matlab’s smooth3 function to plot gpr data

Resumen

FUNCIÓN SMOOTH3 DE MATLAB PARA GRAFICARDATOS DE GPRMatlab’s smooth3 function to plot GPR data

Martha Angélica Elizondo Sámano - [email protected]

Oscar Gabriel Caballero Martínez - [email protected]

Las ciencias aplicadas en cualquier área del conocimiento, tiene como finalidad el estudio y la solución de los problemas producidos como consecuencia de la actividad humana, cada una de las áreas deben asegurar que los datos que se estudien están bien representados. Los datos que se generan en los diferentes métodos científicos se almacenan para posteriormente ser procesados. Existen en la actualidad varias herra-mientas computacionales como son los Sistemas de Álgebra Computacional (CAS por sus siglas en inglés Computer Algebra System) y métodos por los cuales estos datos son analizados. El presente trabajo tiene como objetivo presentar una función de las más utilizadas a nivel mundial para la representación de datos en 3D, se trata de la función smooth3 de Matlab.

Su uso se ejemplifica con algunos casos de funciones matemáticas sencillas y un caso de aplicación práctica, en el cual se modelan los datos de un método de exploración Geofísica llamado Radar de Penetración Terrestre (GPR por sus siglas en inglés Ground Penetrating Radar), que en los últimos años ha tenido bastante difusión, para la solución de diferentes problemas tanto sociales como técnicos y en el que es necesario representar los datos en tres dimensiones para poderlos interpretar y procesar adecuadamente.

Palabras clave: Representación en 3D, radar de penetración terrestre, radagramas sintéticos, radagramas reales, función smooth3D.

Abstract

Applied science in any field of knowledge, aims to study and solution of the problems caused as a result of human activity, each of the areas should ensure that the data to be studied are well represented. Information generated in the various scientific methods are stored for later processing. There are now many Computer Algebra System (CAS stands

Núm. 25, sep-dic. 2016, pp. 153-175

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MARTHA ANGÉLICA ELIZONDO SÁMANO Y OSCAR GABRIEL CABALLERO MARTÍNEZ

for Computer Algebra System) and processes in which these data are analyzed. This paper is to present one of the functions of the most used worldwide for rendering 3D data CAS, it is the function of Matlab smooth3.

Some cases of simple mathematical functions and a case of practical application, in which data from a geophysical exploration method called Ground Penetrating Radar (GPR Ground Penetrating Radar in English) are modeled are exemplified in recent years it has been quite dissemination, for solving various social problems as both the technical and the need to represent data in three dimensions in order to interpret and properly processed.

Keywords: 3D representation, ground penetrating radar, synthetic radagrams, real radagramas, function smooth3.

•

Introducción

Los profesionales en Ciencias de la Tierra, utilizan técnicas de exploración y muestreo para investigar el subsuelo, entre ellas los métodos de exploración indirecta, como son los métodos geofísicos de exploración, estas técnicas ayudan a conocer algunas características del subsuelo, que permiten a otros profesionales como antropólogos, arqueólogos, forenses, geógrafos, ingenieros civiles, petroleros, etc., obtener datos de suma importancia para cada uno de ellos, como podría ser el localizar algunos fósiles y estructuras bajo la tierra, o localizar las narco-fosas o narco-túneles, o bien yacimientos de petróleo, acuíferos, estratigrafía, etc.

Una de estas técnicas geofísicas es el Radar de Penetración Terrestre GPR por sus siglas en inglés; consiste de un equipo de prospección geofísica que manda señales electromagnéticas al subsuelo, las cuales se recibe en el sistema lo que implica la necesidad de representar la información, mostrando su utilidad cuando es importante dar información cuantitativa acerca de las propiedades y de la geometría del subsuelo. Estos datos numéricos captados por el sistema GPR pueden ser visualizados en representaciones gráficas en 3D.

El CAS Matlab es una herramienta que nos permite representar datos, utilizando la función smooth3 que es una función contenida en el software para visualizar datos a color en 3D. Se utilizan algunos casos de funciones matemáticas características sencillas para mostrar la metodología que se utiliza

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FUNCIÓN SMOOTH3 DE MATLAB PARA GRAFICAR DATOS DE GPR

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para la creación de estas representaciones y un caso de aplicación práctica con el método geofísico de exploración de GPR, en el que la representación de estos datos en 3D es necesaria para su interpretación.

1. El Sistema MATLAB

Su nombre es una abreviatura de las palabras Matrix - Laboratory y dependiendo de la versión con la que se cuenta, el programa permite resolver problemas específicos para lo que dispone de diferentes herramientas (Toolbars).

