mathematica passo a passo 1

Tutorial

Mathematica v5.0 para Windows

Filipe Antnio Marques Falcetta RA 043576 Clculo 1 MA111C Professor Mrcio Antnio de Faria Rosa

Universidade Estadual de Campinas Unicamp 2 Semestre/2005

Segunda reviso realizada em outrubro/2006

ndice

Introduo ao Mathematica 4 Histrico e Caractersticas 4 Obteno do Software 6 Primeiros contatos 6 Manipulao de funes 8 Funes do Mathematica 11 Grficos Simples em 2D 11 Grficos parametrizados 12 Grficos polares e de funes implcitas 13 Resoluo de equaes 15 Opes dos comandos 16

Grficos em 3D:

Grficos em 3D Simples 17 Pontos de vista 18 Curvas de nvel 20 Grficos em 3D paramtricos 21 Superfcies de revoluo 22 O comando Show 23

Mathematica no Clculo 1:

Limites 24 Derivadas 25 Integrais 27


Funes vetoriais 28 Derivadas parciais 29 Mximos e mnimos Vetor Gradiente e Matriz Hessiana 30 Integrais duplas e triplas 31 Rotacional e divergente 31


Equaes diferenciais e sistemas 32 Seqncias e sries 34

Manipulando listas:

Criando listas 36 Operaes importantes 37 O bsico sobre matrizes 37

Para aprender mais 38

Apndices:

1) Escrevendo em linguagem matemtica 40 Teclas de Atalho 41 2) Funes internas para avaliao de certas integrais 42 3) Resolvendo Exerccios -Reta tangente curva 43 -Taxas relacionadas 45 -Mximos e mnimos 45 -rea entre curvas 47 -Volumes de slidos 48 -Comprimento de arcos 49 -Planos tangentes 50 -Aplicaes de equaes diferenciais 51

Concluso 54 Referncias Bibliogrficas 54

4

Introduo

O software Mathematica, ao lado de outros softwares tambm conhecidos (Maple, Mxima, Octave, MatLab, Mupad etc) um CAS (Computer Algebraic System algo como Sistema Algbrico Computacional).

Um CAS um programa que busca facilitar o clculo em matemtica simblica, ou seja, atravs de um CAS, possvel calcular com a mesma formalidade do clculo no papel, seguindo-se as mesmas regras, e, nos CASs mais modernos, utilizando-se das mesmas notaes.

Este tutorial foi desenvolvido para mostrar alguns conceitos do Mathematica, bem como aproveitar seus recursos para o estudo de Clculo.

A verso utilizada no tutorial a 5.0.

Histrico e Caractersticas Tcnicas

O Mathematica comeou a ser desenvolvido em 1986 por Stephen Wolfram, o qual lanou a primeira verso em 1988.

Mathematica uma linguagem de programao que suporta criao de novas funes e procedimentos abrindo espao para a completa edio do software, para que ele seja modificado de modo a suprir as necessidades do usurio. implementada em uma variante do C (orientada a objetos).

Neste software, a linguagem interpretada por uma kernel (ncleo) que realiza todos os clculos, tornando o sistema independente da plataforma que se deseja operar (de fato, existem verses para Windows, Macintosh e Linux no mesmo disco de instalao).

O Mathematica tambm suporta variadas interfaces (JMash, por exemplo), embora a mais comum seja a interface padro, j bem completa e com boa receptividade do usurio (servindo tanto para usurios comuns, como para usurios que realizam clculos avanados).

Este software ainda um poderoso editor de textos, de pginas da Web e importantssimo para o estudo das mais variadas cincias.

A verso mais recente a 5.2, de Julho/2005. Abaixo so listadas as mais importantes modificaes do Mathematica verso a verso.

1988: Mathematica 1.0 Verso inicial lanada.

1989: Mathematica 1.2 Lanada interface para Macintosh.

5

1991: Mathematica 2.0 Interface para Windows; Protocolo Mathlink para comunicao em rede; Deteco/correo de erros; Suporte a sons; Utilizao de grficos paramtricos em 3D.

1992: Mathematica 2.1 Suporte ao Windows 3.1; Melhoria do Mathlink, tanto para Unix, como para Mac.

1993: Mathematica 2.2 Novas interfaces separadas entre si; Mathlink para Windows; Servio de auxlio aprimorado.

1996: Mathematica 3.0 Melhoria na interface e no mtodo de clculo; Suporte ao Windows 95.

1999: Mathematica 4.0 Melhoria na velocidade dos clculos, no uso de memria; Licenas em rede para corporaes.

2000: Mathematica 4.1 Verso para MacOS X (4.1.5 lanada em 2001); Suporte a XML; Integrao com Java.

