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1/116

Mathmatiques 3-4me niveau normal

P. Rey

LATEX

10 fvrier 2010

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2/116

2

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3/116

Table des matires

1 Calcul diffrentiel 7

1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Notion de pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Equation dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Factorisation des polynmes - simplification de fractions algbriques . . . . . . 101.1.4 Fonctions : croissance - dcroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Limite et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Dfinition de la limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Calcul de limites de quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.4 Asymptote oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.2 Equation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 La fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.4 Fonctions non drivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.5 Drive de quelques fonctions ( laide de la dfinition) . . . . . . . . . . . . . . 291.5.6 Rgles de drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.7 Drivation des fonctions algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Thormes danalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.1 Thorme de accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.2 Thorme reliant drive et croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7 Croissance - dcroissance et extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.1 Points critiques - Extremums locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.2 Extremums globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8 Concavit - convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9 Etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.1 Etude dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.2 Etude dune fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.10 Drives des fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.10.1 Construction gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.10.2 Calcul de la drive de la fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.10.3 Drives des fonctions tangente et cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.11 Drive de la compose de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.12 Drive de la rciproque dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

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4 TABLE DES MATIRES

1.13 Drives des fonctions exponentielle et logarithme naturel . . . . . . . . . . . . . . . . 481.13.1 Drive de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.13.2 Drive de la fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Gomtrie vectorielle 49

2.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.2 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.3 Soustraction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.4 Multiple dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.1.5 Combinaisons linaires - bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Produits de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Droite et plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.1 Droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3.2 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.1 Intersection dune droite et dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.2 Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.3 Intersection de trois plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5 Distance dun point un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3 Calcul intgral 79

3.1 Intgrale dfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.1.1 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1.2 Proprits de lintgrale dfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2 Primitive - Intgrale indfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3 Thorme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3.1 Fonction intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3.2 Thorme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3.3 Thorme de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3.4 Dmonstration du thorme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3.5 Dmonstration du corollaire du thorme fondamental . . . . . . . . . . . . . . 89

3.4 Techniques dintgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.1 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.2 Intgration par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5.1 Surface dlimite par plusieurs courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.5.2 Solide de rvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Algbre linaire 99

4.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.2 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.3 Inverse dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2.2 Matrice dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.3 Ensemble des images dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2.4 Noyau dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.2 Homothtie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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TABLE DES MATIRES 5

4.3.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.3.4 Symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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6 TABLE DES MATIRES

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Chapitre 1

Calcul diffrentiel

1.1 Rappels

1.1.1 Notion de pente

La pente entre deux points A = (x1; y1) et B = (x2; y2) est donne parpenteAB =

y

x=

y2 y1x2 x1

La pente a dune droite d sera gale la pente entre deux points quelconques de cette droite, car elleest constante.

A

B

d

P

x1 x2x

y1

y2

y

x2 x1

y2 y1

x x1

y y1

1.1.2 Equation dune droite

Un point P = (x; y) appartiendra la droite d si

penteAP = penteAB = pented = a

donc lquation dune droite d de pente a passant par un point donn A sera donne par

y y1x x1 = a y = y1 + a(x x1) = ax + y1 ax1 = ax + b

la valeur b, correspond lordonne y du point P dabscisse x = 0 ; on lappelle lordonne lorigine.

Inversment, la connaissance de lquation permet de dcrire la droite

Equation y = ax + b x = a y = bDescription droite de pente a et droite verticale droite horizontale

ordonne lorigine b dabscisse a dordonne b

7

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8 CALCUL DIFFRENTIEL

Exemple 1

Equation de la droite de pente 34 passant par (1;1)

1

2

1

2

1 2 3 412

(

1,

1)

(3,2)

4

3

La droite est de pente a = 34 , son quation seray =

34x + b

de plus, elle passe par le point (1;1)1 = 34(1) + b b = 14

lquation sera alors

y = 34

x +1

4=

3x + 14

Exemple 2

Equation de la droite passant par les points (2; 1) et (3; 3)

1

2

3

1

2

1 2 3123

(2,1)

(3, 3)

5

4

La droite est de pente

a =3 (1)3 (2) =

4

5

son quation sera

y = 45x + b

de plus, elle passe par le point (2; 1)

1 = 45(

2) + b

b = 35

lquation sera alors

y =4

5x +

3

5=

4x + 3

5

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RAPPELS 9

Exemple 3

Graphe de la droite dquation

y = 56

x + 3 y =7

3x 3

1

2

3

1

2

3

1 2 3 4 5 6 71

(0, 3)

(6,2)

6

5

1

2

3

4

1

2

3

1 2 3 41

(0,3)

(3, 4)

3

7

Exemple 4

Graphe de la droite dquation

y = 2 x =

1

2

3

4

1

2

3

4

1 2 3 41234

(0,2)

1

2

3

4

1

2

3

4

1 2 3 4 51

(, 0)

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1.1.3 Factorisation des polynmes - simplification de fractions algbriques

Thorme 1.1. Thorme de divisibilit des polynmesSi P(x) est un polynme avec P(a) = 0, alors P(x) est divisible par xa ; on pourra alors le factoriseren P(x) = (x a)Q(x), o Q(x) est le rsultat de la division de P(x) par x a.Corollaire 1.2. Si f(x) est une fonction rationnelle dont les numrateur et dnominateur sannulent

en x = a, alors elle est simplifiable par x a.Exemple

f(x) =g(x)

h(x)=

x3 1x3 x

On voit que g(1) = h(1) = 0, donc g(x) et h(x) sont divisibles par x 1. On pourra donc factoriser(ventuellement par division de g(x) ou h(x) par x 1) et simplifier

f(x) =(x 1)(x2 + x + 1)

x(x 1)(x + 1) =x2 + x + 1

x(x + 1)

Dans les mmes conditions (numrateur et dnominateur sannulant en une mme valeur), on pourragalement simplifier une fraction contenant des racines (fraction algbrique)

Exemple

f(x) =x 2x 1

x2 x 2Isolons la racine dans une expression ne sannulant pas en x = 2

f(x) =x 2x 1

x2 x 2=

x 2x 1x2 x 2

x + 2

x 1x + 2x 1

=x2 4(x 1)

(x2 x 2)(x + 2x 1)on a obtenu deux polynmes sannulant en x = 2, on peut simplifier par x 2

f(x) =(x 2)2

(x 2)(x + 1)(x + 2x 1) =x 2

(x + 1)(x + 2

x 1)

1.1.4 Fonctions : croissance - dcroissance

Une fonction f est croissante dans lintervalle I si, quels que soient x1 et x2 dans I

x1 < x2 f(x1) f(x2)

Une fonction f est dcroissante dans lintervalle I si, quels que soient x1 et x2 dans I

x1 < x2 f(x1) f(x2)

f

x1 x2

f(x1)

f(x2)

f

x1 x2

f(x1)

f(x2)

f croissante f dcroissante

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LIMITE ET CONTINUIT 11

1.2 Limite et continuit

1.2.1 Exemple introductif

Soit la fonction

f(x) =x2 + x 6

x2

4son domaine de dfinition est

Df = R \ {2; 2}Que se passe-t-il au voisinage des points exclus ? Plus prcisment, comment volue f(x) lorsque xsapproche des valeurs exclues x = 2 et x = 2 ?Tout dabord une analyse intuitive en saidant dune esquisse du graphe de f

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6123456

f

On voit que lvolution des valeurs f(x) est trs diffrente : au voisinage de x = 2, les valeurs de f(x) semblent devenir grandes (en vaeur absolue) au voisinage de x = 2, il semble ne rien se passer de particulier

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Construisons des tables des valeurs de f(x), pour x sapprochant de plus en plus de ses valeurs exclues.

Si x = 2, f(x) est de la forme A0

, plus prcisment40

x y = f(x) x y = f(x) x y = f(x)

-3 0.00 -2.1 -9.00 -2.01 -99.00

-2.9 -0.11 -2.09 -10.11 -2.009 -110.11

-2.8 -0.25 -2.08 -11.50 -2.008 -124.00

-2.7 -0.43 -2.07 -13.29 -2.007 -141.86

-2.6 -0.67 -2.06 -15.67 -2.006 -165.67

-2.5 -1.00 -2.05 -19.00 -2.005 -199.00

-2.4 -1.50 -2.04 -24.00 -2.004 -249.00

-2.3 -2.33 -2.03 -32.33 -2.003 -332.33

-2.2 -4.00 -2.02 -49.00 -2.002 -499.00

-2.1 -9.00 -2.01 -99.00 -2.001 -999.00

-2 non dfini -2 non dfini -2 non dfini

-1.9 11.00 -1.99 101.00 -1.999 1001.00

-1.8 6.00 -1.98 51.00 -1.998 501.00

-1.7 4.33 -1.97 34.33 -1.997 334.33

-1.6 3.50 -1.96 26.00 -1.996 251.00

-1.5 3.00 -1.95 21.00 -1.995 201.00

-1.4 2.67 -1.94 17.67 -1.994 167.67

-1.3 2.43 -1.93 15.29 -1.993 143.86

-1.2 2.25 -1.92 13.50 -1.992 126.00-1.1 2.11 -1.91 12.11 -1.991 112.11

-1 2.00 -1.9 11.00 -1.99 101.00

on voit aisment que lorsque x sapproche par la gauche de 2 (x < 2), les valeurs y = f(x) deviennent trs grandes et

ngatives. lorsque x sapproche par la droite de 2 (x > 2), les valeurs y = f(x) deviennent trs grandes et

positives.

Mathmatiquement cela scrit

limx2

f(x) = limx2+

f(x) = +

limite gauche, lorsque x tend vers 2, de f(x) limite droite, lorsque x tend vers 2, de f(x)

Les valeurs infiniment grandes tant dues la division de -4 par 0.