Este sistema es uno de los más útiles a nivel mundial, que requiere menor esfuerzo en emplearlo, en comparación con los lenguajes de programación convencionales como, Fortran, Pascal, C/C++, Java, Visual Basic, entre otros. La forma en que Matlab produce gráficos es completamente diferente de la programación simbólica utilizada en los CAS como Derive, Mathematica, Octave o Maple, debido a que es un programa de Cálculo Numérico, mediante comandos, que después se representarán en una gráfica.

Para realizar cálculos numéricos, Matlab tiene su propio lenguaje de progra-mación Richard (2004), su propio conjunto de estructuras de datos y tipos de datos en el que utiliza vectores y matrices y como casos especiales también puede trabajar con números escalares, tanto reales como complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las capacidades más atractivas es que realiza una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones.

La potencialidad de Matlab se basa en la rapidez con que realiza las operaciones con matrices, los algoritmos que implementa para éstas, permite la obtención de resultados con mayor velocidad; a comparación de hacer los cálculos con lenguajes como Fortran o en C/C++; o bien con otros CAS como podrían ser Octave o GNUPlot. Actualmente, Matlab incorporó un acelerador JIT (Just in TIME) que mejora significativamente la velocidad de ejecución. Además dispone de librerías especializadas, al trabajar con datos de radagrama se utiliza una función tfrwv() que hace la transformada de Winder-Ville que está programada en Matlab. Auger, Flandrin, Gonçalvès (1995-1996).

El manejo con grandes matrices, o con grandes sistemas de ecuaciones, Matlab obtiene la mayor potencialidad del procesador. El manejo de matrices y las operaciones con ellas, son transparentes para el usuario y la velocidad de las respuestas son mayores que los otros CAS mencionados.

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1.1 Gráficos en 3 Dimensiones

Los gráficos en Matlab están orientados a la representación de datos a través de vectores y matrices. Estos gráficos tridimensionales además, tienen las posi-bilidades de realizar varios tipos de gráficos en 3D. Para dar una idea de ello a continuación se presentan algunas funciones específicas para representar diferentes tipos de datos. (Matlab 3-D Visualization 2012) Checar.

Una de las primeras graficas en tres dimensiones de Matlab es la función plot3, esta función dibuja puntos cuyas coordenadas están contenidas en tres vectores, uniéndolos mediante una línea continua (por defecto) o bien mediante markers.

Su forma más sencilla es la función plot3(x, y, z), cuyas coordenadas están contenidas en tres vectores, esta función dibuja una línea que une los puntos (x (1), y (1), z (1), x (2), y (2), z (2),…, etc.), y la proyecta sobre un plano para poderla representar en la pantalla. Al igual que en el caso plano, se puede incluir una cadena de 1, 2 o 3 caracteres para determinar el color, la simbología y el tipo de línea. En el ejemplo siguiente, se presentan dos gráficas usando la función plot3, con dos funciones diferentes, cos(x) y sin(x). Para esto hay que crear un linspace, esta función cuya sintaxis es linspace(a, b, n) permite todo tipo de valores para los límites a, b y n, incluso complejos. En este último caso, genera una trayectoria compleja lineal, formada por n puntos entre a, b y c. Esto se puede observar en la en la Figura 1

Figura 1. Gráficas de las funciones sin(x) y cos(x) utilizando la función plot3() de Matlab con linspace(). http://venus.acatlan.unam.mx/codesource/codigofigura1.m

También, se pueden utilizar tres matrices X, Y, y Z del mismo tamaño, en cuyo caso se dibujan tantas líneas como columnas tienen estas matrices, cada una de las cuales está definida por las tres columnas homólogas de dichas matrices.

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De la misma manera, se muestra como se generan las dos gráficas con las mismas funciones anteriores pero utilizando matrices y en la Figura 2 se muestran estas gráficas.

Figura 2. Gráficas utilizando las funciones sin(x) y cos(x), la función plot3(), con linspace() y matrices. http://venus.acatlan.unam.mx/codesource/codigofigura2.m

Recordando que, para su construcción, se deben crear los vectores que contienen las coordenadas en las diferentes direcciones, creando la malla (grid). Después hay que crear las matrices que contienen los datos y esto se hace con la función meshgrid(), esta función activa de una manera sencilla las líneas de cuadrículas genéricas al trazar un gráfico y lo hace a través de un algoritmo pre-programado en MATLAB, que determina la cantidad de líneas de cuadrícula a usar y qué tan alejadas deben estar. Donde el usuario, determina completamente las líneas de la cuadrícula vertical y de la cuadrícula horizontal que aparecen en un gráfico. Por ejemplo, el usuario puede solicitar para generar la cuadrícula, tres líneas horizontales y 100 líneas verticales, y los valores de Z son calculados mediante la función mesh(), cuyos elementos son una función elemento a elemento de las matrices de datos.

La función mesh() dibuja en perspectiva una función con base en una retícula de líneas de colores, si se ejecuta la función surf() en lugar de líneas, se dibujará en cada una de las superficies el color de las caras.

