mathematik: grundlagen & anwendungen · zahlungsströme (cash ows) mathematisch zu modellieren...

Mathematik: Grundlagen & Anwendungen

Dr. Claudia Vogel

Universität Bern

WS 2013/2014

Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 1 / 516

Organisatorisches

Vorlesung und Übung:

25.02.2014 8:30-18:30 3/6/9 CP 26.02.2014 8:30-15:00 3/6/9 CP

04.03.2014 8:30-18:30 3/6/9 CP 05.03.2014 8:30-15:00 6/9 CP

11.03.2014 8:30-18:30 6/9 CP 12.03.2014 8:30-15:00 9 CP

18.03.2014 8:30-18:30 9 CP 19.03.2014 8:30-15:00 9 CP

25.03.2014 8:30-18:30 9 CP 26.03.2014 8:30-15:00 9 CP

Kontakt: [email protected]


Lernziele/Kompetenzen

Nach dem Besuch des Moduls Mathematik: Grundlagen und Anwendungen sinddie Studenten insbesondere in der Lage

mathematische Aussagen und Formeln zu lesen und zu verstehen

ökonomische Probleme mathematisch darzustellen

ökonomische Optimierungsprobleme zu modellieren und zu interpretieren

Zahlungsströme (Cashows) mathematisch zu modellieren und zu analysieren

lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme zu lösen

nicht-lineare ökonomische Optimierungsprobleme mit und ohne Restriktionenzu lösen.


Literatur

Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter (2009). Mathematik fürWirtschaftswissenschatler. Pearson Studium.

Schwarze, Jürgen (2011). Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. NWBStudium.


Inhalt

1 Elementare Grundlagen

2 Gleichungen

3 Einige Aspekte der Logik

4 Grundzüge der Mengenlehre

5 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

6 Dierentialrechnung

7 Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung

8 Integralrechnung

9 Finanzmathematik

10 Lineare Algebra

11 Funktionen mit mehreren Variablen


Elementare Grundlagen Das Zahlensystem

Elementare Grundlagen

Das Zahlensystem

Grundrechenarten

Potenzen und Wurzeln

Logarithmen



Zahlenbegrie 1/3

Natürliche Zahlen

Die Zahlen 1,2,3,4... heissen natürliche Zahlen und werden mit Ngekennzeichnet.

Sei n eine beliebige natürliche Zahl, so ist 2n eine gerade und 2n + 1 eineungerade Zahl.

Ganze Zahlen

Die Zahlen ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... heissen ganze Zahlen und werden mit Zbezeichnet.



Zahlenbegrie 2/3

Rationale Zahlen

Alle Zahlen, die sich als Quotient p

qzweier ganzer Zahlen p und q mit (q 6= 0)

darstellen lassen, heissen rationale Zahlen und werden mit Q bezeichnet.

Rationale Zahlen können als Bruch zweier ganzer Zahlen p

q(wobei p als

Nenner und q als Zähler bezeichnet werden) oder als Dezimalbruchgeschrieben werden.

Dezimalbrüche können endlich (z.B. 0, 25) oder unendlich periodisch (z.B.1

3= 0, 333... = 0, 3) sein.



Zahlenbegrie 3/3

Irrationale Zahlen

Zahlen, die sich weder als Quotient zweier ganzer Zahlen noch als endlicherbzw. unendlich periodischer Dezimalbruch darstellen lassen, sondern nur alsunendlich nicht periodischer Dezimalbruch, heissen irrationale Zahlen, z.B.π, e,

√2.

Reelle Zahlen

Die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammen ergeben die reellenZahlen R.R+ bezeichnet die nicht negativen reellen Zahlen, R+

0die nicht negativen

reellen Zahlen inklusive Null.



Aufbau des Zahlensystems


Elementare Grundlagen Grundrechenarten


Das Zahlensystem

Grundrechenarten


Logarithmen



Elementare Rechenregeln

1 − (−a) = a

2 −a = (−1) a

3 −ab = − (ab) = (−a) · b = a · (−b)

4 (−a) (−b) = ab

5 − ab

= (−1)a

b=−ab

=a

−b

6−a−b

=a

b



Rechnen mit Null

1 a + 0 = 0 + a = a

2 a− 0 = −0 + a = a

3 a · 0 = 0 · a = 0

40a

= 0

5a

b= 0 ⇒ a = 0; b 6= 0

6 ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0



Rechnen mit Brüchen

1a · cb · c

=a

bmit b 6= 0 und c 6= 0

2a

c+

b

c=

a + b

c

3a

b+

c

d=

a · d + b · cb · d

4 a +b

c=

ac + b

c

5 a · bc

=a · bc

6a

b· cd

=a · cb · d

7a

b:c

d=

a

b· dc

=a · db · c



Rechnen mit Klammern

1 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

2 a + (b − c) = a + b − c

3 a− (b + c) = a− b − c

4 a− (b − c) = a− b + c

5 a (b + c) = ab + ac

6 a (b − c) = ab − ac

7 (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

8 (a + b) (c − d) = ac − ad + bc − bd

9 (a + b) : c =(a + b)

c=

a

c+

b

c


Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln


Das Zahlensystem

Grundrechenarten


Logarithmen



Denition von Potenzen

Das n-fache Produkt einer Zahl mit sich selbst ergibt die n-te Potenz dieser Zahl:

a · a · a · . . . · a = an

a Grundzahl oder Basis.n Hochzahl oder Exponent.



Regeln für Potenzen

1 a1 = a

2 1n = 1 für n 6= 0

3 0n = 0 für n 6= 0

4 a0 = 1 für a 6= 0, 00 ist nicht deniert.

5 Die Potenz einer negativen Zahl ist positiv bei geraden Exponenten undnegativ bei ungeraden Exponenten:(−a)2n = +a2n

(−a)2n+1 = −a2n+1

6 a−n =1an

für a 6= 0, n ∈ N



Rechnen mit Potenzen

Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie in ihrer Basisund ihrem Exponenten übereinstimmen. Identische Potenzen werden addiert odersubtrahiert indem man ihre Koezienten addiert oder subtrahiert.

Potenzen mit gleicher Basis1 ar · as = ar+s

2 (ar )s = ars

3ar

as= ar−s

Potenzen mit gleichen Exponenten1 (ab)r = ar · br

2

( ab

)r=

ar

br= arb−r



Potenz einer Summe

(a + b)r 6= ar + br

Binomische Formeln:1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2 (a− b)2 = a2 − 2ab + b2

3 (a + b) (a− b) = a2 − b2



Quadratische Ergänzung

Zur Lösung mancher Aufgaben ist es nötig, einen gegebenen Ausdruck so zuergänzen, dass ein Binom der Form (a + b)2 oder (a− b)2 entsteht.

Beispiel: 9x2 − 12xz

Die vollständige Formel wäre:

9x2 − 12xz + 4z2 = (3x − 2z)2

Die Ergänzung muss wieder subtrahiert werden, so dass gilt:

9x2 − 12xz = 9x2 − 12xz + 4z2 − 4z2

= (3x − 2z)2 − 4z2



Wurzeln

Die n-te Wurzel aus b,n√b mit b > 0 ist diejenige nichtnegative Zahl a, deren

n-te Potenz b ergibt.

Die Auösung von an = b nach a liefert also a =n√b.

b heisst Radikand, n Wurzelexponent und a Wurzelwert.

Das Wurzelziehen ist eine Umkehrung des Potenzierens, nämlich die Auösungnach der Basis.

Die 2. Wurzel oder Quadratwurzel wird vereinfacht als√b statt 2

√b geschrieben.



Rechnen mit Wurzeln

Wurzel können auch als Potenz mit gebrochenen Exponenten aufgefasst werden.1

n√b = b

1n

2n√bm = b

mn

Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die Anwendung der Potenzgesetze auchauf Wurzeln:

1 n√a · n√b =

n√ab

2

n√a

n√b

= n

√a

b

3m

√n√a = nm

√a =

m

√n√a


Elementare Grundlagen Logarithmen


Das Zahlensystem

Grundrechenarten


Logarithmen



Logarithmen

Denjenigen Exponenten n, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um b zuerhalten, nennt man den Logarithmus von b zur Basis a: n = loga b.Dabei sind a und b positiv und a 6= 0.

Allgemein geht es um die Auösung der Gleichung an = b

die Auösung nach a führt auf die Wurzel

die Auösung nach n führt auf den Logarithmus

Logarithmen zur Basis 10 heissen dekadische Logarithmen und werden mit lg xbezeichnet.

Logarithmen zur Basis e heissen natürliche Logarithmen und werden mit ln xbezeichnet.



Rechnen mit Logarithmen

1 ln (ab) = ln a + ln b

2 ln( ab

)= ln a− ln b

3 ln (an) = n ln a

4 ln(

n√a)

=1nln a

5 ln e = 1

6 ln 1 = 0, da a0 = 1


Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen

Gleichungen

Lösen einfacher Gleichungen

Lineare Gleichungen

Quadratische Gleichungen

Wurzelgleichungen

Exponentialgleichungen

Logarithmengleichungen

Verhältnisgleichungen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Ungleichungen

Intervalle und Absolutbeträge

Summen und Produkte



Gleichungen

Identische Gleichungen beziehen sich auf wahre mathematische Aussagen.

Beispiel: 5 + 3 = 8

Funktionsgleichungen ordnen variable Grössen einander zu.

Beispiel: f (x) = y

Bestimmungsgleichungen enthalten neben bekannten Grössen immer eineoder mehrere Variablen und dienen der Ermittlung der Variablen, für die dieBestimmungsgleichung erfüllt ist.

Beispiel: x + 5 = 9



Umformen von Gleichungen 1/5

Grundregel: Die Lösungsmenge einer Bestimmungsgleichung bleibt unverändert,wenn auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechenoperation mit der gleichenZahl durchgeführt wird. Dies ist als äquivalente Termumformung bekannt.

Nicht erlaubt: Multiplikation/Division mit Null.

Eine Lösung einer Bestimmungsgleichung kann durch Einsetzen der Lösungswertein die ursprüngliche Gleichung überprüft werden.




Auf beiden Seiten der Gleichung darf der gleiche Wert addiert/subtrahiert werden.

T1 = T2 ⇔ T1 ± T3 = T2 ± T3

Beide Seiten dürfen mit demselben Term multipliziert bzw. durch denselben Wertdividiert werden.

T1 = T2 ⇔ T1 · T3 = T2 · T3 T3 6= 0

T1 = T2 ⇔ T1

T3=

T2

T3T3 6= 0




Beide Seiten der Gleichung dürfen zur selben positiven Basis a (a 6= 1) potenziertwerden.

T1 = T2 ⇔ aT1 = aT2 für a > 0, a 6= 1

Beide Seiten einer Gleichung dürfen, wenn sie beide positiv sind, zur selbenpositiven Basis (6= 1) logarithmiert werden.

T1 = T2 ⇔ loga T1 = loga T2

⇔ lnT1 = lnT2




Potenzieren und Radizieren mit ungeradem Exponenten gelten als äquivalenteUmformungen.

T1 = T2 ⇔ T n1 = T n

2

T1 = T2 ⇔ n√T1 = n

√T2

falls n ungerade ist.




Potenzieren und Radizieren mit geradem Exponenten sind keine äquivalentenUmformungen.

T n1 = T n

2 ⇔ T1 = T2 oder T1 = −T2

falls n ungerade ist.

Beim Potenzieren mit geraden Exponenten können Vorzeichen verloren gehen oderScheinlösungen entstehen.

Eine Probe der Lösungen ist zwingend notwendig!


Gleichungen Lineare Gleichungen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte


Gleichungen Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen

Schema zur Auösung:1 Auösen von Klammern und/oder Brüchen.

2 Zusammenfassen der Ausdrücke von x und der bestimmten Zahl auf beidenSeiten.

3 Umformung der Gleichung so, dass auf einer Seite ein Ausdruck mit x undauf der anderen Seite eine bestimmte Zahl steht.

4 Division beider Seiten durch den Koezienten (Faktor) von x .


Gleichungen Quadratische Gleichungen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte




Allgemeine Form

ax2 + bx + c = 0

Normalform:

x2 +b

ax +

c

a= 0

für p = baund q = c

a

x2 + px + q = 0

Sonderfälle:

ax2 + bx = 0

ax2 + c = 0



Lösen quadratischer Gleichungen 1/4

ax2 + c = 0

x2 = −ca

x1 = +

√−ca

x2 = −√−ca

Die Gleichung ist nur lösbar für − ca> 0; d.h. entweder gilt c = 0 oder c und a

haben entgegengesetze Vorzeichen.




ax2 + bx = 0

x (ax + b) = 0

Ein Produkt ist Null, wenn wenigstens einer der beiden Faktoren Null ist.

x = 0 ax + b = 0

Lösungen der quadratischen Gleichung:

x1 = 0 x2 = −ba


Normalform

x2 + px + q = 0

Lösungsformel

x = −p2±√(p

2

)2− q

Es gilt:

p2

4− q > 0 =⇒ zwei Lösungen

p2

4− q = 0 =⇒ eine Lösungen

p2

4− q < 0 =⇒ keine Lösungen

Allgemeine Form

ax2 + bx + c = 0

Lösungsformel

x = − b

2a±√

b2

4a2− c

a

Es gilt:

b2

4a2− c

a> 0 =⇒ zwei Lösungen

b2

4a2− c

a= 0 =⇒ eine Lösungen

b2

4a2− c

a< 0 =⇒ keine Lösungen


Biquadratische Gleichungen

Eine biquadratische Gleichung der Form ax4 + bx2 + c = 0 kann auf einequadratische Gleichung zurückgeführt werden und mit Hilfe der Lösungsansätzefür quadratische Gleichungen gelöst werden.

Gegeben sei die Gleichung: ax4 + bx2 + c = 0

1 Setze x2 = y =⇒ ay2 + by + c = 0

2 Lösen der quadratischen Gleichung

3 Für die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmen: x = ±√y



Gleichungen höherer Ordnung

Gleichungen dritter oder höherer Ordnung verlangen z.T. sehr aufwendigeVerfahren. Generell kann versucht werden solche auf quadratische Gleichungenzurückzuführen.

Aus axn + bxn−1 + cxn−2 = 0 erhält man durch Ausklammern von xn−2:

xn−2(ax2 + bx + c

)= 0


Gleichungen Wurzelgleichungen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte


Gleichungen Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen

Vorgehen:1 Gleichung so umformen, dass die Wurzel isoliert auf einer Seite steht.

2 Beseitigen der Wurzel durch Quadrieren.

3 Lösen der Gleichung

4 Wurzelgleichungen immer durch Einsetzen in die Wurzelgleichung prüfen(Probe)


Gleichungen Exponentialgleichungen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte


Gleichungen Exponentialgleichungen


Eine Gleichung der Form ax = b mit a > 0 und b > 0 heisst Exponentialgleichung.

Äquivalente Umformung: von beiden Seiten Logarithmen zur selben Basis bilden:

ln ax = ln b

x ln a = ln b

x =ln bln a


Gleichungen Logarithmengleichungen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte


Gleichungen Logarithmengleichungen


Die Lösung einer Gleichung, bei der die Variable unter dem Logarithmus steht,erfolgt durch Potenzieren mit der Basis des vorkommenden Logarithmus.

loga x = b

aloga x = ab

x = ab


Gleichungen Verhältnisgleichungen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte




Einen Quotienten abnennt man auch Verhältnis von a und b. Zwei

übereinstimmende Verhältnissea

bund

c

dergeben eine Verhältnisgleichung.

Verhältnisgleichungen ergeben sich vor allem aus Anwendungsproblemen, die sichüber die Gleichheit zweier Verhältnisse lösen lassen.



Prozentrechnung

In der Prozentrechnung bezeichnet man die Grösse, die 100% entspricht, als denGrundwert g . p ist der Prozentsatz und die Grösse, die dem Prozentsatz p%entspricht, heisst Prozentwert w .

Es ergibt sich folgende Proportion:

p

100=

w

g

Je nach der gesuchten Grösse wird die Gleichung umgestellt.


Gleichungen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte




Gibt es für zwei (oder mehr) Variablen zwei (oder mehr) lineare Gleichungen, dannliegt ein lineares Gleichungssystem vor.Allgemeine Form bei zwei Gleichungen und zwei Variablen:

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Ein Gleichungssystem kann genau eine, mehrere oder keine Lösung haben.Umformungen für lineare Gleichungssysteme:

Eine Gleichung darf mit einer (von Null verschiedenen) Zahl multipliziertwerden, die übrigen Gleichungen bleiben unverändert.

Eine Gleichung darf dadurch verändert werden, dass man ein beliebigesVielfaches einer anderen Gleichung zu ihr addiert, die übrigen Gleichungenbleiben unverändert.



Lösen durch Einsetzen

Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen (I und II) und 2 Variablen (x und y)1 Auösen einer Gleichung (I oder II) nach y (oder x)2 Einsetzen des für y (oder x) bestimmten Ausdrucks in die andere Gleichung

(II oder I)3 Auösen dieser Gleichung nach der nun einzigen Variablen x (oder y)4 Einsetzen der Lösung in den für y (oder x) bestimmten Ausdruck



Lösen durch Gleichsetzen

Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen (I und II) und 2 Variablen (x und y)1 Auösen beider Gleichungen (I und II) nach x (oder y)2 Gleichsetzen der beiden für x (oder y) erhaltenen Ausdrücke und Auösen

der so erhaltenen Gleichung nach y (oder x)3 Einsetzen der Lösung für y (oder x) in Gleichung I oder II und Auösen nach

x (oder y)


Gleichungen Ungleichungen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte


Ungleichungen

Sind a und b zwei beliebige reelle Zahlen, so besteht zwischen ihnen genau eineder drei folgenden Beziehungen:

a b (a ist grösser als b bzw. b ist kleiner als a)

Ist auch der Grenzfall der Gleichheit zugelassen gilt: a ≤ b bzw. a ≥ b

Werden beide Seiten einer Ungleichung vertauscht, dann muss dasUngleichheitszeichen umgekehrt werden:

a a

Gelten für eine Zahl b die Ungleichungen b > a und b < c so schreibt man aucha < b < c.

Rechenregeln für Ungleichungen

1 für a −b

5 für a 0

6 für a bc, wenn c < 0

7 für a 

1b, wenn beide Seiten einer Ungleichung positiv oder

negativ sind.


Lineare Ungleichungen mit einer Variablen

Für das Auösen einer Ungleichung gelten die gleichen äquivalenten Umformungenwie für Gleichungen unter Berücksichtigung der Rechenregeln für Ungleichungen.

Probleme ergeben sich bei Ungleichungen mit Brüchen, bei denen im NennerAusdrücke mit x stehen. Werden beim Auösen der Ungleichung beide Seiten mitdem Nenner multipliziert, müssen die Fälle für positive und negative Nennerunterschieden werden.


Gleichungen Intervalle und Absolutbeträge

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte


Denition Intervalle

Notation Name enthält x mit(a, b) Oenes Intervall von a bis b a < x < b

[a, b] Abgeschlossenes Intervall von a bis b a ≤ x ≤ b

(a, b] Halboenes Intervall von a bis b a < x ≤ b

[a, b) Halboenes Intervall von a bis b a ≤ x < b

Die Länge aller Intervalle ist b − a.

Alle Intervalle sind beschränkt.

Unbeschränkte Intervalle

[a,∞) = alle Zahlen x mit x ≥ a

(−∞, b) = alle Zahlen x mit x < b

Das Intervall [a,∞) hat keine obere Schranke, das Intervall (−∞, b) hat keineuntere Schranke.

Die Menge aller reellen Zahlen ist (−∞,∞).

Absolutbetrag

Sei a eine Zahl auf der reellen Zahlengeraden.

Der Abstand zwischen a und 0 heisst Absolutbetrag von a und wird mit |a|bezeichnet.

|a| =

a falls a ≥ 0

−a falls a < 0

Gleichungen Summen

Gleichungen


Lineare Gleichungen


Wurzelgleichungen





Ungleichungen


Summen und Produkte


Gleichungen Summen

Summen

Summenzeichen vereinfachen die Schreibweise von Summen mit mehrerenSummanden.

q∑i=p

ai = ap + ap+1 + ap+2 + . . .+ aq p, q ∈ Z, q ≥ p

Beispiele:5∑

i=5

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

6∑k=3

(5k − 3) = (5 · 3− 3) + (5 · 4− 3) + (5 · 5− 3) + (5 · 6− 3) = 78

2∑j=0

1

(j + 1) (j + 3)=

1

(0 + 1) (0 + 3)+

1

(1 + 1) (1 + 3)+

1

(2 + 1) (2 + 3)=

21

40


Gleichungen Summen

Regeln für Summen 1/2

1

n∑i=1

x = nx

2

n∑i=1

axi = a

n∑i=1

xi

3

n∑i=1

(xi + yi ) =n∑i=1

xi +n∑i=1

yi

4

n∑i=K

xi =m∑i=K

xi +n∑

i=m

xi K < m < n

Gleichungen Summen

Regeln für Summen 2/2

1

n∑i=1

x2i 6=

(n∑i=1

xi

)2

(x21 + x22 + . . .+ x2n

)6= (x1 + x2 + . . .+ xn)2

2

n∑i=1

(xi · yi ) 6=n∑i=1

xi ·n∑i=1

yi

(x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn) 6= (x1 + x2 + . . .+ xn) · (y1 + y2 + . . .+ yn)

3

n∑i=K

(xi + a) =n∑i=1

xi + a


Gleichungen Summen

Beispiel: Einnahmen über Regionen und Monate 1/2

MONAT

REGION

a11 a12 a1na21 a22 a2n

am1 am2 amn

aij = Einnahmen in Region i im Monat j

Einnahmen in Region i über alle n Monate?

Zeilensummen:n∑j=1

a1j ,

n∑j=1

a2j , . . . ,

n∑j=1

amj

Einnahmen über alle m Regionen in Monat n?

Spaltensummen:m∑i=1

ai1,

m∑i=1

ai2, . . . ,

m∑i=1

ain


Gleichungen Summen

Beispiel: Einnahmen über Regionen und Monate 2/2

Gesamteinnahmen in allen m Regionen über alle n Monate?

Summe der Zeilensummenn∑i=1

a1j+n∑i=1

a2j + . . .+n∑i=1

amj =m∑i=1

n∑j=1

aij

Summe der Spaltensummen

m∑i=1

ai1+m∑i=1

ai2 + . . .+m∑i=1

ain =n∑i=1

m∑j=1

aij

Es gilt:

m∑i=1

n∑j=1

aij

=n∑i=1

m∑j=1

aij


Gleichungen Summen

Produkte

a1 · a2 · a3 · ... · a(n−1) · an =n∏i=1

ai

Rechenregeln für Produkte:n∏i=1

cai = cnn∏i=1

ai c = const

n∏i=1

(aibi ) =n∏i=1

ai ·n∏i=1

bi

n∏i=1

a2i =

(n∏i=1

ai

)2


Gleichungen Summen

Fakultät

n! :=n∏i=1

i = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 1) · n n ∈ N

n! wird gelesen: n Fakultät

0! := 1

Für die Fakultäten der Zahlen von 1 bis 10 ergeben sich folgende Werte:

1! = 1 6! = 720

2! = 2 7! = 5040

3! = 6 8! = 40320

4! = 24 9! = 362880

5! = 120 10!= 3628800


Gleichungen Summen

Stirlingsche Formel

Fakultäten wachsen sehr schnell mit zunehmendem n. Vor allem bei grossen n istdeshalb die Möglichkeit, n! näherungsweise zu berechnen wichtig.Stirlingsche Formel:

n! ≈√2πn

(ne

)nFür die Fakultäten der Zahlen von 1 bis 10 ergeben sich folgende Näherungswerte:

1! ≈ 0.922 6! ≈ 710

2! ≈ 1.919 7! ≈ 4980

3! ≈ 5.836 8! ≈ 39902

4! ≈ 23.506 9! ≈ 359537

5! ≈ 118 10!≈ 3598696


Einige Aspekte der Logik




Verknüpfungen von Aussagen

Konjunktion (UND-Verknüpfung): A ∧ B (A und B) ist wahr, wennsowohl A als auch B wahr ist. Sie ist falsch, wenn wenigstens eine der beidenAussagen falsch ist.

Disjunktion (ODER-Verknüpfung): A ∨ B (A oder B) ist wahr, wennwenigstens eine der beiden Aussagen wahr ist. Sie ist falsch, wenn beideAussagen falsch sind.

Negation von Konjunktion und Disjunktion: Für die Negation vonKonjunktion bzw. Disjunktion zweier Aussagen A und B gilt:

A ∧ B = A ∨ BA ∨ B = A ∧ B

A B A ∧ B A ∨ B entweder A oder B

w w w w fw f f w wf w f w wf f f f f



Implikationen

Seien P und Q Aussagen, so dass aus der Wahrheit von P notwendigerweise auchdie Wahrheit von Q folgt.

P =⇒ Q

Man sagt:

P impliziert Q

Wenn P dann Q

Q folgt aus P



Logische Äquivalenzen

In manchen Fällen, in denen die Implikation P =⇒ Q gilt, ist auch die umgekehrteImplikation Q =⇒ P gültig. Man spricht von einer Logischen Äquivalenz undschreibt:

P ⇐⇒ Q

Man sagt:

P ist äquivalent zu Q

P dann und nur dann, wenn Q

P genau dann, wenn Q



Notwendige und hinreichende Bedingung

P ist hinreichend für Q bedeutet, P =⇒ Q

Q ist notwendig für P bdeutet, P =⇒ Q

Beispiel:

Eine hinreichende Bedingung, damit x ein Rechteck ist, wäre, dass x einQuadrat ist.

eine notwendige Bedingung, damit x ein Quadrat ist, wäre, dass x einRechteck ist.


Grundzüge der Mengenlehre


Begrie

Mengenoperationen

Mengenalgebra

Produkte von Mengen

Relationen und Abbildungen


Grundzüge der Mengenlehre Begrie

Der Begri der Menge

Denition nach Cantor (1845-1918): Eine Menge ist eine Zusammenfassungbestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseresDenkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig feststeht, ob es zur Mengegehört oder nicht.

Die Objekte heissen Elemente der Menge.

Ist ein Objekt a Element der Menge A: a ∈ A

Ist ein Objekt a kein Element der Menge A: a /∈ A



Beschreibung einer Menge

Beschreibung einer Menge

durch Aufzählen der Elemente

durch eine Variable und Angabe einer die Elemente charakterisierendenEigenschaft

Beispiel: Die Menge V der Vokale des lateinischen Alphabets

V = a, e, i , o, uV = x |x ist ein Vokal des lateinischen Alphabetswenn A die Menge der Buchstaben des lateinischen Alphabets ist:V = x |x ∈ A ∧ x ist ein Vokal

Eine Menge, die kein Element enthält, heisst leere Menge oder Nullmenge undwird mit oder bezeichnet.Die Anzahl n (A) der Elemente der Menge A heisst ihre Mächtigkeit.



Beziehungen zwischen Mengen

Die Mengen A und B sind gleich (A = B), wenn jedes Element aus A auchElement aus B ist und umgekehrt, wenn also beide Mengen die gleichenElemente besitzen. Andernfalls sind sie ungleich: A 6= B.

Ist jedes Element der Menge A auch in der Menge B enthalten, so ist ATeilmenge oder Untermenge von B, B ist Obermenge von A. Man schreibtA ⊂ B.

Ist dabei A 6= B, so heisst A auch echte Teilmenge von B, ist A = B, so ist Aunechte Teilmenge von B.

Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst: A ⊂ A.

Für alle Mengen A gilt ⊂ A, d.h. die leere Menge ist als Teilmenge in jederMenge enthalten.


Grundzüge der Mengenlehre Mengenoperationen


Begrie

Mengenoperationen

Mengenalgebra

Produkte von Mengen




Durchschnitt von Mengen

Durchschnitt oder Schnittmenge A ∩ B der Mengen A und B ist die Mengealler Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind:

A ∩ B = x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)



Disjunkte Mengen

Disjunkte Mengen: Die Mengen A und B haben kein gemeinsames Element

Die Schnittmenge zweier disjunkter Menge ist die leere Menge, d.h. A ∩ B =



Vereinigung von Mengen

Vereinigung bzw. Vereinigungsmenge A ∪ B der Mengen A und B ist dieMenge aller Elemente, die in A und B oder in beiden Mengen enthalten sind:

A ∪ B = x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)



Dierenz von Mengen

Als Dierenzmenge (Restmenge) A \ B der Mengen A und B wird die Mengealler Elemente von A bezeichnet, die nicht in B enthalten sind:

A \ B = x | (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)



Komplement einer Menge

Es sei A eine Teilmenge von B (A ⊂ B). Als Komplement oderKomplementärmenge A von A bezüglich B wird die Menge aller Elemente aus Bbezeichnet, die nicht in A enthalten sind:

A := B \ A = x | (x ∈ B) ∧ (x /∈ A)

Das Komplement ist eine spezielle Dif-ferenz. Bestehen Zweifel, auf welcheObermenge sich das Komplement bezieht,ist diese Menge anzugeben: AB .


