mathematik fuer physiker iia
TRANSCRIPT
Mathematik fur Physiker IIa
Version 0.3.1
Margarita Kraus (Mathematischer Inhalt)Manuel Muller (LATEX-Satz)
Letzte Aktualisierung: 2008-07-22T01:45:29.729027032+02:00
1
Lizenz und c©opyright
Dieses Dokument, wie auch dessen Quellcode, alle darin enthaltenen Zeichnun-gen und deren Quellcode stehen unter der
”Creative Commons Namensnennung-
Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland“ Lizenz.
Der Inhalt der Lizenz kann unter
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/
eingesehen werden.
Vorwort
Diese Mitschrift wurde im Rahmen der Vorlesung”Mathematik fur Physiker
IIa“ des Sommersemesters 2008 (2008-04-14 - 2008-07-12), welche von MargaritaKraus gehalten wurde, angefertigt. Hinweise und Korrekturen nehmen die Au-toren gerne entgegen. Beide sollten (noch) an [email protected]
gesendet werden.
INHALTSVERZEICHNIS 2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 91.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung 112.1 Definition (von Systemen von DGLen, Bahn und Losungskurve) . 112.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Lemma und Definition (von (nicht-)autonomen Systemen) . . . . 132.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Definition (von (erweiterten) Phasen -raum, -portrait und Rich-
tungsvektorfeld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Definition (der maximalen Losung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.10 Definition (des Anfangswertproblems) . . . . . . . . . . . . . . . 172.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.11.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.11.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Erste Losungsmethoden fur DGLen 1. Ordnung 193.1 Losungsmethoden fur autonome DGLen . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Losungsmethode 2: getrennte Variablen . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Losungsmethode 3: Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . 23
4 Systeme linearer DGLen 1. Ordnung 254.1 Definition (von Systemen linearer DGLen) . . . . . . . . . . . . . 254.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Notiz (uber Losungen aus Losungszusammensetzungen) . . . . . 254.4 Hauptsatz uber lineare DGLen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6 Definition (des/der Fundamental-systems, -matrix und der Wrons-
kideterminante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.8 Notiz (Losungen aus der Fundamentalmatrix) . . . . . . . . . . . 274.9 Satz (inhomogene Losung aus der Fundamentalmatrix) . . . . . . 27
INHALTSVERZEICHNIS 3
4.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.11 Notiz (Losungen aus Eigen -werten bzw. -vektoren) . . . . . . . . 284.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.13 Korollar (Fundamentalsystem und Eigen -werte bzw. -vektoren) . 294.14 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.15 Erinnerung (Diagonalisierbarkeit) und Beispiel . . . . . . . . . . 35
5 Die Matrixexponentialfunktion 375.1 Definition (der Operatornorm) und Notiz . . . . . . . . . . . . . 375.2 Bemerkung (uber Zusammenhange der Operatornorm) . . . . . . 375.3 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Definition (der Matrizen -differentierbarkeit und -reihen) . . . . . 375.5 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6 Satz (Matrizenreihenkonvergenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.7 Korollar (Matrizenexponentialreihe) . . . . . . . . . . . . . . . . 385.8 Lemma (Rechenregel der Matrizenexponentialfunktion) . . . . . 385.9 Korollar (Matrizenexponentialfunktionen als Teilmenge der Ge-
neral Linear Group) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.11 Definition (der Nilpotenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.12 Notation und Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.14 Satz (Lineare Algebra, z.B. Brockner, lineare Algebra II) . . . . . 405.15 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz 416.1 Definition (der lokalen Lipschitz-stetigkeit) . . . . . . . . . . . . 436.2 Bemerkung (C1 ⇒ lipschitz-stetig ⇒ C0) . . . . . . . . . . . . . 436.3 Satz (Eindeutigkeitssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4 Banachscher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.5 Satz (Existenzsatz von Picard-Lindelof) . . . . . . . . . . . . . . 446.6 Bemerkung (Erganzung zum Existenzsatz von Picard-Lindelof) . 456.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.8 Bemerkung (Picard-Lindelof-Verfahren) . . . . . . . . . . . . . . 456.9 Korollar (Zerlegung des Phasenraums) . . . . . . . . . . . . . . . 466.10 Definition (des Fixpunkts und der Periodizitat) . . . . . . . . . . 476.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Differentialgleichungen der Ordnung n 487.1 Definition (von (autonomen) DGLen der Ordnung n) . . . . . . . 487.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Satz und Definition (des dazugehorigen Systems 1. Ordnung) . . 487.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.5 Korollar (aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz) . . . . . . . 497.6 Definition (des (erweiterten) Phasenportraits) . . . . . . . . . . . 507.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.7.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.7.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
INHALTSVERZEICHNIS 4
8 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 528.1 Definition (von linearen (homogenen) DGLen n-ter Ordnung) . . 528.2 Notiz (das dazugehorige System 1. Ordnung) . . . . . . . . . . . 528.3 Satz (Anfangsisomorphismus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.4 Definition (des Fundamentalsystems, der Wronski -matrix und
-determinante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.6 Lemma (Losungen aus dem Fundamentalsystem) . . . . . . . . . 538.7 Korollar (inhomogene Losungen aus dem Fundamentalsystem) . 538.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.9 Bemerkung (das charakteristische Polynom) . . . . . . . . . . . . 558.10 Satz (Fundamentalsysteme aus charakteristischen Polynomen) . . 558.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.11.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.11.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9 Der Umkehrsatz 589.1 Definition (des Diffeomorphismus) . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.4 Definition (des lokalen Diffeomorphismus’) . . . . . . . . . . . . . 599.5 Beispiel (Polarkoordinantenabbildung) . . . . . . . . . . . . . . . 599.6 Satz (Umkehrsatz oder Satz von der lokalen Inversen) . . . . . . 599.7 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.8 Erinnerung und Definition (regularer und singularer Punkt/Wert) 599.9 Satz (vom regularen Punkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.10 Definition (der lokalen Auflosbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . 619.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.13 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.13.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.13.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10 Flachen 6510.1 Definition (der Untermannigfaltigkeit (-skarte, -sgebiet)) & Satz . 6610.2 Korollar (Satz vom regularen Wert) . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.3.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.4 Definition (des (Untermannigfaltigkeits-)altas’, der Projektion,der Karte und des Kartenwechsels) . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.5 Bemerkung (Differentierbarkeit von Karten) . . . . . . . . . . . . 6910.6 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7.4 Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7.5 Beispiel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.7.6 Beispiel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
INHALTSVERZEICHNIS 5
10.8 Definition (der lokalen Parametrisierung) . . . . . . . . . . . . . 7410.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.10Notiz (Aussagen uber lokale Parametrisierungen) . . . . . . . . . 7410.11Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.12Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.13Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11 Tangentialraum und Differential 7711.1 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811.4 Definition (des Diffeomorphismus’ und regularen Punkts/Werts)
und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.6 Korollar (Satz vom regularen Wert) . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.7 Definition (des Tangentialraums) und Lemma . . . . . . . . . . . 8011.8 Definition (der (Koordinanten-)basis) und Notiz . . . . . . . . . . 8111.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.9.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8111.9.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.10Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211.11Definition (der reprasentativen Kurve) . . . . . . . . . . . . . . . 8311.12Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.13Satz (Tangentialraum aus der Koordinantengleichung) . . . . . . 8311.14Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11.14.1Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8411.14.2Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.15Definition (des Normalen(einheits)felds) . . . . . . . . . . . . . . 8511.16Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.17Definition (der Orientierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.18Notiz (der Orientierung, Orientierungs -erhaltung und -umkehrung) 8611.19Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.20Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.20.1Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.20.2Beispiel 2 - Mobiusband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.21Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.22Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.23Korollar (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.24Definition (der Orientierungserhaltung von Diffeomorphismen) . 9111.25Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.26Notiz (orientierungserhaltene Karte und orientierungsdefiniertes
Normaleneinheitsfeld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.27Notiz (kritische Punkte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.28Korollar (kritischer Punkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9211.29Korollar (kritischer Punkt und Lagrange-Multiplikatoren) . . . . 9211.30Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.31Weitere Anwendungen der Lagrange Multiplikatoren . . . . . . . 94
INHALTSVERZEICHNIS 6
12 Integration auf Flachen 9612.1 Erinnerung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.2.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.2.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.3 Satz (Integration uber berandete Gebiete) . . . . . . . . . . . . . 9612.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.5 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.5.1 Spatvolumen in 3 und n Dimensionen . . . . . . . . . . . 9712.5.2 Verhalten von Spatvolumen unter linearen Abbildungen . 9812.5.3 Verallgemeinerung von Spatvolumen . . . . . . . . . . . . 9912.5.4 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.6 Satz (Transformationsformel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.9 Definition (der Nullmenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.10Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.11Notiz (Aussagen uber Nullmengen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.12Notiz (Integration uber Nullmengen) . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.13Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.14Definition (der Gramschen Determinante/Matrix bzw. 1. Funda-
mentalform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.16Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.17Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.18Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 1) . . . . . . . . 10512.19Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 2) . . . . . . . . 10512.20Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.21Definition (des Integrals eines Vektorfelds) . . . . . . . . . . . . . 10612.22Notiz (Verhalten des Vektorfeldintegrals unter orientierungsum-
kehrenden Umparametrisierungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10612.23Notiz (Integral uber Gradientenvektorfelder) . . . . . . . . . . . . 10712.24Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10712.25Definition (des vektoriellen Flachenintegrals) . . . . . . . . . . . 10812.26Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
13 Berandete Untermannigfaltigkeiten 11013.1 Notation (Offenheit und Rand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.4 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.5 Definition (von ber. Untermannigfaltigkeitskarten bzw. Atlanten) 11213.6 Definition (des Randpunkts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11213.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11213.8 Lemma (Satz vom regularen Wert fur berandete Untermannig-
faltigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.10Notiz (Rand einer ber. Untermannigfaltigkeit als Untermannig-
faltigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
INHALTSVERZEICHNIS 7
13.12Definition und Notiz (nach innen/außen weisende Tangentialvek-toren bzw. Normalen(einheits)vektoren) . . . . . . . . . . . . . . 114
13.13Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.14Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.15Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14 Der Gaußsche und Stokesche Integralsatz 11814.1 Erinnerung und Definition (von Divergenz und Rotation) . . . . 11914.2 Der Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.3 Der Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.4 Bemerkung (Verallgemeinerung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.6 Korollar (Spezialfalle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.8 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12214.9 Bemerkung (Anschauliche Bedeutung der Divergenz) . . . . . . . 12314.10Beispiel - Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12314.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12414.12Beweis des Satzes von Gauß (im Spezialfall n = 3) . . . . . . . . 12414.13Bemerkung (Komposition von rot, div und grad) . . . . . . . . . 12714.14Lemma ((Vektor-)Potential aus Gradienten- und Rotationsfeldern)12714.15Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12914.16Definition (der Sternformigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13114.17Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13114.18Bemerkung (Bezug zu Homologien) . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.19Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
14.19.1Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.19.2Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.19.3Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
INHALTSVERZEICHNIS 8
Literaturhinweise
1.”Mathematik fur Physiker“-Bucher
(a) (*) Goldhorn, Karl-Heinz & Heinz, Hans-Peter:”Mathematik fur
Physiker 1“,”Mathematik fur Physiker 2“
(b) Janich, Klaus:”Mathematik 1. Geschrieben fur Physiker“,
”Mathe-
matik 2. Geschrieben fur Physiker“
(c) (*) Janich, Klaus:”Analysis fur Physiker und Ingenieure“
(d) Fischer, Helmut & Kaul, Helmut:”Mathematik fur Physiker 1. Grund-
kurs“,”Mathematik fur Physiker 2“
2. Analysis Standardwerke:
(a) Brocker, Theodor:”Analysis III“
3. Lehrbucher uber gewohnliche DGLen:
(a) (*) Walter, Wolfgang:”Gewohnliche Differentialgleichungen. Eine Einfuhrung“
(b) (*) Arnold, Vladimir I.:”Gewohnliche Differentialgleichungen“
(c) Kamke, Erich:”Differentialgleichungen, Losungsmethoden und Losun-
gen II. Partielle Differentialgleichungen“
1 EINLEITUNG 9
1 Einleitung
1.1 Notation
Sei f : (a, b)→R, t 7→ f(t). Dann schreibt man:
f(t) ≡ d
dtf(t)
f(t) ≡ d2
dtf(t) ≡ f (2)(t)
dn
dt(t) ≡ f (n)(t)
Wir betrachten hier nur gewohnliche DGLen, d.h., wir betrachten nur Gleichun-gen, die von Funktionen
f : I→Rk, I ⊆ R
handeln. (Im Gegensatz dazu heißen DGLen, die von Funktionen f : U→Rk mit
U ⊆ Rn handeln,”partielle DGLen“, vgl.
”Goldhorn, Heinz - Mathematik fur
Physiker III”)Was ist eine DGL? Eine DGL n-ter Ordnung ist durch
F (t, x, x, . . . , x(n)) = 0
gegeben, z.B.:
1. N = λN = 0
2. mx− F (x, x, t) = 0
3. x+ ω20x = 0 (harmonischer Oszillator)
4. x+ ω0x+ γx = 0 (harmonischer Oszillator + Reibung)
Losung von
⊲ 1.: C·eλt ist eine Losung von 1., denn
(C·eλt)− λ(C·eλt) = λ·C·eλt − λ·C·eλt = 0
Sind dies alle Losungen?
⊲ 3.: x+ ω20x = 0 hat die Losungen:
C1·sin(ω0t+ φ1) (= A)
C2·cos(ω0t+ φ2) (= B)
A+B
Sind dies alle Losungen? Sind sie alle verschieden?
Etwas allgemeiner: Systeme von gekoppelten DGLen. Wieder:
F (t, x, . . . , x(n)) = 0
aber x ∈ Rk, F : Rk·(n+1)+1→Rk. Beispiel: 3-Korper-Problem:
1 EINLEITUNG 10
x1 = m2·x2 − x1
||x2 − x1||3+m3·
x3 − x1
||x3 − x1||3
x2 = m3·x3 − x2
||x3 − x2||3+m1·
x1 − x2
||x1 − x2||3
x3 = m1·x1 − x3
||x1 − x3||3+m2·
x2 − x3
||x2 − x3||3
Fragen:
⊲ Explizite Losungen von DGLen berechnen (oft zu schwierig)
⊲ Existenz von Losungen,”Lebenszeit“ von Losungen
⊲ Eindeutigkeit von Losungen
⊲ Langzeitverhalten von Losungen
2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 11
2 Systeme von Differentialgleichungen 1. Ord-
nung
2.1 Definition (von Systemen von DGLen, Bahn und Losungs-kurve)
Unter einem allgemeinem offnenen Rechteck der Dimensionm verstehen wir eineTeilmengeD ⊆ Rm der FormD = (a1, b1)× . . .×(an, bn) mit−∞ ≤ ai ≤ bi ≤ ∞.
Ist D ⊆ Rk ein k-dimensionales, offenes Rechteck, w : (t0, t)×D→Rk stetig,so nennt man die Gleichung
x = w(t, x) (1)
(ausfuhrlicher:
x1 = w1(t, x1, . . . , xk)
...
xk = wk(t, x1, . . . , xk)
) ein (explizites) k-dimensionales System (gewohnlicher) DGLen 1. Ordnung. ImFall k = 1 spricht man nur von (expliziten) (gewohnlichen) DGLen 1. Ordnung.Eine Losung von 1 ist eine stetig differentierbare Abbildung:
α : (t′0, t′1)→D ⊆ R
k, α =
α1
...ak
mitα(t) = w(t, α(t))
(ausfuhrlicher:αj(t) = wj(t, α1(t), . . . , αj(t))
fur alle j = 1, . . . , k und alle t ∈ (t′0, t′1) ⊆ (t0, t1)). Ist α : (t′0, t
′1)→D eine Losung
von 1, so heißtBild(α) = α(t′0, t
′1) ⊆ D
die Bahn oder der Orbit der Losung,
(t, α(t)) ∈ (t0, t1)×D | t ∈ (t′0, t′1)
heißt die Losungskurve. Ist die Abbildung w durch
w : R×D→Rk, w(t, x) = v(x)
mit v : D→Rk stetig gegeben, so heißt das System von DGLen 1. Ordnung
x = v(x) (2)
autonom.
2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 12
2.2 Beispiele
2.2.1 Beispiel 1
Sei x = cx. Hier ist w : R×R→R, w(t, x) = cx. Dies ist eine autonome DGL 1.Ordnung.
⊲ Losung: αλ(t) = λ·ect fur ein λ ∈ R.
⊲ Bahn von
α0(t) : 0α1(t) : R
+
⊲ Losungskurven:
2.2.2 Beispiel 2
Sei f : R→R stetig,x = f(t)
ist eine nicht-autonome DGL 1. Ordnung. Die Losungen sind durch
α : R→R, αC(t) =
t∫
0
(f(t)) dt+ C
fur C ∈ R gegeben.
2.2.3 Beispiel 3
Sei v : R2→R2, v(
(x1
x2
)
) =
(−x2
x1
)
=
(0 −11 0
)
·(x1
x2
)
. Dann ist x = v(x).
(Ausfuhrlich:x1 = −x2
x2 = x1
(∗)
) ein 2-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung.
αC,φ : R→R2, t 7→ C·
(cos(t+ φ)sin(t+ φ)
)
sind Losungen von (∗). Bahn:
2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 13
2.3 Notiz
Ist x = v(x) ein k-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung, danngilt fur jede Losung α : (t0, t1)→D von x = v(x), dass auch fur jedes c ∈ R
α : (t0 + c, t1 + c)→D, α(t) = α(t− c)
eine Losung von x = v(x) ist.Anschauung fur k = 1:
Beweis:
Sei α eine Losung von x = v(x).
Dann ist ˙α(t) = α(t− c)α ist Losung︷︸︸︷= = v(α(t− c)) = v(α(t)). 2
2.4 Lemma und Definition (von (nicht-)autonomen Syste-men)
Istx = w(t, x) (3)
ein k-dimensionales System nicht-autonomer DGLen 1. Ordnung, dann heißtdas (k + 1)-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung
x0 = 1 (4)
2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 14
x0 = w(x0, x), (x0, x) ∈D
︷ ︸︸ ︷
(t0, t1)×D
das zu 3 gehorige autonome System mit v : D→Rk+1, v(x0, x) =
∈ Rk+1
︷ ︸︸ ︷
(1, w(x0, x))ist also 4 gegeben durch
x = v(x)
mit x ∈ D, v : D→Rk+1.Ist α eine Losung von 3, α : (t′0, t
′1)→D, so ist
β : (t′0, t′1)→(t′0, t
′1)×D, β(t) = (t, α(t)) = (β0(t), . . . , βk(t))
eine Losung von 4, denn
β0(t) = 1
β0(t) = αj(t) = wj(t, α(t)) = wj(β0(t), α(t)) = wj(β(t))
und ist β : (t0, t1)→D eine Losung von 4, dann ist β0(t) = t + c fur ein c ∈ R.Dann ist
α = (α1, . . . , αk)
mitαj : (t′0 + c, t′1 + c)→R
k mit αj(t) = βj(t− c)eine Losung von 3, denn es gilt:
αj(t) = βj(t− c) = vj(βj(t− c)) = wj(t, αj(t))2
2.5 Beispiel
Sei x = f(t), f : R→R stetig. Dann ist das autonome System durch
x0 = 1
x1 = f(x0)
gegeben. Eine Losung von diesem System ist durch
β(t) = (t,
t∫
0
(f(τ))) dτ
gegeben.
2.6 Definition (von (erweiterten) Phasen -raum, -portraitund Richtungsvektorfeld)
Ist x = v(x), v : D→Rk ein k-dimensionales System autonomer DGLen, so heißtD der Phasenraum und
v : D→Rk
das Richtungsvektorfeld auf D. R×D heißt der erweiterte Phasenraum und
v : R×D→Rk+1, v((t0, x)
T ) =
(1
v(x)
)
, v(x) ∈ Rk
2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 15
das erweiterte Richtungsvektorfeld.Der Phasenraum zusammen mit den Bahnen und ihrer Durchlaufrichtung
heißt Phasenportrait, der erweiterte Phasenraum zusammen mit den Losungs-kurven (und ihrer Durchlaufrichtung) heißt erweitertes Phasenportrait.
Ist x = w(t, x) ein nicht-autnomes System, so ist der Phasenraum, das Pha-senportrait und das Richtungsvektorfeld als die entsprechenden Dinge fur daszugehorige autonome System erklart.
2.7 Beispiele
2.7.1 Beispiel 1
x = λx, λ > 0.
⊲ Phasenraum: R
⊲ v(x) = λx, Richtungsvektorfeld:
⊲ Losungen: Ceλt
⊲ erweiterter Phasenraum: R×R, v((x0, x)T ) =
(1λx
)
2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 16
2.7.2 Beispiel 2
x = t ist nicht-autonom. Zugehoriges autonomes System: x0 = 1, x = 0.