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Si x = 2, f(x) est de la forme0

0, valeur indtermine

x y = f(x) x y = f(x) x y = f(x)

1 1.333 1.9 1.256 1.99 1.2506

1.1 1.323 1.91 1.256 1.991 1.2506

1.2 1.313 1.92 1.255 1.992 1.2505

1.3 1.303 1.93 1.254 1.993 1.2504

1.4 1.294 1.94 1.254 1.994 1.2504

1.5 1.286 1.95 1.253 1.995 1.2503

1.6 1.278 1.96 1.253 1.996 1.2503

1.7 1.270 1.97 1.252 1.997 1.2502

1.8 1.263 1.98 1.251 1.998 1.2501

1.9 1.256 1.99 1.251 1.999 1.2501

2 non dfini 2 non dfini 2 non dfini

2.1 1.244 2.01 1.249 2.001 1.2499

2.2 1.238 2.02 1.249 2.002 1.2499

2.3 1.233 2.03 1.248 2.003 1.2498

2.4 1.227 2.04 1.248 2.004 1.2498

2.5 1.222 2.05 1.247 2.005 1.2497

2.6 1.217 2.06 1.246 2.006 1.2496

2.7 1.213 2.07 1.246 2.007 1.2496

2.8 1.208 2.08 1.245 2.008 1.2495

2.9 1.204 2.09 1.244 2.009 1.2494

3 1.200 2.1 1.244 2.01 1.2494

on voit aisment que, lorsque x sapproche par la gauche ou par la droite de 2, les valeurs y = f(x)deviennent trs proches de 1.25 = 54 .

Mathmatiquement cela scrit

limx2

f(x) = limx2+

f(x) = limx2

f(x) =5

4

Les limite gauche et droite, lorsque x tend vers 2, de f(x) tant gales, on dira que la limite de

f(x), lorsque x tend vers 2, est gale

5

4 .

Explication

f(x) =x2 + x 6

x2 4 =(x + 3)(x 2)(x + 2)(x 2) =

x + 3

x + 2

donc

limx2

f(x) = limx2

x + 3

x + 2=

5

4

8/8/2019 maths34n1

14/116


Le graphe de f sera alors complt de la manire suivante

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6123456

(2; 54

) f

x

=

2

en x = 2, une asymptote verticale, en x = 2, un point limite (2; 54) symbolis par un rond rouge.

1.2.2 Dfinition de la limite en un point

Soit une fonction f de A vers B et une valeur a nappartenant pas ncessairement A (ni Dfdailleurs).On dira alors que L est la limite de f(x), lorsque x tend vers a si

Dfinition intuitive

Si on sapproche de plus en plus de x = a, les valeurs de f(x) sont de plus en plus proches de L

Dfinition mathmatique

Soit > 0 quelconque, on peut toujours trouver > 0 tel que

si

|x

a

|< alors

|f(x)

L

|<

En dautres termes : quelque soit lcart (choisi aussi petit que lon veut), on peut toujours trouverun intervalle autour de a, tel que pour tout x lintrieur de celui-ci, les valeurs de f(x) ne sloignentpas de plus de de L.

L]L ;L+ [

a

]a ; a+ [

]L ; L + [ L f(a + ) > L +

]a ; a + [

impossible a determiner

a

f

la limite existe la limite nexiste pas

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Note importante : Le fait que a Df nimplique pas forcment que la limite en a de f(x) existe(ce sera quand mme gnralement le cas). Par exemple, si le graphe de f fait un saut en x = a

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

f

f(3) = 3 limx3

f(x) = 2 limx3+

f(x) = 3

Les limites gauche est droite tant diffrentes, nous avons une discontinuit en x = 3.

1.2.3 Continuit

Dfinition intuitive

Une fonction est continue si on peut tracer son graphe sans lever le crayon

La fonction partie entire, qui tout x associe le plus grand entier infrieur ou gal x, nest pascontinue car, en chaque entier, les limites gauche et droite sont diffrentes.

1

2

3

1

2

3

1 2 3 4123

f

Dfinition mathmatique

Soit une fonction f de A vers B et a A

f continue en a limxa

f(x) = f(a)

f sera continue dans A si elle est continue en tout a de A.Note importante : En rgle gnrale, les fonctions usuelles sont continues dans leur domaine dedfinition. Dimposer quune fonction soit continue simplifie beaucoup les choses et napporte que peude restrictions.

8/8/2019 maths34n1

16/116


1.2.4 Calcul de limites de quotients

Dans de nombreuses situations on est amen considrer des quotients : QI, indices en tous genres, tauxde variation, croissance, dcroissance, pente, etc. Il existe toutefois une situation un peu particulire,lorsque le dnominateur sannule.

Le numrateur ne sannule pas

On a une formeA

0lorsque x = a. La limite tend vers linfini. Reste prciser les signes des limites

gauche et droite.

Exemple

f(x) =x + 7

x 3

on a une formeA

0lorsque x = 3.

limx3

x + 7x 3 = limx3+

x + 7x 3 =

car x + 7 > 0 et x 3 < 0 si x < 3 car x + 7 > 0 et x 3 > 0 si x > 3

Le numrateur sannule

On a une forme0

0lorsque x = a. Le rsultat est indtermin, mais cet obstacle peut, en gnral, tre

surmont.Par exemple, si les numrateur et dnominateur sont des polynmes, on peut toujours simplifier lafraction par x a (voir rappel).

Exemple

f(x) =x2 + 3x 28

x2 16

on a une forme0

0lorsque x = 4. On peut factoriser et simplifier par x 4

limx4

x2 + 3x 28x2 16 = limx4

(x 4)(x + 7)(x 4)(x + 4) = limx4

x + 7

x + 4=

11

8

De mme, si on a une fraction contenant des racines carres, on peut en gnral se ramener au cas

prcdent.

Exemple

f(x) =

2x 8 4

x2 11x 12

on a une forme0

0lorsque x = 12.

La difficult provient du fait quon ne peut simplifier directement par x 12, comme prcdemment.Pour faire apparatre un polynme sannulant en x = 12, on rationalise le numrateur :

limx12

2x

8

4

x2 11x 12 = limx12

2x

8

4

x2 11x 12

2x

8 + 4

2x 8 + 4 = limx122x

8

16

(x 12)(x + 1) 1

2x 8 + 4

= limx12

2(x 12)(x 12)(x + 1)

12x 8 + 4 = limx12

2

x + 1 1

2x 8 + 4 =1

52

8/8/2019 maths34n1

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ASYMPTOTES 17

1.3 Asymptotes

1.3.1 Dfinition

Le Petit Robert nous dit quune asymptote est une droite dont la distance aux points dune courbe

tend vers zro lorsque le point sloigne sur la courbe linfini.

On devra distinguer deux situations trs diffrentes : la courbe sloigne vers linfini au voisinage dunevaleur c de x, ou lorsque x tend vers linfini.

Dans le premier cas, on aura une asymptote verticale, dans le deuxime, une asymptote horizon-

tale ou oblique.

La fonction ci-dessous possde trois asymptotes :

Verticale : la droite dquation x = 1 Horizontale : la droite dquation y = 2 Oblique : la droite dquation y = x 1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 812345678

f

y=

x1

y = 2

x

=

1

8/8/2019 maths34n1

18/116


1.3.2 Asymptote verticale

Lasymptote sera la droite dquation x = c.

Exemples

2

4

6

8

2

4

6

8

2 4 6 8 10 122468

f

x=

2

f(x) =1

x 2asymptote verticale : x = 2

2

4

6

8

10

12

2 4 6 8246810

f

x

=

3

f(x) =1

(x + 3)2

asymptote verticale : x = 3

Cette situation apparatra, par exemple, chaque fois quon a une division par zro en x = c.

8/8/2019 maths34n1

19/116

ASYMPTOTES 19

Il faut noter que les fonctions logarithme et tangente possdent galement des asymptotes verticales.Toutes les fonctions logarithmes ont laxe des y, ou la droite dquation x = 0, pour asymptote :

1

2

3

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = ln(x)

y = log(x)

y = log2

(x)

La fonction tangente, y = tan(x) ou y = tg(x), possde une infinit dasymptotes verticales :

x = 2 , x = 32 , x = 52 , x = 72 , x = 92 . . .

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

2 3 4 52345

8/8/2019 maths34n1

20/116


1.3.3 Asymptote horizontale

Lasymptote sera la droite dquation y = b.

Exemples

1

2

3

4

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012345

f

y = 3

y = 4

f(x) =7

1 + e1.2x+3 3

deux asymptotes horizontales : y = 3 et y = 4

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 71234567

f

f(x) = 5ex2

9

une asymptote horizontale : y = 0 (axe des x)

Cette situation apparatra chaque fois quon a

limx

f(x) = b ou limx

f(x) = b

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ASYMPTOTES 21

1.3.4 Asymptote oblique

Lasymptote sera la droite dquation y = ax + b.

Exemples

2

4

6

8

10

12

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12 142468101214

f

y=

3

4x+

3

4

f(x) =3x(x + 3)(x 2)

4x2 + 1asymptote oblique : y =

3

4x +

3

4=

3

4(x + 1)

1

2

3

4

5

1

2

1 2 3 4 512345

f

y=x

y=

x

f(x) = |x| 2x2 + 1

deux asymptotes obliques y = x et y = x

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22/116


Cette situation apparatra chaque fois quon a

f(x) ax + b lorsque x devient grandou, plus prcisment

limx

f(x) (ax + b) = 0 ou limx

f(x) (ax + b) = 0

La dtermination est plus complexe

a = limx

f(x)

xet b = lim

xf(x) a x

Cas particulier des fractions rationnelles

Si f est une fraction rationnelle, les asymptotes verticales ventuelles sont donnes par la forme facto-rise; lquation de lasymptote, horizontale ou oblique, est donne par sa forme rduite.