Grundzüge der Mengenlehre Mengenalgebra


Begrie

Mengenoperationen

Mengenalgebra

Produkte von Mengen




Mengenalgebra 1/4

Es gilt für alle Regeln, dass A, B und D Teilmengen der Menge Ω sind.

Identitätsgesetzea) A ∪ = A b) A ∩ = c) A ∪ Ω = Ω d) A ∩ Ω = Ω

Idempotenzgesetzea) A ∪ A = A

b) A ∩ A = A

Komplementgesetze A = AΩ

a) A ∪ A = Ω b) A ∩ A = c) A ∪ B = A ∩ B d) A ∩ B = A ∪ Be) Ω = f) = Ω

g) A = A



Mengenalgebra 2/4


Kommutativgesetzea) A ∪ B = B ∪ Ab) A ∩ B = B ∩ A

Assoziativgesetzea) A ∪ (B ∪ D) = (A ∪ B) ∪ Db) A ∩ (B ∩ D) = (A ∩ B) ∩ D

Distributivgesetzea) A ∪ (B ∩ D) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ D)

b) A ∩ (B ∪ D) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)



Mengenalgebra 3/4


Inklusionsgesetzea) A ⊂ (A ∪ B)

b) A ⊃ (A ∩ B)

Die folgenden Aussagen sind äquivalent, d.h. jede Aussage folgt aus jeder der dreianderen:

A ⊂ B, A ∪ B = B, A ∩ B = A, B ⊂ A



Mengenalgebra 4/4

Unter Einbeziehung der Operation Dierenz ergeben sich ähnliche Gesetze,wobei wiederum für alle Regeln gilt, dass A, B und D Teilmengen der Menge Ωsind.

a) A \ B = A ∩ B b) Ω \ A = A c) A \ Ω = d) A \ = A e) \ A = f) A \ A = g) (A \ B) \ D = A \ (B ∪ D)

h) A \ (B \ D) = (A \ B) ∪ (A ∩ D)

i) A ∪ (B \ D) = (A ∪ B) \ (D \ A)

j) A ∩ (B \ D) = (A ∩ B) \ (A ∩ D)


Grundzüge der Mengenlehre Produkte von Mengen


Begrie

Mengenoperationen

Mengenalgebra

Produkte von Mengen




n-Tupel

Mengen sind nicht geordnete Zusammenfassungen der Elemente, d.h. dieReihenfolge ist beliebig:Beispiel: a, b, c = a, c, b = b, a, c = b, c, a = c, a, b = c, b, a

Geordnete Zusammenfassungen von Elementen, bei denen die Reihenfolge eineRolle spielt, heissen n-Tupel.

Es sei n eine natürliche Zahl und a1, ...an seien nicht notwendig verschiedeneElemente gewisser Mengen. (a1, ...an) heisst ein aus diesen Elementen gebildetesn-Tupel und ai (i = 1, ...n) seine i-te Koordinate.

Zwei n-Tupel (a1, ...an) und (b1, ...bn) heissen einander gleich, wenn sie in allenKoordinaten übereinstimmen: (a1, ...an) =(b1, ...bn) genau dann, wenn ai = bi füri = 1, ..., n.Es sei a 6= b, dann gilt: a, b = b, a aber (a, b) 6= (b, a).



Kartesisches Produkt

Gegeben seien die Mengen A1, ...,An. Unter dem kartesischen Produkt (auchProduktmenge, Kreuzmenge, Kreuzprodukt) A1 × A2 × ...× An dieser Mengenversteht man die Menge aller n-Tupel, deren i-te Koordinate ein Element derMenge Ai (i = 1, ...n) ist, d.h.

A1 × A2 × ...× An := (x1, ..., xn) |xi ∈ Ai für i = 1, ...n

Beispiel: A = 1, 2 und B = a, bA× B = (1, a) , (2, a) , (1, b) , (2, b)B × A = (a, 1) , (a, 2) , (b, 1) , (b, 2)

Für das kartesische Produkt von Mengen gilt das Kommutativgesetz nicht, d.h.allgemein gilt A× B 6= B × A


Grundzüge der Mengenlehre Relationen und Abbildungen


Begrie

Mengenoperationen

Mengenalgebra

Produkte von Mengen




Relation

Gegeben seien zwei Mengen X und Y . Jede Teilmenge des kartesischen ProduktesX × Y heisst Relation R zwischen X und Y . Es gilt also R ⊂ X × Y . Manschreibt xRy für (x , y) ∈ R.

Relationen werden im Allgemeinen dadurch deniert, dass die zu einer Relationgehörenden Paare eine bestimmte, die Relation charakterisierende Eigenschaftaufweisen.

Nullrelation R = : kein Paar erfüllt die Relation.

Allrelation R = X × Y : alle Paare erfüllen die Relation.



Abbildung

Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y , die nicht notwendig verschiedensein müssen, heisst eindeutig oder auch Abbildung aus X nach Y , wenn jedemx ∈ X höchstens ein y ∈ Y durch die Relation R zugeordnet wird, d.h. aus(x , y1) ∈ R und (x , y2) ∈ R folgt stets y1 = y2.

Man schreibt statt (x , y) ∈ R nun (x , y) ∈ f oder y = f (x) oder f : X 7→ Y .



Denitionen zu Abbildungen

In der Abbildung (x , y) ∈ f bzw. y = f (x) bezeichnet man das Element yals Bild, Bildelement oder Bildpunkt von x bezüglich f und das Element xals Urbild, Urbildelement oder Urbildpunkt von y bezüglich f .

Gegeben sei eine Abbildung y = f (x)bzw. f : X 7→ Y .

Die Menge aller x ∈ X , denen überhaupt ein Bild zugeordnet wird, bezeichnetman als Denitionsbereich oder Denitionsmenge D (f ) der Abbildung.Die Menge aller y ∈ Y , die mindestens ein Urbild haben, bezeichnet man alsWertebereich oder Wertemenge W (f ) der Abbildung.

f heisst Abbildung von X nach Y , wenn jedes Element x ∈ X Urbild einesElements y ∈ Y ist, d.h. D (f ) = X .

f heisst Abbildung von X in Y , wenn Y Elemente enthält, die kein Urbildbesitzen.



Surjektive Abbildung

Eine Abbildung f : X 7→ Y heisst surjektiv, wenn alle Elemente y ∈ Y

Bildelemente sind, d.h. wenn gilt W (f ) = Y .

surjektiv surjektiv nicht surjektiv



Injektive Abbildung

Eine Abbildung f : X 7→ Y heisst injektiv, umkehrbar oder eineindeutig wenn ausf (x1) = f (x2) folgt, x1 = x2, d.h. wenn es zu jedem Bild nur ein Urbild gibt.

injektiv nicht injektiv



Inverse und Bijektive Abbildung

Gegeben sei eine injektive Abbildung f : X 7→ Y . Die Abbildung, die jedem Bildy = f (x) ∈ Y sein Urbild x ∈ X zuordnet, heisst Umkehrabbildung oder inverseAbbildung von f und wird mit f −1 bezeichnet.Eine Abbildung ist bijektiv, wenn f injektiv ist und wenn f und f −1 surjektiv sind.


Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Einführung

Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Einführung

Eigenschaften von Funktionen

Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften

Verschieben von Graphen

Neue Funktionen aus Alten

Inverse Funktionen



Funktionsbegri

Eine Funktion einer reellen Variablen x mit Denitionsbereich Df ist eineVorschrift, die jeder Zahl x ∈ D eindeutig eine reelle Zahl zuordnet.Die Menge der Werte f (x), die man erhält, wenn x den Denitionsbereich Df

durchläuft, nennt man den Wertebereich.Wenn f eine Funktion ist, dann ist f (x) der Wert, den f der Zahl x zuordnet,auch der Funktionswert von f an der Stelle x .

y = f (x)

x unabhängige Variable oder Argument (exogene Variable)y abhängige Variable (endogene Variable)

Denitionsbereich der Funktion f ist die Menge der möglichen Werte derunabhängigen Variablen, der Wertebereich f ist die Menge der möglichen Werteder abhängigen Variablen



Darstellung von Funktionen

Funktionen können dargestellt werden mittels:

Zuordnungsvorschrift, Funktionsgleichung

Wertetabelle

graphischer Darstellung im Koordinatensystem



Beispiel

Funktionsgleichung:

f (x) = x3 + 1

Wertetabelle:

x -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

y -2,375 0 0,875 1 1,125 2 4,375

grasche Darstellung:


Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen


Einführung





Inverse Funktionen



Denitionsbereich

Die Denition einer Funktion ist unvollständig, wenn der Denitionsbereich nichtangegeben ist.

Vereinbarung für den Denitionsbereich: Wenn eine Funktion durch einealgebraische Formel deniert ist, besteht der Denitionsbereich aus allen Wertender unabhängigen Variablen, für die die Formel einen eindeutigen Wert liefert(wenn kein anderer Denitionsbereich explizit angegeben ist).



Wertebereich

Sei f eine Funktion mit Denitionsbereich Df . Die Menge aller Werte f (x), diediese Funktion annimmt, heisst der Wertebereich von f .Häuge Notation: Denitionsbereich: Df , Wertebereich: Wf (manchmal auch Rf )



Beschränktheit

Gegeben sei eine Funktion y = f (x) und ein c ∈ R (c = const.). Wenn für alleFunktionswerte f (x) gilt:

|f (x)| ≤ c, so heisst f beschränkt

f (x) ≤ c, so heisst f nach oben beschränkt

f (x) ≥ c, so heisst f nach unten beschränkt

c heisst eine (untere bzw. obere) Schranke von f

Beispiel: f (x) = 1− e−x


Monotonie 1/2

Eine Funktion f sei deniert für beliebige x1, x2 ∈ Df . Die Funktion heisst:

monoton wachsend, wenn f (x1) ≤ f (x2)

streng monoton wachsend, wenn f (x1) < f (x2)

monoton fallend, wenn f (x1) ≥ f (x2)

streng monoton fallend, wenn f (x1) > f (x2)

für alle x1 < x2.

Die Monotonie kann auch getrennt für Teilbereiche des Denitionsbereichs einerFunktion betrachtet werden und dann in den einzelnen Teilbereichenunterschiedlich sein.


Monotonie 2/2



Konvexität

f (x) heisst in einem Intervall konvex, wenn für zwei beliebige Argumente x1, x2die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (x1, f (x1)), (x2, f (x2)) innerhalbdes Intervalls (x1, x2) stets oberhalb des Graphen von f (x) liegt. Die Funktionheisst konkav, wenn diese Verbindungsstrecke z stets unterhalb des Graphen vonf (x) liegt.



Symmetrie

Eine Funktion y = f (x) heisst spiegel- oder achsensymmetrisch um a, wenn giltf (a + x) = f (a− x) .Eine Funktion y = f (x) heisst punktsymmetrisch um den Punkt P, wenn eineDrehung der Funktion um 180° um den Punkt P die gleiche Funktion ergibt.



Nullstellen

Ein Argumentwert x0 heisst Nullstelle einer Funktion f (x), wenn f (x0) = 0 ist.Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der x-Achse.

Zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion f (x) muss die Gleichung f (x) = 0nach x aufgelöst werden.



Grenzwerte

Kommen die Funktionswerte einer Funktion f (x) bei beliebiger Annäherung von x

an eine Stelle x0 einer Zahl A immer näher und näher, so heisst A der Grenzwertder Funktion f (x) an der Stelle x0. Man schreibt:

limx→x0

f (x) = A

.Hat eine Funktion f (x) die Eigenschaft, dass ihre Funktionswerte unbegrenztwachsen (fallen), wenn x gegen x0 strebt, so ordnet man der Funktion an dieserStelle den uneigentlichen Grenzwert +∞ (−∞) zu.



Einseitige Grenzwerte

Die Funktion hat keinen Grenzwert, wennx gegen x0. Sie hat jedoch den GrenzwertB, wenn x von links gegen x0 und denGrenzwert A, wenn x von rechts gegen x0.

limx→x−0

f (x) = B limx→x+

0

f (x) = A

Eine notwendige und hinreichende Bedingung, dass der gewöhnliche Grenzwertexistiert, ist, dass die beiden einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen.

limx→x0

f (x) = A ⇐⇒

[lim

x→x−0

f (x) = A und limx→x+

0

f (x) = A

]



Rechenregeln für Grenzwerte

Wenn limx→x0

f (x) = A und limx→x0

g (x) = B, dann gilt:

1 limx→x0

(f (x)± g (x)) = A± B

2 limx→x0

(f (x) · g (x)) = A · B

3 limx→x0

f (x)

g (x)=

A

B(falls B 6= 0)

4 limx→x0

(f (x))r = Ar (falls Ar deniert ist)



Stetigkeit: Geometrische Interpretation

Eine Funktion ist stetig, wenn

kleine Änderungen der unabhängigen Variable kleine Änderungen derabhängigen Variablen bewirken.

der Graph zusammenhängend ist, d.h. keine Sprünge macht.

man den Graphen (mit dem Bleistift) ohne abzusetzen (in einem Strich)zeichnen kann.

Wenn der Graph einen oder mehrere Sprünge hat, ist die Funktion unstetig.



Stetigkeit mit Grenzwerten

Die Funktion f heisst stetig an der Stelle x = x0 wenn

limx→x0

f (x) = f (x0)

Damit f stetig ist in x = x0, müssen die folgenden drei Bedingungen erfüllt sein:

Die Funktion f muss an der Stelle x = x0 deniert sein.

Der Grenzwert von f (x) wenn x gegen x0, muss existieren.

Dieser Grenzwert muss gleich f (x0) sein.

Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, heisst f unstetig an der Stelle x = x0.


Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften


Einführung





Inverse Funktionen



Rationale Funktionen

Eine Funktion der Form

y =anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + ...+ b1x + b0=

n∑i=0

aixi

m∑j=0

bjxj

mit x ∈ R undm∑j=0

bjxj 6= 0; ai , bj ∈ R heisst rationale Funktion.

Alle Funktionen, die sich nicht auf die angegebene Funktion bringen lassen,heissen irrational.

rational: y =x3 + 5x2 + 7x − 1

x4 − x2 + 2xirrational: y =

√x2 + x − 2



Ganze Rationale Funktionen


y = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0 =n∑i=0

aixi

mit ai ∈ R, i = 0, ..., n heisst ganze rationale Funktion n-ten Grades oder auchPolynom n-ten Grades.

Beispiele:

y = c

y = ax + b

y = ax2 + bx + c

y = ax3 + bx2 + cx + d


Eigenschaften ganzer rationaler Funktionen 1/2

Beschränktheit:

Ist n gerade und an > 0, so ist die Funktion nach unten beschränkt.

Ist n gerade und an < 0, so ist die Funktion nach oben beschränkt.

Ist n ungerade, so ist die Funktion nicht beschränkt.

Nullstelle:

Eine ganze rationale Funktion hat höchstens n reelle Nullstellen x1, ..., xn.

Gilt für zwei Nullstellen xi und xj (i 6= j) xi = xj = xr , so heisst xr zweifacheNullstelle. Gilt für Nullstellen xi , xj , xk ... (i 6= j 6= k, ) xi = xj = xk=...=xs , soheisst xs mehrfache Nullstelle.


Eigenschaften ganzer rationaler Funktionen 2/2

Für eine ganze rationale Funktion y =n∑i=0

aixi mit den n Nullstellen

x01, x02, ..., x0n gilt:n∑i=0

aixi = an (x − x1) (x − x2) ... (x − xn)

Ist x = x01 eine Nullstelle der ganzen rationalen Funktion y =n∑i=0

aixi , so kann

das Polynomn∑i=0

aixi ohne Rest durch (x − x01) dividiert werden.

(n∑i=0

aixi

): (x − x01) =

n−1∑i=0

bixi

Das Ergebnis ist eine ganze rationale Funktion (n − 1)-ten Grades. Die Nullstellendieser Funktion sind zugleich Nullstellen der ursprünglichen Funktion.



Gebrochen rationale Funktionen


y =anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + ...+ b1x + b0=

n∑i=0

aixi

m∑j=0

bjxj

mit ai , bj ∈ R, bm 6= 0, m ≥ 1 heisst gebrochene rationale Funktion.



Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen

Die Nullstellen einer gebrochenen rationalen Funktion ergeben sich alsNullstellen des Polynoms im Zähler. Dabei muss der Nenner von Nullverschieden sein.

n∑i=0

aixi

m∑j=0

bjxj

= 0 ⇐⇒n∑i=0

aixi = 0 und

m∑j=0

bjxj 6= 0

Hat das Polynom im Nenner bei x = x0 eine Nullstelle und ist das Polynomim Zähler an dieser Stelle von Null verschieden, d.h. giltn∑i=0

aixi 6= 0 und

m∑j=0

bjxj = 0 so hat die Funktion an dieser Stelle einen so

genannten Pol; die Funktion ist an der Stelle x0 nicht deniert. Bei x = x0liegt eine Unstetigkeitsstelle.



Lineare Funktionen 1/2

Allgemeine Form: f (x) = ax + b (a und b Konstante)

a heisst Steigung der Funktion und misst die Änderung des Funktionswertes,wenn x um eine Einheit zunimmt:

f (x + 1)− f (x) = [a (x + 1) + b]− [ax + b]

= ax + a + b − ax − b

= a

b heisst y-Achsenabschnitt oder Achsenabschnitt, wenn x = 0, dann

y = ax + b = b



Lineare Funktionen 2/2

Ist die Steigung a positiv (negativ), steigt (sinkt) die Gerade mit wachsendenx .

Je grösser der Wert von a, desto steiler ist die Gerade.

Wenn a = 0, so ist die Gerade parallel zur x-Achse.



Bestimmung der Steigung

Die Steigung einer Geraden ist

a =y2 − y1

x2 − x1, (x1 6= x2)

wenn (x1, y1) und (x2, y2) zwei verschiedenePunkte auf der Geraden sind.

Der Wert der Steigung bleibt unverändert, wenn man die Punkte P und Qvertauscht.

Der Wert der Steigung ist unabhängig von der Wahl der beiden Punkte.



Gleichung einer Geraden: Punkt-Steigungs-Formel

Gesucht ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung a durch den Punkt (x1, y1).

Sei (x , y) ein weiterer beliebiger Punkt auf der Geraden. Die Steigung ist dann

y − y1

x − x1= a ⇐⇒ y − y1 = a (x − x1)

Die Gleichung einer Geraden mit der Steigung a durch den Punkt (x1, y1) ist

y − y1 = a (x − x1)



Gleichung einer Geraden: Zwei-Punkte-Formel

Die Gleichung einer Geraden durch (x1, y1) und (x2, y2), wobei x1 6= x2 erhält man so:

Berechnen Sie die Steigung der Geraden

a =y2 − y1

x2 − x1

Setzen Sie den Ausdruck für a in die Punkt-Steigungsformel y − y1 = a (x − x1) ein:

y − y1 =y2 − y1

x2 − x1(x − x1)



Beispiel: Bevölkerungswachstum in Europa 1/2

Ein Bericht der Vereinten Nationen schätzt die europäische Bevölkerung im Jahr1960 auf 641 Millionen und im Jahr 1970 auf 705 Millionen.

1 Benutzen Sie diese Schätzungen, um eine lineare Funktion von t zukonstruieren, die die Bevölkerung in Europa (in Millionen) approximiert,wobei t die Anzahl der Jahre seit 1960 ist (t = 0 entspricht 1960, t = 1entspricht 1961, usw.).

2 Nutzen Sie diese Gleichung, um die Bevölkerung für 1975, 2000 und 1930 zuschätzen.



Beispiel: Bevölkerungswachstum in Europa 2/2

P = 6, 4t + 641

Schätzung der Bevölkerungszahlen:

Jahr 1930 1975 2000t -30 15 40Schätzung 449 737 897UN-Schätzung 573 728 854



Graphische Lösung von linearen Gleichungen

System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unkenannten:

ax + by = c

dx + ey = f

Die Gleichungen sind linear, daher sind die Graphen Geraden. Die Koordinaten derPunkte auf einer Geraden erfüllen die Geradengleichung.Die Koordinaten eines Schnittpunktes zweier Geraden erfüllen beideGeradengleichungen, d.h. sind Lösungen des Gleichungssystems.

Beispiel: Lösen Sie das folgende Gleichungssystem auf grascheWeise:

x + y = 5

x − y = −1

Schnittpunkt: (2, 3) =⇒ Lösung ist: x = 2 und y = 3



Beispiel: Angebot und Nachfrage

Nachfrage (D = Demand) nach einem Gut ist eine Funktion des Preises, meistfallend mit wachsendem Preis.Angebot (S = Supply) der Produzenten ist ebenfalls eine Funktion des Preises,den sie erzielen können, meist steigend mit wachsendem Preis.

Im Schnittpunkt: Gleichgewicht.Preis P∗: GleichgewichtspreisMenge Q∗: GleichgewichtsmengeDer Gleichgewichtspreis ist derjenigePreis, bei dem die Konsumenten dieselbeMenge kaufen, wie die Produzenten beidiesem Preis anbieten.



Beispiel: Lineare Angebots- und Nachfragefunktion

D = 100− P S = 10 + 2P

Im Gleichgewicht gilt D = S :

100− P = 10 + 2P =⇒ P = 30

Gleichgewichtspreis P∗ = 30Gleichgewichtsmenge Q∗ = 70



Beispiel: Lineare Angebots- und Nachfragefunktion

D = a− bP S = α + βP

a und b sind positive Parameter der Nachfragefunktion

α und β sind positive Parameter der Angebotsfunktion

Beim Gleichgewichtspreis P∗

a− bP∗ = α + βP∗

P∗ =a− αβ + b

Q∗ =aβ − αbβ + b


Potenzfunktionen

Eine Funktion der Form f (x) = xn, n ∈ Z, mit x 6= 0 falls n < 0, heisstPotenzfunktion n-ten Grades.

Das Aussehen des Graphen unterscheide sich je nach dem Wert von n, wobei gilt

f (1) = 1n = 1

d.h. alle Graphen gehen durch den Punkt (1, 1).


Graphen von Potenzfunktionen 1/4

f (x) = xn mit n = 2m, (m ∈ N)Df = R Wf = [0,+∞)Nullstelle: x0 = 0gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (−1, 1) , (0, 0) , (1, 1)Beispiele:




f (x) = xn mit n = 2m + 1, (m ∈ N)Df = R Wf = RNullstelle: x0 = 0gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (−1,−1) , (0, 0) , (1, 1)Beispiele:




f (x) = xn mit n = −2m, (m ∈ N)Df = R \0 Wf = (0,+∞)Nullstelle: keinegemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (−1, 1) , (1, 1)Beispiel: f (x) = 1

x2




f (x) = xn mit n = − (2m + 1) , (m ∈ N)Df = R \0 Wf = R \0Nullstelle: keinegemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (−1,−1) , (0, 0) , (1, 1)Beispiel: f (x) = 1

x



Wurzelfunktionen

f (x) = xn mit n = pq, (p, q ∈ N, p 6= q)

Df = [0,+∞) Wf = [0,+∞)Nullstelle: x0 = 0gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (0, 0) , (1, 1)Beispiel: f (x) =

√x



Zusammenfassung: Graphen von Potenzfunktionen


Exponentialfunktionen

Eine Grösse, die pro Zeiteinheit, um einen festen Faktor a wächst (fällt), wirdexponentiell wachsend (fallend) genannt.

f (t) = Aat (a und A positive Konstanten)

f (t + 1) = Aat+1 = Aata1 = af (t)

d.h. falls a > 1, ist f wachsend, falls 0 < a < 1, ist f fallend.


Unterschied zwischen Potenz- und Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion: f (x) = ax

Exponent variiertBasis konstant

Potenzfunktion: g (x) = xa

Exponent konstantBasis variiert



Beispiel: Bevölkerungswachstum in Europa

Lineare Funktion: P = 6, 4t + 641, wobei P die Grösse der Population inMillionen (1960: t = 0, P = 641; 1970: t = 10, P = 705)

Annahme: jährliches Wachstum konstant: 6,4 Millionen.

Nach Schätzungen der UN wächst die Bevölkerung Europas jährlich um ca. 0,72%im Zeitraum von 1960-2000.

1960: 641 1961: 641 · 1, 0072 ≈ 645 1962: 641 · (1, 0072)2 ≈ 650

P (t) = 641 · (1, 0072)t

Damit ergibt sich als Schätzung für das Jahr 2000: 641 · (1, 0072)40 ≈ 854



Bevölkerungswachstum in Zimbabwe

In den 70er und 80er Jahren betrug das Bevölkerungswachstum in Zimbabwe ca.3,5% jährlich.

1969: t = 0, P = 5, 1 Millionen. Nach t Jahren ergibt sich:

P (t) = 5, 1 · (1, 035)t

Nach wievielen Jahren verdoppelt sich die Bevölkerung bei einem jährlichenBevölkerungswachstum von 3,5%?

Allgemein: Die Verdopplungszeit t∗ ist die Zeit bis zur Verdopplung desFunktionswertes:

f (0) = A f (t∗) = Aat∗

= 2A ⇐⇒ at∗

= 2 ⇐⇒ t∗ =ln 2ln a

Im Beispiel:

P (t) = (1, 035)t = 2 =⇒ t∗ =ln 2

ln 1, 035= 20, 15



Die natürliche Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion zur Basis e heisst die natürliche Exponentialfunktion.

f (x) = ex

Man schreibt auch: exp (x) statt ex .


Die natürliche Logarithmusfunktion

Eigenschaften:

f (1) = 0

f (x) < 0 falls 0 < x < 1 f (x) > 0 falls x > 1

f (x)→ −∞ falls x → 0 f (x)→ +∞ falls x →∞

Abschnittsweise denierte Funktionen: Beispiel 1

Eine Funktion kann in mehreren Teilabschnitten durch separate Formeln deniertsein:

f (x) =

−x für x ≤ 0

x2 für 0 < x ≤ 1

1.5 für x > 1


Abschnittsweise denierte Funktionen: Beispiel 2

Beispiel: US-Bundeseinkommenssteuer

Grenzsteuersatz in % =

10 für E ≤ 7150$

15 für 7151$ ≤ E ≤ 29050$

25 für 29051 ≤ E ≤ 70350$


Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Verschieben von Graphen


Einführung





Inverse Funktionen



Motivation

Die Aufnahme der Produktion eines neuen grossen Ölfeldes wirkt sich auf dieAngebotskurve für Öl und somit auf das Preisgleichgewicht aus.

Eine neue Technologie in der Produktion eines Gutes bewirkt eine Veränderungder Produktionsfunktion.

Wie steht der Graph der Funktion f (x) in Beziehung zu den Graphen derFunktionen

f (x) + c f (x + c)

cf (x) f (−x) ?


Verschiebung des Graphen von y = f (x)

Wenn y = f (x) ersetzt wird durch y = f (x) + c, wird der Graph um c

Einheiten nach oben verschoben, wenn c > 0 (nach unten, wenn c < 0).

Wenn y = f (x) ersetzt wird durch y = f (x + c), wird der Graph um c

Einheiten nach links verschoben, wenn c > 0 (nach rechts, wenn c < 0).

Wenn y = f (x) ersetzt wird durch y = cf (x) wird der Graph vertikalgestreckt, wenn c > 0 (vertikal gestreckt und an der x-Achse gespiegelt,wenn c < 0).

Wenn y = f (x) ersetzt wird durch y = f (−x), wird der Graph an dery-Achse gespiegelt.


Beispiel 1: y =√x 1/3



Beispiel 2: Angebot und Nachfrage

D = 100− P S = 10 + 2P

Gleichgewicht: P∗ = 30, Q∗ = 70

Verschiebung der Angebotsfunktion: S = 16 + 2P = 10 + 2P + 6

neues Gleichgewicht: P∗ = 28, Q∗ = 72


Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Neue Funktionen aus Alten


Einführung





Inverse Funktionen




Seien f und g Funktionen deniert in einer Menge A von reellen Zahlen.Summe von f und g:

h (x) = f (x) + g (x)

Dierenz von f und g:

h (x) = f (x)− g (x)

Produkt von f und g:

h (x) = f (x) · g (x)

Quotient von f und g:

h (x) =f (x)

g (x)(g (x) 6= 0)



Beispiel 1: Summen

Darstellung der männlichen und weiblichen Studierenden an einer Universität inden Jahren 1986-1997.Sei f (t) bzw. m (t) die Anzahl der weiblichen bzw. männlichen Studierenden imJahr t und n (t) die Gesamtanzahl der Studierenden.

n (t) = f (t) + m (t)



Beispiel 2: Durchschnittskosten

Kosten zur Produktion von Q Einheiten eines Gutes seien C (Q)

Kosten pro Einheit: AC (Q) = C(Q)Q

DurchschnittskostenBeispiel:

Kostenfunktion: C (Q) = aQ3 + bQ2 + cQ + d

Durchschnitsskosten: AC (Q) = aQ2 + bQ + c + dQ



Beispiel 3: Gewinnfunktion

R (Q) Einnahmen aus Produktion und Verkauf von Q Einheiten eines ProduktsGewinnfunktion: π (Q) = R (Q)− C (Q)



Verkettung von Funktionen

Wenn y eine Funktion von u und u eine Funktion von x , dann ist auch y eineFunktion von x . Dann ist y eine verkettete Funktion.

y = f (u) u = g (x)

y = f (u) = f (g (x))

Dabei wird f als äussere und g als innere Funktion bezeichnet.