2002: Mathematica 4.2 Plataforma Java integrada; Melhoria na programao de funes.

2003: Mathematica 5.0 Melhoria na utilizao das extenses dos processadores; Incio do suporte a 64-bits; Incluso de um tutorial interativo.

2004: Mathematica 5.1 Criao da ferramenta de anlise MathematicaMark, esta ferramenta possibilitou a abertura de um novo campo para o Mathematica, que passou a atuar na anlise de

6

processamento, importante em uma era da informtica em que os processadores ficam cada vez mais poderosos.

2005: Mathematica 5.2 Avano no suporte a hardware 64-bits.

Obteno do Software:

O Mathematica um software comercial que deve ser adquirido no site da produtora (http://store.wolfram.com) ou em autorizadas em variados pases do mundo, incluindo o Brasil. A loja autorizada a vender o produto em nosso pas a Advanced Technology Solutions Ltda., com sede na Barra da Tijuca, Rio de Janeiro.

Existem licenas especiais para pessoas fsicas, estudantes, governos e universidades, cada qual com seus recursos e limitaes. O preo varia de acordo com a licena escolhida, a verso profissional padro custa aproximadamente US$ 2.000.

Para os que desejam apenas testar o programa e os recursos, a Wolfram Research Inc. oferece uma verso shareware (do tipo teste antes de comprar), que funciona por 15 dias e possui todas as funes da verso completa, no podendo salvar os clculos efetuados.

Para isso, basta acessar o site http://www.wolfram.com/products/mathematica/trial.cgi, fazer o cadastro, escolher a plataforma e aguardar o trmino do download. A verso 5.2 para Windows representa um download de 153mb aproximadamente.

Primeiros contatos com o programa

Assim que voc abre o programa, desconsiderando a tela de tutorial, esta a interface padro da verso 5.0:

(pequenas alteraes podero ocorrer se voc estiver usando uma verso mais recente).

7

Para se fazer qualquer tipo de operao, basta digit-la na seo notebook (da mesma forma que se faria utilizando-se um papel) seguida de + , comando que executa as operaes no Mathematica. Observe:

As operaes aritmticas simples so similares a todos os programas de clculos no computador (incluindo-se a prpria calculadora do Windows, por exemplo):

+ para adio; - para subtrao; * para multiplicao; / para diviso; ^ para potncia.

O Mathematica sempre procura fazer a melhor aproximao para o resultado obtido. Por exemplo, iremos calcular a diviso 5 por 2 e a raiz de 3.

8

Para se obter o smbolo de raiz, basta clicar no boto correspondente na barra de ferramentas.

Maneiras alternativas de se obter a raiz de um nmero (vistas com detalhe nas prximas sees deste tutorial):

1) Escrever a funo Sqrt[x], onde x o nmero que se deseja a raiz quadrada;

2) Utilizar a tecla de atalho Ctrl+2;

Observe que os resultados retornados no foram nem um pouco amigveis. Para se obter o resultado numrico, basta digitarmos N[expresso, num_casas]. O comando % retorna o resultado anteriormente obtido. Assim:

Note que no foi determinado o nmero de casas desejado para a diviso. Quando isso ocorre o Mathematica utiliza o padro de 5 casas, ou at o ltimo algarismo significativo.

J para a raiz quadrada, foi obtida com o valor numrico, na preciso esperada, de 20 casas decimais.

O Mathematica tambm , por excelncia, um manipulador de funes numrico-algbricas, e possui vrios comandos integrados para este tipo de operao numrica.

Factor[expresso] fatora expresses; Expand[expresso] realiza a distributiva nos produtos;

9

Together[expresso] calcula a soma de fraes; Simplify[expresso] obtm a forma mais simplificada.

Veja:

Outros comandos teis do Mathematica possibilitam a Composio de Funes:

Nest[f[x],x,n] compe uma funo de x, n vezes. Composition[f1,f2,f3,...fN][x] Compe as n funes

colocadas no comando.

Observao: F[g[x]] tem o mesmo efeito que Composition[F,g][x].

O Mathematica extremamente verstil e permite que voc defina suas prprias funes, facilitando os clculos, impedindo que voc digite vrias vezes, por exemplo.

Para definir uma funo no Mathematica, utilize-se da sintaxe:

Nome_funcao[var1,var2,...,varN_] := expressao

10

Para excluir uma definio, seja de funes ou de variveis, use o comando Clear[nome_funcao]

Observe:

O Mathematica testa sentenas lgicas, bastando digit-las da forma que se faria no papel. Para elas, ele retorna True (verdadeiro) ou False (falso).

