mathematics b disposition

Matematik B

DISPOSITION

afCasper B. Hansen

“Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas”A. Einstein

Indholdsfortegnelse1 Polynomier........................................................................................................................................ 6

1.1 Beskrivelse.................................................................................................................................61.1.1 Konstanterne...................................................................................................................... 61.1.2 Diskriminanten...................................................................................................................6

1.2 Udledning af løsningsformlen................................................................................................... 71.3 Faktorisering.............................................................................................................................. 8

1.3.1 Formel beviset....................................................................................................................81.4 Eksempler.................................................................................................................................. 9

1.4.1 Med Løsningsformel.......................................................................................................... 91.4.2 Uden Løsningsformel.........................................................................................................9

2 Polynomier...................................................................................................................................... 102.1 Beskrivelse...............................................................................................................................10

2.1.1 Konstanterne.................................................................................................................... 102.2 Grafen...................................................................................................................................... 102.3 Toppunkt.................................................................................................................................. 11

2.3.1 Udledning af formlen....................................................................................................... 112.4 Rødder / Nulpunkter................................................................................................................ 12

2.4.1 For andengradspolynomier.............................................................................................. 122.4.2 For tredjegradspolynomier............................................................................................... 122.4.3 At gøre prøve....................................................................................................................12

2.5 Faktorisering............................................................................................................................ 132.6 Polynomier af højere grad........................................................................................................13

2.6.1 Alm. forskrift....................................................................................................................132.6.2 Faktoriseret forskrift........................................................................................................ 13

3 Lineære Funktioner......................................................................................................................... 143.1 Beskrivelse...............................................................................................................................14

3.1.1 Konstanternes betydning..................................................................................................143.1.2 Bestemmelse af a............................................................................................................. 143.1.3 Bestemmelse af b............................................................................................................. 14

3.2 Grafen...................................................................................................................................... 143.4 Regression................................................................................................................................153.5 Tangent.....................................................................................................................................15

3.5.1 Udledning af tangentens ligning...................................................................................... 154 Eksponentielle Funktioner...............................................................................................................16

4.1 Beskrivelse...............................................................................................................................164.2 Konstanterne............................................................................................................................ 16

4.2.1 Betydning......................................................................................................................... 164.2.2 Bestemmelse.................................................................................................................... 16

4.3 Grafen...................................................................................................................................... 174.3.1 Alm. kartesiske koordinatsystem..................................................................................... 174.3.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem................................................................................ 17

4.4 Regression................................................................................................................................184.5 Udledningen af grundtallet...................................................................................................... 184.6 Differentialkvotienten for f(x) = a^x....................................................................................... 19

4.6.1 Udledningen af differential kvotienten for a^x................................................................ 194.6.2 Udledningen af differential kvotienten for e^(kx)........................................................... 194.6.3 Sammenhængen mellem k og ln(a)..................................................................................19

5 Eksponentiel vækst..........................................................................................................................205.1 Beskrivelse...............................................................................................................................20

5.1.1 Konstanternes betydningen.............................................................................................. 205.2 Fremskrivningsfaktoren........................................................................................................... 205.3 Procentvis stigning...................................................................................................................21

5.3.1 Fordoblings- og halveringskonstant.................................................................................215.4 Udledning af renteformlen.......................................................................................................215.5 Eksempler................................................................................................................................ 215.6 Differentiation..........................................................................................................................22

5.6.1 Regneregler...................................................................................................................... 226 Potensfunktioner..............................................................................................................................24

6.1 Beskrivelse...............................................................................................................................246.1.1 Konstanternes betydning..................................................................................................246.1.2 Bestemmelse af a 6.1.3 Bestemmelse af b..................................................................... 24

6.2 Grafen...................................................................................................................................... 256.2.1 Alm. kartesiske koordinatsystem..................................................................................... 256.2.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem................................................................................ 256.2.3 Dobbelt-logaritmisk koordinatsystem..............................................................................25

6.3 Udledningen af a......................................................................................................................266.4 Regression................................................................................................................................266.5 Differentiation..........................................................................................................................26

6.5.1 Regneregler...................................................................................................................... 267 Differentialregning.......................................................................................................................... 28

7.1 Beskrivelse...............................................................................................................................287.1.1 Begrebet differenskvotient............................................................................................... 287.1.2 Begrebet differentialkvotient........................................................................................... 287.1.3 Begrebet differentiabel funktion...................................................................................... 28

7.2 Udledningen af differentialkvotient for ƒ(x)=x^2................................................................... 297.3 Betydning og anvendelsen af ƒ'............................................................................................... 29

7.3.1 Betydning......................................................................................................................... 297.3.2 Anvendelse....................................................................................................................... 29

8 Differentialregning.......................................................................................................................... 308.1 Beskrivelse...............................................................................................................................30

8.1.1 Begrebet differentiabel funktion...................................................................................... 308.1.2 Betydningen af differentialkvotient................................................................................. 30

8.2 Differentiation af en sum......................................................................................................... 308.3 Differentiationsregneregler...................................................................................................... 31

8.3.1 Regler i hht. omformulering.............................................................................................318.3.2 Regler i hht. konkrete tilfælde..........................................................................................31

9 Differentialregning.......................................................................................................................... 329.1 Beskrivelse...............................................................................................................................32

9.1.1 Monotoniforhold.............................................................................................................. 329.2 Tre-trinsreglen..........................................................................................................................32

9.2.1 Første trin – Opstilning af ∆ƒ...........................................................................................329.2.2 Andet trin – Differenskvotient / Sekantens hældning...................................................... 329.2.3 Tredje trin – Differentialkvotient / Grænseværdien......................................................... 32

9.3 Optimering............................................................................................................................... 3310 Integralregning.............................................................................................................................. 34

10.1 Beskrivelse.............................................................................................................................3410.1.1 Begrebet stamfunktion................................................................................................... 3410.1.2 Regneregler for konkrete tilfælde.................................................................................. 3410.1.3 Regneregler for omformulering..................................................................................... 34

10.2 Ubestemte integraler.............................................................................................................. 3510.3 Sammenhængen med areal.................................................................................................... 35

10.3.1 Eksempel........................................................................................................................ 3510.3.2 Eksempel: Areal mellem to kurver.................................................................................35

11 Integralregning...............................................................................................................................3611.1 Beskrivelse.............................................................................................................................36

11.1.1 Begrebet stamfunktion................................................................................................... 3611.1.2 Regneregler for konkrete tilfælde.................................................................................. 3611.1.3 Regneregler for omformulering..................................................................................... 36

11.2 Bestemte integraler................................................................................................................ 3711.3 Sammenhængen med areal.................................................................................................... 37

11.3.1 Eksempel: Areal under kurven....................................................................................... 3711.3.2 Eksempel: Areal mellem to kurver.................................................................................37

12 Trigonometri.................................................................................................................................. 3812.1 Beskrivelse.............................................................................................................................38

12.1.1 Retvinklede trekanter..................................................................................................... 3812.2 Udledning af formler............................................................................................................. 38

12.2.1 Vinkelsum...................................................................................................................... 3812.2.2 Sinus og cosinus.............................................................................................................3812.2.3 Tangens...........................................................................................................................38

12.3 Pythagoras' læresætning.........................................................................................................3913 Trigonometri.................................................................................................................................. 40

13.1 Beskrivelse.............................................................................................................................4013.1.1 Definition....................................................................................................................... 4013.1.2 Sinusrelationerne............................................................................................................4013.1.3 Cosinusrelationerne........................................................................................................40

13.2 Udledning af sinusrelationerne.............................................................................................. 4113.2.1 For trekant med højden indeni....................................................................................... 4113.2.2 For trekant med højden udenfor.....................................................................................41

13.3 Udledning af cosinusrelationerne.......................................................................................... 4213.3.1 For trekant med højden indeni....................................................................................... 4213.3.2 For trekant med højden udenfor.....................................................................................42

14 Statistik.......................................................................................................................................... 4414.1 Beskrivelse.............................................................................................................................44

14.1.1 Deskriptiv statistik......................................................................................................... 4414.1.2 Anvendelsesområder...................................................................................................... 44

14.2 Fordelinger.............................................................................................................................4414.2.1 Normalfordeling.............................................................................................................4414.2.2 Binomialfordeling.......................................................................................................... 44

14.3 Grafiske fremstillinger...........................................................................................................4514.3.1 Histogram.......................................................................................................................4514.3.2 Kumulerede frekvenser.................................................................................................. 4514.3.3 Sum-kurve......................................................................................................................4514.3.4 Boksplot......................................................................................................................... 45

of 47

14.4 Deskriptorer........................................................................................................................... 4614.4.1 Hyppighed......................................................................................................................4614.4.2 Frekvens......................................................................................................................... 4614.4.3 Middeltal........................................................................................................................ 4614.4.4 Varians............................................................................................................................4614.4.5 Spredning....................................................................................................................... 4614.4.6 Kvartil-sæt – Nedre kvartil............................................................................................ 4714.4.7 Kvartil-sæt – Median kvartil.......................................................................................... 4714.4.8 Kvartil-sæt – Øvre kvartil.............................................................................................. 47

of 47

1 Polynomier

Beskriv (udled gerne) løsningsformlen (nulpunktsformlen) for en vilkårlig

andengradsligning og gør rede for antallet af løsninger.

