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Generalites Methodes d’integration d’EDO Entraınement QCM

Mathematiques pour les Sciences de la VieAnalyse – Equations differentielles / Modelisation

Pr. Sandrine CHARLES

Universite Claude Bernard Lyon 1 – France

2 fevrier 2020

http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/ MathSV-b, page 1/39

http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/


Table des matieres

1 Generalites

2 Methodes d’integration d’EDO

3 Entraınement QCM




la Modelisation en Biologie

Plan detaille

1 Generalitesla Modelisation en BiologieModeles dynamiques a base d’EDOLes equations differentielles ordinaires ou EDO





Les Bio-mathematiques

Maths : etudier et developper des methodes pour la prediction.

Biologie : trouver des descriptions et des explications desphenomenes naturels.

Modelisation : utiliser les mathematiques comme outil pourexpliquer et predire les phenomenes naturels.





Utilite des modeles en biologie

Les modeles sont utiles :

Tester des hypotheses sans risque (traitementmedicamenteux. . . )

Predire des performances dans des conditions testables ou non

Les modeles sont limites :

Modele mathematique simple ↔ Modele non realiste

Modele realiste ↔ Parametres trop nombreux

Modele simpliste conclusion irrealiste





Choisir un bon modele ?Le principe de parcimonie, ou “Rasoir d’Ockham”

“Pluralitas non est ponendasine necessitate”

“Les multiples ne doiventpas etre utilises sans neces-site”

Guillaume d’Ockham(1285-1347)




Modeles dynamiques a base d’EDO

Plan detaille






Modeles dynamiquesUn exemple : la dynamique de la population de tourterelles turques en Angleterre

Annee Nb Lieux

1955 11956 21957 61958 151959 291960 581961 1171962 2041963 3421964 501






Annee Nb Lieux

1955 11956 21957 61958 151959 291960 581961 1171962 2041963 3421964 501 0

100

200

300

400

500

Tourterelles turques en Angleterre − Nb lieux

t

N(t)

1955 1957 1959 1961 1963






Annee Nb Lieux

1955 11956 21957 61958 151959 291960 581961 1171962 2041963 3421964 501 0

100

200

300

400

500

Tourterelles turques en Angleterre − Nb lieux

t

N(t)

1955 1957 1959 1961 1963

N(t) = N0eλ(t−1955)

Condition initiale : N(1955)= 1






Annee Nb Lieux

1955 11956 21957 61958 151959 291960 581961 1171962 2041963 3421964 501

0 50 100 150 200 250 300 350

0

50

100

150

Accroissement annuel du nb lieux

N(t)

∆ N(t)

=N

(t)−

N(t

−1)

∆N(t) = λN(t)





Un modele simple

La variation du nombre de lieux d’observation est proportionnelleau nombre de lieux d’observation et au temps ecoule

∆N (t) = λN (t)∆t

Hypotheses du modele :

Les lieux d’observation sont independents ;

Chaque lieu engendre en moyenne λ nouveaux lieuxd’observation durant l’intervalle de temps ∆t .





∆N (t) = λN (t)∆t ⇔ ∆N (t)

∆t= λN (t)

∆N (t)∆t est le taux d’accroissement

de N (t) relativement a t . Ainsi,lorsque ∆t → 0, on obtient :

dN (t)

dt= λN (t)

C’est une equation differentielle,dont la solution est :

N (t) = N0eλt

0

100

200

300

400

500

Couples de tourterelles turques en Angleterre

t

N(t)

1955 1957 1959 1961 1963

N(t) = N0eλ(t−1955)

avec λ = 0.85 et N(1955) = 1N0 = 1

On verifie en effet que dN (t)dt = λN0e

λt = λN (t).




Les equations differentielles ordinaires ou EDO

Plan detaille






La notion d’equation differentielle apparaıt a la fin du XVIIeme

siecle ;

Le calcul differentiel et integral est introduit par Newton etLeibnitz en 1686 ;

Les premieres applications sont en mecanique et geometrie ;

Au XXeme siecle apparaissent les applications en biologie.