Otra forma de presentar funciones tridimensionales es, por medio de iso-líneas o curvas de nivel esto se hace a través de la función contour(), que representa curvas formadas por la intersección de la superficie de un plano(x, y) y valores específicos de z.

Un mapa de colores en Matlab, se define como una matriz de tres columnas, cada una de las cuales contiene un valor entre 0 y 1, que representan la intensidad de uno de los colores fundamentales: R (Rojo), G (Verde) y B (Azul).

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La Tabla 1 muestra la ausencia y combinación de estos tres colores fundamen-tales para generar los demás colores.

Colores

Negro k [0 0 0]

Blanco w [1 1 1]

Rojo r [1 0 0]

Verde g [0 1 0]

Azul b [0 0 1]

Amarillo y [1 1 0]

Tabla 1. Mapa de colores en Matlab.

A continuación se muestra un ejemplo, en el cual se generan las mismas dos gráficas con las mismas funciones pero usando la función mesh(). En la Figura 3 se muestran estas gráficas.

Figura 3. Gráficas de las funciones sen(x) y cos(x), con la función mesh(), usando el linspace() y matrices. http://venus.acatlan.unam.mx/codesource/codigofigura3.m

Cada mapa contiene por defecto 64 colores, es decir, la longitud por defecto en los mapas de color en Matlab es de 64, esta longitud se puede modificar, si se desea.

Otra de las características del sistema de Matlab, es que puede trabajar con Hipermatrices, esto es, matrices de más de dos dimensiones. Una de las aplica-ciones de las hipermatrices es poder almacenar con un único nombre distintas matrices del mismo tamaño, lo que resulta una hipermatriz de 3 dimensiones. Los elementos i, j de una hipermatriz pueden ser números, caracteres, estructuras, vectores o matrices de celdas.

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Figura 4. Gráfica de una hipermatrÌz en 3D. Tomada de Matlab.

El tercer subíndice k, lo que representa es la tercera dimensión “la profundidad” de la hipermatriz, en la Figura 4, se representa una hipermatriz de 3D. También en estas hipermatrices se pueden utilizar las funciones de Matlab,

Estas hipermatrices están en el sub-directorio generado por Matlab al ser instalado: toolbox/matlab/datatypes (de qué sistema operativo), las funciones que operan con estas matrices son análogas a las funciones normales. Algunas de las reglas para emplear las funciones en hipermatrices son:

‣ Todas las funciones de Matlab que se utilizan sobre escalares se aplican sobre hipermatrices elemento a elemento, al igual que sobre vectores y matrices. Las operaciones con escalares, vectores y matrices también se realizan de la misma manera.

‣ Las funciones que operan sobre vectores se aplican a matrices e hiper-matrices según la primera dimensión, resultando un arreglo de una dimensión inferior.

‣ Las funciones matriciales propias del Álgebra Lineal, no se pueden aplicar a hipermatrices, para poderlas aplicar hay que extraer primero las matrices correspondientes.

Si la información de los datos es ruidosa, se pueden aplicar algoritmos de suavizado para exponer las características y para proveer una razonable apro-ximación para los parámetros usados, las dos reglas básicas que delinean el suavizado son:

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1. Si la relación entre la información de la respuesta y la predicción es suavizada. El resultado del proceso de suavizado es un valor estimado alto del valor original, porque el ruido tiene que ser reducido.

2. Si el proceso que antecede al suavizado, es estimar el promedio de la distribu-ción de cada valor de respuesta. La estimación es basada en un número espe-cífico de la vecindad de valores de respuesta. Matlab Graphics (1984-2012).

Cualquier conjunto de datos puede ser suavizado con un ajuste local; un nuevo valor de respuesta es creado para cada valor original. Por lo tanto, el suavizado es realizable con los tipos de ajuste soportados con las herra-mientas del sistema; tales como Smoothing, o una interpolación cúbica (spline). Sin embargo, estos tipos de metodologías no son iguales como parámetros adecuados, los resultados son una parametrización de la información global.

Pero no se puede filtrar con un modelo paramétrico después de suavizar la información, porque el acto de suavizado invalida la asunción de que los errores son normalmente distribuidos, por lo que se puede usar en una técnica de exploración.

Hay dos tipos comunes de métodos de suavizado, el filtrar con promedios y el utilizar la regresión local. Para cada método, se requiere definir una ventana de puntos vecinos, para incluir en el cálculo del suavizado y para cada punto de la información. Estas ventanas se mueven y cruzan el conjunto de la información. El valor de la respuesta del suavizado es calculado para cada valor que se ha predicho. Una ventana grande incrementa el suavizado, pero decrece la resolución del conjunto de información suavizada. Mientras una ventana pequeña disminuye el suavizado, ésta incrementa la resolución del conjunto de información suavizado. El valor de la ventana óptima depende del conjunto de la información y del método de suavizado, usualmente requiere de alguna experimentación (ensayo y error) para encontrarlo.

