math tb g10 geometry

äÉã∏ãŸGh á°Sóæ¡dGô°TÉ©dG ∞°üdG¢SQóŸG ÜÉàc10

á«æWƒdG ÒjÉ©ŸG ≈∏Y kAÉæH á∏°ù∏°ùdG √òg ä sóYoCG

ájQƒ¡ª÷G ‘ »©eÉ÷G πÑb Ée ΩÉ©dG º«∏©àdG ègÉæŸ

.ájQƒ°ùdG á«Hô©dG

¢Uôa ø ueDƒJh ,á«JÉ«M ∞bGƒe á∏°ù∏°ùdG √òg ìô£J

ÒμØàdG äGQÉ¡e ºq∏©àŸG iód » qªæJh ,IÒãc ºq∏©J

º«≤dG ¬jód R uõ©oJ Éªc á«JÉ«◊G äGQÉ¡ŸGh É«∏©dG

ÚH á«é¡æŸG §HGhôdG ºYóJh ,á«æWƒdGh á«YÉªàL’G

∫ƒM QƒëªàJ á∏°ù∏°ùdG √òg .iôNC’G á«°SGQódG qOGƒŸG

.á«∏ª©dGh á«ægòdG ¬JGQób á«ªæJh ºq∏©àŸG

٢٠١٠ - ٢٠١١ م

المؤسسة العامة للطباعة

Draft

حقوق التوزيع في الجمهورية العربية السورية

محفوظة للمؤسسة العامة للطباعة

للحصول على المواد التفاعلية للكتاب

www.ugarit.sy

[email protected]

Draft

مقدمة كتاب المدرس

يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب لمدرسي مادة الرياضيات، أن نؤكد أن هذا الكتاب قد تم إعداده ليكون أداة مساعدة، يستنير

بها المدرس في تحسين أدائه، وجعل تدريسه عملية وظيفية تستند في المقام األول إلى أسس تربوية سليمة وفي ضوء نظريات التعلم

الحديثة بحيث يكون دور المدرس ميسرا لعملية التعلم إلعداد قادة المستقبل من الشباب في عصر العلم والتقنية، اللذين أصبحا

من ضرورات الحياة لإلنسان المعاصر.

ومن هذا المنطلق كان من الضروري؛ بل من المحتم؛ لمدرس الرياضيات فهم فلسفة المقرر الذي يعالجه، والذي وضع في ضوء

المناهج المطورة التي تضعها وزارة التربية والتي تهتم باآلتي:

تأكيد مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة، من خالل العمل على أن يكتسب الطالب منهجية التفكير العلمي، وأن يمارسوا التعلم . ١

الممتزج بالمتعة والتشويق؛ وذلك باالعتماد على تنمية مهارات حل المسائل، وتنمية مهارات االستنتاج والتعليل، واستخدام

أساليب التعلم الذاتي، والعمل التعاوني بروح الفريق، والمناقشة والحوار وتقبل آراء اآلخرين، والموضوعية في إصدار األحكام،

باإلضافة إلى التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.

٢ . (STS) تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بين العلم والتقنية والمجتمع

تعكس دور التقدم العلمي في تنمية المجتمع المحلي، باإلضافة إلى التركيز على ممارسة الطالب للتصرف الواعي والفعال . ٣

حيال استخدام األدوات التقنية.

التركيز على تبصير الطالب بالمفاهيم والمبادئ الرياضية المتعلقة باألنشطة الحياتية، وتنمية اتجاهات إيجابية للطالب تجاه . ٤

الرياضيات ودراستها، لتقدير إيجابياتها كأداة فاعلة في الحياة.

تزويد الطالب بثقافة شاملة مبنية على رؤية واضحة داخل اإلطار البيئي الذي يعيشون فيه، من خالل تنمية االتجاهات اإليجابية . ٥

لحسن استخدام الموارد واإلمكانات المتاحة.

Draتنمية وتعميق االنتماء للوطن بإظهار دور الدولة فيما تقدمه من خدمات تعود بالخير والنفع في جميع المناحي الحياتية.. ٦ft

?ÖdÉ£dG ÜÉàc øY GPÉeيتفق محتوى الكتاب مع جميع األهداف العامة لتدريس الرياضيات واألهداف الدراسية المقررة لهذا الصف، ويظهر ما بين . ١

محتوى وحداته من ترابط وتكامل.

استهالل كل وحدة من وحدات الكتاب بافتتاحية تحوي:. ٢

تهيئة للتشويق وتكوين دافعية لدى الطالب وذلك الستقراء محتوى الوحدة وإستكشافه.. ٣

عرضا لدروس الوحدة.. ٤

مجموعة من األنشطة المتنوعة، تتضمن أنشطة استكشافية وأخرى لربط الخبرات السابقة للطالب بموضوعات المقرر.. ٥

يبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية لمحتوى الدرس.. ٦

ينتهي كل درس من كل وحدة بمجموعة من التمارين والتدريبات التي تنتقل من االستفهام المباشر إلى التفكير المتعمق.. ٧

يتضمن محتوى كل وحدة مجموعة من المعالم المتميزة، والمرتبطة ارتباطا وثيقا بموضوعات الوحدة تتضمن أنشطة تربوية . ٨

(تطبيقات حياتية، مسألة للتفكير، دعنا نفكر ونتناقش، عمل تعاوني، تفكير ناقد).

تنتهي كل وحدة باختبار يشتمل على العديد من األسئلة ويتضمن أسئلة موضوعية بنوعياتها المختلفة، والمقالية بنوعياتها وذات . ٩

اإلجابات القصيرة، كما تمت مراعاة ما طرأ من تحديث وتطوير في مجال بناء االختبارات التقويمية.

يتضمن الكتاب األشكال والرسوم التي جاءت مرتبطة ارتباطا وثيقا بموضوعات الكتاب، وقد تم توظيفها بشكل يمكن الطالب من . ١٠

إدراك العالقات بين المتغيرات، من خالل عمليات التفسير والتحليل واالستنتاج.

Draft

:¢SQóª∏d ÜÉàμdG QhO

إن تناولنا لكل وحدة من الوحدات المقررة على حدة في هذا الكتاب من حيث األهداف والخطة الزمنية والمعالم والوسائط

التعليمية وطرق تدريس المحتوى والتقويم - ليس الهدف منه وضع قيد على المدرس، بحيث نحد من حريته في تناول كل وحدة

ومعالجتها أو إلزامه بأسلوب معين، بل هو محاولة من جانبنا نقدمها للمدرس، كي تنير له الطريق وتمهد السبيل لتحقيق األهداف

المنشودة، في الوقت الذي نقدر فيه أن لكل معلم شخصيته المميزة ومهاراته وإبداعاته الخاصة به.

وأخيرا... فإننا نتمنى أن يكون هذا الدليل في مستوى طموحات زمالئنا المدرسين، وأن يجدوا فيه عونا لهم على أداء رسالتهم

التربوية النبيلة حتى تتحقق األهداف المرجوة.

واهللا من وراء القصد وهو يهدي إلى سواء السبيل.

Draft

äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ »`a áeÉY ájƒHôJ ¢ù°SCG

المعروفة: الرياضية التصنيفات وبين مرحلة، كل صفوف بين موزعة دراسية وحدات شكل على الرياضيات تدريس يجري

األعداد والعمليات عليها والقياس وحساب المثلثات والهندسة التحليلية والجبر والهندسة الفراغية واإلحصاء واالحتمال وحساب

التفاضل والتكامل calculus بشقيه: التفاضل differentiation والتكامل integration. ومن ناحية أخرى فإن المحتوى ينمو ا (في كل صف) بحيث يتضمن وحدات من فروع مختلفة تعكس - إلى ا في كل فرع، ويتوزع أفقي ا (عبر الصفوف) وحلزوني رأسي

حد ما - وحدة الفكر الرياضي. ويراعى في جميع الحاالت التناغم الرياضي لمتطلبات الوحدات على اختالف انتماءاتها الفرعية

ولخدمة العلوم األخرى ذات الصلة.

Draft

äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ ±GógCG

الرياضيات مادة حية تنمو وتتطور، وقد نشأت أصال لخدمة حاجة اإلنسان في حياته العملية، وما زالت هي األداة األساسية

لحل المشكالت وخدمة العلوم األخرى، بل إن التقدم التقني المعاصر هو تقدم يستند إلى األساليب الرياضية، والنماذج الرياضية

التي تستخدم لبناء وتطوير األجهزة والبرمجيات التي تستخدم فيها. وال يقتصر استخدام الرياضيات على العلوم الطبيعية والهندسية

والطبية والزراعية والفيزيائية، ولكنها تستخدم أيضا في العلوم اإلنسانية واالجتماعية بل وفي الفنون واللغويات. من ناحية أخرى

فإن الرياضيات ذاتها تتقدم وتتطور، فهي من حين آلخر تلتفت إلى نفسها لتعيد بناء تركيباتها وأساليب براهينها ومعالجتها وترتيبها،

ومن ثم فهي دائما تأتي بالجديد سواء ظهر بصور رياضية بحتة أو من خالل التطبيقات الواسعة، خاصة في االقتصاد وفي وسائط

االتصال اإللكتروني وتقنية المعلومات، ومعادالت ومتباينات التوقعات في المجاالت المختلفة. وال شك في أن المدرس ال بد أن

يكون على وعي وعلى دراية ولديه ثقافة رياضية عامة عن المادة التي يقوم بتدريسها.

والمدرس - بطبيعة الحال - يواجه دائما بالسؤال العتيد ªلماذا نعلم الرياضيات؟»

هناك أكثر من طريقة للتعريف بأهداف تعليم الرياضيات، أشهرها تصنيف األهداف إلى:

١ .Cognitive أهداف معرفيةتتعلق بالمفاهيم والنظريات والمهارات العقلية المتدرجة والمتنوعة في تعلم معارف رياضية كثقافة عامة أو كإعداد لدراسات

تالية في المراحل التعليمية المتتابعة. وهناك ثالثة مستويات معرفية: مستوى أدنى، ويتضمن مجرد تذكر المعلومات واستيعابها؛

ومستوى متوسط، ويتضمن التطبيقات المباشرة لما يتعلمه الطالب من قوانين ونظريات، ومستوى أعلى، ويتضمن تنمية مهارات

التفكير العليا، وحل المشكالت بما تتطلبه من تحليل وتركيب وتقويم لمسائل وعالقات ومواقف رياضية وتطبيقية.

٢ .Affective أهداف وجدانيةتتعلق بتقدير appreciation الرياضيات كعلم ومجال وأسلوب تفكير بشري، وتقدير الرياضيين وإسهاماتهم، وتكوين ميول

واتجاهات إيجابية نحو دراسة الرياضيات، ونحو دورها في التقدم ونحو أساليبها في التفكير ودقة لغتها في االتصال سواء بالرمز

أو بالشكل البياني.

٣ .Psychomotor أهداف نفسحركيةيقصد بها تنمية مهارات عملية، مثل اإلنشاءات الهندسية، واستخدام أدوات ذات طابع رياضي هندسي أو حسابي أو حوسبي

(متعلقة بالحاسوب) سواء في صورة آالت حاسبة calculators أو حواسيب computers، ومساعدة الطالب على اكتساب مهارات

استخدام التقنية المتاحة من أجهزة وأقراص مدمجة CDs جاهزة مناسبة.

Draft

¢ùjQóà∏d áeÉY äÉ«é«JGôà°SEG

ï إستراتيجية التدريس: هي خطة تحركات المدرس في تحقيق أهداف الدرس، مع مالحظة أن الهدف األساسي للتدريس

والتعليم هو أن يتعلم الطالب. ويقاس نجاح اإلستراتيجية بمدى كفاءتها في أن يتعلم الطالب ما قصد لهم أن يتعلموه بغرض

.constructivism مساعدتهم في أن يبنوا بأنفسهم ويكتشفوا المعارف التي يتعلمونها في ضوء النظرية البنائية

ï:وتتضمن إستراتيجية التدريس أن يقوم المدرس باآلتي

ï.(وقد يكون قصة تاريخية) التقدم بمسألة أو سؤال يثير انتباه الطالب

ï.إعطاء فرصة للطالب للمناقشة

ï ا، وأعمال فردية يفكر فيها كل طالب بنفسه، وأعمال توزيع العمل بين أعمال تعاونية في مجموعات صغيرة تعمل تعاوني

جماعية يحدث فيها تفاعالت بين المدرس والطالب وبين الطالب أنفسهم.

ï في نهاية كل مناقشة أو عمل تعاوني أو عروض من جانب بعض الطالب يقوم المدرس بتلخيص واضح لما تم مناقشته أو

حله متضمنا األساسيات: تعريفات، عالقات، منطوق نظريات لها براهين، إلخ.

ï.إعطاء الطالب فرصا داخل الصف أو في المنزل (واجبات) الكتشاف بعض الخواص أو العالقات بأنفسهم

ï.تشجيع الطالب على إعطاء حلول أو براهين بديلة

ï عند تدريس أي مفهوم أو عالقة بين عدة مفاهيم يعطي المدرس، ويطلب إلى الطالب، إعطاء أمثلة تمثل المفهوم أو تحقق

العالقة، وأخرى ال تمثلها أو ال تحققها.

ï ابتعاد (المدرس) عن الشرح طوال الوقت وكتابة الحلول جاهزة كاملة على اللوح وطلب نقلها في الكراسات من دون

مناقشة أو محاوالت مسبقة من الطالب.

ï.تنويع السلوكيات (أي طرق التدريس) في الحصة الواحدة

ï الحرص على إعطاء رعاية خاصة في فترة العمل الفردي أو في المجموعات التعاونية للطالب بطيئي التعلم أو من هم دون

المستوى في قدراتهم على التعلم، وكذلك الحال بالنسبة إلى الطالب المتفوقين.

ï تنويع الواجبات سواء داخل الصف أو في المنزل مع مراعاة الفروق الفردية - ليس من الضرورة أن يحل كل الطالب

ªالضعفاء»، فيقدم لهم الحد األدنى، ويالحظ تقدمهم حتى يصلوا إلى جميع التمارين في الكتاب خاصة بالنسبة إلى الطالب

مستويات أفضل متدرجين في الواجبات.

ï.تحديد بعض الساعات للمساعدة خارج الصف في مكتب المدرس أو في المكتبة

ï.مساعدة الطالب على أن يشعر بأنه يمكنه النجاح والتفوق في هذا المقررDra

ft

áeÉY á«ª«∏©J §FÉ°Sh

الوسيط التعليمي هو مادة تعليمية مكتوبة أو مرسومة، أو صورة ثابتة أو متحركة مسجلة على أوراق أو شرائط أو أقراص مدمجة

.Active Book أو مخزنة على كمبيوتر أو على شكل كتاب ناشط تفاعلي (CDs)

وتشمل الوسائط التعليمية األدوات واألجهزة المستخدمة في عرض المواد التعليمية والبرمجيات واستخدامها. وقد يكون الوسيط

التعليمي ملصقا أو بطاقات كرتونية أو قطعا خشبية أو بالستيكية أو أجهزة لعرض شفافيات أو صورا معتمة أو جهاز سينما أو

حاسوبا، وقد تكون مواد حسية من الطبيعة أو مصنعة أو نماذج محاكاة ألشكال هندسية أو تجارب معملية.

ا نشيطا، ال أن يكتفي بمشاهدته واألصل في الوسيط التعليمي هو أن يستخدمه الطالب بنفسه ويمارس من خالله عمال تعليمي

ا، فالمهم مثال أن يعمل الطالب على الحاسوب hands on الكتشاف عالقة رياضية أو سواء قام المدرس بتشغيله أو كان يعمل آلي

تحقيق صحتها أو تمثيل بياني ألحد الجداول أو الدوال الجبرية أو رسم بعض األشكال الهندسية.

ªحليفة وليست بديلة للمدرس» - والمبدأ الذي نرتئيه هنا هو أن التقنية بصفة خاصة، والوسائط التعليمية المتعددة بصفة عامة،

بمعنى أن التكنولوجيا أداة يستثمرها المدرس في تيسير عملية التعلم ال أن تحل محله.

Draft

المحتويات

الوحدة ١ الهندسة التحليليةدروس الوحدة

المستوى اإلحداثيتقسيم المسافة بين نقطتين بنسبة معينة

ميل الخط المستقيممعادلة الخط المستقيم البعد بين نقطة ومستقيم

الدائرةالتناسب والتشابهتشابه المثلثات

التشابه في المثلثات القائمة الزاويةالعالقة بين محيطي ومساحتي شكلين متشابهين

الدائرة: األوتار المتقاطعة، المماسالمتجهات

الوحدة ٢ حساب المثلثاتدروس الوحدةالزاوية وقياسها

القياس الستيني والقياس الدائريالقطاع الدائري

النسب المثلثية: الجيب وجيب التماممقلوبات الجيب وجيب التمام

ظل الزاوية - مقلوب ظل الزاوية القطعة الدائرية

استخدام اآللة الحاسبةحل المثلث قائم الزاوية

زوايا االرتفاع واالنخفاضدائرة الوحدة

العالقات بين الدوال المثلثيةالعالقات األساسية بين الدوال المثلثية

الوحدة ٣ الهندسة الفراغيةدروس الوحدة

النقطة الهندسية والمستقيم والمستوي في الفضاءتوازي وتعامد المستقيمات مع المستويات في الفضاء

المجسمات: الموشور واألسطوانةالمجسمات المخروطية: الهرم والمخروطالمجسمات الكروية: الكرة والقطوع

الهندسة

Draft

١١

األهداف:تعيين النقطة في المستوى اإلحداثي والمسافة وطول ◀

القطعة

تقسيم المسافة بين نقطتين ◀

العالقة بين ميل المستقيم وظل الزاوية ◀

العالقة بين ميلي المستقيمين المتوازيين ◀

العالقة بين ميلي المستقيمين المتعامدين ◀

معادلة الخط المستقيم ◀

البعد بين نقطة ومستقيم ◀

نصف ◀ وطول المركز وإيجاد ومعادلتها الدائرة تعريف

القطر

المحتويات:المستوى اإلحداثي. ١تقسيم المسافة بين نقطتين بنسبة معينة. ٢ميل الخط المستقيم. ٣معادلة الخط المستقيم. ٤طول القطعة المستقيمة العمودية على مستقيم معلوم من . ٥

نقطة خارجةمعادلة الدائرة. ٦

الوحدة ١Analytic Geometry Analytic Geometryالهندسة التحليلية

( 1596 - 1650)

Descartes ( ) .(x, y) .(x, y)

. 1596 . . . ." " . . . . " 1650 ."

.

Draft

١٢

مهاراتمفاهيمالمكونات الفرعية

المستوى اإلحداثيتقسيم المسافة

ميل الخط المستقيممعادلة الخط المستقيم

المسافة بين نقطة ومستقيمالدائرة

المتجهات

المسافة بين نقطتينالبعد بين نقطة ومستقيمميل الخط المستقيم

توازي وتعامد المستقيماتمعادلة الخط المستقيم

معادلة الدائرةالصورة العامة لمعادلة الدائرة

إيجاد المسافة بين نقطتين.تقسيم المسافة بين نقطتين.

إيجاد البعد بين نقطة ومستقيم.استخدام اإلحداثيات لحساب ميل الخط

المستقيم.رسم المستقيم بمعلومية نقطة منه وميله.

تعرف المستقيمات المتوازية والمتعامدة.إيجاد معادلة الدائرة ومركزها وطول

نصف قطرها.إيجاد مركز الدائرة وطول نصف قطرها

في صورتها العامة.

Draft

١٣

Coordinate Plane

*

* * *

- .

:

A(12, 3) B(10, 1)D(3, 3) C(5, 1)E(12, 5) F(3, 5)K(8, 5) N(8, 3)H(8, 11) G(8, 15)

- .

: C(5, 1) B(10, 1) 5 - 10 = -5 = 5

-5 = 5 = 5 D(3, 3) A(12, 3) AD

AD = 12 - 3 = 9 K(8, 5) N(8, 3) KN

KN = 5 - 3 = 2 K(8, 5) G(8, 15) KG

KG = 5 - 15 = - 10 = 10

: - ( )

x2- x1 (x2,y1) (x1,y1) .(( ) )

- ( ) y2- y1 (x1,y2) (x1,y1) ) . KN KG

.(( )

( )

( )

المستوى اإلحداثيCoordinate Plate

كتاب الطالب من صفحة ٦ إلى صفحة ٩األهداف:. ١مراجعة إحداثيات النقاط ◀

إيجاد المسافة بين نقطتين وطول قطعة مستقيمة ◀

إيجاد إحداثيي نقطة المنتصف ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

المسافة بين نقطتين - طول قطعة مستقميةاألدوات المستخدمة:. ٣

أوراق مليمترية - مسطرة مدرجةالتمهيد:. ٤

المعرفة السابقة المكتسبة:محور السينات ومحور العينات

إحداثيات النقاطالقيمة المطلقة لعدد حقيقي

نظرية فيثاغورسذكر الطالب بإحداثيات النقاط وخاصة النقاط الموجودة على

أحد المحاور.يمكن التحدث عن المحاور الديكارتية. أعلم الطالب بوجود إحداثيات غير ديكارتية: اإلحداثيات القطبية. راجع مع الطالب دائما هي المسافة وأن المطلقة والقيمة المسافة بين العالقة

عدد موجب.ابدأ بقصة ديكارت الذي عمل على ربط الجبر بالهندسة حيث

حاول أن يربط بين النقطة والعدد الحقيقي.

(١) يمكنك استخدام شريط مدرج من النوع الذي يستخدم

في القياس والمسطرة المدرجة.

اعرض أيضا خط األعداد.

(٢) تعرض للنقاط في المستوى.

موقع النقطة يحدد بزوج مرتب من األعداد، اشرح معنى

إحداثيي نقطة.

العينات ومحور السينات بمحور المقصود اشرح (٣)

العام الشكل يكتشفون الطالب ودع تدريجهما وكيفية

لإلحداثيات في كل ربع من المستوى اإلحداثي.

y

xO

-3 -2 -1 0 1

1

2

2

3

3

Draft

١٤

: C(7, 4) D(3, 4) A(2, 5) B(10, 5)G(-5, 3) H(-3, 3) E(-2, 5) F(7, 5)L(2, 7) M(2, 3) I(8, 4) K(8, 7)

EH GF CD AB .

.

.E(12, 5) H(8, 11) : EH

: .EHK EH

: EH EH2 = (EK)2 + (KH)2

EH2 = (4)2 + (6)2 = 16+36 EH2 = 52 EH = �52 = 2�13

: GF = �(KF)2 + (KG)2

GF = �(5)2 + (10)2 = �125 = 5�5

AB = ....CD = ....

AB

B(x2,y2) A(x1,y1) :B A

AB = �(x2, y2)2 + (x1, y1)2

(x

2, y

1) K

AK = ....BK = ....

التدريس:. ٥- اعرض مثال المركب الشراعي (كتاب الطالب صفحة ٦).

- قسم الطالب إلى مجموعات صغيرة أمام كل منهم ورقة النقاط بعض تحدد أن مجموعة كل إلى اطلب مربعات. من ا هندسي شكال لتمثل متعامدين) محورين رسم (بعد

ابتكارهم.دعهم يعرضون إنتاجهم للصف ويختارون أفضل شكل.

المسافة بين نقطتين:

- تعرض لحساب المسافة بين نقطتين: ضع أربع نقاط تمثل

.(ABCD) مستطيال- اطلب إليهم قراءة إحداثيات

رؤوس المستطيل.- اطلب إليهم إيجاد أطوالAC ،AB ،BC ،CD ،DA

- ذكر الطالب بنظرية فيثاغورس.توصل معهم إلى قانون المسافة بينأي نقطتين. دعهم يتحققون من أنالقانون يصلح في كل الحاالت

إليجاد طول قطعة مستقيمة بعلم نقطتي نهايتيهما(أفقية، عمودية، مائلة).

- أكد للطالب أن المسافة بين نقطتين أو طول قطعة مستقيمة معينة يعبر عنها بعدد حقيقي موجب.

- وضح المقصود بالرمز |a - b| عدد موجب سواء أكان

n دائما عدد موجب (حيث n a > b أم a < b كما أن عدد موجب).

ªدعنا نفكر ونتناقش»، دع الطالب يالحظون توسع: في فقرة العالقة بين نقطتين موجودتين على خط مواز ألحد المحاور.

نقطتين بين المسافة معرفة إليهم اطلب مساعدة: أفكار موجودتين على خط مواز ألحد المحاور بالحساب الذهني. ªمسألة للتفكير» قد يعمد بعض الطالب إلى استخدام اآللة في الحاسبة إليجاد طول بعض القطع. ذكرهم بأن اآللة الحاسبة

ا خاصة عندما ال يكون العدد مربعا كامال. تعطي جوابا تقريبي

1

1

3

3

2

2

4

4

5

5

6

6

7

A

C

x

y

D(1, 5)

A(1, 2)

C(5, 5)

B(5 ,1)

B

o

Draft

١٥

:AKB AB AK BK

2 2 2= +

( ) ( )x x y y2 12

2 12= +- -

AB = ....

B (12, 7), A (5, 3) AB (12 5) (7 3)

2 2= - + - 49 6 65 8.06AB 1= = .+

( )

- : (-7, 3) (5, -1) ( ) (6, 4) (2, 1) ( )

- .GKF HKE ABCD :

-: .HEFG ABCD

- 7 m 5 m .

. 3 m 3 m :

( ).(0, 0)

. ( )

-. ( , )C 4 4- ( , )B 3 0 ( , )A 1 8 - ABC M(9, 5)

. ( , )C 4 0 ( , )B 2 6 ( , )A 2 4 - ( , )M 6 4 ( , )N 7 3 (1, )L 3- LMN

. - C(-4, 3) B(3, 2) A( 5, 4)- - ABC

. - S

2 S

1

l (O) OA = 12 Km A

B .AB .OB = 5 Km O

AB

.(l)

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 11 12 13

S2

BH

A

S1

ذكرهم بوجوب تطبيق نظرية فيثاغورس، أما دور اآللة الحاسبة

فهو إلعطاء فكرة تقريبية (كما في المثال (١) صفحة ٨).

أفكار مساعدة: ساعد الطالب على إيجاد المسافة بين نقطتين محور على واألخرى السينات محور على إحداهما تقع

المسافة عن اسألهم فيثاغورس). نظرية (باستخدام الصادات

بين نقطة األصل ونقطة أخرى وكيفية إيجادها بأسهل طريقة.

اسألهم أيضا عن العالقة بين طول قطر المربع وطول ضلعه.

مالحظة حول نقطة المنتصف: ذكر الطالب بخاصية المحافظة على نقطة المنتصف عند إسقاط النقطتين على أحد المحاور.

الربط:. ٦إذا كان كل cm واحد

على المستوى اإلحداثي

10 فما المسافة km يمثل

بين المدينة A والمدينة B؟

y

x

B (6, 5)

A (2, 1) 56.66 km

أخطاء متوقعة:. ٧ قد يرتكب بعض الطالب األخطاء في قراءة إحداثيات النقاط.

ذكرهم بأن يبدأوا دائما باإلحداثيات السينية (القراءة من اليسار

الجمع بدل الطرح إلى الطالب بعض يعمد قد اليمين). إلى

عند إيجاد إحداثيات نقطة المنتصف.

اسأل: متى نستخدم الجمع ومتى نستخدم الطرح؟التقويم:. ٨

كرر التدريب في الصفحة ٨ مع خريطة أخرى ومواقع أخرى

مقترحة.

في التدريب (٣) يستحسن الربط بين نقطة المنتصف ونقطة

االنعكاس.

الخريطة على المواقع بعض تحديد الطالب أحد إلى اطلب

باستخدام اإلحداثيات.مسألة اليوم:. ٩

يوما. لمدة 16 حصانا تكفي 14 مؤونة الحظيرة مخزن في

غادر 6 أحصنة الحظيرة. كم يوما تكفي المؤونة؟ (28 يوما)إجابات وحلول:. ١٠

تدريب ص ٧استخدم ورقة مربعات

AB = 8 EF = 9 IK = 3

CD = 4 GH = 2 LM = 4

تدريب ص ٨(١) استخدم القانون:

AB x x y y2 12

2 12= - + -] ^g h

4 10 (ب) (أ) 5

(٢) أوجد أطوال أضالع كل شكل، ثم اجمع للحصول على

محيط الشكل.BC AD

2+ (٣) مساحة ABCD = االرتفاع ^

14 225 9

#= =+

HEFG مساحة =

: GFK9 HEK9 + مساحة مساحة

10 5 21

6 4 21

# # # #+ = ...

o

Draft

١٦

(٤)

(أ)

الصالة(-3, 3)

الساريةالصف

(5, -7)

(ب)

2=== ( )3 5- - ( )3 7++AB 164 412 2

تمارين ص ٨AB +BC = AC :(١) أثبت أن

AB + BC = 68 + 17 = 3 17

AC = 3 17

(٢) لتكن M (9, 5). أثبت أن:

MA = MB = MC = 5 2

A

BM(9, 5)

C

فتكون M هي مركز الدائرة.

(LN)2 = (7 - 1)2 + (3 + 3) 2 = 72 (٣)

(NM)2 = 2

(LM)2 = 74

(LM)2 = (LN)2 + (NM)2

إذن LMN مثلث قائم

.N الزاوية فيM(6, 4)

N(7, 3)

L(1, 3)O

742

y

x

(٤) مثل النقاط على ورقة مربعات.

AC = CB = 550 2= القاعدة:

AB = 10

AB = 13 (٥) حسب فيثاغورس

الحظ من خصائص المثلث القائم أن:

AB OA OBl # #=

l 144 25 12 5# #=+

l ^ 13 = 60

4.6l1360

+=

x

C(-4, 3)B(3, 2)

A(-5, -4)

y

o

C ( , )B 10 6 ( , )A 5 3 AB

.C .AB

:C ,x y^ h .B A x

: B A y

25 10

215

, 23 6

29

x y= =+

=+

=

. 215

, 29b l C

B(x

2, y

2) A(x

1, y

1) AB

: AB

2 2y y,C

x x2 1 21 + +b l

- . . .

: .. ( )

. ( ).

-: AB

B(0, 7) A(2, 5) ( )

B(-5, 8) A(3, 14) ( )

- A(3, 11) AB (7, 7) .B

0

تدريب ص ٩(١) اعتبر موقع السيارة

المعطلة هي نقطة األصل

(0 ,0) لمحورين متعامدين

وحدد نقاطا لمواقع المصنع

المرآب الجسر

السيارةالمعطلة

A(0, 0)

D(23 , 4) B(8, 0)

C(3 , 8)

المصنع

y

x والمرآب والجسر.

AD 21

73= = ... (أ)

AB + BC = 8 + 89 (ب) =

(٢) (أ) (6 ,1) (ب) (11 ,1-)

7y

211 +

= ، 3 x2 7+

= (٣)

B(11, 3) (7, 7)

O x

B(x, y)

A(3, 11)y

113

7

7

3

y

B

5

Ol12 A x

(12, 0)

(0, 5)

Draft

١٧

- AB ( , )B 10 6 ( , )A 5 4 AB

.( ) .2:3

. C( , )x y

: 2:3 BD 2= D(10, 4)

D .5

32 1 2# = .5

22 0 8# =

.(10, 4.8) BD A 2:3 AD 5=

53

35# = 52

5 2# = (7, 4.8) C (7, 4) AD

: C(x, y)

535

7x 2 32 10 3 5# #

= ++

= =

524

4.8y 2 32 6 3 4# #

= ++

= =

( , )B x y2 2 ( , )A x y1 1 AB

: ( , )C x y m:n A

m nmy ny

m nmx nx

y x2 1 2 1=+

= ++

+

( , )P 5 3- .P 1:3 ( , )U 7 4-

( )

*

Dividing the Distance Between Two Points with a Given Ratio

تقسيم المسافة بين نقطتين بنسبة معينةDividing the DistanceBetween two Points Witha Given Ratio

كتاب الطالب من صفحة ١٠ إلى صفحة ١٢األهداف:. ١

تحديد إحداثيي نقطة تقسيم قطعة مستقيمة:

من الداخل ◀

من الخارج ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

تقسيم قطعة مستقيمة من الداخلتقسيم قطعة مستقيمة من الخارج

األدوات والوسائل:. ٣أوراق مليمترية - مسطرة مدرجة

التمهيد:. ٤المعرفة السابقة المكتسبة:

إحداثيات النقاط - النسبة - نظرية طاليسبعض أعطهم بالنسبة. أيضا ذكرهم طاليس. بنظرية الطالب ذكر ابدأ والنسبة. طاليس نظرية استخدام حلها يوجب التي التمارين بنقطة المنتصف، لقطعة مستقيمة أفقية، لقطعة مستقيمة عمودية، ثم x2) حتى تصل إلى

, y2) ،(x

1, y

1لقطعة مستقيمة مائلة بين النقطتين (

.,

x x y y2 2

1 2 1 2+ +c l

النتيجة العامة إلحداثيي نقطة المنتصف التدريس:. ٥

B ،A لتقسيم المسافة بين نقطتينبنسبة معينة (من الداخل)، ابدأ

Aبقطعة مستقيمة أفقية ثم بقطعة D

CE

B

F( , )yx1 1

( , )yx1 2( , )yx2 2

O مستقيمة عمودية ثم بقطعة مائلة. هو C لنقطة األفقي اإلحداثي أن يالحظون الطالب دع C واإلحداثي الرأسي لنقطة ،F اإلحداثي األفقي نفسه لنقطة

.E هو اإلحداثي الرأسي نفسه لنقطةحقق القانون العام على نقطة المنتصف.أعط مثاال يوضح ذلك (تتضح فيه نقطة

التقسيم على ورقة مربعات مثال).لتقسيم قطعة مستقيمة AB منالخارج في نقطة C بنسبة معينة(مثال 4:1) حولها مسألة لتقسيم

1 2

2

4

4

5 6

6

7 8

810

12

3O

3C ,5

28b l

B ( , )4 8

A ( , )1 4

AC من الداخل بنسبة 3:1.