⊲ Phasenraum: R×R
⊲ Richtungsvektorfeld: v(x0, x) =
(1x0
)
⊲ Losungen: α(t) = 12 t
2 + C
2.7.3 Beispiel 3(x1
x2
)
˙=
(−x2
x1
)
⊲ Phasenraum: R×R
2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 17
⊲ Losungen: α(t) = c·(
cos(t+ t0)sin(t+ t0)
)
2.8 Definition (der maximalen Losung)
Unter einer maximalen Losung eines Systems von DGLen versteht man eineLosung α : (t′0, t
′1)→Rk, so dass es kein (t′′0 , t
′′1 ) mit (t′′0 , t
′′1 ) 6≥ (t′0, t
′1) und keine
Losung α : (t′′0 , t′′1)→Rk gibt mit α|(t′0, t′1) = α gibt.
2.9 Beispiel
x = λx, α : (0, 1)→R, α(t) = eλt ist eine Losung, aber keine maximale Losung.Eine maximale Losung ist durch α : R→R, α(t) = eλt gegeben.
2.10 Definition (des Anfangswertproblems)
Unter einem Anfangswertproblem fur ein System autonomer DGLen verstehtman die Aufgabe, alle (spater: eine) maximalen Losungen von
x = v(x) mit α(0) = x0
fur gegebenes x0 zu finden.Unter einem Anfangswertproblem fur ein System nicht-autonomer DGLen
versteht man die Aufgabe, zu gegebenem T ∈ (t0, t1), x0 ∈ D alle (eine) maxi-malen Losungen α von
x = w(t, x) und α(T ) = x0
zu finden.
2.11 Beispiele
2.11.1 Beispiel 1
x = λx, x0 = 2. ⇒ α(t) = 2·eλt ist eine Losung des Anfangswertproblems.(α(0) = 2)
2.11.2 Beispiel 2
x = t, (T, x0) = (0, 1). ⇒ α(t) = 12 t
2 + 1. (c = 1)
2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 18
2.11.3 Beispiel 3(x1
x2
)
˙=
(−x2
x1
)
, x0 =
(10
)
. ⇒ α(t) =
(cos(t)sin(t)
)
.
3 ERSTE LOSUNGSMETHODEN FUR DGLEN 1. ORDNUNG 19
3 Erste Losungsmethoden fur DGLen 1. Ord-
nung
3.1 Losungsmethoden fur autonome DGLen
Sei v : (a, b)→R stetig. Betrachte
x = v(x) (5)
⊲ Sei x0 ∈ (a, b) mit v(x0) = 0. Dann ist
α(t) ≡ x0
eine Losung von 5, denn α(t) ≡ 0 = v(α(t)) = v(x0).
⊲ Ist (a′, b′) ⊆ (a, b) mit v(x) 6= 0 fur alle x ∈ (a′, b′). Ist α eine Losung von5, so gilt also:
α(t)
v(α(t))= 1
falls α(t) ∈ (a′, b′). Ist Φ eine Stammfunktion von 1v , so ist
α(t) = Φ−1(t+ c)
(falls Φ−1 definiert) eine Losung von 5, denn
α(t) =1
Φ(Φ−1(t+ c)︸ ︷︷ ︸
α(t)
)= v(α(t))
3.2 Beispiele
3.2.1 Beispiel 1
x = λx. v(x) = 0 ⇔ x = 0 ⇔ α(t) = 0 ist eine Losung. Φ(x) = 1λ ·ln(|x|) ist
Stammfunktion fur 1λx ⇒ α(t) = ±eλt+c = C′·eλt
3.2.2 Beispiel 2
v(x) = cos(x)2, x = cos(x)
2.
(GRAPHIC HERE)
3 ERSTE LOSUNGSMETHODEN FUR DGLEN 1. ORDNUNG 20
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
t
Erweitertes Richtungsvektorfeld
Erw. RVFk · π
atan(t) + k · πatan(t+ C) + k · π
1. Nulstellen von v:v(π
2+ k·π) = 0, k ∈ Z
d.h.α(t) =
π
2+ k·π, t ∈ R
sind (die) maximalen Losungen zum Anfangswertproblem x(0) = π2 + kπ.
2. Φ(x) = tan(x) + C ist Stammfunktion von 1cos(x)2
fur x 6= π2 + kπ. ⇒
α(t) = arctan(t+ c)+kπ, k ∈ Z, c, t ∈ R sind weitere maximale Losungenvon x = v(x). Sind dies alle Losungen? (→ Ja, Begrundung spater)
Anfangswertproblem zu x(0) = π4 wird durch arctan(t+ 1) gelost, denn
α(0) = arctan(c) + kπ =π
4⇔ k = 0, c = 1
3.3 Losungsmethode 2: getrennte Variablen
Sei w : (t0, t1)×(a, b)→R, w(t, x) = f(x)·g(t), mitg : (t0, t1)→R
f : (a, b)→R+
stetig (Fur f :
(a, b)→R verfahre wie in 3.1 mit Fallunterscheidung!). Es gilt α : (t′0, t′1)→(a, b)
ist Losung von x = g(t)·f(x) ⇔ α(t)f(α(t)) = g(t).
Ist Φ Stammfunktion von 1f und G Stammfunktion von g, so gilt
(Φα)(t) =1
f(α(t))·α(t) = G(t)
3 ERSTE LOSUNGSMETHODEN FUR DGLEN 1. ORDNUNG 21
Durch α(t) = Φ−1(G(t)) + C ist eine Losung von x = w(t, x) gegeben fur allet, c, fur welche die rechte Seite definiert ist.
3.4 Beispiele
3.4.1 Beispiel 1
x = g(t)·x, x > 0, t ∈ R (6)
Dann ist Φ = ln(x). ⇒ α(t) = C·etR
t0
(g(τ)) dτ
, c > 0, t ∈ R maximale Losung von6. Das Anfangswertproblem zu
x(t0) = x0, x0 ∈ R+
wird durch
α(t) = x0e
tR
t0
(g(τ)) dτ
gelost. Fur g(t) = −t ist also α(t) = C·e− 12 t
2
die gesuchte Losung. Richtungs-vektorfeld:
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x1=x
x0=t
Richtungsvektorfeld
RVFC · e− 1
2 t2
3.4.2 Beispiel 2
x = sin(t)︸ ︷︷ ︸
g(t)
· ex︸︷︷︸
f(x)
Richtungsvektorfeld:
3 ERSTE LOSUNGSMETHODEN FUR DGLEN 1. ORDNUNG 22
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159
x1=x
x0=t
Richtungsvektorfeld
RVFln(cos(t))
⊲ Φ(x) = −e−x ist eine Stammfunktion von 1f(x) = e−x.
⊲ G(t) = −cos(t) + C ist Stammfunktion von sin(t).
⇒ α(t) = −ln(cos(t) + c) ist Losung von x = sin(t)·ex”fur alle t, c, auf denen
die rechte Seite definiert ist“, d.h. fur cos(t) + c > 0. Z.B.
⊲ fur c = 0:
t ∈ (−π2
+ 2kπ,π
2+ 2kπ)
α0(t) = −ln(cos(t))
α0(0) = 0
⊲ fur c = 1:
t ∈ R\π + 2kπ | k ∈ Zα1(0) = −ln(2)
⊲ fur c > 1:t ∈ R
3 ERSTE LOSUNGSMETHODEN FUR DGLEN 1. ORDNUNG 23
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-4.71239 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 4.71239
t
α−0,5(t)α0(t)α1(t)α2(t)
3.5 Losungsmethode 3: Variation der Konstanten
Gesucht ist eine Losung von
x = g(t)·x+ f(t) (7)
Losung fur f(t) = 0 ist durch
α(t) = C·etR
t0
(g(τ)) dτ
gegeben. Angenommen
β(t) = u(t)·etR
t0
(g(τ)) dτ
ist Losung von 7. Dann gilt:
u(t)·etR
t0
(g(τ)) dτ
+ g(t)·β(t) = g(t)·β(t) + f(t)
⇒u(t) = f(t)·e−
tR
t0
(g(τ)) dτ
Daraus folgt, dass
β(t) = (x0 +
t∫
t0
(f(s)·e−
tR
t0
(g(τ)) dτ
) ds)·etR
t0
(g(τ)) dτ
3 ERSTE LOSUNGSMETHODEN FUR DGLEN 1. ORDNUNG 24
Losung von 7 ist.Achtung: Dies sind nicht alle Losungen. Siehe 4.3 & 4.4.
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 25
4 Systeme linearer DGLen 1. Ordnung
4.1 Definition (von Systemen linearer DGLen)
Ist A : (a, b)→M(
=Rk2
︷︸︸︷
k×k,R) stetig und b : (a, b)→Rk stetig, so heißt
x = Ax+ b (8)
ein k-dimensionales System linearer DGLen 1. Ordnung. Ist b ≡ 0, so heißt dasSystem homogen, ansonsten inhomogen.
x = Ax (9)
heißt das zu 8 gehorende homogene System.
4.2 Bemerkung
1. 8 ist genau dann autonom, falls A, b konstant sind.
2. 3.5 ist eine inhomogene lineare DGL.
4.3 Notiz (uber Losungen aus Losungszusammensetzun-gen)
1. Es gilt: Sind α1 und α2 Losungen von 9, so ist fur jedes c ∈ R
c·a1 + a2
wieder eine Losung von 9, denn
(c·α1 + α2) = cAα1 + cAα2
= A(cα1 + α2)
sofern die Definitionsbereiche von α1 und α2 ubereinstimmen.
2. Sind β1 und β2 Losungen von 8, so ist β1 − β2 Losung von 9, sofern dieDefinitionsbereiche von β1 und β2 ubereinstimmen.
3. Ist β Losung von 8 und α Losung von 9 und stimmen die Definitionsbe-
reiche von α & β uberein, dann gilt:
α+ β ist Losung von 8
denn
(α+ β)(t) = α(t) + β(t)
= A(t)·α(t) +A(t)·β(t) + b(t)
= A(t)·(α + βt) + b(t)
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 26
4.4 Hauptsatz uber lineare DGLen
1. Die maximalen Losungen von x = Ax + b mit A : D→M(k×k,R), b :D→Rk sind auf ganz D definiert. Die Losungen des zugehorigen Systems9 bilden einen k-dimensionalen Untervektorraum vonC1(D,Rk). Ist τ ∈ Dbeliebig, so ist durch
L → Rk
α 7→ α(τ)
(wobei L den Raum der Losungen von 9 bezeichnet) ein Isomorphismusgegeben.
2. Ist β eine Losung von 8, so ist der Raum der Losungen von 8 durch
β + a | α Losung von 9
gegeben.
4.5 Bemerkung
4.4.1 besagt, dass es zu jedem T ∈ D und jedem x0 ∈ Rk genau eine Losung αvon 9 gibt mit
α(T ) = x0
z.B.:
Es kann nicht sein, dass α1(T ) = x0 = α2(T ), falls α1 und α2 beides Losungenvon 9 sind, d.h. die Bahnen zerlegen den PR, d.h. durch jeden Punkt des PRsgeht genau eine Bahn.
(Beweis fehlt hier, teilweise wird er in 6 nachgeliefert)
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 27
4.6 Definition (des/der Fundamental-systems, -matrix undder Wronskideterminante)
Eine Basis α1, . . . , αk des Losungsraums L von 9 bezeichnen wir als Fundamen-
talsystem, die matrixwertige Abbildung
D→M(k×k,R), t 7→ (α1(t) . . . αk(t))
bezeichnet man als Fundamentalmatrix. Sind β1, . . . , βk beliebige Losungen von9, so bezeichnet man mit
W (t) = det(β1(t) . . . βk(t))
die Wrongskideterminante von β1, . . . , βk.
4.7 Korollar
Fur k Losungen β1, . . . , βk von 9 sind aquivalent:
1. β1, . . . , βk bilden ein Fundamentalsystem von 9.
2. Jede Losung α von 9 ist eine LK der β1, . . . , βk, d.h. es gibt c1, . . . , ck ∈ R
so, dassα(t) = c1β1 + . . .+ ckβk
ist.
3. Fur ein τ ∈ D ist β1(τ), . . . , βk(τ) eine Basis von Rk.
4. Fur jedes τ ∈ D ist β1(τ), . . . , βk(τ) eine Basis von Rk.
5. Die Wronskideterminante W (τ) 6= 0 fur ein τ ∈ D.
6. Die Wronskideterminante W (τ) 6= 0 fur jedes τ ∈ D.
4.8 Notiz (Losungen aus der Fundamentalmatrix)
Ist Φ : D→M(k×k,R) eine Fundamentalmatrix von 9, dann ist Φ Losung derDGL
z = Az
z : D→M(k×k,R) (Dimension: k2).
4.9 Satz (inhomogene Losung aus der Fundamentalma-trix)
Ist Φ : R→GL(k,R) eine Fundamentalmatrix von 9, so ist
β(t) = Φ(t)·Φ−1(τ)·v + Φ(t)·t∫
τ
(Φ−1(s)b(s)) ds
︸ ︷︷ ︸
Rk
eine Losung des inhomogenen Systems 8 mit
β(τ) = v
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 28
Beweis:
Nachrechnen wie in 3.5:
β(t) = Φ(t)·(Φ−1(τ)·v +
t∫
τ
(Φ−1(s)b(s)) ds) + Φ(t)·Φ−1(t)b(t)
=︸︷︷︸
4.8
Aβ(t) + b(t)2
4.10 Bemerkung
Ist Φ eine Fundamentalmatrix, so ist fur jeden Vektor w ∈ Rk
β : D→Rk, t 7→ Φ(t)·w
eine Losung von 9 mit β(τ) = Φ(τ)·w.Fur k > 1 und A : D→M(k×k,R) existiert keine einfache allgemeine Metho-
de, um Φ zu berechnen. Aber fur den Fall eines autonomen homogenen Systemsgibt es Rechenverfahren. Ab jetzt: A ∈M(k×k,R) (also D = R).
4.11 Notiz (Losungen aus Eigen -werten bzw. -vektoren)
1. Ist λ ∈ R ein reeller Eigenwert von A, v ∈ Rk ein Eigenvektor zum Eigen-wert λ. Setze α(t) = eλt·v. Dann ist
α(t) = λ·eλt·v = eλt·Av = A·(eλt·v) = Aα(t)
Also ist α : R→Rk, α(t) = eλt·v eine Losung von x = Ax.
2. Ist γ + iω ∈ C, ω 6= 0 ein Eigenwert von A, dann ist γ − iω ∈ C ebenfallsein Eigenwert von A. Ist u+ iv ein Eigenvektor zu γ+ iω, so ist u− iv einEigenvektor zu γ − iω. Dann erfullt
β : Rk→C
k, β(t) = e(γ+iω)t(u+ iv) = eγt·(cos(ωt) + i·sin(ωt))·(u+ iv)
die Gleichung x = Ax, also sind auch Real- und Imaginarteil von β Losun-gen von x = Ax, d.h.
eγt(cos(ωt)·u− sin(ωt)·v)eγt(sin(ωt)·u+ cos(ωt)·v)
sind Losungen von x = Ax.
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 29
4.12 Beispiel
x1 = x2
x2 = −2x1 + 3x2
⊲ A =
(0 1−2 3
)
⊲ Eigenwerte: λ1 = 1, λ2 = 2
⊲ Eigenvektoren: v1 =
(11
)
, v2 =
(12
)
⊲ Allgemeine Losung: (c1·et + c2·e2tc1·et + 2c2·e2t
)
⊲ Losungen zum Anfangswertproblem α(0) =
(a
b
)
:
c1 + c2 = a
c1 + 2c2 = b
⇒c2 = b− ac1 = 2a− b⇒
α(t) =
((2a− b)·et + (b− a)·e2t(2a− b)·et + 2(b− a)·e2t
)
4.13 Korollar (Fundamentalsystem und Eigen -werte bzw.-vektoren)
Ist A komplex diagonalisierbar, d.h. es existiert eine Basis von Ck von Eigenvek-toren zu A und sind λ1, . . . , λr, γ1±iω1, . . . , γs±iωs, r = 2s+k (λi und γj + iωjnicht notwendig alle verschieden) Eigenwerte von A mit Eigenvektoren
v1, . . . , vr, u1±iw1, . . . , us±iwsso ist ein Fundamentalsystem von x = Ax durch
eλjt , j = 1, . . . , r
eγjt(cos(ωjt)·uj − sin(ωjt)·wj) , j = 1, . . . , s
eγjt(sin(ωjt)·uj + cos(ωjt)·wj) , j = 1, . . . , s
gegeben, d.h. eine beliebige Losung von x = Ax ist von der Form
r∑
j=1
(cj ·eλjt·vj) +
s∑
j=1
(aj ·eγjt·(cos(ωjt)·uj − sin(ωjt)·wj))
+
s∑
j=1
(bj ·eγjt·(sin(ωjt)·uj + cos(ωjt)·wj))
mit aj , bj , cj ∈ R.
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 30
4.14 Beispiele
k = 2. Ist A diagonalisierbar, so sind folgende Falle moglich:
1. A hat 2 reelle Eigenwerte λ1, λ2 (moglicherweise λ1 = λ2) mit linear un-abhangigen Eigenvektoren v1, v2.
2. A hat 2 zueinander komplex konjugierte Eigenwerte γ1 + iω1, γ1 − iω1,ω1 6= 0.
Beispiele:
1. Erinnere 4.12.
⊲ Losung des Anfangswertproblems x0 =
(a
b
)
:
((2a− b)·et + (b − a)·e2t(2a− b)·et + 2(b− a)·e2t
)
= et·(
2a− b+ (b − a)·et2a− b+ 2(b− a)·et
)
⊲ PP mit
⊲ (1) / Zyan: a = b
⊲ (2) / Rosa: 2a = b
⊲ (3) / Grun: a < b
⊲ (4) / Blau: a > b
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10 15
x2
x1
Phasenportrait
RVF(1)(2)(3)(4)
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 31
2. System:
x1 = −3x1 + 2x2
x2 = −4x1 + 3x2
⊲ Eigenwerte: λ1,2 = ±1
⊲ Eigenvektoren: v1 =
(11
)
, v2 =
(12
)
⊲ Allgemeine Losung:(c1·e−t + c2·etc1·e−t + 2c2·et
)
⊲ Anfangswertproblem x0(0) =
(a
b
)
:
c1 + c2 = a
c1 + 22 = b
wird gelost durch
α(t) =
((2a− b)·et + (b− a)·et(2a− b)·et + 2(b− a)·et
)
⊲ PP mit
⊲ (1) / Zyan: a = b
⊲ (2) / Rosa: 2a = b
⊲ (3) / Grun: a < b
⊲ (4) / Blau: a > b
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 32
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10 15
x2
x1
Phasenportrait
RVF(1)(2)(3)(4)
3. System:
x1 = x2
x2 = 2x2
mit
A =
(0 10 2
)
⊲ Eigenwerte: λ1 = 0, λ2 = 2
⊲ Eigenvektoren: v1 =
(10
)
, v2 =
(12
)
⊲ Losungen:
α1(t) =
(10
)
α2(t) = e2t·(
12
)
⊲ PP:
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 33
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10 15
x2
x1
Phasenportrait
RVF
4. System:
x1 = x2
x2 = −x2
mit
A =
(0 +1−1 0
)
⊲ Eigenwerte: λ1,2 = ±i
⊲ Eigenvektoren: v1,2 =
(1±i
)
⊲ Losungen:
α1(t) =
(cos(t)
0
)
−(
0sin(t)
)
=
(cos(t)−sin(t)
)
α2(t) =
(sin(t)cos(t)
)
⊲ PP:
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 34
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10 15
x2
x1
Phasenportrait
RVF
5. x = Ax, A =
(1 −22 1
)
⊲ Eigenwerte: λ1,2 = 1±2i
⊲ Eigenvektoren: v1,2 =
(1∓i
)
⊲ Losungen:
α1(t) = et·(
cos(2t)sin(2t)
)
α2(t) = et·(
sin(2t)−cos(2t)
)
⊲ PP mit γ > 0 (Drehrichtung fur γ < 0 umgedreht):
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 35
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10 15
x2
x1
Phasenportrait
RVF
4.15 Erinnerung (Diagonalisierbarkeit) und Beispiel
Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, z.B. A =
(1 10 1
)
: Eigenwert λ = 1 mit
1-dimensionalem Eigenraum R·(
10
)
.
