mates 2º eso avanza santillana

Matemáticas 2ESO

El libro Matemáticas para 2.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal.

En su realización ha participado el siguiente equipo:

M.ª Dolores Álvarez Joaquín Hernández Pedro Machín Ana Yolanda Miranda M.ª Rosario Moreno Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos Esteban Serrano

EDICIÓNAngélica Escoredo Carlos Pérez

DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa

AVANZA

Las actividades de este libro deben ser realizadas por el alumno en un cuaderno. En ningún caso deben realizarse en el mismo libro.

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Índice

1. Números enteros...................................................... 6

Antes de empezar la unidad ........................................................ 7

Números.enteros...................................................................... 8

Suma.y.resta.de.números.enteros.............................................. 10

Multiplicación.y.división.de.números.enteros........................... 12

Potencias.de.números.enteros................................................... 13

Operaciones.con.potencias....................................................... 14

Jerarquía.de.las.operaciones...................................................... 16

Divisibilidad.entre.números.enteros.......................................... 17

Lo esencial................................................................................. 20

Actividades................................................................................. 22

2. Fracciones................................................................... 26


Fracciones................................................................................. 28

Fracciones.equivalentes............................................................ 29

Comparación.de.fracciones....................................................... 32

Operaciones.con.fracciones....................................................... 33

Potencia.de.una.fracción........................................................... 34

Jerarquía.de.las.operaciones...................................................... 35

Lo esencial................................................................................. 36

Actividades................................................................................. 38

3. Números decimales................................................ 42


Números.decimales................................................................... 44

Fracciones.y.números.decimales............................................... 45

Operaciones.con.números.decimales........................................ 46

Aproximación........................................................................... 49

Lo esencial................................................................................. 50

Actividades................................................................................. 52

4. Sistema sexagesimal.............................................. 56


Sistema.sexagesimal.................................................................. 58

Forma.compleja.e.incompleja................................................... 60

Operaciones.en.el.sistema.sexagesimal...................................... 62

Lo esencial................................................................................. 64

Actividades................................................................................. 66

5. Expresiones algebraicas........................................ 70


Lenguaje.algebraico.................................................................. 72

Expresiones.algebraicas............................................................. 73

Monomios................................................................................. 74

Operaciones.con.monomios...................................................... 75

Polinomios................................................................................ 76

Operaciones.con.polinomios..................................................... 78

Factor.común........................................................................... 80

Igualdades.notables................................................................... 81

Lo esencial................................................................................. 82

Actividades................................................................................. 84

6. Ecuaciones de primer y segundo grado......... 88


Elementos.de.una.ecuación....................................................... 90

Transposición.de.términos........................................................ 92

Resolución.de.ecuaciones.de.primer.grado................................ 93

Resolución.de.problemas.con.ecuaciones.de.primer.grado........ 95

Ecuaciones.de.segundo.grado................................................... 96

Resolución.de.ecuaciones.de.segundo.grado............................. 97

Lo esencial................................................................................. 98

Actividades................................................................................. 100

7. Sistemas de ecuaciones........................................ 104


Ecuaciones.lineales .................................................................. 106

Sistemas.de.ecuaciones.lineales ................................................ 108

Métodos.de.resolución.de.sistemas .......................................... 109

Lo esencial ................................................................................ 112

Actividades ................................................................................ 114

8. Proporcionalidad numérica................................. 118


Magnitudes.directamente.proporcionales ................................. 120

Problemas.de.proporcionalidad.directa .................................... 121

Magnitudes.inversamente.proporcionales ................................ 122

Problemas.de.proporcionalidad.inversa ................................... 123

Porcentajes .............................................................................. 124

Problemas.con.porcentajes ....................................................... 125

Lo esencial ................................................................................ 128

Actividades ................................................................................ 130

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9. Proporcionalidad geométrica............................. 134


Teorema.de.Tales ..................................................................... 136

Semejanza.de.triángulos ........................................................... 137

Criterios.de.semejanza.de.triángulos ........................................ 138

Polígonos.semejantes ............................................................... 139

Figuras.semejantes ................................................................... 140

Escalas ..................................................................................... 141

Lo esencial ................................................................................ 142

Actividades ................................................................................ 144

10. Figuras planas. Áreas........................................... 148


Teorema.de.Pitágoras ............................................................... 150

Aplicaciones.del.teorema.de.Pitágoras ...................................... 151

Área.de.polígonos .................................................................... 152

Longitud.de.una.circunferencia ................................................ 157

Área.de.figuras.circulares ......................................................... 157

Lo esencial ................................................................................ 158

Actividades ................................................................................ 160

11. Cuerpos geométricos............................................ 164


Rectas.y.planos.en.el.espacio .................................................... 166

Poliedros .................................................................................. 167

Prismas .................................................................................... 168

Pirámides ................................................................................. 170

Poliedros.regulares ................................................................... 172

Cuerpos.de.revolución ............................................................. 173

Lo esencial ................................................................................ 178

Actividades ................................................................................ 180

12. Volumen de cuerpos geométricos................. 184


Volumen.de.un.cuerpo ............................................................ 186

Relaciones.entre.las.unidades.de.volumen,.capacidad.y.masa ..... 188

Volumen.de.un.ortoedro .......................................................... 189

Volumen.de.prismas.y.cilindros ............................................... 190

Volumen.de.pirámides.y.conos ................................................ 191

Volumen.de.la.esfera ................................................................ 191

Lo esencial ................................................................................ 192

Actividades ................................................................................ 194

13. Funciones................................................................... 198


Coordenadas.cartesianas .......................................................... 200

Concepto.de.función ............................................................... 201

Representación.gráfica.de.una.función ..................................... 202

Estudio.de.una.función ............................................................ 204

Lo esencial ................................................................................ 208

Actividades ................................................................................ 210

14. Estadística.................................................................. 214


Estadística ................................................................................ 216

Recuento.de.datos .................................................................... 216

Tablas.de.frecuencias ............................................................... 217

Gráficos.estadísticos ................................................................. 218

Medidas.de.centralización ........................................................ 221

Lo esencial ................................................................................ 224

Actividades ................................................................................ 226

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Esquema de unidad

Lectura inicial: Muestra la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas. Se proponen actividades que te invitan a investigar sobre el personaje de la lectura y la importancia de sus aportaciones.

Antes de empezar la unidad… Aparece el bloque de contenidos previos necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Además, mediante la evaluación inicial, podrás afianzar los contenidos repasados.

Páginas de contenidos: En ellas encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos.

En la mayoría de las páginas se incluye la sección ANTES, DEBES SABER… donde se repasan contenidos o procedimientos que debes conocer al enfrentarte a los nuevos contenidos. Esta sección también se refuerza con ejemplos resueltos.

Al final de cada página se proponen ejercicios que debes saber resolver a partir de los contenidos aprendidos.

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

El año ceroEl pequeño monje corría por los pasillos del palacio papal, y su cara denotaba una satisfacción que difícilmente lograba reprimir.

Cuando por fin llegó a la sala donde se encontraba el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa modestia, dijo:

–Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, cuando Nuestro Señor vino al mundo.

El Papa leyó con avidez el documento que Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que databa el nacimiento de Cristo en el año 753 de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, el monje repetía:

–El año 754 de la fundación de Roma es nuestro primer año: primus anno Domini, el año primero de la Era del Señor.

Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar era que, al contar los años de forma ordinal: año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban el año cero. Este hecho provocó una enorme polémica hace algunos años; así, mientras unas personas mantenían que el siglo xxi comenzaba el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001.

1Números enteros

1. Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo v. Busca información sobre su vida y sobre sus aportaciones a la creación del calendario cristiano.

2. Investiga sobre el encargo que el papa Juan I hizo a Dionisio el Exiguo. ¿Fueron correctos los cálculos del monje?

3. ¿Cuál fue la polémica que se creó en los últimos años de la década de los noventa sobre el inicio del siglo xxi? ¿A qué se debió esa polémica?

DESCUBRE LA HISTORIA...

Antes de empezar la unidad...

En esta unidad aprenderás a…

• Sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros.

• Operar con potencias de números enteros.

• Aplicar las relaciones de divisibilidad entre números enteros.

• Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros.

PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea.

El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número.

Representación de números naturales

• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos puntos como unidad.

• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar el resto de números.

1 2 3 4 5

Operaciones con números naturales

• Suma y resta

Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.

7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4

• Suma, resta, multiplicación y división

Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

F F

F

F F

Al resolver operaciones combinadas siempre hay

que tener en cuenta la jerarquía de las operaciones.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Representa estos números naturales en la recta numérica.

5 3 1 7 8 4

2 Realiza estas operaciones de suma y resta.

a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12

3 Calcula el resultado de estas operaciones.

a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

7

1.2 Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es igual al número sin su signo:

;+a; = a ;-a; = a

EJEMPLO

2 Calculaelvalorabsolutode-4y+3.

Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4 Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3

1.3 Opuesto de un número entero

El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero de signo contrario.

Op (+a) = -a Op (-a) = +a

EJEMPLO

3 Calculaelopuestode-5yde+5.Represéntalosenlarectanumérica.

Op (-5) = +5 Op (+5) = -5

1.4 Comparación de números enteros

Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la de-recha en la recta numérica.

• Un número entero positivo es mayor que cualquier número negativo.• El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera

positivo.

EJEMPLOS

4 Comparaestosnúmerosenteros.

b) -2y -5-2 > -5 c) +5y-3+5 > -3

-5 -4 -3 -2 -1 +10 -3 +1 +50

1 Ordena,demenoramayor,estosnúmerosenteros.+4 -3 -5 +6

-5 < -3 < +4 < +6 -5 -3-4 -2-1 +1 +2 +3 +4 +5 +60

7 Representayordena,demenoramayor:+8 -2 +3 +11 0 -7 -9

LO QUE DEBES SABER RESOLVER

2 Hallaelvalorabsolutoyelopuestode:-4 +5 -13 +27 -1 +18

> Mayor que 5 > 2

< Menor que 2 < 5

SE ESCRIBE ASÍ

Números enteros

ANTES, DEBES SABER…

Para qué se utilizan los números enteros

Hayexpresionescotidianasquenosepuedenindicarconnúmerosnaturales.Necesitamosutilizarlosnúmerosnegativos:

• Cuandohablamosdetemperaturasbajocero.Así,3gradosbajoceroseexpresacomo-3°C.

• Alconsiderardeudaseconómicas.Sidebemos50€,decimosquenuestrosaldoesde-50€.

• Alreferirsealasplantasdeunedificio.Elgarajeestáenlaplanta-2.

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por:

• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, …• El número cero: 0.• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …

1.1 Representación de números enteros

Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica.

• El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales.• Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero.• Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero.

Números enteros negativos Números enteros positivos

0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …FF

EJEMPLO

1 Representaenlarectanuméricalossiguientesnúmerosenteros:-3 +6 -1 -4 0 +5

-3 -2 -1-4-5 76543210

1

3 Escribesituacionesquecorrespondanaestosnúmeros.a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2

1 Representaenlarectanuméricaestosnúmerosenteros.

+7 -5 -2 +4 0 -8


1 Expresaconnúmerosenteros.

a) El avión vuela a una altura de tres mil metros.

b) El termómetro marca tres grados bajo cero.

c) Le debo cinco euros a mi hermano.

d) El almacén está en el tercer sótano.

e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra.

Los números enteros positivos se escriben

habitualmente sin el signo + que les precede.

+6 = 6 +15 = 15

Para escribir números negativos con la calculadora utilizamos la tecla +/- .– 4 " 4 +/-

CALCULADORA

;0; = 0;5; = ;+5; = ;-5; = 5

NO OLVIDES

98

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Lo esencial: Esta doble página es de resumen y autoevaluación.

COMPRENDE ESTAS PALABRAS. Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.

HAZLO DE ESTA MANERA. Son los procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

Y AHORA… PRACTICA. Son actividades que te permitirán comprobar si dominas los contenidos esenciales de esa unidad.

Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS

Números enteros

• Númerosenterospositivos:+1,+2,+3,+4,…

• Elnúmero0.

• Númerosenterosnegativos:-1,-2,-3,-4,…

Potencia an=a?a?a?…?a1442443

nveces

Divisibilidad

8:2esunadivisiónexacta

F

F

8esdivisiblepor2

FF

F F

8esmúltiplode2 2esdivisorde8

HAZLO DE ESTA MANERA

1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS

Calcula.a) (-4)?(+3) b) (-25):(-5)

PRIMERO.Multiplicamosodividimossus valoresabsolutos.a) ;-4;?;+3;=4?3=12b);-25;?;-5;=25:5=5

SEGUNDO.Alresultadoleañadimosunsigno+siambostienenelmismosigno,o elsigno-sisondesignodistinto.a) (-4)?(+3)=-12 b) (-25)?(-5)=+5

Distintosigno

F

Mismosigno

F

2. CALCULAR UN PRODUCTO O DIVISIÓN DE POTENCIAS

Expresa,sisepuede,conunasolapotencia.a) 67?63 e) (-6)5?23

b)67:63 f) (-6)5:23

PRIMERO.Estudiamossilasbasessoniguales.a)yb) 67y63 "Labasedelasdos

potenciaseslamisma,6.e)yf) (-6)5y23"Nosonigualeslasbases.

SEGUNDO.Silasbasessoniguales,sumamosorestamoslosexponentes.Sinoloson,no podemosoperarlosexponentes.a) 67?63=67+3=610 b) 67:63=67-3=64

e)yf) Nopodemosoperar.1. CALCULAR LA POTENCIA

DE UN NÚMERO ENTERO

Calculaelvalordelassiguientespotencias.a) 65 b)(-6)5 c) (-6)4

PRIMERO.Tomamoselvalorabsolutodelabaseycalculamossupotencia.

65 =6 ?6 ?6 ?6 ?6 =777664 =6 ?6 ?6 ?6 =1296

SEGUNDO.Silabaseesnegativayelexponenteesunnúmeroimpar,añadimoselsigno-alresultado.a) 65 =7776 c) (-6)4=1296b) (-6)5=-7776

3. RESOLVER OPERACIONES COMBINADAS

Resuelve.(-3)?[6:(-2)]-(-2)=

=(-3)?[-3]-(-2)=

=+9-(-2)==+9+2=+11

PRIMERO.Resolvemoslosparéntesis.

SEGUNDO.Resolvemoslasmultiplicacionesy divisiones.

TERCERO.Resolvemoslassumasyrestas.

F

F

Comprende estas palabras

1. Escribe,sisepuede,estasexpresionesen formadepotencia.a) 7?7?7?7 b) 7?6?5?4 c) 7?7

Multiplicar y dividir números enteros

1. Calcula. a) (-5)?(-7) b) (+24):(-3)

Calcular la potencia de un número entero

3. Determinaelvalordeestaspotencias.a) 54 b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3

Calcular un producto o división de potencias

4. Expresacomounapotencia. a) 33?35

Resolver operaciones combinadas

5. Calcula:

(-3)3+ (-5)?[(-6):(-3)]+ (-7)2

Descomponer un número en factores primos

6. Descompónenfactoresprimoslosnúmeros.

a) 88 c) 32 e) 91

b) 84 d) 154 f) 252

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números

7. Calculaelmáximocomúndivisoryelmínimocomúnmúltiplodeestosnúmeros.

a) 8,20y42 b) 18,45y96

Y AHORA… PRACTICA

5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS

Calculaelmáximocomúndivisoryelmínimocomúnmúltiplode12,24y84.

PRIMERO.Descomponemoselvalorabsolutodelosnúmerosenterosenfactoresprimos.

SEGUNDO.

• Paracalcularelmáximocomúndivisortomamoslosfactorescomuneselevadosalmenordelosexponentes.

• Paracalcularelmínimocomúnmúltiplotomamoslosfactorescomunesynocomuneselevadosalmayordelosexponentes.

Factorescomunes "2y3 Comunesconmenorexponente"22y3Factoresnocomunes"7 Comunesconmayorexponente"23y3

m.c.d.(12,24,84) =22?3=12m.c.m.(12,24,84)=23?3?7=168

24 212 2 6 2 24=23?3 3 3 1

12 2 6 2 3 3 12=22?3 1

84 242 221 3 84=22?3?7 7 7 1

4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

Descompón68enfactoresprimos.

PRIMERO.Dividimoselvalorabsolutodelnúmeroentrelossucesivosnúmerosprimos:

2,3,5,7,11,13,17…tantasvecescomoseanecesariohastaobtenerlaunidad.

SEGUNDO.Expresamoselnúmerocomoelproductodetodoslosfactoresprimosdelacolumnadeladerechautilizandopotencias,siemprequesepueda.

68=2?222

?17=22?17

FACTORESPRIMOS

68 268:2 "34 234:2 "17 1717:17" 1

2120

ActividadesNÚMEROS ENTEROS

46. ● Expresaconunnúmeroentero.

a) Luisganó6000€enlalotería.b) Eltermómetromarcó7°Cbajocero.c) Martaviveenelcuartopiso.d) Latiendaestáenelsegundosótano.

47. ● Copiaycompletaestarectanumérica:

1-34 4 4 4 4

48. ● Representaestosnúmerosenterosenunarectanumérica:-5,7,-9,0,-3y2.

49. ● ¿Cuántosnúmerosenteroshayentre-4y4?

50. ● Copiaycompletaconelsigno<o>.

a) -94-12b) 34-2c) -14-4d)-74-5

53. ● Escribedosnúmerosenteros.

a) Menoresque+3ymayoresque-1.b) Menoresque-3.c) Mayoresque-6.d) Mayoresque-2ymenoresque+1.

54. ● Ordena,demenoramayor,lossiguientesnúmeros:-4,6,-7,11,-9,-6,0,2y-1.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

60. ● Calculalassiguientessumasyrestas.

a) (+12)+ (+25) e) (+19)- (+5)b) (-9)+ (+13) f) (-21) - (+33)c) (-3)+ (-11) g) (-7)- (-11)d) (+17) + (-8) h) (+22)- (-15)

61. ● Copiaycompletaestatabla:

a b a - b b - a a + b b + a

-7

-12

+11

+23

+9

-5

-18

+17

62. ● Realizalassiguientessumas.

a) (+10)+ (-5)+ (+7)+ (-9)b) (-29)+ (-12)+ (-9)+ (+17)c) (-20)+ (+33)+ (+21)+ (-23)d) (-23)+ (-41)+ (-16)+ (+50)

63. ● Calculaestasrestas.

64. ● Realizaestassumasyrestascombinadas.

a) (-21)+ (-12)- (+9)b) (+17)- (+23)+ (+34)c) (-32)+ (-19)- (-11)d) (-54)- (+22)+ (-10)

65. ● Calcula.

a) 8-7+4-3-2b)-7-5+3-9-1+11c) -4-2+5-1-4+1d) 6-3+3-10-4+13e) -9-14+4-56-16+1

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS COMBINADAS CON PARÉNTESIS?

66. Calcula:-3+(-8+9)-(3-6)

PRIMERO.Seresuelvenlosparéntesis.-3+(-8+9)-(3-6)=-3+(+1)-(-3)=

SEGUNDO.Seeliminanlosparéntesis.•Siestánprecedidosporelsigno+,se

mantienenlossignosdelosnúmeros.•Siestánprecedidosporelsigno-,secambian

lossignosdelosnúmeros.

=-3+(+1)-(-3)=-3+1+3=

TERCERO.Serealizanlassumasylasrestas,de izquierdaaderecha.

=-3+1+3=-2+3=1

F

F

67. ●● Realizaestasoperaciones.

a) 6+(-4+2)-(-3-1)b) 7-(4-3)+(-1-2)c) 3+(2-3)-(1-5-7)d)-8+(1+4)+(-7-9)

68. ●● Copiaycompletaloshuecosparaquelasigualdadesseanciertas.

a) (-11)+4=+4b) (+13)+4=+12c)4+(-20)=-12d) (+3)-4=-7e) (-15)-4=+9f) 4-(+8)=+7

69. ● Calculalossiguientesproductos.

a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35)b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5)

71. ● Calculalossiguientesproductos.

a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6)b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3)

72. ●● Copiaycompletaestosproductos.

a) (-5) ? 4= -30b)4 ? (+3)= 45c) (-9) ? 4= 27d)4 ? (-8)= -48

76. ●● Realizaestasdivisiones.

a) (+35):(-7):(-5) c) (+32):(-8):(-2)b) (-21):(-7):(-1) d) (-4):(+4):(-1)

77. ●● Opera.

a) (+21)?(+2):(-14)b) (+5):(-5)?(-4)c) (+2)?(+9):(-3)d) [(-2)?(+7)]:(-14)?(+3)e) (+36):[(-9):(+3)]?(+5)f) (+36):(-9):(+2)?(+5)

78. ●● Copiaycompletalassiguientesdivisiones.

a) (-36): 4= -4b) (-54): 4= +9c)4:(-6)=-42d) (+48): 4= -6e) (-63) : 4= -7f) 4:(+8)=+2

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

79. ● Escribeenformadepotencia,eindicalabaseyelexponente.

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7b) (-2) ? (-2) ? (-2)c) (-5) ? (-5)? (-5) ? (-5) ? (-5)

80. ● Escribeenformadepotenciayenformadeproducto.

a) Base11yexponente4.b) Base-2yexponente3.

81. ●● Calculalassiguientespotencias.

a) 45 c) 142 e)73 g) 54

b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4

83. ● Calculalassiguientespotencias.

a) 50 b) 231 c)(-3)0 d) (-57)1

84. ● Expresacomounasolapotencia.

a) 53 ? 54 c)(-3)5 ? (-3)3

b) 116 ? 114 d)(-8)4 ? (-8)


a) 43 ? 43 ? 4 b) 95 ? 92 ? 94 c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2)d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6


a) 75:73 c)(-9)6:(-9)3

b) 128:125 d)(-6)7:(-6)

88. ●● Expresacomounasolapotencia.

a) (28:23)?23

b) 35:(37:34)c) [(-4)6:(-4)]:(-4)2

d) (-5)3:[(-5)4:(-5)]


a) (54)3 c)[(-3)4]3

b) (75)2 d)[(-9)3]3

91. ●● Expresacomounasolapotencia.

a) (25)2 ? (22)4

b) (103)3 ? (102)4

c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3

d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3

2322

Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad.

HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos que puedes tomar como modelo para afianzar procedimientos trabajados en la unidad.

294758 _ 0001-0005.indd 5 13/06/12 11:07

El año ceroEl pequeño monje corría por los pasillos del palacio papal, y su cara denotaba una satisfacción que difícilmente lograba reprimir.

Cuando por fin llegó a la sala donde se encontraba el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa modestia, dijo:

–Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, cuando Nuestro Señor vino al mundo.

El Papa leyó con avidez el documento que Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que databa el nacimiento de Cristo en el año 753 de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, el monje repetía:

–El año 754 de la fundación de Roma es nuestro primer año: primus anno Domini, el año primero de la Era del Señor.

Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar era que, al contar los años de forma ordinal: año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban el año cero. Este hecho provocó una enorme polémica hace algunos años; así, mientras unas personas mantenían que el siglo xxi comenzaba el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001.

1Números enteros

1. Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo v. Busca información sobre su vida y sobre sus aportaciones a la creación del calendario cristiano.

2. Investiga sobre el encargo que el papa Juan I hizo a Dionisio el Exiguo. ¿Fueron correctos los cálculos del monje?

3. ¿Cuál fue la polémica que se creó en los últimos años de la década de los noventa sobre el inicio del siglo xxi? ¿A qué se debió esa polémica?


294758 _ 0006-0025.indd 6 13/06/12 11:10



• Sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros.

• Operar con potencias de números enteros.

• Aplicar las relaciones de divisibilidad entre números enteros.

• Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros.

PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea.

El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número.

Representación de números naturales

• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos puntos como unidad.

• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar el resto de números.

1 2 3 4 5

Operaciones con números naturales

• Suma y resta

Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.

7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4

• Suma, resta, multiplicación y división

Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

F F

F

F F

Al resolver operaciones combinadas siempre hay

que tener en cuenta la jerarquía de las operaciones.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Representa estos números naturales en la recta numérica.

5 3 1 7 8 4

2 Realiza estas operaciones de suma y resta.

a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12

3 Calcula el resultado de estas operaciones.

a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

7

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Números enteros


Para qué se utilizan los números enteros

Hay expresiones cotidianas que no se pueden indicar con números naturales. Necesitamos utilizar los números negativos:

• Cuando hablamos de temperaturas bajo cero.Así, 3 grados bajo cero se expresa como -3 °C.

• Al considerar deudas económicas.Si debemos 50 €, decimos que nuestro saldo es de -50 €.

• Al referirse a las plantas de un edificio.El garaje está en la planta -2.

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por:

• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, …• El número cero: 0.• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …

1.1 Representación de números enteros

Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica.

• El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales.• Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero.• Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero.

Números enteros negativos Números enteros positivos

0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …FF

EJEMPLO

1 Representa en la recta numérica los siguientes números enteros:-3 +6 -1 -4 0 +5

-3 -2 -1-4-5 76543210

1

3 Escribe situaciones que correspondan a estos números.a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2

1 Representa en la recta numérica estos números enteros.

+7 -5 -2 +4 0 -8


1 Expresa con números enteros.

a) El avión vuela a una altura de tres mil metros.

b) El termómetro marca tres grados bajo cero.

c) Le debo cinco euros a mi hermano.

d) El almacén está en el tercer sótano.

e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra.

Los números enteros positivos se escriben

habitualmente sin el signo + que les precede.

+6 = 6 +15 = 15

Para escribir números negativos con la calculadora utilizamos la tecla +/- .– 4 " 4 +/-

CALCULADORA

8

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1.2 Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es igual al número sin su signo:

;+a; = a ;-a; = a

EJEMPLO

2 Calcula el valor absoluto de -4 y +3.

Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4 Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3

1.3 Opuesto de un número entero

El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero de signo contrario.

Op (+a) = -a Op (-a) = +a

EJEMPLO

3 Calcula el opuesto de -5 y de +5. Represéntalos en la recta numérica.

Op (-5) = +5 Op (+5) = -5

1.4 Comparación de números enteros

Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la de-recha en la recta numérica.

• Un número entero positivo es mayor que cualquier número negativo.• El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera

positivo.

EJEMPLOS

4 Compara estos números enteros.

b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3

-5 -4 -3 -2 -1 +10 -3 +1 +50

1 Ordena, de menor a mayor, estos números enteros.+4 -3 -5 +6

-5 < -3 < +4 < +6 -5 -3-4 -2-1 +1 +2 +3 +4 +5 +60

7 Representa y ordena, de menor a mayor:+8 -2 +3 +11 0 -7 -9


2 Halla el valor absoluto y el opuesto de:-4 +5 -13 +27 -1 +18

> Mayor que 5 > 2

< Menor que 2 < 5

SE ESCRIBE ASÍ

;0; = 0;5; = ;+5; = ;-5; = 5

NO OLVIDES

9

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Suma y restade números enteros

2.1 Suma de dos números con el mismo signo

Para sumar dos números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el mismo signo de los sumandos.

EJEMPLO

5 Resuelve estas operaciones.

a) (+6) + (+7) = +13

Mismo signo " ;+6; + ;+7; = 6 + 7 = 13

b) (-6) + (-7) = -13

Mismo signo " ;-6; + ;-7; = 6 + 7 = 13

2.2 Suma de dos números con distinto signo

Para sumar dos números enteros que tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del sumando de mayor valor absoluto.

EJEMPLO


a) (-6) + (+7) = +1

Distinto signo " ;+7; - ;-6; = 1

El resultado es positivo ya que +7 es el sumando cuyo valor absoluto es mayor, ;+7; = 7.

b) (+6) + (-7) = -1

Distinto signo " ;-7; - ;+6; = 1

2


4 Realiza estas sumas de números enteros.

a) (+9) + (+7) f) (-3) + (+5)

b) (-9) + (-7) g) (-3) + (-5)

c) (+9) + (-7) h) (+5) + (-2)

d) (+3) + (+5) i) (-5) + (-2)

e) (+3) + (-5) j) (-5) + (+2)

2 Calcula.

a) (+6) + (+2) c) (+3) + (+8)b) (-6) + (-2) d) (-3) + (-8)

3 Calcula.

a) (+6) + (-2) c) (+3) + (-8)b) (-6) + (+2) d) (-3) + (+8)

10

294758 _ 0006-0025.indd 10 13/06/12 11:11

9 Calcula.

a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4c) 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6d) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15)


5 Realiza estas operaciones.

a) 3 + 5 - 2 - 8b) -5 + 8 - 2 - 7c) 9 - 7 + 8 + 3 - 2d) (+6) - (+7) + (-5) - (-3)

2.3 Resta de dos números enteros

Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo.

EJEMPLO


c) (+6) - (+7) = (+6) + Op (+7) = (+6) + (-7) = 6 - 7 = -1d) (+6) - (-7) = (+6) + Op (-7) = (+6) + (+7) = 6 + 7 = +13

2.4 Operaciones combinadas de suma y resta

Para sumar y restar varios números sumamos y restamos los números en el orden en que aparecen.

EJEMPLO

2 Calcula.

a) 6 + 3 - 8 - 5 = 9 - 8 - 5 = 1 - 5 = -4

b) (-5) - (+4) + (-3) - (-6) = -5 - (+4) + (-3) - (-6) =

= -5 - 4 + (-3) - (-6) = -5 - 4 - 3 - (-6) =

= -5 - 4 - 3 + 6 = -9 - 3 + 6 = -12 + 6 = -6


Cómo se realizan operaciones de suma y resta con paréntesis

Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

EJEMPLO

6 Resuelve esta operación.

(-3) + (8 - 4) - (-4 + 3)= (-3) + (+4) - (-1) = -3 + (+4) - (-1) == -3 + 4 - (-1) = -3 + 4 + 1 = 1 + 1 = 2

F

F

F

F

F

Un paréntesis precedido del signo - cambia los signos de

los números de su interior.Un paréntesis precedido

del signo + mantiene los signos.

11

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Multiplicación y divisiónde números enteros

3.1 Multiplicación de números enteros

Para multiplicar dos números enteros:1.º Se multiplican sus valores absolutos.2.º Al resultado se le añade el signo + si ambos números son de

igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.

EJEMPLO

6 Realiza estos productos.

a) (+3) ? (+5) = +15 c) (-3) ? (+5) = -15

b) (-3) ? (-5) = +15 d) (+3) ? (-5) = -15

- ? - = + + ? - = - 3 ? 5 = 15 3 ? 5 = 15

3.2 División de números enteros

Para dividir dos números enteros:1.º Se dividen sus valores absolutos.2.º Al resultado se le añade el signo + si ambos números son de

igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.

EJEMPLO

7 Realiza estas divisiones.

a) (+27) : (-3) = -9 c) (-27) : (-3) = +9

b) (+27) : (+3) = +9 d) (-27) : (+3) = -9

+ : + = + - ? + = - 27 : 3 = 9 27 : 3 = 9

3

+ ? + = +3 ? 5 = 15

FF

- ? + = -3 ? 5 = 15

FF

F F F F

+ : - = -27 : 3 = 9

FF

- : - = +27 : 3 = 9

FF

F F F F

Regla de los signos

+ · + = +- · - = ++ · - = -- · + = -

+ : + = +- : - = ++ : - = -- : + = -

6 Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a) (-5) ? (-6)b) (+3) ? (-3)c) (-2) ? (+2)d) (+12) : (-2)e) (-24) : (-6)


12 Resuelve estas multiplicaciones.

a) (-3) ? (+2) d) (+2) ? (+7)b) (-2) ? (-8) e) (+5) ? (-4)

13 Calcula las divisiones.

a) (-12) : (+6) d) (+21) : (+7)b) (-6) : (-2) e) (+24) : (-4)

12

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Potencias de números enteros


Cómo se calculan potencias de números naturales

Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales:

45 = 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales:

an = …? ? ? ?a a a an veces

1 2 3444 444

a es la base, el factor que se repite.n es el exponente, el número de veces que se repite la base.

EJEMPLO

9 Completa la siguiente tabla.

Producto Potencia Se lee

(+4) ? (+4) (+4)2 «4 elevado a 2» o «4 al cuadrado»

(-9) ? (-9) ? (-9) (-9)3 «-9 elevado a 3» o «-9 al cubo»

3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 35 «3 elevado a 5» o «3 a la quinta potencia»

Signo de una potencia de base un número entero

En una potencia de base un número entero y exponente natural:

• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva.• Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando

el exponente es par y negativa si es impar.

EJEMPLO

10 Calcula el valor de estas potencias.

a) (+2)4 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) = 24 = 16

b) (+2)5 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) = 25 = 32

c) (-2)4 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) ? (-2) = (-8) ? (-2) = 16

d) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) = -8

4

17 Expresa en forma de potencia y halla su valor.

a) 6 ? 6 ? 6 c) (-2) ? (-2) ? (-2)b) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 d) (-5) ? (-5)


16 Escribe cómo se leen las potencias y calcula su valor.

a) 35 c) (-8)6 e) 103 g) (-4)2

b) 22 d) (-5)3 f) 42 h) (-2)3

Para hallar potencias con la calculadora utilizamos la tecla x y .

56 " 5 x y 6 = 15625212 " 2 x y 12 = 4096

CALCULADORA

F

F

34

base

exponente

13

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Para que se puedan aplicar las propiedades

del producto y el cociente,

las potencias han de tener la misma base.

Operacionescon potencias


Cómo se expresa un número como potencias de 0 y de 1

• Un número elevado a 0 es 1.

• Un número elevado a 1 es el mismo número.

(-4)0 = 1 50 = 1 (-3)1 = -3 71 = 7

5.1 Producto de potencias de la misma base

Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes.

am ? an = am+n

EJEMPLO

3 Resuelve estas operaciones con potencias.

a) 63 ? 62 = 63+2 = 65

b) (-6)3 ? (-6)2 = (-6)3+2 = (-6)5

c) 57 ? 54 = 57+4 = 511

d) (-5)7 ? (-5)4 = (-5)7+4 = (-5)11

5.2 Cociente de potencias de la misma base

Para dividir dos potencias de la misma base se mantiene la misma base y se restan los exponentes.

am : an = am-n m H n

EJEMPLO


a) 63 : 62 = 63-2 = 61 c) 57 : 54 = 57-4 = 53

b) (-6)3 : (-6)2 = (-6)3-2 = (-6)1 d) (-5)7 : (-5)4 = (-5)7-4 = (-5)3

5

7 Calcula.

a) 43 ? 42 + 37 ? 35 b) 85 : 84 + 78 ? 73

21 Resuelve las operaciones.

a) 52 ? 52 + 36 : 35 + 102 ? 103

b) 52 : 5 + 33 ? 32 + 102 : 102


20 Expresa estas operaciones con potencias con una sola potencia, y utiliza la calculadora para resolverlas.

a) 34 ? 35 e) (-3)6 ? (-3)2

b) 53 ? 52 f) (-5)3 ? (-5)2

c) 412 : 48 g) (-4)12 : (-4)8

d) 74 : 7 h) (-7)4 : (-7)

14

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5.3 Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.

(an)m = an ? m

EJEMPLO

5 Escribe como una sola potencia.

a) (63)4 = 63?4 = 612

b) (-63)4 = (-6)3?4 = (-6)12

c) (57)2 = 57?2 = 514

d) (-57)2 = (-5)7?2 = (-5)14

5.4 Potencia de una multiplicación y una división

• La potencia de una multiplicación es igual al producto de las poten-cias de sus factores.

(a ? b)n = an ? bn

• La potencia de una división es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor.

(a : b)n = an : bn

EJEMPLO


a) (2 ? 6)4 = 24 ? 64 = 16 ? 1 296 = 20 736

b) (-2 ? 3)4 = (-2)4 ? 34 = 16 ? 81 = 1 296

c) [3 ? (-5)]3 = 33 ? (-5)3 = 27 ? (-125) = -3 375

d) [-2 ? (-4)]2 = (-2)2 ? (-4)2 = 4 ? 16 = 64

e) (15 : 5)2 = 152 : 52 = 225 : 25 = 9

f) [8 : (-2)]2 = 82 : (-2)2 = 64 : 4 = 16

g) [(-8) : (-4)]3 = (-8)3 : (-4)3 = (-512) : (-64) = 8

h) (-8 : 4)3 = (-8)3 : 43 = (-512) : 64 = -8

i) [-16 : (-4)]2 = (-16)2 : (-4)2 = 256 : 16 = 16

24 Expresa como un producto o una división de potencias.

a) (3 ? 2)3 c) [(-3) ? 2]3 e) [(-3) ? (-2)]3

b) (8 : 4)4 d) [(-8) : 4]4 f) [(-8) : (-4)]4


23 Calcula estas potencias.

a) (74)6 d) [(-8)3]2

b) [(-2)3]4 e) (56)3

c) (85)3 f) [(-9)5]3

(-7 ? 2)3 = (-7)3 ? 23

[(-7) ? 2]3 = (-7)3 ? 23

Por tanto:(-7 ? 2)3 = [(-7) ? 2]3

DATE CUENTA

15

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Jerarquíade las operaciones


Cómo se realizan operaciones combinadas con números naturales

Al operar con números naturales resolvemos:

1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

EJEMPLO


25 - 4 ? 3 : 6 - 3 + 12 : 3 = Multiplicaciones y divisiones F

= 25 - 12 : 6 - 3 + 4 = = 25 - 2 - 3 + 4 =

Sumas y restas F

= 23 - 3 + 4 = = 20 + 4 = 24

Cuando aparecen operaciones combinadas, el orden establecido para ope-rar es el siguiente:

1.o Eliminamos los paréntesis y corchetes, de dentro hacia afuera.

2.o Resolvemos las potencias y raíces, de izquierda a derecha.

3.o Efectuamos las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

4.o Efectuamos las sumas y restas, de izquierda a derecha.

EJEMPLO

17 Calcula.

a) (+15) : [(+6) - (+1)] - [(+9) + (-3)] : 2 =

Corchetes y paréntesis F

= 15 : (6 - 1) - (9 - 3) : 2 = 15 : 5 - 6 : 2 = Divisiones F

= 3 - 3 = Restas F

= 0

7

32 Haz estas operaciones.

a) (+7) - (-12) ? (+5)b) (-5) - [(-6) - (-5) ? (-9)]c) [16 - (-4)] : [2 ? (-2)]d) (9 - 4) ? (-5) - 1


31 Calcula.

a) (+4) ? (-7) + (-3) ? (-2)b) (+16) : (-8) + (-24) : (-6)c) (-4) ? (-5) - (+3) ? (-2)d) (-12) : (-3) - (+4) : (-2)

16

294758 _ 0006-0025.indd 16 13/06/12 11:11

Divisibilidad entre números enteros


Cuándo una división es exacta

• Una división es exacta cuando su resto es 0.

• Una división no es exacta cuando su resto es distinto de 0.68 u 4 28 17 0 !Resto 68 : 4 es exacta.

69 u 4 29 17 1 !Resto 69 : 4 no es exacta.

Si la división a : b es exacta (su resto es 0), podemos afirmar que:• a es divisible por b.• a es múltiplo de b.• b es divisor de a.

EJEMPLOS

8 ¿Es 6 múltiplo de 3? ¿Es 3 divisor de 6?

6 : 3 = 2 " División exacta " 6 es divisible por 3.6 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 6.

18 Calcula los seis primeros múltiplos de 5.

Múltiplos de 5 " 5• = {

5 ? 1

5 ,

5 ? 2

10 ,

5 ? 3

15 ,

5 ? 4

20 ,

5 ? 5

25 ,

5 ? 6

30 , …}

19 Determina los divisores de 6.

6 60 1

6 51 1

6 42 1

6 30 2

6 20 3

6 10 6

Divisores de 6 " Div (6) = {1, 2, 3, 6}

Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores son él mismo y la unidad. En caso contrario decimos que es compuesto.

EJEMPLO

20 Averigua si 11 y 33 son números primos o compuestos.

Div (11) = {1, 11} Div (33) = {1, 3, 11, 33}

El número 11 es primo porque solo tiene dos divisores, 33 es compuesto porque tiene más de dos divisores.

8

36 ¿Cuáles de estos números son primos?

4 5 9 11 14 17 21


35 Calcula diez múltiplos y todos los divisores.

a) 8 b) 7 c) 4 d) 10

La divisibilidad se suele estudiar solo para números

positivos.Para números negativos se

cumplen las mismas propiedades.

3•

" Todos los múltiplos de 3.

12•

" Todos los múltiplosde 12.

Div (8) " Todos los divisores de 8.

Div (12) " Todos los divisores de 12.

SE ESCRIBE ASÍ

17

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8.1 Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer, sin necesidad de realizar la división, si un número es divisible por otro.

Divisible por… Criterio

2 Si la última cifra es 0 o par.

3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

5 Si la última cifra es 0 o 5.

10 Si la última cifra es 0.

EJEMPLO

21 Comprueba si 2 541 es divisible por 2, 3, 5 y 10.

• No es divisible por 2, porque no termina en 0 ni en cifra par.• Es divisible por 3, porque: 2 + 5 + 4 + 1 = 12, que es múltiplo de 3.• No es divisible por 5, porque no termina en 0 ni en 5.• No es divisible por 10, porque no termina en 0.

8.2 Descomposición en factores primos

Un número entero se puede expresar de forma única como producto de distintos números primos elevados a potencias. A esta expresión se le llama descomposición en factores primos del número.


Cómo se expresa un producto de factores iguales mediante una potencia

Una potencia es un producto de factores iguales. 2 ? 2 ? 2 = 23

3 veces

EJEMPLO

22 Descompón 12 y 63 en factores primos.

COCIENTES PARCIALES

FACTORES PRIMOS

COCIENTES PARCIALES

FACTORES PRIMOS

12 2 63 3

12 : 2 " 6 2 " 63 : 3 " 21 3 "

6 : 2 " 3 3 " 21 : 3 " 7 7 "

3 : 3 " 1 7 : 7 " 1

12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3 63 = 3 ? 3 ? 7 = 32 ? 7

14243 F

40 Descompón en factores primos.

a) 210 b) 270 c) 66 d) 92


39 Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11.

a) 145 b) 3 467 c) 12 624 d) 212

Para descomponer un número en factores primos

tenemos que dividir entre 2, 3, 5…

18

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8.3 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

• El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números enteros es el mayor número entero positivo que es divisor de todos.

• El m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo los números en factores primos y multiplicando los factores primos comunes ele-vados al menor de sus exponentes.

EJEMPLO

24 Calcula el máximo común divisor de 12 y 28 mediante su descomposición en factores.

12 2 28 2 6 2 14 2 3 3

12 = 22 ? 3 7 7

28 = 22 ? 7

1 1

m.c.d. (12, 28) = 22 = 4

• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números enteros es el menor número entero positivo que es múltiplo de todos.

• El m.c.m. se obtiene descomponiendo los números en factores primos y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de sus exponentes.

EJEMPLO

24 Calcula el mínimo común múltiplo de 12 y 28 mediante su descomposición en factores.

12 2 28 2 6 2 14 2 3 3

12 = 22 ? 3 7 7

28 = 22 ? 7

1 1

m.c.m. (12, 28) = 22 ? 3 ? 7 = 84

43 Descompón estos números en factores primos, y calcula su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo.

a) 18 y 20 d) 18 y 32b) 28 y 42 e) 48 y 32c) 18 y 4 f) 21 y 28

44 Halla el m.c.d. y el m.c.m. de estos números.

a) 10, 12 y 35 b) 15, 20 y 27


8 Calcula el máximo común divisor de estos números, descomponiéndolos en factores primos.

a) 14 y 21 b) 35 y 70

9 Calcula el mínimo común múltiplo de estos números, descomponiéndolos en factores primos.

a) 25 y 75 b) 36 y 72

Si m.c.d. (a, b) = 1, a y b no tienen divisores comunes. Decimos que son primos entre sí.

• Máximo común divisor de dos números: m.c.d. (a, b)

m.c.d. (15, 12)

• Mínimo común múltiplo de dos números: m.c.m. (a, b)

m.c.m. (15, 12)

SE ESCRIBE ASÍ

19

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Números enteros

• Números enteros positivos:+1, +2, +3, +4, …

• El número 0.

• Números enteros negativos:-1, -2, -3, -4, …

Potencia an = a ? a ? a ? … ? a1442443

n veces

Divisibilidad

8 : 2 es una división exacta

F

F

8 es divisible por 2

FF

F F

8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8


1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS

Calcula. a) (-4) ? (+3) b) (-25) : (-5)

PRIMERO. Multiplicamos o dividimos sus valores absolutos.a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5

SEGUNDO. Al resultado le añadimos un signo + si ambos tienen el mismo signo, o el signo - si son de signo distinto.a) (-4) ? (+3) = -12 b) (-25) ? (-5) = +5

Distinto signo

F

Mismo signo

F

2. CALCULAR UN PRODUCTO O DIVISIÓN DE POTENCIAS

Expresa, si se puede, con una sola potencia.a) 67 ? 63 e) (-6)5 ? 23

b) 67 : 63 f) (-6)5 : 23

PRIMERO. Estudiamos si las bases son iguales.a) y b) 67 y 63 " La base de las dos

potencias es la misma, 6.e) y f) (-6)5 y 23 " No son iguales las bases.

SEGUNDO. Si las bases son iguales, sumamos o restamos los exponentes. Si no lo son, no podemos operar los exponentes.a) 67 ? 63 = 67+3 = 610 b) 67 : 63 = 67-3 = 64

e) y f) No podemos operar.1. CALCULAR LA POTENCIA

DE UN NÚMERO ENTERO

Calcula el valor de las siguientes potencias.a) 65 b) (-6)5 c) (-6)4

PRIMERO. Tomamos el valor absoluto de la base y calculamos su potencia.

65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 77664 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296

SEGUNDO. Si la base es negativa y el exponente es un número impar, añadimos el signo - al resultado.a) 65 = 7 776 c) (-6)4 = 1 296b) (-6)5 = -7 776

3. RESOLVER OPERACIONES COMBINADAS

Resuelve.(-3) ? [6 : (-2)] - (-2) =

= (-3) ? [-3] - (-2) =

= +9 - (-2) == +9 + 2 = +11

PRIMERO. Resolvemos los paréntesis.

SEGUNDO. Resolvemos las multiplicaciones y divisiones.

TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.

F

F

20

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1. Escribe, si se puede, estas expresiones en forma de potencia.a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7

Multiplicar y dividir números enteros

1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3)

Calcular la potencia de un número entero

3. Determina el valor de estas potencias.a) 54 b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3

Calcular un producto o división de potencias

4. Expresa como una potencia. a) 33 ? 35

Resolver operaciones combinadas

5. Calcula:

(-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)2

Descomponer un número en factores primos

6. Descompón en factores primos los números.

a) 88 c) 32 e) 91

b) 84 d) 154 f) 252

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números

7. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos números.

a) 8, 20 y 42 b) 18, 45 y 96

Y AHORA… PRACTICA

5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 12, 24 y 84.

PRIMERO. Descomponemos el valor absoluto de los números enteros en factores primos.

SEGUNDO.

• Para calcular el máximo común divisor tomamos los factores comunes elevados al menor de los exponentes.

• Para calcular el mínimo común múltiplo tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor de los exponentes.

Factores comunes " 2 y 3 Comunes con menor exponente " 22 y 3Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3

m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

24 212 2 6 2 24 = 23 ? 3 3 3 1

12 2 6 2 3 3 12 = 22 ? 3 1

84 242 221 3 84 = 22 ? 3 ? 7 7 7 1

4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

Descompón 68 en factores primos.

PRIMERO. Dividimos el valor absoluto del número entre los sucesivos números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… tantas veces como sea necesario hasta obtener la unidad.

SEGUNDO. Expresamos el número como el producto de todos los factores primos de la columna de la derecha utilizando potencias, siempre que se pueda.

68 = 2 ? 222

? 17 = 22 ? 17

FACTORES PRIMOS

68 268 : 2 " 34 234 : 2 " 17 1717 : 17 " 1

21

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ActividadesNÚMEROS ENTEROS

46. ● Expresa con un número entero.

a) Luis ganó 6 000 € en la lotería.b) El termómetro marcó 7 °C bajo cero.c) Marta vive en el cuarto piso.d) La tienda está en el segundo sótano.

47. ● Copia y completa esta recta numérica:

1-34 4 4 4 4

48. ● Representa estos números enteros en una recta numérica: -5, 7, -9, 0, -3 y 2.

49. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -4 y 4?

50. ● Copia y completa con el signo < o >.

a) -9 4 -12 b) 3 4 -2c) -1 4 -4d) -7 4 -5

53. ● Escribe dos números enteros.

a) Menores que +3 y mayores que -1.b) Menores que -3.c) Mayores que -6.d) Mayores que -2 y menores que +1.

54. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes números: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1.


60. ● Calcula las siguientes sumas y restas.

a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5)b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33)c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11)d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15)

61. ● Copia y completa esta tabla:

a b a - b b - a a + b b + a

-7

-12

+11

+23

+9

-5

-18

+17

62. ● Realiza las siguientes sumas.

a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)

63. ● Calcula estas restas.

64. ● Realiza estas sumas y restas combinadas.

a) (-21) + (-12) - (+9)b) (+17) - (+23) + (+34)c) (-32) + (-19) - (-11)d) (-54) - (+22) + (-10)

65. ● Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS COMBINADAS CON PARÉNTESIS?

66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)

PRIMERO. Se resuelven los paréntesis.-3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 + (+1) - (-3) =

SEGUNDO. Se eliminan los paréntesis.• Si están precedidos por el signo +, se

mantienen los signos de los números.• Si están precedidos por el signo -, se cambian

los signos de los números.

= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 =

TERCERO. Se realizan las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

= -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1

F

F

22

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67. ●● Realiza estas operaciones.

a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)

68. ●● Copia y completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.

a) (-11) + 4 = +4 b) (+13) + 4 = +12 c) 4 + (-20) = -12 d) (+3) - 4 = -7e) (-15) - 4 = +9f) 4 - (+8) = +7

69. ● Calcula los siguientes productos.

a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35)b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5)

71. ● Calcula los siguientes productos.

a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6)b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3)

72. ●● Copia y completa estos productos.

a) (-5) ? 4 = -30 b) 4 ? (+3) = 45 c) (-9) ? 4 = 27d) 4 ? (-8) = -48

76. ●● Realiza estas divisiones.

a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)

77. ●● Opera.

a) (+21) ? (+2) : (-14) b) (+5) : (-5) ? (-4) c) (+2) ? (+9) : (-3) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3)e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5)f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5)

78. ●● Copia y completa las siguientes divisiones.

a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 c) 4 : (-6) = -42 d) (+48) : 4 = -6e) (-63) : 4 = -7f) 4 : (+8) = +2

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

79. ● Escribe en forma de potencia, e indica la base y el exponente.

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7b) (-2) ? (-2) ? (-2)c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)

80. ● Escribe en forma de potencia y en forma de producto.

a) Base 11 y exponente 4.b) Base -2 y exponente 3.

81. ●● Calcula las siguientes potencias.

a) 45 c) 142 e) 73 g) 54

b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4

83. ● Calcula las siguientes potencias.

a) 50 b) 231 c) (-3)0 d) (-57)1

84. ● Expresa como una sola potencia.

a) 53 ? 54 c) (-3)5 ? (-3)3

b) 116 ? 114 d) (-8)4 ? (-8)


a) 43 ? 43 ? 4 b) 95 ? 92 ? 94 c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2)d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6


a) 75 : 73 c) (-9)6 : (-9)3

b) 128 : 125 d) (-6)7 : (-6)

88. ●● Expresa como una sola potencia.

a) (28 : 23) ? 23

b) 35 : (37 : 34)c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2

d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)]


a) (54)3 c) [(-3)4]3

b) (75)2 d) [(-9)3]3

91. ●● Expresa como una sola potencia.

a) (25)2 ? (22)4

b) (103)3 ? (102)4

c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3

d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3

23

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JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

106. ●● Resuelve las siguientes operaciones.

a) (-13) ? (+3) - (-12) ? (+7)b) (-3) ? (-12) - (-15) ? (-4)c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9)d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8)e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4)f) [(-4) + (-3) ? (-6)] : 7

107. ●● Resuelve las operaciones.

a) (-11) ? [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)]b) (-8) ? [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)]c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)]d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)]

10. ●● Realiza estas operaciones.

a) (+45) : [(-7) + (+2)]b) (+2) ? [(-63) : (-7)]c) (-25) : [(+3) - (+8)]d) (-8) ? [(+21) : (-3)]e) (-7) - [(-14) : (+2) - (-7)]

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE REALIZAN OPERACIONES COMBINADAS DONDE APARECEN POTENCIAS?

11. Calcula:(-3)2 - 4 ? [(-6) - (-3)] - (-2)2

PRIMERO. Se resuelven los corchetes y paréntesis.(-3)2 - 4 ? [(-6) - (-3)] - (-2)2 == (-3)2 - 4 ? [-6 + 3] - (-2)2 == (-3)2 - 4 ? (-3) - (-2)2

SEGUNDO. Se resuelven las potencias.(-3)2 - 4 ? (-3) - (-2)2 == 9 - 4 ? (-3) - 4

TERCERO. Se realizan las multiplicaciones y las divisiones.

9 -4 ? (-3) - 4 = 9 + 12 - 4

CUARTO. Se realizan las sumas y las restas.9 + 12 - 4 = 21 - 4 = 17

108. ●● Efectúa estas operaciones combinadas.

a) (-5)2 ? [3 + 28 : (-4)]b) 22 ? [-5 ? 2 - 32 : (-8)]c) 33 : [-5 + (-7) ? (-2)]

F

DIVISIBILIDAD

112. ● Copia y completa con múltiplos de 12.

1•2 = {12, 4, 36, 4, 60, 4, …}

113. ● Halla los múltiplos de 7 comprendidos entre 20 y 40.

114. ● Obtén los múltiplos de 4 comprendidos entre 18 y 30.

115. ● Calcula todos los divisores de:

a) 28 b) 54 c) 63 d) 90

116. ● Copia y completa los divisores de 42.

Div (42) = {1, 2, 4, 4, 4, 14, 4, 4}

117. ● Dados los números 12, 15, 18, 24, 4, 423, 10, 267, 23 y 2, di cuáles son múltiplos de:

a) 2 b) 3 c) 6

118. ● Escribe los múltiplos de 5 comprendidos entre 0 y 15.

a) ¿Cuáles de ellos son múltiplos de 7?b) ¿Y cuáles son menores que 15?

119. ● Di cuáles de los siguientes números son primos. Razona la respuesta.

a) 21 b) 19 c) 43 d) 39

120. ● Averigua si los números son primos o compuestos: 72, 147, 282, 331 y 407.

121. ● Realiza la descomposición factorial de:

a) 3 850 b) 432 c) 561

122. ● Calcula el máximo común divisor de cada par de números.

a) 45 y 27 b) 28 y 21 c) 18 y 12

123. ●● Halla el máximo común divisor.

a) 6, 8 y 12 b) 16, 20 y 28 c) 40, 10 y 25

124. ●● Si m.c.d. (x, 12) = 6, halla el valor de x.

125. ● Calcula el mínimo común múltiplo.

a) 12 y 18 b) 15 y 45 c) 27 y 18

126. ●● Obtén el mínimo común múltiplo de los siguientes números.

a) 12, 9 y 10 b) 4, 18 y 27 c) 8, 30 y 24

127. ●●● Halla dos números cuyo m.c.d. sea 6 y su m.c.m sea 36.

24

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PROBLEMAS CON NÚMEROS ENTEROS

128. ●● A las 7 de la mañanael termómetro marcaba 4 °C bajo cero, y cinco horas después marcaba 3 °C sobre cero. ¿Cuál es la diferencia entre las dos temperaturas?

129. ●● María vive en el 3.er piso. Baja 5 plantas para ir al trastero y luego sube 7 para visitar a su amigo Alberto. ¿En qué piso vive Alberto?

130. ●● Sara deja el coche en el tercer sótano y sube 4 plantas hasta su casa. ¿En qué piso vive?

131. ●● Luis tiene 123 €. A fin de mes recibe 900 € de sueldo y paga su hipoteca de 546 €. ¿Cuánto dinero le queda finalmente?

132. ●● ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede formar con 52 sellos? ¿Cuántos sobran?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL m.c.d.?

133. Tres cuerdas de 4, 6 y 9 m, respectivamente, se quieren cortar en trozos iguales. ¿Cuál es la longitud de los mayores trozos que se pueden hacer?

PRIMERO. Se analiza el problema.

La longitud de cada trozo tiene que ser un divisor de las longitudes de las cuerdas. Tiene que ser el máximo " Problema de m.c.d.

SEGUNDO. Se realizan los cálculos.4 = 22 6 = 2 ? 3 9 = 32

m.c.d. (4, 6, 9) = 1Los trozos de mayor longitud son de 1 m.

134. ●● El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se quieren poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar ninguna. Calcula sus dimensiones y el número de baldosas.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL m.c.m.?

135. Los libros de una estantería se pueden colocar en montones de 4, 6 y 9 libros sin que sobre ninguno. ¿Cuál es la menor cantidad de libros que puede haber?

PRIMERO. Se analiza el problema.El número total de libros tiene que ser múltiplo de 4, 6 y 9. Tiene que ser el mínimo " Problema de m.c.m.

SEGUNDO. Se realizan los cálculos.4 = 22 6 = 2 ? 3 9 = 32

m.c.m. (4, 6, 9) = 22 ? 32 = 36Como mínimo hay 36 libros.

136. ●● Alejandro tiene unas 150 fotografías. Puede pegarlas en un álbum en grupos de 8, 9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas fotografías tiene Alejandro?

137. ●●● Por una vía ferroviaria pasa un tren con dirección a Zaragoza cada 30 minutos y otro con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se han cruzado los dos trenes a las 10 de la mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse.

25

294758 _ 0006-0025.indd 25 13/06/12 11:11

Alejandro MagnoEn una ocasión, Roxana, la esposa de Alejandro Magno, le preguntó a su marido:

–¿A qué dios le agradeces la conquista del mundo?

A lo que Alejandro le contestó:

–Mi primer agradecimiento va dirigido a mí mismo; y el segundo, al legado de mi padre: su invencible ejército, la falange macedonia.

–Pero los imperios conquistados tenían un ejército, generalmente, más numeroso que el tuyo –replicó Roxana.

–La fuerza de mi ejército –explicó Alejandro– reside en su organización, no en su número: cada fila de 16 hoplitas es la cuarta parte de una tetrarquia, que a su vez es la cuarta parte de un syntagma, y 64 de estas unidades de infantería forman la falange. Su simple presencia infunde respeto a los ejércitos enemigos.

2

1. Busca información sobre Alejandro Magno y la época en que vivió.

2. Explica la organización de la falange macedonia utilizando las fracciones.

3. Averigua cómo se han utilizado las fracciones a lo largo de la historia.


Fracciones

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• Hallar fracciones equivalentes y calcular la fracción irreducible de una dada.

• Reducir fracciones a común denominador.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

• Realizar operaciones combinadas con fracciones.

PLAN DE TRABAJOEVALUACIÓN INICIAL

1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.

a) 72 c)

41 e)

8012

b) 127

d) 92

f) 1713

2 Escribe cómo se lee.

a) Una fracción con numerador 3 y denominador 7.b) Una fracción con numerador 6 y denominador 15.

2. Representa las siguientes fracciones.

a) 83 b) 2

5 c)

27 d)

59

Antes de empezar la unidad... LECTURA Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES

Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.

75

Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa el denominador como se indica en la siguiente tabla:

Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se lee medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos

Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos.

113

se lee tres onceavos

Representación de fracciones

Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricas que consideramos como la unidad.