No software, tudo muito simples:

11

O Mathematica apresenta uma vasta biblioteca de funes matemticas pr-definidas, abaixo so listadas as mais utilizadas e seu significado:

Abs[x] Mdulo (valor absoluto) de um nmero/expresso. Exp[x] Exponencial. Equivale ao nmero e, elevado a x. Log[x] Funo logaritmo natural. Log[b,x] Logaritmo de x, na base b. Sin[x] Seno Cos[x] Cosseno Tan[x] Tangente Sec[x] Secante Csc[x] Cossecante Cot[x] Cotangente

Funes Trigonomtricas

ArcSin[x] Arco Seno ArcCos[x] Arco Cosseno ArcTan[x] Arco Tangente ArcSec[x] Arco Secante ArcCsc[x] Arco Cossecante ArcCot[x] Arco Cotangente

Funes Trigonomtricas Inversas

Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x] Sech[x] Csch[x] Coth[x] ArcSinh[x] ArcCosh[x] ArcTanh[x] ArcSech[x] ArcCsch[x] ArcCoth[x]

O Mathematica tambm possui uma gama de funes hiperblicas correspondentes cada uma das funes

trigonomtricas clssicas.

Trabalhando com as funes do Mathematica

Plotando Grficos Simples em 2D

Muitas vezes deseja-se fazer um grfico de uma funo, neste software isso feito diretamente, digitando-se basicamente Plot[f[x],{x,xmn,xmx}].

Por exemplo:

12

Grficos parametrizados no plano

Pode-se fazer facilmente o grfico de uma circunferncia utilizando-se o comando ParametricPlot (Sintaxe: ParametricPlot[{x(t),y(t)},{x,xmn,xmx},{y,ymn,ymx}])

Observe:

Note que o grfico no assumiu a forma de uma circunferncia, isso acontece pois os eixos no esto pr-

13

definidos com a mesma escala. Para que o grfico seja mostrado da maneira como espervamos devemos incluir a opo AspectRatio ->n, para que x e y tenham a mesma escala, n=1.

Grficos polares e de funes implcitas

O Mathematica apresenta vrios pacotes separados (conjuntos de instrues que no so carregados na inicializao do software, mas que podem ser utilizadas quando necessrio, bastando-se que sejam previamente chamadas).

As funes grficas apresentam inmeros pacotes. No plano, destacaremos dois conjuntos de instrues:

ImplicitPlot permite que o programa faa curvas no plano, sem parametriz-las (como elipses, hiprboles etc.)

Graphics permite ao Mathematica realizar facilmente grficos em coordenadas polares (de rosceas, cardiides, espiral de Arquimedes etc.), histogramas, grficos de barra,

14

logartmicos, grficos de setor, uma grande implementao aos tipos de grficos-padro que o software por si j realiza.

Para inicializar um pacote, deve-se utilizar a sintaxe:

15

...uma hiprbole.

Resolvendo equaes

Basta utilizar o comando Solve[(lado direito da equao) == (lado esquerdo da equao), incgnita].

Sistemas de equao tem sintaxe semelhante: Solve[{eq1,eq2,...,eqN},incgnitas].

Este comando capaz de resolver equaes (e sistemas de equaes) literais, numricas, trigonomtricas, entre todos os tipos de funes (com uma restrio: no devem ultrapassar grau 4).

Para as funes com grau maior que 4, temos funes alternativas como:

NRoots[polinmio1==polinmio2,x] FindRoot[polinmio1==polinmio2,{x,ponto}]

Enquanto que NRoots no necessita de mais nenhum argumento, no caso do FindRoot, necessrio que o usurio saiba algum ponto prximo da raiz em questo. Estes pontos podem ser obtidos por meio de um grfico, onde h o cruzamento com o eixo da varivel independente.

Assim:

16

Descobrindo opes para os comandos

Como o Mathematica apresenta inmeras opes e configuraes distintas para cada comando, a linguagem apresenta um mtodo simplificado de obter uma lista das opes que podem ser utilizadas e a sintaxe das mesmas. Basta digitar Options[comando].

Observe no software:

17

Plotando Grficos em 3D

Esta seo do tutorial foi inteiramente revista, com novas instrues e opces, bem como uma explicao mais aprofundada dos comandos em 3D do Mathematica.

Grficos em 3D simples

Primeiramente ser mostrada a sintaxe e o comando bsico de plotar em 3D: Plot3D, comando indispensvel para o estudo de Clculo 2, mostra grficos de 2 variveis em 3D.