1.2 La función smooth3 de Matlab

Una de las funciones de Matlab para gráficos en 3D, es la función smooth3, que es un suavizado de la respuesta de la información en 3D. La función smooth3 de Matlab trabaja con la siguiente sintaxis y la descripción es: W = smooth3 (V), la cual suaviza los datos de entrada V y devuelve los datos suavizados en W.

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W = smooth3 (V, "filtro"), donde el filtro determina el proceso de interpolación que utilizará la función. Los valores pueden ser las cadenas de tipo: “Gaussiana” o “Caja” (es la cadena usada por defecto). W = smooth3 (V, "filtro", tamaño), que establece el tamaño de la imagen donde se presentan los datos, que por defecto es [3 3 3]. Si el tamaño es un escalar, entonces el tamaño se interpreta como [tamaño, tamaño, tamaño]. W = smooth3 (V, "filtro", tamaño, sd), en esta sintaxis se establece un atributo del proceso de interpolación. El filtro por defecto es box (caja) y sd es la desviación estándar que por defecto se establece de 0.65. Como V es un arreglo de hiper-matrices en un espacio, puede ser por ejemplo, el espacio i, j y k como se muestra en la Figura 5.

Figura 5. Arreglo V de hipermatrices en un espacio 3D (i, j y k).Tomada de Matlab Graphics.

Cada espacio entre las matrices es interpolado por el filtro; esto es, cada plano que corre sobre los valores de j son estimados por el filtro, el proceso de la cadena tipo caja que es la que se usa por defecto, se presenta continuación. (Matlab 3-D Visualization 2012).

1.2.1 El filtro Box

La función Smooth3 de MATLAB® utiliza por defecto el filtro caja, el cual es el filtro que se utiliza en este artículo. Para poder describir como trabaja el filtro, se explicará primero en 2D, para posteriormente extenderlo en 3D.

La clave del método, es considerar un arreglo matricial de m x n, cuya información pertenece a una imagen específica. Para saber qué nuevo valor se colocará en la posición (i, j) de la matriz (para i = 2, 3, 4, …, m -1 y j = 2, 3, 4,

…, n -1); se calcula un promedio con sus vecinos. Gráficamente sería como se muestra en la Figura 6:

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Figura 6. Posición a analizar (i,j)-Èsima para obtener el nuevo valor.

Para proporcionarle el nuevo valor a la posición especificada, solamente se aplica el siguiente algoritmo MathWorks (2016) integralBoxFilter.

Sea A una matriz de dimensión m x n y sea ai,j un elemento de A. Entonces el nuevo valor está dado por:

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a =Σ

i,j

ak,li + 1

k = i - 1 Σ j + 1

l = j - 1 . (1)

En forma general, si se desea calcular el nuevo valor, que en nuestro caso será el nuevo color que tendrá la imagen, el valor ai,j se encapsula en un cuadrado de k x k con k ≥ 3 impar. Se hace l =

2

k, así la fórmula queda como:

ka =

Σi,j 2

ap,qi + lp = i - l Σ

j + lq = j - l

(2)

Para ejemplificar la fórmula anterior, se desarrolla un código, que puede ser visto en la página http://venus.acatlan.unam.mx/codesource/codigofigura8.m, en el cual se trabaja con una imagen, la cual se muestra en la Figura 7, y se aplica la fórmula a la matriz de colores específicos de la imagen, en una caja de 3x3, según Collins (2007).

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Figura 7. Imagen original, antes de pasar por el filtro Box, usando (1).

El resultado que se obtiene al correr el programa repitiendo el proceso cinco veces, genera la Figura 8.

Figura 8. Imagen filtrada por el filtro Box repitiendo el proceso cinco veces, usando (2).

Se puede observar que el suavizado en la Figura 8, muestra los colores de manera más clara y donde se ven mejor formados los círculos, para el conjunto de la información dada por la imagen original (Figura 7), así es como se suaviza la imagen al pasar por el filtro. De esta manera es como trabaja el filtro Box en 2D. MathWorks (2016) Matlab integralBoxFilter.

Para mostrar el filtro box en 3D, se aplica la misma idea, pero sobre un cubo y sus 26 vecinos. El cubo de la Figura 9 y los valores de los cubos que están alrededor de él se conocen previamente.

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Figura 9. Cubo a analizar. Elaborado en Mathematica 10.3.

Tomado el promedio de los valores de los colores de los cubos que son contiguos a este cubo, se cambia el color para que sea lo más cercano posible a la combinación de los otros 26 cubos. Al término del proceso, en la Figura 10, se muestra a los cubos vecinos con los clores en transparencia.