En effet

limx

f(x) = limx

g(x)h(x)

= limx

q(x) + r(x)h(x)

= limx

q(x)

car degr r(x) < degr h(x) limx

r(x)

h(x)= 0

ou plus simplement

f(x) q(x) car r(x)h(x)

0 quand x est grand

Exemples

f(x) = 3xx + 4

= 3 12x + 4

une asymptote verticale en x = 4une asymptote horizontale dquation y = 3

5

10

15

20

25

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25 3051015202530

f

x

=

4

y = 3

8/8/2019 maths34n1

23/116

ASYMPTOTES 23

f(x) =x3 + 642x(x 6) =

x

2 3 18x 32

x2 12xdeux asymptotes verticales en x = 0 et x = 6

une asymptote oblique dquation y = x2

3

10

20

30

10

20

30

10 20 30 40

10

20

30

f

x

=

6

y=

x

2 3

f(x) =x + 2

x2 + 1= 0 +

x + 2

x2 + 1

pas dasymptote verticale(le dnominateur ne sannule jamais)une asymptote horizontale dquation y = 0(axe des x)

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 91234567

f

8/8/2019 maths34n1

24/116


1.4 Taux de variation

Soit une fonction f de I vers R, a I et b I, a = b. Le taux de variation de f entre a et b estf(b) f(a)

b a =y

x

ou encore, si lon pose h = b

a (cart entre a et b)

f(a + h) f(a)h

Interprtation

Le taux de variation reprsente la mesure de la variation moyenne de y = f(x) entre deux valeurs dex.

Exemple

Supposons que x dsigne le temps en heures et y = f(x) la distance parcourue par un cycliste. Si on

fixe a = 0, et que b varie, le taux de variation reprsentera la vitesse moyenne tout au long du parcours

du cycliste. Si a varie et que b = a + 1, le taux de variation reprsentera la vitesse moyenne pendant

lheure coule.

Temps de parcours en heures 1 2 3 4

Nombre de kilomtres parcourus 25 55 75 110

Taux de variation depuis le dpart 25 01 0 = 25

55 02 0 = 27.5

75 03 0 = 25

110 04 0 = 27.5= vitesse moyenne

Taux de variation entre deux

25 01 0 = 25

55 252 1 = 30

75 553 2 = 20

110 754 3 = 35

temps successifs

= vitesse moyenne pendant

lheure coule

A noter que la vitesse moyenne globale, relativement constante, reflte moins bien les variations devitesse tout au long du parcours.

Interprtation gomtrique

Le taux de variation est gal la pente de la droite scante f passant par les points (a; f(a)) et(b; f(b)), ou par les points (a; f(a)) et (a + h; f(a + h)).

f

a b

f(a)

f(b)

x = b a

y = f(b) f(a)

(a ; f(a))

(b ; f(b))

f

a a+ h

f(a)

f(a+ h)x = h

y = f(a+ h) f(a)

(a ; f(a))

(a + h ; f(a+ h))

8/8/2019 maths34n1

25/116

TAUX DE VARIATION 25

Note : h peut aussi bien tre positif (a < b) que ngatif (a > b).

Illustration

1

2

1

2

1 2 3 4 5 612

f

(a ; f(a))

(a + h ; f(a + h))

x

y (a + h ; f(a + h))

x

y

Attention! Ce taux prsente un inconvnient majeur : il peut dpendre fortement de lcart h (oub a).

Exemple

f(x) = 2x2 41x + 1

Posons a = 10 et calculons, pour diffrentes valeurs de h, le taux de variation de f

h 2 1 0.5 0.25 0.1 0.01 0.001

taux de variation de f 3 1 0 -0.5 -0.8 -0.98 -0.998

Il varie beaucoup au dbut, passant de 3 (croissance marque) des valeurs nulle puis ngative (d-croissance) pour toutefois sembler se stabiliser lorsquon est trs proche de a (h tendant vers 0).On lui prfrera donc le taux de variation instantan qui est la limite, lorsque h tend vers 0, du tauxde variation de f en a.

8/8/2019 maths34n1

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1.5 Drive

1.5.1 Dfinition

Soit une fonction continue f de I vers R, a I, A ouvert. Le taux de variation instantan, ounombre driv, de f en a est

f(a) = limh0

f(a + h) f(a)h

= limba

f(b) f(a)b a


Le taux de variation instantan (nombre driv) est, en fait, la valeur limite de la pente de la scantepassant par (a; f(a)) et (a; f(a + h)) ou par (a; f(a)) et (b; f(b)).De plus, h tendant vers 0, ou b vers a, la scante tend vers la tangente la courbe f en (a; f(a)).Donc,

f(a) est gal la pente de la tangente f en (a; f(a))

a a+ h

f(a)

f(a+ h)

f(a + h) f(a)

f

B

A

sec

ante

AB

tang

enteA

h

Lorsque h 0, B se rapproche A et la scante tend se confondre avec la tangente.

1.5.2 Equation de la tangente

Lquation de la tangente f en (a; f(a)) est celle de la droite de pente f(a) passant par le point

(a; f(a))y f(a)

x a = f(a) y = f(a) + f(a)(x a) = f(a)x + f(a) af(a)

8/8/2019 maths34n1

27/116

DRIVE 27

1.5.3 La fonction drive

Soit une fonction f de I vers R. On dira que f est drivable si f(x) existe pour tout x I.

La drive f sera la fonction qui, tout x I, associe son nombre driv f(x)

On devra donc dterminer pour chaque x, la valeur de f(x). Cela peut se faire de manire gomtrique(construction des tangentes), approximative ( laide de la calculatrice) ou algbriquement. Cettedernire tant bien sr la meilleure, car elle permet de dterminer lquation de f(x).

Construction gomtrique de la drive

On construit, pour des points bien choisis de f, la tangente la courbe, puis on value sa pente. Onobtient alors des points (x; f(x)), qui nous permettent de construire une esquisse du graphe de f.

1

2

1

2

3

1 2 3 4 512

(1;0.8)

f

(1,1)

x = 1

y = 0.8

f

La pente de la tangente f au point (1; 1) vaut 0.8, donc f(1) = 0.8, ce qui nous donne le point(1;0.8) du graphe de f.

Cette mthode est un peu lourde, mais permet, avec un peu dhabitude, de donner rapidement uneesquisse du graphe de f.

Elle permet galement de dcouvrir intuitivement certaines rgles de drivation (drive de f(x) = xn

notamment).

8/8/2019 maths34n1

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1.5.4 Fonctions non drivables

Il existe des situations o une fonction nest pas drivable en un, plusieurs, voire une infinit de points.

La fonction nest pas continue

Si la fonction nest pas continue en a, les scantes tendent devenir verticales lorsquon sapproche du

point de discontinuit. La limite (tangente) nexiste pas.

Exemple

La fonction f ci-dessous nest pas continue en a = 3, avec f(3) = 2.

1

2

3

4

5

1

1 2 3 4 51

f

A

BB

secanteAB

secante

AB

On voit aisment que la pente de la scante droite de a, scanteAB , tendra vers une limite

la pente de la scante gauche de a, scanteAB , tendra vers linfini

La fonction f nest donc pas drivable en a = 3.

La fonction est continue

Si la fonction est continue en a, il faut que les limites gauche et droite des pentes des scantessoient diffrentes.

Exemple

Les fonctions ci-dessous, prsentant un point anguleux, ne sont pas drivables en a = 1.

1

2

3

1 2 3 4

1

2

f

1

2

3

1 2 3 4

1

2

f

A gauche : pente -1, droite : pente 1 A gauche : pente 0, droite : pente

8/8/2019 maths34n1

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DRIVE 29

1.5.5 Drive de quelques fonctions ( laide de la dfinition)

Si une fonction f est drivable, on peut en gnral dterminer sa drive laide de la dfinition

f(x) = limh0

f(x + h) f(x)h

mme si cela peut tre parfois compliqu.

Exemples

f(x) = ax2 + bx + c

f(x) = limh0

a(x + h)2 + b(x + h) + c (ax2 + bx + c)h

= limh0

ax2 + 2ahx + ah2 + bx + bh + c ax2 bx ch

= limh0 2ahx

+ah2

+bh

h = limh0

h(2

ax+

ah+

b)h

= limh0

2ax + ah + b = 2ax + b

La drive dun polynme du deuxime degr (parabole) est un polynme du premier degr (droite).

f(x) =

x + a

f(x) = limh0

x + h + a x + a

h= lim

h0

x + h + a x + a

h

x + h + a +

x + ax + h + a +

x + a

= limh0

x + h + a (x + a)h

1x + h + a +

x + a

= limh0

h

h 1

x + h + a +

x + a

= limh0

1x + h + a +

x + a

=1

x + a +

x + a=

1

2

x + a

f(x) =1

x + a

f(x) = limh0

1x + h + a 1x + ah

= limh0

x + a

(x + h + a)

(x + h + a)(x + a)

h= lim

h0

h

(x + h + a)(x + a)

h

= limh0

1(x + h + a)(x + a)

= 1(x + a)2

f(x) = xn n entier positif

f(x) = limh0

(x + h)n xnh

= limh0

xn + nxn1h + R xnh

= limh0

nxn1h + R

h

= limh0

nxn1

hh

+ limh0

Rh

= limh0

nxn1 = nxn1

carR

hest form de termes contenant tous des puissances de h de degr 1, donc lim

h0

R

h= 0

8/8/2019 maths34n1

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1.5.6 Rgles de drivation

Soit u et v deux fonctions drivables de I vers R, I ouvert. On aura alors, si c est une constante relle

Drive du multiple[c u(x)] = c u(x) La drive dun multiple est gale

dune fonction au multiple de la drive.