Sintaxe: Plot3D[f[x,y],{x,xmn,xmx},{y,ymn,ymx}]

Por exemplo:

18

Para obter toda a funcionalidade da ferramenta, o Mathematica conta com um criador de pontos de vista (chamado em ingls de 3D Viewpoint Selector acionado pelo menu Input). Ele permite que o usurio escolha o ponto de vista que mais interessa.

Basta colocar uma vrgula aps o ltimo fechamento de chave e deixar o teclado posicionado ali, escolher o ngulo de viso digitando ou diretamente no cubo, e clicando em Paste.

A janela 3D ViewPoint Selector

19

Assim fica o grfico em um outro ngulo de viso. A parte destacada mostra a propriedade adicionada pela ferramenta.

Existem, assim como no comando Plot, vrias propriedades que podem ser adicionadas para tornarem o grfico mais limpo. Por exemplo:

Boxed : Escolhe se o grfico ter ou no bordas; Axes : Escolhe se o grfico ter ou no os eixos; Shading: Escolhe se o grfico ser pintado ou no; PlotPoints: Determina o nmero de pontos de uma figura; Mesh: Retira ou coloca linhas de construo.

E muitas outras opes. Cabe ao leitor dar uma procurada nelas e utiliz-las conforme o interesse.

Observe mais um grfico interessante:

20

Curvas de nvel

No Clculo 2, curvas de nvel possibilitam estudar os grficos em 3D, encontrando intervalos de crescimento e decrescimento, mximos e mnimos, no plano do papel. O Mathematica possibilita a construo de tais curvas utilizando-se para isso o comando ContourPlot, de sintaxe:

ContourPlot[f(x,y),{x,xmn,xmx},{y,ymn,ymx}]

Observe as curvas do grfico acima:

21

Grficos em 3D paramtricos

No Mathematica, possvel, alm de parametrizar grficos em 2D, proceder da mesma forma no espao. Bastando-se para isso, observar a sintaxe, idntica em 2D, porm, com uma varivel a mais. Observe:

ParametricPlot3D[{x(t),y(t),z(t)},{t,tmn,tmx}]

Assim fica o grfico do elipside, descrito pela equao

149

222

=++ zyx

, feito pelo Mathematica.

22

Grficos de superfcies de revoluo

Com o auxlio de mais um pacote do Mathematica, o SurfaceOfRevolution, como o nome sugere, permite a criao de superfcies de revoluo.

Lembre-se que antes de chamar o comando em si, necessrio utilizar a sintaxe

23

O comando Show combina grficos e pode resultar em formas interessantes se utilizamos a memria do programa (% para o ltimo resultado, %% para o penltimo etc). Ele combina grficos em 2 e 3 dimenses. Sendo til para cortes em superfcies, veja:

24

Um cone interceptando um parabolide.

O Mathematica para o Clculo 1

Inmeras funes do Mathematica podem ser implementadas no estudo do Clculo 1. Iremos estudar neste tutorial as mais bsicas e necessrias para o desenvolvimento dos exerccios propostos no livro-texto.

Clculo de Limites

Para que o Mathematica calcule limites, basta entrar com o comando Limit[expresso,x->ponto], onde ponto pode ser um nmero real, uma expresso, ou o termo infinity (infinito) observao: -> feito utilizando-se os sinais de menos seguido do de maior.

25

Por exemplo, para calcular:

Lim 3s-8s-16 s->4 2s-9s+4

Limites laterais tambm podem ser calculados, bastando utilizar a opo direction, seguida do valor -1 (para limites laterais direita) ou +1 (para limites laterais esquerda).

Assim, a sintaxe fica: Limit[expresso,x->ponto,Direction-> 1]

Observe:

Clculo de Derivadas

Existem vrias formas de se calcular uma derivada no Mathematica:

26

F[x] que calcula a derivada de f em relao a x (se quiser calcular a n-sima derivada, basta por F, seguida de n aspas simples);

D[F[x],x] realiza o mesmo procedimento acima; D[F[x],{x,n}] calcula a n-sima derivada de f(x) com

relao a x D[expresso, varivel] calcula a derivada de uma

expresso em funo de uma varivel. D[expresso, {varivel,n}] calcula a n-sima derivada

de uma expresso em funo de uma varivel.

O comando Dt[expresso,varivel], faz a derivada total de uma expresso, podendo ser utilizado em conjunto com o comando Solve para obter a diferenciao implcita de uma dada funo. Veja:

27

Clculo de Integrais

Somatrias simples so calculadas no Mathematica utilizando-se o comando Sum[f(i),{i,imn,imx}].

J para o clculo de integrais simples, dois comandos necessitam ser guardados, veja:

Integrate[expresso,varivel}] : Calcula a integral indefinida.