الربط:. ٦(1:4) CB:CA (أ) أوجد نسبة

D (ب) احسب إحداثيي نقطةمن خارج القطعة AB بالنسبة:

O xC(3, 0)

B(4, 1)

A(-1, -4)

y

DB:DA = 1:4D ,3

1738

b l; E

أخطاء متوقعة:. ٧يرتكب بعض الطالب األخطاء في احتساب إحداثيي النقطة الضرب على شدد الداخل. من AB القطعة تقسم التي

التقاطعي.ذكر الطالب بوجوب االنتباه إلى جهة التقسيم.

وهنا يمكن إعادة المثال األول صفحة ١٠ بتقسيم PU لجهة U بدل P كما في المثال.

التقويم:. ٨أفكار مساعدة: دع الطالب يتأكدون من صحة اإلجابة وذلك باستخدام المسطرة وقياس المسافة بين نقطة التقسيم وطرفي

القطعة.

Draft

١٨

(x, y)

x3 1 4

82

1 7 3 5# #= +

+ =- =--] g

1 ( 4).y

3 1 45

1 253 3# #

= +- +

= =

.(-2, 1.25)

- B A C . ( 2, )B 3- (3, 4)A - .BC = 2AC

.AC:BC = 1:2 :-. AB

- .B(4, 8) A ,1 2^ h

.4:1 C B AB .C

.AB C AB C C ,x y^ h .AC:BC = 4:1

AB:BC = 3:1 3:1 AC B(4, 8)

:

(1) x x3 1

3 1 14

3 14

#+

+ +==

x = 5 3x + 1 = 16 :

(2) 3 3 2y y

3 1 4 82 1#+

+=

+=

y = 10 3y + 2 = 32 : . C(5, 10)

: C

5x 4 14 4 1 1

316 1# #

= --

=-

= .

y 4 14 1

38 2 32 2

10# #

= --

=-

=

.

. C(5, 10)

فكر متطور: اطلب إلى الطالب تقسيم القطعة AB من الداخل A والخارج لجهة

C بنسبة 1:3 ولتكن

وD هاتين النقطتين.

اسألهم في أي نسبة

A BCD .CD القطعة A تقسم

اطلب إلى الطالب حل التمارين رقم: 2، 3، 5 في الصفحة 12.

تأكد من أنهم يستخدمون التقسيم من الداخل ومن الخارج

بشكل جيد.

مالحظة حول التقسيم من الخارج:كرر للطالب أنه باإلمكان استنتاج التقسيم من الخارج كحالة

من التقسيم حالة في وأنه الداخل، من التقسيم من خاصة

الخارج تكون نقطة التقسيم من جهة النقطة التي يكون عندها

حد النسبة األصغر.

إحداثيات باحتساب البدء قبل تقريبي رسم وضع على شدد

نقطة التقسيم من الخارج.

معادالت التقسيم من الخارج: AB تقسم C حيث C (x, y)و B (x

2, y

2A (x و(

1, y

1لتكن (

من الخارج بنسبة m:n تكون:

y mmy ny

n2 1= -- x و m

mx nxn

2 1= --

تدريب ص ١٢: في التمرين 5، ذكر الطالب بإمكانية االستفادة من معرفة مساحة المثلث إليجاد مساحة متوازي أضالع. قد

يجد بعض الطالب صعوبة في حل التمرين 3. شجعهم على

إعادة المحاولة.

AB بنسبة 2:3 من الداخل فكر متطور: طريقة أخرى لتقسيم مستقيم نصف نضيف ثم AB القطعة أوال نرسم .A لجهة

مبدأه A. بواسطة الفرجار نرسم على AX قطعا متساوية الطول

الخامسة القطعة نهاية يصل مستقيما ا خط نرسم .5 عددها

بالنقطة B ونرسم مستقيما آخر مواز لألول انطالقا من نهاية

C القطعة الثانية. نحصل على النقطة

التي تقسم AB كما هو مطلوب.

مسألة اليوم:. ٩يوجد خلل في مؤشر السرعة في السيارة. لذلك، فالسرعة التي

يحددها المؤشر تزيد بمقدار %10 عن السرعة الصحيحة. ما

100؟ km/h سرعة السيارة عندما يحدد المؤشر سرعة

(90.9 km/h)إجابات وحلول:. ١٠

تدريب ص ١١(١) استخدم قانون التقسيم من الداخل،

C ,34

35-

b l

D ,21

21-

b l ،AB منتصف D (٢) لتكن

,47

49-

b l ،AD منتصف

,43

45-

b l ،DB منتصف

Ox

y

,21

21-

^ h

( , )2 3-

, )2 3(-

)4( ,3 - ( , )3 4-

C D

B B

A A

Draft

١٩

( , )x yB 2 2 ( , )x yA 1 1

AB C(x, y) : B m:n

x m nmx nx12= --

y m nmy ny12

= --

- 3:2 AB .B(-2, 3) A(3, -4)

- C(2, 4) B(1, 6) A(0, 8) :

BC A ( )CA B ( )AB C ( )

. - (-3, 4) (1, -1)

. -(2, 5) (9, -3) (4, 7) -:

.C(11, 8) B(9, 5) A(3, 5)

( )D

. ( ) 0

تدريب ص ١٢(-12, 17) (١)

(٢) (أ) A تقسم BC من الخارج بنسبة 1:2

(B من جهة)

(ب) B تقسم CA من الداخل

بنسبة 1:1 (منصف)

AB تقسم C (جـ)

من الخارج بنسبة

(B من جهة) 1:2

,C 31

32-

b l (٣)

,D 35

37-

b l

ABC (٤) نقطة تالقي المستقيمات المتوسطة في المثلث

,x x x y y y

3 31 2 3 1 2 3+ + + +

b l هي

(x3, y

3)

(x2, y

2) (x

1, y

1)

M

2

1

الحل ويمكن التمرين. هذا قبل كتمرين ذلك إعطاء ويمكن

بالخطوات نفسها.

M(5, 3) النقطة المطلوبة

AB = 6 = CD (أ) (٥)

D(x, y) حيث y = 8 (لماذا؟)

(x - 11)2 + (y - 8)2 = 36

x = 5

x = 17 فسر اإلجابة

(ب) المساحة:

(وحدة مربعة) 18 = 6 ^ 3

(x, y)D

A B

C

(3, 5) (9, 5)

(11, 8)

Draft

٢٠

* * *

* *

Slope of a Straight Line

- : (d) (h)

35

=

=

-.B A ( )

. ( ) ( )

-. ì î

= :

( )

:(2) (1) .

(l) -.

(k) -.

.l k

52 =

= (l)

53

- =

= (k) ( )

( )

B

A

(k)

ميل الخط المستقيمSlope of a Straight Line

كتاب الطالب من صفحة ١٣ إلى صفحة ١٩األهداف:. ١حساب ميل خط مستقيم ◀

رسم خط مستقيم عندما نعرف نقطة منه وميله ◀

تعرف العالقة بين ميل المستقيم وظل الزاوية وتطبيقها ◀

كتابة معادلة المستقيمات المتوازية أو المتعامدة ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

ميل الخط المستقيماألدوات والوسائل:. ٣

أوراق مليمترية - مسطرة مدرجةالتمهيد:. ٤

المعرفة السابقة المكتسبة: إحداثيات النقاط - ظل الزاوية

اطلب إلى الطالب وضع النقاط التالية على شبكة اإلحداثيات:

(0, 4) ، (-3, 0) ، (4, 5) ، (-2, -3)التدريس:. ٥

اسأل الطالب

عما تعني لهم كلمة ميل.

دون بعض اإلجابات على اللوح. دعهم يحددون بعض العوامل

التي تدخل في تحديد الميل.

اسأل الطالب كيف يمكن قياس انحدار طريق ما.

األفقي المحور على تميل ال أنها أي أفقية، الشوارع معظم

أو يعتبر ميلها على األفقي صفرا. ولكن بعض الشوارع تكون

منحدرة أي أنها تكون مائلة على األفقي. أكثر الشوارع

انحدارا في العالم موجودة في

نيوزيلندا. اسألالطالب عن

أو شوارع عن واسألهم أستراليا) (جنوب نيوزيلندا. موقع

النيوزيلندي الشارع هذا انحدار سوريا. في منحدرة طرق

يبلغ 1.266 أي أنه على شكل مستقيم ميله على األفقي يبلغ

1.266، أي أنه يصنع زاوية مع األفقي قياسها حوالى 52°.

اسأل: كيف يمكن أن نقيس ميل المستقيم؟

ا إن أمكن. ومثل لهم ذلك عملي

- قياس الزاوية (مثال)

m xy

=

y

52°

( , )yx1 1

y y( , )2 1

( , )xx2 1

( , )yx2 2

m x xy y

1

2 1

2= -

-

m = التغيير العمودي

التغيير األفقي

زاوية منفرجة

الميل السالب الميل موجب

زاوية حادة

يمين يساريمين يسار

الميل الموجب يعني أن المستقيم يصنع زاوية حادة مع االتجاه الموجب لألفقي

المستقيم أن يعني السالب الميل يصنع زاوية منفرجة مع االتجاه

الموجب لألفقي

إلى أسفلإلى أعلى

O O

Draft

٢١

. . (t)

. .

.

325

1201000-

=- =

=

:

. 3 25

12

.

(x2

, y2) (x

1, y

1)

: (m) x x2 1! :

m x xy y

2 1

2 1= -

-

x x1 2! :

. ( , )B 5 7 A(-2, 1)

5 ( 2)7 1

76

:m- -

-== AB m x x

y y2 1

2 1

--

=

. ( , )B 4 2 A(1, 2) AB

m x xy y

2 1

2 1

--

= 4 12 2

0= --

=

. AB -. AB : -2 AB :

.y = 2 AB

( )

( )

( )

( )

( )0

0

//

- وضح الميل الموجب والميل السالب.

- الحظ أن ميل خط هبوط الطائرة سالب وميل خط إقالعها

موجب.

ا (يصنع °90 مع الخط األفقي) فإن - إذا كان المستقيم عمودي

ميله غير معرف.

- استخدم فكرة:

m = التغير العمودي

التغير األفقي x x

y y2 1

2 1= -

-

دع الطالب يحسبون ميل

مستقيمات في أوضاع

مختلفة على ورقة مربعات

باستخدام نقطتين على

المستقيم، ومالحظة النتيجة

في حالة المستقيم األفقي

y

x

( , )yx1 1

( , )xx2 1

( , )yx2 2

y y( , )2 1

والمستقيم العمودي.

مالحظة حول المثال (١) ص ١٣:اذكر لهم أن الميل يكون موجبا عندما يكون المستقيم مائال

على األفقي بزاوية حادة ويكون الميل سالبا إذا كانت الزاوية

منفرجة.

في المثال (١) ص ١٣-١٤: دع الطالب يالحظون أن الزاوية تكون حادة عندما يكون الميل موجبا وتكون الزاوية منفرجة

عندما يكون الميل سالبا.

مثال (٢) ص ١٤:بما أن كتابة الميل تأخذ شكل كسر، قد يعتقد بعض الطالب

ì مثل 4 أو 3. أن الميل ال يمكن أن يكون îعددا صحيحا

... 14 * ذكرهم بأن 4 تكتب

* ذكرهم بأن ميل المستقيم األفقي هو صفر واسألهم بم تتميز

نقاط الخط األفقي.

* ذكر الطالب بأنه ال يمكن قسمة أي عدد على صفر وأنه في

.ERROR حال استخدام اآللة الحاسبة فإنها تعطينا

O

O

y

x

Draft

٢٢

. D(4, -1) C(4, 5) CD

4 41 5

06

m x xy y

2 1

2 1= -

-= -

- -=

-

.( = ) CD :

-. CD -4 CD

: .x = 4 CD

-:( ) ( ) ... AB ... CD

-: ( ) EF *

... = EF ... EF

:LN *...= LN

... LN

. 23

- (1, 2)

.( ) A (1, 2)

.( ) B 23

-

.AB B A

2 3 -3 .( )

( )

o

yl

E

N

F

1

1-2 -1-1

2

2 3 4

( )

( )

( )

x

الربط:. ٦يجد إحداثياتهما. مع نقطتين يأخذان معا. طالبين كل يعمل األول ميل المستقيم بواسطة القانون أما اآلخر، فيحاول إيجاد

الميل بقياس طول كل من القطعة األفقية والعمودية.ذكر الطالب بأن:

ميل المستقيم ال يتأثر باختيار النقاط على المستقيم.كل القطع المأخوذة من مستقيم واحد لها الميل نفسه.

المستقيم العمودي ال ميل محدد له، أما الخط المستقيم األفقي فميله صفر.

أخطاء متوقعة:. ٧قد يخلط الطالب بين ميل الخط المستقيم والزاوية مع االتجاه

الموجب لمحور السينات.التغير العمودي

التغير األفقياشرح لهم أن الميل هو نسبة:

وأن هذه النسبة تبقى ثابتة ويمكن أن تكون موجبة أو سالبة أما الزاوية فهي دائما موجبة.

التقويم:. ٨اطلب إلى الطالب حل التمارين 2، 4، تأكد من صحة إجاباتهم

وحسن استخدامهم للمعلومات المكتسبة.مسألة اليوم:. ٩

عددان طبيعيان بين صفر ومئة، كالهما مربع كامل ومكعب كامل. ما هما؟ (1، 64)

إجابات وحلول:. ١٠تدريب ص١٥

(١) ميل AB موجب، ميل CD سالب.(٢) ميل EF صفر، ميل LN غير معرف.

الحظ أن: معادلة المستقيم هي العالقة بين إحداثي نقطة متغيرة ) عليه. , )x y

- بالنسبة إلى المستقيم األفقي EF: جميع نقاطه لها اإلحداثي (y = ثابت) y = 3 العيني نفسه 3. معادلته

- المستقيم العمودي LN: جميع نقاطه لها اإلحداثي السيني (x = ثابت) x = 2 نفسه 2. معادلته

- بناء على ذلك يمكن استنتاج أن:y = 0 معادلة محور السيناتx = 0 معادلة محور العينات

لمعادلة صورة في منزلي كواجب يفكرون الطالب دع -المستقيم المائل.

Draft

٢٣

0 0 0

( ) ( ) ( )

- .

(-4, 3) (8, 3) ( ) (1, 5) (-8, 0) ( )(7, 4) (-1, 4) ( ) (4, 7) (4, 10) ( )

-:

m = -2 (-2, 1) ( ) m 21

= (3, 4) ( ) m (-1, 5) ( ) m = 0 (-5, -2) ( )

-: . ( ) ( )

.(0, 0) 1 ( ) ( )

. -

. C B A BC AB :

C(7, 7) B(-1, 3) A(3, 5) ( )E(4, 1) F(-1, 5) M(1, 2) ( )L(6, 4) G(3, 2) O(0, 0) ( )

: =

. tanm i=

( )

120∫ .

120 1,7323tanm c .-= = - :

. .

120∞

x

y

0

30∞

x

y

0

تمارين ص ١٦59(١) (أ)

(ب) صفر (اسأل: ما وضع هذا المستقيم في المستوى اإلحداثي؟)

(جـ) غير معرف (عمودي يوازي محور العينات) (د) صفر

(٢) (أ) عين النقطة A(3, 4) وتحرك منها وحدتان جهة اليمين

.B ثم وحدة إلى أعلى وحدد نقطة

AB هو المستقيم المطلوب. صل بين النقطتين فيكون

(3, 4)

B

A

y

x

m12

=- (ب)

A(-2, 1) عين

تحرك من A بمقدار وحدة واحدة جهة اليمين ثم تحرك

المستقيم هو AB فيكون B لتعيين بوحدتين أسفل إلى

المطلوب.

A(-2, 1)

B

ا يمر بها (جـ) عين B(-5, -2) وارسم مستقيما AB أفقي

(// محور السينات).

(-5, -2)BA

ا CD يمر بها (د) عين C(-1, 5) وارسم مستقيما عمودي

(// محور العينات).

C(-1, 5)

D

(جـ) خطأ (ب) خطأ (٣) (أ) صح

21

m m1 2= =b l BC وميل ،AB (٤) (أ) احسب ميل

AB + BC = AC

إذن A ،B ،C، على استقامة واحدة.

m m1 2!] g ليست على استقامة واحدة E ،F ،M (ب)

32

m m1 2= =b l على استقامة واحدة L ،G ،O (ج)

ABC

y

x

y

x

y

x

o

o

o

o

Draft

٢٤

( )

30∫ .

.tanm 303

10 578c .= =

. .

Parallel Lines

//AB CD CD i AB

i m m1 2= tani

CD = AB .AB//CD

( )

AB CD AB .(3, 30) (1, 10) CD (2, 40) (0, 20)

10my yx x 2 0

40 20220

2 1

2 1

1 == --

--

= = : AB

y ym x x 3 1

30 10220

102 1

2 1= -

-= -

-= =2 : CD

. //AB CD m m1 2= .

A

BC

D

CD // AB CD = AB

x

y

تعريف الميل بظل الزاويةارتفاع عمودي

المسافة األفقية- يعطى هذا التعريف من خالل ربط

المقابل في مثلث قائم الزاوية.

المجاورمع

ارتفاع عمودي

(المقابل)

المسافة األفقية

(المجاور)

- ثم يعمم على أي مثلث قائم الزاوية

(tan =i المقابل

المجاور)

المقابل

المجاور4

األول الشكل بها إحداهما شفافيتين استخدام ويمكن -

ثم األخرى بعد واحدة وتقدمان الثاني، الشكل واألخرى

توضعان فوق بعضهما (مع استخدام األبعاد نفسها).

المستقيمان المتوازيان2i للتوصل ، 1i وجه الطالب الستنتاج العالقة بين الزاويتين

ومن m1=m

2وبالتالي tan tan1 2=i i ومنه 12 =i i إلى

ناحية أخرى:

m1 فإن=m

2إذا كان

المستقيمين (1) ، (2)

يكونان متوازيين.

تدريب ص ١٨الحظ أن

= معدل السرعةالتغير في المسافة

التغير في الزمن

(a) 111

= = (١) (أ) معدل سرعة أيمن:

(b) 15

= معدل سرعة باسم:

(ب) أيمن يعدو بسرعة أكبر

(أيمن أسرع من باسم).

اطلب تفسير الشكل، مثال: تقابال بعد دقيقة (نقطة

النقطة من ليس ولكن نفسه الوقت في االثنان بدأ التقاطع).

نفسها...

22

2

2

صفية

المسافةسميرة

(x) الزمن

(y)

(1)(2)

1i2io

y

x

(٢) (أ) سميرة وصفية

تتسابقان بمعدل السرعة

.v 2 12

= = نفسه وهو

(ب) المستقيمان متوازيان.

a أيمن

b باسم

x(بالدقائق)

y (بالمتر)

1

1

15

5O

Draft

٢٥

.

yyy

( ) ( ) ( )

x

xx

- C(9, -8) B(11, 6) A(5, 4) .( ) A

- D(18, 3) C(6, 7) B(-2, 3) A(10, -1) .

- D(14, -2) C(3, -7) B(5, -4) A(1, 2) .

00

0

- ( ) (b) (a) :

. ( ) ( )

( )

-.(Y) (X) (1) . ( )

( )Perpendicular Lines

.(90∫) BC AB : m

1 m

2

901 2ci i= + (90 )tan tan1 2c= +i i

cottan 1 2=i i-

1tan

tan 2

=ii

-

1tan tan 2# =-i i 1m m1 2# =- :

m1 AB AB CD=

m2 CD

.m1 m

2 = -1

.AB CD= -1 CD ^ AB

( )

.(6, 0) (4, 1) CD (4, 5) (2, 1) AB

. CD AB

2m xy y

x 4 25 1

24

2 1

2 1

1 = --

= --

= = : AB

m xy y

x 4 61 0

21

21

2 1

2 1

1 = --

= --

= - =- : CD

2 1m m 21

1 2# #= - =-b l

.

BC

A

�2

�1

BC

A

�2

�1

x

y

1

234

1 2 3 4

1 2 3 4 512345

a

b

x

y

0

0

( )

( )

المستقيمان المتعامدان

منها يستنتج متعامدين مستقيمين رسم في عددية أمثلة تعطى

m ويكتفي الطالب بذلك بدون برهان.1m

2الطالب أن 1- =

تدريب ص ١٩(أ) (ب) مستطيالن؛ (جـ) مربع

استخدم قانون البعد عن نقطتين لبحث تساوي األطوال وقانون

الميل لبحث التوازي والتعامد.

حلول التمارين ص ١٩ارسم األشكال على ورق مربعات، واطلب إلى الطالب التفكير

باالستعانة بالشكل ثم باستخدام القوانين.

(AB)2 = (4 - 6)2 + (5 - 11) = 40 (١)

(BC)2 = 200، (AC)2 = 160

(AB)2 + AC2 = 40 + 160 = 200

AC

B = (BC)2

حل آخر

3، ميل AC هو 3-1 ميل AB هو

AC ميل ^ AB 1- = ميل

31- = CD ميل = AB (٢) ميل

21 = AD ميل = BC ميل

حل آخر:

BC = AD ، AB = CD :باستخدام قانون البعد نجد أن

AC ميل ^ BD 19 ميل2

29

#= =- -b l (٣)

2 (القطران متعامدان)1 ^ BD ^ AC :المساحة تساوي

21

85 85 285

# # =

Draft

٢٦

:

R c b a ax + by = c. b a

: 3x + 4y = 12 ( )y = 6x - 2 ( )

y = 2x ( )y = 6 ( )

x = 2 ( )

:

.(p) (m) .y = mx + p

6 3 .

y = mx + p : .y = 3x + 6

( )

4

.

Equation of a Straight Line

*

*: -

-

y

xo

y

x0xx

x

yy

y

00

0

x = 2 y = 6 y = 2 x y = 6x-2 3x + 4y = 12

x

y

0

معادلة الخط المستقيمEquation of a Straight Line

كتاب الطالب من صفحة ٢٠ إلى صفحة ٢٨األهداف:. ١تعرف صورة معادلة الخط المستقيم بمعلومية الميل ونقطة ◀

أو نقطتينالمفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

معادلة الخط المستقيماألدوات والوسائل:. ٣

مسطرة مدرجة - آلة حاسبةالتمهيد:. ٤

المعرفة السابقة المكتسبة: ميل الخط المستقيماسأل الطالب عن مفهوم ميل الخط المستقيم. ما عالقة الميل

مع زاوية الخط المستقيم ومحور السينات؟

. 32 اطلب إليهم على سبيل المثال إيجاد كسور مكافئة للكسر

التدريس:. ٥.yو x يصار إلى توضيح مفهوم المعادلة على أنه عالقة بين قيم

تكتب المستقيم الخط معادلة أن الطالب بعض يالحظ قد

بصور مختلفة. ساعد الطالب على االنتقال من شكل إلى آخر:

فمثال y = 6x - 2 يمكن أن تكتب 6x - y - 2 = 0 وأن

1x + 0y - 2 = 0 هي x = 2

اعرض شفافيات يكون على كل منها خط مستقيم مرسوم في

مستوى إحداثي، مثل:

O

(-1, 1)

-1

1

3(0, 3)

X

Y

(ب)(أ)اطلب وصف كل مستقيم بكتابة عالقة بين x ،y للنقاط التي

تقع عليه.

(1) y = 2x (أ) في -

وحقق ذلك بنقاط أخرى عليه.

(2) y = 2x + 3 (ب) في -

وحقق ذلك بنقط أخرى عليه.

كل من (1) ، (2) معادلة لخط مستقيم.

- الحظ أن (1) ، (2) متوازيان. حقق ذلك بوضع الشفافيتين

فوق بعضهما - ثم حقق ذلك بإيجاد ميل كل منهما m1

= m2=2

بصفة عامة: معادلة الخط المستقيم تكون بالصورة:ax + by = k حيث a ، b ، k أعداد حقيقية،

.(a, b) ! (0, 0)و

كتاب في التي األمثلة واعرض لذلك، مختلفة أمثلة أعط -

الطالب.

b 0! ax + by = k أي معادلة بالصورة -

y أو اختصارها على bax b

k=- + يمكن كتابتها كاآلتي:

m ولتعيين المعادلة نحتاج إلى تعيين y = mx + p الصورة

يقطعه الذي الجزء هو p المستقيم، ميل هو m حيث ،pو

تقاطع لنقطة العيني (اإلحداثي العينات محور من المستقيم

المستقيم مع محور العينات).

Draft

٢٧

-.1990 ( ) 2000 ( )

-.(4, -3) 32

-.y = mx + p ax + by = c -.3x + 4y + 5 = 0

(x1, y

1) m

y - y1 = m(x - x

1)

.(1, 4) 3

y - y1 = m(x - x

1) :

y - 4 = 3(x -1)

y = 3x + 1 : 3x - y + 1 = 0

( )

( )

2.6 79 1991

y = mx + p x = 91 (x) (y)

.1991

y = mx + p : ( ) m = -2.6

y = -2.6x + p (91, 79)

79 = p + 91 ^ (-2.6) p = 315.6

y = -2.6x + 315.6 .

y

x

فمثال:

3 = الميل 09

23

=--

(9 ,3)الجزء المقطوع من

(0, 3)

0 3

محور العينات

يساوي 3 وحدات.

وبالتالي المعادلة:

y = 2x + 3

اطلب إلى الطالب أخذ نقاط على المستقيم وتعويضها بالمعادلة

الناتجة للتحقق من صحة المعادلة.

في المقدمة:

مالحظة حول المثال (١): انطالقا من معادلة الخط المستقيمعلى الحصول يمكن كيف الطالب: اسأل ،y = 3x + 6

العدد 6؟

مالحظة حول المثال (٢): ساعد الطالب على معرفة أنه نادرا ما تمثل التطبيقات من الحياة بمعادلة مستقيم. ثم أن قيم x السالبة

تعبر عن السنوات ما قبل 1991 وهي ال تدخل في معطيات

هذا المثل. بالمقابل y التي تمثل كمية االنبعاث بالطن ال يمكن

أن تكون أقل من الصفر.

مالحظات حول الميزان الزنبركي في الفيزياء: قد يعتقد الطالب أن المعادلة المكتوبة تطبق مع كل األوزان الممكنة.

ما بمعادلة واقعية حالة نمثل عندما أنه على شدد تصحيح:

يوجد هامش لتطبيق هذه المعادلة. إن هذا الميزان له قدرات

محددة لالستخدام ال يمكن تخطيها.

معرفته يمكن وزن وأثقل وزن أخف يقدرون الطالب دع

بواسطة الميزان. ماذا يمثل قطع محور العينات؟

في معادلة العالقة بين االستطالة ووزن الكتلة المعلقة:

y = 0.025x + 7.25

y

x

x

y

Draft

٢٨

0.4 cm (x) 1 N .

(x) (y) .

m = F� L = 1

0.004 = 250 N/m y - y0 = m (x - x0) . (0 0)

y -0 = 250 (x - 0) . y = 250 x

(x2, y

2) (x

1, y

1)

x xy y

x xy y

1

1

2

2

1

1

--

= --

.(-1, -2) (5, 4)

x xy y

x xy y

1

1

2

2

1

1=-

--- :

4yx 5 1 5

2 4--

= - -- -

4yx 5 6

6--

= --

y - 4 = x - 5 y = x - 1

100 g

نشاط شفهي: اسأل الطالب عن بعض األمثلة الممكن تمثيلها بواسطة معادلة المستقيم.

أمثلة إضافية:

(١) أوجد المعادلةالتي تمثل الرسم

(y = 20x) .ر)المقابلمتبال

ة (سافلما

الوقت بالثانية

اختبار سريع (١): اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة(y = 2x - 7) .2 (1- ,3-) وميله

(٢) اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتينy x6

123

= +b l .(3, 2)(1 ,3-) و

التالي الجدول في yو x بين العالقة تمثيل يمكن هل (٣)بمعادلة مستقيم؟ في حالة اإليجاب، جد المعادلة.

x -5 1 7 12

y31

37

431 6

أن 401- الميل يعني المظالت: رجال مثال حول مالحظة

1000 كل 40 ثانية. m 1 أو km الجندي يهبط

مالحظة حول مثال رقم ٤ صفحة ٢٥:من الضروري التشديد على هذا التمرين نظرا ألهميته. يستحسن

تكراره مع مستقيم آخر ونقطة أخرى.

تدريب ص ٢١y = -2.6 ^ 90 + 315.6 (81.6) (أ) (١)

y = -2.6 ^ 100 + 315.6 (55.6) (ب)

y = mx + p (٢)

p3 32

4#=- +

y x32

317= -

(٣) by = -ax + c يعطي

b 0! ، yba

bp

=- +

43- (٤) ميل =

Draft

٢٩

2.5 km

.1.5 km 40 .

. (t) (h)

:

xy

xy

x xy y

1

1

2 1

2 1

--

= --

.. .x

y 2 540 0

1 5 2 5-= -

-

.x

y 2 540

1-=

-

.y x40

12 5

-+=

.h t40

12 5

-+=

.

:

y x pm= + pa-

ypx pa=- +

xpy

a 1+ = p p a

.

80 100

A

B

(km

)

A (a, 0)

xa

p

yB (0, p)

0

:(x, y) ونقطة عليه m معادلة المستقيم بمعلومية الميل

وجزء (ميل صورة من ونقطة) (ميل الصورة استنتاج يمكن

مقطوع من محور الصادات) كاآلتي:y = mx + p (1)

الميل والجزء المقطوع من محور العينات بغرض أن المستقيم (x1

, y1يمر بالنقطعة (

p = y1 - mx

1y إذن

1 = mx

1 + p

بالتعويض في (1)y = mx + y

1 - mx

1

m x xy y

1

1= -- y - y أو

1 = m(x - x

1)

وهي الصورة الجديدة- اطلب اشتقاقها من تعريف الميل بواسطة النقطتين

.(x, y) ، (x1, y

1)

بمعلومية المستقيم معادلة اكتب :٢٣ ص الفيزياء مثال في عن تعبر y حيث بالنقطة (50 ,8.5) ويمر الميل = 0.025

االستطالة، x تعبر عن الكتلة المعلقة.y = mx + p وأكمل...

معادلة المستقيم الذي يمر بنقطتين:- استننتج المعادلة بإيجاد الميل مرتين:

.(x1, y

1) ، (x, y) بالنقطتين

بفرض أن (x, y) تقع على المستقيم، بالنقطتين(x

1, y

1) ، (x

2, y

2)

x xy y

x xy y

1

1

2 1

2 1=-

--- أي أن:

ا كان الشرطان - الحظ أن الصور الثالث السابقة متكافئة وأي

لمعادلة الثالث الصور بإحدى الحل يمكن فإنه المعطيان

الخط المستقيم، وأن جميعها فعال مكافئة للصورة العامةax + by = c

- في مثال جندي المظالت،هبوطه يمر بنقطتين

(O) احسب الزمن عندما يكون االرتفاع -.h t40

12 5=- +

2.5 إذن 0t401 =- +

t = 100 s (ثانية)

(0, 2.5)

(40, 1.5)

(0, 0)(t, 0)40

h

t

Draft

٣٠

( )

5x - 2y = 0 .

: : x = 0 y = 0

5 0 2 0 0# #- = . (0, 0)

y = mx :.

( )

.x + 2y + 3 = 0 AB .(1, 2) AB

.x + 2y + 3 = 0 AB 2y = -x -3

y x21

23=- -

. 1m21

2#- =-b ) 2 : (1, 2)

y - y1 = m (x - x

1)

y - 2 = 2 (x - 1)y - 2 = 2x - 2

y = 2x

( )

3x + 4y = 12

3x + 4y = 12 :12

1x y4 3+ =

4 .3

x = 0 y = 3 4y = 12

y = 0 x = 4 3x = 12

. 3, 4

. 8 6

( )

.3x - 5y + 1 = 0

: x = 0 3 0 5 1 0y# - =+

-5y = -1

y51

51=-

- =

.(0, 15)

: x = 1 3 1 5 1 0y# - =+

-5y + 4 = 0

y 54

= . ,1

54

b l

معادلة المستقيم بمعلومية الجزءين اللذين يقطعهما من المحورين:

1ax

by=+ يمكن اشتقاق الصورة

y = mx + p من الصورة

p = b ، m ab=- حيث

b وبالقسمة على y abx b=- +

by

ax

1=- +

1ax

by=+

(a, 0)

(0, b)

الربط:. ٦

يتقاضى عامل 25 ليرة عند بداية العمل في منزل ثم يتقاضى

عقد عن تعبر معادلة اكتب عمل. ساعة كل عن ليرات 10

(x) بعد أن يعمل (y) العمل هذا تبين العالقة بين ما يتقاضاه

ساعة. وضح ذلك بشكل بياني.

ا كاآلتي: واضح أن عقد العمل يعبر عنه رياضي

y = 10x + 25 وهذا يمثله خط مستقيم ميله 10، ويقطع 25

من محور العينات.

(0, 25)

0-1-2-3

y

xo

y

xDraft

٣١

y = mx + p (AB ) y = 2x + p

(1, 2) p2 2 1#= +

p = 2 - 2 = 0 y = 2x + 0 :

y = 2x

( )

. 3x + 5y = 2 3x + 5y = 6

m53

=-2 m53

1 =-

. m1 = m

2

a1x + b

1y + c

1 = 0

a2x + b

2y + c

2 = 0

. :

-. -. -. -.y x

٧. أخطاء متوقعة:(أ) قد يجد الطالب صعوبة في تمثيل المستقيم الذي يكون

اشرح المساعدة. يد مد معرف. غير أو صفرا يساوي ميله

لهم أن هذه المستقيمات يمكن تمثيلها إما متوازية مع محور

السينات أو متوازية مع محور العينات.