Figura 10. La gráfica completa con los 26 cubos.

En la Figura 11 a) se muestran los colores de los cubos vecinos sin transpa-rencia y en la Figura 11 b) se observa al cubo que se analizó y ha cambiado de color. Comparando con la Figura 9, que era un cubo completamente gris, ahora en la Figura 11 b) tiene otros colores que se asemejan más a sus vecinos.

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Figura 11 a) La gráfica sin transparencia. b) El cubo intermedio con los nuevos colores.

De manera similar Matlab suaviza los datos proporcionados también en tres dimensiones y utilizando los arreglos de matrices, a continuación se presenta un ejemplo de datos aleatorios creando una isosurface() con tapas en 3D.

Una isosurface es una superficie tridimensional que representa puntos de valor constante, por ejemplo, presión, temperatura, velocidad, densidad, etc., dentro de un volumen; en otras palabras, es un conjunto de valores de una función continua cuyo dominio es un espacio 3D. Sirve para ver los "límites", en donde se conectan todos los puntos con el mismo valor y de esta manera es como la función smooth3() de Matlab trabaja.

A continuación, se presenta un ejemplo con datos aleatorios y utilizando las isosuperficies con tapas, el filtro box y la función smooth3() como se presenta en el código de MathWorks (2016) smooth3.

En la Figura 12, se presenta la gráfica obtenida cuando usamos los datos aleatorios de la función smooth3 Caja MathWorks (2016) smooth3().

Figura 12. Gráfica de los datos aleatorios usando la función smooth3 (caja). Tomada de Matlab.

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Aplicación práctica de la función smooth3 de Matlab con datos de GPR

El método de prospección electromagnética de un Radar de Penetración Terrestre (GPR), también llamado Georadar, es considerado una técnica no destructiva, de gran rapidez en su operación, que utiliza poco personal en su aplicación y es menos costosa comparativamente con otras metodologías en el estudio del subsuelo.

Todos los materiales, incluyendo los suelos y las rocas, tienen la propiedad intrínseca que es la resistividad eléctrica, la cual gobierna la relación en un sistema electromagnético, entre la densidad de corriente y el gradiente de potencial eléctrico. Las diferentes resistividades de los materiales que componen el subsuelo, producen variaciones tanto horizontales como verticales, en función de la corriente aplicada y el potencial medido en la superficie, dichas variaciones revelan la composición, extensión y propiedades de los materiales en el subsuelo y estos cambios son medidos por el GPR (Elizondo, 2012).

En la técnica GPR, la frecuencia es otro factor que determina la profundidad de penetración del impulso electromagnético en el medio. Esta técnica, es comúnmente utilizada porque las propiedades que mide como la resistividad eléctrica, están directamente relacionadas con características del subsuelo, obteniendo resultados lo más próximo a los objetivos buscados, mediante una representación gráfica del subsuelo, a lo largo de una línea de estudio y a una profundidad que dependerá de las condiciones del terreno.

Es un método al que se puede denominar de reflexión de desplazamiento fijo, esta técnica establece una geometría fija para las antenas que utiliza, que colocadas paralelamente entre sí, con una separación adecuada, este arreglo se desplaza sobre un perfil, tomando lecturas en puntos equidistantes para obtener perfiles bidimensionales conocidos como Radagramas, los cuales; proporcionan la información del medio, debajo de las líneas sobre las que se efectuaron las mediciones. En una sección de este tipo, el eje vertical representa la escala de tiempos dobles de viaje de la señal electromagnética a través del subsuelo y en el eje horizontal, representa las distancias sobre el perfil en donde se efectuaron las lecturas.

Otra característica del Georadar es que la profundidad de penetración varía desde algunos centímetros hasta aproximadamente 100m. Como otras técnicas tienen sus limitaciones, la más importante, se presenta cuando el medio de propagación de la señal posee alta conductividad eléctrica, en particular

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cuando se tiene alto contenido de humedad, especialmente donde existen materiales arcillosos ya que se atenúa rápidamente la señal. (Annan, 1992). Con el radar de penetración, se podrá determinar la presencia de cambios en los materiales del subsuelo que pueden representar estructuras o diferentes cuerpos de interés que se encuentran en él.

Fundamentos teóricos del GPR

La técnica de GPR consiste, en la emisión hacia el medio de investigación de impulsos electromagnéticos de muy corta duración, con el fin de detectar estructuras y elementos de interés. La técnica se fundamenta en las ecuaciones de Maxwell, que describen el comportamiento de las ondas electromagné-ticas en diferentes materiales. La forma en que el campo electromagnético interactúa con el medio de propagación, determina el comportamiento de la señal, presentando efectos de reflexión, transmisión, atenuación y dispersión (Wait, 1970).