• Dividimos la unidad en tantas partes como indica el denominador.• Coloreamos tantas partes como indica el numerador.

F Denominador

Numerador F

F

F

G

103

En una fracción el denominador nunca

puede ser cero.

27

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Fracciones


Qué son los números enteros

El conjunto de números enteros está formado por:

• Números enteros positivos: +1, +2, +3, …• El número cero: 0• Números enteros negativos: -1, -2, -3, …

Una fracción es una expresión, ba

, donde a y b son números enteros

llamados numerador, a, y denominador, b, con b ! 0.

EJEMPLO

1 Decide si estas expresiones son fracciones.

a) 43

" Es una fracción 2Numerador: 3 Denominador: 4

b) ,57 3 " No es una fracción porque 7,3 no es un número entero.


Para qué se utilizan las fracciones

Para expresar situaciones cotidianas que no se pueden indicar con números naturales, surgen otros números como las fracciones:

• Para expresar partes de una cantidad.• Al expresar el cociente entre dos números.

EJEMPLO

2 Expresa con fracciones las siguientes situaciones.

a) Dividimos una hoja de papel en 7 partes iguales y coloreamos 3.b) Repartimos 50 caramelos en 5 bolsas.

a) Denominador " Partes en que se divide la unidad: 773

"2Numerador " Partes que se toman: 3

b) Numerador " Dividendo de la división: 505

50"2

Denominador " Divisor de la división: 5

1

Cualquier número entero se puede escribir

como una fracción con denominador 1.

3 = 31


2 Escribe en forma de fracción.

a) Repartimos 8 libros en 3 mochilas.b) Dividimos una tarta en 9 trozos y cogemos 4.c) De 24 metros hemos recorrido 13.

1 Decide si son fracciones y, si lo son, indica el numerador y el denominador.

a) ,131 6 b)

57 c)

,2 36 d)

159

28

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Fracciones equivalentes

Dos fracciones, ba

y dc

, son equivalentes, y se escribe ba

dc

= cuando

representan la misma cantidad. Si ba

dc

= , se cumple que a ? d = b ? c.

EJEMPLO

3 ¿Son equivalentes las fracciones 53

y 106

? ¿Y las fracciones 72

y 43

?

3 10 5 6 30 30? ?53

106

53

106

y= = =" " " son equivalentes.

??7

243 2 4 8

7 3 21 72

43

8 21 y!===" " "2 no son equivalentes.

2.1 Amplificación y simplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes de una fracción podemos utilizar dos métodos:

• Amplificar fracciones, que consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.

• Simplificar fracciones, que consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción entre un divisor común.

EJEMPLO

4 Obtén dos fracciones equivalentes a 64

, una por amplificación y la otra por simplificación.

AmplificAción

?

?

64

6 24 2

128

= =

Como 4 ? 12 = 6 ? 8 " y64

128 son equivalentes.

SimplificAción

::

64

6 24 2

32

= =

Como 4 ? 3 = 6 ? 2 " y64

32 son equivalentes.

2

FF

FF

53

"

106

"

Representan la misma cantidad; por tanto, son equivalentes.

DATE CUENTA

6 Escribe tres fracciones equivalentes por simplificación y otras tres por amplificación.

a) 12072

b) 320140

c) 650450


5 ¿Son equivalentes los siguientes pares de fracciones?

a) 6

15 y

36105

b) 1317

y 5285

c) 3012

y 25

Siempre existen fracciones equivalentes por amplificación, pero

no siempre por simplificación.

29

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2.2 Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.


Cómo se calcula el máximo común divisor

Para calcular el máximo común divisor de varios números:

1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente.3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números.

EJEMPLO

3 Obtén el máximo común divisor de 72 y 48.

Primero, descomponemos 72 y 48 en factores primos.

72 2 48 236 2 24 218 2 12 2 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1

72 = 23 ? 32 48 = 24 ? 3

Factores primos comunes: 2 y 3Al elevarlos al menor exponente: 23 y 3Así, resulta que:m.c.d. (72, 48) = 23 ? 3 = 24

Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el numerador y el denominador entre el máximo común divisor de ambos.

EJEMPLO

5 Calcula la fracción irreducible de 4872 .

?

?

72 2 348 2 3

3 2

4

=

="3 m.c.d. (72, 48) = 23 ? 3 = 24

4872

48 : 2472 : 24

23

23

= = " es la fracción irreducible de 4872

.

Una fracción es irreducible cuando el numerador y el

denominador no tienen divisores comunes.

11 Señala qué fracciones son irreducibles.

a) 31 c)

2510

b) 1723 d)

2157


9 Calcula la fracción irreducible de:

a) 3624 c)

320540

b) 2560 d)

90120

30

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2.3 Reducción a común denominador


Cómo se calcula el mínimo común múltiplo

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:

1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados

al mayor exponente.3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números.

EJEMPLO

4 Obtén el mínimo común múltiplo de 4 y 18.

4 2 18 2 2 2 9 3 1

4 = 22

3 3 18 = 2 ? 32

1 Factor primo común: 2 Factor no común: 3Al elevarlos al mayor exponente: 22 y 32

Así, resulta que: m.c.m. (4, 18) = 22 ? 32 = 36

Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener otras fracciones equivalentes que tengan todas el mismo denominador.

EJEMPLO

6 Reduce a común denominador las fracciones 45

y 187

.

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

?

4 218 2 3

2

2

=

="3 m.c.m. (4, 18) = 22 ? 32 = 36

Este valor se toma como denominador común de las fracciones buscadas.Para calcular el nuevo numerador de cada fracción dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

45

36455 ? 9 = 45

36 : 4 = 9

F F

F

F

F

187

36147 ? 2 = 14

36 : 18 = 2

F F

F

F

F

4 Reduce a común denominador.

a) , y17

107

258

35 b) , y

745

1611

32

10 Reduce a común denominador.

31

52

41

67

101


3 Halla el mínimo común múltiplo de los denominadores de las siguientes fracciones y redúcelas a común denominador.

a) y5

713

18

b) y219

125

31

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13 Ordena, de menor a mayor, aplicando los criterios de comparación de fracciones.

a) , , y53

52

41

71

c) 86

,45

,65

810

y

b) ,92

53

156

y d) 54

,37

129

y


5 Ordena estas fracciones de menor a mayor.

a) 158

1512

y b) 137

132

y

6 Ordena estas fracciones de mayor a menor.

a) 5 7

99y b)

21

57 17

y

7 Compara las siguientes fracciones.

a) 53 y

52

b) 53

y 43

c) 43

, 95

y 127

" Como tienen distintos numerador y denominador, reducimos a común denominador.

?

4 29 3

12 2 3

2

2

2

=

=

=

"4 m.c.m. (4, 9, 12) = 22 ? 32 = 36

Ordenamos las fracciones: 3620

3621

3627

95

127

43

1 1

1 1

Comparación de fracciones

Para comparar dos fracciones podemos calcular sus valores y compararlos, o seguir estos criterios:

• Si tienen igual denominador, es mayor la fracción que tiene mayor numerador.

• Si tienen igual numerador, es mayor la fracción que tiene menor denominador.

• Si tienen distinto numerador y distinto denominador, se reducen a denominador común.

3

3 253

525

3

52

2 2""

"

"4

EJEMPLO

43

36273 ? 9 = 27

36 : 4 = 9

F F

F

F

127

36217 ? 3 = 21

36 : 12 = 3

F F

F

F

95

36205 ? 4 = 20

36 : 9 = 4

F F

FF

GDenominador común

4 543

535

3

43 1 2

"

"

" "4

F

32

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16 Calcula y simplifica el resultado, si se puede.

a) 3 3

4312

+ + d) 74

42

21

+ -

b) 23

51

101

+ - e) 59

71

21

--

c) 43

27

31

- - f) 57

38

109

- +



a) 58 2

15+ b) 7

3 95

+

8 Resuelve las siguientes operaciones.

a) 57

21

- b) 2512

358

-

Operacionescon fracciones

4.1 Suma y resta de fracciones

Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

EJEMPLO

8 Calcula.

a) 1518

1519

+ 15

18 191537

=+

=

b) 38

37

- 3

8 731

=-

=

c) 64

67

61

613

67

+ - + - 6

4 7 1 13 76

1638

=+ - + -

= =

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el nuevo denominador.

EJEMPLOS

5 Calcula.

a) 152

97

+ 45

6 354541

=+

=

Denominador común: m.c.m. (15, 9) = 45

F

b) 67

125

- 12

14 5129

43

=-

= =

Denominador común: m.c.m. (6, 12) = 12

F

9 Calcula: 61

42

83

127

+ + - 24

4 12 9 142411

=+ + -

=

Denominador común: m.c.m. (6, 4, 8, 12) = 24

F

4

F

Simplificamos: m.c.d. (16, 6) = 2

Para simplificar fracciones podemos hallar el máximo común divisor

del numerador y del denominador, y obtener la fracción irreducible.

33

294758 _ 0026-0041.indd 33 13/06/12 11:11

4.3 Multiplicación de fracciones

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el pro-ducto de los denominadores.

??

?

ba

dc

b da c

=

EJEMPLO

11 Calcula.

a) 52

79

? 52

51

?

?

79

38

= = a) 53

92

47

? ? 5 9 43 2 7

18042

307

? ?

? ?= = =

4.4 División de fracciones

Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultado de multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada.

:ba

dc

b ca d

?

?=

FF

EJEMPLO

12 Calcula.

a) :38

95

?

?

3 58 9

1572

524

= = = b) :52

79

?

?

5 92 7

4514

= =

Potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia.

b

a? ? ? ?

ba

ba

ba

ba

ban

n v

n

n

eces

f= =c m1 2 34444 4444

EJEMPLO

13 Calcula: 32 4

d n ? ? ?? ? ?

? ? ?

32

32

32

32

3 3 3 32 2 2 2

32

8116

4

4

= = = =

5

23 Escribe en forma de potencia.

a) ? ?52

52

52

b) ?21

21



a) ?87

113

b) :27 4

5

Exponente

Base de la potencia

G

G

eab o

n

34

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Jerarquía de las operaciones


Cómo se realizan operaciones combinadas con números enteros

Al operar con números enteros resolvemos:

1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

EJEMPLO


(-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6) : (-2) =FCorchetes y paréntesis

= (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) == (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) =FMultiplicaciones y divisiones

= (-20) + (-3) =FSumas y restas

= -20 - 3 = -23

Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay que respetar la jerarquía de las operaciones:

1.o Realizar las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes, de dentro hacia afuera.

2.o Resolver las potencias y raíces, de izquierda a derecha.3.o Efectuar las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.4.o Efectuar las sumas y restas, de izquierda a derecha.

6

11 Calcula.

a) 5

1232

54

71

?- -d n b) 91

344

245

:72

- -d n


10 Calcula.

a) ?65 3

852

41

+ - b) :87

54

76

53

+ -

EJEMPLO

15 Realiza estas operaciones. a) ?21

23

31

52

301

=- + +e o

? ?21

23

3010

3012

301

21

23

3023

= - + + = - =e o

21

6069

21

2023

= - = - =

2010

2023

2013

2013

= - =-

=-

Corchetes y paréntesis

Multiplicaciones y divisiones

FF

FSumas y restas

m.c.m. (3, 5, 30) = 30

35

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Fracción F

F 43Numerador

Denominador


? ?72

144

2 14 7 4= ="55

Fracción irreducible : ( , )

: ( , )3024

30 24 3024 24 30

54

m.c.d.m.c.d.

= =

Potencia de una fracción 4

3435

5

5

=e o

2. REDUCIR FRACCIONES A COMúN DENOMINADOR

Reduce a común denominador 307

y 258

.

PRImERO. Hallamos el m.c.m. de los denominadores.30 2 3 525 5

? ?2

=

="3 m.c.m. (30, 25) = 2 ? 3 ? 52 = 150

SEguNDO. El m.c.m. de los denominadores es el nuevo denominador de las fracciones.

1. CALCULAR LA FRACCIÓN IRREDUCIBLE

Halla la fracción irreducible de 2530

.

PRImERO. Calculamos el máximo común divisor del numerador y el denominador.

30 2 25 515 3 5 55 5 11

30 2 3 525 5

(30, 25) 5? ?

m.c.d. 2

=

=="3

SEguNDO. Dividimos el numerador y el denominador entre ese número.

2530

25 : 530 : 5

56

= = G Fracción irreducible


15035

307 7 ? 5 = 35

150 : 30 = 5

F F

FF

F15048

258 8 ? 6 = 48

150 : 25 = 6

F F

F

F

F

3. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES

Realiza esta operación de fracciones: 307

+ 258

- 152

PRImERO. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos 25 5

3 515

? ?

?

30 2 3 52

=

==

"4 m.c.m. (30, 25, 15) = 2 ? 3 ? 52 = 150 a común denominador.

m.c.m. (30, 25, 15)

150 : 15 ? 2F

F=

215

20150

150 : 30 ? 7

m.c.m. (30, 25, 15)

F

F=

730

35150

m.c.m. (30, 25, 15)

150 : 25 ? 8F

F=

48150

825

SEguNDO. Cuando las fracciones tienen el mismo denominador se

307

258

15035

15048

150152

15020 63

5021

- - =+ = + =suman o restan los numeradores.

36

294758 _ 0026-0041.indd 36 13/06/12 11:12

4. MULTIPLICAR FRACCIONES

Realiza esta operación: 38

45

?

PRImERO. El numerador es el producto de los numeradores, y el denominador, el producto de los denominadores.

38

45

3 48 5

1240

??

?= =

SEguNDO. Simplificamos el resultado, si es posible.

38

45

1240

310

? = =

5. DIVIDIR FRACCIONES

Realiza esta operación: :5 7

36

PRImERO. Multiplicamos la primera fracción por la fracción inversa de la segunda.

:5 7

35 3

75 3

71546 6 6 2

??

?= = =

SEguNDO. Simplificamos el resultado, si es posible.

:5 7

315 5

6 42 14= =

6. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

Resuelve aplicando la jerarquía : :241

37

23

21

2?- +e eo o =de las operaciones. m.c.m. (2, 3) = 6

PRImERO. Resolvemos los paréntesis y corchetes, y si hay, las potencias y raíces, : : :2

41

614

69

21

12

241

623

41

? ?= - + = - =e e e eo o o ode izquierda a derecha.

SEguNDO. Resolvemos las multiplicaciones : :24 61 23

41

22423

41

224 123 4

22492

?

?

?

?= - = - = - = - =

y divisiones, de izquierda a derecha.

TERCERO. Resolvemos las sumas y restas, 2448

2492

2444

2444

611

= - =-

=- =-y simplificamos el resultado, si se puede.

Y AHORA… PRACTICA

Sumar y restar fracciones

6. ¿Cuál es el resultado de 56

38

43

-+ ?

Multiplicar fracciones

7. Halla el resultado de 72

41

? .

Dividir fracciones

8. Calcula el resultado de :53

10.

Realizar operaciones combinadas con fracciones

9. ¿Cuál es el resultado de :231

29

35

1?+ -e o?


1. ¿Es 57 una fracción? ¿Y ,

83 4 ?

1. ¿Son equivalentes las fracciones 43

y 75

?

3. ¿Cuál es el resultado de 75 3

d n ?

Calcular la fracción irreducible

4. Halla la fracción irreducible de 1845

.

Reducir fracciones a común denominador

5. Calcula dos fracciones equivalentes a 92

y 246

.

37

294758 _ 0026-0041.indd 37 13/06/12 11:12

FraccionesOrdenadas de menor a mayor

Reducidas a común

denominador

ActividadesFRACCIONES

30. ●● Expresa estas situaciones mediante fracciones. Encuentra las que sean equivalentes.a) Luis se ha comido 3 bombones de una caja

que contenía 12 bombones.b) María ha esperado un cuarto de hora.c) Tres de cada nueve niños tienen una mascota.d) El libro de Juan tiene 15 capítulos, de

10 páginas cada uno, y él ha leído 100 páginas.e) Ricardo duerme seis horas diarias.f) El barco ha realizado dos terceras partes

del trayecto.

FRACCIONES EQUIVALENTES

34. ● Indica si son equivalentes los siguientes pares de fracciones.

a) 86

y 4836

c) 45

y 8

15 e)

139

y 10472

b) 1215

y 4860

d) 58

y 1024

f) 2572

y 115123

35. ● Calcula cuatro fracciones equivalentes a cada una de estas.

a) 72

b) 51

c) 611

d) 2

13

36. ● Comprueba si son fracciones equivalentes.

a) 56

,2024

y 1012-

c) 3,39

8

24y

b) 51

,153

y 102

d) 74

,47

,4

28 y

287

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL TéRMINO DESCONOCIDO

PARA QUE DOS FRACCIONES SEAN EQUIVALENTES?

37. Calcula el número que falta para que

las fracciones 412

9y4

sean equivalentes.

PRImERO. Se aplica la propiedad que cumplen dos fracciones equivalentes.

9 4 12129

4? ?

dd== "

SEguNDO. Se despeja el término desconocido.

9 4 12 312

9 4? ?

?d d= =="

38. ●● Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes.

a) 396

d= c)

128 2

d=

b) 54

10d

= d) 188

9d

=

12. ●● Determina el término que falta en cada caso para que las fracciones sean equivalentes.

a) 9

43

d= b)

615

20d

=

39. ● Calcula la fracción irreducible.

a) 3075

b) 48

182 c)

11121

13. ● Halla la fracción irreducible de cada una de estas fracciones.

a) 14150

c) 36

250 e)

161128

b) 1245

d) 24

178 f)

722 386

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

42. ● Ordena estas fracciones, de mayor a menor.

a) 37

,34

,39

b) 125

,124

,127

c) 1,67

,611

43. ● Copia en tu cuaderno y completala tabla.

44. ● Ordena, de menor a mayor.

a) 31

,64

y 187

b) 52

,61

y 23

c) , ,67

32

181

27

y

38

294758 _ 0026-0041.indd 38 13/06/12 11:12

OPERACIONES CON FRACCIONES

46. ● Calcula.

a) 23

41

85

+ + c) 64

41

37

+ +

b) 35

61

23

81

- + - d) 25

31

67

+ -

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE OPERA CON NúMEROS ENTEROS

Y FRACCIONES?

47. Realiza estas operaciones.

a) 4127+ b) 3 ?

45

PRImERO. Se escribe el número entero como una fracción con denominador 1.

a) 414

= b) 313

=

SEguNDO. Se realiza la operación.

a) 12

4127

14

127 48 55

127+ = + =

+=

b) 313

? ??

?

13

45

45

415

45= = =

48. ● Realiza estas operaciones.

a) 143

+ d) 734

+ g) 931

61

+ -

b) 311

2- e) 974

- h) 41

531

+ -

c) 2

157- f) 3

52

- i) 741

25

- +

49. ●● Haz las operaciones.

a) 21

63

54

37

+ - +e eo o

b) 37

54

56

72

- + +e eo o

c) 234

21

52

31

- - + -e o> H

53. ● Efectúa las siguientes multiplicaciones.

a) 21

32

? c) 369

?

b) 53

210

? d) 27

47

2112

? ?

54. ● Calcula estas divisiones.

a) :32

54

b) :29

64

c) :7

12144

d) :346

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE REALIZAN LAS OPERACIONES

DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

CON FRACCIONES NEgATIVAS?

55. Calcula.

a) 32

41

?-e o b) :53

76

- -e o

PRImERO. Se realiza la operación prescindiendo del signo y se simplifica el resultado, si se puede.

a) 32

41

3 42 1

122

61

??

?= = =

b) :53

76

53

67

5 63 7

3021

107

??

?= = = =

SEguNDO. Se aplica la regla de los signos.

a) ?32

41

61

- =-e o b) :53

76

107

- - =e o

56. ●● Calcula.

a) :74

143

-e o d) ?56

103

- g) :21

42

-e o

b) :521

- e) 25

( 2)? - h) : ( 6)41

- -

c) ?53

95

- -e o f) :83

43

- -e o i) :49

221

- -e o

58. ● Haz las operaciones.

a) :32

47

51

?e o c) : ?71

42

53

-d n> H

b) : ?3

1065

4e o d) : :938

94e o

60. ● Escribe en forma de potencia estos productos, y calcula el resultado.

39

294758 _ 0026-0041.indd 39 13/06/12 11:12

OPERACIONES COMBINADAS

66. ●● Realiza las operaciones.

a) 65

31

2? - d) ?25

341

-

b) 27

354

?- e) ?54

810

23

-

c) ?423

97

- f) ?97

512

43

- -e o

67. ●● Calcula.

a) 43

61

41

86

?- -e eo o d) 25

71

31

61

?- -e eo o

b) ?51

152

31

101

+ -e eo o e) 54

43

101

41

?- +e eo o

c) 74

31

212

61

?- +e eo o f) 81

61

21

41

?- -e eo o

68. ●● Haz estas operaciones, indicando los pasos realizados.

a) 83

21

52

1? - -e o c) 35

52

27

31

?- -e o

b) 83

21

52

1? - - d) 35

52

27

31

?- -e o

69. ●● Realiza las siguientes operaciones.

a) ?35

52

27

31

- -e o d) 37

54

235

? ?- -e o> H

b) 35

52

27

31

?- -e o e) 45

83

94

54

2? ?- -e o

c) 32

543

27

? ?-e o f) 3154

87

5 9? ?- - -e o

70. ●● Calcula.

a) 23

51

101

543

56

? ?- + -e o

b) ? ?23

51

5101

43

56

- - -e o> H

c) 123

431

51

101

? ?- - -e o

d) 123

521

32

91

? ?- - +e o> H

PROBLEMAS CON FRACCIONES

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE

DE UNA CANTIDAD?

14. En una excursión a un museo asisten 60

alumnos de 2.º de ESO. Si 53

del total son

chicas, ¿cuántas chicas van?

PRImERO. Se identifican los datos.

• Cantidad total: 60 alumnos

• Parte: 53

son chicas

SEguNDO. Se multiplica la fracción que representa la parte por la cantidad total.

de 60 603 60

36??

53

553

= = =

Al museo asisten 36 chicas.

15. ●● Se está construyendo una carretera entre dos ciudades que distan 50 km. Si hasta

el momento se han construido 52

, ¿cuántos kilómetros son?

16. ●● En un viaje de 750 km se han recorrido 2

10 hasta el primer descanso. ¿Cuántos kilómetros

se recorren hasta el descanso?

17. ●● En un proyecto del Ayuntamiento de una ciudad se ha aprobado plantar 270 árboles

en un nuevo parque. Si se ha decidido que 94

sean pinos, 93

sean sauces y 92

sean chopos,

¿cuántos árboles de cada tipo se van a plantar en el parque?

18. ●● Ana está leyendo una novela de aventuras. Si la novela tiene 120 páginas

y ha leído 31

:

a) ¿Cuántas páginas ha leído del libro?

b) ¿Cuántas le faltan por leer?

40

294758 _ 0026-0041.indd 40 13/06/12 11:12

72. ●● Fran ha regado 64

del césped y Raquel

los 124

restantes. ¿Cuál de los dos ha regado

mayor zona de césped?

73. ●● un libro se hace con la colaboración de

18 personas. De ellas, 31

corresponde a autores,

91

a secretarias, 61

a maquetistas, 62

a dibujantes

y el resto a personal de imprenta. Calcula el número de colaboradores de cada clase.

74. ●● En un colegio hay 1 095 alumnos que realizan

actividades extraescolares: 31

hace judo, 52

estudia italiano y el resto realiza ballet. ¿Cuántos alumnos hacen cada actividad?

75. ●● un camión transporta 15 toneladas de fruta;

51

son naranjas,

32

son manzanas

y el resto son peras. ¿Cuántas toneladas de cada fruta transporta el camión?

77. ●● De los 30 alumnos de una clase, 53

son chicas. ¿Cuántos chicos hay?

78. ●● De una naranja se aprovechan las 94

partes

para hacer zumo y el resto es piel.

Si utilizamos 27 kg de naranjas, ¿qué cantidad de zumo obtendremos? ¿Y de piel?

79. ●● De una clase de 24 alumnos, los 83

han tenido

la gripe. ¿Qué fracción de alumnos no han enfermado? ¿Cuántos alumnos son?

81. ●● Si tres cuartos de kilo de jamón cuestan 15 €, ¿cuánto vale un kilo y medio?

82. ●● Según una encuesta, las familias españolas

dedican 31

de su renta a la adquisición de

una vivienda, es decir, destinan un promedio de 11 000 € anuales a este concepto. ¿Cuál es la renta media mensual de una familia española?

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL?

76. En una fiesta se colocaron 16 bombillas de colores. Al terminar solo funcionaba un cuarto de ellas. ¿Cuántas bombillas se fundieron?

PRImERO. Se calcula la fracción de bombillas fundidas.

141

11

41

44

41

43

- = - = - =

Los 43

de las bombillas terminaron fundidas.

SEguNDO. Se determina el número que representa la fracción.

43

de 16 4

3 16448?

= = = 12 bombillas

Se fundieron 12 bombillas.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE HALLA EL TOTAL CONOCIENDO

UNA DE LAS PARTES?

80. He recorrido 900 metros, que suponen los 73

del recorrido. ¿Cuál es la longitud total?

PRImERO. Se calcula cuántos metros representa una parte.

Si 73

son 900 m " 71

son 900 : 3 = 300 m

SEguNDO. Se determina el total del recorrido.Si una de las 7 partes es 300 m, las 7 partes serán:

300 ? 7 = 2 100 m

HAZLO ASÍ

300 m300 m

300 m

900 m

41

294758 _ 0026-0041.indd 41 13/06/12 11:12

A lomos del vientoEl encargo estaba terminado, y a medida que la nave iba ganando velocidad con ayuda del viento, y devoraba kilómetros de playa en dirección a ninguna parte, la cara de los pasajeros se transformaba: la tez de unos se volvía blanca, mientras se sujetaban aterrados a los asideros del carro; por el contrario, la faz de otros enrojecía, a la vez que gritaban como queriendo animar a los invisibles caballos que movían el carro.

Su Excelencia, el conde Maurice de Nassau, mecenas de la obra, se sentía plenamente satisfecho.

–Señor Stevin, este carro movido por la fuerza del viento que hincha su vela supera con creces mi encargo. Vamos más de veinticinco personas y dejamos atrás a los hombres, que nos siguen a todo galope montados en sus caballos.

Simon Stevin se demoró un momento, el tiempo justo que tardó en anotar unas cantidades:

–Como podéis ver en los cálculos, la velocidad se puede aumentar si utilizamos ruedas más pequeñas, de un metro y veintiséis centímetros.

0

1 2 6 cm1 2

Stevin escribía así el número decimal 1,26.

3Números decimales

1. Busca información sobre Simon Stevin y su relación con Maurice de Nassau.

2. ¿Cuál fue la aportación de Stevin al estudio de los números decimales?

3. Investiga sobre la evolución de los números decimales a lo largo de la historia.


294758 _ 0042-0055.indd 42 13/06/12 11:14



• Reconocer los diferentes tipos de números decimales.

• Determinar el tipo de número decimal que expresa una fracción.

• Realizar operaciones con números decimales.

PLAN DE TRABAJO

DESCOMPOSICIÓN Y LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES

Unidades decimales

1 unidad " 1 U

1 U = 10 d

1 d = 0,1 U

1 décima " 1 d

1 U = 100 c

1 c = 0,01 U

1 centésima " 1 c

1 U = 1 000 m

1 m = 0,001 U

1 milésima " 1 m

F F

F

Descomposición polinómica de un número decimal

Parte entera Parte decimal

Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas

1 6 0 2 7

16,027 = 1 ? 10 + 6 + 0 ? 0,1 + 2 ? 0,01 + 7 ? 0,001

Lectura de un número decimal

Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, después, la parte decimal seguida del orden de unidades que ocupa la última cifra decimal.

El número 16,027 se lee: «16 unidades 27 milésimas».

EVALUACIÓN INICIAL

1. Copia y escribe, en cada caso, la equivalencia.

a) 47 décimas = 4 centésimas b) 25 centésimas = 4 unidadesc) 8 unidades = 4 milésimasd) 13 milésimas = 4 décimas

2. Descompón en sus órdenes de unidades estos números decimales,y escribe cómo se lee cada uno de ellos.

a) 4,56 c) 13,205b) 78,004 d) 0,075

1 Escribe estos números decimales con cifras.

a) Trece unidades cuatro centésimas.b) Veintitrés unidades quince milésimas.

El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende

del lugar o posición.

43

294758 _ 0042-0055.indd 43 13/06/12 11:14

Números decimales

Un número decimal es un número que se compone de:• Parte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte

del número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas…• Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta parte

del número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milési-mas, diezmilésimas…


Para qué sirven los números decimales

Los números decimales se utilizan para expresar cantidades comprendidas entre dos números enteros.

EJEMPLO

1 Indica situaciones que se puedan expresar con números decimales.

Una entrada de cine cuesta 7,50 €.

La distancia de la casa de Miguel a la biblioteca es de 2,75 km.

Un euro equivale a 1,26 dólares.


Cómo se comparan números enteros

Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la derecha en la recta numérica.

Para comparar números decimales primero los escribimos con la misma cantidad de cifras decimales, añadiendo ceros a la derecha si es necesario.

EJEMPLO

2 Ordena, de menor a mayor, estos números decimales: 7,32; 7,3211; 2; 7,3.

7,32 " 7,3200 7,3211 " 7,3211 2 " 2,0000 7,3 " 7,3000

Eliminamos la coma decimal y comparamos:

20 000 < 73 000 < 73 200 < 73 211 " 2 < 7,3 < 7,32 < 7,3211

1

1 Ordena, de mayor a menor, los siguientes números decimales.

a) 6,1; 4,22; 4,02; 6,11; 3,99; 3,9

b) 5,602; 5,611; 5,6005; 5,60102c) 0,02; -1,05; 0,8; 0,12; -0,025; 0,07


1 Indica tres situaciones que se puedan expresar con números decimales.

2 Ordena de menor a mayor.

a) 5,67; 4,97; 6; 4,89 b) 0,541; 0,57; 0; 0,55

Al añadir ceros a la derecha de un decimal, el número

sigue siendo el mismo.1,35

1,3501,3500

1,350001,350000

+2

2 < 5

+5

44

294758 _ 0042-0055.indd 44 13/06/12 11:14

Fracciones y números decimales

• Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales.

• Un número decimal es periódico cuando tiene infinitas cifras de-cimales y, además, una o varias de ellas se repiten indefinidamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama período.– Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es

un decimal periódico puro.– Si el período no empieza justo después de la coma, es un deci-

mal periódico mixto. A las cifras decimales no periódicas se las llama anteperíodo.

• Un número decimal es no exacto y no periódico cuando tiene infinitas cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.

EJEMPLO

1 Clasifica estos números decimales.

7,24 " Número finito de cifras decimales " Exacto

7,222… " Se repite indefinidamente 2 " Periódico puro

7,24343… " Después de la coma hay un 2 y a continuación se repite indefinidamente 43 " Periódico mixto

Expresión de una fracción como número decimal

Para expresar una fracción como número decimal se divide el numera-dor entre el denominador.

EJEMPLO

4 Expresa estas fracciones como números decimales.

48

3069

3013

" 8 : 4 = 2 " Número entero

" 69 : 30 = 2,3 " Decimal exacto

" 13 : 30 = 0,433… = 0,43 " Decimal periódico mixto

2

!

Para escribir de forma abreviada números decimales periódicos colocamos un arco sobre las cifras que componen el período.

1,666… = 1,6

1,066… = 1,06

!!

SE ESCRIBE ASÍ

Período

Anteperíodo

Si divides 13 : 30 con la calculadora, obtienes

0,4333333333, por tanto, se trata de un número

periódico mixto.

3 Expresa como números decimales e indica el tipo.

a) 317

c) 1553

b) 2027 d)

515


4 Clasifica estos números decimales.

a) 61,454545… e) 58,37777…b) 2,5 f) 0,55c) 7,3333… g) 6,34444…d) 34,65555… h) 9,763333…

45

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Operaciones con números decimales

3.1 Suma y resta de números decimales


Cómo se realizan sumas y restas combinadas con números enteros

Primero resolvemos los paréntesis, si los hay, y después las sumas y restas de izquierda a derecha.

Sin paréntesis Con paréntesis

23 - 5 - 4 = 18 - 4 = 14 23 - (5 - 4) = 23 - 1 = 22

Para sumar y restar dos números decimales se siguen estos pasos:

• Se colocan de forma que las comas coincidan en la misma columna.

• Se añaden ceros, si es necesario, para que los dos números tengan la misma cantidad de cifras decimales.

• Se suman o restan como si fueran números enteros, y se mantiene la coma del resultado en la columna correspondiente.

EJEMPLOS


a) 56,63 + 12,3 5 6,6 3+ 1 2,3 0

6 8,9 3

c) 36,5 - (22,73 + 7,007)

2 2,7 3 0+ 7,0 0 7

2 9,7 3 73 6,5 0 0

- 2 9,7 3 76,7 6 3

F

b) 76,5 - 52,81 7 6,5 0- 5 2,8 1

2 3,6 9

5 En su entrenamiento, un ciclista ha recorrido 32,5 km el primer día; el segundo, 1,375 km más que el primero, y el tercero, 2,96 km menos que el segundo. ¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo y el tercer día?

Segundo día F 3 2,5 0 0+ 1,3 7 5

3 3,8 7 5 km

Tercer día F 3 3,8 7 5- 2,9 6 0

3 0,9 1 5 km

El segundo día recorrió 33,875 km y el tercero, 30,915 km.

3


7 Efectúa estas operaciones.

a) 72,82 + 4,003 + 9,0195b) (5,02 - 3,009) + (7,96 - 2,1)c) 42,78 - (13,25 - 10,9672)

4 Calcula.

a) 23,07 + 16,9 d) 12,07 - 5,3b) 123,045 + 8,9 e) 73,15 - 17,345c) 80,5 + 12,7 f) 89,2 - 27,37

32,5 km

2.º DÍA - 2,96 km

1.er DÍA + 1,375 km

46

294758 _ 0042-0055.indd 46 13/06/12 11:14

3.2 Multiplicación de números decimales


Cómo se realizan operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación con números enteros

Primero resolvemos los paréntesis, si los hay; después, las multiplicaciones de izquierda a derecha, y, por último, las sumas y restas de izquierda a derecha.

Sin paréntesis Con paréntesis

73 - 5 ? 4 = 73 - 20 = 53 23 ? (15 - 4) = 23 ? 11 = 253

Para multiplicar dos números decimales se siguen estos pasos:

• Se multiplican como si fueran números enteros.

• Se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras, contando de derecha a izquierda, como decimales sumen entre ambos factores.

EJEMPLOS


a) 6,312 ? 1,3

G

3 decimales

1 decimal

4 decimales

6,3 1 2# 1,3 1 8 9 3 6 6 3 1 2

8,2 0 5 6

G

G

G

b) 86,1 - (5,234 ? 7,2)

5,2 3 4# 7,2

1 0 4 6 8 3 6 6 3 83 7,6 8 4 8

8 6,1 0 0 0- 3 7,6 8 4 8

4 8,4 1 5 2

F

6 Fernando ha comprado una estatuilla en Perú que le ha costado 9,5 soles. ¿Cuántos euros pagó si 1 sol equivale a 0,24 €?

G

2 decimales

1 decimal

3 decimales

0,2 4# 9,5

1 2 02 1 62,2 8 0

G

G

G La estatuilla le costó 2,28 €.

9 Haz las siguientes operaciones.

a) (5,03 - 4,95) ? 1,26 b) 9,82 + 6,2 ? 0,02


8 Resuelve.

a) 3,2 ? 0,45 b) 7,25 ? 2,042

47

294758 _ 0042-0055.indd 47 13/06/12 11:14

3.3 División de números decimales


Cuáles son los términos de la división

Dividendo F 27 2 F Divisor07 13 F Cociente

Resto F 1

Estudiamos los distintos casos que pueden surgir.

El divisor es un número entero:• El dividendo es un número decimal.

• El dividendo es un número entero.

El divisor es un número decimal:• El dividendo es un número entero.

• El dividendo es un número decimal.

Al multiplicar el dividendo y el divisor

de una división por el mismo número,

el cociente no varía.

Si el divisor es un número entero y el dividendo es decimal, se añade la coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.

Si el divisor y el dividendo son números ente-ros, para obtener cifras decimales en el cociente convertimos el dividendo en número decimal añadiendo una coma y, después, tantos ceros como cifras decimales deseemos en el cociente.

Si el divisor es un número decimal y el dividen-do es un número entero, se suprime la coma del divisor y se añaden tantos ceros al dividendo como cifras decimales tenga el divisor.

Si el divisor y el dividendo son números decima-les, se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma en el dividendo tantos lugares a la dere-cha como cifras decimales tenga el divisor.

Si es necesario, se añaden ceros al dividendo.

17, 41 703,4 2,48

03,6103,45

F

17,00 703,0 2,42

03,2003,46

F

17,00 0, 71

1700 710280 230367

G

G

2 decimales

17,2 0, 71

1720 710300 240316

G

G

2 decimales

5 Calcula.

a) 47,25 : 3,32 b) 19,34 : 4,2 c) 319 : 33


11 Resuelve estas divisiones.

a) 459,3 : 5 b) 37,485 : 14 c) 478 : 7,86

48

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Aproximación

5.1 Aproximar números decimales


Cómo se aproximan números naturales

Aproximar un número es sustituirlo por otro número cercano a él.

EJEMPLO

4 Expresa de forma aproximada estos precios.

99 786 € 13 138 €

La casa cuesta unos 100 000 €. El coche cuesta unos 13 000 €.

Existen dos métodos para aproximar un número: el redondeo y el truncamiento.

Redondear un número decimal a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes inferiores a él y, además:

• Si la cifra siguiente a la del orden que redondeamos es mayor o igual que 5, sumamos una unidad a la cifra del orden de redondeo.

• Si es menor que 5, no modificamos la cifra del orden de redondeo.

Truncar un número decimal a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes inferiores a él.

EJEMPLO

7 Aproxima mediante redondeo y truncamiento el número 35,4929.

A las milésimas A las centésimas A las décimas

Redondeo 35,493 35,49 35,5

Truncamiento 35,492 35,49 35,4

5

21 Aproxima por redondeo y por truncamiento a las centésimas estos números decimales.

a) 156,2593 c) 36,243b) 1,2064 d) 9,0503


6 Redondea y trunca a las décimas los siguientes números decimales.

a) 7,895 c) 0,43b) 12,13 d) 3,567

En general, redondear es más exacto que

truncar.

49

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Número decimal

G

G F

F

Anteperíodo

Parte entera

Período

Parte decimal17,208#

Número decimal exacto 0,03 -12,2

Número decimal periódico puro 0,03 -12,2

Número decimal periódico mixto 0,03 -12,02

# !! !


1. COMPARAR NÚMEROS DECIMALES

PRIMERO. Comparamos la parte entera delos distintos números.

SEGUNDO. Si la parte entera es igual, comparamossu parte decimal añadiendo ceros hasta tener las mismas cifras decimales en ambos números.

Es mayor el número con mayor parte decimal, comparado cifra a cifra.

Ordena, de menor a mayor: 23,63; 23,6; 22,7.

23,63 23,60

22,7 < 23,6 < 23,63

=

>

2. SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES

Calcula. a) 53,13 + 82,6 b) 25,7 - 9,04

PRIMERO. Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales.

SEGUNDO. Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar.

5 3,1 3+ 8 2,6 0

1 3 5,7 3

2 5,7 0- 9,0 4

1 6,6 6

23,63 23,6 22,7

= >

El número menor es 22,7.

2. DETERMINAR EL TIPO DE NÚMERO DECIMAL QUE EXPRESA UNA FRACCIÓN

Determina el tipo de número decimal que expresan estas fracciones.

a) 7

14 b)

2519

c) 911

d) 4533

PRIMERO. Si al dividir numerador entre denominador el cociente no tiene cifras decimales, es un número entero.

a) 14 : 7 = 2 " Número entero

TERCERO. Si al dividir numerador entre denominador, en el cociente se repiten cifras de forma indefinida inmediatamente después de la coma, el número es periódico puro. Si se repiten, pero no inmediatamente después de la coma, es periódico mixto.

c) 11 : 9 = 1,222… " Periódico puro d) 33 : 45 = 0,733… " Periódico mixto

SEGUNDO. Si al dividir numerador entre denominador el cociente tiene un número finito de cifras decimales, es un decimal exacto.

b) 19 : 25 = 0,76 " Decimal exacto

50

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1. Clasifica estos números decimales.

a) 0,445 d) 56,7

b) 7,008 e) 7,445556666…

c) 4,003 f) 2,37

Comparar números decimales

1. Ordena de menor a mayor.

2,003 2 2,3 2,03

# !

#

Sumar y restar números decimales

2. Calcula: 12,433 + 7,009 - 0,56

Multiplicar números decimales

3. Realiza estas multiplicaciones.

a) 7,003 ? 3,4 b) 70,03 ? 34 c) 73 ? 3,01

Dividir números decimales

4. Efectúa estas divisiones.

a) 7,003 : 3,4 b) 70,03 : 34 c) 72 : 2,02

Y AHORA… PRACTICA

3. MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMALES

Calcula: 43,003 ? 8,06

PRIMERO. Multiplicamos los números decimales como si fueran números naturales.

SEGUNDO. Colocamos la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando de izquierda a derecha.

4. DIVIDIR NÚMEROS DECIMALES

• División de un número decimal entre un número natural

PRIMERO. Dividimos como si fueran números naturales.

SEGUNDO. Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el cociente.

• División de un número natural entre un número decimal

PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.

b) : ,,

??

2 603 0 32 603 10 26 0300 3 10 3

==

" )

SEGUNDO. Realizamos la división como si fueran números naturales.

• División de un número decimal entre un número decimal

PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.

c) : 0,10 0,

0, 1026,03

6,033

2 26 33 3

??

==

" )

SEGUNDO. Si en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemos la división como en el primer caso.

Calcula. a) 26,03 : 3 b) 2 603 : 0,3 c) 26,03 : 0,3

a) 2 6,0 3 32 0 8,6 7

2 32

2 6 0 3 0 32 0 8 6 7 6

2 32 0

2

2 6 0,3 32 0 8 6,7

2 32

4 3,0 0 3# 8,0 6 2 5 8 0 1 8

3 4 4 0 2 43 4 6, 6 0 4 1 8

3 cifras decimales

2 cifras decimales

5 cifras decimales

F

F

F

G

51

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ActividadesNÚMEROS DECIMALES

28. ● Expresa numéricamente las siguientes cantidades.

a) Cuatro centésimas.b) Seis décimas.c) Trece milésimas.d) Ciento ocho unidades cuatro milésimas.e) Mil una unidades siete diezmilésimas.f) Catorce unidades dos centésimas.

29. ● Escribe cómo se leen estos números.

a) 3,24 e) 102,04b) 49,3 f) 1 800,556c) 0,001 g) 2,00005d) 1,03 h) 25,5759

30. ● Copia en tu cuaderno y completa la tabla de descomposición de números.

Número C D U d c m

12,59 1 2 5 9

385,075

0 0 1 0 0 0

0,002

0 0 0 1 0 0

105,426

2,359

31. ● Copia y completa.

a) Dos unidades son 4 milésimas.b) Una décima es 4 centésimas.c) Tres unidades y dos décimas son 4

milésimas.d) Veinte milésimas son 4 centésimas.

32. ●● Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.

a) 1,05 unidades equivalen a ciento cinco centésimas.

b) Cuatro unidades y tres décimas son cuatro unidades y treinta centésimas.

c) Entre 2,452 y 2,453 no existe ningún número.d) 3,005 es mayor que 3,05.e) Tres unidades con dos décimas equivalen

a treinta y dos mil milésimas.

COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

7. ● Decide qué número es mayor en cada caso.

a) 4,34; 5,34b) 6,71; 6,77; 6,75c) 11,003; 10,003; 11,1003d) 13,87; 13,78; 13,877

8. ● Ordena de menor a mayor.

a) 12,134; 11,34; 12,14b) 26,451; 26,177; 26,475c) 1,103; 1,013; 1,113

33. ● Ordena los siguientes números decimales exactos, de menor a mayor.

a) 0,75; 0,57; 0,507; 0,705b) 0,102; 0,05; 0,105; 0,501; 0,251

34. ● Copia y completa con un número decimal exacto.

a) 14,065 > 4 > 13,95b) 14,065 > 4 > 14,06c) 14,065 > 4 > 14,061d) 14,065 > 4 > 14,0651

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE DETERMINA UN NÚMERO DECIMAL COMPRENDIDO ENTRE OTROS DOS?

9. Calcula un número decimal comprendido entre 7,3 y 7,32.

PRIMERO. Se escriben los números con la misma cantidad de cifras decimales, añadiendo ceros a la derecha si es necesario.

7,3 " 7,30 7,32 " 7,32

SEGUNDO. Se añaden al número menor más cifras decimales distintas de 0.

7,30 < 7,301 < 7,302 < 7,3021 < … < 7,32Observa que entre dos números decimales cualesquiera siempre hay infinitos números decimales distintos.

35. ● Escribe tres decimales entre cada par.

a) 2,3 y 3,6 c) 2,31 y 2,32b) 2,3 y 2,4 d) 2,31 y 2,311

52

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CLASES DE NÚMEROS DECIMALES

41. ● Señala el período y el anteperíodo de estos números periódicos.

43. ● Indica a qué clase de números decimales corresponde la expresión decimal de estas fracciones.

a) 7039

c) 398

e) 39125

g) 3960

b) 3978

d) 3940

f) 39180

h) 39117

45. ● Realiza la división y di si el resultado es un número periódico puro o periódico mixto, indicando la parte entera y el período.

a) 29

c) 26

180 e)

1981

b) 118 d)

90029 f)

36100

46. ●● Escribe tres fracciones que den lugar a:

a) Números enteros.

b) Números decimales exactos.

c) Números decimales periódicos.

48. ●● Escribe los números decimales con estas características y di a qué clase corresponden.

a) Parte entera 26 y período 5.

b) Parte entera 8 y período 96.

c) Parte entera 5 y parte decimal 209.

d) Parte entera 0, parte decimal no periódica 4 y período 387.

e) Parte entera 1, parte decimal no periódica 0 y período 3.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

53. ● Efectúa estas operaciones.

a) 4,5 + 6,7b) 7,05 + 8,19c) 9,06 + 1,7d) 152,3 + 4,938e) 27,92 - 8,03f) 359,157 - 148,049g) 0,03 - 0,003h) 10,45 - 7,6923

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES?

10. Halla el término que falta para que el resultado sea correcto.

a) 12,99 + 4 = 98,3b) 7,45 - 4 = 3,99c) 4 - 7,774 = 987,9

PRIMERO. Se identifica el término desconocido.a) Es uno de los sumandos de una suma.b) Es el sustraendo de una resta.c) Es el minuendo de una resta.

SEGUNDO. Si el término es:• Un sumando, se obtiene restando al resultado

el otro sumando.• El sustraendo, se obtiene restando al minuendo

el resultado.• El minuendo, se obtiene sumando al resultado

el sustraendo.a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674

11. ●● Determina el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces.

a) 19,75 + 4 = 133,86b) 87,19 - 4 = 8,464c) 29,572 - 4 = 16,413d) 4 - 105,97 = 552,37e) 4 - 45,16 = 127,07f) 4 + 23,58 = 79,05

a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

53

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56. ● Realiza estas operaciones.

a) (4,2 + 7,98) - 5,32b) (11,95 - 6,792) - 0,04c) (263,45 - 193,3) + 10,7629d) 7,005 - (96,82 + 13,99)

57. ● Calcula.

a) (21,5 + 7,96) - (14,3 + 2,857)b) (52,89 - 26,14) - (3,25 - 1,0002)c) (62,36 + 39,485) + (15,942 - 6,7)d) (100,9 - 9,99) - (70,7 + 5,006)

58. ● Calcula.

a) 49,5 : 8 d) 57,3 : 7,2b) 148,725 : 3 e) 158 : 6,3c) 4 536,65 : 4 f) 9 437,02 : 3,125

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONESCOMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES?

59. Calcula: 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65)

PRIMERO. Se realizan las operaciones entre paréntesis.

4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ? 2,27

SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y por último, las sumas y restas en el mismo orden.

4,56 : 2 + 3 ? 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09

60. ●● Dados los números decimales:

a = 35,49 b = 67,50 c = 15,75

calcula.

a) b - a e) 2 ? b + 3 ? c i) b - 2 ? cb) a + c f) 4 ? a - 2 ? c j) b : 2c) a - c g) a + b k) c : 3d) b - c h) b + c l) a : 7

61. ●● Haz las operaciones.

a) 2,4 ? (3,02 + 0,456) - (9,231 + 0,4)b) 12,84 : 3,21 - (16,001 + 0,225) ? 1,2c) 102,48 : 4,27 ? 1,2 - 445,98

62. ●● Resuelve, respetando la jerarquía de las operaciones.

a) 33,7 ? 4,5 + 7,2 ? 0,05b) (33,7 ? 4,5 + 7,2) ? 0,05c) 33,7 ? (4,5 + 7,2 ? 0,05)

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE MULTIPLICA Y SE DIVIDE UN NÚMERO DECIMAL POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS?

63. Calcula.

a) 84,26 ? 10 c) 84,26 : 10

b) 5,2 ? 1 000 d) 5,2 : 1 000

PRIMERO. Para multiplicar se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. En el caso de que no haya cifras suficientes, se completa con ceros el resultado.a) 84,26 ? 10 = 842,6b) 5,2 ? 1 000 = 5 200

SEGUNDO. Para dividir se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. En el caso de que no haya cifras suficientes, se completa con ceros el resultado.

c) 84,26 : 10 = 8,426d) 5,2 : 1 000 = 0,0052

64. ● Efectúa estas multiplicaciones y divisiones.

a) 0,02 ? 10 d) 0,02 : 10

b) 1,05 ? 100 e) 1,05 : 100

c) 0,145 ? 100 f) 0,145 : 100

65. ●● Resuelve estas operaciones, respetando la jerarquía de las operaciones.

a) 54,2 - 7,2 ? 10

b) (513,02 - 79,7) ? 1 000

c) (148,35 - 9,6 ? 100) - 10,467

66. ●● Resuelve estas operaciones, respetando la jerarquía de las operaciones.

a) 17,94 ? 100 - 8,05 : 0,6

b) 9,8 ? 10 + 41,96 : 1 000

c) 100,15 : 100 - 3,995 ? 0,05

d) (8,72 - 7,85) ? 0,1 - 0,2

e) 18,9654 : (1,35 + 1,05)

f) 9,025 - 2,46 : (1,3 + 0,01)

67. ●● Copia y completa las series.

a) 15 + 0,25" 4

+ 0,25" …

+ 0,25" 20

b) 50 - 0,75" 4

- 0,75" …

- 0,75" 35

c) 1,5 ? 2,1" 4

? 2,1" …

? 2,1" 29,17215

d) 76,527504 : 1,8" 4

: 1,8" …

: 1,8" 4,05

54

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APROXIMACIÓN

76. ● Trunca y redondea 72,289 a las décimas.

77. ● Trunca y redondea 0,397 a las centésimas.

78. ● Trunca y redondea 125,3925 a las milésimas.

79. ● Copia y completa la tabla con las aproximaciones de los siguientes valores:

1,25667 2,5 22,45 0,547 5

A las décimas

A las centésimas

A las milésimas

Truncamiento

Redondeo

12. ●● Trunca y redondea a las décimas y a las centésimas estos números decimales.

a) 18,504 c) 0,743b) 132,856 d) 53,557

PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES

86. ●● En la frutería he comprado 2,4 kg de naranjas; 1,56 kg de manzanas; 0,758 kg de uvas; 545 g de fresas y 255 g de cerezas.

a) ¿Cuánto pesa la compra?b) ¿Cuánto dinero me he gastado?

Naranjas: 1,90 €/kg Fresas: 2,87 €/kg

Manzanas: 1,25 €/kg

Uvas: 2,36 €/kg

Cerezas: 3,05 €/kg

87. ●● El alumno más alto de la clase mide 172 cm y el más bajo 148 cm. Calcula la diferencia entre ambos y exprésala en metros.

! # !

88. ●● Un padre quiere repartir 15,70 € entre sus cuatro hijos a partes iguales. ¿Cuánto recibirá cada uno?

89. ●● Tengo que pagar 192,75 € en tres plazos:

• En el primer plazo pago la mitad.• En el segundo plazo, la tercera parte.• Y en el tercero, el resto.

Calcula cuánto pagaré en cada plazo.

90. ●● Si una pulgada equivale a 2,54 cm:

a) ¿Qué longitud tiene un televisor de 27 pulgadas? ¿Y uno de 24 pulgadas?

b) ¿Cuántas pulgadas son 45,725 cm?

91. ●● Una onza equivale a 28,35 g.

a) ¿Cuántas onzas tiene 1 kg? ¿Y 560 g?

b) ¿Cuántos gramos serían 5,7 onzas?

92. ●● Un barril americano contiene 158,98 ¬ . a) ¿Cuántos barriles podemos llenar con 317 960 ¬

de petróleo? ¿Y con 1 000 000 ¬? b) ¿Cuántos litros son 250 barriles?

93. ●● Una tira de papel mide 29 cm de largo. ¿Cuántas tiras necesitamos para obtener una tira de 2,4 m de largo?

94. ●● Sabiendo que una milla terrestre es 1,6093 km, ¿cuántos metros y kilómetros son 2,35 millas? ¿Y 0,6 millas?

95. ●● Un nudo es una milla marina/h y una milla marina es 1,852 km. La velocidad de un barco es de 60 nudos. ¿Cuántos kilómetros recorre en tres horas?

96. ●● Un glaciar retrocede 2,8 cm al año por el deshielo. ¿Cuánto tardará en retroceder 5 m?

55

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El amo de la LunaLa nave de Colón llevaba tiempo embarrancada en la isla de Jamaica, sus hombres amenazaban con un motín y, para acabar de comprometer la situación, los indígenas, cansados de intercambiar espejitos y cuentas, se negaban a abastecerlos de comida.

La situación era desesperada y Colón, para calmar a sus hombres, les prometió comida y citó a los jefes indígenas esa misma noche.

–¡Sabed que me habéis enojado y, por vuestra negativa a colaborar, haré que la Luna se torne roja de sangre y luego desaparezca!

Los jefes indios miraron la Luna y, tras comprobar cómo se cumplían las amenazas de Colón, le pidieron aterrorizados que resucitara la Luna, prometiéndole seguir llevando comida para él y sus tripulantes.

Colón movió los brazos, como invocando a alguien, y les aseguró:

–La Luna aparecerá de nuevo esta misma noche, pero si faltáis otra vez a vuestra palabra jamás la volveréis a ver.

Después de esto se retiró satisfecho a sus aposentos, felicitándose por haber llevado consigo el Ephemerides del famoso matemático Regiomontanus, donde se predecía el eclipse que acababa de ocurrir.

Regiomontanus escribió también sobre ángulos, midiéndolos en grados, minutos y segundos.

4Sistema sexagesimal

1.Regiomontanusfueelmatemáticomásinfluyentedelsigloxv.Investigasobresuvidaysusaportacionesalaciencia.

2.¿CómopudoinfluireltrabajodeRegiomontanuseneldescubrimientodeAméricaporCristóbalColón?

3.Buscainformaciónsobreelsistemasexagesimalalolargodelahistoria.


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• Medirángulosytiempoenelsistemasexagesimal.

• Expresarmedidasdeángulosytiempoenformacomplejaeincompleja.

• Realizaroperacionesdesumasyrestas,demedidasdeángulosytiempo.

PLAN DE TRABAJO

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Magnitudes y unidades

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor puede ser expresado mediante un número.

El Sistema Métrico Decimal se compone de las unidades de medida de longitud, superficie, volumen, capacidad y masa.

Transformación de unidades

Para transformar una unidad en otra en el sistema métrico decimal, se multiplica o se divide sucesivamente por una potencia de 10.

• En el caso de las unidades de longitud, de capacidad y de masa, se multiplica o se divide por 10.

• Para transformar unidades de superficie, se multiplica o se divide por 100 y para unidades de volumen, por 1 000.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Decide si las siguientes cualidades son magnitudes.

a) Ladistanciaentredosciudades.b) Laamistad.c) Laestaturadeunapersona.d) Latemperaturadeunaciudad.

2 Escribe la unidad que utilizarías para medir las magnitudes de la actividad anterior.

3 Expresa en la unidad indicada en cada caso.

a) 23kmenm.b) 750dmenkm.c) 245m2endm2.d) 1250dam2enkm2.

El sistema métrico es decimal porque sus

unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10.

La longitud es una magnitud.

Esta cuerda mide 16 m.

El peso es una magnitud.

El melón pesa 1,5 kg.

km hm

F

F

? 10

: 10

dam

F

F

? 10

: 10

m

F

F

? 10

: 10

dm

F

F

? 10

: 10

cm

F

F

? 10

: 10

mm

F

F

? 10

: 10

57

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Sistemasexagesimal


Qué es un ángulo y cómo se mide

Llamamos ángulo a la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto.Para medir ángulos utilizamos el transportador y expresamos su medida en grados. Un grado es el ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales.

El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulos y períodos de tiempo menores que el día.

1.1 Unidades de medida de ángulosLa unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado, y se expresa mediante el símbolo °.

Para medir ángulos con más precisión se utilizan unidades menores que el grado: el minuto (') y el segundo (").

Unidad Símbolo Equivalencia

Grado ° 1° = 60'

Minuto ' 1' = 60"Segundo " 1° = 3 600"

Cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior y 60 veces menor que la unidad inmediatamente superior.

Grado Minuto Segundo

? 3 600

? 60 ? 60

F

F

F

Grado Minuto Segundo

: 3 600

: 60 : 60

F

F

F

EJEMPLOS

1 Expresa en segundos. a) 125'" 125? 60= 7500"

2 Expresa en la unidad indicada.

a) 240' en grados$ 240: 60= 4°b) 3 240" en minutos" 3240:60= 54'c) 162 000" en grados " 162000: 60= 2700'" 2700: 60= 45°

1

En el sistema decimal cada unidad es 10 veces

mayor que la unidad inmediatamente inferior.En el sistema sexagesimal cada unidad es 60 veces

mayor que la unidad inmediatamente inferior.

A

B

60o

2 Calcula.

a) ¿Cuántosgradosson64800"?b) ¿Ycuántossegundosson10°?


1 Expresa en minutos.

a) 300" c) 150°b) 1380" d) 480°

58

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1.2 Unidades de medida de tiempo

Las unidades de medida de tiempo son el siglo, el año, el mes, el día…

Para medir períodos de tiempo menores que el día utilizamos la hora (h), el minuto (min) y el segundo (s).

Al igual que las unidades de medida de ángulos, la hora, el minuto y el se-gundo forman un sistema sexagesimal, porque 60 unidades de un orden forman 1 unidad del orden superior.


Hora h 1 h = 60 min

Minuto min 1 min = 60 sSegundo s 1 h = 3 600 s

Cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior y 60 veces menor que la unidad inmediatamente superior.