ميل أنها على x معامل الطالب يأخذ أن الممكن من (ب)

الخط المستقيم. اشرح لهم أن معادلة المستقيم يجب أن تكون

على صورة y = mx + p حتى تكون m هي ميل المستقيم.التقويم:. ٨

اطلب إلى الطالب حل التمارين 3، 4، 5، 7 في الصفحة 27

من كتاب الطالب. تأكد من صحة اإلجابات وناقشهم حول

الحلول المقترحة.مسألة اليوم:. ٩

ركب عدد من المسافرين الطائرة من مطار دمشق، وعند

2 المسافرين الطائرة وصعد 1 وصولهم إلى مطار دبي غادر

العدد األساسي. في مطار 54 إليها عدد من المسافرين يساوي

4 من ركاب الطائرة غادروها ثم صعد إليها عدد من 3 جدة

المسافرين يساوي ضعفي الباقي في الطائرة. أما في مطار

3 من الواصلين غادروا الطائرة تاركين 39 2 الكويت فإن

راكبا في الطائرة. ما العدد األساسي للمسافرين الذين انطلقوا

من مطار دمشق؟ (120 مسافرا)إجابات وحلول:. ١٠

تدريب ص ٢٤ 1

y x8 6 =+

4x + 3y = 2y

تدريب ص ٢٦a (من تساوي الميلين).

abb

2

1

2

1= - شرط التوازي هو

4x + 3y = 8 ، 3x - 4y = 8 (١)

m1 ^ m

2متعامدان 1- =

- الحظ شرط التعامد لمستقيمين

a1x + b

1y + c

1 = 0

a2x + b

2y + c

2 = 0

a1a

2 = -b

1b

2هو

6x + 8y = 7 ، 3x + 4y = 5 (٢)

4x + y = 7 ، 2x + 3y = 5 (٣)

y = 0 (٤) محور السينات

x = 0 محور العينات

التمارين ص ٢٧(١) (أ) عدد ال نهائي

.y = -2x - 5 (ب) مستقيم واحد معادلته

(٢) المستقيم الذي ميله صفر هو محور السينات أو أي

مستقيم يوازيه.

المستقيم الذي ليس له ميل (يقصد بذلك أن ميله

غير معرف) هو محور العينات أو أي مستقيم يوازيه،

والمستقيمان متعامدان.

(٣)

(m1 = m

2 = 0) AB // ED (أ)

CD = FE = 5 BC = AF = 2 AB = ED = 4

: 5DE y = , AB : y 2= (ب)

CD : 2y x 13=- + , : 2y xBC = -

: y xAF 2=- + , : 2y xEF 5= +

(-1, 3)

E(0, 5) D(4, 5)

C(5, 3)

B(4, 2)A(0, 2)

O

F

D(4, 5)x

y Draft

٣٢

-5y x21

= - ( ) .(0, -5) ( )

- . .( ) .

-:

F(-1, 3) E(0, 5) D(4, 5) C(5, 3) B(4, 2) A(0, 2) - ( )

. ( )-.3x - 6y = 18 : AB

.y = mx + p ( ). AB DK ( )

AB ( ).(1, 2) AB ( )

AB ( )- .C AB .5x - y + 2 = 0 AB

.C AB - adx + bdy + c = 0 ax + by + c = 0

. d - AC BC B (8, 5) A (4, 3) ABC

.C . -:( )

. C 9 ABC -B(12, 5) A(8, 11) ABC

: F AC E AB .C (3, 5) .F E ( )

.EF // BC ( ) .EF = 2

1 BC ( ) .BC AB ( )

.AB + BC > AC ( ) -

.85 kgw (m) m + 5d - 85 = 0

.(d)

AE

C BAB EAC F

F

3y x21= - (٤) (أ) y x2

1= (ب) (جـ) مستقيم وحيد هو المستقيم في الفرع (ب).

y = -2x + 4 (د) (هـ) مستقيم وحيد

ا مثل: أوجد نقطة على (٥) قبل هذا التمرين أعط تمرينا تمهيديالمستقيم الذي معادلته 5x - y + 2 = 0 يمكن طلب أكثر من نقطة، ويمكن طلب إعطاء أمثلة لنقاط تقع عليه وأخرى ال

تقع عليه.y وابحث عن x = 0 مثال: ضع C إليجاد نقطة -

فتكون (2 ,0) تحقق المعادلة.،

51- - ميل AB هو 5 وميل العمودي هو

y x15

2=- + المعادلة المطلوبة:

ba =- (٦) ميل كل منها

ا (٧) ارسم شكال تقريبيللمثلث أوال معادلة

y = 5 : BC

x = 4 : AC معادلةإذن C هي (5 ,4)

AC = 5 - 3 = 2 , BC = 8 - 4 = 4 (٨)(BC)2 + (AC)2 = (8 - 4)2 + (5 - 3)2 = 20

طريقة أخرى: BC // محور السينات،

BC AC= AC // محور العينات تعطي F ,2

118b l ، E(10, 8) (أ) (٩)

(ب) ميل EF هو صفر، ميل BC هو صفرEF // CB إذن

EF BC21= , BC = 9 , EF 2

9= (جـ) .B ، C اطلب إلى الطالب بحث ما يمكن استنتاجه من

m m 11 2 !- (د) AC 41= , BC = 9 , AB 52= (هـ)

(١٠) (أ)

c (االستهالك)

(األيام)d

85

17

0 85d c&= = (ب)

0c d 17&= =

c الجزءان المقطوعان من المحورين d85 17

1+ = أو

c = 0 (انتهاء الطعام)، d = 17 (عدد األيام)

(جـ) معدل االستهالك = ميل المستقيم

c = -5d + 85 = -5

o Draft

٣٣

A

B

(0, -6)

(13, 90)

التكلفة

(3, 30)

90

3012

3 13 x

y

(3, -4)

(9, 0)

. ( ) ( )

( )- (2, 3)

.(5, 9) (4, 1)- B(7, -5) A(-3, 1) AB C

.C AB - 2x + 5y = 10

.- (-2, 4)

( ) .9 - 2x - 3y = 18

(-7, 4) . B A .A 2:1 AB

- 30 : 13 km 90 3 km (x) (y)

.

( )

( ) ( )

( ) (30 km = )

(١١) نقطة التنصيف (2 ,3)، المعادلة المطلوبة:

2y = 7x - 17

معادلة إليجاد يرونها التي الصورة اختيار للطالب اترك

المستقيم المار بنقطتين.

3y - 5x + 16 = 0 (١٢)

1x y5 2 =+

، 2x + 5y = 10 (١٣)

المساحة:

2 5 521

# # = (وحدة مربعة)

a ويحقق (4 ,2-)x

ay

9 1=+ - (١٤)

a = -3 أو a = 6 تعطي a2 - 3a - 18 = 0

x y3 12

1=- + x أو y16 3 =+ المعادلة:

وكل منهما يحقق (4 ,2-)

المعادلة y جزء من x جزء من

1x y6 3 =+ 3 6

1x y3 12

=+- 12 -3

1x y9 6 =+- (١٥)

نقطة التقسيم (4- ,3)

المعادلة المطلوبة تمر بالنقطتين

:(-7, 4) ، (3, -4)

5y + 4x + 8 = 0

(١٦) المعادلة الخطية تحقق النقطتين (30 ,3)،

.y = 6x + 12 (90 ,13) وصورتها

(أ) عند بدء التشغيل توجد تكلفة ثابتة قدرها 12 ليرة ويمثلها

الجزء المقطوع من محور العينات.

بدء بعد الواحد الكيلومتر تكلفة يمثل المستقيم ميل (ب)

التشغيل.

(جـ) ال معنى هنا للجزء المقطوع من محور السينات.

(د) التكلفة:

o

o

y

x

Draft

٣٤

l1

(3, 10)

y=4

l1=6

(8, 4)

x=3 l2

l2=5

(x 1 ,y 1

)

ax+by+c=0l

Distance Between a Point and a Straight Line

l M M(x1, y

1)

ax + by + c = 0 : l

ha b

ax by c2 2

1 1

=+

+ + : l M

ax1 + by

1 + c |ax

1 + by

1 + c|

M(x1, y

1)

ax + by +

c = 0

ï

6x + 8y - 25 = 0 (10, 5)

:

ha b

ax by c

6 8

6 10 8 5 252 2

1 1

2 2

# #=+

+ +=

++ -

.64 36

60 40 251075

7 5=+

+ - = =

. 7.5

*

12 30 6 192# =+ البعد بين نقطة ومستقيمليرة Distance Between a Point and a Straight Line

كتاب الطالب من صفحة ٢٩ إلى صفحة ٣٠األهداف:. ١تعرف البعد بين نقطة ومستقيم ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

البعد بين نقطة ومستقيماألدوات والوسائل:. ٣

مسطرة مدرجة - مثلث رسم الزوايا القائمةالتمهيد:. ٤

أوال: مراجعة ما يلي: معادلة المستقيم - القيمة المطلقة - موقف حياتي

ثانيا: اسأل الطالب: كيف يمكننا إيجاداالرتفاع الجانبي للهرم؟

التدريس:. ٥- ابدأ بإيجاد طول قطعةمستقيمة عمودية نازلةمن نقطة معلومة على

مستقيم أفقي (يوازي محور السينات).- اطلب طول قطعة مستقيمة عمودية

نازلة من نقطة معلومة على مستقيم عمودي (يوازي محور العينات).

أفكار مساعدة:- دعهم يبحثون عنطريقة إليجاد طول

قطعة مستقيمة عموديةنازلة من نقطة معلومة

.(ax + by + c = 0) على مستقيم مائلì ويعبر - الحظ أن الطول عدد îموجب

.x وتعني القيمة الموجبة للعدد |x| عنه بالرمز- أعط القانون

lax by c

a b

1 1

2 2=

+ +

+مصحوبا بمثال عددي.

خطوات اشتقاق القانون:Aí نقطة اإلسقاط العمودي للنقطة A(x ولتكن

1, y

1لتكن النقطة (

.l هو متعامد مع المستقيم ( , )n a b A على المستقيم l. المتجه

l l ll lln n. AA' AA' AA'a b2 2# #= = + . AA'n ax by c1 1= - - - أيضا

AA'a b

ax by c2 2

1 1

=+

+ +نستنتج:

مالحظة: تعتبر خطوات اشتقاق القانون هذه للمدرس فقط.ا - طبق القانون على الحاالت التي يكون فيها المستقيم أفقيا للتدريب على استخدام القانون والتعويض المناسب. وعمودي

ما مثلث مساحة إيجاد القانون هذا باستخدام يمكن توسع: حيث البعد بين نقطة رأس المثلث والمستقيم الذي يمر بطرفي القاعدة يمثل ارتفاع المثلث. كما يسمح أيضا بإيجاد البعد بين

مستقيمين متوازيين.الربط:. ٦

3x - y + 1 = 0 ومعادلته (d) لنأخذ المستقيمأين تتواجد النقاط التي تبعد 3 وحدات طول عن المستقيم (d)؟

الحل: على أحد المستقيمين المتوازيين ومعادالتهما:3x - y + 1 + 3 010 = 3x - y + 1 و 03 10 =

تمرين إضافي: لنأخذ المستقيم (t) ومعادلته:2x + 3y - 1 = 0 والنقطة A(2, 3). دع الطالب يجدون يجدون ثم ،A النقطة من (t) مع المتعامد المستقيم معادلة AH وأخيرا طول القطعة H إحداثيات نقطة تقاطع المستقيميناسأل الطالب ما يفضلونه: القانون المقترح أو هذا التمرين؟

o

o

o

y

y

x

xDraft

٣٥

A(-1, 7)

C(-4, 1)

B(2, 3)l

A

B C

(d)

( )D

للمتفوقين:(d) و(9) مستقيمان متوازيان.

في Cو B وبقيت (d) المستقيم على (A) موقع تغير إذا مكانهما، فإن مساحة المثلث ABC ال تتغير. برهن ذلك.

نشاطy ويحددون b ، a منذ البداية. فمثال

1 ، x

1دعهم يدركون موقع

إليجاد المسافة بين النقطة (10 ,8)والمستقيم y = 5 باستخدام القانون:

la b

ax by c2 2

1 1

=+

+ +

( )x y0 1 5 0# # =+ + - معادلة المستقيم: c = -5 ، b = 1 ، a = 0

(x1, y

1) = (8, 10)

( ) ( )

( )

0 1

0 8 1 10 51

10 52 2

# #=

+

+ + - -l == 5

(10 ,8)وهو ما نحصل عليه l

y=5x

yمباشرة من الشكل:

أخطاء متوقعة:. ٧غير بالقيم أي الصحيح، غير التعويض الشائعة األخطاء من

A(2, -4) y = 3x - 7 المناسبة للقانون. مثال:

l9 1

3 2 4 7

10

5210#= = =

+- -

والخطأ هو عدم كتابة معادلة المستقيم بصيغة:ax + by + c = 0

التقويم:. ٨كلف الطالب حل التمرين رقم ٢ صفحة ٣٠ وتأكد من أنهم

يطبقون القانون بشكل صحيح.مسألة اليوم:. ٩

أراد محمود قياس نصف قطر قناةهواء المكيف. استخدم مسطرته

60 cm

60 cm27.5 cm

O

بتشكيل زاوية ووجد القياسات (51.7 cm) .المبينة في الرسم. أوجد نصف قطر القناة

إجابات وحلول:. ١٠تمارين ص ٣٠

4l

3

3 2 4 5 5531# #= =+ +

+ 22] ]g g

(١)

x - 3y + 7 = 0 : BC (٢) (أ) - معادلة

1.5l10

15 15 1010

10= = = (ب) -

BC 240 10= = (جـ) - BC ABCl21# # 9= (د) - مساحة

= 10 ^ 1.5 = 15

-. (2, 5) 3x + 4y + 5 = 0

-: C(-4, 1) B(2, 3) A(-1, 7) .BC ( )

.BC A ( ).BC ( )

.ABC ( )-: C(2, -3) B(-1, 3) A(3, -1)

.BC A ( ).BC ( )

.ABC ( )-.E(4, 7) N(5, 2) M(-6, -8) ( , 5)L 9 -

. ( ) .ME N L ( )

- (3, 4) (-1, 2)

. 43-

- (0, 3) .(-1, 0) (4, 5)

- : . (3, -2) 2x - y + 1 = 0 :

(4, 1) .(-1) -

.2x - y + 3 = 0 :(12, 3)

-. A*B C

A

B C

x

y

0

(٣) كما في (٢):ME (٤) معادلة

3x - 2y + 2 = 0L 131 3x =

Nx 132 =

l520

4= = (٥)

x - y + 1 = 0 :(٦) معادلة المستقيم3 2

2

0 1

2=- + طول العمود:

ا) ألي مسألة يساعد على (٧) الحظ أن رسم شكل (ولو تخطيطي

الحل.

البعد بين منزل أحمد والطريق األولى:

4 1

2 4 1 158

5# =

+- +

البعد بين منزل أحمد والطريق الثانية:

1

4 1 1 42 2

1 2=

++ - =

يختار أحمد الطريق الثانية ألنها أقصر.

4 1

2

5

12 3 3 24# =+- + (٨) طول الخرطوم:

29

17 (٩)

y

x

E

N

L

M

(4, 7)

(5, 2)

(9, -5)

(-6, -8)

x2

x1

Draft

٣٦

6 m .

.

. .(r)

( )

. 5

.OA = r = 5 ( ) A (x, y) :

(x - 0)2 + (y - 0)2 = (OA)2 = 25x2 + y2 = 25

.

(r) A (x, y)

.x2 + y2 = r2 : O (0, 0)

M0(x

0, y

0)

.(r) :

= ( ) ( )x x y y2 12

2 12- + -

( ) ( )r x x y y02

02= - + -

( )x y rx y02

02 2- + - =^ h

M0(x

0, y

0)

: (r) ( ) ( )x y rx y0

20

2 2- + - = M

0(x

0, y

0)

.(r)

* *

*

*

Circle

r

(0, 0)o

A (x, y)

r

M0 (x

0, y

0) r

A (x, y)y

x

Circle الدائرة كتاب الطالب من صفحة ٣١ إلى صفحة ٣٦

األهداف:. ١تعريف الدائرة ومعادلتها ◀

تعرف الصورة العامة لمعادلة الدائرة وتوظيفها ◀

إيجاد مركز الدائرة وطول نصف قطرها ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

مركز الدائرة - نصف قطر الدائرةاألدوات والوسائل.. ٣

مركز الدائرة - فرجار - آلة حاسبةالتمهيد:. ٤

أوال: مراجعة ما يلي:كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين - كيفية إيجاد البعد بين نقطة

ومستقيم - المربع الكاملثانيا: استخدم المعادلة: x2 + y2 = 25، والناتجة في المثال

(١) واسأل الطالب:(١) ما قيمة y عندما تكون x = 0؟(٢) ما قيمة x عندما تكون y = 4؟

(x, y) (٣) ضع جدوال يحوي على األقل 8 أزواج.x2 + y2 = 2 تستوفي الشرط

(٤) ضع هذه النقاط على شبكة اإلحداثيات. هل تتواجد على دائرة؟ ما هو نصف قطرها؟

التدريس:. ٥ابدأ بالعمل التعاوني ص ٣١ ثم دع الطالب يعطون تعريفات

للدائرة.اطلب إليهم أن يبحثوا عن عالقة إحداثي نقطة على الدائرة

(x, y) مستخدمين خواص أساسية يعرفونها عن الدائرة.أخطاء متوقعة:. ٦

قد يخلط بعض الطالب بين نقطة عامة مفترضة (x, y) على التي الثابتة النقطة أو الدائرة على معلومة نقاط وبين الدائرة

تحدد مركز الدائرة (c, r) أو نقطة األصل (0 ,0).

نشاطكنقطة يفترضونه ما الطالب فيها يوضح محددة أمثلة أعط

عامة(x, y) وبين نقاط معطاة.

نبه الطالب إلى أن مبدأ اإلحداثيات ال يكون دائما هي مركز

الدائرة، وال بد من قراءة السؤال بدقة.- ابدأ بدائرة مركزها مبدأ اإلحداثيات

.(0, 0)- تحرك إلى دائرة عامة

.

( , )M x y0 0 0 مركزها أي نقطة - دع الطالب يتذكرون

(x, y)

(x, x0)

(y, y0)

r

( - ) + ( - ) = rx x y y2 2 2

0 0

( , )M x y0 0 0

قانون المسافة بين نقطتين. - في المثال (٣) ارسم الشكل بصورة واضحة على شفافية.

ثابتا وعددا y ،x ،y2،x2 تتضمن الدائرة معادلة أن الحظ -.xy ولكنها خالية من أي حد يتضمن

توسيع: ساعد الطالب على كتابة معادلة الدائرة بشكل صحيح. قد يقعون في بعض األخطاء في المثال رقم ٢ بين (2- ,3)

و(2 ,3).ناقش معهم لماذا ال يمكن أن يكون نصف قطر الدائرة (5-) القطر نصف أن لهم اشرح تساوي 25. (-5)2 وأن خاصة

يمثل مسافة والمسافة ال تكون سالبة.

فكر متطور: ساعد الطالب على كتابة معادالت دوائر تالمس (تمس) محور السينات وأخرى تالمس (تمس) محور العينات.

ما العالقة بين إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها؟

o

y

x Draft

٣٧

( )

8 B

. B C . A B 6 C

C 31 D

A C B D A 2

1 B .B 8

. .D C B A

M0 (x

0, y

0)r

A(-4.5, 0)4x y29

162

2+ + =b l

B(0, 0)21

x y 412 2 =+

C(0, 0)3x y 92 2+ =

D(4, 0)1( 4) 1x y2 2 =- +

-: .10 (0, 0) ( )

.1 (-6, 10) ( ) (2, -3)

4 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 16 ( ) (x - 2)2 + (y + 3)2 = 16 ( )(x + 2)2 + (y + 3)2 = 16 ( ) (x - 2)2 + (y + 3)2 = 4 ( )

-: (x + 7)2 + (y - 5)2 = 16 ( )(x - 0.3)2 + y2 = 0.04 ( )

( )

.7 (3, -2)

.( ) ( )x y rx y0 02 2 2- + - = .( 3) ( 2) 49x y2 2+ +- =

( )

. 4 (3, 4).

( ) ( )x x y ry02

02 2- + - = :

( ) ( )x y3 4 162 2- + - =

(5, -3) :

. 5

. -5 :

( )

( ) ( )x y6 7 252 2+ + - = .

: ( ) ( )x y rx y0 0

2 2 2+ =- -

r2 = 25 r = 5 y

0 = 7 x

0 = -6

. 5 (-6, 7)

y

x

0

1

2

3

4(3, 4)

1 2 3 4 x

y

(تمس) تالمس دائرة معادلة كتابة إليهم اطلب للمتفوقين: محور السينات ومحور العينات في آن.

بالنسبة إلى المثالين (٣) و(٤): دع الطالب يطرحون أمثلة من الواقع تستخدم فيها معادلة الدائرة.

مثال (٥): اسأل الطالب حول محوري الترسين B وC وعن تناسق حركة الدوائر.

قد يقوم بعض الطالب بقطع دوائر مسننة من الورق المقوى

وتثبيتها كما في المثال لمعرفة كيفية عملها.

قد ال يتمكن بعض الطالب من مالحظة الفرق بين محيط

الدائرة A والدائرة B. استخدم العالقة: محيط الدائرة يساوي

قطرها ^ r لتبيان أن محيط الدائرة A يساوي 8 مرات

.B محيط الدائرة

مالحظات حول التمارين: تهدف التمارين في الصفحة ٣٣ إلى تركيز مفهوم معادلة الدائرة من خالل اإلكثار من التطبيقات.

قد يجد بعض الطالب صعوبة في حل التمرينين ٧ و٨. اقترح

عليهم البدء برسم دائرة تساعد على حل التمارين.

في دائري شكل أي يختاروا أن الطالب اسأل تعاوني: عمل محيطهم ليقدروا نصف قطره ثم يقيسوه.

Draft

٣٨

-: ( )( )( )

-.(1, 0) (5, 4) -

) 3x + 4y + 25 = 0.(

- (1, 5) .5x - 12y + 3 = 0

General Form of the Equation of a Circle M

0 (x

0, y

0)

(1) (x - x0)2 + (y - y

0)2 = r2 r

: x2 + y2 - 2x

0x - 2y

0y + x

02 + y

02 - r2 = 0

. x0 y

0 r

. x02 + y

02 - r2

x02 + y

02 - r2 b (- y

0) k (- x

0) l

: (l) x2 + y2 + 2lx + 2ky + b = 0

l, k, b :

.y, x - . y2 x2 -

.x y -

الصورة العامة لمعادلة الدائرة:

(x - d)2 + (y - e)2 = r2 اعرض صورة (1)

وتدرج حتى تصل للصورة (2)

x2 + y2 + 2lx + 2ky + b = 0

حيث b ،k ،l ثوابت (أعداد حقيقية)

واستخلص منها كيفية إعادتها للصورة (1)

.b ،k ،l وإيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها بداللة الثوابت

راجع مهارة إكمال المربع لمقدار جبري على صورة:

ax2 + bx ، ax2 + bx + c

- ابدأ بأمثلة عددية محددة.

- ناقش األوضاع المختلفة للدائرة في ضوء المعامالت

b ،k ،l عند توضيح المالحظة ص ٣٥ في كتاب الطالب

l2 + k2 - b = 0 متى تؤول إلى نقطة؟ عندما

l2 + k2 - b > 0 متى تكون الدائرة موجودة؟ عندما

متى ال توجد دائرة؟ عندما ال يوجد جذر تربيعي للمقدار

l2 + k2 - b < 0 أي عندما l2 + k2 - b

ا. - أعط أمثلة محددة وحاول تمثيلها بياني

فكرة: في الصورة العامة لمعادلة الدائرة إذا كانت قيمة b سالبة فالمعادلة هي معادلة دائرة.

مالحظات حول الصورة العامة لمعادلة الدائرة:اشرح للطالب أن معامل x2 يساوي معامل y2 وأن هذا المعامل

قد ال يساوي الوحدة.

مثال 2x2 + 2y2 + 4x - 6y - 8 = 0 تحول إلى

x2 + y2 + 2x - 3y - 4 = 0

اطلب إليهم إعطاء أمثلة حيث الدائرة تؤول إلى نقطة أو حيث

الدائرة غير موجودة.

قد يقترح بعض الطالب أن النقطة هي دائرة خاصة.

ناقش الفكرة معهم.

للمتفوقين: أوجد قيم m التي تجعل المعادلةx2 + y2 + 2mx + 1 = 0 تمثل دائرة.

الربط:. ٧يلتف حزام حول بكرتين

دائريتين (انظر الرسم).

أوجد المسافة بين مركزي البكرتين.

3

6

1

Draft

٣٩

: x2 + y2 - 2x - 6y - 15 = 0

: (x - d)2 + (y - e)2 = r2

: x2 - 2x + y2 - 6y - 15 = 0

(x - 1)2 - 1 + (y - 3)2 - 9 - 15 = 0(x - 1)2 + (y - 3)2 = 25

: (x - d)2 + (y - e)2 = r2

.5 (1, 3) Centre and Radius

:

x2 + y2 + 2lx + 2ky + b = 0:

x2 + y2 + 2lx + 2ky + b = 0.

: (x - d)2 + (y - e)2 = r2

: x2 + y2 + 2lx + 2ky + b = 0x2 + 2lx + y2 + 2ky + b = 0

(x + l )2 - l2 + (y + k)2 - k2 + b = 0(x + l )2 + (y + k)2 = l2 + k2 - b

: (x - d)2 + (y - e)2 = r2

r l k b2 2+= - (-l, -k) 0l k b2 2 H+ - :

l2 + k2 - b = 0 ( ).

. :l2 + k2 - b < 0 ( )

. l2 + k2 - b > 0 ( )

التقويم:. ٨اطلب إلى الطالب حل التمرينين رقم ١ و ٥ ب من الصفحة

٣٦ من كتاب الطالب.مسألة اليوم:. ٩

بتحريك دائرتين فقط الواحدة تلو األخرى، هل يمكن أن تضع

هذه الدوائر بشكل دائرة؟

6٦٦

5٥٥

4٤٤

3٣٣

2٢٢

1

١١

إجابات وحلول:. ١٠تمارين ص ٣٣

x2 + y2 = 100 (أ) (١)

x2 + y2 + 12x - 20y + 135 = 0 (ب)

(x + 6)2 + (y - 10)2 = 1

(٢) (أ)

(٣) (أ) (5 ,7-)، 4

(ب) (0 ,0.3)، 0.2

x2 + y2 = 9 (أ) (٤)

x2 + (y - 3)2 = 4 (ب)

(x - 2)2 + (y - 2)2 = 16 (جـ)

r2 = (5 - 1)2 + (4 - 0)2 = 32 (٥)

(x - 5)2 + (y - 4)2 = 32

(٦) نصف القطر عمودي على المماس

r =9 16

3 0 4 0 25# #

++ +

= 5

r

x2 + y2 = 25 المعادلة المطلوبة.

(x - 1)2 + (y - 5)2 = 16 (٧) كما في (٦) تعطي

o

y

xDraft

٤٠

: x2 + y2 - 6x - 2y - 15 = 0

(x - 3)2 -9 + (y - 1)2 - 1 - 15 = 0(x - 3)2 + (y - 1)2 = 25

(3, 1) ( ) 5r 9 1 15 25= + - - = =

:( - ) -x2 + y2 + 4x - 2y - 5 = 0 -x2 + y2 + x + 3y + 10 = 0 -3x2 + 3y2 - 12x - 18y + 39 = 0 - : a

2x2 + (a - 1)y2 + ax - 1 = 0.

-: (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 ( )

3x2 + 2y2 + 5x + 8y + 9 = 0 ( )x2 + (y - 3)2 = 9 ( )

x2 + y2 + 6x - 8y + 100 = 0 ( )x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0 ( )

تمارين ص ٣٦10 (١) موجودة (1 ,2-)،

(٢) غير موجودة

(٣) غير موجودة

،r 417= ، المركز ,4

30-b l a = 3 (٤)

(٥) (أ) دائرة.

.y2 تختلف عن معامل x2 (ب) ليست دائرة ألن معامل

(جـ) دائرة.

(د) ليست دائرة ألنها تؤول إلى الشكل

(x + 3)2 + (y - 4)2 = -75

(هـ) ليست دائرة ألن r = 0 فهي تمثل نقطة.

Draft

٤١

: XYZL ABCD -X ...=W Z ...=V

Y ...=W L ...=V-

ABXY

BCYZ

...ZL

DA...

= = =

: - - ( )

-

.EFG ABC

. .

15

1824

1220 A

F CB

E

G

16

: (1)

:

AGEC

2015

43

= = BFG

C2418

43

= = ABEF 16

1243

= =

: ABEF FG

BCGECA

43

= = =

(2) (2) (1)

ABC ( ~ ) EFG ~ ABC.34

EFG . :

. :

-. -.

: Y = X EFGH ABCD

A B

C

D

E F

G

HXY

.

:

( )

: -. -.

.

Proportion and Similarity

* * * *

A

B

D

CL

X

Y

Z

كتاب الطالب من صفحة ٣٧ إلى صفحة ٤٣

األهداف:

تحديد:

مفهوم التشابه بين األشكال الهندسية المستوية ◀

مقاييس رسم معين. ◀

المستطيل الذهبي والنسبة الذهبية ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ١

التشابه - النسبة الذهبيةاألدوات والوسائل: . ٢

ورق رسم بياني - مسطرة مدرجةالتمهيد: . ٣

ذكر الطالب بما يلي:

- مفهوم تطابق المثلثات.

- نظرية فيثاغورس.

اسأل الطالب إذا كانت أزواج الكسور التالية متكافئة:

32 و20

5635 4؛

4 و28 32؛

12 8 و3

وتشابه. تناسب لكلمتي اللغوي المفهوم الطالب مع ناقش اسألهم إذا سبق ورأوا على التلفاز أو في السينما أماكن شهيرة أو مواقع أثرية تحترق أو تدمر، وكيف أن اإلخصائيين قادرون

على محاكاة الواقع وتشبيهه بواسطة الحاسوب.

أخيرا ذكر الطالب بتطابق المثلثات ثم المضلعات.التدريس:. ٤

المضلعان يكون كيف الطالب يتعلم سوف الدرس هذا في

متشابهين وكيف تكتب نسبة التشابه.

أسئلة للتفكير: اطلب إلى الطالب تعليل إجاباتهم؛ واسأل طالبا آخرين إذا أقنعتهم إجابات رفاقهم.

اطلب إلى الطالب إحضار صورة فوتوغرافية لمن تتوفر لديهم

والقيام بتنفيذ أشكال مشابهة لها.

قد يجد بعض الطالب صعوبة في تحديد األضالع المتناظرة

في شكلين هندسيين. قد يفيدهم رسم أحد الشكلين ومحاولة

تقريبه للرسم اآلخر بواسطة اإلزاحة أو الدوران أو الطي.

يمكن الطلب إلى المجموعات اختيار أثر تاريخي أو رمز وطني

مع صورته في إحدى المجالت ثم إيجاد مقياس الرسم.

التناسب والتشابهProportion and Similarity

Draft

٤٢

The Golden Ratio .

: 1 = x = ABCD

: EBCF ABCD AB

CFBCBC

=

(0 � ) x x1 11

= -

x(x - 1) = 1 ^ 1: x2 - x - 1 = 0

x 21 5

=- x 2

1 5=

+

1,6x 21 5

b=+

. 1.6:1

x 2

1 5=

-

.3 cm -.5 cm -

.

: ( 1519 - 1452)

.

:

=

100 m 1 cm

. ...1 km 1 cm

: 2.5 cm :

1.5 cm : :

= 1 200

.x200

1 2 5=

5 m = 1 200 2.5x # #=

: 1 cm :2 m

1.5 cmy =

3 m = y m = 1.5 ^ 2

.

The Golden Rectangle

. EBCF AEFD ABCD :

. ABCD ABCD

1 cm : 2 m

FD C

E

1

A B1 x - 1

تمرين إلى الطالب:نشاط: ارسم مستطيال ABCD إذا كانت إحداثيات رؤوسه هي: ارسم )Dثم 2, 4)- ، ( , )C 46 ، ( , )B 6 2 ، A(-2, 2). أوجد

21 صورته JKLM حيث J(-1, -1) ومقياس الرسم

إحداثيات K ، L ، M. (الحظ وجود أكثر من حل).

المستطيل الذهبي: يمكن أن يحاول الطالب معرفة ما إذا كان ا. اسألهم إذا باب الصف أو حائط الصف يشكل مستطيال ذهبيالسورية العربية للجمهورية الورقية العملة قطع إحدى كانت

ا. تشكل مستطيال ذهبي

أحد طول يقدرون الطالب دع :٤١ ص بيزا برج نموذج في األعمدة في طوابق البرج.

الربط: . ٥(كل

500 0001 بمقياس لسوريا خريطة وضع أردت إذا

1 على الخريطة). ما المسافة cm 500 على األرض تعادل mعلى الخريطة بين دمشق وحلب علما أنها تساوي ما يقارب

350 على األرض؟ kmأخطاء متوقعة: . ٦

المتناسبة األضالع بين الربط في صعوبة الطالب يجد قد والزوايا المتساوية في األشكال المتشابهة. مد يد المساعدة بأن توضح لهم أنه في األشكال المتشابهة توجد الزوايا المتساوية

مقابل األضالع المتناسبة.التقويم: . ٧

اطلب إلى الطالب حل رقم ٧ في التدريب ص ٤١ وحل رياضة عقلية ص ٤٢. تأكد من حسن استخدامهم لنسبة

التشابه.مسألة اليوم:. ٨

ما مساحة المضلع؟

(اإلجابة: 8.5 وحدة مربعة)

إجابات وحلول:. ٩«أكمل» ص ٣٨

Y B=t t ، X A=t t (١)L D=t t ، Z C=t t

BCYZ

CDZL

DALX

ABXY = = = (٢)

«أجب عن األسئلة» ص ٣٨(٣) ال (٢) نعم (١) نعم

Draft

٤٣

: Z Y X -

( )

( )

. 8 ^ 4 (. ) .36 cm

.

