
8
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
3.2. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Sama Bila akar-akar B(s) ada yang sama dan m < n, pada :
Bila terdapat p buah akar yang sama, maka :
1 2 k n
A ( s )F ( s ) = b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . . . ( s - s )
1 p 1 p -1 1 1p p -1
n 1 1 1
k k kA (s ) 1 = + + .. .+ + .. . .B (s ) b (s -s ) ( s -s ) ( s -s )
⎡⎢⎢⎣
p+1 p+2 n
p+1 p+2 n
k k k+ +....+ + ......... + (s-s ) (s-s ) (s-s )
⎤⎥⎥⎥⎦
9
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
dengan :
( 3-4a )
( 3-4b )
( 3-4c )
1
p1 p n 1
s = s
A ( s )k = b ( s - s )B ( s )
1
p1 p - 1 n 1
s s
d A ( s )k = b ( s - s )d s B ( s ) =
1
p - kpn
1 k 1p - ks = s
b d A ( s )k = ( s - s )( p - k ) ! d s B ( s )
10
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Contoh :
L-1
L-1
f(t) = 3te-t – 3e-t + 3e-2t = 3 [(t-1)e-t + e-2t]
2 21 2s 1
s 1
3k (s 1) F(s) (s 1) 3(s 1) (s 2)=−
=−
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠
31 22
kk kF(s)(s 1) s 1 s 2
= + ++ + +
2
3F(s)(s 1) (s 2)
=+ +
22 2
s 1
d 3k = (s+ 1 ) 3d s (s+ 1 ) (s 2 ) =−
= −+
3 2s 2
3k (s 2) 3(s 1) (s 2) =−
= + =+ +
2 2
3 3 3 3(s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2)
= − ++ + + + +
11
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Cara lain untuk mencari nilai k2 :⊕ Substitusikan harga k1 yang telah di dapat.⊕ Pindahkan ke ruas kiri. Hitung k2 dengan metode fraksi parsial dengan akar berbeda.
322 2
kk3 3(s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2)
− = ++ + + + +
2 21 2s 1
s 1
3k (s 1) F(s) (s 1) 3(s 1) (s 2)=−
=−
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠
322 2
kk3 3(s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2)
= + ++ + + + +
2s 1
3k = (s+ 1 ) 3(s+ 1 )(s 2 ) =−
= −+
32 kk3(s 1)(s 2) (s 1) (s 2)
− = ++ + + +
12
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
3.3. Ekspansi Parsial Dengan Akar-akar KompleksAkar-akar kompleks terjadi dalam pasangan konjugasinya Bila
( 3-5 )
( 3-6 )
( 3-7a )
( 3-7b )
1 2k kF ( s ) = s - - j s - + j
+α β α β
F ( s ) = jα ± β
1 s = + jk = ( s - - j ) F ( s ) | α βα β
2 s = -jk = ( s - + j ) F ( s ) | α βα β
13
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Bila
( 3-8 )
( 3-9 )
r 2r r 1 r 2
d d (s p) F(s) [A (s p)A (s p) A ....)ds ds − −− = + − + − +
r r-1 11r r r 1
1
A A AN(s)F(s) = ... F (s)D (s)(s p) (s p) (s p) (s p)−= + + + +
− − − −
rr 1 r 2
d d (s p) F(s) [A 2(s p)A ....]ds ds − −− = + − +
14
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Contoh :1.
t t of (t) e 2 e cos (t 45 )− −=− + −
sF(s)(s 1)(s 1 j1)(s 1)(s 1 j1)
=+ + − + + +
2
sF(s)(s 1)(s 2s 2)
=+ + +
2s 1
sA 1s 2s 2 =−
= =−+ +
o
s 1 j1
s 1 j1 1B 45(s 1)(s 1 j1) 2 2= +
−= = = ∠−+ + +
A B B*F(s)(s 1) (s 1 j1) (s 1 j1)
= + ++ + − + +
15
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
2.