Hora Minuto Segundo

? 3 600

? 60 ? 60

F

F

F

Hora Minuto Segundo

: 3 600

: 60 : 60F

F

F

EJEMPLOS

3 Expresa en segundos.

a) 20 min " 20? 60= 1200sb) 3 h " 3? 60= 180min" 180? 60= 10800s

4 Expresa en la unidad indicada.

a) 1 080 s en minutos" 1 080: 60= 18minb) 360 min en horas " 360: 60= 6hc) 14 400 s en horas " 14 400: 60= 240min" 240:60= 4h

1 Expresa en la unidad indicada en cada caso.

a) 25200senhorasb) 300senminutosc) 9minensegundosd) 5hensegundos

8 Si la jornada diaria de un estudiante de ESO es de 6 horas, expresa ese tiempo en minutos y también en segundos.

9 Expresa en segundos la duración de un partido de baloncesto que tiene cuatro tiempos de 10 minutos cada uno.


5 Transforma en segundos las siguientes medidas de tiempo.

a) 100min c) 1,5hb) Mediahora d) 60min

6 Expresa en minutos.

a) 2,5h c) 3600sb) 2días d) 14400s

7 Calcula la equivalencia en horas.

a) 90000sb) 3120minc) 1semana

1 día = 24 horas 1 lustro = 5 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1 000 años

59

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Paraexpresarmedidasdeángulosodetiempoenelsistemasexagesimalconlacalculadoraseutilizalatecla º‘“ .

Así,paraintroducir24º19’45”tecleamos:

24 º‘“ 19 º‘“ 45 º‘“

CALCULADORA

Forma compleja e incompleja

2.1 Expresiones complejas e incomplejas

Una medida de ángulos o de tiempo puede ser expresada de dos maneras:

• De forma compleja, es decir, utilizando varias unidades.2 h 42 min 13 s 24° 19' 45"

• De forma incompleja, es decir, utilizando una sola unidad.4,5 h 29° 3,25 min 190"

2.2 Paso de forma compleja a incompleja


Cómo se pasa de forma compleja a incompleja en el sistema métrico decimal

Multiplicamos por la potencia de 10 correspondiente para expresar todas las unidades en la unidad que se pide y las sumamos.

3 km 28 m en m " 3 ? 1000 + 28 = 3 028 m

5 dam 2 m en dm " 5 ? 100 + 2 ? 10 = 520 dm

Para transformar una medida de ángulos o tiempo de forma compleja a incompleja hay que considerar las equivalencias entre las unidades:

• Para pasar de horas o grados a minutos se multiplica por 60.• Para pasar de horas o grados a segundos se multiplica por 3 600.• Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60.

EJEMPLOS


a) 12° 25' 48"12°" 12? 3600= 43200"25'" 25? 60= 01500"

48"

12°25'48"= 44748"

6 Expresa 5 h 4 min en forma incompleja.

5h" 5? 60= 300min 4min

5h4min= 304min

2

12 Expresa 56° 40' en forma incompleja.

13 ¿Cuántos minutos son tres cuartos de hora? ¿Y cuántos segundos?



a) 28°17'39" c) 2h16min20s

b) 56°38" d) 60°31'

60

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2.3 Paso de forma incompleja a compleja


Cómo se pasa de forma incompleja a compleja en el sistema métrico decimal

Dividimos la medida y los sucesivos cocientes entre la potencia de 10 correspondiente. La expresión en forma compleja está formada por el último cociente y los restos.

326 m " 326 m 10 32 dam 10 26 32 dam 2 dam 3 hm " 3 hm 2 dam 6 m 6 m

Para transformar una medida de ángulos o tiempo de forma incompleja a compleja hay que considerar que:

• Si dividimos segundos entre 60, obtenemos como cociente minutos y, como resto, segundos.

segundos 60

segundos minutos

G DivisorG Cociente

FDividendo

FResto

• Si dividimos minutos entre 60, obtenemos como cociente grados (u horas) y, como resto, minutos.

minutos 60

minutos grados (u horas)

G Divisor

G Cociente

FDividendo

FResto

EJEMPLOS

7 Expresa 44 748" en minutos y segundos.

44748" 60 274 7 4 5' 348 4 8" 44748"= 745'48"

8 Transforma 4 714 s a forma compleja; es decir, exprésalo en horas, minutos y segundos.

F

4714s 60 514 78min 3 4 s

78min 601 8 min 1 h 4714s= 1h18min34s

16 Expresa en forma compleja las siguientes medidas de tiempo.

a) 458min d) 13590sb) 34567s e) 5681minc) 8010s f) 477s


15 Expresa en grados, minutos y segundos estas medidas de ángulos.

a) 28300" d) 65497"b) 28215" e) 43208"c) 872' f) 45001'

Si colocas de esta manera los divisores será

más fácil hallar el resultado.

4 7 1 4 s 6 04 5 1 4 7 8 min 6 04 2 3 4 s 1 8 min 1 h

F

61

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Operaciones en el sistema sexagesimal


Cómo se dibujan ángulos

1.º Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta.

2.º Hacemos una marca en la medida del ángulo que vamos a dibujar.

3.º Finalmente, utilizando una regla, unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada.

3.1 Suma en el sistema sexagesimal

Para sumar medidas de ángulos o de tiempo expresadas en forma com-pleja se colocan los sumandos agrupados: grados con grados (u horas con horas), minutos con minutos y segundos con segundos.

Una vez obtenido el resultado hay que tener en cuenta que:

• Si los segundos sobrepasan 60, los transformamos en minutos.

• Si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en horas o en grados.

EJEMPLO

9 Suma estas medidas de ángulos, 26° 25' 48" y 43° 48' 19".

26° 25' 48"+43° 48' 19"

69° 73' 67"

+ 1' 17"

69° 74' 17"

+ 1°14 17

70° 14' 17"

67"=60"+7"=1'+7"

74'=60'+14'=1°+14'

F

F

F

F

26° 25' 48"

70° 14' 7"

43° 48' 19"

Siescribimoslasumaenformahorizontal:

26°25'48"+43°48'19"=70°14'7"

3

Para sumar dos medidas expresadas en forma compleja

también se pueden pasar a forma incompleja

y sumarlas.

20 El ganador de una carrera ha llegado a la meta a las 14 h 26 min 47 s, y el segundo, 17 min 52 s después. ¿A qué hora llegó el segundo?



a) 12°15'58"+ 23°22'19"b) 35°45'+ 26°10'+ 26°15'33"

G

62

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3.2 Resta en el sistema sexagesimal

Para restar medidas de ángulos o de tiempo expresadas en forma comple-ja se colocan el minuendo y el sustraendo haciendo coincidir grados con grados (u horas con horas), minutos con minutos y segundos con segundos.

Al efectuar la resta hay que tener en cuenta que:

• Cuando el número de segundos del minuendo sea menor que el del sustraendo, se pasa un minuto del minuendo a segundos.

• Cuando el número de minutos del minuendo es menor que el del sus traen do, se pasa una hora o un grado del minuendo a minutos.

EJEMPLOS

11 Realiza esta resta: 70° 15' 3" - 28° 39' 50"

Elnúmerodesegundosyminutosdelminuendoesmenorqueeldelsustraendo.

70° 15' 3"-28° 39' 50"

1'=60"" 70° 14' 63"

-28° 39' 50"1°=60'" 69° 74' 63"

-28° 39' 50"

Efectuamoslaresta:

69° 74' 63"-28° 39' 50"

41° 35' 13" " 70°15'3"-28°39'50"=41°35'13"

12 Susana estuvo el lunes conectada a Internet durante 2 h 31 min 15 s, y el martes, durante 1 h 40 min 8 s. ¿Cuánto tiempo estuvo conectada el lunes más que el martes?

Comonopodemosrestarestascantidades,pueslosminutosdelsustraendosonmayoresquelosdelminuendo,transformamosunahoraenminutos.

2h 31min 15s-1h 40min 8s

1h=60min

" 1h 91min 15s-1h 40min 8s

51min 7s

Ellunesestuvoconectada51min7smásqueelmartes.

28° 39' 50"

41° 35' 13"

70° 15' 3"

NO OLVIDES

Sialsumarorestarenelresultadoseobtienenminutososegundosmayoresque60,sedebentransformarenlaunidadinmediatamentesuperior.

Para restar dos medidas expresadas en forma compleja

también se pueden pasar a forma incompleja

y restarlas.

2 Ana salió a pasear el lunes durante 1 h 12 min 24 s y el miércoles su paseo duró 27 min 12 s menos. ¿Cuánto tiempo paseó el miércoles?

24 En una prueba contrarreloj los tiempos de dos ciclistas han sido 1 h 1 min 7 s y 59 min 43 s, respectivamente.

Calcula la diferencia de tiempo que hay entre ambos.



a) 32°5'23"- 17°22'33"

b) 19°35'- 11°34"

c) 4h14min34s- 2h30min58s

d) 2h6min- 37min52s

23 Calcula:

24°36'-(24°22"-6°14')

63

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Unidades de medida de ángulos Unidades de medida de tiempo


Grado

Minuto

Segundo

°

'

"

1°=60'

1'=60"

1°=3600"

Grado(hora) Minuto Segundo

?3600

?60 ?60

F

F

F

Grado(hora) Minuto Segundo

:3600

:60 :60

F

F

F


Hora

Minuto

Segundo

h

min

s

1h=60min

1min=60s

1h=3600s


1. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS Y DE TIEMPO

Expresa estas medidas en la unidad indicada en cada caso.

a) 7º en segundos.b) 12 min en horas.

PRIMERO. Contamoslossaltosquehayy su sentido,desdelaunidadquenosdanhastalaunidadenlaquetenemosqueexpresarlamedida.a) Parapasardegradosasegundoshay

2saltoshacialaderecha.b) Parapasardeminutosahorashay1salto

hacialaizquierda.

SEGUNDO. Analizamoselsentidodelsalto.• Sielsaltoeshacialaderecha,

multiplicamospor60tantasvecescomosaltos.

• Sielsaltoeshacialaizquierda,dividimospor60tantasvecescomosaltos.

a) Multiplicamos2vecespor60.7?60?60=252007°=25200s

b) Dividimos1vezentre60.12:60=0,212min=0,2h

1. TRANSFORMAR MEDIDAS DE ÁNGULOS Y TIEMPO EXPRESADAS EN FORMA COMPLEJA A INCOMPLEJA

Expresa en la unidad indicada en cada caso.a) 3º 45' 54" en minutos.

b) 2 h 24 min en segundos.

PRIMERO.Transformamosenlaunidadquesepide.a)Pasamosaminutoscadaunidad.

3°=3?60=180'45'=45'54"=54:60=0,9'

b) Pasamosasegundoscadaunidad.2h=2?60?60=7200s24min=24?60=1440s

SEGUNDO. Sumamoslosresultados.

G 3°45'54""180' 45'

+ 0,9'225,9'G

G 2h24min"7200s+ 1440s

8640sG

Forma compleja

Forma incompleja

Forma incompleja

b)

a) Forma compleja

64

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2. TRANSFORMAR MEDIDAS DE ÁNGULOS Y TIEMPO EXPRESADAS EN FORMA INCOMPLEJA A COMPLEJA

Expresa 4 083" de forma compleja.

PRIMERO.Dividimoslossegundosentre60:elcocientesonminutos,yelresto,segundos.

4083" 60 483 68' 03"

SEGUNDO.Dividimoslosminutosentre60:elcocientesongrados,yelresto,minutos.

68' 60 8' 1°

G4083"=1°8'3" G Forma compleja

Forma incompleja


1. Expresaenlaunidadindicada.a) 133200"engrados.b) 17hensegundos.

Transformar unidades de medida de ángulos y de tiempo

1. Expresa360"enminutosy24hensegundos.

Transformar de forma compleja a incompleja

2. Expresaensegundoselángulo40°40'40".

Transformar de forma incompleja a compleja

3. ¿Cuáleslaexpresióncomplejade3620s?

2. Expresaenformacompleja4862".

Sumar en el sistema sexagesimal

4. Hallalasumadelosángulos20°30'25"y40°40'40".

Restar en el sistema sexagesimal

5. ¿Cuáleselresultadode7°25'30"-4°27'40"?

Y AHORA… PRACTICA

4. RESTAR EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

Calcula: 6° 24' 28" - 52' 47"

PRIMERO.Agrupamoslasmedidasporunidades.

SEGUNDO.Sielnúmerodesegundosdelsustraendoesmenorqueeldelminuendo,setransformaunminutoensegundos.

6° 24' 28"- 52' 47"

24'=23'+60"

" 6° 23' 88"- 52' 47"

TERCERO.Sielnúmerodeminutosdelsustraendoesmenorqueeldelminuendo,setransformaungrado(uhora)enminutos.

6° 23' 88"- 52' 47"

6°=5°+60'

" 5° 83' 88"- 52' 47"

5° 31' 41"

3. SUMAR EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

Calcula: 6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s

PRIMERO.Colocamoslossumandos,agrupadosporunidades,yrealizamosla suma.

6h 24min 28s+ 52min 47s

6h 76min 75s

SEGUNDO.Sienelresultadosobrepasan60:

• Lossegundos,lostransformamosenminutos.

• Losminutos,lostransformamosenhoras.

6h24min28s+52min 47s=6h76min75s

6h77min15s

7h17min15s

FFFF

75s=1min+15s

77min=1h+17min

6° 24' 28"- 52' 47"

65

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ActividadesSISTEMA SEXAGESIMAL

34. ● Copia y completa esta tabla:

Grados Minutos Segundos

125° 7500' 450000"

93600"

2100'

540'

3°

50400"

35. ● Calcula mentalmente y expresa en minutos y en segundos las medidas de ángulos.

a) 3° c) 8° e) 1°15'b) 5° d) 10° f) 10°10'

36. ● Expresa en forma incompleja.

a) 35°54'65" c) 4h27min56s

b) 65°53'12" d) 7h33min49s

37. ● Expresa en forma compleja.

a) 25123s d) 13,25h g) 27762sb) 45125s e) 5432s h) 90000sc) 16459" f) 452min i) 40000'

38. ● Expresa en forma incompleja.

a) 13°15'32" d) 7h51min46sb) 100°47' e) 20h32sc) 82°3' f) 19h46min

3. ● Expresa en segundos estas medidas de tiempo.

a) 45h d)47min23sb) 34min e) 2h34min4sc) 5h24s f) 12h7min3s

4. ● Expresa en minutos estas medidas de tiempo.

a) 1374hb) 3856sc) 238h34min64sd) 127h84min32se) 6h54minf) 7h17min23s

39. ●● Expresa en minutos los siguientes ángulos.

a) 35° g) 5°b) 4°30' h) 6°25'c) Lamitadde30° i) 13°35'60"d) 360" j) 17°180"e) 2°45'120" k) 35'420"f) (18°- 15°) + 3° l) 5'+ 60" + 3°

40. ●● Expresa en segundos estos ángulos.

a) 1°45' f) 4°38"b) (17°-3°)-(10°-5°) g) 2°20'30"c) 3' h) 35'10"d) (35"- 28")- 4" i) 55'e) 3°5'10" j) 7°25'

5. ● Expresa en la unidad indicada en cada caso.

a) 3400senminb) 12h40minensc) 7h534senmind) 127º84'ensegundose) 16º34'44"enminutosf) 13º157'83"engradosh) (12º-7º)+3ºenminutosi) 9'+(23'+12')ensegundosj) (87"+34")-23"enminutos

OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

41. ● Realiza estas sumas de ángulos.

a) 35°20'15"+ 10°30'40"b) 6°10'5"+ 8°40'52"c) 15°36'40"+ 2°10'13"d) 18°13'25"+ 28°48'10"e) 6°30'+ 4°50'45"f) 5°25'3"+ 75'8"g) 4°3'6"+ 5°7'28"+ 25°39'40"h) 43°25"+ 5°48'i) 2°2"+ 75°43'j) 33'7"+ 4°45'k) 3h660senminl) (4'+ 2')- 1'ensegundosm)(52"- 7")+ 75"enminutos

66

294758 _ 0056-0069.indd 66 13/06/12 11:15

42. ● Efectúa las siguientes restas.

a) 3°35'- 2°10'b) 1°25'- 10'c) 63°47"- 25'30"d) 1°45'3"- 75'10"e) 4°2'- 1°40'f) 2°30'10"- 3'50"g) 42°5'3"- 38'10"h) 37'45"- 20'78"i) 2°6'4"- 1°10'j) 35°11'54"- 13°12'15"

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN SUMANDO EN UNA SUMA

DE LA QUE CONOCEMOS SU RESULTADO?

43. ¿Qué medida tiene el ángulo BV si, al sumarlo con el ángulo AV = 17° 26", resulta el ángulo 36° 7' 15"?

PRIMERO.Seexpresaelproblemamedianteunaoperación,ysedespejalamedidadesconocida.AV+BV=36°7'15"" 17°26"+BV=36°7'15"

SEGUNDO.Serealizanlasoperaciones.

36° 7' 15"- 17° 26"

Nosepuedenrestarlossegundos

1'=60"" 36° 6' 75"

- 17° 26"

19° 6' 49"

Portanto,elánguloesBV=19°6'49".

6. ●● ¿Qué medida tiene el ángulo BV si, al sumarlo con el ángulo AV = 19° 45', resulta un ángulo de 133° 51' 36"? ¿Y si, al restarlo del ángulo AV = 87° 11' 24", resulta un ángulo de 78° 43' 34"?

44. ●● Copia, y completa el ángulo que falta.

a) + 25°= 50°20'47"b) + 27°32"= 80°5'38"c) + 1°40"= 5°3'20"d) 15°10'30"+ = 20°5'40"e) + 25'35"= 1°30'16"f) + 17°= 20°12"g) + 6°42'= 10°58'35"h) + 9°18'= 17°43"

F

Pasarestando

45. ●● Calcula el ángulo que falta.

a) -2°36'45"= 13°15'10"b) -15'35"= 6°25'46"c) -1°50"= 3°48'd) -47'58"= 2°35'40"e) -6°18'40"= 15°27'38"f) -10°45'= 37°53'44"g) -17°25'46"= 38'43"h) -65"= 1°48'35"

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMA

Y RESTA CON PARÉNTESIS?

46. Realiza esta operación:

(39° + 45° 30') - (6° 38' - 2° 20')

PRIMERO.Seresuelvenlosparéntesis.39°

+ 45° 30'

84° 30'

6° 38'- 2° 20'

4° 18'

SEGUNDO.Seefectúanlassumasylasrestas,deizquierdaaderecha.

47. ●● Realizalas siguientes operaciones.

a) (10°20"+ 15°30')- 13°14'35"b) (50°35'- 37°45')+ 6°18"c) (5'38"+ 4°36')+ (5°10'- 3°2")d) (25°35'+ 2°10')- (3°+ 17°43')

48. ●● Calcula.

a) (124°34'12"- 78°47'24")+ 43°b) 25°30'6"+ (7°6"- 1°25')c) (4°3'5"+ 7°6'3")- 3°10'15"d) (10°8'2"- 4°2')+ (6°4'23"- 2°5")

7. ●● Calcula.

a) (53º12'33"-12º45'34")-12º34'12"b) 112º45'24"+(223º4'21"-13º45'34")c) (146º24'-57'22")+(51º23"-21º34')d) 137º27'-(120º53'-45'42")

8. ●● Calcula.

a) 3h-(54min12s+24min34s)b) (2h24min11s-44min24s)-45min

84° 30'- 4° 18'

80° 12'

67

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HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE MULTIPLICA EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL?

9. Calcula: (25º 13' 14") ? 5

PRIMERO.Semultiplicacadaunidadporelnúmeronatural.

25° 13' 14"# 5

125° 65' 70"

SEGUNDO.Sialoperarseobtienenminutososegundosmayoresque60,setransformanenlaunidadinmediatamentesuperior.

125° 65' 70"

+ 1'

125° 66' 10"

+ 1°

126° 6' 10"

70"=60"+10"=1'+10"

66'=60'+6'=1°+6'

F

FF

F

" (25°13'14")?5=126°6'10"

49. ● Efectúalos siguientes productos.

a) (4°35'46")?2 e) (6°78")?3b) (1°10'15")?7 f) (36'40")?5c) (12°25'37")?6 g) (2°17'3")?9d) (35°4'20")?4 h) (27°15'26")?8

10. ●● Efectúa estas operaciones y expresa el resultado en segundos.

a) 4?(23°43'45")b) 7?(32°8'54")

11. ●● ¿Cuánto mide el ángulo doble del ángulo AV = 7° 21' 34" ? Expresa el resultado en minutos.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN LAS OPERACIONES COMBINADAS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL?

50. Calcula: (75° 26' 16" - 58° 15' 10") ? 3

PRIMERO.Seresuelveelparéntesis.

SEGUNDO.Serealizanlasmultiplicacionesydivisiones,deizquierdaaderecha.

51. ●● Calcula.

a) (3°4'6"+ 5°7'10")? 2b) (10°6'10"- 4°3'7")? 3c) (5°30'+ 15'65")? 6d) (6°+ 15°10'- 3°7')? 7

e) (15°35'45"- 40'58")? 4f) (22°5'16"+ 73°16'45")? 3g) CuádrupledeAV= 3°36'27"h) Doblede(1°35'5"+ 38'55")i) (7°+ 1°30"- 5°56'10")? 7

54. ●● Dada la medida de los ángulos:

AV= 15°25'6" BV= 36°10'20"

halla la medida de CV, si: CV = 2 ? (AV + BV)PROBLEMAS DE TIEMPOS Y ÁNGULOS

59. ●● Sergio realiza un trabajo en 1 hora, 35 minutos y 50 segundos. Si pensaba tardar 2 horas, ¿cuánto tiempo le ha sobrado?

60. ●● El tren de las 10:05 h partió con 16 minutos de retraso. ¿A qué hora salió?

61. ●● Un abanico abierto forma un ángulo de 180°. Al abrir otro abanico, al que le faltan algunas varillas, he comprobado que solo tiene una abertura de 105° 38' 45". ¿Cuál es el ángulo que formaban las varillas que se han roto?

62. ●● Un autobús parte de una estación a las 9 h 26 min y llega a la estación de destino a las 13 h 14 min. ¿Cuánto dura el trayecto?

12. ●● Miguel juega en un equipo de fútbol y entrena dos días a la semana.

a) Mañanaempiezaalascincoycuartodelatardeyentrenaunahoraymedia,¿aquéhoraterminará?

b) Ayerelentrenamientoterminóalassietemenoscuartodelatarde.Sientrenóduranteunahoraymedia,¿aquéhoraempezóaentrenar?

75° 26' 16"- 58° 15' 10"

17° 11' 6"

17° 11' 6"# 3

51° 33' 18"

68

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13. ●● Una obra de teatro dura 109 minutos y tiene dos actos.

a) Elprimeractoempiezaalassieteymediay dura45minutos.¿Aquéhoraeseldescanso?

b) Sieldescansodura15minutos,¿aquéhoraterminalaobra?

14. ●● La duración en segundos de diferentes canciones de un CD es:

• 127 segundos• 154 segundos• 103 segundos• 225 segundos• 317 segundos• 158 segundos• 273 segundos

SielCDestáformadopordoscancionesdecadaduración,¿cuántoduraelCDcompleto?Expresaelresultadoenhoras,minutosysegundos.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMASDE ATRASOS HORARIOS?

63. Un reloj se atrasa 1 min 20 s cada día. ¿Cuánto tiempo se atrasa en una semana?

PRIMERO.Sedeterminanlasoperaciones.(1min20s)?7

SEGUNDO.Seefectúanlasoperaciones.(1min20s)?7=7min140s=9min20s

Elrelojseatrasa9min20senunasemana.

64. ●● Lola trabajó el lunes 8 h 40 min 25 s, y de martes a jueves, media hora menos cada día. ¿Cuánto tiempo trabajó en total esta semana?

65. ●● Desde mi casa hasta el trabajo hay dos estaciones; en llegar a la primera suelo tardar 32 min 54 s, y a la segunda, 44 min 27 s. Hoy el tren se ha retrasado, y en llegar a la primera estación ha tardado 19 min 40 s más de lo habitual, mientras que en la segunda se ha retrasado 26 min 32 s.

a) ¿Cuántotiempohetardadoenllegar?b) Sienlavueltanohetenidoretrasos,¿cuánto

tiempoheinvertidoenlosdostrayectos?

66. ●● Una máquina trabaja de manera ininterrumpida durante 4 h 50 min 30 s, parando después 1 h 50 min. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en hacer tres turnos de trabajo y descanso?

67. ●● Un pintor ha tardado en pintar el salón 3 horas y cuarto por la mañana, y 2 horas y media por la tarde.

a) ¿Cuántotiempotardóentotal?

b) ¿Cuántotiempotrabajómásporlamañana?

c) Sicobralahoraa19,20€,¿cuántodineroganó?

68. ●● Damián cobra el sábado 8 € por cada hora de trabajo, y el domingo, 9,50 €. Este mes ha trabajado tres sábados y cuatro domingos. Los sábados trabajó 5 horas y media, y los domingos, 3 horas y tres cuartos. ¿Cuánto cobrará a fin de mes?

69. ●● Tres amigos se están comiendo un pastel:

• Marcos se ha comido un trozo de 35° 10'.• Roberto se ha comido un trozo de 40° 30'.• Ricardo se ha comido un trozo de 50° 40'.

a)¿Cuántomideeltrozodepastelquesehancomidoentrelostres?

b)¿Cuántomideeltrozoquequeda?

69

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El templo de ApisDesde un lugar privilegiado, el escriba Ahmes asistía al interrogatorio dirigido por el juez y el sumo sacerdote del templo, quien había denunciado la desaparición de la comida del buey.

El sacerdote se volvió hacia el juez y dijo:

–¡Al robar toda la comida del dios han cometido un delito imperdonable, y Apis exige que la condena sea máxima!

–La ley está escrita y estipula la condena por el acto cometido y la cantidad robada –le replicó el juez sin mirarlo. Y acto seguido volvió a preguntar a los dos detenidos por las cantidades que habían sustraído.

El mayor de ellos le contestó:

–Cada uno tomó lo que pudo: él cogió tres «montones» y yo sustraje diez «montones».

–El registro del templo dice que había 24 heqat destinadas a la reencarnación del dios Apis. Ahmes, anota los datos y calcula la cantidad que sustrajo cada uno –dijo el juez dirigiéndose al escriba, que seguía apuntando en el papiro.

El escriba anotó la siguiente expresión para designar lo sustraído por cada uno.

5Expresiones algebraicas

1. Busca información sobre el papiro de Rhind y otros papiros que se conserven en la actualidad relacionados con las matemáticas.

2. ¿Cuál es la simbología utilizada por los egipcios para escribir números? ¿Cuál sería el significado de la expresión que aparece en el texto?

3. Investiga sobre las matemáticas en Egipto y las áreas en las que más se desarrollaron.


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• Reconocer los elementos de una expresión algebraica.

• Sumar, restar y multiplicar monomios y polinomios.

• Conocer y aplicar las igualdades notables.

PLAN DE TRABAJO


Suma y resta

• Si los números tienen el mismo signo, sumamos los valores absolutos y dejamos el mismo signo.

4 + 5 = 9 12 + 4 = 16

-3 - 6 = -9 -11 - 9 = -20

• Si los números tienen distinto signo, restamos sus valores absolutos (el mayor el menor) y dejamos el signo del que tiene mayor valor absoluto.

-4 + 5 = 1 12 - 4 = 8

3 - 6 = -3 -11 + 9 = -2

Multiplicación y división

• Si los números tienen el mismo signo, multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo positivo.

4 ? 5 = 20 12 : 4 = 3

-3 ? (-6) = 18 -18 : (-3) = 6

• Si los números tienen distinto signo, multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo negativo.

-4 ? 5 = -20 12 : (-4) = 3

-3 ? (+6) = -18 -18 : 3 = -6

Los números positivos se suelen escribir sin el

signo + que los precede.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Realiza estas operaciones con números enteros.

a) 4 + 6 d) -3 - 8b) 7 + 11 e) 9 - 3c) -7 - 4 f) -5 + 12

2 Calcula.

a) -4 - 7 + 5b) 12 - 4 - 21c) 19 + 32 - 51d) -14 - 21 - 12

3 Halla el resultado de estas operaciones.

a) 7 ? 3 d) 22 : (-2)

b) 12 ? (-3) e) (-35) : (-5)

c) -4 ? 7 f) (-49) : 7 ? 749-

71

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Lenguaje algebraico1

Para representar números desconocidos

solemos utilizar las letras x, y, z, a, b, c…

El lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo apa-recen números.

El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico.


Para qué se utiliza el lenguaje algebraico

Con el lenguaje numérico expresamos situaciones concretas, mientras que con el lenguaje algebraico podemos generalizar dichas situaciones.

Por ejemplo, en el caso del cálculo del área de un rectángulo:

A = 6 ? 3 " Lenguaje numérico A = a ? b " Lenguaje algebraico

6

3

a

b

1 Expresa en lenguaje algebraico.

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

El triple de un número 3 ? xUn número aumentado en dos unidades a + 2El triple de un número más otro número 3 ? x + y

La mitad de un número 2x

El precio de x kilos de naranjas a 1,50 €/kg 1,50 ? xLa edad de una persona hace 3 años b - 3

2 Expresa mediante el lenguaje algebraico estas relaciones.

a) El área de un cuadrado.

Área = lado ? lado " A = l ? l

c) El área de un triángulo.

Área =2 2? ?

Ab hbase altura

="

EJEMPLOS

h

b

l

l

2 Si x es la edad de Inés, expresa en lenguaje algebraico.

a) La edad que tendrá dentro de 10 años.b) La edad que tenía hace 4 años.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER1 Expresa en lenguaje algebraico.

a) El doble de un número.c) El doble de un número menos tres unidades,

más otro número.

72

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Expresiones algebraicas2

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas.

5 Traduce estos enunciados a expresiones algebraicas.

Expresión escrita Expresión algebraica

El perímetro de un campo rectangular 2 ? x + 2 ? yLa suma de dos números consecutivos n + (n + 1)

El 15 % de un número C 10015

? C

EJEMPLO

El valor numérico de una expresión algebraica varía según los valores

que toman las letras.

Valor numérico de una expresión algebraica


Cómo se calculan potencias de números enteros

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

Base an = a ? a ? … ? a

• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva.

42 = 4 ? 4 = 16 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64

• Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar.

(-2)2 = (-2) ? (-2) = 4 (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = -8

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones que se indican.

EJEMPLOS

6 Calcula el valor numérico de la expresión algebraica x2 + 1 si x = 2 y x = 5.

x2 +1 x = 2

" 22 +1 =4 +1 =5 x2 +1 x = 5

" 52 +1 =25 +1 =26

1 Calcula el valor numérico de x2 - x si x = -3 y x = -1.

x2 -x x = -3

" (-3)2 -(-3) =12 x2 -x x = -1

" (-1)2 -(-1) =2

F

Exponente

8 Halla el valor numérico de 2x2 - y para estos valores.

a) x =0, y =1 b) x =-1, y =-2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER7 Calcula el valor numérico de estas expresiones

algebraicas para x = 3.

a) x + 1 b) x2 + 1 c) 2x - 3 d) 2x2 - 3x

F

73

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Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras.

El número recibe el nombre de coeficiente, y las letras, con sus expo-nentes, son la parte literal.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

Un monomio de grado 0 es un número.

7x 0 = 7

Monomios3

EJEMPLOS

2 Determina los elementos de estos monomios.

Monomio Coeficiente Parte literal

5x2 5 x2

-8xy -8 xy

-x2y -1 x2y

3 Halla el grado de cada monomio.

Monomio Grado

-x2 2

-3x2yz 2 + 1 + 1 = 4

17xy 1 + 1 = 2

9 Determina los elementos y el grado de los monomios 4x2 y -36x2y3z.

4 x2 " Grado: 2 -36 x2y3z " Grado: 2 + 3 + 1 = 6

Coeficiente Parte literal Coeficiente Parte literal

Monomio Monomio

• Monomios semejantes. Llamamos monomios semejantes a los mono-mios que tienen la misma parte literal.

EJEMPLO

10 Determina si los monomios son semejantes.

a) -25a2b y a2b " Son semejantes, porque tienen igual parte literal (a2b).

b) 3z2 y 7z " No son semejantes.

SE ESCRIBE ASÍ

• El signo del producto de números y letras no se suele escribir.

5 ? x2 ? y3 = 5x2y3

• El exponente 1 no se escribe.

a1b1 = ab

• Si un monomio está formado solo por letras, su coeficiente es 1.1 ? x3 = x3 " Coeficiente 1

1 Decide si los siguientes monomios son semejantes.

a) 3xy y -6xy c) 9xyz y 18xyzb) -5x2 y -5y2 d) 24xy, -12xy y 8xy


11 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios.

a) 7x2yz b) -2xy3z2 c) 15x2 d) 8xy2

e) 3abc f) -4a2bc4 g) 9m2 h) 6

74

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Operaciones con monomios4

La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o res-tando) los coeficientes y manteniendo la misma parte literal.

Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja indicada.

12 Haz la suma y la resta de estos monomios.

a) 7ab4 y 3ab4 Son semejantes " )7ab4 + 3ab4 = (7 + 3)ab4 = 10ab4

7ab4 - 3ab4 = (7 - 3)ab4 = 4ab4

b) 7b4 y 3ab4 No son semejantes " )7b4 + 3ab4

7b4 - 3ab4

EJEMPLO

13 Realiza estas operaciones con monomios.

a) 2x2 ? 3x4 = (2 ? 3) ? (x2 ? x4) = 6x2+4 = 6x6

b) 5xy2 ? y = (5 ? 1) ? (xy2 ? y) = 5xy2+1 = 5xy3

c) 12x5 : 4x3 = (12 : 4) ? (x5 : x3) = 3x5-3 = 3x2

EJEMPLO

Las operaciones con monomios siguen las mismas reglas que las operacio-nes con números.

4.1 Suma y resta de monomios

4.2 Multiplicación y división de monomios


Cómo se realizan productos y cocientes de potencias

am ? an = am + n

34 ? 36 = 34 + 6 = 310 (-2)3 ? (-2)5 = (-2)3 + 5 = (-2)8

am : an = am - n

38 : 36 = 38 - 6 = 32 (-2)4 : (-2) = (-2)4 - 1 = (-2)3

• Para multiplicar monomios, por un lado, multiplicamos sus coefi-cientes y, por otro, sus partes literales.

• Para dividir monomios, por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede).

14 Realiza las siguientes operaciones.

d) -4x3 ? 2x f) 9a : 3a g) -10x3y2 : x2ye)

21

43

?a a3 2

k) 10x3 : 2xy2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER14 Realiza las siguientes operaciones.

a) 5x + 2x h) 5x2 + 7xb) -3y2 + 4y2 i) 4x - 5xyc) 2ab2 - a2b j) -3x + 4y2

75

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SE ESCRIBE ASÍ

Para designar los polinomios utilizamos una letra mayúscula, indicando entre paréntesis las letras que aparecen en el polinomio.

P(x) = 5x5 + 4x4 - 7

Polinomios5

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes.

Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente.

El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado del polinomio.

14 Determina los elementos y el grado de este polinomio:

Polinomio

3y2 - 22xy3 + y2 - 14y + 3x + 5

Términos

Término de mayor grado: -22xy3 " Grado del polinomio: 1 + 3 = 4

EJEMPLO

F Término independiente

Antes de trabajar con un polinomio, se suman

o se restan sus monomios semejantes.

3x2y2 - xy + x2y2 == 4x2y2 - xy

El polinomio opuesto de P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando de signo los coeficientes de todos los términos de P(x).

EJEMPLO

4 Escribe el polinomio opuesto de P(x) = -2x4 + 3x3 + x - 7.

-P(x) = -(-2x4) - (+3x3) - (+x) - (-7) == 2x4 - 3x3 - x + 7

2 Escribe el polinomio opuesto en cada uno de estos polinomios.

a) P(x) = 6x3 - 2x2 + xb) P(x) = -x2 - 7x + 3c) P(x) = -11x5 - x2 - 5d) P(x) = 3x3 + x2 + 7


17 Reduce los términos semejantes en estos polinomios, ordena sus términos, de mayor a menor grado, e indica su grado.

a) P(x) = 5x3 - x + 7x3 - x2 + 8x - 2b) Q(x) = 12 + x2 + 7x - x4 - 8 + 3x2

c) R(x) = 9x - 4x2 - 6 - 10x + 1


Cómo actúa un signo delante de un paréntesis

• Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen.

• Si el paréntesis viene precedido por el signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto.

4 + (6 - 2) + 7 - (8 - 3 - 5) = 4 + 6 - 2 + 7 - 8 + 3 + 5 = 15

F

F+(6 - 2) =+6 - 2

-(8 - 3 - 5) = -8 + 3 + 5

76

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Valor numérico de un polinomio


Cómo se realizan operaciones combinadas con números enteros

Al operar con números enteros resolvemos:

1.º Las operaciones que hay entre corchetes y paréntesis.2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

EJEMPLO


(-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6)] : (-2) =FCorchetes y paréntesis

= (-5) ? [-3 + 7] +(+6) : (-2) == (-5) ? (+4) +(+6) : (-2) =FMultiplicaciones y divisiones

=(-20) + (-3) =FSumas y restas

=-20 -3 =-23

El valor numérico de un polinomio P(x), para un valor x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando.

18 Calcula el valor numérico de estos polinomios para x = -3.

a) ( ) xQ x23

21-= b) ( ) 5 7

23

R x xx

=- + +


3 Halla el valor numérico de estos polinomios para x = 1 y x = -1.

a) P(x) = x3 - 2x2 + xb) Q(x) = -x2 + 3x + 1

EJEMPLOS

15 Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x3 + x - 3, para x = 2.

P(x) = 5x3 + x - 3 x = 2

" P(2) = 5 ? 23 + 2 - 3 = 39

El valor numérico de P(x) para x = 2, P(2), es 39.

6 Calcula el valor numérico de P(x) = -2x4 + 3x3 - x para x = -1.

P(x) = -2x4 + 3x3 - x x = -1

" P(-1) = -2 ? (-1)4 + 3 ? (-1)3 - (-1) == -2 ? 1 + 3 ? (-1) + 1 == -2 - 3 + 1 = -4

El valor numérico de P(x) para x = -1, P(-1), es -4.

77

294758 _ 0070-0087.indd 77 13/06/12 11:19

16 Realiza estas operaciones, P(x) + Q(x) y P(x) - Q(x), siendo:

P(x) = -x5 + 4x3 - 5x + 1 Q(x) = -2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7

Para sumar, disponemos en columna los monomios semejantes:

P(x) + Q(x) "

-x5 + 2x4 + 4x3 - x2 - 5x + 1+

-x5 - 2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7-x5 - 2x4 + 7x3 + x2 - 0x - 6

La suma de polinomios se puede realizar también en horizontal. Para ello, suprimimos los paréntesis y sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = (-x5 + 4x3 - 5x + 1) + (-2x4 - 3x3 + x2 + 5x -7) = = -x5 + 4x3 - 5x + 1 - 2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7 = = -x5 - 2x4 + 4x3 - 3x3 + x2 - 5x + 5x + 1 - 7 = = -x5 -2x4 + x3 + x2 - 6

Para restar, determinamos primero el polinomio opuesto del segundo:

Q(x) = -2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7 Opuesto

" -Q(x) = 2x4 + 3x3 - x2 - 5x + 7

P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x)) "

-x5 + 2x4 + 4x3 - x2 - 15x + 1+

-x5 + 2x4 + 3x3 - x2 - 15x + 7-x5 + 2x4 + 7x3 - x2 - 10x + 8

La resta de polinomios se puede realizar también en horizontal. Para ello, suprimimos los paréntesis y sumamos los monomios semejantes.

P(x) - Q(x) = (-x5 + 4x3 - 5x + 1) - (- 2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7) = = -x5 + 4x3 - 5x + 1 + 2x4 + 3x3 - x2 - 5x + 7 = = -x5 + 2x4 + 4x3 + 3x3 - x2 - 5x - 5x + 1 + 7 = = -x5 + 2x4 + 7x3 - x2 - 10x + 8

EJEMPLO

Operaciones con polinomios

6.1 Suma y resta de polinomios

6

Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restarlos, suma-mos al primero el polinomio opuesto del segundo.

El signo – delante del paréntesis cambia el signo de todos los términos del polinomio.–(–x 2 – x + 8) = x 2 + x – 8

20 Realiza las siguientes operaciones con estos polinomios: P(x) = x2 - 3x + 7 S(x) = 8x - 2 Q(x) = 5x3 - 6x2 + x - 3 R(x) = 7x2 + 4

a) Q(x) + S(x) c) P(x) + Q(x)b) R(x) - P(x) d) Q(x) + R(x)


4 Suma estos polinomios.

P(x) = 2x3 - 7x2 + x Q(x) = -x2 - 2x + 1

5 Resta estos polinomios.

P(x) = 5x4 - 3x2 + 4xQ(x) = -x2 + 2x + 1

78

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6.2 Producto de un número por un polinomio

Para multiplicar un número por un polinomio, multiplicamos el nú-mero por cada uno de los términos del polinomio.

17 Multiplica el polinomio P(x) = 4x5 + 6x3 - 2x2 + 7x - 5 por 5.

La multiplicación de un número por un polinomio se puede realizar en horizontal o en vertical.

5 ? P(x) " 24x5 + 26x3 - 22x2 + 27x2 - 5

# 520x5 + 30x3 - 10x2 + 35x - 25

5 ? P(x) = 5 ? (4x5 + 6x3 - 2x2 + 7x - 5) = 20x5 + 30x3 - 10x2 + 35x - 25

EJEMPLO

6.3 Producto de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

18 Multiplica el polinomio P(x) = -x5 + 4x3 - 5x + 1 por el monomio 3x2.

La multiplicación de un monomio por un polinomio se puede realizar en horizontal o en vertical.

3x2 ? P(x) "

-x5 + 4x3 - 5x + 1# 3x2

-3x7 + 12x5 - 15x3 + 3x2

3x2 ? P(x) = 3x2 ? (-x5 + 4x3 - 5x + 1) = -3x7 + 12x5 - 15x3 + 3x2

EJEMPLO


Cómo se aplica la propiedad distributiva

La propiedad distributiva permite transformar un producto en una suma o una resta.

7 ? (4 + 5) = 7 ? 4 + 7 ? 5 (4 + 5) ? 7 = 4 ? 7 + 5 ? 7

7 ? (4 - 5) = 7 ? 4 - 7 ? 5 (4 - 5) ? 7 = 4 ? 7 - 5 ? 7


a) (18x5 - 10x4 + 6x2) ? (-2x)b) (12x4 - 24x3 + x2) ? 3x2

c) (6x2 - 8x + 3) ? (3x - 1)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER20 Realiza las siguientes operaciones.

P(x) = x2 - 3x + 7 S(x) = 8x - 2 Q(x) = 5x3 - 6x2 + x - 3 R(x) = 7x2 + 4

a) 3 ? S(x) c) 2 ? Q(x) d) P(x) ? 7

79

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22 Extrae factor común en estos polinomios.

b) x2 + 2x = x ? x + 2 ? x " Factor común: xx2 + 2x = x ? (x + 2)

c) 6x2 + 2x = 2 ? 3 ? x ? x + 2 ? x " Factor común: 2x6x2 + 2x = 2x ? (3x + 1)

d) 24x3 + 72x2 - 6xPara determinar si un número es factor común hallamos el m.c.d. de los coeficientes de cada término.

m.c.d. (6, 24, 72) = 6Además, en este caso la x se repite en todos los sumandos.

24x3 + 72x2 - 6x = 6x ? (4x2 + 12x - 1)

Cuando el factor común coincide con cualquiera

de los sumandos, en su lugar queda la unidad.

a · b + a = a · (b + 1)

Factor común

La propiedad distributiva nos permite transformar un producto en una suma o una resta, y viceversa.

7 ? (3 + 5) = 7 ? 3 + 7 ? 5 " 7 ? 3 + 7 ? 5 = 7 ? (3 + 5)4 ? (6 - 2) = 4 ? 6 - 4 ? 2 " 4 ? 6 - 4 ? 2 = 4 ? (6 - 2)

Este último proceso se denomina sacar factor común.

7

Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.

Factor común" Factor común

"a ? b + a ? c = a ? (b + c) a ? b - a ? c = a ? (b - c)!

Propiedad distributiva !Propiedad distributiva


Cómo se calcula el máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes.

18 2 9 33 31

30 215 35 51

18 2 330 2 3 5

?? ?

2==

2 " m.c.d. (18, 30) = 2 ? 3 = 6

EJEMPLO

29 Determina si se puede sacar factor común, y hazlo en los casos en los que sea posible.

a) -5x4 + 2x3 e) 7x2 - 4y2

b) 3x2 + 6x2 - 9x3 f) 3x2 + 2c) 3x2 - 3x + 3 g) 12x - 4yd) x6 - x3 h) 5x2 - 10


6 Extrae factor común en los siguientes polinomios.

a) x3 - 6x2 + xb) -4x2 + 2x + 8c) 12x6 - 6x4 + 10x2

d) -4x10 - 2x5

80

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Igualdades notables

24 Calcula el cuadrado de esta diferencia:

(5x2 - 1)2 = (5x2)2 - 2 ? 5x2 ? 1 + 12 = 52 ? (x2)2 - 10x2 + 1 = 25x4 - 10x + 1 F

a = 5x b = 1

EJEMPLO

8.2 Cuadrado de una diferencia

8.1 Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

23 Calcula el cuadrado de esta suma:

(x + 3)2 = x2 + 2 ? x ? 3 + 32 = x2 + 6x + 9 F

a = x b = 3

EJEMPLO

8

Al elevar un monomio a una potencia tenemos que elevar a la potencia el coeficiente

y la parte literal.

(5x2)2 = 52 · (x2)2 = 25x4

SE ESCRIBE ASÍ

Cuando un polinomio tiene dos términos se denomina binomio. Así, por ejemplo, x3 - 3x es un binomio.

El producto de una suma por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

(a + b)(a - b) = a2 - b2

25 Simplifica estos productos.

a) (x + 3)(x - 3) = x2 - 32 = x2 - 9 b) (5 + 2x)(5 - 2x) = 52 - (2x)2 = 25 - 4x2

F F

a = x b = 3 a = 5 b = 2x

EJEMPLO

8.3 Suma por diferencia

35 Expresa estos productos como una diferencia de cuadrados.

a) (x + 4)(x - 4) b) (x2 - 1)(x2 + 1)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER32 Calcula los cuadrados de estas sumas

y diferencias.

a) (4x + 5)2 e) (3a - 5b)2 f) (8 - 3x)2

81

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1. CALCULAR EL VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = x3 + 4x - 7 para x = 2.

PRIMERO. Sustituimos la variable x por el valor numérico que nos dan.P(x) = x3 + 4x - 7

F x = 2

P(2) = 23 + 4 ? 2 - 7

SEGUNDO. Realizamos las operaciones.P(2) = 23 + 4 ? 2 - 7 = 8 + 8 - 7 = 9

El valor numérico de P(x) para x = 2, P(2), es 9.

1. SUMAR POLINOMIOS

2. RESTAR POLINOMIOS

Calcula: (3x5 - 5x2 + x - 7) - (7x2 - 5x)

PRIMERO. Hallamos el polinomio opuesto del segundo polinomio.

7x2 - 5x Opuesto

" -7x2 + 5x

SEGUNDO. Sumamos los polinomios.(3x5 - 5x2 + x - 7) - (7x2 - 5x) = = (3x5 - 5x2 + x - 7) + (-7x2 + 5x) = = 3x5 - 5x2 - 7x2 + x + 5x - 7 = = 3x5 - 12x2 + 6x - 7

2. MULTIPLICAR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Calcula: (-x3 - 2x - 7) ? 2x2

PRIMERO. Multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

(-x3 + 2x - 7) ? 2x2 == -x3 ? 2x2 + 2x ? 2x2 -7 ? 2x2

SEGUNDO. Realizamos las operaciones.-x3 ? 2x2 + 2x ? 2x2 -7 ? 2x2 =

= -2x5 + 4x3 -14x2 Por tanto:(-x3 + 2x - 7) ? 2x2 = -2x5 + 4x3 -14x2

Lenguaje algebraicoEl doble de un número " 2x + 1más uno

MonomioMonomio

4 x2

Coeficiente Parte literal

Monomios semejantes

17x3y -5x3y

Misma parte literal

PolinomioPolinomio

3y2 -22xy3 + y2 + 5

Términos

Igualdades notables

• Cuadrado de una suma(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

• Cuadrado de una diferencia(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

• Suma por diferencia(a + b)(a - b) = a2 - b2

14243Expresión algebraica

GradoF

Término independiente

F

Calcula: (3x5 - 5x2 + x - 7) + (7x2 - 5x)

PRIMERO. Agrupamos los monomios semejantes.

(3x5 - 5x2 + x - 7) + (7x2 - 5x) == 3x5 - 5x2 + 7x2 + x - 5x - 7

SEGUNDO. Operamos.

3x5 - 5x2 + 7x2 + x - 5x - 7 = 3x5 + 2x2 - 4x - 7

Semejantes

142432x2

1442443Semejantes

14243-4x

14243

82

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1. Escribe dos monomios y dos polinomios de grado 2.

2. Calcula.a) (x3 + 7x)2

b) (x2 - 4x3)2

c) (2x2 + x)(2x2 - x)

Calcular el valor numérico de un polinomio

1. Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 2x2 - 3x - 5 para x = -1.

Sumar polinomios

3. Halla el resultado de estas sumas. a) (7x4 - x3 + 5x2 + 2x + 1) + (x3 - 5x - 7)b) (3x5 - 6x2 + 7x - 1) + (x4 - 2x2 + 3x)c) (2x3 - x2 + 1) + (3x5 - x4 + x3)

Restar polinomios

4. Indica el resultado de las restas.a) (7x4 - x3 + 5x2 - 2x + 1) - (x3 - 5x - 7)b) (3x5 - 6x2 + 7x - 1) - (x3 - 5x - 7)c) (6x4 + 8x - 9) - (x4 - 6x + 2)

Multiplicar un polinomio por un monomio

2. Calcula: (3x4 - 7x3 + 2x - 5) ? (-3x2).

Sacar factor común

7. Saca factor común en:a) 9x3y - 12x2y2 - 18xy3

b) -3xy2 + 18x2y2 + 27x4y3

Expresar igualdades notables como polinomios

3. Calcula.a) (2x - 7)2 b) (7x + 4)(7x - 4)

Y AHORA… PRACTICA

5. SACAR FACTOR COMÚN

Extrae factor común en este polinomio:

6yx5 - 8y2x4 - 12x2

PRIMERO. Comprobamos si hay letras que se repiten en todos los sumandos. Si las hay, tomamos las que se repiten con menor exponente.

x se repite en todos los sumandos.x con menor exponente " x2

SEGUNDO. Hallamos el m.c.d. de los coeficientes de cada término.

m.c.d. (6, 8, 12) = 2

TERCERO. El factor común del polinomio serán las letras y el número que hemos obtenido.

Factor común = 2x2

CUARTO. Dividimos el polinomio entre el factor común, y expresamos el polinomio como producto del factor común por el polinomio resultante de la división.

6yx5 - 8y2x4- 12x2 : 2x2

" 3yx3 - 4y2x2 - 6 6yx5 - 8y2x4- 12x2 = 2x2 ? (3yx3 - 4y2x2 - 6)

3. EXPRESAR IGUALDADES NOTABLES COMO POLINOMIOS

Calcula.a) (x + 4)2

b) (x2 - 5)2

c) (3x + 2)(3x - 2)

PRIMERO. Determinamos los monomios que forman el polinomio.

a) (x + 4)2 a xb 4

==" (

b) (x2 - 5)2 a xb 5

2==" )

c) (3x + 2)(3x - 2) a xb

32

==" (

SEGUNDO. Aplicamos la igualdad notable correspondiente.

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(x + 4)2 = x2 + 2 ? x ? 4 + 42 = x2 + 8x + 16

b) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(x2 - 5)2 = (x2)2 - 2 ? x2 ? 5 + 52 = x4 - 10x2 + 25

c) (a + b) (a - b) = a2 - b2

(3x + 2)(3x - 2) = (3x)2 - 22 = 9x2 - 4

83

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ActividadesLENGUAJE ALGEBRAICO

38. ● Expresa en lenguaje algebraico.

a) El doble de un número más 5.b) El triple de un número menos 6.c) El doble de la suma de un número más 4.d) La mitad de la diferencia de un número

menos 8.e) El cuadrado de la suma de un número más 7.f) El cubo de la mitad de un número.

45. ● Calcula el valor numérico de la expresión 2x - 3 para estos valores de x.

a) x = 1 c) x = -2

b) x = 0 d) 21

x =

46. ● Determina el valor numérico de la expresión 3x2 - 2y + 4 para los valores de x e y:

a) x = 1, y = -2b) x = -1, y = -3

c) x = 0, y = -1d) x = -2, y = 0

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE HALLA UN COEFICIENTE DESCONOCIDO EN UN POLINOMIO SI SE CONOCE UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS?

7. Calcula el valor de a en el polinomio x2 + ax - 9 si su valor numérico para x = 3 es 36.

PRIMERO. Se sustituye x por su valor en el polinomio y se iguala al resultado.

x2 + ax - 9 x = 3

" 32 + a ? 3 -9 =36

SEGUNDO. Se despeja a en la expresión que resulta.32 + a ? 3 - 9 = 36 " 9 + a ? 3 - 9 = 36

" a ? 3 = 36 " a = 336

= 12

47. ●● Halla el valor de a en la expresión 4x3 + 3x2 - ax - 5, sabiendo que su valor numérico para x = -1 es 0.

48. ●● Calcula el valor de a en la expresión -2x2 - 3x - a, si su valor numérico para x = 3 es -5.

MONOMIOS

49. ● Copia y completa la siguiente tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

-8xyz2

3a2b4

4 x3y2 5

-9 a2bc 4

-3xy3

8x2y

1 z6 6

50. ● Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Razona tu respuesta.

a) 12ab y -2ab son semejantes.b) 7xyz y -7xy son opuestos.c) 7xy2z y -7x2yz son semejantes y opuestos.

d) 3xy2 y -3xy2 son semejantes y opuestos.

51. ●● Escribe, si es posible.

a) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes y no opuestos.

b) Dos monomios de grado 5 que sean opuestos y no semejantes.

c) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes y opuestos.

OPERACIONES CON MONOMIOS

52. ● Haz estas operaciones de monomios.

a) -x2 + x + x2 + x3 + x b) 2x3 - (x3 - 3x3) c) 8x2 - x + 9x + x2 d) 8xy2 - 5x2y + x2y - xy2

e) -3x + 7y - (8y + y - 6x)

f) 34

25

47

xy xy xy xy- + -

g) 2x2 ? 4x3 ? 5x6

h) -3x ? (-2x) ? 47

x

i) 7x3 ? 5x ? 9x4

j) 15x3 : 5x2

k) -8x3y2 : 2x2yl) 10x4yz2 : 5xyz

84

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8. ● Realiza estas operaciones con monomios.

a) -x3 - 12x3 + x3 + 3x3

b) 2x2y - 7x2y + 9x2y + 3x2yc) 11xy ? (-2xy)d) 121x2yz : 11x2yz

53. ●● Razona si las igualdades son verdaderas o falsas, y corrige los errores cometidos.

a) a + a = 2ab) 2a + a = 2a2

c) 2a - a = 2d) 2a - 2 = ae) 2a - b = 2 ? (a - b)f) 2a + 3a = 5ag) 2a + 3b = 5abh) 2a2 = 4a

54. ●● Escribe 12x2y como:

a) Suma y/o resta de tres monomios.b) Producto de tres monomios.c) Cociente de dos monomios.

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS DE MONOMIOS?

55. Resuelve: 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x)

PRIMERO. Se resuelven las operaciones que hay entre paréntesis.

8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) = = 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2

SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 =8x2 - 3x2 + 5x2

TERCERO. Se resuelven las sumas y restas en el mismo orden.

8x2 - 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2

HAZLO ASÍ

56. ●● Opera y reduce.

a) 12x ? 3x2 : x + 14x ? x3 : 7x2

b) 16x ? x3 : (-4) + 9x5 : x4 ? (-3x3)c) 3x2 ? (10 ? 5x3) - 10x4 ? 6x2 : 2xd) (5x2 - 2x2 + 7x2) ? (4x3 - x3 + 6x3)e) (-4xy2 + 9xy2) : (3xy + 2xy)f) (x3 - 8x3 + 4x3) ? (y - 3y + 5y)

POLINOMIOS

57. ● Indica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones referidas a 2x + 3.

a) 3 es el coeficiente de x.b) 3 es el término independiente.c) Hay tres términos.d) La x es la incógnita.

58. ● Señala los términos, coeficientes, variables y grados de estos polinomios.

a) 2x + 3y - 2 c) 2a + 2b + 3cb) 5 - 2x + 8y - 3x2 d) 7 + 5t - 2z2 - 3y

59. ● Identifica estos elementos de los polinomios.

a) Número de términos de x3 - x2 + 4x + 5x4 - 6.b) Término independiente de y + 3y4 - 3y3.c) Grado de R(x, y) = 5x3y2 + 6y4 - 3x4y3 + 8x2.

d) Coeficientes de 3

7 2 10x x3- +.

60. ● Escribe un polinomio de una variable, con grado 7, que tenga 6 términos y cuyo término independiente sea -2.

61. ● Indica el grado de los polinomios.

a) 5x2 - 2xy 2 c) 4x2 + 5x2y 2 - 10xyb) 8a3b2 + 5a2b3c d) a2bc - 2abc + 6a2b3

9. ● Escribe el polinomio opuesto en cada caso.

a) P(x) = -x3 - 12x2 +x +3b) P(x) = 5x2 - x +11

10. ● Halla el valor numérico de los siguientes polinomios en x = -1.

a) P(x) = 2x3 - 7x2 + 5x -1b) P(x) = -3x2 + 2x -9c) P(x) = -x3 - x +2

62. ● Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores n = 1 y n = -2.

a) 3n2 + 4n c) n2 - 1b) n(n + 3) d) n2(n + 2)

63. ● Si P(x) = 3x4 - 2x3 + x2 - 5, calcula.

a) P(1) + P(0) - P(-2) c) 21

Pe ob) 2 ? P(2) + 3 ? (-P(-1))

85

294758 _ 0070-0087.indd 85 13/06/12 11:19

OPERACIONES CON POLINOMIOS

67. ● Con estos polinomios, calcula.

A(x) = 2x 3 - 3x 2 + x - 7B(x) = x 3 + 7x 2 - 4xC(x) = -2x 2 + x - 5

a) A(x) + B(x) + C(x) c) A(x) - B(x)b) B(x) + C(x) d) A(x) - B(x) - C(x)

11. ● Con los polinomios indicados, realiza estas operaciones.

P(x) = -2x 4 - 5x 2 - 1Q(x) = -x 5 + 3x 3 -7x 2+ 4R(x) = -x 2 + 2x - 3S(x) = -7x 5 + 3x 3 -2x - 8

a) P(x) + Q(x) + R(x)b) Q(x) + R(x)c) S(x) - P(x)d) Q(x) + S(x) - P(x)

68. ●● Halla dos polinomios cuya suma sea 4x3 - 6x2 + 7x - 2.

69. ●● Copia y completa.

a) 6x2 - 4x + 7 + d = 3x + 2b) 5x3 + 3x2 - 10 - d = x - x2 + 7c) 9x3 + x2 - 6x + 4 + d = 2x2 - x3 + x

70. ● Efectúa las siguientes operaciones.

a) (3x + 4) ? 2 c) (4x2 + x - 2) ? (-5)b) (x - 2) ? 4x d) (x2 + 3x - 6) ? (-3x3)

12. ●● Con los polinomios indicados, realiza estas operaciones.

