1

Materiały pomocnicze do zajęć pt. „Analiza MES zagadnień sprężysto-plastycznych – program ABAQUS”

Piotr Mika

Maj 2011

2

1. Program ABAQUS – typy analizy W ABAQUS są dostępne dwa rodzaje analizy – liniowa i nieliniowa. Podstawowe różnice pomiędzy tymi analizami opisano poniżej.

1.1. Analiza liniowa Zakłada liniową relację pomiędzy przyłożonym obciążeniem a odpowiedzią układu, np. prze-mieszczeniem. Oznacza to, że obliczenia (agregacja macierzy sztywności i policzenie macierzy odwrotnej) muszą być wykonane tylko raz. Liniowa odpowiedź konstrukcji dla innego przypadku obciążenia może być znaleziona przez pomnożenie wektora obciążeń przez odwróconą macierz sztywności. Ponadto odpowiedź konstrukcji na kombinację obciążeń jest sumą uzyskanych rozwiązań dla prostych przypadków obciążenia z ewentualnym uwzględnieniem mnożników skalujących. Zakłada się tutaj, że warunki brzegowe są takie same dla wszystkich przypadków obciążenia.

Rysunek 1 Analiza liniowa – sztywność jest stała

1.2. Analiza nieliniowa Analiza nieliniowa uwzględnia zmianę sztywności konstrukcji podczas jej deformacji, co charakteryzuje praktycznie wszystkie rzeczywiste konstrukcje. Analiza liniowa jest wygodnym uproszczeniem, które jest nieadekwatne do modelowania takich procesów jak walcowanie, symulacja zderzeń, analiza elementów gumowych (np. opon). Sztywność konstrukcji jest zależna od przemieszczenia, więc początkowa odpowiedź konstrukcji nie może być wykorzystana do określenia odwiedzi konstrukcji dla innego obciążenia.

Rysunek 2 Analiza nieliniowa – sztywność nie jest

stała

Agregacja macierzy sztywności i policzenie macierzy odwrotnej muszą być wykonywane wielokrotnie podczas analizy nieliniowej, czyniąc ją znacznie bardziej złożoną i czasochłonną w porównaniu do obliczeń liniowych. Odpowiedź konstrukcji na kombinację obciążeń nie jest sumą uzyskanych rozwiązań dla prostych przypadków obciążenia i nie jest możliwe znalezienie rozwiązania przez dokonanie superpozycji wyników dla prostych stanów. Każdy przypadek obciążenia musi być zdefiniowany i rozwiązany jako osobne zadanie.

1.1.1. Źródła nieliniowości Wskazuje się na trzy rodzaje nieliniowości:

Nieliniowość materiałową

Nieliniowość brzegową

Nieliniowość geometryczną

3

Zależność pomiędzy naprężeniem a odkształceniem dla materiałów nieliniowych - metali zilustrowano na sąsiednim rysunku (Rysunek 3). Materiały gumopodobne mogą być modelowane przez nieliniową, odwracalną zależność (Rysunek 4). Miarą nieliniowości materiału może być inna wielkość niż odkształcenie. Formą nieliniowości materiałowych są stałe zależne od prędkości odkształceń czy uszkodzenie materiału. Właściwości materiałowe mogą być również zależne od temperatury lub innych predefiniowanych pól. W ABAQUSie znajduje się większość modeli konstytutywnych materiałów inżynierskich, takich jak metale, tworzywa sztuczne, materiały gumowe, pianki, kompozyty, beton sprężony, grunty.

Rysunek 3

Rysunek 4

Nieliniowość brzegowa jest spowodowana zmiennymi w trakcie procesu obciążania warunkami brzegowymi, co ilustruje Rysunek 5. Belka wspornikowa ugina się swobodnie pod wpływem działającej siły do momentu kontaktu z podporą. W zakresie małych przemieszczeń odpowiedź konstrukcji jest liniowa do momentu kontaktu z podporą, później następuje gwałtowna zmiana warunków brzegowych na końcu belki, blokująca dalsze swobodne ugięcie. Od tej chwili obserwujemy nieliniową odpowiedź konstrukcji

Rysunek 5

Trzeci typ nieliniowości wynika ze zmiany kształtu modelu w czasie analizy. Nieliniowości geometryczne występują, jeśli wielkość przemieszczeń wpływa na odpowiedź konstrukcji, co może być spowodowane przez:

duże ugięcia lub obroty przeskok (snap through) początkowe naprężenia lub zmianę

sztywności konstrukcji spowodowaną obciążeniem (load stiffening)

duże odkształcenia

Rysunek 6

Rysunek 6 ilustruje belkę wspornikową obciążoną siłą skupioną przyłożoną na swobodnym końcu belki. Dla małych ugięć można przeprowadzić analizę liniową. Jeśli ugięcia konstrukcji są duże, jej kształt (i sztywność) się zmienia, a jeśli dodatkowo obciążenie nie pozostaje prostopadłe do osi belki, zmienia się znacząco wpływ tego obciążenia na konstrukcję. W takim przypadku obciążenie jest sumą składowej prostopadłej i stycznej do osi belki, a oba składniki wpływają na nieliniową odpowiedź tej konstrukcji (tzn. zmianę sztywności belki).