Giv eksempler på andengradsligninger der kan løses uden brug af den generelle

løsningsformel.

Diskuter faktorisering og vis hvordan visse andengradspolynomier kan faktoriseres.

1.1 Beskrivelse

Forskriften for en vilkårlig andengradsligning ser således ud ax2+bx+c

1.1.1 Konstanterne

a – Determinere om hvorvidt parablen er sur eller glad. Hvis a<0 vil parablen være

sur, og hvis a>0 vil parablen være glad.

b→ f ' (0) – Skæringspunktet med y-aksen for f ' ( x) , da (ax2+bx+c)'=2ax+b og

2a ·0=0 , således står kun b tilbage – med andre ord, hældningskoefficienten for

tangenten i punktet 0. Hvis b=0 , så ligger toppunktet på y-aksen.

c→ f (0) – Skæringspunktet med y-aksen for f (x ) , da a·02+b ·0=0 , således står kun

c tilbage.

Hvis både a og b har samme fortegn, ligger toppunktet til venstre for y-aksen, ligeledes hvis de

har forskellige, vil toppunktet ligge højre for y-aksen.

1.1.2 Diskriminanten

Diskriminanten b2−4ac fortæller os om polynomiet har rødder (eller nulpunkter), og i så fald,

hvor mange rødder der måtte være – eller antallet af løsninger.

d<0 → Ingen reelle løsninger, kun komplekse.

d=0 → Én løsning (dobbelt-rod), i dette tilfælde vil grafen tangere på x-aksen, hvilket betyder at roden er faktisk også et lokalt extremum.

d>0 → 2 løsninger.

of 47

1.2 Udledning af løsningsformlen

Når vi gerne vil udlede løsnings-/nulpunkts-formlen, starter vi med at sætte udtrykket

(andengradslignings forskrift) lig med nul, da vi jo leder efter, hvor dette udtryk måtte være nul.

ax2+bx+c=0

Vi vil nu gerne isolere x;

x2+bax+ c

a=0 Dividere med a på alle led.

x2+bax=− c

aFlytter led der ikke indeholder x over på anden side af lighedstegnet.

Nu omformulere vi udtrykket på venstre side til kvadrattet på to-ledet

størrelse, da dette vil yderligere give os noget vi kan få væk fra

venstresiden.

Rykker ledet der ikke indeholder x over på anden side af

lighedstegnet.

Ganger udtrykket på højre side ud og forlænger brøkerne for at få

fælles nævner ved at gange med 4a.

Da udtrykket på højresiden har fælles nævner kan vi nu samle de to

brøker i én.

Vi bemærker på nuværende tidspunkt at diskriminantens formel optræder i tælleren på højresiden,

og at udtrykket på venstresiden er sat i 2. Ud fra regnereglen om at, ligegyldig hvilket tal der opløftes

i 2., altid vil blive et positivt tal, kan vi nu konkludere at hvis diskriminanten er mindre end nul, så er

der ingen løsninger.

Erstatter nu tællerens udtryk med variablen d, som beskriver

diskriminanten, og tager kvadratroden på begge sider.

Udregner nævnerens kvadratrod for at have en fællesnævner for

brøkerne. Vi bemærker også at udtrykket på venstresiden var i anden,

dvs. kvadratroden på højresiden skal være ±, da 4^2 = (-4)^2.

Flytter sidste led der ikke indeholder x over på højresiden, og således

står vi tilbage med løsningsformlen (nulpunktsformlen).

of 47

(x+ b2a

)2

−( b2a

)2

=− ca

(x+ b2a

)2

=( b2a

)2

− ca

(x+ b2a

)2

= b2

4a 2− 4ac

4a2

(x+ b2a

)2

=b2−4ac

4a2

x+ b2a

=√ d4a2

x+ b2a

=± √d2a

x=−b ± √d2a

1.3 Faktorisering

Ved faktorisering af et andengradsudtryk, sættes fællesfaktoren x udenfor en – eller flere – parentes,

derved reduceres udtrykket. I faktoriseringsudtrykket kan vi i øvrigt aflæse alle nulpunkter direkte af,

da de optræder i selve funktionsudtrykket – dog negerede. Nulpunkter i 0 kan ikke direkte aflæses,

men vil kunne findes vha. nulreglen, som siger at hvis a·b=0 , så er a=0∨b=0 .

Den faktoriserede form ser således ud a (x−r1)( x−r ...)(x−rn) , hvor n er antallet af rødder –

antallet af x'er afgøre graden for polynomiet.

Eksempel på faktorisering

x2+4x → x (x+4) – i dette eksempel kan vi se at -4 er et nulpunkt, anden rod vil ligge i 0.

1.3.1 Formel beviset

Når vi vil bevise den faktoriserede form, starter vi med at erstatte de to x-værdier for rødderne med

nulpunktsformlen for hver.

a (x+ b+√d2a

)(x+b−√d2a

)

Herefter ganger vi ud;

a (x2+xb−√d

2a+x

b+√d2a

+b−√d2a

b+√d2a

) – Ganger først parenteserne sammen.

a (x2+bx−√d2a

+bx+√d2a

+b−√d2a

b+√d2a

) – Ganger x'er ind, regneregel abc=ab

c.

a (x2+bx−√d2a

+bx+√d2a

+b2+b√d−b√d−d

4a2) – Ganger brøker ud, regneregel

ab·cd

=abcd

.

a (x2+bx−√d2a

+bx+√d2a

+b2−d

4a 2) – Bemærker led der går ud med hinanden.

a (x2+ 2bx2a

+b2−d

4a2) – Ligeledes, når vi sætter på fælles brøk.

a ( 4a2 x2

4a 2+4abx

4a 2+b2−d

4a2) – Forlænger brøkerne, så vi får fællesnævner.

a ( 4a2 x2+4abx+b2−b2+4ac

4a 2) – Sætter på fælles brøk og erstatter d.

4a3 x2+4a 2bx+4a2 c

4a 2 – Nu ganger vi a ind i brøken og fjerner led.

ax2+bx+c – Brøken divideres nu ud og formlen er bevist.

of 47

1.4 Eksempler

Herunder gives eksempler på løsning af andenligninger.

1.4.1 Med Løsningsformel

x2+4x=0

Vi undersøger først og fremmest om der er nogen løsninger, og i så fald, hvor mange, ved at udregne

diskriminanten;

d=b2−4ac →42−4 ·1 ·0=16 – d>0 , derfor vil der være 2 løsninger.

Vi udregner herefter vha. løsnings- /nulpunkts-formlen;

x=−b ± √d2a

→−4± √162 ·1

={x 2=0x 1=−4}

1.4.2 Uden Løsningsformel

Der er to metoder man kan anskueliggøre løsning af andengradsligninger uden brug af den

generelle løsningsformel.

1. Udregne diskriminanten, og se om der er løsninger – hvis ikke, kan ligningen ikke løses.

4x2+10=0 , d=−320 der er derfor ingen rødder/løsninger.

2. Faktorisering af udtrykket.

2x2+2x−4 → x (x+2)(x−1)

of 47

2 Polynomier

Gør rede for andengradspolynomiets graf, toppunkt og rødder.

Du skal også komme ind på rødder og graf for polynomier af højere grad.

Tag også begrebet faktorisering med som forklaring.

2.1 Beskrivelse

Forskriften for et andengradspolynomium ser således ud ax2+bx+c , og polynomier af højere

grad p(x)=k n xn+k n−1 x

n−1+...+k 0 eller p(x)=k (x−r0)(x−r1) ...(x−rn) .

2.1.1 Konstanterne

a – Determinere om hvorvidt parablen er sur eller glad. Hvis a<0 vil parablen være

sur, og hvis a>0 vil parablen være glad.

b→ f ' (0) – Skæringspunktet med y-aksen for f ' ( x) , da (ax2+bx+c)'=2ax+b og

2a ·0=0 , således står kun b tilbage – med andre ord, hældningskoefficienten for

tangenten i punktet 0.

c→ f (0) – Skæringspunktet med y-aksen for f (x ) , da a·02+b ·0=0 , således står kun

c tilbage.