Bila p – p*=2j dan p+1 = j, maka :[ 4 2 ( j) ( 2 j) ] 1B
( 1)(1 6 ) 2− − += =
−
2 2
A B A * B* CF(s)(s p) s p (s p*) s p * s 1
= + + + +− − − − +
2 2
1F(s)(s 1)(s 2s 2)
=+ + +
2 2 2s p
1 1 1 1A j(s 1)(s p*) (p 1)(p p*) ( j)(2 j) 4=
= = = =+ − + − +
2
2 2 4
d 1 [(s p*) 2(s 1)(S p*)]ds (s 1)(s p*) (S 1) (S p*)
− − + + −=+ − + −
2
2 4
[(p p*) 2(p 1)(p p*)]B(p 1) (p p*)
− − + + −=+ −
16
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Selanjutnya
f(t) = Atept + Bept + A* tep*t + B*ep*t + Ce-t
Bila A = (1/4) ∠ 90o dan B = ½ ∠ 0o
f(t) = te-t cos( t + 90o ) + e-t cos t + e-t
2s 1
1C 1s 2s 2 =−
= =+ +
17
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
4. KONVOLUSIBila f(t) merupakan inverse F(S) dan g(t) merupakan inverse G(S), maka h(t) merupakan invers dari produk H(S) = F(S) G(S).h(t) disebut konvolusi dan dituliskan dengan :
Untuk τ > 0.
Dengan definisi G(S) dan teori pergeseran, didapatkan :
t
0
h(t) (f *g)(t) f ( )g(t )d= = τ − τ τ∫ ( 3-10 )
s st
0
e G(S) e g(t ) dt∞
− τ −= − τ∫ ( 3-11 )
18
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Sehingga :
Sifat-sifat dasar operasi aritmatik konvolusi
a. Komutatif f * g = g * fb. Distributif f *( g1 + g2 ) = f * g1 + f * g2
c. Asosiatif ( f * g ) * v = f * ( g * v )f * 0 = 0 * f = 0
Demikian pula halnya perkalian dengan bilangan lain kecuali 1, karenaKhusus untuk 1 * g ≠ g
tst
0 0
H(S) F(S) G(S) e f ( )g(t )d dt∞
−= = τ − τ τ∫ ∫ ( 3-12 )
19
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
Contoh Soal dan PenylesaianH(S) = 1/[(S2)(S- ω)] ; tentukan h(t) !
Jawab :
21 1F(S) = dan G(S)
S - S=
ω
tt
0
h(t) t *e f ( )g(t )d dtω= = τ − τ τ∫
tf (t) = t dan g(t) eω=
tt (t )
0
h(t) t *e e d ω ω −τ= = τ τ∫t
t t )
0
h(t) t *e e e d ω ω −ωτ= = τ τ∫t
21h(t) (e 1)ω= − ω −
ω;
20
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
SOAL-SOAL LATIHANTentukan f(t) dari persamaan berikut dengan metode konvolusi
21 11. 2.
s(s- )(s- )(s- )α ≠ β
α βω
2 2 2 2 21 s3. 4.
s(s + ) (s + )ω ω
2 2 2 21 15. 6.
s (s - ) s (s +5)ω
2 2 26s 2s + 19. 10.
s(s + 1) 1 (s + 4s + 13)+
2 2 2s 17. 8.
(s + ) (s - 3)(s +5)ω
21
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE
AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA
SOAL-SOAL TAMBAHANTentukan f(t) dari persamaan-persamaan berikut :
Selesaikan transformasi Laplace persamaan-persamaan berikut :
Bila diketahui Z1 ∠ ( ωt + θ ) dan Z2 ∠ ( ωt - θ ) , maka hitung :
2 2s 11. 2.
(s 1)(s 2) (s +3s+1)+ +
2 2 2s s + 23. 4.
(s + 5s 5) s (s - )+ ω
at5. t cos( t+ ) 6. e sin( t+ ) ω θ ω θ3 27. ( 4t + t + 3 ) cos( t ) 8. sin( t ) cos( t ) ω + α ω + α ω + β
at1 2
1 2
1 19. + 10. e ( z + z ) z z