[u(x) + c]

= u(x) Deux fonctions, ne diffrant que duneconstante, ont mme drive.

Drive de la somme[u(x) + v(x)]

= u(x) + v(x)La drive de la somme est gale

de deux fonctions la somme des drives.

Drive de la diffrence[u(x) v(x)] = u(x) v(x) La drive de la diffrence est gale

de deux fonctions la diffrence des drives.

Drive du produit[u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x) La drive du produit nest pas gale

de deux fonctions au produit des drives.

Drive de linverse 1

v(x)

= v(x)

[v(x)]2Ne pas confondre

1

vavec

dune fonction

la fonction rciproque v1

.Drive du quotient

u(x)

v(x)

=u(x) v(x) u(x) v(x)

[v(x)]2La drive du quotient nest pas gale

de deux fonctions au quotient des drives.

Drive de la puissance[u(x)n]

= n

u(x)n1 u(x)

dune fonction

Il existe une autre notation

du

dx

pour la drive de u par rapport la variable x.

Les rgles de drivation scriront alors

Drive du multiple d

dx(c u) = c du

dx

La drive dun multiple est gale

dune fonction au multiple de la drive.

d

dx(u + c) =

du

dx

Deux fonctions, ne diffrant que dune

constante, ont mme drive.

Drive de la somme d

dx(u + v) =

du

dx+

dv

dx

La drive de la somme est gale

de deux fonctions la somme des drives.

Drive de la diffrence d

dx (u v) =du

dx dv

dx

La drive de la diffrence est gale

de deux fonctions la diffrence des drives.

Drive du produit d

dx(u v) = du

dx v + u dv

dx

La drive du produit nest pas gale

de deux fonctions au produit des drives.

Drive de linverse

d

dx

1

v

=

dv

dxv2

Ne pas confondre1

vavec

dune fonction

la fonction rciproque v1.

Drive du quotient

d

dx

uv

=

du

dx v u dv

dxv2

La drive du quotient nest pas gale

de deux fonctions au quotient des drives.

Drive de la puissance d

dx(un) = n

un1

du

dxdune fonction

8/8/2019 maths34n1

31/116

DRIVE 31

Dmonstration : La dernire rgle (drivation de la puissance dune fonction) sera dmontre plus tard.

(cu)(x) = limh0

(cu)(x + h) (cu)(x)h

= limh0

c(u(x + h) u(x))h

= c limh0

u(x + h) u(x)h

= cu(x)

(u + v)(x) = limh0

(u + v)(x + h) (u + v)(x)h

= limh0

u(x + h) + v(x + h) (u(x) + v(x))h

= limh0

u(x + h) u(x) + v(x + h) v(x)h

= limh0

u(x + h) u(x)h

+ limh0

v(x + h) v(x)h

= u(x) + v(x)

(u v)(x) = limh0

(u v)(x + h) (u v)(x)h

= limh0

u(x + h) v(x + h) (u(x) v(x))h

= limh0

u(x + h) u(x) (v(x + h) v(x))h

= limh0

u(x + h) u(x)h

limh0

v(x + h) v(x)h

= u(x) v(x)

(u v)(x) = limh0

(u v)(x + h) (u v)(x)h

= limh0

u(x + h) v(x + h) u(x) v(x)h

= limh0

u(x + h) v(x + h) u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) u(x) v(x)h

= limh0

v(x + h)(u(x + h) u(x)) + u(x)(v(x + h) v(x))h

= limh0 v(x + h) limh0u(x + h)

u(x)

h + limh0 u(x) limh0

v(x + h)

v(x)

h

= u(x)v(x) + u(x)v(x)

Q.E.D.

8/8/2019 maths34n1

32/116


1.5.7 Drivation des fonctions algbriques

Monmes

Un monme tant de la forme anxn, sa drive sobtient par application de la rgle du multiple et dela drive dune puissance

(anxn)

= an(xn)

= annxn1

Exemple

3x2 = 3 x2 = 3 2x = 6x

3

5x4

=3

5

x4

=3

5 4x3 = 12

5x3

Polynmes

Un polynme tant de la forme

P(x) = anxn + an1x

n1 + . . . + a2x2 + a1x + a0

par application de la rgle de la somme (ou de la diffrence), on drive sparment chacun des monmes.

Exemples

(5x3 + x2 2x + 1) = (5x3) + (x2) (2x) = 15x2 + 2x 27x4 2x3

3

=

(7x4 2x3)3

=(7x4) (2x3)

3=

28x3 6x23

A noter, dans le deuxime exemple, quil n y a pas de division de deux fonctions : le polynme aunumrateur est simplement multipli par la constante 13 .

Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle tant de la forme

f(x) =g(x)

h(x)ou f(x) = q(x) +

r(x)

h(x)(forme rduite)

il suffit dappliquer la rgle de la division aux polynmes g et h (ou la rgle de la somme et la rgle dela division aux polynmes q, r et h).

Exemple

x2 + 52x 3

=(x2 + 5)

(2x

3)

(x2 + 5)(2x

3)

(2x 3)2 =2x(2x

3)

(x2 + 5)

2

(2x 3)2 =2x2

6x

10

(2x 3)2

parfois il vaut mieux driver la forme rduite

x2 + 3

x2 + 1

=

1 +

2

x2 + 1

= 2

(x2 + 1)1

= 2(1)(x2 + 1)2(x2 + 1) = 4x(x2 + 1)2

Puissances (exposant quelconque)

Si lexposant nest pas entier, on suppose (avec raison, mais sans le prouver) que la rgle de drivationdes puissances peut galement sappliquer.

Exemple

7

x2 + 1

= 7

(x2 + 1)1

2

= 7 12(x2 + 1)

1

2 (x2 + 1)

= 7xx2 + 1

8/8/2019 maths34n1

33/116

THORMES DANALYSE 33

1.6 Thormes danalyse

1.6.1 Thorme de accroissements finis

Thorme 1.3. Thorme de accroissements finisSoit f une fonction drivable de I versR, avec a I, b I, a < b. Il existe alors c, a c b avec

f

(c) =f(b)

f(a)

b aou encore, ce qui justifie le nom du thorme

f(b) f(a) = f(c)(b a)

Interprtation analytique

Laccroissement de f, gal f(b) f(a), est proportionnel celui de x, gal b a.


b a

a c b

f(b) f(a)

(a ; f(a))

(b ; f(b))

(c ; f(c))

Il existe toujours une tangente f parallle la droite reliant (a; f(a)) (b; f(b)).

Note importante

Il suffit que f ne soit pas drivable en un point, pour que le thorme soit faux.Par exemple si f(x) = |x|, a = b.

1

2

3

4

1 2 3 41234

f

ab

f nest pas drivable en x = 0 et il nexiste pas de nombre c avec

f(c) =f(b) f(a)

b a = 0

8/8/2019 maths34n1

34/116


1.6.2 Thorme reliant drive et croissance

Thorme 1.4. Soit f une fonction drivable de I versR, avec a I, b I, a < b. On a alors

f(x) > 0 pour tout x [a; b] f est croissante dans lintervalle [a; b]

f(x) < 0 pour tout x

[a; b]

f est dcroissante dans lintervalle [a; b]

Dmonstration : On dmontre en dtail seulement la premire assertion, la deuxime tant tout faitquivalente.

Supposons que f(x) > 0 pour tout x [a; b].Pour tablir que f est croissante, on doit montrer que si a x1 < x2 b alors f(x1) < f(x2).

Par le thorme des accroissements finis, on sait quil existe c, x1 c x2 , avecf(x2) f(x1) = f(c)(x2 x1)

comme c [a; b]f(c) > 0

de plus x1 < x2 peut se rcrire

x2 x1 > 0on aura donc, en appliquant la rgle des signes

f(x2) f(x1) = f(c)(x2 x1) > 0ce qui revient dire que f(x1) < f(x2).

Soit f soit croissante dans lintervalle [a; b]. On doit montrer que f(x) 0 pour tout x [a; b].Comme

f(x) = limh0

f(x + h) f(x)h

et f croissante, on a

soit h > 0 et f(x + h) f(x) 0soit h < 0 et f(x + h) f(x) 0

dans les deux cas le quotient est positif ou nul, donc f(x) 0.Q.E.D.

8/8/2019 maths34n1

35/116

CROISSANCE - DCROISSANCE ET EXTREMUMS 35

1.7 Croissance - dcroissance et extremums

La croissance ou dcroissance dune fonction est une notion fondamentale. La drive f permet dedterminer les domaines de croissance, ou de dcroissance, (valeurs de x pour lesquelles f estcroissante ou dcroissante). Il suffit pour cela de calculer les points critiques de f (zros de f) ce quinous permet de dterminer lvolution du signe de f. Par un thorme vu prcdemment, les domaines

de croissance (dcroissance) correspondent alors aux valeurs positives (ngatives) de f

.

1.7.1 Points critiques - Extremums locaux

On dira que (x; f(x)) est un point critique de f si f(x) = 0. Il peut correspondre trois types depoints, selon la croissance de f

f est dcroissante puis croissante f est croissante puis dcroissante

1

2

3

4

1 2 3 4 51

f

1

2

3

4

1 2 3 412

f

(1; 2) est un minimum local (1;5) est un maximum local

f est toujours croissante (ou dcroissante)

1

2

3

4

1 2 3 4 5

f

(2;2) est un palier

Plus prcisment

f admet un minimum local en c si, dans un intervalle autour de c, on a toujours f(x) > f(c)

f admet un maximum local en c si, dans un intervalle autour de c, on a toujours f(x) < f(c)

Remarques

On se limite un intervalle autour de c, do lappellation local.