2.2 Grafen

of 47

2.3 Toppunkt

T x y=(−b2a

;−d4a

)

2.3.1 Udledning af formlen

Vi starter udledningen af toppunktsformlen ved at tage udgangspunkt i polynomiets forskrift.

ax2+bx+c

Da vi ønsker at finde et toppunkt, eller rettere et maksimum eller minimum (extremum), skal vi finde

ud af hvor for en given funktion at tangenten til grafen har hældningskoefficienten 0 – f ' ( x)=0 .

Vi skriver derfor vi den differentierede forskrift op og sætter det lig nul 2ax+b=0 .

Nu da vi har en ligning, vil vi da isolere x, hvilket vil give os en formel for x-koordinaten for

toppunktet;

x=−b2a

For at finde formlen for y-koordinaten indsætter vi x-koordinatens formel i funktionsudtrykket og

reducere indtil vi har fundet et udtryk for y-koordinatens formel;

f (−b2a

)=a (−b2a

)2

+b (−b2a

)+c – Vi opskriver funktionsudtrykket.

→ ab2

4a 2+b

b2a

+c – Udregning af potenser.

→ b2

4a− b2

2a+c – Vi ser, når vi ganger ind i brøkerne at a'et vil gå ud med de

ét af a'erne i nævneren.

→ b2−2b2+4ac4a

– Vi forlænger nu brøkerne, så de har fællesnævner og sætter

dem sammen.

→−d4a

– Vi bemærker nu at diskriminanten optræder i udtrykket, dog

negeret – dvs. tilsvarende til −d .

Derved kan udtrykket ikke forkortes yderligere, og vi står nu med formlen for y-koordinaten til toppunktet.

y=−d4a

of 47

2.4 Rødder / Nulpunkter

Når vi skal finde rødderne, eller nulpunkterne for et andengradspolynomium, bruger vi

nulpunkts-/løsningsformlen.

· For udledningen af nulpunkts-formlen, se punkt 1.2 Udledning af løsnings-formlen

Diskriminanten d afgør hvor mange nulpunkter, hvis nogen, funktionen har;

2.4.1 For andengradspolynomier

d<0 Ingen nulpunkter

d=0 1 nulpunkt (dobbelt-rod)

d>0 2 nulpunkter

2.4.2 For tredjegradspolynomier

d<0 Ét nulpunkt, og to komplekse.

d=0 1 nulpunkt (dobbelt- eller tre-dobbelt-rod)

d>0 3 nulpunkter

2.4.3 At gøre prøve

Hvis man vil gøre prøve kan man indsætte nulpunkts-formlen i andengradsligningens forskrift og

reducere udtrykket

a (−b+√d2a

)2

+b(−b+√d2a

)+c=0 – Opskrivning af udtrykket – vilkårlig af ±.

ab2+d−2b√d

4a2+b

−b+√d2a

+c=0 – Udregning af potenser.

b2+d−2b√d4a

+−b2+b√d2a

+c=0 – Ganger ind i brøkerne (a'et går ud).

b2+d−2b√d4a

+−2b2+2b √d4a

+4ac4a

=0 – Forlænger så vi får fællesnævner i alle brøker.

−b2+d+4ac4a

=0 – Vi reducere udtrykket.

−b2+b2−4ac+4ac4a

=0 – Udvider variablen d til b2−4ac .

−4ac+4ac4a

=0 – Reducere udtrykket.

−c+c=0 – Division med 4a, og således står 0 tilbage.

of 47

2.5 Faktorisering

Faktoriseret form a (x− x0)( x−x1) , heri er x0 og x1 nulpunkter, derfor skal der være

nulpunkter ( d ≥ 0 ) for at den faktoriserede form er gældende.

Ved faktorisering af et andengradsudtryk, sættes fællesfaktoren x udenfor en – eller flere – parentes,

derved reduceres udtrykket. I faktoriseringsudtrykket kan vi i øvrigt aflæse alle nulpunkter direkte af,

da de optræder i selve funktionsudtrykket – dog negerede. Nulpunkter i 0 kan ikke direkte aflæses,

men vil kunne findes vha. nulreglen, som siger at hvis a·b=0 , så er a=0∨b=0 .

Den faktoriserede form ser således ud a (x−r1)( x−r ...)(x−rn) , hvor n er antallet af rødder –

antallet af x'er afgøre graden for polynomiet.

Eksempel på faktorisering

x2+4x → x (x+4) – i dette eksempel kan vi se at -4 er et nulpunkt, anden rod vil ligge i 0.

2.6 Polynomier af højere grad

Graden af et polynomium diktere, hvor mange rødder grafen for funktionen kan have, dog behøver

den ikke nødvendigvis have så mange rødder – i disse tilfælde er der tale om dobbelt-rødder eller

lokale extrema eller vendetangenter der ikke skærer x-aksen.

2.6.1 Alm. forskrift

Polynomiets alm. form, af n grad p(x)=k n xn+k n−1 x

n−1+...+k 0 .

2.6.2 Faktoriseret forskrift

I faktoriseret form, polynomium af n grad a (x−r1)( x−r2) ...(x−rn) , hvor r beskriver rødder.

of 47

3 Lineære Funktioner

Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og

bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.

Kom i denne sammenhæng også ind på regression.

Gør rede for tangenten til grafen for en differentiabel funktion.

3.1 Beskrivelse

Forskriften for en lineær funktion ser således ud ax+b

3.1.1 Konstanternes betydning

a – Den relative tilvækst på y-aksen, når x vokser med 1.

b→ f (0) – Skæringspunktet med y-aksen, udgangspunktet for funktionen.

3.1.2 Bestemmelse af a

Hvis 2 punkter kendes, kan a bestemmes ved a= ∆ y∆x

=y2− y1

x2−x1

3.1.3 Bestemmelse af b

Hvis et punkt kendes, kan b bestemmes ved b= yn−axn , hvor n er et vilkårligt punkt.

3.2 Grafen

of 47

3.4 Regression

Regression er en metode hvorved man danner et funktionsudtryk for et data-sæt som kan udtrykkes

vha. en funktionsforskrift med god tilnærmelse – f. eks. en lineær funktion.

Regression udregnes hovedsageligt vha. CAS-værktøj eller lign., da udregning i hånden – selvom

muligt – er et meget langt regnestykke. Der findes op til flere metoder hvorpå regression kan

udregnes, dette afhænger af værktøjet.

Ved udregningen afgives også en såkaldt forklaringsgrad ( r2 ), som viser hvor rimeligt

funktionsudtrykket passer til data-sættet – er denne værdi højere end 0.95 kan det antages at

udtrykket er acceptabelt.

3.5 Tangent

Tangenten til en graf for en differentiabel funktion er en lineær funktion som tangere med grafen i

ét bestemt punkt. Man finder denne lineære funktion vha. formlen for tangentensligning.

3.5.1 Udledning af tangentens ligning

Vi leder efter et funktionsudtryk for tangenten i et bestemt punkt p på grafen, og da en tangent er

lineær skal vi gøre brug af de formler som hører dertil. Heraf ved vi forskriftens definition og

konstanternes betydning at hældningskoefficienten er bestemt ved;

a= ∆ y∆x

=y2− y1

x2−x1

Det er denne som vi vil tage udgangspunkt i, når vi vil finde tangentens ligning. Vi skal derfor bruge

2 punkter som vi kan indsætte i denne formel, og vi går ud fra det vilkårlige punkt p til dette og

lader x og y være ubekendte for det andet punkt, da vi søger en ligning og ikke et resultat.

f ' ( px)=y− f ( p x)x− px

– a er differentialkvotienten, erstattes derfor med f ' ( px) .

f ' ( px)(x− px)= y− f ( p x) – Ganger med størrelse i nævner for at isolere y.

f ' ( px)(x− px)+ f ( px)= y – Lægger f ( px ) til begge sidder.

Nu har vi et udtryk for tangentens ligning, herunder opskrevet som en funktion t(x).

t(x )= f ' ( px)(x− px)+ f ( px)

of 47

4 Eksponentielle Funktioner

Gør rede for de eksponentielle funktioner og deres grafiske billeder i forskellige

koordinatsystemer.

Kom i denne forbindelse også ind på (eksponentiel) regression.

Udled formlen til bestemmelse af grundtallet a, og gør rede for differentialkvotienten

af f(x) = ax.

4.1 Beskrivelse

Forskriften for en eksponentialfunktion ser således ud bax , hvor a og b er positive konstanter.

4.2 Konstanterne

4.2.1 Betydning

a – Fremskrivningsfaktoren for den relative tilvækst på y-aksen, når x vokser med 1.

– a>1 så er funktionen voksende

– 0<a<1 vil funktionen være aftagende.