.C(4, 6) B(2, 6) A(2, 3) ABC .F(x, y) E(6, 24) D(6, 9) ABCT DEFT

.F

.114 mm .mm

: 10 ^ 16 (C) 10 ^ 6 (B) 8 ^ 6 (A)

.C B A

.(C)

. ba

43

=

3a = 4b ( ) 4a = 3b ( )

ab

34

= ( ) a b3 4= ( )

a ba 3

7+= ( ) b

ba

43 4+

=+ ( )

ab = 68 = 0.75

1 ( ) 3 4a b3 4+

=+ ( )

(54 m ) 180 .8 cm 15 cm

.

. : -

. .

( )

( )

( )

( )

تطبيقات معمارية ص ٣٩ ،3 cm باعتبار أن أبعاد غرفة الجلوس في الرسم تساوي

1.5 تكون: cm6m ^ 3m :أبعاد غرفة الجلوس6m ^ 8m :أبعاد الشقة بأكملها

تفكير تأملي ص ٤٠ال يوجد طول سالب.

تدريب ص ٤٠4.8 تقريبا. cm 3، الطول cm العرض3.1 تقريبا. cm 5، العرض cm الطول

تدريب ص ٤١(خواص (٨) ،(٧) ،(٦) ،(٥) ،(٤) ،(٣) ،(١) صواب:

التناسب)

ص ٤١نماذج: نسبة التشابه (الصورة: الحقيقي) = 0.0015 تقريبا.

تمارين هندسية ص ٤١، ٤٢أوال

(١) غير متشابهين (٢) متشابهان

(٣) غير متشابهين: عدم تساوي الزوايا.(٤) متشابهان

ثانياz = 10 ، y = 8 ، x = 6 (٥)

z = 215 ، y = 2

35 ، x = 20 (٦)Draft

٤٤

EFGH

C B A ( ) C A ( ) B A ( ) B ( ) A ( )

BC A

E

H G

F

رياضة عقلية ص ٤٢:36 ^ 18ص ٤٢

هندسة إحداثية: (استعن برسم تقريبي)

B (2, 6)

31515

10

10

2 C (4, 6) E (6, 24)

D (6, 9)A (2, 3)

13 513

,F x y^ h

F(16, 24) ألن:

6 10 16x153

102

&= = =+

y = 9 + 15 = 24

(x, y) = (16, 24)

DEAB

EFBC

FDCA

51= = = التحقق:

استخدام آلة حاسبة:114 ÷ 1.6 = 71.25

تجربة عملية:من الطالب عليها حصل التي النسب تابع ، 1.6

1016 = (C)

التصويت.

B, A :اختبر نفسك

Draft

٤٥

Similar Triangles

60∞ 50∞ .( )

.mm .

( ). ( )

: )

... (

. :

. AíBíCí ~ ABC

.

( )

: . L

X

Y

Z70∞

70∞

K

XZY KZL=\ \ YXZ LKZ=\ \

XYZ KLZT T+

.

. =

* * *

*

60∞ 50∞

50∞

66 00∞∞

0∞60∞

C

Cí

A

Aí

B

Bí

( )

MKL MBCT T+

BCKL

MBMK

=

. .x

1 5152 5

= 2.5x = 1.5 ^ 15

x 2515 15#

=

.9 m x 9=

- 1.2 m . 12 m

1.8 m .

3 m -. 180 cm 120 cm

:.

(1) MKAB

MLAC

= A M=W X :

15 m .

.

1.5 m 2.5 m

.

x180 cm

120 cm3 m

A

M

K LB C

x y

تشابه المثلثاتSimilar Triangles

كتاب الطالب من صفحة ٤٤ إلى صفحة ٤٩األهداف:. ١تعرف حاالت تشابه المثلثات. ◀

حل مسائل ومواقف حياتية باستخدام تشابه المثلثات ◀المفردات والمفاهيم الجديدة: . ٢

ال يوجد.األدوات والوسائل:. ٣

ورق رسم بياني - مسطرة مدرجة - منقلة - آلة حاسبةالتمهيد:. ٤

ذكر الطالب بما يلي:

- تشابه المضلعات ونسبة التشابه.

- تطابق المثلثات.

اسأل الطالب إعادة حاالت تطابق المثلثات وشرحها، ثم

اسألهم عن الفرق بين التطابق والتشابه.التدريس:. ٥

عمل تعاوني: تأكد من تنفيذ العمل ضمن مجموعات. تتم كتابة اإلجابات على السبورة للمقارنة. بالنسبة إلى النظرية تأكد من

أن الطالب يتعرفون األضالع المتناظرة بسرعة.

ويسأل منفرجة بزاوية متشابهين مثلثين طالب يرسم نشاط: رفيقه تحديد األضالع المتناظرة.

أمثلة إضافية:(١) اطلب إلى الطالبأن يثبتوا تشابه المثلثين

ويكتبوا نسبة التشابه.

(٢) اشرح لماذا يتشابهالمثلثان.

P O

NM 24

6

13.4 12

اكتب تناسب األضالع.

.NO أوجد

في تعلم ذاتي رقم (٣) ص ٤٧: ذكر الطالب أن كال منالمثلثين هو متساوي الساقين.

في «تفكير ناقد» ص ٤٧: دع الطالب يسمون القانون المناسب لدعم وذلك مضادا مثاال فليرسموا وإال المناسبة القاعدة أو

إجابتهم.

Draft

٤٦

. XYXE XZ

XF YZEF -

...... ......T T+( )

......XEF =\ : ( )

............

XYZXEF

TT

= =

-

- .

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

- MKL .ABC .3:1 ABCT + MKLT

-: x

7 ( ) 6.75 ( ) 6 ( ) 316 ( )

. ( ) - . ( )

: x -

( ) ( )

( )

: ABC MKLT T+

:AB = MX MKx ! :

KL // XY XY // KL

.MXY ...=\ ...MYX =\

MKLT+MXYT

( ) MLMK

ACAB

= (1) MXY, MKL

ABC MXYT T, MKMX

MLMY

=

( ) ABC MXYT T+ (2) MLMK

MYMX

=

MXY MKLT T` MY

MXACAB = :( ) ( )

( ) ABC MKLT T+ MY AC= MX AB= .

15

12 18

46

A

B

DE

C

AC // DE

.AC . :

( ) .

MKLT ABCT

MKAB

KLBC

LMCA

= =

ABC MKLT T+

B K=W X A M=W Y C L=W V

: - XEF XYZT T+ ( )

EF // YZ ( )

. -

B

A

C

M

LK

X

Z Y

F E

7

310.5

2.7

6.3

15

ضمن الطالب يعمل :٤٨ ص ٩ إلى ٧ التمارين من مجموعات

صغيرة وعليهم تسمية القانون أو القاعدة التي تسمح بإيجاد

المجهول.

في التمرين ١٢ ص ٤٩: قد يكون بعض الطالب بحاجة إلى كل في مختلفين مثلثين (إلعطاء مرة من أكثر الشكل رسم

مرة).

ضمن بالعمل ينصح :٤٩ ص ١٥ التمرين تدريب، في مجموعات.

نشاط في الصف: يقوم أحد الطالب بشرح تشابه مثلثين لرفيقه كما لو كان يحدثه على الهاتف.

عمل تعاوني ص ٤٤: المثلثان متشابهان مثال (١) التقابل بالرأس

الربط:. ٦تمارين ص ٤٥ - ٤٦

(١) الحظ أن قياس زاوية السقوط = قياس زاوية االنعكاس.

البرج

12

وطسقة الاويزاوية االنعكاسز

z عثمان

1.2المرآة

1.8

.18 m المثلثان متشابهان إذن ارتفاع البرج يساوي

.4.5 m (٢) طول العمود يساوي أخطاء متوقعة:. ٧

للمثلثين المتناسبة األضالع كتابة في الطالب يخطئ قد

أن يجب المتناسبة األضالع بأن الطالب ذكر المتشابهين.

تحصر الزوايا المتساوية.التقويم: . ٨

اطلب إلى الطالب حل التمارين: ٧ و٨ و٩ صفحة ٤٨. تأكد

من استخدامهم الصحيح للمثلثات المتشابهة. مسألة اليوم:. ٩

.10 cm كعكة مستديرة ثالثية الطبقات، ارتفاع كل طبقة منها

30. نريد cm45 و cm60 و cm :أما أقطار هذه الطبقات فهي

التي المساحة أوجد الكريما. من بطبقة الكعكة هذه طالء

فوق متالصقة الثالث الطبقات أن فرضنا إذا طالؤها يجب

بعضها، ومتحدة المركز.

(7068.58 cm2 2250 أي تقريبا cm2r (اإلجابة

Draft

٤٧

- .( ) ( )

( )( )

9

6 688

12

-.CD ( ) - :

. - x :

:

9 m

82.3 m 100.6 m

82.3 m

4 m

8 m

6 m 6 m

x

( )( )

( )( )

-ABCD ( ) . ( )

- 30 cm

.4.5 cm .

C

B

D

A

F

( )

-: ( )

. .z y x ( )

:

-DE // BC : ABC ADET T+ :

-LO ^ OK = MO ^ ON : T LOM + T KON :

-. ( ) . ( )

: ( ).

-.

8

6 16

x

- 180 cm . 120 cm 7.2 m

.-:

.2:3

-

.

A

D

B

E

C

A

B

C

D

E

Fz

x

y

l

12

12

64

N L

MKo

إجابات وحلول:. ١٠تدريب ص ٤٦

124

186=

ABt التقابل بالرأس: المثلثان متشابهان C = ... ومن التشابه:

A وهما متبادلتان: E, ...=t t AC//ED

ص ٤٧، X مشتركة XY

XEXZXF

107= =

FE//ZY XEF XYZ% =t t . . .9 15 10

6 3 10 5 734

23 8=+ ++ + النسبة بين المحيطين:

107 النسبة بين ضلعين متناظرين = نسبة التشابه =

(الحظ أن = إحدى النسب)مجموع البسط

مجموع المقام

تعلم ذاتي(١) حاالت التشابه: (ب) تساوي الزوايا المتناظرة

(جـ) تناسب األضالع(و) تناسب ضلعين، تساوي قياس زاوية

(أ) ،(د) ،(هـ) ال تشابهx = 6.75 (٣)

(٤) (أ) ال: قد تكون الزوايا مختلفة.(ب) نعم: تساوي الزوايا

x x9 6 8

12== (٥) (أ)

x x677

2414

22= = (ب)

x x12 86 9= = Dra(جـ)

ft

٤٨

ظل الشخصظل الشجرة1.2

1.87.2

3

6

y y

4

2

z

x x

(٦) (أ) تناسب األضالع الثالثة المتناظرة.

(ب) تناسب ضلعين وتساوي الزاوية المحصورة.

.CD = 15(٧) تناسب ضلعين وتساوي الزاوية المحصورة و

(٨) مثال: ارتفاع الهرم: ضع عصا عمودية وقس طول العصا

وطول ظلها، وفي الوقت نفسه، قس طول ظل الهرم واستخدم

التشابه.

(٩) استخدم التناسب مع مراعاة المثلثين المتشابهين في كل

الحاالت.

(١٠) (أ) شبه منحرف.

ABF (تساوي الزوايا). CDF9 9+ (ب)

(١١) رياضة عقلية: مطلوب معرفة طول العصا.

(١٢) الحظ تناسب األضالع وتساوي الزوايا.

9ECF ، 9EBD متشابهان،

9ABF ، 9ACD متشابهان Z = 6 ، L = 8... أكمل

ADE9 فيهما ، ABC9 (١٣)

ACB بالتناظر والتوازي AED=t t

ABC بالتناظر والتوازي ADE=t t

At مشتركة

` المثلثان متشابهان ` الزوايا الثالث متساوية

LO OK MO ON# #= (١٤)

ONOL

OKOM=

LOM NOK=t t

إذن المثلثان متشابهان.

1 = 98 = م

2(١٥) (أ) م

1 = 420 = ح

2 (ب) ح

(جـ) ليس بالضرورة فتساوي المحيطين أو المساحتين

ال يعني تناسب األضالع أو تساوي الزوايا.

تحقق من قدراتك(١) استخدم التناسب.

.

..Z

1 21 8

8 4= (٢) من تشابه المثلثين 12.6 m طول الشجرة هو

(٣)

(٤) تناسب الضلعين وتساوي الزاوية المحصورة.

Draft

٤٩

: ï . .

. ï .

. ï. A, B, C

ï: ...... ......ABCT T T+ +

:(A)

. A

CD

B

AD BC= A ABCABC CAD DBAT T T+ +

:

. .AD = DC ^ DB

:

.AD BC= A ABC :

AD BD DC#= :

ABD CADT T+ :

CAAB

ADBD

CDAD

= =

(AD)2 = BD ^ CD

AD BD DC= #

Similarity in Right Triangles

C

A

DB

2

1 3

8

7

9

5

64

*

*

*

A

AAB

BB

C

CC

AD CB= A ABC BC BD AB ( )CB CD AC ( )

:

CBA ABDT T+ ( )

CBAB

BABD

=

(AB)2 = CB ^ BD

BD BC AB

BCAACDT T+ ( )

BCAC

CACD

=

(AC)2 = BC ^ CD

.CD CB AC

( )

. y x x

45

y

x2 = 5 ^ 9

3x 45 5= =

y2 = 4 ^ 5 y 20 2 5= =

yx

4

12

. y x

( )

300 m 400 m

. ( )

.

التشابه في المثلثات قائمة الزاويةSimilarity in Right Triangles

كتاب الطالب من صفحة ٥٠ إلى صفحة ٥٦.األهداف: . ١

تعرف

في ◀ الوتر إلى القائمة رأس من النازل العمود خصائص

المثلث قائم الزاوية.

خصائص الخط الموازي ألي ضلع في المثلث. ◀

نظرية طاليس. ◀

خصائص منصف الزوايا الداخلي في المثلث. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة: . ٢

الوسط الهندسياألدوات والوسائل: . ٣

ورق رسم بياني - أدوات هندسيةالتمهيد:. ٤

اسأل الطالب عن:

- نظرية فيثاغورس.

- التناسب.

- منصف الزاوية.

قائم المثلث في الوتر على القائمة من العمودية القطعة -

الزاوية.

العمود يرسمون ثم القائمة المثلثات بعض الطالب يرسم

النازل من رأس القائمة إلى الوتر. اسألهم ماذا يظنون بالنسبة

Draإلى المثلثات المتكونة.ft

٥٠

A ABCT

BC2 = (300)2 + (400)2

BC2 = 250 000

BC = 500 m

AC2 = CD ^ CB

(300) CD 5002 #=300 300

CD 500 180#

= =

180 m

.

. AD

A

BC

D

b azyx

c

: - . ... ...ABCT T T+ + : -:

...ca z

= ( ) ...ca y

= ( )

......z

z = ( ) ...y az = ( )

-: x

x x

x( )( )( )

- z ( ) .z .8 cm 2 cm

8 cm 2 cm z ( ) .

( )

التدريس:. ٥الوتر إلى النازل العمود رسم صحة من تأكد تعاوني: عمل

وليس المستقيم المتوسط.هي العمل في المثلثات كل أن مالحظة على ساعدهم

متشابهة.

نشاط بصري: يرسم الطالب المثلث القائم ABC ثالث مرات وفي كل منها ينزلون عمودا من رأس القائمة إلى الوتر تالقيه

في نقطة D وفي كل مرة يلونون زاويتين متطابقتين. أوال: ABD9 ABC9 ثم ABD9 و ABC9 ثم ACD9 و

ACD9 و

لألوساط كذلك هندسية. تطبيقات العددية لألوساط تواصل: هذه عن يفتشون الطالب دع الجبر. في تطبيقات الهندسية

التطبيقات ويعرضون ما وجدوه على زمالئهم في الصف.في مثال (١) يحدد الطالب القانون المطبق.

فكر متطور: اسألهم: متى يكون طول العمود النازل من القائمة إلى الوتر يساوي نصف الوتر؟

في المثال رقم (٢): ذكر الطالب بثالثيات فيثاغورس مثل (5 ,4

,3) ومضاعفاتها وهذا يسمح بتحديد طول BC المجهول.

إليجاد التناسب الطالب يكتب و٥٢ ٥١ الصفحتين في

المجهول.في التمرين 3: يجمع الطالب أو يطرحون إليجاد المجهول.

وقد الحلول إليجاد فيثاغورس نظرية استخدام يتكرر يستخدمون المعادلة التربيعية من الدرجة الثانية.

اختبار سريع:ABC9 أكمل: ... + ... +

zو yو x :أوجد

في الصفحة ٥٤: ساعد الطالب علىفهم أن الخط الموازي للقاعدة يقسم

الضلعين إلى أقسام متناسبة وليست متطابقة.

أمثلة إضافية:(١) أوجد x وy في الرسم.

1.5

x

3

y31

ما القانون أو النتيجة المستخدمة إليجاد األطوال؟

(٢) ما قيمة x؟ما القانون أو النتيجة

المستخدمة إليجاد قيمة x؟

Draft

٥١

- CD (4, 2) B D A ABC

.C (4 15) (4, 6)-

1:2 24

.-

. B

AC CB= -: z y x

( ) ( )

6

9

z

6

30z

( ) ( )

-.(A) - .90∞ 60∞ 30∞ ABCT

. 10 cm : : .

. . :

A

B C

D

قطعتين إلى المقابل الضلع المنصف قسم إذا نقدي: تفكير متطابقتين فإن المثلث يكون متساوي الساقين.

الربط: . ٦مثال رقم ٢ ص ٥١.

أخطاء متوقعة: . ٧في الطالب بعض يخطئ قد (٥٤ الصفحة (بداية نظرية في

كتابة تناسب طول القطعتين مع طول الضلعين. ساعدهم على

كتابة التناسب بشكل صحيح.التقويم:. ٨

اطلب إلى الطالب حل التمرينين ٣ في ص ٥٢ و٥ في ص

٥٣ (هندسة إحداثية). تأكد من صحة أعمالهم.مسألة اليوم: . ٩

تكفي كرة من الصوف لحياكة جورب واحد. ما عدد الجوارب

التي نستطيع حياكتها إذا ضاعفنا قطر الكرة؟ (8 جوارب)

Draft

٥٢

:

.

.BC // XY ABC ::

XBAX

YCAY

=

:XY // BC

B

X Y

A

C

( ) ACB AYXT T+

AYAC

AXAB

=

AYAY YC

AXAX XB+

=+

AYYC

AXXB

1 1+ = +

AYYC

AXXB

=

. XBAX

YCAY

=

: x

( )( )

.

BCAB

B'C'A'B'

=

.

. :

BA

CCí

AíBí

AD = 4 ، DB = 9 ، DC 4 9#= (٥)

CD // إذن محور السينات ABDC=

C (4 + 6, 6) = (10, 6)

C (4 - 6, 6) = (-2, 6) أو

B

CC

D

(4, 15)

(10, 6)(4, 6)(-2, 6)

(4, 2)

-4 -2 2 4

4

6 8

8

10

10

12

121416

2A

xy = z2 = 4 22^ h = 32 (٦)

2 2yx

y x1&= = ; x = 4 ; y = 8

CB = 12 :طول الوتر

AB 4 12 4 3= =#

AC 8 12 4 6= =#

A

BC Dy48x

4 2

إجابات وحلول:. ١٠عمل تعاوني ص ٥٠

،1 4 7= =t t t ، 3 9 5= =t t t

2 6 8= =t t t قائمة =

ABC DBA DAC9 9 9` `

تدريب ص ٥١x2 = 4 ^ 16

x = 8

y2 = 4 ^ 12

4y 3=

AD2 = CD ^ DB :مثال (٢) ص ٥١AD = 240 (نتائج لنظرية تشابه المثلثات)

AD2 = AC2 - CD2

AD = 240 (فيثاغورس)

تمارين ص ٥٢- ٥٣ABC A CDB BD9 9 9+ + (١)

ca

az

= (ب) ca

ay

= (أ) (٢)

zy

xz

= (د) zy

ba

= (جـ)

(أ) 4x = 36 ... (٣)

(ب) x2 = 10 ^ 40 ....

(جـ) x2 = 4 ^ 25 ....

z = 4 (أ) (٤)

AB = 10 cm :(ب) ارسم

خذ عليه نقطة D بحيث:AB

C

D

4

8 2 D من نقطة AD = 2 cm

CD = 4. من C ارسم cm :بحيث CD AB= أقم عمودا

C في الزاوية قائم ABC المثلث على ABفتحصل ، AC

(الحظ عملية إقامة العمود).o

y

xDra

ft

٥٣

( )

.

. .y x .

60X = 45

45 X = 60 ( )

. cmy 6045 90

67 5#

= = y6090

45=

.

.( ) y x

.x -

4x

5x

4x + 8

6x - 10

( ) ( )

- . ( )

. ( ) -

.

( )

( )( ) ( )

60

x

90

60

4545

45y

16.5

25

30

15

x

y

( )

4545

(٧) AB = 50 (فيثاغورس)

CB2 = BD ^ BA

900 BD 50#=

BD = 18 km

A

B C

D 40

30

أكمل...

96

y

z

36 9x= , x = 4, y2 = 36 + 16 (أ) (٨)

2y ... أكمل 13=

أكمل بالطريقة نفسها

x

y

z

x

x

6

6 5

6 6

4

3

30=

=

=

=

=

(ب)

(جـ)

(د)

A (٩) من نظرية

AB2 = BD ^ BC ، AC2 = CD ^ BC

AB2 + AC2 = BC (BD + CD)

= BC2

C D B

A

5 cm3 (١٠)

تفكير ناقد: نظرية زكية صحيحة.،A مثلث قائم الزاوية في ABC :المعطيات

AD BC=

AB ^ AC = AD ^ BC المطلوب: إثبات أن

ألن: كال من الطرفين يساوي

C DB

A

ضعفي مساحة المثلث.

تدريب ص ٥٤( 8)

xx

16 105

&= = (أ)

x=1.5 (ب)

Draft

٥٤

.M برهان النتيجة: نرسم المستقيمين حتى يتالقيا في

(1) ABMA

A BMA

MAMA

A BAB

&= =l ll

l l l

(2) BCMB

B CMB

MBMB

B CBC

&= =l ll

l l l

MBMA

MBMA= l

l ولكن

(3) MAMA

MBMB=l l إذا

من (1) ، (2) ، (3) ينتج أن:

A BAB

B CBC

BCAB

B CA B

&= =l l l l l ll l

في حالة توازي المستقيمين:ABBíA متوازي أضالع í

AA'BBíCCí (1) ،AB = AíB‘ إذن

BCCíB متوازي أضالع í (2) ،BC = Bí C‘ إذا

BCAB

B CA B= l ll l من (1) ، (2)

.y25

15 16 5= ، ... x2515

30= تدريب: تمارين ص ٥٥-٥٦

x xx x4

5 6 104 8= -

+ (١) (أ) x = 20

xx x

x6 1

3= -+ + (ب)...

(٢) (أ) إذا قطع مستقيم ضلعي مثلث، وكانت األجزاء المقطوعة

في الضلعين متناسبة كان المستقيم موازيا للضلع الثالثة.

DBAD

ECAE

= (ب) المعطيات

DE BC// المطلوب: إثبات أن

(1) DBAD

ECAE= =

ABAD

ACAE= خطة البرهان:

(2) ABC ، ADE مشتركة في المثلثين AA

DE

BC ADE ABC9 9+ من (1) ، (2)

D B=t t

وهما في وضع تناظرDE//BC&

159

106

&= (أ) متوازيان (٣)

1 1620

215

&= (ب) متوازيان

1 1024

228

&! (جـ) غير متوازيين

7755

6345

&= (د) متوازيان

AB يمكن إيجاد DB ، CE ، AC (٤) بقياسBC // DE ألن CE

ACDCAB= من العالقة

36 cm = 2πr‘(٥) المحيط

cm24 cm

m12 m

r r=l ألن

12 cm

m r18 2P= المحيط

cm r36 2P= l المحيط'

24 cm

AA'BBí

CCí

M

-

.

A

CE

DB

- . .18 m 12 m

24 cm

Draft

٥٥

. .

2412

21

= : ( )

6 8

3 4

2121

246

41

21 2

# #

# #= = = b l =

63

21

= = =

: ( )

9 27 306 18 20

6644

64

32

= = =+ +

+ +

:

18 1212 8

188

94

32

#

#= = =

2b l:

= =

: a:b

. a:b ( ) a2:b2 ( )

.

Perimeters and Areas of Similar Figures

54 3

10

8

6

106

108

6 6 68

15 1215

9

9 9 912

*

*

العالقة بين محيطي ومساحتي شكلين متشابهين

Perimeters and Areas of Similar Figures

كتاب الطالب صفحة ٥٧األهداف: . ١

تعرف وتوظيف

العالقة بين محيطات األشكال المتشابهة ونسبة التشابه ◀

العالقة بين مساحات األشكال المتشابهة ونسبة التشابه ◀المفاهيم والمفردات الجديدة:. ٢

نسبة التشابه بين محيطي شكلين متشابهين - نسبة التشابه بين مساحتي شكلين متشابهين

األدوات والوسائل: . ٣ورقة مربعات - مسطرة - آلة حاسبة

التمهيد:. ٤اسأل الطالب عن:

- نسبة التشابه في مضلعين متشابهين.- تشابه المثلثات.

- محيط بعض األشكال الهندسية مساحتها.الطالب دع منحرف. شبه ارسم ثم الزاوية قائم مثلثا ارسم

يجدون مساحة كل من الشكلين.التدريس:. ٥

دع ا. هندسي شكال مربعات ورقة على ارسم تعاوني: عمل الطالب يرسمون ضمن مجموعات، ومستخدمين المربعات، أصغر أو أكبر الشكل هذا كان إذا وليحددوا مشابها شكال ويكتبوا النسبة بين قياسات الشكلين. ذكرهم بضرورة تبسيط

الكسر.

3 ومساحته cm مثال إضافي: طول ضلع شكل سداسي منتظم23.4. أوجد مساحة الشكل السداسي المنتظم إذا كان cm2

.(65 2cm ) .5 cm طول ضلعهناقش مع الطالب طريقة أخرى إليجاد مساحة هذا الشكل.

تفكير نقدي: بالنسبة إلى النظرية، اسأل الطالب إذا كان عكس النظرية صحيح:

إذا كانت نسبة التشابه بين مساحتي شكلينa : b = متشابهين

:a b فإن نسبه تشابه الشكلين =

Draft

٥٦

الربط:. ٦ما نسبة محيطي مستطيلين متشابهين إذا عرفنا أن مساحتيهما

75؟ m248 و m2 همامن المعروف أن إنتاج الخضراوات يتناسب مع مساحة قطعة

األرض. إذا أصبحت أبعاد القطعة 2.5 من أبعاد القطعة السابقة

فإن اإلنتاج سيزيد 6.25 مرة.

منتظم، ضلع) n) األضالع متعدد أخذنا إذا الطالب: اسأل

ما العامل الذي نضرب فيه طول الضلع للحصول على مضلع

أعد )؟ 2 ) األول المضلع مساحة ضعف مساحته مشابه

.( 3 التمرين مع ثالثة أضعاف (أخطاء متوقعة:. ٧

متشابهين شكلين محيطي نسبة بين الطالب بعض يخلط قد

وبين نسبة مساحتيهما.

ذكرهم بأن النسبة بين المحيطين هي نسبة التشابه بينما نسبة

المساحات هي مربع نسبة التشابه.التقويم:. ٨

تمرين: الشكالن الرباعيان

RSTWو RíS íT í Wí

هما متشابهان.

جد العالقة بين مساحتيهما.

-2

-2 R

W

T

S

Y

4

2

-4

2 4 6 x

Wl

Tl

Sl

Rl

مسألة اليوم: . ٩تظهر الصور أدناه الوجهتين األمامية والجانبية لمجسم ما. ما

الشكل ثالثي األبعاد لهذا المجسم؟

الوجهة الجانبية

الوجهة األمامية

Draft

٥٧

:

. a ^ b = c ^ d

A C

BD

M

a c

bd

: .M AB CD :

AM ^ MB = CM ^ MD :

:BD AC

AMC DMB=\ \AD B C,V W

� AMC � � DMB : D

AB

CMM

MM

= :. AM MB CM MD# #=

( )

.MA ◊ MB = MC ◊ MD

( )

MA MB MT2

# =

:Circles: Chords and Tangent Segments

* * *

*

B

A

T

M

B

D

AC

M

الدائرة: األوتار المتقاطعة، المماسCircles: Chords and Tangent Segments

كتاب الطالب من صفحة ٥٨ إلى صفحة ٦٠األهداف:. ١

تعرف األوتار المتقاطعة والعالقة بينها

تعرف المماس والعالقة بين طول المماس وطول القاطعالمفردات والمفاهيم الجديدة: . ٢

وتر - مماساألدوات والوسائل: . ٣

منقلة - فرجار - آلة حاسبةالتمهيد:. ٤

اسأل الطالب عن قياس الزوايا المحيطية والزوايا المركزية.التدريس:. ٥

من تقطعان ومركزية محيطية وزاويتين دائرة الطالب يرسم

الدائرة القوس نفسه.

اطلب إليهم إيجاد قياسات الزوايا إذا عرفوا طول القوس.

ارسم المثلثين في الشكل التالي على اللوح.

G

I

J

KH

يكتبوا وأن متشابهان، هما لم يشرحوا أن الطالب اسأل األضالع المتناسبة.

نشاط تعاوني: قد يجد بعض الطالب صعوبة في قياس بعض بدقة. التماس نقطة تحديد على قدرتهم لعدم وذلك القطع ذوي أقالم واستخدام أكبر دوائر يرسموا أن إليهم اطلب

رؤوس دقيقة.قد يجد بعضهم صعوبة أيضا في فهم نظرية العالقة بين وترين

متقاطعين في دائرة ونتائجها.ارسم الشكل على شفافية وأبرز بصورة خاصة النقاط المهمة.

ناقشها مع الطالب.تطبيقات حياتية: تأكد من أن الطالب قد فهموا لماذا يجب أن 96.43 للحصول على قطر الدائرة فنحصل m 21 على m نزيد

.117.43 m على

Draft

٥٨

.90 m

21 m . .

: x ^ 21 = 45 ^ 45

.x 2145 45

96 43#

= =

21 + 96.43 = 117.43 m =

: ( ) 21 m

- : y x

208

6x

85

4y

x

816

11

x

y

8

32

( )( )( )( )

6

- .

. .

-. -.

m

m

اختبار سريع:النقطة C هي نقطة التماس.

(١) أوجد BE إذا علم أن:

29270

9.3b: D AB=9 ،BC= 6 ،IB=5.8

x

A

B

C

D

EF

G

H

I

(٢) أوجد HC إذا علم أن:

3 .HC 14 11 2-=6 @ E| = 15 ، H| = 21

AG أوجد FG=5 وأن DF=14 (٣) نعلم باإلضافة إلى ما سبق أن

٦. الربط:.zو yو x أوجد قيمة

x

z = 12.5 y = 10.9 x = 12.6

معطيات أن الطالب بعض يعتقد قد :٦٠ ص ٥ رقم التمرين المسألة ناقصة. ذكرهم بنظرية فيثاغورس.

ومثال الجيولوجيا تمرين بين الشبه يالحظون الطالب دع

الهندسة المعمارية وهذا يساعدهم على حل المسألة.

العالقة استخدام في الطالب يخطئ قد متوقعة: أخطاء .٧لتقاطع األوتار في داخل الدائرة أو في خارجها. ساعدهم على

فهم كل نظرية في موقعها الصحيح.

٨. التقويم: اطلب إلى الطالب حل التمرينين ١ و٢ في الصفحة ٥٩ والتمرين رقم ٦ في الصفحة ٦٠. تأكد من فهمهم الجيد

لمفهوم النظريات في الدائرة.

x ٩. مسألة اليوم: استخدم الصورة كي تثبت أن ضلع المربع2 دون أن تطبق نظرية فيثاغورس. يساوي

[اإلجابة:

21

b l 1- مساحة المثلث الخارجي

4 21

2# =b l 2- مساحة المربع = أربعة أضعاف مساحة المثلث

(x2)x 3- مساحة المربع بداللة1

1

x

١٠. إجابات وحلول:في الحاالت جميعها تكون االستنتاجات كاآلتي:

OA ^ OB = OC ^ OD

في حالة التماس

OA ^ OB = OC2

تمارين ص ٥٩ و٦٠ 8 20 6x# #= (١) (أ)

x = 15

( )y4 4+ (ب) 5 ^ 13 =

y494=

z2 = 24 ^ 8 (جـ)

8z 3=

3y = 2 ^ 6 (د)

y = 4

x = 7.125

Draft

٥٩

-.

- .AB BC= A O AB ( )

AE = ...... LC 7= BL 1= AB = BE

( ) 341 ( ) 2

31 ( ) 2 ( )

-

133 300 ì ì .

ì î .

. 88 700 . :

-. 154 cm2 ( )

( )

.4 R2r :

-

.

.

.

12 000

AB . 3960

AEC% AEB

%

.

B A

E

C

ì î

ì

15

25

Mx

( )

x68

M

( )

M

135

( )

A

BL

D

C

o

E

( )

4rr2 = 154 (أ) (٨)

r 41542 = r

r 27

-

(ب) الطول من الداخل يساوي:

r2 الحظ أن المجسمات، 7- (تقريبا)

rمثل الكرة والمكعب، سبق تعرفها في

rصفوف الحلقة الثانية من التعليم األساسي.