Definition

On appelle equation differentielleune relation entre les valeurs dela variable x et les valeurs y(x ),y ′(x ), y ′′(x ),. . . y(n)(x ) d’unefonction inconnue y(x ) que l’oncherche et de ses derivees aupoint x .

Ordre de l’equation differentielle :

En : F (x , y(x), y ′(x), . . . , y(n)(x)) = 0

E1 : F (x , y(x), y ′(x)) = 0

Par mesure de clarte, on note dy(x)dx = y ′(x ) la derivee de la

fonction y(x ) par rapport a x .

Exemples E1 : dy(x)dx = x , dy(x)

dx = y(x ), dy(x)dx + x2

2 y(x ) = ex .





Vocabulaire

Exemple de la dynamique de population des tourterelles avecl’equation differentielle d’ordre 1 : dN (t)

dt = λN (t).

Resoudre (integrer) : trouver toutes les solutions del’equation differentielle.

dN (t)

dt= λN (t) ⇒ N (t) = Keλt avec K ∈ R

Condition initiale : par exemple N (1955) = 1 ou N (0) = N0.

Solution particuliere : la solution qui satisfait la conditioninitiale : N (t) = eλ(t−1955) ou N (t) = N0e

λt .

Courbe integrale : la representation graphique d’une solution.





Une infinite de solutions

dy(x)dx → y(x ) : notion de primitive (une fonction continue

admet une infinite de primitives) ;

Exemple, dN (t)dt = λN (t) ⇒ N (t) = Keλt avec K ∈ R ;

Generalement, on s’interesse a une seule d’entre elles, celle quiverifie la condition initiale.




Table des matieres

1 Generalites


3 Entraınement QCM




Equation differentielle d’ordre 1 a variables separables

Plan detaille

2 Methodes d’integration d’EDOEquation differentielle d’ordre 1 a variables separablesEDO1 lineaires





EDO1 a variables separables

Elles sont du type :dy(x )

dx= f (x )g(y)

Methode d’integration :

dy(x )

dx= f (x )g(y)⇔ dy

g(y)= f (x )dx

⇒∫

dy

g(y)=

∫f (x )dx

Solution : G(y) = F (x ) + K ou G(y) est une primitive de 1g(y) ,

F (x ) une primitive de f (x ) et K ∈ R.





Exemple 1 : modele de Malthus (ou modele exponentiel)

Modele de Malthus (1792)

Exemple : Dynamique de population des tourterelles turques

dN (t)

dt= λN (t)

Ecriture generique : dy(x)dx = λy(x ).

dy(x)dx = λy(x )⇔ dy

y = λdx

⇔∫ dy

y =∫λdx

⇔ ln |y(x )| = λx + cste⇔ y(x ) = eλx + cste (transformation exponentielle)⇔ y(x ) = eλxecste

⇔ y(x ) = Keλx avec K = ecste ∈ R.





Exemple 1 : modele de Malthus (ou modele exponentiel)

D’apres ce qui precede, la solution du modele de MalthusdN (t)dt = λN (t) s’ecrit donc bien N (t) = N0e

λt .

La solution est une fonction exponentielle, c’est pourquoi onappelle souvent le modele de Malthus le modele exponentiel.

On voit que si λ > 0, alors limt→+∞

N (t) = +∞.

Le modele exponentiel predit donc une croissance illimitee pour lapopulation, ce qui biologiquement est irrealiste.