A noter, quen un minimum la tangente est au-dessus de la courbe, au-dessous en un maximum, alorsquelle traverse la courbe en un palier.

8/8/2019 maths34n1

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Exemple

f(x) =x5

5 x

4

2 4x

3

3+ 4x2 3

f(x) = x4 2x3 4x2 + 8x = x(x + 2)(x 2)2

Les points critiques sont enx =

2

,x = 0

etx = 2

.Ltude du signe de f, et donc les domaines de croissance-dcroissance, peuvent se rsumer ainsi

f + 0 - 0 + 0 +

x -2 0 2

f maximum

minimum

palier

local localf(2) = 13915 f(0) = 3 f(2) = 1115

f est croissante partout sauf dans lintervalle [

2;0].

Si lon veut tre trs prcis, on dira que f est strictement croissante dans les intervalles ]; 2[]0; 2[]2; [et strictement dcroissante dans lintervalle ] 2;0[.

Reprsentation graphique de f

2

4

6

8

10

12

2

4

6

8

1 2 3 4123

f

(2 ; 13915

)

(0 ;3)

(2 ; 1115

)

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CROISSANCE - DCROISSANCE ET EXTREMUMS 37

1.7.2 Extremums globaux

Si une fonction f est dfinie sur un intervalle I alors

(xmin; ymin) est un minimum global si, pour tout x I, on a : f(x) f(xmin) = ymin(xmax; ymax) est un maximum global si, pour tout x

I, on a : f(x)

f(xmax) = ymax

En fait un maximum global correspond un point dordonne y maximale, un minimum global unpoint dordonne y minimale. Ces points ne sont pas ncessairement uniques et dpendent du choix delintervalle I.Un maximum (ou un minimum) global nest pas ncessairement un maximum (ou un minimum) local.

Illustration : Mme fonction f mais intervalles I diffrents

f(x) =x4

9 2x2 + 3 f(x) = 4(x

3 9x)9

=4x(x 3)(x + 3)

9

Les points critiques sont en x = 3, x = 0 et x = 3.

f - 0 + 0 - 0 +

x -3 0 3

f min. local max. local min. local

Intervalle I = [2;4] Intervalle I = [4; 92 ]

2

4

6

8

2

4

6

2 424

f

(0;3)

(3 ;6)

2

4

6

8

2

4

6

2 424

f

(3 ;6)

(0;3)

(3 ;6)

(92

; 12916

)

maximum local et global en (0;3) maximum global en (92 ;12916 )

minimum local et global en (3;

6) maximum local en (0; 3)

minimums locaux et globaux en (3; 6) et (3;6)

8/8/2019 maths34n1

38/116


1.8 Concavit - convexit

1.8.1 Dfinition

Une fonction f est convexe dans lintervalle I = [a; b] si, quels que soient x1 et x2 dans I, le segmentde droite reliant (x1, f(x1)) (x2, f(x2)) est toujours situ au-dessus de la courbe f.

Une fonction f est concave dans lintervalle I = [a; b] si, quels que soient x1 et x2 dans I, le seg-ment de droite reliant (x1, f(x1)) (x2, f(x2)) est toujours situ au-dessous de la courbe f.

Une autre faon de dfinir ces concepts serait

Une fonction f est convexe dans lintervalle I = [a; b] si, quel que soit x dans I, la tangente fau point (x, f(x)) est toujours situe au-dessous de la courbe f.

Une fonction f est concave dans lintervalle I = [a; b] si, quel que soit x dans I, la tangente fau point (x, f(x)) est toujours situe au-dessus de la courbe f.

Attention, cette dernire faon de voir doit tre manipule avec un peu de prcaution : tangente situeau-dessus, ou au dessous, signifiant une partie de la tangente au voisinage du point.

En un point dinflexion, la courbe passe de concave convexe, ou de convexe concave. En un telpoint la tangente f traverse la courbe (car en-dessous dun ct et en-dessus de lautre).

1

2

1

1 2 3 41

point dinflexion

f concave si x < 2 f convexe si x > 2

f

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CONCAVIT - CONVEXIT 39

Illustration

On voit trs bien, dans les graphiques ci-dessous, le changement de forme ou de tendance au niveaudu point dinflexion, ainsi que lassociation maximum local - concave ou minimum local - convexe.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

1 2 3123

f

(0, 2)

maximum

local

minimum

local

f concave f convexe

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7

f

(3.5, 4)

f convexe

croissance

de plus en plus

forte

f concave

croissance

de plus en plus

faible

1.8.2 PropritsOn voit aisment que la drive f dune fonction convexe est croissante, donc sa drive f sera positive.De mme, la drive f dune fonction concave est dcroissante, donc sa drive f sera ngative.

Thorme 1.5. Si f est une fonction deux fois drivable, alors

f convexe dans lintervalle [a; b] f(x) > 0 en tout x [a; b]f concave dans lintervalle [a; b] f(x) < 0 en tout x [a; b]

de ce thorme, on dduit immdiatement leCorollaire 1.6. (x, y) est un point dinflexion de f f(x) = 0

Note importante

Attention, la rciproque du Corollaire nest, en gnral, pas vraie.

Par exemple si f(x) = x4, f(x) = 12x2 0 et f(0) = 0, mais f, tant toujours convexe, na pas depoint dinflexion.

8/8/2019 maths34n1

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1.9 Etude de fonctions

Plan

Ltude de fonctions est la synthse de tout ce que lon peut dire dune fonction donne f :

Domaine de dfinition

Ordonne lorigine et zros Asymptotes

Drive f et ses zros (points critiques)

Drive seconde f et ses zros (points dinflexion)

Tableau rsumant le comportement de f

Reprsentation graphique de f

1.9.1 Etude dun polynme

Soit le polynme

f(x) = x3 12x 168

= (x + 2)2(x 4)8

Son domaine de dfinition est videmment R

Ordonne lorigine : x = 0 , y = 2

Zros : y = 0 si x = 2 (zro pair) , x = 4 (zro impair)Pas dasymptote : un polynme ne peut avoir dasymptote verticale (pas de division par zro) nidasymptote horizontale ou oblique ( moins dtre de degr 1)

f

(x) =

3x2

12

8 =

3(x + 2)(x

2)

8

Points critiques : f(x) = 0 si x = 2 ou x = 2

f(x) =6x

8=

3x

4

Point dinflexion : f(x) = 0 si x = 0.

(cest bien un point dinflexion car f change de signe en x = 0)


f 0 + + +f + 0 - - - 0 +

x -2 0 2

f

maximum minimum en (2;0) en (2; 4)

point

concave dinflexion convexe

en (0; 2)

8/8/2019 maths34n1

41/116

ETUDE DE FONCTIONS 41

f (strictement) croissante () si x ] ; 2[]2; [= R\[2;2]f (strictement) dcroissante () si x ] 2;2[f concave si x ] ; 0[f convexe si x ]0; [

Reprsentation graphique de f(x) = x3 12x 168

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1 2 3 4 512345

f concave f convexe

f croissante f decroissante f croissante

minimum local

point dinflexion

maximum local

f

(2, 0)

(0,2)

(2,4)

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42/116


1.9.2 Etude dune fonction rationnelle

Soit la fonction rationnelle

f(x) =x2 2x + 1

2x + 2=

(x 1)22(x + 1)

=x 3

2+

2

x + 1

Domaine de dfinition : x + 1 = 0 x = 1 Df = R\{1}

Ordonne lorigine : x = 0 y = 12

Zros : y = 0 si x = 1

Signes : f(x) < 0 si x < 1 f(x) > 0 si x > 1

Asymptote verticale : x = 1 avec limx1

f(x) = et limx1+

f(x) =

Asymptote oblique : y =

x

3

2

f(x) =x2 + 2x 3

2(x + 1)2=

(x + 3)(x 1)2(x + 1)2

Points critiques : f(x) = 0 six = 3 y = f(3) = 4x = 1 y = f(1) = 0

Croissance - dcroissance :f croissante si f(x) > 0 si x < 3 ou x > 1

f dcroissante si f(x) < 0 si 3 < x < 1

Extremums :(3; 4) est un maximum local

(1;0) est un minimum local

f(x) =4

(x + 1)3

Point dinflexion : f(x) = 0 jamais

Concavit - convexit :f concave si f(x) < 0 si x < 1

f convexe si f(x) > 0 si x > 1


f exclu + + +f + 0 - exclu - 0 +

x -3 -1 1

f maximum asymptote minimum

en (3; 4) verticale en (1;0)concave convexe

8/8/2019 maths34n1

43/116

ETUDE DE FONCTIONS 43

f (strictement) croissante () si x ] ; 3[]1; [= R\[3;1]f (strictement) dcroissante () si x ] 3;1[f concave si x ] ; 1[f convexe si x ] 1; [

Reprsentation graphique de f(x) =x2 2x + 1

2x + 2=

(x 1)22(x + 1)

=x 3

2+

2

x + 1

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

12

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

12

y =

x 3

2

f

x

=

1

(3;4)

(1;0)

8/8/2019 maths34n1

44/116


1.10 Drives des fonctions trigonomtriques

Les fonctions trigonomtriques ou circulaires, sinus, cosinus, etc., sont dfinies pour des angles exprimsen radians. Leurs construction et reprsentation graphique se font partir du cercle trigonomtrique :

A tout angle correspond un point du cercle trigonomtrique dont les coordonnes sontcos(angle) et sin(angle) .