(٩) حوالى 9777 ميال

88 700 133 300

سفينة الفضاءريمشتال

MB

dA C

25.5 25.5 9x# #= (٢)

x = 72.25

d (طول القطر) = 9 + 72.25

= 8.125 m

(٣) ACDB رباعي دائري

1 2=t t

O مشتركة بين المثلثين

OAC9 متشابهان ODB9 و

ODOA

OBOC

= إذا

أي أن

(٤) OC مماس، AC وتر

OCA OBC=t t A

AB

B

D

C

C

O

O

1

2

Ot مشتركة إذن

OAC9 متشابهان OCB9 و

OCOA

OBOC

= إذن

OC2 = OA ^ OB (25) 15(15 )x2 = + (أ) (٥)

x15400

380= =

x = 26.7 تعطي القطر =

x ^ 6 = 8 ^ 8 (ب)

x 332

.

16.7 = القطر

y = 12 (فيثاغورس) (جـ)

xy = 5 ^5

.x 2325

2 1-=

r(القطر) = x + y . 14.1 AB2 = 8 ^ 1 (٦)

2AB 8 2= = AE2 = 2AB2 = 16

O

CE

D L B

A

13

M

y 5

5x

AE = 4

الجواب (د)

(٧) لتكن d المسافة المطلوبةd2 = (88 700 + 133 300) ^ 133 300

= 222 000 ^ 133 300 = 29 592 600 000

d = 29 592 600 000 ميال 025 172 -

Draft

٦٠

Vectors ( )

: -

. : -

.( ) ( ) .

. AB .B A AB B A

.AB AB1

AB B A

.B A : - - -

. (O) OA ( )

. 30∞ 2 cm (A)

. BC AD ABCD :

. ......DC AB :

......CD BA . ...... ......

A

BAB

AB

AB

A

B

BA

A

B

A

BC

D

*

*

*

*

*

cm2

30∞

( )

y

x

A

( )

y

x

A

( )

L

A

B

-

o

o

(O) ( , )A x y A (A) OA

.(( ) ) A( , )x y

A .(( ) ) A( , )x y

( ) :

: ( , )O 0 0 A A AO O= =+ + : A

( ) B( , )x y2 2 A( , )x y1 1

. ( ( , )x x y y)A B 1 12 2+ ++

( ) K ! � A( , )x y

( ,K )x yB K B KA . K

( ) L BA

-L AB

BAAB =- ( O ) BAAB O=+

Vectors المتجهات

كتاب الطالب من صفحة ٦١ إلى صفحة ٦٤األهداف:. ١الربط بين القطعة المستقيمة الموجهة والمتجه ◀

تعريف المتجه ◀

جمع المتجهات ◀

طرح متجهين ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

متجهة الموضع - المتجه - المتجه الصفرياألدوات والمسائل:. ٣

مسطرة مدرجة - أوراق مليمترية - فرجارالتمهيد:. ٤

ويحددوا AB مستقيمة قطعة يرسموا أن الطالب اسأل

الوجهتين الممكنتين على هذه القطعة.

اسأل: هل يمكن أن يكون لقطعة أكثر من وجهتين؟

هل يمكن أن ال يكون لقطعة وجهة؟ ناقش مع الطالب الحالة:

.AA

ذكر الطالب باألزواج المرتبة التي يمكن أن تكون تحضيرا

لمفهوم المتجهات.

أنها وكيف المتوازية المستقيمة الخطوط الطالب مع راجع

تشكل وجهة واحدة.

Draft

٦١

Adding vectors A$B + B$C = A$C

.C B B A .C A ( )

( ) A$B + B$C = B$C + A$B : ABCD :

A$B + B$C = A$C

A$B + B$C = ...... C$B + B$A = ...... C$D + D$A = ...... A$O + O$D = ...... C$B + B$O = ......

A$B + B$C = A$C

B$C = A$D A$B + A$D = A$C A$B + A$D = 2A$O

. C$A B$C A$B z y x ABCA$B + A$C = 2A$Y

A$B + B$C = ...... C$A + A$B = ......

C B A .

(1) A$B = A$Y + Y$B(2) A$C = A$Y + Y$C

A$B + A$C = A$Y + Y$B + A$Y + Y$C = A$Y + A$Y + Y$B + Y$C = 2A$Y + Y$B + (-Y$B) = 2A$Y + O" = 2A$Y

A

C

B

A

D

O

C

B

z x

y

A

C B

A

التدريس:. ٥من للكثير بالنسبة واضح غير المتجهات مفهوم يكون قد

والقطعة والشعاع المتجه بين الفرق على ركز الطالب.

غير هذا بينما BA نفسها هي AB أن وكيف المستقيمة

.BAو AB صحيح مع المتجهين

وأن .O وليس O بالشكل الصفري المتجه كتابة على شدد

حاصل جمع متجهين قد يكون المتجه الصفري.

ثم المتجهات وجمع األضالع متوازي بين العالقة إلى أشر

BD هو منتصف O حيث AB AD AO2+ = إلى العالقة

وشدد على أهمية هذه العالقة في حل المسائل.

Draft

٦٢

الربط:. ١االرتباط قوي يبين المتجهات والقوة في الفيزياء حتى أن بعض

الفيزياء. دروس من المتجهات درس تعتبر الدراسية الكتب

يرتبط مفهوم المتجهات مع مفهوم االنسحاب في الهندسة.أخطاء متوقعة:. ٢

. ذكرهم AC- في طرح متجهين قد يخطئ الطالب في كتابة

.CA -AC هو أن التقويم:. ٣

الصفحة من تدريب فقرة في التمارين بحل الطالب كلف

.٦٤مسألة اليوم. ٤

مربع مكون من تسعة مربعات صغيرة. ما عدد x التي يمكن

وضعها في المربعات الصغيرة دون أن تشكل سطرا أو عمودا

أو قطرا.

(اإلجابة: 6)

A$B + B$C + C$A = O" A$B + C$A + B$C = O"

A$B + C$A + B$C + C$B = O" + B$C A$B + (-A$C) = C$B

A$B -A$C = C$B

A$B + B$C + C$A = O" : ( ) A$B + B$C+ C$D + D$E + E$A = O" : ( )

D$A - B$C = D$B + A$C : ( )

(Scalar product)

A" B" B" (x2, y2) A" (x1, y1)

A" � B" x1 x

2 + y

1 y

2

A" � B" = x1x2 +

y1y2

(Norm) A

A" (x, y)

: � A" � A"

� A" � = �A" � A" = �x2 + y2

A" (3, 4)

� A" � = �16 + 9 = �25 = 5

. :

� A" � � 0 ( )

A" = O" � A" � = 0 ( )

A

C

B

Draft

٦٣

األهدافالزاوية وقياسها ◀

القياس الستيني والدائري والعالقة بينهما وطول القوس ◀

استخدام اآللة الحاسبة ◀

حل المثلث قائم الزاوية وزوايا االرتفاع واالنخفاض ◀

دائرة الوحدة ◀

القطاع الدائري وإيجاد مساحته ◀

زوايا االرتفاع واالنخفاض ◀

الدوال المثلثية والعالقات بينها ◀

العالقات األساسية بين الدوال المثلثية ◀

الجيب وجيب التمام ومقلوباتهما ◀

ظل الزاوية ◀

مقلوب ظل الزاوية ◀

المحتوياتالزاوية وقياسها. ١القياس الدائري والستيني. ٢القطاع الدائري. ٣النسب المثلثية: الجيب وجيب التمام. ٤مقلوبات الجيب وجيب التمام. ٥ظل الزاوية. ٦مقلوب ظل الزاوية. ٧القطعة الدائرية. ٨استخدام اآللة الحاسبة. ٩حل المثلث قائم الزاوية. ١٠زوايا االرتفاع واالنخفاض. ١١دائرة الوحدة. ١٢العالقات بين الدوال المثلثية. ١٣العالقات األساسية بين الدوال المثلثية. ١٤

الوحدة ٢Trigonometry حساب المثلثات

.

.

( 600)

.

« ª . .

.

Trigonometry

Draft

٦٤


الزاوية وقياسهاالقياس الدائري والستيني

القطاع الدائريالنسب المثلثية: الجيب وجيب التمام

مقلوبات الجيب وجيب التمامظل الزاوية

مقلوب ظل الزاوية

الزاوية وقياسهاالقياس الستيني والقياس الدائري

القطاع الدائريالقطعة الدائرية

الجيب وجيب التماممقلوبات الجيب وجيب التمام

ظل الزاويةمقلوب ظل الزاوية

إيجاد القياس الستيني للزاويةإيجاد القياس الدائري للزاوية

إيجاد طول قوسإيجاد مساحة القطاع الدائري ومساحة

القطعة الدائريةالتعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام

الزاوية ومقلوباتهماتعرف ظل الزاوية

استخدام اآللة الحاسبةحل المثلث قائم الزاوية

على الزوايا لدوال الحسابية القيم إيجاد اآللة الحاسبة

إيجاد عناصر المثلثحل المثلث قائم الزاوية

زوايا االرتفاع واالنخفاضزوايا االرتفاع واالنخفاضاستخدام المثلث قائم الزاوية إليجاد زوايا

االرتفاع واالنخفاض

إشارات الدوال المثلثيةدائرة الوحدةدائرة الوحدة

+Erالعالقات بين الدوال المثلثية E2 وr

- Er و - عالقات

E2r - E2 وr

+ و

العالقات األساسية بين الدوال المثلثية

cos E2 sin و E2 العالقة بين

sec E2 tan و E2 العالقة بين

Ecosec2 cot و E2 العالقة بين

Draft

٦٥

حساب المثلثاتTrigonometry

أوال - استخدام اآللة الحاسبةقبل تقديم إرشادات التدريس، نقدم أوال كيفية استخدام اآللة

الحاسبة العلمية التي بها الدوال المثلثية باإلضافة إلى العمليات

الحسابية العادية.

(١) التحويل من كسور الدرجة إلى الدقائق والثواني مثال (١): حول °30.8 إلى درجات ودقائق وثوان

الحل بالحاسبة (من اليسار إلى اليمين):30.8 °,,, = 30° 48' 00" الناتج اضغط اضغط سجل

أي أن

30.8° = 30°48 0l m

(٢) التحويل من القياس الستيني إلى القياس الدائريمثال (٢): حول °40 إلى قياس دائري

الحل بالحاسبة (من اليسار إلى اليمين):40 X P ÷ 180 = .6981317 الناتج اضغط سجل اضغط اضغط اضغط سجل

40° = 0.69813170 radians أي أن

2.43 إلى القياس الستيني radians مثال (٣): حول:( الحل بالحاسبة (

2.43 X 180 ÷ P = 139.2287442 الناتج اضغط اضغط اضغط سجل اضغط سجل

2.43 radians = 139.2287° أي أن

ولتحويل كسر الدرجة إلى دقائق وثوان:

139.2287442 °,,, = 139° 13' 43.48" الناتج اضغط اضغط سجل

2.43 radians = 139° 13‘ 43.48" أي أن

(٣) إيجاد قيمة النسب المثلثيةsin75° مثال (٤): أوجد

الحل بالحاسبة (من اليسار إلى اليمين):

sin 75 = 0.96592582 الناتج اضغط سجل اضغط

sin 75° = 0.96592582 أي أن

cos43 25% l :(٥) مثال:( الحل بالحاسبة (

cos 43 °,,, 25 °,,, = 0.72637477 الناتج اضغط اضغط سجل اضغط سجل اضغط

cos 43°25‘ = 0.72637477 أي أن

sec17° مثال (٦): أوجدالحل:

cos 17 EXE shift x-1 = 1.04569175 الناتج اضغط اضغط سجل اضغط سجل اضغط

sec17° = 1.04569175

مالحظة: تختلف البرمجة من آلة حاسبة علمية إلى أخرى. هذه

يمكنك الحاسبة. اآلالت إحدى برنامج وفق هي العمليات

الرجوع إلى الكتيب (أو CD) المرفق بآلتك الحاسبة.

Draft

٦٦

مثال (٧):إذا كان sec x = 1.04569175 حيث x زاوية حادة.

x° أوجدshift cos اضغط اضغط

الحل (من اليسار إلى اليمين):1.04569175 shift x-1 = 16.9999988

الناتج اضغط اضغط اضغط سجل

x = 16.9999988° = 17° أي أن

مثال (٨): tan 55° 54í أوجد

:( الحل (tan 55 °,,, 54 °,,, = 1.476993828 الناتج اضغط اضغط سجل اضغط سجل اضغط

tan 55° 54‘ = 1.476993828 أي أن

(٤) إيجاد الزاوية إذا علمت إحدى نسبها المثلثيةsin x = 0.48256 حيث x° مثال (٩): أوجد

x0 901 1 وحيث %

:( الحل بالحاسبة (

shift sin 0.48256 = 28.85273356الناتج اضغط سجل اضغط اضغط

28° 51' 09.84" °,,,

اضغط الناتج النهائي

x = 28° 51í 0984" أي أن

مثال (١٠):tani فأوجد .cos 0 345i = إذا كان

0 901 1i حيث %

:( الحل بالحاسبة (shift cos 0.345 = 69.81820423الناتج اضغط سجل اضغط اضغط

2.720587492 ANS tan shiftاضغط اضغط اضغط الناتج النهائي

.tan 2 720587492i = أي أن

(٥) للتحقق من صحة متطابقاتمثال (١١):

باستخدام اآللة الحاسبة أثبت أن:

sin17°cos 52° + cos17°sin 52° = sin 69°

الحل:

الطرف األيسر = sin 17 x cos 52 + cos 17سجل اضغط اضغط سجل اضغط اضغط سجل اضغط

0.9335804265 = 52 sin x

الطرف األيمن = sin 69 = 0.9335804265 الناتج اضغط سجل اضغط

` الطرفان متساويان

مالحظة: هذه العالقة تتبع المتطابقة:

A B A B A Bsin sin cos cos sin+ = +] g

ولكن الجزء هذا في مقرر غير ا نظري المتطابقة هذه وإثبات

في الحاسبة الستخدام كتطبيقات تعطى الحسابية التمارين

إيجاد قيم النسب المثلثية.

اطلب إلى الطالب استخدام اآللة الحاسبة حيثما كان العمل

ا بحتا. في حاالت الزاوية الخاصة دعهم يتطلب عمال حسابي

يستنتجون النسب المثلثية من الخواص الهندسية للمثلث قائم

الزاوية التي يتضمنها.

اضغط اضغط سجل اضغط الناتج

Draft

٦٧

ثانيا - إرشادات تدريس الوحدة مقدمة ومشروع للتفكير

بعمق المثلثات» ªحساب لموضوع الطالب يتعرض سوف وتركيز؛ لذا يجب إعطاء فكرة عامة عن هذا العلم أو الفرع كتاب في التاريخية المقدمة يقرأون دعهم الرياضيات. من الطالب، ثم أكد لهم أن الكثير من األفكار المتعلقة بحساب

مشكالت من أصال نشأت المثلثات زوايا أو لمسافات قياسات عمل تتضمن بطرق غير مباشرة، أي بدون استخدام أداة للقياس. مثال: إيجاد عرض نهر عند موقع ومده قياس شريط استخدام (بدون معين بين نقطتين متقابلتين على الشطين) وذلك اسأل الموقع. هذا عند فوقه جسر إلقامة

:AB الطالب ماذا يفعلون لو كانوا مهندسين إليجادالذي الشاطئ على قائمة بزاوية BC معينا طوال نرسم مثال: ACB الزاوية قياس رصد يمكن األجهزة وبأحد .B نقطة به

ولتكن °60. كيف يمكن الحصول على AB؟للمثلث مشابه ABC الزاوية قائم مثلث رسم الحلول: أحد ABC بقياسات صغيرة ثم قياس AB واستخدام فكرة مقياس

.AB الرسم إليجاداذكر لهم أن حساب المثلثات يحل لنا مثل هذه المشكلة وفي معظم الحاالت نستخدم المثلث قائم الزاوية كما نرى في هذه

الوحدة.

300 m

A

C B

Draft

٦٨

*

*

*

The Degree Measure - 360

. .(∞) .90∞

.180∞

.(') 60

1

.(") 601

15 45 75 .75∞ 45' 15"

.« ª 100

. 87

87 c

87

90 78 43

# c= = b l

43 4

360 45#= =l l

87 = 78∞ 45' :

-. 0.625 732

- 161 148∞ 17'

. - 6:13:5

.

Angle -

. « ª

OB OA O ) OA,OB_ i ( ) AOB

% .(

(OA, OB)

.

OA . OB

OA

.

.O

. OB OA

OA .( ) OB .( ) OB OA

:

.

* * *

Measure of Angle

The Degree Measure and the Radian Measure

A

A

B

B

O

O

B

A

A

B

( )

( )

O x

y

B

A

B

A

الزاوية وقياسها القياس الستيني والقياس الدائري

Measure of AngleThe Degree Measure andthe Radian Measure

كتاب الطالب من صفحة ٦٦ إلى صفحة ٧٠األهداف:. ١معرفة الزاوية الموجبة والسالبة. ◀

تعرف قياس الزاوية. ◀

التحويل بين الدرجات والدقائق والثواني. ◀

إيجاد طول القوس على الدائرة. ◀

التحويل بين القياس الستيني والقياس الدائري. ◀

حساب مساحة القطاع الدائري. ◀

حساب مساحة القطعة الدائرية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

الزاوية الموجبة - الزاوية السالبة - القياس الستيني(بالدرجات) - القياس الدائري (بالراديان).

األدوات والوسائل:. ٣مسطرة مدرجة - منقلة - فرجار - آلة حاسبة.

التمهيد:. ٤- اسأل الطالب كيف نجد محيط الدائرة ومساحتها.

- أرشدهم إلى فهم شبكة اإلحداثيات.- ذكرهم بعقارب الساعة ودورانها: تحديد االتجاه السالب

والموجب.

تناقش معهم حول أجزاء الساعة: الدقيقة والثانية. اعرض

على ملصقات أشكاال للزاوية في أوضاع مختلفة ودعهم

يقرأونها.- دع الطالب يشكلون باستخدام ضلعي الفرجار زوايا حادة

وقائمة ومنفرجة.

Draft

٦٩

The Radian Measure -

.

:

.

.

M�NOM = A�B

OA = C�DOC

=

.

:

.�

(r) (l)

.l = �r � = lr

:

M

NB

O

D

AC

. .radian Rad : .Rad

التدريس:. ٥- على ورقة مربعات ومستوى إحداثي، اصنع زوايا رأسها عند نقطة األصل وأحد أضالعها يكون على امتداد االتجاه الموجب

لمحور السينات، والضلع اآلخر في مواضع مختلفة.عرف الضلع القياسي للزاويةوالضلع االبتدائي لها (وليكنOA) والضلع النهائي (وليكن

OB) في أوضاع مختلفة،

ووضح الزاوية الموجبة والزاوية السالبة.- اطلب إليهم رسم زوايا في أوضاع قياسية حادة موجبة وحادة سالبة

ومنفرجة موجبة، ... إلخ.- ذكر الطالب بالقياس الستينيوالمنقلة التي نقيس بها الزوايا

A

A

B

B

زاوية سالبة

زاوية موجبةO

O

والدرجة والدقيقة، وقياسات مختلفة: قائمة، مستقيمة.

القائمة أجزاء عن التعبير في الحاسبة اآللة استخدم -والمستقيمة بالدرجات والدقائق والعكس بالعكس.

- نبه إلى أن الزاوية يمكن أن تأخذ قياسات من °0 إلى 360° في حالة دورة الضلع النهائي دورة كاملة (عكس اتجاه عقارب

الساعة) ويمكن أن يزداد قياس الزاوية بمزيد من الدورات.الزاوية وقياس الموجبة الزاوية قياس بين تربط أن يمكن -

السالبة، مثال (60°، 300°-).

- كما يمكن الربط بين قياسالزاوية وقياس الزاوية المضافة

إليها دورات كاملة.

60º-300º

مثال: ... 360 +60 ,60. - ال تسهب في شرح هذا الجزء بل اجعله نشاطا وحوارا مع

الطالب على الشكل التالي:- ارسم الضلع النهائي للزوايا: 30°، 390°، 750°، 30°-،

.-390° ،-330°

مثال حياتي: ناقش مع الطالب المثال التالي. في ميدان دائري دارت سيارة ثالث دورات وربع الدورة باالتجاه الموجب ثم توقفت. أوجد قياس الزاوية (°90 + °360 × 3). ثم تابعت سيرها ودارت دورتين. أوجد قياس الزاوية (90° + 360° × 5). افترض أن السيارة تراجعت دورة كاملة. يصبح قياس زاويتها

°90 + °360 × 4. الحظ أن نقطة توقف السيارة لم تتغير.

- اذكر قياسات 3 زواياتكافئ في وضعها الزاويةBالتي قياسها 90°،45° ... A

C

- لتوضيح الحقيقة الهندسية:

طول القوس الذي يحصر زاوية

طول نصف قطر هذه الدائرة= مقدارا ثابتا

استخدم عدة شفافيات، مرسوما على كل منها مستوى إحداثي لها زاوية ارسم شفافية كل على ثم نفسها. بالمواصفات المقياس نفسه مركزها يقع في كل من الدوائر المرسومة في على الشفافيات ضع ثم مختلفة أقطار وبأنصاف شفافية كل جهاز العرض واحدة بعد األخرى بحيث تقع مراكز الدوائر الزاوية قياس ثبات فكرة الطالب أمام فيتضح بعضها، على

الدائري كما يتضح التعريف:طول القوس

نصف قطر الدائرة� = l

r=�

l lr r&X X= = ومنها: - نبه الطالب إلى وحدة

بوحدة وذكرهم قطرية) النصف (الزاوية الدائري القياس

Draft

٧٠

- : ( )

-. ( ) - r2r 360∞

.2r

.r 180∞ 2r 360∞

1 radian .180

57 2957c

c-= r

57 17 45c- l m

1 . radian180

0 0175c b=r

: x � radians 180

x #cc

r= X x180c

c=rX x

180cc

=rX

-. 5 radians

5 5 286.48 286radians180

29#c

c c= =r = l

-. 75∞

180x#

cc

r=X

. radians180

75 1 309#c

c= =r

-: r

175o ( ) 225o ( ) 200o ( ) 40o ( )

-:

. radians3 41 ( ) . radians3 35 ( ) . radians0 75 ( ) 85 r ( )

- l r �

:

r = 7 cm � = 14 ( )

r = 24 cm � = 120∞ ( )

القياس الستيني (الدرجة) - وصورها بأشكال تقريبية.2r (radians) اربط بين القياسين °360 تعادل -r (radians) 180 تعادل°

r عدد حقيقي غير نسبي يساوي تقريبا 3.14 الحظ أن وال يمكن التعبير عنه بالضبط بعدد نسبي.

حقيقي بعدد الزوايا) قياس الواحدة (في الدرجة عن عبر -1 0.0175

180c -

r= مناظر (سيفيد ذلك في مقرر آخر عند عرض فكرة الدوال المثلثية

أو الدوال الدائرية باعتبارها دوال متغيراتها أعداد حقيقية).x للتحويل من قياس إلى آخر.

180cc

rX = - استخدم العالقة

في المثال ص ٦٧:ذكر الطالب بمعنى زاوية قائمة. اكتب على اللوح أن

1í = 60"60 = °1 وíقد يجد الطالب صعوبة في عملية ضرب عدد صحيح بكسر. مد يد المساعدة واشرح لهم أننا نبدأ بضرب العدد الصحيح إكمال على ساعدهم المقام. على النتيجة نقسم ثم بالبسط

العملية الحسابية إذ يمكن أن نحصل على كسر عشري. لنحصل 60 بالعدد يضرب العشري الكسر أن لهم اشرح على الدقائق وإذا كان الكسر العشري في الدقائق نكمل أيضا

ونضرب بالرقم 60 لنحصل على الثواني.x = 21.256° :على سبيل المثال0.256° × 60l = 15.36l نأخذ

. .0 36 60 21 6 22# -=l m m m بعد ذلك نأخذx 21= °15 22l m فيكون

مثال من الفضاء ص ٧٠:الحظ أن المطلوب هو طول

AB الذي يقابل% القوس الدائري

120º

المسافة المطلوبة

سطح األرض

مسار القمرالصناعي

مركز الكرةاألرضية

2600

B

A

3 دورة كاملة، 1 زاوية قياسها

3 حيث 2r قياس الزاوية المقابلة للدورة الكاملة.1

2# r أي:اشرح للطالب أن سرعة القمر الصناعي حول األرض نعتبرها المسافة

31 ثابتة. إذا المسافة التي يقطعها في ساعة واحدة هي

اإلجمالية التي يقطعها بثالث ساعات..l = r� ساعدهم على إيجاد المتغيرات لتطبيق القاعدة

الربط:. ٦قمر صناعي يدور حول األرض بسرعة ثابتة وبشكل دائري،

54 في كل دورة. ما بعد القمر الصناعي 000 km يقطع مسافة

عن مركز األرض؟

l.

r r2 3 1454 000

& #X = =

أخطاء متوقعة:. ٧قد يخلط الطالب بين الدرجة والراديان. وضح لهم أن زاوية

.180

1!r% قياسها °180 هي نفسها r راديان وأن

التقويم:. ٨اطلب إلى الطالب حل التمارين في فقرة تدريب ص ٦٩.

تأكد من أنهم يستخدمون التحويل بين القياس الستيني وبين Draالقياس الدائري.

ft

٧١

.

- .5 radians

: x 180

x 5#c

= r

.

5 ◊ 180 ˜ r = INV Ç Ñ.286∞ 28í 44.03"

.

-85∞ 18í 23" .

�

� = 180∞ ∑ x

. 85 Ç Ñ 18 Ç Ñ 23 ◊ r ˜ 180

1.488877359 - :

. 3 2600 km 6400 km

.

. l 6400 2600 9000 km=+

: 31

2 31

32

# =r r

l 9000r AB32

#rX= = =%

:

= 18 849.5559

مسألة اليوم:. ٩إن تحديد موقع مدينة (L) على الكرة األرضية يعرف بزاوية األرض مركز يصل األول وضلعها األرض، مركز في رأسها (L) بخط االستواء وضلعها الثاني يصل مركز األرض بالمدينة

(شكل أ).48 شماال وزاوية الثانية 9% l لنأخذ مدينتين زاوية األولى

3 ميال. 5l °35 شماال وطول نصف قطر األرض تقريبا 960احسب المسافة الدائرية بين المدينتين (شكل ب).

الثانية والمدينة A بالرمز األولى المدينة إلى نرمز مالحظة: .B بالرمز

إن قياس الزاوية المركزية بين المدينتين هو:� = 48°9í - 35°5í = 13°4í

l = r� نستخدم القاعدةولكن نحول � إلى الراديان:

� = 0.228 radiansl 3 960 0.228 903# -= فتكون المسافة: (أميال)

L

شكل ب شكل أ

خط االستواء خط االستواء

�

O O

AB

إجابات وحلول:. ١٠

حلول تدريب ص ٦٧19 القائمة 41 1532

7 = % l m (١)5l 1°56 = 0.625 القائمة

x (٢) قبل الحل وضح للطالب أنه يمكنهم استخدام متغيرينوy وإيجاد معادلتين من الدرجة األولى.

x + y = 148°17 0l m

x - y = 5°37 30l m

بحل المعادلتين ينتج أن:x = 76°57 15l m

y = 71°19 45l m

(٣) اطلب إلى الطالب استخدام x ،y ،z لترميز الزوايا وذكرهم بمجموع الزوايا في المثلث والعالقات التناسبية.

x y z6 13 5

= = لدينا فيكون .x, y, z المثلث زوايا لتكن z = 37.5° ،x = 45° ،y = 97.5° :نحصل على

تدريب ص ٦٩القاعدة: استخدم و٢ ١ السؤالين في :٦٩ ص تدريب في

. x180c

crX =

l = r� :وفي السؤال ٣ استخدم القاعدةالدائري القياس هو � الدائرة. قطر نصف هو r إن حيث للزاوية (radian) وl هو طول القوس الدائري المحصور بين

ضلعي الزاوية على الدائرة.

مالحظة: قد يجد الطالب صعوبة في بادئ األمر، لذلك شجعهم أمثلة عدة أعط الصحيح. مكانه في متغير كل استخدام على

بسيطة.

180

x rad yr = %

%ذكر الطالب بالمعادلة

200° = 9

10r (ب) 40° = 92r (أ) (١)

175° = 3635r (د) 225° = 4

5r (جـ)

112°30í (أ) (٢)(ب) تقريبا 43° (جـ) تقريبا 192° 195°22í4 (د) "3

l = �r - 5.498 radians (أ) (٣)- 50.265 radians (ب)

Draft

٧٢

.:

. OB OA

OANB � radians OACB .2r X-

:

7 cm5 cm

2r

4r

21 lr =

. r l

. :� l = �r

S = r21 2X =

10 cm :

4=rX ( ) 6=

rX ( )

2= rX ( ) = rX ( ) 3=rX ( )

2rX =

r

r21

2

2

r

X =

:

Circular Sector

* *

N

BC

O

A

Circular Sector القطاع الدائريكتاب الطالب من صفحة ٧١ إلى صفحة ٧٢

األهداف:. ١تعريف القطاع الدائري. ◀

إيجاد مساحة القطاع الدائري. ◀

إيجاد محيط القطاع الدائري. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

قطاع دائري.األدوات والوسائل:. ٣

مسطرة مدرجة - منقلة - فرجار - آلة حاسبة.التمهيد: . ٤

ارسم على اللوح عددا من الزوايا. اطلب إلى الطالب قياس كل زاوية بواسطة المنقلة. اسألهم تحويل هذه القياسات من القياس

الستيني إلى القياس الدائري.- ارسم شكال ووضح عليه: الدائرة،قطاع دائري، قطعة دائرية. وأشر إلى

قطاع أصغر وقطاع أكبر وكذلك الحالبالنسبة إلى القطعة وحدود كل منها والمنطقة التي تمثلها. أظهرهما كأجزاء

قطاع دائري

قطعة دائرية

منفصلة ثم بصورة متكاملة في دائرة. التدريس:. ٥

إلى بنسبته البدء يمكن الدائري القطاع مساحة إليجاد - ،2r المركزية زاويته قياس قطاعا باعتبارها الدائرة مساحة

ويمكن استنتاج مساحة القطاع على الصورة: مساحة القطاع

2 #rX= مساحة الدائرة

[2r قياس الزاوية g ،حيث � قياس الزاوية المركزية للقطاعالمركزية للدائرة بالراديان.

(1) r2 مساحة القطاع 1 2X=

فإذا علم طول القوس l، نعوض عن l = �r من القانون (1) الزاوية بقيمة نعوض المركزية زاويته قياس علم وإذا نفسه.

بالقياس الدائري.الربط:. ٦

تريد زراعة أزهار في قسم من حديقة المنزل على شكل قطاع 20 تقريبا. فإذا كانت زاويته تساوي تقريبا m2 دائري مساحته

°72 فكم يكون طول نصف قطر هذا القسم؟

18072

52# r rX = =

A r r21

20 21

522 2

& #rX= =

r = 5.6 m

أخطاء متوقعة:. ٧قد يستخدم الطالب قياس زاوية القطاع الدائري � بالدرجات إلى الدرجات من التحويل يجب أنه لهم وضح .(degrees)

.(Radians) الراديانالتقويم:. ٨

اطلب إلى الطالب حل التمارين والمسائل: ٢ و٤، في الصفحة إليجاد جيدا المعطيات يستخدمون أنهم من تأكد .٧٢

المساحات المطلوبة.مسألة اليوم: . ٩

عندما طلب أحد الزبائن من صاحب متجر أن يبيعه سلعة ما، فكر صاحب المتجر بما يلي: سوف أزيد على السعر المعلن سعر من 20% سأحسم بأني الزبون أبلغ ثم 20% للسلعة السلعة وهكذا أكون قد بعتها بالثمن نفسه. هل برأيك صاحب

المتجر على حق؟ علل إجابتك.لنفترض السبب: حق. على ليس المتجر صاحب إن (الحل: أن ثمن السلعة 100 ليرة بزيادة %20 يصبح ثمنها 120 ليرة

وبحسم %20 على 120 ليرة يصبح ثمنها 96 ليرة).

Draft

٧٣

2 rX =

2rX ^ = S

- 4 cm .10 cm

: l 4 10 20r cm2

121 2##= =

- 70∞ .18 cm

:

r21

21

18070

182 2# # rX = ^ h

= 197.9203 cm2 - 6 cm 7.5 cm

.

l 2r + l = 2 7.5 6 21cm#= =+

...... =

-. 16 cm 13.6 cm - 100∞ 20 cm

.-. 6.2 cm 53 cm - 48 cm

. 7.8 cm - 10 cm 85 cm2

.