P(x) = -x 4 + 7x 2 - xQ(x) = -3x 5 + 2x 3 -x 2+ 4R(x) = 5x 2 + 7x - 8

a) P(x) ? 5b) -4 ? Q(x)c) (P(x) - R(x)) ? 3xd) Q(x) + 4 ? R(x)

72. ● Opera y reduce términos semejantes.

77. ● Extrae factor común en cada caso.

a) 3x + 6x - 9x e) 10xy - 5xy + 15xyb) 4x - 12y f) 14x 4 - 35x 3 - 7x 2 + 42c) 10a - 10b + 10c g) 25m2n + 20m3n2 - 30m4

d) 3ab + 5ab h) x2y - xy3 + xy

78. ●● Extrae factor común.

a) 4x5 + 3x4 - 5x2 c) 10x2y - 15xy + 20xy2

b) -6y4 + 8y3 + 4y d) 3z4 + 9z2 - 6z3

13. ●● Extrae factor común en los siguientes polinomios.a) 24x 4 - 18x 2 - 9b) -3x 6 - 6x 2 - 9c) 36x 12 + 12x 4

d) -8x 9 + 4x 3 - 32x

14. ●● Extrae factor común.a) -25x 4 - 100x 2 - 50b) -30x 3 - 15x 2 - 5xc) 49x 12 + 28x 24 + 21x 6

d) -18x 8 - 27x 4 - 30x2

IGUALDADES NOTABLES

79. ● Desarrolla las igualdades notables.

a) (x - 5)2 c) (4 + a)2

b) (2x + 3y)2 d) (3a - 6b)2

80. ●● Calcula.

a) (x2 + y 2)2 c) (x2 - y 2)2

b) (3x2 - 5y 3)2 d) (1 + a4)2

81. ● Expresa como una diferencia de cuadrados.

a) (x + 1)(x - 1)b) (5 + ab)(5 - ab)c) (3a - 2b)(3a + 2b)d) (2 + 7x2y)(2 - 7x2y)

82. ●● Corrige los errores cometidos.

a) (x + 2)2 = x2 + 4b) (x - 3)2 = x2 + 6x - 9c) 5 + 2 ? (x + 1)2 = 10 ? (x + 1)2 = (10x + 10)2

15. ●● Copia y completa estas igualdades.a) (x + 7)2 = x 2 + d + 49b) (2x - 2)2 = 4x 2 - 8x + dc) (x + d)(x - d) = x 2 - 64

86

294758 _ 0070-0087.indd 86 13/06/12 11:19

83. ●● Copia y completa los términos que faltan.

a) (2x + 4)2 = d + 16x + db) (3x2 - 2)2 = 9d + d -12x2

c) (d + 5)2 = x4 + 10d + dd) (3 - d)2 = d + 16x2 - 24x

HAZLO ASÍ

¿Cómo se expresan polinomios de la forma a2 + 2ab + b2 o a2 - 2ab + b2 Como el Cuadrado de una suma o una diferenCia?

16. Expresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o una diferencia.a) 4x2 + 12x + 9 b) 16x4 - 40x2 + 25

PRIMERO. Se identifican los términos que corresponden a a2 y b2.• El término independiente del polinomio debe

corresponder a b2.• El término con x de mayor grado del polinomio debe

corresponder a a2.a) Término independiente:

b2 = 9 " b = 3Término de mayor grado:a2 = 4x2 " a = 2x

b) Término independiente:b2 = 25 " b = 5Término de mayor grado:a2 = 16x4 " a = 4x2

SEGUNDO. Se comprueba que el término restante corresponde a 2ab.

a) 12x a = 2x b = 3

" 2ab = 2 ? 2x ? 3 = 12x

b) 40x2 a = 4x2 b = 5

" 2ab = 2 ? 4x2 ? 5 = 40x2

TERCERO. Si el signo de este último es positivo, la expresión buscada es del tipo (a + b)2, y si es negativo, (a - b)2.a) En este caso es positivo:

4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2

b) En este caso es negativo: 16x4 - 40x2 + 25 = (4x2 - 5)2

85. ●● Expresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o una diferencia.

a) x2 + 4x + 4b) 4x2 - 12x + 9

c) 41

x2 - x + 1

d) x4 + 2x2 + 1e) 9x4 + 6x3 + x2

f) 9x4 + 6x2y + y2

¿CÓMO SE EXPRESA UN POLINOMIO DE LA FORMA a2 - b2 COMO UNA SUMA POR DIFERENCIA?

86. Expresa P(x) = 16 - x2 como una suma por diferencia.

PRIMERO. Se identifican a y b.a2 = 16 " a = 4 b2 = x2 " b = x

SEGUNDO. Se aplica la igualdad. a2 - b2 = (a + b)(a - b)16 - x2 = 42 - x2 = (4 + x)(4 - x)

HAZLO ASÍ

87. ●● Expresa los polinomios como producto de una suma por diferencia.

a) 100 - 64x2 d) 9x6 - x8

b) 49x4 - 36x2 e) 16x2 - 25c) 1 - x2 f) x4 - 4

PROBLEMAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

88. ●● El precio del kilo de naranjas es x y el de uvas es y. Expresa en lenguaje algebraico.

a) El precio de 2 kg de naranjas y 3 kg de uvas.b) Las uvas cuestan el doble que las naranjas.c) El precio de 1,5 kg de naranjas y 2,5 kg

de uvas.

89. ●● Si x es la edad actual de Jorge y Pedro tiene 8 años más que él, contesta a estas preguntas utilizando expresiones algebraicas.

a) ¿Cuál será la edad de Jorge dentro de 20 años?b) ¿Qué edad tenía Jorge hace 7 años?c) ¿Cuándo tendrá Jorge el doble

de la edad que tiene ahora?d) ¿Cuál es la edad actual

de Pedro?e) ¿Cuál será la edad

de Pedro dentro de 15 años?

f) ¿Hace cuántos años Pedro tenía la mitad de la edad actual de Jorge?

g) ¿Dentro de cuántos años tendrá Jorge el doble de la edad actual de Pedro?

87

294758 _ 0070-0087.indd 87 13/06/12 11:19

París bien vale una misaCuando su primo Enrique III, el último de la dinastía Valois, lo nombró su sucesor, Enrique IV ya sabía que el camino al trono se hallaba sembrado de espinas.

Las guerras de religión habían dividido no solo a Francia, sino a toda Europa, y aunque él había sido bautizado católicamente, fue educado en la doctrina de Calvino, y las sufrió en sus propias carnes. Todavía recordaba cómo, después de llevar cuatro años reinando en Francia, tuvo que abjurar de su fe y abrazar nuevamente la doctrina católica para que la Santa Liga de París lo aceptara como rey.

Las disputas de poder contra el católico Felipe II continuaban años después y, mientras leía la misiva que su secretario le había traído, Enrique IV se asombraba por el talento de François Viète para interpretar los mensajes cifrados que los españoles utilizaban para comunicarse entre ellos.

Cerró los ojos e intentó recordar alguna de las nociones de álgebra que Viète logró hacerle comprender. Recordó así que usaba las consonantes, B, C, D…, para suplir las cantidades conocidas, y las vocales, A, E, I…, para las desconocidas.

6Ecuaciones de primer y segundo grado

1.BuscainformaciónsobrelavidadeFrançoisVièteysurelaciónconlacortedeEnriqueIIIyEnriqueIV.

2.AveriguacómoescribiríaVièteunaecuacióndesegundogrado.

3.Investigasobrelaevolucióndelálgebraalolargodelahistoria.


294758 _ 0088-0103.indd 88 13/06/12 12:27



• Reconocerlosdistintoselementosdeunaecuación.

• Resolverecuacionesdeprimergrado.

• Resolverproblemasmedianteecuacionesdeprimergrado.

• Resolverecuacionesdesegundogrado.

• Comprobarlasolucióndeunaecuación.

PLAN DE TRABAJO

MONOMIOS. OPERACIONES CON MONOMIOS

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras.

8x3y

Coeficiente Parte literal

Grado de un monomio

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

6x3 " Grado: 3

2x3y2z " Grado: 3 + 2 + 1 = 6

Suma y resta de monomios semejantes

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

• La suma de dos monomios semejantes se realiza sumando los coeficientes y manteniendo la parte literal.

• La resta de dos monomios semejantes se realiza restando los coeficientes y manteniendo la parte literal.

Por ejemplo, los monomios 6x3y y 4x3y son semejantes, ya que tienen la misma parte literal, x3y. Por tanto, podemos sumarlos o restarlos.

• Suma: 6x3y + 4x3y = 10x3y

• Resta: 6x3y - 4x3y = 2x3y

Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja

indicada.

1. Determina el grado de estos monomios.a) 5x2y6 e) 6xy4

b)-9x5 f) 4x2y7

c) 7x5y g)-7x3

d)-2x2 h) 5z2y

1 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios.

a) 4xyz d)-3xy4

a) 7y2 d) 9xy5zb)-4xy e) -5x

3. Comprueba si estos monomios son semejantes, y en caso afirmativo, halla su suma y su resta.a) 12x2y4x2 c) 9xy2y7x2y e) -5xyy4xyb) 73xyy18xy d)-18x3y2y7x2y3 f) -7x2yzy3x2y

EVALUACIÓN INICIAL

89

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Elementosde una ecuación


Cuáles son los elementos de un polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes.

Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente.

El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado del polinomio.

Polinomio

3y2 - 22xy3 + y2 - 14y + 3x+ 5 $Términoindependiente

Términos

Término de mayor grado: -22xy3 " Grado: 1 + 3 = 4

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no es cierta para todos los valores de las letras.

• �Miembro. En una ecuación hay dos expresiones separadas por el signo igual. La expresión situada a la izquierda se denomina primer��miembro, y la situada a la derecha, segundo�miembro.

• �Término. Es cada uno de los sumandos de los miembros. Si está forma-do por un solo número se denomina término�independiente.

• �Incógnitas. Son las letras cuyos valores son desconocidos. • �Grado. Es el mayor grado de sus términos, después de realizar las

operaciones que se indican en la ecuación.

EJEMPLOS

3 Indica cuáles son los miembros y los términos de estas ecuaciones.

1.ermiembro 2.ºmiembro 1.ermiembro 2.ºmiembro

14x2 - 3x = 4 + x"Incógnitas:x,y 3x - 1 = 0"Incógnita:x

Términos Términos

4 Determina el grado de las siguientes ecuaciones.a) 7x - 3 = 4 " Ecuacióndegrado1odeprimergradob) x2-2x-x+2=0" x2-3x+2=0

" Ecuacióndegrado2odesegundogrado

2

Antes de calcular el grado de una ecuación tenemos que reducir los términos

semejantes:

x2 - 3x + 1 - x2 = 0

-3x + 1 = 0

Grado 1

FF

4 Determina los miembros, los términos y el grado de estas ecuaciones.

c) x(x-2)=3-4(x+2)d) x-x2+3=8+x(5-x)e) x2(x-3)+5x2=x(1+x2)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER4 Determina los miembros, los términos

y el grado de estas ecuaciones.

a) x+3=10b) 4x-x=x+8c) x + 3x2 = 7 + 3x2

90

294758 _ 0088-0103.indd 90 13/06/12 12:27

Solución


Cómo se calcula la potencia de un número

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

Base F an = a ? a ? … ? a

• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva.

• Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar.

32 = 3 ? 3 = 9 53

53

125273

3

3

= =d n

(-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = -8

Cómo se calcula el valor numérico de un polinomio

Para calcular el valor numérico de un polinomio P(x) si x = a, sustituimos la variable x por el valor de a en el polinomio y operamos.

P(x) = 2x2 - x + 3 x = 2" P(2) = 2 ? 22 - 2 + 3 = 9

P(x) = 2x2 - x + 3 x = -3" P(-3) = 2 ? (-3)2 - (-3) + 3 = 24

• �Soluciones. Son los valores numéricos de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.

• �Resolver�una�ecuación es encontrar su solución.

EJEMPLOS

5 Determina si los valores 2 y 4 son solución de la ecuación x + 3 = 5.

x+3=5x=2" 2+3=5" 5=5.

Elvalorx=2essolución.

x+3=5x=4" 4+3!5" 7!5.

Elvalorx=4noessolución.

1 Decide si x = 3 y x = -1 son solución de x2 - x + 2 = 8.

x2-x+ 2=8x=3" 32-3+2=8" x=3essolución.

x2-x+ 2=8x=-1" (-1)2-(-1)+2!8" x=-1noessolución.

F

Exponente

2 Decide si x = -1 y x = 1 son solución de estas ecuaciones.

a) 3x2+8x=-5 b) 6x2-x=5

5 ¿Cuáles de estos valores son solución de la ecuación x(x + 1) = 6?

a) x=2 b) x=-2 c) x=3 d) x=-3


1 Decide si x = 2 y x = 1 son solución de estas ecuaciones.

a) 3x+x=8b)-5x+8=3c) 12x+ 4=14xd) 6x- 3x=2x+1e) -x+ 8=-2x+5

91

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Transposición de términos

podemos hacer que cualquier término pase al otro miembro de forma «inversa» a como estaba:

• Si estaba sumando, pasa restando; y si estaba restando, sumando.

EJEMPLO

2 Agrupa los términos con x en el mismo miembro en estas ecuaciones.

a) x + 13= 8- 2x

Agrupamoslostérminosconxenelprimermiembroylosnúmerosenelsegundo.

x+13=8-2x"x=8-2x-13"x+2x=8-13

Estásumando,pasarestandoEstárestando,pasasumando

b) x + 5= 7- 2x2

Agrupamostodoslostérminosenelprimermiembro.

x+5=7-2x2"x+5-7=-2x2"x+5-7+2x2=0

Estásumando,pasarestandoEstárestando,pasasumando

• Si estaba multiplicando, pasa dividiendo; y si estaba dividiendo, multiplicando.

EJEMPLO

3 Halla el valor de la incógnita en estas ecuaciones.

a) 5x= 10

Parahallarelvalordex,el5queestámultiplicandoenunmiembropasaalotromiembrodividiendo.

5x=10"x=5

10

Estámultiplicando,pasadividiendo

b) 6x

= 3

Parahallarelvalordex,el6queestádividiendoenunmiembropasaalotromiembromultiplicando.

6x

=3"x=3?6

Estádividiendo,pasamultiplicando

Esta técnica se denomina transposición�de�términos.

3Para resolver una ecuación

F F

F F

FF

4 Agrupa en el primer miembro.

a) 3x2=-6x+9 b) 7x=-12x2-25


3 Agrupa términos en estas ecuaciones.

a) 3x-6=27+9x b)-5x=45

92

294758 _ 0088-0103.indd 92 13/06/12 12:27

Resolución de ecuaciones de primer grado

4.1 Resolución de ecuaciones sencillas

Para resolver una ecuación de primer grado debemos agrupar los tér minos con la incógnita en uno de los miembros, y los términos numéricos, en el otro. Esto lo conseguimos aplicando la transposición de términos.

Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay números, decimos que hemos despejado la incógnita.

EJEMPLOS

4 Resuelve esta ecuación: 5x + 6 = 18 - x

1.º Agrupamoslostérminosconxenelprimermiembroylosnúmerosenelsegundo. Estárestando,pasasumando

5x+6=18-x"5x=18-x-6"5x+x=18-6

Estásumando,pasarestando

2.º Reducimostérminossemejantesrealizandolasoperaciones.5x+x=18-6"6x=12

3.º Aplicamosdenuevolatransposicióndetérminosparadejarla incógnitasolaenunmiembro,yhallamoslasolución.

6x=12"x=6

12"x=2

Estámultiplicando,pasadividiendo

9 Resuelve la ecuación 3x - 2 = 4 + x.

1.º Agrupamostérminos:• Agrupamoslostérminosnuméricos 3x-2 =4+x

enelsegundomiembro. Pasacomo+2

• Agrupamoslostérminosconx 3x=4 +x +2enelprimermiembro. Pasacomo-x

2.º Reducimostérminossemejantes. 3x-x=4+2 2x=6

3.º Despejamosxyhallamoslasolución. x=26

=3

4

F

F

F

F

F

10 Resuelve estas ecuaciones.

a) 2x + 4 = 16b) 7x + 8= 57c) x + 2= 16- 6xd) x -1=9-xe) 5x - 5= 25


7 Resuelve estas ecuaciones utilizando la transposición de términos.

a) x + 4= 12 e) 2x= 16b) 1- x = 12 f) 7x= 49c) x - 3= 8 g) 5x= 25d)-5+ x= -3 h) 2x= 5

Reducir términos semejantes significa

sumar o restar los términos.

SE ESCRIBE ASÍ

Aunquepararepresentarlasincógnitaspodemosutilizarcualquierletra,habitualmenteutilizaremoslax.

93

294758 _ 0088-0103.indd 93 13/06/12 12:27

4.2 Resolución de ecuaciones con paréntesis


Cómo actúa un signo delante de un paréntesis

• Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen.

• Si el paréntesis viene precedido por el signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto.

-(3 - 5) + 7 + (5 - 4) = -3 + 5 + 7 + 5 - 4 = 10

Cómo se aplica la propiedad distributiva

Esta propiedad permite transformar un producto en una suma o una resta.3 ? (2 + 5) = 3 ? 2 + 3 ? 5 (2 - 5) ? 3 = 2 ? 3 - 5 ? 3

Para resolver ecuaciones con paréntesis seguimos estos pasos:

1.º Eliminamos paréntesis. 2.º Agrupamos las x en un miembro, y los números, en el otro. 3.º Reducimos términos semejantes, si los hubiera. 4.º Despejamos x y hallamos la solución.

EJEMPLOS

5 Resuelve esta ecuación: 2(x - 6) + 1 = -x + 4

1.º Eliminamosparéntesis. 2x-12+1=-x+42.º Agrupamostérminos:

• Lostérminosconxenelprimer 2x-12+1+x =4miembro.

• Lostérminosnuméricosenelsegundo. 2x +x=4+12 -13.º Reducimostérminossemejantes. 3x=15

4.º Despejamosxyhallamoslasolución. x=315

"x=5

10 Resuelve la ecuación 2(x - 4) - (6 + x) = 3x - 4.

1.º Eliminamosparéntesis. 2x-8-6-x=3x-42.º Agrupamostérminos:

• Agrupamoslostérminosconx -8-6=3x-4-2x +xenelsegundomiembro.

• Agrupamoslostérminosnuméricos -8-6+4=3x-2x +xenelprimermiembro.

3.º Reducimostérminossemejantes. -10=2x

4.º Despejamosxyhallamoslasolución.x x2

10=- =" -5

F

F

10 Resuelve esta ecuación.

h) 4(x - 2)+ 1+ 3x = 5(x + 1)



f) 3x + 4= 2(x + 4) g) 5(x - 1)- 6x = 3x - 9

94

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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado


Cómo se traducen enunciados en expresiones algebraicas

Cualquier enunciado se puede traducir al lenguaje algebraico utilizando expresiones algebraicas.

Expresión escrita Expresión algebraica

El doble de un número, más 3 2x + 3El perímetro de un rectángulo 2x + 2y

Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos:

1.º Leemos atentamente el enunciado e identificamos la incógnita. 2.º Planteamos la ecuación. 3.º Resolvemos la ecuación. 4.º Comprobamos que la solución es válida y la interpretamos.

EJEMPLO

12 Si al dinero que tengo ahora le añadiera el doble y, además, otros 5 €, tendría 59 €. ¿Cuánto dinero tengo?

1.º Identificamoslaincógnita.Paraellodebemossabercuálessonlosdatosqueconocemosylosqueno.

Incógnita(x)" Dineroquetengo

2.º Planteamoslaecuación.

Eldineroquetengo " xEldobledeldineroquetengo " 2xEldineroquetengomáseldoble,más5€ " x+2x+5Eldineroquetengomáseldoble,más5€,es59€ " x+2x+5=59

3.º Resolvemoslaecuación.

x+2x+5=59" 3x=59-5" 3x=54"354

18x = =

4.º Comprobamoseinterpretamoslasolución.

x+2x+5=59x =18" 18+2?18+5=59" 18+36+5=59" 59=59

Lasolucióndelaecuaciónesválida.

INTERPRETACIÓN:Tengo18€.

5

Lo que sabemos… Lo que no sabemos…

Eldineroquetengomáseldoble,más5€,es59€

Dineroquetengo

18 El perímetro de un cuadrado es de 60 cm. Calcula la longitud de cada lado.


16 La suma de un número y el doble de ese número es 120. ¿De qué números se trata?

95

294758 _ 0088-0103.indd 95 13/06/12 12:27

14 Determina cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado con una incógnita.

-x2 + 2x = 4 7x2 - x = 0

x2 = 0 4

Sonecuacionesdesegundogradoconunaincógnita.

-x2 + 2y = 34 7x - x = 30 x2 = x3

4Nosonecuacionesdesegundogradoconunaincógnita.

EJEMPLO

15 Expresa estas ecuaciones en su forma general, y determina el valor de sus coeficientes.

ECUACIÓN FORMA GENERAL COEFICIENTES x2 + 2x - 1 = 0 x2+2x- 1=0 a=1-b=2-c=-13x2 - 2x - 5 3x2- 2x- 5=0 a=3-b=-2c=-5x2 = 25 x2- 25=0 a=1-b=0-c=-257x2 = 0 7x2=0 a=7-b=0-c=0-3x(x + 2) = 0 -3x2- 6x=0 a=-3b=-6c=0

EJEMPLO

Si en una ecuación de segundo grado a es 0:

ax2 + bx + c = 0 a = 0" bx + c = 0

En realidad es una ecuación de primer grado.

Ecuaciones de segundo grado6

Una ecuación�de�segundo�grado�con�una�incógnita es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con las siguientes características:

• Tiene una única incógnita.• Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de

grado mayor que 2.

Una ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar utilizando su forma�general:

ax2�+�bx�+�c�=�0, donde a, b y c son números conocidos y a ! 0.

Expresión general

27 Escribe una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes sean:

a) a=4,b=-3,c=-2b) a=6,b=0,c=-3c) a=-1,b=2,c=0d) a=-1,b=0,c=0

28 Determina si estas ecuaciones son de segundo grado.

a) 3x2- 5x+2=3x2+2x c) (x- 2)(x+1)=0b) 3x2- 2x2=2x2+x d) x(x+1)=x2+2x


26 Escribe la expresión general de estas ecuaciones de segundo grado, y determina sus coeficientes.

a) (x-1)(x+4)=1

b) x2-5x+2=-x2

c) 3x2-5=-2x2+x-4

d) x(4x+2)=0

e) 3x2-5x=0

f) -x2-x-1=0

g) (x-2)3x=4

96

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Resolución de ecuaciones de segundo grado


Cómo se calcula la raíz cuadrada de un número

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

4 2= porque 22 = 4 4 Lo escribimos como 24 !=

4 2=- porque (-2)2 = 4

Las soluciones de una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0 se obtienen aplicando la fórmula:

24 2

4

24

xa

b b acx

ab b ac

xa

b b ac

2 1

2

2

2

!=- -

=

=- + -

=- - -

*

La ecuación puede tener dos soluciones, una o ninguna.

EJEMPLO


a) x2- 2x=0"a=1,b=-2,c=0

( ) ( )?

? ?x

ab b ac x

x2

42 1

2 2 4 1 0 22 4

2

22 4

0

2 2 1

2

! !=- -

=-- - -

==+

=

=-

=

*

Estaecuacióntienedossoluciones:x1= 2 yx2= 0

b) 4x2 + 4x + 1 = 0 "a=4,b=4,c=1

?

? ?x

ab b ac

24

2 44 4 4 4 1 8

4 021

84 0

21

2 2 1

2

! !

+

==- -

=- -

-

- -

x

x

= =-

= =-*

Estaecuacióntieneunaúnicasolución:x=21

-

c) 2x2 + 3x + 3 = 0 "a=2,b=3,c=3

?

? ?ó

óx

x

x2 2

3 3 4 2 3 43 13

43 13

No soluci n

No existe soluci n

existe2 1

2

!=- -

=

=- + -

=- - -

"

"*

Estaecuaciónnotienesolución.

77

SE ESCRIBE ASÍ

Pararepresentarqueunaecuacióntienedossoluciones,unapositivayotranegativa,seutilizaelsigno!.

La raíz cuadrada de un número negativo no existe.Así, -13 no existe porque no hay ningún número tal

que al elevarlo al cuadrado dé -13.

32 Resuelve las siguientes ecuaciones.c) 3x2-4x+1=0 d)-x2+4x-3=0


32 Resuelve las siguientes ecuaciones.a) x2-6x+8=0 b) 2x2-x-1=0

97

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1. RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO

PRIMERO.Eliminamoslosparéntesis,siloshay. x-4x+7=8-2x-4

SEGUNDO.Agrupamostérminos:

• Agrupamoslostérminos x-4x+7+2x=8-4conxenelprimermiembro.

• Agrupamoslostérminos x-4x+2x=8-4-7numéricosenelsegundomiembro.

TERCERO.Reducimostérminossemejantes. -x=-3

CUARTO.Despejamosxyhallamoslasolución. x= x13

3-

-="

Resuelve la ecuación x - (4x - 7) = 8 - 2(x + 2).

Lo esencial

2. RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

PRIMERO.Identificamosloscoeficientesdelaecuación.a) a=2 b=-2 c=3 b) a=2 b=0 c=-50 c) a=2 b=-5 c=0

SEGUNDO.Aplicamoslafórmula:xa

b b ac2

42!=- -

a)( ) ( )

?

? ?x

2 22 2 4 2 3

42 202! !

=-- - -

=-

"Notienesolución.

b)2 2

0 0 4 2 ( 50)4

0 400 55?

? ?x

xx

21

2

! !=

- -= =

==-

)

c)( ) ( )

?

? ?x

x

x2 25 5 4 2 0

45 25 2

5

0

21

2

! !=-- - -

= ==

=*

Resuelve estas ecuaciones. a) 2x2 - 2x + 3 = 0 b) 2x2 - 50 = 0 c) 2x2 - 5x = 0

COMPRENDE ESTAS PALABRAS

Ecuación

Primermiembro Segundomiembro

3xy+4=12" (Incógnitas:x,yGrado:1+1=2

Términos

Ecuación de primer grado con una incógnita

ax+b=0Solución

" xab

=-

Ecuación de segundo grado con una incógnita

ax2+bx + c=0

Solución" x

ab b ac

242!

=- -

=

x

ab b ac

xa

b b ac

24

24

1

2

2

2=

=- + -

=- - -

*

98

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3. COMPROBAR LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Comprueba si los valores de la incógnita que se dan son o no soluciones de las ecuaciones.

a) x - (x - 3) = 2x + 7. Solución: x = -2

b) 2x2 - 7x + 3 = 0. Solución: x = 1

PRIMERO.Sustituimoslaincógnitaporsuvaloryoperamos.

a) x-(x-3)=2x+7x =-2"(-2)-((-2)-3)=2?(-2)+7

"-2+2+3=-4+7"3=3

b) 2x2-7x+3=0x =1"2? 12-7? 1+3=0

"2-7+3=0"-2! 0

SEGUNDO.Elvaloressoluciónsiseobtieneelmismoresultadoenambosmiembros.

a) Seobtieneunaigualdad(3=3);luego-2essolucióndelaecuación.

b) Seobtieneunadesigualdad(-2!0);portanto,1noessolucióndelaecuación.

4. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Una madre tiene 40 años y su hijo 10 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre triplique la del hijo?

PRIMERO.Identificamoslaincógnita.

Incógnita(x)" Añosquehandetranscurrir

SEGUNDO.Planteamoslaecuación.Añostranscurridos "xEdadmadretranscurridoslosaños"40+xEdadhijotranscurridoslosaños "10+xEdadmadreestriplequehijo "40+x=3(10+x)

TERCERO.Resolvemoslaecuación.40+x=3(10+x)"40+x=30+3x

"10=2x"x=5

CUARTO.Comprobamoslasoluciónylainterpretamos.Dentrode5años:

MADRE: 40+5=45años45=3?15

HIJO: 10+5=15añosLasoluciónesválida.

Lo que sabemos… Lo que no sabemos…

Madre:40añosHijo:10años

Añosquehandetranscurrir


1. Indicacuálessonlosmiembrosylostérminosdelaecuación-2x2y+5xy=10.

2. Escribeunaecuacióndeprimergradoconunaincógnitaytresecuacionesdesegundogrado,unadecadatipo.

Resolver ecuaciones de primer grado

1. Hallalasolucióndelassiguientesecuaciones.

a) 2x+1=11b)-x+10=4+5x

c)x

82=-

d) (x-3)+5=2(x+1)

Resolver ecuaciones de segundo grado

4. Resuelvelaecuaciónx2-100=0.

5. ¿Cuáleslasolucióndex2-4x-12= 0?

6. Hallalasoluciónde6x2-3x= 0.

Comprobar la solución de una ecuación

7. Decidesilosvaloresx1= -2yx2=5sonsolucionesde:a) x2-3x-10=0b) 3x2-12=0

Resolver un problema mediante una ecuación de primer grado

8. Lasumadetresnúmerosconsecutivoses18.¿Cuálessonesosnúmeros?

Y AHORA… PRACTICA

99

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ActividadesELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN

42. ● Identifica los elementos de las ecuaciones.

43. ●● Escribe una ecuación para estos enunciados.

a) Eldobledeunnúmeroes8.b) Eltripledeunnúmeroes12.c) Lamitaddeunnúmeroes10.d) Latercerapartedeunnúmeroes2.e) Eldobledeunnúmeromás3es8.f) Lamitaddeunnúmeromenos5es120.g) Lacuartapartedeunnúmeromenos6es7.h) Eldobledeunnúmeromás7es18.i) Ladiferenciaentreelcuádrupledeunnúmero

menos10es24.

44. ●● Asigna una ecuación a cada enunciado.

a) Elcuadradodeunnúmeroes100.b) Elcubodeunnúmeroes125.c) Lasumadelcuadradodeunnúmeromás2

es82.d) Ladiferenciadelcubodeunnúmeromenos3

es124.e) Lamitaddelcuadradodeunnúmeroes8.f) Laquintapartedelcubodeunnúmeroes310.

45. ●● Escribe los enunciados correspondientes a estas ecuaciones.

a) 2x+5=3 e) x2- 1=8b) 7- x=2 f) 3(x- 2)=9

c) 2(x+ 1)=10 g)2

41

x-=

d)2

3x2

= h)36

2x+

=

5. ● Comprueba si los valores indicados son solución de cada ecuación.

a) -2x+7=11,parax=2b)-(x+3)=x-1,parax=-1c) 5(x-2)=15,parax=5d)-3(2-5x)=8+x,parax=1

e)x7

2= ,parax=7

f) x2-x-56=0,parax=8

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

46. ● Simplifica estas ecuaciones reduciendo términos semejantes, tal como se indica en el ejemplo.

a) 5(x-6)+2(-3x-7)=2(3x+5)b) 4x+5-x=10x+7-xc) 7-10x+3(x2-9x)=x-8

d)837( 3)

45

x x x2+ - - + =

e) -2(2x+4)-x(x+3)=5-3x

47. ●● Corrige los errores cometidos al reducir términos semejantes de estas ecuaciones.

a) 7x-(2-x)=3x+1 7x-2-x=3x+1

7x-x-3x-2+1=0 3x-1=0

b) 8(2-x)-x=x16-8x-x=x

8x-x-x+16=0 6x+16=0

c) 5-(x-3)=x-(-7)5+7-x-3-x=0 -2x+9=0

48. ● Averigua cuáles de las ecuaciones son equivalentes a la ecuación x = 4.

a) 2x=8 c) 4x=12 e) -2x=8b) 3x=9 d)-x=-4 f) -3x=-12

Ecuación 1.er

miembro2.º

miembro Incógnitas Grado

4x- 3=5

4(x- 3)=5x

z2- 4z+3=0

x(x+ 1)=x2+9

x(3- x)=x-1

35

a ba

- =

832

y yy

- =+

100

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49. ● Resuelve estas ecuaciones.

a) x + 2= 7 i) 4x= 20b) x - 3= 15 j) 13x= 91c) x + 13= 21 k)

45

x=

d) x - 7= 2 l) -x= 3e) x + 11= 3 m)-7x= 21f) x - 17= 17 n) -12x= 60

g)26

11x+ = ñ) 6x= 18

h) x - 9= -16 o) -3x= 21

50. ● Resuelve estas ecuaciones.

a)202

5x

= c)24

82x

=

b)6

927

x= d)

63

9x

=

51. ● Halla la solución de las ecuaciones.

a) -5x = 45b) 6x = -36c) 3x = 2d) 8x = 48e) -12x = -72

f)3

8x-

=

g)4 4

1x=

52. ● Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 2x-10=0b) 5x+4=x-8c) x+2(x-1)=4d) 2(3x-5)-x-(2x-3)=1-(2x-5)e) 7(x+2)+4(x+3)=3x+1f) 3(x-3)-4(2-3x)=2(1-2x)

53. ●● Obtén la solución de estas ecuaciones de primer grado.

a) 4x + 1+ 3x - 5= 2(x - 2)+ 30b) 3(x + 8)= 6(x - 2)+ 24c) 3(x + 8)- (x - 4)= 12d) 2(4- x)+ 3(4x + 16)= 3e) 6(x + 8)- 2(x - 4)= 24f) 6(x - 2)= 3(x + 8)- 24

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES?

6. Resuelve estas ecuaciones.

a) x x7

3 1258-

= b) x

x35

2 9= -

PRIMERO.Semultiplicanlosdosmiembrosencruzparaeliminarlosdenominadores.

a) ( ) ?x x

x x7

3 1258

5 3 12 7 8-

= - ="

b) ( )x

x x x35

2 9 5 3 2 9= - = -"

SEGUNDO.Seeliminanparéntesis.

a) ( ) ?x x x x5 3 12 7 8 15 60 56- = - ="

b)5 3(2 9) 5 6 27x x x x= - = -"

TERCERO.Seagrupantérminos.

a) 15x-60=56x"15x-56x=60b) 5x=6x-27"5x-6x=-27

CUARTO. Sereducentérminos.

a) 15x-56x=60"-41x=60b) 5x-6x=-27"-x=-27

QUINTO. Sedespejaxysehallalasolución.

a) x x41 6041

604160

- = =-

=-"

b) 27 27x x1

27- =- =

-

-="

7. ●● Resuelve estas ecuaciones de primer grado con denominadores.

a) xx

352= + b)

xx29

83 23

=-

54. ●● Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a)7

51

x-=

b)68

3x-

=

e)4

3 8xx

+=

f)23

25 20x

x- = -

c)6

54

x+=

d)2

4 82

x-

-=

g)x

x5

27

725- =

-

h)x3

4 418 74- =

-

h)15

1x

=

i)4 2

1x=

j) x + 4+ x = 18+ 3k) x + 3x + 4x = 8l) 5x - 2+ 2x = 6x + 8m)4x + 3x - 2x = 45n) -x + 4x - 3 = 5 - 2x

101

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65. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x2- x=0b) 5x2+ 10x =0c) 7x- 21x2=0d) 2x2=16xe) 9x=18x2

f) 6x- 10x2=0g) 4x2=9xh) 5x2+ 3x =0

66. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo grado completas, aplicando la fórmula general.

a) 7x2+ 21x - 28= 0b) 2x2- 3x- 5= 0c) x2+ 4x+ 3= 0d) x2+ x - 20= 0

67. ●● Obtén la solución de las ecuaciones.

a) x2- 3x=x- 2b) x2- 2x=-1c) x2+ 5=6x d) x- 12=-x2e) 2x2- 7x+3=0f) 6x2=5x- 1g) 3x2- 1=-2xh) 5x=3- 2x2

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A CERO?

68. Resuelve la siguiente ecuación.(3x - 1)(4x + 2) = 0

Cuandoelproductoesiguala0.

PRIMERO. Seigualaacerocadaunodelosfactores.

( ) ( )x xxx3 1 4 2 03 1 04 2 0- + =- =+ =

" (( ) ( )x xxx3 1 4 2 03 1 04 2 0- + =- =+ =

" (

SEGUNDO.Seresuelvecadaunadelasecuacionesdeprimergrado.Estasseránlassolucionesde la ecuacióndesegundogrado.

3 1 0

4 2 0

x x

x x

31

42

21

- = =

+ = =-=-

"

"

Lassolucionesdelaecuaciónson:

,x x31

21

= =-

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

60. ● Identifica cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado.

a) x(x+2)=0b) x2-3(x-5)=3x- 4c) 5+x+x2=-30+x2

d)3

84(2 )

x xx

2+= +

e) (x+1)2+x2=5xf) (x+2)2-(x-3)2=8

61. ● Expresa estas ecuaciones de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, e identifica los términos a, b y c.

a)2

331

0x

x2

- + =

b) 5(x-3)2=2c) x2-x(2x+4)+7=6d) 3x(2x-6)-x(x-5)=9

62. ● Expresa la forma general de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) (x + 3)(x - 5)= 3b) 2x2- 5x = -4x2- x + 8c) -5x2- 3x + 9= -x2- 7x + 11d) -4x(7- 3x)= 0

63. ● Escribe las ecuaciones de segundo grado cuyos coeficientes son:

a) a=-1 b=2 c=-3b) a=3 b=0 c=9c) a=4 b=2 c=0

d) a= 21

b= 32

c= 5

1-

e) a43

= b2

1=-

c=0

64. ● Halla la solución de las ecuaciones.

a) 4x2- 16=0b) 5x2=45c) 3x2- 75=0d) 4x2=64

e) 8x2- 8=0f) 9x2=900g) 16x2=9

h)4

25x2 =

102

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69. ●● Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x(x-3)=0b) (x-5)(3x+9)=0

c) (7x+1)(4x-3)=0d) (x+4)(x-5)=0

e) ( )x x5 351

0+ - =d n

f) (x+3)(x+3)=0

g) x x21

21

0- + =d dn n

PROBLEMAS CON ECUACIONES

74. ● Calcula el número tal que si le sumamos 2 nos da 10.

75. ● Obtén el número cuyo doble más su triple suma 35.

76. ● Determina un número, de forma que la suma de su triple y cuatro veces el número sea 21.

77. ●● Escribe en lenguaje algebraico los enunciados y resuélvelos.a) Lasumadedosnúmerosconsecutivoses63.b) Lasumadedosnúmerosparesconsecutivos

es126.c) Eldobledeunnúmeroysumitadsuman10.d) Eldobledelasumadeunnúmeromás7es18.e) Eltripledeunnúmeromenos8es40.f) Unnúmeromenossuquintapartees80.

78. ●● La suma de dos números es 55 y uno de ellos es la cuarta parte del otro.Halla los números.

79. ●● Encuentra dos números sabiendo que su suma es 20 y se diferencian en 6 unidades.

80. ●● La suma de tres números es 330. El primero es el doble del segundo y el segundo es el triple del tercero.Calcula dichos números.

81. ●● Un trayecto en taxi cuesta 2,50 € de bajada de bandera y 1,50 € por cada kilómetro.Si pagamos 13 €, ¿qué distancia hemos recorrido?

83. ●● Carlos, David y Sergio han ganado 3 200 € y deciden repartirlos así: Carlos tendrá 200 € menos que Sergio, y David 200 € menos que Carlos.Calcula el dinero de cada uno.

82. ●● En el zoológico hay el doble de tigres que de panteras, y sabemos que en total son 171 animales. Determina cuántos hay de cada especie.

84. ●● En una clase hay 73

partes de chicos y las

chicas son 16. ¿Cuántos chicos hay en la clase?

85. ●● Juan realiza la cuarta parte de un viaje en autobús, la sexta parte en moto, tres octavas partes en bicicleta, y los últimos 40 km andando.

a) ¿Quédistanciarecorrióentotal?b) ¿Quédistanciaharecorridoencadamedio

detransporte?

86. ●● Luis tiene 92 monedas de 1, 2 y 5 céntimos. Calcula cuántas monedas tiene de cada tipo si las monedas de 1 céntimo son la tercera parte de las de 5 céntimos, y estas son el quíntuplo de las monedas de 2 céntimos.

87. ●● María se entrena aumentando el recorrido del día anterior en 1 km. Al cabo de siete días, el recorrido total que ha hecho es de 42 km. ¿Cuánto ha entrenado el último día?

88. ●● Un bebé gana durante su primer mes de vida la quinta parte de su peso, y en el segundo mes aumenta las cuatro quintas partes del peso que aumentó en el mes anterior. Si al acabar el segundo mes pesa 5 450 g, ¿cuánto pesó al nacer?

103

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71.Uno de los científicos

más destacables de Suiza del siglo xviii fue Gabriel Cramer. Busca información sobre su vida y sus aportaciones a las matemáticas.

2. Investiga sobre la rivalidad que existió entre Gabriel Cramer y Giovanni Calandrini.

3. Analiza la evolución a lo largo de la historia en el estudio sobre sistemas de ecuaciones lineales.

DESCUBRELAHISTORIA...

Gabriel&GiovanniNo hacía mucho tiempo que los dos jóvenes, Gabriel Cramer y Giovanni Calandrini, habían sido rivales al competir por la misma cátedra de Filosofía, que los dos perdieron y, al mismo tiempo, los dos ganaron: la cátedra de Filosofía fue asignada a otra persona, pero ambos impresionaron tanto al tribunal que crearon una nueva cátedra de Matemáticas que fue adjudicada a los dos.

Y es que sus personalidades tan diferentes hicieron que se complementaran y, a la postre, se convirtieran en inseparables amigos.

Aquel día, un pensativo Calandrini le dijo a Cramer:

–Gabriel, ¿te has dado cuenta de que pasamos una parte importante de nuestra vida averiguando lo que queremos ser, y cuando lo sabemos, gastamos el resto del tiempo intentando cambiar en lo que nos hemos convertido?

–La solución es sencilla –contestó Cramer–; ponemos a un lado lo que sabemos y al otro lo que no sabemos, y planteando las relaciones de manera correcta, la solución surge ante nosotros de forma natural.

Calandrini dio un manotazo al aire y respondió:

–A veces me sacas de quicio, no sé por qué tienes que aplicar las matemáticas a todo.

–Porque pienso que cualquier problema tiene su solución, aunque lamentablemente no somos capaces de plantear las ecuaciones adecuadas.

Sistemasdeecuaciones

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Antesdeempezarlaunidad...


• Distinguir los elementos que forman un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales, utilizando distintos métodos: sustitución e igualación.

PLANDETRABAJO

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no es cierta para todos los valores de las letras.

Elementosdeunaecuación

• Miembro: es cada una de las expresiones algebraicas que forman la ecuación. La expresión situada a la izquierda del signo = se denomina primer miembro, y la situada a la derecha, segundo miembro.

• Término: es cada uno de los sumandos de los miembros.

• Incógnitas: son las letras cuyos valores desconocemos.

14y2 - 3x = 4 + x

Términos

" Incógnitas: x, y

1.er miembro 2.° miembro

Gradodeunaecuación

Es el mayor grado de los términos de la ecuación, una vez realizadas las operaciones que se indican en ella.

-3x + y = 8 " Ecuación de grado 1 o de primer grado con dos incógnitas

-x2 + x + 7 = 0 " Ecuación de grado 2 o de segundo grado con una incógnita

Si un término está formado por un solo

número se llama término independiente.

EVALUACIÓNINICIAL

1 Indica cuáles son los miembros de las siguientes ecuaciones.

a) -x + x2 = 16 - xb) -3x + yz = 8 + zc) 4x + 8 = (3 + 2x) + 2xd) -x + 2y = 20e) 6x - x = 12 + x

2 Indica cuáles son los términos y las incógnitas de estas ecuaciones.

a) -2x + x2 = 16b)-3x + y = 8c) 3x + 2y = 8(x + 7)d) 6x2 - 2x = 6x2 + 18e) -x + 3x2 = 2x2 + x - 6

3 Determina el grado de las ecuaciones del ejercicio anterior.

105

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1

Antes de decidir si una ecuación es lineal

con una o varias incógnitas, tenemos que reducir

los términos semejantes.2x + 2y - y = y + 72x + 2y - y - y = 7

2x = 7Tiene una incógnita.

Ecuacioneslineales

Una ecuación de primer grado con una o varias incógnitas se denomina ecuación lineal.

EJEMPLO

1 Decide si estas ecuaciones son lineales, y determina el número de incógnitas que tiene cada una de ellas.

2x - 3 = 0 " Ecuación lineal con una incógnita.x2 - x + 2 = 0 " No es una ecuación lineal por ser de segundo grado.2x - y = 10 " Ecuación lineal con dos incógnitas.

ANTES,DEBESSABER…

Cómosecompruebasiunvaloressolucióndeunaecuación

Una solución de una ecuación es cualquier valor numérico de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.

x + 2 = 7 x= 5

" 5 + 2 = 7 " x = 5 es solución.

x + 2 = 7 x= -1

" (-1) + 2 ! 7 " 1 ! 7 " x = -1 no es solución.

• Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma ax + by = c, donde x e y son las incóg-nitas, y a, b y c, números conocidos.

• Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es cada par de valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.

EJEMPLOS

2 Encuentra dos soluciones para la ecuación x + y = 7.

x + y = 7 Si x= 1

" 1 + y = 7 " y = 6 " x = 1, y = 6 es solución.

x + y = 7 Si x= 2

" 2 + y = 7 " y = 5 " x = 2, y = 5 es solución.

3 Determina si los siguientes valores son solución de la ecuación x + 2y = 9.

a) x = 1, y = 4 x + 2y = 9

x= 1, y= 4" 1 + 2 ? 4 = 9 " 9 = 9 " Es solución.

b) x = 2, y = 5 x + 2y = 9

x= 2, y= 5" 2 + 2 ? 5 ! 9 " 12 ! 9 " No es solución.

2 Comprueba si x = -1, y = 8 es solución de estas ecuaciones.

a) 2x + y = 6 b) 7x - y = 11

LOQUEDEBESSABERRESOLVER1 Decide si estas ecuaciones son lineales,

y determina su número de incógnitas.

a) x + y = 0 b) x2 - 2 = 0

106

294758 _ 0104-0117.indd 106 13/06/12 11:21

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

ANTES,DEBESSABER…

Cómosetraducenenunciadosenexpresionesalgebraicas

Un enunciado se puede traducir al lenguaje algebraico utilizando expresiones algebraicas.

Expresiónescrita Expresiónalgebraica

El triple de un número, menos 2 3x - 2El producto de dos números x ? y

EJEMPLO

4 Subida en una silla, Ana alcanza una altura de 2 metros. ¿Cuánto mide Ana y cuál es la altura de la silla?

Estatura de Ana " x Altura de la silla " yAltura de Ana sobre la silla = 2 metros " x + y = 2

Obtenemos una ecuación lineal con dos incógnitas.El par de valores x = 1, y = 1 hace cierta la igualdad:

x + y = 2 x= 1, y= 1

" 1 + 1 = 2 " 2 = 2Este par de valores es solución de la ecuación.

Pero existen otros pares de valores que también son soluciones:

x + y = 2 x= 1,40; y= 0,60

" 1,40 + 0,60 = 2 " 2 = 2El par x = 1,40; y = 0,60 es solución de la ecuación.

x + y = 2 x= 1,30; y= 0,70

" 1,30 + 0,70 = 2 " 2 = 2El par x = 1,30; y = 0,70 es solución de la ecuación.

En general, una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

Aunque una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, existen valores que no son solución.

EJEMPLO

5 Si subida en una silla, Ana alcanza una altura de 2 metros, ¿podría serla estatura de Ana de 2,10 m?

Si x es la estatura de Ana e y es la altura de la silla, obtenemos la ecuación:

x + y = 2 x= 2,10

" 2,10 + y = 2 " y = -0,1

Ana no puede medir 2,10 m, porque si fuera así la altura de la silla sería un número negativo.

6 Encuentra tres valores que sean soluciones y tres valores que no lo sean de estas ecuaciones.a) x - 2y = 10 b) 2x + 3y = 5

LOQUEDEBESSABERRESOLVER5 En una piscina, el ancho y el borde a ambos

lados suman 16 metros. Plantea y resuelve la ecuación lineal con dos incógnitas para determinar la medida del ancho y del borde.

107

294758 _ 0104-0117.indd 107 13/06/12 11:21

Sistemasdeecuacioneslineales2

Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común:

9 9 9ax by ca x b y c+ =+ =

3 forman un sistema de ecuaciones lineales.

EJEMPLO

6 Decide cuáles de los siguientes son sistemas de ecuaciones lineales.

3 102

x yx y+ =- =

3 " Sistema de ecuaciones lineales.

10

x yx y

42

2- =

+ =4 " No es un sistema de ecuaciones lineales, ya que

la primera ecuación es de segundo grado.

Una solución del sistema es cualquier par de números que cumplen las dos ecuaciones a la vez.

EJEMPLO

7 Determina si los siguientes valores son solución del sistema:

3 102

x yx y+ =- =

3

a) x = 3, y = 1

102

3x yx y+ =- =

3 x= 3, y= 1

" 3 3 1 10

3 1 2? + =- =

2 " Es solución.

b) x = 4, y = -2

3 10

2x yx y+ =- =

3 x= 4, y= -2

" 3 4 ( 2) 10

4 ( 2) 2?

!

+- =--

3 " No es solución, ya que solo cumple la primera ecuación.

c) x = 6, y = 4

3 10

2x yx y+ =- =

3 x= 6, y= 4

" 4

6 43 10

26? !

=+-

2 " No es solución, porque solo cumple la segunda ecuación.

Resolver el sistema de ecuaciones lineales 9 9 9ax by ca x b y c+ =+ =

3 es encontrar su solución.

9 Comprueba si x = 1 e y = -1 es soluciónde este sistema:

x yx y2 3 5

0- =+ =

3

LOQUEDEBESSABERRESOLVER8 Decide cuáles de los siguientes sistemas

son lineales.

a) x yx y

2 5152

- =

+ =4

b)

x yx y3 2 9

8- =+ =

3

108

294758 _ 0104-0117.indd 108 13/06/12 11:21

Métodosderesolucióndesistemas

Para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones se utilizan dife-rentes técnicas que denominamos métodos de resolución.

ANTES,DEBESSABER…

Cómosedespejaunaincógnitaenunaecuación

Despejar la incógnita en una ecuación consiste en dejarla sola en uno de sus miembros.

Para despejar una incógnita utilizamos estas reglas:

• Si un término está sumando, pasa al otro miembro restando. Y si está restando, pasa sumando.

• Si un término está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.

EJEMPLO

1 Despeja la incógnita en esta ecuación:x + 12 = 8 - 4x

Agrupamos las x en el primer miembro: x + 12 = 8 - 4x " x = 8 - 4x - 12 " x + 4x = 8 - 12

" 5x = -4 " x = -45

Cómoseresuelvenecuacionesdeprimergrado

Para resolver ecuaciones de primer grado:

1.º Eliminamos paréntesis.2.º Agrupamos los términos con la incógnita en un miembro, y los

términos numéricos en el otro.3.º Reducimos términos semejantes.4.º Despejamos la incógnita y hallamos la solución.

EJEMPLO

2 Resuelve esta ecuación: 3(x - 1) + 2 = -x + 11

1.º Eliminamos paréntesis. 3x - 3 + 2 = -x + 112.º Agrupamos términos: • Agrupamos los términos 3x - 3 + 2 + x = 11

con x en el primer miembro. • Agrupamos los términos 3x + x = 11 + 3 - 2

numéricos en el segundo miembro.3.º Reducimos términos semejantes. 4x = 12

4.º Despejamos x y hallamos la solución. x = 124 " x = 3

3

2 Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 2x + 10 = 8 b) -4x - 8 = 20 + 2x

LOQUEDEBESSABERRESOLVER

1 Despeja la incógnita en estas ecuaciones.

a) -4x = 20 + 2x b) 7x + 17 = 38 - 4x

109

294758 _ 0104-0117.indd 109 13/06/12 11:21

3.1 Métododesustitución

Para resolver un sistema por el método de sustitución, despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra.

ANTES,DEBESSABER…

Cómosemultiplicannúmerosenteros

Para multiplicar dos números enteros:

1.º Multiplicamos sus valores absolutos.

2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.

(+5) ? (+3) = +15 (+5) ? (-3) = -15

(-5) ? (-3) = +15 (-5) ? (+3) = -15

EJEMPLO

9 Resuelve este sistema aplicando el método de sustitución: x yx y

2 12 3+ =-- =

3

1.º Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Conviene despejar una incógnita cuyo coeficiente sea 1 o -1, para evitar

trabajar con denominadores. Así, despejamos la x de la primera ecuación.x yx y2

22 1

2 3+ =-- =

3 "

x y

x y1 2

2 3=- -

- =3

2.º Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. En la segunda ecuación, sustituimos x por su valor, -1 - 2y.

2x-y=3 x= -1 - 2y

" 2(-1-2y) - y = 3

3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.2(-1 - 2y) - y = 3 " -2-4y-y = 3 " -5y = 3 + 2

5 55

51y y- = =

-=-" "

4.º Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones.

Hallamos el valor de xsustituyendo ypor su valor, -1, en la primera ecuación, x + 2y = -1.

x+2y=-1 y= -1

" x + 2 ? (-1) = -1 " x - 2 = -1 " x = 1

El sistema tiene como solución x= 1, y= -1.

5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema.

x yx y

2 12 3+ =-- =

3 x= 1, y = -1

" 1 2 ( 1) 12 1 ( 1) 3

1 13 3

??+ - =-- - =

- =-="3 2

Son igualdades y, por tanto, x = 1, y = -1 es solución del sistema.

El método de sustitución es útil si alguna de

las incógnitas tiene como coeficientes 1 o -1.

20 Resuelve por el método de sustitución.

a) 2 3 73 9 3x yx y- =+ =-

3 b) 4 3 7

2 5 7x yx y

- + =-+ =

3

LOQUEDEBESSABERRESOLVER16 Resuelve por el método de sustitución.

a) 122

x yx y+ =- =

3 b) x y

x y5

2 2+ =

- + =-3

110

294758 _ 0104-0117.indd 110 13/06/12 11:21

El método de igualación es más apropiado utilizarlo si los coeficientes de las incógnitas son distintos

de 1 o de –1.

3.2 Métododeigualación

Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la mis-ma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores.

EJEMPLO

10 Resuelve este sistema aplicando el método de igualación: x yx y

2 12 3+ =-- =

3

1.º Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Como en el método de sustitución, es conveniente despejar

la incógnita que resulte más sencilla.

2x + 2y = -1

2x - 2y = 3

4

" x = -1 - 2y

23

xy

=+

" 4

2.º Igualamos las expresiones obtenidas.

y1 2"- - =

x y

xy y

1 2

23

23

=- -

=+

+4

3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

Como aparece un denominador en el segundo miembro, para eliminarlo lo pasamos al otro miembro multiplicando cada uno de sus términos por él.

( )yy

y y y y

y y y y

1 22

32 1 2 3 2 4 3

4 3 2 5 555

1

- - =+

- - = + - - = +

- - = + - = =-=-

" "

" " "Para despejar la incógnita, agrupamos todos los términos que tienen incógnita en el primer miembro y hallamos su valor.( )y

yy y y y

y y y y

1 22

32 1 2 3 2 4 3

4 3 2 5 555

1

- - =+

- - = + - - = +

- - = + - = =-=-

" "

" " "

4.º Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones.

x + 2y = -1 y= -1

" x + 2 ? (-1) = -1 " x = -1 + 2 = 1

El sistema tiene como solución x= 1, y= -1.

5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema.

x yx y

2 12 3+ =-- =

3 x= 1, y = -1

" 1 2 ( 1) 1

( )?

?2 1 1 31 13 3

+ - =-- - =

- =-="3 2

Obtenemos dos igualdades; por tanto, x= 1, y= -1 es solución del sistema.

20 Resuelve por el método de igualación.

a) 2 3 73 9 3x yx y- =+ =-

3 b) 4 3 7

2 5 7x yx y

- + =-+ =

3

LOQUEDEBESSABERRESOLVER19 Resuelve por el método de igualación.

a) 122

x yx y+ =- =

3 b) x y

x y5

2 2+ =

- + =-3

111

294758 _ 0104-0117.indd 111 13/06/12 11:21

HAZLODEESTAMANERA

1. COMPROBARSIUNPARDEVALORESESSOLUCIÓNDEUNSISTEMADEECUACIONES

Comprueba si los siguientes pares de valores son solución de: x yx y

4 32 2

+ =+ =

3

a) x = 1, y = 0,5 b) x = -1, y = 1 c) x = -2, y = 2

PRIMERO. Sustituimos x e y en las dos ecuaciones.

a) )x + 4y= 3x + 2y= 2

x = 1"

y = 0,5 )1 + 4 ? 0,5= 31 + 2 ? 0,5= 2

c) )x + 4y= 3x + 2y= 2

x = -2"

y = 2 )-2 + 4 ? 2= 6-2 + 2 ? 2= 2

b) )x + 4y= 3x + 2y= 2

x = -1"

y = 1 )-1 + 4 ? 1= 3-1 + 2 ? 1= 1

SEGUNDO. Comprobamos si los resultados obtenidos coinciden con los términos independientes en las dos ecuaciones. Si es así, el par de valores es solución del sistema.

a) 3 = 3 2 = 2

) " Es solución. b) 3 = 3 1 ! 2

) " No es solución. c) 6 ! 3 2 = 2

) " No es solución.

Lo esencialCOMPRENDEESTASPALABRAS

Ecuaciónlinealcondosincógnitas Sistemadeecuacioneslinealescondosincógnitas

,,,,

ax by ca x b y c

x ya ab bc c

+ =+ = "l l l

lll

*3" Incógnitas" Coeficientes de x" Coeficientes de y" Términos independientes

,

ax by c

x yabc

+ = "*

" Incógnitas$ Coeficiente de x$ Coeficiente de y$ Términos independientes

1. RESOLVERUNSISTEMADEECUACIONESPORELMÉTODODESUSTITUCIÓN

Resuelve este sistema utilizando el método de sustitución: x yx y2 53 2 11+ =- =

3

PRIMERO. Despejamos una de las incógnitas. Elegimos la incógnita más fácil de despejar, en este caso la y de la primera ecuación.

SEGUNDO. Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación, y resolvemos la ecuación que resulta.

TERCERO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones.

La solución del sistema es: x = 3, y = -1.

"x yx y

y xx y

2 53 2 11

5 23 2 11

+ =- =

= -- =

3 3

3x - 2y = 11 y = 5 - 2x

" 3x - 2(5 - 2x) = 11 " 3x - 10 + 4x= 11 " 3x + 4x= 11 + 10

" 7x= 21 " 721

3x = =

2x + y= 5 x = 3

" 2 ? 3+ y= 5 " 6 + y= 5 " y= 5 - 6 = -1

112

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2. RESOLVERUNSISTEMADEECUACIONESPORELMÉTODODEIGUALACIÓN

Comprendeestaspalabras

1. En el sistema de ecuaciones lineales

x yx y

2 102 5

+ =- + =

3, indica:

a) Las incógnitas. b) Los coeficientes de x e y y los términos

independientes.

1. En el sistema de ecuaciones linealesx yx y

71

+ =- =

3, indica:

a) Las incógnitas.b) Los coeficientes de x e y.c) Los términos independientes.

2. Escribe un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolverunsistemaporsustitución

3. Resuelve el sistema: x yx y

71

+ =- =

3, por el método de sustitución.

Resolverunsistemaporigualación

4. Si igualamos los valores de y en este sistema:

12

2 0x yx y+ =- =

3, ¿qué ecuación obtenemos?

2. Resuelve el sistema: x yx y

71

+ =- =

3, por el método de igualación.