Exemple 2 : modele logistique

Modele logistique ou modele de Verhulst (1844), propose commealternative au modele de Malthus :

dN (t)

dt= λN (t)− µN (t)2 = λN (t)

(1− µ

λN (t)

)On introduit un terme de freinage de la croissance, −µN (t)2, quisera d’autant plus important que N (t) sera grand.Consequence : la dynamique devient dependante de la densite.

dN (t)

dt= λN (t)

(1− µ

λN (t)

)⇔ dN

N(1− µ

λN) = λdt

On integre alors de part et d’autre, a gauche par rapport a N , adroite par rapport a t :∫

dN

N(1− µ

λN) =

∫λdt





Exemple : modele logistique

Decomposition en elements simples

1

N(1− µ

λN) =

a1

N+

a2

1− µλN⇔ 1

N(1− µ

λN) =

a1

(1− µ

λN)

+ a2N

N(1− µ

λN)

Donc il nous faut :

a1

(1− µ

λN)

+ a2N = 1⇔

a1 = 1

a2 −µ

λa1 = 0

⇔

a1 = 1

a2 =µ

λ

Finalement, on obtient :

1

N(1− µ

λN) =

1

N+µ

λ× 1

1− µλN






On doit donc integrer l’equation suivante :∫dN

N(1− µ

λN) =

∫λdt ⇔

∫dN

N+µ

λ×∫

dN

1− µλN

= λt + cste

Ce qui donne :

ln |N | − ln∣∣∣1− µ

λN∣∣∣ = λt + cste ⇔ ln

∣∣∣∣ N

1− µλN

∣∣∣∣ = λt + cste

SoitN

1− µλN

= Keλt

avec K ∈ R une constante que l’on determinera ulterieurementavec la condition intiale.






Ce que l’on cherche c’est N (t) :

N (t)

1− µλN (t)

= Keλt ⇔ N (t) = Keλt(

1− µ

λN (t)

)⇔ N (t)

(1 +

µ

λKeλt

)= Keλt

⇔ N (t) =Keλt

1 + µλKeλt

⇔ N (t) =K

e−λt + µλK

avec K ∈ R






Pour finir, on cherche la constante K en utilisant la conditioninitiale N (0) = N0 :

N (0) =K

1 + µλK

= N0 ⇔ N0

(1 +

µ

λK)

= K

⇔ K(

1− µ

λN0

)= N0

⇔ K =N0

1− µλN0

En reinjectant K dans la solution N (t), on obtient alors :

N (t) =N0

/1− µ

λN0

e−λt + µλ

(N0

/1− µ

λN0

) ⇔ N (t) =N0

µλN0 +

(1− µ

λN0

)e−λt






La solution finale du modele logistique s’ecrit donc finalement :

N (t) =

λµN0

N0 +(λµ −N0

)e−λt

On retrouve bien le fait que N (0) = N0.

On trouve egalement que limt→+∞

N (t) = λµ .

Contrairement au modele exponentiel, on voit que sous l’hypothesed’un modele logistique, la taille de la population atteint uneasymptote ; la taille de la population est donc limite. On appellecette limite la capacite limite (ici λ

µ).





Representation graphique du modele logistique

On choisit les valeurs N0 = 1, λ = 0.85 et λµ = 600.

1955 1960 1965 1970 1975

0

100

200

300

400

500

600

Temps t

N(t

)




EDO1 lineaires

Plan detaille

2 Methodes d’integration d’EDOEquation differentielle d’ordre 1 a variables separablesEDO1 lineaires




EDO1 lineaires

EDO1 lineaires

Une equation differentielle d’ordre 1 lineaire est du type :

dy(x )

dx︸︷︷︸Ordre 1

+ f (x )y(x )︸︷︷︸lineaire en y(x)

= g(x )︸︷︷︸second membre

ou

y(x ) est la fonction inconnue que l’on cherche ;

f (x ) et g(x ) sont des fonctions quelconques de x ;

Si ∀x , g(x ) = 0, alors l’equation est dite “Sans SecondMembre” (SSM).




EDO1 lineaires

EDO1 lineaires sans second membre (SSM)

EDO 1 SSM

dy(x )

dx+ f (x )y(x ) = 0⇔ dy(x )

dx= −f (x )y(x )

⇔ dy

y= −f (x )dx

⇒∫

dy

y= −

∫f (x )dx

⇒ ln |y(x )| = −F (x ) + C

⇒ y(x ) = Ke−F (x)

ou

K = eC est une constante reelle quelconque > 0 ;

F (x ) est une primitive de f (x ) : F ′(x ) = f (x ).