4

Duże ugięcia i obroty w porównaniu do rozmiarów konstrukcji nie są jedyną przyczyną stosowania analiz nieliniowych. Ilustruje to zjawisko snap-through – Rysunek 7.

Rysunek 7

W przypadku „snap through”, dotyczącego mało wyniosłych powłok, wielkość przemieszczeń jest nieznaczna w stosunku do wymiarów panela. Występuje natomiast znacząca zmiana sztywności w trakcie symulacji, co musi zostać uwzględnione w obliczeniach.

1.3. Rozwiązanie problemów nieliniowych ABAQUS/Standard stosuje metodę Newtona-Raphsona do otrzymania rozwiązania problemów nieliniowych. Rozwiązanie jest znajdowane w wyniku zastosowania analizy przyrostowej – obciążenie jest przykładane stopniowo, w kolejnych przyrostach, w których prowadzone są obliczenia dla pewnego poziomu obciążenia, aż do osiągnięcia całej zadanej wartości. ABAQUS dzieli cały proces na pewną liczbę przyrostów obciążenia i znajduje przybliżoną – z zadaną dokładnością - konfigurację równowagi na końcu każdego z przyrostów. Często, aby otrzymać akceptowalne rozwiązanie w danym przyroście, należy przeprowadzić wiele iteracji.

2. Kroki, przyrosty i iteracje (do zdefiniowania zadania – patrz przykład) W programie ABAQUS historia obciążenia jest podzielona na jeden lub więcej kroków. Użytkownik definiuje krok (step), który zawiera typ analizy, obciążenie, warunki brzegowe i wymagania dotyczące wyników, które użytkownik chce analizować.

Przyrost (increment) jest częścią kroku. W analizie nieliniowej obciążenie przyłożone w kroku jest podzielone na mniejsze przyrosty tak, aby można było odtworzyć ścieżkę równowagi. W programie należy zadać wielkość pierwszego przyrostu, natomiast dalsze przyrosty mogą być dobierane automatycznie przez program. Na końcu każdego z przyrostów są zapisywane wyniki, które są dostępne w postprocesingu.

Iteracja (iteration) oznacza próbę zalezienia rozwiązania równowagi w danym przyroście. Jeśli model nie jest w równowadze na końcu iteracji, ABAQUS próbuje innej, poprawionej iteracji. Z każdą iteracją rozwiązanie otrzymane przez ABAQUS powinno być bliżej położenia równowagi. Po osiągnięciu położenia równowagi iteracja jest zakończona.

Szczegóły doboru automatycznego przyrostu obciążenia w ABAQUS są dostępne w oknie Job Diagnostis.

5

2. Przykład – płaska wyżłobiona płyta obciążona ciśnieniem

2.1. Budowa modelu Wykonamy obliczenia dla płyty o wymiarach 16x15x3 cm, wykonanej ze stali o E=2.0E7 N/cm2 oraz

=0.33. Konstrukcja jest obciążona nierównomiernym, zależnym od odległości od krawędzi karbu, ciśnieniem p o rozkładzie px2/100 oraz wartości p =383 N/cm2 (jest to zmodyfikowany przykład zaczerpnięty z podręcznika [2])

1. Definicja geometrii

Zaczynamy w module PART – Create Part i podajemy następujące dane: Name: plyta, Modeling space: 3D, Type: Deformable, Shape: Solid, Typ: Extrusion (generowanie modelu przez rozciągnięcie), Approximate size: 80.

W szkicowniku rysujemy prostokąt (Create Lines: Rectangle) pomiędzy punktami o współrzędnych (0,0) i (16,3). Następnie rysujemy koło (Create Circle) o środku w punkcie (6,3) zawierające punkt (7.5, 3).

Ikoną Auto-Trim usuwamy niepotrzebne fragmenty rysunku – górny półokrąg i fragment prostokąta – średnicę.

Po wyjściu ze szkicownika podajemy szerokość konstrukcji Depth – 15, otrzymując geometryczny model konstrukcji, zilustrowany obok.