– a=1 vil funktionen være konstant.


4.2.2 Bestemmelse

a=∆ x√ y2

y1

=x 2−x 1√ y2

y1

– For bestemmelse af konstanten a, hvor man kender to punkter.

· Se evt. punkt 4.5 Udledningen af grundtallet

b=yna xn

– For bestemmelse af konstanten b, hvor a og mindst ét punkt kendes.

of 47

4.3 Grafen

Grafen for en eksponentialfunktion kan visualiseres på to måder, hvoraf den ene er specifikt

udformet til eksponentialfunktionen egenskaber.

4.3.1 Alm. kartesiske koordinatsystem

Vi ser at i det almindelige kartesiske koordinatsystem er det umuligt at indtegne en eksponentialfunktion i hånden – dette kræver et CAS-værktøj.

4.3.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem

Indtegnes en eksponentialfunktion i det enkelt-logaritmiske koordinatsystem vil funktionen da være lineært afbilledet – i dette koordinatsystem er y-aksen defineret som 10-tals logaritmen.

of 47

4.4 Regression


vha. en funktionsforskrift med god tilnærmelse – f. eks. en eksponentialfunktion.







4.5 Udledningen af grundtallet

Når vi vil udlede grundtallet a for den eksponentielle funktion starter vi med at perspektivere over

hvordan vi kommer fra et punkt til et andet.

Vi har to punkter på grafen for en vilkårlig eksponentialfunktion P1={x1 , y1} og P2={x2 , y2 } .

For at komme fra y1 til y2 skal vi gange y1 med fremskrivningsfaktoren a opløftet i ∆x , så

har vi et udtryk vi kan gå fra.

y2= y1· a∆ x

Herfra skal vi bare isolere a.

y2

y1

=a∆ x – Vi dividere med y1 på begge sider af lighedstegnet.

∆ x√ y2

y1

=a – Så tager vi ∆x rod på begge sider af lighedstegnet, og a er dermed isoleret.

of 47

4.6 Differentialkvotienten for f(x) = a^x

4.6.1 Udledningen af differential kvotienten for a^x

Efter 3-trinsreglen, opstiller vi først udtrykket.

1.∆ f∆ x

→ a x+∆ x−ax

(x+∆ x)− x

Herefter reducere vi udtrykket, så meget som vi kan.

2. ax a∆ x−1∆ x

– Bemærk her at vi stiller fællesfaktoren ax udenfor brøken.

Vi opstiller sidste trin.

3. ax lim ¿∆ x→0

( a∆ x−1∆ x

) – Bemærk at de ax ingen indflydelse har på limit udtrykket.

4.6.2 Udledningen af differential kvotienten for e^(kx)

Som før opstiller vi først udtrykket.

1.∆ f∆ x

→ ek ( x+∆ x)−ekx

(x+∆ x )−x


2. ekxekx ∆ x−1∆ x

– Bemærk at vi i denne udledning forlænger med k i dette trin.

Vi opstiller sidste trin.

3. ekx lim ¿∆ x→0

( ekx ∆ x−1∆ x

)=kekx – Hvilket beviser at (ekx) '=kekx

4.6.3 Sammenhængen mellem k og ln(a)

ax=e kx – Opstilning af ligningen.

x · ln (a)=kx · ln (e) – Tager den naturlige logaritme, og rykker eksponenterne ned.

x ·ln (a )x

=kx · ln (e)

x– Dividere x'er ud af ligningen.

ln (a )ln (e)

=k – Dividere ln(e) ud af ligningen.

ln (a )=k – Da den naturlige logaritme er modsætningen til e, bliver det 1.

Således kan vi konkludere at ved omskrivning vil k svare til ln(a).

of 47

5 Eksponentiel vækst

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og udled renteformlen.

Du skal også komme ind på procentvis stigning i forskellige tidsrum, samt på

fordoblings- og halveringskonstant.

Giv et praktisk eksempel på anvendelse af eksponentialfunktion (finansiel eller fysisk).

Fortæl kort om differentiation af eksponentialfunktioner, dvs. hvilke regneregler der

er i forbindelse med eksponentialfunktioner.

5.1 Beskrivelse

Forskriften for en eksponentialfunktion ser således ud bax , hvor a og b er positive konstanter.

5.1.1 Konstanternes betydningen

a – Fremskrivningsfaktoren for den relative tilvækst på y-aksen, når x vokser med 1.

– a>1 så er funktionen voksende.

– 0<a<1 vil funktionen være aftagende.

– a=1 vil funktionen være konstant.


5.2 Fremskrivningsfaktoren

Fremskrivningsfaktoren er det tal der ganges med når x vokser med 1, dvs. den relative tilvækst i y vil

være y2= y1· a∆ x , da vi antager x er vokset med 1 vil eksponenten være redundant og derved vil

der stå y2= y1 · a – dvs. fremskrivningsfaktoren i eksponentielle funktioner kendes som a.

Dette kan også visualiseres vha. potensregnereglerne som vist nedenfor.

b·ax – Alm. eksponentialfunktion forskrift.

b·a(x+1)=b·ax · a1 – Samme funktionen hvori vi har bevæget os 1 henad x-aksen.

b·a(x+2)=b·a x · a2 – Samme funktionen hvori vi har bevæget os 2 henad x-aksen.

Hver gang vi bevæger os ∆x, skal vi derfor gange y med a opløftet til ∆x.

of 47

5.3 Procentvis stigning

For eksponentielle funktioner gælder at funktionen vil altid vokse med en fast procent, denne

procent er defineret som fremskrivningsfaktoren, eller grundtallet, a.

5.3.1 Fordoblings- og halveringskonstant

Fordoblings- og halveringskonstanterne er den tilvækst i x der skal til for at y bliver fordoblet, eller

halveret – konstanten er derfor en bestemt ∆x værdi, denne kan udregnes hvis man kender a.

I stedet for at sætte restriktioner på kun to konstantformler, så skriver jeg den hellere op som en

variabel – dvs. k repræsentere den fremskrivning man ønsker at finde konstanten for.

T k=log(k )log(a )

– Ved fordobling indsættes 2 på k's plads, ligeledes 0.5 for halveringskonstant.

Hvis en fremskrivningskonstant kendes, kan man udregne a, det gøres ved a=T n√n

5.4 Udledning af renteformlen

K n=K 0(1+r)n , hvor n beskriver terminer, r er renten, K 0 er startkapitalen (udgangspunktet,

tilsvarende til b i eksponentialfunktionens forskrift) og K n er slutkapitalen, dvs. indestående på

kontoen efter n terminer.

K 0 · r – Vi starter med at finde et udtryk for renten af startkapitalen.

K 0+K 0 · r – Herefter finder vi et udtryk for renten tillagt startkapitalen.

K 0(1+r) – Vi kan nu se at vi har en fællesfaktor, denne stiller vi udenfor en parentes.

K 0(1+r)n – Til sidst vil vi gerne have at udtrykket skal beskrive n terminer, i stedet for 1 termin, som det gør nu. Vi inddrager derfor reglen om procentvis stigning for en eksponentiel funktion, da vi kan se at vi har en fremskrivningsfaktor vi kan bruge til netop dette – F=(1+r) . Denne sætter vi derfor i n.

K n=K 0(1+r)n – Da udtrykket nu afhænger af n og beskriver slutkapitalen, kan vi indføre størrelsen på modsatte side af lighedstegnet K efter n terminer – K n .

5.5 Eksempler

Når vi nu alligevel har udledt kapitalfremskrivningsformlen, eller renteformlen, kan vi jo tage et

eksempel for en given bank konto med en start kapital på 5000 kr., hvor renten er sat til 0.5% pa.

K n=5000·(1+0.05)n – Vi kan opstille funktionen.

6381,41=5000·(1+0.05)n – Vi kan undersøge hvad der vil stå på kontoen efter 5 år ved at indsætte 5 på n's plads.

of 47

5.6 Differentiation

Ved differentiation af en eksponentialfunktion fås hældningskoefficienten for et givet punkt på

grafen for funktionen – dvs. tager man ƒ'(x) definere hvor stærkt voksende eller aftagende en given

eksponentialfunktion måtte være i et givet punkt på grafen.

5.6.1 Regneregler

Herunder er en liste over de differentiationsregneregler der gælder for eksponentialfunktioner.

f (x )=ax+b → f ' ( x)=x – Konstanter forsvinder.

f (x )=ex → f ' ( x)=e x – Se punkt 4.6 for regel bevis.

f (x )=ax → f ' (x)=ln (a )· a x – Se punkt 4.6 for regel bevis.

f (x )=bekx → f ' ( x)=bkekx – Se punkt 4.6 for regel bevis.

of 47

6 Potensfunktioner

Gør rede for potensfunktioner og giv eksempler på deres grafiske billeder i forskellige

koordinatsystemer.