⇒ 1. Losung von x = Ax ist durch α(t) = et·(
10
)
gegeben. Bestimmung der
2. dazu linear unabhangigen Losung:
x1 = x1 + x2
x2 = x2
⇒x2(t) = et
⇒x1(t) = x1(t) + et (10)
⇒ 10 ist eine inhomogene Gleichung, x1(t) = t·et ist eine Losung von 10 ⇒Allgemeine Losung von x = Ax:
c1·(et
0
)
+ c2·(t·etet
)
= et·(c1 + c2·t
c2
)
Allgemeiner sei A ∈ M(2×2,R), λ ∈ R ein reeller Eigenwert von A mit 1-dimensionalem Eigenraum R·v, A sei nicht diagonalisierbar. Erganze v durchw ∈ R2 zu einer Basis von R2. Dann gibt es ein κ 6= 0 so, dass Aw = λw + κv
4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 36
(angenommen nicht, d.h. angenommen Aw = λ′w + κv, λ 6= λ′, dann ware
v′ = (v+ λ−λ′
κ ·w) ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ′ (Widerspruch), alsoA diagonalisierbar). Damit ist ein Fundamentalsystem von x = Ax durch
α1(t) = eλt·vα2(t) = (κtv + w)·eλt
definiert. Beweis nachrechnen, denn
α2(t) = κv·eλt + λ·α2(t)
Aα2(t) = (κt·λv + λw + κv)·eλt= κv·eλt + λ·α2(t)
⇒ a2 ist Losung von x = Ax. α1 und α2 bilden ein Fundamentalsystem, denn
α1(0) = v
α2(0) = w
5 DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION 37
5 Die Matrixexponentialfunktion
Erinnere: x = ax, x ∈ R, hat die allgemeine Losung c·eat. Versuche furA ∈ M(k×k,R)
ein eλt =∞∑
k=0
( (λt)k
(k)! ) zu definieren.
5.1 Definition (der Operatornorm) und Notiz
Seien V,W normierte VRe mit Normen || ||V und || ||W . Bezeichne Hom(V,W )die Menge der linearen Abbildungen V→W , dann ist auf Hom(V,W ) durch
||A||OP = supv ∈ V
(||Av||W||v||V
) = supv,||v||=1
(||Av||W )
eine Norm wohldefiniert.
5.2 Bemerkung (uber Zusammenhange der Operatornorm)
1. ||Ax||W ≤ ||A||OP ·||x||V2. ||AB|| ≤ ||A||·||B||
i.A. gilt aber nicht||AB|| ≡ ||A||·||B||
z.B. A =
(1 00 0
)
, B =
(0 00 1
)
.
5.3 Notiz
Sei A = (aij), so istmax(|aij |) ≤ ||A||OP
denn ||A·ej ||W = ||
a1j
...anj
|| ≥ |aij | fur alle i, j.
5.4 Definition (der Matrizen -differentierbarkeit und -reihen)
1. Sei A : R→M(n×n,R) differentierbar, d.h. fur A = (aij) seien aij : R→R
differentierbar fur alle i, j, dann ist
d
dtA ≡ A = (aij)i,j
2. Sei p(t) =∞∑
k=0
(cktk), dann definieren wir p(A) =
∞∑
k=0
(ckAk) fur A ∈M(n×n,R)
5 DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION 38
5.5 Erinnerung
Die Losung von x = ax ist Ceat und ex =∞∑
k=0
( xk
(k)! ), wobei die Potenzreihe
absolut (auf R) konvergiert. Versuche, dies zu ubertragen auf den Fall x = Ax.Zeige:
⊲ eA ist wohldefiniert, d.h.∑
( Ak
(k)! ) konvergiert
⊲ Reihenregeln fur eA
⊲ Berechnung von eA
5.6 Satz (Matrizenreihenkonvergenz)
Sei p eine absolut konvergierende Potenzreihe fur |t| < R, so ist auch (p(A))ijabsolut konvergernt fur A ∈M(n×n,R), ||A||OP < R, denn
|(Ak)ij | ≤︸︷︷︸
5.3
||Ak||OP ≤︸︷︷︸
5.2.b
||A||k ≤ Rk
d.h. die Reihen∑
(ck(Ak)ij) konvergieren nach dem Majorantenkriterium.
5.7 Korollar (Matrizenexponentialreihe)
Fur alle B ∈M(n×n,R) ist
eB =
∞∑
k=0
(Bk
(k)!) = 1+B +
1
2B2 + . . .
wohldefiniert. Weiterd
dtetB = B·etB
d.h. die Spalten von etB sind Losungen von x = Bx.
5.8 Lemma (Rechenregel der Matrizenexponentialfunkti-on)
1. Ist AB = BA, so isteA+B = eA·eB
(Beweis in U.a.)
2. Ist C ∈ GL(n,R), so ist
eCAC−1
= C·eA·C−1
denn(CAC−1)k = C·Ak·C−1
5 DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION 39
5.9 Korollar (Matrizenexponentialfunktionen als Teilmen-ge der General Linear Group)
Fur alle A ∈M(n×n,R) ist etA ∈ GL(n,R), denn
e−tA︸︷︷︸
(etA)−1
·etA = e−tA+tA = e0 = 1d.h. die Spalten von etA bilden ein Fundamentalsystem von x = Ax.
5.10 Beispiel
Ist A ∈M(n×n,K) (K = R oder K = C) eine Diagonalmatrix, d.h.
A =
λ1 0. . .
0 λn
Dann ist
Ak =
λk1 0. . .
0 λkn
Daraus folgt, dass
eA =
eλ1 0. . .
0 eλn
5.11 Definition (der Nilpotenz)
Eine Matrix N ∈M(n×n,R) heißt nilpotent, wenn es ein k ∈ N mit Nk = 0gibt.
5.12 Notation und Beispiel
Ist N nilpotent, Nk = 0, so ist eN = 1+N + 12N
2 + . . .+ 1(k−1)! ·Nk−1. Beispiel:
N =
(0 10 0
)
, N2 = 0, eN = 1+N =
(1 10 1
)
, etN =
(1 t
0 1
)
5.13 Beispiel
A =
(1 10 1
)
=
(1 00 1
)
︸ ︷︷ ︸
D
+
(0 10 0
)
︸ ︷︷ ︸
N
Es gilt: DN = ND. ⇒
etA = eDt·eNt =
(et 00 et
)
·(
1 t
0 1
)
=
(et tet
0 et
)
d.h.
(et
0
)
,
(t
1
)
et ist ein Fundamentalsystem von x = Ax.
5 DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION 40
5.14 Satz (Lineare Algebra, z.B. Brockner, lineare Alge-bra II)
Ist A ∈ End(Cn) = Hom(Cn,Cn) = M(n×n,C). Dann gibt es eine Basis von C
bezuglich der A in Jordannormalform vorliegt, d.h. in der Form
A =
J1 0 . . . 0
0 J2. . .
......
. . .. . . 0
0 . . . 0 Jr
wobei Ji ”Jordankastchen“ sind, d.h.
Ji ∈ M(ni×ni,C), Ji =
λi 1 0 . . . 0
0. . .
. . .. . .
......
. . .. . .
. . . 0...
. . .. . .
. . . 10 . . . . . . 0 λi
(Spezialfall r = n ⇒ A ist diagonal) also A = D+N , wobei D diagonal, N vonder Form
0 1 0 . . . . . . 0
0. . . 1
. . .. . .
......
. . .. . . 0
. . ....
.... . .
. . .. . .
. . ....
.... . .
. . .. . .
. . . 10 . . . . . . . . . . . . 0
also N nilpotent und DN = ND gilt.
5.15 Korollar
Ist A ∈ M(n×n,C), dann gibt es T ∈ GL(n,C) so, dass TAT−1 = D + N , Ddiagonal, N nilpotent, DN = ND, also:
eA = T−1eDeNT
6 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ 41
6 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
Fragen:
1. Gibt es zu jedem Anfangswertproblem x = v(x), x(0) = x0 eine Losung?
2. Ist sie eindeutig ?
Zu
1. Man kann nicht erwarten, dass jede Losung Definitionsbereich R hat.
2. Erinnere U.a.:
x =
√x x ≥ 0
−√−x x ≤ 0, x(0) = 0
x(t
)
t
α1(t) = 0
α2(t) =
0 t ≤ 0
14 ·(t− c)2 t ≥ c
6 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ 42
c
α(t
)
t
Voruberlegung:
Angenommen, α1 und α2 sind Losungen zu x = v(x) und x(0) = x0, so gilt
αj(t) = v(αj(t)), j = 1, 2
Daraus folgt:
αj(t) = x0 +
t∫
0
(v(αj(τ))) dτ (11)
6 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ 43
und
||α2(t)− α1(t)|| = ||t∫
0
(v(α1(τ) − v(α2(τ))) dτ )|| (12)
≤t∫
0
(||v(α1(τ)) − v(α2(τ))||) dτ (13)
(?≤ θ·||α1(t)− α2(t)||) (14)
6.1 Definition (der lokalen Lipschitz-stetigkeit)
Sei M ⊆off R, v : M→Rn erfullt eine lokale Lipschitz-Bedingung oder v ist lokallipschitz-stetig, wenn gilt: Fur alle x ∈M existiert eine Umgebung U von x undein L > 0 so, dass fur alle x, y ∈ U gilt:
||v(x) − v(y)|| ≤ L||x− y||
6.2 Bemerkung (C1 ⇒ lipschitz-stetig ⇒ C0)
Ist v ∈ C1(M,Rn) M ⊆ Rm, so ist v lokal lipschitz-stetig. Ist v lokal lipschitz-stetig, so ist v stetig.
6.3 Satz (Eindeutigkeitssatz)
Sei v : D→Rk lokal lipschitz und seien αj : (t1,2 )→D Losungen von x = v(x),x(0) = x0 fur j = 1, 2, so ist α1 = α2.
Beweis:
Angenommen, es existiert ein t0, o.B.d.A.t0 > 0, mit α1(t0) 6= α2(t0).
Sei t := inf(t ∈ [0, t0] | α1(t) 6= α2(t)).
Dann gilt α1(t) = α2(t).
Wahle U und L wie in 6.1 und R ≥ 0 so, dass
⊆ U︷ ︸︸ ︷
UR(α(t)).
Sei ǫ > 0 so, dass
6 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ 44
αj(t) ∈ KR fur alle t ∈ [t− ǫ, t+ ǫ], j = 1, 2
ǫL < 1
Dann gilt fur alle t ∈ [t, t+ ǫ]
||α1(t)− α2(t)|| ≤︸︷︷︸
13
t∫
0
(||v(α1(τ)) − v(α2(τ))||︸ ︷︷ ︸
≤ L·||α1(t)−α2(t) (∗)||
) dτ
(*): weil α1(t) ∈ KR
maxt ∈ [t,t+ǫ]
(||α1(t)− α2(t)||) ≤ ǫL· maxt ∈ [t,t+ǫ]
(||α1(t)− α2(t)||)
⇒ maxt ∈ [t,t+ǫ]
(||α1(t)− α2(t)||) = 0. Widerspruch zur Definition von t:
α1(t) 6= α2(t), t ∈ [t, t+ ǫ]
Zum Existenzsatz:
⊲ Betrachte 11
⊲ Setze F : C∞((t1,2 ), D)→C0((t1, t2), D), F (f) = x0 +t∫
0
(v(f(τ))) dτ
⊲ f ist Losung von x = v·(
0x
)
, x(0) = x0, falls F (f) = f ⇔ f ist Fixpunkt
von F
6.4 Banachscher Fixpunktsatz
Sei (M,d) ein vollstandig metrischer Raum, F : M→M eine kontrahierendeAbbildung, so besitzt F genau einen Fixpunkt und es gilt: Ist a0 ∈M beliebig,an = Fn(a0), dann konvergiert (an)n ≥ 1 gegen den Fixpunkt.
6.5 Satz (Existenzsatz von Picard-Lindelof)
Erfullt v eine lokale Lipschitzbedingung und sei x0 ∈ D, dann gibt es ein ǫ > 0und eine Losung
α : (−ǫ, ǫ)→D von x = v(x), x(0) = x0
Beweisidee:
Wende 6.4 an auf M = α : (−ǫ, ǫ)→K | α(θ) = x0 fur geeignete ǫ undK.
d : M×M→R+0 , d(α, β) = sup
t ∈ (−ǫ,ǫ)(||α(t) − β(t)||)
6 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ 45
F : M→M , F (α) = x0 +t∫
0
(v(α(τ))) dτ
Zeige: F ist wohldefiniert und kontrahiert,
d(F (α), F (β)) =
ǫ∫
0
(||v(α) − v(β)||) dτ
= ǫLd(α, β)
. . . 2
6.6 Bemerkung (Erganzung zum Existenzsatz von Picard-Lindelof)
Satz 6.5 gilt auch unter der schwacheren Bedingung, dass v stetig ist.
6.7 Korollar
Sei w : (t1, t2)×D→Rk stetig und erfulle bezuglich der Variable x ∈ D einelokale Lipschitzbedingung, also: fur alle x ∈ D existiert eine Umgebung U undein L > 0 so, dass fur alle x, y ∈ U gilt:
||w(t, x) − w(t, y)|| ≤ L||x− y||
Dann gibt es zu jedem x0 ∈ D und t0 ∈ [t1, t2] genau eine Losung von x = w(t, x)und x(t0) = x0.
6.8 Bemerkung (Picard-Lindelof-Verfahren)
Der 2. Teil des Banachschen Fixpunktsatzes liefert ein Verfahren zur (naherungs-weisen) Bestimmung der Losung: Sei α0 : (t0 − ǫ, t0 + ǫ)→D beliebig. Definiererekursiv
αk : (t0 − ǫ, t0 + ǫ)→D, αk(T ) = x0 +
t∫
t0
(w(τ, αk−1(τ))) dτ
Dann konvergiert αk gegen eine Losung. Beispiel: x = x, x(0) = 1:
⊲ Setze α0 ≡ 1.
6 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ 46
⊲ Dann ist
α1(t) = 1 +
t∫
0
(1) dτ = 1 + t
α2(t) = 1 +
t∫
0
(1 + τ) dτ = 1 + t+1
2t2
......
αk(t) = 1 + t+ . . .+1
(k)!tk
(Beweis durch Induktion)
⊲ ⇒ limk→∞
(ak(t)) =∞∑
k=0
( 1(k)! t
k) = et.
6.9 Korollar (Zerlegung des Phasenraums)
Ist v : D→Rk lokal lipschitz, so zerlegen die Bahnen den PR, d.h.
1. zu jedem x ∈ D gibt es eine Bahn B, mit x ∈ B.
2. sind B1 und B2 zwei Bahnen mit B1 ∩ B2 6= ∅, so ist B1 = B2.
Beweis:
(1) ist nach dem Existenzsatz klar.
(2): Ist α(t1) = β(t1) und sind α, β Losungen.
Setze α(t) = α(t+ t1), β(t) = β(t+ t2).
⇒ Bahnen von α und α wie auch β und β stimmen uberein.
Es gilt: α(0) = α(t1) = β(t2) = β(0) ⇒ die Bahnen von α und β stimmenuberein.
6 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ 47
6.10 Definition (des Fixpunkts und der Periodizitat)
Eine Losung α einer DGL heißt
1. Fixpunkt ⇔ α(t) = p, fur alle t ∈ (t1, t2)
2. periodisch ⇔ α ist kein Fixpunkt und es existiert genau ein T > 0 mitα(t) = α(t′) ⇔ (t′ − t) ∈ ZT . Das T mit dieser Eigenschaft heißt Periode
der Bahn.
6.11 Satz
Sei v : D→Rk lokal lipschitz, dann gilt fur die Losungen von x = v(x) genau
eine der folgenden Moglichkeiten:
1. α ist injektiv
2. α ist periodisch
3. α ist Fixpunkt
Beweis:
Angenommen, α ist weder injektiv noch Fixpunkt.
Dann existiert ein t0 und T mit α(t0) = α(t0 + T ). (*)
Wie im Beweis von 6.9 folgt dann, dass α(t+ T ) = α(t).
Sei T := inf(
T | T erfullt (*)
) ⇒ T > 0, sonst ware α Fixpunkt ⇒ T
ist die Periode von α.
7 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N 48
7 Differentialgleichungen der Ordnung n
7.1 Definition (von (autonomen) DGLen der Ordnung n)
Sind Dj ⊆ Rk verallgemeinerte Rechtecke und w : (t1, t2)×D0× . . .×Dn−1→Rk
stetig, so heißtx(n) = w(t, x, . . . , x(n−1)) (15)
ein (nicht-autonomes) k-dimensionales System von DGLen der Ordnung n. Hangtw nicht von t ab, ist also durch
v : D0× . . .×Dn−1→Rk
gegeben, so heißt das System autonom. Unter einer Losung von 15 versteht maneine Abbildung
α : (t′1, t′2)→R
k mit α(j)(t) ∈ Dα(n)(t) = w(t, α(t), . . . , α(n−1)(t)), (t′1, t
′2) ⊆ (t1, t2)
Analog fur die Losungen des autonomen Systems. Maximale Losungen sind wieim Fall n = 1 definiert.
7.2 Beispiel
x = −ω2x+ γx ist eine Gleichung 2. Ordnung.
7.3 Satz und Definition (des dazugehorigen Systems 1.Ordnung)
Zu 15 heißtx1 = x2
x2 = x3
...xn = w(t, x1, . . . , xn)
(16)
das zugehorige kn-dimensionale System 1. Ordnung (analog fur autonome Sys-teme). Ist α eine Losung von 15, so ist (α, α, . . . , α(n−1)) eine Losung von 16und ist β eine Losung von 16, so sind die ersten k-Komponenten von β eineLosung von 15.
Beweis:
Sei α eine Losung von 15, so gilt, dass (α, . . . , α(n−1)) die Gleichung
w(t, α(t), . . . , α(n−1)(t)) = α(n)
erfullt, also erfullt (α, . . . , α(n−1)) das System von DGLen 16. Ist β =(β1, . . . , βm) eine Losung von 16, so gilt
β2 = β1
β3 = β2 = β(2)1
βj = β(j−1)1
7 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N 49
⇒
βn = β(n−1)1 ⇒ βn
︸︷︷︸
β(n)1
= w(t, β1, . . . , βn) = w(t, β1, . . . , β(n−1)1 )
also erfullt β1 die Gleichung 15.
7.4 Beispiel
x = −x (17)
Zugehoriges System 1. Ordnung:
x1 = x2
x2 = −x1
⇔x =
(0 1−1 0
)
x (18)
Allgemeine Losung von 18:
c1·(
cos(t)−sin(t)
)
+ c2·(
sin(t)cos(t)
)
⇒ allgemeine Losung von 17:
c1·cos(t) + c2·sin(t)
7.5 Korollar (aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz)
Ist D = D0× . . .×Dn−1, w : (t1, t2)×D→Rk eine stetige Funktion, die bezuglich
der Variablen aus D lokal lipschitz-stetig ist, so gibt es zu
t0 ∈ (t1, t2), p = (p0, . . . , pn−1) ∈ D
genau eine Losung von 15 mit
α(t0) = p0, . . . , α(n−1)(t0) = pn−1
Analog fur autonome Systeme.
Beweis:
Ist w lokal lipschitz-stetig, so ist auch
w(t, x1, . . . , xn) =
x2
...xn
w(t, x1, . . . , xn)
lokal lipschitz-stetig.
Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz gibt es also genau eine Losungvon 16.
7 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N 50
7.6 Definition (des (erweiterten) Phasenportraits)
Unter dem (erweiterten) Phasenportrait eines Systems n-ter Ordnung verstehtman das (erweiterte) Phasenportrait des zugehorigen Systems 1. Ordnung.
7.7 Beispiele
7.7.1 Beispiel 1
x = −x
c
x2
=x
1
x1
Phasenportrait
RVF
7.7.2 Beispiel 2
x = 0, allgemeine Losung: α(t) = at+ b
c
x2
=x
1
x1
Phasenportrait
RVFα(a, b, t)
7 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N 51
7.7.3 Beispiel 3
Fadenpendel:
(GRAPHIC HERE)
8 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG 52
8 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
8.1 Definition (von linearen (homogenen) DGLen n-terOrdnung)
Sei a0, . . . , an−1 : (t1, t2)→M(k×k,R) stetig, so heißt
x(n) + an−1x(n−1) + . . .+ a0x+ b = 0 (19)
ein k-dimensionales System linearer DGLen der Ordnung n. Fur b : (t1, t2)→Rk,
b 6≡ 0 heißt es inhomogen, fur b ≡ 0 heißt es homogen. Setzt man in 19 b ≡ 0,so heißt das System das zugehorige homogene System. Fur k = 1 schreibt manstatt 19, b ≡ 0 im autonomen Fall auch
P (d
dt)x = 0
wobei P (s) das Polynom sn + an−1·sn−1 + . . .+ a0 ist.
8.2 Notiz (das dazugehorige System 1. Ordnung)
Das zu 19 gehorige System 1. Ordnung ist durch x = Ax+−→b mit
A =
0 1 0 . . . 0
0 0. . .
. . ....
.... . .
. . .. . . 0
.... . .
. . .. . . 1
−a0 . . . . . . . . . −an−1
kn,−→b =
0...−b
kn
gegeben.