(f g) (x) = f (g (x)) (g f ) (x) = g (f (x))

ACHTUNG: f g und g f sind gewöhnlich verschiedene Funktionen:

g (x) = 2− x2 f (u) = u3

(f g) (x) =(2− x2

)3(g f ) (x) = 2−

(x3)2



Beispiel: Nachfragefunktion

Nachfrage nach einem Gut ist eine Funktion x des Preises p

x = x (p)

Der Preis hänge von der Zeit t ab, d.h. p ist eine Funktion von t

p = p (t)

Dann ist auch x eine Funktion der Zeit t

x = x (p (t))


Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen


Einführung





Inverse Funktionen



Beispiel: Nachfrage als Funktion des Preises

Die Nachfrage D nach einem Gut ist eine Funktion des Preises

Beispiel:

D =30

P13

P = 27 =⇒ D = 10

D ist eine Funktion von P: D = f (P) f (P) = 30

P13



Beispiel: Preis als Funktion des Angebots

Für den Produzenten ist der Output variabel. Er interessiert sich für den Preis, dener in Abhängigkeit von der produzierten Menge erzielen kann, d.h. er interessiertsich für die inverse Funktion, Preis als Funktion der angebotenen Menge.

Im Beispiel:

D = 30

P13nach P auösen:

P =27000D3

D = 10 =⇒ P = 27

Jetzt ist P eine Funktion g (D) von D mit g (D) = 27000D3



Zusammenhang zwischen Preis und Nachfrage

Die Nachfrage D nach einem Gut ist eine Funktion des Preises

Nachfrage als Funktion des Preises Preis als Funktion der Nachfrage

Die beiden Variablen D und P stehen in einer derartigen Beziehung zueinander,dass jede als Funktion der anderen Variablen betrachtet werden kann.



Inverse Funktion: Preis als Funktion der Nachfrage

Die beiden Funktionen

f (P) = 30P−13 und g (D) = 27000D−3

sind Inverse von einander, d.h. f ist die Inverse von g und g ist die Inverse von f .

Die beiden Funktionen f und g enthalten genau die gleichen Informationen, z.B.die Aussage, dass die Nachfrage 10 ist beim Preis 27 kann mit f oder gausgedrückt werden

f (27) = 10 und g (10) = 27



Umkehrbar eindeutige Funktionen 1/2

Sei f eine Funktion mit Denitionsbereich Df = A. Der Wertebereich von f ist dannWf = f (x) : x ∈ A = f (A).Die Funktion f ist eins zu eins oder umkehrbar eindeutig in A, wenn f niemals denselbenWert für zwei verschiedene Punkte in A annimmt.

Äquivalente Aussagen:

Für jedes y ∈ Rf gibt es genau ein x ∈ A, so dass y = f (x) gilt.

f ist eine umkehrbar eindeutige Funktion in A, wenn aus x1 6= x2 immer folgt:f (x1) 6= f (x2).

Wenn eine Funktion in ganz A streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist,so ist sie umkehrbar eindeutig.



Umkehrbar eindeutige Funktionen 2/2

Umkehrbar eindeutig nicht umkehrbar eindeutig



Denition Inverse

Sei f eine Funktion mit Denitionsbereich A und Wertebereich B. Die Funktion fhat genau dann eine inverse Funktion g mit Denitionsbereich B undWertebereich A, wenn f umkehrbar eindeutig ist.

Die Funktion g ist durch die folgende Regel deniert: Für jedes y ∈ B ist g (y)diejenige Zahl x in A, für die

f (x) = y

g (y) = x ⇐⇒ y = f (x) (x ∈ A, y ∈ B)

Notation: Die Inverse zu f wird häug mit f −1 bezeichnet. Dies darf nicht mitdem Kehrwert einer Zahl verwechselt werden!



Beispiele

Die Graphen zueinander inverser Funktion sind Spiegelbilder voneinander an derGeraden y = x .

Häug schreibt man beide Funktionen als Funktion derselben Variablen.

ACHTUNG: In den Wirtschaftswissenschaften verbergen sichhinter den Variablen ökonomische Grössen, die nicht ohneweiteres vertauscht werden können!Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 177 / 516


Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion y = ex

Logarithmusfunktion x = ln y .


Dierentialrechnung Ein ökonomisches Beispiel

Dierentialrechnung

Ein ökonomisches Beispiel

Die erste Ableitung einer Funktion

Dierenzierungsregeln

Ableitungen höherer Ordnung

Implizites Dierenzieren

Approximationen




Ein Unternehmen produziert ein Gut mit Gesamtkosten K , welche von derProduktionsmenge x abhängig sind. Die Kostenfunktion K = K (x) beschreibt dieBeziehung zwischen K und x . Wie verändern sich die Kosten, wenn sich dieMenge ändert?

Allgemein: Ändert sich die Menge von x0 um 4x auf x0 +4x , dann verändernsich die Kosten von K (x0) auf K (x0 +4x), d.h. die Kosten ändern sich umK (x0 +4x)− K (x0) = 4K



Beispiel: K (x) = 10√x + 100

x K (x) = 10√x + 100

0 1001 1102 114,143 117,324 1209 13016 14025 15049 17064 180



Beispiel: Kostenveränderung

Die Kostenveränderung 4K hängt nicht nur von der Veränderung der Menge 4x ,sondern auch von der ursprünglichen Menge ab.

x K (x) = 10√x + 100

0 1001 1102 114,143 117,324 1209 13016 14025 15049 17064 180

Veränderungvon auf um 4x = 1x = 1 x = 2 → 4K = 4, 14x = 2 x = 3 → 4K = 3, 18

Veränderungvon auf um 4x = 15x = 1 x = 16 → 4K = 30x = 49 x = 64 → 4K = 10



Kosten einer zusätzlichen Einheit

Anfangsmenge Steigung auf 4x 4K 4K4x

1 2 1 4,14 4,14

1 3 2 7,32 3,66

1 4 3 10 3,33

1 9 8 20 2,5

1 16 15 30 2

1 64 63 70 1,11

0 9 9 30 3,33

16 25 9 10 1,11

49 64 15 10 0,67

Kosten einer zusätzlichen Einheit:4K4x =

K (x +4x)− K (x)

4xDer Dierenzbetrag 4K

4xzeigt den durchschnittlichen Anstieg der Kostenfunktion im

Verhältnis zur Veränderung von x .



Grenzkosten

Die Kosten einer zusätzlichen Einheit, un-abhängig von der Grösse der Produk-tionsveränderung ndet sich für 4x → 0.Der Grenzwert

lim4x→0

4K4x

=dK

dx

beschreibt die Beziehung zwischen derÄnderung der Kosten und der unendlichkleinen Mengenänderung im Punkt x .

Dieser Grenzwert wird in der Wirtschaftstheorie als Grenzkosten bezeichnet undentspricht der Steigung der Tangente an die Kostenfunktion an der Stelle x .


Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion

Dierentialrechnung






Approximationen



Steigung einer beliebigen Funktion

Die Steigung (Steilheit) der Kurve in einem bestimmten Punkt P wird durch dieSteigung der Tangente in P deniert.

Der Punkt P hat die Koordinaten P = (x0, f (x0)).Die Steigung der Tangente im Punkt P heisst Ableitung von f an der Stelle x0 undwird mit f ′ (x0) bezeichnet.



Beispiel: Steigung einer Funktion

P = (1; 2) weiterer Punkt: (0; 1) Steigung ist 1, d.h. f ′ (1) = 1Q = (4; 3) Tangente wagerecht f ′ (4) = 0R = (7; 2, 5) weiterer Punkt: (8; 2) Steigung ist − 1

2 , d.h. f′ (7) = − 1

2



Tangente und Sekante

Sei P ein Punkt auf der Kurve und Q ein weiterer Punkt auf der Kurve. DieGerade durch P und Q heisst Sekante.

Hält man P fest und bewegt Q auf P zu, dann dreht sich die Sekante um P undgeht im Grenzfall in die Tangente über.



Denition der Ableitung

P und Q sind Punkte auf dem Graphen von f ,nahe bei einander

P = (x0, f (x0)) Q = (x0 +4x , f (x0 +4x))

Steigung der Sekante (Dierenzen- oder Newton-Quotient):

mPQ =f (x0 +4x)− f (x0)

4xmit 4x 6= 0

Für Q gegen P geht 4x gegen 0 und die Sekante gegen die Tangente in P.Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 ist gegeben durch:

f ′ (x0) = lim4x→0

f (x0 +4x)− f (x0)

4x



Gleichung der Tangente

Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 ist:

f ′ (x0) = lim4x→0

f (x0 +4x)− f (x0)

4x

Aus der Punkt-Steigungsformel der Geraden folgt: Die Gleichung der Tangente anden Graphen y = f (x) im Punkt (x0, f (x0)) ist gegeben durch:

y = f (x0) = f ′ (x0) (x − x0)



Notation

Statt f ′ (x) auch:

dy

dxoder

df (x)

dxoder

d

dxf (x)

Beispiel: y = x2

dy

dx= 2x oder

df (x)

dx= 2x oder

d

dx

(x2)

= 2x



Beispiel 1: Änderungsrate einer Population

Sei N (t) die Anzahl der Individuen in einer Population zur Zeit t.

Durchschnittliche Änderungsrate:

[N (t +4t)− N (t)]

4t

Momentane Änderungsrate zur Zeit t:

dN

dt

Bevölkerung in Europa zur Zeit t: P = 6, 4t + 641Die Änderungsrate ist dP

dt= 6, 4 Millionen pro Jahr.



Beispiel 2: Grenzkosten, Grenzertrag, Grenzgewinn

C (x) = Kosten für die Herstellung von x Einheiten

R (x) = Ertrag (Einnahmen) aus dem Verkauf von x Einheiten

π (x) = R (x)− C (x) Gewinn

C ′ (x) = Grenzkosten (marginal cost)

R ′ (x) = Grenzertrag (marginal revenue)

π′ (x) = Grenzgewinn (marginal prot)

Ökonomen benutzen das Wort GRENZ, um die Ableitung kenntlich zu machen.

Beispiel: Grenzprodukt der Arbeit (Ableitung der Produktionsfunktion nachArbeitsinput)


Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln

Dierentialrechnung






Approximationen



Ableitungen mit Konstanten

y = f (x) = A =⇒ y ′ = f ′ (x) = 0y = A + f (x) =⇒ y ′ = f ′ (x)y = A · f (x) =⇒ y ′ = A · f ′ (x)



Die erste Ableitung häuger Funktionen

Potenzregel:

f (x) = xn =⇒ df

dx= nxn−1

f (x) =1xn

= x−n =⇒ df

dx= −nx−(n−1) = − n

xn−1

f (x) =√x = x

12 =⇒ df

dx=

12x−

12 =

12√x

Spezielle Funktionen:

f (x) = ex =⇒ df

dx= ex

f (x) = ln x =⇒ df

dx=

1x



Summen und Dierenzen

Wenn f und g beide in x dierenzierbar sind, dann sind die Summe f + g und dieDierenz f − g auch dierenzierbar in x und es gilt:

h (x) = f (x) g (x) =⇒ h′ (x) = f ′ (x)± g ′ (x)

oderdh

dx=

df

dx± dg

dx

Beispiel:

Gewinnfunktion: π (x) = R (x)− C (x)

Grenzgewinn: dπdx

= dRdx− dC

dxdπdx

= 0, wenn dRdx

= dCdx



Produktregel

Wenn f und g beide in x dierenzierbar sind, dann ist auch h (x) = f · gdierenzierbar in x und es gilt:

h (x) = f (x) · g (x) =⇒ h′ (x) = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x)

oderdh

dx=

df

dxg (x)± f (x)

dg

dx

Beispiel:

Sei D (P)die nachgefragte Menge, wenn der Hersteller das Produkt zum Preis Pverkauft.Der Ertrag ist dann

R (P) = P · D (P)

Der Grenzertrag ist dann

R ′ (P) = D (P) + PD ′ (P)



Quotientenregel

Wenn f und g in x dierenzierbar und g (x) 6= 0 ist, dann ist auch h (x) = f (x)g(x)

dierenzierbar in x und es gilt:

h (x) =f (x)

g (x)=⇒ h′ (x) =

f ′ (x) g (x)− f (x) g ′ (x)

(g (x))2

oderdh

dx=

dfdxg (x)− f (x) dg

dx

(g (x))2



Verkettete Funktionen

Sei y eine Funktion von u und u eine Funktion von x . Dann ist y eine verketteteFunktion von x . D.h. wenn sich x ändert, ändert sich u und daher auch y , alsoeine Kettenreaktion.

Wenn y eine dierenzierbare Funktion von u und u wiederum eine dierenzierbareFunktion von x ist, dann ist auch y eine dierenzierbare Funktion von x und esgilt die Kettenregel:

dy

dx=

dy

du· dudx

Wichtiger Spezialfall: y = ur und u = g (x)Dann gilt nach der Kettenregel:

y ′ = rur−1u′



Beispiel: Nachfragefunktion

Nachfrage x nach einem Gut hängt vom Preis p ab. Der Preis hängt von der Zeitt ab. Dann ist x eine verkettete Funktion von t.Nach der Kettenregel gilt:

dx

dt=

dx

dp· dpdt



Logarithmisches Dierenzieren

Bestimmen Sie die Ableitung von y = xx (x > 0).

Potenzregel für y = xa nicht anwendbar, da der Exponent eine Konstantesein muss.

Regel für die allgemeine Exponentialfunktion y = ax nicht anwendbar, da dieBasis eine Konstante sein muss.

Vorgehen:

Beide Seiten logarithmieren: ln y = ln xx = x ln x

Beide Seiten nach x dierenzieren:1y· dydx

= 1 · ln x + x · 1x

= ln x + 1

Gleichung auösen:dy

dx= y (ln x + 1) = xx (ln x + 1)


Dierentialrechnung Ableitungen höherer Ordnung

Dierentialrechnung






Approximationen



Zweite Ableitung

Die Ableitung einer Funktion f heisst auch erste Ableitung.

Wenn f ′ dierenzierbar ist können wir

(f ′)′

=: f ′′

bilden, die zweite Ableitung von f .

f ′′ (x) ist die zweite Ableitung von f , berechnet an der Stelle x .

Notation für die zweite Ableitung:

f ′′ (x) =d2f (x)

dx2



Ableitungen n-ter Ordnung

Wenn y = f (x), so heisst die Ableitung von y ′′ = f ′′ (x) dritte Ableitung:

y ′′′ = f ′′′ (x)

n-te Ableitung von f in x :

y (n) = f (n) (x) =dnf

dxn


Dierentialrechnung Implizites Dierenzieren

Dierentialrechnung






Approximationen



Methode des impliziten Dierenzierens

Wenn zwei Variablen x und y über eine Gleichung in Beziehung stehen, erhältman y ′, indem man

1. Beide Seiten der Gleichung nach x dierenziert, dabei y als Funktion von x

betrachtet (Gewöhnlich braucht man dabei die Kettenregel)

2. Die resultierende Gleichung nach y ′ auöst.



Beispiel: Angebot und Nachfrage mit Verbrauchersteuer

Nachfrage: D = a− b (P + t) Angebot: S = α + βPmit t = Verbrauchersteuer, a, b, α, β positive KonstantenGleichgewichtspreis:

a− b (P + t) = α + βP

Gleichung deniert den Preis P implizit als Funktion des Steuersatzes t.

Bestimmen von dPdt:

−b(dP

dt+ 1

)= β

dP

dt

dP

dt=−bb + β


Dierentialrechnung Approximationen

Dierentialrechnung






Approximationen



Motivation

Wir können komplizierte Funktionen vermeiden, wenn wir sie durch einfachereApproximationen annähern.

Lineare Funktionen sind einfach!

Die Tangente ist eine lineare Funktion, d.h. f kann in der Nähe von x = x0durch die Tangente in x = x0 approximiert werden.



Denition der linearen Approximation

Sei f (x) dierenzierbar in x = x0.

Tangente an den Graphen in (x , f (x0)) hat die Gleichung

y = f (x0) + f ′ (x0) (x − x0)

Die lineare Approximation von f um x = x0 ist

f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) (x in der Nähe von x0)

Wenn p (x) die lineare Funktion f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) von x ist, dann haben f

und p denselben Funktionswert und dieselbe Ableitung in x = x0.



Das Dierential einer Funktion

Die Funktion f (x) sei dierenzierbar.

dx sei eine beliebige Änderung in der Variable x

Dann ist das Dierential von y = f (x) deniert durch:

dy = f ′ (x) dx

dy = df ist proportional zu dx mit Proportionalitätsfaktor f ′ (x).Wenn x sich um dx ändert, ist die Änderung in y = f (x) gleich:

4y = f (x + dx)− f (x)



Das Dierential und die tatsächliche Funktionswertänderung 1/2

Lineare Approximation von f um x = x0:

f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) (x in der Nähe von x0)

Ersetze x durch x + dx und x0 durch x , dann ist:

f (x + dx) ≈ f (x) + f ′ (x) (dx)⇐⇒

f (x + dx)− f (x)︸︷︷︸ ≈ f ′ (x) (dx)︸︷︷︸4y dy

4y ≈ dy = f ′ (x) dx



Das Dierential und die tatsächliche Funktionswertänderung 2/2

Das Dierential ist nicht der tatsächliche Zuwachs in y , wenn x sich von x

auf x + dx ändert.

Das Dierential ist der Zuwachs in y , der eintreten würde, wenn y sich mitder konstanten Rate f ′ (x) ändern würde, wenn x sich von x auf x + dx

ändert.

Die Approximation 4y ≈ dy ist umso besser, je kleiner dx ist.



Quadratische Approximationen 1/2

Lineare Approximationen können ungenau sein, daher verwendet man quadratischeApproximationen oder Approximationen durch Polynome höherer Ordnung:

f (x) ≈ p (x) = A + B (x − x0) + C (x − x0)2

Es sind drei Koezienten A,B und C zu bestimmen. Drei Bedingungen für dasPolynom: An der Stelle x = x0 sollen f (x) und p (x)

denselben Funktionswert

dieselbe Ableitung und

dieselbe zweite Ableitung haben.

f (x0) = p (x0) f ′ (x0) = p′ (x0) f ′′ (x0) = p′′ (x0)

Es gilt:

p′ (x) = B + 2C (x − x0)

p′′ (x) = 2C



Quadratische Approximationen 2/2

Setze1 x = x0 in p (x) = A + B (x − x0) + C (x − x0)2 =⇒ A = p (x)

2 x = x0 in p′ (x) = B + 2C (x − x0) =⇒ B = p′ (x)

3 x = x0 in p′′ (x) = 2C =⇒ C = 12p′′ (x)

Die quadratische Approximation von f (x)um x = x0 ist

f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) +12f ′′ (x0) (x − x0)2

für x in der Nähe von x0.



Lineare und quadratische Approximation

Lineare Approximation

f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0)

Quadratische Approximation:

f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0)︸︷︷︸ +12f ′′ (x0) (x − x0)2︸︷︷︸

Lineare Approximation Neuer Term

Spezialfall x0 = 0:

f (x) ≈ f (0) + f ′ (0) x +12f ′′ (0) x2



Approximationen höherer Ordnung

Noch bessere (als lineare und quadratische) Approximation durch ein Polynomn-ten Grades der Gestalt

p (x) = A0 + A1 (x − x0) + A2 (x − x0)2 + A3 (x − x0)3 + ...+ An (x − x0)n

Es gibt jetzt n + 1 Koezienten und n + 1 Bedingungen:

f (x0) = p (x0) f ′ (x0) = p′ (x0) ... f (n) (x0) = p(n) (x0)

Dies führt zur Approximation von f (x)um x = x0

f (x) ≈ f (x0) +f ′ (x0)

1!(x − x0) +

f ′′ (x0)

2!(x − x0)2 + ...+

f (n) (x0)

n!(x − x0)n

Das Polynom auf der rechten Seite heisst das Taylor-Polynom n-ter Ordnung oderdie Taylor-Approximation für f um x = x0.



Fehler bei der Approximation

Approximation von f (x) um x = 0 durch Taylor-Polynom n-ter Ordnung:

f (x) ≈ f (0) +f ′ (0)

1!x +

f ′′ (0)

2!x2 + ...+

f (n) (0)

n!xn

Der Nutzen solcher Approximationen ist begrenzt, wenn nichts über den Fehlerbekannt ist!

Dierenz zwischen f (x) und Taylor-Polynom heisst Restglied. Das Restglied istabhängig von x und n und wird bezeichnet mit

Rn+1 (x)

f (x)!

= f (0) +f ′ (0)

1!x +

f ′′ (0)

2!x2 + ...+

f (n) (0)

n!xn + Rn+1 (x)



Lagrange'sche Form des Restgliedes

Die Funktion f sei in einem Intervall, dass 0 und x enthält, n + 1-maldierenzierbar. Dann gilt für das Restglied:

Rn+1 (x) =1

(n + 1)!f (n+1) (c) xn+1

für eine Zahl c zwischen 0 und x .

Taylor-Formel:

f (x)!

= f (0) +f ′ (0)

1!x +

f ′′ (0)

2!x2 + ...+

f (n) (0)

n!xn +

1(n + 1)!

f (n+1) (c) xn+1



Restglied bei linearer Approximation

lineare Approximation: n=1

R2 (x) =12!f ′′ (c) x2

f (x) = f (0) +f ′ (0)

1!x +

12!f ′′ (c) x2

R2 (x) =12!f ′′ (c) x2 ist der Fehler, den wir machen, wenn wir f (x) durch die

Taylor-Approximation f (0) +f ′ (0)

1!x ersetzen.



Anwendung des Restgliedes

Wenn für alle x in einem Intervall I :∣∣f (n+1) (x)

∣∣ ≤ M, so folgt:

|Rn+1 (x)| ≤ M

(n + 1)!|x |n+1

Das Restglied ermöglicht eine Abschätzung der oberen Grenze des resultierendenFehlers, wenn f durch das Taylor-Polynom ersetzt wird.Das Restglied wird klein, wenn n gross und x nahe bei 0.


Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie

Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung

Extremwerte und Monotonie

Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Mehr über Grenzwerte

Elastizitäten



Monotonie dierenzierbarer Funktionen

Erinnerung: f ′ (x0) ist die Steigung der Tangente an die Kurve y = f (x) imPunkt (x0, f (x0)).

Dann gilt für die Monotonie dierenzierbarer Funktionen in einem Intervall I :

f ′ (x0) ≥ 0 für alle x ∈ I ⇐⇒ f ist monoton wachsend in I .

f ′ (x0) ≤ 0 für alle x ∈ I ⇐⇒ f ist monoton fallend in I .

f ′ (x0) = 0 für alle x ∈ I ⇐⇒ f ist monoton konstant in I .



Extrempunkte und Extremwerte

Maximumpunkt = Stelle, wo der maximale Wert angenommen wird

Minimumpunkt = Stelle, wo der minimale Wert angenommen wird

Extrempunkt = Maximum- oder Minimumpunkt

Optimalpunkt = Extrempunkt

Wenn f (x) den Denitionsbereich Df hat, so ist

c ∈ Df ein Maximumpunkt für f ⇐⇒ f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ Df , f (c)heisst dann Maximalwert.

c ∈ Df ein Minimumpunkt für f ⇐⇒ f (x) ≥ f (c) für alle x ∈ Df , f (c)heisst dann Minimalwert.



Stationäre Punkte

Wenn f eine dierenzierbare Funktion ist, die ein Maximum oder Minimum ineinem inneren Punkt c ihres Denitionsbereiches hat, dann ist die Tangente in c

horizontal, d.h.

f ′ (c) = 0

Punkte c mit f ′ (c) = 0 heissen stationäre Punkte für f .

Notwendige Bedingung erster Ordnung:Die Funktion f sei dierenzierbar im Intervall I und c sei ein innerer Punkt von I .Eine notwendige Bedingung für einen Maximum- oder Minimumpunkt an derStelle c ist, dass c ein stationärer Punkt für f ist, d.h. x = c erfüllt die Gleichung

f ′ (x) = 0 (Bedingung erster Ordnung)



Geometrische Beispiele für Extrempunkte

Stationäre Punkte c und d :

Maximumpunkt an derStelle c

Minimumpunkt an der Stelle

d

Keine stationären Punkte

Maximum im Endpunkt b

Minimum in d (nicht

dierenzierbar in d)

Stationäre Punkte: x0, x1, x2

Minimum im Anfangspunkta

Kein Maximum, daf (x)→∞, wenn x → b

In x0 lokales Maximum

In x1 lokales Minimum

In x2 weder lokales

Maximum noch Minimum



Globale Extrempunkte

Achtung: Im Moment Suche nach globalen Extrempunkten, d.h. das Maximum(Minimum) über alle

x ∈ Df

Später: lokale Extrempunkte.

x0 ist lokaler Maximumpunkt, f nimmt inDf noch grössere Werte an

x1 ist lokaler Minimumpunkt, f nimmt inDf noch kleinere Werte an



Verhalten der Steigung vor und nach Extrempunkten

Die Kurve steigt vor dem Maximum, d.h.f ′ (x) ≥ 0.

Die Kurve fällt nach dem Maximum, d.h.f ′ (x) ≤ 0.

Die Ableitung wechselt an der Stelle c das

Vorzeichen von + auf -.

Die Kurve fällt vor dem Minimum, d.h.f ′ (x) ≤ 0.

Die Kurve steigt nach dem Minimum, d.h.f ′ (x) ≥ 0.

Die Ableitung wechselt an der Stelle c das

Vorzeichen von - auf +.



Test der ersten Ableitung auf Minima und Maxima

Die Funktion f (x) sei dierenzierbar in einem Intervall I und habe einenstationären Punkt c ∈ I , d.h.

f ′ (c) = 0

Wenn f ′ (x) ≥ 0 für alle x ≤ c und f ′ (x) ≤ 0 für alle x ≥ c, dann ist x = c einMaximumpunkt für f .

Wenn f ′ (x) ≤ 0 für alle x ≤ c und f ′ (x) ≥ 0 für alle x ≥ c, dann ist x = c einMinimumpunkt für f .



Ökonomisches Beispiel 1

Es werden Y (N) Scheel Weizen pro Hektar geerntet, wenn N Pfund Dünger proHektar verwendet werden. Wenn P = Preis in Dollar für ein Scheel Weizen undq = Preis in Dollar für ein Pfund Dünger, dann ist der Gewinn pro Hektar:

π (N) = PY (N)− qN, N ≥ 0

Es gebe ein N∗ mit π′ (N) ≥ 0 für N ≤ N∗ und π′ (N) ≤ 0 für N ≥ N∗. Dannmaximiert N∗den Gewinn und π′ (N∗) = 0 , d.h. PY ′ (N∗)− q = 0, d.h.

PY ′ (N∗) = q



Ökonomisches Beispiel 1

Was gewinnen wir, wenn wir N∗ um eine Einheit erhöhen?Wir ernten dann Y (N∗ + 1)− Y (N∗) ≈ Y ′ (N) Einheiten mehr.Für jede Einheit gibt es P Dollar, d.h. wir gewinnen

≈ PY ′ (N) Dollar

Wir verlieren jedoch die Kosten für 1 Pfund Dünger, d.h.

q Dollar

Um den Gewinn zu maximieren, sollte man die Menge Dünger auf dasjenige Levelerhöhen, bei dem ein zusätzliches Pfund Dünger Gewinne und Verluste ausgleicht



Ökonomisches Beispiel 1a

Welche Menge an Dünger maximiert den Gewinn fürY (N) =

√N, P = 10, q = 0, 5.

π (N) = PY (N)− qN

= 10N12 − 0, 5N

π′ (N) = 10

(12

)N−

12 − 0, 5

=5√N− 0, 5

π′ (N∗) = 0, wenn√N∗ = 10, d.h. wenn N∗ = 100

π′ (N∗) ≥ 0, wenn N ≤ 100 und π′ (N∗) ≤ 0, wenn N ≥ 100, d.h. das Vorzeichenwechselt von + auf -.N∗ = 100 maximiert den Gewinn.Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 233 / 516


Ökonomisches Beispiel 1b

Studie von Iowa (1952): Ertragsfunktion Y (N) geschätzt:Y (N) = −13, 62 + 0.984N − 0, 05N1,5 P = 1.40, q = 0, 18.

Welche Menge an Dünger maximiert den Gewinn?

π (N) = 1, 4(−13, 62 + 0.984N − 0, 05N1,5)

− 0, 18N

= −19, 068 + 1, 1976N − 0, 07N1,5

π′ (N) = 1, 1976− 0, 07 · 1, 5N−0,5

= 1, 1976− 0, 105√N

π′ (N∗) = 0, wenn 0, 105√N∗ = 1, 1976 ⇐⇒

√N∗ = 1,1976

0,105≈ 11, 4, also wenn

N∗ ≈ 130Das Vorzeichen wechselt von + auf -, es liegt ein Maximum vor.