Udled formlen til bestemmelse af potenseksponenten a, når man kender to

støttepunkter. Kom I denne forbindelse også ind på regression.

Gør rede for tilvækst i x og y, og forskellene heri for lineære, eksponentielle- og

potensfunktioner.

Fortæl kort om differentiation af potensfunktioner, dvs. hvilke regneregler der er i

forbindelse med potensfunktioner.

6.1 Beskrivelse

Forskriften for en eksponentialfunktion ser således ud bxa , hvor x>0 , a≠ 0 og b>0 .

Den relative tilvækst i x vil give samme relative tilvækst i y, da begge akser er procentvis ændret for

potensfunktioner – denne væksttype kaldes også for procent-procentvis vækst og kan påvises vha.

formlen F y=F xa , hvor F beskriver fremskrivningsfaktoren for x og y.

6.1.1 Konstanternes betydning

a – Hældningskoefficient af grafen på dobbelt-logaritmisk papir.

– a>0 så er funktionen voksende.

– a<0 vil funktionen være aftagende.

b→ f (1) – Dvs. enhver potensfunktion har punktet P (1,b) .

6.1.2 Bestemmelse af a 6.1.3 Bestemmelse af b

a=log(

y2

y1

)

log (x2

x1

)

b=ynxna

of 47

6.2 Grafen

6.2.1 Alm. kartesiske koordinatsystem

Vi ser at i det almindelige kartesiske

koordinatsystem er det umuligt at

indtegne en eksponentialfunktion i

hånden – dette kræver et CAS-værktøj.

6.2.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem

Indtegnes en potensfunktion i det

enkelt-logaritmiske koordinatsystem

ser vi, ligesom i det alm. kartesiske

koordinatsystem at det er umuligt at

indtegne en potensfunktionen i

hånden – dette kræver et CAS-værktøj.

6.2.3 Dobbelt-logaritmisk koordinatsystem

Indtegnes en potensfunktion i det

dobbelt-logaritmiske

koordinatsystem vil funktionen da

være lineært afbilledet – i dette

koordinatsystem er både x- og y-

aksen defineret som 10-tals

logaritmen.

of 47

6.3 Udledningen af a

Ud fra F y=F xa ved vi at når x ganges med

x2

x1

, så ganges y med (y2

y1

)a

.

Vi kan derfor kan vi opstille ligningen y1(x2

x1

)a

= y2 – nu skal vi bare isolere a.

(x2

x1

)a

=y2

y1

– Dividere y1 ud fra venstresiden.

a log(x2

x1

)=log (y2

y1

) – Tager logaritmen på begge sider og trækker a ned foran.

a=log(

y2

y1

)

log (x2

x1

)– Dividere log (

x2

x1

) væk fra venstresiden, og a er dermed isoleret.

6.4 Regression


vha. en funktionsforskrift med god tilnærmelse – f. eks. en eksponentialfunktion.







6.5 Differentiation

Ved differentiation af en potensfunktioner fås hældningskoefficienten for et givet punkt på grafen for

funktionen – dvs. tager man ƒ'(x) definere hvor stærkt voksende eller aftagende en given

potensfunktionen måtte være i et givet punkt på grafen.

6.5.1 Regneregler

f (x )=xn → f ' ( x)=nxn−1 – nxn−1

f (x )=1x

→ f ' (x)=−1

x−2 –−(a)x−2

f (x )=ln (x ) → f ' (x)=1x

– (k ·ln (x)) '= kx

of 47

7 Differentialregning

Gør rede for begreberne differenskvotient og differentialkvotient og diskuter her ud

fra begrebet “differentiabel funktion”.

Udled udtrykket for differentialkvotienten for ƒ(x)=x2.

Du skal også komme ind på betydningen af differentialkvotient, samt på anvendelse

af ƒ'.

7.1 Beskrivelse

7.1.1 Begrebet differenskvotient

Differenskvotient er udtrykket for sekantens hældning mellem to punkter på grafen for en funktion.

Dvs. det andet udtryk vi opskriver i 3-trinsreglen ∆ f∆x

= f (x+∆ x)− f (x )∆ x

.

7.1.2 Begrebet differentialkvotient

Differentialkvotienten er tangentens hældning i et givet punkt på grafen for en differentiabel

funktion – dvs. differentialkvotienten udtrykkes når vi lader differenskvotientens ∆x gå mod nul.

f (x )=x2

f ' (x)= lim∆ x→ 0

(∆ x+2x)=2x

7.1.3 Begrebet differentiabel funktion

Hvis grænseværdien for en funktion eksistere i et punkt

P0(x0 , y0) , er funktionen differentiabel i P0 .

Hvis grænseværdien for x∈Dm( f ) – alle x-værdier i

Dm for funktionen ƒ –, så er funktionen differentiabel.

of 47

lim∆x →0

( ∆ f∆ x

)∃

lim∆x →0

(f ( x0+∆x )− f (x0)

∆ x)∃!

7.2 Udledningen af differentialkvotient for ƒ(x)=x^2


1. ∆ f∆ x

→(x+∆ x)2−x2

(x+∆ x)−x


2. x2+∆ x2+2x ∆ x−x2

∆ x→ ∆ x2+2x ∆ x

∆ x→∆ x

∆ x+2x∆x

→∆ x+2x

Vi opstiller sidste trin, og lader ∆x gå imod nul.

3. lim ¿∆ x→0

(∆ x+2x)=2x

7.3 Betydning og anvendelsen af ƒ'

Begrebet ƒ' – udtalt f-mærke – er den afledte funktion af ƒ – dvs. at ƒ er stamfunktion til ƒ'.

7.3.1 Betydning

Den afledte funktion, ƒ', beskriver hældningen af tangenten til grafen for ƒ

– f. eks., som vist til venstre, (x^2)' = 2x.

7.3.2 Anvendelse

Vi anvender ƒ' til at bestemme hældningen af tangenten til grafen for ƒ i

bestemte punkter.

– f. eks., som vist til venstre, hældningen i punktet (0.5, ƒ(0.5)).

of 47


Gør rede for begrebet “differentiabel funktion”, og kom herunder ind på

betydningen af differentialkvotient.

Opstil regnereglerne for differentiable funktioner, og bevis herunder sætningen om

differentiation af en sum.

8.1 Beskrivelse

8.1.1 Begrebet differentiabel funktion

Hvis grænseværdien for en funktion eksistere i et punkt

P0(x0 , y0) , er funktionen differentiabel i P0 .

Hvis grænseværdien for x∈Dm( f ) – alle x-værdier i

Dm for funktionen ƒ –, så er funktionen differentiabel.

8.1.2 Betydningen af differentialkvotient

Differentialkvotienten er tangentens hældning i et givet punkt på grafen for en differentiabel

funktion – dvs. differentialkvotienten udtrykkes når vi lader differenskvotientens ∆x gå mod nul.

f (x )=x2

f ' (x)= lim∆ x→ 0

(∆ x+2x)=2x

8.2 Differentiation af en sum


1.∆ f∆ x

→ f (x+∆ x)+g (x+∆ x)− f (x)−g (x)(x+∆ x)−x

Herefter reducere vi og omformulere udtrykket – her kan beviset allerede ses.

2.f (x+∆ x)+g ( x+∆ x)− f ( x)−g ( x)

( x+∆ x)−x→ f ( x+∆ x)− f (x)

∆ x+ g (x+∆ x)−g (x )

∆ x

Vi opstiller sidste trin, og lader ∆x gå imod nul.

3. lim ¿∆ x→0

( f (x+∆ x)− f ( x)∆ x

+ g (x+∆ x)−g (x )∆ x

)= f ' (x)+g ' (x)

of 47

lim∆x →0

( ∆ f∆ x

)∃

lim∆x →0

(f ( x0+∆x )− f (x0)

∆ x)∃!

8.3 Differentiationsregneregler

8.3.1 Regler i hht. omformulering

( f (x )± g (x)) '= f (x) ' ± g (x )' – Led kan differentieres hver for sig.

(k · f ( x))'=k · f ' (x) – Konstanter i led kan ganges ind bagefter.

( f (x )· g (x))'= f (x) · g ' (x)+g (x) · f ' (x) – Gangeregel, for udvidelse af udtrykket.

( f (x)g (x)

) '= f ' (x) · g ( x)− f ( x) · g ' (x)(g (x))2 – Divisionregel, for udvidelse af udtrykket.