8.3 Satz (Anfangsisomorphismus)
Die Losungen von 19 sind auf ganz (t1, t2) definiert. Fur b = 0 bilden sie einenkn-dimensionalen VR. Fur b = 0 ist durch
(Losungen von 19 b = 0
)
→ Rkn
α 7→
a(t0)...
α(n−1)(t0)
fur jedes t0 ∈ (t1, t2) ein Isomorphismus definiert. φ heißt der Anfangsisomor-phismus zum Anfangsproblem t0.
8 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG 53
8.4 Definition (des Fundamentalsystems, der Wronski -matrix und -determinante)
Unter einem Fundamentalsystem fur 19, b = 0, versteht man eine Basis deszugehorigen Losungsraums. Sind α1, . . . , αkn Losungen von 19, so heißt
X(t) =
α1(t) . . . αkn(t)...
...
α(n−1)1 (t) . . . α
(n−1)kn (t)
die zugehorige Wronski-matrix,
det(X(t)) = W (t)
heißt die Wronski-determinante.
8.5 Satz
Sind α1, . . . , αkn Losungen von 19, b = 0, so ist gleichbedeutend:
1. α1, . . . , αkn bilden ein Fundamentalsystem
2. W (t0) 6= 0 fur ein t0 ∈ (t1, t2)
3. W (t) 6= 0 fur alle t ∈ (t1, t2)
4. Fur jede Losung α von 19, b = 0, gibt es c1, . . . , ckn ∈ R so, dass
α =
kn∑
j=1
(cjαj)
ist.
8.6 Lemma (Losungen aus dem Fundamentalsystem)
Ist α1, . . . , αkn ein Fundamentalsystem von 19, b = 0, und ist β eine beliebigeLosung von 19, so ist die allgemeine Losung von 19 durch
β +
kn∑
j=1
(cjαj), cj ∈ R
gegeben.
8.7 Korollar (inhomogene Losungen aus dem Fundamen-talsystem)
Sei k = 1 und α1, . . . , αn ein Fundamentalsystem von 19 mit b = 0, d.h. derzu 19 gehorenden homogenen Gleichung, und es gelte X(0) = 1, wobei X diedurch α1, . . . , αn gegebene Wronskimatrix ist. Dann ist die Losung von 19 zurAnfangsbedingung x(0) = p1, . . ., x
(n−1)(0) = pn:
n∑
j=1
(pjαj(t))−n∑
j=1
(αj(t))·t∫
0
(b(τ)uj(τ)) dτ
8 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG 54
wobei
X−1(t) =
? | u1(t)
? |...
? | un(t)
ist.
Beweis:
Nach 4.9 und 7.5 ist die Losung von 19 mit
x(0) = p1, . . . , x(n−1)(0) = pn
durch die 1. Komponente von
X(t)·p−X(t)·t∫
0
(X−1(τ)·−→b (τ)) dτ
gegeben.
8.8 Korollar
Sei α1, α2 ein Fundamentalsystem fur
x+ a1x+ a0x = 0
mit
α1(0) = 1 , α1(0) = 0
α2(0) = 0 , α2(0) = 1
so ist
β(t) = α1(t)·p1 + α2(t)·p2 + α1(t)·t∫
0
(b(τ)·α2(τ)
W (τ)) dτ − α2(t)·
t∫
0
(b(τ)·α1(τ)
W (τ)) dτ
eine Losung von
x+ a1x+ a0x+ b = 0 mit β(0) = p1, β(0) = p2
denn ist
X(t) =
(α1(t) α2(t)α1(t) α2(t)
)
so ist
X−1(t) =1
W (t)·(α2(t) −α2(t)−α1(t) α1(t)
)
8 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG 55
Ab jetzt betrachten wir den Fall einer autonomen linearen DGL
x(n) + an−1x(n−1) + . . .+ a0x = 0, aj ∈ R (20)
Das zugehorige System 1. Ordnung ist durch
x = Ax, A =
0 1 0 . . . 0
0 0. . .
. . ....
.... . .
. . .. . . 0
.... . .
. . .. . . 1
−a0 . . . . . . . . . −an−1
n×n (21)
gegeben. Losung: 1. Komponenten von eAt. Jetzt leiten wir eine einfachere Me-thode zur Berechnung des Fundamentalsystems von 20 her.
8.9 Bemerkung (das charakteristische Polynom)
Das charakteristische Polynom von 21 ist durch
P (t) = tn + an−1tn−1 + . . .+ a0
gegeben. Gesucht ist also eine Losung von P ( ddt)x = 0.
8.10 Satz (Fundamentalsysteme aus charakteristischen Po-lynomen)
Seien λ1, . . . , λr ∈ R die reellen Nullstellen von P mit Vielfachheiten n1, . . . , nr,γ1±iω1, . . . , γs±iωs ∈ C\R die echt komplexen Nullstellen von P mit Vielfach-heiten m1, . . . ,ms, also
n1 + . . .+ nr + 2(m1 + . . .+ms) = n
und
P (t) = (t− λ1)n1 · . . . ·(t− λr)nr ·(((t− γ1)
2 + ω21)m1 · . . . ·((t− γs)2 + ω2
s)ms)
so ist
eλ1t , teλ1t , . . . , tn1−1eλ1t
......
...eλrt , teλrt , . . . , tnr−1eλrt
eγ1tcos(ω1t) , teγ1tcos(ω1t) , . . . , tm1−1eγ1tcos(ω1t)...
......
eγstcos(ωst) , teγstcos(ωst) , . . . , tms−1eγstcos(ωst)
eγ1tsin(ω1t) , teγ1tsin(ω1t) , . . . , tm1−1eγ1tsin(ω1t)...
......
eγstsin(ωst) , teγstsin(ωst) , . . . , tms−1eγstsin(ωst)
8 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG 56
ein Fundamentalsystem von 20.
Beweis:
Es ist ( ddt − λ)eλt = 0 und
(d
dt− λ)tkeλt = ktk−1eλt + λtkeλt − λtkeλt = ktk−1eλt
⇒ ( ddt − λ)jtkeλt = 0 fur k < j.
⇒ P ( ddt )tkeλjt = 0 fur k < nj .
Ebenso P ( ddt)tke(γj+iωj)t = 0 fur k < mj und
ℜ(tke(γj+iωj)t) = tkeγjtcos(ωjt)
ℑ(tke(γj+iωj)t) = tkeγjtsin(ωjt)
Also sind die im Satz angegebenen Funktionen Losungen von 20. Sie bildenein Fundamentalsystem, wie man anhand der Wronskideterminante leichtnachrechnet, W (0) 6= 0. 2
8.11 Beispiele
8.11.1 Beispiel 1...x − 2x+ x− 2x = 0
Dann ist
P (t) = t3 − 2t2 + t− 2
= (t2 + 1)(t− 2)
Damit ergibt sich fur die Nullstellen von P :
λ1 = 2 , n1 = 1
γ1 + iω1 = ±i , m1 = 1
Somit ist das Fundamentalsystem:
e2t, cos(t), sin(t)
8 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG 57
8.11.2 Beispiel 2
x+ 2µx+ ω2x = 0
Dann istP (t) = t2 + 2µt+ ω2
und die Nullstellen von P sind
λ1/2 = −µ±√
µ2 − ω2
Somit ergeben sich drei Falle:
1. µ2 > ω2
2. µ2 = ω2
3. µ2 < ω2
Fall 2:
⊲ λ = −µ, Vielfachheit 2
⊲ ⇒ e−µt, te−µt ist ein Fundamentalsystem fur x+ 2µx+ ω2x = 0.
9 DER UMKEHRSATZ 58
9 Der Umkehrsatz
Erinnerung (Jacobi-matrix und Kettenregel)
Sei U ⊆off Rn, f : U→Rk differentierbar. Dann ist
dfx︸︷︷︸
∈ Hom(Rn,Rk)
= Jf (x) =
∂f1∂x1
(x) . . . ∂f1∂xn
(x)...
...∂fk
∂x1(x) . . . ∂fk
∂xn(x)
Sind∂fj
∂xlstetig fur j = 1, . . . , k und l = 1, . . . , n, dann heißt f stetig differen-
tierbar, f ∈ C1(U,Rk) = (C1(U))k.Kettenregel: Sind g und f differentierbar, f : U→Rk, g : V→Rm, V ⊆off Rk,
f(U) ⊆ V , dann istJgf (x) = Jg(f(x))Jf (x)
Insbesondere fur g = f−1 ist Jf−1(f(x)) = (Jf (x))−1.
9.1 Definition (des Diffeomorphismus)
Seien U, V ⊆off Rn, dann heißt f : U→V ein Ck-Diffeomorphismus, falls f bi-jektiv und f als auch f−1 k-mal stetig differentierbar sind.
9.2 Notiz
Ist f : U→V ein Diffeomorphismus, so ist Jf (x) ∈ GL(n,R) fur alle x ∈ U .Frage: Ist f : U→V differentierbar und Jf (x) ∈ GL(n,R) fur alle x ∈ U ,
folgt dann, dass f : U→f(U) ein Diffeomorphismus ist?Erinnerung: Fur f : I→R, I = (a, b) differentierbar mit f ′(x) > 0 fur alle
x ∈ I oder f ′(x) < 0 fur alle x ∈ I ist f injektiv und f : I→f(I) bijektivund f−1 : f(I)→I differentierbar, also ist f ein Diffeomorphismus I→f(I).(Die Vorraussetzung f bijektiv und f ′(x) ≥ 0 ware nicht ausreichend, dass f−1
differentierbar ist, vgl. f(x) = x3)
9.3 Beispiel
f : R+×R→R
2\0, (r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))
Dann ist
Jf (r, φ) =
(cos(φ) −rsin(φ)sin(φ) rcos(φ)
)
unddet(Jf (r, φ)) = r·cos(φ)
2+ r·sin(φ)
2= r 6= 0
⇒ Jf (r, φ) ∈ GL(2,R), aber f ist kein Diffeomorphismus, denn
f(r, φ+ 2πk) = f(r, φ), k ∈ Z
Aber z.B.
f |R+×(0, 2π), R+×(0, 2π)→R
2\x ∈ R | y = 0 ∧ x ≥ 0
ist ein Diffeomorphismus.
9 DER UMKEHRSATZ 59
9.4 Definition (des lokalen Diffeomorphismus’)
Sei f : U→V differentierbar, U, V ⊆off Rn. Dann heißt f ein lokaler Diffeomor-
phismus bei x ∈ U , wenn es eine offene Umgebung Ux von x und eine offeneUmgebung Vf(x) von f(x) gibt, so, dass f |Ux : Ux→Vf(x) ein Diffeomorphismusist. f heißt ein lokaler Diffeomorphismus, falls f ein lokaler Diffeomorphismusbei x ∈ U fur alle x ∈ U ist.
9.5 Beispiel (Polarkoordinantenabbildung)
Die Polarkoordinatenabbildung aus 9.3 ist ein lokaler Diffeomorphismus.
9.6 Satz (Umkehrsatz oder Satz von der lokalen Inversen)
Ist f : U→V , f ∈ Ck(U, V ) und ist Jf (x) ∈ GL(n,R), so ist f ein lokaler Dif-feomorphismus bei x ∈ U . Ist Jf (x) ∈ GL(n,R) fur alle x ∈ U und f zusatzlich
injektiv, so ist f : U→f(U) ein Ck-Diffeomorphismus, d.h. f und f−1 sind k-malstetig differentierbar.
9.7 Notation
Ist f : B→Rk differentierbar, Φ : U ′→U ein Diffeomorphismus, U ⊆ B, so sagtman, f ist lokal auf U in den Koordinaten Φ durch g gegeben, falls g = fΦgilt. Beispiel:
f : R2→R, f(x, y) =
√
x2 + y2
f ist in Polarkoordinaten auf R2\(x, y) | y = 0 ∧ x ≥ 0 durch
g : R+×(0, 2π)→R, (r, φ) 7→ r
gegeben. Vorsicht : Manchmal wird g wieder mit f bezeichnet,”f(x, y) = f(r)“
oder f(x, y) = f(x(r, φ), y(r, φ)).
9.8 Erinnerung und Definition (regularer und singularerPunkt/Wert)
Ist f : B→Rk differentierbar, so heißt x ∈ B regularer Punkt, falls dfx surjektiv
ist, sonst heißt x ∈ B singularer Punkt ; y ∈ Rk heißt regularer Wert, falls f−1(y)nur aus regularen Punkten besteht, sonst heißt y ∈ Rk singularer Wert.
Ist insbesondere B ⊆off Rk, so sind die regularen Punkte x ∈ B genau die,fur welche Jf (x) invertierbar ist.
9 DER UMKEHRSATZ 60
9.9 Satz (vom regularen Punkt)
Ist B ⊆off Rn, x0 ∈ B regularer Punkt von f : B→R
k (also insbesondere n ≥ k),d.h.
rg(fx0) = rg(Jf (x0)) = k
so gibt es lokale C∞-Koordinaten so, dass f in diesen Koordinaten durch dieProjektion gegeben ist, genauer: es gibt eine Umgebung U von x0 und einenDiffeomorphismus h : U→U ′ so, dass
f = fh−1 = prk
gilt, wobeiprk : R
n→Rk
die Projektion auf die ersten k Koordinaten ist.
Beweis:
Sei f : B→Rk, Jf (x0) ∈ Hom(Rn,Rk) surjektiv.
Sei A ∈ Hom(Rn,Rn−k) so, dass
Rn→R
n, x 7→(Jf (x0)A
)
ein Isomorphismus ist fur x = x0.
Setze F : Rn→Rn, x 7→(f(x)Ax
)
.
Dann ist JF (x) =
(Jf (x)A
)
.
Dann ist F an der Stelle x0 ein lokaler Diffeomorphismus.
9 DER UMKEHRSATZ 61
Seien U, V ⊆off Rn, so, dass F |U : U→V ein Diffeomorphismus ist, x0 ∈ U .
Sei φ = F−1.
Dann ist
(Fφ)(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn︸ ︷︷ ︸
x
) = (f(φ(x)), Aφ(x))
⇒ (fφ)(x) = prk(x)
⇒ Setze h := φ−1. 2
Nachste Anwendung des Umkehrsatzes: Auflosen von Gleichungssystemen:
f1(x1, . . . , xn, y1, . . . , yk) = c1...
...fk(x1, . . . , xn, y1, . . . , yk) = ck
(22)
Wann lasst sich 22 nach y auflosen?
9.10 Definition (der lokalen Auflosbarkeit)
Sei B ⊆off Rn×Rk, f = (f1, . . . , fk) : B→Rk eine Cr-Abbildung mit r ≥ 1. Seic ∈ Rk und (x0, y0) ∈ B mit f(x0, y0) = c. f(x, y) = c heißt lokal bei (x0, y0)nach y auflosbar, wenn es offene Umgebungen U , V von x0 gibt und eine diffe-rentierbare Abbildung g : U→V so, dass fur (x, y) ∈ U×V gilt:
f(x, y) = c ⇔ y = g(x)
9.11 Beispiel
n = k = 1, f(x, y) = x2 + y2, c = 1
9 DER UMKEHRSATZ 62
f(x, y) = 1 ist lokal bei (0, 1) nach y auflosbar:
U = (−1, 1), V = (0, 2)
g : (−1, 1)→(0, 2), x 7→√
1− x2
f(x, y) = 1 ist bei (1, 0) nicht lokal nach y auflosbar.
9.12 Satz
Sei B ⊆off Rn×Rk, f : B→Rk eine Cr-Abbildung, r ≥ 1. Sei c ∈ Rk und (x0, y0) ∈ Bmit f(x0, y0) = c. Ist
∂f
∂y(x0, y0) :=
∂f1∂y1
(x0, y0) . . . ∂f1∂yk
(x0, y0)...
...∂fk
∂y1(x0, y0) . . . ∂fk
∂yk(x0, y0)
∈ GL(k,R)
so gibt es eine Cr-Abbildung g : U→V , U ⊆off Rn, V ⊆off Rk, (x0, y0) ∈ U×Vso, dass fur (x, y) ∈ U×V gilt:
f(x, y) = c ⇔ y = g(x)
Es gilt dann:
Jg(x) = −(∂f
∂y(x, g(x)))−1·∂f
∂x(x, g(x))
Beweis:
Es ist Jf (x, y) =
∂f
∂x(x, y)
︸ ︷︷ ︸
n
,∂f
∂y(x, y)
︸ ︷︷ ︸
k
k
Sei F : B→Rn+k, F (x, y) =
(x
f(x, y)
)
, dann ist
JF (x, y) =
(1 0
∂f∂x (x, y) ∂f
∂y (x, y)
)
∈ GL(n,R)
fur (x, y) = (x0, y0).
Sei W ⊆ B, W ′ = F (W ), so, dass F |W : W→W ′ ein Diffeomorphismusist, o.B.d.A.W = W1
︸︷︷︸
⊆ Rn
+ W2︸︷︷︸
⊆ Rk
.
Sei Φ = F−1.
Dann ist (x, y) = Φ(F (x, y)) = Φ(x, f(x, y))
⇒ Φ(x′, y′) = (x′, g(x′, y′)) fur g : W ′→W2.
9 DER UMKEHRSATZ 63
Dann ist(x′, y′) = F (Φ(x′, y′)) = (x′, f(x′, g(x′, y′)))
fur alle (x′, y′) ∈W ′, also
f(x′, g(x′, c)) = c
fur alle x′ mit (x′, c) ∈ W ′.
Setze U =x ∈ Rk | (x, c) ∈ W ′, V =
y ∈ Rk | (x, y) ∈ W ∧ x ∈ U
.
Dann ist g : U→V , g(x) = g(x, c) die gesuchte Funktion. Es ist f(x, g(x)) =c fur alle x ∈ U .
⇒ ∂∂xj
(f(x, g(x))) = 0 fur alle j.
⇒ ∂fl
∂xj(x, g(x)) +
k∑
i=1
( ∂fl
∂yi· ∂gi
∂xj(x, g(x))) = 0.
⇒ Behauptung. 2
9.13 Beispiele
9.13.1 Beispiel 1
f(x, y) = x2 + y2
∂f
∂y= 2y 6= 0 ⇔ y 6= 0
d.h., f(x, y) = 1 ist genau dann nach y auflosbar an der Stelle (x0, y0), wenny0 6= 0.
9.13.2 Beispiel 2
V (r, φ) =cos(φ)
r2, r > 0
In kartesischen Koordinaten ist V gegeben durch
V (x, y) =x
√
x2 + y23
An welchen Stellen ist V (r, φ) auflosbar nach r?
∂V
∂r= −2·cos(φ)
r36= 0 ⇔ φ 6∈
π
2+ kπ | k ∈ Z
9 DER UMKEHRSATZ 64
Potentialfeld des Dipols
x√x2+y2
3
-2-1.5-1-0.500.511.52 x
-2-1.5-1-0.500.511.52
y
-10
-5
0
5
10
z
Wann ist V nach y auflosbar?
∂V
∂y(x, y) = −3
5· xy√
x2 + y2
Aquipotentiallinien des Dipols
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x
-2-1.5-1-0.500.511.52
y
V (x, y) = c ist fur x 6= 0 und y 6= 0 nach y auflosbar.
10 FLACHEN 65
10 Flachen
Ziel: Bisher betrachtet: f : B→Rk, B ⊆off Rn (z.B. B = (a, b) ⊆ R, f : B→Rk
differentierbar, wenn limh→0
(f(x+h)−f(x)h ) existiert.)
Jetzt sollen als Definitionsbereich von f allgemeinere Teilmengen von Rn zuge-lassen werden, z.B.
f : M→R, M =(x, y) ∈ R
2 | x2 + y2 = 1≡ S1
Fragen:
⊲ Wann ist f differentierbar?
⊲ Wann hat f Extrema? Z.B. f : S1→R, f(
(x
y
)
) = y hat Extrema bei(
0±1
)
aber grad(f) =
(01
)
6= 0.
10 FLACHEN 66
⊲
∫
M
(f) dx ?
Anwendungen:
⊲ M durch”Nebenbedingungen“, z.B. durch den Aufenthaltsort des Teil-
chens, beschrieben
⊲ Allgemeine Relativitatstheorie (ART)
10.1 Definition (der Untermannigfaltigkeit (-skarte, -sgebiet))& Satz
Eine TeilmengeM ⊆ Rn heißt eine k-dimensionale Flache oder eine k-dimensionaleUntermannigfaltigkeit des Rn, falls eine der beiden aquivalenten Bedingungenerfullt sind:
1. Fur jedes p ∈M gibt es eine offene Umgebung W ⊆off Rn und einen Dif-
feomorphismus H : W→W ′ (mit W ′ ⊆ Rn) so, dass
H(W ∩M) = (Rk×0) ∩ W ′
ist.