Integrate{expresso,{var,a,b}] : calcula a integral definida, onde a e b so os extremos de integrao.

Para facilitar, pode-se clicar tambm na barra de comandos rpidos, e no smbolo de integrao.

No programa, fica:

28


De maneira semelhante ao Clculo 1, o Mathematica pode ser utilizado no estudo das disciplinas subseqentes. Veja abaixo algumas das mais utilizadas funes que englobam conceitos de Clculo 2.

Funes Vetoriais

Funes vetoriais (ou curvas) so definidas de modo a serem formadas por vetores parametrizados (todas as componentes do vetor dependem de um dado parmetro, digamos, t).

Veja abaixo um passo a passo de como obter as equaes paramtricas de uma reta tangente a uma curva dada.

29

Derivadas parciais

O comando D[f[x,y,z],var] deriva uma funo f parcialmente em funo da varivel var definida.

Da mesma forma que em derivadas convencionais, possvel calcular a derivada n-sima fazendo-se [f[x,y,z],{var,n}].

Observe:

Mximos e Mnimos

Vetor Gradiente

Para esta funo, faz-se necessrio carregar o pacote VectorAnalysis. Para tal, digite

30

A funo Cartesian descreve o sistema de coordenadas utilizado e seus respectivos eixos.

Hessiana

A matriz hessiana fornece algumas informaes sobre um ponto crtico de uma funo z = f(x,y) e definida por:

= fyyfyx

fxyfxxH , as derivadas parciais so avaliadas no

ponto que se deseja analisar. Basta analisar as seguintes condies:

Se fxx > 0 e det H > 0, temos um ponto de mnimo local. Se fxx < 0 e det H > 0, temos um ponto de mximo local. Se det H < 0, temos um ponto de sela (inflexo) Se det H = 0, nada se conclui.

31

Integrais duplas e triplas

Para se calcular integrais duplas e triplas procede-se de maneira semelhante ao clculo de integrais simples, sendo que agora a expresso pode conter outra integral, observe:

Observe que neste caso, melhor expressar a integral graficamente, evitando o uso da funo escrita (isto poder confundir na hora de inserir o intervalo de integrao, principalmente quando o clculo envolver trs integrais).

Rotacional e divergente

Finalizando os conceitos de Clculo 2, existem duas definies particularmente importantes:

Rotacional: mostra a tendncia de um campo vetorial girar ao redor de um ponto. Ex.: o campo de velocidades de um fluido. Um campo cujo rotacional nulo dito conservativo. um vetor definido pela operao:

),,( PyQxRxPzQzPyRQPzyx

kjiF =

=

No Mathematica, tal operao definida por Curl[F].

Divergente: mostra o fluxo de um campo vetorial em uma dada rea. definido pela operao:

32

RzQyPxF ++= No Mathematica, tal operao definida por Div[F].

Veja:


Dos assuntos mais importantes do Clculo 3, podemos destacar equaes diferenciais (e todos seus tipos) e sries (numricas e de potncias).

O Mathematica possibilita com razovel facilidade a aplicao destes assuntos, contendo funes para resolver os problemas deste curso.

Equaes diferenciais e sistemas

Das equaes diferenciais mais bsicas, existem inmeros tipos (homogneas ou no, lineares, ordens variadas, coeficientes variveis, constantes etc.). Todas elas podem ser resolvidas utilizando-se basicamente um nico comando, DSolve.

A sintaxe do comando a seguinte: DSolve[equao,funo,var.independente]. Por exemplo, quando se deseja calcular a funo y(x),

deve-se fazer: DSolve[equao,y[x],x]. Seguem-se exemplos variados de equaes diferenciais

resolvidas no Mathematica.

33

Primeira ordem:

Observe que o Mathematica chama de C[n] as constantes que aparecem nas solues gerais das equaes diferenciais.

Segunda ordem (homogneas ou no):

Problemas de valor inicial:

Para resolver PVIs, basta modificar a sintaxe da funo para receber uma lista de equaes, de modo a ficar da seguinte forma:

DSolve[{equao,cond1,cond2,...},y[x],x]

Observe:

Resolva o PVI abaixo:

34

2)0( e 1)0( com ,08269 ===++ yyyyy .

No Mathematica, fica:

Sistemas de equaes diferenciais:

Da mesma forma que nos PVIs, novamente requerida uma alterao na sintaxe para a adio de mais equaes, assim: DSolve[{equao1,equao2,...,cond1,cond2,...},{y1[x],y2[x]...},x]

Resolver o problema de valor inicial:

)(311220211

)( txtx

=& , com

=

102

)0(x

Seqncias e sries

Seqncias:

Para o estudo de seqncias, interessante saber se uma determinada seqncia convergente (por meio de clculo de limites) e encontrar os n primeiros termos das mesmas. O comando Table permite visualizar tais termos, bastando-se utilizar a sintaxe Table[f[n],{n,mn,Max}].