إجابات وحلول:. ١٠في التمارين ساعد الطالب ليتمكنوا من استخدام المتغيرات

A وهي مساحة القطاع الدائري. r21 2X= في القاعدة

radi-) الدائري بالقياس الزاوية قيمة هي � بأن ذكرهم المعطيات حسب قاعدة كل استخدام على ساعدهم .(ans.l = r� وذكرهم بأن A r2

1 2X= lA و r21= الموجودة:

تدريب ص٧١r2

1 2X مساحة القطاع الدائري =

21

100 6 6157

# # -r (أ)

26.18 cm2-

39.25 cm4157 2- - (ب)

- 52.36 cm2 (جـ)- 157.08 cm2 (د)- 314.16 cm2 (هـ)

حلول التمارين ص ٧٢lr2

1 = 54.4cm2 :(١) مساحة القطاع(٢) مساحة القطاع:

.r cm21

21

180100

400 349 072 2# # -rX =

l + 2r (٣) محيط القطاع: 2r = 46.8

l 23.4 6.2 72.54 cmr21

21 2# #= = مساحة القطاع:

،l = 32.4 cm ،r = 7.8 cm (٤)lr2

1 مساحة القطاع =

lr21 =85 cm2 (٥)l = 17 cm Dra

ft

٧٤

A

.(sin)

= :

sin A = AW = B

BCA :A

sin B = BV

= ABAC :B

:

AACBC

, CACAB

in ins s54

53

= = = =

.(cos)

cos C = CW =

ACBC :C

cos A = AX

= ACAB :A

A

BC

: B ABCT

.cos C, sin C, cos A, AC

: AC = 17 cm

8

15

C

BA

cos A = VA = 15

17

sin C = VC = 15

17

cos C = VC = 8

17

A

B

AX

AX C

A

C

5 3

4B

* * *

: Sine and Cosine Ratios

النسب المثلثية: الجيب وجيب التمامSine and Cosine Ratios

كتاب الطالب من صفحة ٧٣األهداف: . ١◀ .(sin) تعرف جيب الزاوية

◀ .(cos) تعرف جيب تمام الزاوية

استخدام الجيب وجيب التمام لحساب أضالع غير معلومة ◀

األطوال في المثلث قائم الزاوية.

مثل ◀ متنوعة تطبيقات في المثلثية النسب هذه استخدام

حساب دوران الكواكب.المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

.(cos) جيب تمام الزاوية - (sin) جيب الزاويةاألدوات والوسائل:. ٣

مسطرة مدرجة - منقلة - فرجار - آلة حاسبة - مثلث قائم

الزاوية - ورق رسم بياني.التمهيد:. ٤

المقابل الضلع بأن الطالب ذكر الزاوية. قائم مثلثا ارسم *

للزاوية القائمة يسمى وترا في المثلث قائم الزاوية. اطلب إلى

الطالب حساب النسب لكل زاوية حادة على الشكل التالي:

الضلع المقابل للزاوية الضلع المجاور للزاوية

وتر المثلث وتر المثلث

* مفهوم الزاويتين المتتامتين

(°30 و°60)، (°50 و40°)،

(°54 و36°)

* اطلب إلى الطالب إعطاء أمثلة ...التدريس:. ٥

ناقش مع الطالب كل خطوة متبعة

إليجاد الجيب وجيب التمام.

54

3

وترمقابل

مجاور BA

C

تأكد من أن الطالب فهموا جيدا العالقة:

النسب قيم استقراء خالل من sin(x°) = cos(90° - x°)

الحاصلة.

أرشد الطالب إلى فهم أن نسب الجيب

Draوجيب التمام هي فقط في المثلث قائم الزاوية.ft

٧٥

العالقات إيجاد الطالب إلى واطلب الزاوية قائم مثلثا ارسم

بين كل زوجين من أطوال أضالع المثلث.

- ذكر الطالب بالنسب المثلثية

في المثلثات الخاصة التالية:١- المثلث قائم الزاوية وهو

نصف مثلث متساوي األضالع. ٢1- المثلث قائم الزاوية ومتساوي

145º

2

الساقين. (انظر إلى الصورتين.) - وضح أن النسب المثلثية خاصة

النموذج تعتبر أنها في كثيرة عملية تطبيقات لها sin ،cosوتمثيل البحرية األعمال مثل حياتية لمظاهر الرياضي الدورانات الهندسية وتحركات الموجات الصوتية وموجات

المد والجزر ...الربط:. ٦

ب الطالب على استخدام اآللة الحاسبة في إيجاد النسب درنسبة معلوم زاوية قياس إيجاد وكذلك معينة، لزوايا المثلثية

مثلثية لها.صحة إلثبات النظري البرهان استخدام على الطالب ب درمتطابقات مثلثية بسيطة باستخدام القوانين المثلثية المعطاة في

الوحدة.أخطاء متوقعة:. ٧

قد يخلط الطالب بين جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية. وضح

لهم النسبة في المثلث قائم الزاوية التي تدل على جيب الزاوية

وجيب تمام الزاوية.التقويم:. ٨

باستخدام الخواص الهندسية

1

2

60º

60º

30ºاطلب إلى الطالب إيجاد

أطوال األضالع غير المعلومة في المثلثات التي بالشكل.مسألة اليوم: . ٩

أراد أحد األشخاص قياس انخفاض الماء عن السطح العلوي

للبئر. فتقدم باتجاه الفتحة حتى تمكن من رؤية حافة المياه،

تساوي البئر فتحة عن تفصله التي المسافة أن وجد عندها

160 عن السطح cm 140. فإذا كانت عيناه على ارتفاع cm

120، فما انخفاض الماء؟ cm وكان قطر فتحة البئر يساوي

1

2

60º3

30º

120 cm 140cm160 cm

x

الحل: x يساوي االنخفاض ومن تشابه المثلثين يكون:

x120 140140

160160

+ = +

x160140

160160= +

x = 22.86 cm

Draft

٧٦

.cosec A A 1sin A sin A

cosec A = 1sin A & cosec A ◊ sin A = 1

.sec A A 1cos A cos A

sec A = 1cos A

sec A = 1cos A & sec A ◊ cos A = 1

( )

5 3

4C

A

B

. cosec C sec C

cosec C = 53 sec C = 54 :

.AC = 25 cm BC = 24 cm AB = 7 cm �ABC cosec A sec A cos A sin A . �ABC

.cosec C sec C cos C sin C

( )

(1543 - 1473)

. A = 22.3∞

: .AU =

150 AU.

( ) sin 22.3∞ = xl = x

1

x = 83.0 UA =

.A = 4.61∞

* *

Cosecant (cosec) and Secant (sec)

xl

مقلوبات الجيب وجيب التمامCosecant and Secant

كتاب الطالب من صفحة ٧٤ إلى صفحة ٧٧األهداف:. ١تعرف قاطع الزاوية. ◀

تعرف قاطع تمام الزاوية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

قاطع الزاوية - قاطع تمام الزاوية.األدوات والوسائل:. ٣

مسطرة مدرجة - منقلة - فرجار - آلة حاسبة - ورق رسم

بياني - حاسوب.التمهيد:. ٤

(أ) اكتب على اللوح األعداد التالية: 5، 10، 20، 30، 40،

.100 ،60 ،50

اسأل الطالب عن مقلوب هذه األعداد. ماذا يالحظون؟ هل

تكبر باستمرار؟ أم تصغر باستمرار؟

(ب) ارسم على اللوح مثلثا قائم

الزاوية بالمعطيات المدونة.

.sinCW ، Ccos W ، Bsin V ، Bcos V اطلب إليهم إيجاد: التدريس: . ٥

وضح للطالب ما يلي بالنسبة إلى الزاوية الحادة في المثلث

قائم الزاوية. ثم شجع الطالب على استنتاج:

cosec sin1= (قاطع تمام الزاوية)

sec cos1= (قاطع الزاوية)

تمام قاطع ولكن الزاوية جيب يكبر الزاوية كبرت كلما (أ)

الزاوية (cosec) يصغر.

(ب) كلما كبرت الزاوية يصغر جيب التمام ولكن قاطع الزاوية

(sec) يكبر.

في المثال (٢):تأكد من أن الطالب تفهموا الصورة جيدا. اسألهم أين األرض

وأين عطارد، وإلى ماذا يرمز كل ضلع في المثلث، ولما هذا

المثلث هو قائم الزاوية.

.A ركز على معرفة الوتر وأي ضلع هو المقابل للزاوية

ساعد الطالب على حساب المسافة بين عطارد والشمس.

.(sin22.3° نجد بواسطة اآللة الحاسبة)

األرض بين المسافة إيجاد الطالب إلى اطلب ناقد: تفكير وعطارد بطريقتين مختلفتين.

22.3cos c المسافة بين عطارد واألرض =

المسافة بين الشمس واألرض

22.3sec c المسافة بين الشمس واألرض =

المسافة بين عطارد واألرض

في المثال (٣) ص ٧٥:اآللة على الزاوية قيمة إيجاد طريقة فهم على الطالب ساعد

sin-1 ؛cos-1 :الحاسبة باستخدامالربط:. ٦

معروف قياسها زاوية له الزاوية قائم مثلثا اللوح على ارسم وله ضلع واحد طوله معروف. اطلب إليهم إيجاد قياس الزاوية

األخرى وأطوال بقية األضالع.أخطاء متوقعة: . ٧

في x المجهول إيجاد في صعوبة الطالب بعض يجد قد المعادلة.

التقاطعي الضرب استخدام إليهم اطلب المساعدة: يد مد الطالب يجد قد األصغر. المشترك المضاعف استخدام أو أن لهم وضح .coseciو cosi بين التفرقة في صعوبة

A

B C

172 2

Draft

٧٧

.cosecsin

1ii

=

التقويم: . ٨هذه تمام قاطع كان إذا الزاوية جيب هو ما الطالب اسأل

cosec ثم اسألهم ما هو جيب 3i = الزاوية يساوي 3 أي أن

sec اطلب إليهم إيجاد قاطع 2

2i = تمام الزاوية إذا كان:

تمام الزاوية وقاطع الزاوية لبعض الزوايا على اآللة الحاسبة.مسألة اليوم: . ٩

مستطيل أطوال أضالعه أعداد طبيعية، له مساحة قيمتها العددية

تساوي ثالث مرات القيمة العددية لمحيطه. أوجد اإلمكانات

لقيمة الطول والعرض في المستطيل.

xy = 6(x + y)

xy = 6x + 6y

xy - 6y = 6x

y(x - 6) = 6x

y xx

66= -

x-6>0, x>6

... (x = 7, y = 42) ; (x = 8, y = 24)إجابات وحلول:. ١٠

تدريب ص ٧٥:cos 58° = x

5 x .cos58

59 4

c- - (أ)

sin 36° = x10 x =

sin3610

17c- (ب)

sin 21° = x12

x = 12sin 21°- 4.3 (جـ)

تدريب ص ٧٦:x 40 32 30c= l mV (أ)

x 67 48 30c= l mV (ب)

cos x = .

x5 83

58 51 9c= l mV (جـ)

عمل تعاوني ص ٧٦دع الطالب يستخدمون أكثر من طريقة لتمثيل أطوال الضلع

المقابل للزوايا ذات القياسات المتدرجة من °10 إلى °80 مع

1) للتعرف كيف تتزايد cm 10 أو cm ثبات طول الوتر (مثال

قيمة جيب الزاوية مع زيادة قياسها وكذلك الحال بالنسبة إلى

أطوال الضلع المجاور لتعرف ما يخص جيب تمام الزاوية.

وضح للطالب أن:

،cos 0° = 1 ،sin 0° = 0

،cos 90° = 0 ،sin 90° = 1

( )

. x

sin 43∞ = x10

x = 10 ◊ sin 43∞ :

10 ◊ sin 43 = . 6.8 6.819983

. x

xx

x

12105

21o36o58o

( )( ) ( )

-. LV

. cos L = 2.54

. cos L = 58

.cos cos-1 58 = VL

cos-1 (5 ÷ 8) = 51.317813

2.5

4

N

ML

VL � 51∞ - NW

sin N = 2.54

. sin N = 58

.sin sin-1 58 = NW

sin-1 (5 ÷ 8) = 38.682187 NW � 39∞

10 x

430

C

A

B

tan 90° ،tan 0°= 0 غير معرفة

(في اآللة الحاسبة يظهر E بمعنى خطأ).

يمكنك توضيح نهاية األوضاع في المثلث بالنسبة

إلى الزوايا، كما يمكن إيجادها باآللة الحاسبة.

في دائرة الوحدة المرسومة، نالحظ أن طول وتر المثلث قائم

بين 0° الزاوية تزداد وعندما الوحدة، ويساوي ثابت الزاوية

و°90 يزداد طول الضلع المقابل للزاوية، وينقص طول الضلع

المجاور لها.

أي أن جيب الزاوية يزداد وجيب تمامها ينقص.

نشاط ص ٧٦:تطلب أن تنسى ال الحاسوب. على Excel برنامج استخدم

القاعدة باستخدام radians إلى الزوايا تحويل الطالب إلى

. يعطي برنامج sin x ،Excel وcos x بسرعة. 180

y xcc

r =

وباإلمكان زيادة قياسات الزوايا خاصة بين °10 و80°.

Draft

٧٨

. x

x∞

x∞

x∞

106.525

27

35.8

( )( )( )

.10 cm = ( )

.( )

- (x ,sin x) .0∞ < x < 90∞

- . -

.(x, cos x) -. -

-.cos M sin M

M M MN N

NL L

L2

25

244 7

7( ) ( ) ( )

7

2 3

7 2

-

6.3 m . 10.4∞

50∞

90∞

10∞

10 cm

cos x sin x x10∞20∞30∞40∞50∞60∞70∞80∞

تدريب رقم (٥) ص ٧٧:الغطاء أن كيف فهم على الطالب ساعد الزراعة: في تطبيق

القعر قطر نصف عن واحد بمتر يزيد قطر نصف له األعلى

في المخزن. يمكنك اإليضاح بواسطة نماذج ورقية لألسطوانة

والمخروط.

تواصل مع البيئة: في هذا التطبيق، يمكن للطالب بناء نموذج

لهذا المخزن في الصف أو في البيت ثم قياس نصف القطر

واالرتفاع الجانبي للغطاء المخروطي وبالتالي قياس الميل.

تدريبات ص ٧٦,

257

2524 (١) (أ)

,2

1

2

1 MY اسأل عن قياس) (ب) (

,21

23 (M = 30°) (جـ)

10.4º6.3l l 34.9 m- (٢)

(٣) استخدم اآللة الحاسبة.A

BC

A 90 Cc= -W (٤)

90cosACAB

Cc= -] g

22º15 1

15

cos22 = x16 (٥)

.cosx 2216

17 26-=

(٦) استخدم اآللة الحاسبة

في حالة القياسات

°20، °30، °50 مثال.

.ABC استخدم مثلث قائم الزاوية

من تعريف النسب المثلثية:

sin2x + cos2xA

BC x ACAB

ACBC2 2

= +b bl l

ACAB BC

ACAC

12

2 2

2

2

= + = =]

] ]

]

]

g

g g

g

g

مستخدما نظرية فيثاغورس.

(ب) 48، 151.6 (٧) (أ) 59°، 20

.7 5 ، 52 36 12c l m (جـ)

، طول x يساوي 3 وحدات. 41 24z c= lT (د)

Draft

٧٩

ABCD ( )

-. x

xxx

x∞

x∞

x∞

xx

x∞

20

14

15

15

37

5 958

30∞

62∞28∞70∞

10

1011

50

41∞56∞

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

-VB � 90∞ �ABCD

: cos ( 2 - C) ACAB ( ) AB

AC ( ) ABBC ( ) BC

AB ( ) BCAC ( )

- 15 m

22∞

22∞

m1

x

m15 .x .

- .90∞ 0∞ x

. sin2 x + cos2 x . x

-. x VZ ( )( )( )( )

.

XYZL ( ) KLMN ( ) ( )

LL

N

M L

K

X

X

BA

D CY

Y

Z

Z

مراجعة عامة ص ٧٧:b = 12.65; aU = 71°.56; OZ = 3 (أ)

YCO4

5

aº

X

b

L

Z

(LN)2 = 75 + 25 = 100 (ب)

LN = 10

tan a = 5 3

533=

a =U 30°

a c=U T = 50° (جـ)

b =U 40°

L

x z

y

bº cº40º40º

aº

sinABAE

b= (د)

AE = 100 sin 75°

= 0.9659 × 100

= 96.59

B

D CE

A 100 cm

100 cm

bºaº

75º

Draft

٨٠

Tangent

: .(10∞, 20∞, 30∞, ...80∞)

B ABC .

.

. C C

.tan C C C C

.tan 10∞ tan 20∞ tan 30∞

C C

.tan C C

( )

5 3

4 B

C

A

.AW CW

tan C = = ABBC = 4

3

tan A = = BCAB = 3

4

{ABXY = AC

XZ = CBZY } : ( )

( )

tan x = tan A sin x, sin A, cos x, cos A

* *

*

Tangent - Cotangent (cot) -

A

BC5 34

x

y

20

1612

( )

A B

C

E

F

( )

z

ظل الزاوية - مقلوب ظل الزاويةTangent Ratio - Cotangent (cot)

كتاب الطالب من صفحة ٧٨ إلى صفحة ٨١األهداف:. ١حساب ظل الزاوية في المثلثات قائمة الزاوية. ◀

مثلث ◀ أضالع أطوال إيجاد في الزاوية ظل استخدام

وزواياه.

أبعاد ◀ إيجاد تتطلب حياتية وتطبيقات مسائل حل

ومسافات.المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

.tangent ظل الزاويةاألدوات والوسائل:. ٣

منقلة - مسطرة مدرجة - آلة حاسبة - بوصلة.التمهيد:. ٤

أوال: مراجعة ما يلي:

* المثلثات المتشابهة.

*مفهوم النسبة.

* رسم مستقيم في المستوى اإلحداثي.

مثل: الزاوية ظل دراسة أهمية يبين حياتي موقف طرح ثانيا:

مسافة عنه تبعد نقطة من برج ارتفاع حساب يمكن كيف

معينة؟التدريس:. ٥

ابدأ بالعمل التعاوني الوارد في كتاب الطالب على مرحلتين:

الدرجات برنامج استخدموا قد الطالب جميع أن من تأكد

على اآللة الحاسبة.

اطلب إليهم رسم مثلث قائم الزاوية ولتكن الزاوية °30 ثم اطلب طول الضلع المقابل للزاوية

طول الضلع المجاور للزاويةإليهم إيجاد النسبة التالية:

واستنتج من األعمال أنهم توصلوا إلى القيمة نفسها واطلب

إليهم تسمية هذه النسبة ظل الزاوية °30. اطلب إلى الطالب

ضمن المجموعات استخدام اآللة الحاسبة إليجاد:

tan 10°, tan 20°, tan 30°, tan 40° ...

قياس زاد كلما التعميم: إلى للتوصل الناتجة القيم مقارنة ثم

الزاوية، زاد ظلها.

مالحظة حول المثال (١) ص ٧٨:ركز مع الطالب على أن ظل الزاوية يمكن أن يكون أصغر من

1 أو أكبر من 1 للزاوية الحادة في المثلث قائم الزاوية.

في المثال (٢) ص ٧٩:في مناقشة المثال، يستحسن استخدام بوصلة وتمثيل ما قام به

ا في ساحة المدرسة) وأخذ أحد الجوالة (ويمكن تطبيقه عملي

القراءات من الطالب أنفسهم. وفي الحل بين لهم أننا نحصل

.tanx

8650

c = على قيمة x بالضرب التقاطعي من:

هو الحاسبة اآللة نظام أن من يتأكدوا كي الطالب ساعد *

بالدرجات قبل استخدامها ثم وضح كيفية استخدامها للحصول

.x على ظل الزاوية ووظفه في إيجاد قيمة

ªفكر وحاول» ص ٧٩ وتحقق من * كلف الطالب بحل فقرة

tan استخدامهم لآللة الحاسبة بشكل صحيح وكلفهم بإيجاد

.45°

ثم تأكد من أن الطالب فهموا أن:

tan 45° = 1

Draft

٨١

( )

: -

. - 50 m 90∞

.

- .

- VA .= 86∞

.

. tan 86∞ = x50

x = 50 ◊ tan 86∞:

50 ◊ tan 86 = 715.03331. 715 m

. x

10

x

54o

57o

33o

28o

0.1

2.5

( )( )( )

.x �XYZ

6 10

8x

XY

Z tan x = 68 = 0.75

. x tan x = 0.75 Vx = tan-1(0.75)

. tan-1 tan-10.75 = 36.86989765

Vx = 36∞ 52� 11�

A

45 90 1tanx x&c c c c1 1 2

0 45 1tanx x&c c c1 1 1

CW ثالث زوايا حادة في مثلث، قارن BV و للمتفوقين: إذا كانت AW وA B Ctan tan tan+ +W V W A و B Ctan tan tan# #W V W بين:

في الحاالت التالية:

B =V 50° ،A =W (أ) 60°

B =V 45° ،A =W (ب) 60°

B =V 70° ،A =W (جـ) 70°

فكر متطور: اطلب إلى الطالب تحديد المثلث قائم الزاوية إذا كان ظل كل من زاويتيه الحادتين متساويين.

الزاوية فهموا الطالب أن من تأكد :٨٠ ص (٣) المثال في الموجودة بين المحور الموجب للسينات والمستقيم. ساعدهم

على رسم مستقيم أفقي مواز لمحور السينات يتقاطع مع مستقيم

عمودي مواز لمحور العينات فنحصل على زاوية قائمة ونحدد

الزاوية k التي هي زاوية محور السينات مع المستقيم.أخطاء واردة:. ٦

للزاوية المقابل الضلع بين األخطاء الطالب بعض يرتكب

والضلع المجاور للزاوية.

مد يد المساعدة: ارسم مثلثا قائم الزاوية في عدة مواقف حتى يتمكن الطالب من تسمية الضلع المقابل أو الضلع المجاور

للزاوية الحادة.

ساعد الطالب على رؤية أن ظل الزاوية معرف إذا كانت الزاوية

حادة في المثلث قائم الزاوية أي إذا كانت بين °0 و90°.الربط:. ٧

وقف رجل أمام أحد األبراج

وأراد قياس ارتفاعه عن سطح األرض

باستخدام قياس الزاوية بين الخط األفقي

AB والخط المائل AC فوجد أن هذه

الزاوية تساوي °70 وإذا كانت المسافة

بين نقطة وقوفه A ونقطة التقاء حائط

60، فما ارتفاع هذا البرج؟ m تساوي B البرج مع األرض

70 60 70 165 mtan tanh

h60 & #c c -= =

التقويم:. ٨من تأكد .2 ،1 التدريبات فروع بعض بحل الطالب كلف

أنهم يستخدمون اآللة الحاسبة بشكل صحيح.

مسألة اليوم:. ٩أوجد مساحة متعدد

األضالع في الصورة

المجاورة. (3 وحدات مربعة)

إجابات وحلول:. ١٠فكر وحاول ص ٧٩:

tan 57° = .x

2 5& x = 2.5 tan 57° = 3.85 (أ)

tan 62° = xx

100& (ب) 188 = 100 × 1.88 -

tan 54° = x10

& x = 13.76 (جـ)

Draft

٨٢

. LV

( )

y = 3x + 2

.

tan K = 313

= =

3 .tan 71 560511 =- tan 3K 1= -W

2

2

3

3

4

5

1-1 0

K

x

y

y x3 2= + K K 71 33 5471c c- = l mW W

x y = ax + b

.

:

y = 6x - 1 21

6xy = +

-. tan A tan B

31A

BC15

A B

C 3

2A

B

C

1 2AB

C( )( )( )( )

-.

24

tan Y=c 34 20tanY

=c tan 3.5=Y tanY∞ = 90

100

41

X

Y

L

1

10

تدريبات ص ٨٠ (١)

tan B = 21 ، tan A =

12 (أ)

tan B = 23 ، tan A = 3

2 (ب)

tan B = 1 ، tan A = 1 (جـ)

(مثلث متساوي الساقين)

tan B = 13 ، tan A = 13 (د)

tan 74.1° = 3.5 ، tan 34° = .20

13 5 (٢)

tan 2° = .114 5

4 ، tan 89.4° = 90

Draft

٨٣

Cotangent

.cot A = Atan

1

A

C B

A BCAB

cot = cot A =

.A

cottan

A1

=

1tan cotA A# =

( )

513

12

A

BC

.tan C cot C

otc C5

12= Ctan

125

=

. BC = 24 cm AB = 7 cm B ABC

.AC Cot C tan C cosec A sec A cos A sin A :

: C ABC

AC = 10 cm BC = 8cm

: cos A tan B (

sin B cos A ( sin A cos B (

C13

cos12

= B ABC :

.cot C sec C tan C

تدريب ١ ص ٨١ ABC احسب النسب المطلوبة من المثلث

25

24

10

8

7

A

A

B

B

C

C2

41

تدريب ٢ ص ٨١ AB = 2 41

A Bcos sin=

A Bcot tan=

B Acos sin=

تدريب ٣ ص ٨١Ccos

1312=

AB = 5 13

12

5

A

BC

tan C = 125

sec C = 1213

cot C = 512

Draft

٨٤

.

.

( )r sin21 2 X X- =

.(radians) �

60∞ .10 cm

sinA r21 2 X X= -^ h :

. 60∞

.60 60180

1 0472#c -r=

.sin 60 0 866c - : sin 60∞

sinA r21 2 X X= -^ h

100 . .21

1 0472 0 8666#= -5 ? = 9.03 cm2

* *

*: ◊

2

O

B A�

r r

Circular Segment القطعة الدائرية Circular Segment

كتاب الطالب من صفحة ٨٣ إلى صفحة ٨٤األهداف:. ١تعرف القطعة الدائرية. ◀

إيجاد مساحة القطعة الدائرية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

منقلة- مسطرة مدرجة- فرجار- آلة حاسبة.التمهيد:. ٣

اسأل الطالب عن مساحة المثلث

A =قاعدة × ارتفاع

2 :r اسأل الطالب عن مساحة الدائرة إذا كان نصف قطرها

.A r2r=

اسأل الطالب عن مساحة القطاع الدائري بزاوية مركزية.r إذا كان نصف قطر الدائرة هو X (Radians)

lA r r21

212X= =

قطعة دائرية

قطعة دائرية l وهو طول القوس rX= علما أن على الدائرة.

التدريس:. ٤ارسم صورا لقطع دائرية في مختلفاألوضاع. ابدأ بمسألة أو نشاط يمكنالطالب من استنتاج مساحة القطعة

الدائرية بعد تذكيرهم بمساحة القطاعومساحة المثلث.

يمكن توضيح ذلك بقطعة من ورقالكرتون تقسم إلى أجزاء يتضح فيها أن:

مساحة القطعة تساوي:مساحة القطاع - مساحة المثلث.

�

ابحث مع الطالب مساحة نصف الدائرةباعتبارها: قطاع زاويته المركزية = r أو

قطعة دائرية وترها قطر في الدائرة.

اشرح للطالب كيفية الحصولعلى قانون مساحة المثلث بداللة ضلعية

والزاوية المحصورة بينهما: sinAC AB2

1# # # X

واستنتج من ذلك أن مساحة القطعة

sinr21 2 X X-] g =الدائرية

�

�

A

O

BC

r

r

r

r

r

Draft

٨٥

- .6 m . .6 m

- 10 m .70∞

- .16 cm 24 cm .

- 80 cm . .16 cm

- 4 m .

.

- 20 cm .10 cm

-.BC = 40 cm AB = 30 cm B ABC .E BC D AC B

.ED DC EC

- 10 cm AB 20 cm .AB .

سؤال تمهيدي للطالب:ضلعين ضرب ناتج 2

1# هي المثلث مساحة كانت إذا

متجاورين، فماذا تتوقع أن يكون قياس الزاوية المحصورة بين

هذين الضلعين؟ حقق ذلك من القانون العام:�

A

BC sinAB AC21# # # X مساحة المثلث =

في التمارين صفحة ٨٣باستخدام الدائرية القطعة مساحة فهم على الطالب ساعد

المتغيرات في مكانها المناسب. أرشدهم على فهم قيمة هذه

دائري قطاع مساحة بين الحاصل الفرق أنها على المساحة

ومساحة مثلث.

� وقياسها الدائرة مركز في رأسها التي الزاوية بأن ذكرهم

.Radians يجب أن تكون دائما بالقياس الدائري

أرشدهم إلى أن مساحة القطاع الدائري يمكن الحصول عليها

l = �r علما أن A r21 2 X= lA أو r2

1= إما بالقاعدة

وأن المثلث متساوي الساقين رأسه في مركز الدائرة وزاويته

sinr2 علما أن r هو نصف 1 2 X :هي � وله مساحة تساوي

قطر الدائرة.الربط: . ٥

(مستديرات) ميادين بتزيين المدن في البلديات بعض تقوم

الطرق بالزهور. يقسم ميدان طول نصف قطره 6 أمتار.

اطلب إلى الطالب أن يعملوا ضمن مجموعات لتقسيم الميدان

إلى قطع دائرية ومثلث في داخلها وتلوينها وإيجاد مساحة كل

منها. (تتنوع اإلجابات).أخطاء متوقعة: . ٦

قد يخلط الطالب بين القطاع الدائري والقطعة الدائرية. وضح

لهم الفرق بأمثلة عديدة.التقويم: . ٧

اطلب إلى الطالب حل بعض التمارين في الصفحة ٨٣. تأكد

من الحلول.مسألة اليوم:. ٨

9216. إذا أضيف إلى m2 مساحة أرض مربعة الشكل تساوي

كل ضلع %25 من طوله األساسي فماذا تكون مساحة األرض

عندها؟

.14 400 m2 تصبح المساحة

إجابات وحلول:. ٩تمرين ٧ ص ٨٣

المطلوب إيجاد المساحة المظللة.

AC: (فيثاغورس) ١- احسب طول

.BD ٢30- احسب طول

B�

D

CE

A

(BA × BC = AC × BD قاعدة)

.BDC ٣- احسب قيمة � في المثلث قائم الزاوية

.BDC ٤- أوجد مساحة المثلث

.BDE ٥- أوجد مساحة القطاع الدائري

٦- احصل على مساحة القطاع المظلل.

تمارين صفحة ٨٤(١) زاوية القطع قياسها 60º ( مثلث متساوي األضالع)

sinr21 2 X X-5 المساحة: 3.26 = ?

�

66660º

14.07 cm2 (٢)

Draft

٨٦

� = 1.696 sin 2 43X = (٣)

. .A 21

256 1 696 0 992#= -] g

= 90.112 cm2 �16 16

24

762.7 cm2 :إذا 5 = � مساحة القطعة l = r� (٤)

�16 16

120180120

32

# r rX = = =% (٥)

sinA r21 2 X X= -5 ?

16 . m21

32

0 9 2#r= -: D

ACناقش حلوال أخرى.

B

120120120

A A 30sin 2010

&= = %W (٦)

� = 2 ^ 60 = 120°

sinA cm21

20 20 2# # X X= -5 ?

A

C

B1010

202030

(٧) AC = 50 (فيثاغورس)

AC ^ BD = 50 ^ BD تعطي

BD = 50

40 305

12024

# = =

DBE هندسية الشكل A=\ W

sin A 5040= = 0.8

A DBC 53.13= = cW \ إذا A

C E

D

B المساحة المطلوبة = مساحة القطاع

DBC3 DBE - مساحة

A DBC 21

BD BC sin DBC

21

24 40 0.8

384 cm2

=

=

=

3 # #

# # #

\

116.94 cm2 :المساحة المحصورة

o20

10A B

(٨) زاوية القطعة 120° = �

A =21 (20)2 sin cm2- XX5 ?

Draft

٨٧

. - . sin-1

. cos-1

. tan-1

( )

0 sin A = 0.71589 AW .0< x < 90∞

: 0 . 7 1 5 8 9 sin-1

Ç Ñ

.45∞ 42í 58" : .AW = 45∞ 42í 58"

:0 < x < 90∞ xV sin x = 0.5 ( )

cos x = 0.7 ( )tan x = 0.5734 ( )cos x = 0.8427 ( )tan x = 3.3325 ( )

Ç Ñ

4 5 Ç Ñ 4 3 Ç Ñ sin :

. 0.715895864 :

tan 58∞39', tan58∞, cos 75∞28', cos 75∞, si 37∞25'∞: cot cosec sec -

:

( )

.cosec 45∞ 43í :

.( ) sin 45∞ 43í :.sin 45∞ 43í = 0.715895864

: sin cosec

45 43.

cosec0 715895864

1c =l

.1.396851204 x1

INV x1 0.7158959864 :

.1.396851204

45 Ç Ñ 43 Ç Ñ sin INV x1

. 1.396851204 :

cot 35∞ 22' sec 49∞ 29' cosec 75∞ 32' :

*

*

- : .

sin cos tan

( )

.tan 56∞ cos 72∞ sin 43∞

: sin 43∞

4 3 sin0.68199836

.ins 43 0 681998c -

( )

.sin 45∞ 43í

-

43 ˜ 60 = :

.0.7166666 : -

.45.7166666 - sin sin

.sin 45∫ 43í = 0.715895864

Using Calculators

استخدام اآللة الحاسبةUsing Calculators

كتاب الطالب من صفحة ٨٥ إلى صفحة ٨٧قيمة إليجاد الحاسبة اآللة استخدام على الطالب درب sin لزوايا مختلفة، مع مالحظة ضرورة ،cos ،tan دالة مثلثية

تحويل الدقائق والثواني إلى كسور عشرية من الدرجة. كذلك دربهم على إيجاد قياس زاوية إذا علمت إحدى نسبها المثلثية

sin-1 ، cos-1 ، tan-1 ، كما هو موجود في كتاب الطالب.

تدريب (١) ص ٨٥0.6076 ،0.57360.2509 ،0.2588

1.64148 ،1.6003تدريب (٢) ص ٨٥

1.4089 ،1.5087 ،1.0327تدريب (٣) ص ٨٦

73°18í ،32°34í ،29°50í ،45°34í ،30°

Draft

٨٨

. .

8 cm

6 cm

: B ABC BC = 6 cm AB = 8 cm

AC = 10 cm

A 0.75tan 86

43

= = =

AW A=W ... C =W ...

-. C ABC B 25c=V AB = 40 cm ( )

AC = 12 cm BC = 15 cm ( )B 57c=V AC = 15 cm ( )

:

. - B A 5.4 m AB

B - .