2. Fur jedes p ∈M gibt es eine offene Umgebung W und eine differentierbareFunktion F : W→Rn−k so, dass fur einen regularen Wert q ∈ Rn−k gilt:
M ∩ W = F−1(q)
Eine Abbildung H : W→W ′ wie in 1. heißt dann Untermannigfaltigkeitskarte
oder ein Flachmacher fur M . Man sagt auch, (W,H) ist Untermannigfaltigkeits-karte oder auch H ist Untermannigfaltigkeitskarte und W ist ein Untermannig-faltigkeitsgebiet.
Beweis der Aquivalenz:
1. ⇒ 2.:
Sei (W,H) eine Untermannigfaltigkeitskarte.
10 FLACHEN 67
Dann ist F : W→Rn−k, x 7→ prn−kH(x), wobei prn−k : W ′→Rn−k
die Projektion auf die letzten n− k-Komponenten ist.
Damit ist F−1( 0︸︷︷︸
∈ Rn−k
) = W ∩M .
2. ⇒ 1.:
9.9 und Vertauschen der ersten k mit den letzten (n−k)-Komponenten.2
Wichtigste Moglichkeit, um nachzuweisen, dass M ⊆ Rn eine Flache ist: 10.2.
10.2 Korollar (Satz vom regularen Wert)
Ist F : Rn→R
n−k, q ∈ Rn−k regularer Wert von F , so ist F−1(q) ⊆ R
n einek-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn.
10.3 Beispiele
10.3.1 Beispiel 1
Sn =
x ∈ Rn+1 | ||x||2 = 1
⊆ Rn+1
ist eine n-dimensionale Flache: Sei F : Rn+1→R, x 7→ ||x||2. Dann ist grad(F (x)) =
2x. Sn = F−1(1). 1 ist regularer Wert von F , denn
grad(F (x)) = 0 ⇔ x = 0 und 0 6∈ F−1(1)
10.3.2 Beispiel 2
(x, y) ∈ R | x = 0 oder y = 0ist keine Untermannigfaltigkeit des R2.
10 FLACHEN 68
10.4 Definition (des (Untermannigfaltigkeits-)altas’, derProjektion, der Karte und des Kartenwechsels)
1. SeiM ⊆ Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Eine Familie (Wλ, Hλ)λ ∈ Λ
von Untermannigfaltigkeiten heißt Untermannigfaltigkeitsatlas, falls esM ⊆ ⋃
λ ∈ Λ
(Wλ)
gibt.
2. Sei (W,H) eine Untermannigfaltigkeitskarte fur M , so heißt h : U→ U ′︸︷︷︸
⊆ Rk
,
wobei U = W ∩M , h := prkH |U , prk die Projektion auf die ersten k-Komponenten, eine Karte fur M .
Wir schreiben auch (U, h) ist Karte fur M oder h : U→U ′ ist Karte furM .
Dabei istU ′ = h(U) = prk((R
k×0) ∩ W ′) ⊆off Rk
(prk ist hier die Projektion auf die ersten k Komponenten). Ein Atlas fureine Untermannigfaltigkeit M ist eine Familie von Karten (Uλ, hλ)λ ∈ Λ
so, dass M =⋃
λ ∈ Λ
(Uλ).
10 FLACHEN 69
3. Sind (U1, h1) und (U2, h2) Karten fur M , U := U1 ∩ U2 6= ∅.
Dann heißth2h−1
1 |h1(U) : h1(U)→h2(U)
der Kartenwechsel zwischen h1 und h2.
10.5 Bemerkung (Differentierbarkeit von Karten)
Karten haben eine anschaulichere Bedeutung als Untermannigfaltigkeitskarten,aber Vorsicht: Es ist nicht moglich (bisher!), zu definieren, wann
h : U︸︷︷︸
⊆ M
→ U ′︸︷︷︸
⊆ Rk
differentierbar ist.Z.B. ist M = (x, |x|) | x ∈ R nach unserer Definition keine Untermannig-
faltigkeit, aber h : M→R, (x, |x|)→x ist bijektiv und stetig.
10.6 Notiz
Ist M eine Untermannigfaltigkeit, (U1, h1) und (U2, h2) Karten, so ist der Kar-tenwechsel
h1(U)︸ ︷︷ ︸
⊆ Rk
→h2(U)︸ ︷︷ ︸
⊆ Rk
ein Diffeomorphismus. Dabei ist U = U1 ∩ U2, denn
h2h−11 = prkH2H−1
1 iwobei i : h1(U)→W ′
1 die Inklusion und
U1 = W1 ∩Mh1 = H1|U1(???)
W ′1 = H1(W1)
10 FLACHEN 70
10.7 Beispiele
10.7.1 Beispiel 1
Sei f : Rn→R differentierbar.
Γ(f) := (x, f(x)) | x ∈ Rn ⊆ R
n+1
ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn+1.
⊲ Untermannigfaltigkeitsatlas: W = Rn+1, H : (x, y)
︸ ︷︷ ︸
Rn+1
7→ (x, y − f(x))︸ ︷︷ ︸
Rn+1
⊲ Atlas: U = Γ(f), h : (x, f(x)) 7→ x
Ausnahmefall : es genugt hier eine Untermannigfaltigkeitskarte.
10.7.2 Beispiel 2
Sei M ⊆off Rn. Dann ist M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R
n.Wahle W = M , H = id.
10.7.3 Beispiel 3
Ist M = p1, p2, . . . ⊆ Rn eine abzahlbare Menge isolierter Punkte, so ist Meine 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R
n. Sei namlich Wj = Uǫj(pj) =x ∈ Rn | ||x− pj || < ǫ so, dass Wj ∩M = pj (existiert, da M aus isoliertenPunkten besteht).
Hj : Wj → W ′j = Uǫj (0)
x 7→ x− pjDann gilt:
⋃
j=1
(Wj) = M
10.7.4 Beispiel 4
M = S1 =
x ∈ R2 | ||x||2 = 1
ist Untermannigfaltigkeit nach 10.3.1. Unter-
mannigfaltigkeitskarten sind z.B. durch Polarkoordinaten gegeben.
W1 = R2\(x, y) ∈ R
2 | y = 0, x ≥ 0
W2 = R2\(x, y) ∈ R
2 | y = 0, x ≤ 0
10 FLACHEN 71
⇒ M ⊆W1 ∩W2 = R2\0
Erinnere:F : R
+×(0, 2π)︸ ︷︷ ︸
W ′1
→W1, (r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))
ist ein lokaler Diffeomorphismus.
F−1(S1 ∩ W1) = 1 ∩ (0, 2π)
SetzeH1 : W1→(0, 2π)×t ∈ R | t > −1 =: W ′
1
mitH−1
1 : (φ, t) 7→ ((t+ 1)·cos(φ), (t+ 1)·sin(φ))
AlsoH1( S1 ∩W1
︸ ︷︷ ︸
U1 := S1\1
) = (0, 2π)×0
(h1 : S1\0→(0, 2π), (cos(φ), sin(φ))←[ φ)
H1 : W1 → W ′1
(x, y) 7→
(arccos1(x√x2+y2
),√
x2 + y2 − 1) y ≥ 0
(arccos2(x√x2+y2
),√
x2 + y2 − 1) y ≤ 0
10 FLACHEN 72
mit
arccos1 := (cos|[0, π])−1
arccos2 := (cos|[π, 2π])−1
Nun
H2 : W2 → W ′2 = (−π, π)×t ∈ R | t > −1
((t+ 1)·cos(φ), (t+ 1)·sin(φ)) ←[ (φ, t)
Kartenwechsel:
h2h−11 : (0, 2π)\π → (−π, π)\0
φ 7→
φ φ < π
φ− 2π φ > π
h1(U1 ∩ U2) = (0, 2π)\πh2(U1 ∩ U2) = (−π, π)\0
10.7.5 Beispiel 5
E =
(x, y, z) ∈ R3 | x
2
a2+y2
b2+z2
c2= 1
, a, b, c > 0
10 FLACHEN 73
Ellipsoid (offen Zwecks besserer Erkennbarkeit)
Karten analog wie fur S2. E ist Untermannigfaltigkeit: E = F−1(1)
F : R3→R, (x, y, z) 7→ x2
a2+y2
b2+z2
c2
Jacobi-matrix:
JF (x, y, z) = (2x
a2,2y
b2,2z
c2) 6= 0 ⇔ (x, y, z) 6= 0
Aber (0, 0, 0) 6∈ E. Also besteht E nur aus regularen Punkten von F , F ist also2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R3.
10.7.6 Beispiel 6
O(n) :=A ∈ GL(n,R) | TA·A = 1
O(n) ist eine n(n−1)2 -dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn
2
= M(n×n,R).
F : M(n×n,R) → Sym(n×n,R) =B ∈M(n×n,R) | TB = B
A 7→ TA·AdFA(X)︸ ︷︷ ︸
JF (AX)
=d
dt|t=0
T (A+ tX)·(A+ tX) =T X ·A+T A·X
⊲ Ist 1 regularer Wert von F .
⊲ Ist fur alle A ∈ F−1(1) = O(n) dann dFA surjektiv?
Sei B ∈ Sym(n×n,R), also B = B+TB2 . Setze X = 1
2 ·A·B. Dann ist
dFA(X) =1
2(TB TAA
︸ ︷︷ ︸
=1, da A ∈ O(n)
+T AAB) =1
2(TB +B) = B
10 FLACHEN 74
⇒ dFA ist surjektiv fur alle A ∈ O(n)
⇒ 1 ist regularer Wert
⇒ O(n) ist n2− n(n+1)2 = 1
2n(n−1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von
M(n×n,R) = Rn2
.
Beispiele 3.-5. zeigen, dass es oft leichter ist, H−1 bzw. h−1 alsH anzugeben.Im Folgenden werden wir ein Kriterium suchen, dass erlaubt, nachzuweisen, dassM eine Untermannigfaltigkeit ist, falls nur h−1 bekannt ist.
10.8 Definition (der lokalen Parametrisierung)
Ist M ⊆ Rn eine k-dimensionale Flache, (W,H) eine Untermannigfaltigkeits-karte, (U, h) die dadurch gegebene Karte h : (U = W ∩M)→U ′ ⊆ Rk. Dannheißt
φ := h−1 : U ′→U ⊆ Rn
die durch h gegebene lokale Parametrisierung von M (oder von U ⊆M).
10.9 Beispiel
φ : (0, 2π)→S1 ⊆ R2, t 7→ (cos(t), sin(t))
ist eine lokale Parametrisierung von S1\1.
10.10 Notiz (Aussagen uber lokale Parametrisierungen)
Fur jede lokale Parametrisierung gilt:
1. φ : U ′→Rn ist injektiv und φ(U ′) ⊆off M , U ′ ⊆off Rn.
2. φ ist stetig, φ−1 ist stetig.
3. φ ist differentierbar und Jφ(x) ist injektiv; Vorsicht: φ−1 = h. Es ist nicht
sinnvoll (bisher!) uber Differentierbarkeit von φ−1 zu sprechen.
10 FLACHEN 75
10.11 Erinnerung
Zu finden in den Kapiteln (6.1 - 6.5), (9.1 - 9.5), (9.25) im Script”Margarita
Kraus - Mathematik fur Physiker I“.Sei U ⊆M ⊆ R. Dann heißt U offen in M
⇔ ∀x ∈ U
∃ǫ>0
UMǫ (x) := x′ ∈M | ||x′ − x|| < ǫ ⊆ U
z.B.[0, ǫ) ⊆ [0, 1] offen in [0, 1]
U ⊆M ist genau dann offen in M , wenn es eine offene Teilmenge W ⊆ Rn inRn gibt, so dass
U = W ∩Mz.B.
(−ǫ, ǫ) ⊆ R offen in R, (−ǫ, ǫ) ∩ [0, 1) = [0, ǫ)
Sind X,Y metrische Raume, z.B. X ⊆ Rn, Y ⊆ Rk. Dann heißt f : X→Ystetig an der Stelle x ∈ X , falls gilt:
∀ǫ>0∃δ>0
: f(Uδ(x)) ⊆ Uǫ(f(x))
Ist F : Rn→Rk stetig, so auch F |X .Warnung: Ist f : X→Y stetig und bijektiv, so ist nicht notwendig f−1 :
Y→X stetig, z.B.
φ : [0, 2π)→S1 ⊆ R2, t 7→ (cos(t), sin(t))
φ ist offenbar stetig und bijektiv. φ−1 ist”offenbar“ nicht stetig (Beweis nicht
so einfach).
10.12 Satz
Eine Teilmenge M ⊆ Rn ist genau dann eine k-dimensionale Untermannigfal-tigkeit, wenn fur jedes p ∈M eine offene Umgebung U ⊆M existiert und eineoffene Teilmenge U ′ ⊆ Rk existiert, so wie eine Bijektion φ : U ′→U so, dass gilt:
1. φ ist stetig
2. φ−1 ist stetig
10 FLACHEN 76
3. φ ist differentierbar
4. Jφ(x) hat Rang k fur alle x ∈ U ′
Beweis:
”⇒“:
10.10
”⇐“:
Angenommen, φ existiert.
Sei x = φ−1(p).
Sei A ∈ Hom(Rn−k,Rn) so, dass
(Jφ(x)︸ ︷︷ ︸
k
A︸︷︷︸
n−k
)
n ∈ GL(n,R) (moglicherweise wegen 4.)
Dann istΦ : U ′×R
n−k→Rn, (x′, y) 7→ φ(x′) +Ay
bei (x, 0) ein lokaler Diffeomorphismus.
Φ(x′, 0) = φ(x′) fur x′ ∈ U ′.
Sei W ′,W ⊆off Rn so, dass Φ|W ′ : W ′→W ein Diffeomorphismus istund (x, 0) ∈W ′.
Dann ist (mit M ∩W = U , da φ−1 stetig . . . ) H : W→W ′, H = Φ−1
die gesuchte Untermannigfaltigkeitskarte.
10.13 Bemerkung
1. Ein Beispiel fur φ : R→R3, das alle Bedingungen aus 10.12 bis auf φ−1
stetig erfullt, ist in den Ubungen gegeben. φ(R) ⊆ R3 ist dann keine Un-termannigfaltigkeit.
2. M =(x, y, z) ⊆ R3 | z = x2 − y2
:
φ : R2→R
3 , φ(x, y) = (x, y, x2 − y2)
φ(R2) = M
φ−1 : M→R2 , (x, y, z) 7→ (x, y)
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 77
11 Tangentialraum und Differential
Seien f : M→N , M , N Untermannigfaltigkeiten.
⊲ Wann ist f differentierbar?
⊲ Was ist das Differential / df ?
⊲ Wie bestimmt man Extrema? (N = R)
11.1 Definition und Notiz
Eine stetige Abbildung zwischen 2 Untermannigfaltigkeiten M und N heißtdifferentierbar an der Stelle p, wenn fur eine (und dann jede) Wahl von Karten(U, h), (V, k) um p und f(p) mit f(U) ⊆ V gilt, dass die Abbildung
f(h,k)
: U ′ → V ′
f(h,k)
(x) = kfh−1(x)
an der Stelle x = h(p) differentierbar ist.
f heißt differentierbar, wenn es an jeder Stelle p ∈M differentierbar ist. Sind(U, h), (V, k) weitere Karten um p, so ist
f(h,k)
= (kk−1)−1f (h,k)(hh−1) (23)
genau dann differentierbar an der Stelle h(p), wenn f(h,k)
differentierbar ander Stelle h(p) ist, da die Kartenwechsel kk−1 und hh−1 nach Abschnitt 10Diffeomorphismen sind.
11.2 Bemerkung
Damit sind insbesondere alle Karten differentierbare Abbildungen.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 78
11.3 Lemma
1. Ist f : M→Rm differentierbar bei p ∈M und M ⊆ R
n eine Unterman-nigfaltigkeit, so existiert eine offene Umgebung W von p in Rn und F :W→Rm differentiertbar bei p so, dass F |M ∩W = f |M ∩ W .
2. M ⊆W ⊆off Rn, F : W→Rm differentierbar, so ist auch F |M =: f :M→Rm differentierbar.
Beweis:
U.a.
Spezialfall von 1.: Sei f : M→Rm und M ⊆ Rn eine k-dimensionale Unterman-nigfaltigkeit. f ist differentierbar an der Stelle p ⇔ fφ differentierbar an derStelle h(p) fur jede lokale Parametrisierung φ um p.
11.4 Definition (des Diffeomorphismus’ und regularen Punkts/Werts)und Notiz
Seien M , N Untermannigfaltigkeiten von Rm und R
n, f : Mdiffb.−→N .
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 79
1. Eine Abbildung f : M→N heißt ein Diffeomorphismus, falls f bijektiv,differentierbar und f−1 differentierbar ist.
2. p ∈M heißt regularer Punkt, falls
(rg(f))(p) := rg(Jf
(h,k)(h(p))) = dim(N)
ist, wobei f(h,k)
wie in 11.1 gegeben. Sonst heißt p kritischer oder sin-gularer Punkt.
q ∈ N heißt regularer Wert, falls f−1(q) nur aus regularen Punkten be-steht. Diese Definitionen sind unabhangig von der Wahl der Karten h undk, wegen 23 in 11.1, da die Kartenwechsel jeweils Diffeomorphismen sind.
11.5 Korollar
Eine Familie (Uλ, hλ)λ ∈ Λ (Uλ ⊆M , hλ : Uλ→U ′λ, U
′λ ⊆off Rk, hλ ein Diffeo-
morphismus) ist genau dann ein Atlas fur eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit
M , wenn⋃
λ ∈ Λ
(Uλ) = M .
11.6 Korollar (Satz vom regularen Wert)
Seien M ⊆ Rm und N ⊆ Rn Untermannigfaltigkeiten der Dimension k und l,
f : Mdiffb.−→N . Sei q ∈ N regularer Wert von f , d.h.
rg(f(p)) = l fur alle p mit f(p) = q
Dann ist f−1(q) ⊆M eine k− l-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rm.
Beweis:
Wahle Karten (U, h) und (V, k) um p ∈M und q ∈ N .
Dann ist h(p) regularer Punkt von kfh−1 = f(h,k)
.
Damit folgt die Behauptung aus dem Satz vom regularen Punkt 9.9. 2
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 80
11.7 Definition (des Tangentialraums) und Lemma
Sei M eine k-dimensionale Flache im Rn, φ : U ′→U ⊆ R
n eine lokale Parame-trisierung um p ∈ U von M . Dann ist der Tangentialraum von M an der Stellep durch
T unterp (M) ≡ Tp(M) = Bild(Jφ(h(p)))
wobei h = φ−1, unabhangig von der Wahl der Parametrisierung um p wohldefi-niert. Tp(M) ist ein k-dimensionaler Vektorraum.
Beweis:
Tp(M) = Bild(Jφ(h(p)))
1.:
Tp(M) ist offenbar ein k-dimensionaler Vektorraum, da er Bild derinjektiven linearen Abbildung Jφ(h(p)) : Rk→Rn ist.
2.:
Seien φ : U ′→U und ψ : V ′→V 2 Parametrisierungen um p ∈MoBdA U = V (ansonsten ersetze U und V durch U ∩ V ).
Seien h = φ−1 und k = ψ−1 die zugehorigen Karten und ω = kφder Kartenwechsel zwischen h und k.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 81
Nach 10.6 ist ω ein Diffeomorphismus, also ψω = φ und dann
Bild(Jφ( x︸︷︷︸
∈ U ′
)) = Bild(Jψω(x))
Kettenregel︷︸︸︷= Bild(Jψ(ω(x))· Jω(x)
︸ ︷︷ ︸
∈ GL(k,R)
)
= Bild(Jψ(ω(x)))
Also fur x = h(p):
Bild(Jφ(h(p))) = Bild(Jψ(k(p)))
11.8 Definition (der (Koordinanten-)basis) und Notiz
Ist φ : U ′→U eine lokale Parametrisierung um φ(x) = p, so ist durch
∂1(p) = Jφ(x)·e1, . . . , ∂k(p) = Jφ(x)·ekeine Basis von Tp(M), die sogenannte
”(durch h = φ−1 gegebene) Koordinaten-
basis“ gegeben.
11.9 Beispiele
11.9.1 Beispiel 1
f : Rk→R differentierbar, Γ(f) =(x, f(x)) | x ∈ Rk
⊆ Rk+1.
Eine Parametrisierung von f ist durch φ : Rk→Rk+1, x 7→ (x, f(x)) gegeben.
Jφ(x) =
(1k×k k∂f∂x1
. . . ∂f∂xk
1
)
︸ ︷︷ ︸
k
Also ist eine Basis von Tp(M), p = (x0, f(x0)) durch
100...
∂f∂x1
(x0)
,
010...
∂f∂x2
(x0)
, . . . ,
0...01
∂f∂xk
(x0)
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 82
gegeben. Insbesondere fur k = 1:
(1
∂f∂x(x0)
)
11.9.2 Beispiel 2
M = S1, φ : (0, 2π)→S1\ 1︸︷︷︸
(1,0)
, t 7→T (cos(t), sin(t)). Sei p ∈ S1\1, p = (cos(t0), sin(t0)).