8.3.2 Regler i hht. konkrete tilfælde

f (x )=ax+b → f ' ( x)=x – Konstanter forsvinder.

f (x )=x2 → f ' ( x)=2x – nxn−1

f (x )=x3 → f ' ( x)=3x2 – nxn−1

f (x )=xn → f ' ( x)=nxn−1 – nxn−1

f (x )=1x

→ f ' (x)=−1

x−2 –−(a)x−2

f (x )=ex → f ' ( x)=e x – Se punkt 4.6 for regel bevis.

f (x )=ax → f ' (x)=ln (a )· a x – Se punkt 4.6 for regel bevis.

f (x )=bekx → f ' ( x)=bkekx – Se punkt 4.6 for regel bevis.

f (x )=ln (x ) → f ' (x)=1x

– (k · ln (x )) '= kx

of 47


Gør rede for bestemmelsen af monotoniforhold for en differentiabel funktion.

Fortæl om 3-trinsreglen og bring et selvvalgt eksempel.

Vis også et eksempel på optimering.

9.1 Beskrivelse

9.1.1 Monotoniforhold

Monotoniforhold er en beskrivelse af en funktions vækst og er defineret ud fra f ' (x) over

intervaller – f. eks. at funktionen går fra at være stigende (til konstant) til aftagende.

• f ' (x0)>0 – Så er funktionen voksende i x(0) .

• f ' (x0)<0 – Så er funktionen aftagende i x(0) .

• f ' (x0)=0 – Så er funktionen konstant i x(0) (lokalt extremum).

9.2 Tre-trinsreglen

9.2.1 Første trin – Opstilning af ∆ƒ

∆ f = f (x+∆ x)− f ( x)

9.2.2 Andet trin – Differenskvotient / Sekantens hældning

∆ f∆ x

=f (x+∆ x)− f ( x)

( x+∆ x)−x→

f (x+∆ x)− f (x)∆ x

9.2.3 Tredje trin – Differentialkvotient / Grænseværdien

f ' ( x)= lim∆ x→ 0

(f ( x+∆ x)− f (x)

∆ x)

of 47

9.3 Optimering

Eksemplet går ud på at optimere en æske, hvor udgangspunktet er et flat stykke pap, og hvor vi har

dimensionerne deraf – længden 16 og bredden 8.

Vi vil nu finde den bedst mulige værdi for højden, som vi vil kalde x.

Vi starter med at finde nogle udtryk for, hvor pappet skal foldes i længde og bredde – og da den skal

foldes ved x to steder, så vil hhv. længde og bredde se således ud; l=(16−2x ) b=(8−2x) .

Når vi nu har et udtryk for to dimension af æsken indfører vi den tredje dimension, x.

R(x)=x (16−2x)(8−2x) – Funktionen R beskriver æskens rumfang.

R(x)=4x3−48x 2+128x – Omskrevet til alm. polynomium forskrift.

Nu skal vi finde ud af hvornår æskens rumfang R er størst, og det gør vi ved at differentiere R og

efterfølgende finde toppunkt (maximum) – R' (x )=0 .

R' (x )=12x 2−96x+128 – Opskrivning af den differentierede funktion.

Hvis vi ikke umiddelbart kender til grafen eller kan visualisere den, kan vi starte med at udregninge

diskriminanten, som vil fortælle os noget om hvor mange løsninger andengradsligningen måtte have.

Det er smart fordi, hvis vi ud fra diskriminanten kan se der kun er én løsning, ville vi kunne bruge

toppunktsformlen, hvorimod hvis der er to kan vi risikere at få et forkert resultat (minimum).

d=b2−4ac →−962−4∗12∗128=3072 – Da d>0 er der to løsninger, dvs. vi skal bruge nul-punktsformlen i stedet for toppunktsformlen.

Nu indsætter vi konstanterne i nul-punktsformlen og udregner de to nulpunkter.

x=−b ± √d2a

→ 96 ±√30722 ·12

={x1≈ 1.69x2≈ 6.31

} – Dvs. i ca. 6.31 og 1.69 har grafen vandret tangent.

Herfra kan vi gøre én af to ting, for at finde ud af hvilken et af de to x-værdier som er maximum.

Vi kan simpelthen indsætte x-værdierne i R (x ) og se hvilken y-værdi der er størst, eller vi kan

udregne hældningen til tangenten for grafen i intervallerne før, mellem og efter x-værdierne, således

at vi danner en oversigt over monotoniforholdet for funktionen.

R' (1) 44 – Position tangenthældning, funktionen er da voksende.

R' (1.69) 0 – Vandret tangent (lokalt maximum)

R' (4) −64 – Negativ tangenthældning, funktionen er da aftagende.

R' (6.31) 0 – Vandret tangent (lokalt minimum)

R' (8) 128 – Position tangenthældning, funktionen er da voksende.

of 47

10 Integralregning

Gør rede for begrebet stamfunktion og for regnereglerne for ubestemte integraler.

Gør rede for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.

10.1 Beskrivelse

10.1.1 Begrebet stamfunktion

Da integralregning er differentialregningen's modsætning, vil integration – eller

stamfunktionsbestemmelse – afgive et funktionsudtryk som, hvis differentieret, ville være den

oprindelige funktion – vi betegner stamfunktion som regel ved stort bogstav af den oprindelige.

∫ f ( x)dx=F (x) ∴ F ' (x)= f (x)

Som vist ovenfor er F (x ) stamfunktion til f (x ) , derfor (∴ er et matematisk tegn for

'derfor') må f (x) være den afledte funktion af F ( x) .

10.1.2 Regneregler for konkrete tilfælde

f (x )=a → f (x )=ax+k – …

f (x )=x → f (x )=12x2+k –

an+1

xn+1+k bemærk a=1 .

f (x )=x2 → f (x )=13x3+k –

an+1


f (x )=xn → f (x )= 1n+1

xn+1+k –a

n+1xn+1+k bemærk a=1 .

10.1.3 Regneregler for omformulering

Alle regneregler for integralregning bevises vha. differentiering af udtrykkene.

∫a

b

f ( x)± g ( x)dx=∫a

b

f (x )dx ±∫a

b

g (x)dx – Led kan integreres hvor for sig.

∫a

b

c · f (x )dx=c ·∫a

b

f (x )dx – Gange-konstanter kan rykkes udenfor.

of 47

10.2 Ubestemte integraler

Det ubestemte integral er stamfunktionen til den givne funktion der integreres – dvs. i modsætning

til bestemt integral, som afgiver et tal-resultat, vil det ubestemte integral afgive et funktionsudtryk.

∫ f (x)dx=F (x ) – Når vi integrerer f (x) afgiver det stamfunktionen F ( x) .

Når vi differentiere går konstanter tabt, dvs. at ved integration af en funktion kan der være uendeligt

mange stamfunktioner, da vi ikke kan kende disse konstanter – derfor, hvis vi vil definere alle

stamfunktioner tilføjer vi + k til udtrykket (ie. ∫(3x2+2x+1)dx= x3+x2+x+k ).

10.3 Sammenhængen med areal

Det bestemte integral beskriver arealet under kurven i et bestemt interval – deraf bestemt integral.

10.3.1 Eksempel

Hvis vi nu tager en vilkårlig funktion f (x)=−3x2+15x og vil finde arealet under kurven i

intervallet [0;5], så integrerer vi i dette interval.

A=∫0

5

f (x )dx=[F (x)=7.5x2−x3]05 →F (5)−F (0)=62.5

Vi gennemgår lige hele udtrykket, led for led, og angiver dets betydning.

A – Variablen A beskriver det færdige resultat, arealet.

∫0

5

f ( x )dx – Integral opstilling, bestemt i intervallet [0;5] – dx betyder mht. x.

[F ( x)=7.5x2−x3]05 – F ( x) beskriver stamfunktionen, og klammerne betyder intervallet.

F (5)−F (0) – Dette er en simplificering af interval-udregningen.

Man skal være opmærksom på at, når man integrerer for at bestemme arealet under kurven at,

kurven kan være negativ i nogle intervaller – dette gør man op for ved at integrerer over flere

intervaller, og vender fortegnet de steder hvor der måtte være negative y-værdier – tilhørende Vm.

10.3.2 Eksempel: Areal mellem to kurver

For at bestemme arealet mellem to kurver integrerer vi begge funktioner og trækker den

overlappende graf fra den underliggende – dvs. A2−A1 .

∫a

b

( f (x)−g (x ))dx=[F (x)]05−[F ( x)]0

5→(F (5)−F (0))−(G (5)−G (0))=A

of 47

11 Integralregning

Gør rede for begrebet stamfunktion og for regnereglerne for bestemte integraler.

Gør rede for sammenhængen mellem areal og bestemt integral.

11.1 Beskrivelse

11.1.1 Begrebet stamfunktion

Da integralregning er differentialregningen's modsætning, vil integration – eller

stamfunktionsbestemmelse – afgive et funktionsudtryk som, hvis differentieret, ville være den

oprindelige funktion – vi betegner stamfunktion som regel ved stort bogstav af den oprindelige.