-. ABCD

BE

AD

C65∞

cm25

cm35

.DE ( ). ( )

( ).AB D

.BD ( )

Solving Right Triangles

*

*

C

BA

حل المثلث قائم الزاويةSolving Right Triangles

كتاب الطالب صفحة ٨٧األهداف:. ١إيجاد قياس زاوية حادة باستخدام اآللة الحاسبة. ◀

إيجاد أطوال أضالع المثلث قائم الزاوية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢


اآللة الحاسبة.التمهيد:. ٤

اطلب إلى الطالب رسم مثلثات قائمة الزاوية ثم قياس بعض

الزوايا الحادة وإيجاد sin وcos بواسطة اآللة الحاسبة.التدريس:. ٥

بعد االنتهاء من فقرة تدريب، اطلب إلى الطالب في مجموعات الزوايا إيجاد ثم أضالعها أطوال وقياس قائمة، مثلثات رسم

الحادة بواسطة اآللة الحاسبة.الربط:. ٦

ال يوجد. أخطاء متوقعة: . ٧

ال يوجد. التقويم:. ٨

اطلب إلى الطالب حل التمرينين ١ و٣ في الصفحة ٨٧ في كتاب الطالب.

مسألة اليوم:. ٩متساوية أقسام ثالثة إلى دائري شكل ذات ورقة قسمت قطر نصف طول كان إذا مخروطا. قطعة كل من وصنعنا

12، أوجد ارتفاع كل مخروط. cm الدائرة

8 2 cm6 @

إجابات وحلول:. ١٠تدريب ص ٨٨

C '53 8c=W ،A 36 52'c=Wتمارين ص ٨٧

(١) ارسم المثلث في كل حالة:

AC = AB sinB = 16.9 cm A = 65° (أ)

BC = AB sin65° = 36.3 cm

tanB = 0.8, 38 40'B1512 c= =V (ب)

AW = 51°20í AB2 = AC2 + BC2 و

AB 369 19.2 cm& = =

A 33 ,ABAC

sin57 AB 23.8 cm&c c= = =W (جـ)

CBAC

57 BCAC

12.99tantan57

&cc

= = =

تفكير ناقد: ال يمكن: يوجد عدد ال نهائي من المثلثات القائمة التي لها قياسات الزوايا نفسها. ال بد من معرفة طول ضلع في

المثلث واستخدامه في إيجاد طولي الضلعين اآلخرين.

.cos

5 42i = (٢)

'68 16i = %

DC = 25 cm (٣) (أ) DE

sin25

= 65°DE = 25 sin 65°= 22.66 cm

DE 35# (ب) مساحة متوازي األضالع = = 793.02 cm2

31.72 cm (جـ)BD = 33.32 cm (د)

A

B2

5.4

i

Draft

٨٩

- BC A C .C A CB CA

- CB D C C D CB CD

.( )

B A ( )

: .A B AW

.B A BV:

.B = A

: A ( )

B ( )C ( )

.48∞

. 18 m

tanx

4818

c =

18 tan 48x # c= ... m =

A

D

B

B

*

*

Angles of Elevation and Depression

( )

( ) 48∞ 18

x

زوايا االرتفاع واالنخفاضAngles of Elevation andDepression

كتاب الطالب من صفحة ٨٨ إلى صفحة ٨٩األهداف:. ١تحديد زوايا االرتفاع واالنخفاض. ◀

استخدام زوايا االرتفاع واالنخفاض والنسب المثلثية لحل ◀

المسائل.

حساب المسافات بطرق غير مباشرة في مواقع ومواقف ◀

متنوعة.المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

زاوية االرتفاع - زاوية االنخفاض.األدوات المستخدمة:. ٣

آلة حاسبة.التمهيد:. ٤

اطلب إلى الطالب رسم مستقيمين متوازيين يقطعهما مستقيم

12ثالث.34

5678

اسألهم كيف عرفوا أي أزواج من الزوايا متساوية. تأكد من

إجاباتهم.التدريس:. ٥

االنخفاض. وزاوية االرتفاع زاوية فهم على الطالب ساعد

بالتوازي متساويتان الزاويتين أن الحظوا أنهم من تأكد

والتبادل. اسألهم عن سبب المساواة باستخدام صورة المنطاد

والرجل. دعهم يربطون بين هذه الصورة والتهيئة السابقة.الربط:. ٦

واالنخفاض االرتفاع زوايا مفهوم بين الربط على حثهم

كارتفاع حولنا، موجودة كثيرة حسابات في وتطبيقاتها

الجبال والطائرات وانخفاض مبنى عن اآلخر ...

زاوية عن االرتفاع زاوية لتمييز مختلفة ألوانا استخدم

االنخفاض.أخطاء متوقعة: . ٧

قد يعتقد بعض الطالب أن زاوية االرتفاع أو زاوية االنخفاض

هي الزاوية الحاصلة بين خط الرؤية والخط العمودي بدال من

الزاوية الصحيحة الحاصلة بين خط الرؤية والخط األفقي.

مد يد المساعدة: ارسم عددا من األشياء بارتفاعات مختلفة ثم

اطلب إلى الطالب إيجاد زوايا االرتفاع واالنخفاض.التقويم:. ٨

اطلب إلى الطالب حل التمرينين ٣ و٥ ص ٨٩.مسألة اليوم:. ٩

يمكنك تغيير قطعتين فقط من هذا المنزل فتصبح واجهته في

االتجاه المعاكس.

Draft

٩٠

32∞

1 000 m .

xsin 321000

c =

sinx 321000

=

... m

-

.38∞ 30 m .

- 6 m . 40∞

- 8.4 m . 42 m

- .52∞

- 90 m

38∞ - 51 m 207 m

. .15∞

x

32∞

8cm

1000cm

إجابات وحلول:. ١٠تطبيق ص ٨٨

19.99؛ m ارتفاع المسلة

1887.08 m بعد الطائرة

تمارين ص ٨٩23.44 m (١)

5.03 m (٢)

' . "11 18 35 76c (٣)

3248.54 m (٤)

115.19 m (٥)

(٦) أوجد الفرق بين االرتفاعين: 13.7.

.193.3 m ارتفاع المبنىاألصغر

Draft

٩١

( 1 cm ) . (0, 0)

: E

. OB OA

: B (x, y) sin E = ycos E = x

≠ x Etan xy

=

E O .tan E cos E sin E .B (0.6, 0.8) B

sin E = 0.8 cos E = 0.6

E ..

tan xy

0 60 8

34

= = =

* *

xo

y

B

CE

A

The Unit Circle

دائرة الوحدةThe Unit Circle

كتاب الطالب صفحة ٩٠ إلى صفحة ٩١

األهداف:. ١تعريف ◀ في واستخدامها الوحدة دائرة خصائص تعرف

الدوال المثلثية.

إيجاد إحداثيات النقطة على دائرة الوحدة واستخدامها في ◀

إيجاد قيم الدوال المثلثية.المفردات والمفاهيم الجديدة: . ٢

دائرة الوحدة - الدوال المثلثية.األدوات والوسائل: . ٣

ورق رسم بياني - مسطرة - منقلة - فرجار.لتمهيد: . ٤ ا

اطلب إلى الطالب رسم وجه ساعة مع عقاربها على أن يكون العقرب الكبير عند الرقم 12 والعقرب الصغير عند الرقم 8.

اطلب إليهم عن قياس الزاوية بين العقربين بواسطة المنقلة.التدريس:. ٥

عمل تعاوني:* استخدم الفرجار لترسم دائرة نصف قطرها يساوي وحدة

القياس على شبكة اإلحداثيات ومركزها مركز الشبكة.مركز في رأسها 30° تساوي زاوية لترسم منقلة استخدم *محور من الموجب القسم على أضالعها وأحد الدائرة السينات والضلع الثاني (االنتهاء) في الربع األول حيث يتقاطع

.P مع الدائرة بنقطةP(0.8, 0.5) :ستجد P احسب إحداثيات النقطة *

cos 30 0.866c- * استخدم اآللة الحاسبة فستجد أن .sin 30° = 0.5و

* ارسم زاوية °45 بالمواصفات السابقة نفسها وسوف تجد .Q(0.7, 0.7) :نقطة

cos 45° = 0.7 استخدم اآللة الحاسبة فستجد أن *.sin 45° = 0.7و

ماذا يمكن أن تستنتج؟ الربط:. ٦

ال يوجد.

Draft

٩٢

2r10

E2 1 1r r

( )+--

r0-10

E 23

1 1r r

( )--+

23r

-10

E 223

1 1r r

( )-+-

2r010

A

A

A

Ax

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

o

o

o

o

o

o

o

B (0, 1)

A

B (x, y)

B (-1, 0)

B (x, y)

B (0,-1)

B (x, y)

AB

A

E sincostan

0010

0 E 21 1r

( )+++

x

y

x

y

o

o

A (1, 0)B

A

B (x, y)

أخطاء متوقعة:. ٧ cosineو sine قد يجد بعض الطالب صعوبة في فهم فكرةوقد يجد البعض صعوبة في التفريق بينهما. ساعدهم على فهم هوالقيمة sineو السيني المحور على القيمة هو cosine أن

على المحور الصادي، للنقطة الموجودة على دائرة الوحدة.

sineو cosine إشارة الطالب مع ناقش مساعدة: أفكار بحسب موقع نهاية تقاطع ضلع انتهاء الزاوية مع دائرة الوحدة. ساعدهم على إيجاد cosine وsine الزاوية إذا تم قياسها في

اتجاه دوران عقارب الساعة أو في االتجاه المعاكس لها.التقويم:. ٨

اطلب إلى الطالب إعطاء مثال شبيه للمثال في الصفحة ٩٠ من .D(-0.6, كتاب الطالب باختيار نقطة (0.8

مسألة اليوم: . ٩

AW. أوجد طول BC إذا كان لدينا ABC مثلث قائم الزاوية في .4 cm بـ AB 2 وأطول من الضلع cm بـ AC أطول من الضلع

(BC = 10 cm)

Draft

٩٣

Er - E - :

( E) sin Esin =r -( E) cos Ecos - =-r( E) tan Etan =-r -

tan 120∞ cos 120∞ sin 120∞ :

( )sin sin sin120 180 60 60 23

c c c c= - = =

( )cos cos cos120 180 60 60 21

c c c c= - =- =-

( )tan tan tan120 180 60 60 3c c c c= - =- =-

:-tan 150∞ cos 150∞ sin 150∞ -tan 135∞ cos 135∞ sin 135∞

: E- E

sin (-E) = - sin Ecos (-E) = cos E

tan (-E) = - tan E

:sin (-30∞) = - sin 30∞

cos (-30∞) = cos 30∞tan (-60∞) = -tan 60∞

.tan (-30∞) cos (-60∞) sin (-60∞) :

sin (2π + E) = sin Ecos ( 2π + E ) = cos Etan ( 2π + E ) = tan E tan 440∞ = tan 80∞ :

cos 400∞ = cos 40∞sin 390∞ = sin 30∞

*

E

( 2r - E)

(r - E) (r + E)

(2r - E)

sin a

a

32

21r

= =

cos a

a2

3

23

6r

= =

sin a

a2

3

23

3r

= =

cos a

a

32

21r

= =

sina

a

24r

=

2

2 21

= =

2cos

a

a4r

=

2 221

= =

Relations Among Triangular Functions

x

y(x, y)

(-x, y)

EE

x

y(x, y)

(-x, y)

E-E

a

2

30∞

60∞90∞

6

r

3

r

2

r

a

2

3

a

a

a

A

D

B

C

2

r4

r

4

r

العالقات بين الدوال المثلثيةRelations AmongTriangular Functions

كتاب الطالب من صفحة ٩٢ إلى صفحة ٩٦األهداف:. ١إيجاد العالقة بين الدوال المثلثية للزاوية E وللزوايا: ◀

. 2 Er -] gو Er +] gو Er -] gو E2r -b l

تبسيط عبارات جبرية تحتوي على دوال مثلثية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة: . ٢

ال توجد.األدوات المستخدمة:. ٣

مسطرة - فرجار - منقلة.التمهيد:. ٤

اطلب إلى أحد الطالب رسم دائرة الوحدة على اللوح. اسأله

كيف يحدد زاوية °40 مثال على الدائرة، ثم اسأله ما إحداثيات

إيجاد إليه اطلب الدائرة. على الزاوية هذه تقاطع نهاية نقطة

cos 40° وsin 40° باستخدام اآللة الحاسبة.التدريس:. ٥

ساعد الطالب على فهم أن كل زاوية يجب أن يتطابق رأسها

مع نقطة مركز الدائرة والضلع األول منها مع القسم الموجب

من المحور السيني.

؛ Er - ؛ E و E2r - اشرح لهم مفهوم الزاويتين E و

قائمة المثلثات استخدم .2 Er - و E وأخيرا Er + و E

الزاوية والمتطابقة إليجاد العالقة بين قيم الدوال المثلثية للزاوية

Er +] gو Er -] gو E2r -b l وقيم الدوال للزوايا E

. 2 Er -] gو

أمثلة إضافية: بسط العبارات الجبرية التالية:

sin (6 Er + ) -sin 7 Er +] g + (أ)

cos 13 Er -] g +cos 15 Er -] g

sin E29r -b l + cos E2

13r -b l - (ب)

cos sinE E12 15r r- + -] ]g g

tan tanE E3 23r r+ + - +] bg l (جـ)

tan tanE E4 27r r- - - -] bg l

أفكار مساعدة: قد يجد بعض الطالب صعوبة في حفظ هذه

العالقات. شجعهم في البداية على فهمها جيدا على الدائرة. ثم

دعهم يكتشفون ذلك في عمل تعاوني مستخدمين المثلثات

القائمة المتطابقة.

نشاط إثرائي:

لنأخذ على دائرة الوحدة الزاويتين

E2r + E و

Esin 2r +b l (أ) أوجد العالقة بين

Ecos من جهة 2r +b lو

وsin E وcos E من جهة ثانية.

y

N M

EO

E+

X

.cot Eو Etan 2r +b l (ب) استنتج العالقة بين

الربط: . ٦dí هما مستقيمان متعامدان على شبكة اإلحداثيات. ولتكن d و

:y a x b d= +l l l ومعادلة y = ax + b : d معادلة

.d هي الزاوية بين المحور السيني والمستقيم a

.dl هي الزاوية بين المحور السيني والمستقيم b

Draft

٩٤

cos 420∞ : sin 420∞ tan 420∞

+ E E - :

sin (π + E ) = -sin Ecos (π + E ) = -cos E

tan (π + E) = tan E

:tan 210∞ cos 210∞ sin 210∞ :

sin 210∞ = sin (180∞ + 30∞) = - sin 30∞ = 21-

cos 210∞ = cos (180∞ + 30∞) = - cos 30∞ = 23-

tan 210∞ = tan (180∞ + 30∞) = tan 30∞ = 1

3

cos 225∞ : sin 225∞ tan 225∞

2π - E E - :

sin (2π - E) = -sin Ecos (2π - E) = cos E

tan (2π - E) = -tan E

:tan 315∞ cos 315∞ sin 315∞ :

sin 315∞ = sin (360∞ - 45∞) = -sin 45∞ = 2

1-

cos 315∞ = sin (360∞ - 45∞) = cos 45∞ = 2

1

tan 315∞ = tan (360∞ - 45∞) = -tan 45∞ = -1

(x, y)

(-x, -y)

Er +

y

x

E

E

2 E-r E

(x, y)

(x,-y)

-+

y

x

sin (2 + E) = sin Ecos (2 + E) = cos Etan (2 + E) = tan E

2a r b= +b l .b و a (أ) أوجد العالقة بين

tan ab = lو tan aa = (ب) من المعروف أن

aa 1=-l أثبت أن

d’Y

d

X

أخطاء متوقعة:. ٧

Er و E - لهما الدوال - قد يخطئ الطالب ويستنتجون أن

المثلثية نفسها. اطلب إليهم تمثيل الزوايا على دائرة الوحدة.التقويم:. ٨

اطلب إلى الطالب حل التمارين رقم ٣ و٦ و٧ من الصفحتين

٩٥ و٩٦ من كتاب الطالب.مسألة اليوم:. ٩

6x3 + 2x2 - 9x - 3 :مساحة مستطيل تساوي

2x2 - 3 :وطول أحد أضالعه يساوي

(4x2 + 6x - 4) .أوجد محيط هذا المستطيل

إجابات وحلول:. ١٠تدريب (١) ص ٩٢

sin 150° = sin 30° = 21 (١)

cos 150° = -cos 30° = 23

-

tan 150° = -tan 30° = 3

1-

sin 135° = sin 45° = 22 (٢)

cos 135° = -cos 45° = 22

-

tan 135° = -tan 45° = -1

تدريب (٢) ص ٩٢

sin (-60°) = - sin 60° = - 23

cos (-60°) = cos 60° = 21

tan (-30°) = - tan 30° = -3

1

تدريب (٣) ص ٩٣

cos 420° = cos (360° + 60°) = cos 2601

=c

sin 420° = sin (360° + 60°) = sin 2603

=c

tan 420° = tan (360° + 60°) = tan 60 3=c

تدريب (٤) ص ٩٣

sin 225° = sin (180° + 45°) = -sin 45 22

=-c

cos 225° = cos (180° + 45°) = - 45 22

cos =-c

tan 225° = tan (180° + 45°) = 45tan 1c=

Draft

٩٥

تدريب (٥) ص ٩٤sin 330° = sin (360° - 33°) = - sin 30°

، أكمل ... 21=-

تمارين ص ٩٤(١) الحظ أن المطلوب هو كل قياسات الزاوية الممكنة في

2r ,0[ ومن ثم يوجد قياسان كل منهما يحقق الفترة ]

كال من المعطيات - استخدم اآللة الحاسبة.

ثم المرتبطة الحادة الزاوية أوال أوجد EW = ... قياسات

الحظ اإلشارات:

°55 أو 305° (أ)

(في الربعين األول والرابع)

318° 50l 50 °138 أوl (ب)

(في الربعين الثاني والرابع)

°32.24 أو 147.76° (جـ)

(في الربعين األول والثاني)

39l°128 أو 40l°308 (الثاني والرابع) (د)

23l°157 أو 23l°337 (الثاني والرابع) (هـ)

اسأل الطالب أن يتعرفوا بأنفسهم مواقع الزوايا، واجعلهم

يخمنون ذلك قبل إيجاد قياسات الزوايا بدقة ليتكون لديهم

الحس بالقيم التقريبية لزاوية إذا علمت قيمة إحدى دوالها

المثلثية.

611r 6 أو

5r (أ) (٢)

67r 6 أو

5r (ب)

35r 3 أو

2r (جـ)

45r 4 أو

r (د)

34r 3 أو

2r (هـ)

43r 4 أو

r (و)

.tan 330∞ cos 330∞ sin 330∞ :

-: ,0 2r6@ E tan E = -0.8743 ( ) cos E = -0.5734 ( )

tan E 45=- ( ) sin E = -0.5334 ( )

tan512

E =- ( )

-: ,0 2r6@ E cos E = - 2

3 ( ) sin E = -0.5 ( )

cot E = 1 ( ) tan E = 3- ( )sin E =

2

1- ( ) cosec E = -2 ( )

cos(2 E) y sin E yr

- = =

( )cos E sin E2r - =

E , xsin cosx E2r - = =b l

: x 0∞< x < 90∞

( 17) 47cos sinx c c- =

17 47 90x c c c- + =

...x =

-. (O) . B

E = 120∞ ( ) E = 45∞ ( ) E = 30∞ ( )E = 210∞ ( ) E = 135∞ ( ) E = 150∞ ( )

E = 315∞ ( ) E = 225∞ ( )

-

: sin2 E + cos2 E

E = 3r ( ) E = 6

r ( )

x

y

DC

B

Ao

E

E

AB = CD :

E En cos 2r= -b l

:

x

o 30A

B

o 45A

B

sin ( 2r - E) = cos E

cos ( 2r - E) = sin E

tan ( 2r - E) = cot E

Draft

٩٦

تمارين ص ٩٤، ٩٥تكون B النقطة إحداثيات أن يالحظون الطالب دع (١)

Esiny = ، Ecosx = ،(x, y)

,2

1

2

1c m (ب) ,2

321c m (أ)

,23 1

2-c m (د) ,21

23-c m (جـ)

,23 1

2- -c m (و) ,2

1

2

1-c m (هـ)

,2

1 1

2-c m (حـ) ,

2

1

2

1- -c m (ذ)

1

45º

2

1

2

1

1

30º

23

21

(٢) تفكير ناقد:يتفق وهذا جميعها. الحاالت في sin2 E + cos2 E = 1

مع معادلة دائرة الوحدة (مركزها نقطة األصل ونصف قطرها

. x2 + y2 = 1 الوحدة) وهي

(٣) حل المعادلة:

1 - 41 = sinx × 1 ×

2

1 × 3

sinx = 4 3

3 246= =0.6124

x = 37°46l

E = 32r ( ) E = 4

r ( )

: ,x 0 2dr:D x -

tan cos sin tan cos tanx4 3 4 4 32 2 =r r r r r-

: -

sin cos cos sin3 6 6 3

22r r r r+ - -b bl l

: -

2sin sin cos32

3 3r r r=

: - sin cos sin2 2 1

2

=r r r-+b l

: -

1 tan sec4 42 2=r r

+

: - sin 48∞ = cos ... ( )

cosec 75∞ = sec... ( ) tan 47∞ = cot... ( ) cos 25∞ = sin ... ( )

: x 0 < x < 90∞ - cosec (x + 27∞) = sec (5x - 17∞) ( )

cot (x + 80∞) = tan (90∞ + 2x) ( )sin (x + 30∞) = cos (3x + 10∞) ( )

3 (٤)

أن: مالحظة مع مربعين بين الفرق يمثل آخر حال اطلب

.sin cos3 6r r=

. 23 (٥) بإيجاد القيم في كل من الطرفين

(٦) كل طرف يساوي صفرا.

(٧) دع الطالب يعممون هذه العالقة على أي زاوية من العالقة

sin2E + cos2E = 1 وبالقسمة على cos2E في الطرفين

.(E = 90° باستثناء الحاالت التي فيها)

(٨) اطرح من 90°.

(٩) الحظ الزاوية المرتبطة:

225b l(جـ) 3

80b l (ب) 3

40b l (أ)

Draft

٩٧

:B (x, y) AOB\ B(cos E, sin E)V V V

cot Esin E

cos E=X VV tan E

cos E

sin E=X VV

sin E cos E2 2+V V = 1 -

:cos2 EW

cos E

sin E1

cos E

12

2

2+ =VV V -

tan2 EW + 1 = sec2 EW( ) sin2 EW

cot2 EW + 1 = cosec2 EW -

: EW cosec EW ^ tan EW Ç sec EW ^ cot

E tan EsinE

1

cosE

sinE

cos E

1sec Ecosec # #= = =V V V VV V V

.sec EW ^ cot EW

( )

: (sin AW - cosc AW )2 = 1 - 2 sin AW cos AW

(sinA cosA) sin A 2sinA cosA cos A2 2 2- = - +W W Y W W Wsin A cos A 2sinA cos A2 2= + -W W W W

1 2sin A cos A= - W W( )

: (sin AW + cos AW )(tan AW + cot AW ) = sec AW + cosec AW

(sin AW + cos AW) (tan AW + cot AW) =

* sin2 EW

cos2 EW * tan2 EW

sec2 EW * cot2 EW

cosec2 EW

Basic Relations Among Triangular Functions

xo

y

BE A

العالقات األساسية بين الدوال المثلثية

Basic Relations AmongTriangular Functions

كتاب الطالب من صفحة ٩٦ إلى صفحة ٩٨األهداف:. ١إيجاد العالقة بين sin2 وcos2 ألي زاوية. ◀

إيجاد العالقة بين tan2 وsec2 ألي زاوية. ◀

إيجاد العالقة بين cot2 وcosec2 ألي زاوية. ◀

تبسيط عبارات تتضمن دواال مثلثية. ◀

برهنة صحة متساويات (متطابقات) مثلثية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢


مسطرة - فرجار.التمهيد:. ٤

دفاترهم على الزاوية قائم مثلث رسم الطالب إلى اطلب

إيجاد ثم الحادة الزوايا من زاوية كل دوال تحديد واسألهم

sin2 و cos2 لكل زاوية.

ماذا يحصل إذا جمعنا cos2 + sin2 للزاوية نفسها؟

أرشدهم إلى استخدام قاعدة فيثاغورس ...التدريس:. ٥

اطلب إلى الطالب أن يعملوا ضمن مجموعات ليرسموا دائرة

تالقي نقطة مركزها يكون اإلحداثيات شبكة على الوحدة

زاوية يأخذوا أن ثم ،O وهي والصادي السيني المحورين

E رأسها في O وأحد خطوطها على المحور السيني والخط

.B الثاني يقطع دائرة الوحدة في نقطة

اطلب إليهم أن يأخذوا من النقطة B الخط العامودي BA على

Etan V cosEV و Esin و V محور السينات. اسألهم تحديد

إيجاد إليهم اطلب السابقة، التهيئة من وانطالقا .cotEV والعالقات المطلوبة.

الربط:. ٦ال يوجد.

أخطاء متوقعة:. ٧قد ينسى بعض الطالب أن يأخذوا أحد أضالع الزاوية على

المحور السيني. كرر التذكير بوجوب اعتماد القسم الموجب

من المحورالسيني.التقويم:. ٨

اطلب إلى الطالب حل التمارين رقم ٣ و٧ و١٠ في الصفحة

٩٧ من كتاب الطالب.مسألة اليوم:. ٩

سيارة عند يلتقيان متعامدين خطين على شاحنتان وقفت لسحبها من حفرة.

فإذا كانت الشاحنة األولى تسحب بقوة 600 ثقل كيلوغرام والشاحنة الثانية تسحب بقوة 800 ثقل كيلوغرام، فما القوة

الناتجة عن السيارة لسحبها من الحفرة؟

(R = 1000 kg)

F1

F2

R

سيارة

Draft

٩٨

(sin AW + cos AW) cosA

sinA

sinA

cosA+ =d nWW WW

(sin AW + cos AW ) cosA sinA

sin A cos A2 2+d nW WW W

cosA sinA

sinA cosA

cosA

1

sinA

1secA cosec A= =

++ +W WW W W W W W

:

-tan AW cos AW sin AW

-sin

tansec

A

AA#WW W

-1 cos cosecA A2 2+ W W

-sin A

tan Acos AYY W

-sec2 AW - 1

-(sin AW + cos AW )2

-cosec E

tan Esec E

2

22=VX V

-1 sec E

tan E2

2

- VV

:

-tan2 EW - sin2 EW = tan2 EW sin2 EW

-cot E

cos Etan Esin E

2=VV V V

-cos2 EW + tan2 EW cos2 EW = 1

-1 cos E

sin E

sin E

1 cos E=

-

+ VV X V

-cosec E

sin E

sec E

cos E1=+XV VV

-(1 secE)(1 cosE) tanE sin E- =+ V V V V

-: C ABC

AC = 15 cm BC = 17 cm ( ) B 70c=V AB = 60 cm ( )

B 47c=V AC = 20 cm ( ) BC = 8 cm AB = 20 cm ( )

AC = 20 cm B 50c=V ( )

إجابات وحلول:. ١١تدريب ص ٩٦

sec E ^ cot E = E EE

Ecos sincos

cosec1

# =

تمارين ص ٩٨sin2A (١)sec2A (٢)

1 AA

1 A Acossin

cot cosec12

22 2#+ = + = (٣)

1 (٤)tan2A (٥)

1 2 A Asin cos+ (٦)(٧) تعتمد الطريقة نفسها.

(٨) تعتمد الطريقة نفسها.

وباستخدام بأنفسهم يحاولون الطالب دع المتساويات: في

بحيث المتساويات حول التمارين لحل عندهم من طرق

يعملون في إحدى الطرق على الطرفين للحصول على النتيجة

نفسها، ويعملون في طريقة ثانية على طرف واحد للتوصل إلى

الطرف اآلخر.

مثال في (٩):

E EEE

tan sincossin2 2

2

4

- = األيسر:

E EEE

EEE

tan sincossin

sincossin2 2

2

22

2

4

#= = األيمن:

إذا الطرفان متساويان.

في (١٤)

األيسر:

1 sec E 1 cos E 1 cos E sec E sec Ecos E+ - = - + -] ]g g

E EE

EE

EE

sin Ecos sec

coscos

coscos

cos1 1

2 2

=- + = - =-

=

E E EE

E EE

tan sin cossin

sin cossin2

#= = األيمن:

ويمكن الحل بطرق أخرى.

Draft

٩٩

- .25 m 35 m .75∞

. ( ) DEC ( )

. - 35∞ BD AB = 10 cm ABCD

. .BA

- 12 cm BC ABC .25 cm

.- 100 m

. .15∞

- : 1500 m . .20∞

- 85 m .46∞

.

- 60 m .45∞ 25∞

.

- 30 m . 37∞ .

.

AD

BCE

750

25 m

35 m

تمارين عامة ص ٩٧، ٩٨عود الطالب على أن يرسموا الشكل التقريبي الممثل للسؤال.

BC = 20.52 cm; AC = 56.38 cm (أ) (١)

A =W 20°

41 25 ; 22.67B AB cmc= =lW (ب)

48 35A c= lW

66 25 ; 18.3B AC cmc= =lW (جـ)

23 35A c= lW

BC = 18.65cm; AB = 27.35 cm (د)

A =W 43°

A 40c=W BC = 16.78 cm (هـ)

AB = 26.11 cm

،DE = 24.15 m (أ) :(٢) مسألة للتفكير

A(مساحة الحوض) = 845.25m2

A DECT = 78.13 m2 ، EC = 6.47 m (ب)

.767 m2 ومساحة المنطقة المزروعة بالفل هي تقريبا

70 = مساحة المستطيل cm2و AD 7 cm- (٣)

25.71 cm :من الساقين AC (٤) طول

A =W 27° B C= =V W 76°30í

26.79 m :(٥) ارتفاع قمة المئذنة

بعد الموقع عن الطائرة20

.sin

m1500

4385 7= =% (٦)

4385.7 m = إذا بعد الموقع عن الطائرة

.61 m (٧) ارتفاع الطائرة عن سطح األرض إلى أقرب متر هو

(٨)

BC = 60 m

tan 25° = BD60

BDtan25

60c

= = 128.67 m

68.67 m :عرض النهر

(٩) عمل تعاوني:

tan x3730

c =

39.81 mtan

x37

30c

= =

60 m45º25º

A

BCDDraft

١٠٠

األهدافالمسلمات الرياضية للنقطة والمستقيم والمستوي ◀

تقاطع المستويات ◀

الزاوية بين المستقيم والمستوي ◀

التعامد بين المستقيم والمستوي ◀

التوازي في الهندسة الفراغية ◀

الزوايا ذوات األوجه ◀

الموشور واألسطوانة ◀

تعريف الهرم والمخروط ◀

مميزات الهرم ◀

مميزات المخروط ◀

خصائص الكرة ◀

الدوائر الكبرى والصغرى ◀

القطوع المستوية ◀

المحتوياتالنقطة الهندسية والمستقيم والمستوي في الفضاء. ١توازي وتعامد المستقيمات مع المستويات. ٢المجسمات: الموشور واألسطوانة. ٣المجسمات المخروطية: الهرم والمخروط. ٤المجسمات الكروية: الكرة والقطع. ٥

الوحدة ٣الهندسة الفراغية

Three Dimensional GeometryThree-Dimensional Geometry

. .( )

( )

( )

:

Two-Dimensional

Figures

Three-Dimensional

Figures

TriangleQuadrilateral

( )

PyramidPrism

( ) EllipseCircle

Sphere

Cone

Cylinder

.

.

Draft

١٠١


النقطة الهندسية والمستقيم والمستوي في الفضاء

توازي وتعامد المستقيمات مع المستويات

المجسمات: الموشور واألسطوانةالمجسمات المخروطية: الهرم

والمخروطالمجسمات الكروية: الكرة والقطع

المسلمات الرياضية للنقطة والمستقيم والمستوي

تقاطع المستوياتالزاوية المكونة بين مستقيم ومستو

تعامد مستقيم ومستوتوازي المستوياتتعامد المستويات

المضلع ومنطقة المضلعالصندوق المصمتاألسطوانة والموشورالهرم والمخروط

الكرةالدوائر الكبرى والصغرى

تعيين المستويإيجاد تقاطع المستوي والمستقيم

الزاوية ذات األوجهتعرف المستقيم المتعامد مع المستوي

رسم الموشور القائمقياس االرتفاع الجانبي

قياس ارتفاع الهرم والمخروطتعيين تقاطع المستوي مع الكرة أو األسطوانة أو الهرم أو المخروط

قطوع المخروط

Draft

١٠٢

.

.

: -. -. -.

Intersecting Planes . .

. .

. -

.

Q P

P Q AB+ =

EH

FG

B

A

PQ

AB

C

: .

.

.

.

. (P) )

.( P

BL

(L) .B (P)

Point - Line - Plane Postulate

. ( ) - ( )

. -

. ( )

. : ( )

.

*

*

*

Points, Lines and Planes in Space

A -

B -

A BC

( )

( )

A B ( )

AB

A B

P

( )

النقطة الهندسية والمستقيموالمستوي في الفضاء

Points, Lines and Planesin Space

كتاب الطالب من صفحة ١٠٠ إلى صفحة ١٠٢ األهداف:. ١تعرف خصائص المستويات وتطبيقها. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

تقاطع المستويات.األدوات والوسائل:. ٣

مسطرة - مسماران صغيران وخيط - خشبة مسطحة وثالثة مسامير (أسافين) كبيرة - ورق مقوى.

التمهيد:. ٤اطلب إلى الطالب أن يصفوا ببضع كلمات كال من األشكال

ثالثية األبعاد اآلتية وأن يرسموها بعد ذلك: هرم، أسطوانة، مخروط.