Observe:

35

Sries:

Para sries, dois comandos so teis, o j utilizado neste tutorial Sum (faz somatrios, se o limite superior vai ao infinito, o Mathematica retorna na forma de erro se a srie divergente e permite o clculo do valor de convergncia caso contrrio).

Tambm til o comando Series, que expande qualquer funo em uma srie de potncias.

Observe:

O comando Series tem sintaxe: Series[f,{x,x0,n}]

36

Isto gerar a srie de potncias da funo f, relativa varivel x, a partir do ponto x0 at a ordem n.

Note alguns exemplos:

Manipulando listas e matrizes no Mathematica

O Mathematica, como j foi dito na introduo, um software multidisciplinar. Esta nova seo do tutorial mostra como o software pode facilitar clculos, utilizando-se de tabelas de dados e matrizes.

Agora voc pode, por exemplo, testar vrias funes de uma s vez, exibindo concomitantemente os resultados, usando-se das tabelas de dados.

A lista de operaes com matrizes grande, iremos citar no tutorial as mais importantes, como clculo de determinante, inversa, autovalores e autovetores (importantes em engenharia, e usados em disciplinas como lgebra linear, por exemplo).

Criando listas de dados

No Mathematica bem simples criar listas de dados, bastando-se digitar: {dado1,dado2,dado3,...,dadoN}. Voc pode defini-la como uma varivel qualquer, e realizar operaes com ela, veja no exemplo abaixo:

37

Operaes importantes de listas de dados

Como no C, o Mathematica possibilita inmeras operaes com listas de dados (arrays), veja algumas:

L[[n]] Retorna o n-simo elemento da lista; First[lista] Retira o primeiro elemento de uma lista; Last[lista] Retira o ltimo elemento de uma lista; Rest[lista] Retorna a lista sem o primeiro elemento; Part[lista,n] Retira o n-simo elemento de uma lista; Part[lista, n-] Retira o n-simo elemento de uma lista, contando do final

para o comeo; Take[lista, n] Retira os primeiros n elementos de uma lista; Take[lista, n-] Idem comeando do final para o comeo; Take[lista,{m,n}] Retira os elementos de m a n; Drop[lista, n] Apaga os n primeiros elementos de uma lista; Drop[lista,{n}] Apaga o n-simo elemento da lista; Prepend[lista, elemento] Coloca o elemento no inicio da lista; Append[lista, elemento] Coloca o elemento no final da lista; Insert[lista,elemento,n] Coloca o elemento na posio n da lista; Delete[lista,n] Apaga o n-simo elemento da lista; Union[lista1,...,listaN] Cria uma nica lista com todos os elementos de lista1,lista2,...,listaN. No repete elementos; Intersection[lista1,listaN] Faz a interseco das n listas; Complement[lista1,listaN] Encontra o complementar das listas; Partition[lista,n] Transforma a lista em uma nova lista na qual cada

elemento uma lista com n elementos; Length[lista] Retorna o tamanho de uma lista.

A funo Matrixform[lista] retorna a lista ou tabela, na forma matricial.

Operaes bsicas com matrizes

As matrizes so criadas de maneira semelhante a listas, por exemplo, uma matriz 3x3 criada da seguinte maneira:

M(3x3) = {{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{a31,a32,a33}}

38

As operaes de soma, subtrao, produto e diviso procedem da mesma maneira a nmeros reais. H ainda comandos prprios de matrizes, entre os quais:

Transpose[M] retorna a transposta de M; MatrixPower[M,n] retorna a n-sima potncia de M; Inverse[M] retorna a inversa de M; Det[M] encontra o determinante da matriz M; IdentityMatrix[n] define uma matriz identidade de ordem

n; DiagonalMatrix[lista] cria uma matriz onde os elementos

da diagonal pertencem lista e o restante so zeros.

Para encontrar os autovalores e autovetores associados a uma matriz M, existem 3 comandos:

Eigenvalues[M] encontra os autovalores; Eigenvectors[M] encontra os autovetores; Eigensystem[M] encontra os autovalores, seguido dos

autovetores.

Para aprender mais sobre o Mathematica

Para aprender mais no Mathematica, cabe ao usurio treinar e praticar, e aos poucos novos comandos e maneiras mais eficientes de calcular so descobertas e, com isso, a experincia ser gradativamente aprimorada.