∫ f ( x)dx=F (x) ∴ F ' (x)= f (x)

Som vist ovenfor er F ( x) stamfunktion til f (x) , derfor (∴ er et matematisk tegn for

'derfor') må f (x) være den afledte funktion af F ( x) .

11.1.2 Regneregler for konkrete tilfælde

f (x )=a → f (x )=ax+k – …

f (x )=x → f (x )=12x2+k –

an+1


f (x )=x2 → f (x )=13x3+k –

an+1


f (x )=xn → f (x )= 1n+1

xn+1+k –a

n+1xn+1+k bemærk a=1 .

11.1.3 Regneregler for omformulering

Alle regneregler for integralregning bevises vha. differentiering af udtrykkene.

∫a

b

f ( x)± g ( x)dx=∫a

b

f (x )dx ±∫a

b

g (x)dx – Led kan integreres hvor for sig.

∫a

b

c · f (x )dx=c ·∫a

b

f (x )dx – Gange-konstanter kan rykkes udenfor.

of 47

11.2 Bestemte integraler

Det bestemte integral beskriver arealet under kurven i et bestemt interval – deraf bestemt integral. I

modsætning til et ubestemt integral, som afgiver et funktionsudtryk, afgiver bestemte et tal-resultat –

f. eks. arealet under kurven.

Når vi opskriver et bestemt integral kalder vi startværdien af arealet for den nedre grænse, og

slutværdien for den øvre grænse – dvs. at vi integrerer fra nedre grænse til øvre grænse.

11.3 Sammenhængen med areal

11.3.1 Eksempel: Areal under kurven

Hvis vi nu tager en vilkårlig funktion f (x )=−3x2+15x og vil finde arealet under kurven i

intervallet [0;5], så integrerer vi i dette interval.

A=∫0

5

f ( x)dx=[F (x )=7.5x2−x3]05 →F (5)−F (0)=62.5

Vi gennemgår lige hele udtrykket, led for led, og angiver dets betydning.

A – Variablen A beskriver det færdige resultat, arealet.

∫0

5

f ( x )dx – Integral opstilling, bestemt i intervallet [0;5] – dx betyder mht. x.

[F ( x)=7.5x2−x3]05 – F (x ) beskriver stamfunktionen, og klammerne betyder intervallet.

F (5)−F (0) – Dette er en simplificering af interval-udregningen.

Man skal være opmærksom på at, når man integrerer for at bestemme arealet under kurven at,

kurven kan være negativ i nogle intervaller – dette gør man op for ved at integrerer over flere

intervaller, og vender fortegnet de steder hvor der måtte være negative y-værdier – tilhørende Vm.

11.3.2 Eksempel: Areal mellem to kurver

For at bestemme arealet mellem to kurver integrerer vi begge funktioner og trækker den

overlappende graf fra den underliggende – dvs. A2−A1 .

∫a

b

( f (x)−g (x ))dx=[F (x)]05−[F ( x)]0

5→(F (5)−F (0))−(G (5)−G (0))=A

of 47

12 Trigonometri

Gør rede for retvinklede trekanter, udled formler til beregning af sider og vinkler i

sådanne trekanter.

Gennemgå et bevis for Pythagoras' sætning.

12.1 Beskrivelse

12.1.1 Retvinklede trekanter

Den retvinklede trekant (også kaldt en Pythagoriansk trekant) har den egenskab, at dens ene vinkel,

ofte kaldt vinkel C som ud fra Pythagoras' læresætning, er 90° – eller vinkelret, deraf retvinklet.

12.2 Udledning af formler

12.2.1 Vinkelsum

Enhver trekant har en vinkelsum på 180°, for udledning af formel af denne sætning skal man

undersøge forholdet mellem vinkelsummen og polygonet's sideantal.

180° 360° 540° 720°

Ud fra denne perspektivering kan vi se at vinkelsummen stiger med 180° for hver kant tilføjet til den

geometriske figur. Vi kan derfor opstille en formel der beskriver dette som V n=180° (n−2) .

12.2.2 Sinus og cosinus

De to trekanter afbilledet er ensvinklede, hypotenusen i den lille er lig

med 1, da punktet P ligger på enhedscirklen – derfor må

forstørrelsesfaktoren være c. Ud fra dette kan vi se at;

b=c ·cos(A)→cos(A)= bc

og a=c ·sin (A)→cos(A)=ac

12.2.3 Tangens

tan (A)=sin (A)cos(A)

=

acbc

=ab

of 47

12.3 Pythagoras' læresætning

Pythagoras' læresætning kan bevises på mange måder – faktisk flere hundrede. Jeg har valgt at at

bruge en forholdsvis nem og enkelt måde at føre beviset på.

Figuren til venstre viser 4 ens trekanter opstillet således at de danner en

firkant i midten.

Vi starter med at bevise at alle vinkler inde i firkanten er 90°, og det

gør vi vha. vinklerne til trekanterne. Vi kender den rette vinkel i

trekanterne, vi kender dog ikke de andre to – dem kalder vi hhv. x og y.

Vinkelsummen vil dermed være x + y + 90° = 180°, og x + y = 90°.

Der hvor vi har vinklerne til firkanten, som er ens pga. symmetrien,

mødes vinklen med x og y – vi kan derfor sige at 180 – (x + y) = z, hvor z beskriver firkantens vinkler.

Herefter etablere vi nogle udtryk for arealet af hhv. den store firkant, den lille firkant og trekanten.

(a+b)(a+b)→(a+b)2→ a2+b2+2ab

c · c eller c2– Husk at vi har bevist den rette vinkel og symmetrien.

12ab eller ab

2– Husk på at vi har 4.

Vi bemærker at udtrykket for den indvendige firkant plus de 4 trekanter bør være lig med arealet for

den store firkant – vi sætter derfor en ligning op der beskriver dette, og forsøger at løse for c.

a2+b2+2ab=c2+4( 12ab) – Opskrivning af udtrykket.

a2+b2+2ab=c2+2ab – Ganger parentesen ud.

a2+b2=c2 – Fjerner 2ab på begge sider.

Og således står vi tilbage med Pythagoras' læresætning.

of 47

13 Trigonometri

Udled cosinus- og sinusrelationerne og diskuter deres anvendelse.

Opstil andre formler til brug i specielle trekanter.

13.1 Beskrivelse

13.1.1 Definition

sin (A)= ac

cos (A)=bc

tan (A)=sin (A)cos(A)

= ab

13.1.2 Sinusrelationerne

Sinusrelationerne anvendes hvis man skal finde en sidelængde eller vinkel hvor man har én

ubekendt i et par – par forstået på den måde at hver af udtrykkene er et par (ie.a

sin (A) ).

asin (A)

= bsin(B)

= csin (C )

=2R – Sidebestemmelse, hvor R beskriver radius for trekantens

omskrevne cirkel fra trekantens midtnormal.

sin (A)a

= sin(B)b

=sin (C )c

– Vinkelbestemmelse – kan give to løsninger (kun én rigtig).

Man kan gøre prøve om den rigtige vinkel er fundet ud fra reglen om vinkelsum (180°) i en trekant.

13.1.3 Cosinusrelationerne

Cosinusrelationerne anvendes når man ikke kender et par, som i sinusrelationerne, anvendelsen er

den samme ellers – side- og vinkelbestemmelse.

a2=b2+c2−2bc ·cos (A) – Ved sidebestemmelse af a. A og hosliggende sider skal kendes.

b2=a2+c2−2ac ·cos(B) – Ved sidebestemmelse af b. B og hosliggende sider skal kendes.

c2=a2+b2−2ab ·cos(C ) – Ved sidebestemmelse af c. C og hosliggende sider skal kendes.

cos (A)=b2+c2−a2

2bc– Ved vinkelbestemmelse af A – alle tre sider skal kendes.

cos (B)=a2+c2−b2

2ac– Ved vinkelbestemmelse af B – alle tre sider skal kendes.

cos (C )=a2+b2−c2

2ab– Ved vinkelbestemmelse af C – alle tre sider skal kendes.

of 47

13.2 Udledning af sinusrelationerne

Når vi vil udlede sinusrelationerne, skal vi først opskrive en vilkårlig trekant som vi kan bruge til at

visualisere beviset.

13.2.1 For trekant med højden indeni

Vi ser i trekant ABC at højden h som ligger inde i trekanten,

umiddelbart kan udtrykkes på to måder, nemlig vha. sinus til

vinklen A og sinus til vinklen C, da højden h opdeler trekanten

i to, således at vi har to retvinklede trekanter – derfor gælder

sinus og cosinus reglerne for retvinklede trekanter.