التدريس:. ٥وضح: أن التعريفات الموجودة في الفقرات (جـ) و(د) و(هـ)

هي جديدة في هذا الدرس.يمكنك إيضاح التعريف (جـ) بمثال محسوس على الشكل . ١

مسطحة، مساحة على صغيرين مسمارين لنثبت التالي: المستقيم الخط يمثل الذي الخيط بواسطة ونربطهما وذلك في نقطتي التقاء المسمارين مع المساحة المسطحة. نالحظ أن الخيط موجود بكامله في المساحة المسطحة.

يمكنك إيضاح التعريف (د) على الشكل التالي:. ٢أعط أحد الطالب قطعة خشب مسطحة، وثالثة مسامير

كبيرة متساوية الطول. اسأل الطالب ما يمكن أن يفعله كي تكون قطعة الخشب في مستو مواز للطاولة:

* هل يكفي أن نضعها على مسمار واحد مثبت على الطاولة؟* هل يكفي أن نضعها على مسمارين متساويين في االرتفاع

ومثبتين على الطاولة؟

* هل يكفي أن نضعها على ثالثة مسامير متساوية االرتفاع

مثبتة في خط مستقيم على الطاولة؟

هل يكفي أن نضعها على ثالثة مسامير متساوية االرتفاع

مثبتة غير متتابعة في خط مستقيم على الطاولة؟

اطلب إليه أن يكتب بالتفصيل مالحظاته.

Draft

١٠٣

. :

- - - - -. -. - ( )

( ) ( )

.

- -

- - -

يمكنك إيضاح التعريف (هـ) على الشكل التالي:. ٣

لنأخذ قطعتين من الورق المقوى، وندخل إحداهما في فتحة

من األخرى. نالحظ أن التقاطع بين هاتين القطعتين هو خط

مستقيم.

األفكار األساسية في الدرس:م هذا الدرس مبادئ المسلمات وفرضيات النقطة يقد

الهندسية والمستقيم والمستوي والعالقة فيما بينها. وبالتالي

يساعد هذا الدرس على بناء المعرفة الكاملة في الهندسة

اإلقليدية (Euclide) انطالقا من المستوي وصوال إلى

األشكال ثالثية األبعاد.

:(Perspective) رسم منظورينرسم المستوي على شكل متوازي األضالع. ١

عالقة محددة بين نقطة ومستقيم تمثل مستو. ٢

A

(d) عالقة محددة بين مستقيمين تمثل مستو. ٣

الربط:. ٦

دع الطالب يالحظون تقاطع المستوي المتمثل بباب الصف

والمستوي المتمثل بحائط الصف. يمثل هذا التقاطع الخط

المستقيم الذي يمر بمفصلتي الباب.Dra

ft

١٠٤

أخطاء متوقعة:. ٧من المحتمل أن يجد بعض الطالب صعوبة في إيجاد تقاطع

مستويين ورسمهما، لذا من الممكن اتباع الخطوات التالية

للتوصل إلى الشكل (١):

.(P) (أ) نرسم متوازي األضالع الذي يمثل المستوي

(ب) نرسم من الناحية العليا لمتوازي األضالع قطعة مستقيم

متوازية معه.

(جـ) من طرفي قطعة المستقيم نرسم قطعتي مستقيمين

متساويتين تمران من األعلى إلى األسفل بالنسبة إلى

.(P) المستوي

(د) نصل طرفي هاتين القطعتين ببعضهما فنحصل على

.(Q) متوازي أضالع يمثل المستوي

(P) والمستوي BBlو AAl (هـ) نصل نقطتي التقاطع بين

فنحصل على المستقيم MN الذي هو تقاطع المستويين.

شكل (١)

P

Q

A'

NM

A

B'

B

التقويم:. ٨

هل يمكن لمستقيم، غير عمودي على مستو، أن يكون

ا على مستقيم موجود في المستوي؟ عمودي

(نعم، إن المستقيم غير العمودي على مستو يمكن أن يكون

ا على مستقيم موجود في المستوي). عمودي

(d)(d)

P

مسألة اليوم:. ٩ادرس هذا النمط:

السطر األول 22=4=1+2+1

السطر الثاني 32=9=1+2+3+2+1

السطر الثالث 42=16=1+2+3+4+3+2+1

أكمل النمط.

ما ناتج جمع األعداد الموجودة في السطر السابع؟ (82=64)

إجابات وحلول:. ١٠تمارين ص ١٠٢

(١) مستو.

(٢) مسطح متعدد األوجه.

(٣) في مستو واحد.

(٤) مستويات متعامدة - مستقيم متعامد مع مستو.

(٥) إجابة محتملة:

(٦)

(٧) (أ) دائما.

(ب) حين تكون أطراف األرجل في مستو واحد.

(جـ) في الجزء (د) ثالث نقاط غير موجودة على مستقيم

واحد تعين مستويا واحدا فقط.

(٨) صح.

(٩) صح.

(١٠) صح.

(١١) صح.

(١٢) ألن المستوي ليس له سماكة.

Draft

١٠٥

. .

( )Angles Formed by a Line and a Plane

.A (P) d .(P) .( )

MABW :

MADW MACW

. (Pisa)

(. ) 85∞

.95∞ 85∞. 90∞

( )

A (P) t .

:

Line-Plane Perpendicularity Theorem

.

*

*

*

*

Parallel and Perpendicular Lines and Planes in Space

t

m

PA

l

P

D

M

CA

(d)

B

توازي وتعامد المستقيمات معالمستويات في الفضاء

Parallel and PerpendicularLines and Planes in Space

كتاب الطالب من صفحة ١٠٣ إلى صفحة ١٠٦األهداف:. ١رسم مجسمات ثالثية األبعاد. ◀

تطبيق خصائص المستويات. ◀ المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

الزاوية بين المستقيم والمستوي - المستقيم العمودي على

المستوي - الزوايا ذات األوجه - المستويات المتعامدة.األدوات والوسائل:. ٣

مسطرة - زاوية قائمة.التمهيد:. ٤

يطلب إلى الطالب أن يصفوا بالكلمات: الزاوية، المساحة،

التوازي، التعامد.التدريس:. ٥

تعامد المستقيم والمستوي.

المعطيات:

.A تتقاطع في نقطة (P) مستقيمات في المستوي nو lو mlt= المستقيم t يقطع المستوي (P) في نقطة A بشرط

.t m= و

t n= المطلوب: إثبات أن

AC=AB بشرط أن Bو C نقطتين t سنأخذ على المستقيم

l ومع ،E بنقطة n وعلى المستوي نأخذ مستقيما يتقاطع مع

بنقطة F، ومع m بنقطة G؛ لدينا ما يلي:

(أ) المثلث BFC هو متساوي الساقين

FB=FC :إذا

(ب) المثلث BGC هو متساوي الساقين (لماذا؟) إذا:

GB=GC

(جـ) المثلثان CGF وBGF أصبحا متساويين (لماذا؟) إذا:

GFB GFC=\ \(د) المثلثان BFE وCFE أصبحا متساويين (لماذا؟).

نستنتج أن BE=CE ويصبح المثلث BEC متساوي الساقين

والوسيط EA هو عمودي على BC. إذا المستقيم t هو

عمودي على أي مستقيم (n) في المستوي (P) ألن هذا

.(P) البرهان مقبول لكل مستقيم موجود في المستوي

PG

B

AE

C

n

F

m

l

t

البرهان:FA BC= (أ)

BC منتصف Aو

GA BC= (ب)

BC منتصف Aو

(جـ) ثالثة أضالع متساوية.

(د) ضلعان متساويان وزاوية بينهما.

Draft

١٠٦

. .

:

.MOHW (P) d MH P= ( ). MOHW

Po

M

H

(d)

A d2

d1 ( )

d2 d

1

. d1

d2

A

Parallel Planes ( )-.

.

- . .

.BH (P) l

-

.(Q) (P) AB .

المستقيم العمودي على مستو:لم يستخدم البرهان المتبع إلثبات إمكانية تعامد المستقيم مع المستوي إلرهاق الطالب وتضليلهم بل إلبراز المفاهيم في

الهندسة المستوية التي استعملت إلثبات المفاهيم في الهندسة الفراغية.

30º مثال: رسم وجه زاوية قياسها

30o

ترابط مع الهندسة المستوية:قانون:

* إذا كان مستقيمان متعامدين على مستقيم ثالث ضمن مستو واحد فإنهما متوازيان فيما بينهما.

* إذا كان مستويان متعامدين على المستقيم نفسه، فإنهما متوازيان فيما بينهما.

مثال إضافي: لنرسم مستقيما(m) يقطع مستويا (Y) وليكنxº قياس أصغر زاوية يصنعها

.(Y) مع المستوي m المستقيمولنأخذ (zº) قياس الزاويةبين المستقيم (m) وأي

(m) مستقيم آخر يتقاطع معفي المستوي (Y). ما هو المجالالمحتمل لقياس الزاوية (z)؟

z 180x x# # -

٦ .

m

الربط: أمثلة على الزاوية بين مستقيم ومستوي:

- زاوية برج بيزا في إيطاليا مع سطح األرض.- توازي المستويات وتعامد المستويات في الصف.

أخطاء متوقعة:. ٧قد يخطئ الطالب في تحديد زاوية المستقيم مع المستوي. أرشدهم بواسطة الرسوم على فهمها وعلى أنها أصغر زاوية

من الزوايا التي يصنعها المستقيم مع جميع المستقيمات الموجودة في المستوي.

التقويم:. ٨اطلب إلى الطالب إيجاد تقاطع ثالثة مستويات مختلفة

ورسمها مستعينا بما يلي:(أ) إذا كانت ثالثة مستويات متوازية فال يوجد أي تقاطع بينها.(ب) إذا كان اثنان من الثالثة متوازيان فال يوجد تقاطع بين

الثالثة ولكن إذا كان الثالث يقطع المستويين المتوازيين فيكون التقاطع مستقيمين متوازيين.

(جـ) إذا تقاطع الثالثة فيكون هناك إحدى الحالتين:إما نقطة تقاطع واحدة: مثال على ذلك زاوية تقاطع جدارين . ١

في الصف مع السقف أو مع أرض الصف.إما مستقيم واحد: مثال على ذلك ثالث أوراق متتابعة من . ٢

الكتاب نفسه.مسألة اليوم:. ٩

يتألف اختبار في الرياضيات من 33 سؤاال وشروطه كما يلي:لكل إجابة خطأ يخسر الطالب 3 عالمات؛ ولكل إجابة صحيحة ينال 8 عالمات. أجاب أحد الطالب عن كافة

األسئلة وكانت عالمته النهائية صفرا.ما عدد اإلجابات الصحيحة؟

ليكن x عدد اإلجابات الصحيحة و(x-33) عدد اإلجابات الخطأ إذا:

8x - 3(33-x) = 08x - 99 + 3x = 0

11x = 99x =

1199 = 9

Draft

١٠٧

: -.30∞ -. -. -. : ( )

. ( ) - -.

-.120∞

: -. -.

-. -

.

- .

P P

H

B B

A

P

Q

l

l

Dihedral Angles ( )

:

.l A l l m A

l n A (P) .(Q)

. .A

Perpendicular Planes ( ):

.(Q) (P) m = n

A

Q

P m

n

l

إجابات وحلول:. ١٠تمارين ومسائل ص ١٠٦:

(١)

(٢)

30º

(٣)

(٤) (أ) خطأ.

(ب) يؤلف برج بيزا (Pisa) زاوية تساوي 85o مع سطح

األرض.

ا على ا على المستوى x إذا كان عمودي (٥) يكون المستقيم l عمودي

.x كافة المستقيمات الموجودة في المستوى

(٦) بقياس طول القطعة المستقيمة المتعامدة مع الحائطين.

(٧)

120º

(٨) سقف الغرفة مع الحائط.

(٩) سقف الغرفة وأرضها مع ثالثة حيطان.

(١٠) تقاطع حائطين مع سقف الغرفة.

متعامدين مستويان كان إذا ألنه خطأ، للتفكير: مسألة (١٢)

متوازيين غير الفراغية فإنهما الهندسة في مع مستو ثالث

بالضرورة.

Draft

١٠٨

* * *

Prism and Cylinder :

.

.

.

Polygonal RegionPolygon

Cuboid . :

ï AE AB

. ... AD

.EFGH ABCD GC ï ... D C B A

.

A E

FD

C G

HB

المجسمات: الموشور واألسطوانةPrism and Cylinder

كتاب الطالب من صفحة ١٠٧ إلى صفحة ١١٠األهداف:. ١تعرف الموشور واألسطوانة. ◀

حساب المساحات واألطوال في الموشور واألسطوانة. ◀

تمييز األجسام المشابهة للموشور واألسطوانة في ◀

محيطنا.المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

منطقة المضلع - متوازي المستطيالت - األسطوانة

والموشور.األدوات والوسائل:. ٣


اسأل الطالب أن يصفوا مستطيال ومضلعا ثم دائرة ومكعبا

ويرسموا كال منها.التدريس:. ٥األسطوانة. . ١ ماهية الطالب يتعرف أن ا جد المهم من

مستو هندسي شكل بين الواقع المجسم هي األسطوانة وصورته الحاصلة بواسطة االنسحاب حسب متجه معين. واألبراج المباني منها كثيرة تطبيقات لها األسطوانة إن

العالية ... إلخالرسم المطلوب من الطالب في النشاط ضمن الدرس يمكن . ٢

.(PERSPECTIVE) تنفيذه دون استعمال الرسم المنظوري

نرسم صورة لمضلع ونأخذ من كافة الزوايا قطع مستقيمة

متوازية ومتساوية نحو األسفل. نصل بين أطراف هذه

المستقيمات، فنحصل على صورة لمضلع أساسي، فيكون

لدينا موشورا.الربط:. ٦

في علم البصريات يستعمل الموشور ثالثي القاعدة وهو

على شكل قطعة شفافة مكون من مواد تعكس أشعة الضوء

ويمكن أن يؤلف حزمة من األشعة متعددة األلوان كقوس

قزح. كذلك يمكن استعمال الموشور في اآلالت الخاصة

.(Spectroscopes) لتحليل الضوء

أخطاء متوقعة:. ٧قد يخطئ الطالب في تحديد مساحة الدائرة أو محيط

الدائرة. أرشدهم إلى ذلك وليكتبوا على اللوح القواعد

المستخدمة في الحالتين كليتهما.

ذكرهم أيضا أن بعض أوجه الموشور قد تكون مربعة وال

Draيكون الموشور مكعبا.ft

١٠٩

التقويم: . ٨لم األوجه الجانبية في الموشور هي متوازية األضالع؟. ١كم قطرا يوجد في الموشور (بحسب القواعد)؟. ٢

لنأخذ متوازي المستطيالت التالي:. ٣

(أ) عين ضلعا على متوازي المستطيالت غير مواز وغير عمودي

.AD على

(... CE أو HB)

(ب) عين أربع نقاط على مستو واحد غير موجودة في

(Fو Eو Bو A) .الواجهة نفسها من متوازي المستطيالت

(جـ) في أي مستو توجد القطعتان المستقيمتان AD وFG؟

(ADFG)

(د) في أي مستو توجد القطعتان المستقيمتان AD وGH؟

(ال يمكن إيجاد مستو يحتوي على القطعتين المستقيمتين).

مسألة اليوم:. ٩قطعة حلوى لها شكل متوازي المستطيالت وقياساتها: طول

.6 cm 10، االرتفاع cm 20، عرض القاعدة cm القاعدة

وضعت طبقة من المسحوق األبيض على وجهها األعلى

مت إلى مكعبات متساوية. إذا كان وجميع جوانبها، ثم قس

2، فما عدد المكعبات التي cm طول ضلع المكعب يساوي

ال يوجد عليها المسحوق األبيض؟ (48 قطعة)

ï .

ï .

ï.

Cylinder :

.

. *.(P)

* .

. *

.. *

Prism : :

.

Cylinder

Pentagonal Prism

Draft

١١٠

إجابات وحلول:. ١٠تمارين ومسائل ص ١٠٩-١١٠

(١) (أ)

(ب)

(٢) (أ) ضلع.

(ب) 4

(جـ) 6

(د) 4

(هـ) 12

GHEFو ABCD (أ) (٣)

DCEFو ABHG أو

BCEHو ADFG أو

A B

CD

EF

G H

AB=CD=GH=EF=7 (ب)

(٤) (أ) موشور سداسي.

(ب) أسطوانة.

(٥)

(٦)

(٧)

(٨)

. .(P)

. * . *

. *

.(oval) .

.

- .

.

.

: - . .

.

-

. .( )

. ... ( )

-. ( ) . ( )

-: . .... ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Draft

-: =

C

G

EF

D

BA

H

. ( ) AB 7= ( )

.7 -:

. ( ). ( )

: -. -. -. -.

: -. (CD)

-. -.30∞ -.40∞ - . :

تطبيقات في الرياضيات ص ١١٠(٩) مجسم أسطوانة قائمة.

(١٠) موشور أو مجسم أسطوانة قائمة.

(١١)

(١٢)

30º

40º

(١٣) في الطبيعة:

يستخدم النحل الشمع إلغالق الفراغات بين الخاليا ويمكن

إثبات أن مجموع محيطات الخاليا أصغريا إذا كان التقطع

المستخدم سداسيات منتظمة أي أن هذا الشكل يقلل من

استخدام الشمع إلى الحد األدنى ذلك أن النحل يستهلك

٢ كغ من العسل لصنع ١ كغ شمع.

١١١

x

x

y

y

o

o

Draft

١١٢

ï :

... : ï... ï

. ï

...

. ï. ï.

.

A D

CB

SO (ABCD)=

A

S

D

CO

B

Cone

.

.(axis)

Oblique Cone

Right Cone

* * *

Pyramid and Cone :

Pyramid

.

. 2600 2800

.

.

.( )

.

.

.

:.

- (vertex)

.( ) SA SB (lateral edges) -.(... AB BC) -

.(... SBC SAB)

( )

S

DA

B( )

C

المجسمات المخروطية: الهرم Pyramid and Cone والمخروط

كتاب الطالب من صفحة ١١١ إلى صفحة ١١٥األهداف:. ١تعرف الهرم والمخروط ورسمهما. ◀

قياس المساحات واألطوال في الهرم والمخروط. ◀

محيطنا ◀ في والمخروط للهرم المشابهة األجسام تمييز

(عالمنا).المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

ارتفاع الهرم - ارتفاع المخروط - الضلع الجانبي.األدوات والوسائل:. ٣


راجع مع الطالب نظرية فيثاغورس ونظرية المستقيمات المتعامدة.

البوظة، . ١ (بسكوتة المخروط. تمثل حولك من أمثلة أعط قبعة صينية).

مصر، . ٢ (أهرامات الهرم. تمثل حولك من أمثلة أعط خيمة).

بوظة؟ . ٣ األسهل الشكل فعال هو المخروط أن تعتقد هل (شكل المخروط يسهل حمله باليد).

التدريس:. ٥تعلم تعاوني:

ضع أمام الطالب نماذج عن هرم وأعط كل مجموعة هرما واطلب إليهم تحديد ما يلي: الوجوه - األضالع - الرؤوس - القاعدة - وجه جانبي - ضلع جانبي - رأس. اطلب إليهم تحديد محور المخروط وتحديد المساحة الجانبية وتحديد

ارتفاع جانبي وارتفاع الهرم.الربط:. ٦

رسم جذع مخروط أو جذع هرم:لنرسم جذع مخروط أو جذع هرم. نبدأ برسم المخروط أو

الهرم ثم نقطعه بمستو مواز للقاعدة فنحصل على قطع أصغر من القاعدة. وبعد ذلك نزيل الجزء األعلى (فوق القطع) من

الهرم أو المخروط فنحصل على جذع مخروط أو جذع هرم.أخطاء متوقعة:. ٧

قد يخطئ الطالب في استخدام كلمة منتظم. ذكرهم بأننا نستخدم كلمة منتظم في أشكال هندسية مستوية مختلفة

تحوي عدة محاور تماثل. فمثال يوجد في المضلع المنتظم محاور تماثل أكثر من المضلع العادي. والهرم المنتظم

يحتوي على مستويات تماثل أكثر من الهرم العادي. وبشكل

Draft

١١٣

.

.(lateral face)

.(lateral edge)

-

. SH - .

.( ) SF (Slant height)

-. -

. .( )

.

.( ) SO

.( ) ( )

O O OH H

S S S

( )

( )

S

S

F

DH

D

C

O

C

B

B

A

A

SO (ABCD)

( )

( )

عام إن الهرم الذي قاعدته مضلع له n أضالع متساوية يوجد فيه n مستويات تماثل.

التقويم:. ٨اسأل الطالب ما يلي:

.n لنأخذ هرما قاعدته مضلع وعدد أضالعه (n+1) ما عدد األوجه في هذا الهرم؟ *

(2n) ما عدد األضالع؟ ** استطاع عالم الرياضيات Euler إثبات قانون في مجسم له

أوجه مضلعة على الشكل التالي:عدد األوجه + عدد الرؤوس = عدد األضالع +2

فيكون:F+V=E+2

حيث إن:F=Faces األوجه

V=Vertices الرؤوسE=Edges األضالع

مسألة اليوم:. ٩يحتوي صندوق على أوان فضية مؤلفة من 8 مجموعات باإلضافة إلى عدد من قطع تقديم الطعام، وكل مجموعة

تتألف من: سكين، وشوكة كبيرة، وشوكة صغيرة، وملعقة كبيرة، وملعقة صغيرة. وفي كل مجموعة ملعقة صغيرة

إضافية. كما أن قطع تقديم الطعام تشكل نصف عدد السكاكين. ما عدد قطع األواني الفضية الموجودة في

الصندوق؟(8 × 6)+4=52

Draإذا يوجد 52 قطعة.ft

.SH = 12 .ST TH = 7

: H SHT

ST SH HT

ST 12 7

ST 193

ST 13.9 units193

2 2 2

2 2 2

2

.

= +

= +

=

=

( ) 13.9

-: . ( )

( ) ( )

( ) ( )

-O . MO

( ). ( )

. ( ). ( )

. ( ). ( )

. ( )-.2 cm -

RQ = 4 PQ = 10 . ( )

. ( )

S

HT

CB

A

D

E

L

N

MO

R

P

Q

إجابات وحلول:. ١تمارين ص ١١٤

(١)ABDE (أ)

C (ب)BC ،AC ،EC ،DC (جـ)

ACB ،BCD ،DCE ،ACE (د)EA ،DE ،BD ،AB (هـ)

(٢) (أ) مخروط قائم.OM (ب)

ML ،MN (جـ)M (د)

المركز ونقطة الدائرة (هـ) .O

(و) طول القطعة من الرأس إلى نقطة في دائرة القاعدة.ML ،MN (ز)

(٣)

RQ=4و PQ=10 (٤)

(أ) االرتفاع: 10 وحدات قياس.

(ب) االرتفاع الجانبي:

.116 10 8- (وحدة قياس)

2cm

A

B C

D

E

M

N O L

١١٤

Draft

١١٥

- . : ( )

( ) ( )

-: ( )

( ) ( )

( )- 33 cm .

.17 cm. ( ). ( )

تطبيقات في الرياضيات ص ١١٥(٥) (أ) ارتفاع الهرم.

(ب) االرتفاع الجانبي.

(جـ) الضلع الجانبي.

(٦) (أ) 6

(ب) 7

(جـ) 6

(د) 12

(٧) القبعة الصينية:

(أ) االرتفاع الجانبي:

37.1cm1378 -

(ب) محيط الدائرة:

66 207.35 cm2-r

Draft

١١٦

Sphere and Sections :

.

.

. 1522 .

. . :

. :

: ( ) ...

( ) ( ) ... :

ï. . O -

. OA -. OB -

: -.CD

A

B

DC

( )

O

* *

*

( )

المجسمات الكروية: الكرة والقطوعSphere and Sections

كتاب الطالب من صفحة ١١٦ إلى صفحة ١٢٠األهداف:. ١رسم الكرة. ◀

رسم تقاطع المستوي مع أشكال ثالثية األبعاد. ◀

في ◀ المساحات بعض وحساب القياسات بعض معرفة

الكرة.

نستعملها، ◀ أو نراها التي األبعاد ثالثية األشكال معرفة

وتحديدها.المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢

الكرة - الدائرة الكبرى من الكرة - الدائرة الصغرى من

الكرة - خط االستواء - القطع المجسم - الخط الدائري

الكبير.األدوات والوسائل:. ٣

فرجار - كرة أرضية - تفاحة - كمية من الرمل - منقلة -

كوب زجاجي - إبريق ماء زجاجي.التمهيد:. ٤

(أ) ارسم على اللوح دائرة واطلب إلى الطالب تحديدها

وتحديد خصائصها ومحيطها ومساحتها.

(ب) فكر في قطعة جبنة أسطوانية الشكل. إذا قطعنا قسما من

الجبنة من قاعدتها، هل يتغير الشكل الدائري لهذه القاعدة؟

اشرح.

(ليس بالضرورة: يتحدد شكل القاعدة حسب الزاوية التي تم

بها قص القطعة.)

(جـ) لنفترض أنك تريد أن تقطع قطعة خشب مربعة إلى

قسمين، هل كل قطع نحصل عليه هو أيضا مربع؟ اشرح.

(ليس بالضرورة: يختلف شكل القطع بحسب الزاوية التي

استعملت لقطع الخشب.)التدريس:. ٥

يناقش هذا الدرس التعابير المتعلقة بمجموعة كبيرة من

األشكال بدءا من تحديد الكرة وقطع الكرة (الدائرة الكبرى

والدائرة الصغرى)، ومن ثم قطع الموشور واألسطوانة والهرم

وأخيرا قطع المخروط.

ا للتصور أو التخيل. يجب أن يصبح هذا الدرس مهم جد

الطالب قادرين على فهم قطع المستويات وذلك للتعامل مع

الكثير من حسابات المساحات واألحجام.

اسأل الطالب عن المجسمات الموجودة على الطاولة: كرة

أرضية، كرة قدم ... تفاحة.

شجعهم بالسؤال عن الفرق بين الكرة والدائرة. اطلب إلى

كل طالب أن يأخذ المنقلة ويبرمها حول قطرها دورة كاملة.

اسألهم ماذا يستنتجون. اقسم التفاحة إلى قسمين ودلهم على

القطوع التي هي دائرة صغيرة أو كبيرة بحسب طريقة قسمة

التفاحة.

من الطرق الجيدة لتبيان قطع المستوي مع األشكال الهندسية

استعمال الرمل.

حضر أشكاال شفافة من األهرام واألسطوانات والعلب

والمخاريط وضع فيها رمال ثم وزعها على مجموعات من

الطالب. أحن الشكل ليتخذ الرمل شكل قطع المستوي ولتسهل

رؤيته. اطلب إلى الطالب رسم األشكال الهندسية والقطع.

مالحظة: عند مناقشة الدرس، على الطالب رسم األشكال

الهندسية على دفاترهم.

Draft

( ) Small Circles and Great Circles

: ( )

. .( )

( ) .

.( )

O ( ) .

.( ) .

:( ) .

. .

.( )

: ( )

( )

.

( ) ( ) .

. ( ). ( )

. ( )

.

( )

( )

( )

الربط:. ٦الصلة بالعلوم: قد يتعلم الطالب علم األحياء في الوقت نفسه

الذي يتعلمون هذا الدرس أو قد سبق ودرسوه. مما يعني أنهم تعرفوا القطع األفقي لألوراق أو للحيوانات. رسم األشكال

الهندسية في هذا الدرس والرسم في مادة علم األحياء يكمالن بعضهما بعضا.

الصلة بالجغرافيا: هذا هو الوقت المناسب إلحضار كرة أرضية والتحدث عن الدوائر الكبرى والدوائر الصغرى

ومناقشة خطوط الطول والعرض.أخطاء متوقعة:. ٧

عندما يستخدم الطالب تعابير الكرة التي سبق وتعلموها ا. يخطئ ا أو مخروطي ذكرهم بأن الكرة ليست شكال أسطواني

بعض الطالب باستخدام تعبير عرض الدائرة والدائرة األكثر عرضا وما شابه، بدال من الدائرة الكبرى والدائرة الصغرى.

ذكرهم أن التعبيرين علميان وال يجوز استبدالهما بتعابير أخرى.التقويم: . ٨

ناقش مع الطالب القطع الممكنة للسطوح التي سبق وتعلموها. اطلب إليهم أن يعملوا ضمن مجموعات

ويضعوا جدوال بقطع الكرة واألسطوانة والهرم والموشور والمخروط.

السطح قطع ممكن

دائرة كبرى، دائرة صغرىقطع ناقص، دائرة، مستطيل

مضلع (عدد أضالعه يساوي عدد أضالع القاعدة أو يزيد ضلعا واحدا عنها.)

مضلع (ال يزيد عدد أضالعه عن أكثر من 2 من عدد أضالع القاعدة مثال: إذا كانت

القاعدة خماسية، ال يتعدى عدد أضالع المضلع السبعة.)

قطع ناقص، قطع مكافئ، قطع مستوي، دائرة

الكرةاألسطوانةالهرم

الموشور

المخروط

ما، . ١ كرة قطر طرفي تشكالن Bو A النقطتان كانت إذا لماذا يوجد إذا أكثر من دائرة كبرى تمر بهاتين النقطتين؟ (تشكل النقطتان A وB مع مركز الدائرة الكبرى مستويا مستقيم على موجودة الثالث النقاط هذه أن بما ولكن بهذا تمر التي المستويات من الكثير هناك لذلك واحد

المستقيم).هل من الممكن أن تتواجد دائرتان كبريان على مستويين . ٢

متوازيين؟(كال، ألن كل مسطح يجب أن يمر بمركز الكرة.)

هل من الممكن أن تتواجد دائرتان صغيرتان على مستويين . ٣

متوازيين؟

(نعم، مثال الدوائر الصغرى التي تمثل خطوط العرض).

١١٧

Draft

: :

.( ) . .( ) :

.

.( )

. .

. .

Plane Sections of Pyramids and Cones

( )

( )

مسألة اليوم:. ٩ .12 cm 20 ونصف قطر الثانية cm كرتان نصف قطر األولى

.24 cm والمسافة التي تفصل بين مركزي الكرتين هي

m

A

a b n

B

t

20 12

(أ) هل تتقاطع الكرتان؟ (نعم ألن 20 + 12 > 24)(ب) ما شكل تقاطعهما؟ (دائرة)

(62.59 cm) (جـ) ما محيط شكل التقاطع؟

إجابات وحلول:. ١٠مالحظات حول التمارين: قد يشكل رسم األشكال الهندسية ثالثية األبعاد صعوبة لدى بعض الطالب. اطلب إليهم مراجعة

الرسوم الواردة في الدروس السابقة.

تواصل شفهي: اختر واحدا من أشكال المجسمات التي تمت مناقشتها في الدرس. دع الطالب يكتشفون مختلف

أنواع القطع الممكنة لهذا الشكل.كرر التمرين حتى يتسنى لكل الطالب اإلجابة. اقبل كل

أنواع األشكال وتأكد من أن جميع أشكال القطع قد اكتشفت.

6378 تقريبا. km خطوة متقدمة: يساوي طول خط االستواء6378، ثم km تخيل أنك أحطت هذا الخط بحزام طولهافترض أنك قطعت هذا الحزام وأضفت إليه قطعة طولها

6378.005. افترض أيضا أن km 5. يصبح طول الحزام mهذا الحزام يبتعد عن كل نقاط خط االستواء المسافة نفسها. هل يمكن إدخال ورقة بين الحزام واألرض؟ هل يمكن أن

تدخل يدك بين الحزام واألرض؟ 5r 5 على طول الدائرة فهذا يعني أننا أضفنا m إذا أضفنا)على القطر أي حوالى 79.5cm على نصف القطر. وهذا

كاف ليدخل إنسان بكامله بين الحزام والكرة.)

١١٨

Draft

تمارين ص ١١٨:نشاط ١

نشاط ٢

تمارين ومسائل ص ١١٩:(١) الكرة هي مجموعة نقاط في الفضاء لها البعد نفسه عن

نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة.

(٢) الدائرة هي مجموعة نقاط في المستوي الواحد لها البعد

نفسه عن نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة.

(٣) دائرة

(٤) (جـ)

(٥) القطع هو الشكل الناتج عن التقاء مجسم ثالثي األبعاد

مع مستو.

(٦) (أ)

من أصغر ولكنه مربع هو عليه نحصل الذي القطع (ب)

القاعدة.

(٧) (أ) دائرة، قطع ناقص، قطع مكافىء، قطع زائد.(ب) مدار الكواكب، تليسكوب، مصابيح أمامية.

Conic Sections

. .

Hyperbola

Parabola

Ellipse

Circle

.

.

-. - -... - :

( ) ( ) ( )

( )-. -. ( )

. ( ) -. ( )

. ( )

١١٩

Draft

.

.( ) ( ). ( )

. ( )

-

- -

- . .

. .

-. -.

-. ( ) .

( ) ( )

( )

تطبيقات في الرياضيات ص ١٢٠(٨) (أ)

(ب)

(جـ) القطع أ هو مستطيل والقطع ب هو مستطيل.

(٩) (أ)

(ب)

سداسي هو ب والقطع منتظم سداسي هو أ القطع (جـ)

غير منتظم.

(١٠) (أ)

(ب)

(جـ) القطع أ هو دائرة والقطع ب هو قطع ناقص غير دائري.

(١١) مساحة دائرية.(١٢) كرة.

(١٣) كتلة كروية.(١٤) (أ) نصف قطر الكرة.

OPA OPX 90c= =\ \ (ب) OP مشتركة، OX = OAواستكشف ص ١٢٠

(١٥) (أ)

(ب) (جـ) (د) صح.

مالحظة: يرجى محاولة صنع النماذج أمام الطالب.

١٢٠

Draft

math tb g10 geometry

Documents