6

2. Definicja materiału

W następnym kroku tworzymy materiał (Create Material) – nazwa – stal, Mechanical-Elasticity-Elastic, E=2E7, =0.33. Następnie zadajemy granicę plastyczności - Mechanical-Plasticity-Plastic równą 4E4 (Yield stress) i zerową wartość plastic strains.

Kolejnym krokiem jest stworzenie przekroju – Sections/Create Section akceptując ustawienia domyślne (Solid, homogeneous) i przypisanie przekroju do modelu – polecenie Assign Section znajduje się pod nazwą zadania plyta. Po wybraniu tego polecenia wskazujemy naszą konstrukcję i akceptujemy Done.

Kolejnym krokiem jest określenie globalnego układu odniesienia Assembly – Instance Part, wybierając Instance Type – Indepedent (Mesh on instance).

3. Definicja kroków obliczeniowych

Oprócz domyślnie zdefiniowanego kroku initial musimy zdefiniować krok, w którym zadamy obciążenia - Step – Create Step, Name-cisnienie, Procedure Type: General, rodzaj analizy: Static, General. Proszę sprawdzić parametry podane w karcie Incrementation kroku ciśnienie.

4. Definicja warunków brzegowych i obciążenia

W kroku Initial tworzymy warunki brzegowe - Create Boundary Conditions, Name: podparcie, Step: Initial, Category: Mechanical, Types for Selected Step: Symmetry/Antisymmetry/Encastre. Następnie wybieramy Continue, po wskazaniu bocznej płaszczyzny zadajemy u1=u2=u3=0 (pinned).

4e4

7

W kroku cisnienie zadajemy obciążenie Loads, Name: nierownomierne, Step cisnienie, Category: Mechanical, Types for Selected Step: Pressure. Po wybraniu Continue wskazujemy górną płaszczyznę po prawej stronie karbu i wybieramy Done. Po prawej stronie okna wybieramy opcję Create i wpisujemy wyrażenie pow(X,2)/100, OK. Następnie w polu Distribution, z rozwijalnej listy wybieramy opcję (A) AnalyticalField-1, i w polu Magnitude: wpisujemy wartość 383, na koniec zatwierdzamy OK.

5. Generacja siatki MES

W Module Mesh, w menu Seeds wybieramy polecenie Instance i wprowadzamy dane: Approximate global size: 2, maximum deviation factor 0.2, zatwierdzając OK. W menu Mesh/Element Type wybieramy Family: 3D Stress, Geometric Order: quadratic, natomiast w menu Mesh/Controls wybieramy Element Type: Hex, Technique: Sweep, Algorithm: Medial axis z zaznaczoną opcją Mesh transition, zatwierdzamy OK. Siatkę tworzymy poleceniem Mesh Instance z menu Mesh. Utworzona siatka składa się z 144 elementów typu C3d20R i 959 węzłów

6. Przeprowadzenie obliczeń

W module Job – Create Job, name: plyta, job type: Full Analysis, zatwierdzamy OK. Uruchamiając opcję monitor w managerze obliczeń, możemy śledzić ilość iteracji w poszczególnych przyrostach w obrębie danego kroku obliczeniowego.

Rysunek 8 Monitor obliczeń

8

Pierwsza kolumna wskazuje na numer kroku – w tym wypadku mamy tylko jeden krok; druga kolumna podaje numer przyrostu. Kolumna 6 Total Iter podaje ilość iteracji potrzebnych do uzyskania równowagi w każdym z przyrostów. Kolumna przedostatnia podaje całkowity czas, natomiast kolumna ostatnia przyrost czasu. Widać tutaj, że z powodu niemożności uzyskania rozwiązania w 7 przyroście, ABAQUS automatycznie redukuje przyrost czasu (dwa ostatnie wiersze tabeli).

2.2. Postprocesing

3. Kontrola zbieżności iteracji Po zakończeniu obliczeń możemy w module visualisation uruchomić opcję Job Diagnostic z menu Tools. Po wskazaniu na Attempt, w karcie Summary, otrzymujemy podstawowe informacje o liczbie iteracji. Dalej rozwijając drzewo z lewej strony okna, przechodzimy do iteracji – w karcie Summary sprawdzamy, czy iteracja jest zbieżna, a jeśli nie, to w karcie Residuals odczytujemy z jakiego powodu iteracja nie jest zbieżna (Rysunek 9). Są tu podane wartości największej siły rezydualnej, największego przyrostu przemieszczenia oraz największego współczynnika korygującego przemieszczenie c. Zaznaczając opcję Highlight selection in viewport możemy zobaczyć miejsce w naszym modelu, gdzie te wartości są osiągnięte (czerwony punkt).