Extremwertsatz

Wichtige hinreichende Bedingung für die Existenz von Maximum und Minimum:

Sei f eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall[a, b]. Dann existiert ein Punkt d in [a, b] in dem f ein Minimum, und ein Punktc in [a, b] in dem f ein Maximum hat, so dass

f (d) ≤ f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ [a, b]

Andere Formulierung: Jede auf einem abgeschlossenen endlichen Intervall stetigeFunktion nimmt dort ihr Maximum und ihr Minimum an.



Wie ndet man Maxima und Minima? 1/2

Es sei bekannt, dass f ein Maximum und (oder) Minimum hat in einem endlichenIntervall I . Der Extrempunkt muss entweder im Innern oder am Ende des Intervallsauftreten.

Wenn innerhalb I und wenn f dierenzierbar, dann ist f ′ Null in diesem Punkt.Ein Extrempunkt ist auch möglich, wo f nicht dierenzierbar, d.h. Extrempunktekönnen in den folgenden drei Typen auftreten.

Innere Punkte von I mit f ′ (x) = 0.

Endpunkte von I , wenn sie dazu gehören.

Innere Punkte, in denen f ′ nicht existiert.



Wie ndet man Maxima und Minima? 2/2

Rezept zum Aunden von Extremwerten einer dierenzierbaren Funktion f , dieauf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall [a, b] deniert ist:

1 Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f in (a, b), d.h. alle Punktex ∈ a, b mit f ′ (x) = 0.

2 Berechnen Sie die Funktionswerte von f in den Endpunkten a,b und in allenstationären Punkten.

3 Der Grösste der unter (2) bestimmten Funktionswerte ist das Maximum, derkleinste das Minimum.



Beispiel: Gewinnmaximierung in einem Unternehmen 1/5

Ein Unternehmen stellt ein einzelnes Gut her. Gesamterlös aus Produktion undVerkauf von Q Einheiten sei R (Q), die Gesamtkosten seien C (Q).Der Gewinn ist dann π (Q) = R (Q)− C (Q). Es können maximal Q Einheitenproduziert werden.

R und C seien dierenzierbare Funktionen in[0, Q

], π (Q) ist dann dierenzierbar,

daher stetig und nimmt ein Maximum an. Dies kann in besonderen Fällen inQ = 0 oder Q = Q sein. Wenn nicht, dann Maximum in Q∗ mit π′ (Q∗) = 0, d.h.

R ′ (Q) = C ′ (Q)




Annahme: Fixpreis P pro verkaufter Einheit. Dann ist R (Q) = PQ undR ′ (Q) = P.Daraus folgt:

P = C ′ (Q)

Um den Gewinn zu maximieren, sollten die Grenzkosten gleich dem Preis proEinheit sein.




Das Unternehmen nehme einen Festpreis von 121 pro Einheit. Die Kostenfunktionsei C (Q) = 0, 02Q3 − 3Q2 + 175Q + 500. Die maximale Kapazität sei 110Einheiten.



Gewinnmaximierung in einem Unternehmen 4/5

Welche Produktionsmenge maximiert den Gewinn?

Es gilt: P = C ′ (Q)

Mit P = 121 und C (Q) = 0, 02Q3 − 3Q2 + 175Q + 500 folgt

121 = 0, 06Q2 − 6Q + 175

Die quadratische Gleichung hat die Lösungen Q = 10 und Q = 90.Kandidaten für einen Maximumpunkt: 0, 10, 90, 110

π (0) = −500 π (10) = −760 π (90) = 4360 π (110) = 3240

Der Gewinn wird bei einer Produktion von 90 Einheiten maximiert.



Gewinnmaximierung in einem Unternehmen 5/5

Welches ist der kleinste Preis, den ein Unternehmen berechnen muss, um keinenVerlust zu machen, wenn die Kapazität voll ausgeschöpft wird?

π (110) = 110P − C (110) = 110P − 10070

kein Verlust:

π (110) = 0 ⇐⇒ 110P = 10070 ⇐⇒ P =10070110

≈ 91, 55

P ≈ 91, 55 sind die Durchschnittskosten für die Herstellung von 110 Einheiten.Der Preis muss mindestens so gross sein, wie die Durchschnittskosten.



Lokale Extrempunkte

Die Funktion f hat ein lokales Maxmimum (Minimum) an der Stelle c, wenn esein Intervall (α, β) um c herum gibt, so dass f (x) ≤ (≥) f (c) für alle x ∈ (α, β),für f deniert ist.

c1, c2 und b sind lokaleMaximumpunkte

a, d1 und d2 sind lokaleMinimumpunkte

b ist lokaler und globalerMaximumpunkt

d1 ist lokaler und globalerMinimumpunkte



Anmerkungen

Mit der gegebenen Denition (es gibt andere in der Literatur) kann einEndpunkt des Intervalls lokaler Extrempunkt sein.

Damit ist ein globaler Extrempunkt immer auch ein lokaler Extrempunkt.

In einem lokalen Extrempunkt im Innern des Denitionsbereichs einerdierenzierbaren Funktion muss die erste Ableitung Null sein.


Wie ndet man lokale Extrempunkte?

Die Funktion f sei deniert auf einem Intervall I .Kandidaten für Extrema:

Innere Punkte von I mit f ′ (x) = 0.

Endpunkte von I , wenn sie dazu gehören.

Innere Punkte, in denen f ′ nicht existiert.

Sei c ein stationärer Punkt für y = f (x)

Wenn f ′ (x) ≥ 0 in einem Intervall (a, c) und f ′ (x) ≤ 0 in einem Intervall(c, b), dann ist x = c ein lokaler Maximumpunkt für f .

Wenn f ′ (x) ≤ 0 in einem Intervall (a, c) und f ′ (x) ≥ 0 in einem Intervall(c, b), dann ist x = c ein lokaler Minimumpunkt für f .

Wenn f ′ (x) > 0 in einem Intervall (a, c) und in einem Intervall (c, b), dannist x = c kein lokaler Extrempunkt für f . (Gilt auch für f ′ (x) < 0 )

Anmerkung: Jetzt müssen die Bedingungen nur in einem kleinen Intervall um c

herum gelten.

Untersuchung der zweiten Ableitung 1/2

Die Funktion f sei in einem Intervall I zweimal dierenzierbar und c sei ein innererPunkt von I . Dann gilt:

f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) < 0 dann ist x = c ein strikter lokaler Maximumpunkt.

f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) > 0 dann ist x = c ein strikter lokaler Minimumpunkt.

f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) = 0 dann ist alles möglich.


Untersuchung der zweiten Ableitung 2/2

f ′ (0) = f ′′ (0) = 0und 0 ist ein

Minimumpunkt.

f ′ (0) = f ′′ (0) = 0und 0 ist ein

Maximumpunkt.

f ′ (0) = f ′′ (0) = 0und 0 ist ein

Wendepunkt.

Beachten Sie: Die zweite Ableitung wird nur an der Stelle c untersucht.


Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte





Elastizitäten



Konvexe und Konkave Funktionen

f ist konvex auf I ⇐⇒ f ′′ (x) ≥ 0 für alle x in I

f ist konkav auf I ⇐⇒ f ′′ (x) ≤ 0 für alle x in I



Beispiele

Weltbevölkerung steigt, die Wachstumsrate ist

steigend (die Kurve wird immer steiler), d.h.

jedes Jahr wird das Wachstum grösser.

Geerntete Menge Weizen in Abhängigheit von

der verwendeten Menge Düngemittel pro Hektar.


Beispiel: Produktionsfunktion Y = AKα

Produktionsfunktion ist für K > 0 deniert durch: Y = AKα (A > 0)

A > 0, 0 < α < 1Y ′′ = Aα︸︷︷︸ (α− 1)︸︷︷︸ Kα−2︸︷︷︸ < 0

> 0 < 0 > 0

A > 0, α > 1Y ′′ = Aα︸︷︷︸ (α− 1)︸︷︷︸ Kα−2︸︷︷︸ > 0

> 0 > 0 > 0


Extrempunkte für konvexe und konkave Funktionen

Sei f eine konvexe Funktion in einem Intervall I und c ein stationärer Punkt für fim Innern von I , dann ist c ein Minimumpunkt für f .Sei f eine konkave Funktion in einem Intervall I und c ein stationärer Punkt für fim Innern von I , dann ist c ein Maximumpunkt für f .Beispiel: f (x) = ex−1 − x



Wendepunkte 1/2

Funktionen in ökonomischen Anwendungen sind oft konvex in Teilen desDenitionsbereiches und konkav in anderen Teilbereichen.

Punkte in denen eine Funktion sich von konvex auf konkav ändert oderumgekehrt, heissen Wendepunkte.

Denition: Der Punkt c heisst ein Wendepunkt der Funktion f , wenn es einIntervall (a, b) um c herum gibt, so dass

f ′′ (x) ≥ 0 in (a, c) und f ′′ (x) ≤ 0 in (c, b) oder

f ′′ (x) ≤ 0 in (a, c) und f ′′ (x) ≥ 0 in (c, b)

D.h. x = c ist ein Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung f ′′ (x) ihr Vorzeichenwechselt an der Stelle x = c.



Wendepunkte 2/2



Untersuchung auf Wendepunkte

Sei f eine Funktion mit einer stetigen zweiten Ableitung in einem Intervall I undsei c ein innerer Punkt von I .

Wenn c ein Wendepunkt ist, so ist f ′′ (c) = 0

Wenn f ′′ (c) = 0 und f ′′ in c das Vorzeichen wechselt, dann ist c einWendepunkt für f .

f ′′ (c) = 0 ist eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt. Es ist jedochkeine hinreichende Bedingung, denn f ′′ (c) = 0 bedeutet nicht, dass f ′′ dasVorzeichen wechselt



Beispiel: Produktionsfunktion

Ein Unternehmen produziert ein Gut und braucht Rohmaterial als Input. Seix = f (v) die maximal erzielbare Produktion, wenn v Einheiten des Inputsverwendet werden. Dann heisst f die Produktionsfunktion.Oft wird angenommen, dass die Grenzproduktion f ′ (v) ansteigt bis zu einemProduktionsniveau v0 und dann abnimmt.

Wenn f zweimal dierenzierbar ist, so istf ′′ (v) ≥ 0 in [0, v0] und f ′′ (v) ≤ 0 in[v0,∞], d.h. f ist zunächst konvex unddann konkav mit v0 als Wendepunkt.


Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Mehr über Grenzwerte





Elastizitäten



Unbestimmte Form eines Grenzwertes

Was ist der Grenzwert von

limx→x0

f (x)

g (x)

wenn f (x0) = g (x0) = 0?

Man schreibt dann

limx→x0

f (x)

g (x)=

00

Solch ein Grenzwert ist eine unbestimmte Form vom Typ 0/0, d.h. der Grenzwertkann nicht ohne weitere Untersuchungen bestimmt werden.



Regel von L'Hospital 1/2

Wenn f (x0) = g (x0) = 0 und g ′ (x0) 6= 0, dann gilt

limx→x0

f (x)

g (x)=

f ′ (x0)

g ′ (x0)

Wennf ′ (x0)

g ′ (x0)ebenfalls vom Typ 0/0 ist, dierenziert man ein zweites Mal,

eventuell auch drei- oder viermal oder noch öfter.

ACHTUNG!

Prüfen Sie: Liegt wirklich eine unbestimmte Form vor? Wenn nicht ergibt dieRegel gewöhnlich ein fehlerhaftes Resultat!

Dierenzieren Sie nicht f /g als einen Quotienten, sondern berechnen Siestattdessen f ′/g ′



Regel von L'Hospital 2/2

Die Regel von L'Hospital gilt unter schwächeren Voraussetzungen:

Ausser in x0 seien die Funktionen f und g dierenzierbar in einem Intervall (α, β) ,dass x0 enthält. Es gelte f (x)→ 0 und g (x)→ 0, wenn x → x0. Wenn

g ′ (x) 6= 0 für alle x 6= x0 in (α, β) und limx→x0

f ′(x)g ′(x) = L, dann gilt:

limx→x0

f (x)

g (x)=

f ′ (x)

g ′ (x)= L

Dies gilt, wenn L endlich ist und auch, wenn L = ±∞.

x0 darf auch ein Endpunkt des Intervalls sein oder auch ±∞.

Die Regel gilt auch für unbestimmte Formen vom Typ ±∞/±∞


Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Elastizitäten





Elastizitäten



Motivation 1/2

Wie reagiert die Nachfrage nach einem Gut auf Preisänderungen?

Um wieviele Einheiten ändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preisum 1 Euro steigt?

Antwort: eine Zahl, eine Anzahl von Einheiten

Unzulänglichkeiten bei dieser Antwort : Preisänderung um 1 Euro bei einemPfund Kaee beträchtlich, bei einem Auto unerheblich

Grund: Wahl der Einheiten

Ausweg: Betrachten Sie relative Änderungen



Motivation 2/2

Um welchen Prozentsatz ändert sich die Nachfrage, wenn der Preis sich um 1%ändert?

Antwort unabhängig von den gewählten Einheiten (von Preis und Menge)=⇒ Preiselastizität der Nachfrage

Beispiel 1: Preiselastizität für Butter (1960) geschätzt: −1Interpretation: Eine Preiserhöhung um 1% bewirkt eine Verringerung derNachfrage um 1%

Beispiel 2: Preiselastizität für Kartoeln: -0.2

Interpretation: Eine Preiserhöhung um 1% bewirkt eine Verringerung derNachfrage um 0,2%



Preiselastizität der Nachfrage 1/2

Nachfrage sei eine Funktion des Preises: x = D (P)

Preisänderung von P auf P +4PÄnderung der nachgefragten Menge: 4x = D (P +4P)− D (P)

Relative (proportionale) Änderung:4xx

=D (P +4P)− D (P)

D (P)

Verhältnis zwischen der relativen Änderung der nachgefragten Menge und derrelativen Preisänderung:

4xx4PP

=P

x

4x4P

=P

D (P)

D (P +4P)− D (P)

4P(∗)

Sei 4P = P/100, d.h. der Preis steigt um 1%, dann ergibt sich (4x/x) · 100.Dies ist die prozentuale Änderung der nachgefragten Menge. (∗) wird auchdurchschnittliche Elastizität von x im Intervall [P,P +4P] genannt.



Preiselastizität der Nachfrage 2/2

Die durchschnittliche Elastizität ist abhängig von 4P und P, jedochdimensionslos. Wünschenswert wäre: Elastizität von D an der Stelle P istunabhängig von 4P .

Wenn D eine dierenzierbare Funktion von P ist, bilden wir für 4P → 0 denGrenzwert von

4xx4PP

=P

x

4x4P

=P

D (P)

D (P +4P)− D (P)

4P︸︷︷︸D ′ (P)

Die Elastizität von D (P) bezüglich P ist:

P

D (P)

dD (P)

dP



Allgemeine Denition der Elastizität

Andere wichtige Elastizitäten:

Preiselastizität der Nachfrage

Einkommenselastizität der Nachfrage

Elastizität des Angebots

Substitutionselastizität

...

Wenn f an der Stelle x dierenzierbar und f (x) 6= 0 ist, denieren wir dieElastizität von f bezüglich x durch

Elx f (x) =x

f (x)f ′ (x)


Integralrechnung Unbestimmte Integrale

Integralrechnung

Unbestimmte Integrale

Bestimmte Integrale

Partielle Integration

Integration durch Substitution

Uneigentliche Integrale



Bestimmung einer Funktion bei gegebener Ableitung

Annahmen: Wir kennen die Funktion F nicht, wohl aber deren Ableitung

F ′ (x) = x2

Welche Funktion hat (oder welche Funktionen haben) diese Ableitung?

Ableitung von x3 ist 3x2, d.h. 13x

3 hat die Ableitung x2.

Auch 13x

3 + C hat die Ableitung x2 für eine beliebige Konstante C .



Beispiel: Bestimmung einer Kostenfunktion bei gegebenenGrenzkosten

Bekannt sei die Grenzkostenfunktion eines Unternehmens: K ′ (x) = 2x2 + 2x − 5.Die Fixkosten seien 100.

Die Kostenfunktion ist damit

K (x) =23x3 + x2 − 5x + C ,

denn die Ableitung dieser Funktion ist genau: 2x2 + 2x − 5.

Die Fixkosten sind 100, d.h. K (0) = 100, andererseits ist K (0) = C , also istC = 100.

Damit ist die Kostenfunktion

K (x) =23x3 + x2 − 5x + 100



Unbestimmtes Integral 1/2

f (x) und F (x) seien zwei Funktionen mit: f (x) = F ′ (x), d.h. wir kommen vonF zu f , indem wir die Ableitung bilden. Man könnte den umgekehrten Prozess,den Übergang von f zu F als Gegenableitung bezeichnen.

Die übliche Bezeichnung ist: F ist das unbestimmte Integral von f oderˆ

f (x) dx

Zwei Funktionen, die dieselbe Anleitung über einem ganzen Intervall haben,unterscheiden sich nur durch eine Konstante:

ˆf (x) dx = F (x) + C , wenn F ′ (x) = f (x)

Wir schreiben dx um anzudeuten, dass bezüglich x integriert wird, d.h. x ist dieIntegrationsvariable.



Unbestimmtes Integral 2/2

Wir sprechen von einem unbestimmten Integral, weil F (x) + C nicht eine einzigeFunktion, sondern eine ganze Klasse von Funktionen ist, die alle die Ableitung f

haben.

Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden.

d

dx

ˆf (x) dx = f (x)

Integration und Dierentation heben sich gegenseitig auf.

Integralrechnung ist die Umkehrung der Dierentialrechnung.

Regeln der Integralrechnung folgen aus den entsprechenden Regeln derDierentialrechnung.



Einige wichtige Integrale

ˆx rdx =

1r + 1

x r+1 + C (r 6= −1)

ˆ1xdx = ln |x |+ C

ˆexdx = ex + C

ˆeaxdx =

1aeax + C (a 6= 0)



Einige allgemeine Regeln

Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werdenˆ

af (x) dx = a

ˆf (x) dx

Das Integral einer Summe ist die Summe der Integraleˆ

[f (x) + g (x)] dx =

ˆf (x) dx +

ˆg (x) dx

ˆ[a1f1 (x) + ...+ anfn (x)] dx = a1

ˆf1 (x) dx + ...+ an

ˆfn (x) dx


Integralrechnung Bestimmte Integrale

Integralrechnung


Bestimmte Integrale






Bestimmte Integrale

Eine wichtige Aufgabe der Integralrechnung ist die Bestimmung der Fläche unter derKurve einer stetigen und nicht-negativen Funktion.



Untersumme und Obersumme

Die Summe A1 + A2 + A3 wird als Untersumme von A bezeichnet, weil immer derniedrigste Wert der Funktion die Höhe des Rechtecks bestimmt. Die ermittelte Flächevon der Untersumme ist immer kleiner als die zwischen dem Graphen und der x-Achse.Die Summe B1 + B2 + B3 wird folglich Obersumme genannt. Dieser Bereich ist immergrösser als die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.



Zusammenfassung

Untersumme ≤ Fläche unter dem Graphen ≤Obersumme



Annäherung 1/2

Die Dierenz zwischen Ober- und Untersumme sinkt, wenn 4x kleiner wird.Wenn 4x unendlich klein ist, dann ist auch die Dierenz zwischen Ober- und Untersummeunendlich klein, so dass

Untersumme = Obersumme für 4x → 0

Die Ungleichung

Untersumme ≤ Fläche unter dem Graphen ≤Obersumme

wird zur Gleichung

Untersumme = Fläche unter dem Graphen =Obersumme für 4x → 0



Annäherung 2/2

Der gemeinsame Grenzwert zwischen der oberen und der unteren Summe fürunendlich kleines Intervall [a, b] wird als bestimmtes Intervall über [a, b]bezeichnet. Es kann auch geschrieben werden als:

A = limn→∞

n∑i=1

f (x i )4x = limn→∞

n∑i=1

f (x i )4x für 4x =b − a

n

Der Grenzwert kann auch mit Hilfe des Integralzeichens geschrieben werden:

A =

bˆ

a

f (x) dx



Eigenschaften von bestimmten Integralen

1

bˆ

a

f (x) dx = −aˆ

b

f (x) dx

2

aˆ

a

f (x) dx = 0

3

bˆ

a

αf (x) dx = α

bˆ

a

f (x) dx

4

bˆ

a

f (x) dx =

cˆ

a

f (x) dx +

bˆ

c

f (x) dx



Berechnung von Flächen

Wenn bei einer Funktion alle f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], dann wird die Fläche der Funktionausgedrückt durch das Integral: ∣∣∣∣∣∣

b

a

f (x) dx

∣∣∣∣∣∣Wenn sich das Vorzeichen ändert, muss das Integral an den jeweiligen Integrationsgrenzenaufgeteilt werden. Die Fläche ist dann die Summe aller Beträge der Subintegrale.

b

a

f (x) dx =

∣∣∣∣∣∣c1ˆ

a

f (x) dx

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣c2ˆ

c1

f (x) dx

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣c3ˆ

c2

f (x) dx

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣b

c4

f (x) dx

∣∣∣∣∣∣



Beispiel: Konsumenten- und Produzentenrente

Im Gleichgewichtspunkt E gilt: Nachfrage = AngebotGleichgewichtspreis P∗ ist derjenige Preis, bei dem die Konsumenten genauso vielkaufen, wie die Produzenten bereit sind, bei diesem Preis anzubieten.Es gibt jedoch Konsumenten, die bereit sind, einen höheren Preis als P∗ pro Einheit zuzahlen.



Konsumentenrente

Der Gesamtbetrag, der von allen Konsumenten gespart wird, wenn sie das Gut zueinem Preis kaufen, der niedriger ist als der, den sie maximal zu zahlen bereit sind, heisstdie Konsumentenrente.Für Konsumenten, die bereit sind, das Gut zu einem Preis von P∗ oder höher zu kaufen,ist der Gesamtbetrag, den sie bereit sind zu zahlen, die Fläche unter der Nachfragekurve.

CS =

Q∗ˆ

0

[f (Q)− P∗] dQ



Produzentenrente

Auch die Produzenten machen einen Überschuss, wenn sie zum Gleichgewichtspreisverkaufen, da sie bereit sind ihre Waren auch zu einem niedrigeren Preis zu verkaufen.Die Grösse dieses Überschusses heisst Produzentenrente:

PS =

Q∗ˆ

0

[P∗ − g (Q)] dQ

Produzentenrente ist der Gesamtbetrag, derden Produzenten gezahlt wird minus der Be-trag, den sie akzeptieren würden, um insge-samt Q∗ Einheiten anzubieten.Die Fläche zwischen der Angebotskurve undder P-Achse.


Integralrechnung Partielle Integration

Integralrechnung


Bestimmte Integrale






Integral eines Produkts von Funktionen

ˆx3e2xdx =?

14x4 hat die Ableitung x3und

12e2x hat die Ableitung e2x .

Aber

(14x4)(

12e2x)

hat nicht die Ableitung x3e2x .

Die Ableitung des Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Das Integraleines Produktes ist daher nicht das Produkt der Integrale.



Formel der partiellen Integration

Korrekte Ableitung eines Produktes (Produktregel):

(f (x) g (x))′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x)

Bilden des unbestimmten Integrals auf beiden Seiten:

f (x) g (x) =

ˆf ′ (x) g (x) dx +

ˆf (x) g ′ (x) dx

Auösen nach´f (x) g ′ (x) dx führt auf die Formel der partiellen Integration:ˆ

f (x) g ′ (x) dx = f (x) g (x)−ˆ

f ′ (x) g (x) dx


Integralrechnung Integration durch Substitution

Integralrechnung


Bestimmte Integrale






Weitere Produkte

Beispiel:

ˆ (x2 + 10

)502xdx

Denieren einer neuen Variable:

u = x2 + 10 =⇒ du = 2xdx

Substitution in das Integral:ˆ (

x2 + 10)50

2xdx =

ˆu50du

=151

u51 + C

=151

(x2 + 10

)51Probe durch Ableiten nach der Kettenregel!



Verallgemeinerung

ˆf (g (x)) g ′ (x) dx

Setze u = g (x). Dann ist du = g ′ (x) undˆ

f (g (x)) g ′ (x) dx =

ˆf (u) du

Angenommen, es gibt die Funktion F (u) mit F ′ (u) = f (u), d.h.´f (u) du = F (u) + C und damit

ˆf (g (x)) g ′ (x) dx = F (g (x)) + C

Probe durch Ableiten nach der Kettenregel:

(F (g (x)) + C )′ = F ′ (g (x)) g ′ (x) = f (g (x)) g ′ (x)


Integralrechnung Uneigentliche Integrale

Integralrechnung


Bestimmte Integrale






Uneigentliches Integral 1/2

Sei f stetig für alle x ≥ a.

Dann ist

bˆ

a

f (x) dx für alle b ≥ a

f ist integrierbar über [a,∞), wenn der Grenzwert dieses Integrals für b →∞existiert.

∞

a

f (x) dx = limb→∞

bˆ

a

f (x) dx

Es gilt ausserdembˆ

−∞

f (x) dx = lima→−∞

bˆ

a

f (x) dx



Uneigentliches Integral 2/2

Wenn f stetig ist auf (−∞,∞), so ist das uneigentliche Integral von f über(−∞,∞) deniert durch

∞

−∞

f (x) dx = lima→−∞

0ˆ

a

f (x) dx + limb→∞

bˆ

0

f (x) dx


Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen

Finanzmathematik

1 Grundlagen: Folgen und Reihen

2 Finanzmathematik



Folgen

Eine Funktion durch die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zugeordnetwird, heisst Zahlenfolge und wird mit a1, a2, a3, ... oder a1, a2, ..., an, ... oderan mit n ∈ N bezeichnet. Die an heissen Glieder der Zahlenfolge und a1Anfangsglied.

Man kann zwischen endlichen und unendlichen Folgen unterscheiden.

Um bei der Schreibweise an Verwechslungen mit Mengen anzuschliessen,schreibt man auch ann∈N



Arithmetische Folgen

Eine Folge an, bei der für jedes n ∈ N gilt:

an+1 − an = d = const

heisst arithmetische Folge.

Mit dem Anfangsglied a und der Dierenz erhält man für die Glieder einerarithmetischen Folge:

a, a + d , a + 2d , ..., a + (n − 1) d , ... bzw. an = a + (n − 1) d



Geometrische Folgen

Eine Folge an, bei der für jedes n ∈ N gilt

an+1

an= q = const.

heisst geometrische Folge.

Eine geometrische Folge ist eindeutig durch ihr Anfangsglied a und denQuotienten q zweier aufeinanderfolgender Glieder bestimmt:

a, aq, aq2, ..., aqn−1... bzw. an = aqn−1



Reihen

Gegeben sei eine Zahlenfolge an .

a1 + a2 + a3 + . . . =∞∑n=1

an

heisst unendliche Reihe oder kurz Reihe. Die an heissen Glieder der Reihe.

Es gilt:

sn =n∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + ...+ an

s1 =a1

sn+1 =sn + an+1

Eine arithmetische (geometrische) Reihe ist eine Reihe, deren Glieder einearithmetischen (geometrischen) Folge gehorchen.



Partialsummen

Gegeben sei eine Zahlenfolge ai bzw. eine Reihe∑∞

i=1 ai . Die Summe derersten n Glieder

Sn =n∑i=1

ai

heisst n-te Partialsumme oder n-te Teilsumme der Folge oder Reihe. DiePartialsummen ergeben wieder eine Folge.



n-te Partialsumme einer arithmetische Reihe

sn = a1 + a2 + a3 + ...+ ansn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ...+ ansn = an + (an − d) + (an − 2d) + ...+ a12sn = (a1 + an) + (a1 + d + an − d) + (a1 + 2d + an − 2d) + ...+ (a1 + an)2sn = n (a1 + an)sn = n

2 (a1 + an)

Die n-te Partialsumme einer arithmetischen Reihe ist also

sn =n

2(a1 + an)

Es gilt im Speziellen:

n∑i=1

= 1 + 2 + 3 + ...+ (n − 1) + n =n (n + 1)

2



n-te Partialsumme einer geometische Reihe

sn = a + aq + aq2 + ...aqn−2 + aqn−1

qsn = aq + aq2 + ...aqn−2 + aqn−1 + aqn

sn − qsn = a− aqn

sn = a 1−qn

1−q für q 6= 1

Es gilt somitn∑i=1

= aqi−1 = a1− qn

1− qfür q 6= 1

Für a = 1 folgt speziell:n∑i=1

= qi−1 =1− qn

1− qfür q 6= 1


Eigenschaften von Folgen

Beschränktheit von Folgen:

Eine Zahlenfolge an heisst beschränkt, wenn für alle Glieder der Folge gilt|an| < c = const., c heisst Schranke.

Eine Zahlenfolge an heisst nach unten beschränkt, wenn für alle Glieder derFolge gilt an ≥ c = const., c heisst untere Schranke der Folge.

Eine Zahlenfolge an heisst nach oben beschränkt, wenn für alle Glieder derFolge gilt an ≤ c = const., c heisst obere Schranke der Folge.