1.10.1 Construction gomtrique

Graphe de la drive de la fonction f(x) = sin(x)

1 2 3 4 5 6 7

1

1

2 3

22

ff

x = 1

y = 1

pente

=1

pente = 0

x = 1

y = 1

pen

te=

1

pente = 0

x = 1

y = 1pe

nte

=1

Graphe de la drive de la fonction f(x) = cos(x)

1 2 3 4 5 6 7

ff

pente = 01

1

2 3

22

x = 1

y = 1

pen

te=

1

pente = 0

x = 1

y = 1

pente

=1

pente = 0

Au vu de ce qui prcde, on peut conjecturer que

sin(x) = cos(x) et cos(x) = sin(x)

1.10.2 Calcul de la drive de la fonction sinus

Daprs la dfinition de la drive

sin(x) = limh0

sin(x + h) sin(x)h

= limh0

sin(x)cos(h) + cos(x) sin(h) sin(x)h

= cos(x) limh0

sin(h)

h+ sin(x) lim

h0

cos(h) 1h

on a bien le rsultat prcdent si lon montre que

limh0

sin(h)

h= 1 et lim

h0

cos(h) 1h

= 0

8/8/2019 maths34n1

45/116

DRIVES DES FONCTIONS TRIGONOMTRIQUES 45

Pour cela considrons, sur le cercle trigonomtrique, le secteur ABC dangle h et les triangles rectanglesADC et ABE

A

C

D

cos(h)sin(h)

A

C

B

1

h

A

E

B

1tan(h)

on voit facilement que

Aire du triangle ADC

Aire du secteur ABC

Aire du triangle ABE

ce qui scrit (en multipliant tout par 2)

cos(h)sin(h) h tan(h)en divisant par sin(h)

cos(h) hsin(h)

1cos(h)

puis en inversant

cos(h)

sin(h)

h 1

cos(h)or

limh0

cos(h) = limh0

1

cos(h)= 1

donc

limh0

sin(h)

h= 1

C.Q.F.D.

La deuxime limite se dduit directement du rsultat prcdent.

1.10.3 Drives des fonctions tangente et cotangente

Comme

tan(x) =sin(x)

cos(x)cot(x) =

cos(x)

sin(x)[sin(x)]2 + [cos(x)]2 = 1

on obtient facilement les drives de tan(x) et cot(x)

tan(x) = 1[cos(x)]2

= 1 + [tan(x)]2 cot(x) = 1[sin(x)]2

= 1 [cot(x)]2

8/8/2019 maths34n1

46/116


1.11 Drive de la compose de fonctions

La compose de deux fonctions f et g est la fonction g f donne parg f(x) = g [f(x)]

Thorme 1.7. Soit deux fonctions drivables f et g. On a alors

[g f(x)] = g[f(x)] f(x)

Dmonstration : Soit a I Df. On a alors, par dfinition de la drive

[g f(a)]= limxa

g f(x) g f(a)x a = limxa

g[f(x)] g[f(a)]x a

cette expression peut se subdiviser en deux parties, la premire correspondant g, la deuxime f

= limxa

g[f(x)] g[f(a)]f(x) f(a) f(x) f(a)x a

= limxa

g[f(x)] g[f(a)]f(x) f(a) limxa

f(x) f(a)x a

de plus, f tant continue

= limf(x)f(a)

g[f(x)] g[f(a)]f(x) f(a) limxa

f(x) f(a)x a

= g[f(a)]

f(a)

Q.E.D.

Remarque

Cette rgle de drivation est souvent appele la rgle de drivation en chane, car elle se gnralise unun nombre quelconque de fonctions composes :

[h g f(x)] = h[g f(x)] g[f(x)] f(x)[k h g f(x)] = k[h g f(x)] h[g f(x)] g[f(x)] f(x)etc.

Exemplesy = cos(3x + ) g(x) = cos(x) g(x) = sin(x) y = 3 sin(3x + )

f(x) = 3x + f(x) = 3

y = tan(x2 1) g(x) = tan(x) g(x) = 1[cos(x)]2

y = 2x[cos(x2 1)]2

f(x) = x2 1 f(x) = 2x

y =

sin

2x + 6

h(x) =

x h(x) =1

2

x y = cos(2x +

6 )

sin

2x + 6

g(x) = sin(x) g

(x) = cos(x)f(x) = 2x + 6 f

(x) = 2

8/8/2019 maths34n1

47/116

DRIVE DE LA RCIPROQUE DUNE FONCTION 47

1.12 Drive de la rciproque dune fonction

Soit f : A B une fonction bijective. Sa fonction rciproque, est la fonction f1 : B A quisatisfait

f1 f(x) = f1[f(x)] = x

Si f et f

1 sont drivables, avec f

(x) = 0, alorsf1 f(x) = (x)

f1

[f(x)] f(x) = 1et donc

f1

[f(x)] =1

f(x)

La drive de la rciproque f1, est gale linverse de la drive de la fonction f.

Illustration graphique

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 512345

f1

y=x

f

(1,3)

(3, 1)

1

2

2

1

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1.13 Drives des fonctions exponentielle et logarithme naturel

Les fonctions exponentielle et logarithme naturel sont donne par

y = ex x = ln(y)ou, ce qui revient au mme

y = ln(x) x = ey

o e = 2.718... est le nombre dEuler.

Ces deux fonctions tant la rciproque (ou linverse) lune de lautre, la connaissance de la drive delune implique celle de lautre (voir drive des fonctions rciproques).

1.13.1 Drive de la fonction exponentielle

Construction gomtrique

1

2

3

4

1 2 31234

f

(1, e)

pente

=e

pente

=1

)(0,

(1, 1e

)

pente=

1

e

On constate quen tout point de la courbe f(x) = f(x), on peut donc conjecturer que

(ex)

= ex

1.13.2 Drive de la fonction logarithme

En appliquant la rgle de drivation des fonctions rciproques, on obtientln(ex)

=1

ex

ou encore

ln(x)

=1

x

Rgles de drivation

En appliquant la rgle de drivation des fonctions composes, on obtient

ef(x)

= ef(x)f(x) et ln [f(x)]

=1

f(x)f(x) =

f(x)

f(x)

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Chapitre 2

Gomtrie vectorielle

2.1 Notions de base

2.1.1 Introduction

Les plan et espace euclidiensLa gomtrie vectorielle peut se dfinir dans des espaces de tous types et dimensions. Le collgien secontentera des espaces euclidiens deux et trois dimensions :

le plan euclidien R2, deux dimensions valeurs relles (une feuille de papier, le tableau noir, etc. )

lespace euclidien R3, trois dimensions valeurs relles (lespace ambiant)

Dfinition dun vecteur

Le Petit Robert nous dit quun vecteur est un segment de droite formant un tre mathmatiquecaractris par une grandeur (longueur), une direction et un sens.

a

Sa grandeur (physique par exemple) dtermine sa longueur, note a, la droite sa direction et sonsens est prcis par la flche.

Pour dessiner un vecteur a, il vaut mieux connatre ses composantes, ou dplacements, dans les dif-frentes directions lmentaires, quon peut noter

dans le plan euclidien R2 :

a =

composante horizontale (axe des x)

composante verticale (axe des y)

=

a1a2

x

y

dans lespace euclidien R3 :

a =

premire composante horizontale (axe des x)deuxime composante horizontale (axe des y)

composante verticale (axe des z)

= a1a2

a3

y

z

xou

a =

composante horizontale (axe des x)composante verticale (axe des y)

composante de profondeur (axe des z)

= a1a2

a3

x

y

z

49

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50 GOMTRIE VECTORIELLE

2.1.2 Addition vectorielle

Soit les vecteurs ont mme origine, et on applique la rgle du paralllogramme

b

a

c=a +

b

soit les vecteurs sont mis bout bout

b

a

c=a +

b

2.1.3 Soustraction vectorielle

Cette construction est toute simple, mais attention au sens du vecteur.Le vecteur a b devant satisfaire b + (a b) = a, il relie lextrmit de b celle de a.

a

b

c = ab

de mme, le vecteur b a devant satisfaire a + (b a) = b, il relie lextrmit de a celle de b.

a

b

c =b a

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NOTIONS DE BASE 51

2.1.4 Multiple dun vecteur

Si est un nombre rel, le vecteur a est de

mme direction que a

mme sens que a, si > 0, sens oppos a, si < 0

longueur

|

|a

a

aa

a

> 0 < 0

2.1.5 Combinaisons linaires - bases

Combinaison linaire

On appelle combinaison linaire des vecteurs a et b le vecteur

c = a + b

o et sont des nombres rels quelconques.

Il sagit donc de la somme de multiples de vecteurs. Cette notion peut bien sr tre tendue unnombre quelconque de vecteurs a, b, c, d, e, . . .

Illustration graphique

a

b

a

b

c=a

+b

Bases du plan euclidien R2

Si deux vecteurs a et b donns ne sont pas colinaires, on peut crire nimporte quel vecteur c du plancomme combinaison linaire de a et b. Plus prcisment, on peut trouver des rels et tels que

c = a + b

on dira alors que les deux vecteurs a et b forment une base du plan euclidien qui est, pour cette raison,un espace vectoriel de dimension 2. Les nombres et sont appels les composantes de c dans labase {a,b}.

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Retrouver les composantes (valeurs de et ) dun vecteur donn c, est plus ou moins facile selonles vecteurs de base a et b choisis. Graphiquement, il faut reconstituer le paralllogramme dont lescts sont des multiples de a et b, et la diagonale est gale c, puis estimer les valeurs de et .Numriquement, il faut rsoudre un systme de 2 quations 2 inconnues.