Dann ist Jφ(t0) =
(−sin(t0)cos(t0)
)
. ⇒ Tp(S1) = R·
(−sin(t0)cos(t0)
)
.
11.10 Satz
Es gilt: Tp(M) = γ(0) | γ : (−ǫ, ǫ)→M differentierbar, γ(0) = p (Vorteil: Be-schreibung unabhangig von φ).
Beweis:
”⊆“:
Sei v ∈ Tp(M).
Dann existiert ein v′ ∈ Rk mit Jφ(h(0))v′ = v.
Sei γ(t) = φ(h(p) + tv′).
Dann ist γ(0) = p und γ(0) = Jφ(h(p))(v′) = v.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 83
”⊇“:
Sei γ : (−ǫ, ǫ)→M .
Sei v′ := ddt |t=0(kγ).
Dann ist
γ(0) =d
dt|t=0(φhγ)
= Jφ(h(γ(0)))d
dt|t=0(hγ)
︸ ︷︷ ︸
v′
⇒ γ(0) ∈ Tp(M).
11.11 Definition (der reprasentativen Kurve)
Ist γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = v, so heißt γ eine reprasentative Kurve. Manschreibt auch v = [γ]. Vorsicht : γ nicht eindeutig durch v bestimmt.
11.12 Beispiel
X ∈ so(n) =A ∈M(n×n,R) | TA = −A
⇒ γ : R→O(n), γ(t) = etX ist eine differentierbare Kurve mit γ(0) = 1.γ(t) ∈ O(n), denn
T (etX) = etTX = e−tX
⇒ T (etX)·etX = e−tX+tX = 1⇒ etX ∈ O(n) fur alle t. γ(0) = X und dim(so(n)) =12n(n− 1) = dim(O(n)). ⇒ T1(O(n)) = so(n)
Jetzt: 3. Moglichkeit, um Tp(M) zu berechnen.
11.13 Satz (Tangentialraum aus der Koordinantengleichung)
Sei ψ : Rndiffb.−→Rn−k, q ∈ Rn−k regularer Wert, M = ψ−1(q), p ∈M . Dann ist
Tp(M) = kern(Jψ(p))
= span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k))⊥
wobei ψ =
ψ1
...ψn−k
, also ψi : R
n→R und fur einen Untervektorraum V ⊆ Rn
ist V ⊥ := w ∈ Rn | 〈v |w〉 = 0 fur alle v ∈ V .Beweis:
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 84
Sei v ∈ Tp(M).
Dann gibt es γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = p, γ(0) = v.
Es ist ψ(γ(t)︸︷︷︸
∈ M
) = q fur alle t ∈ (−ǫ, ǫ).
⇒ Jψ(p)(γ(0)︸︷︷︸
=v
) = 0,
⇒ Tp(M) ⊆ kern(Jψ(p)).
⇒ Tp(M) = kern(Jψ(p)), da beide Vektorraume der Dimension k (bzw.(n− (n− k))) sind.
Es ist Jψ(p) =
T grad(ψ1)...
T grad(ψn−k)
.
Also
v ∈ kern(Jψ(p)) ⇔ 〈gradp(φi) |v〉 = 0 fur alle i ∈ 1, . . . , n− k⇔ v ∈ span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k))⊥2
11.14 Beispiele
11.14.1 Beispiel 1
M = Sn = ψ−1(1), ψ : Rn+1→R, ψ(x) = ||x||2. grad(ψ) = 2x, Tp(S
n) = (Rp)⊥.
Z.B. p =
(1√2
1√2
)
⇒ Tp(S1) = R·
(1√2
− 1√2
)
.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 85
11.14.2 Beispiel 2
M = O(n). Erinnerung:
O(n) =A ∈ GL(n,R) | TA = ATA = 1
SO(n) = A ∈ O(n) | det(A) = 1so(n) =
A ∈M(n×n,R) | TA+A = 0
Bereits gezeigt:
⊲ M = F−1(1), wobei
⊲ F : M(n×n,R)→Sym(n×n,R), A 7→T AA
⊲ dFA(X) =T AX +T XA (10.7.6)
In 11.12 T1(O(n)) = so(n) mittels T1(O(n)) = γ(0) | . . . berechnet. Zeigejetzt das selbe Ergebnis mit 11.13.
T1(O(n)) = kern(dF1) mit dF1(X) = X +T X
= so(n)
11.15 Definition (des Normalen(einheits)felds)
Sei M ⊆ Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Unter einen (stetigem/ differentierbaren) Normalenfeld N auf M versteht man eine (stetige / diffe-
rentierba) Abbildung N : M→Rn mit N(x) ∈ Tx(M)⊥. N heißt Normalenein-
heitsfeld, falls ||N(x)|| = 1 fur alle x ∈M gilt.
11.16 Beispiel
Ist ψ : Rndiffb.−→Rn−k, q ∈ Rn−k regularer Wert, M = ψ−1(q), dann sind durch
Ni(x) =grad(ψi(x))
||grad(ψi(x))||, x ∈M, i = 1, . . . , n− k
differentierbare Normaleneinheitsfelder gegeben. Z.B. M = Sn:
Dann ist N(x) = x ein differentierbares Normaleneinheitsfeld auf Sn.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 86
11.17 Definition (der Orientierbarkeit)
Eine (n−1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn heißt orientierbar, falls
es ein stetiges Normaleneinheitsfeld auf M gibt.
11.18 Notiz (der Orientierung, Orientierungs -erhaltungund -umkehrung)
Auf einer zusammenhangenden orientierbaren (n−1)-dimensionalen Unterman-nigfaltigkeit von Rn gibt es genau 2 verschiedene stetige Normaleneinheitsfelder.
11.19 Definition
Ein stetiges Normaleneinheitsfeld N auf einer (n−1)-dimensionalen Unterman-nigfaltigkeit des Rn heißt Orientierung auf M . M zusammen mit N heißt danneine orientierte Untermannigfaltigkeit. Eine Basis (v1, . . . , vn−1) von Tx(M)heißt positiv orientiert, falls (N(x), v1, . . . , vn−1) positiv orientiert in Rn ist,d.h., falls det(N(x), v1, . . . , vn−1) > 0 ist.
Eine Karte (U, h) einer orientierten Untermannigfaltigkeit heißt orientie-
rungserhaltend, falls die durch h gegebene Koordinatenbasis positiv orientiertist, andernfalls heißt die Basis negativ orientiert und (U, h) orientierungsum-
kehrend.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 87
11.20 Beispiele
11.20.1 Beispiel 1
Ist M = ψ−1(0), 0 regularer Wert von ψ : Rn→R, so ist M orientierbar und
durch
N(x) =grad(ψ(x))
||grad(ψ(x))||ist eine Orientierung auf M gegeben.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 88
N(
(cos(t)sin(t)
)
) =
(cos(t)sin(t)
)
Positiv orientierte Basis von T0
@
cos(t)sin(t)
1
A
(S1):
(−sin(t)cos(t)
)
.
11.20.2 Beispiel 2 - Mobiusband
Nicht orientierbar: z.B. Mobiusband (vgl. U.a.), hier aus 3 Perspektiven:
-3-2
-10
12
3 -3-2
-10
12
3-2
-1
0
1
2
z
Mobius Band
-3-2
-10
12
3 -3-2
-10
12
3-2
-1
0
1
2
z
Mobius Band
x y
z
Mobius Bandhypothetisches NEF
x y
z
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 89
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3-2-10123
-2
-1
0
1
2
z
Mobius Band
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3-2-10123
-2
-1
0
1
2
z
Mobius Band
x
y
z
Mobius Bandhypothetisches NEF
x
y
z
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
3-2
-1
0
1
2
z
Mobius Band
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
3-2
-1
0
1
2
z
Mobius Band
xy
z
Mobius Bandhypothetisches NEF
xy
z
11.21 Definition und Notiz
Ist f : M1diffb.−→M2 eine Abbildung zwischen 2 differentierbaren Untermannigfal-
tigkeiten, dann ist fur x ∈M
dfx : Tx(M1) → Tf(x)(M2)
[γ] 7→ d
dt|t=0(fγ)
eine lineare Abbildung wohldefiniert. Dabei ist γ : (−ǫ, ǫ)diffb.−→M1, γ(0) = x
wohldefiniert und Linearitat folgt aus 11.22.
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 90
11.22 Notiz
Ist F : Wdiffb.−→Rm, W ⊆off Rn, sind M1 ⊆ Rn, M2 ⊆ Rm Untermannigfaltigkei-
ten und ist F |W ∩M1 = f . Dann ist fur v ∈ Tx(M)
dfx(v) = dFx(v), x ∈ W ∩M1
alsodfx = dFx|Tx(M1)
Beweis:
Ist v ∈ Tp(M), v = γ(0).
Dann ist JF (p)(v) = ddt |t=0(Fγ) = d
dt |t=0(fγ) = dfp(v).
11.23 Korollar (Kettenregel)
Ist f : Mdiffb.−→N , g : N
diffb.−→L, so ist gf : Mdiffb.−→L und
d(gf)p = d(g)f(p)d(f)p
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 91
11.24 Definition (der Orientierungserhaltung von Diffeo-morphismen)
Ein Diffeomorphismus f : M1→M2 zwischen orientierten k-dimensionalen Flachenim Rk+1 heißt orientierungserhaltend, wenn fur eine (dann jede) positiv orien-tierte Basis v1, . . . , vk von Tp(M1) gilt: (dfp(v1), . . . , dfp(vn)) ist eine positivorientierte Basis von Tf(p)(M2) fur alle p ∈M1.
11.25 Spezialfall
Sei M ⊆off Rn, also eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R
n. Dannfolgt Tp(M) = Rn, da eine Karte von M durch (U, h) mit U = M , h = id
gegeben ist. Dann ist dfp : Rnlin.−→Rn, dfp = Jf (p).
11.26 Notiz (orientierungserhaltene Karte und orientie-rungsdefiniertes Normaleneinheitsfeld)
Sei M eine orientierte 2-dimensionale Flache im R2+1, (U, h) eine orientierungs-erhaltene Karte, d.h. h : U
︸︷︷︸
⊆ M
→ U ′︸︷︷︸
⊆ R2
ist orientierungserhaltend. Dann ist das
orientierungsdefinierte Normaleneinheitsfeld auf U durch
N(p) =
∂φ∂x1
(h(p))× ∂φ∂x2
(h(p))
|| ∂φ∂x1(h(p))× ∂φ
∂x2(h(p))||
=∂1φ×∂2φ
||∂1φ×∂2φ||gegeben, denn
det(u×v, u, v︸ ︷︷ ︸
=||u×v||2
) > 02
11.27 Notiz (kritische Punkte)
Ist f : Mdiffb.−→R und hat f an der Stelle p ein lokales Extremum, so hat fur
jede Kurve γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = p dann fγ an der Stelle 0 ein lokalesExtremum, also
d
dt|t=0fγ = 0 ⇔ dfp(γ(0)) = 0
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 92
also ist danndfp ≡ 0
Beachte: dfp : Tp(M)lin.−→R, also dfp = 0 ⇔ p kritischer Punkt von f .
11.28 Korollar (kritischer Punkt)
IstM ⊆W ⊆off Rn,M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, F : Wdiffb.−→R,
so hat f = F |M genau dann einen kritischen Punkt bei p ∈M , wenn
Tp(M) ⊆ kern(JF (p))
dadfp = JF (p)|Tp(M)
11.29 Korollar (kritischer Punkt und Lagrange-Multiplikatoren)
Ist W ⊆off Rn, ψ : W→Rn−k, c ∈ Rn−k regularer Wert, M = ψ−1(c) also eine
k-dimensionale Flache. Sei F : Wdiffb.−→R. Dann gilt fur p ∈M :
p ist kritischer Punkt von f = F |M ⇔
∃λ1,...,λn−k ∈ R
: gradp(F ) =n−k∑
i=1
(λi·gradp(ψi)).
Dabei ist ψ =
ψ1
...ψn−k
. λ1, . . . , λn−k heißen Lagrange Multiplikatoren.
Beweis:
Nach 11.13 ist Tp(M) = (span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k)))⊥.
Also p ∈M kritischer Punkt von F |M11.28⇐⇒ (span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k)))⊥ ⊆ (R·gradp(F ))⊥
⇔ gradp(F ) ∈ span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k))2
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 93
11.30 Beispiel
Welcher Punkt aus E =x2 + (y2 )2 + ( z3 )2 = 1 | x, y, z ∈ R
hat von Punkt
001
den kleinsten Abstand?
(n = 3, k = 2, n− k = 1)
E = ψ−1(1).
ψ(
x
y
z
) = x2 + (y
2)2 + (
z
3)2 (24)
also
grad(ψ) =
2xy22z9
Der Abstand von
x
y
z
zum Punkt
001
ist durch√
x2 + y2 + (z − 1)2 gegeben.
Wir suchen daher das Minimum von
F : R3→R,
x
y
z
7→ x2 + y2 + (z − 1)2
Es ist
grad(F ) =
2x2y
2(z − 1)
Gesucht sind also Losungen von
2x = λ·2x (25)
2y = λ·y2
(26)
2(z − 1) = λ·2z9
(27)
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 94
1. 1. Fall: x 6= 0.25=⇒ λ = 1
26,27=⇒ y = 0
z =9
8
24=⇒ x = ±
√
1− (3
8)2
F (x, y, z) = 78
2. 2. Fall: x = 0, y 6= 0.
26=⇒ λ = 4
27=⇒ z =
9
5
24=⇒ y = ±2·
√
1− (3
5)2
F (x, y, z) = 165
3. 3. Fall: x = 0, y = 0.24=⇒ z = ±3
F (x, y, z) =
416
Also hat F bei (±√
1− (38 )2, 0, 9
8 ) die Minima.
11.31 Weitere Anwendungen der Lagrange Multiplikato-ren
Ist B ⊆ Rn eine abgeschlossene Teilmenge, ∂B ⊆ Rn eine (n− 1)-dimensionaleUntermannigfaltigkeit. Suche lokale Extrema von F : B→R! Teile das Problemauf: Suche
1. lokale Extrema von F |B\∂B︸ ︷︷ ︸
⊆off Rn
.
2. lokale Extrema von F |∂B.
Beispiel:B = D2 =(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1
, ∂B = S1 =
(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1
.
Betrachte F :
(x
y
)
7→ x2 − y2. Es ist
grad0
@
x
y
1
A
(F ) =
(2x−2y
)
11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 95
⇒ F |(B\∂B) hat bei
(00
)
kritischen Punkt, F (
(00
)
) =
(00
)
. Suche jetzt lokale
Extrema von F |S1.
S1 = ψ−1(1), ψ(
(x
y
)
) = x2 + y2 (28)
Es ist
grad0
@
x
y
1
A
(ψ) =
(2x2y
)
Gesucht ist also Losung
2x = λ·2x (29)
−2y = λ·2y (30)
1. 1. Fall: x 6= 0.29=⇒ λ = 1
30=⇒ y = 0
28=⇒ x = ±1
F (
(±10
)
) = 1
2. 2. Fall: x = 028=⇒ y = ±1
F (
(0±1
)
) = −1
F |D2 hat bei
⊲ (±1, 0) Maxima
⊲ (0,±1) Minima
⊲ (0, 0) Sattelpunkt
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 96
12 Integration auf Flachen
12.1 Erinnerung und Definition
Eine Teilmenge Ω ⊆ Rn heißt stetig berandet, wenn es stetige Funktionen ai, biso gibt, dass Ω durch
Ω =
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn |
a0 ≤ x1 ≤ b0a1(x1) ≤ x2 ≤ b1(x1)
...an−1(x1, . . . , xn−1) ≤ xn ≤ bn−1(x1, . . . , xn−1)
gegeben ist.
12.2 Beispiele
12.2.1 Beispiel 1
D2 =
(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1,−
√
1− x2 ≤ y ≤√
1− x2
12.2.2 Beispiel 2
D3 =(x, y, z) ∈ R
3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1
=
(x, y, z) ∈ R3 |
−1 ≤ x ≤ 1
−√
1− x2
︸ ︷︷ ︸
a1
≤ y ≤√
1− x2
︸ ︷︷ ︸
b1
−√
1− x2 − y2
︸ ︷︷ ︸
a2
≤ z ≤√
1− x2 − y2
︸ ︷︷ ︸
b2
Fuhre damit die Integration in mehreren Variablen zuruck auf die Integrationin einer Variablen: siehe 12.3.
12.3 Satz (Integration uber berandete Gebiete)
Sei Ω ⊆ Rn ein stetig berandetes Gebiet, ai, bi wie in 12.1. Sei f : Ω→R stetig,dann gilt:
∫
Ω
(f(x)) dnx =
b0∫
a0
(
b1(x1)∫
a1(x1)
(. . . (
bn−1(x1,...,xn−1)∫
an−1(x1,...,xn−1)
(f(x1, . . . , xn)) dxn) . . .) dx2) dx1
Dies ist unabhangig von der Beschreibung von Ω (”Satz von Fubini“).
12.4 Beispiel
Sei Ω =(x, y) ∈ D2 | y ≥ 0
, f(x, y) = x2y.
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 97
∫
Ω
(f(x, y)) dx, y =
1∫
−1
(
√1−x2∫
0
(x2y) dy) dx
=1
2
1∫
−1
(x2[y2]√
1−x2
0 ) dx
=1
2
1∫
−1
(x2·(1 − x2)) dx
=1
2[1
3x3 − 1
5x5]1−1
=1
3− 1
5
=2
15
Frage: Wie andert sich vol(Ω) einer Menge bei Diffeomorphismen Φ, d.h., wasist vol(Φ(M)) ?
Die Antwort gibt die Transformationsformel. Dazu erst einige Vorbemerkungen:
12.5 Erinnerung
12.5.1 Spatvolumen in 3 und n Dimensionen
Was ist das Volumen des von n Vektoren v1, . . . , vn ∈ Rn aufgespannten Spats
n∑
i=1
(λivi) | 0 ≤ λi ≤ 1
?
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 98
Im 3-dimensionalen gilt:
vol(v1, v2, v3) = 〈v1 |v2×v3〉 = |det(v1, v2, v3)|
Allgemein gilt:vol(v1, . . . , vn) = |det(v1, . . . , vn)|
(Denn vol(. . .) soll erfullen:
1. vol(e1, . . . , en) = 1
2. vol(v1, . . . , λvi, . . . , vn) = |λ|·vol(v1, . . . , vi, . . . , vn)
3. vol(v1 + vi, v2, . . . , vi, . . . , vn) = vol(v1, . . . , vn)
Dies sind genau die Eigenschaften (bis auf | |), durch welche det(. . .) definiertist.) Beispiel:
1. v1 =
(10
)
, v2 =
(02
)
→ vol(v1, v2) = 2 = det(
(1 00 2
)
).
2. v1 =
(10
)
, v2 =
(λ
2
)
→ vol(v1, v2) = 2 = det(
(1 λ
0 2
)
).
12.5.2 Verhalten von Spatvolumen unter linearen Abbildungen
Ist A : Rnlin.−→Rn, Aei = vi, Q = [0, 1]n, dann ist
vol(A(Q))
1.︷︸︸︷= |det(v1, . . . , vn)| = |det(A)| = |det(A)|·vol(Q)
Allgemein zeigt man durch ahnliche Argumente wie in 1.: Ist S ⊆ Rn ein Spat,
A : Rnlin.−→Rn, so ist
vol(A(S)) = |det(A)|·vol(S)
Beweis:
Lineare Algebra
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 99
12.5.3 Verallgemeinerung von Spatvolumen
Ist M ⊆ Rn.
Dann ist:vol(A(M)) = |det(A)|·vol(M)
Beweis:
Argumentation uber Verfeinerung einer Zerlegung von M in Quader.
12.5.4 Erinnerung
Φ : Rn→Rn an der Stelle x wird in der 1. Ordnung durch JΦ(x) ∈ Hom(Rn,Rn)approximiert, d.h.
Φ(x+ h) = Φ(x)︸ ︷︷ ︸
Translation
+ JΦ(x)h︸ ︷︷ ︸
linear
+ φ(h), limh→0
(φ(h)
||h|| ) = 0
12.6 Satz (Transformationsformel)
Sei Φ : Ω→Ω′ ein Diffeomorphismus, Ω ⊆ Rn, B ⊆ Ω, Φ(B) = B′ ⊆ Ω′ ⊆ Rn,f : B′→R integrierbar. Dann ist fΦ·|det(JΦ)| : B→R integrierbar und
∫
B′
(f(x′)) dx′ =
∫
B
((fΦ)·|JΦ(x)|) dnx
Insbesondere fur f ≡ 1:
vol(B′) =
∫
B
(|JΦ(x)|) dnx
wobei |A| = |det(A)|. 2
12.7 Korollar
Ist Φ : Ωlin.−→Ω′, dann ist JΦ(x) = Φ, also
∫
B′
(f(x′)) dx′ = |Φ|·∫
B
(fΦ) dx′
und insbesondere fur f ≡ 1:
vol(B′) = |Φ|·vol(B)
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 100
12.8 Beispiel
B′ =(x, y) ∈ R
2 | r21 ≤ x2 + y2 ≤ r22 , y ≥ 0, x ≥ 0
Φ : (r1, r2)×(0,π
2) → B′
(r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))
|JΦ(r, φ)| = r
vol(B) =
r2∫
r1
(
π2∫
0
(r) dφ) dr
=π
2·[ 1
2r2]r2r1
=π
4·(r22 − r21)
f : B′→R, f(x, y) =√
x2 + y2 ⇒ (fφ)(r, φ) = r.