Monotonie von Folgen: Gegeben sei eine Zahlenfolge anGilt an < an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge streng monoton steigend.

Gilt an > an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge streng monoton fallend.

Gilt an ≤ an+1 bzw. an ≥ an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge monotonsteigend bzw. monoton fallend.

Grenzwerte von Folgen 1/2

Wie ist das Verhalten von Zahlenfolgen, wenn n sehr gross wird?

Gibt es für jedes (noch so kleine) ε ∈ R+ unendlich viele Glieder am der Folgean mit a− ε < am < a + ε so besitzt die Folge bei a einen Häufungspunkt.

Das Verhalten einer Folge, deren Glieder einem einzigen Häufungspunkt -dem Grenzwert - zustreben, bezeichnet man auch als Konvergenz.

Die Folge an konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn es zu jedempositiven ε ∈ R+ eine natürliche Zahl N (ε) gibt derart, dass |an − a| < ε füralle n ≥ N (ε) gilt. Man schreibt lim

n→∞an = a oder an → a für n→∞.

Eine beschränkte und monotone Zahlenfolge an besitzt genau einenHäufungspunkt a und es gilt lim

n→∞an = a

Eine Folge mit dem Grenzwert 0 heisst Nullfolge.

Eine nicht konvergente Folge heisst divergent.


Grenzwerte von Folgen 2/2

Gegeben seien zwei konvergente Folgen xn und yn , und es sei limn→∞

xn = x und

limn→∞

yn = y . Dann gilt für a ∈ R :

limn→∞

(xn ± a) = x ± a

limn→∞

(axn) = ax

limn→∞

(xn ± yn) = x ± y

limn→∞

(xn · yn) = xy

limn→∞

(xnyn

)= x

yy 6= 0 und alle yn 6= 0

Bei Konvergenzuntersuchungen geht man in vielen Fällen so vor, dass man die zuuntersuchende Folge nach oben und unten durch eine bekannte Folge abschätzt.

Bei Folgen deren Glieder aus Quotienten von Polynomen n bestehen, werden Zählerund Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von n dividiert. Ausser reellenZahlen erhält man dann im Zähler und Nenner Summanden der Form a

nk, die gegen

Null konvergieren. Der Grenzwert lässt sich dann leicht bestimmen.


Grenzwerte von Reihen

Gegeben sei eine Zahlenfolge an und sn =∑n

i=1 ai sei die n-te Teilsumme.Konvergiert die Folge sn der Teilsummen, so bezeichnet man den Grenzwert

S = limn→∞

sn = limn→∞

n∑i=1

ai =n∑i=1

ai

als Summe oder Wert der unendlichen Reihe und nennt die Reihe konvergent.

Der Wert der unendlichen geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied a unddem Quotienten an+1

an= q mit |q| < 1 beträgt

s =a

1− q


Bestimmung von Abschreibungen 1/2

Die Abschreibung bzw. der abzuschreibende Betrag ist der jährlich in derBuchhaltung für die Wertminderung zu berücksichtigende Betrag oder, beiden kalkulatorischen Abschreibungen, der in der Kostenrechnung zuberücksichtigende Wertverzehr.

Es wird bezeichnet

A die AnschaungsaufwendungenR der Restwert am Ende der NutzungsdauerT die Nutzungsdauer

Lineare Abschreibungen: bei linearer Abschreibung ist der jährlicheAbschreibungsbetrag a konstant.

a =A− R

T



Bestimmung von Abschreibungen 2/2

Degressive Abschreibung: die jährlichen Abschreibungsbeträge für eineAnlage nehmen ab.

arithmetisch-degressive Abschreibung: die Abschreibungsbeträge bilden dieersten Glieder einer arithmetischen Folge, d.h. sie nehmen von Jahr zu Jahrum denselben Betrag ab.digitale Abschreibung: Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung,bei der, der letzte Abschreibungsbetrag gleich dem Betrag ist, um den dieAbschreibungen jährlich abnehmen. Bei einer Nutzungsdauer T ergibt sichdieser aus:

a∗ =A− R

1

2T (T + 1)

geometrisch-degressive Abschreibung: die Abschreibungsbeträge bilden dieersten Glieder einer geometrischen Folge. Es wird jährlich ein gleichbleibenderProzentsatz vom Restbuchwert abgeschrieben. Bei gegebenem A, R und Tkann der Abschreibungsprozentsatz bestimmt werden:

A(1− p

100

)T= R =⇒ p =

(1− T

√R

A

)· 100


Finanzmathematik Finanzmathematik

Finanzmathematik

1 Grundlagen: Folgen und Reihen

2 Finanzmathematik



Grundbegrie

Finanzmathematik: Verfahren zur Behandlung von Problemen, bei denenZahlungen bzw. Geldgrössen zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällig werden.

Zinsen: Entgelt für die leihweise Überlassung eines Geldbetrages, den manKapital nennt.

Zinsfuss (p): Zinsen pro Jahr für ein Kapital von 100 Euro.

Zinssatz (i oder r): i = p100

Zinsfaktor (q): q = 1 + p100 = 1 + i

nachschüssige (vorschüssige) Zinsen: Zinsen, die jeweils am Ende (Anfang)einer Periode fällig werden.

Anfangskapital (K0 oder S0): Kapital am Anfang einesBetrachtungszeitraumes

Endkapital (Kn oder St): Kapital am Ende eines Betrachtungszeitraumes vonn (oder t) Perioden.



Einfache Verzinsung

Verzinsung eines Kapitals, wobei Zinsen nicht mitverzinst werden.

K1 =K0 + iK0 = K0 (1 + i)

K2 =K0 (1 + i) + iK0 = K1 + iK0 = K0 (1 + 2i)

...

Kn =K0 (1 + ni)

Kn =K0

(1 + n

p

100

)



Zinseszinsrechnung

Verzinsung, bei der fällig gewordene Zinsen dem Kapital hinzugerechnet unddann mitverzinst werden.

K1 =K0 + iK0 = K0 (1 + i)

K2 =K1 + iK1 = K1 (1 + i) = K0 (1 + i)2

...

Kn =K0 (1 + i)n

Kn =K0

(1 +

p

100

)n



Unterjährige Verzinsung

Werden Zinsen auch nach Zeitintervallen gutgeschrieben, die kleiner als einJahr sind, und dann mitverzinst, so spricht man von unterjähriger Verzinsung.

Werden die Zinsen nach 1m

Jahren gutgeschrieben, dann gilt:

Kn = K0

(1 +

i

m

)nm

Kn = K0

(1 +

p

100m

)nm



Stetige Verzinsung

Lässt man bei unterjähriger Verzinsung die Anzahl m der Unterzeiträumeimmer grösser werden, dann werden die Zeitintervalle immer kleiner.

Im Grenzfall für m→∞ werden dann die Zinsen in jedem Moment demKapital zugeschlagen und dann mitverzinst. Man spricht dann von einerstetigen Verzinsung

Kn = limm→∞

K0

(1 +

i

m

)nm

= K0

(lim

m→∞

(1 +

i

m

)m)n

Es gilt: limm→∞

(1 + i

m

)m= e i und somit

Kn = K0ein = K0e

p100 n

Stetige Verzinsung spielt bei allen Wachstumsvorgängen eine Rolle, da hierder Zuwachs in der Regel stetig erfolgt. i kann dann auch als Wachstumsratebezeichnet werden.



Barwert

Die Bestimmung von K0 bei gegebenem Kn, r und n bezeichnet man auch alsBestimmung des Barwertes einer zukünftigen Zahlung.

Häug spricht man auch von Abzinsung oder Diskontierung des Kapitals.

Durch das Diskontieren werden Zahlungen, die zu unterschiedlichenZeitpunkten und in unterschiedlicher Höhe fällig sind, vergleichbar gemacht.

Der Barwert oder gegenwärtige abdiskontierte Wert ist

K0 =Kn

(1 + i)nbei jährlicher Verzinsung

K0 =Kn

e inbei stetiger Verzinsung



Rentenrechnung

Eine regelmässige, in gleichen Zeitabständen fällige Zahlung (oder andereLeistung) nennt man Rente.

Die einzelnen Zahlungen, die oft die gleiche Höhe haben, nennt manRentenrate und bezeichnet sie mit r .

Werden die Raten zu Beginn (Ende) eines Jahres fällig, handelt es sich umeine vorschüssige (nachschüssige) Rente.

Dem Endwert einer Rente ist die Summe der Endwerte der einzelnenRentenraten r am Ende des n-ten Jahres unter Berücksichtigung vonZinseszinsen.



Nachschüssige Rente 1/2

Jahr Rate Anzahl der Jahre Endwerte der Ratefür die sich die Rente verzinst

1 r n − 1 rqn−1

2 r n − 2 rqn−2

3 r n − 3 rqn−3

......

......

n − 2 r 2 rq2

n − 1 r 1 rq

n r 0 r



Nachschüssige Rente 2/2

Der Endwert Rn der Rente ergibt sich durch Addition der Endwerte dereinzelnen Raten:

Rn =r + rq + rq2 + ...+ rqn−2 + rqn−1

Rn =n∑i=1

rqi−1

Rn =rqn − 1q − 1

Der Barwert oder Kapitalwert einer nachschüssigen Rente:

R0 =Rn

qn=

r

qn· q

n − 1q − 1



Vorschüssige Rente

Jede Rate einer vorschüssigen Rente wird zu Beginn eines Jahres gezahlt unddamit gegenüber der nachschüssigen Rente ein Jahr länger verzinst.

Damit gilt für eine vorschüssige Rente mit der Rate r∗, dem Zinsfaktor q,dem Endwert R∗n und dem Bartwert R∗0 :

R∗n =r∗q · qn − 1q − 1

R∗0 =r∗

qn−1· q

n − 1q − 1

r∗ =R∗nq· q − 1qn − 1



Tilgungsrechnung 1/2

Werden Schulden nicht durch Zahlung eines Gesamtbetrages abgelöst,sondern in Teilbeträgen, so genannten Raten, zurückgezahlt, so spricht manvon Tilgungs- oder Amortisationsschulden.

Die jährlich aufzubringenden Leistungen des Schuldners werden als Annuitätbezeichnet und setzen sich zusammen aus den jeweils fälligen Zinsen auf dieRestschuld und dem Teilbetrag der Rückzahlung

Annuität = Zinsen auf die Restschuld + Tilgungsrate

Eine Zusammenstellung der in den einzelnen Jahren zu erbringendenAnnuitäten, Zinsen und Tilgungsraten heisst Tilgungsplan.



Tilgungsrechnung 2/2

Bei der Ratenschuld ist die Tilgungsrate über die gesamte Dauer derTilgung konstant.

Soll die Ratenschuld K0 in n Jahren getilgt werden, so beträgt dieTilgungsrate T :

T =K0

n

Bei Annuitätentilgung ist die zu zahlende Annuität über den gesamtenZeitraum der Tilgung konstant.

Um eine Schuld K0 in n Jahren bei einem Zinsfaktor von q undnachschüssiger Verzinsung des Restwertes zu tilgen, ist eine jährlichekonstante Annuität von

A = K0 ·qn (q − 1)

qn − 1


Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung

Lineare Algebra

1 Grundlagen der Matrizenrechnung

2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

3 Determinanten

4 Inverse Matrizen



Beispiel 1

Die Aussenhandelsbeziehungen von 4 Ländern während eines Zeitraumes lassensich übersichtlich wie folgt darstellen:

I II III IVI 0 28 19 37II 14 0 25 46III 45 9 0 50IV 5 17 80 0

Zu jedem Land gehört eine Zeile und eine Spalte: In der Zeile eines Landes stehendie Exporte in die jeweils anderen Länder. In der zu einem Land gehörigen Spaltestehen die Importe von den jeweils anderen Ländern.



Beispiel 2

Ein Warenhaus, das 4 Lagerhäuser und 7 Filialen besitzt, kann die Kosten für denTransport einer Tonne Ware von den Lagerhäusern zu den Filialen wie folgtzusammenstellen:

Filialen1 2 3 4 5 6 7

Lagerhaus

1 12 6 5 4 1 9 182 7 12 9 7 4 8 143 4 3 6 2 3 1 34 9 17 5 2 9 4 2



Beispiel 3

In einem Betrieb gibt es die Abteilungen A, B und C. Jede Abteilung gibt an diebeiden anderen Leistungen ab. Die Leistungsbeziehungen können grasch odertabellarisch dargestellt werden:

A B CA 0 20 30B 30 0 40C 10 20 0



Matrix

Das rechteckige Zahlenschema

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

... · · ·... · · ·

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

... · · ·... · · ·

...am1 am2 · · · amj · · · amn

heisst Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder m × n-Matrix.

Die aij (i = 1, ...m; j = 1, ..., n) heissen Elemente der Matrix.

Mögliche Schreibweisen für eine m × n-Matrix:

(aij)mn ; Amn; (aij) ; A



Vektoren 1/2

Eine Matrix, die nur aus einer einzigen Spalte besteht, also eine m× 1-Matrixa1a2...am

heisst Spaltenvektor.

Eine Matrix, die nur aus einer einzigen Zeile besteht, also eine 1× n-Matrix(a1, a2, · · · an

)heisst Zeilenvektor.



Vektoren 2/2

Spaltenvektoren werden durch Kleinbuchstaben (a, b usw.) oder mit (ai ),(bi ) usw. bezeichnet und Zeilenvektoren zusätzlich mit einem hochgestellten

Strich (′) oder T versehen: a′, aT , (ai )′oder (ai )

T

Die Elemente von Zeilenvektoren werden durch Kommata oder Semikolagetrennt.

Ein spezieller Sonderfall von Matrizen ist die 1× 1-Matrix. Es ergibt sichdafür eine reelle Zahl, die im Rahmen der Matrizenrechnung auch als Skalarbezeichnet wird.


Grundbegrie zu Matrizen und Vektoren 1/4

Gleichheit von Matrizen: Zwei m × n-Matrizen A = (aij) und B = (bij)heissen einander gleich, also A = B, wenn aij = bij für alle i = 1, ...,m undj = 1, ..., n.

Matrizenungleichung: Gegeben seien zwei m × n-Matrizen A = (aij) undB = (bij) . Gilt aij < bij für alle i = 1, ...,m und j = 1, ..., n, also für alleentsprechenden Elemente der beiden Matrizen, so schreibt man A < B. Wirdfür einzelne Elemente auch aij ≤ bij zugelassen so schreibt man A ≤ B.

Eine Matrix, deren sämtliche Elemente Null sind, heisst Nullmatrix. EinVektor, bei dem alle Elemente Null sind, heisst Nullvektor.



Quadratische Matrix: Gilt bei einer m × n-Matrix m = n, d.h. stimmenZeilenzahl und Spaltenzahl überein, so hat man eine quadratische Matrixn-ter Ordnung.

a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25a31 a32 a33 a34 a35a41 a42 a43 a44 a45a51 a52 a53 a54 a55

Die Elemente a11, a22, a33... usw.bilden die Hauptdiagonale.

Die Elemente aij mit i + j = n + 1bilden die Nebendiagonale.




Eine quadratische Matrix, bei der sämtliche Elemente auf einer Seite derHauptdiagonalen gleich Null sind, heisst Dreiecksmatrix. Manunterscheidet: obere Dreiecksmatrix und untere Dreiecksmatrix.

a11 a12 a13 · · · a1n0 a22 a23 · · · a2n0 0 a33 · · · a3n· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ann

a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0a31 a32 a33 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an2 an3 · · · ann




Eine quadratische Matrix n-ter Ordnung heisst Diagonalmatrix n-terOrdnung, wenn alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen,gleich Null sind.

Eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonalen gleichsind, heisst auch skalare Matrix.

Eine Diagonalmatrix n-ter Ordnung, deren Diagonalelemente alle gleich 1sind heisst Einheitsmatrix und wird mit E bezeichnet.

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 1

Ein Vektor, dessen i-te Komponente 1 ist und der sonst nur 0 enthält, heissti-ter Einheitsvektor und wird mit ei bezeichnet.



Transponierte Matrix

Gegeben sei eine m × n-Matrix A = (aij) . Die n ×m-Matrix B = (bji ) mitbji = aij für j = 1, ..., n i = 1, ...,m heisst transponierte Matrix zu A undwird mit A′ oder AT bezeichnet.

A =

a11 · · · a1j · · · a1n...

......

ai1 · · · aij · · · ain...

......

am1 · · · amj · · · amn

AT =

a11 · · · ai1 · · · am1

......

...a1j · · · aij · · · amj...

......

a1n · · · ain · · · amn



Regeln für Transponierte Matrizen

(AT)T

= A

(A + B)T = AT + BT

(αA)T = αAT

(AB)T = BTAT



Symmetrische Matrizen

Quadratische Matrizen, die symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen sind,heissen symmetrisch.

Die Matrix A ist genau dann symmetrisch, wenn A = AT .

Das heisst, die Matrix A = (aij)n×n ist genau dann symmetrisch, wennaij = aji für alle i , j .



Addition von Matrizen: Beispiel 1/3

Ein Betrieb produziert drei Güter I, II und III und liefert diese an die HändlerA, B, C und D. Im ersten bzw. zweiten Halbjahr eines Jahres wurden dabeifolgende Mengen abgegeben:

1. HalbjahrA B C D

I 12 8 0 20II 7 5 20 10III 14 4 6 15

2. HalbjahrA B C D

I 13 12 5 10II 13 7 8 20III 12 8 6 15




Die von den verschiedenen Produkten an die Händler in dem Jahr insgesamtabgebenen Mengen erhält man, indem die jeweils an gleicher Stelle stehendenElemente addiert werden, also:

GesamtabsatzA B C D

I 12 + 13 = 25 8 + 12 = 20 0 + 5 = 5 20 + 10 = 30II 7 + 13 = 20 5 + 7 = 12 20 + 8 = 28 10 + 20 = 30III 14 + 12 = 26 4 + 8 = 12 6 + 7 = 13 15 + 15 = 30




Stellt man die Mengenabgaben für das 1. Halbjahr und das 2. Halbjahr alsMatrizen dar, dann entspricht die Bestimmung der Gesamtmenge für dasJahr der Matrizenaddition: 12 8 0 20

7 5 20 1014 4 6 15

+

13 12 5 1013 7 8 2012 8 7 15

=

25 20 5 3020 12 28 3026 12 13 30



Addition von Matrizen

Zwei Matrizen gleicher Ordnung A = (aij) und B = (bij) werden addiert bzw.subtrahiert, indem man die in den Matrizen gleicher Stelle stehendenElemente addiert bzw. subtrahiert.

a11 · · · a1j · · · a1n...

......

ai1 · · · aij · · · ain...

......

am1 · · · amj · · · amn

±

b11 · · · b1j · · · b1n...

......

bi1 · · · bij · · · bin...

......

bm1 · · · bmj · · · bmn

=

a11 ± b11 · · · a1j ± b1j · · · a1n ± b1n...

......

ai1 ± bi1 · · · aij ± bij · · · ain ± bin...

......

am1 ± bm1 · · · amj ± bmj · · · amn ± bmn



Regeln für die Addition von Matrizen

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (−A) = 0

aus A = B folgt A + C = B + C

aus A ≤ B folgt A + C ≤ B + C



Multiplikation mit einem Skalar: Beispiel

Die Aussenhandelsbeziehungen zwischen den Ländern A, B und C sind durchdie folgende Matrix gegeben (Exporte in den Zeilen, Importe in den Spalten) 0 12 8

6 0 410 2 0

Die Zahlen geben den Wert in US$ an. Will man die Werte in ¿ haben, undrechnet man für 1US$ als Wechselkurs 0,80 ¿, so erhält man die ¿-Werte,indem man jedes Element der Matrix mit 0,8 multipliziert. 0, 8 · 0 0, 8 · 12 0, 8 · 8

0, 8 · 6 0, 8 · 0 0, 8 · 40, 8 · 10 0, 8 · 2 0, 8 · 0

=

0 9, 6 6, 44, 8 0 3, 28 1, 6 0



Multiplikation mit einem Skalar

Eine Matrix A = (aij) wird mit einer Zahl α (einem Skalar) multipliziert,indem man jedes Element der Matrix mit dieser Zahl multipliziert:

αA = α

a11 · · · a1j · · · a1n...

......

ai1 · · · aij · · · ain...

......

am1 · · · amj · · · amn

=

αa11 · · · αa1j · · · αa1n...

......

αai1 · · · αaij · · · αain...

......

αam1 · · · αamj · · · αamn


Regeln für die Multiplikation mit Skalaren

(α + β)A = αA + βA

α (A + B) = αA + αB

aus A = B folgt αA = αB

aus A ≤ B folgt αA ≤ αB falls α > 0

aus A ≤ B folgt αA ≥ αB falls α < 0


Skalares Produkt von Vektoren

Gegeben sei ein Zeilenvektor a′ =(a1, a2, · · · an

)und ein

Spaltenvektor b =

b1...bn

, die beide die gleiche Ordnung haben.

Unter dem skalaren oder inneren Produkt der beiden Vektoren verstehtman den Skalar

a′ · b =(a1, a2, · · · an

)·

b1...bn

= a1b1 + a2b2 + · · · anbn =n∑i=1

aibi

Das skalare Produkt ist nur deniert, wenn beide Vektoren von der gleichenOrdnung sind, also die gleiche Anzahl von Elementen aufweisen.

Der Zeilenvektor muss an erster Stelle stehen und der Spaltenvektor an derzweiten.


Eigenschaften skalarer Vektorprodukte

Sind sämtliche Elemente eines Vektors 1, so ergibt das skalare Produkt dieSumme der Elemente des anderen Vektors.

Ist im skalaren Produkt ein Vektor ein Einheitsvektor i-ter Ordnung, dannergibt das Produkt, das i-te Element des anderen Vektors. Füra′ =

(a1, a2, . . . ai . . . an

)gilt also a′ei = eia′ = ai

Gegeben seien Vektoren gleicher Ordnung a, b, c. Dann gelten:

a′b = a′b

(a′ + b′) c = a′c + b′c

aus a′ = b′ folgt a′c = b′c

aus a′ ≤ b′ folgt a′c ≤ b′c falls c > 0

aus a′ ≤ b′ folgt a′c ≥ b′c falls c < 0


Multiplikation von Matrizen: Beispiel 1/5

In einem Chemiewerk werden die Rohstoe Steinkohle und Braunkohle zu denHalbprodukten leichtüssige und gasförmige Kohlenwasserstoe verarbeitet.

Die folgenden Tabelle zeigt die Input-Output-Beziehung, wobei die aij jeweilsangeben, wieviel Tonnen der Kohlenwasserstoe aus einer Tonne Kohleproduziert werden.

Halbprodukte Kohlenwasserstoe (KW)Rohstoe leichtüssig (y1) gasförmig (y2)Steinkohle (x1) a11 = 0, 5 a12 = 0, 2Braunkohle (x2) a21 = 0, 4 a22 = 0, 3

Man erhält:

y1 = a11x1 + a21x2 = 0, 5x1 + 0, 4x2y2 = a12x1 + a22x2 = 0, 2x1 + 0, 3x2

(1)




Die Kohlenwasserstoe sind Halbprodukte und werden zu Paran undDieselöl weiterverarbeitet: die folgende Tabelle zeigt dieInput-Output-Beziehung: die bij geben an, wieviele Tonnen Fertigprodukteaus einer Tonne Halbfertigprodukte produziert werden.

FertigprodukteHalbprodukte Paran (z1) Schmieröl(z2) Dieselöl(z3)leichtüssige KW (y1) b11 = 0, 3 b12 = 0, 4 b13 = 0, 2gasförmige KW (y2) b21 = 0, 2 b22 = 0, 3 b23 = 0, 4

Man erhält:

z1 = b11y1 + b21y2 = 0, 3y1 + 0, 2y2z2 = b12y1 + b22y2 = 0, 4y1 + 0, 3y2z3 = b13y1 + b23y2 = 0, 2y1 + 0, 4y2

(2)




Die Mengen der Fertigprodukte hängen davon ab, welche Rohstomengen(Steinkohle und Braunkohle) eingesetzt werden.

Zusammenhang zwischen den Rohstomengen x1 und x2 und denFertigprodukten z1, z2 und z3 erhält man durch Einsetzen der Gleichungenaus (1) und (2):

z1 = b11 (a11x1 + a21x2) + b21 (a12x1 + a22x2)

z2 = b12 (a11x1 + a21x2) + b22 (a12x1 + a22x2)

z3 = b13 (a11x1 + a21x2) + b23 (a12x1 + a22x2)

Durch Umformen erhält man:

z1 = (a11b11 + a12b21) x1 + (a21b11 + a22b21) x2

z2 = (a11b12 + a12b22) x1 + (a21b12 + a22b22) x2

z3 = (a11b13 + a12b23) x1 + (a21b13 + a22b23) x2




Input-Output-Beziehung zwischen Rohstoen und Fertigprodukten:

FertigprodukteRohstoe Paran (z1) Schmieröl (z2) Dieselöl (z3)

Steinkohle (x1)a11b11 + a12b12 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23

= 0, 19 = 0, 26 = 0, 18

Braunkohle (x2)a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23

= 0, 18 = 0, 25 = 0, 2




Input-Output Beziehung in Matrixform:

Produktionsstufen

A =

(a11 a12a21 a22

)BT =

(b11 b12 b13b21 b22 b23

)

Beziehung zwischen Rohstoen und Fertigprodukten:

C = AB =

(a11b11 + a12b12 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23

)

Die Elemente der Matrix C erhält man als skalare Produkte der Zeilen von A

und der Spalten von B.



Matrizenmultiplikation: Denition

Das Produkt der m × n-Matrix A = (aij) mit der n × r -Matrix B = (bij) istdeniert als

C = AB =

n∑j=1

aijbjk

und ist eine m × r -Matrix.

Das Element cik des Produktes C erhält man als skalares Produkt der i-tenZeile von A und der k-ten Spalte von B.

Die Matrizenmultiplikation ist nur deniert für den Fall, dass dieSpaltenzahl des ersten Faktors mit der Zeilenzahl des zweiten Faktorsübereinstimmt.

Das Ergebnis ist eine Matrix, die so viele Zeilen hat wie der erste Faktor undso viele Spalten wie der zweite Faktor. Es gilt also AmnBnr = Cmr .



Matrizenmultiplikation: FALKsches Schema

b11 b12 · · · b1k · · · b1rb21 b22 · · · b2k · · · b2r...

......

...bj1 bj2 · · · bjk · · · bjr...

......

...bn1 bn2 · · · bnk · · · bnr

a11 a12 · · · a1j · · · a1n c11 c1ra21 a22 · · · a2j · · · a2n...

......

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain cjk...

......

...am1 am2 · · · amj · · · amn cm1 cmr



Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen 1/2

Das Matrizenprodukt AB ist nur dann deniert, wenn die Anzahl der Spaltenin A mit der Anzahl der Zeilen in B übereinstimmt.

Es kann sein, dass AB deniert ist, während BA nicht deniert ist.

Wenn AB und BA beide deniert sind, sind sie im Allgemeinen nicht gleich,AB 6= BA

Gegeben seien Matrizen geeigneter Ordnung A, B, C, D. Dann gilt

A (BC) = (AB)C = ABC

A (B + C) = AB + AC bzw. (A + B)C = AC + BC

aus A = B folgt AC = BC und DA = DB

aus A ≤ B folgt AC ≤ BC für C > 0 und DA ≤ DB für D > 0

aus A ≤ B folgt AC ≥ BC für C > 0 und DA ≥ DB für D > 0



Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen 2/2

Für die Multiplikation einer Matrix A mit einer Einheitsmatrix E geeigneterOrdnung gilt: AE = EA = A.

Ist in einem Matrizenprodukt einer der beiden Faktoren eine Nullmatrix, so istdas Produkt ebenfalls eine Nullmatrix: A · 0 = 0 bzw. 0 · A = 0

Die Transponierte eines Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produktder Transponierten der beiden Matrizen in umgekehrter Reihenfolge:(AB)T = BTAT

Das Produkt eines Zeilenvektors mit einer Matrix ergibt einen Zeilenvektor.

Das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor ergibt einenSpaltenvektor.

Das Produkt eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor ergibt eine Matrix.



Potenz einer quadratischen Matrix

Unter der n-ten Potenz einer quadratischen Matrix A versteht man das n-facheProdukt der Matrix A mit sich selbst.

An = A · A · A · . . . · A︸︷︷︸n-mal

AnAm = An+m

(An)m = Anm



Beispiel: Zeitliche Entwicklung eines Marktes 1/4

Auf einem einfachen Markt erscheinen wöchentlich drei Illustrierte A, B undC und konkurrieren miteinander.

Es gibt keine Abonnements.