YAHORA…PRACTICA

Resuelve este sistema utilizando el método de igualación:

x yx y2 53 2 11+ =- =

3

PRIMERO. Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita más fácil de despejar, en este caso la y.

x y

x y

y x

yx

2 5

3 2 11

5 2

23 11

+ =

- =

= -

=-

"

"4 4

SEGUNDO. Igualamos las expresiones obtenidas, y resolvemos la ecuación que resulta.

5 22

3 11x

x- =

- " 2 ? (5 - 2x) = 3x - 11

" 10 - 4x = 3x - 11

" 10 + 11= 3x + 4x

" 21= 7x

" 721

3x = =

TERCERO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones.

2x + y= 5 x = 3

" 2 ? 3+ y= 5

" 6 + y= 5

" y= 5 - 6 = -1

La solución del sistema es: x = 3, y = -1.

113

294758 _ 0104-0117.indd 113 13/06/12 11:21

ActividadesECUACIONESLINEALES.SISTEMAS

36. ● Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones lineales con dos incógnitas.

a) x + 2y = 4 f) x2 = yb) x + y = 0 g) x + y = y c) x + y = x h)-x = 2yd) 2(x - y) = 3x i) x ? y = 8

e) 5

3x y-

= j) yx

82

=

37. ● Dada la ecuación 2x - 3y = 7, di cuál es su solución.

a) x = 1, y = 5 b) x = 5, y = 1

38. ● ¿Cuáles de estas ecuaciones tienen como solución x = -1, y = 3?

a) 3x + y = 3 c) 33

0xy

- =

b) 3x - y = 0 d) 3 9

1x y- =

39. ●● Escribe tres ecuaciones lineales con dos incógnitas que tengan como solución x = 2, y = -1.

40. ●● Comprueba que si x = 2, y = -3 es solución de una ecuación, también lo será de la ecuación que resulta al:

a) Sumar 8 en los dos miembros.b) Restar 10 en los dos miembros.c) Multiplicar los dos miembros por 3.d) Dividir los dos miembros entre 5.

41. ●● Comprueba que x = 2, y = 1 es solución de las ecuaciones.

a) 3x + 2y = 8

b) 23

4x y+ =

c) 9x + 6y = 24

d) 12x + 8y = 32

e) 15x + 10y = 40

f) 43

21

2x y+ =

g) 6x + 4y = 16

h) 32

38

x y+ =

¿Encuentras alguna relación entre ellas?

42. ● ¿Son los valores x = -2, y = -1 soluciones de estos sistemas de ecuaciones?a) 3

2 1x yx y+ =- =-

3

b) 23 52 0

x yx y- =-- =

3

c) 2 32 4

x yx y+ =-- =-

3

d) 2 32 4

x yx y+ =-

- - =3

3. ● Decide si los siguientes valores son solución de este sistema de ecuaciones:

x yx y

2 4 102 5

- =-- + =

3

a) x=2,y=-1b) x=3,y=4c) x=-2,y=2

RESOLUCIÓNDESISTEMASDEECUACIONES

44. ● Resuelve por el método de sustitución los sistemas de ecuaciones.

a) 3 42 3 1x yx y+ =- =-

3

b) 2 12 2 8x yx y- =+ =

3

c) x yx y

32 73 0

+ =- =

3

d) 5 3 163 3 0x yx y+ =- =

3

e) 52 1x yx y- =+ =

3

f) 4 93 6 9x yx y+ =- =

3

g) x yx y35 3 14 11- =+ =

3

h) x yx y23 2 54 14- =+ =

3

i) x yx y

2 52 6

+ =+ =

3

j) x yx y3

3 51

+ =- =

3

114

294758 _ 0104-0117.indd 114 13/06/12 11:21

45. ● Resuelve estos sistemas por sustitución.

a) 3 22 5 5

x yx y

= +- =

3

b) 13 2 1

x yx y

= -+ =-

3

c) 2 5 115 3 19x yx y+ =- =-

3

d) 4 60

x yx y+ =

- - =3

e) 2 3 75 2x yx y3

- - =-+ =-

3

f) 4 2 182 3 11

x yx y+ =+ =

3

46. ● Resuelve por el método de igualación los sistemas de ecuaciones.

47. ● Resuelve estos sistemas por igualación.

a) 3 2 74 3 15x yx y+ =- =

3

b) 2 3 133 6 12x yx y- =- =

3

c) 2 4 63 7 5x yx y+ =+ =

3

d) x yx y

5 132 5 23+ =- =-

3

e) 72 33 7 43y xx y- =+ =

3

f) 53 112 5 29

x yx y+ =+ =

3

4. ● Resuelve por el método de sustitución los sistemas planteados en el ejercicio anterior y comprueba que obtienes el mismo resultado.

49. ● Resuelve por el método más adecuado.

a) x yx y

010

+ =- =-

3

b) x yx y

2 5 14 4

- =- + =

3

c) x yx y3 4 22 3 0+ =-+ =

3

d) x yx y4 2 25 3 6- =-+ =

3

e) x yx y3 7 442 9 38- + =-

- =3

f) 5 64 15

x yx y- =+ =

3

50. ●● Resuelve por el método más adecuado.

a) 26

x yx y+ =- =

3

b) 2 3 42 3 4x yx y+ =- =

3

c) 2 52 5 11x yx y+ =+ =

3

d) 2 3 82 3

x yx y+ =+ =

3

e) 3 920 3 4

x yx y+ =- =-

3

f) x yx y2 3 2512 3 75- =-- =

3

g) 22 5

2 7x yx y+ =+ =

3

h) 55 239 5 13x yx y- =

- + =3

51. ●● Resuelve por el método más adecuado.

a) 3 42 5 8x yx y- =- =

3

b) 3 36 0x yx y+ =- =

3

c) x yx y

4 5 102 7 4- =+ =-

3

d) 3 135 2 26x yx y- =- =

3

e) 14

8 14 60

x yx y+ =-+ =

3

115

294758 _ 0104-0117.indd 115 13/06/12 11:22

5. ●● Resuelve estos sistemas.

a) 2

15x- 4y = 658x- 3y = -12

b) 2

5x- 2y = 224x- 5y = 4

c) 2

8x+ 17y = 10-x+ 5y = 13

HAZLOASÍ

¿Cómo se expresan las ecuaciones de un sistema en su forma general ax+by=c?

6. Expresa las ecuaciones de este sistema en su forma general:

2 x + 1 = 5 - 2y2(x + y) = 15 - 2y

PRIMERO. Se eliminan los paréntesis.

2 x + 1 = 5- 2y2(x+ y) = 15 - 2y "

2 x + 1 = 5- 2y2x+ 2y = 15 - 2y

SEGUNDO. En la primera ecuación, se agrupan las incógnitas en un miembro, y los números en el otro.

2 x + 1 = 5- 2y2x+ 2y = 15 - 2y "

2x + 1 + 2y= 5 2x+ 2y = 15 - 2y

" 2

x + 2y = 5- 12x+ 2y = 15 - 2y

" 2

x + 2y= 42x+ 2y = 15 - 2y

TERCERO. En la segunda ecuación, se agrupan las incógnitas en un miembro, y los números en el otro.

2 x + 2y= 42x+ 2y = 15 - 2y "

2 x + 2y= 42x+ 2y + 2y= 15

" 2

x + 2y= 42x+ 4y= 15

7. ●● Expresa las ecuaciones de estos sistemas en su forma general.

a) 2

5(x - 4)-y = 140 2x- y = -12

b) 2

5x - 4(y+ 6) = -75 x - 3(y+ 5) = 250

c)

( )x y

x y y x21

4 6 2 5 3

4 2 1 1 3 7

+ = -

- + = - +

-4

HAZLOASÍ

¿CÓMOSERESUELVENSISTEMASDEECUACIONESCONPARÉNTESIS?

8. Resuelve este sistema de ecuaciones:

2 2x + 3y = 15 3(x - y) = 5

PRIMERO. Se eliminan los paréntesis.

2 2x+ 3y = 15 3(x- y) = 5 " 2

2x+ 3y = 153x- 3y = 5

SEGUNDO. Se resuelve el sistema que resulta por cualquiera de los métodos de resolución.

En este caso, utilizamos el método de sustitución.

22x+ 3y = 153x- 3y = 5

"

x = 15 - 3y

2

3x- 3y = 52

3x- 3y = 5 x = 15 - 3y

2

" y

32

15 3-e o - 3y = 5

" y

245 9-

- 3y = 5

" y

245 9-

= 5 + 3y

Como se obtiene una ecuación con denominadores, multiplicamos el segundo miembro por 2.

y2

45 9- = 5 + 3y" 45 - 9y= 2(5 + 3y)

" 45 - 9y= 10 + 6y " 45 - 10= 6y + 9y

" 35= 15y " y= 1535

= 37

2x+ 3y = 15 y =

73

" 2x+ 337d n = 15

" 2x+ 7 = 15 " 2x= 15 - 7 " 2x = 8 " x = 4

La solución del sistema: x = 4, y = 37

9. ●● Resuelve estos sistemas de ecuaciones con paréntesis.

a) 2

x- y = 52(7x- 4y) = 58

b) 2

3(x- 2) + y = 8 2x- 3y = 13

c) 2

4x- 3(y + 2) = -16 2x+ 3y = 4

116

294758 _ 0104-0117.indd 116 13/06/12 11:22

55. ●● Expresa mediante una ecuación lineal con dos incógnitas estos enunciados, e indica qué representan las incógnitas.

a) La suma de dos números es 15.b) La mitad de un número más el doble de otro

es igual a 52.c) La diferencia entre las edades de un padre

y un hijo es 28 años.d) He recorrido 20 km más que tú.e) Tengo 16,50 € en monedas de 1 € y 50 céntimos.f) El precio de 2 kg de naranjas y 3 kg

de manzanas es 5,80 €.g) Dos bocadillos y tres refrescos cuestan 14 €.h) El perímetro de un rectángulo es 32 m.

i) El triple de un número más el doble de otro es 28.j) Me he gastado 3,50 € en tu cuaderno y 1,25 €

en un bolígrafo.k) Dos lápices y tres cuadernos cuestan 13,50 €.

56. ●● Asocia a cada ecuación de la actividad anterior otra ecuación que resulte del mismo apartado en esta actividad. Calcula la solución del sistema de ecuaciones lineales que forman.

a) Su diferencia es 1.b) La cuarta parte del primer número más

la tercera parte del segundo es 16.c) La edad del padre es cinco veces la del hijo.d) He recorrido el doble de distancia que tú.e) El número de monedas es 23.f) El kilo de naranjas vale 40 céntimos más

que el de manzanas.g) Los bocadillos cuestan el doble que

los refrescos.h) La altura es tres quintas partes de la base.

57. ●● Ana tiene 5 cromos más que Juan y entre los dos suman 59 cromos. ¿Cuántos cromos tiene cada uno?

58. ●● En la clase de Alicia hay 21 alumnos, siendo 7 chicos más que chicas. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en la clase?

53. ●●● Resuelve estos sistemas.

a) 2 3 5 22 3 3 4x y x y

x y y+ = + +

- - = -3

b) 2 1 4 22 1

y x y xx y x

- - = - -- = +

3

c) 3 2 2 ( )( 4) 2 ( 2) 18

??

y x x yx y x y

- = - ++ + - = - -

3

d) ( )x y y xx y x y

3 2 1 12 9

- - = - +- = + -

3

PROBLEMASCONSISTEMAS

10. ●● Expresa estos enunciados mediante ecuaciones con dos incógnitas.

a) El producto de dos números es 45.b) La suma de un número y el doble de

otro número es 20.

¿CÓMOSEEXPRESANCIERTOSENUNCIADOSMEDIANTEECUACIONESCONDOSINCÓGNITAS?

54. Expresa mediante ecuaciones con dos incógnitas estos enunciados.a) La suma de dos números es 33.b) Cuatro sillas y una mesa cuestan 260 €.c) Jaime pesa 22 kg más que su perro.d) El ancho de un rectángulo es el doble que

su altura.

PRIMERO. Se asigna una incógnita a cada dato desconocido.

SEGUNDO. Se relacionan los datos conocidos y desconocidos mediante una igualdad.a) La suma de dos números es 33 " x+ y= 33b) 4 sillas y 1 mesa cuestan 260€ " 4x+ y= 260c) Jaime pesa 22 kg más que su perro " x+ 22 = yd) El ancho es el doble que la altura " x = 2y

HAZLOASÍ

Datos desconocidos Incógnitas

Dos números

Precio de una silla y una mesa

Peso de Jaime y su perro

Ancho y altura de un rectángulo

x, un númeroy, el otro número

x, precio de una sillay, precio de una mesa

x, peso de Jaimey, peso del perro

x, anchoy, altura

117

294758 _ 0104-0117.indd 117 13/06/12 11:22

Cuando el verde es rojoEl joven de 26 años, John Dalton, era consolado por su hermano mayor, Jonathan, mientras paseaban por la ciudad inglesa de Kendal.

–John, no te lo tomes tan a pecho. Seguro que mamá no quiso ofenderte.

John no parecía muy convencido y miraba incrédulo la prenda que había regalado a su madre, y que esta le había devuelto visiblemente enfadada.

–No entiendo por qué no le gusta, el dependiente me aseguró que el paño era de primera calidad.

–Ya sabes que mamá es muy religiosa y el color rojo... –le contestó su hermano Jonathan.

–Tú tampoco te habías dado cuenta –protestó John y, mientras arrojaba la prenda escarlata al río, comenzó a pensar: ¿Por qué su hermano y él mismo no podían distinguir los colores?

Dos años después, en 1793, John Dalton publicaba un trabajo donde se describía el tipo de enfermedad que él mismo sufría, conocida a partir de entonces como daltonismo.

Dalton adquirió fama y pasó a la historia de la ciencia por su teoría atómica, donde juega un papel fundamental la proporcionalidad numérica.

Por ejemplo, una molécula de agua tiene dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Su teoría afirma que, independientemente de la cantidad de agua, la cantidad de átomos de hidrógeno y oxígeno estará siempre en la misma proporción.

1. John Dalton y su hermano padecían una enfermedad en la vista que después fue conocida como daltonismo. Busca información sobre la vida de este químico inglés nacido en el siglo XVIII.

2. Averigua cómo utilizó la proporcionalidad John Dalton en sus trabajos sobre teoría atómica.

3. Investiga sobre otras aportaciones a la ciencia realizadas por John Dalton.


8Proporcionalidad numérica

294758 _ 0118-0133.indd 118 13/06/12 11:21



• Calcular el término desconocido en una proporción.

• Reconocer magnitudes directa e inversamente proporcionales.

• Aplicar las reglas de tres simples directas e inversas.

• Resolver problemas de porcentajes.

PLAN DE TRABAJO

FRACCIONES

Una fracción es una expresión, ba

, donde a y b son números enteros llamados numerador, a, y denominador, b, con b ! 0.

Una fracción ba

expresa el cociente entre dos números, a y b. Para calcular su valor se divide

el numerador entre el denominador.


Dos fracciones, ba

y dc

, son equivalentes, y se escribe ba

= dc

cuando representan la misma cantidad.

Si ba

= dc

, se cumple que a ? d = b ? c.

64

= 32

, ya que 4 ? 3 = 6 ? 2 " 64

y 32

son equivalentes.

57

! 34

, ya que 7 ? 3 ! 5 ? 4 " 57

y 34

no son equivalentes.

Fracción de una cantidad

Para calcular la parte de una cantidad que representa una fracción, multiplicamos la cantidad por el numerador de la fracción y dividimos entre el denominador.

53

de 150 = 3 1?

550

= 90

23 es una fracción, mientras

que 1,23 no lo es, tan solo

representa la división entre dos números.

1 Expresa estas fracciones como cociente y halla el resultado.

a) 155 c)

510

b) 18 d)

7711

1. Decide si estas fracciones son equivalentes.

a) 32

128

y c) 8

20 52

y

b) 5 2

37y d)

37

911

y

3. Calcula.

a) 6025

de c) 8046

de

b) 034

12de d) 047

14de

EVALUACIÓN INICIAL

119

294758 _ 0118-0133.indd 119 13/06/12 11:21

5 En una pastelería se venden rosquillas a 8 €/kg.

Forma una tabla en la que se relacione el precio de las rosquillas con el peso, y estudia si las magnitudes son directamente proporcionales.

Al multiplicar (o dividir) el peso de las rosquillas por un número, el precio queda multiplicado (o dividido) por ese número. Además, se cumple que:

81

162

243

486

0,125= = = =

Por tanto, las magnitudes Peso y Precio son directamente proporcionales.

EJEMPLO

Magnitudes directamente proporcionales


Cómo se construye una tabla numérica

A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición.

Número 1 2 3 4

Su doble 1 ? 2 = 2 2 ? 2 = 4 3 ? 2 = 6 4 ? 2 = 8

3

Consideramos A y B dos magnitudes con estos valores:

Si al dividir los valores correspondientes de ambas magnitudes, el resul-tado es el mismo:

ba

ba

ba

nm

k…1

1

2

2

3

3= = = = =

decimos que las magnitudes A y B son directamente proporcionales.

Magnitud A

Magnitud B

a1

b1

a2

b2

a3

b3

…

…

m

n

Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir,

y su valor, expresarlo con un número.

La distancia o el tiempo son magnitudes.

Peso (kg) 1 2 3 … 6 …

Precio (€) 8 16 24 … 48 …

F

F

F

F

F

F

? 2

? 2

: 2

: 2

? 3

? 3

8 «Un sobre de cromos cuesta 1,50 €.» Indica las magnitudes que intervienen, y decide si son directamente proporcionales.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER7 Una revista cuesta 4,20 €. ¿Son directamente

proporcionales las magnitudes N.º de revistas y Precio?

120

294758 _ 0118-0133.indd 120 13/06/12 11:21

6 Para hacer 3 marcos iguales, Luisa ha utilizado 2,79 m de listón. ¿Cuántos metros de listón necesitará para hacer 4 marcos?

" 3

2,796

5,589

8,370,93= = =

Las magnitudes son directamente proporcionales. N.º de marcos Metros de listón

Si para 3 marcos necesitamos" 2,79 m de listón

Si para 4 marcos necesitaremos" x m

Calculamos el valor desconocido:

43 2,79

3 4 2,793

4 2,793,72 ? ?

?

xx x m= = = =" "

EJEMPLO

4 Problemas de proporcionalidad directa

4.1 Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa es un procedimiento para hallar una can-tidad desconocida a partir de otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales.


Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de fracciones

• Si la incógnita está en el numerador.Se multiplica por el denominador de la otra fracción.

Fx18 3

2= " x ? 3 = 18 ? 2 "

18 2?x

312= =

F

Pasa dividiendo

• Si la incógnita está en el denominador.Se multiplica por el numerador de la otra fracción.

F

x2418 45

= " 18 ? x = 24 ? 45 " 24 45?

x18

60= =

F

Pasa dividiendo

N.º de marcos 3 6 9 …

Listón (m) 2,79 5,58 8,37 …

En general, para resolver una regla de tres simple directa,

aplicamos el siguiente cálculo:

a " bc " x "

ac =

bx " x =

c ? ba

1 Para pintar 4 m2 de pared necesitamos 5 kg de pintura. ¿Cuántos kilos necesitaremos para pintar 6 m2?

12 Una familia bebe 2,5 litros de leche diarios. ¿Cuántos litros consume a la semana?


10 Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1 000 tornillos?

11 Al traducir un libro cobro 6 € por página. Si me han pagado 2 532 €, ¿cuántas páginas he traducido?

121

294758 _ 0118-0133.indd 121 13/06/12 11:21

Magnitudes inversamente proporcionales5

8 Un pintor tarda 48 días en pintar una casa.

Forma una tabla que relacione el número de pintores con los días, y estudia si las magnitudes son inversamente proporcionales.

En este caso, al multiplicar (o dividir) el número de pintores por un número, el número de días queda dividido (o multiplicado) por ese mismo número. Además, se cumple que:

1 ? 48 = 2 ? 24 = 3 ? 16 = 6 ? 8 = 48

Las magnitudes N.º de pintores y N.º de días son inversamente proporcionales.

EJEMPLO

Consideramos A y B dos magnitudes con estos valores:

Si los valores de ambas magnitudes cumplen que:a1 ? b1 = a2 ? b2 = a3 ? b3 = … = m ? n = k

decimos que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multi-plicada) por ese mismo número.

Magnitud A

Magnitud B

a1

b1

a2

b2

a3

b3

…

…

m

n

N.º de pintores 1 2 3 … 6 …

N.º de días 48 24 16 … 8 …

F

F

F

F

F

F

? 2

: 2

: 2

? 2

? 3

: 3

Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales

si se cumplen estas igualdades:

a1

a2 =

b2

b1

a3

a4 =

b4

b3 ...

Magnitud A

Magnitud B

a1

b1

a2

b2

a3

b3

…

…

m

n

15 Copia y completa la siguiente tabla de valores inversamente proporcionales.

16 ¿Son inversamente proporcionales?

a) Velocidad y tiempo empleado.b) Edad y estatura de una persona.c) Consumo de electricidad y horas de luz solar.

d) Espacio recorrido y tiempo empleado.


2 Comprueba si estas dos magnitudes son inversamente proporcionales.

14 Dieciocho obreros realizan un trabajo en 30 días. Copia y completa la tabla.

Magnitud A

Magnitud B

1

24

2

8

4

6

6

N.º de obreros

N.º de días

3 9 18

30

36 72

Magnitud A

Magnitud B

2

6

4

3

6

2

8

1,5

122

294758 _ 0118-0133.indd 122 13/06/12 11:22

Problemas de proporcionalidad inversa

6.1 Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa es un procedimiento para hallar una can-tidad desconocida a partir de otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales.


Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de productos

Si un término está multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro dividiendo.

EJEMPLO

1 Despeja la incógnita.

a) 14 ? x = 28 ? 6 " x = 28 6

12?

x14 14

168= ="

b) 25 ? 3 = 15 ? x " ?

x x15

25 31575

5= = ="

6

9 Un tren, a una velocidad de 90 km/h, tarda 2 h en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 75 km/h?

" 90 ? 2 = 180 ? 1 = 45 ? 4 = 180

Las magnitudes Velocidad y Tiempo son inversamente proporcionales. Velocidad Tiempo

Si a 90 km/h tarda

" 2 h

Si a 75 km/h tardará

" x h

En este caso, por ser las magnitudes inversamente proporcionales, tomamos la inversa de la segunda fracción:

7590

290 2 75

7590 2

2,4 ? ??x

x x h= = = =" "

EJEMPLO

Velocidad (km/h) 90 180 45 …

Tiempo (h) 2 1 4 …

En general, para resolver una regla de tres simple inversa,

aplicamos el siguiente cálculo:

a " bc " x "

ac =

xb " x =

a ? bc

19 Un coche recorre un trayecto a 90 km/h en 8 horas. ¿A qué velocidad iría si tardase 9 horas?

3 Si 9 pintores tardan 26 horas en pintar la fachada de un edificio, ¿cuánto tardarán 6 pintores?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER18 Un grifo que vierte 18 ℓ/min tarda 28 horas

para llenar un depósito. Si su caudal fuera de 42 ℓ/min, averigua el tiempo que tardaría en llenarlo.Resuélvelo:

a) Mediante una regla de tres.

b) Por el método de reducción a la unidad.

123

294758 _ 0118-0133.indd 123 13/06/12 11:22

11 Completa la tabla.

Porcentaje Se lee Significa

El 25 % de los españoles son niños

25 %Veinticinco por ciento

De cada 100 españoles, 25 son niños

Gasto el 36 % de mi sueldo en comida

36 %Treinta y seis por ciento

De cada 100 € que gasto, 36 € son en comida

12 Calcula el 30 % de 200.

30 % de 200 ? 200 6010030

= = " El 30 % de 200 es 60.

EJEMPLOS

13 El 40 % de los 355 alumnos de un instituto son chicos. ¿Cuántos chicos hay?

Alumnos Chicos

Si de 100 alumnos hay" 40 chicos

3 100

355 40142

?x = ="

Si de 355 alumnos habrá" x chicos

En el instituto hay 142 chicos.

EJEMPLO

a % = a

100

65 % " 65100 = 0,65

23,5 % " 23,5100 = 0,235

Porcentajes

El tanto por ciento de una cantidad, cuyo símbolo es %, significa que de cada 100 partes de esa cantidad tomamos el tanto indicado.

En los problemas de porcentajes intervienen magnitudes directamente pro-porcionales; por tanto, se pueden resolver mediante una regla de tres directa.

7

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100.

t % de C ?t

C100

=


Cómo se divide por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad.

345 : 100 = 3,45 56,7 : 100 = 0,567

22 Halla el valor de x, sabiendo que:

a) 30 % de x es 20 b) 4,5 % de x es 152

LO QUE DEBES SABER RESOLVER21 Calcula.

a) 7 % de 420 b) 15 % de 4 000

124

294758 _ 0118-0133.indd 124 13/06/12 11:22

14 Luisa compra un coche por 16 000 € y le hacen un descuento del 12 %. ¿A qué cantidad equivale el descuento?

Conocemos la cantidad total, C = 16 000, y el tanto por ciento, t = 12. Tenemos que calcular el tanto por ciento de esa cantidad.

Si de 100 € le descuentan

" 12 € 3

?x

10016 000 12

= =" 1 920 Si de 16 000 €

le descontarán" x €

El descuento es de 1 920 €.

15 De las 4 075 personas que asistieron a una exposición, el 52 % eran jóvenes menores de 35 años. ¿Cuántas personas menores de 35 años asistieron?

Conocemos la cantidad total, C = 4 075, y el tanto por ciento, t = 52.

Si de 100 personas hay" 52 jóvenes

3 ?

x100

4 075 522 119= ="

Si de 4 075 personas habrá" x jóvenes

A la exposición asistieron 2 119 personas menores de 35 años.

EJEMPLOS

Problemas con porcentajes

En los porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas: el tanto por ciento, que llamaremos t, la cantidad total, C, y la parte, A.

t % de C = A

8.1 Cálculo de la parte, conocidos el porcentaje y el total

8

Para calcular la parte, conociendo el tanto por ciento, t, y la cantidad total, C, resolvemos esta regla de tres simple directa:

Si de 100 tomo" t

2 ?

C xt

xC t100100

= =" "de C

tomaré" x

CALCULADORA

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad utilizamos la tecla % .

16 000 # 12 %

1920

NO OLVIDES

Para calcular la parte:

Si de 100 tomo" t

de C tomaré" A

de donde: A 100

?C t=

A

27 Carmen gasta el 26 % de su sueldo en comida y el 35 % en pagar el alquiler.

Si gana 1 500 € al mes, ¿cuánto se gasta en cada concepto?

4 Una ciudad tenía hace dos años 135 000 habitantes. Si en estos dos últimos años la ciudad ha perdido el 8 % de su población, ¿cuántos habitantes tiene en la actualidad?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER25 Carlos paga de impuestos un 22 % de su salario.

Si este año sus ingresos ascienden a 25 500 €, ¿cuánto tendrá que pagar de impuestos? ¿Qué cantidad neta ha cobrado?

26 En la carta de un restaurante los precios no incluyen el 8 % de IVA. Un cliente ha comido una ensalada que cuesta 3,16 €, un lenguado cuyo precio es 6,25 € y un postre de 4,78 €. ¿Cuánto pagará en total el cliente?

125

294758 _ 0118-0133.indd 125 13/06/12 11:22

16 Luisa compra un coche por 16 000 € y le hacen un descuento de 1 920 €. ¿Qué porcentaje le descuentan?

Conocemos la cantidad total, C = 16 000, y la parte, A = 1 920. Tenemos que calcular el porcentaje.

Si de 16 000 € le descuentan

" 1 920 €3

?x

16 000100 1920

12= ="Si de 100 €

le descontarán" x €

El porcentaje de descuento ha sido del 12 %.

EJEMPLO

8.2 Cálculo del porcentaje, conocidos el total y la parte

Para calcular el porcentaje, conociendo la cantidad total, C, y la parte, A, resolvemos esta regla de tres simple directa:

Si de C tomo" A ?C

xA

xC

A100

100= =" "3

de 100 tomaré" x

17 Luisa compra un coche. Si le hacen un descuento del 12 %, que equivale a 1 920 €, ¿cuál es el precio del coche?

Conocemos el porcentaje, t = 12, y la parte, A = 1 920. Tenemos que calcular la cantidad total.

Si de 100 € le descuentan

" 12 € 3

?x

12100 1920

16 000= ="Si de x €

le descontarán" 1 920 €

El precio del coche es de 16 000 €.

EJEMPLO

8.3 Cálculo del total, conocidos el porcentaje y la parte

Para calcular el total, conociendo el porcentaje, t, y la parte, A, resolve-mos esta regla de tres simple directa:

Si de 100 tomo" t 100 100 ?

x At

xtA

= =" "3de x

tomaré" A

NO OLVIDES

Para calcular el porcentaje:

Si de C tomo" A

de 100 tomaré" t

de donde: t 100 ?

CA

=

t

NO OLVIDES

Para calcular el total:

Si de 100 tomo" t

de C tomaré" A

de donde: C 100 ?

tA

=

C

29 ¿Cuál era el precio de un ordenador que está rebajado un 18 % si me ha costado 900 €?

6 Me han hecho un 22 % de descuento en una cámara de fotos y me he ahorrado 44 €. ¿Cuál es el precio de la cámara?


5 Ana trabaja desde hace 10 años en una empresa dedicada a la investigación. Este mes, la empresa ha decidido dar una paga complementaria a sus empleados según su antigüedad en la empresa. Ana ha cobrado 235 €, lo que supone el 15 % de su salario. ¿Cuál es el salario de Ana?

126

294758 _ 0118-0133.indd 126 13/06/12 11:22

18 El precio del gasoil ha subido un 9 %. Si costaba 0,99 €/¬, ¿cuánto costará ahora?

Al aumentar un 9 %, lo que antes valía 100 céntimos de euro, ahora cuesta 100 + 9 = 109 céntimos.Aplicando una regla de tres simple directa:

Antes Ahora

100 céntimos " 109 céntimos ?x

1009 109 9

= ="3 107,91 199 céntimos " x céntimos

El litro de gasoil cuesta ahora 107,91 céntimos de euro, es decir, 1,079 €/¬.

19 Una cámara de vídeo cuesta 650 €, pero el vendedor me hace una rebaja del 20 %. ¿Cuánto tengo que pagar?

Al disminuir un 20 %, lo que antes valía 100 €, ahora cuesta 100 - 20 = 80 €.

Aplicando una regla de tres simple directa:

Antes Ahora

100 € " 80 € ?x

100650 80

= ="3 520 650 € " x €

Tengo que pagar 520 €.

EJEMPLOS

8.4 Aumentos y disminuciones porcentuales

• Aumentar una cantidad un t % equivale a calcular el (100 + t) % de dicha cantidad.

• Disminuir una cantidad un t % equivale a calcular el (100 - t) % de dicha cantidad.

NO OLVIDES

Si de 100 " (100 + aumento)de precio " Precio aumentado

Precio aumentado =

Precio ? (100 + aumento)100

NO OLVIDES

Si de 100 " (100 - disminución)de precio " Precio disminuido

Precio disminuido =

Precio ? (100 - disminución)100

7 El precio de un videojuego ha bajado un 14 % respecto al año pasado. Si costaba 67,26 €, ¿cuánto cuesta este año?

8 Un ramo de flores cuesta 60 € y en Navidad sube un 8 %. ¿Cuánto cuesta el ramo en Navidad?

34 Un fabricante de calzado vende sus zapatos al 120 % del precio que le cuesta fabricarlos. Si el coste de fabricación de unos zapatos es de 14 €, ¿por cuánto los venderá?


32 La paga mensual de Sara es de 50 €. Si sus padres le han subido la paga un 10 %, ¿cuánto percibe ahora?

33 A Juan le han puesto una multa de 90 € por exceso de velocidad. Transcurrido el período voluntario de pago, ahora se le añade un 20 % de recargo. ¿Cuánto tendrá que pagar?

127

294758 _ 0118-0133.indd 127 13/06/12 11:22

3. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE REGLAS DE TRES SIMPLES DIRECTAS

Manuel ha tardado 2 horas en escribir 6 páginas. ¿Cuántas páginas escribirá en 6 horas?


2. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Una imprenta tarda en imprimir un libro 12 minutos. Si fueran 2 imprentas se tardaría 6 minutos… ¿Existe relación de proporcionalidad inversa?

PRIMERO. Construimos una tabla con los valores de las dos magnitudes.

SEGUNDO. Las magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de los datos correspondientes es constante.

1 ? 12 = 2 ? 6 = 3 ? 4 = 4 ? 3 = 12

Magnitudes directamente proporcionales

51

102

204

306

0,2= = = = "

Magnitud A 1 2 4 6

Magnitud B 5 10 20 30

F

F

F

F

F

F

: 2

: 2

? 2

? 2

? 3

? 3

1 ? 24 = 2 ? 12 = 4 ? 6 = 6 ? 4 = 24

Magnitud A 1 2 4 6

Magnitud B 24 12 6 4

F

F

F

F

F

F

: 2

? 2

? 2

: 2

? 3

: 3

1. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Un bolígrafo cuesta 1,25 €. ¿Existe relación de proporcionalidad directa entre el número de bolígrafos comprados y el precio total?

PRIMERO. Construimos una tabla con los valores de las dos magnitudes.

SEGUNDO. Las magnitudes son directamente proporcionales si el cociente de los datos correspondientes es constante.

, , ,,

1 251

2 502

3 753

54

0 8= = = =

N.º de bolígrafos 1 2 3 4 …

Precio (€) 1,25 2,50 3,75 5 …

PRIMERO. Identificamos las magnitudes y averiguamos si existe relación de proporcionalidad directa entre ellas.

SEGUNDO. Planteamos la regla de tres.

TERCERO. Resolvemos la regla de tres.

Las magnitudes N.° de páginas y Tiempo son directamente proporcionales.

Si en 2 horas ha escrito

" 6 páginas 3

en 6 horas escribirá

" x páginas

62 6

26 6

18?

xx= = =" páginas

N.º de imprentas 1 2 3 4 …

Tiempo (min) 12 6 4 3 …


Magnitudes inversamente proporcionales

128

294758 _ 0118-0133.indd 128 13/06/12 11:22

Resolver problemas mediante reglas de tres simples directas o inversas

4. Con 40 vacas, Adela vende 750 ¬ de leche diariamente. Para vender 1 200 ¬, ¿cuántas vacas necesita?

5. Para pintar un edificio en 30 días se ha previsto que se necesitarán 10 pintores. Si hubiera 15 pintores, ¿cuánto tardarían?

Hallar el término desconocido en un problema de porcentaje

6. De 1 500 alumnos, 1 200 practican deporte. ¿Qué porcentaje de alumnos practica deporte?

Calcular aumentos y disminuciones porcentuales

7. Me han aumentado la paga un 5 %. Si antes me daban 15 €, ¿cuánto me darán ahora?

Y AHORA… PRACTICA

5. HALLAR EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN UN PROBLEMA DE PORCENTAJE

Un jugador ha encestado 15 de 25 tiros libres. ¿Cuál es su porcentaje de acierto?

PRIMERO. Planteamos una regla de tres.

Si de 25 tiros " 15 aciertos3

10025 15

x="

de 100 tiros " x aciertos

SEGUNDO. Calculamos el término desconocido.

10025 15

25100 15

60%?

xx= = ="

6. CALCULAR AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Un anillo que cuesta 80 € se ha rebajado un 12 %. ¿Cuánto vale ahora?

PRIMERO. Determinamos el tanto por ciento.• Aumentar un t % es calcular el (100 + t) %.• Disminuir un t % es calcular el (100 - t) %.

Rebajar un 12 % " Calcular el (100 - 12) %

SEGUNDO. Calculamos el tanto por ciento.

(100 - 12) % de 80 = ?10088

80 = 7,40 €

4. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE REGLAS DE TRES SIMPLES INVERSAS

Si 30 gallinas tardan 10 minutos en consumir un saco de pienso, ¿cuánto tardarán 50 gallinas?

PRIMERO. Identificamos las magnitudes y averiguamos si existe relación de proporcionalidad inversa entre ellas.

SEGUNDO. Planteamos la regla de tres.

TERCERO. Resolvemos la regla de tres.

Las magnitudes N.° de gallinas y Tiempo son inversamente proporcionales.

Si 30 gallinas tardan

" 10 min 3

50 gallinas tardarán

" x min

5030

10 5030 10

6?x

x= = =" min


1. Copia y completa, decidiendo si son magnitudes directa o inversamente proporcionales.

a) A 1 3

B 5 15

b) A 1 4

B 160 40

Averiguar si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales

2. Si con 150 g de almendras se hace un turrón de 200 g, ¿qué cantidad de almendras se necesita para preparar 75 g de turrón?

3. Si 3 bombas de agua tardan 12 días en vaciar un depósito, ¿cuánto tardarán 4 bombas?

129

294758 _ 0118-0133.indd 129 13/06/12 11:22

ActividadesMAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

53. ●● Señala si son o no directamente proporcionales los siguientes pares de magnitudes.

a) Tiempo de llenado de una botella y cantidad de agua en su interior.

b) Número de personas que participan en una excursión y dinero que pagan.

c) Número de horas trabajadas y dinero cobrado.d) Edad y peso de una persona.e) Lado de un cuadrado y área.f) Lado de un cuadrado y perímetro.g) Número de obreros y duración de una obra.h) Velocidad y tiempo en un movimiento

con velocidad constante.

54. ● Comprueba si estas tablas corresponden a magnitudes directamente proporcionales.

a)

b)

c)

d)

e)

9. ●● Un coche consume 8 litros de combustible cada 100 kilómetros que recorre. Si las magnitudes son directamente proporcionales, construye una tabla que relacione la cantidad de combustible que gasta y la distancia que recorre.

10. ●● Miguel lee 12 páginas de un libro al día. Si el número de páginas leídas y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales, construye una tabla que relacione ambas magnitudes.

3 9 6 30

5 15 10 50

1 2 4 5

3 3 6 9

2 5 3 10

4 10 6 20

3 9 15 6

4 16 20 8

2 4 6 8

10 30 20 10

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES?

11. Calcula los valores desconocidos de la siguiente tabla, sabiendo que los datos que aparecen corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales.

Magnitud A 8 12 b

Magnitud B 3 a 12

PRIMERO. Se establecen los cocientes entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos.

a38 12=

b38

12=

SEGUNDO. Se calculan los valores desconocidos despejando en la igualdad de fracciones.

8 3 12 4,53 12

??

? a a8

= = ="

8 312

??

? b b123

832= = ="

55. ● Copia y completa la tabla, sabiendo que son magnitudes directamente proporcionales.

a)

b)

56. ●● Copia y completa las siguientes tablas, sabiendo que A y B representan magnitudes directamente proporcionales.

a) c)

b) d)

Tiempo de lectura 5 min 10 min 15 min 20 min

Páginas leídas 2

Tiempo de fabricación

18 min 36 min 54 min 72 min

N.º de objetos fabricados

4

A 2 5 9 17

B 7

A 2 3 6 11

B 5

A 5 7 9 16

B 4

A 3 4 10 13

B 9

130

294758 _ 0118-0133.indd 130 13/06/12 11:22

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

57. ●● Estudia si la relación que existe entre estos pares de magnitudes es de proporcionalidad, y en caso de que lo sea, si es directa o inversa.

a) Velocidad y tiempo en un movimiento con velocidad constante.

b) Espacio y tiempo en un movimiento con velocidad constante.

c) Número de personas que se reparten una tarta y porción que le toca a cada uno.

d) Número de horas que un alumno ve la televisión y número de horas de estudio.

e) Cantidad de dinero que ahorra una familia y cantidad de dinero que dedica a gastos en comida.

f) Cantidad de aprobados y cantidad de suspensos en una asignatura.

g) Número de albañiles y tiempo que tardan en construir una pared.

h) Número de personas que comen y cantidad de alimento.

i) Número de personas que participan en la compra de un regalo y dinero que aporta cada uno.

j) Número de jornaleros y tiempo que tardan en la recogida de aceituna.

12. ● Comprueba si las siguientes tablas corresponden a valores de magnitudes inversamente proporcionales.

a)

b)

c)

d)

e)

1 2 4 8

10 5 2,5 1,25

1 2 3 4

2 4 6 8

20 16 8 4

10 12,5 25 50

5 10 15 20

8 16 24 32

14 10 8 4

5 7 8,75 17,5

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES?

13. Calcula los valores desconocidos de esta tabla, sabiendo que los datos corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales.

Magnitud A 36 48 b

Magnitud B 9 a 12

PRIMERO. Se establecen los productos entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos.

36 ? 9 = 48 ? a36 ? 9 = b ? 12

SEGUNDO. Se calculan los valores desconocidos despejando en la igualdad de productos.

,?

a48

36 96 75= =

?b

36 912

27= =

58. ● Copia y completa las siguientes tablas, sabiendo que A y B representan magnitudes inversamente proporcionales.

a) b)

60. ●● Copia y corrige estas tablas, si A y B son magnitudes inversamente proporcionales.

a)

b)

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

61. ● En una fábrica de coches se hacen 380 unidades cada 5 horas. ¿Cuántos coches se fabricarán en 12 horas, manteniendo el mismo ritmo?

A 6 5 30

B 90 54

A 2 6 15 4

B 75

A 2 4 8 16 1,5 6,4

B 8 4 2 0 10 2,5

A 10 15 20 25 30 35

B 5 3 2,5 2 1,5 1,3

131

294758 _ 0118-0133.indd 131 13/06/12 11:22

64. ● Ocho personas recogen las naranjas de un huerto en 9 horas. ¿Cuánto tardarían en hacerlo 6 personas?

65. ● De un manantial hemos recogido 200 litros de agua en 4 minutos. ¿Cuántos litros obtendremos en 7 minutos?

66. ● Tres caballos consumen una carga de heno en 10 días. ¿Cuánto les durará la misma cantidad de heno a 5 caballos?

67. ● Cuatro excavadoras han levantado las aceras de una calle en 14 días. Para hacerlo en 7 días, ¿cuántas excavadoras se necesitarían?

68. ●● Para hacer dos camisas se utilizan 4,5 m de tela.

a) ¿Cuánta tela se necesita para hacer 3 camisas?

b) ¿Y para hacer 7 camisas?

c) ¿Cuántas camisas se pueden hacer con 15 m de tela?

69. ●● Con una velocidad de 20 nudos, un barco realiza una travesía en 8 horas. Halla la velocidad de otro barco que hace la misma travesía en 6 horas y media.

70. ●● Para hacer una paella se necesitan 2 vasos de agua por cada vaso de arroz. Si echamos 4 vasos y medio de agua, ¿cuántos vasos de arroz debemos añadir?

72. ●● Alicia y Antonio reparten propaganda. Los 5 paquetes de Alicia pesan 6 kilos. ¿Cuánto pesarán los 7 paquetes de Antonio?

73. ●● La dueña de una pensión dispone de comida para alimentar a sus 18 huéspedes durante 12 días. Si vienen 6 huéspedes nuevos, ¿para cuántos días tendrán comida?

74. ●● María escribe dos páginas en media hora. ¿Cuántas páginas escribirá en 3 horas? ¿Y cuánto tiempo tardará en escribir 84 páginas?

78. ●● He pagado 60 € por el abono de piscina de este verano, pero solo puedo asistir 45 días. Si la entrada normal cuesta 1,25 € al día, ¿me ahorraré dinero comprando el abono?

79. ●● En la tabla se muestra la oferta de unos grandes almacenes al adquirir un determinado número de litros de leche. ¿Son directamente proporcionales el obsequio y la compra?

80. ●● En la siguiente tabla se muestra la oferta de una frutería al comprar un determinado número de kilos de patatas. ¿Son directamente proporcionales el obsequio y la compra?

¿Qué cantidad de patatas hay que comprar para que nos regalen 10,5 kg?

81. ●● Un coche de carreras ha dado 5 vueltas a un circuito en 8 minutos y 30 segundos. Si mantiene la misma velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en dar las 3 próximas vueltas?

Litros comprados 40 55 75 100

Litros obsequiados 1 2 3 5

Kilos comprados 20 40 60 80

Kilos obsequiados 1,5 3 4,5 6

132

294758 _ 0118-0133.indd 132 13/06/12 11:22

PROBLEMAS CON PORCENTAJES

91. ● En un poblado africano hay 2 350 habitantes. Si el 68 % son niños, averigua el número de niños del poblado.

92. ● En una clase de 30 alumnos han faltado 6. ¿Cuál ha sido el porcentaje de ausencias?

93. ● De 475 personas, a 76 les gusta el fútbol. ¿A qué porcentaje de personas no le gusta el fútbol?

94. ● El 18 % de una cosecha de lechugas son 10 800 kg. ¿Cuántos kilos tiene la cosecha?

95. ● Un traje cuesta 280 €. Si se aumenta su precio un 12 %, ¿cuánto costará?

97. ●● De los 1 200 alumnos de un instituto, el 25 % practica atletismo; el 15 %, baloncesto, y el 40 %, fútbol. Calcula el número de alumnos que practican cada deporte y el porcentaje de los que no lo practican.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA CANTIDAD INICIAL SI SE CONOCE LA CANTIDAD DESPUÉS DE UNA DISMINUCIÓN?

14. Un libro me ha costado 23,75 € tras aplicarle una rebaja del 5 %. ¿Cuánto costaba antes del descuento?

PRIMERO. Se determina el tanto por ciento de disminución.

Rebajar un % ( )%5 100 510095

- ="

SEGUNDO. Se plantea la relación entre los datos.

,(100 5)% de ? xx 23 7510095

= =-

TERCERO. Se calcula la cantidad inicial.

23,75 2523, 75 100

??

x x10095

95= ==" €

15. ●● En rebajas me han aplicado un 12 % de descuento al comprar un vestido. Si me ha costado 44 €, ¿cuánto costaba antes?

16. ●● A un espectáculo han asistido 1 190 personas. Si este número es un 15 % del previsto inicialmente, ¿cuántas personas iban a asistir?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA CANTIDAD INICIAL SI SE CONOCE LA CANTIDAD DESPUÉS DE UN AUMENTO?

17. Un viaje me ha costado un 15 % más que el año pasado. Si he pagado 517,50 €, ¿cuánto me costó el año pasado?

PRIMERO. Se determina el tanto por ciento de aumento.

Aumentar un % ( )%15 100 15100115

+ ="

SEGUNDO. Se plantea la relación entre los datos.

( )% de ,?x x100100115

517 5015+ = =

TERCERO. Se calcula la cantidad inicial.

,,?

?x x

100100

517 5050

450115

115517

= ==" €

98. ●● Tres montañeros se llevan alimento para su estancia en la montaña. Al llegar al refugio descubren que tienen un 15 % más de provisiones. Si disponen de 402,5 kg de comida, averigua cuánta tenían al principio.

100. ●● Queremos hacer la fotocopia de una lámina, reduciendo 12,5 cm de altura a 6 cm. ¿Qué porcentaje de reducción aplicaremos?

12,5 cm

133

294758 _ 0118-0133.indd 133 13/06/12 11:22

La llave de la Ciudad ProhibidaEl misionero jesuita Matteo Ricci atravesó la puerta de la Ciudad Prohibida al encuentro del emperador chino Wan-Li. Los presentes enviados habían surtido efecto y el emperador quería conocerlo.

El emperador, que esperaba curioseando el mapa del mundo incluido en los regalos, levantó la vista y le ordenó realizar una copia para él.

Tras la entrevista el padre Ricci regresó a su casa, y allí otro misionero, un tanto sorprendido, dijo:

–Todavía no entiendo por qué les llama tanto la atención el mapa.

–Es lógico –argumentó Ricci–. Llevan miles de años creyendo que el mundo es solo China, que fuera viven bárbaros incapaces de aportar nada a su cultura y, de repente, les demostramos que no somos bárbaros, sino que estamos más avanzados que ellos en ciencias como matemáticas, astronomía, geografía…

–Esa es la llave que me condujo al emperador de China –continuó el padre Ricci–. El mapa llamó su atención y cuando les expliqué la forma de tomar las medidas y la utilización de escalas para representarlas sobre el papel, entonces vieron que podíamos enseñarles muchas cosas.

9Proporcionalidad geométrica

1. En mayo de 2010 se han cumplido 400 años del fallecimiento del misionero Matteo Ricci, que llegó a China en 1582. Busca información sobre su vida.

2. Investiga sobre el mapa que presentó Matteo Ricci al emperador de China.

3. ¿Qué otras aportaciones a la ciencia realizó Matteo Ricci a lo largo de su vida?


294758 _ 0134-0147.indd 134 13/06/12 11:24

1 Marcaentucuadernocincopuntossituadosdeestamaneraydibuja:

a) Una recta que pase por A, una semirrecta con origen en B y un segmento cuyos extremos sean C y D.

b) Dos rectas que pasen por E. ¿Cómo son estas rectas?

c) Un ángulo agudo de vértice A y un ángulo obtuso de vértice D.

4. Dibujaunarectasecantearyotraparalelaas.

a) r b) s

EVALUACIÓN INICIAL

Antes de empezar la unidad... RECTAS Y ÁNGULOS

• Una recta es una línea continua, formada por infinitos puntos, que no tiene principio ni final.

• Una semirrecta es una recta que tiene principio, pero no tiene final.

• Un segmento es una parte de una recta delimitada por dos puntos, llamados extremos.

Recta Semirrecta Segmento

Clasificación de ángulos

Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto.

Agudo Recto Obtuso

Menor que 90º Mayor que 90º

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Rectas secantes Rectas paralelas

Se cortan en un punto. No se cortan.

Un ángulo recto mide 90º.

Enestaunidadaprenderása…

• Conocer el teorema de Tales.

• Aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

• Reconocer polígonos semejantes.

• Interpretar las escalas en mapas y planos.

PLAN DE TRABAJO

A

B

C D

E

135

294758 _ 0134-0147.indd 135 13/06/12 11:24

5 CalculalalongituddeOA'yBC.

AB

C

O

Al Bl Cl


1 Calculalalongituddelsegmento OA'.

5 cm

4,7 cmA

B

O

Al Bl3,12 cm

Teorema de Tales

Si tres rectas paralelas, a, b y c, cortan a otras dos rectas, r y s, los segmen-tos que determinan son proporcionales.

r s

a

b

c

A Al

B Bl

C Cl

A B

AB

B C

BC

A B

AB

A C

AC

=

=

l l l l

l l l l

4 " A B

AB

B C

BC

A C

AC= =

l l l l l l

Esta igualdad constituye el teorema de Tales.


Cómo se calcula un término desconocido en una igualdad

del tipo b

a

d

c=

Enunaigualdaddeltipoba

dc

= secumplequea?d= b?c.

3 5 9 15 ? ??

xx x

53 9

35 9

= = = =" "

EJEMPLO

3 ApartirdelteoremadeTales,calculalalongituddelsegmentoAlBl.

Por el teorema de Tales:

,

1,5 2 3

,4

? ??

OAOA

A BAB

A BA B

A B

21 5 3

1 52 3

cm

= =

=

= =

"

"

"

l l l l l

l l

l l

El segmento AlBl mide 4 cm.

2

3 cm

1,5 cm

2 cmO

A

B

Al Bl

Si dos rectas paralelas, a y b, cortan a otras

dos rectas, r y s, también se cumple que:

ABAlBl

= AAlBBl

r s

a

b

A

B

Al

Bl

OA = 3 cmAB = 2,25 cm

AlBl = 1,5 cmBlCl = 5 cm

136

294758 _ 0134-0147.indd 136 13/06/12 11:25

Semejanza de triángulos

4.1 Triángulos semejantes

4

Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes.

4.2 Triángulos en posición de Tales

Decimos que dos triángulos, ABC y AFD, están en posición de Tales cuando tie-nen un ángulo en común, AV, y los lados opuestos a este ángulo, FD y BC, son pa-ralelos.

A F B

D

C

6 DemuestraquelostriángulosABCyAFDsonsemejantes.

Vamos a comprobar que dos triángulos en posición de Tales son semejantes.

• Tienen los ángulos iguales.AV " Es común a los dos triángulos.DV = CV " Por ser ángulos agudos

de lados paralelos.FV = BV " Por ser ángulos agudos

de lados paralelos.

• Tienen los lados proporcionales.

Aplicando el teorema de Tales: AFAD

FBDC

ABAC

= =

EJEMPLO

A F B

D

C

A Al

B

Bl

C

Cl

Dos triángulos ABC y AlBlCl son semejantes si:

• Tienen sus ángulos iguales. AV = AVl BV = BVl CV = CVl• Tienen sus lados proporcionales.

A B

AB

B C

BC

A C

AC= =

l l l l l l


Qué relación cumplen los ángulos de un triángulo

Lasumadelostresángulosdeuntriánguloesiguala180º.

AV+BV+CV=180°




AV+BV+CV=180°




AV+BV+CV=180°

12 DibujatresparesdetriángulossemejantesquenoesténenposicióndeTales.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER11 Dibujatresparesdetriángulosenposición

deTales.Indicacómolohaces.

AV CVBV

137

294758 _ 0134-0147.indd 137 13/06/12 11:25

Criterios de semejanza de triángulos5

Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.

Dos triángulos rectángulos son semejantes si:

• Tienen un ángulo agudo igual.

• O dos de sus lados son proporcionales.

PRIMER CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados pro-porcionales.

SEGUNDO CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales.

TERCER CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

A B

AB

B C

BC

A C

AC= =

l l l l l l

A AlB Bl

C Cl

AV = AVlBV = BVl

A AlB Bl

C Cl

EJEMPLO

7 Determinasisonsemejantesestostriángulos.

• Tienen un ángulo igual.

AV = AVl• Los lados que forman

el ángulo igual son proporcionales.

Los triángulos son semejantes por el tercer criterio de semejanza.

C

A B

4 cm

8 cm

5 cm

10 cmAl Bl

Cl

108

0,8

54

0,8

A BAB

A CAC A B

ABA CAC

= =

= =

="l l

l l

l l l l4

DATE CUENTA

Dos triángulos que cumplan cualquier criterio de semejanza se pueden poner en posición de Tales, y por tanto, son semejantes.


Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Tresángulosagudos

Unángulorecto

Unánguloobtuso

AV = AVlA AlB Bl

C Cl

A C

AC

A B

AB=ll l l

15 Compruebaqueuntriángulorectángulodecatetosde8cmy6cmessemejanteaotrodecatetosde4cmy3cm.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER14 Losladosdeuntriángulomiden5,4y8cm,

ylosladosdeotro,5,6y8cm,respectivamente.Decidesisonsemejantes.

138

294758 _ 0134-0147.indd 138 13/06/12 11:25

Polígonos semejantes7

10 CalculaDlElsabiendoquelosdospolígonossonsemejantes.

Como los polígonos son semejantes, sus lados serán proporcionales.

A BAB

B CBC

C DCD

D EDE

E AEA

= = = =l l l l l l l l l l

2010

42

147 6

84 6

84

46 8

12 ?

D E D ED E cm= = = = = = =" "

l l l ll l

11 Determinasiestosrectángulossonsemejantes.

• Sus ángulos son iguales.AV=AVl=90° BV=BVl=90° CV=CVl=90° DV=DVl=90°

• Sus lados son proporcionales.

52,5

21

52,5

21

0,5A BAB

B CBC

C DCD

D ADA

= = = = = = ="l l l l l l l l

Los dos rectángulos son semejantes, con razón de semejanza 0,5.

EJEMPLOS

Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Se llama razón de semejanza al cociente de la longitud de un lado de un polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.

D C

A B

1 cm

2,5 cm

2 cm

5 cmAl Bl

Dl Cl

ED

C

A B

4 cm

6 cm 7 cm

2 cm10 cm

8 cm

14 cm

4 cm

20 cmAl Bl

Dl

El

Cl


Qué es un polígono

Unpolígonoesunafiguraplanaycerradalimitadaporsegmentos.

Lado

Vértice

Ángulo

F

2 Decidesiestosdospolígonossonsemejantes.

¿Cuánto mide el lado AB?


20 Dadosestosrectángulos,resuelve.

¿Son semejantes? ¿Cuál es su razón?

20 cm

30 cm

16 cm

24 cm

8 cm

6 cm13 cm

9 cm

6 cmA B

CF

E D

3 cm6 cm

4,5 cm

6,5 cm

3 cm

4 cm Al BlClFl

El Dl

Polígono

139

294758 _ 0134-0147.indd 139 13/06/12 11:25

Figuras semejantes8

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales.

12 Compruebasiestasfigurassonsemejantesalafiguradeladerecha.

a) b) c)

a) Esta figura es semejante porque:• Los ángulos de las dos figuras son iguales, es decir, conserva la forma.• Sus dimensiones son el doble que las de la figura original; por tanto,

son proporcionales.

b) Esta figura no es semejante porque:• Los ángulos de las dos figuras no son iguales, es decir, no se conserva

la forma.

c) Esta figura es semejante porque:• Los ángulos de las dos figuras son iguales, es decir, conserva la forma.• Sus dimensiones son las mismas que las de la figura original;

por tanto, son proporcionales.

EJEMPLO

Una figura es semejante a sí misma con razón

de semejanza 1.


Qué son magnitudes directamente proporcionales

Dosmagnitudessondirectamenteproporcionalessi,almultiplicar(odividir)unadeellasporunnúmero,laotraquedamultiplicada(odividida)porelmismonúmero.

La razón de semejanza es el cociente que resulta al dividir una longitud de la figura transformada entre la longitud correspondiente de la figura original.

24 Dibujadoscírculosderadio2y4cm,respectivamente. ¿Sonsemejantes?

25 Dibujauncuadradodelado3cm.a) Dibuja otro cuadrado semejante a él con razón

de semejanza 2.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER23 Observalasfigurasyrazonasison

semejantes.

140

294758 _ 0134-0147.indd 140 13/06/12 11:25

32 Realizamoselplanodeunacasaaescala1:75.

a) ¿Qué razón de semejanza se aplica?b) ¿Qué medida real tiene una línea del plano

de 5 cm de longitud?c) ¿Cuánto mide en el plano una longitud

de 4,5 cm?


30 Explicaquésignificacadaescala.

a) 1 : 300 b) 1 : 60 000 c) 1 : 12

31 ¿Quéescalasehautilizadoaldibujarunobjetosi3cmdeldibujoequivalena3dmreales?

Se llama escala a la razón de semejanza entre la figura representada y la figura original.

EscalaDistancia en la realidad

Distancia en la representación=

15 Elanchodeljardíndeunacasamide37,5m.¿Aquéescalaestádibujadoelplano?

Medimos sobre el plano la longitud que conocemos en la realidad. El ancho del jardín en el plano es 2,5 cm.

Expresamos ambas longitudes en la misma unidad y dividimos:

, , ,

37 5 3 7502 5 2 5

3 7501500

m cmcm

=="3

Escala " 1 : 1 500. Esto significa que 1 cm en el plano equivale a 1 500 cm en la realidad.

16 Segúnelplanoanterior,¿cuántomideenlarealidadeldiámetroABdelafuente?

El diámetro AB de la fuente en el plano es de 0,5 cm.

Como el objeto real y su representación son figuras semejantes, aplicamos la proporción:

Escala " 1 : 1 500 " ,

,?AB

AB1500

1 0 51500 0 5 750= = =" cm

El diámetro AB de la fuente es de 750 cm = 7,5 m.