Rysunek 9 Okno Job diagnostics – pierwsza iteracja

Ponieważ w przyroście 1, w żadnej z siedmiu początkowych iteracji, nie zostało uzyskane rozwiązanie równowagi, ABAQUS zredukował przyrost czasu i przeprowadził kolejną próbę, gdzie rozwiązanie równowagi zostało znalezione w pierwszej iteracji (spełnienie warunków dotyczących sił rezydualnych i przemieszczeń):

9

Rysunek 10 Okno Job diagnostics – druga próba

Rysunek 11 ilustruje wartości rezydualne w pierwszej iteracji przyrostu 2, w którym zostało znalezione rozwiązanie:

Rysunek 11 Job diagnostics - druga iteracja

ABAQUS pozwala również wyświetlić elementy, w których wystąpiły duże przyrosty odkształceń w punktach całkowania– karta Elements. Za duże przyrosty odkształceń przyjęto te, których wartość przekracza 50 razy wartość początkowych odkształceń przy uplastycznieniu, Rysunek 12

10

Rysunek 12 Job diagnostics – karta Elements

4. Wyniki kontrolne Jako wyniki kontrolne wyświetlimy mapy konturowe wartości maksymalnych naprężeń głównych, (Rysunek 13) oraz wartości naprężeń zastępczych Misesa, (Rysunek 14) (Plot/Contours, wybór zmiennych – Results/Field Output)

Rysunek 13 Maksymalne naprężenia główne

11

Rysunek 14 Naprężenia zastępcze (Misesa)

5. Obliczenia z uwzględnieniem wzmocnienia plastycznego W module property zmieniamy wartość granicy plastyczności w pozycji Plastic, w oknie dotyczącym definicji materiału (Materials/Edit Material) oraz dodajemy dodatkowy wiersz podając wartości 4.5e4 oraz 0.3. W pierwszym wierszu zmieniamy granicę plastyczności na 3.0e3.

Rysunek 15 Definicja materiału plastycznego ze wzmocnieniem

Następnie ponownie wykonujemy obliczenia. Wyniki kontrolne dla naprężeń zastępczych Misesa dla materiału plastycznego ze wzmocnieniem są zamieszczone poniżej (Rysunek 16)

0.3

12

Rysunek 16 Wyniki kontrolne dla materiału plastycznego ze wzmocnieniem

6. Rysunki dwuwymiarowe Korzystając z menu Tools/XY data – create, można wygenerować rysunki ilustrujące zmianę podczas analizy wybranych składowych, np. poszczególnych składowych naprężeń. Można tu wskazać jako źródło plik opisany jako ODB history output. Trzeba jednak pamiętać, aby w module Step, w poleceniu History Output Request wybrać odpowiednie wielkości, które mają być zapamiętywane w trakcie procesu w wybranych węzłach lub punktach całkowania. Najwygodniej wcześniej zdefiniować zbiór – set – aby nie pamiętać dużej ilości wyników dla całej konstrukcji. Robimy to rozwijając nazwę naszego zadania w oknie z poleceniami i wybierając polecenie Set – Przykładowy rysunek znajduje się obok

Rysunek 17 Zmiana przemieszczenia w p. A

Rysunek 18 Zależność w p. B

A

B

13

3. Literatura 1. ABAQUS/STANDARD - podręczniki użytkownika 2. Skrzat A., Modelowanie liniowych i nieliniowych problemów mechaniki ciała odkształcalnego

i przepływów ciepła w programie ABAQUS, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów, 2010

Spis treści 1. Program ABAQUS – typy analizy ..................................................................................................2

1.1. Analiza liniowa.....................................................................................................................2

1.2. Analiza nieliniowa ................................................................................................................2

1.1.1. Źródła nieliniowości .....................................................................................................2

1.3. Rozwiązanie problemów nieliniowych .................................................................................4

2. Kroki, przyrosty i iteracje (do zdefiniowania zadania – patrz przykład) .................................4

2. Przykład – płaska wyżłobiona płyta obciążona ciśnieniem............................................................5

2.1. Budowa modelu ..................................................................................................................5

2.2. Postprocesing ......................................................................................................................8

3. Kontrola zbieżności iteracji ..................................................................................................8

4. Wyniki kontrolne ............................................................................................................... 10

5. Obliczenia z uwzględnieniem wzmocnienia plastycznego ................................................... 11

6. Rysunki dwuwymiarowe .................................................................................................... 12

3. Literatura .................................................................................................................................. 13