Los parámetros que controlan la propagación de la señal transmitida en el subsuelo son: la constante dieléctrica, la permeabilidad magnética y la conduc-tividad de los materiales del medio a investigar. Estos materiales deberán de presentar un contraste en los parámetros, para que el impulso electromagné-tico presente los efectos mencionados y sean detectados en la superficie.

Un parámetro muy importante es la frecuencia, para obtener resultados satisfactorios, elegir la frecuencia adecuada en este tipo de trabajos puede ser determinante. Stevens, Lodha y Soonawala (1995). Deduce que a mayor frecuencia aplicada, la profundidad de penetración será menor y viceversa, esto lo hace a través de la siguiente relación, δ = (2/σμω)⅟2, que establece, que la profundidad de penetración (δ) del impulso electromagnético, es inversa-mente proporcional a la frecuencia (ω) aplicada, en donde, la amplitud del impulso, se atenúa conforme avanza en profundidad. En esta relación, también se establece que a mayor permeabilidad (μ) o conductividad (σ), la profundidad de penetración es menor.

De acuerdo, al rango de frecuencias en que opera la técnica de Georadar (1Ghz a 10Mhz), la longitud de onda varía de 0.3m para altas frecuencias, hasta 30m. para frecuencias más bajas, esto deduce que la longitud de onda electro-magnética (λ) es directamente proporcional a su velocidad de propagación (v) e inversamente proporcional a la frecuencia (f ) utilizada (λ = v / f ). Lo cual

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significa, que la resolución en cuanto a su capacidad de detección de anomalías, está en función de la frecuencia de operación y de las dimensiones del objetivo.

Debido a que, las propiedades eléctricas determinan el comportamiento de la señal electromagnética, es recomendable que sean evaluadas, ya que el objetivo a investigar debe presentar un contraste en estas propiedades con respecto al material que lo rodea, para que exista una anomalía observable.

Las antenas del GPR, se encargan de transformar el pulso electromag-nético en una onda electromagnética, que se irradia en el subsuelo, la onda electromagnética, una parte es transmitida o refractada, otra parte se disipa y una última parte se refleja en el medio, las reflexiones son captadas mediante otra antena, que traduce dicha información en señal o pulso de voltaje que se registra en función del tiempo Annan (1992); Annan and Chua (1992).

La información del GPR se representa por medio de gráficas en 2D llamadas radagramas, las cuales son un conjunto de señales (trazas) obtenidas por medio del sistema, en la Figura 13 se presenta un radagrama real obtenido con el GPR, Elizondo (2002), el cual muestra algunas características del subsuelo que podrían ser, cambios de estratos, fallas o fracturas en el subsuelo, localización de tuberías, etc.

Figura 13. Radagrama original parte de un perfil A-Aí obtenido con el GPR, tomado de Díaz (2003).

Las trazas de un radagrama se pueden representar en líneas continuas donde se muestra la forma de la onda transmitida de cada traza apilada en dirección

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horizontal en un formato Wiggle1 que se componen de puntos coordenados, donde “x” es el intervalo de tiempo de registro (ns) y “y” es la amplitud del impulso. El primer pulso de la traza, llega a la antena receptora y se denomina primer arribo o tiempo cero. El número de puntos que contiene una traza, está determinado por una ventana de tiempo y el intervalo de tiempo en que se registra cada dato.

Radagrama representado en formato Wiggle que despliega el sistema de Georadar como se ve en la Figura 14.

Figura 14. Mismo radagrama representado en formato Wiggle.

2.2 Aplicación de la función smooth3() a un radagrama

Todos estos datos numéricos anteriores están desplegados en un Formato .dzt2, que es específico del sistema GPR (Software RADAN), los cuales fueron cambiados a formato texto txt., para poder ser procesados en Matlab.

El estudio se hizo para cada una de las trazas del radagrama y se fueron utilizando cada una de las funciones de Matlab descritas en la sección 1, para ver los datos y poderlos interpretar adecuadamente

1 Wiggle o WGL es la interfaz del sistema de ventanas para la implementación de OpenGL, que sirve para presentar gráficos en Microsoft Windows. WGL es análoga a GLX, que es la interfaz de OpenGL para sistemas X Windows System o Xll, así como CGL que es la interfaz para Mac OS X.

2 El archivo dzt, es del tipo Cyberlink DirectorZone Title template file. La extensión del programa suele tener formatos binarios y por tanto, sólo se puede abrir con el software que los creó.

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En los datos obtenidos por el GPR, se aplican técnicas de procesado que consisten en realzar o eliminar efectos como los descritos anteriormente. Para efectuar una interpretación y evaluación final de los resultados, se utilizó la interpretación a través de datos sintéticos.