EJEMPLOS

Escalas

Una de las aplicaciones más frecuentes de la semejanza es la elaboración de planos, mapas, maquetas... En ellos reducimos, de manera proporcio-nal, las dimensiones que tienen los objetos en la realidad, obteniendo una representación igual en la forma, pero no en el tamaño.

La escala se representa de la forma 1 : a, siendo a el número resultante de la división anterior.

9

G� F37,5 m

En ocasiones, la escala se indica de forma gráfica.

Según esta escala, 1 cm (la distancia que hay entre

0 y 5) equivale a 5 km. Es decir, de forma numérica sería:

1 : 500 000

0 5 10 15 20

kilómetros

FUENTE

Llíria

Bétera

Quartde Poblet

CulleraAlzira

Xàtiva

Ontinyent

Alcoy

Gandia

Dénia

Calpe

Altea

BenidormVillajoyosa

ALICANTEElche

Villanuevade Castellón

Rafelbunyol

Silla

Moixent

Manises

El Altet

VALENCIA

m

m m m

m

m

m

m

m

CV-60

A-7

A-3

A-7

A-7A-31

CV-80

A-35

AP-7

N-332

N-340

N-340

N-340

CV-50

0 28

Kilómetros

56 84

141

294758 _ 0134-0147.indd 141 13/06/12 11:25


Teorema de Tales

1. CALCULAR LA LONGITUD DE UN SEGMENTO UTILIZANDO EL TEOREMA DE TALES

CalculalalongituddelsegmentoACl.

PRIMERO. Comprobamos que se cumplen las condiciones del teorema de Tales.

BBl y CCl son paralelos y cortan a AC y ACl.

SEGUNDO. Aplicamos la proporcionalidad entre segmentos del teorema de Tales.

, ? ??

AB

AB

AC

AC

ACAC AC

33

36 67

45

4 54 5

cm= = = = =" " "l l l

l l


A BAB

B CBC

A CAC

= =l l l l l l

Polígonos semejantes

A BAB

B CBC

C DCD

D ADA

= = =l l l l l l l l

AV = AVl CV = CVlBV = BVl DV = DVl

D C

A B

Al Bl

Dl Cl

B3 cm

2. DETERMINAR SI DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES

DeterminasiestostriángulossonsemejantesaotrotriánguloconAV=37°,BV=53°ycuyosladosmiden1,5cm,2cmy2,5cm.

a) b) c)

PRIMERO. Vemos si sus ángulos son iguales.a) AV ! AVl y BV ! BVl " No son semejantes.b) AV = AVl y BV = BVl " Son semejantes

por el segundo criterio.

SEGUNDO. Comprobamos la proporcionalidad entre sus lados.

c) 1,53

24

2,55

2= = = " Son semejantes

por el primer criterio.

3. DETERMINAR SI DOS POLÍGONOS SON SEMEJANTES

Determinasiestospolígonossonsemejantes.

PRIMERO. Estudiamos la igualdad de sus ángulos.

AV = AVl BV = BVl CV = CVl DV = DVlLos ángulos de los dos polígonos son iguales.

SEGUNDO. Comprobamos la proporcionalidad entre sus lados.

1410

! 88

. Los lados no son proporcionales.

Los polígonos no son semejantes.

Al Bl

Cl

50°80°

Al Bl

Cl

37° 53°Al Bl

Cl

4 cm 3 cm

5 cmA B

D C8 cm

10 cm Al Bl

Dl Cl8 cm

14 cm

r s

a

b

c

A A'

B B'

C Cl

A 5 cm C

4 cm

Bl

Cl

B

142

294758 _ 0134-0147.indd 142 13/06/12 11:25


1. Calcula la longitud de BC y OAl.

OA = 1 cm AB = 0,75 cm AlBl = 0,5 cm BlCl = 3 cm

Calcular la longitud de un segmento

2. ¿Cuál es la longitud de x?

Determinar si dos triángulos son semejantes

3. ¿Cuánto mide x?

Determinar si dos polígonos son semejantes

4. Dos cuadrados de lados 7 cm y 5 cm, ¿son semejantes?

Calcular la longitud de un lado en dos polígonos semejantes

5. Para que un rectángulo de 12 cm de alto sea semejante a otro de 8 cm de alto y 3 cm de ancho, ¿cuánto tiene que medir su anchura?

Determinar la escala de un plano

6. Si representamos una distancia de 30 km como 2,5 cm, ¿cuál es la escala?

Determinar una longitud en un mapa

7. ¿Cuál es la distancia real entre dos puntos si distan 7 cm en un mapa a escala 1 : 5 000 000?

Y AHORA… PRACTICA

4. CALCULAR LA LONGITUD DE UN LADO EN DOS POLÍGONOS SEMEJANTES

Calculalalongituddelladodesconocido,sabiendoquelosdospolígonossonsemejantes.

PRIMERO. Elegimos dos lados correspondientes cuya longitud sea conocida.

SEGUNDO. Formamos una proporción con esos dos lados, el lado desconocido y su correspondiente.

5. DETERMINAR LA ESCALA A LA QUE ESTÁ DIBUJADO UN PLANO

¿Aquéescalaestádibujadounplanoquerepresentaunadistanciade30mconunalongitudde2,5cm?

PRIMERO. Medimos sobre el plano la longitud que conocemos en la realidad.En este caso, la longitud es de 2,5 cm.

SEGUNDO. Expresamos ambas longitudes en la misma unidad y dividimos.

, ,

30 3 0002 5 2 5

3 0001200

m cmcm

=="3

TERCERO. Escribimos la escala como 1 : a, siendo a el número resultante de la división.

Escala " 1 : 1 200

6. DETERMINAR UNA LONGITUD EN UN MAPA CONOCIENDO LA ESCALA

¿Quédistanciarealrepresentaunalongitudde2,5cmenunmapaqueestádibujadoaunaescalade1:1200?

PRIMERO. Medimos, sobre el plano, la longitud que queremos calcular.

En este caso, la longitud es de 2,5 cm.

SEGUNDO. Como el objeto real y su representación son figuras semejantes, aplicamos la proporción.

Escala " 1 : 1 200 " ,

AB12001 2 5

=

" AB = 1 200 ? 2,5 = 3 000 cm = 30 m

La distancia que representa es 30 m.

5030

10 5030 10

6 ?x

x cm= = ="

30 cm

10 cm

50 cm

x

6 cm4 cm

2 cmx

8 cm2,5 cm 3,75 cm 4 cm 6 cm

x

AB

C

O

Al Bl Cl

143

294758 _ 0134-0147.indd 143 13/06/12 11:25

ActividadesTEOREMA DE TALES

41. ●● Calculalaslongitudesdesconocidas.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

42. ● Consideraestafigura:

a) Si OA = 2 cm OB = 5 cm

OAl = 2,6 cm OCl = 11,7 cm

calcula: AlBl, BlCl, OBl y BC.

b) Si OAl = 4 cm OB = 9 cm

OBl = 12 cm OCl = 18 cm

calcula: OA, AB, AlBl, BlCl, OC y BC.

c) Si OA = 5 cm OC = 22,5 cm

OCl = 36 cm OBl = 24 cm

calcula: OAl, OB, AB, BC, AlBl y BlCl.

2 cm

3 cm

2,5 cm

x

10 cm5 cm

8 cm

x

4,8 cm

2 cm

3 cmx

4 cm

8 cm

6 cmx

7 cm

2 cm

3 cm 5 cmx

y

2 cm

4 cm

3 cm x

F

5,2 cm

0,8 cm

8 cm

4 cm

1 cm

x

yz

F

F

F

8,1 cm

5 cm

1,5 cm

6 cm

2 cm

xy z

F

43. ●● Enlasiguientefigura,larazón 0,8OB

OB=l

.CalculaOAl,AByBC.

44. ●● Determinalaslongitudesdesconocidas.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

50. ● Calculalalongituddelosladosdesconocidosenlossiguientesparesdetriángulossemejantes.

a)

b)

c)

d)

e)

AO

B C

Al

Bl

Cl

C

2,8 cm4,5 cm

2,3 cmOA B

Al

Bl

Cl

3 cmz

y

8 cm

5 cmx

2 cm4 cm

t

F

3 cm 5 cm

12 cm

4 cm

8 cm

7 cm

10 cm 6 cm

6 cm5 cm3 cm

4 cm

5 cm 5 cm

3,2 cm 2 cm

3 cm 1,5 cm

1,5 cm2,3 cm

144

294758 _ 0134-0147.indd 144 13/06/12 11:25

54. ●● IdentificaenlassiguientesfigurastodoslostriángulosqueesténenposicióndeTales.

a) c)

b) d)

56. ●● Determinasiestosparesdetriángulossonsemejantes,yexplicaquécriterioaplicasencadacaso.

a)

b)

c)

e)

f)

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN LADO DESCONOCIDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO?

3. Calculaelladodesconocidoenestostriángulosrectángulos.

a) b)

PRIMERO. Se identifica si el lado desconocido es la hipotenusa o un cateto para decidir cómo aplicamos el teorema de Pitágoras.

a) Hipotenusa " a2 = b2 + c2

b) Cateto " b2 = a2 - c2

SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras.

a) a2 = 82 + 152 " a2 = 289 " a = 289 = 17 cm

b) b2 = 252 - 242 " b2 = 49 " b = 49 = 7 cm

¿CÓMO SE RECONOCEN LOS TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES?

53. IndicaquétriángulosdelasiguientefiguraestánenposicióndeTales.

PRIMERO. Se identifican todos los triángulos posibles.

ABC ABE ABG ADE AEG

EBF GBC DBE DBF

SEGUNDO. Se toman los que tienen un ángulo común.

ABC y DBF tienen el ángulo BV en común.

ABE, ABG y DBE tienen el ángulo BV en común.

EBF y GBC tienen el ángulo BV en común.

TERCERO. De cada grupo de triángulos con un ángulo en común se consideran los que tienen paralelos los lados opuestos a ese ángulo.

ABC y DBF tienen AC y DF paralelos.

ABG y DBE tienen AG y DE paralelos.

EBF y GBC tienen EF y GC paralelos.

Estos pares de triángulos están en posición de Tales.

HAZLO ASÍ

B

D

A G C

FE

B

D

A

G

C

FE

B

E

A

H

C D

G

F

B

EA

C

D

G

I

H

JF

B

FL

A

G

C D

H

I J K E

5 cm

4 cm80° 5 cm

6 cm

80°

11 cm

9,1 cm

65°

9 cm

7 cm

65°

5 cm 7 cm

7 cm

12,8 cm

11,2 cm

8 cm

50°

40°

50°50°

70° 60°

15 cm

8 cma

25 cm

b 24 cm

145

294758 _ 0134-0147.indd 145 13/06/12 11:25

4. ●● Determinasiestosparesdetriángulossonsemejantes,yexplicaquécriterioaplicasencadacaso.

a)

b)

c)

d)

POLÍGONOS SEMEJANTES

58. ● Dibujadoscuadradossemejantesquetenganlassiguientesrazonesdesemejanza.

a) r = 2 c) r = 2,5

b) 21

r = d) 31

r =

59. ● Dibujatriángulossemejantesquetenganestasrazonesdesemejanzarespectodelafigura.

a) 21

r = c) r = 3

b) 41

r = d) 45

r=

60. ● Dibujafigurassemejantesalasiguientequetengancomorazóndesemejanzar=2yr=0,5.

a) b)

61. ●● DostriángulosABCyAlBlClsonsemejantes

ysurazóndesemejanzaes41

.Lasmedidas

delosladosdeltriánguloABCsonAB=8cm,BC=10cmyAC=14cm.Hallalaslongitudesdelosladosdelotrotriángulo.

40°

30°

6 cm 8 cm

12 cm

ESCALAS

67. ● Expresa,medianteunaescalanumérica.

a) 25 cm de un plano representan 25 km reales.b) 0,8 dm de un plano representan 160 km reales.

68. ● Expresa,medianteunaescalanuméricayunaescalagráfica.

a) 1 cm en el plano equivale a 2 km en la realidad.b) 1 cm en el plano equivale a 50 km en la realidad.

69. ● Calculalaalturarealdelosobjetos.

70. ● Hallaladistanciarealentredospueblosseparadospor4cmenunmapaconestaescala:

71. ● Ladistanciarealentredosciudadesesde450 km.Hallaladistanciaquelasseparaenunmaparealizadoaescala1:1500000.

72. ●● Alrepresentarlacarreteraqueunedospueblosenunmapadeescala1:500000,sulongitudmide6cm.¿Cuálseríalalongituddelacarreterasilarepresentamosenunplanodeescala1:60000?

73. ●● Elplanodeunaviviendaestárealizadoaescala1:60.

a) ¿Qué dimensiones reales tiene la cocina si en el plano mide 4 cm de ancho y 7 cm de largo?

b) El pasillo mide 7,5 m en la realidad. ¿Cuánto mide de largo en el plano?

kilómetros

0 40 80 120

Objeto Escala

1 : 20

1 : 10

1 : 25

6 cm 3 cm10 cm

4 cm

20 cm 60 cm

21 cm63 cm

2,25 cm41 cm 10,25 cm

40 cm

4 cm 8 cm

146

294758 _ 0134-0147.indd 146 13/06/12 11:25

PROBLEMAS DE SEMEJANZA

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN OBJETO MEDIANTE OBJETOS INTERMEDIOS?

5. ¿Cuáleslaalturadelatorre?

PRIMERO. Se decide si los triángulos son semejantes.

Los triángulos ABC y AlBCl son semejantes por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo común.

SEGUNDO. Se establece la relación de semejanza entre los lados de los triángulos que se forman.

A C

AC

A B

AB AC3 12

100= ="

l l l

TERCERO.Se calcula el lado desconocido.

3 100?ACAC

3 12100

1225 m= = ="

74. ●● Unárbolmide5mdealturay,aunadeterminadahoradeldía,proyectaunasombrade6m.¿Quéalturatendráeledificiodelafigurasialamismahoraproyectaunasombrade10m?

75. ●● Siunpalomide1m,ylasombraqueproyectaaunadeterminadahoradeldíaesde1,5m,¿cuántomideunedificioqueproyectaunasombrade6malamismahora?

10 m

6 m

5 m

1 m

1,5 mG� F

6 m

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN OBJETO MEDIANTE SU SOMBRA?

6. ¿Cuáleslaalturadelárbol?

PRIMERO. Se decide si los triángulos son semejantes.

Los triángulos ABC y AlBlCl son semejantes porque:

• AV = AVl por ser rectos.• BV = BVl ya que los rayos del Sol inciden sobre

los dos objetos con la misma inclinación.

SEGUNDO. Se establece la relación de semejanza entre los lados de los triángulos que se forman.

, ,,

A C

AC

A B

AB AC1 5 2 1

6 3= ="

l l l l

TERCERO.Se calcula el lado desconocido.

, ,,

,1,5 6,3

,?AC

AC1 5 2 1

6 32 1

4 5 m= = ="

7. ●● Lasombradeunautobúsaciertahoramide8m.Alamismahora,lasombradeuncoche,quemide1,4m,esde3,5m.¿Quéalturatieneel autobús?

77. ●● Lasombraqueproyectaunpadrequemide1,8mdeestatura,alas3delatarde,esde2,1m.¿Quéestaturatendrásuhijosilasombraqueproyectaesde1,5m?

78. ●● LasombraqueproyectaJulia,quemide1,34 m,ala1delatarde,esde1,2m.¿Cuántomidesumadresienesemomentoproyectaunasombrade1,4m?

79. ●● Alladodeunsemáforo,lasombradeJuanmide1,5mylasombradelsemáforomide60cmmásqueladeJuan.¿CuáleslalongituddelsemáforosiJuanmide1,75m?

100 m12 m

3 m

Al BA

C

Cl

2,1 m6,3 m B Al BlA

C

Cl

1,5

mG�F

1,4 m

8 m 3,5 m

147

294758 _ 0134-0147.indd 147 13/06/12 11:25

El regaloMientras se sacudía el polvo que el empinado camino había depositado en sus ropas y sus sandalias, Apolonio de Perga miraba con admiración el templo de Artemisa, una de las Siete Maravillas construidas en el mundo.

Tras el parco aseo, volvió su vista hacia los árboles y bajo una higuera encontró descansando a Eudemo, el amigo con quien había quedado.

–La subida es cansada pero merece la pena, el templo es lo más parecido al Olimpo de los dioses que se puede ver en la Tierra –dijo Apolonio sentándose a su lado.

–No lo discuto, Apolonio –contestó Eudemo–. Sin embargo, deberías hacer ofrendas en honor a Atenea, que es la diosa de la sabiduría, y no a Artemisa, diosa de la caza.

–Cuando visito a un amigo siempre llevo algún regalo, y si voy a la casa de una diosa por qué no he de hacerlo –razonó Apolonio.

Eudemo le preguntó:–Entonces a mí, ¿qué regalo me has traído?

Apolonio, encogiéndose de hombros, respondió:–¡No te basta con el abrazo de un amigo! Además, como sé que te gustan, te traigo un acertijo geométrico: ¿Cómo se puede encontrar una circunferencia tangente a otras tres circunferencias dadas?

10 Figuras planas. Áreas

1. Sabemos muy poco de la vida de Apolonio de Perga. Busca información sobre este matemático y la época en que vivió.

2. Investiga sobre el acertijo que plantea Apolonio a Eudemo en el texto.

3. ¿Qué otras aportaciones a las matemáticas realizó Apolonio y cuál es su influencia histórica?


294758 _ 0148-0163.indd 148 13/06/12 11:25



• Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras.

• Calcular el área de triángulos, paralelogramos, trapecios y polígonos regulares.

• Hallar la longitud de una circunferencia y el área de un círculo.

PLAN DE TRABAJO

POLÍGONOS

Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos.

Los elementos de un polígono son:

• Lados: segmentos que delimitan el polígono.

• Vértices: puntos donde se unen dos lados.

• Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.

Clasificación de polígonos

N.o de lados Nombre Regular Irregular

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

Vértice

Diagonal

Lado

Ángulo interior

Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos

iguales.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Dibuja este polígono en tu cuaderno. Señala en él sus lados, vértices, ángulos interiores y diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene?

2 Cuenta el número de lados de estos polígonos e indica su nombre. ¿Son regulares o irregulares?

149

294758 _ 0148-0163.indd 149 13/06/12 11:25

Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°). Los lados que forman el ángulo recto se de-nominan catetos, b y c, y el lado mayor se llama hipotenusa, a.


En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2


Qué es la raíz cuadrada de un número

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

16 4= , porque 42 = 16 22 = 4, entonces 4 2=

Si conocemos la medida de un cateto y la hipotenusa, podemos hallar el otro cateto:

• b2 = a2 - c2 " b a c2 2= -

• c2 = a2 - b2 " c a b2 2= -

EJEMPLOS

1 Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 6 cm y 8 cm.

Aplicamos el teorema de Pitágoras y sustituimos:a2 = b2 + c2 " a2 = 62 + 82 " a2 = 36 + 64 = 100

" 100 10a = = cm " La hipotenusa a mide 10 cm.

1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos, 12 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?

a2 = b2 + c2 " 132 = b2 + 122 b2 = 132 - 122 = 25 " b 25 5= = cmEl cateto b mide 5 cm.

1

Para aplicar el teorema de Pitágoras tenemos que

asegurarnos de que el triángulo es rectángulo.

C

b

A

a

c B

a

c

b

b13 cm

12 cm

1 Calcula el cateto que falta en estos triángulos rectángulos.

a) La hipotenusa mide 10 cm y uno de los catetos, 6 cm.

b) La hipotenusa mide 13 cm y uno de los catetos, 5 cm.


1 Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son:

a) 15 cm y 8 cm b) 12 cm y 35 cm

2 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

150

294758 _ 0148-0163.indd 150 13/06/12 11:25

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

2.1 Determinar si un triángulo es rectángulo


Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos

Acutángulo

Tres ángulos agudos

Rectángulo

Un ángulo recto

Obtusángulo

Un ángulo obtuso

En cualquier triángulo, siendo a el lado mayor:

• Si a2 = b2 + c2 " El triángulo es rectángulo.• Si a2 < b2 + c2 " El triángulo es acutángulo.• Si a2 > b2 + c2 " El triángulo es obtusángulo.

Solo cumplen el teorema de Pitágoras los triángulos rectángulos.

EJEMPLO

2 Determina de qué tipo son los triángulos cuyos lados miden:a) 3, 4 y 5 cm b) 7, 4 y 6 cm c) 5, 8 y 10 cm

Comprobamos si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.a) 52 = 32 + 42 " 25 = 9 + 16 " El triángulo es rectángulo.b) 72 < 42 + 62 " 49 < 16 + 36 " El triángulo es acutángulo.c) 102 > 52 + 82 " 100 > 25 + 64 " El triángulo es obtusángulo.

2.2 Calcular la diagonal de un rectángulo

El triángulo ABC es rectángulo, con hipotenusa la diagonal, d, y catetos, los lados del rectángulo.

d a b d a b2 2 2 2 2= + = +"

EJEMPLO

3 Calcula la diagonal de este rectángulo:

16 8 16 8 17,89d d2 2 2 2 2= + = + =" cmLa diagonal del rectángulo mide 17,89 cm.

2

a

c

B

b

A

C

d

bA

D

a

C

B

d

16 cm

8 cm

La diagonal de un rectángulo o de un cuadrado los divide en dos triángulos

rectángulos iguales.

dl

l

6 Sobre un campo rectangular, cuya longitud es de 16 m y su ancho es de 12 m, se traza una diagonal. Calcula su longitud.

7 Determina el largo de un rectángulo de 3 cm de ancho y 22 cm de diagonal.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER5 Indica si los triángulos con estas medidas son

rectángulos, acutángulos u obtusángulos.

a) 10 cm, 11 cm y 20 cm

b) 4 cm, 5 cm y 6 cm

c) 48 cm, 55 cm y 73 cm

151

294758 _ 0148-0163.indd 151 13/06/12 11:25

Área de polígonos

3.1 Área de los paralelogramos


Cómo se clasifican los paralelogramos

Los paralelogramos se clasifican en:

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

• Cuadrado: tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos.• Rectángulo: tiene los cuatro ángulos rectos.• Rombo: tiene los cuatro lados iguales.• Romboide: tiene los lados y los ángulos iguales, dos a dos, y no

tiene ángulos rectos.

Área del rectángulo

El área de un rectángulo de base b y altura a es:A = b ? a

a

b

Área del cuadrado

Un cuadrado tiene todos sus lados iguales.

El área de un cuadrado de lado l es:A = l ? l = l2

l

EJEMPLOS

6 Halla el área de un rectángulo cuya base mide 6 cm y su altura; 3,5 cm.

A = b ? a b = 6 cm; a = 3,5 cm

F A = 6 ? 3,5 = 21 cm2

El área del rectángulo mide 21 cm2.

2 Halla el área de un cuadrado de lado 4 cm.

A = l 2 l = 4 cm

F A = 42 = 16 cm2

3

6 cm

3,5 cm

16 Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 0,06 m.

2 Halla la altura de un rectángulo cuya base mide 3 cm y su área, 45 cm2.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER15 Determina el área de los siguientes

polígonos.a) Rectángulo cuya altura mide 5,4 cm y su base,

9 cm.b) Cuadrado de lado 6 dm.

152

294758 _ 0148-0163.indd 152 13/06/12 11:25

Las diagonales de un rombo son perpendiculares

y se cortan en su punto medio.

Dividen al rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales.

D

B

A C

Área del romboide


Qué son la base y la altura de un romboide

• La base de un romboide es cualquiera de sus lados.• La altura es un segmento perpendicular

a una base, trazado desde el vértice opuesto.

El área de un romboide de base b y altura h es igual al área de un rec-tángulo con base b y altura h.b b

h hF

El área de un romboide de base b y altura h es:A = b ? h

EJEMPLO

7 Calcula el área de este romboide:

A = b ? h b = 5 cm; h = 2,5 cm

F A = 5 ? 2,5 = 12,5 cm2

El área del romboide mide 12,5 cm2.

Área del rombo

D

dD

d

F

El área de un rombo con diagonal menor d y diagonal mayor D es la mitad del área de un rectángulo cuya base es d y su altura es D.

El área de un rombo de diagonal menor d y diagonal mayor D es:

2?

AD d

=

EJEMPLO

8 Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm.

?A

D d2

= D = 6 cm, d = 4 cm

F 6 ?

A2

412= = cm2

El área del rombo es 12 cm2.

Altura

Base

5 cm

2,5 cm

4 cm

6 cm G

G

18 Calcula el área de los polígonos.a) c)


7 cm

3 cm

4,25 cm

2,75 cm

6� 5

6�

5

15 Determina el área de estos polígonos.

a) Romboide cuya base mide 10,5 cm y su altura, 4,5 cm.

c) Romboide cuya base mide 150 mm y su altura, 65 mm.

153

294758 _ 0148-0163.indd 153 13/06/12 11:25

3.2 Área del triángulo


Qué son la base y la altura de un triángulo

• La base de un triángulo es cualquiera de sus lados.

• La altura es un segmento perpendicular a una base o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.

El área de un triángulo de base b y altura h es la mitad del área de un romboide de base b y altura h.

h

b

El área de un triángulo de base b y altura h es:

2 2? ?

Ab hBase Altura

= =

EJEMPLO

9 Calcula el área de este triángulo:

?A

b h2

= b = 8 cm, h = 6 cm

F ?

A2

8 624= = cm2

El área del triángulo es 24 cm2.

3.3 Área del trapecio


Cuáles son los elementos de un trapecio

• La base mayor y la base menor de un trapecio son sus dos lados paralelos.

• La altura es un segmento perpendicular a la base mayor, trazado desde el vértice opuesto.

Base Base

Altura

GG

8 cm

6 cm

Base menor

Altura

Base mayor

3 Halla la altura de un triángulo cuya base mide 8 cm y su área, 20 cm2.

4 Halla la base de un triángulo cuya base mide 3 cm y su área, 21 cm2.

19 Determina el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 14 cm y su base, 22 cm.


18 Calcula el área de los polígonos.

a) c)

b) d)

21 cm

12 c

m

7 cm

12 cm

5 cm

3 cm 4 cm

7 cm

154

294758 _ 0148-0163.indd 154 13/06/12 11:25

Si unimos dos trapecios iguales de base mayor B, base menor b y altura h, obtenemos un romboide de base (B + b) y altura h.

b

h

B

b

h

B

b B

h

B + b

F

El área de un trapecio de base mayor B, base menor b y altura h, es:

( ) ?A

B b h2

=+

EJEMPLO

10 Determina el área del trapecio del margen.

( ) ?A

B b h2

=+

B = 8 cm, b = 5 cm, h = 6 cm

F 2

(8 5) 639

?A=

+= cm2

El área del trapecio es 39 cm2.

3.4 Área de un polígono regular


Qué es un polígono regular

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos iguales.

• Apotema, a: segmento perpendicular al lado trazado desde su punto medio hasta el centro del polígono regular.

• Radio, r: segmento que une el centro del polígono regular con uno de los vértices.

El área de un polígono regular de apotema a es:

í ? ?A

P a2 2

Per metro Apotema= =r a lr

EJEMPLO

11 Halla el área de un hexágono regular cuyo lado mide 8 cm, sabiendo que la apotema es a = 6,92 cm.

• Perímetro = 6 ? lado = 6 ? 8 = 48 cm

Así, el área del hexágono es:

?A

P a2

= P = 48 cm; a = 6,92 cm

F ,

,?

A2

48 6 92166 08 cm2= =

8 cm

6 cm

5 cm

En los triángulos rectángulos y en los trapecios rectángulos,

la altura coincide con uno de sus lados.

h h

a

r

8 cm

21 Calcula el área.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER21 Calcula el área.

22 cm

16 cm

10 c

m

6 cm

4,1

cm

155

294758 _ 0148-0163.indd 155 13/06/12 11:25

3.5 Área de una figura plana

El área de una figura se puede calcular descomponiéndola en otras figuras cuyas áreas sabemos calcular.

EJEMPLO

12 Calcula el área de esta sala de conferencias:

Para hallar el área de la sala la descomponemos en un pentágono regular y un trapecio isósceles.

Figura 1Es un pentágono regular de lado 9 m y apotema 6,2 m.

2 2(5 9) 6,2

139,5 ? ? ?

AP a

m12= = =

Figura 2Es un trapecio isósceles con base mayor de 19 m y base menor de 9 m.

Calculamos la altura del trapecio:

219 9

5 m-

=

9 m

h14 m

19 m

14 5 14 5 13,08 h h m2 2 2 2 2= + = - ="

( ) ( ) ,,

? ?A

B b h2 2

19 9 13 08183 12 m2

2=+

=+

=

El área total de la sala es la suma del área de las dos figuras:

ATotal = A1 + A2 = 139,5 + 183,12 = 322,62 m2

El área de la sala de conferencias mide 322,62 m2.

En un trapecio isósceles, la longitud de AM coincide

con la de NB.

D C

A M N B

6,2 m

9 m

FIGURA 1

FIGURA 2

14 m

19 m FG

24 Halla el área de esta figura:

25 Calcula el área de la figura.


5 Halla el área de esta figura.

6 cm

3 cm

7 cm

6 El área de un cuadrado mide 16 cm2. Si se le añade un triángulo de base el lado del cuadrado y altura 3, ¿cuánto mide el área de la nueva figura?

5 m5 m

10 m

30 m

15 m20 m

15 m

14 m

7 m9 m

18 m

18 m

2 cm

156

294758 _ 0148-0163.indd 156 13/06/12 11:25

Longitud de una circunferencia


Elementos de la circunferencia

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro.

• Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

• Diámetro: mide el doble que el radio.• Arco: parte de la circunferencia comprendida entre

dos puntos de ella.

La longitud de una circunferencia de radio r es: L = 2rr

Longitud de un arco

En una circunferencia de radio r, la longitud de un arco de a grados es:

360? ?

Lr2°ARCO

r a=

A

B

a

Área de figuras circulares

5.1 Área del círculo


Qué es un círculo

Un círculo es la parte del plano limitada por una circunferencia.

El área de un círculo de radio r es: A = rr2

5.2 Área del sector circular

ra

Un sector circular es la parte del círculo comprendi-da entre dos radios y el arco que definen.

El área de un sector circular cuyo radio es r y su

amplitud a, es: 360

?A

r°

2r a=

4

5

Centro Radio

Diámetro

Como el número π tiene infinitas cifras decimales, para resolver problemas

tomamos un valor aproximado, π = 3,14.

Diá

met

ro Radio

Arco

31 Determina el área de un círculo de radio 18 cm.

32 Halla el área de un círculo de diámetro 25 cm.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER27 Halla la longitud de una circunferencia con:

a) Radio de 2,3 cm. b) Diámetro de 16 cm.

157

294758 _ 0148-0163.indd 157 13/06/12 11:25



En un triángulo rectángulo:

c

ab

a2 = b2 + c2

b2 = a2 - c2

c2 = a2 - b2

Longitud de la circunferencia

r

L = 2rr

Áreas


1.UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO

Calcula el lado de estos polígonos.

PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.a) 82 = 62 + c2 b) 82 = 62 + a2

c2 = 82 - 62 a2 = 82 - 62

c , 2 5 298 cm= = a 28 5,29 cm= =

2.UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR LA ALTURA DE UN POLÍGONO

Determina la altura de estos polígonos.

PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.b) 62 = h2 + 32 c) 62 = h2 + 32

h2 = 62 - 32 h2 = 62 - 32

h 27 5,2 cm= = h 27 5,2 cm= =

a)

c

6 cm

8 cmb)

a

8 cm6 cm

b)

3 cm

h6 cm

c)

3 cm

h

6 cm

A = b ? a

a

b

A = b ? h

h

b

2?

Ab h

=

h

b

2?

AP a

=

a

l

( ) ?A

B b h2

=+

h

B

b

2?

AD d

=

d

D

A = l2

l

A = rr2

r

158

294758 _ 0148-0163.indd 158 13/06/12 11:25


1. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 10 y 24 cm.

1. Si la base de un triángulo mide 5 cm y su altura, 3 cm, ¿cuánto mide su área?

2. Calcula el área de un círculo de radio 4 cm.

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono

3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm y uno de sus catetos, 15 cm. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

4. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm?

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de un polígono

2. Calcula la altura de esta figura:

8 cm

14 cm

5 cm

Calcular el área de una figura plana

7. Halla el área de la siguiente figura:

1 cm 3 cm 5 cm

2 cm 5 cm

3. Calcula el área de esta figura:

4 cm

6 cm

3,46 cm

9. Calcula el área de la zona coloreada.

4 cm

Y AHORA… PRACTICA

3.CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

Halla el área de la planta de este templo:

PRIMERO. Descomponemos la figura en otras figuras cuyas áreas sabemos calcular.Figura 1 " Rectángulo de 55 m de largo y 30 m de ancho.Figuras 2 y 3 " Trapecio rectángulo de base mayor 26 m, base

menor: 26 - 6 = 20 m y altura: 2

60 3015 m

-=

Figura 4 " La mitad de un círculo de radio: 2

3015 m=

2A A A A 1 2 4Total Figura Figura Figura= + +

SEGUNDO. Calculamos cada una de las áreas.AFigura 1 = 30 ? 55 = 1 650 m2

( ) ( )345

? ?A

B b h2 2

26 20 15m 2

2Figura =

+=

+=

AFigura 4 = 353,25?r

2 215

m2 2

2rr= =

TERCERO. Operamos para obtener el área total., , ?A A A A2 1 650 2 345 353 25 2 693 25 m 1 2 4

2Total Figura Figura Figura= + + = + + =

60 m

30 m

26 m

55 m

6 m

FIGURA 4

FIG

URA

2

FIG

UR

A 1

FIG

URA

3

159

294758 _ 0148-0163.indd 159 13/06/12 11:25

ActividadesTEOREMA DE PITÁGORAS

49. ● Calcula la hipotenusa de los triángulos rectángulos con estos catetos.

a) 10 cm y 8 cm b) 7,2 cm y 11,6 cm c) 4 cm y 9 cmd) 5 cm y 8 cm

50. ● Halla la longitud de BC, BD y BE.

2 cm

1 cm

1 cm

1 cm

B

C

D

E

A

51. ●● Contesta a estas cuestiones y, en el caso de que sean ciertas, pon un ejemplo.

a) ¿Puede existir un triángulo rectángulo equilátero?

b) ¿Y un triángulo rectángulo isósceles?

54. ●● Los lados del triángulo rectángulo ABC son AB = 8 cm y AC = 13 cm. Calcula BC si:

a) El ángulo recto está en el vértice A.b) El ángulo recto está en el vértice B.c) El ángulo recto está en el vértice C.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

55. ● Determina si los triángulos son rectángulos. En caso afirmativo, indica la medida de su hipotenusa y de sus catetos.

a) Triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm.b) Triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 12 cm.c) Triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 61 cm.d) Triángulo de lados 7 cm, 24 cm y 25 cm.

56. ● Clasifica en acutángulos u obtusángulos los triángulos de lados:

AB BC CA

4 8 6

3 8 7

5 10 8

5 10 9

57. ● Calcula la longitud de x en estas figuras.

a) c)

b) d)

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES O EQUILÁTERO UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS?

7. Halla la altura de este triángulo.

PRIMERO. Como en un triángulo isósceles o equilátero la altura corta en el punto medio de la base, dividimos la longitud de esta por 2.En este caso consideramos el lado desigual como la base.

cmc2 2

63= =

SEGUNDO. Como los triángulos que se forman son rectángulos, se aplica el teorema de Pitágoras.

52 = h2 + c2

2

c m " 52 = h2 + 32

TERCERO. Se despeja la altura.52 = h2 + 32 " h2 = 52 - 32 = 16 " h = 16 = 4 cm

58. ●● Determina la longitud de x en estos triángulos.

4 cmx

10 cm

x

5 cm

8 cm

x

x

9 cm117 cm

10 cm

10 c

m

10 cm

a)

x

c)

7 cm

12 c

m

12 cm

x

x

x x

b)

48 c

m

6 cm

x x

d)

72 c

m

5 cm 5 cm

3 cm 3 cmA B

C

h

5 cm 5 cm

6 cmA B

C

160

294758 _ 0148-0163.indd 160 13/06/12 11:25

59. ●● Halla la altura de un triángulo equilátero de perímetro 48 cm.

60. ●● Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

a) b)

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS?

8. Halla la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm.

6 cm

a

PRIMERO. Se identifica un triángulo rectángulo en el que uno de sus lados es la apotema.El hexágono regular es el único polígono regular que tiene la propiedad de que la longitud de su lado coincide con su radio.

SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras.

62 = a2 + 26 2

d n " 62 = a2 + 32

TERCERO. Se despeja la altura.62 = a2 + 32 " a2 = 62 - 32 = 27 " a = 27 = 5,2 cm

La apotema del hexágono mide 5,2 cm.

9. ● Halla la apotema de estos polígonos.

4 cm 12 cm

17,5 cm

a) b)

61. ● Halla la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide:

a) 10 cm b) 16 cm c) 7 cm

ÁREA DE POLÍGONOS

65. ● Calcula el área de un rectángulo cuya base

mide 10 cm y la diagonal 116 cm.

66. ● Determina el área de un rectángulo de base 7 cm y perímetro 24 cm.

67. ● Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 22,4 cm.

68. ●● Calcula el área de la zona coloreada.

8 cm

4 cm

6 cm

9 cm

11 cm

4 cm

69. ●● Obtén el lado de un cuadrado sabiendo que su área es de 84,64 cm2.

70. ●● Determina el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 3 cm.

3 cm

71. ●● Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, siendo a el lado de un cuadrado. Razona la respuesta.

a) La diagonal mide 2 a2.b) El perímetro es 4a2.c) El área es a4.d) El cuadrado de su diagonal es 2a2.

72. ●● Halla la medida de la diagonal de un cuadrado cuya área es de 12,25 cm2.

74. ● Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden:

a) 4 cm y 12 cmb) 3 cm y 9 cm

75. ●● Calcula la medida de una de las diagonales de un rombo de área 30,1 cm2, sabiendo que la otra diagonal mide 7 cm.

25 cm

28 cm 18 cm

16 cm 5 cm

14 cm

7 cm

28 cm

12 cm

B

6 cm

a

6 cm

161

294758 _ 0148-0163.indd 161 13/06/12 11:25

76. ●● Halla el perímetro y el área de estos rombos.

a)

b)

77. ●● Calcula el área y el perímetro de estas figuras.

a)

b)

78. ● Halla el área de los siguientes triángulos.

a)

b)

79. ● Determina el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro mide:

a) 36 cmb) 6 dmc) 0,153 m

80. ● Halla el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 7 cm y su lado desigual 9 cm.

81. ●● Obtén el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm, y su lado desigual mide cuatro unidades más que los lados iguales.

82. ●● Calcula la altura y la base de un triángulo rectángulo isósceles, si su área mide:

a) 200 cm2 c) 450 dm2

b) 120,125 m2 d) 317,52 mm2

83. ●●● Halla el área de los siguientes trapecios.

a) d)

b) e)

c) f)

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIO ISÓSCELES SI SE DESCONOCE LA ALTURA?

84. Calcula el área de este trapecio isósceles:5 cm

8 cm

2,5 c

m

2,5 cm

PRIMERO. Se calcula la base del triángulo rectángulo que determina la altura.Por ser el trapecio isósceles, las alturas determinan dos triángulos rectángulos iguales cuyas bases miden la mitad de la diferencia de las bases del trapecio.

5 cm

2,5

cm

2,5 cm

1,5 1,5

D

h h

C

A E BF

2 28 5

1,5 AE FBAB CD

cm= =-

=-

=

SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que determina la altura.

1,52 + h2 = 2,52

h2 = 2,52 - 1,52 = 6,25 - 2,25 = 4

4 2 h cm= =

TERCERO. Se calcula el área del trapecio.

2( )

2(8 5) 2

13 ? ?

AB b h

cm2=+

=+

=

8 cm

6 cm

5 cm

5,6 cm

G

3 cm

5 cm

12 cm

4 cm

6 cm

3,6 cm 4,2 cm

6 cm

12 m

8 m

20 m

17 m

5 m

4 m

20 m

7 m

10 m

9 m15 m12 m

6 m

12,93 m

7 m 12 m 4 m

14 m

25 m

202 m

2,5

cm

1,5

D

A E

h

7 cm

4 cm

6 cm

162

294758 _ 0148-0163.indd 162 13/06/12 11:25

85. ●● Halla el área de estos trapecios isósceles.

a) b)

86. ●● Calcula el área de las siguientes figuras.

a) c)

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

87. ● Copia y completa la siguiente tabla con los datos que faltan.

Radio DiámetroLongitud de

la circunferencia

2 cm

7 cm

29,516 cm

88. ● Calcula la longitud del arco marcado en rojo.

a) b)

10. ●● Si la longitud de una circunferencia mide 18,84 cm, ¿cuánto mide su radio?

89. ●● ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia de longitud 50,24 cm?

ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES

94. ● Calcula el área de un círculo con:

a) Radio de 6 cm. b) Diámetro de 6 cm.

95. ● Halla el área de un círculo delimitado por una circunferencia de 321,4 cm.

97. ● Halla el área de estos sectores circulares.

a) b)

PROBLEMAS DE ÁREAS

107. ●● La sombra que produce una varilla vertical en un instante es igual a su longitud. ¿Qué triángulo determinan la varilla y su sombra? ¿Cuál es la inclinación de los rayos solares?

108. ●● Calcula la longitud del cable de la cometa.

7 m

24 m

109. ●● ¿Cuál es la longitud máxima que Juan puede nadar en una piscina que mide 17 m de largo y 10 m de ancho, si solo puede hacerlo en línea recta?

110. ●● Sobre una pared vertical de 16 m de altura se coloca inclinada una escalera de 20 m de longitud. ¿A qué distancia de la pared se encuentra la base de la escalera?

111. ●● Una escalera mide 2,5 m de longitud y, al apoyarse en la pared, su base dista de ella 0,7 m. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

112. ●● Una antena está sujeta al suelo por dos cables que forman un ángulo recto de longitudes 2,7 m y 3,6 m. ¿Cuál es la distancia que separa los dos puntos de unión de los cables con el suelo?

2,7 m 3,6 m

6 m

10 m

3 m 5 m

3 m 5 m

14 m4 m

7 m10 m

6 m

8 m

13,6

1 m16 m

5 m 7 m

12 m

18 m

B A

3 cm100°

B

A4,5 m

225°

13 cm

85°

6,8 m

120°

x

x

20 m

16 m

163

294758 _ 0148-0163.indd 163 13/06/12 11:25

El centro del universoComo a otros les ocurrió antes y a otros muchos después, Aristarco de Samos se vio irremediablemente atraído por Alejandría: una ciudad tranquila, patria adoptiva de sabios y protectora del conocimiento.

La magnífica biblioteca de la ciudad le abrió sus puertas y Aristarco se empapó de los conocimientos de los sabios de otros tiempos. Después, tras años de silencioso estudio se decidió por fin a hacer públicas sus teorías y, ante un concurrido auditorio de sabios, comenzó:

–Amigos, tras exhaustivos estudios puedo afirmar que la Tierra no está inmóvil: se mueve en círculo alrededor del Sol, completando un círculo cada año y, además, gira sobre sí misma, una vuelta cada día.

Un murmullo de protestas se alzó en la sala, entre insultos y burlas que le decían:

–Partiendo del hecho de que la Tierra es redonda, lo que ha sido probado por Aristóteles, si girara una vuelta cada día, la velocidad en la superficie sería tan elevada que nunca podríamos avanzar hacia el Este, pues la Tierra nos adelantaría.

Aristarco, en vano, intentaba explicar que ellos también giraban a la misma velocidad. Incapaz de convencer al auditorio, recogió los escritos donde explicaba su teoría y abandonó la sala, diciendo:

–A veces lo más necio es un hombre sabio.

Cuerpos geométricos11

1.BuscainformaciónsobrelavidadeAristarcodeSamos,importantematemáticoy astrónomogriegoquevivióenelsigloiiia.C.

2.InvestigasobreelmodeloheliocéntricodeluniversoquedefendióAristarcode Samos.

3.¿Cuálesfueronlos trabajosmásrelevantesquerealizóAristarcorelacionadosconlasmatemáticasy conla astronomía?


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• Reconocerposicionesderectasyplanos.

• Distinguirlos elementosdeun poliedro.

• Nombraryclasificarlostiposdepoliedrosycuerposredondos,yhallarelárealateraly total.

PLAN DE TRABAJO

FIGURAS PLANAS


Clasificación de polígonos

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

3 lados

4 lados

5 lados

6 lados

Clasificación de cuadriláteros

Paralelogramos: Tienen los lados paralelos, dos a dos.

Cuadrado

4 lados iguales4 ángulos rectos

Rectángulo

4 ángulos rectos

Rombo

4 lados iguales

Romboide

Lados y ángulos iguales dos a dos No tiene ángulos rectos

Trapecios: Tienen solo dos lados paralelos.

Rectángulo

2 ángulos rectos

Isósceles

2 lados iguales

Escaleno

No tiene lados ni ángulos iguales.

Trapezoides

No tienen lados paralelos.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Clasifica estos polígonos según su número de lados.

2 Clasifica estos cuadriláteros.

El cuadrado es el único cuadrilátero

que tiene todos sus ángulos y todos sus lados iguales.

165

294758 _ 0164-0183.indd 165 13/06/12 11:28

Rectas y planos en el espacio

Los planos son superficies sin aristas ni ondulaciones. No tienen grosor y son ilimitados, es decir, no tienen principio ni final.

1.1 Posiciones relativas de dos planos

Dos planos son paralelos si no tienen ningún punto en común. Por ejemplo, los planos que pasan por dos caras opuestas en un cubo son planos paralelos.

Decimos que dos planos son secantes si se cor tan en una recta. Los planos que pasan por dos caras contiguas de un cubo son secantes.

1.2 Posiciones de dos rectas


Cuáles son las posiciones de dos rectas en el plano

CoincidentesParalelasSecantes

Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Si están en el mismo plano y tienen un único punto en común, se denominan secantes. Y si las rectas están en planos distintos y no tienen puntos comunes, se cruzan.

Paralelas Secantes Se cruzan

1.3 Posiciones de una recta y un plano

Una recta es paralela a un plano si no tienen ningún punto en común, es secante si tienen un punto en común, y está contenida en el plano si todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

Paralela Secante Contenida

1

SE ESCRIBE ASÍ

Losplanos,porserilimitados,nosepuedendibujarensutotalidad,porlo quedibujamosunapartequesesuelerepresentarmedianteunparalelogramo.

1 Pon ejemplos de elementos que sugieren rectas secantes.


1 Observa la habitación donde te encuentres e indica elementos que sugieren planos paralelos.

166

294758 _ 0164-0183.indd 166 13/06/12 11:28

Poliedros


Cuáles son los elementos de un polígono

Los elementos de un polígono son:

• Lados: segmentos que delimitan el polígono.

• Vértices: puntos donde se unen dos lados.

• Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.

2.1 Elementos de un poliedro

Los elementos de un poliedro son:

• Caras: son los polígonos que limitan el poliedro.

• Aristas: son las líneas donde concurren dos caras. Coinciden con los lados de las caras.

• Vértices: son los puntos donde se cortan tres o más aristas.

• Diagonal: es el segmento que une dos vértices que no están en la misma arista.

• Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras.

• Ángulo poliedro: es el ángulo formado por tres o más caras, con un punto en común, el vértice.

2.2 Desarrollo plano de un poliedro

El desarrollo plano de un poliedro es la superficie que resulta al extenderlo sobre un plano. F

2

Vértice

Diagonal

Lado

Ángulointerior

Diagonal

Diagonal

Ari

sta

F

F

Vértices

Los poliedros se nombran según

su número de caras: 4 caras F Tetraedro 5 caras F Pentaedro 6 caras F Hexaedro 7 caras F Heptaedro

. . .

4 Determina el nombrede este poliedro. ¿Cuántas caras tiene? ¿Y cuántas aristas?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER4 Determina el nombre

de este poliedro. ¿Cuántas caras tiene? ¿Y cuántas aristas?

a) b)

167

294758 _ 0164-0183.indd 167 13/06/12 11:28

Prismas3Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y cuyas caras restantes son paralelogramos.

3.1 Elementos de un prisma

Los elementos de un prisma son:

• Bases o caras básicas: son dos polígonos iguales situados en planos paralelos.

• Caras laterales: son paralelogramos.• Aristas básicas: son los lados de los polí-

gonos de las bases.• Aristas laterales: son los lados de las caras

laterales que unen las bases. • Vértices: son los puntos donde se cortan

las aristas.• Altura: es la distancia entre las bases.

3.2 Clases de prismas

Para nombrar un prisma hacemos referencia a los polígonos de las bases.

Cuando las aristas laterales son perpendiculares a las aristas básicas se dice que el prisma es recto; en caso contrario, se llama prisma oblicuo.


Qué es un polígono regular

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

• El segmento trazado desde el centro de la circunferencia al punto medio de un lado, a, es la apotema del polígono regular.

Si, en los prismas rectos, los polígonos de las bases son polígonos regula-res, se llaman prismas regulares; si no, son prismas irregulares.

Prisma recto

Prisma oblicuo

Base

Alt

ura

Vértice

Arista básica

Arista lateralC

ara

late

ral

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

a

8 Dibuja el desarrollo plano de un prisma oblicuo de base cuadrangular.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER7 Dibuja un prisma recto de base triangular

y otro de base pentagonal.

168

294758 _ 0164-0183.indd 168 13/06/12 11:28

1 Calcula el área total de este prisma regular:

AL=PB?h=(3?5)?7=105dm2

Comolasbasessonpentágonosregulares:

2 2(3 5) 2,06

15,45 ? ? ?

AP a

dm2B

B= = =

AT=AL+2AB=105+2?15,45=135,9dm2

EJEMPLO

3.3 Desarrollo del prisma

El desarrollo plano de un prisma recto está formado por:• Un rectángulo compuesto por sus caras laterales, de altura, la altura

del prisma, y ancho, el perímetro de la base.• Los dos polígonos de las bases.

3.4 Área del prisma


Cómo se calcula el área de los principales polígonos

Rectángulo

A =b ?hh

b

Triángulo

2?

Ab h

=h

b

Polígono regular

í ?A

a2

per metro=a

A partir del desarrollo del prisma recto podemos calcular su área.

• Área lateral, AL

Es la suma de las áreas de sus caras laterales. Como el desarrollo es un rectángulo, el área es: AL = PB ? h

• Área de cada base, AB

Hay que tener en cuenta que tenemos que sumar las áreas de las dos bases.

El área total de un prisma recto es: AT = AL + 2 ? AB = PB ? h + 2AB

2,06

dm

3dm

7dm

hh

PB

F F

SE ESCRIBE ASÍ

ElperímetrodelabasedecualquierpoliedroseindicacomoPB.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus

lados.Si los lados de un

triángulo miden 3, 4 y 5 cm, su perímetro

mide 3 + 4 + 5 = 12 cm.

11 Determina el área de un prisma:

b) Triangularregular,dealtura8cm,ladodelabase4cmyalturadelabase3,46cm.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER11 Determina el área de un prisma:

a) Pentagonalregular,dealtura10cm,ladodelabase4cmyapotema2,75cm.

169

294758 _ 0164-0183.indd 169 13/06/12 11:28

Pirámides


Cómo se clasifican los triángulos

EquiláteroLados

y ángulos iguales

IsóscelesDos lados

y dos ángulos iguales

EscalenoLados y ángulos

desiguales

Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.

4

4.1 Elementos de una pirámide

Los elementos de una pirámide son:

• Base: es un polígono cualquiera.• Caras laterales: son triángulos que con-

curren en un punto llamado vértice de la pirámide.

• Aristas básicas y aristas laterales: son las aristas de la base y de las caras laterales, respectivamente.

• Altura: es el segmento perpendicular tra-zado desde el vértice a la base.

4.2 Clases de pirámides

Para nombrar las pirámides se hace referencia al polígono de la base.

Una pirámide es recta si todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Si no es así, decimos que es oblicua.

Una pirámide es regular si es recta y tiene como base un polígono regular. Todas sus caras laterales son iguales y se llama apotema, a, de una pirámide regular a la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Si no cumple estas condiciones, es irregular.

Base

Vértice

Altura

Cara lateral

G

G

G

G

Pirámide triangular oblicua

Pirámide pentagonal recta

Pirámide hexagonal recta

ApotemaF

15 Dibuja el desarrollo plano de una pirámide oblicua de base cuadrangular.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER14 Dibuja una pirámide recta de base triangular

y otra de base pentagonal.

170

294758 _ 0164-0183.indd 170 13/06/12 11:28

4.3 Desarrollo de la pirámide

El desarrollo plano de una pirámide regular está formado por:• Tantos triángulos isósceles iguales como lados tenga la base.• El polígono de la base.

4.4 Área de la pirámide

A partir del desarrollo de una pirámide regular podemos calcular su área.


Si n es el número de lados de la base, la suma de las áreas de los

n triángulos de sus caras laterales es: ??

A nl a2L =

?P a2B

=

• Área de la base, AB

Como la base es un polígono regular: ?

AP a

2BB

=l

aa

al

ll

F F

El área total de una pirámide regular es:

? ?A A A

P a P a2 2T L BB B

= + = +l

No debes confundir apotema de la pirámide con apotema de la base.

EJEMPLO

1 Calcula el área total de esta pirámide cuadrangular:

( )

? ? ?A

P a2 2

84 348 cmL

B 2= = =

Comolabaseesuncuadrado:AB=32=9cm2

AT=AL+AB=48+9=57cm2

8cm

3cm3cm

19 Determina el área total de esta pirámide regular, si la apotema de la pirámide mide 4,47 cm y la de la base, 2,6 cm.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER17 Calcula el área de una pirámide regular de base

cuadrangular, si su arista básica mide 7 cm y la altura de sus caras laterales es 4 cm.

2 Halla el área total de una pirámide cuadrangular de arista de la base 4 cm, sabiendo que la apotema de la pirámide mide 4,47 cm. 3cm

171

294758 _ 0164-0183.indd 171 13/06/12 11:28

Poliedros regulares

Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice concurre el mismo número de caras.

T ipos de poliedros regulares

Solo existen cinco poliedros regulares.

Tetraedro. Tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros.

F

Cubo. Tiene 6 caras, que son cuadrados.

F

Octaedro. Tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros.

F

Dodecaedro. Tiene 12 caras, que son pentágonos regulares.

F

Icosaedro. Tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.

F

5

Solamente existen cinco poliedros regulares.

4 Dibuja el desarrollo plano de un octaedro.


3 Dibuja el desarrollo plano de un cubo de lado 2 cm.

172

294758 _ 0164-0183.indd 172 13/06/12 11:28

Cuerposde revolución6

Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje.

6.1 Cilindro

Un cilindro es un cuerpo de revolución engendrado a partir de un rec-tángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

Elementos del cilindro


Qué es un círculo

Un círculo es la parte del plano limitada por una circunferencia.

• Eje: es el lado sobre el que gira el rectángulo que genera el cilindro.• Altura: es la longitud del eje.• Generatriz: es la longitud del lado opuesto al eje, o el lado que

genera la superficie lateral del cilindro.• Bases: son dos círculos iguales y paralelos que se generan al girar los

lados perpendiculares al eje.• Radio: es el radio de la base, o la longitud de los lados perpendicu-

lares al eje.

Desarrollo plano del cilindro


Cómo se calcula la longitud de una circunferencia

La longitud de una circunferencia es: L =2rr �

r

El desarrollo de un cilindro está formado por: • Un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base,

y su altura es la altura del cilindro.• Dos círculos iguales que constituyen las bases.

Fh

G�

F

r

F

r

r

2rr FG

h

G�

FBase

Gen

erat

riz

Superficie lateral

Eje de giro

Base

Altura

Radio

FF

FF

Diá

met

ro

Radio

5 Dibuja el desarrollo plano de un cilindro de 8 cm de diámetro y 6 cm de altura.


24 Dibuja el desarrollo plano de un cilindro de 3 cm de radio y 7 cm de altura.

173

294758 _ 0164-0183.indd 173 13/06/12 11:28

4 Calcula el área total de este cilindro:

AL=2rrh=2r ?3?5= 94,2dm2

AB=rr2=r ?32=28,26dm2

AT=AL+2AB=94,2+2 ?28,26=150,72dm2

5 Determina la superficie de metal necesaria para fabricar una lata de conservas de forma cilíndrica, de 10 cm de altura y 4 cm de radio de la base.

AL=2rrh=2r ?4?10= 251,2cm2

AB=rr2=r ?42=50,24cm2

AT=AL+2AB=251,2+2 ?50,24=351,68cm2

EJEMPLOS

Área del cilindro


Cómo se calcula el área de un círculo

El área de un círculo de radio r es:A�= rr2

A partir del desarrollo del cilindro podemos calcular su área.


Es el área de un rectángulo cuya base es la longitud de la circunfe-rencia de la base, 2rr, y la altura, h, es la altura del cilindro.

AL = 2rr ? h

• Área de cada base, AB

Como las bases son círculos, el área de cada base será: AB = rr2

El área total de un cilindro es:AT = AL + 2 ? AB = 2rrh + 2rr2

En el caso del cilindro, la altura y la generatriz

coinciden.

10cm

3dm

5dm

G

4cm

r

28 Luis y Ana tienen que forrar un tubo cilíndrico de 12 m de altura y 2 m de diámetro.

Si el papel les cuesta 12 €/m2, ¿cuánto les costará forrar la superficie lateral del tubo cilíndrico?


6 Halla el área lateral de un cilindro de altura 8 cm y radio de la base 3 cm.

27 Calcula el área total de un cilindro de altura 10 cm y radio de la base 7 cm.

174

294758 _ 0164-0183.indd 174 13/06/12 11:28

33 Determina la altura de este cono:

LO QUE DEBES SABER RESOLVER32 Calcula la generatriz

del cono.

6 Calcula la generatriz de este cono:

Elradiodelabase,laalturaylageneratrizdeunconoformanuntriángulorectángulo.

AplicamoselteoremadePitágoras:

4 3 4 3 5 g g cm2 2 2 2 2= + = + ="

EJEMPLO

6.2 Cono


Qué es un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es el que tieneun ángulo recto.Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado mayor, hipotenusa.

Cómo se aplica el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2�= b2 + c2

EJEMPLO

2 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm, ¿cuánto mide la hipotenusa?

a2=32+42"a= cm3 4 9 25 5162 2+ = + = =

Un cono es un cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rec-tángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.

Elementos del cono

• Eje del cono: es el cateto sobre el que gira el triángulo.• Altura: es la longitud del eje. • Generatriz: es la longitud de la hipotenusa del triángulo. • Base: es el círculo generado al girar el cateto perpendicular al eje.• Radio: es el radio de la base, o la longitud del cateto perpendicular

al eje.

Gen

erat

riz

Alt

ura

Eje de giro

BaseRadio

Superficie lateral

F

FG

G

F

3cm3cm

4cm

4cm

AB

C

A B

C

g

5cm

4cm

13cm

9cm

h

Cateto

Cateto

Hipotenusa

a

c

b

175

294758 _ 0164-0183.indd 175 13/06/12 11:28

Desarrollo plano del cono


Qué es un sector circular

Un sector circular es la parte de un círculo limitada por dos radios y un arco.

En una circunferencia de radio r, la longitud del arco que abarca un sector circular de a grados es:

°2 ? ?

Lr

360arcor a

=

El desarrollo de un cono está formado por:

• Un sector circular con longitud 2rr (siendo r el radio de la base), y radio, la generatriz del cono.

• Un círculo.