∫
B′
(f(x′)) dx′ =
r2∫
r1
(
π2∫
0
(r2) dφ) dr
=π
3·2 ·[r3]r2r1
=π
6·(r32 − r31)
12.9 Definition (der Nullmenge)
N ⊆ Rn heißt eine Nullmenge der Dimension n, falls fur jedes f : N→R
∫
N
(f) dnx = 0
gilt. Man sagt auch, N hat das n-dimensionale Volumen 0.
12.10 Beispiel
[0, 1] ⊆ R hat das 1-dimensionale Volumen 1 (= Lange), aber [0, 1] ⊆ R2 (ge-nauer: [0, 1]×0 ⊆ R2) hat das 2-dimensionale Volumen 0, also ist [0, 1] ⊆ R2
eine 2-dimensionale Nullmenge.
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 101
12.11 Notiz (Aussagen uber Nullmengen)
1. Rm×⊆ R
n−m
︷︸︸︷
0 ⊆ Rn ist eine n-dimensionale Nullmenge fur m < n.
2. Ist M ⊆ Rn eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, m < n, so ist Meine Nullmenge in Rn (Beweis mittels Karten und Transformationsformel).
3. Jede endliche Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge.
12.12 Notiz (Integration uber Nullmengen)
IstN ⊆ B eine Nullmenge, f : B→R, f : B→R zwei Funktionen mit f |(B\N ) =f |(B\N ). Dann ist
∫
B
(f) dnx =
∫
B
(f) dnx =
∫
B\N
(f) dnx =
∫
B\N
(f) dnx
Integration uber Flachen, z.B.: S1 =x ∈ R
2 | ||x|| = 1
ist eine 2-dimensionaleNullmenge;
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 102
Flacheninhalt ist nicht mit Transformationsformel und Parametrisierung φ :U ′︸︷︷︸
⊆ Rk
→U ⊆M ⊆ Rn zu berechnen: Jφ(x) ∈ Hom(Rk,Rn), also det(Jφ(x)) nicht
definiert!Was ist das Volumen des von (∂1(x), . . . , ∂k(x)) aufgespannten Spats in
Tx(M)? Z.B. k = 2, n = 3 → Berechne det(∂1(x), ∂2(x),∂1×∂2||∂1×∂2||︸ ︷︷ ︸
∈ Tx(M)⊥
).
12.13 Notiz
Ist v1, . . . , vk eine Orthonormalbasis von Tp(M), A ∈ End(Tp(M)) durch Avi =∂i gegeben, so ist
vol(∂1, . . . , ∂k) = |det(A)|(∗)︷︸︸︷= (det(gij))
12
wobeigij = 〈∂i |∂j〉
Beweis von (*):
gij = 〈∂i |∂j〉= 〈Avi |Avj〉= 〈vi |TAAvj〉
⇒ det((gij)) = det(TAA) = det(A)2 2
12.14 Definition (der Gramschen Determinante/Matrix bzw.1. Fundamentalform)
g = det(gij) heißt Gramsche Determinante, (gij) heißt entweder Gramsche Ma-
trix oder 1. Fundamentalform. Will man kenntlich machen, bezuglich welcher
Karte die Gramsche Matrix bestimmt wird, schreibt man auch g(φ) bzw. g(φ)ij .
(Erinnerung: ∂i = Jφ(h(x))(ei))
12.15 Beispiel
Sei U ⊆ Rk, f : U→R eine C∞-Funktion, Γ(f) = (x, f(x)) | x ∈ U, φ :
U→Rk+1, x 7→ (x, f(x)). Dann ist
∂i =
(ei
∂if(x)
)
, ei =
01
02
...1i...
0k
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 103
Dann ist〈∂i |∂j〉 = δij + (∂xif)·(∂xjf)
Fallbetrachtung:
⊲ k = 1 → g11 = 1 + f ′2.
⊲ k = 2 →(gij) =
(1 + (∂xf)2 ∂xf ·∂yf∂xf ·∂yf 1 + (∂yf)2
)
undg = 1 + (∂xf)2 + (∂yf)2
12.16 Satz und Definition
1. Ist M ⊆ Rn eine Flache, f : M→R eine Funktion, φ : U ′→U eine lokaleParametrisierung und fφ·√g integrierbar uber U ′, dann ist
∫
U ′
(fφ·√g) dkx =:
∫
U
(f) dµ
unabhangig von der Wahl der Parametrisierung wohldefiniert. Ist M eineUntermannigfaltigkeit der Dimension
⊲ 3, so schreibt man statt dµ = dV .
⊲ 2, so schreibt man statt dµ = dF .
⊲ 1, so schreibt man statt dµ = ds.
2. Ist A ⊆ U , so ist∫
A
(f) dµ :=
∫
U
(f) dµ
wobei
f(x) =
f(x) x ∈ A
0 sonst
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 104
3. Ist M = ˙⋃
i ∈ N
(Ai) (d.h. Ai ∩ Aj = ∅), Ai ⊆ Ui, Ui Kartengebiet, φi :
U ′i→Ui Parametrisierung. Existiert fur jedes i das Integral
∫
Ai
(|f |) dµ und
ist∞∑
i=1
(∫
Ai
(|f |) dµ) <∞, dann ist
∫
M
(f) dµ =∞∑
i=1
(
∫
A
(f) dµ)
wohldefiniert, d.h. unabhangig von der Wahl der ZerlegungM = ˙⋃
i ∈ N
(Ai).
4. N ⊆M heißt Nullmenge, falls∫
N
(f) dµ = 0
fur alle f : N→R.
Beweis (der Wohldefiniertheit in 1.):
Ist φ : U ′→U eine weitere Parametrisierung von U , also φ = φω, wobeiω = φ−1φ der Kartenwechsel, also ein Diffeomorphismus ω : U ′
︸︷︷︸
⊆off Rk
→ U ′︸︷︷︸
⊆off Rk
ist.
Sei g = g(φ) die zu φ gehorige Gramsche Determinante, (gij) = 〈∂i |∂j〉die zugehorige 1. Fundamentalform.
Dann ist
gij(x) = 〈Jφ(h(x))ei |Jφ(h(x))ej〉= 〈Jφ(h(x))Jω(h(x))ei |Jφ(h(x))Jω(h(x))ej〉
⇒g = det((gij))
= (det(TJφ)(Jφ))·(det(Jω(h(x))))2
= g(det(Jω(h(x)))2)
⇒ fφ·√g = fφω·√g·|det(Jω)|.Transformationsformel
=⇒∫
U ′
(fφ·√
g) dkx =
∫
ω(U ′)︸ ︷︷ ︸
=U′
(fφ·√g) dkx2
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 105
12.17 Bemerkung
1. Wir lassen den Beweis von 12.16 hier aus, vgl. z.B. Klaus, Janich:”Vektor-
analysis“. Anwendung bei uns meist einfacher.M wird meist durch endlich
viele Karten uberdeckt, z.B. S2\N , N =
001
ist das Definitionsgebiet
einer Karte der stereographischen Projektion.
∫
S2
(f) dF =
∫
S2\N
(f) dF
da N ⊆ S2 eine Nullmenge ist.
2. IstN ⊆M ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit der Dimension< k = dim(M),so ist N eine Nullmenge in M und es gilt:
∫
M\N
(f) dµ =
∫
M
(f) dµ
12.18 Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 1)
Ist M ⊆ Rn eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit, γ : (0, L)→Rn eine Pa-
rametrisierung von M , dann ist g(t) = ||γ(t)||2. Daraus folgt
∫
M
(f) ds =
L∫
0
((fγ)(t)·||γ(t)||) dt (falls es existiert)
12.19 Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 2)
Ist M ⊆ R3 eine 2-dimensionale Flache, φ : U→M eine lokale Parametrisierung,
∂i = ∂φ∂xi
, so ist √g = ||∂1×∂2||
Beweis:
g = ||∂1||2·||∂2||2 − 〈∂1 |∂2〉︸ ︷︷ ︸
||∂1||2·||∂2||2·cos(ψ)2
2
= ||∂1×∂2||2
12.20 Beispiel
f : U→R, U ⊆ R2, M = Γ(f)
∂1×∂2 =
−∂xf−∂yf
1
⇒ vol(Γ(f)) =
∫
U
(
√
1 + |grad(f)|2) dx dy
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 106
Rest des Abschnitts: Integral von Vektorfeldern (z.B. Kraft- und Geschwindig-keitsfelder).
Sei M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
12.21 Definition (des Integrals eines Vektorfelds)
Sei γ : I→Rn eine parametrisierte Kurve, d.h. γ ist differentierbar und γ(t) 6= 0
fur alle t ∈ I, W ⊆off Rn, γ(I) ⊆W , v : W→Rn ein Vektorfeld (d.h. eine C∞-Abbildung), so ist
∫
γ
(−→v ) d−→s :=
∫
I
(〈−→v (γ(t)) |γ(t)〉) dt
das Integral des Vektorfelds v uber γ. Ist γ(I) ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit,so ist
∫
γ
(−→v ) d−→s =
∫
I
(〈−→v (γ(t)) | γ(t)||γ(t)|| 〉·||γ(t)||) dt
=
∫
γ(I)
(〈−→v |T 〉) ds
wobei
T =γ(t)
||γ(t)|| ∈ Tγ(t)(γ(I))
Ist ω : I ′diffb.−→I mit ω′(s) > 0 fur alle s ∈ I ′, γ = γω, so ist
∫
γ
(−→v ) d−→s =
∫
I′
(〈v(γ(s)) | ˙γ(s)〉) ds
=
∫
γ
(−→v ) d−→s
(Invarianz gegenuber orientierungserhaltenen Umparametrisierungen)
12.22 Notiz (Verhalten des Vektorfeldintegrals unter ori-entierungsumkehrenden Umparametrisierungen)
Ist ω : I ′→I mit ω′(s) < 0 fur alle s ∈ I ′, γ = γω, so ist
∫
γ
(−→v ) d−→s = −∫
γ
(−→v ) d−→s
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 107
12.23 Notiz (Integral uber Gradientenvektorfelder)
Ist v = grad(f), so ist
∫
γ
(−→v ) d−→s =
∫
I
(〈grad(f)(γ(t)) |γ(t)〉) dt
=
∫
I
(d
dt(fγ)(t)) dt
= f(b)− f(a)
d.h. mit I = [a, b]:∫
γ
(−→v ) d−→s ist unabhangig vom Weg.
12.24 Beispiel
Sei
γ : [0, π] → S1 ⊆ R2
γ(t) =
(cos(t)sin(t)
)
und
v(
(x
y
)
) =
(10
)
= grad(f)
mit f(x, y) = x. Dann folgt
∫
γ
(−→v ) d−→s = f(−1, 0)− f(+1, 0)
= −2
Als nachstes wollen wir Vektorfelder uber (orientierte) Flachen integrieren. Vor-stellung: −→v ist Geschindigkeitsfeld einer Flussigkeit; gesucht ist die Durchfluss-rate.
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 108
N ist Normaleneinheitsfeld, 〈v(x) |N(x)〉 =”Durchflussrate um Punkt x“.
12.25 Definition (des vektoriellen Flachenintegrals)
Sei M ⊆ Rn eine (n−1)-dimensionale orientierte Flache (wichtigster Fall: n = 3,n− 1 = 2), N : M→R
n das orientierungsdefinierende Normaleneinheitsfeld aufM und M ⊆W ⊆off Rn. Sei v : W→Rn ein Vektorfeld. Dann ist
∫
M
(−→v ) d−→F :=
∫
M
(〈−→v |−→N 〉) d−→F
das vektorielle Flachenintegral von v durch M bzw. die Gesamtdurchflussratevon v durch M .
12.26 Beispiel
M = S2R =
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = R2
.N(x, y, z) = (x,y,z)
R , (x, y, z) ∈ S2R,
v(x, y, z) = (x, y, z).
z
N
N(x,y,z)
x
y
z
12 INTEGRATION AUF FLACHEN 109
∫
M
(〈−→v |−→N 〉) dF = R·∫
S2R
dF = 4R3π
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 110
13 Berandete Untermannigfaltigkeiten
Bisher: z.B. [a, b] ist keine Untermannigfaltigkeit (aber (a, b) Untermannigfal-tigkeit der Dimension 1).
(x, y, z) ∈ S2 | z ≥ 0
keine Untermannigfaltigkeit (keine Karte an den
”Rand-
punkten“).
HDI1:∫
[a,b]
(f ′(x)) dx = f(b)− f(a).
13.1 Notation (Offenheit und Rand)
Rn− := (x1, . . . , xn) ∈ R
n | x1 ≤ 0, V ⊆ Rn heißt offen :⇔ ∃
V ⊆off Rn
mit V ∩ Rn− =
V .∂Rn− := (x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 = 0 Rand von Rn−. Fur V ⊆ Rn− heißt ∂V := V ∩ ∂Rn−
der Rand von V (neue Definition von Rand, Unterschied zur alten,”topologi-
schen Definition“).
13.2 Beispiel
V =(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1, x ≤ 0
offen in Rn−, ∂V =
(0, y) ∈ R2 | − 1 < y < 1
.
1Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 111
(alte Definition von Rand: ∂V ∪(x, y) ∈ R2
− | x2 + y2 = 1)
13.3 Definition
Sei V ⊆off Rn−, f : V→Rn heißt differentierbar an der Stelle p ∈ ∂V , falls gilt: esgibt eine in Rn offene Umgebung W von p und eine differentierbare Abbildungf : W→R
m mit f |W ∩ V = f |W ∩ V .
Dann ist fur stetig differentierbares f auch Jf (p) fur p ∈ V definiert.Sind U, V ⊆ Rn−. Unter einem Diffeomorphismus zwischen U und V versteht
man eine differentierbare bijektive Abbildung f : U→V so, dass f−1 : V→Udifferentierbar ist.
13.4 Lemma
Ist f : U→V ein Diffeomorphismus zwischen in Rn− offenen Teilmengen, so istf(∂U) = ∂V und f |∂U : ∂U→∂V ist ein Diffeomorphismus zwischen 2 in Rn−1
offenen Teilmengen (Dabei wurde die Projektion : Rn−→Rn−1, (x1, . . . , xn) 7→(x2, . . . , xn) in der Notation unterdruckt).
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 112
Beweis:
vgl.”Janich“ -
”Vektoranalysis“ bzw. Skript VA
13.5 Definition (von ber. Untermannigfaltigkeitskarten bzw.Atlanten)
Sei M ⊆ Rn. M heißt berandete Untermannigfaltigkeit (oder berandete Flache)der Dimension k, wenn es um jedes p ∈M eine in Rn offene Umgebung W gibtund einen Diffeomorphismus H : W→W ′ ⊆off Rn so, dass gilt:
H(W ∩M) =
(Rk−×0) ∩ W ′
oder(Rk×0) ∩W ′
(W,H) heißen dann berandete Untermannigfaltigkeitskarten, (W ∩M = U,H |U =h) heißen berandete Karten, statt Atlas spricht man von berandetem Atlas, etc.pp. .
13.6 Definition (des Randpunkts)
p ∈M heißt Randpunkt, falls fur eine (dann nach 13.4 fur jede) berandete Karte(U, h) von M gilt, dass h(p) ∈ ∂U ′, U ′ = h(U). Die Menge aller Randpunktevon M heißt der Rand von M und wird mit ∂M bezeichnet.
13.7 Beispiel
M =(x, y, z) ∈ S2 | z ≥ 0
ist eine 2-dimensionale berandete Flache. Setze
U := ((x, y, z) ∈M,x > 0).
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 113
(x, y, z) 7→ (y, z) 7→ (−z, y)(√
1− y2, y, z) ←[ (y, z)
h : U→U ′,
x
y
z
7→(−zy
)
, U ′ =(x, y) ∈ R2
− | x2 + y2 < 1, ∂M =
(x, y, 0) | x2 + y2 = 1
=S1.
13.8 Lemma (Satz vom regularen Wert fur berandete Un-termannigfaltigkeiten)
Ist ψ : Rndiffb.−→Rn−k, c ∈ Rn−k regularer Wert und f : Rn
diffb.−→R, (c, a) ∈ Rn−k+1
regularer Wert von (ψ, f) : Rn→Rn−k+1, so ist
x ∈ Rn | ψ(x) = c, f(x) ≤ a
eine berandete Untermannigfaltigkeit der Dimension k von Rn.
Beweis:
U.a.
13.9 Beispiel
M =(x, y, z) ∈ S2 | z ≥ 0
ist eine 2-dimensionale berandete Untermannig-
faltigkeit von R3. Betrachte
ψ : R3→R ,
x
y
z
7→ x2 + y2 + z2
f : R3→R ,
x
y
z
7→ −z
M =x ∈ R
3 | ψ(x) = 1, f(x) ≤ 0, 1 ist regularer Wert von ψ.
J0
@
ψ
f
1
A
(x) =
(2x 2y 2z0 0 −1
)
ist surjektiv, falls (x, y) 6= (0, 0) (Aber fur (x, y, z) ∈(ψ
f
)−1(10
)
mit
(ψ
f
)
x
y
z
=
(x2 + y2 + z2
−z
)
ist z = 0, also x 6= 0 oder y 6= 0).
⇒ (1, 0) ist regularer Wert von (ψ, f)⇒M ist eine 2-dimensionale berandeteFlache/Untermannigfaltigkeit.
13.10 Notiz (Rand einer ber. Untermannigfaltigkeit alsUntermannigfaltigkeit)
Ist M eine k-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, dann ist ∂M eine(k − 1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit.
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 114
13.11 Beispiel
M = D3 =(x, y, z) ∈ R
3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1, ∂M = ∂D3 = S2.
13.12 Definition und Notiz (nach innen/außen weisendeTangentialvektoren bzw. Normalen(einheits)vektoren)
IstM eine k-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, p ∈ ∂M , φ : Rk−→M ⊆ Rn
eine lokale Parametrisierung, so ist
Tp(M) = dφh(p)(Rk) ⊆ R
n
ein k-dimensionaler Untervektorraum. (Erinnere: Das Differential am Rand istwohldefiniert)
Es ist Tp(∂M) = dφh(p)( ∂Rk−
︸︷︷︸
=0×Rk−1
) ⊆ Tp(M). Außerdem ist
T außp (M) = dφh(p)(R
k\Rk−)
T innp (M) = dφh(p)(R
k−\∂R
k−)
v ∈ T außp (M) heißt nach außen weisender Tangentialvektor und v ∈ T inn
p (M)heißt nach innen weisender Tangentialvektor. Es ist
Tp(M) = T außp (M) ∪ Tp(∂M) ∪ T inn
p (M)
N(x) ∈ Tx(M), x ∈ ∂M heißt nach außen weisender Normalenvektor, fallsN(x) ∈ Tx(∂M)⊥
und N(x) ∈ T außp (M), Normaleneinheitsvektor, falls zusatzlich ||N(x)|| = 1
(analog mit”nach innen“).
Ein nach außen weisendes Normalen(einheits)feld auf ∂M ist eine stetigeAbbildung N : ∂M→R
n so, dass fur jedes x ∈ ∂M dann N(x) ein nach außenweisender Normalen(einheits)vektor ist.
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 115
13.13 Beispiel
Auf S1 bzw. allgemeiner Sn = ∂Dn+1 ist ein nach außen weisendes Normalen-einheitsfeld
N(
(x
y
)
) =
(x
y
)
,
(x
y
)
∈ S1
bzw. allgemeiner fur x ∈ Sn ⊆ Rn+1 ist
N(x) = x ∈ Tx(Sn)⊥
13.14 Bemerkung
Ist M eine n-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit von Rn, also ∂M
eine (n− 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn, so ist Tp(∂M)⊥Rn
ein1-dimensionaler Untervektorraum.
Ist ∂M = ψ−1(c) Urbild eines regularen Werts einer Abbildung ψ : Rndiffb.−→R,
so istgrad(ψ(x))︸ ︷︷ ︸
6= 0
∈ Tp(∂M)⊥
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 116
fur alle x ∈ ∂M . Also ist das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld durch
N(x) = ± grad(ψ(x))
||grad(ψ(x))||
gegeben. (Ist V ⊆W Untervektorraum, dann ist V ⊥W = x ∈W | 〈x |v〉 = 0, v ∈ V )
13.15 Definition
1. Ist M ⊆ Rn eine n-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, also∂M ⊆ R
n eine (n−1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit, soist ∂M eine orientierbare Untermannigfaltigkeit. Die kanonische Randori-entierung von ∂M ist durch das nach außen weisende Normaleneinheitsfeldgegeben.