Bases de lespace euclidien R3

Si trois vecteurs a, b et c donns ne sont pas coplanaires, on peut crire nimporte quel vecteur d delespace comme combinaison linaire de a, b et c. Plus prcisment, on peut trouver des rels , et tels que

d = a + b + c

on dira alors que les trois vecteurs a, b et c forment une base de lespace euclidien R3 qui est, pourcette raison, un espace vectoriel de dimension 3. Les nombres , et sont appels les composantesde d dans la base {a, b, c}.Retrouver les composantes (valeurs de , et ) dun vecteur donn, est plus ou moins facile selon lesvecteurs de base a, b et c choisis. Graphiquement, cest pratiquement impossible. Numriquement, il

faut rsoudre un systme de 3 quations 3 inconnues.

Base naturelle ou canonique

Cest pour viter ces difficults que lon choisit comme vecteurs de base du plan euclidien R2 les vecteursi et j :

i : vecteur horizontal de longueur 1 j : vecteur vertical de longueur 1

Les composantes a1 et a2 dun vecteur donn seront les dplacements horizontal et vertical de celui-ci.

De plus si lorigine du vecteur est situe au point (0, 0) lextrmit du vecteur se trouvera au point

A = (a1, a2). Les composantes du vecteur seront gales aux coordonnes du point A.

1

2

3

4

1

2

1 2 3 4 5 6

1

2

a =

53

i

j5i

3 j

A = (5, 3)

Pour viter toute confusion vecteur - point, et par cohrence avec le produit matriciel, on note lescomposantes du vecteur verticalement

i : axe des x j : axe des y vecteur

i = 1

0

j = 0

1

a = a1

a2

= a1i + a2

j

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NOTIONS DE BASE 53

Dans lespace euclidien R3, les trois vecteurs de la base naturelle sont les trois vecteurs de longueur 1et de directions respectives les axes x, y, et z usuels

i : axe des x j : axe des y k : axe des z vecteur

i =

10

0

j =

01

0

k =

00

1

a =

a1a2

a3

= a1i + a2j + a3 k

Les composantes a1, a2 et a3 dun vecteur donn seront les dplacements dans les 3 directions decelui-ci.

Lanalogie composantes du vecteur - coordonnes du point A = (a1, a2, a3) reste valable.

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2.2 Produits de vecteurs

2.2.1 Produit scalaire

Dfinition

Le produit scalaire de deux vecteurs et est un nombre rel qui satisfait les conditions suivantes :

Il dpend des longueurs de a et b

Il sera dautant plus grand que les directions de a et b sont semblables

Plus prcisment, on pourrait imposer que

a b = a b si a et b ont mme direction et mme sensa b = a b si a et b ont mme direction mais sont de sens oppossa b = 0 si a et b sont perpendiculaires

Une formulation satisfaisant toutes ces conditions est donne par

a b = a b cos(angle entre a et b)

Il est noter que la valeur b cos(angle entre a et b) est gale la longueur de la projection orthogo-nale ( angle droit) de b sur la droite directrice de a. (Cette valeur sera ngative si > 90, ou encore,si la projection est loppos de a).

> 90 proja b < 0 < 90 proja b > 0

a

b

projab

a

b

projab

on pourra donc crire galement

a b = a proja b

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PRODUITS DE VECTEURS 55

Proprits

a b = b a commutativit

a (b + c) = a b + a c distributivit

a a = a2 le produit scalaire permet le calcul de la longueur dun vecteura b a b = 0 condition de perpendicularita,b = 0 (vecteurs non nuls) (orthogonalit) de deux vecteurs

cos() =a b

a bpermet de calculer langle entre deux vecteurs a et b

A lexception de la deuxime, toutes ces proprits sont videntes.

Pour montrer la deuxime, il faut utiliser la deuxime dfinition du produit scalaire :

a (b + c) = a proja (b + c )

a b + a c = a proja b + a proja c = a (proja b +proja c)il suffit donc de montrer que

proja (b + c ) = proja b +proja c

ce qui est immdiat, si lon fait un schma

a

b

c

b+ c

projab proja c

projab+ c

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Expression partir des composantes dans la base naturelle

Dans le plan euclidien R2 :

Si

a = a1i + a2j =

a1a2

b = b1i + b2j =

b1b2

alors

a b = a1b1 + a2b2

car

i i = j j = 1 et i j = j i = 0

Dans lespace euclidien R3 :

Si

a = a1i + a2j + a3k =

a1a2

a3

b = b1i + b2j + b3k =

b1b2

b3

alors

a b = a1b1 + a2b2 + a3b3

car

i i = j j = k k = 1 et i j = i k = j k = 0

Gnralisation : Le produit scalaire peut tre gnralis tout espace n dimensions muni dune baseorthonorme.

Si

a =

a1

a2. . .

an

b = b1

b2. . .

bn

alors

a b = a1b1 + a2b2 + . . . + anbn

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2.2.2 Produit vectoriel

Dfinition

Le produit vectoriel ab de deux vecteurs de lespace a et b est un vecteur qui satisfait les conditionssuivantes :

Il est perpendiculaire a et b Sa longueur est gale a b sin(angle entre a et b) Son sens est donn par la rgle du tire-bouchon.

a

b

a b devisse monte

b a visse descend

h = b sin()

Il est noter que la valeur a b sin(angle entre a et b) est gale laire du paralllogramme de ctsa et b.

Proprits

a b = b a attention lordre

a (b + c) = a b + a c distributivit

a a = 0 car sin (0) = 0

A lexception de la deuxime, toutes ces proprits sont videntes.

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Si

a =

a1a2

a3

= a1i + a2j + a3k b =

b1b2

b3

= b1i + b2j + b3k

alors

a b =

a2b3 a3b2a3b1 a1b3a1b2 a2b1

= (a2b3 a3b2)i + (a3b1 a1b3)j + (a1b2 a2b1)k

ce qui peut se justifier en appliquant la distributivit et les rsultats ci-dessous

i

j

k

i

j

k

ij=k

ji=k

kj=i jk=i

ik=j

ki=j

Dtermination dun vecteur perpendiculaire deux vecteurs donnsIl suffit de calculer le produit vectoriel des deux vecteurs. Cette faon de procder est utilise pourdterminer le vecteur normal dun plan ou le vecteur directeur de la droite intersection de deux plansnon parallles.

Utilisation du produit vectoriel

Calcul de laire dun polygone dont on connat les sommets

A

B

C

D

EF

G

Aire =AB

AG

2

Aire =

BC

BG

2

Aire =CD

CG

2

Aire =DF

DG

2

Aire =EF

ED

2

Il suffit de trianguler le polygone. Les aires de chacun des triangles se calculant laide du produitvectoriel.

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2.2.3 Produit mixte

Dfinition

Le produit mixte [a,b, c ] de trois vecteurs de lespace, a, b et c, est le nombre rel donn par :

[a,b, c ] = (a

b)

c = a

(b

c)

a

b

ch

projab

c

ab

Il est noter que le produit mixte des vecteurs a, b et c est gal au volume du paralllipipde engendr

par les vecteurs a, b et c :[a,b, c ] = (a b) c = a bproj

abc = aire de la base hauteur = volume

Proprits

[a,b, c ] = [b, c, a ] = [c, a,b ] = [a, c,b ] = [b, a, c ] = [c,b, a ]

[a,b, c ] = 0 a, b et c sont coplanaires (a,b, c = 0 )

La deuxime proprit peut sexpliquer facilement : si a, b et c sont coplanaires, alors a

b

c, etdonc (a b) c = 0.


Si

a =

a1a2

a3

= a1i + a2j + a3k b =

b1b2

b3

= b1i + b2j + b3k c =

c1c2

c3

= c1i + c2j + c3k

alors

[a,b, c ] = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 a1b3c2 a2b1c3 a3b2c1

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A laide dune calculatrice

Les trois vecteurs regroups forment un tableau 3 lignes et 3 colonnes, appel matrice, dont ledterminant est gal au produit mixte des trois vecteurs.On doit donc crer la matrice (vecteurs en lignes ou en colonnes) et calculer son dterminant.

Rgle de Cramer

Tout systme de 3 quations 3 inconnues peut scrire

xa + yb + z c = d

si on multiplie vectoriellement la ligne par b, on a

xa b + yb b + z c b = d bor b b = 0, donc

x a b + z c b = d b

on multiplie encore scalairement par c

x (a b) c + z (c b ) c = ( d b ) cor c b est perpendiculaire c, donc (c b ) c = 0, ce qui donne

x (a b ) c = (d b ) cou encore

x [a,b, c ] = [ d,b, c ]

et finalement

x =[ d,b, c ]

[a,b, c ]

on peut appliquer la mme dmarche et obtenir

y =[a, d, c ]

[a,b, c ]

et

z =[a,b, d ]

[a,b, c ]

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DROITE ET PLAN 61

2.3 Droite et plan

2.3.1 Droite

Dfinition

En dehors de dfinitions du type le plus court chemin entre deux points, il nexiste pas de dfinition

mathmatique lmentaire de la droite.

Une droite, cest une chose qui se comprend immdiatement.

On embrouille lesprit chercher la dfinir davantage.

Blaise Pascal (1623 - 1662)

En gomtrie vectorielle, une droite de point dorigine A, est forme des points tels que les vecteursreliant A ces points sont tous de mme direction. (Pas de changement de direction lors du parcoursde la droite). Cette direction commune, est donne par le vecteur directeur de la droite.