H tambm a possibilidade de se encontrar na Internet tutoriais como este, alm de outros mais avanados e completos, bem como sites com um bom contedo a respeito desde fantstico software.

Procurando na Internet, encontrei alguns sites que julgo interessante divulg-los em meu trabalho.

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ - Pgina da Web do Prof. Mrcio Rosa, da Unicamp. Contm uma seo dedicada ao ensino de clculo com auxlio da informtica entre em Teia, depois em bate-papo sobre informtica l voc poder encontrar este tutorial, bem como tutoriais de outros alunos, alm de dicas do prprio docente. H tambm nas seces das disciplinas as provas resolvidas utilizando o Mathematica um estmulo a aprender a mexer no Software. Vale dar uma espiada.

http://www.wolfram.com/ - Site do produtor do programa, em ingls. Apresenta um vasto material com links e tutoriais, bem como sites com tecnologias variadas que podem ser obtidas com o software. Destaca-se pela variedade. Por exemplo, o WolframTones, que utiliza comandos matemticos para gerar tons de celular.

39

http://www.ime.unicamp.br/~calculo/ambientedeensino/maodupla/ - Site da Unicamp, o Mo Dupla tambm disponibiliza tutorial completo de uma verso um pouco mais antiga do Mathematica, mas que nada fica devendo para as atuais. Ainda fornece um campo para que o estudante tire sua dvida no prprio site.

http://www.gregosetroianos.mat.br/softmathematica.asp - este site conta um pouco da histria dos CAS, e tambm mostra a versatilidade do programa apresentado neste tutorial. Muito interessante e tambm conta com links teis para o ensino de clculo.

http://www.somatematica.com.br/ - Site sobre matemtica em geral, vrios nveis, desde o fundamental at o superior, requer que seja feito um cadastro ( rpido), mas vale a pena. Apresenta um grande contedo e tambm fala um pouco dos softwares matemticos.

http://library.wolfram.com/ - Por fim, a biblioteca do produtor, com milhares de referncias sobre o Mathematica. , por assim dizer, o Google dos Mathematicos.

Seguem agora trs apndices, o primeiro contendo teclas de atalho teis para a rapidez nos clculos efetuados com o Mathematica, o segundo, contendo a resoluo de alguns exerccios abrangendo os tpicos mais importantes do curso de clculo e o ltimo, um breve comentrio sobre as funes para clculo numrico de integrais, quando no existem primitivas para certas funes.

40

Apndice 1: Usando linguagem matemtica tradicional no Mathematica

Se voc no quer decorar comandos estranhos, h no Mathematica um jeito de inserir smbolos matemticos utilizando os comandos da tabela abaixo:

Comando Resultado int Smbolo de integral sumt Smbolo de somatria prodt Notao de produtrio ee Notao de exponencial. Mesmo que E. ii Representao da unidade imaginria. Mesmo que I. inf Smbolo de infinito deg Smbolo de graus elem Pertence un Unio

inter Interseco a Alfa b Beta g Gama d Delta minsculo e psilon z Zeta et Eta th Teta k Kapa l Lambda m Mi n Ni x Csi Pi Pi r Ro s Sigma t Tau ph Fi cph Fi (curvo) c Chi os Psi o mega G Gama maisculo D Delta maisculo Th Teta maisculo L Lambda maisculo T Csi maisculo Ph Fi maisculo Ps Psi maisculo O mega maisculo

41

Teclas de Atalho

representa a tecla Escape. (isto quer dizer que as expresses acima devem ser

digitadas entre escapes)

Ctrl+2: smbolo de raiz quadrada; Ctrl+6: entra um expoente, ou o intervalo final de

integrao; Ctrl+5: usado aps o anterior, entra o intervalo inicial

de integrao; Ctrl+Space: sai de um expoente e permite a digitao em

um nvel abaixo; Ctrl+/: faz uma barra fracionria TAB: muda de quadro para digitao.

42

Apndice 2: Funes internas para avaliao de certas integrais

Existem funes cujas primitivas no podem ser expressas de forma fechada. A fim de possibilitar a avaliao aproximada dos valores em determinados intervalos, o Mathematica possui inmeras funes internas que representam os resultados destas integrais.

Alguns exemplos destas integrais mais conhecidos so:

dxe

dxx

xCos

dxx

xSen

x

2

)(

)(

Estas integrais possuem algumas caractersticas importantes, como permitir obter valores aproximados para constantes numricas (o nmero pipipipi, por exemplo) ou mesmo ter significado em segmentos matemticos (a ltima integral descrita a chamada funo-erro, da curva Gaussiana, importantssima em estatstica).

Observe o que acontece no Mathematica quando pedimos as primitivas de tais funes (e alguns valores conhecidos calculados para estas integrais).