Debido a la necesidad de representar de una mejor manera la información obtenida por medio del GPR, el uso de la función smooth3 presentó algunas características que nos permitieron visualizar con mayor precisión los datos que a continuación presentamos.

Para visualizar mejor los datos, y poder interpretarlos se obtuvieron datos sintéticos y se modelaron los datos obteniendo radagramas sintéticos, con características electromagnéticas supuestas, mediante un proceso seguido por Elizondo, Chávez, Cámara y Andrés (2012).

El código dado en: http://venus.acatlan.unam.mx/codesource/CodigoGeneral.m, permite modelar los datos del GPR en Matlab, a partir de las características electromagnéticas y frecuencias supuestas necesarias para obtener un radagrama sintético por trazas y simular el efecto de difracción (forma parabólica), mostrado en la Figura 13, en este código se utilizan 16 trazas.

El código anterior también almacena los datos de los planos tiempo-fre-cuencia obtenidos, mediante la transformación de Wigner-Ville dado en Elizondo (2002), en forma de matrices (denotadas por d) y a su vez, se almacenan cada una de esas matrices en otra matriz M (la hipermatriz), la cual nos va permitir graficar, mediante el uso de la función smooth3(), la secuencia de valores de cada una de las trazas y visualizar los plots y los mesh() de las 16 trazas obtenidas tanto en los datos sintéticos como en los reales, en una secuencia de valores que resaltarán el efecto que estábamos esperando de difracción en los radagramas, en una posición específica. En la Figura 15 a) se muestra la función plot(), de una de las trazas obtenidas con dos variables: la amplitud (permitividad eléctrica) y el tiempo a través del radagrama sintético, así como la traza del radagrama real, como se ve en la Figura 15 b).

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Figura 15. Gráficas de la representación mediante la función plot de Matlab en a) una de las trazas sintéticas; en b) una de las trazas reales.

Se obtienen los planos tiempo-frecuencia siguiendo el método utilizado por Auger (1991); Auger, Flandrin y Goncalves. (1995), tanto sintéticos como reales, mediante el código en el cual se utiliza la función mesh() de Matlab, una de las trazas sintéticas y una traza real y se muestran los planos en la Figura 16, Elizondo (2012).

Figura 16 Gráficas de la representación de los planos tiempo-frecuencia mediante la función mesh() de Matlab en a) una de las trazas sintÈticas y en b) una de las trazas reales.

El código dado en http://venus.acatlan.unam.mx/codesource/CodigoGeneral.m, se encarga de filtrar los datos con la función smooth3(), este código es ejecutado

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por http://venus.acatlan.unam.mx/codesource/GeneraSmooth.m. La primer liga del párrafo contiene los datos sintéticos y reales de las 16 trazas y sus planos tiempo-frecuencia obtenidos, para presentar la gráfica smooth3 que muestra los datos obtenidos en la simulación del efecto de difracción del radagrama real, cuya representación se muestra en la Figura 17, Elizondo (2012).

Figura 17. En la gráfica se muestra la función smooth3 de Matlab mostrando la simulación del efecto de difracción, a la izquierda el radagrama sintético y a la derecha el radagrama real.

En el radagrama de datos reales se pueden ver algunos efectos que representan algunas otras características del subsuelo donde fueron obtenidos los datos, como pueden ser cambios de estratificaciones mostrados en la Figura 13. Esos datos también pueden ser modelados con datos sintéticos, como se muestran en la Figura 18.

Figura 18. Muestra los datos sintéticos modelan un cambio de estratificación en el subsuelo.

Ahora, generaremos una gráfica para representar fallas o fracturas en el subsuelo, con datos sintéticos, incrementando en forma lineal. Con relación al primer código, es necesario cambiar las líneas que proporcionan los valores de

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hz, que son el intervalo de tiempo de registro en el cual cambian las caracterís-ticas de la señal y se da el efecto de difracción, esto se logra si se hace que una parte se conserve constante, después se incremente linealmente y por último; que se mantenga constante otra vez.

Considerando ahora colocar valores de hz creciente desde 1 hasta 5, se genera la siguiente gráfica, observándose el incremento lineal señalado que simula una fractura o falla en el subsuelo. Esto se observa en la Figura 19.

Figura 19 Gráfica que representa a un valor constante, después lineal y por último constante otra vez.

Conclusiones

En el manejo de la información obtenida a partir de la ciencia aplicada, la representación en 3D es de suma importancia para su interpretación, por lo que el sistema de Matlab se vuelve una herramienta muy importante en la actualidad, las diferentes funciones entre las que se encuentran plot3(), mesh(), grid(), isosurface(), entre otras, y sobre todo la función smooth3(), que permite a Matlab procesar en 3D una cantidad mayor de datos en un menor tiempo, lo que representa un beneficio inmediato en cualquier área de conocimiento.