Equation dune droite

Plus pcisment, le vecteurAP, reliant tout point P de la droite d son origine A, sera un multiple

du vecteur directeur d

A

d

d

P

AP

=d

P d AP = d

Dans le plan euclidien R2, lquation, sera alorsx = x0 + d1y = y0 + d2

si A = (x0; y0) et d =

d1d2

et dans lespace euclidien R3

x = x0 + d1y = y0 + d2

z = z0 + d3

si A = (x0; y0; z0) et d =

d1d2

d3

A noter, que si une des composantes de d est nulle, alors la variable correspondante est constante

d1 = 0 x = x0 d2 = 0 y = y0 d3 = 0 z = z0

8/8/2019 maths34n1

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Cette formulation, appele quation paramtrique de la droite, est pratique pour gnrer despoints (il suffit de donner une valeur au paramtre ) ou rsoudre des problmes dintersection, peuttre simplifie en isolant, puis liminant .On aura alors, si d1, d2, d3 = 0

x x0d1

=y y0

d2

=z z0

d3

Cette criture, appele quation cartsienne de la droite, est plus compacte et permet de vrifierrapidement si un point donn appartient la droite d.

Il arrive trs souvent que la droite soit donne par deux points A et B, ce qui est suffisant. Le vecteurdirecteur sera alors le vecteur d =

AB.

Exemples

1. Dterminer lquation de la droite passant par les points A = (2;3;5) et B = (0; 1;5).

Son vecteur directeur sera

d =AB =

24

0

et son quation paramtrique

x = 2 + 2y = 3 4z = 5

ou encore cartsienne

x + 22

= y 34 et z = 5

2. Dterminer lquation de la droite e passant par le point A = (2; 7;1), parallle la droite ddquation cartsienne

1 x4

= y + 2 = z3

Son vecteur directeur sera le mme que celui de la droite d

d =

41

3

et donc son quation paramtrique sera

x = 2 4y = 7 + z = 1 3

et son quation cartsienne

2 x4

= y + 7 = z 13

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DROITE ET PLAN 63

3. Dterminer lquation de la droite e passant par B(3; 2;6) et perpendiculaire la droite ddonne par son quation cartsienne

x 12

=y 2

3= z

On dduit facilement lquation paramtrique de la droite d

A = (1; 2;0) et d =

23

1

x = 1 + 2y = 2 + 3z =

De plus, si C = (x; y; z) est le point dintersection des deux droites, on aura

A

d

B

e

C

d

BC d = 0

ce qui se rcritx 3y + 2

z 6

d = 2 23 + 4

6

23

1

= 4 4 + 9 + 12 + + 6 = 0

on en dduit facilement que

= 1 et C = (1; 1;1)ce qui nous permet de dduire lquation paramtrique de la droite e passant par C et de vecteurdirecteur e =

BC

C = (1; 1;1) et e = 41

5

x = 1 + 4y = 1 z = 1 + 5

et lquation cartsienne

x + 1

4= y 1 = z 1

5

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2.3.2 Plan

Dfinition

Un plan est une surface de lespace euclidien R3 telle que, pour toute paire de points distincts A et Bde cette surface, elle contient galement tous les points de la droite passant par A et B.

Cette surface de lespace est mathmatiquement quivalente au plan euclidien R2.

Equation paramtrique

Comme un plan est quivalent R2, il peut tre engendr par deux vecteurs a et b. Mais attention,ces deux vecteurs tant libres, il faut les attacher un point A. On aura alors la condition

P AP est combinaison linaire de a et b

A a

b

a

b

P

AP

=a

+b

Les coordonnes du point P, tant gales aux composantes deOP =

OA +

AP, seront donnes par

x = x0 + a1 + b1

y = y0 + a2 + b2

z = z0 + a3 + b3

si A = (x0; y0; z0) et a =

a1a2

a3

et b =b1b2

b3

Les deux paramtres et nous permettent, partir de A, a et b connus, de dterminer tous les pointsdu plan . Toutefois ce nest pas trs pratique pour vrifier si un point donn appartient ou non auplan, puisquil faudrait dterminer les valeurs des deux paramtres et .

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DROITE ET PLAN 65

Equation cartsienne

Si lon connat un vecteur n, perpendiculaire au plan, appel vecteur normal, et un point du planA, on aura alors la condition

P AP n n AP = 0

A

P

n AP

Les coordonnes du point P devront alors satisfaire lquation

n1x + n2y + n3z = n1x0 + n2y0 + n3z0

si

n =

n1n2

n3

et A = (x0; y0; z0)

Cette faon de faire est trs simple, on peut sy ramener facilement si on ne connat pas le vecteurnormal : si on connat deux vecteurs a et b, comme prcdemment, par exemple deux vecteurs directeurs de

droites du plan, n = a b

si on connat trois points A, B et C du plan, alors n = AB AC.

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Reprsentation graphique dun plan

Si on dsire reprsenter le plan , donn par son quation cartsienne

: ax + by + cz = d

on dtermine

les ventuels points dintersection avec les axes les ventuels droites dintersection avec les plans Oxy, Oxz et Oyz , appeles souvent : les traces du

plan sur le mur, le sol et le profil .

Plus prcisment, les conditions dintersection seront

Axes Plans

Ox Oy Oz Oxy (mur) Oxz (sol) Oyz (profil)

y = z = 0 x = z = 0 x = y = 0 z = 0 y = 0 x = 0

Exemples

Reprsentation graphique du plan (horizontal) dquation

: y = 3

Le plan tant toujours hauteur y = 3, il ne coupe que laxe Oy en (0;3;0), et ses seules traces sontdes droites horizontales sur le mur et le profil (en gris).

z x

y

(0;3;10) (10;3;0)

(0;3;0)

(10; 3;10)

(0; 3;5)(5;3;0)

dmurdprofil(5;3;10)

(5, 3,5)

(10, 3,5)

En fonc, la partie visible du plan (x, y , z 0), en clair la partie cache par les mur, sol et profil.En vert fonc les intersections : points et traces.En noir, dautres points du plan.

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DROITE ET PLAN 67

Reprsentation graphique du plan (vertical) dquation

: x 2z = 0

Axes Plans


(0;0;0) Oy (0;0;0) dmur : Oy dsol : x 2z = 0 dprofil : Oy

z

x

y

(0;6;0)

(0;3;0)

(10;0;5)

(6;6;3)

(6;0;3)

(6;3;3)

(10;3;5)

(10;6;5)

dsol

dmurdprofil


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Reprsentation graphique du plan (vertical) dquation

: 2x + z = 8

Axes Plans


(4;0;0) (0;0;8) dmur : x = 4 et z = 0 dsol : 2x + z = 8 dprofil : z = 8 et x = 0

z

x

y

(4;0;0)(0;0;8)

(4;6;0)(0;6;8)(2;6;12)

(2;0;12)

(2;3;12) (0;3;8)(4;3;0) (6;3;4)

(6; 0;4)

(6; 6;

4)

dsol

dmurdprofil


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DROITE ET PLAN 69

Reprsentation graphique du plan dquation

: 1 0x + 15y + 12z = 60

Axes Plans


(6; 0; 0) (0; 4; 0) (0;0;5) dmur : 2x + 3y = 12 dsol : 5x + 6z = 30 dprofil : 5y + 4z = 20

z

x

y

(0;0;5)

(6;0;0)

(0;4;0)

dsol

dmurdprofil

(3;6;0)

(92;3;5)

(3;0; 152)

(0;2; 152)

(6;4;5)

(9;2;0)

(9;0;

5

2)

(6; 4;5)

(0;6;52)


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Reprsentation graphique du plan dquation

: 3x 2y + 4z = 12

Axes Plans


(4; 0; 0) (0; 6; 0) (0; 0; 3) dmur : 3x 2y = 12 dsol : 3x + 4z = 12 dprofil : y + 2z = 6

z

x

y

(0;0;3)(4;0;0)

(0;6;0)

dsol

dmurdprofil

(0;6;6)(4;6;9)

(163;0;7)

(8;12; 3)(4;12;0)

(0;12;3)(4;12;6)

( 283; 0;4)

(12; 6;3)(8;6;0)


8/8/2019 maths34n1

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INTERSECTIONS 71

2.4 Intersections

2.4.1 Intersection dune droite et dun plan

Si la droite d et le plan ne sont pas parallles, leur intersection est un point P

A

P = d

d

n

d

Connaissant le point A = (x0; y0; z0) et le vecteur directeur d =

d1d2

d3

la droite d, il suffit de substituer

les quations de d dans celle du plan pour obtenir la solution.

Plus prcisment, si

Droite d Plan

x = x0 + d1

y = y0 + d2

z = z0 + d3

n1x + n2y + n3z = p

le point P se calcule en rsolvant lquation une inconnue

n1(x0 + d1) + n2(y0 + d2) + n3(z0 + d3) = p

do on dduit les valeurs des coordonnes du point P.

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Exemple

Dterminer lintersection de la droite d donne par son quation cartsienne

x 3 = y + 12

et z = 4

avec le plan perpendiculaire d et passant par lorigine.

On dduit facilement le vecteur directeur d et lquation paramtrique de la droite d :

d =

12

0

x = 3 +

y = 1 + 2z = 4

Comme le plan est perpendiculaire la droite d, on peut poser

n = d =

12

0

et, en se rappelant que passe par lorigine O = (0; 0;0), obtenir son quation

: x + 2y = 0

ce qui nous donne

3 + + 2(1 + 2) = 0 = 15 x = 145 y = 75 z = 4Le point dintersection sera

P = d

= (145 ;

75 ; 4)

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2.4.3 Intersection de trois plans

Point de vue algbrique

Chacun des trois plans tant dcrit par une quation 3 inconnues, la dtermination de lintersectiondes trois plans, revient rsolution dun systme de 3 quations 3 inconnues.

Selon le degr dindpendance (linaire) ou dincompatibilit des quations, on trouvera comme inter-

section un point, une droite, un plan ou lensemble vide.

Point de vue gomtrique

La caractristique essentielle dun plan tant son vecteur normal, on distingue trois situations : Deux ou trois vecteurs

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