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Transformadas rpidas de Fourier

APLICACIONES DE INGENIERA

quicksheetsTransformadas rpidas de Fourier

Supongamos que tenemos una seal de coseno: Cree un vector de datos muestreado de longitud :

de perodo

donde

muestras por segundo es la frecuencia de muestreo, tal

como se ve en el grfico. Vector de datos:

La transformada de Fourier de la onda de coseno anterior de amplitud 1 viene dada por dos picos de amplitud p en en la frecuencia de la onda, en este caso, simblica. , tal como verifica la transformada

Funciones de transformadas numricas

Mathcad proporciona ambas transformadas rpidas de Fourier (FFT),

file:///D|/Mis%20documentos/mathcad.html[11/02/2012 10:08:11 p.m.]


que utilizan vectores de longitud

para acelerar el clculo, adems

de transformadas discretas de Fourier ms genricas (DFT), que calculan transformadas para seales de longitud arbitraria. Las funciones en minsculas se normalizan por , mientras que las .

funciones de transformadas en maysculas se normalizan por

Adems, las funciones FFT fft() y FFT() slo aceptan argumentos de valores reales. Si una seal es real por completo, su transformada de Fourier es simtrica conjugada compleja, de modo que slo es necesario calcular la mitad de ella, con lo que acelera el clculo. se define como

es la misma, aunque normalizada por 1/N0.

perodo frecuencia de seal frecuencia de muestreo

Compruebe la resolucin de frecuencia:

El ndice del vector de frecuencias, p, debe ser siempre un entero. Si la relacin anterior de las muestras con la frecuencia de muestreo no es un entero, habr esparcimiento alrededor del pico de la transformada, ya que no hay componentes de frecuencia que se hayan calculado a la frecuencia exacta de la onda del coseno. Intntelo cambiando la frecuencia de muestreo a un nmero que no sea una potencia de 2, como 19 o 25, y anote el descenso del pico y el esparcimiento que corresponde a las muestras que se encuentran alrededor de la frecuencia del coseno. Adems, la altura del pico de la FFT slo se correlaciona con la amplitud de la forma de onda de entrada si el componente de frecuencia se produce exactamente en un punto de muestra FFT. El componente que contiene la frecuencia de coseno es:



es la amplitud prevista. Puesto que las frecuencias vienen dadas por alta calculada es: , la frecuencia ms

Undersampling y Aliasing

No slo es importante que la relacin de las muestras con la frecuencia de muestreo sea un entero, debe asegurarse tambin de tener al menos dos muestras por perodo de su seal (teorema de Nyquist) o ver los efectos de aliasing, como se muestra en QuickSheet en downsampling. Este efecto se puede ver con facilidad en el tiempo, pero en el dominio de la transformada puede resultar difcil detectarlo. Este valor debe ser al menos T0/2 para muestrear de forma adecuada la seal. Los valores mayores producen una seal de una frecuencia nica que aparenta ser menor.

Un pico muestra la frecuencia correcta (ms lenta), pero el otro tiene valores por debajo de la muestra e indica un pico reemplazado. Observe que algunas combinaciones producen slo un componente CC en el dominio de la transformada, porque la seal parece una constante sin variacin en el tiempo.Transformadas discretas de Fourier (DFT) complejas y Centradofile:///D|/Mis%20documentos/mathcad.html[11/02/2012 10:08:11 p.m.]


Las transformadas discretas de Fourier (DFT) complejas en Mathcad utilizan el mismo esquema de normalizacin, pero no se sirven del hecho de que la primera mitad del espectro sea la conjugada compleja de la segunda, puesto que no asumen que los argumentos sean de valores reales. Tampoco prevn valores de una longitud determinada, aunque calculan de forma ms rpida si la seal de entrada es de longitud . El espectro se extiende desde 0 hasta dos veces la frecuencia de Nyquist (de 0 a 2p en el plano discreto). Las frecuencias de 0 a la frecuencia de Nyquist representan los componentes de frecuencia positiva de los datos y las frecuencias de Nyquist a 2 x Nyquist son las frecuencias negativas. El espectro es un vector de la misma longitud que el argumento original. definida como

es la misma, aunque normalizada por 1/N0.

Si desea incluir las frecuencias negativas en la posicin adecuada del eje horizontal, recuerde que el primer elemento del vector siempre es CC (frecuencia cero) y no se replica en cualquier lugar del espectro. Si no hay desplazamiento CC en la seal original, el primer elemento es 0, es decir, muy prximo a 0. El resto del espectro se centra alrededor de la frecuencia de Nyquist (p en la escala de frecuencia discreta) y las muestras que se producen despus de esta frecuencia deberan incluirse al principio del vector. El truco est en encontrar la muestra central de las restantes, ya que el centro depende de si ha comenzado con un nmero par o impar de puntos. En caso de que sea un nmero par de puntos, como se indica aqu, el primer CC y el valor central de los nmeros impares de puntos restantes estarn en la frecuencia de Nyquist.



El resto son simtricos conjugados, puesto que la seal es real. Elija un conjunto de muestras.

Por lo tanto, para incluir muestras correctas, comience por el punto que se encuentra despus del valor central:

1. Incluya los ltimos vector:

valores en el comienzo del

2. Introduzca el componente Dc, que se encuentra ahora en la posicin central, y las muestras restantes:

El nuevo vector de frecuencias se debe manipular con cuidado:

Ahora Dc es



Si cuenta con un nmero impar de muestras y trunca la primera para Dc, se queda con un nmero par de puntos que se dividen de forma uniforme durante el centrado. En este caso, no hay muestra exacta en la frecuencia de Nyquist, de modo que no necesita dejarla al final del espectro positivo.Transformacin inversa

Todas las funciones anteriores tienen una transformada inversa. Si utiliza las funciones de transformada en minsculas, se normalizan por . Si utiliza las transformadas en maysculas, no necesitan un factor de normalizacin porque se utiliz en la transformada

original. Debe utilizar la transformada inversa coincidente para recuperar la seal correcta en el dominio tiempo.

Procure no pasar una respuesta de frecuencia centrada a las funciones de las transformadas inversas. El centrado slo es para la visualizacin, para incluir de forma ms intuitiva pequeos componentes de frecuencia cerca de 0 en el eje de frecuencia. El filtrado y otras manipulaciones en el dominio de frecuencia se deberan realizar en los resultados de la transformada discreta de Fourier (DFT) conforme se calculan, de modo que se puedan volver a transformar de forma correcta.



Con las funciones FFT no tiene este problema, ya que slo calculan la mitad del espectro y preven la respuesta para frecuencias positivas (un vector con la mitad de la longitud como la transformada de dominio tiempo).Otras parejas de transformadas

Seno

Pulso cuadrado (boxcar)



Gaussiano




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