EDO1 lineaires

Exemple

On cherche a resoudre l’equation suivante :

dy(x )

dx− y(x )

x= x 2

On recherche d’abord les solutions de l’equation SSM

dy(x )

dx− y(x )

x= 0

On a une equation de la forme dy(x)dx + f (x )y(x ) = 0 avec

f (x ) = − 1x .

La primitive de f (x ) est F (x ) = − ln |x |.Les solutions sont donc du type :

yssm(x ) = Ke ln |x | = K |x | = Kx avec x ,K ∈ R+




EDO1 lineaires

EDO1 lineaire avec second membredy(x )dx + f (x )y(x ) = g(x )

On cherche d’abord les solutions yssm de l’equation sanssecond membre dy(x)

dx + f (x )y(x ) = 0.

Elles sont du type yssm(x ) = Ke−F (x), avec K ∈ R+.

On recherche ensuite les solutions generales de l’equation avecsecond membre :

Recherche d’une solution particuliere ypart(x ).Les solutions generales sont alors du type :

y(x ) = yssm(x ) + ypart(x )

ou methode de la variation de la constante.On cherche les solutions du type

y(x ) = K (x )e−F(x)

ou K (x ) est une fonction de x .




EDO1 lineaires

Exemple : dy(x )dx −

y(x )x = x 2

Recherche d’une solution particuliere.On cherche une solution du type y(x ) = αx 3, soit dy(x)

dx = 3αx 2.On a alors

dy(x )

dx− y(x )

x= x 2 ⇔ 3αx 2 − αx 3

x= x 2

⇔ 2αx 2 = x 2

⇔ α =1

2

Une solution particuliere est donc ypart(x ) = x3

2Les solutions generales sont donc de la forme

y(x ) = ypart(x ) + yssm(x ) =x 3

2+ Kx

avec x ,K ∈ R+




EDO1 lineaires

Principe de la methode variation de la constante (Laplace)

On cherche a resoudre dy(x)dx + f (x )y(x ) = g(x ).

yssm = Ke−F (x) est solution de l’equation SSM (K > 0).Les solutions de l’equation ASM seront du type

y(x ) = K (x )e−F (x)

y(x ) = K (x )e−F (x) ⇒ dy(x )

dx=

dK (x )

dxe−F (x) + K (x )(−F (x )

dx)e−F (x)

⇔ dy(x )

dx=

dK (x )

dxe−F (x) −K (x )f (x )e−F (x)

⇔ dy(x )

dx=

dK (x )

dxe−F (x) − f (x )y(x )

⇔ dy(x )

dx+ f (x )y(x ) =

dK (x )

dxe−F (x)

y(x ) sol. ASM⇔ dK (x )

dxe−F (x) = g(x )⇔ K (x ) =

∫g(x )eF (x) dx




EDO1 lineaires

Exemple : dy(x )dx −

y(x )x = x 2

Methode de variation de la constanteLes solutions sont du type y(x ) = K (x )x , soitdy(x)dx = K (x ) + x dK (x)

dx et verifient dy(x)dx −

y(x)x = x 2, soit

dy(x )

dx− y(x )

x= x 2 ⇔ K (x ) + x

dK (x )

dx− xK (x )

x= x 2

⇔ xdK (x )

dx= x 2

⇔ dK (x )

dx= x

⇒ K (x ) =

∫xdx

⇒ K (x ) =1

2x 2 + C

Les solutions generales sont donc y(x ) =(

12x

2 + C)x = x3

2 + Cx .




EDO1 lineaires

Remarques

Recherche de solution particuliere

Parfois difficileRequiert de l’entraınementRapide

Methode de variation de la constante

Relativement simpleLe calcul de

∫g(x )eF(x) dx peut etre tres long. . .

Une fois la solution generale trouvee, derivez-la pour verifier qu’elleest solution de l’equation de depart !




Table des matieres

1 Generalites


3 Entraınement QCM




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