SinIntegral[x], CosIntegral[x], Erf[x] so apenas alguns exemplos de funes internas do Mathematica para este tipo de situao.

43

Apndice 3: Resolvendo exerccios de Clculo no Mathematica

O Mathematica pode ser um timo subsdio tanto para estudo como para pessoas que trabalham com clculo. muito simples e visual perceber o comportamento de funes e resultados de problemas clssicos do clculo 1.

Veja alguns exemplos abaixo, de como o Mathematica pode facilitar a resoluo dos mesmos.

(O Mathematica tambm facilita a resoluo de exerccios que exigem apenas aplicao de frmula, mas estes no sero abordados aqui, uma vez que sua resoluo simples e j foi demonstrada na explicao de cada comando do software).

Exemplo 1: Reta tangente curva

Ache a reta tangente curva no ponto (2,f(2)) da funo f(x)= 2x - 3x + 5 e trace os respectivos grficos.

Observe a resoluo passo a passo na tela do Mathematica:

45

Exemplo 2: Taxas relacionadas

Um balo esfrico est sendo inflado. O raio r do balo est aumentando taxa de 0,2cm/s quando r = 5 cm. A que taxa o volume V do balo est aumentando naquele instante?

Exemplo 3: Mximos e Mnimos

Um fabricante de caixas de papelo deseja fazer uso dos pedaos de papelo com dimenses 8 dm por 15 dm, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Encontre o comprimento do lado do quadrado que ser cortado de cada pedao de papelo para se obter uma caixa aberta de maior volume possvel.

No Mathematica, teremos:

47

Exemplo 4: rea entre curvas

Determine a rea A, da regio R, delimitada pela reta y = x e pela parbola y = 6 x.

Para este exerccio, iremos utilizar mais um pacote de biblioteca do Mathematica, o FilledPlot, que possibilita traar grficos com reas preenchidas por cores.

48

Exemplo 5: Volumes de slidos de revoluo

Calcule o volume do slido de revoluo gerado pela regio delimitada por y = x + 2 e a reta y = x + 4 em torno do eixo x.

No Mathematica:

49

Exemplo 6: Comprimento de arco

Calcule o comprimento da curva y = [(2+x)3/2 ]/3, no intervalo [0,3].

50

Exemplo 7: Planos tangentes

Encontre o plano tangente ao parabolide z=x2+y2 no ponto (1,3) e trace os grficos.

Observe a resoluo na tela do Mathematica:

Observe agora, os grficos:

51

Exemplo 8: Aplicaes de equaes diferenciais

Sistema massa-mola:

Um corpo pesando 16 lb estica uma mola de 3 in. O corpo est ligado a um amortecedor viscoso, com a constante de amortecimento igual a 2 lb.s/ft. Se o corpo for movimentado, da posio de equilbrio, com uma velocidade inicial para baixo de 3 in/s, achar a sua posio em um instante t qualquer. Determinar o instante em que retorna, pela primeira vez, posio de equilbrio.

No Mathematica:

54

Concluso:

Estas so algumas das mais variadas aplicaes do Mathematica no curso de Clculo, lembramos que este software bem poderoso, um importante aliado no estudo de todas cincias exatas, com inmeras funes escondidas e outras nem tanto, que devem ser estudadas com cuidado.

Lembrando que voc pode pedir ajuda sobre o uso de um determinado comando a qualquer momento, digitando ??Nome_Comando, ou Information[Nome_Comando].

Convidamos voc a conhecer o fantstico mundo dos CASs, que possibilitam testar e ensinar matemtica de um jeito totalmente novo, longe da monotonia das salas de aula e das longas teorias, que muitas vezes, nos fazem pensar se na prtica to complicado assim.

Na prtica, todos utilizam sistemas que realizam os clculos, o ser humano entra com o raciocnio lgico, que deve ser apurado com um bom curso de clculo.

Referncias Bibliogrficas:

http://www.wolfram.com

http://www.ime.unicamp.br/~marcio

http://www.ime.unicamp.br/~calculo/ambientedeensino/maodupla/

C. H. Edwards, Jr. & David E. Penney, Clculo com Geometria Analtica, vol. I e vol. II (captulos 8 e 9), Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1997.

W. E. Boyce & R. C. DiPrima, Equaes diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, Ed. Livros Tcnicos e Cientficos S.A., 6 Edio, 1999.

Help Browser do Software Mathematica 5.0

Observao: Todos os sites foram acessados durante o segundo semestre de 2005 e durante a segunda reviso do trabalho, realizada em novembro/2006.

mathematica passo a passo 1

Documents