Marktanteile der Illustrierten in einer bestimmten Woche:

A: 40%B: 20%C: 40%

In der folgenden Woche kaufen

von den Käufern der Illustrierten A: 80% wieder A, 10% B und 10% Cvon den Käufern der Illustrierten B: 20% A, 70% B, 10% Cvon den Käufern der Illustrierten C: 20% A, 20% B, 60% C




Darstellung der Käufer beim Übergang von einer Periode zur nächsten alsMatrix:

A B C

A

B

C

0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6

Multiplikation des Vektors der ursprünglichen Marktanteile(0, 4; 0, 2; 0, 4

)mit der Matrix bestimmt die Marktanteile der nächsten

Periode:(0, 4; 0, 2; 0, 4

) 0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6

=(0, 44; 0, 26; 0, 3

)




Für die folgende Periode ergibt sich:

(0, 44; 0, 26; 0, 3

) 0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6

=(0, 464; 0, 286; 0, 25

)

Bleibt das Übergangsverhalten der Käufer konstant können mit Hilfe desbeschriebenen Ansatzes die Marktanteile aller folgenden Perioden berechnetwerden.

Ein solcher Prozess wird auch Markovprozess oder Markovkette genannt.



Linearkombinationen von Vektoren 1/2

Unter einer Linearkombination der Vektoren

a1 =

a11a21...

am1

;a2 =

a12a22...

am2

; . . . ;an =

a1na2n...

amn

versteht man eine Summe der Form

c1a1 + c2a2 + . . .+ cnan =n∑i=1

ciai

oder

ca′

1 + c2a′

2 + . . .+ cna′

n =n∑i=1

cia′

i

wobei ci Skalare sind.



Linearkombinationen von Vektoren 2/2

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ergibt wieder einen Vektor,so dass die ciai bzw. cia

′

i wieder Vektoren sind. Die Summe von Vektorenergibt ebenfalls wieder einen Vektor, so dass gilt:

Jede Linearkombination von Vektoren gleicher Ordnung ergibt einen Vektorderselben Ordnung.

Eine Linearkombination∑n

i=1 ciai der Vektoren ai (i = 1, . . . , n) mit∑ni=1 ci = 1 und ci ≥ 0, für i = 1, . . . , n heisst konvexe Linearkombination.



Linear abhängige und unabhängige Vektoren

Die n Vektoren a1, a2, . . . , an gleicher Ordnung heissen linear abhängig,wenn sich der Nullvektor 0 als nichttriviale Linearkombination dieser Vektorendarstellen lässt:

0 =n∑i=1

ciai mit c 6= 0

Die n Vektoren ai (i = 1, . . . , n) heissen linear unabhängig, wenn sich derNullvektor 0 mit diesen n Vektor nur durch die triviale Linearkombination mitci = 0 für i = 1, . . . , n darstellen lässt.



Linear abhängige Vektoren

Sind die m Vektoren a1, a2, . . . , am linear abhängig, dann ist jeder Vektorals Linearkombination der übrigen Vektoren darstellbar.

Vektoren sind linear abhängig, wenn

es zwei gleiche Vektoren gibt;ein Vektor einem anderen proportional ist, d.h. wenn ein Vektor sich auseinem anderen Vektor durch Multiplikation mit einer Zahl ergibt oderdie Anzahl m der Vektoren grösser ist als deren Ordnung n, d.h. m > n.


Überprüfung linearer Abhängigkeit von Vektoren

Gegeben seien m Vektoren n-ter Ordnung a′

1, a′

2, . . . , a′

m mit m < n. MitHilfe von Zeilenoperationen können die Vektoren wie folgt auf lineareAbhängigkeit überprüft werden:

1 Fasse die Zeilenvektoren zu einer Matrix zusammen.

2 Erzeuge im linken quadratischen Teil der Matrix eine obere Dreiecksmatrix.

3 Entsteht dabei eine Zeile mit lauter Nullen oder enthält die Hauptdiagonaledes quadratischen Teils Nullen, so sind die Vektoren linear abhängig,andernfalls nicht.


Rang einer Matrix

Gegeben sei ein System von n Vektoren a1, . . . , an. Die maximale Anzahl derlinear unabhängigen Vektoren des Vektorsystems heisst Rang desVektorsystems.

Bei einer Matrix ist die Maximalanzahl der linear unabhängigen Zeilen immergleich der Maximalzahl der linear unabhängigen Spalten.

Die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten einer Matrix Aheisst Rang der Matrix und wird bezeichnet mit rang (A) .

Regeln für den Rang einer Matrix:

Für eine m × n-Matrix A ist der Rang höchstens gleich dem Minimum vonZeilenzahl m und Spaltenzahl n: rang (Amn) ≤ min (m, n)

Zeilenoperationen verändern den Rang nicht.

Für beliebige Matrizen gilt: rang (A) = rang(AT)



Bestimmung des Rangs einer Matrix

Variante 1 : Erzeuge in den Spalten (in beliebiger Reihenfolge) durchZeilenoperationen Einheitsvektoren ei , wobei für je zwei Einheitsvektorenei , ej gelten muss i 6= j . Die maximale Anzahl von Einheitsvektoren, dieerzeugt werden können, stimmt mit dem Rang der Matrix überein.

Variante 2 : Stelle durch Zeilenoperationen eine Dreiecksmatrix her. DerRang der Matrix ergibt sich dann aus der Anzahl der Zeilen, in denenmindestens ein Element ungleich Null ist.


Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme

Lineare Algebra



3 Determinanten

4 Inverse Matrizen



Begri des linearen Gleichungssystems (LGS)

Eine Gleichung der Form

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn =n∑j=1

ajxj = b

(aj = const. (j = 1, . . . , n) ; b = const.) mit den n Variablen x1, . . . , xnheisst lineare Gleichung in n Variablen. Die aj (j = 1, . . . , n) sind dieKoezienten der Gleichung, b wird auch absolutes Glied genannt.Die m linearen Gleichungen

a11x1+a12x2+ . . .+a1nxn =n∑j=1

a1jxj = b1

. . . . . . . . .

am1x1+am2x2+ . . .+amnxn =n∑j=1

amjxj = bm

ergeben ein lineares Gleichungssystem (LGS).



Matrizenschreibweise von LGS

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

x1x2...xn

=

b1b2...bm

kurz: Ax = b

die Matrix A der Koezienten des LGS heisst Koezientenmatrix

b ist der Vektor der absoluten Glieder

Es gilt m = n, d. h. die Koezientenmatrix ist quadratisch, wenn es genausoviele Gleichungen wie Variablen gibt.

Ax = b heisst Normalform eines LGS.

Ist bei einem LGS Ax = b der Vektor b = 0, so heisst das LGS homogen. Istwenigstens ein Element des Vektors b von Null verschieden (b 6= 0) , so heisstdas LGS inhomogen.



Beispiel 1: Verrechnung innerbetrieblicher Leistungen 1/3

In einem Betrieb mit den Abteilungen A, B, C kann jede Abteilung an dieanderen Leistungen abgeben.

Jede Abteilung gibt ausser-dem Leistungen an denMarkt ab:A: 50B: 80C: 40

In jeder Abteilung fallen unmittelbare Kosten an, in denen die Leistungen deranderen Abteilungen noch nicht berücksichtigt sind: Primärkosten.

Zur Bestimmung der Kosten (Preise) für die Leistung jeder Abteilung mussman auch die durch innerbetrieblichen Leistungsaustausch entstehendenKosten berücksichtigen: Sekundärkosten.




Es gilt für jede Abteilung: entstandene Kosten = verrechnete Kosten




Es ergibt sich zusammengefasst:

A: 85a = 60 + 10b + 20cB: 100b = 210 + 5a + 20cC: 80c︸︷︷︸ = 230︸︷︷︸ + 30a + 10b︸︷︷︸

verrechnete Kosten Primärkosten Sekundärkosten

Als Gleichungssystem erhält man

85a− 10b − 20c = 60

−5a + 100b − 20c = 210

−30a− 10b + 80c = 230

bzw. 85 −10 −20−5 100 −20−30 −10 80

a

b

c

=

60210230



Beispiel 2: Teilbedarfsrechnung 1/2

Aus den Werkstoen A, B werden die Zwischenprodukte C, D, E und dieEndprodukte F und G hergestellt:

Von den Produkten E, F und G werden 50, 200 und 120 Stück für denVerkauf gebraucht.



Beispiel 2: Teilbedarfsrechnung 2/2

Gleichungen zur Ermittlung des Teilebedarfs:

a− c − 2e − 4f = 0

b − 2c − 3d − e − 2g = 0

c − 3f − 2g = 0

d − 2e − 4g = 0

e − f − 2g = 50

f = 200

g = 120

1 0 −1 0 −2 −4 00 1 −2 −3 −1 0 −20 0 1 0 0 −3 −20 0 0 1 −2 0 −40 0 0 0 1 −1 −20 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1

a

b

c

d

e

f

g

=

000050200120



Regeln für die Lösung von LGS 1/2

Die Lösung eines LGS kann durch Einsetzen der Lösungswerte für dieVariablen in die Gleichung überprüft werden.

Bei der Lösung eines inhomogenen LGS sind drei Fälle möglich:

keine Lösung: nicht lösbares LGSeine Lösung: eindeutig lösbares LGSmehrere Lösungen: mehrdeutig lösbares LGS

Für die Bestimmung der Lösungsmenge eines LGS mit zwei Variablen derallgemeinen Form a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2 gibt es verschiedeneLösungsverfahren (vgl. Kurs Grundlagen):

Lösung durch EinsetzenLösung durch GleichsetzenLösung durch Addition



Regeln für die Lösung von LGS 2/2

Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit mehreren Variablen wirddurch äquivalente Umformungen nicht verändert. D.h. die Lösungsmengeeines LGS wird nicht verändert, wenn

einzelne Gleichungen äquivalent umgeformt werden

ein Vielfaches einer Gleichung zu einer andern Gleichung addiert wird oder

zwei Gleichungen miteinander vertauscht werden.

Auf dieser Basis ist die systematische Auösung von LGS möglich. Da für daseigentliche Rechnen nur die Koezienten des LGS benötigt werden, also dieElemente der Koezientenmatrix A und des Vektors b, können systematischeLösungsverfahren auch in Matrizenschreibweise formuliert werden.

Ein homogenes Gleichungssystem Ax = 0 hat immer mindestens dietriviale Lösung x = 0.



Lösung eines inhomogenen LGS durch vollständigeElimination 1/3

Gleichungssysteme in Normalform, für die gilt m = n

Ziel: mit Hilfe äquivalenter Umformungen das LGS so umformen, dass manein LGS erhält bei dem in jeder Gleichung nur noch eine Variable mit demKoezienten 1 steht.




Ist das LGS eindeutig lösbar bedeutet das:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

· · · · · ·an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

wird umgeformt zu:x1 = b∗1

x2 = b∗2

xn = b∗n

Die b∗j (j = 1, . . . , n) sind die Lösungswerte für die Variablen.




Bei der Umformung wird - im eigentlichen Sinne - nur mit den Koezientenaij und den bj der Gleichungen gerechnet. Es reicht für die Lösung daher aus,wenn nur die um den Vektor b erweiterte Koezientenmatrix A betrachtetwird:

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann bn

oder kurz (A |b )

Diese wird so umgeformt, dass anstelle von A eine Einheitsmatrix steht, also1 0 · · · 0 b∗10 1 · · · 0 b∗2· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 1 b∗n



Vollständige Elimination: Denition

Gegeben sei die Normalform Ax = b eines inhomogenen LGS, bei dem dieAnzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Variablen übereinstimmt. DenLösungsvektor x kann man bestimmen, indem man die um den Vektor berweiterte Koezientenmatrix (A |b ) durch Anwendung vonZeilenoperationen in eine Matrix der Form (E |b∗ ) umformt, wobei E eineEinheitsmatrix entsprechender Ordnung ist. Es gilt dann x = b∗.

Unter Zeilenoperationen versteht man die folgenden Rechenoperationen füreine Matrix:

Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl.

Addition einer mit einem Skalar multiplizierten Zeile zu einer anderen Zeile.

Vertauschen zweier Zeilen



Vollständige Elimination: Vorgehen

Ausgangslage: inhomogenes LGSa11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

x1x2· · ·xn

=

b1b2· · ·bn

Um den Vektor b ergänzte Koezientenmatrix

(A |b ) =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann bn

Durch Anwendung der denierten Zeilenoperationen Umformung derKoezientenmatrix zur Einheitsmatrix

1 0 · · · 0 b∗10 1 · · · 0 b∗2· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 1 b∗n



Mehrdeutige Lösbarkeit

Ergeben sich bei der Bestimmung der Lösung eines inhomogenen LGSAx = b mit n Gleichungen in n Variablen mit der vollständigen Elimination inwenigstens einer Zeile der erweiterten Koezientenmatrix nur Nullen, soist das Gleichungssystem nur mehrdeutig lösbar.

Enthalten k Zeilen nur Nullen, dann erhält man die allgemeine Lösung indemnach n − k Variablen aufgelöst wird.

k Variablen können dann beliebig vorgegeben werden, um die übrigenVariablen eindeutig zu bestimmen.

Ist die Anzahl der Gleichungen grösser als die Anzahl der Variablen, so ergibtsich für ein lösbares Gleichungssystem bei Anwendung vollständigerElimination immer mindestens eine Zeile mit lauter Nullen.



Nicht lösbares Gleichungsystem

Gegeben sei ein inhomogenes LGS. Entsteht bei der Anwendung vonZeilenoperationen zur Durchführung der vollständigen Elimination in dererweiterten Koezientenmatrix eine Zeile, die in der letzten Spalte eine vonNull verschiedene Zahl und sonst nur Nullen enthält, so enthält dasGleichungssystem einen Widerspruch und ist nicht lösbar.



GAUSSscher Algorithmus: Denition

Die Lösung eines eindeutig lösbaren inhomogenen LGS Ax = b mit mGleichungen in n Variablen und m ≥ n können dadurch bestimmt werden,dass man durch Anwendung von Zeilenoperationen auf die erweiterteKoezientenmatrix (A |b ) den oberen quadratischen Teil von A in eine obereDreiecksmatrix umwandelt. Durch sukzessives Einsetzen kann man aus demsich ergebenden Gleischungssystem die Lösung bestimmen.



GAUSSscher Algorithmus: Vorgehen 1/3

Gleichungssystema11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

x1x2· · ·xm

=

b1b2· · ·bm

Erweiterung der Koezientenmatrix:a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn bm




Umwandlung der erweiterten Matrix durch Anwendung vonZeilenoperationen, so dass aus dem oberen quadratischen Teil derKoezientenmatric eine obere Dreiecksmatrix wird.

a11 a12 a13 · · · a1n b∗10 a∗22 a∗23 · · · a∗2n b∗20 0 a∗33 · · · a∗3n b∗3· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · a∗nn b∗n0 0 0 · · · 0 0· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 0 0




Die erweiterte Matrix entspricht dem folgenden Gleichungssystem:

a11x1 + a12x2 +a13x3 · · · +a1nxn = b1

a∗22x2 +a∗23x3 · · · +a∗2nxn = b∗2

a∗33x3 · · · +a∗3nxn = b∗3

· · ·a∗nnxn = b∗n

Bestimmung der Lösungen durch sukzessives Einsetzen der bereits bekanntenLösungswerte:

Aus der letzten Gleichung ergibt sich

xn =b∗na∗nn

Einsetzen des Lösungswertes für xn in die vorletzte Gleichung, ergibt denLösungswert für xn−1 usw.


Kriterien für die Lösbarkeit eines LGS

Gegeben sei ein Gleichungssystem Ax = b mit m Gleichungen in n Variablen.Für die Lösbarkeit des Gleichungssystems gilt dann:

rang (A) < rang (A |b ) =⇒ Ax = b ist nicht lösbar.rang (A) = rang (A |b ) = r < n =⇒ Ax = b ist mehrdeutig lösbar.rang (A) = rang (A |b ) = n =⇒ Ax = b ist eindeutig lösbar.

Lineare Algebra Determinanten

Lineare Algebra



3 Determinanten

4 Inverse Matrizen



Grundlegende Begrie

Eine Determinante ist eine reelle Zahl, die aus den Elementen einerquadratischen Matrix, deren Elemente reelle Zahlen sind, nach bestimmtenVorschriften berechnet wird.

Die Determinante einer quadratischen Matrix A wird bezeichnet als det (A)oder |A| .

Die Determinante |A| einer quadratischen Matrix n-ter Ordnung heisstDeterminante n-ter Ordnung.



Determinante 2. Ordnung

Für die quadratische Matrix 2. Ordnung A gilt:

det (A) = |A| =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a12a21



Unterdeterminanten

Streicht man in einer Determinante n-ter Ordnung |A| die i-te Zeile und diej-te Spalte, so erhält man eine Determinante (n − 1)−ter Ordnung. Mannennt diese die Unterdeterminante oder auch Minor des Elements aij undbezeichnet sie mit |A|ij . Zu einer Determinante n-ter Ordnung gibt es n2

Unterdeterminanten. Die Determinante

|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣hat die folgenden Unterdeterminanten:

|A|11 =

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ |A|12 =

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ |A|13 =

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣|A|21 =

∣∣∣∣ a12 a13a32 a33

∣∣∣∣ |A|22 =

∣∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣∣ |A|23 =

∣∣∣∣ a11 a12a31 a32

∣∣∣∣|A|31 =

∣∣∣∣ a12 a13a22 a23

∣∣∣∣ |A|32 =

∣∣∣∣ a11 a13a21 a23

∣∣∣∣ |A|33 =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 392 / 516


Adjunkte

Multipliziert man die Unterdeterminante |A|ij mit (−1)i+j , so erhält man dieAdjunkte oder den Kofaktor αij des Elements aij

αij = (−1)i+j |A|ijIst die Summe i + j von Zeilen- und Spaltenindex eine gerade Zahl, so ist dasVorzeichen + , ergibt i + j eine ungerade Zahl, ist das Vorzeichen ”− ”.Darstellung der Zuordnung der Vorzeichen:∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·· · · · · · · · · · · ·

∣∣∣∣∣∣∣∣Matrix der Adjunkten: Matrix in der anstelle des Elements aij der Matrixdie Adjunkte αij dieses Element steht.

α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n· · · · · · · · ·αn1 αn2 · · · αnn



Adjungierte Matrix

Gegeben sei eine quadratische Matrix A = (aij) und die zugehörige Matrixder Adjunkten (αij).

Die transponierte Matrix der Adjunkten heisst adjungierte Matrix und wirdmit Aad bezeichnet.

Aad = (αij)T =

α11 α21 αn1α12 α22 αn2

α1n α2n αnn



Regel von SARRUS für Determinanten 3. Ordnung

Erweitern der 3× 3-Matrix zu einer 3× 5-Matrix indem die 1. und 2. Spalteals 4. und 5. ergänzt werden:

det (A) = |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12

ACHTUNG: Die SARRUSsche Regel ist nur auf die Berechnung vonDeterminanten 3. Ordnung anwendbar.



LAPLACEscher Entwicklungssatz für Determinanten höhererOrdnung 1/2

Multipliziert man jedes Element aij einer beliebigen Zeile oder Spalte einerDeterminante n-ter Ordnung

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣mit seiner zugehörigen Adjunkten αij , so ergibt die Summe dieser n Produkteden Wert der Determinante.

Man spricht dann von der Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeilebzw. nach der j-ten Spalte.



LAPLACEscher Entwicklungssatz für Determinanten höhererOrdnung 2/2

Bei der Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile ergibt sich ihrWert als:

|A| = ai1αi1 + ai2αi2 + . . .+ ainαin =n∑j=1

aijαij

Bei Entwicklung nach der j-ten Spalte ergibt sich der Wert als:

|A| = a1jα1j + a2jα2j + . . .+ anjαnj =n∑i=1

aijαij



Eigenschaften von Determinanten 1/2

Die Determinante |A| einer Matrix A ist gleich der Determinanten∣∣AT

∣∣ dertransponierten Matrix AT .

Für zwei Matrizen A und B gleicher Ordnung gilt: |A| · |B| = |AB|

Eine Determinante hat den Wert 0, wenn alle Elemente einer Zeile oder einerSpalte gleich Null sind.

Werden alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit einem Faktor cmultipliziert, so erhält man den c-fachen Wert der ursprünglichenDeterminante.



Eigenschaften von Determinanten 2/2

Wird eine quadratische Matrix n-ter Ordnung A mit dem Skalar cmultipliziert, dann gilt: |cA| = cn |A|

Die Determinante wechselt ihr Vorzeichen, wenn man zwei beliebige Zeilenoder Spalten miteinander vertauscht.

Addiert man zu einer Zeile bzw. einer Spalte ein Vielfaches einer anderenZeile bzw. Spalte, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Eine Determinante hat den Wert Null, wenn zwei Zeilen oder zwei Spaltenübereinstimmen, oder wenn eine Zeile bzw. eine Spalte ein Vielfaches eineranderen Zeile bzw. Spalte ist.



Determinante einer Dreiecksmatrix

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ergibt sich als Produkt der Elementeauf der Hauptdiagonalen.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 · · · a1n0 a22 a23 · · · a2n0 0 a33 · · · a3n· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0a31 a32 a33 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an2 an3 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 · . . . ·ann

Die Regel ergibt sich, wenn der LAPLACEsche Entwicklungssatz immerwieder auf die jeweils erste Spalte (bei der oberen Dreiecksmatrix) bzw. dieerste Zeile (bei der unteren Dreiecksmatrix) angewendet wird.

Zur Berechnung einer Determinante kann die entsprechende Matrix durchAnwendung von Zeilenoperationen in eine Dreiecksmatrix umwandelt und dieDeterminante nach obiger Regel berechnet werden.



Denitheit von Matrizen

Die Determinanten der n Unterdeterminanten einer n × n-Matrix A

|A1| = |a11| ; |A2| =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ ; . . . |An| =

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣heissen Hauptminoren der Matrix A.

Eine Matrix ist dann positiv denit, wenn für die n Hauptminoren gilt:|A1| > 0, . . . , |An| > 0

Haben die Hauptminoren alternierende Vorzeichen, beginnend mit negativemVorzeichen, dann ist A entsprechend negativ denit.



Eindeutige Lösbarkeit inhomogener LGS

Eine Matrix A, deren Determinante verschwindet (|A| = 0), heisst singulär.Ist die Determinante von Null verschieden, so heisst die Matrix nichtsinguläroder regulär.

Die Koezientenmatrix eines eindeutig lösbaren inhomogenen LGS mitn Gleichungen und n Variablen ist regulär, die eines nicht eindeutig lösbarenLGS ist singulär.

Überprüfung der eindeutigen Lösbarket eines LGS Ax = b mit n Gleichungenund n Variablen:

gilt |A| 6= 0, dann ist das LGS eindeutig lösbar

gilt |A| = 0, dann nicht.



CRAMERsche Regel

Gegeben sei ein inhomogenes LGS mit n Gleichungen in n Variablen Ax = b. DieLösung kann wie folgt bestimmt werden:

1 Bestimme |A| . Gilt |A| = 0, so ist Ax = b nicht eindeutig lösbar und dasVerfahren ist beendet.

2 Berechne die n Determinanten |Aj | (j = 1, . . . , n) der Matrizen Aj , die manaus der Koezientenmatrix A dadurch erhält, dass man die j-te Spalte durchden Vektor b der absoluten Glieder ersetzt, also:

|A1| =

∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13 · · · a1nb2 a22 a23 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·bn an2 an3 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ |A2| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13 · · · a1na21 b2 a23 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·an1 bn an3 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣3 Bestimme

xj =|Aj ||A|

, j = 1, . . . , n


Lineare Algebra Inverse Matrizen

Lineare Algebra



3 Determinanten

4 Inverse Matrizen



Inverse einer quadratische Matrix

Für eine quadratische Matrix A ist die Inverse oder inverse Matrix A−1 alseine Matrix deniert, für die gilt:

A−1A = AA−1 = E

Für nicht quadratische Matrizen ist die Inverse allgemein nicht deniert.

Eine quadratische Matrix A hat genau dann eine Inverse, wenn |A| 6= 0.

Eine Matrix kann nur eine Inverse haben.



Eigenschaften der Inverse

Seien A und B invertierbare n × n-Matrizen. Dann gilt:

A−1 ist invertierbar und(A−1

)−1= A.

AB ist invertierbar und es gilt (AB)−1 = B−1A−1.

Die Transponierte AT ist invertierbar und(AT)−1

=(A−1

)T.

(cA)−1 = c−1A−1, falls c eine Zahl 6= 0.



Bestimmung der Inversen durch vollständige Elimination

Gegeben sei eine quadratische Matrix A, zu der die Inverse A−1 existiert. DieInverse kann wie folgt bestimmt werden:

1 Erweiterung der Matrix A um eine Einheitsmatrix geeigneter Ordnung zu(A |E )

2 Transformation der erweiterten Matrix (A |E ) durch Anwendung vonZeilenoperationen derart, dass anstelle von A die Einheitsmatrix steht. Imrechten Teil der erweiterten Matrix steht dann die Inverse:

(E∣∣A−1 )



Lösung eines inhomogenen LGS mit Hilfe der Inversen derKoezientenmatrix

Gegeben sei ein LGS mit n Gleichungen in n Variablen: Ax = b.

Multiplikation beider Seiten der Gleichung von links mit der Inversen derKoezientenmatrix ergibt:

A−1Ax = A−1b =⇒ Ex = A−1b =⇒ x = A−1b



Bestimmung der Inverse mit Hilfe der adjungierten Matrix

Gegeben sei eine quadratische Matrix A = (aij) , deren Inverse existert unddie adjungierte Matrix Aad = (αij)

T

Dann gilt:

A−1 =1|A|

Aad =

α11|A|

α21|A| · · · αn1

|A|α12|A|

α22|A| · · · αn2

|A|· · · · · · · · ·α1n|A|

α2n|A| · · · αnn

|A|


Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen

Funktionen mit mehreren Variablen

Funktionen von zwei Variablen

Funktionen von mehreren Variablen

Komparative statische Analysen

Multivariate Optimierung

Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen



Denitionen

Eine Funktion f von zwei Variablen x und y mit Denitionsbereich D ist eineRegel, die jedem Punkt (x , y) ∈ D eine genau spezizierte Zahl f (x , y)zuordnet.

z = f (x , y)

Wir nennen x und y die unabhängigen Variablen und z die abhängigeVariable.

Der Denitionsbereich ist die Menge aller möglichen Paare derunabhängigen Variablen.

Der Wertebereich ist die Menge der zugehörigen Werte der abhängigenVariablen.

x und y heissen auch exogene Variablen, während z die endogene Variable ist.



Beispiele für Funktionen mit mehreren Variablen

Untersuchung der Nachfrage nach Milch von R. Frisch und T. Haavelmo:

x = Am2,08

p1,5(A pos. Konstante)

mit x Milchkonsum, p relativer Preis von Milch, m das Einkommen proFamilie

Cobb-Douglas-Funktion (1927, Schätzung der Produktionsfunktion):

F (x , y) = Axayb (A, a und b sind Konstanten)

gewöhnliche Annahme: x > 0, y > 0

zur Beschreibung von Produktionsprozessen sind x und y die Inputfaktorenund F (x , y) die Anzahl der produzierten Einheiten.



Denitionsbereich

Für Funktionen in ökonomischen Anwendungen unterliegt derDenitionsbereich gewöhnlich Einschränkungen: Wenn f (x , y) eineProduktionsfunktion ist, so nehmen wir für die Inputvariablen gewöhnlichx ≥ 0 und y ≥ 0 an.

Wenn nichts anderes vereinbart ist, nehmen wir an, dass derDenitionsbereich einer Funktion, die durch eine Formel deniert ist, gegebenist durch den grössten Bereich, für den die Formel einen eindeutigen undsinnvollen Wert liefert.

Für Funktionen von zwei Variablen ist der Denitionsbereich einePunktmenge in der Ebene.



Partielle Ableitungen mit zwei Variablen

Für eine Funktion y = f (x) misst die Ableitung dfdx

die Änderungsrate, wennx sich ändert.

Auch für Funktionen von zwei Variablen z = f (x , y) sind wir daraninteressiert, wie schnell sich f (x , y) ändert, wenn die unabhängigen Variablensich ändern.

Wenn z = f (x , y), dann bezeichnet ∂z∂x die Ableitung von f (x , y) bezüglich

x , wenn y konstant gehalten wird und ∂z∂y die Ableitung von f (x , y)

bezüglich y , wenn x konstant gehalten wird.

Wenn z = f (x , y), dann heisst ∂z∂x = ∂f

∂x die partielle Ableitung von z oder fbezüglich x und ∂z

∂y = ∂f∂y die partielle Ableitung von z oder f bezüglich y .

∂f∂x und ∂f

∂y messen die Änderungsraten von f bezüglich x bzw. y . Wenn z.B.∂f∂x > 0 dann führt eine kleine Erhöhung von x zu einem Anstieg in f (x , y).


Partielle Ableitungen: Beispiel

Untersuchung der Nachfrage nach Milch von R. Frisch und T. Haavelmo:

x = Am2,08

p1,5= Ap−1,5m2,08 (A pos. Konstante)

mit x Milchkonsum, p relativer Preis von Milch, m das Einkommen proFamiliepartielle Ableitungen

∂f

∂p=− 1, 5Ap−2,5m2,08

︷︸︸︷< 0

∂f

∂m=2, 08Ap−1,5m1,08

︷︸︸︷> 0

Der Milchkonsum sinkt, wenn der Preis steigt und er steigt, wenn dasEinkommen steigt.