En el caso del Radar de Penetración Terrestre, el sistema Matlab con sus Toolbars, no solo permite la representación de datos sino la creación de rutinas propias pudiendo simular también datos sintéticos, enriqueciéndolos de manera muy creativa, la forma en que la función smooth3 nos permite ver los datos, nos lleva a entender la información para su interpretación y así dar soluciones a problemas de alto grado de complejidad.

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Consideramos que el esfuerzo que se ha hecho para representar los datos de GPR ha podido fortalecer, de manera sustancial la forma de utilizar la función smooth3 del sistema Matlab, para la representación de cualquier otro tipo de información.

Referencias

ਈ Auger, F.; FlAndrin, P.; gonçAlvès, P. 1995. Time-frequency Toolbox for use with MATLAB. CNRS. Francia.

ਈ Auger, F. 1991. Representations temps-frequency des signaux non-stationeries: syntheses et contributions. PhD Thesis, Ecole Centrale de Nantes, France.

ਈ AnnAn, 1976. Impulse Radar Sounding in Permafrost. Radio Science. Vol. 11, No. 4, 383-394, pp.

ਈ AnnAn, 1992. Ground Penetrating Radar Workshop Notes Sensor and Software. Ground Penetrating Radar. Ontario Canada. 125, pp.

ਈ AnnAn And ChuA, l. T., 1992. Ground Penetrating Radar. Performance prediction. Ground Penetrating Radar Geological Survey of Canada. Canada. 5-13, pp.

ਈ Collins, roberT (2007) Lecture 4. Smoothing. Related text in T & V Section 2.3.3 and Chapter 3. Recuperado de: http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE486/lecture04.pdf

ਈ díAz, M. o., 2003. Modelación en 1D directa e inversa de datos de radar de pene-tración terrestre. Tesis de maestría, UNAM.

ਈ elizondo, M. A. 2012. Análisis de la frecuencia instantánea en señales de GPR mediante la transformada de Wigner-Ville. Tesis doctoral. Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Geofísica.

ਈ elizondo, M. A; Chávez, r. e; CáMArA, M. e; Andrés T. 2012. Application of Wigner-Ville distribution to interpret ground-penetrating radar anomalies, Geofísica Internacional. Vol 51, pp 121-127.

ਈ MathWorks (2016 Constante actualización) 2-D box filtering of integral images - MATLAB integralBoxFilter. Recuperado de: http://www.mathworks.com/help/images/ref/integralboxfilter.html

ਈ MathWorks (2016 Constante Actualización) smooth3. Recuperado de: http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/smooth3.html

ਈ MATLAB® Graphics © COPYRIGHT 1984–2012 by The MathWorks®, Inc.

ਈ MATLAB® 3-D Visualization © COPYRIGHT 1984–2012 by The MathWorks, Inc.

ਈ riChArd goering, "Matlab edges closer to electronic design automation world," EE Times, 10/04/2004 online

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Mat

emát

icas

e In

geni

ería

MU

LTID

ISC

IPLI

NA

25

ਈ sTevens, A. J., lodhA, A. l. And soonAwAlA, n.M., 1995. The Application of Ground Penetrating Radar for Mapping Fracture in Plutonic Rock With in the White Shell Research Area. Pinawa Manitoba Canada. Journal Applied Geophysics. Vol. 33, 125- 141, pp.

ਈ wAiT, J.r., 1970. Electromagnetic Waves in Stratified Media. Pergamon Press. Oxford-New York. 608, pp

MARTHA ANGÉLICA ELIZONDO SÁMANO es Ingeniera Civil, con Especialidad en Geotecnia egresada de la Facultad de Estudios Superiores Acatlán, con Maestría y Doctorado en Ciencias del Instituto de Geofísica de la UNAM. Ha publicado artículos en revistas internacionales y nacionales. Ha participado en Congresos nacionales e internacionales. Su línea de investigación es sobre Geofísica de Exploración. Actualmente realiza un segundo año de Estancia Posdoctoral en el Posgrado de Arqueología de la Escuela Nacional de Antropología e Historia del INAH. Es profesora de asignatura del Programa de Ingeniería Civil de esta facultad.

OSCAR GABRIEL CABALLERO MARTÍNEZ es Licenciado en Matemáticas Aplicadas y Computación, egresado de la Facultad de Estudios Superiores Acatlán, UNAM. Es Técnico Académico en el Centro de Desarrollo Tecnológico de la FES Acatlán, UNAM. Cuenta con más de 20 años de experiencia en el manejo y aplicaciones de los CAS en diversas áreas como: Visualización, Simulación visual, Geometría, Ecuaciones Diferenciales y además ha apoyado a las diferentes carreras de esta Facultad. Contiene amplios conocimientos en lenguajes de programación como son: C, Java, Perl, Python, etc.

matlab’s smooth3 function to plot gpr data

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