2rr

r

r

hg

gF F

Área del cono


Cómo se calcula el área de un sector circular

El área de un sector circular de radio r y amplitud a es:

360? ?

°A

r2sector

r a=

A partir del desarrollo de un cono podemos calcular su área.


Es el área de un sector circular con longitud 2rr y radio g.

2 2

2? ?A A

L r grg

radio del sectorL Sector circular

Arco rr= = = =

• Área de la base, AB

Es el área del círculo de radio r: AB = rr2

a

r

El área total de un cono es:AT = AL + AB = rrg + rr2

35 Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de diámetro de la base. Calcula su área total.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER31 Dibuja el desarrollo plano de un cono con radio

de la base 4 cm y generatriz 8 cm.

ar

176

294758 _ 0164-0183.indd 176 13/06/12 11:28

39 ¿Cuál es el área de esta esfera?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER36 Halla el área total de

este cono:

7 Calcula el área total de este cono:

Paracalculareláreatotal,primerohallamoselárealateralyeláreadelabase.

AL=rrg=r ?5 ?20=314cm2

AB=rr2=r ?52=78,5cm2

Así,eláreatotales:AT=AL+AB=314+78,5=392,5cm2

8 Determina el área lateral y el área total del cono cuya altura mide 12 cm y su generatriz, 13 cm.

Primerotenemosquecalcularelradiodelabase.

Paraelloaplicamosel teoremadePitágoras:

r 2=132-122" 5r 13 12 cm2 2= - =

Portanto,elárealateralyeláreadelabaseserán:AL=rrg=r?5?13=204,1cm2

AB=rr 2=r?52=78,5cm2

Así,eláreatotaldelconoes:AT=AL+AB=204,1+78,5=282,6cm2

EJEMPLOS

5cm

20cm

G

13cm12cm

r

G

6.3 Esfera

Una esfera es un cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo que gira sobre su diámetro.

El área de una esfera de radio r es: AT = 4rr2

Elementos de la esfera

• Eje de la esfera: es el diámetro so-bre el que gira el semicírculo.

• Centro: es el centro del semicírculo.

• Radio: es el radio del semicírculo.

La esfera no tiene desarrollo plano.

Radio

Centro

Eje de giro

F

FG

GG


Qué es un semicírculo

Un semicírculo es la mitad de un círculo.Está limitado por un diámetro.

35cm

12cm F� 5cmG

177

294758 _ 0164-0183.indd 177 13/06/12 11:28


Prisma

Pirámide

Cono Esfera

h

r

h

PB

AT = PB ? h + 2AB

AT = rrg + rr2 AT = 4rr2

a

ll

a

al

? ?A

P a P a2 2T

B B= +

l

h

r

r

g2rr

g

r

Lo esencial

Poliedros regulares

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

1. OBTENER EL DESARROLLO PLANO DE POLIEDROS

Dibuja el desarrollo plano de estos poliedros.

PRIMERO. Dibujamoslabase.

SEGUNDO. Dibujamosunadelascaraslateralespegadaalabaseyelrestodecarasunidasaella.• Siesunapirámide,

lasbasesdelascaraslateralesnopuedenformarunalínearecta.

• Siesunprisma,dibujamoslasegundabasesobreunadelascaraslaterales.

2. OBTENER EL DESARROLLO PLANO DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Dibuja el desarrollo plano de estas figuras.

PRIMERO. Dibujamoselcírculodelabase.

SEGUNDO. Dibujamoslasuperficielateralunidaalabase.• Siesuncilindro,

seráunrectángulocuyoladopegadoalabasetieneunalongitudde2rr.

• Siesuncono,seráunsectorcirculardelongitud2rr.

TERCERO. Enelcilindrodibujamoslasegundabasesobreelrectángulo.

a) b)

a)

b)

l

a

l

l

h

a

l

h

b)

h

r

b)

2rrh

r


F

Cilindro

h

r

2rr h

r

AT = 2rrh + 2rr2F

F

F

a)

2rr g

r

r

a)

gr

G

G

G

G

G

178

294758 _ 0164-0183.indd 178 13/06/12 11:28


1. CompruebasisecumplelafórmuladeEulerparauntetraedroyparauncubo.

Obtener desarrollos planos

2. Lasuperficielateraldeesteprismaregularesunrectángulo.¿Cuántomidedebase?

3. Dibujaeldesarrolloplanodeestecono:

Aplicar el teorema de Pitágoras

4. ¿Cuántomidelaapotemadeunapirámidecuadrangular,dearistabásica1cmyaristalateral1cm?

Calcular el área de un poliedro

5. Hallaelárealateraldeunapirámidehexagonalrecta,cuyaaristabásicamide4cmysualtura,4cm.¿Cuálessuáreatotal?

Calcular el área de un cuerpo de revolución

6. ¿Cuántomideelárealateraldeuncono,cuyo radiomide2cmysugeneratriz,4cm?¿Y suáreatotal?

Y AHORA… PRACTICA

4. CALCULAR EL ÁREA DE UN POLIEDRO

Halla el área de este poliedro:

5. CALCULAR EL ÁREA DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN

Obtén el área de este cuerpo de revolución:

PRIMERO.Determinamoseltipodepoliedroylosdatosnecesariosparacalcularsuárea.Prismapentagonalregular:

n=5" PB=5?6=30cmAB"Áreadeunpentágonoregular

,,

? ?A

P a2 2

30 4 1361 95 cmB

B 2= = =

SEGUNDO.Aplicamoslafórmula.AT=PB?h+2AB=30?8+2?61,95=363,9cm2

PRIMERO.Determinamoseltipodecuerpoderevoluciónylosdatosparacalcularsuárea.Cono:r=6cmCalculamossugeneratriz:

8 6 8 6 10 g g cm2 2 2 2 2= + = + ="

SEGUNDO.Aplicamoslafórmula.AT=rrg+rr2=r?6?10+r?62=301,44cm2

3. APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN CUERPOS GEOMÉTRICOS

Calcula el dato desconocido en estos cuerpos geométricos.

PRIMERO.Determinamoseltriángulorectánguloquerelacionalosdatosconocidosyeldatodesconocido,yaplicamoselteoremadePitágoras.

SEGUNDO.Resolvemoslaecuaciónresultante.

a) g2 =82 +62 b) 102 =82 +(al)2"(al)2 =102 -82 c) a2 =82 +62

8 6 10 g cm2 2= + = a 10 8 6 cm2 2= - =l 8 6 10 a cm2 2= + =

a)

g

8cm

6cm

g2 =82 +62

b)

al

8cm

10cm

102 =82 +(al)2

G

c)

a

8cm

12cm

212

6 cm=

a2 =82 +62

8cm

4,13cm

6cm

G

8cm

6cm

4cm

6cm

4cm

G

179

294758 _ 0164-0183.indd 179 13/06/12 11:28

ActividadesRECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

43. ● Indica las posiciones de las rectas y planos que veas en este cuerpo geométrico:

44. ● Encuentra ejemplos de ángulos diedros en tu aula y en tu habitación.

45. ● Dibuja en tu cuaderno:

a) Dosplanosparalelos.b) Dosplanosperpendiculares.c) Dosplanossecantesnoperpendiculares.

46. ● Considera las aristas de un cubo como rectas ilimitadas. Dibuja en él:

a) Dosrectasparalelas.b) Dosrectassecantes.c) Dosrectasquesecruzan.

PRISMAS

56. ● Dibuja estos prismas y dibuja también sus desarrollos planos.

a) Prismatriangular.b) Prismacuadrangular.c) Prismapentagonal.d) Prismahexagonal.

57. ● Dibuja un prisma regular y otro prisma irregular.

58. ● Dibuja un prisma recto y otro oblicuo que tengan la misma base.

59. ● Dibuja un prisma pentagonal regular y su desarrollo. Colorea en azul el área lateral, y en rojo, el área de las bases. ¿Cómo se calcula el área total?

60. ●● Señala qué afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas. Justifica tu decisión.

a) Uncuboesunortoedro.b) Laalturadeunprismaoblicuoeslaaristalateral.c) Losprismasoblicuosseclasificanenregulares

eirregulares.

61. ●● Calcula el área total de estos prismas.

a) f)

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA TOTAL DE UN PRISMA TRIANGULAR?

7. Halla el área total de un prisma triangular recto, cuya altura mide 8 cm y su base es un triángulo equilátero de lado 4 cm.

8cm

4cm

PRIMERO.SecalculalalongituddelaalturadelabaseaplicandoelteoremadePitágoras.Laalturaesunodeloscatetosdeltriángulorectánguloqueseformajuntoconunladodelabaseylamitaddelotro.

4 2 3,46 h cm2 2= =-

SEGUNDO.Secalculaeláreadelasbases.,

, ?

A2

4 3 466 92 cm2

B = =

TERCERO.Secalculaelárealateraldelprisma.cm? ?A 4 8 3 96L

2= =

CUARTO.Secalculaeláreatotaldelprisma.,2 96 2 92 109,84 cm?A A A 6T L B

2== + + =


a)4cm

7cm

b)6cm

10cm

b)

5cm

9cm

5cm

5cm

e)

8cm

5cm5cm

6cm

7cm 7cm

4cm

2cm

4cm

2cmh

180

294758 _ 0164-0183.indd 180 13/06/12 11:28

62. ●● Halla el área lateral y el área total de un prisma triangular recto, cuya altura mide 3 cm y su base es un triángulo equilátero de lado 2 cm.

63. ●● Calcula el área lateral y el área total de un prisma triangular regular, cuyo lado de la base mide 4 cm y su arista lateral, 8 cm.


c) h)

d) i)

68. ●● El área total de un cubo mide 24 cm2. Calcula la arista del cubo, la diagonal de la cara y la diagonal del cubo.

69. ●● Halla la diagonal de un cubo de área total 150 m2.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN PRISMA DEL QUE CONOCEMOS SU ÁREA TOTAL?

8. El área total de un prisma hexagonal mide 742,32 cm2. Si el lado de la base mide 8 cm y su apotema, 6,93 cm, calcula la altura del prisma.

PRIMERO.Sesustituyenlosdatosconocidosenla fórmuladeláreadelprisma.

PBase=6?8=48cm,

, cm? ?

A2

6 8 6 93166 32Base

2= =

ComoATotal=PBase?h+2?ABasetenemos:

742,32=48?h+2?166,32

SEGUNDO.Sedespejalaalturaenestaecuación.

742,32-166,32=48?h

cmh48

57612= =

Laalturadelprismamide12cm.

9. ●● El área total de un prisma hexagonal mide 575 cm2. Calcula la altura del prisma sabiendoque el lado de la base mide 6 cm y su apotema 5,2 cm.

10. ●● Halla la altura del prisma de base cuadrada si su lado de la base mide 8 cm y su área total es 345 cm2.

PIRÁMIDES

72. ● Dibuja estas pirámides y su desarrollo plano.

a) Pirámidetriangular.b) Pirámidecuadrangular.c) Pirámidepentagonal.d) Pirámidehexagonal.

73. ● Dibuja una pirámide regular y otra irregular.

6cm

5,2cm8cm

G15

cm

6cm

G

7,24cm

5cm

4,25cm11c

m

G

¿CÓMO SE CALCULA LA ARISTA DE UN CUBO CONOCIENDO SU ÁREA?

66. Calcula la arista de un cubo sabiendo que su área es de 54 cm2.

PRIMERO.Seaplicalafórmuladeláreatotal.

AT=6?ACuadrado=6?l?l=6l2

SEGUNDO.Seigualaconeláreaconocida.

6 546

549 9 3 l l l cm2 2= = = = =" "

HAZLO ASÍ

l

l

64. ●● Determina el área total de un prisma hexagonal, sabiendo que la arista de su base mide 8 cm, y su altura es de 10 cm.

65. ●● Calcula el área total de un prisma recto, cuyas bases son hexágonos regulares de lado 6 cm, si su altura es de 10 cm.

67. ●● Calcula la altura de una habitación cuadrada sabiendo que el área de sus paredes, el techo y el suelo es de 726 m2.

12c

m

3,44cmG

5cm

181

294758 _ 0164-0183.indd 181 13/06/12 11:28

74. ● Dibuja una pirámide recta y otra oblicua que tengan la misma base.

75. ● Dibuja el desarrollo plano de una pirámide triangular regular, con aristas laterales de 6 cm, y base, un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

76. ●● Identifica similitudes y diferencias entre una pirámide triangular regular y un tetraedro.

77. ●● Señala qué afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas. Justifica tu decisión.

a) Enunapirámideregular,lascaraslateralessontriángulosequiláteros.

b) Unapirámideesunprismatriangular.c) Laalturadeunapirámideescualquiera

desusaristaslaterales.d) Unapirámideregularesuntetraedro.

78. ●● Determina el área total de esta pirámide:

8cm 14,42cm

12cm

12cm

F F

79. ●● En una pirámide de base pentagonal, su apotema mide 11,83 m, la altura mide 12 cm, el lado de la base 4 cm y la apotema de la base 2,75 cm. Halla su área lateral y su área total.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UNA PIRÁMIDE DE LA QUE CONOCEMOS SU ÁREA TOTAL?

11. El área total de una pirámide cuadrangular regular mide 132 cm2. Si el lado de la base mide 6 cm, calcula la apotema de la pirámide.

PRIMERO.Sesustituyenlosdatosconocidosenlafórmuladeláreadelapirámide.

PBase=6?4=24cm

ABase=62=36cm2

Como ATotal = ABase + ?P a

2Base

tenemos:

132 362

24 ? a= +

SEGUNDO.Sedespejalaalturadesconocida.

132 362

2424

96 28

? ?aa cm- = = ="

Laapotemadelapirámidemide8cm.

12. ●● El área total de una pirámide cuadrangular mide 236,32 cm2. Calcula la apotema de la pirámide si el lado de la base mide 8 cm.

13. ●● Sabiendo que el área total de una pirámide hexagonal mide 265,32 cm2, halla la apotema de la pirámide cuyo lado de la base mide 6 cm y su apotema 5,2 cm.

81. ●● Calcula el área total de estas pirámides.

a) b)

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UNA PIRÁMIDE CONOCIENDO SUS ARISTAS?

80. Calcula el área total de esta pirámide:

PRIMERO.Secalculalaapotemadelapirámide.SeaplicaelteoremadePitágorasaltriángulorectánguloformadopor:laapotemadelapirámide,lamitaddelladodelabaseylaaristalateral.

252=a2+52" 25 5 24,49 a cm2 2= - =

SEGUNDO.Secalculalaapotemadelabase.SeaplicaelteoremadePitágorasaltriángulorectánguloformadopor:laapotemadelabase,lamitaddelladodelabaseyelradiodelabase.

10 ( ) 5 8,66 a a 10 5 cm2 2 2 2 2= + = - ="l l

TERCERO.Sedeterminaelárea.

AT2

(6 10) 24,492

(6 10) 8,66994,5

? ? ? ?cm2= + =

HAZLO ASÍ

10cm

25cm

a

5cm

25cma

5cm

r=10cm

r

ralF

10c

m

34m

25m

9m

6m

5,1m

182

294758 _ 0164-0183.indd 182 13/06/12 11:28

93. ●● ¿Qué poliedro o poliedros regulares se pueden obtener utilizando como caras triángulos equiláteros? ¿Y con pentágonos regulares? ¿Y con hexágonos regulares?

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

94. ● La altura de un cilindro es 9 cm y el diámetro de la base mide 6 cm. Dibuja su desarrollo plano.

95. ● Calcula el área total de estos cilindros.

a) b)

96. ●● Halla la altura de un cilindro de área lateral 756,6 cm2 y radio de la base 10 cm.

97. ●● El área total de un cilindro es 471 cm2 y su altura es el doble que su radio. Obtén la altura y el radio.

98. ● Dibuja el desarrollo de un cono, y calcula el valor de la longitud del arco del sector correspondiente, si el radio de la base del cono es 4 cm y su generatriz 15 cm.

99. ● Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de diámetro de la base. Calcula su área total.

100. ●● Halla la altura de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base 5 cm.

101. ●● Obtén el radio de una esfera, sabiendo que el área de su superficie es de 803,84 cm2.

102. ●● Halla el área total de estas figuras.

103. ●●● Averigua cuál debe ser la generatriz del cono para que ambos tengan:

a) Lamismaárealateral.

b) Lamismaáreatotal.

10m

7m5

m

12m

10c

m

10cm 10cm

5cm

10cm

b)

5cm

10c

m

10cm

a)

G� F10cm

PROBLEMAS CON CUERPOS GEOMÉTRICOS

108. ●● Las paredes y el techo de una habitación tienen un área de 94 m2. Si el suelo es un rectángulo de 7 m de largo y 4 m de ancho, ¿qué altura tiene dicha habitación?

109. ●● Un edificio tiene forma de prisma recto de 30 m de altura, y la base es un triángulo equilátero de 5 m de lado. ¿Qué área lateral y total tiene el edificio?

110. ●● Calcula el área lateral y total de un monolito en forma de pirámide hexagonal, cuyo lado del hexágono mide 10 cm y el lado de los triángulos laterales es de 25 cm.

111. ●● Determina el coste de construir este edificio, sabiendo que el metro cuadrado de ladrillos cuesta 4,35 €, y el de tejas, 9,65 €.

112. ●● Una tienda de campaña de forma cónica tiene una altura de 2 m y un diámetro de 1 m. ¿Cuántos metros cuadrados se necesitan para forrarla, incluyendo la base?

113. ●● Una bobina de papel de forma cilíndrica tiene una altura de 1,75 m y un diámetro de la base circular de 80 cm. Calcula el área total.

114. ● Determina la superficie esférica de un balón que tiene 30 cm de diámetro.

115. ●● Obtén el área total de estas figuras:

15 m

30 m 10 m15 m

10 m

5 m G

G�F

30 m

G�

F

7 cm

3 m

2,5 m

3,5 m

2 m

10 m

5 m

3 cm

183

294758 _ 0164-0183.indd 183 13/06/12 11:28

Volumen de cuerpos geométricos12El saqueo de SiracusaEl cónsul Marcelo veía desde la distancia el inexorable avance de su ejército sobre la ciudad de Siracusa. El grueso de sus tropas entraba por un boquete de la muralla, mientras que otros legionarios la escalaban por distintos puntos.

La batalla estaba decidida y, de regreso a su tienda, le dijo a su lugarteniente:

–¡Lo quiero capturar vivo! No permitas que nadie toque ni un pelo de su cabeza.

El subordinado saludó con la mano a la altura del pecho y corrió hacia la ciudad para transmitir las órdenes.

Después de largas horas, la agonía de la ciudad había llegado a su fin, los combates y el posterior saqueo habían terminado; sin embargo, el genio seguía sin aparecer y el cónsul, nervioso, ordenó a un escuadrón de legionarios que registrara toda la ciudad hasta dar con él.

Al cabo de un par de horas, el centurión encargado de la patrulla de búsqueda regresó con malas noticias:

–Hemos encontrado al sabio Arquímedes, atravesado por una espada.

1.Arquímedesestáreconocidocomounodelosmayoresmatemáticosdela Antigüedad.Buscainformaciónsobresu vidaysuobra.

2.Eltextonarraun episodiodesuvida.AveriguacómomurióArquímedes.

3.Investigasobrelas publicacionesqueArquímedesrealizósobreelcálculodevolúmenesdecuerposgeométricos.


294758 _ 0184-0197.indd 184 13/06/12 11:52



• Reconocery utilizarlasunidadesdevolumen.

• Conocerlarelacióndelasunidadesdevolumen,capacidadymasa.

• Hallarelvolumendepoliedrosycuerposderevolución.

PLAN DE TRABAJO

CLASIFICACIÓN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.

• Prismas: Son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y cuyas caras restantes son paralelogramos.

• Pirámides: Son poliedros en los que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.

Cuerpos de revolución

Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Clasifica estos poliedros.

2 Clasifica estos cuerpos de revolución.

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

Pirámide triangular

Pirámide hexagonal

Pirámide pentagonal

Cilindro Cono Esfera


a)

a)

b)

b)

c)

c)

185

294758 _ 0184-0197.indd 185 13/06/12 11:52

Volumen de un cuerpo

1.1 Volumen de un cuerpo


Qué es un cubo

Un cubo es un poliedro regular que tiene 6 caras, y todas ellas son cuadrados.

1

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

1 m3 es el volu-men de un cubo de 1 m de arista.

1 cm3 es el volu-men de un cubo de 1 cm de arista.

1 m

1 m

1 m

1 cm

1 cm

1 cm

1 Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide 2 cm.

Dividimoselcuboencubitosmáspequeñosde1cmde lado.Estecubocontiene8cubitosde1cmdelado,es decir,suvolumenes8cm3.

EJEMPLO

1cm 1cm

1cm

1cm

1.2 Unidades de volumen

Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son:

El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen. Se escribe m3.

hectómetrocúbico

hm3

1000000m3

decámetrocúbico

dam3

1000m3

decímetrocúbico

dm3

0,001m3

centímetrocúbico

cm3

0,000001m3

milímetrocúbico

mm3

0,000000001m3

kilómetrocúbico

km3

1000000000m3

metro cúbico

m3

Múltiplos del metro cúbico Submúltiplos del metro cúbico

2 Calcula el volumen de un cubo que tiene 5 cm de arista.Expresa el resultado en m3.

1 ¿Qué múltiplo del metro son 1 000 m3? ¿Y qué submúltiplo son 0,000001 m3?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER1 Determina el volumen de estos cuerpos.

b)a)

186

294758 _ 0184-0197.indd 186 13/06/12 11:52

1.3 Transformación de unidades


Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros

• Si el número es natural, le añadimos tantos ceros como tenga la unidad.

• Si el número es decimal, desplazamos la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes decimales, añadimos ceros.

34 ? 1 000 = 34 000 57,6 ? 100 = 5 760

Cómo se divide por la unidad seguida de ceros

• Si el número es natural, colocamos la coma contando desde las unidades hacia la izquierda, tantas cifras como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes cifras, añadimos ceros.

• Si el número es decimal, desplazamos la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes decimales, añadimos ceros.

34 : 1 000 = 0,034 5,7 : 10 = 0,57

EJEMPLO

1 Calcula.

a) 5,6 ? 100= 560 c)5,6 : 100= 0,056

b)87 ? 1 000= 87000 d)2,03 : 1 000= 0,00203

F F

En las unidades de volumen, cada unidad es 1 000 veces mayor que la inmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3

F

F

? 1 000

: 1 000

mm3

F

F

? 1 000

: 1 000

F

F

? 1 000

: 1 000

F

F

? 1 000

: 1 000

FF

? 1 000

: 1 000

F

F

? 1 000

: 1 000

3 Expresa en metros cúbicos.

a) 46 dam3" 46?1000=46000m3

b) 82 dm3 " 82:1000=0,082m3

d) 4,3 cm3 " 4,3:1000000=0,0000043m3

EJEMPLO

Para transformar una unidad de volumen en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 1 000.

6 Una planta que potabiliza agua del mar desala 25 000 m3 de agua al día.

¿Cuántos hm3, dam3y m3 desalará en un año?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER4 Expresa en decímetros cúbicos.

a) 525cm3 c) 3m3

b) 0,5dam3 d) 67mm3

187

294758 _ 0184-0197.indd 187 13/06/12 11:52

Relaciones entre las unidades de volumen, capacidad y masa

2.1 Volumen y capacidad

2

Así, las equivalencias entre las unidades de volumen y capacidad son:

2.2 Volumen y masa

Un litro es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista: 1 dm3 = 1 ¬

Las equivalencias entre las unidades de volumen y masa son:

Un kilo es la masa que tiene 1 dm3 de agua destilada: 1 dm3 = 1 kg

Volumen m3 dm3 cm3

Capacidadkl

kilolitro1000¬

hl

100¬

dal

10¬

¬litro

dl

0,1¬

cl

0,01¬

mlmililitro0,001¬

Volumen m3 dm3 cm3

Masat

tonelada1000kg

q

100kg

mag

10kg

kg kilogramo

1 000 g

hg

100g

dag

10g

ggramo


Cómo se transforman unidades de capacidad o de masa

Para transformar una unidad de capacidad o de masa en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10.

3,2 cl " 3,2 : 100 = 0,032 ¬ 0,23 dag " 0,23 ? 10 = 2,3 g

Para cualquier sustancia:1 dm3 = 1 ¬

Solo en el agua destilada:1 dm3 = 1 ¬ = 1 kg

G�

F

1 dm

1 ¬ = 1 dm3

1 litr

o

6 Expresa estas medidas de volumen de agua destilada en litros y kilos.

a) 32 dm3 =32¬=32kg

b) 3,2 m3 =3,2kl=3,2t " 3,2m3 =3200¬=3200kg3,2kl"3,2?1000=3200¬

3,2t"3,2?1000=3200kg

c) 320 cm3 =320ml=320g " 320cm3 =0,32¬=0,32kg320ml"320:1000=0,32¬

320g"320:1000=0,32kg

EJEMPLO

9 Transforma en kilogramos.

a) 240cm3 b) 8,6cl c) 7dal

LO QUE DEBES SABER RESOLVER8 Expresa en decímetros cúbicos.

a) 3,42¬ b) 4090cl c) 0,98dal

188

294758 _ 0184-0197.indd 188 13/06/12 11:52

Volumen de un ortoedro4

4.1 Volumen de un ortoedro


Qué es un ortoedro

Un ortoedro es un prisma recto cuyas bases son un rectángulo o un cuadrado.

El volumen de un ortoedro cuyas aristas miden a, b y c, es:

Vortoedro = a ? b ? ca

c

b

3cm

4cm6cm

3cm

4cm6cm

2 Calcula el volumen de un ortoedro cuyas aristas miden:a) 7cm,5cmy4cmb) 12cm,7cmy5cm

18 Obtén el volumen de una piscina que tiene 12 m de largo, 9 m de ancho y 2 m de profundidad. Expresa el resultado en m3 y ¬.


17 Si cada cubito mide 1 cm3, halla el volumen de estas figuras.

a) b) c)

EJEMPLOS

2 Determina el volumen de este ortoedro.

Elortoedroestádivididoencubosmáspequeñosde1mdelado.Elortoedrocontiene:

4?3?2=24cubosde1mdelado

Elvolumendeesteortoedroes24m3.

10 Calcula el volumen de un ortoedro de aristas 6 cm, 4 cm y 3 cm.

Dividimoselortoedroencubosde1cm3.Siconsideramossuvolumencomoelnúmerodecubosquecontiene,tenemosque:

VOrtoedro=6?4?3=72cm3

G� F

G�F

1m

1m

189

294758 _ 0184-0197.indd 189 13/06/12 11:52

El volumen de un prisma con altura h y área de la base AB, es:

Vprisma = AB ? h

5.2 Volumen del cilindro

Volumen de prismas y cilindros

5.1 Volumen del prisma

5


Cómo se calcula el área de los principales polígonos

RectánguloA =b ?hh

b

Polígono regular

í ?A

a2

per metro=a


Cómo se calcula el área de un círculo

El área de un círculo de radio r es:A = rr 2

h

AB

El volumen de un cilindro de radio r y altura h, es:Vcilindro = AB ? h = rr2h

11 Calcula el volumen del prisma y el cilindro.

a) ??

?V A hP a

h2Prisma Base= =

( ) ,,

? ??V

25 6 4 13

8 495 6 cm3Prisma = =

b) VCilindro = rr2h = r ? 52 ? 12 = 942cm3

EJEMPLO

12c

m

5cm

b)

4,13cm6cm

8cm

a)

F

F

b

Triángulo

?A

b h2

=h

r

h

ABr

21 Halla el volumen de un cilindro cuya área de la base mide 45 cm2 y su altura 7 cm.

22 Una urna de cristal tiene unas aristas de 40 cm, 40 cm y 60 cm. ¿Cuánta agua cabe en ella?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER20 Determina el volumen

de este prisma:5,2cm

9cm

6cm

F

190

294758 _ 0184-0197.indd 190 13/06/12 11:53

EJEMPLO

3 Calcula el volumen de la pirámide y el cono.

a)

,

? ? ?AV h31

31

42 67

4 8

cm

B2

3

Piramide == =

=

l

b) , ? ?

V r h31

34 11

184 21 cm22

3Cono r

r= = =

EJEMPLO

4 Calcula el volumen de un balón de 15 cm de radio.

? ?V r34

34

15 14 130 cm3 3 3Esfera r r= = =

Volumen de pirámides y conos6

Volumen de la esfera7

6.1 Volumen de la pirámide

6.2 Volumen del cono

El volumen de una pirámide con altura h y área de la base AB, es:

VPIRÁMIDE ?A h31

B=

El volumen de un cono de radio r y altura h, es:

VCONO r h31 2r=

El volumen de una esfera de radio r es: Vesfera r34 3r= r

h

h

r

AB

AB

4cm

11c

m

b)

4cm

8cm

F

a)

27 Halla el volumen de esta esfera:

LO QUE DEBES SABER RESOLVER24 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular

de arista de la base 7 cm y altura 13 cm.

3 Halla el volumen de un cono cuya altura mide 7 cm y el radio de su base, 3 cm.

18cmF

191

294758 _ 0184-0197.indd 191 13/06/12 11:53

1. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUMEN

Expresa estas medidas en m3. a) 0,42 hm3 b) 21,6 dm3

PRIMERO.Contamoslossaltos,ysudirección,quehaydesdelaunidadquenosdanhastalaunidadenlaquetenemosqueexpresarlamedida.a) 2saltoshacialaderecha. b) 1salto hacialaizquierda.

SEGUNDO. • Sielsaltoeshacialaderecha,multiplicamosporlaunidadseguidadeltriple

decerosquedesaltos.• Sielsaltoeshacialaizquierda,dividimosdelamismamanera.a) 0,42?1000000=420000m3 b) 21,6:1000=0,0216m3

2. TRANSFORMAR UNIDADES DE CAPACIDAD EN UNIDADES DE MASA Y VOLUMEN

Expresa 0,45 hl de agua destilada en cm3 y hg.

PRIMERO.Expresamoslamedidaenlitros. 0,45hl " 0,45?100=45¬

SEGUNDO.Aplicamoslaigualdad:1¬=1kg=1dm3, 45¬=45dm3" 45?1000=45000cm3

ytransformamoselresultadoenlasunidadesindicadas. 45¬=45kg " 45?10=450hg



Unidades de volumen

Lo esencial

kilómetrocúbico

km3

1000000000m3

hectómetrocúbico

hm3

1000000m3

decámetrocúbicodam3

1000m3

decímetrocúbico

dm3

0,001m3

centímetrocúbico

cm3

0,000001m3

milímetrocúbico

mm3

0,000000001m3

metro cúbico

m3

Múltiplos del metro cúbico Submúltiplos del metro cúbico

V r h31 2

CONO r= V r34 3

ESFERA r=VCILINDRO=rr2h

Prisma Pirámide

VPRISMA=ABase?h

Cilindro Cono Esfera

?V A h31

ÁPIR MIDE Base=

AB

h

AB

h

r

h

r

h r

192

294758 _ 0184-0197.indd 192 13/06/12 11:53

1. CALCULAR EL VOLUMEN DE UN POLIEDRO

Halla el volumen de estos poliedros.

PRIMERO.Determinamoseláreadelabaseylaalturaparacalcularelvolumen.a) Pirámidedebasetriangular:

? ?

Ab h

2 26 5

15 cm2Base = = = h=8cm

b) Prismadebasecuadrada:

ABase=l 2=42=16cm2 h=7cm

SEGUNDO.Aplicamoslafórmulacorrespondiente.

a) ? ? ?V A h31

31

15 8 40 cmá3

Pir mide Base= = = b) VPrisma= ABase? h=16?7=112cm3

b)

4cm

2. CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN

Halla el volumen de estos cuerpos de revolución.

PRIMERO.Determinamoselradioylaalturaenelcasodelcilindroydelcono,yelradioenelcasodelaesfera.a) Cono: r=2cm h=5cm

b) Cilindro:r=3cm h=8cm

c) Esfera: r=4cm

SEGUNDO.Aplicamoslafórmulacorrespondiente.

a)V r h31 2

Cono r= = 2 5 20,94? ? cm31 2 3r = c) 4 267,95? cmV r

3 344

Esfera3 3 3r r== =

b) ,? ? cmV r h 3 8 226 08Cilindro2 2 3r r= = =

8cm5cm

4cm

3cm2cm

7cm

c)b)a)

F

F

F


1. Sielvolumendeuncuerpogeométricoesde 74cm3:a)¿Cuántosmetroscúbicosson?

b) ¿Y cuántosmilímetroscúbicos?

Transformar unidades de volumen, capacidad y masa

2. Transforma2dam3y420m3endm3.

3. ¿Cuántasjeringuillasde10cm3cabenenunfrascode250ml?

Calcular el volumen de un poliedro

4. Calculaelvolumendeunapirámidecuyabasemide16cm2deáreaysualtura3cm.¿Ysifueseunprismaconlasmismasmedidas?

Calcular el volumen de un cuerpo de revolución

2. Hallaelvolumendeunconocuyoradiodelabasemide3cmysualtura,9cm.¿Y si fueseuncilindroconlasmismasmedidas?

3. Calculaelvolumendeunaesferacon7 cmde radio.

Y AHORA… PRACTICA

8cm

6cm5cm

a)

193

294758 _ 0184-0197.indd 193 13/06/12 11:53

ActividadesUNIDADES DE VOLUMEN

30. ● Transforma en decímetros cúbicos.

a) 8,56m3 c) 0,085m3

b) 124090cm3 d) 0,006dam3

31. ● Expresa en decámetros cúbicos.

a) 93,42m3 c) 0,86hm3

b) 64090cm3 d) 0,0059dm3

4. ● Expresa en metros cúbicos.

a) 1,4km3 d) 850cm3

b) 23hm3 e) 18dam3

c) 0,625dm3 f) 589mm3

5. ● Transforma en hectómetros cúbicos.

a) 30dam3 d) 500cm3

b) 41m3 e) 4800dm3

c) 4450dm3 f) 98mm3

6. ● Expresa en centímetros cúbicos.

a) 35m3 d) 87mm3

b) 2,43dam3 e) 1,78m3

c) 0,34dm3 f) 65,98hm3

VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA

35. ● Expresa en mililitros.

a) 53,41¬ c) 9,08dalb) 5246cl d) 0,0019hl

7. ● Transforma en gramos.

a) 5689kg d) 23,5tb) 453dag e) 7,618dagc) 0,345hg f) 0,0589mag

8. ● Expresa estas medidas de volumen en kilogramos y en litros.

a) 34,5cm3 c) 45,93cm3

b) 5,041m3 d) 78,335m3

9. ● Expresa en gramos y en litros.

a) 6,007m3 c) 0,1287cm3

b) 3,27dm3 d) 8,98dm3

37. ● Calcula el peso del agua destilada.

a) 3dal b) 12dl c) 65cm3 d) 423m3

VOLUMEN DE PRISMAS Y CILINDROS

10. ● Calcula el volumen de estos ortoedros.

a)

b)

c)

d)

11. ● Calcula el volumen de estos ortoedros.

a)

4cm

4cm 4cm

b)

4cm

8cm 2cm

43. ● Calcula el volumen de un cubo que tiene 8 cm de arista. Expresa el resultado en m3.

44. ● El perímetro de la base de un cubo es 84 cm. Halla su volumen.

45. ● Si el volumen de un cubo es 98 cm3,calcula la longitud de su arista.

12. ● Calcula el volumen de estos prismas y cilindros.

a)

6cm 3cm

c)

4cm

2cm

F

b)

6cm

7cm

4,13cm

F

d)5cm

2cmF

194

294758 _ 0184-0197.indd 194 13/06/12 11:53

48. ● Obtén el volumen de un prisma cuya base es un cuadrado de 8 cm de lado y su altura mide 15 cm.

49. ● Calcula el volumen de este prisma de base hexagonal regular.

50. ●● Determina el volumen de un prisma hexagonal que tiene 10 cm de arista básica y 16 cm de altura.

Recuerda que en un hexágono regular la longitud del radio coincide con la del lado.

52. ● Obtén el volumen de un cilindro de altura 15 cm y diámetro de la base 16 cm.

54. ●● Halla el volumen de un cilindro de 12 cm de radio de la base, y de altura, el triple del radio.

14. ● El volumen de un prisma cuadrangular mide 175 cm2. Calcula su altura sabiendo que el lado de la base mide 5 cm.

15. ● Sabiendo que el volumen de un cilindro mide 452,16 cm2, calcula su altura si el radio mide 4 cm.

51. ●● Un prisma de base cuadrada de 12 cm de altura tiene un volumen de 146 cm3. Calcula la longitud del lado de la base.

53. ● Calcula el radio de un cilindro que tiene 8 cm de altura y un volumen de 122 cm3.

4cm

6cm

5,2c

m

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN CUERPO GEOMÉTRICO CONOCIDO SU VOLUMEN?

13. Halla la altura de este cuerpo geométrico, si su volumen mide 180 cm3.

6cm

5cm

h

PRIMERO.Sedeterminaeltipodecuerpogeométricoylosdatosnecesariosparaaplicarlafórmuladel volumen.Setratadeunprismadebasetriangular,portanto,tenemos:

VPrisma=180cm3

ABase= cm? ?b h2 2

6 515 2= =

SEGUNDO.Seaplicalafórmuladelvolumencorrespondiente.

VPrisma=ABase?h"180=15?h

TERCERO.Sedespejalaaltura.

cmh 1215

180= =

Laalturadelprismamide12cm.

HAZLO ASÍ

55. ●● Calcula el volumen de esta sala:

56. ●● Obtén el volumen de la figura.

57. ●● Calcula el volumen comprendido entre un cubo de 8 cm de arista y el cilindro inscrito en él.

8cm

6cm

3m

5m

8m

2m

0,5m0,5m

0,5m4m

F

G

G

VOLUMEN DE PIRÁMIDES Y CONOS

16. ● Calcula el volumen de estas pirámides.

a) c)

b) d)

17cm

10,5cm

8,5cm

12cm

15,3cm5cm

5cm 5cm

1,8cm

F

F

F

195

294758 _ 0184-0197.indd 195 13/06/12 11:53

17. ● Calcula el volumen de estos conos.

a) c)

b) d)

65. ●● Un cilindro tiene como diámetro de la base 6 cm y una altura de 10 cm. Determina el volumen de un cono de igual altura y base circular equivalente.

18. ● El volumen de una pirámide cuadrangular mide 245 cm2. Calcula su altura sabiendo que el lado de la base mide 7 cm.

19. ● Sabiendo que el volumen de un cono mide 615,44 cm2, calcula su altura si el radio de la base mide 7 cm.

21. ● Sabiendo que el volumen de un cono mide 100,48 cm2 y que la altura mide 6 cm, calcula el radio de la base.

22. ● El volumen de un cono mide 314 cm2 y su altura, 12 cm. Calcula el radio de la base.

60. ●● Halla el volumen de estas figuras.

a) b)

61. ●● Uniendo el centro de un cubo de 16 cm de arista con sus 8 vértices se forman 6 pirámides. ¿Cuál es el volumen de cada pirámide?

62. ●● Halla el volumen de esta figura, formada por un prisma y la mitad de un cono, si el triángulo de la base del prisma es equilátero.

63. ●● En una acería se fabrican diariamente 3 000 piezas de acero (d = 8 g/cm3) con esta forma:

Halla la masa y el volumen de acero utilizado.

64. ●● Calcula el volumen de un cono de altura 36 cm

y diámetro de la base32

de la altura.

8cm

15cmG

3cm11c

m

G

16cm

6cm

3cm

8cm

6cm

6cm

F

10cm6cm

4cm

F

¿CÓMO SE CALCULA EL RADIO DE LA BASE DE UN CONO CONOCIDO SU VOLUMEN?

20. Halla el radio de la base de este cono, si su volumen mide 180 cm3.

r

19,1

1cm

PRIMERO.Sedeterminanlosdatosnecesariosparaaplicarlafórmuladelvolumen.

VCono=180cm3

h =19,11cm

SEGUNDO.Seaplicalafórmuladelvolumencorrespondiente.

rV r h31

Prisma2=

180 19,11?r31 2r=

TERCERO.Sedespejaelradio.

3,14 19,11180 3

?

?r2=

9 3 cmr r60

5402 = = ="

Elradiodelabasemide3cm.

HAZLO ASÍ

5cm 7cm

2cm 3cmF

8cm

2cmF

F

5cm

3cmF

196

294758 _ 0184-0197.indd 196 13/06/12 11:53

VOLUMEN DE LA ESFERA

23. ● Calcula el volumen de estas esferas.

a) c)

b) d)

67. ● Halla el volumen de una esfera de 15 cm de radio.

24. ● Calcula el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 12 cm.

68. ●● El diámetro de la base y la altura de un cilindro miden 16 cm. Obtén el volumen comprendido entre el cilindro y la esfera inscrita en él.

69. ●● Calcula y contesta.

a) ¿Cuáleselvolumendeunaesferacuyodiámetromide14cm?

b) ¿Cuántoscentilitrosdeaguacabenenestaesfera?

c) ¿Cuántoscentigramospesaelaguaquecabeenlaesfera?

PROBLEMAS DE VOLUMEN

73. ●● El consumo anual de agua en una vivienda ha sido de 140 256 dm3. ¿Cuánto tienen que pagar si el metro cúbicocuesta 0,90 €?

74. ●● Un bote lleno de agua destilada pesa 380 g y vacío pesa 20 g. ¿Cuál es su capacidad en decilitros y en centilitros?

75. ●● Un grifo vierte 80 litros por hora y tarda 1 hora y 36 minutos en llenar una barrica. ¿Qué volumen tiene la barrica?

76. ●● Una bomba de agua que achica 30 dm3/min, tarda 2 horas y media en vaciar un depósito. ¿Cuántos litros caben en el depósito?

80. ●● Un pantano contiene 3 542 millones de m3 de agua. En verano pierde 875 000 ¬ por día.

a) ¿Cuántosm3perderáen60días?b) ¿Cuántosm3lequedarándespuésde20días?

81. ●● En un depósito caben 2 700 ¬ de agua. Si un grifo tarda en llenarlo 45 minutos, ¿cuántos metros cúbicos mana por minuto?

82. ●● Una piscina tiene 25 m de largo, 12 m de ancho y 1,6 m de profundidad. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarla un grifo que vierte 100 ¬/min?

83. ●● ¿Cuántas cajas de 1 m de largo, 8 dm de ancho y 6 dm de altura se pueden apilar en una sala de 4 # 3,2 m de planta y 2,4 m de altura?

84. ●● En un día las precipitaciones de lluvia fueron de 60 ¬/m2. ¿Qué altura alcanzó el agua en un recipiente cúbico de 2 dm de arista?

85. ●● Halla el volumen del capirote de un cofrade de Semana Santa, sabiendo que tiene 9 cm de radio y 60 cm de altura.

86. ●● Para inflar 200 balones de radio 12 cm, ¿qué volumen de aire se necesita?

25. ●● Calcula el volumen de material que se necesita para fabricar una bola de billar de 5 cm de diámetro.

88. ●●● El radio de la Tierra mide 6 370 km y el de Marte mide 3 400 km.

¿Cuántas veces es mayor el radio de la Tierra que el de Marte? ¿Y su volumen?

3cm

6cm

4cm

7cm

F

F

F

F

197

294758 _ 0184-0197.indd 197 13/06/12 11:53

El ingenio y la espadaRené, un joven soldado, que en 1618 contaba 22 años, paseaba por la ciudad de Breda sin rumbo fijo. Había decidido viajar para conocer el mundo y no se arrepentía lo más mínimo de haberlo hecho como soldado de fortuna. Podía alquilar su espada o su ingenio; nadie preguntaba por la espada y, sin embargo, se exigía prueba del ingenio.

Al llegar a una plaza le llamó la atención un grupo de gente que se agolpaba frente a una fachada, queriendo leer un cartel que había pegado en ella. La curiosidad pudo con él y, desconociendo el idioma, pidió que lo tradujeran al francés o al latín. Se encontró con un problema matemático por cuya resolución ofrecía una recompensa un tal Beeckman, científico de renombre en el país.

Al día siguiente se presentó en su casa con la solución al problema. Beeckman se sorprendió al ver al soldado; sin embargo, al leer la solución volvió a mirar al joven y ya no vio la espada, sino su enorme talento.

El joven era René Descartes y su ingenio le hizo inmortal. A él deben su nombre los diagramas cartesianos, donde sustituye cada punto del plano por un par de números que lo identifican.

Funciones13

1.BuscainformaciónsobrelavidadeRenéDescartes,famosomatemáticodel siglo xvii.

2.Investigasobreelepisodioquenarrael textoylostrabajosquehicieronjuntosDescartesy Beeckman.

3.¿Cuálesfueronlos trabajosmásimportantesque realizóDescartesrelacionadosconlas matemáticas?


131.Buscainformación

sobrelavidadeRenéDescartes,famosomatemáticodel siglo xvii.

2.Investigasobreelepisodioquenarrael textoylostrabajosquehicieronjuntosDescartesy Beeckman.

3.¿Cuálesfueronlos trabajosmásimportantesque realizóDescartesrelacionadosconlas matemáticas?


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EVALUACIÓN INICIAL

1 Decidequénúmerosestánrepresentadosenestasrectasnuméricas.

a)

b)

2 Representaestosnúmerosenteros.

4 -6 -3 2 -1 5

3 Representaestosnúmerosdecimalesyfracciones.

a) 6,75 b) 4,5 c)43 d)

517

Antes de empezar la unidad... RECTAS NUMÉRICAS

Para representar un número en una recta numérica se marca un punto de referencia, al que llamamos origen y al cual le hacemos corresponder el número 0. A continuación, se elige una unidad y se desplaza.

Representación de números enteros

Los números positivos se colocan ordenados a la derecha del cero y los negativos a la izquierda.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Representación de números decimales

Dividimos la unidad correspondiente en 10 partes iguales, que son las décimas. A continuación, dividimos cada décima en 10 partes iguales, que son las centésimas.

Para representar el número 5,66 dividimos la unidad entre 5 y 6 en 10 partes iguales, y marcamos 5,6 y 5,7. A continuación, dividimos esta décima en 10 partes y marcamos 5,66.

5

5,6 5,66

5,6

5,7

5,7

6

Representación de fracciones

Expresamos las fracciones como números decimales y las representamos en la recta numérica.

Si dibujamos la recta de forma vertical, los números positivos se colocan por encima del cero

y los negativos por debajo.

Enestaunidadaprenderása…

• Describirunafunciónmedianteunatabladevalores,unagráficaounaexpresiónalgebraica.

• Estudiarlas principalescaracterísticasdeunafunción.

PLAN DE TRABAJO

1444442444443 14444444244444443-3 -2 -1 0 1 2 3 4

números enteros negativos números enteros positivos

0

0

199

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P(x,y)indicalascoordenadasdelpuntoPenelplano.

SE ESCRIBE ASÍ

Coordenadas cartesianas


Qué es un sistema de coordenadas cartesianas

Unsistemadecoordenadascartesianasestáformadopor:

• Ejedeabscisas,X,queeslarectahorizontal.

• Ejedeordenadas,Y,queeslarectavertical.

• Origendecoordenadas,O,queeselpuntodecortedelosejes.

Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto.

Y

XO

P(x, y)

Eje de ordenadas

Eje de abscisas

F

F

• La primera coordenada, x, se mide sobre el eje de abscisas, X. Se deno-mina abscisa del punto P.

• La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje de ordenadas, Y. Se de-nomina ordenada del punto P.

• El punto de corte de los ejes se de-nomina origen de coordenadas, O.

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes.

1 Decideenquécuadranteestánlossiguientespuntos:

A(2,3) B(-2,3) C(-2,-3) D(2,-3) E(0,4) F(-4,0) G(0,-4) H(4,0)

A"Abscisa:2 Ordenada:3 (+,+)"PrimercuadranteB"Abscisa:-2 Ordenada:3 (-,+)"SegundocuadranteC"Abscisa:-2 Ordenada:-3 (-,-)"TercercuadranteD"Abscisa:2 Ordenada:-3 (+,-)"CuartocuadranteE"Abscisa:0 Ordenada:4 (0,+) "SobreelejeYF"Abscisa:-4 Ordenada:0 (-,0) "SobreelejeXG"Abscisa:0 Ordenada:-4 (0,-) "SobreelejeYH"Abscisa:4 Ordenada:0 (+,0) "SobreelejeX

EJEMPLO

1

Y

X

B (-2,3)

F(-4,0)

C(-2,-3)

D(2,-3)

G(0,-4)

E(0,4)

A(2,3)

H(4,0)1

1

2.ocuadrante

3.ercuadrante

1.ercuadrante

4.ocuadrante

C(-3,3)

E(-1,-2)

D(-2,0)

B(0,3)A(2,2)

H(1,0)1

1

Y

X

G(4,-2)F(0,-3)

234

O 2 3 4

1 ¿Enquécuadranteseencuentranlospuntosdel ejercicioanterior?¿Hayalgunoenlosejes?


1 Representalossiguientespuntos:A (-6,0) B (-3,-3) C (0,-2) E (-5,3)

200

294758 _ 0198-0213.indd 200 18/06/12 11:57

Decimos que x, y, … son variables cuando pueden tomar cualquier valor.

Concepto de función

Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado; y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x.

EJEMPLOS

2 Compruebasilavariacióndelatemperaturamáxima,en°C,desdeeldía15al25dediciembre,anotadaenlasiguientetabla,esunafunción.

Acadavalordelavariablex(días)lecorrespondeunúnicovalordelavariabley(temperatura).Encadadía,latemperaturamáximaes única.

Larelaciónentrelasvariablesx(días)ey(temperatura)esunafunción.

1 Unaentradadecinecuesta8€.Larelaciónentreelnúmerodeentradasdecineysuprecio,¿esunafunción?

Comprobamossiacadanúmerodeentradaslecorrespondeunúnicoprecio.

1entrada "8€

2entradas"2?8=16€

3entradas"3?8=24€

4entradas"4?8=32€

Comoacadavalordelavariablex(númerodeentradas)lecorrespondeunúnicovalordelavariabley(precio),larelaciónentrelasvariablesx(númerodeentradas)ey(precio)esunafunción.

2 Enunsupermercadopodemosencontrarbotesdetomatedemediokilo ydeunkilo.Larelaciónentreelnúmerodebotescompradosy la cantidaddetomate,¿esunafunción?

Noesunafunciónyaque,porejemplo,alcomprar3kgdetomatespodemoscomprar6botesdemediokiloo3de1kilo.

Representando los pares de valores relacionados, (x, y), en un sistema de coordenadas, como si fueran puntos, obtenemos la gráfica de la función.

2

Días(x) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Temperatura(y) 16 10 12 24 20 16 14 18 20 18 20

6 Cadakilodefrutacuesta2,50€.Enlafunciónque relacionacadapesoconsuprecio,hallaelvalordey(precio)sicompramos2,4,6,8o10kilosdefruta.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER4 Estudiasiestosvaloressondeunafunción.

Tiempo(h)

Altura(m)

12

3

13

6

14

6

15

9

16

8

17

7

201

294758 _ 0198-0213.indd 201 13/06/12 11:37

Para determinar si los puntos de una gráfica se pueden

unir, se estudia el carácter de las variables que están

representadas.

Representación gráfica de una función

3.1 Representación gráfica a partir de una tabla de valores


Cómo se construye una tabla numérica

Paraconstruirunatabla,partimosdeunosdatosyobtenemosotrosquecumplenunacondición.

Número 1 2 3 4

Sutriple 1?3=3 2?3=6 3?3=9 4?3=12

Para representar gráficamente una función expresada mediante una tabla de valores, identificamos la variable independiente y la variable depen-diente.

Con los valores prefijados de la variable independiente, x, obtenemos los correspondientes valores de la variable dependiente, y.

EJEMPLO

4 Unatiendaofreceunmodelodeteléfonomóvilpor45€launidad.La tablamuestraelpreciodelosmóvilessegúnlacantidaddeellosque se compre.

N.odemóviles 1 2 3 4 5 6

Precio(€) 45 90 135 180 225 270

Representalagráficadelafunción.¿Sepuedenunirlospuntos?

Apartirdelatablatenemosque:

1móvilcuesta45€,2costarán90€,3costarán135€…

Representamosestosparesdevaloresenunsistemadecoordenadas,yobtenemoslagráficadelafunción.

Lavariableindependiente,número de móviles,serepresentaenelejedeabscisas,ejeX,ylavariabledependiente,precio,enelejedeordenadas,ejeY.

Nounimoslospuntos,porquenopodemoscomprar1,5móvileso2,3móviles.

3

1 2 3 4 5 6

2702251801359045

X

Y

Pre

cio

(€

)

N.odemóviles

2 Copiaycompletalatabla,yrepresentalafunciónquerelacionalasmagnitudes.

N.ºdecamisas 1 3 5 8

Precio(€) 30

¿Sepuedenunirlospuntos?


8 Enestatabladevaloresserelacionalabaseconeláreadeunrectángulodealtura2cm.

Base(cm) 1 2 3 4 5 6

Área(cm2) 2 4 6 8 10 12

Representalosvaloresgráficamente.

202

294758 _ 0198-0213.indd 202 18/06/12 11:57

3.2 Representación gráfica a partir de una expresión algebraica

La expresión algebraica de una función se escribe como y = f(x) y se llama ecuación de la función.

A partir de la ecuación obtenemos la tabla de valores. Para obtener el valor de y, damos valores a x y operamos. Así, si a es un valor de la variable independiente, el valor correspondiente de la variable dependiente es f(a).


Qué es el valor numérico de un polinomio

ElvalornuméricodeunpolinomioP(x),parax=a,loexpresamoscomoP(a)yseobtienesustituyendoxporelvaloraenelpolinomioyoperando.

P(x)=5x3+2x-4x=2"P(2)=5?23+2?2-4=40

EJEMPLO

5 Escribelaexpresiónalgebraicadelafunciónqueacadanúmerolehacecorrespondersudoblemenosunaunidad,yrepresentasugráfica.

1"2?1-1=12"2?2-1=3

…4" Engeneral,x"2?x-1

Portanto,laexpresiónalgebraicaesy=2x-1,esdecir,f (x)=2x-1.

Elaboramoslatabladevaloresylagráficacorrespondiente:

Representandoestospuntosobtenemoslagráficadelafunción.

Enestecaso,esposibleunirlospuntosporquesepuedecalculareldoblemenosunaunidaddecualquiernúmero,aunquenoseaentero.

La expresión de la función que a cada número le asocia su doble se puede escribir

de cualquiera de estas maneras:y = 2x

f (x) = 2xy = f (x) = 2x

Y su valor para x = 3:f (3) = 2 • 3

y = f (3) = 2 • 3

Y

X

y=2x-11

1

Valordex y=f(x)

-1 f (-1)=2?(-1)-1=-2-1=-3

0 f (0)=2?0-1=0-1=-1

1 f (1)=2?1-1=2-1=1

2 f (2)=2?2-1=4-1=3

x y

-1 -3

0 -1

1 1

2 3

F

13 Dadalafunciónqueasociaacadanúmerosutriplemenos7unidades:

a) Hallasuexpresiónalgebraica.b) Calculaf(3)yf (5).

LO QUE DEBES SABER RESOLVER12 Dadalafunciónqueasociaacadanúmero

enterosucuartapartemás5:

a) Hallasuexpresiónalgebraica.b) Calculaf (2)yf (0).

203

294758 _ 0198-0213.indd 203 13/06/12 11:37

Estudio de una función

4.1 Función continua y discontinua

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.

EJEMPLO

6 Sielkilodetomatescuesta1,50€,¿escontinualafunciónqueexpresalarelaciónentreelpesodelostomatesysuprecio?

Pararepresentargráficamentelarelaciónentreestasdosvariablesconstruimosunatabladevalores.Laxnopuedetomarvaloresnegativos,porquenoexistenmedidasdepesonegativas.

Cantidad(kg) 1 2 3 4

Precio(€) 1,50 3 4,50 6

Puedeexistircualquierpesodetomates,yparacalcularsupreciobastaráconmultiplicarpor1,50,esdecir,podemosunirlospuntosdelagráfica.Lafunciónescontinua.

Si al dibujar la gráfica de una función existe un punto en el que la gráfica se interrumpe, decimos que es un punto de discontinuidad de la función.

EJEMPLO

7 Enlapromocióndeunanuevacompañíadetelefoníamóvilseofertanlas llamadasa5céntimosdeeuroelminuto,sinestablecimientode llamada.Representalafunciónquerelacionaladuracióndelas llamadasyelprecio,ydeterminalospuntosdediscontinuidad.

Duración(min) 0,5 1 1,5 2

Precio(cént.) 5 10 10 15

Enx=1,x=2,x=3,…,lafuncióntienepuntosdediscontinuidad.

4

1 2 3 4

5

4

3

2

1

XPeso(kg)

Pre

cio

(€

)

Y

Si una función es continua se puede dibujar «sin levantar el lápiz del papel».

1 2 3 4

20

15

10

5

XDuración(min)

Pre

cio

(cé

nt.)

Y

3 Siunaentradadecinecuesta8€,¿escontinuala funciónquerelacionaelnúmerodeentradasy suprecio?

17 Enunalmacénsevendeellitrodevinoa2,70€.Expresaestasituaciónconunafunción,dibujalagráficaydeterminasiescontinua.


16 Determinasiescontinualafunciónquerelacionalaedadconelpesodeunapersona.Algunosparesdevaloresvienenrecogidosenlasiguientetabla:

Edad(años) 0,5 1 2 5 8 11

Peso(kg) 5 6 9 15 21 34

204

294758 _ 0198-0213.indd 204 13/06/12 11:37

La gráfica de una función puede cortar más de una vez al eje X, pero solo una vez al eje Y.

Si una gráfica tiene más de un punto de corte con el eje Y, no corresponde

a una función.Y

X

4.2 Puntos de corte con los ejes

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes de coordenadas.

• Los puntos de corte con el eje X son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x cuando la variable y toma el valor 0.

• El punto de corte con el eje Y es de la forma (0, b). Se halla calcu-lando el valor de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.


Cómo se resuelve una ecuación

Enunaecuación,paradespejarlaincógnita,podemoshacerquecualquiertérminoaparezcaenelotromiembrodeformainversaacomoestaba:

• Siestabasumando,aparecerestando;ysiestabarestando,sumando.x-4=7"x=7+4 x + 4=7"x=7-4

• Siestabamultiplicando,aparecedividiendo;ysiestabadividiendo,multiplicando.

3x=9"x39

= x3

9= "x=9?3

EJEMPLO

8 Determinalospuntosdecorteconlosejesdelassiguientesfunciones.

a) y=3x-3

• ConelejeX"y=0

y=3x-3y = 0" 0=3x-3"x=1

PuntodecorteconelejeX:(1,0)

• ConelejeY"x=0

y=3x-3x = 0" y=3?0-3"y=-3

PuntodecorteconelejeY:(0,-3)

b)y=3- x

• ConelejeX"y=0

y=3-xy = 0" 0=3-x"x=3

PuntodecorteconelejeX:(3,0)

• ConelejeY"x=0

y=3-xx = 0" y=3-0"y=3

PuntodecorteconelejeY:(0,3)

Y

1

1 X

1

1

Y

X

21 Representalafuncióny= -x.Obténlospuntosdecorteconlosejes.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER20 Representalafuncióny=-2x+2,yhalla

suspuntosdecorteconlosejes.

205

294758 _ 0198-0213.indd 205 13/06/12 11:37

4.3 Crecimiento y decrecimiento

• Una función es creciente en un tramo si al aumentar el valor de x también aumenta el valor de y.