2. Ist M ⊆ R3 eine 2-dimensionale orientierte berandete Untermannigfaltig-keit des R3, d.h. auf M sei ein orientierungsdefinierendes Normalenein-heitsfeld gegeben. Sei ν ein nach außen weisendes Normaleneinheitsfeldauf ∂M , also ν(x) ∈ Tx(M).
13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 117
Dann heißt ein Vektor v ∈ Tp(∂M) positiv orientiert, falls
det(N, ν, v) > 0
Da ∂M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, gibt es in Tp(∂M)genau einen Vektor T so, dass ||T || = 1 und T positiv orientiert ist.
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 118
14 Der Gaußsche und Stokesche Integralsatz
Verallgemeinerung des HDI:
∫
[0,1]=M
(f ′(x)) dx = f(1)− f(0)
∂M = [0, 1]
∫
M
(. . .) =∫
∂M
(. . .)
Durchflussrate:∫
∂M
(〈v |N〉) dF =∫
M
(. . .? . . .)
Idee:
∫
∂M
(〈v |N〉) dF = v1(∆x, y)·∆y − v1(0, y)·∆y + v2(x,∆y)·∆x− v2(x, 0)·∆x
= (v1(∆x, y)− v1(0, y)
∆x+v2(x,∆y) − v2(x, 0)
∆y)∆x∆y
→ ∂v1∂x + ∂v2
∂y = div(v)
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 119
14.1 Erinnerung und Definition (von Divergenz und Ro-tation)
Ist v : Rndiffb.−→Rn, v =
v1...vn
, so ist
div(v) :=
n∑
i=1
(∂vi
∂xi)
die Divergenz. Fur n = 3 ist
rot(v) :=
∂∂x2
v3 − ∂∂x3
v2∂∂x3
v1 − ∂∂x1
v3∂∂x1
v2 − ∂∂x2
v1
die Rotation.
14.2 Der Integralsatz von Gauß
Sei B ⊆off Rn, M ⊆ B eine beschrankte und abgeschlossene (= kompakt) n-
dimensionale (berandete) Untermannigfaltigkeit, v : Bdiffb.−→Rn eine C1-Abbildung.
Dann ist ∂M eine (n− 1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit. Sei−→N das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld auf ∂M . Dann gilt:
∫
M
(div(−→v )) dµM =
∫
∂M
(〈−→v |−→N 〉) dµ∂M
14.3 Der Integralsatz von Stokes
Sei B ⊆ R3,A ⊆ B eine beschrankte und abgeschlossene (berandete) 2-dimensionaleorientierte Flache (moglicherweise ∂A = ∅), N das orientierungsdefinierendeNormaleneinheitsfeld auf A, T das positiv orientierte tangentiale Einheitsfeldauf ∂M . Dann ist
∫
A
(〈rot(−→v ) |−→N 〉) dF =
∫
∂A
(〈−→v |−→T 〉) ds
14.4 Bemerkung (Verallgemeinerung)
In der Vektoranalysis lernt man den”Satz von Stokes“ als Verallgemeinerung
der beiden Satze 14.2 und 14.3 kennen.”M∫
dω = ∂M∫ω“.
14.5 Bemerkung
In der Physik braucht man den Satz von Stokes und den Satz von Gauß oftin etwas allgemeinerer Form als hier formuliert, namlich im Falle, dass M bzw.A
”Kanten und Ecken“ haben. Im Allgemeinen bleibt er auch dort anwendbar
(vgl. Agricola, Ilka & Friedrich, Thomas:”Globale Analysis: Differentialformen
in Analysis, Geometrie und Feldtheorie“). Eine wichtige Vorraussetzung ist dieKompaktheit von M oder A.
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 120
14.6 Korollar (Spezialfalle)
1. Sind M und v wie in 14.2 und div(−→v ) = 0, so ist
∫
∂M
(〈−→v |−→N 〉) dµ∂M = 0
2. Sind M und v wie in 14.2 und div(−→v ) = c = const, so ist
∫
∂M
(〈−→v |−→N 〉) dµ∂M = c·vol(−→M)
3. Sind M und v wie in 14.2 und v(x) ∈ Tx(∂M) fur alle x ∈ ∂M , so ist
∫
M
(div(−→v )) dµM = 0
4. Ist rot(−→v ) = 0 und A wie in 14.3, so ist
∫
∂A
(〈−→v |−→T 〉) ds = 0
5. Ist ∂A = ∅, A und v wie in 14.3, so ist
∫
A
(〈rot(−→v ) |−→N 〉) dF = 0
14.7 Beispiel
B = R3\0,
E : B → R3
E(x) =qx
||x||3
q ∈ R\0. Es ist div(E) = 0.
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 121
Sei M ⊆ R3 eine 3-dimensionale beschrankte abgeschlossene Untermannigfaltig-keit, 0 6∈ ∂M .
∫
∂M
(〈−→E |−→N 〉) dF =
0 0 6∈M (a)
4πq 0 ∈M (b)
(unabhangig von der weiteren Gestalt von M)
Beweis:
Beweis von (a):
Ist 0 6∈M .
Dann ist M ⊆ B = R3\0.Dann ist nach dem Satz von Gauß
∫
∂M
(〈−→E |−→N 〉) dF =
∫
M
(div(−→E )
︸ ︷︷ ︸
=0
) dV = 0
Beweis von (b):
Ist 0 ∈M\∂M , so ist M 6⊆ B. Satz von Gauß ist also nicht anwend-bar.
M\0 ist nicht kompakt !
Sei ǫ > 0 so klein, dass D2ǫ(0) =x ∈ R3 | ||x|| < 2ǫ
⊆M\∂M .
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 122
Sei M = M\Dǫ.
Dann ist ∂M = ∂M ∪ Sǫ, Sǫ = ∂Dǫ =
x ∈ R3 | ||x||2 = ǫ2
.
M ist kompakt und M ⊆ B.
Also ist nach dem Satz von Gauß∫
∂M
(〈−→E |−→N 〉) dF +
∫
Sǫ
(〈−→E |−xǫ〉) dF = 0
⇒∫
∂M
(〈−→E |−→N 〉) dF = q·∫
Sǫ
(〈 xǫ3|xǫ〉) dF
=q
ǫ4
∫
Sǫ
(||x||2) dF
= qǫ2
ǫ4Sǫ
∫
dF
︸ ︷︷ ︸
4πǫ2
= 4πq2
14.8 Bemerkung
Das Beispiel kann ganz analog durchgefuhrt werden, fallsE durch das elektrischeFeld mehrerer Punktladungen gegeben ist:
E =
r∑
i=1
(qix− pi||x− pi||3
)
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 123
Daraus folgt, dass∫
∂M
(〈−→E |−→N 〉) dF =
m∑
i=1
(4πqi)
wobei p1, . . . , pm ∈M\∂M und pm+1, . . . , pr ∈ R3\M .
14.9 Bemerkung (Anschauliche Bedeutung der Divergenz)
Daraus lasst sich die anschauliche Bedeutung der Divergenz herleiten: Sei Sǫ(p) =
x ∈ Rn | ||x||2 = ǫ2
, Sǫ(p) = ∂Dǫ = ∂
x ∈ Rn | ||x||2 ≤ ǫ2
.
∫
Dǫ(p)
(div(v)) dµn
∫
Dǫ(p)
dµn=
∫
Sǫ(p)
(〈v |N〉) dµn−1
vol(Dǫ(p))︸ ︷︷ ︸
”Durchflussrate pro Volumeneinheit“
14.10 Beispiel - Auftrieb
Sei M eine kompakte 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit,−→N das nach innen
gerichtete Normaleneinheitsfeld, −→v (x) = −cz−→N (x, y, z). Gesamtkraft auf M :
−→K = −c
∫
∂M
(z−→N ) dF
also
Kj = −c∫
∂M
(z〈ej |−→N 〉) dF = −c
∫
∂M
(〈zej |−→N 〉) dF
und
div(zej) =
0 j = 1, 21 j = 3
ze1 =
z
00
, ze3 =
00z
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 124
⇒
Kj = 0 fur j = 1, 2
K3 = +c
∫
M
(1) dV = +c·vol(M)
⇒
K =
00
c·vol(M)
14.11 Beispiel
Diffusionsgleichung
⊲ v(x, t) Geschwindigkeitsfeld
⊲ ρ(x, t) Massendichte
Ansatz:∫
∂M
(ρ〈−→v |−→N 〉) dF
︸ ︷︷ ︸
Gesamtdurchfluss (*)
= − d
dt
∫
M
(ρ) dV
︸ ︷︷ ︸
eingeschlossene Masse
Mit dem Satz von Gauß ist:
(∗) =
∫
M
(div(ρ−→v )) dV div(ρ−→v ) + ρ = 0
14.12 Beweis des Satzes von Gauß (im Spezialfall n = 3)
Beweis:
SeiM = (x, y, z) | 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ U (M nicht kompakt), wobei
U stetig berandetes Gebiet, U offen, f : Udiffb.−→R.
B ⊆off R3, M ⊆ B, v : B→R3, v(x, y, z) = 0, falls (x, y) 6∈ U .
Der allgemeine Fall kann auf diesen Fall zuruckgefuhrt werden:”Zerschnei-
den von M“.
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 125
∂M = Γ(f) ∪ (U×0).
Sei v =
v1v2v3
, vi ∈ C∞(R3), vi(x, y, z) = 0 fur (x, y) 6∈ U .
∫
M
(div(v)) dV =
∫
U
(
f(x,y)∫
0
(∂xv1 + ∂yv2 + ∂zv3) dz) dx dy
=
∫
U
(v3(x, y, f(x, y))− v3(x, y, 0)) dx dy
+
∫
U
(
f(x,y)∫
0
(∂xv1 + ∂yv2) dz) dx dy
Berechne jetzt∫
∂M
(〈−→v |−→N 〉) dF :
1.
∫
U×0
(〈−→v |−→N 〉) dF = −∫
U
(〈v(x, y, 0) |
001
〉) dx dy
= −∫
(v3(x, y, 0)) dx dy
2.∫
Γ(f)
(〈−→v |−→N 〉) dF . Betrachte die Parametrisierung
φ : U → Γ(f)
φ(x, y) 7→ (x, y, f(x, y))
Es ist:
∂x =
10
∂xf(x, y)
∂y =
01
∂yf(x, y)
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 126
Also:
N =∂x×∂y||∂x×∂y||
=1
√1 + (∂xf)2 + (∂yf)2
−∂xf−∂yf
1
√
1 + (∂xf)2 + (∂yf)2 =√g
Schließlich:∫
Γ(f)
(〈−→v |−→N 〉) dF =
∫
U
(〈v(x, y, f(x, y)) |N(x, y, f(x, y))〉√g) dx dy
=
∫
U
(〈v(x, y, f(x, y)) |
−∂xf−∂yf
1
〉) dx dy
=
∫
U
(−v1(x, y, f(x, y))∂xf(x, y)) dx dy
+
∫
U
(−v2(x, y, f(x, y))∂yf(x, y)) dx dy
+
∫
U
(v3(x, y, f(x, y))) dx dy
Bleibt zu zeigen (dann auch analog fur die 2. Komponente):
−∫
U
(v1(x, y, f(x, y))∂xf(x, y)) dx dy =
∫
U
(
f(x,y)∫
0
((∂xv1)(x, y, z)) dz) dx dy
Es gilt fur jede differentierbare Funktion G (nach Kettenregel):
∂x(G(x, y, f(x, y))) = (∂xG)(x, y, f(x, y)) + (∂zG)(x, y, f(x, y))∂xf(x, y)
Wende dies an auf:
−f(x,y)∫
0
(v1(x, y, f(x, y))) dz = G(x, y, f(x, y))
Dann ergibt sich:
∂x
f(x,y)∫
0
(v1(x, y, z)) dz =
f(x,y)∫
0
((∂xv1)(x, y, z)) dz + v1(x, y, f(x, y))∂xf
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 127
Zu zeigen bleibt:
∫
U
(∂x(
f(x,y)∫
0
(v1(x, y, z)) dz)) dx dy = 0
Sei U =(x, y) ∈ R2 | a ≤ y ≤ b, a(y) ≤ x ≤ b(y)
.
Es ist v(a(y), y, z) = 0 = v(b(y), y, z) nach Vorraussetzung.
∫
U
(∂x
f(x,y)∫
0
(v1(x, y, z)) dz) dx dy =
b∫
a
(
b(y)∫
a(y)
(∂x
f(x,y)∫
0
(v1(x, y, z)) dz) dx) dy
=
f(b(y),y)∫
0
(v1(b(y), y, z)) dz
︸ ︷︷ ︸
=0
−f(a(y),y)∫
0
(v1(a(y), y, z)) dz
︸ ︷︷ ︸
=0
= 02
14.13 Bemerkung (Komposition von rot, div und grad)
Es gilt:
rot(grad(f)) = 0 , f ∈ C∞(R3,R)
div(rot(v)) = 0 , v ∈ C∞(R3,R3)
div(grad(f)) = ∆f 6= 0
Fragen:
1. Wann hat ein Vektorfeld ein Potential, d.h., wann gibt es ein f mitgrad(f) = v?
2. Wann hat ein Vektorfeld ein Vektorpotential, d.h. wann gibt es ein w mitv = rot(w)?
Notwendige Bedingung:
1. rot(v) = 0
2. div(v) = 0
14.14 Lemma ((Vektor-)Potential aus Gradienten- und Ro-tationsfeldern)
1. Ist−→v ∈ C1(R3,R3) und rot(−→v ) = 0, so gibt es ein f ∈ C2(R3) mit grad(f) =−→v , namlich
f(−→x ) = 〈1∫
0
(−→v (t−→x )) dt |−→x 〉
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 128
2. Ist −→v ∈ C∞(R3) und div(−→v ) = 0, so ist
−→w (−→x ) =
1∫
0
(t−→v (t−→x )) dt×−→x
ein Vektorpotential, also rot(−→w ) = −→v .
Beweis:
Beweis von 1.:
∂f
∂x1=
1∫
0
(v1(t−→x )) dt+
1∫
0
(t
3∑
j=1
(∂vj
∂x1(t−→x )
︸ ︷︷ ︸
=∂v1∂xj
(t−→x ), da rot(−→v =0)
)) dt·xj
3∑
j=1
( ∂∂xj
v1(t−→x ))·xj = d
dtv1(t−→x )
Es ergibt sich dann:
∂f
∂x1=
1∫
0
(v1(t−→x )) dt+
1∫
0
(td
dtv1(t−→x )) dt
=
1∫
0
(d
dt(tv1(t
−→x ))) dt
= [tv1(t−→x )]10
= v1(−→x )
Ebenso fur ∂f∂x2
= v2 und ∂f∂x3
= v3.
Beweis von 2.:
Setze −→c (−→x ) =1∫
0
(t−→v (t−→x )) dt.
Dann ist
∂
∂x2w3 −
∂
∂x3w2 =
∂
∂x2(c1x2 − c2x1)−
∂
∂x3(c3x1 − c1x3)
= 2c1 − x1 (∂c2
∂x2+∂c3
∂x3)
︸ ︷︷ ︸
=− ∂c1∂x1
, da div(−→c )=0
+ x2∂c1
∂x2+ x3
∂c1
∂x3
= 2c1 +3∑
j=1
(xj∂c1
∂xj) (∗)
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 129
Es ist
c1 =
1∫
0
(tv1(t−→x )) dt
=1
2[t2v1(t
−→x )]10 −1
2
1∫
0
(t2dv1(t
−→x )
dt) dt
=1
2(v1(−→x )−
1∫
0
(t2dv1(t
−→x )
dt) dt)
=1
2(v1(−→x )−
3∑
j=1
(
1∫
0
(t2∂v1
∂xj(t−→x )xj) dt))
=1
2(v1(−→x )−
3∑
j=1
(xj∂c1
∂xj))
Einsetzen in (*). 2
Ebenso fur die anderen Komponenten v2 und v3.
14.15 Bemerkung
1. Im Allgemeinen folgt aus rot(−→v ) = 0 nicht, dass −→v ein Potential besitzt.
Beispiel:
−→v : R3\
00t
| t ∈ R
→ R
3
−→v (
x
y
z
) =1
x2 + y2
−yx
0
Behauptung: Es gibt kein f ∈ C∞(R3\
00t
, t ∈ R) mit grad(f) = −→v .
Beweis:
Angenommen, es gabe doch eines, so wurde fur jedes γ : [0, 2π]→R3\
00t
, t ∈ R
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 130
mit γ(0) = γ(2π) gelten:
∫
γ
(〈−→v (γ(t)) |γ(t)〉) dt = 0
2π∫
0
(〈grad(f(γ(t))) |γ(t)〉) dt = f(γ(2π))− f(γ(0))
Sei γ(t) =
cos(t)sin(t)
0
.
Dann ist
2π∫
0
(〈−→v (γ(t)) |γ(t)〉) dt =
2π∫
0
(〈
−sin(t)cos(t)
0
|
−sin(t)cos(t)
0
〉) dt = 2π
Widerspruch.
2. Ist −→v ein Vektorfeld mit div(−→v ) = 0, so hat −→v nicht notwendig ein Vek-torpotential.
Beispiel:
−→v : R3\0 → R
3
−→v (x) =x
||x||3
Es ist nun div(−→v ) = 0. Behauptung: Es gibt kein w ∈ C∞(R3\0) mitrot(w) = −→v .
Beweis:
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 131
Angenommen, es gabe doch eines, so wurde folgen, dass
4π14.7=
∫
S2
(〈−→v |−→N 〉) dF
=
∫
S2
(〈rot(−→w ) |−→N 〉) dF
S.v.G.=
∫
∂S2=∅
(〈−→w |−→T 〉) ds
= 0
Widerspruch.
Frage: Fur welche B ⊆ R3, v : B→R3 kann 14.14 verallgemeinert werden:
⊲ rot(−→v ) = 0 ⇒ ∃f
: −→v = grad(f) ?
⊲ div(−→v ) = 0 ⇒ ∃−→w: −→v = rot(−→w ) ?
14.16 Definition (der Sternformigkeit)
B ⊆ R3 heißt sternformig bezuglich x0, wenn fur jedes x ∈ B die Strecke
x0x := x0 + t(x− x0) | t ∈ [0, 1] ⊆ B
ist.
14.17 Korollar
Ist −→v ∈ C1(B,R3) und B ⊆off R3.
1. Ist rot(−→v ) = 0, p ∈ B, dann gibt es ein ǫ > 0 so, dass Uǫ(p) ⊆ B undf ∈ C2(Uǫ(p)) mit grad(f) = −→v .
2. Ist div(−→v ) = 0, p ∈ B, Uǫ(p) ⊆ B, dann gibt es −→w ∈ C2(Uǫ(p),R3) mit
rot(−→w ) = −→v .
14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 132
14.18 Bemerkung (Bezug zu Homologien)
In der Mathematik (Topologie) werden zu jeder Mannigfaltigkeit (insbesondereUntermannigfaltigkeit) Vektorraume Hk(M) definiert, welche die Fragen nachPotential, etc. beantworten. Z.B. M = R3:
H2dR(M) =
kern div
bild rot
H1dR(M) =
kern rot
bild grad
(HndR(X) ist dabei
”die n-te de-Rham-Kohomologiegruppe einer Mannigfaltig-
keit X“)
1. Ist H2dR(M) = 0 ⇔ Jedes v mit div(v) = 0 hat ein Vektorpotential.
Ist H1dR(M) = 0 ⇔ Jedes v mit rot(v) = 0 hat ein Potential.
2. Eindeutigkeitsfrage: Ist das Potential bzw. Vektorpotential jeweils eindeu-tig bestimmt?
Ist f ein Potential zu v, so ist auch f + c ein Potential fur jedes c ∈ R,denn grad(c) = 0.
Ist w ein Vektorpotential zu v, so auch w+ grad(f) fur f ∈ C3(R3), dennrot(grad(f)) = 0.
Ist M zusammenhangend und v = grad(f1) = grad(f2), so ist f1 = f2 + c furein c ∈ R, da grad(f1 − f2) = 0.
Ist H1dR(M) = 0 und v = rot(w) = rot(w′), so ist w′ = w + grad(f) fur ein
f ∈ C3(R3).
14.19 Beispiel
14.19.1 Beispiel 1
M = R3\0 : H1dR(M) = 0, H2
dR(M) = R.
14.19.2 Beispiel 2
M = R3\ z-Achse: H1dR(M) = R, H2
dR(M) = 0.
14.19.3 Beispiel 3
M sternformig: Hk(M) = 0 fur k = 1, 2.