Andere Notationen

Gegeben sein z = f (x , y)

∂f

∂x=∂z

∂x= z

′

x = f′

x (x , y) = f′

1 (x , y) =∂f (x , y)

∂x

∂f

∂y=∂z

∂y= z

′

y = f′

y (x , y) = f′

2 (x , y) =∂f (x , y)

∂y

Die numerischen Indizes beziehen sich auf die Position des Arguments in derFunktion, d.h. f

′

1 ist die partielle Ableitung bezüglich der ersten Variablenund f

′

2 die partielle Ableitung bezüglich der zweiten Variablen



Formale Denition der partiellen Ableitung

Falls z = f (x , y) und g (x) = f (x , y) (bei festem y), so ist die partielleAbleitung von f (x , y) bezüglich x einfach g ′ (x).Die Denition von g ′ (x) ist gegeben durch

g ′ (x) = lim4x→0

g (x +4x)− g (x)

4x

Es folgt für f′

x (x , y) = g ′ (x):

f′

x (x , y) = lim4x→0

f (x +4x , y)− f (x , y)

4x=∂f (x , y)

∂x

Ebenso gilt:

f′

y (x , y) = lim4y→0

f (x , y +4y)− f (x , y)

4y=∂f (x , y)

∂y

Wenn die Grenzwerte nicht existieren, sagen wir, dass die entsprechendenpartiellen Ableitungen nicht existieren oder dass z nicht dierenzierbar istbezüglich x oder y in dem entsprechenden Punkt.



Interpretation der partiellen Ableitung

Die partielle Ableitung ∂f (x,y)∂x ist ungefähr gleich der Änderung von f (x , y),

die aus der Änderung von x um eine Einheit bei konstantem y resultiert.

Die partielle Ableitung ∂f (x,y)∂y ist ungefähr gleich der Änderung von f (x , y),

die aus der Änderung von y um eine Einheit bei konstantem x resultiert.



Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Wenn z = f (x , y) dann heissen ∂f∂x und ∂f

∂y partielle Ableitungen ersterOrdnung. Diese sind wiederum Funktionen von zwei Variablen.Wenn diese wiederum partiell dierenzierbar sind, erhalten wir vier partielleAbleitungen zweiter Ordnung.

∂f

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2∂f

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y

∂f

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

∂f

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2

Andere Notationen:

∂2f

∂x2= f

′′

xx (x , y) = f′′

11 (x , y)

∂2f

∂x∂y= f

′′

xy (x , y) = f′′

12 (x , y)

Für die meisten Funktionen gilt:

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂xDr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 419 / 516


Geometrische Darstellung 1/2

Das Koordinatensystem im Raum:

Funktion einer Variablen werden dargestellt durch den Graphen in einemrechtwinkligen Koordinatensystem.

Bei Funktionen von zwei Variablen bilden die Graphen Flächen in einemdreidimensionalen Raum.

Jeder Punkt in der Ebene wird durch ein Paar reeller Zahlen dargestellt, indemman orthogonale Koordinatenachsen benutzt, d.h. rechtwinkligesKoordinatensystem.

Punkte im Raum können durch Tripel reeller Zahlen dargestellt werden, indemwir drei paarweise orthogonale Koordinatenachsen benutzen.

Koordinatenachsen schneiden sich im Ursprung und heissen x-Achse, y-Achseund z-Achse.



Geometrische Darstellung 2/2



Der Graph einer Funktion von zwei Variablen

Sei z = f (x , y) eine Funktion von zwei Variablen, deniert in einem BereichD in der xy -Ebene.

Der Graph der Funktion f ist die Menge aller Punkte (x , y , f (x , y)) imRaum, die man erhält, wenn man (x , y) durch D laufen lässt.



Höhenlinien

Wenn die Schnittebene zurGleichung x = c gehört, dannheisst die Projektion derSchnittkurve auf die xy -Ebenedie Höhenlinie oder Niveauliniezur Höhe c für f

Die Höhenlinie besteht aus denPunkten (x , y), die die folgendeGleichung erfüllen:

f (x , y) = c



Beispiel 1

z = x2 + y2

Jede Höhenlinie hat die Gleichung x2 + y2 = c für ein c ≥ 0. Dies sind Kreise inder xy -Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius

√c.


Beispiel 2: Cobb-Douglas Funktion

Sei F (K , L) die Anzahl produzierter Einheiten (Output), bei Kapitalinput K undArbeitsinput L. Eine Höhenlinie dieser Funktion ist eine Kurve in der KL-Ebene:

F (K , L) = Y0

Diese Kurve heisst eine Isoquante (gleiche Menge)

F (K , L) = AK aLb mit a + b < 1 und A > 0


Geometrische Interpretation der partiellen Ableitung

f 'x (x0, y0) ist die Ableitung von z = f (x0, y0) nach x in x = x0 und istSteigung der Tangente ly an die Kurve Ky in x = x0.

Analog ist f 'y (x0, y0) die Steigung der Tangente lx an die Kurve Kx in y = y0.


Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen









Funktion von n Variablen

Eine geordnete Menge von n Zahlen, ein n-Tupel von Zahlen (x1, x2, . . . , xn) ,heisst n-dimensionaler Vektor.

Eine Funktion von n Variablen mit Denitionsbereich D ist eine Regel, diejedem n-dimensionalen Vektor x = (x1, x2, . . . , xn) in D genau eine Zahlf (x) = f (x1, x2, . . . , xn) zuordnet.



Funktion von n Variablen: Beispiel 1

Nachfrage nach Zucker in USA (1929 - 1935) geschätzt:

x = 108, 83− 6, 029p + 0, 164w − 0, 4217t

mit x Nachfrage, p Preis, w ein Produktionsindex, t Zeit (t0 = 0 für 1929)

Die Variablen p,w und t kommen nur in der ersten Potenz vor und werdennur mit Konstanten multipliziert. Solche Funktionen heissen linear.



Funktion von n Variablen: Beispiel 2

Nachfrage nach Bier in UK:

x = 1, 058x0,1361 x−0,7272 x

0,9143 x

0,8164

mit x Nachfrage, x1 Einkommen der Person, x2 Preis, x3 allgemeinerPreisindex für alle Güter, x4 Stärke des Bieres

Spezialfall der allgemeinen Cobb-Douglas Funktion:

F (x1, x2, . . . , xn) = Axa11 xa22 . . . xann

deniert für x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0 und Konstante A > 0, a1, a2, . . . , an



Stetigkeit

Eine Funktion von n Variablen ist stetig, wenn kleine Änderungen in eineroder allen Variablen zu kleinen Änderungen in den Funktionswerten führen.

Wie bei einer Variablen gilt: Jede Funktion von n Variablen, die durchKombination der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Divisionund Verkettung aus stetigen Funktionen entsteht, ist überall dort stetig, wosie deniert ist.

Wenn eine Funktion einer Variablen stetig ist, so ist sie auch stetig, wennman sie als Funktion mehrerer Variablen betrachtet, z.B. f (x , y , z) = x2



Denition der partiellen Ableitung mit mehreren Variablen

Wenn z = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) dann bedeutet ∂f∂xi

für (i = 1, 2, . . . , n)

die partielle Ableitung von f (x1, x2, . . . , xn) nach xi wenn alle anderenVariablen xj (j 6= i) konstant gehalten werden.

Es gibt also n partielle Ableitungen erster Ordnung eine für jedesxi , i = 1, 2, . . . , n.

Andere Notationen für partielle Ableitungen erster Ordnung vonz = f (x1, x2, . . . , xn):

∂f

∂xi=∂z

∂xi= z

′

xi= f

′

xi(x1, x2, . . . , xn) = f

′

i (x1, x2, . . . , xn)



Interpretation der partiellen Ableitung mit mehrerenVariablen

Die partielle Ableitung ∂z∂xi

ist ungefähr gleich der Änderung inz = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) die durch einen Anstieg von xi um eine Einheitverursacht wird, wenn alle anderen Variablen xj (j 6= i) konstant gehaltenwerden.

∂f

∂xi= f (x1, . . . , xi−1,xi + 1, xi+1, . . . xn)− f (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . xn)



Partielle Ableitungen zweiter Ordnung

Für jede partielle Ableitung erster Ordnung gibt es n partielle Ableitungenzweiter Ordnung:

∂f

∂xj

(∂f

∂xi

)=

∂2f

∂xj∂xi= f

′xj xi

i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , n, d.h. es gibt n2 partielle Ableitungen zweiterOrdnung, die in einer n× n-Matrix angeordnet werden: Die Hesse-Matrix ander Stelle x = (x1, x2, . . . , xn)

f ′′ (x) =

∂2f∂x21

∂2f∂x1∂x2

· · · ∂2f∂x1∂xn

∂2f∂x2∂x1

∂2f∂x22

· · · ∂2f∂x2∂xn

· · · · · · · · ·∂2f

∂xn∂x1

∂2f∂xn∂x2

· · · ∂2f∂x2n

∂2f∂x2i

partielle Ableitung bezüglich derselben Variablen in der Diagonalen

heissen direkte partielle Ableitungen, ∂2f∂xi∂xj

(i 6= j) gemischte odergekreuzte partielle Ableitungen ausserhalb der Diagonalen.



Youngs Theorem

Wenn z = f (x1, x2, . . . , xn), dann sind die beiden gemischten partiellenAbleitungen ∂2f

∂xi∂xjund ∂2f

∂xj∂xigewöhnlich gleich, d.h.

∂f

∂xj

(∂f

∂xi

)=∂f

∂xi

(∂f

∂xj

)Die Reihenfolge der Dierentation spielt also keine Rolle.

Genauer gilt Folgendes:

Alle partiellen Ableitungen m-ter Ordnung der Funktion z = f (x1, x2, . . . , xn)seien stetig.

Wenn zwei partielle Ableitungen implizieren, dass bezüglich jeder der Variablengleich oft dierenziert werden muss, so stimmen diese partiellen Ableitungenüberein.



Formale Denition der partiellen Ableitungen

∂z

∂xi= lim

∆xi→0

f (x1, . . . , xi +4xi , . . . , xn)− f (x1, . . . , xi , . . . , xn)

4xi

Wenn der Grenzwert nicht existiert, sagen wir, dass die partielle Ableitungnicht existiert oder dass z nicht dierenzierbar ist nach xi an dieser Stelle.

Wenn z = f (x1, x2, . . . , xn) stetige partielle Ableitungen in ihremDenitionsbereich D hat, nennen wir f stetig dierenzierbar in D.



Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 1/4

Y = F (K , L,T )

Y Anzahl produzierter Einheiten, K das investierte Kapital, L derArbeitsinput und T die landwirtschaftliche Nutzäche.

∂Y

∂K= F

′

K Grenzprodukt des Kapitals

∂Y

∂L= F

′

L Grenzprodukt der Arbeit

∂Y

∂T= F

′

T Grenzprodukt der Nutzäche

∂Y∂K ist die Änderungsrate des Outputs Y bezüglich K , wenn L und T

konstant gehalten werden.




Angenommen, die Funktion F ist eine Cobb-Douglas-Funktion:

F (K , L,T ) = AK aLbT c (A, a, b, c pos. Konstanten)

Die Grenzprodukte sind:

∂F

∂K= AaK a−1LbT c

∂F

∂L= AbK aLb−1T c

∂F

∂T= AcK aLbT c−1

Wenn K , L,T positiv sind, sind alle Grenzprodukte positiv, d.h. eineSteigerung des Kapitals, der Arbeit oder der Anbauäche führt zu einerStiegerung der Produktion.




∂F

∂K= AaK a−1LbT c ∂F

∂L= AbK aLb−1T c ∂F


Gemische partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

∂2F

∂K∂L= AabK a−1Lb−1T c =

∂2F

∂L∂K> 0

∂2F

∂K∂T= AacK a−1LbT c−1 =

∂2F

∂T∂K> 0

∂2F

∂L∂T= AbcK aLb−1T c−1 =

∂2F

∂T∂L> 0

Jedes Paar von Faktoren ist komplementär, da mehr von einem dasGrenzprodukt des anderen erhöht.


∂F

∂K= AaK a−1LbT c ∂F

∂L= AbK aLb−1T c ∂F


Direkte partielle Ableitungen zweiter Ordnung

∂2F

∂K 2= Aa (a− 1)K a−2LbT c

∂2F

∂L2= Ab (b − 1)K aLb−2T c

∂2F

∂T 2= Ac (c − 1)K aLbT c−2

z.B gilt für ∂2F∂K2 : wenn a < 1, dann ist ∂2F

∂K2 < 0, dies bedeutet einabnehmendes Grenzprodukt des Kapitals, d.h. eine kleine Erhöhung desinvestierten Kapitals führt zu einer Abnahme des Grenzprodukts des Kapitals.


Partielle Elastizitäten: Zwei Variablen

Wenn z = f (x , y), denieren wir die partiellen Elastizitäten von z

bezüglich x und y durch:

Elxz =x

z

∂z

∂xElyz =

y

z

∂z

∂y

Elxz ist die Elastizität von z bezüglich x , wenn y konstant gehalten wird undElyz ist die Elastizität von z bezüglich y , wenn x konstant gehalten wird.

Die Zahl Elxz gibt ungefähr die prozentuale Änderung von z an, wenn sich x

um 1% erhöht, entsprechend Elyz .



Beispiel: Elastizitäten für Kartoeln und Äpfel

Die Nachfrage nach Kartoeln in den USA wurde für den Zeitraum1927-1941 geschätzt als:

D1 = Ap−0,28m0,34

p Preis für Kartoeln, m das mittlere Einkommen

Die Nachfrage nach Äpfeln wurde geschätzt durch:

D2 = Bq−1,27m1,32

q Preis für Äpfel, m das mittlere Einkommen

Die Preis- und Einkommenselastizitäten der Nachfrage sind dann:

ElpD1 = −0, 28 ElmD1 = 0, 34

ElpD2 = −1, 27 ElmD2 = 1, 32



Partielle Elastizitäten: n Variablen

Wenn z = f (x1, x2, . . . xn) = f (x), wird die partielle Elastizität von z (oderf ) bezüglich xi deniert als Elastizität von z bezüglich xi , wenn alle anderenVariablen konstant gehalten werden.

Eliz =xi

f (x)

∂f (x)

∂xi=

xi

z

∂z

∂xi

Eliz wird interpretiert als approximative Änderung von z , wenn xi sich um1% erhöht und alle anderen Variablen xj (j 6= i) konstant gehalten werden.

Andere Notationen:

Eli f (x) Elxi z εi ei


Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen









Kettenregel bei zwei Variablen

In ökonomischen Wachstumsmodellen wird Output als Funktion von Kapitalund Arbeit betrachtet, die wiederum beide von der Zeit abhängen.

Wie variiert der Output mit der Zeit?

z = F (x , y) x = f (t) y = g (t)

=⇒ z = F (f (t) , g (t))

Wenn z = F (x , y) mit x = f (t) und y = g (t), dann gilt

dz

dt=∂F

∂x· dxdt

+∂F

∂y· dydt

Die Gleichung gibt die Ableitung von z = F (x , y), wenn x und y beidesdierenzierbare Funktionen von t sind.

Diese Ableitung heisst die totale Ableitung von z nach t.



Beispiel: Nachfrage als Funktion von Preis und Einkommen

Sei D = D (p,m) die Nachfrage nach einem Gut als Funktion des Preises unddes Einkommens. Der Preis p und das Einkommen m variieren stetig mit derZeit t, so dass p = p (t) und m = m (t), d.h. die Nachfrage ist eine Funktionvon t allein:

D = D (p (t) ,m (t))

Bestimmen Sie.DD, die relative Änderungsrate der Nachfrage.

Nach der Kettenregel gilt.

D =∂D (p,m)

∂p

.p +

∂D (p,m)

∂m

.m

.

D

D=

p

D

∂D (p,m)

∂p

.p

p+

m

D

∂D (p,m)

∂m

.m

m

= (ElpD)

.p

p+ (ElmD)

.m

m

Man erhält die relative Änderungsrate der Nachfrage, indem man dierelativen Änderungsraten des Preises und des Einkommens mit denentsprechenden Elastizitäten multipliziert und dann addiert.



Kettenregel für n Variablen

In der Theorie des Konsumverhaltens wird angenommen, dass der Nutzeneines Haushalts von der Anzahl eines jeden Gutes abhängt, die er verbrauchenkann. Die Anzahl der verbrauchten Einheiten wiederum wird von den Preisendieser Güter und dem Einkommen des Haushalts abhängen. Der Nutzenhängt also indirekt von allen Preisen und dem Einkommen ab. Es wird eineallgemeine Kettenregel benötigt:

Wenn z = F (x , y) mit x = f (t, s) und y = g (t, s), dann ist z eine Funktionvon t und s, d.h.

z = F (f (t, s) , g (t, s))

und es gilt:∂z

∂t=∂F (x , y)

∂x

∂x

∂t+∂F (x , y)

∂y

∂y

∂t

∂z

∂s=∂F (x , y)

∂x

∂x

∂s+∂F (x , y)

∂y

∂y

∂s



Allgemeine Kettenregel

Es ist z = F (x1, . . . , xn) mit x1 = f1 (t1, . . . , tm) , . . . , xn = fn (t1, . . . , tm)

Die allgemeine Kettenregel:

∂z

∂tj=

∂z

∂x1

∂x1∂tj

+∂z

∂x2

∂x2∂tj

+ . . .+∂z

∂xn

∂xn∂tj

j = 1, 2, . . . ,m

Eine kleine Änderung in einer der Basisvariablen tj löst eine Kettenreaktionaus:

Jedes xi hängt von tj ab, so dass es sich ändert, wenn tj sich ändert.Dies wiederum beeinusst z .Der Beitrag zur totalen Ableitung von z nach tj , der von der Änderung in xiresultiert, ist ∂z

∂xi

∂xi∂tj




Es seiY = F (K , L,T )

mit Y Ertrag der Ernte, K das investierte Kapital, L die Arbeit und T dieGrösse der Anbauäche.

Annahme: K , L, T hängen alle von der Zeit t ab.

Dann gilt nach der Kettenregel:

dY

dt=∂F

∂K

dK

dt+∂F

∂L

dL

dt+∂F

∂T

dT

dt




Wenn F die Cobb-Douglas-Funktion F (K , L,T ) = AK aLbT c ist, so folgt:

dY

dt= aAK a−1LbT c dK

dt+ bAK aLb−1T c dL

dt+ cAK aLbT c−1 dT

dt(∗)

Mit der Punktnotation für Ableitungen nach der Zeit und Division von (∗)durch Y = AK aLbT c ergibt sich

Y

Y= a

K

K+ b

L

L+ c

T

T

Die relative Änderungsrate des Outputs ist eine gewichtete Summe derrelativen Änderungsraten des Kapitals, der Arbeit und der Anbauäche.



Steigung einer Höhenlinie 1/2

Sei F eine Funktion von zwei Variablen.

F (x , y) = c (c = const.)

Diese Gleichung deniert eine Höhenlinie (Isoquante) für F .Annahme: y werde implizit als Funktion von x in Intervall I deniert, d.h.

F (x , f (x)) = c

für alle x ∈ I .



Steigung einer Höhenlinie 2/2

F (x , f (x)) = c für alle x ∈ I (∗)

Sei u (x) = F (x , f (x)). Dann gilt nach der Kettenregel:

u′ (x) = F′

1 (x , f (x)) · 1 + F′

2 (x , f (x)) · f ′ (x)

Nach (∗) ist u (x) = c für alle x ∈ I , d.h.

u′ (x) = F′

1 (x , f (x)) · 1 + F′

2 (x , f (x)) · f ′ (x) = 0

Wir ersetzen f (x) durch y und lösen nach f ′ (x) = y ′ auf und erhalten somitfür die Steigung einer Höhenlinie F (x , y) = c

y ′ =dy

dx= −F

′

1 (x , y)

F′2 (x , y)

= −∂F/∂x∂F/∂y

(∂F/∂y 6= 0)

Diese Gleichung gibt die Ableitung von y nach x selbst dann, wenn esunmöglich ist, die Gleichung F (x , y) = c explizit nach y aufzulösen.



Formel für die zweite Ableitung 1/2

Um zu bestimmen, ob eine Höhenlinie F (x , y) = c der Graph einer konvexenoder konkaven Funktion y = f (x) ist, brauchen wir die 2. Ableitung y ′′, d.h.die Ableitung von

y ′ = −F′

1 (x , y)

F′2 (x , y)

Wir setzen: G (x) = F′

1 (x , y) und H (x) = F′

2 (x , y), wobei y eine Funktionvon x ist.

Zu dierenzieren ist: y ′ = −G(x)H(x) nach x.

Nach der Quotientenregel ist:

y ′′ = −G′ (x)H (x)− G (x)H ′ (x)

[H (x)]2(∗)



Formel für die zweite Ableitung 2/2

Nach der Kettenregel ist:

G ′ (x) = F′′

11 (x , y) · 1 + F′′

12 (x , y) · y ′

H ′ (x) = F′′

21 (x , y) · 1 + F′′

22 (x , y) · y ′

Es ist F′′

12 = F′′

21 und y ′ = −F′1

F′2

Einsetzen in (∗) und vereinfachen gibt:

y ′′ = − 1(F′2

)3 [F ′′11 (F ′2)2 − 2F′′

12F′

1F′

2 + F′′

22

(F′

1

)2]Gewöhnlich ist es einfacher, y ′′ durch direktes Dierenzieren zu bestimmen.



Allgemeinere Fälle

Gegeben sei die Funktion g (x , y) = F (x , y , f (x , y)) = c mit (x , y) ∈ A

Es gilt:g′

x = g′

y = 0

Andererseits gilt nach der Kettenregel:

g′

x = F′

x · 1 + F′

z · z′

x = 0 g′

y = F′

y · 1 + F′

z · z′

y = 0

Durch Auösen nach z′

x bzw. z′

y folgt:

z′

x =∂z

∂x= −F

′

x

F′z

z′

y =∂z

∂y= −

F′

y

F′z

(F′

z 6= 0)

Damit kann man die Ableitungen z′

x bzw. z′

y selbst dann nden, wenn mandie Gleichung F (x , y , z) = c nicht explizit nach z auösen kann.

F (x1, . . . , xn, z) = c =⇒ ∂z

∂xi= −∂F/∂xi

∂F/∂zi = 1, . . . , n



Homogene Funktionen von zwei Variablen

Motivation: F (K , L) bezeichnet die Anzahl der produzierten Einheiten, wennK Einheiten Kapital und L Einheiten Arbeit als Input verwendet werden. Wasgeschieht mit der produzierten Menge, wenn Kapital- und Arbeitsinputverdoppelt werden.

Eine Funktion f von zwei Variablen x und y in D heisst homogen vom Gradk, wenn für alle (x , y) ∈ D gilt:

f (tx , ty) = tk f (x , y) für alle t > 0

Der Grad der Homogenität kann positiv, null oder negativ sein.

Ein Polynom ist homogen vom Grad k genau dann, wenn die Summe derExponenten in jedem Term k ist.



Eulers Theorem

f (tx , ty) = tk f (x , y) für alle t > 0

Wir dierenzieren auf beiden Seiten nach t:

xf′

x (tx , ty) + yf′

y (tx , ty) = ktk−1f (x , y)

Für t = 1 ergibt sich:

xf′

x (x , y) + yf′

y (x , y) = kf (x , y)

f (x , y) ist homogen vom Grade k genau dann, wenn

xf′

x (x , y) + yf′

y (x , y) = kf (x , y)



Höhenlinien homogener Funktionen

Wenn eine Höhenlinie einer homogenen Funktion bekannt ist, so sind auchalle anderen Höhenlinien bekannt.

Die ganze Gestalt des Graphen ist durch eine Höhenlinie bestimmt.



Allgemeine homogene Funktion

Sei f eine Funktion von n Variablen deniert in D.

Es gelte: (x1, x2, . . . , xn) ∈ D und t > 0 =⇒ (tx1, tx2, . . . , txn) ∈ D

Die Funktion f heisst homogen vom Grade k in D, wenn

f (tx1, tx2, . . . , txn) = tk f (x1, x2, . . . , xn) für alle t > 0

Die Konstante k kann eine beliebige Zahl sein: positiv, null oder negativ.



Eulers Theorem

Sei f eine dierenzierbare Funktion von n Variablen, deniert in einemoenen Bereich D, wobei x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D und t > 0 implizieren:tx ∈ D. Dann ist f genau dann homogen vom Grad k, wenn die folgendeGleichung für alle x ∈ D gilt:

n∑i=1

xi f′

i (x) = kf (x) (∗)

Beweis: Wenn f homogen vom Grad k, so gilt

f (tx1, tx2, . . . , txn) = tk f (x1, x2, . . . , xn) für alle t > 0

Dierenzieren nach t ergibt

n∑i=1

xi f′

i (tx) = ktk−1f (x)

Für t = 1 folgt (∗)Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 460 / 516


Dierentiale 1/2

Bei einer Funktion y = f (x) mit einer unabhängigen Variablen versteht manunter dem Dierential der Funktion die (endliche) Änderung dy = df (x),die man erhält, wenn man die unabhängige Variable um den Wert dxverändert. Durch das Dierential dy wird näherungsweise die zu dx gehörigeÄnderung des Funktionswertes beschrieben:

dy = df (x) = f ′ (x) dx

Partielles Dierential: Gegeben sei eine Funktion z = f (x , y) mit denpartiellen Ableitungen erster Ordnung f

′

x (x , y) und f′

y (x , y). Dann heisst

dzx = f′

x (x , y) dx partielles Dierential bezüglich x und

dzy = f′

y (x , y) dy partielles Dierential bezüglich y.



Dierentiale 2/2

Totales Dierential: Gegeben sei eine Funktion z = f (x , y) und die beidenpartiellen Dierentiale dzx = f

′

x dx und dzy = f′

y dy .

Die bei einer gleichzeitigen Änderung von x um dx und von y um dy

entstehende Änderung dz der Funktion heisst totales Dierential und ergibtsich durch Addition der partiellen Dierentiale:

dz = dzx + dzy = f′

x dx + f′

y dy


Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung









Zwei Variablen: Stationäre Punkte

z = f (x , y), deniert auf einer Menge S in der xy -Ebene, nehme Maximumin einem inneren Punkt (x0, y0) von S an.

g (x) = f (x , y0) hängt bei festem y0 nurvon x ab und hat ein Maximum in x = x0.Genauso hat h (y) = f (x0, y) ein Maxi-mum in y = y0.

Ein Punkt (x0, y0) , in dem beide partiellen Ableitungen 0 sind, heisst einstationärer Punkt für f.



Notwendige Bedingungen für innere Extrempunkte

Eine dierenzierbare Funktion z = f (x , y) kann nur dann ein Maximum oderMinimum in einem inneren Punkt (x0, y0) von S haben, wenn dies einstationärer Punkt ist, d.h. wenn der Punkt (x , y) = (x0, y0) die beidenGleichungen (Bedingungen erster Ordnung) erfüllt.

∂f (x , y)

∂x= 0

∂f (x , y)

∂y= 0

P, Q und R sind stationäre Punkte. Je-doch ist nur P ein Maximum. (Später:Q ist ein lokales Maximum und R ist einSattelpunkt.)



Beispiel 1: Gewinnmaximierung 1/2

Ein Unternehmen produziert zwei Sorten A und B eines Gutes. TäglicheKosten für Produktion von x Einheiten der Sorte A und y Einheiten der SorteB.

C (x , y) = 0, 04x2 + 0, , 1xy + 0, 01y2 + 4x + 2y + 500

Das Unternehmen verkauft den gesamten Output zum Preis pro Einheit von15 für A und 9 für B.

Der Gewinn pro Tag ist

π (x , y) = 15x + 9y − C (x , y)

= −0, 04x2 − 0, 01xy − 0, 01y2 + 11x + 7y − 500




Wenn x > 0 und y > 0 den Gewinn maximieren, so muss gelten:

∂π

∂x= −0, 08x − 0, 01y + 11 = 0

∂π

∂y= −0, 01x − 0, 02y + 7 = 0

Die eindeutige Lösung dieser beiden linearen Gleichungen ist: x = 100,y = 300 mit dem Maximalwert π (100, 300) = 1100.




Sei Q = F (K , L) eine Produktionsfunktion mit dem Kapitalinput K und demArbeitsinput L. Der Preis pro Einheit Output sei p, die Kosten pro EinheitKapital seien r und die Kosten pro Arbeitseinheit sei w , wobei p, r und w

positive Konstanten sind.