• Una función es decreciente en un tramo si al aumentar el valor de x disminuye el valor de y.

EJEMPLO

9 Lagráficamuestralatemperaturaenunaciudadundíadeprimavera.Determinaenquétramoscreceodecrecelafunción.

30

25

20

15

10

5

1 3 5 7 9 11 13 15

Tem

per

atu

ra(

°C)

Tiempo (horas)

Y

X

• Lagráficaescrecientedesdelas3hastalas13horas.Alaumentarlosvaloresdeltiempo(horas),aumentanlosvaloresdelatemperatura;siguiendolatrayectoriadelafunción(deizquierdaaderecha),estacrece.

• Dostramosdelagráficasondecrecientesdesdelas0hastalas2horas,ydesdelas13hastalas16horas.Alaumentarlosvaloresdeltiempo(horas),disminuyenlosvaloresdelatemperatura;siguiendolatrayectoriadelafunción(deizquierdaaderecha),estadecrece.

Aum

enta

y

Crece

Y

X

Aumentax

F

Dism

inuyey

Y

X

Aumentax

Decrece F

26 Ungloboaerostáticoregistralatemperaturadelaireenfuncióndelaaltitud.

Altitud(km) 0 1 2 3 4 5

Temperatura(°C) 16 6 2 -1 -4 -6

Estudiasiescrecienteodecreciente.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER25 Representalaevolucióndelatemperatura

deunatazadecaféalolargodeltiempo.

Tiempo(min) 0 3 6 9 12

Temperatura(°C) 40 33 26 22 15

Indicacuándocreceydecrecelafunción.

206

294758 _ 0198-0213.indd 206 13/06/12 11:37

LO QUE DEBES SABER RESOLVER29 Indicalosmáximos

ylosmínimosdelasiguientefunción:

30 Losdatosdelatablamuestranlavelocidaddeunmotoristaenfuncióndeltiempotranscurrido.

Tiempo(min) 0 5 10 15 20 25

Velocidad(km/h) 0 45 90 45 60 30

Encuentrasusmáximosymínimos.

4.4 Máximos y mínimos

• En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a ser decreciente, se dice que la función alcanza un máximo.

• En los puntos donde la gráfica pasa de ser decreciente a ser crecien-te, se dice que la función alcanza un mínimo.

Los máximos y mínimos reciben el nombre de extremos de una función.

EJEMPLO

10 Lasiguientegráficamuestraelperfildelaetapadeunapruebaciclista,dondelacoordenadaxrepresentaloskilómetrosrecorridosylacoordenadayrepresentalaalturarespectoalniveldelmar.Hallalospuntosmáximosymínimos.

12001000

800600400200

10 50 100 150 200

Alt

ura

(m

)

Distancia(km) X

Y

Lospuntos(70,1200),(110,800)y(170,1000)sonmáximos.Enellos,lagráficapasadesercrecienteadecreciente.

Lospuntos(90,600),(150,200)y(190,600)sonmínimos.Enellos,lagráficapasadeserdecrecienteacreciente.

Decimosque(70,1200)esunmáximoabsoluto,porquelafunciónenelkilómetro70alcanzalamayoralturasobreelniveldelmar,1200m.El restose denominanmáximosrelativos.

Decimosque(150,200)esunmínimoabsoluto,porquelafunciónenelkilómetro150alcanzalamenoraltura,200m.Elrestosedenominanmínimosrelativos.

MáximoY

X

CR

ECE

DEC

REC

E

Mínimo

Y

X

CR

ECE

DEC

REC

E

Y

1

1 X

31 Representagráficamentelosdatosdeestatabla.

Altitud(km) 0 10 20 30 40 50

Temperatura(°C) -20 -40 -30 -10 -18 5

Encuentrasusmáximosymínimos,tantoabsolutoscomorelativos.

32 Dibujalagráficadeunafunciónquetenga:

a) Unmáximoydosmínimos.b) Unmáximoyningúnmínimo.c) Ningúnmáximonimínimo.d) Unmínimoyningúnmáximo.

207

294758 _ 0198-0213.indd 207 13/06/12 11:37

Lo esencial



Funciones

Tabla de valores

N.odemóviles 1 2 3 4 5

Precio(€) 45 90 135 180 225

Estudio de una función

Ecuacióndelafunción

y=f(x)Variable

dependienteVariableindependiente

1. DETERMINAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO QUE PERTENECE A UNA FUNCIÓN

Dadalafuncióny=2x-7,calculaelvalordeyparax=3.

PRIMERO.Sustituimosxporsuvalorenlaecuacióndelafunción.Parax=3:

y=2x-7x = 3"y=2?3-7=-1

SEGUNDO.Laprimeracoordenadaeselvalordexylasegundaeselvalordey.Elpuntobuscadoes(3,-1).

2. DETERMINAR SI UN PUNTO PERTENECE A UNA FUNCIÓN

Dadalafuncióny=2x-7,determinasielpuntoA(-2,0)pertenecealafunción.

PRIMERO.Enlaecuacióndelafunción,sustituimosxporlaprimeracoordenadadelpunto,eyporlasegunda.

y=2x-7x = -2,y = 0

"0!2?(-2)-7 "0!-11

SEGUNDO.Silaigualdadsecumple,elpuntopertenecealafunción;encasocontrario,no.ElpuntoA(-2,0)nopertenecealafunción.

3. REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA TABLA

Representalafunciónquerelacionalalongituddelladodeuncuadradoconsuperímetro.

PRIMERO.Construimoslatabladevalores.

SEGUNDO.Representamoslospuntosenunsistemadecoordenadas.

TERCERO.Analizamossiesospuntossepuedenunir.Enestecaso,x puedetomarcualquiervalorpositivo,porqueelladodeuncuadradopuedetenercualquierlongitud.Además,dadaunalongitud,almultiplicarlapor4obtenemossuperímetro.Portanto,sípodemosunirlospuntosmedianteunarecta.

1 2 3 4 5 6

2420161284

X

YLado(x) 1 2 3 4 5

Perímetro(y) 4 8 12 16 20

y

x O X

Y

P(x,y)

Ejedeordenadas

CorteconejeY

CorteconejeX

Ejedeabscisas

Origen

Máximo

Mínimo

F

F

FF

F

Estafunciónescontinuaporquesepuededibujardeunsolotrazo.

208

294758 _ 0198-0213.indd 208 13/06/12 11:37

1. REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Unmetrodealambrepesa3kg.Representagráficamenteestarelación.

PRIMERO.Hallamoslaexpresiónalgebraica.

1metro "3kg2metros"3?2=6kg3metros"3?3=9kg

Elvalordeyresultademultiplicarcadavalordexpor3.Portanto:

x"Metrosdealambre3y x="3y"Peso

SEGUNDO.Construimoslatabladevalores.

Alambre(m) 1 2 3 4 5 6

Peso(kg) 3 6 9 12 15 18

TERCERO.Representamoslospuntosobtenidosenunsistemadecoordenadasydecidimossilospodemosunir.Representamoslospuntos(1,3);(2,6);(3,9);…

12963

1 2 3 4 5 X

Y

Enestecaso,comoparacadalongitudde alambretenemosunpeso,podemosunirlos puntos.

2. CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Hallalospuntosdecorteconlosejesdelafuncióny=2x+1.

• ConelejeX

PRIMERO.Resolvemoslaecuaciónf(x)=0.

f(x)=2x+1f (x)=0

"2x+1=0"21

x=-

SEGUNDO.Escribimoselpuntocuyaordenadaes 0ycuyaabscisaeslaxquehemoscalculado.

PuntodecorteconelejeX" -21

, 0d n

• ConelejeY

PRIMERO.Hallamosf(0).

f(x)=2x+1x=0"f(0)=2?0+1=1

SEGUNDO.Escribimoselpuntocuyaabscisaes0ycuyaordenadaeselvalordelafunciónenesepunto,queeselresultadoanterior.

PuntodecorteconelejeY" (0,1)


1. ¿Aquécuadranteperteneceelpunto(-4,5)?¿Y(-5,-8)?

Determinar las coordenadas de un punto

2. Enlafuncióny=3x-2,¿cuántovalef (-2)?

Determinar si un punto pertenece a una función

3. ¿Pertenece(2,0)alafuncióny=x- 6?

Representar gráficamente una función a partir de una tabla y de una expresión algebraica

1. Enunafruteríaunkilodemanzanascuesta2,50 €.Representalafunciónquerelacionaelnúmerodekilosdemanzanasconsuprecio.

Calcular los puntos de corte con los ejes

2. Hallalospuntosdecortedelafuncióny=2x-4conlos ejes.

Y AHORA… PRACTICA

209

294758 _ 0198-0213.indd 209 13/06/12 11:37

ActividadesCOORDENADAS CARTESIANAS

39. ● Dibujaunosejescartesianosenunpapelcuadriculadoyrepresentaestospuntos:

A(5,2) C(2,5) E(0,-5)

B , 425

- -e o D(4,-7) F ,323

-e o

40. ● Representaenunsistemadecoordenadascartesianaslossiguientespuntos:

A(2,2) C(1,2) E(-3,6) G(8, -6)

B(-5, -2) D , 23

5e o F , 43

25e o H ,

52

0e o

41. ● Lagráficarelacionaeltiempodeunallamadatelefónicaconsuprecio.Indicaelprecioy el tiempodelasllamadasA,ByC.

a) ¿Quéunidadtomamosencadaeje?b) Hallalatabladevaloresquerelacionaambas

magnitudes.

42. ● Apartirdelagráfica,indicasilassiguientesafirmacionessonciertas.

a) BpesamásqueC.b) Ceselmásaltoyelquepesamás.c) Beselmásbajoyelmenospesado.

43. ● RepresentaenunsistemadecoordenadascartesianaslospuntosA(2,3),B(0,1)yC(2,-1).Hallalascoordenadasdeotropuntoque,juntoconellos,formelosvérticesdeuncuadrado.

FUNCIONES

44. ● Decidesiestasrelacionessonfunciones.

a) Acadanúmeronaturalleasociamossusdivisores.

b) Acadanúmeronaturallehacemoscorrespondersudoblemás3.

4. ● Decidesisetratadeunafunciónlarelaciónentreunacantidaddedineroyelnúmerototalde monedasqueseutilizanparajuntarlo.Por ejemplo,paratener1€podemosutilizardos monedasde50cént.o5monedasde20cént.Razonalarespuesta.

45. ● Elpreciodelkilogramodecerezasesde2,75€.

a) Hazunatabladevaloresdondefigurenelpesoyelprecio.

b) Definelasvariablesindependienteydependiente.c) Obténsuexpresiónalgebraica.d) Evalúasiesonounafunción.

46. ●● Lagráficarepresentalacantidaddegasolinaquehayeneldepósitodeuncocheduranteun viaje.

a) ¿Cuántoslitroshayeneldepósitoenelmomentodelasalida?¿Yenlallegada?

b) ¿Enquékilómetrosserepostógasolina?c) ¿Cuántoslitrosserepostaronduranteelviaje?d) Identificalasvariablesdependiente

eindependiente.

48. ●● Sienunacafeteríahemospagado15€por6cafés:

a) Hazunatabladevaloresdondefigurenelnúmerodecafésyelprecio.

b) Señalacuálescadavariable.

X

A

B

C

Y

1

10,80

0,60

0,40

0,20

2 3 4 5 6 7 8Tiempo(min)

Pre

cio

(€

)

9

Y

X

C

B

40

40

30

20

10

20 60Altura(cm)

Pes

o(

kg)

AX

Y

100 200 300 400

40

30

20

10

Distancia(km)

Can

tida

dd

eg

asol

ina

(¬)

210

294758 _ 0198-0213.indd 210 18/06/12 11:58

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

49. ● Expresaestasrelacionesmedianteunatabladecincovalorescomomínimo.

a) Unnúmeroysumitad.b) Elladodeuncuadradoysuárea.c) Unnúmeroysuinverso.d) Unnúmeroysutriple.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE EXPRESA UNA FUNCIÓN MEDIANTE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA?

5. Unkilodepatatascuesta0,90€.Escribeestarelaciónmedianteunaexpresiónalgebraica.

PRIMERO.Sedeterminanlasdosvariables.Variableindependiente:cantidaddepatatasVariabledependiente:precioporkilo

SEGUNDO.Seestablecelarelación.Comoacadacantidadlecorrespondeunúnicoprecio,la relaciónesunafunción.

1kg"0,90€2kg"2?0,90=1,80€

Elvalordecadayresultaalmultiplicarcadavalorde xpor0,90.Laexpresiónalgebraicaes:

y=0,90x

51. ●● Dadalafunciónqueasociaacadanúmerosumitadmás2unidades:

a) Construyeunatabladevalores.b) Encuentrasuexpresiónalgebraica.c) Hallaf (-5)yf (4).

52. ●● Dadalafunciónqueasociaacadanúmerosuopuestomás5:

a) Hallasuexpresiónalgebraica.b) Calculaf (2)yf (-2).c) Representalafunción.

53. ●● Escribelaexpresiónalgebraica.

a) Acadanúmeroleasignamossuquintaparte.b) Acadanúmerolehacemoscorresponder

elcubodesudoble.c) Acadanúmeroseleasociaelcuadrado

desuterceraparte.

54. ●● Encadaapartadosedescribelarelaciónentredosmagnitudes.Escribeestarelaciónmedianteunaexpresiónalgebraicadefiniendo,previamente,lasvariablesindependientey dependiente.

a) Elpreciodelkilodecaféesde12,40€.b) Elpreciodelosartículosdeunatiendaestá

rebajadoenun30 %.c) Elvalordeuncochesedepreciaun10 %

cadaaño.d) Ladistanciarecorridaporunciclistaque

circulaa20km/h.e) Eltiempoquetardaunautobúsenrealizar

su recorridocompletoesde20minutos.

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN

55. ●● Lasiguientegráficaexpresalarelaciónentreeltiempo,enminutos,yelespacio,en kilómetros,recorridoporunapersonaduranteunahora.

a) Exprésaloenunatabladevalores.b) ¿Cuántotiempohaestadoparada?c) ¿Ycuántotiempohacaminado?

56. ●● Estudiaelcrecimientoyeldecrecimientodelasgráficasdelassiguientesfunciones.

a) c)

b) d)

X

Y9

6

3

Tiempo(min)

Dis

tan

cia

(km

)

605040302010

1

1

Y

X

2

1

Y

X

Y

X

1

1

39

38

37

10 12 14 16

Y

X

211

294758 _ 0198-0213.indd 211 13/06/12 11:37

57. ● Indicalosmáximosymínimos.

58. ●● Lagráficamuestraelpreciodeunallamadatelefónicaconundeterminadocontrato.

a) Identificalasvariables.¿Esunafunción?b) Averiguasiesunafuncióncreciente

odecreciente.c) ¿Tienemáximosymínimos?d) ¿Cuántocostaráunallamadade8minutos?

¿Yunade7minutos?¿Yotrade2minutos?e) Sisoloquierogastar1€,¿cuántotiempopodré

hablar?f) ¿Esunafuncióncontinua?

59. ●● Lavelocidaddeunmotoristavaríasegúnseindicaenlagráfica.

a) Indicalostramosdondelafuncióncrece.b) Indicalostramosdondelafuncióndecrece.c) Hallalosmáximosabsolutosyrelativos.d) ¿Cuálessonlosmínimosabsolutosorelativos?e) ¿Esunafuncióncontinua?

60. ●● Lagráficamuestralatemperaturadeunaciudaddurante24horasseguidas.

Analizasucrecimiento,decrecimiento,máximosymínimos.

61. ●● Estatablamuestralastemperaturasdeunalocalidadalolargodeundía.

a) Identificalasvariables.

b) Representalagráfica.

c) Hallalosmáximosrelativos.

d) Obténlosmínimosrelativos.

e) ¿Esunafuncióncontinua?

f) ¿Durantecuántashoraslatemperaturahasuperadolos0°C?

g) ¿Aquéhorasemidiólatemperaturamínima?¿Ylamáxima?

h) ¿Aquéhoraslatemperaturafuede0°C?

62. ●● Lagráficaregistraelnúmerodevisitantesaunmuseodurante9días.Señalacuálesdelasafirmacionessonverdaderas.

a) Hayunmáximoenx=4,porqueelcuartodíaseregistróelmayornúmerodevisitantes.

b) Elnúmerodevisitantesfuedistintocadadía.c) Acudieron250visitantesendosdías.d) Losúltimoscincodíashuboentotalmás

visitantesqueenloscuatroprimerosdías.

Y

X1 2 3 4 5 6 7

3

2

1

Y

Vel

oci

dad

(km

/h)

Tiempo(min)X5 10 15 20

60

90

30

Y

N.º

de

visi

tan

tes

DíaX1 2 3 4 5 6 7 8 9

400

300

200

100

Pre

cio

(€

)

Tiempo(min)

3 6 9 12

0,80

0,60

0,40

0,20

Y

X

Y

X

Tem

per

atu

ra(

°C)

Tiempo(horas)

3 6 9 12 15 18 21 24

25

20

15

10

5

Hora °C

2 -9

6 -6

8 -3

10 3

12 8

14 9

16 7

18 4

20 -3

22 -3

24 -5

212

294758 _ 0198-0213.indd 212 18/06/12 11:58

PROBLEMAS CON FUNCIONES

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE INTERPRETA UNA GRÁFICA?

6. Interpretaestagráficaquemuestraelgastode aguaportrimestresdeunafamilia.

Y

XTrimestre

Gas

to(

¬)

1 2 3 4

10000

PRIMERO.Mirandolagráfica,deizquierdaaderecha,se determinaelcrecimientoyeldecrecimientodela función.

Duranteelprimertrimestredelañola familiallegaa consumir30000litrosdeagua.Y sigueaumentandosuconsumohastaeltercertrimestre.Duranteelúltimotrimestreel consumodisminuye.

SEGUNDO.Sedeterminanlosmáximosylosmínimosde lafunciónanalizandodóndese producenlos mayoresomenoresresultados.

Eneltercertrimestrese produceelpuntodemáximoconsumodeagua,50000litros.

El consumohaidoaumentandohastaqueenesepuntocomienzaadisminuir.

77. ●● Lasiguientetabla,publicadaporunaONGdedicadaalaconservacióndelasespecies,representalapoblacióndetigresdeBengalaenlaIndiadesde2002hasta2010.

a) Representalosparesdevaloresgráficamente.b) Interpretalosresultadosobtenidos.

78. ●● Hacemosunaexcursiónenbicicletaaunparquesituadoa60km.Parallegarhayquerecorreruncaminoconsubidasybajadas.Después,descansamosyregresamos.

a) ¿Quésignificadotienenlosnúmerossituadosenelejedeabscisas?¿Yenelejede ordenadas?

b) ¿Aquéhorasalimos?

c) ¿Cuántoskilómetroshaydesdeelcomienzodelaprimeracuestahastalacima?

d) ¿Cuántotiempotardamosensubirla?¿Yenbajarla?

e) ¿Cuántotiempoestamosenelparque?

f) ¿Cómoeselcaminoderegreso?

g) ¿Enquétramocrecelafunción?¿Dóndedecrece?

h) ¿Esunafuncióncontinua?

80. ●● Lasiguientegráficamuestralavariacióndelavelocidaddeunatletaenunacarrerade 1500 m.

a) ¿Cuáleslavariableindependiente?¿Porqué? b) ¿Cuáleslavariabledependiente?¿Porqué? c) ¿Enquémomentosdelacarrerasuvelocidad

esde6m/s? d) ¿Cuándocrecelavelocidad? e) ¿Ycuándodecrece? f) ¿Enquémomentossemantieneconstante

lavelocidad?

Y

8 10 12 14 16 18

60

50

40

30

20

10

Tiempo(h)

Dis

tan

cia

(km

)

Parque

X

Año 02 03 04 05 06 07 08 09 10

Tigres 900 870 800 810 805 750 700 720 750

Y

Vel

oci

dad

(m

/s)

Distancia(m)

X

100 500 1000 1500

87654321

213

294758 _ 0198-0213.indd 213 13/06/12 11:37

La Pax AugustaEl día se mostraba luminoso, como queriendo sumarse a la celebración de la victoria en la última batalla. Hacía diez años que las guerras civiles habían terminado, olvidadas ya ante una prosperidad que parecía no tener fin.

El mismo César Augusto hablaría ante el Senado. Corrillos de senadores esperaban su llegada elucubrando sobre el carácter de su discurso.

Por fin llegó Augusto y, después de saludar a los senadores, comenzó su discurso:

–Senadores del pueblo de Roma, hace ya diez años que vivimos en paz... Todos deseamos que la situación se mantenga y para ello es preciso obrar con justicia.

Tras una breve pausa, Augusto continuó:

–Necesitamos un nuevo censo de la población y de los bienes de todos los habitantes del imperio, porque conociendo esto podremos imponer los impuestos y tributos de manera justa, evitando los engaños y abusos que podrían llevarnos otra vez a una situación de guerra.

El emperador, recogiendo el manto sobre su brazo, se mostró complacido al ver el entusiasmo que su idea produjo en los senadores.

Estadística141.CésarAugustoes

consideradoelmásimportanteemperadorromano.Buscainformaciónsobresu viday la épocaen laquevivió.

2.Investigasobreel primercensoque CésarAugustomandórealizar.

3.¿Quéaportacionesa lasmatemáticasse puedenatribuira la civilizaciónromana?


294758 _ 0214-0229.indd 214 13/06/12 11:40


• Diferenciarlostiposdevariablesestadísticas.

• Realizartablasdefrecuencias.

• Interpretary representardatosmediantegráficos.

• Calcularlamedia,lamedianaylamodadeun conjuntodedatos.

PLAN DE TRABAJO


Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por:

• Eje de abscisas, X, que es la recta horizontal.

• Eje de ordenadas, Y, que es la recta vertical.

• Origen de coordenadas, O, que es el punto de corte con los ejes.

Representación de puntos

Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto.

SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS

P (x, y) indica las coordenadas del punto

P en el plano.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Determina las coordenadas de estos puntos.

Y

XO

1

1

2 Representa los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.

a) (3,-4) d) (-1,-2)b) (-4,2) e) (2,4)c) (0,-3) f) (-4,0)

Y

XO

P(x, y)

Eje de ordenadas

Eje de abscisas

F

F

Y

X

B(-2, 3)

F(-4, 0)

C (-2, -3)

D(2, -3)

G(0, -4)

E(0, 4)

A(2, 3)

H(4, 0)1

1O

215

294758 _ 0214-0229.indd 215 18/06/12 11:58

Estadística

Variables estadísticas

Al realizar un estudio estadístico, una variable estadística es cualquier cualidad que estudiamos.

Según sus valores, las variables estadísticas pueden ser:• Cualitativas: si los valores no son números, sino cualidades.• Cuantitativas: si los valores son números. Se clasifican en:

Discretas: si en cada tramo la variable solo puede tomar un número determinado de valores, o continuas: si en cada tramo la variable puede tomar infinitos valores.

EJEMPLO

2 Clasifica estas variables estadísticas.

a) Género literario " Cualitativab) Estatura " Cuantitativacontinuac) Páginas de un libro " Cuantitativadiscreta

1En un estudio estadístico,

tras la recogida y ordenación de datos, estos se

representan, analizan e interpretan para obtener

conclusiones.

Recuento de datos

En un estudio estadístico, después de recoger los datos, se ordenan en orden creciente y se anota el número de veces que aparece cada uno.

EJEMPLO

3 Realiza el recuento de la edad que tienen los 30 chicos que asisten a un campamento.

F

Edad de los chicos

15 14 17 17 16 15 16 15 14 16

16 17 14 15 14 16 14 16 17 15

16 16 14 17 16 15 16 15 16 16

14

15

16

17

//// /

//// //

//// //// //

////

6

7

12

5

Recuento

2

2 Escribe tres variables cualitativas, tres cuantitativas continuas y otras tres cuantitativas discretas.

4 Realiza un recuento de estas edades:

13 12 17 11 19 15 13 14 15 16 17 18 1417 14 15 17 13 16 18 19 17 15 15 16


1 Decide si estas variables son cualitativas o cuantitativas. En el caso de las cuantitativas, si son discretas o continuas:

a) Pesodeunapersona.b) Colorfavorito.c) Ciudaddondevive.

216

294758 _ 0214-0229.indd 216 13/06/12 11:40

Tablas de frecuencias

3.1 Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

• La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite. Se representa por fi.

• La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Se representa por hi.

Los datos y las frecuencias se pueden organizar en una tabla de frecuen-cias, colocando los datos en la primera columna y las frecuencias en las siguientes.

• La suma de las frecuencias absolutas de un conjunto de datos esta-dísticos es el número total de datos.

• La suma de las frecuencias relativas de un conjunto de datos esta-dísticos es igual a la unidad.


Cómo se interpreta una tabla numérica

A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición.

Factor Factor Producto

1 5 1?5=5

2 5 2?5=10

3 5 3?5=15

EJEMPLO

5 Calcula las frecuencias obtenidas a partir del recuento.

14

15

16

17

xi

6

7

12

5

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

,306

0 2=

,307

0 23=

,3012

0 4=

,305

0 17=

130

F

14

15

16

17

//// /

//// //

//// //// //

////

6

7

12

5

Recuento

3

SE ESCRIBE ASÍ

• fieslafrecuenciaabsolutadelvalorxi.

• hieslafrecuenciarelativadelvalorxi.

9 Anota el color de los ojos de tus compañeros, y realiza una tabla de frecuencias.


2 Forma una tabla de frecuencias con:

1 6 2 3 3 4 5 2 1 3 3 4 6 2 1

Para expresar una fracción como número decimal se divide el numerador entre el

denominador.6

30 —> 6 : 30 = 0,2

217

294758 _ 0214-0229.indd 217 13/06/12 11:40

Gráficos estadísticos

Además de las tablas de frecuencias, otra forma de organizar los datos son las representaciones gráficas. Los gráficos estadísticos nos permiten captar de inmediato las características más relevantes de un estudio estadístico.

4.1 Diagrama de barras

Se utiliza cuando queremos representar frecuencias de variables que tomen pocos valores.

• En el eje horizontal representamos cada uno de los valores de la variable estadística.

• En el eje vertical, las frecuencias.

La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra, teniendo en cuenta que las alturas de las barras son proporcionales a las correspondientes frecuencias.

4

7 La tabla muestra los valores recogidos al preguntar a 40 alumnos sobre el tipo de novela favorita. Representa la información obtenida mediante un diagrama de barras.

EJEMPLO

Novela favorita

Aventuras

Histórica

Cienciaficción

Romántica

Frecuencia fi

12

8

14

6

fi

14

12

10

8

6

4

2

Aventuras Histórica RománticaCienciaficción

El diagrama de barras se utiliza para variables cualitativas

y cuantitativas discretas.

16 Este gráfico representa el número de veces que utiliza el transporte público en una semana un grupo de personas.

a) ¿Quétipodevariableestamosestudiando?b) Realizaelrecuentocorrespondiente.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER14 Realiza un diagrama de barras con el número

de hermanos que hay en 100 familias de una ciudad.

15 El color de pelo de 30 personas es:

M = moreno R = rubio P = pelirrojo

Construye la tabla de frecuencias y organiza los datos en un diagrama de barras.

N.º de hermanos

N.º de familias

0

10

1

25

2

33

3

14

4

18

fi

9

7

5

3

1

1 2 3 4 5N.º de personas

M R P M M M M R R P P M M M MM M P R R R P M M M M R M M M

218

294758 _ 0214-0229.indd 218 13/06/12 11:40

19 Este pictograma muestra los libros que toma prestados de una biblioteca Miguel durante cuatro meses.

a) Construyelatabladefrecuencias.b) ¿Quémestomóprestadosmáslibros?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER17 La tabla muestra el número de árboles

plantados en los últimos años en el parque de una ciudad.

Año 2007 2008 2009 2010

N.º de árboles 25 15 20 30

Representa los datos mediante un diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondiente.

18 Recoge datos sobre el número de veces que utilizan el móvil tus compañeros en un día, y represéntalo mediante un pictograma.

4.2 Polígono de frecuencias

Cuando la variable estadística es cuantitativa, los extremos superiores de las barras se pueden unir mediante líneas, obteniendo una línea poligonal que se llama polígono de frecuencias.

EJEMPLO

8 Representa estos datos en un diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondiente.

Edad Frecuencia fi

14 6

15 7

16 12

17 5

4.3 Pictograma

A veces, en lugar de barras se suelen utilizar dibujos representativos de la variable que se va a estudiar, y cuyo tamaño es proporcional a la frecuen-cia. Estos gráficos se llaman pictogramas.

EJEMPLO

9 Este pictograma muestra la cantidad de hectáreas dedicadas al cultivo de trigo en un país durante los últimos años. Construye la tabla de frecuencias correspondiente.

Año Cantidad de trigo (ha)

2007 6000

2008 9000

2009 8000

2010 12000

fi

Edad

12

6

14 15 16 17

fi

12000

6000

2007 2008 2009 2010

6000

90008000

12000

fi

Enero Febrero Marzo Abril

32

45

El polígono de frecuencias se utiliza

para variables cuantitativas.

219

294758 _ 0214-0229.indd 219 13/06/12 11:40

4.4 Diagrama de sectores


Qué es un sector circular

Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.

El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.

• Los datos se representan en un círculo, dividido en sectores. Cada sector representa un valor de la variable.

• La amplitud de un sector, su ángulo, es proporcional a la frecuencia:

Ángulo del sector circular ° °? ?N

fh360 360

i

i= =


Cómo se calculan porcentajes

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100.

t%deC= ?t C

100 " 20%de 300= ?

?

10020

300100

20 300= =60

EJEMPLO

10 Completa la tabla y realiza un diagrama de sectores.

Novela favorita Aventuras Histórica C.ficción Romántica

Frecuencia fi 12 8 14 6

Completamoslatablaconhi,elporcentajeylaamplituddecadasector.

Novela favorita fi hi % Ángulo (°)

Aventuras 12 0,3 30% 0,3?360°=108°

Histórica 8 0,2 20% 0,2?360°=72°

Cienciaficción 14 0,35 35% 0,35?360°=126°

Romántica 6 0,15 15% 0,15?360°=54°

N=40

Cienciaficción

Romántica

Aventuras

Histórica126°

54°

72°

108°

35%

15%

20%

30%

En los diagramas de sectores, además

del valor de la variable, se suele escribir el tanto

por ciento que representa.

21 Dibuja un diagrama de sectores.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER20 Haz un diagrama de sectores con estos datos:

Tipo de residuo

Cantidad (t)

Papel

100

Envase

150

Orgánico

250

Deporte favorito

N.º de personas

Fútbol

120

Baloncesto

80

Tenis

50

220

294758 _ 0214-0229.indd 220 13/06/12 11:40

Medidas de centralización

Una vez organizados los datos de un estudio estadístico, vamos a calcular una serie de valores que nos ayudarán a interpretarlos: las medidas de centralización.

5.1 Media aritmética

5

x1, x2, x3… son los datos del estudio, y f1, f2, f3… son sus

respectivas frecuencias absolutas.

Esta medida solo se puede calcular en variables cuantitativas, es única y puede no coincidir con ninguno de los datos.

Cálculo de la media aritmética

Podemos usar dos métodos para calcular la media aritmética:• Se divide la suma de todos los datos entre el número total de ellos.• Si los datos vienen en una tabla con sus frecuencias absolutas, se

multiplica cada dato por su frecuencia, se suman todos los pro-ductos y se divide entre el número total de ellos.

…? ? ? ?x

N

f x f x f x f xn n1 1 2 2 3 3=

+ + + +

La media aritmética de un conjunto de datos, x, es el cociente que re-sulta al dividir la suma de los datos entre el número total de ellos.

11 Un grupo de 6 amigos recibe estas cantidades de asignación semanal para sus gastos: 12, 14, 18, 13, 17 y 16 €, respectivamente. Calcula la media.

612 14 18 13 17 16

15x=+ + + + +

=

Conestedatopodemosdeducirquelapaga«normal»paraunadolescentepertenecienteaesegrupodeamigosesde15€.

1 Calcula la media de estos datos teniendo en cuenta su frecuencia:

2343265254

Multiplicamoscadadatoporsufrecuenciaydividimosporelnúmerototaldedatos:

,? ? ? ?

x10

3 2 2 3 2 4 2 5 63 6=

+ + + +=

EJEMPLOS

Datos Frecuencias

x1

x2

x3

…

xn

f1

f2

f3

…

fn

24 En la tabla aparece el número de ordenadores que tienen los trabajadores de una empresa.

Copia y completa la tabla, y halla la media.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER23 La nota de la evaluación es la media de

los cinco exámenes realizados en el trimestre:

4 5 8 7 7

Construye la tabla de frecuencias.

¿Cuál es la nota media de la evaluación?

xi

0

1

2

3

2

25

65

8

fi

221

294758 _ 0214-0229.indd 221 13/06/12 11:40

5.2 Mediana

Esta medida solo se puede calcular en variables cuantitativas, es única y puede no coincidir con ninguno de los datos.

Cálculo de la mediana

Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor.

• Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa el lugar central.

• Si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética de los dos datos centrales.

La mediana de un conjunto de datos, Me, es el valor central de ellos, es decir, hay tantos datos mayores que él como menores.

Para calcular la mediana, lo primero

que hacemos es ordenar los datos de menor

a mayor.

12 Calcula la mediana de estos conjuntos de datos.a) 3, 6, 7, 2, 0, 3, 4b) 3, 6, 7, 2, 0, 2, 4, 5

Loprimeroquehacemosesordenarlosdatos,comprobarsisunúmeroesparoimpary,después,calcularlamediana.

a) 0,2,3,3,4,6,7" N=7,elnúmerodedatosesimpar.0 2 3 3 4 6 7

Me=3,porquetienetantosdatosmenorescomomayoresqueél.

b) 0,2,2,3,4,5,6,7" N=8,elnúmerodedatosespar.0 2 2 3 4 5 6 7

Meeslamediade3y4,quesonlosdatoscentrales:

23 4

3,5Me=+

=

EJEMPLO

3datos 3datos

3datos 3datos

28 Los datos sobre los libros leídos por un grupo de personas en el último año se representan en este diagrama de barras:

¿Cuál es la mediana? ¿Y la media?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER26 Las edades, en años, de un grupo de 8 amigas

son: 16 15 17 15 17 14 15 16

Calcula la media de edad y la mediana.

27 Las temperaturas diarias, en °C, obtenidas en una ciudad, durante un mes son:

18 19 22 16 21 20 19 18 17 2221 23 25 19 20 19 22 21 20 2423 21 19 14 23 19 18 19 20 21

Compara la temperatura media y la mediana del mes.

fi

6

5

4

3

2

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

222

294758 _ 0214-0229.indd 222 13/06/12 11:40

5.3 Moda

Esta medida se puede calcular en cualquier tipo de variable y, además, coin ci de siempre con alguno de los datos del estudio y puede no ser única.

Cálculo de la moda

• En un conjunto de datos estadísticos, es el valor que tiene mayor frecuen cia. Si en el conjunto de datos aparecen dos o más valores con frecuencia máxima, decimos que la serie es bimodal (dos modas) o multimodal (varias modas).

• En un diagrama de barras, es el dato correspondiente a la barra de mayor altura.

• En un diagrama de sectores, es el dato correspondiente al sector de mayor amplitud.

La moda es la única medida de centralización

que se puede calcular para variables cualitativas.

13 Estos son los datos relativos al estudio de la estatura, en cm, de 24 estudiantes. ¿Cuál es la moda?

Eldatoquemásserepite(fi=7)es160.

Mo=160cm

EJEMPLO

Dato xi

Frecuencia absoluta fi

160

162

164

166

168

170

172

7

4

4

1

4

3

1

N=24

La moda de un conjunto de datos, Mo, es el dato o modalidad que más se repite, o el que tiene mayor frecuencia.

31 El siguiente diagrama de sectores muestra el número de televisores que hay en cada una de las 100 viviendas de una urbanización.

Calcula las medidas de centralización.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER29 Halla la moda de los datos que se presentan

en esta tabla de frecuencias:

30 Se ha lanzado 18 veces un dado de parchís, obteniéndose estos resultados:

1 4 5 5 6 23 4 4 5 6 33 5 2 1 5 4

Representa gráficamente los datos y calcula la moda.

xi

fi

1

2

2

1

3

5

4

4

5

2

6

1

7

2

8

2

9

1

10

12 %

8 %

65 %

25 %0televisores

1televisor

2televisores

3televisores

223

294758 _ 0214-0229.indd 223 13/06/12 11:40


Lo esencial

Estadística

• Variablescualitativas: Sexo,colordeojos…

• Variablescuantitativasdiscretas: N.ºdehermanos,n.ºdepartidosqueganan…

• Variablescuantitativascontinuas: Estatura,peso…

Medidas estadísticas

Media aritmética

,x8

445 5= =

Mediana

25 6

5,5Me=+

=

ModaMo=4y7

Datos

3

4

5

6

7

8

fi

1

2

1

1

2

1


1. CONSTRUIR TABLAS DE FRECUENCIAS

Realiza una tabla de frecuencias para organizar el número de mensajes enviados por móvil en un día:6 10 3 2 8 2 6 10 6 8 3 10 8 2 6 8

PRIMERO.Colocamos,enlaprimeracolumna,losposiblesvaloresdelavariable:2,3,6,8y10.

SEGUNDO.Contamoselnúmerodevecesqueaparececadadatoparacalcularlasfrecuenciasabsolutas,ycompletamoslasegundacolumnadelatabla.2" /// 3" // 6" //// 8" //// 10" ///

TERCERO.Dividimoslasfrecuenciasabsolutasentreel númerototaldedatos,parahallarlasfrecuenciasrelativas,yloanotamosenotracolumna.

N.º de mensajes

fi hi

2

3

6

8

10

Total

3

2

4

4

3

16

Fi

3

5

9

13

16

0,1875

0,125

0,25

0,25

0,1875

1

2. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE BARRAS

La tabla muestra la edad de los asistentes a una exposición el día de su inauguración. Representa estos datos en un diagrama de barras.

PRIMERO.Dibujamosunosejesdecoordenadas,poniendoenelejedeabscisaslosvaloresomodalidadesdelavariable,yenelejedeordenadas,lasfrecuencias.

SEGUNDO.Sobrecadavalorlevantamosunacolumnaconalturaigualalafrecuencia.Silavariableescuantitativa,podemosunirlosextremossuperioresde las barras,yobtenemoselpolígonodefrecuencias.

Edad xi

Frecuencia fi

10

20

15

40

20

30

25

60

30

10

35

50

40

50

45

40

50

30

fi

60

50

40

30

20

10

10 15 20 25 30 35 40 45 50Edad

224

294758 _ 0214-0229.indd 224 13/06/12 11:40


1. Seharealizadounestudiosobreelconsumode energíaeléctricaenlasviviendasdeuna ciudad.Indicacuáleslavariableestadísticaendichoestudio.

2. Ponejemplosdedosvariablescualitativas,dos cuantitativasdiscretasyotrasdoscuantitativascontinuas.

Construir tablas de frecuencias

3. ¿Cuáleslafrecuenciarelativade2?

2 3 1 0 2 4 2 2 3 13 3 2 1 1 1 2 3 2 4

Construir diagramas de barras y de sectores

4. Eldiagramadebarrasdelosdatosanteriores es:

a) b)

5. Representamedianteundiagramadesectoreslosdatosdelejercicio1.

Calcular las medidas de centralización

6. Conlosdatosdelejercicio1,eligelarespuestafalsa.

a) xx=2,1 b)Me=1 c)Mo=2

Y AHORA… PRACTICA

3. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE SECTORES

Representa, en un diagrama de sectores, los datos relativos a las opiniones sobre las instalaciones deportivas de un centro de enseñanza.

PRIMERO.Calculamoslaamplituddelsectordecadavalordelavariablemultiplicandosufrecuenciarelativapor360°.

SEGUNDO.Dibujamosenuncírculoesossectores,yponemoscadavalordelavariableensulugarcorrespondiente.

4. CALCULAR LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Halla las medidas de centralización de estos datos estadísticos:

PRIMERO.Completamoslatablaconunanuevacolumna:elproductodecadavalorporsufrecuencia.Además,añadimosunafilaconlassumasdelosdatosdelascolumnasparafacilitarelcálculodelamedia.

SEGUNDO.Hallamoslasmedidas.

• Lamediaes: ,x100181

1 81= = • Eldatoconmayorfrecuenciaes2" Mo=2

• Hay100datos(par),luegolamedianaserálamediadelosdatos50y51,despuésdeordenarlos. 27veces 65veces 8veces 644474448 644474448 644474448

1,1,…,1, 2,2,…,2, 3,3,…,3"2

2 22Me=

+=

Valoración hi Grados (°)

Muybuenas

Buenas

Regulares

Malas

Muymalas

0,26

0,24

0,28

0,18

0,04

0,26?360°=93,6°

0,24?360°=86,4°

0,28?360°=100,8°

0,18?360°=64,8°

0,04?360°=14,4°

Muybuenas

Muy malas

Malas

Regulares

Buenas

x i f i

1

2

3

27

65

8

x i f i f i ? x i

1

2

3

Total

27

65

8

100

27

130

24

181

1 1

225

294758 _ 0214-0229.indd 225 13/06/12 11:40

ActividadesVARIABLES ESTADÍSTICAS

34. ● Clasifica en variables cualitativas y cuantitativas cada una de estas características referidas a la población.

a) Medidadelpie.b) Lugardenacimiento.c) Profesión.d) Deportequesepractica.e) Númerodedíasdevacacionesalaño.f) Comidapreferida.g) Tiempodedicadoalsueñodiario.

Decide si las variables cuantitativas son discretas o continuas.

TABLAS DE FRECUENCIAS

35. ● Una variable estadística toma los siguientes valores:

2 3 1 2 2 24 3 4 5 2 1

a) Realizaunrecuento.b) Calculalasfrecuenciasabsolutas.c) Hallalasfrecuenciasrelativas.d) Organizalosdatosenunatabladefrecuencias.

36. ● Construye una tabla de frecuencias, incluyendo frecuencias absolutas, relativas y acumuladas a partir de estos datos.

a) Dato 1 3 4 6 10

Frecuencia absoluta 2 4 3 1 5

b) Dato 0 3 6 9 12

Frecuencia absoluta 3 2 13 2 5

c) Dato 1 2 3 4

Frecuencia absoluta 4 3 6 7

38. ● La estatura, en cm, de los 24 alumnos de una clase es:

147 148 149 149 150 150 151 151152 153 153 154 156 157 157 158158 158 159 159 160 160 160 161

a) Realizaelrecuentodedatos.b) Construyeunatabladefrecuenciasincluyendo

elporcentajedecadadato.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CONSTRUYE UNA TABLA DE FRECUENCIAS SI LA VARIABLE ES CUALITATIVA?

3. Se pregunta a 30 alumnos sobre su deporte favorito, fútbol (F), baloncesto (B) o atletismo (A), y se obtienen estos resultados:

F F F B B B A B B AF F B B A B B F F AA A A A A B B A F B

Realiza el recuento y construye la tabla de frecuencias.

PRIMERO.Seescribecadamodalidadyseanotael númerodevecesqueaparececadaunadeellaspara realizarelrecuento.

Fútbol //// ///

Baloncesto //// //// //

Atletismo //// ////

SEGUNDO.Seconstruyelatabladefrecuenciasindicandoenlaprimeracolumnalosdatosy en la siguientelasfrecuenciasabsolutas.

Dato fiLasfrecuenciasabsolutascoincidenconlosdatosobtenidosenelrecuento.Fútbol 8

Baloncesto 12

Atletismo 10

TERCERO.Secompletalatablaañadiendolas frecuenciasrelativas,dividiendolasfrecuenciasabsolutasporelnúmerototaldedatos.

Dato fi hi

Fútbol 8 0,27308

=

Baloncesto 12 ,30

012

4=

Atletismo 10 0,333010

=

30 1

4. ● Después de lanzar 20 veces una moneda, los resultados (C = cara, + = cruz) han sido:

C C C + C + + + C C+ + + + C C + C C C


226

294758 _ 0214-0229.indd 226 13/06/12 11:40

5. ● Lanza una moneda 24 veces y anota los resultados. Después, haz un recuento y construye la tabla de frecuencias. ¿Cuál es la variable que estás estudiando?

37. ●● Las notas obtenidas en un examen por los alumnos de una clase han sido:

5 4 3 6 8 5 4 9 6 7 8 104 3 2 5 5 6 7 9 6 8 6 5

a) Realizaunatabladefrecuenciasconlasnotas.b) Construyeotratabladefrecuenciasagrupando

losdatoseninsuficiente(1,2,3,4),suficiente (5),bien(6),notable(7,8)ysobresaliente(9,10).

39. ●● Copia y completa esta tabla de frecuencias:

DatoFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativa

2 0,25

3 7

7 0,125

20 13

32

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

40. ● La estatura, en cm, de un grupo de jóvenes es:

158 158 158 158 159 159 160 162158 158 158 158 159 159 160 162158 158 158 158 159 159 160 162158 158 158 158 159 159 160 162158 158 158 158 159 159 160 162158 158 158 158 159 159 160 162

a) Construyeunatabladefrecuencias,incluyendolasfrecuenciasacumuladas.

b) Dibujaeldiagramadebarrasyelpolígonodefrecuenciascorrespondiente.

41. ● Los resultados de lanzar 50 veces un dado son:

1 3 2 5 3 2 1 6 4 33 2 2 5 6 6 1 3 2 12 4 3 1 2 4 3 1 5 56 2 1 2 6 5 4 4 4 23 6 6 2 1 5 3 4 1 5

a) Construyelatabladefrecuencias.b) Representaeldiagramadebarrasyelpolígono

defrecuenciasabsolutas.c) Representaeldiagramadesectorescon

los porcentajesdecadadato.

42. ●● Observa este polígono de frecuencias:fi

654321

1 2 3 4 5

Indica, razonadamente, cuáles de las afirmaciones son ciertas.

a) Lafrecuenciaabsolutade5es0,3.b) Lafrecuenciaabsolutaacumuladade4es4.c) Lafrecuenciarelativade5es2.d) Elporcentajede4es20%.

43. ●● Construye la tabla de frecuencias a partir del siguiente polígono de frecuencias:

fi

7654321

5 10 15 20 25 30

44. ● Dibuja el diagrama de sectores correspondiente a cada tabla.

a) X=N.ºdehermanos

xi 2 3 4 5 6 8

fi 8 5 3 2 1 2

b)X=Colordelpelo

xi Moreno Castaño Rubio Pelirrojo

fi 6 18 10 1

45. ●● En una población de 100 000 habitantes se realiza una encuesta sobre la opinión que se tiene de la construcción de un aparcamiento:

Valoración N.º de personas

Muybuena 650

Buena 740

Regular 100

Mala 250

Muymala 260

Realiza el gráfico estadístico que creas más adecuado para esta información e interprétalo.

227

294758 _ 0214-0229.indd 227 13/06/12 11:40

46. ●● En el diagrama de barras aparece representada la estatura de un grupo de personas.

fi

1140 150 160 170 180

3

8

15

10

7

Estatura (cm)

Razona qué afirmación es cierta:• 30personasmidenmásde160cm.• 26personasmidenentre140y160cm.• 35personasmidenmenosde180cm.• 3personasmidenmásde130cm.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CONSTRUYE UNA TABLA DE FRECUENCIAS A PARTIR DE UN GRÁFICO?

6. El gráfico muestra el número de veces que utiliza el transporte público un grupo de personas en una semana.

fi

7

5

3

1

N.º de personas1

1

2

4

3

5

4

8

5

2


PRIMERO.Sedeterminanlosvaloresdelavariablesabiendoqueestárepresentadaenelejehorizontal.

N.º de personas 1 2 3 4 5

SEGUNDO.Secompletalatablateniendoencuentaqueenelejeverticalsehanrepresentadolas frecuencias.

N.º de personas 1 2 3 4 5

Frecuencias 1 4 5 8 2

47. ●● Construye la tabla de frecuencias a partir del siguiente diagrama de barras:

fi

1

1 2 3 4 5

3

5

10

7

5

48. ●● Este es el diagrama de sectores correspondiente a las notas de 40 alumnos.

22°50°

36°

144°

108°

Bien Suficiente

Sobresaliente

Suspenso

Notable

a) Construyelatabladefrecuenciascorrespondiente.

b) Calculalosporcentajesdecadacalificación.c) ¿Cuántosalumnoshanaprobadolaasignatura?

49. ●● Observa el siguiente diagrama de sectores, en el que se representan los resultados de una encuesta realizada a 5 000 personas sobre la calidad del agua de su localidad:

36% 30%

19%5%

10%

Mala Regular

MuymalaMuybuena Buena

a) Construyeunatablaconlasfrecuenciasabsolutasyrelativasdecadaopinión.Incluyetambiénlasfrecuenciasacumuladas.

b) ¿Cuántaspersonasconsideranqueelaguaesmuymala?

c) ¿Cuántaspersonascreenqueelaguaesmalao regular?

d) ¿Ycuántascreenqueesbuenaomuybuena?

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

50. ● Calcula la media de los siguientes conjuntos de datos.

a) 1,1,2,1,3,2,1,2,2,1,1,3,1,1,2b) 2,3,2,4,5,6,5,6,6,5

51. ● Determina la media, la mediana y la moda de estos datos.

a) 11,11,12,11,13,12,11,12,12,11,11b) 20,23,27,24,25,26,25,26,26,25c) 5,10,5,10,15,10,5,10,15,20,10d) 1,2,3,1,2,1,2,3,1,1,1,2,1,1,2,2,2,2

228

294758 _ 0214-0229.indd 228 13/06/12 11:41

52. ●● El año pasado las entradas a un país de turistas procedentes del extranjero, expresadas en miles, fueron:

Enero 3002 Julio 9060

Febrero 2920 Agosto 10401

Marzo 3523 Septiembre 6506

Abril 4223 Octubre 4778

Mayo 5041 Noviembre 3126

Junio 5064 Diciembre 3782

¿Cuál fue la media de visitantes? ¿Y la mediana?

53. ●● En el siguiente diagrama de barras se muestran los metros cuadrados de la vivienda habitual de un grupo de familias.

fi

170

Superficie (m2)75 80 85 90

810

1512

5

a) ¿Acuántasfamiliassehaencuestado?b) ¿Cuántasvivenenunacasademásde80m2?c) ¿Cuáleslasuperficiemediadelasviviendas?d) ¿Cuáleslamedianadelosdatos

representados?¿Ylamoda?

54. ●● El número de restaurantes en 20 ciudades es:

60 50 50 61 51 64 62 65 53 6870 70 71 56 60 58 60 59 69 54

a) ¿Quéporcentajedeciudadestienenmásde60restaurantes?

b) Calculalamedia,lamedianaylamodade los restaurantes.

55. ●● Las edades de los padres de 20 alumnos de 2.º ESO de un instituto son:

43 40 44 46 50 51 52 46 47 4540 43 44 46 44 46 48 49 48 46

a) Construyeunatabladefrecuencias.

PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA

56. ●● Un frutero tiene sacos de cebollas de 2 kg, 5 kg y 10 kg. Durante un día ha vendido 10 sacos de 2 kg, 5 sacos de 5 kg y 2 sacos de 10 kg.

a) ¿Cuáleselnúmeromediodekilogramosdecebollasquehavendido?

b) ¿Quésacodecebollashasidoelmásvendido?

57. ●● Las edades, en años, de los 10 primeros visitantes a una exposición son las siguientes:

22 30 34 22 18 10 41 22 21 20

a) Calculalamediadelasedadesdelos10primerosvisitantes.

b) ¿Quéedadserepiteconmayorfrecuencia?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA E INTERPRETA LA MODA?

58. Calcula la moda de las notas obtenidasen un examen por nueve estudiantes:

7 8 4 3 4 5 7 9 6

PRIMERO.Seorganizanlosdatosenunatabladefrecuencias.

SEGUNDO.Seestudialacolumnadelasfrecuenciasobtenidasyseeligeelnúmeroolosnúmerosmayores.Enestecaso,esel2.Haydosmodas,quesonlasnotas4y7.

TERCERO.Seinterpretanlosresultados.Lomásfrecuenteenestegrupoesencontraralumnosquehanobtenidoun4oun7.

59. ●● En el servicio de urgencias de un hospital han ingresado a 26 pacientes de estas edades:

87 14 52 65 74 43 28 9 12 17 25 93 4231 18 10 21 28 49 53 64 75 34 41 18 3

URGENCIAS

a) ¿Cuáleslaedadmediadelospacientes?b) ¿Cuáleslamediana?¿Ylamoda?

Nota

3

4

5

6

7

8

9

fi

1

2

1

1

2

1

1

229

294758 _ 0214-0229.indd 229 13/06/12 11:41

230

Y ahora... practica (Soluciones)UNIDAD 1

1. a) 74 b) Nosepuede. c) 72

1. a) 35 b)-8

3. a) 625 c) 125

b) 625 d)-125

4. a) 38

5. 12

6. a) 23?11 d) 2?7?11

b) 22?3?7 e) 7?13

c) 25 f) 22?32?7

7. a) m.c.d.(8,20,42)=2

m.c.m.(8,20,42)=23?3?7?5=840

b) m.c.d.(18,20,42)=3

m.c.m.(18,20,42)=25?32?5=1440

UNIDAD 2

1.57

esunafraccióny,

8

3 4noloes.

1. 3?7!5?4.Nosonequivalentes.

3. y343125

97

97

-

4.25

5. Respuestaabierta.Porejemplo:

0

92

184

4510

246

4812

2406

= = = =

6.60187

7.282

141

=

8.1015

23

=

9. 9

UNIDAD 3

1. Decimalexacto:b)yf)

Periódicopuro:d)

Periódicomixto:a)yc)

Decimalnoexactoynoperiódico:e)

1. 2<2,003<2,03<2,32. 18,8823. a) 23,8102 b) 2381,02 c) 219,734. a) 2,059 b) 2,059 c) 35,643

UNIDAD 4

1. a) 37° b) 61200s

1. 360"=6' 24h=86400s

2. 146440"3. 1h0min20s

2. 1°21'2"

4. 61°11'5"5. 2°57'50"

UNIDAD 5

1. Respuestaabierta.Porejemplo:

Monomios:2x2;3ab

Polinomios:3x2-1;2ab-b

2. a) x6+14x4+49x2

b) x4-8x5+16x6

c) 4x4-x2

1. P(-1)=0

3. a) 7x4+5x2-3x-6

b) 3x5+x4-8x2+10x-1

c) 3x5-x4+3x3-x2+1

4. a) 7x4-2x3+5x2+3x+8

b) 3x5-x3-6x2+12x+6

c) 5x4+14x-11

2. -9x6+21x5-6x3+15x2

7. a) 3xy?(3x2-4xy-6y2) b) 3xy2?(-1+6x+9x3y)

3. a) 4x2-28x+49 b) 49x-16

UNIDAD 6

1. Primermiembro:-2x2y+5xy Segundomiembro:10 Términos:-2x2y,5xy,10

2. Respuestaabierta.Porejemplo: • Deprimergrado:3x+5=2x • De2.ºgradocompleta:2x2-3x+7=0 • De2.ºgradoincompleta(b=0):5x2-7=0 • De2.ºgradoincompleta(c=0):2x2-3x=0

1. a) x=5 b) x=1 c) x=-16 d) x=0

4. x=10,x=-105. x=6,x=-2

6. x=0,x21

=

7. a) x1yx2sonsolución. b) x1essoluciónyx2noessolución.8. Losnúmerosson5,6y7.

UNIDAD 7

1. a) xey b) Coeficientesdex:2,-1 Coeficientesdey:1,2 Términosindependientes:10,5

1. a) xey

b) Coeficientesdex:1,1 Coeficientesdey:1,-1 Términosindependientes:7,1

2. Respuestaabierta,porejemplo:

3 53 8

x yx y2

==

-+

3

3. x=4,y=34. 12-x=2x

2. x=4,y=3

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231

UNIDAD 8

1. a) A 1 3 2 -5 10 -3 15

B 5 15 10 -25 50 -15 75

Sonmagnitudesdirectamenteproporcionales.

b) A 1 4 40 160 2 10 5

B 160 40 4 1 80 16 32

Sonmagnitudesinversamenteproporcionales.

2. 56,25kilogramosdealmendras

3. 9horas

4. 64vacas

5. 20días

6. 80%

7. 15,75€

UNIDAD 9

1. BC=4,5cm OA'=0,67cm2. x=3cm3. x=5cm4. Sí,doscuadradossonsiempresemejantes.5. 4,5cm6. 1:12000007. 350km

UNIDAD 10

1. 26cm

1. 7,5cm2

2. 50,24cm2

3. 20cm4. 4,24cm

2. 4cm

7. 24cm2

3. 30,92cm2

9. 3,44cm2

UNIDAD 11

1. Tetraedro:4+4=6+2 Cubo:6+8=12+2 Secumpleparalosdos.

2. 24cm

3.r

4. 0,87cm5. AL=63,50cm2 AT=105,07cm2

6. AL=25,12cm2 AT=37,68cm2

UNIDAD 12

1. 0,000074m3 74000mm3

2. 2dam3=2000000dm3

420m3=420000dm3

3. Caben25jeringuillas.

4. Volumendelapirámide:16cm3

Volumendelprisma:48cm3

2. Volumendeuncono:84,78cm3

Volumendeuncilindro:254,34cm3

3. 1436,03cm3

UNIDAD 13

1. (-4,5)estáenelsegundocuadrantey(-5,-8),eneltercero.

2. f(-2)=-8

3. Nopertenece.

1.

2,50

1N.ºdekilos

Pre

cio

(€

)

2 3 4 X

Y

2. EjeX:(1,0) EjeY:(0,-4)

UNIDAD 14

1. Lavariableestadísticaeselconsumodeenergíaeléctrica.

2. Respuestaabierta.Porejemplo:• Cualitativa:colordelpelo,comidaparadesayunar.• Cuantitativadiscreta:númerodelibrosenlamochila,número

devecesquesevaalcineenunmes.• Cuantitativacontinua:alturadelosalumnos,litrosdeagua

quesebebenenundía.

3. 0,35207=

4. Eselgráficodelapartadoa).

5.

126°

90°90°

36°18°

0 3

1 4

2

6. Larespuestafalsaeslab),lamedianaes2.

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Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transforma-ción de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

© 2012 by Santillana Educación, S. L.Avda. de los Artesanos, 6 28760 Tres Cantos, MadridPrinted in Spain

ISBN: 978-84-680-0171-5CP: 294758Depósito legal:

Dirección de arte: José Crespo

Proyecto gráfico: Portada: Pep Carrió Interiores: Manuel García

Ilustración: Lincel, Enrique Cordero, Ignacio Galilea, José María Valera

Fotografía de cubierta: Antonio Fernández

Jefa de proyecto: Rosa MarínCoordinación de ilustración: Carlos AguileraJefe de desarrollo de proyecto: Javier TejedaDesarrollo gráfico: Rosa María Barriga, Raúl de Andrés

Dirección técnica: Ángel García Encinar

Coordinación técnica: Alejandro RetanaConfección y montaje: MonoComp, Luis González, Javier Pulido, Marisa Valbuena

Corrección: Marta López, Nuria del PesoDocumentación y selección fotográfica: Nieves Marinas

Fotografías: GOYENECHEA; J. Jaime; M. Blanco; M.ª A. Ferrándiz; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; COMSTOCK; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; PHOTODISC; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA

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mates 2º eso avanza santillana

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