Vi starter med at identificere udtrykkene hvor h vil indgå. sin (A)=hc

sin (C )=ha

Herefter isolere vi udtrykkene for h. c ·sin (A)=a ·sin (C )

Vi dividere nu med hhv. sin (A) og sin (C ) .a

sin (A)= c

sin(C )

Og således står vi tilbage med to af udtrykkene som indgår i sinusrelationerne – ønsker man at finde

det tredje udtryk, vender man bare trekanten således at grundlinjen for højden h ligger én af de

andre sider i trekanten – |AB| eller |BC|.

13.2.2 For trekant med højden udenfor

Hvis højden h ligger uden for trekanten skal vi, ligesom i første bevis,

have fundet to udtryk for højden h – vi skal her være opmærksomme

på at vi ikke kender vinklen til C i den udvidet trekant.

Vi ser at hvis vi forlænger grundlinjen til at møde linjen for højden vil

sinus til vinklen A gælde, da det da vil være en retvinklet trekant.

For at finde det andet udtryk for højden h, ser vi i den udvidet trekant at vi ikke kender vinklen til C,

men at vi kender vinklen C for den alm. trekant – vi gør derfor brug af enhedscirklen for at bevise at

sinus af begge disse vinkler vil være lig med hinanden. Den ubekendte C må være 180° - C.

I enhedscirklen aflæser vi sinus på y-aksen, vi plotter da vores to C værdier

ind i koordinatsystemet og ser ved aflæsningen at deres sinus værdier er ens.

Vi har dermed fundet de samme to udtryk for h som før, og igen som i første

bevis kan man blot bruge en anden grundlinje til højden for at finde sidste

udtryk for h – |AB| eller |BC|.

of 47

13.3 Udledning af cosinusrelationerne

På samme måde som da vi udledte sinusrelationerne, starter vi med at opskrive en vilkårlig trekant

som vi kan bruge til at visualisere beviset.

13.3.1 For trekant med højden indeni

Vi opdeler trekanten med linjen for højden h af trekanten, og angiver

nogle udtryk for den opdelte grundlinje – hhv. x og b−x .

Nu skal have beskrevet højden h vha. Pythagoras' læresætning for

begge trekanter – vi leder altså efter to måder at udtrykke højden h.

c2=(b−x)2+h2 →h2=c2−(b−x)2 og a2=x2+h2 →h2=a2−x2

Nu da vi har to udtryk for h i anden, kan vi sætte dem lig hinanden og formulere ligningen.

c2−(b−x)2=a2−x2 – Opstilning af ligningen.

c2=a2−x2+(b−x)2 – Isolering af c2 på venstresiden.

c2=a2−x2+b2+x2−2bx – Ganger parentesen på højresiden ud.

c2=a2+b2−2bx – Fjerner led der går ud med hinanden.

c2=a2+b2−2ab cos(C ) – Da x=a· cos(C ) erstatter vi x .

13.3.2 For trekant med højden udenfor

Vi starter med at udvide trekanten, så dens grundlinje og linjen for

højden h mødes – vi kalder det forlængede stykke for x.

Nu skal vi, som før, have beskrevet h vha. Pythagoras' læresætning for

begge trekanter – den store og lille.

c2=(b+x)2+h2 →h2=c2−(b+x)2 og a2=x2+h2 →h2=a2−x2

Nu da vi har to udtryk for h i anden, kan vi sætte dem lig hinanden og formulere ligningen.

c2−(b+x)2=a2−x2 – Opstilning af ligningen.

c2=a2−x2+(b+x)2 – Isolering af c2 på venstresiden.

c2=a2−x2+b2+x2+2bx – Ganger parentesen på højresiden ud.

c2=a2+b2+2bx – Fjerner led der går ud med hinanden.

c2=a2+b2−2ab cos(C ) – Da x=a· cos(180−C ) og cos (180−C )=cos(C ) erstatter vi x.

Og dermed er cosinusrelationerne bevist.

of 47

14 Statistik

Gør rede for de deskriptorer og grafiske fremstillinger, man gør brug af i forbindelse

med grupperede observations-sæt (deskriptiv statistik).

Du skal desuden komme ind på mindst 1 anden fordeling og fortælle om

denne/disses anvendelsesområde.

Du må gerne bygge gennemgangen på et konkret talmateriale.

14.1 Beskrivelse

14.1.1 Deskriptiv statistik

Orienteringen og udregningen af talmateriale, hvor enkelte målinger kaldes observationer, alle

målinger kaldes observations-sæt, og antallet af observationer i sættet kaldes sættets størrelse – herunder

vil jeg også referer til hhv. observationer som enkelte data, og observations-sættet som data-sættet.

14.1.2 Anvendelsesområder

Deskriptiv statistisk anvendes mange steder til at danne overblik over større talmateriale.

14.2 Fordelinger

14.2.1 Normalfordeling

Anvendes ved observations-sæt hvor der er flere muligheder, og her er det svaret der er den

afgørende data, i modsætning til den binomiale fordeling, hvor det er den der svarede.

Eksempel: 50% i alderen 20-25 år stemte på et bestemt politisk parti – mere end to svarmuligheder.

14.2.2 Binomialfordeling

Denne type fordeling er anvendt, hvis der er tale om binær data – dvs. at observationen er enten

eller (f. eks. ja og nej), og statistikken opgøres ud fra hvilke der sagde 'ja' og hvilke der sagde 'nej'.

Eksempel: 5% i alderen 20-25 år svarede at de ikke stemte på til politiske valg – to muligheder.

of 47

14.3 Grafiske fremstillinger

Statistik kan afbilledes på mange måder, hvor hver metode viser data-sættet på en måde således at

det angiver noget specifikt om data-sættet – f. eks. er en summeret frekvenskurve nem at aflæse

kvartilsættet ud fra.

14.3.1 Histogram

Afrunding i intervaller (f. eks. i intervallet 5, ville observationen 12 blive 10), hvor y er procent.

14.3.2 Kumulerede frekvenser

Intervalinddelt ligesom histogrammet, men hvor frekvenser er aflæst som kumulerede på y-aksen,

dvs. det aflæst data hører til intervallets højreside kun.

14.3.3 Sum-kurve

I koordinatsystem, hvor x-aksen beskriver observations-sættets værdier og y-aksen beskriver den

kumulerede frekvens – dvs. frekvensen stiger kun i dette system (starter fra 0.0 og går til 1 – 100%).

14.3.4 Boksplot

Består af en x-akse, hvorpå der aftegnes hhv. mindste-værdi (minimum), nedre kvartil, median,

øvrekvartil og største-værdi (maksimum).

of 47

14.4 Deskriptorer

En statistisk deskriptor er et tal beregnet ud fra data-sættet, som angiver specifik information om

data-sættet, samt individuelle data observationer – f. eks. består kvartilsættet af 3 deskriptorer.

14.4.1 Hyppighed

Et antal af observationer med en bestemt egenskab – f. eks. 5 observationer med samme egenskab i

hele data-sættet, derfor er hyppigheden 5 i pågældende data-sæt, med denne egenskab (eg. alder).

14.4.2 Frekvens

Frekvensen er procenten der forekommer af en bestemt observation.

f =hn

– hvor h beskriver hyppigheden, og n beskriver det samlede antal observationer.

14.4.3 Middeltal

Gennemsnittet for et observations-sæt.

x=1n∑i=1

n

xi eller x=x1+x2+...+xn

n– hvor n beskriver antallet af observationer.

14.4.4 Varians

Mål for distributionen af tal i data-sættet – hvor langt fra hinanden observationerne er, eller variere.

v=1n∑i=1

n

(x i− x)2 eller v=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+...+(xn−x)2] – n er antallet af observationer.

14.4.5 Spredning

Mål for observations-sættets midte og variation.

s=√v

of 47

14.4.6 Kvartil-sæt – Nedre kvartil

Også kaldt 1. kvartil, beskriver det nedre kvartil at 25% af målingerne i data-sættet er mindre end

den x-værdi som aflæses ud fra den kumulerede frekvens på sum-kurven i x = 0.25.

14.4.7 Kvartil-sæt – Median kvartil

Også kaldt 2. kvartil, beskriver median kvartilet at 50% af målingerne i data-sættet er mindre end

den x-værdi som aflæses ud fra den kumulerede frekvens på sum-kurven i x = 0.50.

14.4.8 Kvartil-sæt – Øvre kvartil

Også kaldt 3. kvartil, beskriver det øvre kvartil 75% af målingerne i data-sættet er mindre end den

x-værdi som aflæses ud fra den kumulerede frekvens på sum-kurven i x = 0.75.

of 47

mathematics b disposition

Documents