Der Gewinn π bei der Produktion und dem Verkauf von F (K , L) Einheitenist:

π (K , L) = pF (K , L)− rK − wL




Wenn F dierenzierbar und π ein Maximum mit K > 0, L > 0 hat, dann sinddie Bedingungen erster Ordnung:

∂π

∂K= pF

′

K (K , L)− r = 0

∂π

∂y= pF

′

L (K , L)− w = 0

Notwendige Bedingung, dass der Gewinn maximal wird, wenn K = K∗ undL = L∗.

pF′

K (K∗, L∗) = r ⇐⇒ F′

K (K∗, L∗) =r

p

pF′

L (K∗, L∗) = w F′

L (K∗, L∗) =w

p



Hinreichende Bedingung für ein Maximum oder Minimum

Sei (x0, y0) ein stationärer Punkt einer Funktion f (x , y) auf einer konvexenMenge S .(a) f hat ein Maximum in (x0, y0) wenn für alle (x , y) in S gilt:

f′′xx (x , y) ≤ 0

f′′yy (x , y) ≤ 0

f′′xx (x , y) f

′′yy (x , y)−

(f′′xy (x , y)

)2

≥ 0

(b) f hat ein Minimum in (x0, y0) wenn für alle (x , y) in S gilt:

f′′xx (x , y) ≥ 0

f′′yy (x , y) ≥ 0

f′′xx (x , y) f

′′yy (x , y)−

(f′′xy (x , y)

)2

≥ 0

Eine zweimal dierenzierbare Funktion z = f (x , y), die die Ungleichungen in(a) in einer konvexen Menge S erfüllt, wird konkav genannt, während siekonvex genannt wird, wenn sie die Ungleichungen in (b) in S erfüllt.



Beispiel 1: Gewinnmaximierung - Fortsetzung 1/2

Nehmen Sie an, dass jede Produktion des Unternehmens in Beispiel 1 eineUmweltbelasung hervorruft, so dass das Unternehmen per Gesetzeingeschränkt ist, nicht mehr als insgesamt 320 Einheiten der beiden Güterzu produzieren.

Das Problem des Unternehmens ist dann

π (x , y) = −0, 04x2 − 0, 01xy − 0, 01y2 + 11x + 7y − 500

unter der Nebenbedingung

x + y = 320

Die neue Gewinnfunktion ist

π (x , y) = −0, 04x2 − 0, 01x (320− x)− 0, 01 (320− x)2

+ 11x + 7 (320− x)− 500

= −0, 04x2 + 7, 2x + 2236, 8



Beispiel 1: Gewinnmaximierung - Fortsetzung

Die Ableitungen der Funktion sind:

∂π

∂x= −0, 08x + 7, 2 = 0

∂2π

∂x2= −0, 08

Aus der ersten Ableitung resultiert eine gewinnmaximale Menge von x = 90.Da die zweite Ableitung > 0 für alle x hat die Funktion ein Maximum.

Aus der Nebenbedingung folgt y = 320− 90 = 230.

Der Gewinn ist damit π = 1040.



Lokale Extrempunkte

Der Punkt (x0, y0) heisst lokaler Maximumpunkt von f in S , wenn

f (x , y) ≤ f (x0, y0)

für alle Paare (x , y) ∈ S , die hinreichend nahe zu (x0, y0) liegen.

Genauer: Es gebe eine positive Zahl r , so dass f (x , y) ≤ f (x0, y0) für alle(x , y) ∈ S , die innerhalb eines Kreises mit Mittelpunkt (x0, y0) und Radius rliegen.

Wenn die Ungleichung strikt gilt für (x , y) 6= (x0, y0), dann ist (x0, y0) einstrikter lokaler Maximumpunkt.

Entsprechend wird ein (strikter) lokaler Minimumpunkt deniert.



Notwendige Bedingungen (erster Ordnung) für lokaleExtrempunkte

In einem lokalen Extrempunkt im Innern des Denitionsbereichs einerdierenzierbaren Funktion, sind alle partiellen Ableitungen erster Ordnung 0.

Diese Bedingungen erster Ordnung sind notwendig für einen lokalenExtrempunkt.

Ein stationärer Punkt muss jedoch kein Extrempunkt sein.


Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein stationärer Punkt mit der Eigenschaft, dass esPunkte (x , y) beliebig nahe zu (x0, y0) gibt mit

f (x , y) < f (x0, y0)

und auch andere Punkte (x , y) beliebig nahe zu (x0, y0) mit

f (x , y) > f (x0, y0)

Beispiel: f (x , y) = x2 − y2

Untersuchung der zweiten Ableitung

Sei f (x , y) eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnungin einem Denitionsbereich S und sei (x0, y0) ein innerer Punkt von S , derstationär für f sei

SeiA = f

′′

xx (x0, y0) B = f′′

xy (x0, y0) C = f′′

yy (x0, y0)

(i) Wenn A < 0 und AC − B2 > 0, dann ist (x0, y0) ein (strikter) lokalerMaximumpunkt.

(ii) Wenn A > 0 und AC − B2 > 0, dann ist (x0, y0) ein (strikter) lokalerMinimumpunkt.

(iii) Wenn AC − B2 < 0, dann ist (x0, y0) ein Sattelpunkt.

(iv) Wenn AC − B2 = 0, dann kann (x0, y0) ein lokaler Maximum-,Minimum- oder Sattelpunkt sein.

Anmerkungen zu den Bedingungen zweiter Ordnung

Bedingung AC − B2 > 0 in (i) impliziert AC > B2 und damit AC > 0, d.h.wenn A < 0, dann ist auch C < 0. Die Bedingung C = f

′′

yy (x0, y0) < 0 istdamit (indirekt) in den Annahmen (i) enthalten.

Entsprechendes gilt für (ii).

Wir benötigen sie bei lokalen Extrempunkten nur an der Stelle (x0, y0).

Die Bedingungen in (i), (ii) und (iii) heissen die lokalen Bedingungen zweiterOrdnung.

Die Bedingungen in (i), (ii) und (iii) sind hinreichend, damit ein stationärerPunkt ein lokaler Maximum-, Minimum- oder Sattelpunkt ist.

Keine dieser Bedingungen ist notwendig.


Innere Punkte und Randpunkte 1/2

Ein Punkt (a, b) heisst innerer Punkt der Menge S in der Ebene, wenn eseinen Kreis mit Zentrum (a, b) gibt, so dass alle Punkte innerhalb des Kreisesin S liegen.

Ein Punkt (a, b) heisst ein Randpunkt einer Menge S , wenn jeder Kreis mitZentrum (a, b) sowohl Punkte aus S als auch dem Komplement von S

enthält.

Ein Randpunkt muss nicht notwendig in S liegen.



Innere Punkte und Randpunkte 2/2

Eine Menge heisst oen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.

Eine Menge S heisst abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.

Eine Menge, die einige, aber nicht alle ihrer Randpunkte enthält, ist wederoen noch abgeschlossen.

Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement oen ist.



Beispiel: Budget-Menge 1/2

In ökonomischen Anwendungen werden Mengen häug durch Ungleichungendeniert.

Randpunkte treten auf, wenn eine oder mehrere dieser Ungleichungen mitGleichheit erfüllt sind.

Wenn p, q und m positive Parameter sind, so ist die (Budget)-Menge derPunkte (x , y), die die Ungleichung

px + qy ≤ m x ≥ 0, y ≥ 0

erfüllen, abgeschlossen.


Beispiel: Budget-Menge 2/2

Die Budgetmenge ist ein Dreieck.

Jede Seite des Dreiecks entspricht dem Fall, in dem eine der Ungleichungenmit Gleichheit erfüllt ist.

Wird jedes Ungleichheitszeichen durch ein striktes Ungleichheitszeichenersetzt, d.h. ≤ durch < und ≥ durch >, so ist die entsprechende Mengeoen.


Beschränkte und kompakte Mengen

Eine Menge in der Ebene heisst beschränkt, wenn die ganze Menge in einemhinreichend grossen Kreis enthalten ist.

Menge aller (x , y) mit x ≥ 1; y ≥ 0 istabgeschlossen, aber nicht beschränkt.

Menge aller (x , y) mit 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 ist wederoen noch abgeschlossen, jedoch beschränkt.

Eine Menge in der Ebene, die abgeschlossen und beschränkt ist, heisstkompakt.Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 482 / 516


Extremwertsatz

Die Funktion f (x , y) sei stetig in einer abgeschlossenen und beschränktenMenge S in der Ebene. Dann existieren ein Punkt (a, b) in S , in dem f einMinimum hat, und ein Punkt (c, d) in S , in dem f ein Maximum hat, d.h.

f (a, b) ≤ f (x , y) ≤ f (c, d) für alle (x , y) ∈ S

Der Satz garantiert nur die Existenz, er sagt aber nicht, wie man dieExtrempunkte ndet.

Die Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig.



Das Aunden von Minima und Maxima 1/2

Aufgabe: Bestimmen Sie die Maximum- und Minimumwerte einerdierenzierbaren Funktion f (x , y), die deniert ist auf einer abgeschlossenen,beschränkten Menge S in der Ebene.

Lösung:(i) Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f im Innern von S .

(ii) Bestimmen Sie den kleinsten und den grössten Wert von f auf dem Randvon S und die zugehörigen Punkte. (Wenn es sinnvoll ist, den Rand inmehrere Teilbereiche aufzuteilen, bestimmen Sie den kleinsten und dengrössten Wert von f in jedem Teilbereich des Randes.)

(iii) Bestimmen Sie die Funktionswerte in allen in (i) und (ii) gefundenenPunkten. Der grösste Funktionswert ist der Maximalwert von f in S . Derkleinste Funktionswert ist der Minimalwert von f in S .



Das Aunden von Minima und Maxima 2/2

Ein stationärer Punkt (x0, y0) imInnern, Punkt P auf dem Graphen.

Der Rand besteht aus vier Teilen.

Entlang des Randes:

Maximalwert in RMinimalwert in Q

Kandidaten für Extrempunkte: P, Qund R.

Vergleich der Funktionswerte:Minimalwert in P und Maximalwertin R.


Funktionen mit drei oder mehr Variablen

Sei f (x) = f (x1, . . . , xn) eine Funktion von n Variablen, deniert auf derMenge S in Rn

Dann ist c = (c1, . . . , cn) ein (globaler) Maximumpunkt für f in S , wenn

f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ S

Eine oene n-Kugel mit Zentrum a = (a1, . . . , an) und Radius r ist die Mengealler Punkte x = (x1, . . . , xn) mit ‖x − a‖ < r .

Denitionen von inneren Punkten, oenen, abgeschlossenen, beschränktenund kompakten Mengen übertragen sich, wenn man Kreise durchn-Kugeln ersetzt.

Ein stationärer Punkt für eine Funktion von n Variablen ist ein Punkt, in demalle partiellen Ableitungen erster Ordnung 0 sind.


Notwendige Bedingung erster Ordnung

Sei f deniert auf S in Rn und sei c = (c1, . . . , cn) ein innerer Punkt von S ,in dem f dierenzierbar ist.

Eine notwendige Bedingung, damit c ein Maximum- oder Minimumpunkt vonf ist, ist, dass c ein stationärer Punkt für f ist, d.h. x = c erfüllt die nGleichungen, die Bedingungen erster Ordnung:

f′

i (x) = 0 i = 1, . . . , n



Der Extremwertsatz

Sei f eine stetige Funktion auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge Sin Rn.

Dann gibt es einen Punkt d ∈ S , in dem f ein Minimum hat und einen Punktc ∈ S , in dem S ein Maximum hat, so dass

f (d) ≤ f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ S

Wenn f auf einer Menge S in Rn deniert ist, dann liegen der Maximum- undMinimumpunkt (falls sie existieren) entweder im Innern oder auf dem Randvon S .

Wenn f dierenzierbar ist, muss ein Maximum- oder Minimumpunkt imInnern von S die Bedingungen erster Ordnung erfüllen.

Zum Aunden des Maximums und Minimums kann also genau wie bei zweiVariablen verfahren werden.



Hinreichende Bedingung bei Funktionen mit mehrerenVariablen

Gegeben sei die Hesse-Matrix einer stetig partiell dierenzierbaren Funktiony = f (x1, . . . , xn) an der Stelle (x10, . . . , xn0)

Ist die Hesse-Matrix positv denit, so besitzt die Funktion an der Stelle einMinimum.

Ist die Hesse-Matrix negativ denit, so besitzt die Funktion an der Stelle einMaximum.



Transformation bei Maximierungsproblemen

Die Maximierung einer Funktion ist äquivalent zur Maximierung einer strengmonoton wachsenden Transformation dieser Funktion.

Wenn wir z.B. alle Paare (x , y) nden wollen, die die Funktion f (x , y) übereiner Menge S in der Ebene maximieren, können wir auch versuchendiejenigen (x , y) zu nden, die irgendeine der folgenden Zielfunktionmaximieren:

(i) af (x , y) + b (a > 0) (ii) ef (x,y) (iii) ln f (x , y) (f (x , y) > 0)

Die Maximalpunkte sind genau diesselben.

Die Maximalwerte sind verschieden.



Monotone Transformation bei Extremwertproblemen

Sei f (x) = f (x1, . . . , xn) deniert auf einer Menge S in Rn und sei F eineFunktion, deniert auf dem Wertebereich von f .

Die Funktion g sei auf S deniert durch

g (x) = F (f (x))

Dann gilt:

Wenn F monoton wachsend ist und c die Funktion f auf S maximiert(minimiert), dann maximiert (minimiert) c auch die Funktion g auf S .

Wenn F streng monoton wachsend ist, dann maximiert (minimiert) c dieFunktion f auf S genau dann, wenn c die Funktion g auf S maximiert(minimiert).



Komparative Statik: Motivation

In ökonomischen Optimierungsproblemen hängt die zu optimierende Funktiongewöhnlich von Parametern ab, wie Preisen, Steuersätzen,Einkommensniveaus usw.

Diese werden während der Optimierung konstant gehalten, sie variierenjedoch entsprechend der ökonomischen Situation.

Beispiel: wir berechnen die den Gewinn eines Unternehmens maximierendenInput- und Outputgrössen unter der Annahme konstanter Preise und dannfragen wir:

Wie ändern sich die optimalen Grössen, wenn sich die Preise ändern?



Die Optimalwertfunktion

Eine Funktion f hänge von einer Variablen x und einem Parameter r ab.

Wir wollen f (x , r)bezüglich x maximieren oder minimieren, während wir rkonstant halten:

max (min)x f (x , r)

Der Wert von x , der f maximiert (minimiert) hängt i.a. von r ab, deshalbwird er x∗ (r).

Einsetzen in f (x , r)ergibt:

f ∗ (r) = f (x∗ (r) , r)

die Optimalwertfunktion.



Abhängigkeit der Optimalwertfunktion vom Parameter

f ∗ (r) = f (x∗ (r) , r)

Was passiert mit der Optimalwertfunktion, wenn r sich ändert.

Wenn f ∗ (r) dierenzierbar ist, so folgt aus der Kettenregel:

df ∗ (r)

dr= f

′

1 (x∗ (r) , r)︸︷︷︸ dx∗ (r)

dr+f′

2 (x∗ (r) , r)

= 0

Wenn f (x , r) einen Extrempunkt in einem inneren Punkt x∗ (r) imDenitionsbereich von x hat, ist f

′

1 (x∗ (r) , r) = 0 und damit

df ∗ (r)

dr=f′

2 (x∗ (r) , r) (∗)



Das Envelope-Theorem

Verallgemeinerung von (∗) auf mehrere Variablen x = (x1, . . . , xn) undmehrere Parameter r = (r1, . . . , rn).

Wenn f ∗ (r) = maxxf (x , r) und wenn x∗ (r) der Wert von x ist, der f (x , r)

maximiert, dann gilt

∂f ∗ (r)

∂rj=

[∂f (x , r)

∂rj

]x=x∗(r)

j = 1, . . . , k

f ∗ (r) ist wieder die Optimalwertfunktion

Dieselbe Gleichung Gleichung gilt, wenn f (x , r) minimiert werden soll.



Grasche Interpretation des Envelope-Theorems 1/2

Für jedes fest x gibt es eine Kurve Kx in der ry -Ebene, gegeben durch dieGleichung y = f (x , r) .

Für alle x und r gilt:

f (x , r) ≤ maxxf (x , r) = f ∗ (r)

d.h. keine der Kx -Kurven kann jemals über y = f ∗ (r) liegen.

Andererseits gibt es für jedes r wenigstens einen Wert x∗ von x mitf (x∗, r) = f ∗ (r), nämlich denjenigen Wert, der das Maximierungsproblemfür das gegebene r löst.

Die Kurve Kx∗ berührt die Kurve y = f ∗ (r) in

(x∗, f ∗ (r)) = (x∗, f (x∗, r))

und muss diesselbe Tangente haben wie der Graph von f ∗ in diesem Punkt.



Grasche Interpretation des Envelope-Theorems 2/2




Der Gewinn π aus Produktion und Verkauf von Q = F (K , L) Einheiten ist:

π (K , L, p, r ,w) = pF (K , L)− rK − wL

Dabei sind p, r ,w Parameter.

π wird als Funktion von K und L maximiert bei festen Werten der Parameterp, r ,w .

Die optimalen Werte von K und L sind Funktionen von p, r und w .

K∗ = K∗ (p, r ,w) L∗ = L∗ (p, r ,w)




Die Optimalwertfunktion ist

π∗ (p, r ,w) = π (K∗, L∗p, r ,w)

Man ndet sie, indem and die Preise und Kosten als fest betrachtet und dieoptimalen Input- und Outputgrössen bestimmt.

Nach dem Envelope-Theorem gilt:

∂π

∂p= F (K∗, L∗) = Q∗

∂π

∂r= −K

∂π

∂w= −L


Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen









Optimierung unter Nebenbedingungen: Beispiel

Verbraucher mit einem Einkommen m überlegt:welche Menge x er von einem Gut kaufen will, wenn der Preis pro Einheit p ist,welchen Betrag y er für Ausgaben für andere Güter übrig lässt.

Die Budgetbeschränkung des Verbrauchers ist: px + y = m

Die Präferenzen des Verbrauchers seien durch eine Nutzenfunktion u (x , y)ausgedrückt, d.h. der Verbraucher wählt (x , y) so dass der Nutzen u (x , y)maximiert wird unter der Nebenbedingung px + y = m, d.h.

MAX u (x , y) unter Nebenbedingung px + y = m

Typisches eingeschränktes Optimierungsproblem, das in diesem Fall in einnicht eingeschränktes Optimierungsproblem umgewandelt werden kann,denn y = m − px und somit ist

h (x) = u (x ,m − px)

bezüglich der einen Variablen x zu maximieren.Jedoch ist diese bei komplizierteren Bedingungen oder mehreren Bedingungenzu umständlich.



Lagrange-Funktion

MAX u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c

Wir denieren die Lagrange-Funktion L mit dem Lagrange-Multiplikator λ:

L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)

Der Ausdruck g (x , y)− c, der unter der Nebenbedingung 0 ist, wird mit derKonstanten λ multipliziert.

Es gilt L = f (x , y) für alle (x , y), die die Nebenbedingung erfüllen.

λ ist eine Konstante



Notwendige Bedingung

MAX u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c (1)

Lagrange-Funktion:

L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)

Die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion sind:

∂L∂x

=∂f

∂x− λ∂g

∂x∂L∂y

=∂f

∂y− λ∂g

∂y

Eine Lösung von (1) kann nur ein Punkt (x , y) sein, in dem die partiellenAbleitungen Null sind.



Methode des Lagrange-Multiplikators

Um die einzig möglichen Lösungen des Problems: Maximiere (Minimiere) f (x , y)unter der Bedingung g (x , y) = c zu nden, gehen wir wie folgt vor:

1 Mit der Konstanten λ bilden wir die Lagrange-Funktion:

L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)

2 Wir dierenzieren L nach x und y und setzen die Ableitungen gleich 0.3 Die zwei Gleichungen aus 2. und die Nebenbedingung ergeben die drei

folgenden Gleichungen (Bedingungen erster Ordnung)

∂L∂x

=∂f

∂x− λ∂g

∂x= 0

∂L∂y

=∂f

∂y− λ∂g

∂y= 0

g (x , y) = c

4 Wir lösen diese drei Gleichungen simultan für die drei Unbekannten x , y undλ.



Anmerkungen zur Methode des Lagrange-Multiplikators

Einige Ökonomen ziehen es vor, die Lagrange-Funktion als eine Funktion

L (x , y , λ)

von drei Variablen zu betrachten.

Dann ergibt die Bedingung erster Ordnung

∂L∂λ

= (g (x , y)− c) = 0

die Nebenbedingung.

Auf diese Weise erhält man alle drei notwendigen Bedingungen, indem mandie partiellen Ableitungen der (erweiterten) Lagrange-Funktion gleich 0 setzt.



Interpretation des Lagrange-Multiplikators 1/2

MAX(MIN) u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c

Seien x∗ und y∗ die Werte von x und y , die das Problem lösen. ImAllgemeinen hängen x∗ und y∗ von c ab. Der zugehörige optimale Wert vonf (x , y) ist dann eine Funktion von c mit

f ∗ (c) = f (x∗ (c) , y∗ (c))

Die Funktion f ∗ (c) wird Optimalwertfunktion genannt. Der Wert desLagrange-Multiplikators hängt i.a. auch von c ab. Unter gewissenRegularitätsbedingungen gilt:

df ∗ (c)

dc= λ (c)



Interpretation des Lagrange-Multiplikators 2/2

Der Lagrange-Multiplikator ist die Rate, mit der sich der optimale Wert derZielfunktion ändert, wenn sich die Konstante c in der Nebenbedingungändert.

In ökonomischen Anwendungen ist c der verfügbare Vorrat einer Ressourceund f (x , y) ist der Nutzen oder der Gewinn. Dann misst λ (c) dc für dc > 0ungefähr den Zuwachs des Nutzens oder des Gewinns, den man durch dc

mehr Einheiten der Ressource erhält.

Ökonomen nennen λ den Schattenpreis der Ressource.



Mehrere Nebenbedingungen

MAX(MIN) f (x1, . . . , xn) unter

g1 (x1, . . . , xn) = c1

gm (x1, . . . , xn) = cm

Für jede der m Nebenbedingungen führen wir einen eigenenLagrange-Multiplikator ein und denieren die Lagrange-Funktion:

L = f (x1, . . . , xn)−m∑j=1

λj (g (x1, . . . , xn)− cj)

Die Bedingungen erster Ordnung sind dann:

∂L∂xi

=∂f (x1, . . . , xn)

∂xi−

m∑j=1

λj∂g (x1, . . . , xn)

∂xi= 0 i = 1, . . . n

Zusammen mit den m Nebenbedingungen bilden diese n Gleichungen einSystem von n + m Gleichungen in den n + m Unbekanntenx1, . . . , xn, λ1, . . . , λm



Ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators 1/2

Die ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators als Schattenpreiskann übertragen werden auf ein Lagrange-Problem mit n Variablen und m

Nebenbedingungen:

MAX(MIN) f (x) unter gj (x) = cj j = 1, . . . ,m (1)

Seien x∗1 , . . . , x∗n die Werte, die die notwendigen Bedingungen für die Lösung

von (1) erfüllen. Diese hängen im Allgemeinen von c1, . . . , cm ab.

Annahme:

Jedes x∗i = x∗i (c1, . . . , cm) i = 1, . . . ,m ist eine dierenzierbare Funktion vonc1, . . . , cm.

Der dazugehörige Wert f ∗ = f (x∗1 , . . . , x∗n ) von f ist dann eine Funktion von

c1, . . . , cm.

Wir setzen x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) und c = (c1, . . . , cm) ,dann heisst

f ∗ (c) = f (x∗ (c)) = f (x∗1 (c) , . . . , x∗n (c)) (2)

Optimalwertfunktion für das Problem (1) .



Ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators 2/2

Die Lagrange-Multiplikatoren hängen i.a. auch von c1, . . . , cm ab. Untergewissen Regularitätsbedingungen gilt:

df ∗ (c)

dci= λi (c) j = 1, . . . ,m

Der Lagrange-Multiplikator λi = λi (c) für die i-te Nebenbedingung ist dieRate, mit der sich der Optimalwert der Zielfunktion ändert, bei Änderungenin der Konstanten ci in der Nebenbedingung ändert.

Der Lagrange-Multiplikator λi heisst Schattenpreis (oder Grenzwert) für eineEinheit der Ressource i .



Nichtlineare Programmierung: Einführung

Bisher Nebenbedingungen in Gleichheitsform, jetzt Nebenbedingungen inUngleichheitsform, z.B. die Forderung, dass gewisse Variablen nichtnegativsind, damit sie ökonomischen Sinn haben. Auch Beschränkungen vonRessourcen sind häuger in Ungleichheits- als in Gleichheitsform gegeben.

Einfaches nichtlineares Programmierungsproblem:

MAX f (x , y) unter g (x , y) ≤ c (1)

Wir suchen den grössten Wert von f (x , y) in der Menge s aller Paare (x , y)mit g (x , y) ≤ c. Die Menge S heisst zulässige Menge.

Minimierung von f (x , y) für (x , y) ∈ S kann auf Maximierung von −f (x , y)für (x , y) ∈ S zurückgeführt werden.

Das Maximierungsproblem (1) könnte mit klassischen Methoden untersuchtwerden: Untersuchung der stationären Punkte im Innern der zulässigenMenge und Untersuchung der Randpunkte.

Seit etwa 1950 benutzen Ökonomen jedoch eine Verallgemeinerung derLagrange-Multiplikatoren-Methode von H.W. Kuhn und A.W.Tucker.


Rezept zum Lösen des NichtlinearenProgrammierungsproblems

1 Assoziieren Sie einen konstanten Lagrange-Multiplikator zu der Bedingungg (x , y) ≤ c und denieren Sie die Lagrange-Funktion

L (x , y) = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)

2 Setzen Sie die partiellen Ableitungen von L (x , y) gleich Null:

∂L (x , y)

∂x=∂f (x , y)

∂x− λ∂g (x , y)

∂x= 0

∂L (x , y)

∂y=∂f (x , y)

∂y− λ∂g (x , y)

∂y= 0

(2)

3 Bilden Sie die komplementäre Schlupfbedingung:

λ ≥ 0 (= 0, wenn g (x , y) < c) (3)

4 Verlangen Sie für (x , y) die Bedingung:

g (x , y) ≤ c (4)

Bemerkungen zu den Bedingungen

MAX f (x , y) unter g (x , y) ≤ c (1)

Wenn wir alle Paare (x , y) und alle geeigneten Werte von λ nden, die alldiese Bedingungen erfüllen, haben wir alle Kandidaten für die Lösung desProblems (1)

Bedingungen (2) sind genau die Bedingungen der Lagrange-Methode.Bedingung (4) ist die Nebenbedingung, neu ist nur (3).

Bedingung (3) verlangt, dass λ nichtnegativ ist und weiter, dass λ = 0, wenng (x , y) < c. D.h. wenn λ > 0,muss g (x , y) = c sein. AlternativeFormulierung:

λ ≥ 0 λ [g (x , y)− c] = 0

Kuhn-Tucker-Bedingungen

∂L (x , y)

∂x=∂f (x , y)

∂x− λ∂g (x , y)

∂x= 0

∂L (x , y)

∂y=∂f (x , y)

∂y− λ∂g (x , y)

∂y= 0

(2)

λ ≥ 0 (= 0, wenn g (x , y) < c) (3)

Die Ungleichungen λ ≥ 0 und g (x , y) ≤ c sind komplementär, in dem Sinne,dass höchstens eine in Ungleichheitsform gelten darf. Oder äquivalentausgedrückt: Wenigstens eine der Ungleichungen muss eine Gleichheit sein.

Bedingungen (2) und (3) heissen Kuhn-Tucker-Bedingungen.

Dies sind i.a. notwendige Bedingungen und keineswegs hinreichend.

Wenn man einen Punkt (x0, y0) nden kann, indem f (x , y) stationär ist undg (x , y) < c, dann sind die Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt und (x0, y0) mitλ = 0. Dann kann (x0, y0) ein lokaler oder globaler Maximum- oderMinimumpunkt oder eine Art Sattelpunkt sein.


Allgemeines Problem der nichtlinearen Programmierung

MAX f (x1, . . . , xn) unter

g1 (x1, . . . , xn) ≤ c1...

gm (x1, . . . , xn) ≤ cm

(1)

Die Menge aller Vektoren x = (x1, . . . , xn), die alle Bedingungen erfüllen,heisst zulässige Menge.

Minimierung von f (x) ist äquivalent zu Maximierung von −f (x)

Ebenso kann die Ungleichungsbedingung gj (x) ≥ cj geschrieben werden als−gj (x) ≤ −cj .

Eine Bedingung in Gleichheitsform gj (x) = cj ist äquivalent zur zweifachenUngleichheitsbeschränkung gj (x) ≤ cj und −gj (x) ≤ −cj . Auf diese Weisekönnen die meisten Optimierungsprobleme in der Gestalt von (1) geschriebenwerden


Lösungsrezept

1 Bilden Sie die Lagrange-Funktion

L (x) = f (x)−m∑j=1

λj (gj (x)− cj)

2 Setzen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null:

∂L (x)

∂xi=∂f (x)

∂xi−

m∑j=1

λj∂gj (x)

∂xi= 0 i = 1, . . . , n

3 Stellen Sie die komplementären Schlupfbedingungen auf:

λj ≥ 0 (= 0, wenn gj (x) < cj) j = 1, . . . ,m

4 Verlangen Sie, dass x die Nebenbedingungen erfüllt:

gj (x) ≤ cj j = 1, . . . ,m

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